авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 37 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Красноярский государственный ...»

-- [ Страница 13 ] --

На наш взгляд, такая низкая геометрическая подготовка выпускников школ связана со мно гими причинами, среди которых можно выделить следующие:

1. Снижение внимания к структуре и содержанию школьного курса математики, уменьше ние времени на изучение математики в школе.

2. Недостатки учебных программ и учебников, приводящие к трудностям обучения геоме трии.

[ 303 ] 3. Неэффективность методик обучения геометрии.

4. Снижение требовательности к геометрической подготовке учащихся.

5. Недостаточная квалификация учителей и отсутствие удобной и доступной им системы повышения квалификации и переподготовки, в частности, в дистанционной форме.

С введением ЕГЭ геометрия оказалась отодвинута в разряд неосновных дисциплин вслед ствие малой доли геометрических задач в предлагаемых заданиях контрольно-измерительных материалов. В результате школьная программа по геометрии проходится спешно и не усваива ется учащимися в необходимом объеме. Некоторые темы школьного курса планиметрии и сте реометрии вообще не затрагиваются на уроках. Таким образом, отсутствие у выпускников школ достаточной базы знаний о геометрических объектах существенно тормозит дальнейшее усвое ние систематического курса геометрии в педагогическом университете. Поэтому для успешно го усвоения студентами-первокурсниками вузовского курса геометрии необходимо (в первый год обучения) сократить существующий разрыв между результатами обучения геометрии в школе и требованиями к уровню геометрической подготовки первокурсников, определяемыми вузом.

Решение этой проблемы мы видим в разработке и внедрении на первом году обучения компен сационного курса по основным разделам школьного курса планиметрии и стереометрии, ориен тированного на ликвидацию пробелов в геометрической подготовке студентов-первокурсников, и представляющего собой «погружение» в школьный курс геометрии: повторение и углубление имеющихся знаний об основных геометрических фигурах на плоскости и в пространстве. Таким образом, будет сделан шаг в решении некоторых проблем в преподавании геометрии:

– обеспечение усвоения учащимся базовых знаний, формирование у них умений применять эти знания в стандартной ситуации;

– формирование системных знаний о геометрических фигурах, которые изучаются в школь ном курсе;

– знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фак тов;

– развитие гибкости мышления, способности анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.

Ввиду стремительного развития современных информационных технологий и актуальности их применения в образовательном процессе, считаем целесообразным построение компенсаци онного курса по основным разделам планиметрии и стереометрии осуществлять с привлечени ем интерактивной геометрической среды «Живая геометрия».

Опыт применения «Живой геометрии» в рамках подготовки студентов-первокурсников к восприятию вузовского курса геометрии показал, что данная программа помогает студентам более эффективно овладеть умениями: пользоваться геометрическим языком для описания пред метов окружающего мира, распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное распо ложение, изображать геометрические фигуры, выполнять чертежи по условию задач, осущест влять преобразование фигур, в простейших случаях строить сечения и развёртки пространствен ных тел, решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы. Программа обеспечивает деятельность студентов в таких областях, как анализ, иссле дование, построение, доказательство, решение задач. Позволяет обнаруживать закономерности в наблюдаемых геометрических явлениях, формулировать теоремы для последующих доказа тельств, подтверждать доказанные теоремы, развивать их понимание.

Во многом успех в решении геометрической задачи зависит от того, насколько развита у об учающегося «многовариантная зоркость», позволяющая не потерять из виду ни одной из воз можных конфигураций, соответствующих одному и тому же условию, но приводящих к различ ным решениям. Неоценимую помощь в развитии этого умения, на наш взгляд, оказывают задачи на построение. Ведь именно на последнем этапе решения задач на построение – исследовании, определяются условия разрешимости задачи и определения числа ее решений. Решение задач [ 304 ] на построение в интерактивной среде «Живая геометрия» помогает первокурсникам научить ся видеть неоднозначность в условии, сократить количество рассматриваемых случаев на этапе анализа, проверить правильность решения непосредственным построением и выявить случаи, когда найденные решения не определяют конфигураций, соответствующих начальным услови ям задачи.

Многие геометрические задачи на вычисление и доказательство также содержат неопреде лённость в формулировках, то есть условие задаёт не одну конфигурацию, а целую их совокуп ность. С точки зрения «Живой геометрии» рисунок к подобным задачам следует воспринимать как динамический. Это открывает возможность получить ответ к задаче, рассматривая частные или предельные случаи. Таким образом, перед студентами возникает проблема существования геометрических объектов, что заставляет задуматься о единственности или неопределённости конфигурации. Для формирования у студентов навыков видения конфигурации к условию геоме трической задачи необходимо включать такого рода задачи в процесс обучения геометрии. Ниже приведен пример такой задачи.

Пример. В параллелограмме АВСD биссектрисы АК и DE его углов делят противолежащую сторону ВС на три равные части. Найдите периметр параллелограмма, если АВ=3.

Эту достаточно простую задачу студенты не всегда решают полностью, так как зачастую не видят, что конфигурация, заданная условием неоднозначна (рис. 1).

Рис. Рис. В заключение отметим, что компьютерные технологии обучения существенно дополняют традиционные формы обучения (лекции, семинарские занятия и др.) и позволяют:

В заключение отметим, что компьютерные технологии – существенно расширить образную базу для понимания основных геометрических поня тий и фактов, связанных с ними, дополняя традиционные геометрические моделиобучения (лекции, сем существенно дополняют традиционные формы их динамиче ской визуализацией;

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

занятия и др.) и позволяют:

– комбинировать аналитические, геометрические и компьютерные методы решения задач;

– повысить индивидуальность и динамичностьрасширить образную базу для понимания – существенно обучения.

геометрических библиографический список фактов, связанных с ними, понятий и 1. Итоговый аналитический отчет о результатах Единого государственного экзамена по математике традиционные геометрические модели их динамической визуализаци 2013 года. М., 2013. 20 с.

Отчет о результатах Единого–государственного экзамена в Красноярском крае геометрические и комп комбинировать аналитические, в 2013 году. Матема 2.

тика. Красноярск, 2013. Ч. 2. 11 с.

Семина Е.А. Уровеньметоды решения задач;

3. геометрических знаний выпускников школ в условиях проведения ЕГЭ // Про блемы преемственности в обучении математике на уровне общего и профессионального образова – повысить индивидуальность и динамичность обучения.

ния: материалы XXVIII Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и пе дагогических вузов. Екатеринбург: ГОУ ВПО УрГПУ, ГОУ ВПО РГППУ, 2009. С. 256–277.

Библиографический список [ 305 ] 1. Итоговый аналитический отчет о результатах Единого государ экзамена по математике 2013 года. М., 2013. 20 с.

ОРгАНИзАЦИя сЕтЕвОгО взАИМОдЕйствИя сО студЕНтАМИ зАОчНОй ФОРМЫ ОбучЕНИя ИМФИ the orGAnizAtion of network interAction with students of correspondence courses of imfi С.И. Калачева S.I. Kalacheva Сетевое взаимодействие, непрерывное образование, дистанционное обучение, обеспечение учебного процесса.

Сетевое взаимодействие между субъектами обучения является в современных динамично развивающихся условиях не просто интересной новинкой, а необходимостью. Часто полученное первое профессиональное образование требует либо повышения качественного уровня, либо смены его направленности. В этом случае получение высшего образования чаще всего происходит заочно без отрыва от производства. Это стало воз можным с развитием технических и информационных возможностей и, как следствие, сетевого взаимодей ствия. Однако новые формы и технологии требуют и новых методов и пересмотра правил.

Networking, continuing education, distance education, providing of educational process.

In modern dynamic environment networking among the subjects of training is not just an interesting novelty, but a necessity. Often the first professional education requires either increasing the quality level, or changing its direction.

In this case, getting a higher education are more likely to occur distantly on the job. That became possible with the development of informational and technical facilities and consequently networking. However, new forms and technologies require new methods and revision of existing rules.

в современных условиях рост информационных потоков и знаний достиг такого уровня, когда невозможно за какой-то определенный период времени обучения овладеть фикси рованным объемом информации. Это привело к смене учебной парадигмы: от призыва «образо вание на всю жизнь» на концепцию «образование в течение всей жизни». Самообразование и са моразвитие личности становятся приоритетными направлениями в политике образования. Та ким образом, образование превращается в непрерывный процесс, призванный воспитать в каж дом человеке осознанную потребность в повышении уровня культуры и знаний. Все большее количество людей стремится получить образование и базовое, и дополнительное. Увеличивает ся число людей, имеющих более одного высшего образования. Все это происходит за счет его большей доступности. Достаточно войти в Интернет и получишь огромное количество предло жений по дистанционному обучению в различных сферах с различным ценовым и информаци онным ресурсом. Сегодня получение образования, не выходя из дома, стало действительно ре альностью.

Красноярский край занимает достаточно большую территорию. Особенностью системы за очной формы получения образования является то, что учащиеся большей частью проживают в отдаленных от вуза и друг от друга районах края. Возникают проблемы с общением. Во время обучения студенты приезжают в вуз на сессии всего 2 раза в год в общей сложности на 6–7 не дель. За это время педагоги должны дать студентам необходимый объем материала, добиться его усвоения и оценить результаты этого освоения. Если ограничиться только этими 6–7 неделями, результаты были бы плачевными. Заочное обучение предполагает в своей основе большую долю самостоятельной работы учащихся. Большой поток информации в современном обществе не по зволяет обучать студентов по тем принципам, что были лет 20 назад, когда студенту было доста точно одного-двух классических учебников и комментариев преподавателя во время лекцион ных и семинарских занятий. В настоящее время основная задача педагога – дать основы, пока зать источники получения информации и научить ею пользоваться. Задача студента – научиться перерабатывать эту информацию в динамическом режиме. Все это возможно, если общение пе дагога с учащимся будет происходить постоянно и по мере потребности. То есть роль педагога [ 306 ] примерно на 50 % сводится к роли консультанта – куратора обучения. В условиях кратковремен ного пребывания студента заочной формы обучения в стенах вуза возникает необходимость в ор ганизации общения преподавателя и студента в дистанционном режиме.

Кроме проблем с отдаленностью регионов края от вуза, существует проблема обучения ка тегории граждан, не имеющих возможности по тем или иным причинам получить образование в другой форме, кроме как обучение на дому. Большей частью это инвалиды, не имеющие воз можности передвигаться. Обучаясь дистанционно, они получают шанс реализовать себя, как полноценные граждане и иметь постоянный источник дохода, не зависеть от пенсии государства и опеки близких. Налицо необходимость организации эффективного взаимодействия в ходе об разовательного процесса, причем не только в административном режиме, но и всеми другими средствами и способами.

Сетевое взаимодействие между субъектами образования сегодня становится современной высокоэффективной инновационной технологией, которая позволяет образовательным учрежде ниям не только выживать, но и динамично развиваться.

Основные задачи сетевого обеспечения учебного процесса 1. Обеспечение качественного образования, социализация и адаптация обучающихся к усло виям современной жизни путем формирования сетевой модели обучения.

2. Обеспечение доступности качественного образования обучающихся, удовлетворя ющего потребности социума и рынка труда, за счет внедрения в систему образования новых информационно-коммуникационных и педагогических технологий.

Необходимыми условиями организации сетевого взаимодействия участников образова тельного процесса являются:

1) наличие нормативно-правовой базы регулирования правоотношений участников сети;

2) профессиональная компетентность педагогического состава в области сетевого общения;

3) достаточно полное методическое обеспечение дисциплин, преподаваемых в рамках курса;

4) наличие подготовленных методистов, курирующих дистанционное общение между пре подавателями и студентами;

5) возможность организации зачета результатов по учебным курсам и образовательным про граммам.

Очевидно, что организация сетевого взаимодействия требует серьезного ресурсного обеспе чения: кадровый, программный, технический, управленческий, организационно-правовой и фи нансовый ресурсы на всех уровнях.

При всех очевидных плюсах сетевого общения во время образовательного процесса в насто ящее время еще достаточно и минусов:

1. Проблемы интернет-связи в некоторых регионах края.

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

2. Недостаточная подготовленность педагогических кадров к сетевому общению.

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

3. Не отрегулированы механизмы контроля работы преподавателя в сети. Не все общение студента и преподавателя открыто методисту – работа студента на сайте фиксируется, а препода вателя – нет. В случае возникновения конфликтной ситуации трудно оценить действия педагога.

4. Недостаточность обеспечения ресурсных центров электронными учебными материала ми. Студенту в отдаленных районах края доступны, как правило, только лекции преподавателя, скудное в большинстве своем электронное обеспечение и непроверенный материал Интернета.

Это делает подготовку студента, обучающегося дистанционно, неполноценной.

5. Требуется много времени в обслуживании как от педагогов (необходимо обеспечить пол ное методическое оснащение и сопровождение курса, постоянный контакт в сети со студента ми, как правило, за счет своего личного времени, так как ресурсы времени на такое общение вы деляются очень скудные), так и от методистов (имея свободный доступ к общению с педагогами и методистами, студенты предпочитают запросить нужную информацию у них, чем заниматься ее поиском. В результате проблемы недостаточности информационного обеспечения образова тельного процесса практически целиком ложатся на плечи методистов и педагогов).

[ 307 ] 6. Дублирование отчетной документации. Преподаватель должен в сети выставить резуль таты зачетов и экзаменов и продублировать их в обычные бумажные ведомости. Поскольку пре подаватель дистанционного обучения привыкает к общению в свободное для него время, то обя зательные процедуры выставления аттестационных отметок в бумажные документы откладыва ется также на «свободное время», а иногда попросту про них забывает. Так как студенты дистан ционно проходят аттестацию в разное время, то часть отметок теряется в сети и остается не вы ставленной, а студенту объявляется академическая задолжность по дисциплине.

Отмеченные минусы не являются основанием к изменению формы взаимодействия, а го ворят о необходимости соответствующих доработок. Нельзя не отметить, что активное исполь зование компьютерных и интернет-технологий в образовательном процессе приводит к следую щим результатам:

– высокая мотивация обучающихся к самообразованию, как следствие – увеличение студен тов в вузах;

– увеличение круга общения педагогов и обучающихся с помощью информационной сети и, как следствие – повышение информационной грамотности.

библиографический список 1. Горбунова В.А., Василевская Е.В. Сетевая модель как новая форма организации муниципальной ме тодической службы в решении приоритетных задач развития образования // Методист. № 3. 2008.

С. 20–25.

[ 308 ] ИсПОльзОвАНИЕ ПРОгРАММ дИНАМИчЕскОй МАтЕМАтИкИ НА уРОкАх ИНФОРМАтИкИ в 9 клАссЕ в РАМкАх тЕМЫ «МОдЕлИРОвАНИЕ И ФОРМАлИзАЦИя»

the use of dynAmic mAthemAtics softwAre on the lessons of informAtics in 9 GrAde by the theme of «modelinG And formAlizAtion»

М.С. Тиличеев M.S. Tilicheev Динамическая математика, информатика, информационно-коммуникационные технологии (ИКТ), геоме трия, GeoGebra, математическое моделирование, моделирование и формализация, обучение.

В статье рассматривается актуальный для общего среднего образования вопрос, связанный с переходом школ на так называемую «сквозную» информатику. Обосновывается авторская позиция о приоритете учеб ной дисциплины «Информатика и ИКТ» перед другими школьными предметами по вопросу, связанному с формированием у учащихся ИКТ компетенций. В подтверждение этой позиции рассмотрен пример урока информатики на исследование математической модели в рамках темы «Моделирование и формализация»

в 9 классе.

Application of dynamic mathematics, informatics, information technologies (IT), geometry, GeoGebra, modeling, construction of mathematical models, modeling and formalization, education.

In this article we try to consider the question, about the passage of schools to the so-called «through» informatics.

Substantiates the author’s position on the priority of the discipline «Informatics and ICT» in front of other school subjects on the issue related to the development of students’ ICT skills. In the confirmation of this position consider an example of the lesson of informatics to the research of the mathematical models under the theme «Modeling and formalization» in 9th grade.

с овременное развитие информационных технологий привело к тому, что компьютер стал неотъемлемой частью жизни большинства людей. Повсеместное внедрение ком пьютерной техники не могло не отразиться на системе общего образования в целом и на та кой его составляющей, как обучение школьников информатике. В связи с принятием Феде рального государственного образовательного стандарта второго поколения (ФГОС) [1] и по следующим его внедрением в систему образования информатика, как предмет общеобразо II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ вательной школы, стал существовать в двух формах.

ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

С одной стороны, осталась теоретическая часть информатики, это собственно сам пред мет «Информатика и ИКТ» (ИКТ – информационные и коммуникационные технологии), в рамках которой рассматриваются способы хранения, обработки и передачи информации.

С другой – появилась так называемая «сквозная» информатика, основная задача которой – формирование у учащихся ИКТ компетенций не только на уроках информатики, но и на дру гих предметах, таких как математика, предметы гуманитарного и естественнонаучного ци клов.

Зачем же нужна информатика? Ведь, казалось бы, все необходимые навыки ученик мо жет получить на других предметах. Чтобы ответить на этот вопрос изложим наше пони мание того, в чем состоит принципиальное отличие учебной дисциплины «Информатика и ИКТ» от других школьных предметов по вопросу, связанному с формированием у учащих ся ИКТ компетенций.

Во-первых, наличием у каждого ученика персонального компьютера, а также задейство [ 309 ] ванной в учебном процессе оргтехники, мультимедийных устройств. Такое количество тех ники не предоставлено на других уроках.

Во-вторых, на уроках информатики больше времени уделяется на самостоятельную де ятельность, создание собственного продукта, это может быть презентация, приложение, гра фическое изображение. При этом учитель не ограничивает ученика в доступе к информации и самовыражении, но ставит критерии оценки работы.

В-третьих, работа в компьютерном классе, в котором проводятся уроки, организована таким образом, что каждый ученик имеет, с одной стороны, индивидуальное рабочее место, а с другой – доступ к общим ресурсам на школьном сервере;

ответы у доски практикуют ся значительно реже, чем на других уроках, зато больше приветствуются дискуссионные бе седы. Каждый имеет возможность задать вопрос или дополнить, поделиться новой интерес ной информацией. И, в отличие от других предметов, за новостями в области информацион ных технологий ученики следят самостоятельно и с большим интересом. Это создаёт особые условия для развития коммуникативных компетенций.

Таким образом, предметы школьного курса без предмета «Информатика и ИКТ» не смо гут в достаточной мере обеспечить развитие компьютерных и информационных компетен ций учащихся. Приведенные выше аргументы свидетельствуют, на наш взгляд, о том, что появляется реальная возможность разгрузить учителя информатики и часть решаемых им задач перенести на другие учебные дисциплины. Кроме этого, недостаточно высокая, а не редко даже низкая ИКТ компетентность учителей-предметников, ставящая под сомнение саму идею «сквозной» информатики, формирует дополнительные требования к предмету «Информатика и ИКТ». Одним из примеров таких требований является обучение учащих ся на уроках информатики умению создавать презентации по истории, географии и другим предметам. Вызвано это тем, что большинство учителей-предметников дают домашние за дания, требующие создания презентаций, предполагая, что данное умение уже сформирова но у учащихся на уроках «Информатика и ИКТ».

Таким образом, на уроках информатики учитель должен использовать метапредметный подход, в противном случае есть вероятность того, что учащиеся не смогут применить по лученные знания на других предметах. Учитель информатики должен делать акцент на том как, в каких условиях и на каких предметах общеобразовательного цикла ученик может ис пользовать полученный опыт.

Одним из примеров демонстрации учителем метапредметности на уроке информатики может послужить использование программы динамической математики «GeoGebra» на уро ках информатики в 9 классе в рамках темы «Моделирование и формализация» [2]. Тема школьного курса информатики «Моделирование и формализация» довольно обширная и со ставляет несколько уроков, на этих уроках учащиеся разрабатывают модели из разных пред метных областей и работают с ними. Есть уроки, посвященные моделированию динамиче ских объектов и процессов из областей математики, физики, астрономии, биологии и химии.

В свою очередь программа «GeoGebra» позволяет строить интерактивные динамиче ские чертежи не только по геометрии, но и по физике, астрономии, химии. Она дает возмож ность представить в динамической форме любой процесс, который можно описать с помо щью формальной модели.

Рассмотрим урок по работе с математической моделью в рамках темы «Моделирование и формализация» по учебнику Н.Д. Угриновича «Информатика и ИКТ» 9 класс на примере «Задачи о треугольнике и исчезновении клетки» [3].

Формулировка задачи звучит следующим образом: дан прямоугольный треугольник с катетами 13 и 5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуаль ном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка (рис. 1).

[ 310 ] Для учащихся заранее в программе «GeoGebra» строится треугольник, состоящий из четы рёх фигур. Это построение выводится на экран и учитель предлагает найти длины катетов боль шого треугольника, его площадь. Далее учитель в реальном времени производит перемещение II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

составных частей треугольника и просит найти площадь нового (с пустой клеткой) треугольни «ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

ка. Очевидно, что площади не совпадают, но не все школьники подтверждают этот факт своими вычислениями.

Учитель проводит фронтальный опрос:

– Какую фигуры мы с вами получили?

– Как вы думаете, площади полученного треугольника и предыдущего одинаковы?

Большинство учеников на второй вопрос отвечают однозначно «Да». Тогда учитель перехо дит к рассмотрению фигур, из которых составлен второй треугольник. Учащиеся приходят к вы воду, что площади этих фигур одинаковые, но площадь второго треугольника на 1 квадрат боль ше. Отсюда многие дети получают, что площади одинаковых с виду треугольников не равны. За дав уточняющие вопросы, можно добиться того, что учащиеся скажут, что площадь второго тре угольника больше площади первого треугольника ровно на 1 клетку.

На следующем этапе урока необходимо выявить среди учащихся тех, кто знает решение данной задачи, и если такие ученики имеются, то определить их в отдельную группу, которая бу дет называться «Эксперты».

[ 311 ] Оставшиеся участники делятся на 3 группы.

Первая группа в качестве раздаточного материала получает: 2 треугольника, две фигуры – 6-угольники, ножницы, лист бумаги и карандаш.

Вторая группа получает ноутбук с программой «GeoGebra» и нарисованные в ней фигуры.

Третья группа пытается решить задачу, используя знания, полученные на уроках математики.

Группа «эксперты» пытается проанализировать ряд аналогичных задач и найти закономер ность. Если группа «эксперты» не образовалась, то анализ работы будет проходить после демон страции решения.

Каждая группа получает карту эксперимента, где записывает свои результаты. По оконча нии работы, на которую отводится 10 минут, каждая группа рассказывает о полученном резуль тате по этим карточкам.

Проводя такие уроки в девятых классах, было установлено, что первой находит решение группа, работающая в программе динамической математики «GeoGebra», причем справляется с заданием более качественно, нежели другие. Это связано с тем, что при увеличении изображе ния и его детальном просмотре в программе, учащиеся обнаруживают интересный момент, свя занный с гипотенузой, и выясняют, что она является ломанной, а не отрезком. На большинстве уроков для получения такого результата учащиеся тратят менее минуты, далее они обосновыва ют полученные данные математическими выкладками.

Программа динамической математики «GeoGebra» позволяет упростить процесс моделиро вания и больше времени уделить исследованию полученной модели, а не её составлению. Более того, модель, выполненная в программе «GeoGebra», является интерактивной и её можно изме нить в любой момент времени, что невозможно сделать с чертежами в тетрадях.

библиографический список 1. Федеральный государственный образовательный стандарт (ФГОС) второго поколения.

2. Угринович Н.Д. Информатика и ИКТ: учебник для 9 класса. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.

295 с.

3. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки / под ред. М.К. Потапова с текстологической обработкой Ю.В.

Нестеренко. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука». М., 1978.

192 с.

4. URL: http://geogebra.ru/www/index.php (Сайт Сибирского института GeoGebra).

[ 312 ] кОМПьютЕРНЫй эксПЕРИМЕНт кАк сРЕдствО РАзвИтИя ИсслЕдОвАтЕльскИх уМЕНИй учАщИхся ОсНОвНОй шкОлЫ ПРИ РЕшЕНИИ гЕОМЕтРИчЕскИх зАдАч ОткРЫтОгО тИПА computer experiment As meAns is the development of the reseArch skills of the students of bAsic school with the solution of open type Geometric problems И.В. Стукалова I.V. Stukalova Исследовательская деятельность, исследовательские умения, компьютерный эксперимент, «Живая геоме трия», задача открытого типа.

Рассматривается вопрос, связанный с внедрением компьютерного эксперимента в процесс обучения геоме трии с целью формирования у учащихся основной школы умения проводить учебную исследовательскую де ятельность при решении задач открытого типа. В качестве так называемых виртуальных лабораторий для организации и проведения геометрических экспериментов рекомендуется использовать интерактивные ге ометрические среды (ИГС). Самостоятельное создание на уроках геометрии динамических чертежей, реше ние с их помощью задач открытого типа позволяет создать благоприятные условия для формирования у уча щихся основной школы исследовательских компетенций.

Research activity, research skills, computer experiment, «Living geometry», open type task.

The question, connected with the introduction of computer experiment in the process of instruction in geometry for the purpose of shaping in the students of the basic school of the skill to carry out training research activity with the solution of open type, is examined problems. As the so-called virtual laboratories for organization and conducting the geometric experiments one should use interactive geometric media (IGS). The independent creation on the lessons of the geometry of dynamic drawings, the solution with their aid of open type tasks make it possible to create favorable conditions for the formation in the students of the basic school of research scopes.

в настоящее время одной из приоритетных задач образования выступает всестороннее раз витие личности, воспитание полноценного члена общества, способного грамотно и мо бильно действовать в быстро изменяющихся ситуациях.

Необходимость решения указанных задач отражена и в требованиях к структуре основной II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

образовательной программы основного общего образования Федерального государственного об разовательного стандарта, где особое внимание уделяется внедрению в процесс обучения и само обучения деятельности, направленной на развитие исследовательских умений учащихся, а также на развитие у них компетенций в области использования информационно-коммуникационных технологий. Очевидно, что одна из важных задач общеобразовательной школы заключается в том, чтобы привить учащимся умения, позволяющие им активно включаться в исследователь скую деятельность.

Под исследовательской деятельностью понимается деятельность учащихся, связанная с ре шением определенной задачи и предполагающая наличие основных этапов, характерных для ис следования: постановку проблемы, изучение теории, связанной с выбранной темой, подбор спо собов исследования, сбор собственного материала, его анализ и обобщение. Для того чтобы уче ник мог успешно осуществлять поиск решения новой для него проблемы, он должен владеть не обходимыми исследовательскими умениями, которые представляют собой освоенные человеком способы выполнения действия, обеспечиваемые совокупностью приобретенных знаний и навы [ 313 ] ков. И здесь, на наш взгляд, геометрия выступает одной из фундаментальных дисциплин, являю щихся своеобразным «плацдармом» исследовательской деятельности.

Среди различных математических разделов, изучаемых в школе, особое место занимает гео метрия, поскольку именно она обладает самым большим развивающим потенциалом. Наш опыт обучения геометрии показал, что в условиях стандартного проведения уроков научить детей ис кать что-то новое, наблюдать, экспериментировать и на основе этого делать выводы весьма не просто. Предполагается, что обучающиеся должны научиться самостоятельно выявлять различ ные закономерности и свойства геометрических объектов, а также исследовать их. Проводить исследования с помощью традиционных статичных чертежей в тетрадке или на доске не со всем удобно. Располагают к исследовательской деятельности в большей степени «живые» геоме трические объекты, которые можно видоизменять и перемещать. Добиться этого можно за счет проведения компьютерного эксперимента в интерактивной геометрической среде «Живая гео метрия».

С учетом того, что одним из эффективных средств формирования основных исследователь ских умений учащихся при обучении геометрии выступает процесс решения задач ([1] – [4]), рас смотрим задачи открытого типа. Такие задачи направлены на формирование отдельных струк турных элементов общих исследовательских умений и могут обладать следующими особенно стями [5]:

– задача формулируется в виде вопроса, что обеспечивает некоторую неопределенность условия или цели задачи;

– задача находится в достаточно знакомой учащимся концептуальной области и поэтому мо жет стимулировать их активную мыслительную деятельность.

Рассмотрим примеры открытых задач, решение которых направлено на развитие у учащих ся умения ставить и формулировать цель своей работы.

Задача 1. Даны три положительных числа. Можно ли построить треугольник, длины сто рон которого равны соответственно данным числам?

Зададим произвольные отрезки, обозначим их а, b и с. После проведения построений на ра бочем поле получим живой чертеж, представленный на рис. 1.

Рис. По выбранным отрезкам строим треугольник OLT и симметричный ему треугольник OLT.

Далее, изменяя длины заданных отрезков, проведем компьютерный эксперимент. Ухватимся мышкой сначала за правый конец отрезка а (точку В) и уменьшим его длину на 1 (рис. 2). Анало гичную манипуляцию проведем и с отрезком b. Оба построенных треугольника исчезнут.

[ 314 ] Рис. Проведя еще целый ряд проб, в основе которых лежит самостоятельное изменение исследо вателями размеров отрезков а, b и c (при необходимости на рабочее поле можно вывести длины этих отрезков), учащиеся имеют возможность наблюдать в режиме реального времени различ ные варианты решения поставленной задачи. Они визуально убеждаются в том, что в одних слу чаях треугольник построить можно, а в других – нет.

По итогам проведенного эксперимента учащиеся формулируют проблему: «В каких случа ях построение треугольника по трем сторонам возможно?» После чего, самостоятельно ставят перед собой цель учебного исследования: «Выяснить и обосновать условия существования тре угольника в зависимости от длин его сторон».

Рассмотрим еще одну задачу открытого типа на построение множества, заданного свой ством его точек (так называемое геометрическое место точек).

Задача 2. Что представляет собой множество оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки A на прямые, проходящие через другую данную точку В?

На рабочем поле строим две произвольные точки A и B, выполняем первоначальные постро ения и получаем живой чертеж, представленный на рис. 3.

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

Рис. [ 315 ] На следующем этапе при анализе условия задачи и живого чертежа учащиеся формулируют стоящую перед ними учебную проблему: «Выяснить, что представляет собой множество осно ваний перпендикуляров, опущенных из точки А на прямые, проходящие через другую данную точку В». Применяя инструменты «Оставлять след пересечения» (в нашем случае, след точки D) и «Анимация точки» интерактивной геометрической среды «Живая геометрия», учащиеся по ре зультатам эксперимента получают чертеж, представленный на рис. 4.

Рис. Таким образом, возникает предположение (гипотеза) о том, что искомое геометрическое ме сто оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки A на прямые, проходящие через другую данную точку B, представляет собой окружность, построенную на отрезке AB как на ди аметре. Для обоснования этой гипотезы учащиеся проводят математическое доказательство, опирающееся на ранее доказанные геометрические факты.

В рассмотренных случаях требования открытых задач направлены на выполнение учащи мися следующих действий:

1) наблюдение, опыт, эксперимент (сбор эмпирического материала);

2) осознание проблемы;

3) постановка цели дальнейшей работы;

4) изучение соответствующего материала.

Наш опыт использования в основной школе задач открытого типа позволяет сделать вывод о том, что у большинства учащихся, принимавших активное участие в их решении с помощью интерактивных геометрических сред, наблюдается рост мотивации к изучению геометрии, про исходит формирование необходимых в жизни и учебном процессе исследовательских умений и навыков.

библиографический список 1. Атанасян Л.С. Геометрия. 7–9 класс: учебник. М.: Просвещение, 2009.

2. Перепелкин Д.И. Геометрические построения в средней школе. М.: Издательство академии педаго гических наук РСФСР, 1947. С. 35–40.

3. Погорелов А.В. Геометрия. 7–9 класс: учебник. М.: Просвещение, 2009.

4. Шарыгин И.Ф. Стандарт по математике. 500 геометрических задач. М.: Просвещение, 2005. С. 11.

5. Позднякова Е.В. Формирование исследовательских умений учащихся основной школы при обуче нии геометрии: автореф. дис. … канд. пед. наук. Новокузнецк, 2004. 22 с.

[ 316 ] МАтЕМАтИчЕскОЕ МОдЕлИРОвАНИЕ НА уРОкАх ИНФОРМАтИкИ the mAthemAticAl modelinG on the lessons of informAtics science В.Р. Майер, И.В. Тиличеева V.R. Mayer, I.V. Tilicheeva Динамическая математика, информатика, информационные технологии (ИТ), геометрия, интерактивная геометрическая среда (ИГС), ИГС «Живая геометрия», ИГС GeoGebra, математическое моделирование, моде лирование и формализация, обучение.

Рассматривается вопрос о подготовке учащихся старших классов общеобразовательной школы к использо ванию интерактивных геометрических сред (ИГС) при изучении дисциплин математического и естествен нонаучного циклов.

Предлагается конкретный вариант системы уроков по отдельным темам раздела курса информати ки «Моделирование и формализация», который целевым образом направлен не только на формирование информационно-коммуникационных компетенций, но и на подготовку учащихся к эффективному исполь зованию в процессе изучения математики, физики и других предметов интерактивных геометрических сред.

Application of dynamic mathematics, informatics, information technologies (IT), geometry, application of interactive geometry (AIG), The Geometer’s Sketchpad, GeoGebra, modeling, construction of mathematical models, modeling and formalization, education.

In this article we try to consider the question about preparing the high school pupils to the use of interactive geometric («Living geometry», GeoGebra) in the study of mathematics and natural science fields.

It is proposed the system of lessons on specific topics of the computer science section in the course «Modeling and formalization», which not only promotes the formation of information and communication skills, but also prepares students for effective use in the study of mathematics, physics and other subjects of interactive geometry environments.

в 2006–2008 годах учителя общеобразовательных учреждений и студенты педагогических вузов России прошли обязательные курсы повышения квалификации по программе Intel® «Обучение для будущего». Однако на сегодняшний день информационно-коммуникационные технологии (ИКТ) в процессе обучения применяют далеко не все учителя-предметники. В одной, конкретно взятой школе, по проведённому опросу только 63 % учителей используют ИКТ в учеб ном процессе, ещё 32 % пользуются компьютером только для ведения отчётной документации и 5 % признались, что совершенно им не владеют. Мы предполагаем, что подобную картину можно наблюдать во многих школах России.

По проведённому опросу видно, что учителя математики применяют ИКТ чаще других II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

учителей-предметников, но это в основном различного рода тестирования, проверочные работы, презентации или решение ЕГЭ в режиме online. В свою очередь на этапе изучения нового мате риала, в процессе исследования или анализа задачи, информационные технологии (ИТ) в школе как правило не применяются.

На наш взгляд, более эффективно применение ИТ не только во время проверки знаний, но и на этапе изучения нового материала, проведения исследования и анализа при решении различ ных математических задач, обучения школьников выполнению пошагового построения самых разнообразных математических моделей на компьютере.

Обучать основам математического моделирования средствами ИТ можно на уроках инфор матики в рамках программы 9-го и 11-го классов. Раздел курса информатики «Моделирование и формализация» занимает большую часть изучаемого курса, при этом, исследовав учебники и программы [1;

2], мы выяснили, что в ходе изучения данной темы у учащихся формируется лишь абстрактное представление о моделировании в целом, но при этом приводится очень чёт кий и универсальный алгоритм построения моделей.

[ 317 ] предметов школьного курса на компьютере.

Используя данный в курсе информатики алгоритм и опираясь на требования ФГОС, нами была поставлена задача: разработать систему уроков по обучению связи с введением Федерального государственного образовательного ИТ. Была Более того, в учащихся математическому моделированию средствами стандар та (ФГОС) второго поколения [3], такой предмет, как информатика должен стать сквозным, по сформулирована гипотеза: ученики, освоившие методы математического могать учащимся в получении необходимой информации, научить учащихся выполнять задания из разных предметов школьного курса на компьютере.

моделирования средствами ИТ, смогут в и опираясь на требования ФГОС, нами Используя данный в курсе информатики алгоритм дальнейшем успешно применять полученные задача: и умения систему уроков по при изучении математики.

была поставлена знания разработать непосредственнообучению учащихся математическому моделированию средствами ИТ. Была сформулирована гипотеза: ученики, освоившие методы Как известно, одна из целей обучения геометрии – развитие математического моделирования средствами ИТ, смогут в дальнейшем успешно применять по лученные знания и умения непосредственно при изучении математики.

пространственногоиз целей обучения воображения Как известно, одна S геометрии – развитие пространственного учащихся. Дефицит учебного воображения учащихся. Дефицит учебно говремени по курсу геометрии не позво времени по курсу геометрии не ляет учителю и учащимся сопровождать решение задач учителю и учащимся позволяет качественными чертежа ми, особенно при решении задач по стере сопровождать решение задач R ометрии, в частности на комбинацию мно F качественными чертежами, гогранников [4]. Существенную помощь учителю математики в решении этого во проса могут оказатьрешении задач по особенно при интерактивные гео O N P Q E метрические среды, такие частности ге стереометрии, в как «Живая на ометрия» или «GeoGebra». Однако в этом комбинацию многогранников [4].

случае возникает другая проблема – от сутствие необходимого учебного време Существенную помощь учителю ни на обучение учащихся навыкам рабо D ты с этими системами. Освободить коллег R1 математики в решении этого A математиков от несвойственной им функ F O вопроса могут оказать ции обучения учеников пользовательским P1 C навыкам в той или иной программной сре E1 Q1 интерактивные геометрические де вполне могут учителя информатики B за счет подходящих разделов преподавае Рис. 1 Рис.

мого ими курса.

Так, например, для того чтобы подготовить ученика к построению на уроках геометрии в интерактивной геометрической среде «Живая геометрия» или «GeoGebra» комбинации куба и правильной четырехугольной пирамиды (рис. 1) на уроке информатики в рамках раздела (мо дуля) «Моделирование и формализация» в 11 классе необходимо обучить учащихся умению ис пользовать следующие команды среды:

– проводить через точку прямую, параллельную данной прямой;

– делить отрезок в данном отношении;

– строить отрезки, лучи и прямые, задавать их тип;

– окрашивать внутреннюю область фигуры тем или иным цветом;

– создавать собственный инструмент «Построение куба»;

– создавать собственный инструмент «Построение правильной четырехугольной пирами ды» [5].

Обучать навыкам использования возможностей ИГС для геометрического моделирования можно в рамках модуля «Моделирование и формализация» при изучении тем «Исследование геометрических моделей (планиметрия)» и «Исследование геометрических моделей (стереоме трия)», на которые отводится 4 урока. Именно на этих уроках можно сделать упор на обучение работе в интерактивных геометрических средах.

Для более наглядного представления пространственных объектов можно обучить учащих [ 318 ] ся создавать анимациюнаглядного представления пространственных объектов Это позволит Для более с использованием интерактивных геометрических сред. можно не только привнести в процесс обучения анимацию(или динамику), котороеинтерактивных из са обучить учащихся создавать движение с использованием является одним мых мощных дидактических средств, но и создаст необходимые предпосылки для развития у уча щихсягеометрических интуиции и позволит не только привнести в процесс обучения геометрической сред. Это пространственного мышления, позволит соотнести абстракт ную геометрическую конфигурацию с реально существующими объектами евклидова простран движение (или динамику), которое является одним из самых мощных ства, смоделировать в режиме реального времени приведенную в формулировке задачи фабулу.

Задача. Несложно доказать, что в тонкой пластинке, имеющей квадратную форму, можно вырезать отверстие, через которое можно протащить пластинку таких же размеров. Увеличим толщину пластинки до размеров, превращающих ее в куб.

Можно ли в кубе вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров? Ответ обосновать.

Анимация Aнимац – динамического эффекта «вырезания» в неподвижном кубе различных отверстий прямоугольной формы, в том числе такого, через которое можно протащить подвижный куб таких же размеров;

Рис. 2 Рис.

– анимационного эффекта, связанного с управлением перемещения подвижного куба ссредств, но и создаст необходимые предпосылки для развития у дидактических помощью специальной кнопки «Анимация».

учащихся геометрической интуиции и пространственного мышления, позволит соотнести абстрактную геометрическую конфигурацию с реально существующими объектами евклидова пространства, смоделировать в режиме II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

реального времени приведенную в формулировке задачи фабулу.

Чтобы учащиеся могли создавать «живые» стереометрические чертежи, например, связанные с решением задачи, представленной на рис. 2, необходимо обучить их умению использовать возможности среды для создания:

Рис. Можно использовать для реализации этой задачи beta-версию программы Рис. [ 319 ] «GeoGebra 5» [6], в которой есть возможность создания трёхмерной сцены и построения некоторых стандартных объёмных фигур. Например, можно Чтобы учащиеся могли создавать «живые» стереометрические чертежи, например, связан ные с решением задачи, представленной на рис. 2, необходимо обучить их умению использовать возможности среды для создания:

– динамического эффекта «вырезания» в неподвижном кубе различных отверстий прямоу гольной формы, в том числе такого, через которое можно протащить подвижный куб таких же размеров;

– анимационного эффекта, связанного с управлением перемещения подвижного куба с по мощью специальной кнопки «Анимация».

Можно использовать для реализации этой задачи beta-версию программы «GeoGebra 5» [6], в которой есть возможность создания трёхмерной сцены и построения некоторых стандартных объёмных фигур. Например, можно построить сферу в этой программе всего тремя нажатиями левой кнопки мыши: результат можно увидеть на рис. 3.

В рамках модуля «Моделирование и формализация» в школьном курсе информатики пред лагается рассматривать физические, астрономические, биологические и химические модели.

Многие из них можно реализовать, используя интерактивные геометрические среды, такие как «Живая геометрия» или «GeoGebra».

Рассмотрим пример использования среды GeoGebra при изучении графиков функций. По строим модель движения ракеты, запущенной с земли под данным углом к поверхности земли и с данным ускорением k м/сек2.

Рис. Рис. Первоначально направление полёта задаёт луч ОА. При анимации точка X перемещается Первоначально направление полёта задаёт луч ОА. При анимации точка X по отрезку OA оси абсцисс (этим обеспечивается равномерное перемещение). При этом зависи мая точка D ' (ракета), перемещаясь, оставляет след. Верхняя парабола определяет движение ра кеты без учета по отрезку OA оси м/сек2, которое можно изменять. Нижняя парабола за перемещаетсягравитации с ускорением kабсцисс (этим обеспечивается равномерное перемещение).падение с ускорением 10 м/сек. Такого(ракета), перемещаясь, оставляет дает свободное При этом зависимая точка D' рода задачи объединяют математику, ин форматику и физику, показывая роль и значение каждой составляющей.

след.Таким образом, в данной статье рассмотрены возможности использования интерактивной Верхняя парабола определяет движение ракеты без учета гравитации с геометрической среды, как средство формирования навыков математического моделирования ускорением k м сек 2, которое можно языков программирования.


Также рассмотрена на уроках информатики, не требующее знания изменять. Нижняя парабола задает возможность освоения учащимися 9–11-х классов графического интерфейса интерактивной ге ометрической среды, с ускорением 10 и сек 2. работы виртуальными объединяют свободное падениеформирования умений м навыков Такого с рода задачи инструментами, создания с их помощью динамических чертежей, обучения компьютерному сопровождению ре математику, информатику идальнейшего показывая этих знаний значение математики, шения математических задач для физику, применения роль и на уроках каждой в частности, в курсе геометрии.

составляющей.

[ 320 ] Таким образом, в данной статье рассмотрены возможности использования интерактивной геометрической среды, как средство формирования навыков библиографический список 1. Угринович Н.Д. Информатика и ИКТ: учебник для 9 класса. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.

295 с.

2. Угринович Н.Д. Информатика и ИКТ: учебник для 11 класса. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 188 с.

3. Федеральный государственный образовательный стандарт (ФГОС) второго поколения.

4. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок», Статья «Применение компьютерной проектной среды «Живая математика» на уроках геометрии (на примере темы «Сумма углов треугольника»)», Денисова Оксана Юрьевна. URL: http://festival.1september.ru/articles/529877/ 5. Применение программы GeoGebra для построения сечений многогранников на уроках геометрии для учащихся образовательных учреждений начального профессионального образования. Препо даватель математики ГБОУ НПО ПЛ «ЩУЦ» МО Артемьев Василий Ильич. URL: http://pl74.net/ spetsialisty/prepodovateli/artemev-v/40-geogebra.

6. Электронный ресурс: http://geogebra.ru/www/index.php (Сайт Сибирского института GeoGebra).

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

[ 321 ] РАбОчАя тЕтРАдь кАк ФОРМА кОМПьютЕРНОй ПОддЕРжкИ элЕктИвНОгО куРсА «РЕшЕНИЕ зАдАч с ПАРАМЕтРАМИ»

workbook As A form of computer support An elective course «problem solvinG with the pArAmeters»

О.П. Магеря O.P. Mager Рабочая тетрадь, компьютерная поддержка, среда GeoGebra, элективный курс, задачи с параметрами Актуальность выбора темы элективного курса «Решение задач с параметрами» мотивирована тем, что реше ние таких задач носит исследовательский характер и всемерно способствует развитию математических спо собностей школьника. Особенностью элективного курса является использование компьютерной поддержки в виде среды GeoGebra. Структурно она оформляется в виде рабочей тетради.

Workbook, computer support, Wednesday GeoGebra, an elective course, the problem with the parameters.

Relevance of selecting a theme of the elective course «Problem solving with the parameters» is motivated by the fact that the solution of such problems is exploratory in nature and fosters the development of mathematical skills student. The peculiarity of the elective course is the use of computer support in the form of medium GeoGebra.

Structurally, it takes the form of the workbook.

О дним из средств повышения мотивации к учению, интереса к предмету, уровня знаний является применение на уроках информационных технологий. С помощью компьютера можно значительно повысить наглядность обучения, обеспечить его дифференциацию, облег чить проверку знаний, умений, навыков учащихся.

С целью привлечения учащихся к творческой и исследовательской деятельности, обеспечи вающей в будущем интеллектуальную и социальную самореализацию, и, как следствие, созда нию базы математических знаний, умений и навыков, способствующих рациональному реше нию задач с параметром, мы проводим элективный курс «Решение задач с параметрами» с вне дрением в учебный процесс рабочей тетради «Задачи с параметрами», разработанной автором в среде GeoGebra, как формой компьютерной поддержки элективного курса.

Выбор тематики элективного курса обусловлен тем, что уравнения и неравенства с пара метром – это один из сложнейших разделов школьного курса математики, представляющий для школьников наибольшую трудность, как в логическом, так и в техническом плане. Решение урав нений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характе ру к исследовательской. Выбор метода решения, запись ответа совершенствуют умения наблю дать, сравнивать, анализировать, строить схемы и графики, выдвигать гипотезу и обосновывать полученные результаты. Задачи с параметром проверяют не только умение работать по алгорит му, но и способность к поиску нестандартных решений, формируя при этом творческий подход к выполнению заданий.

Также необходимость введения курса «Решение задач с параметрами» обусловлена тесной взаимосвязью таких задач с физическими процессами и геометрическими закономерностями, включением их в задания олимпиад, конкурсов, ЕГЭ.

Замечательную возможность для создания рабочей тетради «Задачи с параметрами» дает GeoGebra – бесплатная программа, предоставляющая возможность создания динамических («живых») чертежей для использования на разных уровнях обучения геометрии, алгебре, эле ментам математического анализа и смежных дисциплин. В отличие от других программ для ди намического манипулирования геометрическими объектами, идея GeoGebra заключается в ин [ 322 ] терактивном сочетании геометрического, алгебраического и числового представления. Рабочая тетрадь представляет собой набор файлов, выполненных учащимися в среде GeoGebra для ком пьютерного моделирования решений задач с параметрами. В ней сосредоточена основная дея тельностная нагрузка элективного курса.

Задачи элективного курса:

– формирование у учащихся навыков решения уравнений и неравенств с параметрами раз личными способами;

– стимулирование исследовательской деятельности школьников;

– формирование логического и творческого мышления учащихся;

– повышение математической культуры;

– развитие устойчивого интереса учащихся к изучению математики;

– подготовка к итоговой аттестации и продолжению образования.

Элективный курс предполагает включение в содержание программы теоретического и прак тического материала. Теоретическая часть содержит упорядоченные сведения об уравнениях и неравенствах с параметрами, способы их решения, а практическая – задачи различных типов, разного уровня сложности, предназначенные для индивидуальной работы. Значительное место отводится самостоятельной математической деятельности учащихся – решению задач, прора ботке теоретического материала, подготовке сообщений, презентаций. Особое внимание на за нятиях уделяется организации научно-исследовательской деятельности учащихся и формирова нию у них умения конструировать задания.

Методы, применяемые на занятиях, подобраны в соответствии с содержанием курса, осо бенностями тематики и органично сочетают лекции, семинары, практикумы.

Программа курса разработана для естественно-математического профиля в старшей школе и предназначена для организации систематического изучения задач с параметрами. Элективный курс продолжительностью 34 часа рассчитан на учащихся 11-х классов, обладающих достаточ ной математической подготовкой, проявляющих интерес к предмету, и желающих продолжить образование с применением математических знаний.

Элективный курс «Решение задач с параметрами» соответствует:

– современным целям общего образования;

– основным положениям концепции профильной школы.

Преподавание элективного курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмо тренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и при емам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операци онной культуры, развивающих научно-теоретическое, алгоритмическое и творческое мышление, и позволяет школьникам научиться решать задачи повышенной сложности.

В процессе преподавания элективного курса используются компьютерные технологии, ори II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

ентированные на получение учащимися практики компьютерного моделирования, и одновре «ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

менно решается задача овладения общеучебными умениями и навыками для успешного усво ения программы профильной школы. Активную учебно-познавательную деятельность, направ ленную на личностное развитие каждого ученика, формирование и развитие ключевых и пред метных компетенций школьников обеспечивает применение:

– лекционно-семинарской системы обучения;

– информационно-коммуникационных технологий;

– исследовательского метода в обучении;

– проблемного обучения;

– технологии деятельностного метода, позволяющей выявлять познавательные интересы и способности школьников;

– личностно ориентированного обучения.

В результате изучения курса учащиеся приобретут умения:

– описывать реальные ситуации с помощью математических моделей и компьютерного мо делирования;

[ 323 ] – анализировать и выбирать оптимальные способы решения уравнений и неравенств с па раметрами;

– отстаивать своё мнение по выбору способа решения нестандартных задач с параметрами;

– применять свойства функций для построения графиков и решения уравнений и неравенств с параметрами;

– строить и читать графики функций;

– логически мыслить, рассуждать, выдвигать гипотезы, делать выводы, обосновывать полу ченные результаты;

– работать с различными источниками информации.

Результат обучения выражается в повышении математической культуры, в проявлении уме ния осуществлять исследовательскую деятельность и применять полученные знания для реше ния практических задач.


Отчётность по освоению курса предусматривает проверку домашних заданий, самостоя тельных работ, тестов, оценивание качества исследовательских проектов. По окончании курса 1) 2) 3) 4) проводится защита групповых и индивидуальных заданий исследовательского типа, рефератов и творческих проектов. В основе отчета лежит рабочая тетрадь учащегося.

Приведем лишь один пример задачи, разобранной с учащимися с использованием програм Построив четыре записанных отрезков прямых, видим, что второе мы GeoGebra, в рамках элективного курса.

квадратзависимости вс Задача. Найдите количество решений системы уравнений уравнение системы задает на координатной плоскости от значений параметра.

Решение. Первоевуравнение системы задает на координатной плоскости вершинами точках (1;

0), (0;

1), (-1;

0), (0;

-1). окружность радиуса с центром в начале координат при 0;

точку (0;

0) при =0, и не имеет реше Определим количество точек пересечения (количество решений ния при 0.

В среде GeoGebra построим фигуру, заданнуюразличных значениях параметра. Будем системы) квадрата и окружности при вторым уравнением.

Возможны четыре варианта раскрытия модуля:

увеличивать значение от 0 до +. На соответствующем анимационном 2) 3) 4) 1) чертеже, выполненном в среде GeoGebra, видно, что может получиться различных случаев. Определим граничные значения параметра.

Построив четыре записанных отрезков прямых, видим, что второе уравнение системы зада ет на координатной плоскости квадрат с вершинами в точках (1;

0), (0;

1), (-1;

0), (0;

-1).

Окружность вписана в квадрат при решений системы) квадрата и окруж, откуда (рис. 1).

Определим количество точек пересечения (количество ности при различных значениях параметра. Будем увеличивать значение от 0 до +. На соот ветствующем анимационномимеет 4 решения.

Система при этом чертеже, выполненном в среде GeoGebra, видно, что может полу читься 5 различных случаев. Определим граничные значения параметра.

Окружность вписана в квадрат при, откуда (рис. 1). Система при этом имеет 4 решения.

Рис. Рис. 1 Рис. Квадрат вписан в окружность ] [ 324 при, откуда (рис. 2). В этом случае система имеет также четыре решения.

Квадрат вписан в окружность при, откуда (рис. 2). В этом случае система имеет также четыре решения.

Рис. 2 Рис. Рис. Рис. При При система не имеет имеет решений3).

система не решений (рис. (рис. 3).

система не имеет решений (рис.имеет решений (рис. 3).

При система не 3).

При Рис. 1 Рис. Рис. Рис. 3 Рис. 3Рис. Рис. При При система имеет имеет система 8 решений (рис. 4).

При имеет 8 решений (рис. 4). 8 решений (рис. 4).

система имеет 8 решений (рис. 4).

При система II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

Рис. 4 Рис.4 Рис.

Рис. При При система не имеет325 ] система не имеет решений5).

[ решений (рис. (рис. 5).

При система не имеет решений (рис. 5).

При система не имеет решений (рис. 5).

Рис. 5 Рис. Ответ: Нет решений при ;

4 решения при и ;

8 решений при.

библиографический список 1. Ильясов И.И. Структура процесса учения. М., 1986.

2. Махмутова М.И. Современный урок. М., 1981.

3. Пидкасистый П.И. Педагогика. М., 2004.

4. Прессман Л.П. Методика и техника эффективного использования средств обучения в учебно воспитательном процессе. М., 1985.

5. Скаткин М.Н. Совершенствование процесса обучения. М., 1971.

6. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra 7. URL: http://www.geogebra.org/cms/ru/ 8. URL: http://festival.1september.ru/articles/528243/ 9. URL: http://edu.of.ru/attach/17/212940.doc 10. URL: http://lib.znate.ru/docs/index-46752.html [ 326 ] ОбНОвлЕННАя ОсНОвНАя тЕОРЕМА тЕОРИИ ПОвЕРхНОстЕй в куРсЕ гЕОМЕтРИИ renovAted fundAmentAl theorem of the theory of surfAces in the course of the Geometry И.А. Долгарев, А.И. Долгарев I.A. Dolgarev, A.I. Dolgarev Выражение коэффициентов второй квадратичной формы поверхности через коэффициенты первой квадра тичной формы;

определяемость поверхности коэффициентами первой квадратичной формы.

Обсуждается вопрос об изложении в курсе дифференциальной геометрии университета основной теоремы теории евклидовых поверхностей. Рассматривается теорема в обновленном виде: регулярная евклидова по верхность определяется однозначно коэффициентами первой квадратичной формы с точностью до положе ния в пространстве. Приведены выражения нормальной кривизны линий на поверхности, полной и средней кривизны поверхности, дана классификация обыкновенных точек поверхности на основе первой квадра тичной формы. Приведен пример нахождения поверхности по коэффициентам первой квадратичной формы.

The expression of the coefficients of the second quadratic shape of surface through the coefficients of the first quadratic form;

opredelyaemost of surface by the coefficients of the first quadratic form.

Is discussed a question about the account in the policy of the differential geometry of the university of the fundamental theorem of the theory of Euclidean surfaces. Theorem in the renovated form is examined: regular Euclidean surface is determined unambiguously by the coefficients of the first quadratic form with an accuracy to of attitude. The resulting expressions of the normal curvature of lines on the surface, the complete and mean curvatures of surface, the classification of the regular points of surface on the basis of the first quadratic form is given. An example of the presence of surface on the coefficients of the first quadratic form is given.

О сновные положения евклидовой дифференциальной геометрии 3-мерного пространства установлены еще в середине XIX века. Регулярная евклидова кривая однозначно, с точ ностью до положения в пространстве, определяется своими натуральными уравнениями – функ циями кривизны и кручения. Доказательство этого факта является сложным и в учебных по собиях по геометрии излагается редко. Учебник П.К. Рашевского [1] содержит доказательство основной теоремы теории кривых [1, с. 137–144;

196–208]. Упростить задачу о получении пара метрических уравнений евклидовой кривой по функциям кривизны и кручения можно, привле кая идеи других геометрий (см. [2]), и механические соображения. Известная задача И. Ньютона о получении траектории движущейся материальной точки по заданному вектору ускорения дви жения, способствует упрощению проблемы определяемости евклидовой кривой [3]: евклидова II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

кривая однозначно определяется вектором галилеевой кривизны евклидовой кривой.

Для евклидовой регулярной поверхности определены метрическая квадратичная форма (первая основная квадратичная форма) и форма кривизны (вторая основная квадратичная фор ма). В середине XIX века доказана основная теорема теории поверхностей: евклидова регуляр ная поверхность однозначно, с точностью до положения в пространстве, определяется заданием коэффициентов ее первой и второй основных квадратичных форм. В доказательстве указанной теоремы преодолены огромные трудности. До настоящего времени не найдено простых методов изложения этого доказательства. В учебных пособиях по евклидовой дифференциальной геоме трии основная теорема только упоминается, ее доказательства не содержатся.

Современные исследования установили, что коэффициенты формы кривизны евклидовой регулярной поверхности выражаются через коэффициенты метрической формы поверхности и производные этих коэффициентов [4]. Результаты исследований дают простые методы получе ния векторного задания поверхности по известным коэффициентам метрической формы [5], что позволило излагать доказательство в учебных пособиях.

[ 327 ] Использование идей галилеевой геометрии приводит к простым и доступным методам по лучения регулярной евклидовой поверхности по коэффициентам галилеевых квадратичных форм евклидовой поверхности [2]. В настоящей работе предлагается обновленная основная тео рема теории евклидовых поверхностей, при этом введения дополнительных понятий не требует ся. Доказательство теоремы чрезвычайно просто, использует известное задание регулярной по верхности явной функцией двух переменных.

Известно, что в теории поверхностей выделяется внутренняя геометрия. Общепринято сле дующее положение, высказанное и в [1, c. 225]: «Те геометрические свойства поверхности, ко торые можно установить, исходя из задания только первой квадратичной формы, образуют так называемую внутреннюю геометрию поверхности». Коэффициенты формы кривизны поверх ности выражены через коэффициенты метрической формы, поэтому все свойства поверхности можно установить, исходя из задания только метрической формы. Следовательно, внутренняя геометрия поверхности изучает изгибаемость поверхности и связанные с изгибанием свойства [1, глава VII].

Ниже рассматривается основная теорема теории евклидовых поверхностей в обновленном виде, предлагается метод ее изложения в лекционном курсе университета по дифференциальной геометрии, состоящий в приведенной схеме изложения фактов.

1. Определяемость поверхности 1.1. Задание поверхности явной функцией Если евклидова регулярная поверхность задана векторной функцией r = r (u, v) = ( x(u, v) y (u, v) z (u, v), (u, v) D R 2,,, то эта поверхность может быть задана в окрестности всякой своей обыкновенной точки явной функцией z = z ( x, y ), см. [1, c. 210–213;

4, c. 72–73], т. е. в окрестности всякой обыкновенной точки регулярная ев клидова поверхность задается векторной функцией r ( x, y ) = ( x, y, z ( x, y ), ( x, y ) D1 R 2. (1) В этом задании коэффициенты метрической формы µ = Edx 2 + 2 Bdxdy + Gdy 2 поверхно сти в параметризации (1) равны E = 1 + z x, F = z x z y, G = 1 + z 2 ;

W = E F 22 = 1 + z x + z 2.

2 G– EG (2) y y Коэффициенты формы кривизны = Ldx 2 + 2 Mdxdy + Ndy 2 поверхности (1) есть L = zхх W, M = z хy W, N = z yy W. (3) xx x y yy 1.2. Выражение коэффициентов формы кривизны через коэффициенты метрической формы поверхности 1. ТЕОРЕМА [6, теорема 1]. Коэффициенты формы кривизны евклидовой регулярной по верхности (1) выражаются через коэффициенты метрической формы µ следующими форму лами:

1 E y Gx Gy Ex L=,M=,N=. (4) 2 FW F W 2 W ( E 1) 2 W (G 1) # По (2) имеем z x = E 1, z y = G 1. Дифференцируем формулы из (2):

E x = 2 z x zхх, G y = 2 z y z yy, E y = 2 z x z хy, G x = 2 z y z yх. (5) x y x y y x Отсюда находим: Ey Ex Ex Gx G, z yх = x. (6) zхх =, zyy =, zхy = = x x y xy yx 2z x 2z x 2z y 2 E 1 2 G [ 328 ] Первые две формулы подставляем в соответствующие формулы в (3) и получаем первую и третью формулы в (4). Перемножаем значения производных zхy = z yх в (6), получаем с исполь xy y x зованием второй формулы из (2): E y Gx zхy =, xy 4F а отсюда имеем вторую формулу в (4). # Приведенное доказательство содержится в [4].

1 E yGx Заметим, что в формуле для z хy = в [4, c. 56] допущена опечатка: вместо zхy на xy xy F печатано x x.

y хy Теорема 1 доказана для поверхности в параметризации (1), всякая регулярная евклидова поверхность в окрестности всякой обыкновенной точки имеет параметризацию (1), значит тео рема 1 верна для евклидовой регулярной поверхности независимо от ее параметризации, т. е. вы полняется 2. ТЕОРЕМА [6, теорема 1]. Коэффициенты формы кривизны евклидовой регулярной поверхности являются функциями коэффициентов метрической формы µ и их производных первого порядка независимо от параметризации поверхности. # 1.3. Обновленная основная теорема теории евклидовых поверхностей Как следствие теоремы Петерсона – Бонне – основной теоремы в классическом варианте теории поверхностей и теоремы 2, получается следующая обновленная основная теорема тео рии поверхностей.

3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [6, теорема 5]. Регулярная евклидова поверхность коэффициен тами метрической формы (первой основной квадратичной формы) поверхности определяется однозначно, с точностью до положения в пространстве. # 1.4. Следствия из теоремы представления Из теоремы 1 представления коэффициентов формы кривизны через коэффициенты ме трической формы поверхности получены некоторые факты. Понятно, что поверхность задана яв ной функцией.

4. ТЕОРЕМА [4, теорема 1]. Для явно заданной поверхности z = z ( x, y ) полная кривизна вы ражается через коэффициенты ее метрической формы и производные первого порядка этих ко эффициентов имеют вид:

ExG y E y Gx K=. (7) 4(EG F 2 ) 2 F E G II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ 5. ТЕОРЕМА [6, теорема 2]. Средняя кривизна регулярной евклидовой поверхности выра ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

жается через коэффициенты метрической формы поверхности и производные первого поряд ка этих коэффициентов:

H= (G y E E 1 + E x G G 1 2 F E y G x F ).

4F W FW 6. ТЕОРЕМА [6, теоремы 3, 4]. Нормальная кривизна линий на евклидовой регулярной по верхности выражается через коэффициенты метрической формы и производные первого по рядка этих коэффициентов имеют вид:

E x G 1d 2 + E y G x F dxdy + G y E 1dy x2 d y dх kn =.

Edx 2 + 2 Fdxdy + Gdy 2F W [ 329 ] ExG y E yGx F 0.

2. Доказательство обновленной G E G F 0. поверхностей E теоремы теории dy d y xy yx В направлении q = поверхности порегулярной поверхности нормальная кривизна линий на евклидовой коэффициентам метрической формы 2.1. Получение d dх x на поверхности вычисляется по формуле:

8. ТЕОРЕМА [5, теорема 2]. Если на G F q + G E 1 q E x G 1 + E y односвязной области D евклидо 2. Доказательство обновленной теоремы теории поверхностей x y kn =.

вой плоскости заданы 2действительные +дифференцируемые функции двух Fq Gq E 2F + G q q FW 2.1. Получение поверхности по коэффициентам метрической формы действительных 4 – 6 получены в результате подстановки значений коэффициентов (4) фор Формулы теорем аргументов мы кривизны в соответствующие формулы классической теории поверхностей. На основеD евклидо 8. ТЕОРЕМА [5, теорема 2]. Если на односвязной области фор E E ( x, y ), F = x, y y G G ( x, y ), (7) мулы (9) полной кривизны поверхностиz F ( z ( x,), ) выполняется 7. ТЕОРЕМА [6, теорема 7]. Обыкновенная точка евклидовой регулярной поверхности яв- двух вой плоскости заданы действительные дифференцируемые функции удовлетворяющие условиям ляется эллиптической, если в этой точке величины действительных аргументов F и ExG E y Gx ( E 1) y ( G 1) x, F y ( E 1)(G 1), (8) отличны от нуля и имеют одинаковые знаки;

являетсяG G ( x, y ), (7) E E ( x, y ), F F ( x, y ), гиперболической, если указанные ве личины отличны от нуля и имеют противоположные знаки;

и точка является параболической то на этой области определяется поверхность (1) z z ( x, y ) с точностью до удовлетворяющие условиям или точкой уплощения, если E Gy E yG = F = 0.

положения в пространстве,Eдля)xyкоторойx )функцииE(7))(являются коэффици 1 ( G 1 x, F ( 1 G 1), (8) ( ентами первой Доказательство обновленной теоремы теории поверхностей 2. квадратичной формы. Начальные условия то2.1. Получение поверхности по коэффициентам метрической x, y ) с точностью до на этой области определяется поверхность (1) z z ( формы 8. ТЕОРЕМА [5, теорема 2]. Если наyодносвязной ( x0, y 0 ), функции (7) плоскости заданы x x0, y, z 0 z области положения в пространстве, 0для которой D евклидовой являются коэффици действительные дифференцируемые функции двух действительных аргументов выделяют единственную поверхность, проходящую через точку ( x0, y 0, z 0 ) и ентами первой квадратичной формы. Начальные условия E = E ( x, y ) F = F ( x, y ) G = G ( x, y ),,, (7) удовлетворяющие условиям касательную плоскость z ( x, y ), имеющую в этой точке x x0, y y 0, z 0 0 ( E 1) y = ( G 1) x, F = ( E 1) G 1), ( (8) z z 0 определяется поверхность z x 0 =xz ( x,, y )0 ),точностью0до положения в(9) z x 0 ( x x0 ) z y 0 ( y y 0 ), (1) z z ( x0 y с z y 0 z y ( x, y 0 ).

то на этой области про выделяют единственную поверхность, проходящую через точку ( x0, y 0, z 0 ) и странстве, для которой функции (7) являются коэффициентами первой квадратичной формы.

Начальные условия теоремыточке касательную плоскость # имеющую в этой приводят к дифференциальному уравнению с пол Условия ным дифференциалом z ( x x )x, zy =( y 0 z 0 ), z (zx0, 0z),( x, y ), z z ( x, y ).

x= 0 y, = y (9) z z0 y x0 y0 x0 x y0 y 0 0 0 0 выделяют единственную поверхность, проходящую через точку ( x0, y 0, z 0 ) и имеющую в этой точке касательную Условия (теоремы G ( x, y ) 1dy 0, (10) E x, y ) 1dx # плоскость приводят к дифференциальному уравнению с пол z z 0 = z ( x x0 ) + z y 0 ( y y 0 ), z x 0 = z ( x, y ), z y 0 = z y ( x0, y 0 ). (9) интегрируемости x 0 дифференциальному Знаки x 0 условияным дифференциалом # Условия теоремы приводят которого есть (8). уравнению с полнымaдифференциалом функций ( x, y ) E 1, к b( x, y ) G 1 выбираем так, чтобыy ) 1dx # ( x, y ) 1dy 0, E ( x, ab F. G, (10) (10) условия интегрируемости которого есть (8). Знаки функций a ( x, y ) = E 1, b( x, y ) = G условия интегрируемости которого есть (8). Знаки функций a( x, y ) E 1, ab выбираем так, чтобы a = F. # b 2.2. Пример: задание прямого геликоида b( x, y ) G 1 выбираем так, чтобы ab F. # 2.2. Пример: задание прямого геликоида Заданы функции Заданы функции c 2 xy cy cx ), F, прямого 2 ) 2.

E 1 ( 2 2.2.2Пример:2 задание G 1 ( 2 геликоида cy cx 2 Находим: a( x, y ) E x 1= 2 2,( x b(,yy)) = 2 2x. Условия интегрируе y y x Заданы функции y x x y cy cx Находим: a( x, y ) E (10) выполняются., y) =функции.FУсловияcx мости (8) уравнения 1 = 2 cy 2, 2 b( x По c 2 xy 2 Условиязаключаем, что интегрируе Находим: ( x, y ) интегрируемости(8) E 1 (x 2 y 2 ), F 2 x 2 2 y, G 1 ( 2 ).

( x y что a ( x, y ), bx x, ) x y F ( x, y ) заключаем, ) y имеют проти (y уравненияb( x, y ) имеют противоположные знаки: пусть a( x, y ), (10) выполняются. По функции воположные знаки: пусть (10) выполняются. По функции F ( x, y ) заключаем, что мости (8) уравнения cy cx, b.

a( x, y ), b( x, y ) имеют противоположные знаки:2 пусть a 2 x y x y cy cx, b 2 2.

a Другой выбор знаков определяет ту2 же ]поверхность в репере с измененным x y [ 330 x y обозначением осей координат. Имеем обыкновенное дифференциальное Другой выбор знаков определяет ту же поверхность в репере с измененным a x2 y2, b x2 y2.

x2 y2 x2 y Другой выбор знаков определяет ту же поверхность в репере с измененным Другой выбор знаков определяет ту же поверхность в репере с измененным обозначением осей координат. Имеем обыкновенное дифференциальное обозначением осей координат. Имеем обыкновенное дифференциальное Другой выбор знаков определяет ту же поверхность в репере с измененным обозначением уравнение уравнение Имеем обыкновенное дифференциальное уравнение осей координат.

cy cx 2 cy 2 dx 2 cx 2 dy 0, x 2 y 2 dx x 2 y 2 dy 0, x y x y его решением является семейство функций его решением является семейство функций его решением является семейство функций dy y z cx 2 dy 2 c arctg y k ( x).

z cx x 2 y 2 c arctg x k ( x).

x x y Зная z xполучаем kk ( x)= C == const. Начальные условия yx =0,,zy = 0,, выделяют по, получаем ( x) C const. Начальные условия x0 = 1, 0 1 0 0 z 0, вы Зная z x, y верхность,zполучаем. k ( x) C = геликоида см. в [7, c. 323].

Зная z x = c arctg Уравнение const. Начальные условия x0 1, y 0 0, z 0 0, вы 0 0 x y деляют поверхность z изложенияУравнение геликоида см. втеоремы 3. О схеме c arctg y. доказательства обновленной [7, c. 323].

деляют поверхность z c arctg x. Уравнение геликоида см. в [7, c. 323].



Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 37 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.