авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«В.М. ЛАРИОНОВ, Р.Г. ЗАРИПОВ АВТОКОЛЕБАНИЯ ГАЗА В УСТАНОВКАХ С ГОРЕНИЕМ Казань 2003 Министерство образования Российской ...»

-- [ Страница 2 ] --

Re( p)Re(uy )dS Av =, (2.29) S t где скобки означают усреднение за период колебаний. Для ци линдрической трубы dS = 2Rdx. На внешней границе погранич ного слоя uy = u y exp(it ), p = p exp(it ), тогда выражение (2.29) принимает вид:

l () Av = R Re( p ) Re u y dx.

(2.30) Воспользуемся решением Ротта [5] для поперечной компонен ты акустической скорости:

d 1 u y = 1 + u x + dx i n Pr 1 2 1 d + ux dx i.

1+ Pr + Pr n Pr В ядре потока газ можно считать идеальным, тогда из линеа ризованного уравнения Эйлера следует:

i 0 c 2 u, u = u x e it.

p = x x x Если стенки трубы обладают высокой теплопроводностью, n = 1. С учетом сделанных замечаний, после подстановки выраже ния для u y в (2.30) и интегрирования получается:

1 2 l 1 + 0 (u x ) 2 1 2 dx + Av = R 2 Pr (2.31) du d1 1 0c l + dx.

ux x ( ) Pr 2 0 dx dx 3 Pr + Pr Пусть в сечении трубы x * происходит скачкообразное увели чение температуры газа, после чего она изменяется по закону T2,0 (x ). Для газов ~ T03 2, 0 ~ T01.

Выражение (2.31) принимает вид:

1 2 x* l 1 2 u ( x)dx 1 + 1,0 1 u1 ( x) dx + T1104 Av = R + T ( x), 0 2 Pr x* 2, (2.32) 1 1,0 c1 l 2 du 2 dT2, + dx.

( ) u 2 ( x) Pr 2 T1304 dx dx 3 Pr + Pr x*, Если температура горячего газа постоянна, выражение для по тока акустической энергии, поглощаемой в пограничном слое, уп рощается:

x* 2 1 1 Av = R 1 + 1,0 1 u1 ( x)dx + 2 Pr. (2.33) T1,0 4 l + u 2 ( x) dx T2,0 x* В качестве примера рассмотрим трубу, закрытую на входе и открытую на выходе. В этом случае u1 (0, t ) = 0, тогда 1 = 2 и u1 ( x, t ) = C1 sin(x c1 ) exp(it ) = u1 ( x) exp(it ), где C1 – действи тельная величина.

p2 (l *, t ) = 0, Второе граничное условие следовательно, 2 = l * / c2, u2 ( x, t ) = C2 cos[( x l * ) / c2 ] exp(it ) = u2 ( x) exp(it ).

После подстановки u1 ( x), u 2 ( x) в выражение (2.32) и интегри рования получается:

C 2 * c * x 1 sin 2x + 1,0 1 2 1 + Av = R 2 c 2 Pr (2.34) * T1,0 l x * + c2 sin 2(l x ).

2 * C + 2 T 2 c 2, 0 Для трубы, открытой на обоих концах, p1 (0, t ) = 0, 1 = 0, u1 ( x, t ) = C1 cos(x / c1 ) exp(it ).

В этом случае получается выражение, почти совпадающее с (2.34). Отличие состоит в том, что член, содержащий sin( 2x * / c1 ), будет иметь положительный знак.

Пусть труба заполнена холодным газом, x* = l. Если пренеб речь членом, содержащим l * l, получается:

C2 2l 1 c 1,01 2 1 l 1 sin.

Av = R 1 + 2 c 2 Pr Для трубы, закрытой на входе и открытой на выходе, n = nc1 l * ;

членом, содержащим синус, можно пренебречь, и получается известная формула [97] для трубы, заполненной одно родным газом:

R1,0 (1 )1 2 l 1 1 + C1.

Av = (2.35) 23 2 Pr Если труба открыта на концах, n = 2nc1 l *, и получается то же самое выражение.

Пусть скачок температуры расположен на входе, т.е. труба за полнена горячим газом с температурой T2,0. Полагая x* = 0, с уче том указанных зависимостей плотности и вязкости газа от темпера туры, пренебрегая разницей величин, Pr для холодного и горяче го газов, нетрудно получить формулу, совпадающую с (2.35) после замены индекса 1 на 2.

Из выражения (2.35) следует Av ~ ( )1 2 0. Для рассмотрен ных случаев ~ c ~ T0 2. Так как ~ T03 2, 0 ~ T01, оказывается, что при одинаковой амплитуде колебаний скорости потока погло щение звука в трубе постоянных размеров не зависит от темпера туры заполняющего ее газа. Если температура изменяется вдоль трубы, но достаточно медленно, в выражении (2.32) член, содер жащий dT23,04 dx, будет мал по сравнению с остальными. Тогда приближенно можно считать, что поглощение звука в горячем газе с малым градиентом температуры такое же, как и при постоянной температуре. Поток поглощаемой акустической энергии может быть вычислен по упрощенной формуле (2.35).

Другой причиной, приводящей к потерям акустической энер гии, является излучение звука на концах трубы. Поток энергии, вы ходящий из трубы, определяется выражением:

Al = Re( pl ) Re(ul ) t S. (2.36) Возмущения давления и скорости на конце трубы связаны со отношением pl = X l ul. Для трубы, открытой на конце, действи тельная часть импеданса равна [131]:

2 d 2 ul X l = l, 0 +, (2.37) 16c l где ul – амплитуда колебаний скорости потока на открытом конце трубы. Выражение (2.36) для потерь акустической энергии на от крытом конце трубы после интегрирования принимает вид:

l,0 Sul2 2 d 2 + ul Al = 4 8cl с учетом сделанных замечаний и того, что ul = ul exp(it ).

Глава 3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕРМОАКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 3.1. Идеализация процессов в области теплоподвода В работах [1, 103, 132, 133] был проведен анализ распростра нения акустических возмущений в трубе постоянного сечения. На некотором участке газу сообщается теплота, которая выделяется при горении, а также посредством теплопередачи от нагретых тел, расположенных в потоке, или от стенок трубы. Предполагалось, что протяженность области теплоподвода мала по сравнению с длиной звуковой волны. Следует заметить, что при горении под областью теплоподвода подразумевается начальный участок зоны горения, наиболее чувствительный к возмущениям потока и где наибольшая скорость тепловыделения. Область догорания не учи тывается. В этом случае реальная область теплоподвода заменяется Рис. 3.1. Идеализация области теплоподвода: а – плоский тепловой источник;

б – тепловыделение в акустической емкости плоскостью (рис. 3.1, а), разделяющей поток на холодную и горя чую части, в которых течения – одномерные, а газ – идеальный.

Чтобы связать возмущения скорости потока и давления по обе сто роны плоскости теплоподвода, использовались линеаризованные уравнения сохранения импульса и энергии. Уравнение сохранения массы применяется в том случае, если необходимо учитывать воз мущения энтропии. Для малых чисел Маха в обеих частях потока были получены соотношения:

p1 ( x *, t ) = p2 ( x *, t );

(3.1) u 2 ( x *, t ) u1 ( x *, t ) = ( B 1) U1,0 q Q0.

Назовем эту схему идеализации моделью Раушенбаха – Мерка.

Такой подход неприменим к устройствам типа емкость – тру ба. В главе 2 было показано, что одним из параметров, определяю щих характер акустических колебаний и их частоту, является объ ем емкости, поэтому область теплоподвода не может быть сведена к плоскости разрыва. Кроме того, общая площадь отверстий, через которые газ поступает в емкость, может отличаться от площади поперечного сечения трубы-резонатора.

Рассмотрим следующую схему (рис. 3.1, б). Горение происхо дит в цилиндрической емкости, протяженность которой мала по сравнению с длиной волны ( lc 1 ). Потоки газа на входе и вы ходе из зоны горения – одномерные, причем S1, S2 Sc. Уравне ния сохранения массы, импульса и энергии в интегральной форме, описывающие процессы в зоне горения, имеют вид [97]:

rr UdS = dV ;

t V ik dV = U i dV ;

xk t V (3.2) rU 2 r U 2 U + c p T dS = + cT dV + Q.

2 t 2 V Интегралы в левых частях первого и третьего уравнений бе рутся по всей поверхности, ограничивающей область теплоподво да. Во втором уравнении ik = Pik + U iU k есть тензор плотности потока i-й компоненты импульса.

К уравнениям (3.2) добавляется уравнение состояния идеаль ного газа:

P = R*T. (3.3) Представим параметры потока в виде суммы средних (стацио нарных) величин и бесконечно малых возмущений:

p = P0 + p( x, t ), U = U 0 + u ( x, t ), = 0 + ( x, t ), T = T0 + T ( x, t ), Q = Q0 + q( x, t ).

Для стационарного течения из (3.2) следует:

1,0U1,0 S1 = 2,0U 2,0 S 2 ;

xx = 0, xx = P0 + 0U 0, x = const ;

(3.4) x U 2 U 2 2,0U 2,0 2,0 + c p, 2T2,0 S 2 = 1,0U1,0 1,0 + c p,1T1,0 S1 + Q0. (3.5) 2 2 Используем известную в акустике формулу для скорости звука c 2 = P0 0, тогда ( ) P0 + 0U 0, x = P0 1 + M 0.

2 При условии M 0 1 для обеих частей потока вторым членом в скобках можно пренебречь, т.е.

P,0 = P2,0 = P,0. (3.6) 1 V Пренебрегая в уравнении (3.5) членами, содержащими квадра ты скоростей, с учетом равенства (3.4) получаем выражение:

c p, 2T2, Q 1+ = =B. (3.7) 1,0U1,0c p,1T1,0 S1 c p,1T1, В рассматриваемом случае основной перенос импульса проис ходит по оси x. Плотность потока импульса xx = P, так как чле ном содержащим U x, можно пренебречь. Из уравнения сохранения импульса следует:

P + (U x ) = 0.

x t С учетом того, что для акустических возмущений зависимость от времени описывается функцией exp(it ), получается:

p + i(0u0 + U 0, x + u ) = 0.

x x Введем безразмерные величины, выбрав в качестве масштабов P0, 0, c, как это принято в акустике, и длину области теплопод вода. Тогда p = p P0, = 0, u x = u c, x = x lc. Если учесть, x что = 2c, применив формулу для скорости звука, получим:

p i 2lc (u x + M 0 + u x ) = 0.

+ x Так как lc 1, второй член содержит величины второго и более высоких порядков малости. Следовательно, в первом при ближении p1 = p2 = pV, (3.8) т.е. возмущения давления на входе и выходе из зоны горения равны.

Если в уравнении сохранения энергии (3.2) отбросить члены, содержащие квадраты скоростей, произведения акустических воз мущений, получим:

c p, 2 S 2 ( 2,0T2,0u2 + 2,0U 2,0T2 + U 2,0T2,02 ) = c p,1S1 (1,0T1,0u1 + + 1,0U1,0T1 + U1,0T1,01 ) + q cV (0T + T0)dV.

(3.9) t V Из уравнения состояния (3.3) следует:

P0 = 0 R*T0, p = R* (0T + T0), p = + T. (3.10) Рассмотрим выражение:

[ ] 0T0 u + 0U 0T + U 0T0 = 0T0 c u + M 0 (T + ) = = 0T0 c (u + M 0 p ).

Членом, содержащим число Маха, можно пренебречь. С уче том условия непрерывности давления и второго из выражений (3.10), заменяя дифференцирование по времени множителем i, получим:

cV p iVc p dV =, t R * R* V где c, R * – средние для области теплоподвода величины.

Поделим уравнение (3.9) на 1,0c p,1T1,0. С учетом сделанных замечаний получаем:

iVc p q S 2u2 S1u1 = *.

1,0c p,1T1,0 R 1,0c p,1T1, Применяя уравнение состояния, условие равенства давлений (3.6), известные из термодинамики формулы для удельных тепло емкостей, получим:

c p, 2 2,0T2,0 2 (1 1) = =.

c p,11,0T1,0 1 ( 2 1) Обычно с целью упрощения расчетов разницей в показателях адиабаты пренебрегают, тогда 1. Аналогично:

1 c =.

( 1) 1P,0 1,0c R 1,0T1,0c p, * С учетом выражения (3.7):

q = ( B 1) S1U1,0 q Q0.

1,0 c p,1T1, Линеаризованное уравнение сохранения энергии окончательно имеет вид:

( B 1) S1U1,0 q iVp S 2u 2 S1u1 =. (3.11) 1,0 c Q При уменьшении емкости до величины V = Sclc = S 2lc, а также при условии S1 = S 2, последний член в уравнении (3.11) будет про порционален lc p1 и станет величиной второго порядка малости.

В этом случае получается выражение (3.1), соответствующее модели Раушенбаха – Мерка для трубы постоянного сечения.

Итак, получено обобщенное условие, связывающее акустиче ские возмущения на границах области теплоподвода в трубе и уст ройствах типа емкость – труба.

3.2. Акустическая мощность тепловых источников, условия самовозбуждения колебаний Средний за период колебаний поток акустической энергии, проходящий через поверхность, ограничивающую некоторый объ ем газа, определяется выражением [5, 97]:

Re( p)Re(u)dS A=.

t Для цилиндрической области теплоподвода (рис. 3.1, б) при условии непрерывности давления (3.8) получаем:

A = Re( p1 ) [Re( S2u2 S1u1 )] = A2 A1 = Ac.

t Если разница между выходящим и входящим потоками энер гии положительна, то Ac 0 и, следовательно, в области тепло подвода происходит выделение акустической энергии. При Ac энергия поглощается, а в случае Ac = 0 область теплоподвода не чувствительна к акустическим возмущениям. Ясно, что самовозбу ждение колебаний возможно, если область теплоподвода генериру ет акустическую энергию, и выполняется условие:

Ac Ad. (3.12) Равенство (1.5), как отмечалось в главе 1, соответствует гра нице неустойчивости. Избыток энергии способствует усилению возникающих колебаний. Энергетическое условие (3.12) и уравне ние (1.5) являются физическим обоснованием одноименного мето да.

В начальной стадии акустические возмущения малы, и можно воспользоваться линеаризованным уравнением сохранения энергии (3.11). Тогда:

( B 1) S1U1,0 q iVp Ac = Re( p1 ) Re.

1,0c Q t Для установившихся гармонических колебаний p1 = p* exp(it ). При усреднении за период колебаний второй член в квадратных скобках приводит к интегралу, содержащему cos t sin t, который равен нулю. Физически это можно объяснить тем, что газ считается идеальным, поэтому при его сжатии акусти ческая энергия не поглощается. Итак:

( B 1) S1U1, Re( p1 ) Re(q) t.

Ac = (3.13) Q Эта формула позволяет вычислить акустическую энергию, вы деляющуюся за единицу времени (акустическую мощность) вслед ствие колебаний скорости тепловыделения при горении или перио дической теплопередаче от внутренних и внешних тепловых ис точников.

В общем случае между колебаниями давления и колебаниями скорости тепловыделения существует фазовый сдвиг, зависящий от характера процессов, составляющих механизм обратной связи. По ложим q = | q | exp i (t ). Без учета потерь энергии энергетиче ское условие самовозбуждения колебаний Ac 0. После интегри рования выражения (3.13) это уравнение принимает вид:

cos 0, 2.

Это критерий Рэлея, формулировка которого была дана в гла ве 1.

Согласно модели Раушенбаха – Мерка зависимость колебаний скорости теплоподвода от акустических возмущений на входе в область, где расположен тепловой источник, можно представить в виде:

q = K u u1 + K p p1.

(3.14) Подстановка передаточных функций (1.2) и (1.4) в формулу (3.13) дает:

[ ] ( B 1) S1U1,0 i p Re( p1 ) Re K u e iu u1 + K p e Ac = p1.

Q0 t Возмущения скорости потока и давления связаны соотноше нием p1 = Z1u1, где импеданс Z1 зависит от конкретного вида входной части устройства, предшествующей области теплоподво да. Из акустики известно, что действительная часть импеданса, обусловленная поглощением звука, намного меньше мнимой ( X1 Y1 1). Тогда можно положить u1 = i p1 Y1 и получить:

Ku ( B 1) S1U1,0 p* sin ( u t ) + Ac = cos t Q0 Y ( )] + K p cos t p.

t При интегрировании по времени исчезнут члены, содержащие cos(t ) sin(t ), cos(2t ). Окончательное выражение для акустиче ской мощности теплового источника имеет вид:

( B 1) S1U1,0 p* K u Ac = Y sin u + K p cos p. (3.15) 2Q0 1 Если колебания скорости тепловыделения возникают из-за возмущений скорости потока, K p = 0. Без учета потерь акустиче ской энергии условие самовозбуждения колебаний имеет вид sin(u ) Y1 0. (3.16) В общем случае импеданс Y1 может быть как положительным, так и отрицательным. В первом случае u1 = ( p1 Y1 )exp i (t + 2), т.е. колебания скорости потока опережают колебания давления на 2.

Автоколебания возникают, если:

0 u. (3.17) При Y1 0 u1 = ( p1 Y1 ) exp i (t 2), возмущения скорости потока отстают на 2 от возмущений давления, а условие само возбуждения колебаний (3.16) дает:

u 2. (3.18) В качестве иллюстрации проведем упрощенный анализ само возбуждения звука в трубе Рийке. Изменение температуры воздуха в трубе не учитывается. В соответствии с выражениями (2.1) для трубы, открытой на концах, акустические возмущения в сечении, где расположена нагревательная сетка, описываются соотноше ниями:

u1 = u ( x *, t ) = C cos(x * / c0 ) exp(it ) ;

(3.19) p1 = p( x *, t ) = i 0 c0 C sin(x * / c0 ) exp(it ).

Ранее отмечалось, что пульсации теплового потока от сетки к проходящему через нее воздуху отстают по фазе от колебаний скорости потока на величину, не превышающую 2. С учетом условия (3.16) самовозбуждение звука возможно, если Y1 0. Для первой гармоники 1 = c0 l * :

Y1 = 0 c0 tg(1 x * / c0 ) = 0 c0 tg(x * / l * ) 0.

Отсюда следует, что явление Рийке наблюдается, если сетка расположена в нижней половине трубы: 0 x* l * 0,5.

При фиксированных параметрах трубы, сетки и воздушного потока акустическая энергия, сообщаемая газу от нагретой сетки, пропорциональна квадрату амплитуды колебаний давления, как это следует из выражения (3.15). Из формул (3.19) видно, что амплиту да колебаний давления в сечении, где расположена сетка, пропор циональна sin(1 x * / c0 ). Дифференцируя Ac по x*, приравнивая производную нулю, получим, что колеблющийся поток воздуха получает максимальную акустическую энергию, если сетка распо ложена на расстоянии, приблизительно равном четверти длины трубы от нижнего конца: ( x * = l * 4). В этом случае условия для поддержания колебаний наиболее благоприятные, а амплитуда акустических колебаний будет максимальной. Полученные резуль таты соответствуют реальным свойствам эффекта Рийке, описанно го в начале главы 1.

Рассмотрим второй частный случай, когда колебания скорости тепловыделения возникают из-за возмущений давления в зоне го рения, т.е. K u = 0. Без учета потерь самовозбуждение колебаний происходит, если Ac 0, а с учетом выражения (3.15) – при усло вии cos( p ) 0 p 2, 3 2 p 2. (3.20) Проведем анализ поющего пламени Хиггинса.

Пусть водород подается в газоподающую трубку через клапан.

Звуковые волны из трубы-резонатора проникают в трубку через верхний открытый конец, который примем за начало координат. На конце, где расположен клапан, газоподающая трубка акустически закрыта (uT ( L, t ) = 0), а в выражениях (2.1) = L c0 ± 2.

Тогда:

uT (0, t ) = CT cos(± 2 L c0 ) exp(it ) ;

pT (0, t ) = i0c0CT sin(± 2 L c0 ) exp(it ).

Скорость истечения водорода имеет направление, противопо ложное скорости на открытом конце газоподающей трубки. Аку стическое давление в этом месте равно звуковому давлению в се чении x * трубы-резонатора, где происходит истечение и начинает ся диффузионное горение водорода: pT (0, t ) = p( x *, t ). Тогда:

ub = uT (0, t ) = i tg(L c0 ) p( x *, t ).

Колебания скорости истечения приведут к изменениям коли чества сгорающего газа, а следовательно, к периодическим измене ниям скорости тепловыделения. Колебания скорости тепловыделе ния будут происходить с некоторым запаздыванием относительно пульсаций скорости истечения. Эта задержка вызвана необходимо стью перестройки гидродинамической и диффузионной структур пламени, конечной скоростью химических реакций.

Таким образом:

q = K u ub = i K u tg(L c0 ) p( x *, t ) exp(iu ).

Вместе с тем ()( ) q = K p p x*, t exp i p.

В зависимости от длины газоподающей трубки возможны два варианта:

p = u + 2, если tg(L c0 ) 0 ;

p = u 2, если tg(L c0 ) 0.

Для водорода, имеющего высокую скорость горения, можно предположить, что время запаздывания горения u меньше поло вины периода колебаний, т.е. 0 u. В этом случае условие самовозбуждения колебаний выполняется, если (3.20) tg(L c0 ) 0. С учетом того, что = 2c0, поющее пламя на блюдается тогда, когда длина газоподающей трубки удовлетворяет условию [44]:

1 2 2 L m 1, m = 0, 1, 2,...

Амплитуда колебаний скорости тепловыделения прямо про порциональна амплитуде звукового давления в сечении, где распо ложено пламя. Для трубы, открытой на концах, p ( x *, t ) ~ sin(n x * / c0 ), n = c0 n l ;

тогда колебания будут наи более интенсивными, если x* = l 2n, т.е. когда пламя расположено в пучностях давления, что совпадает с известными опытными дан ными [8].

Проведенный анализ показал, что условия самовозбуждения колебаний в трубе существенным образом зависят от местополо жения плоскости теплоподвода. В выражении (3.15) этот фактор в явном виде не учитывается. Используя условие непрерывности (3.1) и выражения для акустических возмущений в холодном газе (2.1), получим:

x * p* = p1 ( x *, t ) = 1,0 c1 C1 sin + 1 ;

c 1 x * Y1,* = Y1 = ip1 ( x *, t ) u1 ( x *, t ) = 1,0 c1tg + 1.

c 1 После подстановки этих соотношений в формулу (3.15) выра жение для акустической мощности теплового источника принимает вид:

( B 1) S1U1,0 p1,m K u sin(u ) sin[ 2(x * c1 + 1 )] Ac = + 21,0 c 2Q0 + K p cos( p ) sin 2 (x * / c1 + 1 ), p1,m = 1,0 c1 C1. (3.21) Для устройств, схема которых представлена на рис. 3.1, б, рас положение области теплоподвода не меняется, p* – амплитуда ко лебаний давления газа в емкости, а формула (3.15) сохраняет свой вид.

Таким образом, без учета потерь акустической энергии выра жения (3.12), (3.15), (3.21) позволяют достаточно просто выполнить качественный анализ условий самовозбуждения звука в установках с тепловыми источниками. Поскольку тип источника энергии, спо соб теплоподвода к газу, механизм обратной связи не конкретизи руются, условия (3.16) – (3.18), (3.20) имеют достаточно общий ха рактер.

3.3. Характеристическое уравнение задачи исследования границ неустойчивости Примеры, рассмотренные в подразд. 3.2, показали, что энерге тический метод применим, если известна частота колебаний. Для трубы (рис. 3.1, а) из условий на плоскости теплоподвода (3.1), с учетом зависимости скорости тепловыделения от акустических возмущений (3.14) получается соотношение:

Z 2,* + (1 + B0 K u ) Z11 = B0 K p, B0 = ( B 1) U1,0 Q0.

(3.22),* В акустических системах действительная часть любого импе данса обычно намного меньше мнимой. Реальная часть уравнения (3.22), которое назвали «характеристическим», после отбрасывания членов, содержащих произведения действительных частей импе дансов, имеет вид:

X 1,* + (1 + B0 X u ) X 2,* +.(3.23) + B0 [Y2,*Yu Y1,*Y2,* X p ( X 1,*Y2,* + Y1,* X 2,* ) Y p ] = Мнимая часть характеристического уравнения без учета чле нов, в которые входят действительные части импедансов, дает сле дующее выражение:

(1 + B0Y2,*Y p ) Y1,* + (1 + B0 X u ) Y2,* = 0. (3.24) Если механизм обратной связи не срабатывает, тогда колеба ния скорости теплоподвода отсутствуют ( Ku = 0 = K p ). В этом случае Y1,* = Y2,*, что является комбинацией условий, связываю щих акустические возмущения на плоскости теплоподвода, из ко торых было получено выражение (2.13) для расчета частот собст венных колебаний газа в трубе. Таким образом, мнимая часть ха рактеристического уравнения (3.24) позволяет рассчитать частты колебаний с учетом влияния периодического теплоподвода на рас пространение звуковых волн в газе.

При известной частоте выражение (3.23) – уравнение границы неустойчивости, определяющее параметры установки, при которых происходит самовозбуждение акустических колебаний [103].

Если обратная связь обусловлена влиянием акустической ско рости на тепловой источник, то K p = 0. В установках такого типа (например, трубе Рийке, капиллярном поющем пламени) уравнения границы возбуждения и частоты колебаний имеют вид:

X 1,* + (1 + B0 X u ) X 2,* + B0Y2,*Yu = 0, (3.25) Y1,* + (1 + B0 X u ) Y2,* = 0.

Для поющего пламени Хиггинса тепловыделение при горении становится периодическим вследствие колебаний давления в резо нансной трубе, т.е. K u = 0, а система уравнений, описывающих процесс самовозбуждения звука, следующая:

X1,* + X 2,* + B0 [Y1,*Y2,* X p ( X1,*Y2,* + Y1,* X 2,* )Yp ] = 0 ;

(1 + B0Y2,*Y p ) Y1,* + Y2,* = 0.

В качестве иллюстрации рассмотрим трубу с многоканальной горелкой на входе (рис. 1.4). Обратная связь реализуется в резуль тате колебаний скорости истечения смеси из отверстий диафрагмы [44, 134], поэтому можно использовать выражения (3.25). Для ус тановки, в которой смесь подавалась по трубопроводу длиной l0, без учета градиента температуры газа в камере сгорания были по лучены соотношения [135]:

Z1,* = 1,0 c1 0 1 ( X 1,* i [ 0 ctg(k1l0 ) k1lb ]) ;

X 1,* = lb (c1rb ) 1 (2v1)1 2, H = l c2 ;

(3.26) Z 2,* = 2,0 c2 (µ 2 cos 2 H + i tgH ), µ 2 = (R 2c2 ) 2.

После подстановки этих формул в соотношения (3.25) выра жение, определяющее границу неустойчивости принимает вид:

µ 2 [1 + ( B 1) X u ] + B X 1,* cos 2 H = 0,5( B 1) Yu sin( 2 H ).

Безразмерные функции X u, Yu будут определены в главе 4.

Уравнение частот колебаний при условии X u = 0 следующее:

tgH = B [ctg(k1l0 ) 0 1k1lb ]. (3.27) Применим тот же метод к устройствам типа емкость – труба (рис. 3.1, б), для которых справедливы соотношения (3.8), (3.11).

В этом случае холодная часть потока в трубе отсутствует, поэтому с учетом принятых условных обозначений положим S1 = S0, S2 = S и Z1,* = p0 u0 = Z 0,0 (как это было сделано в главе 2) Z 2,* = p2,0 u2,0 = Z 2,0.

Характеристическое уравнение имеет вид:

1,0c0 S B0 K p iYV1.

01Z 2,1 + (1 + = YV = B0 Ku ) Z 0,1. (3.28) 0 V Воспользуемся преобразованием:

X iY X iY Z 1 = =2 =.

X + iY X + Y 2 Z Так как действительные части акустических импедансов намного меньше мнимых, Z Y 2. Разделяя реальную и мнимую части характеристического уравнения (3.28), нетрудно получить уравнения, определяющие границу неустойчивости и частоту коле баний:

0 1Y20 X 2,0 + (1 + B0 X u ) X 0,0Y00 B0 (Yu Y00 + X p ) = 0 ;

1 2,,, 0 1Y20 + (1 + B0 X u )Y00 YV1 + B0Yp = 0.

1 (3.29),, В отсутствии колебаний скорости теплоподвода:

0 1Y20 + Y00 YV1 = 0.

1 (3.30),, Имея в виду, что Y0,0 = Im( p0 u0 ), Y2,0 = Im( p2,0 u 2,0 ), используя выражения (2.1) и (2.10), (2.11) при x = 0, после некото рых преобразований уравнение (3.30) можно записать в виде, сов падающем с тем, которое имеет уравнение (2.22) для расчета частот собственных колебаний газа в трубе с акустической емкостью на входе.

В работе [136] было исследовано устройство, состоящее из ре зонатора Гельмгольца и многоканальной горелки на входе. Течение газа в горле описывается уравнением непрерывности:

2 U + U 2 2 + 2 = t x x и движения U 2 U 2 1 P + U2 + + µu2 = 0.

t x 2 x Коэффициент акустического трения равен [125]:

µ = (2 2 )1 2 R.

Пусть на установившееся течение накладываются малые аку стические возмущения. Ранее было показано, что при линеариза ции уравнений гидродинамики для малых чисел Маха можно пре небречь членами, содержащими произведения средней скорости потока или акустических возмущений на их производные. Тогда:

2 u + 2, 0 2 = 0.

t x Если ввести безразмерные акустические возмущения, как это было сделано при идеализации процессов в зоне горения, и безраз мерные параметры t = t t p, x = x l, то получаем:

l 2 u + =0.

t x Когда длина горла намного меньше длины волны, а именно это условие соответствует резонатору Гельмгольца, первый член – второго порядка малости. Следовательно, u2 x = 0, т.е. газ в горле совершает колебания как твердое тело.

Уравнение движения газа в горле с учетом трения после ли неаризации имеет вид [125]:

u2 1 p + + µu2 = 0. (3.31) t 2,0 x После интегрирования уравнения (3.31) от 0 до l получим:

u 2 + [ p2 (l, t ) p2 (0, t )] + µu 2 = 0, t 2,0 l где p2 (0, t ) – давление на входе;

p2 (l, t ) – давление на выходе из горла, равное Z l u2 ( Z l – импеданс на открытом конце горла). Для периодических возмущений u2 = u2 exp it, тогда:

Z 2,0 = (i + µ) 2,0 l + Z l.

В рассматриваемой установке входное устройство и механизм обратной связи те же, что и в трубе с аналогичным горелочным устройством. Тогда K p = 0 и система уравнений принимает вид:

0 1Y20 X 2,0 + (1 + B0 X u ) X 0,0Y00 B0Yu Y00 = 0 ;

1 2,,, 0 1Y20 + (1 + B0 X u ) Y00 YV1 = 0.

1 (3.32),, Из условий Su1,* = Su0, p1,* = p0 следует, что Z 0,0 = 0 Z1,*, где Z1,* определяется выражением (3.26).

Итак, характеристические уравнения (3.22), (3.28) дают воз можность определить границы термоакустической неустойчивости и частоты возникающих колебаний газа в трубах и устройствах ти па емкость-труба.

Анализ проводился в линейной постановке, поэтому задача определения амплитуды установившихся колебаний остается не решенной.

3.4. Комбинированный метод расчета условий самовозбуждения, частоты и амплитуды установившихся колебаний Получив характеристическое уравнение для конкретного уст ройства, можно определить значения любого параметра, соответст вующего границе неустойчивости. Однако, чтобы найти интервалы изменения данного параметра, при которых возникают колебания, необходим дополнительный анализ с использованием аппарата общей теории устойчивости или условий типа критерия Рэлея, по лученных из соображений физической целесообразности. Энерге тический метод позволяет делать это просто и наглядно. Действи тельно, потери акустической энергии сокращают интервалы неус тойчивости, но они по-прежнему будут располагаться между пре дельными значениями, входящими в условия (3.17), (3.18), (3.20).

В линейной постановке объединение равенства (1.5) и условия (3.12) дает:

Ac, L Ad, L. (3.33) Это условие содержит информацию о границе неустойчивости и в то же время показывает, в каком направлении должны изме няться параметры устройства, чтобы в нем возникли автоколеба ния.

Акустическая мощность области теплоподвода в трубе опре деляется выражением [см. (3.15)]:

Ac, L = ac, L pc ;

. (3.34) ac, L = 0,5B0 S ( | K u, L | Y11 sin u + | K p, L | cos p ).

Потери акустической энергии обусловлены, во-первых, тем, что часть ее выносится за пределы устройства и не возвращается обратно. Происходит это, например, при излучении звука на от крытом конце трубы или вследствие затухания волн, проникающих из камеры сгорания в систему подачи. Во-вторых, поглощение зву ка происходит внутри трубы под действием вязкости и теплопро водности, особенно в пристеночной области, а также из-за наруше ния плоского характера распространения звуковых волн, вызванно го наличием в потоке плохообтекаемых тел. Влияние препятствий носит локальный характер и им можно пренебречь ввиду малости по сравнению с потерями на стенках, которые происходят по всей длине трубы.

Воспользуемся формулой (2.35), в которой индекс «1» заменен на «2». Максимальная амплитуда колебаний скорости потока в трубе, заполненной газом с одинаковой температурой, с учетом выражений (2.1) равна C2, т.е. начальная фаза колебаний такова, что C2 – действительная величина. Амплитуда колебаний давления в плоскости теплоподвода для реального случая (с учетом градиен та температуры газа) определяется из выражения [см. (2.11)]:

pc = | p2 ( x *, t ) | = * c2C 2 | b(2) 1 cos * + sin * | (1 bx * / a)1 2.

* 2 2 Тогда [ ] C 2 = D2 pc, D2 = * c2 | b(2) 1 cos * + sin * | (1 bx * / a )1 *, 2 2 * = 2 ( / b) ln (1 bx* / a). (3.35) Потери на стенках определяются по формуле:

R* (v2 )1 2 l 2 1 1 + D.

A, L = a, L pc, a, L = 2 (3.36) Pr 23 2 Излучение звука на конце трубы описывается выражением (2.36):

Al, L = S Re( Z l, L ul ) Re(ul ) = SX l, L ul2 2. (3.37) t С учетом формулы (2.10) амплитуда колебаний скорости по тока на конце трубы равна:

ul = | u 2 (l, t ) | = C 2 | cos 2,l | (1 bl / a )1 2.

Следовательно, амплитуда колебаний скорости потока на кон це трубы связана с амплитудой колебаний давления в плоскости теплоподвода соотношением:

ul = Dl pc, Dl = D2 cos 2,l (1 bl / a )1 2, 2,l = 2 ( / b) ln(1 bl / a). (3.38) Потери, связанные с излучением звука на выходе из трубы, за писываются в виде:

Al, L = al, L pc, al, L = SX l, L Dl2 2.

(3.39) В начале трубы вынос акустической энергии описывается вы ражением, аналогичным (3.37):

A0, L = SX 0, Lu0 / 2, X 0, L = Re( Z 0, L ) = Re( p1,0 / u1,0 ).

С учетом выражений (2.1):

cos u0 = | u1,0 | = D0 pc, D0 = ;

1,0 c1 | sin(x * c1 + 1 ) | A0, L = a0, L pc, a0, L = SX 0, L D0 2.

2 (3.40) Подстановка выражений (3.34), (3.36), (3.39), (3.40) в неравен ство (3.33) дает следующее условие самовозбуждения колебаний газа в трубе с любыми импедансами на концах и произвольным расположением плоскости теплоподвода:

ac, L a, L + a0, L + al, L. (3.41) Равенство величин соответствует границе неустойчивости.

В устройствах типа емкость – труба pc = p0 = pV = p2,0. Тогда из выражений (3.35), (3.38) при условии x* = 0 следует:

D2 = (V,0 c2,0 | b(2) 1 cos 2 + sin 2 | ) 1 ;

(3.42) Dl = D2 | cos 2,l | ln(1 bl / a)1 2.

На входе в емкость p0 = Z 0,0u0, тогда:

A0, L = S 0 Re( p0 Z 0,0 ) Re( p0 ) = S 0 X 0, 0 Z 0, 0 p c 2 = a0, L p c ;

2 t a0, L = S 0 X 0, 0 Z 0, 0 2. (3.43) Выражение для акустической мощности, выделяемой в емко сти, такое же, как и для трубы, только в формуле (3.34) S и Y1 не обходимо заменить на S0 и Y0, соответственно. Тогда с формаль ной точки зрения условие самовозбуждения колебаний имеет такой же вид, как и неравенство (3.41).

Если условие (3.33) выполнено, акустическая мощность теп лового источника увеличивается прямо пропорционально квадрату амплитуды колебаний давления. Потери энергии возрастают таким же образом, но меньшими темпами (рис. 3.2). Появляется избыточ ная энергия, равная Ac Ad, которая усиливает колебания, а это, в свою очередь, приводит к увеличению акустической энергии, со общаемой газу.

Однако с течением времени начинает проявляться нелинейный характер процессов, приводящих к неустойчивости. Снижаются темпы генерации акустической энергии тепловым источником.

Происходит то, что в реальных физических системах называется явлением «насыщения». Это обусловлено тем, что процессы тепло обмена и горения – нелинейные по своей сути. В установках с го рением при достаточно большой амплитуде колебаний происходит значительное сокращение размеров пламени, что способствует уве личению осредненного и пульсирующего локальных тепловых по токов. Средняя температура газа в зоне горения понижается, а часть периодически выделяемой теплоты передается стенкам ка меры сгорания и не участвует в генерации акустической энергии.

При горении за плохообтекаемыми телами нарушается стабилиза ция пламени, происходит его разделение на участки, которые могут перемещаться вместе с колеблющимся потоком. Рассосредоточен ность теплового источника приводит к уменьшению его акустиче ской мощности [1, 3].

Потери энергии, наоборот, возрастают. Начинают действовать механизмы поглощения звука, которые не имеют существенного значения для бесконечно малых возмущений. Например, излучение звука на открытом конце трубы усиливается за счет «струйных»

потерь. Можно ожидать увеличения поглощения за счет вихревых вторичных течений, турбулизации потока в зоне горения и присте ночном пограничном слое.

Нелинейные эффекты приводят к тому, что по мере усиления колебаний газ получает все меньшее количество энергии. При ус ловии, когда акустическая мощность теплового источника станет равной ее потерям, кривые 1 и 2 пересекутся (рис. 3.2). Это состоя ние энергетического равновесия соответствует установившимся колебаниям с постоянной амплитудой. Любое отклонение от этого положения приведет к тому, что появится избыток акустической энергии при Ac Ad, и колебания усилятся или Ac станет меньше Ad и амплитуда колебаний уменьшится до значения, соответст вующего условию Ac = Ad.

При нелинейном анализе тер моакустической неустойчивости приходится сталкиваться с целым рядом проблем. Основная труд ность – математическое описание механизмов обратной связи, специ фичных для различных устройств и состоящих из цепочки взаимосвя Рис. 3.2. Генерация и поглощение занных процессов, каждый из кото акустической энергии: 0 – граница рых является предметом для само неустойчивости, а – установив шиеся колебания стоятельного изучения.

Следует иметь в виду, что по мере усиления колебаний опре деляющими станут процессы, отличающиеся от того, который при вел к неустойчивости. Например, при горении за стабилизатором наиболее вероятной причиной самовозбуждения звука считается волнообразование на фронте пламени. В режиме установившихся колебаний происходит периодическое образование и отрыв горя щих вихрей, способных замкнуть обратную связь, но отсутствую щих при малых возмущениях потока [1]. Может случиться так, что для самовозбуждения звука необходимы пульсации скорости пото ка в области теплоподвода, а на амплитуду установившихся коле баний влияют колебания давления.

Далее будут рассматриваться устройства, в которых причиной, вызывающей колебания скорости тепловыделения, являются воз мущения скорости потока. Это ограничение вызвано тем, что нет достоверных данных, подтверждающих возможность самовозбуж дения колебаний под непосредственным воздействием возмущений давления на процессы горения и теплоотдачи. Исключение состав ляют камеры сгорания ЖРД, но в этих установках неустойчивость возникает не посредством теплоподвода к газу, а с помощью ис точника массы, о котором говорилось в главе 1.

Учет нелинейных эффектов при анализе процессов, сопровож дающихся потерями акустической энергии, также вызывает серьез ные затруднения. Например, вторичные течения, возникающие в звуковом поле, создаваемом внешним источником, изучены дос таточно хорошо. При самовозбуждении колебаний генерация волн и появление течений взаимосвязаны. Наряду с прямой необходимо решать и обратную задачу о влиянии вторичных течений на харак тер распространения звуковых волн. Этот вопрос не изучен. Также не представляется возможным оценить поглощение акустической энергии за счет других «вторичных» явлений, перечисленных вы ше, за исключением «струйных» потерь, возникающих при излуче нии звука из отверстия. В этом случае возмущения давления и ско рости потока связаны соотношением [109]:

pl = ( Z l, L + l,0 ul 2) ul. (3.44) Нелинейность заключается в том, что амплитуда колебаний давления изменяется не прямо пропорционально амплитуде коле баний скорости потока, как в линейной акустике, а по квадратич ному закону, тогда как фазовый сдвиг остается прежним. По анало гии с термином «квазистационарный» подход такое приближение можно назвать «квазилинейным». В такой постановке связь между колебаниями скорости тепловыделения и скорости потока можно представить в виде:

q = K u, N u1,* = ( | K u, L | bq | u1,* | ) u1,* exp(i u ).

(3.45) Идея такой записи принадлежит Б.В. Раушенбаху [1], который изучал самовозбуждение акустических колебаний в трубе. Жидкое топливо впрыскивалось в поток воздуха и сгорало за стабилизато рами пламени. Исследование проводилось по упрощенной схеме.

Не учитывались следующие факторы: зависимость модуля переда точной функции для линейного приближения от частоты колеба ний, нелинейный характер излучения звука, пристеночное погло щение звука. В аналитическом виде решение задачи представля лось системой двух уравнений относительно частоты и максималь ной амплитуды колебаний давления, полученных из условий, свя зывающих акустические возмущения по обе стороны плоскости теплоподвода. Использованная методика – довольно трудоемкая, а полученные выражения не дают наглядного представления о фи зических особенностях влияния параметров термоакустического устройства на амплитуду установившихся колебаний.

Дальнейший анализ будет проводиться в следующей поста новке:

1. Используется квазилинейный подход.

2. Решение задачи основывается на энергетическом методе.

3. Потери на стенках термоакустического устройства – линей ные, излучение звука имеет нелинейный характер, другие механиз мы поглощения акустической энергии не учитываются.

4. Частоты колебаний определяются из мнимой части характе ристического уравнения, полученного в линейном приближении.

5. С момента самовозбуждения звука и до режима установив шихся колебаний действует один и тот же механизм обратной связи.

Представляя зависимость пульсаций скорости тепловыделения от колебаний скорости потока (3.45) в формулу для акустической мощности теплового источника учитывая, что (3.13), | u1,* | = pc | Y11 |, получим:

Ac = (ac, L ac, N pc ) pc, ac, L = B0 S | K u, L | Y11 sin u 2, ac, N = B0 SbqY11 | Y11 | sin u 2. (3.46) Предположим, что и в общем случае нелинейность излучения звука из трубы можно учесть добавлением в концевые импедансы членов, пропорциональных амплитуде колебаний скорости потока, как это было сделано в формуле (3.44):

Z l = Z l, L + bl | u 2,l |, Z 0 = Z 0, L + b0 | u 2,0 |. (3.47) Потери акустической энергии на конце трубы определяются выражением типа (3.37):

Al = X l ul2 2 = (al, L + al, N pc ) pc, al, N = SDl3bl 2, (3.48) а формула (3.39) для коэффициента al, L останется прежней.

На входе в трубу получаются аналогичные выражения:

A0 = X 0u0 2 = (a0, L + a0, N pc ) pc, 2 a0, N = SD0 b0 2, (3.49) а коэффициент a0, L вычисляется по формуле (3.40).

После подстановки величин Ac, Al, A0, A в условие энергети ческого баланса (1.5) получается формула для амплитуды колеба ний давления в плоскости теплоподвода:

ac, L a0, L al, L a, L pc =. (3.50) ac, N + ao, N + al, N Физический смысл имеют значения pc 0, что возможно, ес ли числитель выражения (3.50) удовлетворяет условию, совпадаю щему с неравенством (3.41). Отпадает необходимость самостоя тельного анализа условий самовозбуждения звука, так как в про цессе вычислений амплитуды колебаний автоматически будут оп ределены значения pc = 0 и параметры термоакустического уст ройства, соответствующие границе неустойчивости. В качестве первого приближения можно рекомендовать упрощенную форму лу, не учитывающую потери:

pc = ac, L ac, N =| K u, N | | Y1 | bq 1.

Частоты колебаний определяются из выражения (3.24), учиты вающего влияние пульсаций скорости теплоподвода. Для упроще ния расчетов можно воспользоваться уравнением собственных час тот (2.19).

Для термоакустических устройств типа емкость – труба фор мула (3.50) сохраняет свой вид, но при определении коэффициен тов необходимо учесть замечания, сделанные при анализе условий самовозбуждения колебаний, а также выражения (3.42), (3.43) и Z 0, N = Z 0,0 + b0,0 | u0 |, a0, N = S0 | Z 0, N |3 b0,0 2.

В заключение сформулируем общую методику теоретического исследования термоакустических колебаний, учитывающую досто инства методов, основанных на анализе характеристического урав нения и балансов потоков акустической энергии. Необходимым начальным условием является знание механизма обратной связи, специфичного для каждого устройства. Теоретически или путем математической обработки экспериментальных данных должна быть определена зависимость колебаний скорости теплоподвода к газу от акустических возмущений. Далее задача заключается в нахождении значений параметров, определяющих размеры уст ройства и процесс теплоподвода, при которых происходит само возбуждение звука, а также зависимости частоты и амплитуды ус тановившихся колебаний от указанных параметров.

Основные этапы расчета (имея в виду компьютерное исполне ние) следующие:

1. С учетом типа устройства из уравнения (3.24) или (3.29) оп ределяется частота колебаний, соответствующая начальным значе ниям параметров.

2. По формуле (3.50) находится амплитуда колебаний давле ния и проверяется выполнение условия pc 0.

3. Процедура вычислений повторяется при изменении пара метров до тех пор, пока не будут найдены все положительные зна чения pc.

4. Данные по амплитуде и частоте колебаний, соответствую щие условию pc 0, выводятся на печать для последующей обра ботки и оформления в виде графиков и таблиц.

Глава 4. ВИБРАЦИОННОЕ ГОРЕНИЕ В ТИПОВЫХ УСТРОЙСТВАХ В предыдущих главах была проведена акустическая классифи кация устройств вибрационного горения, разработана теоретиче ская модель самовозбуждения колебаний газа при наличии тепло подвода. Далее будут рассмотрены приложения общей теории к анализу автоколебаний газа, возникающих при горении в кон кретных устройствах, и соответствующие экспериментальные дан ные. Используется одинаковое топливо и один и тот же способ его сжигания, что позволит выяснить, какое влияние оказывают аку стические свойства камеры сгорания на условия самовозбуждения, частоту и амплитуду колебаний газа. Исследуются автоколебания, возникающие в установках, в которых происходит горение предва рительно подготовленной смеси горючего газа с воздухом, что дает возможность изменять расход и состав смеси в широком диапазоне, не прекращая эксперимента. При выборе горелочного устройства учитывалась простота конструкции, степень изученности механиз ма обратной связи автоколебаний, возможность определения пере даточной функции пламени. Всем этим требованиям удовлетворя ют установки, в которых смесь подается в небольшую емкость, по ступает в камеру сгорания через узкие каналы распределительной диафрагмы (рис. 1.4) и горит в виде отдельных пламен, аналогич ных тому, которое образуется над горелкой Бунзена. В этом случае колебания давления в зоне горения вызывают периодические изме нения расхода смеси и скорости тепловыделения. Придерживаясь этой схемы, можно построить простую кинематическую модель колеблющегося пламени и найти его передаточную функцию.

4.1. Передаточная функция пламени при горении однородной смеси, истекающей из отверстия Так как обратная связь реализуется вследствие зависимости скорости тепловыделения от скорости истечения смеси из отвер стия, передаточная функция пламени определяется выражением:

K L = qb (t ) ub (t ).

При исследовании акустической неустойчивости горения в камерах сгорания ЖРД широкое распространение получил метод определения передаточной функции зоны горения, основанный на анализе так называемой «кривой выгорания» с привлечением ма тематического аппарата теории автоматического регулирования [3, 94, 98].

Связь между колебаниями скорости тепловыделения и скоро сти истечения можно определить по формуле [49]:

qb (t ) it qb (t ) = iub (t ) e dt. (4.1) ub Переходная функция qb (t ) описывает изменение скорости тепловыделения при скачкообразном изменении скорости истече ния на величину ub.

Задача по определению переходной функции решалась при следующих допущениях:

1. Пламя имеет форму правильного геометрического конуса, приподнятого над горелкой, площадь основания которого равна площади отверстия горелки.

2. Любая точка фронта пламени находится в состоянии дина мического равновесия в соответствии с законом Гуи – Михельсона [137].

3. Единица поверхности фронта пламени при заданной нор мальной скорости распространения способна преобразовать в про дукты сгорания фиксированное количество смеси в единицу вре мени.

4. Фронт пламени не имеет разрывов.

5. Скорость тепловыделения однозначно связана с величиной поверхности пламени или, как это следует из п. 3, с количеством смеси, пересекающим фронт пламени в единицу времени.

6. Фронт пламени бесконечно тонкий.

7. Число Маха для средней скорости истечения смеси из от верстия мало.

8. Значение нормальной скорости распространения фронта пламени постоянно по фронту пламени, за исключением корневых точек, а колебания этой скорости не учитываются.

9. Газ в объеме, занимаемом пламенем, с учетом пространства между отверстием горелки и основанием пламени, несжимаем.

10. Профиль распределения скорости истечения – плоский.

Закон сохранения массы в интегральной форме для объема, занимаемого пламенем, имеет вид [97]:

rr rr dV.

UdS = UdS (4.2) t Sf Sb Vf Элемент объема между горелкой и фронтом пламени равен 2rx f (r, t )dr.

По условию стабилизации косого фронта пламени [137, 138] rr UdS f = U b cos dS f = U n dS f.

Тогда из уравнения (4.2) получим выражение для поверхности пламени:

V f S f = U b Sb Un. (4.3) t Скорость тепловыделения прямо пропорциональна массовому расходу горючей смеси, пересекающей фронт пламени. Из уравне ния (4.2) следует, что m f = 1,0U n S f, тогда:

& Qb = g f m f = g f 1,0U n S f.

& (4.4) Следовательно, мгновенное значение скорости тепловыделе ния в режиме колебаний прямо пропорционально поверхности пламени, как и в стационарном случае. Поверхность пламени, как это следует из выражения (4.3), зависит от колебаний скорости ис течения и от скорости изменения объема между отверстием горел ки и фронтом пламени.

Определим реакцию пламени на скачкообразное изменение скорости истечения горючей смеси из отверстия горелки от неко торого стационарного значения U b,1 до значения U b, 2 = U b,1 + ub.

В этом случае основание пламени перемещается в пограничном слое струи к новому стационарному положению 2, а фронт пламе ни в соответствии с законом Гуи – Михельсона увеличивает свою поверхность до величины, отвечающей новому режиму истечения смеси.

Объем между отверстием горелки и фронтом горения состоит из двух частей: объема так называемого «темного» пространства между отверстием горелки и основанием пламени, и объема, огра ниченного поверхностью пламени: V = V0, f + V f.

Рассмотрим характер переходного процесса при закрепленном основании пламени, т.е. V0, f = const. Определим закон перемеще ния произвольной точки фронта пламени из одного стационарного положения в другое при скачкообразном изменении скорости исте чения.

С учетом того, что dSb = dS f cos, dV f = x f dSb, из выраже ния (4.2) получается уравнение движения точки фронта пламени:

x f Un = Ub. (4.5) t cos Введем следующие величины:

x f = x f + x f (r, t ), = 1 + (t ), где x f, 1 соответствуют исходному стационарному состоянию, а x f,, описывают изменение соответствующих величин в переходном режиме.

В исходном положении U b,1 = U n cos 1. При условии малости скачка скорости истечения относительно начального значения:

( ) cos cos 1 1 tg 1.

С учетом этого выражения уравнение (4.5) принимает вид:

x f U n tg + = ub. (4.6) t cos Рассмотрим движение произвольной точки на фронте пламени вдоль линии тока от исходного стационарного положения к новому (рис. 4.1). В исходном положении x f x tg 1 =.


rb r В произвольный момент времени выполняется соотношение x f + x f (r, t ) x tg = = rb r x f (r, t ) = tg 1 +.

rb r С другой стороны, ( ) tg = tg 1 + tg 1 +.

cos 2 Сравнивая эти выражения, находим:

cos 2 (t ) = x f (r, t ).

rb r Рис. 4.1. Переходной процесс пламени при U n = const Подставляя эту формулу в (4.6), получим:

x f + x f = ub, (4.7) t где (1 ), = r rb.

rb = (4.8) U n sin Выясним физический смысл времени. Местоположение ко нического фронта пламени в исходном стационарном состоянии описывается следующим выражением:

x f ( ) = h f (1 ) + x0.

Высота пламени h f равна rb tg1.

Приращение координат фронта пламени при переходе из од ного стационарного положения в другое определяется соотношени ем:

x f ( ) = h f (1 ). (4.9) С учетом того, что h f = rb [ tg( 1 + ) tg( 1 )], преобразуя это выражение при условии 1 1, получим:

h f = rb. (4.10) cos 2 Разлагая cos( 1 + ) по формуле косинуса суммы двух углов, зная, что U n U b,1 = cos 1, получим:

ub = ctg 1. (4.11) U b, Подставляя выражения (4.10), (4.11) в равенство (4.9), полу чим:

x f ( ) = ub (1 ) = ub.

rb U n sin Следовательно, – это время прохождения фронта пламени от одного стационарного положения в другое со скоростью, равной величине скачка скорости истечения.

Решение уравнения (4.7) имеет следующий вид:

x f (, t ) = x f ( ) [1 exp( t )].

Полученное выражение говорит о том, что переход фронта пламени из одного стационарного положения в другое носит инер ционный характер. Если ограничиться линейным разложением экс поненциальной функции, то для приращения координаты получа ется приближенная формула:

tub, 0 t ( ), x f (, t ) = (4.12) x f, ( ) t.

Изменение массы горючей смеси, сгорающей в единицу вре мени в произвольный момент времени переходного процесса, оп ределяется из закона сохранения массы:

rr m f (t ) = U cosn dS.

UdS = 1, & Sf Sb Используя выражение (4.6), разлагая выражение 1 cos в ряд по, получим:

x f (, t ) m f (t ) = 1,0 Sb 2 () d.

& (4.13) 0 t m, Для произвольного момента времени где m = h f ub, часть точек фронта пламени, для которых ( ) t достигнут новых стационарных значений, остальные точки, для которых ( ) t, еще будут совершать переходной процесс.

Координаты точек фронта пламени, завершивших переходный процесс, находятся в интервале * 1 ;

координаты точек, про 0 *, должающих перемещение, в интервале где – * = 1 t m. Тогда из выражения (4.13) с учетом (4.12) получаем:

* m f (t ) = 2mb t d + d, & & (4.14) 0 m (1 ) * где mb = 1,0 Sb ub.

& Переходная функция пламени связана с функцией выгорания соотношением:

qb (t ) = g f m f (t ) = g f mb m (t ).

& & (4.15) После подстановки переходной функции (4.15) в формулу (4.1) получается следующее выражение для безразмерной переда точной функции пламени:

K L = i m (t )e it dt ;

(4.16) ( ) K L = K L g f 1,0 Sb = K LU b,1 Qb,1. (4.17) Функция выгорания определяется из уравнения (4.14):

(t )2 2(t m ) ln (t m ), 0 t m, m (t ) = m (4.18) 1, m t Вид кривой выгорания (рис. 4.2) говорит о том, что количест во смеси, сгорающее в единицу времени, а значит, и скорость теп ловыделения быстро возрастают в начальной стадии переходного процесса, затем темпы роста замедляются и осуществляется плав ный переход к новому стационарному состоянию.

При подстановке функции выгорания (4.18) в выражение (4.16) получается интеграл, который можно вычислить лишь при ближенно в виде бесконечного ряда. Для упрощения задачи на чальный участок кривой выгорания брался в виде куска параболы (рис. 4.2). Тогда 1 (m 1)2, 0 m 1, m (t ) 1, 1 m, m = t m.

Передаточная функция пламени в этом случае следующая:

K L = 2[1 cos m i ( m sin m )] ( m )2.

Анализ этого выражения показывает, что мнимая часть пере даточной функции отрицательна, а действительная часть положи тельна при любом фазовом запаздывании горения.

Это значит, что колебания скорости тепловыделения от стают по фазе от колебаний скорости истечения смеси, при чем это запаздывание не пре вышает 2. Если смесь пода ется из небольшой емкости, то, как будет показано ниже, пуль Рис. 4.2. Кривые выгорания:

сации скорости в каналах го- 1 – U n = const ;

2 – параболическое при релки отстают от пульсаций ближение кривой 1;

3 – U n const давления на входе в камеру сго рания на 2. Тогда фазовый сдвиг между колебаниями давления и скорости тепловыделения в зоне горения превышает 2, критерий Рэлея не выполняется, вибрационное горение не возникает. Это противоречит экспериментальным данным.

Для уточнения картины переходного процесса учтем тот факт, что нормальная скорость распространения пламени не одинакова вдоль фронта пламени [137, 138]. В основании она мала из–за теп лоотдачи к стенкам горелки и достигает значения, соответствую щего заданному составу смеси, в точке, радиальная координата ко торой r rb 0,8. Затем U n почти не изменяется и только вблизи оси пламени резко увеличивается и достигает максимального зна чения. Для пламени с радиальной симметрией значительная часть смеси пересекает фронт пламени на участке, где скорость горения меньше значения, соответствующего химическому составу. Это приводит к тому, что время переходного процесса увеличивается, а характер кривой выгорания изменяется. После скачка скорости истечения происходит горение небольшого количества дополни тельного топлива вблизи оси пламени. Затем сгорает основная часть избыточной смеси. Оставшееся топливо догорает в области стабилизации пламени, расположенной вблизи границ струи, обра зующейся при истечении смеси. Исходя из описанной качествен ной картины кривая выгорания была взята в виде кусков двух па рабол (рис. 4.2), основания которых расположены в точках (0, 0) и (1, 1). Из условия касания ветвей парабол в точках (0,5;

0,5) были определены необходимые коэффициенты. Кривая выгорания опи сывается следующим выражением:

20, 0 0 0.5, 0 (t ) 1 2(0 1)2, 0.5 0 1, 1, 1, = t 0 0 Подставив функцию выгорания в формулу (4.16), проведя ин тегрирование, получим выражение для передаточной функции пламени:

2(1 cos ) exp( i ), KL = (4.19) ( ) где = 0,5 0 ( 0 – максимальное время переходного процесса, ко торое больше максимального времени переходного процесса m при условии U n = const ).

4.2 Автоколебания газа при горении в трубе В работах [134, 139, 140] было проведено экспериментальное исследование вибрационного горения в трубе с многоканальной горелкой на входе (рис. 1.4). Основные результаты следующие:

1. Вблизи резонанса камеры сгорания и трубопровода подачи, при коротком трубопроводе – автоколебания гармонические. В ос тальных случаях вибрационное горение сопровождается нерегу лярными биениями, приводящими к срыву пламени с горелки.

2. Колебания возбуждаются либо в одном интервале значений коэффициента избытка воздуха, включающем единицу, либо в двух, расположенных слева и справа от = 1.

3. С увеличением диаметра каналов горелки парные интерва лы смещаются к = 1, затем сливаются в один общий интервал, который в дальнейшем сокращается и исчезает.

4. Если длина трубопровода такова, что колебания давления в камере сгорания отстают по фазе от колебаний скорости истече ния, наблюдается один интервал вибрационного горения по, ко гда опережают – один или два, в зависимости от диаметра каналов горелки.

5. Существует нижний и верхний пределы возбуждения виб рационного горения по скорости истечения.

Были выполнены расчеты границ неустойчивости и частот возбуждаемых колебаний [135]. Использовалась реальная часть характеристического уравнения (3.29). Задача решалась при усло вии, что температура газа и скорость звука постоянны по длине камеры сгорания. Для этого подбиралось некоторое среднее значе ние скорости звука в трубе, чтобы получить удовлетворительное совпадение вычисленных значений частот колебаний с экспери ментальными. Такой подход является формальным и не учитывает реального распределения скорости звука, обусловленного охлаж дением газа из-за теплоотдачи к стенкам трубы. Кроме того, анализ проводился в линейной постановке, что не позволило определить амплитуду установившихся колебаний.

Воспользуемся общим уравнением частот колебаний (2.13), которое учитывает продольный градиент скорости звука, и конкре тизируем его.

Рассмотрим установку, в которой камера сгорания – труба, от крытая на выходе. Тогда угол 2 определяется выражением (2.14).

Пусть горючая смесь поступает в камеру сгорания из коротко го трубопровода, обладающего свойствами акустической емкости, а глубина отверстий горелки намного меньше длины волны. В этом случае акустические возмущения давления и скорости в канале го релки связаны соотношением (2.27), где p0 = pb, u0 = ub :

ipb (0, t ) l cS ub =, F0 = b 1 0.

1,0c1F0 c1 V u1 (0, t ) = ub S0 S, pb = p1 (0, t ), Учитывая, что Y0 = Im[ p1 (0, t ) u1 (0, t )], находим 1 = arctg(F0 S S0 ). Если пламя расположено в начале трубы, то a = c2 (0) = c2 – скорость звука, * зависящая от температуры горения. После подстановки значений 1, 2 в выражение (2.13) при условии x* = 0 получается уравне ние для расчета частот колебаний газа:

b bl * b c S Slb ln 1 * = + B 1. (4.20) tg arctg V 2 b c 2 0 S 0 c1 Без учета градиента скорости звука b = 0, = 1 и, как отмеча лось во второй главе, 2 = l * c2. Уравнение частот принимает * вид:

l * cS l tg * = B 1 b.

V c 0 0c Это выражение совпадает с известным уравнением (3.27), в котором необходимо ввести эффективную длину камеры сгора ния и учесть, что для короткого трубопровода подачи смеси k1l0 1, ctg(k1l0 ) = c1S (V0 )1.

Если смесь подается в емкость горелки через большое гидро динамическое сопротивление, потерями акустической энергии на входе в камеру сгорания можно пренебречь. Выражение (3.50) для амплитуды установившихся колебаний давления в зоне горения принимает вид [141–143]:


ac, L al, L a, L pc =. (4.21) ac, N + al, N Определим коэффициенты, входящие в эту формулу.

В изучаемой установке имеется совокупность одинаковых пламен, образующихся над отверстиями горелки, поэтому общая скорость тепловыделения q = nqb = K u ub. В квазилинейном при ближении запишем выражение, аналогичное (3.45):

( ) qb = K N ub = K L bq ub ub exp( iu ).

(4.22) Передаточная функция K L линейного приближения определя ется соотношениями (4.17), (4.19). Время запаздывания скорости тепловыделения, полагая в формуле (4.8) = 0, sin 1 1, предста вим в виде:

u = = const rb U n. (4.23) Постоянная определяется эмпирически. Для охлаждаемых ка мер сгорания рекомендуются значения 0,5 – 0,67 (в зависимости от степени охлаждения), для неохлаждаемых – значение 0,3 [143].

Акустическая мощность зоны горения, у которой общие пло щади входных и выходных отверстий не равны, определяется вы ражением (3.15), в котором необходимо положить K p = 0 и сде лать переобозначения: S1 = S0 = nSb, U1,0 = U b,0, p* = pc, Y1 = Y0 :

Ac = (B 1)S0U b,0 (Q0Y0 )1 pc K u sin (u ) 2.

(4.24) С учетом соотношений (4.22), (4.24), формул (2.27) для Y0, (4.17) для безразмерной передаточной функции пламени получим:

[ ] S 0 (B 1) K L bN pc pc sin u bq bqU b, Ac =, bN =, bq = 1,0c1 F 21,0 c1F0 Q В то же время Ac = (ac, L ac, N pc ) pc.

Сравнивая эти выражения, находим:

ac, L = S 0 (B 1) K L (21,0 c1 F0 ) 1sin u, (2 1, 0 c1 F0 ) 1b N sin u.

a c, N = S 0 (B 1 ) K L (4.25) Коэффициенты, определяющие поток излучаемой акустиче ской энергии, находятся из формул (3.39), (3.47), (3.48) с учетом импеданса открытого конца (2.37):

al, L = SX l, L Dl2 2, X l, L = l,0 (d 4)2 cl ;

(4.26) al, N = SDl3bl 2, bl = l,0 2. (4.27) Горение происходит на входе в трубу, т.е. x* = 0, и функция Dl вычисляется по второй формуле (3.42), где V,0 = *, c2,0 = c2.

* Коэффициент, связанный с поглощением акустической энер гии на стенках трубы, определяется выражением (3.36), в котором функция D2 вычисляется по первой формуле (3.42) с теми же пе реобозначениями, которые были сделаны для функции Dl.

Уравнение (4.20) дает все возможные частоты. Реально возни кают колебания только с теми частотами, для которых pc 0.

Были выполнены расчеты и измерения для установки, с неох лаждаемой камерой сгорания с внутренним диаметром 0,034 м, объем входной емкости был равен 1,5 10 5 м3, проницаемость го релки 0 = 0,086, длина каналов 1 мм. Диаметр каналов горелки и длина камеры сгорания были переменными. Значения термоди 1 = 1,5 105 м/с2, 1,0 = 1,23 кг/м3, намических параметров:

T1,0 = 293 К, c1 = 344 м/с, 2 = 1,4, Pr2 = 0,73. Время запаздывания горения вычислялось по формуле (4.23), в которой постоянная рав на 0,3. Экспериментальная зависимость нормальной скорости рас пространения пламени от коэффициента избытка воздуха для про пано-воздушной смеси [137] была аппроксимирована функцией:

U n ( ) = 1,15 7,23 + 15,24 2 11,713 + 2,98 4.

Использованное топливо не являлось химически чистым про паном, а являлось смесью пропана с бутаном и другими углеводо родами – «технический» пропан. Исходя из среднестатистического состава, соответствующего паспортным данным для баллонов, со держащих сжиженное топливо, была получена формула для вычис ления коэффициента избытка воздуха:

= 0,04 GV, a GV, p. (4.28) Обычно горение в лабораторных установках происходит в не адиабатических условиях. Был проведен термодинамический ана лиз состояния продуктов сгорания смесей газообразных топлив с воздухом. Тепловые потери оценивались исходя из известных экспериментальных данных для температуры пламен легких угле водородных топлив. Были получены формулы, определяющие тем пературу горения пропано-воздушной смеси в зависимости от ко эффициента избытка воздуха:

Tc = T1,0 +, 1;

0.084 + 0. Tc = T1,0 +, 1.

0.084 + 0. Пламена заполняли только часть сечения камеры сгорания, T2* = Tc, B = Tc T1,0, поэтому средняя температура газа = 0,47 – эмпирическая постоянная, c2 = B1 2c1. Было обнаружено, * что для трубы длиной 0,92 м температура газа на выходе мало от личается от окружающей, т.е. b = (c2 c1 ) 0,92 м.

* Задавались термодинамические и геометрические параметры установки, а также коэффициент избытка воздуха. Из уравнения (4.20) находились частоты колебаний, которые подставлялись в формулу (4.21), и определялись значения, f, pc, соответст вующие условию pc 0.

Интервалы значений коэффициента избытка воздуха, внутри которых наблюдается вибрационное горение, частоты и амплитуды установившихся колебаний давления представлены на рис. 4.3 и 4.4.

Линии соответствуют результатам расчета, условные обозначе ния – экспериментальным данным. Для короткой камеры сгорания с небольшим диаметром отверстий горелки наблюдаются колеба ния, соответствующие второй из частот трубы (рис. 4.3, кривая 1).

Расширение отверстий делает возможным возбуждение колебаний с наименьшей частотой (кривая 2). Кривая 3 соответствует второй из частот и получается при удлинении трубы.

Если пренебречь потерями акустической энергии, условие са мовозбуждения колебаний газа (3.41) принимает вид: ac, L 0.

f, Гц 1 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1, Рис. 4.3. Зависимости частоты автоколебаний от коэффициента избытка воздуха:

1 – rb = 1,25 мм, l = 0,282 м;

2 – rb = 1 мм, l = 0,725 м;

3 – rb = 0,5 мм, l = 0,282 м Для описанной установки функция F0, входящая в выражение (4.24), имеет отрицательный знак. Тогда вибрационное горение возникает при условии:

u 2. (4.29) Это же неравенство можно получить из критерия Рэлея, опре делив фазовый сдвиг между колебаниями давления в зоне горения и возмущениями скорости истечения смеси из каналов горелки, как это было сделано в работе [134].

Полученный критерий позволяет объяснить влияние состава смеси, параметров горелочного устройства на условия самовозбу ждения колебаний.

Для трубы длиной 0,282 м возможны автоколебания, соответ ствующие первым двум частотам камеры сгорания. Однако, если радиус отверстий горелки достаточно большой, минимальное вре мя запаздывания горения min при = 1 таково, что 2 min 2, и вибрационное горение отсутствует. Для первой частоты, которая примерно в три раза меньше, 1 min. Возбуждение колебаний становится возможным при увеличении времени запаздывания за счет уменьшения нормальной скорости распространения пламени, т.е. при изменении коэффициента избытка воздуха в обе стороны от единицы. Как только 1u станет больше, произойдет само возбуждение колебаний, и вибрационное горение будет наблю даться до тех пор, пока фазовое запаздывание не примет значение, близкое к 2. В этом случае вибрационное горение наблюдается в двух интервалах значений коэффициента избытка воздуха (кри вая 1).

Уменьшение радиуса отверстий горелки приводит к тому, что время запаздывания горения сокращается, интервалы возбуждения колебаний с частотой 1 смещаются в направлении значений, соответствующих границам существования пламени, и исчезают.

В то же время становится возможным возбуждение колебаний с более высокой частотой, так как 2 min будет меньше 2. Виб рационное горение наблюдается в одном интервале, границы кото рого соответствуют значениям коэффициента избытка воздуха, для которых u будут близкими к 2 (кривая 3).

При удлинении камеры сгорания частота 1 уменьшается и для l = 0,725 м она такова, что условия самовозбуждения колеба ний (4.29) не выполняются. Вторая частота тоже значительно пони зится, но за счет увеличения радиуса отверстий горелки и соответ ствующего роста времени запаздывания фазовый сдвиг 2 u будет таким, что вибрационное горение наблюдается в одном интервале значений коэффициента избытка воздуха (кривая 2).

Вычисления показали, что для коэффициента нелинейности bq = 0,5 с/м рассчитанные значения амплитуды колебаний количе ственно согласуются с экспериментальными (рис. 4.4). Данные го ворят о том, что чем выше частота, тем меньше максимальная pc, дБ 1 140 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1, Рис. 4.4. Зависимости амплитуды установившихся колебаний давления от коэффициента избытка воздуха (обозначения см. рис. 4.3) амплитуда колебаний газа внутри интервала возбуждения вибраци онного горения. Ясно, что амплитуда колебаний будет иметь мак симальное значение, когда условия возбуждения колебаний – наи более благоприятные, другими словами, если акустическая энер гия, генерируемая зоной горения, максимальна. Это условие зави сит не от частоты колебаний, а от ее произведения на время запаз дывания горения, так как Ac ~ sin u. В то же время согласно формулам (2.35), (2.38) повышение частоты приводит к увеличе нию потерь акустической энергии, а значит, к уменьшению ампли туды колебаний газа. При изменении параметров установки воз можны три типа зависимости амплитуды колебаний давления от коэффициента избытка воздуха. Кривая 1 получается при условии min. Если min и соответствует наилучшим условиям возбуждения колебаний, амплитуда колебаний максимальна в средней части интервала (кривая 2). Когда фазовый сдвиг min больше, но близок к значению, соответствующему границе виб рационного горения, зависимость имеет минимум в средней части и два максимума для значений коэффициента избытка воздуха, наиболее благоприятных для возбуждения колебаний.

Разработанная математическая модель и полученные резуль таты свидетельствуют об эффективности «энергетического» метода и перспективности его использования для анализа других уст ройств вибрационного горения.

4.3. Вибрационное горение в установке типа резонатора Гельмгольца Пусть на входе в камеру сгорания расположено горелочное устройство, а на выходе – труба для вывода сгоревших газов. Если длина отверстий трубы намного меньше длины волны, а ее диаметр мал по сравнению с поперечным размером камеры сгорания, полу чается колебательная система типа резонатора Гельмгольца. Коле бания совершает газ в трубе («горле» резонатора), а изменения давления в камере сгорания (емкости) обеспечивают необходимую восстанавливающую силу.

Установка, на которой проводился эксперимент [144], состоя ла из цилиндрической камеры сгорания (рис. 4.5) с внутренним диаметром 0,034 м и длиной 0,06 м. При ввинчивании поршня дли на, а следовательно, и объем камеры уменьшались до требуемых размеров. Детали топливоподающего узла описаны в подразд. 4.2.

Рис. 4.5. Экспериментальная камера сгорания типа резонатора Гельмгольца:

1 – камера сгорания (объем резонатора);

2 – горло резонатора;

3, 4 – отверстия и по лость форсунки;

5 – диафрагма;

6 – свеча за жигания;

7 – акустический зонд на базе мик рофона;

8 – осциллограф;

9 – частотомер Использовалась горелка с 25 выходными отверстиями диаметром 2 мм. Горло резонатора имело постоянные размеры: внутренний диаметр 0,015 м, длину 0,05 м, емкость горелки 10 5 м3.

Методика измерений следующая. Задавались геометрические параметры установки. При постоянном расходе смеси, изменяя со отношение компонентов (например, в сторону увеличения доли топлива), определялись расходы пропана и воздуха, соответствую щие появлению и затуханию колебаний. Параллельно внутри этого интервала измерялась частота колебаний. Эксперимент проводился при изменении концентрации топлива в обе стороны. По найден ным расходам компонентов рассчитывались соответствующие зна чения скорости истечения смеси из горелки и коэффициента из бытка воздуха по формуле (4.28). Экспериментальные данные по казали (рис. 4.6), что с уменьшением объема резонатора и при уве личении скорости истечения смеси из горелки частота автоколеба ний возрастает.

а Рис. 4.6. Зависимости частоты автоколебаний от ко эффициента избытка воздуха при различных скоро стях истечения горючей смеси (а) и различных объе мах резонатора (б) Поз. а: 1– U b,0 =1,57 м/с;

2 – 1,35 м/с;

3 – 0,5 м/с при V = 0,58 10 4 м3;

б = 0,29 10 м ;

2– V = 0,4 Поз. б: 1– V м;

3 V = 0.58 10 м при U b, 0 =1,41 м/c 3– Размеры экспериментальной установки таковы, что входная емкость в несколько раз меньше объема камеры сгорания, а коли чество газа, сосредоточенное в отверстиях горелки, много меньше массы газа в горле резонатора. Можно ожидать, что частота коле баний будет зависеть главным образом от параметров газа и каме ры сгорания, т.е. той части устройства, которая является резонато ром Гельмгольца по определению. При малых расходах смеси тем пература газа зависит от времени его пребывания в камере сгора ния. Увеличение скорости истечения смеси из отверстий горелки сокращает это время, теплоотдача к стенкам уменьшается и, как показали измерения, температура газа на выходе из горла повыша ется. Среднее значение температуры газа и скорости звука в камере сгорания возрастают. В соответствии с формулой (2.24) увеличение скорости звука и сокращение емкости резонатора Гельмгольца приводит к повышению частоты колебаний, о котором говорилось выше.

Общим на графиках является то, что колебания возникают ли бо в одном интервале значений коэффициента избытка воздуха, включающем единицу, либо в двух – слева и справа от единицы.

Переход от двух интервалов к одному происходит примерно в од ном диапазоне частот. Это указывает на то, что скорость истечения смеси и объем резонатора влияют на границы возбуждения колеба ний посредством воздействий этих параметров на частоту автоко лебаний.

Сравнение полученных данных с результатами исследования вибрационного горения в трубе показало, что в обоих случаях на блюдаются одинаковые закономерности и можно считать, что ме ханизм возбуждения колебаний один и тот же.

При горении газообразной смеси, истекающей из отверстия, время запаздывания колебаний скорости тепловыделения относи тельно колебаний скорости истечения рассчитывается по формуле (4.23). Камера сгорания имела воздушное охлаждение, поэтому по стоянная равна 0,5.

Были взяты экспериментальные значения коэффициента из бытка воздуха и частоты, соответствующие границам интервалов возбуждения колебаний. Используя известную зависимость U n ( ) для пропана, зная радиус отверстия форсунки, по указанной фор муле можно вычислить граничные значения времени запаздывания и соответствующие фазовые сдвиги u. Оказалось, что колебания наблюдаются, если выполняется условие (4.29), такое же, как и при вибрационном горении в трубе.

Теперь можно объяснить влияние частоты на границы автоко лебаний. При избытке и недостатке топлива нормальная скорость распространения пламени мала, а фазовый сдвиг больше 2.

С приближением к стехиометрическому соотношению компонен тов фазовый сдвиг становится меньше 2, возникают колебания и прекратятся после того, как фазовый сдвиг станет меньше некото рого критического значения, близкого к (кривые 2, 3 на рис. 4.6, а;

кривая 3 на рис. 4.6, б). Минимальное время запаздывания при ходится на значение, близкое к единице, и при неизменном ра диусе отверстия горелки остается постоянным. Тогда с увеличени ем частоты колебаний минимальный фазовый сдвиг возрастает и может стать больше нижнего граничного значения. В этом случае интервалы возбуждения колебаний сливаются в один общий (кри вая 1 на рис. 4.6, а;

кривые 1, 2 на рис. 4.6, б).

Упрощенный анализ границ самовозбуждения колебаний был выполнен в работе [136]. Использовалось выражение, которое по лучается из первого уравнения системы (3.32), в котором X 0,0 = 0, т.е. не учитываются потери акустической энергии в многоканаль ной горелке. С учетом формул для импеданса Z 2,0, функции H, µ и передаточной функции пламени (4.19) уравнение, описывающее границы самовозбуждения колебаний, можно представить в виде:

R 1 (2lv2 H c2 )1 2 + (R 2c2 )2 H 2 + + 2 (B 1) (V0 V ) H (1 cos H) (H) 2 sin H = 0, = rbc2 (2U nl ). (4.30) В табл. 4.1 приведены значения частоты автоколебаний, вы численные по формуле (2.24) при c2 = 470 м/с, скорости истечения смеси U b,0 = 1,4 м/с.

Таблица 4. Частоты колебаний 1,82 2,73 3,82 5, V 105, м Эксперимент 925 827 751 f, Гц Теория 1043 850 720 В табл. 4.2 приведены нижние 1 и верхние 2 граничные значения времени запаздывания горения, соответствующие усред ненным по коэффициенту избытка воздуха экспериментальным частотам при V = 5,46 105 м3 и вычисленные из уравнения (4.30).Результаты расчета качественно согласуются с эксперимен тальными данными.

Таблица 4. Границы вибрационного горения Эксперимент Теория U b,0, м/с H 2 1 1,2 0,40 11,8 13,9 11,2 13, 1,35 0,42 11,5 14,5 10,7 12, 1,57 0,44 – 13,6 10,5 12, Разработанный в третьей главе комбинированный метод дает возможность не только провести более точные расчеты границ вибрационного горения, частот колебаний, но и вычислить ампли туды установившихся колебаний газа.

Частоты собственных колебаний определяются из уравнения (2.22). Для короткой камеры сгорания можно пренебречь градиен том скорости звука. Полагая b = 0, = 1, с учетом того, что ( ) 2 = tg l * c2 l * c2, получаем l * c2 = F 1.

Применяя формулы (2.23), (2.27), уравнение частот колебаний запишем в виде:

1 V0 V = 0 1 + 1 ( 0,0 ). (4.31) В этом выражении 0 – собственная частота резонатора Гельмгольца, состоящего из камеры сгорания и горла, которая оп ределяется по формуле (2.24);

0,0 – собственная частота многока нальной горелки, которая также является резонатором Гельмгольца:

0,0 = c1[S0 (lbV0 )]1 2.

При c2 c1 = 2,5, V0 V = 0,5, lb l = 0,02, S0 S, что соответст вует экспериментальной камере сгорания, 0,0 – величина по рядка 0,25. Пренебрегая квадратом отношения частот в выражении (4.31), получим формулу:

0 [1 + V0 V ]1 2.

Наличие многоканальной горелки приводит к уменьшению частоты колебаний, которая была бы при отсутствии входного уст ройства. При V0 V 1 частота колебаний будет близка к 0. Это подтверждает сделанное выше предположение о доминирующем влиянии на частоту колебаний объема камеры сгорания и парамет ров горла.

С учетом влияния колебаний скорости тепловыделения часто та колебаний определяется из уравнения (3.32). Функции Y0,0 и YV находятся из формул (2.27), (3.28). Из выражения для импеданса горла Z 2,0 с учетом концевой поправки, Y2,0 = 2,0l *. В рассмат риваемом случае B0 = (B 1)U b,0 Q0, K u = nK L, Q0 = nQb,0.

Тогда B0 X u = (B 1)X L, где X L – действительная часть пере даточной функции пламени (4.19). С учетом сделанных замечаний и полученного в главе 3 равенства 1,0c1 = 2,0c2, второе из урав 2 нений (3.32) принимает вид:

1 ] [ V 1 + (B 1)X u = 0 1 + 0. (4.32) [ ] V 1 ( 0,0 ) Если в этом выражении положить X u = 0, получается форму ла (4.31) для частот собственных колебаний. Так как действитель ная часть передаточной функции пламени зависит от частоты, уравнение (4.32) может быть решено только численными метода ми.

Амплитуда колебаний давления в камере сгорания вычисляет ся по той же формуле (4.21), что и в трубе с многоканальной горел кой. Было показано, что при горении в трубе или камере сгорания, обладающей свойствами акустической емкости, выражение (3.15) для акустической мощности теплового источника одно и то же. То гда в рассматриваемом случае справедливы соотношения (4.24), (4.25). Так как 2 = l * c2, b = 0, = 1, причем для устройств типа резонатора Гельмгольца 2 1, из первой формулы (3.42) следует:

( ) D2 = ( 2,0c2 sin 2 ) = 2,0l *.

Газ в горле колеблется как твердое тело, т.е. амплитуда коле баний скорости потока одинакова во всех сечениях горла. Градиен ты температуры и скорости звука не учитываются, поэтому в фор мулах необходимо положить (4.26), (4.27) Dl = D2, l,0 = 2,0, cl = c2. Коэффициент a, L определяется из выражения (3.36).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.