авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина На правах рукописи ...»

-- [ Страница 2 ] --

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обоснование существования, единственности и продолжимости указанных в формулировке теоремы решений, а так же соотношений (2.2.11) приведено вы­ ше. Из соотношений (2.2.8), (А.2.8) и (А.2.18) следует, что независимо от значения индекса верна запись (()) = ( ). Поэтому остается доказать только справедливость левых ча­ стей двойных равенств (2.2.11) и (2.2.12), из которых сразу же будет следовать, что правые их части тоже верны.

Произведем это доказательство методом математической индукции. База индукции — случай = 1 — рассмотрен при обосновании равенств (2.2.10). Предположим, что соотноше­ ния (2.2.11) и (2.2.12) выполнены при всех от 1 до некоторого. Докажем, что тогда и для = + 1 эти соотношения будут верны. Рассмотрим уравнения (2.2.6), (2.2.7), соответ­ ствующие этому индексу = + 1. Функции +1 и +1 имеют вид линейной комбинации слагаемых вида ++ (), (2.2.14) 1 = + 1, (,, ) = (0, 0, 0) для обеих функций +1 и +1, а в случае где + + 1, +1 еще и = (0, 1, 0). Для того, чтобы учесть появление ln в асимптотике 1 (), и в то же время описать все +1 () одной формулой, применим к выражениям, стоящим в равенствах (2.2.13), (2.2.12) свойство (А.2.17):

+1 () = (21)+2 3 () = (21)+2 3+1 (). Тогда получим, что слагаемые, со­ ставляющие функции +1 имеют асимптотики вида:

(21)+ (21)(1)+2 3(1)+1 () = = 1 2 (), (+1) () 1 )(1 2) + + + ( + 1) = где 1 = ( + + 1 = + + ( + 1) + (1 2)( + 1), 2 = 3( + + ) 2 2 = 2 2 + 3( + 1).

1 Получившиеся зависящими только от аргументов (,, ) величины 1 и 2 достигают соответ­ ственно минимума и максимума в одной и той же точке описанного выше множества точек (,, ), участвующих в задании слагаемых для функции +1 ;

это точка = 0, = 1, = 0.

Действительно, полученная функция 1 (,, ) возрастает и при увеличении любого из ин­ дексов, или. Поэтому наименьшее значение 1 (,, ) на множестве 0, 0, достигается в точке (0, 0, 0). Но, поскольку эта точка исключена из множества допустимых значений индексов, участвующих в формуле (2.2.14), для получения минимального значения на этом множестве нужно сместиться из точки (0, 0, 0), увеличив на 1 один из индексов, или. Выбирая наименьшее из трех получившихся при таких смещениях значение, находим, что точка минимума располагается в точке (0, 1, 0), и совершенно аналогично получаем, что данная точка является точкой максимума функции 2 (,, ) на указанном множестве допу­ стимых значений индексов. С помощью соотношений (А.2.15) и (А.2.17) легко видеть, что если некоторые числа, связаны друг с другом так, что 1,1 1,2 и 2,1 2,2, то можно записать, что 1,1 2,1 = 1,2 2,2. Таким образом, доказано, что +1 = (12)(+1)1 3(+1)1 (). (2.2.15) Для того, чтобы доказать правильную оценку асимптотики функции +1 нужно при­ влечь дополнительно более точные сведения о производных функции по переменной.

Не достаточно, как это было сделано выше для функции, применять единую оценку вида 0 () для всех производных функции, но можно заметить следующее:

поскольку в силу пункта 3 постановки исходной задачи функция (0,, 0) может быть асимп­ тотически представлена при 0 в виде (1 + ( )), где ( ) — некоторый степенной ряд, то () () = 0 () при 0 1 и = 0 () при. Поэтому, применяя те же обозначения, что и выше, можно записать, что слагаемые, составляющие функции + имеют асимптотики вида: 1 2 (), где 2 = 2 2 + 3( + 1), а значение 1 опреде­ ляется различными формулами для различных наборов точек (,, ) :

если = 0, = 0, 2 1, то это значение равно + (1 2)( + 1), в остальных случаях оно равно + + ( + 1) + (1 2)( + 1).

Здесь точкой достижения минимального значения величины 1 и одновременно максималь­ ного значения величины 2 оказывается точка = 0, = 2, = 0. Таким образом, +1 = (12)(+1)+ 3(+1)2 (). (2.2.16) Подставляя выражения (2.2.15) и (2.2.16) в уравнения (2.2.6), (2.2.7), взятые при = + 1, получим:

+1 () = 0 () (12)(+1) 3(+1)2 () = [поскольку (1 2)( + 1) 2, можно применить свойство (А.2.12)] = (12)(+1)+1 3(+1)1 (), +2 () = (12)(+1)+1 3(+1)1 () = = (12)(+1)+2 3(+1) (). Теорема доказана.

Кроме того, прямой подстановкой ряда (2.2.13) в уравнение (2.2.5) находим, что (0, 0, 0) ln (1 + (1)) при, 1 ( ) = 1 = (0, 0, 0). (2.2.17) 2.3. Промежуточное разложение Для того, чтобы связать между собой построенное выше внутреннее асимптотическое разложение решения задачи (2.1.1) и внешнее разложение, которое будет записано ниже, можно ввести дополнительный промежуточный масштаб независимой переменной и соот­ ветствующее ему промежуточное разложение. Напрямую согласовать внешнее и внутреннее разложения не возможно, поскольку вблизи точки = /(21) обе эти пары рядов перестают быть асимптотическими для какой бы то ни было функции.

Произведем замену переменных =, (, ) (, ), (, ) (, ), здесь и ни­ же в этой главе используется обозначение = 1/(2 1) для краткости записи показате­ лей степеней параметра. Для того, чтобы получить правильную систему калибровочных функций асимптотических рядов для функций (, ) и (, ), нужно переписать в пере­ менной частичные суммы рядов внутреннего разложения (2.2.2), (2.2.3), в которых функ­ ции (, ) и (, ) заменены частичными суммами своих асимптотических представлений (2.2.11)–(2.2.13).

Для того, чтобы воспользоваться теоремой 3.3.1, запишем ряды (, ) и (, ) в фор­ ме рядов (3.2.6), а асимптотики их коэффициентов приведем к форме 3.2.12. Здесь и ниже значение = 1 будет соответствовать функциям,,, а значение = 2 — функциям,,.

В качестве переменной в теореме 3.3.1 будет выступать независимая переменная внутрен­ него слоя, символом будет обозначена переменная промежуточного слоя, величина бу­ дет равна ( 1) Подставив асимптотические разложения (2.2.11)–(2.2.13) в ряды (2.2.2),.

(2.2.3) вместо коэффициентов ( ) и ( ), получим формальные ряды соответствующие рассматриваемым в главе 3 рядам (3.3.1):

(2 1)1 (ln ),;

,;

,, (, ) = (2.3.1) =0 =0 = (2 1)+2 (ln ),2,;

,;

,.

(, ) = 1 ln + (2.3.2) =0 =0 = Внеся стоящее отдельно слагаемое 1 ln внутрь сумм, увеличив при этом верхний предел суммирования последней суммы:

+ (2 1)+2 (ln ),;

,;

,, (, ) = (2.3.3) =0 =0 = Основные коэффициенты, определяющие структуру соответствующих рядов 3.3.1, имеют следующие значения ;

0 = 0, ;

1 = 1, ;

0 = 0, ;

1 = 0, 2 ;

0 = ( 1)1, ;

1 = ;

2 = ( 1)1, ;

3 = ( 1)1, (2.3.4), ;

1 = ( 1)1.

;

0 = 0, ;

0 = 1, ;

1 = 1, ;

0 = 0, ;

1 = 0, 2 2 ;

2 = ( 1)1, ;

3 = ( 1)1, (2.3.5) ;

0 =, ;

1 =, 1 ;

1 = ( 1)1.

;

0 = 1, Коэффициенты (2.3.4) и (2.3.5) удовлетворяют всем условиям (3.2.13)–(3.2.17) поэтому к рядам (2.2.2), (2.2.3), (2.3.1), (2.3.3) можно применить теорему 3.3.1.

Так как ;

1 = ;

0 = ;

1 = ;

0 = 0, то согласно замечанию 3.3.2 существуют фор­ мальные ряды 1 (2 1) 1+ (ln ),0;

,;

,, (, ) (ln ) =0 =0 =0 = (2.3.6) +1 + 1 +2 (2 1) (, ) = (+1) (ln ) (ln ),0;

,;

,, 1 =0 =0 =0 = соответствующие рядам (3.3.29) такие, что справедливы следующие равенства для конечных сумм рядов (2.3.1), (2.3.3) и (2.3.6):

(2 1)1 (ln ),;

,;

, = =0 =0 = 1 (2 1) 1+ (ln ) (ln ),0;

,;

,, = =0 =0 =0 = + (2 1)+2 (ln ),;

,;

, = =0 =0 = +1 + 1 +2 (2 1) = (+1) (ln ) (ln ),0;

,;

,, 1 =0 =0 =0 = которые могут быть записаны в терминах определения 3.3.2:

, 1)1 1, (, ) = + 0 +1)1 +(2 1), (, ) (2.3.7) (2 (, 1 +1, 1)1 1, (, ) = +(+1) 0 +1)1 +(2 1) +2 1, (, ) (2.3.8) (2 (, 1 и определения 3.3.3:

+, (, ) =, + (, ),,, (2.3.9) +(+1) +1, (, ) = +1, +(+1) (, ),,, если ввести обозначения для соответствующих рядам (3.3.31) новых формальных рядов (, ), (, ) (ln ), (), (, ) (2.3.10) =0 = + (, ) (+1) (ln ), () (2.3.11) =0 = и по аналогии с тем, как это сделано в замечании 3.3.2 в отношении рядов (3.3.32), предпо­ ложить, что для коэффициентов, (),, () справедливы асимптотические разложения (2 1) 1+ (ln ),0;

,;

,,, () = (2.3.12) =0 = + +2 (2 1) (ln ),0;

,;

,.

, () = (2.3.13) 1 =0 = Если теперь учесть, что ряд (2.3.3) в более точной записи имеет структуру (2.3.2) и переразложить слагаемое 1 ln отдельно от остальной части суммы ряда (2.3.2), получим:

1 ln = 1 ln + 2 ln, где 2 = ( 1) 1, (2.3.14) а 1 определяется формулой (2.2.17). Применяя к остальной части выражения (2.3.2) заме­ чание 3.3.2 для следующих значений,2;

0 = 1,,2;

1 = 1,,2;

0 = 0,,2;

1 = 0, 2 2,2;

2 = 1,,2;

3 = ( 1)1,,2;

0 =,,2;

1 =, 1,2;

1 = ( 1)1,,2;

0 = 0, отличающихся от значений (2.3.5) только в отношении коэффициента 0 и удовлетворяющих всем условиям (3.2.13)–(3.2.17), получим равенство (2 1)+2 (ln ) Z,2,;

,;

, = =0 =0 = 1 +2 (2 1) (+1) (ln ) v,2,0;

,;

,.

= (ln ) 1 =0 =0 =0 = Таким образом, формальные ряды (2.3.10), (2.3.11) и (2.3.12), (2.3.13) можно представить в следующем виде:

[(1)/(1)] (ln ), (), (, ) = =1 = (2.3.15) [(1)/(1)] (ln ), (), (, ) = 21,1 () ln + =+1 = [ ] (ln ),,,,, () = 1 (2.3.16) =0 = 1 21,0,,0 ;

21,1 () = 2, +1,0 () = 1 ln + = (2.3.17) [ ] 21 (ln ),,, при = 2 1.

, () = 1 =0 = Для рядов (2.3.16), (2.3.17) ниже будет доказано, что они являются асимптотическими для соответствующих коэффициентов рядов (2.3.15) при 0. Таким образом, при малых значениях и значения функций (, ) и (, ) должны тоже быть малыми.

Система уравнений (2.1.1) в новых переменных принимает вид:

= (1) (,, ), (2.3.18) = (,, ), Раскладывая правые части уравнений (2.3.18) в ряды Тейлора в точке (0, 0, 0), и под­ ставляя в эти уравнения ряды (2.3.15), получим рекуррентную систему уравнений (в них для сокращения записи не указывается точка (0, 0, 0), в которой вычисляются все участвующие производные функций и ) для нахождения коэффициентов рядов (2.3.15):

1,0 () + () = 0;

(2.3.19) 1, +1,0 () 1,0 () = 0;

(2.3.20) 1 +1 + 2,0 + 1 2,0 1,0 +1,0 = 0;

1, ( + 1)! +1 1, 1 2 +2,0 2,0 +2,0 = 0, 2 2 1, где +2,0 =, если = 2, и ноль в остальных случаях;

21,1 () 0, 21,1 (0) = 2 ;

при = 2 и отличном от нуля значении величины 2, определяемой формулой (2.3.14), про­ изведение 2 ln становится главным членом ряда (2.3.15);

1 2 2 ) +2 + 3,0 + 1,0 3,0 + ( 2,0 1,0 1,0 2,0 + 2 +2 1 3 2 1,0 +1,0 +2,0 = 0;

(2.3.21) 1, 2 2 3 +3,0 3,0 2,0 1,0 +3,0 = 0, 3 1, где +3,0 =, если = 3, +3,0 = 1,0, если = 2, и ноль в остальных случаях.

При всех значениях 1 и 0 [ 1 ] функции, () (за исключением функции 1,0 ()) и +, () удовлетворяют уравнениям, + 1,, () = 0, (2.3.22) 1, +, +, () = 0, (2.3.23) в которых функции +, () выражаются через функции, () и +, () с индексами, и поэтому при конкретных и уравнение (2.3.22) может быть решено отдельно от (2.3.23), а функция +, () зависит от, и также от, () и +, () с индексами и может быть решено после того, как из (2.3.22) будет найдена функция,. Существование решения уравнения (2.3.19), имеющего асимптотическое разложение вида (2.3.16) с коэффи­ циентом 1,0,0,0 0 подробно доказано в лемме 1.5.1. Там же доказана продолжимость такого решения как угодно далеко вправо и показано, что при (21) 1,0 = +, (2.3.24) = где 1 = 2. Уравнения (2.3.22) и (2.3.23) являются линейными, и потому существование и продолжимость их решений не вызывают сомнений.

Теорема 2.3.1. Существуют функции, () и +, () — решения системы уравнений (2.3.19)–(2.3.22), для которых, соответственно, ряды (2.3.16) и (2.3.17) являются асимп­ тотическими представлениями при 0 [99]. Ряды (2.3.15) и (2.2.2) согласованы, соотно­ шения (2.3.9) являются верными тождествами.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим теорему 3.3.1 принимая в качестве значений коэффи­ циентов (3.2.13), участвующих в записи рядов (3.1.5), (3.2.12) числа (2.3.4) и (2.3.5), а в качестве коэффициентов, участвующих в выражении (3.3.36), являющимся другой записью выражения (3.3.35), следующие числа:

;

0 = (1 ) ;

1 =, ;

0 = 0, ;

1 = ( 1)1,, ;

1 =, ;

0 = 1, ;

1 = ( 1)1, ;

0 =, которые соответствуют выписанной ранее рекуррентной системе уравнений (2.3.19)–(2.3.22).

Выполненность условия (3.2.11) обеспечивается следующими значениями коэффициентов ;

0 = ;

1 = ;

0 = ;

1 = 1, которые также соответствуют процедуре получения системы (2.3.19)–(2.3.22), причем ( ) = ( ) = + 1.

В результате применения теоремы 3.3.1 получаются оценки вида (3.3.38), означающие, что существуют число 1 0 и последовательность чисел 0, Z+, таких, что левые ( ) части уравнений (2.3.19) и (2.3.20) могут быть оценены как 0, а левые части уравнений ( ) (2.3.22) и (2.3.23) — как при (0, 1 ), если вместо функций, () и, () в них подставить частичные суммы 0, () и 0, () рядов (2.3.16) и (21) 1 (21) +,, 1 (2.3.17).

Далее воспользуемся леммами 3.4.3 и 3.4.4 и тем фактом, что уравнение для любой из функций +, () имеет вид (2.3.23), решение которого находится простым интегрированием правой части. В результате получим существование требуемых функций, () и +, (), обладающих всеми указанными в формулировке теоремы свойствами. Теорема доказана.

Из замечания 3.3.4 вытекает следующее Замечание 2.3.1. Пусть (, ), (, ) — произвольные функции, ограниченные и диф­ (, ) : (0, 0 ), (0, (1) ]. Обозначим { } ференцируемые по на множестве как ;

;

;

(, ) и ;

;

;

(, ), соответственно, следующие выражения (,, ), (2.3.25) (,, ), (2.3.26) для краткости используя обозначения = ;

1 + ;

0, (, ) + (, ), = ;

1 +;

0, (, ) + (, ).

Тогда для выражений (2.3.25), (2.3.26) справедливо соотношение:

0 0 : N {0} выполняются равенства:

21 ) ;

;

;

(, ) = +1 ( +1) 1 + 1 + + ( ) + ( ), ( ( ( +1) 21 + ) + 1 + ( ) + ( ) ;

;

;

(, ) = +1 1 при (0, 0 ), (0, (1) ], где ( ) = max{1, }.

Для удобства исследования асимптотики коэффициентов промежуточного разложения при сделаем замену переменной, не зависящую от параметра : =. Функция, () при 1, согласно равенству (2.3.22), удовлетворяет следующему интегральному уравнению:

( ), () = (), () 1 () 1 +,, (2.3.27) ( ) 1,0 () ( 2 ) 1,, — постоянная интегрирования, здесь функции где () = exp, и 1,0 рассматриваются относительно переменной. Согласно формуле (2.3.24) верно (21) при, где 1 = 2. Договоримся обозначать равенство: 1,0 () = + = символом () функцию, имеющую асимптотику вида min{,+} min{,}, (ln ), () =, (ln ) = = = =0 = обладающую свойством () () = + (), тогда ( ( 1 ) 2 2+2 + 4+3 0 () ) ( 2 ) 1 = () = exp ( 2 ( ) ) 21 + ln + 0 () = exp 21 0 (), = exp 2 1 2 Поэтому константы,, стоящие в формуле (2.3.27), вносят в асимптотику функций, () лишь экспоненциально малый вклад. Степенную асимптотику функций, () будем определять, применяя интегрирование по частям в равенстве (2.3.27). Уравнение (2.3.23) также можно переписать в интегральной форме:

, () =, () 1 +, (2.3.28) Сначала построим асимптотические разложения нескольких первых коэффициентов проме­ жуточного разложения, а уже затем рассмотрим общий случай. Из уравнений (2.3.20)–(2.3.21) следует, что 21,1 2 ;

+1,0 () = 0 (), +1,0 = 0 () = +1 0 () + ln ;

2,0 () = +1 0 () + ln, 2,0 () = 2 0 () + 1 ln 0 () +2,0 () = 2 0 () + 1 ln 0 (), +2,0 = +2 0 () + ln 0 () + ln2 ;

3,0 () = +2 0 () + ln 0 () + ln2, 3,0 () = 3 0 () + 2 ln 0 () + 1 ln2 0 ();

+3,0 () = 3 0 () + 2 ln 0 () + 1 ln2 0 (), +3,0 = +3 0 () + 2 ln 0 () + ln2 0 () + ln3.

Оказывается, справедлива следующая гипотеза:

, () = +1 1 ();

(2.3.29), () = 1 ();

(2.3.30) +, () = 1 ();

(2.3.31) +, () = + 1 () +, (ln ) ;

(2.3.32) Понятно, что найденные выше более точные выражения для функций, стоящих в левых частях соотношений (2.3.29)–(2.3.32) с начальными индексами, удовлетворяют этим соотно­ шениям. Пусть теперь равенства (2.3.29)–(2.3.32) имеют место при = 1,..., 0 1 и всех допустимых при этих значениях. Рассмотрим случай = 0. Функция, () пред­ ставляет собой линейную комбинацию с постоянными коэффициентами произведений, вида, () = 1,1..., 1,1...,, (2.3.33) = + 1;

где + + + =.

=1 = =1 = +, () = 1 () Переписав соотношение (2.3.31) в виде и равенство (2.3.32) в несколько менее точной, но более удобной для расчетов форме +, () = (), легко видеть, что, () = (), ( ) ( ) = + 1, где = + + =1 =1 =1 = ( ( ) ) + = = =1 =1 =1 = = ( + 1 ) и, таким образом, равенство (2.3.29) доказано. А тогда, вычислив по частям интеграл в формуле (2.3.27), получим, что (2.3.30) — также верное равенство.

Функция +, () представляет собой линейную комбинацию с постоянными коэф­ фициентами произведений +, (), аналогичных (2.3.33), только для индексов функций, участвующих в этих произведениях, выполняются несколько иные соотношения:

+ + = ;

+ =.

=1 = =1 = Поэтому +, () = (), ( ) ( ) =, где = + + =1 =1 =1 = ( ( ) ) + = = =1 =1 =1 = = ( ) и, таким образом, получается соотношение (2.3.31).

Подставляя найденное выражение для +, () в уравнение (2.3.28), имеем:

+, () = +, ()1 = + 1 + (ln ).

Таким образом, шаг индукции доказан, и, значит, асимптотические формулы (2.3.29)–(2.3.32) верны для всех функций, и +,. Итак, при min{1,} ;

,;

, (ln ), 21,1 () 2,, () = =0 = min{1,} + ;

,;

, (ln ) +, (ln ), +, () = (2.3.34) =0 = кроме того, прямой подстановкой ряда (2.3.34) для функции +1,0 () в уравнение (2.3.20) находим, что + +1,0 () = (0, 0, 0) (1 + (1)). (2.3.35) + 2.4. Внешнее разложение Теперь нужно осуществить переход от промежуточного разложения ко внешнему, от переменной к исходной переменной =, здесь как и выше использовано обозначение = 1/(2 1). Вновь запишем ряд (, ) в форме ряда (3.2.6), а асимптотики их коэффици­ ентов приведем к форме 3.2.12. В качестве переменной, используемой в теоремах 3.3.1, 3.3.2, будет выступать независимая переменная промежуточного слоя, символом будет обозна­ чена переменная внешнего слоя. Величина равна /(2 1). Подставив асимптотические разложения (2.2.11)–(2.2.13) в ряды (2.3.15) вместо коэффициентов, () и +, (), полу­ чим формальные ряды (, ) и (, ), соответствующие рассматриваемым в главе 3 рядам (3.3.1), при этом для ряда (, ) эта процедура несколько сложнее, чем для ряда (, ), который имеет вид +1 (ln ) (ln ),;

,;

,, (, ) = (2.4.1) =0 =0 =0 = и соответствующие ему коэффициенты ;

1 = ( 1)1, ;

0 =, ;

1 =, ;

0 = 0, ;

0 = 1, ;

1 = 1, ;

2 = 1, ;

3 = 1, ;

0 = 0, ;

1 = 1, = удовлетворяют всем условиям (3.2.13)–(3.2.17). Согласно лемме 3.3.1 существует формаль­ ный ряд +1 (ln ),0;

,;

,, (, ) = (ln ) (2.4.2) =0 =0 =0 = частичные суммы которого удовлетворяют соотношению + (ln ),;

,;

, = (ln ) =0 =0 =0 = + min{,} + (ln ),0;

,;

, + ;

, (, ), = (ln ) =0 =0 =0 = имеющему представление + 1)1 2, (, ) =, 0 +1)1 + +1, (, ) + ;

, (, ), (2.4.3) (2 (, причем для остаточного члена ;

, (, ) выполняется оценка (2) ( ) +1 + 1 (1) ;

, (, ) = при 1, (2.4.4) здесь и ниже в данном разделе символ обозначает как угодно малое положительное число.

Ряд (, ) удобнее сначала записать в более точной форме ++ v (, ) = (+1) (ln ) v1,;

,;

, + 2 ln, (ln ) (2.4.5) =0 =0 =0 = а уже потом включить стоящее отдельно в разложении (2.4.5) слагаемое 2 ln в общую структуру ряда вида (3.3.1):

+ ++1 (+1) (ln ),;

,;

,, (, ) = (ln ) (2.4.6) =0 =0 =0 = поскольку соответствующие ряду (2.4.6) коэффициенты ;

0 = ( 1)1, ;

1 = ( 1)1, ;

0 = ( + 1) ;

1 =,, + ;

1 = 1, ;

2 = 1, ;

3 = 1, ;

0 =, ;

0 = 0, ;

1 = 1, = не удовлетворяют неравенству ;

0 ;

0 0, которое в силу неравенства ;

0 0 и соотно­ шения (3.2.16), являющегося одним из условий теоремы 3.3.1, требуется для ее применения.

Таким образом, к рядам (2.4.1), (2.4.6) нельзя применить теорему 3.3.1, однако условия тео­ ремы 3.3.2 выполнены и ей можно воспользоваться. Отметим, что согласно замечанию 3.3.1 в условия леммы 3.3.1 можно не включать соотношение (3.2.16), поэтому не смотря на то, что ;

0 ;

0 = 0, лемму 3.3.1 можно применить как ко всему формальному ряду (2.4.6) цели­ ком, так и к его составляющим по-отдельности. Различные по форме ряды (2.4.5) и (2.4.6), разумеется, предполагаются совпадающими по существу, т.е. при произвольных степенях (ln ) в них стоят одинаковые коэффициенты.

В качестве составляющих (2.4.6), соответствующих разложению (3.3.95), возьмем сумму и отдельное слагаемое 2 ln формального выражения (2.4.1). Для первой составляющей, не включающей слагаемого 2 ln :

++1 (+1) (ln ) v1,;

,;

,, 1 (, ) = (ln ) (2.4.7) =0 =0 =0 = коэффициенты имеют вид:

1 ;

1 = ( 1)1, 1 ;

0 = ( + 1) 1 ;

1 =, 1 ;

0 = 0,, + 1 ;

1 = 1, 1 ;

2 = 1, 1 ;

3 = 1, 1 ;

0 =, 1 ;

0 = 0, 1 ;

1 = 1, 1 =.

С помощью леммы 3.3.1 для этой части выражения (2.4.5) получим, что существует фор­ мальный ряд ++1 (ln ) V1,0;

,;

,, 1 (, ) = (ln ) (2.4.8) =0 =0 =0 = частичные суммы которого удовлетворяют соотношению ++1 (+1) (ln ) v1,;

,;

, = (ln ) =0 =0 =0 = + min{,} ++1 (ln ) V1,0;

,;

, + 1 ;

, (, ), (2.4.9) = (ln ) =0 =0 =0 = которое может быть записано как +(+1) 1)1 2, 1 (, ) =, 0 +1)1 + ++1, 1 (, ) + 1 ;

, (, ), (2.4.10) (2 (, где остаточный член V1 ;

, (, ) удовлетворяет оценке (2) ( ) ++1 V1 ;

, (, ) = + при 1.

(1) Для отдельно стоящего слагаемого 2 ln запишем ряд вида (3.2.6), включающий слагаемое такого вида:

+ ++1 (ln ) (ln ) v2,;

,;

, 2 (, ) = (2.4.11) =0 =0 =0 = и соответствующие ему коэффициенты:

2 ;

0 = ( 1)1, 2 ;

1 = ( 1)1, 2 ;

0 = 1, 2 ;

1 =, +, 2 ;

1 = 1, 2 ;

2 = 1, 2 ;

3 = 1, 2 ;

0 = 2 ;

0 = 0, 2 ;

1 = 1, 2 =.

Согласно лемме 3.3.1 существует формальный ряд ++1 (2) (ln ) V2,0;

,;

, 2 (, ) = (ln ) (2.4.12) =0 =0 =0 = для частичных сумм которого выполняются соотношение + ++1 (ln ) (ln ) v2,;

,;

, = =0 =0 =0 = + + min{,} ++ (2) (ln ) V2,0;

,;

, + 2 ;

, (, ), (2.4.13) = (ln ) =0 =0 =0 = но в данном случае лучше воспользоваться не им, а тем фактом, что исходный формальный ряд (2.4.12) есть одночлен 2 ln, не зависящий от, приходим к выводу, что и результи­ рующая сумма будет равна одному этому слагаемому, т.е. соотношение (2.4.13) может быть записано в виде тождества 2 ln = 2 ln. Применив лемму 3.3.1 к ряду (2.4.6) целиком, получим существование формального ряда ++ (ln ),0;

,;

, (, ) = (ln ) (2.4.14) =0 =0 =0 = и соотношение для его частичных сумм + ++1 (+1) (ln ),;

,;

, = (ln ) =0 =0 =0 = + + min{,} ++1 (ln ),0;

,;

, + ;

, (, ), = (ln ) =0 =0 =0 = которое может быть записано как +(+1) 1)1 2, (, ) =, 0 +1)1 + ++1, (, ) + ;

, (, ), (2.4.15) (2 (, причем для остаточного члена ;

, (, ) справедлива оценка (2) ( ) ++1 + 1 + 1 (1) ;

, (, ) = при 1. (2.4.16) Хотя идентичность вида рядов (2.4.14) и (2.4.8) не позволяет уточнить структуру ряда (2.4.14), основываясь на разбиении выражения (2.4.5) на составляющие, все же докажем равенство (, ) = 1 (, ) + 2 ln, (2.4.17) устанавливающее связь между рядами (2.4.14) и (2.4.8). Действительно, поскольку при 1 из соотношений (2.4.5), (2.4.7) следует, что ++1, 1)1 2, (, ) = ++1, 1)1 2, 1 (, ) + 2 ln, (2.4.18) (2 ( 2 1 2 то из соотношений (2.4.18), (2.4.15) и (2.4.10) получим соотношение 0 +1)1 + ++1, (, ) = (, 2 1 = ++1, 1)1 2, 1 (, ) + 2 ln + 1 ;

, (, ) ;

, (, ), ( 2 1 подставив в которое оценки (2.4.9), (2.4.16) придем к равенству формальных рядов (2.4.17).

Перейдем от формальных рядов (2.4.2), (2.4.14) вида (3.3.3) к рядам (ln ), (), (, ) = =0 = (2.4.19) (ln ), (), (, ) = =0 =, () = (ln ), (2.4.20) =, () = (ln ). (2.4.21) =1+ по аналогии с тем, как это сделано для рядов (3.3.26) и (3.3.27). Заметим, что из соотношений (2.3.24), (2.3.35) следует, что 0,0 () = (1 + (1)), (2.4.22) +1 + 0,0 () = (0, 0, 0) + ( ).

+ Подставим ряды (2.4.19) в систему (2.1.1), раскладывая функции (,, ) и (,, ) в ( ) ряды Тейлора в переменной точке Q () =, 0 (), 0 (), где для краткости функции 0,0 () и 0,0 () обозначены как 0 () и 0 (), и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях (ln ) в правой и левой частях каждого из равенств, в результате получится система уравнений:

(, 0 (), 0 ()) = 0, (2.4.23) (, 0 (), 0 ()) = 0, (2.4.24) 2+1, (0 ()), (0 ()),, () = 0, (2.4.25), (0 ()), (0 ()),, () = 0, (2.4.26) где 0 и 0 ;

функции, () и, () зависят от 1,1 и 2,2 с индексами 1 и 2, меньшими, чем ;

функции, при 1, а также при + 1 введены для единообразия записи и определены равными тождественно нулю.

Лемма 2.4.1. Пусть пара функций () и () является решением системы уравнений 0 = (, (), ()) + 1 (), (2.4.27) = (, (), ()) + 2 (), (2.4.28) 1 () C (0, ] где функции для некоторого 0;

() = + ( ), + (0, 0, 0) (1 + (1)), () = ( ) при 0, где 1, = 1, 2. Тогда суще­ () = + ствует пара функций 0 () и 0 () из C (0, 1 ] — решение системы (2.4.23), (2.4.24), такая, что 0 () () = ( 1 ), 0 () () = ( 1 ) при 0.

=, =, = +1, Д о к а з а т е л ь с т в о. Сделаем замену переменных: 0 = 0, 0 = +1 0 и обозначим (,, ) = (,, +1 ) и = (0, 0, 0).

+ Тогда система (2.4.27), (2.4.28) примет вид:

0 = (, (), ()) + 1 ( ), (2.4.29) (+1 ()) ( ) = 1 (, (), +1 ()) + 2 ( ), (2.4.30) а система (2.4.23), (2.4.24) — вид:

0 = (, 0 (), 0 ()), (2.4.31) (+1 0 ()) = 1 (, 0 (), +1 0 ()). (2.4.32) Несложно видеть, что функция (,, ) принадлежит классу C на некотором ограничен­ ном множестве переменных,, : (0, ] = {0 1, 0 1, 1 1 }, при­ чем числа 1 и 1 можно выбрать произвольно за счет некоторого уменьшения числа 1, выберем 1 ||. При фиксированных значениях (, ) для функции (,, ) справед­ ливо асимптотическое разложение при 0 :

(, ) = 1 + 1 + 2 + (2 ), (,, ) = = где (, ) C () Поэтому функцию (,, ) можно доопределить по непрерывности на множество { = 0}, причем полученное продолжение будет класса C [0, ]. Для ( ) любых значений 0 (1, 1 ) определенное по непрерывности значение (0, 1, 0 ) равно 0, а значение (0, 1, 0 ) равно. Согласно теореме о неявной функции (см., например, [105, С. 453–455]) отсюда получается, существует некоторая полуокрестность = [0, 0 ) (0, 1, ) точки уравнение (2.4.31) в каждой фиксированной точке (, ) [0, 0 ) имеет единственное решение. Из этих решений можно составить функцию = 0 (, ) C [0, 0 ), такую что (, 0 (, ), ) = 0.

( ) По условию 1 ( ) = ( ) и при 1 справедливы совершенно аналогичные рас­ суждения и равенства и для правой части уравнения (2.4.29). В частности, можно считать, что в той же окрестности определена функция (, ) класса C [0, 0 ), такая что ( ) (, (, ), ) + 1 ( ) = 0. Из условий леммы следует, что пара функций () 1 ( ) и () 1 ( ) является решением системы (2.4.29), (2.4.30), поэтому из существования и единственности решения уравнения (2.4.29) и непрерывности функции () получим, что () (, ()) при [0, 0 ).

Теперь нужно показать существование функции 0 () класса C, являющейся решени­ ем уравнения (2.4.32) с подстановкой выражения 0 () = (, 0 ()), близкой к функции ().

+ (1 + (1)), то () при 0. Поэто­ Заметим, что так как по условию леммы () = му для того, чтобы функция 0 () оказалась близкой к функции (), желательно выбрать начальное условие 0 (0) =. Запишем уравнение (2.4.32) в нормальной форме и подставим функцию (, 0 ()) вместо 0 (), получится задача следующая Коши:

0 () = ( + 1)1 0 () + 2 (, 0 (), +1 0 ()), 0 (0) =. (2.4.33) Начальная задача (2.4.33), вообще говоря, не удовлетворяет условиям теоремы Коши-Пеано о существовании решения задачи Коши (см., например, [108, С. 14–16]), поскольку правая часть дифференциального уравнения содержит слагаемое ( + 1)1 0 (), не имеющее конеч­ ного предела в начальной точке = 0, 0 =. Поэтому докажем существование решения, не опираясь на эту теорему.

После перехода к эквивалентным интегральным представлениям, от уравнений (2.4.30) и (2.4.32) получатся, соответственно, уравнения ( ( ) () = 1 1, (, ()), +1 () + 2 ( ), ) (2.4.34) 0 () = 1 1, 0 (, 0 ()), +1 0 (), ( ) (2.4.35) где [0, ] и 1. Постоянные интегрирования выбраны равными нулю, поскольку по + условию () = ( ), то есть () должна быть ограничена. Заметим, что все решения уравнений (2.4.34) и (2.4.35) удовлетворяют начальному значению. Действительно, предпо­ ложим, что функция 0 (), удовлетворяющая уравнению (2.4.35), стремится к 0 при 0.

Тогда из определения функции (, ) следует, что (, 0 ()) = 1 + () при 0. Значит ( ) 0 () = 1 1 (0, 0, 0) 1 + (1) + ( ) = ( ) (1) = + (1), таким образом, 0 () при 0. Совершенно ана­ = (0, 0, 0) + + логично можно получить, что согласно уравнению (2.4.34) пределом () при 0 является число. Сделаем сдвиг зависимой переменной () = 0 (), тогда:

() = 1 1, 0 (, () + ), +1 (() + ) ((·)).

( ) (2.4.36) Для доказательства существования решения уравнения (2.4.30) достаточно проверить, что к оператору можно применить теорему о неподвижной точке сжимающего отображе­ ния. Для удобства и краткости записи временно опустим индекс у функции. Подберем такое малое положительное значение, что оператор окажется сжимающим, отображающим пол­ ное метрическое пространство [0, ] в себя, где [0, ] назовем множество всех непрерывных на отрезке [0, ] функций (), мажорированных константой, таких что (0) = 0, с метри­ кой, соответствующей норме в пространстве непрерывных функций C[0, ]. Будем считать, что значение функции () в точке = 0 назначается по непрерывности, если эта функция имеет в нуле конечный предел.

Проверим, что оператор — сжимающий.

( ( 1 () 2 () = 1, (, ), +1 (, )+ ) ) ( ) +, (, ), +1 +1 (1 () 2 ()), где — лежит между 1 () + и 2 () +. Поскольку 2 + (2 ) ( () ) (, ()) =, (, ()), () = 1 = = (), 2) (, ()) + 1 + ( 1 + () а производные функции, стоящие под интегралом, ограничены, то |1 () 2 ()| 1 () 2 ()C[0,] [уменьшим величину 0 так, чтобы получилось 2 ] 1 1 () 2 ()C[0,], Проверим, что для любой функции () [0, ] ее образ под действием оператора тоже лежит в [0, ]. Заметим, что || |0| + 2 C[0,] |0| + 1. Подберем так, чтобы величина 0C[0,] оказалась меньше 1.

( ) 1, (, ), +1 = 0 = [поскольку (, ) = 1 + (1) при 0] ( ) 1 ( ) 1 (0, 0, 0) 1 + () + ( ) = (1 + (1)) = (1).

= Поэтому, дополнительно уменьшив значение 0, получим 0C[0,] 1. Таким образом, () [0, ] C[0,]. Итак, решение () [0, ] уравнения (2.4.36) существует, по­ этому существует решение 0 () уравнения (2.4.34), которое в точке = 0 будет принимать значение, и тогда (0, 0 (0)) = 1 = (0, 0 (0)). Покажем, что полученная функция 0 () от­ личается от на величину высокого порядка малости. Действительно, ( ( ) () 0 () = () (, ()) 0 (, 0 () + 0 ) ( ) + () () 0 () + 2 (), где — лежит на отрезке с концами (, (, ()), +1 ()) и (, 0 (, 0 ()), +1 0 ()). Для дальнейшего потребуется оценка (, 0 ()) 0 (, 0 ()) = ( ). (2.4.37) При вычитании одного из другого уравнения, задающие функции и 0 в неявном виде, получается равенство:

(, (, ), )) (, 0 (, ), )) + 1 ( ) = 0, поэтому )) ( ( 0 ()) 0 (, 0 ()) =, (), 0 () (, 1 ( ), () где — функция, каждое значение которой лежит между значениями функций (, 0 ()) и 0 (, 0 ()), а, значит, () = 1 + () при 0. Поэтому ))1 ( ( ( ) = 1 (1 + ()),, (), 0 () = () + () и тогда искомая оценка (2.4.37) следует из условия 1 ( ) = ( ). Далее, так как (, ) = (), то ( ) (, ()) 0 (, 0 ()) = (, ()) (, 0 ()) + ( ) + (, 0 ()) 0 (, 0 ()) = ( 0 ())() + ( ).

() Отсюда, воспользовавшись тем, что производные функции, стоящие под интегралом, огра­ ничены, обозначая () = () 0 (), легко получить равенство ()(+1 ) + ( +1 ).

( ) () = (2.4.38) Поскольку обе функции () и 0 () ограничены на отрезке [0, ], справедлива начальная оценка малости функции () = (1) при 0, подставив которую в равенство (2.4.38) полу­ чим () = (). Подставляя уже эту оценку в (2.4.38), будем иметь () = (2 ), и так далее () = (( 1)+1 ). () 0 () = (( 1)+1 ), до Таким образом, и поэтому () 0 () = (, ()) 0 (, 0 ()) = (( 1)+2 ), откуда сразу следует заключение лем­ мы.

Лемма 2.4.2. Пусть функции, (), () и () определены на множестве, причем ( ) ( ),1 (),2 () = (), () = (), (2.4.39) при, = 1,...,, = 1, 2. Тогда ( ),1 (),2 () = () (). (2.4.40) =1 =1 =1 {1,...,}{} Д о к а з а т е л ь с т в о. Оценка (2.4.40) сразу вытекает из соотношений (2.4.39) и следую­ щего тождества ) (,1 (),2 () = 1,1 () 1,2 (),1 ()+ =1 =1 = ) ( + 1,2 () 2,1 () 2,2 (),1 () +... + = 2 ( ) ( ),2 () 1,1 () 1,2 (),1 () +,2 (),1 (),2 ().

+ =1 = Лемма доказана.

Следующие следствия леммы 2.4.2 являются очевидными.

Следствие 2.4.1. Пусть функции, (), определены на множестве R, для которого точка = 0 является предельной, причем существуют числа 0, 1, {, }, {, } такие, что, () = 1 +0,,1 (),2 () = ( ) ( ) при 0, = 1,...,, = 1, 2. Тогда,2 () =, ( ),1 () =1 = + ( 1)0 + min ( 1 ).

где = =1,..., = Следствие 2.4.2. Пусть функции,, (), определены на множестве R, для которо­ го точка = 0 является предельной, причем существуют числа,0,,1, {,, }, {,, } такие, что,, () =,1, +,0,,,1 (),,2 () =, ( ) ( ) при 0, (, ) : = 1,...,, = 1,...,, = 1, 2. Тогда,,2 () =, ( ),,1 () =1 =1 =1 = ( ), + ( 1),0 + min min (, ;

1 ).

где =, =1,..., =1,..., =1 = Теорема 2.4.1. Существуют решения уравнений (2.4.23)–(2.4.26), которые принадлежат C (0, 0 ] для некоторого 0 0 и имеют асимптотические разложения (2.4.20), (2.4.21) при 0, поэтому в силу соотношений (2.4.3), (2.4.15) ряды (2.3.15) и (2.4.19) являются согласованными.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим теорему 3.3.1, принимая в качестве значений коэффи­ циентов (3.2.13), участвующих в записи рядов (3.1.5), (3.2.12) числа (2.3.4) и (2.3.5), а в качестве коэффициентов, участвующих в выражении (3.3.36), являющимся другой записью выражения (3.3.35), следующие числа:

;

0 = ;

0 = 0, ;

1 = ;

1 =, ;

0 = ;

0 = 0, ;

1 = ;

1 = 1, которые соответствуют рекуррентной системе уравнений (2.4.23)–(2.4.26), из процедуры по­ лучения этой системы несложно найти значения коэффициентов ;

0 = (2 ) ;

0 = (1 ) ;

1 = ;

1 =,,, и формулу ( ) = ( + 2 ) ( ) = ( + 1 ) поэтому условие (3.2.11) выпол­,, нено.

Обозначим частичные суммы рядов (2.4.2), (2.4.14), (, ) =, 0 +1)1 + +1, (, ),, (, ) =, 0 +1)1 + ++1, (, ), (2 ( и запишем выражения, (, ) (,, (, ),, (, )),, (, ) (,, (, ),, (, )) в виде B, ()(ln ), E, ()(ln ), =0 =0 =0 = + соответственно. Обозначим Z = {(, ) :, Z+ : }. По построению функции B, () и E, () представляют собой левые части уравнений (2.4.23) и (2.4.24), если вместо функций, () и, () в них подставить частичные суммы рядов (2.4.19), () = 0 +1,, (),, () = 0 ++1,, (). (2.4.41) + где (, ) Z. В результате применения теоремы 3.3.1 получаются оценки вида (3.3.38), означающие, что существуют число 1 0 и последовательность чисел 0, Z+, + ( ) таких, что функции B, () и E, (), где (, ) Z, могут быть оценены как при (0, 1 ).

( ) ( ) Представим соотношения B0,0 () = 0, E0,0 () = 0 в виде уравнений (2.4.27), (2.4.28) для функций 0,0 (), 0,0 () и воспользуемся леммой 2.4.1. В результате будут най­ дены функции 0,0 () и 0,0 () удовлетворяющие системе (2.4.23), (2.4.24), определенные на некотором отрезке [0, 0 ], где 0 0, и такие, что 0,0 () 0,0 () = ( 0 1 ), 0,0 () 0,0 () = (0 1 ) при 0. (2.4.42) Будем рассматривать произвольные значения N, большие некоторого 0. Выберем 2 +, чтобы 0 выполнялось неравенство 0 1 1 + 1, тогда, согласно соотношениям (2.4.20)–(2.4.22) при 0 имеют место асимптотики:

1 0,0 () = (1 + (1)), 0,0 () = (1 + (1)), (2.4.43) ( 1+ ) ( 1+ ) 0,0 () =, 0,0 () =, (2.4.44) + 1 1+ ), при (, ) Z.

, () = ( ),, () = ( (2.4.45) Поскольку уравнения (2.4.23), (2.4.25) являются конечными (не содержат операторов диф­ ференцирования) и уравнения (2.4.24), (2.4.26) являются линейными ОДУ, коэффициенты + которых — гладкие функции аргумента [0, 0 ], то их решения, () и, (), (, ) Z существуют на всем промежутке [0, 0 ].

+ По индукции докажем, что (, ) Z существуют функции, (),, () — решения системы (2.4.23)–(2.4.26) такие, что соответствующие им разности (2.4.46), (), (), (),, (), (), () удовлетворяют соотношению: ;

0, ;

1 R, ;

1 0 такие, что, () = ( ),, () = ( ), (2.4.47) = ;

1 + ;

0, где — параметр оператора выделения частичных сумм (2.4.41). При этом на каждом шаге индукции установим, что найденные функции, (),, () разлагаются в асимптотические ряды (2.4.20), (2.4.21) при 0, допускающие почленное дифференцирование.

Если положить 0;

1 = 0, 0;

0 = 1, 0 = 0 1, то из соотношений (2.4.42), получен­ ных в лемме 2.4.1, вытекают оценки (2.4.47), соответствующие = = 0, то есть базе индук­ ции. При доказательстве леммы 2.4.1 было отмечено, что функция = 0 (, ), являющаяся ( ) решением уравнения, 0 (, ), +1 = 0 на множестве [0, 0 ), существует, един­ ственна и бесконечно дифференцируема. Найденная в лемме функция 0 () является реше­ + нием задачи Коши (2.4.33), а соответствующая ей функция 0,0 () = 0 ( ) является един­ (2.4.24), ственным решением уравнения обладающим + (0, 0, 0) (1 + (1)), при 0. Так же, разность функций асимптотикой 0,0 () = + 0,0 () и 0,0 () удовлетворяет оценке (2.4.42), из которой, устремив получаем, что функция 0,0 () разлагается в соответствующий ряд (2.4.21) и в силу уравнения (2.4.24) этот ряд допускает почленное дифференцирование. Найденная в этой же лемме функция 1 1 ) ( 0,0 () = 0, 0 ( ) (2.4.48) — решение уравнения (2.4.23), единственным образом определяется по функции 0,0 () также удовлетворяет соотношению (2.4.42), и, следовательно, раскладывается в ряд (2.4.20). До­ пустимость применения почленного дифференцирования к асимптотическому разложению (2.4.20) для 0,0 () вытекает из формулы (2.4.48). База индукции доказана.

+ + Обозначим Z = {(0, 0 ) Z : 0 }. Предположим, что соотношения (2.4.47) выпол­ + няются при подстановке вместо (, ) произвольной пары чисел (0, 0 ) Z и докажем, что в этом случае они будут справедливы и для текущего значения. Выберем 0 достаточно большим, чтобы 0 выполнялось неравенство 1 + при 0 0, 0 ;

1 + 0 ;

тогда из оценок (2.4.45), (2.4.47) получим, что 10 1+0 + ) при (0, 0 ) Z.

0,0 () = ( ), 0,0 () = ( (2.4.49) Для частичных сумм (2.4.41) выполняются следующие уравнения:

21, = (, 0,0 (), 0,0 ()), + (, 0,0 (), 0,0 ()), +, (), (2.4.50), = (, 0,0 (), 0,0 ()), + (, 0,0 (), 0,0 ()), +, (), где, () представляет собой малую добавку порядка (0 ) плюс функция, получаемая из функции, (), участвующей в уравнении (2.4.25), заменой функций 0,0 () и 0,0 () функциями 0,0 () и 0,0 (), соответственно;

обозначение, () аналогичным образом свя­ + зано с функцией, () из (2.4.26), (, ) Z. Используя обозначения, () =, (), (),, () =, (), (), получим оценки ( 1 + (, 0,0, 0,0 ) )(**), () = ( )+,,, (2.4.51) !! (*) = = ( 1 + (, 0,0, 0,0 ) )(**), () = (0 ) +,,, (2.4.52) !! (*) = = + (, ), (, ) Z.

+ =, где (2.4.53) = = Здесь символом (*) обозначена подстановка, =,,, =,, символом (**) — (**) подстановка, =,,, =,, а символом — разность значений функции, (*) вычисленных при этих подстановках;

это обозначение будет использовано и ниже.

Из (2.4.42), формулы Лагранжа и ограниченности каждой из производных функции (,, ) на всей области следует оценка разности + (, 0,0, 0,0 ) (**) = (0 1 ). (2.4.54) (*) В силу (2.4.53) количество слагаемых в суммах, стоящих в правых частях равенств (2.4.51), (2.4.52), ограничено;

при помощи следствия (2.4.2), предположения индукции и со­ отношений (2.4.43), (2.4.44), (2.4.45), (2.4.54) оценим каждое из произведений, из которых состоят эти суммы:

+ (, 0,0, 0,0 ) (**) = 1 +2, ( ),, (2.4.55) (*) = = ( 1 ( )) + ( 1) + ( 1)( + 1) где 1 = min + =,Z = = ( 1 + ( 1)( + 1) ) = min + =,,Z { } 2 = min 0 1, min ( + ), min ( + ), =1,..., =1,..., здесь обозначениям следствия (2.4.2) приданы следующие значения: = 3, 1 =, 2 =, 1 1+ 3 = 1, 3,0 = 3,1 = 3,1 = 0, 3,1 = 0 1, 1,0 =, 2,0 = 1,1 = 2,1 =, 1, =,, 2, =, 1, =, 2, =. Используя соотношения (2.4.47), входящие в предположение индукции и вытекающее из них соотношения (2.4.49), а также неравенство 0 1 1 + 1, можно оценить величину 2 из (2.4.55) так:

1 { } 2 min 1 +, min ((1 + ) + ), min ((1 + ) + ).

=1,..., =1,..., Вычитая из уравнений (2.4.50) уравнения (2.4.23), (2.4.24) и вновь используя обозначе­ ( ) ние Q () =, 0 (), 0 (), получим систему для функций, () и, ():

( ( ) ) Q (), + Q (), +, ()+ ( )(**) 2+1, +, (, 0,0, 0,0 ) +, (, 0,0, 0,0 ) = 0, (2.4.56) (*) ( ( ) ) Q (), + Q (), +, ()+ )(**) ( +, (, 0,0, 0,0 ) +, (, 0,0, 0,0 ) =,, (2.4.57) (*) ) = 1 +( )+()+( ) при стремлении всех трех аргументов (,, Поскольку, к нулю, и, значит, в соответствии с (2.4.43), (2.4.44) ( ( 1 ) ) Q () = (1 + (1)) + () = (1 + (1)), )) ( ( ( 1 ) Q () =.

Используя почленную дифференцируемость асимптотик для функций, (),, () и оценку (2.4.47) для, (), получим, что (**) = (1+2+1 ).

2+1, (*) Из уравнения (2.4.56) выразим, () ))1 ( ( ( ( ), () = Q () Q (), ()+ ( )(**) ) + 2+1, +, (, 0,0, 0,0 ) +, (, 0,0, 0,0 ), (2.4.58) (*) откуда, учитывая соотношения (2.4.51), (2.4.52), (2.4.55), получим ))1 ( ( ( ( Q (), () + 1 +2 + ) ( ), () = Q () ) 1 1+ + (1+2+1 ) + (0 1+ ) + (0 1+ ). (2.4.59) Введем обозначения { } { } ;

2 = min 1, 0;

0,..., 1;

;

3 = min, 0;

1,..., 1;

1, и, воспользовавшись соотношениями (2.4.47), (2.4.59), получим:

))1 ( ( ( 2+1+ ) Q (), () + ;

3 +;

) (, () = Q () (2.4.60) Подставив выражение (2.4.58) для функции, () в уравнение (2.4.57), получим соот­ ношение, = (), + (), (2.4.61) ))1 ( ( ) ( ( ) Q () где () = Q () Q ().

По аналогии с выкладками (2.4.57), (2.4.60) получим оценки ( 1 ) () =, (2.4.62) 2+1+ ) () = ;

3 +;

(.

() сходится в точке = 0, и может Из оценки (2.4.62) следует, что интеграл ( ) быть оценен как (1) при 0. Обозначим через 0 функцию exp (), являющуюся решением однородного уравнения 0 = ()0, ) ( соответствующего уравнению (2.4.61). Для функций 0 () и 0 () справедливо единое асимптотическое выражение exp((1)) = 1+(1) при 0. Отсюда общее решение уравнения (2.4.61) ( ( ) )1 +1+ 0 () () + = (1 + (1)) + ;

3 +;

2 ln, ( ), () = 0 () где — постоянная интегрирования. Выберем частное решение, (), положив = 0.

Обозначим + 1 + ;

0 = ;

2, ;

1 = ;

3, где — как угодно малое положительное число. Тогда, () = ;

1 +;

0 ),, () = ;

1 +;

0 ) ( ( + и соотношения (2.4.47) верны при всех (, ) Z.

+ Устремив к бесконечности при фиксированных (, ) Z, используя соотношения (2.4.46), (2.4.47) получим, что функции, (),, (), имеют при 0 асимптотические разложения (2.4.20), (2.4.21). Поэтому правая часть уравнения (2.4.61) вслед за их составля­ ющими имеют при 0 степенно-логарифмические разложения в виде рядов из множества (А.1.12) в силу замечаний §A.1, обеспечивающего замкнутость семейства (А.1.13) относи­ тельно операций сложения, умножения и почленного дифференцирования. Следовательно, в силу уравнения (2.4.61) асимптотическое разложение для функция, () допускает почлен­ ное дифференцирование. Аналогично, поскольку правая часть соотношения (2.4.58) имеет асимптотическое разложение вида и допускает его почленное дифференцирование, то и сто­ ящая в левой части функция, () обладает этим свойством. Таким образом, шаг индукции полностью доказан.

Теорема доказана.

Из замечания 3.3.4 вытекает следующее Замечание 2.4.1. Пусть (, ), (, ) — произвольные функции, ограниченные и диффе­ ренцируемые по на множестве (, ) : (0, 0 ), [1, ]. Обозначим { } как ;

;

;

(, ) и ;

;

;

(, ), соответственно, следующие выражения (,, ), (2.4.63) (,, ), (2.4.64) для краткости используя обозначения = ;

1 +;

0, (, ) + (, ), = ;

1 +;

0, (, ) + (, ).

Тогда для выражений (2.4.63), (2.4.64) справедливо соотношение:

0 0 : N {0} выполняются равенства:

( +2 ) ;

;

;

(, ) = ( +2) + 1 + ( ) + ( ), ( +1 ) + + ( ) + ( ) ;

;

;

(, ) = ( +1) при (0, 0 ), [1, ].

2.5. Составное разложение. Равномерная оценка приближения Введем в рассмотрение составное асимптотическое разложение решения (, ), (, ) исходной задачи (2.1.1):

(, ) =, (, ) +, (, ) + + (, ), + 0 +1)1 +(2 1), (, ), 0 +1)1 +(21) +1, (, ), (2.5.1) (2 (, 1 (, ) =, (, ) +, (, ) + +(+1) (, ), +(+1) 0 +1)1 +(2 1) +2 1, (, ), 0 +1)1 +(21) ++1, (, ). (2.5.2) (2 (, 1 Здесь использованы использованы операторы выделения частичных сумм рядов, задаваемые определениями 3.2.1, 3.3.3.

Вначале установим, что весь промежуток [0, 0 ] можно разбить на три участка [0, ], [, ] и [, 0 ] так, что функция (2.5.1) близка соответственно к, (, ), + (, ) и,, (, ) на этих участках, а функция (2.5.2) близка соответственно к, (, ), +(+1) (, ) и, (, ). Для этого достаточно выбрать значения и так, чтобы, 0 1.

2 = (2 1) =, Действительно, полагая в равенствах (2.3.7), (2.3.8) и = = (2 1) в соотношениях (2.4.3), (2.4.15), (2.4.4), (2.4.16) получим, 1)1 (21) 1, (, ) = + 0 +1)1 +(2 1), (, ) (2 (, 1 +1, 1)1 (21) 1, (, ) = +(+1) 0 +1)1 +(2 1) +2 1, (, ) (2 (, 1 + 1)1 2 (21), (, ) = (, =, 0 +1)1 +(21) +1, (, ) + ;

(21),(21) (, ), ( +(+1) 1)1 2 (21), (, ) = (, =, 0 +1)1 +(21) ++1, (, ) + ;

(21),(21) (, ), ( где (2 1)(2) ( ) 1(2 1) ;

(2 1),(2 1) (, ) = + 1 (1), (2 1)(2) ( ) 1(2 1) + + 1 ;

(2 1),(2 1) (, ) = + 1 (1) 1.

при Затем, используя асимптотические ряды для коэффициентов разложений (2.3.12), (2.3.13) и (2.4.20), (2.4.20), при N можно записать:

1. при [0, ], (, ), 0 1)( 1 )+1, (, )+ ( (2 1) 1 ( (2 1)( +1)+1 ) (ln ) (ln ) + = =0 = (21) ( 21 ( 1 ) = + 1 (ln ) 1 = + 1, ) ( 21 ), (, ), 0 1)( 1 )+1, (, ) =, (2.5.3) (, (, ), 0 1)( 1 )++1, (, )+ ( (2 1) 1 ( (2 1)( +1)++1 ) (ln ) (ln ) + = =0 = (21) ( 21 ( 1 ) = + 1 (ln ) 1 = + 1, ) ( 21 ), (, ), 0 1)( 1 )++1, (, ) =, (2.5.4) ( 2. при [0, ] + (, ) + 0 1)( 1 ), (, ) = (,, (2 1) 1 ( (2 1)( +1)1 ) (ln ) = (ln ) 1 = =0 = 2 1 2 = 2 + (ln ) ( ), 1 ( ) (1+ 21 ), + (, ) + (2 1)( 1 ), (, ) = (2.5.5),, +(+1) (, ) +(+1) 0 1)( 1 +1), (, ) = (,, + (2 1) 1 ( (2 1)( +1)+2 ) = (+1) (ln ) (ln ) 1 = =0 = ( 2 1 2 = 2 (+1) 1 + (ln ) 1 + ) ( ) 2 +(+1) (, ) +(+1) 0 1)( 1 +1), (, ) = (1+ 1 ) ;

(2.5.6) (,, 3. при [, 0 ] + (, ), 0 1)( 1 )+1, (, ) = ;

(21),(21) (, )+ (, (2 1) 1 ( +1(2 1)( +1) ) (ln ) (ln )(2 1)( +1) = + =0 = ( + ) 2 (2 1) (1) + + = + + ( + + (ln ) 1 = ) (( )) 2 2 1 = (1 ) + 1 (1 ) + (1 ) +, ) ( ( 1 ) 2 + (, ), 0 1)( 1 )+1, (, ) = 1 (1 ) ;

(2.5.7) (, +(+1) (, ), 0 1)( 1 )++1, (, ) = ;

(21),(21) (, )+ (, + (2 1) ( ++1(2 1)( +1) (+1) (ln ) (ln )(2 1)( +1) = ) + =0 = ( ) 2 (2 1) + 1 + 1 (1) + + = + ( (21) +1 + + (ln ) 1 = ) (( )) 2 2 1 = (1 ) + 1 (1 ) + (1 ) +, ) ( ( ) (1 2 1 ) +(+1) (, ), (2 1)( 1 )++1, (, ) = ;

(2.5.8) 1, 4. при [, 0 ], (, ) + 0 1)( 1 ), (, ) = (, (21)( 1)1 (21) (ln ) 1 ) = 21 ( ( + ), = 1 = + (, ), 0 1)( 1 )+1, (, ) = 23 ((1) );

(2.5.9) (, где 1 0 и 0 как угодно малы;

(21)( )+2, (, ) +(+1) 0 1)( 1 +1), (, ) = ( (ln ) 1 ) = (, = (21) = 21 ( + ),, (, ) +(+1) 0 1)( 1 +1), (, ) = 23 ((1) ). (2.5.10) (, Таким образом, если определить значения величин 0 и 1 0 формулами { 2 1 2 1 2 1 }, 1 + (1 ), 1, 1 = min, (2.5.11) 1 { } 0 = max, (2 3 ) и положить 1 = 1, то при всех N с необходимостью будут справедливы оценки:

( ) (, ) = (1 ), при [0, ];

(2.5.12) ( ) (, ) = (1 0 ), при [, ];

( ) (, ) = (1 ), при [, 0 ];

( ) (, ) = (1 ), при [0, ];

( ) (, ) = (1 ), при [, ];

( ) (, ) = (1 ), при [, 0 ];

(2.5.13) где {0, 1}. Оценка для производной обеспечивается за счет множителя в правых частях соотношений (2.5.3), (2.5.4),(2.5.5), (2.5.6),(2.5.7), (2.5.8),(2.5.9), (2.5.10). Очевидно, что при 0, где 0 равно, например, [0 /1 ] + 1, если в качестве 1 0 положить не 1, задавае­ мое формулой (2.5.11), а меньшее число, например 1 = 1 0 /0, то оценки (2.5.12)–(2.5.13) будут верны при 0 = 0. Ниже будем предполагать, что в соотношениях (2.5.12)–(2.5.13) 0 = 0 и 0, а 0 и 1 — некоторые подходящие положительные числа.

Применим утверждение 3.4.2, сопоставив величинам (3.4.6) и ;

( ) следующие значе­ ния:

;

1 =, ;

2 =, ;

0 = 0, ;

3 = 0 ;

2;

( ) = (2 1), 3;

( ) = (2 1) 1;

( ) =, при = 1, 2. (2.5.14) В результате получим соотношения вида (3.4.7) на каждом из промежутков [0, ], [, ], [, 0 ], объединив которые с оценками (2.5.12)–(2.5.13), придем к выводу, что существуют числа 2 0 и 2 N, такие, что N, 2 выполняются оценки (, ) 1 (, (, ), (, )) = 1 (, ) = (2 ), (2.5.15) (, ) (, (, ), (, )) = 2 (, ) = (2 ). (2.5.16) Введем векторные обозначения (, ) = ( (, ), (, )), (, ) = (1 (, ), 2 (, )) (, ) = ( (, ) (, ), (, ) (, )), считая, что функция (, ) определена всюду, где существует точное решение (, ), (, ) задачи (2.1.1). Определим также матричную функцию 1 (1 ) (1 ) (1, 2 ) =, (2 ) (2 ) где 1 и 2 — точки пространства переменных (,, ).


Теорема 2.5.1. При достаточно малых значениях параметра решение (, ), (, ) зада­ чи (2.1.1) существует на отрезке [0, 0 ], где число 0 0 определено в теореме 2.4.1. На всем этом отрезке для функции (, ) — разности указанного выше составного разложения (2.5.1), (2.5.2) и точного решения задачи (2.1.1) — справедлива оценка (, ) = ( ) при 0, (2.5.17) где 0 и N — произвольное достаточно большое число.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Задача Коши (2.1.1) удовлетворяет теореме о существовании и единственности ее решения, поэтому в некоторой малой полуокрестности начальной точки [0, ], где 0 = (), определено единственное ее решение, значит, на этом же отрезке определена и функция (, ). Если удастся доказать равномерную ограниченность функ­ ции (, ) на всей возможной ее области определения, лежащей в отрезке [0, 0 ], то, в силу теоремы о продолжимости решения задачи Коши она окажется определенной на всем от­ резке [0, 0 ] (см., например, [109, С. 47–49]). Удобно доказывать не просто ограниченность, а малость функции (, ), чтобы сразу же прийти к заключению теоремы.

После попарного вычитания уравнений системы (2.5.15), (2.5.16) из уравнений системы (2.1.1) получается система:

(, ) (1 (, ), 2 (, )) (, ) = (, ), (2.5.18) ( ), (, ) + ((, ) (, )), (, ) + ((, ) (, )), где (, ) = (2.5.19) = (, ) и 0 (, ) 1. Кроме того, в силу (2.5.12), (2.5.13), начальным условиям, со­ держащимся в системах (2.2.1) и (2.1.1), можно записать начальное условие:

(0, ) = (1 ). (2.5.20) Начальную задачу (2.5.18), (2.5.20) можно заменить ее интегральным аналогом:

( ) (1 (, ), 2 (, )) + (1 ), (, ) = (, ) exp (2.5.21) 0 Докажем следующее Утверждение 2.5.1. Если для всех из некоторого отрезка [0, ()] и N, выполняется неравенство (, ), где 0 и параметр достаточно мал, то при тех же значениях и справедлива оценка (, ) ( )3, (2.5.22) где 3 = min{1, 2 } и числовая функция ( ) не зависит от.

( ) Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция (, ) = exp (1 (, ), 2 (, )) ограничена при всех [0, 0 ]. Действительно, поскольку (, ), то точки 1 (, ) и 2 (, ), согласно (2.5.19), не могут удаляться от кривой (, (, ), (, )) дальше, чем на. А эта кривая, в свою очередь, при 0 стремится занять положение, определяемое главными чле­ нами соответствующих частных асимптотических разложений. Это положение ограничено, находится в области гладкости функций (,, ) и (,, ). Поэтому для всех 0 производные функций (,, ) и (,, ), входящие в выражение (1 (, ), 2 (, )), огра­ ничены, следовательно норма (, ) exp( (1 (, ), 2 (, )) ) 1 ( ) ограничена, причем единой константой. А тогда в силу (2.5.15), (2.5.16) из уравнения (2.5.21) сразу следует нужная оценка (, ) ( )3. Утверждение доказано.

Вернемся к доказательству теоремы. Пусть теперь величина 2 определена соотношени­ ями (2.5.15), (2.5.16) и число N, 2 зафиксировано. Положим = 3 /2 и, восполь­ зовавшись Утверждением 2.5.1, получим функцию ( ). Дополнительно уменьшая значе­ ние 0 (разумеется, это не испортит справедливости оценки (2.5.22)), выберем его таким, что­ / 2 ( ), и ( )3 1 3 /2. Числовая функция (, ) непре­ бы 0 0 1, 03 рывна везде, где определена функция (, ). В точке = 0 согласно (2.5.20) выполняется неравенство (0, ) 2 ( )1, и, значит, при еще некотором уменьшении 0 станет верным неравенство (, ) 2 3 /2. Если предположить, что в некоторой точке отрезка, содержащего точку = 0, на котором определена функция (, ), величина (, ) пре­ высит отметку отметку 3 /2, то в силу непрерывности функции (, ) нашлась бы такая точка, в которой (, ) = 4 3 /2, но это противоречило бы утверждения 2.5.1, согласно которому в такой точке должно выполняться неравенство (, ) ( )3 1 3 /2.

Поэтому значение (, ) ни при каких значениях не может оказаться больше вели­ чины 3 /2, и тогда из утверждения 2.5.1 следует, что функция (, ) — решение уравне­ ния (2.5.21) — равномерно ограничена, определена на всем отрезке [0, 0 ] и удовлетворяет оценке (2.5.17), если положить в ней = 3. Теорема доказана.

2.6. Пример задачи для системы. Графики главных членов асимптотических разложений и составного разложения Кратко рассмотрим следующий частный случай задачи (2.1.1):

= 2 + 3 1 4 +, 12 1 1 (2.6.1) = 2 + 4 + 4, (0, ) =, (0, ) = 0, где 0 1 + 5 и 0 — малый параметр. Подробный вывод асимптотических формул, записанных в этом разделе, приведен в приложении Б.

Функция 0,0 () является решением уравнения 0,0 = + 0,0 () + ( + 0,0 ()), удо­ влетворяющее начальному условию 0,0 (0) = 0. Это монотонно растущая, определённая для всех положительных аналитическая функция, неявно задаваемая уравнением 2 ln(2 + + 0,0 ()) + = + ln 2 + 1.

2 + + 0,0 () Функция 0,0 () = 1 12+ + 0,0 () определена для всех (0, 0 ], где 0 = 8(ln( 5 ) 5 ), положительна и удовлетворяет уравнению 0,0 () 20,0 () ln(4 + 20,0 () 0,0 ()) + = + 2 ln 2.

4 + 20,0 () 0,0 () Равномерная асимптотика решения задачи (Б.2.1) строится на отрезке [0, 1 ], для любого 1, где 1 0. Коэффициенты 3,1 () и 3,1 () являются решением системы () 2 () () + 3 2 () () 3 () () = 0, 3,1 0,0 3,1 3,1 3, 0,0 0, 3,1 = 3,1 () + 3,1 () 0,0 ()3,1 () и имеют вид:

(4 + 20,0 () 0,0 ()) (4 + 20,0 () 0,0 ())2, 3,1 () = 3,1 () =.

2 32(20,0 () 30,0 () + 0,0 ()) Для коэффициентов 3,0 () и 3,0 (), являющихся решением системы 0,0 = 3,0 20,0 3,0 + 3 2 3,0 3 3,0, 0,0 0, 3,0 = 3,0 + 3 0,0 3,0.

справедливы формулы 3,0 0, 3,0 =, 2 20,0 30,0 + 0,0 [ 1 0,0 () 0,0 ()) 3,0 () = (4 + 20,0 () ln + 32 2 0,0 () ] 1 + 5 0,0 () 7 1 ln (1 0,0 ())(4 + 20,0 () 0,0 ())+ + 5 1 + 0,0 () 160 +3 (4 + 20,0 () 0,0 ())2.

Из условий согласования следует формула для постоянной 3 :

1 7 1+ 5 163 = 2 + ln 0 ln 2 + ln +.

2 5 1 10 Графики главных членов асимптотических разложений и составного разложения 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0.02 0.04 0.08 0.1 0.12 0.14 0. 0.06 0. Рис. 2.6.1. Цвета графиков: 0,0 () — зеленый, 3 1,0 () — оранжевый, 0 ( ) — синий, график составного разложения — лиловый.

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0.02 0.04 0.08 0.1 0.12 0.14 0.18 0.2 0.22 0.24 0.28 0.3 0. 0.06 0.16 0. Рис. 2.6.2. Цвета графиков: 0,0 () — зеленый, ln 3,1 () + 3,0 () — оранжевый, 1 ( ) — синий, график составного разложения — лиловый.

На обоих рисунках 2.6.1, 2.6.2 по оси абсцисс отложены значения переменной, значения параметров выбраны следующими: = 0.002, = 2. Графики главных членов внутреннего разложения — функций 0 ( ) и 1 ( ) получены с помощью численного интегрирования системы уравнений 0 = 0 3 0 2 0 4, 1 = 0 + 0.

Главные коэффициенты промежуточного разложения — функции 3,1 (), 3,0 () и 1,0 () — удовлетворяют системе уравнений 1,0 = 1,0 2 +, (2.6.2) 3,0 = 1,0. (2.6.3) и асимптотическим соотношениям при 0 :

1,0 = + (), (2.6.4) 3,0 = (ln ln(1 ) + ln ) + ( 3 ). (2.6.5) которые являются следствием условий согласования рядов внутреннего и промежуточного разложений. Видно, что система уравнение (2.6.2) включает в себя только одну неизвестную функцию и ее производные, поэтому задача (2.6.2), (2.6.4) может быть решена отдельно от остальных частей задачи (2.6.2)–(2.6.5). Кроме того, она совпадает с задачей (1.8.2), (1.8.3), рассмотренной в главе 1, где было отмечено, вслед за рассуждением из в монографии [59, С. 64–82], что ее решение существует и единственно, продолжимо на промежуток (0, ) и имеет асимптотическое представление 1,0 = 1/2 + (1) при 0. Общее решение уравнения (2.6.3) находится простым интегрированием функции 1,0. Выделение единственного решения достигается с учетом условия согласования (2.6.5).

Глава Согласование степенно-логарифмических асимптотических разложений 3.1. Постановка задачи в целом Пусть заданы система ОДУ, вообще говоря, нелинейных, и начальные условия:

(1..., ) ( ) (, ), 1 (, ),..., (, ) = 0, (3.1.1) (0, ) =,0, (3.1.2) ( ) где (0, 0 ) — малый параметр, 0 (0, 1), =, 1,..., — гладкие функции в некоторой области = [0, ] изменения своих аргументов, показатели малого параметра удовлетворяют условиям Q, 0, max{1,..., } = 1;

(3.1.3) во всем тексте главы индекс предполагается пробегающим набор чисел 1,...,. Пусть до­ полнительно известно, что,0 = 0, если = 1;

в остальных случаях,0 = 0. (3.1.4) Приведение начальных условий к такому виду может быть достигнуто простым сдвигом по искомым функциям и не ограничивает общности рассматриваемой задачи Коши, однако упрощает некоторые дальнейшие рассуждения.

Требуется построить асимптотическое разложение решения данной задачи, обеспечива­ ющее равномерное по из некоторого промежутка [0, 0 ] приближение решения при 0 с точностью до произвольной степени. Значение 0 (0, ) выбирается так, чтобы отрезок [0, 0 ] был вложен в область определения коэффициентов асимптотического разложения в наиболее внешнем слое.

Задача (3.1.1), (3.1.2) является сингулярной, поскольку из условия (3.1.3) следует, что хотя бы в одном из уравнений системы (3.1.1) малый параметр является коэффициентом при производной. Применение к ней метода согласования асимптотических разложений бу­ дет заключаться в построении цепочки согласованных асимптотических разложений, хоро­ шо приближающих точное решение задачи в соответствующих слоях, объединение которых включает упомянутый выше отрезок [0, 0 ], и в преобразовании этой цепочки в единое состав­ ное разложение, для которого будет доказана теорема о равномерном приближении решения на всем отрезке [0, 0 ].

Каждый асимптотический слой имеет характерный масштаб по независимой перемен­ ной, определяемый заменой =, разложение в -м слое будем строить в виде фор­ мальных рядов (подробное описание операций с такими рядами содержится в приложении А) следующего вида:

;

;

1 +;

;

;

;

0 ;

;

(ln ) ;

;

, ( ) при 0, ;

(, ) (3.1.5) =0 = используя обозначения ;

(, ) (, ) для искомых функций и подразумевая выпол­ ненными следующие неравенства:


;

;

0, ;

;

0 и ;

;

1 0.

;

;

1 0, (3.1.6) На предварительном этапе нужно построить цепочку масштабирующих показателей 1 = 1... +1... = 0 (3.1.7) таких, чтобы {1,..., 1} соответствующие значениям и +1 главные члены асимп­ тотик коэффициентов ;

;

, ( ) и +1;

;

, (+1 ) рядов (3.1.5) были согласованы между собой при и +1 0 соответственно. В цепочке (3.1.7) наиболее внутреннему разло­ жению отвечает 1 = 1 (см. также замечание 3.2.1), для самого внешнего слоя = 0.

3.2. Постановка задачи о переходе между асимптотическими слоями Рассмотрим два произвольных смежных асимптотических слоя, соответствующих це­ почке (3.1.7), определяемых заменами независимой переменной = и +1 +1, соот­ ветственно. Цель данной главы — на основании степенно-логарифмического вида (3.1.5) фор­ ;

(, ) мального асимптотического разложения, сокращенно, ФАР, решения задачи (3.1.1), (3.1.2), построенного по стандартной процедуре, в м асимптотическом слое, перейти к более внешнему смежному ( + 1)му слою. Для этого в ( + 1)м слое для бу­ дущего ФАР +1;

(+1, ) при 0 имеющего вид (3.1.5), будет построен набор функций +1;

;

, (+1 ), обозначенных ниже как ;

, (), являющихся ФАР при +1 0 уравнений соответствующей рекуррентной системы ОДУ. Функции +1;

;

, (+1 ) будут обладать тем важным свойством, что, во-первых, используя их, на практике (см., например, главы 1, диссертации, также подобное построение использовалось в работе [98]) обычно удается дока­ зать существование и продолжимость на весь асимптотический слой точных решений этой рекуррентной системы ОДУ, для которых они являются настоящими асимптотическими раз­ ложениями, и во-вторых, ряд +1;

(+1, ) при подстановке в него полученных точных реше­ ний оказывается ФАР по 0 согласующимся с рядом ;

(, ) (подробно о формальных рядах вообще и ФАР в частности и об условиях согласования см., например, [59, C. 9–10, 22]).

Будем предполагать, что искомое ФАР решения задачи (3.1.1), (3.1.2) обладает структу­ рой ряда (3.1.5). Стандартная процедура, используемая, например, в монографии [59, с. 65], с помощью которой в каждом слое получается рекуррентная система ОДУ, состоит в следу­ ющем. Переменная и ряды ;

(, ) подставляются в исходную систему (3.1.1):

;

(, ), ;

1 (, ),..., ;

(, ) = 0.

( ) (3.2.1) ( ) Функция, 1,..., заменяется ее формальным рядом Тейлора ;

в точке Q ( ) = lim, ;

1 (, ),..., ;

(, ), существование и конечность которой вытекают из соот­ ( ) ношений (3.1.6) и (3.1.7), и в таком виде подставляется в левую часть уравнения (3.2.1). В полученном дифференциальном выражении ;

(, ) ;

, ;

1 (, ),..., ;

(, ) ( ) (3.2.2) формально приводятся подобные и производится упорядочивание по степеням и ln. Ко­ эффициенты при этих степенях приравниваются к нулю (для соблюдения равенства нулю правой части уравнения (3.2.1)) — так получается искомая рекуррентная система ОДУ.

Замечание 3.2.1. Рассмотрим случай = 1, и пусть ряды вида (3.1.5) представляют внутреннее разложение и потому удовлетворяют начальному условию задачи (3.1.2), а коэффициенты этих рядов являются решениями описанной выше рекуррентной системы ОДУ. Условие 1 = 1, входящее в цепочку неравенств (3.1.7), обязательно выполняется при следующем предположении, обычно реализуемом на практике (см., [98] и главы 1, диссертации). Предположим, что хотя бы для одного значения, при котором = 1, главный член ряда (3.1.5) удовлетворяет ОДУ и начальному условию вида:

(0, 0 ) +;

;

( ) ;

;

0,0 ( ) = Q ( ), (3.2.3) (0, 0 ) ;

;

0 ;

;

0,0 ( ) =,0 = 0 (3.2.4) для некоторого 0 0, причем хотя бы в одной точке изменения переменной, лежащей ( ) во внутреннем слое, значение функции Q ( ) отлично от нуля [100].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий замечания следует, что показатель степени в левой части уравнения (3.2.3) должен быть равен нулю, поскольку правая часть этого уравнения и функция ;

;

0,0 не зависят от. Аналогично из условий (3.1.4), (3.2.4) вытекает, что ;

;

0 = 0, поэтому 1 = = 1. Замечание доказано.

Поскольку везде ниже в данной главе будут рассматриваться и +1 для одного фиксированного значения, введем следующие обозначения без индекса :

= 1, = 2, 1 =, 2 = + 1, (3.2.5) (, ) ;

(, ), (, ) +1;

(+1, ), тогда выполняются соотношения ;

1 +;

(, ) ;

0 ;

(ln ) ;

, () при 0, (3.2.6) =0 = 0 2 1 1.

Пусть набор функций ;

, () является решением найденной для коэффициентов ря­ да (3.2.6) рекуррентной системы ОДУ и подставлен в ряды (3.2.6).

О п р е д е л е н и е 3.2.1. Определим оператор выделения частичной суммы степенно­ логарифмического по некоторой переменной формального ряда X, где () 0 1, (ln ), () Z+, (3.2.7) =0 = где 1 0 следующей формулой (0 )/ () 0, (ln ).

, = (3.2.8) =0 = Рассмотрим частичные суммы таких рядов:

;

1 +;

;

0 ;

(ln ) ;

, (), (;

), (, ) = (3.2.9) =0 = где (;

) = ;

1 + ;

0. Заменим ряды (3.2.6) их частичными суммами (3.2.9) в диффе­ ренциальном выражении (3.2.2):

1 (;

), (, ) ;

1, (1;

), 1 (, ),..., (;

), (, ).

( ) (3.2.10) Для дальнейшего удобно определить следующие два оператора выделения частичных сумм формальных рядов.

О п р е д е л е н и е 3.2.2. Пусть формальный ряд определен формулой (3.2.7). Вы­ ражение, стоящее в правой части формулы (3.2.8) будем обозначать как,, если 1 0, и как,, если 1 0.

Поскольку функции ;

, () удовлетворяют соответствующим уравнениям, то после упорядочивания выражения (3.2.10) по степеням и ln коэффициенты при некотором чис­ ле старших из этих степеней окажутся равными нулю. Предположим, что может быть выяв­ лена взаимосвязь между аргументом оператора (;

) взятия конечной частичной сум­ мы (3.2.9) и минимальным показателем степени, при которой остаются ненулевые коэф­ фициенты в выражении (3.2.10), причем эта взаимосвязь имеет вид неравенства:

( ) ;

1 + ;

0, ;

1 0. (3.2.11) Пусть известны асимптотические разложения функций ;

, ():

;

1 +;

;

;

1 ;

2 +;

(ln ) ;

,;

, ;

, () = ;

, () (3.2.12) =0 = при, допускающие почленное дифференцирование. Введем обозначения:

= 1 1 1 = 2 1 0, = 1 2, ;

= min{0, }.

Пусть коэффициенты ;

, ;

, ;

, ;

при всех = 1... являются рациональными числами и удовлетворяют следующим условиям, среди которых находятся все условия (3.1.6):

;

0, ;

0, ;

1, ;

0 и ;

1 0, ;

1 0, ;

1 0, ;

2 0, ;

3 0;

(3.2.13) ;

1 ;

1 = 0, (3.2.14) ;

0 ;

0 0, (3.2.15) если ;

0 0, то ;

0 0, ;

0 ;

0 0, (3.2.16) если ;

0 0, то ;

0 ;

0 0. (3.2.17) Если ;

0 = ;

1 = 0, то в качестве ;

2 можно взять любое положительное число, поскольку в сами ряды (3.1.5) и (3.2.12) эта величина входить уже не будет из-за равенства = 0. Однако для цели сведения приведенной ниже общей формулы (3.3.3) к частному ее виду, указанному в замечании 3.3.2, положим ;

2 = ;

3 при ;

0 = ;

1 = 0. (3.2.18) Договоримся символом обозначать сколь угодно малую положительную константу. Ее вклад в показателе независимой переменной или малого параметра позволяет скомпенси­ ровать стремление к бесконечности сомножителей вида степеней логарифмов независимой переменной или малого параметра, соответственно, в силу хорошо известного свойства:

R, 0, 0 0 выполняются соотношения (1 + | ln |) = ( ) при (0, 0 ] ( ) (3.2.19) и (1 + | ln |) = ( ) при [0, +).

( ) (3.2.20) В некоторых случаях будет особо указано, что в качестве можно взять ноль.

Все предположения, сделанные в §3.1 и §3.2 распространяются на весь текст третьей главы, за исключением случаев, когда явно указано противоположное.

3.3. Процесс согласования асимптотических разложений Обозначим через (, ) формальные ряды, возникающие при подстановке асимпто­ тик (3.2.12) в ряды (3.2.6):

;

1 +;

;

0 ;

(ln ) (, ) = =0 = ;

1 +;

;

;

1 ;

2 +;

(ln ) ;

,;

,. (3.3.1) =0 = О п р е д е л е н и е 3.3.1. Зададим на множестве всех пар рациональных чисел функ­ цию (1, 2 ) по следующему правилу:

( 1 1 ) НОД(1 2, 2 1 ) 1, 1 Z, 2, 2 N, =, 2 2 2 где знаком НОД обозначается операция нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Обозначим = (;

2, ;

3 ) [100].

О п р е д е л е н и е 3.3.2. Следующим сочетанием символов:,, будем обозначать операцию выделения частичной суммы формального ряда, составленной из слагаемых вида 1 (ln )2 1 (ln )2, показатели степеней в которых удовлетворяют неравенствам и 1, причем величина может быть некоторой функцией от 1 и 2, аналогично, запись,, зададим неравенствами 1 и 1 [100].

Здесь 1 и 2 — «служебные» символы, обозначающие текущие значения показателей степеней и ln соответственно, при которых происходит отбор степеней.

Воспользовавшись определением 3.3.2, обозначим частичные суммы рядов (3.3.1):

;

, (, ) ;

1 +;

0, ;

0 +;

1 1 (1 ;

0 );

2 2 ;

3, (, ) ;

;

1 +;

0 ;

1 +;

;

;

0 ;

1 ;

1 ;

2 +;

(ln ) ;

,;

,. (3.3.2) (ln ) =0 =0 =0 = Лемма 3.3.1. Существует формальный ряд ;

+;

;

(, ) ;

0 ;

0 (ln ) =0 = ;

+;

;

;

0 ;

1 (ln ) ;

,;

, (3.3.3) =0 = такой, что замена переменной = в произвольной частичной сумме (3.3.2) ряда (3.3.1) приводит к следующему результату [100]:

;

, (, ) = ;

, (, ) + ;

, (, ), (3.3.4) где ;

, (, ) ;

0 +(,3 ;

0 ), ;

1 1 (1 ;

0 ), (, ) ;

+;

1 3 ;

;

0 ;

0 (ln ) =0 = ;

+;

;

;

1 (ln ) ;

,;

,. (3.3.5) =0 = Для остаточного члена ;

, (, ) выполняется оценка ;

, (, ) = ;

0 +(;

3 ;

0 ) ;

0 ;

3 (ln );

1 +;

0 +;

1 +;

0 (ln );

1 +;

+ ;

2 (;

1 +;

0 ) ;

1 ;

2 (;

1 +;

0 ) при 1. (3.3.6) ( ) Д о к а з а т е л ь с т в о леммы произведем поэтапно. Для краткости будем опускать ин­ декс у всех коэффициентов и функций.

1. Сначала докажем, что результатом замены переменной = в сумме (3.3.2) является + 1 (2 (1 +0 )+3 ) 0 0 (ln ) =0 = { } +0, min 1 + 1 (ln ),;

,. (3.3.7) = 1 =max{0, [1 ((1 3 )2 0)]} Действительно, функция (3.3.2) является линейной комбинацией произведений вида:

0 +1 (ln ) 0 +1 2 3 (ln ), (3.3.8) 0, (3.3.9) 0 1 + 0, (3.3.10) 0, (3.3.11) 0 1 + 0. (3.3.12) В результате замены переменной = произведение вида (3.3.8) преобразуется в линейную комбинацию произведений степеней:

степень : 0 + 1 (0 + 1 2 3 ), (3.3.13) степень ln : +, где [0, ] Z, (3.3.14) степень : 0 + 1 2 3, (3.3.15) степень ln :. (3.3.16) C учетом условия (3.2.14) выражение (3.3.13) выглядит как степень : 0 0 + (2 + 3 ). (3.3.17) С помощью коэффициента, заданного в определении 3.3.1, каждое значение выражения (3.3.17) можно записать как степень : 0 0 +, (3.3.18) где = 1 (2 + 3 ) Z. (3.3.19) В силу неравенств (3.3.9), (3.3.10) и (3.3.11) можно оценить диапазон изменения пере­ менной :

0 1 2 (1 + 0 ) + 3.

( ) (3.3.20) Согласно (3.3.19) 1 = 2 + 3 и в соответствии с (3.3.15) степень : 0 + 1 2 3 = 0 1 + 1, если обозначить =. (3.3.21) Очевидно, что границы изменения переменной не могут выйти за рамки, указанные в (3.3.9) для величины, то есть от 0 до. Однако, оказывается, что не при всех значениях из диапазона (3.3.20) переменная может пробегать все целые числа из промежутка [0, ]. Для значений 1 3 нижняя граница этого диапазона сдвигается вверх. Действительно, из неравенства (3.3.10) следует, что 1 + 0, а согласно (3.3.19) = (1 3 )2, поэтому 1 2 (1 3 ) 0.

( 1 ) Для того, чтобы оценить степень ln, заданную формулой (3.3.14), воспользуемся нера­ венствами (3.3.9) и (3.3.12): + + + 1 + 0. Заметим, что из (3.3.19) следует 3 2, и соотношение = равенство =, поэтому 2 2 3 3 3 ( 1 3 1 ) 0 + + (1 ) + 0 + (1 ) + 0 = + 0, таким образом, 2 2 2 2 3 степень ln : 0 + 0.

И, наконец, для степени ln, заданной формулой (3.3.16) справедлива оценка:

= + = + + 0, поэтому степень ln : 0 + 0.

Кроме того, согласно формуле (3.3.16) и ограничений (3.3.11), (3.3.12) выполняется:

степень ln : = 1 + 0.

Справедливость перехода к выражению (3.3.7) полностью доказана.

2. При увеличении или — верхних пределов в сумме (3.3.2) — часть уже най­ денных коэффициентов ;

,;

,, входящих в выражение (3.3.7), могут измениться, несмотря на то, что все прежние коэффициенты ;

,;

, останутся неизменными, поскольку берут­ ся из фиксированного формального ряда (3.3.1). Однако гарантированно не будет изменен ни один из коэффициентов при степенях с показателями, не превосходящими величины 0 0 + 3, что соответствует значениям 0 1 3 и 0. Именно из этой части суммы (3.3.7) мы возьмем значения постоянных ;

,;

, = ;

,;

, для ряда (3.3.3) и суммы (3.3.5).

В самом деле, если рассмотреть ситуацию, когда к стандартной форме исходной суммы (3.3.2) присоединено некоторое дополнительное слагаемое вида (3.3.8), то возникают следу­ ющие варианты.

Если, то после замены переменной = получим, согласно (3.3.21): =, то есть данное слагаемое находится за пределами результирующей суммы (3.3.7).

Если, но, то из формулы (3.3.19) следует, что после перехода к переменной будем иметь = 1 (2 + 3 ) 1 3, что в соответствии с (3.3.18) означает, что показатель степени будет больше 0 0 + 3.

В качестве примера возможности изменения части коэффициентов рассмотрим следу­ 1 ющую ситуацию. Пусть 1 = 0 =, =, 1 = 1, 0 = 0, 0 = 1 = 1 = 1 = 1, 1 = 0 = 0.

3 Построим сумму (3.3.2) при = 2 и = 0, опустив для краткости числовые коэффициенты:

1 1 2 1 2 1 3 2 + 3 ln 2 + 3 + (ln )2 2 + ln + 2. (3.3.22) После перехода в сумме (3.3.22) к переменной = согласно формуле (3.3.7) получим:

2 1 1 (ln ).

(ln ) (3.3.23) 3 2 2 =0 =0 = = Если теперь взять = 1, = 0, = 1, = 0, то полученное произведение 2 1, являющееся более младшим по отношению к одночлену 3, имеющемуся в составе вы­ 3 1 ражения (3.3.22), переходит в результате замены = в произведение 3 2, которое уже фигурировало в записи (3.3.23) при = 1, = 0, = 1, = 0;

следовательно, коэффициент при этом одночлене изменится.

3. Пусть 1 — результирующая сумма (3.3.7), полученная при значениях = 1 и = 1 в исходной сумме (3.3.2). Теперь произвольным образом увеличим значения и, перейдя к = 2 1 и = 2 1. В новой результирующей сумме (3.3.7) оставим только ту часть, которая соответствует по своим пределам суммирования ранее найденной сумме 1 и обозначим эту часть через 2. Тогда справедлива следующая оценка:

|2 1 | = ;

0 +(;

3 ;

0 ) ;

0 ;

3 (ln );

1 +;

0 +;

1 +;

0 (ln );

1 +;

+ ;

2 (;

1 +;

0 ) ;

1 ;

2 (;

1 +;

0 ) при 1. (3.3.24) ( ) при (0, 0 ), (0, 1]. Кроме того, если рассмотреть только частичную сумму (3.3.5) для ;

, (, ) 1, 2, = суммы указанную в пункте то для разности = ;

, (, ) ;

, (, ) = ;

, (, ) в качестве оценки также можно использо­ вать правую часть соотношения (3.3.24). Отсюда сразу же будет следовать справедливость оценки (3.3.6) и лемма будет полностью доказана.

В самом деле, по построению и согласно в пункту 1 данного доказательства разность 1 2 представляет собой часть суммы (3.3.7) при = 1 и = 1, в которой диапазон изменения переменной сокращен до 1 3 1 + 1 1 (3 1 + 2 (1 1 + 0 )). При ( таких значениях, в соответствии с (3.3.7), изменяется от 1 2 (1 3 1 ) ) до. Если изобразить графически эти пары чисел (, ), то получится набор отдельных точек с целочисленными координатами, лежащих в треугольнике с вершинами:

= 1 3 1 + 1, = 1 (3 1 + 2 (1 1 + 0 )), =, =, = 1 3 1 + 1, = 0.

Отсюда следует, что соответствующие значения показателей степеней и, не покидают треугольник с вершинами:

: 0 0 + 3 1 +, : 0 0 + 3 1 + (2 (1 1 + 0 )), : 0 3 1 1 + 1, : 0 3 1 2 (1 1 + 0 ) + 1, : 0 0 + 3 1 +, : 0 3 1 1.

поэтому, воспользовавшись условием 1, сразу же придем к требуемой оценке (3.3.24). И поскольку суммы ;

, (, ) и 1 различаются тоже только коэффициентами при степенях и со значениями показателей из этого треугольника, то оценка (3.3.24) будет верна и для разности ;

, (, ) 1. Лемма доказана.

Проанализировав доказательство леммы 3.3.1, сделаем следующее Замечание 3.3.1. Лемма 3.3.1 остается справедливой, если в списке исходных условий (3.2.11), (3.2.13)–(3.2.17) оставить только соотношения (3.2.13) и (3.2.14).

Используя соотношения (3.3.2) и (3.3.5), результат (3.3.4) леммы 3.3.1 может быть за­ писан в виде ;

1 +;

0, ;

0 +;

1 1 (1 ;

0 );

2 2 ;

3, (, ) = ;

= ;

0 +(,3 ;

0 ), ;

1 1 (1 ;

0 ), (, ) + ;

, (, ), (3.3.25) где функция ;

, (, ) удовлетворяет оценке (3.3.6).

Используя сведения о пределах суммирования и шаге изменения показателя в фор­ мальном ряде (3.3.3), зададим эти параметры для ФАР (, ) вида (3.1.5), указанного в замене обозначений (3.2.5). Положим +1;

;

0 = ;

;

0 ;

;

0, +1;

;

1 =, +1;

;

0 = ;

;

0, +1;

;

1 = ;

;

1 (;

;

3 ) и, таким образом, получим формальный ряд ;

+;

;

(, ) ;

0 ;

0 (ln ) ;

, (), (3.3.26) =0 = с коэффициентами которого свяжем формальные ряды ;

+;

;

;

, () = ;

0 ;

1 (ln ) ;

,;

,. (3.3.27) =0 = В дальнейшем нужно доказать, что ряды (3.3.27) являются асимптотиками функций ;

, () при 0.

Соотношение (3.3.25) близко по форме к так называемому условию согласования асимп­ тотических разложений [59, с. 19, 74] и представляет собой его новую, более общую форму.

Для того, чтобы убедиться в этом, введем следующее О п р е д е л е н и е 3.3.3. Пусть ряды (, ), (, ), (, ), (, ) заданы, соот­ ветственно, формулами (3.2.6), (3.3.1), (3.3.26), (3.3.3), причем функции ;

, () и ;

, () имеют, соответственно, асимптотические разложения (3.2.12) при и (3.3.27) при 0. Тогда определим,, (, ), (, ), где (, ), (, ) и опе­ раторы, и, заданы определением 3.2.1;

аналогично,, (, ), (, ), где (, ), (, ).

Замечание 3.3.2. Если ;

1 = ;

0 = 0, то ряд (3.3.1) принимает вид ;

1 +;

;

;

0 ;

1 ;

1 ;

2 +;

(ln ) ;

;

,, (, ) = (3.3.28) =0 =0 = величина в силу определения 3.3.1 и договоренности (3.2.18) становится равной ;

3 и ряд (, ), определяемый в лемме 3.3.1 формулой (3.3.3), принимает вид ;

1 +;

;

1 +;

;

0 ;

0 ;

0 ;

;

3 ;

(ln ) ;

,;

,, (, ) (ln ) (3.3.29) =0 =0 =0 = при этом для конечных сумм рядов (3.3.28) и (3.3.3) справедливо равенство ;

1 +;

;

;

0 ;

1 ;

1 +;

(ln ) ;

;

, =0 =0 = ;

1 +;

;

1 +;

;

0 ;

0 ;

0 ;

;



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.