авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального ...»

-- [ Страница 3 ] --

NPVmax NPVmin Рассмотрим реализацию этого метода на конкретном инвестици онном проекте. Решается задача об оценке риска и оценке эффективно сти инвестиционного проекта о приобретении компанией буровых ус тановок грузоподъемностью 320 метрических тонн в эшелонном блоч но-модульном исполнении.

Чистый денежный поток за период t описывается формулой NCF (t ) V (t ) Z (t ) F (t ) N (t ) R(t ) P(t ) Jz(t ) Jk (t ), где V (t ) – поступления от продаж;

Z (t ) – зарплата;

F (t ) – общие за траты;

N (t ) – налоги;

R(t ) – затраты на материалы и комплектующие;

P(t ) – выплата процентов по кредитам;

Jz(t ) – инвестиции в здания и оборудование;

Jk (t ) – инвестиции в оборотный капитал.

Стоит отметить, что при расчете чистый денежный поток берется с поправкой на инфляцию.

n NCFi NPV, n (1 r ) i ti ti где rti – ставка дисконтирования в период t i.

Используя анализ чувствительности, определим ключевые фак торы проекта (табл. 2).

Таблица Матрица чувствительности по проекту Дисперсия –5% –10% –15% 15% 10% 5% 0% Поступления от –772, 10017678,9 6 553,00 5 087,90 3 622,80 2 157,66 692,51 –2 237, продаж Затраты на материа 785386,0261 926,94 1 337,10 1 747,40 2 157,66 2 567,9 2 978,10 3 388, лы и комплектующие Зарплата 34003,01273 1 901,50 1 986,90 2 072,30 2 157,66 2 243,00 2 328,30 2 413, Общие затраты 1038673,02 742,33 1 214,10 1 685,80 2157,66 2 629,40 3 101,20 3 572, Налоги 128309,1202 1 660,20 1 826,00 1 991,80 2 157,66 2 323,40 2 489,20 2 655, Выплата процентов 6925,846576 2 042,00 2 080,60 2 119,10 2 157,66 2 196,10 2 234,70 2 273, по кредитам Инвестиции в зда ния, оборудование и 163686,76 1 595,80 1 783,00 1970,3 2 157,66 2 344,90 2 532,20 2 719, другие активы Инвестиции в обо Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 6314,068176 2 047,30 2 084,00 2 120,80 2 157,66 2 194,40 2 231,20 2 268, ротный капитал Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Эффективность проекта наиболее чувствительна к следующим факторам: поступления от продаж, затраты на материалы, колебания общих затрат (рис. 2).

Проект Колебания объема по- Колебания затрат на Колебания общих материалы затрат ступлений от продаж Рис. 2. Проект и влияющие на него факторы Сценарий 1. Колебания объема поступлений от продаж.

Ситуация 1. Объем поступлений от продаж увеличился на 20 %.

Ситуация 2. Объем поступлений от продаж остался неизменным.

Ситуация 3. Объем поступлений от продаж уменьшился на 20 %.

Критерий Вальда: NPVож = –2237,77.

Критерий крайнего оптимизма: NPVож =6553,09.

Степень риска неэффективности инвестиций V&M=0,079.

Сценарий 2. Колебания затрат на материалы.

Ситуация 1. Затраты на материалы увеличиваются на 20 %.

Ситуация 2. Затраты на материалы остаются неизменными.

Ситуация 3. Затраты на материалы уменьшаются на 20 %.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Критерий Вальда: NPVож = 926,94.

Критерий крайнего оптимизма: NPVож = 3 388,38.

Сценарий 3. Колебания общих затрат.

Ситуация 1. Общие затраты увеличиваются на 20%.

Ситуация 2. Общие затраты остаются неизменными.

Ситуация 3. Общие затраты уменьшатся на 20%.

Критерий Вальда: NPVож = 742,33.

Критерий крайнего оптимизма: NPVож = 3 572,99.

В результате исследования можно сделать вывод, что использо вание метода сценариев для оценки инвестиционных проектов дает возможность рассматривать проект при различных вариантах его реа лизации.

Рассматривая построенный алгоритм на наглядном примере, можно заключить, что метод сценариев дает весьма пессимистичные оценки для инвестиционного проекта. Стоит отметить, что метод сце нариев стоит использовать, когда количество вариантов конечно, а значения факторов дискретны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Недосекин А., Воронов К. Новый показатель оценки риска ин вестиций //Управление риском. – 2000. – №1. С.35.

2. Орлова Е.Р. Инвестиции: курс лекций – М.: Омега-Л, 2003. – 192 с.

3. Попова А.Ю. Оценка риска инвестиционного проекта. – URL:

ej.kubagro.ru/2006/03/07/.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, УДК 519.654:336. М.Г. БОЯРШИНОВ, Н.В. ПЕТЕРЛЕВИЧ Пермский государственный технический университет ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ «ЗАРПЛАТНОГО» (КАР ТОЧНОГО) ПРОЕКТА КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА Рассматривается методика оценки «зарплатного» проекта банка, реали зуемого для коммерческой организации. Для реализации методики проведено исследование изменения числа штатных сотрудников с течением времени для ряда организаций и выполнена аппроксимация полученных данных с исполь зованием метода наименьших квадратов. Приведены расчеты с применением стандартной и предложенной методик.

В европейских странах число банковских платежных карт быстро растет. Наиболее высокая интенсивность их использования – в Дании и Финляндии: на платежную карту в среднем приходится не менее одной транзакции в неделю. На третьем месте по этому показателю – Фран ция, которая по общему числу транзакций занимает первое место в Ев ропе. В Италии совершается в среднем около двух транзакций на карту в год. В пятерке европейских стран-лидеров использования банкоматов (Германия, Испания, Франция, Великобритания и Италия) установлено более 76 % от общего числа банкоматов в Европе. По плотности бан коматов на душу населения Испания занимает первое место в Европе.

Уже в 1997 г. на миллион жителей в этой стране приходилось 643 бан комата [1]. Страной с максимальным числом банкоматов на каждый миллион жителей (более 1 000) остается Япония [2].

Экспертами отмечается положительная динамика роста числа операций, совершенных в России с использованием платежных карт.

Согласно данным Центрального Банка РФ [1] число операций физиче ских лиц по банковским картам в четвертом квартале 2007 г. составило 465,9 млн, что на 34,3 % больше, чем за аналогичный период 2006 г.

Всего в 2007 г. на территории России было совершено более 1,6 млрд операций (рост по сравнению с 2006 г. составил около 36 %) на общую сумму более 6 трлн рублей. Показатель рыночного проникновения по России в 2007 г. составил примерно 0,6 карты на человека, по сравне нию с 0,11 в 2004 г. [3, 4]. Специфика российского карточного рынка заключается в том, что большая часть карточного бизнеса (до 90 %) реализуется через зарплатные проекты. Средний российский держа Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, тель совершает одну-две транзакции в месяц, и этот показатель остает ся практически неизменным с 2000 г. [2].

Экономические интересы банка при реализации зарплатного про екта заключаются в получении прибыли. Эта цель может реализовы ваться напрямую, через получение комиссий с предприятия за выпол нение банковских операций, и опосредованно, через использование остатков на счетах держателей карт для предоставления этих ресурсов в различных сегментах финансового рынка. Кроме этого, банкам зар платные проекты интересны существенным удешевлением выпуска карт, отсутствием необходимости тратить средства на рекламу, марке тинг, быстрым созданием обширной клиентской базы физических лиц, с которыми в дальнейшем можно эффективно работать, предлагая ши рокий спектр банковских розничных продуктов: ипотеку, автомобиль ные и потребительские кредиты, депозиты и пр.

Экономическая заинтересованность предприятия в использова нии карточных технологий понятна, поскольку:

– минимизируются расходы, связанные с организацией выплаты заработной платы (получение и хранение наличности, охрана денеж ных средств, пересчет и выдача наличных средств), поскольку эти функции берет на себя банк;

– сокращается бумажный документооборот и трудозатраты бух галтерии, повышается уровень конфиденциальности сведений о разме ре выплачиваемой заработной платы;

– исключается процедура депонирования и повторного получения в банке денежных средств, своевременно не востребованных сотруд никами;

– исключаются риски, связанные с возможными недостачами, хищениями, ограблениями, и прочие проблемы, обусловленные рабо той персонала предприятия с денежной наличностью;

– сокращаются потери рабочего времени на получение зарплаты сотрудниками предприятия.

Экономические интересы сотрудников предприятия – держателей банковских карт состоят в том, что карта должна быть, по крайней ме ре, не менее полезна и удобна, чем использование наличных денежных средств, а также предоставлять дополнительные преимущества: льгот ное кредитование, дисконтные и бонусные программы.

Реализация зарплатного проекта предполагает осуществление первоначальных вложений, ежегодные затраты, получение прибыли.

Как правило, в первое время после заключения зарплатного договора расходы банка превышают доходы, в связи с чем актуальным стано Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, вится вопрос: окупится ли зарплатный проект в обозримые сроки? От вет на этот вопрос необходимо дать до заключения договора между банком и предприятием.

На момент заключения договора, как правило, известны два важ ных показателя: численность сотрудников предприятия и размер ме сячного фонда оплаты труда (ФОТ). С использованием этих показате лей необходимо дать прогноз продолжительности периода окупаемо сти вложений в зарплатный проект и величины будущей прибыли бан ка.

Указанная задача формулируется следующим образом: зная чис ленность сотрудников предприятия и размер месячного ФОТ, оценить промежуток времени с даты начала реализации зарплатного договора до момента, когда реализуемый зарплатный проект начнет приносить прибыль.

В существующих методиках расчета окупаемости зарплатного проекта прибыль P(t) определяется как разность между доходами и расходами банка:

n1 n3 n P(t ) Di (t ) Ri Ri (t ), (1) i 1 i 1 i где Ri – единовременные затраты банка (покупка и доставка банкомата, инсталляция программного обеспечения для банкомата и прочие рас ходы;

n1 – число статей единовременных затрат);

Ri(t) – постоянные расходы банка (лицензия за программное обеспечение, инкассация и расходные материалы для банкоматов, дополнительные карты для со трудников предприятия, авторизация операций, страховой депозит, мониторинг, гарантийное обслуживание оборудования;

n2 – число ста тей постоянных расходов);

Di(t) – доходы банка (комиссия, годовое об служивание карт, использование привлеченных ресурсов;

n3 – число статей дохода).

Необходимо найти промежуток времени t*, по истечении которо го убытки от реализации зарплатного проекта сменятся прибылью, т. е.

решить уравнение P(t * ) 0 (2) или, с учетом выражения (1), Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, n1 n3 n Di (t * ) Ri Ri (t * ) 0. (3) i 1 i 1 i В существующих методиках [4] численность сотрудников пред приятия полагается неизменной. Между тем для банка прием на пред приятие новых сотрудников – это дополнительный доход за счет вы пуска новых карт, позволяющий ускорить процесс окупаемости зар платного проекта. С другой стороны, увольнение сотрудников сопро вождается утратой дохода за счет перевыпуска карт по истечении сро ка их действия, сокращением остатков на счетах банковских карт.

Неизменной полагается величина ФОТ и, соответственно, комис сионный доход банка. Однако, следует учитывать, что ФОТ предпри ятия может изменяться, поскольку кроме сумм, начисленных по та рифным ставкам или должностным окладам, в расходы на оплату тру да работникам могут включаться:

премии за производственные результаты, надбавки за профес сиональное мастерство, высокие достижения в труде и иные подобные показатели;

начисления стимулирующего характера за совмещение про фессий, расширение зон обслуживания;

денежные компенсации за неиспользованный отпуск;

единовременные вознаграждения за выслугу лет, за непрерыв ный стаж работы и прочие выплаты.

При увеличении размера оплаты труда доходы банка от реализа ции проекта растут, так как увеличиваются комиссионные сборы за реализацию проекта и размеры остатков денежных средств на счетах держателей. Учет указанных особенностей позволит не только уточ нять первоначальные расходы, но и корректировать их в соответствии с изменениями данных в ходе реализации зарплатного договора.

Для решения рассматриваемой задачи представляется необходи мым изучение динамики изменения штатной численности сотрудников коммерческих организаций, анализу которой в настоящее время уделя ется недостаточное внимание [6, 7]. В настоящей работе для установ ления количественной зависимости от времени числа сотрудников, принятых на работу в коммерческую организацию, использованы дан ные, полученные в результате опроса работников кадровых служб трех коммерческих организаций (рис.1). Рассматривалось изменение с тече нием времени числа тех сотрудников, которые состояли в штате орга низации на дату, принятую за начало отсчета (t = 0).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, N t 0 10 Рис. 1. Зависимость от времени t штатной численности N сотрудников трех коммерческих организаций Для построения аналитической зависимости от времени числа штатных сотрудников на основе указанных данных используется ме тод наименьших квадратов, при этом функция g(t), аппроксимирующая значения из табл. 1, строится в виде линейной комбинациии линейно независимых функций j(t):

m g t a j j t.

j Искомые коэффициенты aj выбираются таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений аппроксимирующей функции от заданных значений n F N ti g ti, i где n – число известных значений функции N(t). Предполагается, что для построения функции g(t) используется полином степени m, g t a0 a1t a2 t 2... am t m. (4) Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Таблица Зависимость от времени t числа N штатных сотрудников коммер ческих организаций Время t, мес Число N штатных сотрудников 0 42 45 1 42 45 2 40 45 3 40 43 4 34 43 5 34 42 6 33 42 7 30 42 8 30 42 9 30 40 10 30 39 11 27 39 12 27 39 13 27 38 14 27 38 15 26 36 16 26 36 17 26 36 18 24 35 19 24 35 20 24 34 21 24 34 22 19 34 Использование необходимых условий экстремума функции F не F 0, j 0, m, приводит к системе линей скольких переменных, a j ных алгебраических уравнений относительно неизвестных a0, a1,..., am.

В частности, для многочлена третьей степени, g (t ) a0 a1t a2t a3t, эта система уравнений принимает следую 2 щий вид:

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, n n n n a0 n a1 ti a2 ti 2 a3 ti 3 N ti, i 0 i 0 i 0 i n n n n n a0 ti a1 ti 2 a2 ti 3 a4 ti 4 N ti ti, i 0 i 0 i 0 i 0 i n (5) n n n n a ti 2 a1 ti3 a2 ti 4 a4 ti5 N ti ti 2, 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i n n n n n a ti 3 a1 ti 4 a2 ti 5 a4 ti 6 N ti ti 3.

i 0 i 0 i 0 i 0 i Для определения величин a0, a1, a2 и a3, входящих в систему ли нейных алгебраических уравнений (5), используются данные, приве денные в табл. 1. Получены значения коэффициентов для этой систе n n n n мы: ti 759, ti 2 11385, ti 3 192027, ti 4 3454209, i 0 i 0 i 0 i n n n t 647130099, ti 6 1246805505, N ti 2831, i i 0 i 0 i n n n N t t N t t N t t 29266, 426644, 7068658.

2 i i i i i i i i 0 i Решение системы линейных алгебраических уравнений (5) для приведенных в табл. 1 данных имеет вид: a0 49,3, a1 1,34, a2 0, 072, a3 0, 002, и зависимость (4) числа сотрудников от вре мени представляется в форме g (t ) 49,3 1,34t 0, 072t 2 0, 002t 3.

Значение квадрата отклонения аппроксимирующей функции от заданных значений составляет n F N ti g ti 7092, 6.

i Возможен иной вариант аппроксимации данных табл. 1 с исполь зованием зависимости g t et, (6) Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, где коэффициенты и также определяются с использованием метода наименьших квадратов. Для удобства последующих выкладок обе час ти выражения (6) логарифмируются:

ln g t ln et ln t.

Вводится обозначение a ln, что позволяет переписать преды дущее выражение в виде ln g t a t.

Сумма квадратов отклонений логарифмических значений функ ции g(ti) от величин ln Ni принимает вид 2 n n F ln Ni ln g t i ln Ni a ti, i 0 i где, как и в предыдущем случае, n – число заданных значений Ni. Ис пользование необходимых условий экстремума функции F нескольких переменных приводит к системе линейных алгебраических уравнений следующего вида:

n n an ti ln Ni, i 1 i n (7) n n a t t 2 t ln N.

i i i i i i 1 i Использование данных табл. 1 позволило определить значения n t 759, коэффициентов для этой системы уравнений: i i n n n ln N t t ln N 253, 6, 11385, 2738,3.

i i i i i i 0 i Решение системы линейных алгебраических уравнений (7) опре делило искомые величины: 17 103, a 3,863, откуда следует ea 48. Таким образом, получена аппроксимирующая зависимость числа сотрудников от времени в виде Y (t ) 48e 0,017 t.

Здесь коэффициент 48 определяет число сотрудников в на чальный момент времени, т. е. при t = 0, а функция e0,017t определяет характер изменения количества сотрудников организации с течением Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, времени. Полученная аппроксимирующая функция представлена на рис. 2.

N 0 5 10 15 20 t Рис. 2. Построение экспоненциальной аппроксимации;

–, о, – данные о количестве сотрудников, – аппроксимирующая функция – Для второго варианта аппроксимации среднеквадратичное откло нение составляет F 7231, 2.

Сравнение полученных значений среднеквадратических отклоне ний F для двух вариантов аппроксимации рассматриваемой зависимо сти показывает, что использование полинома в лучшей степени ап проксимирует экспериментальные данные. Однако недостатком этого варианта является то, что при значениях времени t 40 месяцев коли чество сотрудников становится отрицательным, т. е. функция теряет смысл. По этой причине целесообразно использовать экспоненциаль ную аппроксимацию, которая лишена отмеченного недостатка.

Для получения количественной оценки окупаемости зарплатного проекта по известной стандартной методике [5] принимается, что по стоянная штатная численность сотрудников предприятия составляет 200 человек, размер средней месячной заработной платы составляет тыс. руб.

Дополнительные исходные данные:

375 тыс.руб.

приобретение банкомата 21 тыс.руб.

инсталляция программного обеспечения для бан комата 7 тыс. руб.

источник бесперебойного питания 30 тыс. руб.

изготовление банковских карт в количестве Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, штук лицензия на программное обеспечение 9 тыс. руб.

расходные материалы для банкомата 6 тыс. руб.

затраты на инкассацию (месяц) 5 тыс. руб.

послегарантийное обслуживание банкомата 33 тыс. руб.

годовое обслуживание карты 125 руб.

комиссия банка (от размера месячного ФОТ) 0,8 % плата за авторизацию (от суммы операций) 0,2 % средний размер остатков на счетах клиентов (от 20 % размера месячного ФОТ) размер ставки по краткосрочному размещению 5% ресурсов Оценка окупаемости «зарплатного» проекта выполняется в сле дующей последовательности:

1. Единовременные затраты пер вого года (покупка банкомата, инстал ляция программного обеспечения для 375000 + 21000 + 7000 = банкомата, источник бесперебойного питания).

2. Затраты первого года (изготов ление карт, лицензия на программное 30000 + 9000 + 6000 + 60000 + обеспечение, расходные материалы +68400 = для банкомата, затраты на инкассацию, плата за авторизацию ФОТ х 95% х 0,2% х 12 месяцев).

3. Затраты второго года и после дующих лет (затраты первого года, по 173400 + 33000 = слегарантийное обслуживание банко мата).

4. Доход первого года и после дующих лет (комиссия банка ФОТ х 0,8 % х 12 месяцев, годовое обслужи- 288000 + 25000 + 30000 = вание карт, привлеченные ресурсы ФОТ х 20% х 5%).

5. Прибыль первого года (годо 343000 – (173400 + 403000) = вые доходы – годовые затраты – еди = – новременные затраты).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 6. Прибыль второго года (годо 343000 – 206400 – 233400 = вые затраты – годовые расходы + + = – прибыль/убыток предыдущего года).

7. Прибыль третьего года (годо вые затраты – годовые расходы + при- 343000 – 206400 – 96800 = быль/убыток предыдущего года).

8. Прибыль четвертого года (го 343000 – 206400 + 39800 = довые затраты – годовые расходы + = +прибыль/убыток предыдущего года).

9. Прибыль пятого года (годовые 343000 – 206400 + 176400 = затраты – годовые расходы + при = быль/убыток предыдущего года).

Результаты расчета окупаемости по стандартной методике при ведены в табл. 2.

Таблица Результаты расчетов окупаемости «зарплатного» проекта ком мерческого банка Единовре Годовые за- Годовой до- Годовая прибыль (нарас менные тающим итогом) P(t ), траты Ri (t ), ход Di (t ), Период затраты руб.

руб. руб.

Ri, руб.

1 г. – 403000 173400 2 г. – 0 206400 3 г. 0 206400 343000 4 г. 0 206400 343000 5 г. 0 206400 343000 По данным табл. 2 и рис. 3 можно сделать вывод, что срок оку паемости зарплатного проекта составляет, ориентировочно, 2,7 г.

Для оценки эффективности учета изменения числа сотрудников организации, заключившей «зарплатный» договор с банком, принима ется, что на предприятии к моменту заключения договора работает, как и в предыдущем случае, 200 сотрудников. Предполагается, что к нача лу третьего года число сотрудников должно увеличиться до 210, к на чалу четвертого – до 225, к началу пятого года – до 250 человек.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Руб 0 1 2 3 4 5 t Рис. 3. Зависимость от времени t доходов и расходов банка;

– – доходы банка, – – расходы банка Рассматривается промежуток времени в 5 лет, или 60 месяцев.

Строится зависимость числа сотрудников от времени для первого года в виде Y (t ) 200e 0,017 t.

Согласно этой зависимости к концу первого года число сотруд ников сократится до 163, то есть необходимо принять 37 человек, что бы выровнять их число до требуемых 200 человек. Для описания коли чества сотрудников в течение второго года следует использовать соот ношение Y (t ) 200e 0,017 t 37e 0,017( t 12), согласно которому к концу второго года общее число работников вновь сократится до 163.

250N 150 t 0 10 20 30 40 50 Рис. 4. Зависимость от времени t штатной численности N сотрудников коммерческой организации Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Следовательно, необходимо принять 47 человек, и общее число сотрудников в течение третьего года определяется зависимостью Y (t ) 200e 0,017 t 37e 0,017(t 12) 47e0,017(t 24).

К концу третьего года общее число работников уменьшится до 171, и становится необходимым принять 54 новых сотрудника. Это оз начает, что в течение четвертого года число сотрудников организации от времени описывается выражением Y (t ) 200e 0,017 t 37e 0,017( t 12) 47e 0,017( t 24) 54e 0,017( t 36).

К концу четвертого года общее число работников сократится до 183, т. е. нужно принять 67 человек, что приводит к формуле для пято го года:

Y (t ) 200e 0,017 t 37e 0,017(t 12) 47e0,017(t 24) 54e0,017(t 36) 67e0,017(t 48).

Изменение зависимости числа сотрудников в течение пяти лет показа но на рис. 4.

Для выполнения оценки эффективности «зарплатного» договора используются данные о комиссиях и расходах банка, приведенные вы ше. Расчет окупаемости «зарплатного» проекта по модифицированной методике выполняется в следующей последовательности:

1. Единовременные затраты (покупка банкомата, инсталляция 375000 + 21000 + 7000= программного обеспечения для бан = комата, источник бесперебойного питания).

2. Затраты первого года (изго товление карт в количестве 200 штук, 30000 + 9000 + 6000 + 60000 + лицензия на программное обеспече +62500 = ние, расходные материалы для бан комата, затраты на инкассацию, пла та за авторизацию).

3. Затраты второго года (изго товление карт в количестве 200 штук, лицензия на программное обеспече ние, расходные материалы для бан- 30000 + 9000 + 6000 + 60000 + комата, затраты на инкассацию, пла- +62500 + 33000 = та за авторизацию, послегарантийное обслуживание банкомата).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 4. Затраты третьего года (изго товление карт в количестве штук, лицензия на программное 31500 + 9000 + 6000 + 60000 + обеспечение, расходные материалы +65600 + 33000 = для банкомата, затраты на инкасса цию, плата за авторизацию, послега рантийное обслуживание банкомата).

4. Затраты четвертого года (из готовление карт в количестве штук, лицензия на программное 33750 + 9000 + 6000 + 60000 + обеспечение, расходные материалы +70400 + 33000 = для банкомата, затраты на инкасса цию, плата за авторизацию, послега рантийное обслуживание банкомата).

5. Затраты пятого года (изго товление карт в количестве 250 штук, лицензия на программное обеспече- 37500 + 9000 + 6000 + 60000 + ние, расходные материалы для бан- +78200 + 33000 = комата, затраты на инкассацию, пла та за авторизацию, послегарантийное обслуживание банкомата).

6. Доходы первого года (ко- 263040 + 25000 + 27400 = миссия банка, годовое обслуживание = карт, привлеченные ресурсы).

7. Доходы второго года (ко- 263040 + 25000 + 27400 = миссия банка, годовое обслуживание карт, привлеченные ресурсы).

8. Доходы третьего года (ко- 276000 + 26250 + 28750 = миссия банка, годовое обслуживание = карт, привлеченные ресурсы).

9. Доходы четвертого года 296200 + 28125 + 30850 = (комиссия банка, годовое обслужи- = вание карт, привлеченные ресурсы).

10. Доходы пятого года (комис 329400 + 31250 + 34310 = сия банка, годовое обслуживание = карт, привлеченные ресурсы).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 11. Прибыль/убыток первого 315440 – 167500 – 403000 = года (годовые доходы – годовые за = – траты – единовременные затраты).

12. Прибыль/убыток третьего года (годовые затраты – годовые рас- 331000 – 205100 – 140120 = ходы + прибыль /убыток предыдуще- = – го года).

13. Прибыль/убыток четвертого 355175 – 212150 – 14220 = года (годовые затраты – годовые рас = ходы + прибыль за прошлый год).

14. Прибыль/убыток пятого года 394960 – 223700 + 128805 = (годовые затраты – годовые расходы = + прибыль за прошлый год).

Результаты расчетов по модифицированной методике приведены в табл. 3.

Таблица Результаты расчетов окупаемости «зарплатного» проекта по модифицированной методике Годовые Годовой до- Годовая прибыль (на Единовременные затраты растающим итогом) ход Период Di (t ), затраты Ri, руб. Ri (t ), P(t ), руб.

руб.

руб.

1 г. – 403000 167500 2 г. – 0 200500 3 г. – 0 205100 4 г. 0 212115 355175 5 г. 0 223700 394960 Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Руб 0 1 2 3 4 5 t Рис. 5. Зависимость от времени t доходов и расходов банка;

– – доходы банка, – – расходы банка По данным табл. 3 и рис. 5 можно сделать вывод, что срок оку паемости зарплатного проекта составляет, ориентировочно, 3,2 г.

Выводы. Поставлена задача расчета окупаемости «зарплатного»

проекта коммерческого банка. Разработана методика учета изменений числа сотрудников коммерческой организации. Исследована зависи мость от времени числа сотрудников коммерческих организаций. С использованием метода наименьших квадратов построены аппрокси мации данных о числе сотрудников организаций с использованием по линома и экспоненты. Выполнены расчеты по оценке времени окупае мости «зарплатного» проекта. Усовершенствованная методика лучше учитывает особенности работы коммерческого предприятия и позволя ет точнее определить эффективность работы по реализации «зарплат ного» проекта. Поскольку подавляющая часть российского рынка кар точных услуг ориентирована на реализацию «зарплатной» модели, предложенные изменения методики представляются актуальными и востребованными.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Перлин Ю., Сахаров Д. Банкомат. Что это такое. – М.: Элек тронные деньги, 1997. – 150 с.

(по материалам компании 2. http://www.4p.ru/ «Исследовательская компания «BusinessVision»).

3. «Российский рынок уже не молод» – интервью с главой пред ставительства MasterCard International в России Андреем Королевым // Мир карточек. – 2006. – № 4. – С. 28–32.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 4. Смородинов О. Обзор российского рынка банковских карто чек: 1992 – 2006 гг. // Мир карточек. – 2007. – № 10. – С. 8–21.

5. Иванов Н.В. Управление карточным бизнесом в коммерче ском банке. – М.: БДЦ-пресс, 2003. – 272 с.

6. Ильин А.И. Планирование на предприятии. – Минск: Новое знание, 2001. – 635 с.

7. Кобец Е.А. Планирование на предприятии. – Таганрог: Изд во ТРТУ, 2006. – 128 с.

УДК 519.654:336. М.Г. БОЯРШИНОВ, О.С. САЛИХОВА Пермский государственный технический университет ОПТИМАЛЬНАЯ ЗАГРУЗКА БАНКОМАТА ДЕНЕЖНЫМИ КУПЮРАМИ Рассматривается актуальная банковская проблема оптимизации загруз ки банкомата денежными купюрами. Формируется целевая функция, опреде ляются ограничения и фазовые переменные задачи оптимизации. Поиск оп тимального решения выполняется с использованием численного метода Нел дера Мида.

Одной из активно развивающихся услуг, предоставляемых бан ковскими организациями в современной России, является обслужива ние клиентов карточных платежных систем. Активизация карточного бизнеса обусловлена повышением доверия населения к банковской системе, обострением конкуренции на рынке розничных банковских услуг, стимулированием государством расширения области примене ния безналичных расчетов, развитием инфраструктуры обслуживания карт платежных систем и другими факторами.

В сфере безналичных расчетов с использованием платежных карт наибольшее распространение, получили [1]: оплата товаров и услуг в торгово-сервисной сети (50,1 %), оплата услуг операторов связи и спутникового телевидения (38,7 %), автозаправочных станций (17, Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, %). Однако операции большинства держателей не отличаются особым разнообразием [2]: более 60 % из них совершают сделки максимум двух видов, 21 % – трех видов, не более 15 % владельцев карт можно отнести к числу тех, кто наиболее полно использует пакет предостав ляемых банками услуг. Наиболее многочисленная группа держателей карт (41,1 %) ограничивается получением наличных денег 1 2 раза в месяц. Для осуществления безналичных расчетов каждая третья карта применяется несколько раз в месяц, еще одна треть – не чаще одного раза в месяц. В целом же к числу наиболее активных клиентов, исполь зующих карту почти повседневно, можно отнести лишь 6,5 % респон дентов.

В настоящее время важная роль в развитии карточного бизнеса коммерческого банка отводится наличию собственной сети банкома тов, эффективность которой определяется их техническими характери стиками, топологией расположения и надежностью функциони рования. В городах России (на уровне местных и филиалов московских банков) наблюдаются следующие существенные особенности сетей банкоматов [3]:

банк, осуществляющий эмиссию карт на уровне города обла стного или районного масштаба, как правило, осуществляет и эквай ринговое обслуживание карточных операций;

количество градообразующих предприятий, как правило, не велико, однако их сотрудники могут вносить до 90 % в оборот опера ций с банковскими картами, в отличие от крупных городов с большим числом промышленных предприятий;

торговые точки малых городов еще недостаточно насыщены терминалами, обслуживающими банковские карты, поэтому держатели банковских карт для оплаты товаров и услуг, как правило, получают наличные в банкомате;

в крупных городах практически в любом мага зине и любой точке обслуживания имеется возможность оплатить то вары и услуги посредством банковских карт, что является дополни тельным стимулом для их использования в качестве платежного сред ства.

Одна из важнейших задач анализа и прогнозирования движения денег в банкоматных системах состоит в определении резерва налично сти, необходимого для подкрепления банкоматов в течение опреде ленного календарного времени. Модель движения наличности в банко мате должна дать возможность прогнозировать расход денег за заданный интервал времени с целью исключения дефицита наличности, необходи мой для обеспечения банкоматных операций [4].

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Качественное обслуживание клиентов карточных платежных систем возможно только при обеспечении бесперебойного функциони рования сети банкоматов (постоянный анализ возможного спроса на денежные средства, сервисное и техническое обслуживание и проч.), своевременной загрузке банкоматов денежными средствами, развитии и расширении сети клиентов карточных платежных систем.

Одной из наиболее эффективных мер снижения издержек в эквай ринговой составляющей бюджета банков, развивающих карточный бизнес, является оптимизация оборота наличности в банкоматах. По пытка минимизировать количество инкассаций, загружая в банкомат максимально возможную сумму наличных, приводит к тому, что банк не может рационально использовать денежную наличность, что осо бенно ощутимо в условиях острого дефицита денежных средств. С дру гой стороны, недостаток купюр в банкомате, возникший вследствие не своевременной инкассации или несогласованной работы инкассатор ской службы, опасен и для владельца сети банкоматов, поскольку спо собен спровоцировать «кризис доверия» частных клиентов к банкам [5, 6].

При прогнозировании остатков денежных средств в банкоматах следует учитывать неравномерность снятия денежных средств по дням недели и времени суток, место расположения банкомата (общедоступ ный или на предприятии, под «зарплатный» проект), купюрные наборы в кассетах, режим работы денежного хранилища и службы инкассации банка, технические простои в работе банкоматов.

Целью настоящего исследования является разработка рекоменда ций по рациональной загрузке банкомата купюрами. Объектом иссле дования являются процессы загрузки и расходования денежных купюр в кассетах банкоматов с течением времени. Информационной базой исследования послужили данные статистических наблюдений расхо дования денежных купюр в банкоматах крупного промышленного го рода.

Рассматриваются банкоматы коммерческого банка, установлен ные для реализации «зарплатных» договоров в коммерческой и бюд жетной организациях. В каждом из банкоматов установлено по четыре кассеты для размещения купюр разных номиналов. Задача заключается в определении числа купюр, загружаемых в каждую из кассет во время очередной инкассации, для минимизации объема отвлеченных денеж ных средств, затрат на инкассацию при одновременном обеспечении достаточного числа денежных купюр для удовлетворения спроса кли ентов-держателей карт.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Пусть на момент времени tk в банкомате имеется некоторая сум ма S денежных средств:

S (t k ) N i f i (t k ), (1) i где i – номер кассеты с купюрами, i 1,4 ;

Ni – номиналы купюр (1000, 500, 100 и 10 руб. соответственно);

fi(tk) – функции, описывающие за висимость количества купюр от времени в i-й кассете и определяемые на основании натурных наблюдений.

Рассматривается целевая функция потерь 365 n S (tk ) 100. 365 n ( I K ), П n k 1 (2) где k – номер дня, k 1, n ;

n – число дней между инкассациями;

365 / n – среднее число инкассаций в году;

– годовая процентная ставка краткосрочного кредитования;

I – затраты на инкассацию (зарплата со трудников, амортизация транспортного средства, обслуживание транс портного средства, топливо, форменная одежда инкассаторов, связь, индивидуальные средства защиты и пр.);

K – затраты на загрузку ку пюр в кассеты и пересчет возвращенных купюр (цена устройства сор тировки банкнот, зарплаты сотрудников, стоимость аренды площадей и пр.).

Требуется минимизировать потери П при естественных ограни чениях числа купюр в кассетах 0 fi(tk) 2000, i 1,4.

Для построения зависимостей fi(tk) рассматриваются данные на блюдений за расходом купюр в банкоматах коммерческой и бюджет ной организаций в течение продолжительного времени (табл. 1 и 2).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Данные наблюдений за числом купюр в банкомате, установленном в бюджетной организации Таблица День наблюдения День наблюдения День наблюдения Номер кассеты Номер кассеты Номер кассеты 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 136 167 990 117 1806 1436 945 1066 633 1156 644 1 31 124 158 965 968 1806 1380 930 1033 569 724 567 2 32 3 1 115 151 945 854 1798 1346 923 1004 565 656 554 3 33 8 107 145 932 707 1758 1161 890 957 441 23 466 4 34 9 995 138 923 563 1645 529 789 831 0 0 403 5 35 2 916 131 909 430 1039 0 699 686 757 1694 956 6 36 901 126 901 382 46 0 615 542 716 1512 930 7 37 834 121 891 303 0 0 550 420 704 1443 923 8 38 772 117 875 215 1570 1626 951 1814 653 1020 875 9 39 725 113 864 158 1495 1146 898 1524 613 732 844 10 40 632 106 850 83 1447 876 870 1401 561 512 820 11 41 502 980 594 0 1443 804 858 1344 538 359 801 12 42 455 939 434 0 1408 440 818 1250 524 175 776 13 43 433 914 358 0 1360 107 785 1110 505 48 755 14 44 993 198 994 127 1307 0 778 1060 499 1 683 15 45 410 167 854 111 817 0 752 872 799 1999 696 16 46 7 2 142 762 914 780 1942 987 1976 777 1902 684 17 47 4 1 116 669 547 764 1782 971 1939 760 1723 664 18 48 1 919 594 235 758 1730 966 1893 721 1567 647 19 49 1 815 565 170 749 1567 950 1833 707 1391 622 20 50 1 777 555 118 714 1343 926 1719 677 1256 601 21 51 1 596 354 16 682 1168 914 1653 653 1158 585 22 52 115 139 108 144 657 938 891 1400 638 920 550 23 53 112 119 105 133 631 594 848 1195 782 1926 694 24 54 8 0 1 107 951 104 127 617 398 831 1106 745 1627 663 25 55 1 2 8 100 634 996 104 607 318 815 1068 708 1381 628 26 56 8 1 966 310 953 691 571 149 796 981 654 1184 600 27 57 9 950 196 932 539 294 47 777 905 644 1056 251 28 58 0 84 877 275 45 40 761 836 639 963 189 29 59 187 178 988 115 45 40 745 781 604 1115 847 30 60 1 7 Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 751 1677 746 1259 572 609 306 354 652 1190 673 91 136 670 1142 673 1006 552 321 256 298 615 959 648 92 137 625 863 622 602 232 307 216 254 582 855 415 93 138 616 776 603 542 700 1800 440 1835 494 0 0 94 139 611 694 587 481 670 1581 423 1516 578 1886 786 95 140 551 309 526 24 643 1371 413 1135 571 1776 772 96 141 899 1468 829 1496 616 1161 403 754 560 1693 761 97 142 711 1461 728 1474 598 951 393 698 547 1546 739 98 143 678 1242 704 1354 590 831 324 667 531 1489 726 99 144 663 872 663 1079 571 581 291 551 519 1369 714 100 145 656 799 646 1001 555 350 269 464 504 1325 708 101 146 656 793 644 1000 670 2014 685 2000 480 1176 694 102 147 652 750 638 990 521 1326 568 1878 466 1101 682 103 148 626 565 623 891 466 955 511 1723 460 979 671 104 149 594 411 602 791 452 884 504 1707 389 661 617 105 150 555 161 583 654 187 432 398 1541 364 541 596 106 151 345 0 542 213 3 0 297 1381 341 359 574 107 152 0 0 514 55 1463 1847 1973 1672 329 262 554 108 153 669 1808 680 1601 1391 1232 1896 597 289 94 523 109 154 639 1552 649 1335 1359 959 1860 280 4 0 505 110 155 594 1329 614 1124 1328 720 1703 0 590 1934 584 111 156 586 1114 582 916 1328 708 1658 0 566 1776 565 112 157 567 978 564 818 1305 553 1215 0 508 1223 498 113 158 556 861 551 770 898 1310 1411 1072 430 758 437 114 159 548 789 541 723 861 1021 1383 598 387 427 400 115 160 531 604 520 608 839 870 1361 410 356 167 367 116 161 478 311 487 515 811 729 1341 287 1 0 317 117 162 597 1461 606 1300 752 193 1021 0 1 0 317 118 163 568 1327 586 1206 987 1889 788 1339 1 0 275 119 164 478 1193 474 1112 962 1712 771 1251 589 1910 591 120 165 388 1059 362 1018 962 1712 771 1251 585 1903 589 121 166 298 925 350 924 962 1712 771 1251 551 1747 571 122 167 0 0 347 823 918 1484 740 1127 526 1588 550 123 168 0 0 295 769 878 1316 707 1013 439 874 444 124 169 638 1662 461 1649 844 1092 684 870 397 587 408 125 170 561 1090 416 1441 831 957 668 722 385 435 388 126 171 503 641 366 1216 814 811 651 632 373 272 372 127 172 445 192 316 991 770 549 616 411 455 1053 462 128 173 387 123 266 766 747 442 601 361 306 161 319 129 174 200 100 262 476 709 226 580 96 0 0 263 130 175 100 30 221 391 771 1884 781 1277 0 0 220 131 176 669 1801 486 1421 748 1727 755 1111 516 1458 725 132 177 632 1527 456 1254 714 1439 713 919 438 972 651 133 178 612 1221 406 954 685 1321 691 827 412 827 476 134 179 592 915 356 654 668 1272 684 763 769 1799 119 135 180 Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 738 1497 56 1741 420 771 648 887 252 179 177 177 226 703 1234 37 1538 16 0 510 690 253 175 176 177 227 240 5 8 6 664 979 18 1329 0 0 480 532 254 196 143 173 228 241 2 2 1 592 152 0 919 193 1526 730 133 255 195 134 172 229 242 0 0 2 0 0 0 730 183 916 643 102 256 191 127 171 230 2 4 6 4 995 1937 792 903 178 507 604 917 257 190 111 170 231 4 0 5 0 983 1809 770 794 175 263 581 851 258 187 895 168 232 2 0 5 943 1495 749 713 172 68 559 719 259 185 0 157 233 1 4 889 992 709 500 197 1719 176 120 260 182 178 187 234 7 6 522 1507 735 1467 173 1315 170 797 261 124 137 183 235 0 2 2 2 0 3 503 1373 718 1359 186 1100 167 281 262 764 720 176 236 4 6 5 4 7 476 1167 694 1200 185 975 166 85 263 703 600 175 237 4 7 468 1044 687 1036 183 814 154 0 264 570 0 320 238 9 0 8 Предполагается, что зависимость количества купюр каждого номинала в каждой из кассет банкомата в зависимости от времени определяется функ цией fi t ai bit cit 2 dit 3, (3) где коэффициенты ai, bi, ci и di находятся методом наименьших квадратов:

n Fi ai bi tk ci tk2 di tk Vi tk 2 min, (4) k где Vi(tk) – известные из наблюдений на день tk количества купюр i-го номи нала, i 1,4.

Таблица Данные наблюдений за числом купюр в банкомате, установленном в коммерческой организации День наблюдения День наблюдения День наблюдения Номер кассеты Номер кассеты Номер кассеты 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 689 1625 791 1580 655 1157 958 1072 917 907 152 1 31 668 1558 787 1542 654 1142 957 1063 897 838 151 2 32 62 645 1470 780 1493 654 1142 957 1062 873 723 149 3 33 63 641 1466 780 1476 638 1016 939 984 863 636 148 4 34 64 641 1466 780 1476 628 894 920 906 753 86 140 5 35 65 630 1419 767 1475 618 802 908 829 2 0 136 6 36 66 610 1388 678 1475 599 680 900 758 2 0 136 7 37 67 591 1303 308 1473 576 457 871 488 2 0 136 8 38 68 60 27 0 1063 546 280 852 221 990 1300 158 9 39 69 105 1893 165 1782 546 280 852 215 972 1134 157 10 40 70 103 1360 1 1739 1333 1524 1743 1409 963 1004 155 11 41 2 103 1360 1 1739 1240 1108 1683 793 941 893 154 12 42 1 104 1854 1791 29 1214 834 1646 517 924 756 152 13 43 1 992 1616 1638 0 1214 834 1645 513 924 750 152 14 44 6 965 1345 1386 0 1214 834 1645 513 924 750 152 15 45 75 678 1209 1260 0 1214 790 1643 504 892 635 151 16 46 76 622 1105 1172 0 1182 605 1626 347 841 304 147 17 47 77 618 1095 990 0 1144 455 1613 246 473 0 142 18 48 78 613 1071 964 0 1129 266 1589 133 766 1886 138 19 49 79 588 841 479 0 1114 151 1578 50 729 1667 135 20 50 80 687 1763 992 1308 1084 23 1449 0 721 1632 135 21 51 81 665 1650 981 1107 487 0 1131 0 721 1632 135 22 52 82 638 1485 957 968 448 0 1071 0 694 1495 133 23 53 83 581 1128 917 432 389 0 1017 0 683 1367 131 24 54 84 581 1127 914 395 977 1313 1592 1957 643 1221 130 25 55 85 581 1113 911 395 958 1124 1562 1870 635 1141 129 26 56 86 550 925 881 193 955 1114 1560 1837 608 1017 127 27 57 87 526 696 853 50 944 1037 1553 1798 604 997 127 28 58 88 687 1492 991 1263 923 960 1533 1728 604 986 127 29 59 89 666 1336 980 1177 917 908 1528 1694 571 838 125 30 60 90 Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 557 701 1248 1117 475 564 509 394 857 573 1427 91 136 545 621 1242 1085 475 471 496 332 848 419 1408 92 137 537 508 1235 1063 475 378 483 270 830 227 1390 93 138 510 294 1214 626 475 1859 482 1785 817 100 1204 94 139 504 255 1210 581 462 1665 461 1689 802 13 907 95 140 501 254 1210 581 451 1571 453 1559 781 8 812 96 141 786 1947 789 1704 438 1411 439 1515 787 1773 995 97 142 769 1827 780 1594 417 1314 427 1432 783 1628 982 98 143 708 1637 749 1125 401 1217 425 1349 762 1482 967 99 144 1458 1796 1769 1434 399 1190 423 1345 729 1370 948 100 145 1419 1558 1744 895 397 1187 414 1341 714 1316 927 101 146 1403 1449 1731 749 377 1077 402 1300 710 1223 919 102 147 1403 1449 1731 749 369 987 393 1256 698 1150 916 103 148 1380 1247 1701 498 361 947 384 1194 679 1061 903 104 149 1366 1109 1682 350 341 947 384 1051 667 999 897 105 150 1345 948 1663 222 321 648 379 908 663 926 893 106 151 1313 772 1624 42 301 512 377 765 651 861 885 107 152 978 1884 980 1869 301 409 375 622 555 1575 971 108 153 974 1859 973 1849 301 327 374 564 505 1410 950 109 154 971 1844 972 1844 281 1730 149 204 474 1264 936 110 155 967 1833 971 1826 581 1730 669 1504 453 1198 919 111 156 943 1616 934 1643 581 1258 669 1406 451 1052 910 112 157 924 1465 921 1578 571 569 658 1308 448 1042 905 113 158 910 1360 898 1419 565 492 643 1280 441 946 902 114 159 892 1211 877 1329 561 1280 641 1275 429 814 888 115 160 884 1146 870 1278 526 1153 616 1039 394 789 874 116 161 884 1142 867 1268 495 888 599 924 392 680 870 117 162 884 1125 865 1258 478 741 571 775 381 642 852 118 163 884 1119 865 1256 462 725 558 704 376 611 843 119 164 872 979 843 1177 462 717 556 702 365 585 839 120 165 856 857 822 1079 462 531 555 702 360 392 835 121 166 837 693 809 995 440 447 529 641 150 392 820 122 167 829 557 795 763 419 355 526 536 0 257 809 123 168 829 557 795 763 400 236 517 498 0 125 792 124 169 739 86 744 103 384 53 506 441 0 91 780 125 170 657 1797 672 1947 362 0 486 293 0 15 760 126 171 629 1655 647 1797 20 0 471 196 587 1806 593 127 172 565 1354 601 1275 0 0 458 158 572 1763 576 128 173 525 1098 570 927 0 0 448 93 553 1630 564 129 174 523 1095 568 902 0 0 447 81 527 1630 551 130 175 518 1078 566 891 960 1532 1563 1415 527 1602 551 131 176 500 912 553 728 935 1369 1537 1066 525 1536 549 132 177 487 796 544 601 909 1071 1519 870 516 1528 540 133 178 475 661 524 462 885 872 1471 457 515 1424 540 134 179 475 657 522 456 875 681 1452 362 492 1395 525 135 180 Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 486 1749 519 594 395 0 562 382 549 222 480 226 245 566 1602 768 1514 161 0 542 266 531 1826 411 227 246 554 1513 757 1351 0 0 536 231 788 1733 1888 228 247 543 1331 747 1346 0 0 536 231 763 1680 1883 229 248 527 990 720 894 681 1070 1299 682 755 1420 1878 230 249 481 879 695 591 459 933 1273 403 707 1403 1849 231 250 459 783 682 486 451 798 1253 168 707 1254 1845 232 251 436 783 673 343 255 748 787 0 692 1165 1822 233 252 436 783 673 343 767 1653 1874 1635 672 1090 1819 234 253 436 698 673 343 736 1439 1860 1500 662 1006 1810 235 254 567 1674 675 1462 708 1293 1833 1146 652 968 1808 236 255 544 1484 658 1320 688 1077 1818 991 648 859 1803 237 256 505 1374 632 957 666 922 1800 497 623 643 1797 238 257 487 1279 622 860 633 831 1777 264 549 558 1782 239 258 468 1178 616 791 616 746 1768 134 512 435 1756 240 259 452 1037 609 740 616 672 1757 58 440 80 1550 241 260 438 903 595 652 616 534 1739 5 1990 1808 980 242 261 422 796 576 502 592 442 1076 0 1983 1725 973 243 262 412 481 569 427 578 337 911 0 1972 1620 963 244 263 Использование необходимых условий экстремума функции Fi не скольких переменных приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов ai, bi, ci и di, Fi n 2 ai bi tk ci tk2 di tk Vi tk 0, ai k Fi n 2 ai bi tk ci tk2 di tk3 Vi tk tk 0, bi k Fi n 2 ai bi tk ci tk2 di tk Vi tk tk2 0, ci k Fi n 2 ai bi tk ci tk2 di tk3 Vi tk tk3 di k или Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, ai n bi tk ci tk2 di tk V tk, n n n n k 0 k 0 k 0 k ai tk bi tk2 ci tk di tk4 V tk tk, n n n n n k 0 k 0 k 0 k 0 k n (5) k i k i k i tk5 V tk tk2, n n n n a t 2 b t 3 c t 4 d i k 0 k 0 k 0 k 0 k n tk6 V tk tk.

n n n n a t 3 b t 4 c t 5 d i k i k i k i k 0 k 0 k 0 k 0 k Коэффициенты системы (5) в соответствии с данными наблюде ний (табл. 2 и 3) и решения систем линейных алгебраических уравне ний для каждой из кассет банкоматов, установленных в бюджетной и коммерческой организациях, представлены в табл. 3 и 4.

Таблица Применение метода наименьших квадратов для аппроксимации данных натурных наблюдений за расходом купюр в банкомате, уста новленном в бюджетной организации Номер кассе- Система линейных алгебраических уравнений Решение ты 276 a 1033b 6413c 49783 d 198588, 1033 a 6413b 49783 c 446561d 623135, a = 905, b = – 59, 6413 a 49783b 446561c 4413223 d 3404847, c = 2, 49783 a 446561b 4413223 c 46591193 d 23630273 d = – 0, 274 a 1022 b 6352 c 49442 d 257406, 1022 a 6352 b 49442 c 444640 d 668995, a = 1599, b = – 307, 6352 a 49442 b 444640 c 4402322 d 3492193, c = 27, 49442 a 444640 b 4402322 c 46528912 d 24341089 d = – 0, 274a 1022b 6352c 49442d 198269, 1022a 6352b 49442c 444640d 674446, a = 874, b = – 72, 6352a 49442b 444640c 4402322d 4045552, c = 7, 49442a 444640b 4402322c 46528912 d 30857338. d = – 0, Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 274 a 1022 b 6352 c 49442 d 240488, 1022 a 6352 b 49442 c 444640 d 662931, a = 1400, b = – 245, 6352 a 49442 b 444640 c 4402322 d 3555487, c = 23, 49442 a 444640 b 4402322 c 46528912 d 25078467 d = – 0, Таблица Применение метода наименьших квадратов для аппроксимации данных натурных наблюдений за расходом купюр в банкомате, уста новленном в коммерческой организации № кас- Система линейных алгебраических уравнений Решение сеты 288 a 1693 b 15685 c 174151 d 190875, 1693 a 15685 b 174151 c 2152441 d 945056, a = 840, c = 0, 15685 a 174151 b 2152441 c 28566463 d 7825790, 1 b = – 31, 174151 a 2152441 b 28566463 c 398685865 d 79549382 d = – 0, 284 a 1576b 13890 c 147574 d 293939, 1576 a 13890 b 147574 c 1756662 d 1148630, a = 1668, b = – 155, 13890 a 147574 b 1756662 c 22601086 d 8188298, 2 c = 5, 147574 a 1756662 b 22601086 c 307667430 d 74266322 d = – 0, 288 a 1693b 15685 c 174151d 286669, 1693 a 15685 b 174151c 2152441d 1566215, a = 1087, 15685 a 174151b 2152441c 28566463 d 13765729, b = – 8, 3 c = – 0, 174151a 2152441b 28566463 c 398685865 d d = – 0, 288 a 1693b 15685 c 174151d 256702, 1693 a 15685 b 174151c 2152441 d 1160012, a = 1415, b= – 168, 15685 a 174151b 2152441c 28566463 d 9474372, 4 c = 13, 174151a 2152441b 28566463 c 398685865 d 96688862 d = – 0, Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Соответствующие приведенным в табл. 3 и 4 решениям функции, аппроксимирующие зависимости от времени количества купюр в кас сетах банкоматов, представлены в табл. 5 и 6, а также приведены на рис. 1 для банкомата, установленного в бюджетной организации, и на рис. 2 – для банкомата, установленного в коммерческой организации.


Зависимость от времени количества купюр в первой кассете бан комата, установленного в бюджетной организации, определяется вы ражением f1бюджет (t ) 905,568 59,261t 2,744t 2 0,125t Очевидно, что при t = 0 значение этой функции равно (t ) 905,568, т.е. коэффициент 905,568 приближенно определя бюджет f ет начальное значение числа загружаемых в кассету банкомата купюр.

Производная рассматриваемой функции f1бюджет (t ) 59,261 2,744t 0,250t при t = 0 принимает значение f1бюджет (t ) 59,261, т.е. второй коэф фициент, равный –59,261, определяет скорость изменения числа купюр в той же кассете в начальный момент времени. Аналогично определя ется смысл остальных коэффициентов рассматриваемого выражения.

Построенные зависимости от времени количества денежных ку пюр в кассетах банкомата позволяют определить суммарный объем денежных средств (1) в банкоматах и, соответственно, перейти к ми нимизации функции потерь (2). Для решения оптимизационной задачи используется метод Нелдера и Мида [7], хорошо зарекомендовавший себя при решении прикладных задач.

Таблица Функции, аппроксимирующие данные натурных наблюдений за расходом купюр в банкомате, установленном в бюджетной ор ганизации Номер Аналитическая запись функции кассеты f1бюджет (t ) 905,568 59,261t 2, 774t 2 0,125t f 2бюджет (t ) 1599,173 307,749t 27,776t 2 0,863t f3бюджет (t ) 874,310 72,753t 7,068t 2 0,239t f 4бюджет (t ) 1415,098 168,933t 13,015t 2 0,39t Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, V t 0 3 6 9 Рис. 1. Аппроксимация зависимостей от времени t числа купюр V в 1-й кассете (––), 2-й кассете (– 3-й кассете (––), 4-й кассете (–– ) –), (банкомат в бюджетной организации) Таблица Функции, аппроксимирующие данные натурных наблюдений за раходом купюр в банкомате, установленном в коммерческой ор ганизации Номер Аналитическая запись функции кассеты f1ком t 840,374 31,781t 0,609t 2 0,04t f2ком t 1668,112 155,478t 5,470t 2 0,073t f3ком t 1087,003 8,033t 0,506t 2 0,028t f4ком t 1415,098 168,933t 13,015t 2 0,396t Пусть A1 – начальное число купюр в 1-й кассете банкомата. Тогда зависимость количества купюр от времени в 1-й кассете банкомата, установленного в бюджетной организации, можно представить выра жением f 1бюджет(t) A1 59,261t 2,744t 2 0,125t 3.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, V t 0 3 6 9 12 15 Рис. 2. Аппроксимация зависимостей от времени t числа купюр V в 1-й кассете (––), 2-й кассете (– 3-й кассете (––), 4-й кассете (–– ) –), (бан комат в коммерческой организации) Таблица Поиск минимума функции методом Нелдера Мида (банкомат в бюджетной организации) Номер шага в Сумма загрузки бан- Значение целевой Число купюр в кассете кассете комата функции 1 2 3 4 5 6 1 1000 1 1 1 1000610 2 1 1000 1 1 501110 3 1 1 1000 1 101510 4 1 1 1 1000 11600 5 1 1 1 1 1610 6 500 500 500 500 805000 7 188 563 188 188 490180 8 500 1 500 1 550510 9 1 500 500 1 301010 10 1 1 1000 1 101510 11 1 1 500 500 56500 12 251 251 750 251 454010 13 282 95 594 95 389850 14 67 294 606 106 275660 15 181 116 654 155 305950 Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 1 2 3 4 5 6 16 63 83 627 314 170340 17 96 203 682 143 267130 18 24 153 875 200 190000 19 74 41 944 240 191300 20 146 160 806 220 308800 21 59 95 1186 16 225260 22 93 116 904 167 243070 23 59 66 968 168 190480 24 42 124 1031 108 208180 25 67 68 1065 128 208780 26 30 48 1093 8 163380 27 59 95 1186 16 225260 28 76 105 1045 91 233910 29 92 148 1070 163 274630 30 46 73 1087 47 191670 31 51 109 1108 62 216920 32 63 81 1126 72 216820 33 45 71 1140 12 194620 34 59 95 1186 16 225260 35 68 100 1115 54 230040 36 59 88 1131 54 216640 37 48 90 1124 37 205770 38 54 76 1133 42 205720 39 45 71 1140 12 194620 40 52 83 1163 14 209940 … … … … … …. … 396 3 24 1136 556 134160 397 3 24 1136 555 134150 398 3 24 1136 554 134140 399 3 24 1136 553 134130 400 3 24 1136 549 134090 401 3 24 1136 551 134110 402 3 24 1136 552 134120 Аналогичным образом можно представить зависимости коли честв купюр от времени в остальных кассетах рассматриваемого бан комата:

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, f 2бюджет (t) A2 307, 749t 27, 776t 2 0,863t f бюджет (t) A 72,753t 7,068t 2 0, 239t 3, 3 (t) A4 245, 672t 23, 089t 2 0, 786t 3.

бюджет f Теперь целевую функцию (2) задачи оптимизации можно представить в виде 365 n 36500 Ni fi П A1, A2, A3, A4 tk I K.

бюджет (6) n k 1 i С учетом принятых обозначений задача оптимизации сводится к поиску величин A1, A2, A3, A4, доставляющих минимум целевой функ ции (6) при ограничениях-неравенствах 0 Ai 2000, i 1,4. (7) Таблица Поиск минимума функции методом Нелдера Мида (банкомат в коммерческой организации) Номер шага Сумма за-грузки Значение целе Число купюр в кассете в кассете банкомата вой функции 1 2 3 4 5 6 1 1000 1 1 1 1000610 2 1 1000 1 1 501110 3 1 1 1000 1 101510 4 1 1 1 1000 11600 5 1 1 1 1 1610 6 500 500 500 500 805000 7 188 563 188 188 490180 8 282 344 282 282 485020 9 329 235 329 329 482690 10 422 17 422 422 476920 11 616 65 241 241 675010 12 423 98 361 361 511710 13 308 33 620 121 387710 Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 1 2 3 4 5 6 14 212 9 711 212 289720 15 1 1 1000 1 101510 16 1 1 500 500 56500 17 251 251 750 251 454010 18 212 49 680 181 306310 19 85 39 643 331 172110 20 127 58 714 246 229860 21 84 171 861 128 256880 22 19 191 982 132 214020 23 154 178 820 189 326890 24 96 97 815 179 227790 25 102 147 867 149 263690 26 76 131 891 130 231900 27 12 39 983 93 130730 28 61 94 890 134 198340 29 50 106 927 110 196800 30 16 115 983 112 172920 31 12 39 983 93 130730 32 7 20 991 47 116570 33 37 66 936 113 164730 34 44 85 937 111 181310 35 31 72 955 101 163510 36 26 64 957 101 154710 37 17 82 977 99 156690 38 21 16 966 72 126320 39 39 76 939 137 172270 40 15 34 978 69 130490 … 201 23 1 955 86 119860 202 23 1 955 85 119850 203 23 1 955 82 119820 204 23 1 955 80 119800 205 23 1 955 78 119780 206 23 1 955 77 119770 207 23 1 955 76 119760 Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Для минимизации целевой функции (6) при ограничениях (7) принято: номиналы купюр N1 = 1000 руб., N2 = 500 руб., N3 = руб., N4 = 10 руб.;

затраты на загрузку денежной наличности в кассе ты и однократную инкассацию K = 1200 руб., I = 1500 руб.;

число n дней до инкассации в выражении (6) определяется из условия, что чис ло купюр в банкомате уменьшается до нуля. Поиск минимума целевой функции (6) при ограничениях (7) для банкомата, установленного в бюджетной организации, отражен в табл. 7.

Решение оптимизационной задачи представлено вектором А1 = 3, А2 = 24, А3 = 1136, А4 = 552.

В этом случае загрузка банкомата составляет 134 120 руб. Целе вая функция уменьшилась со значения По = 328 527 в одной из точек начального симплекса до значения Попт = 38 758.

Аналогичным образом получено решение оптимизационной за дачи для банкомата, установленного в коммерческой организации. По иск минимума целевой функции (6) при ограничениях (7) в этом слу чае представлен в табл. 8.

Решение оптимизационной задачи представлено вектором А1 = 23, А2 = 1, А3 = 955, А4 = 76.

В этом случае загрузка банкомата составляет 119 760 руб. Целе вая функция уменьшилась со значении По = 328 527 в одной из точек начального симплекса до значения Попт = 38 178.

Таким образом, сформулирована постановка задачи оптимизации загрузки банкоматов, сконструирована целевая функция потерь, мини мум которой обеспечивает оптимальную загрузку банкоматов купюра ми. Собраны данные об объеме денежной наличности в банкоматах, установленных в бюджетной и коммерческой организациях, за про должительный промежуток времени. С помощью метода наименьших квадратов построена аналитическая зависимость количества купюр в кассетах банкоматов от времени. Найдена оптимальная загрузка бан коматов денежными купюрами для реализации «зарплатного» догово ра в коммерческой и бюджетной организациях.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Димитриу Н.В., Никитин Д.А. Оценка текущего состояния и перспектив развития рынка банковских карт // Деньги и Кредит. – 2008. – № 5. – С. 3538.

2. Лысков А. Эффективность сети банкоматов в многофилиаль ном банке // Мир Карточек. – 2003. – № 4. – С. 3847.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 3. Летавин М.И., Плашенков В.В., Беляева П.А. Статистический анализ оттока наличности из сети банкоматов // Финансы и Кредит. – 2007. – № 30 (270). – С. 914.

4. Васин Н.С. Теоретико-вероятностный анализ и прогнозирова ние резерва наличности для обеспечение банкоматных операций // Финансы и Кредит. – 2005. – № 25 (193). – С. 6870.

5. Ратомский Ж. Оптимизация расходов – наиболее эффективная бизнес-стратегия наших дней // ПЛАС. – 2008. – № 10 (140). – С.

2023.

6. Шубин К.А. Банковские карты и платежные системы самооб служивания на их основе // Вестник Пермского университета. – 2006. – № 5. – С. 103114.

7. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1975. – 420 с.

УДК 517. Г.А. ПУШКАРЕВ Пермский государственный технический университет ОБ ОДНОМ ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА Приводится утверждение о существовании и построении оптимального управления частного случая задачи Коши линейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом 1-го порядка для терминального функционала.

Обозначим: L гильбертово пространство функций суммируе мых с квадратом на [0,T];


L1 пространство суммируемых функций на [0,T];

L пространство функций, ограниченных в существенном на [0,T], измеримая функция h(t), такая, что функция множества (e) mes(h1 (e) 0, T ) абсолютно непрерывна, mes h [0, T ] [0, T ] существует измеримая функция h1, такая, что h 1 (h(t )) t почти всю ду на [0,T], (t ) производная Радона Никодима функции множест ва [2], L, Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, x (t ),если h(t ) 0, T Sh x (t ).

0,если h(t ) 0, T Рассмотрим линейную задачу x(t ) S h x(t ) u (t ) f (t ), (1) x(0) x0, 0 t T. (2) Будем рассматривать решение задачи, принадлежащее простран ству W (0, T ) 2 (далее W) и сопряженное однородное уравнение x(t ) Sh x(t ) 0, * (3) множество решений которого обозначим через Р, в предположениях, обеспечивающих разрешимость (1), (2) и однозначную разрешимость сопряженной задачи (см. [3, 4]);

G : L2 W оператор Грина линейной задачи, соответствующей задаче (1)(2).

Функцию u(t ) назовем управлением, а в качестве «функции стоимости» примем терминальный функционал I ( x, u ) x(T, u ) y, (4) где число y задано.

Лемма 1. Пусть [0, T ] h [0, T ], h(0) 0, h T T. Для того чтобы на решениях задачи (1), (2) выполнялось равенство x(T, u) y, (5) необходимо и достаточно, чтобы для любого p из P выполнялось ра венство u, p a( p), где a( p) y, p(T ) x0, p(0) f, p.

Доказательство. Обозначим E h [0, T ].

Из равенства (3) следует Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, T T T ( x(t ) x(h(t ))) p(t )dt x(t ) p(t )dt x(h(t )) p(t )dt 0 0 T T p(t )dx(t ) x( s )( s) p(h ( s))ds x(t ) p(t ) x(t ) p(t )dt 1 T 0 E T x( s)( s) p(h 1 ( s))ds x(t ) p(t ) x( s)( p( s) ( s) p( h 1 ( s))ds T E x(t ) p(t ) T В последнем равенстве используется условие (3), т.е. подынте гральное выражение равно нулю. Тогда из (1), (2) получим u, p a( p).

Рассмотрим ортонормированный базис ek в E n (где все элементы равны 0, кроме k -го, который равен 1) и базисную систему функций, определяемую (3) и начальными условиями pk (T ) ek, k = 1, …, n. (7) Теорема. Пусть выполнены условия леммы. Оптимальное управ ление задачи (1), (2), (4) определяется равенством n u a pk pk.

k Доказательство. Предполагая однозначную разрешимость сопря женного уравнения (3) с начальными условиями (7), получаем a( pk ) y, pk (T ) x0, pk (0) y x0 k.

В последнем равенстве используется, что сопряженное уравнение с нулевым условием имеет лишь нулевое решение. Таким образом, ре шения «усеченных» задач [1] u, pk a( pk ), k 1, 2,..., N ограничены в совокупности, т.е. u доставляет минимум функционала (4).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории тополо гически нетеровых операторов. Челябинск: Изд-во ЧелГУ, 1994. 98 с.

2. Васильев П., Ишмухаметов А.З., Потапов M.M. Обобщен ный метод моментов в задачах оптимального управления.М.: Изд-во МГУ, 1989. 144 с.

3. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая тео рия. М.: ИЛ, 1962. 895 с.

Рахматуллина Л.Ф. О регуляризации линейных краевых за 4.

дач // Известия вузов. Математика.1987. № 7.

УДК 512. Л.Я. ЛЬВОВСКИЙ Пермский государственный технический университет К ВОПРОСУ О ДЕЛЕНИИ МНОГОЧЛЕНОВ Приводится оригинальный алгоритм деления многочленов с остатком, дается пример.

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, касаю щимися делимости многочленов и разложения их на множители. В ча стности, очень популярна следующая задача: «Найти многочлен P( x), который при делении на многочлен Q (1) ( x ) дает остаток R (1) ( x), а при делении на многочлен Q (2) ( x ) – остаток R (2) ( x) ». Решение таких задач, как правило, сводится к более или менее удачному перебору, особенно если делители Q (1) ( x ) и Q ( 2) ( x ) – нелинейны.

Выделение ситуации когда делители линейны не случайно, т.к. в этом случае остатки R (1) ( x ) и R (2) ( x) представляют собой константы:

R(i ) ( x) i ( i 1, 2 ), а делители Q (1) ( x ) и Q ( 2) ( x ) также определяются заданием только одной величины – свободного члена для каждого де лителя, т. к. в качестве делителей, не ограничивая общности задачи, всегда можно рассматривать приведенные многочлены: Q(i ) ( x) x i Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, ( i 1, 2 ). Такая задача может быть решена в явном виде даже тогда, ко гда заданы не две пары делителей и остатков, а произвольное число таких пар.

Рассмотрим общий случай, когда степени многочленов-делителей (или хотя бы одного из них) Q (1) ( x ) и Q (2) ( x ) больше единицы. В этом случае даже для двух делителей задача не является тривиальной и яв ного решения не имеет.

Итак, требуется найти многочлен P( x) (желательно наименьшей возможной степени), который при делении на многочлены Q ( i ) ( x ) дает соответственно остатки R ( i ) ( x ) ( i 1, 2 ).

Переформулируем условие задачи на алгебраический язык. По лучим систему уравнений:

P( x) B (1) ( x)Q (1) ( x) R (1) ( x), N R (1) ( x) N Q (1) ( x) (2) P( x) B ( x)Q ( x) R ( x), N R ( x) N Q ( x) (2) 2) (2) (2) (2) (под N T ( x) здесь и в дальнейшем будем обозначать степень много члена T ( x) ).

Здесь многочлены Q ( i ) ( x ) и R ( i ) ( x ) ( i 1, 2 ) – известны, а много члены B ( i ) ( x ) ( i 1, 2 ) (и выражаемый через них многочлен P( x) ) – неизвестны.

Вычтем из первого уравнения системы (2) второе:

B (1) ( x)Q (1) ( x) B (2) ( x)Q (2) ( x) R (2) ( x) R (1) ( x). (3) Значит, решение задачи сведется к решению эквивалентной за дачи: «Решить уравнение первого порядка с двумя неизвестными мно гочленами U ( x) и V ( x) :

A( x)U ( x) B( x)V ( x) C( x), (4) где A( x), B( x) и C( x) – заданные (известные) многочлены (многочле ны A( x) и B( x) отличны от нуля)».

Пусть (для определенности) в (4) степень многочлена A( x) не ниже степени многочлена B( x) ( N A( x) N B( x) ).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Суть процедуры состоит в параллельном проведении трех про цессов.

Первый из них представляет собой процесс последовательного «деления» многочлена большей степени ( A( x) ):

A( x) B( x)Q1,1 ( x) R1,1 ( x);

B( x) R1,1 ( x)Q2,1 ( x) R2,1 ( x);

R1,1 ( x) R2,1 ( x)Q3,1 ( x) R3,1 ( x);

(5) Ri 2,1 ( x) Ri 1,1 ( x)Qi,1 ( x) Ri,1 ( x);

Rn 2,1 ( x) Rn 1,1 ( x)Qn,1 ( x) Rn,1 ( x);

Rn 1,1 ( x) Rn,1 ( x)Qn 1,1 ( x).

Этот процесс в точности совпал с алгоритмом Евклида, и, значит, многочлен Rn,1 ( x) будет равен наибольшему общему делителю много членов A( x) и B( x).

Как уже отмечалось, в результате выполнения этих операций сте пень многочленов понижается (по определению деления многочленов с остатком): N B( x) N R1,1 ( x) N R2,1 ( x) N Ri,1 ( x).

Поэтому этот процесс конечен. На каком-то шаге (не позднее, чем на шаге с номером, равным степени многочлена B( x) ), если деление на цело не произойдет раньше, мы получим многочлен нулевой степени, и деление нацело на следующем шаге заведомо произойдет ( Rn1,1 ( x) 0).

Второй процесс представляет собой последовательность опера ций деления с остатком многочлена C( x) и получающихся остатков на те же делители, что и в первом процессе:

C ( x) B( x)Q1,2 ( x) R1,2 ( x);

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, R1,2 ( x) R1,1 ( x)Q2,2 ( x) R2,2 ( x);

R2,2 ( x) R2,1 ( x)Q3,2 ( x) R3,2 ( x);

Ri 1,2 ( x) Ri 1,1 ( x)Qi,1 ( x) Ri,2 ( x);

Здесь могут возникнуть две ситуации.

Процесс закончится делением нацело не позднее, чем на ( n 1) шаге. Если это произошло раньше, чем на ( n 1)-шаге, мы можем «продолжать» деление до ( n 1)-шага, получая нулевые частные и ос татки. Таким образом, мы формально можем представить результат этого процесса в виде C ( x) B( x)Q1,2 ( x) R1,2 ( x);

R1,2 ( x) R1,1 ( x)Q2,2 ( x) R2,2 ( x);

R2,2 ( x) R2,1 ( x)Q3,2 ( x) R3,2 ( x);

(6) Ri 1,2 ( x) Ri 1,1 ( x)Qi,2 ( x) Ri,2 ( x);

Rn 1,2 ( x) Rn 1,1 ( x)Qn,2 ( x) Rn,2 ( x);

Rn,2 ( x) Rn,1 ( x)Qn 1,2 ( x).

В этом случае, т.к. многочлен Rn,1 ( x) является общим делителем многочленов A( x) и B( x), он делит также (по свойству делимости многочленов в соответствии с первым процессом) все многочлены остатки Ri,1 ( x). Тогда, т.к. в соответствии с последним равенством вто рого процесса многочлен Rn,1 ( x) является делителем многочлена Rn,2 ( x), двигаясь в этом процессе снизу вверх по тому же свойству де лимости многочленов, убедимся в том, что многочлен Rn,1 ( x) делит также все многочлены-остатки Ri,2 ( x) и (из первого равенства) много член C( x). Мы доказали, что если второй процесс закончится делени ем нацело не позднее, чем на ( n 1)-шаге, то многочлен C( x) делится нацело на наибольший общий делителель многочленов A( x) и B( x).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Рассмотрим теперь случай, когда второй процесс не заканчивает ся делением нацело на ( n 1)-шаге: Rn,2 ( x) Rn,1 ( x)Qn1,2 ( x) Rn1,2 ( x), где Rn1,2 ( x) 0. Если бы и в этом случае многочлен C( x) делился на цело на наибольший общий делителель Rn,1 ( x) многочленов A( x) и B( x), то рассуждая так же как и в первом случае, но двигаясь во вто ром процессе сверху вниз, мы установим, что на многочлен Rn,1 ( x) де лятся также и все многочлены-остатки Ri,2 ( x). Полученное противоре чие доказывает, что вторая ситуация возникает лишь в случае, когда многочлен C( x) не делится нацело на наибольший общий делителель многочленов A( x) и B( x).

Однако если выполняется равенство (4), то по свойству делимо сти многочленов многочлен C( x) обязан делиться нацело на наиболь ший общий делителель многочленов A( x) и B( x), поэтому, если вто рой процесс не заканчивается делением нацело на ( n 1)-шаге, мы вы нуждены сделать вывод, что уравнение (4) решений не имеет, и далее этот случай можно не рассматривать.

Итак, мы имеем право считать, что оба процесса заканчиваются одновременно, и можно переходить к третьему процессу.

Выразим из уравнения (4) многочлен V ( x) :

A( x)U ( x) C ( x) B( x)Q1,1 ( x) R1,1 ( x) U ( x) B( x)Q1,2 ( x) R1,2 ( x) V ( x) B( x) B( x) R1,1 ( x)U ( x) R1,2 ( x) Q1,1 ( x)U ( x) Q1,2 ( x) Q1,1 ( x)U ( x) Q1,2 ( x) W1 ( x), B( x) R1,1 ( x)U ( x) R1,2 ( x) причем функция W1 ( x) должна быть многочле B( x) ном.

Освобождаясь в выражении для W1 ( x) от знаменателя, запишем:

B( x)W1 ( x) R1,1 ( x)U ( x) R1,2 ( x).

Выразим из уравнения (16) многочлен U ( x) :

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, B( x)W1 ( x) R1,2 ( x) R1,1 ( x)Q2,1 ( x) R2,1 ( x) W1 ( x) R1,1 ( x)Q2,2 ( x) R2,2 ( x) U ( x) R1,1 ( x) R1,1 ( x) R2,1 ( x)W1 ( x) R2,2 ( x) Q2,1 ( x)W1 ( x) Q2,2 ( x) Q2,1 ( x)W1 ( x) Q2,2 ( x) W2 ( x), R1,1 ( x) R2,1 ( x)W1 ( x) R2,2 ( x) причем функция W2 ( x) должна быть много R1,1 ( x) членом.

Освобождаясь в выражении для W2 ( x) от знаменателя, запишем:

R1,1W2 ( x) R2,1 ( x)W1 ( x) R2,2 ( x).

Продолжая этот процесс, получим последовательно:

R1,1W2 ( x) R2,1 ( x)W1 ( x) R2,2 ( x) W1 ( x) Q3,1 ( x)W2 ( x) Q3,2 ( x) W3 ( x);

Ri 1,1Wi ( x) Ri,1 ( x)Wi 1 ( x) Ri,2 ( x) Wi 1 ( x) Qi 1,1 ( x)Wi ( x) Qi 1,2 ( x) Wi 1 ( x);

Rn2,1Wn1 ( x) Rn1,1 ( x)Wn2 ( x) Rn1,2 ( x) Wn2 ( x) Qn,1 ( x)Wn1 ( x) Qn,2 ( x) Wn ( x).

Рассмотрим последний шаг более подробно. На этом шаге ( Rn1,1Wn ( x) Rn,1 ( x)Wn1 ( x) Rn,2 ( x) ) мы получили, что функция Rn,1 ( x)Wn 1 ( x) Rn,2 ( x) Wn ( x) должна быть многочленом, после чего, Rn 1,1 ( x) освобождаясь в этом выражении от знаменателя и выражая многочлен Wn 1 ( x ), запишем (с применением формул, полученных в первых двух процессах):

R ( x)Wn ( x) Rn,2 ( x) Wn1 ( x) n1,1 Qn1,1 ( x)Wn ( x) Qn1,2 ( x), т.к.

Rn,1 ( x) на этом шаге оба деления выполняются нацело.

Отбросив все промежуточные вычисления и преобразования, вы пишем цепочку равенств, которая и будет являться реализацией третьего процесса:

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, V ( x) Q1,1 ( x)U ( x) Q1,2 ( x) W1 ( x);

U ( x) Q2,1 ( x)W1 ( x) Q2,2 ( x) W2 ( x);

W1 ( x) Q3,1 ( x)W2 ( x) Q3,2 ( x) W3 ( x);

(7) Wi 1 ( x) Qi 1,1 ( x)Wi ( x) Qi 1,2 ( x) Wi 1 ( x);

Wn 2 ( x) Qn,1 ( x)Wn 1 ( x) Qn,2 ( x) Wn ( x);

Wn 1 ( x) Qn 1,1 ( x)Wn ( x) Qn 1,2 ( x).

Собственно говоря, цепочку равенств (7) можно было выписать (без единного вычисления и преобразования) сразу же, после получе ния цепочек равенств (5) и (6). Здесь мы проделали такую большую работу для того, чтобы стало понятным, откуда эта цепочка появилась и какую роль в реализации третьего процесса играют первые два.

Рассмотрим внимательно цепочку равенств (7). В ней есть один свободный многочлен Wn ( x), и давая ему различные значения (можно взять абсолютно любой многочлен), двигаясь в этой цепочке снизу вверх, мы получим различные варианты искомых значений многочле нов U ( x) и V ( x), т. е. различные решения нашего уравнения (4). Оче видно, что для того, чтобы получить решение наименьшей возможной степени, надо положить Wn ( x ) 0.

Таким образом, уравнение (4) имеет решение для любых отлич ных от нуля многочленов A( x) и B( x), если (и только если) многочлен C( x) делится нацело на наибольший общий делителель многочленов A( x) и B( x) (в частности всегда, если многочлены A( x) и B( x) – вза имно просты).

Попробуем определить структуру общего решения уравнения (4), получающегося из цепочки равенств (10) при произвольном многочле не Wn ( x).

Вводя в цепочке (7) в рассмотрение три новых многочлена, обо значим: W1 ( x) V ( x), W0 ( x ) U ( x ) и, кроме того, положим Wn 1 ( x) 0. Тогда все равенства системы (7) приобретают единную структуру:

Wi 1 ( x) Qi 1,1 ( x)Wi ( x) Qi 1,2 ( x) Wi 1 ( x), (i 0, n).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, Методом полной математической индукции, двигаясь в цепочке равенств (7) снизу вверх, нетрудно получить, что в наших обозначени ях справедливо представление:

Wi ( x) (1) ni Tni ( x)Wn ( x) Sni ( x), (i 1, n), где многочлены Ti ( x) и Si ( x) могут быть найдены из реккурентных соотношений:

T0 ( x) 1, T1 ( x) Qn1,1 ( x), Ti 1 ( x) Qni 1,1 ( x)Ti ( x) Ti 1 ( x), i 1, n ;

S0 ( x) 0, S1 ( x) Qn1,2 ( x), Si 1 ( x) Qni 1,1 ( x)Si ( x) Si 1 ( x) Qni 1,2 ( x), (8) i 1, n причем многочлены Ti ( x) зависят только от исходных многочленов A( x) и B( x) и не зависят от многочлена C( x).

В частности, U ( x) W0 ( x) (1) n Tn ( x)Wn ( x) Sn ( x), (9) V ( x) W1 ( x) (1) ni 1Tn1 ( x)Wn ( x) Sn 1 ( x).

Поскольку при C( x) 0 все Si ( x) 0 (это следует из цепочки ра венств (6) и реккурентного представления (8)), то пара многочленов U ( x) W0 ( x) (1) n Tn ( x)Wn ( x), V ( x) W1 ( x) (1) n i 1Tn1 ( x)Wn ( x) является общим решением однородного уравнения:

A( x)U ( x) B( x)V ( x) 0. (10) Но общее решение однородного уравнения (10) легко получить в явном виде.

Пусть многочлены A( x) и B( x) имеют наибольший общий дели тель D( x), тогда A( x) D( x) A( x) и B( x) D( x) B( x), причем много члены A( x) и B( x) взаимно просты. Подставляя эти представления в уравнение (10) и сокращая на D( x), получим:

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, A( x)U ( x) B( x)V ( x) 0.

Но из взаимной простоты многочленов A( x) и B( x) следует, что многочлен U ( x) должен делиться нацело на многочлен B( x), а много член V ( x) должен делиться нацело на многочлен A( x). Окончательно общее решение уравнения (10) можно записать в виде:

B( x) U ( x) W ( x), D( x) A( x) V ( x) W ( x), D( x) где W ( x) – произвольный многочлен.

С другой стороны, если пары многочленов U (1) ( x), V (1) ( x) и U ( x), V (2) ( x) являются решениями (какими-нибудь) уравнения (4), (2) из системы:

A( x)U (1) ( x) B( x)V (1) ( x) C ( x) A( x)U ( x) B( x)V ( x) C ( x) (2) (2) мы получаем, что разность этих решений U ( x) U ( x), V ( x) V ( x) должна быть решением однородного (1) (2) (1) (2) уравнения (10). Верно и обратное, если пара многочленов U (1) ( x), V (1) ( x) является решением (каким-нибудь) уравнения (4), а пара многочленов U (1) ( x) U (2) ( x), V (1) ( x) V (2) ( x) является решением (каким-нибудь) однородного уравнения (10), то пара многочленов U (2) ( x), V (2) ( x) также будет являться решением уравнения (4). Таким образом, мы приходим к выводу, что справедлива «классическая фор мула»: общее решение неоднородного уравнения (4) = частное реше ние уравнения (4) + общее решение однородного уравнения (10):

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, B( x) U ( x) W ( x) S n ( x), D( x) A( x) V ( x) W ( x) S n 1 ( x), D( x) где D( x) – наибольший общий делитель многочленов A( x) и B( x) ( D( x) Rn,1 ( x) ), многочлены Si ( x) могут быть найдены из реккурент ного соотношения (8), а W ( x) – произвольный многочлен.

Остается заметить, что длина цепочек равенств (5) и (6) и (7) рав на Max( N A( x), N B( x) N D( x) 1, где D( x) – наибольший об щий делитель многочленов A( x) и B( x) (это следует из алгоритмов получения этих цепочек), то есть невелика для реально встречающихся уравнений вида (4), поэтому получение многочленов Sn ( x) и S n 1 ( x) – несложно.

Пример. Первый процесс – алгоритм Евклида (см. цепочку ра венств (5)):

x 4 2 x3 3x 2 4 x 5 ( x 2)( x3 1) (3x 2 3x 3);

x 1 x3 1 (3x 3x 3) 2;

3x 2 3x 3x 3x 3 2.

Второй процесс (см. цепочку равенств (6)):

x 4 x 2 1 x( x3 1) ( x 2 x 1);

x 2 x 1 (1/ 3)(3x 2 3x 3) 2 x;

2 x ( x) 2.

Третий процесс (см. цепочку равенств (7)):

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, W2 ( x) 0;

W1 ( x) x;

x 1 1 x2 x U ( x) ( x) ;

3 3 x2 x 1 x3 x 2 x V ( x) ( x 2) xx.

3 или (см. реккурентное соотношение (5) и представления (6)):

S0 ( x) 0;

S1 ( x) x;

x 1 1 x2 x U ( x) S 2 ( x) ( x) ;

3 3 x2 x 1 x3 x 2 x V ( x) S3 ( x) ( x 2) xx.

3 УДК 681. Г. В. СОКОЛОВ Пермский государственный университет АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ АВТОМАТИЧЕСКОЙ УКЛАДКИ ГРАФОВ НА ПЛОСКОСТИ В РАМКАХ ЗАДАЧИ ВИЗУАЛИЗА ЦИИ МОДЕЛЕЙ НА ГРАФАХ Производится аналитический обзор существующих алгоритмов уклад ки графов на плоскости для их применения в унифицированном компоненте визуализации моделях на графах. При анализе алгоритмов особое внимание уделяется эстетическим критериям изображений графов на плоскости.

Графовое представление используется для отображения инфор мации, допускающей моделирование в виде объектов и связей между ними. При визуализации моделях на графах возникают определенные трудности. Во-первых, не всегда удобно работать с визуальными моде лями, отображаемыми в изначальном (исходном) виде (вследствие большого количества пересечений ребер затрудняется понимание се Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, мантики изучаемых моделей). Во-вторых, часто схемы каких-либо предметных областей описываются в текстовом виде, например на XML, где отсутствует информация о расположении вершин графовой модели. Поэтому задача автоматического расположения элементов графа в системах визуализации графов занимает одно из ключевых мест.

Автором разрабатывается унифицированный компонент визуали зации графовых структур. Основными критериями, позволяющими наиболее наглядно визуализировать граф, являются:

количество пересечений ребер произвольного графа должно быть минимальным (в идеальном случае – граф планарный, нулевое количество пересечений ребер;

в случае если граф непланарный, то не обходимо выделить максимальный планарный подграф);

суммарная площадь, занимаемая графом (площадь минималь ного выпуклого многоугольника, покрывающего изображение графа), должна быть минимальна, но доля свободного места не должна быть меньше некоторого предела;

количество наложений вершин друг на друга должно быть ми нимальным.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.