авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 37 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Красноярский государственный ...»

-- [ Страница 12 ] --

the construction of AnimAted models of movement GeoGebrA in the environment in the study of the topic «functions»

С.В. Ларин, Е.Е. Деттерер S.V. Larin E.E. Detterer Компьютерные анимации, среда GeoGebra, математическое образование, функция, модель, движение, график функции.

Рассматривается подход к изучению темы «Функции» с использованием динамической среды GeoGebra.

В рамках подхода наглядно иллюстрируется определение функции, рассмотрены модели движений, которые приводят к соответствующим функциям, дополняя тем самым школьную теорию. Применение представлен ных моделей в школьной практике позволит продемонстрировать функциональную зависимость между ве личинами в прикладных задачах, что приближает математику к жизни.

Computer animation, Wednesday GeoGebra, math education, function, model, motion, graphic functions.

An approach to the study of the topic «Options» using dynamic environment GeoGebra. In the approach is clearly illustrated by the definition of the functions examined patterns of movement that lead to the corresponding functions, thereby complementing the school theory. The use of the models in the school practice will demonstrate the functional relationship between the values in applications that will bring mathematics to life.

в условиях модернизации Российского образования перед школой встает проблема обеспе чения учащихся качественным образованием. Математическое образование – один из важ нейших факторов, определяющих уровень экономического и общественно-политического разви тия страны. Именно поэтому повышение качества математического образования школьников яв ляется одной из наиболее актуальных и значимых задач, стоящих перед современной школой.

Одной из причин трудного усвоения математики является абстрактность этой науки. Зада ча учителя состоит в том, чтобы приблизить математику к жизни, сделать математические фак ты зримыми, а значит понятными. Одним из путей к визуализации математики, внесению в нее движения является использование компьютерной среды GeoGebra [2]. На конкретных примерах продемонстрируем возможности этой среды при изучении функций в 7 классе.

Тема «Функция и их графики» начинается в 7 классе и продолжается до окончания школы.

Она имеет общекультурное, мировоззренческое значение. При её изучении учащиеся знакомятся с идей непрерывности, бесконечности, интерполяции. Функции позволяют описывать и изучать разнообразные зависимости между изменениями реальных величин. Среда GeoGebra дает воз можность строить анимационные модели тех движений, которые приводят к изучаемым функ циям. Например, в учебнике 7 класса [1] введение понятия функции сопровождается примерами зависимостей, которые устанавливаются только с помощью вычислений. Ученик не видит само го процесса изменения зависимой переменной от изменения независимой переменной. Допол няя материал школьного учебника [1], построим в среде GeoGebra анимационные модели движе ний, которые приводят к соответствующим функциям.

Модель 1. Изменение площади квадрата с увеличением его стороны [1, пример 1, с. 39].

На рис. 1 построен квадрат со стороной ОХ, точка Е по построению указывает число, рав ное площади квадрата. Построенная модель демонстрирует зависимость точки Е (площади ква драта) от точки Х (длины стороны этого квадрата): при перемещении точки Х соответствующим образом изменяется положение точки Е. На рис. 2 в дополнение построена точка F. При анима ции точки Х происходит непрерывное вычерчивание графика данной зависимости.

[ 276 ] Рис. Рис. Модель 2. Шар, наполненный легким газом, стартует с земли и равномер но поднимается с фиксированной скоростью k км/час. Построим модель дви Рис. жения шара и график зависимости пройденного пути от времени. [1, пример 2, Рис. Рис. 1 Рис. с. 39]. Модель 2. Шар, наполненный легким газом, стартует с земли и равномер Модель 2. Шар, наполненный легким газом, стартует с земли и равномерно поднимается При анимации точки k можно наблюдать, км/час. Построим модель дви но поднимается скоростью Хкм/час. Построим модель движения шара и график зависимости с фиксированной с фиксированной скоростью kкак шар поднимается вверх, а пройденного пути от времени [1, пример 2, с. 39].

точка В, шара и график зависимости пройденного поднимается вверх, а [1, пример 2, жения оставляя след, непрерывно вычерчивает график функции. точка В,уче При анимации точки Х можно наблюдать, как шар пути от времени. Снова оставляя след, непрерывно вычерчивает график функции. Снова ученик видит само движение и график с. 39]. само движение и график функции, описывающей данное движение.

ник функции, описывающей данное движение.

видит При анимации точки Х можно наблюдать, как шар поднимается вверх, а точка В, оставляя след, непрерывно вычерчивает график функции. Снова уче ник видит само движение и график функции, описывающей данное движение.

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

Рис. 3 Рис.

Модель 3. На рис. 4 изображен термометр. Точка Х, равномерно двигаясь по оси абсцисс, «отсчитывает» время. Одновременно точка В, оставляя след, непрерывно вычерчивает темпера турный график. Эта модель является аналогом примера 3 из [1] на с. 40. Дополнение в том, что Рис. ученик одновременно видит и само движение ртутного столба и соответствующий график.

Наш график проходит через точки, которые рассматриваются в учебнике. Достигнуто это с использованием интерполяционной формулы Лагранжа.

[ 277 ] резке ОЕ отмечаем точку Х. Через точку Х проводим вертикальную прямую и Рис. Рис.

отмечаем точку D пересечения вертикали с графиком функции. Теперь строим «море» в виде кругаостров Буян князя Гвидона,радиусом больше наибольшего мак Модель 4. На море с центром в точке А и на острове маяк в точке А. Князь Гвидон на кораблике с алым парусомостров Буян князя Гвидона, на острове маяк в точке А.

Модель 4. На море плавает по морю. Построим график удаленности кораблика от ма симума функции. На окружности отмечаем точку и задаем ее анимацию. Оста яка (аналог упражнения 255 из [1], с. 42).

Князь Гвидон на кораблике свводим параметры плавает поf,морю. точку. и строим гра навливаем на рис. 5. Сначала алым 5 радиус a,4 b, c, d, e, 3 (ползунками) Строим ок парусом в анимируемую Построим график i Решение анимацию и проводим 6 фик функции y = ( x i ) + a ( x i ) + b( x i ) + c ( x i ) + d ( x i ) + e( x i ) + f.

удаленности корабликавот добиваемся, чтобы график был 255 из [1],XD, отмечаем точку Меняя значения параметров, маяка (аналог упражнения интереснымс. 42). соответствовать ружность с центром точке А и радиусом, равным отрезку и мог действительности. Затем отмечаем точкивводим параметры иa, bотрезке, ОЕi отмечаем точку Сначала О и Е на оси абсцисс на, F, Через точку Хна рис. 5.вертикальную прямую и отмечаем точкуcD–пересечениякораблик.

точку пересечения радиуса и построенной окружности, d,это,наш вертикали e f (ползунка Решение Х. проводим ми) анимации и Теперь строимстроимв виде круга морю, а точка А ибудет вычерчи с графиком функции.

точки Х кораблик поплывет по с центром в точке D радиусом больше «море» график функции При наибольшего максимума функции. На окружности отмечаем точку и задаем ее анимацию. Оста вать x i 6 удаленности x i ) 4 c в от iмаяка.( x i ) 2 e( x i f. Меняя зна ( график a ( x i 5 b( кораблика ) 3 d yнавливаем )анимацию и)проводим радиус ( xанимируемуюточку. Строим)окружность с центром в точке А и радиусом, равным отрезку XD, отмечаем точку F, точку пересечения радиуса и по чения параметров, добиваемся, чтобыПри анимации точки Х кораблик поплывет по морю, строенной окружности – это наш кораблик. график был интересным и мог соответст а точка D будет вычерчивать график удаленности кораблика от маяка.

вовать действительности. Затем отмечаем точки О и Е на оси абсцисс и на от Рис. 5 Рис.

Понятно, что чертеж изготавливает учитель к уроку. Лишние линии по [ 278 ] строения можно спрятать. Ученик наблюдает одновременно перемещение ко Понятно, что чертеж изготавливает учитель к уроку. Лишние линии построения мож но спрятать. Ученик наблюдает одновременно перемещение кораблика и вычерчивание гра фика удаленности кораблика из маяка, усваивая функциональную зависимость. В то жевыпу Модель 5. Стрельба от пушки. Построим модель движения снаряда, время выполнение этого чертежа вполне по силам старшекласснику и может составить его учебно щенного из пушки (начала координат) под регулируемым углом к поверхности исследовательскую работу.

Модель 5. Стрельба из пушки. Построим модель движения снаряда, выпущенного из пушки (начала (к оси абсцисс).

земли координат) под регулируемым углом к поверхности земли (к оси абсцисс).

Построение (рис. 6).

Построение (рис. 6).

Рис. Рис. 1. Строим луч OA (направление выстрела).

2. Строим луч OA параметр k (скорость равномерного движения снаряда без учета гра 1. Задаем (ползунком) (направление выстрела).

витации) и строкой ввода строим график функции y = kx (зависимость расстояния y от времени 2. Задаем (ползунком) параметр k (скорость равномерного движения снаря x при равномерном движении с постоянной скоростью k ).

3. учета гравитации) отрезок OB и отмечаем на график X, изображающую пере да безНа оси абсцисс строими строкой ввода строимнем точку функции y kx (зави менную x. Задаем анимацию этой точки. При включении анимации точка X будет равномерно двигаться по отрезку (именно с времени xмы строим X на отрезке, а не на всей постоянной симость расстояния y от этой целью при равномерном движении с оси абсцисс).

4. Строим вертикаль через точку X и отмечаем точку C пересечения вертикали с графи скоростью k ).

ком функции y = kx.

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

5. Через точку C проводим горизонталь и отмечаем точку D пересечения ее с осью орди нат. 3. На оси абсцисс X точка D будет передвигаться по осина нем точку X y = kx.

При анимации точки строим отрезок OB и отмечаем ординат по закону, изобра 6. «Переносим» движение точки D на луч OA.

жающую переменную x. Задаем анимациюДля этого проводим окружность с центром этой точки. При включении анима в начале координат и радиусом OD, отмечаем точку E пересечения окружности и луча OA. При включении анимации точки X получаем равномерное движение (именно св этой целью мы ции точка X будет равномерно двигаться по отрезку снаряда E заданном направ лении OA (без учета гравитации).

строим X на отрезке, а строимвсей оси абсцисс). 7. Для учета гравитации не на график равноускоренного движения y = 5x (график сво бодного падения с ускорением g = 10 м/сек2). Отмечаем точку F пересечения параболы с вер тикалью, строим вертикаль через точку XЗаставляем точку E оставлять след. Построение 4. Строим вектор XF и вектор X = X и отмечаем точку C пересечения верти F XF.

EE F X F закончено.

кали с графиком функции y kx.

При анимации точки X точка E, оставляя след, вычерчивает траекторию движения снаря 5. Через точку C проводим в направлении луча OA.

да, выпущенного из начала координатгоризонталь и отмечаем точку D пересечения ее Для нахождения наибольшей дальности полета снаряда строим биссектрису координатно с угла. ординат. При стрельб линии построения можно будет Скорость k можно оси го осьюДля демонстрациианимации точки X точка D спрятать.передвигаться порегу лировать.

ординат по закону y kx. [ 279 ] Построение этой модели можно рассмотреть с учениками 7 класса. В этом примере ученик видит как само движение, так и графики, описывающие отдельные составляющие этого сложно го движения. Устанавливается связь между физикой, математикой и информатикой, показывает ся роль и значение каждой из дисциплин.

библиографический список 1. Алгебра. 7 класс / под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 2004.

2. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra [ 280 ] ИсПОльзОвАНИЕ дИНАМИчЕскОй гЕОМЕтРИчЕскОй сРЕдЫ GeoGebra ПРИ РЕшЕНИИ зАдАч с ПАРАМЕтРАМИ use of A dynAmic Geometric medium of GeoGebrA with the solution of problems with the pArAmeters Г.В. Сосновская, И.В. Климец G.V. Sosnovskaya, I.V. Klimets Динамическая геометрическая среда GeoGebra, функционально-графические методы решения задач с параме трами, координатно-параметрический метод решения задач.

В настоящее время в системе математической подготовки школьников многих стран мира широкое распро странение получают интерактивные средства обучения на базе современных информационных и коммуни кационных технологий, и в частности, интерактивные среды. В статье рассмотрены возможности исполь зования динамической геометрической среды GeoGebra при изучении функционально-графических мето дов решения задач с параметрами. Подробно разобраны различные способы решения задач с параметрами.

The dynamic geometric medium Of geoGebra, it is functional – the graphic methods of solution of problems with the parameters. the parametric-coordinate method of solution of problems.

At present in the system of the mathematical training of the schoolboys of many countries of peace wide acceptance obtain the interactive means of instruction on the base of contemporary information and communication line technologies, and in particular, interactive media. In the article are examined the possibilities of using the dynamic geometric medium Of GeoGebra during the study of the functional-graphic methods of solution of problems with the parameters. The different methods of solution of problems with the parameters are in detail dismantled.

в преподавании математики все чаще используют интерактивные геометрические систе мы, т. е. программные среды, которые позволяют делать геометрические построения на компьютере таким образом, что при перемещении исходных объектов сохраняется иерархия зависимости фигур.

Одной из таких свободно распространяемых (GPL) сред является GeoGebra. Она имеет ши рокие возможности. В ней можно создавать динамические чертежи для использования на раз ных уровнях обучения геометрии, алгебры и других смежных дисциплин. GeoGebra обеспечива ет наглядность учебного материала.

В последние годы задание С5 в вариантах ЕГЭ традиционно является задачей с параметром.

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ Эти задачи типичны и для вступительного экзамена в вуз с высокими требованиями к математи ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

ческой подготовке абитуриентов.

Задания С5 из ЕГЭ последних лет требовали функционально-графического представления.

Геометрическая среда GeoGebra как раз и позволяет сделать наглядный динамический чертеж к таким задачам.

Ниже в качестве примера рассмотрим использование компьютерной программы GeoGebra при решении задания С5 из ЕГЭ различными способами. Все чертежи выполнены в среде GeoGebra, скопированы с экрана компьютера.

Задача. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых наименьшее значение функции f ( x ) = 4ax + x 2 4 x + 3 больше 1.

Функция f ( x ) = 4ax + x 2 4 x + 3 может принимать наименьшее значение, поэтому пе реформулируем условие задачи: найдем все значения параметра а, при которых неравенство x 2 4 x + 3 1 4ax выполняется при любом х.

1 способ. Введем обозначения: g ( x ) = x 2 4 x + 3, h ( x ) = 1 4ax. Построим графики дан ных функций.

[ 281 ] График функции g ( x ) = x 2 4 x + 3 построим поэтапно. Сначала – график функ ции y = x 2 4 x + 3. Для этого удобно разложить левую часть значения параметра в Найдем уравнения на множители y = x 4 x + 3 = ( x 3)( x 1).

том случае, когда Для построения графика параболы выделим полный квадрат в левой части уравнения:

y = ( x 4 x + 4 ) 1 = ( x 2 ) 1. Координаты вершины параболы А(2;

-1).ax пересекает ось прямая h x 1 Найдем значения параметра в Часть графика в верхней полуплоскости и на оси абсцисс оставим без изменения, а вместо том случае, когда абсцисс ей кривую относительно оси Ох.

части графика в нижней полуплоскости строим симметричнуюв точке С(1;

0):

Графиком функции h ( x ) = 1 4ax является прямая, проходящая через точку В(0;

1) с пере прямая4h x 0;

4ax пересекает ось 1 a 1 менным угловым коэффициентом. g ( x) = h ( x), Необходимым и достаточным условием касания графиков функций будет: абсцисс в точке С(1;

0): g ( x ) = h ( x ) a ;

Решим систему методом подстановки: 1 4a 1 0;

g ( x ) = h ( x ), 1 x 2 4 x + 3 = 1 4ax, x 2 4 x (1 a ) + 2 = 0, (*) Ответ: a ;

1 2. a ;

4 2 x2 4 = 4a [:] 2;

g ( x ) = h ( x ) x = 2 (1 a ) ;

4**) ( задачу координатно-параметрическимпараметра не подходит, – значение методом.

2 способ. Решим 1 Найдем значения параметра в Ответ: a ;

1. так как угловой коэффициент касатель x 2 4 x 3 4 1 2 * том к графику функции должен быть ной 4ax случае, когда меньше нуля.

2 способ. Решим задачу координатно-параметрическим 4ax пересекает ось 1. При x 0 неравенство x 2 4 x 3 4axНайдем 1 методом. любом прямая h x значения параметра в том 1 выполнено при случае, когда прямая h ( x ) = 1 4ax пере * x 2 4 x 3 4ax значении а. Далее будем считать, что x 0. абсцисс вабсцисс С(1;

0): С(1;

0):

секает ось точке в точке 1 4a 1 = 0;

1. Рассмотрим случай x 0.

При x 0 неравенство x 2 4 x 3 4ax1 1 выполнено при любом 4a 1 0;

2. a =1 ;

значении а. Далее будем считать, что 4 x0.3 4axa1 44 x 2 4 x 2 4ax 0 или;

x2 x 1 Ответ: a ;

1 +.

2. Рассмотрим случай x 0. x 1 4 1 2 a 1 ;

** Ответ: a ;

1.

способ.x 4ax 1 x 2 4 x 2 4ax 2 x 2 4 x 2Решим задачу координатно-параметрическим 4 или 4 2 методом. рис. 1 изображено множество решений На 2 способ. Решим задачу координатно-параметрическим методом. ( *) x x 2 4 x + 3 + 4ax a 1 ;

** неравенства= 0 неравенство закрашена).4ax 1 выпол 1. При 2 x ** (область x 2 4 x + 3 + x * нено при любом значении а. Далее будем считать, что x 0.

x 2 4 x 3 4ax 2. Рассмотрим случай x 0.множество решений На рис. 1 изображено 1. При x 0 неравенствоx 2 x4 x + 3 3 ax 4ax 1x 2 4 x + 2 + 4axприили 4 x + 4 1 выполнено 0 любом неравенства ** (область закрашена).

Рис. 1 x значении а. Далее будем считать, 4 x 1 2 x ;

(**) a что + 0.

3. Пусть 0 x 1 или x На рис. 1 изображено множество x 2 4 x 3неравенства 3, тогда неравенство решений 4ax 2. Рассмотрим случай x 0. (**) (область закрашена).

Рис. равносильно x 2 4 x 3 4ax 1 0. Следовательно,x x 2 1 4 x или 4ax., тогда не 3.2 Пусть 0 2 x или x 4 x 3 4ax 1 x 2 4 x 2 2 4ax 3. Пусть 0 x 1 или x равенство 3, Поделим x 4 x части axнеравенства на тогда неравенство 4 x 4 x 3 равносиль обе + 3 + 1 4ax x 2 4 x + 3 4ax 1 0.

но Следовательно, x равносильно x 4 x 3 4ax 1 0.a(x 4 4 x +.Таким x 4 x 2 4ax. параметр ** 1 2 ;

4ax.

ax 0) Следовательно, образом, выразим 2 2x Поделим обе части неравенства на (4ax 0). Та ким Поделим обе параметр а:

образом, выразим части неравенства на а: На рис. 1 изображено множество решений На рис. 2 изображено множество решений неравен 4ax x..Таким образом,закрашена).

1 выразим параметр (ства 0)1 Область неравенства ** (областьНа рис. *** закрашена.

a (***) 2x а: Объединим решения неравенств (**) и (***). По изображено множество решений кажем совместное графическое решение этих нера x a 1 3.***. Область закрашена.

неравенства *** венств на рис. На рис. Рис. 1 4 282 ] 2 x [ изображено множество x 2 4 x решений 3. Пусть 0 x 1 или x 3, тогда неравенство 3 4ax неравенства ***. Область закрашена.

2 ***. Покажем совместное параметр а.  неравенства и выразим графическое x 2 4 x 3 4ax 1 0;

решение этих неравенств на рис. 3.4ax x 2 4 x 4 : 4 x 0;

x 1 ;

**** a Объединим решения неравенствx ** и ***.Объединим решения неравенств ** ;

*** ;

* Покажем совместное графическое 4. Пусть 1 x 3. Раскроем модуль,параметра а, при которых решением неравенс решение этих неравенств на рис. 3.

учитывая, что выражение, стоящее подлюбое действительное число (рис. 5).

знаком модуля, меньше нуля.

Перенесем слагаемые в левую часть неравенства1и выразим параметр а.  учи 4. Пусть Пусть. 1Раскроем Раскроем модуль, 4. x 3 x 3. модуль, тывая, что выражение, стоящее x 2 4 x 3 4ax 1 0;

под знаком мо учитывая, Перенесем слагаемые в ле- под что выражение, стоящее x дуля, меньше нуля. y вую часть неравенства и выразимax x 4 x 4 :нуля.0;

4x 4 модуля, параметр а.

знаком меньше 1 x Объединим решения неравенств 1 y a в 1 ;

**** (**) ;

(***) ;

(****) и слагаемые значения па- часть Перенесем найдем все 4 левую 4 2x x раметра а, при которых решением неравенства x 2;

+ 3 + 4ax решения неравенств а.  x 2 4 xнеравенствабудет любое действитель- ;

*** ;

**** и найдем все значения Объединим 1 и выразим параметр** ное число (рис. 5). x 2 4 x 3 4ax 1 0;

параметра а, Пусть которых решением неравенства x 4 x 3 4ax 1 будет 3 способ. при x0 – точка миниму 4ax x 2 4 x 4 : 4 x 0;

ма функции f ( x) = 4ax + x 2 4 x + 3, тогда любое действительное число (рис. 5). x x0 {1;

3;

2a + 2}. a 1 ;

**** 1 2 1 a y 1 1 ;

a Обозначим X = {1;

3;

2a + 2}. ax y 2 ;

Доказательство от противного. Если x0 X, то либо x0 совпадает с точкой локального мак- 4 4 Объединим решения неравенств **максимума (противоречие), либо взначения ;

*** ;

**** и найдем все точке симума 2a + a и поэтому является точкой локального x0 функция f ( x ) монотонна – противоречие.

параметра а, при которых решением неравенства x 2 4 x 3 4ax 1 будет Само минимальное значение min f ( x ) = min { f (1) ;

f ( 3) ;

f ( 2a + a )}.

Найдем все а, при которых min f ( x ) = min { f (1) ;

f ( 3) ;

f ( 2a + a )} 1.

любое действительное число (рис. 5). x Это неравенство равносильно системе неравенств: 1 1 ;

y 2x 1 1 a 1+ ;

2 1 a 1+ 2. y 2 0;

2 4 2x 4 1 4 a 2;

x 2;

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

1 2 x Ответ: a ;

1 +. y 1 ;

4 2 2x библиографическийсписок 0;

Рис. 1 1 1 y 4 2 x 2 1 2 a y 1 1 чертежей XV Международная конференция-выставка 1. y 2 В.Н. Типология динамических ;

// a ;

a Дубровский ;

.

4 24 4 Москва,2005.

2 x 2;

«Информационные технологии в образовании» («ИТО-2005»).

2. Зиатдинов Р.А. О возможностях использования интерактивной геометрической среды GeoGebra 3. в учебном процессе // Материалы 10-й Международной конференции «Системы компьютерной ма тематики и их приложения» (СКМП-2009), СмолГУ, г. Смоленск, 2009. C. 39–40.

3. Зиатдинов Р.А. Геометрическое моделирование и решение задач проективной геометрии в систе Рис. ме GeoGebra // Материалы конференции «Молодежь и современные информационные технологии», 1 168–170. 1 1 2 университет, г. Томск, 2010. C. a y 1 1 ;

a ;

Томский политехнический ay 2 ;

.

Мальцев Д.А., Мальцев А.А., Мальцева Л.И. Математика.4Все для ЕГЭ 2012: кн. 1. Ростов н/Д: Из 4 2 4 4. датель Мальцев Д.А., НИИ школьных технологий, 2011. 272 с.

[ 283 ] ОсОбЕННОстИ ИсПОльзОвАНИя кОМПьютЕРНОй сРЕдЫ GeoGebra ПРИ ОбучЕНИИ МАтЕМАтИкЕ сПОРтсМЕНОв feAtures of the use of A computer environment GeoGebrA when teAchinG mAthemAtics Athletes О.В. Кайсина O.V. Кaisina Информационные технологии, GeoGebra, программа, учебный процесс, функция, исследование функций, ком петенции, государственный стандарт.

В статье описываются возможности использования системы компьютерной среды GeoGebra при изучении курса математики в учреждениях среднего профессионального образования. Отмечаются преимущества применения системы GeoGebra в обучении по сравнению с традиционными подходами. Приводятся приме ры использования системы GeoGebra на примере изучения тригонометрических функций студентами І кур са Дивногорского училища (техникума) олимпийского резерва.

Information technologies, GeoGebra, program, learning process, function, study of function, competences, federal standard.

The article describes the possibilities of using the system of a computer environment GeoGebra at study of mathematics in secondary professional education institutions. Highlights the benefits of the application of the system GeoGebra learning compared to traditional approaches. Examples of system GeoGebra on the example of study of trigonometric functions students of 1 course Divnogorsk school (College) of Olympic reserve.

в современном обществе происходят серьезные изменения, утверждение новой цивилиза ции, воспитывающейся на мультимедийно-цифровой культуре. Характерное для нашего времени использование информационно-коммуникационных технологий в педагогической дея тельности открывает для школьных учителей и преподавателей математики уникальные возмож ности активизации процессов познания. Жизненные потребности современного человека, разви тие общества, высокие требования к образованию молодёжи – всё это говорит о необходимости использования новых форм, средств и методов в учреждениях разного уровня.

Все образовательные учреждения начального и среднего профессионального образования с 1 сентября 2011 года в обязательном порядке перешли на обучение на основе новых федераль ных государственных образовательных стандартов (ФГОС СПО). Новое поколение стандартов в корне отличается от тех, что действовали ранее, оно основано на идеологии формирования со держания образования «от результата». Возникает необходимость формирования у обучающих ся комплекса профессиональных и общекультурных компетенций, в том числе информационной компетентности всех участников образовательного процесса. Это и владение навыками работы в Интернете, и использование новых электронных образовательных ресурсов, информационных средств, технологий в совместной проектной деятельности, умение ориентироваться в совре менном информационном потоке.

Но как органично сочетать традиционные и инновационные технологии в изменяющих ся условиях организации образовательного процесса? Как добиваться нового качества при со кращении учебных часов, выделяемых на изучение дисциплины? Как эффективно организовать учебный процесс, чтобы обучающиеся не только воспринимали готовые знания, а сами пыта лись их добывать? И как измерять это новое качество, какие формы контроля использовать, кро ме традиционных тестов, проверочных и контрольных работ?

Самая главная проблема современного математического образования – разработка учебно методического обеспечения, которое бы отвечало новым стандартам и образовательным целям.

[ 284 ] В организации учебного процесса, в том числе на уроках математики, перед преподавате лем стоят задачи: разработать такие обучающие комплексы и контрольно-измерительные мате риалы, подобрать формы и методы обучения и оценивания результатов подготовки, чтобы каж дый студент:

– освоил государственный стандарт среднего (полного) общего образования по математике (базовый уровень);

– овладел математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни и будущей профессиональной деятельности.

Ситуация осложняется тем, что мы обучаем математике действующих спортсменов, сту дентов училища (техникума) олимпийского резерва и постоянно сталкиваемся с определенны ми проблемами, как то:

– слабый уровень подготовки по предмету большинства студентов при поступлении в обра зовательное учреждение и, как следствие, низкая мотивация на изучение дисциплины;

– отъезды на длительные тренировочные сборы и соревнования (отсутствие студентов на за нятиях от 15 до 80 % учебного времени);

– малое количество часов (117 в год), выделяемых на дисциплину с учетом гуманитарного профиля.

Помимо урочной системы работы возникает необходимость организации учебного процес са с использованием форм индивидуального и дистанционного обучения.

Настоящей «находкой» оказалась для нас математическая программа GeoGebra. Это бес платная программа, предоставляющая возможность создания динамических («живых») черте жей для использования на разных уровнях обучения геометрии, алгебры, планиметрии и других смежных дисциплин. Программа обладает богатыми возможностями работы с функциями (по строение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т. д.). В отличие от других программ для динамического манипулирования геометрическими объектами, идея GeoGebra за ключается в интерактивном сочетании геометрического, алгебраического и числового представ ления. Можно создавать конструкции с точками, векторами, линиями, коническими сечениями, а также математическими функциями, а затем динамически изменять их.

Самая замечательная особенность из GeoGebra – двойное представление объектов: каждое выражение в окне алгебры соответствует объекту в окне геометрии и наоборот.

Кроме того, GeoGebra позволяет напрямую вводить уравнения и манипулировать коорди натами. Таким образом, можно легко составлять графики функций, работать со слайдерами для подбора необходимых параметров, искать символические производные и использовать разные другие команды.

Использовать программу можно как при изучении нового материала в аудитории, так и при составлении комплекса заданий для студентов, выезжающих на тренировочный сбор или сорев II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

нования. Созданные в программе интерактивные задания можно сохранять и пересылать по элек «ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

тронной почте или даже выложить в Интернете. Студенты могут в любой точке мира, имея вы ход в Интернет, использовать онлайн-версию программы. Это доступно, наглядно и интересно.

Рассмотрим несколько вариантов заданий на примере изучения тригонометрических функций студентами І курса. На усвоение данной темы по учебному плану отводится 1 час. Что можно успеть за это время?

При заданных параметрах за считанные секунды строим графики:

Далее проводим исследование 1–2-х функций по об щепринятой схеме. При введении параметров т. д.

и их изменении, описываем «поведение» графика функции. После вычисляем значения функции в выбранных точках. Затем решаем графически уравнения, вида и дру гие. И, наконец, находим точки пересечения графиков нескольких функций.

Экономия времени урока колоссальная.

При формировании комплекса заданий для студентов, выезжающих на тренировочные сбо ры можно использовать такие задания:

[ 285 ] Дан график функции.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на луче.

3. Известно, что. Найдите значение функции при Чем отличаются полученные значения от значений функции в тех же точках? Сде лайте вывод.

4. Опишите, как меняются свойства функции при изменении параметров, за полните таблицу (табл. 1). Сделайте вывод.

Таблица Область определе ния функции «Нули» функции Точки экстремума Промежутки моно тонности Наибольшее и наи меньшее значения функции Экстремумы функ ции Область значений функции Имея минимальный навык работы с программой, обучающиеся могут не только выполнять задания по готовым чертежам, но и осуществлять построения графиков функций, решать урав нения.

Что можно сказать еще о программе GeoGebra? Графика, алгебра и таблицы полностью свя заны между собой и динамичны. Легкий в использовании интерфейс к тому же обладает очень мощными возможностями и при этом постоянно совершенствуется. Данная программа потен циально готова к созданию интерактивного обучающего материала, в том числе веб-страницы.

Вывод напрашивается сам собой: математическая программа GeoGebra оказывается хоро шим инструментом-помощником, позволяющим оптимизировать учебный процесс, украсить его, заинтересовать и мотивировать студента и решить образовательные задачи.

Мы считаем, что каждый преподаватель математики должен включить в свой арсенал при ложение GeoGebra.

библиографический список 1. Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Корешкова Т.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10–11 класс: задач ник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н.

Мишустина, Е.Е. Тульчинская;

под ред. А.Г. Мордковича. 6-е изд. М.: Мнемозина, 2008. Ч. 2. 315 с.

2. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. 4-е изд. стер.

М.: Академия, 2012. 256 с.

3. Система динамической геометрии GeoGebra. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra (дата обра щения 01.10.2013) [ 286 ] сПОсОб дЕлЕНИя ОтРЕзкА НА тРИ РАвНЫЕ чАстИ method of division the seGment into three eQuAl pArts В.К. Гаврилов V.K. Gavrilov Отрезок, деление, равные части, геометрическая прогрессия.

Предложена трактовка способа построения отрезка заданной длины из ряда равных отрезков с применени ем единичного отрезка. Для деления отрезка на три части предложен итерационный способ определения дли ны единичного отрезка по длине отрезка, заданного на деление. В итерационном способе применена геоме трическая прогрессия.

Segment, division, equal parts, geometrical progression.

It is offered method to divide a segment of direct line into three equal parts by division by two with the help of a pair of compasses and a rule using the geometrical progression.

П ри делении полоски бумаги складыванием пополам каждой части полоски после деле ния (рис. 1) наблюдается интересная закономерность: середина минимальной части по лоски, которую ещё можно захватить пальцами и сложить, даёт, в пределах точности деления, одну треть от длины полоски.

0 L/ L/ Рис. Математическая модель деления полоски бумаги на три равные части – деление заданного отрезка прямой линии на заданное число равных отрезков.

Известен [1, с. 90] способ построения заданного отрезка прямой линии из заданного числа равных отрезков, в котором на одной стороне угла откладывают от вершины угла заданный на по II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ строение отрезок;

задают единичный отрезок произвольной длины;

размещают на другой стороне ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

угла друг возле друга заданное число единичных отрезков;

получают, содержащий равные части, отрезок произвольной длины;

проводят через концы заданного и полученного отрезка прямую, па раллельно которой через концы единичных отрезков проводят прямые. Точки пересечения парал лельных прямых со сторонами угла делят по теореме Фалеса заданный отрезок на равные части.

Известен способ деления отрезка на три части, в котором заданный на деление отрезок яв ляется медианой треугольника. В этом треугольнике строят вторую медиану и по свойству деле ния медиан треугольника точкой пересечения на отрезки с отношением длин 1:2, или 1/3 и 1/ от длины медианы, определяют длину единичного отрезка для деления заданного отрезка на три части. Отметим, что в этом способе при построении треугольника и второй медианы используют способ деления отрезка на 2.

Известен способ деления отрезка на равные части делением на 2 [2, с. 251–252]. Приме ним этот способ к делению заданного отрезка. Очевиден алгоритм деления отрезка на ряд из 2N частей, где N – натуральное число 1, 2, 3, …. В частности: N=1, две части;

N=2, четыре части;

N=3, восемь частей и т. д. Три части в этом ряду отсутствуют.

[ 287 ] Предлагается способ деления заданного отрезка прямой линии на три равные части с опре делением длины единичного отрезка итерационным процессом с последовательным делением отрезка на 2. При рассмотрении способа потребуется известная формула [2, с. 220] для суммы s бесконечно убывающей прогрессии с первым членом a1 и знаменателем q:

a s= 1. (1) 1 q Отложим на координатном луче X отрезок длины L от начала координат (рис. 2).

0 L х х х х х х хN = L/ Рис. Рис. Для деления этого отрезка на три равные части найдём длину единичного отрезка способом, показанным на рис. 1. Пунктиром на рис. 2 отмечены отрезки, меняющие знак после деления.

Для деления этого отрезка на три равные части найдём длину единичного от Отрезок, сменивший знак, откладывают от середины последнего после деления отрезка.

резка способом, показанным на рис. 1. Пунктиром на на 2 по следующему алгоритму:

Будем отмечать координату середины отрезка после деления рис. 2 отмечены отрезки, x0 = 0 :

меняющие знак после деления. Отрезок, сменивший знак, откладывают от се x = L/2;

редины последнего после деления отрезка.

x2 = x1 x1 / 2 = x1 (1 1 / 2) ;

Будем отмечать координату середины отрезка после деления на 2 по сле x3 = x2 + x1 / 4 = x1 (1 1 / 2 + 1 / 4) ;

дующему 3алгоритму:1 1 / 2 + 1 / 4 1 / 8) x4 = x x1 / 8 = x1 ( ;

x0 0 :

N x L/2;

x N 1= x N 1 + x1 (1 / 2 ) = x1 ( 1 / 2 ).

N 1 k x2 x1 x1 / 2 x1 (1 1 / 2);

k = (1 1 / координата является суммой первых N членов геометри В xэтом 2 алгоритме1 каждая2 1 / 4);

3 x x1 / 4 x ческойx прогрессии x первым2 членом1 /x8= L/2 и знаменателем q=-1/2, причём |q|1. Тог с (1 1 / 1 / 4 1 );

x3 x1 / 8 да, при 4 неограниченном увеличении числа делений N эта сумма неограниченно при ближается сумме s бесконечно убывающей прогрессии, определяемой по формуле (1).

к N Положив в (1) a1 = x1 = L / 2,N 1q = 1 / 2, получим:

x N x N 1 x1 (1 / 2 ) x1 1 / 2.

k k x1 L s= = x1 =.

В 1этом алгоритме + 1/ 2 3 3 каждая координата является суммой первых N членов Сумму знакопеременного ряда прогрессии можно представить в виде суммы нечётных геометрической прогрессии с первым членом x1= L/2 и знаменателем q=-1/2, и чётных членов.

причём |q|1. Тогда, при неограниченном увеличении) числа делений N N N N xN = x1 ( 1 / 2 ) = x1 ( (1 / 2) (1 / 2) (1 / 2) k 1 2 ( k 1) 2 ( k )= эта сумма неограниченно приближается к сумме s бесконечно убывающей k =1 k =1 k = N N прогрессии, (1 / 4) определяемой) (1 / 2) (1 / 4) k 1.

k = x1 ( по формуле (1).

k =1 k = Положив в (1) a1 x1 L / 2, q 1 / 2, получим:

[ 288 ] x1 L s x1.

1 1/ 2 3 Положив в (1) a1 = x1 = L / 2, q = 1 / 4, получим:

x1 x1 4 2 2 1 s= = x1 x1 = L L. = L.

(1 / 2) 1 1/ 4 1 1/ 4 3 3 3 3 Полученный вариант формулы для предельной точки деле ния s указывает на возможность деления отрезка на три части при q=1/4.

Положив в (1) a1 = x1 = L / 4, q = 1 / 4, получим:

x1 L s= = x1 =.

1 1/ 4 3 Таким образом, предельная точка деления s определяет длину единичного отрезка, которым с помощью циркуля делим заданный отрезок длины L на три равные части.

Предлагаемый способ деления отрезка прямой линии применим и к делению угла на три равные части (трисекция угла). В этом можно убедиться делением прямого угла листа бумаги.

В предлагаемом способе деления число операций деления на 2 не ограничено. В то же время не обходимо отметить, что в прикладных задачах число операций деления ограничено точностью измерений.

библиографический список 1. Погорелов А.В. Геометрия: М.: учебник для 7–11 классов общеобразовательных учреждений. Про свещение, 1997. С. 90.

2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1958.

С. 220.

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

[ 289 ] вЫчЕРчИвАНИЕ кРИвЫх втОРОгО ПОРядкА в сРЕдЕ GeoGebra НА ОсНОвЕ гЕОМЕтРИчЕскОгО МОдЕлИРОвАНИяпрограммном комплексе GeoGebra модели различных разработанные в ОПЕРАЦИй НАд чИслАМИ plottinG curves порядка, а также полученные факты, которые кривых второго of the second order позднее удалось математически обосновать.

in GeoGebrA environment bAsed on the Geometric modelinG operAtions on numbersGeoGebra позволяет:

Компютерное моделирование в среде И.Б. Елисеев - наглядно представить графики функций, а также множества I.B. Eliseev точек, задаваемых указанием характеристического свойства каждого Компьютерные технологии, кривые второго порядка, геометрическое моделирование, среда GeoGebra.

Работа посвящена новому способу построения кривых второго порядка на основе геометрического модели элемента, например кривые второго порядка и другие линии;

рования операций над действительными числами в программном комплексе GeoGebra. Экспериментально получены новые факты, которые удалось математически обосновать.

- Производить эксперименты, подмечая новые факты, чтобы затем Computer technology, second-order curves, geometric modeling, Wednesday GeoGebra.

их математически доказать или опровергнуть.

The work is devoted to a novel method of constructing curves of the second order on the basis of geometric modeling operations on real numbers in the software package GeoGebra. The experimentally obtained new evidence which В ходе работы были определены три основных операции, could justify mathematically.

в которые легли в основу их геометрического моделирования:

динамической геометрии известны «механические» определения кривых второго поряд ка, которые можно визуализировать в компьютерной среде GeoGebra [1]. точку работа 1. Произведением точек и назовем Данная.

посвящена принципиально иному способу построения кривых второго порядка, на базе геоме трического моделирования операций над действительными числамиточки 2. При частным от деления и определенных операций на точку над точками плоскости. Результатом проделанной работы служат: разработанные в программ ном комплексе будем называть точку кривых второго порядка, а также полученные фак GeoGebra модели различных.

ты, которые позднее удалось математически обосновать.

3. Если, то корнем квадратным из точки будем Компютерное моделирование в среде GeoGebra позволяет:

– наглядно представить графики функций, а также множества точек, задаваемых указани считать точку.

ем характеристического свойства каждого элемента, например кривые второго порядка и другие линии;

Теорема 1. Пусть прямые AD и BC пересекают ось абсцисс в точках A – производить эксперименты, подмечая новые факты, чтобы затем их математически дока зать илии B, а ось ординат в точках C и D. Тогда множество всех произведений опровергнуть.

В ходе работы были определены три основных операции, которые легли в основу их гео точек этих прямых есть парабола, пересекающая ось абсцисс в точках A и метрического моделирования:

1. Произведением точек и назовем точку.

B, с осью симметрии, параллельной оси ординат.

2. При частным от деления точки на точку будем называть точку. Доказательство. Докажем, что произведение данных прямых AD и BC 3. Если, то корнем квадратным из точки будем считать точку.

есть 1. Пусть прямые AD и BC пересекают ось абсцисс в параллельны ось ординат парабола. По условию, данные прямые не точках A и B, а оси ординат, а Теорема в точках C и D. Тогда множество всех произведений точек этих прямых есть парабола, пересе значит задаются уравнениями вида соответственно и кающая ось абсцисс в точках A и B, с осью симметрии, параллельной оси ординат.

Доказательство. Докажем, что произведение данных прямых AD а значит парабола. 0.

По условию, эти прямые не параллельны оси абсцисс, и BC есть и a По условию, данные прямые не параллельны оси ординат, а значит задаются уравнениями вида соответственно По определению, произведением данных прямые не параллельны множество и По условию, эти прямых является оси аб и a1 0. По определению, произведением данных прямых является мно сцисс, а значит жество {( x, (ax b)(a1 x b1 ) | x R}, задаваемое уравнением, задаваемое уравнением.

. Поскольку, то это парабола, пересекающая ось аб Поскольку, то это парабола, пересекающая ось абсцисс в точках [ 290 ], ось которой проходит через середину отрезка AB, и Геометрическое моделирование утверждения теоремы в системе GeoGebra приводит к рисункам 1–4, взятым с экрана компьютера.

В дополнение заметим, что если данные прямые AD и BC составляют с, ось которой проходит через середину отрезка AB, парал сцисс в точках и положительным направлением оси абсцисс одновременно острые (тупые) лельно оси ординат. Теорема доказана.

Геометрическое моделированиеодинаковые теоремы в и имеют утверждения знаки системе GeoGebra приводит к ри углы, то и. Ветви параболы сункам 1–4, взятым с экрана компьютера.

направлены вверх (рис. 1, 3,данные прямые одна BC составляют с положительным на В дополнение заметим, что если 4). Если же AD и из данных прямых образует с правлением оси абсцисс одновременно острые (тупые) углы, то и имеют одинаковые знаки и положительным направлением вверх (рис. 1, 3,острый угол, а из данных прямых об. Ветви параболы направлены оси абсцисс 4). Если же одна вторая – тупой, то разует с положительным направлением оси абсцисс острый угол, а вторая – тупой, то и ветви параболы направлены вниз (рис. 2). Если данные прямые и ветви параболы направлены вниз (рис. 2). Если данные прямые совпадают, то парабола касает ся оси абсцисс (рис. 4).

совпадают, то парабола касается оси абсцисс (рис. 4).

Рис. 1 Рис. Рис. Рис. II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

Рис. Рис. Рис. 3 Рис.

Теорема 2. Пусть Пусть дана парабола, осьпараллельна оси ординат оси ординат и Теорема 2. дана парабола, ось которой которой параллельна и ветви парабо лы направлены вниз. Если парабола пересекает ось абсцисс в точках A и B, то корни квадрат ные из точек параболы и симметричные им точки на отрезке AB образуют эллипс с осью ABв ветви параболы направлены вниз. Если парабола пересекает ось абсцисс, а вне этого отрезка вместе с точками A и B образуют гиперболу с осью AB. Если же пара точках A и B, то корни квадратные из точек параболы и симметричные им бола не пересекает ось абсцисс, то корни квадратные из точек параболы и симметричные им точки образуют гиперболу с горизонтально расположенными ветвями.

Рис. 5, созданный на экране в среде GeoGebra, подтверждает теорему.

Доказательство. По условию, данная парабола задается уравнением y = ax + bx + c, где a 0.

[ 291 ] Доказательство. По условию, данная парабола задается уравнением y ax2 bx c, где a 0.

1. Пусть D b2 4ac 0 и парабола имеет корни x1 x2 в точках 1. A( x1,0) и=B( x2,0). Корни квадратные корни x1 параболы задаются уравнением Пусть D b 4ac 0 и парабола имеет из точек x2 в точках A( x1,0) и B ( x2,0).

Корни квадратные из точек параболы задаются уравнением y = ax 2 + bx + c, а точки им сим y ax2 bx c, а точки им симметричные задаются уравнением метричные задаются уравнением y = ax 2 + bx + c. И те, и другие удовлетворяют уравне = ax 2 + + c нию yy | ax 2 bxbxc |.. И те, и другие удовлетворяют уравнению y 2 | ax2 bx c |.

Рис. Рис. 1.1. Пусть точка X ( x,0) пробегает отрезок AB, то есть x1 x x2. Тогда | ax 2 + bx + c | = ax 2 + bx + c и последнее уравнение принимает вид y 2 = ax 2 + bx + c. Если 1.1. Пусть точка X ( x,0) пробегает отрезок AB, то есть x1 x x2. Тогда D = 0, то уравнение определяет точку A = B оси абсцисс. Если же D 0, то уравнение приво каноническому уравнению эллипса, одной из осей которого является отрезок AB.

дится |кax2 bx c | ax2 bx c и последнее уравнение принимает вид 1.2.2 Пусть x x1 или x x2, то есть точка X ( x,0) находится вне отрезка AB или со впадает ax концами. Если Dax 0+ bx + c | = (ax + bx + c ), уравнение имеет Bвид y с его bx c. Тогда | 2, то уравнение определяет точку A оси 2 y = (ax + bx + c) и приводится к каноническому уравнению к каноническомуAB.

абсцисс. Если же D 0, то уравнение приводится гиперболы с осью уравнению 2. Пусть данная парабола y = ax + bx + c не пересекает ось абсцисс, то есть 4ac 0. Тогда y 0 для любого является отрезок AB D = bэллипса, одной из осей которого x. Следовательно, | ax 2 +. bx + c | = (ax 2 + bx + c) и множество всех корней квадратных из точек параболы вместе с симметричными им точками 2 удовлетворяют уравнению y = (ax + bx + c). Приведем его к каноническому уравнению ги перболы. b2 b2 b 2 b 2 4ac b 2 Имеем: y = a ( x + 2 x+ 2) + c) = a( x + ), откуда 2a 4a 4a 2a 4a b a( x + ) y b2 b 4ac b 2a + = 1. Обозначим x = x +.

a( x + ) + y =, 2 b 4ac b 4ac 2a 4a 2a 4a 4a Так как b 4ac 0, a 0, то существует действительное число a1 такое, что b 2 4ac b 2 4ac 2 a1 = и существует действительное число b1 такое, что b1 =.

4a 2 4a [ 292 ] y 2 x В новой системе координат уравнение приобретает вид 2 2 = 1 – каноническое уравнение b1 a гиперболы с вертикально расположенными ветвями. Теорема доказана.

Теорема 3. При любом выборе вершин треугольника ABC, основание которого BC, лежит на оси абсцисс, результатом деления точек прямой AB на точки прямой AC является равнобоч прямой AB на точки прямой AC есть кривая. После ная гипербола, проходящая через точку пересечения прямой AC с осью абсцисс и имеющая вер тикальную асимптоту, проходящую через точку пересечения прямой AB с осью абсцисс. При этом гипербола нена d получаемвершину A заменить любой точкойзависящее от к оси аб сокращения изменится, если уравнение, не перпендикуляра d. Это сцисс, проходящего через проекцию точки A на эту ось.

означает, что при замене вершины треугольника:

Доказательство. Выбираем точки A другой точкой,,. Уравнение с той же проекцией прямой AB:, откуда. Аналогично получаем уравнение прямой АС:

на ось абсцисс получаем ту же самую кривую.

. Результат деления точек прямой AB на точки прямой AC есть кривая Видим, что кривая проходит через точку и имеет вертикальную. После сокращения на d получаем уравнение, не зависящее от d.


Это означает, что при замене точки A другой точкой.

асимптоту, проходящую через точку с той же проекцией на ось абсцисс получаем ту же самую кривую.

Видим, что кривая проходит что линия, задаваемая уравнением асимптоту, проходя Осталось доказать, через точку, есть и имеет вертикальную щую через точку.

гипербола. Для этоголиния, задаваемая уравнением уравнение, к каноническому Осталось доказать, что достаточно привести это есть гипербола. Для этого достаточно привести это уравнение к каноническому виду. Геометрическое моделирова виду. Геометрическое моделирование деления точек прямой AB на точки ние деления точек прямой AB на точки прямой AC представлено на рис. 6, взятом с экрана. Тео рема доказана. представлено на рис. 6, взятом с экрана. Теорема доказана.

прямой AC II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

Рис. 6 Рис.

Теорема 4. 1. Всякую параболу при подходящем выборе прямоугольной декартовой системы Теорема 4. 1. Всякую параболу при подходящем выборе прямоугольной координат можно представить в виде множества всех произведений точек некоторых прямых.

2. Всякий эллипс при подходящем выборе прямоугольной декартовой системы коорди декартовой системы координат можно представить в виде множества всех произведений точек некоторых 293 ] [ прямых.

2. Всякий эллипс при подходящем выборе прямоугольной декартовой нат можно представить в виде множества всех корней квадратных из точек параболы, абсциссы которых принадлежат отрезку.

3. Всякую равнобочную гиперболу при подходящем выборе прямоугольной декартовой си стемы координат можно представить в виде множества всех точек, являющихся результа том деления точек одной прямой на точки другой прямой.

Доказательство. 1. Известно, что парабола есть множество тех и только тех точек, каждая из которых одинаково удалена от данной точки F (называемой фокусом) и от данной прямой (на зываемой директрисой). Пусть расстояние от фокуса до директрисы равно 2p. Определим пря моугольную декартову систему координат, взяв в качестве оси абсцисс прямую, параллельную директрисе и делящую расстояние от точки до директрисы пополам, а в качестве оси ординат – ось данной параболы. Тогда данная парабола будет задана каноническим уравнением.

Перепишем его в виде. Видим, что множество всех точек параболы есть множество, то есть представляет собой множество всех произведений точек прямой на точки прямой (являющейся биссектрисой 1–3 координатных углов).

2. Пусть дан эллипс. Известно, что можно выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы данный эллипс задавался каноническим уравнением.

Перепишем уравнение в виде,. Последнее уравнение за дает множество всех корней квадратных из точек параболы, которая представляет собой множество всех произведений точек прямых и.

3. Пусть дана равнобочная гипербола. Известно, что можно выбрать прямоугольную2 си x2 y стему координат так, чтобы данная гипербола задавалась каноническим уравнением 2 2 = a a. Перепишем уравнение в виде x y = a. Перейдем к новой прямоугольной си 2 2 стеме координат по формулам x1 = x + y, y1 = x y. В новой системе a 2 x1 y1 = a 2 y1 = координат уравнение гиперболы примет вид, или 2x.

Это уравнение задает множество всех частных от деления точек прямой y1 = a на точки прямой y1 = 2x1. Теорема доказана.

библиографический список 1. Система динамической геометрии GeoGebra [Электронный ресурс]. URL: http://ru.wikipedia.org/ wiki/GeoGebra (дата обращения 05.11.2012) 2. Мордкович А.Г, Семенов П.В. Алгебра и начала анализа 11 класс. учебник для учащихся общеоб разовательных учреждений (профильный уровень): в 2 ч. 6-е изд., М.: Мнемозина, 2009. Ч. 1. 286 с.

3. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. 871 с.

4. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ / // BHV Невский Диалект, 2004. 816 с.

[ 294 ] сИстЕМЫ дИНАМИчЕскОй гЕОМЕтРИИ кАк сРЕдствО РАзвИтИя ПОзНАвАтЕльНОгО ИНтЕРЕсА шкОльНИкОв systems of dynAmic Geometry As the meAns of the development of the coGnitive interest of the schoolboys А.В. Анциферова A.V. Antsiferova Познавательный интерес, системы динамической геометрии, занимательные задачи математики.

Рассматривается вопрос, связанный с использованием систем динамической геометрии на развитие позна вательного интереса школьника. Обосновывается, что при изучении геометрии, использование заниматель ных задач в сочетании с применением систем динамической геометрии способно более эффективно влиять на развитие познавательного интереса обучающихся за счет интерактивности и анимационности чертежей, простоты построения и высокой степени наглядности.

Cognitive interest, the system of dynamic geometry, the entertaining tasks of mathematics.

Is examined the question, connected with the use of systems of dynamic geometry for the development of the cognitive interest of schoolboy. It is based, which during the study geometry, use of entertaining tasks in combination with the application of systems of dynamic geometry is capable of more effectively influencing the development of the cognitive interest of trainers due to the interactivity and animatsionnosti of drawings, simplicity of construction and high degree of clarity.

И сследованию понятия «мотивы учения» посвящены работы многих педагогов и психо логов (В.Г. Асеев, Л.И. Божович, И.С. Кон, А.К. Маркова, М.В. Матюхина, Г.И. Щукина, А.Т. Шумилин), большинство из них выделяют познавательный интерес как один из доминиру ющих мотивов учения. Под познавательным интересом понимают «избирательную направлен ность личности, обращенную в область познания к ее предметной стороне и к самому процес су овладения знаниями», который, «создавая внутреннюю среду» развития, существенно меняет силу деятельности, влияет на ее характер протекания и результат [3, с. 18].

В.А. Гусев, анализируя средства, влияющие на формирование познавательного интереса при изучении математики, в качестве одного из существенных средств, выделяет занимательность материала. Он подчеркивает, что задачи занимательного характера могут служить «прекрасным способом вызвать у учащихся интерес к изучению математики» [2, с. 296]. Действенность ис II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

пользования занимательных математических задач в формировании познавательного интере са обучающихся подтверждается исследованиями многих методистов и педагогов (В.А. Гусев, Б.Л. Кордемский, А.Н. Леонтьев, Я.И. Перельман, Я.А. Пономарев).

На сегодняшний день формы и методы работы, направленные на формирование познава тельного интереса средствами занимательных задач геометрического содержания, могут быть расширены использованием возможностей систем динамической геометрии («Живая геоме трия», GeoGebra, Kig и другие). Эти системы, вовлекая обучающихся в активную познаватель ную деятельность, способны усиливать эффективность работы над формированием устойчиво го познавательного интереса.

Для подтверждения вышесказанного, предложим пример организации работы над одной из занимательных задач (из книги Н.Б. Васильева и В.Л. Гутенмахера [1], с. 8, задача 0.2) при из учении кривых второго порядка.

Задача (сползающая лестница). Лестница, стоявшая на гладком полу у стены, соскальзы вает вниз. По какой линии будет двигаться котенок, если он сидит не на середине лестницы?

[ 295 ] Задача (сползающая лестница). Лестница, стоявшая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз. По какой линии будет двигаться котенок, если он сидит не на середине лестницы?

С помощью инструментов любой из систем динамической геометрии, С помощью инструментов любой из систем динамической геометрии, например, «Живая ге ометрия», построим модель задачи (рис. 1).

например, «Живая геометрия», построим модель задачи (рис. 1).

В K А С Рис. Рис. Опишем вкратце этапы создания динамического чертежа. Сначала был построен прямой Опишем вкратце этапы создания динамического чертежа. Сначала был угол с вершиной в А, затем на горизонтальной стороне угла, изображающей пол, произвольно выбрана точка С (нижний конец лестницы).вТочка В (верхний конец лестницы)стороне угла, построен прямой угол с вершиной А, затем на горизонтальной получена как пе ресечение отрезка-стены и окружности с центром в точке С и радиуса, равного длине лестни цы (длина лестницыпол, произвольно выбрана точка С и отрезок спрятаны). Точки В и С изображающей задана некоторым отрезком, окружность (нижний конец лестницы).

соединены отрезком-лестницей. На отрезок ВС помещена точка К так, чтобы ВК КС. Изме Точка В (верхний положение точки С, получена как пересечение отрезка-стены няя с помощью курсора конец лестницы) исследователь получает возможность создать дина мический эффект скольжения лестницы по и радиуса, равного длине лестницы какую ли и окружности с центром в точке С полу. Для наглядного представления того, (длина нию вычерчивает котенок, назначим точке К атрибут «оставлять след». Начнем с помощью точ лестницы задана некоторым отрезком, окружность и отрезок спрятаны).

ки С перемещать лестницу.

Точки В и С соединены отрезком-лестницей. На отрезок ВС помещена точка К так, чтобы ВК КС. Изменяя с помощью курсора положение точки С, исследователь получает возможность создать динамический эффект скольжения лестницы по полу. Для наглядного представления того, какую линию вычерчивает котенок, назначим точке К атрибут «оставлять след».

Начнем с помощью точки С перемещать лестницу.

В K А С Рис. Рис. На рабочем поле появится линия – след точки К (рис. 2). Визуально оценивая, можно пред На рабочем дуга окружности с центром в– след ПроверимК (рис. 2). Визуально положить, что это поле появится линия точке А. точки нашу гипотезу. По определе нию, точки окружностипредположить, центра А, дуга окружности с центром в точке оценивая, можно равноудалены от что это поэтому измерим расстояние АК, повторим опыт.


А. Проверим нашу гипотезу. По определению, точки окружности равноудалены от центра А, поэтому измерим расстояние АК, повторим опыт.

[ 296 ] оценивая, можно предположить, что это дуга окружности с центром в точке А. Проверим нашу гипотезу. По определению, точки окружности равноудалены от центра А, поэтому измерим расстояние АК, повторим опыт.

В АK = 4,15 см АK = 4,53 см K В K А А С С Рис. Рис. Видим, что расстояние АК непостоянно, значит, наше предположение неверно. Продолжим Видим, что расстояние АК непостоянно, значит, наше предположение рассуждения.

радиусамиПродолжим рассуждения. точка К максимальноточку Х, построимна рас неверно. ВК и СК (рис. 4), выберем на первой из них удаляется от точки А луч Замечаем, что на горизонтальной прямой стояние ВК, а на вертикальной прямой – на расстояние СК. Можно предположить, что траек тория найдем эллипса. Дляна Y горизонтальнойвторой окружностью (на рисунке АХ, КЗамечаем, что проверки этой гипотезы построим эллипс с полуосями ВК и СК.

– дуга пересечение этого луча со прямой точка К максимально Для этого опять воспользуемся динамическими возможностями среды «Живая геометрия». По удаляется точек спрятаны). Проведем через Х вертикальной а через Y – обозначенияот точки А на расстояние ВК, а на вертикальную, прямой – на строим две концентрических окружности с центром в А и радиусами ВК и СК (рис. 4), выберем нарасстояние СК. Можно предположить, что М – общую К луча со второй окружно горизонтальную прямые, обозначим через траектория точку этих прямых.

первой из них точку Х, построим луч АХ, найдем пересечение Y этого – дуга эллипса. Для стью (на рисунке обозначения точек спрятаны). Проведем через Х вертикальную, а через Y – го Зададим для М гипотезы построим общую точку этих прямых. Зададим для М атрибут проверки прямые, обозначим через М эллипс для точки Х ВК и СК. Для этого ризонтальную этой атрибут «оставлять–след», а с полуосями – опцию «анимация «оставлять след», а для точки Х – опцию «анимация точки».

точки».

опять воспользуемся динамическими возможностями среды «Живая геометрия». Построим две концентрических окружности с центром в А и M В K А II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

С «ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

Рис. Рис. При анимации точка точка М вычертит эллипс, который будет содержать При анимации М вычертит эллипс, который будет содержать траекторию движения точки К. Таким образом, имеется возможность экспериментально подтвердить гипотезу о том, траекторию движения точки К. Таким образом, дугу эллипса.

что при скольжении лестницы котенок, сидящий на ней, описываетимеется возможность Исследование задачи может быть продолжено, например, выяснением вопроса о зависимо экспериментально подтвердить гипотезу о том, что при скольжении сти формы эллипса от расположения котенка на лестнице. Кроме того, строгого доказательства лестницы котенок, сидящий на ней, описывает дугу эллипса.

[ 297 ] Исследование задачи может быть продолжено, например, выяснением вопроса о зависимости формы эллипса от расположения котенка на лестнице.

сформулированной гипотезы никто не отменял, и это должно стать следующим шагом деятель ности, уже без использования компьютера.

Итак, в работе над предложенной задачей учащийся находит правильное решение опытным путем за счет средств системы динамической геометрии. При этом занимательный сюжет зада чи вызывает интерес на первом этапе работы, а система динамической геометрии поддержива ет этот интерес в процессе поиска ее решения. Таким образом, можно заключить, что при изу чении геометрии, использование занимательных задач в сочетании с применением систем дина мической геометрии способно более эффективно влиять на развитие познавательного интереса обучающихся за счет интерактивности средств, легкости построения чертежей, высокой степе ни наглядности.

библиографический список 1. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. М.: МЦНМО, 2006.

2. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. М.: Вербум-М, Академия, 2003.

3. Щукина Г.И. Педагогические проблемы формирования познавательного интереса учащихся. М.:

Просвещение, 1995.

[ 298 ] «жИвАя гЕОМЕтРИя» кАк сРЕдствО сАМОкОНтРОля ПРИ РЕшЕНИИ вЫчИслИтЕльНЫх зАдАч ПО стЕРЕОМЕтРИИ livinG Geometry As the meAns of self-control with the solution of computAtionAl problems by stereometry В.Р. Майер, Т.В. Апакина, М.Ю. Баранова V.R. Mayer, T.V. Apakina, M.Y. Baranov Самоконтроль знаний, интерактивная геометрическая среда, «Живая геометрия», стереометрическая зада ча, расстояния, величины углов.

Рассматривается актуальный в теории и методике обучения математике вопрос, связанный с организацией и проведением учащимися самостоятельного контроля решения задач по математике. Обосновывается воз можность использования интерактивной геометрической среды «Живая геометрия» в качестве средства са моконтроля при решении вычислительных задач по стереометрии.

The self-control of knowledge, interactive geometric medium, living geometry, stereometric task, distance, the value of angles.

Is examined urgent in theory and procedure of instruction in mathematics the question, connected with the organization and the conducting by the students of the independent of the checking of solution of problems by mathematics. Is based the possibility of using the interactive geometric medium «living geometry» as the means of self-control with the solution of computational problems by stereometry.

к акие возможности есть у учащегося, чтобы проверить ответ, найденный им при самосто ятельном решении математической задачи? Ученику хорошо известно, что если такой за дачей является нахождение корней алгебраического уравнения, то полученные в результате ре шения значения переменной необходимо подставить в данное уравнение и проверить, совпадает левая часть уравнения с правой или нет. Несовпадение означает наличие ошибки либо в вычис лениях, либо в используемой формуле.

Поскольку большинство задач элементарной геометрии взято из практики и носит эмпири ческий характер, то достоверность результата тех или иных вычислений с большой степенью вероятности можно проверить опытным путем, используя для этого специальным образом по строенную геометрическую конфигурацию, моделирующую решение задачи. В первую очередь это относится к планиметрическим задачам метрического характера, поскольку чертеж, сопро II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

вождающий решение такой задачи, при необходимости можно выполнить так, что графические образы данных отрезков и углов будут близки к тем значениям, которые заданы условием зада чи. В связи с этим окажется близкой к верному и величина того искомого объекта (отрезка, угла и т. д.), которое будет построено на таком чертеже. Особенно, если чертеж выполнялся не вруч ную, а с использованием информационных технологий.

К сожалению, при решении метрических задач в евклидовом пространстве такая методи ка самоконтроля практически не срабатывает. Связано это с тем, что при изображении на пло скости стереометрических фигур расстояния между точками и величины углов, вообще говоря, не сохраняются. Решение таких задач иногда сопровождают построением твердотельной модели исследуемой геометрической конфигурации, удовлетворяющей всем перечисленным в условии задачи требованиям. Для проверки найденного решения на этой модели находят реальное зна чение искомой величины, затем сравнивают его с тем, которое получено в результате теоретиче ских рассуждений. Такая методика проверки найденного решения изредка используется учите лями при решении одной–двух несложных задач, причем делается это скорее для демонстрации [ 299 ] важности геометрического моделирования как такового. При решении же большого числа стере ометрических задач ее применение как средства самоконтроля нерационально.

Обойти возникающие трудности можно, если воспользоваться конструктивными, динами ческими и вычислительными возможностями одной из интерактивных геометрических сред, на пример, «Живая геометрия». Обоснуем этот тезис.

Как известно, для решения стереометрической задачи на вычисление искомой величины и оценки полученного результата, рекомендуется выполнить следующие действия:

– построить верное и достаточно наглядное изображение геометрической конфигурации, ко торая задана условием задачи;

– вычленить из построенной конфигурации те объекты, которые участвуют в вычислении искомой величины;

в случае, если эти объекты заслонены другими элементами чертежа – изме нить ракурс изображения;

– построить вспомогательные фигуры, которые вместе с найденными ранее объектами по зволяют выразить значение искомой величины через данные величины, вычислить значение тре буемой величины;

– осуществить самоконтроль, оценив полученный результат с точки зрения его достоверно сти.

Применение компьютерной среды «Живая геометрия» при обучении решению этих доста точно важных в геометрической подготовке школьников задач позволяет эффективно выполнить каждое из перечисленных выше действий.

Действительно, изображение исследуемой геометрической конфигурации на рабочем поле «Живой геометрии» позволяет избежать многих ошибок построения вручную. Например, ис ключить проведение перпендикулярных прямых, которые таковыми не являются и других. Все электронные построения выполняются быстро и безошибочно.

При вычленении на построенном изображении искомых объектов зачастую становится по нятно, что исследуемую конфигурацию для большей наглядности следует изобразить несколь ко иначе. «Живой» чертеж позволяет в течение нескольких секунд с помощью мышки так распо ложить фигуру, чтобы необходимые для решения задачи элементы оказались представленными с максимальной степенью наглядности.

Среда «Живая геометрия» дает возможность оперативно включить искомый объект в ту или иную вспомогательную фигуру, окрасить ее, сделав этот фрагмент чертежа более ярким и на глядным. Если выяснится, что выбор сделан неудачно, можно, не снижая качества изображения, легко перейти к другим вспомогательным фигурам.

И, наконец, одно из самых ощутимых преимуществ заключается в том, что среда «Живая геометрия» предоставляет дополнительные возможности, связанные с оценкой полученного ре зультата. Используя графические и вычислительные опции этой компьютерной среды, можно либо убедиться в том, что найденное решение задачи с большой долей вероятности является вер ным, либо установить, что решение ошибочно.

Наиболее часто встречающиеся метрические задачи в стереометрии – нахождение величин углов и расстояний. Чтобы найти величину угла между двумя прямыми, В.Н. Литвиненко и О.А.

Батугина в учебном пособии [1] рекомендуют «построить на изображении заданной фигуры тре угольник, один из углов которого равен искомому углу, найти все стороны этого треугольни ка и воспользоваться затем теоремой косинусов». Использование информационных технологий при решении подобных задач описано в пособии [2].

Проиллюстрируем применение среды «Живая геометрия» как средства компьютерного са моконтроля при решении следующей задачи стереометрии.

Задача. Фиксированы две вершины некоторой грани куба, не принадлежащие одному ре бру. Найдите косинус угла между плоскостями, одна из которых содержит середины трех ре бер куба, исходящих из одной фиксированной вершины, вторая – середины трех ребер куба, ис ходящих из другой фиксированной вершины.

[ 300 ] плоскостей находится достаточно далеко за пределами куба, рассмотрим куба плоскости АСF и CFH, параллельные данным и пересекающиеся по прямой CF.

– треугольниками MKN и PQL. Поскольку линия пересечения этих плоскостей что угол между этими плоскостями равен искомому.

Ясно, находится достаточно далеко за пределами куба, рассмотрим Решение.

плоскости АСF и CFH, параллельные данным и пересекающиеся по прямой CF.

2. Найдем линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями 1. Используя среду «Живая геометрия», построим на его рабочем поле (рис. 1) «живой» куб Ясно, что угол между этими плоскостями равен искомому.

ABCDEFGH, Проведем в обозначим через а. Плоскости, о которых идёт прямой CF, за ACF и CFH.длину его ребрапервой плоскости перпендикуляр АТ к речь в условииво 2. Найдем линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями линия пересе дачи, представлены сечениями куба – треугольниками MKN и PQL. Поскольку второй плоскости – перпендикуляр HT,далеко за пределами куба,Ясно, что АТН – чения этих плоскостей находится достаточно где Т – середина СF. рассмотрим плоскости ACF и CFH. Проведем в первой плоскости перпендикулярпрямойпрямой CF, во АТ к CF. Ясно, что угол между эти АСF и CFH, параллельные данным и пересекающиеся по искомый линейный искомому.

угол.

ми плоскостями равен второй плоскости – перпендикуляр HT, где Т – середина СF. Ясно, что АТН – 2. Найдем линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ACF и CFH. Прове искомый в первой плоскости перпендикуляр АТ к прямой треугольника АТН: АН = а 2, НТ линейный угол. стороны равнобедренного CF, во второй плоскости – перпендикуляр 3. Найдем все дем 2a АТН треугольника – длина = 3. АТ = Т –все2стороныЯсно, 2чтоa 2 / 2 – искомый линейный угол. а 2,куба.

= Найдем АС CTСF.равнобедренного a 3 / 2, где аАТН: АН ребра НТ HT, где середина 3. Найдем все стороны равнобедренного треугольника АТН: АН = а 2, НТ = АТ = = АТ = АС 2 CT 2 2a 2 a 2 / 2 a 3 / 2, где аа––длина ребра куба.

где длина ребра куба.

G QG L FQ L F H H P P 3/ a a 3/ T E T N E N a a a 3/2 a 3/2 a a C C K K a a a2 a B B D D M a M a A A Рис. 1 Рис. Рис. 4. Используя для треугольника АТН теорему косинусов, получаем 4. Используя для треугольника АТН теорему косинусов, получаем искомую величину cos II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

4. Используя для треугольника АТН теорему косинусов, получаем искомую величину cos = 1/3.

= 1/3.

искомую величинусамоконтроль.

Компьютерный cos = 1/3.

Компьютерный самоконтроль.

Для того чтобы оценить вероятность того, что найденное решение является верным, вос Компьютерный самоконтроль.

пользуемся конструктивными и вычислительными возможностями среды «Живая геометрия».

Для этого:

1. Построим произвольный отрезок а, на этом отрезке как на стороне построим квадрат ABCD – одну из граней куба (рис. 2).

2. «Уложим» треугольник AFC в плоскость чертежа, повернув его для этого вокруг прямой АС до совмещения плоскости треугольника с плоскостью грани. Поскольку стороны треуголь ника – диагонали равных между собой граней куба, то для изображения AFC достаточно с по мощью виртуальных циркуля и линейки на отрезке АС как на стороне построить равносторон ний треугольник.

3. По отрезкам АС = a 2 и АТ = a 2 / 3 построим равнобедренный треугольник ATH с основанием АН = АС и равными боковыми сторонами АТ и НТ. С помощью команды «Угол»

[ 301 ] НТ. С помощью команды «Угол» меню команд «Измерения», находим величину угла АТН, выводим ее на рабочее поле (на рис. 2 = АТН = 70,53), затем с помощью графического калькулятора вычислим косинус угла.

Отметим, что эта величина (0,333…) совпадает АТН, выводим еевыше значением рис. с найденным на рабочее поле (на меню команд «Измерения», находим величину угла 1/3. = = 70,53), затем с помощью графического калькулятора вычислим косинус угла. От АТН метим, что эта величина (0,333…) совпадает с найденным выше значением 1/3.

F a 2T C T B a2 a 3/ a 3/ a a 3/ a a a A D A H cos= cosATH = 0, = ATH = 70, Рис. Рис. 4. Изменяя с помощью мышки размеры отрезка АD, замечаем, что величина угла АТН оста ется постоянной. Все это позволяет с большой долей вероятности считать, что найденное реше ние – верное.

библиографический список 1. Литвиненко В.Н., Батугина О.А. Геометрия. Готовимся к ЕГЭ. 10 класс: пособие для учащихся обще образоват. учреждений. М.: Просвещение, 2011.

2. Майер В.Р., Анциферова А.В., Апакина Т.В. Решение треугольников с параметрами. Компьютерное сопровождение: учеб. пособие / Краснояр. гос. пед. ун-т им. В.П. Астафьева. Красноярск, 2011. 192 с.

[ 302 ] ИсПОльзОвАНИЕ «жИвОй гЕОМЕтРИИ»

в РЕшЕНИИ ПРОблЕМ гЕОМЕтРИчЕскОй ПОдгОтОвкИ студЕНтОв-ПЕРвОкуРсНИкОв usinG «livinG Geometry» in solvinG problems of first-yeAr students’ Geometric trAininG Е.А. Семина E.A. Semina Геометрическая подготовка студентов-первокурсников, информационные технологии, ЕГЭ.

Данная статья посвящена описанию существующих проблем в геометрической подготовке абитуриентов и студентов-первокурсников в условиях проведения ЕГЭ. Обоснована необходимость осуществления предва рительной подготовки первокурсников к восприятию вузовского курса геометрии. Предложен один из воз можных путей решения данной проблемы – создание компенсационного курса по основным темам курса планиметрии и стереометрии с привлечением динамической компьютерной среды «Живая геометрия».

Geometric training of first-year students, information technology, Unified State Exam (EGE).

This article devoted to description of existing problems in geometric training of students and first-year students in conditions of the EGE. The article substantiates the need for preliminary preparation of first-year students to the perception of geometry course. The paper proposes one of the possible ways to solve this problem, namely the creation of a compensation course on the main topics of the planimetry course and stereometry with the involvement a dynamic computer environment «Living geometry».

в последние годы наблюдается тенденция снижения качества подготовки учащихся по ма тематическим дисциплинам, о чем свидетельствует статистика результатов единого госу дарственного экзамена (ЕГЭ) и практика преподавания на младших курсах отделения математи ки ИМФИ КГПУ им. В.П. Астафьева. Особенно это относится к одному из основных разделов школьного курса математики – геометрии. Подавляющее большинство выпускников школ вооб ще не приступают к выполнению заданий с геометрическим содержанием, а из тех, кто присту пает к решению, лишь единицы справляются с предложенными заданиями. Анализ отчета о ре зультатах ЕГЭ в Красноярском крае в 2013 году, представленным Центром оценки качества об разования [2], позволил выявить проблемы в геометрической подготовке выпускников, связан ные с недостаточным развитием пространственных представлений, недостаточно сформирован ными умениями правильно изображать геометрические фигуры, проводить дополнительные по строения, применять полученные знания для решения практических задач. Обнаружен дефицит II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

в освоении базовых знаний курса стереометрии и базовых знаний курса планиметрии, о чем сви детельствуют низкие показатели выполнения геометрических заданий ЕГЭ и особенно задания C2. Как следствие, каждый новый учебный год вуз, кафедра, сталкивается с проблемой недоста точной и неоднородной геометрической подготовки первокурсников [3]. Зачастую уровень гео метрических знаний первокурсников настолько низок, что не представляется возможности ими оперировать при решении самых простейших задач вузовского курса геометрии. Сегодня прак тически все вузы столкнулись с нарастающей год от года проблемой качества знаний абитуриен тов и трудностями усвоения вузовской программы студентами младших курсов.



Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 37 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.