авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Содержание

XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН

Нелинейная акустика

УДК 534.222.2

Воронин А.В., Воронин В.А.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИЕМНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ АНТЕННЫ В ДИСПЕРСИОННЫХ СРЕДАХ Технологический институт Южного федерального университета в г. Таганроге Факультет электроники и приборостроения кафедра ЭГА и МТ Ростовская обл., г. Таганрог, пер. Некрасовский - 44, корпус «Е»

Тел. 8(8634)310635;

vva-47@mail.ru;

Light_Unicorn@pisem.net Параметрическая акустическая приемная антенна (ППА) является в общем случае антенной бегущей волны.

Максимум характеристики направленности такой антенны располагается вдоль направления распространения волн накачки и изменить положение максимума в пространстве возможно только поворотом антенны в целом, поскольку приемная антенна виртуальная и нет возможности изменять фазу виртуальных элементов антенны. В настоящей работе исследованы характеристики приемной параметрической антенны, работающей в средах с дисперсией фазовой скорости волн накачки. В работе рассмотрена математическая модель характеристик ППА, Приведено исследование изменения параметров приемной параметрической антенны в различных дисперсионных средах (геометрическая дисперсия в среде, физическая дисперсия) в том числе исследования изменений характеристик направленности ППА при изменении фазовой скорости волны накачки. Анализ данных показывает, что наличие в среде дисперсии волн накачки позволяет изменять направление максимума характеристики направленности изменением частоты волны накачки. Проведенные исследования позволяют предложить различные варианты построения ППА с изменяющейся в пространстве характеристикой направленности.

Параметрическая приемная антенна образуется источниками, полученными в результате взаимодействия акустической волны накачки и волны сигнала, бегущих совместно.

Простейшая схема приемной параметрической антенны содержит излучающий и приемный преобразователи, расположенные на расстоянии L друг от друга. Схематически приемная параметрическая антенна изображена на Рис 1. Диаграмма направленности такой антенны зависит от отношения расстояния L к длине волны сигнала, а также пространственной ориентации полей сигнала и накачки, причем для направленного приема необходимо, как минимум, иметь L 1.

Рис 1. Схема параметрической приемной антенны.

Рассмотрим вкратце математическую модель характеристик параметрической приемной антенны. Если сигналом является низкочастотная плоская звуковая волна, распространяющаяся под углом к оси х, то изменение скорости распространения вследствие нелинейности среды можно определить как:

x y P (t, x, y ) = P0 sin t cos sin, (1) c c с0 µ (t, x, y ) c (t, x, y ) = P (t, x, y ) 2c0 где Р0 – амплитуда звукового давления низкочастотной волны сигнала, и вычисляя приращение скорости звука [1,2], и проекцию скорости частиц в низкочастотной волне cos U x (t, x, y ) = P (t, x, y ), c0 Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика а также функцию вторичных источников 2 sin Q(t, x, y ) = 2 P (t, x, y ), 0 c02 где = ( + 1) – нелинейный параметр, и, подставляя Q(t,x,y) в (1), вычислим «медленную» фазу высокочастотной волны на пути L от излучателя до приемника:

2L (t, L ) = 0 sin t +, cos sin 2L 2 – фазовая расстройка обусловленная различием P0 kL где 2 sin 0 =, = sin 2 0 c0 2 скоростей высокочастотной волны и «следа» волны сигнала. Формулы получены при условии, что длина волны сигнала много больше поперечных размеров высокочастотного пучка d.

Приведенное выражение показывает, что характеристика направленности приемной параметрической антенны при распространении волн накачки в свободном пространстве в среде без дисперсии представляет собой характеристику направленности антенны бегущей волны. При этом максимум характеристики направленности получается при = 0. Это физически объяснимо тем, что максимум взаимодействия волн получается при коллинеарном распространении волн и с равными скоростями.

Наличие дисперсии приводит к изменению параметров нелинейного взаимодействия волн и, следовательно, к изменению характеристик параметрического приемника.

Поскольку приемная параметрическая антенна представляет собой антенну бегущей волны, то изменение фазовой скорости волны накачки вследствие дисперсии в такой антенне приведет к изменению характеристики направленности такой антенны. Характеристика направленности может быть аппроксимирована следующим выражением L R( ) = ei ( x ) eikx ( 1cos )x, (2) где L – длина антенны (расстояние между излучающим и приемным преобразователями накачки;

( x ) = x, =, vф - фазовая скорость волны накачки, k = волновое число, - круговая vф c частота волны сигнала, c0 - скорость звука в среде без дисперсии, - угол между направлением падения волны на антенну и осью антенны (ось x), при этом cos = c =0.

k vф Предположим, что волны накачки распространяются в круглом звукопрозрачном для волн сигнала волноводе. Тогда фазовая скорость волн накачки может изменяться при изменении частоты волны накачки вследствие геометрической дисперсии. На апертуре антенны поле будет аналогично полю бегущей волны и будет создано фазовое распределение источников, возникающих в результате нелинейного взаимодействия, по длине антенны, меняющееся при изменении частоты волны накачки.

Пусть поле на апертуре антенны описывается формулой a( x, t ) = Aei ( t ( x )), где - угловая частота, амплитуда А постоянна, а фаза распределена по линейному закону ( x ) = x, где =, vф - фазовая скорость волны, то a( x, t ) совпадает с полем плоской волны (с vф волновым числом k = - скорость звука в среде без дисперсии), падающей на апертуру под углом c, c к оси x, при этом cos =. Cинфазную антенну можно рассматривать как частный вариант c = k vф =. В общем случае линейное распределение фазы на апертуре антенны бегущей волны с = 0, Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика сочетается с различными изменениями амплитуды из-за затухания волн накачки и, следовательно, уменьшения результата нелинейного взаимодействия.

Фазовая скорость волн накачки в круглом волноводе больше скорости звука в без дисперсионной среде и прием максимален с направления, соответствующему углу к оси x ( 0 ) и совпадающим с направлением распространения эффективной плоской волны.

Получить характеристику направленности такой антенны возможно интегрированием поля, создаваемого источниками с таким фазовым распределением. В результате получим L P kL 0 = 0 2 2 sin 2 ei ( x ) eikx (1 cos ) x. (3) 2 0 c0 2 Поскольку фазовая скорость в круглом волноводе может изменяться от скорости звука в бездисперсионной среде до бесконечности, проанализируем изменения характеристики направленности приемной параметрической антенны при изменении фазовой скорости волны накачки. При этом, учитывая, что направленность в основном определяется интегралом в выражении (3), будем определять характеристику направленности в виде L R( ) = e i ( x ) e ikx ( 1cos )x. (4) R() 4 3 2 0, 0, 0, 0, - -90 -, град Рис.2. Характеристики направленности приемной параметрической антенны с направляющей системой На Рис.2. показаны характеристики направленности для L/=10, c0 =1500 м/с, vф = м/с (кривая 1), 2000 м/с (кривая 2), 5000 м/с (кривая3), 10000 м/с (кривая 4). Анализ характеристик показывает, что при увеличении фазовой скорости волны накачки характеристика направленности поворачивается и становится «воронкообразной». При vф с0 конус прижимается к оси, а при vф = с0 чувствительность максимальна в направлении оси. Необходимо отметить, что при фазовой скорости равной бесконечности характеристика направленности такой антенны аналогична направленности антенны в виде отрезка прямой с равномерным амплитудным распределением.

Параметрическая акустическая приемная антенна является в общем случае антенной бегущей волны и линейное распределение фазы по длине антенны может вполне сочетаться с различными изменениями амплитуды по апертуре. В параметрической приемной антенне распределение источников по апертуре определяется нелинейным взаимодействием волны сигнала с волной накачки. Как показано ранее [2], это распределение пропорционально произведению амплитуд давления волн накачки и сигнала.

Поскольку в качестве волн накачки обычно используются волны с частотой намного большей частоты волны принимаемого сигнала, то распределение амплитуды источников по длине приемной антенны будет в основном зависеть от затухания волн накачки. Изменяя частоту волны накачки можно управлять затуханием и, следовательно, амплитудным распределением источников по апертуре антенны.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика Вводя в выражение (4) амплитудное распределение источников получим следующее выражение для характеристики направленности приемной параметрической антенны с учетом затухания L e x e i ( x ) e ikx (1cos ) x R ( ) =. (5) L e x x e В этом выражении сомножитель отражает изменение амплитудного распределения по длине антенны за счет затухания волны накачки с коэффициентом затухания.

Проанализируем влияние затухания волн накачки на характеристику направленности, используя выражение (4). Сначала положим, что фазовая скорость совпадает со скоростью звука в свободном пространстве. На рисунке 3 приведены диаграммы направленности параметрического приемника для разных значений коэффициента затухания, причем в некоторых случаях коэффициент затухания взят заведомо большим для наглядности его влияния.

R() R() 0, 0, 0, 0, 0, 0,4 4 3 0, 0, 1 0 - -30 -90 - -90 -, град, град Рис.3. Диаграммы направленности параметрической Рис.4. Диаграммы направленности при сканировании приемной антенны без сканирования характеристики характеристики направленности за счет изменения направленности фазовой скорости волны накачки Характеристики направленности рассчитывались для следующих параметров антенны: На рисунке показаны характеристики направленности для L/=10, c0 =1500 м/с, vф =1500 м/с. Кривая 1 соответствует коэффициенту затухания равному 0, 2 – 0,5, 3 – 1, 4 – 2.

Анализ диаграмм показывает, что введение амплитудного распределения по длине антенны за счет затухания волны накачки приводит к расширению характеристики направленности, «заплыванию» нулей в характеристике направленности и повышению уровня бокового поля. Причем, чем больше затухание, тем более выражены эти изменения.

На рисунке 4 приведены диаграммы направленности параметрической приемной антенны при повороте характеристики направленности за счет изменения фазовой скорости волны накачки.

Расчеты проводились при тех же параметрах антенны, но при vф =2000 м/с.

Анализ результатов расчетов показывает, что и при повороте характеристики направленности, закономерности влияния затухания волн накачки сохраняются. Необходимо отметить, что в повернутой характеристике направленности наблюдается не симметричность характеристики относительно оси антенны, проходящей через максимум характеристики направленности. Это косвенным образом подтверждает правильность проведенных исследований, поскольку в теории антенных систем [3] такое явление существует.

ЛИТЕРАТУРА 1. В.А.Воронин, В.П. Кузнецов, Б.Г.Мордвинов, С.П.Тарасов, В.И. Тимошенко.. Нелинейные и параметрические процессы в акустике океана. - Ростиздат. Ростов-на-Дону. 2007. – 448 с.

2. В.А. Воронин, С.П.Тарасов, В.И. Тимошенко.. Гидроакустические параметрические системы. – Ростов-на Дону: Ростиздат. 2004. – 400 с.

3. М.Д.Смарышев, Ю.Ю. Добровольский.. Гидроакустические антенны.- Л.: Судостроение, 1984 г.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика УДК 534. Е.Г. Лобанова, В.А. Хохлова МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ НА ОСНОВЕ ПОЛНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ Московский государственный университет, физический факультет Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д.1, стр. Тел.: (095) 939-2952;

Факс: (095) 939-2952;

E-mail: moreva@physics.msu.ru Рассматривается задача нелинейного распространения встречных акустических волн в неоднородной поглощающей среде. Исходя из одномерных уравнений Навье-Стокса, построен конечно-разностный алгоритм моделирования давления и колебательной скорости в акустическом поле. Проведено тестирование алгоритма на примере решения нескольких модельных задач с учетом различных физических эффектов: распространение ударного импульса в линейной идеальной среде, искажение формы волны в линейной среде с вязкостью и слабопоглощающей нелинейной среде;

нелинейное распространение встречных волн в результате отражения от жесткой и мягкой акустических границ. Обсуждается дальнейшее развитие численной модели для описания эффектов отражения разрывных волн от паросодержащих полостей (мягкая акустическая граница) и костей (жесткая акустическая граница) в задачах применения мощного фокусированного ультразвука в неинвазивной хирургии и исследования соответствующих механизмов разрушения биологической ткани.

I. Введение Задачи о распространении нелинейных волн в поглощающих неоднородных средах привлекают к себе повышенный интерес в связи с развивающимися приложениями мощного ультразвука в медицине, такими как, например, разрушение почечных камней сфокусированными ударными импульсами (экстракорпоральная литотрипсия) и неинвазивная ультразвуковая хирургия [1, 2]. Основные результаты в данной области получены для однонаправленного распространения волн и ограниченных пучков в воде и биологических тканях, описываемых модельными нелинейными уравнениями эволюционного типа [3 - 5].

Однако часто для решения практически важных задач визуализации воздействия ультразвука на ткань и оценки его безопасности при облучении через неоднородные слои тканей различного типа необходимо учитывать эффекты отражения и рассеяния. В этом случае встает вопрос о построении и решении полного нелинейного волнового уравнения. Такие задачи на сегодняшний день исследованы гораздо менее полно [6 - 8]. В данной работе, исходя из уравнений Навье-Стокса, рассматривается одномерное распространение нелинейных акустических волн неоднородной вязкой среде. Представлена разностная схема для расчета акустического поля и результаты расчетов для нескольких модельных задач с учетом эффектов отражения от границ различного типа.

II. Теоретическая модель Будем описывать одномерное волновое движение в неоднородной среде системой уравнений Навье-Стокса [9]. С учетом перехода к акустическим волнам данные уравнения будут иметь вид:

u p 4 2u u u u 0 ( x) + 2 = u 0 ( x)u +, t x t x x 3 x u u = + 0 ( x) u,, (1) x t x x 1 2 p p p = + 2 2 +...

2 0 где и p - отклонения плотности и давления от равновесных значений: = 0 ( x) +, p = p0 + p ;

u колебательная скорость частиц среды;

0 ( x) - равновесная плотность среды.

Введем следующие обозначения:

0 2 p 2 0 c0 p, = 1 + 2c 2 2, b = + 3 = (2) c0 ( x) =.

0 0 0 Здесь c0 ( x) - скорость звука в среде, b - вязкость среды, соответствующая квадратичному закону поглощения от частоты, = 0 ( 0 )2, 0 - коэффициент поглощения на частоте 0, (x) -параметр акустической нелинейности среды.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика В первых двух уравнениях (1) линейные по возмущениям u, и p члены собраны в левой части, а нелинейные члены - в правой части. Исключая с помощью уравнения состояния системы (1) возмущения плотности, перепишем первые два уравнения, сохраняя линейные и квадратичные по переменным u и p члены:

u p p u 4 2u 1 u 0 ( x) + + 2 = 2 0 ( x), t x 3 x c0 t 2 x (3) 1 p + ( x) u = ( 1) p2 p u u p () c0 t x 0 ( x)c0 t c0 x c0 x 2 4 2 В работе численно решалась задача Коши для системы уравнений (3) с двумя начальными и граничными условиями. В качестве начальных задавались нулевые условия:

p ( x, t = 0) = 0, u ( x, t = 0) = 0 (4) Граничное условие при x = 0 соответствовало колебаниям в виде видеоимпульса с гипергауссовым профилем с шириной (5), одиночного импульса в ударным фронтом, либо радиоимпульса с высокочастотным заполнением. Граничное условие при x = xmax соответствовало абсолютно отражающей стенке в одном случае (6а) и свободной границе в другом (6б):

1 t t 2 p p (0, t ) = 0 (5) u (0, t ) = exp, 2 x p (xmax, t ) = 0, u ( xmax, t ) = 0, (6а) x u (xmax, t ) = 0, p( xmax, t ) = 0, (6б) x Для моделирования системы уравнений (3) конечно-разностным методом функция u ( x, t ) задавалась в узлах сетки по пространственной координате x и временной координате t как u q, а p( x, t ) - в s узлах сетки, смещенной на половину шага, как pq 1 2 [10]:

s 1 ( ) ( ) u q = u xq, t s, pq 1 2 = p xq 1 2, t s 1 2. (7) s s 1 После замены производных в системе уравнений (3) разностными, система примет вид:

)[ ( )] ( ) ) ( ( q +1 2 c q +1 2 + pq 1 2 u q +1 u q +1 + u q +1 pq +122 pq 122 + u q +1 pq +32 2 pq + (8) 2 1 1 1 s s s s s +1 +1 + 0 pq +1 2 = pq 1 s s +1 2 +1 q +1 2 h 1 2 pq 1 s ( ) +1 2 0 +1 2 c0 +1 q q (u ) ( ) pq +1//2 pq +1 2 (9) 2 s u q + 2 2u q +1 + u q s s s b s s s uq +3 2 +1 2 q+ u q +1 = u q +1 s s + h 0 + pq +1 2 + pq +1//2 2c0 pq +1 2 h 2 0 + pq +1 2 + pq +1//2 2c pq +1//2 2c h 0 + + s s s s 2 s 2 s +3 2 +3 2 +3 +1 2 +1 2 +1 Здесь - временной шаг сетки, h - шаг по пространственной координате. Алгоритм реализуется таким образом, что на первом шаге сетки по времени задаются слоя, на которых определяются pq 122, u q, затем на втором шаге по времени из уравнения (8) ищется p1 +1 2 через комбинации 0 q ( ) ( ), p (u 1 1 1 u1 pq +122 pq 122 + u1 +1 pq + 32 2 pq + ) 1 2 q q u1, pq +122 на двух предыдущем шагах и, наконец, на q + q +1 2 q третьем шаге по времени отыскивается u1 +1 (9) через значения колебательной скорости и давления на q предыдущих двух шагах сетки по времени.

III. Результаты Ниже представлены результаты моделирования системы уравнений (8) и (9), иллюстрирующие эффекты распространения волны в двух направлениях, нелинейности, поглощения и отражения от Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика импедансной границы. Рассмотрено четыре случая: линейное распространение одиночного импульса с ударным фронтом в идеальной среде;

линейное распространение волнового пакета в вязкой среде и отражение от мягкой либо жесткой акустической границы раздела в нелинейной вязкой среде. Результаты, показанные на рис. 1а, иллюстрируют распространение ударного импульса в линейной идеальной среде и были получены с шагом сетки h = 0.5 104 м, что соответствует 100 точкам на разрыв. Видно, что такая дискретизация была достаточна, чтобы при распространении на расстояние 15 длин импульса не проявлялись эффекты схемной вязкости и дисперсии [10]. На рисунке 1б показано расплывание линейного гауссового импульса в вязкой среде (сплошные кривые), при этом численные расчеты хорошо согласуются с известным аналитическим решением (точки) [9].

Рис. 1. Распространение импульса с ударным фронтом в линейной среде без поглощения (а) и гауссовского видеоимпульса в вязкой среде (б). Цифрами (1) и (2) показаны профили импульсов в различные моменты времени t.

Для моделирования волнового распространения в нелинейной вязкой среде были выбраны следующие значения параметров в системе уравнений (3): c0 = 1500 м с, 0 = 1000 кг м 3, 0 = 2.5 м 1, = 3.5, что соответствует распространению в воде. В случае мягкой акустической границы выбирались граничные условия на правом конце отрезка согласно 6б, а в случае жесткой – согласно 6а. Прямая волна задавалась на левой границе в форме гауссова импульса (p = 1) в (5) c параметрами 0 = 2f, f = 1 МГц, = 5 0, t 0 = 3. Использовались следующие параметры численной схемы: временной шаг = 10 9 c, шаг по координате x h = 0.5 10 4 м и общее число шагов по времени N = 106. На рис. 2а,б показаны профили волн, бегущих в прямом направлении x (сплошные кривые) и после отражения – в обратном направлении (штриховые кривые). На рис. 2а отраженный от мягкой границы импульс (4) изображен, как ( p ). Из рисунков видно, как при отражении от мягкой границы (рис. 2а) импульс меняет полярность, фаза сжатия переходит в фазу разрежения, а ударный фронт для волны бегущей влево (4) размывается.

При отражении от жесткой границы импульс не меняет полярность и при распространении назад происходит дальнейшее накопление нелинейных эффектов, увеличение длительности импульса, уменьшение амплитуды разрыва и сохранение ударной структуры фронта (рис. 2б).

Рис. 2. Распространение исходно гауссовского видеоимпульса в нелинейной слабопоглощающей среде и отражение от мягкой (а) и жесткой (б) границ. Профили показаны на различных расстояниях: (1) x = 0.05 м;

(2) x = x p ( x p - расстояние образования разрыва);

(3) x = 2 x p (импульс приобретает треугольную форму);

(4) x = 3x p (отраженная волна). На рис.2а отраженный импульс (4) соответствует давлению ( p ) и иллюстрирует размывание ударного фронта волны при отражении от мягкой границы.

На рис. 3 показан процесс отражения импульса длительностью 5 мкс, состоящего из нескольких периодов волны с ударными фронтами, от мягкой границы - аналога кавитационного облака либо паросодержащего пузыря кипения, образующихся в биологической ткани при ударно-волновом Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика воздействии мощным фокусированным ультразвуком [11 - 13]. Каждый из периодов имеет характерную форму, соответствующую нелинейно-дифракционным искажениям профиля волны в фокусе мощного ультразвукового пучка: высокий узкий пик положительного давления за ударным фронтом и плавную фаза разрежения с существенно меньшей амплитудой. Видно, как за счет изменения полярности импульса при отражении происходит наложение высокоамплитудного пика на отрицательную фазу падающей волны и резкое возрастание пикового отрицательного давления (2). Этот эффект может вызывать усиление кавитационных явлений вблизи границы и являться одним из механизмов механического разрушения биологической ткани – гистотрипсии [11, 13].

Рис. 3. Эволюция ударно-волнового цуга в различные моменты времени t, соответствующие распространению исходного импульса в положительном направлении x (1);

его интерференции с импульсом, отраженным от мягкой границы, и формирования резких пиков отрицательного давления (2);

распространению отраженный импульса измененной полярности в обратном направлении x (3). Одиночный импульс исходного ударно волнового цуга в зависимости от координаты x в некоторый момент времени t изображен во вставке в увеличенном масштабе.

Полученные в данной работе результаты показывают применимость развитого алгоритма для описания нелинейного распространения встречных волн, их отражения от границ и поглощения.

Планируется дальнейшее обобщение алгоритма для рассмотрения нелинейных эффектов в средах с плавно меняющимися неоднородностями, имитирующих слоистые неоднородности тканей различных типов, задач фокусировки ограниченных ультразвуковых пучков с учетом многократных отражений от неоднородностей различного типа.

Работа поддержана грантом Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ НШ-2631.2012.2.

ЛИТЕРАТУРА Бэйли М.Р., Хохлова В.А., Сапожников О.А., Каргл С.Г., Крам Л.А. // Акуст. журн. 2003. Т.49. №.4. C. 437-464.

1.

Хилл К., Бэмбер Дж., тер Хаар Г. (ред.) “Ультразвук в медицине. Физические основы применения” М.: Физматлит, 2.

3. M. Averkiou and R. Cleveland // J. Acoust. Soc. Am. 1999. V. 106, P. 102–112.

Кащеева С.С., Сапожников О.А., Хохлова В.А., Аверкью М.А., Крам Л.А. // Акуст. журн. 2000. Т.46. №.2. С.211 – 219.

4.

Филоненко E.А., Хохлова В.А. // Акуст. журн. 2001. Т.47. №.4. С.415.

5.

6. Hallaj I.M. and Cleveland R.O. // J. Acoust. Soc. Am. 1999. V.105. L7-L12.

7. Ginter S., Liebler M., Steiger E., Dreyer T., Riedlinger R. // J. Acoust. Soc. Am. 2002. V.111, P. 2049–2059.

Huijssen J. and Verweij M.D. // J. Acoust. Soc. Am. 2010. V.127, № 1, P. 33-44.

8.

Виноградова М.Б., Руденко О.В, Сухоруков А.П. “Теория волн.” М.: Наука, 1990.

9.

10. Press W.H., Teukolsky S.A, Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes in FORTRAN Cambridge University Press, New York, 1992, 2nd ed.

11. Maxwell A.D., Wang T.-Y., Cain C.A., Fowlkes J.B., Sapozhnikov O.A., Bailey M.R., Xu Z. // J. Acoust. Soc. Am. 2011, V. 130, №4, P. 1888-1898.

Canney M.S., Khokhlova V.A., Bessonova O.V., Bailey M.R., Crum L.A. // Ultrasound Med. Biol. 2010. V.36. №.2. P. 250-267.

12.

13. Khokhlova T.D., Canney M.S., Khokhlova V.A., Sapozhnikov O.A., Crum L.A., Bailey M.R. // J. Acoust. Soc. Am. 2011. V. №.5. P. 3498-3510.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика УДК 534. В.А.Гусев, Р.А.Жостков, Д.А.Преснов ЭВОЛЮЦИЯ ИНТЕНСИВНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В РАМКАХ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, Физический факультет, кафедра акустики Россия, 119991, Москва, Ленинские горы Тел.: (495) 939-2943;

E-mail: vgusev@bk.ru В данной работе изложена общая картина эволюции интенсивных акустических сигналов в рамках обобщенного уравнения Бюргерса с переменной эффективной вязкостью, представлены основные результаты и подходы к построению аналитических решений, определены характерные ситуации качественно различного поведения и области их применимости. Определены понятия нелинейной и линейной стадий эволюции профиля и предложен критерий выхода волны на линейную стадию на предельно больших расстояниях.

Целью данной работы является формирование полной качественной картины трансформации профилей интенсивных акустических волн, описываемых обобщенным уравнением Бюргерса (ОУБ), в зависимости от начальных условий и параметров среды. Эта задача подразумевает, в частности, построение аналитических решений для разных качественно отличающихся ситуаций и более четкое определение границ и условий применимости как новых, так и хорошо известных решений. Как частный случай рассмотрено обычное уравнение Бюргерса (УБ), для которого существует ряд классических решений и подходов, помогающих определить динамику искажения волны, и показаны возможности и ограничения данных решений, в том числе отмечен ряд малоизвестных фактов и внесено несколько уточнений. Поэтому изложение носит преимущественно обзорный характер и содержит как оригинальные результаты, так и основные результаты по данной теме, полученные другими авторами.

Значимость обобщенного уравнения Бюргерса с переменной эффективной вязкостью S ( z ) [1]:

S (z = 0) = 1, V V 2V = S ( z ) 2, (1) V z где V, z и – нормированные колебательная скорость, продольная координата и время соответственно, связана с его применимостью к широкому кругу задач. Если обычное уравнение Бюргерса (соответствующее S 1 в (1)) описывает плоские волны в однородной среде, то ОУБ (1) применимо для описания пространственно-модулированных волн и волновых пучков, волн в неоднородных и стратифицированных средах, сферических и цилиндрических волн, волновых процессов в трубах и рупорах.

Вначале необходимо напомнить основные факты из теории обычного УБ и уточнить их. 1) В случае большой вязкости 1 (а практически, уже при ~ 1 ) решение УБ близко к линейному и может быть найдено методом возмущений. Эффективный метод, позволяющий рассчитать амплитуды высших гармоник в этой ситуации, предложен в [1]. Очевидно, что данный вывод останется справедливым и для ОУБ (1), поэтому в дальнейшем будем рассматривать случай малой вязкости 1. 2) Формально, точное решение УБ для произвольного начального профиля может быть найдено с помощью подстановки Хопфа Коула, однако это решение представляется в интегральном виде и представляет значительные трудности для анализа. Для исходного синусоидального сигнала интегралы вычисляются, и решение задается в виде ряда [2], однако практический смысл этот ряд имеет для большой вязкости, когда можно ограничиться несколькими первыми членами ряда. При малой вязкости вычисление ряда является сложной «технической» проблемой. Исключение составляет анализ предельного поведения при исчезающей вязкости 0, когда удается построить разрывные решения [2], не прибегая к дополнительному свойству – правилу равенства площадей. 3) Для исходного синусоидального профиля в области после образования разрыва ( z 2 ) существует два аналитических решения – решение Фея [2,3] в виде ряда и решение Хохлова для профиля с развитыми ударными фронтами [2]. Значимость решения Фея связана с его применимостью во всем диапазоне расстояний 2 z, однако оно неудобно для анализа профиля в области развитых ударных фронтов. В тоже время, решение Хохлова хотя и удовлетворяет точно УБ, как обычно подчеркивается в учебных курсах, но является только его приближенным решением для исходного синусоидального сигнала при 1. Это видно из следующих соображений: а) при z = решение Хохлова удовлетворяет другому граничному условие (теорема единственности, естественно, выполняется), б) решение Хохлова описывает непериодический сигнал, периодическим профиль становится после процедуры периодического продолжения, в) при 1 профиль по форме совсем не Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика похож на синусоидальный сигнал, в т.ч. меняется полярность импульса, г) по мере увеличения как, так и z сдвигаются нулевые точки и меняется длительность решения Хохлова, что не соответствует условиям периодичности. На самом деле решение Хохлова является первым членом асимптотического ряда при 1 в области развитых фронтов и ограничено расстояниями, на которых ширина ударного фронта становится сравнимой с четвертью периода волны, а именно z ~ 2. После этого справедливым остается только решение Фея, причем главный член этого решения на расстояниях z 2 является решением линеаризованного УБ. Этот результат находится в согласии со здравым смыслом – на больших расстояниях волна сильно затухает и роль нелинейности уменьшается.

Таким образом, для исходного синусоидального сигнала в среде с малой вязкостью процесс эволюции можно представить так: 1) на начальной стадии происходит укручение профиля в соответствии с уравнением простой волны, 2) затем, на стадии развитых ударных фронтов, профиль описывается решением Хохлова, которое строится как асимптотическое решение, 3) на предельно больших расстояниях волна выходит на линейную стадию и решение может быть найдено методом возмущение.

Представляется, что подобная методика может быть обобщена на случай ОУБ (1).

Однако, такой ход трансформации профиля реализуется только для двуполярного импульса с нулевым средним за период. Подробное исследование, проведенное в работах С.Н.Гурбатова (см.

например, [4]), показывает, что в рамках УБ однополярный импульс не выходит на линейную стадию на предельно больших расстояниях. Типичным примером является автомодельное решение УБ [2,4], в котором ударный фронт может быть выявлен на любых расстояниях, меняется только его масштаб.

Ключевым является тот факт, что независимо от масштаба фронт влияет на динамику профиля волны на любых расстояниях, что вроде бы противоречит здравому смыслу. Разрешение парадокса в том, что в реальности всегда проявляется дифракционная расходимость и одномерное приближение на больших расстояниях становится неприменимым. Удобным инструментом анализа поведения волны на предельных расстояниях оказывается введенное текущее число Рейнольдса [4];

его недостаток связан с тем, что это число определяется по каркасу решения в рамках уравнения простых волн и не учитывает влияние диссипации на пиковые значения, что может заметно сказаться на больших расстояниях.

Перейдем к анализу ОУБ (1). В последнее время появилось довольно большое число публикаций, посвященных попыткам построения аналитических решений ОУБ, преимущественно для некоторых конкретных видов функции S ( z ) (см., например [5,6]). При этом основное внимание уделялось построению обобщений для ОУБ решения Фея по аналогии с развитой в [3] процедурой. Однако, представленные в публикациях решения при сравнении с численным решением оказались применимыми только на больших расстояниях, а фактически в области выхода на линейную стадию, где главным членом является решение линеаризованного уравнения, а последующие поправки могут быть найдены с помощью различных вариантов метода возмущений. Подход, основанный на модификации для ОУБ подстановки Хопфа-Коула [7], также оказался применимым (и, возможно, полезным) в случае большой вязкости. Для области развитых ударных фронтов адекватных аналитических решений не предложено.

Учитывая все выше сказанное об УБ, решение ОУБ в случае малой вязкости в области развитых ударных фронтов необходимо искать в виде асимптотического ряда по аналогии с решением Хохлова.

Первым важным результатом на этом пути является точное автомодельное решение [8] уравнения (1) для случая S (z ) = 1 + z z0, характерного для стратифицированной атмосферы. Это решение описывает симметричный скачок конечной ширины, вблизи ударного фронта его удается записать в явном виде:

A, (, z ) = A th 1 + 1 + 2 (2) 1+ z z A z0 где A – амплитуда скачка. Ширина фронта в выражении (2) содержит как эффективную вязкость S (z ) = (1 + z z0 ), так и дополнительную зависимость от амплитуды разрыва. При уменьшении амплитуды волны вклад дополнительного члена увеличивается. Используя выражение (2) для описания структуры ударного фронта в стратифицированной атмосфере, удалось построить обобщение решения Хохлова для исходного синусоидального сигнала и профиль исходной N-волны [8,9];

было показано, что полученные аналитические решения согласуются с численным решением.

Указанная поправка существенна для количественного совпадения численного и аналитического решений. Поэтому уравнение первого приближения в асимптотическом решении необходимо Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика усовершенствовать по сравнению со стандартной процедурой, приведенной например в [10,11], а именно, учесть дополнительное слагаемое в исходном уравнении [12]:

2V0 V S V = 0, * =.

+ V 0 + * (3) * * z * Первые два слагаемых отвечают стандартному разложению и описывают скачок в виде гиперболического тангенса. Если величина dS dz мала, то третье слагаемое несущественно, однако с уменьшением амплитуды роль поправочного слагаемого возрастает. Замечательно, что по структуре уравнение (3) совпадает с уравнением для автомодельного решения (2) [8,9], что позволяет написать улучшенное выражение для ударного фронта в среде с произвольной зависимостью эффективной вязкости [12]:

A 8 dS. (4) V ( x ) = A th 1 + 1 + 4S ( z ) A2 dz Используя (4), можно построить выражение для одного периода исходно синусоидального сигнала, аналогичное по смыслу решению Хохлова, в среде с произвольной вязкостью. Для оценки границы области применимости этого решения используем условие – ширина ударного фронта становится равной четверти периода волны. Для стратифицированной атмосферы S = 1 + z, A = (1 + z )1 получаем zlin ~ 1.5 [9]. На больших расстояниях нужно рассматривать линеаризованное уравнение (1).

В отличие от синусоидальной волны ударный фронт в однополярном импульсе сдвигается пропорционально амплитуде скачка, поэтому для построения такого профиля необходимо определить скорость смещения фронта. Именно этот эффект обуславливает отличие эволюции однополярных и двуполярных импульсов (это отличие далее будет уточнено). Скорость смещения ударного фронта можно найти, рассматривая в (1) время как функцию V и z. В итоге получим уравнение:

1.

+ V = S (z ) S ( z ) (5) V V z V V Рассмотрим участок профиля между двумя экстремумами профиля, причем слева пусть будет минимум Vmin, справа – максимум Vmax. Ясно, что ударный фронт будет формироваться на этом участке. Профиль всегда можно считать гладким, поскольку при учете вязкости все ударные фронты приобретают конечную ширину, а мгновенный скачок превращается в быстро убывающую экспоненту. Теперь проинтегрируем (5) по V от Vmin до Vmax. В силу условия экстремума и гладкости функций величина V в конечных точках обращается в бесконечность. Тогда для средней скорости смещения ударного фронта получим [12] z = (Vmin + Vmax ) 2. (6) Таким образом, скорость смещения ударного фронта в обобщенном уравнении Бюргерса не зависит от вязкости, определяется полусуммой соседних пиковых значений и по смыслу совпадает с аналогичным выражением для простых волн с разрывом. Выражение (9) указывает, какие именно амплитуды определяют скорость ударного фронта конечной ширины. Для разрывной волны это были амплитуды на разрыве, для ударного фронта конечной ширины – ближайшие экстремальные значения. В частности, для симметричного сигнала, примером которого является синусоидальная волна, средняя скорость смещения фронта равна нулю. Для однополярного импульса Vmin = 0. Таким образом, нужно различать две ситуации – профиль в области фронта симметричен и фронт не смещается (эта ситуация реализуется, например, для синуса), либо профиль не является симметричным, и фронт смещается (однополярные импульсы).

Для построения решения для исходной N-волны можно использовать галилеевское преобразование. К сожалению, это преобразование строго применимо только для стационарной волны, поэтому получаемое решение оказывается менее точным, чем модифицированное решение Хохлова для исходного синусоидального сигнала. Отметим, что вопрос о построении количественно точного решения для N-волны актуален не только для ОУБ, но и для УБ, поскольку рассмотренное в [4] решение также содержит артефакты, заметно проявляющиеся на больших расстояниях.

Определив выше ширину ударного фронта и смещение ударного фронта как целого, можно перейти к анализу поведения волны на предельно больших расстояниях. В отсутствие диссипации основным нелинейным эффектом на больших расстояниях является сдвиг фронта несимметричного профиля, при этом симметричный фронт не смещается, меняется лишь его амплитуда. Поэтому говоря о наличии или отсутствии нелинейных эффектов, нужно рассматривать оба фактора – наличие ярко выраженного ударного фронта и нелинейное смещение профиля в целом. В частности, нелинейное Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика смещение формально присутствует даже для волны малой амплитуды и им можно пренебречь только при наличии другого механизма – диссипативного расплывания. Именно их конкуренция и определяет критерий выхода на линейную стадию: если диссипативное расплывание приводит к значительному уширению ударного фронта и, кроме того, превосходит нелинейное смещение, то волна выходит на линейную стадию. Если же диссипативное расплывание не может превзойти нелинейное смещение и его можно выделить на любом расстоянии, то волна на линейную стадию не выходит. Границу нелинейной и линейной стадий для несимметричного импульса можно определить как расстояние, на котором диффузионное расплывание фронта и нелинейный сдвиг ударного фронта как целого станут равными.

Можно ожидать, что волны с близкими к симметричным профилями будут проявлять тенденцию выхода на линейную стадии, а с сильно несимметричными – к проявлению нелинейных свойств на больших расстояниях.

Для иллюстрации рассмотрим пример стратифицированной атмосферы S = 1 + z. Для качественной оценки примем, что амплитуда изменяется как A ~ (1 + z )1 2, ширина фронта из (2) ~ (1 + z ) и среднее смещение ~ 1 + z. Отношение ~ (1 + z ) сравнивается с 1 при z ~ 1, т.е. на этом расстоянии исходная волна выходит на линейную стадию (синусоидальный сигнал в этом случае выходит на линейную стадию при z ~ 1 ). Таким образом, переменный коэффициент вязкости изменил качественную картину распространения волны. Для N-волны в обычном уравнении Бюргерса ( A ~ (1 + z )1 2, ~ 1 + z и среднее смещение ~ 1 + z ) получаем, что это отношение всегда мало ~, т.е. N-волна на линейную стадию не выходит. В этой оценке использовались данные из каркаса в виде решения уравнения простой волны, что, в конечном счете, соответствует анализу на основе текущего числа Рейнольдса [4] Re = A S ( z ). Большие числа Рейнольдса соответствуют сильным нелинейным эффектам. Если S ( z ) не растет или величина A не убывает значительно, то решение не выходит на линейную стадию. Использование более тонких оценок на основе (2) позволяет точнее описать эволюцию волны и оценить область применимости используемых решений.

Таким образом, в эволюции волны в рамках обобщенного уравнения Бюргерса выделяются три характерные области: 1) искажение профиля по законам простой волны и образование разрыва, 2) нелинейная стадия – профиль с выраженными ударными фронтами, 3) линейная стадия. Для каждой стадии предложены аналитические решения для профиля волны. На нелинейной стадии это решение типа Хохлова с уточненным выражением для ширины профиля, справедливое для произвольной зависимости эффективной вязкости. На основании найденных выражений для ширины фронта и смещения фронта «в среднем» за счет нелинейности предложен критерий выхода волны на линейную стадию – превышение диффузионного расплывания над нелинейным смещением. Показано, что определяющим фактором является не одно- или двуполярность импульса в целом, а близость пиковых значений (по модулю) в соседних минимуме и максимуме профиля (т.е. в окрестности ударного фронта). Чем больше их отличие, тем сильнее и на больших расстояниях проявлены нелинейные эффекты. При определенных условиях несимметричный сигнал может вообще не выходить в пределе на линейную стадию.

Работа поддержана грантами Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ НШ-2631.2012.2 и РФФИ (грант 12-02-01149-а).

ЛИТЕРАТУРА 1. Enflo B.O., Rudenko O.V. To the theory of generalized Burgers’ equation// Acta acustica, 2002. V.88. P.155-162.

Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.

2.

Фей 3.

Гурбатов С.Н., Руденко О.В., Саичев А.И. Волны и структуры в нелинейных средах без дисперсии. М.: Физматлит, 2008.

4.

5. Sachdev P.L., Enflo B.O., Srinivasa Rao Ch., Mayil Vaganan B., Goyal Poonam. Large-Time Asymptotics for Periodic Solutions of Some Generalized Burgers Equations // Studies In Applied Mathematics, 2003. V. 110. P.181–204.

6. Gurbatov S.N., Demin I.Yu, Cherepennikov V.V., Enflo B.O. Behavior of Intense Acoustic Noise at Large Distances // Acoustical Physics, 2007. Vol. 53, No. 1. Pp. 48–63.

7. Parker A. On the periodic solution of the Burgers equation: A unified approach //Proc.R.Soc.Lond. A, 1992. V.438. P.113-132.

Гусев В.А., Собисевич А.Л. Низкочастотные волновые процессы в геосферах, предшествующие сильным сейсмическим 8.

событиям// Коллективная монография Экстремальные природные явления и катастрофы. Т.1. Оценка и пути снижения негативных последствий экстремальных природных явлений. М.: ИФЗ РАН, 2010.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика Гусев В.А., Жостков Р.А. Профили интенсивных импульсных сигналов, распространяющихся вертикально вверх в 9.

стратифицированной атмосфере // Сборник трудов XXII сессии Российского акустического общества и Сессии Научного Совета РАН по акустике. Т.1. С.200-204. М.: Геос, 10. Васильева О.А., Карабутов А.А., Лапшин Е.А., Руденко О.В. Взаимодействие одномерных волн в средах без дисперсии.

М.: МГУ, 1983.

11. Gusev V.A., Sobissevitch A.L. On a problem of propagation of shock waves generated by explosive volcanic eruptions // Nonlinear Acoustics – Fundamentals and Applications. International Symposium on Nonlinear Acoustics ISNA-18, 2008, Stockholm, Sweden, pp 397-400.

12. Гусев В.А., Преснов Д.А. Трансформация интенсивных пространственно-модулированных акустических сигналов в вязких неоднородных средах // Сборник трудов Научной конференции «Сессия Научного совета РАН по акустике и XXIV сессия Российского акустического общества. Т 1. М.: ГЕОС, 2011. С. 161-165.

УДК 534. В.А.Гусев, Д.А.Преснов ЭФФЕКТ САМОРЕФРАКЦИИ. ПРОЯВЛЕНИЕ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ СРЕДЕ Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Физический факультет, кафедра акустики.

Россия, 119992, Москва, Ленинские горы Тел.: (495) 939-2943;

E-mail: vgusev@bk.ru, presnov@physics.msu.ru Рассматривается эволюция мощных акустических волн с учетом эффектов саморефракции. Приближение нелинейной геометрической акустики позволяет учесть одновременное влияние эффектов, связанных с нелинейностью и неоднородностью среды. Без учета влияния саморефракции лучи, вдоль которых происходит распространение волны, определяются кривизной волнового фронта. Саморефракция приводит к дополнительному отклонению лучей и искажению структуры поля в фокальной области. Метод растянутых характеристик позволяет получить удобное для анализа уравнение, описывающее поле на оси пучка. Благодаря этому для гауссовского сфокусированного пучка было получено несколько приближенных аналитических решений, хорошо совпадающих с результатами численного моделирования в своих областях применимости (для различных типов источников). Метод позволил также численно проанализировать влияние неоднородности в виде стратификации равновесной плотности на эффекты, возникающие при саморефракции.

Зависимость скорости фронта ударной волны от ее амплитуды приводит к нелинейной рефракции импульса, которая заключается в том, что области пучка с большей амплитудой бегут быстрее, в результате приосевые области пучка выбегают вперед и нарушается условие согласования лучей друг с другом. Соответственно, приосевые лучи перестают пересекаться и каустическая особенность исчезает.

Результаты работы могут найти свое применение в медицинской ультразвуковой терапии, а также в задачах геофизики и атмосферной акустики.

Последние результаты, полученные в работе [1], численно моделируют уравнение Хохлова Заболотской-Кузнецова, учитывающее влияние как нелинейности (в т.ч. и саморефракции), так и дифракции и поглощения. В данной работе рассматривается распространение звуковых пучков на основе геометрической акустики, то есть учитывается нелинейность, но пренебрегается дифракцией и поглощением. Как показано далее и, в частности, в [2], в фокальной области саморефракция для разрывных волн играет преобладающую роль в ограничении амплитуды, так что пренебрежение дифракцией достаточно правомерно. Возможность пренебрежения поглощением связано с тем, что скорость ударного фронта зависит только от пиковых значений, но не от ширины ударного фронта [3], и замена реального фронта конечной ширины на математический разрыв также правомерна. Поэтому удалось получить аналитические выражения, позволяющие более детально интерпретировать физические законы.

В качестве исходной, запишем систему уравнений нелинейной геометрической акустики для осесимметричных пучков [4], в которой учтена саморефракция волны [2] и сделан переход к функции наклона лучей – производной эйконала по поперечной координате [5]:

µ A + =, (1) z r 2 r p p p A p p + + + = 0. (2) z 2 T r 2 r r Здесь p – акустическое давление, A – его амплитуда. Все переменные нормированы на свои характерные значения. Параметр равен отношению фокусного расстояния к нелинейной длине.

Параметр µ – отношению квадрата фокусного расстояния к нелинейной и дифракционным [4].

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика Если считать искривление траектории луча за счет саморефракции малым, то можно воспользоваться методом растянутых характеристик [7,8]. Вводятся лучевые координаты r = r ( z, ), где соответствует номеру луча в поперечном направлении. Тогда для гауссовского сфокусированного пучка [6] с начальным наклоном лучей 0 = и поперечной формой R exp ( 2 ) получается, в = ( = 0 ) [4]:

первом порядке по µ, выражение для расходимости лучей Q = dr на оси пучка d d 2Q µ 1 1 µ f (s), = + (3) Q 2 1 + s (1 + s ) Q 2 dz dz z dQ ( z = 0 ) = 1, s =.

Q (= 0= 1, ) (4) z dz Q Соответственно, амплитуда определяется следующим выражением:

1 1. (5) A= Q (s) 1+ s При малых, но конечных функцию f ( s ) в (3) можно аппроксимировать функцией f (s ) ~ e.

s Перейдем к новой независимой переменной s : Q = Q ( z ( s ) ). Тогда уравнение принимает вид:

d 2Q 1 dQ µ e s = (6) Q ds ds Решение, с учетом граничных условий, записывается следующим образом:

2 µ + (1 ) 2 µ + (1 ) 2 2µ s e s. (7) = ch Q arch 2 µ + (1 ) 2µ 2 µ + (1 ) 2 Рис. 1 Зависимость амплитуды на оси пучка от пройденного расстояния. Сравнение численного решения с решением, полученным для малых. µ = 0.01.

Анализируя полученный результат, замечаем принципиальное влияние саморефракции – амплитуда в фокусе не бесконечна, а ограничена;

максимум амплитуды сдвинут в область за геометрическим фокусом вдоль направления распространения пучка. Параметр = F A0, так же как и µ, оказывает влияние на 0 c0 «силу» саморефракции, то есть чем меньше фокусное расстояние и амплитуда начального импульса и больше его характерная длительность, тем большее влияние оказывает саморефракция. Предложенное решение, как и следовало ожидать, хорошо работает, когда параметр близок к 0. Видно, что при = 0.1 различие в решениях составляет ~ 20%.


Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика Теперь построим решение еще одним методом, для которого уже не требуется малость. Вернемся к уравнению (6) с произвольной функцией f ( s ) и будем искать его решение методом возмущений, считая малым параметр µ, т.е. Q = 0 + µ Q1 + µ 2Q2. Подставляя это разложение в уравнение и решая, Q получим:

f ( s ) e ds.

s Q0 = e s ;

Q1 = e s Gds ;

Q2 = e s s s s G 2 dsds, где G = s (9) 0 0 Отметим что полученные выражения, записанные в квадратурах, справедливы, вообще говоря, для f ( s ), но не всегда могут быть вычислены аналитически. Поэтому для любого вида функции рассматриваемого случая сфокусированного гауссовского пучка решение (9) было построено численным методом:

Сравнение численного решения уравнения (3) с решением, полученным методом асимптотического разложения, показывает хорошее совпадение для 0.04. Для значений, меньших 0.04, решение перестает работать, это связано с трудностью расчета интегралов (9) при малых значениях параметров.

Перейдем к рассмотрению среды со стратификацией. Используя модель стратифицированной атмосферы, рассмотренную, например, в работе [9], модифицируем уравнение переноса (2), внеся p, где H высота стандартной атмосферы. С учетом этого, уравнение (3) дополнительное слагаемое 2H примет вид:

d 2Q µ exp ( z 2 H ) dz z ;

s( z) = 1 (10) = + 1 + s ( z ) (1 + s ( z ) ) 2 Q dz 2Q Выражение для амплитуды будет таким:

exp ( z 2 H ) A= (11) Q (s) 1+ s Параметр H определяет степень влияния стратификации. Исследуем численно поведение саморефракции в стратифицированной среде:

Рис. 2 Зависимость амплитуды на оси пучка от пройденного расстояния в стратифицированной среде (H=0 соответствует однородной). = 1;

µ =0. Итак, при распространении сфокусированного мощного пучка в атмосфере происходит нарастание амплитуды на оси за счет стратификации и одновременно её уменьшение за счет саморефракции.

Конкуренция этих двух процессов определяется соответствующими параметрами H и, но интересно отметить следующую особенность: стратификация в любом случае приводит к дополнительному смещению геометрического фокуса вдоль направления распространения. Амплитуда в стратифицированной среде может оказаться немного меньше чем в однородной, в случае когда H достаточно велико, то есть расстояние на котором происходит заметное изменение плотности, значительно больше чем фокусное расстояние. В то же время при усилении роли стратификации предельная амплитуда в фокусе может возрасти.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика Работа поддержана грантами Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ НШ-2631.2012.2 и РФФИ (грант 12-02-01149-а).

ЛИТЕРАТУРА 1. Карзова М.М., Аверьянов М.В., Сапожников О.А., Хохлова В.А. Механизмы насыщения нелинейных импульсных и периодических сигналов в фокусированных акустических пучках. // Акуст. журн., 2012. Т.58, №1.

2. Мусатов А.Г., Руденко О.В., Сапожников О.А.. Учет нелинейной рефракции и нелинейного поглощения при фокусировке мощных импульсов. // Акуст. журн., 1992. Т.38, №3. С.502-510.

3. Гусев В.А., Преснов Д.А. Трансформация интенсивных пространственно-модулированных акустических сигналов в вязких неоднородных средах // Сборник трудов Научной конференции «Сессия Научного совета РАН по акустике и XXIV сессия Российского акустического общества. Т 1. М.: ГЕОС, 2011. С. 161-165.

4. Гусев В.А.. Саморефракция сфокусированных звуковых пучков пилообразных волн (аналитические решения).

Ежегодник РАО. Акустика неоднородных сред. Москва, 2007. Выпуск 8. С. 103-112.

5. Гусев В.А., Руденко О.В.. Статистические характеристики интенсивной волны за двумерным фазовым экраном. // Акуст.

журн, 2006. Т.52, №1. С.30-42.

6. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П.. Теория волн. М.: Наука, 1990.

7. Найфе А.. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

8. Гусев В.А. Метод растянутых характеристик в нелинейной геометрической акустике // Акуст. Журн., 2011. Т. 57, № 5.

С.582-590.

9. Голицын Г.С., Романова Н.Н.. Вертикальное распространение звуковых волн в атмосфере с переменной по высоте вязкостью // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1968. Т. 4. №2. С.210-214.

УДК 534. А.В. Николаева, С.А. Цысарь, О.А. Сапожников РАДИАЦИОННАЯ СИЛА, ОКАЗЫВАЕМАЯ ПЛОСКОЙ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНОЙ НА ТВЕРДОТЕЛЬНЫЙ СФЕРИЧЕСКИЙ РАССЕИВАТЕЛЬ В ЖИДКОСТИ Московский государственный университет, физический факультет Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д.1, стр. Тел.: (495) 939-2952;

Факс: (495) 939-2952;

E-mail: niko200707@mail.ru Представлены результаты теоретического анализа и численного моделирования величины радиационной силы, оказываемой плоской акустической волной на упругий сферический рассеиватель. Получены характерные частотные зависимости силы для рассеивателей из разных материалов. Описана схема экспериментальной установки и метод измерения действующей радиационной силы.

I. Введение При рассеянии волн любой природы происходит частичная передача количества движения рассеивающему объекту. Как следствие, волна оказывает силовое воздействие на рассеиватель, т.е.

возникает «радиационная» сила. Указанный эффект известен давно и нашёл ряд применений на практике.

В докладе рассматривается новая возможность практического использования явления радиационного давления в урологии. Известно, что в почках человека могут образоваться камни, со временем увеличивающиеся в размерах, т.е. возникает нефролитиаз (мочекаменная болезнь). В настоящее время существует эффективный метод лечения почечных камней – ультразвуковая литотрипсия, основанная на r r k z O Рис.1. Геометрия задачи рассеяния плоской волны на сфере дроблении камней мощными фокусированными импульсами. Однако иногда не все образующиеся осколки выводятся естественным путём, что приводит к опасности образования новых камней. Для перемещения мелких почечных камней к устью мочеточника может быть использован неинвазивный подход, основанный на радиационной силе, создаваемой ультразвуковым пучком от экстракорпорального Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика источника [1]. В данной работе представлен аналитический метод расчета радиационной силы, оказываемой плоской акустической волной на сферический рассеиватель.

II. Теоретическая модель Алгоритм расчёта состоит из двух основных этапов: сначала решается задача о рассеянии звука на сфере, а затем полученный данные для рассеянной волны используются для расчета радиационной силы.

Рассмотрим идеальную жидкость с плотностью и скоростью распространения звука с. Поместим в жидкость абсолютно жесткую сферу радиуса а и введём сферическую систему координат с началом в центре сферы (рис. 1):

Будем считать, что падающая волна является гармонической. В этом случае акустическое давление, создаваемое этой волной, записывается как:

P i t P * i t, p = e+ (1) e 2 где P – комплексная амплитуда волны, f = (2 ) - её частота. Комплексная амплитуда давления P является решением уравнения Гельмгольца P + k 2 P = 0, где k = c - волновое число. Её можно представить в виде суммы комплексных амплитуд падающей и рассеянной волн: P = Pпад + Pрасс. В случае плоской падающей волны величина Pпад представима в виде следующего разложения [2]:

Pпад = p0 eikr cos = p0 n =0 i n ( 2n + 1) jn (kr ) Pn (cos ), (2) где r и - сферические координаты (см. рис. 1), j n ( ) = (2 ) J n +1 2 ( ) - сферическая функция Бесселя, Pn (cos ) - полином Лежандра. Рассеянное поле представимо в виде похожего разложения [2]:

Pрасс = p0 n =0 bn hn1) (kr ) Pn (cos ), ( (3) где hn1) (kr ) - функция Ханкеля 1-го рода. Коэффициенты bn находятся из граничных условий на ( поверхности рассеивателя. Поскольку жидкость считается невязкой, указанные условия заключаются в непрерывности нормальных компонент скорости и напряжений, а также отсутствии касательного напряжения на поверхности рассеивателя. В частном случае абсолютно жёсткого рассеивателя граничные условия упрощаются и сводятся к одному – условию равенства нулю нормальной компоненты скорости.

Это дает:

bn = i n (2n + 1) j n (ka) (4) (1) hn (ka) Здесь штрих означает производную по аргументу соотвествующей функции. Из (1)-(4) вытекает, что амплитуда полного поля равна:

j (ka) (1) P = p0 n =0 i n (2n + 1) j n (kr ) n1) hn (kr ) Pn (cos ) (5) ( hn (ka) Вторым этапом в построении теории является непосредственный расчет радиационной силы, которая в линейной акустике является квадратичной величиной от акустических возмущений. При ее определении необходимо учитывать величины 2-го порядка малости, не обращающиеся в нуль после усреднения по времени.

В квадратичном приближении радиационная сила записывается в виде интеграла по замкнутой поверхности S, содержащий в себе исследуемый рассеиватель [3, 4]:

[ Ln v(v n ) ] dS F=, (6) ( ) где L = K U = v 2 2 p 2 2 c 2, K – плотность кинетической энергии, U – плотность потенциальной энергии, n - вектор внешней нормали к элементу поверхности dS, v и p колебательная Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика скорость и акустическое давление, скобки. означают усреднение по периоду волны. В случае гармонической волны (1) выражение (6) переписывается через комплексные амплитуды давления P и скорости V = P (i ) :

V 2 n Re V * (V n ) [ ] dS, P (7) F = 4 4 c В случае сферического рассевателя искомая радиационная сила F действует вдоль оси z и имеет единственную компоненту Fz. Её аналитическое выражение получено в работе [5]. Оно было использовано для численного моделирования. Использовались следующие параметры: с = 1500 м/с, = 1000 кг/м3 (вода). Для удобства анализа вводится безразмерная величина Y p, которая определяется ( ) как: Y p = Fz c I a 2, где I – интенсивность падающей волны [6].


Рис.2. Зависимость нормированной величины Yp от частоты f источника.

На рис. 2 приведены частотные зависимости Y p ( f ) для абсолютно жесткого рассеивателя и рассеивателей из нержавеющей стали и стекла, рассчитанные при радиусе шарика a=1 mm. Из графиков видно, что в случае абсолютно жесткого рассеивателя с увеличением частоты удельная радиационная сила быстро растет, однако после достижения частотой значения, при котором радиус рассеивателя становится порядка длины волны, рост замедляется и наступает насыщение - величина Y p практически не зависит от частоты падающей плоской волны. Для стекла и нержавеющей стали картина несколько иная. Для них можно отчетливо наблюдать локальные провалы кривой Y p ( f ), которые соответствуют резонансным упругим колебаниям шарика на указанных частотах. Отметим, что расчеты в двух последних случаях проводились не по формуле (5), а по более сложным формулам, учитывающим возбуждение продольных и сдвиговых волн внутри рассеивателя [5].

Ш. Эксперимент Для подтверждения результатов численного моделирования проведен эксперимент по воздействию поля плоской акустической волны на стальной сферический рассеиватель. Метод основан на регистрации отклонения шарика, подвешенного на тонкой нити, от положения равновесия на определенных частотах под действием радиационной силы. Схема экспериментальной установки приведена на рис.3. В воду помещался излучатель (1) и исследуемый объект (2). Для ограничения влияния на шарик возникающих в жидкости Рис. 3. Схема экспериментальной установки. гидродинамических потоков непосредственно (1) - источник, (2) - рассеиватель, перед шариком располагалась тонкая (3) - поглотитель, (4) - пленка.

звукопрозрачная пленка (4). Чтобы избавиться от отраженных от задней границы бассейна Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика волн, в установку помещен акустический поглотитель (3). В качестве источника (1) использовался плоский пьезокерамический излучатель в виде диска диаметром 100 мм, резонансная частота которого f=1.119 МГц.

Расстояние от источника до шарика подбиралось таким образом, чтобы шарик оказывался в однородной области поля излучателя, которое можно считать полем плоской волны. Зависимости поля от расстояния вдоль оси излучателя предварительно измерялась с помощью гидрофона. Они приведена на рис.4 для частот f=1, 1.119 и 1.2 МГц. Отсюда видно, что интересующая нас область квазиплоских волн находится на расстоянии 250-280 мм от источника. В эксперименте расстояние было выбрано равным 260мм.

Рис.4. Зависимость нормированной величины амплитуды акустического давления на оси излучателя (x=0, y=0) от расстояния z В эксперименте использовались стальные шарики с плотностью = 7900 кг/м3, двух радиусов a1=2.8 мм и a2=2.3 мм. Скорость продольных волн в стали сl=5240 м/с, скорость сдвиговых волн сt=2978 м/с [7]:

На рис.5 представлена зависимость величины радиационной силы от электрической мощности, подаваемой на рассматриваемый излучатель. Расстояние между излучателем и шариком 260 мм.

Рис. 5. Зависимость радиационной силы от электрической мощности, подаваемой на излучатель.

IV. Благодарности Выражаем благодарность В.А. Рожкову за помощь в создании экспериментальной установки. Работа была проведена при поддержке грантов Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ НШ-2631.2012.2, РФФИ 11-02-01189 и 12-02-00114.

ЛИТЕРАТУРА 1. A. Shah, J. D. Harper, B. W. Cunitz, Y. N. Wang, M. Paun, J. C. Simon, W. Lu, P. J. Kaczkowski, and M. R. Bailey, “Focused ultrasound to expel calculi from the kidney,” J. Urol. 187, 739-743 (2012).

2. Ф. М. Морс, Г. Фешбах," Методы теоретической физики, т.2," Москва: ИЛ, (1960).

3. Л. К. Зарембо, В. А. Красильников, "Введение в нелинейную акустику," Москва: Наука (1966).

4. Б. П. Шарфарец, “Анализ работ, посвященных вычислению радиационного давления. 1.Идеальная жидкость и случай малых волновых размеров пограничного слоя,” Научное приборостроение 20 (3), 95-102 (2010).

5. T. Hasegawa and T. Kido, “Frequency dependence of the acoustic radiation pressure on a solid sphere in water,” Acoust. Sci. & Tech. 22 (4), 273-281 (2001).

6. X. Chen and R. E. Apfel, “Radiation force on a spherical object in an axisymmetric wave field and its application to the calibration of high-frequency transducers,” J. Acoust. Soc. Am. 99 (2), 713-724 (1996).

7. И. К. Кикоин "Таблицы физических величин. Справочник," М.: Атомиздат (1976).

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика УДК 534. М.М. Карзова, П.В. Юлдашев, Э. Сальз, С. Оливье, Ф. Блан-Бенон, В.А. Хохлова ОБРАЗОВАНИЕ «НОЖКИ» МАХА ПРИ ФОКУСИРОВКЕ И ОТРАЖЕНИИ ОТ ЖЕСТКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН: ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ФИЗИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ Московский государственный университет, физический факультет, кафедра акустики Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д.1, стр. Тел.: (095) 939-2952;

Факс: (095) 939- E-mail: masha@acs366.phys.msu.ru Образование пространственной структуры типа «ножки» Маха - хорошо известное явление, возникающее при взаимодействии двух сильных ударных волн (числа Маха Mа 0.1) и наблюдаемое обычно при отражении от жесткой поверхности. Возможность наблюдения и описания данного явления в рамках нелинейной акустики, когда акустические числа Маха составляют всего лишь 10-3-10-2, до недавнего времени оставалась неясной. В акустике взаимодействие ударных фронтов наблюдается при отражении от поверхности и при фокусировке высокоинтенсивных нелинейных пучков.

Целью данной работы является численное и экспериментальное исследование указанных выше явлений в случае слабых ударных волн. В численной модели использовалось нелинейное эволюционное уравнение Хохлова-Заболотской-Кузнецова, которое позволяет описывать образование «ножки» Маха в фокальной области периодических и импульсных пучков с числами Маха порядка 10-3. В модельном физическом эксперименте образование «ножки» Маха наблюдалось при отражении N – волны, создаваемой искровым источником, от жесткой поверхности в воздухе. Оптическая визуализация ударных фронтов проводилась с помощью шлирен-метода. Экспериментально оцененные значения критического параметра, соответствующие регулярному и нерегулярному режимам отражения, сравниваются с теоретическими.

I. Введение Исследования отражения ударных волн от поверхностей начались с экспериментов Э. Маха, которые показали, что закон зеркального отражения волн нарушается в случае сильных ударных волн [1].

Более того, в опытах Маха наблюдалась трехволновая структура отражения, когда возникала третья ударная волна, соединяющая точку пересечения фронтов падающей и отраженной волн с поверхностью.

Формирование трехволновой структуры поля при отражении ударной волны от поверхности происходит вследствие зависимости скорости распространения ударной волны от полусуммы давлений непосредственно перед и за ударным фронтом. Вблизи жесткой поверхности ударный фронт отражённой волны накладывается по амплитуде на профиль падающей волны за ее фронтом, и полусумма скачка давлений на ударном фронте отражённой волны оказывается больше соответствующей величины для падающей волны. B результате этого запаздывающий фронт отражённой волны движется быстрее по сравнению с падающей и при oпределённых условиях догоняет её. Это приводит к слиянию двух фронтов и образованию одного общего ударного фронта большей амплитуды. Такой процесс взаимодействия ударных волн получил название нерегулярного отражения, а образовавшийся возле поверхности ударный фронт стал называться «ножкой» Маха, в честь Э. Маха, впервые наблюдавшего это явление.

Теоретическое исследование нерегулярного отражения было начато в 40-х годах прошлого века в работах Дж. фон Неймана [2]. Однако сформулированная фон Нейманом трех-ударная теория описывает структуру фронтов при отражении только для сильных ударных волн, когда акустические числа Маха превышают Мa 0.47 [2]. Для меньших значений чисел Маха теория фон Неймана опровергает существование маховского отражения, в то время как экспериментальные и численные исследования показывают, что нерегулярное отражение наблюдается также и для слабых ударных волн с Мa 0.04 [3].

Это расхождение трех-ударной теории с экспериментальными наблюдениями известно как парадокс фон Неймана [4,5]. Попытки разрешить парадокс фон Неймана предпринимались рядом авторов в работах [2- и др.], однако предметом их теоретического и экспериментального исследования являлись плоские ударные волны, имеющие форму ступеньки, а акустические числа Маха составляли не менее 0.04.

Ударные волны в виде ступеньки являются характерными для аэродинамики, но нереалистичными для акустики. Акустические возмущения с ударными фронтами обычно имеют форму N – волны (волна звукового удара);

несимметричную пилообразную форму (профили мощных ультразвуковых пучков, используемых в медицинских приложениях);

либо форму одиночного импульса с последующей за ударным фронтом фазой разрежения (применяется в литотрипсии). Кроме того, характерные акустические числа Маха для всех вышеуказанных случаев имеют порядок Ма ~ 10-3. Возможность наблюдения нерегулярного отражения для таких слабых (Ма ~ 10-3) акустических возмущений с ударными фронтами впервые была продемонстрирована экспериментально в работе [6] для пилообразных волн, распространяющихся в воде. Насколько нам известно, других экспериментальных исследований по отражению от поверхностей слабых акустических сигналов с ударными фронтами не проводилось.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика Целью данной работы являлось экспериментальное подтверждение нерегулярного режима отражения N - волны от жесткой поверхности в воздухе, а также определение значений критического параметра, соответствующих регулярному и нерегулярному режимам отражения. Кроме этого, в работе было проведено численное исследование возможности описания с помощью нелинейного эволюционного уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова образования пространственных структур типа «ножки» Маха в фокальной области нелинейных периодических и импульсных фокусированных пучков.

II. Описание модельного физического эксперимента, основанного на оптической визуализации ударных фронтов.

Схема установки для оптической визуализации отражения N – волны от жесткой поверхности представлена на рис. 1. Сферически расходящиеся N – волны создавались искровым источником (1), к которому прикладывалось напряжение порядка 15 кВ. На пути распространения N – волны помещалась жесткая поверхность (2), и с помощью шлирен - системы проводилась оптическая визуализация ударных фронтов при отражении. Шлирен - система состояла из источника непрерывного белого света QTH (3), помещенного в геометрический центр сферического зеркала (5), разделителя пучка (4), оптического ножа (лезвие бритвы, 6) и высокоскоростной камеры Phantom V12 CMOS с системой линз (7). Свет, излучаемый источником (3), проходил сквозь разделитель пучка (4) и распространялся через исследуемую область вблизи жесткой поверхности (2). Затем световые лучи отражались от зеркала (5) и проходили исследуемую область второй раз.

Такая шлирен-система позволяет получить оптические изображения (теневые картины) структуры ударных фронтов при отражении, причем яркость полученных изображений будет пропорциональна значению производной давления от Рис.1. Схема экспериментальной установки.

временного профиля волны в данной точке [7]. Наблюдаемый в каждом конкретном случае режим отражения определяется значением критического параметра a, зависящего от амплитуды ударной волны, то есть от акустического числа Маха Ма, и от угла между фронтом падающей волны и перпендикуляром к поверхности: a = sin / 2M a, где – нелинейный параметр [8].

Оптические измерения проводились на расстояниях 4.6 см и 20.7 см от искрового источника, оцененные значения амплитуды N – волны на этих расстояниях составили p0 = 6.33 кПа (Ма = 0.045) и p0 = 0.90 кПа (Ма = 0.006) соответственно. На рис.2 показаны экспериментальные результаты структуры фронтов при отражении переднего фронта N – волны от жесткой поверхности в случае чисел Маха Ма = 0.045 (верхний ряд) и Ма = 0.006 (нижний ряд). Каждое изображение было получено путем усреднения теневых картин и вычитания фона. При скользящем падении ( = 0°) N – вдоль поверхности наблюдается только фронт падающей волны. Режим нерегулярного отражения показан в случаях = 12° (Ма = 0.045) и = 7° (Ма = 0.006). Хорошо видно, что в этих случаях фронты падающей и отражённой волн пересекаются выше поверхности, а возле поверхности образуется «ножка» Маха. При дальнейшем увеличении угла падения нерегулярное отражение переходит в регулярный режим – фронты падающей и отражённой волн пересекаются на поверхности ( = 21° и 30° для Ma = 0.045;

= 12° и 30° для Ma = 0.006).

На рис.3 показаны последовательные кадры нерегулярного отражения при распространении импульса вдоль поверхности для начального угла падения = 12°. На данных изображениях отчетливо наблюдается увеличение длины «ножки» Маха. Изменение структуры фронтов при отражении в данном случае происходит вследствие уменьшения значения критического параметра – при распространении волны вдоль поверхности происходит одновременное уменьшение угла падения и амплитуды волны.

Уменьшение амплитуды волны приводит к увеличению значения критического параметра а, однако на небольших расстояниях от источника изменения этого параметра, связанные с изменением угла падения, являются более существенными, что и приводит в итоге к уменьшению значения а. Для значения акустического числа Маха Ма = 0.045 регулярное отражение наблюдается при углах падения 18°, что Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика соответствует a (0.93±0.22), иначе наблюдается нерегулярный режим отражения, за исключением скользящего падения. В случае Ма = 0.006 отражение регулярно при 8°, т.е. при a (1.05±0.30).

Полученные экспериментальные значения критического параметра, при которых наблюдается переход от регулярного режима отражения к нерегулярному, хорошо согласуются с теоретическим значением a 0.8, полученным в работе [8].

Ma = 0. = = = = Ma = 0. = 00 = 70 = = Рис.2. Результаты оптической визуализации отражения переднего фронта импульса от жесткой поверхности на расстоянии 4.6 см (верхний ряд) и 20.7 см (нижний ряд) от искрового источника. На каждом изображении фронт падающей волны расположен справа, фронт отраженной волны – слева. При скользящем падении = 0° наблюдается только фронт падающей волны.

III. Образование «ножки» Маха в фокальной области периодических и импульсных пучков:

численное моделирование.

Поскольку при фокусировке аксиально-симметричного пучка граничное условие на оси пучка аналогично граничному условию для жесткой поверхности P / = 0, то можно ожидать = формирования пространственной структуры типа «ножки» Маха в фокальной области нелинейных пучков.

В качестве начальных условий в численном моделировании фокусировки нелинейных сигналов были взяты периодическая волна (рис. 4) и биполярный импульс (рис. 5). В качестве граничного условия Рис.3. Увеличение длины «ножки» Маха при использовался фокусированный излучатель с последовательном отражении от поверхности.

равномерным распределением амплитуды. Для описания Начальные значения: Ma = 0.045, = 12°.

фокусировки мощных акустических волн использовалось уравнение Хохлова-Заболотской-Кузнецова, учитывающего эффекты нелинейности, дифракции и поглощения. Для аксиально-симметричных пучков в безразмерных переменных уравнение имеет вид:

P 2 P 1 2 P 1 P P, NP A 2= + (1) 4G 2 где P = p p0 – акустическое давление, нормированное на исходную амплитуду волны p0 на источнике;

= x F – координата вдоль оси пучка, нормированная на фокусное расстояние излучателя F;

= r a0 – поперечная координата, нормированная на радиус излучателя a0 ;

= 2 / T0 – безразмерное время;

= t x / c0 - время в бегущей системе координат;

c0 - скорость звука в воде;

T0 - длительность импульса (в случае гармонической волны - длительность одного её периода). Уравнение (1) содержит три безразмерных параметра: N = 2Fp0 0 c03T0 параметр нелинейности, где - коэффициент нелинейности среды, 0 - плотность среды, G = a02 c0 FT0 параметр дифракции и A – параметр поглощения [9].

На рис. 4 (а) показано временне распределение давления на различных поперечных расстояниях Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Нелинейная акустика от оси поршневого излучателя в случае периодической волны (G = 10, N = 3.0). Это распределение, где величина давления показана цветом.

Соответствующая шкала для уровней давления приведена справа. Распределение построено на безразмерном расстоянии = 0.8 от излучателя, что соответствует фокальной области. На рис. (б) построена производная по времени от двумерного распределения (а), то есть рис. (б) отражает структуру ударных фронтов аналогично теневым картинам, полученным шлирен-методом. Хорошо видно, что вблизи оси пучка наблюдается пространственная структура типа «ножки» Маха. Формирование «ножки»

Маха происходит вследствие того, что в фокальной области в профиле периодической волны содержится два разрыва на одном её периоде (профиль 2 на рис.4). Этим разрывам соответствует центральная волна и p /p p /p0 (а) (а) -0. = 0. -0. = 0.8 -0. 20 -0. 0. 10 0.05 0. - 0. 8 10 12 14 0.1 0 2 4 (б) (б) = 0.00 = 0.02 = 0. initial = 0.000 = 0. initial 1 2 Рис.4. (а) - временне распределение давления на Рис.5. (а) - временне распределение давления на различных поперечных расстояниях от оси различных поперечных расстояниях от оси поршневого излучателя в случае периодической поршневого излучателя в случае биполярного волны. Цветом показаны уровни давления. (б) – импульса. Цветом показаны уровни давления. (б) – производная по времени от профилей волн на производная по времени от профилей волн на фиксированном расстоянии от излучателя. фиксированном расстоянии от излучателя.

краевая. Поскольку фронт краевой волны оказывается выше по амплитуде, он распространяется с большей скоростью и догоняет фронт центральной волны. Область, где фронты краевой и центральной волн образуют единый фронт, как раз и соответствует «ножке» Маха. Аналогичная структура фронтов наблюдалась также в фокальной области поля биполярного импульса при тех же значения безразмерных параметров G = 10, N = 3.0 (рис. 5). Начальный профиль биполярного импульса показан в левом нижнем углу рис.5. На данных распределениях отражена структура переднего и заднего фронтов биполярного импульса. Видно, что структура типа «ножки» Маха формируется только для заднего фронта импульса.

Причины ее формирования такие же, как и в периодическом поле – взаимодействие краевой волны от излучателя с центральной волной. Однако в импульсном поле фронт краевой волны оказывается более пологим (профили 2,3), чем в случае периодического поля, поэтому изображение структуры фронтов на рис. 5(б) является более размытым.

Таким образом, в рамках уравнения ХЗК нелинейной акустики в численном моделировании удается описать эффекты, связанные с образованием пространственных структур типа «ножки» Маха.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.