авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА МЕСТО МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА КАК НАУКИ В ПОДГОТОВКЕ ...»

-- [ Страница 3 ] --

(f) x 1 y 1 : x 2 x y 2 y x 2 x 1 ;

(g) x 0 y 0 : x 3 1 y 3 x 3 ;

(h) x 0 y 0 : x 3 y 3 x 3 x ;

(i) x 1 y 1 : x 3 x 1 y 3 y x 3 x ;

(j) x 0 y 0 : x 3 x y 3 y x 3 2x ;

(k) x 1 y 1 : x 3 x y 3 y x 3 x 1 ;

(l) x 0 y 0 : x 3 x 1 y 3 y x 3 x ;

(m) x 0 y 0 : x 3 x y 3 x 3 ;

(n) x 0 y 0 : x 2 x y 2 y x 2 2x (o) x 0 y 0 : x 3 y 3 x 3 x 2.

(p) 2.10. Задача. Доказать данные свойства упорядоченного поля R :

y x 0 y 0 : x x 1 ;

2 (a) x 1 y 1 x y x 0 y 0 : x x ;

2 (b) x 2 y 1 x y 1 x 2 x x 1 y 1 : x (c) ;

x y x y x 0 y 0 : x 1 x;

(d) x 1 y 1 x y x 2 y 2 : x x 1 x ;

2 (e) x y 1 x xyx;

x 1 y 1 :

(f) x 2 y 2 1 x 2 y x 0 y 0 : x 2 1 2 x ;

2 (g) x y 1 x 2 y x 2 y 2 : x x 2x 1 ;

2 (h) x 1 y 1 x y x 1 y 1 : 2x 2 1 ;

(i) x 1 y 1 x y 2 x 0 y 0 : x 2 1 2 2 x2 ;

(j) x 1 y 1 x y x 1 y 1 : 2x 2 1 ;

(k) x 1 y 1 x y x 1 y 1 : x 2 1 2 x 2 1 ;

2 (l) x y x x 2 y x 2 1 ;

x 0 y 0 :

(m) x 2 1 y 2 1 x 2 y x 1 y 1 : 1 2 2x ;

(n) x 1 y 1 x y x 0 y 0 : x 2 2 2 x 2 1 ;

2 (o) x 1 y x y x 0 y 0 : x x 2 x 1.

(p) x 1 y §3. Аксиома непрерывности 3.1. Определение. Упорядоченное поле R называется непрерыв ным (или полным), если оно подчиняется следующей аксиоме:

Аксиома непрерывности: Если непустые множества A R и B R таковы, что a b для всех a A и b B, то существует хотя бы один элемент R такой, что a b для всех a A и b B.

Интуитивный смысл свойства непрерывности поля R заключа ется в том, что в таком поле нет „щелей“.

3.2. Теорема. Непрерывное упорядоченное поле существует и един ственно.

Замечание. Здесь единственность означает следующее: Если R и R – два непрерывных упорядоченных поля, то имеется и только одно взаимно однозначное соответствие a a между элементами a R и a R такое, что a b a b, ab a b и a b a b для любых a и b R. В частности, тогда 0 0 и 1 1 т.е. нулю и единице одного поля соответствуют нуль и единица другого поля.

3.3. Определение. Непрерывное упорядоченное поле R называ ется множеством вещественных чисел и обозначается. Элементы x называются вещественными (или действительными) числами.

Нуль и единица поля обозначаются 0 и 1 соотв.

Свойство множества, выражаемое аксиомой непрерывности, в явном виде выделил в 1872 г. немецкий математик Дедекинд.

3.4. Замечание. Доказательство теоремы 3.2 не входит в про грамму курса математического анализа. Идея доказательства суще ствования непрерывного упорядоченного поля заключается в следующем. Сначала строится (в рамках аксиоматической теории множеств) множество всех натуральных чисел. При помощи множества определяются множества и всех целых и соотв.

всех рациональных чисел. В этих множествах естественным спосо бом вводятся арифметические операции и отношение порядка.

Множество оказывается тогда упорядоченным полем. Чтобы завершить построение поля всех вещественных чисел, ко множе ству добавляют „идеальные элементы“, которые „заклеивают все щели“ множества. В школьной математике последний шаг пред лагается реализовать при помощи десятичных дробей. В учебниках для университетов чаще применяются „сечения Дедекинда“.

Сечением поля называется пара A,B непустых множеств A и B таких, что A B и A B, причем a b для всех a A и b B. Каждому r соответствуют два сечения Ar, Br и Ar, Br, где Ar x ;

x r, Br y ;

y r, Ar x ;

x r, Br y ;

y r.

Говорят, что данные сечения производятся числом r. Некоторые се чения не производятся никакими числами r. Таково, например, сечение A, B, где B y ;

y 0, y 2 2 и A \ B.

Такие сечения объявляются иррациональными числами. Можно также считать, что ко множеству добавляются „идеальные элементы“, которые как раз и порождают подобные сечения.

Приведем пример применения аксиомы непрерывности.

2. Точнее, существует и 3.5. Пример. Существует число единственно число такое, что 0 и 2 2.

Доказательство. Рассмотрим множества A x 0;

x 2 2 и B x 0 ;

x 2 2.

Очевидно 1 A и 2 B. Далее, если x A и y B, то x y.

(Допуская y x, получим противоречие: 2 y 2 xy x 2 2 ).

По аксиоме непрерывности существует число такое, что x y для всех x A и y B. В частности, 1 2.

Докажем, что 2 2. Обозначим 2 2 и z.

Если 2, то, z 1 0, 2 2 12 1 и 2 z 2 2 2 2 4 1 2 2, 5 5 5 откуда z A вопреки неравенству z.

Пусть 2 2. Тогда, z, 2 2 4 5 и z 2 2 2 2 5 2 2.

5 5 Отсюда и из оценки z 1 1 2 2 1 2 5 5 следует, что z B вопреки неравенству z.

2. Единственность числа Таким образом, 2 2, т.е. очевидна (ибо если 0, то 2 2 ).

3.6. Определение. Сегмент a,b, интервал a, b и полуинтерва лы a,b и a,b с концами a,b, a b, определяются равенства ми a,b x ;

a x b, a,b x ;

a x b, a,b x ;

a x b, a,b x ;

a x b.

Замкнутые полуоси a,,,b и открытые полуоси a,,,b определяются равенствами a, x ;

x a,,b x ;

x b, a, x ;

x a,,b x ;

x b.

Сегменты, интервалы, полуинтервалы, полуоси и все множество, называются еще промежутками.

Множество принято изображать прямой с отмеченными на ней точками 0 и 1. Поэтому множество называют еще числовой прямой или числовой осью.

3.7. Замечание. Символы и, участвующие в обозначе ниях полуосей, множеству не принадлежат (и числами не являют ся). Но удобно считать, что x для каждого x. В частности, тогда равенства, определяющие полуоси, можно сделать более похожими на определения интервалов и полуинтервалов:

a, x ;

a x,,b x ;

x b, a, x ;

a x,,b x ;

x b.

Поэтому открытые полуоси и всю числовую ось, часто также считают интервалами.

§4. Ограниченные множества. Супремум и инфимум 4.1. Определение. Множество A называется ограниченным, если оно содержится в некотором сегменте a,b.

Множество A называется ограниченным сверху, если суще ствует b такое, что A,b, т.е. x b для каждого x A.

Число b в этом случае называется верхней гранью множества A.

Множество A называется ограниченным снизу, если сущест вует a такое, что A a,, т.е. x a для каждого x A.

Число a в этом случае называется нижней гранью множества A.

Если b – верхняя грань множества A, то все числа c b также будут его верхними гранями. Аналогично, множество, огра ниченное снизу, имеет много нижних граней.

Ясно, что множество A ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено как сверху, так и снизу.

Если множество A ограничено сверху (снизу), то его под множество B также ограничено сверху (соотв. снизу).

4.2. Примеры. (а) Полуоси a, и a, ограничены снизу.

Полуоси,b и,b ограничены сверху.

a,b, a,b a,b, a, b, (б) Промежутки и где a b, ограничены как снизу, так и сверху.

(в) Полуось a, не ограничена сверху. Действительно, допус тим, что она ограничена сверху числом z. Для числа y z имеем a z y. Поэтому y a,. Но тогда y z по опреде лению z. Это противоречит неравенству z y.

Аналогично доказывается, что полуось,b не ограничена сни зу, а вся числовая прямая не ограничена ни сверху, ни снизу.

4.3. Определение. Пусть непустое множество A ограничено сверху. Наименьшая из его верхних граней обозначается supA и называется точной верхней гранью множества A или его супремумом.

4.4. Свойства супремума множества A, ограниченного сверху.

(а) (Теорема Больцано). Каждое непустое ограниченное сверху множество A имеет единственный супремум.

(б) Пусть s и непустое множество A ограничено свер ху. Равенство s sup A справедливо тогда и только тогда, когда вы полнены два условия:

(*) x A : x s. (**) 0 x A : s x.

(в) Максимум maxA множества A существует тогда и только тогда, когда sup A A. В этом случае max A sup A.

(г) Если B – непустое подмножество ограниченного сверху мно жества A, то sup B sup A.

(д) Если непустые множества A и B ограничены сверху, то множество A B также ограничено сверху и supA B max sup A,sup B. (1) (е) Если непустые множества A и B ограничены сверху и A B, то supA B min sup A, sup B.

(ж) Если непустые множества A и B ограничены сверху, то множество A B a b ;

a A, b B также ограничено сверху и supA B sup A sup B. (2) (з) Если непустое множество A ограничено сверху и 0, то множество A a ;

a A также ограничено сверху и sup A sup A.

Доказательства. (а) Пусть множество A не пусто и ограниче но сверху. Тогда множество B всех его верхних граней также не пусто. Если x A и y B, то x y. По аксиоме непрерывности найдется такое, что x y для всех x A и y B. По скольку x для всех x A, то число – одна из верхних гра ней множества A. Поскольку y для всех y B, то эта верхняя грань – наименьшая. Значит, min B sup A. Существование supA доказано. Его единственность очевидна.

(б) Условие (*) означает, что s есть одна из верхних граней множества A. Условие (**) означает, что эта верхняя грань – наи меньшая. Поэтому оба условия вместе равносильны равенству s sup A.

(в) Пусть s sup A A. Тогда s A и x s для любого x A. Следовательно, s max A. Обратно, пусть число s max A существует. Тогда x s для каждого x A, так что s – верхняя грань для A. Если b – произвольная верхняя грань мно жества A, то s b, так как s max A A. Значит, число s max A – наименьшая верхняя грань множества A, т.е.

s sup A.

(г) Ясно, что множество B A также ограничено. Если x B, то x A и, значит, x sup A. Таким образом, число supA – одна из верхних граней множества B. Следовательно, sup B sup A.

m max sup A, sup B. Если x A B, то (д) Обозначим x A или x B. В первом случае x sup A m. Во втором слу чае x sup B m. Таким образом, множество A B ограничено сверху числом m и sup A B m.

С другой стороны, sup A sup A B и sup B sup A B по свойству (г). Поэтому m sup A B и равенство (1) доказано.

(е) Пусть x A B. Тогда x A и x B. Поэтому x sup A и x sup B. Следовательно, x min sup A, sup B. Таким обра зом, число min sup A, sup B – одна из верхних граней пересече ния A B и поэтому supA B min sup A, sup B.

(ж) Пусть x A B, т.е. x a b, где a A и b B. Тогда a supA, b sup B и, значит, x a b sup A sup B. Таким образом, число sup A sup B – одна из верхних граней множества A B. Поэтому supA B sup A sup B. Чтобы доказать обрат ное неравенство supA B sup A sup B, допустим, что оно не справедливо, т.е. supA B sup A sup B. Тогда : sup A sup B supA B 0.

По свойству (б) существуют числа a A и b B такие, что supA a и sup B b. Поскольку a b A B, то a b sup A B. Из этих неравенств вытекает противоречие:

2 sup A sup B supA B a b supA B 2.

Таким образом, обратное неравенство также справедливо и ис комое равенство (2) доказано.

(з) При 0 обе части искомого равенства равны 0.

Пусть 0. Если x A, т.е. x a, где a A, то a sup A x a sup A.

и Отсюда ясно, что sup A sup A. y A, y A, Обратно, если то y supA и y 1 supA. Поэтому sup A 1 supA, т.е.

sup A sup A.

4.5. Определение. Пусть непустое множество A ограничено снизу. Наибольшая из его нижних граней обозначается inf A и на зывается точной нижней гранью множества A или его инфимумом.

4.6. Свойства инфимума множества A, ограниченного снизу.

(а) (Теорема Больцано). Каждое непустое ограниченное снизу мно жество A имеет единственный инфимум.

(б) Пусть t и непустое множество A ограничено сни зу. Равенство t inf A справедливо тогда и только тогда, когда вы полнены два условия:

(*) x A : x t. (**) 0 x A : t x.

(в) Минимум minA множества A существует тогда и только тогда, когда inf A A. В этом случае min A inf A.

(г) Если B – непустое подмножество ограниченного снизу мно жества A, то inf B inf A.

(д) Если непустые множества A и B ограничены снизу, то множество A B также ограничено снизу и inf A B min inf A,inf B.

(е) Если непустые множества A и B ограничены снизу и A B, то inf A B max inf A, inf B.

(ж) Если непустые множества A и B ограничены снизу, то множество A B a b ;

a A, b B также ограничено снизу и inf A B inf A inf B.

(з) Если непустое множество A ограничено снизу и 0, то множество A a ;

a A также ограничено снизу и справедли во равенство inf A inf A.

(и) Непустое множества A ограничено сверху тогда и только тогда, когда множество A a ;

a A ограничено снизу.

При этом справедливо равенство inf A sup A.

(к) Непустое множества A ограничено снизу тогда и толь ко тогда, когда множество A a ;

a A ограничено сверху. При этом справедливо равенство sup A inf A.

(л) Если непустое множество A ограничено сверху и 0, то множество A a ;

a A ограничено снизу и справедливо ра венство inf A sup A.

(м) Если непустое множество A ограничено снизу и 0, то множество A a ;

a A ограничено сверху и справедливо равенство sup A inf A.

Доказательства. Свойства (а)–(з) доказываются также, как и анало гичные свойства супремума.

(и) Пусть множество A ограничено сверху и b – его верхняя грань. Тогда x A : x b. Отсюда x A: b x по свойству 2.2(б) или, что то же, y A : b y. Значит, число b – ниж няя грань множества A, так что множество A ограничено снизу.

Аналогично доказывается, что множество A ограничено сверху, если множество A ограничено снизу.

Пусть s sup A. Для доказательства равенства s inf A по свойству (б) достаточно показать, что выполнены условия:

(*) y A : y s. (**) 0 y A : s y.

Если y A, то y x для некоторого x A. Тогда x s и s x y по свойству 2.2(б). Условие (*) выполнено.

Пусть 0. По свойству 4.4(б) существует x A такое, что s x. Полагая y x, получим x A и s y.

Условие (**) также выполнено. Значит, inf A s sup A.

(к) Это утверждение доказывается аналогично предыдущему.

(л) Пусть 0 и пусть множество A непусто и ограниче но сверху. По свойству 4.4(з) множество A a ;

a A также ограничено сверху и sup A sup A. Из условия 0 сле дует, что. По свойству (и) множество A a ;

a A a ;

a A a ;

a A A ограничено снизу и inf A inf A sup A sup A sup A.

(м) Это утверждение доказывается аналогично предыдущему.

4.7. Примеры. Пусть a,b и a b. Для сегмента A a,b существуют max a,b b и min a,b a. Поэтому supa,b max a,b b, inf a,b min a,b a.

Рассмотрим интервал A a, b. Если x a,b, то x a. По этому число a является нижней гранью интервала a,b. Докажем, что эта нижняя грань – наименьшая. Пусть z a. Обозначим u a v, где v min z,b. Тогда v z, v b и v a, так как z a и b a. Отсюда u a v a a a, u a v a b b b b, 2222 так что a u b и поэтому u a,b. Кроме того, u z :

u a v a z z z z, т.е. u z. Поэтому z не является нижней гранью интервала a,b.

Значит, inf a,b a. Аналогично доказывается, что sup a,b b.

Поскольку a a,b и b a,b, то отсюда следует, что числа max a,b и min a,b не существуют. Впрочем, это нетрудно уви деть и непосредственно: Пусть z max a,b. Тогда z a,b и, b z интервала z,b имеем значит, a z b. Для середины u a z u b. Отсюда u a,b и поэтому u z, так как z max a,b. Но это противоречит неравенству a z u b.

Аналогично доказывается, что supa,b sup a,b max a,b b, inf a,b inf a,b min a,b a, sup,b sup,b max,b b, inf a, inf a, min a, a, а min a,b, max a,b, max,b и min a, не существуют.

4.8. Замечание. Если множество A не ограничено сверху (соотв. снизу), то пишут supA (соотв. inf A ). Кроме того, часто удобно считать, что sup и inf.

Напомним (см. замечание 3.7), что символы и не при надлежат множеству и не участвуют в определении смысла ра венств supA и inf A. Смысл равенства supA полностью совпадает со смыслом утверждения «множество A не ограничено сверху», т.е. b x A : x b.

Впрочем, если использовать соглашение, что x для каждого x, то можно считать, что символ есть «верхняя грань» для каждого множества A. Множество A, неограни ченное сверху, «обычных» верхних граней не имеет, так что в этом случае символ как раз и оказывается «наименьшей верхней гранью», т.е. «супремумом» множества A.

Аналогичное равенство inf A равносильно утверждению «множество A не ограничено снизу», т.е. a x A : x a.

Примеры: Если a и b, то supa, sup a,, inf,b inf,b, sup и inf.

4.9. Кроме неравенства x иногда возникает по требность использовать выражения a b и ab, где a и / или b,. В подобных случаях предполагают, что действуют следующие «естественные» правила:

,,,, a, a a a, a,, если p и p 0, то p и p, если q и q 0, то q и q Выражения 0, 0, 0, 0,,,, не имеют смысла.

4.10. Задачи. Для любых множеств A, B обозначим A B ab ;

a A, b B и A1 a 1 ;

a A. Доказать утверждения:

(а) Если множества A, B 0, непусты, то inf A B inf A inf B.

(б) Если непустые множества A, B 0, ограничены, то supA B sup A sup B.

(в) Если множества A, B,0 непусты, то inf A B sup A sup B.

(г) Если непустые множества A, B,0 ограничены, то supA B inf A inf B.

(д) Если множества A 0, и B,0 непусты, то supA B inf A sup B.

(е) Если непустые множества A 0, и B,0 огра ничены, то inf A B sup A inf B.

(ж) Непустое множество A 0, ограничено тогда и толь ко тогда, когда inf A 1 0. В этом случае inf A1 sup A.

(з) Пусть множество A 0, непусто. Множество A ограничено тогда и только тогда, когда inf A 0. В этом случае supA1 inf A1.

§5. Натуральные числа В конструктивных теориях вещественного числа, излагаемых во многих учебниках для вузов, обычно предполагается, что натураль ные (а также целые и рациональные) числа уже известны. В аксиома тической теории такие числа надо как-то выделить из всего множе ства. Для этого введем сначала понятие индуктивного множест ва.

5.1. Определение. Множество A называется индуктивным, если оно обладает двумя свойствами (*) 1 A. (**) Из a A вытекает a 1 A.

Примеры. Все множество индуктивно. Для всякого числа a 1 множества a, и a, индуктивны. Множества 1,, 1 2,, 1,2 3,, 1,2,3 4, также индуктивны.

Лемма. Пересечение семейства индуктивных множеств индуктивно.

Доказательство. Действительно, пусть Ai ;

i I – произвольное семейство индуктивных множеств Ai и B – их пересечение.

Из индуктивности множеств Ai следует, что 1 Ai для всех i I.

Поэтому 1 B. Пусть теперь a B. Тогда a Ai для каждого i I. Поскольку все множества Ai индуктивны, то a 1 Ai так же для каждого i I. Отсюда a 1 B. Значит, B индуктивно.

Следствие. Пересечение всех индуктивных множеств индуктивно.

5.2. Определение. Пересечение всех индуктивных множеств обо значается. Его элементы называются натуральными числами.

Из индуктивности множества следует, что k 1 для вся кого k. Ясно также, что 1. Более того, число 1 является наименьшим натуральным числом. Действительно, множество со держится в индуктивном множестве 1,. Поэтому k 1 для каждого k и, следовательно, min 1.

5.3. Теорема. (Принцип индукции). Пусть каждому k поставле но в соответствие утверждение P k, причем выполнены два условия (*) P 1 верно. (**) k : P k P k 1.

Тогда справедливы все утверждения P k, k.

Доказательство. Пусть A – множество всех k, для которых P k верно. Тогда 1 A по условию (*). По условию (**) из k A следует k 1 A. Значит, множество A индуктивно. По этому A, т.е. утверждение P k верно для каждого k.

Принцип индукции лежит в основе метода доказательства тео рем, известного как Метод математической индукции. Для доказа тельства утверждений P k, k, методом математической ин дукции согласно теореме 5.3 достаточно доказать два факта:

1) Искомое утверждение справедливо для k 1.

2) Для любого k из P k вытекает P k 1.

5.4. Простейшие свойства натуральных чисел.

(а) Если n и k, то n k.

(б) Если n и k, то nk.

(в) Если n \ 1, то n 1.

(г) Если n, k и n k, то n k.

(д) Если n, k и n k, то n k 1.

(е) Если n, то n,n 1.

(ж) Если n и A k ;

k n, то n 1 min A.

(з) Множество всех натуральных чисел не ограничено сверху.

n ;

n 0, supn ;

n max n ;

n 1.

1 1 (и) inf inf nn 1 ;

n 1, max nn 1 ;

n 2.

(к) sup n ;

n 1, min n ;

n 0.

n 1 n (л) Доказательства. (а) Фиксируем n. Для каждого k обо значим через P k утверждение n k. Утверждение P 1, т.е. n 1, вытекает из индуктивности.

Пусть теперь k таково, что n k. Согласно методу ма тематической индукции надо доказать, что тогда n k 1.

n k Но это очевидно, так как и, значит, n k 1 n k 1 ввиду индуктивности множества. Ин дукция проведена и утверждение n k доказано для всех k.

(б) Пусть n. Для каждого k обозначим через P k ут верждение nk. Утверждение P 1, т.е. n 1, справедливо.

Пусть k и пусть nk. Тогда n k 1 nk n по свойству (а). Таким образом, P k P k 1 для каждого k.

По принципу индукции nk для всех k.

(в) Допустим, что n 1 для некоторого n \ 1. Дока жем, что тогда множество A \ n индуктивно. Из n 1 следу ет, что 1 A. Пусть теперь a A. Тогда a и a n. Из a вытекает a 1. Кроме того, a 1 1 a, а n 1.

Значит, a 1 n и, стало быть, a 1 A. Индуктивность множе ства A доказана. Поэтому A вопреки равенству A \ n.

Следовательно, n 1 для всех n \ 1.

(г) Для каждого k рассмотрим утверждение Если n и n k, то n k. () При k 1 утверждение () совпадает со свойством (в). Фиксиру ем произвольно k и допустим, что для него утверждение () справедливо. Надо доказать, что тогда справедливо и утверждение Если n и n k 1, то n k 1. () Пусть n и n k 1. Тогда n 1. Значит, n 1 по свойству (в). Из n k 1 следует n 1 k. Применяя (), заклю чаем, что n 1 k, или, что то же, n k 1. Вывод () из () завершен. По принципу индукции () справедливо для всех k, т.е. n k всякий раз, когда n, k и n k.

(д) Пусть n,k и n k. По свойству (г) тогда n k.

Следовательно, n k min 1. Отсюда ясно, что n k 1.

(е) Это легко вытекает из предыдущего свойства (д).

(ж) Это также легко вытекает из свойства (д).

(з) Допустим, что множество ограничено сверху. Тогда по теореме Больцано 4.4(а) существует s sup. Число z s уже не является верхней гранью для. Поэтому z k для некото рого k. Поскольку k 1, то по определению s sup должно быть k 1 s. Однако из s 1 z k вытекает, что s k 1. Противоречие. Значит, множество не ограничено сверху.

n (и) Обозначим A 1 ;

n. Очевидно 1 A. Если n, 0 n n 1 1 2.5(м).

то и по свойству Поэтому max A sup A 1.

Отсюда же ясно, что 0 является нижней гранью множества A.

Докажем, что эта нижняя грань – наименьшая. Пусть 0. По свойству (з) m для некоторого m. Тогда m A и m 1 1 по свойству 2.5(ж). Значит, число 0 не является нижней гранью множества A. Следовательно, inf A 0.

n и B nn 1 ;

n, (к) Если A 1 ;

n то B 1 A.

Отсюда inf B inf 1 inf A 1 0 1 по свойствам (и) и 4.6(ж).

n 1 n n 2n 2 1 для каждого n Кроме того, n n n по свойствам 1.5(г) и 2.5(е). Поэтому max B sup B 2.

C n 1 ;

n, A 1 ;

n (л) Если и то n n C 1 A 1 A. Отсюда supC sup 1 sup A 1 inf A 1 0 1 по свойствам (и), n 1 1 0 1. Поэтому 4.4(ж) и 4.6(к). Кроме того, n n minC inf C 0.

Из свойства 5.4(е) вытекает еще одна форма принципа индукции:

5.5. Теорема. (2-я форма принципа индукции). Пусть каждому n сопоставлено утверждение P n, причем выполнены два условия:

(*) Утверждение P 1 справедливо.

(**) Для каждого n из справедливости всех утверждений P k, 1 k n, вытекает справедливость утверждения P n 1.

Тогда справедливы все утверждения P k, k.

Доказательство. Обозначим через Q n, n, утверждение:

P k справедливо для всех k таких, что 1 k n.

Утверждение Q 1 совпадает с P 1 и, значит, верно. Пусть те перь n и Q n справедливо. Тогда справедливы все P k, 1 k n. По условию (**) отсюда следует, что справедливо и P n 1. Применяя свойство 5.4(е), заключаем, что справедливы все P k, где 1 k n 1, т.е. справедливо Q n 1. Таким обра зом, Q 1 выполнено и для каждого n из Q n вытекает Q n 1. По принципу индукции 5.3 отсюда следует, что справед ливы все Q n, а значит, справедливы и все P n, n.

§6. Целые числа 6.1. Определение. Множество всех целых чисел определяется равенством 0, где n ;

n 1, 2,.

6.2. Простейшие свойства целых чисел.

(а) Если m, то m и m.

(б) Если m и k, то m k и m k.

(в) Если m и k, то mk.

(г) Если m, k и k m, то k 1 m и k m 1.

(д) Если m, то m,m 1.

(е) Если m и A k ;

k m, то m 1 min A.

(ж) Если m и A k ;

k m, то m 1 max A.

(з) Если m \ 1,0,1, то m 1.

(и) Если множество A не пусто и ограничено сверху, то су ществует maxA. Если множество A не пусто и ограничено сни зу, то существует minA. В частности, любое непустое множество A имеет min A.

(к) Множество всех натуральных чисел не ограничено сверху.

Множество всех целых чисел неограниченно ни сверху, ни снизу.

Доказательства. (а) Это очевидно.

(б) Пусть m, k. Докажем, что тогда m k. Если m или k 0, то это очевидно. Пусть m 0 и k 0.

Если m и k, то m k по свойству 5.4(а).

Если m, k, то m, k и m k m k m k по свойствам 1.2(ж) и 5.4(а). Значит, m k.

Пусть теперь m и k. Тогда k. Если k m, то m k 0. Если k m, то m k m k по свойствам 1.2(в) и 5.4(г). Если k m, то k m k m по свойствам 1.2(ж) и 5.4(г) и, следовательно, m k.

Случай m и k аналогичен предыдущему. Доказа тельство соотношения m k завершено. Соотношение m k вытекает из предыдущего, так как k по свойству (а).

(в) Если m, k, то mk по свойству 5.4(б).

Если m 0 или k 0, то mk 0 по свойству 1.4(а).

Если m, k, то m, k и mk m k по свойствам 1.4(е) и 5.4(б).

Если m и k, то k, m k и mk m k m k по свойствам 5.4(б) и 1.4(е).

(г) Если m, k и k m, то k 1 m по свойству 5.4(д).

Если m и k 0, то k 1 1 min m.

Если m и k, то k 1 и k 1 0 1 m.

Если m 0, k и k m, то k, k 1 и k 1 0 m.

Если m, k и k m, то m, k, k, k m по свойству 2.3(б), k m 1 по свойству 5.4(д), k 1 m по свойствам 1.4(е) и 2.3(г), k 1 m по свойству 2.3(б).

Неравенство k 1 m доказано. По свойствам 1.2(е) и 2.3(г) от сюда следует также неравенство k m 1.

(д), (е), (ж) Это – очевидные следствия свойства (г).

m \ 1,0,1. m \ (з) Пусть Тогда или m \ 1.

Если m \ 1, то m 1 и 0 m 1 1 по свойствам 2.4(ж) и 1.3(а). Значит, m 1 0, m 1, так как все k отрицатель ны, и m 1, так как из k следует k 1. Поэтому m 1.

Пусть m \ 1. Тогда m 1 и 1 m 1 0 по свойст вам 2.4(з) и 1.3(з). Значит, m 1 0, m 1 и m 1, так как m 1.

k k 0 и k k 1. Поэтому (и) Пусть непустое множество A ограничено сверху. По теореме Больцано 4.4(а) существует s sup A. Число s 1 уже не является верхней гранью множества A. Значит, есть k A та кое, что s 1 k. По свойству (г) тогда s k. Из соотношений s sup A и k A следует, что k s. Таким образом, supA s k A. Применяя свойство 4.4(в), заключаем, что s k max A.

Вторая часть свойства доказывается аналогично.

Третья часть свойства вытекает из второй.

(к) Если n, то n 1 и n 1 n. Поэтому во множестве нет наибольшего элемента. По предыдущему свойству (и) отсюда следует, что множество не ограничено сверху. (Этот факт уже отмечен в свойстве 5.4(з)). Во множестве нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов. Согласно свойству (и) отсюда следует, что множество не ограничено ни сверху, ни снизу.

6.3. Теорема. (3-я форма принципа индукции). Пусть a и пусть утверждение P m определено для всех целых m a. Допустим, что выполнены два условия:

(*) P a верно;

(**) m, m a : P m P m 1.

Тогда справедливы все утверждения P m, где m и m a.

Доказательство. Пусть Q n P a n 1. Утверждение Q n имеет смысл для всех n, так как a n 1 и a n a 1 1 a при n. Утверждение Q 1 P a по условию (*) справедливо. Если n, то по условию (**) P a n P k n или, что то же, Q n Q n 1. Применяя теорему 5.3, заключаем, все Q n, n, справедливы. Если m, m a, то полагая n m 1 a, мы получим n такое, что, P m P a n 1 Q n. Поэтому все утверждения P m, где m и m a, справедливы.

Аналогично доказывается еще одна версия принципа индукции:

6.4. Теорема. (4-я форма принципа индукции). Пусть a и пусть утверждение P m определено для всех целых m a. Допустим, что выполнены два условия:

(*) P a верно;

(**) m, m a : P m P m 1.

Тогда справедливы все утверждения P m, где m и m a.

6.5. Древнегреческий математик и механик Архимед использо вал в качестве аксиомы утверждение: Если на прямой заданы отрезки A и B, то отрезок A можно повторить слагаемым столько раз, что бы сумма была больше отрезка B. Соответствующее свойство чи словой прямой называется принципом Архимеда.

Теорема. (Принцип Архимеда). Для любых 0 и x существу ет единственное целое число n такое, что n x n 1.

Доказательство. Пусть 0 и x. Множество A k ;

k x k ;

k.

x x и не пусто (иначе было бы ограни ограничено сверху числом чено снизу тем же числом вопреки свойству 6.2(к)). По свойству 6.2(и) существует n max A. Из n A следует, что n и n x. Поскольку n max A и n 1 n, то n 1 A. Но n 1 по свойству 6.2(б). Из n 1 \ A следует, что Таким образом, n и n x n 1.

n 1 x.

Существование искомого числа n доказано. Чтобы доказать его единственность, допустим, что есть еще m такое, что m x m 1. Пусть для определенности n m. Тогда n 1 m и x n 1 m x, т.е. x x. Противоречие.

6.6. Следствие. Для любого x существует единственное це лое число n такое, что n x n 1.

Определение. Число n называется целой частью числа x, если n x n 1. Целая часть числа x обозначается [x ].

Разность x [x ] называется дробной частью числа x.

Ясно, что всегда 0 x [x ] 1.

§7. Рациональные числа 7.1. Определение. Число r называется рациональным, если n, где k и n. Множество всех оно представимо в виде r k рациональных чисел обозначается символом. Элементы множе ства \ называются иррациональными числами.

7.2. Простейшие свойства рациональных чисел:

(а). В частности 0 и 1.

(б) Если r, то r и r.

(в) Если r и s, то r s, r s и rs.

(г) Если r \ 0, то r 1.

r s.

(д) Если r и s \ 0, то (е) Рациональные числа образуют упорядоченное поле.

(ж) Множество не ограничено ни сверху, ни снизу.

(з) Если a b, то a,b, т.е. в любом интервале есть рациональные числа.

(и) Если c, то inf c, c и sup,c c.

(к) Если a b, то inf a,b a и sup a,b b.

Доказательства. (а) по определению. Если n, то по n. Следовательно,.

свойству 1.5(а) n n (б) Пусть r, т.е. r, где k и n. Тогда n и k n по свойству 6.2(а). Кроме того, r n, по свойству 1.5(ж) k n n по свойству 2.7(г). Отсюда ясно, что r и r.

иr k k n и s p, где k, q и n, p. Тогда (в) Пусть r q k p nq kp n p np r s n q и rs k q kq (*) k kq по свойству 1.5(и), kq по свойству 5.4(б), nq, kp, np по свойству 6.2(в) и nq kp по свойству 6.2(б). Отсюда и из ра венств (*) ясно, что r s и rs.

n, где k и n \ 0. По (г) Пусть r \ 0, т.е. r k n k свойству 1.5(е) имеем r 1 1 n.

k Из n \ 0 следует, что n или n. Если n, то k сразу ясно, что r 1. Пусть n. В этом случае приме n k k n n.

няя свойства 1.2(в) и 1.5(ж), также получим: r n и s p 0, где k, q и n, p, причем (д) Пусть r q k p nq p 0 по свойству 1.5(а). Тогда r n : q по свойству 1.5(к), sk kp nq, kp по свойству 6.2(в) и kp 0 по свойству 1.4(в). Значит, nq kp или kp. Если kp, то очевидно r s kp.

Пусть kp. По свойствам 1.2(в) и 1.5(ж), имеем r nq nq, так как теперь kp и nq.

s kp kp (е) Из предыдущих свойств следует, что r s, rs, r для всех r, s и еще r 1, если r \ 0. Кроме того, 0,1.

Все прочие требования определения упорядоченного поля (т.е. ак сиомы С1С4, У1У5, П1П6) выполнены, так как они выполнены уже во множестве. Поэтому – упорядоченное поле.

(ж) Поскольку множество не ограничено ни сверху, ни снизу (свойство 6.2(к)) и поскольку (свойство (а)), то множество также не ограничено ни сверху, ни снизу.

(з) Пусть a b и, значит, b a 0. Поскольку множество не ограничено сверху, то найдется n такое, что n 1. Тогда b a n b a 1 и b a n по свойству 2.5(ж). Согласно принципу Ар 1 и x a существует k такое, что химеда 6.5 для n k k 1 k n a n. Число r n рационально, a r и, кроме того, r k n 1 n n a n a b a b.

k Таким образом, a r b и, следовательно, r a,b.

(и) Обозначим A c,. Для каждого r A имеем c r.

Пусть 0. По свойству (з) существует r c,c. Для это го r имеем r c, r и r c, т.е. r A. Применяя свойство 4.6(б), заключаем, что c inf A inf c,.

Равенство sup,c c доказывается аналогично.

(к) Ясно, что r b для каждого r a,b. Пусть 0 и c max a,b. Тогда a c b. По свойству (з) существует r c,b. Для этого r имеем r c b, r, r b и r c a. Отсюда r a,b. По свойству 4.4(б) заключаем, что b sup a,b. Аналогично доказывается, что inf a,b a.

7.3. Задача. Доказать, что число 2 (см. пример 4.5) иррацио нально. Вывести отсюда, что в любом интервале a,b есть ирра циональные числа. Найти inf A и sup A, где A a,b \.

§8. Сумма и произведение конечного семейства чисел В силу ассоциативности сложения в суммах вида a b c, a b c d, a b c d e, … скобки можно расставлять как угод но и тем самым такие суммы определены по крайней мере тогда, когда мы в состоянии фактически выписать все слагаемые. Если же n слагаемых «слишком много», то пишут выражения вида ak или k a1 a 2 an. Метод математической индукции позволяет дать строгое определение такой суммы.

n 8.1. Определение. Сумма ak, т.е. сумма ak при n 1, объ k 1 k является равной ее единственному слагаемому a1. Пусть теперь n n и пусть сумма ak определена всякий раз, когда заданы k числа a1,a 2,,an, (т.е. каждому k, 1 k n, сопоставлено число ak ). Если заданы числа a1,a 2,,an,an 1, то k n 1 n ak ak an 1.

k Если p, q, p q, и каждому k, p k q, сопоставлено q число ak, то можно говорить о сумме ak. Она также опреде k p p ляется по индукции: Если q p 1, то ak a p 1. Пусть k p q p, q, p q, и пусть суммы ak определены. Тогда k p q 1 q ak : ak aq 1.

k p 1 k p q n Индекс k в обозначениях ak и ak можно заменить лю k 1 k p n n n бой свободной буквой: например, выражения ak, ai и a j k 1 i 1 j q n означают одно и то же. Суммы ak и ak часто записывают k 1 k p в виде a1 a 2 an и соотв. a p 1 a p aq.

q n Аналогично определяются произведения ak и ak ко k 1 k p нечных семейств вещественных чисел. Эти произведения часто за писывают в виде a1a 2an и соотв. a pa p 1aq.

8.2. Свойства сумм и произведений конечных семейств чисел.

(а) Если p, q, p q, и a p 1,a p 2,,aq, то q q p q q p ak a p k, ak a p k. (1) k p 1 k 1 k p 1 k (б) (Ассоциативность) Если m, n и a1,a 2,,am, am 1,, am n, то k1ak k1am k k1 ak.

m n m n m n m n ak am k ak, (2) k k 1 k 1 (в) (Коммутативность) Сумма n слагаемых не зависит от порядка следования слагаемых. Произведение n сомножителей не зависит от порядка следования сомножителей.

(г) Если n, a1, a 2,, an и b1,b2,, bn, то k1ak k1bk k1akbk.

n n n n n n ak bk ak bk, (3) k k 1 k 1 и каждой паре индексов i, j, (д) Пусть m,n где 1 i m и 1 j n, сопоставлено число aij. Тогда mn nm mn nm aij aij, aij aij. (4) i 1 j 1 j 1i 1 i 1 j 1 j 1i n (е) Если n и a, то na ak, где все ak a.

k (ж) (Дистрибутивность) Если n, a1, a 2,, an и b, то k n n b ak bak.

k (з) (Обобщенная дистрибутивность) Если n, m, a1, a 2,, an и b1, b2,, bm, то k1ak i1bi k1i1akbi i1k1akbi.

n m nm mn n (и) Пусть n и a1, a 2,, an. Произведение ak отлич k но от нуля тогда и только тогда, когда все a1, a 2,, an 0, и в этом k1ak 1 k1ak1.

n n случае справедливо равенство n n (к) Если n и a1, a 2,, an, то ak ak.

k 1 k n n (л) Если n и a1, a 2,, an, то ak ak.

k 1 k Доказательства. (а) Фиксируем p и докажем равенство q q p ak a p k (1*) k p 1 k индукцией по q, q p. При q p 1 обе суммы данного ра венства равны своему единственному слагаемому a p 1.

Пусть теперь q, q p, и для него равенство (1*) верно. На q 1 q 1 p ak a p k. Применяя определение до доказать, что тогда k p 1 k левой суммы, равенство (1*) и определение правой суммы, имеем:

q 1 q q p q 1 p ak ak aq 1 a p k aq 1 a p k.

k p 1 k p 1 k 1 k Согласно теореме 6.3 первое из равенств (1) доказано. Второе доказывается аналогично.

(б) Фиксируем m и докажем равенство m n m n ak am k ak, (2*) k k 1 k индукцией по n. При n 1 это равенство доказывается просто:

m m m ak am k ak am 1 ak.

k k 1 k 1 k Допустим, что n произвольно и для любых a1, a 2,,am, am 1,, am n справедливо равенство (2*). Тогда n 1 n m m ak am k ak am k am n k 1 k k 1 k m n m n ak am n 1 ak.

k 1 k Согласно теореме 6.3 первое из равенств (2), доказано. Второе доказывается аналогично.

n n (в) Пусть сумма am возникла из суммы ak в результате i 1 i k перестановки слагаемых, т.е. 1, 2,, n m1, m 2,, mn. Надо доказать, что справедливо равенство n n am ak. (*) i i 1 k При n 1 доказывать нечего, так как при наличии только одного слагаемого перестановка идентична исходной сумме. Пусть теперь n произвольно и для любых a1, a 2,, an справедливо ра n 1 n венство (*). Рассмотрим сумму ak и ее перестановку am.

i 1 i k Надо доказать, что n 1 n am ak. (**) i i 1 k n 1 n По определению правой суммы ak ak an 1. По опре k 1 k делению перестановки каждое слагаемое левой суммы в (**) участ вует и только один раз в качестве слагаемого правой суммы. Поэто му найдется единственное j, 1 j n 1, такое, что n 1 mj.

Если j n 1, то an 1 am и n n 1 n n am am am am an 1, n i i i i 1 i 1 i n n сумма am есть перестановка суммы ak. По предположению i 1 i k индукции эти суммы совпадают. Следовательно, n 1 n n n am am an 1 ak an 1 ak.

i i i 1 i 1 k 1 k Пусть j 1. Тогда an 1 am. По свойству (б) n 1 n 1 n am am am an 1 am.

i i i i 1 i 2 i n 1 n Сумма am есть перестановка суммы ak. По предположению i i 2 k индукции эти суммы совпадают и, следовательно, n 1 n 1 n n n am an 1 am an 1 ak ak an 1 ak.

i i i 1 i 2 k 1 k 1 k Пусть 1 j n 1. Тогда 1 j 1 и j 1 n 1. Применяя j свойство (б) и определение суммы am, получим i 1 i i 1ami i j j n 1 n 1 n am am am am am i i i i j i 1 i 1 i j 1 j i 1 i 1 j 1 j n 1 n am am am am am an 1.

i i j i i i j 1 i j Преобразуем сумму в скобках. Обозначим m,, если 1ss n1, j s s если j.

m s Тогда j 1 j n 1 n n am am a a a i i s s s i 1 i j 1 s 1 sj s по свойству (б). Поскольку 1, 2,, n 1, 2,, j 1 j, j 1,, n m1,m 2,,m j 1 m j 1,m j,,mn m1,m 2,,mn 1 \ m j 1, 2,, n 1 \ n 1 1, 2,,n, n n то сумма a есть перестановка суммы ak. По предположе s s 1 k нию индукции эти суммы совпадают. Поэтому i 1 j n 1 n 1 n am am am an 1 a an i i i s i 1 i j 1 s n n ak an 1 ak.

k 1 k Таким образом, из равенства (*) следует равенство (**). Соглас но принципу индукции равенство (*) верно всегда. Второе утвер ждение свойства (в) доказывается аналогично.

(г) Если n 1, то 1 1 ak bk a1 b1 ak bk.

k k 1 k Пусть теперь n произвольно и равенство n n n ak bk ak bk k k 1 k справедливо для всех a1, a 2,, an и b1,b2,, bn. Тогда n 1 n 1 n n ak bk ak an 1 bk bn + k 1 k k 1 k n n ak bk an 1 bn k k n n ak bk an 1 bn 1 ak bk.

k 1 k Первое из равенств (3) доказано. Второе доказывается аналогично.

(д) Фиксируем m и докажем первое из равенств (4) индукцией по n. При n 1 имеем m1 m 1m aij ai1 aij i 1 j 1 i 1 j 1i по определению суммы из одного слагаемого.

Пусть теперь n произвольно и равенство mn nm aij aij (4*) i 1 j 1 j 1i справедливо для любых чисел aij. Надо доказать, что тогда для любых чисел aij справедливо равенство m n 1 n 1 m aij aij.

i 1 j 1 j 1 i Применяя свойство (г) и равенство (4*), получим m n 1 m n mn m aij aij ai,n 1 aij ai,n i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i nm m n 1 m aij ai,n 1 aij.

j 1i 1 i 1 j 1 i Индукция проведена и первое из равенств (4) доказано. Второе доказывается аналогично.

(е) При n 1 имеем ak a1 a 1a. Пусть n и для него k n n n na ak. Тогда ak ak an 1 na a n 1a. По прин k 1 k 1 k ципу индукции равенство (е) доказано.

k 1 (ж) При n 1 имеем b ak ba1 bak. Пусть n и для k n n него b ak bak. Тогда по аксиоме (У5) k 1 k k 1 k 1 k n 1 n n b ak b ak an 1 b ak ban n n bak ban 1 bak.

k 1 k Индукция проведена и искомое равенство доказано.

n (з) Применяя предыдущее свойство при b ak и при b bi, k получим:

k1ak i1bi i1k1ak bi i1bi k1ak n m m n m n m n mn mn biak biak akbi.

i 1 k 1 i 1k 1 i 1k (и) При n 1 доказывать нечего.

Пусть n и пусть для него утверждение справедливо. Пусть, далее, a1, a 2,, an, an 1. По определению произведения n 1 n a k a k an 1.

k 1 k По свойству 1.4(а) правая часть этого равенства 0 тогда и только n тогда, когда ak 0 и an 1 0. Поскольку для данного n k n утверждение верно, то ak 0 тогда и только тогда, когда все k n a1, a 2,, an 0. Отсюда ясно, что ak 0 тогда и только тогда, k когда все a1, a 2,, an, an 1 0.

Пусть теперь все a1, a 2,, an 1 0. Поскольку для n ут k1ak 1 k1ak1.

n n верждение верно, то Применяя еще свойство 1.3(е) и предыдущее равенство, получим k1ak k1ak an1 k1ak n 1 n n n n 1 1 1 1 1 an 1 a k 1 an 1 a k 1.

k 1 k Индукция проведена и утверждение (и) доказано.

(к) При n 1 доказывать нечего. Пусть n и для него n n ak ak.

k 1 k Тогда по свойству 2.7(д) n 1 n n ak ak an 1 ak an k 1 k 1 k n n ak an 1 ak.

k 1 k Искомое неравенство доказано.

(л) При n 1 доказывать нечего. Пусть n и для него n n ak ak.

k 1 k Тогда по свойству 2.7(в) n 1 n n n n ak ak an 1 ak an 1 ak an 1 ak.

k 1 k 1 k 1 k 1 k Утверждение (л) доказано.

q 8.3. Замечание. В разделе 8.1 мы определили смысл суммы ak k p при p,q, p q. Но иногда естественным образом возникают p 1 суммы вида ak и, в частности, ak (см. ниже бином Ньютона k k p при n 1 ). Естественно считать, что такая сумма имеет 0 слагае p мых и сама равна 0. Аналогичное произведение ak надо считать k p равным 1. При таком соглашении соответствующие расширения свойств 8.2(а–и) остаются справедливыми.

q q Но если объявить, что ak 0 и ak 1 всякий раз, когда k p k p p,q и q p 1, то свойства 8.2(б,е) будут не верны.

§9. Степень с целым показателем 9.1. Определение. Пусть n. Произведение a1a 2 an, где все ak a, обозначают a n и называют n - й степенью числа a. Ес ли a 0, то полагают еще a 0 1 и a m m для всех m.

a a1 a, a 2 aa, a 3 aaa a 2a,, В частности, a n aa n 1, и a 1 a, a 2 1, a 3 1, … a n 1,.

an a2 a Числа a и n называются основанием и соотв. показате лем степени a n.

9.2. Замечание. Выражение a 1 для a \ 0 оказалось дву смысленным. С одной стороны это число, обратное к a, и в этом смысле a 1 по определению дроби. С другой стороны это сте a пень числа a с показателем 1 и в этом смысле a 1. Но a a a1 и поэтому обратное число a 1 совпадает со степенью a 1.

9.3. Свойства степени с целым показателем.

(а) Если n, то 0n 0. В случае n \ выражение 0n не имеет смысла.

(б) 1n 1 для всех n.

(в) Если a 0, то a n 0 для любого n.

(г) Если a 0, то a na m a n m для любых n, m.

n (д) Если a,b \ 0, то ab a nbn для любого n.

n (е) Если a 0, то a n 1 a n a для любого n.

n m nm (ж) Если a 0, то a для любых n, m.

a n n a an для любого n.

(з) Если a 0 и b 0, то b b (и) Если a 0, то a n a n для любого n.

m1 m a a mn a m1m2 mn для любого (к) Если a 0, то a конечного семейства целых чисел m1, m 2,, mn.

(л) Если a1, a 2,, am – конечное семейство вещественных чи сел, отличных от 0, то a1a 2 am n a1 a 2 am для любого n.

nn n Доказательства. (а) По свойству 8.2(и) произведение a1a 2 an равно 0, если хотя бы одно из чисел a1, a 2,, an равно 0. Отсюда ясно, что 0n 0 для всех n.

По свойству 1.4(б) на нуль делить нельзя. Поэтому 0n при n не имеет смысла. Степень 00 у нас также не определена ( 0n 0 для всех n и a 0 1 для всех a 0;

спрашивается, чему должно равняться 0n ?).

(б) Для n равенство 1n 1 вытекает из определения степени с показателем n, произведения конечного семейства чисел и из определения элемента 1 в аксиоме (У3). Равенство 10 1 вытекает из определения a 0 при a 0.

Для n по предыдущему абзацу и по свойству 1.3(а) также имеем: 1n 1 1 1.

(в) Пусть a 0. Если n, то a n 0 по свойству 8.2(и).

Если n 0, то a n a 0 1 0. Если n, т.е. n для не которого, то a 0 по предыдущему абзацу. Следовательно, a n 1 a 1 0 по свойству 1.4(г).

a (г) Пусть a 0. Если n, m, то по свойству 8.2(б) n m n m a na m a a a a n m.

k 1 k 1 k Если n 0 и m, то a na m a 0a m 1a m a m a 0m a n m.

Случай n, m 0 аналогичен предыдущему.

Пусть n, m, т.е. n и m. По доказанно му выше a a a. Применяя свойства 1.5(б) и 1.2(ж), получим a na m 1 1 1 a a a n m.

aa aa a Пусть n и m. Тогда m. Если n, то n a na m a na n a n 1 a 0 a n n a n m a по свойству 1.5(а). Если n, то n по свойству 5.4(г) и a n a n a по доказанному выше;

отсюда по свойствам 1.5(з,а) n n a na m a n 1 a a a a n a a n a n m.

a a a a Если n, то n, a a na n и по свойствам 1.5(з,д) n an a na m a n n n a n a n a n m.

a aa a (д) Пусть a 0 и b 0. Тогда ab 0 по свойству 1.4(в). Если n n n n, то по свойству 8.2(г) ab n ab a b a nbn.

k 1 k 1 k n nn 1 11 a b a b.

то ab ab Если n 0, Если n, т.е. n, то по доказанному только что и n 1 1 a nbn.

1 по свойству 1.5(б) ab ab a a ab (е) Пусть a 0 и n. Используя замечание 9.2 и свойства (г) и n n 1.4(д), получим a n 1 a n 1 a n a 1 a 1.

(ж) Пусть a 0. Фиксируем n и докажем, что a n m a nm nm индукцией по m. При m 1 имеем: a a n a n1 a nm.

Пусть теперь m и для него a n m a nm. Применяя определе ния степени и произведения, имеем m 1 m a n m 1 a n a n a n a n ma n a nm a n.

k 1 k Отсюда по свойству (г) и по аксиоме дистрибутивности a n m 1 a nm a n a nm n a nm n1 an m 1.

Для n,m равенство a n m a nm доказано.

Поскольку a 0, то a n 0 для любого n по свойству (в).

Значит, число a n m также определена и 0 для любых n, m.

Если n 0 и m, то по свойствам (б) и 1.4(а) a n m a 0 m 1m 1 a 0 a 0m a nm.

m Если n и m 0, то a n a n 1 a 0 a n0 a nm.

Пусть n и m, т.е. m, где. По доказанно му выше a n a n. Используя еще свойство 1.4(е), получим a n m n a n an a nm.

n a a Пусть m и n, т.е. n, где. По определе нию степени и дроби a n a 1. Используя еще замечание a 9.2, свойство (е), равенство a m a m, доказанное выше для,m, а также определение дроби и свойство 1.4(е), получим a n m a 1 m a m 1 a m 1 m a a m a m a nm.

Пусть, наконец, n,m, т.е. n и m, где,.

Тогда a a. Используя еще свойство (е) (дважды) и свойство 1.4(е), получим a n m a m a 1m a m a a a nm a nm.

Свойство (ж) доказано.

(з) Пусть a,b \ 0 и n. Используя определение дроби, свойство (д), замечание 9.2 и свойство (е), получим n a ab 1 a n b 1n a n bn 1 an.

n n b b n a n вытекает (и) Пусть a 0. Если n, то равенство a из свойства 8.2(л). По свойству 2.7(б) a 0, так что a n имеет n \. n 0, смысл и для Если то a n a 0 a 0 a n. Если n, т.е. n, то a a, как уже отмечено выше, и по свойству 2.7(г) a n 1 1 a n.

a a a (к) Пусть a 0. При n 1 обе части искомого равенства a m1a m 2 a mn a m1m2 mn (*) m и доказывать нечего. Пусть n и пусть равенство (*) равны a выполнено. Тогда по свойству (г) mm m a m1a m 2 a mna mn 1 a 1a 2 a n a mn a m1m 2 mn a mn 1 a m1m2 mn mn 1.

Индукция проведена и искомое равенство (*) доказано.

(л) Пусть n. Докажем равенство a1a 2 am n a1a 2 am nn n (*) индукцией по m. При m 1 обе части этого равенства равны n a 1 и доказывать нечего. Пусть m и пусть для него справедли во равенство (*). Тогда по свойству (д) a1a 2 amam 1 n a1a 2 am am 1 n a1a 2 am nam n a na 2 am am 1 a 1 a 2 amam 1.

n n n nn nn Индукция проведена и равенство (*) доказано.

§10. Примеры применения математической индукции 10.1. Пример 1. Для каждого n справедливо равенство n k 2 12 22 32 n 2 1 n n 12n 1. (1) k 1 Доказательство. Докажем это равенство индукцией по n. При n 1 равенство (1) имеет вид 12 1 1 2 3 и справедливо.

Пусть теперь n произвольно и пусть для него равенство (1) выполняется. Докажем, что тогда это равенство верно и при n 1, т.е. справедливо равенство 12 22 32 n 2 n 12 1 n 1n 2 2n 3. (2) Используя равенство (1), имеем:

12 22 32 n 2 n 12 1 n n 12n 1 n n 1n 2n 1 6n 1 1 n 1n 2 2n 3.

6 Таким образом, равенство (1) верно для n 1 и для любого n из равенства (1) вытекает равенство (2). Согласно принципу индукции 5.3 равенство (1) справедливо для любого n.

10.2. Пример 2. Если n и n 3, то n 2 2n.

Доказательство. При n 1, 2, 4 неравенство верно. Пусть теперь n и n 4. Допустим, что для этого n неравенство n 2 2n справедливо. Надо показать, что тогда n 1 2n 1. Из n следует 2 n 2. Отсюда и из n 2 2n имеем:

n 2 2n 1 2n 2n 1 2n n 2 n n 2n n 2 2n 1 2n n 2 2n 2n 2n 1.

Искомое неравенство доказано.

10.3. Пример 3. Неравенство Бернулли. Если n и x 1, то 1 x n 1 nx. (1) Действительно, пусть x 1. При n 1 неравенство (1) имеет вид 1 x 1 x и справедливо. Пусть теперь n и пусть для него неравенство (1) справедливо. Надо доказать, что тогда n 1 x 1 1 n 1x. (2) Используя неравенства (1) и x 1, т.е. 1 x 0, имеем n 1 x 1 1 x n 1 x 1 nx 1 x 1 n 1x nx 2 1 n 1x.


Согласно теореме 5.3 неравенство (2) доказано для всех n.

В качестве еще одного примера на метод математической индук n ции докажем формулу для вычисления степени a b, именуе мую бином Ньютона.

10.3. Определение. Введем обозначения 0! 1, 1! 1, 2! 1 2, n, n ! 1 2 n,. Ясно, что n ! n n 1! k для каждого k n. Выражение n ! читается n - факториал (эн-факториал).

Обозначим еще n! n n 1 n k 1 n n 1 k 1, k Cn k !n k ! k! n k !

k где n и 0 k n, k. Число C n называется «число сочета k ний из n по k ». Числа C n именуются также биномиальными коэффи циентами.

10.4. Теорема (Бином Ньютона). Для любых a,b и для любого n справедливо равенство n a b n a n C n a n kbk bn.

k (1) k Замечание. Обычно эту формулу записывают короче:

n a b n C n a n kbk.

k (2) k Однако в случае a 0 или b 0 первое и соотв. последнее слагае мые суммы (2) содержат степени 00 и не имеют смысла.

Доказательство. При n 1 равенство (1) имеет вид a b a b и справедливо. Пусть теперь n произвольно. Допустим, что для него равенство (1) выполняется. Докажем, что оно верно и для сле дующего номера n 1, т.е.

n k a b n 1 a n 1 C n 1 a n 1kbk bn 1. (3) k Используя равенство (1), имеем n an k1Cn an kbk bn a b n 1 a b k n 1 n a n 1 C n a n 1kbk abn a nb C n a n jb j 1 bn k j k 1 j n n a n 1 C n a n 1kbk C n a n jb j 1 bn k j k 1 j n n a n 1 C n a n 1kbk C n 1 a n k 1bk bn k k k 1 k n a n 1 C n C n 1 a n 1kbk bn k k k n k a n 1 C n 1 a n 1kbk bn 1, k так как при 1 k n n! n!

k k C n C n 1 k ! n k ! k 1!n k 1!

k n 1 n! k 1! n k ! k n! n 1 n 1! k C n 1.

k 1! n k ! k n k 1 k!n k 1!

Итак, равенство (1) верно при n 1 и, кроме того, для всякого n из неравенства (1) вытекает неравенство (2). Согласно прин ципу индукции 5.3 равенство (1) справедливо для всех n.

Приведем несколько частных случаев бинома Ньютона:

a b 2 a 2 2ab b 2, a b 3 a 3 3 2b 3ab 2 b 3, a a b 4 a 4 4a 3b 6a 2b 2 4ab 3 b 4, a b 5 a 5 5a 4b 10a 3b 2 10a 2b 3 5ab 4 b 5, a b 6 a 6 6a 5b 15a 4b 2 20a 3b 3 15a 2b 4 6ab 5 b 6.

§11. Задачи на метод математической индукции 11.1. Доказать, что для каждого n справедливы равенства:

n k k 1 2k 1 n n 12 n 2 ;

(a) k 1 n k k 2k 6 n n 1n 73n 8 ;

(b) k 1 n k 3k 13k 2 n n 13n 13n 2 ;

(c) k 1 n k 3k 16k 1 n n 13n 13n 2 ;

(d) k 1 n k k 2k 6 n n 1n 83n 11 ;

(e) k 1 n k k 13k 1 n n 1n 29n 7 ;

(f) k 1 n k k 1k 3 n n 1n 23n 13 ;

(g) k 1 n k k 13k 1 n n 2 19n 2 ;

(h) k 1 n k k 2k 4 n n 1n 4n 5 ;

(i) k 1 n k k 1k 3 n n 2 13n 10 ;

(j) k 1 n n k k 2k 4 n 1n 3n 4 ;

(k) k 1 n k k 1k 2 n n 1n 2n 3 ;

(l) k 1 n n (m) k k 1k 2 n 1 n 2 ;

k 1 n k k 3 2k 3 n n 1n 3n 4 ;

(n) k 1 n n k k 3 2k 3 n 1n 3n 4 ;

(o) k 1 n k k 1 2k 1 1 n 2 n 2 1.

(p) k 1 11.2. Доказать, что для каждого n справедливы равенства:

n k 3 6k 2 1 1 n 2 n 12 2n 1 2n 3 ;

(a) k 1 n k 2 5k 2 1 1 n 2 n 12 2n 1 ;

(b) k 1 n k 3 2k 2 1 1 n 2 n 12 (2n + 1)2 ;

(c) k 1 n 1 2 4n 1 2n 32 3 ;

k 4k 2 (d) k 1 24 n k 3 k 2 1 1 n 2 n 12 n 1n 2 ;

(e) k 1 n k 2 20k 2 7 n n 1 2n 13 ;

(f) k 1 n k 3 k 2 +1 1 n 2 n 12 n 2 n 1 ;

(g) k 1 n k 5 k 2 1 1 n 4 n 14 ;

(h) k 1 n k 3 2k 2 11 1 n 2 n 12 2n 5 2n 7 ;

(i) k 1 n k 3 3k 2 1 1 n 3 n 13 ;

(j) k 1 n k 2 k 2 1 n n 2n 2 1 2n 1 ;

(k) k 1 n k 3 3k 2 11 1 n 2 n 12 n 2n 3 ;

(l) k 1 n 1 n 3 n 13 2n 1 ;

(m) k 4 7k k 1 n k 3 k 2 13 1 n 2 n 12 n 4n 5 ;

(n) k 1 n k 2 k 12 2k 1 1 n 2 n 2 12 ;

(o) k 1 n k 3 k 2 12 1 n 2 n 2 12 n 22.

(p) k 1 11.3. Доказать, что для каждого n справедливы равенства:

2n k k 1 2k 1 n n 115n 2 13n 2 ;

(a) k n 1 2n k 2 5k 2 1 1 n 2 2n 131n 2 22n 3 ;

(b) k n 1 2n 2k 1 2k 2 2k 1 15n 4 ;

(c) k n 2n k 8k 2 1 n 2n 13n 110n 1 ;

(d) k n 1 2n k 8k 2 3k 1 3n 2 2n 15n 1 ;

(e) k n 2n k 128k 2 25k 8 105 n 3n 1 ;

(f) k n 2n k 16k 2 3k 2 n 2n 1 4n 115n 1 ;

(g) k n 1 2n k k 18k 1 n 2n 115n 2 4n 1 ;

(h) k n 2n k k 1 4k 1 3n 2n 15n 2 ;

(i) k n 2n k 8k 2 3k 1 n 2n 115n 2 10n 1 ;

(j) k n 2n k k 18k 1 n n 1 2n 115n 2 ;

(k) k n 2n k k 1 2k 1 3 n 2 5n 2 1 ;

(l) k n 1 2n k 4k 2 3k 1 n 3 15n 7 ;

(m) k n 2n k 2 28k 2 31k 11 105 n 3n 1 ;

(n) k n 2n k 1 4k 2 5k 2 n 3 15n 7 ;

(o) k n 2n k 1k 2 4k 3 3n 2n 15n 2.

(p) k n 11.4. Доказать, что для каждого n справедливы равенства:

n 1 n k n k n 2) k 2 2 n 1) 2 2 1 ;

;

k 0 k n nk 2n 2 ;

4) k k ! n 1! 1 ;

3) k 1 2k 2n k n n k k ! 2k 1 n! 5).

2 2n 1!

2k 1!

k 11.5. Доказать, что для каждого n справедливы равенства:

n n n n 2 1 ;

n 4n 2 1 ;

1) k k 1 2) 2k k 1 k 3 n n n 1n 2 ;

3) k k + 1 + + k 1 n n n 2 2n ;

4) 2k 2 1 + k 1 n n 2n 2 3n 6a 2 1, a ;

5) k 2 a k 1 n 2n 6) a k n + 1 2n 6a 1 a n + 1, a.

k 0 11.6. Доказать, что для каждого n справедливы равенства:

2 ;

n n 1 n 2 n 12 k 1) k + k 1 k n n n 1 2n 13n 2 3n 1 ;

2) k k 1 n 1 n 2 n 12 2n 2 2n 1 ;

3) k k 1 nm 1 m 1n p, m.

4) k p m 2 p k 1 p 11.7. Доказать, что справедливы равенства:

nk 3 1 2 1, n ;

1) k 2 k 3 1 n n 1 1 1 1 1 1 1 n 1, n ;

2) 2n n 4 9 2 1 4 1 6 1 2n, n ;

3) n n 1 n n 3 7 n 2, n \ 1 ;

3 1 3 1 3 1 4) 4n n 8 15 n n k n, p, n 5) p k p n !

k 1 p k 1!

k 11.8. Доказать, что n 0 данные числа делятся на 5:

4 31n1 1 ;

(a) 44n3 1, 163n 4, 2 62n1 3, 7 142n1 2 ;

(b) 34n1 2, 26n 2 4, 384n 2, (c) 28n3 7, 74n 2 6, 3 242n 2, 4 112n1 1 ;

316n1 2 ;

(d) 46n3 1, 94n1 1, 2 342n 3, 3 41n1 2 ;

(e) 6n1 4, 142n 9, 3 24n 3 1, 2 38n3 1 ;

11n 2 4, 74n3 2, 2 212n 3, (f) 3 292n 2 ;

(g) 42n1 1, 192n1 1, 4 6n 2 1, 9 162n1 1 ;

(h) 92n 4, 36n1 14, 7 28n5 1, 2 64n1 3 ;

44n5 1, 21n 2 4, 4 34n3 7, (i) 2 163n1 3 ;

74n 4, 26n 2 9, 3112n 2, (j) 3113n1 2 ;

(k) 24n5 3, 51n 2 4, 4 63n 1, 7 16n 2 3 ;

42n3 1, 94n3 1, 3 362n 7, (l) 2 31n 2 3 ;

(m) 192n 4, 28n1 3, 7 62n 3 8, 2 11n 2 3 ;

(n) 38n1 2, 84n1 7, 9 392n 1, 9 74n1 2 ;

(o) 46n1 1, 46n 2 4, 3162n 2, 6 92n3 1.

(p) 113n 9, 41n 2 14, 7 24n1 1, 11.9. Доказать, что n 0 числа an, bn, cn, dn делятся на 6, 7, 8 и 9 соотв.:

(a) an 52n 1 1, bn 23n 6, cn 32n 7, dn 26n 5 4 ;

(b) an 7n 5, bn 2 36n 5, cn 52n 7, dn 43n 2 2 ;

(c) an 112n 1 1, bn 5 43n 2, cn 72n 1 1, dn 73n 1 2 ;

(d) an 13n 5, bn 56n 6, cn 5 9n 3, dn 82n 1 1 ;

(e) an 172n 1 1, bn 62n 6, cn 3112n 5, dn 133n 2 2 ;

(f) an 19n 5, bn 2 8n 5, cn 7132n 1, dn 163n 8 ;

(g) an 232n 1 1, bn 93n 6, cn 152n 7, dn 8172n 1 ;

(h) an 25n 5, bn 113n 1 3, cn 17n 7, dn 19n 8 ;

(i) an 292n 1 1, bn 132n 6, cn 192n 1 5, dn 223n 1 5 ;

(j) an 2314n 4, bn 15n 13, cn 212n 1 3, dn 253n 8 ;

(k) an 4352n 2, bn 163n 6, cn 232n 11, dn 262n 11 ;

(l) an 37n 11, bn 183n 13, cn 325n 5, dn 828n 1 ;

(m) an 412n 11, bn 202n 6, cn 272n 7, dn 352n 1 1 ;

(n) an 43n 5, bn 22n 6, cn 7292n 1, dn 837n 1 ;

(o) an 472n 1 1, bn 272n 6, cn 312n 11, dn 442n 1 1 ;

(p) an 49n 5 bn 29n 6, cn 33n 7, dn 546n 4.

11.10. Доказать, что n числа an и bn делятся на число cn, если:

n bn 9872n 1, cn 1317 19 4199 ;

(a) an 184 1, 2n 2n cn 1117 37 6919 ;

(b) an 186 bn 1, 1, 4n 2n 1, cn 1113 29 4147 ;

(c) an 12 bn 1, 2n 2n cn 111319 2717 ;

(d) an 571 bn 1, 1, 2n 2n cn 19 23 29 12673 ;

(e) an 436 1, bn 666 1, 2n 2n cn 1119 23 4807 ;

an 208 1, bn 1310 1, (f) 2n 4n cn 1317 37 8177 ;

(g) an 443 bn 1, 1, 6n 2n cn 111319 2717 ;

(h) an 12 bn 1, 1, 2n 2n cn 13 23 31 9269 ;

an 714 1, bn 898 1, (i) 4n 2n 1, cn 111317 2431 ;

an 21 1, bn (j) 2n 2n 1, bn 560 cn 111317 2431 ;

(k) an 441 1, 2n 2n cn 1317 19 4199 ;

an 324 1, bn 664 1, (l) 2n 2n 1, cn 1113 23 3289 ;

(m) an 298 1, bn 4n 2n cn 1317 23 5083 ;

(n) an 47 bn 781 1, 1, 2n 2n cn 1117 31 5797 ;

(o) an 373 bn 681 1, 1, 3n 2n cn 1319 31 7657 ;

(p) an 87 bn 1, 1, 11.11. Доказать, что n числа an и bn делятся на число cn, если:

n n (a) an 80742 1, bn 93852 1, cn 1317 19 23 96577 ;

n n (b) an 71622 1, bn 81522 1, cn 111319 31 84227 ;

2n 2n 1, cn 1117 19 41 145673 ;

(c) an 4181 1, bn 2n 2n 1, cn 111317 29 70499 ;

(d) an 2872 1, bn 2n 2n 1, cn 111317 37 89947 ;

(e) an 6291 1, bn 2n 2n 1, cn 111317 19 46189 ;

an 7734 1, bn (f) 2n 2n 1, cn 1113 23 29 95381 ;

(g) an 4003 1, bn 2n 3n cn 111317 19 46189 ;

(h) an 4863 1, bn 562 1, 2n 2n 1, cn 1117 19 31 110143 ;

an 5796 1, bn (i) 2n 2n 1, cn 111317 23 55913 ;

an 4302 1, bn (j) 2n 2n 1, cn 1317 23 41 208403 ;

(k) an 2092 1, bn 2n 2n 1, cn 1117 19 37 131461 ;

an 628 bn 1, (l) 2n 2n 1, cn 111317 23 55913 ;

(m) an 2991 1, bn 2n 2n 1, cn 1317 19 29 121771 ;

(n) an 987 1, bn 2n 2n 1, cn 111319 37 100529 ;

(o) an 7734 1, bn 2n 2n 1, cn 111319 29 78793.

(p) an 7162 1, bn 11.12. Доказать, что n многочлен Pn x делится на мно гочлен Q x, если:

2n 1) Pn x x n 1 x 1, Q x x 2 x 1 ;

n 2) Pn x x 2n 1 x 1, Q x x 2 x 1 ;

n 3) Pn x nx 1 n 1x n 1, Q x x 1 ;

n 4) Pn x x 2n nx 1x 1 1, Q x x 1.

2 П.К. РАШЕВСКИЙ О ДОГМАТЕ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА Целые числа создал господь бог, остальное – дело рук человеческих.

Л. Кронекер Конечно, никто в настоящее время не воспринимает слова Л. Кронекера в буквальном смысле, да вряд ли понимал их буквально и он сам. Но если прочесть их в надлежащей транскрипции, то они, пожалуй, выражают в некотором смысле господствующее умонастроение математиков до нашего времени включительно.


Этим я хочу сказать, что натуральный ряд и сейчас является единственной математической идеализацией процессов реального счёта. Это монопольное положение осеняет его ореолом некой истины в последней инстанции, абсолютной, единственно возможной, обращение к которой неизбежно во всех случаях, когда математик работает с пересчётом своих объектов. Более того, так как физик использует лишь тот аппарат, который предлагает ему математика, то абсолютная власть натурального ряда распространяется и на физику и – через посредство числовой прямой – предопределяет в значительной степени возможности физических теорий.

Быть может, положение с натуральным рядом в настоящее время имеет смысл сравнить с положением евклидовой геометрии в XVIII веке, когда она была единственной геометрической теорией, а потому считалась некой абсолютной истиной, одинаково обязательной и для математиков и для физиков. Считалось само собой понятным, что физическое пространство должно идеально точно подчиняться евклидовой геометрии (а чему же ещё?). Подобно этому мы считаем сейчас, что пересчет как угодно больших материальных совокупностей, измерение как угодно больших расстояний в физическом пространстве и т.п. должны подчиняться существующим схемам натурального ряда и числовой прямой (а чему же ещё?).

Разница лишь в том, что на первый вопрос в скобках дало ответ развитие науки в XIX–XX веке (неевклидова геометрия, а позже теория относительности), а на второй, как мне кажется, ответ предстоит еще дать.

Я хорошо понимаю, что те соображения на эту тему, которые меня давно занимают, ориентировочны и бездоказательны, но все же, в порядке постановки вопроса, решаюсь их высказать.

Процесс реального счета физических предметов в достаточно простых случаях доводится до конца, приводит к однозначно определенному итогу (число присутствующих в зале, например).

Именно эту ситуацию берёт за основу теория натурального ряда и в идеализированном виде распространяет её “до бесконечности”. Грубо говоря, совокупности большие предполагаются в каком-то смысле столь же доступными пересчету, как и малые и со столь же однозначным итогом, хотя бы реально этот пересчет и был не осуществим. В этом смысле наше представление о натуральном ряде похоже на зрительное восприятие панорамы, скажем, панорамы какого-либо исторического сражения. На первом плане на реальной земле расположены реальные предметы: разбитые пушки, расщепленные деревья и т.п.;

затем все это незаметно переходит в раскрашенный холст с точным расчетом на обман даже очень внимательного глаза.

В рамках математической теории подобная идеализация процесса счета, разумеется, вполне законна. Но ввиду единственности теории эта точка зрения автоматически навязывается и физике;

однако здесь вопрос поворачивается по-другому. В самом деле, пусть мы хотим узнать, сколько молекул газа заключено в данном сосуде. Должны ли мы искать ответ в виде совершенно точно определенного целого числа? Оставим в стороне вопрос о ненужности такой “точности” для физики, не будем останавливаться и на фактической трудности задачи. Гораздо более важной для нас является ее принципиальная неосуществимость: молекулы газа взаимодействуют со стенками сосуда, испытывают различные превращения и т.п., а потому наша задача просто не имеет определенного смысла. Физик вполне удовлетворяется – в этом и в аналогичных случаях – достаточно хорошим приближенным ответом. Из этого примитивного примера можно усмотреть некоторый намек. А именно, можно думать, что математик предлагает физику не совсем то самое, что тому нужно.

Духу физики более соответствовала бы такая математическая теория целого числа, в которой числа, когда они становятся очень большими, приобретали бы в каком то смысле “размытый вид”, а не являлись строго определенными членами натурального ряда, как мы это себе представляем. Существующая теория, так сказать, переуточнена:

добавление единицы меняет число – а что меняет для физика добавление одной молекулы в сосуд с газом? Если мы согласимся принять эти соображения хотя бы за отдаленный намек на возможность математической теории нового типа, то в ней прежде всего пришлось бы отказаться от идеи, что любой член натурального ряда получается последовательным насчитыванием единиц – идеи, которая буквально, конечно, не формулируется в существующей теории, но косвенно провоцируется принципом математической индукции. Вероятно, для “очень больших” чисел присчитывание единицы вообще не должно их менять (возражение, что присчитывая единицы, можно “присчитать” и любое число, не котируется в силу только что сказанного выше).

Разумеется, “числа” этой гипотетической теории были бы объектами другой природы, чем числа натурального ряда. Можно предполагать, что почти совпадение имело бы место лишь для начальных отрезков существующего и гипотетического натуральных рядов, а по мере удаления по ним различие их структуры должно возрастать;

в гипотетическом натуральном ряде началось бы нечто вроде “принципиального сбивания со счёта”, и он (ряд) всё более “размываясь”, приобретал бы в каком-то смысле черты непрерывной структуры числовой прямой. Можно догадываться даже, что математическая индукция при этом приняла бы своеобразные черты – промежуточные между индукцией обычной и, например, интегрированием дифференциального уравнения y=f(x,y) (здесь как бы вместо перехода nn+1 мы применяем переход xx+dx).

Быть может, имеет смысл сделать и такое замечание. В современных космологических теориях само собой подразумевается, что сколь угодно большие космические протяжённости должны описываться на основе существующих математических представлений о натуральном ряде и числовой прямой. Но так ли это очевидно? Вспомним, что ещё в 1900-х годах физики обсуждали вопрос о геометрической форме электрона. Считалось вполне осмысленным предположение, что электрон по своей геометрии отличается от бильярдного шарика лишь очень малыми размерами.

Другими словами, считалось, что наши геометрические представления полностью применимы к объектам микромира;

только последующее появление и развитие квантовой механики показало абсурдность этой “очевидной” точки зрения.

Не следует ли ожидать, что в области очень больших протяжённостей нас ещё ждут сюрпризы, подобно встретившимся в области протяжённостей очень малых (но, конечно, сюрпризы совсем другого стиля)? И не исключено, что описание ситуации потребует существенно иных конструкций в самом математическом фундаменте, т.е. наших представлениях об очень больших числах.

Впрочем, возможно, что нам даже не придётся углубляться в космос для проверки того, насколько очень большие материальные совокупности на самом деле подчиняются счёту на основе теории натурального ряда. Возможно, что какое-нибудь из следующих поколений ЭВМ достигнет столь гигантских возможностей в смысле количества производимых операций, что соответствующие эксперименты станут реальными.

Ещё одно замечание в сторону. Знаменитые отрицательные результаты Гёделя 30-х годов в своём фундаменте исходят из убеждения: сколько бы ни продолжать построение метаматематических формул для данной (полностью формализованной) математической теории, принципы пересчета и упорядочения формул остаются обычными, т.е. подчинёнными схеме натурального ряда. Разумеется, это убеждение даже не оговаривалось, – настолько оно считалось очевидным.

Между тем построение метаматематических формул – это реальный физический процесс, производимый человеком или, как стало возможным в последнее время, машиной.

Если мы откажемся от догмата, что натуральный ряд идеально приспособлен для описания любых сколь угодно больших материальных совокупностей, то становятся сомнительными и результаты Гёделя;

точнее, их придётся рассматривать, возможно, как утверждения, относящиеся не к реальному развитию данной формализованной математической теории, а к условному, идеализированному её развитию, когда при пересчёте формул, сколько бы их ни было, и при описании их структуры, сколь громоздка ни была она, мы считаем законным применять схему натурального ряда. На это дополнительное условие, в сущности, и опирается тонкая игра Гёделя с двойным, математическим и метаматематическим, толкованием некоторых сконструированных им соотношений. Не успокаивает и финитность конструкций Гёделя: при полной расшифровке сокращений (что в данном контексте является принципиальным) его конструкции становятся чрезвычайно сложными, явно не выписываются, и сомнения, высказанные раньше насчёт поведения “очень больших” совокупностей, напрашиваются и здесь.

Наша гипотетическая реформа числового ряда должна, конечно, сопровождаться соответствующей реформой и числовой прямой;

как уже упоминалось, реформированный натуральный ряд в своих удалённых областях как бы станет походить на (реформированную) числовую прямую. И эта “реформированная” числовая прямая должна отличаться от обычной тоже некоторой размытостью своих элементов: сколь угодно точные рациональные приближения вещественных чисел возможны именно потому, что мы пользуемся обычным натуральным рядом, элементы которого определены абсолютно точно, сколь далеко мы ни зашли бы. Но если при удалении по натуральному ряду возникает возрастающая размытость его элементов, она передаётся и дробям с большими знаменателями, и мы доходим до оптимальной возможной точности в оценке (реформированных) вещественных чисел, может быть, раньше, чем знаменатель успеет “устремиться к бесконечности”.

Если здесь снова вспомнить о физике, то нам придётся как бы повторить сказанное ранее, но под другим углом зрения.

Вещественное число имеет в физике смысл результата измерения.

Разумеется, любое измерение производится лишь с какой-то степенью точности, и та “идеальная точность”, которую предлагает математика в понятии вещественного числа, физику не требуется.

Однако до сих пор не существует иного способа создания физических теорий с математическим аппаратом. Что это: неизбежное, роковое обстоятельство или результат несуществования “просто” математической теории, о которой здесь идёт речь и в которой идея “приближённости” будет заложена органически;

в которой “точное” будет в то же время означать в каком-то смысле “оптимально приближённое”.

Если бы такая теория стала реальностью, то можно было бы думать о новой трактовке дуализма волна-частица в квантовой механике и даже мечтать об автоматическом исчезновении расходимостей релятивисткой квантовой механики, после того как точки пространства-времени утратят свою резкую определённость и приобретут чуть-чуть размытый вид.

Не следует ожидать, что наша гипотетическая теория, если ей когда-нибудь суждено появиться на свет, будет единственной;

наоборот, она должна будет зависеть от каких-то “параметров” (по своей роли отдалённо напоминающих радиус пространства Лобачевского, когда мы отказываемся от евклидовой геометрии в пользу неевклидовой). Можно ожидать, что в предельном случае гипотетическая теория должна будет совпадать с существующей.

Построение подобной теории (если вообще верить в его возможность) будет очень трудным, но не совсем в том смысле, как бывают трудны математические проблемы типа: доказать или опровергнуть данное утверждение. Видимо, сама её логическая структура должна сильно отклоняться от общепринятых схем. Для примера: в обычной математической теории считается, что любой объект, участвуя в конструкции другого объекта, сам от этого не меняется, и тем более не исчезает. Так, сопоставляя числам a, b их сумму a+b, мы в тоже время сохраняем в своём распоряжении и прежние числа. Заметим, что этот принцип, общепринятый в математике, несколько парадоксален с точки зрения материальных прообразов математических операций. Так, “сложив” два мешка зерна путём ссыпания их в третий мешок. Мы получаем “сумму”, но безвозвратно теряем “слагаемые”. Восстановить же их мы можем лишь приближённо. Возможно, и в нашей гипотетической теории придётся принять, что участие объекта в конструировании другого объекта некоторым образом влияет на первый объект, вызывает в нём какие-то изменения, это не нужно, конечно, понимать как определённое предложение;

я хочу лишь пояснить, какого рода могло бы быть серьёзное отклонение логической структуры от обычной.

Возможен и другой вариант сказанного. Обычную точку зрения можно трактовать так: любой объект существует в неограниченном количестве абсолютно одинаковых копий, и когда одна из них “истрачена” на конструкцию другого объекта, остаётся сколько угодно других, возможно, в нашей гипотетической теории придётся отказаться от абсолютной одинаковости “копий” и принять, что они “изготавливаются” в пределах некоторых “допусков”. Кстати, это хорошо соответствует идее “размытости” объектов теории, о чём говорилось ранее.

Заканчивая эту заметку, я понимаю, конечно, что ничего не доказал, да и не пытался что-либо доказать. Я хотел только привлечь внимание к проблематике, которую смог обрисовать – это также нужно признать – лишь весьма туманно. Но обрисовать её более ясно – это уже означало бы продвинуться и в её решении.

Мне неизвестны какие-либо печатные материалы по затронутой теме, но в устной передаче я слышал, что о ней думали;

по-видимому, в чём-то родственные соображения относительно натурального ряда высказывал в своё время Н.Н. Лузин.

Поступило в редакцию 6 октября 1972 г.

Статья печатается в дискуссионном порядке (прим. ред.).

О математике Мы уверены в вашем серьезном интересе к математике, и предоставляем вам возможность ознакомиться со своеобразной поэмой о математике, каждая часть которой пронизана любовью к “царице наук” и преклонением перед её могуществом. Собранные воедино, эти статьи помогут вам почувствовать стройную красоту математики, её проблемы и значимость для других наук.

Одна статья принадлежит перу француза Николя Бурбаки, одного из самых влиятельных математиков 20-го века. Эта статья, имеющая программный характер, стала началом осуществления грандиозного замысла по аксиоматизации всех основных математических дисциплин по состоянию на середину 20-го века. Осуществляя его, Н. Бурбаки выпустил в свет 35 томов под названием “Элементы математики”, из которых 21 том переведен на русский язык (см. Приложение № 4). К сожалению, в ноябре 1968 года Бурбаки объявил о своей “кончине”, и издание осталось незаконченным.

Николя Бурбаки – псевдоним группы крупных французских математиков, в основном, питомцев Высшей нормальной школы.

Принято считать годом рождения группы 1933 год. Авторы затрачивали массу труда на составление каждого тома. Известны случаи, когда создавалось 6–7 вариантов текста и от начала работы над текстом до появления его в книжных магазинах порой проходило 8–12 лет. Состав группы (от 10 до 20 членов) менялся со временем, но стиль и дух работы оставался неизменным. Никаких формальных правил для членства в группе не было, кроме одного:

отставка в 50 лет.

Более подробно о том, как возникла идея создания группы, о её целях и организации работы вы узнаете, прочитав речь “Дело Николя Бурбаки”, произнесенную одним из организаторов группы Жаном Дьёдонне в октябре 1968 года (сборник статей “Очерки о математике”. – М.: Знание, 1973).

Статья “Архитектура математики”, с которой мы предлагаем вам познакомиться, взята из книги [1] (см. Приложение № 6). В помещенный здесь текст внесены незначительные сокращения, что отмечено значком.

Автор другой статьи Юджин Поль Вигнер (Eugene P. Wigner) – американский физик венгерского происхождения, работавший с г. в США. Вигнер одним из первых показал эффективность применения к квантовой механике аппарата теории групп.

Участвовал в работе группы Энрико Ферми, построившей в 1942 г.

первый ядерный реактор. За большой вклад в теорию ятомного ядра и элементарных частиц, особенно за применение фундаментальных принципов симметрии, Вигнеру была присуждена в 1963 г.

Нобелевская премия по физике. Юджин Вигнер 11 мая 1959 г.

прочитал доклад “Непостижимая эффективность математики в естественных науках” в Нью-Йоркском университете на Курантовских математических лекциях. Доклад опубликован в журнале: Comm. Pure and Appl. Math.. 1960. V. 13, № 1. Русский перевод статьи, предлагаемой вашему вниманию, опубликован в книге: Е. Вигнер, “Этюды о симметрии”, под редакцией Я.А. Смородинского. Москва: Мир, 1971.

Н. БУРБАКИ АРХИТЕКТУРА МАТЕМАТИКИ Перевод с французского Д.Н. Ленского Одна математика или несколько математик?

Дать в настоящее время общее представление о математической науке – значит заняться таким делом, которое, как кажется, с самого начала наталкивается на почти непреодолимые трудности благодаря обширности и разнообразию рассматриваемого материала. В соответствии с общей тенденцией в науке с конца ХIХ в. число математиков и число работ, посвященных математике, значительно возросло. Статьи по чистой математике, публикуемые во всем мире в среднем в течение одного года, охватывают многие тысячи страниц.

Не все они имеют, конечно, одинаковую ценность;

тем не менее, после очистки от неизбежных отбросов оказывается, что каждый год математическая наука обогащается массой новых результатов, приобретает все более разнообразное содержание и постоянно дает ответвления в виде теорий, которые беспрестанно видоизменяются, перестраиваются, сопоставляются и комбинируются друг с другом.

Ни один математик не в состоянии проследить это развитие во всех подробностях, даже если он посвятит этому всю свою деятельность.

Многие из математиков устраиваются в каком-либо закоулке математической науки, откуда они и не стремятся выйти, и не только почти полностью игнорируют все то, что не касается предмета их исследований, но не в силах даже понять язык и терминологию своих собратьев, специальность которых далека от них. Нет такого математика, даже среди обладающих самой обширной эрудицией, который бы не чувствовал себя чужеземцем в некоторых областях огромного математического мира;

что же касается тех, кто подобно Пуанкаре или Гильберту оставляет печать своего гения почти во всех его областях, то они составляют даже среди наиболее великих редчайшее исключение.

Поэтому даже не возникает мысли дать неспециалисту точное представление о том, что даже сами математики не могут постичь во всей полноте. Но можно спросить себя, является ли это обширное разрастание развитием крепко сложенного организма, который с каждым днем приобретает все больше и больше согласованности и единства между своими вновь возникающими частями, или, напротив, оно является только внешним признаком тенденции к идущему все дальше и дальше распаду, обусловленному самой природой математики;

не находится ли эта последняя на пути превращения в Вавилонскую башню, в скопление автономных дисциплин, изолированных друг от друга как по своим методам, так и по своим целям и даже по языку? Одним словом, существуют в настоящее время одна математика или несколько математик?

Хотя в данный момент этот вопрос особенно актуален, ни в коем случае не надо думать, что он нов;

его ставили с первых же шагов математической науки. Ведь действительно, если даже не принимать в расчет прикладной математики, между геометрией и арифметикой (по крайней мере, в их элементарных разделах) существует очевидная разница в происхождении, поскольку последняя вначале была наукой о дискретном, а первая – наукой о непрерывной протяженности (два аспекта, которые были коренным образом противопоставлены друг другу после открытия иррациональностей). Именно это открытие оказалось роковым для первой попытки унификации нашей науки – арифметизации пифагорейцев (“все вещи суть числа”).



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.