авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН ...»

-- [ Страница 2 ] --

Сравнение и анализ графиков (рис. 2-5) показывает, что полученные теоретические и экспериментальные зависимости существенно расходятся с лучевой теорией [1, 2], и имеют частотно- и глубинно-зависимый характер. Чем ниже частота излучения источника и, чем ближе он расположен к границе раздела сред, тем выше коэффициент прохождения границы раздела вода-воздух. Кривые зависимостей имеют схожий характер, а отличаются только крутизной нарастания и количественными значениями. Экспериментальные результаты качественно совпадают с теоретическими расчетами [5-7].

Влияние неоднородных волн приводит к увеличению прозрачности границы раздела вода-воздух на низких частотах при расположении точечного источника на расстояниях меньших длины волны от границы. Полученные результаты показали, что данный вопрос требует более подробного экспериментального изучения.

Аномальная прозрачность границы воды и воздуха в диапазоне низких звуковых и инфразвуковых частот может иметь важные следствия в целом ряде геофизических, биологических, экологических и прикладных проблем, таких как генерация низкочастотного шумового поля в атмосфере воздушными пузырьками, схлопывающимися под поверхностью океана, нагрев верхней атмосферы инфразвуком, генерируемым под водой, понимание роли слуха у хищных птиц в их охоте на морских животных и выяснение возможности мониторинга и оценки энергии мощных подводных взрывов путем инфразвуковых измерений в атмосфере.

ЛИТЕРАТУРА Исакович М. А. Общая акустика. – М.: Наука, 1973. – 496 с.

1.

Лепендин Л. Ф. Акустика. – М.: Высшая школа, 1978. – 448 с.

2.

Бреховских Л. М. Отражение и преломление сферических волн // УФН. 1949. Т. 38. № 1. С. 1-41.

3.

Бреховских Л. М., Годин. А. О. Акустика слоистых сред. – М.: Наука, 1989. – 416 с.

4.

5. Godin O. A. Anomalous Transparency of Water-Air Interface for Low-Frequency Sound // Physical Review Letters, V. 97. – 2006. - № 16. - p 29.

6. Годин О. А. Прохождение низкочастотного звука из воды в воздух // Акустический Журнал, Т. 53. – 2007. № 3. – С. 353-361.

7. Godin O. A. Sound transmission through water-air interfaces: new insights into an old problem // Contemporary Physics, V. 49. – 2008. - №. 2. - P. 105-123.

8. Тарасов С. П., Волощенко А. П. Исследования акустической прозрачности границы раздела вода-воздух // Доклады XIII школы-семинара им. акад. Л. Б. Бреховских «Акустика океана», совмещенной с XXIII сессией Российского Акустического общества. – М.: ГЕОС, 2011, С. 155-158.

9. Волощенко А. П., Тарасов С. П. Экспериментальные исследования эффекта аномальной прозрачности границы раздела вода-воздух для низких частот // Сборник трудов научной конференции «Сессия научного совета РАН по акустике и XXIV Российского акустического общества» – М.: ГЕОС, 2011, Т. 1. – С. 202-204.

10. Волощенко А. П., Тарасов С. П. Экспериментальная проверка математической модели эффекта аномальной прозрачности // Сборник тезисов НИТ-2011, материалы XVI Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и образовании». – Рязань: Рязанский государственный радиотехнический университет, 2011, С. 284 - 286.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн УДК 534. Д.Е. Сыресин1,2, Т.В. Жарников ВЛИЯНИЕ РАДИАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ НА ДИСПЕРСИЮ СОБСТВЕННЫХ МОД В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ Московский Физико-Технический Институт 1) Россия, 141700 Долгопрудный, Институтский переулок E-mail: densyr@rambler.ru Технологическая компания “Шлюмберже” 2) Россия, 119285 Москва, ул. Пудовкина Методы определения дисперсионных кривых собственных мод в радиально неоднородных средах имеют важное значение при разработке приборов и анализе данных в задачах неразрушающего контроля, акустического каротажа скважин и др.

Часто, сложная структура рассматриваемых сред приводит к возникновению анизотропии упругих свойств. В данной работе представлен метод расчета дисперсионных кривых для радиально неоднородных анизотропных волноводов, основанный на применении матричного уравнения Риккати для матричных импедансов. Показано, что этот метод может быть сформулирован для любых сред, тензор модулей упругости которых не зависит от азимутального угла. В данной работе представлены выражения для матричных коэффициентов уравнения Риккати в случае трансверсальной анизотропии среды. Для иллюстрации его возможностей были вычислены дисперсионные кривые для мод, распространяющихся в оболочках, состоящих из композитных волокнистых материалов. Было показано, что внутренняя структура этих оболочек и неоднородность ее упругих свойств качественно влияет на поведение этих кривых.

Введение Одна из основных целей анализа волноводов состоит в определении дисперсионных кривых собственных мод. Такая задача постоянно возникает в разнообразных приложениях, например, в неразрушающем контроле конструкций и трубопроводов, в геофизике нефтегазовых скважин и т.д. Для анализа волноводов с произвольной радиальной неоднородностью можно воспользоваться матричным уравнением Риккати для матричных импедансов. Значительный вклад в развитие этого метода внесли Тютекин, Шувалов и Норрис [1-3]. В связи с развитием техники и приложений, в последнее время все большее значение приобретает анализ анизотропных волноводов. В данной работе предлагается обобщение матричного уравнения Риккати на случай радиально неоднородных цилиндрических волноводов в анизотропных средах, тензор модулей упругости которых не зависит от азимутального угла.

Как следует из вывода, это предположение оказывается существенным. Статья построена следующим образом. Сначала, исходя из уравнений движения и закона Гука, приводится вывод уравнения Риккати для анизотропной среды и получаются выражения для его матричных коэффициентов. Последние приводятся в явном виде для важного частного случая TIV анизотропии. Затем обсуждаются ограничения, накладываемые предположением о независимости тензора модулей упругости от азимутального угла, и их следствия. Возможности предложенного обобщения иллюстрируются на примере оболочки из композитного волокнистого материала, аналогичного изучаемому в работе [4]. Рассматриваются три случая обмотки оболочки: волокна расположены вдоль направляющих волновода, перпендикулярно ему, и случай, когда волокна меняют свою ориентацию (угол намотки) в зависимости от радиальной координаты внутри слоя.

Матричное уравнение Риккати для анизотропных сред с азимутальной симметрией Для вывода уравнения Риккати удобно работать в частотном представлении и использовать обозначения Фойгта [5]. Введем вектор смещений u =(ur,u,uz) а также вектора =(rr,r,rz) и ~ =(,, ), составленные из компонент симметричного тензора напряжений. Управляющие zz z уравнения включают уравнения движения и закона Гука 2 u =, = C, (1) где r, и C означают плотность, частоту и тензор модулей упругости, соответственно, а – вектор, являющийся записью тензора смещений в обозначениях Фойгта. Используя представление дивергенции тензора напряжений в цилиндрических координатах r = (r,, z), и выделяя часть, которая содержит производные по радиусу, правую часть уравнения движения можно представить в виде ~~ = E r + D + D.

(2) ~ Здесь E – единичная матрица. Дифференциальный операторы D и D имеют следующий вид:

r 1 z r ~ r 1 D= 2r 1 0, D = r z, (3) 0 r 1 0 r z Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн Они содержат только производные z и. Выражая вектор смещений u через тензор деформаций (См.

[5]), можно записать закон Гука = CD(S ) r u + CD( S ) u, (4) где матричные дифференциальные операторы D(S) и D(S) имеют следующий вид T 1 0 0 0 0 T 0 r 1 z r 0 D = 0 0 0 0 0 1, D = 0 r 0 z 0 r 1.

(S ) (S ) (5) 0 0 0 0 0 1 0 z r 1 0 Предположим теперь, что задача допускает решение u = e i (kz+n t ) u (r ), = e i (kz+n t )(r ). (6) В этом случае операции дифференцирования по координатам z и сводятся к умножению на множители ik и in. Если к тому же тензор модулей упругости не зависит от угла, введенные выше матричные дифференциальные операторы превращаются просто в матрицы с элементами, зависящими от r, k, n, и уравнения (1) сводятся к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти уравнения после определенных алгебраических преобразований могут быть представлены в виде матричного телеграфного уравнения [6]:

u u Q r = P S, (7) где матрицы Q, P, S и выглядят следующим образом:

~~ ~~ ~~ = A -1u, P = 2 E + DA u DA u A -1u A u, Q = A -1u A u, S = D + DA u A -1u.

(8) ~ ~ Матричные дифференциальные операторы A u, A u, A u и A u не содержат производных по координате r.

Первая, вторая и третья строки 3х3 матриц A u и A u получаются, если взять первую, шестую и пятую ~ ~ (S ) строки матриц CD(S ) и CD, соответственно. А первая, вторая и третья строки 3х3 матриц A u и A u получаются, если взять вторую, третью и четвертую строки матриц CD(S ) и CD( S ), соответственно.

Для перехода к уравнению Риккати введем матричный импеданс = Zu. Используя данную замену в уравнении (7) и учитывая произвольность вектора u, можно прийти к уравнению Риккати r Z + Z Z + ZQ + SZ + P = 0. (9) Обсудим теперь ключевые моменты и предположения, делающие возможным построение уравнения Риккати для матричного импеданса. В приведенном выше выводе использовались предположения о виде решения (формула (6)) и независимости тензора модулей упругости от угла.

Первое из них соответствует рассмотрению одной Фурье-компоненты решения. В общем случае его подстановка в уравнения приводит к бесконечномерной системе уравнений на коэффициенты Фурье, в которых гармоники разными азимутальными числами n оказываются связанными друг с другом (через коэффициенты бесконечномерной матрицы). Однако если воспользоваться вторым предположением, то упомянутая матрица становится блок-диагональной. Это позволяет рассматривать гармоники с разными n независимо и получать уравнение Риккати (9) для фиксированного n.

Для аксиально-симметричных сред с произвольной анизотропией формулы (8) позволяют получать выражения для матричных коэффициентов уравнения Риккати Q, P, S и. В общем случае их запись в явном виде оказывается громоздкой, поэтому мы ее не приводим. Читатель может получить эти выражения самостоятельно.

Важным частным случаем анизотропии, не зависящей от азимутального угла, является TIV анизотропия [7], для которой тензор модулей упругости имеет блок-диагональную структуру с матричными блоками C11 2C C13 C11 C 44 C1 = C11 2C66 C13, C 2 = 0 0. (10) C11 C C33 C C C13 Для данного типа сред можно показать, что матрицы Q, P, S и выражаются как Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн (1 2C66 / C11 ) (1 2C66 / C11 )iv C13 / C11ikr C11 0 1, = 0 C66 0, (11) Q= in 1 0 C44 r 0 ikr 0 in ikr M inM 2ikrC66 C13 / C 2C66 / C 1 S = (1 2C66 / C11 )in 2 0, P = E 2 inM k r C 44 + n M, 2 22 nkrM (C33 C13 C11 )k r + n C r r 2ikrC66 C13 / C 2 22 C13 / C11ikr 0 1 nkrM где введены обозначения: M = 4C66 (1 C66 C11 ) и M 2 = 2C13C66 / C11 + C 44.

Результаты и обсуждение Перейдем теперь к обсуждению результатов расчета, иллюстрирующих применение предложенного подхода. В качестве примера проведем расчет дисперсионных кривых для оболочек из композитного материала с волокнами, обладающими осью анизотропии. Рассматриваемый волновод состоит из множества слоев, намотанных друг на друга. Угол намотки волокон при этом может меняться в зависимости от радиальной координаты r. Тогда, в цилиндрической системе координат, тензор модулей упругостей оказывается зависимым только от этой координаты, что позволяет сформулировать матричное уравнение Риккати (9) и рассчитать дисперсионные кривые. Параметры волокнистого материала (модули упругости и плотность) были выбраны такими же, как и в примере, рассмотренным Тофихи [4]. При расположении волокон параллельно или перпендикулярно оси волновода, тензор модулей упругости имеет блок-диагональную структуру C = diag (C1, C 2 ) или C = diag (C1, C ), соответственно. В этом случае матрицы Q, P, S и для каждого значения r рассчитываются по формулам (11). При наклоне оси волокон относительно оси z на угол тензор модулей упругости C имеет более сложное представление. Для нахождения значений его элементов необходимо воспользоваться преобразованием координат, заключающимся в повороте координат, связанной с волокном, относительно оси z :

C = a ik a jl a kr a ls C pqrs, (12) ijkl где матрица преобразования a имеет следующий вид:

cos 0 sin a= 0 0. (13) sin 0 cos Для расчета матриц Q, P, S и, соответствующих данному тензору упругости, необходимо воспользоваться их полным выражением, которое следует из формул (8).

Результаты вычислений показаны на Рис.1. Сплошные, пунктирные и штрихпунктирные линии соответствуют трем типам ориентации волокон, рассматриваемых в данной работе. Кривые, показанные сплошными линиями определены для волокон, ориентированных вдоль оси волновода (модуль упругости C для этого случая приведен в уравнении (13) работы [4]). Пунктирным линиям соответствуют волокна, располагающие перпендикулярно оси z (см. уравнение (12) в работе [4]). Штрихпунктирные линии обозначают дисперсионные кривые для оболочки, в которой ориентация волокон (угол ) линейно меняется с перпендикулярной – на внешней границе, до параллельной – на внутренней. Этот случай соответствует радиально неоднородной среде. Согласно формуле (12), тензор модулей упругости зависит от радиуса r. Внутренний r0 и внешний r1 радиусы оболочки были выбраны равными 0.1 м и 0.12 м, соответственно, а границы оболочки рассматривались как свободные.

Фазовые скорости рассчитывались как V = r0 n для кривых, показанных на левом графике, и как V = /k для случая, изображенного на правом рисунке. Данные примеры иллюстрируют случай круговых волн (левый рисунок) и аксиально-симметричных мод (правый рисунок). Их рассмотрение особенно важно для задач неразрушающего контроля. Видно, что в каждом из рассмотренных примеров анизотропия среды и ее радиальная неоднородность оказывают значительное влияние на дисперсию собственных мод. Различные варианты намоток приводят к возникновению особенностей в поведении дисперсионных кривых. Анализ этих особенностей потенциально может быть использован, например, для контроля качества изготовления реальных оболочек.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн Рис. 1. Дисперсионные кривые собственных мод анизотропной оболочки. Левый и правый графики иллюстрируют их поведение при k=0 m=0, 1 и n=0 m=0, 1, соответственно.

Заключение В данной работе предложено обобщение матричного уравнения Риккати на случай радиально неоднородных анизотропных цилиндрических волноводов и получены формулы для вычисления его матричных коэффициентов. В общем виде эти выражения оказываются довольно громоздкими. Они допускают существенное упрощение для важного частного случая TIV анизотропии, для которого приводятся явные выражения. Для того чтобы сделанное обобщение было возможно, существенным оказывается предположение о том, что тензор модулей упругости не зависит от азимута. Это позволяет рассматривать различные азимутальные гармоники в решении как независимые. Нарушение указанного предположения приводит к перемешиванию азимутальных гармоник между собой. Математическим выражением этого факта является то, что в случае произвольной анизотропии система уравнений для матричных импедансов становится бесконечной. Для ее решения необходимо использовать какие-либо приближения, например для слабой зависимости от угла ее можно обрезать, воспользовавшись малостью взаимного влияния далеких гармоник.

В качестве иллюстрации возможностей метода, были рассчитаны дисперсионные кривые для цилиндрической оболочки из композитного материала. Было показано качественное влияния неоднородности и внутренней структуры таких оболочек на поведение дисперсионных кривых. В частности, анализ особенностей поведения этих кривых может служить индикатором качества оболочки и ориентации волокон материала. Практическая ценность данной работы обусловлена растущим вниманием к анизотропным волноводам. В частности, ее результаты могут представлять интерес для неразрушающего контроля трубопроводов, акустического каротажа нефтегазовых скважин и т.д.

ЛИТЕРАТУРА Мачевариани М.М., Тютекин В.В., Шкварников А.П. Импедансный метод расчета характеристик упругих 1.

слоисто-неоднородных сред //Акуст. журн. 1971. Т.17. Вып. 1. с. 91-101.

2. Norris, A. N. and Shuvalov, A. L. Wave impedances matrices for cylindrically anisotropic radially inhomogeneous elastic solids //Quart. J. Mech. Appl. Math. 2010. V.63. № 4. pp. 401-435.

3. Shuvalov, A. L. and Every, A. G. Some properties of surface acoustic waves in anisotropic-coated solids, studied by the impedance method //Wave Motion 2002. V.36. № 3. pp. 257-273.

4. Towfighi S., Kundu T. and Ehsani M. Elastic wave propagation in circumferential direction in anisotropic cylindrical curved plates //J. App. Mech. 2002. V.69. pp.283-291.

5. Auld B. A. Acoustic fields and waves in solids, Second edition, Malabar Florida: Krieger Publishing Company, Inc.

1990.

Захар-Иткин М. Х. Матричное дифференциальное уравнение Риккати и полугруппа дробно-линейных 6.

преобразований //УМН. 1973. Т.28. Вып. 1. c. 83-120.

Thomsen L. Weak elastic anisotropy //Geophysics 1986. V.51. № 10. pp. 1954-1966.

7.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн УДК 534. 84: 534. Эль-Мораби Х. М.

РЕКОНСТРУКЦИЯ ЗАГЛУБЛЕННОГО ОБЪЕКТА В УПРУГОМ СЛОЕ С ПОМОЩЬЮ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ВОЛН: ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ФГОУ ВПО «Южный федеральный университет»

Россия, 344090 Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а Тел: +7(952)5685140;

Факс (863) 2975113;

E-mail: kelmorabie@mail.ru Рассмотрена плоская задача о восстановлении параметров неизвестной полости в упругом изотропном слое постоянной толщины на основании информации о поле перемещений, измеряемом на его границе в ультразвуковом сканировании.

Прямая задача решается в режиме гармонических колебаний и сводится к граничному интегральному уравнению дифракции упругих волн на поверхности дефекта с помощью тензора Грина. Поле перемещений рассчитывается на основе численного метода коллокации, который сводит задачу к линейной алгебраической системе. Для решения обратной задачи идентификации геометрии полости построен быстрый численный алгоритм, которой позволяет определить геометрические параметры дефекта и его месторасположения. Некоторые численные примеры демонстрируют устойчивость предложенного алгоритма.

Рассматривается прямая и обратная плоская задача о рассеянии ультразвуковых волн на заглубленном объекте в упругом изотропном слое постоянной толщины h [1-2]. Задача решается в гармоническом режиме. Выберем декартовы координаты (y1, y 2 ) так, чтобы горизонтальная ось совпадала с нижней границей y 2 = 0, а верхняя граничная поверхность –с линией y 2 = h, см. рис.1. Колебания нагрузкой pi ( y1 ), приложенной на границе слоя y 2 = h.

вызываются осциллирующей с частотой После отделения временного множителя exp(i t ) проблема может быть сведена к следующей краевой задаче ij, j + 2 ui = 0, ij = u k, k ij + µ (ui, j + u j,i ) (1) = 0, i 2 = pi, ui y2 =0 y2 = h ij n j = 0 i, j = 1, где - плотность среды, ij -тензор напряжений, ui - компоненты вектора перемещений, ni - компоненты единичного вектора внешней нормали к гладкой границе объекта. Замыкают постановку задачи условия излучения волн на бесконечности, при формулировке которых используется принцип предельного поглощения [3]. Основным способом исследования краевой задачи (1) в плоских и антиплоских случаях является предварительное сведение её к интегральному уравнению или системе интегральных уравнений на основе идей теории потенциала [4]. Этот способ требует построения функций Грина Gi( m ) ( y, x) = Gmi ( y, x) для слоя с граничными условиями, которые выполняются для краевой задачи.

Таким образом, функции Грина находятся из системы G1(,m ) + c 2G1(,m ) + (1 c 2 ) G2,m ) + k p G1( m ) = 1m ( y, x) / c 2, ( 11 22 12 p (2) G2, 22 + c G2,11 + (1 c ) G1,12 + k p G2 = 2 m ( y, x) / c (m) 2 (m) 2 (m) 2 (m) p = 0, 12 ) = 22 ) = 0, i = 1, Gi( m ) (m (m y2 =0 y2 = h y2 = h (3) 12 ) = 21 ) = cs2 (G1(,m ) + G2,m ) ) (m (m ( 2 11m ) 22 ) ( (m = G1(,m ) + (1 2c 2 ) G2,m ), = G2,m ) + (1 2c 2 ) G1(,m ) ( ( c2 c 1 2 2 p p где c = cs / c p 1 - отношение скоростей поперечных и продольных волн: cs2 = µ, cP = ( + 2µ ), кроме того, k s = / cs, k p = / c p - волновые числа. Индекс m означает, что нагрузка приложена в направлении оси Oxm, m = 1,2. Решение задачи (2)-(3) ищем в виде G (j m ) ( y, x) = G 0 ( m ) ( y, x) + G jp ( m ) ( y, x), m, j = 1,2 (4) j где G ( y, x) - фундаментальное решение для неограниченной среды, G ( y, x) - решение однородной p (m) 0( m) j j системы уравнений (2). Решение задачи строится при помощи интегрального преобразования Фурье по Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн переменной y1, в рамках принципа предельного поглощения. Тогда общее решение однородной системы уравнений (2) имеет вид G10 ( m ) = {C1( m ) sh( p y2 ) + C2m ) sh[ p ( y2 h)]} + s {C3( m ) sh( s y2 ) + C4m ) sh[ s ( y2 h)]}, ~ ( ( is (5) ~ 0( m) p ( m) {C1 ch( p y2 ) + C2(m)ch[ p ( y2 h)]} + {C3(m) ch( s y2 ) + C4(m)ch[ s ( y2 h)]} G2 = is i2 = pi y2 y2 = h.

..

c Г d x. ( x1, x2 ) ij n j = D h y o = ui y2 = Рис.1 Заглубленный объект в упругом слое постоянной толщины Ci( m ) = Ci( m ) ( s, x), i = 1,4, m = 1, где p = s 2 k p, s = s 2 k s2 и - пока неопределенные величины, зависящие от параметра преобразования Фурье s. Для построения частного решения неоднородной системы применим преобразования Фурье по обеим переменным к уравнениям (2). В итоге приходим к алгебраической системе 4 4, её решение имеет вид ( 2 + c2s2 k p ) ei ( s x1 + x 2 ) ~ ~ G11 = 2 c ( s + 2 k p )( s 2 + 2 k s2 ) c p ei ( s x1 + x 2 ) s (1 c ) ~ ~ (6) ~ ~ G12 = G21 = 2 c ( s + k p )( s + k s ) cp 2 2 2 2 2 ( c2 2 + s2 k p ) ei ( s x1 + x 2 ) ~ ~ G22 = c 2 ( s 2 + 2 k p )( s 2 + 2 k s2 ) c p Тогда, обращая (6) по переменной - параметру преобразования Фурье, с помощью некоторых табличных интегралов [5], суммируем решение однородной системы (5) с решением неоднородной. После применения обратного преобразования Фурье по переменной s для функций Грина получаем следующее интегральное представление по контуру :

sh( k zk ) G (m) isy 1 G 2 Ck ( s, x2 ) j ( s, k ) ch( z ) e G (j m ) ( y1, y2 ) = 1( m ) = ds + (m) 2 kk 2 k = n y 2 x 1 is ( y1 x1 ) (1) B (j m ) ( s, n ) e n + e m = 1, ds, 2 n = (7) p s 1 ( s, i ) = 2 ( s, i + 2 ) = 1, 1 ( s, i + 2 ) =, 2 ( s, i ) =, i = 1,2, is is 1 = 2 = 1 = p, 3 = 4 = 2 = s, z1 = z3 = y2, z2 = z4 = ( y2 h), ( s, ) = B ( s, ) = is sign( y2 x2 ), ( 2) (1) B 1 s Bi( i ) ( s, i ) = ( 1)i +1 ( Bi( i ) ( s, i +1 ) = ( 1)i +1 i +1, 3 = 1 = p,, i = 1, ), i Теперь подстановка выражений (7) в граничные условия (3) приводит к алгебраической системе 4 4 для Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн неизвестных констант Сi(m). Решение этой системы строится по формулам Крамера: Ci(m) = i ( s, x), i = 1, 4, ( s) s sh( p h) sh( s h) 0 is где p p, (8) ch( s h) ch( p h) is is ( s) = ( s2 + s 2 ) sh( p h) 2 s sh( s h) 0 is ( s2 + s 2 ) ( s2 + s 2 ) 2 ch( h) 2 p ch( s h) p p is is s 2 x x ( e p 2 s e s 2) p p x 2 s x isx is(e e (9) e ) g ( s, x ) = ( + s ) p ( h x2 ) 2 ( h x ) 2 s e s 2 ) is( s e p 2 p ( h x 2 ) s ( h x 2 ) ( s + s ) e 2 (2s e ) Здесь i ( s, x) - определители, получающиеся заменой i-го столбца в (8) столбцом g ( s, x), что позволяет найти константы Сi(1). Аналогично, замена столбцом g ( s, x) позволяет определить константы Сi(2). После некоторых рутинных преобразований приходим к следующему выражению для главного определителя системы [3]:

4 p s (2 s 2 k s2 ) + [4 s2 p + (2 s 2 k s2 ) 2 ]sh( p h) sh( s h) 1 (10) ( s ) = 2 sh( p h) sh( s h) p s [4 p s s + 2 (2 s k s ) ]ch( p h)ch( s h) s 2 2 s Для вычисления интеграла (7) может быть применена какая-либо квадратурная формула.

Для построения основной системы граничных интегральных уравнений используем теорему взаимности [6]. Согласно теореме взаимности, поле перемещений в слое может быть выписано в следующем виде:

um ( x) = f m ( x) + K im ( y, x)ui ( y2 ) dl y, i, m = 1, (11) K im ( y, x) = ( y, x) n j ( y ), y = ( y1, y2 ), x = ( x1, x2 ) (m) ij Из (11) видно, что поле перемещений складывается из двух слагаемых, первое из которых характеризует поле смещения в слое без объекта, а второе обусловлено наличием объекта в слое.

Теперь для формулировки системы граничных интегральных уравнений (ГИУ) устремим точку x на границу извне: x. Тогда, согласно свойствам потенциала простого и двойного слоя [4], получим основную систему ГИУ:

u1 ( ) = f1 ( ) + v. p. [ K11 ( y, ) u1 ( y ) + K12 ( y, ) u2 ( y )]dl y, 2 (12) u2 ( ) = f 2 ( ) + v. p. [ K 21 ( y, ) u1 ( y ) + K 22 ( y, ) u2 ( y )]dl y, 2 граничный Дискретизация ГИУ (12) осуществляется методом коллокации [4]. Для этого разобьем контор на N малых интервалов j, j = 1, 2,..., N. Применяя простейшую квадратурную формулу, приходим к линейной алгебраической системе размером 2N2N в следующем виде:

N N K K ( y j, i ) u1 ( y j ) ( y j, i ) u 2 ( y j ) = f1 ( i ), i = 1,2,..., N * 11 j =1 j = N N (13) K 21 ( y j, i ) u1 ( y j ) + K ( y j, i ) u 2 ( y j ) = f 2 ( i ), i * j =1 j = где K qq ( y j, i ) = 1 K qq ( y j, i ), q = 1,2. Данная система (13) размерности 2N2N может быть записана в * матричном виде:

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн K11 K12 u1 f1 Bu = f * ~ (14) = u f K * 2 21 K Это система решалась двумя методами: методом исключения Гаусса и методом наискорейшего спуска (MHC) [4].

0. -0. a=0.2, b=0. a=b=0. a=b=0. 0. -0.04 a=0.2, b=0. 0. -0. 0. displacement field u -0. displacement field u 0.02 -0. 0 -0. -0.02 -0. -0.04 -0. -0.06 -0. -0.08 -0. 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 Boundary contour, polar angle in radians Boundary contour, polar angle in radians Рис. 2. Решение основной системы ГИУ вдоль периметра заглубленного объекта в форме эллипса при разной величине радиуса.

Обратная задача состоят в определении геометрии заглубленного объекта и его местонахождения в рассматриваемой среде по измеренным волновым полям на части верхней границы слоя y 2 = h :

um (, h) = m ( ), = [c, d ], m = 1,2 (15) Учитывая представление поля перемещений (11) при y 2 = h, приходим к системе нелинейных операторных уравнений относительно функции смещения на конкуре m ( ) = K im ( y, ) ui ( y2 ) dl y, [c, d ] (16) i, m = 1, l Последняя формула может быть записана в дискретном виде в операторной форме 1 K11 K12 u1 = Au = ~ (17) u K 2 21 K Здесь ( ) является известной функцией в (17) на интервале измерения = [c, d]. При этом форма граничного контура неизвестна. Требуется восстановить контур по известной функции ( ).

Для идентификации геометрии объекта нужно найти четыре параметра (a, b, x c, yc ). Для более явного представления запишем систему (14) в схематичном виде как систему относительно значений u = u1,2 ( y j ) [4]:

B u = f ( m ) u j = ( B 1 f ) j, j = 1, 2,..., 2 N, (18) Очевидно, оператор B 1 зависит от четырёх параметров: B 1 = B 1 (a, b, xc, yc ), следовательно, после подстановки (18) в (17) получаем систему нелинейных уравнений относительно величин (a, b, x c, yc ) в операторном виде:

k = A( B 1 ( a, b, xc, yc ) f ) j, k = 1,2,..., m, j = 1,2,...,2 N (19) Эта система решается с помощью минимизации функционала невязки [7]:

min[(a, b, xc, yc )] = A( k, y j )[ B 1 (a, b, xc, yc ) f ] j k (20) k Автор выражает благодарность своему научному руководителю, профессору Сумбатяну М.А.

(Южный федеральный университет) за постоянное внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА 1. D. Colton, R. Kress. Integral equation methods in scattering theory, Wiley: New York, 1983.

Н.В. Боев, А.О. Ватульян, М.А. Сумбатян. Восстановление контура препятствий по характеристикам рассеянного 2.

акустического поля в коротковолновой области // Акуст. ж., 1997, Т.43, № 4, С. 458-462.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн И.И. Ворович, В.А. Бабешко. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.:

3.

Наука, 1979. 319 с.

4. M. A. Sumbatyan, A. Scalia. Equations of mathematical diffraction theory, CRC Press: Boca Raton, Florida, 2005. 291 p.

А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Марычев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 799 c.

5.

В. Новацкий. Теория упругости, М.: Мир, 1975.871 с.

6.

Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 509 с.

7.

УДК 534. Е.Г. Домбругова, Н.Н. Чернов ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО СЛОЯ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ФОРМИРОВАНИЕМ ФОКАЛЬНОГО ПЯТНА Таганрогский технологический институт Южного федерального университета в г. Таганроге Россия, 347922 Таганрог, ул. Шевченко, д. Тел.: (8634) 371795;

E-mail: nik-chernov@yandex.ru В работе исследовано влияние скорости звука в переходном слое на траекторию распространения ультразвуковой волны.

Рассчитана скорость звука в переходном слое, при которой обеспечивается минимальное отклонение М от случая распространения в однородной среде для углов излучения 0-45 при различном сочетании толщин жира и мышц. Показано, что для любых сочетаний толщин биологических тканей жира и мышц в диапазоне от 5 до 50 мм возможно найти такую скорость звука в переходном слое, чтобы луч на требуемой глубине имел минимальное отклонение от случая распространения в однородной среде.

На пути распространения ультразвуковой волны при проведении сеанса дистанционной литотрипсии располагаются следующие слои с индивидуальными акустическими характеристиками:

дистиллированная вода, кожа, жировая и мышечная ткани. Распространение ультразвука в биологической ткани будет отличаться от случая распространения в однородной среде. В работе [1] проводилось исследование влияния слоистой структуры биологической среды на прохождение через нее фокусированного ультразвукового пучка, однако не было оценено влияние температуры переходного слоя дистиллированной воды или возможное использование переходного слоя жидкости для управления введением ультразвуковых колебаний в биологический объект.

Рис. 1. Ход луча при распространении в слоистой и однородной среде Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн Рисунок 1 схематически показывает прохождение акустического луча через слоистую структуру биологической среды (сплошная жирная линия) и ход луча в однородной среде (пунктирная жирная линия). На рисунке 1 введены следующие обозначения: hn и mn – соответственно толщина слоя и проекция хода луча на ось y для каждого слоя, n– угол падения в соответствующем слое, F – желаемая точка фокуса, М – разница между суммарной проекцией на ось y при распространении в слоистой и однородной среде.

Выражая суммарную проекцию хода луча M по оси y через угол 1, получаем выражение 1.

c c c М = h1 tg ( 1 ) + h2 tg (arcsin( 2 sin( 1 ))) + h3 tg (arcsin( 3 sin( 1 ))) + h4 tg (arcsin( 4 sin( 1 ))) (1) c1 c1 c Акустические характеристики биологических тканей [2, 3]: кожа 2=1250 кг/м3, с2=1610 м/с;

жировая ткань 3=930 кг/м3, с3=1450 м/с;

мышечная ткань 4=1070 кг/м3, с4=1570 м/с.

В таблице 1 приведены значения M, рассчитанные по формуле 1, для слоистой среды (состоящей из воды 138 мм, кожи 2 мм, жира 30 мм, мышц 30 мм), для углов ввода 0-45 в случае различной температуры переходного слоя дистиллированной воды 0-60С. Также в таблице указана сумма модулей отклонений М для углов ввода от 0-45.

Таблица 1. Отклонение луча от траектории распространения в среде без слоев для случая распространения в слоистой среде (с толщинами слоев 138, 2, 30 и 30 мм) в зависимости от угла падения и температуры переходного слоя дистиллированной воды Значение М при различной температуре дистиллированной воды Угол М(0) М(10) М(20) М(30) М(40) М(50) М(60) 0 0 0 0 0 0 0 5 -0,431 -0,248 -0,113 -0,014 0,057 0,105 0, 10 -0,893 -0,514 -0,234 -0,03 0,116 0,215 0, 15 -1,42 -0,815 -0,371 -0,049 0,182 0,338 0, 20 -2,059 -1,18 -0,538 -0,074 0,257 0,481 0, 25 -2,876 -1,644 -0,751 -0,109 0,348 0,655 0, 30 -3,979 -2,265 -1,038 -0,163 0,457 0,872 1, 35 -5,547 -3,139 -1,443 -0,246 0,595 1,155 1, 40 -7,915 -4,439 -2,047 -0,386 0,768 1,532 1, 45 -11,761 -6,499 -3,006 -0,636 0,987 2,049 2, Сумма |М| 0-45 36,881 20,743 9,541 1,707 3,767 7,402 9, По данным таблицы 1 построен график, изображенный на рисунке 2.

Рис. 2. Отклонение (М) хода луча от траектории распространения в однородной среде для среды с толщинами слоев 138, 2, 30 и 30 мм соответственно Таким образом, температура дистиллированной воды может существенным образом повлиять на ход акустических волн в объекте. Из этого следует необходимость контроля температуры воды при проведении сеанса литотрипсии, а также возможность использования температуры переходного слоя для увеличения точности наведения и воздействия фокусированным ультразвуковым пучком.

На рисунке 3, 4 показана рассчитанная скорость звука в переходном слое, необходимая для получения минимального суммарного отклонения М (для углов падения 0-45) для толщин жира 5-50 мм и изменяющейся толщине мышц от 0 до 50 мм (рисунок 3) и для толщин мышц 5-50 мм при изменяющейся толщине жира от 0 до 50 мм (рисунок 4).

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн При этом расчеты производились для фиксированного расстояния Н 200 мм. Таким образом, изменение общей толщины биологических тканей компенсировалось соответствующим изменением толщины переходного слоя, чтобы сумма всех слоев составляла 200 мм.

Значение скорости звука в переходном слое, при которой наблюдается минимальное отклонение траектории от распространения в однородной среде, определялось как сумма модулей отклонений для углов ввода 0-45.

Рис. 3. Скорость звука в переходном слое, необходимая для получения минимального суммарного отклонения М (для углов падения 0-45) для толщин жира 5-50 мм и изменяющейся толщине мышц от 0 до 50 мм Рис. 4. Скорость звука в переходном слое, необходимая для получения минимального суммарного отклонения М (для углов падения 0-45) для толщин мышц 5-50 мм и изменяющейся толщине жира от 0 до 50 мм.

На рисунке 3, 4. в скобках указано среднее значение суммы | | для углов ввода М -45 для указанной толщины слоя.

Как видно из рисунка 3, при линейном уменьшении толщины жира, например, для линий 50 жир, 40 жир и 30 жир значения скоростей звука увеличиваются нелинейными скачками с увеличивающимся приростом скорости звука. При линейном увеличении толщины мышц (рисунок 4) значения скоростей звука увеличиваются также нелинейными скачками с уменьшающимся приростом скорости звука.

Таким образом, для любых сочетаний биологических тканей жира и мышц в диапазоне от 5 до мм возможно найти такую скорость звука в переходном слое, чтобы для любых углов падения в(± данном случае) луч на требуемой глубине имел минимальное отклонение от случая распространения в однородной среде.

Излучатели, располагающиеся по поверхности, имеют различную толщину слоя воды из-за сферической формы антенной решетки. Но сумма значений М при этом останется прежней, так как, она Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн не зависит от толщины первого слоя, так как в нем ход луча не меняется как в случае распространения в однородной среде, так и со слоями.

Из рисунков 3, 4 видно, что скорость звука в переходном слое следует регулировать в более широких пределах, чем позволяет ограниченный болевым порогом человека диапазон температур дистиллированной воды (16-42С). Для регулирования скорости звука в переходном слое предлагается использовать раствор глицерина в воде. Скорость звука в глицерине при С составляет 1923 м/с, что позволяет регулировать скорость звука в требуемых пределах.

ЛИТЕРАТУРА Леонова А. В. Исследование прохождения ультразвукового пучка через слоистую структуру биоткани с целью 1.

повышения точности наведения локального воздействия фокусированным ультразвуком: Дис. Канд. Техн. Наук / Таганрогский институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге. Таганрог, 2010.

А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, А.М. Братковский. Физические величины. Справочник. –М.: Энергоатомиздат, 1991. С 2.

1232.

В.А. Березовскийй, Н.Н. Колотилов. Биофизические характеристики тканей человека. Справочник. Киев: Наук. Думка, 3.

1990. С. 224.

УДК 621.372. В.Ю.Приходько ОБЪЕМНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ТЕНЗОРЫ ГРИНА В НЕОДНОРОДНЫХ ТВЕРДЫХ ВОЛНОВОДАХ Московский институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) Россия, 117454, Москва, пр. Вернадского, д. Тел.: (495) 434-7256;

Факс: (495) 434-7256;

E-mail: prikhodi@mail.ru Строятся объемные и поверхностные тензоры Грина для волноводов в случае неоднородной изотропной среды. Неоднородная среда характеризуется плотностью и параметрами Ляме, зависящими от двух координат в плоскости, ортогональной трассе волновода. Рассматриваются источники колебаний типа сосредоточенных сил, описываемых векторными дельта-функциями Дирака. Найденные представления дают решения задач возбуждения волноводов объемными и поверхностными источниками в квадратурах.

1.Постановка задачи Рассмотрим твердый цилиндрический волновод W: { x1, ( x2, x3 ) D}, где D постоянное поперечное сечение волновода. Неоднородная изотропная среда волновода характеризуется параметрами Ляме и плотностью зависящими от двух координат x2, x3.

,, Пусть волновод возбуждается векторными объемными силами, описываемыми вектор функцией K ( x, t ). Уравнения теории упругости для вектора смещений u можно записать в следующем виде [1] 2u Lu = 2 ( + ) grad div u + div u grad - 2 Dgrad = K, u t 1 ui u j, (1) D= + 2 x j xi где D- тензор деформаций ((3х3) матрица). Рассмотрим случай волновода со свободной от напряжений границей и начальными условиями u ( x,0) u ( x,0) = f ( x), = g ( x). (2) t 2.Метод решения Решение начально-краевой задачи (1), (2) будем искать при помощи тензора Грина x, x, t ).

( Поясним физический смысл этого тензора.

t 0 u 0. Рассмотрим последовательность векторных объемных сил Будем считать, что при K x, t ), удовлетворяющих условию K x, t ) =0 при x x ( (, Kdx = t )ei, ( W Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн где ) закон изменения абсолютной величины возбуждающей силы в направлении оси.

(t Тогда вектор смещений, в пределе при 0, будет соответствовать сосредоточенной силе, направленной по оси xi, а вектор объемных сил в пределе, если мы рассмотрим случай сосредоточенного импульса, будет равен K ( x, t ) K ( x, t ) = x x)t )ei, ( ( (3) где x x) дельта–функция Дирака, действующая в точке x.

( Таким образом, вектор объемных сил (3) будет соответствовать столбцу номера i тензора Грина, а искомый тензор будет решением матричной начально-краевой задачи:

0, t 0 ;

L = 0, t 0;

(4) с начальными условиями,0) = 0, x, x,0) = x x) E ;

( ( ( x, x (5) x) t ( и краевым условиям отсутствия напряжений на поверхности волновода (здесь E -(3х3) диагональная единичная матица).

Для решения исходной задачи (1), (2) используем тензор Грина и формулу Грина- Вольтера (vL(u) uL(v))dxdt = (vP (u ) uP (v))ds. (6) Q S Здесь Q и S - четырехмерный объем и ограничивающая его гиперповерхность внутри волновода, оператор P действует по формуле u 3 3 P (u ) = n j ei, (7) t ij 1 -тензор напряжений, n - вектор нормали. Подставим в (6) u - искомое решение задачи (1), (2) и где v =( x x, t0 t ) - столбец номера i тензора Грина. Так как столбец удовлетворяет условию (3), вектор i то после интегрирования выражения uL получаем компоненту номера i вектора u. В итоге решение i можно представить в виде квадратур ( x x, t ) f ( x)dx.

u= tx x, t t ) K ( x, t )dxdt + x x, t0 ) g ( x)dx + ( ( t W t [ 0, 0 ] W W 3.Стационарный случай Для решения начально-краевой задачи (4), (5) необходимо разложить дельта-функцию Дирака, стоящую в правой части (5), в ряд по нормальным волнам волновода. Поэтому рассмотрим стационарный случай уравнений теории упругости.

Уравнения для динамического тензора Грина- G ( x, x) можно записать в матричном виде LG = E( x, x), (8) где оператор L, определяемый уравнением (1), соответствует гармоническому закону изменения по времени (зависимость от времени в виде exp(i ) везде опускается), G ( x, x) -(3х3) матрица тензора t Грина в стационарном случае. Рассмотрим случай волновода со свободной от напряжений границей.

Векторными нормальными волнами волновода называются решения однородных уравнений движения (8) следующего вида ( ) ) u (x, = v x 2, x3, exp(i1 ), x где -волновое число нормальной волны, v ( x2, x3, -собственная функция поперечного сечения. Такие ) решения удовлетворяют краевым условиям на поверхности волновода.

Будем искать тензор Грина при помощи соотношений ортогональности для нормальных волн твердых волноводов [2] (((x, x,, v(x, x, ) ((x, x,, v(x, x, ))dx dx ) ) ) ) = 0. (9) 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 D Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн Здесь волновые числа удовлетворяют условию 0, - первый столбец тензора напряжений, + соответствующий вектору смещений нормальной волны. Столбцы тензора Грина представим в виде Gi± (x ) = Ain v(x, x,± )exp(± ix ), ± (10) n n2 3 R n x1 x1, а знак (-)- в области x1 x1 ;

где знак (+) соответствует разложению тензора в области ± Ain неизвестные пока коэффициенты разложения, которые необходимо определить;

R – множество всех, которые смещаются в верхнюю полуплоскость при введении затухания в среде.

n Для нахождения неизвестных коэффициентов применим к функциям ( ) u (x, ) = v x 2, x3, exp( ix1 ) и столбцам тензора Грина третью формулу Бетти в области волновода Wa,b {a x1 b, ( x2, x3 ) D}, x1 (a, b). В результате, с учетом условий на поверхности волновода, получаем ((LG, u ) (Lu,G ))dx = (E, u (x))x x)dx = v (x, x exp( x ) = ( );

) ( i i i i n1 a b 2 3, Wa, b Wa, b ((G, (u )) (u, (G )))dx dx a,b = i i 1 1 2 Da, b Gi :

Интеграл можно вычислить подстановкой выражения (10) для a R((v(x, x, m ), (x, x, n )) ( (x, x, m ), v(x, x, n ))) a = 2 3 1 2 3 1 2 3 2 Da m Aim exp(ia ( m + n ))dx2 dx3 = в силу соотношений ортогональности (9), если + 0, а в случае равенства следует соотношение m n Ain = (U n )1 vi (x2, x3, ) exp(ix1 ) n (11) n где U n = ((v(x2, x3, ), (x2, x3, )) (v(x2, x3, ), (x2, x3, )))dx2 dx3.

n n n n 1 D b,причем в этом случае нужно подставить выражение Аналогично вычисляем интеграл + + для Gi : = U n Ain, откуда следует b Ain = (U n )1 vi (x2, x3, n ) exp( i n x1 ).

+ (12) Таким образом, тензор Грина, в области x1 x1, на основании формул (10-12), можно представить в следующем виде R(U n ) exp(i n (x1 x1 )), G= n n ( ) где = v ( x2, x3, n ), v t ( x2, x3, n ) - (3х3)- матрица, формируемая по правилу умножения вектора n t x1 x1.

столбца на вектор строку v. Аналогично строится тензор при условии 4.Разложение в ряды по собственным функциям.

f (x1, x 2 ) в виде ряда по собственным функциям Найдем представление гладкой вектор-функции поперечного сечения волновода RC v(x, x, ), f (x1, x 2 ) = (13) n 2 3 n n где Cn - неизвестные пока коэффициенты, которые требуется определить. Применим оператор к левой и правой частям равенства (13) нормальных напряжений Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн RC (v(x, x, )).

1 ( f ( x1, x 2 )) = (14) n 1 2 3 n n 1 (v ( x2, x3, m )) = 1 ( x2, x3, m ) и Умножим скалярно равенства (13) и (14) на векторы v ( x2, x3, m ) соответственно. Затем проинтегрируем по сечению волновода и вычтем эти выражения.

Все члены ряда со значениями волновых чисел + 0, силу соотношений ортогональности (9), m n будут равны нулю. В итоге останется только слагаемое номера n. Из полученного соотношения находим U n (( f ( x, x )( x, x,) (( f ( x, x ))v ( x, x,))dx dx, Cn = (15) n n 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 D где U n то же, что и в (11).

Используем теперь полученные представления (13)-(15) для нахождения начального условия (6), в котором требуется разложить дельта-функцию Дирака. Для этого возьмем в формуле (15) значения f (x1, x 2 ) = x2 x2 )x3 x3 )ei, где ei -орты, i=1,2,3. В результате получим ( ( RC v(x, x, )exp i | x x |, ( x x)ei = (16) n ni 2 3 n 1 n где явный вид коэффициентов Cni легко получить непосредственным интегрированием (15).

Начальное условие (6), при помощи разложения (16), позволяет поставить задачу Коши для каждой гармоники и получить искомое представление в виде Rv ( x, x,)v(x, x, )qi ( n | x x |, t ), x, x, t ) = i( n i 2 3 2 3 n 1 n где qi - функции, пропорциональные функциям Хэвисайда от аргументов t, x1.

Полученные результаты распространяются на случай, если поперечное сечение волновода является многосвязной областью, причем границы волновода могут быть либо зажатыми, либо свободными от напряжений, а волновод внутри может быть заполнен сжимаемой акустической средой. В случае наличие акустической среды на границе акустическая среда-твердое тело, нормальные смещения и напряжения предполагаются непрерывными, а тангенциальные напряжения равными нулю. Формула (16) также справедлива для точечного импульса в акустическом волноводе [3], причем тензор Грина в этом случае является диагональным, ii = p, где p -звуковое давление, а функция Хэвисайда имеет аргумент ct | x1 x1 |.

Аналогично рассматривается случай, когда объемные силы отсутствуют, а волновод возбуждается поверхностными сосредоточенными силами. В этом случае решается однородное уравнение (1) с неоднородными краевыми условиями, содержащими дельта-функции Дирака.

ЛИТЕРАТУРА Бабич В.М. Фундаментальные решения динамических уравнений теории упругости для неоднородной 1.

среды // Прикладная мат. и мех. 1961,Т. 25, вып. 1, с.38-45.

Федорюк М.В. Соотношения типа ортогональности в твердых волноводах // Акуст. журн. 1974, Т. 20, № 2.

2, с. 310-314.

Толстой И., Клей К.С. Акустика океана. Москва: Мир, 1969, 301 с.

3.

УДК 534. Е.А. Анненкова, О.А. Сапожников ПОСТРОЕНИЕ УЛЬТРАЗВУКОВОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ПУЗЫРЬКОВ МИЛЛИМЕТРОВОГО РАЗМЕРА В БИОТКАНИ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ НА СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ Московский государственный университет, физический факультет Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д.1, стр. Тел.: (495) 939-2952;

Факс: (495) 939- E-mail: a-a-annenkova@yandex.ru Ультразвуковая диагностика имеет широкое применение в медицине. Построение изображений основано на анализе эхо импульсов, возникающих при рассеянии коротких зондирующих импульсов на неоднородностях ткани. В основном при Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн рассмотрении человеческих органов рассеяние достаточно мало, и построение изображения базируется на слабых рассеянных сигналах. Сильные сигналы при обработке данных рассеяния ограничиваются, в результате чего рассеиватели разной силы имеют одинаковые изображения (в виде ярких областей). В то же время есть диагностические ситуации, при которых важно дифференцировать сильные рассеиватели. Примером таких рассеивателей являются парогазовые пузырьки различных размеров, которые могут появиться в биоткани при терапии мощным фокусированным ультразвуком.

При этом и мелкие кавитационные пузырьки, и крупные пузырьки, появляющиеся при кипении ткани, являются сильными рассеивателями. Чтобы выявить зависимость сигнала обратного рассеяния от размера пузырька, в данной работе моделируется процесс рассеяния ультразвуковых импульсов на неподвижной пустой полости. Показано, что правильный подбор параметров алгоритмов позволяет использовать рассеянный сигнал для оценки радиуса пузырьков.

I. Введение Давно известно, что ультразвук воздействует на ткани, вызывая в них биологические изменения.

Некоторые из таких изменений могут применяться в медицинской акустике. Так, управляемый нагрев глубоко расположенных тканей может дать положительный терапевтический эффект в ряде случаев [1].

При воздействии мощного ультразвука на ткань в определённых условиях может оказаться важным такой физический механизм, как кипение, поскольку образование пузырьков пара при кипении кардинальным образом меняет процесс воздействия ультразвука на биологическую ткань.


II. Теоретическая модель Для дифференцирования кавитационных пузырьков и крупных пузырьков, образующихся при кипении, была развита теоретическая модель рассеяния ультразвуковых сигналов на сферическом объекте. В этой модели пузырёк представлен в виде абсолютно мягкой сферы, а падающая волна считается плоской. Расчёт рассеянного импульсного поля производится на основе разложения формы падающей волны в спектр Фурье, расчёта рассеяния спектральных компонент по отдельности [2] и сложения полученных рассеянных компонент для получения искомого сигнала импульсного рассеяния.

В задачах акустической диагностики типичный сигнал имеет вид радиоимпульса с высокочастотным заполнением и колоколообразной огибающей. Такой сигнал можно представить в следующем виде:

. (1) Здесь - амплитуда сигнала;

- время;

- длительность импульса;

- центральная циклическая частота импульса. На рис. 1 представлено графическое изображение данного сигнала.

Рис. 1. Радиоимпульс с высокочастотным заполнением и колоколообразной огибающей Для расчёта рассеянного поля падающий импульс представляется в виде суперпозиции гармонических волн, и рассматривается отдельно рассеяние каждой спектральной составляющей [3]. Рассеянная волна тогда будет являться суммой рассеянных волн на всех частотах:

(2) где – акустическое давление m-й гармоники рассеянной волны, – расстояние до центра пузырька, – угол между направлением на на точку наблюдения и направлением распространения падающей волны. Типичные параметры в системах ультразвуковой медицинской диагностики длительность импульса 2 - 3 мкс, период их следования T = 100 мкс. В расчётах m можно ограничить так, чтобы соответствующие частоты изменялись от до.

Соответствующий диапазон тогда составит.

III. Результаты Результаты проведенных вычислений показали, что при рассеянии заданного выше импульса на мягкой сфере маленького радиуса (kr 1, k – волновое число, r – радиус сферы) форма рассеянного Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн сигнала не изменяется, а амплитуда уменьшается с расстоянием. Такое поведение является типичным для дальнего поля. Для ускорения расчётов можно использовать тот факт, что на больших расстояниях от излучателя (kr 1) сферическая функция Ханкеля имеет следующую асимптотику [4]:

. (3) При использовании этого выражения в расчетах потенциала полного поля при рассеянии плоской волны на мягкой сфере, расхождение графиков точного решения и асимптотики Ханкеля получилось незначительным (рис. 2).

Рис. 2. Рассеянный импульс на большом расстоянии от рассеивателя.

(а) – точное решение, (б) – решение с использованием асимптотики для функций Ханкеля Таким образом, формулу (3) вполне можно использовать для ускорения расчетов в дальнем поле.

Некоторая разница с точным решением имеется лишь в амплитуде импульсов, а формы воспроизведенных импульсов совпадают.

На следующем этапе исследования нами было проанализированы различия амплитуд в зависимости от направления рассеянных сигналов. На рис. 3 показаны рассчитанные диаграммы направленности для рассеяния импульса на мягких сферах разных радиусов [3].

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн На диаграммах изображена зависимость амплитуды рассеянного импульса от угла рассеяния. Видно, что при малых радиусах рассеивателя диаграмма достаточно однородная. С увеличением радиуса рассеивающей сферы амплитуда рассеяния вперед растет, в то время как амплитуда по остальным направлениям остается однородной.

Рассчитанные формы рассеянных импульсов используются для построения яркостной картины на экране ультразвукового сканера по стандартным алгоритмам формирования изображений. Исходим из того, что у нас имеется линейная антенная решётка из 64 элементов, расстояние между центрами которых равно 0.5 мм. Используются короткие ультразвуковые импульсы длительностью = 4 мкс и центральной частотой 3 МГц. Использованный алгоритм позволяет получить локализованное изображение рассеивателя в модели биологической ткани (рис.4). Шкала амплитуд x, мм z, мм Рис. 4. Изображение рассеивателя, помещенного в точку с координатами (x, z)=(15 мм, 20 мм) На рис. 4 показано построенное на основе изложенного метода изображение рассеивателя, помещенного в точку с координатами (x, z)=(15 мм, 20 мм). Это позволяет нам наиболее точно определять положение сильных рассеивателей и вид рассеиванного сигнала в зависимости от радиуса последних, что в последующем позволит различать кавитационные и возникающие при кипении пузырьки.

IV. Заключение Использование мощного ультразвукового сигнала может приводить к различного рода структурным и функциональным изменениям в биологической ткани. Одним из теоретически возможных последствий его применения является процесс кипения, при котором в тканях организма образуются крупные паро газовые пузырьки. Поэтому для исследователей и медиков, применяющих ультразвук для лечебных целей, важно отличать друг от друга пузырьки, являющиеся кавитационными или образующиеся как побочный эффект терапевтической процедуры. В связи с этим возрастает актуальность проведения исследований в области построения яркостных картин биологического объекта, позволяющих оценить различия физических свойств этих пузырьков по амплитуде сигнала. В результате проведенных нами расчетов была сконструирована теоретическая модель, на основе которой были получены диаграммы направленности рассеивателей разных радиусов, а также сама яркостная картина.

Работа была проведена при поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ НШ-2631.2012.2 и РФФИ 11-02-01189 и 12-02-00114.

ЛИТЕРАТУРА 1. Хилл К., Бэмбер Дж., тер Хаар Г. (ред.) “Ультразвук в медицине. Физические основы применения”//М.:Физматлит, 2008.

2. Hickling, R. Analysis of echoes from a solid elastic sphere in water. - J. Acoust. Soc. Am., 1962, v. 34, no. 10, pp. 1582-1592.

3. Numerical recipes in Fortran 90 : the art of scientific computing / William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flanner. Foreword by Michael Metcalf – 2nd ed.,1996.

4. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В.. Лекции по математической физике. М: Изд-во Московского ун-та, Изд-во "Наука", 2004 (СБК).

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн УДК 534. А.М. Гаврилов, Г.М. Грачева, А.Д. Курситыс ОСОБЕННОСТИ ЭВОЛЮЦИИ ВОЛНОВОГО ФРОНТА СФЕРИЧЕСКИ РАСХОДЯЩЕГОСЯ ПУЧКА Технологический институт Южного федерального университета в г. Таганроге, Таганрог, пер. Некрасовский, 44, кафедра электрогидроакустической и медицинской техники Тел.: (8634) 371-795;

Факс: 8(8634) 371-795;

E-mail: gavr_am@mail.ru Проведен анализ поля сферически расходящегося звукового пучка. В качестве параметра, отражающего эволюцию волны, использована кривизна поверхности фронта. Рассчитаны осевые и поперечные распределения кривизны в пучках с гауссовым и полиномиальным распределениями амплитуды. Показано качественно разное влияние кривизны излучателя 0 на динамику волнового фронта в случаях, когда 0 0 1 и 0 1.

Традиционным и одним из наиболее наглядных способов представления дифракции волны является графическое изображение пространственных изменений ее фронта. Вместо непосредственного рассмотрения изменений формы волны, что дает лишь качественную характеристику процесса, обратимся к одному из способов его количественного описания, использующему анализ кривизны фронта [1 – 5].

При нахождении кривизны фронта волны в произвольной точке пространства воспользуемся аналогичным понятием для линии [3]. Тогда кривизна фронта волны в осесимметричном пучке будет равна 3 3 1 2 (r, z ) 1 (r, z ) 2 (r, z ) (r, z ) = 1 + K (r, z ) = = 1 +. (1) r r r r k 2 R (r, z ) k Здесь r, z – поперечная и осевая координаты;

= k – пространственное «запаздывание» фазы дифрагирующей волны относительно плоской;

(r, z ) – функция, характеризующая форму дифрагирующей волны через ее запаздывание относительно плоской волны, рис. 1;

k = c0. Корректность формулы (1) можно проверить на примере сферической волны радиусом R :

(r, z ) = (r, z ) k = LM = NM NL = (2) = R R 2 r 2 = R 1 1 (r R) 2.

Производные, входящие в выражение (1), и кривизна Рис. 1. Геометрия задачи фронта сферической волны равны [ ] [ ] 1 2 3 (r, z ) r = krK 0 1 ( K 0 r ) 2 ;

2 (r, z ) r 2 = kK 0 1 ( K 0 r ) 2 K (r, z ) = K 0, ;

(3) где K 0 = 1 R. Как видим, кривизна не зависит от координат точки на поверхности сферической волны.

Для эталонного случая в виде гауссового пучка [1, 5] производные и кривизну можно записать:

[ ] r = (2rn a ) [z n + 0 (1 + 0 z n )] (1 + 0 z n ) 2 + z n ;

(4) + (1 + z )] [(1 + z ) ];

2 r 2 = (2 a ) [z n + zn 2 2 0 0n 0n 3 z n + 0 (1 + 0 z n ) 2rn z n + 0 (1 + 0 z n ) l (5) (rn, z n ) = K (rn, z n ) l = = 2 1+ 2.

z n + (1 + 0 z n ) ka z n + (1 + 0 z n ) R (rn, z n ) Здесь = l R = l K – безразмерная кривизна;

rn = r a и z n = z l – нормированные координаты;

a – радиус излучателя;

l = ka 2 2 – длина области дифракции Френеля;

0 = l R0 – кривизна излучателя.

На практике чаще всего приходится иметь дело с пучками, имеющими резко выраженные границы, для которых начальное поперечное распределение амплитуды можно представить полиномом [4] (1 rn2 N ) m, rn 1;

f (rn, z n = 0) = (6) 0, rn 1, Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн { } где N, m = 1, 2, 3,... Для таких пучков не удается получить аналитические выражения производных в (1). Поэтому здесь численные расчеты пространственных распределений кривизны фронта проведем, используя в выражении (1) приближенные значения производных:


(r, z ) r [ (r + r, z ) (r r, z )] 2r r 0 ;

2 (r, z ) r 2 [ (r + r, z ) 2 (r, z ) + (r r, z )] (r ) (7).

r После подстановки соотношений (7) в (1) получаем (rn, z n ) = 0,5 [ (rn + rn, z n ) 2 (rn, z n ) + (rn rn, z n )] (rn ) 2 (8) { } 1 + [( (rn + rn, z n ) (rn rn, z n ) ) 4rn ka ] 2 3.

В расчетах величину приращения rn задаем из условия rn 1. Функции (rn + rn, z n ), (rn, z n ), (rn rn, z n ) находятся как аргумент комплексной амплитуды волны из решения параболического уравнения дифракции [4] при выбранном граничном условии.

На рис. 2 показаны осевые распределения кривизны волны в гауссовом пучке f (rn ) = exp( rn2 ) при разных значениях 0. В поведении зависимостей видны три качественно разных случая, иллюстрируемых рис. 3. В случае 0 = 0, соответствующем плоскому излучателю, осевое распределение кривизны (кривая 1) хорошо известно [1, 4, 5]. С удалением от излучателя функция (rn = 0, z n ) переходит от нулевого значения при zn = 0 к своему максимуму max = 0,5 на границе области дифракции ( z n = 1 ). В дальней области пучка ( z n 2 ) величина убывает с расстоянием аналогично расходящейся сферической волне. Такое поведение Рис. 2. Продольные распределения кривизны вызвано наличием нескольких этапов (A, B, C, D, F) фронта волны в гауссовом пучке формирования фронта волны в пучке под действием при разных значениях 0 дифракции в отсутствие геометрической расходимости (сходимости), рис. 3–а.

При 0 0 волна наряду с дифракцией испытывает геометрическую расходимость. В случае 0 0 1 поведение кривых 2 – 4 на рис. 2 аналогично кривой 1, отличаясь лишь начальным ( z n = 0 ) значением 0. Волна проходит этапы B, C, D и F, рис. 3–б. Точками показана форма волны на том этапе распространения, где кривизна на оси пучка (rn = 0, zn ) имеет максимум. Преобладание дифракции над геометрической расходимостью ведет к формированию наиболее искривленного фронта (линия С ).

При 0 1 в зависимостях (rn = 0, zn ) исчезает максимум, и функция становится монотонно спадающей, начиная с 0. Доминирование геометрической расходимости над дифракцией ведет к необратимому «распрямлению» фронта. Изменения формы волны показаны линиями D и F на рис. 3–в. В дальней области пучка ( z n 2 ) зависимости (rn = 0, zn ) повторяются при всех значениях 0, рис. 2.

а) б) в) Рис. 3. Пространственная динамика фронта волны в зависимости от ее начальной кривизны Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн На рис. 4 показаны поперечные распределения кривизны волны в гауссовых пучках с волновыми размерами ka = 10 и 20. Рассмотрены три характерных случая 0 = 0, 0 0 1 и 0 1. Характер изменений зависимости (rn ) с ростом z n подтверждает отмеченные выше закономерности. Так в случаях 0 0 1 этапу сферической расходимости волны предшествует этап нарастания кривизны фронта в приосевой области пучка, кривые 3 на рис. 4–(б, д) и кривые 4 на рис. 4–(а, г). Напротив, в случае 0 1 распространение волны сопровождается лишь непрерывным «выпрямлением» ее фронта, рис. 4–(в, е).

а) б) в) г) д) е) Рис. 4. Поперечные распределения кривизны фронта волны в гауссовых пучках при ka = 10 и ka = На расстояниях z n 2 кривизна фронта в центре пучка не зависит от значений 0 и ka. С увеличением z n размер участка, где () = const, растет вместе с уменьшением кривизны. Физически это означает, что с завершением дифракции пучка формируется устойчивый фронт в виде сферически расходящейся волны, радиус которой неограниченно растет с увеличением z n. Формирование квазиодномерной волны, у которой () = const, начинается вблизи акустической оси и по мере роста z n постепенно переходит на периферию пучка. Из рис. 4 следует, что сокращение волнового размера пучка ka усиливает изменения кривизны волны в сечении пучка.

а) б) Рис. 5. Продольные распределения кривизны фазового фронта волны в пучке при f ( rn,0) = (1 rn2 ) Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн Осевые изменения кривизны фронта волны в пучке с резко выраженной границей, поперечное распределение амплитуды в котором описывает функция f (rn,0) = (1 rn2 ) 2, показаны на рис. 5. Здесь, как и в гауссовом пучке, амплитуда возмущения монотонно спадает к краям излучателя [4]. Появление осцилляций в распределении (rn = 0, z n ) связано с еще одним процессом, который наряду с дифракцией и геометрической расходимостью участвует в формировании волны. Это интерференция вкладов от ограниченного числа фазовых зон, расположенных на поверхности излучателя.

Осцилляции (rn = 0, z n ) в пучке с резко выраженной границей следуют за осевыми распределениями кривизны гауссового пучка, рис. 5–б, для которых последние выступают в роли средней линии. С усилением геометрической расходимости пучка, что достигается увеличением 0, сокращается размах осцилляций. За пределами ближней области пучка ( z n 2 ) характер изменений вдоль акустической оси уже не зависит от величины 0 и распределения амплитуды на излучателе f (rn,0).

а) б) в) г) Рис. 6. Характеристика направленности D () и угловые распределения кривизны в полиномиальном пучке На рис. 6 приведены характеристика направленности (ХН) D() и угловые распределения кривизны в пучке с резко выраженной границей. В ближней области поля ( zn 1 ) характерна сильная изменчивость зависимостей () даже при незначительном приращении z n, что вызвано возросшим влиянием интерференции фазовых зон. С увеличением расстояния ( z n 2 ) стабилизируется форма () и местоположение локальных осцилляций кривизны (кривые 3 – 5), положение которых совпадает с осцилляциями ХН излучателя D(). Одновременно в центральной части характеристик () формируется область, где подобно гауссовому пучку выполняется условие () = const. Форма угловых зависимостей () в пучках с ka = 10 и ka = 20 практически повторяется, отличия лишь в масштабе угловой координаты.

Работа выполнена при поддержке проекта АВЦП2012.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн ЛИТЕРАТУРА 1. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. – М.: Наука, 1990. – 432 с.

2. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. – М.: Наука, 1982. – 272 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1. – М.: Наука, 1985. – 432 с.

4. Гаврилов А.М. Фазозависимые процессы нелинейной акустики: модулированные волны. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009. – 352 с.

5. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика. – М.: Наука, 2004. – 656 с.

УДК 534. А.М. Гаврилов, Г.М. Грачева ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА В СФЕРИЧЕСКИ СХОДЯЩЕМСЯ ПУЧКЕ Технологический институт Южного федерального университета в г. Таганроге, 347928, Таганрог, пер. Некрасовский, 44, кафедра электрогидроакустической и медицинской техники Тел.: (8634) 371-795;

Факс: 8(8634) 371-795;

E-mail: gavr_am@mail.ru Рассмотрен вопрос эволюции формы волны в поле сферически сходящегося звукового пучка. Рассчитаны и сравниваются пространственные распределения кривизны фронта в пучках с гауссовым и полиномиальным распределениями амплитуды. Показано качественно отличающееся влияние кривизны излучателя 0 на последующую динамику волнового фронта в случаях 0 = 0, 0 0 1 и 0 1.

Для представления дифракции волны часто пользуются графическим изображением пространственных изменений ее фронта. Однако наблюдение изменений формы волны дает лишь качественную характеристику процесса. Вместе с тем интерес представляет его количественное описание, для чего можно обратиться к анализу кривизны фронта [1 – 4].

При рассмотрении кривизны в произвольной точке фронта волны воспользуемся аналогичной характеристикой линии [2], тогда кривизна фронта волны в пучке запишется 3 2 (r, z ) (r, z ) K (r, z ) = = 1 + = r r R(r, z ) (1) 3 1 (r, z ) 1 (r, z ) 1 + =, r r k k где r, z – поперечная и осевая координаты;

= k – пространственное «запаздывание» фазы дифрагирующей волны относительно плоской волны;

(r, z ) – запаздывание Рис. 1. Геометрия задачи относительно плоской волны, характеризующее форму дифрагирующей волны (рис. 1);

k = c0 – волновое число.

Для сравнения рассмотрим изменения кривизны фронта волны в гауссовом пучке, f (rn ) = exp(rn2 ).

Используемые обозначения и методика расчета изложены в работе [5]. На рис. 2 приведены осевые распределения безразмерной кривизны волны (rn = 0, z n ) при разных значениях кривизны поверхности излучателя 0. Выделим три качественно разных случая: 0 = 0, 0 0 1 и 0 1, рис. 3.

Кривизна рабочей поверхности плоского излучателя равна 0 = 0. Для этого случая осевое распределение кривизны фронта волны показано Рис. 2. Осевые распределения кривизны фронта кривой 1 на рис. 2 [1, 3, 4]. Волна трансформируется волны в гауссовом пучке при разных из квазиплоской в сферически расходящуюся волну, Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн проходя этапы, обозначенные буквами A, B, C, D и F, рис. 3–а. Вблизи излучателя форма волны ( A ) плоская. По мере распространения фронт под действием дифракции искривляется ( B ), достигая на расстоянии z n = 1 максимальной кривизны ( C ). С прекращением дифракции ( z n 1 ) волновой фронт распрямляется (этап D ), стремясь в процессе сферического расхождения волны принять на локальном участке плоскую форму ( F ).

У фокусирующего излучателя кривизна рабочей поверхности характеризуется условием 0 0.

Поэтому здесь начальный этап трансформации фронта волны ( B0 или D0 ) проходит под влиянием геометрической сходимости, рис. 3–(б, в).

Слабо сходящимся пучкам ( 0 0 1 ) свойственно преобладание вклада дифракции над геометрической сходимостью. Распространяющаяся волна последовательно проходит этапы B0, A, B, C, D и F, рис. 3–б. Функция (rn = 0, z n ) начинается значением 0, проходит через нулевое значение со сменой своего знака и по достижении максимума монотонно стремится к нулю, кривые 2 – 5 на рис. 2.

Область фокуса совпадает с нулевым значением кривизны (rn = 0, z n ) = 0, где волна имеет плоский фазовый фронт ( A ). В отличие от пучка плоского излучателя здесь на начальной стадии эволюции волны добавился этап B0 – A, где фронт трансформируется из вогнутого в плоский.

Сильно сходящиеся пучки ( 0 1 ) отличаются доминированием геометрической сходимости над дифракцией, в результате чего на промежуточных этапах C 0 и C формируются вогнутый и выпуклый фронты максимальной кривизны. На рис. 3–в они показаны точками. Соответственно в функции (rn = 0, z n ) появились экстремумы в области отрицательных значений, кривые 6 и 7 на рис.

2. В дальней области пучка ( z n 2 ) зависимости (rn = 0, z n ) повторяются для всех значений 0, что соответствует изменениям фронта волны на этапах D и F, рис. 3.

а) б) Рис. 3. Пространственные изменения формы волны в зависимости от начальной кривизны ее фронта 0.

Точками отмечены положения наиболее искривленного фронта ( С и С0 ) в) На рис. 4 показаны поперечные распределения кривизны волны (rn ) в гауссовых пучках с волновыми размерами ka = 10 и 20. Отдельно представлены два характерных случая 0 0 1 и 0 1. Изменения зависимости (rn ), происходящие с ростом z n, демонстрируют отмеченные выше закономерности. На расстояниях между излучателем и фокусом волна имеет сходящийся фронт, 0.

В точке фокуса, положение которой на оси пучка меняется с величиной 0, волна принимает плоский фазовый фронт, кривые 3 на рис. 4–(а, в) и кривые 4 на рис. 4–(б, г). За фокусом кривизна фронта становится положительной ( 0 ), что соответствует расходящейся волне.

На больших расстояниях от излучателя ( z n 1 ) расходящаяся волна постепенно уменьшает свою кривизну по мере удаления от излучателя. На локальном участке фронта, примыкающем к оси пучка ( rn 0 ), видно, что формируемая здесь область подчиняется условию (rn ) = const. Формирование Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн участка фронта сферической формы, (rn ) = const, начинается вблизи акустической оси и с увеличением z n расширяется на периферию пучка, кривые 6 на рис. 4–(а, в) и кривые 7 на рис. 4–(б, г). Из сравнения характеристик (rn ) на равных z n для случаев ka = 10 и 20 видно, что сокращение волнового размера пучка сопровождается усилением изменений кривизны фронта в поперечном сечении пучка.

а) б) в) г) Рис. 4. Поперечные распределения кривизны фронта волны в гауссовых пучках при ka = 10 и ka = В отличие от оптики, где гауссово приближение хорошо описывает используемые пучки света, в практических приложениях ультразвука приходится иметь дело с пучками, начальные размеры которых резко ограничены пределами излучателя. Учет этого фактора выполнен для фокусированного пучка с начальным ( z n = 0 ) распределением амплитуды, описываемым полиномом f (rn ) = (1 rn2 ) 2.

Специфической особенностью выбранного пучка является «гладкий» переход амплитуды к нулевому значению на границе излучателя [3], что сближает его с гауссовым пучком. Распределения кривизны фронта волны вдоль оси пучка приведены на рис. 5, здесь же пунктиром отмечены аналогичные характеристики гауссового пучка.

а) б) Рис. 5. Осевые распределения кривизны фазового фронта волны в пучке f (rn ) = (1 rn2 ) В гауссовом пучке осевые распределения кривизны выступают в качестве средних линий, вокруг Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн которых осциллируют характеристики (rn = 0, z n ) полиномиального пучка, рис. 5-б. Появление осцилляций вызвано интерференцией вкладов ограниченного числа фазовых зон, располагающихся на поверхности излучателя. В гауссовом пучке осцилляций нет из-за отсутствия физических границ у излучателя.

Появление осцилляций способно заметно изменить координату нулевого перехода кривизны относительно гауссового пучка, рис. 5. Точка нулевого перехода может рассматриваться как место фокуса, здесь скачком меняется форма фронта. С увеличением 0 растет размах осцилляций (rn = 0, z n ), одновременно сближаются положения фокуса сравниваемых пучков. Вне ближней области ( z n 2 ) характер изменений вдоль оси пучка слабо зависит от распределения амплитуды на излучателе и величины 0.

а) б) в) г) Рис. 6. Угловые распределения кривизны и характеристика направленности D () полиномиального пучка На рис. 6 приведены угловые распределения кривизны () в пучке с резко выраженной границей. Здесь же отмечена характеристика направленности D(), очерчивающая угловой сектор, в котором сосредоточена энергия волны. В отличие от гауссового пучка здесь на всех расстояниях z n наблюдается немонотонная зависимость (). Ограничение размеров излучателя привело к появлению осцилляций не только в осевом, но и в поперечном распределениях кривизны. С удалением от излучателя вдоль оси z n фиксируются положения локальных осцилляций в характеристике (), кривые 4 и 5, которые совпадают с границами лепестков характеристики D(). При увеличении волнового размера излучателя ( ka ) структура пучка на больших расстояниях ( z n 1 ) сужается, это относится и к характеристике ().

Подобно гауссовому пучку на расстояниях z n 1 в центральной части характеристик () формируется область сферического фронта, здесь выполняется условие () = const.

Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн ЛИТЕРАТУРА Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. – М.: Наука, 1990. – 432 с.

1.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1. – М.: Наука, 1985. – 432 с.

2.

Гаврилов А.М. Фазозависимые процессы нелинейной акустики: модулированные волны. – Таганрог: Изд-во 3.

ТТИ ЮФУ, 2009. – 352 с.

Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика. – М.: Наука, 2004. – 656 с.

4.

Гаврилов А.М., Грачева Г.М., Курситыс А.Д. Особенности эволюции волнового фронта сферически 5.

расходящегося пучка. – Сб. трудов XXV сессии Российского акустического общества. Т.1. – М.: ГЕОС, 2012.

УДК 623.827:629.5. Коцарев Ю.И., Лисенков Н.М., Попов Ю.Н.

ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ АКУСТИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА В ЗАМКНУТОМ ГИДРОАКУСТИЧЕСКОМ БАССЕЙНЕ ФГУП «ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова»

Россия, 196158 Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. Факс: (812) 386-67-43;

E-mail: krylov@krylov.spb.ru Построена численная модель замкнутого измерительного бассейна, учитывающая его конструкционные особенности, в том числе внутренние импедансные поверхности. Детализация конструкции бассейна позволила уточнить процедуру измерений (выявить влияние дифракционной составляющей и краевых эффектов). Рассмотрена нестационарная задача о распространении в бассейне акустического импульса.

Численно промоделирован процесс измерения акустической характеристики (коэффициента отражения) макета, облицованного импедансным эластомерным покрытием.

Исследование звуковых полей, прошедших через корпусную конструкцию или отраженных от нее, связано с необходимостью постановки достаточно точного эксперимента и минимизации влияния множества внешних факторов во избежание искажений конечного результата [1]. Для этих целей в гидроакустике используются специальные опытовые бассейны, позволяющие моделировать в ограниченных частотных диапазонах безграничную среду и, тем самым, создавать условия взаимодействия акустической волны только с макетным образцом. Однако на результатах такого эксперимента, как правило, сказываются характеристики самого бассейна. Исключить данное влияние только за счет инструментальной или математической обработки экспериментальных данных не всегда представляется возможным. Проблема может быть решена посредством теоретической оценки распространения акустических полей с учетом неидеальности покрытий стенок, особенностей размещения источника, макета и приемников звука и т.д. Аналитические методы не позволяют в точной постановке решать такие задачи с подробной детализацией конструкций реальных макетов и геометрии бассейна.

Однако стремительное развитие численных методов и мощностей вычислительных машин в последние десятилетия существенно расширили круг решаемых задач гидроакустики, в том числе и в направлении описания акустических полей в условиях реальных экспериментов.

Рис. 1. Схема измерений в гидроакустическом бассейне Для построения модели бассейна и решения нестационарной задачи о распространении звукового импульса и отражении его от макета с определенными импедансными условиями был выбран метод конечных элементов. Импедансные граничные условия на жестком макете моделировали гидроакустическое покрытие с определенными акустическими характеристиками. В силу симметричности бассейна относительно оси, на которой расположены излучатель и приемник, рассматривается его двумерная модель. На рис. 1 приведена типовая схема измерений в гидроакустическом бассейне.

Поскольку бассейн предназначен для проведения испытаний по определению коэффициента отражения и коэффициента прохождения от исследуемого макета, то он имеет внутреннюю звуконепроницаемую перегородку (рис. 1), отгораживающую часть внутреннего пространства. Макет располагается вблизи Содержание XXV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Распространение и дифракция волн перегородки. Такая схема испытаний имеет ряд недостатков, которые необходимо учитывать для корректной трактовки получаемых результатов:



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.