авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 40 |

«1 (Библиотека Fort/Da) || Янко Слава Сканирование и форматирование: Янко Слава (Библиотека ...»

-- [ Страница 17 ] --

«Генетический метод имеет высокое педагогическое и эвристическое значение», но «для окончательного оформления и полного логического обоснования содержания нашего познания предпочтительнее аксиоматический метод».

Bool G. Collected logical works. V. II. Chicago—London, 1916. С. 13.

Идеи Буля разделял Г. Грассман, построивший абстрактную математическую систему, свободную от ее жесткой привязки как к понятию числа, так и геометрического объекта. К абстрактно логической трактовке предмета математики склонялся Р. Дедекинд и др. Окончательное же фиаско позиции, связывающей предмет математики с одним из возможных его пониманий, произошло в XIX столетии, когда исследование оснований математики привело к тенденции ее арифметизации. О. Коши, К. Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор показали, что математику (алгебра, анализ, теория функций) вместе с аналитической геометрией можно обосновать на базе арифметики натуральных чисел, которая и стала рассматриваться как фундамент математики. Задача аксиоматизации арифметики вскоре выполнена Дедекиндом и Пеано. Таким образом, усилиями этих ученых, редуцировавших математику к арифметике, понимаемой как абстрактная аксиоматическая теория, было обосновано требование «чистоты» математики в смысле отсутствия однозначной привязки ее предмета (содержания) к какому-то априорному толкованию.

Когда обе ветви (идущие от Больцано и Буля) критики евклидова идеала математики соединились, возникло совершенно особое понимание природы математической деятельности с аксиоматическим идеалом в основе. Программу построения математической теории на строгой аксиоматической базе, которая выступает в современной математике в качестве общенормативной, на примере геометрии разработал Д. Гильберт, отказавшийся от наделения фундаментальных понятий геометрии какими-либо конкретными физическими образами. Гильберт вводит аксиомы, лишенные какого бы то ни было истолкования. Так, если геометрические термины «точка», «прямая», «плоскость» заменить на термины обыденного языка «стол», «стул», «пивная кружка», то сама по себе геометрическая теория, с его точки зрения, не станет Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава ни лучше и ни хуже358, — критерием ее истинности будет логическая Гильберт Д. Основания геометрии. М., 1948.

непротиворечивость и выводимость из аксиом. Следовательно, Гильберт резко поставил вопрос о различении теории и ее интерпретации.

Формализованная теория, по Гильберту, допускает множество интерпретаций, так как ее утверждения непосредственно не соотносятся с действительностью. Поэтому до того, как дана какая либо интерпретация — в случае геометрии, например, — пространственная, как у Евклида, или арифметическая, как у Ф.

Клейна, — абстрактная дедуктивная система является геометрией не более, чем любая другая теория. Стремление аксиоматизировать, формализовать систему знания связано с тем, что: а) в неформализованной системе невозможно с полной эффективностью использовать аппарат логики;

б) не всегда ясно, полна ли система, если нет — имеются ли в ней скрытые посылки, которые в определенных ситуациях могут обусловливать противоречия.

Формализация знания лимитируется ограничениями чисто формального характера, к которым относятся теоремы Геделя и Тарского.

В заключение констатируем: именно благодаря организации на аксиоматической основе математическое знание отличается большей точностью и строгостью по сравнению с другими отраслями науки.

Точность и строгость. Причинами математической точности и строгости являются.

а) Аподиктичность доказательства как результат аксиоматически-дедуктивной организации математического знания.

б) Алгоритмичность доказательства, под которой подразумевается наличие фиксированных способов решения математических проблем в форме систематически выведенных однозначных предписаний.

Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии.

М., 1949. С. 31.

в) Дедуктивность математики, которая заключается в принципах построения применяемых в ней рассуждений, основанных на переходе от одной смысловой (информационной) структуры к другой по четким и жестким правилам логики. Дедуктивность математики означает наличие логического пути от аксиом к теории, где роль этого пути играет логический вывод, который как бы экстрагирует сущность математики. Последнее, в частности, дает право для аналогий между наукой и математикой («наука есть рассуждение, рассуждение есть математика, следовательно, наука есть математика»).

г) Однозначность дефиниций. Как указывает А.Пуанкаре, «строгость не могла бы иметь места в рассуждениях, если бы не ввести ее сначала в определения».360 В соответствии с правилами построения аксиоматических формальных теорий математические теории имеют четко представимую (обозримую) структуру, в Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава которой выделяют строго определимые классы символов (алфавит), правила построения формул (конечные последовательности элементов алфавита), логические связки и операторы, вспомогательные символы, правила построения из формул и логических связок высказываний, правила исчисления высказываний. Совокупность данных элементов совместно с интерпретацией и образует математическую теорию, отличающуюся в силу однозначной фиксируемости своих ингредиентов точностью и строгостью.

д) Отсутствие апелляции к эмпирическому опыту как средству контроля рассуждений. Математические положения — необходимы, однако, источником необходимости не может быть непосредственный эмпирический опыт. Последнее, как Пуанкаре А. Ценность науки. М., 1906. С. 16.

указывалось, гипертрофировано в методологических представлениях о математике в период Нового времени. «Опыт, — уточнял Кант, — никогда не дает своим суждениям истинной или строгой всеобщности, а сообщает им только условную и сравнительную всеобщность (посредством индукции), так что это означает следующее: «...насколько нам известно, исключений из этого или иного правила не встречается».361 «Поскольку опытное знание не может быть всеобщим и необходимым, постольку всеобщее и необходимое знание не может быть опытным», — эта догма явилась причиной рассмотрения математики как априорной науки.

Существует ли вообще априорное знание? На этот вопрос дается однозначный отрицательный ответ. Во-первых, как подчеркивалось, положения математики, имея эмпирическое происхождение, в конечном счете апробируются практикой, — в этом смысле они не могут быть априорными, т. е. вообще не зависимыми от деятельности человека. Во-вторых, признание положения всеобщим и аподиктичным само по себе проблематично, так как является гипотезой, которая в дальнейшем либо подтверждается, либо опровергается.362 Так, показательна неединодушность математиков в признании таких положений, как аксиома выбора, закон исключенного третьего, абстракция актуальной бесконечности и др.

Однако сказанное вовсе не отменяет того тезиса, что математика не апеллирует к опыту как средству контроля рассуждений, — такими средствами служит здесь анализ на непротиворечивость, полноту, независимость, выводимость. Данные неэмпирические критерии оценки матема Кант И. Соч. в 6-ти т. М., 1964. Т. 3. С. 101.

Костюк В. Н. О логическом аспекте философских доказательств в «Критике чистого разума» // Вопросы теоретического наследия Иммануила Канта. Калининград, 1978, вып. 3. С. 50.

тического знания как носящего крайне абстрактный характер позволяют избежать традиционных для эмпирических критериев средств (постановка экспериментов, наблюдение, статистическая обработка данных и т. д.) оценки знания погрешностей, связанных с деятельностью на эмпирическом уровне, что повышает точность и строгость математики.

Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава е) Максимальная ограниченность интуитивной основы. Теорией, в наибольшей степени исключающей интуитивные, неэксплицированные элементы, как правило обусловливающие ее потенциальные несовершенства, называют такую, которая «сильнее ограничивает возможные априори качества систем (т. е. содержит наиболее определенные утверждения)».363 Последнее является следствием традиционных для математики процессов аксиоматизации, использования специальной символики (позиционная нумерация и т. п.) и т. д. — словом, средств, исключающих полисемичность, нестрогость и т. п. обыденного языка, а также естественных (неуточненных) средств трансляции информации. Вместе с тем, говоря о точности и строгости математического знания, не следует рассматривать эти атрибуты как абсолютные. Как и в любой другой системе знания, в математике есть область проблематичного и строго необоснованного. Ее образуют такие компоненты, как мысленные эксперименты с абстрактными объектами, рискованные гипотезы, догадки, смелые предположения и т. п., из которых в дальнейшем при соответствующих обстоятельствах получаются строгие математические теории.

Если задаться целью перечислить хотя бы некоторые из основных причин неуниверсальности математической точности и строгости, придется указать на следующее. а) В лекциях о развитии математики Ф.Клейн проводит мысль о существовании двух относительно обо Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. IV. С. 266.

собленных этапов в эволюции математического знания. Один этап — поиск новых методов и эвристических средств решения внутренних математических проблем (деятельность по разработке, исследованию), где практически нет места деятельности по обоснованию новаций. Другой этап — обоснование новаций (деятельность по организации). Поскольку источником точности и строгости математических теорий является способ их формально аксиоматической организации, который реализуется лишь на относительно поздних этапах математической деятельности, постольку деятельность математиков на начальных этапах отмечена печатью «неточности» и «нестрогости» (в смысле отсутствия формально-аксиоматической обоснованности).364 Другим фактором, обусловливающим отсутствие точности и строгости на начальных стадиях математической деятельности, является индукция.

Индукция, которая в условиях математического, равно как и любого другого познания, как правило, не бывает полной (в принципе, всякая нетривиальная индукция не полна), выступает существенным генератором проблематичности. Только один пример. В свое время П.Ферма высказал утверждение, что числа вида (22n+1) всегда просты, исходя из доказательства этого для n = 1, 2, 3, 4. Однако это общее утверждение, сделанное Ферма на индуктивной основе, опроверг Л. Эйлер, который продемонстрировал, что для п =5 число (22n+1) непростое.

Способом устранения неточностей, связанных с использованием индуктивных методов познания, является переформулировка Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава полученных по индукции утверждений на аксиоматически дедуктивной основе.

б) Не все положения (формулы) математики разрешимы.

Математическая система считается разрешимой, если «существует общий метод или Совершенно ясно, что требования формальной точности и строгости не могут быть предъявлены с самого начала исследования, в противном случае наука была бы собранием тривиальностей.

алгоритм, дающий возможность относительно всякой формулы»

данной системы «сказать, выводима она в этой системе или нет, иными словами, является ли она истинной формулой системы или же таковой не является».365 Вначале, указывает А. Марков, существование неразрешимых проблем «удалось доказать для некоторых проблем, естественно возникших в...математической логике. Затем была установлена неразрешимость ряда проблем общей теории ассоциативных систем и теории целочисленных матриц. П. С. Новиковым доказана неразрешимость проблемы тождества теории групп — проблемы, давно поставленной и привлекавшей внимание многих математиков».366 Ю. В. Матиясевич доказал неразрешимость десятой проблемы Гильберта, заключающейся в «построении алгоритма, распознающего, разрешимо ли в целых числах какое-либо данное алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами». Кроме того, следует отметить широко известные результаты К. Геделя о наличии неразрешимых утверждений в фиксированных формализованных системах, а также общий вывод А. Черча о существовании «неразрешимых проблем». в) В структуру математического знания, несмотря на эксплицитную формально-аксиоматическую организованность, входит комплекс интуитивных, по своей гносеологической природе имплицитных представлений, не поддающихся жесткой дедуктивно-логической фиксации. Для разъяснения мысли приведем три показательных высказывания специалистов в области исследования оснований математики. А. Черч: «...любое обоснова Субботин А. Л. Математическая логика — ступень в развитии формальной логики // Вопросы философии, I960, № 9. С. 94.

Марков А. Математическая логика и вычислительная математика // Математизация знания. М., 1972. С. 47.

Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1969. С. 67.

ние математики...действительно в какой-то степени содержит круг, так как в нем всегда имеются необосновываемые предпосылки, которые должны быть приняты на веру или интуитивно. Мы можем пытаться уменьшить число этих предпосылок, но не можем их уничтожить».368 Ф. Гон-сет:

«Математика только искусственным и внешним образом может быть оторвана от интуитивного фундамента, от своего продолжения в реальное... Не существует математической области, сколь бы малой она ни была, где аксиоматика могла бы удовольствоваться собою». сама С.Клини: «Формально аксиоматические математические предположения не могут составить всей математики, должна иметься также интуитивно понимаемая математика».370 Таким образом поскольку для определения Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава «формальной математики» необходима «интуитивная математика», постольку математика не точна (абсолютно).

Наиболее фундаментальными причинами необходимости апеллировать к интуитивным представлениям в математике являются:

1. Ее неполная формализуемость — ограничительные теоремы Геделя.

2. Процедура выбора — принятие аксиом осуществляется бездоказательно, в значительной мере на интуитивной, психологической основе. Характерна в этом отношении оценка различными математиками аксиомы выбора. Одни (Д. Гильберт) называют ее «предпосылкой любого математического рассуждения». Другие (А. Борель) видят в ней источник дефектности математики. С одной стороны, аксиома Черч А. Математика и логика // Математическая логика и ее применение. М., 1965. С. 214.

Gonseth F. Les fondements des Mathematiques. P., 1926. P. 62.

Клини С. Введение в математику. M., 1957. С. 44.

выбора, широко используемая в анализе, алгебре и топологии, применяется для доказательства вполне очевидных теорем. С другой стороны, она является источником неконструктивных доказательств, кроме того, с ее помощью доказываются вовсе не очевидные утверждения (парадокс Банаха — Тарского).

Имеется также трудность в обосновании аксиомы подстановки.

По мнению Г. Такеути, «трудность состоит в том, что эта аксиома содержит формулы с кванторами, и потому, если предполагается, что множества порождаются неограниченно, неясно, что означают эти кванторы»371 и т. д. 3. Использование нестрогих понятий в отсутствии возможности их уточнения. Одной из причин антиномичности теории множеств, по мнению специалистов, является использование крайне нестрогого канторовского определения понятия «множество». Кантор определял «множество»

как «вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.

е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона».372 Не будем придирчивыми в оценке формулировки, поэтому оставим без критики возможность и плодотворность понимания множества через «многое, мыслимое как единое». Однако трудно избавиться от вопроса: как, собственно, объединять многое в одно целое? Точного ответа на вопрос не существует. В настоящее время множество задается либо списочным образом, либо путем указания правильно сформулированного предиката, который конституирует множество на основе ассоциации соответствующих ему объектов. Между тем ясно, что множество — не Такеути Г. Теория доказательств. М., 1978. С. 147.

Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях // Новые идеи в математике. СПб., 1914. № 6. С. 18.

что иное, нежели список объектов, соответствующих предикату.

Но что именно — «иное» — пока неясно. Значительные трудности связаны с использованием крайне неэксплицированного понятия «бесконечность». Понятие бесконечности — центральное в Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава математике. На его использовании основаны алгоритмические теоремы о среднем, формулы Тейлора, теоремы существования и т.

д. В то же время нет никаких гарантий, что именно его систематическое и практически бесконтрольное употребление не гальванизирует парадоксы (в теории множеств). На примере понятия «бесконечность» разъясняется известная мысль Г. Фреге о наличии в науке (языке вообще) знаков, которые, хотя и выражают определенный смысл, не имеют точного значения. Такие знаки (скажем, «человек с тремя головами») — не истинны и не ложны.

Они, так сказать, эпистемологически пусты, поскольку о том, что они обозначают, практически ничего не известно.

Г. Фреге настойчиво выступал за элиминацию из науки такого рода знаков;

по его мнению, все правильно образованные знаки должны означать нечто.

В этом отношении понятия «бесконечность», «множество всех множеств» и т. д. — мало проясненные знаки. Может быть, по этой причине не вполне ясно, нужно ли их запрещать (запреты в рамках интуиционизма и теории типов), а если нет, как к ним относиться?

г) В математике широко используется аппарат непредикативных определений, включающих самореферентные понятия и основывающихся на отношении самоприменимости. Так, все парадоксы теории множеств, отмечают А. Френкель и И. Бар Хиллел, «проистекают из-за того, что некоторая сущность, о которой идет речь, определяется посредством некоторой совокупности, к которой она сама принадлежит».373 Хотя ясно, Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1968. С.

24.

что непредикативные определения деструктивны не всегда, выяснить, в каких именно случаях они деструктивны, не удалось.

Имеющиеся варианты решения проблемы критерия «отделения агнцев от козлищ», например вариант Бемана, узаконивающего использование в рассуждениях лишь таких терминов, относительно которых удается показать их конечную устранимость,374 пока не утвердились в науке. Относительно же теории типов, запрещающей непредикативные классы, можно сказать то, что изложить в ее рамках существенную часть высшей математики просто не удается.375 Таким образом, избежать использования непредикативных определений практически невозможно. Вместе с тем допущение непредикативных классов не может избавить от неуверенности в непротиворечивости.376 Принимая во внимание сказанное, можно присоединиться к оценке Дж. фон Неймана, который, подчеркивая относительность категорий «точности» и «строгости», отмечал, что «вряд ли можно верить в существование абсолютного, незыблемого понятия математической строгости, оторванного от всего человеческого опыта». Принятие в качестве центрального критерия научности непротиворечивости. Математическая (аксиоматическая) система считается непротиворечивой, если для всякого утверждения А утверждения А и ~А не являются в ней одновременно доказуемыми.

Одновременная доказуемость утверждений А и ~А в некоторой системе обрекает систему на бессмысленность. Поэтому принятие критерия не Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава Ср. с Рамсей — элиминацией теоретических терминов из опытных наук.

Хао Ван, Мак-Нотон Р. Аксиоматические системы теории множеств.

М., 1963. С. 15.

Это распространяется даже на такие признанно «строгие» системы, как система Цермело-Френкеля, аксиома подстановки в которой носит непредикативный характер.

Нейман Дж. фон. Математик // Природа, 1983, № 2. С. 92.

противоречивости в качестве центрального для математических теорий обусловлено тем, что противоречивые формальные теории никакой ценности не представляют.

Говоря о непротиворечивости как центральном критерии научности математического знания, невозможно обойти вниманием вопрос: как понимать сложившееся положение дел, в соответствии с которым наряду с признанием исключительной роли критерия непротиворечивости в сознании математиков имеет место терпимость к составляющей фундамент математики «противоречивой» теории множеств?

На вопрос не существует четкого общепринятого ответа.

Фиксируя к нему отношение, подчеркнем, что выход из сложившейся ситуации возможен как реализация подходов: а) можно отказаться от традиционных ценностей в математике (что эквивалентно отказу от рассмотрения критерия непротиворечивости как центрального для математического знания), оставляя при этом в стороне вопрос об обосновании математики на соответствующей неантиномической основе;

б) можно не отказываться от традиционных ценностей в математике (что эквивалентно рассмотрению критерия непротиворечивости как центрального для математического знания), одновременно проводя обоснование математики на соответствующей неантиномической основе.

Рассмотрим перспективы двух этих подходов.

Стоит ли связывать понятие научности математики со строгостью и непротиворечивостью? Ведь практически во всех других науках довольствуются гораздо менее сильными требованиями? Может быть, действительно, традиционные представления о критериях научности математики стоит как-то скорректировать? Вовсе не будучи абстрактной возможностью, такой подход уже начал пробивать себе дорогу в науке.

Просматривается тенденция внедрения в математику новых методологических ценностей (критериев научности): в этом контексте, например, упоминают прагматические критерии практической используемости, эвристической эффективности, познавательной полезности и т.

д. Анализируя проблемы, связанные с кризисом в области теории множеств, скажем, Б. Н. Пятницын и В. Н. Порус замечают: «Нам представляется, что парадоксы, обнаруженные в теории множеств, не стали «сокрушителями» этой теории (и всей математики) не только потому, что она скорей всего не «укладывается»

исключительно в логическую плоскость измерения ценностных характеристик (т. е. что непротиворечивость на деле не является здесь абсолютной ценностью...), но еще и потому, что защитную роль здесь играет само «облако» ценностей, которым теория Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава множеств «окутана» в пространстве оценок, другими словами, в сознании практических математиков». В целом установки этого подхода, выраженные, в частности, в приведенной цитате, кажутся нам установками ad hoc: от парадоксов в теории множеств, нарушающих требование непротиворечивости, никто и никогда удовлетворения не испытывал. Фактическое использование теории множеств в математике вовсе не результат переоценки традиционных ценностей в этой науке, как, впрочем, и не результат действия якобы «окутывающего» теорию множеств облака дополнительных ценностей. Это просто результат того, что: а) парадоксы теории множеств не входят в ее «центральную» и «полезную» часть (Дж.

фон Нейман);

б) отсутствует лучшая система, равноценная теории множеств;

в) нет приемлемой программы всестороннего обоснования математики.

Недооценка парадоксов в теории множеств, выражающаяся, к примеру, в квалификации их как хитроумных искусственных конструкций, — малоубедительна.379 Имен Пятницын Б. П., Порус В. Н. Диалектические аспекты взаимосвязи ценности и роста научного знания // Вопросы философии. 1979. № 3. С. 77.

Такое отношение появилось, в частности, в оценке Кантором парадокса Бурали-Форти: «...то, что получил Бурали-Форти, — писал Г.

Кантор, — сущая чепуха». Однако вскоре позиция Кантора изменилась:

испытав глубокую депрессию, вызванную обнаружением парадоксов, он практически отказался от исследовательской деятельности вообще.

но в таком свете нам представляется заявление Вана Хао о том, что «практически ни одна из важных математических теорем и ни одно из важных математических доказательств не были удалены из анализа вследствие противоречий теории множеств».380 То же можно сказать об эмоциональной оценке ситуации Френкелем и Бар-Хиллелом, кстати, не вытекающей из проводимой ими исследовательской линии относительно того, что «представители очень многих наук хотели бы, чтобы область их деятельности находилась в таком же «критическом» состоянии, как математика, из математиков же очень немногие испытывают настоящее огорчение по поводу неопределенности, имеющейся в основании их науки». Можно привести прямо противоположные суждения. Достаточно вспомнить, скажем, Гильберта: «...состояние, в котором мы находимся в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце достоверности и истинности, — образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?». Аналогично у Вейля: «...чистая математика признает только одно — но зато совершенно обязательное условие истины — именно непротиворечивость». Таким образом, апелляция к побочным методологическим ценностям в математике, не отменяя необходимости ее обоснования в соответствии с требованием непротиворечивости, представляет, на наш взгляд, Хао Ван. Процесс и существование в математике // Математическая Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава логика и ее применения. М., 1965. С. 331.

Френкель A., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1968. С.

323.

Гильберт Д. Основания геометрии. М., 1948. С. 349.

Beйль Г. О философии математики. M.-Л., 1934. С. 56.

изощренную уловку, имеющую целью выступить средством временного снятия остроты, которая существует в связи с парадоксами в теории множеств. Следовательно, поскольку противоречивая теория удовлетворения не приносит и поскольку никакая переоценка ценностей не способна избавить от неудовлетворенности противоречивой теорией, постольку мы считаем перспективным другой подход, основанный на стремлении обосновать математику в соответствии с требованием непротиворечивости.

Согласимся с А. Мостовским, который подчеркивал, что «философские цели трех школ (логицизм, формализм, интуиционизм — В. И.) не были достигнуты, и, как нам кажется, мы не ближе к полному пониманию математики, чем основатели этих школ»,384 а также С. Клини, который писал, что парадоксы «ставят нас перед проблемой перестройки теории множеств на совершенно измененной основе, детали которой содержатся в ней разве что в виде намека». Проблема обоснования математики — проблема поиска ее надежности, строгости, точности, т. е., в конечном счете, того, что связывается с представлением ее научности. Проблема обоснования не может быть успешно решена (и, вероятно, поэтому не решена до сих пор) без существенного прояснения следующих сопряженных проблем: а) причин возникновения антиномий;

б) статуса математических объектов (разрешение трилеммы номинализм — реализм — концептуализм);

в) проблемы существования;

г) природы математических утверждений;

д) предмета математики.

Прогресс в разработке и обосновании теории множеств может состоять только в углублении общих представлений о математической реальности. В самом деле, поскольку вопросы, на которые нельзя ответить, пока нет общей кар См.: Mostowski A. Thirty years of Foundational Studies. Oxford, 1966.

Клини С. Введение в метаматематику. M., 1957. С. 42.

тины, ясного понимания связей в определенной области, называют парадоксами,386 постольку для элиминации парадоксов из теории множеств необходимо формировать этот уровень понимания, что в данном случае может состоять только в более глубоком осмыслении сущности математической реальности, природы математической деятельности в целом. В настоящее же время мы не знаем в достаточной мере, какова эта природа, какие ее компоненты ведут к парадоксам и т. д. А потому мы не знаем, как их устранить, перестроив теорию множеств. В этом смысле, коль скоро «не существует, да не предвидится никакого единого и общепринятого способа перестройки математики», кризис ее «оснований все еще продолжается». Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава 4.4.2 Естествознание В самом прямом словоупотреблении «естествознание»

обозначает широкую познавательную область, ориентированную на исследование первичной объективно сущей природы в ее непосредственности. Будучи рассмотрено по фарватеру как родовая форма знания естествознание неоднородно, многопланово. Оно охватывает множество дисциплин, пластов, образований, нацеленных на теоретическое освоение общего предметного базиса — Materia naturata.

В фокусе естественнонаучного познания находятся операции по всестороннему анализу материи, описанию, объяснению форм, механизмов, структуры, элементов, качественно-количественных значений, границ, мер, оптимальных и критических условий ее существования, взаимодействия со средой и т. д.

С типологической точки зрения естествознание слагается из эмпирико-феноменалистских (описательных) и теоретико эссенциалистских (объяснительных) теорий.

Мандельштам Л. И. Полное собрание сочинений. М., 1948— 1950. Т.

V. С. 10.

Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множества. М., 1968.

С. 323.

Описательные теории — совокупность качественных феноменологических систем знания, где доминируют: а) эмпирические описания, представляющие фиксацию в языке данных, полученных на эмпирическом уровне изучения предмета путем измерения, наблюдения, анализа, подбора фактов, визуальной регистрации, первичной классификации, систематизации, различных видов экспериментирования и т. п. (описание явления наследования контрастирующих признаков при гибридизации до формулировки Г. Менделем соответствующих законов);

б) эмпирические законы, зависимости, регулярности, полученные как индуктивные обобщения экспериментального материала (законы Менделя до утверждения в науке хромосомной теории наследственности). Механизмом трансформации описательных, собирательных знаний, какими на начальных стадиях являются практически все естественнонаучные знания, в объяснительные, систематизирующие выступают метризация, соответствующее логико-семантическое обоснование.

Объяснительные теории — совокупность логически организованных систем знания, где преобладают: а) теоретические объяснения, представляющие концептуальную реконструкцию данных, полученных на теоретическом уровне изучения предмета вследствие интерпретации, идеализации, постановки мысленных (концепционных) экспериментов, абстрактного моделирования и т.

д. (законы Менделя, получаемые на репрезентативном уровне как следствия из хромосомной теории наследственности);

подавляющее большинство компонентов (утверждений) теоретико эссенциалистских естественнонаучных знаний дедуцируется из фундаментальных основоположений — постулатов и аксиом;

б) точные количественно детализированные результаты (количественно детализированные Менделем, а потому приобретшие статус числовых закономерностей распределения Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава контрастирующих признаков в первом и последующих поколениях гибридов).

Внутри множества объяснительных теорий оправданно выделить подмножества гипотетико-дедуктивных и аксиоматических теорий.

Гипотетико-дедуктивные теории построены на базе гипотетико дедуктивного метода, который, занимая промежуточное положение между собственно эмпирическими и аксиоматико-дедуктивными методами исследования, основан на выводе следствий из гипотез логическим путем с последующей их фактической проверкой. По этому методу строится классическая механика. У Ньютона, например, вначале вводятся фундаментальные понятия, а потом следуют законы, утверждения, подлежащие верификации. Частным случаем гипотетико-дедуктивного метода выступает метод принципов. Теория здесь представляется в виде совокупности опытно опробуемых положений, полученных как следствия путем логического вывода из базисных принципов. Метод принципов положен в фундамент термодинамики, специальной, общей теории относительности и др.

Аксиоматическими называются теории, подвергшиеся строгой логической реконструкции, проработке. Установка на аксиоматизацию, формализацию естественнонаучного знания вполне понятна, учитывая факт фундаментального различия между формализованной содержательной теорией и первоначальной содержательной теорией, которое состоит в том, что доказательство или иное рассуждение, проведенное в формальной теории, остается истинным независимо от ее интерпретации. Так как организация естественнонаучного знания на началах аксиоматизации, формализации предполагает выделение групп аксиом, точно фиксирующих логические, математические, собственные основания теории, что возможно лишь в развитой теоретической науке, понятно, почему многие из естественнонаучных теорий остаются неаксиоматизированными, неформализованными.

В биологии мы встречаемся с эпизодическими, единичными попытками аксиоматизации, одну из которых представляет аксиоматический вариант менделевской генетики с использованием языка Principia Mathematica Вуджера. Отрадное исключение в этом отношении составляет физическое знание, раньше других достигшее уровня развитой теоретизации. В разные времена и с разным успехом формализаций его отдельных (впрочем, обширных) фрагментов занимались Каратеодори, фон Нейман, Маккинси, Суп-пес, Сугар, Нолль, Вайтман и др. Относительно же аксиоматизации физики как базиса естествознания уместно отметить релевантность шестой проблемы Гильберта.

В рамках естествознания правомерно обособить большую группу знаний, которые явно не примыкают к выделенным типам естественнонаучных теорий. Таковы, к примеру, многие разделы геологии, тектоники, палеонтологии, биологии, почвоведения, географии, климатологии, космологии и т. д., которые занимают «срединное» положение между описательными и объяснительными теориями, поскольку используют основанный на комбинированном Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава применении эмпирических и теоретических исследований метод исторической реконструкции.

Структуру естественнонаучной теории образуют логические, философские, собственные основания, которые приспособлены к разрешению главной задачи — постижению материальной природы и природы материи.

Под логическими основаниями естественнонаучной теории, как и всякой теории вообще, понимается логический аппарат, применяемый для обоснования, вывода, доказательства и организации утверждений теории. Выбор аппарата определяется спецификой решаемых теорией проблем. Так, в квантовой механике (КМ) применяется аппарат трехзначной неклассической логики со значениями «истинно» и «ложно». Логические основания теории должны быть эксплицированы, поскольку ее логическая систематизация означает «принятие и особой теории, или системы, логического анализа»388, которая как семантически, так и методологически неиндифферентна к проблемному полю теории;

она, например, оказывает влияние на существо решения фундаментальнейшей проблемы существования теоретических объектов.

Черч А. Введение в математическую логику. М., 1960. Т. I. С. 16.

Философские основания естественнонаучной теории — совокупность принципов, включающих знания об универсальных атрибутивных свойствах материи, законах ее развития, природе мышления, принципах познавательной деятельности и т. д.

Философские основания естествознания представляют эвристические предпосылки, семантический фон, который оттеняет условия постановки, а также решения внутренних естественнонаучных проблем.

Философские основания естествознания подразделяются на онтологические, гносеологические, методологические.

Онтологические основания включают гипотезы существования, назначение которых — задание фундаментальных допущений, схем, принципов строения действительности.

Гносеологические основания включают множество допущений о природе познавательного процесса.

Методологические основания включают комплекс нормативных представлений, позволяющих оценивать продукты естественнонаучной деятельности с позиций предпочтительности.

В структуру естественнонаучной теории помимо логических и философских оснований входят собственные основания, т. е.

основные принципы, постулаты, обусловливающие положения теории. Непосредственное же ее «тело» составляют факты, законы, утверждения относительно фактов и законов, которые надстраиваются над собственными основаниями.

Факт — не обязательно эмпирическое высказывание, носящее характер протокола наблюдения. С гносеологической точки зрения фактом может выступать высказывание как об эмпирическом, так и о теоретическом знании, достоверность которого установлена. Факт — прежде всего элемент знания, играющий определенную роль и имеющий конкретную функцию в системе знания. Трудно Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава переоценить значение фактов в вопросе определения предметной области теории, обосновании ее положений, установлении референтов и т. д.

Выделение естественнонаучного факта в отличие от сферы обыденного знания связано с сериацией — получением среднестатистического из серии экспериментов.

Естественнонаучные факты — это всегда усредненное статистическое резюме, частота появления определенного признака, характеристики предмета.

Естественнонаучный факт как гносеологически сложное концептуализированное образование противопоставляется голому эмпирическому факту, представляющему реальное явление в конкретных условиях. Голый эмпирический факт — объективное, фиксируемое органами чувств событие, взятое не в интерпретированном, не в субъективно преобразованном виде.

Примером голого эмпирического факта может быть чувственная фиксация явления отклонения стрелки на шкале прибора, записывающей на языке протоколов наблюдения: «в момент времени t°стрелка амперметра отклонилась от нулевого деления на 10 единиц вправо». Однако возможные попытки истолковать явление потребуют его включения в контекст теории, дающей экспликацию факту.

От строгих естественнонаучных фактов следует отличать артефакты, представляющие искажения действительности на основе предвзятой теории, — факты, якобы подтверждающие наследование благоприобретенных признаков.

Закон есть центральное утверждение теории, фиксирующее существенные, необходимые, повторяющиеся, универсальные связи объективного мира. Закон представляет выражение вида x(P(x) — Q(x)), которое не является сокращенной формой записи бесконечной конъюнкции предложений Р(а)•Р(b)•... (это соответствует индуктивистской трактовке квантора всеобщности), ибо утверждает не об отдельных элементах класса, а о необходимом и универсальном свойстве этих элементов.

Тщательное формальнологическое изучение природы универсальных импликативных предложений типа законов науки выявило парадоксы, известные под именем парадоксов материальной импликации. Суть их вытекает из формальнологических установок анализа законов науки, интерпретирующих последние с точки зрения логической формы безотносительно к выражаемому содержанию.

С логической точки зрения закон представляет условное отношение, имеющее импликативную форму. Однако последняя оказывается формой выражения и фактически истинных общих предложений типа «все вороны черные», не имеющих статуса законов. Возникает проблема обособления из множества универсальных, импликативных предложений подмножества законов — так называемая проблема Льюиса. Смысл ее заключается в вопросе: может ли быть построено в системе логики высказываний импликативное отношение, идентичное содержательному отношению высказываний, связанных Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава импликацией?

Сам Льюис пришел к обоснованному убеждению, что в системе логики высказываний подобное отношение построено быть не может.

В связи с этим интересны варианты неклассических логик, способных, по замыслу их создателей, решить проблему. Это — системы со «строгой импликацией» (Льюис), «сильной импликацией» (Аккерман), импликацией Нельсона, «каузальной импликацией» (Беркс) и т. д., однако не содержащие приемлемых рецептов снятия проблемы.

Хотя в дальнейшем было показано, что критерием отличия законов (номологических утверждений) от случайных универсальных (акцидентальных) утверждений, имеющих импликативную форму, является выводимость из первых условных контрфактических предложений, демонстрирующих наличие истинных необходимых отношений, следует указать на трудности выявления номологичности через переформулировку универсальных импликативных предложений в контрфактические.

Трудности состоят в том, что формальнологической процедуры выявления истинности контрфактических предложений не существует: их истинность устанавливается фактуально — путем анализа выполнимости материальных отношений, обеспечивающих номологический характер связи консеквента с антецедентом.

Последнее, однако, представляет трудность, т. к. проведение подобного анализа — вещь нетривиальная.

Утверждения относительно фактов и законов образуют семантический корпус теории. Естественнонаучная теория — множество утверждений, упорядоченных заданным на нем отношением выводимости различной степени строгости, или в более формальной записи:

Т(С, A, L) = {P1...Pn}, где T— естественнонаучная теория;

С — базисные и производные конструкты;

А — множество аксиом;

L — правила вывода;

Р — утверждения теории, включают предложения об индивидуальных фактах, эмпирических зависимостях, теоретических законах. Предложения об индивидуальных фактах формулируются в терминах языка непосредственного наблюдения (не включают кванторы) на эмпирическом уровне исследования.

Предложения об эмпирических зависимостях записываются на языке эмпирических конструктов, включают термины, не являющиеся терминами непосредственного наблюдения, но соответствующие эмпирическому уровню исследования (не предполагают объяснения). Предложения о теоретических законах выражаются на языке теоретических конструктов, включают термины двух названных типов предложений, содержат утверждения с кванторами, соответствуют теоретическому уровню исследования.389 Связи между тремя типами предложений осуществляют редукционные правила, которые задают способы перехода от языка наблюдения (утверждения о показаниях прибора) к языку эмпирических и теоретических конструктов (к утверждениям об объектах, действующих на приборы, и т. п.).

Сигнатура естественнонаучной теории такова:

= Fct, Lw, Cnst, Jnt, Abstr mdl, Frml, L, где Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава Fct — непустое множество фактов, соответствующих действительности;

Lw — множество законов;

для точных теорий, устанавливающих, предсказывающих свойства объектов по некоторой исходной информации (по известным силам и начальным условиям, к примеру, прогнозируется поведение Проблемы логики научного познания. М., 1964. С. 32.

механических систем), это множество не пусто;

для неточных фактофиксирующих теорий, как правило, оперирующих качественными соотношениями, это множество пусто;

Crist — множество констант, оказывающееся для многих теорий пустым;

Int — множество естественных, эмпирических, семантических интерпретаций, обеспечивающих идентификацию Abstr mdl и Frml теорий с реальными прообразами;

Abstr mdl — множество абстрактных моделей, семантических допущений, вспомогательных конструкций, принятых в теории;

Frml — множество формализмов, играющих роль инструмента мышления, языка, квантативизации утверждений естествознания, позволяя ему оперировать количественно детализированными связями действительности, формулировать зависимости типа X — KY.

L — множество логических допущений, правил вывода, принятых в теории.

Для предметной спецификации этих множеств следует ввести представление о Srt — непустом множестве, элементы которого называются сортами объектов, индивидуализированных онтологически.

Так, если каждому из перечисленных множеств поставить в соответствие переменные типа Srt, теории окажутся предметно специфицированными.

Учитывая, что естествознание — множество предметных теорий (Ts), описываемых, а также принимая по внимание значение аппаратов логики (L — средство обоснования) и математики (М — средство мышления), его структура может быть выражена формулой:

Ts;

M;

L.

Гносеологическая специфика естествознания Имеется непосредственная (жесткая) соотнесенность с определенным фрагментом действительности, что в отличие от математики обусловливает онтологическую специфицированность естествознания. Будучи сокращенным воспроизведением действительности, теория исследует «материальные» отношения объектов фиксированных предметных областей, которые определяют качественные особенности как отдельных элементов, так и всего их внутреннего строя.

Зависимость теоретического базиса (ВТ) теории от эмпирического (ВЕ) для наглядности выразим формулой ВТ—ВЕ390, где наличие не свойственных математике «—» — механизма связи базисов — Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава и ВТ гносеологически детализирует природу естествознания.

ВТ, который образуют Lw, Cnst, Int, Abstr mdl, Frml, L, играет роль категориальной, семантической, организационной схемы, каркаса теории, к чему привязываются все многочисленные частности.391 Создание, разработка и построение ВТ отличаются свободой (соображения удобства, простоты, темперамента, влияющие на выбор Frml, Jnt, Abstr mdl), но не произволом.

Последнее объясняется нацеленностью ВТ на отображение объективных связей действительности, откуда следует, что существует некий фундаментальный предел свободы субъекта в рамках ВТ, где роль его играет объективная логика функционирования реального предмета. Эта логика, допуская свободу, не терпит произвола. Предметная область, разумеется, не навязывает каких-то фиксированных «определений» ВТ, но одновременно препятствует осуществлению «каких угодно»

построений. Так, именно давление объективной логики предмета вызвало вытеснение из пределов физики эфира;

вероятно, по этой причине откровенное стремление во что бы то ни стало сохранить эфир в ВT физических теорий (Яноши)392 выглядит искусственным, неконструктивным.

Методологические вопросы теоретического естествознания.

Киев, 1978. С. ПО.

Уотермен Т. Проблема // Теоретическая и математическая биология. М., 1968. С. 24.

См.: Janossy L. Theory of Relativity Based on Physical Reality.

Budapest, 1971.

ВТ соотносится с ВЕ как целое, системное взаимосогласованное образование;

многие компоненты ВТ, способствующие опосредованному моделированию действительности, носят промежуточный, подчиненный характер, сами по себе не проецируются на эмпирию, не имеют реальных аналогов. В квантовой механике, например, такова Y-функция, лишь квадрат модуля которой наделен эмпирическим смыслом.

ВЕ, образованный фактами, имеет значение внешнего источника содержания теорий, а также пробного камня — средства их обоснования.


Динамика теории в самом широком смысле осуществляется как последовательность сбора, систематизации данных (наблюдение, установление эмпирических зависимостей), их теоретизации, вывода из полученных систем эмпирически обнаружимых следствий, окончательного оправдания теорий, внедрения их в практику. Связь ВТ и ВЕ не является непосредственной. Это значит: содержание ВТ, говоря строго, соответствует отношениям не реального, а идеализированного мира, мира вторичной концептуальной реальности, которая репрезентирует изучаемые объекты реальности первичной — объективной. Объективная и научная реальности хотя и не совпадают (противоположное утверждение ведет к представляющему тривиализацию проблемы наивному реализму), но необходимым образом связаны (отрицание данной связи чревато эвристическими тупиками платонизма), причем связаны ввиду особой роли ВЕ. Во-первых, все компоненты ВТ имеют эмпирическую генеалогию, которая бывает подчас Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава труднореконструируемой, но реальной. Во-вторых, ВЕ задает вектор прогресса ВТ в сторону его большей сбалансированности с ВЕ. В третьих, ВЕ «есть начало и конец всего нашего знания реальности».393 ВТ «состоит из понятий, фундаментальных законов, которые должны иметь силу для этих понятий, и следствий, выведенных посредством логической дедукции. Это те следствия, которые должны соответствовать нашему единичному опыту;

в Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. IV. С. 182.

любом теоретическом трактате их логический вывод занимает почти все страницы».394 В-четвертых, обладая относительной независимостью от ВТ, BE играет роль информативной и критической инстанции, препятствуя полной и окончательной идентификации теории с реальностью, субстантивизации концептуальных моделей.

Любая теория — осмысление фактов;

теории модифицируются, выбраковываются, факты сохраняются, остаются. Стабильность фактов для взаимосменяемых теорий служит онтологической основой их соизмерения, выявления степени прогрессивности происшедших теоретических сдвигов.

«—» образуют правила соответствия, или редукционные правила, и алгоритмы связи теоретических конструктов с картиной мира (через модели, интерпретацию), которая проецируется на ВЕ, учитывая, что ВЕ — не «чистая» сама по себе реальность, а реальность концептуально и операционально опосредованная, выделенная сквозь призму экспериментально-измерительной практики, человеческого опыта.

Правила соответствия предназначены для проверки эмпирического содержания теоретических терминов, посредством системы операциональных определений обеспечивая переход от моделей, интерпретаций и формализмов к фактам, позволяя проводить сопоставление следствий, выведенных из ВТ, с интерпретированными результатами эксперимента, а тем самым опытно обосновывать — подтверждать, опровергать теорию.

Алгоритмы связи реализуют смысловые, коммуникативные, объяснительные процессы в естествознании, обусловливают теоретическую нагруженность, «непрозрачность» ВЕ, взаимосвязь моделей и интерпретаций с фактами. Так, электродинамика Максвелла истолковывает электромагнитные процессы как изменение во времени электрической, магнитной напряженности и плотности тока в точке, тогда как родственная электродинамическая теория Ампера-Вебера те же про Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. IV. С. 182.

цессы понимает как изменение во времени состояний эфира среды — проводника электромагнитных явлений.

Детализация познавательной роли ««» заставляет рассмотреть механизм связи ВТ с ВЕ в более общем виде, что требует дальнейшего уточнения гносеологической специфики естествознания.

Отсутствует прямой логический мост между ВЕ и ВТ;

что равносильно невозможности как непосредственной дедукции ВТ из ВЕ, так и редукции ВТ к ВЕ. Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава В качестве средства (логики мышления), языка познавательной деятельности используется математика. Вопрос о поразительной эффективности математики в естествознании всегда интересовал ученых и методологов. Однако отсутствие ясности в этом вопросе дало повод известной растерянности: факт эффективности математики в естествознании часто квалифицировался как непостижимый (Вигнер)396 или непознаваемый (Бурбаки).397 Мы не разделяем подобные оценки и настроения: пессимизм никогда не был конструктивным. Глубокие причины эффективности математики в естествознании кажутся нам вполне познаваемыми и постижимыми. Они, если отбросить детали частных мнений, сводятся к следующему.

а) Не будучи скована границами предметной области, математика располагает большими эвристическими и исследовательскими возможностями. Условия деятельности математика сравнимы с условиями деятельности научного фантаста.

Действительно, в чем причины поразительной реалистичности и исключительной достоверности многих научно-фантастических прогнозов? «Видение сквозь время» объясняется свободой деятельности: трудностей практической реализации идей не существует, имеет место не скованное условиями творческое моделирование более Подр. см.: 3. Вигнер Е. Этюды о симметрии. М., 1971. С. 192.

Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963. С. 258.

или менее правдоподобных ситуаций, ограничиваемое одним — требованием внутренней непротиворечивости, самосогласованности, когерентности процесса и результата конструирования. Подобное же наблюдается и в математике.

Анализируя предмет в «чистом» виде как некую логическую возможность, математика предвосхищает потенциальное предметно-содержательное его исследование в соответствующих теориях. Скажем, геометрия Лобачевского возникла как итог обнаружения возможности построения геометрии на той же аксиоматике, что и евклидова, с видоизмененной аксиомой о параллельных. Полученная Лобачевским новая геометрия была «воображаемой», абстрактной математической структурой. Однако спустя некоторое время она нашла применение в СТО (пространство скоростей релятивистской механики является пространством Лобачевского), в космологии (во фридмановских открытых моделях пространственное сечение в сопутствующих материи системах отсчета описывается геометрией Лобачевского) и т. д.

Каковы причины этого? Чем объясняется существование тесной связи между математическими структурами и экспериментальными явлениями, иллюстрируемой, в частности, данным примером?

Сила математики — в абстрактно-универсальном, каким может быть только формальное изучение предмета, что в свое время обосновали Грассман, Буль и др. Ставя вопрос о логической возможности чего-либо, математика анализирует предмет в максимально общем виде. Результатом анализа являются предметно Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава не детализированные структуры, отвечающие критерию непротиворечивости. Будучи непротиворечивыми, математические структуры оказываются безразмерным резервуаром естественнонаучных интерпретаций: в зависимости от потребностей ис следования они могут быть различным образом предметно, онтологически специфицированы. Реальная «безмерность»

математических структур, их способность удовлетворять любым потенциальным интерпретациям часто порождает ощущение, что они «мудрее, чем мы, мудрее, чем их первооткрыватели, что мы получаем из них больше, чем в них было первоначально заложено»

(Г. Герц).

Собственно, в чем магическая сила математических структур? В том, что они заключают в себе истину (это выясняется post festum) как бы раньше, до предметного знания того, истиной о чем является формально выраженная истина. Математика, таким образом, заготавливает истины как бы впрок, так как они воспринимаются как истины лишь спустя какое-то время (после нахождения подходящей интерпретации). Естественнонаучное познание слагается как бы из двух планов: общего — количественно формального (математического) и особенного — качественно предметного (естествоведческого). Они не синхронизированы во времени — этим и объясняется наличие «ножниц» между моментом генерации математических структур, которые могут быть положены в основу естественнонаучной теории, и моментом полного построения последней, связанного с нахождением интерпретаций математических структур. В этом, конечно, нет ничего мистического или непостижимого, в чем убеждает и пример геометрии Лобачевского.

Рассмотрим второй ранее поставленный вопрос о причинах связи математических структур с естественнонаучными явлениями.

Эффективность математики в естествознании с этой стороны объясняется тем, что утверждения как математики, так и естествознания количественно детализируемы, так или иначе подводимы под категорию «числа» («величины»), поэтому, если математические структуры интерпретировать как количественные соотношения между величинами, которым соответствуют какие-то реальные свойства, они обретают референты, становятся приложимыми к действительности. Механизмом перевода математических структур на язык естественнонаучных эк спериментальных явлений служат, как известно, правила соответствия, включающие операциональные определения.

Отметим наличие опять-таки двух планов изучения «числа»:

математического и естественнонаучного. Математика рассматривает «число» формально через призму аксиоматик либо Цермело, либо фон Неймана. Естествознание рассматривает «число» предметно через призму операциональных определений.

Однако эти планы могут быть совмещены за счет естественнонаучного истолкования «чисел» посредством «меры», «величины», «измерения» и т. п. Следовательно, нетрудно понять:

тайна необычайной эффективности математики в естествознании Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).


(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава скрыта в идентификации формализмов с величинами, в единицах измерения. Все это представляет собой, образно говоря, «гвозди», которыми математические структуры «приколачиваются» к естественнонаучным явлениям.398 В случае геометрии Лобачевского такими «гвоздями» были количественно детализированные утверждения теории метрики пространства отрицательной кривизны, которая, возникнув в абстрактно-математическом, предметно «раскрепощенном» плане, впоследствии нашла приложение в рамках СТО, ОТО и т. д., трансформируясь в онтологически специфицированный естественнонаучный план. б) Математическое изучение предмета неотделимо от перевода проблемы с интуитивно-содержательного на формально аксиоматический язык, что делает нестрогие качественные представления строгими и точными и тем самым расширяет эвристические горизонты исследования. Афоризм Дарвина:

«Математика, подобно жернову, перемалывает лишь то, что под него засыплют», — легковесен. Математика — наука творческая, и ее творческая природа проявляется в естествознании в виде использования наработанных в математике идей и конструкций. В их числе:

Смирнов Г. Числа, которые преобразили мир // Техника молодежи, 1981, № 11. С. 36.

1) Формальные построения, которые выступают буквально как архетипы будущих предметно-содержательных естественнонаучных конструкций и теорий. Так, спинорные представления были развиты Картаном как сугубо математические. Впоследствии, однако, Дирак нашел в них «полевые величины нового вида, простейшие уравнения которых позволили вывести общие свойства электронов».399 Абстрактная математическая схема превратилась в конкретное естественнонаучное представление. Примеры такого рода неисчислимы. На базе теории групп, которую еще в начале века при пересмотре программы в Пристонском университете Джинс рекомендовал исключить из преподавания на том основании, что она якобы «никогда не найдет применения в физике», в 1961г.

«восьмиричным» путем Гелл-Манн предсказал существование неизвестной частицы омега-минус, которую в 1964г. открыли Фаулер и Сеймиос. Разработанная Коши и Риманом теория функций комплексного переменного внедрена в теорию электрических цепей. Развитый Гильбертом функциональный анализ, сформулированная Коши и Эрмитом теория матриц успешно используются в квантовой механике. Фактором прогресса статистической механики выступила математическая теория канонических систем дифференциальных уравнений Гиббса. Во всех этих и многочисленных подобных им случаях вопреки формуле Дирихле вычисления не заменяют, а вызывают идеи.

Объяснимся подробнее. Математика продуцирует онтологически не специфицированные структуры;

естествознание реализует только те из них, которые осмысленны с его позиций;

возможная же Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. IV. С. 184.

переоценка естественнонаучной «неосмысленности» некоторых математических структур, как правило, влечет проникновение идей Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава в естествознание. К примеру, Дирак, поставивший цель сформулировать уравнение для частицы со спином, которые из уравнения с двойным решением: ЕЕо=mос2 (1) и Е—Е=mос2 (2). С физической точки зрения (2) — бессмысленно, как бессмысленны многие математически осмысленные корни уравнений «-степени.

Однако Дирак не отбросил возможность — подчеркиваем:

физически бессмысленную — отрицательного решения;

поиск его интерпретации навел на мысль существования позитрона, который предсказан в 1931-м, а открыт в 1932г.

2) Представления о гармонически изящных отношениях, отвечающих принципам симметрии. С этим, в частности, связаны исторически реализованные программы математизации естествознания. Среди них выражающие идею количественной пропорциональности, гармоничности, концепции числа (Пифагор), правильных многогранников (Платон), совершенных геометрических фигур (Евдокс, Птолемей) и т. д., оказавшие заметное влияние на естественнонаучный поиск. Если считать, что неотъемлемым спутником математизации естествознания выступает уразумение приложимости математики к естественнонаучным явлениям, то общим для всех программ математизации естествознания будет признание того, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов и что посредством чисто математических конструкций можно найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дают ключ к пониманию явлений природы. 3) Формальные точки зрения, которые в достаточной степени ограничивают бесконечное разнообразие возможностей.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. IV. С. 184.

Мир без ограничения разнообразия был бы полностью хаотическим (У. Р. Эшби). Инструментом упорядочения мира в науке является теория. Она огрубляет, схематизирует, идеализирует и т. д. мир, рассматривая его через призму конечного множества основоположений. В свою очередь, основоположения, используемые теорией образы и их закономерные связи, как правило, «могут быть получены в соответствии с принципом отыскания математически простейших понятий и связей между ними».401 Эффективность математики в данном случае — в немногочисленности числа эвристических схем, возникающих в качестве моделей разнообразных явлений. С одной стороны, число математически возможных простых типов соотношений между явлениями природы и простых уравнений, возможных между ними, ограничено, — на этом основано применение математики как инструмента познания мира вглубь. С другой стороны, свобода от привязки математики к конкретной онтологической области позволяет вырабатывать предметно универсальные формализмы, единообразно описывающие свойства объектов различной природы, — на этом основано использование математики как инструмента познания мира вширь.

в) Язык математики, очень удобный в обращении, оптимизирует естественнонаучную деятельность. Всякой теории поставлен в соответствие свой особый математический язык. В классической Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава механике это язык чисел, векторов;

в релятивистской механике — язык четырехмерных векторов и тензоров;

в квантовой механике — язык операторов и т. д. Динамика смены математического языка, используемого, к примеру, в физике, является хорошим индикатором стадий роста этой науки. Классико-механическая программа, принятая в физике до XX в., исходила из возможности редукции всей физики к механике. Однако применяемый в последней аппарат обыкновенных дифферен Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. II. С. 185.

циальных уравнений не позволял описывать тепловые, электрические явления и т. д. В связи с этим Фурье предложил использовать более «гибкий» аппарат дифференциальных уравнений в частных производных. Но, как показал опыт, и он оказался неуниверсальным: в рамки дифференциально аналитического подхода не вписывались релятивистика и квантовая механика. В настоящее время математический фундамент физики многообразен. После доказательства невозможности редуцировать содержание физики к содержанию механики (соответственно показа невозможности редукции используемого в физике математического аппарата к обыкновенным дифференциальным уравнениям) этот фундамент образуют идеи не только дифференциально аналитического, но и теоретико-группового (теоретико инвариантного) (СТО), дифференциально-геометрического (ОТО) и функционально-аналитического (квантовая механика) подходов. Их многообещающий синтез лежит в основе программы построения физики будущего.

Свобода выбора математического аппарата для соответствующих теорий ограничивается давлением эмпирии, необходимостью принимать в расчет наличие объективной логики предмета, — в конце концов, именно она, а не математический аппарат определяет позитивное содержание теории.

Естествознание — ассоциация опытных наук, связанных с конкретными фрагментами действительности;

обращению к тому или другому математическому аппарату здесь должен предшествовать тщательный анализ вопроса о его адекватности в смысле согласуемости с содержанием соответствующего действительности опыта. Для ученого-естественника важна идентифицируемость математического аппарата с величинами, — только в этом случае он способен выполнять описательную, генерализирующую, кодифицирующую, нормативную и другие функции, «утверждать» нечто об объективной действительности.

Непротиворечивый математический аппарат, будучи неприемлем для описания действительности в одной тео рии, вполне может оказаться приемлемым для той же цели в другой. Обоснованием этого в общем случае служит положение о предметной интерпретируемости непротиворечивых математических структур. Истоки же принципиальной применимости математического аппарата к описанию действительности заключаются в эмпирическом происхождении математических структур.

г) Задавая принципы объективной фиксации результатов в виде Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава требований инвариантности уравнений (формулировок, законов) теории относительно групп преобразований, математика выступает своеобразным «гарантом» объективности естественнонаучных знаний. Это положение требует разъяснений. Дело в том, что уравнения абстрактного математизированного естествознания не описывают непосредственно поведение материальных объектов.

Будучи сформулированы применительно к реальности идеализированной, конструктивной, они описывают поведение идеальных объектов — математической точки (классическая механика), точки-события (СТО) и т. д., — имеющих модельный статус относительно их объективных аналогов. Совершенно ясно, что требование инвариантности уравнений, описывающих поведение идеализаций относительно групп преобразований, гарантировать объективность в смысле совпадения естественнонаучных знаний с действительностью не может.

Гарантом их истинности, достоверности служит практика, эмпирическая апробация, опыт. Тем не менее расценивать требование инвариантности уравнений естественнонаучной теории относительно групп преобразований как гарант их объективности можно и необходимо. См.: 4.3. После перечисления, как кажется, основных причин возможности, желательности использования математики в естествознании зафиксируем факторы, которые препятствуют или сдерживают процесс его математизации. К ним мы бы отнесли такие.

а) Математизация (в частности, квалификация, метризация, логификация) возможна лишь при наличии обратной связи, творческого диалога между математикой и естествознанием.

Однако установление диалога — вещь не всегда осуществимая. В самом деле, формулировки и утверждения математики в естествоведческом плане бессмысленны, под чем разумеется в первую очередь их опытная, экспериментальная, фактуальная и т. д.

бессмысленность. Наделение естественнонаучным смыслом формулировок математики достигается через интерпретацию, операциональные определения. В одних случаях наделить математические утверждения естественнонаучным смыслом удается: таков, например, коэффициент аффинной связности в теории гравитации. В других случаях это оказывается невозможным, к примеру, естественник не видит смысла аксиомы Архимеда, иррациональных и трансцендентных чисел, несоизмеримостей и т. д., — он не может работать с координатой X, имеющей «величину X=2 дюймов или X = сантиметров».403 В этих случаях, очевидно, математизация естествознания не осуществима.

б) Математизация возможна лишь при совпадении возможностей естественнонаучного спроса и математического предложения.

«Математик, — приводит Эйнштейн афоризм друга-математика, — на что-то способен, но, разумеется, как раз не на то, что от него хотят получить в данный мо Бриллюэн Л. Научная неопределенность и информация. М., 1966. С.

64.

Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава мент».404 Ситуация, описываемая наиболее «обидной» частью этого афоризма, которая идет после «но», вовсе не обидна и имеет глубокие корни в практике функционирования математики и естествознания. С позиций используемости математического аппарата в естествознании следует выделить три случая. Первый — аппарат математики актуально используется в естествознании.

Второй — аппарат математики может использоваться потенциально. Здесь имеются две возможности. Существует материальная возможность потенциального применения математического аппарата в естествознании. Этот вариант описывает хорошо известные факты временного несоответствия двух планов естественнонаучной деятельности — получения формализма и его интерпретации. Зачастую, как отмечает Дирак, «легче открыть математическую формулу, необходимую для какой нибудь основной физической теории, чем ее интерпретировать. Это потому, что число случаев, среди которых приходится выбирать при открытии формализма, весьма определенно, так как в математике не много основных идей, тогда как при их физической интерпретации могут обнаруживаться чрезвычайно неожиданные вещи». Насколько нетривиальной оказалась проблема нахождения материального носителя электромагнитных процессов в пространстве, свидетельствует тот факт, что теория Максвелла, казалось бы, базирующаяся на признании поля в качестве объективной реальности, рассматривалась современниками как чисто феноменологическая теория — система уравнений Максвелла, — так и не получивших до создания СТО удовлетворительного толкования.

Существует формальная возможность потенциального применения математического аппарата в естествознании. Вариант описывает факт существования реально не исполь Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. II. С. 14.

Степин B.C., Елсуков А.К. Методы научного познания. Минск, 1974.

С. 140.

зуемых в естествознании математических структур, которые не внедряются в теории по причине несоответствия требованиям «предметной логики», но которые все же могут быть внедрены в них по причине самонепротиворечивости.

Третий случай — требуемого естествознанию математического аппарата не существует. Возможность данного случая определяется, с одной стороны, реальным пресыщением естествознания потреблением наличных математических структур, которые уже не удовлетворяют его запросам, а, с другой стороны, реальным отсутствием необходимого математического аппарата, который мог бы удовлетворить имеющиеся у естествознания запросы. Почему возникают «ножницы» в производстве и потреблении естествознанием математических структур? Ответ прост.

Математика — не придаток естествознания, а автономная наука, вообще не производящая осмысленную в естественнонаучном плане продукцию: это не ее дело. Генерация результатов в математике подчиняется не внешним запросам, какими выступают и запросы естествознания, а внутренней логике изменения Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава проблемной области. Математика удовлетворяет запросы естествознания в решении только тех вопросов, которые могут быть осознаны и поняты как вопросы математические. Наличие «ножниц», таким образом, есть следствие объективного взаимоотношения двух самостоятельных научных дисциплин.

Естествознание применяет математику только тогда, когда оно способно спроецировать математические структуры на свою проблемную область, перевести формулировки математики на свой язык, и наоборот.

В настоящее время необходимость разработки нового математического аппарата назрела в связи с потребностями описания и анализа процессов дискретной природы. Эти потребности, например, имеются в физике: снятие «противоречий»

между признанием непрерывности процесса распределения тепла и одновременным признанием его молекулярно-кинетической природы;

между признанием непрерывности поля и его квантуемости;

аналогичные проблемы имеются в газовой динамике и т. д. В кван товой механике имеются серьезные трудности, «состоящие в том, что из того математического аппарата, которым она пользуется... вытекают бесконечные значения полевых масс и констант связи («расходимости»)»;

трудности «могут быть объяснены несовершенством... математического аппарата и, в первую очередь, несоответствием действительности современного представления о структуре пространства». Развитие физики, следовательно, требует усовершенствования математического аппарата, навеваемых им представлений о структуре пространства. Переосмысление сформулированного К.Вейерштрассом, Р.Дедекиндом и Г.Кантором общепринятого представления о структуре пространства как о множестве точек, где «определены предельные точки подмножеств», которое вынуждает нас использовать континуум, предполагает разработку теорий квантованного пространства, что, естественно, требует соответствующего математического обеспечения, в первую очередь, как указывалось, хороших методов исследования дискретных процессов. Однако таких методов математика «впрок не заготовила». Запрос, таким образом, налицо;

его потенциальное удовлетворение, связанное с получением эффективных результатов в ходе имманентного прогресса математики составит содержание грядущей математизации естествознания.

в) Математизация возможна тогда, когда естественники и математики знают, что, собственно, они хотят получить друг от друга. Делая явными познавательные ситуации, облегчая изучение предмета, поставляя совершенные методы упорядочения результатов, способствуя росту знания, обеспечивая эффективность экспериментальных исследований, математизация науки есть инструмент прогресса науки. Данный тезис, справедливый как правило, имеет исключения.

Розенфельд Б. А. Теория относительности и геометрия // Эйнштейн и развитие физико-математической мысли. М., 1962. С. 59.

Не будем брать случай описательных наук, зиждущихся на Ильин В. В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1 / В. В. Ильин. — Ростов н/Д:

«Феникс», 2006. — 832 с. — (Высшее образование).

(Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru Янко Слава принципах эмпирического подхода, — призыв к их математизации выглядит малоосмысленным. Возьмем случай теоретических наук, испытывающих потребность в формализации, аксиоматизации, дедуктивизации, внедрении методов математического моделирования, математического планирования экспериментов, математической гипотезы и т. д., т. е. в математизации. Каковы предпосылки эффективного ее проведения в данном случае?

Известно, что среди множества теоретических знаний — масса нематематизированных. Чем это объясняется? На наш взгляд, отсутствием точного знания того, что и как математизировать. К примеру, многочисленны призывы математизировать биологию. Не сомневаясь в их обоснованности, спросим: почему биология нуждается в математизации, почему математизация биологии не проводилась ранее? Среди аргументов об исторических традициях, о времени, которое потребовалось для достижения теоретической зрелости и т. п., обнаруживаются и такие: математизация биологии не осуществлялась ранее потому, что не было подходящего математического аппарата, соответствующего ее предметной специфике.

Выясним, какие запросы биологии должны удовлетворяться математикой и почему они не могут быть удовлетворены математикой наличной.

Обратимся к первоисточникам. Во всякого рода доводах об «историзме», «прогрессизме», «целостности» как атрибутах биологического субстрата, которые не «схватываются»



Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 40 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.