авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Содержание

XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН

Распространение и дифракция волн

УДК 534.2

В.А. Буров, К.В. Дмитриев, С.Н. Сергеев

АКУСТИЧЕСКИЕ ДВАЖДЫ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СРЕДЫ

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Россия, 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, кафедра акустики Тел.: (495) 939-3081;

Факс: (495) 932-8820;

E-mail: burov@phys.msu.ru Акустическим аналогом «левых» сред в электродинамике являются среды с одновременно отрицательными эффективными плотностью и сжимаемостью. Такие среды можно описывать на основе уравнения Липпмана-Швингера, полученного на основе системы уравнений гидродинамики. Моделирование импульсных и непрерывных волновых процессов в слое позволяет заключить, что дважды отрицательные среды без дисперсии противоречат принципу причинности;

предположение гладкого характера дисперсионной кривой приводит к существенному поглощению в них. При этом среды резонансного типа могут обладать в установившемся режиме свойствами дважды отрицательных сред, сохраняя в переходном процессе причинность и не обладая значительным поглощением.

В электродинамике «левые» среды были введены в [1] как среды, у которых одновременно отрицательными являются диэлектрическая и магнитная проницаемости. В таких средах был предсказан ряд необычных эффектов, к числу которых относится фокусировка поля с помощью плоского слоя, отрицательное преломление, антиколлинеарность фазовой и групповой скоростей. Практическая реализация (например, [2]) таких сред привела к появлению большого числа публикаций на данную тему.

При этом необычность наблюдаемых явлений вызывает дискуссии по ряду вопросов. В данной работе рассматриваются акустические аналоги «левых» сред и волновые процессы в них.

Как было показано [3], в качестве акустических аналогов «левых» сред следует рассматривать среды с одновременно отрицательными эффективными параметрами: плотностью и сжимаемостью (дважды отрицательные среды). При этом описание явлений в них на основе волнового уравнения или уравнения Гельмгольца затруднено. Это связано с тем, что в эти уравнения входит квадрат скорости звука, зависящий от произведения плотности и сжимаемости, и информация об их знаке теряется. Поэтому был разработан метод теоретического и численного описания процессов в таких средах, основанный на исходной системе уравнений гидродинамики, в которую плотность и сжимаемость среды входят раздельно. Неоднородную среду можно описывать, представив ее параметры (r ) = 0 + (r ) и (r ) = 0 + (r ) в виде суммы однородных фоновых значений 0 и 0 с координатно-зависимыми добавками (r ) и (r ), которые могут иметь произвольный знак и величину. Тогда на основе системы уравнений гидродинамики может быть получено уравнение типа Липпмана-Швингера, имеющее операторный вид:

[ ] u = E G A1 u0, (1) где u – вектор-столбец полевых переменных (колебательной скорости и давления), u0 v 0 – v p p вектор-столбец, характеризующий падающее поле, E – единичный оператор, G – матричная функция Грина для соответствующей размерности пространства, знак «*» означает операцию свертки, A – оператор, характеризующий неоднородность. В монохроматическом случае, при выборе временнй зависимости в виде ~ exp(it ) этот оператор имеет явный вид A1 i(r ).

0 i(r ) Введенный аппарат позволяет исследовать волновые процессы в дважды отрицательных средах, не используя никаких исходных данных кроме пространственного распределения плотности и сжимаемости в среде. Это, в частности, позволяет не использовать понятие «показатель преломления», знак которого, применительно к дважды отрицательным средам, является неоднозначным [4].

При анализе волновых процессов возникает вопрос о принципиальной возможности создания дважды отрицательных сред с выбранными значениями эффективной плотности и сжимаемости. Так, наличие дисперсии предполагает, в силу соотношений Крамерса-Кронига, присутствие поглощения, которое может быть выражено в мнимых добавках эффективных параметров. При этом результаты, полученные в предположении чисто действительных отрицательных значений этих параметров, могут быть поставлены под сомнение. Поэтому требуется анализ возможных типов дисперсии без каких-либо априорных предположений.

Прежде всего, исследовалась гипотетическая дважды отрицательная среда без дисперсии.

Моделировалось прохождение через слой такой среды по нормали к нему сигнала, являющегося суммой Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн гармонических составляющих. Их частоты менялись от до с шагом 0 1.40 0.050.

Амплитуды задавались по гауссовому закону: A() = 1 exp( ( 0 ) ), где амплитуда центральной 2 волны была принята за единицу. Результат расчета поля колебательной скорости в системе в определенный момент времени представлен на рис. 1.

y 0 B A x 0 2 4 6 8 Рис. 1. Действительная часть рассчитанного поля акустического давления p (r, t ) в фиксированный момент времени при падении на пластину из отрицательного вещества импульсов, являющихся суперпозицией плоских монохроматических волн. Границы пластины обозначены черными горизонтальными линиями.

Стрелками показаны направления распространения импульсов в пластине и в фоновой среде.

При приближении импульса к одной из границ слоя на расстояние, равное его толщине, на второй границе слоя появляется возмущение, которое распадается на два импульса: один продолжает движение в фоновой среде за слоем, второй двигается внутри слоя навстречу первоначальному импульсу. На передней границе слоя происходит их взаимное погашение. Следует отметить, что в силу отсутствия дисперсии в рассматриваемой отрицательной среде, движение максимума огибающей в ней (и определяемая таким образом групповая скорость) происходит в ту же сторону, куда направлена фазовая скорость, т.е. и фазовая, и определяемая указанным образом групповая скорость отрицательны.

Появление импульса в точке B одновременно с приходом импульса в точку A не свидетельствует о нарушении принципа причинности, поскольку рассматривается совокупность нескольких монохроматических процессов, бесконечных по времени. Однако результат моделирования не зависит от числа этих процессов и, следовательно, скважности импульсов. Это позволяет предположить, что и для уединенного сигнала с широким непрерывным спектром ситуация не изменится.

Для проверки этого утверждения необходимо получить уравнение типа (1) на основе исходной системы уравнений гидродинамики, не ограничивающейся монохроматическим случаем. Для одномерного случая такое уравнение имеет следующий вид:

z z v( z, t ) v 0 ( z, t ) p ( z, t ) = p ( z, t ) 2 dz dt c (t t ) 0 (2) 0 0 sgn( z z ) ( z ) 0 v( z, t ).

( z ) 0 t p( z, t ) 0 sgn( z z ) Оно позволяет анализировать распространение сигналов произвольной формы через одномерную систему с произвольным распределением плотности и сжимаемости. На рис. 2 изображен результат моделирования поля акустического давления p( z, t ) при падении импульса гауссовой формы на слой отрицательной среды. По фоновой среде импульс распространяется в положительном направлении, а внутри платины – в отрицательном направлении. При этом, как и в случае присутствия нескольких частот в спектре сигнала, изображенном на рис. 1, при подходе импульса к слою отрицательной среды на расстояние, меньшее его толщины, начинает формироваться возмущение на противоположной границе слоя. Положение импульса в этот момент времени отмечено пунктирной линией. Появление импульса «заранее» на выходе из системы противоречит принципу причинности и свидетельствует о том, что отрицательные среды без дисперсии существовать не могут.

Рассмотрение второго случая предполагает, что в дважды отрицательной среде дисперсия присутствует, но она носит плавный характер и дисперсионная кривая не содержит резонансных всплесков. Рассматривая в качестве функции отклика волновое число k () = k1 () + ik 2 () = c() + i(), где () – амплитудное поглощение в среде, можно установить связь между поглощением и фазовой скоростью волны c с помощью соотношений Крамерса-Кронига.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн p z Рис. 2. Действительная часть промоделированного поля акустического давления в некоторый момент времени при падении по нормали к пластине из отрицательного вещества волнового импульса, имеющего гауссову форму. По горизонтальной оси отложена координата, по вертикальной – величина поля. Затемненная полоса соответствует области, где расположена пластина. Вертикальной пунктирной линией обозначена точка, расположенная от пластины на расстоянии, равном ее толщине.

Данная связь является интегральной, а не локальной по частоте. Из этого следует, что дисперсия в одной области частот не обязательно означает наличие там же поглощения. Задача связать поглощение и дисперсию локальным образом оказывается непростой. В рассматриваемом случае эти характеристики 2 c являются плавными, и тогда применима следующая приближенная локальная связь [5]: () 2.

2c Групповая скорость определяется как c g = k1. Это позволяет выразить поглощение через значения фазовой и групповой скоростей:

2 1 c, () = (3) cg где – длина волны в среде. Из (3) следует, что в случае противоположных по направлению фазовой и групповой скоростей поглощение чрезвычайно велико. Например, при c = c g на расстоянии, равном длине волны, происходит уменьшение амплитуды в exp(2 2 ) 3,7 108 раз, т.е. волна практически не распространяется.

Слабое поглощение реализуется при c c g. При рассмотрении отрицательной среды это означает отрицательность как фазовой, так и групповой скорости при одновременно положительном направлении вектора Умова-Пойнтинга. Фактически, возникает ситуация, аналогичная рассмотренной в разделе 4.1 и противоречащая принципу причинности.

Проведенные рассуждения позволяют ожидать, что волновой процесс в отрицательной среде может проходить без существенного поглощения только тогда, когда дисперсия в среде значительна, например, имеет резонансный характер в интересующей области частот. В этом случае формула (3) не является применимой, и вопрос потребовал дальнейшего рассмотрения.

Третья возможность предполагает среды с резким характером дисперсионной кривой. В частности, рассматриваются среды с резонансным откликом. При этом рассуждения, относящиеся к частотной локализации соотношений Крамерса-Кронига, уже не справедливы, и вывод о поглощении на их основе сделать не удается. Поэтому необходимо рассмотрение процессов распространения нестационарных сигналов через слой резонансной среды. В качестве таких сигналов использовались импульсы с гауссовой формой огибающей, несущая частота которых варьировалась в широких пределах.

Моделирование распространения таких импульсов через среду с нелокальным по времени откликом потребовало расширения численных методов анализа, изложенных в первой главе.

Уравнение, описывающее одномерный резонирующий элемент с резонансной частотой 0 и затуханием, имеет вид (t ) + 2x(t ) + 0 x(t ) = F (t ). Преобразование Фурье этого выражения дает связь x между спектральными компонентами воздействия и отклика элемента. Переход после этого обратно к временному представлению приводит к соотношению Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн F (t ) exp() sin( x(t ) = 0 2 )d QF.

(4) 0 В определенном таким образом операторе Q нижним пределом интегрирования является ноль, что выражает принцип причинности: на текущее значение отклика резонирующего элемента влияют значения внешнего воздействия только в предшествующие моменты времени.

При выполнении моделирования операторы, соответствующие включениям плотности и сжимаемости, брались вида (4), с точностью до размерного коэффициента. Собственное затухание в резонаторах полагалось равным нулю: = 0. В этом случае уравнение (2) принимает вид z z v( z, t ) v 0 ( z, t ) p( z, t ) = p ( z, t ) 2 dz dt c (t t ) 0 (5) 0 0 ( z ) ~ v( z, t ) sgn( z z ) 0 0 d sin(0 ).

0 0 0 ( z ) (t ) p( z, t ) sgn( z z ) ~ Здесь ~ ( z) и ( z) – размерные параметры, характеризующие наличие или отсутствие резонансной ~ ~ ~ среды. При моделировании они полагались равными ( z) = 0 и ( z) = 0 в тех точках, где присутствовала резонансная среда, и равными нулю в фоновой области. Множитель 0 перед интегралом по в (5) введен для соблюдения размерности.

Моделировалась ситуация, при которой на слой такой резонансной среды по нормали, т.е. вдоль [ ] оси Z, падал волновой пакет u0 ( z, t ) = u0 exp[(t z c 0 )]exp (t z c 0 ) 2 2T 2, имеющий огибающую гауссовой формы длительностью T и заполненный колебанием с частотой. В зависимости от соотношения между частотой набивки и частотой 0 собственного резонанса среды наблюдались различные ситуации (рис. 3). На рисунке котангенс угла наклона к оси Z белой стрелки, направленной вдоль черных и белых полос, соответствует значению фазовой скорости звука в среде, (нормированной на c0 ). Скорость может быть как положительной (наклон стрелки вправо на рис. 3а, 3г), так и отрицательной (наклон влево рис. 3б). Вся область рисунка, охваченная черными и белыми полосами, определяет огибающую импульса. Аналогичным образом, котангенс угла наклона черной стрелки, направленной вдоль границы этой области, дает групповую скорость. Групповая скорость оказывается во всех случаях (рис. 3а, 3б, 3г) положительной.

В «высокочастотной» области (она соответствует примерно 20 ) слой ведет себя как положительная среда: на рис. 3а изображен случай = 2.220. Как фазовая, так и групповая скорости при этом положительны.

В диапазоне частот 0 20 фазовая скорость становится отрицательной;

при этом групповая скорость по-прежнему положительна. На частоте = 1.670 (рис. 3б) фазовая скорость волны в слое оказывается близкой по модулю и противоположной по направлению с фазовой скоростью звука в положительной среде. Амплитуда импульса после прохождения через слой несколько уменьшается.

Наличие такого небольшого поглощения вполне позволяет рассматривать волновые процессы в подобных средах. Таким образом, реализуется случай, близкий к случаю обсуждавшегося идеального согласования фоновой среды с отрицательной средой. Результат моделирования прохождения импульса гауссовой формы через такой слой, не обладающий дисперсией, обсуждался ранее и изображен на рис. 2. Следует отметить, что в резонирующей среде не возникает опережающий пакет на выходе слоя, и нарушения принципа причинности не происходит.

Протекание волнового процесса в рассматриваемой резонирующей среде на частотах, соответствующих отрицательной фазовой скорости (рис. 3б), происходит следующим образом. При падении на границу слоя волнового пакета резонирующая среда постепенно начинает «раскачиваться».

При этом в ней запасается некоторая энергия. Граница «раскачанного» участка среды перемещается с групповой скоростью вправо. Амплитуда поля вблизи этой границы обращается в ноль, а впереди нее никакого дополнительного возмущения не возникает. При этом внутри «раскачанного» участка ситуация аналогична наблюдаемой на рис. 2. А именно, волна, заполняющая импульс, зарождается на границе участка «раскачанной» среды и движется влево с отрицательной фазовой скоростью. На передней границе слоя эта волна взаимодействует с падающей волной, и они взаимно гасят друг друга. Если длительность Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн импульса T достаточно велика, то слой переходит в «установившийся» режим. В таком установившемся режиме среда может демонстрировать все свойства отрицательной среды, широко описанные в литературе (например, [6]): возможно отрицательное преломление, линза с повышенной разрешающей способностью и т.д.

c0t 1. 200 200 1. 200 1. 1. 0. 150 150 0. 150 150 0. 0. 0.0 0. 100 100 0. 100 0. -0.5 -0. 50 -0.5 50 -0. 0 -1.0 0 -1. 0 0 -1. -1. 0 25 50 0 25 0 0 25 25 б в г а 20 z Рис. 3. Результат расчета действительной части полного поля колебательной скорости v в системе, содержащей слой из резонансной среды (границы слоя отмечены тонкими белыми линиями). По горизонтальной оси отложена пространственная координата, по вертикальной – величина, пропорциональная времени. Импульс, имеющий огибающую гауссовой формы, распространяется по нормали к слою. Частота модуляции составляет = 2.220 (а), = 1.670 (б), = 0 (в), = 0.670 (г). Угол наклона белой стрелки соответствует фазовой скорости волны в слое, угол наклона черной стрелки – групповой скорости;

0 = 2 c0 0 – длина волны в фоновой среде на частоте 0 резонанса вещества слоя.

В области частот 0 затухание резко возрастает, и волна в слое не распространяется (рис. 3в).

Согласно соотношениям Крамерса-Кронига, наличие дисперсии должно обязательно сопровождаться поглощением. Важно, что в резонансной среде область частот, соответствующая сильному поглощению, может не совпадать с областью, где среда ведет себя как отрицательная.

При дальнейшем понижении частоты, в области 0.50, среда снова ведет себя как положительная (рис. 3г). Поглощение невелико. Особенность этого случая в том, что фазовая и групповая скорости малы, и слой может выступать в роли акустической линии задержки.

Таким образом, показано, что недиспергирующая отрицательная среда противоречит принципу причинности, и поэтому не может существовать. Отрицательная нерезонансная среда обладает весьма значительным поглощением. Единственная оставшаяся возможность – отрицательная среда, обладающая резонансным откликом. Проведенное моделирование показывает, что в такой среде частотная область сильного поглощения может не совпадать с областью проявления отрицательных свойств, и поэтому такая среда в принципе может быть реализована. Движение импульса в этом случае сопровождается движением в противоположных направлениях огибающей импульса и его набивки.

Работа выполнена при поддержке грантов Президента РФ № НШ-2631.2012.2, № МК-2041.2011.5, грантов РФФИ № 10-02-00636, а также при частичной поддержке Правительства РФ (грант № 2010-220 01-077, договор № 11.G 34.31.0005).

ЛИТЕРАТУРА В.Г. Веселаго. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями и // Успехи физических наук.

1.

– 1967. – Т.92. – Вып.3. – С.517-526.

2. Smith D.R., Padilla W.J., Vier D.C., Nemat-Nasser S.C., Schultz S. Composite Medium with Simultaneously Negative Permeability and Permittivity // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. №18. P.4184-4187.

3. В.А. Буров, К.В. Дмитриев, С.Н. Сергеев. Акустические дважды отрицательные среды // Акустич. журн, 2009. Т.55. № 3.

С. 292-306.

4. A. L. Pokrovsky, A. L. Efros. Sign of refractive index and group velocity in left-handed media. // Solid State Communications.

2002. N.124. P.283-287.

5. M. O'Donnel, E.T. Jaynes, J.G. Miller // JASA. 1981. V. 69. No 3. P. 696.

6. Блиох К.Ю., Блиох Ю.П. Что такое левые среды и чем они интересны? // УФН. 2004. Т.174. №4. С.439-447.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн УДК 534. М.А.Миронов ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ СО СПЕЦИАЛЬНЫМ ЗАКОНОМ ИЗМЕНЕНИЯ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ФГУП «Акустический институт им. акад. Н.Н. Андреева»

Тел.: (495) 126-9063;

Факс: (495) 126- Россия, 117036 Москва, ул. Шверника, д. E-mail: mironov@akin.ru Рассматривается распространение изгибных волн по стержню, толщина которого достаточно плавно уменьшается, обращаясь в нуль на конечном отрезке стержня. Скорость распространения волн при приближении к заостренному концу стремится к нулю, а время распространения до заостренного конца оказывается бесконечным. Как следствие, волна, распространяющаяся по стержню, не отражается от его конца. Количественно этот эффект рассматривался ранее в ВКБ-приближении. Дальнейший анализ показывает, что при оптимальном, параболическом заострении соответствующее уравнение изгибных колебаний стержня переменной толщины имеет точные аналитические решения в виде степенных функций. На основе этих решений предложено модифицированное ВКБ-приближение для решений уравнения стержней с непараболическим законом изменения толщины. Вычислен и проанализирован входной импеданс параболически заостренного стержня.

Одним из возможных способов поглощения вибраций в стержнях, пластинах, более сложных конструкций может быть присоединение к ним специальных поглощающих стержней, или пластин [1].

Для поглощения необходимо хорошее согласование по импедансу демпфируемой конструкции и демпфирующего стержня (пластины). Практически это требование выполняется, если сечение демпфирующего стержня выбирается равным, по порядку величины, сечению демпфируемого стержня.

Чтобы снизить массу демпфирующего стержня и увеличить поглощение, сечение стержня следует уменьшать вдоль его оси. Скорость уменьшения сечения должна быть, с одной стороны, как можно большей (для уменьшения общей массы), а, с другой стороны, достаточно плавной, чтобы избежать отражений от промежуточных сечений. Практический способ выбора необходимого закона изменения может быть основан на ВКБ-приближении теории распространения изгибных волн в стержнях и пластинах. В [2] впервые было показано, что теоретически возможно полное поглощение изгибных волн в заостренной по параболическому закону пластине на конечной длине. Скорость изгибных волн при параболическом заострении пластины стремится к нулю при приближении к заостренной кромке, а время достижения волной кромки – к бесконечности. Волна никогда не достигает кромки и, следовательно, не отражается от нее. В [3] дано обобщение этой задачи на случай пластины, покрытой тонким вибропоглощающим слоем. В [4] рассмотрены, в математической постановке, спектральные проблемы для тел с заостренными «шипами». Так же, как и в [2,3], в [4] использовано ВКБ-приближение для вычисления поля в «шипах». Эксперименты, демонстрирующие эффективность поглощения вибраций параболически заостренными пластинами, описаны в [5,6].

В работе [7] получены аналитические решения задачи о волнах в стержне, толщина которого изменяется по параболическому закону, а ширина по степенному с произвольным показателем степени. Аналитические решения имеют вид степенных функций с показателями степени, удовлетворяющими алгебраическому уравнению четвертой степени.

Настоящая работа посвящена развитию результатов работы [7]. Воспроизведены вычисления фундаментальных решений [7]. Предложена модификация ВКБ-приближения, имеющая более низкую частотную границу применимости, чем традиционный метод ВКБ. Вычислена матрица входного импеданса параболического стержня.

Рис.1. Заостренный стержень с Рассматриваются поперечные колебания стержня с зависимостью толщины от осевой прямоугольными поперечными сечениями, меняющимися вдоль координаты h(x). x0 - координата начального сечения, x1 – координата оси стержня (рис.1). h(x ) и d (x ) - толщина и ширина стержня некоторого промежуточного сечения, соответственно (на рисунке изображен стержень постоянной до которого далее вычисляется время ширины). Площадь поперечного сечения S (x ) и момент инерции распространения изгибной волны.

I (x ) равны:

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн S ( x ) = h( x ) d ( x ), I ( x ) = h( x ) 3 d ( x ).

Уравнение для поперечного смещения (x ) гармонически колеблющегося стержня имеет вид S ( x ) 2 + ( EI ( x ) " )" = 0 (1) - частота колебаний;

- плотность материала стержня;

E - его модуль Юнга;

штрих означает производную по координате x.

Далее подробно рассматривается только параболический закон заострения стержня. Выделенность именно этого закона легко понять с помощью ВКБ-приближения решений уравнения (3). Коротко воспроизведем соответствующие выкладки, следуя [2,3]. При достаточно плавном изменении сечения стержня решения (1) можно искать в виде набора четырех волн j ( x ) = A j ( x ) exp(i j ( x )dx ). (2) Локальные волновые числа j (x ) равны S (x ) 1/ i j j ( x) = e 2, j = 0,1,2,3.

EI ( x ) (3) Два вещественных корня ( j = 0,2 ) соответствуют бегущим волнам, два мнимых корня ( j = 1,3 ) соответствуют экспоненциально затухающим волнам. Зависимость амплитуд A j (x ) определяется из закона сохранения энергии.

Критерий применимости ВКБ-приближения заключается в малости изменения толщины пластины на длине волны и в малости изменения локального волнового числа на длине волны. Оба эти условия дают следующее неравенство:

1/ E 12 2 h' ( x ) /[h( x )]1 / 2 1.

(4) Ширина стержня d (x ) в это условие не входит. Нас интересуют стержни, толщина которых стремится к нулю при x 0. Рассмотрим степенные зависимости толщины: h( x ) = x, n 0. Подставляя эту n зависимость в (4), получим условие, налагаемое на множитель и показатель степени n :

1/ E n n 12 2 1.

1/ x При n 2 это условие выполнено только для достаточно больших x, при x 0 оно не выполняется.

При n 2 условие выполняется для достаточно малых x. С приближением x к нулю оно выполняется все лучше и лучше. Показатель степени n = 2 характерен тем, что левая часть последнего неравенства не зависит от x. Условие применимости ВКБ оказывается равномерным по x. Если ВКБ-приближение пригодно для толстой части стержня, то оно пригодно и для тонкой его части – при x 0. Волновое число изгибной волны в стержне при n = 2, определенное из (3), j = 0, стремится к бесконечности при x 0, а фазовая и групповая скорости распространяющихся волн 1/ 4 1/ 12 12 c ph = = 1 / E = 2 1 / Ex x, cg = стремятся к нулю [2,3]. Время распространения волнового пакета с несущей частотой от сечения с координатой x0 до сечения с координатой x1 (рис.1) равно x 1 1/ x dx T= ln 0.

= 1/ 2 x 2 E 2 c x0 g При x1 0 T. Это означает, что волна, вышедшая из утолщенной части стержня, за любое конечное время не дойдет до заостренной кромки и, следовательно, не отразится от нее. Таким образом, стержень конечной длины может полостью поглотить изгибную волну, даже если он выполнен из Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн абсолютно непоглощающего материала. Такой стержень можно назвать вибрационной черной дырой [2,3].

При реализации неотражающего стержня основная трудность заключается в точном исполнении заострения. Компенсировать неточности можно введением потерь в материал стержня, либо нанесением тонкого слоя вибропоглощающего материала на поверхность стержня. Соответствующие расчеты в рамках ВКБ-приближения даны в [3].

Перейдем к получению точных решений уравнения (1). Изменение толщины стержня задаем в виде h0 h( x ) = x, (5) x а изменение ширины в виде d d ( x) = x. (6) x Показатель степени в (6) произвольный, параметры h0, d 0 задают толщину и ширину стержня в начальном сечении x0. Подставляя (5, 6) в (1), получим следующее дифференциальное уравнение bx 2 + ( x 6 + " )" = 0. (7) 2 2 x 2 x0 = 12 2 0 = ( ( h0 ) x0 )4.

b = 12 (8) cY h E h0 1/ ( h0 ) = 12 2 2. (9) ch Y Здесь и далее cY = E - юнговская скорость распространения продольной волны в стержне.

Ищем решение (7) в виде степенной функции ( x ) = x. (10) Подставив (10) в (7) и проведя необходимые дифференцирования, обнаруживаем, что независимая переменная x сокращается и получается алгебраическое уравнение четвертой степени для показателя :

( 1)( + + 4 )( + + 3) b = 0. (11) + 3 уравнение (11) сводится к биквадратному относительно µ :

Заменой = µ 2 + 3 2 2 + 5 µ µ b=0.

2 Решив его, получим четыре значения показателя степени в (10):

1/ + 3 1 + 3 + 5 1 + 3 + 2 2 1, 2, 3, 4 = ± + ± + b. (12) 2 2 2 4 2 2 Нетрудно проверить, что при b 0 (низкие частоты, см. (8)) все корни (12) вещественны. Колебания стержня синфазны во всех точках, волны отсутствуют. В другом предельном случае b (высокие частоты) (12) дает пару чисто вещественных и пару комплексносопряженных корней. Комплексные корни соответствуют распространяющимся волнам, вещественные – нераспространяющимся волнам. Таким образом, имеется полная аналогия со стержнем постоянного сечения, для которого полный набор решений состоит из двух распространяющихся и двух экспоненциально затухающих волн. Критическое значение b, при котором появляется мнимая составляющая, равно:

+ 3 + 5.

2 b* = (13) 2 Соответственно, критическая частота равна:

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн c + 3 + 5 h0 + 3 + 5 h0.

2 cY h * = b * 02 = Y 2= 2 (14) cY 12 12 2 2 2 x0 x0 x Критическая частота зависит от показателя степени, т.е. от скорости уменьшения (увеличения) ширины стержня. Например, при уменьшении ширины стержня по параболическому закону ( = 2 ) критическая 1 5 7 h0 h = * = частота равна 2 = 2.6 cY 02. При неизменной ширине стержня cY 12 2 2 x0 x 1 3 5 h0 h 2 = 1.083 cY 02. Наконец, при = 3 (увеличение ширины до бесконечного * = cY 12 2 2 x0 x значения при x = 0 ) критическая частота равна нулю.

На критической частоте (13) происходит вырождение корней (12) – корни попарно слипаются. Как оказывается, это приводит к особому поведению решения уравнения для амплитуд в стержне конечной длины: детерминант в критической точке обращается в нуль, амплитуды – в бесконечность, но, при этом, напряжения у корня стержня остаются конечными.

Отметим, что рассматриваемую конструкцию можно считать стержнем до тех пор, пока ширина стержня много меньше локальной длины изгибной волны. Если это условие не выполнено, необходимо переходить к рассмотрению пластины переменной толщины. Данная задача выходит за рамки этой работы.

Введем еще один параметр, который может оказаться удобным в практических оценках – полную массу стержня. Полная масса заостренного стержня длиной x0 равна:

x x0 d0 h0, 3.

m = S ( x )dx = (15) 3 + Выражая из этой формулы x0 через m : x0 = m + 3 и подставляя в (14), получим зависимость d0 h критической частоты от показателя степени a при фиксированной массе m и начальном поперечном сечении h0 d + * = cY h0 ( h0 d0 ) 2 ( / m) 2. (16) + 12 Из этой формулы следует, что критическая частота монотонно уменьшается при увеличении от 3 до +. Минимальное значение критической частоты равно min * = 1 cY h0 ( h0 d0 )2 ( / m)2. При этом 12 длина стержня равна x0 =.

Решения, описываемые формулами (10, 12), далее будут использованы для модификации ВКБ приближения и для вычисления матрицы входного импеданса параболически заостренного стержня.

Имея точное решение уравнения для стержня со специальным законом изменения его сечения, можно построить более точное, чем исходное, ВКБ-приближение для произвольного стержня. Дальнейшее изложение проводится для частного случая стержня постоянной ширины = 0 (но переменной толщины). Пусть толщина стержня меняется по произвольному закону h(x ). Аппроксимируем локально h(x ) параболой h( x ) h0 ( x ) = h0 ( x x0 ). Два параметра этой параболы x0 и h0 определим, приравняв x толщину и ее первую производную текущей толщине и ее производной исходного стержня:

h( x ) = h0 ( x );

h' ( x ) = h0 ' ( x ). В результате получим следующие выражения для этих двух параметров::

h0 x x0 = 2h( x ) / h' ( x );

= h' ( x ) 2 / h( x ). (17) x Далее запишем точные решения (10) для аппроксимирующей параболы 0 ( x ) = ( x x0 ) ( b ). (18) Здесь показатели степени (b) определяются по формуле (12) (при = 0 ). Параметр b для Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн аппроксимирующей параболы равен, с учетом (17) h( x ) h' ( x ) 2.

b = b( x ) = 12 4 (19) E dx Перепишем (18) в экспоненциальном виде: 0 ( x ) = exp( (b) ln( x x0 ) ) = exp (b).

x x Далее учтем, что параметры аппроксимирующей параболы h0 (x ) зависят от x. Внося переменную величину [b( x )] под знак интеграла в последней формуле получим, с учетом (19), модифицированное ВКБ-приближение:

h' ( x ), ( x ) 0 ( x ) = exp s( x ) dx (20) 2 h( x ) 1/ 3 1 3 5 1 3 5 2 h( x ).

2 2 (21) s( x ) = ± + ± + 12 E h' ( x ) 2 2 2 2 4 2 2 Точное решение для параболического профиля применимо при любых наклонах h' ( x ). Следует ожидать, что модифицированное ВКБ-приближение (20, 21) имеет менее жесткие ограничения по наклонам, чем для обычного ВКБ-приближения (2). Можно проверить, что при малых наклонах h' ( x ) (20, 21) переходит в обычное ВКБ-приближение (2). Вопрос о пределах применимости модифицированного ВКБ приближения (20, 21) требует дополнительных исследований.

Для анализа демпфирующих возможностей заостряющегося по степенным зависимостям (5,6) стержня необходимо знать матрицу его входного импеданса со стороны утолщенной части. Матрица входного импеданса Z - это матрица 2 2, связывающая силу F и момент M, прикладываемые к торцу стержня, со смещением и углом поворота торца:

F = Z 11 + Z 12 '. (22) M = Z 21 + Z 22 ' При вычислении элементов Z ij матрицы используются уравнения движения стержня M = EI " F = M ' = ( EI " )' (23) 2 S = F ' = ( EI " )" и граничные условия на заостренном конце стержня. Ниже рассматривается частный случай идеального заострения, при котором отраженные волны отсутствуют. Из четырех корней (12) нужно взять те, которые при b соответствуют однородной и неоднородной волнам, уходящих от начального сечения:

( x ) = Ax + Bx. (24) Показатель 2 (комплексный) соответствует распространяющейся в отрицательном направлении оси x волне, а показатель 4 (чисто вещественный) - затухающей в этом направлении волне. Фактически выбор решения в виде (24) обусловлен условием излучения при x 0. Для последовательного доказательства правильности этого условия необходимо рассмотреть более сложную задачу о «дефектной» черной дыре с введенными потерями в материале. Здесь на тонком, но не бесконечно тонком, конце стержня следует поставить условие мягкой, или жесткой границы, решить эту задачу, а затем перейти к пределу стремления дефекта к нулю. Результат этого рассмотрения состоит в том, что представление (24) действительно удовлетворяет условию излучения на частотах, выше критической частоты. Поскольку мы интересуемся именно ситуацией, когда существуют распространяющиеся волны, далее матрица импеданса вычислена именно на основе решения (24).

Для вычисления матрицы Z необходимо выразить M, F через A, B, а A, B выразить через заданные величины, ' в начальном сечении x = x0. Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный результат:

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн EI ( x0 ) EI ( x0 ) b 2 4 ( 2 + 4 + + 3);

Z 12 = Z 11 = ;

x0 ( 4 + + 3)( 2 + + 3).

3 x0 (25) EI ( x0 ) EI ( x0 ) 2 4 ;

Z 22 = ( 4 + 2 1) Z 21 = x x Для удобства представления полезна нормировка, например, на массовый импеданс конечного стержня.

Нужно только под импедансом массы понимать отношение силы к смещению, а не к скорости (как в акустике).

F Z ac = = 2 m = 2 x0 d0 h0.

3 + На рис.2 в качестве примера приведена частотная зависимость компоненты z11 = Z11 / Z ac с этой нормировкой. Мнимая часть z11 ( ), отвечающая за поглощение, отлична от нуля начиная с критической частоты. Далее она резко убывает (модуль нарастает), достигая минимального значения z11, min = 0.39 при частоте, равной примерно 2.1, затем медленно нарастает.

Вещественная часть z11 ( ) нарастает от / * отрицательных значений (импеданс Рис.2. Зависимость импеданса z11 от частоты. массового типа), проходит через нуль при 1 – Re(z11), 2 – Im(z11). Частота нормирована на частоте, равной примерно 13 и далее остается критическую частоту *. Импеданс нормирован положительным (импеданс упругого типа).

на импеданс сосредоточенной массы стержня. Полученные результаты – точные аналитические решения уравнения изгибных колебаний стержня (10, 12), точные значения частоты, начиная с которых и выше существует эффект «черной дыры» (14, 16), модифицированное ВКБ-приближение (20, 21), аналитические выражения для элементов матрицы входного импеданса (25) – могут быть использованы в разработке практических устройств и конструкций для вибропоглощения. К настоящему времени ведутся экспериментальные исследования такого рода конструкций. Эти исследования достаточно полно были представлены на конференции ACOUSTICS 2012 [8]. Рассматриваются потенциальные возможности «черных дыр», щели со степенным заострением в пластинах, композитные пластины и панели, содержащие «черные дыры» и т.п.

ЛИТЕРАТУРА 1. Авринский А.В., Рыков С.А., Пименов И.К. Волноотводный метод снижения вибраций инженерных конструкций // IX Научно-техническая конференция по авиационной акустике. Тезисы докладов / Издательский отдел ЦАГИ - 1989 - с.307-311.

2. М.А.Миронов. Распространение изгибной волны в пластине, толщина которой плавно уменьшается до нуля на конечном интервале// Акуст. журн. – 1988 - Т.34 - №3 - с.546-547.

3. V.V. Krylov, F.J.B.S. Tilman. Acoustic ‘black holes’ for flexural waves as effective vibration dampers Journal of Sound and Vibration – 2004 – V. 274 – p.605–619.

4. Дж. Кардоне, С.А. Назаров, Я. Таскинен. Эффект «поглощения» упругих волн особенностью границы типа клюва// ДАН – 2009 – т.425 - № 2 - с.182-186.

5. V. Pisliakov, M. Mironov, A. Svadkovsky. Vibration of specially tapered beams and plates. Internoise–2000, Nice, France – Proceedings (on CD) 4-2657.

6. V.V. Krylov, R.E.T.B. Winward, Experimental investigation of the acoustic black hole effect for flexural waves in tapered plates // Journal of Sound and Vibration – 2007 – V. 300 - N 1-2 – p. 43-49.

7. М.А.Миронов. Точные решения уравнения поперечных колебаний стержня со специальным законом изменения поперечного сечения вдоль его оси// IX Всесоюзная акустическая конференция / секция Л – с.23-26.

8. Acoustic black hole and applications//Proceedings of ACOUSTICS 2012 – Nantes, France, 23 – 27 April 2012, session NV-S02.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн УДК 534. А.Д.Лапин ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА КАК ОТРАЖАТЕЛЬ МОД В ВОЛНОВОДЕ ФГУП «Акустический институт им. Н.Н.Андреева»

Россия, 117036, Москва, ул.Шверника, д. E-mail: lapin1932@yandex.ru Рассмотрена задача о рассеянии m–ой симметричной моды цепочкой монопольных или дипольных резонаторов, расположенных вдоль оси широкой круглой трубы. Расстояние между резонаторами равно половине длины волны этой моды при частоте, равной или близкой к собственной частоте резонатора при учете присоединенной массы и взаимодействия соседних резонаторов через неоднородные моды. Получено самосогласованное рассеянное поле от дифракционной решетки из Q резонаторов. Найден коэффициент отражения m–ой моды от этой дифракционной решетки.

Резонатор Гельмгольца без диссипативных потерь является эффективным отражателем звука в безграничной узкой трубе [1-3]. На резонансной частоте падающая звуковая волна полностью отражается от резонатора, бегущая волна за резонатором отсутствует. Резонатор Гельмгольца является резонатором монопольного типа. Звуковое поле в узкой трубе можно полностью отразить и при помощи резонатора дипольного типа [4]. Простейшим таковым резонатором является жесткая сфера, присоединенная стерженьком к стенке трубы. Радиус сферы и длина стерженька малы по сравнению с длиной звуковой волны. Под действием падающей волны жесткая сфера на стерженьке совершает осциллирующие колебания и создает рассеянное поле дипольного типа. На резонансной частоте это рассеянное поле полностью уничтожает падающую волну за резонатором. Трение в резонаторе (монопольного или дипольного типа) уменьшает эффективность работы этого резонатора как отражателя волн. Эффективным поглотителем звука в узкой трубе является резонатор монопольно-дипольного типа [5]. Он представляет собой резонатор Гельмгольца, присоединенный стерженьком к стенке трубы. Фактически этот резонатор является комбинацией монопольного и дипольного резонаторов, расположенных в одной точке. При определенном трении (сопротивление трения равно сопротивлению излучения) одиночный резонатор монопольно-дипольного типа полностью поглощает звук резонансной частоты в узкой трубе. Отметим, что при оптимальном трении одиночный монопольный резонатор и одиночный дипольный резонатор поглощают не более половины энергии падающей волны. При помощи системы монопольно-дипольных резонаторов с определенным трением можно полностью поглотить нулевую моду в многомодовом волноводе [6, 7]. Количество требуемых резонаторов можно минимизировать путем определенного расположения их в сечении волновода.

Представляет интерес исследовать эффективность дифракционной решетки, сконструированной из резонаторов монопольного или дипольного типа, как отражателя звука в многомодовом волноводе.

Можно ожидать, что падающая мода будет эффективно отражаться от решетки с пространственным периодом L, равным или близким половине длины волны этой моды. Рассмотрим широкую круглую трубу радиусом r0 и абсолютно жесткими стенками, совместим ось x цилиндрической системы с осью трубы. На оси трубы в точках x = xq, где x= ( q 1) L, q = 1, 2,3,...Q, r,, x координат q установим резонаторы Гельмгольца (сферические сосуды радиусом a и узким горлом) и при помощи тонких жестких стерженьков присоединим их к стенке трубы. Обозначим акустический импеданс и радиус горла одиночного резонатора соответственно через Z и d, d a, где - длина звуковой волны. Цепочка резонаторов Гельмгольца является дифракционной решеткой для звуковых мод (см.

рисунок). Пусть слева на резонаторы падает m-ая симметричная мода с давлением r p L 0 2L x 3L Труба с отражательной дифракционной решеткой для звуковых мод Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн p0 (r, x) = J 0 ( m r ) exp(i m x), (1) m k 2 m, k – волновое где J 0 ( m r ) - функция Бесселя, m - m-ый корень уравнения J1 ( m r0 ) = 0, = число, временной множитель exp(it ) опускаем. Приведем некоторые значения величины µ m m r0 :

µ 0 = 0, µ1 = 3.83, µ 2 = 7.02, µ3 = 10.17, µ 4 = 13.32,... Под действием падающей волны резонаторы колеблются и создают в волноводе рассеянное поле p (r, x), полное поле равно p0 + p.

Обозначим через vq - комплексную амплитуду колебательной скорости в горле q -го резонатора.

Рассеянное поле, создаваемое этим резонатором, получим по формуле c vq k J J 0 ( n r )exp[i n x xq ], =pq (r, x) (2) ( n r0 ) 2S n =0 n где S = r0, = d, и c – соответственно плотность заполняющей среды и скорость звука в 2 ней. Величины vq получим из уравнений движения резонаторов. Для s –го резонатора это уравнение имеет вид Q Z 0 vs = 0 s + pqs }, { p (3) q = где p0s и pqs - средние по площади горла этого резонатора давления в полях p0 и pq, c vq kJ 0 ( n a ) J p0 s J 0 ( m a ) exp(i m xs ), pqs exp[i n xs xq ].

n 0 ( n r0 ) 2S n = Уравнение (3) можно преобразовать к виду Q ( Z 0 + Z ss )vs + * Z qs vq = m a ) exp(i m x s ), J 0 ( (4) q = где Z ss = pss vs - присоединенный импеданс одиночного резонатора, Z qs = pqs vq - взаимный импеданс резонаторов q и s, звездочка над суммой означает, что в ней пропущено слагаемое q = s.

Пусть пространственный период решетки равен половине длины волны m-ой моды и число резонаторов велико. Тогда m-ые рассеянные моды от всех резонаторов складываются синфазно, рассеянные однородные моды с другими номерами гасятся в результате интерференции. По этой причине резонаторы взаимодействуют друг с другом главным образом через рассеянные m-ые моды. Будем считать, что неоднородные рассеянные моды заметно затухают на пространственном периоде решетки. По этой причине ограничимся учетом взаимодействия только соседних резонаторов через эти моды. На s-ый резонатор, где s 2,3, 4,..., Q 1, рассеянные неоднородные моды действуют с силой, равной = { X vs 1 + X vs +1} = Величина X есть компонента взаимного импеданса между соседними 2 X vs.

резонаторами, обусловленная неоднородными модами. Она определяется по формуле c kJ 0 ( n a) X = n L], i exp[ 2 S n = N n J 02 ( n r0 ) где N - число однородных симметричных мод в трубе. На первый и последний резонаторы действуют силы, равные соответственно X v2 = и X vQ 1 =С целью сделать резонансные частоты X vQ.

X v всех резонаторов одинаковыми изменим собственные импедансы первого и последнего резонаторов: Z заменим на ( Z 0 X ). На основе приведенных физических соображений формулу (4) можно преобразовать к виду Q ( Z 0 + Z11 2 X )vs + * Z qsm ) vq = 1) s J 0 ( m a ), ( ( (5) q = где Z qs - компонета взаимного импеданса Z qs, обусловленная m–ой рассеянной модой, (m) Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн c kJ 0 ( m a) exp[i m xs xq ].

=Z qsm ) ( 2 S m J 02 ( m r0 ) Система уравнений (5) имеет решение J 0 ( m a ) vq = (1) q v, v=, [( Z 0 + Z11 2 X ) + (Q 1) R11m ) ] ( где R11 - компoнента сопротивления излучения одиночного резонатора, обусловленная m-ой рассеянной (m) модой, R11 = c kJ 0 ( m a ) {2 S m J 0 ( m r0 )}. Полное рассеянное поле в волноводе получим по (m) формулам k c v Q 2 S J { (1) q exp(i n xq )}J 0 ( n r ) exp(i n x), = p (r, x xQ + a ) n 0 ( n r0 ) q = 0= 1 n k c v Q = { (1) q exp(i n xq )}J 0 ( n r ) exp(i n x).

p(r, x a) 2 S n J 02 ( n r0 ) q = 0= 1 n Амплитуды рассеянных мод с номерами, не равными m, малы по сравнению с амплитудой m -ой рассеянной моды. Это обусловлено тем, что m -ые рассеянные моды от всех резонаторов складываются синфазно, рассеянные моды с другими номерами гасятся в результате интерференции, Q Q (1)q exp(±in xq ) (1) exp(±i m xq ) = q Q.

= 1= q q Коэффициент отражения падающей волны (1) от дифракционной решетки получим по формуле k c v exp(i m xq ) QR11m ) ( Q V= (1) q =.

2 S m J 02 ( m r0 ) [( Z 0 + Z11 2 X ) + (Q 1) R11m ) ] ( q = T = 1 + V. Резонанс резонаторов наступает при частоте 0, Коэффициент прозрачности равен удовлетворяющей уравнению Im( Z 0 + Z11 2 X ) = 0.

При выполнении соотношений = 0, L = [ m ] =0 коэффициент отражения будет V (0 ) = {1 + ( R0 + R11 R11m ) ) QR11m ) }1=0, ( ( (6) N R где R0 = Re Z 0,= Re Z R11 =, R11 - компонента сопротивления излучения одиночного (n) (n) n = резонатора, обусловленная n -ой рассеянной модой. Он асимптотически стремится к (-1) при увеличении числа резонаторов. При = 1, m 0 (одномодовый волновод) формула (6) дает N= R0 V (0 ) = {1 + }.

(0) QR Аналогичным способом рассчитаем коэффициент отражения моды (1) от цепочки дипольных резонаторов. Пусть на оси трубы вместо резонаторов Гельмгольца установлены жесткие сферы радиусом a, прикрепленные при помощи тонких упругих стерженьков к стенке трубы. Под действием падающей волны жесткие сферы на упругих стерженьках совершают осциллирующие колебания и создают дипольное рассеянное поле p. Полное поле в волноводе равно p0 + p.

Обозначим через uq - комплексную амплитуду осцилляций q -го резонатора. Рассеянное поле, создаваемое этим резонатором, получим по формуле ik cuq pq (r, x) =( x xq ) J 0 ( n r ) exp[i n x xq ], sign (7) 2 SJ 02 ( n r0 ) n = где =4 a 3, sign( x xq ) равно (+1) при x xq и равно (-1) при x xq. Величины uq получим из уравнений движения резонаторов. Для s -го резонатора это уравнение имеет Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн Q Z 0us f 0 s + f qs, = q = где Z 0 - собственный механический импеданс одиночного резонатора, f 0s и f qs - компоненты сил давления полей p0 и pq на этот резонатор, направленные по оси трубы. На основе физических рассуждений, использованных при выводе приближенных формул для цепочки резонаторов Гельмгольца, получим приближенные формулы для цепочки дипольных резонаторов. Аналог системы уравнений (5) имеет вид Q ( Z 0 + Z11 2 X )us + * Z qsm )uq = 1) s i m, ( ( (8) q = где Z11 - присоединенный механический импеданс одиночного дипольного резонатора, R11 = Re Z11 N R, R= k c n {2 SJ 0 ( n r0 )}, Z qs - компонента взаимного сопротивление излучения, R11 = (m) (n) 2 (n) n = s q R11m ), X есть механического импеданса Z qs, обусловленная m -ой рассеянной модой, Z qs = (1) (m) ( компонента взаимного механического импеданса между соседними резонаторами, обусловленная неоднородными модами, a 2 k c = i exp[ n L] J 0 ( n a sin ) exp[ n a cos ]cos sin d.

X n = N SJ 0 ( n r0 ) 2 Система уравнений (8) имеет решение uq = (1) q u, u = m [( Z 0 + Z11 2 X ) + (Q 1) R11m ) ]1.

i ( Подставляя uq в формулу (7), получим рассеянное поле от резонатора с номером q. Суммируя рассеянные поля от всех Q резонаторов, получим полное рассеянное поле p. Коэффициент отражения моды (1) от цепочки дипольных резонаторов получим по формуле V (0 ) = + ( R0 + R11 R11m ) ) QR11m ) }1=0, ( ( { где R0 и R11 - сопротивление трения и сопротивление излучения одиночного дипольного резонатора, R11 ) (m компонента сопротивления излучения, обусловленная m -ой рассеянной модой. Он стремится к (+1) при увеличении числа резонаторов. Компонента сопротивления излучения, обусловленная m -ой рассеянной модой пропорциональна m для дипольного резонатора и обратно пропорциональна m для монопольного резонатора. По этой причине цепочка дипольных резонаторов эффективнее отражает моды низких номеров, цепочка монопольных резонаторов эффективнее отражает моды высоких номеров.

Л И Т Е Р А Т У РА Лапин А.Д. Резонатор монопольно-дипольного типа в узкой трубе // Акуст. журн. 2003. Т. 49. № 6. С. 855-857.

1.

Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 436 с.

2.

Ржевкин С.Н. Курс лекций по теории звука. М.: Изд-во Московского университета. 1960. 336 с.

3.

4. Morse P., Ingard U. Theoretical Acoustics. McGraw-Hill, New York,1986. 937 p.


Канев Н.Г., Миронов М.А. Дипольный резонансный рассеиватель звука // Акуст. журн. 2003. Т. 49. № 3. С. 372 5.

375.

Лапин А.Д. Поглощение звука монопольно-дипольными резонаторами в многомодовом волноводе. // Акуст.

6.

журн. 2005. Т. 51. № 3. с. 428-430.

Лапин А.Д. Поглощение звука резонаторами в цилиндрическом волноводе. // Акуст. журн. 2006. Т. 52. № 3. С.

7.

716-719.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн УДК 534. А.А. Клещёв, Е.И. Кузнецова ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ АСИМПТОТИКА ЗЕРКАЛЬНОГО ОТРАЖЕНИЯ ОТ ТЕЛ В ФОРМЕ СФЕРОИДОВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРОВ Санкт-Петербургский государственный морской технический университет 190008, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, д. E – mail: alexalex-2@yandex.ru;

E – mail: KuznetsovaElena1@mail.ru В докладе предложена высокочастотная асимптотика расчёта зеркального отражения для тел в форме сфероидов и эллиптических цилиндров на основе анализа угловых характеристик рассеяния звука подобными телами и сравнения максимального обратного отражения с зеркальной составляющей.

В работах [1-8] предложена модель ветрового волнения в виде решётки эллиптических цилиндров.

Опираясь на эту модель морского волнения, найдём высокочастотную асимптотику для зеркальной составляющей отражения выбранной нами модели волнения. В монографии [6] при анализе угловых характеристик рассеяния звука идеально мягкими вытянутыми сфероидами на высоких частотах было установлено, что зеркальная составляющая отражения для углов падения 0 0 практически совпадает по уровню с максимальным обратным отражением, соответствующим углу падения 0 =. Для определения зеркальной составляющей отражения, дающей основной вклад в разнесенной системе, сравним между собой модули угловых характеристик рассеяния звукомягкого вытянутого сфероида с соотношением полуосей 1:10 ( 0 =1,005) для трех углов облучения 0 =, 0 =, 0 = 30 на высокой частоте (волновой размер C сфероида составил 65) [6, 12, 13].

Сравнение между собой этих трех характеристик позволяет сделать важный для нас вывод о том, что максимумы зеркальных лепестков при косых углах облучения ( 0 = и 0 = ) на высоких ( ) частотах практически совпадают с максимумом обратного отражения при 0 =, D 30, 0 = 0,15386, D ( 60, 0 ) = 0,15231, D ( 90, 0 ) = 0,15163.

Это позволяет на высоких частотах обходиться вычислением только максимума обратного отражения для тела данной конфигурации.

Там же было высказано предположение, что эта гипотеза справедлива и для рассеивателей иных форм, в частности, для эллиптических цилиндров. Для проверки этого предположения применительно к телам в форме эллиптических цилиндров был выполнен расчёт зеркальной составляющей отражения для звукомягкого эллиптического цилиндра в широком диапазоне частот при четырёх углах облучения:, 45, 60 и 90. В работе [8] было показано, что при углах облучен ия отличных от взаимодействием между эллиптическими цилиндрами, аппроксимирующими ветровыми волны, можно пренебречь и рассматривать каждый рассеиватель независимо от других. Угловая характеристика рассеяния одиночного эллиптического цилиндра с номером g Ag ( ) имеет вид [9,10,4]:

Ag = 23/2 () 1/2 e i /4 an cnCen (0, g ;

qg )cen (g ;

qg ) + () g (1) n = +b d n Sen (0, g ;

qg ) sen (g ;

qg ), g n где cn, d n – коэффициенты разложения;

cen (g ;

qg ) – четная функция Матье 1-го рода;

sen (g ;

qg ) – нечетная функция Матье 1-го рода;

Cen (0, g ;

qg ) – модифицированная четная функция Матье 1-го рода;

Sen (0, g ;

qg ) – модифицированная нечетная функция Матье 1-го рода;

qg = hg 2 / 4 ;

an и bng – 2 g неизвестные коэффициенты разложения, определяемые из граничных условий. Способ нахождения этих коэффициентов с помощью функции связи и теоремы сложения для волновых функций эллиптического цилиндра подробно описан в [4, 6, 7]. Для одиночного цилиндра (с номером g = 0 ) неизвестные коэффициенты разложения an и bn находятся из формул:

0 Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн Ce n ( 0,0 ;

q0 ) an = - ce n (0,0 ;

q0 ), Me(n1) ( 0,0 ;

q0 ) (2) Se n ( 0,0 ;

q0 ) bn = - se n (0,0 ;

q0 ).

Ne(n1) ( 0,0 ;

q0 ) Высокочастотная асимптотика обратного отражения для эллиптического цилиндра находится по формуле [6,13]:

R, p0 (3) pS = r где: p0 – давление в падающей волне в месте нахождения рассеивателя;

R – радиус кривизны эллиптического сечения цилиндра в точке, в которой плоскость волнового фронта падающей волны является касательной плоскостью к цилиндру;

r – расстояние от центра цилиндра до точки наблюдения.

Результаты расчётов модулей зеркальной составляющей отражения A ( 0 ) (в зависимости от q1 2 представлены на рисунке. Радиальная координата эллиптического цилиндра была выбрана с помощью работы [11]. Пунктирная линия 5 на рисунке соответствует высокочастотной асимптотике максимального отражения ( 0 = ) в обратном направлении (формула 3). Анализ результатов расчётов показывает, что предложенная гипотеза справедлива и для эллиптических цилиндров. Это подтверждается тем, что все кривые, представленные на рисунке, с ростом q стремятся к пунктирной линии 5. Расчёт зеркальной составляющей отражения в зависимости от q был выполнен для углов 0 =, 45, 60 и 90 ( в последнем случае зеркальная составляющая совпадает с максимальны обратным отражением).

A( 0 ) зеркального отражения для различных углов падения на Рис. Модули мягкий эллиптический цилиндр: 1 - = 300 ;

2 = 450 ;

3 = 600 ;

4 = 900.

0 0 0 ЛИТЕРАТУРА 1. Twerski V. On the Nonspecular reflection of electromagnetic waves // J. Appl. Phys. 1951. V. 22. № 6. P. 825–835.

2. Twerski V. Сertain transmission and reflection theorems // J. Appl. Phys. 1954. V. 25. № 7. P. 859–862.

3. Burke J.E., Twerski V. Scattering and reflection by elliptically striated surfaces // J. Acoust. Soc. Amer. 1966. V.

40. № 4. P. 883–895.

4. Клещёв А.А. Рассеяние звука полутелами, находящимися на границе раздела двух сред // Сб. научн. тр.

ЛКИ. 1975. Вып. 97. С. 24 – 30.

5. Клещев А.А. Об одной модели звукового поля в мелком море со взволнованной поверхностью. // Сб. трудов XVI сессии РАО. 2005. Т. 2. – М.: ГЕОС. С. 160-162.

6. Клещев А.А. Дифракция, излучение и распространение упругих волн. С.-Пб.: Профпринт, 2006. 160 с.

7. Клещев А.А. О двух моделях рассеяния звука взволнованной поверхностью в глубоком. // Сб. трудов XXI ой сессии РАО. М.: ГЕОС, 2009. с. 167-171.

8. Клещёв А.А., Кузнецова Е.И. К вопросу о взаимодействии акустических рассеивателей // Акуст. Журн., 2011, том 57, № 4, с. 495–500.

9. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника,1968.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн 10. Лейко А.Г., Маяцкий В.И. Дифракция плоских звуковых волн на бесконечной решетке из идеально податливых эллиптических цилиндров // Акуст. журн. 1974. Т. 20. № 3. С. 420-425.

11. Заславский М.М., Монин А.С. Ветровые волны. С. 146-181. В кн. «Физика океана» под ред. В.М.

Коменковича и А.С. Монина. М.: Наука, 1978. Т. 2. 456 с.

12. Клещёв А.А. Гидроакустические рассеиватели. СПб.: Судостроение, 1992.

13. Клещёв А.А. Высокочастотная асимптотика флуктуаций рассеянной на модели ветрового волнения звуковой волны в глубоком море. Сб. тр. XIX-ой сессии РАО. М.: ГЕОС, 2007. Т. 1. с. 205-208.

УДК 534.26:534. Перов Д.В., Ринкевич А.Б., Немытова О.В.

ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ ЧАСТОТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ИМПУЛЬСНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ ПРИЕМНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ С КРУГОВОЙ АПЕРТУРОЙ ВОЛНОЙ С КРИВОЛИНЕЙНЫМ ВОЛНОВЫМ ФРОНТОМ Институт физики металлов УрО РАН, Россия, 620990 Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, Тел.: (343) 378-36-97 Факс: (343) 374-52- Эл. почта: peroff@imp.uran.ru;

rin@imp.uran.ru;

mif--83@mail.ru С использованием приближенных методов анализа пространственной структуры поля, основанных на представлениях геометрической акустики, были выполнены исследования частотных параметров импульсных сигналов, получаемых на выходе приемного пьезоэлектрического преобразователя с круговой апертурой при взаимодействии с ним акустической волны с криволинейным волновым фронтом. Показано, что обусловленные кривизной волнового фронта фазовые сдвиги между значениями акустического поля в различных точках апертуры приемного преобразователя приводят, в общем случае, к изменению амплитуды любой спектральной компоненты импульсного сигнала на выходе этого преобразователя по сравнению с ее исходным значением.

Если при этом различным спектральным компонентам исходного импульсного сигнала соответствуют волновые фронты различной кривизны, что всегда имеет место при возбуждении волны источником конечных размеров, то это приводит к дополнительному изменению формы спектра импульсного сигнала на выходе приемного преобразователя. В частности, может происходить существенное смещение частоты спектра, соответствующей его максимальному значению.


Рассмотрим сферический волновой фронт, падающий на плоский приемный преобразователь с круговой апертурой радиуса a. Как показано на рис. 1, волна распространяется вдоль оси 0z, расстояние между излучателем и преемником равно Z, радиус кривизны волнового фронта – R..

(а) y y (б) r Излучатель x B R a r A z 0 R a Приёмник z Z Волновой фронт Рис. 1. Геометрия задачи.

На рис. 1б сплошной и пунктирной линиями схематично показаны два сферических фронта, соответствующих различным фазам колебаний в некоторый момент времени. Очевидно, что различные участки апертуры приемного преобразователя подвергаются воздействию колебаний с разными фазами.

Сигнал на выходе приемного преобразователя является результатом сложения колебаний во всех точках Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн на поверхности апертуры. В случае плоского волнового фронта, падающего нормально на поверхность приемного преобразователя, происходит синфазное сложение колебаний во всех точках апертуры.

Известно [1], что радиус кривизны волнового фронта зависит от расстояния между излучателем и преемником, формы и геометрических размеров излучателя, скорости распространения волны в среде и частоты. Очевидно, что амплитуда и фаза сигнала на выходе приемного преобразователя определяются радиусом кривизны волнового фронта. Следовательно, они будут зависеть и от частоты: R = R( ). Таким образом, при взаимодействии с криволинейным волновым фронтом, приемный преобразователь с плоской апертурой является частотным фильтром.

В таком случае, введем комплексный коэффициент преобразования K ( ) такой системы следующим образом. Рассмотрим отношение сигналов на выходе приемного преобразователя, соответствующих сферическому и плоскому волновым фронтам и определим разность фаз между колебаниями в точках A и B, отмеченных на рис. 1б. Она равна k(r ), где k = – волновое число, – c круговая частота, c – скорость волны, (r ) – радиальное расстояние между волновыми фронтами в зависимости от радиальной координаты r точки B. Согласно рис. 1б, R( ) + (r ) = R 2 ( ) + r 2. Тогда k (r ) = R ( ) + r R( ). Учитывая, что сферический волновой фронт симметричен относительно 2 c оси 0z, получим следующее выражение для комплексного коэффициента преобразования:

a R 2 ( ) + r 2 dr r exp i c. (1) K ( ) = 0 exp i R( ) a c r dr Вычисляя интегралы в (1), получим формулу 2c c 2 K ( ) = i R( ) R ( ) + a exp i R ( ) + a R( ) 1 exp i R ( ) + a R( ). (2) 2 2 2 c c 2 a Зависимость комплексного коэффициента преобразования от нормированной круговой частоты ( a ) c, построенная с использованием выражения (2), представлена на рис. 2а. Заметим, что для плоского волнового фронта R( ) и K ( ) = 1.

Рассмотрим импульсный сигнал с гауссовой огибающей ( ) s(t ) = s 0 exp 2 t 2 cos( 0 t + 0 ), (3) где s 0 – амплитуда сигнала, – константа, определяющая длительность сигнала, 0 = 2f 0, f 0 – несущая частота, 0 – начальная фаза несущего колебания.

Фурье-спектр сигнала (3) можно определить с использованием формулы + S ( ) = s(t )exp(it ) dt.

(4) Подставляя (3) в (4), получим следующее выражение для Фурье-спектра ( + )2 + exp ( 0 ) cos + i exp ( + 0 ) exp ( 0 ) s 2 2 sin. (5) S ( ) = 0 exp 4 4 2 4 2 4 2 Определим зависимость радиуса кривизны волнового фронта от частоты в виде 2 Zc 2 Zc a2 R( ) = 1+. (6) 2c a 2 a 2 Данное выражение следует из параболической теории дифракции [1]. При = 1 формула (6) задает радиус кривизны волнового фронта при гауссовом распределении поля на апертуре излучателя. Другие Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн законы распределения поля изменяют значения радиуса кривизны, что учтено в выражении (6) введением эмпирического коэффициента формы излучателя.

Комплексный аналитический сигнал [2] на выходе приемного преобразователя можно записать в виде обратного преобразования Фурье с учетом комплексного коэффициента преобразования K ( ) и фазового множителя, учитывающего расстояние Z между излучателем и приемником:

+ Z z u (t ) = S ( )K ( ) expi c t d.

1 (7) { } Re K ( ) 1.5 (а) (б) { } Im K ( ) f Нормированные амплитуды f K ( ) 1 1. 0.5 0 0. 0.5 a 0 50 100 150 200 0 5 10 f, МГц c Рис. 2. Зависимость комплексного коэффициента преобразования от нормированной круговой частоты (сплошная линия – вещественная часть, пунктирная линия – мнимая часть, жирная сплошная линия – модуль) – (а);

модули спектров излученного сигнала (сплошная линия), сигнала на выходе приемного преобразователя (пунктирная линия), модуль комплексного коэффициента преобразования (жирная сплошная линия) – (б).

Для дальнейших расчетов будем использовать следующие значения параметров: a = 1.6 мм, Z = мм, c = 5900 м/с, f 0 = 5 МГц, 0 = 4, = 7106 с-1, = 0.1.

Амплитуда, усл. ед.

0. 0. 0 0.5 1 1.5 2 2. t, мкс Рис. 3. Импульсные сигналы: излученный (слева) и полученный на выходе приемного преобразователя (справа). Пунктиром показан сигнал на выходе приемного преобразователя, соответствующий плоскому волновому фронту.

Используя соотношение (7), определим сигнал на выходе приемного преобразователя u (t ) = Re{z u (t )}. Результат представлен на рис. 3, где для сравнения также показан сигнал на выходе приемного преобразователя, соответствующий плоскому волновому фронту. Очевидно, что влияние кривизны волнового фронта приводит к изменению формы сигнала и появления дополнительной временной задержки. Кроме того, согласно рис. 2б, частота максимума спектра на выходе приемного преобразователя меньше, чем у спектра исходного сигнала.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн Определим временную зависимость мгновенной частоты сигнала u (t ), которую можно найти с использованием аналитического сигнала (7), по формуле [2] 1 d zu (t ) f (t ) = ~. (8) Im 2 zu (t ) dt Результат представлен на рис. 4а. где также показана огибающая сигнала на выходе приемного преобразователя и обозначены три момента времени [3]: t 0, соответствующий положению максимума огибающей, а также t1 и t 2, являющиеся координатами точек, в которых величина огибающей составляет половину от максимального значения и располагающиеся, соответственно, слева и справа от t 0.

f (t ),МГц ~ f (t ),МГц ~ 5. (а) Огибающая (б) 1.775 2. анализируе мого сигнала t f 10 4. 4 t t t 2 t 3. t 0 1.6 1.8 2 2.2 0 1 2 3 4 5 t, мкс R(f0), мм Рис. 4. Временная зависимость мгновенной частоты сигнала, полученного на выходе приемного преобразователя (сплошная линия), пунктиром показана зависимость, соответствующая плоскому волновому фронту – (а);

зависимости мгновенной частоты от радиуса кривизны волнового фронта, соответствующие моментам времени t0, t1, t2 – (б).

На рис. 4б представлены зависимости значений мгновенной частоты от радиуса кривизны волнового фронта при f = f 0, которые соответствуют моментам времени t 0, t1, t 2. Заметим, что данные параметры предлагается использовать для классификации отражателей по частотным характеристикам эхо-сигналов в задачах ультразвуковой дефектоскопии [3,4].

Работа выполнена при частичной поддержке программы РАН “Диагностика” и программы президиума РАН (проект № 12-П-2-1057).

ЛИТЕРАТУРА 1. Г. Кайно. Акустические волны: Устройства, визуализация и аналоговая обработка сигналов. – М.: Мир, 1990. – 656 с.

2. Л.А. Вайнштейн, Д.Е. Вакман. Разделение частот в теории колебаний и волн. – М.: Наука, 1983. – 288 с.

3. Д.В. Перов, А.Б. Ринкевич, О.В. Немытова. Взаимодействие импульсных ультразвуковых сигналов с отражателями различного вида. // Дефектоскопия, 2007, №6, с. 25-35.

4. D.V. Perov, A.B. Rinkevich. Acoustic pulse signal diffraction from different reflectors in an elastic medium. // Insight, 2008, v. 50, No 4, p. 216-217.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн УДК 534. А.П. Волощенко, С.П. Тарасов ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ВОЛН НА ПРОЦЕСС ПРОХОЖДЕНИЯ ЗВУКА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ВОДА-ВОЗДУХ Технологический институт Южного федерального университета в г. Таганроге Россия, 347928, Таганрог, Ростовская область, ГСП-17А, пер. Некрасовский, Тел.: (8634) 371795;

Факс: (8634) E-mail: vigcorp@mail.ru, tarasov@fep.tti.sfedu.ru Теоретические и экспериментальные исследования коэффициента прохождения плоских акустических волн из воды в воздух показывают, что его величина незначительна и не зависит ни от частоты излучения источника, ни от глубины его расположения относительно границы раздела, что объясняется малым значением отношения акустических импедансов сред. При прохождении сферических и цилиндрических акустических волн через границу раздела вода-воздух, в большинстве случаев результат будет такой же, как и для плоских волн, что имеет теоретические и экспериментальные подтверждения. Согласно лучевой теории для сферических и цилиндрических волн при прохождении акустической волн из акустически жесткой среды в акустически мягкую среду, излучатель должен находиться на расстоянии большем длины волны от границы раздела. Если данное условие не выполняется, помимо акустической волны, распространяющейся по законам геометрической акустики, необходимо учитывать влияние неоднородной плоской волны, т. к., падая на границу, она возбуждает в воздушной среде обычные плоские волны. Зачастую вкладом неоднородной волной можно пренебречь, так как ее амплитуда быстро затухает по экспоненте. Но на небольших дистанциях данная волна может оказывать существенное влияние на акустическое поле в воздушной среде. В докладе представлены результаты математического моделирования и экспериментов по влиянию плоской неоднородной волны на процесс прохождения через границу раздела вода-воздух.

Практический интерес к изучению волновых процессов на границе раздела вода-воздух был связан с шумами, создаваемыми вертолетами, винтовыми самолетами, сверхзвуковым транспортом и т.д.

Исследовались способы акустического обнаружения и измерения дальности до самолета с подводной платформы, а также возможное негативное влияние данных шумов на морскую флору и фауну. Поэтому теоретические и экспериментальные исследования прохождения звука через данную границу раздела, сосредотачивались на изучении акустического поля в воде, которое образуется в воздухе с помощью воздушных источников. Изучению обратных процессов, т. е. формированию акустического поля в воздухе благодаря мощным подводным источникам, уделялось гораздо меньше внимания. Это связанно с тем, что согласно устоявшемуся мнению, коэффициент прохождения звука через границу раздела вода-воздух незначителен и не зависит ни от частоты излучения источника, ни от глубины его расположения относительно границы раздела, ни от геометрических параметров самого излучателя, а определяется только соотношением акустических импедансов соприкасающихся сред. Для упрощения описания процессов происходящих на границах раздела, вместо волновой теории, применяют лучевую теорию.

Отражение и прохождение плоских волн в случае точечного источника звука подробно рассмотрено в работах [1, 2].

Однако в работах Л. М. Бреховских [3, 4] O теоретически доказано, что использование лучевой теории для сферических и цилиндрических волн имеет ряд z ограничений, связанных с местом расположения источника (приемника) относительно границы раздела. В частности T при прохождении акустической волн из акустически M жесткой среды в акустически мягкую среду (коэффициент D R преломления больше единицы), излучатель должен находиться на расстоянии большем длины волны от x S границы раздела. Если данное условие не выполняется, помимо акустической волны, распространяющейся по Рис. 1. Два пути, которыми излученная волна проходит от излучателя O в приемник S законам геометрической акустики, также необходимо учитывать появляющуюся дифракционную компоненту. Обычно ею можно пренебречь, так как амплитуда возникающей неоднородной волны быстро затухает. Но на малых дистанциях неоднородная волна может оказывать существенное влияние на процесс прохождения образовавшейся преломленной волны. Процесс прохождения акустической волны через границу раздела вода-воздух с учетом влияния неоднородной волны показан на рис. 1. Путь OTS соответствует обычному лучу, построенному по законам Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн геометрической оптики;

путь OMS чужд геометрической акустике. Системой OM горизонтальных черточек отображается неоднородная волна.

Относительно недавно, вопрос влияния неоднородных волн на прохождение низкочастотных акустических волн через границу раздела вода-воздух, получил дальнейшее развитие в ряде статей О. А.

Година [5-7]. В них автор, с помощью математических расчетов, оценивает вклад неоднородных волн в перенос энергии через границу раздела жидкость-газ. Согласно его выводам, неоднородная компонента зависит как свойств граничащих сред (показатель преломления и отношения плотностей), так и от параметров источника (его расположения и типа).

Согласно строгому волновому расчету, поток энергии в воздух может на несколько порядков превосходить величину, предсказываемую лучевой теорией. Более того, при определенных условиях граница раздела становится аномально прозрачной для звука, т.е. практически вся генерируемая подводным источником акустическая мощность излучается в воздух. В согласии с установленным Л. М.

Бреховских правилом [3, 4], дифракционные эффекты существенны, и явление аномальной прозрачности оказывается возможным только на достаточно низких частотах, когда глубина источника меньше или порядка длины звуковой волны [6].

К похожим результатам можно прийти, если исследовать коэффициент прохождения по давлению через границу раздела вода-воздух. Обратимся к математическим расчетам для монополя, сделанным Л.

М. Бреховских в работе [3]. Приведем несколько конечных формул. Уравнение 1 описывает акустическое поле в воздухе (p2), образованное прошедшими через границу волнами. Первый член соответствует приближениям лучевой теории, вторая часть отвечает за неоднородную компоненту. Поделив (1) на (2), описывающее акустическое поле в водной среде (p1), создаваемое источником, находим коэффициент прохождения по давлению через границу раздела вода-воздух (3).

n2 D z0 + ik1 sin( ) i 2 2 cos( )e n 2 cos 2 ( ) + p2 = z n2 D m sin ( ) + n 2 cos 2 ( ) x 30 sin ( ) ( n 2 cos 2 ( ) ) 3 (1) sin ( ), n 2 cos 2 ( ) 2n ik2 R k1z0 i + i 2 + ( ) e n sin ( ) + im n 2 cos 2 ( ) 1 m 1 n k1 R R i1e ik1r p1 =, (2) r n2D z0 + ik1 sin( ) 2 2 cos( )e n cos 2 ( ) z n2 D x 30 m sin ( ) + n 2 cos 2 ( ) sin ( ) ( n 2 cos 2 ( ) ) 3 Kp = +, 1e ik1r (3) sin ( ) n 2 cos 2 ( ) 2n i 2 e ik2 R k1z0 + ( ) n sin ( ) + im n 2 cos 2 ( ) 1 m 1 n k1 R R + 1e ik1r где 1 и 2 – плотность водной и воздушной сред, соответственно;

– круговая частота;

– угол скольжения;

k1 и k2 – волновое число в водной и воздушной среде, соответственно;

D – высота расположения приемника в воздушной среде, R – путь, который проходит неоднородная волна от границы раздела до приемника;

r – расстояние от излучателя до приемника в водной среде (рис. 1).

Построим графики зависимостей коэффициента прохождения по давлению границы раздела вода воздух от частоты источника, его глубины, угла скольжения и высоты расположения приемника в воздухе (рис. 2, 3).

На графиках представлены зависимости коэффициента прохождения по давлению для следующих параметров:

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн - угол скольжения 500, глубина расположения источника 0.15 м, высота расположения микрофона 0.15 м, диапазон излучаемых частот от 1 до 30 кГц (рис. 2);

- угол скольжения 500, частота излучения источника 10 кГц, высота расположения микрофона 0. м, диапазон глубин расположения источника от 0,01 до 1 м (рис. 3).

Сплошная линия – коэффициент прохождения с учетом влияния неоднородных волн. Пунктирная линия – коэффициент прохождения без учета влияния неоднородных волн. Как видно из рисунков 2-3, при определенных условиях, неоднородная компонента вносит существенный вклад в прохождение звука через границу раздела вода-воздух. Чем ниже частота излучателя и его глубина относительно границы раздела, тем больше коэффициент прохождения по давлению.

Теоретический анализ и расчеты показали, что влияние неоднородных волн проявляется в существенном увеличении прозрачности границы раздела вода-воздух. Для проверки существования эффекта аномальной прозрачности и оценки достоверности математических расчетов А. О. Година и Л. М.

Бреховских была проведена серия экспериментов по измерению коэффициентов прохождения через границу раздела вода-воздух [8-10]. Исследования проводились в заглушенном гидроакустическом бассейне.

- - - - - -30 - Kp, K p, дБ дБ - - - -50 - - 0 0.2 0.4 0.6 0.8 -60 z 0, м 0 10 20 f, кГц Рис. 2. Зависимость коэффициента прохождения по Рис. 3. Зависимость коэффициента прохождения по давлению от частоты излучателя давлению от глубины расположения излучателя В качестве источника акустического сигнала был использован широкополосный (1-20 кГц) сферический излучатель, диаметром 50 мм. Чтобы уменьшить влияния мешающего переотраженного акустического сигнала от стенок и дна бассейна, его излучение происходило в импульсном режиме. Для этой же цели, источник был удален от стенок и дна бассейна на расстояния больше длины волны сигнала.

Заглубление излучателя изменялось в пределах от 2 до 30 см. Источник можно отнести к излучателю монопольного типа.

В качестве приемника акустического сигнала прошедшего через границу раздела в воздух использовался ненаправленный динамический микрофон. Рабочая полоса частот микрофона составляет 100-20000 Гц, с неравномерностью частотной характеристики не более 20 дБ. Чувствительность микрофона на частоте 1 кГц не менее 15 мВ/Па.

Рис. 4. Зависимости коэффициента прохождения по Рис. 5. Зависимости коэффициента прохождения по давлению при излучении сферическим источником давлению при излучении сферическим источником Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн Одновременно с измерением акустического поля в воздухе, осуществлялась регистрация акустического поля в воде. Рабочий диапазон частот гидрофона составляет 5-20000 Гц, с чувствительностью 100 мкВ/Па и неравномерностью частотной характеристики не более 6 дБ.

Основная задача эксперимента состояла в получении зависимостей коэффициента прохождения через границу раздела вода-воздух от частоты и глубины. Для сравнения экспериментальных результатов с математической моделью, использовался коэффициент прохождения по давлению.

На графиках представлены зависимости коэффициента прохождения по давлению для:

- сферического излучателя, в диапазоне глубин 2-30 см для частоты излучения источника 10 кГц (рис. 4);

- сферического излучателя, в диапазоне частот 1-20 кГц для глубины расположения источника см (рис. 5);

Гидрофон располагался на расстоянии не менее 2 м от границы раздела, дна и стенок бассейна, чтобы уменьшить влияние переотражений акустического сигнала. Приемник был удален от источника на расстояние порядка 4 м.

Экспериментально полученные значения обозначены крестиками. Кривая – усредненная экспериментальная зависимость коэффициента прохождения по давлению от частоты или глубины.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.