авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН ...»

-- [ Страница 4 ] --

Данная работа посвящена анализу вынужденных колебаний осциллятора с сухим и вязким трени ем, представляющего собой тело массы m расположенное на твердой сухой горизонтальной поверхности и соединенное с подвижной опорой пружиной жесткости k (рис. 1). Источником возбуждения колебаний осциллятора является движение опоры в горизонтальной плоскости по гармоническому закону:

= a cos( t )+ 0, xs (1) где xs – смещение опоры относительно среднего положения, a, и 0 – соответственно амплитуда, цикли ческая частота и начальная фаза колебаний опоры.

f acos(t+0) fm x.

x k m -fm Рис. 1. Модель осциллятора. Рис. 2. Кусочно-постоянная модель сухого трения.

Будем предполагать, что сила вязкого трения пропорциональна скорости движения тела, а сила сухого трения f между телом и поверхностью описывается кусочно-постоянной моделью (закон Кулона) при дополнительном предположении, что максимальная сила трения покоя fm равна силе трения скольже ния (рис. 2) [1-3]:

f m signпри x x = f m signпри = | | kd f m, 0 и f d x (2) при x 0 и |kd | f m = kd где x – смещение тела относительно положения занимаемого им в момент, когда пружина не деформиро вана, а опора находится в среднем положении, x – скорость тела, d = x a cos( t + 0 ) – деформация пру жины, sign x – функция, определяющая знак величины x. Задача состоит в определении характера движе ния тела x (t ), в зависимости от характеристик осциллятора, параметров колебаний подвижной опоры и начальных условий. Отметим, что с математической точки зрения, задача о возбуждении колебаний ос циллятора подвижной опорой эквивалентна задаче, когда опора неподвижна, а к телу приложена сила величиной ka cos( t + 0 ).

Как показывает эксперимент и численный расчет [4-8] движение осциллятора с сухим трением при гармоническом возбуждении, как при наличии, так и при отсутствии вязкого трения, имеет устано вившийся режим, как и в классическом случае осциллятора только с вязким трением, для которого этот результат можно получить аналитически. При этом, как правило (в зависимости от начальных данных), существует переходный режим, динамика которого была рассмотрена в работе [9]. Существенные резуль таты по анализу установившегося режима колебаний были получены в работах [4-8, 10, 11]. В работе [4] предложен приближенный метод вычисления амплитуды установившихся вынужденных колебаний ос циллятора с сухим трением, основанный на замене постоянной силы трения покоя эквивалентным вязким трением так, чтобы рассеянная за период энергия была одинакова в обоих случаях.

В работах [5, 6] ис пользовался другой метод вычисления амплитуды установившихся колебаний, основанный на предполо жении, что один цикл колебаний в установившемся режиме имеет длительность, равную периоду колеба ний опоры T, и состоит из двух симметричных полуциклов равной длительности, соответствующих дви жению от максимального смещения к равному по модулю минимальному смещению и обратно. Также предполагалось, что на каждом из полуциклов направление движения не меняется. Вычисления были про ведены как для осциллятора только с сухим трением, так и при наличии комбинации сухого и вязкого тре ния. Было рассмотрено два случая, когда движение состоит из непрерывного скольжения и когда полу цикл содержит одну остановку ненулевой длительности. В первом случае в явном виде было получено выражение для зависимости амплитуды колебаний от амплитуды и частоты возбуждающего воздействия и параметров осциллятора. Во втором случае для данной зависимости было выведено трансцендентное уравнение и численно проанализированы некоторые его решения. Приведены также результаты численно го расчета амплитуды возбуждающей силы, при превышении которой в установившемся режиме колеба XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Содержание Нелинейная акустика ний отсутствуют остановки ненулевой длительности. Данный метод был развит в работах [7, 8], где был более подробно рассмотрен случай установившихся колебаний осциллятора при отсутствии остановок ненулевой длительности и при наличии только сухого трения. В частности, сравнением с полученным численно точным решением, определена погрешность данного метода, а также получено дополнительное условие на параметры системы и возбуждающего воздействия, при которых реализуется указанный тип установившегося режима колебаний.

В работах [10, 11] исследовался вопрос о существовании зависимости параметров установившего ся режима колебаний осциллятора с сухим трением (вязкое трение отсутствует) от начальных данных, в число которых входили смещение и скорость тела в начальный момент t = 0, а также начальная фаза ко лебаний подвижной опоры 0. Было показано, что при достаточно малом трении, когда установившийся режим колебаний принадлежит классу характеризуемому отсутствием остановок ненулевой длительности, и частотах возбуждения меньших частоты собственных колебаний осциллятора в отсутствие трения в чет ное число раз, такая зависимость существует. Объясняется это тем, что для данного класса установивших ся режимов существует не только симметричное решение, рассмотренное в работах [5, 6], а целое семей ство решений имеющих равную длительность полуциклов, но различающихся соотношением между мак симальным и минимальным значением смещения колеблющегося тела x. Соответственно в зависимости от начальных данных реализуется один из возможных установившихся режимов из указанного семейства.

Целью данной работы является исследование вопроса о том, сохранится ли указанная зависимость параметров установившегося режима колебаний от начальных данных в рассмотренном выше классе ре жимов (возможно в измененном виде, например, при других частотах возбуждения), если в системе поми мо сухого трения присутствует еще и вязкое трение.

Рассмотрим установившийся режим, принадлежащий рассмотренному в работах [10, 11] классу, удовлетворяющему следующим условиям: непрерывность скольжения (отсутствие остановок ненулевой длительности);

постоянство направления движения на каждом из полуциклов;

длительность каждого из полуциклов равна половине периода колебаний опоры.

Для упрощения записи уравнений, определяющих параметры цикла колебаний в установившемся режиме, удобно, как это было предложено в работе [5], считать началом цикла, соответствующим макси мальному смещению тела, момент времени t = 0. Соответственно колебания опоры необходимо задать в виде xs a cos( t + ), где определяет сдвиг фаз между колебаниями тела и опоры в установившемся = режиме. Имеется в виду сдвиг фаз (временная задержка) между максимальным смещением тела и опоры.

Отметим, что в общем случае, как показано в работе [8], сдвиг фаз между максимальными значениями скорости тела и опоры имеет другое значение. С учетом данного представления колебаний опоры, исполь зуя соотношения (2), получаем уравнение движения тела в фазе скольжения ( x 0 ):

mx + hx + kx + f m sign x ka cos( t + ), = (3) где h 0 – коэффициент силы вязкого трения.

Перейдем в уравнении (3) к безразмерным переменным = t, = x / a :

+ 2 + 2 + 2 sign = 2 cos( + ), (4) где h / (2m0 ), 0 = k / m – частота свободных колебаний осциллятора в отсутствие трения, = = 0 /, = x f / a, x f = f 0 / k – порог страгивания, равный максимальному статическому удлинению пружины, которое могла бы вызвать сила трения покоя. Точка обозначает дифференцирование по.

Первый полуцикл представляет собой движение в отрицательном направлении оси x от макси мального смещения r до минимального l. Ограничимся рассмотрением случая, когда величина вязкого трения относительно мала 1, так что свободное движение осциллятора при наличии только вязкого трения носит колебательный характер. Смещение тела на первом полуцикле 1() ( 0 ) определяется r, решением уравнения (4) при sign = 1 и начальных данных 1 (0) = 1 (0) = 0:

{ = e ( r V cos( ) ) cos 1 2 + 1 ( ) ( r V cos( ) ) + V sin( ) (5) sin 1 2 + + V cos( + ), + 1 2 XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Содержание Нелинейная акустика 2 2 где V = ( (0, ) ). Аналогично определяется движение 2() на вт о, =arcctg (2 1) 2 + ром полуцикле ( 2 ), соответствующее начальным данным 2 ( ) =l, 2 ( ) = :

{ = e ( ) ( l + + V cos( ) ) cos 1 2 ( ) + 2 ( ) ( l + + V cos( ) ) V sin( ) (6) sin 1 2 ( ) + V cos( + ).

+ 1 2 Параметры цикла r, l и определяются условиями “сшивки” решений 1() и 2(), полученных для двух полуциклов. Они представляют собой условия непрерывности смещения и скорости при = и = 2 ( =0 ):

1 ( ) =2 ( ) =l, 1 ( ) =2 ( ) =0, 2 (2) =1 (0) =r, 2 (2) =1 (0) =0, (7) Подставляя в систему (7) выражения (5) и (6), получаем ( ) e L cos 1 2 + L sin 1 2 + V cos( ) =, 2 1 l ( ) e L1 cos 1 2 + L2 sin 1 2 + ( ) L1 1 2 sin 1 2 + L2 1 2 cos 1 2 + V sin( ) =0, +e ( ) (8) e R1 cos 1 2 + R2 sin 1 2 + V cos( ) = r, ( ) R1 cos 1 2 + R2 sin 1 2 + e ( ) + e R 1 2 sin 1 2 + R 1 2 cos 1 2 V sin( ) =0, 1 L1 + V sin( ) R1 V sin( ) где L1 = r V cos( ), L2 =, R1 = l + + V cos( ), R2 =.

1 1 Складывая второе и четвертое уравнения системы (8), получаем ( r + l )sin 1 2 = 0. (9) Если в равенстве (9) первый сомножитель равен нулю r = l, то система (8) имеет единственное сим метричное решение, полученное ранее в работах [5, 6]. Мы не будем подробно останавливаться на том, как меняется симметричный установившийся режим колебаний осциллятора с сухим трением при добав лении вязкого трения. Отметим лишь следующие возможные качественные изменения установившегося режима колебаний рассматриваемого класса.

Как было показано в работах [5, 6], при частотах возбуждения меньших частоты собственных ко лебаний осциллятора в отсутствие трения в четное число раз, амплитуда вынужденных колебаний осцил лятора с сухим трением в установившемся режиме не зависит от величины трения (в определенных преде лах пока величина сухого трения относительно мала, так что установившийся режим принадлежит рас сматриваемому классу). При наличии в системе еще и вязкого трения указанная зависимость существует, то есть появление в системе вязкого трения “включает” влияние сухого трения на амплитуду колебаний при указанных условиях возбуждения и параметрах осциллятора.

Существенно проявляется влияние наличия вязкого трения и при частотах возбуждения меньших частоты собственных колебаний осциллятора в отсутствие трения в нечетное число раз. Анализ, прове денный в работе [11], показывает, что в этом случае установившийся режим вынужденных колебаний ос циллятора с сухим трением рассматриваемого класса невозможен даже при сколь угодно малой величине сухого трения. При этом численный расчет показывает, что вместо него реализуется установившийся ре жим колебаний, отличающийся от рассматриваемого выше наличием смены направления движения внут ри полуцикла. Численный расчет установившегося режима колебаний с учетом вязкого трения при дан ных частотах возбуждения показывает, что даже относительно малое вязкое трения приводит к качествен ному изменению установившегося режима колебаний, что проявляется, например, в появлении остановок ненулевой длительности. Таким образом, при данных частотах возбуждения наличие вязкого трения “уси ливает” влияние сухого трения на установившийся режим колебаний осциллятора.

XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Содержание Нелинейная акустика Для несимметричного по смещению x решения r l, из (9) следует, что sin 1 2 = 0 и соответственно cos 1 2 = ±1. С учетом этих соотношений, складывая первое и третье уравнения сис темы (8), для несимметричного решения получаем равенство e = ±1, которое выполняется (с верхним знаком) только при отсутствии вязкого трения =0. То есть, при наличии вязкого трения в рассматри ваемом классе решений существует только симметричное решение. Отсюда следует вывод, что при нали чии не только сухого, но и вязкого трения зависимость параметров установившегося режима (рассмотрен ного класса) от начальных данных отсутствует.

В заключение отметим следующую интересную особенность вынужденных колебаний резонатора с сухим и вязким трением, которую подробнее предполагается исследовать в дальнейшем. Если вязкое трение пренебрежимо мало по сравнению с сухим трением, которое в свою очередь относительно мало по сравнению с амплитудой возбуждающего воздействия (имеется в виду малость параметра ), так что уста новившийся режим колебаний принадлежит рассмотренному выше классу, то при возбуждении колебаний на частотах меньших частоты собственных колебаний осциллятора в отсутствие трения в четное число раз возможно существование в некотором смысле двух переходных режимов. Действительно, сначала, отно сительно быстро, в основном из-за наличия в системе сухого трения, колебания принимают вид близкий к одному из представителей описанного в работах [10, 11] семейства несимметричных установившихся ре жимов колебаний (включающее в себя и симметричный режим). К какому именно представителю данного семейства будут близки колебания зависит от начальных данных. Это “первый” переходный режим. Если после его окончания колебания носят несимметричный характер, начинается “второй” переходный режим, по окончании которого устанавливается симметричный режим колебаний. Его длительность определяется величиной вязкого трения и может значительно превышать длительность “первого” переходного режима.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 11-02-01060.

ЛИТЕРАТУРА 1. Журавлев В.Ф. К истории закона сухого трения // ДАН. 2010. Т. 433. № 1. C. 46-47.

2. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. Пер. с англ. Изд. 2-е, стереотипное. М.: КомКнига, 2006.

440 с.

3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с.

4. Jacobsen L.S. Steady Forced Vibration as Influenced by Damping // Trans. A.S.M.E. 1930. APM-52-15. P. 169 181.

5. Den Hartog J.P. Forced vibrations with combined Coulomb and viscous friction // Trans. A.S.M.E. 1931. APM-53 6. P. 107-115.

6. Den Hartog J.P. Forced vibrations with combined viscous and Coulomb damping // Phil. Mag. 1930. V. 9. № 59.

P. 801-817.

7. Hong H.-K., Liu C.-S. Coulomb friction oscillator: modelling and responses to harmonic loads and base excita tions // J. Sound and Vibrat. 2000. V. 229. № 5. P. 1171-1192.

8. Hong H.-K., Liu C.-S. Non-sticking oscillation formulae for coulomb friction under harmonic loading // J. Sound and Vibrat. 2001. V. 244. № 5. P. 883-898.

9. Фокин А.В. Динамика переходного режима вынужденных колебаний осциллятора с сухим трением при низ кочастотном возбуждении. // Сб. трудов XXII сессии Российского акустического общества и Сессии Науч ного совета РАН по акустике. Т.I. - М.: ГЕОС. 2010. C. 208-212.

10. Фокин А.В. К вопросу о зависимости от начальных данных установившегося режима вынужденных колеба ний осциллятора с сухим трением. // Сборник трудов Научной конференции "Сессия Научного совета РАН по акустике и XXIV сессия Российского акустического общества". Т. I. - М.: ГЕОС. 2011. С. 138-142.

11. Фокин А.В. Зависят ли параметры установившегося режима вынужденных колебаний осциллятора с сухим трением от начальных данных? // Акустика неоднородных сред. Ежегодник Российского акустического об щества. Сборник трудов научной школы проф. С.А. Рыбака. Вып. 12.- М.: ГЕОС. 2012. С. 70-76.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.