авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального

образования

«Пермский государственный технический университет»

ВЕСТНИК ПГТУ

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

И МЕХАНИКА

№ 15

Издательство

Пермского государственного технического университета

2010 3 Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 УДК 51 В38 Представлены результаты научных исследований преподавателей, со трудников и аспирантов кафедры прикладной математики ПГТУ. Часть работ выполнена совместно со студентами ПГТУ специальности «Математические методы и компьютерные технологии в экономике».

Предназначено для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников.

Редакционная коллегия: д-р физ.-мат. наук, проф. А.Р. Абдуллаев;

д-р физ. мат. наук, проф. Н.В. Азбелев;

д-р техн. наук, проф. В.П. Первадчук;

д-р техн. наук, проф. Н.А. Труфанов;

д-р физ.-мат. наук, проф. В.П. Максимов;

д-р физ.-мат. наук, проф. И.Н. Шардаков;

д-р физ.-мат. наук, доц. М.А. Севодин Ответственные за выпуск: д-р физ.-мат. наук, проф. А.Р. Абдуллаев;

д-р техн. наук, проф. В.П. Первадчук;

А.И. Граничникова УДК ©ГОУ ВПО «Пермский государственный ISBN 978-5-398-00342- технический университет», Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, УДК 658. И.П.МОСКАЛЕНКО, М.А.СЕВОДИН Пермский государственный технический университет О ПОСТРОЕНИИ ОБОБЩЕННОГО ПОКАЗАТЕЛЯ ФИ НАНСОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ Исследован общий порядок построения обобщенного показателя фи нансовой деятельности предприятия. Рассмотрен критерий адекватности мо дели исходным данным. Приведен пример построения модели обобщенного показателя.

В данной работе исследуются зависимости между показателями, характеризующими определенную сферу деятельности финансовых институтов. При этом ставится задача построения сводного показателя, на основе которого можно было бы дать оценку этой деятельности, сделать выводы об «успешности», «правильности» их функционирова ния. Обсуждение вышеназванных вопросов в статье проводится парал лельно с рассмотрением примера – построение модели обобщенного показателя на основе показателей поступления собственных денежных средств в местные бюджеты трех субъектов РФ: Республики Татар стан, Свердловской области, Пермского края.

Рассмотрим следующие пять показателей:

«Налоги на прибыль, доходы» этот показатель говорит о том, сколько поступило средств в бюджет при облагании налогами на дохо ды физических лиц и прибыль организаций.

«Налоги на имущество» налоги на имущество физических лиц, организаций, игорный налог, земельный налог, транспортный налог, налог на наследование и дарение.

«Государственная пошлина и сборы» пошлина за совершение нотариальных действий по делам, рассматриваемым в арбитражных, конституционных судах, совершение действий, связанных с получени ем гражданства Российской Федерации.

«Доходы от оказания платных услуг и компенсации затрат госу дарства» консульские сборы, лицензионные сборы, плата за предос тавление информации, сборы на выдачу лицензий и право на произ водство и оборот акцизных товаров.

«Штрафы, санкции, возмещение ущерба» штрафы за наруше ние законодательства, таможенного дела, нарушение обязательных требований государственных стандартов.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Эти показатели характеризуют поступление средств в местный бюджет субъекта РФ. Каждый из показателей был взят за 41 месяц, на чиная с октября 2005 года и заканчивая мартом 2009.

Идея построения сводного показателя базируется на методах факторного анализа и основывается на том, что частные показатели являются внешним выражением некоторой реально существующей, но неизмеримой величины. В этом случае колебания показателей обу словлены в основном вариацией обобщенного показателя. Поэтому между частным и обобщенным показателем будет иметь место сильная корреляция.

Математически это выглядит так:

xi li f ei, i 1, n, где x i частный показатель;

f обобщенный показатель;

l i нагрузка (вес) обобщенного показателя f на частный показатель x i ;

e i остаток (характерный показатель), определяющий ту часть по казателя x i, изменение которой вызвано действием случайной величи ны.

При этом можно выразить обобщенный показатель через линей ную комбинацию частных показателей с весами ai [1]:

f a1 x1 a2 x2... an xn.

Рассмотрим алгоритм построения обобщенного показателя.

Сначала определяются значения нагрузок li. Они дают основные оценки для численных значений обобщенного показателя каждого мо мента времени t. Далее будет установлено, что li являются коэффици ентами корреляции между xi и f li rxi f.

Теперь необходимо определить адекватность модели исходным данным, т.е. проверить, можно ли взятые показатели выразить одним генеральным фактором. Для этого используется критерий триад Спирмена, который представим в виде выполнения следующих ра венств:

r1, n 1r1, n r12 r13 r12 r14 rr rr... 12 1n 13 14, r23 r24 r2n r34 rn 1, n где rij коэффициенты корреляции между двумя показателями [2].

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Значения, полученные в результате расчетов (табл.1), Таблица r12 r13 r12 r15 r13 r14 r14 r r13 r r12 r Субъект РФ r23 r24 r25 r24 r35 r Пермский край 1,00(33) 1,00(41) 0,99(94) 1,00(21) 1,00(11) 0,99(71) Свердловская 0,99(27) 0,98(11) 1,01(81) 1,00(64) 1,02(20) 0,98(45) область Республика 1,00(01) 0,98(51) 1,02(27) 1,00(64) 0,99(71) 0,98(81) Татарстан говорят нам о том, что для каждого из выбранных субъектов существу ет взаимосвязь между 5 показателями, которую можно использовать для построения модели сводного индекса.

Значения обобщенного показателя можно найти, используя рег рессионный метод, предложенный Томсоном. Суть этого метода за ключается в том, что оценки значения фактора определяются из сле дующей системы уравнений [3]:

a1 r12 a2... r1n an rx1 f, r21a1 a2... r2 n an rx2 f,...

r a r a... a r f.

n1 1 n 2 1 n xn Коэффициенты a i модели находим в соответствии с методом наименьших квадратов.

Рассчитанные значения коэффициентов представлены в табл. 2.

Таблица Доходы от ока Налоги Государ- зания платных Штрафы, Налоги на при- ственная услуг и ком- санкции, на иму быль, пошлина, пенсации за- возмещение щество доходы сборы трат государ- ущерба ства Пермский край 1,881 -0,029 -0,823 -0,116 0, Свердловская 0,792 -0,046 0,257 0,092 -0, область Республика 2,696 -0,525 -1,784 0,008 0, Татарстан Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Таким образом, построенные модели обобщенного показателя выглядят следующим образом (табл.3).

Таблица Модель f 1, 881x1 0, 029 x2 0, 823x3 0,116 x4 0, 014 x Пермский край Свердловская об f 0, 792 x1 0, 046 x2 0, 257 x3 0, 092 x4 0,102 x ласть Республика Татар f 2, 696 x1 0, 525 x2 1, 784 x3 0, 008 x4 0, 307 x стан Обобщенный показатель можно назвать «Индекс собственных доходов местного бюджета субъекта РФ».

Мерой качества оценки обобщенного показателя может служить коэффициент детерминации.

Вычисленные значения коэффициента для трех моделей:

Коэффициент детерминации Пермский край 0, Свердловская область 0, Республика Татарстан 0, Можно сказать, что модель обобщенного показателя для Перм ского края учитывает 74 % изменчивости показателей, и лишь 26 % остаются необъясненными уравнениями регрессии, для Свердловской области соответственно 79,5 % и 20,5 %, и лишь для Республики Та тарстан этот показатель имеет значения 74 % и 26 %, но все равно име ет достаточно высокое значение для принятия модели.

При составлении модели были определены значения нагрузок ча стных показателей на сводный показатель и получены следующие ре зультаты (табл.4).

Таблица Доходы от Штрафы, Налоги Налоги Государ- оказания санкции, на при- на ственная платных услуг возмеще быль, имуще- пошлина, и компенсации ние ущер доходы ство сборы затрат госу ба дарства Пермский край 0,921 0,34 0,877 0,34 0, Свердловская 0,999 0,666 0,97 0,886 0, область Республика 0,953 0,288 0,732 0,169 0, Татарстан Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Таким образом, анализируя значения нагрузок для каждой из мо делей, можно сказать, что для экономики Пермского края и Республи ки Татарстан наибольшее значения имеют три показателя, это «Налоги на прибыль, доходы», «Государственная пошлина и сборы» и «Штра фы, санкции, возмещение ущерба». Соответственно, можно сделать вывод о том, что улучшение (увеличение притока денежных средств) значений по этим показателям будет наиболее продуктивным, т.е. бу дет иметь большее влияние на обобщенный показатель. Что же касает ся Свердловской области, то можно утверждать, что все показатели оказывают значимое влияние на сводный, а это значит, что элементы модели имеют достаточно высокую связь, которая подтверждается вы численным коэффициентом детерминации, равным 0,79537838.

В соответствии с построенными моделями и исходными данны ми, были рассчитаны обобщенные показатели для трех регионов, срав нение сводных индексов которых представлены на рисунке:

Сравнение регионов 1,0E+ 1,0E+ 1,0E+ 1,0E+ ап ап ап ав ав ав ию ию ию де ок де ок де ок де ф ф ф ф ев ев ев ев н н н т т т т р р р г г г к к к к ок Пермский край Свердловская обасть Республика Татарстан Рис. Сравнение регионов Следовательно, можно сделать вывод о том, что наиболее успеш ным из трех регионов является Республика Татарстан, в то время как Пермский край и Свердловская область отстают по поступлению средств в местные бюджеты.

В процессе исследования были построены модели сводных пока зателей, на основе данных представленных с октября 2005 по март 2009 года, по трем субъектам РФ: Пермский край, Свердловская об ласть, Республика Татарстан. Был проведен сравнительный анализ дея тельности доходной сферы местных бюджетов субъектов, который по казал, что наиболее успешным регионом оказалась Республика Татар стан.

Таким образом, мы рассмотрели алгоритм создания и вычисления математической модели обобщенного показателя, на основе которого Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, можно было бы выявить наиболее и наименее влияющие факторы, а также дать оценку деятельности финансового института, экономиче ские характеристики деятельности которого были бы составляющими модели.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Иберла К. Факторный анализ / пер. с нем. В.М. Ивано 1.

вой;

предисл. А.М. Дуброва. – М.: Статистика, 1980. – 398 с.

2. Харман Г. Современный факторный анализ. – М.: Стати стика, 1972. – 243 с.

3. Дрейпер Н.Р., Смит Г. Прикладной регрессионный ана лиз. – М.: Вильямс, Диалектика, 2007. – 912 с.

УДК 658. М.А. СЕВОДИН, Е.С. СМИРНОВА Пермский государственный технический университет О РОЛИ СПЕКУЛЯЦИЙ В УСТАНОВЛЕНИИ РАВНОВЕС НОЙ ЦЕНЫ Рассмотрена «паутинообразная» модель баланса спроса и предложения.

Показано, что в некоторых случаях появление спекуляций на рынке неустой чивую ситуацию переводит в устойчивую.

Для выяснения роли спекулятивных преимуществ присутствия спекулянтов на рынке в механизме установления равновесной цены обсудим сначала рынок одного товара и действующих на нем произво дителя и потребителя. Товар будем считать бесконечно дробимым и однородным, а вкусы потребителя и удельные издержки на производ ство единицы товара постоянными. Предположим, что зависимость спроса D на товар от цены p за единицу этого товара является убы вающей функцией D(p), а поступление товара на рынок характеризует ся возрастающей функцией предложения S(p). Для простоты рассуж дений условимся считать, что S(p)=0, 0 p pmin и D(p)=0, p pmax.

Таким образом, мы предполагаем, что, если цена на товар выше некоторого значения pmax, то спрос на товар полностью исчезает. Кро Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, ме того, если цены не достигли некоторого уровня pmin (можно счи тать, что цена pmin совпадает с удельными издержками на производст во единицы товара), то товар не продается.

Состояние равновесия характеризуется равенством спроса и предложения D( p ) S ( p), (1) причем в силу сделанных предположений уравнение (1) имеет единст венное решение po, pmin po pmax. При этом po обычно называется равновесной ценой.

«Паутинообразная» модель [1], [2] заключается в реализации процесса «нащупывания» равновесной цены. Использование этой мо дели требует введения дискретного времени t (t = 0,1,…) и дополни тельных предположений относительно рынка:

а) объем товара, поступающего на рынок в момент t, определяет ся ценой товара в момент (t1);

б) весь поставленный на рынок товар покупается, запасы товара невозможны.

При этих требованиях справедливо рекуррентное соотношение D( pt ) S ( pt 1), (2) которое задает последовательность значений цен (pt), t = 0,1,…, в моменты времени t, определяющие процесс «нащупывания». Если по следовательность (pt) сходится к po, то на рынке с течением времени устанавливается равновесная цена po. В случае, когда последователь ность не сходится к po, считают положение на рынке неустойчивым.

Положим pt p o. (3) p o pt Если для каждого t имеем 1, то последовательность (pt) оче видно сходится к po. В противном случае сходимости нет.

Геометрически сказанное иллюстрирует рисунок.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Q D(p) S(p) pmin pt po pt+1 pt1 p Рис. Скручивающаяся паутина Изображенная на рисунке последовательность горизонтальных и вертикальных стрелок называется «паутиной». В данном случае мы видим «скручивающуюся паутину», т.е. последовательность (pt) схо дится к po.

На рисунке функция D(p) выпуклая, а функция S(p) – вогнутая.

Если бы S(p) была выпуклой функцией, то описанный процесс был бы расходящимся [1].

Случай, когда функции спроса и предложения являются линей ными, т.е. и выпуклыми и вогнутыми одновременно, детально изучен в работе [3]. Если положить A( pmax p), 0 p pmax, D( pt ) 0, p pmax, 0, p pmin, S ( p) B( p pmin ), p p, то тогда по (3) получим =B/A. Здесь коэффициенты A и B считаются положительными. Таким образом, в линейном случае процесс может быть и сходящимся (BA) и расходящимся (BA). В последнем случае, как показано в [3], ситуацию в положительную сторону может изме нить присутствие на рынке еще одного участника – спекулянта, кото рый при понижении цены закупает единиц товара (в [3] взято =S(pt1)), т.е. выступает в роли дополнительного потребителя, и поз же продает эти единиц, выступая уже в роли поставщика. Предпола гается, что эти функции может выполнять и сам производитель путем Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, организации временного складирования части товара. Поэтому вместо равенства (2) требуется выполнение соотношений D( pt ) S ( pt 1 ), pt 1 pо, (4) D( pt 1 ) S ( pt ), pt p.о (5) Цель данной статьи – установить перечисленные выше эффекты в случае, когда спекулянт выбирает значение в другом, отличном от предложенного в [3], виде. Будем считать, что с некоторым, выполняется равенство (S ( pt 1 ) D( pt 1 )). (6) Такое определение авторам кажется более естественным: закупки и продажи пропорциональны разности между предложением и спро сом. Более того, это позволит расширить область параметров, в кото рой полученные выводы будут справедливы.

Найдем, при которых цены на рынке будут стремиться к равно весным. Разумеется, что действия спекулянта считаются здесь соответ ствующими формулам (4), (5).

Прежде всего заметим, что в силу (1) выполняется следующее ра венство S ( pt 1 ) D( pt 1 ) ( A B) pt 1 Bpmin Apmax ( A B)( pt 1 p o ) (7) Теперь, пусть в момент t1 справедливо неравенство pt 1 p о, тогда согласно неравенству pt pо, вытекающему из (1), в следую щий момент времени t происходит снижение цены. Спекулянт, ориен тируясь на это снижение, закупает товар в объеме. Эти рассуждения приводят к справедливости соотношения (4), что позволяет сравнить расстояния от pt до po и от po до pt1. Имеем p o pt p o pt S ( p o ) S ( pt 1 ) B p o pt pt 1 p D( p ) D( pt ) pt 1 p A D( p ) D( pt ) pt 1 p o o o o o (8) 1 ( S ( pt 1 ) D( pt 1 )) A B (1 ).

pt 1 p A o A Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Здесь мы использовали соотношения (4), (6), (7).

Таким образом, для того, чтобы выполнялись нужные нам усло вия pt pо и pо pt pt 1 pо, мы должны потребовать 0 (1 ) 1.

Очевидно, что последние неравенства равносильны неравенствам 1. (9) 1 Переход от pt к pt+1 обосновывается аналогично. Справедливыми при этом оказываются соотношения (5), (6), (7), (8), используя которые получим pt 1 p o pt 1 p o S ( pt ) S ( p o ) B o p o pt D( pt 1 ) D( p o ) p o pt A A p pt pt 1 p o 1 ( S ( pt ) D( pt 1 )) pt 1 p o A( pt 1 p o ) p o pt pt 1 p o p o pt A A B 2 (1 ).

(1 ) (1 ) A Итак, неравенства pt 1 p о и pо pt 1 pt pо имеют место, ес ли 2 (1 ) 0 1.

(1 ) Так как мы можем считать, согласно (9), положительным значе ние (1 ), то последние неравенства равносильны соотношениям 1. (10) 1 (1 ) При любых, 0, очевидно имеет место Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2, (1 ) и поэтому (9), (10) справедливы, если 1. (11) 1 (1 ) Итак, если из (6) удовлетворяет соотношениям (11), то pt po pt 1 pt 1 и «паутина» скручивается, т.е. цены товара на рын ке приближаются к равновесной цене.

Конечно, здесь еще что-то должно заставлять спекулянта дейст вовать так, чтобы в конечном итоге число оказалось в интервале из (11). Мотивацией таких действий оказывается (см. [3]) максимизация спекулянтом своей прибыли, которую мы обозначим через (). Сама прибыль, очевидно, равна ( ) ( pt 1 pt ).

Для нахождения максимального значения прибыли выполним следующие преобразования p о pt pt 1 p о ( ) ( pt 1 pt ) ( pt 1 p ) o о pt 1 p p pt о 2 (1 ) 2 ( A B )( pt 1 p o ) 2 ( (1 ) ) (1 ) ( A B )( pt 1 p ) ( 1)( (2 ) ).

o Таким образом, прибыль () как функция аргумента оказыва ется параболой с ветвями, направленными вниз. Поэтому максималь ное значение () достигается в точке о.

2(2 ) Нам остается заметить, что о окажется в нужном нам интервале (11), если (0;

(1 17 ) / 2), что лучше, чем в работе [3].

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Итак, мы обосновали следующее утверждение. Пусть на рынке с (0;

(1 17 ) / 2) в момент (t1) цена товара pt1 оказалась выше рав новесной. Тогда закупка спекулянтом в момент t товара объемом из (6) с целями продажи этой партии в момент (t+1) по цене pt+1 и макси мизации своей прибыли при этой операции обеспечивает приближение по сравнению ценой с pt1 цены pt+1 к равновесной цене pо.

В заключение отметим следующее. В проведенных рассуждениях мы нигде не пользовались условием 1, при котором положение на рынке неустойчиво. Поэтому при 1 естественно ожидать, что появ ление спекулянта на рынке тоже окажется полезным в том смысле, что приближение к равновесным ценам окажется более быстрым. Это дей ствительно так, что следует из приведенных ниже формул.

При наличии спекулянта мы имеем pt 1 p o p o pt pt 1 p o ( pt 1 p o ) ( 2 (1 )2 )( pt 1 p o ), o p pt pt 1 p o а в случае отсутствия спекулянта на рынке pt 1 po 2 ( pt 1 po ), т.е. разность pt 1 po в первом случае меньше, чем во втором.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Россий ского фонда фундаментальных исследований (№ 08-01-00-163).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Калемаев В.А. Математическая экономика: учебник для вузов.

– М.: ЮНИТИ, 1998. – 240 с.

2. Самуэльсон П. Экономика. Т.2. М.: НПО АЛГОН ВНИИСИ, 1993.

3. Стронгин Р.Г. Исследование операций. Модели экономическо го поведения: учеб. – М.: Интернет-Университет Информационных Технологий;

БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 207 с.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, УДК 519.237. Т.Ф. ПЕПЕЛЯЕВА, С.В. ИВАНКИНА Пермский государственный технический университет ФИНАНСОВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА Исследована система финансового планирования коммерческого банка.

С помощью многофакторной корреляционно-регрессионной модели исследо вано планирование прибыли в зависимости от структуры активов и пассивов.

Модель планирования прибыли дополнена ограничениями, обеспечивающи ми устойчивость и эффективность работы банка. Предложен механизм про гнозирования основных статей баланса и прогнозного отчета о прибылях и убытках.

Для коммерческого банка, как и любого другого предприятия, вопрос финансового планирования не менее актуален. Кроме того, особенность его работы как учреждения, основывающего свою дея тельность на использовании средств клиентов, диктует необходимость постановки эффективной системы финансового планирования.

Различают три группы методов планирования: методы эксперт ных оценок, детерминированные и стохастические методы (рис. 1)[1].

Рис. 1. Классификация методов прогнозирования финансового состояния предприятия и финансового планирования Планирование осуществляется по четырем основным направле ниям: рынок вкладов, рынок средств юридических лиц, рынок креди тования населения и рынок кредитования юридических лиц [2,3]. Ана Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, лиз существующей системы планирования в Западно-Уральском банке Сбербанка РФ выявил отсутствие разработанного механизма примене ния математического аппарата для планирования и прогнозирования, который позволяет использовать значительно большее количество информации, производить многовариантные решения, получать более достоверные и устойчивые результаты. Кроме того, в Западно Уральском банке Сбербанка РФ отсутствует практика финансового планирования на срок более одного года, что делает невозможной оценку развития коммерческого банка в долгосрочной перспективе и не соответствует требованиям современного стратегического управ ления коммерческим банком.

Как известно, прибыль банка находится в зависимости от струк туры его активов и пассивов. Задача определения меры влияния факто ров на конечный результат прибыль коммерческого банка может быть решена с помощью многофакторных корреляционно регрессионных моделей. Известно, что корреляционно-регрессионный анализ дает возможность количественно выразить влияние отобранных факторов на результативный показатель. Кроме того, зная уравнение множественной регрессии и задаваясь определенными значениями факторов, можно предсказать значение функции и, следовательно, управлять анализируемым показателем. Более того, эти модели позво ляют оценить работу банков с точки зрения их финансовых возможно стей [4,5].

В работе проведен многофакторный анализ прибыльности банка.

Исходными данными при построении трендов являлась отчетность За падно-Уральского банка Сбербанка РФ, бухгалтерский баланс и отчет о прибылях и убытках (ОПиУ) за последние 5 лет.

Для отбора наиболее значимых факторных признаков была по строена матрица парных коэффициентов корреляции (табл.1). Ее ана лиз показал, что между факторными признаками существует сильная зависимость.

Таблица Матрица парных коэффициентов корреляции Средства Средства Работающие Неработающие Прибыль юридических физических активы активы лиц лиц 1 2 3 4 5 Прибыль 1,000 0,827 0,802 0,783 0, Работающие 0,827 1,000 0,958 0,987 0, активы Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 1 2 3 4 5 Неработающие 0,802 0,958 1,000 0,942 0, активы Средства юри 0,783 0.987 0,942 1,000 0, дических лиц Средства фи 0,880 0,970 0,951 0,935 1, зических лиц В результате обработки данных корреляционно регрессионного анализа получены статистические характеристики, представленные в табл. 2.

Таблица Статистические характеристики Среднее зна- Парная корреляция Коэффициент регрес Переменные чение ХиY сии Работающие акти 117 978 016 0,827 -0, вы Неработающие 12 843 081 0,802 -0, активы Средства юриди 30 569 991 0,783 -0, ческих лиц Средства физиче 64 093 204 0,880 0, ских лиц Прибыль 1 225 Исходя из проведенного анализа получено уравнение многофак торной связи прибыли в виде Y1,2,3,4 267022,8115 0,000730956 x1 0,021079156 x 0,004437205 x3 0,03096647 x4, где Y1, 2,3, 4 теоретическое значение прибыли, x1 работающие акти вы, x 2 неработающие активы, x3 средства юридических лиц, x средства физических лиц.

Коэффициент детерминации R 2 = 0,8 свидетельствует о том, что прибыль на 80 % зависит от указанных факторов и только на 20 % от других факторов, не включенных в модель. Величина средней Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, ошибки аппроксимации составила 12 %. Графическое отображение ап проксимации представлено на рис. 2.

Рис. 2. Аппроксимация с помощью линейной регрессионной модели Проверка адекватности всей модели осуществлялась с использо ванием F-критерия Фишера. Фактическое значение критерия больше табличного Fфакт Fтабл (14,27 3,06), что свидетельствует о статисти ческой значимости уравнения регрессии в целом.

Определение значимости коэффициентов регрессии осуществля лось с помощью t-критерия Стьюдента:

tфакт Fфакт 14, 2679 3,777.

Актуальной проблемой начала 2008 г. стала нестабильность финансовых рынков, что заставляет обратить внимание на значение и инструментарий риск-менеджмента кредитных организаций [3,6].

Функции риск-менеджмента (планирование и риск-контроллинг) и особенности применения оптимального управления ресурсами могут быть прокомментированы на основе схемы, представленной на рис. 3.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Рис. 3. Взаимодействие систем планирования и риск-контроллинга Главной задачей риск-контроллинга является формирование сис темы ограничений в отношении основных банковских рисков. Основ ная цель построение структуры активов и пассивов, способствующей увеличению прибыли с учетом возможностей банка, а также ограниче ний, обеспечивающих устойчивость и определенные показатели эф фективности.

Исходя из перечня факторов, учитываемых в регрессионной мо дели планирования прибыли, и имеющихся исходных данных предла гается заложить в модель следующие ограничения:

коэффициент работоспособности активов на уровне 0,91;

коэффициент клиентской базы на уровне от 0,5 до 0,7;

коэффициент эффективного использования привлеченных ресурсов более 0,9;

рентабельность работающих активов более 4 %.

Таким образом, модель принимает вид:

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Y1,2,3,4 267022,8115 0,000730956 x1 0,021079156 x 0,004437205 x3 0,03096647 x4 max 43244188,94 e0.08(t-1) x1 43244188,94 e0.08t 897904,01 (t 1) + 3415089,03 x2 897904,01 t + 3415089, 2741127,51 (t 1) + 1788152,13 x3 2741127,51 t +1788152, 3676774,55 (t 1) + 25487071,55 x4 3676774,55 t + 25487071, x 0,8 0, x1 x x3 x 0,5 0, x1 x x 0, x3 x Y1,2,3, 0,04.

x В работе спланирована величина прибыли Западно-Уральского банка Сбербанка России на 20092013 гг. с помощью полученного уравнения регрессии Y1,2,3,4 267022,8115 0,000730956 x1 0,021079156 x 0,004437205 x3 0,03096647 x при значениях переменных x1, x 2, x3, x 4, ожидаемых в прогнозный пе риод. Таким образом, планирование начинается с прогноза структуры активов и пассивов баланса.

Графическое отображение полученных в работе линий тренда, а также функции и коэффициент детерминации представлены на рис.

48.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Работающие активы Работающие активы y 10172005, 5 x 11171958, 0,08 x y 43244188, 94 e 0, R 0, R Время (квартал) Время (квартал) Рис. 4. Регрессионная модель зависимости размера работающих акти вов от времени Неработающие активы y 897904,01x 3415089, R 0, Время (квартал) Рис.5. Регрессионная модель, описывающая изменение неработающих активов Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Счета до востребования y 2741127,51x 1788152, 0, R Время (квартал) Рис. 6. Регрессионная модель зависимости размера средств юридических лиц от времени Срочные счета y 3676774,55 x 25487071, R 0, Время (квартал) Рис.7. Регрессионная модель зависимости размера средств физических лиц от времени Доход 0,07 x y 1989640,63 x е R 0, Время (квартал) Рис. 8. Фактические и оценочные значения дохода Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Таким образом, был определен механизм прогнозирования всех статей баланса и отчета о прибылях и убытках. Результатом работы является составление прогнозного баланса и прогнозного отчета о при былях и убытках Западно-Уральского банка Сбербанка России на 20092013 гг.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Методы прогнозирования финансового состояния органи зации. URL: www.in4business.ru 2. Смирнов А.В. Анализ финансовой отчетности коммерческих банков. URL: www.cfin.ru 3. Волошин И.В. Оценка риска и рейтинга ликвидности банка. URL: www.cfin.ru 4. Савчук В.П. Финансовое планирование и разработка бюджета предприятия. URL: www.cfin.ru 5. Золотова Е.А. Планирование финансовых показателей дея тельности филиала коммерческого банка на основе линейных регрес сионных моделей // Финансы и кредит. 2007. №7. С. 711.

6. Никонова И.А., Шамгунов Р.Н. Стратегия и стоимость ком мерческого банка. М.: Альпина Бизнес Букс, 2004. 304 с.

УДК 681.7. Д.Б. ШУМКОВА, О.В. ЧЕРДЖИЕВА Пермский государственный технический университет ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОЦЕССА ВЫТЯЖ КИ ОПТИЧЕСКОГО ВОЛОКНА Представлена математическая модель устойчивости на основе процесса вытяжки при простом одноосном растяжении ньютоновской жидкости с пе ременной вязкостью, а также проводится ее линеаризация.

При производстве кварцевого оптического волокна главным об разом встает вопрос качества световода. А одним из важных показате лей качества волокна является постоянство его свойств и геометриче ских размеров по длине.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Как известно, в любом реальном процессе неизбежно существу ют внешние воздействия, влияющие на итоговый продукт. Так, коле бания диаметра световода связаны с флуктуацией вязкости расплава в зоне деформирования, а также с колебаниями скорости подачи заго товки и скорости вытяжки, колебаниями температуры печи, неодно родности физико-механических свойств заготовки. Указанные колеба ния в зависимости от конкретной ситуации могут со временем либо затухать, либо наоборот усиливаться. Поэтому встает первоочередная задача исследования чувствительных свойств световодов, в том числе его диаметра к малым колебаниям различных технологических и фи зических параметров.

С проблемой исследования реакции процесса вытяжки оптиче ского волокна на внешние возмущающие воздействия тесно связана проблема его устойчивости. Она определяет область параметров, при которых возможно непрерывное формирование волокна.

Таким образом, имеется система дифференциальных уравнений, описывающая процесс вытяжки при простом одноосном растяжении ньютоновской жидкости с переменной вязкостью:

R R V V V, (1) t x 2 x V V 1 V R 2 1 R V 3R 2 R2 (2), t x Re x x Fr We x T T 1 2 T 2 R 1 R St (T 1) V R R2 t x Pe x x pp ( Rp R) kR( x ) d. (3) 1 T T 4R R p R p R ( x ) 2 ( R p R ) Далее, при исследовании устойчивости определяющие параметры разделяются на основные (стационарные) и возмущающие, которые наложены на основные.

~ V (t, x) V ( x) 1 V (t, x) ~ T (t, x) T ( x) 1 T (t, x). (4) ~ R(t, x) R ( x) 1 R (t, x) Здесь черта над переменными означает стационарные значения, а волнистая линия – возмущенные состояния.

Таким образом, при подстановке (4) в (1)(3) получаем новую Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, систему:

R R V ( x) V V ( x) 0;

(5) t x 2 x V 3 2V R T 2 1 ( x)V 1 ( x) 2 ( x) R 1 ( x) 2 ( x)T ;

(6) t Re x x x T 2T T R 2 3 ( x) 4 ( x)T 3 ( x) 4 ( x) R 3 ( x)V. (7) t Pe x x x И соответствующие коэффициенты:

6V 1 ( x), V Re RVWe R d dV 2 2 ( x) 2 3R 2 2, R V Re dx dx R VWe VFr 4k ( Rp R ) 1 ( pTp4 T 4 )( x ) 2T 2 R St 3 ( x) (T 1) d, 0 ( x ) ( R p R ) TPe T T dT 2 1 3 / 2 R St 2V T d 4 ( x) 2 R 2 (T 1) R TPe dx dx RT T ( R R )( R 3R ) kR( x )(2 R 3R ) 4R 4 T 4 ) p p p p ( pT p RT 0 ( x ) 2 ( R R ) p 4 R ( Rp R )2 ( Rp R kR( x )) d, ( x ) 2 ( R p R ) 3 2 RV V, 1 ( x) Re RV d dV 2V, 2 ( x) 3R R V Re dx dx VT 3 ( x), T 3a TV 1 ( x) 2, Re V Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, d dV 2 ( x ) 3 a2TR dx, Re R V dx 2 RT 3 ( x) V, RT Pe Pe d 1 dT 4 ( x ) R 2 R T Pe dx dx R p R kR( x ) 2 1 R2 St V T 16R p ( R p R )T d.

0 ( x ) ( R p R ) R T R Как можно заметить, все эти коэффициенты зависят только от стационарных значений.

Имеются также граничные условия:

V Vн, T Tн, R Rн, при x 0.

T V 1 0, при x 1.

x Решение системы (5)(7) ищется с использованием метода разде ления переменных. То есть каждая переменная представляется в виде ( x, ) ( x) e i. (8) При этом ( x, ) R( x, ),V ( x, ), T ( x, ), ( x) r ( x), v( x), t ( x).

Здесь 2 ii, где i коэффициент нарастания. Именно эта величина позволяет судить о том, затухает или нарастает колебание.

Если все i 0, тогда можно говорить о том, что колебания затухают, а значит заданное течение (стационарное решение) при заданном воз мущении устойчиво, в противном случае при i 0 – неустойчиво [1].

При подстановке (8) в (5)(7) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения (x) и следующего вида:

Vr 0,5Vv ir 0;

(9) v 1 ( x)v [2 ( x) i]v 1 ( x)r (10) Re 2 ( x)r 1 ( x)t 2 ( x)t 0, t 3 ( x)t [4 ( x) i]t 3 ( x)r 4 ( x)r 3 ( x)v 0 (11) Pe Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, r (0) v(0) и соответствующие системе граничные условия t (0) 0, v(1) t (1) 0. Применяя конечно-разностный метод для (9)(11) получаем новую систему:

V V V V i k rk k rk 1 k vk k vk 1 rk 0, h h 2h 2h i [ 1k rk 1 1k 2 k rk vk 1 N1k vk N 2 k vk 1 N3k h h 1k tk 1 1k 2 k tk ] vk h h 3k i [ rk 1 3k 4 k rk 3k vk M 1k tk 1 M 2 k tk h h tk 1 ] tk 0.

Pe h По этой системе можно составить матрицу A коэффициентов при соответствующих переменных rr, vk, tk. Причем, данная матрица будет иметь ленточную структуру.

Таким образом, задаче (9)(11) можно сопоставить систему ли нейных однородных алгебраических уравнений вида:

(iA E) X 0, где Е – единичная матрица, а X=..., rr, vk, tk,....

Нетривиальное решение существует только тогда, когда det(iA E) 0.

В итоге, задача решения обыкновенных дифференциальных уравнений свелась к задаче поиска собственных значений матрицы.

Нахождение собственных значений ленточной матрицы A явля ется трудоемким процессом. Это обусловлено большой размерностью матрицы порядка превышающего 200 200. При таких условиях уме стно применение QR-алгоритма. Такой алгоритм разложения на орто гональную и треугольную матрицы численно устойчив, и при его вы полнении не может возникнуть никаких проблем, связанных с ошиб ками округления [2]. Однако, одна из проблем такого алгоритма связа на с тем, что разложение требует O ( n 3 ) операций, поэтому каждый шаг процесса выполняется слишком медленно. Но, приведение матри цы к форме Хессенберга может уменьшить число операций до O(n).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. В.Н. Васильев, Г.Н. Дульнев., В.Д. Наумчик. Нестационарные процессы при формировании оптического волокна. Устойчивость про цесса вытяжки// Энергоперенос в конвективных потоках. Минск, 1985. С. 6476.

2. Дж. Ортега, У. Пул. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений: пер. с англ.;

под ред. А.А. Абрамова. – М.: Наука, 1986. – 288 с.

УДК 517.929 + 519. В.А.СОКОЛОВ, А.Ю.ФОМИНА Пермский государственный технический университет ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ВАЛЬРАСА – ЭВАНСА – САМУЭЛЬСОНА С УЧЕТОМ ЗАВИ СИМОСТИ СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ ОТ СКОРОСТИ ИЗМЕ НЕНИЯ ЦЕНЫ В работе с помощью метода Д-разбиений построены области асимпто тической устойчивости линейной модели Вальраса – Эванса – Самуэльсона с учетом дискретного запаздывания скорости изменения цены товара.

Рассмотрим модифицированную модель конкурентного рынка одного товара, в которой продавцы реагируют на изменение цены то вара не мгновенно, а с некоторым дискретным запаздыванием:

Р(t ) ( D( P(t )) S ( P(t ))), (1) где коэффициент чувствительности, скорости реакции или под стройки цены;

Р(t ) цена единицы товара в момент времени t ;

дискретное запаздывание;

функция спроса D( P(t )) aP(t ) k1 P (t ) ;

функция предложения S ( P(t )) bp(t ) k 2 P (t ), Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, причем все параметры a, b,,, k1, k 2 положительны. Отметим, что модель без учета запаздывания скорости изменения цены товара рассматривалась, например, в работе [1].

Подставив функции спроса и предложения в уравнение (1), полу чим k a b ( ) Р(t ) P(t ) P(t ) P(t ).

1 k1 1 k1 1 k1 1 k Будем рассматривать это уравнение при t 0, зададим Р() P0 (), Р() P () при 0, обозначив k a b p q r ;

;

, 1 k1 1 k1 1 k получим линейное дифференциально-разностное уравнение нейтраль ного типа первого порядка ( ) Р (t ) p P(t ) q P(t ) r P (t ), (2) 1 k Р () P0 (), Р () P () при 0.

Для исследования устойчивости уравнения (2) рассмотрим харак теристический квазиполином [2] однородного уравнения, соответст вующего уравнению (2) ( z) z p qe z rze z и воспользуемся методом Д-разбиений [3].

Квазиполином ( z) имеет корень z 0 при p q 0. Предпо ложим далее, что этот квазиполином имеет мнимый корень z iy при y (0;

). Тогда iy p qe iy riye iy 0.

Откуда iy p q(cos y i sin y) riy(cos y i sin y) 0.

Отделяя действительную и мнимую части, получаем систему:

p q cos y ry sin y 0, y q sin y ry cos y 0.

В качестве параметров будем рассматривать r и y. Тогда имеем систему:

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, p q cos y ry sin y 0, q sin y ry cos y y, r r.

1 cos y y sin y Определитель системы 0 sin y y cos y sin y.

0 0 Поэтому 0 cos y y sin y p y sin y y cos y r 0 y y cos y ( yr cos2 y yr sin 2 y y cos y ), sin y sin y sin y y sin y ry cos y 1 y q 0 y y cos y.

sin y sin y 0r Окончательно получаем следующие параметрические уравнения поверхности:

y y cos y p sin y sin y, ry cos y y q, (3) sin y sin y r r.

где 0 y /, в силу того, что в точках y n /, n 1, опреде литель обращается в нуль.

Таким образом, параметрические поверхности (3) и плоскость p q 0 образуют границы Д-разбиений при различных значениях 0 1.

На рис. 1, 2, 3 изображены Д-разбиения для квазиполинома (z ) 1) = 0,1;

0,01 y 30;

1 r Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Рис. 2) = 0,1;

0,01 y 5;

1 r Рис. 3) = 0,1;

0,01 y 2;

1 r Рис. Поскольку при q 0, r 0 и p 0 квазиполином (z ) не имеет корней с положительной действительной частью, то согласно методу Д-разбиений [3] в заштрихованных на рисунках 1, 2, 3 областях ука занный квазиполином также не будет иметь корней с положительной действительной частью, а потому [2] эти области будут областями Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, асимптотической устойчивости уравнения (2) при различных значени ях.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Аллен Р. Математическая экономия. – М.: ИЛ, 1963. – 668 с.

2. Белман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения.

– М.: Мир, 1967. – 548 с.

3. Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые про цессы. – М.: Наука, 1978. – 336 с.

УДК 330. Е.В.БРЮХОВА, Т.А.ОСЕЧКИНА Пермский государственный технический университет ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ГОСУДАРСТВЕННОГО ДОЛГА:

МОДЕЛИ И ОЦЕНКИ Государственный долг возникает в определенные периоды функ ционирования государства, когда его расходы начинают превышать доходы. Бюджетный дефицит становится хроническим явлением и его покрытие осуществляется путем государственных заимствований.

Одним из важных инструментов, используемых государством для эффективного развития своей экономики, является разумная долговая политика [1]. Внешние и внутренние заимствования государства могут, с одной стороны, как инициировать рост производства, развивать но вые технологии, сглаживать социальные проблемы в период кризиса в стране, так и, с другой стороны, привести государство поэтапно к так называемой «долговой петле», со всеми вытекающими из этого по следствиями.

Одним из важнейших элементов для оздоровления экономики и для ее эффективного развития является создание оптимальной системы управления государственным долгом.

Государственный долг это элемент экономической системы, следовательно, и цель его существования как системы является част ным случаем более общей цели цели существования экономической системы.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Проблема государственного долга осложняется тем, что государ ство осуществляет выплаты по старым долгам и получает новые кре диты и займы. В большинстве случаев государство вынуждено прибе гать к дополнительным кредитам и займам только для того, чтобы вы полнить свои обязательства по старым долгам. Естественным образом встает проблема управления государственным долгом, которая должна решать следующие задачи.

1. Минимизация стоимости долга для государства.

2. Эффективное использование для экономики мобилизованных финансовых ресурсов.

3. Обеспечение своевременного возврата займов, в том числе урегулирование внешней задолженности в случае долгового кризиса.

Система двух линейных неоднородных разностных уравнений с переменными коэффициентами составляет основу модели динамики внутренней и внешней компонент государственного долга [2].

Разностное уравнение первого порядка для Yt и Yt 0 в совокупно сти:

1 rt (1 rt )(1 t ) Yt Yt 1 t Yt 1 t ( t t ts ), (1) (1 xt )(1 t ) (1 xt )(1 t ) (1 rt0 )(1 t )(1 t t ) Yt 0 Yt 1 (1 t )(t t ts ). (2) (1 xt )(1 t ) Параметры, входящие в сформулированную общую модель (1)–(2), целесообразно разбить на следующие три группы.

1. Группа «жестких» параметров, определяемых состоянием экономики государства. К ним можно отнести:

xt, t, t. (3) 2. Группа «управляемых» параметров, которые можно изме нять в определенных пределах, допускаемых функционированием основных институтов государства:

rt, t, t, t. (4) 3. Группа договорно-политических параметров:

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, rt0, t, t, ts. (5) Приведенная модель динамики внешней и внутренней задол женности позволяет определять диапазоны эффективных значений ряда управляемых параметров, таких как процентные ставки, курс валюты, способы реструктуризации внешнего долга, играющих важную роль в экономических и политических сценариях. Это фор мирует соответствующие требования к денежно-кредитной полити ке государства и позволяет анализировать набор его долговых стра тегий и целесообразность того или иного метода регулирования за долженности. Стоит привести некоторые результаты моделирования динамики государственного долга России. Рассмотрим здесь две группы сценариев: нейтральную (инерционную) и оптимистиче скую. Во всех вариантах расчетов начальные значения внутренней и внешней задолженностей полагаются равными соответственно 5 и 25 %.

Для первой группы предполагается, что до 2015 г. экономика движется в соответствии с «инерцией», набранной в ходе предыду щего развития. Налогово-бюджетная политика остается практически неизменной: отсутствуют мероприятия государства по рационализа ции государственных расходов и повышению собираемости нало гов, снижению и изменению структуры государственных расходов.

В частности, это означает, что в стране сохранится сложившаяся не равномерная структура распределения доходов. Реальный сектор экономики по-прежнему характеризуется доминированием энерго сырьевого и нескольких других экспортно-ориентированных секто ров (металлургия, химическая промышленность).

В случае среднеинерционного сценария серьезных бюджетных проблем нет, однако бюджет сводится с незначительным дефицитом в 0,2 %, полностью погашаемого за счет эмиссии ЦБ. Этот сценарий корреспондируется с прогнозом ИМЭМО [3], в котором говорится, что в ближайшее время Россия может столкнуться с ситуацией, ко гда внешние факторы роста ослабеют, а внутренние еще не окреп нут. Развитие страны пойдет по среднеинерционному сценарию при нулевом темпе роста курса иностранной валюты, отсутствии кон вертации и списания части внешнего долга, 15 %-ном коэффициенте расщепления обслуживания госдолга и ставке процента по внешне му долгу в 7 %.

В случае слабоинерционного сценария предполагается, что в от дельные годы предстоящего десятилетия бюджет сводится с незначи Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, тельным профицитом (отсутствие дефицита чередуется с профицитом в 0,3 % от ВВП).

Вторая группа сценариев исходит из возможности существования благоприятных внешних и внутренних условий развития российской экономики. Предполагается значительный рост конкурентоспособно сти.

Для этой группы сценариев рассмотрим также два случая: слабо оптимистический и среднеоптимистический сценарии.

Слабооптимистический сценарий соответствует экономическому росту с достижением цели удвоения ВВП. Ставка процента по внеш нему долгу принимается, как и ранее, равной 7 %;

темп роста курса иностранной валюты принимается нулевым;

профицит бюджета посте пенно возрастает от 0 до 0,5 %;

доля полного бюджетного дефицита, погашаемого за счет эмиссии ЦБ, принимается равной 1,5 %;

ежегод ная конверсия внешней задолженности в национальную валюту со ставляет 5 % от величины внешнего долга. Указанное управление внешней задолженностью является следствием целенаправленной по литики с целью увеличения доли внутреннего долга. Среднеоптими стический сценарий реализует вариант бюджета с постепенно расту щим профицитом от 0,5 до 0,7 %, что позволяет создавать и увеличи вать стабилизационный фонд. Предполагается отрицательный темп роста иностранной валюты в 3 % (что способствует сокращению внешнего долга при пересчете в национальную валюту), постепенное снижение ставки процента по внешнему долгу от 7 до 6 %, отсутствие конверсии и списания.

Таким образом, если развитие экономики России будет при держиваться прогнозов правительства (инфляция на уровне %, и темп роста на уровне 7 %), то динамика государственного дол га будет соответствовать 4-му сценарию прогнозных расчетов, и внешний долг будет полностью погашен уже к 2012 г., а внутренний долг к 2015 г. составит 1,7 %.

Если же инфляция превысит 810 %-ный барьер и темп роста выпуска составит менее 6 %, то динамика государственного долга России будет близка ко 2-му прогнозному сценарию развития, и внешний долг к 2015 г. останется на уровне 3 %, внутренний долг останется практически неизменным.

Более близким к реальности является 3-й сценарий развития экономики (с инфляцией в 8 %, темпом роста 67 %), где внешний долг полностью погашается до 2015 г. при условии 5 %-ной конвер тации внешнего долга в национальную валюту.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Таким образом, приведенная модель динамики внешней и внутренней задолженности позволяет определять диапазоны эффек тивных значений ряда управляемых параметров, таких как процент ные ставки, курс валюты, способы реструктуризации внешнего дол га, играющей важную роль в экономических и политических сцена риях.

Проведенный анализ показывает, что уменьшение совокупного размера внешней задолженности является задачей стратегического характера. Без ее решения практически невозможно обеспечить не обходимые условия для долгосрочного хозяйственного подъема и поддержания устойчивости всей социально-экономической системы страны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Астапов К. Управление внешним и внутренним государст венным долгом в России // Мировая экономика и междунар. отноше ния. 2003. № 2. С. 2635.

2. Балацкий Е., Свистунов В. Прогнозирование внешнего долга:

модели и оценки // Мировая экономика и междунар. отношения. - 2001.

№ 2. С. 4046;

№ 3. С.6168.

3. Воронин Ю., Кабашкин В. Управление государственным долгом // Экономист. 2006. № 1. С. 5867.

УДК 330. И.В. МОРДОВИНА, Т.А. ОСЕЧКИНА Пермский государственный технический университет ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ КОРЗИНЫ ВАЛЮТ В условиях современного нестабильного экономического рынка одной из самых серьезных проблем является защита своих денежных средств от обесценивания. За прошлый год денежные средства потеря Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, ли 11 % своей стоимости, прогнозные данные на этот год 1314 %, то есть только за два года без соответствующего вложения каждый чело век, проживающий в России, станет беднее на 25 %. Возникает вопрос:

можно ли избежать этого и как?

Одним из способов уберечь денежные средства можно считать приобретения валют иностранных государств в неком соотношении – приобретение «оптимальной корзины» валют. Подобная корзина почти не изменит своей стоимости в течение нескольких лет, за счет коррек тировки курсов валют, входящих в нее. Данная корзина может быть построена на основе матриц кросс-курсов валют, входящих в корзину.

Введем некоторую функцию Val (q[u]) Val (q;

[u]) от количества товара q (измеренного в единицах [u]), такой, что для любых двух ко личеств qi [ui ], q j [u j ], обмениваемых товаров qi, qj отношение обмена, qi [ui ] q j [u j ] имеет место тогда и только тогда, когда Val (qi [ui ]) Val (q j [u j ]). (1) Введенную функцию Val(q[u]) естественно интерпретировать как индекс (показатель, индикатор) меновой ценности («value in ex change») q[u] единиц товара из множества G {g1,..., g n } [1]. Для ва лют функция Val (q[u]) может быть интерпретирована как индекс об менного курса соответствующей валюты.


Относительно функции Val (q[u]) сделаем следующие предполо жения:

непрерывность и строгое монотонное возрастание с ростом объема товара q;

аддитивность, т.е. для любых двух количеств товара q1, q 2 выполняется Val (q [u] q [u]) Val (q [u]) Val (q [u ]).

1 2 1 (2) Хорошо известно, что решением функционального уравнения (2) (в предположении о непрерывности и строгом монотонном возраста нии) является функция Val (q[u]) q, (3) Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, определенная с точностью до положительного множителя 0. Сле дует отметить, что множитель в этом случае естественно интерпре тировать как меновую стоимость единицы товара, поскольку Val (1;

[u]) Val ([u]). (4) Из выражений (3), (4) следует явная формула для определения меновой ценности q единиц товара (измеренных в единицах измерения [u]):

Val (q[u]) q Val ([u]). (5) Формула (5) позволяет записать уравнение Аристотеля (1) через элементы матрицы C (c(i, j)), i, j l,..., n, задающей пропорции обмена товаров:

Val ([ui ]) q j. (6) Val ([u j ]) qi Таким образом, в рамках простой модели обмена наблюдаемые пропорции Val(q[u]) обмена двух товаров могут быть представлены отношением ненаблюдаемых меновых ценностей Val (qi [ui ]),Val (q j [u j ]) единиц обмениваемых товаров. Указанная тео ретическая возможность определения n2 эмпирических элементов мат рицы обмена С посредством n элементов вектора меновых ценностей Val (qi [ui ]),...,Val (qn [un ]) поднимает вопрос об определении условий, необходимых для существования вектора Val (qi [ui ]),...,Val (qn [un ]), удовлетворяющего соотношению (6).

Нетрудно доказать, что для существования показателей меновых ценностей единиц [u1 ],...,[un ] рассматриваемых товаров g1,..., g n (т.е.

для существования показателей Val (qi [ui ]),...,Val (qn [un ]), позволяю щих представить элементы с(i,j) матрицы обмена С через отношения Val ([ui ]), необходимым и достаточным является условие транзитив Val ([u j ]) ности матрицы обмена С: с(i, j) c( j, k ) c(i, k ), i, j, k{1,..., n}.

Свойство пропорциональности столбцов Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, c(i, r ) c(i, s), i, j, r, s 1,..., n (7) c( j, r ) c( j, s ) указывает на то, что ранг матрицы С равен единице и, следовательно, максимальное собственное число матрицы равно n, а отвечающий ему собственный вектор пропорционален столбцам матрицы.

Воспользуемся соотношениями (6), (7) для получения искомой оценки Val ([ui ]), i 1,..., n, меновой ценности единиц [u1 ],...,[un ] обме ниваемых товаров. Действительно, в качестве таковых могут высту пать, например, элементы j-го столбца транзитивной матрицы обмена С:

Val ([ui ]) с(i, j ), i 1,..., n.

В этом случае товар gj становится своеобразным «эталонным то варом» (в единицах которого производится измерение всех остальных товаров множества G {g1,..., g n }, а единица [uj] этого товара — «эта лоном ценности» («numeraire», «unit of account», «standard of value») для измерения меновой ценности товаров простого рынка М = (G, С);

Val ([ui ]) с(i, j) 1.

Воспользовавшись тем, что меновая ценность измеряется по шкале отношений (т.е. с точностью до некоторого множителя 0), определим коэффициент как обратное геометрическое среднее GMean(Val (1 j ),..., Val n j n Val (r j ) меновых.

n r Введем показатель нормированной меновой ценности Val i j c(i, j ) NVal i j Val i j.

GMean Val 1 j,..., Val n j n r 1 c(r, j ) n Важным свойством введенного нормированного показателя ме новой ценности является его инвариантность относительно выбора единицы измерения меновой ценности.

Однако наиболее значимым свойством введенного нормирован ного показателя меновой ценности оказывается независимость (инва риантность) относительно выбора эталонного товара g j. Действитель но, воспользовавшись (7) и осуществив несколько несложных преобра зований, получим первую формулу для индекса, построенного по среднему геометрическому, вторую – для индекса, построенного по среднему арифметическому Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, c(i, j ) NVal i j с(r, j ) n r 1 c(i, j ) n c(r, j ) n r 1 n 1 c(i, l ) NVal i l, r 1 c(i, l ) r с(r, l ) n n n c(r, l ) n c(i, j ) NVal i j r n c(r, j ) n n c(r, j ) r 1 c(i, j ) n 1 c(i, j ) NVal i l.

r c(r, l ) n n c(r, l ) n n r c(i, l ) В целях упрощения анализа динамики валютных курсов вместо показателя c(i, j;

t ) NVal i;

t (8) r n c ( r, j;

t ) n удобно использовать нормированный показатель, приведенный к неко торому моменту времени t0 :

NVal (i;

t ) RNVal i;

t / t0. (9) NVal (i;

t0 ) Без потери общности можно полагать, что t0 1.

Заметим, что после такого приведения матрица обмена C (t0 ) со стоит из единиц, что позволяет судить об изменении рыночной конъ юнктуры за время t по отклонению матрицы обмена C (t ) от матрицы C (t0 ). Формулы (8), (9) позволяют говорить о приведенном (к моменту t 0 ) нормированном показателе RNVal i;

t / t0 меновой ценности (Re duced Normalized Value in exchange) товара g i в момент времени t.

Теперь обратимся к основной задаче нашего исследования про блеме создания корзины валют минимальной волатильности. Проблема построения таких корзин возникает в связи с тем, что числовые значе ния меновых коэффициентов весьма изменчивы во времени и при пе реходе от одного сегмента мирового рынка к другому.

Для разрешения проблемы построим некоторый индекс, являю щийся функцией приведенных нормированных показателей меновой Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, ценности фиксированного множества товаров и обладающего относи тельной стабильностью на фиксированном промежутке времени.

Такой индекс будет построен в форме взвешенного арифметиче ского среднего n n Ind ( w, t t0 ) wi RNval (i;

t t0 ) wi 1;

wi i 1 i приведенных нормированных показателей ценности отдельных това ров.

Воспользуемся формально введенным индексом Ind (w;

t ) n Ind ( w, t t0 ) wi RNval (i;

t t0 ) RNVal ( AG (q);

t t0 ) i для построения комплексной (составной) корзины, обладающей отно сительной стабильностью на фиксированном рынке товаров G {g1,..., g n } и промежутке времени [1;

T ] {1,2,..., T }. Используем вариацию 1T n var( Ind ( w)) Ind ( w;

t ) MInd ( w) wi w j cov(i;

j ) T t 1 i, j в качестве меры изменчивости (волатильности) временного ряда ин 1T декса Ind (w;

t). Здесь MInd ( w) Ind ( w;

t ) T t T cov(i, j ) RNVal (i;

t / t0 ) RNVal j;

t / t T t 1T T 2 RNVal (i;

t / t0 ) RNVal j;

t / t0.

T t 1 t Для построения агрегированной валюты минимальной волатиль ности (минимальной вариации) воспользуемся предложением, выдви * * нутым в работе [2], и подберем весовые коэффициенты w1,..., wn, ми нимизирующие квадратичную форму min var(w) var(w* ) var w1,..., wn * * w n w 1;

wi 0, i 1,..., n.

при линейных ограничениях i i Для решения задачи минимизации Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, var( w) min, n wi i n n n построим функцию Лагранжа F ( wi, ) wi w j cij wi 1.

i 1 i 1 j Приравнивая частные производные функции Лагранжа нулю, по лучаем систему 2 wi cij 0, i 1,..., n, n wi 1 0.

i 1 n Откуда wi cij, или в матричной форме CW.

i 1 1 n или w j c 1.

Отсюда W С jk 2 2 k n n Учитывая условие нормировки, получим c 1 1. jk 2 j 1 k n c jk Отсюда ;

wj k.

n n n n c c 1 jk jk j 1 k 1 j 1 k Найденные оптимальные весовые коэффициенты w1,..., wn можно * * интерпретировать также как процентное соотношение валют в иско мой корзине.

Вложение своих сбережений подобным образом, т.е. приобрете ние комплексного пакета валют, позволит «заморозить» стоимость сбережений на момент приобретения пакета. Таким образом, даже че рез несколько лет при обмене пакета на одну валюту можно будет по лучить сумму, эквивалентную сумме его покупки, с учетом инфляции, Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, т.е. сбережения, вложенные подобным образом, сохранят свою поку пательскую способность, которая была у них на момент приобретения корзины.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Гилберт М. В поисках единой валютной системы. М., 1984.

2. Простая модель обмена: агрегированные валюты минимальной волатильности Н.В. Хованов, Д.Н. Колесов, М.В. Соколов, Дж.В. Ко лари // Применение математики в экономике. Вып. 15: Сб. статей / под ред. А.В. Воронцовского. СПб., 2004. С. 43–61.

УДК 681.7.068. А.Р. ДАВЫДОВ, М.Ю. ЧЕРЕНКОВА Пермский государственный технический университет СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА ТЕХНОЛО ГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ВЫТЯЖКИ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКОН Рассматриваются вопросы многомерного статистического анализа и контроля качества технологического процесса вытяжки кварцевых оптиче ских волокон.

Одной из главных проблем промышленного производства явля ется обеспечение стабильно высокого качества конечного продукта в типовом технологическом процессе. В данной работе анализируется один из этапов технологического процесса производства кварцевых оптических волокон вытяжка волокна из заготовки. Очевидно, что оценка качества продукции должна быть получена в процессе самого производства, а не только по завершении его. Таким образом будет обеспечена управляемость процессом и, в конечном итоге, снижение потерь из-за брака.

Управление технологическим процессом вытяжки кварцевых оптических волокон понимается, в первую очередь, как система пла нирования, контроля и анализа наиболее критических параметров са мого процесса с целью обеспечения нужного качества волокна. В ра Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, боте предлагается подход, основанный на статистическом анализе из менений значений контролируемых параметров, с учетом их взаимо связей, закономерностей и зависимостей. Определение многофактор ной взаимосвязи между технологическими параметрами, характери стиками заготовок и показателями качества волокна позволит разрабо тать математическую модель контроля и управления качеством техно логического процесса вытяжки оптических волокон.


Одной из первых задач системы управления является обеспече ние непрерывного или почти непрерывного мониторинга значений контролируемых показателей. Это необходимо не только для опреде ления состояния процесса, но и для запуска системы обратной связи в схеме производственного процесса. Само по себе внедрение инстру ментов непрерывного контроля параметров процесса не позволяет уст ранить большинство проблем, связанных с обеспечением качества продукции. Датчики выдают огромные объемы данных, которые со держат нужную информацию в скрытом, неявном виде. Главная же проблема заключается в том, как по результатам сотен, тысяч измере ний понять, что в данный момент происходит с процессом и какие ре шения необходимо принять за короткий промежуток времени.

Для решения этой проблемы предлагается использовать методы многомерного статистического анализа и контроля технологического процесса, которые являются развитием успешно применяемых методов статистического контроля процессов. Идеи статистического контроля достаточно просты. Определяются наиболее важные параметры произ водственного процесса, рассчитываются их допустимые значения. Те кущие значения этих параметров отслеживаются и сопоставляются с допустимыми значениями. На основании результатов сравнения дела ются выводы о необходимости вмешательства в процесс. Для анализа используются контрольные карты качества Шухарта, карты накоплен ных сумм, карты скользящих средних и т.д. [1]. Однако, такой подход к мониторингу и контролю качества процесса вытяжки оптических во локон недостаточно эффективен. Главное, что он предполагает кон троль лишь отдельных параметров, вне их взаимосвязи. Это не позво ляет учесть реальную многофакторность процесса и может привести к принятию неверных решений по регулированию или сохранению зна чений технологических параметров. Более того, в отсутствие адекват ной математической модели, учитывающей взаимосвязь технологиче ских параметров и показателей качества продукции, увеличение числа измерений приведет только к усугублению проблем.

Представляется, что данная модель может быть построена на ос нове методов многомерного статистического анализа и эконометрики в Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, виде системы одновременных уравнений, в которых одни и те же пе ременные могут играть роль и результирующих и объясняющих пока зателей, в том числе и с учетом лаговых зависимостей. Разработка мо дели предоставит возможности для организации контроля всех необ ходимых параметров и эффективного управления ими. Здесь предлага ется использовать два подхода. Первый основан на приведении данных мгновенных многомерных выборок к обобщенной статистике Хотел линга:

T Tt 2 n X t 0 S 1 X t 0, (1) где S выборочная оценка ковариационной матрицы, X t вектор средних значений параметров в мгновенных выборках, t момент времени, t 1 m, 0 вектор целевых средних, n объем выборки.

Основное допущение для применения этого критерия – нормаль ность распределения параметров – обеспечивается относительной ста бильностью технологического процесса. Контрольные карты значений статистики Хотеллинга являются многомерным обобщением кон трольных карт Шухарта. Расчет допустимых значений статистики Tкр осуществляется по методике, приведенной в работе [2]. Для оценки компонент ковариационной матрицы можно использовать специаль ную обучающую выборку, рассчитанную до начала контроля по отла женному технологическому процессу. Целевые значения параметров 0 также могут быть заданы заранее, либо рассчитаны по образцовому процессу. В этом случае статистика Хотеллинга имеет известное рас пределение «хи-квадрат» и ее критическое значение может быть рас считано по заданный уровень значимости, с учетом числа контроли руемых параметров p :

Tкр 1 ( p).

2 (2) Если же S оценивается по текущим выборкам, то граница крити ческой области определяется по формуле:

p(m 1)(n 1) Tкр F1 ( p, mn m p 1), (3) mn m p Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, где F1 (k1, k2 ) квантиль, F распределения Фишера с числами сте пеней свободы k1, k 2.

При нормально протекающем процессе для всех значений t Tt 2 Tкр.

(4) Если же неравенство (4) не выполняется, то следует выявить па раметры, оказывающие критическое влияние на процесс. Для этого можно использовать частный критерий Хотеллинга:

Tj2 n[cT ( X t0 )]2 / [cT Sc j ], (5) j j где c j вектор-столбец, состоящий из нулей во всех строках кроме j -й, где стоит 1, t 0 момент времени нарушения неравенства (4).

Если T j2 Tкр, то именно параметр j оказывает критическое влияние на ход процесса, и следует принять меры к его регулирова нию. Может также оказаться, что по всем параметрам текущее значе ние частного критерия Хотеллинга меньше критического значения, то гда необходимо оценивать совместное влияние групп параметров. Это, безусловно, является значительным усложнением задачи. Наконец, также необходимо отслеживать наличие неслучайных структур в по следовательности значений Tt 2.

Второй подход основан на преобразовании матрицы значений измеряемых показателей с помощью метода главных компонент [3].

Этот метод позволяет выделить скрытые латентные, но объективно существующие факторы – главные компоненты, которые комплексно описывают состояние технологического процесса:

p F i Z i. (6) i При этом измеряемые параметры стандартизованы Xi X Zi. (7) x Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Требуется найти такие значения коэффициентов i, которые при заданных ограничениях формируют экстремальные значения F p 1, (8) i i p p F 2 i j ( Z i, Z j ). (9) i 1 j Задача решается методом множителей Лагранжа:

p p p L i j ( Z i, Z j ) ( i2 1), (10) i 1 j 1 i L 0, i 1 p, i (11) L 0.

Главные компоненты имеют разную степень информативности, поэтому их число при определенных условиях может быть мало. Важ но и то, что эти синтезируемые показатели являются некоррелирован ными, а значит статистически независимыми. Исходя из состава пара метров, которые формируют главные компоненты, можно придать со держательный смысл каждому значению F. Таким образом, по каждой главной компоненте можно вести контрольные карты качества. Расчет допустимых значений компонент проводится с учетом нормальности их распределения. Проблема интерпретации изменений главных ком понент в случае выхода их значений за пределы допустимой области разрешается на основании их содержательного смысла с учетом рас считанных матриц парных и частных корреляций компонент и изме ряемых параметров.

В заключение приведем пример анализа зависимости параметров качества оптического волокна.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 6, 5, 4, х 3, 2, 1, 0, 0, 2,4 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,4 4,7 5,0 5,3 5,6 5, х Рис.1. Контролируемые параметры качества готового изделия Графическое представление зависимости (рис.1) указывает на слишком большое количество выбросов, что сигнализирует о наруше ниях в процессе производства изделия и необходимости мониторинга и управления параметрами непосредственно в технологическом про цессе.

Ниже представлены контрольные карты количественных пара метров технологического процесса.

Рис.2. Контрольные карты средних значений и размахов мгновенных выборок На карте средних (рис. 2) выбросов за контрольные границы нет, серий и трендов также нет. Можно отметить только, что среднее зна чение четырнадцатой выборки попало непосредственно на верхнюю Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, контрольную границу. Вместе с тем, анализ соответствующей карты размахов свидетельствует о наличии неслучайной причины вариации измеряемого параметра. Величина размаха четырнадцатой выборки значительно превосходит контрольное значение. Изделие пока удовле творяет стандарту, но последующий тренд на карте размахов сигнали зирует о том, что технологический процесс становится статистически неуправляемым. Следует провести оперативный анализ технологиче ского процесса и определить причины такого изменения контролируе мого параметра. В данном случае можно сказать, что было принято це ленаправленное управляющее воздействие для уменьшения размахов и недопущения выхода среднего значения за контрольный уровень.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. ГОСТ З 50779.4096 (ИСО 787093) Статистические мето ды. Контрольные карты. Общее руководство и введение.

2. Ryan T.P. Statistical methods for quality improvement. – N.Y.:

Wiley, 1989. – 420 p.

3. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и ос новы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. – 1022 с.

УДК 681.7.068.4+517.962. В.А. ОНЯНОВ, М.В. ШАДРИН Пермский государственный технический университет ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВЫТЯЖКЕ ПОЛЫХ КВАРЦЕВЫХ ВОЛОКОН Рассматривается квазиодномерная стационарная краевая задача о вытя гивании полой кварцевой трубки, проходящей внутри цилиндрического тер моэлемента. Математическая модель основана на асимптотическом прибли жении уравнений Навье-Стокса. Учитываются три вида теплообмена – теп лопроводность, конвекция и теплообмен излучением. Приведено описание алгоритма реализации построенной итерационной конечно-разностной зада чи.

В настоящее время имеется большое число научно-технических публикаций, в которых рассмотрены вопросы производства фотонно кристаллических волокон (PCF). В то же время, число работ, в которых детальное исследование процесса вытяжки было проведено с примене нием математических моделей, обладающих достаточно высокой сте Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, пенью адекватности реальному процессу, несоизмеримо мало. Отме тим, что фотонно-кристаллические волокна производятся, как правило, одним из двух способов:

1) по технологической схеме «складывай и вытягивай» (stack and draw), когда заготовка сердечника обкладывается несколькими слоями пустотелых трубок с круглым, шестигранным или, в общем случае, произвольным сечением;

2) путем просверливания отверстий в стек лянной заготовке. Полученные одним из отмеченных способов пре формы затем нагреваются и подвергаются вытягиванию до приемле мых размеров. На рис. 1 приведены примеры сечений микрострукту рированных волокон, полученных по первой схеме.

Рис. 1. Примеры сечений микроструктурированных волокон Ниже, учитывая результаты работ [1,2], рассматривается квази одномерная стационарная краевая задача о вытягивании полой квар цевой трубки, проходящей внутри цилиндрического термоэлемента.

Общая схема вытяжки представлена на рис. 2. Если отношение харак терного размера радиуса волокна h к длине рассматриваемого участка вытяжки L много меньше единицы, то из асимптотического анализа уравнений Навье-Стокса (уравнение несжимаемости, уравнения дви жения) получаем следующую систему [1]:

(h2 h12 )[ uuz g ] [3(h2 h12 )uz (h1 h2 )]z, 2 (1) p h h h1h2 (h1 h2 ) (h12 u ) z 01, (h2 h12 ) (2) p h h h1h2 (h1 h2 ) (h2 u ) z 2 01, (h2 h12 ) (3) Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, коэффициент поверхностного натяжения, p0 pн pa, где h1 h1 ( z ), h2 h2 ( z ) определяют, соответственно, внутреннюю и внеш нюю границы кварцевого расплава, (T ) коэффициент динами ческой вязкости кварца.

Рис. 2. Общая схема вытяжки полого кварцевого волокна Учитывая результаты работ [2,3], приходим к уравнению для температуры вида:

(h22 h12 )c p uTz (k (h22 h12 )Tz ) z 2h2 (1 (h2 z ) 2 ) 0,5 ( nc2 0 (T 4 T04 ) ( p Tp4 () T 4 ( z )) (a h2 h2 z ( z )) l (T T0 )) 4n 0 ah2 (a h2 ) d, (4) (( z ) 2 (a h2 ) 2 ) c l где k коэффициент теплопроводности кварца;

n показатель прелом ления кварца;

nc показатель преломления газа;

ин тегральная степень черноты кварца;

p интегральная степень черно Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, ты печи;

коэффициент поглощения поверхности волокна;

Tp функция, описывающая распределение температуры на поверхности термоэлемента;

a радиус печи;

T0 температура газа у поверхности волокна;

коэффициент теплообмена.

Доопределим систему (1)(4) краевыми условиями:

u (0) u0, u ( L) ul, (5) h1 (0) r1,0, h2 (0) r2,0, (6) T (0) T0, Tz ( L ) 0. (7) Для численного решения краевой задачи (1)(7) запишем сле дующий итерационный алгоритм:

3( K n uzn1 ) z u n1 u n n n u uz g (h1n h2 ) z, (8) n (h2 ) (h1 ) (h2 ) (h1n ) n2 n2 n u n1 ((h2 1 )2 (h1n1 ) 2 ) u0 ((r2,0 ) 2 (r1,0 ) 2 ), n (9) p0 (h1n1 ) 2 (h2 1 ) 2 h1n1h2 1 (h1n1 h2 1 ) n n n (u n1 (h1n1 ) 2 ) z (10), n (h2 1 )2 (h1n 1 ) n T n1 T n [ n (h2n1 )2 (h1n1 )2 Tzn ) z (11) u n1Tzn1 n 1 2 n 1 c p ((h2 ) (h1 ) ) 0. n 1 n 2h2 1 h2, ( nc 0 ((T ) TB ) (T T0 )) 2 n4 4 n n z 4nc 0 ar2n1 (a r2 n1 )S n,n1, N S n,n 1 h* (0,5( f 0 f N ) f k ), h* L / I, где k ( p Tp4 (k ) (Ti n ) 4 ) (a h2 n 1 h2,1 (k xi )) n fk z ;

((k xi ) 2 (a h2 n ) 2 ) K n 0,5(in ((h2,i ) 2 (h1,i ) 2 ) in1 ((h2,i 1 ) 2 (h1,i ) 2 )), n n n n Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, u0 1 u0, uIn1 uI, h1,0 1 r1,0, h2,01 r2,0, T0n1 T0, n n n T n 1 T n 1 0.

I I n Для определения ui (8) используется метод прогонки (i=1,…,I1). Уравнения (9),(10) в каждом узле сетки образуют систему h1,i1, h2, n n двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными i (i=1,…,I). Решение данной системы может быть найдено, например, n методом простых итераций. Значения Ti (11) определяются мето дом бегущего счета (i=1,…, I1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Modeling the Fabrication of Hollow Fibers: Capillary Drawing / A.D. Fitt, K. Furusawa, T.M. Monro, C.P. Please // Journal of Lightwave Technology. 2001. Vol.19, № 12. P.19241931.

2. The Mathematical Modelling of Capillary Drawing for Holey Fi bre Manufacture / D. Fitt, K. Furusawa, T. M. Monro, C.P. Please, D.J.

Richardson // Journal of Engineering Mathematics. 2002. Vol. 43, № 24 (300 p.), (33 ref.), P. 201227.

3. Наумчик В.Д. Квазиодномерная модель процесса вытяжки оп тических волокон // Энергоперенос в конвективных потоках: сб. науч.

ст. Минск, 1985. С.6476.

УДК 517. С.Ю.КУЛТЫШЕВ, Л.М.КУЛТЫШЕВА Пермский государственный технический университет ПРИБЛИЖЕННАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ С ПОГРЕШНОСТЯМИ Рассматривается задача приближенной идентификации для некоторых классов моделей реальных объектов по косвенным измерениям их входов и выходов с погрешностями.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Пусть R n пространство n -мерных векторов, компонентами ко торых являются действительные числа;

B1m [, T ], B2 [, T ], B3q [, T ] n нормированные пространства m, n и q -мерных вектор-функций, оп ределенных на отрезке [, T ] ;

Y, Z и W нормированные пространст ва. Через x обозначим норму элемента x в том пространстве, кото рому он принадлежит.

Рассмотрим реальный объект на отрезке времени [, T ], где момент возникновения объекта. Через v (t ) обозначим m мерный вектор параметров, характеризующих внешние воздействия на объект в момент времени t [, T ], v (t ) R m, а через x (t ) n -мерный вектор параметров, характеризующих реакцию объекта на внешние воздействия в момент t, x (t ) R n. Вектор-функции v и x будем называть входом и выходом объекта соответственно. Будем счи тать, что v V [, T ], а x X [, T ], где V [, T ] и X [, T ] некоторые подмножества из B1m [, T ] и B2 [, T ] соответственно.

n Так как объект реален, то x (t ) зависит только от предыстории изменения внешних воздействий, т.е. x (t ) однозначно определяется t x (t ) A(t, C v ), где s [, t ], следовательно значениями v (s) при t C A(t, ) : V [, t ] R n при каждом фиксированном t [, T ], оператор сужения вектор-функции v на отрезок [, t ], а V [, t ] множество вектор-функций, полученных сужением на отрезок [, t ] t всех вектор-функций из V [, T ]. Равенство x (t ) A(t, C v ) задает ма тематическую модель рассматриваемого объекта. Попытки построить эту модель, т.е. найти оператор A, часто приводят к неявной зависи мости F ( x, v ) 0 между v и x.

Поэтому имеет смысл ввести Определение 1. Уравнение F ( x, v ) 0 назовем -моделью рас сматриваемого объекта, если 1) F : X [, T ] V [, T ] W непрерывный оператор;

2) уравнение F ( x, v) 0 однозначно разрешимо относительно x v V [, T ] и это решение представимо в виде при каждом Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, t x(t ) A(t, C v), где A(t, ) : V [, t ] R n при каждом фиксированном t [, T ] ;

t 3) оператор B : V [, T ] X [, T ], B(v)(t ) A(t, C v) непрерывен;

4) выполняется неравенство F ( x, v ), где достаточно малое положительное число или нуль.

Обычно -модель строится из естественно-научных законов в виде F ( x, v, ) 0, где неизвестный вектор параметров (коэффи циентов) модели, B4, B4 нормированное пространство, F : X [, T ] V [, T ] W оператор, который удовлетворяет усло виям определения 1 при некотором и отражает внутреннюю структуру объекта.

y P(C v ), z Q(C x ) измерения входа и Пусть далее выхода объекта, где P : V [, ] Y и Q : X [, ] Z непрерывные операторы, [, ] отрезок времени, в течение которого производятся измерения, T, и погрешности измерений, о которых известно лишь то, что 2 и 3, где 2 и 3 заданные ма лые положительные числа.

Задача идентификации по известным y, z, P, Q, F,,, 1, 2, 3 найти такое, при котором F ( x, v, ) 0 является 1 моделью объекта.

Будем решать эту задачу для -модели вида K J A0 ( x) B0 (v) i () Ai ( x) j () B j (v) 0, (1) i 1 j t где Ai : X [, T ] B3q [, T ], Ai ( x)(t ) Ai (t, C x) непрерывный оператор Ai (t, ) : X [, t ] Rq при каждом (почти каждом) t [, T ], i 0, K, t B j : V [, T ] B3q [, T ], B j (v)(t) B j (t, C v) непрерывный оператор, t [, T ], j 0, J, B j (t, ) : V [, t ] R q при каждом (почти каждом) Rk, i : R1 и j : R1 непрерывные функции.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Пусть измерения входа и выхода имеют вид y j Q C B j (v ) j, zi Q C Ai ( x ) i, j 0, J, i 0, K, (2) Q : B3 [, ] H где линейный ограниченный оператор, q j j, i i, H нормированное пространство, T, y j H, zi H, j H, i H.

Необходимое условие разрешимости задачи идентификации для (1),(2) дает Теорема 1. Если задача идентификации для (1),(2) разреши j, j 0, J, i, i 0, K и f, что ма, то существуют такие j j, i i, f 1 и для любого линейного ограниченного опе ратора G : H R K J система K J (Gzi Gi )i () (Gy j G j ) j () Gz0 G0 Gy0 G0 GQ C f (3) i 1 j имеет хотя бы одно решение в области.

Доказательство. Если задача идентификации для (1),(2) раз решима, то K, j, j 0, J, i, i 0, K, f : A0 ( x ) B0 (v ) i () Ai ( x ) i J j () B j (v ) f, y j Q C B j (v ) j, j 0, J, zi Q C Ai ( x ) i, i 0, K, j j j, i i, f 1. Возьмем любой линейный ограниченный оператор G : H R K J, тогда K J GQ C A0 ( x ) GQ C B0 (v ) i ()GQ C Ai ( x ) j ()GQ C B j (v ) GQ C f.

j i Далее, в силу равенств Q C B j (v ) y j j, Q C Ai ( x ) zi i, получа ем K J (Gzi Gi )i () (Gy j G j ) j () Gz0 G0 Gy0 G0 GQ C f. i 1 j Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Следовательно система (3) имеет решение в области. Тео рема доказана.

Из этой теоремы вытекает очевидное Следствие 1. Если задача идентификации для (1),(2) разре шима, то существуют такие j, j 0, J, i, i 0, K, f и такой ли G : H R K J, нейный ограниченный оператор что j j, i i, f 1 и система (3) имеет хотя бы одно решение в области.

Приближенное решение задачи идентификации для (1),(2) дает Теорема 2. Пусть K J 1) : A0 ( x ) B0 (v ) i () Ai ( x ) j () B j (v ) i 1 j и выполняются условия 1),2) и 3) определения 1 для J K F ( x, v) A0 ( x) B0 (v) i () Ai ( x) () B j (v) ;

j j i 2) найдется линейный ограниченный оператор G : H R K J та кой, что линейная алгебраическая система K J (Gz ) (Gy ) Gz0 Gy (4) i i j j i 1 j, в пространстве RK J ;



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.