авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Поморский государственный

университет им. М. В. Ломоносова

На правах рукописи

РЯБЧЕНКО

Сергей Васильевич

Многократные процессы при столкновениях

ионов с атомами и молекулами

01.04.04. — физическая электроника

Диссертация на соискание учёной степени кандидата

физико–математических наук

Научный руководитель:

доктор физико–математических наук, профессор В. И. Матвеев Архангельск 2006 Оглавление Введение 4 1 Обзор методов расчёта 14 1.1 Обзор расчётов сечений ион-атомных столкновений в борнов ском приближении........................ 1.2 Приближение внезапных возмущений............. 1.3 Эйкональное приближение и его связь с теорией внезапных возмущений............................ 1.4 Столкновения структурных ионов с атомами......... 1.4.1 Метод расчёта...................... 1.4.2 Выбор потенциала взаимодействия........... 1.4.3 Обсуждение результатов................. 1.5 Метод классических траекторий................ 2 Однократная и двойная ионизация 2.1 Столкновение снаряда с водородоподобным атомом..... 2.2 Столкновение водородоподобного снаряда с многоэлектрон ным атомом............................ 2.3 Ионизация гелиеподобного иона................ 2.3.1 Амплитуда перехода................... 2.3.2 Асимптотика для больших параметров удара..... 2.4 Релятивистское обобщение................... 3 Многократная обдирка 3.1 Общая формула для вероятности................ 3.2 Сечения многократной ионизации............... 4 Кратные столкновения 4.1 Рассеяние на двух центрах................... 4.2 Поправка за счёт кратных столкновений........... Заключение Литература Введение Частично ободранные ионы вы Актуальность темы исследования.

соких зарядов и энергий используются во многих экспериментах, проводи мых на ускорителях тяжёлых ионов. Такие ионы состоят из ядра и некото рого количества связанных электронов, частично компенсирующих заряд ядра и образующих электронную «шубу» иона. Строго говоря, столкнове ния структурных ионов с атомами следует рассматривать как столкнове ния двух сложных систем, при которых происходит одновременное возбуж дение электронных оболочек обеих сталкивающихся систем.

Везде ниже мы будем называть движущийся структурный ион снарядом, а покоящийся атом — мишенью. Теория одновременного возбуждения или ионизации сна ряда и мишени, основанная на борновском приближении, хорошо разрабо тана, и проведено её распространение на случай релятивистских скоростей столкновения. Однако когда используются ионы высоких зарядов, то даже для релятивистских скоростей столкновения теория возмущений не при менима. Поэтому, как правило, расчёты сечений ионизации проводились в рамках широко распространённого метода классических траекторий. В по следнее время активизировался интерес к процессам многократной иониза ции — обдирки снаряда при столкновениях тяжёлых ионов с нейтральными атомами. Например, недавно проведены измерения сечений многократной ионизации (потеря до 15 электронов) быстрых ионов урана при столкнове ниях с многоэлектронными нейтральными атомами. Измерения показали, что при увеличении степени ионизации на единицу соответствующее сече ние убывало менее, чем в два раза, и была отмечена необходимость рассчи тывать подобные процессы непертурбативными методами. Таким образом, необходимость развития непертурбативной теории многократной иониза ции для столкновений тяжёлых ионов с атомами возникла сравнительно недавно в связи с проектированием и использованием ускорителей тяжё лых ионов. Квантовомеханическое непертурбативное рассмотрение иони зации снаряда высокой кратности до настоящего времени не проводилось.

Связано это, прежде всего, с большим количеством электронов, участву ющих в неупругом столкновении, например, для столкновения иона U10+ с атомом аргона, общее число электронов равно порядка 100. Тем самым, необходимо рассчитывать численно значительное количество многомерных интегралов, что представляется крайне затруднительным даже при совре менных вычислительных возможностях. В такой ситуации представляет ся естественным развитие теории, существенным образом использующей многочастичность задачи. Проведённые к настоящему времени экспери ментальные исследования и современное неадекватное состояние теорети ческих методов описания и расчёта таких процессов указывают на акту альность исследований, предлагаемых в настоящей работе, посвящённой развитию непертурбативной теории многократной ионизации при столкно вениях быстрых тяжёлых структурных ионов с нейтральными сложными атомами, проведению на основе развитой теории расчётов и сравнению с экспериментом. Эти процессы активно исследуются на ускорителях тяжё лых ионов, в частности на ускорителе в Дармштадте (Германия), и прояв ляемый интерес соответствует появлению нового направления в экспери ментальных и теоретических исследованиях: непертурбативные процессы многократной обдирки быстрых тяжёлых структурных ионов при столк новениях с нейтральными атомами.

заключается в развитии теории многократных процессов Цель работы при столкновениях ионов с атомами и молекулами, проведении на основе развитой теории расчётов и сравнение их с экспериментом, развитие непер турбативной теории многократной ионизации при столкновениях быстрых тяжёлых структурных ионов с нейтральными сложными атомами, посколь ку эти процессы активно исследуются на ускорителях тяжёлых ионов, в частности на ускорителе в Дармштадте.

работы, прежде всего, определяется тем, что боль Научная новизна шинство предлагаемых расчётов было выполнено на основе оригиналь ных схем, разработанных научным руководителем профессором Матвее вым В. И. и автором диссертации для описания элементарных процес сов, интенсивно исследуемых в настоящее время на ускорителях тяжёлых ионов, а также тем, что ряд расчётов был выполнен впервые:

1. На основе релятивистского обобщения приближения эйконала получе ны общие формулы для вероятностей неупругих процессов с учётом одновременного изменения состояний снаряда и мишени. Вычислено полное неупругое сечение для электронных переходов в водородопо добном ионе при столкновении с атомом водорода, при этом также учитывались всевозможные переходы в атоме-мишени.

2. Развит непертурбативный метод описания столкновений водородопо добных ионов со сложными нейтральными атомами, описываемых в модели Дирака-Хартри-Фока-Слейтера.

3. Произведено обобщение этого метода на случай гелиеподобных снаря дов. В рамках этого метода произведён численный расчёт вероятно стей и сечений ионизации водородоподобных и гелиеподобных ионов при столкновениях с атомами.

4. На основе непертурбативной теории многократной ионизации быст рых тяжёлых структурных ионов при столкновениях с нейтральными сложными атомами получены рекуррентные соотношения для сечений многократной потери (обдирки) электронов высокозарядными ионами при столкновениях со сложными атомами. Рассчитаны сечения мно гократной обдирки ионов урана U28+ (потеря до 64 электронов) и U10+ (потеря до 82 электронов) при столкновениях с атомами аргона и мо лекулами азота, проведено сравнение с экспериментальными данными.

5. Рассчитаны поправки к сечению ионизации мезоатома (µHe)+ при его столкновении с двухатомной молекулой за счёт последовательных столкновений с ядрами одной молекулы, сопровождающихся возбуж дением мезоатома в промежуточное состояние. Показано, что учёт вы строенности молекул может приводить к заметному возрастанию се чения стряхивания µ-мезона.

полученных результа Достоверность и научная обоснованность тов и выводов обеспечивается надёжностью применяемых методов расчёта, тщательным тестированием применяемых алгоритмов и программ, а также сравнением с результатами расчётов других авторов и экспериментами.

Проведено распростра Научная и практическая ценность работы.

нение новых непертурбативных методов теории атомных столкновений, специализированных для описания неупругих процессов при взаимодей ствии релятивистских и ультрарелятивистских структурных ионов с про стейшими атомами, на случаи столкновений со сложными атомами. Ос новой такого распространения явилась единая методика расчётов, исполь зующая релятивистские обобщения широко известных приближения эйко нала и приближения внезапных возмущений, позволяющих получить для амплитуд неупругих процессов выражения, имеющее стандартный нереля тивистский предел, а в ультрарелятивистском случае переходящие в из вестное точное решение.

Области возможного практического применения результатов: ускорите ли тяжёлых ионов, радиационные повреждения, ядерные реакторы. Кро ме того, результаты таких исследований представляют интерес для многих конкретных областей атомной и ядерной физики, физической электроники.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Непертурбативный метод расчёта сечений неупругих процессов при взаимодействии водородоподобных ионов с простейшими атомами с учётом одновременных возбуждений электронных оболочек снаряда и атома-мишени.

2. Непертурбативный метод расчёта сечений ионизации водородоподоб ных ионов при взаимодействии со сложными нейтральными атомами.

Результаты численных расчётов сечений с использованием этого ме тода.

3. Применение этого метода для описания ионизации гелиеподобных ионов при взаимодействии со сложными атомами. Результаты расчё тов вероятностей одно- и двукратной ионизации гелиеподобных ионов.

4. Рекуррентные соотношения для сечений многократной потери (обдир ки) электронов высокозарядными ионами при столкновениях со слож ными атомами и расчёты сечений многократной обдирки ионов урана U28+ (потеря до 64 электронов) и U10+ (потеря до 82 электронов) при столкновениях с атомами аргона и молекулами азота.

5. Вычисление поправок к сечению ионизации мезоатома (µHe)+ за счёт двуцентровых и кратных столкновений. Вывод о том, что учёт выстро енности молекул может давать заметный вклад в сечение ионизации мезоатома за счёт кратных столкновений.

По материалам диссертации Апробация работы и публикации.

опубликовано 10 печатных работ из них 5 работ в рецензируемых жур налах из списка ВАК [1–5]. Результаты, вошедшие в диссертационную ра боту, докладывались на семинаре теоретического сектора отдела мощных лазеров Института общей физики РАН имени А. М. Прохорова, семина рах лаборатории теоретической физики Поморского государственного уни верситета (г. Архангельск), а также на Всероссийской научной конферен ции студентов–физиков и молодых учёных (ВНКСФ) [6, 7] и международ ных конференциях «Ломоносов» [8] и International Conference on Photonic Electronic and Atomic Collisions (ICPEAC) [9].

Список публикаций по материалам диссертации:

[1] Вклад процессов кратных столкновений в сечение Матвеев, В. И.

ионизации быстрого мезоатома при столкновениях с двухатомной мо лекулой / В. И. Матвеев, С. В. Рябченко // Вестник Поморского уни — 2003. — Т.

верситета. Серия «Естественные и точные науки».

1(3). — С. 107–111.

[2] Теория возбуждения и ионизации релятивист Матвеев, В. И.

ских структурных тяжёлых ионов при столкновениях с атомами / В. И. Матвеев, Е. С. Гусаревич, С. В. Рябченко // Вестник Поморско — 2004. — го университета. Серия «Естественные и точные науки».

Т. 2(6). — С. 98–103.

[3] Кратные столкновения быстрого мезоатома с двух Матвеев, В. И.

атомной молекулой / В. И. Матвеев, С. В. Рябченко // Известия ву — 2005. — Т. 48, № 5. — С. 30–33.

зов. Физика.

[4] Многократная потеря электронов быстрыми тяжёлы Матвеев, В. И.

ми структурными ионами при столкновениях со сложными атомами / В. И. Матвеев, Д. У. Матрасулов, С. В. Рябченко // Журнал экс — 2006. — Т. 129, № 1. — периментальной и теоретической физики.

С. 5–13.

[5] Потеря электронов быстрыми тяжёлыми структурны Матвеев, В. И.

ми ионами при столкновениях с атомами / В. И. Матвеев, Д. У. Мат расулов, С. В. Рябченко // Письма в журнал экспериментальной и — 2005. — Т. 82, № 7. — С. 455–459.

теоретической физики.

[6] Ионизация мезоатома при кратных столкновениях с Рябченко, С. В.

двухатомной молекулой / С. В. Рябченко // 10-я Всероссийская науч ная конференция студентов-физиков и молодых учёных (ВНКСФ–10).

Сборник тезисов. — Т. 1. — г. Москва: 1 апреля – 7 апреля 2004. — С. 89–90.

[7] Возбуждение и ионизация снаряда при столкновениях Рябченко, С. В.

быстрых структурных ионов с нейтральными атомами / С. В. Рябчен ко // 11-я Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых учёных (ВНКСФ–11). Сборник тезисов. — г. Екатеринбург:

24 марта – 30 марта 2005. — С. 61–62.

[8] Возбуждение и ионизация снаряда при столкновениях Рябченко, С. В.

быстрых структурных ионов с нейтральными атомами / С. В. Рябчен ко // 12-я Международная конференция студентов, аспирантов и мо лодых учёных по фундаментальным наукам — «Ломоносов». Секция «Физика». Сборник тезисов. — Т. 1. — г. Москва: 12–16 апреля 2005. — С. 51.

[9] Excitation and ionization of projectile in collisions Ryabchenko, S. V.

of fast structural ions with neutral atoms / S. V. Ryabchenko, E. S. Gusarevich // 24th International Conference on Photonic Electronic and Atomic Collisions — ICPEAC. Book of abstracts. — Rosario, Argentina: July 20–26, 2005. — P. Fr095.

[10] Теория возбуждения и ионизации релятивист Матвеев, В. И.

ских структурных тяжёлых ионов при столкновениях с атомами / В. И. Матвеев, Е. С. Гусаревич, С. В. Рябченко // Физический вестник — 2004. — Т. 3. — С. 17–25.

ПГУ.

На основе непертурбативного метода описа Личный вклад автора.

ния столкновений структурных ионов с атомами, разработанного научным руководителем, Рябченко С. В. получил выражения для расчётов сечений ионизации ионов при столкновениях с атомами. Автор выполнил числен ный расчёт полного неупругого сечения ионизации водородоподобного иона при столкновении с атомом водорода с учётом одновременных переходов в электронных оболочках снаряда и атома-мишени. Кроме этого, автором были рассчитаны сечения ионизации тяжёлых водородоподобных ионов при столкновениях с нейтральными атомами, проведён анализ получен ных результатов и их сравнение с экспериментальными данными. Диссер тантом были вычислены вероятности однократной и двукратной ионизации гелиеподобных ионов при столкновении с тяжёлыми нейтральными атома ми, проведено сравнение с результатами расчётов других авторов. Автор выполнил численные расчёты сечений многократной обдирки ионов ура на U28+ (потеря до 64 электронов) и U10+ (потеря до 82 электронов) при столкновениях с атомами аргона и молекулами азота.

Также на основе теории, предложенной Матвеевым В. И., Рябченко С. В.

произвёл расчёт поправок к сечению стряхивания µ-мезона при столкнове нии мезоатома µHe+ с двухатомной молекулой. Автором были проанали зированы публикации по теме исследования, самостоятельно разработаны алгоритмы и программы, произведены численные расчёты.

Диссертация состоит из введения, че Структура и объём работы.

тырёх глав, заключения и содержит 101 страницу, 8 рисунков и 3 таблицы.

Список литературы включает 95 наименований.

представлен обзор различных методов, применяемых В первой главе для описания ион–атомных столкновений. Глава состоит из пяти разде лов. В разделе 1.1 дан обзор методов расчёта сечений для столкновений водородоподобных систем в борновском приближении. В разделе 1.2 опи сывается приближение внезапных возмущений. В разделе 1.3 рассматрива ется приближение эйконала, показана его связь с приближением внезапных возмущений. В разделе 1.4, в качестве примера применения эйконального приближения, приведён расчёт сечений ионизации и возбуждения атомов мишени частично ободранными релятивистскими высокозарядными иона ми, описываемыми как протяжённые заряды. В разделе 1.5 изложен метод классических траекторий, применяемый для описания ион–атомных столк новений при относительных скоростях, сравнимых со скоростью электрона на орбите или больших её.

развита непертурбативная теория возбуждения и Во второй главе ионизации релятивистских структурных тяжёлых ионов при столкновени ях с атомами. Глава состоит из четырёх разделов. В разделе 2.1 описыва ется столкновение одноэлектронного снаряда с атомом водорода. Получена общая формула для вероятности перехода в снаряде при условии, что атом мишень также изменяет своё состояние, и вычислено полное неупругое се чение этого процесса. В разделе 2.2 рассмотрена ионизация водородоподоб ного иона при столкновении с нейтральным атомом, описываемом в модели Дирака-Хартри-Фока-Слейтера. На основе приближения эйконала выпол нен расчёт сечений ионизации для различных сочетаний снаряд—мишень, проведено сравнение с результатами расчётов других авторов и имеющи мися экспериментальными данными. В разделе 2.3 показано применение метода, изложенного в разделах 2.1 и 2.2, для описания одно- и двукратной ионизации при столкновениях гелиеподобного иона с нейтральным атомом.

Проведён расчёт соответствующих вероятностей для тяжёлых гелиеподоб ных ионов в ультрарелятивистском случае (для сравнения с расчётами других авторов). Далее, в разделе 2.4, проведено обобщение для расчёта рассмотренных выше процессов на случай релятивистских столкновений.

Показано, что, так как эйкональная фаза не зависит от релятивистского -фактора, то все полученные выражения для столкновений ионов с ней тральными атомами могут использоваться в этом случае без каких бы то ни было дополнений.

описывается непертурбативная теория многократной В третьей главе ионизации при столкновениях быстрых тяжёлых структурных ионов с ней тральными сложными атомами. Получены простые рекуррентные соотно шения между сечениями ионизации различной кратности. На их основе проведён расчёт сечений многократной ионизации в полном диапазоне воз можных значений числа удалённых электронов и проведено сравнение с имеющимися экспериментальными данными.

посвящена рассмотрению процессов происходящих Четвёртая глава при столкновении мезоатома с двухатомной молекулой. Глава состоит из двух разделов. Раздел 4.1 посвящён рассеянию мезоатома одновременно на двух центрах молекулы. Проведено описание в борновском приближении, и показано, что относительный вклад таких столкновений в общее сечения стряхивания µ-мезона мал. В разделе 4.2 рассматриваются двухступенча тые процессы с возбуждением мезоатома в промежуточное состояние, и показано, что они могут вносить заметный вклад в полное сечение при наличии выстроенности молекулы вдоль направления столкновения.

кратко сформулированы основные результаты, полу В заключении ченные в диссертации и выносимые автором на защиту.

Глава Обзор методов расчёта 1.1 Обзор расчётов сечений ион-атомных столкнове ний в борновском приближении Рассмотрим столкновение между мишенью — водородоподобным ато мом A и налетающим на него водородоподобным атомом B. Наряду с про стыми переходами, когда только один из атомов изменяет своё состояние (1.1) H(1s|A) + H(1s|B) H(nl|A) + H(1s|B), (1.2) H(1s|A) + H(1s|B) H(1s|A) + H(nl|B), необходимо учитывать и двойные переходы (1.3) H(1s|A) + H(1s|B) H(nl|A) + H(n l |B), когда состояние меняют оба атома. Впервые эта проблема была рассмот рена Бейтсом и Гриффитом [1–3].

Пусть Q(1snl;

1sn l ) — сечение, связанное с данной реакцией. Тогда полное сечение перехода атома A в состояние nl равно (1.4) Q(1s nl;

1s ) = Q(1s nl;

1s n l ), nl где означает суммирование по дискретным состояниям и интегрирова nl ние по континууму;

сечение перехода атома B в состояние nl имеет, разу меется, такой же вид. Сечение для перехода какого-либо одного или обоих атомов в состояние nl равно Q[(1s)2 (nl, )] = 2Q(1s nl;

1s ) Q(1s nl;

1s nl);

(1.5) сечение столкновения, в котором выделенный атом возбуждается или иони зуется, имеет вид (1.6) Q(1s ;

1s ) = Q(1s nl;

1s ), nl=1s и, наконец, сечение неупругих столкновений записывается как Q[(1s)2 (, )] = Q(1s nl;

1s ). (1.7) Q(1s 1s;

1s nl) + nl=1s nl=1s Нетрудно подсчитать сечения, связанные с различными путями реакции.

Замечая, что волновые функции начального и конечного состояний равны соответственно (1.8) p = 1s (ra )1s (rb ) exp(i 1s,1s · R), (1.9) q = nl (ra )n l (rb ) exp(i nl,n l · R), где 1s,1s и nl,n l — суммарные волновые вектора начального и конечного состояний, R — радиус-вектор ядра B относительно ядра A, и что потен циал взаимодействия имеет вид 1 1 1 (1.10) V = e2 +, |R + rb ra | |R + rb | |R ra | R можно записать сечения таким образом:

8 2 dt a2 (1.11) Q(1s nl;

1s 1s) = 2 |J(1s, nl)| t 1 (4 + t2 ) s tмин и |J(1s, nl)J(1s, n l )|2 t3 dt a2. (1.12) Q(1s nl;

1s n l ) = 2 s tмин Наличие двух формул обусловлено тем, что в случае (1.3) вклад в се чение вносят все слагаемые в (1.10), кроме последнего, тогда как в слу чае (1.1) или (1.2) вклад вносит только первое слагаемое (в силу ортого нальности волновых функций).

Можно также получить замкнутые асимптотические выражения для различных полных сечений как функций энергии столкновения [2]. Для достаточно больших энергий столкновения величину tмин можно считать равной нулю, так что Q(1s nl;

1s ) Q(1s nl;

1s 1s)+ |J(1s n l )|2 t3 dt a2. (1.13) + 2 |J(1s nl)|2 s n l =1s Учитывая соотношения (см. Бете [4]) (1.14) |J(1s n l )|2 = nl и (1.15) |J(1s n l )|2 =, (4 + t2 ) можно показать, что 16 t3 dt a2. (1.16) |J(1s nl)|2 Q(1snl;

1s) s2 (4 + t2 ) Можно также рассмотреть различные частные случаи:

Q(1s 2s;

1s ) 4.3E 1 a2, (1.17) Q(1s 2p;

1s ) 21E 1 a2, (1.18) Q(1s C;

1s ) 128E 1 a2 ;

(1.19) здесь C означает все состояния континуума, а E — энергия столкновения в Столкновения, в которых состояние налетающей частицы не меняется, кэВ.

вносят лишь следующий вклад:

Q(1s 2s;

1s 1s) 0.72E 1 a2, (1.20) Q(1s 2p;

1s 1s) 1.8E 1 a2, (1.21) Q(1s C;

1s 1s) 36E 1 a2. (1.22) Аналогично из (1.6) находим Q(1s ;

1s ) 168E 1 a2, (1.23) а из (1.7) имеем Q[(1s)2 (, )] 210E 1 a2. (1.24) В обоих случаях основной вклад вносят столкновения, приводящие к двой ной ионизации.

Используя сечения простых переходов и Q(1s 2s;

1s 1s) Q(1s 2p;

1s 1s) можно получить полные сечения Q(1s 2s;

1s ) и Q(1s 2p;

1s ), поскольку для n, большего или равного 4, сече ниями Q(1s 2s;

1s nl) и Q(1s 2p;

1s nl) можно пренебречь без существенной ошибки. Очевидно, что при малых энергиях основную роль играют простые переходы, а при больших энергиях преобладают двойные переходы.

Моисейвич и Стюарт [5] провели вычисления для процесса (1.25) He(1s)2 + H(1s) He(1s2p1 P ) + H(), причём переходы в дискретные состояния с n, превышающим 3, отбрасыва лись при суммировании. Полученные результаты аналогичны описанным выше. Ими был рассмотрен также процесс (1.26) He(1s)2 + He+ (1s) He(1s2p1 P ) + He+ ().

Двойные переходы здесь почти не имеют значения. Этого и следовало ожи дать для столкновения, в котором ответственным за возбуждение является положительный ион. Если сравнить процесс (1.26) с реакцией (1.27) He(1s)2 + H+ He(1s2p1 P ) + H+, то видно, что экранирование ядра гелия орбитальным электроном незначи тельно при низких энергиях, но настолько эффективно при средних и вы соких энергиях столкновения, что ион He+ ведёт себя подобно однократно заряженной бесструктурной частице.

Кроме указанных были исследованы только следующие процессы:

H(1s) + He(2s3 S) H() + He(2p или 3p3 P ) (1.28) и Ne(1 S) + He(2s3 S) Ne() + He(2p или 3p3 P ) (1.29) (см. [6]). Если в столкновении участвует многоэлектронный атом (напри мер, реакция (1.29)), то производить суммирование и интегрирование по всем конечным состояниям весьма сложно. Не вводя существенных оши бок, этих трудностей можно избежать путём простого изменения асимпто тической формулы (1.13), обсуждавшейся выше. Это изменение состоит в том, что для tмин принимается значение, соответствующее самому низкому двойному переходу, учитываемому в расчётах. Другой возможный способ состоит в проведении расчёта одного из двойных переходов. Вклад других переходов поддаётся оценке, поскольку можно предполагать, что кривые зависимости сечения от энергии столкновения имеют обычную форму (ко торая определяется с помощью вышеприведённых расчётов);

кроме того, можно получить формулу для асимптотического поведения полного сече ния, соответствующую формуле (1.16). Адлер и Моисейвич [6] нашли, что оба способа расчёта дают весьма близкие результаты.

К сожалению, расчёты процессов ионизации в общем случае весьма тру доёмки, так как для вычисления вклада двойных переходов с ионизацией в сечение необходимо производить трёхкратное численное интегрирование.

Для сложных систем детальные расчёты вряд ли осуществимы. В рабо тах [7–9] были предложены некоторые эмпирические методы получения теоретических оценок.

В работе [2] приводятся результаты выполненных Бейтсом и Гриффин гом расчётов сечения Q(1s C;

1s 1s) для процесса (1.30) H(1s) + H(1s) H+ + e + H(1s) и сечения Q(1s C;

1s ) для процесса (1.31) H(1s) + H(1s) H+ + e + H() (переходы в дискретные состояния с n 3 не учитывались). Из них видно, что с увеличением энергии столкновения вклад двойных переходов растёт по сравнению с вкладом простых переходов и в конечном счёте становиться очень большим. Бойд и др. [10] показали, что то же происходит в случае процесса (1.32) He+ (1s) + H(1s) He2+ + e + H().

Они также показали, что двойные переходы играют незначительную роль, если положительный ион вместо того, чтобы претерпевать определённые изменения, как в процессе (1.32), сам вызывает изменение, например, (1.33) H(1s) + He+ (1s) H+ + e + He+ ().

Здесь мы имеем такую же ситуацию, как в случае возбуждения.

Когда энергии столкновения достаточно велики, чтобы можно было пре небречь перезарядкой, сечение ионизации налетающей частицы совпадает с сечением потери электрона налетающей частицей.

Из сравнения вычисленного Бейтсом и Вильямсом [11] сечения процесса (1.34) H(1s) + He(1s)2 H+ + e + He() с измеренным Стайром и Барнетом [12] сечением потери электрона атома ми водорода, проходящими через гелий, видно, что для энергий, превыша ющих 100 кэВ, согласие очень хорошее. В теоретических работах Сиды [13] по процессу H (1s)2 + He(1s)2 H(1s) + e + He(1s)2 (1.35) и Мак-Дауэлла и Пича [14] по процессу H (1s)2 + H(1s) H(1s) + e + H() (1.36) сделан ряд упрощающих предположений;

поэтому нельзя получить ника кой информации относительно области применимости первого приближе ния Борна при сопоставлении результатов этих работ с экспериментальны ми данными Хастеда [15] и Хаммера и др. [16].

В работе [17] приведены вычисленные Далгарно и Гриффингом рас пределения по энергии электронов, выбитых в быстрых столкновениях H(1s) H(1s) в результате простых и двойных переходов. Так как близ кие столкновения относительно более важны, эти распределения шире, чем соответствующее распределение для столкновений H(1s)H+, которое при ведено для сравнения.

В случае электрона, выбитого из налетающей частицы, кроме энергии его движения относительно ядра, с которым он был связан ранее, большой интерес представляет энергия движения относительно частицы–мишени.

Эти две величины могут очень различаться. Например, если налетающий на мишень атом с энергией 1 теряет электрон нулевой энергии, то МэВ энергия движения этого же электрона относительно мишени превышает 500 Чтобы перейти от одного распределения по энергии к другому, эВ.

нужно знать угловое распределение. Из вычислений [17] следует, что это распределение имеет острый максимум, соответствующий тому же направ лению, как и в классическом рассмотрении.

1.2 Приближение внезапных возмущений Если время действия возмущения существенно короче характерных периодов a квантовой системы, то задачу об изменении состояния систе мы под действием такого возмущения можно решать, используя в качестве малого параметра отношение /a ;

при этом на возмущение можно не на лагать ограничений, т.е. считать характер изменения возмущения за вре мя и его значения произвольными. Формальной основой для построения решения в виде разложения по степеням /a является так называемое разложение Магнуса [18, 19]. При этом член первого порядка по /a в показателе экспоненты обычно называют приближением внезапных возму щений. Именно в таком виде это приближение было впервые введено в ра ботах [20, 21] для описания многократного кулоновского возбуждения ядер высокоэнергетическими тяжёлыми ионами, а в атомных столкновениях в [22, 23]. Подробное обсуждение и многочисленные применения прибли жения внезапных возмущений приведены в обзорах [24, 25], а также при менительно к столкновениям заряженных частиц с высоковозбуждёнными атомами в обзорной статье [26].

Для иллюстрации приближения внезапных возмущений, видимо, проще всего рассмотреть решение соответствующего уравнения Шрёдингера (1.37) i = (H0 + U (t)), где внезапное возмущение U (t) действует в течение времени значительно меньшего характерных периодов времени невозмущённой системы, описы ваемой гамильтонианом H0. Тогда при решении уравнения (1.37) можно (в течение времени действия возмущения U (t)) пренебречь эволюцией вол новой функции под действием собственного гамильтониана H0 и решать уравнение i = U (t). Откуда следует, что t (1.38) (t) = exp{i U (t)dt}(t0 ).

t Поэтому амплитуда перехода нерелятивистского атома из состояния | i в состояние | f в результате внезапного возмущения U (t) имеет вид [24, 27, 28] + (1.39) aif = f | exp{i U (t)dt} | i.

Предыдущее простое рассмотрение было проведено в представлении Шрё дингера. Для более же общего и строгого рассмотрения, позволяющего найти систематическую процедуру получения поправок, следует воспользо ваться представлением взаимодействия, в котором уравнение Шрёдингера записывается в символическом виде [29] i = U (t), где U (t) - оператор возмущения в представлении взаимодействия U (t) = eiH0 t U (t)eiH0 t.

Формальное точное решение уравнения Шрёдингера в представлении вза имодействия имеет вид t (1.40) (t) = T exp{i U (t)dt}(t0 ), t здесь T - оператор хронологического упорядочения. Поэтому амплитуда перехода системы из состояния | i в состояние | f под действием возмущения U (t) равна + (1.41) aif = f | T exp{i U (t)dt} | i.

Представление T -экспоненты в виде ряда по степеням U (t) соответствует ряду теории возмущений. Альтернативную (1.40) формулу для решения уравнения Шрёдингера можно вывести, если учесть, что при малых t (t + t) = exp{itU (t)}(t).

Тогда решение на конечном интервале времени от t0 до t получается путём разбиения интервала t t0 на малые интервалы времени t:

N (t = tN ) = exp{itU (ti )} (t0 ), i= откуда, разбивая попарно все члены произведения и используя для каждой пары известную формулу 1 exp(A) exp(B) = exp(A + B + [AB] + [A[AB]] + · · · ), 2 приходим к представлению Магнуса для решения уравнения Шрёдингера:

t t t dtU (t) + (i)2 dt2 [U (t1 ), U (t2 )] + · · · }(t0 ), (t) = exp{i dt t0 t0 t которое соответствует теории возмущений по степеням /a. При этом зна чения U, вообще говоря, могут быть произвольными [24]. Необходимо от метить также, что в отличие от борновского ряда теории возмущений, об рывание ряда в показателе экспоненты в разложении Магнуса на любом слагаемом не нарушает условие унитарности оператора эволюции. Пусть действие возмущения сосредоточено вблизи t = 0. Тогда если время дей ствия возмущения a 1/ - характерных обратных частот системы, то U (t) U (t) и соответственно мы получаем формулу (1.39). Именно в таком виде обычно и используется приближение внезапных возмущений.

Таким образом сечения неупругих процессов при столкновениях быстрых ионов атомами в приближении внезапных возмущений вычисляются по формуле (1.42) d2 b | f | exp{i dtU (vt, b;

{ra })} | i |2.

= Применение теории внезапных возмущений (равно как и эйконального приближения) к дальнодействующим кулоновским потенциалам нуждает ся в некоторых дополнительных комментариях. Поскольку в задачах куло новского возбуждения атомов возникают осложнения, связанные именно с дальнодействующим характером кулоновского потенциала, что отража ется, в частности, в расходимости интегралов и необходимости проводить «вычитания». Покажем это на примере столкновения помещённого в нача ло системы координат атома водорода с движущимся со скоростью v по прямолинейной траектории R(t) многозарядным ионом. Кулоновское вза имодействие иона с атомным электроном равно U (t) = Z/ | R(t) r |, здесь r - координаты атомного электрона. Интеграл + (1.43) U (t)dt от такого потенциала расходится, поэтому в нем производится вычитание:

+ + 1 (1.44) U (t)dt = Z dt.

R(t) | r R(t) | Первый член подынтегрального выражения не приводит к переходам элек трона (так как не зависит от его координат), причём интеграл от первого члена, взятый в отдельности, тоже расходится, однако весь интеграл (1.44) сходится. Возможность введения первого члена в подынтегральном выра жении (1.44) обычно [27, 28] обосновывается тем, что при его появлении в амплитуде (1.39) возникает постоянный (хотя и бесконечный) и поэтому несущественный фазовый множитель, не влияющий на вероятности пере ходов. Кроме того, физически первый член соответствует взаимодействию налетающего иона с ядром атома мишени. Необходимо отметить, что про цедура вычитания может быть формально обоснована либо введением так называемых корректных кулоновских граничных условий [30], обусловли вающих появление дополнительного фазового фактора в волновой функ ции атомного электрона, либо, что эквивалентно, проведением калибровоч ного преобразования потенциала иона:

1 f U =U, c t где Zc ln{vt + [(vt)2 + b2 ] 2 }.

f = v Выбор взаимодействия в виде двух слагаемых позволяет вычислить инте грал (1.44) следующим образом :

+ + 2Z | b s | (1.45) eit U (t)dt = U (t)dt = lim ln, v b здесь s — проекция координат атомного электрона на плоскость параметра удара b.

По сути дела, именно процедура вычитания позволяет ввести понятие времени столкновения для кулоновских потенциалов. Действительно, ска лярный потенциал движущегося равномерно и прямолинейно иона ра вен [31] Z (1.46) =, (x vt)2 + (1 2 )(s b) Размер атома водорода 1 ат.ед. поэтому s 1 и для больших параметров удара b 1 из (1.46) имеем Z(1 2 )bs Z (1.47) +, R0 (t) R0 (t) здесь (1.48) (x vt)2 + (1 2 )b2.

R0 (t) = Разложение (1.47) соответствует поперечной ( v) однородности поля иона (при b 1) на размере атома водорода. Поскольку атом водорода явля ется нерелятивистской системой, то в принципе ясно, что взаимодействие электрона атома водорода с многозарядным ионом можно выбрать в виде запаздывающего кулоновского скалярного потенциала.

При таком выборе возмущения имеем :

+ + + (1 2 )bs dt (1.49) U (t)dt = Z Z dt.

R0 (t) R0 (t) После постановки этого интеграла в (1.42) первое слагаемое из правой ча сти (1.49) приводит к появлению, не зависящего от координат атомного электрона постоянного фазового фактора, который (хотя и бесконечен) не влияет на вероятности переходов и поэтому может быть опущен. Без по тери общности при использовании приближения внезапных возмущений можем взять возмущение Z(1 2 )bs (1.50) U (t) =.

[(x vt)2 + (1 2 )b2 ]3/ Этот потенциал уже может рассматриваться, как действующий в течение конечного времени. Действительно, + 2Z bs (1.51) U (t)dt = = qs = 2U (t = x/v), v b q — переданный атомному электрону импульс, (1.52) 1 2 /v, =b и, очевидно, имеет смысл времени действия потенциала (1.50). Таким образом, именно процедура, связанная с опусканием постоянного фазового фактора, позволяющая ввести время столкновения, оправдывает приме нение приближения внезапных возмущений к дальнодействующему куло новскому полю (ср. аналогичную процедуру вычитания в [27]).

Расчёты в приближении внезапных возмущений [27] сечений ионизации атома водорода ударом быстрого нерелятивистского иона проведены в ра ботах [28, 32]. Применение теории внезапных возмущений к столкновениям релятивистских ионов с нерелятивистскими атомами рассмотрено в [33].

Многочисленные примеры приведены также в обзоре [34]. Связь между приближением внезапных возмущений и эйкональным приближением ис следовалась в работе [35] на примере ионизации налетающего нереляти вистского иона при его столкновении с нейтральным тяжёлым атомом. Для столкновений же ультрарелятивистских ионов с атомами теория внезапных возмущений принимает форму точного решения уравнения Дирака в уль трарелятивистском случае.

1.3 Эйкональное приближение и его связь с теорией внезапных возмущений Наиболее последовательным и широко распространённым способом рас чёта сечений неупругих процессов при столкновениях быстрых ионов с ато мами является приближение Глаубера (в физике атомных столкновений используется начиная с 1968 г. [36]), применимое при Z/v 1 и основанное на очень старом и близком к квазиклассике приближении эйконала [37, 38].

Приближение эйконала обычно используют в задачах потенциального рас сеяния в случаях, когда энергия рассеиваемой частицы E везде значитель но превышает потенциальную энергию U. При этом решение уравнения Шрёдингера (1.53) ( + U ) = E, 2M M — масса падающей частицы, ищется в виде i = exp(iki R)(R), где ki — импульс частицы до рассеяния (| ki |= k = 2M E), R — её коорди ната. Выбираем ось x вдоль ki и, считая, что (R) меняется медленно по сравнению с exp(iki R), для получим уравнение (1.54) (iv + U )(R) = 0, x здесь v = k/M - скорость частицы. Решая, (1.54) находим i (1.55) = exp(iki R)(R) = exp(iki R U dx).

v При выводе уравнения (1.54) был опущен член. Непосредственной под становкой (1.55) в (1.53) нетрудно убедиться, что подобное пренебрежение возможно только при условиях k 2 1иx ka2 (a - радиус 2M U, ka действия потенциала U ). Поэтому решение (1.55) неприменимо на слишком больших расстояниях и не может быть использовано непосредственно для определения амплитуды рассеяния из асимптотического выражения f () (1.56) exp(iki R) + exp(iki R).

R Однако в этом нет необходимости, поскольку выражение для амплитуды можно получить с помощью формулы для T –матрицы M M (1.57) f () = Tif = f | U | i.

2 В (1.57) интегрирование по координатам рассеиваемой частицы эффектив но ведётся в области действия потенциала U и поэтому в качестве точного решения | i может быть выбрана функция (1.55), тогда как | f как обычно, плоская волна exp(ikf R), причём | ki |=| kf |= k. Рассеяние быстрых частиц происходит в основном на малые углы. При этом измене ние импульса q = kf ki относительно невелико (q k), поэтому вектор q можно считать перпендикулярным ki, т.е. лежащим в плоскости (y, z). В результате с учётом (1.54) амплитуду (1.57) можно представить в виде + k i (1.58) U (x, b)dx} d2 b, exp(iqb) 1 exp{ f (q) = i 2 v где (x, b) R, а b обычно интерпретируется как вектор параметра удара.

Для иллюстрации возможностей эйконального приближения рассмотрим предельные случаи выражения (1.58) (при этом конечно же остаются вы полненными условия применимости k 2 1). Сначала приве 2M U, ka дём оценку эйкональной фазы + 1 Ua (1.59) U (x, b)dx =, v v где a радиус действия потенциала U. Для рассеяния в кулоновском поле U = /R эту оценку, согласно [37], следует проводить заменяя в (1.59) U на /a и поэтому /v (или /( v) в обычных единицах). Если скорость частицы настолько высока, что | U | a/v 1 (или /v 1в кулоновском поле), то (1.58) переходит в борновское приближение. В про тивоположном случае U a/v 1 ( или /v 1 в кулоне) выражение (1.58) описывает квазиклассическое малоугловое рассеяние. Для того чтобы убе диться в этом перепишем (для сферически симметричного потенциала U после интегрирования по углу вектора b) выражение (1.58) в виде + + i (1.60) U ( x2 + b2 )dx} bdb, J0 (qb) 1 exp{ f (q) = ik v где переданный импульс q связан с углом рассеяния очевидным соотно шением q = 2k sin(/2). Далее для qb 1 (точнее qb/ 1, т.к. переход к квазиклассике соответствует 0) воспользуемся асимптотикой для функции Бесселя 2 J0 (x) cos(x ) x и оценим интеграл по b в (1.60) методом стационарной фазы. В результате, получающееся сечение совпадает с результатом классической механики db(q0 ) d = 2b(q0 ) | | dqo, dqo где значения b(qo ) определяются из условия стационарности фазы + U ( x2 + b2 )dx |, qo =| b v именно такое значение переданного импульса соответствует малоугловому рассеянию в классической механике [39].

Последовательное обобщение приближения эйконала на случай потен циального рассеяния релятивистских высокоэнергетических частиц при ведено в известной монографии [40], п. 1.7.4. Поэтому ниже ограничимся лишь, необходимой для последующего изложения, иллюстрацией соответ ствующего решения. Стационарное уравнение Дирака для потенциального рассеяния запишем так:

p (1.61) {E U c M c2 } = 0, где и = (x, y, z ) — матрицы Дирака, p — оператор импуль са. На больших расстояниях от области действия потенциала U, т.е. при x, предполагается, что функция имеет вид i = u exp(iki R) и удовлетворяет свободному уравнению Дирака p (1.62) {E c M c2 }u exp(iki R) = 0, где u — биспинор свободной частицы с импульсом ki. Согласно идее эйко нального приближения ищем решение в виде = u exp(iki R)(R). Тогда функция (R) удовлетворяет уравнению U u(R) + icu (R) = 0, которое можно привести к стандартному эйкональному виду следующим физически прозрачным образом. Для частиц высоких энергий в малоуг ловом приближении оператор скорости c можно заменить на постоянное значение скорости частицы v. В результате для функции (R) опять по лучим уравнение (1.54). Поэтому, как и в нерелятивистском случае, диф ференциальное сечение рассеяния в телесный угол d (описанный вокруг направления единичного вектора n = kf /k) после суммирования по поля ризациям рассеянных частиц имеет вид [40]:

d = |f ( )|2 d n с независящей от спиновой структуры амплитудой рассеяния, формаль но описываемой формулой (1.58), с той разницей, что теперь потенциал U (R) является в лабораторной системе отсчёта временной компонентой 4-потенциала Aµ = (U, 0, 0, 0).

Эйкональное приближение для релятивистского потенциального рассе яния может быть следуя [37] легко обобщено ( см., например, [41]) на слу чай столкновения релятивистской высокоэнергетической частицы с систе мой частиц при дополнительном условии, что скорость падающей частицы много больше характерных скоростей атомной системы v va. Снача ла рассмотрим столкновение, движущегося с релятивистской скоростью v иона с лёгким (нерелятивистским) атомом.

Отметим, что для рассеяния на атомах заряженных частиц небольших зарядов (Z Za — эффективного заряда атомного ядра) условие va v совпадает [37] с условием применимости борновского приближения: дей ствительно, атомный электрон обычно имеет скорость va Za, поэтому va /v Za /v и для Z Za из условия va v получаем неравенство 1. При столкновении же атома с многозарядным ионом заряда Z/v Za условие va v не означает автоматического выполнения неравен Z ства Z/v 1. Однако предположение, что скорость падающей частицы (иона) существенно больше характерных скоростей внутри рассеивающей системы (атома), позволяет рассматривать движение иона при фиксиро ванных положениях атомных электронов. Поэтому естественное обобще ние выражения (1.58) на случай упругого рассеяния релятивистского иона лёгким (нерелятивистским) атомом имеет вид iki i 1 exp{ U (x, b;

{ra })dx} ff i (q)) = 2 v N d3 rn eiqb d2 b, (1.63) | 0 ({ra }) | n= где рассеивающий потенциал есть функция не только координаты иона R = (x, b), но и мгновенных положений атомных электронов, совокуп ность координат которых обозначаем {ra }, т.е. U = U (x, b;

{ra }). Инте грирование по координатам атомных электронов (N — их общее число) соответствует усреднению по внутреннему (основному) состоянию атома, описываемого волновой функцией 0 ({ra }) 0 (r1, r2,..., rN ). Общее же выражение в приближении Глаубера для амплитуды неупругого столкно вения релятивистского иона с лёгким (нерелятивистским до и после столк новения 1 ) атомом, с переходом атома из состояния | i в | f, имеет вид iki fif (q) = exp(iqb) i U (x, b;

{ra })dx} | i d2 b, (1.64) f | 1 exp{ v здесь, как и в (1.58), (1.63), изменение импульса иона q = kf ki, при чём ион должен остаться быстрым и после столкновения, что накладыва ет ограничения на разность энергий состояний i и f. Сечение неупругого столкновения можно получить с помощью известной формулы ki (1.65) | fif |2 dkf, = kf где kf — телесный угол рассеяния иона. Однако при вычислениях с помо щью приближения Глаубера сечений возбуждения и ионизации при столк новении даже нерелятивистской заряженной частицы с такой простой си 1 Строго говоря, атомные электроны, попадающие в континуум в результате ионизации движущимся с релятивистской скоростью ионом, могут приобрести релятивистские скорости.

стемой, как атом водорода, получаются громоздкие выражения (см., на пример [42–45]), требующие значительного численного счета.

Многочисленные применения приближения Глаубера к расчётам сече ний неупругих процессов связаны не столько с тем, что обеспечивается непосредственный переход к борновскому приближению, сколько с тем, что предполагается описать поведение сечений ионизации атомов в обла сти максимума, лежащего при средних скоростях столкновения. Наилуч шего согласия с экспериментом удалось добиться [46] путём модификации приближения Глаубера, которое учитывает искажения волновых функций электронов в континууме атома за счёт сильного поля иона — так называ емое приближение эйконала с искажёнными континуальными волновыми функциями.

Приближение Глаубера можно несколько упростить следую щим образом: для малых углов рассеяния и ki kf k имеем d d2 q/(ki kf ) d2 q/k 2 ;

далее, подставляя | fif |2 из (1.64) в виде двойного интеграла по d2 b и d2 b, интегрируем по d2 q с помощью ин тегрального представления для -функции, которая затем устраняется интегрированием по d2 b. В результате находим i (1.66) d2 b | f | 1 exp{ U (x, b;

{ra })dx} | i |2.

= v Соответственно подынтегральное выражение интерпретируется как веро ятность перехода атома из состояния | i в состояние f при столкно вении с параметром удара b. Многочисленные примеры применения фор мулы (1.66) приведены в обзоре [34].

Отметим, что это выражение (учитывая ортогональность функций f и i, а также соотношение dt = dx/v) аналогично (1.42), полученному в приближении внезапных возмущений. Что напрямую иллюстрирует, отме ченную ещё в работе [27] тесную связь между этими приближениями.

1.4 Столкновения структурных ионов с атомами Во многих экспериментах, проводимых на ускорителях тяжёлых ионов, используются частично ободранные ионы высоких зарядов и энергий (см., например, [47–53] и приведённые там ссылки). Расчётные методики, как правило, описывают такие экранированные ионы как точечные заряды.

Теоретическим же исследованиям процессов возбуждения или ионизации атомов мишени частично ободранными ионами, описываемыми как про тяжённые и имеющие электронную структуру заряды, посвящено сравни тельно небольшое число работ. Тогда как, представляется необходимым рассматривать налетающий ион не как точечную частицу, а как протяжён ную структурную частицу размером порядка размера электронных обо лочек, на которых расположены электроны иона. Сильное поле многоза рядного иона не позволяет использовать теорию возмущений. Поэтому, как правило, расчёты сечений ионизации проводились (см., например, [54, 55]) в рамках широко распространённого метода классических траекторий. Кван товомеханическое непертурбативное рассмотрение на основе приближения внезапных возмущений было проведено в работах [56, 57]. При этом уда лось получить лишь зависимости вероятности ионизации в ограниченной области параметров удара. Тогда как для расчёта полного сечения иони зации пришлось вводить полуэмпирическую процедуру «перенормировки»

борновского приближения. В работах же [58, 59], выполненных в приближе нии эйконала, рассчитаны лишь потери энергии при столкновениях реляти вистских структурных тяжёлых ионов с атомами. Отдельное направление представляют собой интенсивно исследуемые в настоящее время экспери ментально и теоретически (см., например, [48, 60, 61]) процессы потери электронов, принадлежащих бомбардирующим ионам.

Далее приведён непертурбативный метод расчёта сечений ионизации и возбуждения атомов мишени частично ободранными релятивистскими вы сокозарядными ионами, описываемыми как протяжённые заряды. Метод основан на приближении эйконала и метода сшивки, предложенного в ра ботах [41, 62, 63]. А также приведены результаты расчётов сечений од нократной ионизации атома водорода, однократной и двойной ионизации атома гелия. Показано, что учёт протяжённости заряда иона может при водить к заметным изменениям соответствующих сечений по сравнению с ионизацией точечными ионами тех же зарядов и энергий.

1.4.1 Метод расчёта Согласно [41, 62] сечение перехода покоящегося в начале системы коор динат нерелятивистского (до и после столкновения) N -электронного атома из состояния | 0 в состояние | n при столкновении с движущимся со скоростью v релятивистским ионом в малоугловом эйкональном прибли жении имеет вид (здесь и везде ниже используются атомные единицы) + i (1.67) n 1 exp U (X, b;

{ra })dX n = db 0.

v Рассеивающий кулоновский потенциал U = U (X, b;

{ra }) есть функция не только координат иона R = (X, b), но и положений атомных электро нов, совокупность координат которых обозначаем {ra } ;

a = 1,..., N. Ку лоновское взаимодействие частично экранированного иона, содержащего Ni электронов на своих оболочках и находящегося в точке R, с атомными электронами, расположенными в точках ra, следуя [57, 64–66], запишем в виде:

Z (1 ) Z U (R;

{ra }) = exp | ra R | +, | ra R | | ra R | a (1.68) где - параметр экранирования (эффективный размер иона), равный 2/3 g 0, 48.

=g ;

1 /7 Z 1/ Здесь введено относительное число электронов иона = Ni /Z. Специфика столкновений ионов больших зарядов с атомами состоит в том, что сечения неупругих процессов, как правило, довольно велики и существенно превы шают атомные размеры. Имея в виду это обстоятельство, будем считать, что ra /R 1, тогда интеграл в (1.67) можно переписать так + i (1.69) U dX = iq ra, v a где 2Z b b b (1.70) q= 1+ K1.


vb b В результате (1.67) примет вид (1.71) n = db n exp iq ra 0.

a Очевидно, вектор имеет смысл импульса, передаваемого атомным элек q тронам при столкновении с ионом при значении параметра удара b, Z = Z(1 ) — видимый заряд частично ободранного иона, K1 (x) — функция Макдональда. Причём предельные значения q имеют прозрачный физический смысл: q 2Z(1 )b/(vb2 ) при b, что соответствует рассеянию на экранированном ионе заряда Z(1 );

q 2Zb/(vb2 ) при b 0, что соответствует рассеянию на голом ионе заряда Z.

Рассмотрим сначала столкновение релятивистского структурного мно гозарядного иона с атомом водорода. Следуя [41, 62], для расчётов сечений неупругих процессов воспользуемся методом сшивки, позволяющим полу чить формулы для сечений в аналитическом виде. Для этого разобьём весь интервал 0 b возможных значений параметра удара b на две обла сти:

(1.72) A) 0 b b0, B) b0 b ;

b0 v, где = 1/ 1 2, = v/c, соответствующие малым и большим параметрам удара (c - скорость све та). В области (А) малых параметров удара, сильное поле высокозарядного иона не может быть учтено по теории возмущений, и сечение следует вы числять по формуле (1.71);

в области (В) больших прицельных параметров поле, создаваемое ионом, можно считать слабым, описывать ион как точеч ный заряд Z и для расчёта n применять теорию возмущений. Вычислив n в каждой из областей (1.73) и сложив их, получим результирующее се чение. При этом знание точного значения границы между областями несу щественно, поскольку зависимость n в каждой области от параметра b оказывается логарифмической, что приводит к корректной сшивке вкла дов смежных областей и выпадению в окончательном ответе зависимости n от параметра сшивки b0. В результате, сечение ионизации атома водо рода можно представить так (ср. [62]):

Z 2 2i v 2 (1.73) i = 8 2 i ln, Z i v где = exp B = 1, 781 (B = 0, 5772 — постоянная Эйлера), i = 0, 711 — так называемая [62] «средняя» энергия ионизации, i = 0, 283, а коэффи циенты i рассчитываются по формуле b Z 1 v. (1.74) d3 k | k | exp(iqr) | 0 | i = lim exp 2bdb i 8Z b0 vb0 Полученная формула (1.73) по внешнему виду не отличается от соответ ствующей формулы [62] для сечения ионизации точечным зарядом Z. Од нако, в отличие от случая точечного заряда, когда i = 3, 264 является [62] независящим от заряда и скорости иона числом, в случае протяжённого заряда, в силу определения переданного импульса по формуле (1.70), i оказывается функцией, зависящей от скорости иона v и — относительно го числа электронов в «шубе» иона. На рис. 1.1 приведены сечения иони зации атома водорода частично ободранными ионами урана U6+ (с числом электронов на оболочках иона Ni = 86, соответствующим видимому заряду иона Z = 6), рассчитанные по формуле (1.73).

Несмотря на частое использование в столкновительных экспериментах частично ободранных ионов, в литературе отсутствуют экспериментальные 0.1 1 10 100 1000 10000 1000 500 cm 100 i, 50 10 5 0.1 1 10 100 1000 10000 E,MeV nucleon Рис. 1.1. Зависимость сечения ионизации атома водорода частично ободранными ионами урана U6+ от энергии иона. Сплошная линия — расчётное сечение для протяжённого иона, пунктир — сечение ионизации точечным ионом для тех же значений энергии (на нуклон) и заряда, точка — эксперимент [51] (для столкновений C6+ + H).

данные по сечениям ионизации атомов структурными тяжёлыми реляти вистскими ионами в рассматриваемых здесь областях энергий и зарядов ионов, при которых существенны поправки за счёт протяжённости заря да иона. Однако, поскольку поправки за счёт протяжённости заряда иона описываются относительно сечений ионизации точечными частицами, на рис. 1.1 также приведены (лишь для иллюстрации) экспериментальные данные по сечениям ионизации атомов частично ободранными ионами в областях энергий и зарядов при которых сечения ионизации протяжённы ми и точечными ионами близки друг к другу.

Рассмотрим теперь двойную ионизацию атома гелия. Согласно [41, 62] для расчётов соответствующего сечения нет необходимости применять ме тод сшивки. Поэтому сечение двойной ионизации может быть получено непосредственно из формулы (1.71), в которой интегрирование по d2 b мо жет быть распространено на всю плоскость параметра удара и очевидно будет иметь вид (1.75) 2+ = | k1, k2 | exp(iq {r1 + r2 }) | 0, 0 |2 d3 k1 d3 k2 d2 b, где |0, 0 - волновая функция основного состояния атома гелия, |k1, k2 волновая функция атома гелия с двумя электронами в континууме с со ответствующими импульсами k1 и k2, при интегрировании по которым в (1.75) необходимо следить, чтобы конечные состояния не учитывались дважды. При расчётах волновые функции представляются в виде симмет ризованных произведений водородоподобных одноэлектронных волновых функций с одним и тем же значением эффективного заряда ядра атома гелия Za = 1, 97 (согласно [62] такое значение эффективного заряда при водит к хорошему согласию с экспериментальными данными для двойной ионизации атома гелия ударом голого релятивистского иона).

Сечение однократной ионизации атома гелия, соответствующее попада нию одного из электронов в любое состояние континуума, а другого — в лю бое из состояний дискретного спектра (либо в любое из состояний полного набора дискретного и непрерывного спектра, но в таком случае необходимо отнять вклад, соответствующий нахождению двух электронов в состояниях двухэлектронного континуума, т.е. в состояниях двойной ионизации) равно (ср. [62]) Z 2 2i v 2 (1.76) 1+ 2 2+, = 16 2 2 i ln Za Z i Za v где Za = 1, 37 — эффективный заряд ядра атома гелия для одноэлектрон ной ионизации (согласно [62] такое значение эффективного заряда при водит к хорошему согласию с экспериментальными данными). Результаты расчётов сечения однократной ионизации атома гелия при столкновениях с ионами железа Fe15+ в зависимости от энергии иона по формуле (1.76) каче ственно повторяют ранее приведённое поведение сечения ионизации атома водорода. Однако, соответствующие поправки оказываются малыми из-за значительной величины сечения однократной ионизации (см. таблицу 1.1).

Расчёты сечений однократной ионизации атома гелия при столкновениях с ионами урана U15+ с тем же видимым зарядом иона Z = +15, но имеющи ми значительно большие заряд ядра и количество связанных электронов по сравнению с Fe15+, дают существенно большие значения сечений в области больших энергий.

Поскольку эффекты протяжённости заряда иона оказываются весь ма заметными, постольку представляется необходимым обсудить коррект ность представления поля структурного иона потенциалом (1.68).

1.4.2 Выбор потенциала взаимодействия Строго говоря потенциал (1.68) может быть получен следующим обра зом. Введём потенциал взаимодействия снаряда и мишени V (r,, R(t)), где r — совокупность координат электронов мишени, — совокупность коор динат электронов снаряда, а R(t) — расстояние между ядрами снаряда и мишени в системе покоя мишени. Тогда потенциал (1.68) получается путём усреднения по координатам электронов снаряда (1.77) U (R;

{ra }) = |V (r,, R(t))|, где = () — волновая функция основного состояния электронов снаря да. Если воспользоваться для описания распределения электронной плот ности снаряда моделью Ленца-Йенсена [67–69] (уточняющей [67] модель Томаса–Ферми), то из сравнения с моделью Брандта-Китагавы [66] вид но, что потенциал (1.68) является хорошей аппроксимацией для среднего (1.77).

С целью выяснения роли оболочечной структуры и вклада электронных переходов между оболочками налетающего иона, может быть поставлена более общая задача об исследовании неупругих процессов, одновременно происходящих не только в самой мишени, но и в снаряде. Рассмотрим столкновение, при котором мишень переходит из начального состояния | в конечное состояние |n, в то время как электроны снаряда переходят из начального состояния |0 в конечное состояние |m. Сечение такого про цесса запишем в виде (1.78) 0m P0n (b) d2 b = 0m 0m 0n = P0n (b) bdb, где выражение P0n (b) обозначает вероятность обнаружения мишени и 0m снаряда в конечных состояниях |n и |m соответственно после столкнове ния с параметром удара b. Электронные переходы, происходящие в мишени и снаряде, можно рассматривать как независимые процессы, поэтому веро ятность перехода может быть представлена в виде (очевидно являющимся естественным обобщением на рассматриваемый случай подынтегрального выражения в формуле (1.71)) 0m P0n = m () | exp iq2 |0 () j j, (1.79) n (r) | exp iq1 ra |0 (r) a где () и (r) — электронные волновые функции снаряда и мишени со ответственно, q1 и q2 переданные при столкновении импульсы, причём q1 имеет смысл импульса переданного снарядом электронам мишени, а q2 — импульс переданный мишенью электронам снаряда. Таким образом, воспользовавшись формулой (1.78) можно рассчитать сечения различных неупругих процессов, приводящих при столкновении к одновременному возбуждению электронных оболочек мишени и снаряда. Для выяснения вклада электронных переходов между оболочками бомбардирующего иона было рассчитано 2 — сечение неупругого столкновения водородоподобных ионов железа Fe25+ (снаряд) и гелия He1+ (мишень) при котором происхо дит ионизация мишени He1+ с возбуждением снаряда Fe25+ в любое состоя ние дискретного спектра и непрерывного спектра, и 1 — сечение процесса, в котором мишень ионизуется, а снаряд остаётся в основном состоянии. Для оценки вклада процессов возбуждения электронной «шубы» иона введём относительный вклад = (2 1 )/1. Если намного меньше единицы, то вкладом от возбуждений электронных оболочек мишени можно пре небречь и рассматривать бомбардирующий ион как протяжённый заряд.


Проведённый расчёт значений в зависимости от кинетической энергии бомбардирующего иона, результаты которого представлены в таблице 1. (четвёртая строка), показывает, что если рассматривать столкновения тя жёлых ионов с видимым зарядом Z 1 с лёгкими атомами или ионами с зарядом ядра много меньшим Z, то возбуждениями электронной «шубы»

снаряда можно пренебречь.

Энергия иона (в МэВ/нуклон) 0,01 0,05 0,1 0,5 1 5 10 50 0,0774 0,3850 0,6304 1,3689 1,6067 1,6913 1,6214 1,4389 1, H 1+ 0,0000 0,0007 0,0025 0,014 0,019 0,022 0,021 0,018 0, He 2+ 0,0004 0,017 0,0473 0,1855 0,2406 0,2933 0,2974 0,2990 0, He 104 1,6 1,3 1,1 0,96 0,92 0,88 0,83 0,78 0, Таблица 1.1. Относительные поправки для сечений i, 1+ и 2+ (первая, вторая и третья стро ки, соответственно), а также (четвёртая строка) - относительный вклад в сечение ионизации от процессов возбуждения электронной «шубы» иона.

1.4.3 Обсуждение результатов Рисунок 1.1 построен в логарифмическом масштабе, позволяющим охва тить широкий диапазон по энергии ионов, но плохо отражающим детали.

Поэтому для количественной иллюстрации эффекта учёта протяжённости заряда иона введены относительные поправки H = (i i(P oint) )/i(P oint), где i(P oint) — сечение ионизации атома водорода точечным ионом то го же заряда Z, что и видимый заряд налетающего протяжённого иона и при той же относительной скорости, аналогично введена и относи тельная поправка для однократной и двойной ионизации атома гелия 1+ = ( 1+ (P oint) )/(P oint) и 2+ = ( 2+ (P oint) )/(P oint). В таблице 1. 1+ 1+ 2+ + He He приведены значения H для столкновений U6+ + H, а также 1+ и 2+ He He для столкновений Fe15+ + He. Как видно из таблицы 1.1, поправки к се чению ионизации в результате учёта протяжённости заряда иона могут оказаться значительными. Причём, как видно из рисунка 1.1, с ростом энергии налетающего иона, эффекты протяжённости заряда иона могут приводить к значительному росту сечений однократной и двойной иони зации по сравнению с соответствующими сечениями, рассчитанными для точечного иона. Такое поведение сечений понятно из физических сообра жений, действительно: при столкновениях с большими параметрами удара атомные электроны взаимодействуют с налетающим ионом как с точеч ным зарядом, равным видимому заряду экранированного иона Z. При столкновениях же с малыми параметрами удара атомные электроны вос принимают ион как голый заряд Z. В сечения вносят вклад все области параметров удара, и т.к. Z больше Z, то эффективно атомные электро ны взаимодействуют с ионом заряда большим чем Z, что и приводит к увеличению сечений, которое может оказаться значительным при Z Z.

Для оценки эффекта протяжённости введём эффективный радиус r такой, что i(P oint) = r2. Тогда (исходя из геометрических соображений, соглас но которым ион рассматривается как шарик радиуса ) сечение с учётом протяжённости заряда иона следует оценить так: i (r + )2. Тогда для r2 (в рассматриваемых здесь случаях это неравенство для оценок можно считать справедливым) легко получить оценку поправки H через расчётное значение i(P oint) сечения ионизации точечным ионом и эффек тивный радиус иона : H 2/r = 2 1/2 /[i(P oint) ]1/2. Причём, поскольку в формуле (1.68) не зависит от кинетической энергии иона, постольку по ка с ростом энергии i(P oint) убывает, относительная поправка H растёт.

Как не трудно убедиться, рисунок и данные, приведённые в таблице 1.1, показывают именно такое поведение сечений, очевидно, имеющее общий характер и для остальных сечений неупругих процессов, сопровождающих столкновения релятивистских структурных тяжёлых ионов с атомами.

1.5 Метод классических траекторий Использование методов классической механики в физике атомных столкновений имеет давние традиции, возникшие ещё до создания кван товой механики. Относительный успех классических методов для описа ния ион–атомных столкновений при относительных скоростях, сравнимых со скоростью электрона на орбите или больших её, по-видимому, связан со специфическими особенностями кулоновского взаимодействия. Извест но, что в случае «простых» систем (атом водорода или электрон в поле двух кулоновских центров) наличие дополнительной (динамической) сим метрии приводит к тому, что система имеет одинаковые свойства как в классической, так и в квантовой механике. Например, динамическая сим метрия атома водорода (сохранение вектора Рунге–Ленца) обуславливает одинаковое распределение по угловому моменту электрона как в класси ческой, так и в квантовой теории (после суммирования по вырождению).

Аналогично более высокая симметрия системы (Z1, e, Z2 ) приводит к воз можности разделения переменных в уравнениях движения как в класси ческой, так и в квантовой механике (с использованием сферических ко ординат). Наконец, дифференциальные сечения рассеяния в кулоновском поле совпадают в обеих теориях. Естественно, в случае высоковозбуждён ных состояний электрона использование классических методов оправдано принципами соответствия.

Среди классических методов изучения процессов перезарядки и иониза ции в ион–атомных столкновениях в последнее время широко используется метод траекторий Монте–Карло. Он основан на численном решении клас сических уравнений частиц с заданием всех возможных взаимодействий между ними. Такое приближение было впервые использовано для химиче ских реакций и развито затем для ион–атомных столкновений в трёхча стичной кулоновской системе [70]. Метод основан на выборе адекватного классического представления для описания начального квантовомеханиче ского состояния атома–мишени. Для атома водорода начальное связанное состояние электрона может быть описано микроканоническим распределе нием классических орбит [70]. Начальные условия для классических урав нений движения в случае большого числа траекторий при данной энергии определяются случайным выбором значений прицельного параметра мето дом Монте–Карло, а эффективное сечение процесса — по статистическому анализу состояния системы после столкновения.

Рассмотрим кулоновскую систему (Z1, e, Z2 ) с мишенью (Z1, e) и налета ющим ядром Z2. Классические уравнения Гамильтона для такой системы имеют вид (1.80) H/qi = pi ;

H/pi = qi ;

где qi и pi — координаты и импульсы соответственно. Пусть qi (i = 1, 2, 3) — декартовы координаты электрона относительно ядра Z1 ;

qi (i = 4, 5, 6) — координаты ядра Z2 относительно центра масс (Z1, e) и qi (i = 7, 8, 9) — координаты центра масс всей системы в целом. Пусть pi (i = 1, 2,..., 9) — соответствующие импульсы системы. Исключая движение центра масс из (1.80), можно получить систему из 12 связанных уравнений (M 1 + 1)pi, i = 1, 2, 3;

(1.81) qi = (M 1 + (1 + M )1 )p, i = 4, 5, 6;

1 i (1 + M1 )1 [(1 + M1 )1 qi + qi+3 ]Z2 /R3 + qi Z1 /R3 + 1 +M1 (1 + M1 )1 [M1 (1 + M1 )1 qi qi+3 ]Z2 /R3, i = 1, 2, 3;

pi = [(1 + M )1 q + q ]Z Z /R 1 i3 i 12 [M (1 + M )1 q q ]Z /R3, i = 4, 5, 6, 1 1 i3 i1 (1.82) где M1, M2 — массы ядер Z1, Z2 ;

R1, R2, R3 — расстояния между системами Z1 Z2, e Z1, e Z2 соответственно. Для Ri (i = 1, 2, 3) справедливы выражения 3 2 2 2 R1 = [(1 + M1 ) qi + qi+3 ] ;

R2 = qi ;

i=1 i= [M1 (1 + M1 )1 qi qi+3 ]2.

R3 = i= Для решения уравнений (1.81)-(1.82) необходимо выбрать граничные усло вия qi, p0 для qi, pi. Если в декартовой системе ось z совпадает с направ i лением относительной скорости v, то p0 = [(1 + M1 )1 + M2 ]v.

p0 = p0 = 0;

4 5 Далее, если система координат выбрана так, что центр масс налетающей частицы и мишени лежит в плоскости y, z, то 0 q6 = (R 2 )1/2, 0 q4 = 0;

q5 = ;

где — прицельный параметр;

R — начальное расстояние для ядра Z от центра масс системы (Z1, e);

в практических расчётах обычно полагают R = (10 20)Z2.

Начальные условия для координат электрона имеют вид 0 0 q1 = re sin cos ;

q2 = re sin sin ;

q3 = re cos, где re,, — сферические координаты электрона. Введём угол между плоскостью орбиты и плоскостью, содержащей ось z и главную ось орбиты, тогда начальные условия для моментов электрона можно записать в виде p0 = pe (cos cos cos + sin sin );

p0 = pe (cos sin cos cos sin );

p0 = pe sin cos, где pe — импульс электрона в атоме водорода. Величины re и pe можно выразить через эксцентриситет орбиты и угол re = (z/2U )(1 cos );

pe = (2U )2 (1 2 cos2 )1/2 /(1 cos ), где U — энергия связи электрона в атоме мишени. Электронная орбита описывается уравнением Кеплера n = sin, где n — угловое смещение радиус–вектора re относительно плоскости ор биты.

Поскольку энергия электрона в начальном состоянии фиксирована, только пять переменных фазового пространства электрона независимы.

Для фиксированной энергии связи электрона величины cos,,, n и определяют микроканонический ансамбль классических орбит, число кото рых равномерно распределено в интервалах 1 cos 1, 0 2, 2 [70]. В численных расчётах число 0 2, 0 1, 0 n орбит из интервалов отбирается методом Монте–Карло. Кроме того, на чальное условие q6 также отбирается случайно по выбору определённого параметра из интервала 0 max. Параметр max выбирают из усло вия, что область max даёт вклад в сечение меньше, чем статистическая погрешность расчётов.

С определёнными начальными условиями уравнения Гамильтона (1.80) могут быть решены для большого числа траекторий (не менее 2000). Если после расчётов оказывается, что электрон находится вблизи мишени Z1, на летающего ядра Z2 или далеко от обоих ядер, то считается, что произошло упругое рассеяние, перезарядка или ионизация соответственно. Обозначим Nупр, Nперез, Nион число траекторий, приводящих к каждому из указанных процессов, а N = Nупр + Nперез + Nион полное число траекторий, тогда эффективные сечения процессов можно записать в виде упр = (Nупр /N )2 (1 ± упр );

max перез = (Nперез /N )2 (1 ± перез );

max ион = (Nион /N )2 (1 ± ион ), max где стандартная погрешность результата в каждом канале = [(N N )/N N ]1/2, соответствует каналам упругого рассеяния, перезарядки и ионизации.

Применительно к расчётам преимуществом метода классических тра екторий является получение всех трёх эффективных сечений из одного набора численного интегрирования. Сечения перезарядки можно дополни тельно проанализировать. Если E и J — энергия и момент электрона, то «классическое» главное nc и орбитальное lc квантовые числа находятся из соотношений E = Z 2 /2n2 ;

J = [lc (lc + 1)]1/2.

c Поэтому, если выполнить квантование чисел nc, lc в соответствии с прави лами n 1/2 nc n + 1/2;

l lc l + 1, то можно дополнительно исследовать зависимость сечений перезарядки в определённые nl – состояния.

В заключение отметим, что рассмотренный метод применим в об ласти относительных скоростей v, определяемой условием ve 3ve, v ve = (2U )1/2.

Глава Однократная и двойная ионизация Частично ободранные ионы высоких зарядов и энергий используются во многих экспериментах, проводимых на ускорителях тяжёлых ионов (см., например, [47–50, 71–73] и приведённые там ссылки). Такие ионы состо ят из ядра и некоторого количества связанных электронов, частично ком пенсирующих заряд ядра и образующих электронную «шубу» иона. Стро го говоря, столкновения таких ионов с атомами следует рассматривать как столкновение двух сложных систем, при котором происходит одновре менное возбуждение электронных оболочек обеих сталкивающихся систем.

Везде ниже мы будем называть движущийся структурный ион — снаря дом, а покоящийся атом — мишенью. Теория одновременного возбуждения или ионизации снаряда и мишени, основанная на борновском приближе нии, последовательно построена в работах, приведённых в обзорах [74, 75] (см. также работу [76]). Распространение теории на случай релятивист ских скоростей столкновений проведено в работах [77, 78]. Однако, когда используются ионы высоких зарядов, то даже для релятивистских скоро стей столкновения теория возмущений не применима [79], такие непертур бативные эффекты наблюдались ещё в экспериментах [73]. Поэтому, как правило, расчёты сечений ионизации проводились (см., например, [72]) в рамках широко распространённого метода классических траекторий. Кван товомеханическое непертурбативное рассмотрение на основе приближения внезапных возмущений в нерелятивистском случае было проведено в рабо те [35]. Релятивистские столкновения рассматривались в статье [80]. Кроме того, в ультрарелятивистском случае рассмотрение проведено в работе [60].

Непертурбативного же релятивистского рассмотрения до настоящего вре мени не проводилось.

Ниже, в этой главе, развита непертурбативная теория возбуждения и ионизации релятивистских структурных тяжёлых ионов при столкновени ях с атомами. Получены общие формулы для сечений. При этом сначала рассмотрен случай столкновений простейших водородоподобных снарядов с лёгкими мишенями, затем производится обобщение на случай столкнове ний водородоподобных ионов с тяжёлыми нейтральными атомами. Далее эта теория применяется для описания столкновений гелиеподобных снаря дов с нейтральными атомами.

2.1 Столкновение снаряда с водородоподобным ато мом Рассмотрим столкновение движущегося со скоростью vp и параметром удара bp одноэлектронного снаряда с зарядом ядра Zp c одноэлектрон ным атомом с зарядом ядра Zt, имеющим скорость vt и параметр удара bt. Обозначим через Rt = bt + vt t и Rp = bp + vp t — координаты ядер атома–мишени и структурного иона–снаряда соответственно, а через rt и rp — координаты электронов атома–мишени и структурного иона–снаряда относительно их ядер. Тогда потенциал взаимодействия мишени и снаряда запишется в виде (используя атомные единицы):

Zp Zt Zp Zt V (rt, rp, t) = + |Rp Rt | |Rp Rt rt | |Rp Rt + rp | +, |Rp Rt + rp rt | где Zp Zt /|Rp Rt | — взаимодействие ядра снаряда и мишени, Zp /|Rp Rt rt | — взаимодействие атомного электрона с ядром снаряда, Zt /|Rp Rt + rp | — взаимодействие электрона снаряда с ядром мишени, 1/|Rp Rt + rp rt | — межэлектронное взаимодействие. Межъядерное взаимодействие, как не вызывающее электронных переходов, далее будем опускать. Тогда Zp Zt (2.1) V (rt, rp, t) = +.

|R(t) rt | |R(t) + rp | |R(t) + rp rt | Здесь мы ввели межъядерное расстояние R(t) = b + vt, где b = bp bt, v = vp vt.

Начальное состояние сталкивающейся системы может быть представле но в виде (rt, rp, t = ) = 0 (rp )0 (rt ) = 00, конечное же состояние описывается функцией (rt, rp, t = +) = k (rp )n (rt ) = kn.

При этом временная эволюция начального и конечного состояний имеет вид t (2.2) 00 (t) = exp i V (rt, rp, t)dt 00, + (2.3) kn (t) = exp i V (rt, rp, t)dt kn.

t Тогда с учётом (2.2) и (2.3) амплитуда перехода атома–мишени из состо яния 0 (rt ) в состояние n (rt ) и снаряда из состояния 0 (rp ) в состояние k (rk ) примет вид + (2.4) A0n = kn (t)|00 (t) = kn | exp i V (rt, rp, t)dt |00, 0k а вероятность такого перехода определится соотношением (2.5) w0k = |A0n |2.

0n 0k Суммируя (2.5) по всем конечным состояниям мишени, получаем вероят ность возбуждения снаряда в состояние k, соответствующую произволь ной судьбе мишени (2.6) |A0k |2.

0n W0k = n Подставляя в (2.6) выражение (2.4) и используя условие полноты (rt )n (rt ) = (rt rt ), получим [81] n n d3 rt |0 (rt )| W0k = + Ut (rt, rp, t)dt 0 (rp ), (2.7) d rp k (rp ) exp i где через Ut (rt, rp, t) обозначена часть потенциала V (rt, rp, t), равная Zt (2.8) Ut (rt, rp, t) = +.

|R(t) + rp | |R(t) + rp rt | Выражение (2.7) имеет простой физический смысл — оно представляет собой вероятность возбуждения снаряда в состояние k при фиксирован ных положениях электрона атома–мишени, усреднённую по всем положе ниям атомного электрона.

Подставляя в (2.7) явный вид 0 (rt ) = Zt3 / exp(Zt rt ) и интегрируя сначала по t, а потом zt (ось z направлена вдоль v), окончательно получим 2Zt d2 st st K1 (2Zt st ) W0k = 2i [ln |b + sp st | Zt ln |b + sp |] 0 (rp ), (2.9) d rp k (rp ) exp v где sp (xp, yp ) и st (xt, yt ) — проекции rp и rt на плоскость, перпенди кулярную направлению v.

Применим выражение (2.9) для описания возбуждения снаряда в любое состояние дискретного (за исключением основного состояния) и непрерыв ного спектров. Тогда для вероятности интересующего нас процесса полу чим выражение (2.10) Wr (b) = 1 W00, где 8Zt3 Zp d2 st st K1 (2Zt st ) W00 = 2i. (2.11) [ln |b + sp st | Zt ln |b + sp |] d sp sp K1 (2Zp sp ) exp v Тогда сечение интересующего нас процесса запишется в виде (2.12) d2 bWr (b).

r = Используя формулу (2.12), мы рассчитали полное неупругое сече ние r для случая столкновения друг с другом двух атомов водорода (Zp = Zt = 1). Результаты расчёта представлены на рис. 2.1, из которо r 10, cm 0. 0. 1 10 100 E, MeV/u Рис. 2.1. Зависимость полного неупругого сечения r для столкновения H + H от энергии.

Сплошная линия — расчёт по формуле (2.12) с использованием точной формулы (2.11). Пунк тир — расчёт по приближённой формуле (2.16).

го видно, что как и положено, при малых энергиях сечение r ведёт себя 1/v 2, и лишь при больших энергиях имеется отступление от этого пра вила.

Кроме того, на рис. 2.1 приведена также зависимость сечения r от энер гии в случае, когда вместо точного выражения (2.11) для вероятности W используется более простое приближенное выражение + (2.13) d rp 0 (rp ) exp i W00 = Ut (p, t)dt 0 (rp ), где введён усреднённый по состоянию мишени потенциал (2.14) d3 rt |0 (rt )|2 Ut (rt, rp, t).

Ut (rp, t) = Подставляя в (2.14) явный вид функции 0 (rt ) и Ut (rt, rp, t) и интегри руя, нетрудно получить явный вид усреднённого потенциала Zt 1 + Zt exp(2Zt |R(t) + rp |). (2.15) Ut (rp, t) = |R(t) + rp | |R(t) + rp | Подставляя теперь (2.15) в (2.13) и интегрируя по t, окончательно по лучим 4Zp 2i d2 sp sp K1 (2Zp sp ) exp [K0 (2Zt |b + sp |)+ W00 = v +Zt |b + sp |K1 (2Zt |b + sp |) (Zt 1) ln |b + sp |]}|2. (2.16) Из рис. 2.1 видно, что замена точного выражения для вероятности (2.11) на приближенное (2.16) приводит к существенно заниженным значениям сечений r. Это объясняется тем, что на самом деле выражение (2.16) с усреднённым по основному состоянию потенциалом соответствует случаю, когда состояние мишени не меняется. Выражение же (2.11) учитывает все возможные изменения состояния мишени при столкновении, в том числе и неупругие переходы в мишени, и, судя по рис. 2.1, вклад этих неупругих переходов не мал. Поэтому использовать для расчёта r формулу (2.16) вместо выражения (2.11) нельзя.

В случае, когда k (rp ) k (rp ) — есть состояние непрерывного спектра, соответствующее импульсу k, полученное выражение (2.9) имеет смысл плотности вероятности W0k (b) ионизации снаряда, в результате которой электрон снаряда приобретает импульс k, как функции от прицельного па раметра b при любой судьбе мишени. Соответствующее сечение ионизации получается интегрированием W0k (b) по всей плоскости параметра удара и импульсам k вылетевшего электрона d2 b d3 kW0k (b).



Pages:   || 2 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.