авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«ISSN 1563-034X Индекс 75877 Индекс 25877 ...»

-- [ Страница 4 ] --

Но для ряда композитов облучения до поглощенных доз 1-10 МГр упрочняет материалы за счет радиационного доотверждения (процесса сшивки), аналогичного термообработке. У композитов на основе эпоксидных смол наблюдается увеличение теплостойкости под действием облучения. Диэлектрические показатели и электрическая прочность композитов после облучения ухудшаются, а удельное электрическое сопротивление, снижаясь в процессе облучения на 1-2 порядков.

Результаты исследований позволили установить порог радиационных повреждений, которые для углеродонаполненных композитных материалов с эпоксидным связующим находятся в пределах мощности дозы 10 кГр/с.

В реакциях полимеризаций сотни и тысячи молекул исходных веществ мономеров соединяются в громадные молекулы полимеров с большим молекулярным весом [1].

Молекулы мономеров обычно содержат ненасыщенную связь. Наиболее типичными из них являются такие вещества, как этилен СН2=СН2 и его производные, где один или несколько атомов водорода заменены на группы СН3, С5Н6, СООН, Cl, F и др., т.е.

молекулы типа CH3-CH=CH2, CH2=CH-C6H5, CH2=CH-Cl и т.п.

Многие мономеры содержат группу H2C=O или иные ненасыщенные связи. В молекулах полимера сотни и тысячи молекул мономера соединены уже простыми одинарными связями nCH2=CH2-....CH2-CH2-CH2-CH2-.....

nH2C=O-....CH2-O-CH2-O-...

Реакция полимеризации - это всегда цепная реакция. Для того чтобы она началась, нужно каким-нибудь способом (действием света, ионизирующих излучений, введением добавок термически нестойких соединений, таких как перекиси, или ионов металлов переменной валентности, например, кобальта) создать в мономере некоторое количество свободных радикалов или ионов - положительных или отрицательных. Неспаренный электрон свободного радикала разрывает одну пару электронов двойной связи и соединяется с одним из них R+CH2:CH2--R:CH2-CH2.

Продуктом этой реакции является тоже свободный радикал, который точно также ведет себя по отношению к соседней молекуле мономера R-CH2-CH2+CH2:CH2-R-CH2-CH2-CH2-CH2.

При каждом таком акте возникает свободный радикал, который все время увеличивается. Его рост продолжается до тех пор, пока он не встретится с каким-либо другим свободным радикалом и не прореагирует с ним. Кроме того, растущий радикал может погибнуть при встрече с молекулами некоторых примесей.

P, MPa 0 2 4 6 8 10 12 14 p, кГр/с Рис. 1. Зависимость приложенной давлений на композитный материал от мощности дозы P, MPa 0 2 4 6 8 10 12 14 p, kГр/с Рис. 2. Зависимость приложенной давлений на композитный материал от мощности дозы Таким образом, радиационно-инициированные структурные изменения, наблюдаемые в углеродонаполненных полимерных композитах, приводят к упрочнению и данный структурирующийся композитный материал можно использовать в качестве материалов для брони.

Литература 1. Пикаев А.К. Современная радиационная химия: Твердое тело и полимеры:

Прикладные аспекты. М.: Наука, 1987. 448 с.

ЭЛЕКТРОНДАРМЕН СУЛЕЛЕНДІРІЛГЕН КМІРТЕГІМЕН ТОЛТЫРЫЛАН КОМПОЗИТТІК МАТЕРИАЛДАРДАЫ РАДИАЦИЯЛЫ ПОЛИМЕРЛЕУ Д.Б. Аймратов, А.И. Купчишин, Жи Чен Белгілі-бір дозада жне доза уатында иондаушы сулеленуді серімен кміртегімен толтырылан композиттік материалдардаы осымша тігілу арылы полимерді механикалы асиеттерін жасарту.

RADIATION POLYMERIZATION IN CARBON COMPOSITE MATERIALS IRRADIATED BY ELECTRONS D.B. Aimuratov, А.I. Kupchishin, Jie Chen Influence of an ionizing irradiation on carbon composite materials at the certain dozes leads to their increase mechanical characteristics due to additional cross-linking and occurrences in polymer of cross-section bonds.

ОСОБЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СИЛЬНО КОМПЕНСИРОВАННОГО КРЕМНИЯ В УСЛОВИЯХ РАДИАЦИОННОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ 1) К.М. Мукашев, 2) Ф.Ф. Умаров, 3) Е. Ходжахметов, 3) Т. Алипбаев 1) Казахский национальный педагогический университет им. Абая, г. Алматы, 2) Казахстанско-Британский технический университет, г. Алматы 3) Университет «Сырдария».

Показано, что электрические и фотоэлектрические свойства сильно компенсированного кремния в результате облучения -квантами в интервале дозы облучения 106-109 Р практически не меняются.

В условиях сильной компенсации концентрация равновесных носителей зарядов на несколько порядков меньше, чем концентрации ионизованных примесных атомов в решетке.

В этих условиях не только нарушается локальная электронейтральность в кристаллах и существенно меняется дебаевский радиус экранировки, а также изменяется распределение носителей заряда по энергиям и взаимодействие примесных атомов между собой и с дефектами решетки. Вследствие этого материал в условиях сильной компенсации находится в крайне неравновесном состоянии. Если учесть, что один из компенсирующих примесных атомов находится в многозарядном состоянии, то вышеперечисленные явления проявляются в ещ большей степени.

В сильно компенсированных материалах наблюдается ряд новых физических эффектов, таких как аномально глубокое температурное и инфракрасное гашение фотопроводимости, регулярные автоколебания тока, гигантская остаточная проводимость и т.д. [1-4], позволяющих разработать принципиально новый класс приборов функциональной электроники и оптоэлектроники. Поэтому исследование влияния радиационной обработки на электрические свойства сильно компенсированного кремния представляет определенной интерес как с научной, так и практической точки зрения. Такие исследования позволяют с одной стороны изучить радиационные дефекты в условиях сильной компенсации, а с другой - оценить возможности использования приборов, изготовленных на основе таких материалов при радиационной обработке.

В связи с этим целью настоящей работы является изучение особенностей фотоэлектрических свойств сильно компенсированного кремния, легированного марганцем, в результате облучения -квантами.

Методика эксперимента Для получения сильно легированного кремния в качестве исходного материала был использован кремний, полученный методом Чохральского марки КДБ-2, КДБ-10, КДБ-100, то есть материал р- типа с удельным сопротивлением =2, =10, =100 Омсм (с содержанием кислорода 51017 см-3), соответственно, концентрация бора в них составляет 1016, 1014 см-3 и плотность дислокаций более 103 см-2.

Легирование кремния марганцем производилось в ампулах из газовой фазы с методом высокотемпературной диффузии. С учетом растворимости и коэффициента диффузии марганца в кремнии, температура и время диффузии подбирались с таким расчетом, чтобы получить образцы с удельным сопротивлением 105 Омсм. Полученные сильно компенсированные образцы SiB,Mn позволяют не только исследовать влияние - облучения на электрические и фотоэлектрические свойства в условиях компенсации, но и выявить роль концентрации компенсирующих примесных атомов. Из каждого материала для исследования были приготовлены по 4-5 образцов с одинаковыми электрическими параметрами и размерами (6х2х0.5) мм3. Фотоэлектрические исследования проводились с помощью спектрометра ИКС-21, позволяющего варьировать в широком интервале температуру (Т=77 300)К и электрическое поле, а также управлять интенсивностью как монохроматического, так и интегрального освещения.

Образцы облучались - квантами от источника 60Со интенсивностью 3600 р/с при температуре Т=280 290К. Процессы химической и механической обработки образцов до и после облучения, создания омических контактов и контроль их качества, а также методы исследования были совершенно идентичным для всех образцов.

Результаты эксперимента Исследования показали, что параметры сильно компенсированных образцов не зависят от концентрации компенсирующих примесных атомов и практически не меняются от дозы облучения до 108 Р. В то же время, в контрольных образцах при той же дозе облучения удельное сопротивление претерпевает почти двух кратные изменения. При этом следует отметить следующие закономерности:

с ростом дозы облучения наблюдается увеличение подвижности носителей заряда, что свидетельствует о явном проявлении электронной проводимости в этих образцах. При дальнейшем росте дозы облучения происходит инверсия знака проводимости из n- типа к р типу.

доза облучения, при которой происходят изменения типа проводимости, смещается в сторону больших значений с ростом концентрации компенсирующих примесных атомов.

На рисунке 1 представлена спектральная зависимость фото-проводимости сильно компенсированного SiB,Mn, полученного на основе материала КДБ-2 при Т=77К. Как показали результаты исследования, такие образцы обладают очень высокой фотопроводимостью в области примесного поглощения света. В этих материалах фототок начинается при h 0.4эВ, его значение резко увеличивается с ростом энергии фотонов и достигает своего максимального значения при h 0.8эВ. Величина фототока существенно не меняется с ростом h даже в области собственного поглощения (кривая 1).

Такая спектральная зависимость фототока практически полностью сохраняется до дозы облучения 108 Р. При дальнейшем росте дозы облучения наблюдается уменьшение как в примесной, так и в собственной области поглощения. Особенно это заметно при дозе 6108Р. Исследование влияния концентрации компенсирующих примесных атомов на фотопроводимость сильно компенсированных образцов при облучении показало, что с уменьшением концентрации компенсирующих примесей фоточувствительность образцов в примесной области поглощения начинает уменьшаться при относительно малой дозе облучения. Таким образом, была установлена, высокая чувствительность сильно компенсированного SiB,Mn в примесной области спектра в достаточно широком интервале доз облучения 106 109Р, что крайне важно при разработке и создании фоточувствительных приборов, работающих в поле ионизирующего излучения.

Исследованиями электрических и фотоэлектрических свойств сильно компенсированного SiB,Mn при различных дозах облучения -квантами не обнаружено заметного накопления концентрации радиационных дефектов с известными энергетическими уровнями в запрещенной зоне кремния. Поэтому можно предполагать, что в сильно компенсированном SiB,Mn скорость генерации и накопления радиационных дефектов существенно отличается от обычных и слабо компенсированных материалов. Это, вероятно, связано с процессами стимулирования миграции и перераспределения радиационных дефектов при наличии локально не планированного флуктуационного потенциала, созданного различными состояниями и комплексными атомами марганца (Mn++,(Mn)2+n, (Mn)n+n) в решетке кремния.

Рис.1. Спектральные зависимости фотопроводимости SiB,Mn c ~105 Омсм при различных дозах облучения, соответственно, при 3108, 6108, 1,2109, 6109Р Таким образом, можно утверждать, что сильно компенсированный Si(B,Mn) является уникальным материалом, в котором наблюдается ряд новых физических явлений, и главное, материал сохраняет все свои особенности при достаточно высокой дозе облучения -квантами.

Литература 1. Болтакс Б.И., Бахадырханов М.К. Компенсированный кремний. -М.:

- Наука, 1972.

150 с.

2. Бахадырханов М.К., Эгамбердиев Б., Зикриллаев Н.Ф. //Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43, №3. -С. 300-308.

3. Бахадырханов М.К., Саттаров О. //ФТП. 2005. Т.39, № 7. -С. 823-826.

4. Бахадырханов М.К., Зикриллаев Н.Ф., Аюпов К. // Журнал технической физики.

2006. Т.76, № 9. -С. 128-130.

АЙРЫША КЙДЕГІ КРЕМНИЙДІ ЭЛЕКТРЛІК ЖНЕ ФОТОЭЛЕКТРЛІК АСИЕТТЕРІНІ РАДИАЦИЯНЫ СЕРІНЕ БАЙЛАНЫСТЫ ЗГЕРІСТЕРІ.М. Машев, Ф.Ф. Омаров, Е. Ходжахметов, Т. ліпбаев Айрыша кйдегі кремнийді электрлік жне фотоэлектрлік асиеттеріні гамма сулесіні рісінде 106-109 Р дозалар аралыында айтарлытай згеріске шырамайтындыы крсетілген.

THE PECULIARITIES OF ELECTRIC AND PHOTOELECTRIC PROPERTIES OF THE POWERFULLY COMPENSATE SILICON AT RADIATION IRRADIATION K.M. Mukashev, F.F. Omarov, E. Khodzhakhmetov, T. Alipbayev Electric and photoelectric characteristic powerfully compensate SiB,Mn it is enough constant in a broad area of the dose of the irradiation 106~109 R. It has been shown that on the base of such material it is possible to create a devices working at presence of the high dose of the irradiation.

НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЗИКА КОГЕРЕНТНЫЙ РЕЗОНАНС В ДИНАМИЧЕСКОМ ХАОСЕ З.Ж. Жанабаев, Е.Ж. Байболатов, М.Т. Кызгарина Казахский национальный университет им. аль-Фараби, г. Алматы Показана возможность когерентного резонанса в хаотическом режиме работы генератора с высокочастотным нелинейным преобразователем. Согласно численному анализу хаотические выбросы характеризуются уширением полосы частот и увеличением эффективного времени корреляции. Предложена обобщенная метрическая характеристика динамического хаоса, описывающая неоднородные сигналы с учетом их фрактальных размерностей.

Введение В работе [1] эффект возникновения по модели ФитцХью-Нагумо нового временного масштаба в виде появления выбросов при наличии шума назван когерентным резонансом.

Такое явление характерно для сложных систем, содержащих элементы с быстрыми (активатор) и медленными (ингибитор) переменными. Представляет интерес, например, для целей динамики нейронов, поиск моделей динамической системы без случайных источников, в которой возможны явления типа «накопление-выброс». За основу радиотехнического аналога систем с взрывным возбуждением можно взять генератор с инерционной нелинейностью Анищенко-Астахова [2], имеющий преобразователь с регулируемой частотой. По известной системе уравнений этого генератора при увеличении частоты нелинейного преобразователя реализуются автоколебания типа выбросов (спайков), однако они не являются хаотическими. Необходимо искать адекватные теоретические и экспериментальные модели систем с быстропеременными элементами и регенеративным (медленным) возбуждением и более точные характеристики таких процессов, учитывающие форму выбросов. Эти задачи определяют цель настоящей работы.

1. Генератор динамического хаоса с высокочастотным нелинейным преобразователем Уравнение для тока в контуре генератора записывается в виде dI R0 1 dI ( (1) + I+ I - MG )dt = 0, dt L0 L0 C 0 dt где L0 – индуктивность, R0 – сопротивление, C0 – емкость конденсатора, M – взаимная индуктивность, G – крутизна усилителя в цепи обратной связи, t – время.

Примем обозначения 1 I dx, y = - x d.

(2) = w0, = w0 t, x =, x= L0 C 0 w0 d Тогда уравнение (1) в безразмерной форме запишется в виде R x = ( w0 MG - ) x + y, (3) L 0 w y = - x.

Крутизну усилителя представим в виде (4) G = G0 - V, V = -gV + f(x), V = V( ).

С учетом (4) система (3) после соответствующих обозначений принимает вид x = (m - z ) x + y, (5) y = - x, 1, x z = g ( x 2 ( x) - z ), ( x) = 0, x 0.

По смыслу m– параметр усиления сигнала селективного элемента x(t ), параметр усиления сигнала нелинейного преобразователя z(t ), g - отношение частоты нелинейного преобразователя к собственной частоте селективного элемента. В случае = 1 система (5) совпадает с системой уравнений Анищенко-Астахова без учета параметра инерционности. В рассматриваемой нами задаче нелинейный преобразователь должен быть именно высокочастотным ( g 1 ), поэтому при выборе моделей (4) не была учтена инерционность преобразователя. При g система (5) переходит в уравнение Ван-дер-Поля.

Чтобы получить динамический хаос в случаях g 1 необходимо учесть свойство неизохронности нелинейных колебаний, т.е. зависимость частоты собственных колебаний от амплитуды: w0 = w0 ( x). Это означает, что в исходном уравнении (1) множитель 1 / L0 C 0 при I, или при y в (3), должен быть заменен, согласно обычной форме записи модулированного выражения, на множитель 1/(1 + D cos ( )).

Коэффициент D имеет смысл глубины модуляции:

x max - x min D=. (6) x max + x min Эту процедуру учета зависимости свойства колебательного контура от амплитуды колебаний можно представить также как учет изменения его добротности:

w0 w Q= =. (7) w 1 + D cos ( ) Резонансные эффекты следует ожидать при D ~ 1. Уравнение для фазы ( ) модуляции w 0 получим из условия автоколебательности системы, т.е. из условия знакопеременности дивергенции системы:

x y z. (8) + + = sign( x) x y z С учетом этих рассуждений систему (5) запишем в виде y x = (m - z) x +, 1 + D cos ( ) y = - x, (9) z = g ( x 2 ( x) - z ), 1, x = g sign( x), ( x) = 0, x 0, Линейный анализ устойчивости системы (9) показывает, что существует интервалы параметров ( m 2, g 1, 1 ), в которых реализуются хаотические колебания с положительными ляпуновскими показателями.

2. Обобщенная метрическая характеристика динамического хаоса Для описания неоднородных сигналов с выбросами используются следующие известные характеристики: среднее время между импульсами, средний квадрат разности фаз колебаний, корреляционные, спектральные показатели, показатель Херста (нормированный размах) [3] и т.д. Общими недостатками указанных характеристик являются то, что они точно не учитывают форму, асимметрию импульсных сигналов, сильно зависят от выбора масштаба измерения, малочувствительны к внутренней структуре импульса.

Мы предложим новую обобщенную метрическую характеристику, которая более адекватно, чем известные характеристики, описывает неоднородные хаотические сигналы [4].

Существование метрических характеристик (длины, площади, объема) следует из выполнения интегрального неравенства Гельдера для любых функций xi (t ), x j (t ), записанного в виде T T T 1 1 1 ( xi (t ) dt )1 / p ( x j (t ) dt )1 / q K xpi,,q j xi (t ) x j (t ) dt, + = 1, q p (10) x T0 T0 T0 pq K xpi,,q j где - коэффициент, при постоянном значении которого выполняется равенство в (10):

x (x ) 1 q q p p xj 1 i (11) K xp,,q j =, + = 1.

ix pq xi x j Значения р= q=2 соответствуют топологической размерности евклидовой поверхности. Можно использовать р = D 1, где D — фрактальная размерность кривой xi t, которая может быть самоподобной или самоаффинной в определенных интервалах масштабов измерения. Значения p = D 1 соответствуют более нерегулярному, быстрому изменению x i (t ) относительно x j (t ).

2, x2 / x В случае xi x, x j 1, p q 2 имеем K x — коэффициент формы сигнала, используемый в радиофизике. Если принять xi = x(t), x j = t. то мы получим p,q характеристику аффинности, неоднородности сигнала K x,t. Эта величина также может K xpi,,q j служить отношением сигнал/шум в динамическом хаосе. При 1 равенство x соответствует когерентности, синхронности функций xi, x j, неравенство — их нарушению.

Для множества переменных обобщенная метрическая ( x1 (t ), x 2 (t ),...x n (t )) характеристика определяется как K N p,q p,q K =, N = n (n - 1) / 2, (12) x1,..xn xi, x j i j = т.е. обладает свойством аддитивности относительно слагаемых, определенных для пары переменных xi, x j. Множество значений K xpi,,q j является измеримым, т.е. можно его описать x сколь угодно точно через его структурные элементы. Выбирая xi x j в формуле (12) имеем K xp,,..xn N. Измеримость и аддитивность являются основными свойствами геометрических q мер. Поэтому для определения фрактальных размерностей Dn = p мы далее будем D, D /( Dn -1) пользоваться значениями K x1 n xnn вместо геометрических мер V1,..n, где V1 -длина, V 2,..

площадь, V3 -объем и т.д., классические выражения для которых не учитывают аффинность, неравноправность переменных.

3. Размерности самоаффинных фракталов Одномерные фрактальные множества имеют свойство самоподобия: части множества подобны целому. Если число определяющих переменных больше единицы и коэффициенты подобия по этим переменным различные, то такие фрактальные объекты называются самоаффинными.

Типичным примером самоподобных фракталов является траектория броуновской частицы, движущейся в однородной среде. В этом случае координатные оси равноправные, коэффициенты подобия по всем направлениям одинаковы. В то же время зависимость координаты броуновской частицы от времени представляет собой самоаффинную фрактальную кривую, т.к. перемещение частицы зависит от времени нелинейным образом, и коэффициенты подобия по координате и времени различные. Самоаффинными фракталами являются также кривые формы неоднородных хаотических сигналов, рассматриваемых нами.

Б.Мандельброт [3, 5] ввел для модельных фракталов показатели аффинности, через которые определяются фрактальные размерности, также указал на возможную их связь с эмпирическими показателями Херста, устанавливаемыми по временным последовательностям. Известные соотношения периметра и площади определяют только одно значение фрактальной размерности через эмпирическую постоянную, которая является не универсальной. Наконец, формула Хаусдорфа и другие известные методы вычисления фрактальной размерности неприменимы к самоаффинным объектам без знания закономерностей их фрактализации.

Рассмотрим фрактальные множества в трехмерном ( n = 3 ) пространстве. Введем относительные масштабы измерения, 1 j n,, j =1. (13) 1 n + j + Фрактальные меры V j ( j = 1,2,3 для длины, площади, объема) могут образоваться из-за деформации линии, поверхности плоских, пространственных объектов с соответствующими топологическими размерностями d i = i = 1,2,3, i j. Учитывая это, по общей формуле фрактальной меры можем записать ) d i - D3, 0 i j = 1;

V1 ( ) = ( ) d i - D3, 0 i j = 2;

V2 ( ) = ( (14) V3 ( ) = ( 3 ) di - D3, 0 i j = 3;

Исключив из этих формул и, получим 1 1 d i - D3 d i - D3 d i - D (15) V1 ( ) V2 ( ) V3 ( ) =.

В n - мерном случае имеем Dn V n Dn, d i - Dn =, 0 i j, V j ( ) K ( ) Dn - (). (16) j x1,..x j j = Для описания фрактальной площади, ограниченной кривыми формы сигналов, принимая n = 2, j = 1,2, i = j из (16) получим V1 -1/ V21 /(1- ) =, = D2 - 1. (17) Отсюда следует квадратное уравнение для, решения которого определяют фрактальные размерности [6]:

V1V2 V1V ln ln ln V D2, - = 1 + + (18) ± +.

1 ln 4 ln 2 ln Знак плюс в формуле (18) определяет глобальную фрактальную размерность D2, знак+ минус – локальную размерность D 2 двумерного множества.

При анализе уравнения (16) в общем случае удобно пользоваться выражением = Dn - d i, где d i = 0,1,2,3, т.е. учитывается также образование фрактального множества точками ( d 0 = 0 ). Для случайных множеств известны теоретические значения Dn = d i + I 1, Dn = d i + I 2, I 1 Dn 3 + I 2, где I 1 = 0.567 - фрактальная размерность самоподобного множества точек, I 2 = 0.806 - фрактальная размерность самоаффинного множества точек. Эти числа являются неподвижными точками информации и ее среднего значения – энтропии [7].

4. Численный анализ и обсуждение результатов Временные реализации колебаний, их фазовый портрет, спектр мощности (рис.1) показывают, что система (9) действительно генерирует хаотические колебания с выбросами.

Аттрактор является структурным (ленточным), спектр является типичным для перемежаемых, неоднородных процессов типа фликкер-шума с фрактальной природой.

(а) (б) (в) Рис.1. Временная реализация колебаний x(t) (a), трехмерная фазовая траектория (б) и спектр колебаний (в), полученные численным моделированием режимов генерации при m = 1.6, g = 1.7, D = 0.9, = Существование когерентного резонанса в изучаемом нами динамическом хаосе проверялось обобщенной метрической характеристикой для различных пар переменных K xp,t,q, K xp,,yq, K xp,,zq, K yp,,zq, также использовались следующие известные в литературе характеристики.

База сигнала B, являющаяся характеристикой сложности сигнала и выражением соотношения неопределенности для колебательных процессов:

R( ) d, B 2 w, k R(0) k x(t R( ) = ) x(t )dt, R(0) = R( = 0) (19) B 2t w, w E ( w) dw, Emax где R( ) - корреляционная функция, E(w) - спектр мощности, w — эффективная ширина полосы частот, k — эффективное время корреляции.

Среднее время между двумя импульсами (mean interspike interval (ISI)) T = Ti, 1N (20) N i = где Ti - временной интервал между i -м и (i + 1) -м спайком.

Коэффициент отклонения, представляющий собой отношение стандартного отклонения ISI к среднему ISI:

T2 - T R=. (21) T Средний квадрат разности фаз колебаний, определяемый по следующей формуле:

) ( = -, (22) xi, x j, xi,x j где мгновенная фаза (t ) сигнала x(t ) однозначно определяется с помощью преобразования Гильберта:

x H (t ) 1 x( ) t H ), x H (t ) = (23) (t ) = arctg( d x(t ) С изменением относительной частоты нелинейного преобразователя g непосредственная характеристика когерентного резонанса – эффективное время корреляции может скачкообразно возрастать на порядок в интервале 1 g 3 (рис.2,а). При этом наблюдается также относительно слабое возрастание эффективной ширины полосы спектра ) ( w (рис.2,б), среднего квадрата разности фаз колебаний (рис.2,в)i и уменьшение =,x xi, x j,x j коэффициента отклонения R (рис.2,г) как и в работе [1]. В отличие от когерентного резонанса в стохастической системе тенденции уменьшения w не наблюдается.

(а) (б) (г) (в) Рис. 2. Изменение эффективного времени корреляции (а), ширины полосы спектра (б), среднего квадрата разности фаз колебаний (в) и коэффициента отклонения (г) по относительной частоте нелинейного преобразователя Более чувствительными и однозначными характеристиками к когерентному резонансу являются база сигнала B и обобщенная метрическая характеристика Vn K x1 n xnn n (рис.3).

D, D /( D -1),..

Имеется некоторый разброс значений B. Учет локальной и глобальной фрактальных размерностей D -, D +, входящих в V n, с большой точностью различает сложность сигнала.

Рис. 3. Зависимость базы сигнала B(), коэффициентов аффинности K x2,t2 (), K xD,t- ( x),, K xD,t+ (*) от параметра усиления m Когерентный резонанс может наблюдаться также относительно различных переменных между собой (рис.4).

Рис.4. Зависимость величин K x,t3 / 2 (-), K x,z / 2 ( ), K x,,3 / 2 (o), K yp,,zq (x) от частоты 3, 3, 3 y преобразователя.

Наиболее сильная неоднородность наблюдается по времени в колебательном контуре K xp,t,q ).

(для Заключение При наличии быстропеременной обратной связи в селективном элементе автоколебательной системы в относительно узких интервалах параметров может иметь место когерентный резонанс с характерными корреляционными масштабами времени. Временные реализации с когерентным резонансом представляют собой неоднородные, перемежаемые колебания с хаотическими выбросами.

Причинами когерентного резонанса в динамической системе являются быстрые скачкообразные изменения фазы колебаний нелинейного преобразователя (неравновесность) и подвод энергии (незамкнутность) в колебательный контур через обратную связь (нелинейность). Соблюдаются все три условия самоорганизации. Когерентный резонанс можно рассматривать как явление самоорганизации в автоколебательной системе.

Самоорганизация характеризуется структурными самоподобными и самоаффинными (фрактальными) свойствами. Введенная нами обобщенная метрическая характеристика сигналов учитывает их фрактальную размерность, которая определена и постоянна именно при наличии когерентного резонанса.

Литература 1. Pikovsky A., Kurths J.// Phys.Rev. Lett. 1997. V.78. P. 775- 2. Анищенко В.С., Астахов В.В. и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. - Москва-Ижевск: ИКИ. 2003.-544 с.

3. Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 254 с.

4. Жанабаев З.Ж. Обобщенная метрическая характеристика динамического хаоса /Материалы VIII Межд. школы «Хаотические автоколебания и образование структур». – Саратов, 2007. c.67-68.

5. Фракталы в физике. /Под. ред. Л.Пьестронеро и Э.Тозатти. – М.: Мир, 1988. -627 с.

6. Жанабаев З.Ж. Размерности самоаффинных фракталов. // Фракталы и прикладная синергетика: Тр.ФиПС-03 / Под. ред. В.С.Ивановой и В.У.Новикова. –М.: МГОУ, 2003. – С.

198-201.

7. Zhanabaev Z.Zh., Grevtseva T.Yu. Fractal properties of nanostructured semiconductors.

//Physica B. 2007. V.391. P.12-17.

ДИНАМИКАЛЫ ХАОСТАЫ КОГЕРЕНТТІК РЕЗОНАНС З.Ж. Жаабаев, Е.Ж. Байболатов, М.Т. ызарина Жоары жиілікті трлендіргіші бар генераторды хаосты режимінде когерентті резонансты болатыны крсетілді. Санды талдауа сйкес хаосты секірмелер жиіліктер жолаыны кееюімен жне корреляциялы эффективті уаытты суімен сипатталады. Біртекті емес сигналдарды оларды фракталды лшемділіктерін ескеріп сипаттайтын динамикалы хаосты жалпылама метрикалы сипаттамасы сынылды.

COHERENCE RESONANCE IN DYNAMICAL CHAOS Z.Zh. Zhanabayev, Y.Zh. Baibolatov, M.T. Kyzgarina The possibility of a coherence resonance in a chaotic regime of the generator with the high-frequency nonlinear converter is shown. According to the numerical analysis, chaotic spikes are characterized by expansion of the frequency strips and increasing effective time of correlation. The generalized metric characteristic of dynamic chaos describing non-uniform signals, depending on their fractal dimensions, is offered.

ON THE STOCHASTICAL DYNAMICS OF COSMIC STRING IN THE EARLY UNIVERSE L.M. Chechin, T.B. Omarov The Astrophysical institute n.a. V.G.Fessenkov, Centre of the Space Researches and Technology, National Space Agency, Almaty The stochastic equation of a thread’s motion in the background of massive cosmic string whose linear mass density is subjected to stochastic perturbations was investigated. It was shown that stochastic movement of the thread generates in a cosmological substrate the long perturbing waves which lead to the galaxies formation, in its turn.

1. Introduction The problem of galaxies creating correlates with the problem of primordial no homogeneity of cosmological substrate. The standard reason of galaxies creation is the presence of cosmic strings that were appeared at very early stages of the Universe evolution. Missing the fact of cosmic strings creation now, we note that due to its giant linear mass density ( 1022 g / sm ) they attract the substrate surrounded them.

The main goal of this article is to present the result that chaotic cosmic strings may also create the regular perturbations of substrate that lead to galaxies formation, in its turn.

2. The energy-momentum tensor of a thread-like substance with stochastic perturbations Let’s consider a thread-like substance consists of infinite number of free strings. Due to its own movement every string cover a two-dimensional hypersurface that could be parameterized by two ( - time-like and - space-like) variables. Later on we will consider the partial case when only parameter subjected to stochastic perturbations. This means that from parameter we ~ that must pass to such the parameter (x 0 ) ~ (x 0 ) 1 z( x 0 ), (1) where z ( x 0 ) is the dimensionless stochastic function of time. According to (1) we get the modified space-like vector with the linear accuracy ~ dx l 1 z( x 0 ), (2) l d~ where z ( x 0 ) 1, and the standard time-like vector dx u. (3) d For searching the dynamics of thread-like substance we’ll start from the well -known action principle g )dV4, (4) S ( where g is the determinant of metric tensor, is the linear mass density. Calculating the variation of this action we get ~~ x dV4 0. (5) S uu ll It is easy to get the conservation law from (5) ~ T 0, (6) where ~~ ~ l l ) 2 l l z( x 0 ) (7) T (u u ll) (u u is the energy-momentum tensor of thread-like substance with stochastic addition.

3. Gravitational field of cosmic string subjected to stochastic perturbations Now it is easy to find the energy-momentum tensor of a solitary cosmic string from (7). In order to construct its expression it is necessary to multiply (7) with the Dirac - function. So we get ~ ~ T 3 (x x ). (8) The linearized Einstein equations ~ ~ 1 g ~) ~ (9) h 16 ( ~ have the following stochastic solutions ( h h ).

h z( x 0 ) r z ( x 0 ) ln h00 4 ( x x )dV 8 (10a) xx r z( x 0 ) r z ( x 0 ) ln hab 8 ( x x )dV 16 (10b) xx r (a, b 1,2) z( x 0 ) r z ( x 0 ) ln h33 12 ( x x )dV 24. (10c) xx r Hence, the interval of gravitational field created by infinite cosmic string which linear mass density subjected to stochastic perturbations, may be written down as follows r ds 2 z ( x 0 ) ln (dx 0 ) r r r z ( x 0 ) ln z ( x 0 ) ln (dx1 ) 2 (dx 2 ) 2 (11) 18 r0 r r z ( x 0 ) ln (dx 3 ) 2.

1 r 4. A probe thread’s equation of motion in the gravitational field of cosmic string subjected to stochastic perturbations Let’s write out the thread’s equation of motion at any external gravitational field D2 x D2 x (12) d2 d and assume that x0 x0 ( ) (13 a) xk xk (, ). (13 b) for simplicity. Solution of the equation (12) we’ll search by the post-Newtonian approximation method. According to this method we may decompose vectors u and l as follows u0 1 u 0 u 0, (14 a) 2 uk uk uk (14 b) 1 and l0 l 0 l 0, (15 a) 1 lk l k l k. (15 b) 0 Then in the lowest - zero-th – approximation for the null component we have equation of motion from (12) d 2 x 0 (16) d with the simplest solution x0. (17) For the spatial components of (12) the minimal order equals to two. Then with account (17) we get the next equation d 2 xk k z( x o ) k 0. (18) 4 02 r r dx Bellow we’ll give the possible cosmological application of this equation of motion. Therefore, for its searching it is enough to limit ourselves by the simplest type of the thread finite movement – the circular movement. In this case r R0 const and equation of motion may be written down in the more habitual form d 2 xk m m xk z (t ) x k, 4 4 (19) dt 2 2 R0 R where k 1,2.

As the result equation of motion takes on the form of stochastic differential equation of the second order.

5. Solution of the average stochastic equation of motion By introducing of two designations m, f k ( x) 3 xk 4 (20) R we may write down equation (19) in the standard mathematical form d 2 xk xk 3 f k ( x) z (t ). (21) dt Due to its linearity this equation breaks up to the pair of identical stochastic equations for one-dimensional particle’s oscillations d 2x x 3 f ( x) z (t ).

dt (22) Further we’ll assume that stochastic force describes the processes with independent increments for all of its arguments. They are named as white noise. Then equation (21) could be rewritten as d 2x d (t ) x f ( x), (23) dt 2 dt where (t ) - white noise.

Solution of this equation equals to the solution of Ito’s stochastic differential equations (24a) dx(t ) y(t )dt, dy(t ) dt f ( x)d. (24b) Its solution is the Markov process {x(t ), y(t )} in the phase space of dynamical system.

Distribution density of this process W ( x0, y0, t0 ;

x, y, t ) satisfies to the Kolmogorov-Fokker-Planck equation (KFP-equation) 2 ( f 2 ( x)W ) ( yW ) ( xW ) W (25) y t x y with the corresponding initial data W ( x 0, y 0, t 0 ;

x, y, t 0 ) ( x x0 ) ( y y 0 ) and normalizing condition W ( x 0, y 0, t 0 ;

x, y, t )dxdy 1. (26) After passing to the new coordinates x A cos, A sin, (27) y t and using the average principle, the KFP-equation takes on the form W ( A)W0 ( A)W t A, (28) 2 2 ( A)W0 2 ( A)W0 ( A)W 2 A2 A where,,,, are the totally calculating coefficients - diffusion, transport and mixed.

An important role the stationary distribution density plays at the analysis of oscillatory system with stochastic perturbations. Therefore we’ll consider this type of distribution density later on.

After calculation of the needed coefficients we have the resulted KFP-equation 2. (28) ( A)W0 ( A)W0 ( A)W A2 A From (28) it follows that average stationary distribution density is possible to present as the sum of two items that depend on A and separately. Thus we look for the solution of (28) as W0 W ( A0, A) W (, ). (29) This representation allow to get the expressions W ( A0, A) ( A A0 ), (30a) W(, ) ( ), (30b) 0 where constant values and can be determined from the normalizing conditions.

So, as the result we have that distribution phase densities W and W are linearly proportional to the amplitude A and phase accordingly.

6. The approximate solution of the stochastic equation of motion By usage of designation, we may write down equation (22) in the following form R d 2x 2 m(t ) x, (31) x dt and m(t ) m z(t ) - stochastic function of time. Let’s put forward assumption where R that m(t ) could be represent as the set of periodical stochastic function on time ( A mn cos B (32) m(t ) t m n sin t) n n n Moreover, we put that A mn and B mn are the stochastic values that have the identical dispersion m and normal Gaussian distribution m0 ) ( mn f mn exp, (33) 2 m m where A, B.

In accordance with previous assumption (2), we may look for the solution of (30) – (31) in the form x x 0 x, where x 0 - no perturbed and x - small perturbation of it components x x 0.Thus from (31) we get the partial no perturbed solution x 0 (t ) R 0 cos t. (34) Substituting (34) into the (31) for the case of resonance and in one-mode approximation we get the equation for the perturbed variable d 2x 2 x mR0 1 2 cos t. (35) dt 2 Its physically interesting solution (inhomogeneous part) is R 1 cos 2 t. (36) x (t ) m 2 Due to (36) we may calculate the average magnitude of addition x R0 x ( m) x (m) f (m)dm m0 (1 cos 2 t ) (37) and the average with respect to period T stochastic perturbation of x T R0 2 m x (m) m0 (1 cos 2 t )dt R0 Rm. (38) 3 3m 2 T 7. Perturbations of substrate density produced by chaotic motion of a cosmic thread According to Smith-Vilenkin’s model of the cosmic string network evolution the typical distances between cosmic strings are t, where k - numerical factor of order in 20. Let k Rm R0. We also may introduce the value m that describes the measure of cosmic R strings’ chaotization due to stochastic changing of the mass amplitude distribution.

Earlier it was pointed out that at time scale t1 30 sec the cosmic strings had the Brownian character, while at time scale t 2 100 sec they were straightened. Therefore, the value t 0,3 can be chosen as measure of chaotization in the Smith-Vilenkin model.

t Let’s put forward the assumption that. (41) m This means that initially dimensionless cosmic thread acquires the transversal size in virtue of its stochastic perturbations R R0. (42) And due to this size a thread will produced in external substrate the perturbations of R). It is easy to calculate, that R 1012 sm. Comparison this perturbing wavelength ( pert 1011 sm ) leads to result that pert wavelength with the Jeans wavelength ( 10. It means J J that chaotic fluctuations of cosmic thread really can produce the long perturbing waves in external substrate. And such waves, in its turn, create the unstable state of substrate, i.e. split the primordially homogeneous medium to the number of separate clots and will form the galaxies from them later.

Reference 1. Smith A.G.,Vilenkin A. Phys.Rev. D36, 987. (1987).

ЛЕМНІ БАСТАПЫ ДАМУ КЕЗЕІНДЕ АРЫШТЫ ВЕРЕНИЦЫ{НИТИ СТОХАСТЫ ДИНАМИКАСЫ Л.M. Чечин, T.Б. Oмaрoв О СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКЕ КОСМИЧЕСКОЙ ВЕРЕНИЦЫ{НИТИ} НА РАННЕЙ СТАДИИ РАЗВИТИЯ ВСЕЛЕННОЙ Л.M. Чечин, T.Б. Oмaрoв Было исследовано стохастическое уравнение движения нити на заднем плане массивной космической вереницы{нити}, линейная массовая плотность которой подвергнута стохастическим изменениям. Показано, что стохастическое движение нити создает в космологическом основании длинные волны возмущения, которые, в свою очередь, ведут к формированию галактик.

КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЙ СИЛОЙ А.Б. Кыдырбекулы Казахский национальный университет им. аль-Фараби, г.Алматы Исследуется колебательная система с нелинейной восстанавливающей силой и обратной связью. Рассмотрен режим колебаний, близкий к стационарному.

Рассмотрим вынужденные колебания системы с нелинейной восстанавливающей силой, состоящей из асинхронного электродвигателя с характеристикой L и груза массы m (рис.1).

Рис. 1. – Колебательная система с электродвигателем и нелинейной пружиной Упругие связи с1 и нелинейная пружина f ( x ) kx 3 при вращении двигателем кривошипа деформируются, вследствие этого груз совершает колебательные движения. В данном случае в системе присутствует неидеальный источник энергии, о чм свидетельствует эффект обратной связи. Действительно, электродвигатель вынуждает колебаться груз m, а колебания груза в свою очередь влияют на движение электродвигателя.

Рассмотрим случай, когда характеристика L асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором в явном виде не известна. В этом случае к системе дифференциальных уравнений необходимо добавить дифференциальное уравнение, описывающее электромеханические процессы в асинхронном двигателе:

m x c1 x f x c1 r sin x I H М Д М С c1 r x r sin (1) cos 1 МД МД ТД vДТ Д w Д, Из третьего уравнения системы (1) найдем t t 1 t TД М * d.

MД 1 exp Д,С vДТ Д w Д,0 TД TД t TД Для удобства положим M C. Тогда исключение из системы (1) движущего М * Д,С момента M Д на валу двигателя позволяет переписать ее в виде системы двух уравнений:

c1 c0 c1 r gx x x x sin m m m m (2) t c1 r 1 1 t H 1 exp d x r sin cos vДТ Д I w Д,0 TД I В случае, когда движущий момент МД зависит от, но не зависит явно от времени t [1], из системы (2) удается исключить t и получить систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно фазовых переменных. В данном случае движущий момент МД явно зависит и от t, и от t и непосредственное применение результатов [2] не возможно, здесь требуется самостоятельное исследование.

После всех преобразований и усреднения [3] уравнения движения имеют вид:

d M1 q1 a cos d da q cos ha (3) d 3a d q k sin d 2a d da d В стационарном случае, то есть когда 0, имеем 0, 0, d d d M1 q1 a cos 0, (4) q cos h a 0, q 3a sin k 0, 2a q1 где M 1.

1 H ar v Исключение из второго и третьего уравнений системы (4) приводит к соотношению для определения a q2 a2r a2. (5) 2 3a 2 3a 2 2 22 2 2 h4 k 4m k 8 Для значения фазы можно записать соотношение 3a 2m tg k 2 (6) Для определения частоты вынужденных колебаний получим уравнения 1 1 H a 0, (7) v где a надо заменить правой частью (5).

Сравнивая (5) с выражением для амплитуды вынужденных колебаний под действием 3a силы q sin t (с заданной ), величину e k назовем эквивалентной частотой собственных колебаний нелинейной системы;

частота системы с кубической 3a 2. Важно характеристикой отличается от частоты линейной системы на величину знание вынужденных колебаний с такой частотой, которая удовлетворяет уравнению (7).

Как видно из (7), частота вынужденных колебаний зависит от амплитуды a, что характерно для колебательных систем с неидеальными источниками энергии.

Рассмотрим так называемый «полустационарный» случай, когда выдерживается всего лишь одно условия d 0. Термины «полутривиальное решение» и «нетривиальное d решение» введены в [5] по аналогии с общепринятым термином «тривиальное решение», обозначающее решение, тождественно равное нулю. По аналогии со стационарным режимом введм понятие «полустационарного режима».

Итак, в полустационарном случае имеем 3a c1 r 3a q 0 или 0.

sin k sin k 2a m 2a 3a 2a m Отсюда находим sin k.

c1 r На основе последнего соотношения, исключая из системы (3) переменную, в результате можно прийти к следующему:

d M1 q1 a cos, d 2 (8) da q cos ha d 4a 2 m2 3a где cos определяется из соотношения cos.

1 k 2 c1 r Заметим, что здесь постоянная величина и в дальнейшем нам удобно рассматривать ее в виде параметра. Система (8) двух дифференциальных уравнений первого порядка зависит параметра. Такие системы достаточно подробно исследованы [6] в связи с тем, что к двум уравнениям первого порядка сводятся системы с одной степенью свободы при учете двух колебательных параметров (например, различные электромеханические и радио механические схемы, в частности, рассмотрение лампового генератора при обычных упрощающих предположениях);

к той же задаче приводят исследование механических систем с одной степенью свободы при всевозможных зависимостях сил от конфигурации и скорости, ряд простейших вопросов динамики полета и так далее. В данном случае система имеет степень свободы больше единицы, но мы пренебрегли некоторыми параметрами колебательной системы, считая постоянной, и провели усреднение по. Заметим также, что при построении фазового портрета рассматриваемой динамической системы важно знание физического смысла переменных и а, что поможет при построении приближенного фазового портрета данной динамической системы каким-либо методом. Применение аналитических методов, где возможно, может быть даже и сложных, всегда предпочтительнее методов численного интегрирования. Однако в рассматриваемой нами задаче аналитические методы исследования могут быть применены только при известных ограничивающих условиях (именно при условии малости некоторых параметров), которые не могут быть соблюдены в целом ряде автоколебательных устройств. Конечно, методы графического интегрирования, как и другие подобные методы, требуют задания определенных численных значений для всех параметров системы или в лучшем случае задания численных значений комбинаций из этих параметров. Это существенный недостаток большинства методов численного интегрирования, ограничивающий получение результатов и затрудняющий обозрение всей проблемы в целом. Поэтому здесь методы приближенного графического интегрирования оказываются единственно возможными, из которых наиболее подходящим для наших целей является метод изоклин. Поведение рассматриваемой нами системы после исключения описывается одним нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка da q cos ha (9) f a, d 2 M1 q1a cos c1r c1r 1 где M 1 1 g1,h,q, q I m m I Кривые f(a, )= const на фазовой плоскости представляют собой геометрическое место таких точек, через которые все отыскиваемые нами интегральные кривые проходят под одним и тем же углом к оси абсцисс, именно под углом, тангенс которого равен const. Придавая постоянной различные значения, можно построить на фазовой плоскости семейство изоклин разыскиваемых кривых. Для каждой из изоклин известен тот наклон, который имеют все интегральные кривые, пересекающие данную изоклину, и поэтому возможно на каждую изоклину нанести отрезки касательных к интегральным кривым, проходящим через эту изоклину. Таким образом, построив достаточно густое поле изоклин, можно приступить к построению приближенного фазового портрета. Итак, в нашем случае уравнение изоклины имеет вид 0 a const a, 1 2 3 4 2 g 2 где q cos, h,,, q1 cos 1 2 3 4 I I I 1 При фиксированной изоклина представляет прямую:

const 3 const 1 a const const 2 5 2 Для изображения изоклины удобнее перейти к новым переменным ~ ~ a a, a 1 2 3 4 da ~ ~ ~ da d Тогда da da и d 5 da. Отсюда имеем d 2 da d 3 d ~ ~ da a, получаем дифференциальное уравнение Вспоминая, что ~ d ~ ~ a da которое легко разрешается. Действительно, имеем ~, ~ ~ d 5a ~ da ~ a d ~ d ~ ~ a, 3 d ~ da ~ ~ отсюда или ln a ln D,a De.

d ~ a Второе уравнение также легко интегрируется ~ d ~ ~ a или exp 3 exp exp 3 3 5 d d ~ ~ exp D 5 exp 2, D exp D 2 exp.

3 3 2 d 2 Исключая угол, имеем уравнение интегральной кривой вида ~ ~ ~.

a D2 a 2 Переходя к прежним переменным, имеем семейство неявных уравнений интегральных кривых дифференциального уравнения (9) a a 3 4 5 1 const.

2 a 1 Окончательно семейство интегральных кривых примет вид 2 g1 q1 cos 2 q1 cos a 2 g I I I 10 h 1 I 1 10 I 2 g q cos ha const q cos h a I h Ih Поскольку числа 2 и 3 разных знаков, то это значит, что полученное семейство представляет кривые гиперболического типа с особой точка типа седла, которая всегда неустойчива. Таким образом, если постоянная величина, то соответствующие режимы неустойчивы. Рассмотрим другой полустационарный режим, который соответствует случаю d 0 или 0.

M1 q1 a cos d Вспоминая значения M1 и q1, получаем равенство c1 r 1 0.

1 g1 a cos I 2I 1, Отсюда имеем частоту вынуждающей силы c1 r a cos 2. (10) g Тогда дифференциальное уравнение первого порядка, связывающее амплитуду а и сдвиг фазы, примет вид q cos ha da 1, (11) 3a d 2 q sin 2a где определяется согласно (10).

, Дифференциальное уравнение (11) содержит параметр. Придавая различные значения, можно построить «фазовую портретную галерею», при помощи которой можно судить о том, как изменяется характер движения в системе.

Литература 1 Кононенко В.О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением. – М., Наука, 1964, 254 с.

2 Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теорий нелинейных колебаний. – М., Наука, 1974, 504 с.

3 Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа агрегатов. – М.Наука,1982, 616 с.

4 Бутенин Н.В. Элементы теории нелинейных колебаний. – М., Судпромгиз, 1962.

5 Тондл А. Автоколебания механических систем. – М., Мир, 1979, 431 с.

6 Андронов А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – М., Наука,1981, 568 с.

БЕЙСЫЗЫТЫ АЛПЫНА КЕЛТІРУШІ КШІ БАР ЖЙЕНІ ТЕРБЕЛІСТЕРІ А.Б. ыдырбеклы алпына келтіруші бейсызыты кші бар тербелісті жйені кйі зерттелінген. Стационарлы кйге жуы тербелістер режимі арастырылан.

VIBRATIONS OF THE SYSTEM WITH NON-LINEAR RESTORING FORCE A.B. Kydyrbekuly Behaviour of the oscillating system with non-linear restoring force is researched. Mode of vibrations, close to the stationary one, is considered.

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ И ЖЕСТКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ А.Б. Кыдырбекулы Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы Исследуются резонансные колебания по основной частоте нелинейных систем с нелинейно вязким сопротивлением и жесткой характеристикой. Проведен численный анализ их устойчивости.

Выявлено влияние параметров системы на зоны устойчивости движения.

В работе проведен численный анализ устойчивости резонансных колебаний по основной частоте в нелинейных системах с нелинейно-вязким сопротивлением и жесткой характеристикой вида:

K1 x K2 x x3 t, (1) x x F cos 1 где K1 и K 2 - коэффициенты линейного и нелинейно-вязкого сопротивления;

1и 3 - коэффициенты при линейной и нелинейной составляющих восстанавливающей силы;


- частота возмущающей силы;

F - амплитуда внешней силы.

Уравнение (1) описывает нелинейные колебания физических и механических систем с одной степенью свободы. Кроме того, большинство динамических моделей распределенных упругих систем, согласно распространенным методам их анализа, приводятся также к виду (1).

Источниками нелинейности модели (1) могут служить конечные отклонения системы от равновесного состояния, а также нелинейно-вязкое сопротивление. Последнее имеет место при высокоскоростном движении системы, а также при использовании в ней материалов с высоко демпфирующими свойствами. Известно, что при изучении до резонансных режимов движения системы диссипативные силы, как правило, не принимаются во внимание, т.к. не оказывают существенное влияние на колебательный процесс. При исследовании же резонансных режимов нелинейность восстанавливающей силы и диссипативных сил имеет принципиальное значение.

В работах [1-2] исследовались нелинейные гармонические колебания (1) по основной и высшим частотам, разработана методика определения зон их устойчивости, основанная на рассмотрении устойчивости движения по Ляпунову и решении уравнения возмущенного состояния системы типа Хилла с применением теории Флоке.

Здесь проведен анализ устойчивости гармонического решения (1):

x(t ) r1 cos( t ), (2) характеризующего резонанс по основной частоте.

В этом случае уравнение возмущенного состояния системы (1) определяется уравнением типа Хилла [2]:

d 0, (3) sin t cos t sin 2 t cos 2 t 0 1s 1c 2s 2c dt где функции задаются следующим образом:

,,,, 1s 1c 0 2s 2c 2 0, 25 k12 0,5 k2 r12, 1,5 r 0 1 k2 r1 sin k1k2 r1 cos 1, 1s (4) k2 r1 cos k1k2 r1 sin 1, 1c 2 22 1,5 r sin 2 0,5 k r sin 2 1, 2s 31 1 2 22 1,5 r cos 2 0,5 k r cos 2c 31 1 21 Граница области неустойчивости резонанса по основной частоте определяется характеристическим определителем:

2 2 0, 0,5 2s 0 2c (5) () 2 2 0,5, 0, 2s 0 2c Она позволяет отделить устойчивые колебания, где компонента с частотой доминирует над гармониками более высокого порядка, от неустойчивых.

В целях отстраивания нелинейной системы (1) от резонансных режимов движения в данной работе проведен численный анализ устойчивости движения с выявлением влияния параметров системы на границы областей неустойчивости колебаний по основной частоте без ограничений на величины нелинейных характеристик системы.

Исследовано влияние диссипативных сил на зону неустойчивости гармонических колебаний системы (1) по основной частоте (рис. 1-2).

r r 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 а) б) _ K1 0, 2;

K3 _ K 0;

1;

1 0;

K3 0,5;

1;

1 3 1 - - - - K1 1;

K3 0;

1;

1 - - - - K1 2;

K3 0,5;

1;

1 3 1 Рис. 1 – Влияние линейной составляющей диссипативных сил на зоны неустойчивости колебаний по основной частоте Рассмотрен случай линейно-вязкого сопротивления (рис.1 а), при котором наблюдается сужение области неустойчивости в сравнении со случаем нелинейно-вязкого сопротивления (рис.1б). В обоих случаях установлено, что усиление линейной составляющей диссипативных сил ведет к уменьшению области неустойчивости колебаний по основной частоте и увеличению величин резонансных частот.

Усиление же нелинейно-вязкого сопротивления ведет к значительному расширению области неустойчивости колебаний (рис.2). Оно носит ярко выраженный характер, когда нелинейная составляющая диссипативных сил доминирует над линейной составляющей.

Предельным случаем является случай, когда K1 0 (рис. 1 б, рис.2 б). В отличие от линейно вязкого сопротивления изменение величины нелинейной составляющей сил диссипации не ведет к смещению резонансных частот.

r r 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 а) б) _ K3 0;

K1 0, 6;

_ K3 0,1;

K1 0;

1;

1 1;

1 3 1 - - - - - - - K3 0,1;

K1 0, 6;

1;

1 - - - - - - - - K3 0,3;

K1 0;

1;

1 3 1 Рис. 2 – Влияние нелинейной составляющей диссипативных сил на зоны неустойчивости колебаний по основной частоте Исследовано влияние линейной и нелинейной составляющих восстанавливающей силы системы (1) на зоны неустойчивости колебаний по основной частоте (рис.3 в, рис.3 а-б, соответственно).

Рассмотрен случай предельный случай, когда 0 (рис. 3 а). Линеаризация восстанавливающей силы ведет к значительному сужению области неустойчивости колебаний и смещению основного резонанса в область низких частот в сравнении с единицей. Это, по-видимому обусловлено наличием доминирующей оставляющей нелинейно-вязкого сопротивления. Подобное поведение зон неустойчивости наблюдается в случае нелинейных систем с мягкой характеристикой.

Усиление же нелинейной составляющей восстанавливающей силы ведет уменьшению области неустойчивости колебаний (рис. 3 б).

Увеличение линейной составляющей восстанавливающей силы вызывает смещение зоны неустойчивости колебаний в зону больших частот (рис.3 в).

Таким образом, анализ поведения нелинейной системы (1) в области основного резонанса и изучение влияния параметров системы на зоны неустойчивости колебаний по основной частоте позволят отстроить рабочие режимы движения системы от нежелательных резонансных явлений.

r r 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 а) б) _ _ 0;

K1 0,3;

K3 0,5;

1;

1;

K1 0;

K 3 0,5;

1;

3 1 3 1;

K1 0,3;

K 3 0,5;

1;

2;

K1 0;

K 3 0,5;

1;

---- _ 3 1 3 r 0 1 2 3 4 5 в) 1;

K1 0;

K3 0,5;

1;

1 2,5;

K1 0;

K 3 0,5;

1;

_ 1 Рис. 3 – Влияние линейной (в) и нелинейной составляющих (а-б) восстанавливающей силы на зоны неустойчивости колебаний по основной частоте Литература 1. Хаджиева Л.А., Кыдырбекулы А.Б. Об устойчивости движения упругих звеньев плоских МВК. // Вестник КазГУ. Сер. мат., мех., инф.-1996, №4. – С. 191-194.

2. Khajiyeva L.А., Kydyrbekuly А.B. The dynamic stability of flat planar linked mechanisms with regard for nonlinear characteristics of elastic links // IX International Conference on the Theory of Machines and Mechanisms. – Liberec, Czech Republic, 2004. – P. 373-379.

БЕЙСЫЗЫТЫ ТТЫРЛЫ КЕДЕРГІСІ МЕН АТА СИПАТТАМАСЫ БАР БЕЙСЫЗЫТЫ ЖЙЕЛЕРДІ ГАРМОНИЯЛЫ ТЕРБЕЛІСТЕРДІ ОРНЫТЫЛЫЫН ТАЛДАУ А.Б. ыдырбеклы Бейсызыты тткырлы кедергісі мен ата сипаттамасы бар бейсызыты жйелерді негізгі жиіліктегі резонансты тербелістері зерттелінеді. Жйе орнытылыыны санды талдауы істелген.

озалысты орнытылы айматарына жйе параметрлеріні сері аныталан.

THE ANALYSIS OF STABILITY OF HARMONIOUS VIBRATIONS OF NONLINEAR SYSTEMS WITH NON-LINEAR VISCOUS RESISTANCE AND THE RIGID CHARACTERISTIC A.B. Kydyrbekuly Resonant vibrations on the basic frequency of the nonlinear systems with non-linear viscous resistance and the rigid characteristic are investigated. The numerical analysis of their stability is carried out. Influence of the system parameters on the zones of motion stability is revealed.

О ДИНАМИКЕ КОДИРОВАННОЙ МОЛЕКУЛЫ ДНК М.А. Райымкулов, Т.Р. Мырзакул Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева В данной работе, на основе простой модели молекулы ДНК рассмотрено влияние генетической информации на динамику молекулы ДНК. Для описания динамики кодированной молекулы ДНК использован интеграл дробного порядка. Предложено рассматривать генетическую информацию как фрактальное пространство.

1. Введение. Молекула ДНК представляет собой важный класс биополимеров. Эта молекула состоит из двух цепей, образующих спираль, закрученную вправо относительно общей оси. ДНК состоит из мономеров (нуклеотидов): аденина (А), гуанина (Г), цитозина (Ц) и тимина (Т), между которыми возможны лишь такие связи, как А-Т и Ц-Г. Комбинация этих связей и определяют информацию, которая хранится в молекуле ДНК.

Исследование генетического кода показали, что информация, записанная в молекуле, представляет собой фрактал [1], следовательно, для описания генетического кода можно применить весь арсенал математического аппарата, используемого для фрактальных структур. Это позволяет решить одну из важнейших проблем нелинейной физики молекулы ДНК.

Одна из простых моделей молекулы ДНК является модель Инглендера [2]. Модель Инглендера позволяет описывать динамику возмущения в молекулы. Некоторые исследователи считают, что в силу устойчивости решения, модель Инглендера описывает важнейший биологический процесс – процесс репликации. Таким образом, если в молекуле ДНК имеется информация, то и динамика возмущения должна каким-то образом зависеть от записанной информации.

Первые попытки исследования такой динамики было проведено Салерно [3] – он рассматривал динамику возмущения, как движение материальной частицы в неоднородном потенциальном поле, определяемым заложенной информацией. Для моделирования генетического кода Доминик-Адам [3] предложил рассматривать генетический код как распределение Морса-Туэ или как распределение Фибоначчи. Однако, такой анализ позволяет рассматривать возмущение как материальную точку, но ничего не говоря о самом возмущении. Для решения такой задачи можно представить распределение генетического кода как некоторую непрерывную функцию. Такие исследования показывают, что неоднородность молекулы сильно сказываются на форме возмущения [4-10].

В данной работы представлена попытка рассмотрения модели Инглендера для неоднородной, кодированной молекулы ДНК с учетом, что генетический код обладает свойством фрактальности.

2. Модель Инглендера. Впервые уравнение, описывающее динамику одной цепи молекулы ДНК, получил Инглендер. Эта модель представляет собой систему подвешенных маятников, имитирующие нуклеотиды и находящихся в эффективном однородном поле, создаваемом нижней цепочкой. Такой подход позволил получить уравнение, описывающее состояние системы, в непрерывном случае приводящее к уравнению синус-Гордона.


В общем случае, если имеется внешнее возмущение F, то состояние системы маятников можно описать дискретным уравнением:

un u n 1 2u n u n 1 qn sin u n un F, (1) a n где a - расстояние между маятниками, - коэффициент затухания, F - сила, действующая на маятник, q n - величина, определяющая специфику маятника n : для Г-Ц связи qn 3, для А-Т связи q n 4.

Наложим следующие условия: 1) длина молекулы значительно больше области возмущения, т.е. aL, 2) молекула имеет однородную последовательность, т.е. q n q. В таком случае уравнение (1) можно переписать в непрерывном виде:

2 F. (2) xu q sin u tu t Для случая 0, F 0 решением уравнения (2) является кинк:

x x0 t и ( x, t ) 4 arctan exp q, (3) где - скорость распространения возмущения. Кинк обладает устойчивостью, что позволило говорить о том, что соотношение (3) описывает репликацию молекулы. Таким образом, Инглендером было получено физическое описание репликации ДНК.

При малом отклонении маятников, т.е. при малом и и условиях 0, F 0, соотношение (2) переходит в вид:

2 qu 0. (4) xu t Введем дифференциал 2 2 t x в уравнение (4):

u qu 0. (5) Получили аналог уравнения гармонических колебаний, решение которого u С1е i q С2 е i q, (6) соответствует бризерам в молекуле ДНК.

В работе [2] была рассмотрена модель Инглендера с учетом фрактальной структуры молекулы. В этом случае, уравнение (4) принимает вид:

( D 1) 2 qu 0. (7) xu t x x Решение уравнения (7) можно представить через функции Бесселя:

и Т (t ) C1 x a J ( x) C2 x aY ( x) (8) аналог решения (6).

3. Кодированная молекула ДНК. Непрерывная модель Инглендера имеют место для некодированной молекулы ДНК. Для кодированной молекулы ДНК характерна неоднородность, в которой q n зависит от номера нуклеотида n в уравнении (1). Впервые исследовать поведение возмущения для кодированной молекулы удалось Салерно, который изучал движение возмущения кинка вдоль участка бактериофаги T7. Результаты исследования были проанализированы Салерно и Кивчар, на основе метода колективной координаты. Этот метод позволяет рассматривать движение кинка в некотором эффективном потенциале Veff (n, qn ). Метод коллективной координаты базируется на том, что уравнение (1) можно формализировать в уравнение одномерного движения материальной точки в эффективном поле. Таким образом, движение кинка рассматривается как движение частицы, с полной энергией:

1 Veff (n, qn ). (9) Eeff X В моделе, предложенной Daniel M., Vashumathi V., рассматривется непрерывная функция распределения q n ~ f ( x) [4]. В таком случае, уравнение движения принимает вид:

2 u sin u fu x. (10) t x Для решения уравнения (10), распределение f (x) рассматривается как малое возмущение, тогда уравнение (10) можно решить методом теории возмущения. В качестве примера рассмотрим решение уравнения (10) для f ( x) 1 cos(m0 x).

Для данного распределения решением уравнения (10) будет соотношение:

u 4arctg exp[m0 ( x t )] a 2 [m0 ( 2 1) 2] sec h[m0 ( x t )]. (11) Анализ данного решения показывает, что неоднородность молекулы ДНК значительно усложняет динамику движения, вызывая различные пульсации в кинковых возмущениях.

В моделе Доминика-Адама распределение величины q n рассматривается как апериодическая функция, т.к. ее распределение связано с генетическим кодом. Доминик Адам совместно с сотрудниками предложил модель, имитирующую неоднородную последовательность записанной информации. Согласно этой модели такая последовательность может быть представлена, например, в виде последовательности Фибоначчи или последовательности Морса-Туэ. Рассматривая движение в поле сил, неоднородных вдоль молекулы ДНК и определяемых последовательностью Фибоначчи, можно моделировать движение кинка вдоль системы, с закодированной информацией.

Детальный анализ модели Доминика-Адама представлен в работе [3].

Рассмотрим распределение генетического кода. В p-адической модели генетического кода вводится информационное пространство I, в котором имеется подпространство - p адическое пространство генетического кода G p. Если элемент g G p, то он может быть представлен в виде:

pN g i p i, mi {0,1,..., p 1}, (12) g k где N, n – не отрицательные целые числа. В качестве примера, рассмотрим случай p=2, введя следующий алфавит: T=00, A=01, C=10, G=11. В соответсвии с этим аминоксилоты могут быть записаны в двоичном коде:

Met: 010011;

Trp: 001111;

Asn: 010100, 010110;

Asp: 110100, 110110;

Cys: 001100, 001110;

Gln: 100101, 100111;

Glu: 110101, 110111;

His: 100100, 100110;

Lys: 010101, 010111;

Phe: 000000, 000010;

Tyr: 000100, 000110;

Ile: 010000, 010010, 010001;

Stop: 000111, 001101, 000101;

Ala: 110100, 110101, 110110, 110111;

Gly: 111100, 111110, 111101, 111111;

Pro: 101000, 101010, 101001, 101011;

Thr: 011000, 011010, 011001, 011011;

Val: 110000, 110010, 110001, 110011;

Arg: 011100, 011101, 011101, 011111, 101110, 101111;

Leu: 000001, 000011, 100000, 100010, 100001, 100011;

Ser: 001000, 001010, 001001, 000111, 011100, 011110.

Генетический код можно представить линейной комбинацией, в которой n+1-ый элемент g n 1 выражается через другие элементы:

m ( n), (13) g (n 1) g0 a k g (n m k ) k или (n), (14) g (n 1) F g (n) где F - неизвестная нелинейная функция. Среднее значение определяется как:

1l _ g (il l k ), (15) g i (l ) lk а среднестатистическое отклонение как:

l _ ( g (il l k ) g i (l )) 2. (16) (l ) i l (l 1) k Введем автокорряляционную функцую, которая определится как:

_ _ C ( n) ( g (k ) g )( g (n k ) g ). (17) Nn При больших значениях n автокорреляционная функция принимает зависимость C ( n) ~ n, (18) Таким образом, показана фрактальная зависимость для генетического кода. Определим фрактальную размерность. Среднее значение генетического кода, записанного в виде g (n), в выражении (13) перепишем как:

1n _ g (k ), (19) g ( n) nk Введем величины:

l _ g ( k ) g ( n), (20) X (l, n) k max X (l, n) min X (l, n). (21) R ( n) l l Стандартное отклонение, соответствующее выражению (16) перепишем в виде:

2 l _ S ( n) g ( k ) g ( n). (22) n k Тогда в соответствии с законом Херста:

R ~ nH. (23) S Фрактальная размерность генетического кода будет выражаться как:

D 2 H, (24) где H – показатель Херста.

4. Фрактальное пространство генетического кода. Рассмотрим распределение q n, аналог распределения g, как некоторый фрактал. Тогда считая, что фрактал бесконечно длинный, будем его характеризовать фрактальной размерностью d. Площадь такой фрактальной структуры можно записать как:

q( x)dx x d, (25) где d -фрактальный показатель. Использование соотношения (25) позволяет переходить к непрерывным уравнениям. Такой переход основан на том, что дискретные функции можно переписать в виде непрерывных функций, находящихся во фрактальных пространствах.

Рассмотрим такой переход на примере модели Инглендера для бризеров.

5. Уравнение динамики для кодированной молекулы ДНК. Преобразуем уравнение (1) с учетом 0, F 0 в непрерывный вид для неоднородной молекулы ДНК:

u tt u xx q ( x) sin u 0. (26) При малых возмущениях:

utt u xx q( x)u 0. (27) Преобразуем уравнение (27), путем введения подстановки вида:

u ( x) (t ). (28) Тогда уравнение (27) распадется на два независимых уравнения:

T 0, (29а) Ttt 0. (29б) q ( x) xx Первое уравнение представляет собой уравнение малых гармоничных колебаний, а второе аналог уравнение малых колебаний с изменяемыми параметрами, причем такое изменение меньше длины волны, т.е.

q. (30) x Следовательно, для рассматриваемого уравнения будет соблюдаться соотношение:

dd I, (31) где I – адиабатический инвариант. Соотношение (31) показывает, что поведение системы хаотическое. Проверить соотношение (31) можно путем подстановки уравнения (29б) в интеграл (31).

Проинтегрируем уравнение (29б):

2 q( x) dx x C, (32) 2 где С – константа. Воспользуемся соотношением:

q( x)dx x d, q( x)dx adxd, тогда интеграл в выражении (32) примет вид:

q( x) dx a dx d. (33) С учетом преобразования (32), получим выражение:

2 a dxd C.

(34) 2 Полученное уравнение является интегралом движения для бризеров в неоднородной молекуле ДНК, неоднородность которой определяется фрактальной размерностью d.

Рассмотрим случай однородности молекулы ДНК, т.е. примем, что d 1, тогда dx d dx C1. (35) d С учетом соотношения (35), уравнение (34) перепишется в виде:

2 ( 2 а) C. (36) 2 Получили классическое уравнение гармонического колебания маятника.

6. Заключение. В данной работе получено непрерывное уравнение динамики неоднородной молекулы ДНК. Неоднородность молекулы, определяемая генетическим кодом, предложено описывается фрактальной структурой. В таком случае имеет место соотношение, записанное в уравнении (25). С учетом уравнения (25) получено неадиабатическое непрерывное уравнение (34). Неоднородность молекулы определяется фрактальным показателем d, который является аналогом фрактального показателя генетического кода.

Литература 1. Райымкулов М.А., Мырзакулов Р. Моделирование генетической информации.

Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева (в печати).

2. Кожамкулов Т.А., Райымкулов М.А., Беллисарова Ф.Б., Мырзакулов Р. Фрактальное уравнение динамики молекулы ДНК. Вестник КазНУ, серия физическая, 2007, 2(24), с. 77-82.

3. Кожамкулов Т.А., Райымкулов М.А., Беллисарова Ф.Б., Мырзакулов Р.

Нанодинамика движения солитона в гетероструктурной молекуле ДНК. Вестник КазНУ, серия физическая, 2007, 2(24), с. 69-76.

4. Райымкулов М.А., Каныгина О.Н., Мырзакулов Р. О нелинейных возбуждениях и нанофизике ДНК. Вестник ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, 2006, №6, С. 62-70.

5. Raiymkulov M.A. Nonlinear Dynamics of DNA with Low-Level Fractionality. Abstracts of the Seventh International Conference «Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics» Kiev, Ukraine, June 24-30, 2007.

6. Райымкулов М.А., Каныгина О.Н., Мырзакулов Р. Нелинейные возбуждения и нанофизика молекулы ДНК в неоднородном поле. Вестник ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, 2007, №2, С. 60-69.

7. Райымкулов М.А. Уравнение динамики молекулы ДНК с учетом фрактальности.

Материалы научно-методической конференции Теория и методика обучения физико математическим дисциплинам, КазНПУ им. Абая, Алматы, 26-27 апрель 2007г, С. 123-126.

8. Райымкулов М.А. Фазовые пространства кинка в молекуле ДНК с учетом фрактальности. Труды международной научной конференции молодых ученых Наука и образование-2007, ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 20-21 апреля Астана 2007г, часть 5а, С. 145-150.

9. Райымкулов М.А., Мырзакулов Р. Математическое моделирование нелинейных процессов в молекуле ДНК с учетом фрактальных структур. Материалы Республиканской научной конференции Моделирование механических систем и процессов, КарГУ им. Е.А.

Букетова, Караганда, 2007, с. 195-197.

10. Мырзакулов Р., Данлыбаева А.К., Жунусов К.Х. Об однородной геометрической модели молекулы ДНК. Вестник КазНУ. Серия физическая, №1(21), 2006, С.31-35.

11. Мырзакулов Р. Биология с точки зрения физика и математика. Известия НАН РК, №4, 2005, С. 45-52.

12. Мырзакул Т.Р., Мырзакулов Р. О нелинейной динамике нанотрубки и молекулы ДНК. Мат. 5-ой межд. конф. «Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент», 15-17 июня, 2006 г., Астана, С. 179-182.

ДН КОДТАЛАН МОЛЕКУЛАСЫНЫ ДИНАМИКАСЫ ТУРАЛЫ М.А. Райымлов, Т.Р. Мырзал Бл жмыста, арапайым ДН молекуласы моделі негізінде генетикалы апаратты ДН молекуласыны динамикасына алай сер ететіндігі арастырылан. Кодталан ДН молекуласын сипаттау шін, фракталды интеграл олданылып, генетикалы апаратты фракталды кеістік ретінде арастыру сынылды.

ABOUT DYNAMICSOF CODED MOLECULE DNA M.A. Rayimkulov, T.R. Myrzakul In this paper we study the effects of the genetic sequence on the propagation of nonlinear excitations in simple models of DNA. We use the fractional integrals to describe dynamics of coding DNA molecule. We suggest to consider the fractal genomic as fractional continuous medium.

ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ КОДИРОВАННОЙ МОЛЕКУЛЫ ДНК Т.Р. Мырзакул, М.А. Райымкулов Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г.Астана В данной работе нами рассмотрена динамика кодированной молекулы ДНК для малого возмущения. Для изучения динамики молекулы ДНК в фазовом пространстве был применен метод теории возмущения малости.

1. Введение. Молекула ДНК представляет собой важный класс биополимеров. Эта молекула состоит из двух цепей, образующих спираль, закрученную вправо относительно общей оси. ДНК состоит из мономеров (нуклеотидов): аденина (А), гуанина (Г), цитозина (Ц) и тимина (Т), между которыми возможны лишь такие связи, как А-Т и Ц-Г. Комбинация этих связей и определяют информацию, которая хранится в молекуле ДНК [11,12].

Исследование генетического кода показали, что информация, записанная в молекуле, представляет собой фрактал [1], следовательно, для описания генетического кода можно применить весь арсенал математического аппарата, используемого для фрактальных структур. Это позволяет решить одну из важнейших проблем нелинейной физики молекулы ДНК.

Для простоты рассмотрим модель Инглендера. Модель Инглендера позволяет описывать динамику возмущения в молекулы. Некоторые исследователи считают, что в силу устойчивости решения, модель Инглендера описывает важнейший биологический процесс – процесс репликации. Таким образом, если в молекуле ДНК имеется информация, то и динамика возмущения должна каким-то образом зависеть от записанной информации, а поскольку генетический код обладает свойствами фракталов, то для описания динамики молекулы уместно использовать методы дробного исчисления. В работах [1-10] уже были раасмотрены динамические свойства для фрактальной молекулы ДНК В данной работы представлена попытка рассмотрения модели Инглендера для неоднородной, кодированной молекулы ДНК. Получены уравнения, описывающие динамику возмущения, и рассмотрены особенности фазовой траектории для такой молекулы.

2. Дробные интегралы для кодированной молекулы ДНК. Рассмотрим уравнение динамики молекулы ДНК для не кодированного случая:

2 qu 0, (1) xu t где u –угол отклонения нуклеотидов от точки равновесия, q –характеризует взаимодействие.

Положив 2 x, получим уравнение:

2 t u qu 0, (2) решение которого имеет вид:

u С1е i q С2 е i q, (3) соответствует бризерам в молекуле ДНК.

Для исследования поведения возмущения для не кодированной молекулы рассматривается движение возмущения в эффективном потенциале Veff (n, qn ). Этот метод основывается на том, что уравнение (1) можно формализировать в уравнение одномерного движения материальной точки в эффективном поле. Таким образом, полная энергия такой системы будет описываться соотношением 1 Veff (n, qn ). (4) Eeff X Связь импульса с координатами определено в соотношении (4), что позволяет рассматривать фазовые пространства для такой системы [3].

В работе [1] показано, что распределение q n имеет фрактальный характер. Тогда считая, что фрактал бесконечно длинный, будем его характеризовать фрактальной размерностью d.

Площадь такой фрактальной структуры можно записать как:

q( x)dx x, (5) где -фрактальная размерность. Использование соотношения (5) позволяет переходить к непрерывным уравнениям. Такой переход основан на том, что дискретные функции можно переписать в виде непрерывных функций, находящихся во фрактальных пространствах.

Причем этот переход запишем в виде операторов:

a x, (6) x q ( x) где x - дробный интеграл порядка, a -некоторый коэффициент. Рассмотрим такой переход на примере модели Инглендера для бризеров.

3. Уравнение динамики для кодированной молекулы ДНК. Рассмотрим уравнение (1), описывающие малые возбуждения в молекуле ДНК:

utt u xx q( x)u 0. (7) Преобразуем уравнение (7), путем введения подстановки вида:

u ( x) (t ). (8) Тогда уравнение (7) распадется на два независимых уравнения:

T 0, (9а) Ttt 0. (9б) q ( x) xx Первое уравнение представляет собой уравнение малых гармоничных колебаний, а второе аналог уравнение малых колебаний с изменяемыми параметрами, причем такое изменение меньше длины волны, т.е.

q. (10) x Следовательно, для рассматриваемого уравнения будет соблюдаться соотношение:

dd I, (11) где I – адиабатический инвариант. Соотношение (11) показывает, что поведение системы хаотическое. Проинтегрируем уравнение (9б):

2 q( x) dx C, x (12) 2 где С – константа. Воспользовавшись соотношением (6), получим:

2 ad C. (13) x 2 Получили уравнение фазовой траектории для кодированной молекулы ДНК, где за кодировку отвечает величина.

4. Фазовая траектория для кодированной молекулы ДНК. Найдем некоторые особенности фазовой траектории уравнения (13). Для простоты рассмотрим следующий случай: С=0 и 1, где, тогда к уравнению (13) применим метод теории возмущения.

Введем следующие соотношения:

2, (14а) 1 2, (14б) откуда, (15а) 1 1 2 1 2, (15б). (15в) 1 1 1 2 Дробный интеграл, стоящий в уравнении (13), разложим в виде dx, (16) x dx где C1 и положим C1 0. Тогда уравнение (13) примет вид:

d 2 2 2 2 12 2 2 1 12 1 1 0, (17) a 1 1 2 2 откуда получаем уравнение для малости 0 :

( 2 a) 1 0.

2 (18) Решение уравнения (18) имеет вид:

, (19) i где a, а exp( i x). С учетом (19) получим уравнение для exp(i x) 1 10 малости :

, (20) 1 2 1 2 1 или i 1 1. (21) 2 Введем подстановку, тогда дробный интеграл можно представить в виде:

Dx (1 ) Dx 1 Dx 2 D1 D1, (22) x x x x d где D1 D1 и D1 для разложения (16), тогда интеграл в (21) примет вид:

1 2 x 1 x dx x (0) ( ( (0) ln xdx ) dx ) ln( x )d dxdx, (23) 1 1 1 1 1 1 1 где 0,57, ) ( (0) (0) x 2 ( 3 ln x) x 2 ( 3 ln x), 10 (24) 1 (0) ln xdx 4 2 exp[ 2i x] exp[ 2i x] ( 10 20 10, (25) ) dx dx 1 1 1 2 x x x x (1 1 ) ln( x )d 1 ln( x )d 1 ln( x )d ln( x )d.(26) 1 1 1 1 0 0 0 Подставим в интеграл (26) соотношение (19), тогда x x 2 3 2 1 ln( x )d ( ( i ) ( i )) exp(i ) ln( x )d, (27а) 1 1 10 20 0 с учетом, интеграл (27) разобьем на четыре интеграла:

1 exp(i ) 10 exp( 2i ) x E, (27б) ln( x )d T AN 1 1 где x (28а) 2 2, T ( i ) exp(i ) ln( x )d x (28б) 2 )d, A 20 ( i ) ln( x x (28в) 2 )d, N ( i ) exp(i ) ln( x 20 x (28г) 2 2 )d, E ( i ) ln( x двойное интегрирование которых, приведет к виду:

x )d dxdx, (29а) 2 i 3) Tdxdx 10 ( exp(i ) ln( x i 11 3 x ln x, (29б) 2 Adxdx ( i ) x 10 36 x )d dxdx, (29в) 2 Ndxdx 10 ( i ) exp(i ) ln( x i 11 3 x ln x, (29г) 2 2 Edxdx ( i ) x 36 где константы интегрирования обращены в нули.

Для оценки поведения фазовой траектории, рассмотрим случай, когда 10 1, 20 0, 1, а=1. Тогда из интегралов (29) останется интеграл (29а), рассмотрим его реальную составляющую:

T2 T1, (30) Re Tdxdx Re (1 i) T1 iT где:

Ci ( x)), (31а) T1 4 x cos x( 2 2 4Si( x)) 4 x ln x 4 sin x( 4Si( x)), (31б) 3x 2 4 cos x( Ci ( x)) 4 ln x 2 x 2 ln x sin x( T2 Интеграл (24) примет вид:

(0) x ( 3 ln x), (32) (0) ln xdx 1 а реальная составляющая интеграла (25):

exp[ 2ix] (1 cos 2 x, (33) Re ) dx Re 2 тогда интеграл в уравнении (21):

cos 2 x T2 T1, (34) x ( 3 ln x) 1 1 4 тогда получаем соотношение (21) для рассматриваемого случая:

i 2) cos 2 x T2 T1, (35) 1( 2 x ( 3 ln x) 4 Правую часть обозначим через cos 2 x T2 T, (36) r x ( 3 ln x) 4 аналог радиуса фазовой траектории. По поведению радиуса (36) можно судить о фазовой траектории.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.