авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 37 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Красноярский государственный ...»

-- [ Страница 11 ] --

В современном мире существует ряд задач, решение которых на персональных ЭВМ займет много тысяч часов. Большое количество вычислительных моделей строится на базе ре шения систем линейных уравнений, при этом число уравнений в системе может достигать мно гих тысяч. Например, при моделировании полупроводниковых приборов число уравнений мо жет быть равно 104, и общее время расчета одного варианта моделирования будет порядка операций.

Естественно, для решения больших задач нужны все более быстрые компьютеры. Есть все го два основных пути повышения быстродействия ЭВМ:

1. За счет повышения быстродействия элементной базы (тактовой частоты). Быстродей ствие процессора растет пропорционально росту тактовой частоты, при этом не требуется изме нения системы программирования и пользовательских программ.

2. За счет увеличения числа одновременно работающих в одной задаче ЭВМ, процессоров, то есть за счет параллелизма выполнения операций. Это требует использования сложных систем параллельного программирования.

Первый путь повышения скорости вычислений продолжает оставаться актуальным, но суще ственного ускорения вычислений он обеспечить уже не может. Поэтому почти все вычислитель ные устройства увеличивают свою производительность, следуя второму пути. При этом возмож ны различные архитектурные решения. Наиболее распространённым в персональных устройствах является увеличение количества вычислительных ядер в пределах одного процессора, что приве ло к тому, что в настоящее время встретить производительное устройство, имеющее одноядерный процессор, практически невозможно. Но такой подход имеет серьёзное ограничение – современ ные технологии позволяют разместить в пределах одного процессора всего лишь несколько вычис лительных ядер. Наиболее распространёнными вариантами являются два или четыре ядра.

Современные сверхмощные вычислительные системы (суперкомпьютеры) используют иные архитектуры для обеспечения ускорения вычислений. При этом все эти архитектуры в той или иной степени используют независимые вычислительные устройства, связанные сверхбы стрыми линиями связи. Наиболее простой реализацией такого подхода является система, состоя [ 250 ] щая из одноядерных персональных компьютеров, соединённых в локальную сеть Ethernet. Такая система называется кластер Beowulf, и она известна с 1994 года [Sterling, 2001].

Кластер Beowulf может быть построен на базе стандартного учебного класса путём уста новки специального программного обеспечения [MPICH и Windows, эл. рес.]. Поскольку кла стер Beowulf является полноценным суперкомпьютером, позволяющим выполнять параллель ные программы и на определённых задачах демонстрировать существенное ускорение, то он мо жет быть использован для обучения основам суперкомпьютерных технологий и параллельных вычислений практически в любом учебном заведении.

Существенным недостатком такого подхода является то, что при использовании компьюте ров учебного класса в кластере эти компьютеры перестают быть учебными местами, что приво дит к необходимости либо делить компьютеры класса «пополам» и тем самым размещать уча щихся по двое за учебными компьютерами, не задействованными в построении кластера, либо на время занятий по данной теме выделять ещё один компьютерный класс специально для созда ния на нём кластера, что создаёт определённые организационные проблемы.

Одним из решений этой проблемы может быть организация кластера Beowulf внутри от дельного учебного компьютера посредством виртуальной машины. Поскольку кластер Beowulf строится на локальной сети Ethernet, то, построив такую сеть из виртуальных машин в преде лах одного учебного компьютера, можно на этом компьютере организовать виртуальный кластер Beowulf.

Существенным моментом при проведении занятий по параллельному программированию является демонстрация ускорения вычислений при увеличении количества используемых вы числительных элементов (процессоров или процессорных ядер). При использовании реальных вычислительных элементов не составляет труда наблюдать такое ускорение, но виртуальные ма шины используют виртуальные процессоры, которые разделяют вычислительные ресурсы ре ального процессора хост-машины. Т. е., например, одновременно работающие десять виртуаль ных машин будут получать не более одной десятой процессорного времени одноядерного про цессора хост-машины, а четыре – не более одной четвёртой. Таким образом, возникают сомне ния в возможности наблюдения ускорения при выполнении параллельной программы на вирту альном кластере.

С другой стороны, известно, например, что вычисления, разделённые на два потока в рамках одного процесса, на однопроцессорной машине выполняются несколько быстрее, чем в одном по токе, что связано с особенностями организации работы операционной системы. К тому же суще ствует возможность оборудовать учебный класс компьютерами с многоядерными процессорами.

Учитывая всё вышесказанное, для оценки пригодности использования виртуального кла стера Beowulf на сети виртуальных машин необходимо исследовать экспериментально, как за висит ускорение от количества виртуальных машин в кластере и количества ядер в процессоре II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

хост-машины.

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

Для исследования была выбрана виртуальная машина VirtualBox, в рамках которой было за пущено несколько гостевых операционных систем Windows XP. В качестве хост-машин исполь зовались компьютеры с двух- и четырёхядерными процессорами, как c поддержкой так и без поддержки технологии Hyper-threading. На хост-машинах была установлена операционная си стема Windows 7. Для объединения гостевых операционных систем в вычислительный кластер [MPICH и Windows, эл. рес.] была использована библиотека MPICH2 версии 1.4.1. – быстродей ствующая и портируемая реализация стандарта MPI (реализованы оба стандарта MPI-1 и MPI-2) [MPICH, эл. рес.].

Для проведения исследований ускорения вычислений был использован образец програм мы cpi.exe, поставляемый с MPICH2. Это простая программа, приближённо находящая значение числа Пи путём численного решения следующего интеграла:

[ 251 ] Для каждого запуска устанавливалось количество процессов и вводилось количество интер валов интегрирования, равное 109. Проводились вычисления для различных хост-машин. Все за пуски с одинаковыми параметрами были проведены по 5 раз, и для них были найдены средние значения времён вычислений.

После проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Построение кластера на сети виртуальных машин возможно. MPI-программы успешно работают на таком кластере.

2. При параллельных вычислениях максимальная производительность наблюдалась тогда, когда каждое процессорное ядро обрабатывало один процесс. При превышении числа процессов количества процессорных ядер рост ускорения вычислений при увеличении числа процессов на блюдался, но замедлялся.

3. Параллельные вычисления на кластере из виртуальных машин, демонстрируя ускорение вычислений, могут быть использованы при обучении основам MPI-программирования. Данный подход открывает дополнительные возможности как для преподавателя (использовать для де монстрации работы параллельных программ кластер из физических машин не всегда возможно, неудобно да и экономически не оправдано), так и для обучающегося (например, каждый учащий ся может сам построить и настроить вычислительный кластер всего на одной машине).

Библиографический список 1. Thomas Lawrence Sterling. Beowulf Cluster Computing With Windows. MIT Press, 2001. ISBN 2. MPICH и Windows: [Электронный ресурс]. URL: http://iproc.ru/programming/mpich-windows/ – Дата обращения 20.10. 3. MPICH | High-Performance Portable MPI: [Электронный ресурс]. – URL: http://www.mpich.org/ – Дата обращения 20.10. [ 252 ] ПЕРСПЕКТИВЫ ОБуЧЕНИЯ БуДуЩИХ уЧИТЕЛЕй ИСПОЛЬзОВАНИЮ СуПЕРКОМПЬЮТЕРОВ НА ОСНОВЕ ГРАФИЧЕСКИХ уСКОРИТЕЛЕй НА НАНОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ зАДАЧАХ OUTLOOkS FOR TRAINING THE FUTURE TEACHERS FOR USING THE SUPERCOMPUTERS BASED ON GRAPHICS ACCELERATORS WITH THE NANOTECHNOLOGY TASkS С.А. Шикунов S.A. Shikunov Обучение, содержание обучения, суперкомпьютеры, GPGPU, вычислительная физика, молекулярная динамика.

В работе рассматриваются варианты содержания обучения будущих учителей информатики, математики и физики основам GPGPU, выбор учебного материала – задачи и методы их численного решения на GPU, а также использование стандартного компьютерного класса для обучения основам GPGPU. Указаны пути об учения будущих учителей информатики, математики и физики использованию GPGPU в школьном образо вании (в частности, при организации научных исследований учеников) и проведено обсуждение учебных за дач и методов их решения, которые могут быть использованы при этом обучении.

Education, content of education, supercomputing, GPGPU, computational physics, molecular dynamics The article deals content options of training of the future teachers of computer science, mathematics and physics of GPGPU fundamentals, selection of teaching material – tasks and methods for their numerical solution with GPU, and use of standard computer class for learning the fundamentals of GPGPU. Determining the way of training of the future teachers of mathematics, physics and computer science to use GPGPU in the school education (particularly while organizing the scientific researches performed by pupils), and discuss the training tasks and the methods of solving them which can be used for this training.

П оявление цифровых электронных вычислительных машин было вызвано необходимо стью обеспечить существенное ускорение вычислений в сравнении с любыми имеющи мися на тот момент иными способами вычислений. Как любые машины, компьютеры подраз умевают массовое их производство и использование, но при этом постоянно ведутся исследо вания и разработки в области создания вычислительных машин существенно превосходящих по скорости вычислений широко распространённые на текущий момент вычислительные ма шины. Такие машины называются суперкомпьютерами, и практически сразу основным спосо II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ бом обеспечения превосходства в скорости вычислений стали многопроцессорность и парал ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

лельность выполнения программ. В настоящее время многопроцессорность и параллельность выполнения программ стали общим местом практически во всех вычислительных устройствах (двухядерные процессоры успешно вытесняют одноядерные даже в телефонах), и современные суперкомпьютеры отличаются от всех остальных только масштабностью параллелизма.

Современные суперкомпьютеры позволяют едва ли не в интерактивном режиме в преде лах даже одного занятия в рамках классно-урочной системы решать нетривиальные задачи. Та ким образом, использование суперкомпьютеров на занятиях может оказаться полезным при обу чении математике или физике посредством, например, методов компьютерного моделирования.

Естественным ограничением применения суперкомпьютеров в учебном процессе являет ся их труднодоступность, поскольку обычно они представляют собой дорогостоящие и сложные в обслуживании комплексы, располагающиеся в специально оборудованных помещениях. Си туация кардинально стала меняться в последние годы с появлением возможности программиро вать многопроцессорные графические ускорители для выполнения на них вычислений общего назначения. Лидером в этом направлении в настоящий момент является фирма Nvidia со своей [ 253 ] программно-аппаратной платформой CUDA [Параллельные вычисления CUDA, эл. рес]. Успе хи Nvidia в развитии своей технологии привели к тому, что даже обычный персональный ком пьютер, оборудованный видеокартой фирмы Nvidia, можно рассматривать как небольшой супер компьютер, поскольку, например, видеокарта GeForce GTX 780 содержит 2304 вычислительных ядра, а технология CUDA позволяет достаточно легко организовать выполнение программы, ис пользующей все эти вычислительные ядра параллельно.

Таким образом, вполне реально оборудовать учебный компьютерный класс, состоящий из персональных суперкомпьютеров. При этом возникает вопрос о содержании занятий в таком классе, поскольку задачи должны быть нетривиальными и соответствующими передовым на правлениям современной науки. Одним из таких направлений, позволяющим развивать компе тенции как в математике, в информатике, так и в физике, является компьютерная реализация ма тематических моделей физических явлений и процессов в области нанотехнологий.

Поскольку целью обучения является подготовка будущих учителей математики, физики и ин форматики к использованию суперкомпьютеров в обучении школьников, в частности, при орга низации научных исследований школьниками, то учебные задачи и методы их решения должны быть выбраны соответствующими. Например, можно ограничиться задачами механического вза имодействия наноразмерных объектов, причём в классической постановке взаимодействия меж ду атомами, т. е. не используя аппарат квантовой механики. В этом случае математические моде ли существенно упрощаются, и уменьшение за счёт этого вычислительной сложности позволяет непосредственно рассчитывать и наблюдать движение миллионов атомов [Рапапорт, 2012]. При этом при помощи соответствующих средств визуализации можно наблюдать движения любых групп атомов [VMD, эл.рес.]. Доступность получения решения, наглядность представления ре зультатов и необходимость использования суперкомпьютерных технологий определяют дидакти ческую значимость таких задач для целей освоения суперкомпьютерных технологий.

Можно определить основные модули курса подготовки будущих учителей по использова нию суперкомпьютерных технологий на основе графических ускорителей. Поскольку техно логия CUDA использует модификацию языка программирования С, то, во-первых, необходи мо базовое освоение программирования на этом языке. Далее, естественно, необходимо изуче ние основ программно-аппаратной архитектуры CUDA. Сюда входит аппаратная архитектура современных графических ускорителей Nvidia и программное расширение языка С для програм мирования современных графических ускорителей Nvidia. На этом этапе изучения можно ре шать простые модельные задачи. Далее для осознания необходимости и силы суперкомпьютер ных технологий необходимы задачи нетривиальные, не решаемые за разумное время на обыч ных персональных компьютерах с применением последовательных программ и демонстрирую щие результат в наглядном виде. Здесь уместно переходить к программированию задач взаимо действия достаточно больших количеств атомов. Поскольку задача визуализации результатов до статочно сложна сама по себе, то уместно воспользоваться одним из популярных визуализато ров [VMD, эл.рес.].

Библиографический список 1. Параллельные вычисления CUDA: [Электронный ресурс]. URL: http://www.nvidia.ru/object/cuda parallel-computing-ru.html/. Дата обращения: 16.09.2013.

2. Рапапорт Д.К. Искусство молекулярной динамики. М.-Ижевск: НИЦ “РХД”, Ижевский институт компьютерных исследований, 2012. 632 с.

3. VMD – Visual Molecular Dynamics: [Электронный ресурс]. URL: http://www.ks.uiuc.edu/Research/ vmd/. Дата обращения: 16.09.2013.

[ 254 ] ТЕХНОЛОГИЧЕСКИй ПОДХОД К ПРОЕКТИРОВАНИЮ МЕТОДИЧЕСКОй СИСТЕМЫ ОБуЧЕНИЯ В уСЛОВИЯХ ФГОС ОБЩЕГО ОБРАзОВАНИЯ TECHNOLOGICAL APPROACH TO DESIGN OF METHODICAL SYSTEM OF TRAINING IN CONDITIONS FGOS OF THE GENERAL EDUCATION Т.А. Яковлева, М.С. Троицкая T.А. Yakovleva, M.S. Troitskaya Методическая система обучения, проектирование, деятельность, технологический подход, ФГОС общего об разования.

На основе анализа различных подходов разработана технология проектирования методической системы обу чения, которая состоит из ряда этапов. В результате выполнения всей цепочки действий каждого этапа учи тель спроектирует методическую систему обучения как целостную педагогическую систему, направленную на достижение новых образовательных результатов в условиях требований ФГОС общего образования.

Methodical system of training, design, activity, technological approach, FGOS of the general education.

On the basis of the analysis of various approaches, the technology of design of methodical system of training which consists a number of stages is developed. As a result of performance of all chain of actions of each stage methodical system of training will design as the complete pedagogical system directed on achievement of new educational results in the conditions of requirements of FGOS of the general education.

П ри рассмотрении теоретических основ проектирования методической системы обучения в условиях ФГОС второго поколения и по результатам анализа нормативных документов (ФГОС, фундаментальное ядро общего образования и примерные программы по учебным пред метам) [Примерные программы, 2011;

ФГОС, 2010;

ФГОС, 2012, ред. Козлов, Кондаков, 2011], нами был выявлен ряд проблем, с которыми сталкивается учитель при проектировании методи ческой системы обучения.

1. Конкретизация целей обучения каждого раздела учебного предмета в условиях новых об разовательных результатов.

2. Выделение видов деятельности, в которые следует включить учащихся для достижения новых образовательных результатов.

3. Уточнение дидактических единиц содержания обучения и другое.

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ Учителю приходится не только самостоятельно реализовывать все этапы проектирования ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

методической системы обучения, но и выявлять различные несоответствия в существующих программах обучения.

В отечественной педагогической науке вопросы конструирования учебного процесса (уро ка или раздела) стали подниматься и разрабатываться, как правило, в русле исследования твор ческой деятельности учителя (В.И. Загвязинский, П.Л. Кан-Калик, В.В. Краевский, Ю.Л. Львова, Н.Д. Никандров, Р.П. Скульский, В.А. Сластенин и другие). При этом механизм осуществления творческой деятельности представляется и в виде совокупности процедур, большинство из кото рых имеют прямое отношение к конструированию сценария урока.

На основании сказанного можно утверждать, что технологический подход к обучению тес но связан с разработкой процедур конструирования сценария урока или раздела, которые по сво ему существу имеют творческий характер. Данное утверждение актуализирует процессуальный аспект конструирования.

При рассмотрении работ Н.В. Кузьминой, В.В. Краевского и Г.Е. Муравьевой [Дидактика, 1975;

Краевский, Хуторской, 2003, с.3–10;

Монахов, 2000, с. 50–65] нельзя не обратить внима [ 255 ] ния на то, что каждый из авторов, описывая свою концепцию, так или иначе говорит о целях об учения, признавая тем самым важность этой категории для конструирования учебного процесса.

Одни авторы при описании процесса конструирования лишь упоминают о целях обучения, дру гие пытаются их сформулировать, третьи – систематизировать.

Вышесказанное является ярким свидетельством того, что проводимые исследования в обла сти конструирования обучения вплотную подошли к тому моменту, который ознаменуется воз никновением технологического подхода, так как суть технологического подхода состоит в том, чтобы четко ставить конкретизированные цели и последовательно соотносить их с соответству ющими учебными заданиями, выполнение которых служит реализации поставленных целей [Муравьева, 1990].

Процесс проектирования методической системы обучения мы предлагаем выстраивать как рекурсивную последовательность определенных этапов деятельности учителя по построению основных концептов методической системы обучения.

Этап 1. Анализ федерального государственного образовательного стандарта второго поко ления, выявление требований к уровню подготовки учащихся и целям обучения школьному кур су (выявление нормативной модели предмета).

Этап 2. Уточнение места и значения конкретного раздела в курсе, выделение основ ных дидактических единиц содержания обучения на основе анализа нормативных документов:

ФГОС общего образования, фундаментальное ядро, примерные программы по учебным предме там (выявление предметной модели содержания).

Выделенные дидактические единицы будут нуждаться в уточнении и расширении, так как на данном этапе новые образовательные результаты обучения не нашли своего отражения в со держании обучения.

Этап 3. Проектирование результативно-целевой модели раздела с учетом новых образова тельных результатов по следующей схеме:

Этап 4.

Основная цель изучения раздела Требования к результатам обучения учащихся:

Образовательная: Личностные:

… … Развивающая: Метапредметные:

… … Воспитательная: Предметные:

… … Этап 5. Выявление видов деятельности, в которую необходимо вовлечь учащихся для освоения содержания обучения. В примерных программах по учебным предметам выделя ют только два вида деятельности: аналитическую и практическую, что, на наш взгляд, недо статочно для отражения полного спектра результатов. Деятельность учащихся должна осущест вляться с учетом структуры деятельности [Исламгулова, 2003]. Мы берем за основу пять ви дов деятельности: интеллектуально-познавательная, технико-технологическая, коммуникатив ная, ценностно-ориентационная и художественно-эстетическая. Учащихся необходимо вовле кать в различные виды деятельности, что повлечет за собой расширение содержания обучения и направленность на достижение новых образовательных результатов (построение деятельност ной модели раздела).

№ Виды деятельности для достижения Планируемое содержание деятельности п/п планируемых результатов Интеллектуально-познавательная Технико-технологическая Коммуникативная Ценностно-ориентационная Художественно-эстетическая [ 256 ] Этап 6. Отражение результатов различных видов деятельности в опыте личности учащих ся (построение модели формируемого опыта личности).

Опыт личности № Виды деятельности п/п знания умения творчество отношение Интеллектуально-познавательная Технико-технологическая Коммуникативная Ценностно-ориентационная Художественно-эстетическая Этап 7. Разработка педагогической модели содержания, раскрывающей предметные ди дактические единицы содержания обучения в логике видов деятельности и формируемого опы та личности учащихся.

Этап 8. Выделение уровней усвоения дидактических единиц содержания (построение оценочной модели).

Содержание Категория цели (разделы) знание понимание применение анализ синтез оценка Этап 9. Построение модели организации учебного процесса, в которой содержится опи сание алгоритмов организации взаимодействия учащихся и педагога для достижения необходи мого уровня усвоения содержания каждой дидактической единицы выбранной темы (Построе ние организационной модели).

Дидактическая Уровень осво- Возможные тех- Алгоритмы Алгоритмы Алгоритмы единица ения (категории нологии (методы) деятельности деятельности взаимодействия содержания целей) достижения целей педагога учащихся педагога и учащихся Проектирование методической системы обучения на основе технологического подхода мож но проиллюстрировать следующей схемой (рис. 1). На схеме видно, что все этапы проектирова ния методической системы обучения взаимосвязаны с целями обучения и объединены в слож ную систему. Все элементы системы должны быть согласованы и взаимосвязаны между собой, в связи с этим каждый этап проектирования может быть пройден неоднократно.

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

Рис. 1. Этапы проектирования методической системы обучения [ 257 ] В результате выполнения всей цепочки действий учитель спроектирует методическую си стему обучения как целостную педагогическую систему, направленную на достижение новых образовательных результатов в условиях ФГОС второго поколения.

Библиографический список 1. Дидактика средней школы / Под ред. М.А. Данилова, М.Н. Скаткина. М.: Просвещение, 1975. 303 с.

2. Загвязинский В.И. Теория обучения: Современная интерпретация. М.: Академия, 2001. 192 с.

3. Исламгулова С.К. Технологизация процесса обучения в школе: теория и опыт // Практикоориентиро ванная монография и методическое пособие. Алматы, 2003. 208 с.

4. Краевский В.В., Хуторской А.В. Предметное и общепредметное в образовательных стандартах // Пе дагогика. 2003. № 3. С. 3–10.

5. Кузьмина Н.В. Очерки психологии труда учителя. Л.: Изд-во ЛГУ, 1967. 183 с 6. Монахов В.М. Технологии проектирования учебного процесса. // Школьные технологии. 2000. N 3.

С. 50–65.

7. Муравьева Г.Е. Подготовка студентов педвузов к проектированию процесса обучения на уроке: дис.

… канд. пед. наук. М., 1990. 175 с.

8. Педагогика: педагогические теории, системы, технологии / под ред. С.А. Смирнова. М.: Академия, 1998. 512 с.

9. Примерные программы по учебным предметам. Информатика. 7-9 классы. М.: Просвещение, 2011.

32 с. (Серия «Стандарты второго поколения»).

10. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования, 2010.

http://standart.edu.ru 11. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования, 2012. http://standart.edu.ru 12. Фундаментальное ядро содержания общего образования / Рос. акад. наук, Рос. акад. образования;

под ред. В. В. Козлова, А. М. Кондакова. 4-е изд., дораб. М.: Просвещение, 2011. 79 с.

[ 258 ] СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ АЛЕКСЕЕВА Д.В. – студентка ИМФИ, Красноярский ЛОМАСКО П.С., кандидат педагогических наук, доцент ка государственный педагогический университет им. В.П. федры теории и методики обучения математике и информа Астафьева;

e-mail: Alekseeva212932@mail.ru тике, Красноярский государственный педагогический уни верситет им. В.П. Астафьева;

е-mail: lomasko@kspu.ru АРТЕМЬЕВА Н.В., кандидат биологических наук, до цент кафедры теории и методики обучения математи- ЛЫСЫХ Я.А., аспирант, Красноярский государствен ке и информатике, Красноярский государственный пе- ный педагогический университет им. В.П. Астафьева;

дагогический университет им. В.П. Астафьева;

е-mail: учитель информатики, Средняя общеобразовательная nadya57@yandex.ru школа № 19, г. Красноярск;

е-mail: yalysyh@mail.ru АХПАШЕВА И.Б., старший преподаватель, Хакасский МАКАРОВА О.Н., кандидат педагогических наук, Ал государственный университет им. Н.Ф. Катанова, г. Аба- тайская государственная академия образования им.

кан, Республика Хакасия;

е-mail: iahpasheva@mail.ru В.М. Шукшина, Бийск;

e-mail: fmfmak.on@mail.ru БАЖЕНОВА И.В., старший преподаватель, Сибир- МИРОНОВА Л.И., кандидат технических наук, доцент, ский федеральный университет, г. Красноярск;

е-mail: профессор кафедры статистики, эконометрики и инфор apkad@ya.ru матики, Уральский государственный экономический университет, г. Екатеринбург, Свердловская область;

ВЛАСОВА Е.Е., магистр, Красноярский государствен- е-mail: mirmila@mail.ru ный педагогический университет им. В.П. Астафьева;

e-mail: katya-vagina@mail.ru МОКРЫЙ В.Ю., доцент кафедры информатики и ма тематики, кандидат педагогических наук, Санкт ГОЛУБЦОВА А.В., студентка, Красноярский государ- Петербургский гуманитарный университет профсою ственный педагогический университет им. В.П. Аста- зов;

e-mail: av_and_mt@mail.ru, mokvalera@mail.ru фьева.

НЕИЗВЕСТНЫХ В.Н., учитель информатики, Байкит ГРУК Е.Д., студентка, Красноярский государственный ская средняя общеобразовательная школа, Краснояр педагогический университет им. В.П. Астафьева;

е-mail: ский край;

е-mail: chess21@rambler.ru lenOK_gruk@yandex.ru ПАК Н.И, доктор педагогических наук, профессор, ГУМЕРОВА О.А. бакалавр физико-математического Красноярский государственный педагогический универ образования, магистрант, Красноярский государствен- ситет им. В.П. Астафьева;

т. 217-17-19, 8-913-184-69-84;

ный педагогический университет им. В.П. Астафьева;

т. e-mail: nik@kspu.ru 8-923-301-00-91;

е-mail: iboomer@mail.ru ПОПОВА Л.В., учитель, средняя общеобразовательная ГОНЧАРОВ А.Е., кандидат исторических наук, стар- школа № 17 с углубленным изучением английского языка, ший преподаватель, Сибирский государственный аэро- г. Ачинск, Красноярский край;

е-mail: ulitka08@inbox.ru космический университет им. М.Ф. Решетнева, г. Крас ноярск;

е-mail: comrade1937@yandex.ru ПОДЧИНЕНОВ И.Е., кандидат физико-математических наук, профессор кафедры ИВТ и МОИ, Уральский госу II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

ГРИНБЕРГ Г.М., доцент, кандидат педагогических наук, дарственный педагогический университет, г. Екатерин доцент, Сибирский государственный аэрокосмический бург, е-mail: igor@uspu.ru университет им. М.Ф. Решетнева, г. Красноярск;

е-mail:

grinberg_gm@mail.ru ПЕТРОВА И.А., ассистент, Лесосибирский педагогиче ский институт – филиал Сибирского федерального уни ДУДЫШЕВА Е.В., кандидат педагогических наук, до- верситета;

е-mail: inftex2010@mail.ru цент, Алтайская государственная академия образования им. В.М. Шукшина, г. Бийск;

е-mail: kinf@bigpi.biysk.ru ПОЛИЧКА А.Е., кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук, профессор кафедры ИВАНОВ Р.Д., студент, Сибирский государственный аэ- математики и информационных технологий, Дальнево рокосмический университет им. акад. М.Ф. Решетнева, сточный государственный гуманитарный университет, г.

Красноярск;

e-mail: meivromych@mail.ru;

т. 8-963-958- Хабаровск;

е-mail: aepol@mail.ru 02-24.

РОГОВ В.В., доцент кафедры ИВТ, Красноярский го ИВКИНА Л.М., старший преподаватель, Красноярский сударственный педагогический университет им. В.П.

государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева;

т. 224-37-88, 8-908-016-05-39;

е-mail: rogov_ Астафьева;

e-mail: ivkinalm@yandex.ru v36@mail.ru [ 259 ] СЕМЧЕНКОВ А.А., студент, Красноярский государ- ТУРУШЕВ М.И., аспирант, Красноярский государствен ственный педагогический университет им. В.П. Аста- ный педагогический университет им. В.П. Астафьева;

фьева;

е-mail: sealan@inbox.ru е-mail: Mturushev@yandex.ru СТЕПАНОВА Т.А., кандидат педагогических наук, до- ФАЛЬКОВА Е.В., магистрант, старший преподаватель цент кафедры информатики и вычислительной техники, кафедры технической механики, Сибирский государ Красноярский государственный педагогический универ- ственный аэрокосмический университет им. акад. М.Ф.

ситет им. В.П. Астафьева;

е-mail: step1350@mail.ru Решетнева, e-mail: Dankaty@mail.ru;

т. 8-902-918-70- СПИРИН А.В., студент, Красноярский государственный ФИСЕНКО О.Б., студентка, Сибирский государствен педагогический университет им. В.П. Астафьева;

е-mail: ный аэрокосмический университет им. акад. М.Ф. Ре s.a.w.91@mail.ru шетнева, e-mail: fisenko_o@mail.ru;

т. 8-902-950-23-30.

СМАГИНА И.А. заместитель директора по учебно- ХЕГАЙ Л.Б., кандидат педагогических наук, доцент ка воспитательной работе, учитель информатики, Средняя федры теории и методики обучения математике и ин общеобразовательная школа № 17 с углубленным изу- форматике, Красноярский государственный педагогиче чением английского языка, г. Ачинск;

т. (39151)7-64-97, ский университет им. В.П. Астафьева;

т. 8-903-959-52 89082090223;

e-mail: sorokina-05@mail.ru. 56;

e-mail: hegail@yandex.ru СИМОНОВА А.Л., кандидат педагогических наук, до- ХРАПОВИЦКАЯ Н.Г., магистрант, Красноярский го цент, доцент кафедры ТиМОМИ, Красноярский государ- сударственный педагогический университет им. В.П.

ственный педагогический университет им. В.П. Аста- Астафьева;

е-mail: monid1990@mail.ru фьева;

е-mail: simonova75@yandex.ru ШИКУНОВ С.А., кандидат физико-математических СЕМРАК А.В., студент, Сибирский государственный аэро- наук, доцент кафедры информатики и вычислительной космический университет им. акад. М.Ф. Решетнева, Крас- техники, Красноярский педагогический университет им.

ноярск;

e-mail: kpem-music77@mail.ru;

т. 8-983-156-04-38. В.П. Астафьева;

е-mail: sergey-shik@mail.ru СЕМёНОВ И.В., кандидат физико-математических наук, ШИХАЛЕВА И.А., старший преподаватель, государ доцент кафедры теории и методики обучения математи- ственный аэрокосмический университет им. М.Ф. Ре ке и информатике, Красноярский государственный пе- шетнева, г. Красноярск;

е-mail: shihaleva@list.ru дагогический университет им. В.П. Астафьева;

е-mail:

samvs@yandex.ru ЯКОВЛЕВА Т.А., кандидат педагогических наук, до цент, заведующая кафедрой Теории и методики обуче ТРОИЦКАЯ М.С., аспирант, Красноярский государствен- ния математике и информатике, Красноярский государ ный педагогический университет им. В.П. Астафьева;

т. ственный педагогический университет им. В.П. Аста 8-923-214-73-31;

e-mail: troitsckaya.marija@gmail.com фьева;

т. 8-913-509-82-16;

e-mail: yakovleva@kspu.ru [ 260 ] МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ тЕхНОлОгИИ в МАтЕМАтИкЕ И МАтЕМАтИчЕскОМ ОбРАзОвАНИИ Материалы II всероссийской научно-методической конференции Красноярск, 14–15 ноября 2013 г.

КРАСНОЯРСК [ 261 ] ББК 21. И Редакционная коллегия:

В.Г. Майер (отв. ред.) А.В. Тимофеенко С.В. Ларин А.М. Сентябов Е.А. Семина И 741 Информационные технологии в математике и математическом образовании: материалы II Всероссийской научно-методической конференции. Красноярск, 14–15 ноября 2013 г. / отв. ред. В.Г. Майер;

ред. кол.;

Краснояр. гос. пед. университет им. В.П.Астафьева. – Красноярск, 2013.

ББК 22. © Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева, [ 262 ] [ 263 ] И МАТЕМАТИЧЕСКОМ В МАТЕМАТИКЕ ОБРАЗОВАНИИ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ «ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ «ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

ПРИМЕНЕНИЕ дИНАМИчЕскОй сРЕдЫ GeoGebra НА ПРИМЕРЕ ПРОвЕРкИ ИНдИвИдуАльНЫх зАдАНИй ПО МАтЕМАтИкЕ в 11 клАссЕ ApplicAtion of A dynAmic environment GeoGebrA for exAmple, the review of individuAl tAsks in mAthemAtics in GrAde Г.А. Троякова G.A. Troyakova Обучение математике в физико-математическом лицее, интерактивная геометрическая среда GeoGebra.

Актуальность выбора темы обусловлена тем, что динамическая среда GeoGebra способствует оптимизации учебного процесса, разнообразию форм проведения урока, формированию интереса учащихся к математике.

Mathematics teaching in physics and mathematics Lyceum, interactive geometric environment GeoGebra.

The relevance of the choice of the subject due to the fact that the dynamic environment of GeoGebra helps to optimize the learning process, the diversity of the lesson, formation of students ‘ interest in mathematics.

И спользование информационно-коммуникационных технологий в Республике Тыва разви то слабо. Слабое техническое обеспечение в школах не дает возможность учителю ши роко применять ИКТ на уроках в общеобразовательных школах, эта работа ведется эпизоди чески. Есть тому объективные причины: слабо развито компьютерное обеспечение в школах, ограничено использование интернет-ресурсов. Но недалеко то время, когда информационно коммуникационные технологии станут неотъемлемой частью практически каждого урока, орга нично вплетаясь в его структуру, и учителя республики активно пытаются внести наглядность и движение на уроки математики. Например, через презентации в компьютерных классах. Тех нические возможности в школах медленно, но расширяются и проявляется большой интерес учителей к использованию новых технологий, например, технологии с применением GeoGebra.

Техническое обеспечение в государственном лицее Республики Тыва дает возможность ши рокого использования ИКТ: каждый класс снабжен необходимым оборудованием и имеется сво бодный выход в Интернет. Изучение технологии с применением GeoGebra расширяет эти воз можности.

Коснемся лишь небольшой части вопроса применения данной программы на уроках мате матики в 11 классе. В течение многих лет учащимся выпускных классов выдаются индивидуаль ные обобщающие задания, при решении которых укрепляются и расширяются ранее получен ные знания. Большую роль при этом играет возможность предоставления каждому ученику соб ственного варианта. При наличии большого числа вариантов возникают трудности в проверке, нет возможности каждому ученику подробно указать на его ошибки.

Продемонстрируем возможности использования программы GeoGebra, например, по во просу общего исследования свойств функций и построения их графиков. В нашей практике уча щиеся достаточно хорошо проводят анализ как элементарными способами, так и с использова нием первой и второй производной. Проблема состоит в представлении полученных результа тов в графиках. Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься и над тем, как поддержать интерес к изучаемому материалу у учащихся, активизировать их ра боту на протяжении всего урока. Выход с использованием программы GeoGebra достаточно за манчив.

Представим часть одного из вариантов индивидуальной работы № 1, выдаваемой учени кам десятого класса на лето (вся работа состоит из трех частей, содержащих в совокупности бо [ 264 ] лее двадцати задач), и возможность реализации многовариантности с использованием програм мы GeoGebra.

y = ax3+ bx2построить графики функций y x 3x + cx + d Задача. Исследовать и Инструмент Задача одного варианта y 1 x1 3x 3 x 4 2 x 3 3 x 2 6 x y = ax33+ bx22 + cx + d 3 y 1 x 3 3x + cx2 + dx + e y y1 x 3 3 y y = ax3+ bx2y+ cx ++ d y = ax3 + bx2 + cx +d y 4 x 3x x = ax y = ax3+ bx2 + cx + dbx 4 x 3x = y = ax + bx + cx + d 3 y 3 x 4 4 x 3 32x 2 3 x y y3= 4 2 xy2 3x2 2 x 1 y = ax44+ bx33 + cx2ax dxb+ee = ax4 + bx3 + cx22 + + 3 4 x 4 2 x3 2 x 2 6 x y = ax4+ bx3 y 2 + dx + e + cx + dx 3 x 4 x 2 3 3 x 2 6 + 6 x x 2 x 6x x y 4 x 2x y y = ax4+ bx3 + cx2 + dxd e y = ax + bx + cx cx dx + e 4 x2 + + 4 4 ax b 2x y2 x 2 x + 3 2 x ax b 3 ax 3 b y y y = ax b x 2x 1 y y 2x cx d y c dx y x x y y 1 x cx 3 d x3 cx 3 d y 2x 3 3 y 2 sin x cos 2 x 2 x 32 1 ax 3 b a sin x cos bx ax 3 b x3 x y 2 x 2 y ax b y c dxb y y2 xx 2 ax 2 y =x 2 x y c dx 2y 3 kx 2 (ax b) y y x x 2 xycos 2( x 1) y ac x 2cos bx sin dx x y 2 sin x c x cos bx dx y 2 sin x x + d, 2 xx y 32 sin x cos 2 x y a sin y aВ зависимости от значений параметров sinb, c, cos 2каждый ученик полу y = 2 a, cos k y a sin x cos bx sin x cos bx 3 y 3 x 2 ( x 1) y 3 kx ( ax b) чает свой2вариант. При создании заданий3следует 1) y 3 kx 2 ( ax b) y 3 x3 ( x2 проследить, чтобы выбор ко y = 2 (каждый y kx ( ax b) 3 kx 2 ( ax b ) y c, x 2 x 1) В зависимости от значений параметров a, b, y d, k(x x ) 1)ученик полу y x x ( 1+ В зависимости от значений параметров a, b, c, d, k каждый ученик полу эффициентовзначений параметров a, b, c, d, k каждый ученик полу не усложнял запись функции и ее исследование, чтобы график В зависимости от значений параметров a, b, c, d, k каждый ученик полу В зависимости от ет свой вариант. При создании заданий следует проследить, чтобы выбор ко ет свой вариант. При создании заданий следует проследить,функции получает свой вариант.

чтобы выбор ко былВинтересным, азначений параметров a, b, c, d, k каждый ученик предсказуемы. Для зависимости от трудности при исследовании ет свой вариант. При создании заданий следует проследить, чтобы выбор ко ет свой вариант. При создании заданий следует проследить, чтобы выбор ко фициентов не усложнял запись функции и ее исследование, чтобы график фициентов не усложнял запись функции и ее исследование, чтобы GeoGebra. запись При создании заданий следует проследить, чтобы выбор коэффициентов не усложнял можно использовать среду график фициентов не усложнял записьчтобы задач ибыл интересным, а трудности при исследовании функ решения этих методических фициентов не усложнял запись функции и ее исследование, чтобы график функции и ее исследование, функции график ее исследование, чтобы график л интересным, а трудности при исследовании функции предсказуемы. Для л интересным,Например,Для решения этих методических задач можно использовать среду GeoGebra.

а трудности при исследовании функции предсказуемы. Для ции предсказуемы. для нахождения нужных функций в виде многочленов вида л интересным, а трудности при исследовании функции предсказуемы. Для л интересным, а трудности при исследовании функции предсказуемы. Для шения этих методических 2 нахожденияиспользовать среду GeoGebra. многочленов вида Например, для нужных функций в виде шения этих ax 4 bx 3 cx задач e вв среде GeoGebra вводим ползунками параметрыпараметры методических задач можно среде GeoGebra вводим ползунками a, b, c, d, e можно использовать среду GeoGebra.

y dx шения этих методических задач можно использовать среду GeoGebra.

шения этих методических задач можно использовать среду многочленов вида GeoGebra.

Например, для ввода» строим график функции (рис. 1).вПри изменении коэффициентов (с помощью и «Строкой нахождения нужных функций в виде многочленов вида Например, для нахождения нужных функций виде Например, для нахождения нужных функций в виде многочленов вида Подбира Например,, d, e и «Строкой ввода» строим графикнаблюдаем изменение вида изменении a, b, c для нахождения нужных функций в виде многочленов графика.

ползунков) функции (рис. 1). При ax 4 bx 3 cx 2 dx e в среде GeoGebra ем, например, целые коэффициенты так, чтобы гра ax 4 bx 3 cx 2 dx e в среде GeoGebra вводим ползунками параметры 4 3 вводим ползунками параметры ax 4 bxкоэффициентов (с помощью ползунков) наблюдаем изменение графика. не слиш ax bx 3 cx 2 dx e в среде GeoGebra фик был интересным, экстремальные точки Подби cx dx e в среде GeoGebra вводим ползунками параметры вводим ползунками параметры b, c, d, e и «Строкой ввода» строим график функции (рис. 1). от оси абсцисс, график пересекал b, c, d, e ираем, например, целые коэффициенты далеко(рис. 1). При изменении «Строкой ввода» строим график функции отстояли При изменении ком так, b, c, d, e и «Строкой ввода» строим график функции чтобыприемлемых точках. Полагая a экс (рис. график изменении При был интересным, = 0, b, c, d, e и «Строкой ввода» строим график функции (рис. 1). При изменении оси координат в 1).графика. Подби эффициентов (с помощью ползунков) наблюдаем изменение графика. Подби эффициентов (с помощью ползунков) наблюдаем изменение оси абсцисс, график пересе тремальные точки не слишком далеко отстояли отмногочлена Подби эффициентов (с помощью ползунков) наблюдаем изменение графика. третьей степени. Ана получаем график эффициентов (с помощью ползунков) наблюдаем изменениеинтересным, экс логично решаются графика. Подби II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

ем, например, целые коэффициенты так, чтобы график был интересным, экс- подобные методические задачи ем, например, целые коэффициенты так, чтобы график был a 0, получаем график мно кал оси координат в приемлемых точках. Полагая и в случае функций ем, например, целые коэффициенты так, чтобы график был интересным, экс-другого вида.

подбора вариантов интересным, экс ем, например, целые коэффициенты так, чтобы график был емальные точки не слишком далеко отстояли от оси абсцисс, график пересе емальные точки не слишком далеко отстояли отУченик может использовать среду GeoGebra для гочлена абсцисс, график пересе оси третьей степени. Аналогично ре емальные точки не слишком далеко отстоялипознакомить решения. Припострое- с постро емальные точки неприемлемыхввода,отстояли от a 0абсцисс, график пересе от оси абсцисс, график этом, наряду слишком далеко можнопроверки своего ученика с пересе оси ногочлена с помощью строки л оси координат в приемлемых точках. Полагая a 0, получаем график мно л оси координат в точках. Полагая графика многочлена с помощью строки ввода, шаются, получаем график мно л оси координат в приемлемых точках. Полагая a 0,подобные графикопера- методические задачи ением ием графика многочлена средствами геометрического получаем график мно л оси координат в приемлемых точках. Полагая a познакомитьАналогичномно 0, получаем моделированияпостроением графика гочлена третьей степени. Аналогично ре можно ученика с гочлена третьей степени.

подбора вариантов в случае ре многочлена средствамии геометрического моделиро функций дру гочлена третьей степени. Аналогично ре гочлена третьей степени. Аналогично ре ий. шаются подобные методические задачи вания операций.

шаются подобные методические задачи гого вида.

Рис 1.

шаются подобные методические b задачи шаются вариантов и в случае функций дру подобные методические задачи подбора вариантов и в случае ax можно При рассмотрении графика дробно-линейной функции y функций дру- познакомить При рассмотрении графика дробно-линейной Ученик может использовать среду функции подбора можно подбора вариантов и в случае функций дру cx d подбора вариантов и в случае функций дру гого вида.

гого вида. GeoGebra для проверки своего решения.

учащихся со следующими способами построения графика в среде GeoGebra.

гого вида.

гого способами построения графика в среде ознакомить учащихся со следующимивида.

1. «Строкой ввода». Ученик может использовать среду 2. Преобразованием графика обратнойПриможет наряду y =построением графика Ученик этом, использовать среду пропорциональности с.

Ученик может использовать среду eoGebra. Ученик может использовать среду GeoGebra для проверки своего xрешения.

3. С помощью геометрического моделирования операций.

GeoGebra для проверки своего решения.

GeoGebra для проверки своего решения.

GeoGebra для265 ] 1. Строкой ввода.

При этом, наряду с построением решения.

[ проверки своего При этом, наряду с построением графика графика При этом, наряду с построением 1графика При этом, наряду с построением графика 2. Преобразованием графика обратной пропорциональности y.

Рис.  4. Как результат геометрического деления одной прямой на другую, реализуя способ деле ния точек плоскости по формуле ( x, y ) : ( x, z ) = ( x, y : z ).

На рис. 2 представлен «Живой плакат», выполненный в среде GeoGebra, на котором пред ставлено построение графика дробно-линейной функции путем преобразований графика обрат ной пропорциональности.

Рис. При проверке ученических работ в случае обнаружения ошибок показывается решение про блемных для учащихся задач.

Использование среды GeoGebra как виртуальной лаборатории для демонстрации динамиче ских моделей (построение графиков) дает возможность: повысить интерес к изучению матема тики;

– представить максимальную наглядность решения некоторых задач;

– разнообразить формы и методы работы на уроках с целью повышения их эффективности;

– оптимизировать процесс обучения.

библиографический список 1. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra 2. URL: http://www.geogebra.org/cms/ru/ 3. URL: http://window.edu.ru/resource/990/67990/files/conference09.pdf 4. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл.: учеб. пособие для шк. и кл. с углубл.

изуч. математики. М.: Мнемозина, 2002.

5. Галицкий М.Л. и др. Углубленное изучение алгебры и математического анализа: метод. рекоменда ции и дидакт. материалы: пособие для учителя. М.: Просвещение, 1997.

6. Ларин С.В. Вычисления с помощью виртуальных геометрических инструментов // Математика в школе. № 8. 2007.

7. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс: в 2 ч. Задачник для общеобразовательных учреж дений (профильный уровень). М.: Мнемозина, 2007. Ч. 1.

8. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень): в 2 ч. М.: Мнемозина, 2007. Ч. 2.

[ 266 ] гЕОМЕтРИчЕскОЕ МОдЕлИРОвАНИЕ в сРЕдЕ GeoGebra дЕйствИй НАд кОМПлЕксНЫМИ чИслАМИ. кОРНИ МНОгОчлЕНОв.

дРОбНО-лИНЕйНЫЕ ПРЕОбРАзОвАНИя Geometric modelinG in the environment of GeoGebrA Actions on complex numbers.

the roots of polynomi-Als.

the frActionAl-lineAr trAnsformAtions И.В. Кондратьев I.V. Kondratev Геометрическое моделирование, комплексные числа, многочлены, дробно-линейные преобразования.

На основе геометрического моделирования в среде GeoGebra арифметических операций над комплексными числами изучаются преобразования комплексной плоскости и находятся корни многочленов с комплексны ми коэффициентами.

Geometric modeling, complex numbers, polynomials, fractional-linear transformations.

On the basis of geometric modelling in the environment of GeoGebra arithmetic on complex numbers examines the transformation of the complex plane and are the roots of polynomials with complex coefficients.

к омпьютерная среда GeoGebra позволяет строить на экране компьютера чертежи для вы полнения арифметических операций над комплексными числами. На основе этого мож но наглядно представлять различные преобразования комплексной плоскости, а также находить корни многочленов, вообще говоря, с комплексными коэффициентами. Рассматривая в школе квадратный трехчлен, в случае, когда дискриминант равен нулю, говорят, что корней нет. Име ется в виду отсутствие действительных корней. Представленная в статье технология позволяет «графически» находить комплексные корни любого многочлена с комплексными коэффициен тами.

1. Геометрическое моделирование арифметических операций над комплексными чис лами 1. Геометрическое сложение комплексных чисел по правилу параллелограмма.

2. Геометрическое умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.


II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

Пусть комплексное число a = r (cos + i sin ) изображено точкой A, а комплексное чис ло b = r1 (cos + i sin ) изображено точкой В. Виртуальный прибор для умножения числа a на число b представляет собой чертеж, который получается в результате геометрического по.

строения известной формулы Построение (рис. 1).

1. Отмечаем точкой A первый сомножитель a.

2. Строим второй сомножитель z = r (cos + i sin ). Отмечаем начало координат O как точку пересечения осей координат, на положительной полуоси абсцисс отмечаем точку R, со ответствующую числу | z | = r, через точку R проводим центральную окружность и отмечаем на ней точку Z.

3. Для умножения модулей данных чисел a и z строим центральную окружность, прохо дящую через точку A, и отмечаем точку C построенной окружности с положительной полуо сью ординат.

4. Перемножаем числа, соответствующие точкам C и R, и получаем точку D. Через эту [ 267 ] 2. Строим второй сомножитель z r (cos i sin ). Отмечаем начало ко с окружностью, проходящей через точку R (делаем невидимой обозначение ординат O как точку пересечения осей координат, на положительной полу второй точки пересечения, совпадающей с точкой R ). Очевидно, аргумент оси абсцисс отмечаем точку R, соответствующую числу | z | r, через точку комплексного числа, изображенного точкой H, равен сумме аргументов R проводим Aокружность с центром в начале ко точку проводим комплексных чисел, изображенных точками центральную окружность и и Z.

ординат – на ней будет располагаться искомое произ 6. Проводим луч с началом в отмечаем на ней точку Z. чисел.через точку H, ведение данных комплексных начале координат, проходящий 5. Строим сумму аргументов данных комплекс и отмечаем точку K пересеченияных Для Для этого через точку A проводим луч построенного луча с модулей данных чи 3.чисел.умножения центральной окружно с началом строим координат и отмечаем точку F сел a и K визображает искомое окруж начале Точка z стью, проходящей через точку D.пересечения луча с центральнуюпроизведение окружностью, проходящей че рез точку R. Затем соединяем отрезком точки F и ность, проходящую через точку A, и от az.

Z, а через точку R проводим прямую параллельно 2. Построение отображенийпостроенному C построенной окружности мечаем точкуотрезку. Отмечаем точку H пересе на комплексной плоскости, определяе чения построенной прямой с окружностью, проходя мых многочленами с комплексными коэффициентами ординат.

с положительной полуосью щей через точку R (делаем невидимой обозначение второй точки пересечения, совпадающей с точкой R).

2.1. Линейная функция на комплексной плоскости. соответствую 4. Перемножаем числа, Очевидно, аргумент комплексного числа, изобра Построим образ окружностищие точкам C и R, и получаем точку D.ком женного точкой H, равен сумме аргументов Рис. Рис. | z | r, r изображенных точками Через эту точку проводим окружность с плексных чисел, R, при отображении A и Z. в начале координат – на ней будет располагаться искомое произве центром f ( z ) az b на комплексной 6. Проводим луч с началом в начале дение данных комплексных чисел.

координат, проходящий через точку H, плоскости.

и отмечаем точку K пересечения постро Построение (рис. 2, 3).

енного луча с центральной окружностью, проходящей через точку D. Точка K изо бражает 1. На рис. 2 изображены ис искомое произведение az. 2. Построение отображений на ком ходные построения. Точки A, плексной плоскости, определяемых многочленами с комплексными коэф B и Z изображают соответст фициентами 2.1. Линейная функция OI и складываем их. Получаем точку J. Построе OB, на ком 3. Строим векторы переменную венно числа a, b и плексной плоскости.

ние z.

закончено.

Построим образ окружности | z | = r, r Заставляем точку J f оставлять b 2. отображении ( z ) = az az R, приСтроим произведение + след и задаем анимацию точки Z.

на комплексной плоскости.

Рис. (см. рис. 1. 2) и получаем точку Рис.

Построение (рис. 2, 3).

1. На рис. 2 изображены исходные построения.

I. Точки A, B и Z изображают соответственно числа a, bИзменяя положение точки R на оси и переменную z.

2. Строим произведение az (см. рис. 1. 2) и по абсцисс, подбираем значение | z |, при ко- лучаем точку I. 3. Строим векторы OB, OI и складываем их.

тором вычерчиваемая линия проходит Получаем точку J. Построение закончено.

Заставляем точку J оставлять след и задаем через начало координат. Затем останав анимацию точки Z.

Изменяя положение точки R на оси абсцисс, ливаем анимацию точки Z в тот момент, подбираем значение | z |, при котором вычерчивае когда точка J совпадетначало координат. Затем мая линия проходит через с началом коор динат. Положение точки Z Z в тот момент, ког останавливаем анимацию точки будет соот да точка J совпадет с началом координат. Положе ние точки Z будет соответствовать корню 0, ветствовать корню уравнения az b уравне Рис. Рис. b то[ есть z. Это дает еще один способ 268 ] a деления.

b то есть z. Это дает еще один способ a деления.

Мы нашли образ центральной окружности | z | r при линейном отображе b ния az + b = 0, то есть z =. Это дает еще один способ деления. Мы нашли образ централь a ной нии.

окружности | z |= r при линейном отображении.

2.2. 2.2. Квадратичная функция на комплексной плоскости.

Квадратичная функция на комплексной плоскости.

Построим образ окружности | z | = r при отображении f ( z ) = az + bz + c на комплекс ной плоскости. Технологию построения определяет равенство az + bz + c = ( z ) az 2z bz c Построим образ окружности | z | r при отображении f (az + b) + c.

Построение (рис. 4, 5).

1. комплексной az + b.

наСтроим выражениеплоскости.

2. Убираем вспомогательные ли нии, оставляя лишь построения оп Технологию построенную точ ку J, которая теперь будет играть роль ределяет равенство прежней точки A, поэтому обознача ем ее A1 оставляем az b) z c.на az 2, bz c ( обозначение чала координат, точку R, центральную окружность и точку Z (рис. 4,Отме Построение на ней. 5).

чаем построенную точку J, которая теперь будет играть роль прежней точки точку C, соответствующую ко лишь 1. Строим выражениеOC эффициенту c, строим вектор A, поэтому обозначаем ее A1, оставляем обозначение начала координат, точ и получаем чертеж, изображенный az b.

на рис. 4, аналогичный рис. 2, где вме ку R,точки A имеем точку A, изобра- точку Z на ней. Отмечаем точку C, соот сто центральную окружность и 2. Убираем вспомога жающую a1 = az + b.

коэффициентуz + строим вектор OC и получаем чертеж, изо ветствующуюлинии, оставляяc, c, тельные выражение a 3. Строим браженный на и получаем искомую как в пункте 1),рис. 4, аналогичный рис. 2, где вместо точки A имеем точку точку E1 (рис. 5). Построение закон A1, изображающую a1 az b. чено.

Заставляем точку E1 оставлять след и включаем анимацию a1 z c 3. Строим выражение точки Z., как в пункте 1), и получаем искомую точку Рис. 5 Рис.

Чтобы с помощью построенного живого чертежа найти корни многочлена az + bz + c, E1 (рис. 5). Построение закончено. точки R на оси абсцисс и такое положение точки Z достаточно подобрать такое положение на окружности, при которых точка S совпадет с началом координат. Положение точки Z ука жет искомый корень. E1 оставлять след и включаем анимацию точки Z.

Заставляем точку 1. Для данного многочлена второй степени найдем образ центральной окружности | z | = r, r R, используя строку ввода и клавишу «Комплексное число».

Чтобы с помощью построенного живо Построение (рис. 6, 7). 1. Отмечаем начало коорди го чертежа найти корни многочленаабсцисс отме нат O как точку пересечения осей, на оси II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

чаем точку R, которая будет изображать | z |, проводим az 2 bz cс, центром в начале координат, проходящую окружность достаточно подобрать такое через точку R, выбираем клавишу «Комплексное число»

положение точки R на оси абсцисс и такое и строим на окружности точку z.

2. С помощью Z на окружности, при положение точки клавиши «Комплексное число» от мечаем точки a, b и c – коэффициенты многочлена az 2 + bz точка S совпадет ввода строим точку w, которых + c, а затем строкой с началом ко ординат. Положение w = az Z bz + c. Построение изображающую число точки + укажет ис закончено.

комый корень.точку w оставлять след и задаем ани Заставляем мацию точки z. При движении точки z по окружности точка Для данного многочлена второй сте 1. w, оставляя след, вычерчивает «непрерывную»

замкнутую линию.

пени найдем образ центральной окружности Для нахождения корней выбранного многочле Рис. Рис. 4 |z|r, r R, используя строку ввода и [ 269 ] клавишу «Комплексное число».

2. С помощью клавиши «Комплексное число» отмечаем точки a, b и c – коэффициенты на сначала передвижением, клавиши 2. С помощью а R до многочлена az 2 bz cточкизатем биваемся, чтобы вычерчиваемая кривая «Комплексное число» отмечаем проходила ввода строим точку w, строкой через начало координат. Затем точки a, b и c – коэффициенты останавливаем анимацию точки z в тот изображающую w совпадетчисло момент, когда точка с нача многочлена az 2. Нажимаема клавишу bz c, затем w координат O лом az bz c. Построение за «Точка», на свободном месте ставим точ строкой ввода строим точку w, кончено.

ку и передвигаем ее в положение точки z.

изображающую найденныйчисло Тем самым фиксируем корень.

Заставляем точку w оставлять На рис. 6 найден первый корень, отмечен w и 2 M анимацию точки z.


следточкойbz. c. рис. 7 найден второй ный az задаем На Построение за корень, отмеченный точкой N.

кончено. можно точки zк по ок ПриТеперь движении перейти решению Рис. 6 нового уравнения второй степени, на Заставляем точку w оставлять ружности точка w, оставляя след, страивая соответствующим образом па ение 2 z 2 z 3 0, которое не имеет раметры a, b и анимацию точки z.

вычерчивает «непрерывную» замкнутую линию. и задаем c.

след йствительных корней (рис. 8). Для В качестве примера решим уравне ниеДля + z + 3 = точки z по вы При 2движении 0, которое не имеет z 2 нахождения корней ок Рис. Рис. ого точки, соответствующие числам действительных корнейоставляя след, ружности точка w, (рис. 8). Для это бранного многочлена сначала a, b го точки, соответствующие числам пе, b и c, совместим с точками оси абс и c, совместим точками вычерчивает «непрерывную» замкнутую линию.редвижением сточки Rоси абсцисс со добиваем исс соответственно 2, 1 и 3. Затем пе- ответственно 2, 1 и 3. Затем перемещени ся, Для нахождения корнейкривая, чтобы добиваемся, чтобы вы ем точки R вычерчиваемая кривая мещением точки R добиваемся, что- которую вычерчивает точка w, проходила бранного многочлена сначала пе проходила через начало коорди через начало координат. Включаем ани кривая, которую вычерчивает точка мацию точки z точки R добиваем редвижением и выключаем ее в тот мо нат. Затем останавливаем анима мент, когда точка w попадет в начало ко, проходила через начало координат.

ся, чтобы вычерчиваемая кривая ординат. На z в чертежа ставим точку, цию точки поле тот момент, когда ключаем анимацию точки z и выклю- например, M и передвигаем в положе проходила через началоеекоорди точка w z. Тем самымсотмечаем первый ние точки совпадет началом ко ем ее в тот момент, когда точка w ординат O останавливаем анима нат. Затем. Нажимаем Аналогично корень нашего уравнения.

клавишу отмечаем второй корень точкой N. В на опадет в начало координат. На поле «Точка», на zсвободном месте ста-i, цию точки Mвпримера решим уравнение тот момент, когда шем качестве = 0.25934 + 1. В случае ртежа ставим точку, например, M и точка 0.25934 1.1980i. ее в ко N = w вим точкусовпадет с началом по- действит и передвигаем. Тем самым отмечаем первый корень ординат O. Нажимаем клавишу ложение точки z. Тем самым фик- этого то Рис.77 В на Рис.

ечаем второй корень точкой N.

сируем найденный корень. ста- a, b и c «Точка», на свободном месте На 0.25934 1.1980i.

3. Дробно-линейные отображения на ком плекснойнайден первый корень, отмеченный вим точку и На рисунке 7ее в по- цисс соо точкой M. передвигаем найден рис. 6 плоскости я на комплексной окружности | z | = r при отображении Образ плоскости ложение точки z. Тем самым фик- ремещен Рис. второй корень, отмеченный точкой N.

ражении на комплексной на комплексной плоскости. сируем найденный корень. На Теперь можно перейти к решению нового уравнения второй степени, на- бы крива страивая соответствующим образом параметры a, bM. На рисунке 7 найден w, прохо Опуская описания построений, приведем толь рис. 6 найден первый корень, отмеченный точкой и c.

ко образы прямых и окружностей при дробно ведем только образы прямых и окруж-точкой N.

второй корень, отмеченный Включае линейных отображениях.

1. Образ окружности с центром в начале коор ениях. динат.Теперь можно перейти к решению нового уравнения второй степени, на- чаем ее ачале координат. соответствующим образом параметры a, b и Рис.Рис. c. страивая попадет [ 270 ] нескольких центральных окружностей. 6 чертежа жности может представлять собой ок- передвигаем ее в положение точки z. Тем с На рис. 9 представлены образы нескольких центральных окружностей. Видим, что образ центральной окружности может представлять собой окружность, либо прямую.

Рис. Рис. Рис. 2. Образ прямой может представлять собой либо прямую, либо окруж ность (рис. 10,может представлять собой либо прямую, либо окружность (рис. 10, 11).

2. Образ прямой 11).

2. Образ прямой может представлять собой либо прямую, либо окруж ность (рис. 10, 11).

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

Рис. Рис. 10 Рис. Рис. Построения «живых рисунков» в GeoGebra позволяетпозволяет сделатьпреобразо Построения «живых рисунков» в среде среде GeoGebra сделать наглядными на вания комплексной плоскости.

глядными преобразования комплексной плоскости.

библиографический список Библиографический список 1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа 11 класс: в 2 ч.: учебник для учащихся об Рис. 10 Рис. щеобразовательных учреждений (профильный уровень) / 6-е изд., М.: Мнемозина, 2009. 286 с. Ч. 1.

2. А.И. Маркушевич. Комплексные числа и конформные отображения. М.: Физматгиз, 1960. 56 с.

3. Построения «живых рисунков» в среде GeoGebra позволяет сделать на Система динамической геометрии GeoGebra [Электронный ресурс]. URL: http://ru.wikipedia.org/ wiki/GeoGebra (дата обращения 05.11.2012) глядными преобразования комплексной плоскости.

Библиографический список [ 271 ] дИНАМИчЕскИЕ вОзМОжНОстИ сРЕдЫ GeoGebra ПРИ ИзучЕНИИ тЕМЫ «ПРОИзвОдНАя»

the dynAmic feAtures of the environment GeoGebrA in the study of the topic «derivAtive»

О.В. Кондрашова, С.В. Ларин O.V. Kondrashova, S.V. Larin Динамические возможности, среда GeoGebra, анимационный чертеж, движение, функция, график функции, производная.

Понятие производной является одним из наиболее сложных для понимания школьника. Существенную по мощь при изучении этой темы может оказать использование динамической среды GeoGebra для создания анимационных чертежей, сопровождающих изложение материала.

Dynamic capabilities, Wednesday GeoGebra, an animated drawing, movement, function, the graph of the derivative.

The concept of the derivative is one of the most difficult-to-understand student. Substantial assistance to \ in the study определением мгновенной скорости, а «решение» геоме of this topic may have to use GeoGebra dynamic environment for creating animated drawings accompanying the presentation of the material.

касательной к графику функции – определением угло Ц елью статьи является изложение темы «Производная» в 11 классе с привлечением анима касательной. Общим для этих определений является т ционных чертежей, созданных в компьютерной среде GeoGebra [3].

мгновенной скорости и углового коэффициента касательно Обычно в школе начинают изучение производной функции по примеру Фихтенголь ца [2], с «задач, приводящих к понятию производной» [1]. На самом же деле «решение» приводи основу определения производной. Нами создан дидактичес мой при этом физической задачи является определением мгновенной скорости, а «решение» ге ометрической задачи о касательной компьютерной – определением углового коэффициента к графику функции поддержки в среде GeoGebra, котор касательной. Общим для этих определений является техника нахождения мгновенной скорости использовать при изучении производной. Представим часть и углового коэффициента касательной. Она и ложится в основу определения производной. Нами создан дидактический материал в виде компьютерной поддержки в среде GeoGebra, который Напомним, что секущей часть этого материала.

предполагается использовать при изучении производной. Представим называется прямая, соединяющ Напомним, что секущей называется прямая, соединяющая две точки данной кривой. Каса тельной к кривой l в точке M l называется Касательной к кривой l MT, точкеточ- l назы кривой. предельное положение секущей в когда M положение M.

ка T l, двигаясь по кривой l, стремится к точке секущей MT, когда точка T l, двигаясь по кр Для наглядного представления этого определения в среде GeoGebra создаем анимационный точке M.

чертеж.

Построение (рис. 1).

1. С помощью строки ввода строим Для наглядного,представления этого график, пе параболу y = x а затем, ухватившись за определения в сред реносим его на «хорошее место».

анимационный чертеж.

2. На параболе отмечаем точ ку M и проводим через нее верти- Постр кальную и горизонтальную прямые, 1. С отмечая точки X 0 и Y0 пересече ния вертикали и горизонтали с со ввода ответствующими осями координат.

3. Вводим число d = 0. y x2, и строим точки, вводя в стро ку ввода A = ( x( X ) d,0) и за график B = ( x( X ) + d,0). Строим от резок AB и отмечаем на нем точку «хорошее X. Точки A и B прячем за нена 2. На Рис. Рис. добностью.

точку M [ 272 ] нее вертикальную и горизонтальную прямые, отмечая положение секущей». Делаем надписи «Касательная» и «Секущая», причем вторую «привязываем» к секущей: при движении секущей перемещается и надпись.

4. Через точку X проводим вертикаль и отмечаем точку T пересечения вертикали с пара В среде GeoGebra построим виртуальный прибор для механического болой.

5. Проводим прямую через точки M и (секущую M T ). Строим касательную к парабо вычерчивания графика производнойTданной функции.

ле в точке M.Построение закончено.

Пример. Построить график производной функции y f ( T x3 2 x2 по 5.

Задаем анимацию точки X (по отрезку AB ) и наблюдаем, как «точка x) l, двигаясь 2 x кри вой l, стремится к точке M», а касательная есть «предельное положение секущей». Делаем над Построение «Секущая», писи «Касательная» и (рис. 2). причем вторую «привязываем» к секущей: при движении се кущей перемещается и надпись.

1. С помощью строки ввода строим график данной функции y f ( x).

В среде GeoGebra построим виртуальный прибор для механического вычерчивания графика производной данной функции.

2. На оси абсцисс отмечаем точку X и проводим через 2нее вертикальную Пример. Построить график производной функции y = f ( x) = x 2 x 2 x + 5.

прямую. Отмечаем точку A пересечения этой прямой с графиком данной Построение (рис. 2).

1. С помощью строки ввода строим график данной функции функции..

y = f ( x) 2. На оси абсцисс отмечаем точку X«Касательная» через 3. С помощью инструмента и проводим через нее вертикальную прямую. Отмечаем точку A пересечения этой пря мой с A проводим касательную к графику функции.

точку графиком данной функции.

3. С помощью инструмента «Касательная» через точку A про 4. Отмечаем графику O начало координат и через водим касательную к точкой функции.

началоОтмечаем точкой O начало координат и черезпараллельно 4.

координат проводим прямую начало коор динат проводим прямую параллельно касательной.

касательной. единичную точку E оси абсцисс, проводим че 5. Отмечаем рез нее вертикальную прямую и отмечаем точку B пересечения прямой с прямой, параллельной точку E оси абсцисс, этой 5. Отмечаем единичную касательной, проходящей че проводим координат. Получаем угол = прямуюОрдината точ через нее вертикальную EOB. и отмечаем рез начало ки B равна tg. С другой стороны, тангенс угла наклона касатель точку графику данной функции в точке A(прямой,)) равен произ ной к B пересечения этой прямой с x0, f ( x0 параллельной водной данной функции f ( x0 ).

касательной, проходящей горизонтальную прямую и отмеча 6. Через точку B проводим через начало координат.

ем точку C пересечения построенной прямой с вертикальной пря Рис. 2 Рис. Получаем угол EOB XОрдината точки B равна tg.

.

мой, проходящей через точку. Построение закончено.

Заставляем точку C оставлять след и задаем касательной к X. Наблюдаем как точка C, С другой стороны, тангенс угла наклона анимацию точки графику данной функции оставляя след, вычерчивает график производной данной функции. Этот способ вычерчивания графика производной0 по равен производной данной функции f ( x0 ) а построенный чер в точке A( x0, f ( x )) графику данной функции назовем механическим,.

теж – виртуальным прибором для механического вычерчивания графика производной.

6. Через точку B проводим горизонтальную прямую и отмечаем Для это Прибор можно настроить на вычерчивание графика производной другой функции. точку C II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

го нужно правой кнопкой мышки кликнуть на график данной функции и в «Свойствах» задать новую функцию. построенной прямой с вертикальной прямой, проходящей через пересечения точку демонстрации физического смысла производной решаем следующую задачу.

Для X. Построение закончено.

Задача. Тяжелый снежный ком падает с крыши пятнадцатиэтажного дома (высота одного этажа 3 м). Чему равна скорость падения снежного кома в момент удара о землю?

gt, где g – коэффициент свобод Решение. По закону свободного падения s = s (t ) = ного падения, который возьмем с точностью до целых равным g = 10 м/сек2. По условию, s = 45 м.

10t Тогда 45 =, откуда t = 3 сек. Для вычисления мгновенной скорости находим производную:

g s(t ) = 2t = 10t. При t = 3 получаем s(3) = 30 м/сек.

3 / [ 273 ] данной функции. Этот способ вычерчивания графика производной по графику данной функции назовем механическим, а построенный чертеж – виртуальным прибором для механического вычерчивания графика производной.

Ответ: можно настроить на вычерчивание Прибормгновенная скорость падения снежного кома в моментграфика столкно вения с землей равна 30 м/сек.

производной представлен анимационный чертежодной правой кнопкойдает того На рис. 3 другой функции. Для этого нужно про снежныйне к задаче кнопки» ком.

На нем шар падает с высоты 45 м. При падении шара точка F вычерчивает мышки свободного падения (зависимость пути от«механическое P рису-вычерчивание».

график кликнуть на график данной функции и в а«Свойствах»

времени), точка соответствующего виртуального ет график изменения скорости от времени (производную).

задать новую функцию.

График производной данной функции можно построить введением со Для демонстрации физического смысла задачи «нажати- от усл Можно отказаться ответствующей команды в строку ввода. Но такое решение производной ем одной кнопки» не дает того образовательного эффекта, который дает «ме производной приближенно. Дл решаем следующую задачу.

ханическое вычерчивание». Особенно поучительным является создание со ответствующегоТяжелый снежный ком заменим секущей AB, где B ( виртуального прибора.

Задача. падает с крыши Можно отказаться от услуг кнопки «Касательная» и строить график про пятнадцатиэтажного домаэтого мы касательную в точке м). x0 величине x.

изводной приближенно. Для (высота одного этажа 3 A( Чемуx0 )) за абсолютной, f ( равна меним секущей AB, где B ( x + x, f ( x0 + x)) при достаточно малом скорость падения снежного по абсолютной величине x. кома в момент удара о землю? (рис. 4).

Построение Построение (рис. 4).

gt 1. С помощью строки Решение. По закону свободного падения s s (t ) функции, где 1. С помощью строки ввода строим график данной 3 f ( x) = x 2 x 2 x + 5. f ( x) x 2 x 2 x 5.

2. На оси абсцисс отмечаем точку X, проводим через нее вертикальную Рис. Рис. g – коэффициент свободного падения, который возьмем с прямую и отмечаем точку A пересечения построенной прямой с графиком отмечаем 2. На оси абсцисс данной функции.

точностью до целых равным g 10 м / сек 2. По условию, s 45 м. Тогда прямую 3. Пусть абсцисса точки X равна x0. Выбираем x = 0. и строим 2точку R ( x0 + x,0), проводим через нее вертикальную 10t прямой с откуда t 3 B. Для вычисления мгновенной скорости находим прямую и,отмечаем точку секпересечения построенной прямой с графиком данной функции. 3. П 4. Проводим секущую AB.

g 5. Строим единичную 2t E (1,0) и проводим через нее вер производную: s(t ) точку 10t. При t 3 получаем s(3) 30 м / сек. x 0. тикальную прямую. Отмечаем точку C пересечения вертикальной Ответ: мгновенная скорость падения снежного кома в момент нее вер прямой с прямой, проходящей через начало координат параллель но касательной. Ордината точки C равна тангенсу угла COE, пересече а этот угол приближенно равен углу наклона касательной к гра столкновения с землей равна 30 м / сек.

фику функции в точке A. Но tg = f ( x0 ). Следовательно, ордина- функции На рис. 3 представлен ( x0 ).

та точки C приближенно равна f анимационный чертеж к задаче про снежный ком.

6. Проектируем точку C на вертикальную прямую, проходя- 4. П На нем шар падает с высоты 45D. Построение закончено. точка F вычерчивает м. При падении шара щую через точку X, и получаем точку 5. С Теперь заставляем точку D (зависимость пути от времени), а точка P рисует график свободного падения оставлять след и задаем анима цию точки X. Наблюдаем как точка D, оставляя след, вычерчивает через не приближенный графикскорости от данной функции. Для увеличе график изменения производной времени (производную).

Рис. Рис. ния точности построения графика производной можно выбрать еще пересече меньшее по абсолютной величине данной функции можно построить введением График производной x.

проходящей через начало коорд соответствующей команды в строку ввода. к графику функции в данной точке полезно Для лучшего усвоения уравнения касательной Но такое решение задачи «нажатием по данной функции, заданной аналитически, действуя по алгоритму, написать уравнение каса тельной, а затем с его помощью построить график данной функции. C равна тангенсу угла COE, а Пример. Составьте уравнение касательной к касательной к функции функци графику графику 3 f ( x) = sin x + x 3x + x + 5 и, зная уравнение касательной в каждой точке, постройте гра фик данной функции. ордината точки C приближенно Решение. Общее уравнение касательной к графику данной функции в точке x0 имеет вид y = f ( x0 )( x x0 ) + f ( x0 ). В нашем случае f ( x0 ) = cos x0 + 3 x0 6 x0 + 1, и уравнение ка-точку C 0) ( 6. Проектируем 0 2 3 2 3 сательной принимает вид y = (cos x0 + 3 x0 6 x0 )) + 1) x x0 ) + sin x0 + x0 3 x0 + x0 + 5.

( )( 0 0 0 0 0 0 0 Зная график касательной в каждой точке x0, мы можем найти точкуточку ( x0,)и графика дан- получаем точку D. П ( x0, f X [ 274 ] касательной в каждой точке x0, мы можем найти точку ( x0, f ( x0 )) графика данной функции, как точку пересечения прямой-касательной и вертикальной прямой, проходящей через точку X ( x0,0).

ной функции, как точку пересечения прямой-касательной и вертикальной Построение через точку X ( x,0).

прямой, проходящей(рис. 5). Построение (рис. 5).

1. На осиоси абсцисс отмечаем «текущую» проводимX и 1. На абсцисс отмечаем «текущую» точку X и точку через нее вертикальную прямую.

проводим через нее вертикальную прямую.

2. Строкой ввода вводим число x0 = x( X ) (абсциссу точки X ).

3. Строкой ввода строим прямую y = (cosСтрокой 6 x0 + 1))(x x0 ) + sin x0 + x03 3xx02X+)x0 (абсциссу y = (cos x0 + 3 x02 ввода1( вводим+ число+ x30 3x(2 + x0 + 5 и отме 2. x + 3 x2 6 x + ( x x ) sin x x + 0 0 0 0 0 0 чаем точку F пересечения этой прямой с вертикальной прямой, проходя точки X ).

щей через точку X. Построение закончено.

Заставляем точку F оставлять след и задаем анимацию точки X. Точ ка F 3. Строкой ввода строим прямую вычерчивает график данной функции.

2 3 и y (cos x0 3 x0 6 x0 1)( x x0 ) sin x0 x0 3 x0 x0 библиографический список 1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа.

Профильный уровень: учебник. М.: Мнемозина, 2009. Ч. 1.

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука, 1968. Т. 1.

3. URL: ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra Рис. 5 Рис.

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

[ 275 ] ПОстРОЕНИЕ АНИМАЦИОННЫх МОдЕлЕй двИжЕНИй в сРЕдЕ GeoGebra ПРИ ИзучЕНИИ тЕМЫ «ФуНкЦИИ»



Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 37 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.