авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |

«Как понимать квантовую механику (версия 001) М. Г. Иванов1 4 марта 2010 г. 1 ...»

-- [ Страница 10 ] --

zpy ypz Поскольку во всех компонентах L все перемножаемые координаты и импульсы относятся к разным осям, то проблем с упорядочением множителей не возникает, и квантовые операторы проекций момента импульса получаются из классических формул приписыванием шляпок. Как и раньше, при обсуждении группы поворотов и её генераторов, сразу обезразмерим квантовые моменты импульса, поделив их на (по повторяющимся индексам снова подразумевается суммирование):

= l e x p = i e x, x = l (pz z py ) = i(yz zy ), y y = l (px xpz ) = i(zx xz ), z z = l (py y px ) = i(xy yx ).

x Здесь мы сразу переписали операторы как дифференциальные операторы в ко l ординатном представлении, = x.

Проверим коммутационные соотношения для компонент орбитального момента импульса.

l [x, y ] = ll [pz z py, z px xpz ] = y = ([pz, z px ] [pz, xpz ] [py, z px ] +[py, xpz ]) = y y z z 0 1 (py y px ) = iz.

= ( [z, z ] px + x [, pz ] py ) = i yp z x l i (i ) С помощью циклических перестановок x, y, z получаем коммутационные соотноше ния, совпадающие с (15.3):

[, ] = i e.

ll l 310 ГЛАВА 15. ВРАЩЕНИЯ И МОМЕНТЫ Сферические координаты Операторы являются операторами производных вдоль векторных полей l lx = i(0, z, y), ly = i(z, 0, x), lz = i(y, x, 0).

Эти векторные поля с точностью до множителя i представляют собой поля скоро стей при вращении вокруг соответствующих осей координат с единичной угловой скоростью. Экспоненты от операторов будут как раз соответствовать движению l вдоль этих векторных полей il.

При вращении вокруг координатных осей расстояние от точки до начала ко ординат не меняется, поэтому может быть удобно выписать поля l и операторы в сферических координатах. Следует ожидать, что в сферических координатах l орбитальные моменты могут быть выражены с использованием только угловых координат, без использования координаты r.

Сферические координаты это расстояние до начала координат r, широта (отсчитывается не от плоскости экватора, как в географии, а от оси z), долгота (отсчитывается от плоскости xz, направление отсчёта связано с направлением оси z правым винтом).

x = r sin cos, y = r sin sin, z = r cos.

Базисные векторы в сферических координатах можно легко представить, опре делив как смещается точка при бесконечномалом изменении соответствующей ко ординаты. Вектор смещения при изменении координаты xa на величину dxa будет равен ea · dxa (индексы подчёркнуты, чтобы показать, что суммы по повторяюще муся индексу a в данной формуле нет).

e2 = 1, er = (sin cos, sin sin, cos ), r e2 = r2, e = (r cos cos, r cos sin, r sin ), e2 = r2 sin2.

e = (r sin sin, r sin cos, 0), Матрица скалярных произведений векторов ea даёт метрический тензор, однако, его проще определить через элемент длины, выраженный в новых координатах:

10 = 0 r2.

dl2 = dr2 + r2 (d2 + sin2 d2 ) gab (15.5) 2 sin 00r В дифференциальной геометрии принято считать, что вектор и производная вдоль этого век тора один и тот же объект, т.к. между ними естественным образом устанавливается взаимно однозначное соответствие: v = v a a. При этом операторы частной производной вдоль координат a = xa выступают в роли базисных векторов (координатный базис). Такой базис в общем слу чае не является ни ортогональным, ни нормированным. Компоненты вектора, разложенного по координатному базису при замене координат преобразуются по тому же закону, что и бесконеч номалый радиус-вектор с компонентами dxa, соединяющий две бесконечноблизкие точки.

15.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ (l,ea ) Компоненты полей l по векторам нового базиса определяются как.

e2a x = i ( sin ctg cos ), l y = i (cos ctg sin ), l z = i.

l Как и следовало ожидать, z имеет стандартный вид импульса (генератора l сдвига) по координате (долготе).

Оператор 2 в сферических координатах с точностью до знака совпадает с опе l ратором Бельтрами-Лапласа (обобщением лапласиана) на единичной сфере:

1 2 1 2 = l + sin =.

sin2 2 sin Спектр оператора z 15.2.2 j Различные проекции момента импульса не коммутируют друг с другом, поэто му в набор одновременно измеримых величин мы можем включить только одну из них и суммарный квадрат момента импульса (оператор Казимира алгебры момен тов). Традиционно из всех проекций момента импульса принято выбирать проек цию на ось z. Однако, все выводы останутся справедливыми и при замене оси z на любое другое направление.

Пусть m собственное число оператора z j z m = mm.

j Под действие оператора поворота на угол 2 собственная функция m либо пере ходит в себя, либо меняет знак (15.1.2 Квантовые вращения** ) ei2jz m = ei2m m = ±m.

Таким образом, m должно быть целым, или полуцелым m Z, или m+ Z.

Причём собственные функции для целых и полуцелых m удобнее отнести к раз ным пространствам, т.к. иначе их линейная комбинация при повороте на 2 не умножалась бы на фиксированный множитель ±1.

Для орбитального момента в роли z выступает оператор z. Экспонента от него j l задаёт сдвиг по углу (поворот) eilz (r,, ) = (r,, + ).

С учётом 2-периодических условий по мы должны выбрать m (r,, ) = Cm (r, ) eim.

m Z, 312 ГЛАВА 15. ВРАЩЕНИЯ И МОМЕНТЫ Операторы ± 15.2.3 j Для дальнейшего исследования моментов импульса полезно ввести операторы ± = x ± iy = †.

j j j j Для орбитальных моментов получаем ± = x ± iy = e±i (± + i ctg ).

l l l Через операторы ± удобно выражать x и y, подобно тому, как через лест j j j ничные операторы a, a† удобно выражать P, Q для гармонического осциллятора (12.7). Для векторного оператора компоненты +, и z часто оказываются более удобными, чем x, y и z.

Подобно тому, как оператор номера уровня для гармонического осциллятора удобно выразить через a и a†, оператор 2 удобно выразить через ± и z :

j j j + = x + y + i[x, y ] = x + y z, j2 j2 j2 j2 j jj jj + = x + y i[x, y ] = x + y + z.

j2 j2 j2 j2 j jj jj Отсюда легко видеть, что [+, ] = 2z, jj j (15.6) 2 = + + z + z = + + z z.

j2 j j2 j j jj jj (15.7) Используя коммутационные соотношения (15.3) и (15.4) получаем [z, ± ] = ±, jj j (15.8) [, j± ] = 0.

j (15.9) Подобно тому, как операторы a и a† уменьшают и увеличивают числа заполне ния для гармонического осциллятора (12.13), ± увеличивают и уменьшают значе j z :

ние проекции j z (± m ) = (± z + [z, ± ])m = (± m ± ± )m = (m ± 1)(± m ) jj jj jj j j j (15.10) Как и для гармонического осциллятора (12.13), мы можем сделать вывод, что вы ражение ± m либо обращается в нуль, либо оказывается собственным вектором, j отвечающим собственному числу (m ± 1).

Собственные векторы операторов z, 15.2.4 jj Ранее мы обсуждали спектр собственных состояний оператора z j (15.2.2 Спектр оператора z ) не накладывая на состояния каких-либо до j полнительных ограничений. Теперь мы потребуем, чтобы рассматриваемые состояния были одновременно собственными для оператора 2, коммутирующего j с z.

j z m = m m, 2 m = m.

j j Поскольку 2 = x + y + z, мы сразу заключаем, что |m|2. Таким образом, j2 j2 j j спектр разрешённых значений m при фиксированном ограничен сверху и снизу.

15.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ Пусть j максимальное значение m при данном, тогда (см. (15.10), (15.7)) z j = j j, j + j = 0, j 2 j = ( + + z + z )j = (0 + j 2 + j)j = j.

j2 j j jj Таким образом, = j(j + 1). Аналогично, проверяется, что минимальное разре шённое значение m это j.

z j = j j, j j = 0, j 2 j = (+ + z z )j = (0 + j 2 (j))j = j.

j2 j j jj Поскольку j неотрицательное целое или полуцелое число, то для нумерации состояний удобнее использовать не = j(j + 1), а само j. Ортонормированные состояния с определёнными значениями m и j принято обозначать как |j, m z |j, m = m|j, m, j 2 |j, m = j(j + 1)|j, m, j j1, m1 |j2, m2 = j1 j2 m1 m2, 2j N {0}, m {j, j + 1,..., +j}.

Уравнение (15.10) даёт ± |j, m = C± |j, m ± 1.

j Для определения коэффициентов C± воспользуемся соотношениями (15.7).

+ |j, m = C+ |j, m + 1, j j, m| = j, m| C+, j j, m| + |j, m = j, m + 1|C+ C+ |j, m + 1 = |C+ |2, jj j, m| + |j, m = j, m| 2 z z |j, m = j(j + 1) m(m + 1).

j2 j jj j Мы определили, что |C+ | = j(j + 1) m(m + 1), но фазу этого коэффициен та вычислить невозможно, т.к. условия нормировки позволяют умножать разные базисные состояния на разные фазовые множители, при этом будет меняться фаза и у C+. Раньше подобные рассуждения мы использовали для введения формулы (12.22) для гармонического осциллятора.

Не имея возможности вычислить фазовые множители для C+, мы имеем воз можность выбрать их по своему произволу. Мы выберем все C+ вещественными неотрицательными числами. Это зафиксирует большую часть произвола, теперь мы можем умножать наши векторы только на одинаковые фазовые множители, C+ теперь фиксированные числа.

Определив фазу у множителей C+,j,m мы тем самым определили фазу и у мно жителей C,j,m.

+ |j, m = C+,j,m |j, m + 1, j j, m + 1|+ |j, m = C+,j,m, j j, m + 1|+ |j, m j = C+,j,m, j, m + 1|+ |j, m = j, m| |j, m + 1 = C,j,m+1, j j C,j,m+1 = C+,j,m.

314 ГЛАВА 15. ВРАЩЕНИЯ И МОМЕНТЫ Таким образом все коэффициенты C± оказываются вещественными неотрицатель ными:

+ |j, m = j j(j + 1) m(m + 1) |j, m + 1 = (j m)(j + m + 1) |j, m + 1, |j, m = j j(j + 1) m(m 1) |j, m 1 = (j + m)(j m + 1) |j, m 1.

Как и для лестничных операторов гармонического осциллятора, множители обра щаются в нуль при попытке вывести собственное число m из разрешённого диапа зона.

Матричные элементы операторов ± для базисных векторов имеют вид j j, m |+ |j, m = (j m)(j + m + 1) jj m,m j j, m| |j, m = (j m)(j + m + 1) jj m,m j Это позволяет представить операторы при фиксированном значении j в виде мат риц (2j + 1) (2j + 1) 0 (2j)1 0 0... 0 0 (2j 1)2 0....

.

= 0, + j 0 0 (2j 2)3....

......

.... 1(2j).

....

0 0 0 0... 0 0 0... (2j)1 0 0...

0 (2j 1)2 0...

j = 0.

0 0 (2j 2)3...

.

.....

....

.

....

0 0... 1(2j) Столбцы и строки нумеруются здесь целыми числами начиная с +j до j в порядке убывания.

Отсюда находятся также матрицы x = j+ +j и y = j+2ij.

j j Матрицы z и 2, поскольку мы взяли их собственные векторы в качестве ба j j зиса, оказываются диагональными, причём матрица квадрата момента (оператора j Казимира) оказывается пропорциональной единичной матрице 2 = j(j + 1)E. z, j при выбранной нумерации строк и столбцов, имеет вид:

j 0... 0 j1... z = j.

...

..

...

.

...

0 0... j (*) Мы описали неприводимое (2j +1)-мерное представление группы вращений.

Если j целое, то это представление групп SO(3) и SU (2) одновременно, а если j полуцелое, то это представление относится только к группе SU (2).

15.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ 15.2.5 Орбитальные и спиновые моменты Введённые выше операторы орбитального момента одной частицы a (a но l мер частицы) действуют только на координаты этой частицы. В частности, опера торы поворота eilan поворачивают вокруг начала координат только эту частицу, оставляя другие частицы на месте. Если мы хотим повернуть все частицы, то необ ходимо каждую из них повернуть на один и тот же угол. Поскольку орбитальные моменты разных частиц действуют на разные координаты, то они коммутируют друг с другом и мы можем определить суммарный орбитальный момент L (ге нератор одновременного поворота координат всех частиц) как сумму орбитальных моментов отдельных частиц N P i l1n i i n an.

l2n lN i a lan i Ln e e...e =e =e, Ln = l a= Очевидно, что т.к. моменты разных частиц коммутируют между собой, для сум марного орбитального момента справедливы те же коммутационные соотношения (15.3), что и для орбитальных моментов отдельных частиц [L, L ] = i e L.

Обратите внимание, что мы пишем суммарный орбитальный момент, а не сум марный момент импульса. Это связано с тем, что помимо орбитального момен та частиц, связанного с движением частиц как целого, существует ещё спиновый (внутренний) момент импульса s спин. Классическим аналогом спина был бы момент импульса, связанный с вращением частицы вокруг своей оси, однако для элементарных частиц такая наивная интерпретация не работает, т.к. скорости вра щения должны были бы быть слишком велики (больше скорости света), а кроме того, спин имеется у частиц, для которых не наблюдается никаких признаком внут ренней структуры.

Спин принято считать некоторым внутренним невыводимым свойством частиц.

Для частицы с определённого сорта величина квадрата спин s2 = s2 + s2 + s2 опре x y z делена и равна s(s + 1), где s целое или полуцелое неотрицательное число. Для описания спина волновая функция кроме обычных переменных, описывающих дви жение каждой частицы как целого, имеет также дискретные спиновые переменные, которые пробегают значения от s до +s с шагом 1.

Подобно тому, как операторы орбитального момента действуют только на ко ординаты частиц, операторы спина действуют только на спиновые переменные.

Поскольку спиновые переменные дискретны, спиновые операторы представля ют собой матрицы. Спиновые операторы для частицы со спином s матрицы (2s + 1) (2s + 1).

15.2.6 Коммутаторы моментов импульса Для того, чтобы определить, как коммутируют операторы момента импульса с каким-либо оператором, нам надо определить, как ведёт себя этот оператор при вращениях (11.2):

dAповёрн. d j = i[µ, A].

eijµ Aeijµ = d d = Так что если мы знаем как оператор ведёт себя при вращениях, то мы знаем как он коммутирует с моментами импульса. Формулу мы записали для вращения 316 ГЛАВА 15. ВРАЩЕНИЯ И МОМЕНТЫ оператора вместе с состоянием (для вращения вместо достаточно поменять знаки в показателях экспонент, см. 11.2 Преобразования операторов “вместе” и “вместо” ).

Скаляры Сразу можно сделать вывод, что любой скалярный оператор (оператор, не ме няющийся при поворотах) коммутирует со всеми компонентами µ :

j j [µ, A] = 0 A скаляр.

В частности скаляром оказывается оператор Казимира 2.

j Векторы Для того, чтобы записать преобразование вектора при вращении нам нет необ ходимости знать, что это за вектор. Само слово вектор подразумевает вполне определённые трансформационные свойства. (Так что сейчас самое сложное не запутаться в знаках, определяя что относительно чего вращается.) Нам достаточно записать бесконечномалый поворот вокруг e на угол :

Aµ Aµ eµ A + O(2 ) Мы рассматриваем поворот вместе, так что он осуществляется в противополож ном направлении, по сравнению с тем, как поворачиваются аргументы волновой функции в разделе 15.1.1 Генераторы вращений. dAµ j i[, Aµ ] = = eµ A d Таким образом, компоненты произвольного векторного оператора коммутирует с компонентой момента импульса по следующему закону:

j j [, Aµ ] = [A, µ ] = i eµ A (15.11) Эта формула обобщает коммутационное соотношение (15.3), которое воспроизво дится, если подставить вместо A компоненту момента импульса. Это означает, j что компоненты момента импульса, как и в классической механике, образуют век тор.

Из формулы (15.11) следуют такие полезные коммутаторы:

j j [Az, ± ] = [z, A± ] = ±A±, (15.12) j j [A+, ] = [+, A ] = 2Az. (15.13) j Обратите внимание, что коммутатор [z, A± ] = ±A± (15.12) означает, что под ± проекция момента импульса на ось z изменяется на ± действием оператора A (сравни с (15.10)), также как под действием ±. Однако, j j j j [A, 2 ] = i eµ (µ A + A µ ), j j j j j [A±, 2 ] = ±(Az ± + ± Az A± z z A± ).

Для проверки знака, с учётом того, что все векторы вращаются одинаково можно, например, проверить коммутатор [1, 2 ] = i3.

xl x 15.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ Если A± не коммутируют с 2, то они не только сдвигают m на ±1, но также j портят квантовое число j. Также могут портится другие квантовые числа, например состояния с определённым орбитальным моментом (заданы собственные числа для 2 и z ) под действием ± меняют только угловую зависимость при фик l l l 2, а под действием x± изменится не только z, но также состояние сированном l l перестанет быть собственным для 2, и изменится зависимость волновой функции l от радиальной переменной.

Вместо операторов суммарного момента импульса мы можем брать опера j торы момента импульса подсистемы при условии что данный вектор вращается при поворотах этой подсистемы, т.е. что операторы A действуют на переменные описывающие данную подсистему и только на них, например орбитальный момент поворачивает импульс и мы имеем [, ] = [, p ] = ie p. Если же оператор pl l действует на переменные другой подсистемы, то он коммутирует с моментом им пульса данной подсистемы, например спин не поворачивает орбитальный момент и координаты [, ] = [, x ] = 0.

sl s Лестничные операторы для осциллятора a± и момента им 15.2.7 ± ** пульса j Очевидно сходство между лестничными операторами для осциллятора a± и операто ± для момента импульса. Это сходство рами j не случайно, и мы можем построить операторы момента импульса из осцилляторных операто ров.

Введём гильбертово пространство H как тензорное произведение двух пространств H1 и H2, на которых действуют два комплекта ос цилляторных операторов Рис. 15.1: Связь чисел заполнения H = H1 H2, n1 и n2 с j и m.

a± = a± 1 1, a± = a±, 2 1 = N = a† a 1 1, N N2 = 1 N = a† a.

Базис в пространстве H естественно нумеровать двумя числами заполнения:

|n1 |n2, n1, n2 {0, 1, 2, 3,... }.

n1 +n Перенумеруем базисные векторы новыми квантовыми числами j = и m = n1 n2 (см. Рис.15.1):

1 |j, m = |j + m |l m, j 0,, 1,, 2,..., m {+j, +j 1,..., j}.

2 318 ГЛАВА 15. ВРАЩЕНИЯ И МОМЕНТЫ Новая нумерация базисных векторов сразу подсказывает, как определить опе раторы момента импульса:

N1 N z = j, + = a † a, j = a a†.

j Мы можем определить оператор с собственными числами j:

j, N1 + N = j, 2 = + 1).

j j(j Легко проверить, как действуют операторы момента на базисные состояния |n1 |n2 = n1 +n2, n1 n2 = |j, m 2 n1 n z |n1 |n j = |n1 |n2 = m |n1 |n2, + |n1 |n2 = a† a |n1 |n2 = (n1 + 1)n2 |n1 + 1 |n2 1 = j = (j m)(j + m + 1) |j, m + 1, |n1 |n2 = a a† |n1 |n2 = j n1 (n2 + 1) |n1 1 |n2 + 1 = = (j + m)(j m + 1) |j, m 1.

Мы представили гильбертово пространство как прямую сумму (2j + 1)-мерных подпространств для всех возможных целых и полуцелых j.

C2j+1 = C1 C2 C3 C4 · · ·.

H= j=0, 1,1, 3,2,...

2 На каждое подпространство соответствует определённому значению j. На язы ке теории представлений каждое подпространство соответствует определённому неприводимому представлению группы квантовых вращений SU(2). Тем самым мы получили каждое неприводимое представление группы квантовых вращений SU (2) по одному разу.

15.3 Спин Волновая функция частицы со спином 1 может быть представлена как функция (r, ) от координат r R3 и спиновой переменной (проекция спина на ось z) { 1, + 1 }. При этом удобно считать, что нумерует строки столбца из двух 2 элементов. Можно также считать, что аргумент у волновой функции по прежнему один r, зато значением функции в точке считается не комплексное число, а комплексный столбец из двух строк:

(r, + 1 ) (r, ·) = = (r).

(r, 2 ) Мы можем считать, что спиновая переменная это такая координата, описы вающая дополнительную дискретную спиновую степень свободы. Более того, часто 15.3. СПИН удобно считать что спин и движение частицы как целого отдельные невзаимо действующие (или слабо взаимодействующие) подсистемы. Отсутствие взаимодей ствия координат и спина это отсутствие в гамильтониане слагаемых, которые действуют одновременно на спин и координаты.

В пределе отсутствия взаимодействия, как и для любых других невзаимодей ствующих подсистем, если волновая функция факторизуется (разлагается на мно жители, зависящие от отдельных координат) в начальный момент времени, то она остаётся факторизованной и во все все последующие моменты времени, причём множители эволюционируют независимо.

Т.е., если гамильтониан представим в виде H = Hr s + r Hs, 1 где операторы с индексом r действуют только на координаты частицы, а с индексом s только на спин, то волновая функция может разлагаться на слагаемые вида (r, ) = (r) · (), i = Hr, i = Hs.

t t (r) называют координатной волновой функцией, а () спиновой волновой функцией.

В соответствии с процедурой, описанной выше (15.2.4 Собственные векторы операторов z, 2 ) мы можем выписать операторы компонент для спина jj 01 s = s† = s+ =, +.

00 s+ + s 1 s+ + s 1 01 0 i +1 sx = =, sy = =, sz =.

10 i 0 0 2 2 2i 2 Базисные состояния с определённым значением (проекции на ось z) принято обозначать по-разному:

11,+ = = | = |1, 11, = = | = |0.

Последний вариант |0 и |1 обычно применяется в квантовой теории информации, когда спин используется в качестве квантового бита (кубита).

15.3.1 Матрицы Паули Пространство эрмитовых матриц 2 2 четырёхмерно: два диагональных эле мента вещественны, два комплексных элемента вне главной диагонали комплексно сопряжены друг другу. В качестве базиса в пространстве эрмитовых матриц 2 можно выбрать, например, три матрицы s, для спина 1 и единичную матрицу E.

Однако матрицы s имеют собственные числа ± 1, что не слишком удобно: удоб нее чтобы собственные числа равнялись по модуле единице. Поэтому, вместо спи новых матриц s вводятся -матрицы Паули, отличающиеся от спиновых матриц умножением на 2. Иногда в качестве -матрицы номер 0 рассматривают единичную матрицу E:

= (x, y, z ), = 2, s {1, 2, 3}, 0 = E, 320 ГЛАВА 15. ВРАЩЕНИЯ И МОМЕНТЫ 10 01 0 i +1 0 =, x =, y =, z =.

01 10 i 0 0 Матрицы Паули могут применяться не только для спинов 2, но и для любых двухуровневых (с двумерным пространством состояний) систем, т.е. для любых кубитов. Любая эрмитова матрица 2 2 разлагается по единичной матрице и матрицам Паули с вещественными коэффициентами разложения, а произвольная матрица 2 2 разлагается по тому же базису с комплексными коэффициентами разложения. Если ограничиться матрицами с нулевым следом, то из базиса выки дывается единичная матрица.

При вычислениях с матрицами 2 2, разложенными по -матрицам мы можем не перемножать матриц явно, если воспользуемся таблицей умножения матриц Паули.

2-й множитель x y z 1-й множитель : x E iz iy y iz E ix z iy ix E Эту же таблицу можно записать в виде одной формулы:

= E + i e,,, {1, 2, 3}. (15.14) С помощью матриц Паули удобно представлять трёхмерные векторы в виде эр митовых бесследовых матриц 2 2 (предполагается, что компоненты вектора числа, или операторы не действующие на спиновые переменные, т.е. коммутирую щие с операторами спина).

Az Ax iAy Az A (A, ) = A = =.

Ax + iAy Az A+ Az Произведение таких матриц (его легко вычислить по правилу (15.14)) содержит как скалярное, так и векторное произведение:

(A, )(B, ) = (A, B) + i([A B], ). (15.15) Для единичного вектора n получаем, что (n, )2 = (n, n)E = E = (n, )2k, k = 0, 1, 2..., т.е. все чётные степени дают единичную матрицу. Соответственно все нечётные степени дают исходную матрицу (n, )2k+1 = (n, ) = n.

Используя это легко записать спиновый оператор поворота вокруг произволь ной оси:

(i/2)k k (i/2)2k (i/2)2k+ Rn () = ein = ei 2 n = s n = E +n, k! (2k)! (2k + 1)!

k=0 k=0 k= cos i sin 2 cos + nz i sin n i sin 2 2 Rn () = E cos + in sin =.

n+ i sin cos nz i sin 2 2 2 2 Как мы и ожидали, для полуцелого спина 1, поворот на полный угол 2 соответ ствует оператору E.

Получившаяся спиновая матрица поворота Rn () является матрицей 22, уни тарна (как экспонента от эрмитовой матрицы, умноженной на i) и имеет единичный определитель, таким образом Rn () SU(2).

15.3. СПИН 15.3.2 Кватернионы** Читатель знакомый с понятием кватернионов должен был почувствовать в предыдущем разделе что-то смутно знакомое, особенно в формуле (15.15), в ко торой перемешались скалярное и векторное произведение.

Это сходство можно сделать изоморфизмом, если ввести соответствие между матрицами 2 2 и кватернионными единицами:

E 1, ix i, iy j, iz k.

Теперь таблица умножения -матриц превращается в стандартную таблицу умножения базисных кватернионов:

2-й множитель 1 i j k 1-й множитель : 1 1 i j k i i 1 k j j j k 1 i kk j i Кватернион общего вида получается как линейная комбинация базисных с ве щественными коэффициентами:

A = A0 + Ax i + Ay j + Ax k = A0 + A.

При этом A0 называют скалярной частью кватерниона, а A = Ax i + Ay j + Ax k векторной частью.

Кватернионы являются обобщением комплексных чисел, при котором вместо одной мнимой оси вводится трёхмерное пространство. Это пространство изотропно, в том смысле, что собственные вращения в нём не меняют алгебраических соотно шений между кватернионами. Более того, любая двумерная плоскость в простран стве кватернионов, содержащая вещественную ось устроена также, как обычная комплексная плоскость.

Для кватернионов определено сложение, вычитание, умножение и взятие об ратного элемента (от ненулевых элементов). Причём, поскольку умножение ква тернионов некоммутативно, определено два разных деления: левое (умножение на обратный элемент слева) и правое (умножение на обратный элемент справа).

Для кватернионов определяют сопряжённый кватернион, абсолютную величи ну, обратный элемент A = A0 A = (A + iAi + jAj + kAk), |A|2 = A2 + A2 = AA, A A1 =.

|A| Обратите внимание, в отличие от комплексного сопряжения, кватернионное сопря жение выражается через сложение и умножение, из-за этого над кватернионами не удаётся создать интересной теории аналитических функций (т.к. аналитические 322 ГЛАВА 15. ВРАЩЕНИЯ И МОМЕНТЫ и антианалитические функции совпадают). Таким образом, хотя кватернионы и были придуманы как обобщённые комплексные числа в надежде на то, что с их помощью можно будет столь же удобно решать трёхмерное уравнение Лапласа, как в двумерии с помощью аналитических функций, это ожидание не оправдалось. Если построить кватернион с произвольными комплексными компонентами (комплексный кватернион), то мы потерям деление обратный элемент не бу дет определён не только для нуля, но и для других элементов. Этого и следовало ожидать, т.к. кватернионному умножению мы сопоставили матричное умножение, а кватернионам с произвольными комплексными коэффициентами соответствуют произвольные матрицы 2 2, в том числе и необратимые.

Векторная часть кватерниона представляется как антиэрмитова матрица 2 2, таким образом спиновый оператор вращения, с учётом соответствия in n, естественным образом переписывается как единичный (по модулю) кватернион:

Rn () = e 2 n = cos n sin, |Rn ()| = 1.

2 15.3.3 Геометрия чистых состояний кубита** Состояния квантовой системы определены с точностью до произвольного ненулевого мно жителя, так что хотя пространство спиновых состояний (или состояний любой другой двух уровневой системы) это двумерное комплекс ное пространство C2, для нумерации физически различимых состояний нам не надо задавать два комплексных числа, а достаточно их отно шения. Таким образом, любое спиновое состоя ние, кроме единственного состояния | может быть представлено в виде Рис. 15.2: Проекция комплексной плоскости на сферу Римана. Вид | = | + |, C. снизу в зеркальном отражении.

[Jean-Christophe BENOIST cc W] Состояние | соответствует пределу.

Т.е. топологически пространство чистых со стояний для спина 1 получается из комплекс ной плоскости C добавлением бесконечной точ ки, и мы получаем сферу Римана C.

Оказывается, что в данном случае сфера Римана имеет также хорошую физическую ин терпретацию.

Пусть точка = x + iy откладывается на плоскость (x, y), как на комплексной плоскости. Рис. 15.3: Сечение проекции ком Как принято в теории функций комплексного плексной плоскости (ось ) на сферу переменного, спроецируем точку с плоскости Римана из южного полюса.

(x, y) на единичную сферу, с центром в начале координат. Проекцию будем про водить из южного полюса сферы, т.е. из точки с координатами (0, 0, 1). Такая Кватернионы были придуманы У.Р. Гамильтоном 16 октября 1843 года во время прогулки с женой по берегу Королевского канала в Дублине. Уравнения i2 = j2 = k2 = ijk = 1 были написаны им на камне Брукхемского моста.

15.3. СПИН проекция даст нам взаимно-однозначное соответствие между точками сферы (кро ме южного полюса) и точками комплексной (экваториальной) плоскости4 C (без бесконечной точки). Бесконечная точка на C соответствует южному полюсу сферы Римана.

При этом, как можно легко убедиться, точка на сфере в точности соответствует вектору поляризации P = для спина в состоянии :

1 || Re Im x =, y =, z =.

1 + ||2 1 + ||2 1 + || При стремлении к бесконечности P стремится к направлению вдоль оси z.

Если мы будем измерять проекцию спина на вектор P, то мы с вероятностью 1 получим, что спин направлен вдоль P, и его проекция на P равна + 1. Таким образом спин в некотором смысле направлен вдоль P.

15.3.4 Геометрия смешанных состояний кубита** Смешанное состояние спина 2 (или для любой другой двухуровневой системы) задаётся матрицей плотности 2 2. Матрица плотности должна быть эрмитовой, положительно определённой (вероятности положительны) и иметь единичный след (суммарная вероятность равна 1).

Как мы уже упоминали ранее (15.3.1 Матрицы Паули ) любая эрмитова мат рица 2 2 разлагается по базису из матриц Паули и единичной матрицы с веще ственными коэффициентами. При этом след матриц Паули равен нулю, так что мы можем написать E + (P, ) P = (Px, Py, Pz ) R3, =, |P | 1.

Коэффициент 1 перед единичной матрицей фиксирован условием tr = 1. Любой вектор является собственным для единичной матрицы с собственным числом 1.

Таким образом, собственные векторы матрицы совпадают с собственными век торами матрицы (P, ). Поскольку собственные числа матрицы (P, ) равны ±|P |, то собственные числа матрицы имеют вид 1 ± |P | p± = 0.

Условие положительности требует, чтобы |P | 1.

Мы получили, что спиновая матрица плотности параметризуется вектором, ле жащим внутри единичной сферы. При этом поверхность сферы соответствует об ращению в 1 одного из собственных чисел (другое при этом обращается в нуль), т.е.

поверхности сферы соответствуют чистые состояния, как в и предыдущем разделе (15.3.3 Геометрия чистых состояний спина 1 ).

Для того, чтобы определить физический смысл вектора P вычислим среднее по состоянию.

= tr( ) = 1 tr( + P ) = 1 tr( EP ) = P 2 trE = P.

2 В нашем случае комплексная плоскость рассекает сферу Римана по экватору, но в литературе иногда сфера Римана касается плоскости одним из полюсов. Различие между такими проекциями масштабный фактор 2, т.к. в последнем случае плоскость в 2 раза дальше от точки проекции.

324 ГЛАВА 15. ВРАЩЕНИЯ И МОМЕНТЫ Мы использовали формулу (15.14) умножения -матриц и тот факт, что след от любой -матрицы равен 0.

Таким образом, вектор P имеет смысл среднего вектора поляризации по состо янию P = = tr().

Для чистых состояний (точек на поверхности сферы) это полностью соответ ствует результатам полученным ранее.

15.4 Спин Всё, что было сказано в начале раздела 15.3 Спин 1 о координатных и спи новых волновых функциях применимо и к спину 1, и к любому другому спину до тех пор, пока не используется явно величина спина.

Волновая функция частицы со спином 1 может быть представлена как функция (r, ) от координат r R3 и спиновой переменной (проекция спина на ось z) {+1, 0, 1}: (r, +1) (r, ·) = (r, 0) = (r).

(r, 1) Теперь спиновая волновая функция столбец из трёх строк, а спиновые операторы матрицы 3 В соответствии с процедурой, описанной выше (15.2.4 Собственные векторы операторов z, 2 ) мы можем выписать операторы компонент для спина jj 0 0 2 0 † s+ = 0 0 2, s = s+ = 2 0.

00 0 0 i 0 0 0 0 +1 i 22, sz = 0 0 0.

2 2 sx =, sy = i 0 2 2 0 0 i 0 0 0 Ax iAy +Az A +Az 0 2 A+ Ax +iAy Ax iAy A (A, s) = =.

0 2 2 A+ Ax +iAy 0 Az 0 Az Собственные числа проекции спина на любую ось sn = (n, s) +1, 0, 1, так что вводить какие-либо вспомогательные матрицы наподобие -матриц Паули нет причин. Базисные состояния с определённым значением (проекции на ось z) принято обозначать по-разному:

1 0 |1, +1 = 0, |1, 0 = 1, |1, 1 = 0.

0 0 -матрицы исключительная особенность двумерия и для спинов отличных от 1 их пытаются писать по принципу = 2 только студенты, начинающие сдавать задания по квантовой механике.

s К моменту экзамена это обычно проходит.

15.4. СПИН 1 15.4.1 Вращения для спина 1 и для векторов Оператор поворота для спина 1, как и для любого другого момента задаётся формулой Rn () = ein.

s Поскольку собственные числа sn равны +1, 0, 1, их третья степень, как и для -матриц даёт исходную матрицу. Таким образом, s3 = sn 2n+ = s2 = s0 = E, s2n+1 = sn.

n = 0, 1, 2,... sn (15.16) n n n n Аналогичные соотношения мы получали ранее, для генераторов матриц поворота в трёхмерном пространстве (15.2). В этом состоит специфика спина 1.

Разлагая экспоненту в ряд получаем (in )n (i)2n+1 (i)2n s in s + Rn () = e = = E + sn sn n! (2n + 1)! (2n)!

n=0 n=0 n= i sin (cos 1) s2 (cos Rn () = E + sn i sin + n 1).

n 1+n2 n zn n +nz 0 z 2 n+ n n + zn nz n s2 =.

1 n sn =, n z 2 2 2 n+ n 0 nz 1+n nz n+ + z 2 2 Выше (см. 15.1.1 Генераторы вращений ) мы уже получали трёхмерное непри водимое представление группы вращений с помощью обычных ортогональных мат риц поворотов. Вернулись ли мы к тому же самому представлению в иной форме, или получили что-то новое?

Если мы следующим образом свяжем базис состояний {|1, m }+ m=1 с базисом единичных векторов вдоль декартовых осей координат {e }3, то матрицы j, = генерирующие ортогональные матрицы поворотов перейдут в матрицы компонент s спина 1:

ex iey ex iey e+ e =, =. (15.17) |1, +1 = |1, 0 = ez, |1, 1 = 2 2 2 |1, +1 + |1, 1 i|1, +1 + i|1, ex =, ey =, ez = |1, 0. (15.18) 2 Таким образом, представление группы вращений для спина 1 с точностью до комплексной замены базиса совпадает с привычным нам из стереометрии и клас сической механики векторным представлением группы вращений, когда повороты отождествляются с матрицами собственных вращений, действующими на векторы из R3.

15.4.2 Спин и поляризация фотона Фотон квант электромагнитного поля. Как мы обсуждали в разделе 12.9 Квантованные поля (ф*), при квантовании электромагнитного поля в ящике 326 ГЛАВА 15. ВРАЩЕНИЯ И МОМЕНТЫ с периодическими граничными условиями, каждой моде колебаний, характеризу ющейся волновым числом k и поляризацией ставится в соответствие гармони ческий осциллятор с частотой равной частоте моды. Число заполнения данного осциллятора рассматривается как число фотонов с данными k и.

Каков спин фотона? Этот вопрос эквивалентен вопросу о том, как перемен ная, характеризующая фотон, но не связанная с его движением (т.е. поляризация) преобразуются при вращениях.

Поляризация электромагнитной волны описывается с помощью вектора по ляризации e. Как мы установили выше (15.17), (15.18) вектор преобразуется по представлению спина 1. Т.е. фотон векторная частица частица со спином 1.

Однако, у частицы со спином 1 должно быть 3 поляризации, а у фотона только 2. Какая поляризация пропала?

Рассмотрим одну конкретную моду колебаний. Пусть волновой вектор k (и им пульс k) направлен по оси z. В соответствии с уравнениями (15.18) спиновые состояния соответствуют следующим поляризациям:

e ie • |1, +1 = x 2 y спин направлен вдоль импульса правая круговая поля ризация (вращение поля связано с направлением k правым винтом);

e ie • |1, 1 = x2 y спин направлен против импульса левая круговая поля ризация (вращение поля связано с направлением k левым винтом);

• |1, 0 = ez проекция спина на импульс равна нулю продольная поляри зация (поле колеблется вдоль импульса).

Однако, электромагнитная волна поперечная волна и продольная поляриза ция для неё отсутствует. Если мы задаём поляризацию электромагнитной волны направлением вектора E, то продольная поляризация отсутствует с самого начала, а если направлением векторного потенциала A, то вклад в поле продольной части A в точности компенсируется вкладом скалярного потенциала. Так и для кван тованного электромагнитного поля (в зависимости от используемого формализма):

продольная поляризация либо отсутствует с самого начала, либо нефизична (не да ёт вклада).

Такая ситуация является типичной для любых безмассовых (движущихся со скоростью света) частиц: вне зависимости от спина имеется две поляризации: по часовой стрелке (проекция спина на импульс +s) и против часовой стрелки (про екция спина на импульс s). Это связано с тем, что мы не можем выбрать для такой частицы систему покоя, в любой системе отсчёта есть выделенное направ ление (вдоль импульса), и симметрия оказывается ниже, чем стандартная SU(2).

Иногда для таких частиц избегают применять слово спин и говорят спиральность.

15.5 Сложение моментов* Пусть система состоит из двух подсистем, для каждой из которых определе ны операторы момента импульса j1 и j2. Пусть также для каждой из подсистем определён квадрат момента импульса (j1 (j1 + 1) и j2 (j2 + 1) соответственно). Для системы мы можем ввести базис, состоящий из состояний вида |m1 |m2 = |j1, m1 |j1, m2.

15.5. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ* (В обозначении |m1 |m2 мы опустили фиксированные квантовые числа j1 и j2.) Таким образом, мы имеем базис собственных векторов для операторов 1, 1z, j2 j 2, 2z. Наша задача построить базис собственных векторов для операторов сум 2j j марного момента J 2 = (j1 + j2 )2 и Jz = 1z + 2z.

j j (*) С точки зрения теории представлений, мы имеем произведение двух непри водимых представлений группы SU (2), отвечающих моментам j1 и j2, и нам надо разложить произведение в сумму неприводимых представлений.

Проще всего с оператором Jz. Базисные состояния |m1 |m2 для него уже яв ляется собственными:

Jz |m1 |m2 = (1z + 2z )|m1 |m2 = (m1 + m2 ) |m1 |m2 = M |m1 |m2.

j j M Если отложить по осям координат кванто вые числа m1 и m2, то новое квантовое число M надо будет откладывать по оси, направлен ной по диагонали (см. рис.15.4). При этом, M пробегает с шагом 1 все значения от (j1 + j2 ) до j1 + j2. Кратность различных значений M (число точек, на тонких линиях поперёк оси M на рис.15.4) меняется от 1 (при M = ±(j1 + j2 )) до 2j1 + 1, где j1 наименьший из двух момен тов.

Начнём с состояния с максимальным значе нием проекции момента. Такое состояние толь ко одно: |j1 |j2. Под действием оператора J+ = Рис. 15.4: Связь M с m1 и m2.

1+ + 2+ оно обнуляется j j J+ |j1 |j2 = (1+ + 2+ )|j1 |j2 = (1+ |j1 ) |j2 + |j1 (2+ |j2 ) = 0, j j j j 0 значит в этом состоянии проекция момента достигает максимальной величины и мы можем записать первый вектор нового базиса:

| j1 + j2, j1 + j2 = |j1 |j2.

J M Действуя 2(j1 + j2 ) раз на состояния |j1 + j2, j1 + j2 понижающим оператором J = 1 + 2 мы можем найти остальные состояния, для которых J = j1 + j2, j j а M меняется от J до +J с шагом 1. ((*): Тем самым мы выделяем первое неприводимое представление, отвечающее моменту j1 + j2.) В частности однократное применение понижающего оператора даёт:

J |j1 + j2, j1 + j2 = 2(j1 + j2 )|j1 + j2, j1 + j2 1 = = (1 + 2 )|j1 |j2 = (1 |j1 )|j2 + |j1 (2 |j2 ) = j j j j = 2j1 |j1 1 |j2 + 2j2 |j1 |j2 1, 328 ГЛАВА 15. ВРАЩЕНИЯ И МОМЕНТЫ j1 |j1 1 |j2 + j2 |j1 |j2 | j1 + j2, j1 + j2 1 = j1 + j J M У нас имеется два линейно независимых состояния, для которых M = j1 +j2 (см. рис.15.4). Если из тех же состояний составить комбинацию, ортогональную состоянию |j1 + j2, j1 + j2 1, то мы получим j2 |j1 1 |j2 j1 |j1 |j2 | j1 + j2 1, j1 + j2 1 =.

j1 + j J M То, что в данном состоянии J = M проверяется с помощью повышающего опера тора:

J+ ( j2 |j1 1 |j2 j1 |j1 |j2 1 ) = 2j1 j2 |j1 |j2 2j1 j2 |j1 |j2 = 0.

j1+ |... j2+ |...

Из состояния |j1 + j2 1, j1 + j2 1 с помощью понижающего оператора J мы получаем остальные состояния с J = j1 + j2 1 и другими M.

Таким образом, мы из соображений ортогональности находим все состояния вида |J, J при J = j1 + j2, j1 + j2 1,..., |j1 j2 |. С помощью оператора J мы получаем все состояния |J, M, для которых M J. Общее число состояний нового базиса такое же как у старого:

j1 +j (2J + 1) = (j1 + j2 |j1 j2 | + 1) (j1 + j2 + |j1 j2 | + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1).

J=|j1 j2 | число слагаемых среднее слагаемое (*) Таким образом, мы разлагаем произведение неприводимых представлений группы вращений отвечающих моментам j1 и j2 в сумму неприводимых представ лений, отвечающих моментам j1 + j2, j1 + j2 1,..., |j1 j2 |.

Коэффициенты разложения векторов нового базиса по старому m1, m2 |J, M называются коэффициентами векторного сложения или коэффициентами Клебша–Гордана, они образуют унитарную матрицу, т.к. описывают ортонорми рованную замену координат. Как и всякие скалярные произведения ортонорми рованных волновых функций, коэффициенты Клебша–Гордана задают амплитуды перехода между соответствующими состояниями.

1 15.5.1 Сложение спинов + 2 Проиллюстрируем процедуру сложения моментов импульса на простейшем слу чае двух спинов 1.

В соответствии с общей схемой, начнём с состояния с максимальной проекцией момента:

|1, 1 = |+ |+.

S |1, 1 = 2|1, 0 = (1 +2 )|+ |+ = (1 |+ ) |+ +|+ (2 |+ ) = | |+ +|+ |, s s s s | | 15.5. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ* | |+ + |+ | |1, 0 =.

| |+ + |+ | | (2 |+ ) + (1 |+ )| s s S |1, 0 = 2|1, 1 = (1 + s2 ) s = 2 |1, 1 = | |.

Состояние |0, 0 получаем как линейную комбинацию состояний |+ | и | |+ (состояния с нулевой проекцией спина), ортогональную состоянию |1, 0 :

| |+ |+ | |0, 0 =.

Все состояния с суммарным спином 1 оказались чётными, относительно пере становки спинов, а состояние с суммарным спином 0 нечётным.

Если спины относятся с двум тождественным частицам (фермионам, т.к. спин ), то волновая функция должна быть нечётной (менять знак) относительно пере становки двух частиц:

(r1, 1 ;

r2, 2 ) = (r2, 2 ;

r1, 1 ).

Мы можем отделить спиновую волновую функцию от координатной, если волновая функция факторизуется:

(r1, 1 ;

r2, 2 ) = (r1, r2 ) · (1, 2 ).

Условие нечётности принимает вид (r1, r2 ) · (1, 2 ) = (r2, r1 ) · (2, 1 ).

Таким образом, если (1, 2 ) = ±(2, 1 ) ( + для спина 1, для спина 0) то (r1, r2 ) = (r2, r1 ).

Т.е в данном случае чётность координатной части волновой функции двух тожде ственных частиц соответствует чётности суммарного спина ( + для спина 0, для спина 1). Подробнее этот вопрос разобран в следующем разделе 15.5.2 Чётность при сложении двух одинаковых спинов Пусть складываются два одинаковых момента импульса s1 = s2 = s.

Введём оператор перестановки спинов Ps :

Ps |m1 |m2 = |m2 |m1.

† Оператор обратим и сохраняет скалярное произведение, т.е. он унитарен Ps = Ps.

Кроме того, оператор совпадает со своим обратным Ps = Ps, следовательно он одновременно эрмитов. Унитарный эрмитов оператор может иметь собственные числа только ±1.

330 ГЛАВА 15. ВРАЩЕНИЯ И МОМЕНТЫ Состояние с максимальной проекцией момента оказывается чётным, относи тельно их перестановки:

|2s, 2s = |s |s.

Оператор S = s1 + s2 переводит чётные состояния снова в чётные, а нечётные в нечётные, т.е. S сохраняет чётность:

[S, Ps ] = 0.

Таким образом, все состояния с максимальным спином |2s, M, M = s,..., +s оказываются чётными.

Состояние с суммарным спином 2s 1 строится как ортогональное к состоянию |s 1 |s + |s |s |2s, 2s 1 =, т.е.

|s 1 |s |s |s |2s 1, 2s 1 =.

Таким образом, состояние |2s 1, 2s 1 оказалось нечётным. Поскольку S со храняет чётность, все состояния |2s 1, M, M = s + 1,..., +s оказываются нечётными.

Вообще, из того, что S сохраняет чётность следует, что все состояния с одина ковым суммарным спином имеют одинаковую чётность (если чётность определена).

Покажем по индукции, что и далее чётные и нечётные состояния будут чередо ваться по мере уменьшения суммарного спина.

Предположим, что для наибольших K значений спина (2s до 2sK+1) чётность чередуется (для K = 1 мы это уже доказали) Ps |2s k, M = (1)k |2s k, M, k = 0,..., K 1.

Обозначим HK (K = 0,..., 2s) (K + 1)-мерное подпространство состояний, для которых M = 2s K.

Состояние |2s K, 2s K находится из условия ортогональности состояниям |S, 2s K (S = 2s,..., 0).

1) Покажем, что состояние |2s K, 2s K должно иметь определённую чёт ность.

S, 2sK|Ps |2sK, 2sK = ± S, 2sK|2sK, 2sK = 0, S = 2s,..., 2sK +1.

Состояние Ps |2s K, 2s K ортогонально K базисным векторам из K + 1, та ким образом оно обязано быть пропорционально оставшемуся базисному вектору |2s K, 2s K, т.е. оно имеет определённую чётность.

+ 2) Вычислим размерность подпространства чётных состояний HK HK. В подпространстве HK имеется K + 1 базисное независимое состояние вида |m1 |m (m1 + m2 = M = 2s K). Линейно независимые состояния вида |m1 |m2 + Ps |m1 |m2 = |m1 |m2 + |m2 |m 15.5. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ* образуют базис в подпространстве чётных состояний. Состояния, отличающиеся перестановкой m1 и m2 попарно совпадают, так что K + dim HK = + 1, где квадратные скобки обозначают взятие целой части.

Для подпространства нечётных состояний HK HK K dim HK = K.

3) Покажем, что чётность состояния |2s K, 2s K будет (1)K. У нас уже имеется K1 + 1 чётных и K 1 K1 нечётных состояний полученных с 2 ± помощью понижающего оператора S из состояний HK1. Чтобы получить пра ± вильные размерности пространств HK нам надо чтобы состояние |2s K, 2s K имело подходящую чётность. Если K нечётно, то нам надо добавить одно нечётное состояние. Если K чётно, то надо добавить одно чётное состояние.

С учётом того, что оператора S сохраняет чётность, поучаем, что чётность K.

состояния |2s K, M равна (1) Тождественные частицы Если рассмотренные выше частицы со спином s являются тождественными, то (r1, 1 ;

r2, 2 ) = (1)2s (r2, 2 ;

r1, 1 ).

Мы можем отделить спиновую функцию от координатной, если волновая функция факторизуется:

(r1, 1 ;

r2, 2 ) = (r1, r2 ) · (1, 2 ).

Мы только что определили чётность спиновой волновой функции, при сложении двух спинов s:

(1, 2 ) = (1)K (2, 1 ) = (1)2sS (2, 1 ).

Таким образом, чётность координатной волновой функции определяется суммар ным спином системы из двух тождественных частиц:

(r1, r2 ) = (1)S (r2, r1 ).

15.5.3 Сложение моментов j + При сложении моментов j и суммарный момент пробегает два значения J =j±.

|j + 1, j + = |j |+ 2 Действуя на это равенство понижающим оператором J = + s получаем j 2j + 1|j + 1, j = 2j|j 1 |+ + |j | 2 332 ГЛАВА 15. ВРАЩЕНИЯ И МОМЕНТЫ 2j|j 1 |+ + |j | 1 1 |j + 2, j =.

2 2j + Из ортогональности находим |j 1 |+ 2j|j | 1 1 |j 2, j =.

2 2j + N Остальные состояния находятся действием оператора J на состояния |j + 1, j + 2 1 1 и |j 2, j 2. Поскольку для спина 2 выполняется условие s2 = 0, от бинома Ньютона остаются только два первых члена:

N J = ( + s )N = + N 1 s = ( + N s ) 1.

jN jN jN j j N C|j + 1, j + 2 N = J |j + 1, j + 2 = ( + N s ) 1 |j |+ = jN 1 j 2 = C ( + N s )|j N + 1 |+ = C ( (2j N + 1)N |j N |+ + |j N + 1 | ).

j Нормируя на единицу (с учётом того, что C, C 0) получаем (2j N + 1)N |j N |+ + |j N + 1 | |j + 1, j + N =.

2 (2j N + 1)N + M Аналогично (либо из ортогональности) получаем |j N |+ (2j N + 1)N |j N + 1 | |j 1, j + N =.

2 (2j N + 1)N + M 15.5.4 Сложение моментов 1 + Суммарный момент пробегает значения 2, 1, 0. Состояния для моментов 2 и чётные, а для момента 1 нечётные.

Процедура получения новых базисных состояний полностью стандартная. Вы кладки облегчаются тем, что для момента 1 ненулевой множитель при действии оператором всегда одинаков: |m = 2|m 1 при m = 1, 0.

j j Сделав эти замечания сразу (выкладки вполне можно проделать в уме) выпи 15.5. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ* шем новый базис:


|2, 2 = |1 |1, |0 |1 + |1 | |2, 1 =, | 1 |1 + 2|0 |0 + |1 | |2, 0 =, | 1 |0 + |0 | |2, 1 =, |2, 2 = |1 |1, |0 |1 |1 | |1, 1 =, | 1 |1 |1 | |1, 0 =, | 1 |0 |0 | |1, 1 =, | 1 |1 |0 |0 + |1 | |0, 0 =.

Глава Задача двух тел Как и в классической теоретической механике, в квантовой механике ставится и решается задача двух тел. В этой задаче изучается движение двух точечных ча стиц, взаимодействие которых задаётся потенциалом U (|r1 r2 |), зависящим только от расстояний между частицами |r1 r2 |. Соответствующий квантовый гамильто ниан совпадает с классическим с точностью до шляпок:

p2 p H = 1 + 1 + U (|r1 r2 |). (16.1) 2m1 2m В случае электрона и атомного ядра, взаимодействующих по закону Кулона Ze U (|r1 r2 |) = |r1 r2 |, мы получаем задачу об атоме водорода или водородоподоб ном ионе (в нерелятивистском пределе, без учёта спинов частиц и их размеров).

Как мы увидим, задача двух тех в квантовой механике и в классической реша ется во многом аналогичными методами, поскольку обе задачи имеют практически одинаковые симметрии, а симметриям соответствуют законы сохранения, которые позволяют проводить разделение переменных как в классическом, так и в кванто вом случае.

16.1 Законы сохранения Перечислим законы сохранения, которые могут возникать в задаче двух тех.

• Закон сохранения энергии выполняется поскольку гамильтониан не зависит от времени.

• Закон сохранения суммарного импульса выполняется поскольку гамильтони ан не меняется при сдвиге системы как целого.

• Закон сохранения суммарного орбитального момента импульса выполняется поскольку гамильтониан не меняется при повороте системы как целого.

• Закон сохранения пространственной чётности выполняется поскольку га мильтониан не меняется при зеркальном отражении.

• Для специальных видов потенциала (U (|r1 r2 |) = k|r1 r2 | гармонический Ze осциллятор, U (|r1 r2 |) = |r1 r2 | кулоновский потенциал) могут возни 16.2. СВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ОДНОГО ТЕЛА кать дополнительные симметрии, законы сохранения и соответствующее им вырождение уровней энергии (часто называемое случайным ). • Если частицы имеют спин, то при гамильтониане (16.1), который не действу ет на какие-либо спины, спин каждой частицы сохраняется. В этом случае спин влияет только на кратности вырождения уровней, а для тождественных частиц см. также следующий пункт.

• Для двух тождественных частиц система должна быть симметричной отно сительно их перестановки. При этом соответствующая чётность должна быть +1 (волновая функция с учётом спинов при перестановке частиц не меняет ся) для бозонов и 1 (волновая функция с учётом спинов при перестановке частиц меняет знак) для фермионов.

16.2 Сведение к задаче одного тела Как и в классической механике мы можем разделить переменные, расписав энергию (гамильтониан) через движение центра масс и относительное движение частиц. Соответствующие выкладки с точностью до шляпок такие же как в клас сике.

Суммарный импульс и суммарная масса системы, радиус-вектор центра масс:

r1 m1 + r2 m P = p1 + p2, M = m1 + m2, R=.

m1 + m Относительный импульс и приведённая масса системы, относительный радиус вектор:

v1 v p p m1 m2 p1 m2 p2 m m1 m p= =, µ=, r = r1 r2.

m1 m2 m1 + m2 m1 + m2 m1 + m vотн. µ Легко видеть, что для новых переменных выполняются канонические коммута ционные соотношения:

r p [R, P ] = i, [, p ] = i, r [R, p ] = [, P ] = [R, r ] = [, P ] = 0.

Также легко проверить, что замена (r1, r2, p1, p2 ) (r, R, p, P) сохраняет объ ём в координатном и импульсном пространстве. Покажем это для x-компонент:

m2 m D(rx, Rx ) D(px, Px ) 1 1 m1 +m2 m1 +m = = 1, = = 1.

m1 m 1 D(r1x, r2x ) D(p1x, p2x ) m1 +m2 m1 +m Это позволяет записывать волновые функции в новых переменных не думая об эле ментах объёма, просто подставляя в старые волновые функции выражения старых переменных через новые.

На самом деле такие законы сохранения обеспечиваются замкнутостью классических траекто рий (эллипсов) при финитном движении. В случае общего положения вместо замкнутого эллипса классическая частица будет рисовать розочку (прецессия перигелия).

336 ГЛАВА 16. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ В новых переменных гамильтониан (16.1) переписывается так (проверку, пол ностью аналогичную классическому случаю предоставляем читателю) p2 P H= + U (|r|) +. (16.2) 2µ 2M H H Гамильтониан распался на два члена, один из которых H0 действует только на движение центра масс, а другой H1 только на относительно движение частиц.

Таким образом, мы представили систему из двух взаимодействующих частиц, как объединение двух невзаимодействующих подсистем: движение центра масс и отно сительное движение частиц.

Это позволяет провести разделение переменных. Если в начальный момент вре мени волновая функция может быть записана в виде (r1, r2 ) = (r, R) = 1 (r) · 0 (R), то поскольку каждый член гамильтониана действует только на свой множитель (H1 + H0 ) 1 · 0 = (H1 1 ) · 0 + 1 · (H0 0 ), H то и в последующие моменты времени волновая функция разлагается на два мно жителя, каждый из которых эволюционирует сам по себе:

1 i = H1 1, i = H0 0.

t t Мы свели задачу двух тел к двум задачам:

• Задача о свободном движении частицы массы M описывает движение центра масс.

• Задача о движении частицы массы µ в потенциале U (|r|) описывает относи тельное движение частиц.

Если мы ищем энергетический спектр системы двух тел, то собственные состо яния могут искаться в виде произведений собственных состояний для H1 и H0 :

H1 0 = (E1 + E0 )1 0, H1 1 = E1 1, H0 0 = E0 0.

Для свободной частицы (движения центра масс) собственные состояния могут быть заданы, например, волнами де Бройля:

2 k 0k = eikr, E0k =.

2M Задачу одного тела в центральном поле U (|r|) мы рассмотрим в следующих разделах.

16.3. СВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ 16.3 Сведение к задаче о радиальном движении Теперь мы рассматриваем гамильтониан для относительного движения частиц p H1 = + U (|r|). (16.3) 2µ Обезразмеренный орбитальный момент импульса имеет вид = 1 [ p].

l r В силу сферической симметрии орбитальный момент сохраняется, а значит мы имеем три взаимно коммутирующих оператора, которые могут быть одновременно приведены к диагональному виду:

2, z, l l H1.

Далее нам удобно перейти к сферическим координатам, потому, что в них пово роты влияют только на углы и, оставляя радиальную координату r неизменной и позволяя разделить переменные. Гамильтониан H1 в координатном представле нии имеет вид H1 = + U (|r|).

2µ Лапласиан в произвольных криволинейных координатах имеет вид 1 |g| g ab =, xa xb |g| ab где g ab обратный метрический тензор (метрический тензор удобно выражается через элемент длины dl) 1, a = c g ab gbc = c = a dl2 = gab dxa dxb,, 0, a = c b ab а |g|d3 x инвариантный элемент объёма, который выражается через определи тель метрического тензора:

g = det(gab ).

Метрический тензор для сферических координат мы уже вводили ранее (15.5).

Лапласиан в сферических координатах удобно записывается через оператор 2 :

l 1 1 2 1 1 = r +2 2 2 + sin sin.

2 r r r r sin =l В гамильтониане из кинетической энергии выделяется центробежный член, полно L стью аналогичный классическому 2µr2 :

2 l 1 H1 = r + +U (r).

2µ r2 r r 2µr центробеж.энерг.

338 ГЛАВА 16. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ Мы ищем общие собственные функции для операторов 2 и H1. Поскольку l l действует только на угловые переменные будем искать волновую функцию в виде 1 (r) = 1 (r,, ) = R(r) · Yl (, ), собственная функция оператора где Yl l 2 Yl = l(l + 1)Yl.

l Будет ли Yl также собственной функцией оператора z нам пока (пока не нару l шается сферическая симметрия) совершенно не важно, но желающие могут заме нить Yl на Ylm потребовав z Ylm = mYlm, 2 Ylm = l(l + 1)Yml.

l l Тут важно только число линейно независимых функций Yl при фиксированном l.

В качестве таких линейно независимых функций могут быть выбраны, например Ylm, которых имеется (поскольку m = l, l 1,..., 0,..., l) 2l + 1 штука.

Из стационарное уравнение Шрёдингера сокращаем Yl получаем H1 (RYl ) = E1 (RYl ) 1 2 2 l(l 1 2 + 1) r + + U (r) R(r) = E1 R(r). (16.4) 2µ r2 r r 2µr Выражение в квадратных скобках отличается от гамильтониана H1 только тем, что оператор 2 заменился на собственное число l(l + 1).

l (ф) Мы видим, что происходящий от угловой части кинетической энергии член l2 l(l+1) теперь переписался как функция от радиальной координаты 2mr2 и может 2µr трактоваться как центробежная потенциальная энергия. То же самое мы имели и в классике, при рассмотрении задачи движения частицы в центральном потенциале.

(ф) Оператор радиальной кинетической энергии 2µ r12 r r2 r отличается от обычной кинетической энергии при одномерном движении. Это связано с тем, что волна, распространяющаяся по r это не плоская волна, а сферическая. Реше ние обычного одномерного уравнения Шрёдингера при нулевом потенциале да ёт плоскую волну, амплитуда которой постоянна, а решение радиального уравне ния Шрёдингера должно давать сферическую волну квадрат амплитуды которой (плотность вероятности) спадает как r12, а амплитуда как 1.

r Попробуем ввести другую параметризацию волновой функции:

1 R(r) = (r), 1 (r,, ) = (r) Yl (, ).

r r Вероятность dP попадания в заданные интервалы dr, d, d dP = |1 |2 d3 r = |R(r)Yl (, )|2 r2 sin dr d d = |(r)Yl (, )|2 sin dr d d элемент объёма При переписывании dP через (r) исчезает вес r2, и интегрирование по r идёт точно также как по обычной декартовой координате, если движение ограничено положительной полуосью.


16.3. СВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ Теперь действие радиальной части лапласиана упрощается:

1 2 (r) 1 2 1 r =2 r 2 = r =.

2 r 2 r r r r r r r r r r Подставляя R = в уравнение (16.4) и сокращая во всех членах общий множитель r r получаем уравнение, которое выглядит в точности как обычное стационарное одномерное уравнение Шрёдингера для волновой функции 2 2 2 l(l + 1) + + U (r) (r) = E1 (r). (16.5) 2µ r2 2µr Hr (ф) Эффективный одномерный гамильтониан Hr содержит совершенно обыч 2 ный одномерный оператор кинетической энергии K = 2µ r2, а потенциальная энергия состоит из собственно потенциальной энергии U (r) и центробежной энер 2 l(l+1) L гии 2µr2 = 2µr2. Мы переписали числитель как среднее значение оператора квад рата размерного момента импульса, чтобы продемонстрировать, что центробежная энергия с точностью до шляпок совпадает с классическим случаем.

Получившаяся одномерная задача отличается от стандартной тем, что коорди ната r определена на положительной полуоси 0 r, причём из непрерывности R = следует граничное условие на, которое можно трактовать как наличие в r нуле бесконечновысокой стенки (0) = 0. (16.6) 16.3.1 Асимптотика r Исследуем асимптотику радиального уравнения Шрёдингера (16.5) при r 0.

2 2 l(l + 1) (r) + + U (r) E1 (r) = 0, (0) = 0. (16.7) 2µr 2µ Главный член при r 0 в квадратных скобках зависит от того, как ведёт себя при в этом пределе потенциальная энергия U (r).

Предположим, что при r 0 потенциал U (r) ограничен, либо растёт не слиш ком быстро:

r r2 U (r) 0.

Тогда при малых r получаем 2 2 l(l + 1) (r) + (r) 0, r 0, (0) = 0.

2µr 2µ r2 (r) = l(l + 1) (r), (0) = 0.

Линейное однородное уравнение второго порядка имеет два линейнонезависимых решения, которые легко подбираются в виде степенных функций от r:

rl+1,.

rl 340 ГЛАВА 16. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ Граничному условию (0) = 0 удовлетворяет только первое решение, так что для не слишком быстро растущего в нуле потенциала получаем асимптотику (r) rl+1, r 0 1 (r,, ) rl Yl (, ), r 0.

(16.8) Если потенциал содержит член пропорциональный r12, то его надо будет учи тывать наравне с центробежным потенциалом и в результате асимптотика (16.8) собьётся: изменится степень и вместо rl получится rl, где l некоторый эффек тивный момент (как правило, дробный).

При рассмотрении быстро растущих в нуле притягивающих (отрицательных) потенциалов следует проверить, попадает ли в пространство квадратично интегрируемых функций L2 (R+ ) т.е. (r) должно расти при малых r не быстрее, чем r. Также следует проверить ограничен ли энергетический спектр снизу, т.к.

неограниченный снизу энергетический спектр означает падение частицы на центр с выделением бесконечной энергии. Потенциал const оказывается пограничным r по обоим критериям.

16.3.2 Асимптотика r При r центробежный потенциал стремится к нулю, и главным членом оказывается либо U (r), либо E1.

В реальных (не модельных) случаях потенциал на бесконечности стремится к константе, которую можно положить равной нулю, переопределив нулевой уровень энергии.

В этом случае получаем на бесконечности уравнение для свободной частицы:

(r) E1 (r), r, (0) = 0. (16.9) 2µ Может показаться, что условие (0) = 0 (бесконечновысокая стенка в нуле) в данном случае не важно, но на самом деле оно допускает адекватную перефор мулировку. Условие (0) = 0 означает равенство нулю потока вероятности jr (0) в нуле. При этом выполняется уравнение непрерывности для одномерной радиальной задачи:

(r) jr (r) + = 0.

t r Для стационарного состояния плотность вероятности не зависит от времени, а зна чит t = 0 и уравнение непрерывности даёт нам условие отсутствия радиального (r) потока вероятности:

jr (r) = 0, jr (0) = 0 jr (r) 0. (16.10) r Условие отсутствия потока можно переформулировать ещё одним способом.

Для всякого решения уравнения (16.7) (r) его вещественная и мнимая части также являются решениями с тем же значением E1. Однако, граничное условие (0) = из двух линейнонезависимых решений линейного однородного уравнения второ го порядка (16.7) при данном E1 оставляет только одно, а значит решения (r), Re(r), Im(r) совпадают с точностью до постоянного множителя.

Таким образом, условие отсутствия потока может формулироваться как условие вещественности (r), т.е. для уравнения (16.7) мы можем искать только веществен ные решения.

16.4. АТОМ ВОДОРОДА Таким образом, асимптотика (16.10) при отрицательных E1 0 (состояния дискретного спектра) 2µE r (r) e, =, r. (16.11) При положительных энергиях (состояния непрерывного спектра) 2µE (r) sin(kr + ), k =, R, r. (16.12) Фаза не может быть зафиксирована исследованием потенциала при больших r. Например, если U (r) непроницаемый шарик радиуса a, что соответствует (a) = 0, то при l = 0 точное решение имеет вид (r) = C sin(k r ka), r a.

На это примере мы видим, что при одинаковом поведении U (r ) фаза может быть любой.

Случай неограниченного потенциала Случай неограниченного потенциала r U (r) это модельный случай, т.к. в реальной физике подобных потенциалов, неогра ниченно нарастающих на больших расстояниях мы не наблюдаем.

Для неограниченных потенциалов нам не надо специально оговаривать условие отсутствия потока, т.к. это условие диктуется с обоих концов: не только условием (0) = 0, но и неограниченным ростом потенциала на бесконечности.

Конкретный вид асимптотики зависит от поведения U (r ). Например, для потенциала трёхмерного изотропного гармонического осциллятора 2 r U (r) = 2µ асимптотика совпадает с асимптотикой обычного одномерного гармонического ос циллятора (см. 12 Гармонический осциллятор ) r 2x (r) e, x0 =, r.

µ 16.4 Атом водорода Гамильтониан для атома водорода соответствует потенциалу U (r) = er, ана логично для водородоподобного иона (один электрон, обращающийся вокруг ядра с зарядом Z) U (r) = Ze. Таким образом, гамильтониан, описывающий движение r электрона относительно центра масс (16.3) принимает вид p2 Ze H1 =, (16.13) 2µ |r| 342 ГЛАВА 16. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ а одномерное уравнение Шрёдингера для радиального движения (16.5), (16.6) ста новится таким 2 2 l(l + 1) Ze (r) + E1 (r) = 0, (0) = 0. (16.14) 2µr 2µ r 16.4.1 Кулоновские и атомные единицы Уравнение Шрёдингера для атома водорода или водородоподобного иона удоб но обезразмерить. В качестве атомной единицы массы используется масса элек трона (приведённая). В качестве единицы действия, как обычно в квантовой ме ханике, используется постоянная Планка.В качестве единицы заряда Z e. То есть, чтобы ввести кулоновские единицы, мы полагаем три размерные константы (с несводимыми размерностями) равными единице Ze2 = 1.

µ = 1, = 1, Этого достаточно, чтобы однозначно фиксировать систему единиц.

Поскольку ядра существенно тяжелее электрона (протон в 2 103 раз), приве дённая масса µ для движения электрона в поле ядра близка к массе свободного электрона. В частности для водорода (1 0, 5 103 ) · me.

µ Атомные единицы получаются в случае µ = me, Z = me = 9, 1091028 г = 1, = 1, 0551027 ерг·с = 1, e = 4, 8031010 ед.СГС = 1.

Размерности у этих констант следующие:

[ ] = ET = M L2 T 1, [e2 ] = EL = M L3 T 2.

[me ] = M, Выпишем следующие отсюда единицы некоторых физических величин. Это сле дует сделать хотя бы для того, чтобы представить себе порядок различных вели чин, характерных для задачи.

Характерная скорость оказывается порядка 1/100 от скорости света:

e = 2, 187 108 см/с 102 c, c = 2, 997 924 58 1010 см/с.

Это означает, что мы можем в первом приближении пренебречь релятивистскими эффектами, однако при умеренно точных измерениях релятивистские эффекты будут сказываться. Из гамма-фактора 1 1 + 2, 5 = (v/c)2 1 0, 5 относительная точность нерелятивистского приближения оценивается как 105.

Атомная единица длины радиус Бора, как мы видим, ангстрем (1 = 1010 м = 108 см) оказался удобной единицей длины на атомных расстоя A ниях = 0, 529 108 см = 0, 529.

a= A me 16.4. АТОМ ВОДОРОДА Атомная единица времени (длина разделить на скорость) позволяет предвари тельно оценить, какие процессы, совершающиеся с атомами следует считать быст рыми, а какие медленными:

= 2, 419 1017 с.

ta = me Атомная единица энергии составляет два ридберга (Ry). Мы видим, что 1 эВ оказался весьма удачной единицей для атомных процессов:

me4 e = 27, 1 эВ = 4, 34 1018 Дж = 4, 34 1011 эрг.

0 = 2Ry = = 2 a 16.4.2 Решение безразмерного уравнения После обезразмеривания получаем 1 l(l + 1) 1 () + + 2 () = 0, (0) = 0. (16.15) 2 2 2n Здесь = E0 = 2n2 обезразмеренная энергия (n обезразмеренная длина r затухания волновой функции при r ), = a обезразмеренный радиус.

Мы будем искать состояния дискретного спектра, т.е. состояния с 0.

Мы знаем асимптотики при малых и при больших () l+1, 0, () e/n,, = 2.

n Выделим асимптотики из :

() = l+1 · e/n · u().

Здесь u() новая неизвестная функция, она должна при малых вести себя так, чтобы не испортить асимптотику l+1, а при больших чтобы не испортить e/n.

l+1 1 l(l + 1) 2(l + 1) () = l+1 · e/n · u + 2u +u +2.

n n n Радиальное уравнение принимает следующий вид u l+1 1 u nl +u + = 0.

2 n n nl u + 2u l+ + 2u = 0.

n n Будем искать функцию u() в виде ряда по степеням :

Ck k, u() = (16.16) k= (k + 1)Ck+1 k, (k + 2)(k + 1)Ck+2 k, u () = u () = k=0 k= 344 ГЛАВА 16. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ (k + 2)(k + 1)Ck+2 k+1 + 2(l + 1)(k + 1)Ck+1 k k= 2(k + 1) 2(n l 1) Ck+1 k+1 + Ck k = 0.

n n 2k 2(n l 1) Ck k = 0.

(k + 1)kCk+1 + 2(l + 1)(k + 1)Ck+1 Ck + n n k= 2(n l 1 k) Ck k = 0.

(2l + k + 2)(k + 1)Ck+1 + n k= Отсюда получаем рекуррентную формулу для коэффициентов разложения:

2(n l 1 k) Ck+1 = Ck. (16.17) n(2l + k + 2)(k + 1) При больших k ( 2 )k u() const · e2/n,.

const n Ck+1 Ck nk k!

Это превращает правильную асимптотику e/n при в неправильную асимптотику e+/n, которая тоже удовлетворяет уравнению Шрёдингера, но была откинута так как такая волновая функция ненормируема.

Чтобы сохранить правильную асимптотику на больших расстояниях необхо димо потребовать, чтобы ряд по степеням обрывался, т.е. должно быть такое значение K = 0, 1, 2,..., что CK = 0, но 2(n l 1 K) CK+1 = CK =0 n = l + 1 + K N.

n(2l + K + 2)(K + 1) = Таким образом, параметр n, с помощью которого мы параметризовали энергию, должен быть натуральным числом.

K k 2 (2l + 1)!(n l 1)!

u() = C0 n (2l + 2 + k)!(n l 2 k)!k!

k= С точностью до нормировочного множителя k K n u() = const · (2l + 2 + k)!(K 1 k)!k!

k= Это полином степени K = n l 1.

16.4.3 Атом водорода в старой квантовой механике * Каждый школьник знает, что атом Бора это не атом бора, а атом водорода.

П.Л. Капица во время посещения Н. Бором Москвы в 1961 г.a a Цитируется по книге Белонучкин В.Е., Заикин Д. А., Ципенюк Ю.М., Основы физики. Курс общей физики: Учебн. В 2 т. Т. 2. Кван товая и статистическая физика / Под ред. Ю.М. Ципенюка. - М.: ФИЗ МАТЛИТ, 2001.

16.4. АТОМ ВОДОРОДА Интересно, что точный спектр для частицы в кулоновском поле может быть получен из квазиклассических соображений. Впервые это было сделано Бором в 1913 г. исходя из того, что на классической круговой орбите должно умещаться целое число волн де Бройля, это условие соответствует условию квантования клас сического момента импульса при круговом движении: L = pR = n.

Для круговой орбиты радиуса R e2 p2 e2 e2 m U U =, K= = = p=.

R 2m 2 2R R e2 m e4 m e2 m n 1 U p 2R = n2 p= = = 2 2 E= = 2 2.

R R R n 2 2n Как мы видим, значение энергии в точности соответствует строгому решению квантовой задачи, однако соответствующий размерный момент импульса L = pR = n выходит из диапазона 0,..., (n 1), который получается в квантовом случае.

В последствии Зоммерфельд обобщил результат Бора на эллиптические орбиты с 0 L n. L = 0 было исключено, чтобы получить соответствующую экспери менту кратность вырождения.

Для упрощения выкладок мы пользуемся теоремой вириала из теоретической механики, кото рая для финитного движения в кулоновском поле даёт следующее соотношение между средними значениями кинетической и потенциальной энергией K = 2 U, т.е. E = U.

Предметный указатель -распад, 21, 22, 55, 240 Джан, Роберт Г., Дирак, Поль, 65, 105, M-теория, 212 Дойч, Дэвид, 216, 224– Доронин, Сергей Иванович, q-бит, см. кубит Евклид, Азимов, Айзек, Алиса криптографическая, 181, 182, Зенон Элейский, 191–193, 221– Андреев, Александр Фёдорович, 29 Иванов, Михаил Геннадьевич, 1, 195, Аристотель, 92, 159, 163 Иоффе, Абрам Фёдорович, Аспект, Алан, Каменец, Фёдор Фёдорович, Белл, Джон Стюарт, 173, 206, 209 Камерлинг-Оннес, Хейке, Беннет, Ч.Х., 222 Капица, Пётр Леонидович, Блох, Феликс, 242 Капица, Сергей Петрович, Боб криптографический, см. Борис Кларк, Артур, криптографический Колмогоров, Андрей Николаевич, Бом, Давид Джозеф, 176, 209, 210 Конан-Дойль, Артур, Бор, Нильс, 12, 33–35, 153, 173, 201, 205, Кэрролл, Льюис, 2, 32, 55, 195, 196, 207, 210, 213, Борис криптографический, 181, 182, Лагранж, Жозеф Луи, 35, Ландау, Лев Давыдович, 15, 191–193, Лаплас, Пьер-Симон, 36, Борн, Макс, Лем, Станислав, Брассард, Дж., Ленин, Владимир Ильич, 195, Бройль, Луи де, 40, 74, Лец, Станислав Ежи, Буль, Джордж, 173, Лиувилль, Жозеф, 116, 117, Вайнберг, Стивен, Максвелл, Джеймс Клерк, Ватсон, Джон доктор, Малинецкий, Георгий Геннадиевич, Вейль, Герман, Вигнер, Юджин Поль, 57, 199, 240, 290 Манько, Владимир Иванович, Менский, Михаил Борисович, Волович, Игорь Васильевич, Воробьёв, Николай Николаевич, 173, 174 Мизра, Байдьянат, Милликен, Роберт Эндрюс, Вроньский, Юзеф, Мопертюи, Пьер-Луи, Галахов, Михаил Алексеевич, Гамильтон, Уильям Роуан, 39, 116, 117, Нётер, Эмма, Нахмансон, Рауль С., Нейман, Иоганн фон, 90, Глэшоу, Шелдон Ли, Ньютон, Исаак, 20, 30, Данн, Бренда Дж., Дарвин, Чарльз, 226 Паули, Вольфганг, ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Пенроуз, Роджер, 27, 161, 218 базис, 51, 64, 76, Переслегин, Сергей Борисович, 355, 356, в пространстве состояний, 359 взаимоисключающих состояний, Планк, Макс, 40 гильбертово пространство, Поппер, Карл, 226 двухчастичный, Пушкин, Александр Сергеевич, 163 для матрицы плотности, 124, для оператора, 76, 82, Салам, Абдус, 22 зависящий от времени, Симпликий, 163 замена, 51, 79, 80, 83, Сударшан, Джордж, 164 импульсный, 82, координатный, Уилер, Джон, общий, одночастичный, Фейнман, Ричард, 54, ортонормированный, Фоменко, Анатолий Тимофеевич, поворот, полнота, Халфин, Леонид Александрович, поляризаций, Хренников, Андрей Юрьевич, 173, разложение базисных векторов, Чедвик, Джеймс, 23 собственных векторов, 64, 84, 85, 98, 109, 121, Шрёдингер, Эрвин, 32, 157, 196, сопряжение, Штурм, Шарль, барион, бегемошка, 55, Эверетт, Хью III, 171, 189, 214, бит квантовый, см. кубит Эйлер, Леонард, бозон, Эйнштейн, Альберт, 40, 196, Эренфест, Павел Сигизмундович, 205, бозон Хиггса, бозоны калибровочные W и Z, 19, 21, 22, 55, Юкава, Хидэки, вектор собственный, Юнг, Карл Густав, вектор состояния, см. состояние чистое адрон, 22–24 вектор, бра-, акустика, 43 вектор, кет-, алгебра Ли, 113, 298, 299, 307 вероятность, амплитуда вероятности, 33, 44, 46, 49–53, возмущений теория, 55, 188, 283 волна де Бройля, 234, 266, и действие, 285 волна-пилот, условная, 47, 171 волновая функция, 32, амплитуда комплексная, 33, 40, 41 координатная, амплитуда отражения, 142 спиновая, амплитуда прохождения, 142 волновой пакет, 42, 201, античастица, 16–18, 55 время жизни, антибарион, 23 вронскиан, 138, антилептон, 25 вселенная, антифермион, 18 волновая функция, 196, 208, 209, антропный принцип, гамильтониан, 97, 98, апории Зенона, возмущённый, ассоциативность, 62, 65, аттрактор Лоренца, 35 для частицы в потенциале, 348 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ квантованного поля, 263 интерфереции и знания траектории, классический, истины и ясности, классический и квантовый, наблюдателя и квантовой системы, невозмущённый, генератор некоммутирующих наблюдаемых, вращения, группы, соотношение неопределённостей, симметрии, 107, сохранности и знания о системе, гильбертово пространство, 61, 65, 86, творчества и рефлексии, оснащённое, 78, 122, экспериментальная проверка, прямая сумма, друг Вигнера, 197, 199, 213, сепарабельное, 61, друг Вигнера тензорное произведение, дуализм глюбол, волна-частица, 201, глюон, 19, виртуальный, единицы измерения гомоморфизм, 292, атомные, теорема о, осцилляторные, ядро, единичная матрица, гравитация петлевая, гравитон, 19, 20 задача Коши, виртуальный, 20 задача Штурма-Лиувилля, группа замена координат абелева, 293 каноническая, вращений, 304 запутанность, 197, перестановок, 295 заряд, перестановок, чётных, 295 барионный, простая, измерение, 31, 32, свободная, непрерывное, собственных вращений, неселективное, 31, 33, 124, 125, 169– фундаментальная, 171, циклическая, селективное, 31, 33, 124, 125, группа Ли, 298, измеримость одновременная, действие, 34, 40, 53, 285 изоморфизм, мнимое, 285 импульс размерность, 244 генератор симметрии, декогеренция, 194, 215 обобщённый определение, демон Лапласа, 36 индекс, 68, детерминизм, 31 матрицы, аналитический, 36 подчёркнутый, исторический, 359 инстантон, 284, лапласовский, 36, 354 инстантонное движение, диаграммы, 69 интеграл Лебега, диаграммы Фейнмана, 54 интерпретации квантовой механики, дираковские скобки, 65–67 186, дополнительность, 210–211 абстрактное Я фон Неймана, волна-частица, 211 Эверетта, см. многомировая измерения и эволюции, 211 декогренция, ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ квантовый заговор, 202 кот Шрёдингера, 196–199, копенгагенская, 207, измерение масти, копенгагенская новая, коэффициент корреляции, копенгагенская старая, коэффициенты Клебша–Гордана, многомировая, 194, 213, 217, кристалл статистическая, деформации, интерференционный член, дифракция на, интерференция, идеальный, интерферометр конечный, Маха-Цандера, 161, решётка, на котах, с дефектами, инь и янь, кубит, 180, 182, 191, 192, 319, истина, геометрия смешанных состояний, квазиимпульс, 237 оператор, 241 геометрия чистых состояний, параметр, 241 куперовская пара, квазиклассика, см. квазиклассическое лагранжиан приближение классический, квазиклассическое квантование, лептон, 24– квазиклассическое приближение, 275– лептонное число, логика квазичастица, 16, 28, квантовая, квант поля, 17, логическая операция, квантовая история, 159, обратимая, квантовая механика логический вентиль, новая, обратимый, старая, локальность, квантовая нелокальность, квантовая телепортация, матрица, квантовая теория гравитации, 173, 212 Паули, 184, квантовая теория поля, 19, 34, 38, 202, матрица квадратная, 62, 63, 243 матрица-столбец, 62, квантовый компьютер, 179, 212 матрица-строка, 62, квантовый параллелизм, 179 ортогональная, кватернион, 321 матрица плотности, 32, 69, 82, 87, 90–93, комплексный, 322 95, 97, 104, 155, 289– клеточный автомат, 210 лекогеренция, коммутатор, 64 смешанное состояние, групповой, 293 мезон, и скобка Пуассона, 244 мезосистема, координаты и импульса, 235, 244 микроскоп Гайзенберга, 43, оператора симметрии, 231 множество сохраняющейся величины, 233 нечёткое, конфайнмент, 22 характеристическая функция, королева белая, 2 мышь Эйнштейна, космологическая постоянная, 264 мюонный атом, космология, 209, лапласовская, 217 наблюдаемая, 64, 350 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ классическая, 95 парадокс незакипающего чайника, см.



Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.