авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики – процессов управления С. А. КУТУЗОВ, М. А. МАРДАНОВА, Л. П. ОСИПКОВ, В. Н. ...»

-- [ Страница 4 ] --

в итоге было определено увеличение интенсивности света, вызванное прохожде нием линзирующей звезды в галактическом гало. А с 1991 г. дву мя группами ученых была начата работа по исследованию микро линзирования звезд в Большом Магеллановом Облаке скрытыми объектами в галактическом гало. В результате этих исследований был сделан вывод о том, что одним из компонентов скрытой массы являются маломассивные звезды, и количество их в нашей Галак тике оказывается гораздо больше, чем считалось ранее. Это несо ответствие между теорией эволюции звезд и наблюдениями ставит перед учеными проблему исследования реальной оценки скрытой массы [9].

ЛИТЕРАТУРА ГЛАВЫ 1. Воронцов-Вельяминов Б. А.Внегалактическая астрономия.

М.: Наука, 1972. 464 c.

2. Сурдин В. Г.Гравитационная линза. Глоссарий.

http://astronet.ru/db/msg/ 3. Засов А. В., Постнов К. А.Общая астрофизика. Фрязино:

Век-2, 2006. 493 c.

4. Левитт И. За пределами известного мира: от белых карликов до квазаров. М.: Мир, 1978. 176 c.

5. Люмине Ж.- П.Черные дыры: популярное введение. CNRS, Медон, 2002. http://astronet.ru/db/msg/ 6. Миттон C. Исследование галактик. М.: Мир, 1980. 250 c.

7. Путешествие во Вселенной http://spacetravell.narod.ru/poligalaktiki.htm# zag 8. Решетников В. П. Астрономические задачи начала XXI века, или 23 проблемы Сэндиджа. М.: Природа, 2003. http://astronet.ru/db/msg/ 9. Черепащук А. М. Гравитационное микролинзирование и про блема скрытой массы. СОЖ, Москва, 2001.

http://astronet.ru/db/msg/ 10. Bergstr o m L., Goobar A. Cosmology and particle astrophysics.

Springer Praxis Books, 2004. 370 c.

http://www.springerlink.com/content/p 11. Padmanabhan T. Theoretical Astrophysics. vol.III: Galaxies and Cosmology. Cambridge University Press, 2002. 624 c.

12. McNeil J. Galaxies – inside and out. – West Kentucky amateur astronomers, 2005.

http://www.wkaa.net/article.php?articleid= ГЛАВА 6. НАЧАЛА ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ГРА ВИПЛАЗМЫ 6.1. Исходные понятия Все модели звездных систем строятся при тех или иных упро щающих предположениях, никогда не выполняющихся в точно сти. На реальные звездные системы действуют различные возму щающие факторы, точный учет которых не представляется воз можным. В их числе можно назвать внешние приливные воздей ствия [89, 158], случайные флуктуации плотности, связанные с дис кретностью системы [162], воздействия со стороны облаков меж звездного газа [51, 156] и т.

д. Встает вопрос, как влияют неизбеж ные отклонения от принятых предположений. Если первоначально малые отклонения не нарастают со временем, то говорят, что мо дель звездной системы устойчива. Рассмотрение вопросов устойчи вости играет большую роль в современной динамике гравитирую щих систем. С одной стороны, это полезный промежуточный прием при переходе от исследования стационарных систем к нестационар ным [23]. С другой стороны, оно необходимо для выделения среди множества мысленных моделей тех, которые описывают устойчи вые стационарные или нестационарные системы. Неустойчивые си стемы могут существовать лишь в течение сравнительно короткого времени, быстро изменяя форму, распадаясь или переходя на иной путь эволюции.

Вопросам устойчивости систем гравитирующих тел (со кращенно, гравиплазмы) посвящены специальные монографии В. Л. Поляченко и А. М. Фридмана [78, 113] и П. Пальмера [148].

Значительное место занимают они в фундаментальной монографии Дж. Бинни и С. Тримейна [101]. Основные результаты приведены также в монографиях Дж. Бертина [100] и У. Саслау [81]. Ука жем на содержательный обзор В. А. Антонова [8], в котором основ ное внимание уделяется теории равновесия и устойчивости жидких и газовых гравитирующих сред. Поэтому ниже теория устойчиво сти не будет излагаться с исчерпывающей полнотой. Наибольшее 1Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президента РФ по поддержке ве дущих научных школ России (грант № НШ 1323.2008.2), а также Российского фонда фундамен тальных исследований (грант № 08-02-00361).

внимание будет уделено освещению некоторых принципиальных во просов, понимание которых необходимо перед более глубоким изу чением теории. Предполагается, что читатель знаком с основны ми понятиями динамики звездных систем, например, по класси ческим монографиям С. Чандрасекара [93] и К. Ф. Огороднико ва [67]. Конечно, необходимо иметь хотя бы общее представление о теории устойчивости движения, например, по книгам Б. П. Деми довича [34], В. И. Зубова [42], И. Г. Малкина [60] или Н. Г. Чета ева [96], и о теории колебаний (например, [3, 32, 43, 61]). Полезно иметь общее представление о распространении волн в сплошных средах. Из многочиcленной литературы по этому вопросу мы осо бенно рекомендуем лекции Л. И. Мандельштама [61]. Отметим так же классическую книгу Рэлея [85] и монографию С. Чандрасека ра [109], специально посвященную гидродинамической (и магнито гидродинамической) устойчивости и ее астрономическим приложе ниям. Кроме того, чрезвычайно полезным было бы ознакомиться с полупопулярной книгой В. И. Арнольда [13]. Для понимания раз дела 6.2.3 необходимо знать теорию вычетов функций комплексной переменной и ее приложения к вычислению контурных интегралов.

Легко перенести на звездные системы известное определение устойчивости в смысле Ляпунова. Пусть в каждый момент време ни t состояние системы описывается конечным набором функций F (i) (x;

t), i = 1,..., k. В случае фазовых моделей звездных си стем x = (r, v) шестимерный вектор фазовых переменных. При гидродинамическом описании звездных систем x = r обычный вектор положений, а функции F (i) плотность, гравитационный (i) потенциал, скорость центроида и т.д. Пусть функции F0 (x;

t) от вечают исследуемой модели системы;

если модель стационарна, то (i) (i) F0 = F0 (x). Модель звездной системы, описываемой функция (i) ми F0, будем называть устойчивой, если для любого 0 су ществует такое 0 (зависящее только и не зависящее от x, i), что для любых функций F (i) (x;

t), удовлетворяющих в начальный момент времени t0 неравенствам (i) max F0 (x;

t0 ) F (i) (x;

t0 ), x для любого t t0 выполняются неравенства (i) max F0 (x;

t) F (i) (x;

t).

x В противном случае модель будем называть неустойчивой.

Данное выше определение взято с некоторыми изменения ми (заменой поточечной близости на равномерную) из статьи Н. Ф. Рейн [80].

(i) Если max F0 F (i) 0 при t для всех i, то есте x ственно говорить об асимптотической устойчивости.

Упражнение 1.1. Можно было бы говорить, что модель устой чива, если для любого i 1/ (i) F0 (x;

t) F (i) (x;

t) dx.

Сравнить это определение с данным выше. Почему первое опреде ление предпочтительнее с физической точки зрения?

Упражнение 1.2. Сформулировать в развернутом виде, в ка ких случаях модель называется неустойчивой.

Если модель неустойчива, то может оказаться, что неустойчи вость носит колебательный характер: значения функций F (i) (x;

t) (i) колеблются относительно F0 (x;

t) с возрастающей амплитудой. В таком случае говорят о колебательной неустойчивости или свер хустойчивости (overstability) по А. С. Эддингтону [112]. Он обос новал такое название тем, что исследуемая величина не удаляется в этом случае монотонно от положения равновесия, а возвращает ся назад и проскакивает“ через него с возрастающей амплитудой.

” Дадим следующее определение.

Неустойчивая модель называется сверхустойчивой, если для каждого i существует такая бесконечная последовательность чи (i) (i) (i) (i) (i) сел tj (все tj t0 ), что F0 (x;

tj ) = F (i) (x;

tj ).

Если же из того, что t t t0 следует, что для всех i (i) (i) max F (i) (x;

t ) F0 (x;

t ) max F (i) (x;

t ) F0 (x;

t ), x x то говорят об апериодической неустойчивости.

Упражнение 1.3. Доказать, что из апериодической неустойчи вости следует неустойчивость.

Часто употребляется понятие об условной устойчивости, когда на функции F (i) наложены условия вида G(F (1),..., F (k) ) = или G1 (F (1),..., F (k) ) 0, где G, G1 некоторые функционалы. Примерами таких ограниче ний могут служить условия сохранения энергии и момента импуль са системы.

Иногда рассматривается устойчивость по отношению не ко всем, а к части переменных. Например, можно представить, что в каждой точке звездной системы распределение скоростей изменит ся сильно, так что система неустойчива, однако плотность в дан ной точке, скорость центроида и дисперсии остаточных скоростей не изменятся вовсе или изменятся мало. По отношению к этим пе ременным, обычно представляющим наибольший интерес, система устойчива.

Неустойчивость системы по отношению к одним переменным может сопровождаться устойчивостью по отношению к другим. На пример, представим асимптотически устойчивую круговую орби ту, на которую навиваются (снаружи и изнутри) соседние орбиты.

Это приведет к возрастанию плотности в окрестности устойчивой круговой орбиты. Следовательно, устойчивость круговой орбиты связана с неустойчивостью по отношению к плотности.

Чаще всего звездные системы описываются уравнениями в частных производных, т. е. являются, как говорят, системами с рас пределенными параметрами (как и большинство уравнений, рас сматриваемых в гидродинамике). Строгая теория устойчивости та ких систем стала разрабатываться лишь сравнительно недавно (на пример, [36]). Обычно же поступают следующим образом. Состав (i) ляется система уравнений для разностей (i) (x;

t) = F (i) F0, ко торые называются возмущениями. В частности, (i) (x;

t0 ) называ ется начальным возмущением. Система для возмущений линеари зуется, т. е. отбрасываются члены второго и более высоких поряд ков малости относительно | (i) |. Затем исследуется линеаризован ная система уравнений (так называемые уравнения в вариациях).

Законность этой процедуры, как правило, не вызывает сомнений, хотя отсутствует ее строгое обоснование (дающееся для обыкновен ных дифференциальных уравнений в ляпуновской теории устойчи вости).

Заметим, что физически больший смысл имело бы рассматри вать, как говорят, устойчивость при постоянно действующих воз мущениях, считая, что немного видоизменяются уравнения, опи сывающие эволюцию системы. Другими словами, следовало бы ис следовать чувствительность математической модели по отноше нию к небольшому изменению модели. В этой связи, как извест но, было введено понятие структурной устойчивости или грубости (А. А. Андронов и Л. С. Понтрягин [4]). Однако теория структур ной устойчивости систем с распределенными параметрами, как ка жется, еще не построена. Для обыкновенных же дифференциаль ных уравнений добавление постоянно действующих возмущений, как правило, понижает устойчивость.

Более специальным является введенное лордом Кельвиным понятие вековой или секулярной устойчивости (см. [57]), под кото рой обычно понимается устойчивость при учете таких диссипатив ных эффектов, как вязкость, сопротивление среды и т. п. Обычно считается, что добавление диссипативных членов повышает устой чивость, хотя это не обязательно.

Нам не понадобится строгое определение вековой устойчиво сти. Ограничимся традиционным примером волчка, стоящего на своем острие. Если волчок не вращается, он неустойчив. Если вол чок вращается достаточно быстро, то при отсутствии трения он бу дет стоять неопределенно долго, что означает устойчивость. Если же учесть трение, то волчок будет прецессировать со все бльшим о отклонением от вертикальной оси. Это означает вековую неустой чивость.

Можно доказать, что система, обладающая вековой устойчи востью, обязательно устойчива в обычном (или, как говорят, ди намическом) смысле. Система же, неустойчивая в вековом смысле, может быть как устойчива, так и неустойчива в обычном смысле.

При вековой неустойчивости время отклонения возмущенного дви жения от невозмущенного пропорционально интенсивности дисси пативного процесса.

Пусть эволюция системы происходит вдоль некоторой серии равновесных конфигураций. В некоторый момент времени дости гается точка бифуркации, т. е. начиная с этого момента момен та возможными становятся несколько путей эволюции. Пусть при подходе к точке бифуркации система обладает вековой неустойчи востью, а конфигурации на одной из новых последовательностей устойчивы. Тогда при переходе через точку бифуркации эволюция свернет с неустойчивой последовательности равновесных конфигу раций на устойчивую.

Подобные рассуждения играли большую роль в теории клас сических фигур равновесия гравитирующих жидких масс, в частно сти, в связи с анализом гипотезы крупного астронома Дж. Г. Дар вина (сына великого естествоиспытателя) о происхождении двой ных звезд и Луны в результате деления. Сейчас это гипотеза, по видимому, имеет только историческое значение (см. [35]). Упомя нем, кстати, об экзотической гипотезе происхождения Земли, Луны и Марса в результате деления единого тела [37]. Фигуры равнове сия гравитирующей жидкости являются классическим примером линейных серий равновесных конфигураций, исследовавшихся в об щем случае А. Пуанкаре и Дж. Джинсом. Доказано, что устойчи вость таких конфигураций может нарушаться только в точках би фуркации, слияния или конечных точках серий. Фактическое опре деление устойчивости приводило, однако, к необходимости чрезвы чайно громоздких выкладок. Кратко приведем основные результа ты, следуя подытоживающей заметке Р. Литтлтона [56]. Подробные расчеты даны в его монографии [57], отметим также статью [136].

Обращаем особое внимание читателей на редакционные замечания к книге [57], сделанные Б. П. Кондратьевым.

Рассмотрим эллипсоидальные твердотельно вращающиеся од нородные фигуры равновесия гравитирующей жидкости. Элемен тарно доказывается (например, [12, 57, 77, 86, 88, 95, 100, 101, 120, 131]), что возможны двухосные эллипсоиды (сфероиды Маклоре на), которые могут быть как мало сплюснутыми (планетарными), так и дискообразными, и трехосные эллипсоиды (эллипсоиды Яко би). Состояние системы характеризуется безразмерным парамет ром =.

2G Здесь G гравитационная постоянная, плотность системы, угловая скорость ее вращения. Мы не будем обсуждать здесь эллипсоиды Римана с внутренними течениями (о них можно по смотреть в обзоре [8] и монографии [46]) и так называемые эллипсо иды с наклонным вращением [46]). Для сферических систем = 0.

При следовании вдоль ряда планетарных эллипсоидов Маклорена возрастает до значения 0 0, 2247, соответствующего (для эл липсоидов Маклорена) отношению осей эллипсоида 2, 72... Затем параметр уменьшается, принимая нулевое значение для беско нечно тонкого диска Маклорена“. Трехосные эллипсоиды Якоби ” существуют только для малых значений 1 0, 1871. В пре деле 0 они становятся иглообразными“, т. е. похожими на ” длинную (в пределе бесконечно длинную) иглу с заостренными концами. Напомним, что в 1885 г. А. Пуанкаре доказал, что не су ществует равновесных твердотельно вращающихся фигур, для ко торых 1 (предел Пуанкаре). В 1910 г. У. Крудели, предпо лагая, что жидкость ограничена выпуклой поверхностью, снизил этот предел вдвое [86, 88]. Затем этот вопрос обсуждали многие ав торы (см. [62, 70, 88, 127]). Существует гипотеза, что 0 является абсолютным максимумом вообще для любых возможных фигур относительного равновесия.

Нетрудно показать, что эволюция фигур равновесия с возрас тающей плотностью и сохраняющимся вращательным моментом математически эквивалентна эволюции с постоянной плотностью и возрастающим моментом. Последняя модель оказывается удобнее, поэтому обычно предпочитают пользоваться ею.

При малых значенияx 1 сфероиды Маклорена устойчи вы как в обычном, так и вековом смысле. При = 1 наступа ет вековая неустойчивость, и они могут стать эллипсоидами Яко би. Тем не менее, некоторое время эллипсоиды Маклорена оста ются устойчивыми в динамическом смысле. До недавнего времени превращение эллипсоидов Маклорена в эллипсоиды Якоби обосно вывалось лишь соображениями качественного характера, и толь ко недавно этот процесс был исследован более детально [14, 149]).

Как только система попадет на последовательность (устойчивых во всех отношениях) эллипсоидов Якоби, она будет эволюциониро вать вдоль нее. При возрастании вращательного момента угловая скорость эллипсоида будет уменьшаться. Отсюда следует, что если вдруг произойдет разрыв системы, то образовавшиеся части будут вращаться медленно и могут сразу стать устойчивыми эллип соидами Маклорена. Когда параметр уменьшится до значения 2 0, 1420, достигается точка бифуркации, в которой теряется вековая устойчивость. В 1924 г. Э. Картан показал, что при этом теряется и динамическая устойчивость. Новое доказательство сов падения для эллипсоидов Якоби точек наступления вековой и ди намической неустойчивостей дал недавно Б. П. Кондратьев [127].

От эллипсоидов Якоби ответвляется новая последователь ность фигур равновесия, уже не являющихся эллипсоидальными.

Основываясь на предварительных расчетах Дж. Дарвина, их при нято называть грушевидными фигурами равновесия (иногда их называют яйцеобразными“ [120]). Является ли новая последова ” тельность устойчивой в вековом смысле? Этот вопрос исследовали А. Пуанкаре, Дж. Дарвин, А. М. Ляпунов и Дж. Х. Джинс. В 1905– 1912 гг. А. М. Ляпунов совершенно строго доказал вековую неустой чивость грушевидных фигур равновесия. Дж. Дарвин и Дж. Джинс не сумели (или не захотели) разобраться в сложных выкладках Ля пунова и продолжали настаивать на возможности того, что систе ма, перестав быть эллипсоидальной, будет эволюционировать вдоль последовательности грушевидных фигур и разделится на части. В конце концов, однако, Дж. Джинс был вынужден признать неустой чивость грушевидных фигур равновесия (см. [123, 124]). Эволюцию эллипсоидов Якоби, а также грушевидных фигур в настоящее вре мя удается проследить только численными методами.

Более подробно с теорией устойчивости классических фигур равновесия гравитирующей жидкости можно ознакомиться по кни гам П. Аппелля (с дополнениями Н. И. Идельсона) [12], Р. Литтлто на [57], C. Чандрасекара [95]. Заметим, что в классической теории обычно рассматривались лишь изолированные фигуры равновесия.

Будучи погруженными в гравитирующий фон, они, вообще говоря, становятся более устойчивыми (например, [65, 66]).

Между галактиками и классическими фигурами равновесия существует глубокая аналогия, которую особенно настойчиво под черкивал К. Ф. Огородников [67, 68, 146]. Не ясно, однако, что из теории вековой неустойчивости фигур равновесия можно заимство вать для звездных систем. В бесстолкновительных системах дисси пативные процессы не происходят, а действие иррегулярных сил приводит к потере в первую очередь не энергии, а массы [76]. Как правило, в теории фигур равновесия рассматривается лишь устой чивость по отношению к деформациям поверхности. И в исходном, и в возмущенном состоянии система предполагается пространствен но однородной.

Вообще же говоря, доказано следующее утверждение [138, 142]: из вековой неустойчивости неоднородной гидродинамической среды следует неустойчивость звездной системы с таким же распре делением плотности и со сферическим распределением скоростей.

Обратное утверждение неверно.

При исследовании линейной устойчивости стационарных си стем чаще всего используется следующий прием. Разность (i) (6.1) (i) (x;

t) = F (i) (x;

t) F0 (x) (вариация величины F (i) ) представляется в следующем виде:

(i) (i) (i) (6.2) (i) = a0 + a1 t + a2 t2 +... eit, (i) где aj функции фазовых координат, а некоторое комплекс ное число, называемое собственной частотой задачи. Полный на бор собственных частот образует спектр. Иногда используют вели чины = i, которые называют характеристическими показа телями или собственными значениями.

Очевидно, что если Re 0, то соответствующее | (i) | и данное решение устойчиво, а если при этом Im = 0, то устой чивость асимптотическая. Если Re 0, то решение неустойчиво (при Im = 0 имеет место сверхустойчивость). Если же Re = 0, то неустойчивость будет при отличных от нуля коэффициентах (i) aj, j 1. Заметим, что простое движение по инерции или со стояние покоя в инерциальной система отсчета неустойчивы: если начальные скорости в невозмущенном и возмущенном движениях различаются, то расстояние между соответствующими иоложени ями точки линейно растет со временем. В некоторых работах сте пенные неустойчивости не принимаются во внимание как слабые“ ” по сравнению с экспоненциальными. Как известно, появление ко (i) эффициентов aj 0, j 1, связано с кратностью собственных частот в спектре.

Упражнение 1.4. Охарактеризовать различные типы поведе ния решения в зависимости от отличия от нуля и знака веществен ной и мнимой частей собственной частоты.

Упражнение 1.5. Пусть некоторая задача имеет три различ ные собственные частоты 1, 2, 3, причем Re 1 = 0, Im 1 0, Re 2 = 0, Im 2 = 0, а Re 3 = 0, Im 3 0. Охарактеризовать поведение решений.

Выражения для вариаций (6.1) в виде (6.2) подставляют в линеаризованную систему уравнений, описывающих динамику си стемы. Получается линейная система уравнений в частных произ водных (если вектор переменных x имеет более одной компонен ты). Условие существования нетривиального решения этой системы определяет спектр собственных частот. Поиск собственных частот в общем случае далеко не прост. Иногда, однако, задачу удается упростить.

Если система однородна в каком-либо направлении, возмуще ние можно представить в виде соответствующих фурье-гармоник, например, тригонометрических. В простейшем случае плоско-па раллельной системы естественно положить + + (i) (i) a0 (x, y, z) = a0k (z) exp i(kx x + ky y) dkx dky, где k = (kx, ky, 0) так называемый волновой вектор. Для системы с ротационной (цилиндрической) симметрией + + (i) (i) a0 (R,, z) = a0k,m (R) exp i(kz + m) dk.

m= Наконец, для сферических систем наиболее подходящим является разложение по сферическим гармоникам Ylm (, ), так что + l (i) (i) m (r)Ylm (, ).

a0 (r,, ) = a0l l=0 m=l В этих случаях систему уравнений в частных производных уда ется свести к системе обыкновенных дифференциальных уравне ний или даже алгебраических уравнений. Нахождение спектра соб ственных значений сводится в этом случае к решению так назы ваемого характеристического или векового уравнения. Явное ана литическое определение корней этого уравнения оказывается воз можным только в редких случаях. К счастью, существуют прие мы (например, известный критерий Рауса-Гурвица), позволяющие определить знак корней характеристического уравнения.

Подробное развитие и обоснование представления решения в виде (6.2) для обыкновенных дифференциальных уравнений со ставляет так называемый первый метод Ляпунова. Книга Б. П. Де мидовича [34] является одним из немногих пособий по теории устой чивости движения, в котором излагаются основы этого метода.

Наибольшее же распространение получил второй метод Ляпу нова, основанный на построении и анализе некоторой знакоопреде ленной функции (функции Ляпунова). Ее изменение в силу урав нений возмущенного движения указывает на характер равнове сия. Во многих задачах динамики в качестве функции Ляпунова можно взять энергию системы. Теоремы второго метода Ляпуно ва можно рассматривать как обобщение давно известного принци па Лагранжа-Дирихле [64], согласно которому обращение потен циальной энергии W в минимум является достаточным условием равновесия статической конфигурации. Для систем с отличным от нуля моментом импульса L требуется найти минимум величины W + L2 /(2I), где I момент инерции.

Имеются попытки распространить второй метод Ляпунова на системы с распределенными параметрами. Роль функции Ляпунова играет в этом случае функционал Ляпунова, об изменении которо го судят, составляя соответствующую вариацию. Поэтому данный метод в подобных случаях называют вариационным.

Именно вариационным методом, например, В. А. Антонов [7] доказал неустойчивость фигур равновесия из нескольких совместно вращающихся изолированных частей. Укажем также на обсужде ние устойчивости гравитирующих газовых систем в [25] на основе вариационных соображений.

ЗАДАЧИ 6.1.

1.1. Пусть система определяется n устойчивости положения равновесия.

обыкновенными дифференциальными Определить соответствующие харак уравнениями теристические показатели 1, 2 и вы вести необходимое условие устойчиво dx сти, требуя, чтобы Re 1 = Re 2 = 0.

= f (x), f = (fi ), x = (xi ), dt Сравнить оба условия устойчивости.

О т в е т: Оба условия устойчивости сво i = 1,..., n, и пусть для этих уравне- дятся к неравенствам ний существует интегральный инвари- 0, + ант, т.е. такая функция g(x), что для R2 R r (R0,0) (6.3) любой измеримой области, все точ- ки которой перемещаются в силу этих 0.

z 2 (R0,0) уравнений, Второе из них означает вещественность часто ты малых вертикальных колебаний (параллель g(x) dn x d dt = 0 но оси z ), а первое вещественность частоты малых колебаний по R относительно R0 (эпи (для гамильтоновых уравнений ди- циклической частоты).

намики в силу теоремы Лиувилля 1.3. Рассмотрим круговую орбиту в g(x) 1 ). плоскости симметрии стационарного Доказать, что тогда асимптоти- осесимметричного потенциала. Пусть ческая устойчивость невозможна. выполняются выписанные выше усло вия устойчивости (6.3).

1.2. Рассмотрим задачу о движении Будет ли устойчивой круговая звезды в меридиональной плоскости орбита?

(R, z) стационарной осесимметричной звездной системы. Известно (напри- О т в е т: Если не предполагать, что мер, [67, 71, 93, 101]), что это движение в возмущенном движении звезда обладает тем определяется эффективным потенци- же значением постоянной площадей Lz, что алом и в возмущенном движении, то, вообще гово ря, движение будет неустойчивым по Ляпуно L z e = (R, z) ву (имеет место так называемая орбитальная, 2R2 устойчивость). Разница в значениях азимуталь где Lz проекция удельного момен- ной координаты будет включать линейно воз та импульса звезды на ось z, т.е. зна- растающий со временем член (например, [53]).

чение так называемого интеграла пло- Таким образом, в данном случае можно говорит щадей. Предположим, что потенциал лишь об условной устойчивости по части пере (R, z) обладает зеркальной симмет- менных.

рией, т.е. (R, z) = (R, z). Тогда 1.4. Доказать следующую теорему для любого R0 точка (R0, 0) на ме- Б. Линдблада [134] о минимальном ридиональной (так называемой сопут- свойстве круговых орбит: среди всех ствующей) плоскости является поло- орбит с данным значением постоянной жением равновесия [67]. площадей Lz в поле с ротационной Исходя из теоремы Лагранжа- и зеркальной симметрией наимень Дирихле, найти достаточные условия шую энергию имеет круговая орбита в а при R a плоскости симметрии, если только это орбита устойчива.

a2 e ae Замечание. Поскольку устойчи- 1 s = Q R R вая круговая орбита соответствует дну потенциальной ямы, т.е. макси- R2 ae 2 arcsin, муму эффективного потенциала e, a2 e2 R эта теорема представляется очевид где ной. Подробные рассуждения см. в [72, 93]. 3 arcsin e P0 = GM, 2 ae 1.5. (Б. Линдблад [133]). Обозначим 3 arcsin e (1 e2 )1/ 1 2 P1 =, (R0 ) = (R0, 0). 4 e 4G z а Из уравнения Пуассона легко полу- GM a1 e1.

Q0 = чить, что для сплюснутых систем эта Первое условие устойчивости (6.3), величина близка к плотности (R0 ) очевидно, можно переписать в виде (а при постоянстве линейной круговой скорости в точности совпадает с ней). R3 0.

Пусть c угловая скорость кругово- R R го движения в экваториальной плос Легко убедиться, что внутри эллипсо кости системы.

ида ( R a ) оно выполняется. Рас Преобразовать первое из нера смотрим, что будет при R a. Введем венств (6.3) к следующему виду:

новую переменную y = R/(ae). Ис пользуя выражение для s при R 2 (R0 ) c (R0 ) (R0, 0). a, можно найти, что интересующее 2G нас неравенство принимает вид:

1.6. (Б. Линдблад [132]). Рассмотрим d y 4 arcsin y 1 y 2 (y 2 1)1/2 + модель галактики в виде однородно dy го эллипсоида вращения с массой M, + µy 0, y e1, большой полуосью a и эксцентрисите том e (т.е. отношение осей эллипсоида или b/a = (1 e2 )1/2 ) и точечной массы в 4y 3 arcsin y 1 2y(2y 2 1) центре системы.

Выполняется ли для этой моде- (y 2 1)1/2 + µ 1.

ли условие (6.3)? Р е ш е н и е (подробности см. В частности, на границе эллипсоида в [72, 93, 110]). В экваториальной плос- (когда y = e1 ) кости потенциал данной модели e arcsin e e 1 = s + µGM R1, 1/ 1 e где µ отношение массы точечного µe 0.

+ тела к массе эллипсоида, а s по Если определить функцию e (µ) так, тенциал эллипсоида. Как известно, ес чтобы ли R a, то arcsin e (µ) e (µ) 1 e2 (µ) s = P0 P1 R2, µ 1/ 1 e2 (µ) + e (µ) = 0, Обозначим то можно утверждать, что при e e (µ) круговая орбита на пери- (r) = M (r) r 0, ферии системы остается орбитально устойчивой, в противном же случае т.е. (r) средняя плотность веще она неустойчива. Это заключение слу ства внутри шара радиуса r. Здесь жило исходным пунктом одного из M (r) масса, заключенная внутри ранних вариантов теории спиральной такого шара. Вспоминая уравнение структуры Б. Линдблада [74]. Числен Пуассона ные оценки показывают, что если, на пример, µ = 0.9, то e (µ) = 0.90.

d2 2 d 1.7. (Б. Линдблад [135]). Рассмотрим = 4G (r) + dr2 r dr движение в экваториальной плоско сти в поле ротационно-симметричного d потенциала. Введем плоскость пере- GM (r) = r2, легко заме и то, что тить, что dr менных E (интеграл энергии) и Lz (интеграл площадей) (так называе мая диаграмма Линдблада [132]), а 2 = G(3 + ) 0, на ней геометрическое место то чек, соответствующих круговым ор битам (характеристическую огибаю- что означает устойчивость.

щую). Показать, что нарушение пер вого неравенства (6.3) эквивалентно появлению на этой огибающей точек ” возврата“ и складок (на более совре менном языке можно говорить о ката строфе типа ласточкин хвост“ [13]).

” 1.8. (С. Чандрасекар [105]). Вернемся к задаче 1.2. Пусть потенциал не об ладает зеркальной симметрией, но су ществует такое z0, что (R0, z0 ) по ложение равновесия.

Найти условия устойчиво сти и характеристические показа тели (учесть, что в этом случае (R0, z0 ) = 0 ).

Rz 1.9. (Р. Курт [130]). Показать, что круговые орбиты в сферически сим метричных звездных системах всегда (орбитально) устойчивы.

Р е ш е н и е. Стандартное исследование уравнений в вариациях (см. § 216 монографии А. Винтне ра [90]) приводит к характеристиче ским показателям 1/ d2 3 d 1,2 = ± +.

dr2 r dr r=r 6.2. Джинсовская гравитационная неустойчивость • Качественные представления Рассмотрим важнейшую из неустойчивостей, развивающихся в космических телах джинсовскую или гравитационную неустой чивость. Проблема состоит в следующем. Пусть в начальный мо мент система находилась в равновесном состоянии, характеризуе мом плотностью 0 (r). Допустим, что распределение масс слегка изменилось, стало 1 (r), причем | 1 (r) 0 (r)| 1.

0 (r) Одновременно изменится и гравитационный потенциал. Возвратит ся ли система к исходному состоянию? Если да, т.е. если 0 при t +, | 1 (r;

t) 0 (r)| или же если распределение вещества будет совершать колебания конечной амплитуды относительно 0 (r), то равновесие системы будет гравитационно устойчиво. В противном случае имеет место гравитационная неустойчивость.

Качественные представления о гравитационной неустойчиво сти, по-видимому, впервые были выдвинуты И. Ньютоном в письме к Р. Бентли от 10 декабря 1692. Епископ Ричард Бентли (1662– 1742) был талантливым теологом, стремившимся опереться на ме ханику Ньютона в борьбе с безбожием, в частности, в Бойлев ” ских лекциях“, читавшихся и финансировавшихся в соответствии с завещанием знаменитого Р. Бойля (известного нам как одного из авторов закона Бойля–Мариотта). С этой целью он обращал ся за консультациями к создателю новой механики. Впоследствии Р. Бентли с помощью математика Р. Котса организовал второе, су щественно переработанное издание Математических начал нату ” ральной философии“, вышедшее в свет в 1713 г. [17, 91]. И. Нью тон, в частности, писал следующее (приводится по [87];

в других изданиях [33, 73]даются слегка отличающиеся переводы):

Мне кажется, что если бы все вещество нашего Солнца и пла ” нет и все вещество Вселенной было бы равномерно рассеяно в небес ном пространстве, и если бы каждая частица имела врожденное тяготение ко всем остальным, и если бы, наконец, пространство, в котором рассеяна эта материя, было бы конечным, то вещество в наружной его части влеклось бы ко всему веществу внутри и вслед ствие этого упало бы в середину пространства и образовало бы там одну огромную сферическую массу. Однако если бы это вещество было равномерно распределено по бесконечному пространству, оно никогда не могло бы объединиться в одну массу, но часть его сгуща лась бы то тут, то там, образуя бесконечное число огромных масс, разбросанных по всему этому бесконечному пространству. Именно так могли образоваться и Солнце и неподвижные звезды, если пред положить, что вещество было светящимся по своей природе...“.

Количественная теория гравитационной неустойчивости бы ла разработана спустя двести лет для гравитирующего идеально го газа. Имелось в виду объяснить таким образом происхождение звезд из первичной туманности. Идея о гравитационной неустой чивости до сих пор лежит в основе теорий образования звезд и галактик [33, 87]. Классическая теория обычно связывается с ис следованием Дж. Джинса [121]. Он нашел, что достаточно большие возмущения оказываются неустойчивыми, как и полагал Ньютон.

Заметим, что Джинс ограничился решением в виде плоской волны и рассмотрел задачу с закрепленными нулевыми граничными услови ями [123], что кажется несколько неестественным для космических систем и дало основание Н. Ф. Рейн [80] высказать ряд критиче ских замечаний по поводу теории. В подытоживающей космогони ческие исследования Джинса монографии [124] вопрос о граничных условиях был вообще опущен. Решение задачи с произвольными на чальными условиями может быть получено, например, с помощью преобразования Лапласа [152, 154]. Граничные же условия в дан ной задаче не имеют смысла, поскольку Дж. Джинс фактически рассматривал однородную и неограниченную изотропную среду (о которой и писал И. Ньютон). О несколько тяжеловесном ориги нальном стиле Джинса можно получить представление, например, по книге [98].

Одновременно сходную теорию строил ряд других авторов, указанных в вводной части статьи А. Б. Северного [84]. Несколь ко другой вывод условия устойчивости привел А. И. Лебедин ский [52]. Современное изложение теории гравитационной неустой чивости имеется в книгах С. Чандрасекара [109], В. С. Сафроно ва [83], Я. Б. Зельдовича и И. Д. Новикова [40], Дж. Бинни и С. Три мейна [101], У. Саслау [81], Дж. Бертина [100] и др. Отметим также обзоры [73, 92].

В согласии с предположением И. Ньютона, Дж. Джинс обна ружил, что при достаточно больших возмущениях в гравитирую щем газе помимо обычных колебаний (которые принято называть звуковыми и которые всегда возникают в сплошной среде при воз мущении плотности) появляются уплотнения, которые начинают катастрофически сжиматься. Критические размер и массу таких уплотнений называют джинсовскими. Оценим их из элементарных соображений, следуя [87].

Рассмотрим невращающееся сферическое газовое облако.

Пусть a радиус шара, его плотность, p давление, T температура. Для идеального газа справедлива формула Клапей рона p = R T, где R некоторое число, называемое газовой постоянной, различ ное для разных газов. Вместо R можно ввести универсальную газо вую постоянную R0 (одну для всех газов) или постоянную Больц мана kB, согласно равенствам R0 kB R= =.

µ m Здесь µ средняя масса одной грамм-молекулы газа, а m сред няя масса молекулы в граммах. Как известно, R0 8, 31 · эрг (град·моль), kB 1, 38 · 1016 эрг град. Из первого начала термодинамики (т. е. из закона сохранения энергии) для идеального газа выводится уравнение адиабаты Пуассона, согласно которому при адиабатических процессах, т. е. процессах, не сопровождаю щихся подводом тепла к системе, p. Здесь величина = cp /cv ( cp, cv теплоемкости соответственно при постоянных давлении и объеме) называется показателем адиабаты. В теории газов показы вается, что (2+f )/f, где f число степеней свободы. Поэтому для одноатомных газов (когда f = 3) имеем = 5/3, а при f = (например, в рое метеорных частиц) = 4/3.

В гидродинамике показывается (например, [131]), что в иде альной жидкости, описываемой уравнениями Эйлера и неразрыв ности, в отсутствие массовых сил (в частности, гравитации) малые возмущения распространяются со скоростью dp (6.4) c=, d которая называется скоростью звука. Индекс 0 “ означает здесь, ” что плотность и давление берутся для невозмущенного состоя ния. В случае адиабатических процессов, когда p, получаем из (6.4), что так называемая адиабатическая (или лапласовская) скорость звука p (6.5) c=.

Для изотермических процессов ее роль играет изотермическая (ньютоновская) скорость звука cis = (p/ )1/2. Заметим, что если попытаться описывать звездные системы моделью идеального га за, то квадрат скорости звука будет порядка дисперсии остаточных скоростей.

Итак, в отсутствие гравитации облако расширялось бы со ско ростью порядка скорости звука. Характерное время такого расши рения, которое можно назвать динамическим временем, a a µ (6.6) = d = =a.

c R0 T RT С другой стороны, в отсутствие давления (невращающееся) гра витирующее облако сжалось бы в точку. Полная масса облака M = (4/3) a3 при этом не меняется. Время g, за которое точка, находившаяся на поверхности облака, достигнет по прямолинейной траектории центра облака под действием притяжения массы M бу дет характерным временем коллапса. Его часто называют гравита ционным временем, временем пересечения или временем свободно го падения. Согласно третьему закону Кеплеру 1/2 1/ a3 3 (6.7) g = =.

8GM 32G G Заметим, что это выражение можно было бы записать сразу же из соображений размерностей.

Сравнивая характерные времена (6.6) и (6.7), мы замечаем, что при фиксированных значениях температуры и плотности от ношение d /g a, т.е. облака больших размеров будут сжимать ся быстрее, чем расширяться. Равенство этих характерных времен позволяет оценить критическое значение радиуса aJ гравитацион но неустойчивого облака:

1/ R0 T (6.8) aJ.

µG Соответствующую этому радиусу массу называют джинсовской массой MJ. Находим, что 3/ R0 T (6.9) 1/ MJ.

µG Далее мы увидим, что по порядку величины выражения (6.8), (6.9) оказываются правильными, а большей точности от теории Джинса ожидать не следует.

• Г р а в и т а ц и о н н а я н е у с т о й ч и в о с т ь о д н о р о дной газовой среды В изложении классической теории Джинса будем следовать статье [69]. Выпишем уравнения, описывающие динамику гравити рующего газа:

(6.10) t+ ( v) = 0, (6.11) vt + (v · )v + p = 0, (6.12) + 4G = 0.

В уравнениях (6.10)–(6.12) (r;

t) плотность газа, (r;

t) грави тационный потенциал, v(r;

t) скорость, p(r;

t) давление. Урав нение (6.10) уравнение неразрывности, выражающее сохранение массы движущимся элементом среды, векторное уравнение (6.11) уравнение движения (уравнение Эйлера), уравнение (6.12) урав нение Пуассона (уравнение самогравитируемости среды). Индексы внизу означают частное дифференцирование.

Сделаем следующие предположения:

I. Газ является баротропным, т.е. существует зависимость (6.13) p = F ( ).

Тогда можно записать, что p = c2, где c2 = F. Величина c, как отмечалось выше, это скорость звука.

II. В невозмущенном состоянии система является однородной и неподвижной, т.е. 0 (r) const, v0 (r) 0.

III. В невозмущенном состоянии действием гравитации можно пренебречь, т.е. 0 (r) 0.

Легко видеть, что предположения II и III взаимно противоре чивы: если плотность 0 постоянна, то согласно уравнению Пуассо на (6.12) 0 = (4/3)G 0 r 0. В первом приближении предпо ложение III можно было бы принять, если бы возмущение было все время локализовано в области, малой по сравнению с размерами си стемы. Однако неустойчивые возмущения будут, напротив, порядка характерных размеров системы, что можно увидеть уже из (6.8).

В этом состоит многократно отмечавшаяся непоследовательность классической теории. Иногда в этой связи пишут о мошенниче ” стве Джинса“ (Jeans’ swindle) (например, [101]).

Рассмотрим возмущения 1 = 0, = 0, v1 = v.

Обозначим 1 / 0 = s. Величину s называют конденсацией. Ско рость звука c будем относить к невозмущенному состоянию, не от мечая это специальным индексом. Подставляя возмущения в урав нения (6.10)–(6.12) и линеаризуя их, получим систему уравнений в вариациях:

st + v1 = 0, (6.14) s v1t + c 1 = 0, 1 + 4G 0 s = 0.

Применим оператор ко второму уравнению системы (6.14), подcтавим в него v1 из первого уравнения и из последне го уравнения. Получим уравнение (6.15) stt c2 s 0 s = 0, где мы обозначили (6.16) 0 = 4G 0.

При отсутствии гравитации (0 = 0) этим уравнением описывается распространение в воздухе малых возмущений (звуковых волн) со скоростью ±c. Причиной этого является упругость воздуха, про являющаяся в увеличении давления при сжатии (функция (6.13) является монотонно возрастающей). Решениями уравнения (6.15) также будут волны, но они оказываются, вообще говоря, нараста ющими или затухающими периодическим или апериодическим об разом.

Для решения уравнения (6.15) применяется метод разделения переменных, а именно, ищется частное решение вида s(r;

t) = (t) S(r).

Функции (t) и S(r) удовлетворяют уравнениям (6.17) + 2 = 0, (6.18) c2 S + ( 2 + 0 )S = 0, где 2 = const величина, характеризующая данное частное ре шение. Уравнение (6.17) сразу же дает (t) eit.

Подобный вид зависимости решения от времени связан с тем, что исходные уравнения (6.10), (6.11) содержат только первые произ водные по t, а невозмущенное состояние предполагается стационар ным. Такие решения называют нормальными модами. Напомним еще раз, что для неустойчивости (роста возмущений) необходимо (а в рамках линейной теории и достаточно), чтобы Im 0, причем характерным временем развития неустойчивости будет (Im ).

Для определения S(r) необходимо задать граничные условия, например, положить возмущения равными нулю на границе сре ды или учесть, что она является свободной поверхностью, вообще говоря, деформированной вследствие возмущения.

Иногда такой подход естественен, например, при исследова нии колебаний пластинки, закрепленной на краях. Но реальные космические тела не обладают, как правило, резкими границами, задерживающими распространение волн. В данной же задаче среда вообще молчаливо предполагается неограниченной. С другой сто роны, обычно наибольший интерес представляет выявление общего характера развития возмущения, а не решение задачи с конкретны ми начальными условиями, которые могут быть случайными.

Если предположить, что S(r) зависит только от одной коор динаты, например, S = S(x), то получим из (6.18), что c2 S + 0 + 2 S = 0, т.е.

(6.19) s(x, t) ei(kx xt), kx = (0 + 2 ) c2.

2 Решение (6.19) описывает так называемую плоскую волну. Точно так же в общем случае S exp(ikr), причем вектор k (волновой вектор) связан с соотношением (6.20) c2 k 2 = 2 + 0, k = |k|2, показывающим, как зависит частота колебаний от длины волны = 2/k. Тогда частное решение уравнения (6.15) имеет вид (6.21) s(r, t) = Re s0 ei(krt), s0 = const.

Ввиду линейности уравнения (6.15) его общее решение представ ляет собой суперпозицию частных. Следует при этом иметь в ви ду, что характер общего решения не всегда аналогичен поведению его составляющих. Некоторые гармоники могут расти, т. е. быть неустойчивыми, одновременно с затуханием их совокупности.

Величина v = /k называется фазовой скоростью волны. При ее зависимости от частоты говорят о дисперсии волн. Поэтому со отношение (6.20), определяющее подобную зависимость, называют дисперсионным соотношением. При наличии дисперсии (в линей ных системах) происходит размывание волнового возмущения со временем. Вводя показатель преломления n, можно записать, что v = c/n. В нашем случае, согласно (6.20), n2 = 1 0 (ck).

Видно, что для достаточно малых k (т.е. для больших длин волн) величины n2 и v 2 становятся отрицательными, что и ведет к гра витационной неустойчивости. Из дисперсионного уравнения (6.20) для каждого k получаются два значения, отличающиеся знаком.

Это означает возможность распространения волны при больших значениях k в двух противоположных направлениях. Одновремен ное движение двух таких волн с одинаковой амплитудой, как из вестно, дает так называемую стоячую волну.

Вслед за Дж. Бинни и С. Тримейном [101] заметим следую щее. Перепишем дисперсионное соотношение Джинса в следующем виде:

2 = c2 k 2 kJ, 1/ где величину kJ = 4G 0 c2 можно назвать волновым числом Джинса. Оно оказывается тогда совершенно аналогичным диспер сионному уравнению для покоящейся плазмы без внешних полей [44, 49, 55, 151] 2 = c2 k 2 + kP, где kP = 4ne e2 mc2, m, e масса и заряд электрона, ne число электронов в единице объема. Различие в знаке во втором слагаемом в правой части связано с тем, что одноименные заря ды отталкиваются. Поэтому в плазме нет аналога гравитационной неустойчивости, но есть дебаевское экранирование.

Дисперсионное уравнение Джинса (6.20) показывает, что ха рактер решения зависит от знака 2. В критическом случае = 0, и получаем, что kJ = 0 c.

Соответствующую величину 2 2c (6.22) J = = kJ называют критической (джинсовской) длиной волны. Легко убе диться, что она по порядку величины совпадает с полученной ранее из элементарных соображений длиной (6.8).

Для джинсовской массы разные авторы предпочитают исполь зовать несколько различающиеся выражения (см., например, [87]).

Наряду с (6.9) часто полагают (например, [40]) 3 (6.23) (J /2)3 = MJ = 0 c 0.

Если k kJ, т.е. J (коротковолновые возмущения), то Im = 0, и решение (6.21), при переходе к вещественным перемен ным, имеет характер бегущей волны (так называемый тяжелый ” звук“). В пределе k/kJ (6.15) превращается в обычное волно вое уравнение, и получаем обычные звуковые волны, распростра няющиеся без дисперсии (например, [131]).

Если k kJ (т.е. J, длина волны возмущения велика), то Re = 0. Существуют решения как с Im 0 (экспоненци ально затухающие), так и с Im 0, что означает неустойчивость распределения вещества. Получаем, что при J характерное время роста возмущений = (4G 0 )1/2, т.е. имеет такой же порядок, что и время g (6.7).

Упражнение 2.1. Показать, что если k kJ, то конденсация и скорость сдвинуты по фазе, т.е. в местах максимума и минимума плотности скорость возмущения обращается в нуль и наоборот. По казать, что если k kJ, то скорость пропорциональна плотности.

Итак, для длинноволновых возмущений основную роль иг рает гравитация, обуславливающая неустойчивость первоначаль но равномерного распределения плотности. Неустойчивость явля ется апериодической: в местах уплотнения плотность экспоненци ально возрастает. Специальный анализ, на котором мы не останав ливаемся, показывает, что выделившиеся в среде уплотнения са ми могут стать неустойчивыми, будет происходить фрагментация [117, 118, 119, 140]. Простые соображения, основанные на оценке массы Джинса MJ (6.9), показывают, что фрагментация оказыва ется возможной, если показатель адиабаты 4/3 [87].

В теории образования галактик рассмотренные возмущения обычно называют адиабатическими. Определенный интерес пред ставляют и возмущения, для которых = 0, т.е. не зависящие от времени. Такие решения получаются, когда вектор скорости v перпендикулярен волновому вектору. В этом случае v = 0, но v = 0, поэтому их называют вихревыми. Возможными оказы ваются и энтропийные возмущения, при которых начальная нерав номерность распределения энтропии (в отсутствие теплопроводно сти) сохраняется. Анализ этих возмущений сделан в [40].

Упражнение 2.2. Предположим с самого начала, что функ ции s, v, имеют вид (6.21) и подставим выражения для них в линеаризованную систему (6.14). Получим однородную линей ную систему пяти алгебраических уравнений. Для существования у этой системы нетривиального решения необходимо и достаточно обращение в нуль определителя этой системы. Показать, что дан ное условие эквивалентно дисперсионному соотношению Джинса (6.20).

Преобразуем выражение для критической длины волны Джинса. Дисперсия остаточных (тепловых) скоростей молекул газа 2, как известно, связана с температурой T соотношением 2 = 3(kB m) T.

Тогда получаем из (6.5), что (6.24) c2 = (/3) 2.

Поэтому критическая длина волны 2 (6.25) J = 1/2.

Используя теорему вириала, легко убедиться, что эта величи на является порядка характерных размеров системы. Для опреде ленности будем считать, что система однородный шар массы M и радиуса R (в противоречии с предположением о неограниченно сти системы!). Тогда по теореме вириала (например, [67, 93]) 3 GM 2 = 5R и, согласно (6.16), 0 = 3GM R3. Подставляя в (6.25), получим, что (6.26) J = (2/ 15) 1/2 R 1, 3R.

Упражнение 2.3. Используя теорему вириала, преобразовать выражение для критической массы MJ.

Ответ. MJ = ( 2 /36) 3/2 M.

Упражнение 2.4. Положив = 5/3, преобразовать формулу (6.25) к виду, удобному для расчетов, если выражено в км с 1, а плотность 0 в г см 3. Использовать полученную формулу для нахождения J в следующих случаях: а) = 1 км с 1, 0 = г см 3 (межзвездная среда);

б) = 0, 5 км с 1, 0 = 3, 4 · г см 3 (рассеянное скопление);

в) = 5 км с 1, 0 = 1, 7 · г см 3 (шаровое скопление);

г) = 200 км с 1, 0 = 3, 4 · г см 3 (эллиптическая галактика NGC 3379);

д) = 103 км с 1, г см 3 (центральная часть скопления галактик в 0 = 4, 4 · Волосах Вероники).

1/ Ответ. J = 2, 5 · 108 (/1 км c 1 ( 0 /1 г см 3 (см).


В случае а) J = 2, 5 · 10 см;

в случае б) J = 2, 1·, 1019 см;

в) 3, 1 · 1019 см;

г) 2, 8 · 1020 см;

д) 3, 7 · 1023 см.

Замечание. Хотя формула (6.25) применима, как увидим да лее, к гравитирующим системам, состоящим не только из идеально го газа, но и из отдельных тел (звезд и галактик), данные расчеты носят лишь иллюстративный характер, поскольку для реальных систем обычно не выполнены не только предположение III, но и предположение II теории Джинса.

Упражнение 2.5. Если система гравитирующий газовый шар с показателем адиабаты, она не может быть однородной и при сферической симметрии представляет собой политропный шар с индексом политропы n = ( 1)1 [94]. Тогда по теореме вириала 3 GM 2 =, n 5n R (формула Бетти–Риттера [94]). Уточнить соответственно формулу (6.26).

1/ 2 (1 ) R.

Ответ. J = 5 Замечание. Предполагая, что система неоднородный полит ропный шар, мы вступили в противоречие с исходным предположе нием II.

Принципиальное отличие соотношения (6.25) от (6.26) состоит в том, что в первом из них критическая длина волны выражается через локальные характеристики среды, а во втором через гло бальные. Последовательное использование последних требует точ ного решения задачи о равновесии среды, при этом мы вступаем в противоречие с исходными посылками теории.

Мы увидели, что гравитирующие системы оказались неустой чивыми для возмущений с длиной волны не меньше характерного размера системы, что противоречит исходному предположению о малости размеров возмущения. Если же возмущение рассматривать как глобальное, то невозмущенную систему нельзя рассматривать как бесконечную и изотропную.

Соотношение (6.25) можно интерпретировать следующим об разом. Рассмотрим систему с заданными неизменными локальны ми характеристиками, и будем увеличивать ее размер. Когда размер превысит критическую длину волны J, система уже не сможет находиться в равновесии (будет нарушаться теорема вири ала). В этом, в частности, проявляется принципиальное отличие гравиплазмы от плазменных сред, которые вследствие дебаевско го экранирования (например, [49]) можно неограниченно подстра ивать, практически не нарушая их локальные свойства.

Пользуясь адиабатическим уравнением состояния для идеаль ного газа, мы молчаливо предполагали, что молекулы газа следуют статистике Больцмана, и для них устанавливается максвелловское распределение скоростей. К. Цаллис [160] предложил более общую статистику. В ней распределение скоростей заменяется на степен ное, из которого распределение Максвелла вытекает как предель ный случай. Ду Цзюлинь [111] нашел для этого случая критиче скую длину волны, причем оказалось, что по сравнению с выраже нием Джинса ее величина хотя и изменяется (увеличивается или уменьшается), но незначительно.

В. А. Антонов и А. С. Баранов [9] обобщили теорию Джинса на случай, когда система ограничена полупроницаемым барьером.

В этом случае наряду с синусоидальными модами появляются на растающие граничные моды с дискретным спектром.

• Гравитационная неустойчивость б е с с т о лкновительной среды Качественные соображения И. Ньютона o тенденции вещества к скучиванию в принципе справедливы для гравитационных систем любой природы. Анализ Джинса относился к сжимаемой сплош ной среде. Но из общих соображений о существовании различ ных уровней описания реальных природных систем ([45, 115, 126]) можно ожидать, что гравитационная неустойчивость проявляется и при кинетическом описании гравиплазмы с помощью функции фазовой плотности (функции распределения). Первыми джинсов скую неустойчивость в бесстолкновительных ансамблях большо го числа гравитирующих тел рассмотрели Д. Линден-Белл [137] и П. Свит [157] в 1960-ые гг. Критическую длину волны в звездных системах нашли М. Н. Максумов и Л. С. Марочник [58]. Этим пуб ликациям предшествовали работы, в которых исследовались кол лективные процессы в бесстолкновительной плазме. Колебания в плазменных средах изучались в пионерских работах А. А. Власо ва [19], Л. Д. Ландау [50] и др. (см., например, [20, 44, 49, 151]).

В 1938 г. А. А. Власов [19] предложил для описания плазмы соотношение, совпадающее с основным в звездной динамике бес ” столкновительным уравнением Больцмана“ [67, 93, 101], которое выписал еще Дж. Джинс в 1915 г. [122]. Сопоставление рассужде ний Джинса и Власова показывает, что их аргументы были, в сущ ности, одинаковыми [116], но Власов более четко подчеркивал, что в системах с дальнодействием (плазме, а значит, и в гравиплазме) преобладают коллективные взаимодействия, далекие силы“, как ” Власов назвал их, т.е. регулярные силы звездной динамики. С тех пор строгое обоснование уравнения Власова“ обсуждалось в боль ” шом числе работ, например, в статье У. Брауна и К. Хеппа [104].

Рассматривая колебания плазмы, А. А. Власов, искал нор мальные моды. При этом не все его рассуждения казались доста точно обоснованными математически, что заметил Л. Д. Ландау [50]. Применив преобразование Лапласа по времени, Л. Д. Ландау нашел полное решение задачи с заданными начальными условиями и при этом предсказал новое явление затухание Ландау. Работа Власова подверглась крайне резкой по форме критике со сторо ны крупнейших физиков–теоретиков [28]. Вероятно, значительную роль в появлении их статьи [28] сыграло существовавшее в то вре мя противостояние московской университетской и академической“ ” физики [2, 29]. Современные исследователи [1, 16] отмечают, что в основном критические замечания в [28] были несправедливыми.

Будем далее в основном следовать монографии Дж. Бинни и С. Тримейна [101]. Рассмотрим бесстолкновительную самогра витирующую систему, которая описывается фазовой плотностью f (r, v;

t) и гравитационным потенциалом (r;

t). Эти функции удо влетворяют бесстолкновительному кинетическому уравнению (бес столкновительному уравнению Больцмана) f f f (6.27) +v + = t r v и уравнению Пуассона (6.28) f (r, v;

t) d3 v.

(r;

t) = 4G Положим f (r, v;

t) = f0 (r, v) + f1 (r, v;

t), (r;

t) = 0 (r) + 1 (r;

t), где малый параметр. При этом функции f0 и 0 опи сывают равновесное невозмущенное“ состояние и удовлетворяют ” уравнениям f0 f v + 0 = 0, r v f0 (r, v) d3 v.

0 (r) = 4G Подставляя f, в (6.27), (6.28) и отбрасывая члены порядка 2, получаем линеаризованное уравнение для возмущения фазовой плотности f1 f1 f1 f (6.29) +v + 0 + 1 = t r v v и уравнение Пуассона для возмущений (6.30) f1 d3 v.

1 = 4G Уравнения (6.29), (6.30) лежат в основе линейной теории устойчи вости бесстолкновительной гравиплазмы [5, 78, 113].

Используем уравнения (6.29), (6.30) для исследования джин совской неустойчивости. Предполагая, что в невозмущенном состо янии плотность является постоянной, положим f0 (r, v) = f0 (v). Не отказываясь от мошенничества Джинса“, положим далее ” 0. Кстати, в ряде работ 1960-ых гг. некоторые авторы полагали 0 r = 0, но обосновывали это тем, что ими рассматриваются только коротковолновые возмущения. Тогда f1 f1 f (6.31) +v + 1 = 0.

t r v Будем искать нормальные моды и положим (6.32) f1 (r, v;

t) = fk (v)ei(k rt), 1 (r;

t) = k ei(k rt).

Подставив (6.32) в уравнения (6.31), (6.30), находим f (k · v ))fk + k k · = 0, v k 2 k = 4G fk d3 v.

Исключая из этих равенств k, сразу же получаем дисперсионное соотношение f k· 4G v d3 v = 0. (6.33) 1+ k·v k Предположим, что в равновесном состоянии распределение скоростей было максвелловским, 2 ev f0 (v) =.

(2 2 )3/ Здесь 0 невозмущенная плотность. Без потери общности мож но считать, что волновой вектор k направлен вдоль оси x, так что k = (kx, 0, 0). Тогда дисперсионное уравнение (6.33) принимает следующий вид:

2 vx evx 8G (6.34) 1 dvx = 0.

kx 3 kx vx Полагая в (6.34) = 0, получаем критическое волновое число (6.35) k = (4G 0 )1/2.

Тогда оказывается, что критическая длина волны = 2 k сов падает с джинсовской длиной волны (6.22), если в ней скорость звука c заменить на среднюю остаточную скорость. Я. Б. Зельдо вич нашел (как указано в статье [59]), что для любого изотропного распределения скоростей f0 (v) с главным максимумом в нуле k = 4G.

v Упражнение 2.6. Рассмотрим длинноволновые возмущения с. Предполагая, что система не является сверхустойчивой, положим = i. Показать, что дисперсионное уравнение (6.34) можно переписать в следующем виде:

k 2 = k 1 erf exp, 2 2k 2k 2k где x 2 ez dz, erf(x) = и для простоты kx заменено на k. Проанализировать это уравне ние.

Для длинноволновых возмущений качественных отличий меж ду газовыми и бесстолкновительными средами нет. Иное дело ко ротковолновые возмущения. В газе в этом случае распространяют ся обычные звуковые волны, несколько искаженные гравитацией.

Для бесстолкновительных систем анализ становится более слож ным. Интеграл в (6.33) становится сингулярным и, строго говоря, методом нормальных мод пользоваться нельзя. А А. Власов [19] в аналогичной ситуации искал главное значение интеграла, за что его и критиковал Л. Д. Ландау [50]. Обозначив + 1 v ev /2 dv, W(u) = v.p.

vu 2 найдем, что для гравиплазмы k (6.36) 1 W = 0.

k2 k Дисперсионное уравнение Власова для плазмы отличается от (6.36) только знаком второго слагаемого (поскольку частицы плазмы вза имодействуют по закону Кулона, а не Ньютона).

Как и Д. Линден-Белл [138, 139] и П. Свит [157], примним е для более обоснованного исследования колебаний гравиплазмы ме тод Ландау, которым позднее пользовался и Власов [20]. Идея ме тода состоит в следующем (см. [49, 55, 151]). У функции, стоящей под знаком интеграла в (6.33), имеется особенность (полюс) при = k · v. Чтобы придать интегралу смысл, вместо гармонически изменяющегося поля ( eit ) будем рассматривать поле, кото рое бесконечно медленно включается с момента в бесконечно про шлом (t = ). Тогда к частоте колебаний потенциала (и функции распределения) прибавляется слагаемое с бесконечно малой поло жительной мнимой частью, т.е. + i, где сколь угодно мало и положительно, +0. Действительно, теперь потенциал eit et 0 при t. Возрастание же при t + счита ется несущественным в силу принципа причинности (на явлениях, происходящих при конечных t это возрастание, которое будет про исходить в будущем, не может сказаться). Таким образом, приме няется правило обхода полюсов + i0, которое называется правилом Ландау.


При вычислении по правилу Ландау интеграла вида + f (z)dz z i с 0 получается следующее. Путь интегрирования в плоскости комплексного переменного z проходит под особой точкой z = i.

Когда 0, мы должны интегрировать вдоль вещественной оси с обходом простого полюса z = 0 снизу по полуокружности беско нечно малого радиуса. Последнее дает половину вычета подынте грального выражения. Поэтому + + f (z)dz f (z) dz = v.p. + if (0).

z i0 z Будем считать, что начальная фазовая плотность f (r, v;

0) = f0 (v) + g(r, v).

Для дальнейшего существенно предположение, что начальное воз мущение g(r, v) не является сингулярным. В произвольный момент времени (6.37) f (r, v;

t) = f0 (v) + f1 (r, v;

t).

Линеаризованное уравнение (6.31) принимает вид:

f1 f1 f (6.38) +v + 1 = 0.

t r v Уравнения (6.38), (6.30) линейны и не содержат координат в яв ном виде. Поэтому искомые возмущения f1, 1 можно разложить в интеграл Фурье по координатам и выписать уравнения для их фурье-компонент в отдельности. Другими словами, мы полагаем (6.39) f1 (r, v;

t) = fk (v;

t)eikr 1 (r;

t) = k (t)eikr.

Подставляя (6.39) в (6.38), (6.30), получаем уравнения fk f (6.40) + ik · v fk + ik · = 0, t v (6.41) k 2 k = 4G fk d3 v.

Для решения этих уравнений целесообразно воспользоваться (+) (+) методом интегральных преобразований. Определим fk (v), k равенствами + (+) (6.42) eit fk (v;

t) dt, fk (v) = + (+) (6.43) eit k (t) dt.

k = Эти равенства представляют собой не что иное, как преобразова ния Лапласа, в которых обычная переменная p заменена на (i).

Обратное преобразование дается формулами ++i d (+) (6.44) eit fk (v) fk (v;

t) =, +i ++i d (+) (6.45) eit k k (t) =, +i в которых интеграл берется в комплексной плоскости по прямой, параллельной вещественной оси и проходящей над ней (так как 0) выше всех особенностей подынтегральных функций.

Учитывая, что + + + fk it (+) e dt = fk eit fk eit dt = gk ifk, i t 0 где gk = fk (v;

0), из (6.40) получаем, что f (+) (+) (6.46) (k · v ) fk + k k · = igk.

v Аналогично из (6.41) находим (+) (+) (6.47) k 2 k = 4G fk d3 v.

(+) Подставляя fk из (6.46) в (6.47), получаем, что 4Gi gk d3 v k2 k·v (+) (6.48) k =.

k · f0 v 4G 1+ 2 dv k·v k Подставляя (6.48) в (6.45), получим решение поставленной задачи.

Обозначим k · f0 v 4G (6.49) D(, k) = 1 + d v.

k2 k·v В теории плазмы эта величина называется диэлектрической прони цаемостью. Направляя (как и ранее) ось x в направлении вектора k, т.е. полагая k = (k, 0, 0), и обозначив fx (vx ) = f0 (v) dvy dvz, запишем, имея в виду правило обхода Ландау, что 4G dfx (vx ) dvx (6.50) D(, k) = 1 +.

dvx kvx k Обсудим свойства диэлектрической проницаемости (6.49) как функции комплексной переменной. Очевидно, что они определя ются начальным распределением скоростей.

Изменим обозначения и перепишем интеграл в (6.50) в виде:

df (z) dz.

dz z /k C В соответствии с правилом Ландау интегрирование вдоль контура C означает интегрирование по комплексной переменной z вдоль ве щественной оси с обходом особой точки z = /k снизу (как это объ яснялось выше). Тем самым этот интеграл определяет регулярную функцию комплексной переменной во всей верхней полуплос кости. При аналитическом же продолжении этой функции на ниж нюю полуплоскость контур интегрирования C приходится смещать вниз: вместо обхода особой точки по полуокружности бесконечно малого радиуса приходится интегрировать по бесконечно узкому зубцу конечной длины. В общем случае, однако, при аналитиче ском продолжении на комплексную плоскость у функции df (z) dz могут появиться особые точки. Если такая особая точка окажется сколь угодно близко от особой точки z = /k, то избежать осо бенности при интегрировании будет невозможно. Таким образом, в общем случае функция комплексной переменной, определен ная нашим интегралом (и диэлектрическая проницаемость) имеет особые точки в нижней полуплоскости, при значениях /k, совпа дающих с особыми точками функции df (z) dz.

К счастью, если начальное распределение скоростей является максвелловским, то диэлектрическая проницаемость оказывается целой функцией (т.е. не имеет особенностей при конечных зна чениях аргумента).

Упражнение 2.7. Показать, что при максвелловском распре делении скоростей k D(, k) = 1 WL, k2 k где 1 z ez /2 dz, WL () = 2 C z а контур интегрирования C обсуждался выше. Убедиться, что при Im 0 функция WL () совпадает с функцией W(u) в дисперси онном уравнении Власова (6.36). Если же Im = 0, то эти функции различаются на 2 2i exp( 2 2 ), а в случае Im 0 эта разница 1 удваивается (вспомнить теорию вычетов!) Замечание. Свойства функции WL () достаточно подробно об суждаются в книге [44].

Упражнение 2.8. Найти, что при |z| 1 функция WL () вы ражается сходящимся рядом (1)n+1 z 2n+ 1/ z exp(z 2 /2) + 1 z 2 +... + WL () = i +..., 2 (2n + 1)!!

а при больших |z| справедливо асимптотическое разложение (2n 1)!!

1/ 1 z exp(z 2 /2) WL () = i 4.......

2 z 2n 2 z z Имея это разложение, можно вернуться к дисперсионному урав нению Власова (6.36) и исследовать коротковолновые возмущения [44].

Перепишем теперь соотношение (6.48):

+ 4Gi gxk (vx ) (+) (6.51) = k dvx.

kvx k D(, k) Здесь мы обозначили gxk (vx ) = gk (v) dvy dvz.

Для дальнейшего определения завиcимости возмущения по тенциала от времени по формуле (6.45) необходимо исследовать (+) свойства функции k. По своему определению по формуле (6.43) эта функция имеет смысл лишь в верхней полуплоскости комплекс ной переменной. То же относится и к выражению (6.51). Ин тегрирование в (6.51) происходит по пути (вещественная ось vx ), проходящему ниже полюса vx /k. Рассуждая так же, как и для диэлектрической проницаемости, мы получаем, что при аналитиче ском продолжении на всю комплексную плоскость особенности могут появиться лишь в точках, совпадающих с особыми точка ми функции gxk (vx ) (переменная vx считается комплексной). Бу дем считать, что таких сингулярностей нет. Тогда интеграл в (6.51) определяет целую функцию. Мы только что установили, что при максвелловском распределении скоростей диэлектрическая прони цаемость также является целой функцией. Следовательно, продол (+) женная на всю комплексную плоскость функция k комплексно го аргумента представляет собой частное двух целых функций.

Поэтому ее единственными особенностями являются нули знамена теля, т.е. корни уравнения (6.52) D(, k) = 0.

Оно заменяет дисперсионное соотношение (6.36).

Обратившись теперь к (6.45), можно установить асимптотику потенциала при t + [49, 55]. Сместим контур интегрирования в (6.45) в нижнюю полуплоскость так, чтобы не пересечь ни од ного полюса подынтегральной функции. Пусть корень урав нения (6.52), наиболее близкий к вещественной оси, r = Re, i = Im. Будем производить интегрирование в (6.45) по пути, смещенному далеко под эту точку и огибающему ее: сначала па раллельно вещественной оси с Re меняющимся от до r, затем по отрезку, параллельному мнимой оси, до i, после этого по окружности бесконечно малого радиуса с центром в, затем по описанному выше отрезку в противоположном направлении и, наконец, параллельно вещественной полуоси с Im (r, +).

Аналогичным образом обходятся и другие полюса, расположенные выше смещенного пути интегрирования (если они есть). Тогда в ин теграле при t существенен только вычет относительно полю са, а вклад остальных частей интеграла будет экспоненциально мал.

Обратимся теперь к уравнению (6.52). Пусть Im (неустойчивое решение). Тогда Im WL k = 0. Нетрудно убе диться, что последнее возможно только при Re = 0, из чего следует невозможность сверхустойчивости (колебательной неустой чивости).

Пусть теперь Im = 0, Re = 0, что означает незату хающие колебания. Анализируя выражение для WL, приходится заключить, что этот случай невозможен. В этом принципиаль ное отличие случая бесстолкновительных систем по сравнению с гравитирующим газом.

Наконец, остается случай Im 0 (затухающие решения).

Из предыдущего следует, что затухают все волны с, т.е.

коротковолновые возмущения. Небольшое возмущение разносится отдельными звездами по всей системе и не успевает вырасти. В тео рии плазмы этому случаю соответствует затухание Ландау, имею щее важное значение для плазменных процессов [44, 49, 55]. Для гравидинамики же затухающие волны не представляют особого ин тереса.

ЗАДАЧИ 6.2.

2.1. Пусть в среде имеется флукту 1 0 s c2 s d r = 0, ация плотности массы M и разме- |r| ра. Потенциальная энергия флук- где по-прежнему 0 = 4G 0, c2 = F ( 0 ), но туации W GM 2 /, а кинетиче- обе эти величины уже не являются постоянны ская (тепловая) энергия K M c2. ми.

Флуктуация будет сжиматься, т.е. бу 2.5. (А. Б. Северный [84]). Рассмотрим дет неустойчива, если ее энергия K + сферически симметричную систему с W 0.

чисто радиальными пульсациями, ко Найти из этих соображений кри торые будем считать адиабатически тический размер флуктуации.

ми. Исходя из решения предыдущей Сравнить данный сверхэлементар ” задачи, получить основное уравнение ный“ вывод критической длины вол теории звездных пульсаций ны с приведенными выше. В чем нестрогость каждого из подходов? 4µ c2 ( 0 )tt µr t rr = 0, 2.2. (Ф. Наон [145]). Решить уравне- r ние (6.15), применив к нему преобра- где r радиальная координата, = r1 vr dt (т.е. r зование Фурье лагранжево сме щение данного элемента), = 34/, s(r, t)eikr d3 r.

sk (t) = µ = g0 0 r/p0, g0 = d0 /dr уско (2) рение силы тяжести в невозмущен О т в е т: С помощью формулы для об- ном состоянии. Это уравнение эквива ратного преобразования Фурье находим, что лентно уравнению (127.6) Эддингтона ikr [112].

s(r, t) = sk (t)e d k= c2 k2 0 t ikr = Re sk (0)e e d k, т.е. получим суперпозицию решений (6.21).

2.3. (П. Симон [152]). С помощью пре образования Лапласа найти общее ре шение уравнения (6.15), если sin 2x, x [0, a], s(r, 0) = a x [0, a], 0, а st (r, 0) = 0.

2.4. (А. Б. Северный [84]). Обобщить волновое уравнение (6.15), отказав шись от условий II ( 0 (r) const ), и III ( 0 (r) 0 ).

О т в е т:

2 stt 0 s (c s) (ln 0 ) 6.3. Некоторые специальные вопросы • Влияние твердотельного вращения Мы предполагали, что в невозмущенном состоянии среда яв ляется неподвижной. Между тем, если допустить ее вращение, то можно получить основные результаты классической теории, не при бегая к мошенничеству Джинса“. Действительно, если в невозму ” щенном состоянии центробежная и гравитационная силы уравнове шивают друг друга, то элемент среды будет находиться в невесомо сти. Поэтому предположения II и III теории Джинса удастся совме стить. Как ни странно, влияние твердотельного вращения на гра витационную неустойчивость впервые исследовал только С. Чанд расекар [106, 107] спустя свыше 50 лет после работы Дж. Джинса.

Его результаты приведены в книге [109].

Итак, рассмотрим бесконечную однородную гравитирующую среду плотности плотности 0, вращающуюся с угловой скоростью. Исследовать систему будем во вращающейся системе координат.

Уравнения неразрывности и Пуассона (6.10), (6.12) не изменятся, а уравнение Эйлера (6.11) запишется в следующем виде:

= 0. (6.53) | r|2 + (c2 / ) vt + (v · )v 2v Условие равновесия системы в невозмущенном состоянии 0 = = const, v0 0, = const приводит к требованию 0 = (напомним, что 0 определяется равенством (6.16)). Теперь рас смотрим возмущения 1, v1 = (vx, vy, vz ), 1. Линеаризируя урав нения (6.10), (6.12), (6.53), получаем систему st + v1 = 0, (6.54) s 2v1 v1t + c 1 = 0, 1 + 0 s = 0, s= 0.

Направим ось z вдоль оси вращения. Будем искать возму щения в виде (6.55) s = s0 exp i(kx x + kz z t).

Сначала рассмотрим более простой случай kx = 0, kz = 0, когда волна распространяется вдоль оси вращения. Подставляя выраже ния вида (6.55) в (6.54), получаем однородную алгебраическую си стему 0 0 kz 0 s 0 i 2 0 0 vx 2 0 2 i 0 · vy0 = 0.

c kz 0 0 kz vz 2 0 kz 0 0 0 Приравнивая нулю определитель системы, приходим к дисперсион ному уравнению, которому можно придать следующий вид:

(6.56) ( 2 c2 kz + 0 )( 2 42 ) = 0.

2 Из (6.56) следует, что возможны две ветви колебаний. Первая ветвь,с квадратом собственной частоты c2 kz 0, соответствует 2 обычной гравитационной неустойчивости для возмущений с дли ной волны больше критической джинсовской длины (6.22). Вторую ветвь можно назвать вращательной или циклотронной. Она опи сывает распространение сдвигового возмущения под действием ко риолисовых сил. Поскольку частота в этом случае не зависит от k, так называемая групповая скорость d dk = 0. Это значит, что вдоль оси вращения распространяется лишь фаза, но не энергия.

Такое движение похоже на вращение архимедова винта (винтово го конвейера), в котором каждая точка совершает строго круго вое движение, а фазовые соотношения между отдельными частями винта создают иллюзию перемещения его вдоль оси. Очевидно, это движение устойчиво.

Теперь рассмотрим другой простой случай kx = 0, kz = (волна распространяется перпендикулярно к оси вращения). На этот раз (6.54) сводится к системе kx 0 0 s ikx c2 i 2 ikx vx · = 0, 0 2 i 0 vy 2 0 kx 0 0 что дает дисперсионое уравнение (6.57) (42 0 + c2 kx 2 ) = 0.

2 Отсюда следует, что или = 0 (происходит вырождение джинсов ской ветви колебаний), или 2 = 22 + c2 kx (устойчивая квазизвуковая волна несколько заторможенная грави тацией и в большей степени ускоренная вращением).

В общем случае целесообразно положить kx = k sin, kx = k cos, где угол между направлением волнового вектора k = (kx, 0, kz ) и осью вращения системы. После простых, но довольно трудоем ких преобразований дисперсионное соотношение удается записать в форме биквадратного уравнения (6.58) 4 A 2 + B = 0, где A = 42 0 + c2 k 2, B = 42 (c2 k 2 0 ) cos2.

Уравнения (6.56), (6.57) являются частными случаями общего дис персионного уравнения (6.58) при = 0,, = ±/2 соответствен но. В общем случае уравнение (6.58) описывает два типа акусти ческих волн, модифицированных гравитацией и вращением. Для произвольных направлений распространения обе волны не являют ся ни чисто продольными, ни чисто поперечными. Cлучаи = и = являются в этом отношении исключительными. Мож но убедиться, что одна из мод (гравитационная или джинсовская) неустойчива при B 0, что приводит к критерию устойчивости c2 k 2 0.

Поскольку при = ±/2 происходит, как мы видели, вырож дение, рассмотрим случай близких к ±/2 (направление рас пространения волн почти перпендикулярно к оси вращения). При малых cos2 получаем:

1 = 42 cos2 (c2 k 2 0 )(c2 k 2 0 + 42 )1 + o(cos2 ), 2 2 2 = c2 k 2 0 1 + o(cos2 ).

2 2 Упражнение 3.1. Введем прямоугольную вращающуюся си стему координат, направив ось z в направлении распростране ния волны, а ось x перпендикулярно к оси вращения (так что = (0, y, z ) ). Записав в этой системе координат уравнения (6.53), получить дисперсионное соотношение (6.58)) (С. Чандрасе кар [106, 107]).

Полученный С. Чандрасекаром вывод о том, что кориолисовы силы изменяют длину лишь волн, распространяющихся перпенди кулярно оси вращения (kz = 0 ) казался парадоксальным. Затем этот результат обсуждали Д. Линден-Белл [139], П. Гольдрайх и Д. Линден-Белл [114] и И. Л. Генкин [22, 23, 24], который считал, что мошенничество Джинса“ следует применить не только к гра ” витационному, но и к центробежному потенциалу.

Конечно, большее астрономическое значение имел бы анализ гравитационной неустойчивости дифференциально вращающейся среды. Первыми такую задачу рассмотрели Н. Бель и Э. Шац ман [15]. Они предполагали, что в невозмущенном состоянии си стема является однородной и изотермической, а возмущения ротационно-симметричные. Фактически среда считалось бесконеч но протяженной в направлении оси вращения. Условие неустойчи вости на расстоянии r от оси вращения было получено в виде сле дующего неравенства:

c2 4 2 c (r2 ) + 4G =.

4r2 r Отсюда легко заключить (см. [83]), что критическая плотность, необходимая для устойчивости, должна быть по крайней мере вдвое больше фактической плотности, т. е. при распространении возму щений в плоскости, перпендикулярной оси вращения, гравитаци онной неустойчивости не возникает. Следует заметить, что в од нородной газовой среде (но, строго говоря, не обязательно в одно родной звездной системе!) вращение не является твердотельным.

Следовательно, невозмущенное состояние в изученной в [15] моде ли является неравновесным. Для достижения равновесия предлага лось добавить в модель дополнительные массы не газовой природы [153, 155].

В. С. Сафронов [82, 150] рассмотрел дифференциально вра щающийся газовый слой со стратификацией плотности вдоль оси вращения. Анализ коротковолновых радиальных возмущений, по дробно изложенный в [83], привел к дисперсионному соотношению 2 = (r2 ) 4G 0 · f (kh) + k 2 c2, r где h толщина слоя, а f 1 некоторый фактор, введением ко торого учитывается конечная толщина слоя. Примерно оценив его и считая вращение кеплеровским, В. С. Сафронов [83] заключил, что вращающиеся плоские системы теряют устойчивость и разби ваются на кольца, когда их равновесная объемная плотность пре вышает некоторое критическое значение (см. также обсуждение в [75]). Позднее И. Л. Генкин и В. С. Сафронов [27] нашли удовлетво рительное аналитическое приближение для фактора f, а именно, f = (1 + 2 kh)1 (см. [18]).

• Д ж и н с о в с к а я н е у с т о й ч и в о с т ь в н ь ю т о н и анской космологии Один из способов избежать мошенничества Джинса“ в тео ” рии гравитационной неустойчивости состоит в том, чтобы уже невозмущенное состояние считать нестационарным, но в точности удовлетворяющим гидродинамическим уравнениям. Такой путь ре ализуется в так называемой ньютонианской космологии теории бесконечных гравитирующих сред, которая строится на основе нью тоновского закона всемирного тяготения. Эта теория интересна, в частности, следующим. Оказалось, что уравнения А. А. Фридма на, выведенные в эйнштейновской космологии, которые определя ют ход расширения однородной и изотропной модели Вселенной с нулевым давлением (стандартная космологическая модель), очень просто могут быть получены в ньютоновской теории гравитации [144]. Мы не будем обсуждать здесь некоторые тонкие принципи альные вопросы ньютонианской космологии [21, 41]. Далее будем следовать монографии Я. Б. Зельдовича и И. Д. Новикова [40].

Движение вещества будем рассматривать в системе коорди нат, выбранной так, что в начале координат оно покоится. Выбе рем некоторое расстояние r от начала координат. Предположим, что на этом расстоянии скорость среды v направлена от начала координат и пропорциональна r, так что (6.59) v = Hr.

Коэффициент H называют постоянной Хаббла. Слово постоян ” ная“ указывает на независимость H от величины и направления v, но H = H(t).

Рассмотрим шар, содержащий некоторую массу M ;

радиус 4 шара обозначим R(t). Плотность шара (t) = M R, тогда d 3M dR = 4 4.

dt dt 3R Подставим сюда dR dt = v = HR :

d (6.60) = 3H(t).

dt Чтобы найти закон эволюции, рассмотрим уравнение движе ния для сферической поверхности d2 R GM (6.61) = 2.

dt2 R Подставив dR dt = HR и M = R3, получим:



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.