авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«ТЕОРИЯ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ОПОР Теория формообразования опор качения КАЧЕНИЯ В книге приведена теория контакта ...»

-- [ Страница 2 ] --

1. Одним из мало использованных резервов повышения работо способности механизмов и машин является совершенствование пара метров упругого контакта опор трения качения механизмов и машин за счет создания теоретических основ целенаправленного проектиро вания рациональной конструкции рабочих поверхностей деталей и технологических основ обеспечения их производства.

2. Несмотря на значительные достижения современной теории упругого локального контакта твердых тел она все же не позволяет с достаточной точностью определять параметры контакта тел сложной геометрической формы, имеющих под нагрузкой переменный эксцен триситет эллипса контакта и различные формы профилей начального зазора в главных сечениях, описываемых степенными зависимостями с произвольными показателями степени. Это существенно сдерживает возможность целенаправленного проектирования рациональной кон струкции рабочих поверхностей деталей.

3. С целью практического использования опор качения с рацио нальной геометрией контакта необходимо дальнейшее совершенство вание процессов механической обработки деталей сложной формы, направленное на создание необходимого комплекса методов обработ ки, включающего шлифование, суперфиниширование и электрохими ческую обработку.

4. Наиболее перспективным направлением обеспечения задан ной точности поверхностей сложной формы является совершенство вание кинематики процесса шлифования кругом простой формы, что обеспечивает возможность использования традиционных методов правки круга и с высокой точностью формирование обрабатыва6мой поверхности.

5. Несмотря на существенный прогресс в области развития про цесса формообразующего суперфиниширования, его применение в основном ограничивается обработкой наружных цилиндрических и конических поверхностей вращения. Для обеспечения высокого каче ства поверхности сложной формы необходим дальнейший научный поиск в области развития теории процесса формообразующего супер финиширования и на его основе совершенствование способов супер финишной обработки и создание соответствующего технологического оборудования.

6. Значительным резервом в развитии технологии изготовления деталей опор качения является совершенствование процесса электро химической размерной обработки, в том числе развитие основ фор мообразования поверхностей вращения сложного профиля и создание эффективного способа их изготовления.

В настоящей работе предлагается новый подход к моделирова нию механизма локального контакта упругих тел сложной геометри ческой формы, учитывающий непостоянство эксцентриситета эллипса контакта и различные формы профилей начального зазора в главных сечениях, описываемых степенными зависимостями с произвольными показателями степени, и предлагается технологическое обеспечение рациональных геометрических параметров рабочих поверхностей опор качения.

Глава 2. Механизм упругого контакта тел нетрадиционной геометрической формы, описываемой в главных сечениях степенными функциями с различными показателями 2.1. Механизм формирования деформированного состояния упругих тел Рассмотрим контакт двух упругих тел под воздействием нор мальной нагрузки P. Считаем, что касательные напряжение отсутст вуют. Будем полагать также, что при отсутствии нормальной нагрузки тела имеют первоначальный точечный контакт. Выберем эту точку за начало декартовых координат (рис.1.1). Оси XOY лежат в общей ка сательной плоскости, а ось Z направляют через точку O перпендику лярно этой плоскости вовнутрь одного из контактирующих тел. Пусть главные сечения контактирующих тел лежат в одних плоскостях (для определенности в плоскости X 0 и плоскости Y 0).

Берутся две точки M 1 ( x,0, z1 ) и M 2 ( x,0, z 2 ), принадлежащие соответственно первому и второму контактирующим телам и лежащие в плоскости Y 0 и точки N 1 (0, y, z1 ) и N 2 (0, y, z 2 ), принадлежащие также как и точки M 1 и M 2 соответственно первому и второму кон тактирующим телами, но лежащие в плоскости X 0. Пусть началь ные расстояния M 1 M 2 и N 1 N 2 выражаются зависимостями:

(2.1) m f ( x,0) M 1 M 2 z1 z 2 B x ;

n f ( 0, y ) N 1 N 2 z1 z 2 A y, где A и B - произвольные коэффициенты при A 0 и B 0 ;

n и m показатели степени ( n m 1 ).

В дальнейшем везде под сложной формой контактирующих тел будем понимать такую их форму, при которой функция начального расстояния является гладкой и между смежными точками контакти рующих тел от расстояния до начальной точки контакта в главных се чениях удовлетворяют условиям (2.1) Если обозначить через w1 ( x, y, z), w 2 ( x, y, z ) вертикальные де формации соответственно первого и второго тела, а через - сближе ние тел, возникающих при внешней нагрузке P, то краевое условие контактной задачи можно записать в виде:

w1 ( x, y,0) w2 ( x, y,0) f ( x, y ). (2.2) Так как функция f ( x, y ) удовлетворяет (2.1), то из краевого ус ловия (2.2) получим два уравнения:

w1 ( x,0,0) w2 ( x,0,0) z1 z 2 B x, (2.3) m w1 (0, y,0) w2 (0, y,0) z1 z 2 A y.

n С учетом того, что вертикальное перемещение в точке ( x, y ) площадки контакта можно выразить через потенциал простого слоя с интенсивностью q ( x, y ):

(2.4) 1 12 1 2 w( x, y,0) w1 ( x, y,0) w2 ( x, y,0) E E q ( x ', y ' )dx ' dy ', 2 ( x x' ) ( y y' ) S где S - площадка контакта;

1, 2 - коэффициенты Пуассона, а E1 и E 2 - модули упругости соответственно первого и второго тела, урав нения (2.3) перепишутся в виде:

1 12 1 2 2 q ( x ', y ' )dx ' dy ' m E E B x, (2.5) 2 ( x x' ) 2 y' 1 S 1 12 1 2 2 q ( x ', y ' )dx ' dy ' n E E A y.

2 x' 2 ( y y' ) 1 S Далее будем считать, что внешняя нагрузка, участвующая в упру гом сжатии тел, принимает заданное значение P не мгновенно, а в те чении некоторого времени, возрастая от нулевого своего значения.

Тогда мы можем рассмотреть контакт упругих тел под некоторой промежуточной нормальной нагрузкой Q. Обозначим малую и боль шую полуоси площадки контакта, возникшей под нагрузкой Q, соот ветственно через a Q и bQ, а соответствующие размеры площадки контакта при полной нагрузке P через a и b. При приращении внеш ней нагрузки dQ будем предполагать, что размеры площадки контак та не изменяются. Тем самым задача сводится к задаче контакта жест кого плоского в плане штампа с упругим полупространством, для ко торой справедливы следующие дифференциальные уравнения:

dq ( x ', y ' ) F ( x ', y ' ) dQ ;

(2.6) F ( x, y ) du v 0 dQ dw( x, y, z) dx dy, x x 2 y y 2 z SQ SQ где dq ( x, y ) - нормальное напряжение, возникающее между пло ским в плане штампом и упругим полупространством в произвольной точке x, y площадки контакта, находящейся в плоскости z 0, от элементарной нормальной нагрузки dQ ;

S Q - форма площадки кон такта, возникающая под действием промежуточной нагрузки Q меж ду упругими телами;

dw( x, y, z )- элементарные вертикальные пере мещения точек контактирующих тел под воздействием элементарной сжимающей нормальной нагрузки dQ ;

z - расстояние от поверхности контакта;

x, y, z - координаты точки, в которой рассматривается пе ремещения;

F ( x, y ) - функция, связывающая контактные напряже ния q ( x, y ) с нагрузкой dQ.

Интегрируя выражения (2.6) мы можем определить контактные напряжения и вертикальные перемещения точек упругих контакти рующих тел внутри площадки контакта при произвольной нагрузке P:

P P F ( x, y ) w( x, y) dw( x, y,0) v 0 dQ dx dy ;

(2.7) y y x x 0 0 SQ (2.8) P F ( x, y )dQ, q ( x, y ) Pxy где q( x, y ) - нормальное контактное напряжение в произвольной точке x, y при нагрузке P ;

Pxy - нагрузка, соответствующая пло щадке контакта, при которой точка x, y лежит на ее границе;

1 12 1 2 v0.

E1 E Используя известные решения, выполненные для условий контакта жесткого плоского в плане штампа с упругим полупространством, и принимая во внимание следующие уравнения, возникающие из крае вого условия:

w(a,0,0) z1 z 2 B a ;

m w(0, b,0) z1 z 2 A b, n где b и a - искомые границы площадки контакта при нагрузке P, ле жащие на главных осях (полагаем для определенности b a ), с помо щью выражений (2.7) и (2.8) находим решение поставленной задачи, а именно определяем сближение тел, перемещения в различных точ ках площадки контакта, размеры площадки контакта и распределение контактных напряжений при различных значениях A, B, n и m и при различных формах площадки контакта.

Так как на практике чаще всего принимают форму площадки контакта эллиптической, то для данной формы площадки контакта найдем ее размеры, распределение напряжений, величину сближения между контактирующими упругими телами.

Как известно, сближение, возникающее от воздействия плоского эллиптического в плане штампа на упругое полупространство под воздействием нормальной нагрузки dQ, определяется из выражения:

vo (2.9) d Q K (e Q )dQ, bQ а контактные напряжения, возникающие при этом можно найти из вы ражения:

dQ (2.10) dq ( x, y ), y x 2 a Q bQ 1 2 aQ bQ где e Q - эксцентриситет эллипса контакта, возникающий под воздейст вием внешней нагрузки Q ;

K (e Q ) - эллиптический интеграл первого рода.

Здесь F ( x, y).

y x 2 a Q bQ 1 2 aQ bQ Подставляя (2.10) во второе уравнение (2.6), получим:

dQ dw( x, y, z ) v0 2aQ bQ (2.11) dd 2 SQ ( x ) 2 ( y ) 2 z 1 2 aQ bQ где SQ - эллиптическая площадка контакта упругих тел, возникающая под промежуточной нагрузкой Q.

Полное вертикальное перемещение точки ( x, y ), лежащей в об ласти контакта, возникающее под действием сжимающей нормальной нагрузки P, и сближение упругих тел находится интегрированием со ответственно выражений (2.11) и (2.9):

P dd w( x, y,0) v0 dQ.

0 2aQ bQ S 2 2 (2.12) ( x ) 2 ( y ) Q 1 aQ 2 bQ (2.13) K ( eQ ) P v0 dQ.

bQ Пусть ( x p, y p ) -координата точки, лежащей на границе эллип тической площадки контакта при нагрузке P. Введем полярную сис тему координат:

x p l cos, y p l sin где l - полярный радиус профиля площадки контакта;

- полярный угол.

Тогда выражение (2.12), определяющее вертикальное переме щение в точке ( x p, y p ) под воздействием внешней нагрузки P в об ласти контакта перепишется следующим образом:

P 1 l 2 () (2.14) dlddQ w( x p, y p,0) v0, 2 0 0 l1 () x p l cos y p l sin 2aQ bQ 1 aQ bQ где пределы внутренних интегралов- полярные границы площадки контакта, образованной под воздействием промежуточной нормаль ной нагрузкой Q.

Границы внутреннего интеграла l1 () и l2 () находятся из уравнения:

2 x p l cos y p l sin 1 0, aQ bQ корни которого имеют вид:

b 1 2 l1,2 ( ) cos a Q y p sin Qxp 2 2 2 sin aQ bQ cos a Q bQ a Q sin 2 bQ cos 2 x p sin y p cos 2.

После непосредственного интегрирования получаем:

l2 ( ) dl 2 x p l cos y p l sin l1 ( ) 2 a Q bQ 1 aQ bQ ln a Q sin 2 bQ cos 2 ln a Q sin 2 bQ cos 2 2 2 a Q sin 2 bQ cos 2 2 a Q bQ a Q bQ ln 1 i 2 2 2 2 2 2 2 2 i sin cos 2 i sin cos aQ bQ aQ bQ, 2 2bQ 1 sin eQ что позволяет переписать выражение (2.14) в виде:

1 ( x p, y p ) 1 P1 ddQ w( x p, y p,0) v 0, (2.15) 2 0 bQ 2 1 sin eQ 0 ( x p, y p ) а уравнения (2.5), с учетом (2.13) запишутся следующим образом:

1 ( a,0) P 1 P ddQ ddQ Ba m, (2.16) v v0 0 bQ 1 eQ sin 2 2 0 bQ 1 eQ sin 0 ( a,0) 1 ( 0,b ) P 1 P ddQ ddQ Ab n v v0 0 bQ 1 eQ sin 2 0 bQ 2 1 eQ sin 0 ( 0,b ) Границы внутреннего интеграла в выражении (2.15) легко опре деляются.

Для этого достаточно вспомнить, что углы 0 ( x p, y p ) и 1 ( x p, y p ) в (2.15) являются углами наклона касательных, проведен ных из точки ( x p, y p ) к эллипсу контакта, возникающему под проме жуточной нагрузкой Q.

Для определения явного вида функций 0 ( x p, y p ) и 1 ( x p, y p ) в силу симметрии площадки контакта, будем полагать, что точка ( x p, y p ) находится в первом квадранте в выбранной нами декартовой системе координат.

Как известно, уравнение эллипса можно записать в виде:

(2.17) x y 0 bQ 1, aQ где знак "" берется для описания верхней части эллипса, а знак " " для нижней.

Тогда уравнение касательной к верхней части эллипса и прохо дящую через точку ( x p, y p ) имеет вид:

bQ x x x p y p, y 2 aQ aQ x где x 0 - точка, принадлежащая эллипсу, через которую проходит каса тельная.

Откуда имеем уравнение относительно x 0 :

bQ bQ x x0 x p y p.

2 aQ x aQ 2 aQ aQ x Решение этого уравнения будет выглядеть следующим образом:

(2.18) aQ bQ x p y p a Q y 2 x 2 bQ a Q bQ, 2 2 2 x11 ( x p, y p ) p p a Q y 2 x 2 bQ 2 p p b x aQ y p a Q y 2 x 2 bQ a Q bQ.

2 2 x12 ( x p, y p ) Q p p p aQ y x 2 bQ p p Аналогично, уравнение касательной к нижней части эллипса имеет вид:

bQ x x x p y p, y 2 aQ aQ x откуда получаем уравнение относительно x 0 :

bQ bQ x x0 x p y p, 2 aQ x aQ 2 aQ aQ x корни которого имеют вид:

x 21 ( x p, y p ) x11 ( x p, y p ), x 22 ( x p, y p ) x12 ( x p, y p ), где x11 ( x p, y p ) и x12 ( x p, y p ) определяются из выражения (2.18).

Таким образом углы 0 ( x p, y p ) и 1 ( x p, y p ), в случае если обе касательных проходят через верхнюю часть эллипса, определяются из выражений:

(2.19) bQ x 0 ( x p, y p ) arctg, 2 a Q a Q x bQ x 1 ( x p, y p ) arctg.

2 aQ aQ x С учетом (2.18) выражения (2.19) запишутся в виде:

bQ x p y p aQ y 2 x 2 bQ aQ bQ 2 2 2 p p, tg ( y 2 bQ )aQ x 2 x 4 bQ aQ y 2 2aQ x p y p 22 2 4 aQ y 2 x 2 bQ aQ bQ 2 2 p p p p p p (2.20) bQ x p y p aQ y 2 x 2 bQ aQ bQ 2 2 2 p p.

tg ( y2 bQ )aQ x x 4 bQ aQ y 4 aQ y x 2 bQ 2 2aQ x p y p aQ bQ p p p p p p Если же касательные проходят через верхнюю и нижнюю часть эллипса, то угол 0 ( x p, y p ) остается без изменений, а угол 1 ( x p, y p ) будет определяться из выражения:

(2.21) bQ x 22 bQ x 1 ( x p, y p ) arctg arctg 2 2 2 a Q a Q x 22 a Q a Q x или с учетом (2.18):

bQ x p y p aQ y 2 x 2 bQ aQ bQ 2 2 2 p p, tg ( y 2 bQ )aQ x 2 x 4 bQ aQ y 2 2aQ x p y p aQ y 2 x 2 bQ aQ bQ 22 2 4 2 2 2 p p p p p p (2.22) bQ x p y p aQ y 2 x 2 bQ aQ bQ 2 2 2 p p.

tg (y2 bQ )aQ x x 4 bQ aQ y 4 aQ y x 2 bQ 2 2aQ x p y p aQ bQ p p p p p p Таким образом из (2.15), (2.20) и (2.22) краевое условие (2.2) запишет ся в виде:

(x, y ) P1 2 1 P1 1 p p ddQ ddQ f ( x p, y p ). (2.23) v v0 0 bQ 0 1 eQ sin 2 2 0 bQ 0 ( x p, y p ) 1 eQ sin 2 Как видно слева в (2.23) стоит выражение, зависящее от x p, y p, а также от величин a Q, bQ. Для того, чтобы в левой части (2.23) стояло выражение, зависящее только от x p, y p необходимо определить па раметры a Q и bQ.

Для этого предположим, что размеры площадки контакта зави сят от текущей внешней нагрузки Q следующим образом:

(2.24) a Q uQ h, t bQ kQ в частности при конечной нагрузке P :

a uP h.

(2.25) b kP t Введем новое обозначение:

bQ (2.26) s.

b Из (2.26) с учетом выражений (2.24) и (2.25) следует:

(2.27) 1 t 1 Q s ;

Q P s t ;

dQ P s t ds.

P t Тогда (2.24) можно переписать в виде:

h h a uP s a s t ht S (2.28) b kP t s b s.

S С учетом (2.27) и (2.28) краевое условие (2.23) запишется:

(x,y ) 1 1 2 1 v0 P 1 t 2 1 p p dds dds v0 P (2.29) s st t b 0 2 t b 2 2 2 1 e S sin 0 ( x p, y p ) 1 e S sin f (x p, y p ).

где eS - эксцентриситет эллипса контакта под текущей нагрузкой Q, определяемый из выражения:

h h a2 2 1 2 aS t t 1 1 e2 s eS 1 1 s, (2.30) 2 bS b e - эксцентриситет эллипса контакта под нагрузкой P.

Определим полуоси эллипса контакта a и b. С учетом (2.15), (2.27), (2.28) имеем уравнения:

1 1 2 2 ( a,0 ) 1 v0 P 1 t 2 dds dds v0 P Ba m, (2.31) st s t b 0 1 e S sin 2 2 t b 2 2 0 ( a,0) 1 e S sin 1 1 2 2 1 ( 0,b ) 1 v 0 P 1 t 2 dds dds v0 P Ab n, s st t b 0 1 e S sin 2 2 t b 2 2 0 ( 0,b ) 1 e S sin где, как следует из (2.20) и (2.22):

s 0 (a,0) arctg ;

h 1 e 1 s t (2.32) s 1 (a,0) arctg ;

h 1 e 1 s t 1 s 0 (0, b) arctg h ;

t s 1 e 1 s 1 (0, b) arctg h.

t s 1 e После подстановки (2.32) в (2.31) получим:

1 v 0 P 1 t 2 1 ( a, 0 ) dds dds 2 v0 P Ba m, s st 1 e S sin t b t b 0 2 2 2 1 e S sin 0 1 1 2 2 v 0 P 1 t 2 dds dds v0 P Ab n (2.33) s st 1 e S sin 2 t b t b 0 2 2 0 ( 0,b ) 1 e S sin Упростим второе выражение в (2.33). Для этого введем обозна чение:

h 1 e st b arctg arctg, tg 0 (0, b) 1 s а также сделаем в последнем интеграле замену переменной:

arctg.

tg Тогда 1 1 tg ctg arctg tg tg 2 tg 2 k, k Z ;

d d и 1 1 2 2 1 1 dds dds v0 P v0 P st st t b t b 0 2 2 2 1 sin 1 sin eS eS 0 b 1 2 2 b dds v0 P Ab n.

st t b 0 1 e S sin Таким образом выражения (2.33) перепишутся в виде:

1 1 2 2 a dds dds Pv 0 t Ba m ;

(2.34) s bt 2 2 2 1 e S sin 0 1 sin eS 0 1 2 b Pv 0 1 t 2 dds Ab n, s bt 1 e S sin 0 где a 1 (a,0).

Из второго выражения (2.34):

1 n 1 2 2 b (2.35) dds v 0 b.

P n 1 st At 1 e S sin 0 Сравнивая выражения (2.35) и (2.25) при степенях P, получим:

(2.36) t.

n Обозначим интегралы в выражениях (2.36):

dds J 0 (e) s n 1 ;

2 1 sin eS 0 a dds n J a ( e) s ;

(2.37) 2 1 sin eS 0 b dds J b ( e ) s n 1.

1 e S sin 0 Тогда с учетом обозначений (2.37) и выражения (2.36), уравне ния (2.34) можно записать в виде:

Pv 0 (n 1) J 0 (e) J a (e) Ba m ;

b 1) v (n n 1 (2.38) P n 1 0 b.

J b ( e ) A Подставляя второе выражение в (2.38) в первое, получим:

1 m Pv0 J0 (e) Ja ( e) A n 1 (n 1) a (2.39) Pv0 (n 1) Jb (e)n 1 B 1 m n J 0 ( e) J a ( e) A n n v 0 (n 1) m( n 1) P.

m( n 1) n 1 B J b ( e) Сравнивая в выражениях (2.39) и (2.25) степени у P, получаем:

(2.40) n h.

m( n 1) Выражения (2.32) примут вид:

s 0 (a,0) arctg ;

n 1 e2 1 s m s 1 (a,0) arctg ;

n 1 e2 1 s m 1 s2 1 s 0 (0, b) arctg n ;

1 ( 0, b) arctg n, m m s 1 e2 s 1 e откуда n 1 e s 2 m s ;

b arctg (2.41) a arctg.

n 1 s 1 e2 1 s m Эксцентриситет эллипса контакта, как следует из (2.30), в зави симости от текущей нагрузки будет выражаться зависимостью:

n 2 m eS 1 1 e s. (2.42) Как видно из последнего выражения, эксцентриситет эллипса контакта является постоянной величиной только при n m. В случае n m эксцентриситет зависит от внешней нагрузки.

С учетом (2.41) и (2.42) при n m интегралы (2.37) можно уп ростить. В этом случае:

1 e 2 s s ;

b arctg.

a arctg 2 2 (2.43) 1 e 1 s 1 s Тогда интеграл J 0 (e) примет вид:

sn dds 2 J 0 (e) s n 1 K ( e) K ( e).

n n 1 e 2 sin 0 0 Упростим J a (e), используя формулу интегрирования по частям.

Для этого обозначим:

s arctg 1 s2 1 e d dv s n 1 ds.

u ( s), 1 e 2 sin Тогда ' s ds du arctg 1 s2 1 e2 s 1 e 2 sin 2 arctg 1 s2 1 e ds ;

2 2 1 s 1 e e s n s v.

n Откуда a dds n J a ( e) s 2 1 sin eS 0 s arctg 1 e 1 s n d s n ds s.

n 0 1 s2 1 e2 e2s n 1 e 2 sin 2 Делаем замену: s cos, получаем:

cos n d 1 J a (e ) K (e ).

n n 0 1 e 2 sin Аналогичным образом упростим выражение для интеграла J b ( e).

Таким образом в случае n m выражения (2.37) перепишутся в виде:

J 0 ( e) K ( e) ;

n cos n d 1 J a ( e) K ( e) (2.44) ;

n n 0 1 e 2 sin sin n d J b ( e).

n 0 1 e 2 sin Выражения для определения размеров площадки контакта, как следует из (2.38), запишутся следующим образом:

1 m n J 0 ( e) J a ( e) A n n v 0 (n 1) m( n 1) aP ;

m( n 1) (2.45) n 1 B J b ( e) 1) v (n n P n 1 b J b ( e).

A Разделим первое выражение в (2.45) на второе. Получим:

m nm J 0 ( e) J a ( e) m n nm a A m v 0 (n 1) m( n 1) P.

m( n 1) m b m( n 1) Bm J b ( e) С другой стороны, известно, что a 1 e2.

b Приравнивая правые части двух последних выражений, получим выражение для определения эксцентриситета:

m nm J 0 ( e) J a ( e) m m n nm A v 0 (n 1). (2.46) m( n 1) 1 e2 P m( n 1) m m( n 1) Bm J b ( e) Таким образом, определив из (2.46) эксцентриситет e, из выра жения (2.45) определяется размер большой полуоси эллипса контакта b, а затем определяется и размер малой полуоси a.

Очевидно, выражение (2.46) накладывает ограничение на коэф фициенты A и B. Так как левая часть равенства (2.46) может прини мать значения от 0 до 1, то при заданных P, n, m, v 0 коэффициенты A и B должны быть такими, что бы и правая часть равенства (2.46) лежала бы в этих пределах.

В частности, что бы определить, при каких A и B решение уравнения (2.46) относительно e существует при n m, перепишем его с учетом (2.44):

sin n d n 1 e 2 sin 1 A (2.47) e.

B cos n d 1 e 2 sin При изменении e в пределах от 0 до 1 левая часть последнего выражения меняется от 1 до 0. Таким образом, решение (2.47) суще A ствует, если 0 1.

B Сравним полученные результаты с известными формулами Гер ца, где n m 2. Как следует из второго выражения (2.45):

3 v b3 P 2 J b ( e).

2A Из последнего выражения (2.44) имеем:

sin 2 d 1 1 D(e) 2 K (e) E (e), J b ( e) 2 0 1 e 2 sin 2 2 2e где K ( e) и E (e) соответственно эллиптические интегралы первого и второго рода.

Таким образом, большая площадка контакта будет находится из выражения:

3 v b3 P D(e), 2A что в точности совпадает с выражением Герца.

Определим сближение упругих контактирующих тел, которое возникает под внешней нормальной нагрузкой P. Для этого в выра жение (2.13) подставим (2.28):

d P(n 1) n 1 s v0 ds.

b n 0 0 2 1 1 (1 e 2 ) s sin 2 (2.48) m В частности, при n m :

d 2 3P 3 P n s v0 ds v 0 K ( e), nb b0 2 0 1 e sin что также полностью совпадает с формулами Герца при n 2 и с вы ражением И.Я. Штаермана при n 4.

После определения размеров площадки контакта, эксцентриси тета, краевое условие (2.29) запишется:

1 ( x p, y p ) v 0 P( n 1) n 1 d d ds (2.49) s b 0 1 e S sin 2 2 0 ( x p, y p ) 1 e S sin 2 f (x p, y p ).

Как можно заметить из (2.49) левая часть выражения зависит только от x p, y p и оно определяет функцию начального зазора меж ду контактирующими телами.

Таким образом нами получены выражения, позволяющие опре делить эксцентриситет эллипса контакта (2.46), размеры площадки контакта (2.45), а также сближение упругих тел (2.48) для случая, ко гда начальный зазор между контактирующими упругими телами опи сывается в главных сечениях различными степенными функциями с произвольными показателями. Кроме того, установлено, что если на чальный зазор описывается степенными функциями с одинаковыми показателями, то эксцентриситет эллипса контакта не будет зависеть от величины внешней нагрузки. В противном случае, эксцентриситет эллипса контакта будет зависеть от величины внешней нагрузки.

2.2. Механизм напряженного состояния области контакта упругих тел сложной формы Как известно, условие равновесия при рассматриваемом контак те упругих тел (считаем, что касательные напряжения отсутствуют) можно записать в виде:

(2.50) P q ( x, y )dS, S где S -эллиптическая площадка контакта;

q ( x, y )- напряжение, возни кающее в точке x, y на площадке контакта под воздействием внеш ней нагрузки P.

Будем считать поочередно под воздействием внешней элемен тарной нагрузки dQ одно из контактирующих тел упругим эллипти ческим в плане штампом, а другое - упругим полупространством. На пряжение, возникающее в точке x, y под воздействием нагрузки dQ, находится из (2.10).

Обозначим через Pxy внешнюю нагрузку, при которой точка x, y станет граничной для нашей площадки контакта. Очевидно, с увеличением нагрузки точка x, y станет внутренней точкой площад ки контакта. Тогда при внешней нагрузке P, напряжение, которое возникнет в точке x, y, получается путем интегрирования выражения (2.10):

P dQ q( x, y).

2 (2.51) y x Pxy a Q bQ 1 2 aQ bQ Покажем, что функция (2.51) удовлетворяет условию равнове сия (2.50).

Действительно, пусть 1, если ( x, y ) S Q 2 2 (2.52) y x F ( x, y, S Q ) a Q bQ 1 2 2, a Q bQ 0, если ( x, y ) S Q где a Q и bQ - размеры полуосей эллиптической площадки S Q.

Тогда очевидно верно следующее равенство:

(2.53) F ( x, y, S Q )dQdS F ( x, y, S Q )dQdS, SQ S где S - площадка контакта, соответствующая конечной нагрузки P.

Из условие равновесия штампа при действии элементарной на грузки dQ следует:

F ( x, y, S Q )dQdS dQ, SQ откуда получаем:

(2.54) P P F ( x, y, S Q )dQdS dQ P.

0 SQ С другой стороны, из (2.53) следует:

(2.55) P P F ( x, y, S Q )dSdQ F ( x, y, S Q )dSdQ 0 SQ 0S P F ( x, y, S Q )dQdS.

S Так как из определения функции (2.52) следует, что F ( x, y, S Q ) 0 при ( x, y ) S Q (т.е. точка не попадает в область кон такта), а при достаточно малой нагрузке Q точка ( x, y ) S Q, то в ка честве нижнего предела во внутреннем интеграле можно взять такую минимальную нагрузку, при которой точка ( x, y ) начнет попадать в область контакта. Ранее эту нагрузку мы обозначили через Pxy. Тогда (2.56) P P F ( x, y, S Q )dQdS F ( x, y, S Q )dQdS.

S 0 S Pxy Таким образом из (2.55) и (2.56) имеем:

(2.57) P P F ( x, y, S Q )dSdQ F ( x, y, S Q )dQdS, 0 S S Pxy а сравнивая левые и правы части (2.54) и (2.57), получаем:

(2.58) P F ( x, y, S Q )dQdS P.

S Pxy Так как P P dQ F ( x, y, S Q )dQ, q( x, y) 2 y x Pxy Pxy a Q bQ 1 2 aQ bQ то окончательно получаем:

(2.59) P q ( x, y )dS F ( x, y, S Q )dQdS P S s Pxy и тем самым доказываем выполнение условия равновесия для функ ции (2.51).

Производя замену переменной (2.27) и с учетом выражений (2.28), перепишем (2.51) в следующем виде:

n n P P( n 1) dQ s m ds 1.

q( x, y) (2.60) 2 2 ab 2 2 y y x x Pxy Pxy a Q bQ 1 1 P 2 2 n b 2 s aQ bQ 2 m as Определим нижний предел интегрирования в (2.60).

Так как точка ( x, y ) при внешней нагрузке Pxy лежит на границе площадки контакта с полуосями a xy, bxy, то для этой точки будет вы полняться условие:

y x 1.

2 a xy b xy Следовательно, чтобы найти нагрузку Pxy, при которой данная точка x, y станет граничной точкой площадки контакта, с учетом выражений (2.28), мы должны решить уравнение относительно s :

y x 1.

b2 s n a2 s m Если через s0 ( x, y ) обозначить корень этого уравнения, то очевидно, s 0 ( x, y ) будет являться корнем и уравнения:

(2.61) n n y2 x 2 0.

m sm s b2 a В общем случае уравнение (2.61) имеет несколько корней. На пример, если s0 - корень уравнения, то корнем этого же уравнения бу дет и s0. Кроме того, в зависимости от n и m уравнение (2.61) мо жет иметь еще несколько корней. Но как следует из (2.27), значение величины s лежит на отрезке s 0, 1. Следовательно из уравнения (2.61) необходимо найти корень s0, удовлетворяющий условию 0 s0 1. Легко показать, что уравнение (2.61) на отрезке s 0, всегда имеет корень и только один. Действительно, если s 0, то вы x ражение (2.61) принимает отрицательное значение, равное. Если a y2 y x2 x s 1, то (2.61) принимает вид: 1 1, то. Так как 2 2 2 b a b a (2.61) в этом случае имеет положительное значение. Таким образом на отрезке s 0, 1 выражение меняет знак, а следовательно, имеет ко рень. Покажем, что он единственный на заданном отрезке. Для этого найдем на отрезке s 0, 1 участки возрастания и убывания функции:

n n y2 x 2 r (s) s m sm.

b2 a Найдем:

n n y2 n n 2 m 1 2 m r © ( s) 2 s 2 1 s b2 m m n 3 y2 n 2 n m 2 s s m b2 m Очевидно, при s 0 существует лишь одно значение s при ко тором функция принимает экстремальное значение:

y2 n y2 n m n 1 0 s s 2 b2 m b2 m n m y2 m s2 1 2 n b y m В точке экстремума s 1, как легко убедиться, функ b n ция r ( s) принимает значение меньше нуля, также как и в точке s 0 и y m на участке 0 s 1 функция монотонно убывает, следова b n тельно, на этом участке функция r ( s) корней не имеет. А так как при y m s 1 функция r ( s) монотонно возрастает и на участке b n y m 1 s 1 меняет свой знак, то на данном участке существует b n корень и только один.

Тогда (2.60) перепишется в виде:

n n P(n 1) s m ds q( x, y) 2 ab s y x 0 ( x, y) 1 (2.62) n b2 s a2s m s n 1ds P (n 1).

2 ab s n n 2 2 2 y x 0 ( x, y) sm sm b2 a Выражение (2.62) определяет контактные напряжения во всех точках эллиптической площадки контакта и таким образом оконча тельно решают контактную задачу.

Однако, нахождение контактных напряжений по эллиптической площадке контакта можно свести к нахождению напряжений по кру говой площадке контакта с единичным радиусом. Для этого введем обозначения:

(2.63) y x, p.

t b a Тогда предыдущее выражение для расчета напряжений примет вид:

s n 1ds (2.64) P (n 1) q1 (t, p) q (at, bp), 2 ab s n n 2 0 (t, p) t p m sm s где s 0 ( t, p) - действительный корень уравнения:

(2.65) n n 2 2 p t 0.

m sm s Таким образом, определение контактных напряжений по эллип тической площадке контакта мы свели к определению напряжений по круговой площадке контакта с единичным радиусом. Очевидно, при менив обратную подстановку (2.63), мы получим напряжения в точках эллиптической площадки контакта.

В частности, из выражения (2.64) немедленно следует, что на пряжение в центре площадки контакта ( p 0, t 0) равно:

(2.66) n P(n 1) 1 n 1 m P m(n 1) p0 q1 (0,0) ds s.

2 ab 0 2 ab n(m 1) Легко заметить, что при n m 2 получаем выражение, в точ ности совпадающее с выражением Герца, а при n m 4 получим выражение, полученное И.Я. Штаерманом [232].

Для произвольных n и m определить напряжения из выражений (2.64) и (2.65) можно численными методами. Однако, для некоторых частных случаев выражение (2.64) можно значительно упростить.

Предположим n m.

Тогда выражение (2.64) примет вид:

s n 1ds P (n 1) q1 ( t, p).

2 ab (2.67) 2 2 s p t p2 t Выражение (2.67) можно выразить через гипергеометрическую функцию 1-го рода, если сделать замену переменной:

t z s 2 p 2 t 2, s z 2 p 2 t 2, ds dt.

2 2 z p t Тогда (2.67) запишется в виде:

1 p 2 t 2 n t P (n 1) 2 2 q1 ( t, p) p t 2 dt 2 ab n 1 n 3 1 p2 t 2, P ( n 1) 1 p2 t 2 p2 t 2 F1,1,, 2 ab p2 t 2 1 n 3 1 p2 t где 2 F1,1,, - гипергеометрическая функция 1-го p2 t 2 рода.

В частности, при n 2 :

1 3 1 p2 t 1, 2 F1,0,, p2 t 2 а значит, P(n 1) 1 p2 t q1 ( t, p) 2 ab или x2 y 3P q( x, y) 1 2 2, 2 ab a b что в точности соответствует известной формуле Герца.

При n 4 :

1 3 1 p2 t 2 1 1 p2 t F1,1,,, 2 2 2 2 2 2 3 p t p t откуда:

2 1 1 p2 t 5P 2 2 q1 ( t, p) 1 p t p t 2 ab 3 p2 t 5P 1 p2 t 2 p2 t 2 p2 t 2 ab 5P 1 p 2 t 2 1 1 p 2 t 2 ab или x2 y x2 y 5P 1 1 2, q (x, y ) 1 2 2 2 ab 3 b a b a что в точности совпадает с выражением И.Я. Штаермана [232].

Выражение (2.67) путем замены переменной:

p2 t v, s можно представить в несколько другом виде:

n 1 (2.68) P (n 1) 2 dv p t2 q1 ( t, p ).

2 ab vn 1 v p2 t Ранее для произвольных n и m было дано доказательство вы полнимости условия равновесия. Однако для случая n m можно привести другое доказательство.

Введем полярные координаты:

p r cos t r sin Тогда выражение (2.68) запишется так:

(2.69) P(n 1) n 1 1 dv q 2 (r ) r.

2 ab n 1 v rv Условие равновесия (2.50) запишется в виде:

ab q 2 (r )dS ab l (r )q 2 (r )dr P, S где l ( r ) - длина окружности радиуса r, равная: l ( r ) 2r.

Для доказательства последнего равенства, подставим в его ле вую часть выражение (2.69):

1 1 1 dv ab l (r )q 2 (r )dr ab 2 r q 2 (r )dr P (n 1) r n dr n 1 v v 0 0 0 r.

Применим метод интегрирования по частям.

Обозначим:

dv dv r n dr, u, vn 1 v r r n dr, v du.

n rn 1 r Тогда 1 1 dv n ab 2 r q 2 (r )dr P(n 1) r dr n 1 v v r 0 n 1 1 1 1 n r dv r dr P(n 1) n 1 r vn 1 v2 0 0 n 1 rn 1 r r n 1 1 1 r dr P P(n 1) dr P.

n n 1 r 1 r2 0 1 r Таким образом, вновь доказано условие равновесия для функции напряжений (2.67), (2.68) или (2.69) выполняется при произвольных n m.

Расчет напряжений для случая n m приведен впервые в работе [118]. Однако, в этой работе не была доказана выполнимость условия равновесия. Для сравнения выражений (2.67), (2.68) или (2.69) с ана логичным, приведенным в работе [118], представим выражение (269) следующим образом:

(2.70) dv n q ( r ) p0 (n 1) r, vn 1 v r где p 0 - напряжение в центральной точке контакта (2.66).

Если ввести обозначение:

r n 1 (n 1) dv N n (r ) 1 r2 vn 1 v r и подставить в (2.70), то получится в точности выражение, приведен ное в работе [118]:

y x q ( x, y ) p0 1 N n (r), a2 b x2 y где r.

a2 b В табл.2.1. приведен явный вид выражений для N n ( r ) при раз личных n.

Из выражений (2.57)-(2.58) можно еще получить несколько ча стных случаев при которых эти выражения значительно упрощаются.

Рассмотрим в качестве примера случаи: m 2, n 4 ;

m 3, n 6 и m 4,n 8.

Во всех этих случаях нижний предел интегрирования в выраже нии (2.57) будет являться корнем уравнения:

s4 p2 s2 t 2 0, Таблица 2. Явный вид выражений для N n ( r ) при различных n N n (r) n 1 2 3 r Arth( 1 r 2 ) 1 r 4 1 2 r 5 r Arth 1 r 1 r 2 2 1 r 6 42 rr 3 7 r 5 2 15 4 Arth 1 r 1 r r 4 8 8 1 r 8 6 8 1 r2 r4 r 5 5 который равен p2 p 4 4t 2.

s0 2 Пусть m 2, а n 4.

В этом случае выражение для подсчета контактных напряжений (2.64) примет вид:

5P 1 s 3 ds q1 ( t, p), 2 ab s s 4 p 2 s 2 t Непосредственно вычисляя интеграл в правой части, получим:

s 3 ds 5P q1 ( t, p) 2 ab (2.71) 4 22 s p s r p2 1 p 4r 5P 2 2 1 p 2 r 2 p 2 ln 2 p 2 1 p r.

2 ab 4 p 2 4r Найдем распределение контактных напряжений при m 3 и n 6.

В этом случае выражение (2.64) предстанет в виде:

7P 1 s 5 ds q1 ( t, p), 2 ab s s 4 p 2 s 2 t После интегрирования, получим:

7P 4 6p2 1 p 2 t 2 3 p 4 4t 2 ln p 2 4t q1 ( t, p) 2 ab.

(2.72) ln2 p 4 2 2 2 3p 4t 2 1 p t Аналогично нетрудно получить выражения и для n 8 и m 4.

В этом случае выражение для расчета напряжения примет вид:

9P 1 s 7 ds q1 ( t, p).

2 ab s s 4 p 2 s 2 t Вычисляя интеграл в правой части, получаем 9P 4 1 p 2 t 2 8 10 p 2 15 p 4 16t q1 ( t, p) 2 ab 192 (2.73) 3 5 p 6 12 p 2 t 2 ln p 4 4t 2 2 ln 2 p 2 2 1 p 2 t 2.

Следует заметить, что для большинства случаев, подобные вы ражения для функции напряжения могут быть очень громоздкими. В то же время, для произвольных показателей функции зазора n и m с помощью выражений (2.64) и (2.65) прекрасно можно определять на пряжения по площадке контакта численными методами, например, с помощью пакета «Mathematica4».

Таким образом, наряду с общими формулами для подсчета кон тактных напряжений (2.64) и (2.65) нами получены, как частные слу чаи, выражения Герца, И.Я. Штаермана [232], А.В. Королева [118].

Было приведено доказательство, что функция напряжений (2.64) для произвольных n и m удовлетворяет условию равновесия Для произ вольных n и m найдены напряжения в центре площадке контакта.

Получены выражения (2.70), (2.71), (2.72) для расчета контактных на пряжений при n 4, m 2 ;

n 6, m 3 и n 8, m 4.

Следует заметить, что решение контактной задачи в случае, ко гда n и m являются параметрами, позволило не только находить раз меры площадки контакта и эпюру контактных напряжений при раз личных значениях этих величин, но позволило определить характер влияния этих величин на эпюру контактных напряжений, что было невозможным если бы эта задача решалась лишь для определенных, хотя и различных значениях n и m.

Решение данной контактной задачи в данном виде имеет огром ное практическое значение. Например, при изготовлении подшипни ков, регулируя первоначальный зазор между шариками и дорожками качения, можно добиться более равномерного распределения контакт ных напряжений по площадке контакта и тем самым увеличить долго вечность подшипников и их грузоподъемность. Наоборот, уменьшая размеры площадки контакта между шариком и желобом, можно уве личить быстроходность подшипников. Данное положение относится и ко всем другим соединениям: зубчатым, шлицевым, фрикционным, подшипникам скольжения и т.д.

Особое практическое значение имеют случаи, когда вдоль од ной из главных осей показатель функции начального зазора m 2, а вдоль другой главной оси n 2. Например, все тела и дорожки каче ния в плоскости качения имеют круглую форму и малый размер пло щадки контакта, и следовательно, в направлении качения значение показателя функции зазора всегда близко к двум. В поперечном же направлении телам качения можно придавать любую форму профиля, обеспечивая благоприятное распределение контактных напряжений и тем самым существенно повышая работоспособность опор трения ка чения.

Таким образом, полученные результаты позволяют, регулируя первоначальный зазор между контактирующими телами, получать оп тимальные эпюры напряжений на площадке контакта и обеспечивать повышение работоспособности широкого класса механизмов и ма шин.

2.3. Анализ влияния геометрической формы контактирующих тел на параметры их упругого контакта Выполненные исследования позволяют сделать выводы относи тельно влияния геометрической формы контактирующих тел на раз меры площадки контакта и контактные напряжения, а следовательно, на их работоспособность.

Например, выражение (2.48) показывает, что от формы контак тирующих тел зависит жесткость контакта. Так, из равенства (2.48) несложно получить выражение для расчета жесткости локального контакта двух упругих тел при n m :

P n b jn.

n 1 v 0 K ( e) Из полученного выражения видно, что чем больше n, тем жест кость локального контакта выше. На рис.2.1 показана зависимость от ношения значений жесткости j n контакта упругих тел к значению жесткости j 2 при n 2, при прочих равных условиях контакта (b, K ( e), v 0 ).

1, жесткость контакта 1, Относительная 1, 0, 0, 0, 1 2 3 4 5 Показатель степени зазора, n Рис. 2.1. Зависимость относительной жесткости контакта упругих тел от показателя степени в функции начального зазора между ними Из рисунка видно, что жесткость контакта тел с увеличением n сначала быстро возрастает, а при n 4 это влияние уменьшается.

Следовательно, для увеличения жесткости контакта упругих тел нуж но использовать значения n от 3 и выше и, наоборот, с целью увели чения податливости контакта лучше использовать меньшие значения n.

Малые значения n можно, например, использовать в радиально упорных шарикоподшипниках. При нагреве таких подшипников осе вые и радиальные зазоры, а также углы контакта между шариками и желобами колец значительно уменьшаются, что может вызвать закли нивание шариков и выход подшипника из строя. Однако с уменьше нием угла контакта возрастает нагрузка на шарики, и при малых зна чениях n шарики будут иметь значительное сближение с желобом, частично компенсируя уменьшение зазоров в шарикоподшипнике и предотвращая тем самым его поломку. Задача состоит лишь в том, чтобы сделать профиль желоба, обеспечивающий начальное расстоя ние между ним и шариком с заданным n.

Наоборот, в точных зубчатых передачах, например, значение n желательно иметь по возможности больше, т.к. это уменьшит влияние переменной внешней нагрузки на точность передаваемых движений от одного колеса к другому.

Значительно влияние на жесткость локального контакта оказы вает эксцентриситет эллипса контакта. С увеличением эксцентрисите та при b const увеличивается значение полного эллиптического ин теграла K ( e), а следовательно, увеличивается податливость локально го контакта. С изменением e от 0 (что соответствует круговой пло щадке контакта) до 0,9962 (которое наиболее часто используется в подшипниках качения) величина K ( e) изменяется от 1,57 до 3,83, что увеличивает податливость контакта почти в 2,5 раза.

Однако при сохранении площади контакта наблюдается проти воположная зависимость. На рис. 2.2 показано изменение жесткости j (e) контакта упругих тел при n 6 в зависимости от эксцентрисите та эллипса контакта e в отношении к жесткости контакта j( 0) той же площади ( a b const ), но при круговой площадке контакта ( e 0 ).

Как видно из рис. 2.2, даже при равных размерах площадки кон такта с увеличением значения эксцентриситета жесткость контакта возрастает. Таким образом, с целью увеличения жесткости локального контакта следует стремиться к большим значениям эксцентриситета эллипса контакта, а при необходимости снижения жесткости - по воз можности использовать круговые площадки контакта соприкасания тел. Во многих случаях при контакте упругих тел большое значение имеют размеры пятна касания. Размеры пятна касания оказывают влияние на силы трения между контактирующими деталями, на усло вия проникновения в зону контакта смазки, на возможность отвода тепла из зоны нагружения и на многие другие условия работы деталей механизмов и машин. Формулы (2.45) показывают, что тем больше n, тем меньше влияние внешней нагрузки P на размеры пятна касания.

Рис. 2.2. Зависимость относительной жесткости контакта от эксцентриситета эллипса контакта Следовательно, с увеличением n жесткость локального контакта уве личивается, а размеры пятна касания уменьшаются, что создает воз можность использования больших n в наиболее ответственных пере дачах. При этом, с одной стороны, увеличивается точность передавае мых движений от одного звена механизма к другому, а, с другой сто роны, - улучшаются условия смазки и охлаждения нагруженной части деталей машин, что уменьшает их износ и позволяет длительное время сохранять заданную точность. Большие значения n оказывается по лезным использовать в зубчатых передачах, подшипниках качения, кулачковых механизмах и во многих других случаях.

Формулы (2.64) и (2.65) показывают, что очень сложное и ис ключительно сильное влияние геометрическая форма контактирую щих тел оказывает на величину и распределение контактных напря жений. На рис.2.3 показано распределение контактных напряжений вдоль оси зоны нагружения, когда n m, на рис. 2.4- распределение контактных напряжений при различных n и m 2, а на рис. 2.5 при ведены графики распределения напряжений по всей площадке контак та при различных n и m. Остальные исходные данные для всех при веденных графиков одинаковые и приведены в табл. 2.2.

Таблица 2. Исходные данные для расчета контактных напряжений s d Es,Мпа Ed,МПа P,Н A B 2 3 0,3 0,3 21 10 4 21 10 Из рис.2.3 видно, что с увеличением значения n величина на пряжений в центре площадки контакта уменьшается. Это уменьшение наиболее интенсивно происходит до значения n 3, а затем влияние формы контактирующих тел на величину напряжений в центре пло щадки контакта ослабевает.

При n 3 наибольшие контактные давления сосредотачиваются в центре пятна контакта. Это обстоятельство, очевидно, окажется по лезным при конструировании опор вращения, т.к. при этом уменьшит ся момент трения вращения.

При n 3 наибольшие контактные напряжения сосредотачива ются ближе к периферии зоны нагружения. Величина максимальных контактных напряжений уменьшается при увеличении n от 1 до 3.

Как следует из формулы (2.66), при m 1 максимальное контактное напряжение равно бесконечности.

При n m 3 контактные напряжения распределяются вдоль площадки контакта наиболее равномерно. Это значение n оказывает ся наиболее оптимальным для деталей, работающих при циклических нагружениях. Известно, например, что долговечность подшипника ка чения зависит от величины максимальных контактных напряжений в 9-10-й степени. Так как при n m 3 величина максимальных кон тактных напряжений наименьшая, то создание профиля желоба, соот ветствующего этому значению n, будет способствовать значительно му (в десятки раз!) повышению работоспособности подшипников. То же самое можно сказать и о зубчатых передачах, опорах скольжения и прочих узлах механизмов и приборов. При n m 3 максимальное контактное напряжение с увеличением n вновь начинает увеличи ваться. При n, стремящемся к бесконечности, получаются наиболь шие контактные напряжения, которые сосредотачиваются в узком ин тервале вдоль границы зоны контакта, вызывая местное пластическое течение металла.

Как видно, данная методика позволяет в каждом конкретном случае выбрать наиболее оптимальную геометрическую форму дета лей машин, которая будет обеспечивать наиболее благоприятное рас пределение контактных напряжений, наиболее эффективные размеры площадки контакта и величину сближения контактирующих деталей, что в конечном счете дает возможность значительно увеличить долго вечность, быстроходность, точность и надежность машин.

Следует отметить, что для обеспечения оптимальной геометрической формы деталей машин не обязательно придавать им параболическую форму. Надо использовать такую геометрическую форму, которая не вызывала бы тех нологических трудностей при изготовлении и с дос таточной точностью позволила бы аппроксимировать реальный на чальный зазор между телами уравнением параболы с заданными n и m.

Выше было показано, что при соприкасании тел, профиль кото рых в главных сечениях представляет собой дугу окружности, началь ный зазор хорошо аппроксимируется степенной зависимостью (n 2 ). При очень близком контакте, например при сжатии шара с уз ким желобом, для увеличения точности расчета можно использовать дробное значение n больше двух. На практике часто можно полагать m 2. В плоскости перемещения тел качения контактирующие тела представляют собой окружности, которые в окрестности точки каса ния хорошо аппроксимируется степенной зависимостью с показателем 2.

Рис. 2.3. Распределение контактных напряжений q( x,0) (МПа) вдоль оси ОX внутри площадки контакта в случае n m : а- n 2 ;

б- n 3 ;

в -n 4;

г -n Рис.2.4. Распределение контактных напряжений q( x,0) (МПа) вдоль оси ОX внутри площадки контакта при n m, m 2 : а - n 3 ;

б n 4 ;

в- n 5;

г- n а б в г д е ж з Рис. 2.5. Распределение контактных напряжений q ( x, y ) при различ ных n и m по всей площадке контакта: а- n m 2 ;

б- n 3, m 2 ;

в- n 4, m 2 ;

г- n 5, m 2 ;

д- n 6, m 2 ;

е- n 3, m 3 ;

ж n 4, m 4 ;

з- n 6, m При m 2 эпюр контактных напряжений вдоль малой оси имеет форму эллипсоида, а в направлении большой полуоси форму, соот ветствующую данному значению n.

Характер распределения контактных напряжений при разных значениях показателя степени начального зазора n, но при постоян ных значениях m 2, существенно отличается от характера распреде ления контактных напряжений, который они имели при разных значе ниях n, но одинаковых значениях показателей степени в главных се чениях n m. Из рис 2.5 видно, что даже при n =6, m 2 максималь ное напряжение все же остается в центре площадки контакта. Однако и в этом случае с увеличением значения n максимальное напряжение на площадке контакта снижается. Так, если при n =2 максимальное контактное напряжение равно 25000 МПа, то при n =3 оно снижается почти в 1,25 раза, а при n =6 1,5 раза. Это весьма существенное снижение контактных напряжений. Если исходить из общепринятого мнения, что долговечность подшипника в 9-10 степени зависит от ве личины контактных напряжений, то, придавая рабочим поверхностям опор качения рациональную форму, можно в десятки раз увеличивать работоспособность подшипниковых опор, а следовательно, повышать надежность различных механизмов и машин. Вообще, создание кон струкций подшипников качения, у которых начальное расстояние ме жду шариком и желобом в поперечном сечении желоба описывалось бы степенной зависимостью с оптимальным значением n, является большим резервом повышения долговечности, быстроходности, рабо тоспособности и надежности.

Выводы:

1. Рассмотрен механизм деформационного состояния области локального упругого контакта тел, имеющих функцию начального за зора, описываемую в главных сечениях степенными зависимостями с произвольными показателями.

2. Рассмотрен механизм напряженного состояния области кон такта упругих тел сложной формы, получены уравнения равновесия, связывающие компоненты напряжений и деформаций этих тел.

3. Выполнен анализа влияния геометрической формы упругих тел на параметры их локального контакта. Показано, что за счет изме нения формы тел можно управлять жесткостью контакта, геометриче скими параметрами контакта и формой эпюры контактных напряже ний, а следовательно, в значительной степени эксплуатационными свойствами поверхностей контакта.

Глава 3. Формообразование рациональной геометрической формы деталей на операциях шлифования 3.1. Формообразование геометрической формы деталей вращения шлифованием наклонным к оси детали кругом Как уже было показано, важнейшим фактором, влияющим на долговечность контактирующих поверхностей вращения, является их оптимальная геометрическая форма. Однако серьезным сдерживаю щим фактором на пути практического использования полученных ре зультатов является несовершенство существующей технологии изго товления деталей сложной формы.

Из всех рассмотренных в гл.1 способов изготовления деталей типа колец шариковых подшипников сложного профиля самым про стым в осуществлении является процесс врезного шлифования с прав кой шлифовального круга фасонным алмазным роликом. Но этот ин струмент очень дорогой и может эффективно использоваться только в условиях массового производства. В настоящее время в массовом масштабе подшипники производятся очень редко, тем более подшип ники высокой точности и долговечности. Другие подобные изделия вообще изготавливаются небольшими сериями.

Большие возможности получения различных поверхностей вра щения сложного профиля открываются, если использовать предло женный нами способ [168] шлифования фасонных поверхностей дета лей типа колец подшипников шлифовальным кругом с осью враще ния, скрещивающейся с осью вращения заготовки. В дальнейшем для краткости этот способ будем называть способом шлифования наклон ным кругом.


Сущность способа заключается в следующем (рис. 3.1 и 3.2).

Шлифовальный круг 1 с наружным диаметром D устанавливается под углом по отношению к оси вращения заготовки 2. Рабочая поверх ность шлифовального круга 1 имеет тороидальную форму с радиусом профиля r. Шлифовальный круг имеет ось вращения I - I, заготовка имеет ось вращения II-II. Оси шлифовального круга I-I и заготовки II II скрещиваются под углом.

Перед началом обработки шлифовальный круг 1 подвергается правке алмазным карандашом обычным образом. В процессе шлифо вания вращающийся вокруг оси I-I шлифовальный круг 1 подводится в радиальном направлении к вращающейся вокруг своей оси II-II заго товке 2 и врезается в ее поверхность. В результате снятия припуска поверхность заготовки 2 приобретает сложную форму с определен ными геометрическими параметрами.

Шлифование наружных (рис. 3.1) и внутренних поверхностей (рис. 3.2) по данному способу отличается лишь тем, что в первом слу чае шлифовальный круг 1 находится с наружной поверхности заго товки 2 и может иметь неограниченные размеры, а во втором случае шлифовальный круг 1 находится внутри поверхности заготовки 2 и ограничен размерами заготовки.

Геометрические параметры профиля дорожки качения, полу чаемого при обычном шлифовании, когда оси шлифовального круга и заготовки 2 параллельны ( =0), зависят только от одного параметра - радиуса r профиля шлифовального круга. А так как профиль круга имеет круговую форму, то и профиль заготовки получается идентич ной круговой формы.

При шлифовании наклонным кругом для обеспечения заданной геометрической формы заготовки обеспечивается возможность варьи ровать не одним параметром, как при обычном шлифовании, а че тырьмя параметрами настройки: углом его наклона, диаметром круга D, радиусом его рабочей поверхности r и межосевым расстоя Z r X X O Ds O Y D A Рис. 3.1. Схема способа шлифования наклонным кругом деталей ти па внутренних колец подшипников Z Z r Ds O O Y D A Рис. 3.2. Схема способа шлифования наклонным кругом деталей ти па наружных колец подшипников нием A. Это позволяет достаточно точно воспроизводить форму заго товки, близкую к любой заданной сложной форме. Определим урав нение профиля поверхности, получаемой шлифованием наклонным кругом. Для вывода уравнения выберем декартову систему координат с центром в т. O на пересечении осей симметрии заготовки, ось OY ось вращения заготовки в плоскости XOZ (рис 3.3).

Найдем уравнение поверхности шлифовального круга в выбран ной системе координат при условии, что ось шлифовального круга на ходится на расстоянии A от оси вращения обрабатываемой детали, круг имеет радиус R (отрезок MA на рис.3.3) и радиус рабочей по верхности r.

Рис.3.3. Схема расположения шлифовального круга в выбранной системе координат При обычном шлифовании, когда оси круга и заготовки парал лельны, уравнение, описывающее рабочую поверхность шлифоваль ного круга, имеет достаточно простой вид. Например, в плоскости XOZ уравнение любой окружности круга имеет вид:

x A 2 z 2 TS.

Для того, что бы связать величину TS с координатами вдоль оси OY, напишем уравнение дуги окружности CMD, расположенной в плоскости XOY. Так как точка B - центр рабочей поверхности круга имеет координаты ( A R r,0,0), то уравнение окружности CMD имеет вид:

x A R r 2 y 2 r или x r2 y2 A R r.

В последнем выражении возьмем знак " ", так как мы рас сматриваем процесс шлифования периферией шлифовального круга и поэтому нас интересует только левая половина окружности. Таким образом, уравнение CMD примет окончательно вид:

x r2 y2 A R r.

Тогда TS KT KS A r 2 y 2 A R r r 2 y 2 R r, и следовательно, уравнение рабочей поверхности круга будет иметь вид:

x A 2 2 2 z r y Rr.

Для удобства дальнейших расчетов запишем это уравнение не сколько в другом виде:

x A 2 z 2 r2 y2 R r.

Берем знак "", так как в правой части последнего уравнения стоит положительная величина, то положительная величина должна стоять и слева:

z R r y 2 r 2.

x A 2 Итак, мы записали уравнение рабочей поверхности тороидаль ного шлифовального круга, ось вращения которого параллельна оси вращения заготовки. Используя это равенство, найдем уравнение ра бочей поверхности шлифовального круга при повороте его вкруг оси OX на угол.

Путь XOY ' Z ' система координат, которая получилась при по вороте на угол вокруг оси OX системы координат XOYZ. Тогда уравнение шлифовального круга в системе XOY ' Z ' будет иметь вид:

(3.1) x A 2 z ' 2 R r y ' 2 r 2.

Так как координаты x, y, z связаны с координатами x ', y ', z ' со отношениями:

x' x;

(3.2) y ' y cos z sin ;

z ' y sin z cos, то с учетом равенств (3.1) и (3.2) уравнение шлифовального круга в системе XOYZ после поворота на угол будет иметь вид:

F x A y 2 z 2 R0 (3.3) 2 x A 2 y sin z cos 2 r2 0, 2 R где R0 R r.

Зная уравнение рабочей поверхности шлифовального круга, оп ределим координаты точек контакта круга в каждом из сечений плос костью ZOX ( y const ) с получаемой при шлифовании поверхно стью. На рис. 3.4 показана схема взаимодействия шлифовального кру га и обрабатываемой заготовки в сечении y const.

Введем полярную систему координат:

x cos (3.4) z sin Тогда уравнение (3.3) с учетом равенств (3.4) можно переписать следующим образом:

F cos A y 2 2 sin 2 R 2 cos A 2 y sin sin cos 2 r2 2 R или F 2 2 A cos y 2 A 2 R (3.5) cos A y sin sin cos r 2 0.

2 2 R Поверхности касаются в точке, если они в этой точке имеют общую касательную.

Рис. 3.4. Контакт шлифовального круга и обрабатываемой заготовки в сечении y const Определим величину угла, для которого величина, стоящая в уравнении (3.5), будет минимальной, т.е. будет выполняться усло вие:

(3.6) 0.

Как известно, по теореме о дифференцировании неявных функ ций:

F (3.7).

F Тогда из (3.6) и (3.7) можно записать:

F 0.

Дифференцируя (3.5) по, получим:

F 2 A sin 2 cos A sin 2 y sin sin cos cos cos 0.

2 R 2 cos A y sin sin cos 2 Так как 0, cos 0, то делим обе части последнего выра жения на 2 cos :

A cos tg y sin sin cos cos.

Atg R0 cos A y sin sin cos 2 (3.8) Таким образом, после незначительных преобразований (3.8), мы име ем систему уравнений относительно и :

2 2 A cos y 2 A 2 R 2 2 Rr 2( R r ) cos A2 y sin sin cos 2 0;

R r 2 sin 2 tg 2 sin A (3.9) A R r 2 0.

+ A 2 y 2 R 2 2 Rr 2( R r ) 2 tg 2 y sin cos A Из системы (3.9) можно определить и, а из (3.4) определить координаты точки ( x, z ) взаимодействия шлифовального круга с заго товкой в плоскости y const при заданных значениях A, R, r,. Об рабатываемая деталь, проходя через точку ( x, z ), в заданном сечении y описывает окружность радиуса y x 2 z 2. Таким образом, точки ( y, y ) образуют профиль заготовки.

На рис. 3.5 показан получаемый профиль заготовки при одина ковых значениях радиуса профиля шлифовального круга, но различ ных углах его наклона к оси заготовки. На рис. 3.6 показаны различ ные профили заготовки, полученные при 0 0, но при различных значениях радиуса профиля рабочей поверхности круга.

Рис.3.5. Профиль обрабатываемой детали шлифовальным кругом R 200 мм, r 2,1 мм., A 219 мм., наклоненным под углом 0 0 и 20 Рис.3.6. Профиль обрабатываемой детали шлифовальным кругом ра диусом R 200 мм, A 219 мм., наклоненным под углом 0 0 при радиусах рабочей поверхности r 2,1 мм., r 1 мм Как видно из рисунков, если профиль обрабатываемой детали аппроксимировать функцией:

y v, то с увеличением угла наклона шлифовального круга значение показа теля степени будет увеличиваться.

Таким образом, меняя параметры шлифовального круга, можно заставить профиль заготовки пройти через заданную точку. Этого можно добиться, если решить систему (3.9) относительно, например, и при заданной точке профиля y, y.

Очевидно, если взять угол 0, то второе уравнение системы (3.9) имеет единственный корень 0. Подставляя 0 и 0 в первое уравнение, получим:

A 2 y 2 R 2 2 Rr 2( R r ) A 2 0.

A 2 A A, а A, то A и по Так как следнее равенство перепишется в виде:

A 2 2( R r ) A y 2 R 2 2 Rr 0, решая которое относительно A, получим:

A (R r ) r 2 y или A ( R r) r 2 y 2.

Из двух корней выбираем наименьший и окончательно имеем:

A ( R r) r 2 y 2.

y, A ( R r) r2 y2.

Таким образом, имеем профиль:

При этом, как можно заметить из (3.4):

x, z 0.

Очевидно, что изменяя параметры A, R, r,, мы будем получать каждый раз новую точку ( x, z ).

3.2. Алгоритм и программа расчета геометрической формы деталей на операции шлифования наклонным кругом и напряженно-деформационного состояния области ее контакта с упругим телом в виде шара Так как уравнение профиля дорожки качения кольца шарико подшипника, шлифованного наклонным кругом, получено в неявном виде, то для определения его геометрических параметров необходимо использование вычислительной техники. Это тем более необходимо, если задачу решать комплексно с определением геометрических пара метров упругого контакта поверхности дорожки качения с телом ка чения в шарикоподшипнике, без чего невозможно определить рацио нальные параметры настройки станка.

На рис. 3.7 представлена программа расчетов параметров упру гого контакта шарика и дорожки качения шарикоподшипника. Про грамма составлена для использования в системе MathCAD PLUS 7. PRO.

В начале программы записаны левые части выражений (3.9), оп ределяющих уравнение профиля дорожки качения, полученного шли фованием наклонным кругом. Каждому из этих выражений присвоены соответствующие обозначения: F1( R, r, A,, y,, ) и F2( R, r, A,, y,, ), показывающие их зависимость от влияющих на геометрические пара метры дорожки качения факторов: радиуса круга R, радиуса профиля круга r, расстояния A между осями круга и заготовки вдоль оси OX, угла наклона круга (угла скрещивания осей круга и заготовки) и те кущих переменных величин: ординаты точки профиля y полярного радиуса и полярного угла в сечении круга плоскостью, парал лельной плоскости XOZ.


Далее записываются начальные данные, не подвергающиеся коррекции. К числу не подлежащих в процессе расчетов коррекции факторов относятся радиус круга R, диаметр по дну желоба Ds, ра диус желоба стандартного подшипника rg, диаметр шарика ds и глу бина желоба h.

Параметры профиля дорожки качения могут варьироваться за счет изменения радиуса профиля r и угла наклона круга. За базу для определения сравнительной эффективности создания сложного профиля желоба был принят стандартный профиль. Диаметр по дну желоба задается чертежом, и поэтому оба желоба имеют одинаковые координаты вершины профиля. Но так как стандартный профиль оп ределяется одним параметром - радиусом rg, а сложный нескольки ми параметрами, то эти профили могут иметь и еще две общие, сим метрично расположенные точки.

Известно, что при всем диапазоне внешних нагрузок размер большой полуоси площадки контакта в стандартных подшипниках не выходит за пределы половины ширины желоба. Но наиболее часто подшипники работают при средних нагрузках, при которых длина по луоси площадки контакта составляет примерно пятую часть от диа метра шарика. Из этих соображений выбираем абсциссу общей точки стандартного и сложного желоба Yto 0,21ds универсального под шипника. Если подшипник работает в специальных условиях, то зада ча упрощается и величина Yto должна выбираться равной наиболее вероятной величине размера полуоси площадки контакта стандартно го подшипника.

При заданной величине задача сводится к отысканию с по мощью системы из двух уравнений такого значения радиуса профиля шлифовального круга, при котором получаемый профиль дорожки ка чения будет проходить через две заданные точки. Данная задача в среде MathCAD решается с помощью специального вычислительного блока, именуемого Given. В приведенном примере расчета параметров сложного профиля желоба для подшипника 206 с помощью данного вычислительного блока выполнены расчеты значений r для трех зна чений угла наклона круга : 0, 10 и 20 градусов.

Чтобы построить профиль желоба, необходимо знать координа ты конечной точки профиля. Глубина желоба задана. Следовательно, необходимо определить ширину желоба при известных параметрах шлифования наклонным кругом. Для этого построена специальная программа, которая с заданным шагом задает значения в преде лах от 0,5Ds до 0,5Ds h и вычисляет значения абсциссы крайней точки профиля желоба Ymin.

Далее назначается число точек профиля ns и для каждой точки с заданным значением абсциссы y по специальной программе опреде ляется ордината профиля ( y, ). Переменные в скобках указывают на то, что величина является функцией от значений y и.

Убедиться в правильности выполненных расчетов можно с по мощью построения графика зависимости ( y, ) от y. В качестве примера программа содержит графические зависимости, выполненные для стандартного профиля и двух сложных профилей, полученных шлифованием под углом 10 и 20 градусов.

Из графика видно, что все указанные профили удовлетворяют заданному условию, т.е. имеют заданные общие точки. Далее нас бу дет интересовать не весь профиль дорожки качения, а только тот его участок, на котором осуществляется контакт с шариком под действи ем внешней нагрузки. Как ранее было отмечено, этот участок содер жит точки абсциссы на отрезке [0, Yto ].

Заданы две функции F1(R, r, A,, y,, ):= cos A y 2 2 sin R r 2 2 cos A 2 y sin sin cos r 2 2 R r R r F2(R, r, A,, y,, ):= tan 2 sin A sin A R - r tan 2 y sin cos A y R - r r 2 2 A Начальные данные ORIGIN:= rg: 0.515 ds R:= 200 мм Ds: = 36.475 мм ds: = 9.525 мм 1 Ds ds Yto: = 2.05 Rs:= A:= R + Rs rs:= 2 to: = rg 2 Yto 2 Rs + rg h: = 0.2 ds Определяем радиус рабочей поверхности круга r, при котором профиль пройдет через точку Yto, to : r:= Начальное приближение Решение системы уравнений:

Given F2(R, r, A,, y,, ) = 0 r F1(R, r, A,, y,, ) = Z : Find r, r : Z 1 : Z Определяем профиль заготовки при повороте бруска, имеющий радиус рабочей поверхности r, на угол : = Rs : Начальное приближение o y,.

Решение системы уравнений. Профиль описывается уравнением Рис. 3.7. Программа расчета профиля дорожки качения шарикопод шипника, шлифованной наклонным кругом, и ее параметров контакта с шариком F1(R, r, A,, y,, ) = 0 F2(R, r, A,, y,, ) = 0 Rs Given Z y, : Find, o y, : Z y, 1 1 y, : Z y, Задаем массив углов поворота бруска, при котором производиться расчеты j : 2 j - 1 j: 1..3 r j : ro j ro j : r j Y Определяем размер обрабатываемой области кругом на заготовке вдоль оси j yko : yoo yoo( ):= r j cos R r j sin 180 yk: max yoo(20) yko yo: min yoo(20) yko, Графики профилей при различных углах проходящие через заданную точку Yo = Yto 20. 19. o ( y 0 ) 19. o ( y 10 ) 19. o ( y 20 ) 18. Yo ( y ) 18. 18. 3.88 2.59 1.29 0 1.29 2.59 3. y Определяем участок профиля, для которого выполняется условие o y, Rs h ymin j y k while k while o y j Rs h k y y 3. k y y ymin 3. k k 4.12 ymax ymin y Рис. 3.7. Продолжение ns узловых точек профиля, которые лежат в интервале ymin, ymax и Вычисляем которые в дальнейшем будут аппроксимироваться степенной зависимостью ymax j ymin j ns: 100 i:= 1..ns + 1 dh j :

ns y i,j : ymin j i - 1 dh j t i,j : o y i,j, j t По значениям точек профиля строим непрерывную функцию значение которой между соседними узловыми точками аппроксимируется линейной функцией ( yr ) j yr yminj i floor dh j Rs if yr yminj or ymaxj yr yr yi j t ti j ti j otherwise 1 j i yi yi j 1 j Строим графики профиля в новом диапазоне ymin j, ymax j, проходящие через заданную точку Yo = Yto.

20. 19. 19. ( y 0 ) ( y 20 ) 19. Yo( y ) 18. 18. 18. 4.12 2.75 1.37 0 1.37 2.75 4. y Рис. 3.7. Продолжение Определим зазор между шариком и желобом в главных сечениях заготовки и аппроксимируем его функцией вида F(y,A,n): A y n Уравнение шарика в плоскости главных sy( y): rs 2 y 2 Rs + rs сечений заготовки:

sx( x): rs 2 x 2 Rs + rs Определяем истинный зазор между шари X ком и профилем в сечении Zas(y, ):= sy(y) (y, ) Y Строим графики зазора между шариком и профилем вдоль оси y ymin 1, ymin 1 dh 1.. ymax 0. 0. 0. Zas( y 0 ) Zas( y 10 ) 0. 0. 2.59 1.73 0.86 0 0.86 1.73 2. y 0. 0. 0. Zas( y 0 ) Zas( y 20 ) 0. 0. 2.59 1.73 0.86 0 0.86 1.73 2. y Рис. 3.7. Продолжение Аппроксимируем зазор для ns i: 2..ns y положительных значений ns :

ya y i, j i 1,j, o j : Zaz ya ZY i 1 ns, j ns i 1, j 2 Запишем матрицы ZY ns vy j : submatrix ya,1,, j, j ns i 1,j ya и ns в виде векторов ns i 1,j VZYj : submatrix ZY,1,, j, j Fz(t, A, n):= A t n Аппроксимируем зазор функцией:

d d Fz(t, A, n) A t n ln t Fz(t, A, n) t n dA dn k 1 y k P j: genfit vy j, vZY j, VS, F y k2 VS:= F1(y, k):= k 1 y k 2 ln y j zas(y, j):= F1 y, P(j)1 A j : P(j) 1,1 n j : P(j) 2,1 zy y, nj Aj y zy y, Zas(y, ) Графики зазоров представленные в виде функций и для различных 0. 0. Zas( y 10 ) 0. zy( y 10 ) 0. 0. 2.1 1.05 0 1.05 2. y Рис. 3.7. Продолжение Y Определяем истинный зазор между шариком и профилем в сечении Профиль заготовки в дру гом главном сечении опи xd(x):= Rs 2 x сывается уравнением:

Тогда зазор между шари ком и желобом Zaz(x):= sx(x) xd(x) Аппроксимируем зазор для rs zk - zo i: 1.. ns zo:= 0 zk:= zh:= положительных значений 10 ns x ZS i : Zaz zs i zs i : zo + i zh Fz(t, B, m):= B t m Аппроксимируем зазор функцией:

d d Fz(t, B, m) B t m ln t Fz(t, B, m) t m dm dB k 1 y k P: genfit zs, ZS, VS, F y k2 F1(y, k):= VS:= k 1 y ln y k zas(x):= F1 x, P m B: P1,1 m: P2,1 za(x): = B x B 0133 m 2..

0. 0. Zs i 0. za zs 0. i 0. 0.47 0.23 0.004763 0.24 0. zs i Рис. 3.7. Продолжение Контактная задача Исходные данные:

- модуль упругости шарика Es:= 2,1 10 s: = 0, - коэффициент Пуассона для шарика - модуль упругости заготовки Ed:= 2,1 d:= 0, - коэффициент Пуассона для заготовки 1 s Тогда 1 d v s: = v d:= Es Ed v:= vs + vd Вычисление верхних преде a( ep s j) if ( ep 1) or ( ( ep 1) and ( s 1) ) лов для внутренних интегра- лов s atan otherwise 2 1 ep 1s b ( ep s j) if ep 0 if ( ep 1 ) and ( s 1 ) n j s m ep atan otherwise 2 1 s Вычисление эксцентриситета nj 2 s эллипса, зависящего от m es(ep, s, j): = 1 1 ep 2 s n j Обозначим подынтегральную s R ep, s,, j:

функцию через 1 es(ep, s, j) 2 sin Рис. 3.7. Продолжение o Внутренний интеграл примет R ep, s,, jd Jv(ep, o, s, j): = вид Jav(ep, s, j):= Jv(ep, a(ep, s, j), s, j) Обозначим внутренние инте гралы:

Jbv(ep, s, j):= Jv(ep, b(ep, s, j), s, j) Jov(ep, s, j):= Jv(ep,, s, j) j Jan(ep, s, ):= Jav(ep, s, j) j Jbn(ep, s, ):= Jbv(ep, s, j) j Jon(ep, s, ):= Jov(ep, s, j) Jon(ep, s, ) if k = Jn(ep, s, k, ):= Jan(ep, s, ) if k = Jbn(ep, s, ) if k= J ep, k, : = Jn ep, s, k, ds Запишем внешний интеграл Введем вспомогательные j функции и вспомогательную I(ep, ): = J(ep,0, ) J(ep,1, ) величину m+ n j J(ep,2, ) j n j m m m+ C( ):= n j m n j n 1 m A j n j 1 n j vo j B Рис. 3.7. Продолжение j Fu ep, P, : n jm m n j 1 ep 2 C P J(ep, ) Fuep, P, : 0 ep.

Тогда из уравнения определяем значение ep = 1 имеем a = b =, es 1.

При Тогда 1 + sin n 1 n sj sj 2 Jv(ep,, s, j):= d.

d ln 0 cos cos 0 cos ep = 1 интегралы не существуют. Поэтому в дальнейшем будем Как видно, при ep 1. Обозначим максимальное значение ep, для которого будем про считать изводить расчеты через ek: 0.999.

Из уравнения Fuep, P, : ep ( P ) A 0. определяем эксцентриситет B ek ep B TOL while A A B X X if ( Fu ( X ) ) ( Fu ( A A B X otherwise X А затем определяем размеры b( P ) j большой полуоси площадки контакта n j P vo n j 1 J( ep ( P ) 2 ) Aj и малой b( P ) a( P ) ep ( P ) Рис.

3.7. Продолжение График зависимости размера большой полуоси эллипса контакта от внешней на P грузки при различных углах поворота круга Po: = 500, 1500, 2500, 3500, 4500, 5500 i: = 1..6 Pi : Po 1,i 2. 2. b P i 2. b P i 1. b P i 1. 1. 500 1500 2500 3500 4500 P i График зависимости эксцентриситета эллипса контакта в зависимости от P внешней нагрузки при различных углах поворота шлифовального круга 0. 0. ep P i 0. ep P i 0. ep P i 0. 0. 500 1500 2500 3500 4500 P i Определение напряжений в центре площадки контакта, а также вдоль осей площадки контакта Вычисление напряжения в qc ( P ) j центре площадки контакта m n j 1 P 2 a( P ) b ( P ) n j ( m 1 ) Рис. 3.7. Продолжение 3934. 3436. qc P i 2937. qc P i 2438. qc P i 1940. 1441. 500 1500 2500 3500 4500 P i Вычисление напряжений вдоль большой полуоси эллипса контакта o q ( yt P o ) j k j i 1 if P P i 1 otherwise 0 if yt bi k otherwise yt n k bi k n P nk k 1 m yt d t if yt 2 ai k b i k b i k n k n k m 1 t qc ( P o ) otherwise 4304. q y 4500 0 3228. k q y 4500 k 2152. q y 4500 k 1076. 2.58 1.72 0.86 0 0.86 1.72 2. y k Рис. 3.7. Окончание Для расчета параметров упругого контакта шарика и дорожки качения нам необходима аппроксимация функции зазора между ними.

Для этого, имея координаты точек профиля дорожки качения и соот ветствующие координаты шарика с их начальным контактом в верши не профиля желоба, находим функцию зазора между шариком и жело бом в зависимости от расстояния y до начальной точки контакта.

Строим графические зависимости и убеждаемся в том, что функции зазора в стандартном подшипнике и со сложным профилем желоба существенно различны.

При построении профилей дорожек качения стандартного под шипника и со сложным профилем желоба это различие было почти незаметным. Но так как размеры профиля шарика близки к размерам профиля желоба, то даже небольшие изменения в профиле дорожки приводят к существенным изменениям формы зазора.

Будем предполагать, что функция зазора между желобом и ша риком удовлетворительно будет описываться такой зависимостью:

F (x, a, b) a x b.

Строя графические зависимости фактической и аппроксимиро ванной функции зазора убеждаемся в достаточно высокой точности выполненной математической операции. Следовательно, функцию за зора с достаточной для практики точностью можно аппроксимировать степенной функцией произвольной степени. А это открывает возмож ность расчета параметров упругого контакта тел и дорожек качения сложного профиля по предложенной равнее (гл.2) методике.

Таким же образом аппроксимируем функцию зазора между ша риком и дорожкой качения в продольном направлении. В виде матриц выводим результаты расчета значений абсцисс и ординат функций за зоров, полученных теоретическим способом и путем аппроксимации этих зазоров степенной функцией. Убеждаемся в том, что, независимо от угла наклона круга, функция зазора в продольном направлении описывается степенной функцией второй степени. Во всяком случае разница между теоретическими и аппроксимирующими значениями величин зазоров не превышает 1%. Строим графическую зависимость, отражающую функцию зазора в направлении качения. Анализируя графики, приходим к выводу, что теоретическая и аппроксимирующая зависимости практически совпадают.

Переходим к решению контактной задачи. Задаемся значениями модуля упругости и коэффициента Пуассона. Записываем выражения для определения внутренних интегралов в зависимостях для расчета полуосей и эксцентриситета площадок контакта.

Затем считаем внешние интегралы. Сначала находим эксцентри ситет ep площадки контакта при различных нагрузках. Далее вычис ляем размер большой полуоси при каждой из этих нагрузок, а размеры малой полуоси определяются элементарно. Для того, чтобы убедиться в правильности выполненных построений, строим графические зави симости размерных параметров площадки контакта от нагрузки.

Далее рассчитываются напряжения в центре площадки контакта.

Строится соответствующая графическая зависимость, которая пока зывает изменения контактных напряжений в центре площадки контак та от нагрузки.

Расчет распределения контактных напряжений требует построе ния специальной программы. Программа предусматривает несколько циклов расчетов, связанных с необходимостью суммирования величи ны напряжений в каждой точке от элементарных внешних нагрузок в процессе изменения нагрузки от начального нулевого значения до за данной величины. Строятся зависимости, определяющие распределе ние величины контактных напряжений вдоль главных осей площадки контакта. На этом завершается цикл расчетов размеров площадок кон такта и контактных напряжений от влияющих факторов.

3.3. Анализ влияние параметров процесса шлифования наклон ным кругом на опорную способность шлифованной поверхности Способ шлифования дорожек качения шарикоподшипников оказывает существенное влияние на форму профиля, а следовательно, на все па раметры контакта дорожек и тел качения. В качестве примера на рис.3.8 представлен профиль дорожки качения, получаемый при углах скрещивания осе круга и заготовки, равном 10 градусов, а на рис. 3.9 профиль дорожки, получаемый при угле скрещивания 20 градусов.

Для сравнения пунктирной линией показан стандартный профиль.

Размеры шарика и геометрические параметры внутреннего кольца соответствуют конструкторской документации на шариковый подшипник 206: диаметр шарика 9,525 мм;

радиус желоба 4,905 мм;

диаметр кольца по дну желоба 36,475 мм. Шлифование дорожки каче ния осуществляется шлифовальным кругом диаметром 400 мм. Про филь шлифовального круга имеет профиль в виде дуги окружности, радиус которой зависит от угла скрещивания осей шлифовального круга и заготовки. Радиус профиля шлифовального круга подбирался таким, чтобы при разных углах скрещивания размер площадки кон такта шарика с размером дорожки качения совпадали при внешней на грузке на шарик, равной 2000Н. Размеры дорожки качения намного больше тех изменений в профиле, которые происходят при развороте шлифовального круга относительно заготовки. Поэтому на графиках почти не видна разница в профилях. Хотя при внимательном рассмот рении, особенного второго графика, можно заметить, что профили до рожек качения стандартного подшипника и полученного шлифовани ем наклонным кругом имеют по три общие точки - одну по дну до рожки качения и две по обе стороны от оси ее симметрии.

20. 20. 19. ( y 0) ( y 10) 19. Yo( y ) 18. 18. 18. 3.88 2.59 1.29 0 1.29 2.59 3. y Рис. 3.8. Профиль дорожки качения шарикоподшипника, полученный при шлифовании наклонным кругом под углом 10 градусов (сплошная линия), и профиль стандартного подшипника ( пунктирная линия) 20. 20. 19. ( y 0) ( y 20) 19. Yo( y ) 18. 18. 18. 3.88 2.59 1.29 0 1.29 2.59 3. y Рис. 3.9. Профиль дорожки качения шарикоподшипника, полученный при шлифовании наклонным кругом под углом 20 градусов (сплошная линия), и профиль стандартного подшипника ( пунктирная линия) Во всех других точках профили не совпадают. Более наглядно это видно на матрице результатов расчета, которая показывает разни цу в координатах точек профиля. Следовательно, в районе дна дорож ки качения, полученной шлифованием наклонным кругом, обеспечи вается более близкий контакт с шариком чем в стандартном подшип нике. Это обеспечивает повышение несущей способности контакта, и с увеличением угла наклона круга несущая способность контакта воз растает.

В точках, расположенных за пределами точки пересечения про филей, линия профиля дорожки качения, шлифованной наклонным кругом, расположена выше линии профиля дорожки качения стан дартного подшипника. Разница между линиями профилей возрастает с увеличением угла наклона круга. Это весьма важное обстоятельство, так как ограничивает размер площадки контакта.

Таким образом, профиль дорожки качения, полученный шлифо ванием наклонным кругом, с одной стороны, обеспечивает более «близкий» ее контакт с шариком вблизи начальной точки контакта, что должно увеличивать несущую способность контакта, с другой стороны, при некотором удалении от начальной точки контакта про филь дорожки качения, шлифованной наклонным кругом, получается как бы «разваленным», по сравнению со стандартным профилем, что должно ограничивать размер площадки контакта и снижать трение в подшипнике.

Сказанное подтверждается рис. 3.10 и 3.11, где изображены за висимости величины зазора между шариком и желобом стандартного подшипника (пунктирная линия) и желобом, шлифованным наклон ным кругом (сплошные линии), от расстояния до начальной точки контакта. Как видно, величина зазора вблизи начальной точки контак та в стандартном подшипнике сначала возрастает по сравнению с за зором в подшипнике, дорожка качения которого шлифована наклон ным кругом. Затем эта разница уменьшается. После точки пересече ния кривых зависимостей начальный зазор в подшипнике со сложным профилем желоба становится выше, чем в стандартном подшипнике, и тем больше, чем больше расстояние рассматриваемых точек от на чальной точки контакта.

С целью использования для расчета параметров контакта доро жек и тел качения теоретических зависимостей, изложенных в гл.2, осуществлялась аппроксимация фактического начального зазора сте пенной функцией с показателем n. На рис. 3.12 представлены сплош ными линиями аппроксимирующие зависимости, а пунктирными ли ниями - фактические зависимости величин зазоров между шариком и дорожкой качения от расстояния до начальной точки контакта. Как видно, аппроксимирующие зависимости достаточно точно описывают фактические профили дорожки качения. С увеличением угла наклона круга величина показателя степенной функции возрастает, а значение коэффициента уменьшается.

Важно отметить, что для стандартного кругового профиля функция начального зазора не соответствует степенной функции с по казателем 2, как это обычно принимается в стандартных методиках расчета.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.