авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики – процессов управления С. А. КУТУЗОВ, М. А. МАРДАНОВА, Л. П. ОСИПКОВ, В. Н. ...»

-- [ Страница 2 ] --

Включаются магнитный подвес и электродвигатель, ротор зависает в вакуумной оболочке и начинает движение.

Какие силы, помимо разгоняющегося усилия со стороны элек тродвигателя, действуют на ротор?

Таких сил, очевидно, три: тяготения, инерции и магнитного давления. И для того, чтобы ротор в процессе разгона оставался в подвешенном состоянии, указанные силы в радиальном направле нии должны уравновешиваться.

Сила тяготения, отнесенная к единице массы ротора, постоян на и равна ускорению силы тяжести на поверхности Земли. Сила инерции (центробежная сила) увеличивается с увеличением линей ной скорости ротора. Следовательно, пока линейная скорость мень ше первой космической, со стороны устройств магнитного подвеса на единицу массы ротора должна действовать сила, направленная от Земли. По достижении первой космической скорости (скорости спутника, как пишет Юницкий) необходимость в магнитном под весе отпадает. При дальнейшем увеличении скорости сила инер ции превышает силу тяжести, и сила магнитного давления должна изменить направление. Вместо магнитного подвешивания теперь необходимо магнитное обжатие колеса. Но вот достигнуты желан ные 10 км/с. Отключаются линейный электродвигатель и магнит ный подвес. Что произойдет с ротором далее?

• Может ли раскрученное колесо плавно у в е л и ч и т ь д и а м е т р?

Процесс отключения магнитного подвеса не столь прост, как может показаться на первый взгляд. Действительно, при этом в силу изменения магнитного потока в материале ротора должны наводиться вихревые электрические токи, что, во-первых, будет неизбежно сопровождаться торможением ротора и его нагревом, а, во-вторых, накладывает ограничения на материал и конструк цию ротора. Но мы и здесь пойдем навстречу автору проекта, то есть пренебрежем указанными моментами.

Исчезновение обжимающей магнитной силы нарушает ради альное равновесие сил. Часть силы инерции более не компенси руется силой тяготения. Эта-то часть, как кажется Юницкому, и должна привести к постепенному увеличению диаметра колеса, то есть поднять колесо в космос.

Но, имея огромную вращательную инерцию (большую ско рость, направленную по касательной к Земле для каждого фраг мента ротора), ротор не может мгновенно приобрести радиаль ную скорость, необходимую для подъема колеса. Это понимает и А. Юницкий, отводя на взлет колеса несколько десятков минут. А это означает, что выключенное магнитное давление должно быть немедленно заменено какой-то другой силой, компенсирующей из быток силы инерции. В противном случае ничто не помешает от дельным фрагментам ротора, порвав связи с соседними фрагмен тами, продолжить движение по касательной к поверхности Земли.

Единственная сила, способная воспрепятствовать разрушению ротора, упругая сила материала, из которого ротор изготовлен.

При этом возможны два случая:

1. Ротор обладает достаточной прочностью, чтобы за счет немедленной упругой деформации обеспечить силу, компен сирующую магнитную;

2. Ротор не обладает такой прочностью.

В первом случае ротор продолжит вращение без изменения диаметра, не считая незначительной деформации. Во втором ротор разорвется на отдельные фрагменты.

В обоих случаях не существует причин для плавного увеличе ния диаметра целостного ротора.

Представив ротор в виде сосредоточенных элементов массы, связанных пружинами, находим радиальную составляющую силы упругости, действующей на элемент массы. Как отмечалось выше, для сохранения целостности необходимо равенство этой силы ис чезнувшей силе магнитного давления.

При плотности материала 7, 8·103 кг/м 3 и линейной скорости 10 м/с (скорость, выбранная Юницким) необходима прочность на разрыв 1, 4 · 1011 Н/м 2 =14000 кГс/мм 2, что примерно в 10 раз превышает прочность монокристаллических нитей (уникальных в настоящее время материалов) и в 100 раз прочность стали.

Благодаря телескопическим соединениям отдельных частей кольцо растянется, но не лопнет.

Следует подумать и о неприятных последствиях разрыва ко леса. Как только магнитный подвес окажется отключенным, ко лесо Юницкого, изготовленное из любых известных материалов, разорвется на отдельные фрагменты, которые прошьют (скорость 10 км/с!) тонкостенную вакуумную оболочку и далее независимо друг от друга продолжат движение в соответствии с известными законами механики.

Если бы Земля не имела атмосферы, траектории фрагментов представляли собой эллипсы с общим фокусом в центре Земли, каждый из которых касается эстакады в точке отрыва соответству ющего фрагмента.

Так как атмосфера все же существует, крупные фрагменты вернутся на Землю и разбомбят опоясывающую экватор эстака ду вместе с линейным электродвигателем и прочими устройствами, разработанными по предложению Юницкого.

Попытка поднять в космос колесо Юницкого закончится, та ким образом, бомбардировкой экваториальных стран и морских пу тей кусками разорванного колеса общей массой в миллион тонн.

Ну, а если в будущем появятся материалы в сотни раз прочнее стали?

Тогда колесо не разорвется. Но, как отмечалось выше, все рав но не взлетит. Не взлетают же над своими осями колеса турбин, железнодорожных вагонов или автомобилей.

3.2. Лифт к звездам Представьте мощнейший трос, одним концом прикрепленный к океанской платформе, а другим привязанный“ к спутнику, на ” ходящемуся на орбите в 35 тыс. км над Землей. И по этому тро су будет двигаться лифт, способный поднимать не только грузы (до 50 тонн), но и туристов. Трос такого лифта должен поддержи ваться в натянутом состоянии за счет двух противодействующих сил силы земного притяжения и центробежной силы. Материал для создания кабеля нанотрубки: тончайшие полые структуры, состоящие из углерода. Они прочнее стали.

Лифт сэкономит уйму средств!

Например, сейчас затраты на запуск в космос килограмма чего-либо обходит ся в 10–80 тысяч $, а с лифтом будет всего 500 $/кг.

Такие вертикальные чудо-подъ емники заменят отнюдь не безопасные ракеты и откроют новую эру в освое нии межпланетного пространства. Бес шумные пассажирские и грузовые ка бины, движущиеся на роликах по ухо дящей в космос ленте, уверенно пре одолеют атмосферный участок и про должат подъем до орбитальной стан ции или, если необходимо, еще выше.

Удивительный лифт будет доставлять в заоблачную высь спутники, космиче ские корабли, а также части огромных Рис. 3.3. Космический внеземных станций. лифт.

Внешне все выглядит вроде бы просто. Главный элемент подъ емника невероятной длины трос. Один конец его крепится на по верхности Земли, другой теряется в далеком космосе на высоте около 100 тысяч километров (это примерно четверть расстояния до Луны). Кабель будет натянут, как струна, потому что, подчи няясь законам физики, окажется под воздействием двух могучих разнонаправленных сил.

Центробежная сила станет натягивать и поднятый в космос трос, который, естественно, будет вращаться вместе с нашей пла нетой. Но на этот же трос будет действовать и противоположная сила земного притяжения. И тем ощутимее, чем ближе он нахо дится к Земле. А чем дальше в космос, тем, наоборот, энергичнее проявляется центробежный фактор. При определенных условиях два противоположных вектора уравновешивают друг друга. Про исходит это, когда центр массы гигантского каната находится на высоте 36 тысяч километров, то есть на так называемой геостаци онарной орбите.

Именно там находящиеся искусственные спутники висят непо движно над Землей, совершая вместе с ней полный оборот за 24 ча са. Вот из этой как бы срединной точки лифтовый канат и должен идти вниз, к Земле, и примерно на такое же расстояние в противо положную сторону. В этом случае огромный кабель будет не толь ко натянут, но и сможет постоянно занимать строго определенное положение вертикально к земному горизонту, точно по направ лению к центру нашей планеты.

А дальше, используя эту рукотворную вертикаль, можно от правлять кабины в космос и опускать их на Землю. Такова общая схема. И все бы ничего, но есть одно слабое звено. Это сам сталь ной трос. Дело в том, что он под воздействием собственной тяжести рвется уже при длине 50 километров. Если заменить сталь на лег кий и очень прочный кевлар, то канат увеличится на сотни кило метров и может достичь орбит низко летящих спутников. Однако для космического лифта длины троса в сотни и даже несколько ты сяч километров явно недостаточно. Однако в последнее десятиле тие произошел неожиданный прорыв в разработке принципиально новых материалов.

В 1991 году японский инженер Сумио Иишима, исследуя гра фитовую сажу, открыл нечто удивительное так называемые уг леродные нанотрубки.

О новых формах наноуглерода ежегодно появляется около 2500 научных статей, проводится с десяток конференций, посвя щенных фуллеренам и нанотрубам.

Это микроскопичес кие, неразличимые нево оруженным глазом пле ночки графита, свернутые в виде крохотных цилин дров, диаметр каждого из Рис. 3.4. Нанотрубка.

которых в миллион раз меньше миллиметра. Длина трубок дости гает всего нескольких микрон. Позже выяснилось, что цилиндрики могут самостоятельно сплетаться в такие же микроскопические ка натики. Изготовленная из них нить прочнее алмаза. Почти невесо мая паутинка из углеродных нанотрубок диаметром в один милли метр может выдержать 20-тонный груз! Этот удивительный мате риал, быть может, откроет путь к созданию в обозримом будущем космического лифта.

Что же даст человечеству космический лифт? Почему ему прочат столь большое будущее? Прежде всего, речь идет об эконо мии огромных средств. Сегодня выведение одного килограмма по лезного груза на обычную околоземную орбиту обходится в 10 ты сяч долларов, а на высокую, геостационарную в 40 тысяч. На первом же космическом подъемнике стоимость доставки снизится до 100 долларов, или в 100–400 раз. В дальнейшем, по мере строи тельства новых лифтов, цена отправки 1 килограмма груза в кос мос составит вообще 10 долларов. Таким образом, экономический эффект будет измеряться вначале миллиардами, а затем и десят ками миллиардов долларов в год. Не говоря уж об экологически чистых двигателях и повышенной безопасности космических лиф тов.

Для космического лифта можно использовать не трос, а ши рокую ленту из углеродных нанотрубок. Длина ленты почти 100 тысяч километров, ширина 1 метр. Даже при планируемой толщине ленты всего в 2 микрона общая масса, учитывая гигант скую длину этой необычной дорожки“, которая протянется от Зем ” ли в космос, составит всего 800 тонн.

Первые 40 тонн ленты могут быть подняты одноразовыми ракетами, а оставшуюся часть предполагается построить с ис пользованием небольших кабин-подъемников. Сначала с геостаци онарной орбиты будет развернута сравнительно узкая лента (от 5 до 11,5 сантиметров в ширину и толщиной в микроны), которая сможет удерживать полезные грузы весом 495 килограммов. Затем наращивается верхняя часть. Далее специальные подъемники бу дут подниматься по первоначальной ленте и постепенно расширять ее, прикрепляя рядом узкие полоски. На каждое восхождение уйдет от 3 до 4 дней.

Конструкция подъемника как бы охватывает ленту с двух сторон. Кабину планируется оснастить двумя комплектами гусе ниц. Лента будет между ними, получается что-то вроде бутербро да. Один комплект гусениц будет перемещаться по одной стороне ленты, другой по противоположной. Гусеницы будут прочно дер жаться на ленте за счет трения...

Для движения подъемника по ленте вверх или вниз предпола гается использовать электрические двигатели. Энергия будет пере даваться с Земли с помощью лазера. Посланный им луч преобразу ется в электричество, которое приведет в действие моторы лифта.

Скорость движения кабины составит 200 километров в час.

Перед тем как развернуть сверхтонкую и сверхдлинную лен ту Земля космос, планируется провести тщательные испытания элементов необычного лифта. Сначала нить из углеродных нано трубок будет проверена в лабораторных условиях. Фрагменты ее подвергнутся воздействию атомарного кислорода, перепадов дав ления, излучения... Затем прототип подъемника поднимут с по мощью воздушного шара на высоту 1000 метров. Будут работать лазер, оптическая техника, словом, весь многосложный комплекс.

Серия испытаний намечена и на геостационарной орбите.

3.3. Динамика космических тросовых систем Тросовые системы издавна применяются как в промышленно сти, так и в хозяйственных нуждах. В последние годы в связи с развитием космонавтики появились проекты использования тросо вых систем в космических условиях.

Будем следовать, в основном, превосходной книге [6].

Первая космическая тросовая система была описана почти 100 лет назад, в 1895 г., К. Э. Циолковским в Грёзах о Земле и ” небе“ [45]. Там Циолковский высказал идею о создании искусствен ной тяжести на космическом корабле, соединенном цепью с проти вовесом равной массы и приведенном во вращение вокруг общего центра масс.

В числовом примере он использовал для цепи длину 0,5 км. В той же работе Циолковский описал необычайно высокую башню, основание которой находится на поверхности Земли, а вер шина уходит за геостационарную орбиту. В 1960 г. появилось опи сание аналога такой башни тросовой системы, простирающейся от поверхности Земли за геостационарную орбиту и получившей название космический лифт“ [9]. В 1966 г. был выполнен расчет ” космического лифта [71]. Как оказалось, даже при использовании самых прочных из известных материалов он не может иметь ра зумную массу. Это заключение, основанное на сегодняшних пред ставлениях о предельных возможностях материалов, не помеша ло, однако, захватывающей воображение идее космического лифта найти свое достойное место в фантастическом романе А. Кларка Фонтаны рая“ [65].

” Рассмотрим упроще нный подход к решению проблемы искусственной тяжести в виде следующей задачи.

В космическом про странстве на траектории полета от Земли к Мар су находятся два КА мас сой по 20 тонн каждый, соединенные гибким тро сом длиной 3 км (Рис. 3.5).

Необходимо эти аппара ты раскрутить до такой скорости, чтобы величина центробежной силы, дей ствующей на космонавта, была равна его весу на по- Рис. 3.5.

верхности Земли. Приняв коэффициент полезного действия двига теля равным 30%, надо рассчитать:

массу топлива для раскрутки всей системы, при условии, что масса троса равна нулю;

массу троса, массу топлива с учетом массы троса и массу всей системы два КА + трос + топливо“.

” Решение задачи включает следующие этапы:

1. Рассчитать скорость вращения КА.

2. Найти массу топлива.

3. Оценить массу троса.

4. Уточнить массу топлива с учетом массы троса.

5. Определить суммарную массу всей системы.

• Э т а п 1. Скорость тела при движении по окружности можно рассчитать с помощью следующей формулы:

V a = л = 2 r, r где a радиальное ускорение, r радиус окружности, Vл и линейная и угловая скорости тела.

Приняв ускорение равным ускорению силы тяжести на поверх ности Земли, то есть a = g = 10 м/с 2, и учитывая, что r = 1500 м, получим с достаточной для таких расчетов точностью:

10 м/с · 1500 м 120 м/с, Vл = ar = 10 м/с a 0, 08 рад/с 0, 75 об/мин.

= = 1500 м r • Э т а п 2. Массу топлива можно найти тремя способами.

Способ А. Используя закон сохранения импульса, запишем формулу:

(3.1) mКА VКА = mТ WТ, где mКА и mТ масса разгоняемого КА и масса топлива;

VКА и скорость КА, равная Vл и скорость истечения продуктов WТ сгорания из сопла двигателя.

Скорость истечения зависит от выбранных компонентов топ лива (горючего и окислителя) и конструктивных особенностей дви гателя. По справочнику [Справочник по космонавтике. М.: Вое низдат, 1966, с. 231] найдем, что жидкостные ракетные двигатели (ЖРД) имеют скорость WТ в пределах от 2 до 4,5 км/с, а ракетные двигатели на твердом топливе (РДТТ) порядка 2–3 км/с. Примем для расчета WТ = 2000 м/с и, воспользовавшись формулой (3.1), получим:

20000 кг · 120 м/с mКА VКА 1200 кг.

mТ = = 2000 м/с WТ Это минимальное количество топлива при условии, что коэффици ент полезного действия = 1, 0. Учитывая же заданное значение = 0, 3, которое носит учебный характер и к какому-либо кон кретному двигателю не относится, определим фактическое значе ние массы топлива:

1200 кг mТ = 4000 кг.

(mTФ )А = = 0, Для двух КА общая масса топлива mТ, рассчитанная по спо собу А, равна 8000 кг. В приведенном расчете принимается, что сгорание топлива происходит мгновенно. Более точный расчет уже требует использования формулы Циолковского:

mКА + mТФ VЦ = WT ln.

mКА Способ Б. Формула Циолковского, если в ней учесть кпд дви гателя, будет иметь следующий вид:

(3.2) VКА = VЦ.

Подставив исходные данные, получим:

120 м/с VКА = = 0, 2.

2000 м/с · 0, WТ (mТФ )Б Так как e0,2 1, 22, то 1, 22 = 1 +. Откуда mКА (mТФ )Б = 0, 22mКА = 4400 кг, то есть приходится добавить около 10% топлива по сравнению с величиной (mTФ )А.

Способ В. Можно рассчитать массу топлива и другим спосо бом, приравняв потребную кинетическую энергию для раскручи вания КА к тепловой энергии сгораемого в реактивном двигателе топлива.

Кинетическая энергия определяется по следующей формуле:

20000 кг (120 м/с) mКА VКА = 144000000 Дж. (3.3) E= = 2 Количество теплоты (энергия горения) рассчитывается по форму ле:

(3.4) Q = mТ HТ p, где H теплотворность топлива;

Т термический коэффициент полезного действия двигателя, учитывающий, какая часть энергии горения преобразовалась в механическую энергию истечения газов;

тяговый кпд, учитывающий потери механической энергии.

p Возьмем, например, топливо, состоящее из керосина и жид кого кислорода, для которого теплота химической реакции рав на 9488 кДж/кг [Космонавтика. Энциклопедия. М.: Советская эн циклопедия. 1985, с. 393.].

Приравняв энергии, получаемые по формулам (3.3) и (3.4), решим уравнение относительно искомой массы топлива. Расчетная формула примет вид:

E (mТ )В =.

HТ p Приняв для идеального случая произведение коэффициентов полезного действия равным единице, то есть p Т = 1, найдем пре дельно минимальную массу топлива:

144000000 Дж E = 15 кг.

(mТ )ид = = 9488000 Дж/кг H Такая маленькая величина оказалась из-за принятой идеали зации. Если же учесть все потери тепловой и механической энергии, коэффициент избытка окислителя над горючим, а также особенно сти конструкции двигательной установки, то в результате получим реальную цифру, близкую к массам, найденным способами А и Б.

• Э т а п 3. Для расчета троса необходимо выбрать матери ал, из которого он должен быть изготовлен. Возьмем для примера сталь, она имеет плотность = 7, 8 г/см 3 и удельную прочность (с учетом коэффициента запаса прочности) = 1000 Н/мм 2.

Площадь сечения троса вычисляется по формуле, представля ющей отношение силы растяжения под действием вращающегося КА к удельной прочности:

20000 кг · 10 м/с F = 200 мм2 = 2 см2.

Sтp = = 1000 Н/мм Теперь найдем массу троса:

mтp = Vтp = 2rSтp = 7, 8 г/см · 2 · 150000 см · 2 см 4, 7 · 106 г = 4, 7 т.

К этому следует добавить массу конструкции механизмов и агре гатов для выпуска троса, а также конструкции двигательной уста новки и баков для топлива. Примем добавку равной около 1,3 т.

В результате получим сухую“ массу (без топлива):

” mсух = 2 · 20 + 4, 7 + 1, 3 46 т.

• Э т а п 4. Чтобы уточнить необходимое количество топлива, воспользуемся формулой (3.2). Подставив в нее вместо массы КА сухую“ массу, получим:

” (mБТ )УТ = mсух · 0, 22 = 46 · 0, 22 10 т.

Для остановки же вращения КА потребуется израсходовать примерно такое же количество топлива, что и при раскрутке, то есть 10 т.

• Э т а п 5. Масса всей системы будет:

mсумм = 2 · mКА + mтр + mдоб + 2 · (mБТ )УТ = = 2 · 20 + 4, 7 + 1, 3 + 2 · 10 = 66 т.

Существуют и другие способы создания ИГ. Например, ИГ со здается без раскрутки системы постоянным ускорением реактив ными двигателями, направление вектора тяги которых совпадает с направлением скорости полета (КА разгоняется или тормозит ся). Или для раскрутки системы применить массивные маховики гироскопы.

Сегодня специалисты находят все больше аргументов в поль зу того, что протяженные привязные системы (более скромные, чем космический лифт) перспективны и открывают новые возможности для операций в космосе, основанных на использовании статических, динамических и электрических свойств тросов. Говорят даже о но ” вой космической технологии“, предрекая ей широкое распростра нение в XXI веке. Это впервые широко обсуждалось на заседании специально образованной секции Применение тросов в космосе“ ” на XXXV конгрессе Международной астронавтической федерации в 1984 г. Впоследствии международные конференции по тросам ста ли традиционными.

Надо сказать, что использование тросов в космосе было на чато еще на заре космической эры. В начале 60-х годов на некото рых спутниках, например на американском спутнике Транзит-1В“, ” запущенном 13 апреля 1960 г., для замедления вращения вокруг центра масс применялись устройства типа йо-йо“ [19], включаю ” щие грузы на тросах. После вывода на орбиту грузы освобождают ся и тросы начинают разматываться под действием центробежных сил. Момент инерции системы резко возрастает и пропорционально уменьшается угловая скорость вращения (у Транзита-1В“ более ” чем в 30 раз). Достигнув номинальной длины, тросы отцепляются и грузы уносят“ в пространство отобранный“ у спутника кинети ” ” ческий момент. Прообразом для этой системы послужила древняя игрушка маховичок с намотанным на него шнурком, получившая в 1930 г. в американском патенте название йо-йо“ [43].

” В 1965 г. при выходе в открытый космос Леонов был привязан тросом (фалом) к кораблю Восход-2“.

” Таким же образом страховались и американ ские космонавты в 1966 г.

при выходе в открытый космос из кораблей Дже ” мини“. В 1966 г. во время полетов кораблей Дже ” мини-11“ и Джемини-12“ ” были проведены экспери менты по движению кора бля в связке со специаль ной ракетной ступенью Аджена“. Длина синтети ” ческого троса составляла Рис. 3.6. При выходе человека в при этом 30 м. Связка с открытый космос его скафандр чаще Джемини-11“ была при ” всего соединен гибким шлангом с ведена во вращательное космическим кораблем.

движение, а связка с Джемини-12“ была, в конечном счете, приведена в состояние гра ” витационной стабилизации, когда трос расположен вдоль местной вертикали.

К 1983 г. в рамках совместной американо-японской программы уже были осуществлены три запуска на высоту до 328 км зонди рующих ракет, которые выпускали на несколько минут полезную нагрузку массой 75 кг на проводящем тросе длиной до 400 м с це лью исследования электромагнитного взаимодействия с окружаю щей плазмой [58]. Разработанное оборудование предлагается также вывести на орбиту с помощью орбитального самолета и использо вать для эксперимента с тросом длиной 3 км [52].

В 1972 г. М. Гросси из Астрофизической обсерватории Смит соновского института (США) предложил использовать длинный проводящий трос в космосе как антенну для связи на сверхниз кой частоте [69]. Эта идея привела к дальнейшему существенному прогрессу: Дж. Коломбо, известный специалист по небесной меха нике, вместе с М. Гросси и другими сотрудниками обсерватории выдвинули идею создания субспутника, привязанного к орбиталь ному самолету тросом длиной 100 км [66], для измерения парамет ров гравитационного и магнитного полей Земли и атмосферы на низких орбитах.

С 1975 г. НАСА и Европейское космическое агентство (ЕКА) ведут разработку проектов космических тросовых систем ближай шей перспективы. В 1984 г. НАСА и ЕКА определили програм му первых трех полетов привязной спутниковой системы на базе орбитального самолета, которые первоначально планировались на 1987–1990 гг., однако после аварии Челленджера“ в 1986 г. были ” отложены [81]. В первом и третьем полетах предполагалось про ведение испытаний электромагнитного мотор-генератора, исполь зующего взаимодействие проводящего троса с магнитным полем Земли. Длина троса составит 20 км при толщине 1–3 мм. Во вто ром полете [68] предполагалось провести изучение поведения 100 километрового троса с зондом, спущенным в атмосферу до высоты около 120 км.

Первыми работами по динамике космических тросовых систем были статьи [61, 62]. За прошедшее с тех пор время усилиями мно гих исследователей пройден значительный путь: сложился опреде ленный круг механических моделей, определились методы иссле дования, получены содержательные результаты. Сегодня теория движения космических тросовых систем является специфической областью механики космического полета.

При исследовании динамики космических тросовых систем приходится иметь дело с системой с распределенными параметра ми, далеко не всегда допускающей редукцию к какой-либо простой конечномерной системе. При малой протяженности и массе трос практически выполняет лишь роль связи, наложенной на относи тельное движение тел на его концах. В этом случае редукция к про стой системе возможна. Однако при большой протяженности трос начинает играть самостоятельную роль, в частности может быть причиной неустойчивости некоторых режимов движения. В этом случае анализ становится более сложным. Тросовые системы в кос мосе объект новый, нетрадиционный, но богатый потенциальны ми возможностями и очень интересный в отношении динамики.

3.4. Что могут тросовые системы в космосе?

Тросовые системы в перспективе могут овладеть чрезвычайно широким набором профессий“в космосе. Рассмотрим кратко схе ” мы, обсуждаемые в литературе [6].

Еще один способ создания ис кусственной силы тяжести, необходи мой для длительной работы экипа жей в космосе, предполагает созда ние [61] орбитальной станции из двух отсеков, соединенных тросом и при веденных во вращение вокруг центра масс (Рис. 3.7). Рассматривались и бо лее сложные конструкции, состоящие из большого числа отсеков, соединен ных тросами в многоугольные конфи гурации [72].

Если связка вращается вокруг центра масс синхронно с орбиталь- Рис. 3.7. Создание ным движением, то при ее ориента- искусственной тяжести на ции вдоль геоцентрического радиуса- вращающейся вектора (т.е. вдоль местной вертикали) двухсекционной возникает режим гравитационной ста- орбитальной станции.

билизации. Искусственная тяжесть, составляющая малые доли g создает условия микротяжести, позволяет улучшить условия жиз ни на орбите: избавиться от плавающих предметов, облегчить об ращение с водой и т.д.

Микрогравитация необходима для проведения ряда экспери ментов (влияние на биологические процессы, на рост кристаллов, на термомеханические явления в жидкостях и расплавах), а также технологических процессов.

Условия микрогравитации благоприятны для перекачки жид костей на орбите (например, топлива) из одного резервуара в дру гой.

В условиях невесомости доза правка топливом на орбите является сложной технологической проблемой, так как по мере опорожнения резер вуара общая масса жидкости под дей ствием поверхностного натяжения раз бивается на множество капель, собрать которые не так-то просто. В условиях микрогравитации жидкость будет пе ретекать из одного резервуара в дру гой по простому закону сообщающих ся сосудов, который в равной степе ни справедлив как для полной тяжести g, так и для микротяжести g. Пред ставим, что в вертикальной конфигу рации, изображенной на рис. 18, один из отсеков является резервуаром с топ- Рис. 3.8. Дозаправка ливом [73]. Пристыковавшись к этому топливом на орбите, отсеку, межорбитальный буксир или использующая закон орбитальный самолет сможет дозапра- сообщающихся сосудов в виться простейшим способом, открыв условиях микротяжести.

вентиль и использовав перетекание топлива из сосуда с большим уровнем в сосуд с меньшим уровнем. Минимальная длина троса, которая обеспечивает уровень микрогравитации, достаточный для преодоления поверхностного натяжения, составляет для разных ви дов топлива от 30 м до 1,2 км [73]. Трос может быть достаточно тонким: сечение менее 1 мм 2, погонная масса 1 кг/км. Разнесе ние отсека с топливом и жилого отсека станции на разные концы троса повышает также безопасность и работоспособность станции в аварийных ситуациях.

За пределы станции может быть вынесен не только резервуар с топ ливом. Вынос узла для пристыковки орбитального самолета (Рис. 3.9) поз воляет существенно уменьшить тол чок, который испытывает станция, и достигнуть заметной экономии топли ва [51, 70].

Схема гравитационно стабилизи рованной связки находит и другие применения. В [48] рассмотрен про ект интерферометра, состоящего из двух приемных антенн, соединенных тросом длиной 5 км и расположен- Рис. 3.9. Пристыковка ных вдоль геоцентрического радиуса- орбитального самолета к вектора (Рис. 3.10). выносному стыковочному Большая база орбитального ин- узлу с последующим терферометра и, следовательно, его подтягиванием к станции.

большая разрешающая способность позволяют проводить тонкие радиоисследования Солнца и планет, в частности на тех длинах волн, которые не пропускает земная ионосфера.

Существует проект пассивного спутника-радиоотражателя на геоста ционарной орбите, который представ ляет собой цепочку большого числа металлических шариков, соединенных стерженьками с шарнирами и располо женных радиально [54], и может быть элементом разветвленной системы ра диосвязи.

Трос, расположенный вдоль мест ной вертикали, может служить ос- Рис. 3.10. Орбитальный новным несущим элементом для раз- интерферометр с базой в личных вариантов солнечных косми- несколько километров в ческих электростанций. Конструкция режиме гравитационной такой электростанции [64] состоит из стабилизации.

большого числа коллекторов солнечной энергии, расположенных вдоль троса длиной 50 км. Коллекторы могут быть выполнены в форме пластин, цилиндров или шаров (Рис. 3.11). Вырабатываемая солнечной электростанцией энергия будет передаваться на Землю с помощью СВЧ-антенны, расположенной на конце троса, обращен ном на Землю. Движение всей системы происходит в режиме гра витационной стабилизации [59, 64].

Обсуждаются способы полезного использования солнечного излучения в космосе с помощью пленочных от ражателей [32]. В предлагаемых кон струкциях существенными элементами являются тросы-стропы, за счет кото рых осуществляется управление ори ентацией и формой отражающей по верхности.

В [80] рассматривалась тросовая система, предназначенная для гра Рис. 3.11. Варианты витационной стабилизации основного солнечных космических спутника. В ней четыре троса, закреп электростанций: вдоль ленные в различных точках основно несущего троса го спутника, сходятся на другом конце расположены коллекторы в одну точку к телу-противовесу. Эта разной формы.

пирамидальная конфигурация заменя ет штанги, обычно используемые для гравитационной стабилиза ции [38]. Аналогичная двухтросовая схема была рассмотрена в ра боте [77]. От [80] ее отличает гораздо большая длина тросов и иное назначение гравитационная стабилизация привязного субспутни ка (небольшой вспомогательный привязной аппарат).

Значительный интерес представляют тросовые системы, вза имодействующие с магнитным полем Земли [51, 75]. Если электро проводящий и изолированный снаружи трос развернуть с орбиталь ной станции вдоль местной вертикали и с помощью бортовой энер гоустановки пропустить по нему электрический ток, как показано на (Рис. 3.12 (а)), то со стороны геомагнитного поля на трос будет действовать распределенная сила, ускоряющая движение станции.

Трос в этом случае будет действовать, как своего рода электромаг нитный двигатель для станции. Ток, протекающий по тросу, дол жен замыкаться через ионосферную плазму [50];

контакт с плазмой осуществляется специальными устройствами, через которые на од ном конце троса электроны стекают в окружающую плазму, а на другом конце собираются из плазмы.

Проводящий трос мо жно использовать не толь ко как двигатель, но и как генератор электриче ской энергии. При движе нии троса, снабженного на концах устройствами кон такта с плазмой, в маг нитном поле в тросе бу дет индуцироваться эле ктродвижущая сила. Если Рис. 3.12. Взаимодействие между тросом и одним из электрического тока в тросе с устройств контакта с плаз- геомагнитным полем создает малую тягу мой поместить электриче- (а);

возникающая в тросе э.д.с.

скую нагрузку, то на ней индукции используется для будет производиться по- электроснабжения станции (б).

лезная работа. Сила, дей ствующая на трос со стороны магнитного поля, в этом случае будет тормозить движение станции (Рис. 3.12 (б)). Коэффициент полез ного действия такого электрогенератора очень высок около 90%.

За счет большой скорости движения троса э.д.с. индукции будет составлять на высоте 400 км около 2000 В/км. При длине троса 10– 20 км разность потенциалов между его концами составит 2–4 кВ, сила тока будет измеряться амперами, мощность генератора может достигнуть нескольких десятков киловатт.

Выгодной выглядит комбинация режимов тяги и генерации электроэнергии. При входе станции в тень Земли ее солнечные ба тареи перестают вырабатывать энергию. В этот период движения электроэнергия на борту станции может вырабатываться тросовым генератором за счет уменьшения энергии орбитального движения.

При выходе на освещенную сторону Земли часть электроэнергии, вырабатываемой солнечными батареями, нужно будет использо вать для работы троса как двигателя с целью восполнения энер гии орбитального движения. Возможность запасения энергии в ви де энергии орбитального движения и высвобождения ее с малыми потерями с помощью тросового мотор-генератора представляется очень заманчивой.

Пропуская ток по тросу в фазе с изменением положения стан ции на орбите, можно изменять все элементы орбиты без затрат химического топлива, что дает новый и весьма экономный способ маневрирования на орбите [61]. Описанную электромагнитную тро совую систему можно использовать также для приема и генерации радиоволн и экспериментов с ионосферной плазмой.

Важным для практики применением тросов в космосе являет ся исследование верхней атмосферы Земли. Атмосфера на высоте 100 км недоступна для непосредственного исследования ни с само летов, ни со спутников. Для полета самолетов эти слои слишком разрежены, а для спутников слишком плотны. Зондирующие ра кеты могут находиться в этих слоях лишь незначительное время.

На рис. 3.13 изображен привязной спутник для исследования атмо сферы.

Трос длиной около 100 км соединяет спут ник-зонд с орбитальным самолетом [66]. Орбиталь ный самолет летит на вы соте 200–250 км над по верхностью Земли и букси рует спутник-зонд на вы соте 110–130 км. Такой полет может продолжать ся довольно долго. Кро ме измерения параметров атмосферы на этих высо тах возможно также опре деление аэродинамических характеристик различных моделей, выпущенных со Рис. 3.13. Привязной зонд опускается с спутника-зонда. Это да орбитального самолета в атмосферу до ет уникальную возмож высот 110–130 км.

ность экспериментального изучения входа в атмосферу перспективных моделей космических аппаратов. Поэтому эту систему называют также высотной аэро ” динамической трубой“.

С низколетящего привязного спутника-зонда можно получать снимки Земной поверхности с заметно лучшим разрешением, чем с обыкновенного спутника. Причем можно делать стереоскопические снимки, когда одно изображение получается с зонда, а другое с орбитального самолета. Спутник-зонд является также средством для тонкого исследования гравитационных и магнитных аномалий и определения коэффициентов при старших гармониках в разло жении соответствующих потенциалов.

Выгодным представ ляется использование тро сов для различных транс портных операций в кос мосе. При традиционном способе межорбитальных перемещений рабочее те ло, выброшенное из соп ла реактивного двигателя, безвозвратно теряется. С помощью длинных тросов можно образовывать вре- Рис. 3.14. Запуск спутника с помощью менные связки спутников троса.

и изменять их орбиты, передавая без потерь энергию и момент ко личества движения от одного спутника к другому, т.е. используя один из спутников в качестве реактивной массы. Как показывают расчеты, при рациональной комбинации таких операций с вклю чением реактивного двигателя или электромагнитного тросового двигателя можно достигнуть существенной экономии топлива [60].

На рис. 3.14 показана схема запуска спутника с орбитального самолета с помощью троса. Трос осуществляет передачу спутнику части энергии и момента количества движения орбитального само лета. Это приводит к увеличению апогея орбиты спутника и умень шению перигея орбиты самолета, в частности орбитальный самолет может выйти на траекторию входа в атмосферу и возвращения на Землю.

Обратная схема показана на рис. 3.15.

На рис. 3.16 показа на схема полета орбиталь ного самолета на встре чу с орбитальной стан цией [60], которая име ет выпущенный на длин ном тросе стыковочный узел (см. рис. 3.9). Встре ча со станцией происходит в апогее орбиты самоле та, образуется связка само лета со станцией и само Рис. 3.15. Сброс топливного бака на лет подтягивается к стан тросе позволяет увеличить ции на тросе. В результа грузоподъемность орбитального те орбита станции времен самолета.

но снижается. После спус ка орбитального самолета на тросе по схеме, аналогичной рис. 3.14, станция снова переходит на высокую орбиту, а орбитальный само лет возвращается на Землю. Для всех этих операций нужны тро сы длиной несколько десятков километров и погонной массой 1– 10 кг/км (толщина 1–3 мм). Выигрыш на каждом запуске измеря ется несколькими тоннами сэкономленного топлива или добавоч ной полезной нагрузки. По подсчетам [70], при регулярных полетах годовая экономия составит 100 млн. долл.

При отделении по следнего топливного бака от орбитального самоле та бак не просто сбра сывается, а спускается на длинном тросе, передавая часть своей энергии и мо мента количества движе ния орбитальному самоле ту и увеличивая тем са мым апогей его орбиты.

Потерявший скорость топ- Рис. 3.16. Рандеву“ орбитального ” ливный бак входит в атмо- самолета со станцией, снабженной сферу и сгорает. По прове- привязным стыковочным узлом.

денным оценкам [60], такая схема сброса бака позволит увеличить грузоподъемность орбитального самолета на 1,5 тонны без допол нительных затрат топлива.

Использование длин ного троса позволяет осу ществить торможение ор битального самолета без затрат топлива [60]. Для этого с орбитального са молета на тросе в верхние слои атмосферы спускает ся баллон, который испы тывает значительное аэро Рис. 3.17. Торможение и вход в динамические сопротивле атмосферу с помощью привязного ние (Рис. 3.17).

баллона.

Натяжение троса пе редает эту тормозящую силу орбитальному самолету. После до статочного для посадки снижения скорости баллон отцепляется и сгорает в атмосфере. При использовании крыла вместо балло на можно изменять плоскость орбиты орбитального самолета, если крыло движется не в плоскости орбиты, а с боковым смещением, меняющимся в резонансе с орбитальным движением. Эта операция образно сравнивается с хождением под парусом, только парус ока зывается отнесенным от корабля на 100 км!

Интересный способ маневрирования на орбите возникает при периоди ческом изменении длины троса в резонансе с ор битальным движением.

Это приводит к вековой эволюции (правда, очень медленной) орбиты центра масс связки [12, 18]. Если учитывать сплюснутость Земли, то аналогичный Рис. 3.18. Перемещение груза по эффект наблюдается и ”космическому эскалатору“, состоящему при изменении длины из нескольких связок.

троса на удвоенной орбитальной частоте [57, 60].

На рис. 3.18 приведена схема космического эскалатора“ [5].

” Он состоит из нескольких ступеней радиальных связок. Запус каемый на высокую орбиту спутник подпетает к нижнему концу каждой связки и по тросу перетягивается на ее верхний конец, за тем перелетает к следующей связке и таким образом может быть доставлен, например, на геостационарную орбиту.

Постепенное снижение орбит связок, образующих ступени кос мического эскалатора, может компенсироваться путем использова ния тросов как электромагнитных двигателей, а также частично за счет встречного потока полезных грузов, возвращаемых с вы соких орбит на Землю. Космический эскалатор позволит добиться заметной экономии топлива.

3.5. Об использовании точек либрации Есть в небесной механике классическая задача о движении трех взаимно притягивающихся тел. Общее ее решение не найде но, а одно из частных гласит, что в тех случаях, когда такие те ла размещаются на одной прямой или в вершинах равносторонних треугольников, они некоторое время двигаются так, как если бы их связывала какая-то жесткая конструкция. Эти точки назвали точками либрации.

Первые три точки либрации L1, L2 и L3, расположенные на прямой, соединяющей тела m1 и m2, называются коллинеарными.

Их положение на этой прямой зависит от масс двух главных тел и расстояния между ними. Планетоид, помещенный в любую из трех коллинеарных точек либрации, окажется там в неустойчивом состоянии. При бесконечно малом смещении под действием внеш них сил планетоид навсегда покинет либрационную точку. По этой причине в природе такой случай Лагранжа“ неосуществим.

” Другое дело так называемые треугольные“ точки либра ” ции L4 и L5, образующие вместе с данными телами m1 и m2 вер шины равносторонних треугольников. Помещенное в них третье те ло окажется в устойчивом состоянии. Иначе говоря, третье тело, удаленное от треугольных либрационных точек, при определенных начальных условиях (например, не слишком большой скорости) мо жет снова вернуться в исходное положение.

В начале XX в. неожиданно выяснилось, что теоретические предположения Лагранжа и других ученых воплощены в реальных телах Солнечной системы. В 1907 г. был открыт астероид Ахилл, совершающий обращение вокруг Солнца почти по орбите Юпитера.

Точнее, он постоянно находится вблизи точки L4 в системе Солнце Юпитер. Позже были открыты другие малые планеты, ведущие себя подобно Ахиллу. Всем им присваивали имена героев Троян ской войны и потому в астрономической литературе эти астероиды фигурируют под названием троянцы“.

” Из множества троянцев получили имена и занесены в каталоги всего 15, для 29 вычислены орбиты, а общее число троянцев близко к 700. Десять из крупнейших 15 троянцев (Ахилл, Гектор, Нестор и др.) движутся по орбите Юпитера, опережая его на 60. Пять остальных (Патрокл, Приам, Эней и др.) следуют за Юпитером, оставаясь по соседству с точкой L5.

Орбита Юпитера, как и орбиты других планет, отличается от окружности, и потому троянцы не находятся в относительном покое в точках L4 и L5, а обращаются вокруг них по сложным квазипе риодическим орбитам. Некоторые из троянцев при этом удаляются от либрационных точек на миллионы километров, да и минималь ное расстояние до них у любого из троянцев никогда не становится меньше нескольких сот километров.

О практическом их использовании заговори ли, когда на стапелях кос мических верфей были заложены автоматические лунные станции, и ма тематики должны были проложить им путь. В расчетах фигурировали три тела, связанные тяго тением, Земля, Луна и космический аппарат.

Либрационные точки Рис. 3.19. Либрационные точки в есть, конечно, в системе системе Земля-Луна, расстояния любых двух тел, в частно указаны в км [6, 7].

сти, и в системе Земля Луна. Любопытно, что в 1959 г. польский астроном Кордылевский обнаружил вблизи треугольных либрационных точек системы Зем ля Луна обширные облака космической пыли. Наблюдать их уда ется только в самые темные и прозрачные ночи при благоприят ном расположении Луны. Тогда они выглядят размытыми слабо светящимися пятнами. Очевидно, здесь в роли троянцев выступа ют мириады межпланетных космических пылинок, захваченных на устойчивые орбиты совместным притяжением Земли и Луны [8].

Если двигаться от Земли к Луне по прямой, то за 58 тысяч километров от цели аппарат попадет в первую точку либрации.

Вторая лежит на той же линии, но в 65 тысячах километров уже за Луной. Достигнув той или другой точки либрации, космический аппарат может двигаться вместе с Луной и Землей, как бы зависнув в одном и том же положении относительно этих планет.

Уникальные свойства точек либрации уже не раз давали повод рассматривать перспективы их освоения. Скажем, разместив в них космические аппараты-ретрансляторы, можно было бы обеспечить не только радиосвязь на всей Земле, но и между Землей и обрат ной, невидимой стороной Луны. Из этих точек удобно исследовать Солнце, звезды, межпланетную материю, реликтовое радиоизлуче ние.

Все это, однако, возможно лишь тогда, когда космический ап парат находится в точках либрации достаточно долго. Но чтобы удержать его там, необходимо управление, то есть ракетные двига тели. А значит, и большие запасы топлива, что существенно огра ничит научные возможности космической станции.

Более реальным, чем земной, представ ляется лунный кос ” мический лифт“ [49].

В своем движении во круг Земли Луна оста ется все время повер- Рис. 3.20. Трос удерживает космическую нутой к Земле одной и станцию за коллинеарной точкой либрации той же стороной. Это системы Земля Луна.

обстоятельство позволяет прикрепить, например, к обратной сто роне Луны космическую станцию на тросе, вытянутом вдоль линии Земля Луна (Рис. 3.20).

Эта система, по существу, представляет собой вариант ради альной связки, изображенной на рис. 2???. Ее необычность состоит в том, что одним из тел, соединенных тросом, является естественное небесное тело. В отличие от земного космического лифта трос для лунного лифта, изготовленный из современных высокопрочных ма териалов, может иметь весьма скромные характеристики (средняя погонная масса 1 кг/км, сечение 1 мм 2. Привязной спутник Луны может быть использован не только для обмена грузами с поверхностью Луны. Факт удержания космической станции за об ратной стороной Луны вблизи коллинеарной точки либрации L системы Земля Луна имеет и самостоятельное значение. Как из вестно, движение свободного космического аппарата вблизи точки L2 неустойчиво. Вопросам активной стабилизации движения кос мического аппарата в окрестности точки L2 посвящено большое количество работ, например [1, 31]. В то же время спутник, привя занный тросом, в окрестности точки L2 не требует никакого управ ления: его стабилизация имеет пассивный характер.

3.6. Другие проекты по использованию тросовых систем Подъем грузов с поверхности Лу ны может осуществляться не только с помощью стационарно закрепленной тросовой системы [17]. На рис. 3.21 по казана схема подъема грузов с помо щью вращающейся связки двух спут ников.

Вращательное и орбитальное дви жения связки подобраны так, чтобы в переселении один из спутников подхо дил к поверхности Луны с нулевой от носительной скоростью и захватывал груз. В апоселении груз отцепляется и выводится на окололунную орбиту. Рис. 3.21. Подъем грузов с Трос в этой связке должен иметь дли- поверхности Луны с ну несколько сотен километров [60]. помощью вращающейся Впервые идея такого несинхронного связки.

космического лифта была высказана в [10]. Для подъема грузов с поверхности Луны концевое тело тросовой системы не обязательно выводить на нулевую относительную скорость, а можно дать нуж ное приращение скорости грузу электромагнитными катапультами.

Высказана оригинальная идея [53] использования естествен ных спутников Марса, Фобоса и Деймоса, в качестве основы для космического эскалатора“, действующего по типу изображенного ” на рис. 3.18. Для этого с Фобоса и Деймоса в направлении к Марсу и от Марса выпускаются тросы длиной несколько тысяч километ ров (Рис. 3.22).

Такая возмож ность, как и в слу чае Луны, обусловле на неизменной ори ентацией этих спут ников в орбитальных Рис. 3.22. Фобос и Деймос используются в осях, а также слабо- качестве базы для марсианского эскалатора“.

” стью их собственного гравитационного поля.

Спутник, поднимающий грузы с поверхности Марса, сначала прибывает на нижний конец тросовой системы Фобоса, затем пере двигается вдоль троса на ее верхний конец и перелетает на нижний конец тросовой системы Деймоса. С ее верхнего конца спутник вы ходит уже на траекторию межпланетного перелета. Система тросов из кевлара погонной массой 20 кг/км и общей массой 300 т да ет экономию 10 т топлива на каждом запуске 20 т полезной нагруз ки [53]. Конечно, марсианский эскалатор“ дело завтрашнего дня.

” Однако уже сегодня марсианская автоматическая станция может быть оснащена зондом, выпускаемым на тросе на удаление 50 км от основного спутника для измерения градиентов параметров плаз мы и магнитного поля [20]. С той же целью с посадочного аппарата на Фобосе можно развернуть гирлянду датчиков, соединенных по следовательно тросами суммарной длиной 50–60 км при массе не более 1 кг [20].

Сцепление космического аппарата тросом с малыми тела ми Солнечной системы можно использовать для изменения тра ектории при близком пролете. Собственное гравитационное поле небольшого астероида недостаточно для совершения гравитацион ного маневра, но если загарпунить“ астероид с пролетающего кос ” мического аппарата, то сила натяжения троса с успехом заменит силу притяжения. После совершения маневра трос отцепляется и остается на память“ астероиду.

” Как уже отмечалось, современные материалы не позволяют сделать земной космический лифт с приемлемыми характеристи ками. Однако можно сделать его половину“, т.е. протянуть трос ” от геостационарной орбиты не до самой поверхности Земли, а лишь на половину этого расстояния [63]. Речь идет о геосинхронной ра диальной связке (схема на рис. 3.7), в которой верхний спутник на ходится несколько выше геостационарной орбиты, а нижний спут ник находится посредине между геостационарной орбитой и Зем лей. Соединительный трос из высокопрочных материалов может иметь в этом случае приемлемую погонную массу 1 кг/км (сече ние 1 мм 2 ). Привлекательной в этом проекте является возмож ность иметь геостационарный спутник на высоте, вдвое меньшей высоты геостационарной орбиты.


Для индустриализации космоса могут потребоваться большие производственные комплексы. На рис. 3.23 изображена схема тако го комплекса в виде кольца из большого числа производственных, исследовательских и жилых модулей, соединенных последователь но тросами [55, 56].

Такое соединение позволяет рас положить модули на близком рассто янии друг от друга, что невозмож но в свободном полете из-за неизбеж ного рассогласования скоростей и от носительного дрейфа соседних моду лей, приводящего к их столкновению.

В устойчивом кольце связанных троса ми спутников такой дрейф не происхо дит.

Рис. 3.23.

Имеются и менее грандиозные Производственные, жилые проекты локальных созвездий“ спут ” и исследовательские ников и космических платформ [51], модули, связшные тросами стабилизируемых в вертикальном на в единое кольцо вокруг правлении гравитационным градиен Земли.

том, а в горизонтальном направле нии вращением (Рис. 3.24 а) или разностью аэродинамических сил (Рис. 3.24 б). В некоторых работах рассматриваются динамиче ские свойства 122-метровой орбитальной антенны, существенным элементом которой являются многочисленные тросы-растяжки.

Этот список можно еще продолжить. Тем бо лее, что обсуждение каж дого варианта применения тросовых систем в космо се рождает новые вариан ты: заряд тросовых“ идей ” еще далеко не исчерпан. Рис. 3.24. Созвездия“ из соединенных Конечно, не все они рав- ” тросами модулей.

нозначны по предоставля емым выгодам, затратам и срокам на реализацию. Так, перспекти ва применения тросовых систем, изображенных на рис. 3.20–3.23, представляется более отдаленной, чем применение систем с элек тромагнитным взаимодействием троса или системы с атмосферным зондом (рис. 3.12 и 3.13). Тем не менее исследование динамики этих систем наряду с системами ближайшей перспективы ни в коей ме ре не является преждевременным. Более того, оно необходимо для глубокого и всестороннего понимания реальных возможностей ис пользования тросов в космосе и создания более полного динамиче ского портрета этого нового класса космических систем.

3.7. Равновесие нити в поле тяжести. Цепная линия Следуя [Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической меха ники, Ч.1., М, Наука, 1969, с. 314–317] рассмотрим задачу о равно весии нити в поле тяжести.

Найдем форму кривой, по которой располо-однородная иде альная нить в поле тяжести (рис. 3.25). Пусть вес единицы длины нити равен ;

так как нить однородна, то = const. Вследствие того, что нить находится под действием параллельных сил, каковы ми являются силы тяжести, фигура равновесия нити будет плоской кривой, лежащей в вертикальной плоскости;

примем эту плоскость за плоскость xy, причем ось y направим вертикально вверх. Обо значим T -натяжение нити в точке.

Тогда, поскольку в дан ном случае Fx = 0, Fy =, уравнения равновесия нити имеют вид d dx ds T ds = 0, (3.5) d dy T =.

ds ds Рис. 3.25.

Из первого уравнения следует, что dx T = T0 = const, ds т.е. проекция натяжения па ось x есть величина постоянная. От ds куда имеем: T = T0. Подставляя это выражение T во второе dx уравнение системы (3.5), получим:

d ds dy dy или d T T0 = = ds.

ds dx ds dx Но dy ds = 1+ dx dx и, следовательно, dy dy d T0 = 1+ dx.

dx dx dy Для интегрирования полагаем = p, и тогда последнее уравнение dx примет вид T0 dp = 1 + p2 dx.

Разделяя переменные, получим:

dp = dx T p 1+ T0 dp dx или, полагая =a и, интегрируя, найдем = a p 1+ x 1 + p2 = ln p + + c1.

a dy Положим, что при p = = 0 будет x = 0, т.е. проведем dx ось y через ту точку кривой, где касательная параллельна оси x.

При этом условии c1 = 0, и мы будем иметь:

1 + p2 = ex/a.

p+ Для определения p возьмем обратную величину 1 + p2 = ex/a p + и вычтем из первого выражения второе. Получим:

1 x/a x ex/a = sh.

p= e 2 a dy x x Так как p = = sh, то dy = sh dx, откуда, интегрируя, dx a a найдем:

x y = a ch + c2.

a Пусть при x = 0 будет y = a, тогда, так как ch 0 = 1, c2 = 0 и x a x/a (3.6) + ex/a, y = a ch = e a т.е. однородная идеальная нить расположится в однородном поле тяжести по цепной линии (рис. 3.26).

Так как силы тяжести имеют потенциал U = y, то в этом случае, соглас но (3.7), T + U = const (или T y = T0 a, но посколь ку T0 / = a, то T0 a = и, следовательно, (3.7) T = y.

Итак, натяжение в каж- Рис. 3.26.

дой точке тяжелой однородной нити равно весу отрезка той же ни ти, длина которого равна ординате этой точки.

Из этого результата следует, в частности, что нить, перекинутая через два лишенных трения блока (рис. 3.27), будет в равнове сии тогда, когда свободные концы ее опустятся до оси x.

Замечание 7.1. Гали лей предполагал, что тяже Рис. 3.27.

лая однородная нить распо лагается в поле тяжести по параболе. Это предположение с извест ной точностью оправдывается, если x a.

В самом деле, 2 x 1 x 1 x ex/a = 1 + + + +...

a 2! a 3! a 2 x 1 x 1 x ex/a = 1 + +...

a 2! a 3! a отсюда 1 x2 1 x 1 x/a x + ex/a = ch = 1 + e + +..., 2 a 2! a 4! a следовательно, уравнение цепной линии принимает вид 2 1 x 1 x y =a 1+ + +....

2! a 4! a Если x a, то, удерживая члены до второго порядка вклю чительно, получим уравнение 1 x ya=, 2 a т.е. уравнение параболы.

3.8. Выбор механической модели и вывод уравнений дви жения тросовой системы Большинство рассмотренных ранее космических тросовых систем сводится к системе двух тел, соединенных тросом. Причем длина троса измеряется десятками километров, размеры тел де сятками метров, толщина троса составляет несколько миллимет ров, т.е. длина троса примерно на три порядка превосходит раз меры тел и на семь порядков превосходит толщину троса. В этой ситуации у механика естественно возникает модель системы двух материальных точек, соединенных гибкой нитью. Более сложные модели учитывают изгибную жесткость троса, внутреннее трение в тросе, конечные размеры концевых тел или включают большее число тел. Но мы не будем стремиться к излишней общности и со средоточимся в основном на данной модели, которая является об щепризнанной и используется в большинстве опубликованных ис следований по динамике космических тросовых систем. По мере необходимости будут использованы и усложненные модели.

Итак, рассмотрим дви жение системы двух мате риальных точек A и B, соединенных гибкой нитью AB, в поле притяжения Земли (рис. 3.28).

Введем геоцентриче скую систему координат OXY Z, в которой плос кость OXY и направление осей OZ и OX совпадают соответственно с экватори альной плоскостью, сред Рис. 3.28. Положение элементов ним направлением оси вра тросовой системы в геоцентрической щения Земли и направле системе координат.

нием на точку весеннего равноденствия в определенную эпоху [41]. Система координат OXY Z не вращается, но движется с ускорением центра масс Зем ли w0, которое определяется суммой гравитационных ускорений от Солнца, Луны и других небесных тел:

w0 = w0i.

Как принято в теории движения ИСЗ [41], систему координат OXY Z можно считать инерциальной, если возмущающие уско рения представлять разностью гравитационных ускорений между рассматриваемой точкой и точкой O :

wвозм = w w0 = (wi w0i ).

В общем случае длина нити AB может изменяться в про цессе движения за счет втягивания и выпуска ее телами A и B, если в конструкции этих тел предусмотрена лебедка. Представим мысленно ситуацию, когда весь запас длины нити выпущен с тел A и B и нить выпрямлена, но не натянута. Введем натуральный параметр s длину дуги, отсчитываемую вдоль ненапряженной нити от точки A, 0 s l, l длина ненапряженной нити. В процессе движения в любой момент t можно выделить три участ ка: участок 0 s sA (t) находится в теле A, sA (t) s sB (t) находится между телами A и B, sB (t) s l находится в теле B.

3.9. Уравнения движения нити (троса) Положение точки s нити, находящейся между точками A и B, в момент t относительно осей OXY Z определяется геоцентри ческим радиусом-вектором R(s, t). Введем силу натяжения нити T (s, t) в точке s в момент t как внутреннюю силу, действующую со стороны участка нити sB на участок As. Зададим распределение линейной плотности (массы на единицу длины) вдоль нити (s), 0 s l. Рассмотрим участок нити от s до s+ds (рис. 3.29), где ds беско нечно малая длина участ ка. Далее во всех выраже ниях удерживаются толь ко линейные по ds члены.

Масса этого участка равна (s)ds.

Действующие со сто роны соседних участков нити силы натяжения рав- Рис. 3.29. Силы, действующие на трос и ны T (s + ds, t) и T (s, t). концевые тела.

В выражении для силы притяжения Земли выделим главный, нью µR тоновский член (s)ds, где µ гравитационная постоянная R Земли;

R = R(s, t), R = |R|. Поправки от высших гармоник гра витационного поля Земли, гравитационные возмущения от Солнца, Луны и других небесных тел, а также все внешние силы неграви тационной природы (аэродинамические, электромагнитные и др.), взятые в сумме и отнесенные к единице длины нити, обозначим F.

На участок ds будет действовать сила F ds. Теперь запишем урав нение Ньютона для движения центра масс рассматриваемого участ ка нити 2R µR = T (s + ds, t) T (s, t) (s)ds 3 + F ds.

(s)ds t2 R Откуда получаем 2R T µR (3.8) (s) 3 + F.

(s) = t s R Это обычная форма уравнений динамики гибкой нити [34, 46].

По своему определению гибкая нить не сопротивляется изгибу и сила ее натяжения всегда направлена вдоль касательной к линии нити R R (3.9) T = T, =, s s где единичный вектор касательной к линии нити. Величина си лы натяжения определяется законом растяжимости. Примем закон растяжимости Гука R (3.10) T = E( 1), =, s где E = E(s) модуль упругости нити, вообще говоря, различный для разных точек s;


относительное удлинение участка нити.

При необходимости может быть принят какой-либо нелинейный за кон растяжимости T = T ().

Если удлинение и натяжение в некоторой точке s достигают критических значений = 1 +, T = E (пластическая дефор мация не рассматривается), то происходит разрыв нити. Величина ( и E M предел прочности и модуль упругости) ва = EM рьируется в пределах 0,007–0,096. В результате разрыва образуются два куска нити As и s B, которые движутся независимо друг от друга, причем натяжение на оборванных концах равняется нулю.

Модуль упругости нити, состоящей из одинаковых парал лельно уложенных волокон, определяется соотношением E = EM fB, аналогичным соотношению для линейной плотности = M fB, где EM и M модуль упругости и плотность материала волокон;

fB = kf f ;

f площадь сечения нити;

kf доля площади сечения, занимаемая волокнами [22, 39].

При подстановке (3.9), (3.10) в (3.8) получается векторное уравнение в частных производных волнового типа. Это уравне ние решается в полосе с переменными в общем случае границами sA (t) s sB (t), t t0, t0 начальный момент времени.

3.10. Уравнения движения концевых тел Положение точек и в момент t определяется геоцентричес кими радиусами-векторами RA (t), RB (t). Очевидно, что RA (t) = = R(sA, t), RB (t) = R(sB, t). Масса тел и вместе с массой втяну той в них нити в момент t равна sA (t) l m0 mB (t) = m0 + mA (t) = + (s) ds, (s)ds, A B 0 sB (t) где m0, m0 массы тел и без учета массы втянутой в них нити.

A B Скорость изменения масс mA, mB зависит от скорости выпуска или втягивания нити dm0 dm dmA dsA dmB dsB (3.11) A B = (sB ) = (sA ) +, +.

dt dt dt dt dt dt Эта формула предусматривает также возможность уменьшения масс mA, mB за счет выброса рабочего тела из двигателей, если таковые имеются в конструкции.

dRA dRB Обозначим через vA =, vB = скорости движения dt dt тел A и B. Пусть величина sA (t) уменьшается со временем, а sB (t) увеличивается, т.е. нить выпускается с обоих тел. За бесконечно малое время dt из тела A будет выпущен участок dsA массой (sA )dsA, а из тела B участок dsB массой (sB )dsB. Скорости движения точек нити относительно тел A и B в точках выпуска равны R dsA R dsB uA =, uB =.

s A dt s B dt Вычислим изменение количества движения в системе тело ” участок dsA “ и в системе тело участок dsB “ за бесконечно ” малое время dt пока без учета возможности работы реактивных двигателей.

Удержим только линейные по dt члены mA (t + dt)vA (t + dt) (sA )dsA vA (t) + uA (t) µRA mA (t)vA (t) = TA mA (t) 3 + FA dt, RA (3.12) mB (t + dt)vB (t + dt) + (sB )dsB vB (t) + uB (t) µRB mB (t)vB (t) = TB mB (t) 3 + FB dt, RB где TA = T (sA, t), TB = T (sB, t) силы натяжения нити в точках соединения с телами A и B ;

FA, FB суммарные возмущающие силы, учитывающие влияние старших гармоник гравитационного потенциала Земли, возмущения от Солнца и планет, аэродинамику и т.д.

Используя (3.11), в линейной части по dt получим dvA mA (t + dt)vA (t + dt) mA (t)vA (t) = mA (t) dt + (sA )dsA vA (t), dt dvB mB (t + dt)vB (t + dt) mB (t)vB (t) = mB (t)dt (sB )dsB vB (t).

dt В случае работы реактивных двигателей сюда добавляются стан дартные члены, пропорциональные эффективной скорости истече dm0 dm ния и скорости расхода рабочего тела [27, 40]. Под A B, dt dt ставляя эти выражения в (3.12), приходим к следующим уравнени ям движения точек A и B :

d2 RA dsA TA (sA )A mA (t) = A dt2 dt µRA mA (t) 3 + FA + WA, RA (3.13) d2 RB dsB = B TB (sB )B mB (t) dt2 dt µRB mB (t) 3 + FB + WB, RB где TA = E(sA )(A 1), R R A =, B =, TB = E(sB )(B 1) s s A B относительное удлинение и натяжение нити в точках A иB ;

WA и WB силы тяги двигателей тел A и B, если двигатели предусмотрены в их конструкции. Полностью аналогичные рас суждения для случая втягивания нити приводят к тем же уравне ниям (3.13). Они включают реактивные члены, пропорциональные квадрату скорости выпуска или втягивания троса, и имеют смысл уравнений Мещерского.

3.11. Упрощенные модели Основную трудность для исследования представляет анализ уравнений в частных производных, описывающих движение троса.

Поэтому в ряде случаев, когда это оправдано, вводят упрощения в описание движения троса. Если пренебречь продольным удли нением, получится модель связки с нерастяжимой нитью. Вместо закона растяжимости (3.10) используется условие не растяжимости R = 1, s которое является условием связи, наложенной на систему. Натяже ние T играет при этом роль неопределенного множителя Лагран жа, зависящего не только от времени t, но и от положения точки s на нити.

Пренебрегая поперечным изгибом нити, получаем модель ган тели из двух материальных точек, соединенных прямолинейным стержнем. В модели с невесомой нитью при = 0, F = 0 урав нение (3.8) сводится к условию постоянства натяжения вдоль нити T /s = 0. В (3.9) теперь следует принять RB RA (3.14) =.

|RB RA | Закон растяжимости (3.10) модифицируется с учетом возмож ности ослабления нити, так как нить, рассматриваемая в целом, не работает на сжатие:

E( 1) при 1, |RB RA | T= =.

при 1, sB sA Натяжение нерастяжимой нити находится, как неопределенный множитель Лагранжа из условия освобождающей связи |RB RA | sB sA.

Движение тел A и B описывается уравнениями (3.13), в которых TA = TB = T, A = B =.

Вместо словосочетания тросовая система“ будем употреблять ” сокращенное ТС“.

” 3.12. Сравнительная оценка действия на трос различных возмущающих сил Пусть массивный основной спутник B движется по круговой орбите на высоте 400 км над поверхностью Земли и с него верти кально в сторону Земли выпущен трос AB длиной l = 20 км со свободным концом A. Отсутствие концевой массы позволяет со средоточиться только на возмущающих силах F, действующих на трос: ведь именно они составляют нетрадиционную для космиче ского объекта часть возмущений. На свободном конце A натяже ние равно нулю, а в точке B оно максимально: TB 1, 5 2 l2, где угловая скорость обращения.

Первую группу возмущений составляют гравитационные воз мущения [6].

1.1 Сплюснутость Земли. Возмущающее ускорение от гармони ки J2 в стандартном представлении геопотенциала [41] при водит к изменению силы натяжения троса T только в связи с различием возмущающих ускорений в разных точках ТС.

Если бы возмущающее ускорение во всех точках ТС было одинаковым, то трос не реагировал бы на него изменением своего натяжения (ситуация свободного падения“). Интегри ” рование вдоль троса градиента радиальной компоненты уско рения от J2 дает RЗ 1 3 sin2, TB 3 2 l2 J RB где RЗ радиус Земли;

геоцентрическая широта ме ста. Максимальное приращение натяжения происходит в по лярных областях = ±/2. В экваториальной области и на широте = 55 относительное приращение натяжения со ставляет TB /TB 2J2 2 · 103.

1.2 Высшие гармоники геопотенциала. Они дают вклад в натя жение не более TB /TB 105.

1.3 Притяжение Луны. Вклад притяжения Луны в относитель ных величинах имеет порядок TB /TB 4 · 108. Этот вклад становится определяющим для лунной тросовой системы.

1.4 Притяжение Солнца. По аналогичной оценке для градиента гравитационного поля Солнца TB /TB 2 · 108.

1.5 Релятивистские эффекты. В постньютоновском приближе нии [29] изменение натяжения составит TB /TB v 2 /c 7 · 1010, где v скорость орбитального движения;

c скорость света.

1.6 Притяжение троса к спутнику. Силу гравитационного притя жения, действующую на трос со стороны несущего его спут ника массой mB и характерного размера 2rB, можно оце нить, как F GmB /rB. При типичных для орбитального самолета значениях mB 100 т, rB 10 м [30] отношение F/TB 109 близко к уровню релятивистских возмущений.

Заметим, что в тросовых системах, развернутых с Луны и Фо боса, несущий трос спутник является естественным небесным телом и его притяжение выходит на первый план.

1.7 Конечная толщина троса. Сила, действующая в ньютонов ском поле на круглый в сечении трос конечной толщины dT, отличается от силы воздействия на материальную линию на величину TB /TB 3/16 · d2 /RB. Для троса толщиной T dT = 5 мм это отношение составляет 1013.

Ко второй группе возмущений относятся добавочные упругие силы, которые возникают в неидеально гибком тросе, а также силы внутреннего трения. Перечислим их.

2.1 Изгибная жесткость троса.

2.2 Остаточные деформации в тросе.

2.3 Внутреннее трение в тросе.

В третью группу возмущений входят электромагнитные силы, возникающие в результате взаимодействия троса с геомагнитным полем и ионосферной плазмой [3, 4, 35]. Назовем их.

3.1 Электростатический заряд диэлектрического троса.

3.2 Сопротивление плазмы при движении диэлектрического тро са.

3.3 Наведенный заряд в проводящем тросе.

3.4 Сопротивление плазмы при движении проводящего троса [26].

3.5 Электрический ток в тросе [25].

К четвертой группе возмущений относятся аэродинамическое сопротивление, действие солнечного излучения и удары микроме теоритов [28, 42], а именно:

4.1 Аэродинамическое сопротивление.

4.2 Световое давление.

4.3 Нагрев троса солнечным излучением.

4.4 Удары микрометеоритов [33].

Итак, рассмотрено большое число факторов, влияющих на движение ТС. Краткие выводы таковы. Трос, подвешенный к спут нику, не находится в невесомости он натягивается за счет гради ента гравитационных и центробежных сил. Все остальные силовые факторы, за исключением специально оговоренных случаев при вязного атмосферного зонда и электромагнитной ТС, оказываются на заднем плане, причем изгибная жесткость троса находится на са мом последнем месте в общей шкале возмущений. При характерных параметрах ТС скорее надо учитывать релятивистские эффекты, чем изгибную жесткость троса.

3.13. Модель невесомого троса Исторически модель невесомого троса была первой моделью, использованной для исследования движения ТС на орбите. Она позволила относительно простыми средствами выявить ряд каче ственных особенностей движения [13–16,47,62,67] и сохраняет свое значение и поныне как простое средство экспресс-оценки поведе ния той или иной ТС на орбите и как предельный случай при про верке любой более сложной модели. Невесомый трос представляет собой тот идеал, к которому следует стремиться из соображений экономии массы, но который невозможно достигнуть по соображе ниям прочности, метеорной опасности и др. Массивность троса ни в одном из приложений не относится к числу необходимых условий функционирования ТС. Во всех приложениях от троса требуется только мгновенная передача заданного продольного усилия. Тот факт, что реальный весомый трос передает не мгновенно и не за данное усилие, а свой динамический отклик на это усилие, можно расценивать, как негативный в определенном отношении, так как из него вытекают технические ограничения и многие вычислитель ные трудности.

Уравнения движения ТС с невесомым тросом были представ лены ранее как частный случай общих уравнений движения. Пред положим, что тело B является основным спутником, а тело A субспутником малой массы (mA mB ). Поскольку масса троса игнорируется, высокоточное описание движения центра масс не яв ляется оправданным. Поэтому будем считать центр масс совпада ющим с точкой B и орбиту центра масс невозмущенной эллип тической. С основным спутником B свяжем орбитальную систему координат Bxyz, в которой ось Bx направлена по геоцентриче скому радиусу-вектору точки B, ось By по трансверсали, а ось по бинормали к орбите основного спутника. Субспутник A Bz оказывается привязанным к началу этой подвижной системы коор динат. Уравнения относительного движения точки A получаются из (3.13):

µRA mA rA + rA + 2 rA + rA + RB + 3 = TA +FA, RA где rA = RA RB радиус-вектор точки A в осях Bxyz ;

RA, RB геоцентрические радиусы-векторы точек A и B, угловая скорость вращения орбитальной системы координат Bxyz относи тельно геоцентрической системы координат OXY Z ;

дифференци рование по времени обозначено точкой (для вектора rA оно про изводится в подвижных осях Bxyz, а для векторов RB и в неподвижных осях OXY Z );

µ гравитационная постоянная Зем ли;

TA сила натяжения троса;

FA негравитационные возму щения, действующие на тело A.

По предположению о кеплеровом движении основного спутни ка RB = µRB /RB. Разность RA RB 3 R = RA B вычислим в линейном приближении по rA :

rA 3RB 3 R5 (rA · RB ), = RB B где (rA · RB ) знак скалярного произведения. Окончательно урав нения относительного движения субспутника принимают вид 2 x x 2y y 1 + k Tx + Fx 2 y = m Ty + Fy (3.15) y + 2x + x k A Tz + Fz z + 2 z k µ где (x, y, z) = rA, k = 1 + e cos, = = k ;

e, p и экс p центриситет, фокальный параметр орбиты и истинная аномалия основного спутника B ;

Fx, Fy, Fz компоненты возмущающей си лы FA.

Игнорирование массы троса ( = 0) в силу (3.8) автоматиче ски влечет за собой игнорирование гравитационных сил, действую щих на трос. Чтобы быть последовательным, в этой ситуации надо пренебречь и всеми остальными действующими на трос неграви тационными силами: F = 0. Тогда в натянутом состоянии трос всегда будет находиться на линии AB (см. [20]) и для компонент силы натяжения TA получим T r x2 + y 2 + z 2, (Tx, Ty, Tz ) = (x, y, z), 1, r= T =E r l где l длина нерастянутого троса;

E модуль упругости троса. В случае r l трос складывается в гармошку“ и на сжатие не рабо ” тает: T = 0. По своей структуре система (3.15) представляет собой не что иное, как известные уравнения метода транспортирующей траектории [11]. Однако, по существу, возникает совершенно новая задача о движении с пространственными ограничениями: внутри шара r l субспутник совершает свободное движение (T = 0), но как только он хоть немного выходит за границу шара, в тросе возникает большая сила натяжения T, возвращающая субспутник во внутреннюю область. Покинуть эту область он может, только оборвав свою привязь. Если до обрыва дело не доходит, то трос позволяет субспутнику выйти из шара не далее, чем в тонкий слой l r l(1 + ), где = T /E, T разрывное усилие;

для реальных тросов 102. В пределе E, соответствую щем нерастяжимому тросу, этот слой становится бесконечно тон ким ( 0), и возникает задача о движении с освобождающей связью r l, а натяжение T приобретает смысл неопределенного множителя Лагранжа.

Движение в сферическом -слое или в предельном случае E движение по сфере r = l удобно исследовать в сферических координатах r,,, где угол разворота в плоскости орбиты ос новного спутника Bxy ;

угол отклонения от этой плоскости.

Подставив в (3.15) x = r cos cos, y = r sin cos, z = r sin, получим 2r 3 F 2 tg + 2 sin cos = ++ +, r k mA r cos 2r 32 F cos2 = + + sin cos + +, r k mA r 12 T Fr r r 2 + + cos2 + 3 cos2 cos2 1 = +, k mA mA Fr cos cos sin cos sin Fx sin F = cos 0 Fy.

cos sin sin sin cos F Fz 3.14. Демпфирование колебаний тросовой системы (ТС) В полете на ТС будет действовать множество возмущений. Из менение длины выпущенного участка троса и маневры на орбите также станут причиной возбуждения колебаний ТС. Как подавить эти колебания для скорейшего выхода в окрестность рабочего ре жима движения?

• Внутреннее трение в тросе Чтобы учесть его, надо модифицировать закон растяжимо сти (3.10) путем добавления членов, зависящих от скорости удли нения. В широко распространенной модели Фойгта [36, 37, 74, 79] (3.16) T = E( 1) + D, t где T натяжение, E модуль упругости, удлинение, D коэффициент внутреннего трения.

Строго говоря, коэффициент D не является постоянным, а зависит от условий нагружения. Если говорить о монохроматиче ских колебаниях, то в широком диапазоне частот можно исполь зовать представление D = E/, где так называемый коэф фициент потерь [74]. Для потерь в различных конструкционных материалах характерен уровень 0, 01 [21, 36, 74]. Гораздо боль шие потери приходятся на трение между соприкасающимися дета лями конструкций конструкционное демпфирование (в тросе это трение между волокнами). Для него характерен уровень потерь 0, 1 [21].

Пусть массивный основной спутник B движется по круговой орбите, а субспутник A движется только под действием натяжения троса и гравитационного градиента. Если трос невесомый ( = 0) и на него не действуют внешние возмущающие силы ( F = 0), то, как следует из (3.8), натяжение не изменяется вдоль троса, и в (3.16) можно подставить = r/l, r расстояние AB между основным спутником и субспутником, l – длина нерастянутого троса. Теперь запишем (3.17) T = mA 2 a(r l) + br, где точка означает дифференцирование по безразмерному време ни = t, частота обращения, a и b безразмерные ко эффициенты, a = E/(mA 2 l), b = D/(mA 2 l). С учетом (3.17) и других сделанных предположений уравнения относительного дви жения субспутника в сферических координатах (r,, ) уравнения принимают вид 2r 2 tg + 3 sin cos = 0, + +1 r 2r + sin cos ( + 1)2 + 3 cos2 = 0, + r r r 2 + ( + 1)2 cos2 + 3 cos2 cos2 1 + br + a(r l) = 0.

Рассмотрим подробнее механизм демпфирования. Малые колеба ния около вертикальных положений равновесия r = r0, = 0 или, = 0 описываются системой уравнений r + b r 2r0 + (a 3)r = 0, r + 2 + 3 = 0, r + 4 = 0.

Как видим, в линейном приближении колебания по нормали к плоскости орбиты являются независимыми и не демпфируются.

Поперечные колебания в плоскости орбиты гироскопически связа ны с продольными, и только благодаря этому происходит их демп фирование. Характеристическое уравнение для колебаний в плос кости орбиты имеет вид 4 + b3 + (4 + a)2 + 3b + 3(a 3) = 0.

При a 1иa b его решения приближенно равны:

b b 1,2 6 2 ± i 3, 3,4 ± i a.

a Первая пара собственных значений отвечает преимущественно поперечным колебаниям маятникового типа с частотой 3. Вто рая пара отвечает преимущественно-продольным колебаниям го раздо более высокой частоты a.

Вследствие a 1 декремент затухания маятниковых колеба ний оказывается гораздо меньше, чем продольных колебаний. Это вполне понятно: поперечные, маятниковые колебания демпфиру ются только в той мере, в которой они возбуждают через гиро скопическую связь продольные колебания, а эта связь слаба из-за высокой продольной жесткости троса. Действительно, безразмер ный коэффициент жесткости a 3E/T0 3/0, где T0 3mA 2 l натяжение троса в равновесии, 0 относительное удлинение.

Допустимое по прочности удлинение 0, как правило, мало, поэтому коэффициент a реально велик. На пределе прочности 102, при десятикратном запасе прочности 103. Если ис пользовать приведенное выше выражение для коэффициента D = E/, то b = a/. На частоте маятниковых колебаний = 3, b = a/ 3 и Re 1,2 2 3/a, на частоте продольных колебаний = a, b = a и Re 3,4 a/2. При характерных значе ниях = 0, 1, a = 103 на низкой орбите амплитуда продольных колебаний уменьшится в e раз всего за 10 мин, а такого же умень шения амплитуды маятниковых колебаний придется ждать целый месяц!

Итак, внутреннее трение в тросе достаточно быстро гасит преимущественно-продольные колебания, но для демпфирования преимущественно-поперечных колебаний оно оказывается практи чески бесполезным.

3.15. Возможные темы курсовых работ или докладов Методы исследования движения тросовых систем на орбите изложены в превосходной монографии [6]. Следуя этой книге мож но самостоятельно подготовить доклады, выбрать темы для курсо вых работ.

Движение тросовой системы в ньютоновском поле при откло нении от плоскости орбиты.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.