авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального ...»

-- [ Страница 2 ] --

имеет единственное решение i j 1 3) выполняется неравенство, где M матрица систе M K J gi мы (4), G max( 1,...., J, 1,...., K ), G gi, i M 1 норма матрицы M 1, согласован компоненты оператора G, K J ная с нормой векторов в R K J, x xi норма векторов в R K J ;

i 4) система Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, (), (), i 1, K, j 1, J i (5) ij j при каждом в области имеет единственное решение i, j D R, где i, j решение линейной алгебраической K J системы K J (Gzi Gi )i (Gy j G j ) j Gz0 G0 Gy0 G0 GQ C f, (6) i 1 j q f B [, T ], f, D множество решений системы (6) при всех 3 j, i, f, удовлетворяющих условиям j j, i i, f 1 ;

,, ;

5) решение системы (5) при i j i j,, с1 const 0 : c при всех 6) i j i j, D, где решение системы (5). Тогда i j с1 M 1 ( i, j ) 0 G ( 0 0 Q C 1 ),, где 1 M искомый вектор параметров модели, а приближенное реше ние задачи идентификации.

Доказательство. В силу условия 1) выполняется равенство K J A0 ( x ) B0 (v ) i () Ai ( x ) j () B j (v ) f, f B3 [, T ], где q i 1 j f 1.

Далее, применяя к этому равенству операторы С, Q и G, полу чаем K J GQ C A0 ( x ) GQ C B0 (v ) i ()GQ C Ai ( x ) j ()GQ C B j (v ) GQ C f.

i 1 j Q C Ai ( x ) zi i, Q C B j (v ) y j j, Отсюда, в силу равенств получаем Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, K J (Gzi Gi )i () (Gy j G j ) j () Gz0 G0 Gy0 G0 GQ C f. (7) i 1 j Далее, вводя обозначения i i (), j j (), получаем, что, является решением системы (6). В силу условий 2) и 3) спра i j ведливы неравенства M M M матрица системы (6). Следова, где M,. В силу ус тельно, система (6) имеет единственное решение i j ловия 4) является единственным решением системы (7), причем в силу условий 3) и c M 1 ( i, j 0 ) 6) c1 i, j i, j, 1 M где искомый вектор параметров модели. Теорема доказана.

Эту теорему иллюстрирует Пример 1. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных индуктивности L и активного сопро тивления R. Через v обозначим входное напряжение, приложенное к цепи, а через x ток в цепи.

Введем обозначения: C 1 [0, T ] пространство непрерывных на [0, T ] функций с нормой x max x(t ), C1 [0, T ] пространство не t[0,T ] прерывно дифференцируемых на [0, T ] функций с нормой x max x(t ). Согласно законам электротехники, математическая мо t[0,T ] дель этой цепи имеет вид Lx(t ) Rx(t ) v(t ), t [0, T ], x(0), где v C1 [0, T ], x C11 [0, T ],, R, L, R, L : R1, R 0, L 0 R3.

Эту модель можно записать в эквивалентном интегральном виде t t R x(s)ds L v(s)ds 0, t [0, T ].

x(t ) (8) L0 Полагая, 0, T 4, B1 [, T ] V [, T ] C1[0, 4], B2 [, T ] B3 [, T ] X [, T ] C1 [0, 4] 1 1 1 Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, A0 ( x)(t ) x(t ), B0 (v)(t ) 0, A1 ( x)(t ) 1, t t B1 (v)(t ) v( s )ds, A2 ( x)(t ) x( s )ds, K 2, 0 R J 1, 1 (), 2 (), 1 (), эту модель можно записать в L L виде (1).

v (t ) 1 t, x (t ) t 0,00001sin(t ) при t [0, 4], Пусть 0 0, 1 0, 00003, 0 0,00003, 1 0, 2 0,00003, а измерения входа и выхода це пи имеют вид y0 0, 0, 0, y v ( s)ds, v ( s )ds, v ( s )ds 1,50001, 3,99999, 7,50001, 1 2 1 11 12 0 0 z0 x (1) 01, x (2) 02, x (3) 03 1, 00002, 1,99999, 3, 00001, (9) z1 1,1,1, 1 2 z2 x ( s)ds 21, x ( s)ds 22, x ( s)ds 23 0, 50002, 2, 00002, 4,50001.

0 0 Полагая H R3, Q : C1 [1, 3] R3, Q( x) x(1), x(2), x(3), 1, 3, эти измере ния можно записать в виде (2). Далее проверим выполнение условий теоремы 2.

Условие 1) выполняется, так как это неравенство справедливо при 0, R 1, L 1.

Условие 2) выполняется, так как при G : R 3 R 3, G ( x) x линейная алгебраическая система (4) имеет единственное решение 1, 2, 1 0,00002, 1,00009, 1,00006.

Условие 3) выполняется, так как G 1, M 1 13, 00188, 1 0, 07692, 0,00003, т.е.

.

M 1 M Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Условие 4) выполняется, так как система (5) имеет вид R 1, 2, 1, и она однозначно разрешима относительно L L при любых 1, 2, 1 R3.

~ В условии 5) вычисляется, которое для этого примера имеет вид, R, L 0, 00002, 1, 00003, 0,99994.

Условие 6) выполняется, так как при c1 2,00018 справед ливо неравенство с,,, где решение системы (5).

1 i j i j И, наконец, выполняется неравенство c1 M 1 ( i, j 0 ) 0,02393, так как QC 3 и 1 M 1 0 0,00092. Пример закончен.

Замечание. Числовые данные в этом примере указаны с точ ностью до пятого знака после «запятой», то есть их абсолютная по грешность не превосходит 0,000005.

УДК 622.831.31.622.363. В.Ю. СОКОЛОВ Пермский государственный технический университет К ВОПРОСУ О РЕЛАКСАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ГОРНОМ МАССИВЕ В ОКРЕСТНОСТИ ВЫРАБОТКИ Приведена численная реализация моделей наследственности и старения в задаче об изменении во времени напряженно-деформированного состояния соляного массива вокруг выработки.

Рассмотрим задачу о напряженно-деформированном состоянии (НДС) однородного изотропного массива соляных пород вокруг оди ночной протяженной цилиндрической выработки глубокого заложения в условиях гидростатического распределения напряжений в ненару шенном массиве (=1).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Введем цилиндрическую систему координат r,, z. Если ось z со вместить с продольной осью выработки, сечения породного массива, нормальные к оси z, будут находиться в состоянии обобщенной пло ской деформации.

На глубине H компоненты начального поля напряжений (до про ведения выработки) следующие:

(0) (0) (0) H ;

(0) (0) (0) 0. (1) r z z r rz Соответствующее ему начальное поле деформации имеет вид:

H (0) (0) (0) 0 ;

(0) r (1 2), (0) (0) (2) r z rz z E где средний предельный вес вышележащих пород;

коэффициент Пуассона;

– модуль упругости.

Проведение выработки в момент t=0 вызывает возмущение на чального поля напряжений: на компоненты напряжений (1) наклады ваются дополнительные напряжения, вызванные проведением выра ботки:

УП (0) (zУ ) ;

УП У ) ;

УП (0) (rУ ).

(0) ( (3) z z r r Дополнительные напряжения и соответствующие им дополни тельные деформации определяются в начальный момент (t=0) упруги ми свойствами массива и находятся из известного решения задачи Ла ме:

H H (rУ ) ;

(У ) 2 ;

(zУ ) ((rУ ) У ) ) 0 ;

( (4) r r 1 H 1 H (rУ ) ;

(У ) ;

(zУ ) 0. (5) E r Er Полные упругие напряжения при этом будут:

1 УП H 1 2 ;

УП H 1 2 ;

УП H. (6) r z r r Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Здесь через r обозначена радиальная координата, отнесенная к начальному радиусу выработки R0. Полю полных упругих напряжений соответствует по закону Гука поле полных деформаций:

H 1 H УП H 1 H УП (1 2) ;

(1 2) ;

r E r E E Er H УП (1 2) (7) z E и соответствующее поле полных смещений массива.

В последующие моменты времени t0 напряженно деформированное состояние массива пород определяется нелинейны ми соотношениями теории наследственной ползучести [1]. Образуются новые поля напряжений и деформаций, обусловленные реологически ми процессами в массиве. Поле полных деформаций П определяется полем полных напряжений П и зависит от времени:

П УП (t ) ;

П УП (t ) ;

П f П f УП (t ). (8) Такая расчетная схема, однако, как справедливо отмечает И.В.

Родин [2], давала бы неверные оценки для распределения смещений в окрестности горной выработки, поскольку наблюдаемые в породном массиве механические процессы при производстве горных работ свя заны с формированием лишь дополнительных деформаций и, соответ ственно дополнительных смещений.

В том случае, когда деформации и напряжения связаны линей ным законом Гука, деформации и смещения, вызванные проведением выработки, могут быть выражены через дополнительные (снимаемые) напряжения. Термин «снимаемые напряжения» (снимаемое поле на пряжений) предложен И.В. Родиным и характеризует физический смысл дополнительных напряжений. Действительно, образование вы работки означает, что с контура ее сечения как бы снимаются напря жения (нормальные и касательные к контуру), действовавшие в нена рушенном массиве. Таким образом, реальное поле деформаций и, со ответственно, смещений будет определяться выражением (5), а не (7).

Тот же результат получится, если из поля полных упругих деформаций УП вычесть начальное поле (0) (2). Такой подход будет справедлив и в случае породного массива, подчиняющегося нелинейному физическо му закону деформирования (8) и [1].

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, В математической постановке задачи, излагаемой ниже, под де формациями и напряжением понимаются их полные значения.

Для сформулированной выше задачи имеем уравнения равнове сия и совместимости деформаций:

r r 0, (9) r r r 0. (10) r r Уравнения состояния породного массива [1] запишутся в виде:

1 t (r ) Kc [t, i ](r )d ;

r 2G 1 t ( ) Kc [t, i ]( )d ;

(11) 2G 1 t Kv [t, i ]d, (12) 3B E E 1 где (r z ) ;

G ;

(r z ) ;

B.

2(1 ) 3(1 2) 3 Ядра интегральных уравнений (11) и (12) или функций скоростей сдвигов и объемной ползучести принимаем в виде [1]:

Kc [t,, э ()] oc exp bc [э () сж ]nc (t ), (13) Kv [t,, э ()] ov exp bc [э () сж ]nv 1 (t ), (14) где, oc, ov, bc, bv, nc, nv - параметры сдвиговой и объемной пол зучести;

сж предел прочности породы на одноосное сжатие при «мгновенном» нагружении. Безразмерный параметр будем считать постоянным и примем равным 0,7 [3].

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, В качестве эквивалентного напряжения для соляныx пород э можно принять интенсивность напряжений или обобщенное напряже ние [4]:

i 12 (1 2 )2 (1 3 )2 (2 3 )2, где 1, 2, 3 главные напряжения.

Параметры ядер сдвиговой и объемной ползучести представляют собой параметры формальной аппроксимации кривых сдвиговой и объемной ползучести. Если же параметр принять постоянным, то остальным параметрам можно приписать на феноменологическом уровне некоторый физический смысл.

Соотношения (11) и (12) описывают активную наследственную деформацию соляных пород в случае, когда нелинейность обусловлена исключительно влиянием фактора времени. Для каждого момента вре мени t 0 будет свой (нелинейный) закон связи между напряжениями и деформациями.

Процессы, соответствующие нагрузке в прямом смысле слова, т.е. уменьшение деформации при уменьшении напряжений, уравнения (11) и (12) не описывают. Заметим, что процесс релаксации не является процессом разгрузки, и делать специальные предположения о законе разгрузки при этом не нужно [5].

Заметим, что уравнение (12) описывает не объемную ползучесть, а трещинообразование в процессе ползучести, сопровождающееся из менением объема. При этом разрушающееся тело ведет себя как на следственно-упругое с объемной наследственностью [5], [1].

В системе пяти уравнений (9)(12) независимы лишь пять неиз вестных функций координаты r и времени t: r,, z, r,. Вели H чина z является известной постоянной, равной z (1 2).

E В результате достаточно громоздких, но элементарных преобра зований система (9)(12) приводится к одному нелинейному интегро дифференциальному уравнению относительно r :

d 2 r 3 d r t F (t ) d 0, (15) dr r dr где функция F с учетом принятых выражений для ядер интегральных операторов (13)(14) имеет вид:

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, d 2 d 2 d 2 r oc exp(bc i ) 3 r r F z cж dr (1 )r dr dr d i 1 2 d 2 ( r z ) r r exp(bc ) сж 3 dr dr (16) 1 2 d r d 2 r d z 3 ov exp(bv i ) r cж 3 dr dr (1 )r dr d 1 2 d exp(bv i ) (2r. r r z ).

cж 3 dr dr Граничные условия задачи имеют вид:

r 0 при r 1 (на контуре выработки), r H при r. (17) Значения неизвестных величин, z, r, определяются из выражений:

d r r r, (18) dr d r t 1 d z 2r r oc exp(bc i )(2r r r 2 z ) cж dr 0 3 dr (19) i d r ov exp(bv )(2r r z ) *(t ) d E z, (0) cж dr 1t i r z )(r z )(t ) d, r oc exp(bc (20) cж 2G 2G z 1t i )( z )(t ) d.

oc exp(bc (21) cж 2G 2G При этом в выражениях для деформации исключены их началь ные значения, соответствующие напряженному состоянию нетронуто го массива.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Решение уравнения (15) с граничными условиями (17) осуществ лялось методом шагов по времени [6]. Промежуток времени [0, t ] раз бивается на части точками ts ( s 1, 2,3,...). Значения r ( r, t ), z ( r, t ) представились последовательностями функций r, s. При этом инте s z грал по времени записывается в первой части уравнения (15) и после применения формулы интегрирования по частям заменяется квадра турной формулой вида t P F ()(t ) d N (t t )1 (t t )1 F (ti ) F (ti 1 ) F (ti 1 ) n i 1 F (ti ) n i (22) * 1 1 (1 )(ti ti 1 ) i (t t ) 2 (tn ti ) * n i 1.

2 Здесь неявная зависимость от времени функции F [r, r (r, t ), z ( r, t )] выражена для краткости в явной форме в функции F ().

Таким образом, на каждом шаге по времени t s уравнение (15) сводится к нелинейному дифференциальному уравнению вида d 2 r 3 d r s s P(r, r, s ).

s (23) z dr r dr Одним из принципов метода «шагов по времени» является вы числение интегральных сумм (22) в правой части уравнения (23) в мо мент времени t s 1, т.е. редукция к решению линейного дифференци ального уравнения вида d 2 r 3 d r s s P(r, r 1, s 1 ).

s (24) z dr r dr Если принять, что решение уравнения (24) совпадает в первом приближении с решением уравнения (23), получим возможность вы числить новую интегральную сумму (22) и найти второе приближение Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, искомого решения. Таким образом, уравнение (24) заменяется уравне нием d 2r ( N 1) 3 d r ( N 1) s s P(r, r ( N ), s 1 ), s (25) z dr r dr где N – номер итерации в излагаемом методе последовательных при ближений. Процесс нахождения решения на S-м шаге продолжается до тех пор, пока различие между последовательными приближениями не будет достаточно мало. Решение при S=1 (t=0) дается формулами (6).

Интегрирование уравнений (24)(25) проводилось численным методом конечных разностей. Область интегрирования по r ограничи валась значением r=R(R1) и дискретизировалась точками ri одно мерной сетки с переменным шагом ri (i 1, 2,3,) с целью повыше ния точности аппроксимации. Это связано с большими градиентами напряжений вблизи внутреннего контура выработки и с быстрым их уменьшением с удалением вглубь массива. Значения r, s представ s z лялись на каждом шаге по времени последовательностями дискретных значений в точках ri. При этом их производные по координатам ап проксимировались обычными конечно-разностными соотношениями.

Уравнение (25) в его конечно-разностной форме решалось методом прогонки [7].

В разработанном пакете программ учитывались особенности де формирования соляных пород при различных условиях нагрузки, пре дусмотренные феноменологической моделью [1].

В расчетной сетке по r в ходе решения выделялись 3 области: об ласть линейного деформирования (i i ) ;

область нелинейного де формирования (i i ) ;

область предельного деформирования (раз рушения), в которой выполняется критерий перехода процесса дефор мирования в предельную стадию.

В соответствии с законами деформирования [1] в каждой из об ластей вычислялись интегральные суммы (22) и после решения урав нения (25) для r определялись неизвестные функции, z, r,.

Заметим, что соотношения (16) и (19)(21) приведены для области не линейного деформирования в запредельной стадии. Границы областей определяются на каждом шаге t s. С течением времени они перемеща ются от контура выработки вглубь массива.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Программа написана на языке ФОРТРАН и состоит из 11 моду лей основной программы и 10 подпрограмм SUBROUTINE. Константы модели приняты по данным [1].

На рис. 1 представлены результаты расчетов НДС приконтурных пород по моделям нелинейной и линейной наследственной ползучести.

Для модели линейной наследственной ползучести характерно, что ско рость сдвиговых деформаций не зависит от уровня действующих на пряжений (в ядре (13) отсутствует экспонента) и не происходит изме нения объема во времени, т.е. при t0 ( K v 0). Анализ решения пока зывает, что в массиве происходит релаксация напряжений, причем ре лаксация проявляется в основном в первые часы существования выра ботки. В случае линейной модели незначительная релаксация напря жений (~8%) имеет, по-видимому, «численную природу», т. е. характе ризует погрешность решения задачи численным методом. В случае не линейной наследственной модели релаксация напряжений появляется в значительно большей степени и имеет физическую природу, так как обусловлена разрушением приконтурных пород в процессе ползучести.

Окружные деформации, а соответственно и смещения контура выработки U R0, рассчитанные по нелинейной теории, значительно превосходят линейные, и это различие возрастает с глубиной H.

Следует отметить, что численная реализация модели нелинейной наследственной ползучести требует больших затрат оперативной памя ти машины, так как для вычисления интегральных сумм (22) необхо димо «запомнить» все значения искомых функций на каждом шаге t s.

В ходе выполнения решения шагами по t накапливается численная по грешность в искомом решении, что приводит на определенном шаге ts * к неустойчивости итерационного процесса. Ситуацию можно улуч шить измельчением шагов по времени, при этом, однако, повышаются требования к объему оперативной памяти машины, которая, как из вестно, всегда ограничена. Обращение же к внешней памяти приводит к резкому (на 34 порядка) увеличению затрат машинного времени.

Результаты, представленные на рис.1, получены при полном использо вании оперативной памяти и оптимальном выборе шага по времени t с учетом интенсивности релаксации напряжений и затрат машинного времени. При этом итерационные процессы сходятся лишь до момента t y 860 часов. В дальнейшем наступает численная неустойчивость.

Отметим, что выбор временной сетки t s является, вообще говоря, отдельной проблемой при решении задач наследственности и старения.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Обратимся к модели старения, отличающейся от описанной тем, что ядра интегральных уравнений состояния принимаются в виде (t ) (t ) Kc [t, i (t )] oc exp bc i t, Kv [t, i (t )] ov exp bv i t. (26) сж сж В схеме описанного решения задачи (15)(17) – в этом случае из менится лишь способ вычисления интегральных сумм, который для соотношения (22) преобразуется к виду N t1 F (t ) F (ti 1 ) ti2 ti t t P F (t )t dt F (ti ) i F (ti 1 ) i 1 i. (27) 1 1 (ti ti 1 ) (2 )(1 ) i Алгоритмы вычисления интегральных сумм по формулам (22) и (27) в программах для ЭВМ при этом существенно различны. При чис ленной реализации модели старения используется значительно мень ший объем оперативной памяти, существенно ниже затраты машинно го времени и, как показала практика расчетов, гораздо выше устойчи вость решения. Время устойчивого счета t y составляет величину по рядка 105 часов. Результаты расчетов модели старения при той же про странственно-временной сетке, что и для модели наследственной вяз коупругости, приведены на рис.1.

Сравнение результатов численной реализации моделей наследст венной ползучести и старения в рамках описанной схемы решения осе симметричной задачи в постановке плоской деформации позволяет сделать следующие выводы:

для рассмотренных промежутков времени изменение напряже ний вокруг выработки с течением времени для обеих моделей носит один и тот же характер;

количественные же различия не превышают 6%;

деформации ползучести и соответствующие им смещения по родного контура выработки для линейных моделей практически совпа дают, а для нелинейных отличаются не более чем на 3%.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика,, МПА 5 H=450m 103 1, t, ч.

0 300 Рис. 1. Релаксация напряжений и смещение контура цилиндрической выработки в зависимости от времени:

1 – модель линейной наследственной вязкоупругости;

2 – модель ста рения (линейная);

3 – модель нелинейной наследственной вязкоупругости;

– модель старения (нелинейная).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Константинова С.А., Саврасов И.Ф. Напряженно-деформиро ванное состояние и устойчивость соляных пород вокруг выработки с учетом нелинейности их деформирования, разрыхления и возможности перехода деформаций в предельную стадию // ФТПРПИ. – 1983. №2.

– С. 2935.

2. Родин И.В. К вопросу о решении задач гравитационного гор ного давления горного массива на крепи подземных выработок // Докл.

АН СССР. – 1951. №3. – С. 1015.

3. Ержанов Ж.С. Теория ползучести горных пород и ее приложе ния. Алма-Ата: Наука, 1964. – 176 с.

4. Гальперин А.Н., Шафаренко Е.М. Реологические расчеты гор но-технических сооружений. М.: Недра, 1977. – 201 с.

5. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.– М.: Наука, 1977. – 358 с.

6. Ержанов Ж.С., Сагинов А.С., Векслер Ю.А. Расчет устойчиво сти горных выработок, подверженных большим деформациям.– Алма Ата: Наука, 1973. – 176 с.

7. Годунов С.К., Рябенький С.К. Разностные схемы.– М.: Наука, 1977. – 440 с.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, УДК 519. И.П. НЕПОРОЖНЕВ Пермский государственный технический университет РАСКРАСКИ РЕБЕР ПОЛНОГО 5-ВЕРШИННОГО ГРАФА БЕЗ ПЕТЕЛЬ В работе рассматриваются различные, с точностью до переобозначений вершин и ребер, раскраски ребер полного 5-вершинного графа без петель в различные числа цветов при условии, что в каждой вершине сходятся ребра различного цвета. Приводятся их группы автоморфизмов1.

Вершины графа обозначаем буквами A, B, C, D, E, ребра – номе рами 1, 2, 3, 4, … Полный 3-граф без петель с сохранением в дальней шем лексикографического расположения номеров в первой строке симметрического квадрата с пустой главной диагональю будет иметь один из двух следующих видов:

АВС AХ 1= B 1 Х C23Х ABC AХ1 2= B 1 Х C2 4 Х Группа автоморфизмов 3-графа является группой треугольника, имеет порядок 6 и образующие t ( BC)(12) и w ( ABC)(132), или w ( ABC)(142).

Множество допустимых элементов, образующих пучки ребер, соединяющих четвертую вершину D с вершинами A, B, C, состоит из восьми следующих элементов: 1(321), 2(32*), 3(3*1), 4(*21), 5(3**), 6(*2*), 7(**1), 8(***), где звездочки означают новые цвета из чисел 4, 5, 6. Это множество относительно группы автоморфизмов 3-графа образует четыре класса транзитивности: (1), (2, 3, 4), (5, 6, 7), (8). Оче Непорожнев И.П. Раскраска ребер обыкновенного полного шестивершинного графа в восемь цветов // Сборник рефератов депонированных рукописей. Вып. 17. Сер. Б.

Инв. NB 1962. 1991.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, видно, что эти четыре класса транзитивности соответствуют четырем различным раскраскам ребер 4-графа в числа цветов 3, 4,5, 6.

В дальнейшем будем рассматривать следующие базисные 4 графы.

АВС АВС АВС АВС D D D D AX 1 2 3 AX 1 2 3 AX 1 2 3 AX 1 2 B X4 5 B X4 2 B X4 5 B X3 C X 6 C X 1 C X 1 C X D IV X D II X D III X DI X Подгруппа группы автоморфизмов 3-графа, сохраняющая верши ну D графа I, совпадает со всей группой. Меняя вершину D с каждой из вершин A, B, C, получаем дополнительные отображения графа I в себя.

Группа автоморфизмов графа I имеет порядок 6 * 4 24 и образующие w ( ABC)(132), s1 ( ABCD )(13).

Подгруппа группы автоморфизмов 3-графа, сохраняющая верши ну D графа II, имеет порядок 2 и образующую t. Меняя вершину D с одной из вершин классов транзитивности ( A) и ( B, C ), получаем до полнительные отображения графа II в себя. Группа автоморфизмов графа II имеет порядок 2 * 2 * 2 8 и образующие s2 ( ABDС )(12)(34), t2 ( AB )(CD)(34).

Подгруппа группы автоморфизмов 3-графа, сохраняющая верши ну D графа III, имеет порядок 2 и образующую t. Аналогично преды дущему получаем группу автоморфизмов графа III порядка 8 с обра зующими s3 ( ACBD)(2453), t3 ( AD)( BC )(25).

Подгруппа группы автоморфизмов 3-графа, сохраняющая верши ну D графа IV совпадает со всей группой, имеет порядок 24 и обра зующие s4 ( ABСD)(1463)(25), t4 (СD)(23)(45).

Дальнейшее решение задачи о различных раскрасках ребер пол ного 5-графа без петель проводится аналогичным образом. Именно, составляются множества пучков ребер, соединяющих вершину E с вершинами A, B, C, D, и разбиваются на классы транзитивности отно сительно групп автоморфизмов базисных 4-графов. Для произвольно выбранного элемента каждого класса транзитивности находится под группа группы автоморфизмов соответствующего 4-графа, сохраняю щая выбранный элемент (вершину E) и разбивающая вершины A, B, C, D каждого 4-графа на классы транзитивности вершин. Меняя местами Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, вершину E с одним из элементов каждого класса транзитивности вер шин, находим как изоморфизмы, так и автоморфизмы новых базисных 5-графов.

С базисным графом I определяем выбор вершины Е и получаем пятивершинный граф 1 4567.

С базисным графом II выбор вершины Е возможен девятью сле дующими способами, составляющими три класса транзитивности.

1.43** 2.4*3* 3.*3* 4 4.**34 5.4*** 6.*3** 7.**3* 8.*** 4 9.**** Классы транзитивности: 1(1, 2, 3, 4), 2(5, 6, 7, 8), 3(9).

С базисным графом III выбор вершины Е возможен 47 следую щими способами, составляющими 9 классов транзитивности.

1.4352 2.5234 3.423* 4.425* 5.435* 6.523* 7.43*2 8.52*4 9.53*2 10.53* 11.4*32 12.4*52 13.5*32 14.5*34 15.* 16.*254 17.*352 18.*354 19.42** 20.43** 21.52** 22.53** 23.4*3* 24.4*5* 25.5*3* 26.4**2 27.5**2 28.5**4 29.*23* 30.*25* 31.*35* 32.*2*4 33.*3*2 34.*3*4 35.** 36.**34 37.**52 38.**54 39.4*** 40.5*** 41.*2** 42.*3* 43.**3* 44.**5* 46.*** 47.**** Классы транзитивности: 1 (1, 2), 2 (5, 6, 7, 8, 12,14,15,17), 3 (3, 4, 9,10, 11, 13, 16, 18), 4 (20, 21, 36, 37), 5 (23, 27, 30, 34), 6 (24, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 33), 7 (19, 22, 35, 38), 8 (39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46), 9 (47).

С базисным графом IV выбор вершины Е возможен 163 способа ми.

1.4231 2.4251 3.4312 4.4351 5. 6.4612 7.4631 8.4632 9.4651 10. 11.5214 12.5231 13.5234 14.5312 15. 16.5612 17.5614 18.5631 19.5632 20. 21.6214 22.6231 23.6234 24.6251 25. 26.6312 27.6314 28.6351 29.6352 30. 31.421* 32.423* 33.425* 34.431* 35.435* 36.461* 37.463* 38.465* 39.521* 40.523* 41.531* 42.561* 43.563* 44.621* 45.623* 46.625* 47.631* 48.635* 49.42*1 50.43* Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 51.43*2 52.46*1 53.46*2 54.52*1 55.52* 56.53*1 57.53*2 58.53*4 59.56*1 60.56* 61.56*4 62.62*1 63.62*4 64.63*1 65.63* 66.63*4 67.4*12 68.4*31 69.4*32 70.4* 71.4*52 72.5*12 73.5*14 74.5*31 75.5* 76.5*34 77.6*12 78.6*14 79.6*31 80.6* 81.6*34 82.6*51 83.6*52 84.6*54 85.* 86.*231 87.*234 88.*251 89.*254 90.* 91.*314 92.*351 93.*352 94.*354 95.* 96.*614 97.*631 98.*632 99.*634 100.* 101.*652 102.*654 103.42** 104.43** 105.46** 106.52** 107.53** 108.56** 109.62** 110.63** 111.4*1* 112.4*3* 113.4*5* 114.5*1* 115.5*3* 116.6*1* 117.6*3* 118.6*5* 119.4**1 120.4** 121.5**1 122.5**2 123.5**4 124.6**1 125.6** 126.6**4 127.*21* 128.*23* 129.*25* 130.*31* 131.*35* 132.*61* 133.*63* 134.*65* 135.*2* 136.*2*4 137.*3*1 138.*3*2 139.*3*4 140.*6* 141.*6*2 142.*6*4 143.**12 144.**14 145.** 146.**32 147.**34 148.**51 149.**52 150.** 151.4*** 152.5*** 153.6*** 154.*2** 155.*3** 156.*6** 157.**1* 158.**3* 159.**5* 160.*** 161.***2 162.***4 163.**** Классы транзитивности: 1 ((1), 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 30);

2 (5,(7),13, 16, 24, 27);

(31, 56, (80), 102);

4 (32, 33, 34, 36, 39, 44, 50, (54), 57, 58, 59, 64, 69, 75, 77, 79, 81, 83, 89, 94, 96, 99, 100, 101);

5(35, 37, 40, 42, 46, (47), 51, 52, 55, 60, 62, 66, 68, 71, 72, 76, 78, 82, 87, 88, 91, 93, 95, 97);

6 ((38), 41, 45, 49, 61, 65, 67, 74, 84, 85, 92, 98);

7 (43, 48, 53, 63, 70, 73, (86), 90);

(103, 107, 111, 117, 121, 125, (127), 134, 137, 142, 146, 150);

9 (104, 106, 112, (116), 122, 124, 129, 132, 139, 140, 147, 149);

10 (105, 108, 109, 110, 113, 114, 115, 118, 119, 120, 123, 126, 128, 130, 131, 133, (135), 136, 138, 141, 143, 144, 145, 148);

11(151, 152, (153), 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162);

12 (163).

Далее рассматриваем полученные 25 следующих 5-графов, заме няя звездочки в выделенных представителях классов транзитивности новыми номерами.

1 4567 1 4356 5 9 5678 1 4352 5 Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 13 5632 20 4367 23 24 4657 35 6732 39 47 6789 V1 V 4231 V7 V V38 V 4657 V47 V 6317 V54 V V80 V 6732 V86 V 7231 V116 V V127 V 7218 V135 V 7281 V153 V V163 V Переставляя местами вершину E с вершинами A, B, C, D, получа ем как изоморфизмы, так и автоморфизмы полных 5-графов.

Рассмотрим граф 1 4567. Подгруппа группы автоморфиз мов графа I, сохраняющая выбранную вершину E, совпадает со всей группой и образует один класс транзитивности вершин (A, B, C, D).

Достаточно сделать перестановку вершин D и E и привести полу ченную раскраску ребер подграфа к одной из базовых раскрасок 4 графов. Схематически эти действия можно изобразить следующим об разом.

1 1 456 3217 2 356 4217 V 4217 V 6732 V80, S ( DE ) (34) где S4 ( AC )( BD)(16)(34). Результирующая подстановка ( AC)(BDE)(16) отображает граф 1 в граф V80. Группа автоморфизмов графа 1 сов падает с группой автоморфизмов графа I, ее образующими служат под становки w1 ( ABC )(132)(456), S1 ( ABCD)(13)(4567).

Для графа 1 4356 подгруппа группы автоморфизмов графа, сохраняющая вершину E, имеет образующую t2 ( AB)(CD)(34).

Множество вершин графа II относительно этой подгруппы образует два класса транзитивности вершин (A,B), (C,D). В этом случае подста новки (BDE)(1354) и ( BED)(143)(56) отображают, соответственно, граф 1 в графы 13 и V1. Группа автоморфизмов графа 1 имеет по рядок 2 и образующую t2 ( AB )(CD )(34)(56).

Для графа 5 4567 подгруппа автоморфизмов графа, со храняющая вершину Е, имеет порядок 2 и образующую t2 S 2 ( BC )(12)(56). Множество вершин графа относительно под группы образует три класса транзитивности вершин (А), (В, С) и (D).

Перестановка вершин D и Е приводит к следующей схеме преобразо Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, ваний:

5 2 321 4567 2 456 3217 2 ( DЕ ) (36) 6217 2 531 4267 2 351 (35) W 4267 6732 35.

S Результирующая подстановка (BDE)(1364) отображает граф II5 в III35.

Перестановка вершин С и Е, с предварительной перестановкой вершины С на место D подстановкой t2, приводит к следующей схеме:

5 5376 2 321 5376 2 537 3216 t2 ( DE ) (35)(67) 356 5217 IV 5217 IV39.

Подстановка t4 S4 t4 S4 ( AB)(CD)(25)(34) отображает граф IV39 в 2 граф IV54. Результирующая подстановка (СE)(254)(67) отображает граф II5 в граф IV54. Аналогично, перестановка вершин А и Е, с предвари тельной перестановкой вершины А на место D, приводит к подстановке (АЕ)(1625)(37), отображающей граф II5 в граф IV38. Порядок группы автоморфизмов графа II5 равен 2, образующая t2S2.

Для графа 9 5678 подгруппа группы автоморфизмов, со храняющая вершину Е, совпадает со всей группой. Множество вершин графа II относительно этой подгруппы образует один класс транзитив ности вершин. Перестановка вершин D и Е приводит к подстановке (DE)(3765), отображающей граф II9 в граф IV127. Порядок группы ав томорфизмов графа II9 равен 8, образующие S2=(ABDC)(2453) и t2= (АВ)(СD)(34)(78)(56).

Для графа III1 = III + 4352 подгруппа группы автоморфизмов гра фа III, сохраняющая вершину Е, совпадает со всей группой. Множест во вершин графа III относительно этой подгруппы образует один класс транзитивности вершин. Перестановка вершин D и Е приводит к авто морфизму u ( ABCED)(14532) графа III1. Порядок группы автомор физмов графа III1 равен 20, ее образующие S3 и u.

Для графа 20 4367 множество вершин графа относи тельно автоморфизма ( AB)(CD)(25)(34)(67) образует два класса тран зитивности вершин. Подстановки ( AC)( DE)(14)(356) и ( BE)(164)(57) отображают, соответственно, граф 20 в графы 24 и V47. Порядок группы автоморфизмов графа 20 равен 2.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Для графа 23 4637 множество вершин графа относи тельно автоморфизма ( AС)( BD)(34)(67), сохраняющего вершину E, образует два класса транзитивности вершин. Перестановка вершин D и E приводит к автоморфизму ( AC)( DE)(14)(56) графа 23. Подста новка (CE)(2764) отображает граф 23 в граф V86. Подстановка ( BED)(143)(567) является автоморфизмом графа 23. Порядок груп пы автоморфизмов графа 23 равен 6.

Для графа 39 подгруппа группы автоморфизмов графа, со храняющая вершину E(4678), является тождественной. Множество вершин графа относительно этой подгруппы образует четыре клас са транзитивности вершин. Перестановка D и E приводит к автомор физму ( AC)(DE)(14)(37)(56) графа 39. Подстановки (CE)(27864) и ( BE)(1674)(58) соответственно отображают граф 39 в графы 135 и 116. Порядок группы автоморфизмов графа 39 равен 2.

Для графа 47 6789 подстановки (CD)(23)(45)(89) и ( ACBD)(2453)(6879) являются его автоморфизмами, сохраняющими вершину E. Перестановка вершин D и E приводит к подстановке ( ADEBC)(1658)(23974), отображающей граф 47 в граф 153. Поря док группы автоморфизмов графа 47 равен 8.

Для графа V7 V 4631 подстановка S 4 ( ABCD )(1463)(25) является его автоморфизмом, сохраняющим вершину E. Перестановка вершин D и E приводит к подстановке ( BDE)(137)(56), отображаю щей граф V7 в граф 5. Порядок группы автоморфизмов графа V равен 4.

Для графа V163 V 78910 подстановки (CD)(23)(45)(910) и ( ABCD)(1463)(25)(78910), образующие группу порядка 24, являются его автоморфизмами, сохраняющими вершину E. Перестановка вер шин D и E приводит к автоморфизму ( DE)(37)(58)(69) графа V163.

Порядок группы автоморфизмов графа V163 равен В результате получено 11 классов эквивалентности раскраски ребер полного пятивершинного графа S 5 без петель в число цветов 10. Соответствующие базисные 5-графы, их группы автоморфиз мов и числа раскраски их ребер приведены в таблице ниже.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, № S5 G G 1 w1 ( ABC)(132)(456), s1 ( ABCD)(13)(4567) 1 24 1 t 2 ( AB)(CD )(34)(56) 2 2 5 t 2 S 2 ( BC)(12)(56) 3 2 s 2 ( ABDС )(12)(34)(5687), 2 ( AB)(CD)(34)(56)(78) 4 8 s 3 ( AССD )(2453), u (ABCED)(14523) 5 20 6 2 s3 ( AB)(CD )(25)(34)(67) s3t 3 ( AС )(BD)(34)(67) l ( AС)(DE)(14)(56) 7 6 p ( AС)(DE)(14)(37)(56) 8 2 47 t 3 (СD )(23)(45)(89) s3 ( ACBD)(2453)(6879) 9 8 s 4 ( ABCD)(1463)(25) V 10 4 t 4 (СD )(23)(45)(910) V 11 48 s 4 ( ABCD)(25)(1463)(78910) d ( DE)(37)(58)(69) Продолжение работы может быть связанно с перечислением раз личных минимальных и близких к ним раскрасок ребер полного 6 графа без петель.

УДК 519. И.П. НЕПОРОЖНЕВ Пермский государственный технический университет МИНИМАЛЬНЫЕ И БЛИЗКИЕ К МИНИМАЛЬНЫМ РАСКРАСКИ РЕБЕР ОБЫКНОВЕННОГО ПОЛНОГО 6-ГРАФА В работе рассматриваются различные, с точностью до переобозначения вершин и ребер, минимальные и близкие к минимальным раскраски ребер полного 6-графа без петель и их группы автоморфизмов.

Минимальные и близкие к минимальным раскраски ребер полно го 6-графа без петель будем находить из известных базисных раскра сок ребер полного 5-графа без петель. Из таблицы предыдущей работы видно, что минимальная раскраска ребер обыкновенного полного 5 графа в число цветов =5 возможна единственным образом (граф III 1 ).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Возможные минимальные раскраски ребер обыкновенного полного 6 графа в число цветов =5 могут быть получены продолжением графа III 1. Пучок ребер, соединяющих шестую вершину F графа S1 с ос тальными вершинами подграфа III 1, выбирается однозначно:

S1 1 52341. Подгруппа группы автоморфизмов графа 1, со храняющая вершину F, совпадает со всей группой и имеет порядок 20, S 3 ( ABCD )(2453), а ее образующими служат подстановки u (ABCED )(14523). Множество вершин графа 1 относительно этой подгруппы образуют один класс транзитивности вершин1.

Перестановка вершин E и F приводит к следующей схеме преоб разований.

( EF ) S1 4352 52341 t ( AD)(BC)(25) 43521 1 52341 S1.

Подстановка ( AD)(BC )(EF )(25) является автоморфизмом графа S1. Порядок группы автоморфизмов графа S1 равен 20 2 40.

Раскраски ребер полного 6-графа в число цветов =6, близкие к минимальной, могут быть получены продолжением графов 1, 1, V7.

Для графа III 1 выбор пучка ребер, соединяющих шестую верши ну F графа S 6 с вершинами графа 1, возможен пятью следующими способами, соответствующими одному классу транзитивности относи тельно группы автоморфизмов S 3, u порядка 20: 1,52346, 2,52361, класс транзитивности 3,52641, 4,56341, 5,62341;

S u u u u u 2 5 4 3 1.

Для графа 1 выбор пучка ребер, соединяющих шестую вершину F графа S 6 с остальными вершинами графа 1, возможен четырьмя следующими способами, образующими относительно автоморфизма t 2 ( AB)(CD)(34)(56) четыре класса транзитивности: 1,56341, 2,56342, 3,65341, 4,65342.

Непорожнев И.П. Неизоморфные раскраски ребер обыкновенного полного шести вершинного графа в девять цветов // Сборник рефератов депонированных рукописей.

Вып.13. Сер.Б. Инв. № 2228, 1992.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Для графа V7 выбор пучка ребер, соединяющих шестую верши ну F графа S 6 с вершинами графа IV7, возможен шестью следующими способами, образующими относительно автоморфизма S4 ( ABCD)(1463)(25) два класса транзитивности: 1,53142, 2,62145, 3,63125, 4,63145, 5,63542, 6,63142;

1 2 5 3 1, 46.

Рассмотрим граф S2 1 52346. Перестановка вершин E и F приводит к следующей схеме преобразований:

t3 ( AD )( BC )(25) S2 4352 52346 5234 ( EF ) 4352 52346 S2.

Подстановка ( AD)( BC)( EF )(25) является автоморфизмом графа S2. Перестановка вершин F и D, с предварительной перестановкой вершины D на место E подстановкой u 1 ( ADECB)(13254), приводит к следующей схеме преобразований:

( u 1 ) S2 1 52346 1 5264 t3 S ( EF ) C ( BED )(143)(56) 4356 52346 IV 4631 63142 IV S 63145 IV7 63145 IV7,4.

Результатом преобразований является подстановка ( ADF )(CE)(153462), отображающая граф S2 в граф IV7,4.

Рассмотрим граф S3 II1 56341. Перестановка вершин E и F приводит к следующей схеме преобразований:

S36 II 4356 56341 II 5634 43561 II ( EF ) ( AD )( BC )(56) 4356 56341 S36.

Подстановка ( AD)(BC)(EF )(56) является автоморфизмом графа S3. Перестановка вершин D и F, с предварительной перестановкой вершины D на место E подстановкой a (BDE)(1354), приводит к сле дующей схеме:

C S36 III 5632 43561 III 4356 56321 III5 a ( EF ) IV7 62145 IV7 53142 IV7,1.

S C Перестановка вершин B и F, с предвариельной перестановкой вершины B на место E подстановкой b (BED)(143)(56), приводит к подстанов ке ( ABFECD)(13)(256), отображающей граф S36 в граф IV7,1.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Рассмотрим граф S4 II1 56342. Относительно автоморфизма t2 ( AB)(CD)(34)(56) имеем три класса транзитивности вершин. Пере становка вершин E и F с последующей подстановкой ( AD)(BC)(56) при водит к автоморфизму ( AD)(BC)(EF )(56) графа S4. Перестановка вер шин D и F, с предварительной перестановкой вершины D на место E подстановкой a (BDE)(1354), приводит к следующей схеме:

S4 III 5632 42561 III 4256 56321 III 4 t3S a ( EF ) III13 42561 II1 56342 S4, a где t3S32 ( AC )( BD)(34). Результирующая подстановка ( AC)(BE)(DF )(15) является автоморфизмом графа S4.

Рассмотрим граф S5 II1 65341. Относительно автоморфизма t имеем три класса транзитивности вершин графа II1. Перестановка вершин E и F с последующей подстановкой ( AD)( BC) приводит к ав томорфизму ( AD)( BC)( EF ) графа S56. Перестановка вершин D и F, с предварительной перестановкой вершины D на место E подстановкой a, приводит к следующей схеме:

S56 III 5632 63541 III 6354 S3 t a ( EF ) III13 63541 II1 65341 S56, a где S3 t3 ( AB)(24)(35). Результирующая подстановка ( AE)(DF )(13)(25) является автоморфизмом графа S56.

Рассмотрим граф S6 II1 65342. Подстановка t 2 является авто морфизмом графа II1, сохраняющим вершину F. Перестановка вершин E и F с последующей подстановкой ( AD)( BC) приводит к автомор физму ( AD)( BC)( EF ) графа S6. Перестановка вершин D и F, с пред варительной перестановкой вершины D на место E подстановкой a, приводит к следующей схеме преобразований:

S6 III 5632 62541 III 6254 S a ( EF ) III 5632 62541 II1 65342 S6, где S32 ( AB)(CD)(25)(34). Ре a зультирующая подстановка ( AE)(BC)(DF )(15)(23) является автомор физмом графа S6. В итоге, различные раскраски ребер полного 6-графа без петель в число цветов =6, близкие к минимальной раскраске в пять цветов, Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, возможны пятью способами: графы S2, S36, S4, S56, S6. Группа авто 6 6 морфизмов графа S2 имеет порядок 8 и образующие ( ACBD)(2453), ( AD)( BC)( EF )(25). Группа автоморфизмов S36 имеет порядок 2 и обра зующую ( AB)(CD)(34)(56). Группа автоморфизмов S4 имеет порядок и образующие ( AB)(CD)(34)(56), ( AD)(BC)(EF )(56), ( AC)(BE)(DF )(15).

Группа автоморфизмов S56 имеет порядок 16 и образующие ( AB)(CD)(34)(56), ( AD)(BC)(EF )(56), ( AE)(DF )(13)(25). Группа ав томорфизмов S6 имеет порядок 16 и образующие ( AB)(CD)(34)(56), ( AD)(BC)(EF ), ( AE)(BC)(DF )(15)(23).

Продолжение работы может быть связано с перечислением раз личных минимальных и близких к ним раскрасок ребер полного 7 графа без петель.

УДК 517.9 (076) В.Н. КЕТИКОВ, А.М. ФЕДОСЕЕВ Пермский государственный технический университет ПОЛУЧЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ХА РАКТЕРИСТИК СЛОЖНЫХ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Предлагаются некоторые подходы определения экстремальных харак теристик кинетики сложных химических реакций с учетом выбранного мето да математического моделирования. Для аналитических решений приведены иллюстрации зависимостей концентраций реагирующих веществ ci (t ), i 1, 2,..., n от времени t (при экстремальных значениях входящих фи зико-химических параметров). Проведен краткий анализ полученных резуль татов.

При математическом моделировании химической кинетики цен тральное место занимают вопросы, связанные с исследованием физи ко-химических параметров, входящих в рассматриваемую динамиче скую систему. Проведенный нами анализ [1,2] показывает, что для описания процессов химического превращения веществ используют системы дифференциальных уравнений (СДУ), как линейные, так и нелинейные, которые ввиду громоздкости и большого объема вычис лений приходится решать с использованием ЭВМ численными мето Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, дами. Аналитические решения СДУ можно получить лишь для узкого класса прикладных задач.

В рамках данной статьи остановимся на исследованиях физико химических параметров для полученных аналитических решений. Сре ди параметров рассмотрим экстремальные характеристики зависимо сти концентраций реагирующих веществ ci (t ), i 1, 2,..., n от времени t.

Вначале сделаем предварительные замечания. Отметим, что ис следования экстремальных характеристик сложных химических реак ций прикладных задач химической кинетики проводят в двух направ лениях [2]. Первое направление предполагает проведение исследова ния на экстремум для случая функции одной переменной (когда функ ции ci (t ) разрешены в явном виде для данной интегральной кривой) во всей области D определения функции f ci (t ), или на локальный экс тремум этих функций на некотором рассматриваемом интервале (a, b)D. Второе направление связано с исследованием функций несколь ких переменных на локальный экстремум (или условный экстремум) в некоторой замкнутой области G, ограниченной непрерывным замкну тым контуром (или несколькими непрерывными контурами G1, G2,..., Gm ), а сами функции задаются в неявном виде. Такие иссле дования достаточно проводить средствами обычного математического анализа, подробно изложенными, например, в работе [4].

Отметим, что второе направление, с точки зрения химической технологии, представляет важный практический интерес, так как зада чу исследований этого направления можно условно считать обратной к задаче Коши (определение констант интегрирования систем диффе ренциальных уравнений при заданных начальных условиях (ci (t ) c0i (t ), i 1, 2,..., n) ).

Сформулируем ее кратко.

Задача. Каким условиям должны удовлетворять константы ин тегрирования С1, С2,..., Сm системы дифференциальных уравнений (5), а следовательно, и начальные условия С1 С1 (0), С2 С2 (0),..., Сm Сm (0) (или начальные концентрации реагирующих веществ в реакции), чтобы при их надлежащем выборе получить на выходе мак симальное (минимальное) количество продуктов реагирующих ве ществ.

Следуя работе [4], опишем схему исследования функции ci (t ) на условный (локальный) экстремум. Если функция f (c1 (t ), c2 (t ),..., cn (t )) дифференцируема в точке N (a1, a 2,..., an ), то она может иметь в точке Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, N (a1, a2,..., a n ) внутренний максимум или минимум лишь при условии, когда ее первый дифференциал df обращается в этой точке в нуль, т.е.

когда выполнены следующие условия:

f f f 0, 0,..., 0, (1) c1 (t ) c2 (t ) cn (t ) при c1 (t ) a1, c2 (t ) a2,..., cn (t ) an (необходимые условия экстрему ма).

Если функция f (c1 (t ), c2 (t ),..., cn (t )) имеет в некоторой окрест ности точки N (a1, a2,..., an ) непрерывные вторые частные производные и если в этой точке выполнено условие (1), то в случае, когда второй дифференциал 2 f nn d 2 f X i X k (2) i 1 k 1 ci (t )ck (t ) N ( a1, a 2,..., a n ) есть отрицательно определенная квадратичная форма, функция f (c1 (t ), c2 (t ),..., cn (t )) имеет в точке N (a1, a2,..., an ) максимум, а в слу чае, когда (2) есть положительно определенная квадратичная форма, функция f c1 (t ), c2 (t ),..., cn (t ) имеет в этой точке минимум (достаточ ные условия экстремума).

Максимумы и минимумы действительной функции f (c1 (t ), c2 (t ),..., cn (t )) переменных c1 (t ), c2 (t ),..., cn (t ), подчиненных достаточно гладким дополнительным условиям [4] в виде m n урав нений связи 1 (c1 (t ), c2 (t ),..., cn (t )) 0, 2 (c1 (t ), c2 (t ),..., cn (t )) 0,..., m (c1 (t ), c2 (t ),..., cn (t )) 0 (3) можно найти, исключив m из n переменных c1 (t ), c2 (t ),..., cn (t ) с помо щью уравнений (3). Если непосредственное исключение m переменных невозможно или нецелесообразно, то применяют следующее необхо димое условие максимума или минимума функции при введенных ог раничениях (3):

... 0, (4) c1 (t ) c2 (t ) cn (t ) Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, где в (4) (c1 (t ), c2 (t ),..., cn (t )) f (c1(t ), c2 (t ),..., cn (t )) + m f j (c1 (t ), c2 (t ),..., cn (t )), j где m параметров f называются множителями Лагранжа;

n+m неиз вестных ci (t ) ai и f находят из n+m уравнений (3) и (4).

Проиллюстрируем описанный выше метод нахождения экстре мумов функции (экстремумов концентраций веществ ci (t ), i 1, 2,..., n химических реакций) на конкретных примерах работы [2].

Пример 1. Найти концентрации c1, c2, c3 реагирующих веществ для реакций типа 1 [2] при постоянной температуре Т Т о const и приведенных скоростях реакций k1 k2 k3 1 для заданных началь * * * 1 1 ных условий: у1 (0) ;

у2 (0) ;

у3 (0). Исследовать полученные 2 4 кривые на экстремум.

Решение. В работе [2] система нелинейных дифференциальных уравнений имела следующий канонический вид:

dу у2 у3, dx dу2 1 1 у12 у2, у1 (0), у2 (0), у3 (0), (5) dx 2 4 dу у12 у3.

dx Согласно работе [2] система (5) вполне разрешима, т. к. для нее выполнены условия теорем Осгуда и Каратеодори. В системе (5) при няты следующие обозначения:

у1 ( х) c1 (t ), у2 ( x) c2 (t ), у3 ( x) c3 (t ), t x.

Система (5) решена методом интегрируемых комбинаций [3]. Ее решения получены (для соответствующих начальных условий) в виде:

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, у1 ( х) 1 е х, 1 у2 ( х) 1 ( х )е х е 2 х, (6) 2 1 2 х у3 ( х) 1 хе х е.

Исследуем частные решения (6) для системы (5) на экстремум средствами математического анализа [4]. Для этого составим необхо димые условия (1) для (6):

1 х у1 ( х) е 0, 1 у2 ( х) ( х )е х е 2 х 0, (7) 2 1 х 1 2 х у3 ( х) ( х )е е 0.

2 Из (7) следует, что первая интегральная кривая решений у1 ( х ) не имеет критических точек на интервале R, а следовательно, для нее и нет точек экстремумов.

Поскольку у1 ( х) 0 всюду в R, у1 ( х ) является монотонно воз растающей функцией в R и достигает своего наибольшего значения в правом конце рассматриваемого интервала при х. Подсчитаем его: у1наиб lim(1 e x ) 1.

x Соответственно, своего наименьшего значения у1 ( х ) достигает в левом конце R, и, следовательно, 1 у1наим lim (1 e x ).

x 0 0 2 Для кривой у2 ( х) получим, что у2 ( х) 0 при х1 0 – есть кри тическая точка. Составим вторую производную:

3 у2 ( х) е х x е 2 х.

2 Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, При х1 0 получим значение у2 (0) 0, следовательно, точка х1 0 является для у2 ( х) точкой минимума, т.е. у2мин.

Аналогично исследуем интегральную кривую у3 ( х). Поскольку у3 ( х ) 0 при х2 1, 2, то точка х2 1, 2 является для нее критической.

Составим для интегральной кривой у3 ( х) вторую производную х 2 х у3 ( х) е (2 х) е. Подсчитаем ее значение у3 (1,2)=2,130. Сле довательно, точка х2 1, 2 является для интегральной кривой у3 точ кой минимума, т.е. у3мин 0, 25.

Качественный график зависимостей у1 ( х), у2 ( х) и у3 ( х) от х t проиллюстрирован на рис.1.


y(x) 1, 1, y1(x) y3(x) y2(x) y3 ( x ) 0, 0, x 1,0 1, -0, Рис.1. Качественный график зависимостей у1 ( х ), у2 ( х ) и у3 ( х) от х t Сделаем одно важное замечание по рис.1. Исходя из физического смысла задачи (с учетом ограничений, накладываемых на параметры 0 c1 ( х), c2 ( х), c3 ( х) 1 и t x 0 ) [3], кривую у3 ( х ) c3 ( х ) следует скорректировать путем изменения начальных условий рассматривае мой задачи (на графике она изображена пунктирной линией у3 ( х) ).

Пример 2. Используя результаты примера 1, исследовать на ус ловный экстремум функцию, которая является произвольной линейной комбинацией ее решений вида (6).

Решение. Применим для исследований метод множителей Ла гранжа [4]. Составим функцию Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, ( х, С1, С2, С3 ) у1 у2 у3, (8) где С1, С2, С3 произвольные константы, подлежащие определению;

,, – произвольные числа.

Зададим коэффициенты (8), например в виде 1, 1, 2.

Тогда функция ( х, С1, С2, С3 ) имеет следующий вид:

x, C1, C2, C3 C1 3C12 3C2 e x 6C1C2 xe x 3C3e x 3C2 e2 x 2.

Составим теперь функцию Лагранжа:

L x, C1, C2, c3, x, C 1, C2, C3 x, C1, C2, C3. (9) Примем в (9) функцию x, C1, C2, C3 в виде C12 C2 C3 1 0.

2 Тогда функция L будет иметь окончательный вид:

L x, C1, C2, C3, C1 3C12 3C2 e x 6C1C2 xe x 3C3e x 3C3e x (10) 3C2 e2 x C12 C2 C3 1.

2 2 Для заданной функции (10) составим условия (1) и получим сис тему уравнений для определения неизвестных x, C1, C2, C3,.

В нашем случае она имеет следующий вид:

3C2 6C1C2 6C1C2 x 3C3 6C2 e x 0, x 1 6C1 6C2 xe 2C1 0, x (11) 3e 2C3 0, C1 C2 C3 1 0.

2 Система (11) является нелинейной и, кроме того, трансцендент ной. Аналитические решения ее найти чрезвычайно сложно. Для ее ис следований использовали численный метод НьютонаРафсона реше ния систем нелинейных алгебраических уравнений. При шаге поиска решения h=0,01 за 15 итераций был получен вектор значений ее реше ний U 18,539;

1;

0;

0;

3,5.

Для исследований (в рамках рассматриваемой статьи) ограни чимся некоторыми частными случаями системы (11).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Случай 1. Пусть C3 0, x 2 с.

Тогда функция (10) имеет вид L C1, C2 C1 3C12 0, 408C2 1, 632C1C2 0, 054C2 C12 C2 1. (10а) 2 2 Составим систему по схеме (11):

1 6C1 1, 632C2 2C1 0, 1, 632C1 0,816C2 0,108C2 2C2 0, (11а) C1 C2 1 0.

Решая систему (11а), например, методом исключения неизвест ных, получим первый вектор решений в виде U1 1,138;

0,543;

2,171. (11б) Случай 2. Пусть теперь C2 0, x 2 c.

Тогда соответствующая система (11) имеет следующий вид:

1 6c1 2с1 0, 0, 408 2с3 0, (11в) с1 с3 1 0.

Ее решения дают соответственно второй вектор значений U 2 1, 003, 0, 0815, 2, 5. (11г) Таким образом, для векторов решений (11б) и (11г) получим две p1 1,138;

0,543, соответствующие точки с координатами p2 1,003;

0,0815 и значениями 1 2,171 и 2 2, 5 соответст венно.

При выполнении условий (1) квадратичная форма (2) (для слу чая функции двух переменных относительно C1 и C3 ) имеет следую щий вид:

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, ( p0 ) y ( p0 ) 0 x ( p0 ) Lxx ( p0, 0 ) Lxy ( p0, 0 ).

(12) x y ( p0 ) Lxy ( p0, 0 ) Lyy ( p0, 0 ) Индексы дифференцирования x, у в (12) совпадают с определяе мыми константами C1, C2, C3.

Для случая (1) рассматриваемого примера определитель имеет вид формулы (12) и равен 1 159,8 0, (12а) а для случая 2 определитель имеет значение 2 125,9 0. (12б) Таким образом, из (12а) и (12б) следует, что точка p1 1,138;

0,543 являлась точкой условного максимума функции Ф, а точка p2 1, 003;

0, 0815 – точкой условного минимума.

В заключение дадим геометрическую интерпретацию примера 2.

Функция L C1, C2, построенная для случая 1 в виде (10а), задает в пространственной системе координат некоторую поверхность в ска лярном поле, один из уровней которой определяется фиксированным значением 1 const. Значение x 2 С определяет секущую плос кость к данной поверхности, в сечении которой получается некоторая кривая, описываемая уравнением в явном виде C2 C1. Аналогич ные рассуждения справедливы и для случая 2 рассматриваемого при мера. На рис. 2 приведены графики сечений C2 C1 и C3 C1, там же изображены точки условных экстремумов p1 и p2, найденные для частных случаев. Совокупность всех поверхностей уровней при произвольных значениях задает рельеф данных функций в некото ром скалярном поле.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, C2 C 2,171 2, x t 2С x t 2C 1,138 1, 0 C1 C 1,0 1,2 1,0 1, C3 C 0,543 0, p 1,0 1, C2 C1 p Рис. 2. Графики сечений C2 C1 и C3 C БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Федосеев А.М., Кетиков В.Н. Аналитические и численные ме тоды решения дифференциальных уравнений, описывающих кинетику химических реакций: учеб. пособие;

Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 2004. – 48 с.

2. Федосеев А.М., Кетиков В.Н. Функции комплексного пере менного и их приложения: учеб. пособие. Ч.2. Пермь, 2007. – 145 с.

3. Кетиков В.Н., Федосеев В.М. О разрешимости некоторых не линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений кине тики сложных химических реакций // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. – 2005. – С.3843.

4. Корн Г. Справочник по математике.– М.: Наука, 1978. – 831 с.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, УДК 658.5.012+ В.П. КАРАНДАШОВ, Е.В. ЗАДОРОЖНАЯ Пермский государственный технический университет РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВЫБОРЕ РИСКОВЫХ СИТУАЦИЙ В СТРАХОВАНИИ В работе рассмотрены решения задач об оптимальном выборе риско вых ситуаций в страховании при оценке минимальной величины собственных средств, оптимального страхового взноса с учетом кривой спроса, макси мальной полезности без явного учета вероятности разорения в случае нор мальной модели суммарного риска для однородной группы клиентов. Пока зано, что распределение суммарного риска для однородной группы парамет рически зависит от коэффициента нагрузки, имеющего смысл спроса на стра ховой продукт.

Рассмотрим задачу нахождения минимальной величины собственных средств. Представим математическую постановку и решение задачи.

Пусть на основе предыдущего опыта страховщик полагает, что объем портфеля однотипных договоров (т.е. их количество), которые удастся заключить на предстоящий страховой период, распределен по закону Пуассона с параметром n. Среднее и дисперсия ущербов кли ентов равны, соответственно, M 1 и 1, задан коэффициент нагрузки страховщика. Известно, что значение n достаточно высоко и дости гает 100. Найти явную формулу минимального объема собственных средств S*, гарантирующего заданную вероятность неразорения, как функцию от n, и определить ее интервалы монотонности.

Численность группы клиентов рассматривается как случайная ве личина P(n). Предполагается, что X i независимы от. Ограни чение на вероятность неразорения в данном случае означает P S D X P S (1 ) M X.

Предположение о случайности числа клиентов приводит к тому, что суммарный взнос D d d является случайной величиной.

i Поэтому для расчета вероятности неразорения P{S D X } = Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, P{S X D} необходимо знать функцию распределения величины X D (Xi d).

i Посколку d (1 ) M 1, E[ X 1 d ] M 1, E[ X1 d ]2 1 2 M12.

Воспользуемся нормальной аппроксимацией, так как значение n достаточно велико. Тогда вероятность неразорения P{X D S} M, (S ), где M nM 1, n(1 2 M 12 ).

Откуда S* () x.

Т.о. задача сводится к нахождению -квантиля нормального распределения F (S ), т.е. найти решение x уравнения M, ( S ).

Воспользуемся приемом линейного преобразования нормальной случайной величины:

S S M S M M, ( S ) P{ S} P{ } ( ).

После вычисления xN -квантиля стандартной нормальной функции распределения ( x) — находим -квантиль x нормальной S M M, ( S ) ( функции распределения ), по формуле x x M, тогда N S* x M n(1 2 M 12 ) x nM 1.

N 2 N (1) Рассмотрим S* S* (n) как функцию от действительного пере (1 2 M12 ) x 2 N менного n (0, ). Поскольку S* (n) убывает на (2 n ) M (0, ), S* ( n) — вогнутая функция, имеющая единственный максимум в точке x (1 2 M 12 ) N n [ ]2, 2 M после которой S* ( n) убывает.

Найдем точки пересечения функции S* ( n) с осью абсцисс.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Приравняем S* к нулю: S* n(1 2 M 12 ) x nM 1 0, преоб 2 N n 2 (1 2 M 12 ) x n 0, откуда находим n 0 и M разуем 2 N (1 2 M 12 ) x 2 N 4n.

n M 1 10, M 1 1, 0, 2, x 2,5, тогда Допустим, что N n 3906, 4n 15625.

По формуле (3.1) находим, что S* 781,56.

Построим график зависимости минимального объема собствен ных средств от численности группы (рис. 1).

Рис. 1. Минимальный объем собственных средств в зависимости от численности группы Из формулы (1) и рис.1 видно, что мелкая компания, у которой число клиентов n n', должна преодолеть своеобразный барьер в про цессе своего роста: при приближении к n' величина S* ( n) растет и рисковая ситуация в этом смысле ухудшается до тех пор, пока n не станет равным n'. На интервале же [n',) при увеличении n минималь ный собственный резерв S* ( n) довольно быстро убывает (со скоро стью (1 2 M 12 ) x / (2 n ) M 1 ). Таким образом, можно сказать, 2 N что в классе относительно крупных компаний (n n') страховщик, имеющий более многочисленную группу клиентов, способен обойтись малыми резервами, поддерживая основную часть страхового покрытия за счет взносов клиентов, в то время как его конкурент обязан создать больший резерв собственных средств.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Рассмотрим задачу оптимизации страхового взноса с учетом кри вой спроса. Представим математическую постановку с решением зада чи.


Рассмотрим задачу оптимизации страхового взноса d в форму лировке типа I, в которой предполагается, что страховщику известна детерминированная количественная зависимость численности группы клиентов n n1 (d ) от страхового взноса (цены полиса) d. Предпола гается, что группа клиентов однородна. В качестве минимизируемого критерия выбрана величина собственных средств компании S в стра ховом покрытии. Известно распределение риска (используется нор n(d ) мальная модель суммарного риска) X d X i, параметрически зави i сящее от n(d ), где n() — заданная функция спроса от страхового взноса d, который можно менять в заданном диапазоне d [d, d ].

X d распределен нормально с параметрами n(d ) M 1 и n(d )1. Требует ся определить параметры страхования ( S *, d * ), обеспечивающие за данный уровень надежности при минимальном объеме собственных средств. Решить задачу в предположении, что функция спроса экспо ненциальна, т.е. n(d ) A exp(rd ).

Поскольку d (1 ) M 1, где M 1 — фиксированный средний d ущерб клиента, можно рассмотреть функцию n() n1 ( 1). Данная M функция определена на интервале [d / M1 1, d / M1 1]. Таким обра зом исходная задача может быть сведена к задаче нахождения пара метров страхования (S*, * ).

Заданный уровень надежности в данном случае означает:

P S D X P S (1 ) M X. (2) Обозначим через x квантиль порядка распределения F(х), т.е.

по определению минимальный обобщенный корень уравнения F(х) = или x inf x : F ( x 0), F ( x). Тогда из (3.2.1) с учетом задан ного ограничения [d / M1 1, d / M1 1] получим неравенства, ко торые определяют искомую область (S, ) R2 : S (1 )M x, d / M1 1 d / M1 1.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Из первого неравенства S (1 )M x сразу же следует выра жение для минимального объема капитала при фиксированном :

S* () x M M, (3) которое есть частный случай функции S* ().

В силу ограничений [d / M1 1, d / M1 1] под X понимает ся заданное распределение риска X d.

Тогда исходная задача сводится к одномерной задаче минимиза ции S* () min, [d / M1 1, d / M1 1], (4) и найденная точка минимума * вместе с S* S* (* ) дает искомые па раметры страхования.

Отметим, что в силу закона спроса функция n() убывает по, тогда x () и среднее M () — неубывающие функции, и минимум их разности в (4) может достигаться как в граничной, так и во внутренней точке допустимого интервала.

Учитывая, что среднее и стандартное отклонение суммарного риска равны, соответственно, M () n() M 1, () n()1, и, пере ходя в задаче (4) к -квантилю стандартного нормального распреде ления x ( x () M ()) / (), получим, что целевая функция в (4) N имеет вид S* () x 1 n() M1n().

N (5) Подставляем выражение для n() в (3.2.4):

r S* () x 1 A exp( ) M1A exp(r ) N x 1 r N M1 A exp(r )( exp( ) ).

AM x 1 r N S* () M1 A exp(r)( exp( Обозначим через )).

(M A ) Продифференцируем по :

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, r r r S* () M 1 Ar exp(r )( exp( )) M 1 A exp( r )(1 exp( )) 2 2 r r M 1 A exp(r )[1 r exp( )].

2 Поскольку M 1 A exp(r ) 0 и выражение в скобках есть возрастаю щая функция от, то согласно свойствам функции распределения S* () унимодальна вверх (строго), причем единственный ноль S* ( ) на (0, ): S ( 0 ) 0 дает точку максимума S* () на этом интервале.

Решение рассматриваемой задачи минимизации (4) есть одна из крайних точек отрезка [, ] :

d / M 1 1, при 0 d / M 1 * {d / M 1 1;

d / M 1 1} при d / M 1 1 0 d / M 1 при 0 d / M 1 d / M 1 1, Тогда величина страхового взноса, обеспечивающая минимум функции S* ( d ), будет определяться из формулы d, при d 0 d d * {d, d }, при d d 0 d, d, при d 0 d где d 0 (1 0 ) M1.

Основную трудность здесь представляет нахождение стационар ной точки 0, что связано с необходимостью решения нелинейного уравнения r r 1 r exp( ) 0.

2 Для примера рассмотрим случай, когда r 2, 1, рассматри вается промежуток значений d равный [10;

30], M 1 10, A 0,1.

Тогда из уравнения exp 1 2 находим 0 1 и d 0 20. Та ким образом, минимум функции S* (d ) достигается в одной из гранич ных точек, в данном случае в точке d 30 (рис. 2).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Рис. 2. Зависимость объема собственных средств от цены полиса при экспоненциальном спросе Рассмотрим задачу оптимизации нагрузки в формулировке ти па II без явного учета вероятности разорения, считая критерием опти мальности экспоненциальную полезность остаточного капитала S D X, где размер собственного капитала S предполагается фик сированным, суммарный взнос есть (детерминированная) величина, равная D (1 ) M () :

J () E exp c[ S (1 ) M () X ()] max, [, ]. (6) Здесь с 0 заданный показатель неприятия риска, а является управляемым параметром на множестве A [, ]. Распределение суммарного риска рассматриваемой однородной группы клиентов X параметрически зависит от коэффициента нагрузки через n() положительный параметр, имеющий смысл спроса на страховой про дукт, который линейно входит в выражение для среднего риска M ( ) E X n ( ) M 1.

Рассмотрим решение оптимизационной задачи (6) для нормаль ной модели суммарного риска однородной группы клиентов, предпо лагая, что кривая спроса экспоненциальна n() A exp(r), где A, r 0.

Определим численные значения оптимального коэффициента на грузки этой задачи, если размер страховой выплаты детерминирован и равен m 10, вероятность страхового случая p 0,01, мера осторож Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, ности страховщика c 0,5, величина собственного капитала S 100, а кривая спроса n() 300e, [0.1, 2].

Пусть для каждого [, ] суммарный риск группы клиентов X распределен нормально со средним M () n() M 1 и дисперсией 2 n()1. Требуется найти коэффициенты нагрузки, дающие мак симальное значение экспоненциальной полезности в (6) для экспонен циальной функции спроса u(Y ) exp(cY ).

Найдем выражение для целевой функции в (6):

J () E exp c[ S (1 ) M () X ] exp c[ S (1 ) M ()]Eexp cX.

Поскольку случайная величина X распределена нормально, exp(cX E[exp(cX )] ) exp[( X M ) 2 / (22 )]dX.

2 Складываем показатели экспонент и выделяем полный квадрат ( X M )2 2 2 cX X 2 2 X M M exp[cX 2 ] exp[ ] 2 X 2 2( M 2 c) X ( M 2 c) 2 ( M 2 c) 2 M exp[ ] ( X ( M 2 c)) 2 M 2 2 2 cM 4 c 2 M exp[ ] ( X ( M 2 c)) 2 2 c exp[ ] exp[cM ].

22 2 c 2 Получим, что правая часть есть exp[cM ] ( X ( M 2 c)) exp[ ].

Интеграл от плотности нормального распределения равен едини це, поэтому 2 c E[exp(cX )] exp[cM ].

Тогда ожидаемая экспоненциальная полезность J () exp c[ S (1 ) M ()]Eexp cX exp c[ S (1 ) M () M () 2 c / 2] exp c[ S n() M 1 n()1 c / 2)].

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Прологарифмируем функцию J () :

ln( J ()) c[S n()M1 n()1 c / 2)] c[S M1 (n() n()1 c / (2M1 ))].

Таким образом, исходная задача максимизации функции J () сводится к минимизации функции I () n() N n() на [, ], где N c1 / (2M1 ). В случае экспоненциальной функции спроса n() A exp(r) оптимальная точка * определяется формулами.

Заметим, что параметр положителен, так как из неравенства Йенсена для строго вогнутой функции ln y имеем ln E exp(cX 1 ) EcX 1 cM 1 0.

При дифференцируемой n() производная I () равна I () n() (n() n()). (7) Подставим в (7) экспоненциальную функцию спроса n() :

I () rAe r Ae r rAe r Ae r (( )r 1).

Поскольку сомножитель в скобках есть возрастающая функция от на [0, ) критерия унимодальности (7), следует, что I () унимо дальна вниз. По свойствам функции распределения вытекает унимо дальность вверх исходной функции J () exp[cM 1 I () cS ].

Единственное решение уравнения I () 0 на этом интервале, (8) r Поэтому единственной точкой минимума I () (а значит, точкой максимума J () ) на [, ] будет, при *, при. (9), при Следует, что величина N линейно возрастает с ростом с пока зателя осторожности страховщика, и из (8), (9) следует, что для доста Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, точно больших значений с необходимо получим, что оптимальный * совпадает с верхней границей допустимых коэффициентов нагруз ки. Это объясняется тем, что боязнь больших значений риска X за ставляет страховщика уменьшать его среднее n() M 1, т.е. в итоге уменьшать число клиентов, несмотря на потери в сумме собираемых взносов D (1 )n() M 1.

Для наглядности приведем фрагмент графика на промежутке [1,9;

2] (рис. 3).

Рис. 3. Стационарная точка В заключение можно сказать, что оптимум в решаемой задаче до вольно чувствителен к выбору модели. При малых значениях c ре зультаты практически совпадают, а при малой вероятности страхового случая p это различие для нормальной модели весьма ощутимо.

При разумном поведении человек не ставит задачу извлечь выго ду из неблагоприятного случая. Исключительно к подобного рода со бытиям апеллирует страхование и, таким образом, попадает, на первый взгляд, в двусмысленное положение, т.е. бизнес, который берется за решение проблем такого рода, как бы ставит себя в рамки этически не дозволенные. С другой стороны, предусмотрительность определяет поведение живого существа, особенно человека, в каждый момент его жизнедеятельности. Надежность экономической деятельности подкре пляется страхованием именно потому, что имеет законные основания защиты. Таким образом, страхование становится необходимым эле ментом, сопутствующим экономической деятельности не только из-за Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, страха потерять жизнь, богатство, но и в целях их сохранения (приум ножения).

Неопределенность и способы принятия решений – главные зада чи страховой деятельности в процессе возмещения ущерба. Таким об разом, методы страховой защиты коммерческого страхования пред ставляют интерес для всех видов деятельности, претендующих на вы живание, так как оно принимает на себя риски вовсе не из альтруисти ческого интереса и, как любой вид деятельности, предрасположено к риску. Стало быть, для того, чтобы принять на себя риск, необходимо оценить его тяжесть и способность обеспечения обязательств по его удовлетворению.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Альбрехт Э.Г. Методы оптимизации. Введение в теорию ре шения экстремальных задач. М.: Наука, 1995. 150 с.

2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных за дач. – М.: Наука, 1980. 100 с.

3. Голубин А.Ю. Математические модели в теории страхования:

построение и оптимизация – М.: Анкил, 2003. 160 с.

4. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические ос новы теории риска: учеб.пособие.М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 544 с.

5. Новоселов А.А. Математическое моделирование финансовых рисков: Теория измерения. – Новосибирск: Наука, 2001. – 102 с.

6. Хованов Н.В. Математические модели риска и неопределенно сти. – СПб.: Изд-во–С.-Петербургского ун-та, 1998. – 304 с.

7. Шахов В.В., Медведев В.Г., Миллерман А.С. Теория и управ ление рисками в страховании. – М.: Финансы и статистика, 2003. – с.: ил.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, УДК 658.5.012+ В.П. КАРАНДАШОВ, А.А. МАТВЕЕВА Пермский государственный технический университет МЕТОД СЦЕНАРИЕВ В ОЦЕНКЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ В работе приведен пример решения задачи оценки инвестиционного проекта на основе метода сценариев. Составлен алгоритм, использующий сценарный подход совместно с анализом чувствительности факторов проек та, влияющих на его эффективность, минимаксным подходом из теории игр и нечетких множеств.

Инвестиционный проект — экономический или социальный про ект, основывающийся на инвестициях;

обоснование экономической целесообразности, объема и сроков осуществления прямых инвестиций в определенный объект, включающее проектно-сметную документа цию, разработанную в соответствии с действующими стандартами.

При разработке инвестиционного проекта возникает множество сложностей, связанных в основном с тем, что используемые при оцен ке денежные потоки относятся к будущим периодам и имеют прогноз ный характер. Неопределенность прогнозируемых результатов приво дит к возникновению риска того, что цели, поставленные в проекте, могут быть не достигнуты полностью или частично.

В настоящее время существует большое число различных опре делений самих понятий «риск» и «неопределенность». Риск имеет ме сто тогда, когда некоторое действие может привести к нескольким взаимоисключающим исходам с известным распределением их вероят ностей. Если же такое распределение неизвестно, то соответствующая ситуация рассматривается как неопределенность.

При работе с инвестиционным проектом перед инвестором стоит множество задач, в том числе и оценка риска проекта. В данном на правлении реализовано множество методов и подходов как качествен ных, так и количественных. В настоящее время почти ни одни из алго ритмов оценки риска инвестиционного проекта не используются само стоятельно. Реальность такова, что наиболее полно оценить риск инве стиций возможно только при комплексном подходе, а комбинируя не сколько известных методов в один алгоритм, можно максимально точ но оценить риск проекта.

Метод сценариев в классическом представлении предполагает описание опытными экспертами множества возможных условий реали Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, зации проекта и отвечающих этим условиям затрат, результатов и по казателей эффективности.

Наиболее часто строятся, как минимум, три сценария: оптими стический, пессимистический и наиболее вероятный (пессимистиче ский или средний).

Следующий этап реализации метода сценариев состоит в преоб разовании исходной информации о факторах неопределенности в ин формацию о вероятностях отдельных условий реализации и соответст вующих показателях эффективности или об интервалах их изменения.

На основе имеющихся данных определяются показатели экономиче ской эффективности проекта.

Основным недостатком реализации сценарного подхода является рассмотрение только нескольких возможных исходов по проекту. К тому же при определении вероятности того или иного сценария прихо дится делать предположения, что ставит под вопрос корректность всей оценки.

Тем не менее применение этого метода в комплексе с другими (анализ чувствительности, нечеткие множества) дает возможность ми нимизировать влияние человеческого фактора на результат.

Опишем один из возможных алгоритмов, состоящий из следую щих этапов:

1. Установить ключевые факторы проекта, оказывающие значи тельное влияние на показатель эффективности NPV. Для этого про вести анализ чувствительности по всем факторам в заданном интерва ле и выбрать те из них, изменения которых приводят к наибольшим изменениям NPV (табл.1).

Анализ начинается с установления базового значения результи рующего показателя (в нашем случае NPV) при фиксированных значе ниях параметров, влияющих на результат оценки проекта. Затем рас считывается процентное изменение результата (NPV) при изменении одного из условий функционирования (другие факторы предполагают ся неизменными). В качестве показателя чувствительности выберем дисперсию. n Var ( NPVi ) = (NPVti NPVi ) n.

Таблица t= Матрица чувствительности Значения результирующего показателя Дисперсия NPV Факторы –k2% –k1% 0% + k1% + k2% F1 NPV11 NPV 12 NPV13 NPV14 NPV15 Var(NPV1) F2 NPV21 NPV 21 NPV23 NPV24 NPV25 Var(NPV) F3 NPV31 NPV 32 NPV33 NPV34 NPV35 Var(NPV3) …. … … … … … … Fn NPVn1 NPVn2 NPVn3 NPVn4 NPVn5 Var(NPVn) Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Ключевыми факторами будут являться те, к изменениям которых наи более чувствительна эффективность проекта ( Fs ).

2. Рассмотреть возможные ситуации, обусловленные колеба ниями этих факторов. Для этого можно построить «дерево сценариев»

(рис.1) Проект Изменение Fs1 Изменение Fs2 Изменение Fs Рис. 1. «Дерево сценариев»

3. Следующим шагом принята эффективность проекта с учетом вероятности каждого сценария, причем вероятностные значения долж ны быть получены методом экспертных оценок:

n NPVож = NPVi pi, i= где NPVi – интегральный эффект при условии реализации i-го сцена рия, pi – вероятность этого сценария.

При этом риск неэффективности проекта ( Py ) оценивается как суммарная вероятность тех сценариев ( k ), при которых ожидаемая эффективность проекта ( NPV ) становится отрицательной:

Py = pk.

Вероятностное описание условий реализации проекта оправдано и применимо, когда эффективность проекта обусловлена, прежде все го, неопределенностью природно-климатических условий или процес сов эксплуатации и износа основных средств.

В тех случаях, когда ничего не известно о вероятности отдельных сценариев (интервальная неопределенность) или реализация любого из них вообще не является случайным событием и не может быть охарак теризована в терминах теории вероятности, используется минимакс ный подход, в частности так называемый критерий оптимизма пессимизма, предложенный Л. Гурвицем:

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, NPVож NPVmax (1 ) NPVmin, где NPVmax, NPVmin – наибольший и наименьший интегральный эф фект по рассмотренным сценариям;

0 1 специальный норматив для учета неопределенности эффекта, отражающий систему предпоч тений соответствующего хозяйственного субъекта в условиях неопре деленности (коэффициент оптимизма-пессимизма).

При = 0 коэффициент становится критерием Вальда (MAXIMIN) – минимизирует риск инвестора, однако при его исполь зовании многие инвестиционные проекты, являющиеся высокоэффек тивными, будут необоснованно отвергнуты. Этот метод искусственно занижает эффективность инвестиций, поэтому его использование целе сообразно, когда речь идет о необходимости достижения гарантиро ванного результата.

При = 1 коэффициент становится критерием крайнего опти мизма, ориентирующийся на наилучший из возможных сценариев, хо тя вероятность его реализации обычно не очень высока.

В условиях неопределенности широко распространенными ста ли методы, базирующиеся на теории нечетких множеств.

К методам, базирующимся на теории нечетких множеств, можно, в качестве частного случая, отнести давно и широко известный интер вальный метод. Данный метод соответствует ситуациям, когда доста точно точно известны лишь границы значений анализируемого пара метра, в пределах которых он может изменяться, но при этом отсутст вует какая-либо количественная или качественная информация о воз можностях или вероятностях реализации различных его значений внутри заданного интервала. В соответствии с данным методом вход ные переменные инвестиционного проекта задаются в виде интерва лов, функции принадлежности которых являются классическими ха рактеристическими функциями множества, поэтому далее возможно прямое применение правил нечеткой математики для получения ре зультирующего показателя эффективности проекта в интервальном ви де. В интервальном методе за уровень (степень) риска предлагается принимать размер максимального ущерба, приходящегося на единицу неопределенности, т. е.

NPVож NPVmin p=, NPVmax NPVmin Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, где NPVож – ожидаемое или требуемое значение параметра;

NPVmin – минимальное значение эффективности;

NPVmax – максимальное значе ние эффективности;

P – уровень (степень) риска, или отношение расстояния от требуемой величины до ее минимального (максимального) значения к интервалу между ее максимальным и минимальным значениями.

При помощи теории нечетких множеств разработан метод оценки риска неэффективности инвестиционного проекта консалтинговой группой «Максимов & Воронов»:

1 a V & M R (1 ln(1 a)), a NPVmin a, NPVож NPVmin NPVmin R.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.