авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина На правах рукописи ...»

-- [ Страница 3 ] --

3 ;

(ln ) ;

,;

, = (ln ) =0 =0 =0 = и, следовательно, соотношение (3.3.25) превращается в равенство без остаточного члена:

;

1 +;

0, ;

0 +;

1 1 (1 ;

0 );

2 2 ;

3, (, ) = ;

= ;

0 +(,3 ;

0 ), ;

1 1 (1 ;

0 ), (, ).

Если известно, что ряды (3.3.27) являются асимптотиками функций ;

, (), то в част­ ном случае, когда ;

1 = ;

0 = 0, равенство (3.3.30) может быть записано в терминах операторов из определения 3.3. ;

0 +(,3 ;

0 ), ;

1 +;

0, (, ) = ;

1 +;

0, ;

0 +(,3 ;

0 ), (, ), (3.3.30) где формальные ряды (, ), задаваемые формулой (3.3.26), имеют вид ;

1 +;

;

0 ;

0 ;

(ln ) ;

, () при ;

1 = ;

0 = (, ) (3.3.31) =0 = и в качестве асимптотических разложений функций ;

, () используются формальные ряды ;

, (), определяемые формулой (3.3.27) и имеющие вид ;

1 +;

;

0 ;

3 ;

(ln ) ;

,;

, при ;

1 = ;

0 = 0.

;

, () = (3.3.32) =0 = Соотношение (3.3.30) представляет собой классическую запись условия согласования, именно в такой форме оно приводится в монографии [59]. В общем случае тождество вида (3.3.30) не имеет места потому, что результирующая сумма (3.3.5), вообще говоря, не является частью формального ряда (, ).

Д о к а з а т е л ь с т в о замечания сразу же следует из пункта 2. доказательства леммы 3.3.1.

Как следует из замечания 3.3.2, в частном случае, когда ;

1 = ;

0 = 0, соотношение (3.3.30) при использовании определения 3.3.3 в точности соответствует известному терми­ ну «условие согласования», применяемому, например, в монографии [59, с. 19, 74]. В данной монографии оно определяется в словесной форме, которая в применении к рядам (3.2.6), (3.3.26) принимает вид равенства (3.3.30), которому в случае ;

1 = ;

0 = 0 полностью эк­ вивалентно равенство (3.3.25), если положить в нем ;

, (, ) = 0. В общем случае, когда ;

1, ;

0 Q R+, равенство (3.3.25), как представляется автору диссертации, является есте­ ственным обобщением стандартного условия согласования (3.3.30).

Поясним новизну и большую общность условия (3.3.25) в сравнении с условием (3.3.30).

При ;

1 = ;

0 = 0 эти соотношения эквивалентны. Но если ;

1 = 0 или ;

0 = 0, то, во-пер­ вых, как указано в пункте 2 доказательства леммы 3.3.1, возникает проблема при перераз­ ложении ряда (3.3.1) и вычислении выражения (, ), связанная с тем, что выражения, получаемые при переразложении частичных сумм ряда (3.3.1) могут не являться частичными суммами результирующего ряда (3.3.3). И, во-вторых, в указанном общем случае соотноше­ ние (3.3.25) справедливо, но не может быть записано по аналогии с условием (3.3.30) в виде равенства ;

1 +;

0, ;

0 +;

1 1 (1 ;

0 );

2 2 ;

3, (, ) = ;

= ;

0 +(,3 ;

0 ), ;

1 1 (1 ;

0 ), (, ), оно должно содержать остаточный член ;

, (, ), который, вообще говоря, не может быть отброшен в рамках степенно-логарифмической асимптотической последовательности.

Еще раз подчеркнем, что условие согласования на самом деле должно связывать насто­ ящие ФАР ;

(, ) и +1;

(+1, ) вида (3.1.5) в двух смежных слоях следующим обра­ зом: коэффициенты ;

;

, ( ) заменяются их асимптотиками при, коэффициенты +1;

;

, (+1 ) заменяются их асимптотиками при +1 0 и для полученных таким образом формальных рядов ;

(, ), +1;

(+1, ), соответственно, проверяется условие (3.3.30) с учетом замены обозначений (3.2.5). В нашем же случае о рядах (, ) +1;

(+1, ) по­ ка нельзя утверждать, что они получены подстановкой асимптотических разложений в ФАР задачи при 0 в слое с масштабной переменной, но все же для формальных рядов ;

, () ниже будет доказано, что они являются ФАР при 0 уравнений рекуррентной системы ОДУ, определяющей коэффициенты ряда (, ), и этого на практике (см., [98] и главы 1, 2 диссертации) обычно бывает достаточно, чтобы доказать существование точных решений данной рекуррентной системы ОДУ, для которых ;

, () являются асимптотиче­ скими рядами, и таким способом найти ФАР при 0, согласующееся с рядом (, ).

Кроме того, в общем случае тождество вида (3.3.30) не имеет места, поскольку результиру­ ющая сумма (3.3.5) перестает быть частичной суммой формального ряда (, ), но оценки для остаточного члена (3.3.6) оказывается достаточно, чтобы обосновать то, что полученное из таким образом согласованных разложений составное асимптотическое разложение равно­ мерно при [0, 0 ] приближает точное решение задачи (3.1.1), (3.1.2).

С помощью асимптотических разложений (3.2.12) коэффициентов ряда (3.2.6) при фик­ сированных значениях и несложно прийти к соотношению ;

1 +;

0, (, ) = ;

1 +;

0, ;

0 +;

1 1 (1 ;

0 );

2 2 ;

3, (, )+ ;

+ ;

0 ;

0 ;

3 (+1) (3.3.33) ( ) при (0, 0 ), [1, ]. В случае ;

1 = ;

0 = ;

1 = ;

0 = 0 в формуле (3.3.33) можно положить = 0.

Получим теперь систему уравнений для функций ;

, () — коэффициентов рядов (3.3.26). Подстановка переменной = 2 и формальных рядов (, ) в исходную систему (3.1.1), приводит к системе уравнений 2 (, ) 2, 1 (, ),..., (, ) = 0.

( ) (3.3.34) Пусть функции ;

, () удовлетворяют системе уравнений, полученной по стандартной схеме:

( ), 1,..., ;

функция заменяется ее формальным рядом Тейлора ( 2 ) в точке Q+1 () = lim, 1 (, ),..., (, ) и в таком виде подставляется в левую часть уравнения (3.2.1). Пусть в полученном выражении 2 (, ) ;

2, 1 (, ),..., (, ) ( ) (3.3.35) формально приведены подобные и произведено упорядочивание по степеням и ln :

;

1 +;

;

0 ;

1 (ln ) ;

, (), (3.3.36) = = где ;

0, ;

1, ;

0, ;

1 — рациональные числа, причем ;

1 0, ;

0 0, ;

1 0.

Предположим, что в выражение ;

, () могут входить функции ;

, () только с ин­ дексами, удовлетворяющими условию, тогда систему уравнений ;

, () = 0 (3.3.37) можно будет рекуррентно решать относительно функций ;

, (). Именно такая ситуация обычно имеет место на практике (например, в задачах, приведенных в монографии [59] и работах [98;

103], а также в главах 1, 2 диссертации), когда система уравнений ;

0, () = 0, = 1...,, = 0,..., ;

1 0 + ;

0 ;

0, (), используется для нахождения функций = 0,..., ;

1 0 + ;

0. В этом случае уравнения вида (3.3.37), возникающие при подстановке всего формального ряда (3.3.26) или только его частичной суммы ;

0 +(,3 ;

0 ), (, ), при фиксированных индексах,, не будут отличаться друг от друга, по крайней мере для.

Теорема 3.3.1. Предположим, что 1) ФАР системы уравнений (3.2.1), полученной из системы (3.1.1) подстановкой = 1, представляет собой ряды (3.2.6), чьи коэффициенты имеют асимп­ тотические разложения (3.2.12), для которых выполнены условия (3.2.11), (3.2.13)–(3.2.17);

2) формальные ряды (3.3.3) получены переразложением формальных рядов (3.3.1) из переменной в переменную = 2 ;

3) рекуррентная система уравнений (3.3.37) для нахождения функций ;

, () — коэф­ фициентов рядов (3.3.26) — построена стандартным образом.

Тогда невязки, возникающие при подстановке ;

1 ;

3 +;

0, ;

, () — частичных сумм формальных рядов (3.3.27), являющихся коэффициентами рядов (3.3.3), в систему (3.3.37) вместо функций ;

, (), будут удовлетворять оценке ;

, () = при (0, 1 ), ( ) (3.3.38) где 1 и — некоторые положительные числа [100].

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы основывается на применении следующей леммы.

Лемма 3.3.2. Пусть при любых значениях натуральных величин и выполнено равен­ ство 1 + (ln ),, () = 3 +2 + 1 +0 1 + 1 + ( ) (3.3.39) = = при всех (0, 0 ) и (, 0 ), где 0 1. Пусть справедлива исходная оценка,, () = 0 1, = 0..., при (, 0 ), ( ) (3.3.40) где 1, 3, 1 и — положительные, 0 и 1 — неотрицательные, а 0, 0, 1, 2, 0, 0 и 1 — произвольные вещественные числа. Тогда N N, 1 (0, 0 ) : 0 : верна оценка,, () = при (0, 1 ) [100].

( ) 1 возьмем произвольное число из Д о к а з а т е л ь с т в о. В качестве ( ) интервала (0, min{1, 0 }) такое, что (0, 1 ) (ln ) 1, существование подобных чи­ сел следует из (3.2.20). Фиксируем произвольное значение, удовлетворяющее неравенствам:

, 1 + 0 + |0 | + 1 (1 )1. Введем следующие обозначения:

( ) 1 )+ ( min{1, 1 }, = 2(1 + 0 ), = = 3, 2 2 + (3.3.41) ;

1 = 1, ;

2 = 1 min{3, 1 }, 1 = 0, так как 1 0 по условию леммы, то и также являются положительными числами.

Индукцией по = 0,..., докажем, что {0,..., } 1 :,, () = при (0, 1 ).

( ) (3.3.42) Выделим в левой части соотношения (3.3.39) слагаемые, стоящие при 1 +0, а все остальные слагаемые перенесем в правую часть и полученное равенство разделим на 1 +0, тогда 1 +0 1 + ( 1 1 + (ln ),, () (ln ),, () = =0 = = 1 + ) 1 +0 1 + 1 +0 ( 3 +2 ) (ln ),, () + +. (3.3.43) = =+ Осуществим проверку базы индукции (при = 0) одновременно с доказательством шага индукции. Для этого в случае = 0 докажем оценку (3.3.42) без использования каких­ либо дополнительных предположений, а при 1 будем основываться на предположении индукции:

{0,..., 1} 1 :,, () = при (0, 1 ).

( ) Оценка (3.3.39) выполняется для произвольных элементов множества {(, ) : 0 0, 0 }, в частности для точек графика некоторой функции = (), определенной на интервале (0, 0 ) и удовлетворяющей условию (()). Подберем нужную функцию () в виде = с некоторой положительной постоянной ;

ограничимся рассмотрением значений (0, 1 ). Заметим, что в этом случае, поскольку 1 1, условие эквивалент­ но неравенству 1, выполнение которого может быть достигнуто с помощью выбора достаточно большого значения параметра. Подставим выражение = и оценку (3.3.40) в соотношение (3.3.43) и, пользуясь при 1 предположением индукции, получим 1 + ( ln ),, () = = 1 + ( (1 +0 ) (1 +0 ) ( ln ) + ( ) = = = 1 + ) ( 0 1 ) (1 +0 ) ( 3 +2 (1 +0 ) 1 + ) + ( ln ) + + (3.3.44) = =+ при (0, 1 ). Для уравнения (3.3.44) запишем условие, что каждое из слагаемых в правой ( ) части равенства удовлетворяет ограничению, в следующем виде:

( ) 3 (1 + 0 ) + 2 1 0, (3.3.45) ( ) (1 + 0 1 0 ) 1 + 0 1 0, ( ) 1 ( ) 1 + 0 1 0, = + 1..., ( ) 1 ( ) + 1 0, = 0... 1. (3.3.46) Вычитание единицы в конце левой части каждого из неравенств обеспечит учет асимптоти­ ческого влияния сомножителей вида (ln ). При = 0 в правой части равенства (3.3.43) отсутствует первая двойная сумма и ограничение (3.3.46) исчезает вместе с ней.

Зададим конкретное значение величины, используя обозначения (3.3.41):

( ) 1 2 + 2|2 | 1 + |0 | + 1 1 + |0 | + 1 { } = max 1, ( ),,,,.

3 Из равенств (3.3.41) следует, что при таком и произвольном [1, 2 ] неравен­ ства (3.3.45), (3.3.46) будут выполнены и, кроме того, будет верны соотношения 1, 1.

Обозначим = [1 +0 ];

(), = 0,...,, — некоторый набор точек отрезка [1, 2 ].

Зафиксируем произвольное число. Тогда из соотношения (3.3.44) вытекают оценки ( () ln ),, () = при (0, 1 ), ( ) = 0,...,, = которые в матричной форме выглядят следующим образом:

L G, () = (), (3.3.47) = ( () ln ), где L — матрица размерности ( + 1) ( + 1) с элементами, ( ), = 0,..., ;

G, () и () — матрицы-столбцы 1 ( + 1), || ()|| =.

Выберем значения () таким образом, чтобы матрица L оказалась невырожденной и оценим норму обратной матрицы L1 (в качестве нормы возьмем норму матриц, согласован­ ную с нормой max для векторов).

Определитель матрицы L обозначим det L, тогда det L = det A (ln ) 2 (+1), (3.3.48) где = (), матрица A состоит из элементов ( ),, = 0,...,, не зависящих от.

Докажем, что какое бы ни было целое число 0, обязательно найдутся числа = (), где () [1, 2 ], такие, что det A = 0. При = 0 матрица A состоит из од­ ного элемента, равного 1, следовательно, det A0 = 0. Предположим, что для 0 = 0 нашлись такие чисел из отрезка [1, 2 ] и выполняется доказываемое неравенство det A = 0, тогда убедимся в его справедливости для = 0 при добавлении к уже выбран­ ным числам {, = 0,..., 1} еще одного числа. Разложим определитель det A по последнему столбцу:

det A = ( ) det Am1 + 1 ( )1 +... + 1 +. (3.3.49) Предположим от противного, что при любом выборе числа из промежутка [1, 2 ], определитель det A = 0. Тогда многочлен, стоящий в правой части равен­ ства (3.3.49), имеет более корней, значит, по известной теореме алгебры все коэффициенты этого многочлена нулевые, но по предположению индукции коэффициент det A1, стоящий при, отличен от нуля. Это противоречие и доказывает, что нужное число найдется.

) Произведем оценку матрицы L1 = det L ( L, где матрица L составлена из алгеб­ раических дополнений элементов матрицы L. Каждый элемент матрицы L, а значит, и ее ( ) норма могут быть оценены выражением (ln ) 2 (+1), поэтому согласно равенству (3.3.48) 1 ( ) L = det L 1 L = (1). Из соотношения (3.3.47) получим G, () L1 () = ( ) и, таким образом,,, () = при (0, 1 ). Следовательно, утверждения базы и ( ) шага индукции доказано и доказательство леммы завершено.

Вернемся к доказательству теоремы 3.3.1.

1. Рассмотрим невязку, возникающую при подстановке в уравнение (3.2.1) других функ­ ций вместо функций (, ).

Для величины ;

(, ) ((1;

) 1,..., (;

) ) 0 0 : N {0}, 1,..., выполняется равенство 1 ;

(, ) = ( ) ( ) +1 1 при (0, 0 ), [1, ]. (3.3.50) ( ) ( ) Действительно, разложив функцию, 1,..., по формуле Тейлора в точке Q () вплоть до производных порядка, увидим, что функцию ;

(, ) можно записать в виде суммы:

;

(, ) = ;

;

(, ) + ;

, (, ) + ;

, (, ), (3.3.51) ( ) где ;

, (, ) — часть полинома Тейлора ;

1, (1;

) 1 (, ),..., (;

) (, ), в ко­ тором остались только слагаемые, содержащие степени, показатели которых превышают ( );

;

;

(, ) — часть выражения 1 (;

) (, ) с такими же ограничениями;

;

, (, ) — соответствующий ;

остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Представим частичную сумму (3.2.9) в виде линейной комбинации произведений = ();

1 ()+();

0 (ln )() (), (3.3.52) здесь символом () для краткости обозначена функция ();

(), () (). Докажем, что про­ изведение (3.3.52) ограничено при (0, 0 ) и [1, ]. С помощью асимптотики (3.2.12) несложно получить оценку при [1, ].

() = ();

0 +();

1 () (ln )();

( ) (3.3.53) Для упрощения и краткости записи временно опустим индекс, зафиксировав произ­ вольное его значение. Будем записывать оценки при [1, ]. Подставим в формулу (3.3.52) оценку (3.3.53):

= ;

1 +;

0 (ln ) ;

0 +;

1 ;

2 (1 + | ln |);

0.

( ) (3.3.54) Сначала рассмотрим часть этого произведения: = ;

1 (ln );

0 ;

1 ;

2 — и до­ кажем, что = (1) при [1, ]. (3.3.55) Заметим, что из вида асимптотики (3.2.6) следует, что 0 ( ;

0 ) ;

1. Рассмотрим различные варианты значений индексов и.

Если = 0 то произведение = ;

2 ;

0 = (1).

Если 0 тогда: если = 0, то в силу неравенства ;

1 0 и равенства (3.2.14) получим = ;

1 ;

1 = ;

1 ;

1 = (1);

если 0, то, введя обозначения ( ) ( ) = max{0, ;

1 ;

2 } ;

1, получим ;

1 ;

2 = = ;

снова применим ( ) ( ) (3.2.14), чтобы получить взаимосвязь ;

1 ;

1 ;

1 = 0, из которой вытекает ( ) оценка ;

1 ;

1 ;

2 =, где = ;

1 0, и с помощью (3.2.20) приходим к ( ) тому, что = (ln );

0 = (1).

Теперь докажем, что для оставшейся части произведения (3.3.54) = ;

0 (ln );

0 ;

0 (1 + | ln |);

( ) тоже справедлива оценка = (1) при [1, ]. (3.3.56) Заметим, что ( ;

0 ) если ;

0 0,, при [1, ].

;

0 ;

0 = (3.3.57) ( ) ;

0 ;

0, если ;

0 Рассмотрим по отдельности различные варианты значений коэффициентов.

В случае ;

0 0 согласно (3.2.17) верно неравенство ;

0 ;

0 0. Если при этом ;

0 = 0, то из неравенства ;

0 ;

0 0 следует, что ;

0 0, поэтому согласно услови­ ям (3.2.13) и (3.2.16), из которых следует, что ;

0 = 0, получим = |;

0 | (1 + | ln |);

0 = ( ) = (1). Если ;

0 0, то в оценке (3.3.57) независимо от знака ;

0 получится ( ), где 0.

( ) Поэтому, используя (3.2.20), имеем = (1 + | ln |);

0 +;

0 = (1).

В случае ;

0 = 0, если ;

0 = 0, то с помощью соотношений (3.3.57), (3.2.13) и (3.2.15) ( ) можно записать: = ;

0 ;

0 = (1). Если ;

0 0, то в соответствии с условием (3.2.16) выполняются неравенства ;

0 0, ;

0 ;

0 0. Если к условиям ;

0 = 0 и ;

0 ( ) ( ) добавляется ;

0 0, то = ;

0 ;

0 (ln );

0 = ;

0 (ln );

0 = (1). Если же ;

0 0, то благодаря неравенству ;

0 ;

0 0 и оценке (3.3.57) получим соотношение = ;

0 ;

0 (ln );

0 = ;

0 ;

0 (ln );

0 = (1).

( ) ( ) Таким образом, при любых значениях коэффициентов, удовлетворяющих условиям (3.2.13)–(3.2.17), величина, а вместе с ней и вектор-функция Q () и все ча­ стичные суммы (;

) (, ) являются ограниченными на промежутке [1, ]. А тогда и функция (, 1,..., ), и ее производные, входящие как коэффициенты в полином Тей­ лора ;

и функцию ;

, (, ), будут ограничены вдоль кривой Q () и производные по­ рядка + 1, вычисленные в соответствующей средней точке, которые фигурируют в записи функции ;

, (, ), также будут ограниченными.

Функция ;

, (, ) представляет собой линейные комбинации с ограниченными коэф­ фициентами произведений вида 1 1 () () ();

1 ()+();

0 (ln )() (), ( ) (3.3.58) =1 = где 1 + 2, и все () 1. Причем для каждого из произведений (3.3.58) справедлива оценка ( ) (ln ) (ln ), ( ) (3.3.59) 1 (();

1 () + ();

0 ) ( ) 0, где = 1 () + (3.3.60) =1 = max = ( + 1) max (;

1 + ;

0 ), =1...

1 = () + (();

1 () + ();

0 ), (3.3.61) =1 = max = ( + 1) max (;

1 + ;

0 ). (3.3.62) =1...

При записи выражения (3.3.61) были использованы соотношения (3.2.14) и (3.2.15), из кото­ рых следует, что ();

1 () + ();

0 ();

1 () + ();

0. C помощью соотношений (3.3.60), (3.3.61) и условия [1, ], из которого следует, запишем, что, где 1 ( ) () + ( ) = 1 + () + =1 = = ( )1 + 1 1 1 () ( )1, ( ) = поскольку 0 1 2 1 и все () 1. С помощью (3.2.20) запишем оценку (ln )max +max = (1) при [1, ], а тогда из (3.3.59)–(3.3.62) получим 1 ) при [1, ].

;

, (, ) = ( ) ( ) ( (3.3.63) Аналогично ;

, (, ) представляет собой линейную комбинацию с ограниченными коэффициентами произведений вида (3.3.58), только на этот раз 1 + 2 = + 1, кроме того, для показателей степеней во втором произведении выражения (3.3.58) выполняется неравенство ();

1 () + ();

0 (), (3.3.64) ;

0, если ;

0 0, где 0 = (3.3.65) ;

1 + ;

0, иначе.

Для степени, которая обязательно накопится в таком произведении вида (3.3.58), в силу неравенств (3.3.64), (3.3.65) и () 1 можно выписать оценку снизу:

1 2 (();

1 () + ();

0 ) 1 1 + ();

0 (1 + 2 ), = 1 () + =1 =1 = = min{1, 1,... } 0., где Поэтому, если выбрать удовлетворяющее условию + 1 max{0, ( )}1, то получим, что для каждого из произведений, стоящих в линейной комбинации, составляющей функцию ;

, (, ),справедлива совершенно такая же оценка (3.3.59)–(3.3.62), как для ;

, (, ). Поэтому теми же самыми рассуждениями можно прийти к выводу, аналогичному соотношению (3.3.63), что 1 ) при [1, ].

;

, (, ) = ( ) ( ) ( Подобным образом проанализируем функцию ;

;

(, ), входящую в состав форму­ лы (3.3.51). Она является линейной комбинацией с числовыми коэффициентами произведе­ ний вида ;

1 +;

0 + 1 (ln ) ;

, (). Точно так же, как это было сделано выше для выражений (3.3.58), для этих произведений можно записать оценку:

( ) (ln ) (ln ), ( ) где = ;

1 + ;

0 + 1 ( ) 0, = 1 (;

1 + ;

0 ) 1, ;

1 + ;

0, ;

1 + ;

0. Вновь оценим как ( ), где = 1 + = 1 + +1 ( + 1 + ( ) 1) 1 ( ), так как = 1 1 1 + 1 1 1, 0.

1 ) при [1, ], а тогда и для всей невяз­ ( Таким образом, ;

;

(, ) = ( ) ( ) ки (3.3.51) выполняется утверждение (3.3.50).

2. Пусть = (, ) — произвольные функции, ограниченные и дифференцируемые по на множестве (, ) : (0, 0 ), [1, ].

{ } Тогда для ;

;

;

(, ) ((1;

) 1 + 1,..., (;

) + ) справедлива оценка 0 0 : N {0} 1,..., выполняется равенство ( ( )1 + ) ( ) ;

;

;

(, ) = + + ( ) (3.3.66) = при (0, 0 ), [1, ].

В самом деле, если оценить по формуле Лагранжа изменение функции ( ) ( ), 1,..., 1, (1;

) 1 (, ),..., (;

) (, ) при переходе от точки к точке 1, (1;

) 1 (, ) + 1,..., (;

) (, ) +, получим = ( ) (), = где принадлежит отрезку, соединяющему эти точки. Поскольку, как уже было отмечено выше, все функции (;

) (, ) являются ограниченными и добавки по условию то­ же ограничены, то = =1 ( ), поэтому при подстановке функций (;

) (, ) с добавками результат изменится на величину 1 + ( ), что и доказывает свой­ = ство (3.3.66).

Отметим, что в случае, когда масштаб 1 соответствует самому внутреннему асимпто­ тическому слою, можно продолжить оценку (3.3.50) на отрезок [0, ], заменив в ее правой части переменную функцией () = max{1, }. Если функции (, ) продолжимы на этот отрезок, то после замены в первом слагаемом переменной на () оценка (3.3.66) тоже будет верна на всем промежутке [0, ]. Кроме того, в случае ;

1 = ;

0 в оценках (3.3.50), (3.3.66) можно положить = 0.

3. Если 1 = 1 и функции (, ) ограничены и дифференцируемы по на множе­ стве (0, 0 ), (0, ], то на этом множестве будет верна оценка получаемая при 1 ) 1 ) ( ( замене в правой части оценки (3.3.66) выражения ( ) + на ( ()) ( ) +, где () = max{1, }.

Действительно, поскольку коэффициенты внутреннего разложения удовлетворяют при = 0 начальным условиям, согласованным с основным начальным условием, они являют­ ся ограниченными в окрестности нуля, вместе со своими первыми производными, значения которых можно выразить из соответствующих дифференциальных уравнений. Поэтому ра­ венство (3.3.53) можно записать так:

() = ();

0 +();

1 () (1 + | ln |)();

0 при [0, ], ( ) и дальше можно всюду в доказательстве пунктов 1 и 2 заменить на за исключением тех мест, где указывается область изменения переменной, и тех, где используется в качестве аргумента коэффициента разложения, и заменить [1, ] на [0, ]. Доказательство оста­ нется верным при такой замене, потому что множество значений функции () на отрезке [0, ] совпадает с отрезком [1, ], на котором доказательство уже проведено.

4. Пусть (, ) = ;

1 +;

0, (, ) ;

0 +(,3 ;

0 ), ;

1 1 (1 ;

0 ), (, ).

Тогда для остаточного члена ;

;

;

(, ), возникающего в формуле (3.3.66), верно равенство 1 ) ;

;

;

(, ) = ( ) ( ) + + ;

0 +;

;

0 ;

( ( ) (3.3.67) при (0, 0 ), [1, ].

Действительно, используя равенства (3.3.4) и (3.3.33), получим (, ) = ;

, (, ) + ;

0 ;

0 ;

3 (+1) при (0, 0 ), [1, ].

( ) (3.3.68) Перейдя в оценке (3.3.6) к переменной =, получим представление ;

, (, ) = ;

0 ;

0 ;

3 при (0, 0 ), [1, ], ( ) (3.3.69) подставив которое в равенство (3.3.68), придем к выводу, что величина может быть оце­ нена тем же выражением, которое стоит в правой части соотношения (3.3.69). По свойству конечных сумм и в силу дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют члены ря­ справедлива такая же оценка. Тогда на основании равен­ да (3.2.6), получим, что и для ства (3.3.66) получим оценку (3.3.67).

5. Если в частичной сумме ряда (3.3.26) функции ;

, () заменим частичными суммами их формальных асимптотических разложений (3.3.27) и в виде выражений (3.3.5) подставим в левую часть уравнения (3.3.34) вместо рядов (, ), то получим в равенстве (3.3.34) невяз­ ку, удовлетворяющую оценке (3.3.67). Преобразуем получившееся равенство следующим об­ ( ) разом. Разложим функцию, 1,..., по формуле Тейлора в точке Q+1 () вплоть до производных порядка. Выделим в сумме производных функций ;

;

и в поли­ номе Тейлора ;

,, (, ) те слагаемые, в которых показатели степеней не превышают ;

0 + ;

1. Оставшиеся слагаемые этих выражений, а также остаточный член формулы Тей­ лора ;

,, (, ) перенесем в правую часть равенства, к уже имеющемуся там невязочному члену с оценкой (3.3.67). В итоге получим соотношение ;

+;

;

;

0 ;

1 (ln ) ;

, () = ;

,, (, ), (3.3.70) = = где ;

,, (, ) = ;

;

, (, ) + ;

,, (, )+ + ;

,, (, ) + ;

;

;

(, ), (3.3.71) здесь ;

,, (, ) и ;

;

, (, ) — суммы, всех тех слагаемых полинома ;

,, (, ) и ;

;

, соответственно, в которых показатели степеней больше ;

0 + ;

1.

выражения 6. Для величины ;

,, (, ), определяемой равенством (3.3.71), справедливо свойство 0 0 : (0, ) N {0} 1,..., выполняется равенство ;

,, (, ) = ;

3 +;

2 + ;

1 +;

0 ;

1 +;

0 (3.3.72) ( ) при (0, 0 ), [, 1], если положить ;

3 = 1 ;

1, ;

2 = 1 ;

0 +, =, ;

1 = max{1 ;

1, ;

3 }, ;

0 = min{1 (;

0 + 2 ) 1, ;

0 }, (3.3.73) ;

1 = max{;

1, ;

3 }, ;

0 = + min{;

0, ;

0 + ;

;

0 }.

В самом деле, если перейти в соотношении (3.3.67) к переменной и учесть формулу (3.2.11), то 1 ) ;

;

;

(, ) = (;

1 +;

0 ) + ( + ;

0 +;

(;

0 ;

3 ) ;

0 ;

3 при [, 1]. (3.3.74) ( ) Рассмотрим частичную сумму (3.3.5), которую можно представить в виде линейной комбинации следующих произведений:

(, ) = () ()+();

0 ();

0 (ln )() (), (3.3.75) здесь () — это частичная сумма ();

0 1 () ()+();

1 ();

(), () () ряда (3.3.27).

В соответствии с (3.3.27) справедлива оценка:

1 () = ();

0 1 () () (1 + ln )();

1 ();

3 () ()+();

0 ().

( ) (3.3.76) Для упрощения и краткости записи временно не будем указывать индекс, зафиксировав произвольное его значение. Легко видеть, что | ln | | ln | при [, 1]. (3.3.77) Подставим в формулу (3.3.75) оценку (3.3.76) и, используя границы изменения индекса и неравенство (3.3.77), получим оценку:

= +;

0 ;

0 (ln )2(+;

0 ) ;

0 1, ( ) (3.3.78) где = ;

1 ;

3 1. Заметим, что ;

0 1 1 = 1 ( + ;

0 ;

0 ) + 1 ;

0 1, и, применив это равенство к оценке (3.3.78), придем к выводу, что = (1 )( +;

0 ;

0 ) (ln )2(+;

0 ).

( ) (3.3.79) Докажем, что = (1) при [, 1]. (3.3.80) Рассмотрим два варианта:

При = 0 если ;

0 = 0, то = (1 )(;

0 ;

0 ) = (1) в силу условия (3.2.15);

( ) если ;

0 0, то согласно условию (3.2.16) выполняется неравенство ;

0 ;

0 0 и тогда соотношение = (1) сразу следует из соотношения (3.2.20);

При 0 показатель степени в оценке (3.3.79) положителен и тогда вновь с помощью (3.2.20) приходим к равенству = (1).

Поэтому на промежутке [, 1] вектор-функция Q(), все производные, входящие в состав полинома Тейлора ;

,, (, ) и остаточный член ;

,, (, ) являются ограничен­ ными.

Рассмотрим полином ;

,, (, ), являющийся линейной комбинацией произведений вида:

1 () ()+();

0 ();

0 (ln )() (), 2 () () (3.3.81) =1 = где 1 + 2, все () 1. Произведения (3.3.81) можно оценить следующим образом:

;

1 +;

0 (ln ) (ln ), где ( ) (3.3.82) 1 (() () + ();

0 ();

0 ) (;

1 + ;

0 ) 0, = 2 () + (3.3.83) =1 = max = ( + 1) max (;

1 + ;

0 + ;

1 + ;

0 ), (3.3.84) =1...

1 (1 () () + ();

0 ), = () + (3.3.85) =1 = max = ( + 1) max (;

1 + ;

0 ), (3.3.86) =1...

здесь выражения max и max получены с помощью формулы (3.3.5). Используя соотношения (3.3.83), (3.3.85) и условие [, 1], запишем, что = ( ), ) 1 1 1 ( ) + 1 + где = + = ( ()+ = + 1 ();

0 1 (;

1 + ;

0 ) 1 (;

1 + ;

0 ), = поскольку все () 1.

C помощью (3.3.77) и (3.2.20) можно записать оценку (ln )max (ln )max = (1) при всех (0, 0 ) и [, 1], а тогда из (3.3.82) получим:

( ;

,, (, ) = ;

1 +;

0 (;

1 +;

0 ) при (0, 0 ), [, 1].

) (3.3.87) Аналогично, функция ;

,, (, ) также представляет собой линейную комбинацию с ограниченными коэффициентами произведений вида (3.3.81), только на этот раз 1 + 2 = + 1, кроме того, для показателей степеней во втором произведении вы­ ражения (3.3.81) выполняется неравенство () () + ();

0 ();

0 (), (3.3.88) ;

0 ;

0, если ;

0 ;

0 0, где 0 = (3.3.89) + ;

0 ;

0, иначе.

Для степени, которая накопится в таком произведении, в силу неравенств (3.3.88) и () можно записать оценку снизу:

1 2 (() () + ();

0 ();

0 ) 2 1 + ();

0 (1 + 2 ), = 2 () + =1 =1 = где = min{2, 1,... } 0 и числа определены формулой (3.3.89). Поэтому, если выбрать, удовлетворяющее условию + 1 (;

0 + ;

1 )1, то можно прийти к выводу, аналогичному соотношению (3.3.87), что ( ;

,, (, ) = ;

0 +;

1 (;

0 +;

1 ) при [, 1].

) (3.3.90) Остается рассмотреть функцию ;

;

, (, ), входящую в состав формулы (3.3.71).

Она является линейной комбинацией с числовыми коэффициентами произведений вида:

( 0 ) +;

0 ;

0 + 2 (ln ) ;

0 1 +;

1 ;

, ().

(3.3.91) Так же, как и для выражений (3.3.81), для этих произведений можно записать оценку:

;

0 +;

1 (ln ) (ln ), ( ) где = + ;

0 ;

0 + 2 (;

0 + ;

1 ) 0, = 1 + ;

0 1, ;

1 + ;

0, ;

1 + ;

0.

Вновь оценим как ( ), где = 1 + = 1 1 ( ;

0 + 2 + ;

0 + ;

1 ) 1 = = (1 1 ) + 1 (;

0 + ) 1 (;

1 + ;

0 + 2 ) 1 1 (;

1 + ;

0 + 2 ) 1, поскольку 1 1 0. Таким образом, ( ;

;

, (, ) = ;

1 +;

0 (;

1 +;

0 +2 )1 при [, 1].

) (3.3.92) Подставив оценки (3.3.92), (3.3.87), (3.3.90) и (3.3.74) в формулу (3.3.71), получим ра­ венство ( ;

,, (, ) = ;

1 +;

0 (;

1 +;

0 +2 )1 + ) 1 ) + (;

1 +;

0 ) + + ;

0 (;

0 ;

3 ) ;

0 ;

3, ( ( ) применив к которому обозначения (3.3.73), придем к требуемой оценке (3.3.72).

7. Вновь применив рассуждения, подобные тем, с помощью которых доказано свой­ ство (3.3.50), придем к выводу, что для функций ;

, (), являющихся коэффициентами в равенстве (3.3.70), справедлива оценка ( ;

, () = (;

1 +;

0 +2 )1.

) (3.3.93) Действительно, сумма, стоящая в левой части равенства (3.3.70) по построению является ли­ нейной комбинацией произведений вида (3.3.81) и вида (3.3.91). Для произведения первого ви­ ( ) да заметим, что для функций (), коэффициентов при (ln ), верна оценка (ln ), если обозначить 1 (() () + ();

0 ();

0 ) ;

0 + ;

1, = 2 () + =1 = 1 (1 () () + ();

0 ), = () + =1 = числа и удовлетворяют неравенствам (3.3.84) и (3.3.86), соответственно. Поэтому 1 1 () 1 ( ) () = ();

0 = =1 =1 = 1 1 ();

0 1 1 1 (;

0 + ;

1 ).

= (1 + 2 ) () + =1 = Для произведений второго вида можно поступить аналогично. Функции ;

, (), умно­ ( ) женные на (ln ) в выражении (3.3.91), удовлетворяют оценке (ln ), если ввести обозначения:

= + ;

0 ;

0 + 2 ;

0 + ;

1, = 1 + ;

0 1, При этом ;

1 + ;

0, ;

1 + ;

0. Отсюда = 1 ( ;

0 + 2 ) 1 1 (;

1 + ;

0 + 2 ) 1, и с помощью соотношения (3.2.20) сразу же получим искомую оценку.

8. Подставим оценку (3.3.72) в равенство (3.3.70), умноженное на +, и применим к результату подстановки лемму 3.3.2, принимая = и = и используя соотноше­ ние (3.3.93), тогда сразу получим оценку (3.3.38).

Теорема 3.3.1 доказана.

Замечание 3.3.3. Поскольку рост значения, определяющего верхний предел сумми­ рования в частичной сумме (3.3.2) ряда (3.2.6), в принципе ничем не ограничен, то оцен­ ка (3.3.38) позволяет получить для функции ;

, () сколь угодно высокий порядок малости при 0.

В дальнейшем нам понадобится следующее замечание, полученное в пунктах 2 и 3 доказа­ тельства теоремы 3.3.1.

Замечание 3.3.4. Пусть = (, ) — произвольные функции, ограниченные и дифферен­ цируемые по на множестве (, ) : (0, 0 ), [1, ].

{ } Тогда для ;

;

;

(, ) ((1;

) 1 + 1,..., (;

) + ) справедлива оценка 0 0 : N {0} 1,..., выполняется равенство ( )1 + ( ) ( ) ;

;

;

(, ) = + + ( ) (3.3.94) = при (0, 0 ), [1, ].

Если 1 = 1 и функции (, ) ограничены и дифференцируемы по на множестве (0, 0 ), (0, ], то на этом множестве будет верна оценка получаемая при замене в 1 ) 1 ) ( ( правой части оценки (3.3.94) выражения ( ) + на ( ()) ( ) +, где () = max{1, }.

В некоторых случаях ФАР системы уравнений (3.2.1) не удается записать в виде единой системы рядов, удовлетворяющих всем условиям (3.2.13)–(3.2.17). Оказывается, заключение теоремы 3.3.1 остается верным в том случае, когда условия (3.2.16), (3.2.17) выполняются не для самих рядов (3.2.12), а для некоторых их составляющих.

Теорема 3.3.2. Пусть частичные суммы рядов (3.2.6) могут быть разложены на состав­ ляющие (;

) (, ) = ;

;

1 +;

;

;

;

0 ;

;

(ln ) ;

;

, (), = (;

) ;

(, ) = (3.3.95) =1 =1 =0 = причем каждая из функций ;

;

, () имеет асимптотическое разложение вида (3.2.12) ;

;

1 +;

;

;

;

;

;

1 ;

;

2 +;

;

(ln ) ;

;

,;

, при.

;

;

, () (3.3.96) =0 = Пусть при каждом фиксированном значении = 1,..., коэффициенты построен­ ных по аналогии с рядами (3.3.1) формальных рядов, (, ) удовлетворяют всем усло­ виям (3.2.13)–(3.2.17). Пусть коэффициенты рядов (3.2.6) удовлетворяют соотношениям (3.2.13)–(3.2.15) и при подстановке рядов (3.2.6) в систему уравнений (3.2.1) выполняется условие (3.2.11). Тогда заключение теоремы 3.3.1 будет верно [100].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что из того, что условиям (3.2.13)–(3.2.15) удовлетво­ ряет весь конечный набор составляющих, (, ) ряда (3.3.1) следует выполненность этих условий и для самих рядов (3.3.1).

Условия (3.2.16), (3.2.17) используются при доказательстве теоремы 3.3.1 только для того, чтобы обосновать ограниченность частичной суммы ряда и получить оценку произ­ вольного члена возникающей линейной комбинации. В обоих этих случаях доказательство можно без каких-либо изменений провести отдельно для каждого из рядов ;

(, ), опре­ деляемых формулой (3.3.96), получив при этом оценки вида (3.3.55), (3.3.56) и (3.3.80) для каждой из составляющих по отдельности, из которых сразу же следуют такие же оценки для совокупного ряда. Остальная часть доказательства теоремы 3.3.1 не претерпевает изменений.

Теорема доказана.

3.4. Вспомогательные утверждения для согласования асимптотических разложений Утверждение 3.4.1. Пусть на промежутке (0, ], где = 0 при 2 = 0, а в остальных случаях = 1, существует набор функций ;

, (), являющийся решением системы (3.3.37), причем для каждой из функций ;

, () соответствующий формальный ряд ;

, (), задава­ емый формулой (3.3.27), является асимптотическим разложением при 0.

Тогда, если вместо (, ) в левые части уравнений системы (3.3.34) подставить вы­ ражения, (, ) + (, ), где, (, ) ;

0 +(,3 ;

0 ), (, ) — это частичные сум­ мы рядов (3.3.26), а функции (, ), являются ограниченными и дифференцируемыми по переменной при (0, 0 ) и [, ], то для полученных выражений ;

;

(, ) будет выполняться оценка:

( ;

, (, ) = ;

1 +;

0 (;

1 +;

0 )1 + ) + 2 ( ) при (0, 0 ), [, ], (3.4.1) + = где — произвольное число из интервала (0, ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно посылке утверждения обозначения ;

, (), введенные внутри формального ряда (3.3.26), как соответствие возникшим формальным рядам (3.3.27), теперь являются настоящими функциями, как и частичные суммы ряда (3.3.26). Вначале рассмотрим выражение ;

(, ), возникающее при подстановке ча­ стичных сумм, (, ) ;

0 +(,3 ;

0 ), (, ) рядов (3.3.26) в левые части уравнений системы (3.3.34) результирующее выражение ;

(, ) 2, (, ) 2, 1, (, ),...,, (, ).

( ) (3.4.2) Вновь применим формулу Тейлора к левой части уравнения (3.3.34), разница лишь в том, что на этот раз в нее подставлены сами функции, (, ), а не их асимптотики при 0.

Тогда выражение (3.4.2) примет вид:

;

(, ) = ;

;

(, ) + ;

, (, ) + ;

, (, ), (3.4.3) где ;

, — полином Тейлора степени для функции, ;

, (, ) — соответствующий остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранжа.

Поскольку в выражение ;

, (), являющееся коэффициентом в сумме (3.3.36), могут входить функции ;

, () только с индексами, удовлетворяющими условию, то при подстановке найденных функций ;

, (), = 0,...,, = 0,..., ;

1 + ;

0 — решений урав­ нений (3.3.37) — в сумму (3.3.36), коэффициенты при степенях с показателями, не превосхо­ дящими ;

0 + ;

1, все обратятся тождественно в ноль. Асимптотическое равенство (3.3.76) останется верным и в том случае, когда символом () будет обозначена не частичная сумма асимптотического ряда (3.3.27), а сама функция ();

(), () (). Поэтому после замены функ­ ции ;

,, (, ) на ;

, (, ) останутся в силе и рассуждения, связанные с соотношениями (3.3.81)–(3.3.86), подтверждая справедливость обновленного равенства (3.3.87).

Совершенно аналогично можно объяснить и сохранение силы оценки (3.3.90) при пере­ ;

,, (, ) ;

, (, ), ;

;

, (, ) ходе от к и оценки (3.3.92) при замене на ;

;

(, ). Отсюда с помощью формулы (3.4.3) сразу получается соотношение ( ;

(, ) = ;

1 +;

0 (;

1 +;

0 ) ) при (0, 0 ), [, ]. Пусть теперь вместо вместо функций, (, ) в уравнение (3.3.34) подставлены функции, (, ) + (, ). C помощью формулы Лагранжа можно записать ( ) приращение функции, 1,..., при изменении ее аргументов от точки 2, 1, (, ),...,, (, ) ( ) (3.4.4) к точке 2, 1, (, ) + 1 (, ),...,, (, ) + (, ).

( ) (3.4.5) следующим образом: = =1 (), где — некоторая точка отрезка, соединяющего точки (3.4.4) и (3.4.5). Так как функции, (, ) и (, ) ограничены, то = ( ).

= Поэтому разность между ;

, (, ) и ;

(, ) можно оценить как 2 + =1 ( ), откуда сразу следует требуемая оценка (3.4.1). Утверждение доказано.

Из асимптотических разложений (3.3.27) для функций ;

, () следует, что при фикси­ рованных значениях и справедливо соотношение:

;

0 +(,3 ;

0 ), ;

1 1 (1 ;

0 ), (, ) = ;

0 +(,3 ;

0 ), (, ) + ( ) ;

0 ;

0 ;

1 ( +1)+;

0 ;

1 ;

3 ;

;

0 ;

1 +;

0 ;

( ) + (ln ) 1 + (ln ) 1 + (ln ), при (0, 0 ), (0, 1].

Соединение послойных асимптотических разложений Предположим, что в соответствии с описанным в §3.2, §3.3 алгоритмом, была построена вся цепочка разложений от внутреннего до внешнего:

;

(, ), = 1,..., ;

;

(, ), ;

(+1, ), = 1,..., 1, = 1,...,, здесь и ниже вновь используются обозначения из §3.1 в соответствии с системой переобозна­ чающих соотношений (3.2.5), ряды ;

(+1, ) построены в соответствии с формулой (3.3.1) на основе асимптотик функций ;

;

, (, ) при, аналогично, ряды ;

(+1, ) со­ ответствуют рядам (3.3.3) построенным на основе асимптотик функций +1;

;

, (+1, ) при +1 0.

Фиксируем произвольный набор промежуточных точек, = 1,..., 1:

1 = 1 1 2... 1 1 = 0, введем обозначения для точек на оси :

;

= при {1,..., 1}.

;

0 = 0, ;

= 0, (3.4.6) Утверждение 3.4.2. Пусть индекс имеет произвольное фиксированное значение из мно­ жества {1, 2,..., }, а функции (, ) являются дифференцируемыми на промежутке [;

1, ;

].

Тогда существуют такие значения постоянных ;

;

0 R, ;

;

1 0 и ;

;

0 R, что для величины ( ;

;

( );

(, ) ;

1;

1 ;

1 ( )+;

1;

0, ;

1 (, ) + 1 (, ),..., ) ;

;

1 ;

( )+;

;

0, ;

(, ) + (, ) при условии ;

( ) ;

;

0 верна оценка ;

;

1 ;

( )+;

;

( ) ;

;

( );

(, ) = + (, ) + ( (, )), (3.4.7) = при (0, 0 ), [ ;

1, ;

] (то есть при (0, 0 ), [;

1, ;

]).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Договоримся не указывать специально, но подразумевать, что оценки делаются равномерно по (0, 0 ). Обозначим для краткости = (, ) + ( (, )).

= 1. Рассмотрим случай {2, 3,..., 1}. Докажем соотношение (3.4.7) на двух частях промежутка [ ;

1, ;

] по отдельности.

1.1 На промежутке [ ;

1, 1], воспользовавшись оценкой (3.4.1) из утверждения (3.4.1), полагая 1 = 1, 2 =, = 1, = 1, =, = ;

( ), ;

0 = 1;

;

0, ;

1 = 1;

;

1 получим:

( 1(1 )1 (1;

;

1 ;

( )+1;

;

0 ) ) ;

;

( );

(, ) = 1;

;

1 ;

( )+1;

;

0 + = ( ) ) ( +(1 )1 (1 1 ) 1;

;

1 ;

( )+1;

;

= + при 1;

;

1 ;

( ) + 1;

;

0 0.

1.2 На промежутке [1, ;

], используя оценку (3.3.94) из замечания (3.3.4), полагая 1 =, 2 = +1, = +1, =, = ;

( ), ( ) = ;

(;

( )), причем согласно условию (3.2.11) ( ) ;

1 + ;

0, где ;

1 0, то есть ;

(;

( )) ;

;

1 ;

( ) + ;

;

0, где ;

;

1 0, получим:

( ( ) ( ( ))+ ) ;

;

( );

(, ) = ;

(;

( )) 1 ;

;

+ = = +( +1 ) ( +1 )(;

;

1 ;

( )+;

;

0 ) + (3.4.8) ( ) при ;

;

1 ;

( ) + ;

;

0 0. Таким образом, при {2, 3,..., 1} достаточно положить ;

;

0 = max 1;

;

0 (1;

;

1 )1, ;

;

0 (;

;

1 )1, { } ;

;

1 = min ( +1 )1 ( +1 );

;

1, (1 )1 (1 1 )1;

;

1, { } ;

;

0 = + min ( +1 )1 ( +1 );

;

0, (1 )1 (1 1 )1;

;

0.

{ } для того, чтобы оценка (3.4.7) была верна. 2. Исследуем вариант = 1. Согласно замеча­ нию (3.2.1) значению = 1 соответствует = 1, поэтому оценка (3.3.4) в соответствии с замечанием 3.3.4 можно распространить оценку на множество (0, ]. Полагая 1 =, 2 = +1, = +1, =, = ;

( ), ( ) = ;

(;

( )), получим, что соотно­ шение (3.4.8) верно при = 1 на множестве (0, ( +1 ]. Таким образом, при = достаточно положить ;

;

0 = ;

;

0 (;

;

1 )1, ;

;

1 = ( +1 )1 ( +1 );

;

1, ;

;

0 = + ( +1 )1 ( +1 );

;

0.

3. Последний оставшийся вариант = может быть полностью исследован рассуждениями пункта 1.1. Таким образом, при = 1 достаточно положить ;

;

0 = 1;

;

0 (1;

;

1 )1, ;

;

1 = (1 )1 (1 1 )1;

;

1, ;

;

0 = + (1 )1 (1 1 )1;

;

0.

Утверждение доказано.

Доказательство следующей леммы в случае = 2 содержится в монографии [59]. Здесь рассматривается случай произвольного значения N {1}.

Лемма 3.4.1. Пусть функция () C, () 0 при 0 и () = + ( +1 ) при R 0, где N {1}. Тогда решение задачи Коши = (), (0) = 0 (3.4.9) существует и единственно при 0, может быть продолжено на луч [0, +) и разлагается в асимптотический ряд:

[/(1)] 1/(1) /(1), (ln ), +, ( ) = (3.4.10) =0 = где 0,0 = ( 1)1/(1). Кроме того, это решение ( ) является строго убывающей функ­ цией на луче [0, +), обладающей обратным отображением (), определенным на промежутке (0, 0 ] и обладающим следующей асимптотикой при 0:

1 1 +1,3.

= ( 1) +,3 + 0,3 + 0,1,3 ln + (3.4.11) =+2 = Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем решение задачи (3.4.9) в квадратурах:

=. (3.4.12) () Обозначим правую часть равенства (3.4.12) через (). Из условий леммы следует, что () определена и строго убывает на промежутке (0, 0 ], кроме того, (0 ) = 0 и () при 0. Очевидно, что (() ) 1 при +0, поэтому можно выбрать 0 таким образом, чтобы неравенство 0 () 2 выполнялось на всем промежутке (0, ].

1 и, поскольку, то 1, Тогда на этом промежутке отсюда () 2 () () + при +0.

+ () 0 Таким образом, функция () взаимнооднозначно отображает промежуток (0, 0 ] на промежуток [0, +). Следовательно, из равенства (3.4.12) можно определить функцию ( ) как обратную к () (), строго убывающую на луче [0, +), стремящуюся к нулю при +. Кроме того, [0, +) как функция, обратная к бесконечно диффе­ ренцируемой функции. Асимптотику этого решения при можно получить методом последовательных приближений.

Воспользовавшись условиями леммы и формулой Тейлора, легко убедиться, что для любого натурального числа верно:

+,1 + (++1 ), 0.

() = + =+ Поэтому, + 1 = +,2 + (++1 ).

() =+ Подставив это выражение в соотношение (3.4.12), получим = ( 1)1 +1 +,3 + 0,3 + 0,1,3 ln + =+ ++,3 + ( ++2 ), + = следовательно, справедлива асимптотика (3.4.11) и 0 1 1/(1) ( ) 2 1/(1), | ln ( )| 3 ln. Можно выразить :

)1/(1) = 0,0 1/(1) 1 (, ) (, (3.4.13) где 0,0 = ( 1)1/(1), 1 ++ 1 1 1,3 + ( 1 ++2 ).

(, ) =,3 + 0,3 + 0,1,3 ln + =+2 = Перепишем равенство (3.4.13), используя формулу Тейлора, получим ( 1/(1),4 + 0,4 1 + 0,1,4 1 ln + = 0,0 1 + =+ ++1 ) 1 (1)/(1) +,4 +,4 ((, )) + ( ). (3.4.14) =1 = На нулевом шаге асимптотического приближения имеем:

( ) = ( 1/(1) ), ln = (ln ).

Подставив это приближение в соотношение (3.4.14), можно получить новое, более точное асимптотическое выражение для функции :

( ) = 0,0 1/(1) 1 + ( 1/(1) ).

( ) На первом шаге нужно подставить полученное выражение снова в равенство (3.4.14), что приведет к следующему результату:

( ) = 0,0 1/(1) 1 + +2,5 +2 1/(1) + ( 2/(1) ).

( ) 0, Продолжая этот процесс последовательного приближения, после совершения ( 2)-го шага будем иметь:

,5 /(1) + ( 1 ln ).

( ) ( ) = 0,0 1/(1) 1 + = На следующем шаге в найденную точно часть асимптотики функции попадает ln,5 /(1) + 0,1,5 1 ln + 0,5 1 + ( ( ) = 0,0 1/(1) 1 + = +( /(1) ln ).

) Совершив еще ( 2) шага, мы получим выражение вида (,5 /(1) + 1/(1) ( ) = 0,0 1+ = 2 1 ) + 1 +1,,5 /(1) (ln ) + ( 2 (ln )2 ). (3.4.15) =0 = На следующем шаге в точной части асимптотического представления функции появля­ ется (ln )2, и так далее. Это вполне согласуется с требуемым разложением (3.4.10), поэтому приступим к его индуктивному доказательству. Предположим, что на -м шаге имеет место равенство:

[/(1)] 1/(1) /(1), (ln ) + ( ) = =0 = [(+1)/(1)] ( ) +2 + 1 +, (ln ) + (3.4.16) = Соотношение (3.4.15) и предшествующие ему асимптотические приближения для ( ) удо­ влетворяют гипотезе (3.4.16), поэтому база индукции уже установлена. Убедимся в справед­ ливости равенства (3.4.16) для номера + 1.

Будем использовать обозначение ( ) для формального ряда с неопределенными ко­ /(1) [/(1)], (ln ), в соответствии с формулировкой эффициентами вида =0 = леммы А.2.3, если произвести в ней замену обозначения независимой переменной на.

Подставим (3.4.16) в (3.4.14), используя доказанные в лемме А.2.3 свойства рядов ( ) и следующее наблюдение: R {0}, R,,, N, = 1,..., выполняется соотношение ( ) +1 + /(1) ( ) + ( 1 ) = ( ) + ( 1 ).

+ = В результате будем иметь, что )1/(1) ( ( ) ( ( ) = ( 1) 1 + 12/(1) ( ) + (...) + ( ) + (...) 2 +... + ( ) ( ) + 13/(1)... +... + 1/(1)... + ) ( ( ) + ln + ( ) + (...) + 1 ( ) + (...) +... + ( )) ( )1/(1) ( ( +2 )) 1 0,3 + 1,3 + 2,3 +... = ( 1) + ( ) + 1 = [/(1)] [(+2)/(1)] +1 ( +3 ) +, (ln ) + 1.

1/(1) /(1) =, (ln ) + =0 =0 = Таким образом, справедлива асимптотика (3.4.10), где 0,0 = ( 1)1/(1). Лемма доказана.


Лемма 3.4.2. Пусть — натуральное число, 2;

— рациональное число, 0.

Тогда существует единственная функция C (0,+), обладающая асимптотикой 1 () = ( 1) 1 1 + (1) при 0 (3.4.17) и являющаяся решением уравнения = +, где — положительная постоянная. (3.4.18) Кроме того, это решение разлагается в следующие асимптотические ряды, допускающие почленное дифференцирование любого порядка:

1 1 1 () = ( 1) при 0, + (3.4.19) = 1 при, () = + (3.4.20) = где посредством и обозначены произведения чисел 1 и знаменателя дроби, а также и знаменателя дроби, соответственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Вначале построим решение уравнения (3.4.18) в малой окрестно­ сти нуля. Заметим, что при подстановке функции = 1 вместо в уравнение (3.4.18) и сокращаются, если положить = ( 1) 1 ;

при этом оставшаяся в члены правой части равенства невязка равна. Введем в рассмотрение функцию =, для которой справедливо равенство:

= ( + ) + +, разложив правую часть которого по формуле бинома Ньютона, получим уравнение:

= 1 + (), (3.4.21) +, где () = (3.4.22) = из (3.4.17) вытекает начальное условие (0) = 0. (3.4.23) Начальная задача (3.4.21), (3.4.23), вообще говоря, не удовлетворяет условиям теоремы Коши­ Пеано о существовании решения задачи Коши (см., например, [108, С. 14-16]), поскольку правая часть уравнения (3.4.21) содержит слагаемое 1 = 1 1, не имею­ щее предела в начальной точке = 0, = 0. Поэтому докажем существование решения, не опираясь на эту теорему. Запишем начальную задачу (3.4.21), (3.4.23) в виде интегрального операторного уравнения:

( ( ) )1 ( ) = () () () +, (3.4.24) ( ) = 2 1.

где () = exp () (3.4.25) Будем рассматривать оператор, определяемый тождеством (3.4.24), на метрическом подпространстве линейного нормированного пространства C[0,] :

{ }, = C[0,] : ||||C, где и — это некоторые положительные числа.

Докажем, что выбирая числа 0 и 0 1 достаточно малыми, можно добиться того, что оператор будет осуществлять сжимающее преобразование замкнутого метриче­ ского пространства,, а тогда, в силу известной теоремы, будет существовать единственная неподвижная точка этого оператора, функция, являющаяся решением уравнения (3.4.24) на промежутке [0, ].

Для этого сначала получим сжимающее свойство оператора, подобрав 0 такое, что 1 2 1 1 2.

(3.4.26) C C Сначала оценим подынтегральную разность, возникающую в левой части (3.4.26):

(1 ) (2 ) = (1 2 ) = = ) 1 1 |1 2 |, (3.4.27) (1 2 ) = (1 = = где = ( 1) 1 max — не зависит от выбора и. Далее, из (3.4.27) следует, что =2...

|() (0)| 1 1 || 1. Поскольку (0) = в силу (3.4.22), то |()| |() (0)| + |(0)| 1 + = ( 1 ), поэтому все подынтегральное выраже­ )1 ( ( ) ние оператора, определяемого тождеством (3.4.24), можно оценить так: () () = ( 1 ) = 1 при 0. Поэтому интеграл в (3.4.24) сходится при 0, что позволяет, учиты­ вая начальное условие (3.4.23) и выражение (3.4.25) для функции, переписать тождество (3.4.24) в виде:

( ) = 1 (). (3.4.28) Применяя к этому уравнению свойство (3.4.27), получим требуемую оценку (3.4.26):

1 2 1 1 1 () 2 () C C 1 1 2 C 1 2 C, и величина 0 выбирается согласно неравенству (2) 1.

где = Теперь подберем число 0 так, чтобы оператор отображал пространство, само в себя, то есть чтобы для произвольной непрерывной функции, удовлетворяющей условию ||||C выполнялось неравенство:

. (3.4.29) C Используя соотношение (0) =, из (3.4.22) получим:

0 1 +1, C C ) ( )1 ( + + 1. Выбрав 22 +1, придем к искомой оценке (3.4.29):

где = + 1 + 1.

C C C C 2 Итак, решение начальной задачи (3.4.21), (3.4.23), а следовательно, и нужная нам функ­ ция, решение уравнения (3.4.18), существуют на некотором промежутке [0, ]. Докажем, что множество решений уравнения (3.4.18), обладающих асимптотикой (3.4.17) состоит из одной функции. Предположим от противного, что существует еще одно такое решение, тогда соответствующая ему функция = будет удовлетворять задаче Коши, совпада­ ющей с (3.4.21), (3.4.23), если в нее подставить вместо. В силу непрерывности функции () и условия (3.4.23) найдется достаточно малое число, такое что |()| на отрезке [0, ]. Поскольку доказательство возможности применить принцип неподвижной точки, при­ веденное выше, остается справедливым и для отрезка [0, ] [0, ], то в силу единственности этой неподвижной точки и того, что обе функции () и () принадлежат пространству,, получим, что () и () неразличимы в смысле нормы || · ||C на отрезке [0, ], то есть совпадают поточечно. Тогда в силу теоремы существования и единственности решения за­ дачи Коши (см., например, [110, C. 152–160]) эти две функции совпадают на всем общем интервале определения. Единственность доказана.

Теперь докажем, что существует разложение вида (3.4.19) для функции () = () + (), определенной на промежутке (0, ] и по построению удовлетво­ ряющей уравнению (3.4.18). Поскольку () в точности совпадает с первым слагаемым, не вошедшим в общую сумму, разложения (3.4.19), остается доказать, что при 0.

() = (3.4.30) = В силу непрерывности функции () и начального условия (3.4.23), справедлива начальная оценка () = (1) при 0. Подставим ее в выражение (3.4.22) ) ( ( 1 )) ( 2 ) + = 1, ( () = (1) = ( 2 ) ( 1 ) а затем и в уравнение (3.4.28): = 1 1 = 1. Подставив эту новую ( 3 ) ( 2 ) оценку в выражение (3.4.22) и уравнение (3.4.28), получим, что () = 1 и = 1, ( ) и так далее. Продолжим этот процесс до того момента, когда получится, что () =, ( ) тогда = +1. И на следующем шаге появляется первый ненулевой коэффициент )1 + 1 ) 1 ) ряда (3.4.30): () = + + 1 и = + 1 + + +1+ 1. Продол­ ( ( ( жая этот процесс последовательных асимптотических приближений, можно определить и все остальные коэффициенты ряда (3.4.30). Действительно, если в конце некоторого шага этого процесса получено представление = 0 + ( ), где функция 0 известна точно, то на следу­ 2 ) ющем шаге согласно формуле (3.4.22) получится, что = 0 + 1 и в соответствии ( 1 ) с (3.4.28) в конце шага будем иметь представление = 1 + + 1, порядок точности ( выше, чем у приближения, найденного на предыдущем шаге (функции которого на и 1 будут известны точно).

Осталось доказать, что на каждом шаге такого последовательного приближения функ­ 1 ) ( цию 1 можно представить в виде ((1)), где () — это некоторый полином, если предположить, что функция 0 имеет такое представление. Подставив = 0 + ( ) в фор­ мулу (3.4.22), придем к выводу, что 0 является линейной комбинацией степеней, где ( ) либо равно, либо представимо в виде (( 1))1 + ( ). В любом случае = для некоторого числа Z+. Отсюда следует, что может быть записано как (1) 1 есть многочлен от ((1)). Заметим, что 1 1 = +1 и в силу формулы ) (3.4.28) получим, что функция 1 имеет вид линейной комбинации степеней +1, а следова­ тельно, многочлена от (1)). На самом первом шаге 0 0, и, следовательно, с помощью принципа математической индукции можно заключить, что асимптотические представления (3.4.19) и (3.4.30) полностью доказаны.

Теперь докажем, что построенное выше решение () может быть продолжено на всю полуось (0, +). Заметим, что из вида уравнения (3.4.18) вытекают следующие утвержде­ ния для его решения (), удовлетворяющего асимптотике (3.4.17), а значит, такого, что () + при 0:

График () не имеет общих точек с осью абсцисс. Действительно, если бы мно­ жество общих точек не было пустым, то в самой левой из этих точек была бы не положительной, но в силу уравнения (3.4.18) должна быть, именно, положительной каждой точке, в которой = 0.

1 Существует — точка пересечения графиков и, поскольку на промежутке от 0 до самой левой общей точки этих графиков включительно выполняется неравен­ 1 ство (), откуда в силу уравнения (3.4.18) следует () 0, в то время как 1 функция строго возрастает при 0 и стремится к бесконечности при.

1 Существует только одна общая точка графиков и, так как из (3.4.18) следует, 1 ()) 0.

( что в каждой такой точке выполнено неравенство Из этих фактов следует равномерная ограниченность такого решения на любом конечном отрезке [, 0 ], и, тем самым, продолжимость этого решения на весь промежуток (0, +) доказана.

Перейдем к поиску асимптотики функции () при +. Рассмотрим 1 функцию () = (), положительную при. Из (3.4.18) вытекает уравнение = + 1. (3.4.31) 1 { } Фиксируем 0 min 1,,. Так как 1 0, то очевидно, что ( ) 1 0 : 0.

Заметим также, что 0 () : 0 (), (3.4.32) 1 иначе нашлась бы вторая точка пересечения графиков и. Действительно, если раз­ 1 ность обратится в ноль, то это сразу же будет означать, что кривые и пересеклись, поэтому эта разность обязательна положительна;

если же она во всех точках будет оставаться большей, то в силу уравнения (3.4.31) будет выполняться нера­ венство /2 и обязательно найдется точка, где функция выйдет из положительной 1 полуплоскости и пересечет ось абсцисс, то есть кривые и пересекутся, а этого не может быть.

Теперь докажем, что ( ) : () (), (3.4.33) 1 где значение () определяется соотношением (3.4.32). Подставив () = (), придем к уравнению 1 = 1 + (1). (3.4.34) = Выберем некоторое, из условий:

max ;

0 ;

(3.4.35) =1..

2 { 1 } +, max 1,. (3.4.36) 1 Найдем, 0 (), а поскольку = 2 = (1), то в силу (3.4.36) получается, что () () 2. Перепишем уравнение (3.4.34) в следующем виде:

( 1 2 3 4 1 ( ) 3 = ) 1 1 1 3 4 ( )... 1 ( ), (3.4.37) здесь в случае, когда — четное число, обозначено = и = 0, если же — нечетное число, то = 1 и =.

[ ] Рассмотрим ситуацию, когда в некоторой точке значение (),. Так как 1 1, max,, 1, то из (3.4.35) следует неотрицательность разностей =1..

1 1 ( 1 max 0, = 2,..., участвующих в уравнении ) =1..

1 1 1 (3.4.37). Также из (3.4.35) следует, что max и поэтому =1..

1 1 1 ( ) ( 1), так как 2. И тогда согласно (3.4.36) 1 1 2 можно записать: 1 ( ) ( ( ) ) 1 2 3 2 1 1 + ( 1 1 2 1 1 0, поскольку 2, 1 и 1. Отсюда получим, ( ) ) что вся правая часть уравнения (3.4.37) отрицательна, то есть не возрастает в окрестности данной точки (). Поэтому, один раз попав в промежуток (0, ) при = (), значения функции () уже не смогут его покинуть ни при каком (). Таким образом, доказано 1 соотношение (3.4.33), из которого следует, что () 0 при +.


Докажем, что асимптотическое поведение найденной функции () задается рядом ви­ да (3.4.20). Уравнение (3.4.34) перепишем в следующем виде:

1 = + 1 + (), ( ) ) (1).

( где () = (3.4.38) = и, затем, в интегральной форме:

( ( )1 [ 1 1 ) ( )] = () () + () +, (3.4.39) ( ) ( 1 ) 1 = 1 exp, где () = exp ( = + 1). Заметим, что ( 1 ) ( 1 ) = exp exp 1 ( 1 ) ( )1 ( ( 1 )) 1 1 = + = exp exp ( 1 ) + 1 1 ( 1 ) exp 1 = + 1 exp 1 1 1 = + 2 12 + 2 + ( 1 ) ( 1 ) + 3 exp 22 = exp 1 1 ( ) 1 = + 12, (3.4.40) 1 ( 1 ) ( ) 22 exp 22 ( 1);

здесь поскольку 0 и exp ( ) 1, 2 — экспоненциально малые слагаемые вида exp. Если применить вы­ кладки (3.4.40) к выражению с новым значением равным 2 2 1, то из последнего равенства в цепочке (3.4.40) получим:

( 1 ) ( 1 ) = exp exp 1 1 1 ( ) 1 1 + 3 12 + 2 + 6 23 + 34.

= Повторяя это рассуждение многократно придем к асимптотическому разложению:

( 1 ) ( 1 ) (+1).

exp exp = (3.4.41) = Воспользуемся уравнением (3.4.39) для того, чтобы последовательными итерациями уточнять асимптотическое выражение для функции () (подробности об этом методе см., например, [69, С. 41–45]). Отправная точка этого процесса — оценка = (1). Подставив ( 2 ) которую в (3.4.38) получим: = ;

поскольку 1 тоже удовлетворяет оцен­ ( 2 ) ке, то, применив рассуждение (3.4.40) к уравнению (3.4.39), придем новой оцен­ ( 1 ) ке для функции (): =. Повторяя эти шаги, придем к ситуации, 1 + ( 1 ) можно будет записать как. Тогда, снова использовав (3.4.40), получим из (3.4.39):

= ( 1 ). А на следующем шаге уже проявится главный член асимптотики функ­ ( 2 ) ции (): оценивая =, согласно (3.4.38), из уравнения (3.4.39) следует, что 1 2 ( 2 ) = 2 1 +. Продолжим процесс последовательного приближения. За­ метим, что, если на некотором шаге нами получена оценка вида = 0 + ( ), где 2 ) — известная точно часть асимптотики, то = 0 + 1+, а сама функция ( 1 ) = 1 + 1+, причем функции 0 и 1 известны точно. Таким образом, с каждым ( шагом порядок точность асимптотики будет возрастать на величину 1 +. Приме­ няя к каждому слагаемому точного выражения 0 асимптотику (3.4.41) при подстановке в уравнение (3.4.39), легко видеть что функция 1 будет представлять собой линейную комби­ нацию степеней. Таким образом шаг за шагом будет построен асимптотический ряд вида (3.4.20).

Бесконечная дифференцируемость найденной функции () а также возможность по членного дифференцирования ее асимптотических рядов сразу же вытекают из уравнения (3.4.18), которому она удовлетворяет. Лемма доказана.

Лемма 3.4.3. Пусть функции () и () являются решениями следующих уравнений:

= +, (3.4.42) = + + (), (3.4.43) где N, 2, функция () C(0, ] для некоторого 0, причем при 0 выполнены асимптотические оценки: () = ( ), 0;

() = () + (1) = 1/(1) + (1), где 0.

Тогда () () = ( +1 ) при 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим () = () (), (0, ], согласно условию леммы () = (1) при 0. Преобразуем разность ) ( () ()1 = () 2 1 + 1 (), ( ) () () = () () = здесь 2 = 0, 1 () = ( 1 ). Вычитая из уравнения (3.4.43) уравнение (3.4.42), получаем равенство ( ) + 2 + 1 () = (). (3.4.44) Воспользуемся интегрирующим множителем 2 () с функцией ( ) ( ( )) 1/(1) () = exp 1 () = exp, (3.4.45) функция 1 () непрерывна и ограничена на промежутке (0, ], поэтому интеграл в фор­ муле (3.4.45) определен, кроме того, () 1 при 0. Заметим, что из уравнения (3.4.44) следует, что ( 2 ) (( () = () 2 2 1 + 2 1 () + 2 = 2 ()(), ) ) откуда 2 ()() = 2 ()() +. (3.4.46) Левая часть равенства (3.4.46) есть ( 2 ), и интеграл в его правой части тоже является бесконечно малой величиной при 0, поэтому постоянная интегрирования = 0. Следо­ вательно, () = 2 1 () 2 ()() = ( +1 ). Лемма доказана.

Лемма 3.4.4. Пусть функции () и () удовлетворяют условию леммы 3.4.3, и поэтому () () = ( +1 ) при 0. Пусть функция () является решением уравнения + 1 () = (), где N, 2, () C(0, ] для некоторого 0, и = ( ), 0. Тогда уравнение + 1 () = (), где функция () C(0, ] удовлетворяет условию () () = ( ),, имеет решение (), такое, что () () = ( +1 ) при 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим () = () (). Тогда для этой разности получается уравнение:

+ 1 () + 1 ()() = 2 (), где 1 () = (1 () 1 ()) = ( ), 2 () = () () = ( ). Откуда + ()1 = () = 2 () 1 ()() = ( ), что после интегрирования приводит к равенству:

1 ( ) ( ) () exp 1 () = () exp 1 () +. (3.4.47) 0 Поскольку 1 () = 1 1 + ( 1 ), то 1 () = 1 ln + ( 1/(1) ) + 2 и ( ) exp 1 () = 3 (1 + ( 1 )), где = 1.

Поэтому, если положить в уравнении (3.4.47) = 0, то из оценки () = ( ), вытекает, что () = ( +1 ). Лемма доказана.

Заключение Таким образом, в первой главе проведено исследование асимптотики решения задачи для одного нелинейного ОДУ с малым параметром. Эта задача была сведена как частный случай к задаче для системы, рассмотренной во второй главе, и основной акцент первой гла­ вы был сделан на уточнение строения ее асимптотики, которое было возможно произвести благодаря частному виду формулировки задачи. Одним из важнейших отличий этой задачи от более общей задачи второй главы является то, что здесь оказалось возможным построить правильное внешнее разложение в виде асимптотического по калибровочной системе, состоя­ щей только из степеней, причем выполнить это построение независимо от промежуточного и внутреннего разложений и начальных условий задачи. В последнем параграфе главы построено составное разложение и сформулирована теорема 1.7.1, гарантирующая равномер­ ное на некотором промежутке [0, 0 ] приближение решения с точностью до любой степени малого параметра. Доказательство теоремы сводится к доказательству теоремы 2.5.1 второй главы. Основные результаты главы 1 опубликованы в работах [97;

101] и были доложены на конференции молодых ученых (Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2007). Для частного случая, когда порядок вырождения правой части уравнения по искомой функции равен 2, эта зада­ ча была исследована в монографии [59, С. 64–82] при существенном использованием явного представления решения одного из возникающих уравнений.

Во второй главе проведено исследование асимптотики решения задачи для системы двух нелинейных ОДУ с малым параметром при производной в первом из уравнений. Нуль второго или более высокого порядка по искомой функции у правой части первого уравне­ ния привел в этой задаче к необходимости ввести промежуточный асимптотический слой и соответствующее промежуточное асимптотическое разложение решения. В пятом парагра­ фе второй главы построено составное разложение и доказана теорема 2.5.1, гарантирующая равномерное на некотором промежутке [0, 0 ] приближение решения с точностью до любой степени малого параметра. Основные результаты второй главы опубликованы в работе [99] и доложены на конференции [93]. Для частного случая, когда порядок вырождения правой части уравнения, содержащего малый параметр, по искомой функции равен 2, исследование этой задачи в кратком виде было опубликовано в статье [96] и с подробными доказательства­ ми — в работе [98].

В третьей главе диссертации доказаны лемма 3.3.1 о переразложении частичной суммы формального асимптотического разложения (ФАР) предыдущего слоя в переменную нового слоя, лемма 3.3.2 об оценке с высоким порядком точности для невязки в рекуррентной си­ стеме уравнений для совокупности коэффициентов ФАР в новом слое, теорема 3.3.1 о ФАР решения сингулярной задачи Коши, а так же теорема 3.3.2, обобщающая результат теоре­ мы 3.3.1 на случай когда ФАР представляется в виде суперпозиции конечного числа рядов с заданными свойствами. Основные результаты главы 3 опубликованы в работе [100]. Крат­ кая схема доказательства леммы 3.3.2 была опубликована в статье [98]. Также, результаты второй и третьей глав диссертации были доложены на конференциях [94;

95].

Литература 1. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. 4-е изд. М.: Наука, 1977. 440 с.

2. Новожилов И. В. О применении асимптотических разложений теории дифференциаль­ ных уравнений с малым параметром при старшей производной душ исследования гиро­ скопических систем // Изв. АН СССР, сер. МТТ. 1970. № 4. С. 50–57.

3. Lighthill M. J., Whitham G. B. On Kinematic Waves. II. Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads // Proc. R. Soc. London Ser. A. 1955. Vol. 229. P. 281–345.

4. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

5. Иносэ Х., Хамада Т. Управление дорожным движением. М.: Транспорт, 1983. 248 с.

6. Гасников А. В. Асимптотика по времени решения задачи о распаде «размазанного раз­ рыва»для закона сохранения // Труды МФТИ. 2009. Т. 1, № 4. С. 120–125.

7. Райзер Ю. П. Дозвуковое распространение световой искры и пороговое условие для поддержания плазмы излучением // ЖЭТФ. 1970. Т. 58, № 1. С. 2127–2138.

8. Prandtl L. Uber Flussigkeitsbeneegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandl d. III, Inter Mathem. Kongress, Heidelberg. 1904. S. 71–75.

9. Прандтль Л. Теория несущего крыла. Ч.1. Движение жидкости с очень малым трением.

М.-Л.: ГНТИ, 1931. 32 с.

10. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 311 с.

11. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения саплошной среды. М.: Гостехиздат, 1955. 804 с.

12. Гандельман Г. М., Франк-Каменецкий Д. А. // ДАН СССР. 1956. Т. 107, № 6. С. 811–814.

13. Баренблатт Г. И. Об автомодельных решениях задачи Коши для нелинейного параболи­ ческого уравнения нестационарной фильтрации газа в пористой среде // ПММ. 1956.

Т. 20, № 6. С. 761–763.

14. Sakurai A. On the problem of a shock wave arriving at the edge of a gas // Communic. on Pure and Appl. Math. 1960. Vol. 13. P. 353–370.

15. Булах Б. М. О некоторых свойствах сверхзвуковых конических течений газа // ПММ.

1961. Т. 25, № 2. С. 229–241.

16. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидроди­ намических явлений. M.: Физматгиз, 1963. 688 с.

17. Брушлинский К. В., Каждан Я. М. Об автомодельных решениях некоторых задач газо­ вой динамики // УМН. 1963. Т. 18, № 2 (110). С. 3–23.

18. Сычев В. В. К теории сильного взрыва в теплопроводном газе // ПММ. 1965. Т. 29, № 6.

19. Ильин А. М., Калякин Л. А. Возмущение конечносолитонных решений уравнений Кор­ тевега-де-Фриса // Докл. РАН. 1994. Т. 336, № 5. С. 595–598.

20. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука Глав­ ная редакц физ.-мат. литературы, 1987. 477 с.

21. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого пара­ метра // Матем. сб. Нов. сер. 1948. Т. 22, № 2. С. 193–204.

22. Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем. сб. 1950. Т. 27(69), № 1. С. 147–156.

23. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. сб. 1952. Т. 31(73), № 3. С. 575–586.

24. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: ОНТИ, 1935. 386 с.

25. Градштейн И. С. Применение теории устойчивости A.M. Ляпунова к теории дифферен­ циальных уравнений с малыми множителями при производных // Матем. сб. 1953. Т.

32 (74), № 2. С. 263–286.

26. Градштейн И. С. О решениях на временной полупрямой дифференциальных уравнений с малыми множителями при производных // Матем. сб. 1953. Т. 32(74), № 3. С. 533–544.

27. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний. Киев: Изд-во АН УССР, 1934. 112 с.

28. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. Москва–Ижевск:

НИЦ «РХД», 2004. 353 с. Репринт издания: Киев: Изд-во АН УССР, 1937 г. 365 С.

29. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971. 440 с.

30. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 410 с.

31. Волосов В. М. О решениях нелинейных дифференциальных уравнений второго поряд­ ка с медленно изменяющимися коэффициентами // ДАН СССР. 1957. Т. 114, № 6.

С. 1149–1152.

32. Волосов В. М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. 1962. Т. 17, № 6 (108). С. 3–126.

33. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977.

384 с.

34. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений.

М.: Наука, 1983. 352 с.

35. Понтрягин Л. С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных урав­ нений с малым параметром при высших производных // Изв. АН СССР. Сер. матем..

1957. Т. 21, № 5. С. 605–626.

36. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 248 с.

37. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

400 с.

38. Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935.

Т. 2. 314 с. Перевод с немецкого Г. А. ВОЛЬПЕРТА.

39. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для ли­ нейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. Т. 12, № 5.

С. 173–266.

40. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений, 1. // УМН.

1960. Т. 15, № 3(93). С. 3–80.

41. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Асимптотическое поведение решений линейных диф­ ференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями // УМН. 1960. Т. 15, № 4(94). С. 27–95.

42. Вишик М. И., Люстерник Л. А. О начальном скачке для нелинейных дифференци­ альных уравнений, содержащих малый параметр. // ДАН СССР. 1960. Т. 132, № 6.

С. 1242–1245.

43. Треногин В. А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника–Виши­ ка // УМН. 1970. Т. 25, № 4(154). С. 123–156.

44. Васильева А. Б. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных диффе­ ренциальных уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости // ДАН СССР. 1959. Т. 128, № 6. С. 1110–1113.

45. Васильева А. Б. Асимптотические формулы для решений обыкновенных дифференци­ альных уравнений с малым множителем при старшей производной, справедливые на бесконечном промежутке // ДАН СССР. 1962. Т. 142, № 4. С. 709–712.

46. Васильева А. Б., Багирова Н. Х. Асимптотика решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных, определяемых различными дополнительными условиями // уч. зап. Азерб. ун-та, физ. матем. и хим. серия. 1962. № 4.

47. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнениями с малыми параметрами при старших производных // Журнал вычисли­ тельной математики и математической физики. 1963. Т. 3, № 4. С. 611–642.

48. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // УМН.

1963. Т. 18, № 3(111). С. 15–86.

49. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно воз­ мущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 с.

50. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возму­ щений. М.: Высш. шк., 1990. 207 с.

51. Friedriсhs К. О., Wasоw W. R. Singular perturbations of non-linear oscillations // Duke Math. Journ. 1946. Vol. 13, no. 3. P. 367–381.

52. Friedrichs R. O. Formation and decay of shock waves // Comm. on Pure and Appl. Math.

1948. Vol. 1, no. 3. P. 211–245.

53. Kaplun S. The role of coordinate systems in boundary-layer theory // Z. angew. Math. Phys.

1954. Vol. 5. P. 111–135.

54. Kaplun S. Low Reynolds number flow past a circular cylinder // J. Math. Mech. 1957. Vol. 6.

P. 595–603.

55. Kaplun S., Lagerstrom P. A. Asymptotic expansions of Navier-Stokes solutions for small Reynolds numbers // J. Math.Mech. 1957. Vol. 6. P. 585–593.

56. Lagerstrom P. A., Cole J. D. Examples illustrating expansion procedures for the Navier-S­ tokes equations // Rat. Mech. Anal. 1955. Vol. 4. P. 817–882.

57. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 276 с.

58. Ильин А. М. Пограничный слой // Дифференциальные уравнения с частными произ­ водными – 5, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 34, ВИНИТИ. 1988. С. 175–214.

59. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.:

Наука, 1989. 336 с. англ. пер.: A.M. Il’in, Matching of asymptotic expansions of solutions of boundary value problems, Transl. Math. Monogr., 102, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992.

60. Гадыльшин Р. Р., Ильин А. М. Асимптотика собственных значений задачи Дирихле в области с узкой щелью // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 4. С. 25–48.

61. Данилин А. Р., Ильин А. М. О структуре решения одной возмущенной задачи быстро­ действия // Фундамент. и прикл. матем. 1998. Т. 4, № 3. С. 905–926.

62. Данилин А. Р., Захаров С. В., Ильин А. М. Применение метода согласования асимпто­ тических разложений к решению краевых задач // Совр. мат. и ее приложения. Асимпт.

методы анализа. ИК ГАН. 2003. Т. 5. С. 33–78.

63. Калякин Л. А. Авторезонанс в динамической системе // Совр. мат. и ее приложения.

Асимпт. методы анализа. ИК ГАН. 2003. Т. 5. С. 79–109.

64. Ильин А. М., Сулейманов Б. И. Асимптотика специального решения уравнения Абеля, связанного с особенностью сборки // Матем. сб. 2006. Т. 197, № 1. С. 55–70.

65. Ильин А. М., Сулейманов Б. И. Асимптотика специального решения уравнения Абеля, связанного с особенностью сборки. II. Большие значения параметра // Матем. сб. 2007.

Т. 198, № 9. С. 81–106.

66. Poincar H. Sur les intgrales irrguli`res des quations linaires // Acta Mathematica. 1886.

e e e e e e no 8. P. 295–344.

67. Эрдейи А. Асимптотические разложения. M.: Физматгиз, 1962. 127 с.

68. Van der Corput J. G. Asymptotic developments I. Fundamental theorems of asymptotics // J. Anal. Math. 1956. Vol. 4, no. 1. P. 341–418.

69. Брейн Г. де. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961. 247 с.

70. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

71. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллипти­ ческого типа. М.: Наука, 1973. 578 с.

72. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических квазилинейных уравнений вто­ рого порядка, имеющих неограниченные особенности // УМН. 1986. Т. 41, № 5 (251).

С. 59–83.

73. Праудман И., Пирсон Дж. Разложения по малым числам Рейнольдса в задачах обтека­ ния сферы и кругового цилиндра // Сб. Механика. 1958. Т. 2, № 48.

74. Oseen C. W. Uber die Stokes’sche Formel, und iiber eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik // Ark. Math. Astronom. Fys. 1910. Bd. 6, H. 29.

75. Goldstein S. Flow of an incompressible viscous fluid along a semi-infinite flat plate // Tech.

Rep. Eng. Res. Inst. Univ. Calif.t. 1956. no. HE-150-144.

76. Goldstein S. Lectures on fluid mechanics. New York: Wiley, 1960.

77. Imai I. Second approximation to the laminar boundary-layer flow over a flat plate // Aeronat Sci. 1957. Vol. 24. P. 155–156.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.