авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 37 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Красноярский государственный ...»

-- [ Страница 29 ] --

), y lg( x 3) 4 и т.д. осознание смысла этой записи, примеры на функциональную символику. Опыт нацеленные на ь выражение длясмысла записифункции Нередко исследовать функцию на 7 классене пото то не понимают что школьники часто (неxмогут, например, f ). даже в 4. Как только в появится запись показывает, приращения учащимся достаточно простых четность примеры, нацеленные на осознание смысла случаях.

труднения что не знают(x), полезно а потому, что чисто учащимся записи f ( x)нацеленные на осознани появитсяму, с производной также из-за не понимают смысла примеры,. Нередко учащи запись y f определения, предлагать х.

еся испытывают затруднения с производной функциональную означает, трудностей: показывает, под на также из-за чисто технических чтоОпыт не по Это символику. соответствующая чт еые на осознание смысла этой( xзаписи, вследствие этогона могут исследовать функциюприра тветствующая подготовительнаяработапримеры и не могут, например, составить выражение для на четность не была понимают смысла записи f х) и вследствие не функциональную символику. Опыт показ нимают смысла записи щения функции даже в достаточно простых случаях. проведена учителем в младших классах. По ку. Опыт показывает, что школьники частоподготовительная например, была проведенафункцию на че не дших классах. Поэтому считаем необходимым могут, работа исследовать учи определения, а потому,нечто неи понимают задания сл включать в учебники задачники смысла з Это означает, что соответствующая ачники задания следующего типа: для функции необходимым включатьпотому, чтои не понимают функцию на четность не потому, что несчитаем телем в младших классах. Поэтому знают определения, а в учебники задач ники задания следующего типа: для учащиеся y y f f (x,, где f ( x) 2 х 2 5 х 3, найти f (a 1), f ( испытывают затруднения снайти производной = (x) ) где функции 3, найти f (a 1), смысла(5записи), ff ((x 2x),.ит.п.

не понимают f (3a), f x), f ( x ), и Нередко т.п. учащиеся испытывают затруднения с пр 5. Для правильного формирования утехническихсамого понятия функции, так иформирования у учащихся как трудностей: не понимаютметодо- записи 5. Для правильного смысла уднения логической сущности этого понятия полезно регулярно работать с кусочными функциями. Во формирования у учащихся как самого чисто с производной также из-за понятия технических трудностей: не понимают смысл функции, так и методологической сущности многих случаях именно кусочные функции являются математическими моделями реальных си понимают смысла этого понятияполезно регулярно ческой сущности записи f ( x х) и вследствие туаций. Использование таких функций способствует преодолению обычного заблуждения уче работать с кусочными функциями. Во мн нкциями. Во многих случаях именно кусочные [ 713 ] функции являются математическими м ематическими моделями реальных ситуаций.

Использование таких функций способс ников, отождествляющих функцию только с ее аналитическим заданием в виде некоторой фор мулы. В самом деле, чтобы задать функцию, надо указать область ее определения D( f ) и прави ло f, по которому каждому значению х из множества D( f ) сопоставляется определенное зна чение у. Если учащиеся имели дело с функциями, заданными одной формулой, заданными гра фически и особенно заданными различными формулами на разных промежутках, то они легче воспримут ту тонкость, которая содержится в определении («правило f »);

менее вероятно при этом и отождествление ими «правила f » с «формулой f». Использование кусочных функций го товит как в пропедевтическом, так и в мотивационном планах понятие непрерывности функции в точке. Использование на уроках кусочных функций дает возможность учителю сделать систе му упражнений более разнообразной (что существенно для поддержания интереса к предмету) и творческой (можно предложить учащимся самим конструировать примеры кусочных функ ций). Отметим и воспитательные моменты: это и воспитание умений осуществлять классифика цию, принимать решение, зависящее от правильной ориентировки в условиях, это и своеобраз ная эстетика – оценка красоты графиков кусочных функций, предложенных разными учениками.

6. Очень важно научить учащихся по графику описывать свойства функции, переходить от заданной геометрической модели (графика) к вербальной (словесной) модели. В 7 классе этот перевод с одного вида математического языка на другой достаточно беден, но постепенно, по мере появления новых свойств функции он становится богаче (а значит, учащиеся видят, как они постепенно умнеют, развиваются по мере изучения математики, что вполне в духе упомяну того выше принципа осознанности в теории развивающего обучения Л.В. Занкова). Наличие уже в курсе алгебры 9 класса достаточно большого числа свойств функций позволяет сделать про цесс чтения графика интересным, разнообразным и многоплановым. У ученика появляется воз можность составить довольно четкий «словесный портрет» функции по ее графику.

Проблемы преподавания тригонометрии в школе Не секрет, что нынешние выпускники школ тригонометрию знают очень плохо. Причина – засилье в этом разделе математики формул, на изучение которых чаще всего и делается основ ной упор в преподавании. На самом деле, это красивый и законченный раздел, но чтобы придать ему цельность и стройность, надо положить в его основание три камня («три кита тригономе трии»). Это числовая окружность, простейшие тригонометрические уравнения и теорема сложе ния. С теоремой сложения в школе все в порядке: получив ее (с доказательством или без оного, это не суть важно), легко и естественно выводятся все формулы тригонометрии. А вот с двумя другими «китами» тригонометрии дело обстоит хуже. Об этом и пойдет речь ниже.

В школьном курсе математики в разные годы использовались различные варианты введения тригонометрических функций. В современных учебных пособиях предпочтение отдается опре делению с помощью единичной числовой окружности. При этом большинству учебников при сущ один и тот же недостаток – недооценка важности изучения самой модели «числовая окруж ность» и сложности дидактических компонентов, которые связаны с изучением этой модели.

О каких дидактических компонентах идет речь?

1. Соотнесем два понятия: числовая прямая и числовая окружность. Числовая прямая изу чается в школе в течение четырех лет: в 5 классе речь идет о координатном луче, в 6–7 классах – о координатной прямой, и, наконец, в 8 классе, после введения понятия действительного чис ла, – о числовой прямой. Числовая прямая считается изученной, когда учащиеся свободно реша ют задачи четырех типов: по заданному числу находят точку на прямой, по точке находят соот ветствующее число, от геометрической модели числового промежутка умеют переходить к ана литической записи и обратно. Числовая окружность представляет собой более сложную модель, на которой тем не менее надо научиться решать задачи тех же четырех типов. Это требует време ни и внимания со стороны как авторов учебников, так и учителей.

2. Само понятие длины дуги, которое лежит в основе любых действий с числовой окружно стью, не является надежно отработанным в курсе геометрии, значит, и на это следует обратить внимание. Тем более учтя специфику окружности радиуса 1.

[ 714 ] изучать не одну, а две новые модели: первая ность, а вторая – числовая окружность на коор 3. И авторы учебников, и учителя должны с пониманием относиться к тем трудностям, с ко Учитывая вышесказанное, следует удел торыми столкнутся учащиеся в начале изучения тригонометрии: непривычная модель (числовая окружность) и непривычный, «неаналитический» способ введения новых функций (синус – ор товке к введению основных определений: дли дината, косинус – абсцисса точки числовой окружности). При этом от учащихся фактически тре буется слишком много: умение работать одновременно в модели «числовая окружность» и модели сти, двух системах координат: «криволи нейной», когда снимаем информацию о положении точки на числовой окружности, и декарто ординатной плоскости».

вой, когда снимаем информацию об абсциссе и ординате точки. Опыт показывает: недоработки с моделью «числовая окружность» и слишком поспешное введение тригонометрических функ Для успешного овладения указанными ций не позволяют создать надежный фундамент для успешного изучения материала. Более того, систему специальных заданий (условно – «дид на самом деле школьникам приходится изучать не одну, а две новые модели: первая – собственно числовая окружность, а вторая – числовая окружность на координатной плоскости.

Первая игра – вычисление длин дуг един Учитывая вышесказанное, следует уделить большое внимание подготовке к введению основ ных определений: длине дуги единичной окружности, модели привыкнуть к тому, что длина всей ок должны «числовая окружность» и модели «числовая окружность на координатной плоскости».

Для успешного овладения указанными моделями можно предложить систему специальных – и т окружности, четверти окружности заданий (условно – «дидактических игр»).

Первая игра – вычисление длин дуг единичной окружности. Учащиеся должны привыкнуть Вторая игра – отыскание на числовой к тому, что длина всей окружности равна 2, половины окружности –, четверти окружно сти – и т.д.

вующих заданным числам, выраженным в дол Вторая игра – отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным чис 11 мер, точек ) и т.д.

и т.д.

лам, выраженным в долях числа (,,, ), например, точек M ( ), M ( 2463 4 Третья игра – отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным чис лам, выраженным не в долях числа, например, точек M(5),, M (5) игра – отыскание на числовой ( Третья M (1) MM (1,) M (5) и т.д.

, Четвертая игра – запись чисел, соответствующих данной «хорошей» точке числовой вующих заданным числам, выраженным не в ги поменять той же например, «хорошей» то соответствующая анали окружности;

дуги поменять местами начало и конец, то соответствующая анали местами начало и конец, является середина первой четверти, соответствующие ей числа имеют вид + 2k, k Z. чек M (1), M ( ) и т.д.

7 запись дуги будет иметь 4составлениебудет иметь k. (двойных неравенств) для дуг числовой тическая записьдуги 2аналитических записей 2k t 2k.

k t 2 вид вид Пятая игра – 6 6 4 Четвертая игра – запись чисел, соответ окружности. Например, если дана дуга, соединяющая середину первой четверти (начало дуги) и – от данной из техигра – от записи аналитической записи окружности;

например, «хоро Шестая двух, что делят вторую четверть на три нера- дуги (двойного нера стая игра нижнюю точку аналитической данной дуги (двойного равные части (конец дуги), то со точке числовой ерейти кответствующая аналитическая запись имеет вид +изображению. k. Если у той же дуги по венства) перейти к ее геометрическому 2k t + ее геометрическому изображению.

4 вой четверти, соответствующие ей числа имею менять6 игр обеспечивают умение решать задачи умениезапись дуги будет иметь вид местами начало и конец, то6 игр обеспечивают четырех соответствующая аналитическая решать задачи четырех Заметим, что эти етим, что эти 7 II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ + 2k t + 2k.

ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

Пятая игра – составление аналитичес типов, связанных с числовой окружностью, о которых мы упоми- о которых мы упоми 6 основных 4 типов, связанных с числовой окружностью, Шестая игра – от данной аналитической записи дуги (двойного неравенства) перейти к ее венств) для дуг числовой окружности. Напр нали выше.

е. геометрическому изображению.

дующие дидактические игры относятся к модели няющая середину первой четверти (начало д Заметим, что эти 6 игр обеспечивают умение решать задачи четырех основных типов, свя Следующие дидактические игры«числовая ок- модели «числовая ок относятся к занных с числовой окружностью, о которых мы упоминали выше.

Следующие дидактические игры плоскости».двух, «числовая окружностьчетверть на три равны ружность на координатной относятся к модели что делят вторую на координат на координатной плоскости».

ной плоскости».

Седьмая игра – отыскание точек числовой ок-окружности. Например, ьмая игра – Седьмая игра координат координат «хороших» точек«хороших» точек числовой ок отыскание – отыскание «хороших» координат числовойаналитическая запись имеет ви ветствующая 312 2 ружности. Например, ( ), M ( ) M ( ;

),. Например, M ( ) M (0;

1), M ( ) M M ( ;

) M (0;

( ), )M (M ) M ( ), ;

), M 1 ( ;

22 2 4 2 22 2 6 2 4 37 3 1 13 и т.д.

и т.д.

( ;

), M ( M)( M M (;

;

) ), M ( ) M ( ;

) и т.д.

)( 63 2 2 22 6 2 роцессе этой игры школьники фактическишкольники фактически учатся вычислять значе В процессе этой игры учатся вычислять значе [ 715 ] нометрических функций, например, изфункций, например, из сле ния тригонометрических последнего равенства последнего равенства сле и т.д.

;

;

)) и т.д.

2 ольники фактически учатся вычислять значе ольники фактически учатся вычислять значе ций, например,процессе этой игрыравенства сле ий, например, из последнего равенства фактически учатся вычислять значения тригонометриче В из последнего школьники сле ских функций, например, из последнего равенства следует (но об этом они узнают позже), что 37 37 1 1 зже), что sin( простейшихcos( я к решению 6 )) 2,, аа cos( 6 )) 2..

же), что sin( а тригонометриче- 6 2 6 Восьмая игра – отыскание знаков координат «плохих» точек числовой окружности. Если, s tзнаков координат «плохих» yточекследует,. В процессе этой игры школьники фактически учатся a. Для понимания =сути;

дела числовой е знаков координат «плохих» точекxчисловой например, M (2) M ( x ), то 0, y ов((2)) M ((x;

;

эти то x знаки с0помощью число определять тригонометрических функций по четвертям числовой окружности, например, M решать yпоследнего0,, y 0.. Вследует (об этом они также узнают позже), что sin 2 0, а cos 2 0.

2 M из y)),, уравнения то x 0 y В процессе этой равенства процессе этой x Девятая игра – отыскание на числовой еходить к готовымзнаки тригонометрических окружности точек, координаты которых удовлет чатся определять формулам.

чатся определять знаки тригонометрических воряют заданному уравнению. Например, если y =, то этому условию удовлетворяют две на окружности, например, из последнего ра й числовой окружности точек, координаты й окружности, например, из последнего ра- точки числовой окружности, их главные имена и, а все имена охватываются двумя y 1,0.. 6 sin 2 0,, а 5cos 2 0то кже узнают позже), что sin22 0t = му узнают позже), tчто + а кже неравенству. Например,k,еслиcos+ 2 k. Важность девятой игры очевидна: фактически мы без формулами: = 6 е на числовой окружности точек, координаты простейших тригонометрических уравнений вида на числовой окружности точек, координаты педалирования готовим учащихся к решению чки открытой дуги t = 2k понимания k. Та- следует, прежде всего, научить школьников решать sin t = a, cos a. Для t 2 сути дела 6с помощью числовой окружности, не торопясь переходить к готовым формулам.

ному уравнению. Например, если y то ному уравнению. Например, если y,,то эти уравнения педалирования, готовим–учащихся на реше- окружности точек, координаты которых удовлетво Десятая игра отыскание к числовой две точки числовой окружности, их главные ряют заданному неравенству. их главные две точки числовой окружности, Например, если y, то этому условию удовлетворяют точки от ств вида sin t a, cos t a. крытой дуги + 2k t + 2k. Таким образом, мы, опять-таки без педалирования, гото мена охватываются двумя формулами:

мена охватываются двумя 6формулами:

адиционные учащихся6 решению тригонометрических неравенств вида sin t a, cos t a.

вим определения синуса и косину к определения осознанно, им дать традиционные определения синуса и косинуса. Чтобы учащиеся После этого можно предлагаются ь девятой игры очевидна: фактически мы без ь девятой игры эти определения осознанно, без принялиочевидна: фактически мыим предлагаются те же игры, но в новой формулировке.

ровке. Например, вычислить sin( ) – пе Например, вычислить переформулировка седьмой игры;

решить уравнение sin t = переформулировка девятой игры;

определить знак числа sin 2 – переформулиров 2 1 решить уравнениеигры;

переформули- t переформулировка десятой игры. Естественно, ка восьмой sin t решить неравенство sin 2 что появляются и новые сюжеты, например, сравнить числа sin 1 и sin 2 или sin 7 и cos 7;

такие знак числа sin 2 традиционно сложные длявось задания, переформулировка массовой школы, не должны вызывать никаких затруднений в профильных классах.

sin t переформулировка десятой игры.

Второй «кит» тригонометрии, упомянутый выше, – простейшие тригонометрические урав 2 нения. Традиционная методическая ошибка (которую уже перестали замечать именно в силу ее овые сюжеты, например, сравнить числа sin в школе все последние годы заключается в следую традиционности) в изучении тригонометрии щем: учащимся не дают возможности прочувствовать специфику собственно тригонометриче задания,ских уравнений –сложные для массо- типа sin t 1, tg (2 x ) 3 ;

;

вместо этого ониони вынужде традиционно простейших уравнений вместо этого вы 2 никакихнуждены с самого начала искать нужные формулы для упрощения заданного сложного уравне затруднений в профильных клас нужные формулы для упрощения заданного сложн ния.

В чем состоит специфика простейших тригонометрических уравнений? Во-первых, в том, В чем состоит специфика простейших тр ии, упомянутый выше, никогда до этого учащиеся не сталкивались с ситуацией, чтобы в уравнении что практически – простейшие три было не конечное, а бесконечное множество корней;

это надо понять,том, что и принять. Во- никогда ний? Во-первых, в осознать практически диционная методическаясих пор структура записи корней уравнения не выглядела столь сложно и гро вторых, никогда до ошибка (которую моздко. Самое трудное, что было до сих пор, – кивались с ситуацией, чтобы в уравнении было н формула корней квадратного уравнения. Теперь в силу ееже они сталкиваются в записью x =три-n arcsin m + n, где каждый компонент (и пресловутые традиционности) с изучении (1) множество корней;

это надоn понять, осознать и пр ние годы заключается впараметра, и странный «хвост» n, и «выкрутасы» типа (1) ) требует спе «арки», и наличие следующем: уча циального осмысления и отработки, для чего до сих соответствующая записи корней уравнения не нужна пор структура система упражнений.

чувствовать специфику ее возможных вариантов.

Приведем один из собственно триго 1) вычисление значений обратных тригонометрических функций;

трудное, что было до сих пор, – громоздко. Самое – простейших простейших уравнений (sin t = a, cos t = a) с помощью числовой окружности;

2) решение уравнений типа ного уравнения. Теперь же они сталкиваются с з [ 716 ] где каждый компонент (и пресловутые «арки»

n 2) решение простейших уравнений (sin t a, cos t a) с помощью число вой окружности;

3) решение простейших уравнений по готовым формулам;

3) решение простейших уравнений по готовым формулам;

4) решение уравнений вида sin(kx m) a, cos(kx m) a, tg (kx m) a;

;

4) решение уравнений вида 5) отбор корней в простейших уравнениях;

5) отбор корней всводящиеся к рациональным после выбора в качестве новой переменной 6) уравнения, простейших уравнениях;

6) уравнения, сводящиеся к функции (в частности, к этой группе заданий относятся од какой-либо тригонометрической рациональным после выбора в качестве нородные тригонометрические уравнения и уравнения, сводящиеся к однородным с помощью основного тригонометрического тождества).

новой переменной какой-либо тригонометрической функции (в частности, к Как видно из приведенного перечня, и без обилия формул тригонометрии в теме этой группе заданий относятся однородныезаняться. В дальнейшем, по мере появления фор «Тригонометрические уравнения» есть чем тригонометрические уравнения мул тригонометрии, каждая из них тут же используется не только для бессмысленных упроще и уравнения, сводящиеся к однородным с помощью основного тригономет ний тригонометрических выражений или столь же бессмысленного, нужного только с обучаю рического тождества). развивающей целью, доказательства тригонометрических тождеств, но и для щей, но отнюдь не решения уравнений.

Как видно из приведенного перечня, и без обилия формул тригоно Проблемы преподавания в школе начал математического анализа метрии в теме «Тригонометрические уравнения» понятия включаться в программу школьно Предел, производная, интеграл… Должны эти есть чем заняться. В даль го курса математики или нет, и если да, то в чем их воспитывающая и развивающая ценность нейшем, по мере появления формулкаком уровне строгости излагать их в школьных учебниках для учащихся, в каком объеме и на тригонометрии, каждая из них тут же и на уроках алгебры и начал математического анализа? Что делать с понятием предела – этим используется не только для бессмысленных упрощений тригонометрических своеобразным жупелом как для учителей математики, так и для функционеров от математиче выражений образования? Как преодолевать методические трудностиспри изучении элементов мате ского или столь же бессмысленного, нужного только обучающей, но матического анализа в школе, соотнеся их с тремя ключевыми вопросами методики преподава ния математики: что преподавать, как преподавать, зачем преподавать? Главный из этих вопро сов – последний, но именно он долгое время был в нашей общеобразовательной школе не самым актуальным. У сегодняшних же прагматичных российских школьников вопрос «зачем?» выхо дит на первое место.

Вопрос «зачем что-то изучается?» в том или ином школьном предмете соотносится в пер вую очередь с социальным заказом, который общество делает образованию. Если в недавние годы социальный заказ нацеливал педагогическую общественность на то, что главное в образо вании – обучение, передача информации, то сегодня главное в образовании – развитие, формиро вание общей культуры человека, способного, в частности, самостоятельно добывать и перераба тывать информацию. Поэтому если раньше учили математике, то сегодня учат математикой.

Одной из основных целей математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира. Значит, нужно научить школьников состав лять математические модели реальных ситуаций, а для этого они должны владеть математиче ским языком, описывающим указанные модели. Для математического исследования явлений ре II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

ального мира особенно важны понятия предела и производной, ведь это основные понятия язы ка, на котором «говорит природа». Безусловно, выпускник средней школы должен иметь пред ставления о производной, о ее применении для исследования реальных процессов. При этом сле дует учесть, что, во-первых, определение производной, которое дается в школе, в точности со ответствует формальному определению, принятому в математике, и, во-вторых, что значение производной в общем развитии школьника достаточно велико (скорость, касательная, монотон ность, экстремумы, задачи на оптимизацию и т.д.).

Обсудим теперь, каким должен быть уровень изложения элементов математического анали за в школе (любой автор своим учебником должен дать учителю ответ на этот вопрос). В учеб ном предмете возможны и равнозначимы четыре уровня обоснования тех или иных свойств, фак тов, утверждений:

1) принятие на веру (когда, например, ученикам сообщают, что сформулированная теорема доказана в математике, но мы принимаем ее без доказательства, поскольку оно по объективным причинам непосильно школьникам);

[ 717 ] 2) наглядно-интуитивный уровень – замена доказательства геометрическими иллюстрация ми или рассуждениями «на пальцах»;

3) правдоподобные рассуждения (например, использование вместо доказательства конкрет ного примера, в котором фактически раскрывается идея формального доказательства);

4) формально строгое доказательство.

Основная трудность в работе учителя математики при изложении начал анализа состо ит именно в адекватном и концептуальном выборе уровня строгости предъявления материала школьникам. Учитель, работая с тем или иным школьным учебником, часто пребывает в недоу мении: почему одна теорема в учебнике доказана, а другая теорема в аналогичной ситуации при ведена без доказательства;

почему для обоснования одной теоремы авторы разрешают себе огра ничиться геометрическими иллюстрациями, а через пару страниц в похожей ситуации запреща ют это и себе, и учителю.

Рассмотрим в качестве примера положение дел в школьных учебниках с исследованием функций при помощи производной (на монотонность и экстремумы). Эта тема – своеобразная лакмусовая бумажка, которая проверяет методическую культуру учителя математики (да и ав торов школьных учебников). Ведь здесь речь идет о теоремах, необходимость знания которых и явилась основной причиной введения элементов математического анализа в школьный курс ма тематики. В то же время строгое доказательство этих теорем требует знания многих фактов ма тематического анализа, которые в школе не рассматриваются. Какой путь выбрать учителю: со общить теоремы без доказательства и без комментариев, ограничиться наглядно-интуитивными или правдоподобными рассуждениями, попытаться дать строгие доказательства?

В действующих школьных учебниках встречаются различные варианты. Например, та кой: без доказательства, но с опорой на геометрические иллюстрации формулируется теорема Лагранжа, а затем с ее помощью строго доказывается теорема о влиянии знака производной на характер монотонности функции на промежутке. С нашей точки зрения, это не лучший вари ант, он нелогичен (а по большому счету неконцептуален): зачем давать геометрическую иллю страцию теоремы Лагранжа, если можно сразу дать простую и изящную геометрическую иллю страцию того, что для школы важнее – связи между знаком производной и характером монотон ности (рисуется график возрастающей функции, проводится касательная в произвольной точке, она составляет острый угол с положительным направлением оси абсцисс, следовательно, про изводная положительна). К тому же геометрическая иллюстрация теоремы Лагранжа достаточ но сложна и искусственна (с кучей дидактических компонентов), не случайно в вузовском кур се математического анализа эту иллюстрацию обычно дают не до доказательства теоремы, а по сле него. Оправдывая упоминание в школьных учебниках теоремы Лагранжа, обычно говорят, что теорема Лагранжа важна и сама по себе, недаром ее называют основной теоремой дифферен циального исчисления. Это верно, но лишь при условии, что она активно работает (как это име ет место в вузовском курсе математического анализа). А в школе она используется лишь один раз – в указанном выше случае. К чему же ломать копья?

Второй вариант, используемый в школьных учебниках, – замена строгого доказательства правдоподобными рассуждениями, основанными на физическом или геометрическом смысле производной. С нашей точки зрения, это вполне приемлемо, но лишь при условии, что правдо подобные рассуждения не выдаются за доказательства – такая подмена понятий наносит суще ственный урон формированию математической культуры школьника.

Итак, именно второй вариант с указанным дополнительным условием представляется наи более приемлемым для общеобразовательной школы на любом уровне (профильный уровень – не исключение, кроме разве что узко специализированных элитных математических школ) при изучении применений производной для исследования функций на монотонность и экстрему мы. Конечно, такие рассуждения вряд ли понравятся ревнителям математической строгости, они объявят изложение материала легковесным. Но это не должно нас беспокоить, главное, чтобы изложение: а) фактически не противоречило математике как науке;

б) было доступно школьни [ 718 ] кам. Не следует забывать, что в школе (в том числе и в профильной) мы лишь знакомим учащих ся с элементами математического анализа, составляющими существенную часть общечеловече ской культуры;

формальное изучение этого предмета – прерогатива высшей математики, излага емой в вузах, переносить его в среднюю школу нецелесообразно (всему свое время). В свое вре мя мне было приятно узнать, что эту точку зрения разделяет видный российский математик А.Д.

Мышкис, который писал: «Преподавание элементов высшей математики в школе необходимо, если оно будет опираться на преимущественно интуитивное изложение материала;

в противном случае оно нецелесообразно» [Мышкис, 2004].

Наглядной иллюстрацией к сказанному выше является методика введения понятия предела, о которой речь пойдет ниже. В школьных программах в различные годы рекомендовались раз личные подходы к введению понятия предела – от формального определения до требования во обще запретить упоминание самого термина «предел» из-за того, что не удавалось найти при емлемые методические приемы введения этого понятия. Поскольку производной без предела не бывает, это требование следует признать несерьезным, а потому обсуждению не подлежа щим. Более серьезный вопрос: почему попытка введения в школу строгого определения предела была априори обречена на провал?

Во-первых, надо учесть, что и в истории математики формирование понятия предела шло долго и мучительно. Пределами пользовались на наглядно-интуитивном уровне за много веков до введения формального определения, предложенного О. Коши лишь в начале Х1Х века. Это не случайно, ведь в обычном « -определении» того, что число b является пределом функции y = f (x) при x a, заложено внутреннее противоречие: на статическом языке неравенств опи сана динамическая ситуация – процесс приближения функции к предельному значению. Этого долго не могли постичь математики, чего уж требовать от школьников.

Во-вторых, следует упомянуть об измерении уровня сложности определений математиче ских понятий. Один из способов такого измерения связан с числом кванторов в определении.

Например, понятие четности функции – «однокванторное»: для любого x D( f ) выполняется равенство f ( x) = f ( x) в определении присутствует только один квантор общности – для лю ;

бого. Понятие ограниченности функции сверху – «двухкванторное»: существует число М, такое что для любого x D( f ) выполняется неравенство f ( x) M ;

в этом определении присутствуют два квантора: квантор существования и квантор общности.

Однокванторное определение посильно среднему школьнику, двухкванторное определение (ограниченность, экстремум, наибольшее и наименьшее значения, периодичность функции) тре бует напряжения умственных сил школьника и вдумчивой неспешной работы учителя. Это та планка, выше которой в общеобразовательной школе на любом уровне не прыгнуть (впрочем, не нужно и стараться делать это). А формальное определение предела – это определение с тремя кванторами ( 0) ( 0) (x : 0 x a ) f ( x) b ), т. е. по нашей условной иерар (( II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

хии определение третьего уровня сложности, не говоря уже о его перегруженности знаками мо «ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

дулей и неравенств.

Итак, совершенно очевидно, что школьнику в силу его возрастных особенностей и недоста точной математической культуры не по силам «трехкванторное» определение предела. Оно чаще всего не по силам и первокурсникам, которые формально заучивают определение, а подлинное понимание приходит позднее, где-то к концу второго курса – при изучении теории функций мно гих переменных и метрических пространств. Значит, от жесткой модели – формального опреде ления – в школе следует отказаться.

Не была удачной и попытка дать школьникам понятие предела в терминах приближенных вычислений: приближенные вычисления – не самая любимая тема как школьников, так и учите лей, опыт приближенных вычислений и у тех, и у других чаще всего отрицательный;

на отрица тельном опыте ничего позитивного построить нельзя. Выход один: воспользоваться мягкой мо делью – интуитивным представлением о пределе.

В началах математического анализа есть три вида предела: предел числовой последователь ности, предел функции на бесконечности и предел функции в точке. Предел функции на беско [ 719 ] точке не имеет дидактической нагретого чайника Например, процесс остывания подоплеки (для школьников это искусствен- этом смысле все в поря омо понятие горизонтальной асимптоты, а наличие у ная конструкция),помощью предела пределом функции на бесконечности в комнатной темпера моделируется с в то время как с на бесконеч- до этом смысле асимптоты –асимптоты, апроцесс остывания нагретого чайника понятие горизонтальной это геометрическая модель зонтальной все в порядке. Например, наличие у ности. Учащимся знак сконечности.

до комнатной температуры моделируется модель в последние годы почти не рассматривался, альной асимптоты – это геометрическая с помощью предела на бесконеч- графика функции гори нечности в российской общеобразовательной школе ности. должен направить прежде всего на то, чтобы в точке. Наналичие у начинатьфункции на бе итель Учащимся знакомо понятие горизонтальной асимптоты, а наш взгляд, ечности. упоминается (как правило, очень невнятно) лишь предел надо предела (после разговора о пределе последовательности) именно с предела на бесконечности. Это дикту lim f ( x) b трически интерпретировать запись асимптоты – это геометрическая модель направитьопиратьсявсего на принципы на- как графика функции горизонтальнойтакие то, чтобы дидактики, принципы дидактики, как связь с имею ь долженется дидактическими соображениями: если опираться на такие как связь с жизнью, связь прежде на x то придется согласиться, что понятие предела Свои усилия учи с жизнью, связь с имеющимся опытом, функции предела функции на бесконечности.f (подоплеки (для согласиться, что понятие конструкция), в ) горизонтальной опытом, x) y каки обрат b точке не имеет запись lim то придется школьников это искусственная предела функции в щимся асимптоты дидактической ескиyинтерпретировать b, на ии f (x учащиеся умели геомет в то время как с пределом x функции на бесконечности в этом смысле все в порядке. Например, Свои усилия учитель должен дидактической подоплеки на то, чтобы точке не имеет направить прежде всего моделируется с помощью пре процесс остывания нагретого чайника до комнатной температуры(для школьников это искусствен yнкции, горизонтальной асимптоты асимптоту, перехо f (x) имеющей горизонтальную y b, и обрат дела на бесконечности. Учащимся знакомо понятие горизонтальной асимптоты, а наличие графика функц личие у у гра lim f ( x) b учащиесяиспользованиемконструкция), в тоНапример, с пределом функции на бесконечности в ная символа предела. время как умели геометрически интерпретировать запись как на записи с фика горизонтальную асимптоту, перехо ии, имеющей функции горизонтальной асимптоты – это геометрическая x модель предела функции на набес конечности. этом смысле все в порядке. Например, процесс остывания нагретогографик фуно, глядя чайника личие у графика асимптотой предела. Например, асимптоты y чтобы учащиеся умелианалитической з си с использованием символа f должен направить прежде всего на то, b, и обрат оризонтальной функции y гиперболы у, значит, Свои усилия учитель (x) горизонтальной геоме дить к lim f х x) = моделируется с помощью предела на бесконеч до комнатной температуры b ( но, глядя трически интерпретировать запись x горизонтальную асимптоту, перехо- y = f (x) го на график функции, имеющей1 значит, как наличие у графика функции зонтальной асимптотой гиперболы у знакомо понятие горизонтальной асимптоты, а наличие у г, ось абсцисс является ризонтальнойности. Учащимсяобратно,кглядя на график функции, имеющей горизонтальную асимптоты y = b, и х кции к уаналитической записи приближается отрица- предела. Например, е асимптотически с использованием символа х дить асимптоту, переходить кфункции горизонтальной асимптоты – этопредела. Например, модель графика аналитической записи с использованием символа геометрическая у абсцисс является горизонтальной асимптотой гиперболы у 1, значит, lim х 0 ;

гра е х асимптотически приближается к отрица ось, значит, график функ ось абсцисс является горизонтальнойбесконечности.

асимптотой гиперболы х предела функции на цисс, значит, lim е 0. х x x фик функции y = eх асимптотически приближается к отрицательному лучу оси абсцисс, значит, чтобы Свои усилия учитель должен направить прежде всего на то, 1 х, lim х 0 ;

lim е 0.

значит, график функции у е х асимптотически приближается к отрица- lim f ( x) b оси абсц тельному лучу школьников. учащиеся эскизы геометрически интерпретировать запись x конструировать умели графиков функ- как на x x Важно научить школьников конструировать эскизы графиков функций, обладающих задан анными конструировать эскизы графиков функ-график функции y = f (x), для которой ьников ными свойствами. Например, функции график свойствами. Например, построить построить х тельному лучу оси абсцисс,узначит, lim е 0. y f (x) горизонтальной асимптоты y b, и обрат- ш Важно научить личие графика lim f ( x) 3, lim f ( x) 0, x функция непрерывна и убывает на всей числовой прямой.

причем график которой ми свойствами. Например, построить функция не причем ций, обладающих зад но, на график функции, имеющей горизонтальную асимптоту, перехо глядя x x lim fЭто 3, lim f ( x) 0, ( x) научить школьников вот задание посложнее: построить график функ- для которой рой Важно задание базового уровня. А конструировать использованием символа предела.yНапример, эскизы графиков функции, всей числовой прямой. Это задание функция не- с(два предела и непрерывность), а взамен убы- f (x), для причем базового уровня.

дить к аналитической записи функции выполнены x три условия из предыдущего примера x ций, обладающих заданными свойствами. сложнее будет обстоять дело,график Например, построить если добавить условие вания предлагается условие fдля=которой выпол (0) 5. Еще нее: построить график абсцисс является горизонтальной асимптотой гиперболы у 1, значит, й числовой( прямой. ]Этофункции,базового,уровня.x) 0, E f ) = [2;

7.ось заданиеlim f ( x) 3 lim f ( прерывна ихубывает на функции y примера (два предела и непрерывность), а причем функция не, для которой f (x)касается вычисления пределов на бесконечности, то достаточно сообщить учащимся едыдущего Что построить график функции, для x которой выпол- x А вот задание посложн lim. Еще сложнее будет обстоять лагается условие f1) ) 5 х ;

2) предел постоянной функции равен значению константы;

3) теорему отрица три факта: (0 график функции у е асимптотически приближается к х дущего примера (два предела и непрерывность), а прерывна и убывает на всей числовой прямой. Это задание базового уровня. нены три условия из пр x ловие E ( fоб [20) ]. 5. Еще операциях надграфик функции, для которой выпол- Тогда техни ) f ;

тся условиеарифметических построить пределами (естественно, без доказательства).

А вот задание (посложнее:сложнее будет обстоять взамен убывания предл ку вычисления пределов нетрудно довести до вычисления предела отношения двух многочле lim е х е E ( ) [ нов ]. из тельному лучупримера (два предела x.

условия предыдущего оси абсцисс, значит, и непрерывность), а неныf три2;

7при х. дело, если добавить усл Теперь приведем конспективный вариант изложения в школе темы «Предел функции в точ взамен убывания предлагается условие f (0) 5. Еще сложнее будет обстоять непрерывной ке». Учащимся предлагается научить школьников конструировать эскизы графиков функ Важно построить в трех экземплярах график некоторой дело, если добавить условиечерез)точку ;

(a;

b). Затем второй и третий чертежи корректируются: на вто функции, проходящий E ( f [2 7].

ром – точка (a;

b) «выкалывается», назаданными свойствами. занимает другое положение график ций, обладающих третьем – «выколотая» точка Например, построить (a;

с) (это так называемый метод вариативного чертежа). Учащимся предлагается ответить на во прос: на трех функции y f (x), для которойфункцияxили 3, lim f Иxесли,разные, то поче чертежах представлена одна и та же lim f ( ) разные? ( ) 0 причем функция не му? Ответ: разные, поскольку функции отличаются x друга своим поведением в точке х = x друг от а. Конкретнее: первая функция непрерывна в этой точке, а вторая и третья – разрывны, причем прерывна и убывает на всей числовой прямой. Это задание базового уровня.

вторая функция вообще не определена в точке а, тогда как третья – определена, но «неправиль но» («правильно» оназадание посложнее: построитьже точку х функции, дляиз рассмо- выпол А вот определена в первом случае). Если график = а исключить которой трения, то на всех трех чертежах будет представлена одна и та же математическая модель, для нены три условия из предыдущего примера (два предела и непрерывность), а lim f ( x) = b описания которой придумали и обозначение, и термин: обозначение, термин «пре взамен убывания предлагается условие f (0) 5. a сложнее будет обстоять x Еще [ 720 ] дело, если добавить условие E ( f ) [2;

7].

дел функции при х a ». Объективности ради, следует заметить, что предложенная конструк ция даст полноценный эффект лишь в том случае, если у учащихся накоплен значительный опыт работы с кусочными функциями (о чем мы, в частности, уже говорили выше).

Важно подчеркнуть, что в само определение предела заложено требование x a. Ничего страшного в игнорировании конкретной точки нет, поскольку поведение функции в одной точке всегда можно исследовать отдельно. Заметим, кстати, что при таком подходе практически «бес платно» получено определение непрерывной функции (исходя из модели, представленной на пер lim f ( x) = f (a ) вом чертеже): функцию y = f (x) называют непрерывной в точке x = a, если.

xa Вообще (повторимся) любое сколько-нибудь сложное математическое понятие должно в учебном процессе изучаться постепенно: сначала на наглядно-интуитивном уровне, потом на рабочем, описательном уровне, и только после этого можно переходить к формальному опре делению. С понятием предела мы в школе на формальный уровень не выходим, определения предела функции как на бесконечности, так и в точке остаются на наглядно-интуитивном уров не. А вот понятие непрерывности функции в точке, которое, как мы уже отмечали выше, полез но ввести на наглядно-интуитивном уровне уже в 7 классе, выводится в 10 классе на формаль ный уровень.

Для вычисления предела функции в точке достаточно знать три факта:

1. Все функции, которые встречаются в школьном курсе математики (рациональные, ирра циональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометри f ( x) lim ;

ческие), непрерывны в любой точке, ва является в этом случаее. если f (a ) существует, то прямая х = которой они определены, т. вертикальной асим пишут g ( x) sin x + x sin + 1 lim f ( x)x= (a ) fa. Например, lim =, поскольку функция, содержа = x+2 1+ 2 xa f ( x) xy щаяся под знаком предела, определена, ) значит, и непрерывна в точке х = 1.

g(x а.

птотой графика функции f ( x) lim g ( x) и g (a ) = 0, то в случае, когда f (a ) 0, пишут 2. Если надо вычислить f ( x) lim 3. = ;

и f (a) 0, и x )a 0, т.е., как принято говорить в математиче Если g (a прямая х = а является в этом случае вертикальной асимптотой графика функции g ( x) xa ском анализе, имеется неопределенность вида, то чтобы вычис f ( x) y= g (lim.f ( x) x) лить Если ( x)f (a)нужноg (a) = 0, т. е., как тождественныев математическом анализе, имеет g и, = 0, и выполнить принято говорить преобразования дроби 3.

xa 0 f ( x) ся неопределенность вида, то чтобы вычислить lim, нужно выполнить тождественные II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

0 g ( x) f ( x) g ( x). В простейших ( x) f случаях неопределенность исчезает в момент сокраще xa преобразования дроби g ( x). В простейших случаях неопределенность исчезает в момент со кращения дроби на х – а (это сокращение часто смущает учителей, но оно вполне законно, по ния дроби по х – а (это сокращение часто смущает учителей, но оно вполне скольку a на определению).

х по определению).

законно, поскольку Например, ха Например, x2 4 ( x 2)( x 2) x2 22 lim lim.

lim 3x 6 3( x 2) 3 3 x2 x2 x2 f lim При изучении производной основное внимание уделяется модели x, ее геометри При изучении производной основное внимание уделяется модели x ческому и физическому истолкованию. Вряд ли есть смысл делать акцент на отработку умений f lim x, ее геометрическому и физическому истолкованию. Вряд ли есть [ 721 ] x смысл делать акцент на отработку умений вычислять производную – это до вычислять производную – это довольно скучное и однообразное занятие, осуществляемое по го товым рецептам и мало что дающее для развития учащихся. Гораздо важнее научить школьни ков «видеть» приложения производной, опираясь на геометрические иллюстрации, именно «ви деть», а не пытаться их формально доказывать.

Введение понятия производной обычно начинается с двух классических задач – задачи о скорости и задачи о касательной. В процессе решения этих задач появляется новая математи ческая модель: предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Если жизнь выдвигает на повестку дня новую ма тематическую модель, дело математиков – специально заняться изучением этой модели в отры ве от ее конкретного содержания. Заняться изучением новой модели – это значит: 1) присвоить ей специальный термин;

2) придумать для нее специальное обозначение;

3) изучить правила опе рирования с новой моделью и сферу ее приложения. Для рассматриваемой модели используется термин производная и обозначение. y Целесообразно использовать пятишаговый (а не трех-четырехшаговый, как во многих школьных учебниках) алгоритм отыскания производной функции y = f (x) :

1) зафиксировать х и вычислить f (x) ;

2) дать аргументу приращение x и вычислить f ( x + x) ;

3) найти f = f ( x + x) f ( x) ;

f 4) найти x ;

f lim 5) найти x.

x Сделаем два комментария к этому алгоритму.

1. Первый шаг алгоритма выглядит так: зафиксировать х и вычислить f (x). Казалось бы, этот шаг не нужен (во многих школьных учебниках его нет), поскольку и в самом задании содер жится f (x), и здесь используется та же запись f (x). На самом деле, этот шаг очень важен как с методологической точки зрения (записи f (x) в исходном задании и на первом шаге одинако вы по форме, но не по содержанию: в исходном задании х – переменная, а на первом шаге – по стоянная), так и с психолого-педагогической точки зрения – это этап сосредоточения на задаче, вхождения в процесс ее решения.

2. Нельзя допускать, чтобы понятия приращения аргумента и приращения функции появи лись впервые при введении производной, ведь здесь указанные понятия не цель, а средство для изучения нового понятия (производной). Есть смысл ввести указанные термины и «странные»

обозначения с треугольником слева от переменной со «странным» прочтением («дельта икс») f заранее, чтобы учащиеся успели приобрести хотя бы небольшой опыт нахождения,,ff х, x f lim и даже x.

x В заключение заметим, что все методические предложения, высказанные выше, реализова ны в учебно-методических комплектах (учебник, задачник, книга для учителя, контрольные ра боты, самостоятельные работы) для изучения курсов алгебры 7–9 и алгебры и начал математиче ского анализа 10–11, созданных под руководством автора настоящей статьи (издательство «Мне мозина», 2000–2010).

Библиографический список 1. Арнольд В.И. Жесткие и мягкие математические модели. М.: МЦНМО, 2000.

2. Мышкис А.Д. Нужно ли изучать в школе высшую математику // Математика: приложение к газете «Первое сентября». 2004. № 25–26.

3. Ситаров В.А. Дидактика: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / под ред. В.А. Сласте нина. 2-е изд., стереотип. М.: Издательский центр «Академия», 2004. 368 с.

[ 722 ] ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ПРОВЕРКИ КАЧЕСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ ШКОЛ ПРИ РЕАЛИзАцИИ ФГОС-2 И ВНЕДРЕНИИ ФГОС- С ИСПОЛЬзОВАНИЕМ test-ТЕХНОЛОГИЙ technologicAl Aspect check quAlity mAthemAticAl prepArAtion grAduAte schools At reAlizAtion fgos- And introduction fgos-3 with use test-technology Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов, F.F. Lysenko, S.Y. Kulabuhov, О.В. Сапожников O.V. Sapoznikov Item Response Theory (IRT), ГИА, ЕГЭ, test, ФГОС, Educational Test, мониторинг, экспертные системы.

Обобщается опыт внедрения test-технологий для объективной проверки качества математической подготов ки абитуриентов и учащихся образовательных учреждений с целью повышения эффективности мониторин га, проводимого при контроле усвоения учащимися дидактических единиц и освоения выпускниками навы ков, необходимых для формирования компетенций, предусмотренных ФГОС-3 для реализации довузовской математической подготовки.

Item Response Theory (IRT), GIA, EGE, test, FGOS, Educational Test, monitoring, expert systems.

The experience of the introduction test-technology is Generalised for objective check quality mathematical preparation applicant and учащихся educational institutions for the reason increasing of efficiency of the monitoring, conducted when checking the assimilation учащимися didactic units and mastering graduate skill required for shaping competency, provided by FGOS-3 for realization довузовской mathematical preparation.


О бразовательный процесс является непрерывным, благодаря чему переход от ФГОС- к ФГОС-3 нуждается в непрерывном мониторинге, позволяющем своевременно отреаги ровать на изменение качества подготовки обучаемого и принять меры по его повышению. Опера тивность получения и обработки информации при проведении такого мониторинга наилучшим образом обеспечивается применением test-технологий.

Конъюнктура современного издательского рынка, осуществляющего деятельность в обла сти образования, показывает, что большая часть представленных в современных сборниках зада ний только эмитируют тесты, напоминая их формой, но по сути таковыми не являются. Исполь зование таких «тестов» не позволит достичь результатов, достаточных для корректного осущест II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

вления мониторинга образовательного процесса.

Издательским центром «Легион» был проведён анализ современного рынка учебной лите ратуры, всесторонне изучены технологии статистической обработки результатов тестовых испы таний и техники составления тестов для выявления качества математической подготовки школь ников различных классов.

Исторически слово test впервые было использовано в его современном понимании англий ским ученым Ф. Гальтоном, который на Всемирной выставке, прошедшей в 1884 году, организо вал антропометрическую лабораторию, где посетители могли проверить свои физические каче ства, физиологические возможности организма и психические свойства. Последовательность за дач, которые надо было выполнять для выявления тех или иных качеств личности, получила на звание «тест». Ф. Гальтон также был основоположником использования шкал оценивания, мето дов анкетирования и методики свободных ассоциаций, используемых и сегодня.

В теорию тестирования он ввёл три фундаментальных принципа:

1. Применение серии одинаковых испытаний к большому количеству испытуемых.

[ 723 ] 2. Статистическая обработка результатов.

3. Выделение эталонов оценки.

Вслед за этим американец А. Макколл разделил тесты на педагогические (Educational Test) и психологические (Intelligence Test).

Термин «дидактическая тестология» ввёл Е.А. Михайлычев, исходя из того, что дидакти ка – это теория обучения, а педагогика – теория и обучения и воспитания. Однако следует от метить, что в научной терминологии уже устоялся термин «педагогическое тестирование».

Автоматизацией тестов в России активно занялись в 70–80-х годах XX века. Тогда широ ко распространились сборники задач и упражнений, предназначенных для использования их машинами типа «Репетитор», и контрольные задания-тесты, предназначенные для использо вания машинами типа «Экзаменатор». Также были разработаны тестовые задания, которые проверялись с помощью перфокарт. В 70-х годах XX века появился ряд разработок, в которых освещались опыт и проблемы массовых процедур контроля знаний учащихся и студентов с по мощью специально разработанных контрольных работ, имевших признаки классического те стирования. Их авторами были С. Архангельский, В. Аванесов, Л. Болотник, Ю. Белый, Г. Ба турина, В. Беспалько, М. Бернштейн, Б. Володин, Л. Ительсон, Е. Кульянов, Р. Касымов, В. Ко пылов, В. Коррозионно, В. Мельникова, В. Мезинцев, В. Огорелков, Н. Талызина.

Под руководством В.C. Аванесова в 1985 году на базе Московского института стали и спла вов был организован Исследовательский центр по проблемам управления качеством подготов ки специалистов, в котором М.Б. Челышкова читала лекции по Item Response Theory (IRT).

Однопараметрический вариант IRT предложен Георгом Рашем (G.Rasch). Развитие IRT основывалось на появлении двух и трехпараметрических моделей – Birnbaum A. Обширная деятельность по развитию IRT осуществляется Д. Эндричем (D.Andrich), Б. Райтом (B.Wright) Значимость IRT в тестологии отмечает профессор Марина Борисовна Челышкова и акцен тирует внимание на особой значимости дидактического материала, являющегося основой для составления тестовых заданий.

Федеральный центр тестирования Минобразования РФ (ЦТ МО РФ) автоматизировал про ведение и обработку тестирования, использовав прикладные программные средства: Tester – для проведения тестирования, Operator – для конфиденциальной передачи результатов тести рования в ЦТ МО РФ, StatInfo – для статистической обработки результатов тестирования, ко торые показали себя как надежные и удобные программные продукты.

Поскольку процесс создания тестов, передача результатов и их обработка являются закры тыми, то мы поставили задачу использовать test-технологии для создания собственных тре нировочных контрольных тестовых материалов, а также тренажёров, публикуемых издатель ством учебной литературы «Легион» и используемых преподавателями, осуществляющими подготовку абитуриентов к вступительным испытаниям, ЕГЭ и ГИА.

Для решения поставленной задачи нам потребовалось непрерывное взаимодействие твор ческих коллективов, разделённых на 4 группы:

[ 724 ] В ближайшем будущем нами планируется апробация использования элементов экспертных систем для проведения тестирования и автоматизации обработки результатов тестирования. Это позволит отслеживать динамику формирования компетенций, формируемых одновременно раз личными модулями образовательных программ. Поскольку математическое образование явля ется базовым и необходимым для успешного освоения части других образовательных направ лений, то применение test-технологий для осуществления его мониторинга является актуальной современной задачей.

Библиографический список 1. Беспалько В.П. Программированное обучение. Дидактические основы. М., 1970. 300 с.

2. Челышкова М.Б. Теория и практика конструирования педагогических тестов: учебное пособие. М.:

Логос, 2002. 32 с.

3. Аванесов В.С. Знания как предмет педагогического измерения // Педагогические измерения. 2005.

№ 3.

4. Аванесов В.С. Применение тестовых форм в Rasch Measurement // Сб. тр. науч.-метод. конф.

Славянского-на-Кубани госпединститута, 2005.

5. Михеев О.В. Математические модели педагогических измерений // Педагогические измерения. 2004.

№ 2. С. 75–88.

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

[ 725 ] ФОРМИРОВАНИЕ МЕТАПРЕДМЕТНЫХ УМЕНИЙ УЧАщИХСя 5–6 КЛАССОВ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИя ПРОЕКТНЫХ зАДАЧ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ the formAtion of metAsubject skills of pupils of the 5th-6th forms on the bAse of solving project tAsk in mAth’s lesson М.Н. Новикова M.N. Novikova Метапредметные умения, системно-деятельностный подход, проектная задача, урок математики, образо вательные результаты.

Предложен авторский подход к решению проблемы формирования метапредметных умений учащихся 5– классов на уроках математики на основе использования системы специальных проектных задач, позволяю щих осуществлять формирование не только математических знаний и умений учащихся, но и метапредмет ных, в том числе самостоятельно определять цели своего обучения, планировать пути их достижения;

выби рать наиболее эффективные способы решения задач;

соотносить свои действия с планируемыми результата ми;

организовывать учебное сотрудничество и коммуникации.

Metasubject skills, system-active approach, project task, Math’s lesson, educational results.

The paper present author’s approach for solving the problem of formation metasubject skills of the 5th-6th forms pupils on the base of usage the system of special project tasks, giving the opportunity to fulfill the formation not only the Math’s knowledge and skills but also metasubject skills, including the indentifying the goals of education independently and the planning the way of achieving these goals;

choosing the most effective ways of salving task;

mating own actions with expected results organizing pupils cooperation and communication.

С введением ФГОС изменяются структура и сущность результатов образовательной дея тельности, содержание образовательных программ и технологии их реализации, методо логия, содержание и процедуры оценивания результатов освоения.

В настоящее время системно-деятельностный подход, положенный в основу новых Фе деральных государственных образовательных стандартов, определил три группы требований к формулированию целей образования как планируемых результатов деятельности школьников (предметных, метапредметных и личностных) [Аксенова, 2012].

Метапредметные требования включают в себя: освоение обучающимися межпредметных понятий и универсальных учебных действий (регулятивные, познавательные, коммуникативные), способность их использования в учебной, познавательной и социальной практике, самостоятель ность планирования и осуществления учебной деятельности и организации учебного сотрудни чества с педагогом и сверстником, построение индивидуальной образовательной траектории.

Для получения таких результатов в процессе обучения математике необходим переход от ее освоения как отдельного учебного предмета к обучению на межпредметной основе. Это зна чит – рассматривать математические понятия не только на формально-абстрактном уровне, но и на межпредметном и практико-ориентированном. Основное содержание курса математики 5– классов вполне позволяет это делать. В этой связи актуализируется задача поиска методических приемов обучения математике, направленных на достижение метапредметных результатов, так как традиционных методов оказывается недостаточно. Достаточно эффективным для этого явля ется использование технологии решения проектных задач.

Проектная задача – задача, в которой через систему или набор заданий стимулируется систе ма действий, направленных на получение ещё не существовавшего в практике ребёнка результа та («продукта»), и в ходе решения которой происходит качественное самоизменение группы де тей [Суслов, 2012].


[ 726 ] Проектная задача ориентирована на применение учащимися целого ряда способов дей ствий, средств и приемов не в стандартной (учебной) форме, а в ситуациях, по форме и содержа нию приближенных к реальным. Итогом решения такой задачи всегда является реальный про дукт (текст, схема или макет прибора, результат анализа ситуации, представленный в виде та блиц, диаграмм, графиков), созданный детьми.

Данная технология наиболее полно позволяет учитывать возрастные особенности школьни ков, так как учащиеся 5–6 классов не готовы к созданию самостоятельных проектов, а проект ная задача предполагает наличие всех необходимых средств и материалов в виде набора заданий и требуемых для их выполнения данных.

Проектные задачи могут быть предметными и межпредметными. В любом случае главное условие, позволяющее отнести задачу к классу проектных, – это возможность переноса извест ных детям способов действий (знаний и умений) в новую для них практическую ситуацию, где итогом будет реальный «продукт».

Признаки проектной задачи:

– начинается с проблемы;

– имеет общий сюжет;

– состоит из нескольких взаимосвязанных заданий;

– использует известные и неизвестные способы действия;

– включает «шумы», создающие препятствия для решения;

– собирает в последнем задании результаты предыдущих.

В качестве примера рассмотрим проектную задачу по математике в 5 классе «Здоровый об раз жизни». Данная задача была поставлена перед детьми во время изучения темы «Десятичные дроби» и рассчитана на 2 учебных часа (90 минут).

Учащиеся предварительно разбиваются на группы по 3–4 человека, между которыми рас пределяются роли, необходимые для работы в команде.

Учитель озвучивает проблему: потребление разнообразной пищи в правильном соотноше нии и получение удовлетворения от еды – ключ к здоровью! Сочетание регулярной физической нагрузки и здорового питания не только позволяет прибывать в хорошей физической форме, иметь крепкое здоровье, но и иметь хорошее настроение! А как узнать правильно ли мы питаем ся? В каком количестве мы должны заниматься физическими нагрузками? Для ответа на эти во просы рассмотрим следующие задания.

Учащиеся самостоятельно работают в группе (60 мин) по решению данных задач, учитель находится в роли тьютера и лишь направляет деятельность учащихся.

Задание 1. Количество калорий, употребляемых человеком в день, рассчитывается по фор.

муле:

Рассчитайте среднее количество калорий, необходимых к употреблению вашей группой II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

в день (результат округлите до десятых).

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

Задание 2. В день необходимо потреблять следующее количество продуктов от ежедневно го количества калорий: овощи и фрукты – 30 %;

хлеб, крупы и картофель – 30 %;

мясные и рыб ные продукты – 15 %;

молочные продукты – 15 %;

жирная и сладкая пища – 10 %.

Используя таблицу калорийности продуктов (табл. 1), составьте меню из данных блюд, наи более подходящее для вашей группы на день (5 приемов пищи).

Таблица Калорийности продуктов Калорий- Калорий Наименование продукта Наименование продукта ность ность 1 2 3 Яблоко, 1 шт. 50,3 Жареный картофель, 1 п. 338, Банан, 1 шт. 89,2 Картофельное пюре, 1 п. 161, Морковь, 1 шт. 13,6 Белый хлеб, 100 гр. [ 727 ] Окончание табл. 1 2 3 Свекла, 1 шт. 49,1 Черный хлеб, 100 гр. 55, Помидор, 1шт. 17,2 Рис, 1 п. Апельсин, 1шт. 88,6 Гречка, 1 п. 334, Курица жареная, 1 п. 390,3 Йогурт, 1 стакан 360, Рыба запеченная, 1 п. 210,9 Молоко, 1 ст. 260, Котлеты, 1 шт. 115,8 Кефир, 1 ст. 100, Сосиски вареные, 1 шт. 186,1 Ряженка, 1 ст. 120, Суп, 1 п. 126,2 Сок, 250 мл. 150, Чипсы, 100 гр. 510,5 Сыр, 100 гр. 110, Шоколад молочный, 100 гр. 557 Творог, 100 гр. 111, Шоколад горький, 100 гр. 490 Мороженное, 1 шт. 220, Как вы считаете, то, что вы едите каждый день, является полезным для здоровья?

Задание 3. На представленной диаграмме (рис. 1) приведен день успешного и здорового ученика. Подсчитайте, какую часть дня должно занимать каждое из представленных действий.

Сколько часов необходимо на выполнение каждого из действий?

Рис. Подумайте, сколько времени вы тратите на каждое из этих действий. Стоит ли вам изменить что-то в своем расписании?

Задание 4. Оформите полученные данные заданий 1–3 на отдельном листе и подготовьте презентацию вашей группы.

После выполнения всех предложенных заданий осуществляется презентация, где каждая группа показывает результат своей работы (30 мин).

В завершение каждому ученику дается домашнее задание: с учетом полученных знаний со ставить свой режим дня и полезное меню.

Данный вид работы не только позволяет проверить уровень вычислительных умений уча щихся по теме, но и заставляет задуматься о правильном питании и образе жизни, который они ведут.

Опыт использования системы проектных задач на уроках математики показал, что это спо собствует повышению мотивации, а также формированию у учащихся актуальных метапредмет ных умений самостоятельно определять цели и пути их достижения, соотносить свои действия с планируемым результатом, организовывать коммуникации и учебное сотрудничество в груп пе и в парах.

Библиографический список 1. Суслов В.Н. Решаем проектные задачи, 4–5 класс: исследование, творчество, сотрудничество:

учебно-методическое пособие. Ростов н/Д: Легион, 2012. 128 с.

[ 728 ] 2. Аксенова Н.И. Системно-деятельностный подход как основа формирования метапредметных ре зультатов // Теория и практика образования в современном мире: материалы междунар. науч. конф.

(г. Санкт-Петербург, февраль 2012 г.). СПб.: Реноме, 2012. С. 140–142.

3. Федеральный государственный образовательный стандарт общего образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. М.: Просвещение, 2011. 48 с.

4. Воронцов А.Б. Проектная задача как инструмент мониторинга способов действия школьников в не стандартной ситуации учения. URL: http://nsc.1september.ru/article.

II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

[ 729 ] ЛОГИЧЕСКАя КОМПЕТЕНТНОСТЬ УЧАщИХСя 5–6 КЛАССОВ КАК СОСТАВЛяющАя ИХ ПРЕДМЕТНЫХ И НАДПРЕДМЕТНЫХ КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ logicAl competencte of students 5th-6th clAsses As pArt of their subject And intersubject competence Н.В. Ширкина N.V. Shirkina Учащиеся 5–6 классов, математика, формирование, логическая грамотность, логическое мышление, ключе вые компетентности, логическая компетентность.

В статье сформулировано и обосновано авторское понимание феномена «логическая компетентность уча щихся». Проведено ее структурирование, определен состав основных компонентов, позволяющий с доста точной точностью проектировать процесс и результат формирования логической компетентности учащих ся на уроках математики.

Students of 5-6 classes, math, formation, logical literacy, logical thinking, key competencies, logical competence.

The paper is formulated and proved the understanding of the phenomenon of “logical competence of students.” Held its structuring, determined the composition of the main components, allowing a sufficient accuracy to design the process and the result of the formation of the logical competence of students in math class.

Т енденция мирового социально-экономического и политического развития делает необхо димым формирование ключевых компетентностей учащихся. В современных условиях знания и умения необходимы, но недостаточны, чтобы быть успешным. Для человека важна спо собность применять знания и умения для разрешения конкретных ситуаций и проблем, возни кающих в реальной деятельности, то есть знания и умения являются базой формирования ком петентностей. Возникает необходимость качественно новых методик обучения, которые позво лят сформировать у учащихся компетентности, важные для жизни в современном мире [Зимняя, 2003;

Хуторской, 2004].

Федеральный государственный стандарт среднего (полного) общего образования опре деляет состав (педагогическую конструкцию) математической (прагматической), социально личностной, общекультурной и предметно-мировоззренческой компетентностей. Мы выделя ем логическую компетентность как составляющую всех других компетентностей, предметных и надпредметных, определенных стандартом по математике, и считаем, что логическая компе тентность – это одна из надпредметных (ключевых) компетентностей, которую можно формиро вать у учащихся и в процессе обучения математике. Логическая компетентность предполагает, что к окончанию средней школы учащийся:

владеет некоторым комплексом понятий и законов логики, необходимым ему для даль нейшего обучения, межличностных отношений в социуме и разрешения проблем, возникающих в жизни;

владеет развитым логическим мышлением;

умеет использовать логические знания и сформированное логическое мышление для успешного дальнейшего профессионального обучения и для разрешения проблем, возникающих в повседневной жизни;

владеет знаниями символов математической логики, необходимых для логического опе рирования;

понимает значение логической и математической символики и формул математики для описания общих закономерностей науки и практики;

умеет уместно использовать логическую символику и объяснять значение терминов и сим волов;

[ 730 ] имеет представление о математических методах исследования;

имеет представление об особенностях математического языка и умеет соотносить их с русским языком;

умеет грамотно выполнять алгоритмические предписания и инструкции на математиче ском и нематематическом материале;

владеет стилем мышления, характерным для математики, его абстрактностью, доказа тельностью, строгостью;

умеет проводить аргументированные рассуждения, делать логически обоснованные вы воды;

умеет отличать доказанные утверждения от недоказанных, аргументированные суждения от эмоционально убедительных;

умеет проводить обобщения и открывать закономерности на основе анализа частных при меров, эксперимента;

умеет выдвигать гипотезы и понимает необходимость их проверки;

владеет приемами построения и исследования математических моделей при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин;

имеет представления о различии требований, предъявляемых к доказательствам в различ ных областях науки и на практике, в математике, естественных и гуманитарных науках;

умет ясно и точно выражать свои мысли в устной и письменной речи, логически грамот но воспринимать устную и письменную речь;

имеет представления об аксиоматическом построении математической теории, о логиче ском статусе аксиом, определяемых и неопределяемых понятий, определений и теорем;

понимает, что законы логики математических рассуждений имеют универсальный харак тер и применимы во всех областях человеческой деятельности;

имеет опыт применения полученных в процессе обучения знаний, умений в собственной деятельности: учебной, коммуникативной, социальной и т.д.;

владеет личностно-ценностным отношением к полученным в процессе обучения знани ям, умениям и опыту собственной деятельности.

Опыт российских и зарубежных психологов и педагогов показывает, что потенциальные умственные, мыслительные способности школьников в возрасте 11–12 лет шире и богаче, чем те, которые задействуются и развиваются существующей программой обучения. При создании определенных условий школьники могут успешно осваивать сложный абстрактный теоретиче ский материал, выходящий за рамки программы, для этого важно отбирать содержание предме тов и строить обучение таким образом, чтобы эти возможности активно использовались для все стороннего интеллектуального развития каждого ребенка;

уделять большее внимание углубле II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

нию и расширению теоретической стороны сообщаемых знаний, то есть того, что предполагает «ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:

объединение явлений, установленных связей, их обобщение;

воспитывать логическую грамот ность, приемы отвлеченного мышления [Давыдов, 1986].

Анализ педагогических исследований показал наличие разных подходов в решении пробле мы воздействия обучения на развитие мышления детей. Но в значительной части работ отмеча ется, что обучение в школе выступает решающим условием развития детского мышления. В раз витии мышления школьников изучаемого возрастного периода наука выделяет две основные стадии: конкретно-понятийную и абстрактно-понятийную [Брушлинский, 1983]. Конкретно понятийная стадия является начальной формой развития логического мышления. Все мысли тельные операции, которые формируются на этой стадии, тесно связаны с конкретным нагляд ным материалом. Наличие такой тесной связи является предпосылкой формирования логиче ского мышления. На этой же стадии все рассуждения и умозаключения учащихся определяют ся конкретным содержанием материала, заключенного в посылках, чем оно ближе жизненному опыту ребенка, тем он легче справляется с построением умозаключений. На этой стадии разви тия логического мышления дети постоянно опираются на конкретные примеры, действия, об [ 731 ] разы как основу для рассуждений. Иными словами, конкретно-понятийное мышление строится на представлениях и конкретных понятиях. Все мыслительные операции развиваются и форми руются на основе этого материала.

Абстрактно-понятийная стадия является завершающей формой развития логического мыш ления. На этой стадии существенно изменяется содержательная сторона мышления: дети начи нают мыслить абстрактными понятиями, общими законами, усваивают систему понятий. Пре образования происходят и в мыслительных операциях: они обобщаются, делаются более фор мальными, расширяются возможности их применения и переноса на новые различные ситуации.

Возникает целая система взаимосвязанных, обобщенных мыслительных операций. У учащихся появляется способность рассуждать, обосновывать свои рассуждения, доказывать правильность полученных выводов, осознавать и контролировать процесс рассуждений.

Сформированная система понятий позволяет рассматривать объекты с разных точек зрения, включать их в новые системы связей и отношений, обнаруживать новые стороны, что обеспе чивает динамику мышления, а также составляет необходимую основу для развития логическо го мышления, то есть развитие логического мышления возможно лишь при условии достаточно высокого уровня понятийного мышления. А для полноценного развития понятийного мышле ния необходимо усвоение логических понятий и действий, в которые входят логические опера ции обобщения, классификации, систематизации, логические связки, кванторы и др. Таким об разом, понятийное и логическое мышления взаимосвязаны.

Математические рассуждения с присущими им четкостью, последовательностью и лаконич ностью представляют собой яркий пример правильно организованного мышления. Владение ма тематическим языком, понимание точного смысла утверждений и связей между логическими кон струкциями в тексте задачи или доказательстве теоремы оказывают существенное влияние на язы ковое развитие личности и тем самым на развитие мышления человека в целом. Мы полагаем, что логические знания должны пронизывать все содержание курса математики, постоянно присут ствовать в учебном материале и обязательно находить свое применение ввиду своей значимости.

Из состава (педагогической конструкции) логической компетентности выпускника средней школы мы выделяем те компоненты, которые должны быть сформированы у учащихся к оконча нию ими 6 класса, то есть структуру логической компетентности учащихся 5–6 классов:

логическая грамотность, то есть владение некоторым комплексом понятий и законов ло гики, составляющих необходимый базис для развития логического мышления;

развитое логическое мышление;

способность использовать логическую грамотность, логическое мышление в деятельно сти для решения проблем, возникающих в обучении и повседневной жизни;

способность и умение оценить свою деятельность;

ценностно-личностное отношение к обладанию вышеназванными знаниями, умениями и опытом собственной деятельности.

Логическая компетентность будет сформирована у учащихся к окончанию ими 6 класса, если будет сформирован каждый компонент ее структуры: логическая грамотность;

логическое мышление;

опыт деятельности и умение ее оценить;

ценностно-личностное отношение к знани ям, умениям и опыту собственной деятельности. Очевидно, что для их формирования необходи мы особые дидактические условия.

Библиографический список 1. Брушлинский А.В. Психология мышления и проблемное обучение. М., 1983. 96 с.

2. Давыдов В.В Проблемы развивающего обучения: опыт теоретического исследования. М.: Педагоги ка, 1986. 240 с.

3. Зимняя И.А. Ключевые компетенции – новая парадигма результата образования // Высшее образова ние сегодня. 2003. № 5.

4. Хуторский А.В. Ключевые компетентности. Технология конструирования // Народное образование.

2004. № 4. С. 136–143.

[ 732 ] ОСНОВНЫЕ ПРИНцИПЫ ОРГАНИзАцИИ ОБУЧЕНИя МАТЕМАТИКЕ ПОДРОСТКОВ С ДЕВИАНТНЫМ ПОВЕДЕНИЕМ the bAsic principles of the orgAnizAtion of mAthemAtics teAching of teenAgers with deviAnt behAviour О.В. Тумашева O.V. Tumasheva Девиантное поведение, подросток, обучение математике, качество математической подготовки, мотива ция, совместная деятельность, проектная деятельность, общеучебные универсальные действия.

Рассматриваются особенности поведения трудных подростков, его влияние на качество математической под готовки. На основе проведенного анализа особенностей девиантного поведения определены основные поло жения, на которые следует опираться при организации процесса обучения математике подростков с откло няющимся поведением. Выделенные принципы позволили создать конкретные методические продукты, по зволяющие повысить качество математической подготовки трудных подростков.

Deviant behaviour, teenager, mathematics teaching, quality of mathematical preparation, motivation, joint activity, project activity, universal educational actions.

Features of behaviour of difficult teenagers, its influence on quality of mathematical preparation are considered. On the basis of the carried-out analysis of features of deviant behaviour, basis provisions on basis which it is necessary to lean at the organization of process of mathematics teaching of teenagers with deviating behaviour are defined. The allocated principles allowed to create the concrete methodical products, alloving to increase quality of mathematical preparation of difficult teenagers.

П роблема трудных учащихся – одна из актуальных проблем современной общеобразователь ной школы. Количество школьников, которых выделяют как учащихся с девиантным пове дением, к сожалению, с каждым годом возрастает. Среди подростков усиливаются нигилизм, демон стративное и вызывающее по отношению к взрослым поведение. Для многих из них характерна по теря позиции школьника. Они не видят связи своего будущего с учебой, у них нет определенных жиз ненных целей, их потребности либо искажены, либо не развиты. На уроке такие подростки, как пра вило, ведут себя вызывающе, стремятся привлечь к себе внимание со стороны учителей и однокласс ников. Все это в совокупности негативно сказывается на качестве подготовки не только их самих, но и других учащихся класса, поскольку их поведение действует как определенный раздражающий фак II МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ФОРУМ ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ»

«ЧЕЛОВЕК, СЕМЬЯ И ОБЩЕСТВО:



Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 37 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.