авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

«Российская академия наук Российская ассоциация математического программирования Институт систем энергетики им. Л.А.Мелентьева СО РАН ...»

-- [ Страница 3 ] --

[6] В.А. Левин, В.П. Марков, Н.Н. Пилюгин Форма тонких тел при уносе вещества под воздействием лучистого теплового потока из ударного слоя. В кн.:Современные газодинамические и физико-химические модели гиперзвуковой аэродинамики и теп лообмена. Часть 2. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995, с. 100-106.

[7] Э.З. Апштейн, Н.Н. Пилюгин Стационарная форма тел при их разрушении под дей ствием тепловых потоков, зависящих от локального угла наклона поверхности.

Изв. АН СССР. МЖГ, 1981, № 6, с.137-143.

[8] Э.З. Апштейн, Н.Н. Пилюгин, Г.А. Тирский Унос массы и изменение формы трех мерного тела при движении по траектории в атмосфере Земли. Космические ис следования, 1979, № 2, с. 246-255.

[9] М.А. Аргучинцева, Н.Н. Пилюгин Экстремальные задачи радиационной газовой ди намики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997, 197 с.

[10] Н.Н. Пилюгин, Г.А. Тирский Динамика ионизированного излучающего газа. М.: Изд во Моск. ун-та, 1989, 312 с.

[11] Теория оптимальных аэродинамических форм. М.: Мир, 1969, 507 с.

[12] Ф.Л. Черноусько, Н.В. Баничук Вариационные задачи механики и управления. М.:

Наука, 1973, 238 с.

OPTIMAL SHAPES OF BODIES SUBLIMING IN PLANET ATMOSPHERE BY THE RADIATION HEAT M.A. Arguchintseva, E.V. Moshnyakov Irkutsk State University, Irkutsk, e-mail: marguch@math.isu.ru, savagem@mail.ru Abstract. In this paper it is considered the optimal shape problem for subliming bodies moving along a ballistic trajectory with minimal radiation surface heat.

ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ ТЕЛА ПО ДВУМ КРИТЕРИЯМ – РАДИАЦИОННОМУ ПОТОКУ И ВОЛНОВОМУ СОПРОТИВЛЕНИЮ M.A. Аргучинцева, Н.Н. Пилюгин* Иркутский государственный университет, Иркутск Институт механики МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва E-mail: marguch@math.isu.ru, pilyugin@yandex.ru Аннотация. В данной статье построено решение двухкритериальной вариационной задачи о тонком теле с минимальными суммарным радиационным тепловым потоком и волновым сопротивлением. Для исследования задачи используются методы Парето, идеальной точки и минимакса. Показано, что определяющую роль в выборе оптимальной формы при больших гиперзвуковых скоростях играет радиационный тепловой поток.

Ключевые слова: оптимальное аэродинамическое проектирование, численные методы Введение Известно [1], что при выборе оптимальной формы космических аппаратов, движущих ся с гиперзвуковыми скоростями в атмосферах планет, необходимо учитывать большое число факторов, влияющих на условия полета. К числу таких факторов при больших числах Маха (M 25 30) относятся волновое сопротивление и радиационный нагрев тела. В научной литературе достаточно полно изучены задачи выбора аэродинамической формы тела, оптимальной по одному критерию [1–8]. Выяснено, в частности, что форма тела минимального сопротивления [5–8] может существенно отличаться от формы тела с минимальным нагревом поверхности [1–3]. Однако, в большинстве реальных задач необхо димо учитывать сразу несколько оптимизационных критериев. Поэтому возникает вопрос:

какое тело считать оптимальным в данном случае?

Нужно отметить, что сложность решения задач с несколькими критериями связана с тем, что само понятие оптимальности в них носит неоднозначный характер [10]. Одним из основных подходов исследования многоритериальных задач является их сведение к одно критериальным путем свертывания несколько критериев в один скалярный. В литературе известны различные виды сверток: линейная, минимаксная, минимизация отклонений, ме тод идеальной точки, выделение главного критерия и т.д. Применение различных видов сверток приводит в общем случае к различным решениям одной и той же вариационной задачи. Если же в задачах с различными видами сверток мы приходим к одному и тому же решению, то это убедительный довод в пользу выбора указанного варианта. Окон чательный вывод о принятии того или иного решения обычно определяется физическим смыслом задачи и приоритетами лица, принимающего решение.

Кроме того, укажем еще ряд особенностей многокритериальных задач, часто затруд няющих их исследование: 1) многоэкстремальность;

2)трудоемкость вычисления целевых функционалов и ограничений;

3)негладкость и овражность функций, входящих в задачу.

В силу отмеченных причин многокритериальные задачи теории оптимальных аэродина мических форм мало изучены [3,4].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты N № 04-01-00080, 05-01-00187) и про граммы "Университеты России"(проект ур.03.01.064) Цель данной работы заключается в постановке и исследовании новой двухкритери альной задачи нахождения контуров осесимметричных и плоских тел, минимизирующих радиационный нагрев поверхности и волновое сопротивление. Для ее исследования используются методы Парето, идеальной точки и минимакса. В частном случае тонких степенных тел получен ряд аналитических решений поставленной оптимизационной задачи.

1. Постановка задачи Рассмотрим гиперзвуковое обтекание осесимметричного или плоского тела под нуле вым углом атаки потоком излучающего газа. Пусть x – координата вдоль оси тела, y – координата, нормальная к этой оси. Введем безразмерные координаты (, ) и относитель ную толщину тела :

x y R =, =, =, L R L где L – длина тела, R – радиус миделя или максимальная полутолщина тела соответствен но для осесимметричного или плоского случаев.

В дальнейшем будем рассматривать класс тонких тел ( 1). Тогда выражения для интегральных коэффициентов волнового сопротивления CD [8] и радиационного теплового потока CR [9] имеют вид:

CD = 21+j 2 ID (), j () 3 () d, ID () = 2j1 b 2n+9 R j () 2n+11 () (1 ) d, CR = IR (), IR () = (1) n+ где () – функция формы тела;

j = {0, 1} соответственно для плоского и осесимметрич ного тел;

b – параметр излучения [9], равный отношению характерного радиационного потока за ударной волной к потоку кинетической энергии набегающего потока газа;

n – показатель степени в зависимости коэффициента поглощения Планка от температуры T ( n [0, 8] в диапазоне температур T [3 · 103, 15 · 103 ] K).

Отнесем функционалы (1) к их характерным значениям, вычисленным для конуса (в плоском случае - клина) =, тогда имеем IR () R () = = (j + 1)(j + 2)IR (), IR ( = ) ID () D () = = (j + 1)ID (). (2) ID ( = ) Поставим следующую двухкритериальную вариационную задачу: найти функцию фор мы осесимметричного или плоского тела (), которая минимизирует радиационный на грев поверхности R () и волновое сопротивление D () (2) и удовлетворяет граничным условиям (0) = 0, (1) = 1. (3) В данной работе для исследования поставленной оптимизационной задачи использу ются методы Парето, идеальной точки и минимакса [10].

2. Оптимизация по Парето Рассмотрим понятие оптимальности по Парето [10]. Пусть требуется минимизировать два критерия R () и D (). Тогда решение многокритериальной задачи называется оп тимальным по Парето, если улучшение одного из критериев невозможно без ухудшения другого. Случай получения единственного решения, минимизирующего сразу оба крите рия, на практике встречается достаточно редко. Поэтому поставленная задача имеет мно жество Парето-оптимальных решений, а линия, образованная ими на плоскости (R, D ), называется диаграммой Парето.

Множество решений, оптимальных по Парето, можно получить, минимизируя линей ную комбинацию (свертку) функционалов () = µ R () + (1 µ) D () min, (4) где µ 0 – весовой коэффициент. Отсюда следует, что чем выше приоритет критерия, тем ближе соответствующий коэффициент при критерии к единице.

Для исследования задачи (3), (4) используется метод Ритца [11], в соответствии с ко торым решение задачи ищется в виде k () = 0 () + ai i (), (5) i= где ai, i = 1, 2,..., k – неизвестные параметры;

i (), i = 0, 1,..., k – линейно независи мые, непрерывно-дифференцируемые функции, удовлетворяющие граничным условиям 0 (0) = 0, 0 (1) = 1, i (0) = i (1) = 0, i = 1, 2,..., k.

В данной работе функции i () выбираются в виде i () = i (1 ), 0 () =, i = 1, 2,..., k где параметр k обычно принимает значения k = {3, 4, 5, 6}. Подставим функцию () (5) в (4), тогда оптимизационная задача (3), (4) сводится к исследованию на безусловный экстремум функции () = f (a1, a2,..., ak ). Для ее численного решения использовался пакет "Optimization Toolbox"системы Matlab 6.1. Тестовые численные расчеты по методу Ритца в предельном случае (µ = 0) однокритериальной задачи о минимальном волновом сопротивлении, для которой известно аналитическое решение an = 3/4 [8], показали, что для достижения заданной точности 106 нужно взять значение k = 5.

На рис.1 представлены отклонения оптимальных форм осесимметричных тел (()) при различных значениях параметра излучения m = 2n + 11 (m = 11 – сплошные линии, m = 15 – штриховые линии). Кривые 1-3 соответствуют µ = {0.1, 0.5, 0.9}. Соответствую щие диаграммы Парето представлены на рис.2 (” ” - m = 11;

”o” -m = 15).

3. Метод идеальной точки Для выделения единственного решения многокритериальной задачи можно восполь зоваться методом идеальной точки [10], согласно которому задачу (2), (3) с двумя опти мизационными критериями можно свести к однокритериальной задаче с неаддитивным функционалом F () = (R () R )2 + (D () D )2 min, (6) где R = min R, D = min D – значения коэффициентов радиационного нагрева и () () сопротивления, найденные из решения соответствующих однокритериальных задач. Для исследования задачи (3), (6) также используется метод Ритца.

На рис.3 представлены отклонения оптимальных форм осесимметричных тел от конуса (() ) при m = {11, 15} (кривые 1,2). Значения радиационного нагрева и сопротивления полученных тел равны id = {0.8705, 0.8645}, id = {1.0069, 1.004}.

R D Соответствующие решения однокритериальных задач, используемые при расчетах, имеют вид R = {0.8549, 0.8493}, D = 0.8437.

4. Метод минимакса В данном случае многокритериальная задача (2), (3) сводится к однокритериальной с минимаксной сверткой функционалов I() = min max i i (), (7) () i={R,D} где i 0 – играют роль весовых коэффициентов. В конкретных расчетах часто полагают i = 1, и задача (7) имеет смысл минимизации наихудшего критерия. Нужно отметить, что минимаксная задача (7) требует специальных приемов исследования, поскольку внутрен нюю задачу на максимум нужно решать для каждого допустимого (). В данной работе для решения задачи (7) используются специализированные процедуры системы Matlab 6.1.

Оптимальные формы осесимметричных тел, вычисленные по методу минимакса, пред ставлены на рис.3. Кривые 3-5 соответствуют m = {11, 15, 17}. Соответствующие зна чения функционалов радиационного теплового потока и сопротивления равны mm = R {0.95909, 0.96544, 0.96801}, mm = {0.95957, 0.9657, 0.9682}. Таким образом, полученные D формы тел дают выигрыш по сравнению с конусом как в нагреве, так и в сопротивле нии. С ростом параметра излучения m этот эффект незначительно падает.

Нужно также отметить, что оптимальным плоским телом во всех трех случаях будет клин.

Рис. Рис. Рис. Список литературы [1] Аргучинцева М.А., Пилюгин Н.Н. Экстремальные задачи радиационной газовой динамики. М.: Изд-во МГУ, 1997. 197 с.

[2] Аргучинцева М.А., Пилюгин Н.Н. Оптимизация формы пространственного тела по радиационному тепловому потоку // ТВТ. 2002. Т. 40. №4. С.603–616.

[3] Аргучинцева М.А., Данеев А.В. Оптимизация внешней геометрии летательного аппарата в задачах сверхзвуковой аэродинамики. Иркутск: Изд-во ВСИ МВД РФ, 1999. 297 с.

[4] Гильман О.А., Пилюгин Н.Н. Парето-оптимальные формы осесимметричных тел при движении с большими сверхзвуковыми скоростями // ПММ. 1991. Т.55. №2.

С.290-297.

[5] Ведерников Ю.А., Щепановский В.А. Оптимизация реогазодинамических си стем. Новосибирск: Наука, 1995. 238с.

[6] Крайко А.Н., Пудовников Д.Е., Якунина Г.Е. Теория аэродинамических форм, близких к оптимальным. М.: Янус, 2001. 132с.

[7] Остапенко Н.А. Оптимальные формы тел, двигающихся в плотных средах. М.: Вла дар, 1997. 103с.

[8] Теория оптимальных аэродинамических форм. Под ред. А.Миеле. М.: Мир, 1969, 507с.

[9] Пилюгин Н.Н., Тирский Г.А. Динамика ионизованного излучающего газа. М.:

Изд-во МГУ, 1989. 305с.

[10] Ногин В.Д., Протодъяконов И.О., Евлампиев И.И. Основы теории оптимиза ции. М.: Высшая школа, 1986. 384с.

[11] Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:

Наука, 1965. 422с.

О ВЛИЯНИИ СТРУКТУРЫ СИЛ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СПУТНИКА СО СТАБИЛИЗАТОРОМ А.В. Банщиков Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск e-mail: bav@icc.ru Аннотация. Рассматривается вопрос о влиянии структуры сил на устойчивость положения относительного равновесия спутника с управляемым гравитационным стабилизатором на круговой орбите. Особое внимание уделено стабилизации потенциально неустойчивой системы.

С помощью соответствующих функций и пользовательских пакетов системы компьютерной алгебры (СКА) "Mathematica" проведен параметрический анализ в символьно-численном виде полученных неравенств (условий устойчивости).

Ключевые слова: устойчивость движения, степень неустойчивости, управляющие силы, параметрический анализ, решение систем неравенств, компьютерная алгебра.

1. Постановка задачи Рассматриваются вопросы устойчивости и стабилизации положения относительного равновесия спутника с управляемым гравитационным стабилизатором на круговой орби те. В невозмущенном движении главные центральные оси инерции системы совпадают с орбитальными осями координат, а стабилизатор (в виде жесткого стержня с точечной массой на его свободном конце) направлен по радиусу орбиты. Исследуемая модель до статочно известна в литературе (см., например, [1]).

Линеаризованные уравнения движения разбиваются на две подсистемы. Соответствен но, в канале тангажа ( ) и канале рысканья - крена (, ) :

(1) M1 x 1 + K 1 x 1 = Q 1 ;

M 2 x 2 + G x 2 + K 2 x2 = Q 2, x2 = ;

Q2 = 0, x1 = ;

Q1 = ;

Q Q где, углы поворота стержня относительно корпуса спутника (оси поворота стержня совпадают, соответственно, с направлением осей тангажа и крена). Явный вид матриц M1, M2, K1, K2, G через исходные параметры системы можно найти в [3].

Управляющие силы зададим в виде:

Q = k + k k k ;

Q = k 2 + k k 2 k, (2) где k с соответствующими индексами - постоянные коэффициенты.

Ранее в [2] проведен параметрический анализ условий асимптотической устойчивости для подсистемы "тангажа" ( при Q из (2) ).

Поставим задачу проследить за влиянием структуры действующих сил на устойчи вость равновесия для более сложной (чем рассмотренной в [2]) подсистемы "рысканья крена".

2. Структура сил Разбивая матрицы по скоростям и координатам в уравнениях (1), (2) на симметрич ные и кососимметричные части, нетрудно выписать структуру действующих на систему сил. Для подсистемы "рысканья-крена" потенциальные, диссипативные, гироскопические, неконсервативные силы, соответственно, имеют вид:

0 0 cb 0 4f k2 k ;

2 0 ;

4(c a) 0 4f k2 0 k k 0 3f + d + k g 0 0 00 k k g ;

2, 0 00 (3) 2 0 k 0 k2 где модуль орбитальной угловой скорости;

a = Jy ;

c = b+Jz Jx ;

g = Jz Jx Jy ;

ml2 m m + m0 ( r + l ) 2 ;

+ m0 ) l 2 ;

b = Jx + m r ( r + l ) + d=( f =( + m0 ) r l + d ;

3 3 m, m0 соответственно, массы стержня и точечного концевого груза;

l 0 длина стержня;

r 0 расстояние от центра масс системы до точки крепления стержня;

Jx, Jy, Jz главные моменты инерции спутника.

3. Параметрический анализ Как и в [3], введем четыре безразмерных параметра, характеризующих распределение масс в системе:

cb Jz J x ba d f (4) = = ;

= ;

p1 = ;

p2 =.

a Jy c f c Физически реализуемые значения параметров лежат в интервалах :

|| 1 ;

| | 1 ;

0 p1 1 ;

0 p2 1.

Ранее [3], [4] в пространстве введенных параметров выделены области с различными степенями неустойчивости по Пуанкаре (рис. 1) и рассмотрен вопрос о возможности ги роскопической стабилизации неуправляемой системы (при Q = 0, Q = 0 ) с четной степенью неустойчивости.

Для прикладных задач динамики космических аппаратов обычно задают распределе ние масс в системе, при котором исходная матрица потенциальных сил системы будет определенно положительна (на рис. 1 это область III с нулевой степенью неустойчиво сти) и в дальнейшем за счет влияния, прежде всего диссипативных сил обеспечивается асимптотическая устойчивость движения по теореме Ляпунова. Но, могут представлять интерес и потенциально неустойчивые системы (области I, II на рис. 1), к тому же воз можны "нештатные" ситуации на орбите. Информация о возможности гироскопической стабилизации позволяет рассчитывать, что привлечение активных средств управления конструкцией, параметры которой принадлежат области I, потребует менее жестких тре бований к ресурсам управления, чем для точек области II.

Рис.1. Области с различными степенями неустойчивости. Рис.2. Область асимптотической устойчивости.

Предполагая, что подсистема "тангажа" потенциально устойчива и учитывая условия ее устойчивости [3], [4] : p1 p2, p2, особое внимание уделяется исследованию стабилизации потенциально неустойчивой подсистемы "рысканья-крена" при 0. Ста вится задача найти решения для управляющих параметров k из (2), значения которых обеспечивают асимптотическую устойчивость рассматриваемой подсистемы.

В рамках классических результатов о влиянии структуры сил на устойчивость рав новесия [5], проведен параметрический анализ в символьном и в символьно-численном виде полученных неравенств. При анализе систем неравенств, помимо программы RegionStability [6], использовались также пакеты расширений системы компьютерной ал гебры "Mathematica". А именно, пакет Algebra‘InequalitySolve‘ (автор Adam Strzebonski 2002 г.) с функцией InequalitySolve для символьного решения систем неравенств и пакет Graphics‘InequalityGraphics‘ (автор Roger Germundsson 2000 г.) с функциями InequalityP lot, InequalityP lot3D для графического 2D и 3D - представления решений систем неравенств.

Коэффициенты характеристического уравнения подсистемы "рысканья-крена" урав нений (1),(2) в обозначениях (4) будут иметь следующий вид:

v0 = 4 6 (( + ) (3 + k + p1 ) + (1 + ) (k 4) p2 ) ;

v6 = (1 + ) p1 (1 + ) p2 ;

v4 = 2 3 + 3 + (1 + ) k + (1 + ) (2 + + 3) p1 8p2 9p2 2 p2 + k p2 + k p2 ;

v2 = 4 ( 4 ( + ) p1 ( 1)2 ( 1) (3 + k + p1 ) + 4 ( + ) (3 + k + p1 ) + + (1 + ) (3 + k + p1 ) 4 (1 + ) p2 + 4 (1 + ) (k 4) p2 + (1 + ) (k 4) p2 ) ;

1 + 2 + 3 + (3 + 2 ) k + 4 + 5 + 2 p2 k ;

v3 = v5 = (1 + ) k + (1 + ) p2 k ;

v1 = 4 4 (( + ) k + (1 + ) p2 k ).

Главные диагональные миноры 3-го и 5-го порядка матрицы Гурвица v5 v3 v1 v5 v3 v1 v6 v4 v2 v0 3 = ;

5 = v6 v4 v2 0 v5 v3 v1 0 v 5 v3 0 v6 v4 v2 v 0 0 v5 v3 v получены аналитически СКА "Mathematica" и использовались в дальнейших вычислени ях, но в силу громоздкости их явный вид здесь не приводится.

Критерий Льнара-Шипара о существовании корней с отрицательными вещественными частями ( vi 0, i = 0,..., 6 ;

3 0 ;

5 0 ) обеспечивает асимптотическую устойчи вость решения на основании теоремы Ляпунова по первому приближению. Отметим, что v6 0 в силу определенной положительности матрицы кинетической энергии.

Обратим внимание, что коэффициенты управляющих сил по скоростям k, k входят только в нечетные коэффициенты характеристического уравнения v1, v3, v5. С помощью соответствующей функции системы "Mathematica" проанализируем их положительность v1 v InequalitySolve [ 1 0 1 p1 p2 0 1 p2 0 2 v5 0, { p 2,,, k, k } ] Глядя на аналитическое решение этой системы неравенств 0 p2 1 1 0 p2 1 k (1 + 2 + 3 + (3 + 2 )) k ( + ) k k, (4 + 5 + 2 ) p2 (1 + ) p отметим условие положительности k, следовательно силы могут быть только диссипа тивные, но не ускоряющиеся.

Заметим, что "лишние" силы требуют "расходов" на их техническую реализацию. По этому отдельно рассмотрены два случая стабилизации потенциально неустойчивой подси стемы ограниченным набором заданных управляющих сил:

1) Q = k k ;

2) Q = k + k.

Полученный с помощью InequalitySolve ответ F ALSE свидетельствует о том, что условия Льенара-Шипара в обоих случаях несовместны и следовательно подсистема не может быть стабилизирована этими наборами управляющих сил.

Дальнейший параметрический анализ условий устойчивости аналитически провести не удается в силу большого числа параметров и сложности анализируемых выражений.

Поэтому перейдем к символьно-численному анализу при конкретном распределении масс в системе на параметры (4) при: l = 12 м ;

r = 2.5 м ;

m0 = 1.53 кг ;

m = 0.014 кг ;

Jy = 28 кгм2 ;

Jx = 76 кгм2 ;

Jz = 75 кгм2, управляющие коэффициенты из (2) остаются свободными параметрами. Отметим, что численные значения параметров (4) находятся в области II c нечетной степенью неустойчивости и без влияния каких либо позиционных сил нам не обойтись (т.е. стабилизировать систему не удастся). В рассматриваемом случае ограничимся лишь дополнительными потенциальными силами с коэффициентом k (при k = 0).

Анализ положительности четных коэффициентов характеристического уравнения за висящих от k ) после подстановки численных значений параметров p1, p2,, v0 v2 v 0 4 0 2 0, { k } ] InequalitySolve [ в качестве решения приводит нас к следующему интервалу: 0.99073 k 0.93845.

Отрицательность коэффициента k свидетельствует о том, что в отличие от упругих сил это должны быть притягивающие позиционные силы (например, за счет магнитного устройства). Зададим k = 0.95. Теперь исследуемая подсистема будет иметь уже четную степень неустойчивости и ее можно попытаться стабилизировать. С этой целью получе но 2D-представление решения (рис. 2) символьно-численных условий Льенара-Шипара с помощью программы v3 v1 3 0, 4 0, 4 0, 12 0 }, { k, 0, 10 }, { k, 15, 0 } ] RegionStability[ { v5 0, Область (в виде "иглы") не пуста и тем самым за счет выбора управляющих коэффи циентов k, k (вообще говоря, в очень узком диапазоне значений) можно стабилизи ровать подсистему до асимптотической устойчивости. Например, точка с координатами k = 10, k = 14 принадлежит этой области.

Проведен также параметрический анализ в некоторых частных случаях при соотно шениях на параметры системы:

1) = (это соотношение возможно, например, при Jx = Jz + Jy (т.е. эллипсоид инерции спутника имеет вид диска).

2) = 1. В этом случае матрица G гироскопических сил в (1) будет нулевая, а матрица потенциальных сил K2 определенно положительна (в отличие от исследований, рассмотренных выше). Здесь ставится и решается вопрос о влиянии неконсервативных сил из (3) на потенциально устойчивую подсистему. Установлено, что неконсервативные силы могут разрушать устойчивость потенциальной системы (в целом область устойчиво сти значительно сократилась), но в некоторых случаях они стабилизируют ее (появились дополнительные устойчивые участки).

В заключении еще раз подчеркнем, что весь процесс исследования, начиная с ввода матриц уравнений движения (1), проведен с помощью СКА "Mathematica".

Список литературы [1] Е.М. Потапенко Динамика космического аппарата с прямым активным управлением гравитационным стабилизатором. - Космические исследования, 1988, т. 26, вып. 5, c. 699-708.

[2] А.В. Банщиков, Л.А. Бурлакова Л.А., В.Д. Иртегов Задачи устойчивости динами ческих систем и компьютерная алгебра. - Записки Научных Семинаров ПОМИ им.

Стеклова, 1999, т. 258, с. 262-279.

[3] А.В. Банщиков Параметрический анализ условий устойчивости спутника с грави тационным стабилизатором. - В кн.: Труды 12 Байкальской международной кон ференции "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск, 2001, т. 6, с. 162-166.

[4] A.V. Banshchikov Parametric Analysis of Stability Conditions for a Satellite with a Gravitation Stabilizer. - In: Proceedings of the Fifth Workshop on Computer Algebra in Scientic Computing. Technische Universitat Munchen, 2002, рр. 1-6.

[5] Н.Г. Четаев Устойчивость движения. М.: Гостехиздат, 1946, 204 c.

[6] А.В. Банщиков Программное обеспечение для параметрического анализа систем ал гебраических неравенств (ПО PASI) - Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2000611004. РОСПАТЕНТ. 5 октября 2000г.

ABOUT INFLUENCE OF STRUCTURE OF FORCES ON STABILITY OF THE SATELLITE WITH THE STABILIZER A.V. Banshchikov Institute of Systems Dynamics and Control Theory SB RAS, Irkutsk e-mail: bav@icc.ru Abstract. The question on inuence of structure of forces on stability of a position of relative equilibrium of a satellite with the controlled gravitational stabilizer on a circular orbit is considered.

The special attention is given stabilization of potentially unstable system. With the help of the appropriate functions and user packages of computer algebra system "Mathematica" the parametric analysis in a symbolic-numerical form of the received inequalities (conditions of stability) is carried out.

Key words: stability of motion, degree of instability, control forces, parametric analysis, solution of systems of inequalities, computer algebra.

ПОЗИЦИОННЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ТЕРМИНАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ Н.И. Баранчикова Институт прикладной математики DBO PAH, Владивосток e-mail: nadin@iam.dvo.ru Аннотация. Получен аналог необходимых условий оптимальности для задачи оптимального управления с терминальным критерием качества и ограничениями на концы траекторий в классе позиционных управлений (зависящих от состояния и времени). Эти результаты являются обобщением работ [1]-[2] Ключевые слова: оптимизация, разрывные системы, cинтез, позиционное или синтезирующее управление, принцип максимума, оптимальное, математическая.

1. Постановка задачи Рассмотрим задачу минимизации функционала J0 = 0 (x(t1 ), t1 ) min (1) при ограничениях = 0, i = 1,..., m Ji = i (x(t1 ), t1 ) (2) 0, i = m0 + 1,..., m на траекториях системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3) x = f (x, u, t), t R+, x En, u = u(x, t) U, (4) t t1, где x, u - векторы фазового состояния и управляющих воздействий размерности n, r;

U замкнутое, ограниченное множество пространства Rr, R+ = [0, +);

i : Rn R+ R, i = 1,..., m - скалярные дифференцируемые, f : Rn U R+ Rn - непрерывная вместе с матрицами производных fu, fx векторная функции.

Кусочно-непрерывную функцию u : Rn R+ U с кусочно-непрерывной производной ux в областях ее непрерывности назовем управлением.

Решение векторного дифференциального уравнения (3) при заданном управлении и началь ных значениях определим по Филиппову [3]. Если начальные значения лежат в области глад кости управления, то в малой их окрестности введенные решения совпадают с классическим решением[4], существует и единственно на основании известных результатов качественной тео рии дифференциальных уравнений. Для остальных начальных значений решение может быть не единственным. В таком случае условимся ставить в соответствие управлению u(x, t) и начальным значениям x0 Rn, t0 R+ одно из решений x(t;

x0, t0 ) дифференциального уравнения (3), на котором 0 (x(t1 ;

x0, t0 ), t1 ) достигает наименьшего значения. Для любого управления и началь ных значений соответствующее решение считаем продолжимыми на все множество R + или до момента попадания на границу M множества M = {(x, t) : i (x, t) = 0, i = 1,..., m0, j (x, t) 0, j = m0 + 1,..., m}.

Для произвольного управления u(x, t) начальные значения x0 Rn, t0 R+ назовем допусти мыми, если отвечающая им интегральная кривая (x(t;

x0, t0 ), t) при t 0 пересекает множество M хотя бы в один конечный момент времени. Наименьший из таких моментов времени обозна чим t1 (x0, t0 ). Тройку u(x, t), x(t;

x0, t0 ), t1 (x0, t0 ) для допустимых начальных значений (x0, t0 ) назовем допустимым процессом. Множество всех допустимых начальных значений для управ ления u(x, t) обозначим D. Очевидно D Rn R+. Если (x0, t0 ) D, то D содержит и всю интегральную кривую (x(t;

x0, t0 ), t0 t t1 (x0, t0 )). В частности, множество D может состоять из единственной интегральной кривой.

Допустимое управление u(x, t) назовем оптимальным на множестве D, если для каждой точки (x0, t0 ) D и любого управления u(x, t), порождающего допустимый процесс u(x, t), 1 (x0, t0 ), выполняется неравенство x(t;

x0, t0 ), t x 0 (x(t1 (x0, t0 );

x0, t0 ), t1 (x0, t0 )) 0 ((t1 (x0, t0 );

x0, t0 ), t1 (x0, t0 )).

Предположим, что в области D управление u(x, t) имеет единственную, гладкую поверхность разрыва P размерности n, заданную уравнением p(x, t) = 0. Скалярную функцию p : D R считаем непрерывно дифференцируемой с ненулевым градиентом p(x, t) = (p x, pt ) в точках поверхности P. Сужение функций u(x, t), f (x, u(x, t), t) на области P + = {(x, t) : p(x, t) 0}, P = {(x, t) : p(x, t) 0} обозначим u± (x, t), f ± (x, t) = f (x, u± (x, t), t) и p± (x, t) = px (x, t) f ± (x, t) + pt (x, t), где - знак транспонирования.

Управление u(x, t) назовем нормальным в области D, если выполняются следующие условия:

n1) u, u+ имеют дифференцируемые по x и непрерывные по t продолжения из областей P, + соответственно на малую окрестность поверхности P с сохранением значений из U ;

P n2) в малой окрестности поверхности P справедливы неравенства p 0, p+ или p 0, p 0;

n3) в каждой точке (x, t) P объединение замыканий множеств {v U : px (x, t) f (x, v, t) + pt (x, t) 0}, {v U : px (x, t) f (x, v, t) + pt (x, t) 0} совпадает с U.

Нормальное управление u(x, t) будем называть экстpемальным в области D, если для любой точки (x0, t0 ) D найдется такой вектор = (0, 1,..., m ), зависящий от x0, t0, и непрерывное решение (, x, t) : Rm D Rn сопряженной краевой задачи t + x f (x, u(x, t), t) = Hx (, x, u(x, t), t), (5) существующее на всем множестве D и непрерывно дифференцируемое в областях гладкости управления, удовлетворяющие условиям:

- нетривиальности, неотрицательности и дополняющей нежесткости 0, i 0, i = 0, m0 + 1,..., m;

i i (x1, t1 )|(x1,t1 )M = 0, i = m0 + 1,..., m;

- трансверсальности (, x, t)|t=t1 = Lx (, x, t1 ), d L(, x1, t1 )|(x1,t1 )M = 0;

dt - максимума гамильтониана в каждой точке (x, t) D H(, x, u(x, t), t) = max H(, x, v, t), vU m где H(, x, v, t) = f (x, u, t) - функция Гамильтона, L(, x, t) = i=0 i i (x, t) - функция 1, t ) - точка попадания траектории x(t;

x, t ), соответствующей управлению Лагранжа, (x 1 u(x, t), на множество M, то есть x1 = x(t1 (x0, t0 );

x0, t0 ), t1 = t1 (x0, t0 ).

2.Позиционный принцип максимума для задачи синтеза с ограничениями Теорема. Нормальное оптимальное на D позиционное управление u(x, t) экстремально на этом множестве.

3. Связь с принципом максимума для задачи оптимального управления с ограниче ниями.

Покажем, что в области гладкости нормального экстремального управления имеет место равен ство [fu (x, u(x, t), t)ux (x, t)] (, x, t) = Действительно для любых двух близких точек (x, t), (x+x, t), лежащих в области гладкости экстремального управления, из условия максимума гамильтониана можно записать (, x, t) [f (x, u(x + x, t), t) f (x, u(x, t), t)] 0.

Отсюда в силу малости и произвольности x стандартными рассуждениями получим требуе мый вывод. Таким образом, в области гладкости экстремального управления дифференциальные уравнения краевой задачи (5) примут вид t + x f (x, u(x, t), t) = fx (x, u(x, t), t).

Покажем теперь связь теоремы с принципом максимума для следующей задачи оптимального управления с ограничениями на правых концах траекторий J0 = 0 (x(t1 ), t1 ) min, = 0, i = 1,..., m Ji = i (x(t1 ), t1 ) 0, i = m0 + 1,..., m, (6) x = f (x, u, t), t R+, x En u U, t t1, с фиксированными x0, t0 в кусочно-непрерывных программных управлений. Пусть оптимальный процесс x(t), u(t), t1 задачи (6) существует и (t)-непрерывное решение сопряженной системы = fx (x(t), u(t), t). (7) Положим u(x, t) u(t) и примем за D интегральную кривую (x(t), t), t0 t t1 (x0, t0 ). Тогда вдоль кривой управление u(x, t) нормально и (, x, t) (, t) = (t) удовлетворяет условиям сопряженной краевой задачи (7) и на основании теоремы существует вектор = ( 0,..., m ), удовлетворяющие условия:

0, i 0, i = 0, m0 + 1,..., m;

i i (x(t1 ), t1 ) = 0, i = m0 + 1,..., m;

(t1 ) = Lx (, x(t1 ), t1 ), d L(, x(t1 ), t1 ) = 0;

dt H((t), x(t), u(t), t) = max H(, x, v, t), vU где m H(, x, v, t) = f (x, u, t), L(, x, t) = i i (x, t), i= m (t) = i i (t).

i= Таким образом, для программного оптимального процесса x(t), u(t), t 1 теорема дает принцип максимума.

Список литературы [1] Л.Т.Ащепков, Н.И. Баранчикова Принцип максимума для позиционного управления и про блема синтеза оптимальных систем. Прикладная математика и механика, Т.60, Вып.2,1996.

С.175-188.

[2] Л.Т. Ащепков,Н.И. Баранчикова Критерии оптимальности позиционных управлений. До кл.РАН, 1995, Т.342.2. С.175-176.

[3] А.Ф.Филиппов Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.:Наука, 1985.

224с.

[4] В.В. Степанов Курс дифференциальных уравнений. Физматгиз, 1959. 469с.

[5] Л.Т. Ащепков Оптимальное управление разрывными системами.-Новосибирск: Наука,1987.

226 с.

POSITIONAL MAXIMUM PRINCIPLE FOR FEEDBACK TERMINAL OPTIMAL CONTROL N.I. Baranchikova Institute of Applied Mathematics Far-Easten Branch of Russian Academy of Science, Vladivostok e-mail:nadin@iam.dvo.ru Abstract. An analogue of necessary optimality conditions (in Pontryagin‘s form)is derived in a class of positional controls (depending on state and time) for an feedback optimal control problem with a terminal performance index and constraints in nal points of trajectories.

Key words: optimal feedback control, synthesis, maximum principle МЕТОД СИЛЬНОГО УЛУЧШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВ ЛЕНИЯ МНОГОЭТАПНЫМИ ПРОЦЕССАМИ В.А. Батурин, А.А. Лемперт Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск e-mail: lempert@icc.ru Аннотация. В работе рассматривается задача управления многоэтапными процессами. Состо яние процесса на каждом этапе описывается своей математической моделью в форме управляе мой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а начальные условия задаются как функции, зависящие от состояния процесса на предыдущем этапе и от набора параметров. За дан функционал как функция, зависящая от состояния процесса на последнем этапе в конечный момент времени, который требуется минимизировать.

Для данной задачи предложен метод сильного улучшения второго порядка, изучены свойства релаксационности.

Ключевые слова: многоэтапный процесс, методы улучшения, оптимальное управление.

Введение Объекты, описываемые математическими моделями многоэтапного типа встречаются до статочно часто в прикладных задачах химического или экологического содержания. К таким задачам можно отнести, например, задачу управления сбросами загрязняющих веществ в бассейне реки. При этом данная постановка задачи отличается от так называемых гибридных систем, поскольку качественный характер математической модели не меняется. Для построения алгоритмов улучшения в таких задачах используется технология достаточных условий опти мальности [1] ранее примененная для регулярных задач оптимального управления и задач с импульсным управлением. Результатом явилось семейство методов сильного и слабого улучше ния первого и второго порядков, предложенных в [2]. Предлагаемый в работе метод является модификацией одного из алгоритмов данного семейства применительно к задаче управления многоэтапными процессами.

1. Постановка задачи Рассматривается управляемый процесс, состоящий из нескольких этапов, причем момент окончания предыдущего этапа является моментом начала следующего этапа. Каждый этап опи сывается своей математической моделью:

dxi = f i (t, xi (t), ui (t)), i = 0, p, (1) dt t [i, i+1 ].

Начальные условия на каждом этапе определяются из соотношений:

x0 (0 ) = 0 (a0 ), xi (i ) = i (i, xi1 (i ), ai ), i = 1, p. (2) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант N 05–01–00477.

Функции xi (t) - кусочно-дифференцируемы и принимают значения в евклидовом простран стве Rn(i) ;

ui (t) Ui Rm(i) - кусочно- непрерывны;

ai Ai - векторные параметры из Rr(i), i заданные функции.

Пусть x = x0 (t0 ), x1 (t1 ),..., xp (tp ), u = u0 (t0 ), u1 (t1 ),..., up (tp ), a = a0, a1,..., ap, ti [i, i+1 ]. Далее индекс i у t будем опускать.

Множество троек (x, u, a), удовлетворяющих перечисленным условиям, а также дифферен циальным связям (1) и начальным условиям (2), будем называть множеством допустимых и обозначать D, предполагается, что D = O.

Определим функционал I(x, u, a) = F (xp (p+1 )) min.

Поставим задачу о поиске последовательности {(xs, us, as )} D, на которой I(xs, us, as ) inf I, s.

D Такую последовательность будем называть минимизирующей.

2. Методы улучшения Задача улучшения Относительно постановки задачи сделаем следующее предположение: A i = Rr(i).

Функции f i (t, xi, ui ), i = 0, p, кусочно-непрерывны по t и дважды непрерывно дифферен цируемы по xi, ui, функции F, i, i = 0, p, дважды непрерывно дифференцируемы по своим аргументам.

Пусть заданы управления ui (t), параметры ai и соответствующее состояние xi (t), i = 0, p.

I I I Требуется найти ui (t), ai, xi (t), i = 0, p, такие, что II II II I (xII, uII, aII ) I (xI, uI, aI ).

Метод сильного улучшения 2-го порядка Введем вспомогательные конструкции:

I = I + (1 )J, i+1 p |xi (t)|2 dt + |xi (i+1 )|2 + |ai |2, J= i=0 i где xi (t) = xi (t) xi (t), ai = ai ai, I I Ri (t, xi, ui, ai ) = i i (t, xi, ai )f i (t, xi, ui ) + i (t, xi, ai ) i 2 |x |, t x 1 G0 (x0 (0 ), x0 (1 ), a0 ) = 0 (1, x0 (1 ), a0 ) 0 (0, (a0 ), a0 ) + 0 2 2 |x (1 )| 2 |a |, + Gi (xi (i ), xi (i+1 ), ai ) = i (i+1, xi (i+1 ), ai ) i (i, i (i, xi1 (i ), ai ), ai ) + + 1 |xi (i+1 )|2 + 1 |ai |2, 2 Gp (xp (p+1 ), xp (p+1 ), ap ) = F (xp (p+1 )) + p (p+1, xp (p+1 ), ap ) p (p, p (p, xp1 (p ), ap ), ap ) + 1 |xp (p+1 )|2 + 1 p 2 |a |, i+ p Gi Ri (t, xi, ui, ai )dt + (1 )J, L (x, u, a) = i=0 i где [0, 1].

Обозначим µ (x, a) = inf L (x, u, a).

uU Здесь U класс допустимых управлений, т.е. кусочно-непрерывных функций u(t), удовлетво ряющих ограничениям u(t) U.

Рассмотрим приращение функционала µ (x, a):

µ (x, a) = µ (x, a) µ (xI, aI ) = inf L (x, u, a) inf L (xI, uI, aI ) = uU uU i+ p Gi (xi (i ), xi (i+1 ), ai ) sup Ri (t, xi, ui, ai ) sup Ri (t, xi, ui, ai ) dt.

= I II ui Ui ui Ui i=0 i Обозначим H i (t, xi, pi, ui, ai ) = pi · f i (t, xi, ui ), Hi (t, xi, pi, ai ) = sup H i (t, xi, pi, ui, ai ), ui Ui ui (t, xi, pi, ai ) = arg max H i (t, xi, pi, ui, ai ).

ui Ui Тогда i+ p µ (x, a) = Gi (xi (i ), xi (i+1 ), ai ) Hi (t, xi, pi, ai )+ i=0 i +i (t, xi, ai ) |xi |2 dt.

t Функции Кротова зададим в классе линейно-квадратичных функций:

i (t, xi, ai ) = i (t)xi + i (t)ai + 1 (x i i (t)xi + x i i (t)ai + +a i i (t)xi + a i i (t)ai ), где i (t) n(i) -векторы;

i (t) r(i) -векторы;

i (t) (n(i) n(i))- симметрические матрицы;

i (t) (r(i) r(i)) - симметрические матрицы;

i (t) (n(i) r(i)) - матрицы;

xi = xi xi (t), I ui = ui ui (t), ai = ai ai.

I I p Разлагая приращение функций G = Gi и Hi, i = 0, p, в ряд Тейлора до слагаемых второго i= порядка включительно в окрестности xi, ui, ai и подбирая функции i (t, xi, ai ) таким образом, I II чтобы µ не зависело от линейных и квадратичных членов по xi, получим соотношения, определяющие основные конструкции алгоритма.

Алгоритм:

1. На каждом этапе задаются начальные управления ui (t), параметры ai, из уравнений (1) и I I начальных условий (2) определяются xi (t).

I 2. Задается параметр (0, 1] и из дифференциальных уравнений d i = Hxi i Hxi Hxi, i i i dt i (i+1 ) = i+1 (i+1 ) · i+1 i+1 ), xi ( p (p+1 ) = Fxp (p+1 ), d i = Hxi xi i Hi xi Hxi i i i Hi i + (1 )E n(i), i i i i dt i+ + xi · i+1 (i+1 ) · i+1 (1 )E n(i), i+ i (i+1 ) = i+1 (i+1 ) · xi ) xi xi p (p+1 ) = Fxp xp (1 )E n(p), d i = Hxi ai Hxi i i Hi ai i i Hi i i, i i i i dt i (i+1 ) = 0, находятся i (t), i (t), i (t).

3. По формуле ai = i (i+1 )i i + i i i (i+1 ) + i (i ) · i i + ai i (i ) · i i (1 )E r(i) + i a a a a ai i+ Hai ai + Hi ai i (t) + i (t)Hai i + i (t)Hi i i (t) dt i i i i + i i+ i (i )i i + Hai + i (t) Hai Hai i i i dt a i подсчитываются ai и ai = ai + ai.

II I 4. Интегрируются уравнения dxi = f i (t, xi (t), ui (t, xi, pi, ai )), i = 0, p, dt при условиях x0 (0 ) = 0 (a0 ) и xi (i ) = i (i, xi1 (i ), ai ), i = 1, p, тем самым находится xi (t) и ui (t) = ui t, xi (t), i (t) + i (t)(xi (t) xi (t)) + i (t)(ai ai ), ai.

II II II II I II I II 5. Сравниваются значения функционалов I(xI, uI, aI ) и I(xII, uII, aII ). Если улучшения не произошло, то параметр уменьшается и процесс повторяется, начиная с шага 2.

Теорема о релаксационности метода.

Пусть функция F (xp ) непрерывна и дважды дифференцируема, а функции H i (·), H i (·) и ui (t, xi, pi, ai ), i = 0, p, удовлетворяют условиям:

1) функции Hi (t, xi, pi, ai ) непрерывны и непрерывно-дифференцируемы дважды по xi, pi, ai.

2) существуют непрерывные и дважды дифференцируемые по pi функции ui (t, xi, pi, ai ) такие, что H i (t, xi, pi, ui (t, xi, pi, ai ), ai ) = Hi (t, xi, pi, ai ).

Тогда, если xi (t), ui (t), ai не является экстремалью Понтрягина, алгоритм определяет новые I I I ui (t), ai и соответствующие траектории xi (t), i = 0, p такие, что II II II I(xII, uII, aII ) I(xI, uI, aI ).

Список литературы [1] Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 446с.

[2] Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основан ные на принципе расширения. Новосибирск: Наука, 1997. - 175 с.

STRONG IMPROVING METHOD FOR OPTIMAL CONTROL PROBLEM OF MULTISTAGE PROCESSES V.A. Baturin, A.A. Lempert Institute system dynamic and control theory SB RAS, Irkutsk e-mail: lempert@icc.ru Abstract. In this paper the optimal control problem of multistage processes is considered. We have the dierent mathematical models describing state of system. The models are presented in the form of the system of ordinary dierential equations with control for each stage. Initial conditions for each stage depend on the state of the process at the previous stage and depend on the set of parameters also.

For such problem we suggest second-order strong improving method.

Key words: multistage process, improving method, optimal control МЕТОДЫ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНОГО УЛУЧШЕНИЯ УПРАВЛЕ НИЯ В КВАДРАТИЧНЫХ ПО СОСТОЯНИЮ СИСТЕМАХ А.С. Булдаев Бурятский государственный университет, Улан-Удэ e-mail: imi@bsu.ru Аннотация. Предлагаются методы нелокального улучшения управления в динамических системах, квадратичных по состоянию и линейных по управлению. Построение улучшающего управления основывается на расчете вспомогательной краевой задачи в пространстве состояний и эквивалентной системы функциональных уравнений в пространстве управлений с помощью метода возмущений. Методы не содержат трудоемкую операцию игольчатого или слабого варьирования управления.

Ключевые слова: квадратичная по состоянию система, задача улучшения управления, метод возмущений.

Введение В работе [1] предложены проекционные процедуры нелокального улучшения линейно управ ляемых процессов в квадратичных по состоянию задачах оптимального управления. Платой за нелокальность улучшения является решение двухточечной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, которая значительно проще по свойствам гладкости, чем крае вая задача принципа максимума. Процедуры позволяют улучшать управления, удовлетворяющие принципу максимума, за счет неединственности решения краевой задачи.

В настоящей работе обосновываются методы нелокального улучшения управления, осно ванные на расчете краевой задачи улучшения и эквивалентной ей системы функциональных уравнений на множестве допустимых управлений с помощью метода возмущений.

1. Постановка задачи Рассматривается задача оптимального управления, квадратичная по состоянию и линейная по управлению ( a(x(t), t), u(t) + d(x(t), t))dt min, (1) (u) = (x(t1 )) + uV T x(t0 ) = x0, u(t) U, t T = [t0, t1 ], (2) x(t) = A(x(t), t)u(t) + b(x(t), t), в которой x(t) = (x1 (t),..., xn (t)) - вектор состояния, u(t) = (u1 (t),..., um (t)) - вектор управления.

В качестве множества допустимых управлений u(t), t T рассматривается класс V = {u L2 (T ) : u(t) U, t T } измеримых и интегрируемых по Лебегу с квадратом на T векторных функций со значениями в выпуклом компактном множестве U Rm. Скалярные функции (x), d(x, t), векторные функции a(x, t), b(x, t), матричная функция A(x, t) являются квадратичными по x и непрерывными по t на множестве Rn T. Начальное состояние x0 и промежуток управления T заданы.

Предполагается, что каждому управлению v V соответствует единственное решение x(t, v), t T системы (2) (абсолютно непрерывная векторная функция).

Используется следующая система обозначений: x, y = n xi yi - скалярное произведение i= векторов x, y в Rn ;

x - евклидова норма вектора x;

qx, qu, qxx, quu, qxu - частные производ ные функции q соответственно первого и второго порядка по аргументам x, u;

A T - матрица, транспонированная к матрице A, C2 (T ) - множество абсолютно непрерывных и интегрируемых по Лебегу с квадратом на T векторных функций с нормой z 2 = ( T z 2 (t)dt) 2.

Введем функцию Понтрягина с сопряженной переменной R n H(, x, u, t) = H0 (, x, t) + H1 (, x, t), u, где H0 =, b(x, t) d(x, t), H1 (, x, t) = AT (x, t) a(x, t). Стандартная сопряженная система имеет вид (t) = Hx ((t), x(t), u(t), t), t T. (3) Для допустимого управления v V обозначим (t, v), t T - решение системы (3) при u(t) = v(t), x(t) = x(t, v), (t1, v) = x (x(t1, v)).

Для допустимого управления u V определим отображение u, 0 с помощью соотноше ния u (, x, t) = PU (u(t) + H1 (, x, t)), Rn, x Rn, t T, (4) где PU - оператор проектирования на множество U в евклидовой норме.

Принцип максимума для управления u V с помощью отображения (4) представляется в форме u(t) = u ((t, u), x(t, u), t), t T, 0. (5) Поставим задачу улучшения заданного допустимого управления u0 V : найти управление v V с условием v (u0 ) = (v) (u0 ) 0.

Введем модифицированную сопряженную систему в задаче (1), (2) p(t) = Hx (p(t), x(t), u(t), t) Hxx (p(t), x(t), u(t), t)y(t), t T. (6) Для допустимых управлений u0, v V обозначим p(t, u0, v), t T - решение системы (6) при u(t) = u0 (t), x(t) = x(t, v), y(t) = x(t, v) x(t, u0 ), p(t1, u0, v) = x (x(t1, u0 )) xx (x(t1, u0 ))(x(t1, v) x(t1, u0 )).

Отметим очевидное равенство p(t, u0, u0 ) = (t, u0 ), t T.

Для заданных u0 V и 0 сформируем отображение u. Для решения задачи нелокального улучшения u0 достаточно решить следующую вспомогательную краевую задачу x(t) = f (x(t), u (p(t), x(t), t), t), x(t0 ) = x0, (7) 0 p(t) = Hx (p(t), x(t, u ), u (t), t) Hxx (p(t), x(t, u0 ), u0 (t), t)(x(t) x(t, u0 )), p(t1 ) = x (x(t1, u0 )) xx (x(t1, u0 ))(x(t1 ) x(t1, u0 )). (8) Предположим, что решение (x (t), p (t)), t T краевой задачи (7),(8) (возможно, не единственное) существует на интервале T. Сформируем выходное управление v (t) = u (p (t), x (t), t), t T. Получаем x (t) = x(t, v ), p (t) = p(t, u0, v ) и v (t) = u (p(t, u0, v ), x(t, v ), t), t T. (9) При этом имеет место оценка невозрастания целевого функционала на управлении v (t), t T (v ) (u0 ) v (t) u0 (t) 2 dt. (10) T Обратно, пусть v (t), t T - допустимое управление, удовлетворяющее условию (9). Тогда пара (x(t, v ), p(t, u0, v )), t T является решением краевой задачи улучшения (7),(8).

Таким образом краевая задача улучшения (7),(8) в пространстве состояний эквивалентна системе уравнений (9) на множестве допустимых управлений. Отметим, что управление u 0 V, удовлетворяющее условию (5) принципа максимума, является очевидным решением системы (9).

Это значит, что краевая задача улучшения (7),(8) для управления u 0 V, удовлетворяющего принципу максимума, всегда имеет решение (x(t, u0 ), (t, u0 )), t T в пространстве состояний.

Выделим случай линейной по состоянию задачи (1),(2) (функции (x), d(x, t), a(x, t), b(x, t), A(x, t) линейны по x). Тогда краевая задача улучшения (7),(8) распадается на две задачи Коши для фазовой и сопряженной переменных x(t), p(t). В данном случае для решения задачи улучшения достаточно решить две задачи Коши в пространстве состояний.

2. Методы возмущений Введем параметр возмущения [0, 1] в краевую задачу улучшения (7), (8) следующим образом x(t) = f (x(t), u (p(t), x(t), t), t), x(t0 ) = x0, (11) 0 p(t) = Hx (p(t), x(t, u ), u (t), t) Hxx (p(t), x(t, u0 ), u0 (t), t)(x(t) x(t, u0 )), p(t1 ) = x (x(t1, u0 )) xx (x(t1, u0 ))(x(t1 ) x(t1, u0 )). (12) Невозмущенная краевая задача соответствует значению параметра = 0. Исходная краевая задача получается из возмущенной (11), (12) при = 1.

Очевидно невозмущенная краевая задача распадается на две независимых задачи Коши. При этом решением невозмущенной сопряженной системы является p0 (t) = (t, u0 ), t T. Решение x0 (t), t T невозмущенной фазовой системы определяется задачей Коши x(t) = f (x(t), u (p0 (t), x(t), t), t), x(t0 ) = x0.

Для решения возмущенной краевой задачи (11), (12) при (0, 1] предлагается итерационный процесс xk+1 (t) = f (xk+1 (t), u (pk+1 (t), xk+1 (t), t), t), xk+1 (t0 ) = x0, (13) k+1 k+1 0 (t) = Hx (p (t), x(t, u ), u (t), t) p Hxx (pk (t), x(t, u0 ), u0 (t), t)(xk (t) x(t, u0 )), pk+1 (t1 ) = x (x(t1, u0 )) xx (x(t1, u0 ))(xk (t1 ) x(t1, u0 )), (14) где на каждой итерации решается задача, аналогичная невозмущенной. Задается начальное при ближение (x0 (t), p0 (t)), t T.


Теорема 1. Пусть на множестве V семейство фазовых траекторий ограничено:

x(t, v) X, t T, v V, где X Rn - выпуклое компактное множество. Тогда при достаточно малых 1. возмущенная задача (11), (12) при = 1 имеет единственное решение x C2 (T ), p C2 (T ).

2. итерационный процесс (13), (14) при = 1 с любым начальным приближением x 0 C2 (T ), 0 C (T ) сходится в норме C (T ) к решению x C (T ), p C (T ) при k.

p 2 2 2 В качестве следствия отметим, что при выполнении условий теоремы 1 решением возмущен ной краевой задачи (11), (12) для управления u0 V, удовлетворяющего принципу максимума (5), является пара x(t, u0 ), (t, u0 ), t T.

Для управления u0 V, не удовлетворяющего принципу максимума, начальным приближе нием итерационного процесса (13), (14) можно выбрать решение невозмущенной краевой задачи (x0 (t), p0 (t)), t T. При этом при достаточно малых 0 согласно теореме 1 и оценке (10) гарантируется строгое улучшение управления u0.

На практике итерационный процесс (13), (14) при фиксированном (0, 1] продолжается до первого улучшения управления u0. Далее строится новая краевая задача улучшения и новый итерационный процесс метода возмущения. Так возникает метод возмущений для нелокального улучшения управления в рассматриваемом классе задач.

Применим метод возмущений для решения системы (9) функциональных условий улучшения управления, которую представим в форме v(t) = PU (u0 (t) + H1 (p(t, u0, v), x(t, v), t)), t T. (15) Проекционный параметр 0 рассмотрим в качестве параметра возмущения, задачу (15) назовем возмущенной. Невозмущенная задача получается из возмущенной задачи (15) при = и имеет очевидное решение v(t) = u0 (t), t T.

Первый итерационный процесс решения возмущенной задачи (15) состоит в решении на k ой итерации задачи, аналогичной невозмущенной задаче, и имеет вид v k+1 (t) = PU (u0 (t) + H1 (p(t, u0, v k ), x(t, v k ), t)), t T. (16) Второй итерационный процесс для решения задачи (15) имеет форму v k+1 (t) = PU (u0 (t) + H1 (p(t, u0, v k ), x(t, v k+1 ), t)), t T. (17) На начальной (нулевой) итерации задается начальное приближение v 0 (t), t T.

Следующая теорема устанавливает сходимость итерационных процессов.

Теорема 2. Пусть на множестве V семейство фазовых траекторий ограничено:

x(t, v) X, t T, v V, где X Rn - выпуклое компактное множество.

Тогда при достаточно малых 1) возмущенная задача (15) имеет единственное решение v V ;

2) итерационные процессы (16), (17) сходятся в норме L2 (T ) к решению v возмущенной задачи (15) для любого начального приближения v 0 V.

В качестве следствия отметим, что при выполнении условий теоремы 2 решение возмущен ной задачи (15) для управления u0 V, удовлетворяющего принципу максимума, совпадает с решением u0 невозмущенной задачи.

Начальным приближением итерационных процессов (16) и (17) при решении возмущенной задачи (15) для управления u0, не удовлетворяющего принципу максимума, можно выбирать ре шение u0 невозмущенной задачи. При этом при достаточно малых 0 согласно теореме 2 и оценке улучшения (10) гарантируется строгое улучшение управления u 0 итерационными процес сами.

Отметим, что метод возмущения проекционной формы принципа максимума (5) выгодно от личается от метода возмущения краевой задачи улучшения (7), (8) тем, что имеет возможность улучшать управление u0 V при всех допустимых значениях параметра возмущения.

В заключение выделим основные особенности предлагаемых методов возмущений для улуч шения управлений в квадратичной по состоянию и линейной по управлению задаче (1),(2).

1. Нелокальность улучшения управления, обусловленная фиксированностью параметра воз мущения.

2. Отсутствие трудоемкой операции игольчатого или слабого варьирования при поиске улуч шающего управления, характерной для методов проектирования [2], [3] в рассматриваемом классе задач оптимального управления.

3. Возможность улучшения управления, удовлетворяющего принципу максимума, которая обусловливается неединственностью решения краевой задачи улучшения.

Список литературы [1] Булдаев А.С. Проекционные процедуры нелокального улучшения линейно управляемых про цессов // Изв. вузов. Математика. 2004. №1. С. 18-24.

[2] Васильев О.В. Лекции по методам оптимизации. - Иркутск: Изд-во Иркутск. ун-та, 1994.

[3] Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. - М.: Физмат лит, 2000.

METHOD OF PERTURBATIONS FOR NONLOCAL IMPROVING THE CONTROL IN QUADRATIC SYSTEMS WITH RESPECT TO STATE A.S. Buldaev Buryat State University, Ulan-Ude e-mail: imi@bsu.ru Abstract. Methods for the nonlocal improvement of controls are proposed for dynamic systems that are quadratic with respect to state and are linear with respect to control. Constructing the improving control is based on solving the improvement boundary value problem and equivalent system of functional equations with the help of perturbation’s method. The methods do not use the time-consuming operation of needle-shape control variations.

Key words: quadratic system with respect to state, problem of improving the control, method of perturbations О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ Л.А.Бурлакова Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск e-mail: irteg@icc.ru Аннотация. В статье рассматривается одно свойство симметричных матриц, вытекающее из условий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм. Это свойство позволяет определить структуру знакоопределенной матрицы, и может быть использовано для построения семейств знакоопределенных квадратичных форм в задачах управления и устойчивости.

Ключевые слова: симметричная матрица, знакоопределенная квадратичная форма, критерий Сильвестра.

Введение В задачах управления, оптимизации, устойчивости широко используются квадратичные фор мы, например, в качестве функций Ляпунова в задачах устойчивости и управления, при иссле довании экстремумов в задачах оптимизации и т.д..

Этот математический объект достаточно хорошо изучен и обладает многими важными для приложений свойствами, такими, например, как знакоопределенность при определенных услови ях [1].

Необходимые и достаточные условия знакоопределенности квадратичной формы дает кри терий Сильвестра [1],[2]: квадратичная форма определенно положительна тогда и только тогда, когда положительны все главные диагональные миноры матрицы формы. Считается, что условия Сильвестра громоздки, так как связаны с вычислениями определителей до n-го порядка.

В работе [4] предложен алгоритм получения необходимых и достаточных условий знакоопре деленности квадратичных форм на основе использования известной теоремы [2]: эрмитова мат рица тогда и только тогда положительно определена, когда она конгруэнтна единичной матрице.

Однако и при реализации этого алгоритма неизбежно приходим к необходимости вычисления определителей Сильвестра. Еще один подход, связанный с формой представления необходимых и достаточных условий знакоопределенности, рассмотрен в работе [5].

В приложениях часто используют различные достаточные критерии знакоопределенности квадратичных форм. Наиболее прост и распространен критерий сильной доминанты диагональ ных элементов [2],[3] матрицы, но он довольно груб и дает далекие от необходимых условия.

Более мягкие, но не очень конструктивные условия дают, например, теоремы Брауэра, Остров ского и др. [3]. Все условия сводятся по различным алгоритмам к проверке соотношений между диагональными и внедиагональными элементами матрицы формы.

В нашей работе получено решение системы неравенств, вытекающих из условий Сильвестра, относительно внедиагональных элементов матрицы формы, что позволяет проследить структуру знакоопределенных матриц, точные соотношения между диагональными и внедиагональными элементами.

1. Постановка задачи Рассмотрим квадратичную форму V ( x ) = 1/2 xT A x (1) где x = col(x1,..., xn ), A = (aij ) = AT, ( aij = aji, i, j = 1,..., n ) – квадратная симметричная матрица с вещественными элементами (A Mn );

T – знак транспонирования;

V (0) = 0.

Форма является положительно (отрицательно) определенной, если она принимает только x2 0 ;

тогда A 0 (A 0).

положительные (отрицательные) значения, когда i Условия Сильвестра определенной положительности формы (1) :

a11 a12 a a11 a a12 a22 a a11 0;

2 = 0;

3 = 0;

a12 a a13 a23 a a11 a12 a13 a14... a1n a11 a12 a13 a14 a12 a22 a23 a24... a2n a12 a22 a23 a24 a13 a23 a33 a34... a3n (2) 4 = 0;

... ;

n = 0.

a13 a23 a33 a34 a14 a24 a34 a44... a4n a14 a24 a34 a44........

a1n a2n a3n a4n... ann дают систему полиномиальных неравенств, квадратичных относительно внедиагональных эле ментов aij (j i) (кроме первого):

a11 0 ;

2 = a12 2 + a11 a22 0;

3 = a11 a23 2 + 2 a12 a13 a23 a13 2 a22 a12 2 a33 + a11 a22 a33 0;

4 = a14 2 a23 2 2 a13 a14 a23 a24 + a13 2 a24 2 a14 2 a22 a33 + 2 a12 a14 a24 a33 a11 a24 2 a33 + 2 (a13 a14 a22 a12 a14 a23 a12 a13 a24 + a11 a23 a24 ) a34 + a12 2 a11 a22 a34 2 a13 2 a22 a44 + 2 a12 a13 a23 a44 a11 a23 2 a44 a12 2 a33 a44 + a11 a22 a33 a44 0 ;

....

Разрешим эту систему неравенств относительно внедиагональных элементов.

2. Решение задачи Будем рассматривать главный диагональный минор k как полином относительно элемента ak1 k, который, как нетрудно увидеть, можно записать в виде:

k (ak1 k ) = a2 (k2 ) 2ak1k Mk1 ({1,..., k 1}, {1,..., k 2, k})ak1k 0 + k1k Mk ({1, 2,..., k 1, k}, {1, 2,..., k 1, k})ak1k 0, k = 2,..., n, (3) где Mp ({}, {}) минор порядка p подматрицы матрицы A, образованной строками из {} и столбцами из {};


Mk ({1, 2,..., k 1, k}, {1, 2,..., k 1, k}) = k, 0 = 1. Важно заметить, что k (3) не содержит элементов aij с индексами i k, j k. Пусть условия (2) выполнены для p = k 1. Тогда для каждого полинома k определенно положительной формы (1) коэффициент при второй степени ak1 k обязательно отрицателен, и потому полином k (Ak1 k ) может быть положительным только тогда, когда положителен дискриминант D k уравнения k (ak1 k ) =. Дискриминант этого уравнения путем громоздких преобразований приведем к виду:

Mk1 ({1,..., k 1}, {1,..., k 2, k})ak1k Dk = + k2 Mk ({1,..., k 1, k}, {1,..., k 1, k})ak1k 0 = k1 Mk1 ({1,..., k 2, k}, {1,..., k 2, k}), (4) Первый сомножитель в (4) положителен в силу сделанного предположения о положительности главных диагональных миноров порядка k 1;

второй сомножитель, равный главному минору подматрицы, полученной из главной диагональной подматрицы порядка k вычеркиванием (k1) вых строки и столбца, положителен в силу известной теоремы [2]: матрица A 0 (A M n ) тогда и только тогда, когда положительны все ее главные миноры. Следовательно, для матрицы A 0 дискриминант Dk 0, полином (3) имеет действительные корни для элемента ak1 k, и его значение должно находиться между этими корнями: ak1 k,min ak1 k ak1 k,max.

Рассмотрим теперь главный минор Mk ({1, 2,..., k 1, j}, {1, 2,..., k 1, j}), который получим заменой в матрице определителя k последних строки и столбца строкой и столбцом j k (j = k + 1,..., n) матрицы A. При k = 1 перебором j = 2,..., n, в качестве таких миноров получим диагональные элементы ajj ;

при k = 2,..., n 1 как и выше, этот минор представляет собой полином относительно ak1 j, и в соответствии с упомянутой выше теоремой [2] для A имеем :

aii 0, i = 1..., n, Mk ({1, 2,..., k 1, j}, {1, 2,..., k 1, j}) = a2 (k2 ) k1j 2ak1j Mk1 ({1,..., k 1}, {1,..., k 2, j})ak1j 0 + Mk ({1,..., k 1, j}, {1,..., k 1, j})ak1j 0 0, k = 2,..., n 1, j = k + 1,..., n, (5) Дискриминант Dk,j уравнения Mk ({1, 2,..., k 1, j}, {1, 2,..., k 1, j}) = 0 можно привести к виду:

Dk,j = k1 Mk1 ({1, 2,..., k 2, j}, {1, 2,..., k 2, j}) (6) Для A 0 оба сомножителя в (6) положительны, в (5) коэффициент при второй степени a k1j отрицателен, и потому полином (5) имеет два действительных корня для a k1j, между которыми должны располагаться значения элемента ak1j в случае определенной положительности матрицы A. Заметим, что полином (5) не содержит элементов apl (l p k).

3. Результат Объединяя (3),(5) в одну систему неравенств, можем последовательно (в порядке увеличения индекса k) разрешить ее относительно внедиагональных элементов, что позволяет сформулиро вать следующую теорему:

Теорема 1. Симметричная матрица A = (aij ) (j i = 1,..., n) с вещественными элементами определенно положительна тогда и только тогда, когда выполнены следующие соотношения 1. aii 0, i = 1,..., n ;

Mk1 ({1,..., k 1}, {1,..., k 2, j})ak1j 2.

k1 Mk1 ({1,..., k 2, j}, {1,..., k 2, j}) /k (7) ak1j Mk1 ({1,..., k 1}, {1,..., k 2, j})ak1j 0 + k1 Mk1 ({1,..., k 2, j}, {1,..., k 2, j}) /k2 ;

k = 2,..., n;

j = k,..., n Для определенной отрицательности формы (1) (A 0) нужно учесть, что в условиях Сильвестра aii 0, все главные диагональные миноры четного порядка положительны, нечетного порядка отрицательны. Проведя рассуждения, аналогичные предыдущему параграфу, получим теорему:

Теорема 2. Симметричная матрица A = (aij ) (j i = 1,..., n) с вещественными элементами определенно отрицательна тогда и только тогда, когда выполнены следующие соотношения 1.aii 0, i = 1,..., n ;

Mk1 ({1,..., k 1}, {1,..., k 2, j})ak1j 2.

(1)k k1 Mk1 ({1,..., k 2, j}, {1,..., k 2, j}) /k (8) ak1j Mk1 ({1,..., k 1}, {1,..., k 2, j})ak1j 0 + (1)k k1 Mk1 ({1,..., k 2, j}, {1,..., k 2, j}) /k2 ;

k = 2,..., n;

j = k,... n.

3. Пример Последовательность неравенств (7) ( или (8)) определяет границы возможных значений вне диагональных элементов по выбранным значениям в предыдущих строках и столбцах (ниже для положительно определенной формы) :

по первой строке a11 a22 a12 a11 a22 ;

a11 a33 a13 a11 a33 ;

a11 a44 a14 a11 a44... ;

(9) по второй строке (a12 2 a11 a22 ) (a13 2 a11 a33 ) (a12 2 a11 a22 ) (a13 2 a11 a33 ) a12 a13 a12 a a23 + ;

a11 a11 a11 a (a12 2 a11 a22 ) (a14 2 a11 a44 ) (a12 2 a11 a22 ) (a14 2 a11 a44 ) a12 a14 a12 a a24 + ;

...

a11 a11 a11 a по третьей строке a13 a14 a22 a12 a14 a23 a12 a13 a24 + a11 a23 a a12 + a11 a 3 (a14 2 a22 2a12 a14 a24 + a12 2 a44 + a11 (a24 2 a22 a44 )) a a13 a14 a22 a12 a14 a23 a12 a13 a24 + a11 a23 a24 + a12 + a11 a 3 (a14 2 a22 2a12 a14 a24 + a12 2 a44 + a11 (a24 2 a22 a44 )) ;

+ a13 a15 a22 a12 a15 a23 a12 a13 a25 + a11 a23 a a12 2 + a11 a 3 (a15 2 a22 2a12 a15 a25 + a12 2 a55 + a11 (a25 2 a22 a55 )) a a13 a15 a22 a12 a15 a23 a12 a13 a25 + a11 a23 a25 + a12 2 + a11 a 3 (a15 2 a22 2a12 a15 a25 + a12 2 a55 + a11 (a25 2 a22 a55 )) ;

....

+ Очевидно, что сменив порядок следования переменных в квадратичной форме, получим снова вложенную систему неравенств. И потому из (9) следует известное свойство [2] знакоопределен ных (любого знака) квадратичных форм (1):

aii ajj aij aii ajj, j i = 1,..., n 1, j = 2,..., n.

Заметим, что эта система неравенств определяет только необходимые условия знакоопределен ности: при нарушении любого из них форма знакоопределенной быть не может. Из приведенных формул виден простой алгоритм : достаточно вычислить границы для элемента a k1 k, в (k 1) ой строке границы для всех других элементов ak1 j (j k) получим заменой индекса k на индекс j.

Полученные соотношения можно использовать при построении семейств знакоопределенных квадратичных форм в задачах устойчивости и управления.

Список литературы [1] Ф.Р.Гантмахер Теория матриц. М.: Наука, 1967, 575 c.

[2] Р.Хорн, Ч.Джонсон Матричный анализ. М.: Мир, 1989, 665 с.

[3] М.Пароди Локализация характеристических чисел матриц и ее применения. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960, 170 с.

[4] А.Б.Аминов, Т.К.Сиразетдинов Условия знакоопределенности четных форм и устойчиво сти в целом нелинейных однородных систем. - ППМ, 1984, т.48, вып.3, с.339 - 347.

[5] С.Я.Степанов О равновесии и устойчивости спутника с роторами и грузом, подвешенным на тросе. - В кн.: XII международная конференция по вычислительной механике и совре менным системам, тезисы докладов, М.: Изд-во МАИ, 2003, т.2, с.584.

ABOUT SOME PROPERTIES OF THE QUADRATIC FORMS L.A.Burlakova Institute of Systems Dynamics and Control Theory, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, Irkutsk e-mail: irteg@icc.ru Abstract. In this article authors discuss one property of symmetric matrices that follows from Sylvester conditions of sign-denitiveness of quadratic forms. This property allows to determine structure of sign-denite matrix and can be used to build families of sign-denite quadratic forms in control and stability tasks.

Key words: Symmetric matrix, sign-denitiveness quadratic form, Sylvester criterion.

OPTIMALITY CONDITIONS FOR SINGULAR CONTROLS O.O. Vasilieva University of Valle, Colombia e-mail: olgavas@univalle.edu.co Abstract. The presentation is focused on a bounded control problem with boundary conditions. The control domain need not be convex. First-order necessary condition for optimality was obtained in the customary form of the maximum principle [10], and second-order necessary condition for optimality of singular controls is derived here on the basis of second-order increment formula using the method of increments along with linearization approach.

Key words: optimal control, optimality condition, singular controls.

Introduction The role of the Pontryagin maximum principle is crucial for any research related to optimal processes that have control constraints. The simplicity of the principle’s formulation together with its meaningful and benecial directness has become an extraordinary attraction and one of the major causes for the appearance of new tendencies in mathematical sciences. The maximum principle is by nature a necessary rst-order condition for optimality since it was born as an extension of Euler Lagrange and Weierstrass necessary conditions of variational calculus.

That is why the application of the Pontryagin maximum principle provides information on extremal controls, called sometimes Pontryagin extremals, among which an optimal control is to be searched.

On the other hand, there is always a fair chance that such extremals may cease to be optimal, and it should be emphasized that in this presentation we will discuss only necessary conditions for optimal control.

It is not our intention to depreciate the maximum principle, but it would be fair to say that the maximum principle may cease working in some situations. An illustration of such a “misbehavior"is oered by a typical instance of singular controls. This issue was disclosed by L.I.Rosono`r [7] in 1959, e right after the announcement of the maximum principle was made, and then discussed by many other researches (see, e.g., [1], [2]–[8]). In fact, the maximum principle (as rst-order necessary condition for optimality) provides no information about singular extremal controls. In this situation one must seek for an extension of the maximum principle, that is, higher-order necessary condition for optimality of singular controls. The proposed task can be accomplished using diverse techniques, such as the generalized Legendre-Clebsch condition [5, 6], the concept of a bundle of variations of [4], the concept of Legendre bundles of disturbances used for time-optimal control problems [1], and the concept of sub-Riemannian “abnormal"minimizers that appear in [3].

This presentation is strongly motivated by the approach of Gabasov and Kirillova [4] destined for free end-point problems. The basic strategy for the proof was exactly the same as that of the classical argument given in [4]. However, the novelty of our approach consists in considering the nonlinear boundary conditions and ODE system as an entire object that, for a specied admissible control, produces a bunch of state proles. It should be noted that the customary approach described in the past tends to separate the boundary conditions by initial and terminal ones and proposes to unify the initial conditions with dynamic system and to treat the terminal conditions as constraints.

1. Statement of the problem Let us start by posing the problem to minimize a performance index F (x, u, t)dt min (1) J(u) = (x(t0 ), x(t1 )) + T which is dened on the set of solutions to nonlinear boundary value problem (henceforward BVP) x(t) Rn, t T = [t0, t1 ] (2) x = f (x, u, t), : R2n Rn (3) (x(t0 ), x(t1 )) = 0, Rr, t Here x = x(t), t T describes the state of dynamic process (2)–(3);

u = u(t), u(t) T represents the control vector;

vector-functions f = (f1,..., fn ), = (1,..., n ) and scalar functions and F are continuous in their arguments together with their partial derivatives up to second order.

We shall refer to the class of admissible controls as a set of measurable vector-functions u(·) r (T ) with direct constraint L u(t) U, t T (4) where U is a compact set in Rr.

Remark 1 For = (x(t0 )), the problem (1)–(4) turns into familiar free end-point problem. In this case, the question of existence and uniqueness of solution to Cauchy problem in any admissible control is answered straightforward. The same may be said about BVP (2)–(3) only if system (2) is linear in state variable (see, e.g. [10]). Therefore, from now on we ought to introduce the following assumption.

Assumption 1 For any admissible control u = u(t), u(t) U, the BVP (2)–(3) has unique solution x = x(t, u) and the set formed by all admissible pairs {u, x = x(t, u)} is closed.

2. Optimality conditions The customary form of the maximum principle for the problem (1)–(4) posed in the previous section has been obtained in [10] out of the increment formula for the objective functional (1) J(u) = J(u ) J(u) = (5) v H(, x, u, t)dt + o() considered on the needle-shaped variation v U, t (, ] T, (6) u (t) = u(t), t T \ (, ] of the admissible control u = u(t). It should be noted that here H(, x, u, t) = (t), f (x, u, t) F (x, u, t) is the Hamiltonian function, v H(, x, u, t) = H(, x, v, t) H(, x, u, t) stands for its partial increment in control variable, and = (t) denotes the conjugate vector function subordinated to the ODE system H(, x, u, t) = (7) x with boundary conditions B 0 (t0 ) + B 1 (t1 ) = 0 (8) + B B x(t0 ) x(t1 ) where B 0, B 1 are some nontrivial (n n) matrices chosen according to the condition = 0. (9) + B B x(t0 ) x(t1 ) For further considerations, it will be convenient to cite the formulation of the maximum principle.

Theorem 1 (rst-order condition) Suppose that admissible process {u, x } is optimal for the problem (1)–(4), and that is the solution to conjugate BVP (7)–(9) calculated on the optimal process. Then, for all T the following inequality holds:

v H(, x, u, ) 0, v U. (10) We will recall that an admissible control u = u(t), t T is called singular within some range T of positive measure, that is, mes 0, if u H(, x, u, t) 0 (11) at any t and for all u(t) U. For example, if optimal control u (t) is singular within some range T, mes 0 then function v H(, x, u, t) does not depend upon control variable v on the direct product U. Therefore, within the maximum principle (10) formulated in the form of Theorem 1 becomes completely useless. In other words, condition (11) conveys the degeneracy (or triviality) of the maximum principle within T and indicates the need of another optimality condition. One way to obtain such a condition is to try to extract the second-order term in the increment formula (5) corresponding to the needle-shaped variation of the optimal process. This approach has been used by Gabasov and Kirillova in [4] for initial-value systems. So, having extended this approach to the problem (1)–(4) we arrived to the following second-order increment formula J(u) = (12) v H(, x, u, t)dt H(, x, u, t) + (, t)v f (x, u, t), x(t) dt + o(2 ), v x where = (, t) is a kind of analogue of conjugate matrix function used by the authors of [4] (but not exactly the same thing) and is dened as a solution to conjugate matrix system f (x, u, t) 2 H(, x, u, t) f (x, u, t) = (13).

x x x together with boundary conditions 2 2 2 + + + B0 x(t0 )2 x(t1 )x(t0 ) x(t0 )2 x(t1 )x(t0 ) 2 2 2 +B 1 + + + x(t1 )2 x(t0 )x(t1 ) x(t1 )2 x(t0 )x(t1 ) B 0 (t0 ) + B 1 (t1 ) = 0. (14) In the last formula we note the presence of some arbitrary vector parameter (therefore we have written (, t) instead of (t) used in [4]). Unfortunately, this parameter cannot be eliminated from the boundary condition (14) in general case, however it can be done if has linear structure with respect to both x(t0 ) and x(t1 ) (see more detail about that special case in [11]).

From the formula (12) it becomes clear that if its rst term vanishes (i.e. the basic control u is a singular one), then the second-order optimality condition can be deduced out its second term. To do so, we ought to extract an explicit coecient of 2 in (12, and it will be sucient to extract a coecient of in the corresponding state increment x ( ). Using the method of nite increments (see more details in [9]) x( ) = [I Y ( )] v f (x, u, ) + o() (15) where f (x, u, t) f (x, u, t) Y Y (16) =, Y x x (17) Y (t0 ) = + X(t1 ) X(t1 ).

x(t0 ) x(t1 ) x(t1 ) and X = X(t) stand for (n n) fundamental matrix of solutions of homogeneous system in increments f (x, u, t) (18) X= X(t0 ) = I.

X, x Finally, the optimality condition for singular control can be summarized in the following statement.

Theorem 2 (second-order condition) Suppose that u = u (t) is optimal in the original problem (1)–(4) and singular within some range T, mes 0. Then it is necessary that two conditions be fullled:

1. The maximum principle (rst-order condition) with respect to u for the Hamiltonian function v H(, x, u, t) 0, vU almost everywhere on T \ ;

2. The necessary condition for optimality of singular controls (second-order condition) in the form of inequality H(, x, u, t) + (, t)v f (x, u, t), [I Y (t)] v f (x, u, t) v x Rn, = v U, (19) almost everywhere on for the correspondent solutions, to conjugate boundary value problems (7), (9), (8) and (13), (14), as well as for X, Y dened by the auxiliary initial value problems (18) and (16), (17), respectively.

It should be emphasized that the second condition of Theorem 2 must be fullled for all non-trivial Rn. In other words, if there exists even one single = 0 altering the sign of (19), then the control function which is being tested does not denitely satisfy the necessary condition for optimality of singular controls. Obviously, the presence of such a in (14) and (19) is quite an obstacle here.

Nevertheless, the necessary condition for optimality of singular controls can be sometimes useful in practice. The latter will be illustrated by descriptive example in the oral presentation.

Список литературы [1] A. A. Agrachev and R. V. Gamkrelidze, The principle of second order optimality for time-optimal problems, Mat.Sb. (N.S.), vol. 100(142), 1976, pp. 610-643, 648 (Russian).

[2] D. J. Bell and D. H. Jacobson Singular Optimal Control Problems, Academic Press, New York, 1975.

che and J.-J. Risler (eds), Sub-Riemannian Geometry, Progress in Mathematics, vol. 144, [3] A. Bella Birkhuser Verlag, Basel, 1996.

a [4] R. F. Gabasov and F. M. Kirillova, Singular Optimal Controls, Izdat. “Nauka", Moscow, 1973.

[5] H. J. Kelley, R. E. Kopp and H. G. Moyer, Singular extremals, Topics in Optimization (G.

Leitmann, ed.), Academic Press, New York, 1967, pp. 63-101.

[6] A. J. Krener, The high order maximal principle and its application to singular extremals, SIAM J. Control Optim., vol. 15, 1977, pp. 256-293.

[7] L. I. Rozono`r, L. S. Pontryagin maximum principle in the theory of optimum systems. I, II, III, e Avtomat. i Telemekh., vol. 20, 1959, pp. 1320-1334, 1441-1458, 1561-1578 (Russian), translated in Autom. Remote Control, vol. 20, 1959, pp. 1288-1302, 1405-1421, 1517-1532.

[8] O. V. Vasiliev, Optimization Methods, Advanced Series in mathematical Science and Engineering, vol. 5, World Federation Publishers Company, Georgia, 1996.

[9] O. Vasilieva, Maximum principle and its extension for bounded control problems with boundary conditions, Int. J. Math. & Math. Sci., vol. 35, 2004, pp. 1855-1879.

[10] O. Vasilieva and K. Mizukami Optimal control for boundary value problem, Izv. Vyssh. Uchebn.

Zaved. Mat., vol. 38, 1994, pp. 33-41 (Russian), translated in Russian Math. (Iz. VUZ), vol. 38, 1994, pp. 12, 31-39.

[11] O. Vasilieva and K. Mizukami Optimality criterion for singular controller: linear boundary conditions, J. Math. Ana. Appl., vol. 213, 1997, pp. 620-641.

ИССЛЕДОВАНИЕ ВИДА РЕШЕНИЯ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ КОРНЕЙ ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ СЛУЧАЙНОГО РАЗМЕЩЕНИЯ ЧАСТИЦ Р.Р. Гильманшин Иркутский государственный университет e-mail: Gil1@mail.ru Аннотация. В условиях полиномиальной схемы размещения рассматривается задача макси мизации математического ожидания числа ячеек содержащих ровно r частиц. Исследуется количество решений задачи и приводятся способы локализации корней необходимого условия существования экстремума.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.