авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова Московский государственный институт электроники и ...»

-- [ Страница 9 ] --

P+N средняя стоимость вложения = Следовательно, приближенное выражение внутренней доходности об лигации можно описать соотношением:

NP C+ ~ n i= (93) P+N Эта формула в практических финансовых расчётах применяется, по меньшей мере, уже два столетия. В работе [139] она приводится как «купе ческая формула».

Вернёмся, однако, к налогам.

Внутренняя доходность облигации с учётом налогов может быть при ближённо найдена из равенства [51] N (N P ) P Ng(1 ) + n i нал = (94) N (N P ) + P После серии упрощений в (94) окончательно имеем:

~ ~ i (нал) (1 )( i g) + g(1 ) (95) ~ Здесь i — внутренняя доходность облигации без учёта налогов, оп ределяемая формулой (93);

g — купонная ставка по облигации;

— ставка налогов на процентные доходы;

— ставка налогов на прирост капитала.

Применим данное соотношение для расчёта в условиях предыдущего примера. То есть: N = 1000 $;

g = 0,08;

n = 4;

P = 974,93 $;

= 0,2;

= 0,28. На основании (93):

1000 974, 1000 0,08 + ~ i= = 0,0874 (8,74%) 1000 + 974, ~ Полученное ранее более точным методом значение i составляло 0, (8,77%). Подставляя это в (95), находим ~ i (нал) = (1 0,28)(0,0874 0,08) + 0,08(1 0,2) = 0,0693 (6,93%) ~ Что отличается от полученного ранее более точного значения i (нал) = 0,0698 (6,98%).

Требуемое значение внутренней доходности облигации с учётом нало гообложения с помощью (93), (95) было найдено почти мгновенно, однако за быстроту пришлось заплатить определенной потерей точности. Однако цен ность формулы (95), с точки зрения практического пользования, на наш взгляд, — несомненна.

С точки зрения «справедливого» (учитывающего инфляцию) налого ~ обложения при i (нал) h (ВД облигации с учётом налогов не превышает темпа инфляции) налог не должен взиматься вообще. В самом деле, в этом случае, как следует из (89), реальный доход от облигации равен нулю или отрицателен. То есть при приобретении данного финансового инструмента в реальном измерении инвестор несёт убытки. Наличие реального дохода с ~ учётом налогообложения гарантируется условием i (нал) h. На основании (94) это равносильно равенству:

N (N P ) P Ng(1 ) + n h (96) N (N P ) + P Откуда следует:

N(2(ng(1 ) + 1 ) hn (1 )) (97) P hn (1 + ) + 2(1 ) Значение N(2(ng(1 ) + 1 ) hn (1 )) Pкрит = (98) hn (1 + ) + 2(1 ) является критической границей начальной цены облигации, при пре вышении которой при данном уровне инфляции налог, вообще, не должен взиматься.

В качестве примера рассмотрим купонную облигацию, параметры ко торой: N = 1000 $;

g = 0,08;

P = 930 $;

n = 4;

= 0,2;

= 0,28. При этом сред негодовой темп инфляции: h = 0,075.

Найдём вначале ВД облигации с учётом налогообложения, исходящего из номинального прироста стоимости облагаемого налогом капитала. На ос новании (93):

1000 80 + ~ i= = 0, 930 + С учётом (95):

~ i (нал) = (1 0,28)(0,1010 0,08)+0,08(1 0,2) = 0, Номинальный доход от облигации без учета налогов составит:

nom = 930(1 + 0,1010)4 – 930 = 436,57 $ Номинальный доход с учётом налогообложения — есть 930(1 + 0,0791)4 – 930 = 331,09 $ Государственная налоговая прибыль составила:

436,57 331,09 = 105,48 $ С учетом инфляции все выглядит совершенно иначе [161, 162, 169].

Расчёт с точки зрения «справедливого» налогообложения.

На основании (98):

1000(2(4 0,08 0,8 + 0,72) 0,075 4 0,72) Ркрит = = 951,75 $ 0,075 4 1,28 + 2 0, Начальная цена облигации Р = 930 Ркрит, следовательно налог должен взиматься. Реальная доходность облигации без учёта налогов составит:

~ i h 0,1010 0, = r= = 0, 1+ h 1 + 0, Реальная доходность с учётом налогообложения — есть:

~ i h 0,0791 0, = rнал = нал = 0, 1+ h 1 + 0, Реальный доход от облигации без учёта налогов равен:

930(1 + 0,242)4 930 = 93,36 $ Реальный доход с учётом налогообложения — есть:

930(1 + 0,0038)4 930 = 14,20 $ Налоговая прибыль составила:

93,36 14,20 = 79,16 $ Во истину, высокая инфляция является злейшим врагом инвестора!

Глава VII О СОСТАВЕ ВАЛЮТНОГО ПОРТФЕЛЯ, ОБЛАДАЮЩЕГО НАИМЕНЬШИМ РИСКОМ § 7. Риски, связанные с инвестированием в финансовые активы Прошло уже более шести лет с того момента, когда 1 января 1999 г.

среди ведущих валют мира появилась новая — ЕВРО. Сегодня можно ска зать, что единая европейская денежная единица состоялась, ЕВРО занял преобладающее место в межбанковских расчетах внутри европейского эко номического валютного рынка. Для этого создана и действует европейская система банков во главе с европейским центральным банком.

Причиной появления ЕВРО послужила потребность стран ЕС в замене множества национальных валют единой европейской валютной единицей.

Это существенно продвинуло процесс европейской интеграции и ознамено вало новый шаг в консолидации и дальнейшем развитии единого внутренне го рынка европейских стран.

В Европе уже давно устранены препятствия на пути потока товаров и капиталов: границы прозрачны, пошлины отсутствуют, рабочая сила сво бодно перемещается из страны в страну. Однако приходилось оперировать несколькими валютами. При этом расходы по конвертации в пределах объе диненной Европы составляли порядка 1824 млрд. долл. в год. Помимо эко номии этих средств, при объединении валют странам-участникам станет удобнее кредитовать, собирать налоги и бороться с инфляцией, ведь в ЕС — один центральный банк. Для компаний выгодно иметь единую валюту вме сто 12, ибо затраты на ведение бизнеса в Европе снижаются, открываются экспортные возможности для торговых партнеров ЕС.

С момента своего появления ЕВРО зарекомендовал себя в качестве одной из основных валют в мире. Он стал главным конкурентом доллара, который объективно считается сейчас мировой резервной валютой.

Запасы единого европейского ЦБ, слагаемые из капиталов 12 стран, сравнимы с резервами ведущих американских банков. Появление ЕВРО в перспективе можно оценивать как начало процесса дедолларизации мировой экономики.

Введение ЕВРО в качестве единственного законного средства платежа в европейских странах-членах ЕС затрагивает и Россию, как страну, тради ционного имеющую тесные торговые и экономические связи с ЕС. На долю ЕС приходится треть ее внешней торговли, в западноевропейских валютах (главным образом в германских марках) номинировано 35% внешнего госу дарственного долга и около трети официальных резервов ЦБ России. Пред полагается, что ЕВРО будет валютой расчетов по примерно половине тор говых операций России, так как большая часть восточноевропейских валют была привязана не к доллару, а к дойчмарке. Значение ЕВРО будет возрас тать в международных расчетах России по мере увеличения числа участни ков еврозоны.

Российские предприятия и организации, ведущие внешнеэкономиче скую деятельность, косвенно использовали валюту ЕС в своих расчетах и до введения наличного ЕВРО, так как специфические и комбинированные та моженные пошлины в России рассчитываются в ЕВРО.

Расширение российского рынка ЕВРО может идти за счет увеличения его доли во внешних контрактах развития долговых ценных бумаг, номини рованных в ЕВРО.

Россия, как и Евросоюз, заинтересована в том, чтобы евровалюта была стабильной и надежной. Это ослабит привязку рубля к доллару: финансовые инструменты, деноминированные в ЕВРО, представляют собой эффектив ный источник диверсификации зависимости от доллара.

Введение наличных банкнот и монет ЕВРО с 1 января 2002 г. безус ловно, привело в России к использованию ЕВРО для накопления. Раньше эта роль была зарезервирована за американским долларом.

У России появлось больше возможностей для маневра при формиро вании валютного курса, состава валютных резервов, валютной структуры внешних заимствований и торговли.

В силу неустранимости колебаний валютных курсов более сбаланси рованное распределение активов и пассивов по основным международным денежным единицам позволит России, как на государственном, так и на ча стном уровне минимизировать риск курсовых потерь.

Рассмотрим следующую проблему. Каково должно быть соотношение между ЕВРО и долларом в составе валютного портфеля? Данную постановку задачи можно расширить, вводя в рассмотрение третью из основных валют мира, а именно японскую йену, а также присоединив еще один актив — зо лото.

В качестве математического метода при решении данного вопроса мы привлечём теорию выбора эффективного портфеля, разработанную амери канским математиком Г. Марковицем [170, 171]. Он предложил метод, по средством которого в условиях риска можно найти, в определенном смысле, эффективную структуру портфеля ценных бумаг. Существенный вклад в данную теорию был внесен также Дж. Тобином, который установил сущест вование оптимального портфеля среди множества эффективных портфелей [172] и У. Шарпом, улучшившим методику Г. Марковица [136, 173]. Сегодня можем сказать, что теория выбора портфеля является основополагающим принципом инвестиционного планирования в условиях неопределенности и риска [174]. Она является существенным элементом теории рынка капитала [140], особенно такой ее формы как модель оценки финансовых активов (САРМ). Все три упомянутых математика позднее стали лауреатами Нобе левских премий по экономике. Появление данной теории привлекло внима ние многих математиков и специалистов по ценным бумагам, вызвало ог ромное число обсуждений и публикаций.

Предлагаемая нами работа является опытом применения стратегии ди версификации Г. Марковица к нахождению валютного портфеля, обладаю щего минимальным риском. Естественно, вышеперечисленные валюты, вхо дящие в состав диверсифицируемого портфеля, мы рассматриваем как раз новидность ценных бумаг, вращающихся на российском финансовом рынке.

На наш взгляд, сама такая постановка вопроса не должна вызывать от торжения. Хотя с точки зрения юридических определений доллары в России нельзя отнести ни к акциям, ни к облигациям, но, безусловно, их можно счи тать разновидностью финансовых денег, к коим принадлежат и вышепере численные ценные бумаги [176179]. Этого вполне достаточно для приме нения классических расчетных методик.

В словаре русского языка С. И. Ожегова риск определяется как «воз можная опасность».

С появлением товарно-денежных отношений риск становится эконо мической категорией. Он рассматривается как случайное событие с возмож ностью негативных последствий. Неопределенность конкретной хозяйст венной ситуации обусловлена такими факторами как: отсутствие полной информации, противодействие и во многом определяется фактором случай ности.

Результаты проявления неопределенности могут быть: положительны ми (прибыль или другая выгода);

отрицательными (убытки, потери и т.д.);

нулевыми (безубыточный и бесприбыльный результат). Но о риске чаще всего говорят в негативном смысле. Неполнота информации приводит фи нансового аналитика к необходимости либо приобретения недостающей ин формации, либо (при отсутствии такой возможности) к совершению дейст вий наугад, опираясь на опыт и интуицию. Процесс реформирования эконо мики России неизбежно привел к необходимости учета риска в хозяйствен ной и финансовой деятельности, а сама концепция рынка в ходе формиро вания цивилизованных рыночных отношений получила не только дальней шее развитие, но и оказалась также практически востребованной.

Сложность классификации рисков заключается в их многообразии [180, 181].

При формировании инвестором портфеля ценных бумаг, в первую оче редь, очевидно, следует учитывать следующие категории рисков:

1). Ценовой (рыночный) риск.

То есть риск возможного обесценивания инвестиционно-финансового портфеля. Причина состоит в том, что будущие цены активов портфеля дос товерно не известны. Основным фактором, от которого зависит ценовой риск обыкновенных акций, является «общее движение» рыночных цен. Для обли гаций подобным фактором является изменение процентной ставки. С ее ростом цена облигаций падает.

2). Риск неплатежеспособности, или риск невыполнения обязательств (кредитный риск).

Связан с невозможностью выполнения должником кредитного догово ра. Например, эмитент облигации оказался неспособным выплатить вовремя проценты или основную сумму долга (номинал). Обычно этот риск оцени вают с помощью рейтинга, определяемого коммерческими рейтинговыми компаниями.

Риск невыполнения обязательств является результатом двух видов рисков: делового и финансового. Деловой, или коммерческий риск — это риск снижения доходов эмитента за счет ухудшения экономических условий и роста издержек. Финансовый риск состоит в том, что поток платежей эми тента не соответствует по времени финансовым обязательствам. Под выпол нением обязательств понимается погашение долга и выплата процентов.

3). Инфляционный риск (риск покупательной способности).

Это риск того, что реальная доходность (доходность с учетом инфля ции), может оказаться отрицательной.

4). Риск обменных курсов (валютный риск).

Приобретая ценные бумаги, выплаты по которым производятся в ино странной валюте, инвестор не знает точно, каким будет поток платежей по этой бумаге в национальной валюте. Он зависит от обменного курса во время выплаты. Например, инвестор приобрел облигацию, выплаты по которой производятся в долларах. Если курс рубля вырастет по отношению к долла ру, то сумма выплат в рублях уменьшится. Если бы курс рубля к моменту выплат снизился, то инвестор получил бы дополнительную прибыль.

5). Реинвестиционный риск — это риск снижения доходности (напри мер, при реинвестировании по меньшей процентной ставке) от вложения средств, полученных от ранее сделанных инвестиций.

6). Риск досрочного отзыва.

Для многих облигаций предусматривается оговорка, дающая эмитенту возможность отозвать весь выпуск или его часть до истечения срока пога шения. Он пользуется этим правом, чтобы обеспечить себе возможность ре финансирования выпуска облигаций, если рыночная процентная ставка упа дет ниже купонной ставки. С точки зрения инвестора, в такой ситуации имеются два недостатка. Во-первых, величина выплат, которые он получит при отзыве облигаций, ему достоверно неизвестна. Во-вторых, поскольку это происходит, как правило, в случае падения процентной ставки, инвестор подвергается реинвестиционному риску. Такая неопределенность, связанная с потоком выплат и условиями повторного реинвестирования, называется риском досрочного отзыва. Этот вид риска настолько распространен при управлении портфелем облигаций, что менеджеры считают его вторым по важности после ценового риска.

7). Риск ликвидности.

Ликвидность актива означает возможность его быстрой реализации на рынке без существенного снижения стоимости. До сих пор нет единого оп ределения ликвидности, поэтому приходится довольствоваться разного рода пояснениями. Дж. Тобин предложил толковать ликвидность и неликвидность с помощью оценки потерь, которые может понести продавец, если он желает осуществить сделку немедленно, вместо долгих и дорогих поисков встреч ных предложений. Риск ликвидности возникает в случае необходимости бы строй реализации актива. Его можно рассматривать как разность между «истинной» и доступной ценами реализации.

Для многих финансовых активов ликвидность определяется типом связанных с ними обязательств (контрактов, договоров). Например, обыкно венные банковские депозиты полностью ликвидны, поскольку банк обязан конвертировать их в наличные по первому требованию. Мерой ликвидности рыночных финансовых активов является спред цен покупки и продажи плюс комиссионные. Чем они больше, тем, очевидно, больше риск ликвидности.

8). Политический риск — риск убытков или снижения прибыли вслед ствие изменений в государственной политике.

Риск имеет и количественную меру. Чаще всего его рассматривают как меру рассеяния (дисперсию) полученных в результате множественных про гнозов оценочных показателей рассматриваемого проекта. Правомерно ли измерять эту опасность одним числом, например, в каких-то денежных еди ницах? В рамках рассматриваемой проблемы мы даем утвердительный ответ на этот вопрос. Измеряя риск одним числом (или набором чисел), мы, ко нечно, упрощаем ситуацию, но и делаем ее более доступной для анализа ма тематическими средствами.

Но даже при таком соглашении существуют разные подходы к изуче нию риска. Например, подходы, принятые в [182185] значительно разли чаются. Как уже было сказано, мы сосредоточимся на том подходе к моде лированию риска, который был предложен Г. Марковицем.

Различные исходы, которые могут возникнуть после принятия инве стором решения, можно сравнивать между собой по размерам приобретений ли потерь. Но эти размеры должны быть увязаны с вероятностями соответ ствующих исходов. Для этого необходимо использовать математический ап парат теории вероятностей.

Пусть на рынке обращается m видов ценных бумаг. Доходность каждой из них является случайной величиной, для j-й ценной бумаги обозначим эту С.В. Хj. Каждой случайной величине Хj можно поставить в соответствие два числа. Одно из них называется математическим ожиданием С.В. и обознача ется Е(Хj). Математическое ожидание дискретной С.В. — есть среднее взве шенное значение С.В. по ее распределению. При этом в качестве весов пред стают вероятности соответствующих значений случайной величины (Х).

n p x Е(Х) = p1x1 + p2x2 + …+ pnxn = (1) = Другая величина показывает, насколько сильно возможные значения С.В. отличаются от ее среднего значения. Ее называют дисперсией С.В. и обозначают D(Х). По определению:

D(Х) = Е{(Х Е(Х))2} = (х1 Е(Х))2р1 + (х2 Е(Х))2р2 + … + (хn Е(Х))2рn = n {x E(X )} p = (2) = Чем больше дисперсия, тем больше разброс возможных значений слу чайной величины. Причина, по которой отклонения от среднего значения берутся в квадрате, связана с тем, что это устраняет возможность взаимного погашения значений отклонения ниже или выше среднего (при сложении отрицательных и положительных значений отклонения).

Менеджера портфеля интересует не только среднее значение его до ходности, но и рассеяние доходности около среднего значения. Трудность, возникающая при использовании дисперсии в качестве меры рассеяния за ключается в том, что она выражается в терминах квадратов единиц, в кото рых измеряется сама С.В. В связи с этим корень квадратный из дисперсии, называемый стандартным отклонением, является более подходящей мерой рассеяния1. По определению:

(Х) = D(X) (3) Так почему же все-таки именно дисперсию используют как меру рис ка? Теоретическая база для этого заключена в знаменитом неравенстве П. Л. Чебышева:

D(X) P{|X — Е(X)| } (4) Вероятность того, что случайная величина отклонится от своего мате матического ожидания больше, чем на заданный допуск не превосходит ее дисперсии, деленной на 2.

Ясно, что для получения конкретных оценок неравенство Чебышева применимо только при условии D(Х) 2 или (Х) (5) В противном случае оно дает тривиальную оценку2.

Задание дисперсии, конечно, не полностью характеризует риск. Если под риском понимать риск разорения инвестора, то таковой определяется не только колебаниями курса, но и исходным капиталом [186].

Однако вероятность разорения так же не является абсолютной мерой риска. В работе [183] представлены и другие разумные меры. В частности В русскоязычной литературе вместо термина «стандартное отклонение» чаще ис пользуется термин «среднее квадратичное отклонение».

В силу определения, для любого случайного события А его вероятность Р(А) удовлетворяет системе неравенств:

0 Р(А) рассматривается величина ожидаемого значения превышения потерь над располагаемым капиталом.

Тем не менее, в силу (4), чем меньше стандартное отклонение доход ности, тем меньше вероятность того, что доходность отклонится от ожидае мой средней на данную величину. Это позволяет считать стандартное от клонение (дисперсию) разумной мерой риска инвестирования в ценные бу маги.

Существуют два довода, которые заставляют критически подходить к использованию дисперсии в качестве меры риска.

Первый — она учитывает отклонения в обе стороны по отношению к среднему значению. Действительно, реализованная доходность может быть как выше, так и ниже среднего значения, при этом первый случай также вносит вклад в величину дисперсии и, следовательно, риска. Инвестор же не расценивает превышение реальной доходности над ожидаемой как негатив ный результат. Напротив, он это только приветствует. Поэтому многие ис следователи считают, что при измерении риска не должны рассматриваться случаи, когда возможная доходность выше ожидаемой.

Г. Марковиц понимал этот недостаток дисперсии и предложил меру риска, которая учитывала лишь случаи снижения доходности по отношению к среднему значению. Эту меру называют полувариацией (semi-variance).

Полувариация рассчитывается как обычная дисперсия, кроме тех случаев, когда доходность выше ожидаемой. Однако сложности вычисления, связан ные с использованием полувариации, привели к тому, что в своих работах Г. Марковиц большей частью ограничивался обычной вариацией.

В настоящее время при измерении риска снижения стоимости ценной бумаги финансисты-практики пользуются обоими понятиями [187, 188]. В несколько ином ракурсе эти вопросы рассмотрены в монографии [140].

Второй довод, относящийся к недостаткам дисперсии как меры риска, состоит в том, что она нечувствительна к асимметричности распределения отклонения от среднего значения. В случае несимметричных распределений более точные результаты можно получить с использованием других харак теристик типа коэффициента асимметрии. Г. Марковиц не рассматривал по добные характеристики в своей теории. Использование дисперсии можно оправдать, основываясь на эмпирических исследованиях, подтверждающих относительную симметричность статистических распределений доходностей акций [189].

Поскольку считается, что для принятия решения инвестор рассматри вает только ожидаемую доходность и вариацию, теория портфеля в форму лировке Марковица получила название двухпараметрической модели.

§ 7. Диверсификация портфеля Доходность портфеля m активов за фиксированный период определя ется соотношением:

m µ j · X j Rp = µ 1 · X1 + µ 2 · X2 + … + µ m · Xm = (6) j = Здесь Rp — доходность портфеля за период;

Xj — доходность j–го ак тива за период;

µ j — вес актива в портфеле (т.е. доля рыночной стоимости m µ j = 1).

актива j в общей стоимости всего портфеля. Очевидно:

j = Доходность портфеля, определяемую (6), часто называют реализован ной доходностью. Очевидно, она является случайной величиной.

По определению: ожидаемая доходность портфеля — это взвешенная сумма ожидаемых доходностей активов, входящих в портфель.

µ j · E(X j ) m Е(Rp) = µ 1 · Е(X1) + µ 2 · Е(X2) + … µ m · Е(Xm) = (7) j = При этом, конечно предполагается, что нам известна совместная функ ция распределения вероятностей доходностей активов и математическое ожидание j-го актива может быть найдено по формуле (1).

По определению, дисперсия портфеля (его риск за период), в соответ ствии с (2), определяется соотношением:

µ j · E(X j )]2}= m m D(Rp) = Е{(Rp — Е(Rp))2}= Е{[ µ jX j j =1 j = = Е{[ (X j E (X j )) µ j ]2} = Е{ (X i E(X i ))(X j E(X j ))µ i µ j }= m mm j =1 i =1 j = mm m m m ij i jµ i µ j ij µi µ j = 2µ 2 + = (8) jj i =1 j =1 j =1 j =1 i = (i j ) Откуда для стандартного отклонения доходности портфеля ценных бумаг имеем:

( ) mm (Rp) = ijµ iµ j 2 (9) i =1 j = Здесь ij — ковариация между доходностями i-ой и j-ой ценных бумаг:

cov(Xi, Xj) = ij = Е{(Xi Е(Xi)) · (Xj Е(Xj))} (10) (i = 1, 2,…, m;

j = 1, 2, …, m) Причем: ii = i2 = D(Xi) — является дисперсией доходности ценной бумаги i-го вида (I = 1, 2,…, m).

В частности для портфеля, состоящего из двух видов ценных бумаг:

2 ijµ iµ j = 11·µ 1·µ 1 + 12·µ 1·µ 2 + 21·µ 2·µ 1 + 22·µ 2·µ 2 = D(Rp) = i =1 j = = µ 12 D(X1) + 2 µ 1·µ 2 cov(X1, X2 ) + µ 22 D(X2) (11) Это соотношение можно переписать несколько иначе, введя коэффи циент корреляции активов:

cov(X1, X 2 ) = (X1, X2) = 12 = (X1 )(X 2 ) 1 Тогда:

D(Rp) = µ 1212 + µ 2222 + 212 12µ 1µ 2 (12) При этом:

12 [1;

1];

µ 1 + µ 2 = 1;

Е(Rp) = µ 1 · Е(X1) + µ 2 · Е(X2) (13) Отсюда следует:

E (R p ) E(X1 ) E(X 2 ) E (R p ) ;

Е(X1) Е(Rp) Е(X2) µ1 = ;

µ2 = (14) E(X 2 ) E(X1 ) E(X 2 ) E (X1 ) Если 12 = 1, тогда из (12) получим:

D(Rp) = 2(Rp) = µ 1212 + µ 2222 + 2µ 1µ Или:

D(R p ) = |µ 11 + µ 22| = µ 11 + µ (Rp) = (15) С учетом (14) и вводя для простоты записи обозначения: (Rp) = p;

Е(Rp) = Ep;

Е(X2) = E2;

Е(X1) = E1, (15) можно переписать следующим обра зом:

E2 Ep E p E1 1 1E 2 2 E p = 1 + 2 = E p E E + E E, (16) E 2 E1 E 2 E1 2 1 2 где E1 Ep E2.

При Ep = E1 p = 1;

при Ep = E2 p = 2. То есть при 12 = 1 мно жество инвестиционных возможностей портфеля, состоящего из двух видов ценных бумаг (возможных комбинаций (p;

Ep)) представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки (1;

E1), (2;

E2).

Предположим теперь, что 12 = 1 (сильная отрицательная корреляция).

Тогда из (12) имеем:

D(Rp) = p2 = µ 1212 + µ 2222 2µ 1µ Или:

(µ11 µ 2 2 ) p = = µ11 µ 2 2 (17) С учетом (14) это равносильно равенству [107, 190]:

+ 2 1E 2 + 2 E p = E p E E + E E, (18) 2 1 2 где E1 Ep E2.

1E 2 + 2 E При Ep = E1 p = 1;

при Ep = E2 p = 2;

при Ep = 1 + = 0. То есть, при 12 = 1 множество инвестиционных возможностей порт феля — это ломаная линия, состоящая из двух отрезков прямых, последова E + 2 E тельно соединяющих точки (1;

E1), (0;

1 2 ), (2;

E2).

1 + Если 12 = 0, из (12) следует:

D(Rp) = p2 = µ 1212 + µ Или:

p = µ1 1 + µ 2 2 µ 11 + µ (19) Все эти варианты являются частными случаями более общего условия:

1 12 Соотношение (12) с учетом (13) и (14) тогда можно переписать в виде [91]:

(E2 E1)2p2 + {(2 1)2 + 2(1 12)12}Ep2 + 2{(E2 + E1) E212 E122}Ep + (E2212 + E1222 2E1E2 1212) = 0 (20) Отсюда видно, что множество инвестиционных возможностей портфе ля в данном случае представляет собой кривую второго порядка, точнее, ее часть (дугу), заключенную между точками (1;

E1) и (2;

E2). В предельных случаях 12 = 1;

12 = 1 дуга вырождается в отрезки прямых.

Уравнение (20) удобнее записать в другой форме [190]:

AE 2 2BE p + C p ;

E1 Ep E2, p = (21) E 2 E где A = 12 + 22 21212;

B = 12E2 + 22E1 1212(E1 + E2);

C = 12E22 + 22E12 21212E1E2.

Сказанное иллюстрирует рис. 1.

Ep E 12 = - 1Е2 + 2E - 1 12 + 12 = 1 + 2 M 12 = 12 = - E 1 0 p Рис. 1. Значения комбинации «риск-доходность» при систематическом изменении структуры портфеля и при альтернативных коэффициентах корреляции.

Видно, что можно так подобрать пару ценных бумаг, что даже при большом риске каждой из них, риск портфеля будет не очень велик (напри мер, точка М на кривой инвестиционных возможностей). Комбинируя виды ценных бумаг можно уменьшать корреляцию активов с 1 до 0 и даже до –1.

При этом в случае 12 = –1 можно добиться того, что стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля окажется равным нулю, т.е. достичь пол ностью без рисковой комбинации обеих акций и это при том, что риски ка ждой из них по отдельности могут быть весьма значительными.

Данное явление иногда называют «чудом диверсификации» (magic of diversification). Прекрасно то, что инвестор может снизить риск портфеля, удерживая его ожидаемую доходность при помощи сочетания активов с низкой (желательно отрицательной) корреляцией. Плохо лишь то, что акти вов с малой, а тем более с отрицательной корреляцией существует совсем немного. Таким образом, задача превращается в поиск среди многочислен ных активов таких, портфель из которых имел бы минимальный риск при заданном уровне доходности или, наоборот, при заданном уровне риска имел бы наибольшую доходность.

Если 12 1, то, как видно из рис. 1, всегда существует портфель, ко торый имеет минимальный риск по сравнению со всеми прочими допусти мыми портфелями. Здесь речь идет о портфеле, который для любой из кри вых, изображенных на рис. 1, находится в крайней левой точке (например, в точке М). Для портфелей, состоящих лишь из двух видов активов, структуру портфеля минимального риска легко можно определить, используя методы дифференциального исчисления.

Обозначим долю первого актива в портфеле через µ, тогда вес второго актива, очевидно равен 1 µ. Соотношение (12) при этом можно предста вить в виде:

µ 21 + (1 µ ) 2 + 2121 2µ(1 µ ) p = (22) Найдем первую производную от стандартного отклонения портфеля по параметру µ:

21 µ 2 2 (1 µ ) + 212 1 2 412 1 2µ d p = µ 2 1 + (1 µ ) 2 + 212 1 2µ(1 µ ) dµ Приравняв производную к нулю, находим:

2 121 2 1 121 µ1 = µ = 2 2 ;

µ2 = 1 µ = 2 (23) 1 + 2 2121 2 1 + 2 2121 Поскольку ветви парабол на рис. 1 направлены вправо, то очевидно, что найденные значения весов активов портфеля, соответствуют составу портфеля, а именно с минимальным инвестиционным риском (рис. 2). Зна чение доходности портфеля, соответствующее минимуму его риска согласно (7), определяется теперь выражением:

( ) ( ) 121 2 E1 + 1 121 2 E 2 Ep(min) = (24) 1 + 2 2121 А сам минимум стандартного отклонения портфеля (его минимальный риск), в соответствии с (22), равен:

( ) + ( ) + 2 ( )( ) 22 2 2 2 2 12 1 2 1 1 12 1 2 2 2 12 1 2 1 12 1 pmin = (25) 1 + 2 Если при изучении рис. 2 рассмотреть два портфеля, представленные точками D и Т, то заметим, что оба они характеризуются одинаковым рис ком, но Т имеет более высокую доходность, чем D. Говорят, что Т домини рует над портфелем D и значит, его предпочтет каждый инвестор независимо от своего отношения к риску. Очевидно, что все портфели, находящиеся на дуге MTF, превосходят те, которые расположены на дуге MDN, т.е. являются доминирующими.

По определению, множество всех доминирующих инвестиционных возможностей называется эффективной границей множества инвестицион ных возможностей. Следовательно, при поиске оптимального портфеля мы сразу можем выделить и отбросить неэффективные портфели, даже не при нимая во внимание отношение инвестора к риску.

Ep F E Доходность ( Е (Rp)) T Epmin M D E1 N pmin 2 p Риск ((Rp)) Рис. 2. Портфель с минимальным риском, эффективные и неэффективные портфели.

Основной принцип работы на рынке ценных бумаг можно сформули ровать в виде житейского правила: «Никогда не складывай все яйца в одну корзину». Применительно к рынку это означает, что инвестор не должен приобретать ценные бумаги только одного вида. Необходимы разнообразие, диверсификация вложений. Под этим термином понимается такой способ построения портфеля, при котором уменьшается его риск и, желательно, без значительного снижения доходности. Это, в конечном итоге, и есть та цель, которую преследует любой инвестор. Другое дело, как ее можно достичь.

Некоторые инвесторы считают, что портфель можно диверсифициро вать, включив в него как можно большее число активов разных классов. На пример, можно диверсифицировать портфель, включив в него акции, обли гации, драгоценные металлы, недвижимость. Не оспаривая разумность дан ного предложения, зададимся только двумя вопросами. Во-первых, сколько следует инвестировать в каждый класс активов? Во-вторых, при заданном распределении, какие конкретно акции, облигации, недвижимость… должен выбирать инвестор?

Стратегия «наивной диверсификации» (naive diversification) состоит в том, что он просто вкладывает средства в некоторое количество различных акций и других типов активов и надеется, что стандартное отклонение ожи даемой доходности портфеля будет мало. Подобную стратегию можно отне сти к тому типу деятельности, которую Александер и Френсис [192] назвали «финансовым декорированием».

В центре же внимания стратегии диверсификации Г. Марковица (Mar kowitz diversification) находится уровень ковариации доходностей активов портфеля. Ключевой вклад Г. Марковица состоит в постановке вопроса о риске активов, как составляющих единого портфеля, а не отдельно взятых единиц.

Данная стратегия, стремясь к максимально возможному снижению риска при сохранении требуемого уровня доходности, состоит в выборе та ких активов, доходности которых имели бы возможно меньшую положи тельную (а, в идеале отрицательную) корреляцию. Именно учет взаимной корреляции доходностей активов с целью снижения риска отличает страте гию диверсификации Г. Марковица от стратегии «наивной диверсифика ции».

К сожалению отрицательная корреляционная зависимость между эф фективностями двух видов ценных бумаг — достаточно редкое явление, а найти на практике пару с 12 = 1 не удалось еще, кажется, никому1 [193].

Мы живем в мире, где все взаимосвязано. Курс акций, облигаций, ва лют… возникает не произвольно, а является отражением деловой активности «компании», выпустившей ценные бумаги. Если деятельность компании дает высокую прибыль, то и акционер, являющийся номинальным совладельцем компании, получает большой доход. Если же прибыль окажется низкой или деятельность компании вообще окажется нерентабельной, то дивиденды выплачиваться не будут. Более того, если информация о плохом состоянии дел компании окажется известной широкой публике (а это неизбежно), то цена акций на бирже резко снизится вплоть до того, что их доходность мо жет оказаться отрицательной. Например, при снижении деятельности авто мобилестроительных фирм они уменьшат закупки металла у металлургов, шин — у представителей соответствующей отрасли и т.д. А это, в свою оче редь вызовет ухудшение в этих и, возможно, других отраслях экономики.

Другими словами, реальными оказываются ситуации, когда, хотя нет ни полной прямой, ни полной обратной корреляции, но корреляционная зави симость между активами все же имеет место. И тогда разумная диверсифи кация приводит к снижению риска портфеля без потери ожидаемой доход ности.

Если инвестиционный портфель включает в себя три вида ценных бу маг, то на основании (7), (8) имеем:

E(Rp) = µ 1E1 + µ 2E2 + µ 3E3 (26) 2(Rp) = D(Rp) = µ 1212 + µ 2222 + µ 3232 + 21212µ 1µ 2 + + 21313µ 1µ 3 + 22323µ 2µ 3 (27) Задача отыскания портфеля с наименьшим риском сводится в данном случае к минимизации функции (27) при условии: µ 1 + µ 2 + µ 3 = 1.

Рассмотрим теперь самый общий случай.

В монографии [186] приводится условный пример такого рода. Искусственно кон струируется портфель с 12 = 1.

Предположим, что временной горизонт инвестора составляет n лет, а в портфель включены ценные бумаги m видов, ковариационная матрица ко торых имеет вид:

1 12 13... 1m 21 2 23... 2 m 31 32 3... 3m cov(X i, X j ) = ij =........................

........................

........................

m1 m 2 m 3... m Если инвестиционный портфель задается вектором µ = {µ 1;

µ 2;

… µ m}, то дисперсия доходности этого портфеля определяется соотношением:

(R p ) = 2µ 2 + ij µ iµ j m mm (28) jj j =1i = j = (i j ) Функция 2(Rp) является квадратичной и неотрицательной на всем m-мерном пространстве. Это означает, что она выпукла на всем пространст ве1.

При определении структуры минимального по риску портфеля следует различать два случая.

«Короткие продажи» ценных бумаг (продажи без покрытия) допусти мы и «короткие продажи» запрещены.

Если при формировании своего портфеля инвестор производил прода жи без покрытия, то следует считать, что некоторые из компонент вектора µ могут быть отрицательными (µ i 0), если же на рынке «короткие продажи»

запрещены, то все µ i — неотрицательны.

Для функции f(µ) одной действительной переменной, определенной на некотором отрезке, условие выпуклости равносильно требованию: для любых значений аргумента µ1;

µ2 и для любого a [0, 1], справедливо: f(aµ1 + (1 a)µ2) af(µ1) + (1 a)f(µ2).

Если рассматриваемая функция является дважды дифференцируемой, то требова d 2 f 0 во всей области ние выпуклости f(µ) равносильно выполнению условия: f(µ) = dµ ее задания.

Продажа без покрытия — это случай, когда инвестор в начальные момент (t = t0) занимает у кого-либо (например, у брокера) ценную бумагу и тут же ее продает. Одновре менно он принимает на себя обязательство вернуть ее в некий момент (t = t1) прежнему владельцу и компенсировать ему доходы, поступившие от этой ценной бумаги за данный промежуток времени.

Допустим вначале, что разрешены «короткие продажи» всех ценных бумаг. Тогда задача отыскания портфеля с наименьшим риском сводится к минимизации функции (28) при условии:

m µj = 1 (29) j = Функция Лагранжа для решения задачи (28)(29) имеет вид [190] m L = 2(Rp) + ( µ j 1 ) (30) j = По теореме КунаТаккера, для нахождения оптимального решения за дачи (28)(29) необходимо и достаточно, чтобы:

L = 0, (j = 1, 2, …, m) µ j m µj = 1 (31) j = Таким образом, для определения структуры портфеля с минимальным риском в случае допустимости продаж ценных бумаг без покрытия доста точно решить систему линейных уравнений (31).

Предположим теперь, что короткие продажи ценных бумаг запрещены.

В этом случае для отыскания портфеля с наименьшим риском необходимо найти минимум функции (28) при ограничениях:

m µj = j = µ j 0, (j = 1, 2, …, m) (32) Задачу минимизации (28), (32) можно свести к стандартной задаче квадратичного программирования [194], если выразить, например, µ m через остальные неизвестные:

µ m = 1 µ 1 µ 2 … µ m В этом случае задача на оптимум имеет вид:

2 (R p ) = m 1 m 1 m 2µ 2 + 2 (1 µ1 µ 2... µ m 1 ) + ij µiµ j + jj m j =1 i = j = (i j ) m + 2 jm (1 µ1 µ 2... µ m 1 )µ j j = m µj 1 (33) j = µ j 0, (j = 1, 2, …, m 1) 2(Rp) min И эту задачу можно решить, используя известные методы квадратич ного программирования.

Например, рассмотрим инвестиционный портфель, включающий в себя три вида ценных бумаг. Ковариационная матрица в этом случае имеет вид:

1 12 cov(X i, X j ) = ij = 12 2 23 (34) 13 Тогда:

2 (R p ) = 1 µ1 + 2µ 2 + 3 µ 3 + 212µ1µ 2 + 213µ1µ 3 + 2 23µ 2µ 22 µ1 + µ2 + µ3 = 1 (35) µ 1 0, µ 2 0, µ 3 2(Rp) min Подставив µ3 = 1 µ 1 µ 2 в функцию 2(Rp), получим:

( ) ( ) 2 (R p ) = 1 + 3 213 µ1 + 2 + 3 2 23 µ 2 + 2 2 2 2 ( ) + 2( )µ + 2( ) 2 3 + 12 13 23 µ1µ 2 3 3 µ 2 + 2 2 2 13 1 Следовательно, для отыскания портфеля с наименьшим риском мы должны решить следующую задачу квадратичного программирования:

( ) ( ) 2 (R p ) = 1 + 3 213 µ1 + 2 + 3 2 23 µ 2 + 2 2 2 2 ( ) + 2( )µ + 2( ) 2 3 + 12 13 23 µ1µ 2 3 3 µ 2 + 2 2 2 13 1 µ1 + µ2 1 (36) µ 1 0, µ 2 2(Rp) min Функция Лагранжа для решения задачи (36) выглядит следующим об разом:

L = 2(Rp) + (µ1 + µ2 1) 1µ1 2µ Необходимые условия Куна-Таккера, которым должны удовлетворять µi и i, чтобы определять стационарную точку в задаче минимизации, имеют вид [195]:

( ) ( ) ( ) L = 2 1 + 3 213 µ1 + 2 3 + 12 13 23 µ2 + 2 13 3 + 1 = 2 2 2 µ L = 2( 2 + 3 2 23 )µ 2 + 2(3 + 12 13 23 )µ1 + 2( 23 3 )+ 2 = 2 2 µ (µ1 + µ2 1) = 0 (37) 1 µ1 = 2 µ2 = µ 1 0, µ 2 0, 0, 1 0, 2 Для решения системы (37) теперь достаточно найти оптимальное ре шение задачи линейного программирования [190] (y1, y2) = y1 + y ( ) ( ) ( ) 2 1 + 3 213 µ1 + 2 3 + 12 13 23 µ 2 + 1 + y1 = 2 3 2 2 2 2( )µ + 2( )µ + = 2( ) + 3 223 + 12 13 23 + y2 2 2 2 2 2 3 1 2 µ1 + µ2 + z = 1 (38) µ 1 0, µ 2 0, z 0, 0, 1 0, 2 0, y1 0, y2 min Отыскание такого оптимального решения может быть проведено те перь с помощью симплекс-метода.

Технология создания эффективного портфеля из обширных групп ценных бумаг требует большого количества расчетов. Для портфеля из m ( ) m2 m активов требуется рассчитать ковариаций. Для портфеля всего из 50 видов акций необходимо подсчитать 1224 ковариации, а для 100 акций уже 4950. Для нахождения портфелей с минимальным риском используются методы квадратичного программирования и соответствующее программное обеспечение. Но при большом количестве видов ценных бумаг для этого не обходимы очень мощные компьютеры.

Приведенные выше аналитические рассуждения допускают наглядную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим опять портфель, включающий в себя три вида ценных бумаг. Его доходность и дисперсия задаются соот ношениями (26, 27).

Теперь, исходя из рис. 3, рассмотрим сначала каких комбинаций «до ходность риск» можно достичь, если мы включим в портфель ценную бу магу С, но все-таки образуем лишь портфели, в которых содержатся макси мум два вида ценных бумаг.

E(Rp) • •A E1 A’ •T EТ •C E N• •F •M Emin D • L• EL •B E (Rp) • B’ min 3 2 Рис. 3. Эффективный край области действия портфеля (с продажами без покрытия и без таких продаж).

Если мы инвестируем средства только в бумаги А и В, то будем пере мещаться вдоль кривой ВА. Если мы будем составлять портфели, в которых присутствуют лишь бумаги А и С, то переместимся вдоль траектории СА. И наконец, если мы образуем комбинации, которые содержат только бумаги В и С, то комбинации «доходность — риск» будут представлены кривой ВС.

Однако, таким образом, стратегия инвестора оказывается описанной не полностью, так как вариант, при котором в портфель включаются все три ценные бумаги, оказался исключенным.

В этом случае множество допустимых инвестиционных портфелей — есть множество точек, находящихся внутри и на границе заштрихованной фигуры BDA (если «короткие продажи» ценных бумаг запрещены) или множество точек внутри и на границе фигуры B’DA’ (если «короткие про дажи» ценных бумаг допустимы).

Не расположенный к риску инвестор всегда предпочтет при заданной портфельной доходности портфель с меньшим риском, независимо от того, как велика его нерасположенность к риску. То есть он всегда предпочтет портфель N портфелям F и M. И здесь очевиден главный вывод: когда в портфель включено более чем две ценные бумаги, варьируя составляющие портфеля, можно уменьшать его риск, сохраняя неизменной его доходность1.

Для этого достаточно, например, двигаться из начала в конец отрезка [MN].

Все точки, находящиеся на дуге LT, являются портфелями наименьше го риска (при заданном уровне его доходности) и в этом случае продажа без покрытия не осуществляется. Если мы покинем интервал доходностей (ЕLЕT), продвигаясь вверх по дуге ТА’ или вниз по дуге LB’, то либо µ 2, либо µ 1 будут отрицательными, ибо продажи без покрытия уже допустимы. Гра ница LB’ — неэффективна. А вот в какой точке дуги ТА’ окажется инвестор зависит от его рисковых предпочтений. Теоретически, занимая и вкладывая деньги в рыночный портфель, можно достичь бесконечной доходности. Но и риск при этом тоже будет бесконечен. Точка D(min;

Emin) соответствует портфелю с абсолютно минимальным риском.

Дуга BLDTA описывает все портфели с наименьшим риском (при за данном уровне доходности), которые можно достичь при предположении, что «короткие продажи» запрещены. Нижняя область DLB — неэффективна.

Верхняя дуга DTA является эффективной границей множества инвестици онных возможностей. Таким образом, для каждого уровня риска существует свой эффективный портфель. Набор всех таких портфелей иногда еще назы вают эффективным множеством портфелей Марковица (Marcowitz efficiency set of portfolios). Это кривая, которая является непрерывной, возрастающей и выпуклой. Портфели, лежащие слева и выше дуги DTA недостижимы ни для какой комбинации активов А, В, С. Портфели, лежащие справа кривой DTA, не являются эффективными, поскольку есть другие портфели с большей до Если в состав портфеля включено только два вида ценных бумаг, то подобный вариант в принципе не достижим.

ходностью при тех же уровнях риска, или, наоборот, — с меньшим риском при той же доходности.

Оптимальный для конкретного инвестора портфель, очевидно должен лежать на эффективном крае. Однако, место его расположения на эффек тивной границе зависит от степени расположенности инвестора к риску, т.е.

от формы кривой без различия инвестора.

Для того, чтобы определить альтернативу, являющуюся оптимальной в ситуации риска, необходимо знать отношение к риску лица, принимающего решения.

Рассмотрим две ценные бумаги, значения доходностей которых (в про центах) за определенный период и соответствующие им вероятности пред ставлены табл. 1.

Таблица P1 = 0,5 P2 = 0,5 E(Xj) X x1 = 100 x2 = 100 y1 = Y y2 = 1200 Можно утверждать, что лишь инвестор, имеющий явную расположен ность к риску, может принять решение в пользу выбора бумаги Y. Сущест вует 50% шанс получить значительно больше математического ожидания, равного 100. Этому шансу противостоит 50% риск существенной неудачи.

Приобретет ли инвестор бумагу X или Y зависит от отношения к риску лица, принимающего решение. Если же он все-таки остановит свой выбор на ак тиве Y, то мы не сможем сказать, что он действует нерационально. В про тивном случае мы должны были бы назвать неразумным любого, кто заклю чает договор о страховании или покупает лотерейный билет. Скорее, следует сделать вывод о том, что математическое ожидание не всегда дает обосно ванную рекомендацию выбора лучшей альтернативы.

Возможно, наиболее общий подход к оценке меры риска заключается в построении функции полезности, введенной впервые более чем 250 лет назад Д. Бернулли.

Его идея была в забвении до начала 40-х гг. 20-го века, пока ее заново не сформулировали Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн [196].

Согласно принципу Бернулли, проблема принятия решений в условиях риска решается в несколько стадий.

1. Вводится функция полезности U(Xj), где Xj — случайная величина.

2. Рассчитывается математическое ожидание значений полезности:

Е(U(Xj)).

3. Это число является определяющим для принятия решения. Если для двух альтернатив Xj и Xк верно1:

Е(U(Xj)) Е(U(Xк)), тогда: Xj Xк Если, например, U(Xj) = Xj, то Е(U(Xj)) = Е(Xj), т.е. выбор происходит только исходя из значения математического ожидания. То есть:

Е(Xj) Е(Xк) Xj Xк Это правило принятия решений иногда называют Е-принципом.

Если же:

U(Xj) = Xj + (Xj Е(Xj))2, то:

Е(U(Xj)) = Е(Xj) + D(Xj) = Е(Xj) + 2(Xj) (39) Такая мера случайной величины учитывает уже и ожидаемое значение и дисперсию. Это правило принятия решений называется принципом Е 2.

В случае нерасположенности к риску 0, а в случае расположенно сти к нему 0. Нейтральность к риску соответствует = 0.

Иногда используются и другие виды функции полезности.

В любом случае U(X) является монотонно возрастающей, достаточно гладкой функцией.

Мы, следуя У. Шарпу, остановимся на функции полезности, задавае мой соотношением (39).

На плоскости (, Е) рассмотрим семейство кривых, определяемых ус ловием Е(U(X)) = c = const. То есть:

Е + 2 = c (40) При конкретном выборе с = с1, ожидаемая полезность для всех точек кривой Е + 2 = c1 будет одинакова. Другими словами, принимая решение, с одинаковым успехом можно выбирать любую комбинацию (, Е), лишь бы они были связаны соотношением (40). По этой причине кривые, входящие в семейство (40), называют кривыми безразличия или кривыми одинакового предпочтения.

При 0 кривые обращены выпуклостью вниз (вогнутые параболы), при 0 выпуклость направлена вверх (выпуклые параболы), при = 0 — это прямые Е = с.

Очевидно, при 0 (нерасположенность к риску), чем больше ||, тем тенденция избегания риска связанного со случайностью, проявляется боль ше. Инвестор готов рисковать только в том случае, если это приведет к су щественному увеличению ожидаемой доходности. Таким образом, параметр С помощью символов f ;

~;

p мы выражаем так называемые соотношения предпочтений. Если, например, для нас вариант Xj, по меньшей мере так же хорош, как и Xк, то Xj Xк.

следует считать числовой мерой тенденции инвестора избегать риска. Ес тественно, что величина индивидуальна для каждого инвестора, но в принципе ее можно оценить, наблюдая, в частности за тем, как инвестор де лит свой портфель ценных бумаг на рисковую и безрисковую части1.

Рассмотрим два портфеля Р1((Rp1);

Е(Rp1)) и Р2((Rp2);

Е(Rp2)), при надлежащие кривой безразличия С1 (рис. 4). Второй портфель имеет боль шую доходность, но и больший риск по сравнению с первым. При этом ин вестору безразлично, какой из них выбрать. Однако любой из портфелей, принадлежащих кривой безразличия С2, для инвестора является более пред почтительным, чем любой из портфелей кривой С1. Чем выше лежит кривая безразличия, тем больше полезность для инвестора, принадлежащих ей портфелей.

Принцип выбора оптимального для инвестора портфеля иллюстрирует рис. 4.

E (R p ) b Ры ночная b4 эффективная граница b • P** E optim 2 b b E optim 1 P*• с5 с P 2• с E(R P2 ) с2 с • P с E(R P1 ) (R P ) (R P1 ) optim 1 (R P2 ) optim Рис. 4. Выбор оптимального портфеля.

Согласно сказанному выше, инвестор всегда выбирает портфель, ле жащий на эффективной границе. Этот выбор осуществляется путем анализа Рисковые активы — это активы, доходность которых в будущем неопределенна.

Кроме рисковых ценных бумаг на рынке имеются и безрисковые (или почти безрисковые), типа краткосрочных государственных облигаций с фиксированным доходом. Важнейшая задача инвестора — правильное распределение капитала между безрисковыми и риско выми вложениями.

соотношения риска и доходности. Двигаясь вдоль границы слева направо, мы увеличиваем ожидаемый риск, но при этом расширяются и границы до ходности. В связи с этим возникает вопрос, какой же портфель лучше? Луч ший из всех портфелей, принадлежащих эффективной границе Марковица, называется оптимальным.

Понятно, что оптимальный портфель зависит от предпочтений инве стора при выборе между риском и доходностью. Эти предпочтения можно описать с помощью функции полезности и кривых безразличия. Конкретная кривая безразличия определяет комбинации риска и ожидаемой доходности, дающие одинаковый уровень полезности. И чем дальше расположена кривая от горизонтальной оси, тем больше полезность.

Очевидно, инвестор стремится к самой высокой кривой безразличия, какую можно достичь на эффективной границе. При этих требованиях опти мальный портфель представлен точкой касания кривой безразличия Е (U(X)) = С4 с эффективной границей. На рис. 4 это портфель Р*, характеризуемый соответствующими значениями риска и ожидаемой доходности Р*(optim1;

Eop tim1). Исходя из этих характеристик, инвестор может теперь определить оп тимальное наполнение портфеля. То есть рассчитать оптимальный процент ный состав активов, включенных в портфель.


Портфель Р* максимизирует полезность для определенных характером кривой безразличия предпочтений риска и доходности инвестора, т.е. его пожеланий относительно значений математического ожидания и стандарт ного отклонения доходности. Если предпочтения инвестора относительно ожидаемых доходности и риска изменятся, то изменится и оптимальный портфель. На рис. 4 при той же эффективной границе изображены и другие кривые безразличия E(U*(X)) = b = const. В этом случае оптимальным будет портфель Р**(optim2;

Eoptim.2) с более высокими доходностью и риском, чем портфель Р*.

При этом возникает естественный вопрос, как задать функцию полез ности конкретного инвестора, чтобы построить его кривые безразличия? К сожалению, ответить на него весьма не просто.

Это, однако, не означает, что теория бесполезна. А говорит лишь о том, что, определив эффективную границу, инвестор при выборе оптимального для себя портфеля в дальнейшем должен опираться на собственные характер и интуицию, ибо только они определяют ту невидимую грань между челове ческой жадностью и человеческой осторожностью, присущими ему как лич ности.

§ 7. Применение инвестиционной стратегии Г. Марковица к определению пропорций валютного портфеля, обладающего наименьшим риском Рассмотрим следующую задачу. Каково должно быть соотношение между ЕВРО, долларом США и японской йеной в составе валютного порт феля россиянина? Мы также допускаем, что в состав валютного портфеля помимо основных мировых валют может входить еще один актив — золото.

Мы будем рассматривать идеальный рынок, где выполняются пере численные ниже условия. Предполагается, что все активы абсолютно лик видны. Это означает, что в любой момент можно купить или продать любое количество указанных валютных активов и золота. Цена покупки совпадает с ценой продажи. Расходы на покрытие трансакционных издержек и уплату налогов в расчет не принимаются.

Сделанные предположения, могут показаться далекими от реальной жизни. Но, во-первых, изменения в той или иной форме этих предположений достаточно легко учесть, во-вторых, подобные изменения, действительно приближая задачу к реальной действительности, приводят к значительному усложнению расчетов, не сказываясь существенно на основных выводах.

При управлении капиталом средства инвестора могут вкладываться в акции, облигации, недвижимость, направляться на покупку иностранной валюты, драгоценных металлов и других видов активов.

Рассмотрим временной отрезок [t;

t + t], t 0. Пусть S(t) — стои мость инвестиционного портфеля в начальный момент, а S(t + t) — соот ветственно, в конечный момент времени;

D — доход полученный за этот период от владения портфелем. Тогда доходностью инвестиций (показателем эффективности капиталовложений) за указанный временный промежуток называется величина:

S(t + t) S(t ) + D i= (41) S(t ) Если имуществом инвестиционного портфеля являются акции, то D — это дивиденды, выплаченные в рассматриваемый период времени. Если портфель состоит из облигаций, то D — это купонный доход, полученный за период t. Если рассматривается валютный портфель, то D — это процент ные деньги, выплаченные обладателю валютных счетов за истекший период.

При D = 0 (обладатель валюты не доверяет свои деньги банку, храня сбере жения «на руках») формула (41) упрощается:

K(t + t) K (t ) K n = i= (42) K (t ) K Здесь Кn = К(t + t);

К0 = К(t) — соответственно конечный и начальный курсы рубля по отношению к соответствующей иностранной валюте. При этом, если за рассматриваемый период времени Кn К0, то i 0;

если Кn = К0, то i = 0;

если Кn К0, то i 0.

Допустим, что цель управления инвестиционным портфелем заключа ется в том, чтобы к моменту (t + t) путем вложения рублевых средств в ва люту максимально увеличить рублевый капитал, имеющийся в момент вре мени t.

Если бы будущие курсы всех валют были предсказуемы достаточно точно, то вопрос о рассредоточении капитала не возникал бы. Нужно было бы просто вложить все рублевые средства, как собственные, так и, если воз можно, заемные, в ту валюту, для которой доходность, определяемая (42), была бы наибольшей.

Однако точная предсказуемость доходностей не входит в число ис ходных предпосылок нашей модели. Поэтому вопрос о способах рассредо точения капитала возникает и должен быть изучен. При этом должна быть рассмотрена связь между ожидаемыми прибылями и размерами риска при различных возможных стратегиях.

Итак, рассмотрим следующую гипотетическую ситуацию.

Первого января 1999 г. 1 некий российский вкладчик инвестировал рублевые средства в покупку иностранных валют (долларов США, ЕВРО, йен) и золота. Каково же должно быть процентное соотношение данных ак тивов в составе инвестиционного портфеля, чтобы этот портфель принадле жал эффективной границе множества инвестиционных возможностей? И, в частности, каков процентный состав валютного портфеля, обладающего наименьшим риском? Или, говоря проще, в какой валюте (или в каких валю тах, а может быть, в золоте) выгоднее и безопаснее хранить сбережения?

Временной горизонт инвестора определен по 31 декабря 2001 г. Данные по курсам соответствующих валют и ценам на золото приведены в табл. 2.

Данные о доходностях вложений в соответствующие валюты, а также в зо лото, приведены в табл. 3. Они получены на основе анализа данных табл. 2 с использованием соотношения (42).

В математической статистике, оценкой математического ожидания и дисперсии, служат выборочное среднее и выборочная дисперсия эмпириче ского распределения вероятностей, вычисляемые на основе статистических данных.

x1 + x 2 +... + x n 1 n = x E(X) = X = (43) n n = (x X ) 1n D(X) = 2(X) = (44) n 1 = С этого момента ЦБ РФ начал устанавливать курс евро по отношению к рублю.

Таблица Курсы доллара США, Японской йены и ЕВРО к Российскому рублю, установленные Центральным Банком РФ на даты начала и конца соответствующего месяца. Золото. Динамика котировок (руб./грамм).

Данные опубликованы в Бюллетене банковской статистики ЦБ РФ, а также в Вестнике Банка России.

ЗОЛОТО (курс по КУРС КУРС КУРС купки) RUR за USD RUR за 100 JPY RUR за EUR Динамика котировок МЕСЯЦ n (руб./грамм) Начало Конец Начало Конец Начало Конец Начало Конец ме месяца месяца месяца месяца месяца месяца месяца сяца Январь(1999) 1 20,65 22,60 18,22 19,50 24,09 25,79 186,8300 203, Февраль 2 22,77 22,86 19,69 18,93 25,86 25,11 203,2260 206, Март 3 22,89 24,18 19,20 20,13 25,17 25,94 206,7530 213, Апрель 4 24,16 24,23 20,12 20,33 25,92 25,73 212,7250 216, Май 5 24,16 24,44 20,29 20,26 25,67 25,52 217,1780 206, Июнь 6 24,44 24,22 20,14 19,96 25,54 25,07 206,8350 199, Июль 7 24,21 24,19 20,05 20,99 25,02 25,94 199,0910 193, Август 8 24,19 24,75 21,18 22,33 25,85 25,92 194,8110 197, Сентябрь 9 24,81 25,08 22,40 23,59 26,05 26,46 199,1790 242, Октябрь 10 25,05 26,05 23,57 24,82 26,66 27,43 232,0000 236, Ноябрь 11 26,07 26,42 25,03 25,57 27,46 26,84 232,7700 235, Декабрь 12 26,53 27,00 25,84 26,41 26,72 27,23 234,4600 238, Январь(2000) 13 27,00 28,55 26,37 27,22 27,20 28,23 231,9400 245, Февраль 14 28,55 28,66 26,74 26,27 27,98 27,44 246,0600 255, Март 15 28,65 28,46 26,01 26,96 27,75 27,13 255,5900 239, Апрель 16 28,60 28,40 27,17 26,69 27,40 25,89 243,7600 237, Май 17 28,38 28,25 26,15 26,44 25,77 26,19 239,3200 233, Июнь 18 28,23 28,07 26,47 26,70 26,27 26,48 234,1100 246, Июль 19 28,05 27,80 26,59 25,57 26,72 25,92 245,3400 234, Август 20 27,82 27,75 25,47 26,15 25,67 24,74 234,6400 231, Сентябрь 21 27,75 27,75 26,10 25,75 24,81 24,42 233,2400 231, Октябрь 22 27,76 27,83 25,65 25,63 24,47 23,42 231,3800 223, Ноябрь 23 27,82 27,85 25,56 25,30 23,35 23,88 225,1800 226, Декабрь 24 27,89 28,16 25,10 24,55 23,97 26,14 229,7900 233, Январь(2001) 25 28,16 28,37 24,55 24,32 26,79 26,00 230,1800 229, Февраль 26 28,40 28,72 24,43 24,75 26,31 26,29 230,6100 230, Окончание табл. ЗОЛОТО (курс по КУРС КУРС КУРС купки) RUR за USD RUR за 100 JPY RUR за EUR Динамика котировок МЕСЯЦ n (руб./грамм) Начало Конец Начало Конец Начало Конец Начало Конец ме месяца месяца месяца месяца месяца месяца месяца сяца Март 27 28,62 28,74 24,67 23,08 26,29 25,29 231,9300 226, Апрель 28 28,77 28,83 22,78 23,25 25,23 25,67 225,1400 231, Май 29 28,88 29,09 23,78 24,19 25,90 24,87 235,3000 235, Июнь 30 29,14 29,07 24,46 23,44 24,82 24,57 235,3000 238, Июль 31 29,16 29,27 23,43 23,47 24,70 25,60 238,4000 236, Август 32 29,32 29,37 23,51 24,50 25,68 26,67 238,2900 246, Сентябрь 33 29,41 29,39 24,76 24,66 27,01 26,86 244,4000 259, Октябрь 34 29,43 29,70 24,57 24,37 26,77 26,87 260,8200 253, Ноябрь 35 29,68 29,93 24,39 24,23 26,89 26,52 252,2000 249, Декабрь 36 29,90 30,14 24,10 22,87 26,52 26,49 250,3300 253, Таблица Статистические данные о месячных доходностях (в %) инвестирования рублевых средств в Доллары США, Японские йены, ЕВРО, а также в Золото за период с января 1999 г. по декабрь 2001 г.

Данные получены на основе анализа данных табл. 2.

Xn Yn EVn Zn месячная доход- месячная доход- месячная доход- месячная доход МЕСЯЦ n ность в % ность в % ность в % ность в % Доллар США Японская Йена ЕВРО ЗОЛОТО Январь (1999) 1 9,4431 7,0252 7,0569 8, Февраль 2 0,3953 -3,8598 -2,9002 1, Март 3 5,6356 4,8438 3,0592 3, Апрель 4 0,2897 1,0437 -0,7330 1, Май 5 1,1589 -0,1479 -0,5843 -4, Июнь 6 -0,9002 -0,8937 -1,8402 -3, Июль 7 -0,0826 4,6883 3,6771 -2, Август 8 2,3150 5,4297 0,2708 1, Сентябрь 9 1,0883 5,3125 1,5739 21, Октябрь 10 3,9920 5,3034 2,8882 1, Окончание табл. Xn Yn EVn Zn месячная доход- месячная доход- месячная доход- месячная доход МЕСЯЦ n ность в % ность в % ность в % ность в % Доллар США Японская Йена ЕВРО ЗОЛОТО Ноябрь 11 1,3425 2,1574 -2,2578 1, Декабрь 12 1,7716 2,2059 1,9087 1, Январь(2000) 13 5,7407 3,2234 3,7868 5, Февраль 14 0,3853 -1,7577 -1,9299 4, Март 15 -0,6632 3,6524 -2,2342 -6, Апрель 16 -0,6993 -1,7667 -5,5109 -2, Май 17 -0,4581 1,1090 1,6298 -2, Июнь 18 -0,5668 0,8689 0,7994 5, Июль 19 -0,8913 -3,8360 -2,9940 -4, Август 20 -0,2516 2,6698 -3,6229 -1, Сентябрь 21 0,0000 -1,3410 -1,5719 -0, Октябрь 22 0,2522 -0,0780 -4,2910 -3, Ноябрь 23 0,1078 -1,0172 2,2698 0, Декабрь 24 0,9681 -2,1912 9,0530 1, Январь(2001) 25 0,7457 -0,9369 -2,9489 -0, Февраль 26 1,1268 1,3099 -0,3421 -0, Март 27 0,4193 -6,4451 -3,8037 -2, Апрель 28 0,2086 2,0632 1,7440 2, Май 29 0,7271 1,7241 -3,9768 0, Июнь 30 -0,2402 -4,1701 -1,0073 1, Июль 31 0,3772 0,1707 3,6437 -0, Август 32 0,1705 4,2110 3,8551 3, Сентябрь 33 -0,0680 -0,4039 -0,5553 6, Октябрь 34 0,9174 -0,8140 0,3736 -2, Ноябрь 35 0,8423 -0,6560 -1,3760 -1, Декабрь 36 0,8027 -5,1037 -0,1131 1, Вычисленные на основе данных табл. 3 оценки математического ожи дания, дисперсии и стандартного отклонения приведены в табл. 4.


В математической статистике оценкой ковариации служит выборочная ковариация, вычисляемая по формуле:

(x i Xi )(x j X j ) 1n (45) cov(X i ;

X j ) = n 1 = При этом коэффициент корреляции активов связан с выборочной ко вариацией соотношением:

cov(X i ;

X j ) = (Xi;

Xj)(Xi)(Xj) (46) Таблица Статистические оценки математических ожиданий, дисперсий и стандартных отклонений эмпирического распределения доходностей, вычисленные по данным табл. 3.

X Y EV Z Доллар США Японская йена ЕВРО ЗОЛОТО Математическое 1,0112 0,6554 0,0832 0, ожидание, в % Дисперсия, в (%)2 4,4423 10,4781 10,4344 23, Стандартное от 2,1077 3,2370 3,2302 4, клонение, в % Статистическая оценка коэффициента корреляции (выборочной корре ляции) осуществляется на основании формулы:

n n n n x i x j x i x j =1 =1 = (X i ;

X j ) = (47) n 2 n n 2 n 2 n x i x i n x j x j =1 =1 = = Вычисленные с помощью этих соотношений, а также с использованием данных табл. 3 и 4 ковариационная и корреляционная матрицы представлены табл. 5 и 6.

Рассмотрим теперь портфели, включающие в себя только два валютных актива.

Портфель Доллар США Японская йена.

Обозначим долю первого актива в портфеле через µ, тогда доля второ го актива составит 1 µ. Индексом «1» будем обозначать параметры, отно сящиеся к доллару, индексом «2» — к йене.

В соответствии с данными табл. 4 и 6: Е1 = 1,0112%;

Е2 = 0,6554%;

1 = 2,1077%;

2 = 3,2370%;

12 = 0,5314. Следуя (6) и (22), имеем:

Ер = 1,0112µ + 0,6554 (1 µ) (48) р = 4,4423µ 2 + (1 µ) 2 10,4781 + 2µ(1 µ) 3,6255 (49) Таблица Ковариационная матрица активов золото-валютного портфеля.

X Y EV Z Доллар США Японская йена ЕВРО ЗОЛОТО x2 xy xev xz X 4,4423 3,6255 3,5920 4, xy y2 yev yz ij = Y 3,6255 10,4781 4,6896 6, xev yev ev2 evz EV 3,5920 4,6896 10,4344 6, xz yz evz z Z 4,0925 6,0996 6,3301 23, Таблица Корреляционная матрица активов золото-валютного портфеля.

X Y EV Z Доллар США Японская йена ЕВРО ЗОЛОТО X 1,0000 0,5314 0,5276 0, ij = Y 0,5314 1,0000 0,4485 EV 0,5276 0,4485 1,0000 0, Z 0,3995 0,3877 0,4032 1, Ожидаемые доходности и стандартные отклонения портфелей при разных пропорциях валют X и Y, вычисленные на основании (48), (49) при ведены в табл. 7.

Используя соотношения (22–25), находим параметры портфеля, обла дающего минимальным риском: µ min = 0,8935;

(1 µ)min = 0,1065;

Epmin = 0,9733;

pmin = 2,0869.

Итак, если валютный портфель включает в себя только доллары и йе ны, то для того чтобы его риск был наименьшим, он на 89,35% должен со стоять из долларов и 10,65% должны составлять йены. При этом ожидаемая месячная доходность портфеля окажется равной 0,9733%, а стандартное от клонение 2,0869%.

Эмпирическое распределение вероятностей, в соответствии с которым рассредоточены значения случайных величин (доходностей), представлен ные столбцами табл. 3, с хорошей точностью аппроксимируется нормальным распределением и, следовательно, то же самое можно сказать о распределе нии вероятностей доходностей портфеля. Это означает, что для найденного портфеля с минимальным риском вероятность того, что его месячная доход ность не выйдет за пределы интервала (Epmin pmin;

Epmin + pmin), т.е.

(1,1136%;

3,0602%) равна 0,683;

вероятность того, что отклонения от ожидаемой величины не превысят 2pmin, т.е. Еp (3,2005%;

5,1471) равна 0,955;

и, наконец вероятность того, что доходность портфеля подчиняется «правилу трех сигм», т.е. Еp (5,2874%;

7,2340) равна 0,997. Другими словами «крушение» доллара, т.е. рост курса рубля по отношению к доллару, скажем на 10% в предыдущие три года (1999–2001 гг.), представлялось со бытием маловероятным.

Таблица Ожидаемые доходности и стандартные отклонения валютных портфелей при разных пропорциях валют X и Y.

Доля Долларов США Доля Японских йен р (%) Портфель Ер (%) µ 1µ % % 1 1,0 100% 0 0% 1,0112 2, 2 0,9 90% 0,1 10% 0,9756 2, 3 0,8 80% 0,2 20% 0,9401 2, 4 0,7 70% 0,3 30% 0,9044 2, 5 0,6 60% 0,4 40% 0,8689 2, 6 0,5 50% 0,5 50% 0,8333 2, 7 0,4 40% 0,6 60% 0,7977 2, 8 0,3 30% 0,7 70% 0,7622 2, 9 0,2 20% 0,8 80% 0,7265 2, 10 0,1 10% 0,9 90% 0,6910 3, 11 0,0 0% 1,0 100% 0,6554 3, Воспользовавшись формулами (21), можно от параметрического зада ния кривой (48–49) перейти к ее явному заданию p = f (Еp). То есть р = 2,8106 7,6695 E 2 14,9294 E р + 7,8164, (50) р где Еp [0,6554;

1,0112];

p [2,0869;

3,2370] На рис. 5 приведен график функции (50).

Эффективная граница здесь представлена дугой MminX. Множество то чек, лежащих на данной дуге, представляет набор оптимальных портфелей в зависимости от предпочтений инвестора при выборе между риском и до ходностью. Следует признать, что выбор здесь не очень велик. Портфель, в основном, должен быть представлен долларами, а доля японской валюты может колебаться от 10,65% до нуля.

Рис. 5. Множество допустимых портфелей для комбинации Доллар США Японская йена.

Портфель доллар США ЕВРО.

Обозначим, по-прежнему, долю первого актива в портфеле через µ, тогда доля второго актива составит 1 µ. Индексом «1» будем обозначать параметры, относящиеся к доллару, индексом «2» — к ЕВРО.

В соответствии с данными табл. 4 и 6: Е1 = 1,0112%;

Е2 = 0,0832%;

1 = 2,1077%;

2 = 3,2302%;

12 = 0,5276. Следуя (6) и (22), получим:

Ер = 1,0112µ + 0,0832(1 µ) (51) р = 4,4423µ 2 + 10,4342(1 µ) 2 + 7,1841µ(1 µ) (52) Ожидаемые доходности и стандартные отклонения портфелей при разных пропорциях валют X и EV, найденные на основании (51), (52) пред ставлены табл. 8.

Используя соотношения (22–25), находим параметры портфеля, обла дающего наименьшим риском: µ min = 0,8895;

(1 µ)min = 0,1105;

Epmin = 0,9087;

pmin = 2,0853.

Другими словами, если валютный портфель включает в себя только доллары и ЕВРО, то для того чтобы его риск был минимальным, он на 88,95% должен состоять из долларовой компоненты и на 11,05% ЕВРО. При этом, по сравнению с парой доллар Йена, доходность портфеля оказывает ся ниже на 0,0646%, а риск снижается только на 0,0016%. Воспользовавшись формулами (21), можно от параметрического задания функции (51–52) пе рейти к ее явному заданию:

р = 1,0776 7,6925 E 2 13,9792 E p + 10,0954, (53) p где Еp [0,0832;

1,0112];

p [2,0853;

3,2302].

Таблица Ожидаемые доходности и стандартные отклонения валютных портфелей при разных пропорциях валют X и EV.

р (%) Портфель Доля Долларов США Доля ЕВРО Ер (%) % % µ 1µ 1 1,0 100% 0 0% 1,0112 2, 2 0,9 90% 0,1 10% 0,9184 2, 3 0,8 80% 0,2 20% 0,8256 2, 4 0,7 70% 0,3 30% 0,7328 2, 5 0,6 60% 0,4 40% 0,6400 2, 6 0,5 50% 0,5 50% 0,5472 2, 7 0,4 40% 0,6 60% 0,4544 2, 8 0,3 30% 0,7 70% 0,3616 2, 9 0,2 20% 0,8 80% 0,2688 2, 10 0,1 10% 0,9 90% 0,1760 3, 11 0,0 0% 1,0 100% 0,0832 3, На рис. 6 приведен график функции (53).

Эффективная граница представлена дугой MminX. В зависимости от своих рисковых предпочтений инвестор может считать оптимальным любой из валютных портфелей, лежащих на этой дуге. Выбор, по-прежнему, не ве лик. Портфель должен состоять или только из долларов или из долларов и ЕВРО, причем доля ЕВРО может колебаться от 11,05% до нуля.

Рис. 6. Множество допустимых портфелей для комбинации Доллар США ЕВРО.

Портфель Доллар США Золото.

Поступая аналогично тому, как мы делали это в первых двух случаях, имеем: Е1 = 1,0112%;

Е2 = 0,9994%;

1 = 2,1077%;

2 = 4,8603%;

12 = 0,3995.

Ер = 1,0112µ + 0,9994(1 µ) (54) р = 4,4423µ 2 + 23,6225(1 µ) 2 + 8,1850µ(1 µ) (55) µ min = 0,9824;

(1 µ)min = 0,0176;

Epmin = 1,0110;

pmin = 2,1047.

Портфель наименьшего риска должен на 98,24% состоять долларов США и на 1,76% из золотой компоненты. При этом включение в портфель золота микроскопически уменьшает риск и столь же микроскопически сни жает доходность.

р = 84,7458 19,8798E 2 40,1966 E p + 20,3199, (56) p где Еp [0,9994;

1,0112];

p [2,1047;

4,8603].

На рис. 7 приведен график функции (56).

Таблица Ожидаемые доходности и стандартные отклонения валютных портфелей при разных пропорциях валют X и Z.

Доля Долларов США Доля Золота р (%) Портфель Ер (%) µ 1µ % % 1 1,0 100% 0 0% 1,0112 2, 2 0,9 90% 0,1 10% 1,0100 2, 3 0,8 80% 0,2 20% 1,0089 2, 4 0,7 70% 0,3 30% 1,0076 2, 5 0,6 60% 0,4 40% 1,0065 2, 6 0,5 50% 0,5 50% 1,0053 3, 7 0,4 40% 0,6 60% 1,0041 3, 8 0,3 30% 0,7 70% 1,0030 3, 9 0,2 20% 0,8 80% 1,0017 4, 10 0,1 10% 0,9 90% 1,0006 4, 11 0,0 0% 1,0 100% 0,9994 4, Рис. 7. Множество допустимых портфелей для комбинации Доллар США Золото.

Эффективная граница представлена дугой MminX. В зависимости от своего отношения к риску, инвестор может считать оптимальным любой из портфелей, принадлежащих этой дуге. Портфель должен состоять или только из долларов, или включать в себя золотую компоненту. Доля золота может колебаться от 1,76% до нуля. Любопытно, что увеличение доли золота в портфеле, практически не влияя на доходность портфеля, приводит к суще ственному возрастанию его риска.

Портфель Японская йена – ЕВРО.

Аналогично тому, как поступали в предыдущих случаях, находим: Е1 = 0,6554%;

Е2 = 0,0832%;

1 = 3,2370%;

2 = 3,2302%;

12 = 0,4485.

Ер = 0,6554µ + 0,0832(1 µ) (57) р = 10,4782µ 2 + 10,4342(1 µ) 2 + 9,3792µ(1 µ) (58) Таблица Ожидаемые доходности и стандартные отклонения валютных портфелей при разных пропорциях валют Y и EV.

Доля Японской йены Доля ЕВРО р (%) Портфель Ер (%) µ 1µ % % 1 1,0 100% 0 0% 0,6554 3, 2 0,9 90% 0,1 10% 0,5982 3, 3 0,8 80% 0,2 20% 0,5409 2, 4 0,7 70% 0,3 30% 0,4838 2, 5 0,6 60% 0,4 40% 0,4265 2, 6 0,5 50% 0,5 50% 0,3693 2, 7 0,4 40% 0,6 60% 0,3121 2, 8 0,3 30% 0,7 70% 0,2548 2, 9 0,2 20% 0,8 80% 0,1977 2, 10 0,1 10% 0,9 90% 0,1404 3, 11 0,0 0% 1,0 100% 0,0832 3, µ min = 0,4981;

(1 µ)min = 0,5019;

Epmin = 0,3682;

pmin = 2,75187.

Портфель, имеющий минимальный риск, на 49,81% должен быть за полнен японской валютой и на 50,19% — ЕВРО.

р = 1,7476 11,5332E 2 8,4934 E p + 4,0431, (59) p где Еp [0,0832;

0,6554];

p [2,7519;

3,2370].

На рис. 8 приведен график функции (59).

Рис. 8. Множество допустимых портфелей для комбинации Японская йена ЕВРО.

Эффективная граница множества инвестиционных возможностей пред ставлена здесь дугой MminY. В зависимости от своих предпочтений при вы боре между риском и доходностью, инвестор может считать оптимальным любой из портфелей, принадлежащих данной дуге. Выбор здесь довольно велик. В портфель могут входить только японские йены. Или же он может быть «разбавлен» европейской валютой. Причем доля ЕВРО колеблется ме жду 50,19% и нулем. Портфель же, где доля ЕВРО превышает 50,19%, не яв ляется эффективным и не должен приниматься инвестором в расчет.

Портфель Японская йена – Золото.

По аналогии с предыдущими комбинациями имеем: Е1 = 0,6554%;

Е2 = 0,9994%;

1 = 3,2370%;

2 = 4,8603;

12 = 0,3877.

Ер = 0,6554µ + 0,9994(1 µ) (60) р = 10,4782µ 2 + 23,6225(1 µ) 2 + 12,1992µ(1 µ) (61) µ min = 0,8001;

(1 µ)min = 0,1999;

Epmin = 0,7242;

pmin = 3,0988.

Портфель, имеющий минимальный риск, на 80,01% должен быть за полнен японскими йенами и на 19,99% — Золотом.

р = 2,9070 21,9015E 2 31,7210 E p + 12,6220, (62) p где Еp [0,6554;

0,9994];

p [3,0988;

4,8603].

На рис. 9 приведен график функции (62).

Таблица Ожидаемые доходности и стандартные отклонения валютных портфе лей при разных пропорциях валют Y и Z.

р (%) Портфель Доля Японской йены Доля Золота Ер (%) % % µ 1µ 1 1,0 100% 0 0% 0,6554 3, 2 0,9 90% 0,1 10% 0,6898 3, 3 0,8 80% 0,2 20% 0,7242 3, 4 0,7 70% 0,3 30% 0,7586 3, 5 0,6 60% 0,4 40% 0,7930 3, 6 0,5 50% 0,5 50% 0,8274 3, 7 0,4 40% 0,6 60% 0,8618 3, 8 0,3 30% 0,7 70% 0,8962 3, 9 0,2 20% 0,8 80% 0,9306 4, 10 0,1 10% 0,9 90% 0,9650 4, 11 0,0 0% 1,0 100% 0,9994 4, Рис. 9. Множество допустимых портфелей для комбинации Японская йена Золото.

Эффективная граница представлена дугой MminZ. В зависимости от своих рисковых предпочтений, вкладчик может считать оптимальным любой из портфелей, принадлежащих этой дуге. Портфель может включать в себя или только золотой актив, или золото и японскую йену, причем доля по следней может колебаться от 80,01% до нуля.

Портфель ЕВРО – Золото.

Е1 = 0,0832%;

Е2 = 0,9994%;

1 = 3,2302%;

2 = 4,8603%;

12 = 0,4032.

Ер = 0,0832µ + 0,9994(1 µ) (63) р = 10,4342µ 2 + 23,6225(1 µ) 2 + 12,6603µ(1 µ) (64) µ min = 0,8082;

(1 µ)min = 0,1918;

Epmin = 0,2589;

pmin = 3,1061.

Портфель наименьшего риска на 80,82% должен состоять из ЕВРО и на 19,18% — из золотого актива.

р = 1,0915 21,3964E 2 11,0806E p + 9,5325, (65) p где Еp [0,0832;

0,9994];

p [3,1061;

4,8603].

Таблица Ожидаемые доходности и стандартные отклонения портфелей при разных пропорциях валют EV и Z.

Доля ЕВРО Доля Золота р (%) Портфель Ер (%) µ 1µ % % 1 1,0 100% 0 0% 0,0832 3, 2 0,9 90% 0,1 10% 0,1748 3, 3 0,8 80% 0,2 20% 0,2665 3, 4 0,7 70% 0,3 30% 0,3580 3, 5 0,6 60% 0,4 40% 0,4497 3, 6 0,5 50% 0,5 50% 0,5413 3, 7 0,4 40% 0,6 60% 0,6329 3, 8 0,3 30% 0,7 70% 0,7246 3, 9 0,2 20% 0,8 80% 0,8161 4, 10 0,1 10% 0,9 90% 0,9078 4, 11 0,0 0% 1,0 100% 0,9994 4, На рис. 10 приведен график функции (65).

Z (4,8603;

0,9994) Рис. 10. Множество допустимых портфелей для комбинации ЕВРО – Золото.

Эффективная граница здесь представлена дугой MminZ. В зависимости от своих предпочтений при выборе между риском и доходностью инвестор может считать оптимальным для себя любой из портфелей, представленных точками данной дуги. Портфель может включать в себя либо только золотой актив, либо Золото и ЕВРО, причем доля последнего актива может коле баться от 80,82% до нуля.

Рассмотрим теперь портфель, включающий в себя три основные ми ровые валюты: Доллары США, Японские йены и ЕВРО. Индексом «1» будем обозначать параметры, относящиеся к доллару, индексом «2» — к йене, «3» — к ЕВРО.

В соответствии с данными табл. 4 и 6, имеем: Е1 = 1,0112%;

Е2 = 0,6554%;

Е3 = 0,0832;

1 = 2,1077%;

2 = 3,2370%;

3 = 3,2302%;

12 = 0,5314;

. 13 = 0,5276;

23 = 0,4485.

Множество допустимых возможностей и эффективная граница такого портфеля представлены на рис. 11.

Рассмотрим вначале, каких комбинаций «доходность риск» можно достичь, если мы включим третий актив, но все-таки образуем лишь порт фели, в которых могут содержаться только два валютного актива. Если ин вестировать средства только в доллары и йены, то переместимся вдоль тра ектории XM(X, Y)minY (см. рис. 5). Если составлять портфели, включающие лишь доллары и ЕВРО, то переместимся вдоль кривой XM(X, EV)minEV (см.

рис. 6). И, наконец, если образуем комбинации, которые содержат только йены и ЕВРО, то будем перемещаться вдоль дуги YM(Y, EV)minEV.

Рис. 11. Множество допустимых портфелей и эффективная граница множества инвестиционных возможностей (с продажами без покры тий и без таких продаж) для комбинации Доллар США – Японская йена – ЕВРО.

Полное множество инвестиционных возможностей, состоящее из портфелей, включающих в себя любые допустимые комбинации трех ос новных мировых валют, может быть найдено как решение системы (26–27) с учетом условия (29). На рис. 11 оно представлено множеством точек, со ставляющих заштрихованную фигуру. При этом (Rp) [3,2370;

2,0730];

Е(Rp) [0,0832;

1,0112]. Портфель же, обладающий наименьшим из воз можных в данной ситуации рисков, представлен точкой Mmin. Чтобы найти его параметры, достаточно решить систему (31), которая в нашем конкрет ном случае имеет вид:

8,8848µ 1 + 7,2510µ 2 + 7,1840µ 3 + = 7,2510µ 1 + 20,9563µ 2 + 9,3792µ 3 + = 0 (66) 7,1840µ 1 + 9,3792µ 2 + 20,8684µ 3 + = µ1 + µ2 + µ3 = Откуда: µ 1 = 0,8262;

µ 2 = 0,0843;

µ 3 = 0,0895.

Подставляя это в (26, 27), находим: (Rp) = 2,0730;

Е(Rp) = 0,8980.

Другими словами, портфель, имеющий абсолютный минимальный риск, должен на 82,62% состоять из долларов, йеновый компонент равен 8,43%, а доля ЕВРО должна составить 8,95%. Ожидаемая месячная доход ность такого портфеля равна 0,898%, а риск (стандартное отклонение) — 2,073%.

Эффективная граница множества инвестиционных возможностей — есть дуга MminBX. Оптимальный портфель должен, естественно, лежать на эффективном крае области допустимых портфелей. Конкретное место рас положения оптимальной комбинации валют на кривой MminBX, зависит от степени нерасположенности к риску и, таким образом от вида кривой без различия инвестора. При этом движении вдоль эффективной границы от портфеля Mmin к портфелю Х, доля долларов увеличивается, от 82,62% до 100%, а доли йен и ЕВРО снижаются соответственно с 8,43% и 8,95% до 0%.

Например, портфель В, обладающий параметрами = 2,0787;

Е = 0,95, имеет следующие валютные пропорции: µ 1 = 0,8864;

µ 2 = 0,0774;

µ 3 = 0,0362. Кривая MminBS показывает расположения «доходностьриск», кото рых можно достичь, двигаясь вдоль эффективной границы, когда продажи без покрытия недопустимы. Если допустить продажи без покрытия, то на участке SAA (пунктирная линия) компонента µ 3 становится отрицательной (инвестор начинает занимать ЕВРО, тут же продавать их и вкладывать рубли в йены, и в основном, в доллары). В соответствии с соотношением µ 1 + µ 2 + µ 3 = 1, компоненты µ 1 и µ 2 могут принимать при этом как угодно большие значения и, следовательно, доходность портфеля теоретически может стать как угодно большой. Правда, риск при этом тоже бесконечен.

Портфель А, например, с параметрами = 2,0965;

Е = 1,000 содержит следующие пропорции валют: µ 1 = 0,9457;

µ 2 = 0,0686;

µ 3 = 0,0143.

Не расположенный к риску инвестор всегда предпочтет при данной портфельной доходности портфель с меньшим риском, независимо от того, как велика его нерасположенность к риску. То есть портфель D несомненно более предпочтителен, чем портфель L, а тем более Р. В то же время порт фель S предпочтительнее портфеля D из-за соображений доминирования.



Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.