авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики – процессов управления С. А. КУТУЗОВ, М. А. МАРДАНОВА, Л. П. ОСИПКОВ, В. Н. ...»

-- [ Страница 5 ] --

dHR dH dR dH + RH 2 = G R, =R +H =R dt dt dt dt т. e.

dH (6.62) = H 2 G.

dt Уравнения (6.60), (6.62) образуют систему для определения H(t), (t).

Запишем интеграл энергии для уравнения движения сфериче ской поверхности (6.61):

1 dR GM = E.

2 dt R Обозначим H(t0 ) = H0, (t0 ) = 0, тогда начальная скорость (dR/dt)0 = H0 R0, и значение интеграла энергии 122 4 H0 R0 G E= R.

Поэтому 2 3 dR 8 G 0 R0 8 3H (6.63) = GR0.

dt 3 R 3 8G Интегрирование этого уравнения аналогично решению классиче ской задачи двух тел. Из (6.63) сразу же следует, что в прошлом dR/dt было больше, чем в настоящее время, и был момент t, ко dR гда R(t ) = 0, (t ) =.

dt Введем критическую плотность 3H =.

c 8G Поведение решения уравнения (6.61) в будущем зависит от знака величины 0 c. Если это выражение отрицательно, то расшире ние будет происходить неограниченно (гиперболическое решение).

В пределе t + будет dR 8 GR0 ( 0 ).

c dt Если же c 0, то через некоторое время расширение сменится сжатием (эллиптическое решение).

Частное решение 0 = c (параболическая модель) имеет осо бенно простую форму. В этом случае 2/ t t t0 t =, R = R0, t0 t 3 H а плотность (6.64) =.

6G(t t ) Обратив в этом решении время, мы получим модель гравити рующего шара, сжимающегося в точку (влиянием давления здесь пренебрегается!), которой можно в некотором приближении описы вать раннюю протогалактику [11].

Теперь рассмотрим устойчивость найденного решения G 0 (t) r2, 0 = v0 = H(t) r, в котором плотность и постоянная Хаббла H(t) являются 0 (t) решениями уравнений d0 dH (6.65) + H2 = = 3H 0, G 0.

dt dt Данную задачу впервые рассмотрел Б. Боннор [102]. Мы же будем следовать более компактному изложению в книге [40].

Возмущения плотности и скорости будем искать в следующем виде:

0 k = s(t) eik(t)r, v1 = w(t) eik(t)r, k причем k = l/a(t), l = const. Возмущения скорости предполагают ся потенциальными. Гравитационный потенциал = 0 + f (t)eik(t)r.

Невозмущенное движение частицы, описываемое уравнением dr = H(t)r, dt будем записывать в виде r = a(t)q с a(t) = exp H(t)dt. Тогда (r, t) 0 (t) = s(t) eilq 0 (t) и аналогично для возмущений скорости и потенциала. Величина a(t) в данной теории это масштабный множитель, определяющий изменение расстояния между каждой парой частиц. Величина q может рассматриваться как лагранжева координата, а постоянный вектор l является волновым вектором в лагранжевых переменных.

Подставляя в исходные уравнения и линеаризуя, найдем ds = ikw, dt dw s (6.66) + Hw = i (4G 0 k 2 c2 ), dt k f = 4G 0 r/k 2.

При H 0 и постоянных 0, k и c система (6.66) переходит в уравнения Джинса (6.14). Довольно легко свести эту систему к сле дующему уравнению:

(6.67) c2 k 2 )s = 0.

s + H s (4G Далее ограничимся лишь простейшим решением уравнения (6.67). Сделаем следующие предположения.

1. Показатель адиабаты = 4/3, так что давление p 4/3, а скорость звука (dp d )1/2 1/6. Легко видеть, что тогда оба слагаемых в скобках в (6.67) пропорциональны a3, т. е. их от ношение (характеризующее отношение гравитационной энергии к внутренней энергии среды) остается постоянным.

2. Рассмотрим параболическую“ модель (которая соответ ” ствует модели плоской Вселенной“ релятивистской космологии).

” Тогда 1 2 c a = a1 t2/3, k = k1 t2/3, =, H=, c= 6Gt2 t1/ 3t (в решении (6.64) мы положили t = 0).

При сделанных предположениях уравнение (6.67) принимает следующий вид:

4 (6.68) t2 s + ts c2 k1 s = 0.

3 Будем искать решение уравнения (6.68) в виде степенной функции s = s1 tn.

Получаем, что 1 n2 + n + c2 k1 = 0, 3 откуда находим 1 (6.69) c2 k1.

n= ± 6 Подкоренное выражение в (6.69) обращается в нуль (в этом случае показатель степени n = 1/6), если k1 = k1 = 5 (6c1 ). Тогда критическая длина волны 2 6 = 2c1 t2/3 = = ct.

k1 t2/3 5 Полученное решение задачи об устойчивости соответствует ре зультатам, найденным Е. М. Лифшицем [54] в рамках общей теории относительности.

Итак, в ньютонианской космологии получается, что возмуще ния растут со временем линейно, т. е. медленно. Поэтому в рамках данного подхода возникают трудности принципиального характера для теорий образования галактик. В этой связи Я. Б. Зельдовичем [39] была разработана нелинейная теория блинов“. Мы не будем ” обсуждать этот вопрос, отсылая к классической монографии [40].

Упражнение 3.2. Рассмотреть случай сжатия (t 0 ). Пока зать, что нарастающим является возмущение, пропорциональное (t)1 [102]. Последнее означает, что при сжатии возмущение плот ности нарастает быстрее, чем при расширении.

Встает вопрос, как объяснить противоречие между результа том Джинса о быстром (экспоненциальном) нарастании возмуще ний и теориями Лифшица и Боннора. Я. Б. Зельдович [38] заметил, что в действительности противоречия нет. По Джинсу, возмущение пропорционально e±t, причем = (4G 0 )1/2. Поскольку в рас ширяющейся модели 0 считается переменным, естественно счи тать переменным и положить возмущение пропорциональным e± dt. Подставляя 0 = (6Gt2 )1, находим 1 = ± 4G =±, 6Gt2 3t e± = e±t 2/3.

dt dt = ln t, Мы видим, что закон нарастания возмущения оказался степенным:

возмущение пропорционально tn с n ±0, 81 вместо точных зна чений n1 0, 67 и n2 = 1.

• Влияние вязкости и теплопроводности на г р а в и т а ц и о н н у ю н е у с т о й ч и в о с т ь Реальные сплошные гравитирующие среды всегда в той или иной степени обладают свойствами вязкости и теплопроводно сти. Естественно, встает вопрос об их влиянии на гравитацион ную неустойчивость. Из общих соображений можно было бы ожи дать, что вязкость стабилизирует среду. Однако когда Ш. Като и Ш. Кумар [125, 128, 129] кратко рассмотрели этот вопрос, то нашли, что критическая длина волны почти не меняется, точнее, обычную (лапласовскую) скорость звука c в выражении для кри тической длины волны надо, как оказалось, заменить на изотер мическую (ньютоновскую) скорость звука cis. Такой же результат получили А. Пахольчик и Е. Стодулькевич [147], исследуя влия ние вязкости на магнито-гидродинамическую устойчивость враща ющейся гравитирующей среды. Ш. Кумар [128, 129] также раccмот рел влияние вращения и магнитного поля, сперва в отдельности, а затем действующих вместе. В работе [143] подробно исследова лась гравитационная неустойчивость вязкой теплопроводной элек тропроводной жидкости в присутствии магнитного поля. Однако ввиду большого числа параметров задачи авторам не удалось ис следовать в общем случае все возможные устойчивые и неустойчи вые ветви решений. Многие авторы рассматривали влияние вязко сти на устойчивость вращающихся дискообразных систем (напри мер, [30, 48, 63, 141]). Наиболее подробное исследование выполнили В. А. Антонов и Б. П. Кондратьев [99]. Далее рассмотрим влияние вязкости и теплопроводности на гравитиционную неустойчивость в неограниченной невращающейся среде, следуя статье [69] и интере суясь не только длиной волны, но и характером решений.

Уравнение Эйлера (6.11) заменим на уравнение Навье-Стокса.

При этом мы пренебрежем так называемой второй вязкостью (ее учет не вносит принципиальных изменений в решение задачи), а коэффициент кинематической вязкости будем считать постоян ным. Тогда (6.70) )v = c2 vt + (v · + ( 3) ( v) + v+.

Будем считать, что справедливы предположения I, II, III теории Джинса. Линеаризуя уравнение Навье–Стокса (6.70) и преобразуя его вместе с уравнением Пуассона, приходим к следующему урав нению для конденсации s:

(6.71) stt = c2 s (4 3) st + 0 s.

При 0 = 0 приходим отсюда к уравнению, описывающему влияние вязкости на распространение звуковых волн, полученному в 1845 г.

Дж. Г. Стоксом (см. [85, 131]). Из (6.71) получаем дисперсионное соотношение (6.72) c2 k 2 = 2 + i (см. уравнение (359.7) в [131]). Из (6.72) следует, что коэффицент вязкости входит в дисперсионное уравнение только вместе с k 2.

Поэтому вязкость может оказать влияние лишь на короткие волны [48]. Обозначим r = Re, i = Im. Легко видеть, что k 2 r = r i.

Если r = 0, то (6.73) i = k 2 0, что соответствует колебаниям, экспоненциально затухающим за ха рактерное время (2/3)k 2. Это решение существует только для k (k2, k1 ), где 2 2 1/ 2 9 c c 16 ± k1,2 =.

8 9 Если r = 0, то для i получаем уравнение (6.74) i + k 2 i + c2 k 2 0 = 0.

2 Упражнение 3.3. Исследовать корни уравнения (6.74) при от сутствии гравитации (0 = 0).

Упражнение 3.4. Показать, что при 0 = 0 и c2 (4/3)0 су ществуют два вещественных корня (6.74). Исследовать знаки этих корней.

Ответ. Если k 2 0 c2, то оба корня положительны. Это значит, что волны затухают, причем одна волна, гравитационная“, 2” медленно, а другая быстро. Если же k 2 0 c2, то корни (6.74) разных знаков, т. е. существует нарастающее возмущение.

Упражнение 3.5. Решить предыдущую задачу при c (4/3)0.

Ответ. Если k 2 (k2, k1 ), то вещественных решений для i не существует. Если же k 2 k2 или k 2 k1, то существуют два 2 вещественных корня, один из которых положителен, а знак второго определяется, как и ранее, величиной k 2 c2 0.

Итак, при всех k существуют два корня дисперсионного урав нения. Решения с i 0, соответствующие нарастающим колеба ниям, оказываются возможными только при k 2 0 c2. Таким образом, критическая длина волны по-прежнему равна 2c 0 и не зависит от значения вязкости. Наличие вязкости приводит к большему разнообразию решений, к появлению новых, затухающих ветвей возмущений, возможных для любых длин волн. Ввиду экс поненциального затухания практического значения эти решения не имеют.

Теперь рассмотрим гравитационную неустойчивость невяз кой теплопроводной среды. Будем считать, что система является идеальным гравитирующим газом. К уравнениям неразрывности (6.10), Эйлера (6.11) и Пуассона (6.12) надо добавить уравнение теплопроводности (6.75) cp (Tt + v T ) = T + (pt + v p) и уравнение состояния (6.76) p = (kB /m) T.

Здесь cp удельная теплоемкость при постоянном давлении, коэффициент теплопроводности, который считаем постоян ным. Поскольку мы сейчас пренебрегаем вязкостью, в уравнении (6.75) не выписана так называемая диссипативная функция, кото рая все равно выпадает из линеаризованных уравнений. В невоз мущенном состоянии 0 = 0, = 0, p0 = 0, p kB T0 p = = 2 = cis m ( cis изотермическая скорость звука). Как известно из теории газов, показатель адиабаты cp cp = =, cp k B m cv поэтому kB m = cp ( 1).

Выпишем уравнения для возмущений, причем в уравнении теплопроводности заменим с помощью уравнения состояния (6.76) T на p и. Получим:

+ v1 = 0, 1t p v1t + 1 = 0, 1 + = 0, p1t c2 p1 c2 = ( 1 ).

1t is is Здесь = ( 0 cp ) коэффициент температуропроводности. Сра зу будем искать решение в виде плоской волны, причем без потери общности направим ось x в сторону движения волны, т. е. ищем решение в виде exp i(kx t). Для амплитуд возмущений получа ем однородную систему четырех уравнений. Приравнивая нулю ее определитель, находим дисперсионное соотношение:

v 0 0 v 0 = 0, 2 k 0 0 0 cis (iv k) iv + k 0 где v = k фазовая скорость волны. Раскрывая определитель, перепишем дисперсионное уравнение в следующем виде:

(6.77) iv v 2 c2 0 k k v 2 c2 0 k = 0.

is is Если = 0, то получается дисперсионное уравнение с адиабатиче ской скоростью звука c = 1/2 cis. Если же 0 = 0, то дисперсион ное уравнение принимает вид (iv k)(v c2 ) = 0.

is Такую же форму можно придать дисперсионному уравнению, по лученному в 1888 г. Г. Кирхгофом (см. [85, 131]). Из него следует, что или 2 = c2 k 2 (обычные звуковые волны), или i = k 2 (затухающие звуковые волны).

В общем случае обозначим Aa = c2 0 /k 2, Ai = c2 0 /k 2.

K = k, is is Заметим, что Aa Ai = c2 ( 1) 0 (знак равенства достигается is только для изотермических сред). Условие джинсовской неустойчи вости можно, очевидно, записать в форме Aa 0. Запишем теперь дисперсионное уравнение (6.77) с учетом этих обозначений:

(6.78) iv(v 2 Aa ) K(v 2 Ai ) = 0.

Обозначив vr = Re v, vi = Im v, получим из (6.78) два веществен ных уравнения (6.79) 2 2 2 2 vi (vr vi Aa ) + vr vi + K(vr vi Ai ), (6.80) vr (vr 3vi 2Kvi Aa ) = 0.

Если vr = 0, то уравнение (6.79) принимает вид (6.81) 3 vi + Kvi + Aa vi + KAi = 0.

При K = 0 (нетеплопроводная среда) отсюда получается диспер сионное уравнение Джинса. Используя критерий Рауса–Гурвица, получаем, что все (вещественные) корни уравнения (6.81) отрица тельны ( vi 0, что означает устойчивость) тогда и только тогда, когда Ai 0. С помощью правила знаков Декарта дополнительно получаем, что если Ai 0, но Aa 0, то появляется один неустой чивый корень. Если vr = 0, то находим, что 2 vr = 3vi + 2Kvi + Aa.

Подставляя в (6.79), получаем уравнение (6.82) 8vi + 8Kvi + 2(K 2 + Aa )vi + (Aa Ai ) = 0.

2 Чтобы вещественные корни этого уравнения были отрицательны, необходимо и достаточно выполнение неравенства K 2 + Aa 0, которое заведомо выполнено, если Aa 0.

Упражнение 3.6. Найти условия существования веществен ных корней дисперсионного уравнения (число комплексных реше ний равняется трем).

Подчеркнем следующий основной результат проведенного ис следования: критическая длина волны ia определяется равен ством Ai = 0, т. е.

(6.83) is = 2cis 0.

От критической длины волны Джинса это выражение отличается заменой адиабатической скорости звука c = 1/2 cis на изотермиче скую скорость звука cis.

Теперь обсудим совместное влияние вязкости и теплопровод ности на гравитационную неустойчивость. Будем исходить из урав нений неразрывности (6.10), Навье–Стокса (6.70), теплопроводно сти (6.75) и Пуассона (6.12) и уравнения состояния идеального газа (6.76). Действуя, как выше, мы получим вместо (6.78) дисперсион ное уравнение Като и Кумара [125] (6.84) iv(v 2 A a + iN v) K(v 2 Ai + iN v) = 0, где по-прежнему v = k фазовая скорость волны, величины Aa, Ai определены выше, а N = (4/3)k. Легко видеть, что кри тическая длина волны опять равняется величине (6.83) с изотерми ческой скоростью звука.

В приложениях обе критические длины волны (6.22) и (6.83) можно считать совпадающими (показатель адиабаты 1 ), осо бенно, если вспомнить приближенный характер теории ( мошен ” ничество Джинса“). Однако с принципиальной точки зрения здесь возникает неясность, которую желательно устранить [26]. Любая среда обладает свойствами теплопроводности, поэтому, казалось бы, граница устойчивости всегда определяется изотермической“ ” критической длиной (6.83), которая всегда (при 1) больше адиабатической“. Приведенное выше исследование устойчивости ” гравиплазмы методом Ландау на основе бесстолкновительного ки нетического уравнения [137] также приводит к квадрату изотер мической скорости звука (дисперсии скоростей) в дисперсионном уравнении и, соответственно, к критической длине волны (6.83).

Однако И. Л. Генкин [26] заметил, что бесстолкновительное кине тическое уравнение непригодно для изучения процессов, характер ная частота которых 1, где время релаксации, т. е.

бесстолкновительный анализ здесь неприменим.

В. А. Антонов и С. Н. Нуритдинов [10] исследовали грави тационную неустойчивость на основе модельного столкновительно го кинетического уравнения. Они нашли, что критическая длина волны соответствует (6.83). Подобный же вывод получен в статье [159], авторы которой пользовались более грубой аппроксимацией для столкновительного члена (так называемым -приближением).

Оказалось, однако, что в пределе сильно столкновительных систем в первом приближении граница устойчивости определяется (6.22) ( = 5/3 ), и лишь во втором приближении смещается в область меньших длин волн до is [10]. Получим аналогичный результат, исходя лишь из дисперсионного уравнения (6.84) [69]. Исследуем случай слабой теплопроводности, т. е. малых значений параметра K в дисперсионном уравнении. Ищем решение (6.84) в следующем виде:

v = v0 + Kv1 + o(K).

Для v0 получаем уравнение (6.85) 3 v0 + N v0 Aa v0 = 0, а для v 2 (8v0 + iv0 N v0 + iAi ) + (2iv0 + Aa )v1 = 0, т. е.

(6.86) v1 = [(8 + i)v0 N v0 + iAi ].

2iv0 + Aa Из (6.85) находим три значения v0 :

1/ n N v0 = i + Aa v0 = 0,, 2 1/ n N v0 = i Aa.

2 Корни v0, v0 соответствуют случаю вязкой среды без учета тепло проводности, а при N = 0 идеальной жидкости (случай Джинса).

Выше мы нашли для вязкой среды, что если Aa 0, то возмуще ния устойчивы, если же Aa 0, то одному из корней ( а именно, v0 ) соответствуют неустойчивые решения. Учет теплопроводности (т. е. вычисление по (6.86) соответствующих v1, v1 ) мало влияет на эти корни.

В [48] отмечается, что решение v0 = 0 соответствует энтропий ным возмущениям. При учете теплопроводности из (6.86) находим (6.87) v1 = iAi Aa, т. е. характер этого решения определяется знаком отношения Ai /Aa. Если Ai 0, Aa 0 (т. е. длина волны возмущений пре вышает джинсовское критическое значение), то v1 мнимое, отри цательное, соответствует устойчивым решениям. Если Ai 0, а Aa 0, т. е. (is, ), то v1 мнимое, положительное, что соответствует медленно нарастающей неустойчивости (инкремент пропорционален малому параметру K ). Если же Ai 0, Aa 0, т. е. is, то опять получается устойчивое решение. Итак, фор мально граница устойчивости действительно определяется изотер мической скоростью звука. Однако при слабой теплопроводности соответствующее неустойчивое решение нарастает медленно (а ко гда длина волны возмущения превысит, то становится устойчи вым). Лишь при оказываются возможными быстро нарас тающие гравитационно неустойчивые решения. Отметим, вслед за В. А. Антоновым и С. Н. Нуритдиновым [10], что неустойчивость при (is, ) по существу является тепловой, а не гравитаци онной.

Аналогичная проблема существует и в плазме [108, 161]. В частности, дисперсионное уравнение Джинса (с = 5/3 ) соответ ствует уравнению Гросса, а уравнение с изотермической скоростью звука уравнению Томсонов (Дж. Дж. отца и Дж. П. сына).

В статье Н. ван Кампена [161] и лекциях С. Чандрасекара по ди намике плазмы [108] эти соотношения анализируются с помощью уравнений для моментов функции распределения, полученных из бесстолкновительного кинетического уравнения. Был сделан вы вод, что уравнение Гросса соответствует локально максвелловскому распределению скоростей. В этом случае моменты третьего порядка распределения остаточных (т. е. тепловых в случае плазмы) скоро стей частиц, характеризующие асимметрию их распределения, как известно, обращаются в нуль (например, [67]). Но с кинетической точки зрения появление таких тепловых потоков связано с отли чием от нуля этих моментов. Поэтому уравнение Гросса соответ ствует пренебрежению теплопроводностью. Естественно, поэтому, что оно соответствует уравнению Джинса. В отношении же урав нения Томсонов в [108, 161] утверждается, что в общем случае оно неверно, соответствуя только изотермическим возмущениям: ана лог этого уравнения получается, если в уравнение Эйлера подста вить уравнение состояния Клапейрона (6.76), считая T = const. Но в свете изложенного выше кажется, что эти утверждения следует пересмотреть [69].

• К о л е б а н и я в м н о г о к о м п о н е н т н о й г р а в и тирующей среде Кратко рассмотрим гравитационную неустойчивость в много компонентной среде. По-видимому, первые исследования этой за дачи этой задачи появились только в 1980-е гг. в статьях [31, 79], которым будем следовать. Укажем также на более позднюю ста тью [103]. Значительно раньше М. Н. Максумов [58] нашел кри тическую длину волны в системе из звезд и газа в присутствии магнитного поля (которое, как оказалось не влияет на ее вели чину), а Ю. А. Щекинов [97] исследовал гравитационную устой чивость двухкомпонентной звездно-газовой системы на космологи ческом фоне. Ограничимся простейшим случаем наличия в среде двух покоящихся компонент. Плотность i -ой компоненты обозна чим i, скорость vi, скорость звука ci. Динамика каждой компоненты определяется уравнениями неразрывности (6.10) и Эй лера (6.11), к которым надо добавить уравнение Пуассона = 4G( + 2 ), посредством которого учитывается взаимовлияние компонент.

Оставаясь в рамках предположений I, II, III теории Джинса, по лучаем два уравнения s1tt c2 s1 1 s1 2 s2 = 0, 2 s2tt c2 s2 1 s1 2 s2 = 0, 2 где i = 4G i. Будем искать решение в виде нормальных мод si exp i(kr t).

Нетрудно найти дисперсионное уравнение в виде следующего соот ношения:

2 1 (6.88) 2 + 2 k 2 c2 = 1.

2 k 2 c1 Чтобы проанализировать это уравнение, обозначим левую часть (6.88) через f ( 2 ) и попытаемся представить ход этой функции при 2 (, +). Для определенности будем считать, что c2 c2. 1 Очевидно, что график f ( 2 ) состоит из трех ветвей левой, когда 2 (, k 2 c2 ), промежуточной, с 2 (k 2 c2, k 2 c2 ), и правой, 2 2 2 (k 2 c2, +). Правая ветвь положительна. На промежуточной ветви функция f ( 2 ) монотонно убывает от + до. Следова тельно, уравнение (6.88) имеет корень 2 0, которому отвечают устойчивые колебания. На левой ветви функция f ( 2 ) монотонно убывает от нуля до. Поэтому существует корень уравнения (6.88), которому может соответствовать апериодическая неустой чивость.

Основной вопрос, встающий в данной задаче, состоит в опре делении длины волны неустойчивой моды и сравнении ее с крити ческими длинами волн каждой из компонент. Решение дисперсион ного уравнения (6.88) имеет вид 1 1/ (6.89) 2 = A + B ± (A B )2 + 41 2 2 2 2, где A = 1 k 2 c2, 2 B = 1 k 2 c2.

2 1 Обозначим ki = i ci. Рассмотрим следующие четыре случая.

1. k k1, k k2 (очень мелкомасштабные возмущения). В этом случае из (6.89) следует, что существуют две ветви колебаний, каждая из которых определяется параметрами соответствующей компоненты. Корни (6.89) приближенно равны k 2 c2 и k 2 c2 (т. е.

1 система устойчива).

2. k1 k2 (плотности обеих подсистем могут быть срав k нимы по величине, но вторая подсистема горячая“). В этом случае ” 2 = k2 c 2 k 2 c2 k 2 c2 k1 c2 = 1, 2 2 2 1 A k 2 c2, 2 2 B 2.

Из (6.89) получаем, что один из корней дисперсионного уравне ния приближенно равен (2 ), а второй (k 2 c2 ). Первому кор ню соответствует гравитационная неустойчивость первой ( холод ” ной“) компоненты, а второму устойчивые асинфазные колебания в двухкомпонентной среде.

3. k2 k1. Это означает, что плотность первой (более k холодной“) подсистемы много больше, чем плотность второй под ” системы. Тогда B k 2 c2, A 1, и из (6.89) находим, что кор 2 2 ни дисперсионного уравнения приближенно равны (1 ) и (k 2 c2 ).

Первому корню отвечает апериодическая неустойчивость с таким же инкрементом, как у первой ( холодной“) компоненты, а второ ” му асинфазные колебания.

4. k k1, k k2 (длинноволновые возмущения). Легко со образить, что в этом случае один из корней дисперсионного урав нения (6.88) приближенно равен (1 + 2 ) и соответствует, как 2 и следовало ожидать, обычной гравитационной неустойчивости.

Второй, устойчивый корень (6.88) приближенно выражается как 1 + 2.

k 2 c2 1 + k 2 c2 2 2 2 2 Для n-компонентной системы рассуждения проводятся ана логично. Резюмируя их, можно сделать следующие выводы: а) в случае возмущений с длиной волны меньше наименьшей из кри тических длин волн компонентов существует n различных ветвей колебаний, каждое из которых определяется в основном парамет рами соответствующей подсистемы;

б) в случае возмущений с дли ной волны больше критических длин волн m компонент система неустойчива, причем квадрат собственной частоты приближенно равен сумме квадратов частот m компонентов, взятой со знаком минус, m 2 i.

i= ЗАДАЧИ 6.3.

3.1. (Г. Г. Кузмин, О. В. Чу- диска?

мак [47, 48]). Рассмотреть гравитаци- 3.4. Обобщить дисперсионное уравне онную устойчивость дифференциаль- ние (6.88) для n -компонентной среды.

но вращающегося газового диска. Доказать, что в этом случае возможна 3.2. (В. А. Антонов и др. [11]). Рас- только одна неустойчивая мода.

смотрим звезды, движущиеся по пря- 3.5. (В.Л.Поляченко, А.М.Фридман молинейным орбитам в модели сво- [79]). Исследовать устойчивость двух бодно сжимающегося однородного ша- компонентной гравитирующей систе ра конечного радиуса (параболическое мы в случае, когда компоненты взаим решение). Найти условия, при кото- но перемещаются. Показать, что если рых звезда достигает поверхности ша- скорость перемещения велика (боль ра и вылетает за его пределы. ше наибольшей из двух скоростей зву 3.3. (Г. Г. Кузмин, О. В. Чумак [48]). ка), то возможна новая неустойчи Какое влияние оказывает вязкость на вая ветвь (соответствующая так назы гравитационную устойчивость диффе- ваемой пучковой неустойчивости для ренциально вращающегося газового плазмы).

Выше мы ограничились, главным образом, джинсовской гра витационной неустойчивостью, причем чаще всего рассмотрение было гидродинамическим и использовало мошенничество Джин ” са“. Строгий анализ точных равновесных моделей бесстолкнови тельных звездных систем, восходящий к классическим работам В. А. Антонова [5, 6] должен явиться темой отдельного рассмот рения.

ЛИТЕРАТУРА ГЛАВЫ 1. Александров А. Ф., Рухадзе А. А. К истории основополагаю щих работ по кинетической теории плазмы // Физика плазмы.

1997. Т. 23, № 5. С. 474–480.

2. Андреев А. В. Физики не шутят. Страницы социальной исто рии Научно-исследовательского института физики при МГУ (1922–1954). М.: Прогресс-Традиция. 2000. 320 с.

3. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний.

Изд. 2. М.: Физматгиз. 1958. 916 с.

4. Андронов А., Понтрягин Л. Грубые системы // Доклады АН СССР. 1937. Т. 14, № 5. С. 247–250.

5. Антонов В. А. Замечания к проблеме устойчивости в звездной динамике // Астрон. ж. 1960. Т. 37, № 2. C. 918–926.

6. Антонов В. А. Решение задачи об устойчивости звездной си стемы с законом плотности Эмдена и сферическим распреде лением скоростей // Вестн. Ленинградск. ун-та. 1962. № 19.

С. 96–111.

7. Антонов В. А. О неустойчивости фигур равновесия из нескольких совместно вращающихся изолированных частей // Вестн. Ленинградск. ун-та. 1973. № 1. С. 127–130.

8. Антонов В. А. Фигуры равновесия // Равновесие и устой чивость гравитирующих систем (Итоги науки и техники. Сер.

Астрономия. Т. 10) / Ред. И. С. Щербина-Самойлова. М.: изд.

ВИНИТИ. 1975. С.7–60.

9. Антонов В. А., Баранов А. С. О гравитационной неустойчи вости при наличии отражающей границы // Письма в Астрон.

ж. 1987. Т. 13, № 6. С. 535–538.

10. Антонов В. А., Нуритдинов С. Н. О роли иррегулярных сил в слабонестационарных самогравитирующих системах // Аст рофизика. 1974. Т. 10, № 4. С. 611–624.

11. Антонов В. А., Осипков Л. П., Чернин А. Д. О движени ях звезд в нестационарном гравитационном поле фор мирующейся галактики // Астрофизика. 1975. Т. 11, № 2.

С. 335–345.

12. Аппелль П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. Л.;

М.: ОНТИ. 1936. 376 c.

13. Арнольд В. И. Теория катастроф. Изд. 3. М.: Наука. 1990.

128 c.

14. Баранов А. С. Влияние вязкой диссипации на устойчивость и колебания эллипсоидов вращения. Общий подход // Астрон.

ж. 1992. Т. 69, № 5. С. 978–985.

15. Бел Н., Шацман Э. Гравитационная неустойчивость неодно родно вращающейся среды // Космическая газодинамика / Ред. С. Б. Пикельнер. М.: ИЛ. 1960. С. 176–178.

16. Белимова Е.В., Трубачев О. О. Два типа решения кинетиче ского уравнения А. А. Власова. Исторический анализ // Физ.

мысль России. 1994. № 1. С. 61–64.

17. Вавилов С. И. Исаак Ньютон. Изд. 2. М.;

Л.: Изд-во АН ССР.

1945. 232 с.

18. Витязев А. В., Печерникова Г. В., Сафронов В. С. Планеты земной группы. Происхождение и ранняя эволюция. М.: Нау ка. 1990. 296 с.

19. Власов А. А. О вибрационных свойствах электронного газа // Журн. экспер. теорет. физ. 1938. Т. 8, № 3. С. 291–318.

20. Власов А. А. Теория многих частиц. М.;

Л.: Гостехиздат. 1950.

348 с.

21. Гекман О., Шюкинг Е. Ньютонианская и эйнштейнианская космология // Строение звездных систем. М.: ИЛ. 1962.

С. 600–633.

22. Генкин И. Л. О гравитационной неустойчивости во вращаю щихся системах // Астрон. ж. 1968. Т. 45, № 6. C. 1270–1274.

23. Генкин И. Л. Работы по звездной динамике // Труды Астро физ. ин-та АН КазССР. 1969. Т. 12. С. 34–74.

24. Генкин И. Л. К постановке задачи о гравитационной неустой чивости // Труды Астрофиз. ин-та АН КазССР. 1971. Т. 17.

С. 82–85.

25. Генкин И. Л. Устойчивость цилиндрических и плоскопарал лельных конфигураций // Динамика галактик и звездных скоплений / Ред. Т. Б. Омаров. Алма-Ата: Наука. 1973. С. 151– 154.

26. Генкин И. Л. Дискуссия об устойчивости // Динамика галак тик и звездных скоплений / Ред. Т. Б. Омаров. Алма-Ата: На ука. 1973. С. 199–208.

27. Генкин И. Л., Сафронов В. С. Неустойчивость вращающихся гравитирующих систем с радиальными возмущениями // Аст рон. ж. 1975. Т. 52, № 2. С. 306–315.

28. Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д., Леонтович М. А., Фок В. А. О несостоятельности работ А. А. Власова по обобщенной тео рии плазмы и твердого тела // Журн. экспер. теорет. физ.

1946. Т. 16, № 3. С. 246 252.

29. Горобец Б. С. Круг Ландау. Физика войны и мира. М.: ЛИБ РОКОМ. 2008. 272 с.

30. Горькавый Н. Н., Фридман А. М. Физика планетных колец. Не бесная механика сплошной среды. М.: Наука. 1994. 348 с.

(Приложение III).

31. Грищук Л. П., Зельдович Я. Б. Гравитационная неустойчи вость в многокомпонентной среде // Астрон. ж. 1981. Т. 58, № 3. C. 472–481.

32. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динами ческие системы и бифуркации векторных полей. Москва;

Иж евск: Ин-т компьютерн. иссл. 2002. 560 с.

33. Гуревич Л. Э., Чернин А. Д. Происхождение галактик и звезд.

М.: Наука. 1983. 192 c.

34. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчи вости. М.: Наука. 1967. 472 с.

35. Демин B. Г. Судьба Солнечной системы. Популярные очерки по небесной механике. Изд. 2. М.: Наука. 1975. 264 с.

36. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир.

1981. 670 с.

37. Загребин Д. В. О происхождении Земли, Луны и Марса // Проблемы происхождения тел Солнечной системы (сер.

Проблемы исследования Вселенной. Вып. 5) / Ред.

В. К. Абалакин. М.;

Л.: изд. ВАГО, ГАО, ИТА АН СССР.

1975. С. 257–264.

38. Зельдович Я. Б. Образование звезд и галактик в расширяю щейся Вселенной // Вопросы космогонии. 1963. Т. 9. С.240– 253.

39. Зельдович Я. Б. Распад однородного вещества на части под действием тяготения // Астрофизика. 1970. Т. 6, № 2. С. 319– 315.

40. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселен ной. М.: Наука. 1975. 736 с.

41. Зельманов А. Л. К релятивистской теории анизотропной неод нородной Вселенной // Труды шестого совещания по вопро сам космогонии / Ред. Д. А. Франк-Каменецкий. М.: изд. АН СССР. 1959. С. 144–173.

42. Зубов В. И. Теория колебаний. М.: Высшая школа. 1979.

400 с.

43. Зубов В. И. Колебания и волны. Л.: изд. ЛГУ. 1989. 416 с.

44. Ишимару С. Основные принципы физики плазмы. М.: Атом издат. 1975. 288 c.

45. Климонтович Ю. Л. О необходимости и возможности едино го описания кинетических и гидродинамических явлений // Теорет. матем. физ. 1992. Т. 92, № 2. С. 312–330.

46. Кондратьев Б. П. Динамика эллипсоидальных гравитирую щих фигур. М.: Наука. 1989. 272 с.

47. Кузмин Г. Г., Чумак О. В. О волнах плотности в газовом диске // Динамика галактик и звездных скоплений / Ред. Т. Б. Ома ров. Алма-Ата: Наука. 1973. С. 161–167.

48. Кузмин Г. Г., Чумак О. В. О неустойчивостях, связанных с неоднородностью вращения галактик // Труды Астрофиз. ин та АН КазССР. 1976. Т. 28. C.70–80.

49. Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. М.: Мир.

1975. 528 с.

50. Ландау Л. Д. О колебаниях электронной плазмы // Журн.

экспер. теорет. физ. 1946. Т. 16, № 7. С. 574–586.

51. Лебединский А. И. Гипотеза об образовании звезд // Доклады АН СССР. 1951. Т. 79, № 1. С. 41–44.

52. Лебединский А. И. Гипотеза об образовании звезд // Вопросы космогонии. 1954. Т. 2. C. 5–149.

53. Линдблад Б. Динамика Галактики // Строение звездных си стем. М.: ИЛ. 1962. С. 39–132.

54. Лифшиц Е. М. О гравитационной устойчивости расширяюще гося мира // Журн. экспер. теорет. физ. 1946. Т. 16, № 7.

С. 587–602.

55. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Физическая кинетика.

(Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. X.) М.: Наука. 1979. 528 с.

56. Литтлтон Р. А. Теоретические основы гипотезы происхож дения двойных звезд путем деления // Вопросы космогонии.

1960. Т. 7. С. 315–323.

57. Литтлтон Р. А. Устойчивость вращающихся масс жидкости.

Ижевск: Рег. и хаот. динамика. 2001. 240 с.

58. Максумов М. Н. Критическая длина волны в системе бес столкновительных газа частиц и сплошной среды в присут ствии однородного магнитного поля // Докл. АН ТаджССР.

1966. Т. 9 № 3. C. 17–20.

59. Максумов М. Н., Марочник Л. С. Критическая длина волны в бесстолкновительных гравитирующих системах // Докл. АН СССР. 1965. Т. 164, № 5. C. 1019–1021.


60. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. Изд. 2. М.: На ука. 1966. 532 с.

61. Мандельштам Л. И. Лекции по колебаниям. М.: Изд-во АН СССР. 1955. 504 с.

62. Марданов А. Оценка величины угловой скорости некоторых фигур равновесия вращающейся жидкости. I // Вестн. Ле нинградск. ун-та. 1977. № 19. C. 121–127.

63. Мишуров Ю. Н., Пефтиев В. М., Сучков А. А. Неустойчивость гравитирующих вращающихся вязких газовых систем и про исхождение кольцевой структуры в галактиках // Астрон. ж.

1976. Т. 53, № 2. С. 268–273.

64. Моисеев Н. Д. Очерки развития теории устойчивости. М.;

Л.:

Гостехиздат. 1949. 664 с.

65. Нуритдинов С. Н. Ротационно симметричные колебания гра витирующего эллипсоида вращения при наличии короны // Астрон. ж. 1978. Т. 55, № 1. С. 37–40.

66. Нуритдинов С. Н. О нелинейной неустойчивости звездного диска Маклорена при наличии обширного гало // Астрон. ж.

1981. Т. 58, № 3. С. 524–527.

67. Огородников К. Ф. Динамика звездных систем. М.: Физмат гиз. 1958. 628 с.

68. Огородников К. Ф. Некоторые узловые нерешенные проблемы динамики галактик // Бюлл. Абастуманск. астрофиз. обсерв.

1962. № 27. С. 72–79.

69. Осипков Л. П. Влияние вязкости и теплопроводности на гра витационную неустойчивость // Астрономо–геодезические ис следования. Движение естественных и искусственных небес ных тел / Ред. А. Е. Василевский. Екатеринбург: изд.

Уральск. гос ун-та. 1992. С. 6–16.

70. Осипков Л. П. Верхний предел для углового момента галак тик. I // Астрофизика. 1999. Т. 42, № 4. С. 597–608.

71. Осипков Л. П. Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах звездной динамики // Математические методы ис следования космических систем / Ред. В. Н. Старков. СПб.:

КМУ физ. ф-та СПбГУ. 2003. С. 73–131.

72. Паренаго П. П. Курс звездной астрономии. Изд. 2. М.;

Л.:

1946. 440 с.

73. Пахольчик А. Ж. Проблемы гравитационной неустойчивости сжимаемой среды // Астрон. ж. 1962. Т. 39, № 6. С. 953–960.

74. Паша И. И. Судьба галактических теорий Джеймса Джинса и Бертила Линдблада // Историко-астрономические исследова ния. 2000. Вып. 25. C. 91–116.

75. Паша И. И. Теории спиральной структуры галактик в 1960е годы. I // Историко-астрономические исследования. 2002.

Вып. 27. C. 102–156.

76. Петровская И. В. Иррегулярные силы в звездных системах // Итоги науки. Астрономия. 1966. Кинематика и динамика звездных систем / Ред. К. Ф. Огородников, Т. А. Агекян. М.:

ВИНИТИ. 1968. С. 132–165.

77. Питьев Н. П., Титов В. Б., Холшевников К. В. Фигуры равно весия небесных тел. СПб.: изд. СПбГУ. 2002. 108 с.

78. Поляченко В. Л., Фридман А. М. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем. М.: Наука. 1976. 448 с.

79. Поляченко В. Л., Фридман А. М. Колебания и неустойчивость многокомпонентной гравитирующей среды // Журн. экспер.

теорет. физ. 1981. Т. 81, № 1. C.13–21.

80. Рейн Н. Ф. Методический анализ космогонической теории Дж. Джинса // Труды Гос. астрон. ин-та им. Штернберга.

1936. Т. 7, вып. 2. С. 5–70.

81. Саслау У. Гравитационная физика звездных и галактических систем. М.: Мир. 1989. 544 с.

82. Сафронов В. С. О гравитационной неустойчивости в плоских вращающихся системах с осевой симметрией // Доклады АН СССР. 1960. Т. 30. № 1. C. 53–56.

83. Сафронов В. С. Эволюция допланетного облака и образование Земли и планет. М.: Наука. 1969. 244 с.

84. Северный А. Б. О теории гравитационной неустойчивости // Труды Гос. астрон. ин-та им. Штернберга. 1940. Т. 13, вып. 2.

С. 54–112.

85. Стрэтт Дж. В. (лорд Рэлей) Теория звука. Т. I. М.;

Л.: Гос техиздат. 1940. 500 с. Т. II. М.;

Л.: Гостехиздат. 1944. 476 с.

86. Субботин М. Ф. Курс небесной механики. Т. III. Л.;

М.: Гос техиздат. 1949. 280 с.

87. Сурдин В. Г. Рождение звезд. Изд. 3. М.: УРСС. 2001. 264 с.

88. Тассуль Ж.–Л. Теория вращающихся звезд. М.: Мир. 1982.

472 с.

89. Ташпулатов Н. Приливной эффект и возможность образова ния перемычек и хвостов у галактик. I. О возможности образования прямолинейных мостов между галактиками вследствие приливного эффекта // Астрон. ж. 1969. Т. 46, № 6. С. 1236–1246.

90. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. М.:

Наука. 1967. 524 с.

91. Цейтлин З. А. Наука и гипотеза. М.;

Л.: Госиздат. 1926. 218 с.

92. Чадеж В. О применъивости Цинсового критенjука // Publ. de l’Observ. Аstron. Belgrade. 1995. No 48. P. 191–202.

93. Чандрасекар С. Принципы звездной динамики. М.: ИЛ. 1948.

263 c.

94. Чандрасекар С. Введение в учение о строении звезд. М.: ИЛ.

1950. 476 с.

95. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М.:

Мир. 1973. 288 p.

96. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Изд. 3. М.: Наука. 1965.

208 с.

97. Щекинов Ю. А. О гравитационной устойчивости двухкомпо нентной системы на расширяющемся фоне // Динамика га лактик и звездных скоплений / Ред. Т. Б. Омаров. Алма-Ата:

Наука. 1973. С. 193–199.

98. Эйгенсон М. С. Внегалактическая астрономия. Введение в изучение галактик. М.: Физматгиз. 1960. 416 c.

99. Antonov V. A., Kondratyev B. K. On the oscillations and the sta bility of a uniformly rotating gaseous gravitating disc, including viscosity and heat exchange // Monthly Notices Roy. Astron. Soc.

1999. V. 324, No 4. P. 759–766.

100. Bertin G. Dynamics of Galaxies. Cambridge;

New York;

Mel bourne: Cambridge Univers. Press. 2000. xv+414 p.

101. Binney J., Tremaine S. Galactic Dynamics. 3rd printing. Prince ton: Princeton Univers. Press. 1994. xvi+734 p.

102. Bonnor W. B. Jeans’ formula for gravitational instability // Mon thly Notices Roy. Astron. Soc. 1957. V. 117, No 1. P. 104–116.

103. Bora M. P., Talwar S. P. Gravitational instability of a composite system // Astrophys. Space Sci. 1991. V. 184, No 1. P. 193–203.

104. Brown W., Hepp K. The Vlasov dynamics and its uctuations in the 1/N limit of intracting classical particles // Comm. Math.

Phys. 1977. V. 56, No 2. P. 101–113.

105. Chandrasekhar S. On a generalization of Lindblad’s theory of star streaming // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 1938. V. 98, No 9.

P. 710–726.

106. Chandrasekhar S. The gravitational instability of an innite ho mogeneous medium when Coriolis force is acting and a magnetic eld is present // Astrophys. J. 1954. V. 119, No 1. P. 7–9.

107. Chandrasekhar S. The gravitational instability of an innite ho mogeneous medium when a Coriolis force is acting // Vistas in Astronomy. 1955. V. 1. P. 344–347.

108. Chandrasekhar S. Plasma Physics. Chicago: Chicago Univ. Press.


1960. 218 p.

109. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability.

Oxford: Clarendon Press. 1961. xx+655 p.

110. Coutrez R. Contribution a l’tude de la dynamique des syst` e e mes stellaires // Ann. Observ. Roy. Belgique. 1949. T. IV, f. 3.

P. 1–88.

111. Du Jiulin. Jeans’ criterion and non-extensive velocity distribution // Physics Letters. 2004. V. A320. P. 341–351.

112. Eddington A. S. The Internal Constitution of the Stars. Cam bridge: At the Univers. Press. 1926. vi+408 p.

113. Fridman A. M., Polyachenko V. L. Physics of Gravitating Sys tems. V. 1. Equilibrium and Stability. 1984. N. Y. et al.: Springer.

468 p.

114. Goldreich P., Lynden-Bell D. I. Gravitational stability of uni formly rotating discs // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 1965.

V. 130, No 2. P. 97–124.

115. Grad H. Levels of description in Statistical Mechanics and Ther modynamics // Studies in Foundations, Methodology and Philo sophy of Science. Vol. 1 / Ed. M. Bunge. 1967. Berlin;

Heidelberg;

New York: Springer Verlag. P.49–76.

116. Hnon M. Vlasov equation? // Astron. Astrophys. 1982. V. 114, e No 1. P. 211–212.

117. Hoyle F. On the fragmentation of gas clouds into galaxies and stars // Astrophys. J. 1953. V. 133. P. 513–528.

118. Hunter C. The instability of the collapse of a self-gravitating gas cloud // Astrophys. J. 1962. V. 136, No 2. P. 594–608.

119. Hunter C. Fragmentation // Relativity Theory and Astrophysics, 2. Galactic Structure (Lectures in Applied Mathematics, V. 9) / Ed. J. Ehlers. 1967. Providence (Rhode Island): Amer.Math. Soc.

P. 169–194.

120. Jardetzky W. S. Theories of Figures of Celestial Bodies. 1958.

New York;

London: Interscience Publ. xi+188 p.

121. Jeans J. H. The stability of spherical nebula // Philos. Тransact.

1902. V. 199, No 1. P. 1–53.

122. Jeans J. H. On the theory of star-streaming and the structure of of the Universe // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 1915. V. 76, No 2. P. 70–84.

123. Jeans J. H. Problems of Astronomy and Stellar Dynamics. 1919.

Cambridge: At the Univers. Press. viii+293 p.

124. Jeans J. H. Astronomy and Cosmogony. 3rd ed. 1961. N. Y.: Dover Publ. xv+428 p.

125. Kato S., Kumar S. S. On gravitational instability. I // Publ. As tron. Soc. Japan. 1960. V. 12, No 2. P. 290–292.

126. Klimontovich Yu. L. From the Hamiltonian mechanics to a conti nuous media. Dissipative structures. Criteria of self-organization // Теорет. матем. физ. 1993. Т. 96, № 3. C. 385–416.

127. Kondratyev B. P. Some principal questions of the theory of equi librium gures // Кинематика и физика небесных тел. Прило жение. 1999. No 2. С. 16–21.

128. Kumar S. S. On gravitational instability. II // Publ. Astron. Soc.

Japan. 1960. V. 12, No 4. P. 552–555.

129. Kumar S. S. On gravitational instability. III // Publ. Astron. Soc.

Japan. 1961. V. 13, No 1. P. 121–124.

130. Kurth R. Stellar orbits in globular clusters // Astron. Nachr. 1955.

Bd. 282, H. 6. S. 241–246.

131. Lamb Н. Hydrodynamics. 4th ed. 1916. Cambridge: At the Univers. Press. xvi+708 p.

132. Lindblad B. Cosmogonic consequences of a theory of the stellar system // Arkiv Matem. Astron. och Fys. 1926. Bd. 19A, N:o 35.

S. 1–16.

133. Lindblad B. On the cause of the ellipsoidal distribution of stellar velocities // Arkiv Matem. Astron. och Fys. 1927. Bd. 20A, N:o 17. S. 1–7.

134. Lindblad B. On the evolution of a rotating system of material particles with applications to Saturn’s rings, the planetary system and the Galaxy // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 1934. V. 94, No 3. P. 231–240.

135. Lindblad B. On the constitution and development of rotating stellar systems // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 1934. V. 95, No 1. P. 12–24.

136. Littleton R. A. On the origin of the Solar System // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 1941. V. 101, No 4. P. 216–226.

137. Lynden-Bell D. The stability and vibrations of a gas of stars // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 1962. V. 124, No 4. P. 279–296.

138. Lynden-Bell D. Encounterless stability of stellar systems // The Theory of Orbits in the Solar System and in Stellar Systems (IAU Symposium No 25) / Ed. G. Contopoulos. London;

New York:

Academic Press. 1966. P. 78–89.

139. Lynden-Bell D. Cooperative phenomena in Stellar Dynamics // Relative Theory and Astrophysics. V. 2. Galactic Structure (Lec tures in Applied Mathematics. V. 9) / Ed. J. Ehlers. Providence (Rhod Island): Amer. Math. Soc. 1967. P. 131–168.

140. Lynden-Bell D. Topics in the dynamics of stellar systems // Dynamical stucture and evolution of stellar systems (Third Ad vanced Course of the Swiss Society of Astronomy and Astro physics) / Ed. L. Martinet, M. Mayor. Saas-Fee: Geneva Ob servatory. 1973. P. 91–182.

141. Lynden-Bell D., Pringle J. E. The evolution of viscous discs and the origin of the nebular variables // Monthly Notices Roy.

Astron. Soc. 1974. V. 168, No 3. P. 603–637.

142. Lynden-Bell D., Sannitt D. The Schrdinger operator criterion for o the stability of galaxies and gas spheres // Monthly Notices Roy.

Astron. Soc. 1969. V. 143, No 2. P. 167–187.

143. Mehta V., Bhatia R. Gravitational instability of a rotating viscous thermally conducted plasma //Contribution to Plasma Physics.

1989. V. 29, No 6. P. 617–626.

144. Milne E. A. A Newtonian expanding universe // Quart. J. Math., Oxford Ser. 1934. V. 5, No 1. P. 64–72.

145. Nahon F. Sur l’instabilit gravitationnele // C. r. Acad. Sci. Paris.

e 1970. T. 271. P. A203–A205.

146. Ogorodnikov K. F. Acicular galaxies // Modern Astrophysics. Pa ris: Gauthier Villars. 1967. P. 329–336.

147. Pacholczyk A., Stodokiewicz J. S. On the gravitational instability of some magnetohydrodynamical systems of astrophysical interest [I] // Acta Astronomica. 1960. V. 10, No 1. P. 1–29.

148. Palmer P. L. Stability of Collisionless Stellar Systems. Mecha nisms for the Dynamical Structure of Galaxies. Dordrecht;

Boston;

London: Kluwer Acad. Publ. 1994. x+349 p.

149. Press W. H., Teukolsky S. A. On the evolution of the secularily unstable viscous Maclaurin spheroids // Astrophys. J. 1973.

V. 181. P. 513–517.

150. Safronov V. S. On the gravitational instability in attened sy stems with axial symmetry and non-uniform rotation // Ann.

d’Astrophys. 1960. T. 23, No 6. P. 979–982.

151. Simon A. Linear oscillation of a collisionless plasma // Plasma Physics. 1965. Vienna: Intern. Atomic Energy Agency. P. 61–100.

152. Simon R. Sur l’instabilit gravitationnele de Jeans. [1] // Bull.

e de l’Acad. royale de Belgique (Classe des Sciences). 1962. T. 48, No 10. P. 1102–1114.

153. Simon R. Gravitational instability in a gaseous medium in non uniform rotation // Ann. d’Astrophys. 1962. T. 25, n 0 6. P. 405– 409.

154. Simon R. On Jeans’ gravitational instability // Ann. d’Astrophys.

1962. T. 26, n 0 5. P. 456–462.

155. Simon R. Gravitational instability in a plane gaseous medium in non-uniform rotation // Ann. d’Astrophys. 1965. T. 25, n 0 4.

P. 625–631.

156. Spitzer L., Schwarzschild M. The possible inuence of interstellar clouds on stellar velocities // Astrophys. J. 1951. V. 114, No 3.

P. 385–397.

157. Sweet P. A. Cooperative phenomena in stellar dynamics // Mon thly Notices Roy. Astron. Soc. 1962. V. 125, No 4. P. 285–306.

158. Toomre A., Toomre J. Galactic bulges and tails // Astrophys. J.

1972. V. 178, No. 3. P. 623–666.

159. Trigger S., Ershkovich A., van Heijst G. J., Schramm P. P. Kinetic theory of Jeans instability // Phys. Rev. 2004. V. E69. P. 066403 1–066403-6.

160. Tsallis C. Possible generalization of Boltzmann–Gibbs statistics // J. Stat. Phys. 1988. V. 52, Nos 1/2. P. 479–487.

161. van Kampen N. G. Dispersion equation for plasma waves // Phy sica. 1957. Deel 23, No 6. B. 555–568.

162. Weinberg M. D. Fluctuations in nite–N equilibrium stellar sys tems // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 1998. V. 297, No 1.

P. 101–107.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. Глава 1. Завоевание мирового пространства........... 1. 1. Фантазия как средство выхода“ в космос.............. ” 1. 2. Пушечная космонавтика............................... 1. 3. Только на ракете можно долететь..................... 1. 4. О некоторых проблемах полетов через атмосферу...... Литература главы 1...................................... Глава 2. Некоторые вопросы динамики тел перемен ной массы...................................... 2. 1. Тела переменной массы............................... 2. 2. Наследие К. Э. Циолковского.......................... 2. 3. Уравнение Циолковского.............................. 2. 4. Задача Циолковского.................................. 2. 5. Уравнение Мещерского................................ 2. 6. Расчет многоступенчатых ракет....................... 2. 7. Оптимальное отношение масс.......................... 2. 8. Замечание об обратной задаче......................... 2. 9. Орбитальное движение в центральном поле под действи ем непрерывной тяги.................................. Литература главы 2...................................... Глава 3. Проекты индустриализации космоса......... 3. 1. Альтернативы ракете................................. 3. 2. Лифт к звездам....................................... 3. 3. Динамика космических тросовых систем............... 3. 4. Что могут тросовые системы в космосе?............... 3. 5. Об использовании точек либрации..................... 3. 6. Другие проекты по использованию тросовых систем.... 3. 7. Равновесие нити в поле тяжести. Цепная линия........ 3. 8. Выбор механической модели и вывод уравнений движе ния тросовой системы.................................. 3. 9. Уравнения движения нити (троса)..................... 3.10. Уравнения движения концевых тел.................... 3.11. Упрощенные модели.................................. 3.12. Сравнительная оценка действия на трос различных воз мущающих сил........................................ 3.13. Модель невесомого троса.............................. 3.14. Демпфирование колебаний тросовой системы (ТС)..... 3.15. Возможные темы курсовых работ или докладов........ Литература главы 3...................................... Глава 4. Моделирование обстоятельств наблюдения ИСЗ............................................ 4. 1. Зона видимости Спутника............................. 4. 2. Полоса видимости Спутника........................... 4. 3. Видимая траектория Спутника........................ 4. 4. Видимая угловая скорость Спутника................... 4. 5. Заключение........................................... Литература главы 4...................................... Глава 5. Современные проблемы моделирования звез дных систем.................................... 5. 1. Морфологическая классификация галактик............ 5. 2. Основные физические характеристики................. 5. 3. Проблема скрытой массы.............................. 5. 4. Гравитационные линзы................................ Литература главы 5...................................... Глава 6. Начала теории устойчивости гравиплазмы... 6. 1. Исходные понятия.................................... Задачи 6.1................................................ 6. 2. Джинсовская гравитационная неустойчивость.......... Задачи 6.2................................................ 6. 3. Некоторые специальные вопросы...................... Задачи 6.3................................................ Литература главы 6......................................

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.