авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский ...»

-- [ Страница 3 ] --

p p p R 1 R + R + 1 + p exp a1 a1 a 2 Следовательно, выражение (3.59) примет вид p 2qR exp (r R ) a T1L (r, p ) =, 0. (3.66) 1 + rp(1 + 2 ) p + R(1 + 2 ) Применив обратное преобразование Лапласа к выражению (3.66), получим erfc r R exp r R 1 + 2 + (1 + 2 ) 2qR 2 T1 (r, ) = (1 + 2 )r 2 a1 a1 R (1 + 2 ) R 2 (1 + 2 ) rR +, 0.

erfc + R (1 + 2 ) 2 a1 Используя разложение функции erfc(x) в степенной ряд при больших значениях, получим 2qR 2 (r R )(1 + 2 ) 1 R (1 + 2 ) 1 T1 (r, ) = + ( + ), (1 + 2 ) r R (1 + 2 ) 0, (3.67) где 1, 1, 2, 2 – теплопроводности и тепловые активности первого и второго тел (рис. 3.10), соответственно.

Преобразуем модель (3.67) к виду [391, 400]:

2qR 3 (1 + 2 ) 2qR 2 (r R ) 2qR T1 (r, ) = + +, r (1 + 2 ) (1 + 2 )r a r ( + ) 1 1 0. (3.68) При r = R 1 R (1 + 2 ), 0.

T (R, ) = 2qR (1 + 2 ) 1 + 2 3.1.4.2. Математическая модель распространения тепла в системе двух полуограниченных тел на стадии остывания Математическая модель, описывающая распространение тепла в системе двух полуограниченных тел на стадии остывания (вне зоны структурного превращения), получена на основе решения следующей краевой задачи теплопроводности [400, 428, 432].

Модель С. Два полуограниченных тела с различными ТФС при температуре T(r,, 0) = 0 находятся в идеальном тепловом контакте с поверхностным сферическим источником тепла постоянной мощности радиуса R и удельной поверхностной мощностью q. Вне источника тепла, в плоскости соприкосновения тел, существует идеальная тепло изоляция (рис. 3.10). Источник тепла действует заданный интервал времени, затем отключается и система остывает.

Конечное распределение температур после окончания действия источника тепла принимается близким к стационарному, которое най дем из предельного соотношения 2qR lim ( pT1L (r,, p)) =, ( 1 + 2 ) r p где Т1L решение (3.68) в области преобразования Лапласа.

Математически задача записывается следующим образом:

T1 (r,, ) 2T1 (r,, ) 2 T1 (r,, ) T (r,, ) = a1, + +2 sin r r sin r r r R, 0, 0;

(3.69) T2 (r,, ) 2T2 (r,, ) 2 T2 (r,, ) T (r,, ) = a2 + +2 sin r r sin r r r R,, 0 ;

(3.70) T1 (r,, 0) = f (r ), T2 (r,, 0 ) = f (r ) ;

(3.71) rR rR 0 2 T1 (,, ) = T2 (,, ) =0;

(3.72) 0 0 2 T1 (R,, ) = T2 (R,, ) ;

(3.73) 0 0 2 T1 (r,, ) T2 (r,, ) = = 0, = 0 = + 2 rR r R 0 (3.74) T1 (r,, ) T2 (r,, ) = = 0;

=0 = rR rR 0 T1 (R,, ) T (R,, ) 1 = 0, 2 2 = 0, 0, (3.75) r r 0 0 + 2 где f (r) функция начального распределения температуры в каждом по 2qR луограниченном теле (после отключения нагревателя);

f (r ) =.

(1 + 2 )r По аналогии с решением задачи на стадии нагрева запишем урав нения (3.69) и (3.70) в виде [391, 400]:

T1 (r, ) 2T1 (r, ) 2 T1 (r, ), r R, 0, 0 ;

= a1 + (3.76) r 2 r r T2 (r, ) 2T2 (r, ) 2 T2 (r, ), r R, 0,. (3.77) = a2 + r 2 r r Решения (3.76) и (3.77) в области преобразования Лапласа имеют вид [400]:

p p 2qR rT1L (r, p ) = A exp r + B exp r, 0 ;

(1 + 2 ) p a1 a1 (3.78) p p 2qR rT2 L (r, p) = C exp r + D exp r,.

(1 + 2 ) p a2 a2 (3.79) Граничные условия для изображения можно записать в виде:

T1L (, p ) = T2 L (, p ) = 0, (3.80) 0 2 T1L (R, p ) = T2 L (R, p ) (3.81), 0 2 dT1L (R, p ) dT (R, p ) 1 = 0, 2 2 L = 0. (3.82) dr dr 0 0 + 0 2 Из условия (3.80) следует, что B = D = 0.

Постоянную А определим из граничного условия (3.82):

p p 21q A R R + 1 + 1 exp = a ( + ) p a1 R 1 p p 2 2 q C R R + = 2 2 exp. (3.83) a ( + ) p a2 R 1 Из условия (3.81) имеем:

p p A exp R = C exp R, a1 a тогда p p C = A exp R.

(3.84) a2 a Подставляя выражение (3.84) в (3.83), получим 2qR A=.

p p p R 1 R + R + 1 + p exp a1 a2 a Следовательно, решение (3.78) примет вид [400] p 2qR exp (r R ) a T1L (r, p ) = 2qR, 0.

rp (1 + 2 ) + rp (1 + 2 ) p + 1 R (1 + 2 ) Перейдя от изображения к оригиналу и воспользовавшись разло жением функции erfc(x) в ряд при больших значениях для первого полуограниченного тела, получим 2qR 3 (1 + 2 ) (r R) (1 + 2 ) T1 (r, ) = + 1, r (1 + 2 ) 2 a1 R (1 + 2 ) r R, 0, 0. (3.85) При r = R 2qR 2 (1 + 2 ) T1 (R, ) =, 0, 0. (3.86) (1 + 2 ) 2 Таким образом, полученные математические модели (3.68) и (3.85) описывают экспериментальные термограммы на температурно временных интервалах, соответствующих моделям сферического по лупространства на стадиях нагрева и остывания с учетом теплоотдачи в материал подложки измерительного зонда [428, 430, 432].

На основании изложенного можно сделать вывод о характере те плового процесса, проходящего в системе изделие–нагреватель–зонд.

3.2. ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗВИТИЯ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПЕРЕНОСА С УЧЕТОМ МНОЖЕСТВА СОСТОЯНИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТЕПЛОВОЙ СИСТЕМЫ Динамика теплового процесса в данной системе будет характери зоваться входным воздействием (мощностью, выделяющейся на еди ницу площади нагревателя – q), выходной переменной T (), перемен ными состояния функционирования системы ( h1, h2,..., hn ). В качест ве такой переменной состояния (рис. 3.11) можно выбрать отношение теплового потока qо, поступающего в образец, к мощности, выде ляющейся на единицу площади нагревателя q, или отношение плотно сти теплового потока qз, поступающего в подложку ИЗ, к мощности, выделяющейся на единицу площади нагревателя q [370, 395, 400, 422].

В общем случае, на каждой экспериментальной термограмме на основании характера поведения переменных состояния функциониро вания тепловой системы было выделено несколько характерных («ра бочих») участков.

q qo qз, qq g g1 g2 g3 g qз qo q q Рис. 3.11. Изменение переменных состояния в процессе эксперимента на стадии нагрева при выполнении условий: 1 2, 1 Модель А Модель B Модель С T *, I II III IV V VI VII VIII °C, c 0 300 600 Рис. 3.12. Экспериментальная термограмма с выделенными рабочими участками, зафиксированная центральным ТП, для изделия из ПТФЭ (Т* = Тн + Т, где Тн – начальная температура, Т – избыточная температура) Так, например, на термограмме, зафиксированной центральной термопарой для изделия из политетрафторэтилена (ПТФЭ), было вы делено восемь участков (рис. 3.12).

Первому (I) участку экспериментальной термограммы (состоя ние g1, рис. 3.11) соответствует формирующееся одномерное темпера турное поле (можно считать, что тепло распространяется преимущест венно вдоль оси z, рис. 3.9). Тепловые потоки, поступающие в иссле дуемое изделие и ИЗ, изменяются во времени, так как нагреватель об ладает теплоемкостью, часть теплового потока тратится на нагрев про водов и присутствует термическое сопротивление между нагревателем и изделием:

2T 2T 1 T, 2+ 0, 2T qо = var, qо + qз q, r r r z где 2 – оператор Лапласа;

qо, qз – тепловые потоки, поступающие в исследуемое изделие и ИЗ, соответственно.

Второму (II) участку экспериментальной термограммы (состояние g2) отвечает температурное поле в изделии, близкое к одномерному плоскому (в локальной области нагревателя и ТП), где тепловой про цесс вышел на стадию регуляризации. Тепловые потоки, поступающие в изделие и ИЗ, практически становятся постоянными, т.е.

q qо const, qо + qз q, о 1, q з где 1, 2 – тепловые активности материала изделия и материала под ложки ИЗ.

Экспериментальная термограмма на II участке описывается мате матической моделью (3.17) – Модель А (модель плоского полупро странства) 2q T1 (0, ) = qсн.

(1 + 2 ) (1 + 2 ) T*,°C, с 0, 5,3 5,8 6,3 6,8 7, Рис 3.13. Второй участок экспериментальной термограммы для изделия из ПТФЭ Как видно из полученного выражения, на термограмме II участку будет соответствовать прямолинейный отрезок в координатах () T = T (рис. 3.13).

Третьему (III) участку экспериментальной термограммы (состоя ние g 3 ) соответствует двухмерное температурное поле в изделии, по скольку нельзя пренебречь распространением тепла в радиальном на правлении (вдоль оси r). Тепловые потоки, поступающие в изделие и ИЗ, вновь становятся переменными. Для g 3 имеет место:

2T 2T 1 T 2T + +, qо = var, qз = var.

r r z r 2 Четвертый (IV) участок термограммы (состояние g4) характеризу ется локальной регуляризацией тепловых потоков в области нагрева теля и ТП. Тепловой поток qо становится практически постоянным.

В исследуемом изделии формируется температурное поле, близкое к одномерному сферическому (полусферическому). Для g 4 имеет место:

q qо const, qо + qз q, о 1, q з здесь 1, 2 – коэффициенты теплопроводности материала изделия и материала подложки ИЗ, соответственно.

Термограмма для ТП, расположенного в центре нагревателя, на IV участке описывается математической моделью (3.68) – Модель В (сферическое полупространство) 2qR 1 R (1 + 2 ), 0.

T (R, ) = (1 + 2 ) 1 + 2 Для термограмм, зафиксированных ТП, расположенными на не котором расстоянии от нагревателя, модель, описывающая IV участок, имеет вид 2qR 3 (1 + 2 ) 2qR 2 (r R) 2qR T1 (r, ) = + +, r (1 + 2 )2 (1 + 2 ) r a r ( + ) 1 1 0.

Как видно из полученного выражения, на экспериментальной термограмме IV участку будет соответствовать прямолинейный отре зок в координатах T = T (рис. 3.14).

T*,°C 0,095 1 /, c -0, 0,065 0,075 0, Рис. 3.14. Четвертый участок термограммы для изделия из ПТФЭ Пятому (V) и шестому (VI) участкам экспериментальной термо граммы соответствуют тепловые процессы, в которых тепловой поток qо опять становится переменным, т.е. в состояниях g 5 и g 6 :

qо = var, qз = var.

На стадии остывания был выделен седьмой (VII) участок экспе риментальной термограммы (рис. 3.12), соответствующий тепловому процессу, который вышел на стадию регуляризации (в локальной об ласти нагревателя и ТП). Тепловой поток qо опять становится практи чески постоянным. Имеет место одномерное температурное поле, близкое к сферическому (полусферическому), т.е. в состоянии g 7 :

qо const.

Математическая модель, описывающая VII участок термограммы (для ТП, расположенного в центре нагревателя) – Модель С, имеет вид (3.86) 2qR 2 (1 + 2 ) T1 (R, ) =, 0, 0.

(1 + 2 ) 2 Для термограмм, зафиксированных ТП, расположенными на не котором расстоянии от нагревателя, модель, описывающая VII уча сток, имеет вид (3.85) 2qR 3 (1 + 2 ) (r R) (1 + 2 ) T1 (r, ) = + 1, r (1 + 2 ) 2 a1 R (1 + 2 ) r R, 0, 0.

Как видно из полученного выражения на термограмме VII участ ку будет соответствовать прямолинейный отрезок в координатах T =T (рис. 3.15).

Восьмому (VIII) участку экспериментальной термограммы соот ветствует состояние функционирования системы, когда тепловой про цесс вновь изменяется.

Таким образом, участки экспериментальной термограммы II, IV и VII – рабочие, так как возможно однозначно определить значения ТФС исследуемого материала в зависимости от параметров математических моделей, описывающих термограмму на данных температурно временных интервалах.

Следует отметить, что чем больше таких характерных участков будет найдено и описано аналитически, тем больше появляется воз можностей определить температурно-временные характеристики структурных превращений в исследуемом объекте по аномальным значениям ТФС при изменении температуры, используя различные математические модели, адекватно отражающие процессы теплопере T*,°C 1 /, c -0, 0,07 0,08 0, Рис. 3.15. Седьмой участок термограммы для изделия из ПТФЭ носа в определенные интервалы времени. Причем следует учитывать возможность получения в одном опыте ряда термограмм, используя тепловую схему с несколькими термоприемниками.

Полученные модели, описывающие процесс теплопереноса на стадиях регуляризации тепловых потоков, использованы автором в разработанном методе НК температурно-временных характеристик структурных превращений в полимерных материалах [358, 363, 366, 370, 373, 377, 382, 391, 400, 403, 420, 404, 406, 409, 412, 415].

3.3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА Аналитически решить задачу теплопереноса в системе (зонд– полимерное тело) при наличии структурного перехода в ПМ, затрудни тельно, так как неизвестны изменения ТФС исследуемого ПМ в темпе ратурном интервале фазового перехода, неизвестен закон движения границы ФП. При разработке математических моделей, позволяющих определять законы движения границ фазовых переходов в ПМ, учиты вали, что в ПМ фазовые переходы в отличие от релаксационных про исходят при постоянной температуре Тп. Была использована следую щая аналогия: распределение температуры в исследуемом теле от плоского круглого источника тепла постоянной мощности радиуса Rпл при 0 близко к распределению температуры в сферическом полу пространстве со сферической полостью радиуса R, через которую осуществляется тепловое воздействие [390].

Рассмотрим задачу о распространении тепла в сферическом про странстве (рис. 3.16). Будем считать, что в начальный момент времени температура тела во всех точках пространства одинакова и равна ну лю. В момент времени = 0 на сферической поверхности с координа тами r = R начинает действовать источник постоянной мощности с поверхностной мощностью q. При темпе ратуре T = Tп материал имеет фазовый R q переход, сопровождающийся поглощени ем тепла. Теплота перехода – Qп [Дж/м ]. r Теплофизические свойства тела в ре зультате фазового перехода меняются незначительно, т.е. теплопроводность и а, теплоемкость остаются по обеим сторо нам границы фазового перехода одинако выми. Необходимо найти распределение Рис. 3.16. Тепловая схема температуры внутри такого тела в любой системы с поверхностным момент времени. сферическим нагревателем Предварительные замечания. Очевидно, что до тех пор, пока тем пература в любой точке тела ниже, чем температура фазового перехо да, задача будет описываться классическим уравнением теплопровод ности в сферических координатах с граничными условиями второго рода на поверхности с координатами r = R.

Постановка задачи:

a r 2 T (r, ) r r T (r, ) = ;

T (r, 0) = 0 ;

r T (R, ) = q ;

T (, ) = 0.

r Решение такой задачи известно и имеет вид:

a 1 rR 1 rR r R a R 2q.

T (r, ) = + 2 erfc exp + erfc 2 2 a R r a R R (3.87) Очевидно, что максимальная температура тела всегда будет у по верхности с координатами r = R. Следовательно, можно найти момент времени нп, когда в теле начнется фазовый переход. Затем, подставив нп в выражение (3.87), возможно найти распределение температурного поля на момент начала фазового перехода. Для этого в выражение (3.87) вместо r необходимо подставить R, а вместо T(r, ) – подставить T = Tп.

Таким образом, необходимо решить следующее уравнение отно сительно нп :

a нп a R q 1 exp нп erfc R R Tп =. (3.88) Представим выражения (3.87) и (3.88) в безразмерном виде. Для этого введем обозначения:

a Fo =, (3.89) R r =. (3.90) R Отметим, что из выражения (3.87) следует, что распределение температуры в теле стремится к квазистационарному состоянию при. Температурное поле в квазистационарном состоянии описыва ется выражением:

q R Tст (r ) =. (3.91) r При этом максимальная температура будет на поверхности с ко ординатами r = R (поверхность, на которой действует источник тепла):

qR Tmax =. (3.92) T (r, ) Введя безразмерную величину (, Fo) =, с учетом выра Tmax жения (3.92), получим T (r, ) (, Fo) =. (3.93) qR Безразмерное время, соответствующее началу фазового перехода в теле, будет определяться выражением:

a нп Fo нп =. (3.94) R Безразмерная температура перехода:

Tп п =. (3.95) qR С учетом (3.89) – (3.95) можем переписать выражения (3.87), (3.88) в безразмерной форме:

1 1 1 1 exp( 1 + Fo )erfc + Fo erfc 2 2 Fo, (3.96) (, Fo ) = Fo ( ) п = 1 exp(Fo н п ) erfc Fo н п. (3.97) После того, как в теле начнется фазовый переход, распределение температуры в теле находится из задачи стефановского типа. При этом начальное распределение температуры будет описываться выражением:

1 rR exp r R + a нп erfc 1 r R + a нп R 2 q erfc 2 a 2 a R R R T0 (r ) = нп нп.

r (3.98) В безразмерной форме:

1 1 exp( 1 + Fo )erfc 1 1 + Fo erfc нп нп 2 Fo 2 Fo. (3.99) 0 ( ) = нп нп Величины нп и Fo нп определяются из выражений (3.88) и (3.97).

Введем обозначения T1 (r, ) – распределение температуры в теле в первой фазе, T2 (r, ) – распределение температуры во второй фазе.

T1 (r, ) описывает температурное поле в пределах R r rп(), а T2 (r, ) – температурное поле в пределах rп() r. Здесь rп() – за кон движения границы фазового перехода.

С учетом вышеизложенного постановка задачи имеет вид:

a r 2 T1 (r, ) r r T1 (r, ) =, R r rп(), 0;

(3.100) r a r 2 T2 (r, ) r r T2 (r, ) =, rп() r, 0;

(3.101) r T2 (r, 0) = T0 (r ), r R;

(3.102) T1 (R, ) = q, 0;

(3.103) r T2 (, ) = 0, 0;

(3.104) T1 (rп (), ) = T2 (rп (), ), 0;

(3.105) T1 (rп (), ) T2 (rп (), ) = Qп rп (), 0. (3.106) r r Введем безразмерные величины:

r п = п – координата границы фазового перехода в безразмерном R Qa виде, п = п – теплота перехода в безразмерном представлении.

qR Постановка задачи (3.100) – (3.106) в безразмерной форме:

2 1 (, Fo ) 1 (, Fo ) =, Fo 0, 1 п ;

(3.107) Fo 2 2 (, Fo ), Fo 0, ;

2 (, Fo ) = (3.108) п Fo 2 (, 0) = 0 ( ), 1;

(3.109) 1 (1, Fo ) = 1, Fo 0;

(3.110) 2 (, Fo ) = 0, Fo 0;

(3.111) 1 ( п (Fo ), Fo ) = 2 ( п (Fo ), Fo ), Fo 0;

(3.112) 1 ( п (Fo ), Fo ) 2 ( п (Fo ), Fo ) = п п (Fo ), Fo 0.

Fo (3.113) Задача (3.107) – (3.113) является задачей стефановского типа.

В такой постановке функция п = f (Fo ) – свободная граница, которая не задана и подлежит определению вместе с 1 (, Fo ) и 2 (, Fo ).

Решение подобной задачи сильно упрощается, если известен за кон движения свободной границы п = f (Fo ). В данной постановке задачи есть еще одна сложность, которая связана с определением на чального распределения температуры, так как значение Fo н п в выра жении (3.97) представлено в неявном виде, а начальное распределение записано в виде достаточно сложной функции.

Для упрощения задачи будем считать, что поверхность с коорди натой r = R достигает температуры фазового перехода при больших значениях Fo. Тогда, используя асимптотическое разложение erfc(x) при больших x, ограничившись первым членом этого разложения вме сто (3.97), можем записать:

п = 1. (3.114) Fo н п Определим Fo н п :

Fo н п =. (3.115) (1 п ) Применив аналогичные преобразования для (3.87) получим:

1 Fo =1. (3.116) Fo 1 + Fo 2 Подставив в выражение (3.116) значение Fo н п, найденное из за висимости (3.115), определим начальное распределение температуры на момент достижения поверхностью = 1 (при r = R) температуры перехода п, т.е. определим вид функции в правой части выраже ния (3.109).

С учетом ряда упрощений, начальное условие (3.109) в задаче (3.107) – (3.113) будет иметь вид:

1 п 1 ( 1)(1 п ) ( 1)(1 п )2 + 2 (, 0) = 2 (3.117) или 1 (1 п ) + 1 ( 1)(1 )2 + 1 п 2.

2 (, 0) = (3.118) Для определения закона движения границы фазового перехода в задаче (3.107) – (3.113) можно применить два варианта преобразований.

Вариант 1. Считаем, что закон движения границы ФП такой же, как закон движения изотермы с температурой Тп в случае отсутствия перехода. В результате получено выражение:

п 1 Fo* п = 1, (3.119) п 1 Fo * п + Fo* где Fo* = Fo+.

(1 п ) Решение этого уравнения имеет вид:

п (Fo) = 1 *2 *3 2 *1 2п Fo + Fo 2 Fo + 2 Fo + п Fo + * * 2 Fo*2 2 2 Fo*2 + 4 2 Fo*3 + 2 2 Fo*2 2 3 2 Fo*5 2 + + п п п п.

*7 2 *3 *2 *4 *3 + 8п Fo + 4 Fo 8 Fo + 4п Fo 4п Fo + 32 22 5 2 42 2 Fo* + Fo* + 43 2 Fo* п.

(3.120) Выражение (3.120) имеет достаточно сложный вид для примене ния его на практике. Для получения более простого выражения введем дополнительные упрощения.

Случай 1. Пренебрегаем в выражении (3.119) величинами п 1 1 и п. Решение имеет вид:

2 Fo* Fo (1 п )2 + 1 1 + п п (Fo ) =. (3.121) п Fo (1 п )2 + Случай 2. Предположим, что п 1 Fo. Пренебрегаем в выра 1 жении (3.119) величиной п. Решение имеет вид:

2 Fo (1 п )2 + п (Fo ) =. (3.122) п Fo (1 п )2 + 1 п + Вариант 2. Закон движения границы ФП должен удовлетворять следующим условиям.

Условие 1. В момент времени Fo = 0 координата границы перехо да должна соответствовать п = 1.

Условие 2. Как уже отмечалось выше, в задаче без перехода в те ле возникает квазистационарное температурное поле, определяемое выражением (3.91) или в безразмерном виде:

ст ( ) =. (3.123) Очевидно, что подобное квазистационарное распределение тем пературы соответствует и случаю с ФП. При Fo координата пе рехода должна принимать значение:

п =. (3.124) п П р и м е ч а н и е.

Условие 2 очевидно для случая ФП, сопровождающегося погло щением тепла. Если ФП сопровождается выделением тепла, необхо димы дополнительные выкладки.

Условие 3. Граница фазового перехода будет отставать от движе ния границы изотермы с температурой, соответствующей фазовому переходу, в задаче без фазового перехода, когда переход идет с погло щением тепла и двигаться быстрее, когда переход идет с выделением тепла.

Для получения закона движения границы фазового перехода предлагается подобрать вид функции с варьируемыми параметрами.

Функция должна удовлетворять условиям 1 и 2 варианта 2.

В качестве искомых функций можно предложить следующие:

По варианту 1 на основании выражений (3.121) и (3.122):

(Fo (1 ) + m ) (1 )m, к 0, m 0, 1к к (Fo ) = п п (Fo (1 ) + m ) (3.125) п 1к к п п (Fo (1 ) + m ) 1к к (Fo ) = п (Fo (1 ) + m ) + (1 )m, к 0, m 0. (3.126) п 1к к п п п По варианту 2:

Fo к + m п (Fo ) =, к 0, m 0. (3.127) п Fo к + m Подбор варьируемых параметров к и m найденных функций осу ществляется таким образом, чтобы удовлетворялось условие 3 при наилучшем приближении к данным, полученным в результате числен ного решения задачи (3.107) – (3.113).

Выводы 1. Предложена физическая модель измерительного устройства для НК температурно-временных характеристик структурных перехо дов в полимерах и композиционных материалах на их основе. Измери тельный зонд снабжен плоским круглым источником тепла постоян ной мощности и несколькими термоприемниками.

2. С применением многомодельного подхода к анализу и анали тическому описанию тепловой системы разработаны математические модели нестационарного теплопереноса в объектах контроля при ло кальной регуляризации тепловых потоков в области действия плоского круглого нагревателя постоянной мощности при нагреве и остывании на основе решений краевых задач теплопроводности (модели плоского и сферического полупространств).

3. Разработаны математические модели, позволяющие опреде лять закон движения границы фазового перехода в полимерном материале неразрушающим способом с использованием выносного измерительного зонда по температурным откликам на тепловое воз действие.

Глава РАСЧЕТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ МНОГОМОДЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ СТРУКТУРНЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ В ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛАХ 4.1. РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ, РЕАЛИЗУЕМЫЕ ПРИ НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ СТРУКТУРНЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ ПО МОДЕЛИ ПЛОСКОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА Обозначим 1 =, 2 = ' и z =. Преобразуем полученное ранее выражение (3.17) к виду:

T (0, z ) = d1 z + d 0. (4.1) Здесь E d1 =, (4.2) ( + ) F d0 =, (4.3) ( + ) 2q, F = qcн, параметры ИИС, определяемые режимами E= опыта, а также ТФС материалов нагревателя и подложки зонда.

Для расчета текущих значений коэффициентов *, d1i и d0i термо i грамму разобьем на интервалы с номерами точек 1 … k;

2 … k + 1;

n – k + 1 … n, где k – количество точек в интервале, целое положительное нечетное число (k 3);

n – количество точек в термограмме;

i – номер интервала [370, 386, 391, 400].

Из уравнения (4.2) получим соотношение для вычисления теку щих значений коэффициента * по каждому интервалу термограммы:

E, * = (4.4) i d1i где ( 01 02 ), = 1d11 2 d12, d11d E= (4.5) d12 d d12 d i + (k 1) i + (k 1) 2 d1i = T j ( z j zi ) ( z j zi ) 2, (4.6) (k 1) (k 1) j =i j =i 2 (k 1) i+ zj zi =, (4.7) k (k 1) j =i d1i – текущие значения параметра d1;

d11, d12, 01, 02 – параметры d1 и тепловые активности образцовых мер, соответственно.

Текущие значения параметра d0i определяются по соотношению:

d 0i = Ts d1i zi, (4.8) где (k 1) i+ 1T j Ts =, (4.9) (k ) k j =i Ts – средняя температура изделия из k текущих в каждом интервале измерений;

Tj – температура на j-м шаге измерения.

Уравнение (4.1) соответствует второму рабочему участку термо граммы, зафиксированной в центре нагревателя. По отклонениям * вi узком температурно-временном интервале от теоретических зависимо стей * = f (Ts ) и * = f () определяют температурно-временные ин i i тервалы возможных структурных превращений (Первый метод НК структурных превращений в ПМ) [391].

Дисперсии текущих значений параметров d1i и d0i на рабочем уча стке в случае отсутствия структурного перехода будут постоянными.

Оценки дисперсий значений параметров d1i и d0i рассчитывают по формулам [391]:

STi Sd =, (4.10) (k 1) i+ 1i 1() ) 2 j zi (k j =i 2 1, zi = STi + 2 (4.11) S d 0i (k 1) k i+ ( ) j zi (k 1) j =i i + (k 1) ( ) Tj j zi i + (k 1) j =i (k 1) ( ) 1 T j Ti где STi =, – про (k 1) k 2 (k 1) i+ 1() ) j =i j zi (k j =i межуток времени, через который производятся измерения;

STi – оцен ка дисперсии значений Ti. Если в исследуемом полимерном материале происходит структурный переход, который сопровождается тепловым эффектом, то значения текущих параметров d1i и d0i существенно из меняются в узких временном и температурном интервалах. Построив зависимость одного из текущих параметров d1i, d0i (или их дисперсий 2 S d1i, S d 0i ) от температуры изделия ( Ts ), по характерным пикам опре деляют температурные интервалы структурных переходов в полимер ном материале без проведения калибровки ИИС (Второй метод НК структурных превращений в ПМ) [370, 391, 407, 408].

4.2. РАСЧЕТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА НЕРАЗРУШАЮЩЕГО ТЕПЛОФИЗИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ СТРУКТУРНЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ В ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛАХ ПО МОДЕЛИ СФЕРИЧЕСКОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА 4.2.1. СТАДИЯ НАГРЕВА Преобразуем выражение (3.68) к виду:

T (r, ) = b1t + b0, (4.12) 2qR2 (r R) 2qR3 (1 + 2 ) 2qR, b1 =.

, b0 = где t = + (1 + 2 )r a r ( + ) a1 r (1 + 2 ) 1 1 2q R (r R) 2qR Обозначим: A = ;

B= ;

C= ;

1 = ;

2 = ';

r r 1 = ;

2 = '.

Параметры А, В, С, ', ' – постоянные прибора, учитывающие конструктивные особенности устройства и режимы опыта;

, – теп лопроводность и тепловая активность исследуемого тела [391, 400].

Учитывая, что a = :

B 2 ( + ) CB b1 =, + (4.13) ( + ) A ( + ) B b0 =. (4.14) + Постоянные прибора определяются из градуировочных экспери ментов, значения коэффициентов b0 и b1 – по термограммам методом наименьших квадратов. Используя формулу (4.14), текущие значения теплопроводности *n для n-й термопары определяют по зависимости:

Bn n.

*n = (4.15) b0in Здесь:

01n b01n 02n b02 n b01n b02n ( 01 02 ) ;

n = Bn = ;

(4.16) b02 n b01n b02n b01n Вn, n постоянные прибора для n-й термопары;

n – порядковый но мер термопары, считая от центра зонда;

b0in текущие значения ко эффициента;

b01n, b02n коэффициенты, определенные по термограм мам, зафиксированным на образцовых мерах;

01, 02 теплопровод ности образцовых мер.

Для поверхностного слоя при r = R выражения (4.13), (4.14) уп рощаются и принимают вид:

B 2 ( + ) B b0 =, b1 =, A ( + ) + где A = 2q, B = 2qR.

Выражения для вычисления текущих значений тепловой активно сти * и постоянных прибора по модели сферического полупростран ства на стадии нагрева при r = R, следующие [370, 400]:

b1i A, * = (4.17) i b0i 01b01b12 02 b02b 2 b02b ( 01 02 ), = A=, (4.18) b12b01 b11b02 b02 b11 b01b 2 2 2 здесь: b0i, b1i текущие значения коэффициентов;

01, 02, 01, тепловые активности и теплопроводности исследуемого материала и образцовых мер;

b01, b02, b11, b12 коэффициенты, определенные из термограмм, снятых на образцовых мерах.

Дисперсии текущих параметров b0i, b1i для каждого интервала оцениваются по следующим формулам [370, 400]:

STi Sb =, (4.19) (k 1) i+ 1i 1) zi (k j j =i z i 2 1, = STi + 2 (4.20) S b0i (k 1) k i+ 1) zi (k j j =i i + (k 1) Tj zi * i + (k 1) j j =i (k 1) ( ) 1 T j Ti STi = 2 *, (4.21) (k 1) k 2 (k 1) i+ j =i 1) zi (k j j =i (k 1) (k 1) i+ i+ (1 ) 2 1 zi = j, Ti = T j*, k k (k 1) (k 1) j =i j =i 2 где Tj температура на j-м шаге измерения;

промежуток времени, через который производятся измерения;

i – номер интервала.

4.2.2. СТАДИЯ ОСТЫВАНИЯ Представим расчетное выражение (3.86) в виде:

T ( R, ) = ht, (4.22) 2qR 2 ( + ), h= где t =.

( + ) 2qR Выделим в h постоянную прибора D = и обозначим ( + ) = µ, тогда:

( + ) h µ=.

D Постоянную прибора D находят из градуировочного эксперимен та на образцовой мере:

h D=, (4.23) µ где h0 – коэффициент, определенный по термограмме, зафиксирован ной на образцовой мере;

µ0 – теплофизический комплекс образцовой меры.

Выражение для вычисления текущих значений µ* при r = R:

hi µ* =, (4.24) i D где hi текущие значения коэффициента (определяют по термограмме методом наименьших квадратов).

Дисперсия величины S hi находится аналогично дисперсии Sb1i [400].

4.3. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДОВ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ СТРУКТУРНЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ В ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛАХ Для контроля температурно-временных характеристик структур ных превращений в полимерных материалах разработанные методы включают: тепловое воздействие от плоского круглого источника тепла постоянной мощности;

одновременное фиксирование температурных откликов в нескольких заданных точках поверхности исследуемого тела на стадиях нагрева и остывания;

пошаговую обработку термограмм по разработанным алгоритмам с помощью ИИС [370, 386, 391, 400].

Первый метод предполагает фиксирование структурных превра щений по аномалиям ТФС в узких температурном и временном интер валах с изменением интенсивного параметра (температуры или време ни) и предусматривает проведение градуировки ИИС по двум образ цовым мерам. Метод включает в себя следующие этапы.

1. Градуировка ИИС: получение термограмм на двух образцах с известными ТФС;

определение рабочих участков термограмм;

расчет постоянных ИИС.

2. Фиксирование термограмм на исследуемом образце. Опреде ление рабочих участков каждой термограммы. Для расчета текущих значений коэффициентов d0, d1, b0, b1 и h экспериментальную термо грамму разбивают на интервалы с номерами точек 1 … k;

2 … k + 1;

u – k + 1 … u, где k – целое положительное нечетное число, большее 3, u – количество точек в термограмме. Для каждого интервала вычисля ют значения d0i, d1i, b0i, b1i, hi и Ts. Здесь Ts – средняя температура изде лия из k текущих пошаговых измерений. Вычисление текущих значе ний ТФС (*, *, с*, µ*) по каждому интервалу. Построение зависимо стей * = f (Ts), * = f (Ts), с* = f (Ts), µ* = f (Ts). Построение зависимо стей: * = f (), * = f (), с* = f (), µ* = f ().

3. Фиксирование температурно-временных параметров струк турных превращений, которые сопровождаются аномальными измене ниями ТФС на узких температурном и временном интервалах, путем анализа построенных зависимостей *, *, с*, µ* от температуры или времени.

4. Дифференцирование релаксационных и твердофазных превра щений по данным (например, трех) термограмм, зафиксированных при различных скоростях изменения температуры (с ростом скорости изме нения температуры релаксационные переходы перемещаются в сторону больших температур, чего не происходит с фазовыми переходами).

Второй метод не требует проведения градуировочных экспери ментов и может быть использован для экспресс-контроля [391, 400].

В области структурных превращений наблюдаются аномалии, выражающиеся в скачках и разрывах на зависимостях ТФС от темпе ратуры (или времени), которые могут быть зафиксированы по измене ниям текущих параметров d0i, d1i, b0i, b1i, hi моделей (4.1), (4.8) и (4.11).

Построив зависимость между одним из параметров d0i, d1i, b0i, b1i, hi и температурой, по характерным пикам определяют температурные интервалы структурных превращений в ПМ без проведения градуи ровки.

Будем рассматривать модели (4.1), (4.8) и (4.11) как случайные стационарные процессы (протекающие во времени однородно, част ные реализации которых с постоянной амплитудой колеблются вокруг средней функции), для которых дисперсии по сечениям – постоянные величины. Если в исследуемом ПМ происходит, например, твердофаз ное превращение из одной кристаллографической модификации в дру гую, которое сопровождается тепловым эффектом, то величины дис персий коэффициентов d0i, d1i, b0i, b1i и hi будут резко изменяться в достаточно узких временных и температурных интервалах.

Фиксирование аномалий на кривых зависимостей дисперсий 2 2 2 2 ( S d 0i, S d1i, S b0i, S b1i, S hi ) от температуры позволяет проводить экс пресс-анализ экспериментальных данных при выборе режимных пара метров работы ИИС.

4.4. ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПЛОСКОГО И СФЕРИЧЕСКОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВ РЕАЛЬНЫМ ТЕПЛОВЫМ ПРОЦЕССАМ 4.4.1. МОДЕЛЬ ПЛОСКОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА Выражение, определяющее развитие температурного поля от круглого ограниченного плоского нагревателя в полупространстве, имеет весьма сложный вид и малопригодно для использования при реализации метода НК. Для получения математической модели, опи сывающей процесс распространения тепла в исследуемой системе, модель с плоским круглым нагревателем постоянной мощности радиу сом Rпл заменена на модель с бесконечным плоским нагревателем, что позволило получить простое расчетное соотношение, описывающее экс периментальную термограмму на II участке (модель А) [339, 370, 400].

Уравнение, описывающее изменение избыточной температуры в центре плоского круглого источника тепла постоянной мощности при действии этого источника в системе двух полуограниченных тел, по лученное по модели плоского полупространства, имеет вид:

2q T (0, ) = qcн. (4.25) (1 + 2 ) (1 + 2 ) На рисунке 4.1 представлены термограммы, построенные с ис пользованием пакета ELCUT (кривая 1) и по модели (4.25) (кривая 2).

Численные значения величин, и соответствовали данным:

1 = 2 = 2200 кг/м3;

1 = 2 = 743 Втс0,5м–2К–1;

1 = 2 = 0,25 Вт/(мК).

Плотность теплового потока, создаваемого плоским круглым на гревателем с Rпл = 0,004 м, соответствовала q = 5000 Вт/м2.

T, °C II, c 0 10 Рис. 4.1. Термограммы, построенные для системы двух полуограниченных тел с одинаковыми ТФС без учета теплоемкости нагревателя. В плоскости контакта действует:

1 плоский круглый нагреватель (численное моделирование);

2 бесконечный плоский нагреватель, расчеты выполнены с использованием математической модели (4.25) T,°C Рис. 4.2. Термограммы, построенные для системы 30 II двух полуограниченных тел с различными ТФС без учета теплоемкости нагревателя. В плоскости контакта действует:

1 плоский круглый нагреватель (численное моделирование);

2 бесконечный плоский нагреватель, расчеты выполнены с использованием математиче, c ской модели (4.25) 0 10 Зависимость относительной погрешности Т отклонения темпера туры Т от времени, которая обусловлена различием математических 2 (T1 T2 ) моделей и определена по формуле T = 100%, представлена T1 + T на рис. 4.3.

На рабочем участке термограммы относительная погрешность T не превышает 2%.

Т,% 4 II, c 0 10 Рис. 4.3. Зависимость Т = f () Т,% II, c 0 10 Рис. 4.4. Зависимость Т = f () 12 мм 1, с1, 2, с2, 0,5 K 1,0 К 0,5 K 1,5 К 1,0 К 2,0 К 1,5 К 2,5 К 2,0 К 2,5 К 8 мм 8 мм Рис. 4.5. Температурное поле (T) от плоского круглого нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел при идеальной теплоизоляции между ними при следующих условиях:

= 10 с;

Rпл = 0,004 м;

q = 5000 Вт/м2;

1 = 0,27 Вт/(мК);

с1 = 1005 Дж/(кгК);

1 = 2200 кг/м3;

2 = 0,028 Вт/(мК);

с2 = 1270 Дж/(кгК);

2 = 50 кг/м3;

шаг изотерм 0,5 К Для случая, когда контактирующие полуограниченные тела име ют разные ТФС (например, исследуемое тело из ПТФЭ, а подложка ИЗ из Рипора), построены термограммы и определена величина Т (рис. 4.2 и 4.4). Расчеты выполнены при следующих условиях:

q = 5000 Вт/м2;

Rпл = 0,004 м;

с1 = 1005 Дж/(кгК);

с2 = 1270 Дж/(кгК);

1 = 2200 кг/м3;

2 = 50 кг/м3;

1 = 0,27 Вт/(мК);

1 = 743,47 Втс0,5м–2К–1;

2 = 0,028 Вт/(мК);

2 = 42,17 Втс0,5м–2К–1.

Относительная погрешность Т отклонения температуры Т (рис. 4.4) на II участке термограммы не превышает 3% [385, 396, 400, 425].

Таким образом, результаты расчетов, представленные на рис. 4. и рис. 4.4, позволяют рекомендовать применение математической мо дели (3.17) на II участке термограммы в методах НК ТФС [400] и НК структурных превращений в ПМ [425]. Визуализация температурных полей и поля плотности тепловых потоков в системе исследуемое из делие–зонд при малых значениях представлена на рис. 4.6 – 4.8. Поля построены численным моделированием [303, 304] с помощью пакета ELCUT [305].

РИПОР: ПТФЭ:

2=0,028 Вт/(мК) 1=0,25 Вт/(мК) 0, с2=1270 Дж/(кгК) с1=1005 Дж/(кгК) 2=50 кг/м3 1=2200 кг/м 2=42,17 Втс0,5/(м2К) 1=743,47 Втс0,5/(м2К) qз qo = 10 с =10 с q=10000 Вт/м Rпл=0,004 м Rп шаг сетки – 0,2 мм 5 мм -5 мм Рис. 4.6. Поле плотности тепловых потоков от плоского круглого нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел при идеальной теплоизоляции между ними (II участок термограммы) 2, с2, 2 1, с1, 0,5 K 1,0 К 1,5 К 2,0 К 2,5 К 8 мм 8 мм а) 2, с2, 2 1, с1, 0,5 K 0,5 K 1,0 К 1,0 К 1,5 К 1,5 К 2,0 К 2,0 К 2,5 К 2,5 К 8 мм 8 мм б) Рис. 4.7. Температурные поля (T) от плоского круглого нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел при идеальном тепловом контакте между ними при следующих условиях:

а – = 10 с;

Rпл = 0,004 м;

q = 5000 Вт/м2;

1 =2 = 0,27 Вт/(мК);

с1 =с2 = 1005 Дж/(кгК);

1 =2 = 743,47 Втс0,5м–2К–1;

1 = 2 = 2200 кг/м3;

шаг изотерм 0,5 К;

б – = 10 с;

Rпл = 0,004 м;

q = 5000 Вт/м2;

1 = 0,27 Вт/(мК);

с1 = 1005 Дж/(кгК);

1 = 2200 кг/м3;

2 = 0,028 Вт/(мК);

с2 = 1270 Дж/(кгК);

2 = 50 кг/м3;

шаг изотерм 0,5 К 4.4.2. МОДЕЛЬ СФЕРИЧЕСКОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА.

СТАДИЯ НАГРЕВА Для получения математической модели, описывающей процесс распространения тепла в исследуемой системе на стадии нагрева при больших значениях, плоский круглый нагреватель постоянной мощ ности заменен эквивалентным ему поверхностным сферическим, что позволило получить простые расчетные соотношения, описывающие термограмму на IV участке [339, 340, 370, 400].

Получено расчетное выражение (3.68), в которое входит пара метр R, представляющий собой эквивалентный радиус поверхностного сферического нагревателя, создающего в исследуемой системе темпе ратурное поле, близкое к температурному полю от плоского круглого источника тепла радиусом Rпл.

Для определения условий адекватности модели сферического по лупространства реальному тепловому процессу, необходимо найти такое соотношение радиусов Rпл и R, при котором температурные по ля, создаваемые круглым плоским и сферическим поверхностным на гревателями, будут идентичными.

Нагревателем в единицу времени генерируется суммарное коли чество теплоты Q. Плотность теплового потока, поступающего в изде лие и зонд от плоского круглого источника тепла постоянной мощно сти, – q = Q S пл, где S пл = Rпл – площадь поверхности нагревателя.

Плотность теплового потока от поверхностного сферического источ ника тепла – q* = Q S, где S = 4 R 2 – площадь поверхности сфериче ского нагревателя. При условии равенства величин плотностей тепло вых потоков от круглого плоского и поверхностного сферического источников тепла, соотношение радиусов нагревателей будет равно Rпл = 2. (4.26) R Воспользуемся данным соотношением радиусов для сравнения расчетного соотношения, полученного при реализации модели распро странения тепла в сферическом полупространстве для IV участка экс периментальной термограммы, с решением краевой задачи нестацио нарной теплопроводности для системы двух полуограниченных тел при наличии в плоскости их контакта плоского круглого источника тепла постоянной мощности, полученным В.П. Козловым [122].

Также воспользуемся численным моделированием двухмерных полей методом конечных элементов с помощью пакета ELCUT [305].

Закон изменения избыточной температуры в центре плоского круглого источника тепла постоянной мощности, при действии этого источника в системе двух полуограниченных тел с одинаковыми ТФС, имеет вид q 1 R ierfc пл.

T= (4.27) 2 a Решение, полученное автором для поверхностного сферического источника тепла на стадии нагрева при r = R и плотности теплового потока q* 2qR 2 (1 + 2 ) 2qR T ( R, ) =. (4.28) (1 + 2 ) (1 + 2 ) В критериальной форме, c учетом условия (4.26), решения (4.27) и (4.28) запишутся следующим образом:

qRпл Fo 1, T= ierfc (4.29) 2 Fo qRпл (1 + 2 ) a qRпл T (Fo) =. (4.30) (1 + 2 ) 2 (1 + 2 )2 Fo IV IV T, °C T, °C 1 30 а) б) Fo 0 1,5 Fo 0 1,5 Рис. 4.8. Термограммы, построенные для системы теплового контакта двух полуограниченных тел с одинаковыми ТФС.

В плоскости контакта действует:

1 плоский круглый нагреватель, расчеты выполнены по зависимости (4.29), (а, б);

2 плоский круглый нагреватель, численное моделирование, (а);

3 сферический поверхностный нагреватель, расчеты выполнены с использованием математической модели (4.30), (б) По математическим моделям (4.29), (4.30) и с использованием паке та ELCUT выполнены расчеты и построены термограммы, представлен ные на рис. 4.8 при следующих условиях: q =5000 Вт/м2;

Rпл = 0,004 м;

R = 0,002 м;

а1 =0,113–6 м2/с;

= 1 = 2 = 743,47 Втс0,5м–2К–1;

= 1 = = 2 = 0,27 Вт/(мК).

Термограммы, построенные с использованием модели плоского круглого источника тепла по формуле (4.27) и с помощью пакета ELCUT, отличаются менее чем на 1%. Зависимость относительной погрешности T = T1 T3 100% отклонения температуры Т от T Fo = a / Rп, обусловленной различием математических моделей рас пространения тепла от плоского круглого и поверхностного сфериче ского нагревателей, представлена на рис. 4.9.

При значениях Fo 2 относительная погрешность Т не превыша ет 1%. Для случая, когда контактирующие полуограниченные тела имеют разные ТФС, пользуясь пакетом ELCUT, проведем численные расчеты по модели распространения тепла от плоского круглого на гревателя. Для случая распространения тепла от поверхностного сфе рического нагревателя воспользуемся полученными математическими моделями (3.68) и (4.30).

Запишем решение (3.68) c учетом условия (4.26) в безразмерном (критериальном) виде. Определим общепринятые критерии:

a1 2 Fo = ;

K 1 = K1 =.

;

1 Rпл Т, 0 1,5 3 Fo Рис. 4.9. Зависимость Т = f (Fo) r Введем критерий K r =, определяющий относительное рас Rпл стояние произвольной точки исследуемого тела от начала координат.

1 (1 + K 1 ) T (K r, Fo) = qRпл qRпл + 1.

2K 1 2 K r (1 + K ) 2 K r 1 (1 + K 1 ) 21 (1 + K 1) Fo r (4.31) С использованием выражений (4.30), (4.31) и пакета ELCUT прове дены расчеты и построены термограммы, представленные на рис. 4.10.

Расчеты выполнены при следующих условиях: q = 5000 Вт/м2;

Rпл = 0,004 м;

а1 = 0,113–6 м2/с;

1 = 743,47 Втс0,5м–2К–1;

1 = 0,27 Вт/(мК);

К = 0,112;

К = 0,057.

Таким образом, проведенная оценка адекватности математиче ской модели сферического полупространства на стадии нагрева реаль ному тепловому процессу от плоского круглого источника тепла по зволила рекомендовать применение математической модели (3.68) на IV участке термограммы в методе НК [400, 396, 412, 423].

T, °C Fo 0 1,5 Рис. 4.10. Термограммы, построенные для системы теплового контакта двух полуограниченных тел с различными ТФС.

В плоскости контакта действует:

1 круглый плоский источник тепла (ELCUT), r = 0;

2 сферический поверхностный нагреватель (модель (4.30)), r = R;

3 круглый плоский источник тепла, Кr = 1,5 (ELCUT);

4 сферический поверхностный нагреватель, Кr =1,5 (модель (4.31)) 40 мм 1, с1, 2, с2, 0,5 К 1,0 К 1,5 К 2,0 К 2,5 К 3,0 К 40 мм 40 мм Рис. 4.11. Температурное поле (Т) от плоского круглого нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел при идеальном тепловом контакте между ними при следующих условиях:

= 500 с;

q = 5000 Вт/м2;

Rпл = 0,004 м;

а1 = а2 = 0,113–6 м2/с;

1 = 2 = 743,47 Втс0,5м–2К–1;

1 = 2 = 0,27 Вт/(мК);

с1 = с2 = 1005 Дж/(кгК) 1 = 2 = 2200 кг/м3;

шаг изотерм – 0,5 К 2, с2, 2 1, с1, 0,5 К 1,0 К 1,5 К 2,0 К 2,5 К 3,0 К 40 мм 40 мм Рис. 4.12. Температурное поле (T) от поверхностного сферического нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел при идеальном тепловом контакте между ними при следующих условиях:

= 500 с;

q = 5000 Вт/м2;

R = 0,002 м;

а1 = а2 = 0,113–6 м2/с;

1 = 2 = 743,47 Втс0,5м–2К–1;

1 = 2 = 0,27 Вт/(мК);

с1 = с2 = 1005 Дж/(кгК) 1 = 2 = 2200 кг/м3;

шаг изотерм – 0,5 К 40 мм 1, с1, 2, с2, 0,5 К 1,0 К 1,5 К 2,0 К 2,5 К 3,0 К 3,5 К 4,0 К 40 мм 40 мм Рис. 4.13. Распределение температурного поля (Т) от плоского круглого нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел при идеальном тепловом контакте между ними при следующих условиях:

= 500 с;

1 = 0,25 Вт/мК;

с1 = 1005 Дж/кгК;

1 = 2200 м3/кг;

Rпл = 0,004 м;

q = 5000 Вт/м2;

2 = 0,028 Вт/мК;

с2 = 1270 Дж/кгК;

2 = 50 кг/м 2, с2, 2 1, с1, Рис. 4.14. Распределение температурного поля от плоского круглого нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел при идеальном тепловом контакте между ними при следующих условиях:

= 100 с;

1 = 0,25 Вт/мК;

с1 = 1005 Дж/кг·К;

1 = 2200 кг/м3;

Rпл = 0,004 м;

q = 5000 Вт/м2;

2 = 0,028 Вт/мК;

с2 = 1270 Дж/кгК;

2 = 50 кг/м Визуализация температурных полей в системе изделие–ИЗ при больших значениях представлена на рис. 4.11 – 4.14 (температурные поля построены численным моделированием [303, 304] с помощью пакета ELCUT [305]).

4.4.3. МОДЕЛЬ СФЕРИЧЕСКОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА.

СТАДИЯ ОСТЫВАНИЯ Для получения математической модели, описывающей процесс распределения тепла в исследуемой системе на стадии остывания при больших значениях, плоский круглый нагреватель постоянной мощ ности заменен эквивалентным ему сферическим поверхностным [400].

При этом принималось допущение о том, что конечное распреде ление температур, согласно математической модели процесса тепло переноса от поверхностного сферического нагревателя после оконча ния действия источника тепла будет близко к стационарному. Так как в реальном эксперименте используется круглый плоский нагреватель, то необходимо определить продолжительность стадии нагрева и соот ношение радиусов Rпл и R, при котором температурные поля на стадии остывания, создаваемые круглым плоским и сферическим поверхност ным нагревателями будут близкими.

Ранее указывалось, что соотношение радиусов Rпл и R, при кото ром температурные поля, создаваемые при нагреве от круглого плос кого и сферического поверхностного источников постоянной мощно сти, будут идентичными, равно R = Rпл 2. Данное соотношение имеет место только при локальной регуляризации тепловых потоков в огра ниченной зоне системы изделие–зонд, т.е. справедливо только для IV участка термограммы. Если отключение нагревателя происходит на V участке термограммы, где тепловой процесс не находится в стадии регуляризации, то соотношение радиусов Rпл и R изменится, так как отношение теплового потока в любой точке тела к потоку тепла на его поверхности будет зависеть от времени.

Определение условий адекватности тепловых процессов прово дилось следующим образом. Подбирались такие значения радиуса сферического поверхностного нагревателя и продолжительности ста дии нагрева, чтобы температурное поле, полученное с использованием численного моделирования двумерных полей методом конечных эле ментов (с помощью пакета ELCUT [305]) на рабочем участке при ос тывании было идентично температурному полю, построенному с ис пользованием полученной математической модели (3.86) 2qR 2 (1 + 2 ) T ( R, ) =.

(1 + 2 ) Порядок действий проиллюстрируем следующими примерами.

Пример 1. Термограммы, представленные на рис. 4.15, 4.16, по строены с использованием численного моделирования методом конечных элементов и по модели (3.86) при следующих условиях: Rпл = 0,004 м;

IV T,°C 40 VII откл = 380 с, c 0 200 Рис. 4.15. Термограмма, построенная с использованием численного моделирования, с выделенными рабочими участками на стадиях нагрева и остывания для данных примера T, °C V II, c 0 100 200 Рис. 4.16. Термограммы, построенные для стадии остывания системы двух полуограниченных тел с различными ТФС по данным примера 1.

В плоскости контакта действует:

1 плоский круглый нагреватель (численное моделирование);

2 сферический поверхностный нагреватель, расчеты выполнены с использованием математической модели (3.86) R = 0,00141 м;


q = 10 000 Вт/м2;

1 = 743,47 Втс0,5м–2К–1;

1 = 0,27 Вт/(мК);

2 = 42,2 Втс0,5м–2К–1;

2 = 0,028 Вт/(мК);

продолжительность стадии нагрева – 380 с. Исследуемый материал: ПТФЭ. Здесь q – удельная поверхностная мощность плоского нагревателя. На термограммах, по лученных с использованием численного моделирования, выделены рабочие участки.

Зависимость относительной погрешности T = T1 T2 100% от T времени на термограммах 1 и 2 (рис. 4.16), которая обусловлена разли чием математических моделей распространения тепла от плоского круглого и сферического поверхностного источников тепла на стадии остывания, приведена на рис. 4.17. Из представленных данных видно, что для условий примера 1 на VII рабочем участке термограммы вели чина Т 1,5% [400].

Пример 2. Термограммы, представленные на рис. 4.18 и 4.19, по строены с использованием численного моделирования методом конеч ных элементов и по модели (3.86).

Условия моделирования: q = 20000 Вт/м2;

R = 0,00141 м;

Rпл = 0,004 м;

1 = 848,3 Втс0,5м–2К–1;

1 = 0,699 Вт/(мК);

2 = 42,2 Втс0,5м–2К–1;

2 = 0,028 Вт/(мК);

продолжительность стадии нагрева – 80 с. Матери ал исследуемого изделия – Стекло ТФ.

Зависимость относительной погрешности Т от времени, обуслов ленной различием математических моделей распространения тепла от плоского круглого и сферического поверхностного источников тепла на стадии остывания, представлена на рис. 4.20. Для условий приме ра 2 на VII участке термограммы величина Т 2%.

T, % 4 VII, c 0 50 Рис. 4.17. Зависимость Т = f(), построенная по термограммам 1, 2 (рис. 4.16) IV T, °C VII откл =, c 0 50 100 Рис. 4.18. Термограмма с выделенными рабочими участками на стадиях нагрева и остывания для данных примера T, °C VII 80, c 0 20 40 Рис. 4.19. Термограммы, построенные на стадии остывания для системы двух полуограниченных тел с различными ТФС по данным примера 2.

В плоскости контакта действует:

1 плоский круглый источник тепла (численное моделирование);

2 сферический поверхностный нагреватель, расчеты выполнены с использованием математической модели (3.86) T, % VII 40, c 0 10 20 Рис. 4.20. Зависимость Т = f(), построенная по термограммам 1, 2 (рис. 4.19) Пример 3. На рисунке 4.21 представлен график, расчеты к кото рому выполнены при следующих условиях: q = 10 000 Вт/м2;

Rпл = 0,004 м;

R = 0,00141 м;

1 = 743,47 Втс0,5м–2К–1;

1 = 0,27 Вт/(мК);

2 = 42,2 Втс0,5м–2К–1;

2 = 0,028 Вт/(мК);

продолжительность стадии нагрева – 200 с. Материал исследуемого изделия – ПТФЭ. Увеличение продолжительности стадии нагрева до 200 с (по сравнению с приме ром 1, где время нагрева равнялось 180 с) привело к существенному росту величины Т от времени, обусловленной различием математиче ских моделей распространения тепла от плоского круглого и сфериче ского поверхностного источников тепла на стадии остывания в зоне рабочего участка (рис. 4.22).

Из представленных графиков видно, что идентичность темпера турных полей, создаваемых плоским круглым и сферическим поверх ностным нагревателями, будет существенно зависеть от продолжи тельности стадии нагрева и, следовательно, температуры изделия в конце стадии нагрева.

Таким образом, необходимо найти такую температуру изделия (или продолжительность стадии нагрева от плоского круглого источ ника тепла), которая соответствовала бы распределению температуры, близкому к стационарному при нагреве от сферического поверхност ного нагревателя.

Анализируя данные, представленные на рис. 4.15 – 4.22, можно сделать вывод о том, что необходимое время до момента отключения плоского круглого нагревателя необходимо устанавливать в зависимо сти от ТФС материала исследуемого изделия. Имитационное модели рование, результаты которого сведены в табл. 4.1, показало, что необ ходимое время до момента отключения нагревателя наиболее сущест венно зависит от теплопроводности материала исследуемого изделия.

T, °C VII, c 0 50 100 Рис. 4.21. Термограммы, построенные на стадии остывания для системы двух полуограниченных тел с различными ТФС по данным примера 3.

В плоскости контакта действует:

1 плоский круглый источник тепла (численное моделирование);

2 сферический поверхностный нагреватель, расчеты выполнены с использованием математической модели (3.86) Т, % VII 0 10 20 30 40 50 60 70 80, c Рис. 4.22. Зависимость Т = f(), построенная по термограммам 1, 2 (рис. 4.21) 4.1. Определение критерия К при имитационном моделировании теплового процесса в системе изделие–зонд на стадии остывания Материал исследуемого изделия:

Условия опыта Асбест ПММА ПТФЭ Текстолит Гипс Стекло ТФ q 5000 10 000 10 000 10 000 10 000 20 Rпл 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0, 1 241,5 557,1 743,5 764,9 675,9 848, 1 0,110 0,195 0,270 0,300 0,430 0, 2 42,2 42,2 42,2 42,2 42,2 42, 2 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, Тоткл, °С 121 148,4 118,3 100 70,8 откл, с 240 370 380 277 100 Tст, °С 102,479 126,835 101,742 86,233 61,756 77, K 0,847 0,854 0,860 0,862 0,872 0, В таблице 4.1 представлены результаты имитационного модели рования теплового процесса в системе изделие–зонд на стадии осты вания, для которых Т 3%. При имитационном моделировании варьи ровали плотность теплового потока q и ТФС изделия. Соотношение радиусов нагревателей Rпл и R составило Rпл R=. (4.32) Продолжительность стадии нагрева (откл), подбиралась так, что бы температурное поле, полученное с использованием численного мо делирования от плоского круглого нагревателя на рабочем участке термограммы, было близко температурному полю, построенному по модели сферического полупространства – Модели С (Т 3%). Тоткл – температура изделия в конце стадии нагрева.

Стационарное распределение температуры Тст, с учетом соотно шения (4.32) в центре нагревателя, для опытов, условия и результаты которых представлены в табл. 4.1, нашли из уравнения qRп Tст =.

2 ( 1 + 2 ) Значение температуры материала исследуемого изделия, при дос тижении которой необходимо отключить плоский нагреватель, опре деляли исходя из следующих соображений. Был предложен крите рий К (рис. 4.23) с помощью которого определяется оптимальная тем пература отключения Тоткл источника тепла:

Tст K=, Tоткл где Тст – конечное максимальное значение температуры материала ис следуемого изделия после окончания действия плоского источника тепла, °С.

Модель (3.86) запишем следующим образом:

q (1 + 2 ) Rпл T ( Rпл, ) =.

4 (1 + 2 ) По данной зависимости и с использованием пакета ELCUT про ведены расчеты и построены термограммы при следующих условиях:

1 = 557,14 Вт·с0,5·м–2·К–1;

q = 10 000 Вт/м2;

Rпл = 4·10–3 м;

1 = 0,195 Вт/(м·К);

2 = 42,166 Вт·с ·м ·К ;

2 = 0,028 Вт/(м·К);

0,5 –2 – 1 = 1180 кг/м3;

2 = 50 кг/м3. Исследуемый материал – ПММА. Время отключения плоского источника тепла откл = 370 с.

Термограммы, построенные по математической модели (3.88) с использованием плоского круглого источника тепла и численным мо делированием с помощью пакета ELCUT для VII участка (стадия ос тывания), отличаются менее чем на 1,5%.

В результате проведенного регрессионного анализа, учитывая, что полученная зависимость K = f (1) линейная (рис. 4.23), автором предложено следующее уравнение для определения критерия К в зави симости от теплопроводности исследуемого материала:

K = 0,8388 + 0,07931.

Таким образом, если по окончании IV участка термограммы оп ределить значение теплопроводности материала исследуемого изде лия 1 (что предусматривается способом определения ТФС [400]), а затем вычислить значение критерия K, то можно найти температуру нагревателя Тоткл, при которой необходимо закончить стадию нагрева Т Tоткл = ст.

K Визуализация температурных полей и полей тепловых потоков в сис теме изделие–зонд на стадии остывания представлена на рис. 4.24 и 4.25.

K стекло ТФ 0, 0, гипс 0, ПТФЭ текстолит 0, ПММА 0, асбест 0, 0,6 1, Вт/(мК) 0 0,2 0, Рис. 4.23. Значение критерия К в зависимости от теплопроводности материала исследуемых изделий 1 (табл. 4.1) РИПОР: ПТФЭ:

1К 2=0,028 Вт/(мК) 1=0,25 Вт/(мК) 0, с2=1270 Дж/(кгК) с1=1005 Дж/(кгК) 2=42,17 Втс0,5/(м2К) 1=743,47 Втс0,5/(м2К) 2=50 кг/м3 1=2200 кг/м = 480 с =480 с q=10000 Вт/м Rп=0,004 м Rпл= шаг изотерм – 2 К.

50 мм -50 мм Рис. 4.24. Температурное поле в системе двух полуограниченных тел при идеальной теплоизоляцией между ними на стадии остывания (VII участок термограммы) В результате сравнения термограмм, построенных по моделям распространения тепла от плоского круглого и сферического поверх ностного нагревателей, можно сделать вывод о том, что термограмма, построенная по модели сферического полупространства на стадии ос тывания, описывается следующим уравнением:

2qRп (1 + 2 ) T ( Rп, ) =.

8 ( 1 + 2 ) ПТФЭ:

РИПОР:

1=0,25 Вт/(мК) 2=0,028 Вт/(мК) 0, с1=1005 Дж/(кгК) с2=1270 Дж/(кгК) 1=2200 кг/м 2=50 кг/м 1=743,47 Втс0,5/(м2К) 2=42,17 Втс0,5/(м2К) qo qз = =480 сс q=10000 Вт/м Rп=0,004 м Rпл= шаг сетки – 0,5 мм -20 мм 0 20 мм Рис. 4.25. Поле плотностей тепловых потоков в системе двух полуограниченных тел при идеальной теплоизоляции между ними на стадии остывания (VII участок термограммы) 4.5. РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ, РЕАЛИЗУЕМЫЕ ИИС ПРИ НК СТРУКТУРНЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ В ПМ ПО МЕТОДУ, ОСНОВАННОМУ НА РЕГИСТРАЦИИ СКОРОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ Данный метод НК структурных переходов основан на регистра ции первой производной по времени от основной величины – темпера туры в нескольких точках контроля исследуемого полимерного тела в динамических термических режимах при нагреве и остывании.

Для расчета значений скорости V * изменения температуры термо грамму разбивали на интервалы: 1 … k;

2 … k + 1;

u – k + 1 … u, где k – количество точек в интервале, целое положительное нечетное число (k 3);

u – количество точек в термограмме;

i – номер интервала.


Определение линии регрессии для каждого интервала при нагреве (4.33) и остывании (4.34) проводили по методу наименьших квадратов:

Ti = p1i + p0i, (4.33) Ti= p3i + p2i, (4.34) где i + (k 1) 2 i + (k 1) 2 i + (k 1) k T T j =i (k 1) j2 j j =i (k 1) j2 j =i (k 1) j p1i = = V*, (4.35) i + (k 1) 2 i + (k 1) () k j 2 j =i (k 1) 2 j =i (k 1) j i + (k 1) 2 i + (k 1) 2 i + (k 1) 2 i +(k 1) () T j j 2 T j =i (k 1) 2 j =i (k 1) 2 j =i (k 1) j2 j =i (k 1) j2 j p0 i =. (4.36) i + (k 1) 2 i + (k 1) () k 2 j =i (k 1) 2 j j =i (k 1) j Коэффициенты p3i и p2i уравнения (4.34) находятся аналогично p1i и p0i по формулам (4.35), (4.36).

Строили прямые по k точкам термограммы, определяли скорости изменения температуры, которые относили к температуре середины каждого интервала Ts. Таким образом удалось повысить чувствитель ность измерений и получить запись в «спектральной форме», т.е. в виде пиков в тех температурно-временных областях, где обнаружива ются различия в значениях «структурочувствительных» свойств (в областях, в которых возможны структурные переходы, сопровож дающиеся тепловыми эффектами) [419].

Регистрация первой производной по времени от температуры, выражающей скорость (V *) изменения этой величины на кривой тем пературной зависимости, реализована ИИС с измерительными зонда ми, снабженными: а) круглым плоским нагревателем постоянной мощности;

б) круглым плоским нагревателем, реализующим про граммным путем постоянную скорость нагрева в локальной области исследуемого изделия.

4.6. АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАБОЧИХ УЧАСТКОВ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ТЕРМОГРАММ И ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Одной из основных операций, необходимых для реализации мно гомодельных методов НК температурно-временных характеристик структурных превращений в ПМ, является операция определения ра бочих участков экспериментальных термограмм. Второй необходимой операцией является определение значений параметров математических моделей А, В, С. Так как данные уравнения представляют собой ли нейные зависимости относительно переменных z, t и при расчете ис пользуются не отдельные точки, а целые участки экспериментальных термограмм, то для определения параметров, входящих в уравнения, которые описывают рабочие участки, наиболее эффективным является метод наименьших квадратов [370, 400].

Границы рабочих участков можно определить, основываясь на выражениях, из которых были получены расчетные формулы моде лей А, В, С, т.е. необходимо записать выражения для границ участков в критериальной форме. Однако в этом случае в эти критериальные уравнения будут входить, как ТФС, так и характеристики ИЗ, нагрева теля, термических сопротивлений и др.

В разработанных автором алгоритмах для определения границ ра бочих участков экспериментальных термограмм использовали [370, 400]:

1) свойства моделей А, В, С, согласно которым на термограммах в координатах T = f (z), T = f (t) (для плоского круглого нагревателя) рабочим участкам соответствуют прямолинейные отрезки;

2) качественную информацию, полученную при анализе выраже ний, на основе которых были получены математические модели А, В, С, т.е. рабочим участкам экспериментальных термограмм будут соот = f (t ).

= f (z ), dT dT ветствовать плоские вершины кривых dt dz При этом учитывается, что в реальном эксперименте температура измеряется с некоторой случайной погрешностью Tсл.

Считая, что не менее k точек принадлежат рабочему участку тер мограммы, а всего на термограмме n точек, рассмотрим последова тельно отрезки термограмм с номерами точек 1 … k;

2... (k + 1);

... ;

n – (k + 1)... n. Обозначим каждый из отрезков индексом i (i = k... n) для каждого из этих отрезков построим уравнения линейных зависи мостей:

T = x +, i = k, k + 1,..., n.

(4.37) i 1i 0i Если определяется II участок термограммы для системы с пло ским круглым нагревателем, то x – z;

если IV или VII участки, то x – t.

Используем следующие формулы:

i T j ( x j xi ) j =i k + 1i =, (4.38) i ( x j xi ) j =i k + 0i = Ti 1i xi, (4.39) i xj, xi = (4.40) k j = i k + k T j, Ti = (4.41) k j =i k + где Tj, xj – значения функции и аргумента в точках с номером j для i отрезка;

0i, 1i – оценка коэффициентов 0i, 1i уравнения (4.37);

Ti, xi – средние значения функции и аргумента для точек i отрезка.

Рассмотрим зависимость 1i от xi, на графике которой (см.

рис. 4.26, 4.27) наблюдается плоская вершина, соответствующая рабо чему участку термограммы. Найти одну из точек этой плоской верши ны не представляет труда. Таким образом находится временнй отре зок, принадлежащий рабочему участку термограммы [370, 400].

Следующим шагом определения границ рабочих участков являет ся нахождение количества точек на этом участке. Чем больше точек, тем точнее будут определены параметры моделей А, В, С. Для этого воспользуемся следующим подходом. Будем считать, что остатки Ej = Tj – (1 x1j + 0), вследствие отклонения зависимости Tj = f (хj) от линейной, становятся коррелированы с хj, т.е. зависимы от хj. В каче d 1i 7, 5, 2, zi 0 3 6 Рис. 4.26. Зависимость d1i = f (z i ) -b1i 0 0,1 0,2 0,3 0,4 ti Рис. 4.27. Зависимость b1i = f (ti ) стве критерия используется критерий сериальной корреляции Дарби на-Ватсона, предполагающий вычисление статистики D для серии из k измерений:

i ( E j E j 1 ) j = i k + D=, (4.42) i E2 j j = i k + где Ej – остаток в момент j, а (Ej – Ej–1) – правая последовательная раз ность.

На рисунке 4.28 представлены распределение D и области, в кото рых гипотеза о сериальной корреляции принимается или отвергается.

Как указывалось выше, у нас уже имеется участок из k точек, принадлежащий рабочему участку термограммы. Увеличивая влево и вправо этот участок, определяем на основе выражений (4.38) – (4.41) коэффициенты 0 и 1 и на основе, вычисленной по формуле (4.42) статистики D, делаем вывод о том, коррелированны ли остатки.

Как только критерий Дарбина-Ватсона дает отрицательный ре зультат (остатки имеют корреляцию), заканчиваем процедуру увели чения участка и считаем, что нашли все точки, принадлежащие рабо чему участку этой термограммы. Затем по формулам (4.38) – (4.41) оцениваем параметры моделей А, В, С (в этом случае k будет количе ством точек, попавших на рабочий участок, а i – номером последней из точек, индекс i при 0, 1, x, T опускаем).

Примеры определения рабочих участков экспериментальных тер мограмм по графикам зависимостей b1i = f(Ts), b0i = f(Ts), hi = f(Ts) пред ставлены на рис. 4.29, рис. 4.30. На рисунке 4.29 представлены графи ки зависимостей b1i = f(Ts) (а) и b0i = f(Ts) (б), построенные по термо грамме, зафиксированной при следующих условиях: начальная темпе ратура изделия Тн = 16,7 °С;

радиус нагревателя Rпл = 2,5 мм;

мощ ность на нагревателе W = 1,9 Вт;

временной шаг измерения температу ры = 0,5 с;

толщина исследуемого изделия Ни = 20 мм;

исследуемый материал ПТФЭ.

p ?

Область ?

Область Область непринятия принятия непринятия гипотезы 4D Dl 4 - Du 4 - Dl Du 0 Рис. 4.28. Распределение статистики D b0, °С 45 Ts,°C 15 25 - 40 б) а) а) - - b1, °Сс0,5 15 25 35 45 Ts,°C Рис 4.29. Зависимости: b1i = f (Ts) (а), b0i = f (Ts) (б) На рисунке 4.30 представлен график зависимости hi = f(Ts), по строенной по термограмме, зафиксированной ТП, расположенным в центре нагревателя при следующих условиях: Тн = 22,1 °С;

Rпл = 4 мм;

W = 0,7 Вт;

= 0,5 с;

Ни = 15 мм;

температура отключения нагревате ля 50,6 °С;

материал – ПТФЭ.

h, °Сс0, Ts,°C 20 30 Рис. 4.30. Зависимость hi = f (Ts) для изделия из ПТФЭ T*, °C IV 50 IV IV –0,5, с–0, 0,03 0,05 0,07 0,09 0, () Рис. 4.31. Зависимости T * = f 0,5 с выделенными рабочими участками для изделия из ПТФЭ на стадии нагрева для термоприемников:

1 – в центре нагревателя;

2, 3 – на расстояниях 7 и 9 мм от центра 4.7. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПМ ПО РАБОЧИМ УЧАСТКАМ ТЕРМОГРАММ ВНЕ ЗОНЫ СТРУКТУРНОГО ПЕРЕХОДА 4.7.1. СЛУЧАЙНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПОГРЕШНОСТИ Так как температурно-временные характеристики структурных превращений в исследуемом объекте определяют по аномальным зна чениям ТФС при изменении температуры, то в данном разделе приве ден анализ случайных составляющих погрешности определения ТФС исследуемых полимерных материалов на рабочих участках термо грамм [359, 370, 400]. Запишем выражения, связывающие погрешность определения параметров разработанных математических моделей с погрешностью определения ТФС, применив основные положения тео рии погрешности измерения физических величин.

Для модели А (II участок термограммы):

( A + d ) d A + 2 II ;

II = 2 2 (4.43) 1 2 01 + 2 02 2 d12 + 2 d A1 = 2 d11 + 2 d12 + + ;

(4.44) ( 01 02 )2 (d12 d11 ) ( )( ( )( + 2 d11 d11 01 )2 + 2 02 + 2 d12 d12 02 )2 2 d12 + 2 d II = +.

( 01d11 02 d12 ) (d12 d11 ) (4.45) Для модели В (IV участок термограммы, зафиксированной ТП, расположенным в центре нагревателя):

( ) Ab b1 + 4 b0 + A2 22 1 + 2 IV, IV = 2 2 (4.46) b ( ) ( + ) + 2 A2 = 4 2b01 + 2b02 + 01 01 (4 b ) (b b ) + (4 b + b ) (b ), (4.47) + 2b 2 22 2 2 11b 01 12 01 02 + (b b b b ) 2 12 01 11 ( ) ( ) 01+4 b01 + 2b 2 2 2 01b01b IV = ( ) 02b02b 2 2 01b01b ( ) ( ) 02+4 b02 + b 2 2 2 2 02 b02 b + + + ( ) 01b01b12 02 b02 b 2 2 (4 b ) (b ) + (4 b ) (b ) + 2b11 + 2b 2 2 2 2 2 02b11 01b 02 + + (b ), b01b 2 2 02b (4.48) ( B ) B b + IV, IV = 2 + b0 2 2 (4.49) 2 b02 + 2 b01 2 01 + 2 B2 = 2 b01 + 2 b02 + +, (4.50) (b02 b01 )2 ( 01 02 ) ( )( ( )( + 2b01 b01 01 )2 + 2 02 + 2b02 b02 02 )2 2b02 + 2b IV = +.

( 01b01 02b02 )2 (b02 b01 ) (4.51) Сравнив формулы (4.43) – (4.45) и (4.46) – (4.51), можем видеть, что структура погрешности определения ТФС по II и IV участкам тер мограммы аналогична, поэтому результаты влияния различных факто ров на погрешность определения ТФС по II и IV участкам термограм мы будут также аналогичны [359, 370, 400].

Рассмотрим, как будут влиять на погрешность измерения тепловой активности по II участку термограммы погрешности величин, необхо димых для расчета тепловой активности, а именно: погрешность d определения параметра модели d1;

погрешности A1, II расчета по стоянных ИЗ A1, II (т.е. погрешность градуировки), которые, в свою очередь, будут складываться из погрешностей d11, d12 определения коэффициентов d11, d12 и неточности информации о значениях 01, (01, 02) образцовых мер.

Рассмотрим влияние погрешности d1 на определение II. Примем A1 = 0 и II = 0. Тогда из выражения (4.43) следует:

d1 ( II + II ) II =. (4.52) II A Анализ данного выражения показывает, что погрешность опреде ления II можно снизить:

– во-первых, за счет уменьшения d1, путем уменьшения интер вала между измерениями температуры (для расчета параметра d используется метод наименьших квадратов и d1 будет определен тем точнее, чем больше точек экспериментальной кривой будет использо ваться);

– во-вторых, за счет увеличения мощности на нагревателе (в ра зумных пределах), так как A1 ~ q1;

– в-третьих, из выражения (4.52) видно, что относительная по грешность II определения II зависит от величины II. Минимум II бу дет соответствовать II = II, а увеличение II при II II будет значи тельно больше, чем при II (рис. 4.32, кривая 1) [359, 370, 400].

II Это объясняется следующим. При нагревании часть тепла пойдет на нагрев материала исследуемого изделия, а часть тепла – на нагрев материала подложки ИЗ. Причем, чем больше тепловая активность материала подложки ИЗ по сравнению с тепловой активностью иссле дуемого материала, тем больше тепла пойдет на нагрев ИЗ и тем II 0, 0, II, Втс0,5/(м2К) 0 500 Рис. 4.32. Зависимость II = f (II) для II участка термограммы:

1 – исходная, по формуле (4.4);

2 – с учетом погрешности d1, по формуле (4.52);

3 – с учетом градуировки ИВС, по формуле (4.53) больше тепловые свойства подложки ИЗ будут определять ход термо граммы ( II – суть тепловая активность материала подложки ИЗ) и, соответственно, тем менее точным окажется расчет тепловой активно сти материала исследуемого изделия. С другой стороны, чем больше выделяется тепла на единицу площади нагревателя (величина A1, как указывалось выше, пропорциональна мощности на единицу площади нагревателя), тем быстрее будет расти температура нагревателя и тем «ярче» будут выражены на термограмме ТФС материала исследуемого изделия (а, заодно, и материала подложки ИЗ).

Для анализа погрешности градуировки, связанной с неточностью информации о ТФС образцовых мер, будем считать, что в выражениях (4.43) – (4.45) – d11 = 0, d12 = 0, d1 = 0. Тогда из формулы (4.45) имеем 2 01 ( 02 + II )2 + 2 02 ( 01 + II ) II =, II 01 а из выражения (4.44) 2 01 + 2 A1 =.

01 Подставив A1 в формулу (4.43), получим следующее выражение:

( )( + 2 02 II + II )2 + 2 01 ( 02 + II )2 + 2 02 ( 01 + II ) II =.

01 (4.53) Будем считать, что 01 02 и 01 02, тогда 01 02. После упрощений имеет место неравенство ( ) 02 01 01 + II 2 + 2 + 2 II + 01 + 02.

II II 02 01 02 01 II II (4.54) Проанализировав неравенство (4.124) (рис. 4.43, кривая 2) и срав нив его с равенством (4.43) (рис. 4.32, кривая 3), можно сделать сле дующие выводы (на рис. 4.33, 4.34 представлены аналогичные графики распределения погрешности измерения в зависимости от диапазона изменения ТФС для IV участка термограммы) [359].

1. Для увеличения точности определения ТФС необходимо вы бирать образцовые меры, как можно более отличающиеся друг от дру га по ТФС.

2. Исследуемые образцы не должны обладать слишком больши ми и.

3. Желательно выбирать образцовые меры так, чтобы значения их ТФС перекрывали требуемый диапазон измерения ТФС исследуе мых материалов.

IV 0, 0,, Втс0,5/(м2 К) 0 500 Рис. 4.33. Зависимость IV = f (IV) для IV участка термограммы:

1 – исходная;

2 – с учетом погрешностей b0 и b1;

3 – с учетом градуировки ИИС IV 0, 0, IV, Вт/(мК) 0 0,5 Рис. 4.34. Зависимость IV = f (IV) для IV участка термограммы:

1 – исходная;

2 – с учетом погрешности b0;

3 – с учетом градуировки ИИС 4. Относительная погрешность определения ТФС возрастает с уменьшением и.

5. Погрешность определения ТФС, связанную с неточностью информации о ТФС образцовых мер, уменьшить за счет изменения режимов опыта нельзя. Данная погрешность полностью определяется выбором образцовых мер ТФС.

6. Наименьшая погрешность определения ТФС будет у материа лов с близкими или бльшими и, чем у материала подложки ИЗ, (для увеличения диапазона надежного определения и, необходимо провести меры по уменьшению II и IV, IV, путем применения в качестве подложки ИЗ материала с низкими тепловой активностью и теплопроводностью).

4.7.2. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПОГРЕШНОСТИ Ранее рассматривалась случайная составляющая погрешности оп ределения ТФС на рабочих участках термограмм по разработанному методу. Представляет интерес рассмотреть вопрос влияния на точ ность определения ТФС систематических составляющих погрешно стей, вызванных неточностью используемых математических моделей.

Частично этот вопрос рассматривался при получении аналитических зависимостей ранее. Было показано, что в расчетах по IV участку тер мограммы теплоемкостью нагревателя можно пренебречь. В расчетах по II участку термограммы теплоемкость нагревателя учитывалась введением параметра d0, напрямую зависящего от теплоемкости нагре вателя. Кроме того, алгоритм определения ТФС построен таким обра зом, что учитывает те точки термограммы, где реально выполняются аналитические зависимости. Как указывалось выше, частично неадек ватность математической модели реальному эксперименту учитыва лась тем, что постоянные ИИС на соответствующих рабочих участках термограммы определяются на основе градуировочных эксперимен тов, а не на основе расчета, исходя из их физического смысла [360, 370, 398, 400].

Рассмотрим влияние термических сопротивлений на результат расчета коэффициента теплопроводности IV по IV участку экспери ментальной термограммы [370, 398, 400].

Коэффициент теплопроводности IV материала исследуемого из делия определяется на основе параметра b0, который по своему физи ческому смыслу соответствует измеряемой температуре при стацио нарном предельном распределении температуры в системе двух полу ограниченных тел, находящихся в контакте. Рассмотрим следующую краевую задачу.

Постановка задачи. Два полуограниченных тела 1 и 2 при тем пературе Т(r, 0) = 0 находятся в контакте (см. рис. 4.35). Соприкасаю щиеся поверхности тел теплоизолированы. В области контакта дейст вует поверхностный сферический источник тепла, мощностью q0 и радиусом R. Между нагревателем и телами существуют термические сопротивления RT1 и RT2. Следует найти стационарное распределение температуры в данной системе. В математической форме эта задача формулируется следующим образом:

dT (r ) dT (r ) d r 2 d r 2 = 0, (r R);

dr dr = 0, (r R);

(4.55) dr dr T1 (R ) = T0 q1 RТ1 ;

T2 (R ) = T0 q2 RТ 2 ;

(4.56) q1 + q2 = q0 ;

(4.57) dT1 ( ) dT2 ( ) = T1 ( ) = T2 ( ) = 0 ;

= (4.58) dr dr dT1 (R ) dT2 (R ) q q = 1 ;

= 2, (4.59) 1 dr dr где T1(r), T2(r) – распределение температуры в телах 1 и 2, соответст венно;

T0 – температура нагревателя;

r – координата;

q0 – мощность, выделяющаяся на единицу площади нагревателя;

q1, q2 – тепловые по RТ 2R q 1 r 2 RТ Рис. 4.35. Тепловая схема токи, поступающие в тела 1 и 2, соответственно;

1, 2 – коэффициен ты теплопроводности 1 и 2 тел, соответственно;

RT1, RT2 – термиче ские сопротивления между 1 телом и нагревателем и между 2 телом и нагревателем, соответственно.

Решив дифференциальные уравнения (4.55), будем иметь dT (r ) dT1 (r ) = C1 ;

r 2 2 = C2, r2 (4.60) dr dr где С1, С2 – константы, определяемые из условий (4.59), т.е.

q1 R 2 q R C1 = ;

C2 = 2. (4.61) 1 Проинтегрировав дифференциальные уравнения (4.60), получим:

+ D1 и T2 (r ) = 2 + D2, T1 (r ) = C1 C (4.62) r r где константы C1, C2 определяются из выражений (4.61), а константы D1, D2 находят из условия (4.58) D1 = D2 = 0. (4.63) Используя формулы (4.61), (4.63), получим выражения для ста ционарного распределения температуры в рассматриваемой системе:

q1 R 2 q R T1 (r ) = ;

T2 (r ) = 2. (4.64) 1 r 2r В формулы (4.64) входят значения тепловых потоков q1, q2, по ступающих в тела 1 и 2 от нагревателя. Для определения значений q1 и q2 воспользуемся уравнениями (4.56), (4.57), предварительно запи сав выражения для температуры 1 и 2 тела (при r = R), T1 (R ) = ;

T2 (R ) = 2.

q1 R qR (4.65) 1 С учетом условий (4.56) запишем q1 R qR = T0 q1 RТ1 ;

2 = T0 q 2 RТ 2 (4.66) 1 и затем, используя условие (4.57), получаем следующие выражения для определения q1, q2:

( ) q0 R + RТ 2 2 q1 = ( ) ;

R(1 + 2 ) + RТ1 + RТ 2 1 ( ) q0 R + RТ1 1 q2 = ( ). (4.67) R(1 + 2 ) + RТ1 + RТ 2 1 Температурные поля в исследуемой системе и температура нагре вателя T0 будут определяться выражениями:

( ) q0 R 2 R + RТ 2 T1 (r ) = ( R (1 + 2 ) + (RТ + RТ ) 1 2 ) r ;

(4.68) 1 q0 R 2 (R + RТ 1 ) T2 (r ) = ( R (1 + 2 ) + (RТ + RТ ) 1 2 ) r ;

(4.69) 1 q0 ( R (1 + 1 RТ ) + RТ RТ 1 2 ) T0 = 1 1 R (1 + 2 ) + ( RТ + RТ ) 1. (4.70) 1 Примем, что T1(r) – температурное поле материала подложки ИЗ;

T2(r) – температурное поле материала исследуемого изделия;

RT1 – термическое сопротивление между нагревателем и чувствительным элементом ТП;

RT2 – термическое сопротивление между нагревателем и материалом исследуемого изделия. Тогда величина T1(R) будет соот ветствовать определяемому из термограммы параметру b0, а искомой величиной будет коэффициент теплопроводности материала иссле дуемого изделия, т.е. второго тела 2.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.