авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина

На правах рукописи

Хачай Олег Юрьевич

Асимптотика решений сингулярно возмущенных

нелинейных дифференциальных уравнений

с дополнительными асимптотическими слоями

01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное

управление

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., академик РАН Ильин Арлен Михайлович Екатеринбург – 2013 Содержание Введение............................................ Список используемых обозначений и сокращений................. Глава 1. Бисингулярная задача Коши для ОДУ с малым параметром и эф­ фектом вырождения высокого порядка правой части в начальной точке 1.1. Введение........................................ 1.2. Постановка задачи. Схема решения......................... 1.3. Построение внешнего разложения......................... 1.4. Внутреннее разложение............................... 1.5. Промежуточное разложение............................. 1.6. Согласованность промежуточного и внешнего разложений........... 1.7. Равномерное асимптотическое разложение решения............... 1.8. Графики главных членов асимптотических разложений и составного разложе­ ния для двух частных случаев........................... Глава 2. Бисингулярная задача Коши для системы ОДУ с малым парамет­ ром, правая часть одного из которых вырождается в начальной точке.. 2.1. Постановка задачи.................................. 2.2. Внутреннее разложение............................... 2.3. Промежуточное разложение............................. 2.4. Внешнее разложение................................. 2.5. Составное разложение. Равномерная оценка приближения........... 2.6. Пример задачи для системы. Графики главных членов асимптотических раз­ ложений и составного разложения......................... Глава 3. Согласование степенно-логарифмических асимптотических разло­ жений............................................ 3.1. Постановка задачи в целом............................. 3.2. Постановка задачи о переходе между асимптотическими слоями........ 3.3. Процесс согласования асимптотических разложений............... 3.4. Вспомогательные утверждения для согласования асимптотических разложений Заключение.......................................... Литература..........

................................. Приложение А. Некоторые вспомогательные утверждения.......... А.1. Операции со степенно-логарифмическими рядами с неопределенными коэф­ фициентами...................................... А.2. Некоторые свойства степенных и степенно-логарифмических рядов с неопре­ деленными коэффициентами............................ Приложение Б. Пример применения результатов второй главы....... Б.1. Формальный анализ асимптотических разложений................ Б.2. Получение явных формул для первых членов внешнего разложения...... Введение Актуальность работы. Во многих областях науки, в том числе при исследовании фи­ зических, биологических, химических процессов, встречаются сложные задачи, описываемые дифференциальными уравнениями с так называемыми малыми параметрами, т.е. величина­ ми, очень малыми по отношению к другим величинам, входящим в эти дифференциальные уравнения (понятие малости применяется к величинам, входящим в уравнение после того, как произведено их обезразмеривание;

подробное описание методики обезразмеривания со­ держится, например, в монографии Л. И. Седова [1]). Такие уравнения используются для описания гироскопических систем [2], систем с автоматическим регулированием, в том числе при расчетах управления дорожным движением [3–6], применяются они и в динамике плаз­ мы [7], газа и жидкости [1;

8–19], в термодинамических задачах с обострением [20]. Уравнения с малыми параметрами часто называются возмущенными по названию метода возмущений, применяемого для их решения. Часто требуется определить, насколько существенно сохра­ нить запись членов с малыми параметрами (такие члены называются возмущениями уравне­ ний) в составе уравнений, в какой мере их исключение из состава задачи (т.е. приравнивание соответственных параметров к нулю и, тем самым, упрощение задачи, переход к невозму­ щенной задаче) изменит поведение решения. Во многих случаях, называемых регулярными (регулярно возмущенными), решение задачи при стремлении малого параметра к нулю рав­ номерно переходит в предельное состояние — решение предельной (невозмущенной) задачи.

Но поскольку на практике малые параметры являются конечными, отличными от нуля вели­ чинами, то даже для регулярных задач высока актуальность обоснования полученных при­ ближенных решений, оценивание погрешности приближения некоторыми функциями малых параметров. Кроме того, есть большое количество важных, необходимых на практике задач, в которых равномерный переход решения в предельное состояние оказывается невозможным, такие задачи называются сингулярными (сингулярно возмущенными). Это происходит тогда, когда порядки некоторых или всех дифференциальных уравнений предельной системы от­ личаются (в меньшую сторону) от порядков соответствующих уравнений исходной системы, например, когда малый параметр является коэффициентом при старшей производной в урав­ нении, в таких случаях предельная система уравнений не оставляет достаточной свободы, чтобы удовлетворить всем начальным или краевым условиям. Также сингулярность может быть привнесена в задачу за счет рассмотрения бесконечной области изменения независимых переменных, непостоянства типа дифференциального уравнения в частных производных на рассматриваемой области, наличия особенностей у получаемых разложений, которых нет у точного решения. В некоторых задачах эти источники сингулярности комбинируются друг с другом. Большому количеству сингулярно возмущенных задач свойственно быстрое изме­ нение решения в некоторых узких областях — пограничных и переходных слоях.

Начало исследованиям сингулярно возмущенных задач было положено в 1904 г. докла­ дом Л. Прандтля [8] на 3-м Международном математическом конгрессе в Гейдельберге. В докладе [8] рассматривалась задача обтекания твердого тела жидкостью с очень малой вяз­ костью, впервые было введено понятие пограничного слоя, его характерной толщины, также являющейся малым параметром. Опубликованные с 1948 по 1952 гг. работы А. Н. Тихоно­ ва [21–23], в которых выявляются особенности предельного перехода решения сингулярной задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с малыми параметрами при производных к решению невозмущенной задачи, выписываются общие усло­ вия осуществимости такого перехода, обосновывается равномерность этого перехода на мно­ жестве точек, не включающем как угодно малую окрестность начальной точки, стали отправ­ ной вехой для последующего развития теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Усовершенствование теории устойчивости, построенной А. М. Ляпуновым [24], в применении ее к сингулярным задачам было выполнено И. С. Градштейном [25;

26]. На­ чиная с 1950-х годов основные направления развития этой теории в нашей стране и за ее пределами связаны с применением следующих методов: метода усреднения (Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский [27–30], В. М. Волосов [31;

32] и др.), методов типа ВКБ (В. П. Маслов [33], М. В. Федорюк [34] и др.), асимптотических методов теории ре­ лаксационных колебаний (задач с точками срыва) (Л. С. Понтрягин [35], Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов [36] и др.), методов регуляризации (С. А. Ломов [37] и др.), метода пограничных функций (Л. Прандтль [8;

9;

38], М. И. Вишик, Л. А. Люстерник [39–42], В. А. Треногин [43], А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. Х. Багирова [44–50] и др.), метода согласования асимпто­ тических разложений(Л. Прандтль [8;

9;

38], К. О. Фридрихс, В. Р. Вазов [51;

52], С. Каплун, П. А. Лагерстром, Дж. Коул, [53–57], М. Ван-Дайк [10], А. М. Ильин, Р. Р. Гадыльшин, А. Р. Данилин, Л. А. Калякин, Б. И. Сулейманов [19;

58–65] и др.).

Диссертация основывается на методе согласования асимптотических разложений, кото­ рый входит в семейство асимптотических методов. Основными достоинствами асимптотиче­ ских методов являются, в частности следующие:

1. упрощение решения, сведение сложной задачи к цепочкам более простых, зачастую не зависящих малого параметра задач;

запись приближенного решения в элементарных функциях в случае, когда точное решение не имеет такого представления;

2. интегрированность асимптотических методов с алгебраическим, вариационным, числен­ ным и другими математическими подходами;

3. применение асимптотических методов сродни физическому моделированию, демонстри­ рует физическую суть задачи.

Начало современной теории асимптотических разложений принято связывать с опубли­ кованной в 1886 г. работой А. Пуанкаре [66], в которой было дано определение асимптотиче­ ского ряда. Асимптотическое приближение решения для многих задач теории возмущений строится именно в виде рядов, для которых доказывается не сходимость, а асимптотический характер. Однако из асимптотического характера ряда следует лишь, что погрешность ча­ стичной суммы такого ряда меньше некоторого элемента асимптотической последователь­ ности [67, С. 17–24] функций малого параметра (например, некоторой его степени), умножен­ ного на постоянную величину, которая не известна. Если рассматривать малый параметр, как бесконечно малую величину, то этого результата достаточно. На практике же необходи­ мо знать эту величину, для построения оценки решения. Тем не менее, методы обоснования асимптотичности разложений в виде рядов обычно позволяют установить оценки и для этих неизвестных постоянных.

Существует два основных определения асимптотического разложения функции в ряд.

Рассмотрим их различия применительно к вещественнозначным функциям.

Согласно определению, носящему имя Эрдейи, ряд () : R, Z+, = называется асимптотическим разложением функции () при 0, если существует неко­ торая асимптотическая при 0 последовательность функций { () : Z+ }, такая, что ( ) () () = (). (0.1) = Другое определение, носящее имя Пуанкаре, отличается от определения по Эрдейи сле­ дующими дополнительными требованиями:

1. последовательность { () : Z+ } должна быть асимптотической при 0 ;

2. соотношение (0.1) должно выполняться, если в качестве функций () будут взяты функции +1 (), Z+.

В главах 1 и 2 сначала строятся послойные асимптотические разложения решения в смысле Пуанкаре, из которых затем получается составное асимптотическое разложение в смысле Эрдейи, равномерно приближающее решение на всем рассматриваемом отрезке.

Обычно, выбирая подход к решению научной задачи, приходится сталкиваться с тем, что простота получения приближенного решения и точность этого приближения антагонич­ ны друг другу. Стремясь получить более точное решение, приходится пожертвовать высокой точностью и наоборот. Однако принцип локализации, используемый в асимптотических ме­ тодах, позволяет одновременно получить и высокую точность, и значительное упрощение процесса решения при достаточном сужении области рассматриваемых значений парамет­ ров. Во многих случаях даже нахождение одних только главных членов асимптотического разложения дает почти всю основную информацию о решении, а знание нескольких первых членов (обычно, первых двух) позволяет находить решение с достаточной точностью. Но, за­ частую провести обоснование только нескольких первых членов асимптотики так же сложно, как и обоснование бесконечного асимптотического ряда целиком, поэтому во многих науч­ ных трудах и в данной диссертации производится обоснование бесконечных асимптотических рядов.

Очень удобной в силу своей простоты является степенная последовательность с постоян­ ным шагом показателя. В некоторых задачах оказывается необходимым рассматривать сте­ пенно-логарифмические асимптотические последовательности, вводя логарифмические со­ множители при степенных функциях, именно такие асимптотические разложения строятся в данной диссертации. Кроме простоты этих последовательностей некоторая стандартиза­ ция выбора асимптотических последовательностей для построения приближенных решений, когда во многих научных работах используются именно степенные и степенно-логарифми­ ческие последовательности, связана с возможностью удобно производить над такими асимп­ тотическими разложениями операции умножения, возведения в степень, почленного диффе­ ренцирования и почленного интегрирования.

Произвольная асимптотическая последователь­ ность, вообще говоря, не обеспечивает возможность производить эти операции с сохранением асимптотического характера результирующих формальных рядов. Возможность осуществле­ ния таких действий подробно исследовалась Й. Ван-дер-Корпутом, А. Эрдейи и Г. де Брей­ ном [67–69]. Умножение асимптотических рядов может быть определено только если резуль­ таты попарного перемножения всех членов исходной асимптотической последовательности могут быть упорядочены в единую асимптотическую последовательность. Особенно удобно, когда результирующая асимптотическая последовательность не выходит за рамки исходной, и это выполняется для степенных с постоянным шагом показателя и соответствующих сте­ пенно-логарифмических последовательностей. Кроме того, среди всех дифференцируемых функций одной переменной только степенные функции обладают свойством масштабной ин­ вариантности, если предположить гладкую зависимость масштабирующего коэффициента при зависимой переменной от соответствующего коэффициента при независимой перемен­ ной.

На различных этапах асимптотического исследования возникают вопросы о существо­ вании и возможности произвести оценки решений некоторых начальных или краевых задач.

Существенную роль в исследовании таких вопросов для уравнений с частными производны­ ми играют теоремы о существовании, единственности и устойчивости решения и о принципе максимума, доказанные в работах О. А. Ладыженской, В. А. Солонниковым и Н. Н. Ураль­ цевой [70–72].

Остановимся подробнее на истории метода согласования (сращивания, matching) асимп­ тотических разложений. Исходное название этого метода — метод внутреннего и внешне­ го разложений, метод двух асимптотических разложений, который является развитием и обобщением теории пограничного слоя, начало которой связывается с работами Л. Прандт­ ля [8;

9;

38]. Этот метод использовался в 1940-е и 1950-е годы американскими учеными для описания течений вязкой жидкости и газа за эти годы выкристаллизовалась техническая и алгоритмическая основы метода. Так, К. О. Фридрихсом, В. Р. Вазовым [51;

52] были получены результаты по описанию течения жидкости в каналах малой глубины, способы расчета возникновения ударной волны из обычной волны сжатия в газе. С. Каплун в рабо­ те [53] ввел в теорию пограничного слоя формальные внутренний и внешний предельные переходы и понятия внутреннего и внешнего разложений. Изучение процесса согласования асимптотических разложений было подробно произведено в совместной работе С. Каплуна и П. А. Лагерстрома [55]. Применяя идеи этого метода, С. Каплун [54] и независимо от него И. Праудман and Дж. Пирсон [73], используя разложение Озеена [74], построили равно­ мерное приближение для неограниченно простирающегося течения несжимаемой жидкости, при малых числах Рейнольдса обтекающего тело цилиндрической формы (так называемый парадокс Стокса). В отличие от такого обтекания в условиях больших чисел Рейнольдса (па­ радокс Даламбера), рассмотренного Л. Прандтлем [38], при котором область неоднородности имеет вид тонкого пограничного слоя у поверхности обтекаемого тела, в задаче о парадоксе Стокса область неравномерности представляет собой окрестность бесконечно удаленной точ­ ки. С. Гольдштейн [75;

76] и И. Имаи [77] получили асимптотическое разложение решения задачи Блазиуса для пограничного слоя на полубесконечной пластине. Л. Тингом [78] была решена задача о вязком сдвиговом слое между двумя соприкасающимся, движущимися с разной скоростью, потоками вязкой жидкости. И. Д. Чжан [79] исследовал асимптотическое разложение при больших удалениях от объекта решения двумерной задачи обтекания тела, сечение которого координатной плоскостью есть конечная область, ограниченная гладкой за­ мкнутой кривой. Б. М. Булах [15] применил этот метод для исправления линеаризованных сверхзвуковых конических течений и получения приближений высших порядков в окрестно­ сти головной ударной волны.

Начиная с 1960-х годов метод согласования стал использоваться очень широко, не толь­ ко в различных задачах гидро- и аэродинамики, но так же и для других эллиптических, параболических и гиперболических уравнений математической физики и для ОДУ. По ме­ ре усложнения рассматриваемых сингулярных задач возрастала роль и сложность процесса соединения получаемых отдельно внутреннего и внешнего разложений, важнейшей части метода, связанной с обоснованием построенных разложений. Современное его название бы­ ло предложено Ф. П. Бретертоном в 1962 г. в статье [80]. Большое количество конкретных примеров, иллюстрирующих процесс согласования, содержит монография М. Ван-Дайка1.

Получение и обоснование с помощью этого метода составных асимптотических разложений с доказательством равномерных оценок приближения с точностью до произвольной степени малого параметра для широких классов задач для систем обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных были получены А. М. Ильиным и его учениками: Р. Р. Гадыльшиным, А. Р. Данилиным, Л. А. Калякиным и др. [19;

60–62].

Большое внимание в рамках научной школы А. М. Ильина уделяется исследованию особых сингулярных задач, для которых коэффициенты внешнего разложения имеют нарастающие особенности во внутреннем слое, такие задачи называются бисингулярными. Это задачи с Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. С. двумя особенностями, одна из которых обусловлена сингулярной зависимостью решения от малого параметра, а вторая — неограниченностью или негладкостью членов асимптотики, то есть, различными сингулярностями, которые отсутствуют у точного решения задачи. Некото­ рые виды бисингулярных задач были исследованы без использования метода согласования, например, в работах Н. Х. Розова, В. Г. Сушко и др. [81;

82].

Хотя исследования асимптотическими методами в основном сосредоточились на уравне­ ниях в частных производных, некоторые новые сложные переходные эффекты, в том числе вызванные нелинейностью уравнений, исследовались и для ОДУ с малыми параметрами и их систем. Так, например, в обширной статье Л. А. Люстерника и М. И. Вишика [39] про­ изведено подробное исследование условий, при которых имеет место предельный переход к решению вырожденного уравнения, выяснено, как изменяется характер этих условий в зави­ симости от распределения знаков корней характеристического уравнения для произвольного линейного ОДУ -го порядка. В работе Л. А. Калякина [63] для модели авторезонанса при колебаниях, обусловленных вынуждающим возмущением в виде колебаний с малой ампли­ тудой и медленно меняющейся большой частотой найдены условия, при которых траектория системы под влиянием такого возмущения уходит от начальной точки равновесия на конеч­ ное расстояние. Математическая запись этой модели авторезонанса имеет вид системы двух нелинейных ОДУ с малым параметром.

Сравним постановки задач, исследуемых в диссертации, с постановками задач в ранее опубликованных работах других авторов. Рассмотрим систему ОДУ, вообще говоря, нели­ нейных:

( ) (, ), 1 (, ),..., (, ) = 0, (0.2) ( ) где (0, 0 ) — малый параметр, 0 (0, 1), =, 1,..., — гладкие функции в некоторой области = [0, ] изменения своих аргументов, показатели малого параметра удовлетворяют условиям Q, 0, max{1,..., } = 1, (0.3) индекс предполагается пробегающим набор чисел 1,...,.

Обычно для выделения из общего семейства решений системы (0.4), (0.5) конкретного решения задаются или начальные условия вида (0, ) =,0.

или двухточечное краевой условие ( ) 1 (0),..., (0), 1 ( ),..., ( ) = 0, где — некоторые функции. Есть также работы, анализирующие случай многоточечного краевого условия с подвижной границей, например, [46] и большое количество задач, поиска периодических решений [83–85].

В диссертации рассматриваются задачи Коши для уравнений вида (0.2) с начальными данными (0.6), (0.7). В главе 1 значения параметров задачи выбраны следующими: = 1, 1 = 1;

во второй главе — такими: = 2, 1 = 1, 2 = 0;

в главе 3 рассматривается общий случай системы (0.2) когда показатели степеней малого параметра могут принимать про­ извольные рациональные значения из отрезка [0, 1], удовлетворяющие только соотношениям (0.3).

Задачи, исследованные в главах 1 и 2 относятся к более общему классу задач вида = (,, ), (0.4) = (,, ), (0.5) (0, ) =, (0.6) (0, ) =, (0.7) где 0 — малый параметр, (, ), (,, ), и (, ), (,, ), — вектор-функ­ ции со значениями из пространств R и R, соответственно, + =, функции (,, ) и (,, ) определены и раз дифференцируемы в некоторой открытой области,,, содержащей точку (0,, ). Такого вида задачи исследовались при дополнительных огра­ ничениях, о которых будет сказано ниже, в работах [21–23;

50].

Запишем так называемую предельную систему, получаемую из уравнений (0.4), (0.5) с помощью подстановки = 0 :

0 = (,, ), (0.8) = (,, ).

Уравнение (0.8), является конечным, т.е. недифференциальным. Во всех работах [21–23;

50] и в данной диссертации предполагается, что уравнение (0.8) может быть разрешено относи­ тельно переменной :

= (, ) при (, ),, (0.9) где соответствие (0.9), вообще говоря, не является однозначным,, — некоторая замкнутая подобласть проекции области,, на пространство переменных (, ), содержащая точку { } = 0, =, такая, что (, (, ), ) : (, ),,,. В работах [22;

23;

50] предполагается, что можно выделить некоторую ветвь этой функции, отдаленную от всех других её ветвей на положительное расстояние в смысле нормы || · ||C(, ).

В статье [21] А. Н. Тихонов рассмотрел задачу (0.4)–(0.7) при = 1 для различных вариантов поведения ветвей многозначной функции (0.9), был дан ответ на вопрос, будет ли истинное решение задачи (0.4)–(0.7) стремиться к некоторой ветви функции (0.9), и, если да, то к какой. В работе [86] В. Ф. Бутузов и Н. Н. Нефедов рассмотрели при = 1, = случай, когда ветви многозначной функции (0.9), являющейся решением уравнения (0.8) пе­ ресекаются, была получена оценка разности между точным решением задачи (0.4)–(0.7) и устойчивой ветвью функции (0.9). В статье [87] А. М. Ильин и С. Ф. Долбеева рассмотрели задачу (0.4)–(0.7) с похожим эффектом пересечения двух ветвей функции (0.9) при = 1, = 0 и получили равномерное асимптотическое разложение с точностью до произвольной степени малого параметра. Для задач, исследуемых в главах 1 и 2 данной диссертации значе­ ния параметров равны = 1, = 0 и = 1, = 1, соответственно, и здесь также возможны частные случаи, когда ветви функции (0.9) имеют общую точку при = 0, но не точку пере­ сечения, а точку касания, в которой касательные к обеим ветвям становятся вертикальными (см. замечание 1.3.1). Для решений обеих задач Коши в главах 1 и 2 получены равномерные асимптотические разложения с точностью до произвольной степени малого параметра.

Основное отличие задач вида (0.4)–(0.7), для которых в главах 1 и 2 диссертации по­ строена асимптотика, от задач такого же вида, исследованных в монографии [50], состоит в следующем. В монографии предполагается, что для стационарного решения ( ) (0, 0 ) (0.10) так называемой присоединенной системы ( ) = (0, ( ), 0 ), (0.11) 0 где и — параметры, выполнены условия теоремы о равномерной для всех (0, 0 ), асимптотической устойчивости при + по первому приближению.

В задачах, рассмотренных в главах 1 и 2 диссертации это условие не выполняется, более того, в последнем разделе главы 1 рассмотрен частный случай задачи, при котором неподвижная точка (0.10) становится неустойчивой особой точкой системы (0.11) при значении параметра 0 = 0, таким образом этот частный случай не подпадает под описание, даваемой теоремой Тихонова [23], [50, С. 28–31].

Дополнительная сложность, преодолеваемая в диссертации, связана с технической сто­ роной применения метода согласования разложений. Асимптотики при коэффици­ ентов, (), стоящих при (ln ), разложения решения в некотором асимптотическом слое с переменной содержат выражения вида (ln ), где 0 () и () линейно растет с ростом. После перехода к смежному асимптотическому слою с заменой =, получим степени выражений ln = ln + ln. Во многих случаях, если привести подобные (ln ), (), то множество показателей () лога­ и собрать формальный ряд вида () рифмов малого параметра при фиксированном значении может оказаться неограниченным сверху, а сам формальный ряд в таком случае не может быть асимптотическим при 0.

В работах [64;

65] для преодоления такого препятствия в согласовании рядов применяется сдвиг независимой переменной внутреннего слоя. Подобный подход использовался, также, и в работах [88;

89], в которых метод согласования применяется в комбинации с методом усреднения Крылова-Боголюбова и методом ВКБ. В монографии [59, гл. 3, §3] применяется замена системы калибровочных функций (ln ) системой рациональных функций от и ln. В статье [61] при исследовании некоторых задач оптимального быстродействия, завися­ щих от малого параметра доказано отсутствие асимптотического разложения по рациональ­ ным функциям от малого параметра и логарифмов малого параметра и построена полная асимптотика времени быстродействия, зависящая от малого параметра более сложным об­ разом, с помощью функции заданной неявно, как решение трансцендентного уравнения. В настоящей диссертации сформулированы условия, при которых множества () являются ограниченными при каждом значении и есть возможность получить разложение в но­ вом слое с переменной, согласованное с предыдущим разложением, найденным для слоя с переменной.

Для задач, рассматриваемых в первой и второй главах настоящей диссертации отме­ чается эффект качественного усложнения, обусловленного увеличением порядка системы уравнений. В первой главе исследуется задача Коши для одного уравнения первого поряд­ ка. Здесь внешнее асимптотическое разложение по степеням малого параметра может быть полностью построено независимо от начальных данных задачи и поведения решения в более внутренних слоях, которое автоматически оказывается полностью согласованным с асимп­ тотикой решений в этих слоях. Для задачи Коши из второй главы, для которой порядок системы уравнений равен 2, внешнее асимптотическое разложение по степеням малого па­ раметра оказывается, вообще говоря, несогласованным с асимптотиками, получаемыми на внутренних слоях, правильное внешнее разложение не может быть построено независимо от начальных данных. Иллюстрация этого эффекта на конкретном примере приведена в приложении Б.

Задачи, исследованные в диссертации, являются естественными обобщениями рассмот­ ренных ранее задач и представляют важное направление в теоретических исследованиях, что и обеспечивает ее актуальность. При написании данного обзора автором использованы обзорные части статей [17;

43;

48;

58;

90] и монографий [10;

16;

59;

91;

92].

Цель диссертационной работы. Построение и обоснование асимптотики решения сингулярной начальной задачи для системы двух нелинейных обыкновенных дифференци­ альных уравнений с малым параметром.

Для достижения поставленной цели были использованы следующие методы: метод со­ гласования асимптотических разложений, асимптотические методы анализа, классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и функционального анализа.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая значимость. Теоретические результаты диссертации позволяют нахо­ дить равномерное асимптотическое приближение решений бисингулярных задач Коши для систем ОДУ с малым параметром. Такие задачи возникают, в том числе, при анализе нели­ нейных задач математической физики.

На защиту выносятся основные результаты и положения:

1. Построено и обосновано равномерное на отрезке асимптотическое разложение решения бисингулярной задачи Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального урав­ нения, правая часть которого имеет в начальной точке нуль высокого порядка малости по искомой функции. Полученное разложение обеспечивает точность приближения ре­ шения вплоть до произвольного порядка малого параметра.

2. Построено и обосновано равномерное на отрезке асимптотическое разложение решения бисингулярной задачи Коши для системы двух нелинейных обыкновенных дифферен­ циальных уравнений, одно из которых содержит малый параметр при старшей произ­ водной и правую часть, имеющую в начальной точке нуль высокого порядка малости по искомой функции. Полученное разложение обеспечивает точность приближения ре­ шения вплоть до произвольного порядка малого параметра.

3. Получен новый вид соотношения согласования для степенно-логарифмических фор­ мальных асимптотических разложений по малому параметру в двух смежных асимпто­ тических слоях решения задачи Коши для системы конечного числа ОДУ с различными степенями малого параметра при производных, это новое соотношение позволяет полу­ чить равномерное приближение для классов сингулярных задач Коши, рассмотренных в диссертации.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Междуна­ родной конференции «Актуальные проблемы теории устойчивости и управления» (Екате­ ринбург, УрО РАН, 2009) [93], на Международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (Уфа, УНЦ РАН, 2013) [94], на Международной молодежной школе­ конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, УрО РАН, 2013) [95], на конференции молодых ученых (Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2007), а также на научных семинарах в ИММ УрО РАН и УрФУ.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них статей в рецензируемых журналах [96–100], входящих в перечень ВАК, и 3 тезисов докладов.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Полностью самостоятельно выполнены работы [100], [94]. В работах [97;

99], [101] научному руководи­ телю А. М. Ильину принадлежит постановка задачи, им же предложена методика исследо­ вания, однако все результаты этих работ получены диссертантом самостоятельно. Работы [96], [93] выполнены совместно с научным руководителем А. М. Ильиным, а статья [98] — с А. М. Ильиным и Ю. А. Леонычевым. Результаты, опубликованные в совместных работах и включенные в диссертацию, получены автором самостоятельно. Автор благодарен научному руководителю А. М. Ильину за предложенную постановку задачи и помощь в работе над диссертацией.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы, списка используемых обозначений, 3 глав, заключения, библиографии и приложений. Общий объем диссертации 171 страница, из них 145 страниц текста, 26 страниц приложений, включая 4 рисунка и 4 таблицы. Библиография включает 112 наименований на 10 страницах.

Список используемых обозначений и сокращений ОДУ — обыкновенное дифференциальное уравнение;

R — множество всех вещественных чисел;

R+ — множество всех вещественных неотрицательных чисел;

Q — множество всех рациональных чисел;

N — множество всех натуральных чисел;

Z — множество всех целых чисел, Z+ = N {0} [·] — операция взятия целой части числа, т.е.[] = Z : + 1;

также в квадратные скобки в тексте диссертации заключены пояснительные примечания;

Пусть — это некоторый промежуток, например, отрезок [, ], тогда:

C — множество всех функций, бесконечно дифференцируемых на промежутке ;

C — линейного нормированное пространство всех функций, непрерывных на промежутке ;

|| · ||C — норма функции из пространства C, { } определяемая так: || ||C = sup | ()| :.

Пусть функции () и () определены на некотором подмножестве множества R, множество, точка является предельной по отношению ко множеству, тогда:

() () при — отношение эквивалентности функций () и (), определяемое равенством lim () = 1;

() ( ) R : | ()| |()| ;

() = (()) на множестве — () = (()) при 0 : () = (()) на множестве — ( ) = {} (, + );

lim () () = (()) при = 0;

— () Кроме того, в тексте диссертации используются логические связки и кванторы и, по­ дробная информация о применении которых содержится, например, в [102, С. 1–37]. Везде в диссертации, если значение, указанное в качестве верхнего предела суммирования, не явля­ ется целым числом, то подразумевается, что этим пределом суммирования будет целая часть указанного значения. Договоримся также считать, что, если разность значений верхнего и нижнего пределов суммирования отрицательна, то сумма предполагается равной нулю, и аналогично, произведение равно единице, если в нем разность значений верхнего и нижнего пределов отрицательна. Символами,,,,, и в диссертации обозначаются целочислен­ ные величины.

Глава Бисингулярная задача Коши для ОДУ с малым параметром и эффектом вырождения высокого порядка правой части в начальной точке 1.1. Введение Распределение материала диссертации по главам соответствует хронологическому по­ рядку получения этих результатов и индуктивному ходу изложения. Задача Коши для одно­ го сингулярно возмущенного дифференциального уравнения, рассмотренная в первой главе, обобщается затем в главе 2 на случай системы двух уравнений, одно из которых является син­ гулярно возмущенным. В ходе исследования выяснилось, что количество различных асимп­ тотических слоев в этих задачах может быть равно 3 и даже большему числу (см., например, [103]) и появилась потребность провести некоторое обобщение и универсализацию процесса согласованного перехода между смежными асимптотическими слоями, построения согласо­ ванных ФАР в этих слоях, позволяющих затем на их основе доказать равномерную оценку аппроксимации точного решения составным асимптотическим разложением. Это обобщение произведено в главе 3. В главах 1 и 2 многократно используются результаты, формулировки и доказательства которых приведены в главе 3, в опубликованных ранее работах автора, в том числе совместных, [96–99;

101], представляющих результаты глав 1 и 2, доказательства были проведены с использованием лемм и теорем, подобных тем, что доказаны в главе в более общем виде. За счет вынесения универсальных теорем о переходе между смежны­ ми асимптотическими слоями для степенно-логарифмических ФАР в отдельную главу, объем глав 1 и 2 был значительно сокращен. Наиболее полно возможности применения результатов главы 3 проиллюстрированы в §2.4.

1.2. Постановка задачи. Схема решения Рассмотрим задачу Коши:

= (, );

(1.2.1) (0, ) = 0, (1.2.2) где [0, ], 0 — малый параметр, 0 — положительная постоянная. Пусть функция (, ) — бесконечно дифференцируема для всех (, ) [0, ] R, (0, 0) = 0 при = 1, 2,..., 1;

(0, 0) = (1.2.3) (0, 0) = !, (0, 0) = 1, где 3, целое число. Коме того, предположим, что (, 0) 0 при 0, (1.2.4) (, ) 0 при (, ) [0, ] (0, +), (1.2.5) (, ) =. (1.2.6) Требуется построить асимптотическое приближение решения этой задачи Коши при 0, равномерное на всем отрезке [0, ].

Из условий (1.2.3) следует, что в малой окрестности нуля функция (, ) имеет следу­ ющую асимптотику:

(, ) = + (2 + | | + +1 ). (1.2.7) Для случая, когда параметр принимает значение 2, построение и обоснование асимп­ тотического приближения решения задачи (1.2.1), (1.2.2) было произведено в монографии [59, С. 64–82], при этом была продемонстрирована необходимость введения дополнительного промежуточного асимптотического пограничного слоя, лежащего между внутренним погра­ ничным и внешним слоями. Принципиальным отличием варианта = 2 от рассмотренного в данной главе диссертации варианта 3 является возможность в явном виде, при по­ мощи функции Эйри, построить нужное решение нелинейного ОДУ, являющееся главным коэффициентом промежуточного разложения. Дополнительную трудность представляет то обстоятельство, что данное решение строится не как решение задачи Коши, поскольку тре­ бование о его согласованности с главным членом внутреннего разложения в данной задаче означает стремление его к бесконечности в начальный момент времени. Поэтому в диссерта­ ции существование и единственность этого решения доказывается без применения стандарт­ ных теорем существования и единственности решения задачи Коши (см., например, [104, 86–125]).

Замечание 1.2.1. Данная задача является частным случаем задачи Коши для системы (2.1.1) двух уравнений, рассмотренной во второй главе диссертации.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, поставим задачу Коши вида (2.1.1) следующим образом: = (, ), =, (0, ) =, (0, ) = 0.

Из условий (1.2.3)–(1.2.7) сразу следует выполнение всех требований 1–4, предъявляемых во второй главе к системе (2.1.1). Замечание доказано.

Однако, строение асимптотики задачи (1.2.1), (1.2.2) имеет некоторые дополнительные черты, которые не присущи сразу всему классу задач для системы. Главный акцент дан­ ной главы сделан именно на изложение этих этих отличий. Одним из важнейших среди них является то, что для задачи (1.2.1), (1.2.2) оказывается возможным построить правильное внешнее разложение в виде асимптотического ряда по калибровочной системе (асимптотиче­ ской последовательности), состоящей только из степеней, причем выполнить это построение независимо от промежуточного и внутреннего разложений и начальных условий задачи. В литературе такое внешнее разложение называют естественным (например, в монографии [59, C. 35, 85]).

1.3. Построение внешнего разложения Лемма 1.3.1. Существует функция 0 () 0, однозначно определяемая из уравнения (, 0 ()) = 0 в каждой точке [0, ]. Причем функция 0 () является бес­ конечно дифференцируемой на (0, ] и справедливо, что 0 (0) = 0, 0 () 0 при 0 и (, 0 ()) 0 при 0 [101].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим функцию 0 () в каждой точке [0, ] таким образом, чтобы число 0 () было корнем уравнения (, 0 ()) = 0. Положим 0 (0) = 0. Зафиксируем любое число 0 (0, ]. Из условия (1.2.6) следует, что 1 0 : (0, 1 ) 1. Функция (0, ) аргумента согласно (1.2.5) является строго убывающей на промежутке (0, +).

Поэтому из формулы Лагранжа (см., например, [105, С. 227]) следует, что найдется значение = 2 1, удовлетворяющее неравенству (0, 2 ) 0. Так как в силу (1.2.4) имеем (0, 0) 0, то по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует 0 : (0, 0 ) = 0. Определим 0 (0 ) = 0.

Теперь докажем единственность найденного корня. От противного предположим, что 0 [0, ] и 2 1 0 : (0, 1 ) = (0, 2 ) = 0. Если 0 = 0, то (0, 0) = (0, 0) = 0, а следовательно, в силу условия (1.2.5) функция (0, ) строго убывает по при 0, поэтому имеет место неравенство (0, 2 ) 0, противоречащее исходному предположению.

Пусть теперь 0 (0, ]. Заметим, что для каждой точки 0 0, являющейся корнем урав­ нения (0, 0 ) = 0, обязательно выполняется неравенство (0, 0 ) 0. Действительно, обозначим ( ) = (0, ) и предположим, наоборот, что (0 ) 0. В силу условия (1.2.5) ( ) (0, ) 0 при 0, поэтому функция ( ) строго убывает на (0, +);

следовательно, ( ) (0 ) при [0, 0 ), значит, в силу предположения (0 ) функция ( ) возрастает на отрезке [0, 0 )]. Возникает противоречие: 0 (0) (0 ) = 0.

Таким образом, выполнено неравенство: (0 ) 0. Поэтому (1 ) 0, а, следовательно, в силу монотонного убывания функции ( ) получаем: ( ) 0 на [1, 2 ], и, значит, 0 = (1 ) (2 ) = 0, что противоречит исходному предположению и доказывает един­ ственность корня.

Непрерывность и дифференцируемость функции 0 () в произвольной точке 0 (0, ] следует из локальной теоремы о неявной функции (см., например, [105, С. 447–453]), посколь­ ку выполнены ее условия: (, ) непрерывна в окрестности точки (0, 0 (0 )), в этой окрест­ ности (, ) и (, ), (0, 0 (0 )) = 0, (0, 0 (0 )) = 0. Тогда существуют (0 ) = [ ] (, ( )) (, ( )) (00,00 (00 )), (0 ) = (00,00 (00 )), аналогично, с помощью теоремы о дифференцирова­ нии сложной функции, доказывается существование всех производных более высоких поряд­ ков. Лемма доказана.

Замечание 1.3.1. Возможны частные случаи, уравнение (, 0 ()) = 0 имеет решением + двузначную функцию, состоящую из двух ветвей 0 () 0 и 0 () 0, касающихся в точке = 0, в которой касательные к обеим ветвям становятся вертикальными.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Примером такой ситуации может служить частный случай четного ± значения и функции простейшего вида: (, ) =, тогда 0 () = ±1/.

Построим внешнее разложение решения (, ) в стандартном виде:

().

(, ) = (1.3.1) = Под этим подразумевается, что -я частичная сумма ряда (1.3.1) удовлетворяет уравнению (1.2.1) с точностью до ( ) при 0, где +, когда. Подробные сведе­ ния о формальных рядах вида (1.3.1) и более общего вида, а также об операциях с ними, содержатся в приложении А). Предварительно разложив функцию (, ) в ряд Тейлора в окрестности точки Q = (, 0 ()) и подставим ряд (1.3.1) в уравнение (1.2.1):

1 + ) ( (, 0 ()) 1 () +... + () + ( +1 ).

() = !

=0 = Теперь, приравнивая коэффициенты в правой и левой частях при одинаковых степенях, получим рекуррентную систему конечных уравнений:

(, 0 ()) = 0, (1.3.2) 1 (, 0 ()) + () при 1, = (1.3.3) где функции () зависят только от и функций () с индексами 0 1 и опреде­ ляются следующей формулой 1, 1.

() = (, 0 ()) (1.3.4) !

=2 = 1 +... + = 1 Используя найденную в лемме 1.3.1 функцию 0 () в качестве отправной точки, можно последовательно определить из системы (1.3.3) все функции () (0, ] для 1.

Тем самым будут найдены все коэффициенты внешнего разложения. Узнаем теперь, каковы асимптотики этих коэффициентов при 0.

Лемма 1.3.2. Справедливо асимптотическое разложение:

,0 / при +0, 0 () = + (1.3.5) = допускающее почленное дифференцирование любого порядка.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем рассматривать функцию 0 () только при 0. Снова обратимся к разложению функции (, ) по формуле Тейлора:

1, + (, ) = + 0, + + 0, + + 1,1 + =+2 = + 2,0 2 + 2,1 2 + 2, 2 + · · · + = + 1,0 1 + 1,1 1 +,0 + (, ), (1.3.6) ( + +1 ) (1 + 1 ), где в качестве 1 можно взять, например, где (, ) = = целую часть от ( +1)/2. Формула Тейлора (1.3.6) допускает почленное дифференцирование любого порядка. Далее удобно сделать замену: =, = и ввести в рассмотрение новую функцию (, ) = (, ), для этого достаточно подставить новые переменные в (1.3.6) и полученное выражение разделить на 0:

0, + (, ) = + 0, + + =+ 1 1, + 2,0 + 2,1 +1 + 2, + + · · · + + 1 + 1,1 + =2 = + 1,0 ( 2) + 1,1 ( 2)+1 +,0 ( 1) + ( (1 1) + 1 1 ). (1.3.7) Будем смотреть на равенство (1.3.7) как на асимптотическое разложение (, ) при + и конечных значениях. В силу гладкости функции (, ) любые производные функции (, ) имеют асимптотические разложения по системе функций {, Z} при +0.

Поэтому асимптотическое разложение (1.3.7) вслед за формулой (1.3.6) допускает почленное дифференцирование любого порядка. Доопределим функцию (, ) по непрерывности на множестве точек вида (0, ), R. Из представления (1.3.7) следует, что доопределенная функция (, ) является бесконечно дифференцируемой при R, [0, 1/ ], кроме того, =, значит, по теореме о неявной функции [105, С. 447–453] уравнение (0, 1) = 0, (0, 1) (, ) = 0 в окрестности точки ( = 0, = 1) задает некоторую функцию = (), причем () = 0 ( ), в силу единственности корня уравнения (, ) = 0 при каждом фиксированном 0. Функция (), и в окрестности нуля () = 1+ +( +1 ), = откуда, возвращаясь к старым переменным, приходим к разложению (1.3.5).

Асимптотическое разложение (1.3.5) допускает почленное дифференцирование любого порядка, так как в силу уравнения (1.3.2) все производные функции 0 () также допускают асимптотическое разложение по степеням /, где Z. Лемма доказана.

Пусть () обозначает формальный ряд с неопределенными коэффициентами /, 0 в соответствии с формулировкой леммы А.2.2, если произвести в ней за­ вида = мену обозначения независимой переменной на. Тогда, используя доказанные в лемме А.2. свойства рядов (), запишем асимптотическое разложение (1.3.5) в виде 0 () = 1/ (1 + 1/ ()). (1.3.8) Разложим функцию (, ) в ряд Тейлора в окрестности начала координат и, учитывая (1.2.3) и (1.3.8), получим следующие асимптотические соотношения при +0 :

(, 0 ()) = (1)/ (1 + 1/ ()), (, 0 ()) = ( 1)(2)/ (1 + 1/ ()), ··· (1.3.9) (, 0 ()) = !1/ (1 + 1/ ()), (, 0 ()) = !(1 + 1/ ()), (, 0 ()) = (),.

Заметим, что 0 = (1)/ (1 + 1/ ()), ] 0 [ = 2 (22)/ (1 + 1/ ()) 1 () = (, 0 ()) (1.3.10) и докажем по индукции, что 1(21) 1(21), /, +0.

() = () = (1.3.11) = Справедливость базы индукции, соответствующей значениям = 0 и = 1, обеспечивают соотношения (1.3.5) и (1.3.10).

Пусть по предположению индукции функции () удовлетворяют асимптотикам (1.3.11) при = 0,..., 1. Тогда из уравнения (1.3.3) получим:

(21)+ () = (1)/ 1 + 1/ () () + (), ( ) (1.3.12) здесь функция () задается формулой (1.3.4). Используя соотношения (1.3.9) из формулы (1.3.4) получим асимптотическое представление при 1(21) max{0,} () = () () = =2 = 1 +... + = 1 max{,}(21) (21) = () = ().

= Поэтому соотношение (1.3.12) может быть записано так:

1(21)+ () = (1)/ 1 + 1/ () (), ( ) откуда сразу вытекает справедливость гипотезы (1.3.11). В силу уравнений (1.3.3) асимпто­ тические разложения (1.3.11) допускают почленное дифференцирование произвольного по­ рядка.

Отметим, что для представлений (1.3.11), вообще говоря, не утверждается, что их стар­ шие коэффициенты,0 отличны от нуля. Однако ниже, в замечании 1.6.2, будет отмечено, что по крайней мере для = 0, 1,..., 5 можно утверждать, что,0 = 0, и, значит, для () внешнего разложения (1.3.1) наблюдается следующий эффект:

частичной суммы = коэффициенты () имеют особенности в нуле, растущие с увеличением номера коэффици­ ента. Это означает, что задача (1.2.1)-(1.2.6) является бисингулярной.

1.4. Внутреннее разложение Построение внутреннего разложения происходит в точности так же, как в главе 2, по­ этому остановимся на нем очень кратко. Сделаем замену независимой переменной так, чтобы левая и правая части уравнения (1.2.1) имели одинаковый порядок по.

(, ) (, ), =, ( ), 0.

= (1.4.1) = Рекуррентная система для коэффициентов ряда (1.4.1) имеет вид:

= (0, 0 ), (1.4.2) 1 (0, 0 ) + = (0, 0 ) + (1.4.3) !

1 + (0, 0 ) 1.

+, !! = 2 + 1 +... + = 1 Из (1.2.2) естественным образом получаются начальные данные:

0 (0) = 0, (0) = 0 при 0. (1.4.4) Применим лемму 3.4.1, принимая за () функцию (0, ), которая в силу условий (1.2.3)–(1.2.5) удовлетворяет всем условиям указанной леммы. В результате получим, что решение 0 ( ) задачи Коши (1.4.2), (1.4.4) существует и единственно при 0, может быть продолжено на луч [0, +) и разлагается в асимптотический ряд:

[/(1)] 1/(1) /(1), (ln ), +, 0 ( ) = =0 = где 0,0 = ( 1)1/(1) ;

причем это решение 0 ( ) строго убывает на луче [0, +).

Согласно замечанию 1.2.1 следствием теоремы 2.2.1 применительно к данной задаче является следующая Теорема 1.4.1. Решения задач Коши (1.4.2)–(1.4.4) существуют и единственны, продол­ жимы на весь луч [0, ) и обладают асимптотическими разложениями следующего вида при :

0 ( ) = ( ) = 1/(1) ( ), ( ) = ( )(21)+1 31 (( )) = ((21)1)/(1) ( ), допускающими почленное дифференцирование, где = 0 ( ) и обозначение ( ) определено формулой (.2.8).

Итак, для решения (, ) исходной задачи (1.2.1), (1.2.2) построены внешнее и внут­ реннее разложения, полностью исследовано их поведение, соответственно, при +0 и +. Однако, оказывается, что области, где оба ряда и являются асимптотически­ ми разложениями решения, не существует, более того, в точке = /(21) оба ряда теряют асимптотический характер. В этом проявляется бисингулярность задачи. Поэтому возникает необходимость ввести еще один масштаб независимой переменной и еще одно асимптотиче­ ское разложение (, ) в области, являющейся промежуточным слоем, лежащим между конечными значениями и конечными значениями.

1.5. Промежуточное разложение Так же, как и в §3 второй главы, сделаем замену переменных:

(, ) = 1/(21) (, ).

= /(21), Для того, чтобы воспользоваться теоремой 3.3.1, запишем ряд (, ) в форме ряда (3.2.6), а асимптотики их коэффициентов приведем к форме (3.2.12). В качестве переменной в теореме 3.3.1 будет выступать независимая переменная внутреннего слоя, символом будет обозначена переменная промежуточного слоя. Величина будет равна ( 1)/( 1). Подставив асимптотические разложения (1.4.5) в ряд (1.4.1) вместо коэффициентов ( ), получим формальный ряд соответствующий рассматриваемому в главе 3 ряду (3.3.1):


(2 1)1 (ln ),;

,;

,.

(, ) = (1.5.1) =0 =0 = Основные коэффициенты, определяющие структуру соответствующего ряда (3.3.1), имеют следующие значения ;

0 = 0, ;

1 = 1, ;

0 = 0, ;

1 = 0, 2 ;

0 = ( 1)1, ;

1 = ;

2 = 1, ;

3 = ( 1)1,, ;

1 = ( 1)1, ;

0 = 0, удовлетворяющие всем условиям (3.2.13)–(3.2.17) поэтому к рядам (1.4.1), (1.5.1) можно при­ менить теорему 3.3.1.

Так как ;

1 = ;

0 = 0, то согласно замечанию 3.3.2 справедливо следующее равенства для конечной суммы ряда (1.5.1):

(2 1)1 (ln ),;

,;

, = =0 =0 = 1 (2 1) 1+ = (2 1) (ln ) (ln ),0;

,;

,, 2 1 =0 =0 =0 = которое может быть записано в терминах определения 3.3.2:

, 1)1 1, (, ) = +1, 0 +1)1 +(2 1), (, ), (2 ( 2 1 и определения 3.3.3:

+1,, (, ) =, +1, (, ), (1.5.2) 2 1 2 если ввести обозначения для соответствующего ряду (3.3.26) нового формального ряда (2 1) (ln ), (), (, ) = (1.5.3) 2 =0 = и по аналогии с тем, как это сделано в замечании 3.3.2 в отношении рядов (3.3.27), предпо­ ложить, что для коэффициентов, () справедливы асимптотические разложения (2 1) 1+, () = 1 (ln ),0;

,;

,.

(1.5.4) =0 = Таким образом, формальные ряды (1.5.3) и (1.5.4) можно представить в следующем виде:

[/(1)] 1 /(21), ()(ln ), (, ) = (1.5.5) 2 =0 = (2 1) 1+, () = 1 (ln ),0;

,;

,.

(1.5.6) =0 = Чтобы записать рекуррентную систему для, (), воспользуемся уравнением (1.2.1), приве­ денным к виду:

= (/(21), 1/(21) ), /(21) (1.5.7) в которое, подставим разложение (, ) в ряд Тейлора около нуля (1.3.6). В результате получим:

0, + =, (1.5.8) 0, 1,0 1 + (0, 0)+1 + + 1,0 0,0 = (0, 0)0,0, 0, ( + 1)! +1 (1.5.9) ···, +, 1 =, (), (1.5.10) 0, где 1, 0, 1 + (0, 0), () =,, (1.5.11) !! = где,,, 0, если = 0, то + 1, 0 [ /( 1)], = +, =. (1.5.12) Из вида полученной рекуррентной системы уравнений (1.5.10), (1.5.10) следует в обо­ значениях выражения (3.3.36) и системы (3.3.37), что 1 ;

0 =, ;

1 =, ;

0 = 0, ;

1 = 1.

2 1 2 Подставляя формальный ряд 0,0 (), задаваемый формулой (1.5.6), в уравнение (1.5.7) получим, что если бы ряд 0,0 () являлся асимптотическим для функции 0,0 (), он должен был бы удовлетворять соотношению 0,0 = 1 1/(1) + (1), где 1 = ( 1)1/(1).

Учитывая это, докажем следующую Лемма 1.5.1. Существует единственное решение 0,0 () C (0,+) уравнения (1.5.8), удо­ влетворяющее асимптотике 0,0 = 1 1/(1) + (1) при 0;

причем это решение раскладывается в асимптотические ряды 0,0 = ( 1)1/(1) 1/(1) + /(1) при +0 (1.5.13) = (21) при + 0,0 = + (1.5.14) = допускающие почленное дифференцирование.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользовавшись леммой 3.4.2, принимая = = 1, получим, что действительно, существует единственное решение 0,0 () C (0,+) уравнения (1.5.8), удовлетворяющее асимптотике 0,0 = 1 1/(1) + (1) при 0. Согласно лемме 3.4.2 это решение имеет в асимптотические разложения вида:

1/(1) /(1) при +0, 0,0 = 1 + (1.5.15) = / при +, 1/ 0,0 = + (1.5.16) = причем эти ряды допускают почленное дифференцирование.

Подставив формальный ряд (1.5.15) в уравнение и приравняв коэффициенты при оди­ наковых степенях получим:

1 = ( 1)1/(1).

Докажем по индукции, что коэффициент асимптотического разложения (1.5.16) не может быть отличным от нуля, если число + 1 не делится нацело на 2 1.

Подстановка ряда (1.5.16) в уравнение (1.5.8) и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях приводит к равенствам следующего вида:

0 = 1 =... = 23, (1.5.17) (2 1) (21) для 2 2, = (1.5.18) = где все удовлетворяют неравенствам 1, и = + 1.

= Предположив, что для всех верна импликация ( + 1) не делится на (2 1) = 0, докажем ее для =.

Пусть ( + 1) не делится на (2 1). Тогда (2 1) не делится на (2 1) и, следовательно, по предположению индукции коэффициент (21) в первом слагаемом пра­ вой части в формуле (1.5.18) равен нулю. Также отметим, что для того, чтобы какое-нибудь из произведений, стоящих в сумме в правой части соотношения (1.5.18) было отлично от нуля нужно, чтобы каждый индекс в этом произведении допускал представление в виде (2 1) 1 с целым числом, значит, для ненулевого произведения верно равенство:

( ) (2 1) 1 = + 1, откуда + 1 = (2 1), что невозможно, = =1 =1 = поскольку ( + 1 не делится на 2 1). Это означает, что вся правая часть в формуле (1.5.18) равна нулю. Таким образом, обоснование асимптотических разложений (1.5.13), (1.5.14) за­ вершено и лемма доказана.

Таблица 1. Значения Значения коэффициентов 1+(21) = 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 1 5 15 32 64 2 1 4 1 5 164 2684 81 2187 19683 3 1 1 15 119 22393 16 512 4096 524288 4 Таблица продолжается на следующей странице.

Значения Значения коэффициентов 1+(21) = 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 1 2 208 6381 25 125 15625 390625 5 Замечание 1.5.1. Непосредственно из равенств (1.5.17), (1.5.18) могут быть найдены сле­ дующие формулы для коэффициентов 1+(21) при = 0, 1,..., 5. Будем указывать мно­ жества изменения параметра, подразумевая выполненность ограничений: 2 и N.

При всех 2 верны формулы 1 = 1, 22 = 2. Для коэффициентов, соответствую­ щих значениям = 2, 3, 4, 5 формулы изменяются до достижения значения =, начиная с которого принимают стабильный вид:

5 1 + 1+2(21) = при 2, 2 1 (1 + ) (29 + 37 ) = при 3, 1+3(21) 1 (1 + ) (1181 3169 + 2118 2 ) = при 4, 1+4(21) 1 (1 + ) (3058 + 12762 17703 2 + 8162 3 ) = при 5.

1+5(21) Числовые значения 1+(21) при = 0, 1,..., 5, = 2, 3, 4, 5 представлены в таблице 1.1.

Уравнения (1.5.9) для, при 1 являются линейными и имеют решения вида:

)[ ( ( ) ], () = exp 1 (), () exp 1 () +,.

0,0 0, Все постоянные, находятся из условия согласования рядов (1.5.5) и (1.4.1).

Следствием теоремы 2.3.1 и замечания 1.2.1 является следующая Теорема 1.5.1. Существует решение системы (1.5.8)–(1.5.10) такое, что каждая из функ­ ций, () при +0 разлагается в асимптотический ряд, (), задаваемый формулой (1.5.6), и, следовательно, для рядов (1.5.5) и (1.4.1) выполнено условие согласования (1.5.2).

Выясним сейчас поведение всех функций, () при +.

Теорема 1.5.2. Для построенных выше функций, (), являющихся решениями системы (1.5.8)–(1.5.10), справедливы асимптотические разложения:

+, /, +,,0 = 0,0 = 1, (1.5.19) = и эти ряды допускают многократное почленное дифференцирование [101].

При 0 верны оценки:

(21)/, () exp( ) при 0, +. (1.5.20) Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим = 2 1, = = 1. Будем использовать сведения о формальных асимптотических рядах с неопределенными коэффициентами из § приложения А для семейства множеств вида (А.1.10) обозначение () для формальных (или асимптотических) рядов с неопределенными коэффициентами вида, /, () = = так же, как это было сделано в лемме А.2.1 приложения А. При = 0 асимптотика (1.5.19) уже была получена выше, в виде (1.5.14). Применим индуктивный ход рассуждений для,0 () при 1. В соответствии с (1.5.14), 0,0 () = 1/ + / () при +, следова­ тельно, () = / + 1 (). Поэтому 0, ( / ) + ln + 1/ (), () = (1.5.21) 0, ( ), () = exp( / ) 1 + 1/ () ( ), () exp( / ) 1 + 1/ (), (1.5.22) где = 2 /, а — какое угодно большое число. В силу соотношений (1.5.11), (1.5.12) 1 +1 + 1,0 = (0, 0)0,0 + (0, 0)0,0 = ( + 1)! +1 [воспользуемся свойствами (А.2.1) и (А.2.2) из леммы А.2.1] )+ = 1/ () + 1+ 1/ () = (+1)/ (), ( откуда, применяя результаты леммы А.2.1, получим:

1,0 () = exp( / ) () (+1)/ () exp( / ) () + ( ) = = (+1)/ () = (+1)/ () при +.

Итак, база индукции проверена.

Предположим, что,0 () = (+1)/ 0 (), +. Тогда с помощью форму­ лы (1.5.11) и результатов леммы А.2.1 получим, что,0 () является линейной комбинацией ( ) выражений вида + + / () тогда на основании соотношений (1.5.12) приходим к выво­ ду, что,0 () = (+)/ (), после чего, воспользовавшись равенством (1.5.22) и свойством (А.2.5), приходим к результату:,0 = (+1)/ 0 (). Таким образом, разложения (1.5.19) пол­ ностью обоснованы. Кроме того, т. к. каждая функция,0 удовлетворяет соответствующему уравнению системы (1.5.8)–(1.5.10), то функция имеет асимптотическое разложение по, степеням /, совпадающее с результатом почленного дифференцирования разложения для,0. Многократно дифференцируя уравнения системы по, можно получить уравнения для высших производных функций,0, из которых следует, что ряды (1.5.19) допускают много­ кратное почленное дифференцирование.

В соответствии с системой (1.5.8)–(1.5.10), функция 2,1 является решением уравнения 2, + 1 2,1 = 0, 0, поэтому согласно соотношению (1.5.21) функция ( ) 2,1 () = exp 1 () = exp( / ) ( ) 0, является экспоненциально малой при. В случае произвольного и 0 функция, () состоит из слагаемых, в которых в качестве сомножителя обязательно содержится, () при и 0. Поэтому из равенства (1.5.22) по индукции получается оценка (1.5.20). Теорема доказана.

1.6. Согласованность промежуточного и внешнего разложений Вновь воспользуемся теоремой 3.3.1. Для этого приведем ряд (1.5.5) к форме ряда (3.2.6), а асимптотики их коэффициентов приведем к форме 3.2.12. В качестве переменной в теореме 3.3.1 будет выступать одноименная независимая переменная промежуточного слоя, символом будет обозначена переменная внешнего слоя. Величина равна /(2 1). Под­ ставив асимптотические разложения (1.5.19) в ряд (1.5.5) вместо коэффициентов,0 (), и учитывая экспоненциальную малость на бесконечности функций, () при 0, доказан­ ную в теореме 1.5.2, получим формальный ряд соответствующий рассматриваемому в главе 3 ряду (3.3.1):


+1,;

,;

(, ) = (2 1) 2 1 (1.6.1) =0 = Основные коэффициенты, определяющие структуру соответствующего ряда (3.3.1), имеют следующие значения ;

0 = (2 1)1, ;

1 = (2 1)1, ;

0 = 0, ;

1 = 0, ;

0 = 1, ;

1 = 1, ;

2 = 1, ;

3 = 1, (1.6.2) ;

0 = 0, ;

1 = удовлетворяют всем условиям (3.2.13)–(3.2.17) поэтому к рядам (1.4.1), (1.6.1) можно приме­ нить теорему 3.3.1.

Здесь равенства ;

0 = ;

1 = ;

0 = ;

1 = 0 обусловлены экспоненциальной малостью на бесконечности функций, () при 0 и степенным видом разложений (1.5.19). Соотно­ шения (1.6.2) позволяют применить замечание 3.3.2 и в результате прийти к тождеству 1+ +1 (2 1),;

,;

=,0;

,;

, 2 1 2 =0 =0 = = которое может быть записано в терминах определения 3.3.2:

+1, 1)1, (, ) = 0 +1)1 + +1, (, ), (2 (, 2 2 1 и определения 3.3.3:

+1, (, ) = +1, (, ), (1.6.3),, 2 1 2 2 1 2 если ввести обозначения для соответствующего ряду (3.3.31) нового формального ряда (, ) = 2 1 (), (1.6.4) = и по аналогии с тем, как это сделано в замечании 3.3.2 в отношении рядов (3.3.32), предпо­ ложить, что для коэффициентов () справедливы асимптотические разложения 1+ () =,0;

,;

. (1.6.5) = Таким образом, формальные ряды (1.6.4) и (1.6.5) можно представить в следующем виде:

(, ) = 2 1 (), (1.6.6) = 1+ () =,. (1.6.7) = Из справедливости теоремы 2.4.1 и замечания 1.2.1 вытекает следующая Теорема 1.6.1. Существуют решения уравнений (1.3.2)–(1.3.3), которые принадлежат про­ странству C (0, 0 ] для некоторого 0 0 и имеют асимптотические разложения (1.6.7) при 0, такие, что для рядов (1.6.6) и (1.5.5) выполнено условие согласования (1.6.3).

Согласно замечанию 3.3.2 именно экспоненциальная малость на бесконечности функций, () при 0, и отсутствие степеней ln в асимптотиках (1.5.19) обеспечивает исчезновение степеней ln из рядов (1.6.6) и приобретение ими формы рядов (1.3.1). И поэтому возникает возможность построить внешнее разложение данной задачи (1.2.1), (1.2.2) независимо от начальных данных и свойств внутреннего и промежуточного разложений.

Легко видеть, что ряд (1.3.1) и асимптотические ряды (1.3.11) для его коэффициентов могут быть записаны в виде ряда (1.6.6) и рядов (1.6.7), соответственно. Можно так же доказать обратное, что ряд (1.6.6) может быть записан в виде «прореженного» ряда (1.3.1), то есть все коэффициенты, стоящие в нем при нецелых степенях тождественно равны нулю. Действительно, запишем рекуррентную систему уравнений, которая получается для коэффициентов ряда (1.6.6) по аналогии с тем, как это было сделано для ряда (1.3.1): это уравнение (1.3.2) и система уравнений (21) (, 0 ()) + (), N = (1.6.8) здесь предполагается, что 0 (21) ()... 1 (), (1.6.9) здесь и ниже, до конца этого раздела, будем подразумевать, что тождественные равенства верны при всех (0, ];

функция 0 () — единственное неотрицательное решение урав­ нения (1.3.2), найденное в лемме 1.3.1, функции () имеют вид линейных комбинаций с постоянными коэффициентами произведений вида:

(), (1.6.10) = =, 2, все 1.

где = Обозначим ).

() = N : 0, (2 1),.(2 1) { ( } (1.6.11).

Докажем индукцией по N следующее соотношение:

( ) () () 0, () (), (1.6.12) где () представляют собой выражения (1.3.4), в которых обозначения функций () за­ менены на (21) ().

База индукции: при = 1, из соотношений (1.6.9) следует, что уравнение (1.6.8) при = 1 имеет вид 0= (, 0 ()), (1.6.13) 0 при (0, ], доказанное в лемме 1.3.1, при­ (, 0 ()) откуда, используя неравенство ходим к выводу, 0. Отсюда, совершенно аналогично последовательно получаем, что {2,..., 2 2} имеет место уравнение (1.6.13) и, следовательно, 0. Таким образом, соотношение (1.6.12) при = 1 верно.

Шаг индукции: докажем, что если для произвольного фиксированного N соотно­ шение (1.6.12) верно при =, то соотношение (1.6.12) будет верно и при = + 1. Легко видеть, что..

если.(2 1) =, то 0 {1,..., } : 0.(2 1). (1.6.14)..

= Поскольку предположение индукции предполагается выполненным, остается доказать, что () 0, () () при () ( 1) = {( 1)(2 1) + 1,... (2 1) 1}, где множество () задано формулой (1.6.11). Зафиксируем значение = ( 1)(2 1) + 1. Из соотношения (1.6.14) получаем, что каждое из произведений (1.6.10), образующих функцию () содержит сомножитель (), для которого ( 1), и поэтому из предположения индукции получаем, что () 0, а, значит, и функции () и () тождественны нулю.

Далее увеличивая значение индекса на 1 получим существование ( 1) {( 1)(2 1) + 1}, используя результат для предыдущего значения и проводя совершенно аналогичное рассуждение, вновь получаем, что функции () и () тождественны нулю.

И так далее, до значение = (2 1) 1 включительно. А тогда, поскольку все (), входящие в выражение (21) () для которых не делится на (2 1), тождественно равны () совпадает при (0, ]. Таким образом, соотношение нулю, то и функции () и (1.6.12) верно при всех N.

Кроме того, из леммы 1.3.1 следует единственность положительной при 0 функции 0 ();

из линейности конечных (недифференциальных) уравнений (1.3.3) следует единствен­ ность их решений. Поэтому и асимптотики (1.3.2) и (1.3.12) решений этих уравнений суще­ ствуют и единственны, если выбирается именно положительная при 0 функция 0 ().

Из согласованности рядов (1.5.5), (1.6.6) и положительности главного члена асимптотики (1.5.14) следует, что для функции 0 (), стоящей в ряду (1.6.6), главный член асимптотики определяемой соотношением (1.6.7), является положительным и, следовательно, для самой этой функции выполняется неравенство 0 () 0 на некотором интервале (0, Значит, ).

эта функция совпадает с одноименной функцией построенной в лемме 1.3.1 и то же самое можно утверждать для всех членов ряда (1.6.6). Таким образом, справедливо Замечание 1.6.1. Ряды (1.6.6) и (1.3.1) тождественны друг другу.

Замечание 1.6.2. Из справедливости условия согласования (1.6.3) и замечаний 1.6.1 и 1.5. следует, что старшие коэффициенты,0 асимптотических разложений отличны от нуля при = 0, 1,..., 5. Поэтому сингулярная задача (1.2.1)–(1.2.6) является бисингулярной.

1.7. Равномерное асимптотическое разложение решения Этот этап является заключительным в обосновании построенных асимптотик решения задачи (1.2.1), (1.2.2), он состоит в доказательстве оценки равномерной аппроксимации ре­ шения составным асимптотическим разложением ( ) (, ) =, (, ) +, (, ) + + (, ), +, (, ) +, (, ). (1.7.1),, Здесь использованы операторы выделения частичных сумм рядов, задаваемые определени­ ями 3.2.1, 3.3.2, и обозначение = 1/(2 1). В силу замечания 3.3.2, а также равенства (1.5.2), в которое подставлены значения =, = (2 1), и равенства (1.6.3) при = = (2 1), формула (1.7.1) совпадает с формулой (2.5.1), и поэтому согласно замечанию 1.2.1 следующая теорема является следствием теоремы 2.5.1.

Теорема 1.7.1. Для указанного выше составного разложения (1.7.1) и (, ) — решения задачи (1.2.1), (1.2.2) справедлива оценка | (, ) (, )| = ( ) [0, ], при 0, где 0 и N — произвольное достаточно большое число [101].

1.8. Графики главных членов асимптотических разложений и составного разложения для двух частных случаев 1. Кратко рассмотрим следующий частный случай задачи (1.2.1), (1.2.2), используя те же обозначения, что в предыдущих разделах этой главы:

= 2, (0, ) = 0.

Значение величины равно 2.

Эта задача относится к классу задач, рассмотренных в монографии [59, С. 64–82]. Тре­ буемое для применения теоремы Тихонова [23], [50, С. 28–31] условие о равномерной для всех значений параметра 0 из некоторого отрезка [0, ] асимптотической устойчивости неподвиж­ ной точки (0.10) присоединенной системы (0.11) здесь нарушается. Действительно, поскольку система (0.11) и ее стационарное решение (0.10) имеют вид, соответственно, ( ) ) ( = 0 ( ) ( ) 0, (1.8.1) и при 0 = 0 ее общим решением является функция ( ) =, то для произвольных на­ + чальных значений (0) = 0, удовлетворяющих неравенству 0 0 = 0, соответствующее стремится к при 1/0 + 0, что доказывает неустойчивость решение ( ) = +1/ решения (1.8.1) при значении параметра 0 = 0, а, следовательно, отсутствие равномерной устойчивости на произвольном отрезке [0, ].

Главный член внутреннего разложения — функция 0 ( ) удовлетворяет задаче Коши 0 = 0 2, 0 (0) =, поэтому 0 ( ) =.

+ Главный член промежуточного разложения — функция 3 1,0 () удовлетворяет уравне­ нию 1,0 = 1,0 2 +, (1.8.2) и условию согласования с внутренним разложением 1,0 = 1 + () при 0. (1.8.3) 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0.02 0.04 0.08 0.1 0.12 0.14 0.18 0.2 0.22 0.24 0.28 0.3 0. 0.06 0.16 0. Рис. 1.8.1. Цвета графиков: 0 () — зеленый, 3 1,0 () — оранжевый, 0 ( ) — синий, график состав­ ного разложения — лиловый. По оси абсцисс отложены значения переменной. Значения параметров выбраны следующими: = 0.02, = 1.

Следующей процедурой в монографии [59, С. 64–82] производится сведение задачи (1.8.2), (1.8.3) к задаче Коши для известного уравнения Эйри [106, С. 79–84]. Для этого в уравнении совершается замена переменных, задаваемая дифференциальным уравнением () 1,0 =, (1.8.4) () результате уравнение (2.6.2) приводится к уравнению Эйри:

=, (1.8.5) а условие принимает вид () = + () при 0. (1.8.6) () Условие (1.8.6) выделяет однопараметрическое семейство функций вида 0 (), где R{0}, 0 () — решение задачи Коши для уравнения (1.8.5) и начальных условий 0 (0) = 0, 0 (0) = 1.

Таким образом, 1,0, определяемая формулой (1.8.4), находится однозначно, продолжима на промежуток (0, ) и имеет асимптотическое представление при 0, которое легко может быть найдено из свойств решений уравнения Эйри (1.8.5): 1,0 = 1/2 + (1).

Главный член внешнего разложения — функция 0 () удовлетворяет конечному (не ) ( содержащему производных) уравнению 0 = 0 (), или, что то же самое, 0 () = ± при 0. Поскольку из согласования с промежуточным разложением следует, что 0 () при 0, то остается единственный вариант: 0 () =.

Составное разложение, график которого также изображен на рис. 1.8.2, построено на основе найденных главных членов разложения согласно формуле (1.7.1) и имеет вид 0 (, ) = 0 (1 ) + 3 1,0 (1/3 ) + 0 () 1.

2. Аналогично построим графики для частного случай задачи (1.2.1), (1.2.2) при = 3, используя те же обозначения, что в предыдущих разделах этой главы:

= 3, (0, ) = 0.

Эта задача уже не относится к классу задач, рассмотренных в монографии [59, С. 64–82].

Условие о равномерной для всех значений параметра 0 из некоторого отрезка [0, ] асимпто­ тической устойчивости неподвижной точки (0.10) присоединенной системы (0.11), требуемое для применения теоремы Тихонова [23], [50, С. 28–31] здесь выполнено. Действительно, си­ стема (0.11) и ее стационарное решение (0.10) имеют вид, соответственно, ( ) ) ( = 0 ( ) (1.8.7) ( ) 3 0. (1.8.8) Совершим сдвиг неизвестной функции ( ) = 0 + ( ), получим уравнение для новой переменной :

( ( ) 1 = ( ) 3( 3 0 + ( ))2 + (( ))2.

) (1.8.9) 2 Выберем в качестве функции Ляпунова простейшую положительно определенную квадра­ тичную форму ( ) = (( ))2, не зависящую от параметра 0. Производная в силу системы (1.8.9) функции ( ) равна выражению ( 1 ( ))2 3( 3 0 + ( ))2 + (( ))2, ) ( 2 которое не превосходит отрицательно определенной формы 1 (( ))4, которая тоже не за­ висит от параметра 0. Таким образом, равномерная при всех 0 0 асимптотическая устой­ чивость решения (1.8.8) уравнения (1.8.7) доказана.

Главный член внутреннего разложения — функция 0 ( ) удовлетворяет задаче Коши 0 = 0 3, 0 (0) =, 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0.02 0.04 0.08 0.1 0.12 0.14 0.18 0.2 0.22 0.24 0.28 0.3 0. 0.06 0.16 0. Рис. 1.8.2. Цвета графиков: 0 () — зеленый, 3 1,0 () — оранжевый, 0 ( ) — синий, график состав­ ного разложения — лиловый. По оси абсцисс отложены значения переменной. Значения параметров выбраны следующими: = 0.02, = 1.

поэтому 0 ( ) =.

2 + Главный член промежуточного разложения — функция 3 1,0 () удовлетворяет уравне­ нию 1,0 = 1,0 3, (1.8.10) и условию согласования с внутренним разложением 1,0 = + () при 0. (1.8.11) Уравнение (1.8.10) уже не сводится к уравнению Эйри, но лемма 3.4.2, обеспечива­ ет обоснование существования, продолжимости и асимптотического разложения в ряд при решения задачи (1.8.2), (1.8.3), при этом 1,0 () 3 при. Попытка найти функцию 1,0 () так же, как это было сделано в доказательстве леммы 3.4.2, виде суммы 1, () + приводит к сингулярной задаче Коши для функции () () + 1 ) = (() + 1 )3, ( 2 (0) = 0, решение которой численными методами затруднено. Поэтому график функции 1,0 () на ри­ сунке заменен приближением 1,0 (), полученным как решение задачи Коши с начальными 1, которой при 0 согласно соотно­ данными, взятыми с асимптотической кривой = шению (1.8.11) приближается график функции 1,0 () :

1,0 = ( 1,0 ), 1,0 (0 ) = 20, где в качестве 0 взято малое число = 0.02.

Главный член внешнего разложения — функция 0 () удовлетворяет конечному (не ) ( содержащему производных) уравнению 0 = 0 (), поэтому 0 () = 3 при 0. Это согласуется с тем, что 1,0 () 3 при.

Составное разложение, график которого также изображен на рис. 1.8.2, построено на основе найденных главных членов разложения согласно формуле (1.7.1) и имеет вид 0 (, ) = 0 (1 ) + 3 1,0 (1/3 ) + 0 ().

Глава Бисингулярная задача Коши для системы ОДУ с малым параметром, правая часть одного из которых вырождается в начальной точке 2.1. Постановка задачи В данной главе строится асимптотика решения начальной задачи = (,, ), (2.1.1) = (,, ), (0, ) =, (0, ) = 0, где 0 — малый параметр. Будем предполагать выполненными следующие условия.

1. (,, ) (,, ) Функции и бесконечно дифференцируемы на множестве = {,, : 0, | |, 0 }, 0.

2. На множестве при 0, 0 справедливо неравенство (,, ) 0.

3. (0, 0, 0) = 0, (0, 0, 0) 0, (0, 0, 0) = 0,... 1 (0, 0, 0) = 0, где 2, целое чис­ (0, 0, 0) 0, без ограничения общности будем считать, ло. Кроме того, пусть (0, 0, 0) = !, поскольку привести задачу к такому виду с сохранением всех усло­ что вий 1–3 можно с помощью простой линейной однородной замены переменных и.

4. (0, 0, 0) = 0.

Задача (2.1.1) позволяет полностью проиллюстрировать возможности теоремы 3.3.2, обобщающей результат теоремы 3.3.1 на случай когда ФАР представляется в виде суперпо­ зиции конечного числа рядов с заданными свойствами. Такая возможность появляется при переходе от промежуточного разложения к внешнему, когда для одного из рассматриваемой пары ФАР не выполняются не только условия замечания 3.3.2, но даже теоремы 3.3.1. Кроме того, при этом переходе нет возможности воспользоваться стандартным условием согласова­ ния вида (3.3.30), однако, при помощи нового соотношения согласования вида (3.3.25) в главе произведено обоснование обоснование полученных ФАР и доказана равномерная оценка при­ ближения точного решения составным асимптотическим разложением.

Исследование, проведенное для случая = 2 в совместной работе [96], показало, что стандартная процедура построения внешнего асимптотического разложения по степеням, такая, которая была применена, например, в главе 1 диссертации, дает неудовлетворитель­ ный результат: его не удается согласовать с разложением вблизи начальной точки = 0, поскольку для такого согласования оказываются нужны члены со степенями ln. Удобнее начать построение асимптотики с внутреннего разложения в его естественном виде.

2.2. Внутреннее разложение Введем в окрестности начальной точки новую растянутая независимую переменную = 1 и обозначения для неизвестных функций: (, ) (, ), (, ) (, ). Урав­ нения (2.1.1) для функций, будут иметь вид = (,, ), = (,, ), (2.2.1) (0, ) = 0, (0, ) = 0.

Асимптотические ряды функций и будем искать в виде следующих формальных рядов:

( ), (, ) = (2.2.2) = ( ), (, ) = (2.2.3) = подробные сведения об операциях с формальными рядами содержатся в приложении А.

(,, ) (,, ) Разложив функции и в ряды Тейлора в переменной точке = (0, 0 ( ), 0) и подставив формальные ряды (2.2.2), (2.2.3) в систему (2.2.1), по­ лучим следующую систему рекуррентных соотношений, приравняв коэффициенты при оди­ наковых степенях :

= (0, 0, 0), 0 (0) =, (2.2.4) = (0, 0, 0), 1 (0) = 0, (2.2.5) 1 = () + ()1 + ()1, 1 (0) = 0, 2 = () + ()1 + ()1, 2 (0) = 0, ··· = () + ( ), (0) = 0, (2.2.6) + = ( ), +1 (0) = 0, (2.2.7) где функции ( ) и 1 ( ) зависят от и с индексами, меньшими, чем. Нетрудно заметить, что ( ) и ( ) — это линейные комбинации произведений вида, коэффициентами при которых являются производные функций и в точке (0, 0, 0), а сумма числа, индексов и индексов равна, и только слагаемое () выделено из общей суммы ( ).

Применим лемму 3.4.1, принимая за () функцию (0,, 0), которая в силу условий 1.–3. удовлетворяет всем условиям указанной леммы. В результате получим, что решение 0 ( ) задачи Коши (2.2.4) существует и единственно при 0, может быть продолжено на луч [0, +) и разлагается в асимптотический ряд:

[/(1)] 1/(1) /(1), (ln ), +, 0 ( ) = (2.2.8) =0 = где 0,0 = ( 1)1/(1) ;

причем это решение 0 ( ) строго убывает на луче [0, +) и об­ ладает обратным отображением (), определенным на промежутке (0, 0 ], кроме того, при 0 справедлива асимптотика:

1 1 +1,3.

= ( 1) +,3 + 0,3 + 0,1,3 ln + =+2 = Уравнения (2.2.6) для остальных функций — линейные, а функции получаются простым интегрированием соотношений (2.2.7), поэтому существование и единственность ре­ шений соответствующих задач Коши и их продолжимость на весь луч [0, ) не вызывает сомнения (см., например, [107, С. 43–45]). Для получения асиптотики этих функций удобно перейти к другой независимой переменной, обозначив = 0 ( ). В силу (2.2.8) 0 когда. Будем пользоваться обозначениями (А.2.8)–(А.2.10) для формальных (или асимпто­ тических) рядов и теми свойствами, которыми они обладают, согласно лемме А.2.4. Уравне­ ния (2.2.6) и (2.2.7) переписываются следующим образом:

1 ( ) = (0,, 0) + ( ()), () = 0, (0,, 0) +1 = ( ()), +1 () = 0.

(0,, 0) Удобно, также, привести эти равенства к интегральной форме:

() = (0,, 0) ( ()), 2 (0,, 0) +1 () = ( ()).

(0,, 0) ) = (), ( Так как (0,, 0) = + +1 () = (), то (0,, 0) (0,, 0) = 1 () = +2 + ln.

1 () = (2.2.9) (0,, 0) Поскольку () = +1 () + ln, то 1 () = () () 2 ( +1 () + () ln ) = = () 2+2 + () +1 ln + () ln2.

1 ( ) 2 () = ()1 + ()1 + () () = (0,, 0) = () () 2+2 + () +1 ln + () ln2 = ( ) = () 3+3 + () 2+2 ln + () ln2.

Запишем полученные выражения для 1 (), 1 (), 2 (), в менее точной, но удобной для дальнейшего обобщения форме:

1 () = +2 1 (), 1 () = 2+2 2 (), 2 () = 3+3 3 (). (2.2.10) Используя эти сведения и то, что для случая = 2 в [98] была доказана следующая закономерность в изменении структуры этих функций:

() = 13 31 (), +1 () = 3 3 () при 1, сформулируем следующую теорему.

Теорема 2.2.1. Решения задач Коши (2.2.4) (2.2.7) существуют и единственны, продол­ жимы на весь луч [0, ) и обладают асимптотическими разложениями следующего вида при :

( ) = ( )(21)+1 31 (( )) = ((21)1)/(1) ( ), (2.2.11) +1 ( ) = ( )(21)+2 3 (( )) = ((21)+2)/(1) ( ) (2.2.12) при 1, а при = 0 — такого вида:

0 ( ) = ( ) = 1/(1) ( ), 1 ( ) = ( )+2 0 (( )) + ln ( ) = (2)/(1) ( ) + 1 ln, (2.2.13) где обозначение ( ) определено формулой (А.2.8). Все разложения (2.2.11)–(2.2.13) допуска­ ют почленное дифференцирование.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.