авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |

«Предисловие редактора перевода... будет завершено после окончания работы над проектом. Перевод главы 1 — Николай Колдунов, главы 2 — Николай Колдунов, главы 3 — ...»

-- [ Страница 4 ] --

1. Сила тяжести — преобладающая. Вес воды в океане создаёт давле ние. Изменения силы тяжести, вызванные движением Солнца и Луны относительно Земли вызывают приливы, приливные течения и при ливное перемешивание.

Таблица 7.1. Соответствие законов сохранения основным уравнениям дви жения жидкости закон сохранения массы уравнение неразрывности законы сохранения энергии уравнение теплового баланса (закон сохранения тепла), волновое уравне ние (закон сохранения механической энергии) закон сохранения импульса уравнение количества движения (Навье-Стокса) закон сохранения момента им- принцип сохранения завихренности пульса 122 Глава 7. Уравнение движения Таблица 7.2. Силы в геофизической гидродинамике Основные силы сила тяжести источник градиентов давления, силы плаву чести и приливов сила Кориолиса возникает при движении во вращающейся си стеме координат сила трения причина — взаимное движение частиц, при мер — ветровое напряжение Другие силы атмосферное давление вызывает эффект обратного барометра сейсмические силы в результате землятрясений порождают цу нами Отметим, что последние две силы гораздо менее важны, чем предыдущие.

Сила плавучести, направленная вверх или вниз, действует на частицу жидкости, плотность которой отличается от плотности окружающей её воды. Например, холодный ветер, дующий над морем, охлажда ет поверхностную воду, делая её более плотной, чем нижележащая.

Изменение плотности увеличивает вес воды, смещая тем самым ре зультирующую двух сил, тяжести и архимедовой, в сторону первой, чем заставляет поверхностную воду опускаться.

Горизонтальные градиенты давления, возникающие за счет разницы в весе воды на разных участках океана.

2. Сила трения действует на тело, движущееся относительно другого тела и в контакте с ним. В качестве подобных тел можно рассматри вать и частицы воды, и воздуха.

Ветровое напряжение — сила трения, возникающая под действием ветра, дующего над поверхностью моря. При этом морю передается горизонтальный импульс, и возникает течение. Наличие волн на мор ской поверхности вызывает неравномерное распределение ветрового давления. Последнее же, в свою очередь, служит механизмом переда чи энергии ветра волнам, чем усиливает их.

3. Фиктивные силы — мнимые силы, которые возникают при движении в криволинейной или вращающейся системе координат. Например, пер вый закон Ньютона утверждает, что движение тела не изменится, пока на него не подействует некоторая сила. Тем не менее, во вращающейся системе координат будет казаться, что тело, движущееся с постоянной скоростью, изменяет направление. Этот эффект объясняется действи ем фиктивной силы — силы Кориолиса.

Сила Кориолиса — основная фиктивная сила, влияющая на движение в системе координат, связанной с Землёй.

7.2 Система координат Система координат позволяет нам определять пространственное положе ние как в теории, так и на практике. В зависимости от размеров объектов, 7.3. Типы потоков в океане которые нужно описать или картировать, используют разные системы ко ординат. Мы кратко рассмотрим простейшие из них, а читателям, которые заинтересуются более сложными, следует обратиться к специализирован ным работам по географии и геодезии.

1. Декартова (прямоугольная) система координат в данном пособии бу дет использоваться далее наиболее часто с целью максимально упро стить изложение материала. Большинство процессов могут быть опи саны в декартовой системе без математических сложностей, присущих сферическим координатам. По традиции, в геофизической гидромеха нике координатная ось x направлена на восток, ось y — на север, а ось z — вверх.

f-плоскость — прямоугольная система координат, в которой сила Ко риолиса считается постоянной. Она используется при описании пото ков в районах, достаточно малых по сравнению с радиусом Земли, но превышающих несколько десятков километров.

-плоскость — прямоугольная система координат, в которой сила Ко риолиса полагается линейно зависимой от широты. Она используется для описания потоков в масштабах океанических бассейнов.

2. Сферические координаты применяются для описания потоков, про стирающихся на большие расстояния, и в численных моделях бассей нов и потоков глобального масштаба.

7.3 Типы потоков в океане При описании циркуляции в океанах используется немало специальных по нятий. Рассмотрим наиболее популярные термины, касающиеся течений и волн.

1. Общая циркуляция — это постоянная, усреднённая по времени цир куляция океана.

2. Глубинная (абиссальная) циркуляция — это циркуляция глубинных вод, вызванная перемешиванием.

3. Ветровая циркуляция — циркуляция под воздействием ветра. При чиной ветровой циркуляции могут быть как локальные ветры, так и ветры, дующие над другими регионами.

4. Круговороты — циклонически и антициклонически направленные си стемы течений преимущественно ветрового происхождения, характер ные масштабы которых сравнимы с размерами океанических бассей нов.

5. Пограничные течения — течения, проходящие вдоль границ матери ков и океанов. Среди них выделяют два важных подтипа:

• западные пограничные течения располагаются на западной гра нице океанов и представляют собой быстрые узкие струи, такие как Куросио и Гольфстрим;

124 Глава 7. Уравнение движения • восточные пограничные течения слабы;

их примером служит Ка лифорнийское течение.

6. Струйные течения — протяжённые узкие течения с пространствен ными размерами в несколько сотен километров.

7. Мезомасштабные вихри — турбулентные или вращающиеся структу ры с масштабами в несколько сотен километров.

Кроме потоков, вызванных течениями, существует много типов коле бательных движений воды волнового происхождения. Обычно, когда мы думаем о волнах, мы представляем себе морской прибой или поверхност ные волны, с которыми встречаются в открытом море суда. В то же время, в океане существуют и другие виды волн.

1. Планетарные волны зависят от вращения Земли как от источника восстанавливающей силы и включают волны Россби, Кельвина, эква ториальные волны и волны Янаи.

2. Поверхностные волны, иногда называемые гравитационными — это те, которые, в конце-концов, и разбиваются о берег. Восстанавливаю щая сила вызвана большим контрастом плотности между воздухом и водой на морской поверхности.

3. Внутренние волны — подводные волны, в некоторых аспектах схожие с поверхностными. Восстанавливающая сила порождается вертикаль ным градиентом плотности в море.

4. Цунами — поверхностные волны с периодом около 15 мин, вызванные землятрясениями.

5. Шельфовые волны — поверхностные волны с периодом в несколько минут, возникающие в мелководных регионах около побережья. Их амплитуда экспоненциально уменьшается с удалением от берега.

7.4 Сохранение массы и соли Закон сохранения массы и соли может быть использован для получения очень полезной информации о потоках в океане. Предположим, что нам за хотелось узнать чистую потерю пресной воды (разность испарения и осад ков) в Средиземном море. Мы могли бы вычислить с высокой точностью поток скрытого тепла с водной поверхности, но скорее всего, у нас будет слишком мало наблюдений для того, чтобы применить массовую формулу с приемлемой погрешностью. Кроме этого, мы можем тщательно измерить массу воды, втекающую и вытекающую через Гибралтарский пролив, но разница будет слишком мала, если её вообще удастся выявить.

Тем не менее, мы можем рассчитать величину испарения, зная солёность втекающей Si и вытекающей So воды, а также, приблизительно, расход вытекающей воды Vo, выраженный в м3 /с (рис. 7.1).

Масса вытекающей воды по определению равна o Vo. Если объем воды в море остается неизменным, то согласно закону сохранения массы, i Vi = o Vo, (7.1) 7.4. Сохранение массы и соли Evaporation Precipitation Out In River Flow P E In R Si = 36.2 Vi 0.79 Sv Vo So = 38. Atlantic Ocean Mediterranean Sill 330 m Рис. 7.1. Схематическое изображение входящих и выходящих потоков воды для бассейна Средиземного моря. Численные характеристики даны соглас но [31].

где i, o — плотность втекающей и вытекающей воды, соответственно. Как правило, мы можем без особого ущерба для точности полагать, что i = o.

Если объем выпадающих осадков равен P, испарение на поверхности бассейна — E, а объем речного стока — R, то по закону сохранения массы, Vi + R + P = Vo + E. (7.2) Решением этого уравнения относительно (Vo Vi ) будет Vo Vi = (R + P ) E, (7.3) то есть, в среднем за достаточно большой промежуток времени разница между втекающей и вытекающей водой должна находиться в балансе с сум мой величин осадков и речного стока за вычетом испарения.

Так как растворенная в океане соль не осаждается и никаким другим способом из него не пропадает, уравнение сохранения соли будет иметь вид:

i Vi Si = o Vo So, (7.4) где i, Si — плотность и солёность втекающей воды, а o, So — вытекающей, соответственно. Как это уже было сделано ранее, мы полагаем i = o.

Пример применения закона сохранения масс и соли. Используя оценку величины потока воды Vo в Гибралтарском проливе, приведенную в работе [31] и показанную на рис. 7.1, решим уравнение (7.4) относительно Vi, полагая i = o. В результате получим Vi = 0.836 Св = 0.836 106 м3 /с, где 1 Св (свердруп) = 106 м3 /с — принятая в океанографии единица расхо да воды. Подставив значения Vi и Vo в уравнение (7.3), получим (R + P E) = 4.6 104 м3 /с.

Зная Vi, мы также можем посчитать минимальное время Tm обновления всего объёма воды в море. Оно равняется всему объёму воды, поделённому на объём входящей воды. Объём Средиземного моря приблизительно 106 км3. Приток воды 0.836106 м3 /с составляет 2.64104 км3 /год. Исходя из этого, Tm = 4106 км3 /2.64104 км3 /год = 151 год. Фактическое время зависит от перемешивания в толще моря. Если воды хорошо перемешаны, время полного обновления близко к минимальному, в противном случае оно больше.

126 Глава 7. Уравнение движения Наш пример с потоками в Средиземном море — это вариант бокс-модели (box model). В подобных моделях большие системы, такие как Средизем ное море, заменяют боксами. Жидкость, химические вещества или живые организмы могут перемещаться между боксами, а уравнения сохранения используются для того чтобы задать ограничения на различные виды вза имодействия внутри системы.

7.5 Полная производная (D/Dt) Если количество боксов в системе увеличится настолько, что размер каж дого из них станет достаточно малым, к ним будут применимы предельные соотношения дифференциального исчисления. Например, если мы разобьем поток воды на боксы со стороной в несколько метров, то применив к каж дому из них законы сохранения массы, импульса или других свойств, мы сможем получить дифференциальные уравнения, которым подчиняется по ток жидкости.

Рассмотрим простой пример ускоренного движения потока в маленьком объеме жидкости. Результирующее уравнение называется полной производ ной 1. Оно связывает ускорение частицы воды Du/Dt с производными поля скорости в фиксированной точке жидкости. В дальнейшем мы воспользу емся этим результатом, чтобы вывести уравнения движения жидкости на основе второго закона Ньютона, применение которого требует вычисления ускорения частиц, проходящих через фиксированную точку жидкости.

z,w Particle path q in q out = q t + q x + q i n t x y,v x,u Рис. 7.2. Схематическое изображение потока, используемое при выводе по нятия полной производной.

Мы начнём с рассмотрения потока, имеющего параметры qin на входе и qout на выходе небольшого бокса, изображённого на рис. 7.2. Если q может изменяться непрерывно в пространстве и времени, то отношения между qin and qout будут иметь вид:

q q qout = qin + t + x. (7.5) t x Скорость изменения параметра q внутри объёма qout qin Dq q q x = = +. (7.6) Dt t t x t Но x/t — это скорость u, поэтому Dq q q = +u.

Dt t x 1 Этот оператор в русскоязычной литературе имеет и другие названия: субстанцио нальная, индивидуальная либо лагранжева производная — Прим. перев.

7.6. Уравнение количества движения В трёх измерениях полная производная принимает вид:

D = +u +v +w (7.7a) Dt dt x y z D + u · () = (7.7b) Dt dt где u — вектор скорости, а — оператор набла из теории векторного поля, также известный как оператор Гамильтона [76, стр. 2–6].

Этот результат удивителен. Простой переход от системы координат, свя занной с движущейся частицей, к системе, зафиксированной в простран стве, изменяет простую линейную производную на нелинейную частную.

Воспользуемся этим уравнением, чтобы вычислить изменение импульса ча стицы жидкости.

7.6 Уравнение количества движения Второй закон Ньютона связывает изменение импульса (количества движе ния) некоторой массы жидкости с приложенной к ней силой. Это изменение имеет вид:

D(mv) = F, (7.8) Dt где F — сила, v — скорость, а m — масса. Особо подчеркнем необходи мость использовать полную производную, так как мы рассчитываем силу, действующую на частицу жидкости. Полагая массу постоянной, уравне ние (7.8) можно переписать в виде Dv F = = fm, (7.9) Dt m где fm — сила, действующая на единицу массы (массовая сила).

Для нас представляют интерес четыре силы: градиент давления, сила Кориолиса, сила тяжести и сила трения. Опустив промежуточные рассуж дения, которые будут приведены далее, запишем уравнение (7.9) в следую щей форме:

Dv = p 2 v + g + Fr. (7.10) Dt Ускорение, таким образом, равно сумме градиента давления и силы Корио лиса, взятых с обратным знаком, и прочих сил. Здесь g — ускорение силы тяжести, Fr — сила трения, а вектор по своей абсолютной величине равен угловой скорости вращения Земли, что составляет угол 2, разделенный на продолжительность звездных суток, или = 7.292 105 рад/с. (7.11) Уравнение количества движения в декартовых координатах. Рас крыв в уравнении (7.10) производные и выразив его компоненты в прямо 128 Глава 7. Уравнение движения угольной системе координат, получим уравнение количества движения:

u u u u 1 p = +u +v +w + 2 v sin + Fx, (7.12a) t x y z x v v v v 1 p = 2 u sin + Fy, +u +v +w (7.12b) t x y z y w w w w 1 p = + 2 u cos g + Fz, +u +v +w (7.12c) t x y z z где Fi — компоненты всех сил трения, действующих на единицу массы, а — широта. К тому же мы предполагаем, что w v, поэтому член 2 w cos исключён из уравнения (7.12a).

Уравнение (7.12) называют по-разному. Леонард Эйлер (1707–1783) пер вым сформулировал его в общем виде для потока жидкости, находящегося под влиянием внешних сил, поэтому иногда оно называется уравнением Эй лера или уравнением ускорения. Луи Мари Анри Навье (1785–1836) обобщил полученный результат на случай вязкой жидкости, добавив в уравнение си лы трения;

такая его форма получила название уравнения Навье-Стокса.

Член 2 u cos в уравнении (7.12c) гораздо меньше g, поэтому им мож но пренебрегать при описании динамики океана. Однако, этого не следует делать при измерениях силы тяжести гравиметрами с движущихся кораб лей.

z p + p p z y x y x Рис. 7.3. Схематическое изображение потока, используемое при выводе сла гаемых, задающих влияние давления в уравнении количества движения.

Вывод слагаемых, задающих влияние давления. Рассмотрим си лы, действующие на грани малого объема жидкости кубической формы (рис. 7.3). Равнодействующая сила Fx в направлении x равна Fx = p y z (p + p) y z, Fx = p y z, но p p = x, x и поэтому p Fx = x y z, x p Fx = V.

x 7.6. Уравнение количества движения При делении на массу воды, заключенной в объеме m, ускорение движения жидкости по оси x составит:

Fx p V = ax =.

m x m 1 p ax = (7.13) x Силы давления, действующие параллельно осям y и z и ускорение, которое они вызывают, выводятся аналогично.

Сила Kориолиса в уравнении количества движения. Слагаемое, соответствующее силе Кориолиса, присутствует в уравнении движения по тому, что мы описываем течения в системе отсчета, связанной с вращаю щейся Землей. Вывод слагаемого, представляющего силу Кориолиса в урав нении движения, достаточно сложен. Генри Стоммел, знаменитый океано граф из Океанографического института в Вудс Холе, вместе с Дэннисом Муром посвятили этой силе целую книгу [331].

В целом, мы ограничимся констатацией факта, что массовая сила, вы званная ускорением частицы жидкости во вращающейся системе координат, имеет вид:

Dv Dv + (2 v) + ( R), afixed = = (7.14) Dt Dt fixed rotating где R — векторное расстояние от центра Земли, — вектор угловой скоро сти Земли, а v — скорость частицы жидкости в координатах, привязанных к Земле. Член 2 v — сила Кориолиса, а ( R) — центробежное ускорение, которое не будет представлено в уравнении явно, а будет вклю чено в его член, соответствующий силе тяжести (рис. 7.4).

Сила тяжести в уравнении движения. Гравитационное взаимодей ствие между двумя массами M1 и m выражается формулой G M1 m Fg =, R где R — расстояние между массами, а G — гравитационная постоянная.

Вектор силы тяжести Fg действует вдоль линии, соединяющей центры масс.

Сила тяжести, действующая на единицу массы, будет равна:

Fg G ME = gf =, (7.15) R m где ME — масса Земли. Добавив центробежное ускорение в (7.15) получим силу тяжести g (рис. 7.4):

g = gf ( R). (7.16) Отметим, что сила тяжести не направлена к центру масс Земли. Цен тробежное ускорение заставляет грузик отвеса отклоняться под небольшим углом от линии, проходящей через земной центр масс. В результате форма Земли представляет собой не сферу, а сжатый у полюсов эллипсоид. Зем ля — это вращающаяся жидкая планета, имеющая выпуклость в районе экватора.

130 Глава 7. Уравнение движения g gf - x( x R) Рис. 7.4. Ускорение g тела, покоящегося на поверхности Земли, представля ет собой сумму ускорения gf, вызванного гравитационным взаимодействием масс тела и Земли, и центробежного ускорения ( R), возникающего вследствие вращения Земли. Поверхность океана в состоянии покоя должна быть перпендикулярна вектору g, то есть, она принимает форму, близкую к эллипсоиду вращения. (Эллиптичность земной поверхности на рисунке сильно преувеличена.) 7.7 Закон сохранения массы и уравнение нераз рывности Приступим к выводу уравнения сохранения массы жидкости. Начнём с то го, что опишем входящие и выходящие потоки массы для малого объема кубической формы (рис. 7.5):

z u + u u, + z y x y x Рис. 7.5. Схематическое изображение потока, используемого при выводе уравнения неразрывности.

Mass flow in = u z y Mass flow out = ( + )(u + u)z y.

Приток массы внутрь данного объёма должен быть равен разности исходя щего и входящего потоков. Следовательно, Mass flux = ( u + u + u)z y.

Но u u = x ;

= x, x x 7.7. Закон сохранения массы и уравнение неразрывности откуда u u Mass flux = +u + x x y z.

x x x x Третье слагаемое в круглых скобках становится при x 0 пренебрежимо малым по сравнению с первыми двумя, так что (u) Mass flux = x y z.

x Переходя к трехмерному пространству, получаем (u) (v) (w) Mass flux = + + x y z x y z Поток массы должен быть сбалансирован изменением массы внутри объёма, которое составляет x y z, t а согласно закону сохранения массы, общее изменение массы должно быть нулевым:

(u) d(v) (w) + + + = 0. (7.17) t x y z Это уравнение, которое известно как уравнение неразрывности для сжима емой жидкости, было впервые получено Леонардом Эйлером (1707–1783).

Раскрыв производные и переместив слагаемые, мы можем переписать уравнение неразрывности в форме u v w +u +v +w + + + = 0.

t x y z x y z Первые четыре члена — это полная производная D/Dt из уравнения (7.7), а следовательно, уравнение (7.17) принимает вид:

1 D u v w + + + =0 (7.18) Dt x y z Это другая форма записи уравнения неразрывности для сжимаемой жид кости.

Приближение Буссинеска. Плотность воды в океанах изменяется очень незначительно, поэтому Джозеф Буссинеск (1842–1929) отметил, что воз можно без ущерба общности считать ее постоянной за исключением случа ев, когда она умножается на g в ходе расчетов давления. Это предположение позволяет существенно упростить уравнение движения.

Приближение Буссинеска справедливо лишь при соблюдении следую щих условий:

1. Скорости в океане должны быть гораздо меньше скорости звука c.

Благодаря этому гарантируется, что скорость не влияет на плотность.

В противном случае, плотность под воздействием поля скоростей мо жет претерпевать серьёзные изменения, такие как ударные волны.

132 Глава 7. Уравнение движения 2. Фазовая скорость волн или возмущений должна быть гораздо мень ше c. Скорость звука в несжимаемой жидкости бесконечно велика, так что при анализе звуковых явлений в океане мы должны полагать воду сжимаемой. Таким образом, приближение Буссинеска неприменимо к звуковым волнам, но у всех других волн в океане скорости гораздо меньше.

3. Вертикальный масштаб движения должен быть гораздо меньше, чем c2 /g, где g — сила тяжести. Тем самым обеспечивается то, что в ходе ро ста давления с глубиной, он влечет за собой лишь очень небольшие изменения плотности.

Эти условия выполняются для всех океанских потоков, что позволяет считать их потоками несжимаемой жидкости. Дополнительная информа ция о приближении Буссинеска доступна в различных работах по гидроме ханике, таких как [158, стр. 79 и 112], [89, стр. 85], [11, стр. 167] и других.

Сжимаемость. Приближение Буссинеска эквивалентно предположению, что морская вода несжимаема. Рассмотрим подробнее, каким образом это может упростить уравнение неразрывности. Введём коэффициент сжима емости 1 V 1 dV dp =, V p V dt dt где V — объём, а p — давление. Для несжимаемой жидкости = 0, и 1 dV = 0, V dt так как dp/dt = 0. Учитывая, что плотность — это отношение массы m элементарного объема к его величине V, а масса постоянна, получим 1 dV d 1 Vd m 1 d 1 D = V = = = = 0.

V dt dt V m dt V dt Dt Если течение несжимаемо, то (7.18) принимает вид:

u v w + + =0 (7.19) x y z Это уравнение называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

7.8 Решение уравнений движения Система из четырех уравнений, в которую входят три (по одному на каж дую из координат) уравнения сохранения количества движения (7.12) и уравнение неразрывности (7.19), содержит четыре неизвестные: u, v, w, p.

Эти уравнения представляют собой нелинейные дифференциальные урав нения в частных производных. Уравнение скорости движения, построенное на основе второго закона Ньютона, имеет вид обыкновенного линейного дифференциального уравнения первого порядка, которое достаточно про сто решается. Закон сохранения импульса, примененный к жидкости, пре вращает это уравнение в нелинейное уравнение в частных производных, решить которое практически невозможно.

7.9. Основные концепции Граничные условия. В задачах гидромеханики обычно предполагается, что 1. Составляющая скорости, нормальная к границе, равна нулю (т.е. те чение через границу отсутствует).

2. Нет течения у твёрдой границы, что значит отсутствие скольжения на этой границе.

Решения. Мы ожидаем, что система из четырёх уравнений с четырь мя неизвестными и заданными граничными условиями будет разрешима в принципе. Но на практике трудно найти решения даже для простейших по токов. Во-первых, по имеющимся у автора данным, точные решения урав нений с учетом трения в данный момент неизвестны. Даже если исключить трение, оказывается доступным лишь небольшое количество точных реше ний. Читатели, интересующиеся океанскими волнами, могут назвать в каче стве примера результаты, полученные Герстнером для поверхностных волн на воде [161, стр. 251]. Чтобы решить наши уравнения, потребуется кар динальным образом их упростить. В дальнейшем мы покажем, что даже численные расчёты для них сложны.

Аналитические решения могут быть найдены для большинства упро щённых форм уравнения движения. Такие решения используются для изу чения различных процессов в океане, включая волны. Решения для потоков в океане с реальным побережьем и элементами дна должны находится при помощи численных методов. В следующих главах мы рассмотрим решения для упрощённых форм уравнений, а в главе 16 обсудим численные реше ния.

7.9 Основные концепции 1. Силы тяжести и трения — главные силы, действующие в океане.

2. Вследствие вращения Земли возникает фиктивная сила — сила Ко риолиса.

3. Законы сохранения, применяемые к потокам в океане, лежат в основе уравнений движения. Благодаря сохранению солей, объёма и других параметров можно значительно глубже понять природу океанических потоков.

4. Переход от уравнений движения, сформулированных для частиц жид кости, к уравнениям, описывающим состояние фиксированной точки в пространстве, сильно их усложняет. Обыкновенные линейные диффе ренциальные уравнения первого порядка, задающие ускоренное дви жение массы под действием приложенной силы согласно законам нью тоновской механики, в гидромеханике превращаются в нелинейные уравнения в частных производных.

5. Вода в океане может считаться несжимаемой, кроме тех случаев, ко гда мы описываем звуковые явления. Плотность также может пола гаться постоянной, если только она не умножается в ходе расчетов 134 Глава 7. Уравнение движения на ускорение свободного падения g. Эти предположения называются приближением (аппроксимацией) Буссинеска.

6. Закон сохранения массы лежит в основе уравнения неразрывности, которое в случае несжимаемой жидкости принимает особенно простую форму.

Глава Уравнения движения вязкой жидкости Силы трения, действующие в океане и атмосфере, практически во всем их объеме оказываются настолько малыми по сравнению с прочими силами, что мы можем не принимать их во внимание. В то же время, на границе двух сред влияние трения, проявляющееся в форме вязкости, становится существенным. Этот тонкий вязкий слой называется пограничным слоем.

Скорость потока уменьшается внутри пограничного слоя от величин, харак терных для потока в толще жидкости, до нуля на границе с твёрдым телом.

Пограничный слой на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей представляет собой тонкий слой, скорость движения в котором быстро из меняется таким образом, чтобы скорость по одну сторону границы была согласована со скоростью на противоположной её стороне. Примером по граничного слоя может служить расположенный в нижней части атмосфе ры планетарный пограничный слой, рассмотренный нами в гл. 4. Внутри планетарного пограничного слоя скорости снижаются со многих метров в секунду в свободной атмосфере до десятков сантиметров в секунду над по верхностью моря. По другую сторону этой поверхности находится еще один пограничный слой, слой Экмана, который связывает поток на поверхности океана с более глубокими слоями, о чем будет подробнее сказано в гл. 9.

В этой главе мы обсудим влияние трения на потоки жидкости, а также устойчивость потоков к небольшим изменениям скорости или плотности.

8.1 Влияние вязкости Вязкость жидкости характеризует ее сопротивление сдвиговой деформа ции. В предыдущей главе мы записали компоненту уравнения движения жидкости по оси x в форме (7.12a):

u u u u 1 p = +u +v +w + 2 v sin + Fx, (8.1) t x y z x где через Fx обозначена массовая сила трения. Рассмотрим, как будет вы глядеть это слагаемое, если предположить, что данная сила возникает под влиянием вязкости.

136 Глава 8. Уравнения движения вязкой жидкости z Velocity Molecules carry horizontal momentum perpendicular to wall through perpendicular velocity and collisions with other molecules x Wall Рис. 8.1. Молекулы, сталкиваясь со стенкой, передают ей импульс потока, замедляя скорость движения жидкости.

Молекулы жидкости, находящиеся около границы твёрдого тела, могут время от времени сталкиваться с ним и передавать ему импульс (рис. 8.1).

Далее эти молекулы могут также столкнуться с другими молекулами жид кости, не имеющими непосредственного контакта с границей, что ведет, в свою очередь, к передаче изменения импульса внутрь потока. Подобный перенос импульса принято называть молекулярной вязкостью. Однако, ве личина пробега молекул между столкновениями составляет около микро метра, и процесс этот неэффективен для передачи импульса даже на рас стояние порядка нескольких сантиметров. Таким образом, молекулярная вязкость важна только только при удалении от границы не более чем на несколько миллиметров.

Молекулярная вязкость определяется как отношение напряжения T, направленного по касательной к границе потока, и сдвига скорости на гра нице. Следовательно, напряжение имеет вид:

u Txz = (8.2) z при условии, что поток движется в плоскости (x, z) на расстоянии несколь ких миллиметров от поверхности, а — кинематическая молекулярная вяз кость. Типичные значения для воды при 20 C составляют 106 м2 /с.

Обобщение (8.2) на три измерения даёт нам тензор турбулентных на пряжений, включающий девять компонент напряжения в точке жидкости, в том числе давление (нормальное напряжение) и сдвиговые напряжения.

Вывод этого тензора выходит за рамки задач, стоящих перед данным посо бием;

подробности, при необходимости, могут быть найдены в работах [161, § 328] или [158, стр. 93]. В случае несжимаемой жидкости массовая сила трения в (8.1) примет вид:

u u u 1 Txx Txy Txz Fx = + + = + +. (8.3) x x y y z z x y z 8.2 Турбулентность Если молекулярная вязкость важна только на расстоянии в несколько мил лиметров и, с точки зрения наблюдателя крупнее зоопланктона, не играет роли в большинстве океанических потоков, то каким же образом влияние границы передаётся внутрь потока? Ответ: через турбулентность.

8.2. Турбулентность Dye Glass Tube Valve Water Рис. 8.2. Аппарат Рейнольдса для исследования турбулентности, возника ющей в потоке жидкости, а также фотографии потока, близкого к лами нарному (вверху) и турбулентного (внизу), в прозрачной трубке, похожей на ту, которую использовал Рейнольдс [17, стр. 88–89].

Турбулентность является следствием наличия в уравнении количества движения нелинейных членов (u u/x, и др.). Их вклад характеризуется безразмерным числом Рейнольдса, которое представляет собой отношение нелинейного и диссипативного членов в уравнении Навье-Стокса1 :

u U u U x Нелинейный член UL L Re = = =, (8.4) Диссипативный член U 2u L x где U — характерная скорость потока, а L — его характерный размер. Вы бор U и L произволен, но эти величины должны быть типичными для дан ного потока. Например, L может быть или средним поперечным, или про дольным размером потока. Для открытого океана характерны U = 0.1 м/c и L = 1 мегаметр, откуда Re = 1011. Так как влияние нелинейных ком понент становится важным при Re 10,..., 1000, то в нашем случае они, очевидно, важны, и океан следует полагать турбулентным.

Число Рейнольдса названо в честь Осборна Рейнольдса (1842–1912), про водившего в конце XIX в. эксперименты, призванные помочь понять тур булентность. Один из них, получивший широкую известность, состоял в том, в воду, текущую с разной скоростью через трубку, вводился краситель (рис. 8.2) [269]. Течение было спокойным (или ламинарным) на малой ско рости, а с её ростом становилось нерегулярным и турбулентным. Переход от одного состояния к другому происходил при Re = V D/ 2000, где V — средняя скорость в трубке, а D — её диаметр.

Когда число Рейнольдса превышает некоторое критическое значение, 1 «Число Рейнольдса», Википедия — Прим. перев.

138 Глава 8. Уравнения движения вязкой жидкости S S B A A' Y A' D Width 0. A -2 -1 174 C Total Head Width D 0 0.5 5,000 14,480 D X/D S S 80,000 1,000, E F Рис. 8.3. Форма потока, обтекающего круговой цилиндр, как функция чис ла Рейнольдса в диапазоне от единицы до миллиона [275]. A — зубочистка в потоке 1 мм/c;

B — палец в потоке 2 см/c;

F — рука, высунутая из окна на скорости 60 миль/час. Линии тока течений с одинаковым числом Рейнольд са выглядят одинаково. Поток, обтекающий цилиндр диаметром 10 см со скоростью 1 см/c, выглядит так же, как поток со скоростью 10 см/c, обте кающий цилиндр диаметром 1 см, поскольку в обоих случаях Re = 1000.

течение становится всё более и более турбулентным. Отметим, что харак тер потока является функцией числа Рейнольдса. Все течения с одинаковой геометрией и одинаковым числом Рейнольдса обладают одинаковой струк турой потока. Таким образом, течение вокруг всех круговых цилиндров, будь они 1 мм или 1 м в диаметре, при условии равенства числа Рейнольд са 20, будет напоминать приведенное в верхней части рис. 8.3. Также отме тим, что пограничный слой очень близко прилегает к цилиндру и слишком тонок, чтобы быть показанным на рисунке.

Турбулентное напряжение: напряжение Рейнольдса. Прандтль, Кар ман и другие исследователи, изучавшие гидромеханику в начале XX ст.

предполагали, что в турбулентном течении малые объёмы жидкости игра ют при передаче импульса внутрь течения такую же роль, какую молеку лы — в ламинарном. Исследования в этом направлении привели к понятию турбулентных напряжений.

8.2. Турбулентность Чтобы увидеть, каким образом могут возникать подобные напряжения, рассмотрим уравнение движения для потока, в котором выделены сред няя (U, V, W ) и турбулентная (u, v, w ) компоненты:

u=U +u ;

v =V +v ;

w =W +w ;

p=P +p, (8.5) где значение U вычислено осреднением по пространству и времени:

T X 1 U= u = u(t) dt либо U = u = u(x) dx (8.6) T X 0 Нелинейные члены уравнения количества движения могут быть записа ны как (U + u ) U u U u (U + u ) =U +U +u +u x x x x x (U + u ) U u (U + u ) =U +u. (8.7) x x x Второе уравнение следует из первого, так как и U u /x = 0, и u U/x = 0, поскольку по определению U : U u /x = U u /x = 0.

Применив (8.5) к (7.19), получим:

U V W u v w + + + + + = 0. (8.8) x y z x y z Вычитая среднее (8.8) из (8.8), разделим уравнение непрерывности на два:

U V W + + =0 (8.9a) x y z u v w + + =0 (8.9b) x y z Применив (8.5) к (8.1), осредним полученное уравнение и упростим его при помощи (8.7), после чего получим следующее выражение для x-компоненты уравнения количества движения осредненного потока:

DU 1 P = + 2V sin Dt x U U U uu + uv uw + +.

x x y y z z (8.10) Вывод данного соотношения не так прост, как может показаться на пер вый взгляд (подробнее он рассмотрен в работе [115, стр. 22]). Исходя из сказанного выше, дополнительная массовая сила будет составлять Fx = uu uv uw. (8.11) x y z Члены u u, u v, и u w передают импульс u, направленный на восток, в направлениях x, y и z. Например, член u w описывает на правленный вниз перенос направленного на восток импульса через горизон тальную плоскость. Так как эти члены характеризуют передачу импульса и были впервые выведены Рейнольдсом, то они получили название напря жений Рейнольдса.

140 Глава 8. Уравнения движения вязкой жидкости 8.3 Расчёт напряжений Рейнольдса Напряжения Рейнольдса, такие как u w /z, называются виртуальными напряжениями (см. также [92, §69, §80]), поскольку мы полагаем, что они иг рают роль, аналогичную диссипативным членам в уравнении движения. В дальнейшем нам потребуются значения либо функциональные выражения напряжений Рейнольдса. Для их получения могут использоваться несколь ко различных подходов.

Экспериментальный подход. Напряжения Рейнольдса могут быть рас считаны по непосредственным измерениям (u, v, w ), сделанным в лабора торных условиях либо в океане. Этот метод достаточно точен, но трудно поддается обобщению на другие виды потоков. Следовательно, нам следует рассмотреть более общие подходы.

Аналогия с молекулярной вязкостью. Обратимся еще раз к примеру, изображённому на рис. 8.1, который демонстрирует пограничный слой над поверхностью, лежащей в плоскости x, y. В 1904 г. Прандтлем была опубли кована революционная работа, в которой он высказал предположение, что эффекты турбулентной вязкости играют заметную роль исключительно в тонком слое, близком к поверхности, т. е. в пограничном слое. Понятие по граничного слоя, введенное Прандтлем, позволит нам с высокой точностью описать турбулентные потоки ветра над морской поверхностью, а также по токи в придонном пограничном слое океана и в перемешанном слое на его поверхности. (См. врезку «Турбулентный пограничный слой над плоской поверхностью».) Чтобы рассчитать поток в пограничном слое, предположим, что течение над границей постоянно в направлении x, y, что статистические свойства потока изменяются только по направлению z, и что осредненное течение установившееся. Следовательно, /t = /x = /y = 0 и (8.10) может быть представлено в виде:

U uw 2V sin + = 0. (8.12) z z Далее по аналогии с (8.2) предположим, что U u w = Txz = Az, (8.13) z где Az — это турбулентная вязкость или коэффициент турбулентной диффузии, которая заменяет молекулярную вязкость в уравнении (8.2).

Тогда 2U Txz U Az 2, = Az (8.14) z z z z предполагая Az или постоянной, или изменяющейся в направлении z гораз до медленнее, чем U/z. В дальнейшем мы будем полагать, что Az z.

Поскольку вихри могут, наряду с передачей количества движения, участ вовать в обмене теплом, солями, а также других обменных процессах, далее 8.3. Расчёт напряжений Рейнольдса будет использоваться термин «коэффициент турбулентной диффузии», ко торый обладает большей общностью, чем понятие турбулентной вязкости, относящееся непосредственно к обмену количеством движения.

Уравнения количества движения для компонент x и y однородного устой чивого турбулентного пограничного слоя над/под горизонтальной поверх ностью будут иметь вид:

Txz f V + = 0, (8.15a) z Tyz f U = 0, (8.15b) z где f = 2 sin — параметр Кориолиса;

при этом мы пренебрегаем мо лекулярной вязкостью, поскольку ее влияние гораздо слабее турбулент ной. Отметим, что вывод (8.15b) производится по аналогичной схеме из y-компоненты уравнений количества движения. Мы воспользуемся (8.15) при описании потоков у поверхности.

Турбулентный пограничный слой над плоской поверхностью.

Революционная теория пограничного слоя была предложена Прандтлем в 1904 г. [3]. В дальнейшем эта концепция была применена к потоку над плос кой поверхностью в трудах Дж. Тейлора (1886–1975), Л. Прандтля (1875– 1953) и Т. фон Кармана (1881–1963), которые работали над ней независимо друг от друга в 1915–1936 гг. Созданная ними эмпирическая теория, ко торую иногда называют теорией пути смешения, хорошо предсказывает профиль средней скорости у границы. В рамках настоящего учебника пред ставляет интерес то, что с её помощью можно получить характеристики осредненного потока воздуха над поверхностью моря. Ниже будет изложе на упрощённая версия данной теории в приложении к гладкой поверхности.

Начнём с предположения, что средний поток в пограничном слое уста новился и изменяется только по направлению z. На удалении от границы порядка нескольких миллиметров границы влияние трения существенно, так что уравнение (8.2) будет иметь решение:

Tx U= z, (8.16) и средняя скорость линейно зависит от расстояния над границей. Обыч но (8.16) записывают в безразмерной форме:

u z U =, (8.17) u где u2 Tx / — динамическая скорость.

По мере удаления от границы поток становится турбулентным, а влия ние молекулярного трения — пренебрежимо малым. В этих условиях допу стимо воспользоваться соотношением (8.13), после чего получим U = u Az (8.18) z Прандтль и Тейлор предположили, что большие вихри более эффек тивно обмениваются количеством движения, чем маленькие, и поэтому Az 142 Глава 8. Уравнения движения вязкой жидкости должно изменяться в зависимости от расстояния до стенки. Карман, в свою очередь, предположил, что данная зависимость имеет вид Az = zu, где — безразмерная константа. С учетом этих соображений, уравнение про филя средней скорости принимает вид:

U zu = u2. (8.19) z Так как U — функция единственной переменной z, мы можем записать уравнение dU = u /(z) dz, решив которое, получаем u z U= ln, (8.20) z где z0 — это расстояние от границы, на которой скорость стремится к нулю.

Для воздушного потока над морем = 0.4, а значение z0 может быть найдено по формуле z0 = 0.0156 u2 /g [37]. Средняя скорость в атмосферном пограничном слое над поверхностью моря, описанном в разд. 4.3, хорошо со ответствует логарифмическому закону (8.20), который выполняется и для средней скорости потоков воды на глубинах до нескольких метров. Кро ме этого, если воспользоваться (4.2), определением динамической скорости и (8.20), то мы получим Чарноковскую форму коэффициента сопротивле ния как функции скорости ветра.

Предположение, что турбулентная вязкость Az может использоваться для описания взаимосвязи напряжений Рейнольдса и осредненных пото ков, достаточно хорошо работает в турбулентном пограничном слое. Одна ко, значение Az невозможно вычислить теоретически. Напротив, оно опре деляется на основе данных, полученных в аэродинамических трубах либо измеренных в поверхностном пограничном слое океана. Подробнее теория турбулентных потоков над плоской поверхностью изложена в работах [115, §5–2 и §7–5] и [92, §80].

Теория Прандтля, основанная на предположении (8.13), применима толь ко тогда, когда сила трения гораздо больше силы Кориолиса. Это верно для потоков воздуха на высоте до нескольких десятков метров над поверх ностью моря и для потоков воды на глубинах порядка нескольких метров под ней. Применимость данной теории к другим потокам в океане менее очевидна. Например, поток в перемешанном слое на глубинах свыше де сяти метров классической теорией турбулентности описывается хуже [345, стр. 57]:

Модели на основе длины смешения и турбулентной вязкости должны использоваться только при получении аналитических выражений для напряжений Рейнольдса и профилей средней скорости, если они требуются при построении сглаженных кри вых для турбулентных потоков, характеризующихся единствен ным масштабом размера и скорости, соответственно. С другой стороны, следует избегать применения теории пути смешения к турбулентным потокам, масштабы которых неизвестны.

Проблемы подходов на основе понятия турбулентной вязкости:

1. За исключением пограничных слоёв, толщина которых составляет несколь ко метров, геофизические потоки могут находится под влиянием мно гих характерных масштабов одновременно. Например, в атмосферном 8.3. Расчёт напряжений Рейнольдса пограничном слое атмосферы над морской поверхностью важными могут быть по крайней мере три масштаба: 1) высота над уровнем моря z, 2) масштаб Монина — Обухова L, обсуждавшийся в 4.3, и 3) типичная скорость U, разделённая на параметр Кориолиса: U/f.

2. Скорости u, v, w являются свойствами жидкости, в то время как Az — свойство потока.

3. Члены турбулентной вязкости несимметричны:

uv = vu ;

но V U Ax = Ay x y Элементы статистической теории турбулентности. Напряжение Рей нольдса может быть рассчитано на основе различных теорий, которые соот носят u u с корреляциями более высокого порядка вида u u u. При этом возникает затруднение: как посчитать члены более высокого порядка? По добная проблема получила название проблемы турбулентного замыкания.

Общего решения пока не существует, но данный подход внес свой вклад в понимание некоторых форм турбулентности, таких как изотропная турбу лентность на решётке в аэродинамической трубе [11]. Изотропная турбу лентность — это турбулентность, статистические характеристики которой не зависят от направления.

Этот подход может быть несколько видоизменен, когда он применяется к потокам в океане. В идеализированном случае сильного рейнольдсовско го течения мы можем посчитать статистические характеристики потока в термодинамическом равновесии. Так как реальный поток в океане далёк от равновесия, предположим, что он будет к нему стремиться. Холлоуэй при водит в работе [?] хороший обзор этого подхода, в котором демонстрирует, как с его помощью можно определить влияние турбулентности на переме шивание и перенос тепла. Один из интересных результатов, полученный в данной работе, состоит в том, что зональное перемешивание должно пре восходить меридиональное.

Выводы. Турбулентные вязкости Ax, Ay, и Az не могут быть точно вы числены для большинства потоков в океане.

1. Они могут быть оценены по результатам измерений турбулентных по токов. Однако, измерения в океане сложны, а в лабораториях, несмот ря на всю их точность, не могут достигнуть чисел Рейнольдса порядка 1011, типичных для океана.

2. Статистическая теория турбулентности оказалась полезной для по нимания роли турбулентности в океане и в данный момент активно исследуется.

144 Глава 8. Уравнения движения вязкой жидкости Таблица 8.1. Некоторые значения вязкости 106 м2 /с воды = 106 м2 /с смолы при 15 C = 1010 м2 /с ледникового льда = 104 м2 /с Ay океана = (105 103 ) м2 /с Az океана = 8.4 Перемешивание в океане Турбулентность океана является одной из причин, вызывающих его пе ремешивание. Благодаря устойчивой стратификации океана, при движе нии в вертикальном направлении приходится преодолевать силу плавуче сти, поэтому вертикальное перемешивание требует гораздо больше энергии, чем горизонтальное. В результате горизонтальное перемешивание вдоль по верхностей постоянной плотности оказывается гораздо сильнее, чем верти кальное, действующее поперек этих поверхностей. Тем не менее, последнее, обычно называемое диапикническим перемешиванием, очень важно, так как оно изменяет вертикальную структуру океана и в большой мере кон тролирует скорость подъема глубинных вод, которые, в итоге, достигают поверхности в средних и низких широтах.

Уравниения, описывающие перемешивание, зависят от многих процес сов. Хороший обзор дается в работе [84], а в данном пособии мы ограничим ся некоторыми несложными потоками. Простое уравнение вертикального турбулентного перемешивания для параметра, такого как солёность или температура, имеет вид:

+W = Az + S, (8.21) t z z z где Az — это коэффициент вертикальной турбулентной диффузии, W — средняя вертикальная скорость и S — параметр источника.

Среднее вертикальное перемешивание. Чтобы вычислить вертикаль ное перемешивание в океане, Уолтер Манк использовал очень простое на блюдение [?]. Он заметил, что термоклин присутствует в океане практиче ски везде, а глубина залегания термоклина неизменна на протяжении деся тилетий (рис. 8.4). Примечательность данного факта в том, что нисходящее перемешивание должно было бы постоянно увеличивать глубину термокли на, но этого не происходит. Следовательно, существование стабильного тер моклина требует, чтобы нисходящее перемешивание тепла турбулентностью уравновешивалось восходящим переносом тепла со средней вертикальной скоростью W. Это следует из уравнения (8.21) для устойчивого состояния без притока и оттока тепла:

2T T W = Az 2, (8.22) z z где T — температура в термоклине как функция глубины.

8.4. Перемешивание в океане - - Pressure (decibars) - - - 1o 2o 3o 4o 5o 6o Potential Temperature (Celsius) Рис. 8.4. Потенциальная температура как функция глубины (давления), из меренная под 24.7 с. ш., 161.4 з. д. в центральных областях северной ча сти Тихого океана НИС Yaquina в 1966 г. (•) и НИС Thompson в 1985 г. ( ).

Данные приводятся согласно атласу Atlas of Ocean Sections, составленному Swift, Rhines, and Schlitzer.

Решение данного уравнения:

T T0 exp(z/H), (8.23) где H = Az /W — параметр глубины термоклина, а T0 — температура вбли зи его верха. Наблюдаемые на практике формы глубинного термоклина в самом деле оказываются близки к графику экспоненты. Манк использовал экспоненциальное сглаживание, чтобы получить H на основе наблюдаемых величин T (z).

Значение W также было вычислено Манком на основании наблюдае мого вертикального распределения радиоактивного изотопа углерода 14 C, чтобы получить соотношение вертикального и временного масштабов (рас пределение «возраста» воды по вертикали). В данном случае, S = 1. 104 лет1. Согласно упомянутому распределению, W = 1.2 см/сутки, а средний коэффициент вертикальной турбулентной диффузии в термоклине Az = 1.3 104 м2 /с. (8.24) В дальнейшем Манк использовал W для вычисления среднего верти кального потока воды через термоклин в Тихом океане, и полученное зна чение хорошо согласуется со скоростью формирования придонных вод в предположении, что скорость подъёма придонной воды постоянна прак тически по всей площади Тихого океана. В целом, теория Манка требу ет восходящего потока, вызванного перемешиванием, в размере 25–30 Св (1 Св = 106 м3 /с).

146 Глава 8. Уравнения движения вязкой жидкости Измеренное вертикальное перемешивание. Прямые наблюдения вер тикального перемешивания потребовали разработки специальных методик измерения: 1) тонкой структуры турбулентности, для чего необходимы зон ды, способные измерять температуру и солёность с пространственным раз решением в несколько сантиметров [98], и 2) распределения трассеров, та ких как гексафторид серы (SF6 ), которые могут быть легко обнаружены в морской воде в столь малых концентрациях, как 1 г/км3.

На основании прямых измерений турбулентности в открытом океане и диффузии SF6 был получен следующий коэффициент вертикальной тур булентной диффузии в открытом океане:

Az 1 105 м2 /с. (8.25) Например, в ходе эксперимента [169] 139 кг SF6 было выпущено в Атланти ческий океан в точке 26 с. ш., 29 з. д. (1200 км западнее Канарских о-в) на глубине 310 м. Концентрация трассера измерялась в течение 5 месяцев и на протяжении сотен километров, благодаря чему был установлен диапик нический коэффициент турбулентной диффузии Az = 1.2 ± 0.2 105 м2 /с.

Большие различия между средним коэффициентом турбулентной диф фузии при вертикальном перемешивании, вычисленным Манком, и малы ми значениями, измеренными в океане, получили объяснение сравнительно недавно, после того, как в ходе очередных исследований было показано, что коэффициент локальной вертикальной турбулентной диффузии Az 103 101 м2 /с. (8.26) Полцин измерил вертикальную структуру температуры в Бразильской котловине (южная часть Атлантического океана) [256]. Было установле но, что в придонном слое, где вода стекает с западного склона Срединно Атлантического хребта на восточной границе котловины, Az 103 м2 /с.


Кунце и Тули вычислили уточненное значение коэффициента турбулент ной диффузии в районе гайота Файберлинг в северо-западной части Тихого океана, которое составило A = 103 м2 /с над гайотом и было существенно меньше на его склонах [159]. Наконец, Garabato et al рассчитано даже более сильное перемешивание в море Скоша, где Антарктическое циркумполяр ное течение проходит между берегами Антарктиды и Южной Америки [81].

Результаты этих и других экспериментов свидетельствуют о том, что причиной перемешивания в большинстве случаев является обрушение внут ренних волн и сдвиг скорости течения на океанских границах: вдоль кон тинентальных склонов, над подводными горами и срединно-океаническими хребтами, на фронтах и в перемешанном слое на поверхности моря. В нема лой степени, перемешивание управляется глубинными приливными тече ниями, которые завихряются, проходя мимо препятствий на морском дне, таких как подводные горы и срединно-океанические хребты [136].

Поскольку перемешивание происходит вдоль границ или за пределами района исследований [90], следует проявлять осторожность при интерпрета ции профилей температуры, наподобие показанного на рис. 8.4. Например, вода на глубине 1200 м в центре северной части Атлантического океана мо жет переместиться в горизонтальном направлении к Гольфстриму и там смешаться с водой с глубины 1000 м. Перемешанная вода может затем пе реместиться по горизонтали обратно и на глубину 1100 м. Таким образом, 8.4. Перемешивание в океане частицы воды на глубинах 1200 м и 1100 м, расположенные на одной вер тикали, могут оказаться на своих местах, пройдя совершенно различный путь.

Измерение горизонтального перемешивания. Вихри перемешивают жидкость по горизонтали, причём влияние больших вихрей существенно выше, чем маленьких. Размеры вихрей меняются в диапазоне от нескольких метров (вихри, вызванные турбулентностью в термоклине) до нескольких сотен километров (геострофические вихри, которые будут рассматриваться в гл. 10).

В целом, перемешивание определяется числом Рейнольдса R [345, стр. 11]:

A A UL = R, (8.27) где — коэффициент молекулярной теплопроводности, U — типичная ско рость вихря, а L — его типичный размер. Следует отметить, что коэффи циент горизонтальной турбулентной диффузии больше среднего коэффи циента вертикальной турбулентной диффузии в десятки тысяч, а иногда и в десятки миллионов раз.

Уравнение (8.27) подразумевает Ax U L. Это соотношение хорошо со гласуется с работой Джозефа и Сендера [143], упомянутой в [25], в ходе которой был проведен анализ распространения радиоактивных трассеров, оптической плотности и вод Средиземного моря в северной части Атланти ческого океана. Согласно полученным данным, Ax = P L, (8.28) 10 км L 1500 км, P = 0.01 ± 0.005 м/c, где L — расстояние от источника, а P — константа.

Коэффициент горизонтальной турбулентной диффузии (8.28) также хо рошо согласуется с более свежими данными. Отметим работы Холлоуэя, который проводил спутниковые альтиметрические наблюдения геострофи ческих течений [120], эксперименты Фриленда по слежению за буями, дрей фующими в подводном звуковом канале, а также наблюдения Ледвелла, Уотсона и Лоу за течениями и распространением трассеров [169]. Благо даря этим исследованиям, был определен геострофический коэффициент горизонтальной турбулентной диффузии Ax 8 102 м2 /с (8.29) Использование (8.28) и измеренного значения Ax подразумевает вихри с ти пичными масштабами около 80 км, примерно соответствующими размерам геострофических вихрей, вызывающих перемешивание.

Ледвелл, Уотсон и Лоу также провели измерения коэффициента гори зонтальной турбулентной диффузии [169]. Они обнаружили, что коэффици ент горизонтальной турбулентной диффузии в открытом океане состав ляет Ax 1 – 3 м2 /с (8.30) 148 Глава 8. Уравнения движения вязкой жидкости при типичном масштабе порядка метров благодаря турбулентности в тер моклине, причиной которой, вероятно, служат обрушающиеся внутренние волны. Это значение, будучи подставленным в (8.28), соответствует типич ному масштабу 100 м, характерному для небольших вихрей, обеспечиваю щих перемешивание, зафиксированное в ходе эксперимента.

Горизонтальное перемешивание: комментарии.

1. Коэффициент горизонтальной турбулентной диффузии в 105 –108 раз больше, чем вертикальной.

2. Вода в глубинах океана движется вдоль наклонных поверхностей по стоянной плотности с небольшим локальным перемешиванием, пока не достигает какой-нибудь границы, где она перемешивается в вер тикальном направлении. Затем перемешанная вода возвращается на зад в открытый океан снова вдоль поверхностей постоянной плотно сти [97].

Один частный случай заслуживает особого упоминания. Когда вода, перемешиваемая вниз через основание перемешанного слоя, втекает в термоклин вдоль поверхностей постоянной плотности, перемешива ние приводит к распределению плотности по модели вентилируемого термоклина.

3. Наблюдения за перемешиванием в океане показывают, что численные модели океанической циркуляции должны использовать такие схемы перемешивания, в которых применяются различные коэффициенты турбулентной диффузии, параллельные и перпендикулярные поверх ностям постоянной плотности, а не уровенным поверхностям постоян ного значения z, как мы это делали ранее. Горизонтальное перемеши вание вдоль поверхностей постоянного значения z приводит к пере мешиванию поперёк поверхностей с постоянной плотностью, так как последние наклонены по отношению к горизонтали приблизительно на 103 рад (разд. ??, рис. ??).

Работы Danabasoglu, Mc Williams, and Gent показали, что численные модели, использующие изопикническое и диапикническое перемеши вание дают гораздо более реалистичную картину океанической цир куляции [52].

4. Перемешивание будет горизонтальным и двумерным, если горизон тальный масштаб превышает N H/(2f ), где H — глубина, N — частота Брента-Вяйсяля (8.36), а f — параметр Кориолиса [68].

8.5 Устойчивость В разд. 8.2 было показано, что поток жидкости с большими числами Рей нольдса турбулентен. Турбулентность — одна из форм неустойчивости, а в океане существуют и многие другие. В данном разделе мы обсудим три самые важные из них: i) статическую устойчивость, связанную с измене нием плотности с глубиной, ii) динамическую устойчивость, порождаемую сдвигом скорости, и iii) двойную диффузию, причиной которой служат гра диенты солёности и температуры в океане.

8.5. Устойчивость Статическая устойчивость и частота Брента-Вяйсяля. Сначала рас смотрим статическую устойчивость. Если более плотная вода находится над менее плотной, то жидкость неустойчива, и более плотная вода будет опус каться под менее плотную. И наоборот, если менее плотная вода находится над более плотной, граница раздела между ними устойчива. Но насколь ко устойчива? Можно предположить, что чем сильнее контраст плотности вдоль поверхности раздела, тем она устойчивей. Это пример статической устойчивости. Статическая устойчивость важна в любом стратифициро ванном потоке, где плотность увеличивается с глубиной, и нам необходим критерий для оценки величины устойчивости.

Статическая устойчивость и частота Брента-Вяйсяля. Рассмот рим адиабатическое вертикальное перемещение частицы воды в стратифи цированной жидкости (рис. 8.5). Сила плавучести F, действующая на пе ремещаемую частицу, равна разности между её весом V g и весом окру жающей воды V g2, где V — объём частицы:

F = V g (2 ).

Ускорение перемещённой частицы составит g (2 ) F a= =, (8.31) m но d 2 = + z (8.32) dz water d =+ z (8.33) dz parcel Подставляя (8.32) и (8.33) в (8.31) и игнорируя члены, пропорциональные z 2, получим 1 d d E= (8.34) dz water dz parcel где E a/(g z) — устойчивость столба воды [185], [336, стр. 416] или [89, стр. 50].

В верхнем километре океана устойчивость велика, и первый член в (8.34) гораздо больше второго. Первый член пропорционален изменению плотно сти в столбе жидкости;

второй — сжимаемости морской воды, которая очень Displaced Volume of Water V @ Displacement Distance z Parcel with Density ' Рис. 8.5. Схема расчёта статической устойчивости и частоты Брента Вяйсяля.

150 Глава 8. Уравнения движения вязкой жидкости 0 - 1000 - Depth (decibars) - 3000 - 35.0° N, 151.9° E 7.5° N, 137.0° E 24 April 1976 16 June 4000 - 0 1 2 3 0 5 10 Stability Frequency (cycles per hour) Рис. 8.6. Частота Брента-Вяйсяля, измеренная в Тихом океане. Слева:

устойчивость глубокого термоклина к востоку от Куросио. Справа: устой чивость неглубокого термоклина, характерного для тропиков. Отметим, что масштабы различны.

мала. Пренебрегая вторым членом, мы можем записать уравнение устой чивости:

1 d E (8.35) dz Приближение, использованное нами при выводе уравения (8.35), правомер но для E 50 108 м1.

На глубине, превышающей примерно 1 км, изменение плотности с глуби ной настолько мало, что мы должны рассматривать небольшие изменения плотности частицы воды, вызванные изменением давления при её верти кальном перемещении.

Устойчивость определяется следующим образом:

E 0 Устойчивое состояние E = 0 Нейтральная устойчивость E 0 Неустойчивое состояние В верхнем километре океана (z 1 000 м) E = (50–1000) 108 м1, а в глубоководных желобах (z 7 000 м) E = 1 108 м1.

Влияние устойчивости обычно выражается через частоту Брента-Вяй сяля N :

N 2 gE. (8.36) Частоту Брента-Вяйсяля нередко называют частотой плавучести. Она выражает величину устойчивости и является фундаментальной перемен ной в динамике стратифицированной жидкости. В простейшей интерпрета ции, частота Брента-Вяйсяля может трактоваться, как частота, определя емая вертикальным перемещением частицы жидкости. Таким образом, это максимальная частота внутренних волн в океане. Типичные значения N составляют несколько периодов в час (рис. 8.6).


8.5. Устойчивость Рис. 8.7. Волнистые облака, демонстрирующие неустойчивость Кельвина Гельмгольца на вершине устойчивого атмосферного пограничного слоя.

Некоторые волны могут стать достаточно большими для того, чтобы бо лее плотный воздух расположился поверх менее плотного, после чего вол ны схлопываются в турбулентность. Права на фотографию принадлежат Brooks Martner, NOAA Environmental Technology Laboratory.

Динамическая устойчивость и число Ричардсона. Если скорость изменяется с глубиной в устойчивом стратифицированном потоке, тогда по ток может стать неустойчивым, когда изменение скорости с глубиной (или сдвиг скорости) достаточно велико. Самый простой пример — это ветер, дующий над океаном. В данном случае устойчивость на поверхности моря очень велика. Можно даже сказать, что она велика бесконечно, поскольку имеет место скачкообразный разрыв и (8.36) обращается в бесконечность.

Однако, ветер, дующий над океаном, вызывает волны, и если он достаточно силён, поверхность океана становится нестабильной, и волны обрушаются.

Это пример динамической неустойчивости, при которой устойчивая жидкость становится неустойчивой благодаря сдвигу скорости. Другой при мер динамической неустойчивости — это неустойчивость Кельвина-Гельм гольца, наблюдаемая в ситуации, когда контраст плотности в потоке, обла дающем сдвигом скорости, гораздо слабее, чем на поверхности моря, при мером чего может служить термоклин или вершина стабильного атмосфер ного пограничного слоя (рис. 8.7).

Относительная важность статической устойчивости и динамической не устойчивости выражается числом Ричардсона:

gE Ri, (8.37) (U/z) где в числителе стоит величина статической устойчивости, а в знаменате ле — величина сдвига скорости.

Ri 0.25 Стабильное состояние Ri 0.25 Сдвиг скорости усиливает турбулентность 152 Глава 8. Уравнения движения вязкой жидкости Отметим, что число Ричардсона — не единственный критерий неустой чивости. Для появления турбулентности число Рейнольдса должно быть велико, а число Ричардсона — меньше 0.25. Эти условия выполняются в некоторых океанских течениях. Турбулентность перемешивает жидкость по вертикали, порождая турбулентную вязкость и турбулентную диффузию.

Так как океан стремится к сильной стратификации, а течения в нём слабы, турбулентное перемешивание — нерегулярное и редкое событие. Измерения плотности как функции глубины редко демонстрирует наличие более плот ной среды над над менее плотной, как это происходит в обрушающихся волнах (рис. 8.7) [217].

Двойная диффузия и солёностные пальцы. В некоторых районах океана менее плотная вода находится над более плотной, однако столб во ды неустойчив, даже если течения отсутствуют. Неустойчивость возникает потому, что молекулярная диффузия тепла происходит в 100 раз быстрее молекулярной диффузии соли. Это явление было впервые открыто Мелви ном Штерном в 1960 г., который сразу понял его значение для океаногра фии.

Initial Density Density after a few minutes Warm, Salty Warm, Salty Cold, Salty Cold, Less Salty Cold, Less Salty Рис. 8.8. Слева: начальное распределение плотности по вертикали. Спра ва: через некоторое время, диффузия тепла приводит к образованию тонко го неустойчивого слоя между двумя первоначально устойчивыми слоями.

Этот тонкий неустойчивый слой погружается в нижний слой в виде со лёностных пальцев. Вертикальный масштаб пальцев составляет несколько сантиметров.

Рассмотрим два слоя толщиной в несколько метров каждый, разделён ных чёткой границей (рис. 8.8). Если верхний слой более тёплый и солёный, а нижний холоднее и менее солёный чем верхний, то поверхность раздела между ними становится неустойчивой, даже если плотность верхнего слоя меньше плотности нижнего.

Что здесь происходит? Тепло диффундирует через границу быстрее, чем соль, приводя к образованию тонкого холодного и солёного слоя между двумя первоначальными слоями. Холодный солёный слой плотнее, чем хо лодный менее солёный слой под ним, и более плотная вода начинает по гружаться в менее плотную. Так как слой тонкий, жидкость погружается в виде «пальцев» диаметром 1–5 см и длиной в несколько десятков сантимет ров, не слишком отличающихся по размерам и форме от наших. Эти пальцы получили название солёностных пальцев. Так как через границу раздела диффундируют два компонента, процесс был назван двойной диффузией.

Существуют четыре варианта развития событий, обусловленные тем, что каждая из двух характеристик может находиться по обе стороны гра ницы раздела в двух качественно различных сочетаниях:

8.5. Устойчивость 1. Тёплая солёная вода над холодной менее солёной. Вызывает появление солёностных пальцев. Встречается в слое термоклина под поверхност ными водами субтропических круговоротов, в западной части тропи ческого пояса Северного Атлантического океана, а также на северо востоке Атлантики ниже течения, исходящего из Средиземного моря.

Процесс образования солёностных пальцев в конечном итоге приво дит к скачкообразному росту плотности с глубиной. Слои с постоян ной плотностью разделяются тонкими слоями, в которых плотность изменяется очень быстро, так что профиль плотности как функции глубины приобретает характерную форму «лестницы». Шмитт наблю дал в западной части тропического пояса Северного Атлантического океана скачки толщиной 5–30 м на протяжении 200–400 км, которые сохранялись на продолжении минимум восьми месяцев [293]. Керр со общает об эксперименте, проведенном недавно Реймондом Шмиттом, Джеймсом Лесуэллом, Джоном Тули и Куртом Полцином, в ходе ко торого было показано, что процесс образования солёностных пальцев в районе о-ва Барбадос перемешивал воду в 10 раз быстрее, чем тур булентность [151].

2. Холодная менее солёная над тёплой более солёной. Этот процесс по лучил название диффузионной конвекции. Он распространен гораздо уже, чем образование солёностных пальцев, и встречается в основ ном в высоких широтах. Диффузионная конвекция также порождает ступенчатый профиль плотности. Процесс диффузионной конвекции состоит в следующем. Двойная диффузия приводит к образованию тонкого тёплого менее солёного слоя под верхним холодным менее со лёным слоем. Тонкий слой воды увеличивается и перемешивается с водой из верхнего слоя. Такой же процесс происходит и в нижнем слое, где на границе раздела формируется более холодный и солёный слой.

В результате конвекции в верхнем и нижнем слоях, граница раздела становится очень чёткой и любые небольшие градиенты плотности в слоях уменьшаются. Neal наблюдал слои толщиной 2–10 м под аркти ческим льдом.

3. Холодная солёная над более тёплой менее солёной. Всегда статически неустойчива.

4. Более тёплая менее солёная, над холодной солёной. Всегда устойчи ва, и двойная диффузия размывает границу раздела между двумя слоями.

Двойная диффузия вызывает перемешивание воды в океане, так что ее влияние не может оставаться незамеченным. Используя численную модель океанской циркуляции, в которой процессы двойной диффузии были учте ны, Меррифилд обнаружил, что перемешивание, вызванное двойной диф фузией, изменило региональное распределение температуры и солёности, хотя при этом её влияние на крупномасштабную циркуляцию было невели ко [207].

154 Глава 8. Уравнения движения вязкой жидкости 8.6 Основные концепции 1. Трение в океане важно только на расстояниях порядка нескольких миллиметров. Для большинства потоков трением можно пренебречь.

2. Океан турбулентен для всех потоков, чьи характерные размеры пре вышают несколько сантиметров, но теория турбулентного потока в океане на данный момент разработана недостаточно.

3. Влияние турбулентности — это функция числа Рейнольдса данного потока. Потоки с одинаковой геометрией и одинаковым числом Рей нольдса обладают одинаковыми же линиями тока.

4. Океанографы предполагают, что на расстояниях свыше нескольких сантиметров влияние турбулентности на поток аналогично влиянию молекулярной вязкости на гораздо меньших расстояниях.

5. Учет влияния турбулентности приводит к появлению в уравнении ко личества движения членов, соответствующих напряжению Рейнольд са.

6. Влияние статической устойчивости в океане характеризуется часто той, известной как частота Брента-Вяйсяля. Чем больше частота, тем более устойчив столб жидкости.

7. Влияние устойчивости, связанной со сдвигом скорости (сдвиговой устой чивости), выражается через число Ричардсона. Чем больше сдвиг ско рости и меньше статическая устойчивость, тем больше вероятность того, что течение станет турбулентным.

8. Молекулярная диффузия тепла происходит гораздо быстрее, чем диф фузия соли. Это приводит к неустойчивости, вызываемой двойной диффузией, которая изменяет распределение плотности в столбе воды во многих регионах океана.

9. Неустойчивость в океане приводит к перемешиванию. Перемешива ние поперёк поверхностей постоянной плотности происходит гораздо труднее, чем перемешивание вдоль этих поверхностей.

10. Коэффициент горизонтальной турбулентной диффузии существенно больше, чем вертикальной.

11. Измерения коэффициента турбулентной диффузии показывают, что вода перемешивается по вертикали около океанических границ (на пример, над подводными горами и срединно-океаничесими хребтами).

Глава Взаимодействие верхних слоев океана с ветром Если вы когда-либо путешествовали по Соединенным Штатам, то могли заметить, что климат восточного и западного побережий сильно отлича ется. В чем же причина? Почему климат Чарльстона (Южная Каролина) так мало похож на климат Сан-Диего (Калифорния), хотя оба они нахо дятся приблизительно на 32 с. ш. и на побережье или недалеко от океана?

В Чарльстоне выпадает примерно 125–150 см осадков ежегодно, а в Сан Диего — 25–50 см, в Чарльстоне летом жарко, а в Сан-Диего, наоборот, прохладно. Или почему климат Сан-Франциско так отличен от климата Норфолка (Вирджиния)?

Если повнимательнее рассмотреть характеристики атмосферы в рай оне 32 с. ш., то становятся видны различия, которые могут частично объ яснить несхожесть климата вдоль двух берегов. Например, ветер, дующий с моря на материк возле Сан-Диего, приносит с собой на побережье воз душную массу, состоящую из прохладного влажного морского воздуха. Эта воздушная масса формирует пограничный слой толщиной в несколько со тен метров, над которым располагается более теплый и сухой воздух. В то же время, на восточном побережье, когда ветер дует с моря, образую щися здесь пограничный слой теплого влажного морского воздуха будет существенно толще. Конвекция, которая является предпосылкой возник новения осадков, протекает гораздо активнее на восточном побережье, чем на западном. Но почему атмосферный пограничный слой над поверхностью воды на восточном и западном побережьях столь различен? Ответ может быть найден в ходе изучения взаимодействия океана с локальными ветрами, которому посвящена эта глава.

9.1 Инерционное движение Прежде, чем начать изучение приповерхностных океанских течений, об судим простейшее решение уравнений движения, описывающих реакцию океана на импульс, приводящий воду в движение. Например, источником такого импульса может быть сильный ветер, дующий в течение нескольких 156 Глава 9. Взаимодействие верхних слоев океана с ветром часов. Он приводит воду в движение, а затем она движется под воздействи ем силы Кориолиса, без приложения к ней каких-либо других сил.

Такое движение называется инерционным. Масса воды продолжает дви гаться благодаря присущей ей инерции. Если бы эта жидкость находилась в космическом пространстве, не взаимодействуя с другими телами, то она двигалась бы равномерно и прямолинейно согласно второму закону Ньюто на. Если же требуется учесть тот факт, что жидкость движется по поверх ности вращающейся Земли, картина получается совсем иной.

Согласно (7.12), уравнения движения частицы жидкости в океане при отсутствии трения имеют вид:

du 1 p = + 2v sin, (9.1a) dt x dv 1 p = 2u sin, (9.1b) dt y dw 1 p = + 2u cos g, (9.1c) dt z где p — давление, = 2 /(звёздные сутки) = 7.292105 рад/с — скорость вращения Земли вокруг своей оси относительно неподвижной системы ко ординат и — широта.

Попробуем найти простые решения этих уравнений. Чтобы это сделать, требуется упростить уравнения количества движения. Прежде всего, от метим, что в жидкости, на которую воздействует только сила Кориолиса, проекция градиента давления на горизонтальную плоскость должна рав няться нулю:

p p = = 0.

x y Далее, мы можем предположить, что направление течения лежит в гори зонтальной плоскости, в силу чего система (9.1) принимает вид:

du = 2 v sin = f v, (9.2a) dt dv = 2 u sin = f u, (9.2b) dt где f = 2 sin (9.3) называется параметром Кориолиса, а = 7.292 105 рад/с — скорость вращения Земли.

Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка (9.2) может быть решена стандартными методами. Найдем решение второго урав нения относительно u и подставим его в первое, откуда мы получим 1 d2 v du = = f v.

f dt dt Приведя уравнение к стандартному виду, получим уравнение гармониче ского осциллятора:

d2 v + f 2 v = 0, (9.4) dt 9.1. Инерционное движение 47 o Inertial Currents Latitude (North) 46 o km 0 50 142 o 140 o 138 o 136 o Longitude (West) Рис. 9.1. Инерционные течения в северной части Тихого океана (октябрь 1987 г., дни года 275–300), измеренные дрейфующим буем с плавучим яко рем типа «дырявый носок», погруженным на глубину 15 м. Место буя опре делялось 10–12 раз в день при помощи системы Argos, установленной на метеорологических полярно-орбитальных спутниках NOAA. По этим дан ным производилась интерполяция с интервалом 3 ч. Сильнейшие течения, зарегистрированные на 277-й день, возникли в результате шторма. Отме тим, что изображены не отдельные вихри. Вся поверхность вращается, и буй, выпущенный в любой точке данного региона, был бы вовлечен в ана логичное вращательное движение. [363] решение которого имеет вид (9.5). Такое течение называется инерционным течением или инерционным колебанием:

u = V sin f t, v = V cos f t, (9.5) 2 2 V =u +v.

Отметим, что уравнения (9.5) задают в параметрической форме окруж ность диаметром Di = 2V /f и периодом Ti = (2)/f = Tsd /(2 sin ), где Tsd — длительность звездных суток.

Величина Ti называется инерционным периодом. Она равна половине маятниковых суток, то есть времени, требуемого для для полного оборота частицы по кругу инерции (табл. 9.1). Направление вращения при этом антициклоническое: по часовой стрелке в северном полушарии и против часовой — в южном. Инерционное течение — это свободное движение масс воды на вращающейся плоскости.

Инерционные течения — наиболее распространенные течения в океане (рис. 9.1). Вебстер проанализировал множество опубликованных работ по данной тематике и обнаружил, что такие течения наблюдались на всех глу бинах и под всеми широтами, но они непостоянны и затухают в течение нескольких дней [371]. Колебания на различных глубинах или в различных близко расположенных точках, как правило, некогерентны.

Причиной возникновения инерционных течений является резкая смена ветра у поверхности моря;

при этом быстрая перемена сильных ветров по рождает наибольшие колебания. Несмотря на то, что при выводе уравнений 158 Глава 9. Взаимодействие верхних слоев океана с ветром Таблица 9.1. Инерционные колебания Широта () Ti (ч) D (км) для V = 20 см/c 90 11.97 2. 35 20.87 4. 10 68.93 15. Таблица 9.2. Вклад в теорию ветровой циркуляции Фритьоф Нансен (1898) Открытие явления переноса воды течениями под уг лом к направлению ветра.

Вагн Вальфрид Экман (1902) Количественная теория ветрового переноса на мор ской поверхности.

Харальд Свердруп (1947) Теория ветровой циркуляции в восточной части Ти хого океана.

Генри Стоммел (1948) Теория западной интенсификации ветровой циркуля ции (западные пограничные течения).

Уолтер Манк (1950) Количественная теория основных свойств ветровой циркуляции.

Кирк Брайен (1963) Численные модели океанской циркуляции.

Берт Семтнер, (1988) Глобальная вихреразрешающая реалистическая мо Роберт Червин дель океанской циркуляции.

колебаний мы предполагали, что трение отсутствует, полностью его игно рировать невозможно. Со временем колебания вырождаются в другие по верхностные течения. Подробнее эти явления рассматриваются в работе [2, §6.3].

9.2 Приповерхностный слой Экмана Устойчивые ветры, дующие над поверхностью океана, порождают тонкий горизонтальный пограничный слой, который называется слоем Экмана. Под «тонким» в данном контексте подразумевается слой с толщиной, не пре вышающей нескольких сотен метров, что по сравнению с глубиной океа на достаточно мало. Аналогичный пограничный слой существует и возле океанского дна;

он получил название придонного слоя Экмана. Наконец, еще один слой Экмана располагается в нижних слоях атмосферы непосред ственно над поверхностью моря: планетарный пограничный слой или слой трения, описанный в разд. 4.3. Слой Экмана был назван в честь Вальфрида Экмана, который исследовал его динамику в своей докторской диссертации.

Работа Экмана была первой в ряду исследований, проведенных в первой половине XX столетия, которые заложили основы понимания роли ветров в циркуляции океана (табл. 9.2). В этой главе мы рассмотрим труды Ф. Нан сена и В. Экмана, а все прочие — в гл.11 и 13.

Наблюдения Нансена. Фритьоф Нансен отметил, что дрейф льдов в Арктике происходит под углом 20 –40 вправо от направления ветра, то есть, траектория движения айсберга отклоняется вправо, если смотреть в 9.2. Приповерхностный слой Экмана Coriolis Wind Wind Drag Velocity of Iceberg All forces about equal W Coriolis Wind C Drag F Coriolis Drag (Friction) Force Weak Coriolis force Рис. 9.2. Равновесие сил, действующих на айсберг, движущийся под дей ствием ветра по поверхности вращающейся Земли.

направлении ветра (рис. 9.2). В дальнейшем он определил, какое равно весие сил должно существовать при движении айсбергов по поверхности вращающейся Земли под воздействием ветра.

По мнению Нансена, в данном процессе существенно влияние трех сил:

1) ветровое напряжение W;

2) сила трения F (при отсутствии трения айсберг перемещался бы со скоростью ветра);

3) сила Кориолиса C.

Далее, Нансен утверждал, что этим силам должны быть присущи следую щие свойства:

1. Сила трения направлена противоположно вектору скорости.

2. Сила Кориолиса действует перпендикулярно вектору скорости.

3. В случае установившегося течения силы уравновешиваются:

W + F + C = 0.

Теория Экмана. Нансен предложил Вильгельму Бьеркнесу поручить одному из своих студентов провести теоретическое исследование влияния вращения Земли на ветровые течения. Для этой работы был выбран Валь фрид Экман, который представил её результаты в рамках своей диссерта ции, которую он защитил в Уппсале [156]. Впоследствии Экман развил свою теорию, дополнив ее учетом влияния континентов и различий в плотности воды [74]. Дальнейшее изложение будет следовать рассуждениям Экмана, приведенным в его работе.

Экман предположил, что течение на поверхности вращающейся Земли будет установившимся, однородным и горизонтальным, а сила трения — 160 Глава 9. Взаимодействие верхних слоев океана с ветром существенной. Как следствие, производные по горизонтальным и временной компонентам обращаются в нуль:

= = = 0. (9.6) t x y С учетом данных предположений, силы трения и Кориолиса на поверхности вращающейся Земли будут находиться в равновесии (8.15). Еще одно пред положение Экмана состояло в том, что вертикальная вихревая вязкость постоянна и имеет вид (8.13):

u v Txz = Az, Tyz = Az, (9.7) z z где Txz и Tyz — компоненты ветрового напряжения в направлениях x и y, а — плотность морской воды.

Подставив (9.7) в (8.15), получаем уравнения количества движения по координатам x и y:



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.