авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина На правах рукописи ...»

-- [ Страница 4 ] --

78. Ting L. Boundary layer over a flat plate in presence of shear flow // Phys. Fluids. 1960.

Vol. 3. P. 78–81.

79. Chang I. D. Navier-Stokes solutions at large distances from a finite body // J. Math. Mech.

1961. Vol. 10. P. 811–876.

80. Bretherton F. P. Slow viscous motion round a cylinder in a simple shear // Journal of Fluid Mechanics. 1962. Vol. 12, no. 4. P. 591–613.

81. Булычева О. Н., Сушко В. Г. Построение приближенного решения для одной сингулярно возмущенной параболической задачи с негладким вырождением // Фунд. и прикл. мат.

1995. Т. 1, № 4. С. 881–905.

82. Розов Н. Х., Сушко В. Г., Чудова Д. И. Дифференциальные уравнения с вырождаю­ щимся коэффициентом при старшей производной // Фунд. и прикл. мат. 1998. Т. 4, № 3. С. 1063–1095.

83. Wasow W. On the construction of periodic solutions of singular perturbation problems // Ann. of Math. Stud. 1950. no. 20. P. 313–350.

84. Волк И.М. Некоторые обобщения метода малого параметра в теории периодических движений неавтономных систем. // Прикл. матем. и мех. 1947. Т. 11, № 4. С. 433–444.

85. Флэтто Л., Левинсон Н. Периодические решения сингулярно возмущенных систем // Математика. 1958. Т. 2, № 2. С. 61–68.

86. Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н. Сингулярно возмущенная краевая задача для уравнения второго порядка в случае смены устойчивости // Матем. заметки. 1998. Т. 63, № 3.

С. 354–362.

87. Долбеева С. Ф., Ильин А. М. Асимптотика решения дифференциального уравнения с ма­ лым параметром при условии пересечения линий устойчивости предельного решения // Докл. РАН. 2006. Т. 408, № 4. С. 443–445.

88. Гарифуллин Р. Н. Построение асимптотического решения задачи об авторезонансе.

Внешнее разложение // Электронный журнал ”Исследовано в России”. 2005. Т. 180.

С. 1857–1875. URL: http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/180.pdf.

89. Гарифуллин Р. Н. Построение асимптотического решения задачи об авторезонансе.

Внутреннее разложение // Фундамент. и прикл. матем. 2006. Т. 12, № 6. С. 33–48.

90. Васильева А. Б., Волосов В. М. О работах А. Н. Тихонова и его учеников по обыкно­ венным дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр // УМН. 1967.

Т. 22, № 2(134). С. 149–168.

91. Андрианов И. В., Баранцев Р. Г., Маневич Л. И. Асимптотическая математика и синер­ гетика. М.: Едиториал УРСС, 2004. 302 с.

92. Найфэ А. Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 454 с.

93. Ильин А. М., Хачай О. Ю. Асимптотика решения вырожденной системы дифференци­ альных уравнений с малым параметром // Актуальные проблемы теории устойчивости и управления: Тез. докл. междунар. конференции. Екатеринбург, Россия, 21–26 сентяб­ ря 2009 г. / ИММ УрО РАН. Екатеринбург: 2009. С. 79–81.

94. Хачай О. Ю. Matching of power-logarithmic asymptotic expansions of singular Cauchy problem for system of ODEs // Нелинейные уравнения и комплексный анализ. Тезисы Международной конференции, 18-22 марта 2013 г. / Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: 2013. — 3. С. 54.

95. Хачай О. Ю. Бисингулярная задача Коши для системы ОДУ с малым параметром // Современные проблемы математики. Тезисы Международной (44-й Всероссийской) мо­ лодежной школы-конференции, 27 января — 2 февраля 2013 г. / ИММ УрО РАН. Ека­ теринбург: 2013. С. 157–159.

96. Ильин А. М., Хачай О. Ю. Асимптотика решения системы дифференциальных уравне­ ний с малым параметром и с особой начальной точкой // Докл. РАН. 2008. Т. 422, № 4.

С. 1–4.

97. Хачай О. Ю. Асимптотическое разложение решения начальной задачи для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 2. С. 270–272.

98. Ильин А. М., Леонычев Ю. А., Хачай О. Ю. Асимптотика решения системы дифферен­ циальных уравнений с малым параметром и с особой начальной точкой // Матем. сб.

2010. Т. 201, № 1. С. 81–102.

99. Хачай О. Ю. Асимптотика решения системы нелинейных дифференциальных уравне­ ний с малым параметром и эффектом вырождения высокого порядка // Дифференци­ альные уравнения. 2011. Т. 47, № 4. С. 605–608.

100. Хачай О. Ю. О согласовании степенно-логарифмических асимптотических разложений решения сингулярной задачи Коши для системы ОДУ // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 1. С. 300–315.

101. Хачай О. Ю. Асимптотическое разложение решения одной бисингулярной задачи Коши для нелинейного обыкновенного уравнения первого порядка // Екатеринбург, ИММ УрО РАН, Деп. в ВИНИТИ. 2005. Т. 16, № 174-В2005. С. 1–46.

102. Зорич В. Б. Математический анализ. Часть I. 4-е, исправленное изд. М.: МЦНМО, 2002. 664 с.

103. Ильин А. М., Хачай О. Ю. Структура пограничных слоёв в сингулярных задачах // Докл. РАН. 2012. Т. 445, № 3. С. 256–258.

104. Айнс Э. Л. Обыкновенные диференциальные уравнения. Киев: ОНТИ, 1939. 719 с.

105. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 8-е изд. М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2001. Т. 1. 616 с.

106. Ильин А. М., А.Р.Данилин. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009.

248 с.

107. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 714 с.

108. Коддингтон Е. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.

М.: ИЛ, 1958. 470 с.

109. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:

Изд-во МГУ, 1984. 296 с.

110. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 331 с.

111. Рейуорд-Смит. Теория формальных языков. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988.

128 с.

112. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. 432 с.

Приложение А Некоторые вспомогательные утверждения А.1. Операции со степенно-логарифмическими рядами с неопределенными коэффициентами О п р е д е л е н и е А.1.1. Пусть задана некоторая последовательность вещественнознач­ ных функций, определенных при всех значениях из некоторого множества R :

F = { () : Z+ } (А.1.1) Будем предполагать, что последовательность (А.1.1) является асимптотической при 0, где 0 — некоторая конечная или бесконечная предельная точка множества (определение асимптотической последовательности содержится, например, в книге [67, 17]).

Множеством всех формальных рядов, построенных по последовательности функций (А.1.1) договоримся называть следующее множество функциональных рядов { () : R, Z+.

} S= (А.1.2) = Функциональные ряды из множества (А.1.2) будем рассматривать исключительно как последовательности частичных сумм, безотносительно их сходимости или расходимости, в некоторых случаях будет специально оговорено, что на эти ряды накладывается условие быть асимптотическими разложениями некоторых вещественнозначных функций при 0.

Также будем рассматривать семейства последовательностей функций вида (А.1.1) {F : } = {;

() : Z+ } :, { } (А.1.3) зависящих от параметра, где — это некоторое подмножество пространства векто­ ров R, N. Соответствующее семейству последовательностей (А.1.3) параметрическое семейство множеств вида (А.1.2) будем обозначать как {{ } ;

;

() : ;

R, Z+ :.

} {S : } = (А.1.4) = Кроме того, в некоторых случаях потребуется рассматривать подсемейства семейств (А.1.4):

{S : }, где. (А.1.5) Пример А.1.1. Предполагая, что 0, 0, рассмотрим некоторые семейства вида (А.1.3) последовательностей вида (А.1.1) функций, определенных на множестве = (0, +), и соответствующие им семейства множеств (А.1.4):

1. семейство последовательностей степенных функций, асимптотических при +0 :

{F0,,0;

: R}, где F0,,0;

= +, Z+, R, { } (А.1.6) каждой последовательности F0,,0;

при R соответствует множество вида (А.1.2):

{ } S0,,0;

= ;

: ;

R, Z+, (А.1.7) = а всему семейству (А.1.6) — семейство множеств } { S0,,0;

: R ;

(А.1.8) 2. аналогично, для семейства последовательностей степенных функций, асимптотических при + :

{F0,,;

: R}, где F0,,;

=, Z+, R, { } (А.1.9) каждой последовательности F0,,;

при R соответствует множество вида (А.1.2):

{ } ;

: ;

R, Z+, = S0,,;

(А.1.10) = а всему семейству (А.1.9) — семейство множеств } { S0,,;

: R ;

(А.1.11) 3. семейство последовательностей степенно-логарифмических функций, зависящих от век­ торного параметра = (, 1 ) = Z+, асимптотических при +0 :

каждая из этих последовательностей имеет вид:

1 (ln ), 1 + (ln )+[], 1 + (ln )+[]1,..., 1 + (ln )+1, 1 + (ln ),...

1 + (ln )+[ ], 1 + (ln )+[ ]1,..., 1 + (ln )+1, 1 + (ln ),..., где N;

последовательности соответствует множество { } 1 + ;

, (ln ) :, Z (;

, R), = (ln ) S1,(,1 ),0;

, (А.1.12) =0 = а всему семейству последовательностей соответствует параметрическое семейство мно­ жеств S1,,0;

, : Z+ R ;

{ } (А.1.13) 4. аналогично определим семейство последовательностей степенно-логарифмических функций, зависящих от векторного параметра = (, 1 ) = Z+, асимптоти­ ческих при + : каждая из которых имеет вид:

1 (ln ), 1 (ln )+[], 1 (ln )+[]1,..., 1 (ln )+1, 1 (ln ), (А.1.14)...

1 (ln )+[ ], 1 (ln )+[ ]1,..., 1 (ln )+1, 1 (ln ),..., где N;

последовательности соответствует множество { } 1 + ;

, (ln ) :, Z (;

, R), (А.1.15) = (ln ) S1,(,1 ),;

, =0 = а всему семейству последовательностей соответствует параметрическое семейство мно­ жеств S1,,;

, : Z+ ;

{ } 5. семейство вида (А.1.3), в котором параметр является векторной величиной (, 1, 2, 3 ) из = Z+ R3 и каждая последовательность этого семейства представляет собой мо­ дификацию последовательностей функций (А.1.14), полученную умножением каждого ее члена на функцию exp(2 3 ) и является асимптотической последовательностью при +. Соответствующее множество формальных рядов S2,(,1,2,3 );

, имеет вид { } 3 1 + ;

, (ln ) :, Z ;

, R, exp(2 ) (ln ) (А.1.16) =0 = а всему семейству последовательностей соответствует параметрическое семейство мно­ жеств } S2,;

, : = (, 1, 2, 3 ) Z+ R3.

{ (А.1.17) Очевидно, что 1, 3 R {0, } 0, 0, Z+ выполняются равенства:

S1,(0,1 ),;

,0 = S0,1,;

, S2,(,1,0,3 );

, = S1,(,1 ),;

,.

Несложно видеть, что все семейства множеств из примера А.1.1 при {0, }, 0, 0, Z+ и 1, 2, 3 R образуют цепочки вложенных друг в друга множеств:

S1,1,;

... S1,1 +,;

S1,1 +( +1),;

..., (А.1.18) S1,(,1 ),;

,... S1,(,1 + ),;

, S1,(,1 +( +1)),;

,..., S2,(,1,2,3 );

,... S2,(,1 +,2,3 );

, S2,(,1 +( +1),2,3 );

,..., (А.1.19) здесь N.

О п р е д е л е н и е А.1.2. Формальным рядом с неопределенными коэффициентами, построенным по последовательности функций (А.1.1) договоримся называть переменную ве­ личину (), принимающую значения из некоторого подмножества D множества S формаль­ ных рядов (А.1.2). Договоримся кратко обозначать, что () является таким формальным рядом, следующим образом:

() Z(D).

О п р е д е л е н и е А.1.3. Рядами с фиксированными коэффициентами, построенны­ ми по последовательности функций (А.1.1) договоримся называть элементы множества S формальных рядов (А.1.2).

Замечание А.1.1. Определение термина «переменная величина», использованного в опре­ делении А.1.2, содержится, например в учебнике Г. М. Фихтенгольца [105, С. 43]. Ряды с определенными коэффициентами по отношению к рядам с неопределенными коэффициента­ ми в этом смысле являются «постоянными величинами» по отношению к «переменным величинам».

О п р е д е л е н и е А.1.4. Договоримся обозначать через () текущее значение пе­ ременной величины ().

Определение А.1.5. Формальный ряд с неопределенными коэффициентами () Z(D), D S, заданный в определении А.1.2, будем называть асимптотическим рядом с неопределенными коэффициентами по отношению к семейству функций { () : R R}, если для каждой из функций () существует ряд () D с фиксированными коэффициентами, являющийся асимптотическим разложением функции () по последовательности функций (А.1.1) при 0.

О п р е д е л е н и е А.1.6. Обозначим через P множество тех стандартных операций с асимптотическими рядами (подробные определения этих стандартных операций для асимпто­ тических рядов приведены, например, в книге [67, 24–31]), определение которых можно дать только в терминах самих рядов, без участия функций, для которых они являются асимп­ тотическими разложениями. Расширим их область применимости на формальные ряды с фиксированными коэффициентами, соответствующих семейству множеств (А.1.4) следую­ щим естественным образом. Результатом применения операции P зависящей от N аргументов к рядам 1 (),..., (), являющимся элементами множеств S, = 1,...,, со­ ответственно, назовем результат применения этой операции к этим рядам, как если бы эти ряды являлись асимптотическими разложениями некоторых функций () при 0, где 0 — предельная точка множества из определения А.1.1. Множество P включает в себя, в том числе, бинарные операции сложения (+) и умножения (*), а также унарные операции:

умножение на вещественное число (*), где R, почленное интегрирование с переменным верхним пределом вида (·), где R, почленное дифференцирование (·).

( ) О п р е д е л е н и е А.1.7. Обозначим через P S, N множества всех операций P, зависящих от аргументов, относительно которых замкнуто множество (А.1.2), то есть ( ) { ( ( )} ) P S = P : 1 (),..., () S 1 (),..., () S.

О п р е д е л е н и е А.1.8. Будем говорить, что семейство множеств формальных рядов (А.1.3) замкнуто относительно операции, из введенного в определении А.1.6 множества P, зависящей от аргументов, если существует функция ;

(1,..., ) : R R, такая, что { ( ) } 1,..., R 1 (),..., () : () S, = 1,..., S;

(1,..., ). (А.1.20) ( ) Обозначим через P {S : } множества всех операций, зависящих от аргументов, относительно которых замкнуто семейство множеств (А.1.3).

Следующие четыре замечания являются очевидными.

Замечание А.1.2. Пусть для каждого множества S некоторого семейства множеств (А.1.3) унарная операция является элементом множества P1 (S ). Тогда семейство мно­ жеств (А.1.3) также замкнуто относительно операции.

Замечание А.1.3. Все множества формальных рядов (А.1.2), не зависимо от выбора си­ стемы функций { () : Z} вида (А.1.1), являются замкнутыми относительно бинар­ ной операции сложения и унарной операции умножения на вещественное число.

Замечание А.1.4. Все семейства множеств из примера А.1.1 замкнуты относительно операции почленного дифференцирования (·). Также, относительно этой операции за­ мкнуты множества (А.1.10), (А.1.15) при = 1/, N.

Замечание А.1.5. Множества формальных рядов {0, }, 0, 0.

S0,0,;

, S1,(0,0),;

,, S2,(0,0,0,0);

,, замкнуты относительно бинарной операции умножения (*).

Справедливость следующих трех замечаний легко устанавливается непосредственно из определений фигурирующих в них множеств и семейств множеств.

Замечание А.1.6. Семейства множеств (А.1.7), (А.1.10), (А.1.12), (А.1.15) замкнуты от­ носительно замкнуты относительно бинарной операции умножения, причем 1, 2 Z+, 1,1, 1,2 R, {0, }, 0, 0 справедливы соотношения { } ()() : () S0,1,1,;

, () S0,1,2,;

S0,1,1 +1,2,;

, { } ()() : () S1,(1,1,1 ),;

,, () S1,(2,1,2 ),;

, S1,(1 +2, 1,1 +1,2 ),;

,.

Также, относительно операции умножения замкнуты подсемейства 3 R.

семейства получаемые при фиксированном значении Для них (А.1.16), при 1, 2 Z+, 1,1, 1,2, 2,1, 2,2, 3 R, 0, 0 выполняется соотношение { } ()() : () S2,(1,1,1,1,2,3 );

,, () S2,(2,2,1,2,2,3 );

, S2, (1 +2, 1,1 +2,1, 1,2 +2,2, 3 );

,.

Замечание А.1.7. Относительно операции сложения рядов ни одно из семейств мно­ жеств из примера А.1.1, не является замкнутым. Однако их подсемейства, образованные цепочками вложенных друг в друга множеств (А.1.18)–(А.1.19), замкнуты относительно сложения. В качестве функции 2;

+ (1, 2 ), участвующей в определении А.1.8, достаточно взять max{1, 2 }.

Замечание А.1.8. Для всех семейств множеств из примера А.1.1, за исключением се­ мейств множеств степенных формальных рядов (А.1.8), (А.1.11), имеет место замкну­ тость относительно операции почленного интегрирования с переменным верхним преде­ лом (·), где (0, ).

О п р е д е л е н и е А.1.9. Рассмотрим ряды с неопределенными коэффициентами () Z(D ), D S = 1,...,, (А.1.21) где S есть множество формальных рядов, построенное в соответствии с определением А.1. по последовательности функций вида (А.1.1). Договоримся называть выражением, завися­ щим от рядов (А.1.21), функцию (1 (),..., ()), (А.1.22) которая каждому фиксированному набору значений 1 (),..., () переменных (А.1.21) ставит в соответствие формальный ряд из множества S, получаемый вычислением регуляр­ ного выражения в стандартном смысле (см., например, [111, С. 54]), составленного только из значений переменных 1 (),..., (), элементов множества S и элементов множества операций P, относительно которых замкнуто множество S, которое обозначим так:

( ) ( ) PS = P S.

N Аналогично определим смысл выражения в случае, когда взятые по отдельности мно­ жества вида (А.1.2) не замкнуты относительно некоторого набора операций из P, но их параметрическое семейство является замкнутым относительно операций этого набора.

О п р е д е л е н и е А.1.10. Пусть заданы ряды с неопределенными коэффициентами () Z(D ), D S = 1,...,, (А.1.23) где {S : } есть семейство множеств (А.1.4), построенных согласно определению А.1. по семейству последовательностей функций (А.1.3). По аналогии с определением А.1.9 дого­ воримся называть выражением, зависящим от рядов (А.1.23), функцию (1 (),..., ()), (А.1.24) которая каждому фиксированному набору значений 1 (),..., () переменных (А.1.23) ставит в соответствие формальный ряд из множества S, получаемый вычислением регу­ лярного выражения в стандартном смысле, составленного только из значений переменных 1 (),..., (), элементов представителей семейства множеств (А.1.4) и элементов мно­ жества операций P, причем значение результата вычисления каждой из операций, вошедших в выражение (А.1.24) должно быть элементом некоторого представителя семейства множеств (А.1.4) при произвольном наборе значений переменных (А.1.23).

Замечание А.1.9. Пусть выражение (А.1.22), заданное в определении А.1.9 является вклю­ чает в себя операции только из ( ) P {S : }.

= Тогда существует значение 0 параметра, такое, что для произвольного набора зна­ чений переменных 1 (),..., () результат вычисления значения выражения (А.1.22) будет принадлежать множеству S0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Несложно видеть, что такое выражение обязательно можно пред­ ставить в виде суперпозиции по некоторому конечному дереву B бинарных операций из мно­ ( ) жества P2 {S : } (о терминологии, связанной с неориентированными графами и дере­ B вьями см., например, книгу [112]). Листьями дерева являются значения 1 (),..., () переменных (А.1.23) и некоторый конечный (или пустой) набор посто­ янных величин () = 1,..., — формальных рядов из соответствующих им множеств S. Корень каждого из поддеревьев дерева B представляет собой результат вычисления ( ) определенной бинарной операции из множества P2 {S : }, аргументами которой являются значения из множеств S1 и S2, элементов семейства (А.1.4), стоящие в узлах дерева, смежных с корнем данного поддерева, а результат, согласно определению (А.1.20), лежит во множестве S, где = (1, 2 ). (А.1.25) Вычисление результата производится рекуррентно, от листьев всего дерева к его корню, на­ чиная с узлов с самым большим номером уровня, переходя к узлам уровня с номером на меньше, и так далее. При этом рекуррентно вычисляются и значения параметра по фор­ муле (А.1.25). В некоторых узлах этого дерева могут стоять не сами результаты вычисления бинарных операций нижележащих уровней, но результаты применения к ним унарных опе­ ( ) раций из множества P1 {S : }.

Обозначим значение параметра для корня дерева B через 0. Тогда значением вы­ ражения (А.1.24) является функция, которая каждому фиксированному набору значений переменных (А.1.23) ставит в соответствие формальный ряд из множества S0, элемента се­ мейства (А.1.4), получаемый вычислением суперпозиции операций, отвечающих бинарному дереву B. Замечание доказано.

C помощью малого и очевидного изменения доказательства замечание А.1.9 может быть обобщено на случай выражений, включающих операции, замкнутые относительно некоторых подсемейств вида (А.1.5).

Замечание А.1.10. Пусть выражение (А.1.22), заданное в определении А.1.9 является су­ перпозицией конечного набора унарных и бинарных операций из множества P. Пусть при произвольном набора значений переменных 1 (),..., () для каждой операции, во­ шедшей в выражение (А.1.22), и ее аргументов 1,..., выполняется соотношение:

( ) ( ) : P {S : } {1,..., } : S.

Тогда заключение замечания А.1.9 будет верно.

Пример А.1.2. Пусть в качестве семейства множеств {S : } (А.1.26) вида (А.1.4) выступает любое семейство из примера А.1.1. Проиллюстрируем определение выражений А.1.9 примерами выражений:

(), 1 (), ()2 (), 3 ()4 (), где () и () — фиксированные элементы произвольных множеств из семейства (А.1.26);

множества D изменения переменных () совпадают с произвольными множествами S из семейства (А.1.26);

, R. Множитель можно считать рядом с фиксированными коэффициентами, среди которых только старший коэффициент отличен от нуля (он равен 1), элементом множества, включенному в семейство (А.1.26) при значении параметра =.

Пример А.1.3. Рассмотрим более подробно один частный случай выражений примера А.1.2, иллюстрирующий результат замечания А.1.10. Фиксируем произвольно значения 1,, Z+ и, Z и рассмотрим суммарное выражение 1 (), 2 (), 3 (), 4 () = () + (ln ) 1 () + ()2 () + 3 ()4 (), (А.1.27) ( ) где R, () и () — фиксированные элементы множеств S1,(,1 ),;

, и S1,(,),;

,, со­ () D ответственно;

множества изменения переменных зададим так:

D1 = D2 = S1,(1,),;

,, D3 = D4 = S1,(,),;

,. Несложно видеть, что результат вычис­ ления операций, составляющих выражение (А.1.27), обязательно содержится во множестве ( ) S1,,;

,, где = +, 1 + max{0,, }.

О п р е д е л е н и е А.1.11. Зададим особым, несимметричным образом бинарное отно­ (1 (),..., ()) шение равенства (=) на множестве значений выражений и (1 (),..., ()), заданных в соответствии с определением А.1.22 или определением А.1.24. Придадим соотношению (1;

1 (),..., 1;

()) = (2;

1 (),..., 2;

()) (А.1.28) следующий смысл: для произвольного набора значений (из соответствующих множеств D;

переменных величин 1;

1 (),..., 1;

() существует набор значений переменных величин 2;

1 (),..., 2;

() такой, что при вычислении по формуле (А.1.28) значений выражений, стоящих в левой и правой частях соотношения (А.1.28), оно обращается в верное равенство формальных рядов.

Другими словами, запись (А.1.28) означает, что для произвольного набора значений {1;

;

R, = 1,...,, = 0,..., } коэффициентов формальных рядов 1;

() суще­ ствует набор значений {2;

;

R, = 1,...,, = 0,..., } коэффициентов рядов 2;

(), такой, что при вычислении по формуле (А.1.28) значений выражений, стоящих в левой и правой частях соотношения (А.1.28) оно обращается в верное равенство формальных рядов, т.е. полученные в левой и правой частях соотношения функциональные последовательности частичных сумм совпадают.

Замечание А.1.11. Бинарное отношение равенства задано в определении А.1.11 по анало­ ( ) ( ) гии со стандартным определением равенства в формулах, содержащих () или () (см., например, [69, 11-19]. Оно является рефлексивным и транзитивным.

Пример А.1.4. Бинарные отношения равенства и асимптотического равенства, заданные в определении А.1.11, позволяют производить упрощение выражений, зависящих от формаль­ ных рядов с неопределенными коэффициентами. Например, рассмотрим два выражения:

() + 1;

1 () + ()1;

2 () + 1;

3 ()1;

4 (), 2;

1 (), (А.1.29) первое из которых получается из выражения (А.1.27) при = 0, =, Z+. Пред­ положим, что S {S0,0,;

, S1,(0,0),;

,, S2,(0,0,0,0);

, } и для переменных ;

() Z(D, ), участвующих в выражениях (А.1.29), выполняются соотношения D1, S и D2,1 = S.

Легко видеть, что в этом случае справедливо равенство () + 1;

1 () + ()1;

2 () + 1;

3 ()1;

4 () = 2;

1 ().

О п р е д е л е н и е А.1.12. Полностью аналогично определим отношение асимптотиче­ ского равенства, которое также обозначим символом «=». В этом случае условием истинно­ сти отношения назначим совпадение коэффициентов А.2. Некоторые свойства степенных и степенно-логарифмических рядов с неопределенными коэффициентами В следующих леммах используются термины и обозначения, определенные в предыду­ щем разделе диссертации, а также обозначение для произвольного числа из N {1}.

Будем рассматривать соотношения, состоящие из выражений и отношения равенства, их соединяющего, согласно определениям А.1.10 и А.1.11, соответственно. и в рамках се­ мейства множеств (А.1.17). Если особо не указано иное, ниже предполагается, что вычисле­ ние значений операций и выражений с формальными рядами производится в рамках семей­ ства (А.1.13) или семейства (А.1.17), в зависимости от рассматриваемой предельной точки 0 {0, }.

Замечание А.2.1. В приведенных ниже леммах А.2.1–А.2.3 вводятся формальные ряды с неопределенными коэффициентами (). Договоримся не указывать числовой индекс у переменных (), и обозначать каждую из них через () но при этом рассматривать каждое вхождение () в запись выражения или соотношения как появление новой неза­ висимой переменной вида () с новым, еще не использованным ранее индексом. Тогда обо­ значаемых через (), имеют место следующие свойства:

, R () + () = (), (А.2.1) N () = (), (А.2.2) = N () = (). (А.2.3) Доказательство этих свойств единообразное, поэтому приведем его здесь, перед формули­ ровками лемм. Оно основывается на определении А.1.11. Свойства (А.2.1) и (А.2.2) сразу вытекают из замечаний А.1.3 и А.1.5, соответственно;

свойство (А.2.3) очевидным обра­ зом будут следовать из соотношений (А.2.2) и равенства = (), которое будет верно для каждой из формулировок лемм А.2.1–А.2.3.

Лемма А.2.1. Пусть, в соответствии с обозначением, введенным в определении А.1.2, () Z(D), где множество D получается по формуле (А.1.10) при = 0 и = :

{ } + : R, Z.

D = S0,0,;

1 = (А.2.4) = Обозначим () = (), тогда с учетом замечания А.2.1 справедливы свойства (А.2.1)–(А.2.3) при =.

Если ряды, составляющие множество (А.2.4) рассматривать как степенные асимп­ тотические разложения некоторых функций при, то R {0}, R справед­ ливо следующее асимптотическое соотношение exp( / )() = exp(/ )/ () при. (А.2.5) = 2 1, Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем свойство (А.2.5). Обозначим = = 1 и проверим справедливость разложения:

+ )+1 + ( / / ) = exp( ) · ( exp( ) (А.2.6) = = при +;

при этом подразумевается, что асимптотика (А.2.6) верна с точностью до exp(/ ), где — как угодно большое число.

( ) / ( / ) / exp( / ) = exp( ) = / / ( ) / exp( / ) = exp( ) = (+)/ ( ) / / / exp( ) + ( ) = exp( ) + + 2/ ( ) exp( / ) = ( )( + ) ( ) / exp(/ ) + (+)/ exp( / ). (А.2.7) = Заметим, что за счет экспоненциально растущего множителя, каждый член разложения (А.2.7) бесконечно велик, по сравнению с константой. Применяя такие же действия к инте­ гралу в предпоследней строке цепочки равенств (А.2.7), по индукции приходим к равенству (А.2.6), а из него сразу же следует свойство (А.2.5). Лемма доказана.


Лемма А.2.2. Пусть, в соответствии с обозначением, введенным в определении А.1.2, () Z(D), где множество D получается по формуле (А.1.7) при = 0 и = :

{ } : R, Z+.

D = S0,0,0;

1 = = Обозначим () = (), тогда с учетом замечания А.2.1 справедливы свойства (А.2.1)–(А.2.3) при =.

Лемма А.2.3. Пусть, в соответствии с обозначением, введенным в определении А.1.2, () Z(D), где множество D получается по формуле (А.1.15) при = (0, 0) и = = :

/(1) { }, (ln ) :, Z+, R D = S1,(0,0),;

=, 1 =0 = Обозначим () = (), тогда с учетом замечания А.2.1 справедливы свойства (А.2.1)–(А.2.3) при =.

Обозначим через 1;

, множество S0,0,;

вида (А.1.10), в котором обозначение неза­ висимой переменной изменено на. Обозначим через 2;

,0 и 3;

,0 множества S0,0,0;

1 вида (А.1.7) и S1,0,0;

1,1 вида (А.1.12), соответственно, в которых обозначение независимой перемен­ ной изменено на. Рассмотрим подмножество 3;

,0;

множества 3;

,0 :

min{,} { } +, (ln ) :, Z (, R) 3;

,0;

= =0 = где Z+.

В соответствии с определением А.1.2 введем обозначение для формальных рядов с неопределенными коэффициентами 1;

( ) Z(1;

, ), 2;

() Z(2;

,0 ), 3;

() Z(3;

,0;

).

Договоримся не указывать индекс у переменных 1, ( ), 2, (), 3, (), и обозначать каж­ дую из них через ( ), (), (), соответственно но при этом рассматривать каждое вхож­ дение ( ), () или () в запись выражения или соотношения как появление соответ­ ствующей новой независимой переменной вида 1, ( ), 2, () или 3, () с новым, еще не использованным ранее индексом. Таким образом, ряды ( ), () и () имеют вид:

[/(1)] /(1), (ln ), ( ) = (А.2.8) =0 =, () = (А.2.9) = min{,}, (ln ), () = (А.2.10) =0 = Лемма А.2.4. Для рядов (А.2.8)–(А.2.10) выполняются свойства:

Z, Z+ (ln ) () = 0,+1 (ln )+1, если 1, = +1 (ln ) () + (А.2.11) 0, иначе, = () = +1 +1 (), Z, 2 (А.2.12) ( ), R () + () = (), () + () = (), (А.2.13) () () = (), (А.2.14) Z+ () = (), () = (), ( ) (А.2.15) () = () + () ln +... + () (ln ), (А.2.16) () = 0 (), () () = + (), ln () = 1 +1 ().

() = (), (А.2.17) Для произвольной функции = ( ) : [0, ) [0, ), такой что ( ) 0 при выполняется свойство:

) ( при : если ( ) = ( ), то ( ) = ( ). (А.2.18) Д о к а з а т е л ь с т в о. Соотношения (А.2.16)–(А.2.14) следуют из определений и свойств, доказанных в предыдущем разделе диссертации, свойства (А.2.16)–(А.2.17) легко получают­ ся из соотношений (А.2.9), (А.2.10).

Докажем равенство (А.2.11), преобразовав его левую часть:

(ln ) () = (ln ) = = 0,+1 (ln )+1, если 1, +1, (ln ) + = +1 (ln ) () + 0, иначе, =0 =0 = где =, если = 1 и = + 1, если = 1;

таким образом, формула (А.2.11) доказана. C ее помощью преобразуем левую часть равенства (А.2.12):

+ ln () = () = () = = ln+1, если + 1, ) ( ++ = ln () + = 0, иначе, =0 = [причем свободная постоянная, возникающая при интегрировании уже учтена здесь, внутри конструкции +1 ()] ln+1 = +1 = ln () + =0 = = [применим свойства (А.2.13)] 1 1 ln = +1 = ln () + =0 = = +1 () + 1 +1 () = [воспользуемся свойствами (А.2.13), (А.2.15) и тем, что 2] = +1 +1 (), таким образом, формула (А.2.12) и вся лемма доказаны.

Приложение Б Пример применения результатов второй главы Б.1. Формальный анализ асимптотических разложений Рассмотрим более подробно пример (2.6.1) из главы 2.

= 2 + 3 1 4 +, 12 1 1 (Б.1.1) = + +, 2 4 (0, ) =, (0, ) = 0, 0 1 + 5.

1 1. Внутреннее разложение. Осуществив замену переменных =, (, ) (, ), (, ) (, ), получим систему уравнений внутреннего слоя:

= 2 + 3 4 +, 1 121 = + +.

2 4 Заменим новые искомые функции на асимптотические выражения, соответствующие рядам (2.2.2), (2.2.3), (, ) = 1 + 2 2 + ( ) (, ) = 0 + 1 + ( ), (Б.1.2) и подставим в систему уравнений внутреннего слоя. Приравнивая коэффициенты при одина­ ковых степенях малого параметра, получим систему уравнений:

1 0 = 0 2 + 0 3 0 4, 1 = 0 2 + 0, (Б.1.3) 4 Перейдем к последовательному поиску коэффициентов асимптотических разложений (Б.1.2) при. Используя результаты второй главы (2.2.11)–(2.2.13), дающие общий вид асимп­ тотических рядов для этих коэффициентов, таким образом, 0 ( ) = ;

0;

1,0 1 + ;

0;

2,2 2 (ln )2 + ;

0;

2,1 2 ln + ;

0;

2,0 2 + 2, ( ) 1 ( ) = ;

1;

0,1 ln + ;

1;

0,0 ;

1;

1,2 1 (ln )2 ;

1;

1,1 1 ln + 1.

( ) Воспользуемся непосредственной подстановкой этих выражений с неопределенными по­ стоянными коэффициентами в уравнения (Б.1.3) и вычислим эти постоянные, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и ln. Итак, 0 = ;

0;

1,0 ;

0;

1,0 2, 0 = ;

0;

1,0 ;

1;

0,1.

Данная система имеет два решения:

[ ] [ ] ;

0;

1,0 = 0, ;

1;

0,1 = 0, ;

1;

0,0 R и ;

0;

1,0 = 1, ;

1;

0,1 = 1, ;

1;

0,0 R.

Первое из этих решений изменяет порядок главного члена асимптотического разложения, а значит, не соответствует построенным в главе 2 функциям 0 ( ) и 0 ( ) и поэтому не может быть использовано, остается только второе решение.


Продолжим процесс приравнивая коэффициентов, получим уравнения:

0 = 2 ;

0;

1,0 ;

0;

2,2 + 2 ;

0;

2,2, 0 = 2 ;

0;

2,1 2 ;

0;

1,0 ;

0;

2,1 2 ;

0;

2,2, 0 = 2 ;

0;

1,0 ;

0;

2,0 + 2 ;

0;

2,0 + ;

0;

1,0 3 ;

0;

2,1, 0 = ;

1;

1,2 + ;

0;

2,2, 0 = ;

0;

2,1 + ;

1;

1,1 2 ;

1;

1,2.

[ ] После подстановки найденных выше значений ;

0;

1,0 = 1, ;

1;

0,1 = 1, ;

1;

0,0 = ;

1;

0,0, получим систему:

0 = 0, 0 = 2 ;

0;

2,2, 0 = 1 ;

0;

2,1, 0 = ;

1;

1,2 + ;

0;

2,2, 0 = ;

0;

2,1 + ;

1;

1,1 2 ;

1;

1,2, которая имеет следующее решение:

[ ] ;

0;

2,2 = 0, ;

1;

1,2 = 0, ;

0;

2,1 = 1, ;

1;

1,1 = 1, ;

0;

2,0 R.

Таким образом получим, что имеют место асимптотические представления:

0 ( ) = 1 + 2 ln + 1 2 + 2, ( ) (Б.1.4) 1 ( ) = ln + 2 1 ln + 1, ( ) (Б.1.5) где для краткости переобозначены константы ;

0;

2,0 = 1, 1 = ;

1;

0,0 = 2. Найдем значения этих постоянных. Обозначим () =.

2 + 3 4 Функция () имеет при 0 асимптотику () = 1 ln + + (). (Б.1.6) Из уравнения (Б.1.3) для 0 следует, что ( ) = 0 ( ). (Б.1.7) В главе 2 было отмечено, что функция 0 ( ) строго убывает и, следовательно, обладает обратным отображением (). Перейдем к переменной = 0 ( ) в равенстве (Б.1.7) и затем в соотношении (Б.1.4), что допустимо, поскольку 0 ( ) 0 () и рассмотрим полученное асимптотическое соотношение при 0 : = +(1 ) 2 +( 3 ), из которого следует, что 1 =, и согласно разложению (Б.1.6) 1 1 1 ) ( ( 1 = lim () ( ln )) = + ln, + 2+ 2 + 3 4 ln(1 2 ).

откуда 1 = 1 + ln(1 1 ) 1 1 + ln = 2 (2) 2 2(2) В силу (2.2.9) 2 2 ( 1 ) + (1) = ln + + () при 0.

1 () = 1 4 = (Б.1.8) 2 + 3 Отсюда, заменяя в разложении (Б.1.5) левую часть выражением (Б.1.8) и применяя соотно­ шения (Б.1.6), (Б.1.7) к правой части (Б.1.5), получим ln + + () = ln + 2 + (), откуда с помощью соотношений (Б.1.8) получим 2 2 1 ) ( 2 = = + ln = ln(1 ) + ln.

+ 2 + 3 1 Такой способ нахождения постоянных 1 и 2 был применен в совместной работе [98].

Выпишем систему уравнений для поиска функций 1 и 2 :

1 = 2 1 0 + 3 1 0 2 1 0 3 + 1 +, (Б.1.9) 1 2 = 1 + 1 + 1 0, 4 Вновь подставив соответствующие формальные ряды (2.2.11)–(2.2.13) в уравнения (Б.1.9) и, приравняв коэффициенты при степенях и ln, получим асимптотические представления:

1 1 ( 1 1 7 ) 1 = 2 + ln + ;

1;

0,0 ;

0;

2,0 + + ( ), 4 6 3 6 13 12 ( 1 1 1 ) + 2.

( ) ;

1;

0, 2 = + ln + ;

0;

2,0 + 12 12 6 12 2. Промежуточное разложение. Выполнив замену переменных 2 ( 2 ( ) ) = 3, 3, (, ), 3, (, ), в исходной системе (Б.1.1) получим систему уравнений промежуточного слоя:

1 = 3 2 + 3 4 +, (Б.1.10) 2 12 12 = + 3 +.

2 4 Представим новые искомые функции в виде асимптотических выражений, соответству­ ющих рядам (2.3.15), ( 2 ) 1 2 (, ) = 1,0 3 + 2,1 3 ln + 2,0 3 + 3, (Б.1.11) ( 4 ) 4 (, ) = 2 ln + 3,0 + 4,1 ln + 4,0 + 3 и подставим в систему (Б.1.10). Приравнивая коэффициенты при одинаковых калибровочных функциях малого параметра, получим систему уравнений:

= 2 +, 1,0 1, (Б.1.12) 3,0 = 1,0, 2,1 = 2 2,1 1,0 + 2, = 2 + 3 +, 2,0 2,0 1,0 1,0 3, (Б.1.13) 4,1 = 2,1, 4,0 = 1 1,0 2 + 2,0 + 1, 2 Найдем асимптотические разложения для коэффициентов выражений (Б.1.11) при 0. Для решений системы (Б.1.12) формальная подстановка дает следующие раз­ ложения:

1,0 = 1 + + 2, ( ) = ln + 3,0 + 3, ( ) 3, а для системы (Б.1.13) — такие:

( 1 2,1 = 4,1 2 + ) 2 + 4,1 + ( ), 3 2 2,0 = ln + 2,0 + ln + ( ), ( 1 4,1 = 4,1 1 + 4,1 2 + 2, ) ( ) 2 + 6 1 ) 1 4,0 = 1 ln + 2.

( ( ) ln + 2,0 + 2 Таблица Б. Степени Ряды Асимптотические выражения для коэффициентов, ln стоящих при соответствующих степенях и ln.

1 + 2 + ( ) (, ) (1/3, ) 1 + 2 + ( ) 1 ( 1 4,1 2 + ) (, ) 2 + 4,1 + ( ) 3 1 2 (1/3, ) 2 1 + ( ) 3 2 ln + 2,0 2 + ln + ( ) (, ) (1/3, ) 2 ln + ;

0;

2,0 2 + ( ) 2 (, ) (1/3, ) 3 1 + (1) ln + 3,0 + ( ) (, ) (1/3, ) + ( ) 3 0 ln + ;

1;

0,0 + ( 1 4,1 1 + 4,1 2 + ) ( ) (, ) 2 + 6 1 1 (1/3, ) + ( ) 4 1 3 1 ) 1 1 ln + 2,0 ln + ( ( ) (, ) + 2 (1/3, ) 1 ln + ( 1 ) 4 Для согласования отрезков формальных рядов (2.3.15), стоящих в таблице Б.1, доста­ точно положить 2 =, в соответствии с формулами (2.2.17), (2.3.14), а также 2,0 = ;

0;

2,0, 3,0 = ;

1;

0,0, 4,1 =. Результаты этой подстановки представлены в следующей таблице.

Таблица Б. Степени Ряды Асимптотические выражения для коэффициентов, ln стоящих при соответствующих степенях и ln.

1 + 2 + ( ) (, ) (1/3, ) 1 + 2 + ( ) 1 1 (, ) + ( ) 3 1 (1/3, ) 2 1 + ( ) 3 2 ln + ;

0;

2,0 2 + ln + ( ) (, ) (1/3, ) 2 ln + ;

0;

2,0 2 + ( ) 2 (, ) (1/3, ) + (1) 3 ln + 3,0 + ( ) (, ) (1/3, ) + ( ) 3 0 ln + ;

1;

0,0 + 1 1 + ( ) (, ) 3 1 1 (1/3, ) + ( ) 4 1 3 1 ) 1 1 ln + ( ( ) ln + ;

0;

2, (, ) + 2 (1/3, ) ( 1 ) 4 0 ln + Далее найдем асимптотические разложения для коэффициентов выражений (Б.1.11) при. Асимптотики неотрицательных функций 1,0 и 3,0, являющихся решениями системы (Б.1.12), имеют вид:

1,0 = 2 + (1), 3,0 = 2 + ( ), 1,0 = 2 + (1), В результате предварительного анализа системы уравнений (Б.1.12), получим, что функ­ ция 2,2 экспоненциально стремится к нулю, функция 4,2 тождественно равна константе, 4,2 = 2;

4,2;

0,0, поэтому система (Б.1.12) для поиска степенных асимптотик функций 2,2, 2,1, 2,0, 4,2, 4,1 и 4,0 при может быть переписана в виде:

2,1 = 2 2,1 1,0 + 2, 2,0 = 2 2,0 1,0 + 1,0 3 + 3,0, 4,1 = 2,1, 1 4,0 = 1,0 2 + 2,0 +, 2 и могут быть найдены следующие асимптотики:

1 2,1 = 2 2 + 1, ( ) 5 ( 1 ) 2,0 = + 2, 4,1 = 2 2 + 2;

4,1;

0,0 + (1), 72 ( 3 ) 4,0 = + 2.

3. Внешнее разложение. Заменим искомые функции на асимптотические выражения, соответствующие рядам (2.4.19), ( 1 ) 1 (, ) = 0,0 + 1,1 3 ln + 1,0 3 + 3, (Б.1.14) ( ) (, ) = 0,0 + 1,1 3 ln + 1,0 1 + 1.

3 и подставим в систему уравнений внешнего слоя. Приравнивая коэффициенты при одинако­ вых калибровочных функциях малого параметра, получим систему уравнений:

0 = 0,0 3 0,0 + 1 0,0 4 + 0,0 2, 4 (Б.1.15) 0,0 = 0,0 + 0,0 1 0,0 2 + 1, 4 2 0 = 2 1,1 0,0 1,1 3 1,1 0,0 2 + 1,1 0,0 3, 0 = 2 1,0 0,0 3 1,0 0,0 2 + 1,0 0,0 3 1,0, (Б.1.16) = 1 +, 1,1 1,1 1,1 0,0 1, 1,0 = 1 1,0 + 1,0 1,0 0,0, Найдем асимптотические разложения для коэффициентов выражений (Б.1.14) при 0.

Для решений системы (Б.1.15) возможны следующие варианты асимптотики:

0,0 = 2 + + ( ), 1) (Б.1.17) 23 + 2, ( ) 0,0 = 2 + 3 = 2 + + ( ), 0, 2) 23 + 2, ( ) = 2 + 0, 3 но согласуется с найденным выше промежуточным разложением только вариант (Б.1.17), поэтому будем использовать именно его.

Все функции 1,1, 1,0, 1,1 и 1,0 — решения системы (Б.1.16) — тождественно равны нулю.

Для согласования отрезков формальных рядов (2.4.19), стоящих в таблице Б.3, не тре­ буется наложение никаких дополнительных условий.

Таблица Б. Степени Ряды Асимптотические выражения для коэффициентов, ln стоящих при соответствующих степенях и ln.

(, ) 2 + + ( ) (2/3, ) 0 0 2 + + ( ) 23 + ( ) (, ) 2 + 3 23 (2/3, ) + ( ) 0 0 2 + 3 Б.2. Получение явных формул для первых членов внешнего разложения Задачу (Б.1.1) можно записать в следующем виде:

3 = ( 1 2 )2 +, 12 1 (Б.2.1) = 2 + 4 ( + ), (0) =, (0) = 0, 0 1 + 5.

Результаты данного параграфа опубликованы в совместной работе [98]. Главные члены 0,0 () и 0,0 () рядов внешнего разложения (2.4.19) задачи (Б.2.1) удовлетворяют системе уравнений 1 ) 0 = 0,0 (0,0 )2 + 0,0, ( 1 0,0 = 0,0 (0,0 )2 + ( + 0,0 ), (Б.2.2) 2 ) Обозначим () + 0,0 (), тогда 0,0 1 (0,0 )2 =. Запишем уравнение (Б.2.2) в ( виде и 0,0 = + 1, преобразуем его к виду 0,0 +1 = 1+ + 1, откуда = 1 (2+ )2.

4 4 Функция 0,0 () удовлетворяет начальному условию 0,0 (0) = 0, следовательно, и (0) = 0.

2 Поэтому ln(2 + ()) + = + ln 2 + 1.

2 + () Таким образом, функция 0,0 () () является монотонно растущей, определённой для всех положительных аналитической функцией, неявно задаваемой следующим уравнением 2 ln(2 + + 0,0 ()) + = + ln 2 + 1.

2 + + 0,0 () Функция 0,0 () = 1 1 2 () определена для всех (0, 0 ], где 0 = 8(ln( 5 ) 1 ), положительна и является, решением 4 уравнения 0,0 () 20,0 () ln(4 + 20,0 () 0,0 ()) + = + 2 ln 2. (Б.2.3) 4 + 20,0 () 0,0 () Равномерная асимптотика решения задачи (Б.2.1) строится на отрезке [0, 1 ], для любого 1, где 1 0.

Коэффициенты 3,1 () и 3,1 () являются решением системы () 2 () () + 3 2 () () 3 () () = 0, 3,1 0,0 3,1 3,1 3, 0,0 0, 3,1 = 3,1 () + 3,1 () 0,0 ()3,1 () 3,1 () Следовательно, 3,1 () =, 2 20,0 () 30,0 () + 0,0 () ) 3,1 ( 1 = + 3,1 ().

4 0,0 ()(2 0,0 ()) Поэтому 3,1 () = 3,1 exp (), 1 где () = +.

0,0 () (2 0,0 ()) Из уравнения (Б.2.3) вытекает, что 1 (4 + 20,0 0,0 ) 0,0 () =, 16 0,0 (1 0,0 )(2 0,0 ) 0,0 () 0,0 () (2 2 ) (1 ) (2 ) 1 () = + 16 = + 8 = (2 ) (4 + 2 2 )2 (4 + 2 2 ) 4 0 = 2 ln(4 + 20,0 () 2 2 ln 0,0 ()) + 4 + 20,0 () 0,0 () 8 + 2 = 2 ln(4 + 20,0 () 0,0 ()) 4 ln 2, 4 + 20,0 () 0,0 () 3,1 (4 + 20,0 () 0,0 ())2. Из условий согласования вытекает, поэтому 3,1 () = что 3,1 = 2.

Таким образом, окончательные выражения коэффициентов 3,1 () и 3,1 () следующие:

(4 + 20,0 () 0,0 ()) 1 2 3,1 () = (4 + 20,0 () 0,0 ()), 3,1 () =.

2 32(20,0 () 30,0 () + 0,0 ()) Обе эти функции определены при (0, 1 ] и, в силу асимптотики (Б.1.17) для функции 0,0, не обращаются в нуль на некотором промежутке (0, 2 ] (0, 1 ].

Коэффициенты 3,0 () и 3,0 () являются решением системы 0,0 = 3,0 20,0 3,0 + 3 2 3,0 3 3,0, 0,0 0, 3,0 = 3,0 + 3 0,0 3,0.

Отсюда вытекают равенства 3,0 0, 3,0 =, 2 20,0 30,0 + 0, 0,0 () ) 3,0 ( 1 = +.

4 0,0 ()(2 0,0 ()) 0,0 () (2 0,0 ()) Следовательно, 0,0 () () () + 3 () = 3,0 () = 0,0 ()(2 0,0 ()) 0,0 () = (4 + 20,0 () 0,0 ()) + (2 ) (4 + 2 2 ) [ 21 0,0 () 2 2 +4 (4 + 20,0 () 0,0 ()) = (4 + 20,0 () 0,0 ()) ln + 32 2 0,0 () ] 1 + 5 0,0 () 7 1 ln (1 0,0 ())(4 + 20,0 () 0,0 ())+ + 5 1 + 0,0 () 160 +5 (4 + 20,0 () 0,0 ())2.

Коэффициент 5 можно определить из условий согласования:

1 7 1+ 5 165 = 2 + ln 0 ln 2 + ln +.

2 5 1 10 Отметим, что для нахождения постоянной 5 существенно использовалось не только внешнее разложение, но и асимптотики членов двух других разложений и согласованность всех трех разложений. Открытым остается вопрос: можно ли получить значение этой посто­ янной, используя только естественное внешнее разложение по степеням ? Отметим также, что в таком естественном внешнем разложении по степеням не должны присутствовать чле­ ны ln 3,1 () и ln 3,1 (), а между тем, как показано выше, это асимптотически главные поправочные члены к стандартному предельному решению.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.