авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«Поморский государственный университет им. М. В. Ломоносова На правах рукописи ...»

-- [ Страница 2 ] --

i = 2.2 Столкновение водородоподобного снаряда с мно гоэлектронным атомом Полученное ранее выражение (2.7) для расчёта вероятности возбужде ния снаряда в состояние k в результате столкновения с атомом мише ни, состояние которого после столкновения не отслеживается, может быть обобщено на случай столкновения водородоподобного иона с многоэлек тронным атомом. В этом случае для описания распределения электрон ной плотности в атоме мишени можно использовать модель Томаса-Ферми или плотность, рассчитанную с помощью аналитических функций Хартри Фока [82].

Теперь рассмотрим столкновение релятивистского водородоподобного иона с зарядом ядра Z с нейтральным многоэлектронным атомом с за рядом ядра Za. Для удобства систему отсчёта свяжем с ионом, т.е. будем считать, что движется не ион, а нейтральный атом. Сечение неупругого перехода электрона иона из состояния |0 в состояние |n рассчитаем, ис пользуя приближение эйконала + i (2.17) d2 b, n| 1 exp | n = U (X, b, r) dX v где U - энергия взаимодействия нейтрального атома с электроном иона, за висящая от координат ядра атома (X, b) R и координат электрона иона (x, s) r. Для описания распределения электронной плотности в нейтраль ном атоме воспользуемся моделью Дирака-Хартри-Фока-Слейтера, соглас но которой потенциал, создаваемый нейтральным атомом, определяется выражением Za Za (2.18) (r) = (r) = Ai exp (i r), r r i= где Ai и i - коэффициенты, зависящие от вида нейтрального атома. Тогда с учётом (2.18) энергия U взаимодействия нейтрального атома с электроном иона может быть представлена в виде [83] (энергию взаимодействия атома с ядром иона можно не учитывать, т. к. она не влияет на переходы электрона иона) Za (2.19) U (X, b, r) = Ai exp (i |R r|).

|R r| i= (На самом деле последняя формула применима только в случае нереляти вистских столкновений, но как можно показать эйкональная фаза в (2.17) оказывается одинаковой как для релятивистских, так и нерелятивистских столкновений. Поэтому формально релятивистское столкновение можно описывать, используя нерелятивистское выражение (2.19)).

Используя (2.19) рассчитаем интеграл по X в (2.17).

(X x)2 + (b s) i + + exp U (X, b, r) dX = Za I= Ai dX.

2 (X x) + (b s) i= Используя подстановку X x = |b s| sh y, получим + 3 I = Za exp (i |b s| ch y) dy = 2Za Ai K0 (i |b s|).

Ai i=1 i= В результате, для сечения имеем | n| 1 exp {iF (|b s|)} |0 |2 d2 b, (2.20) n = где 2Za F (|b s|) = Ai K0 (i |b s|).

v i= Преобразуем выражение (2.20) используя преобразование Фурье.

d2 q (2.21) 1 exp {iF (|b s|)} = a (q) exp {iqs}.

(2) Используя обратное преобразование Фурье, получим (1 exp {iF (|b s|)}) exp {iqs} d2 s.

a (q) = Проводя замену переменной s = s b (далее штрих у s будем опускать), получим (1 exp {iF (s)}) exp {iq (s + b)} d2 s = a (q) = = 2 exp {iqb} f (q), (2.22) где 2Za (1 exp {iF (s)}) J0 (qs) sds, f (q) = F (s) = Ai K0 (i s).

v i= Используя (2.21), матричный элемент из (2.20) можно представить в виде d2 q In = n| 1 exp {iF (|b s|)} |0 = a (q) n| exp {iqs} |0.

(2) Тогда сечение перехода запишется в виде |In |2 d2 b = n = d2 qd2 q a (q) a (q ) n| exp {iqs} |0 0| exp {iq s} |n = d b.

(2) Подставляя сюда выражение (2.22) и учитывая интегральное представле ние для дельта-функции Дирака, получим exp {i (q q) b} n = d2 qd2 q f (q) f (q ) n| exp {iqs} |0 0| exp {iq s} |n d b= (2) (q q) f (q) f (q ) n| exp {iqs} |0 0| exp {iq s} |n d2 qd2 q = = |f (q)|2 | n| exp {iqs} |0 |2 d2 q.

= В результате имеем |f (q)|2 fn (q) qdq, (2.23) n = где fn (q) = | n| exp {iqs} |0 | - неупругий формфактор, рассчитываемый на водородоподобных волновых функциях с зарядом ядра Z.

Выражение (2.23) может быть использовано для описания ионизации водородоподобного иона при столкновении с нейтральным атомом. В этом случае сечение ионизации равно |f (q)|2 fi (q) qdq, (2.24) i = где | k| exp {iqs} |0 |2 d3 k.

fi (q) = Мы провели расчёты по этой формуле сечений ионизации водородопо добного иона Pb81+, движущегося с энергией 160 ГэВ/нуклон, с нескольки ми многоэлектронными мишенями. Выбор объектов определялся возмож ностью сравнить наши расчёты с непертурбативными расчётами однократ ной ионизации на основе эйконального приближения для уравнения Дира ка авторов работы [60] и с экспериментами [47], соответствующие резуль таты приведены в таблице 2.1.

Мишень Заряд ядра Эксперимент Непертурбативный Наш расчёт мишени [47] расчёт [60] Be 4 0,14-0,15 0, C 6 0,31 0, Al 13 1,3-1,4 1, Ar 18 1,75-2,11 2, Cu 29 6,9-8,0 5, Kr 36 6,3-7,9 8, Sn 50 15-21 12,3 15, Xe 54 14,4-16,8 14,0 17, Au 79 42-53 27,4 35, Таблица 2.1. Экспериментальные и теоретические значения (в кбарн) сечения ионизации во дородоподобного иона Pb81+ для нескольких мишеней при энергии снаряда 160 ГэВ/нуклон.

Как следует из таблицы 2.1, наши результаты даже лучше согласуются с экспериментальными данными, чем соответствующие громоздкие непер турбативные численные расчёты [60], хотя электрон иона Pb81+ в основном состоянии, строго говоря, следует считать квазирелятивистским.

Также были проведены расчёты сечений ионизации водородоподобно го золота Au78+ при столкновении с нейтральными атомами на энергии 10,8 ГэВ/нуклон. Результаты нашего расчёта в сравнении с эксперимен тальными данными [84] и расчётами авторов работы [85] приведены в таб лице 2.2.

Из таблицы 2.2 видно, что результаты нашего расчёта очень хорошо совпадают с имеющимися экспериментальными данными.

Мишень Заряд ядра Эксперимент Непертурбативный Наш расчёт мишени [84] расчёт [85] C 6 310,0 (30) 310,0 306, Al 13 1180,0 (90) 1280,0 1314, Cu 29 5260,0 (500) 5800,0 6172, Ag 47 16200,0 (1400) 14400,0 15040, Au 79 38200,0 (3200) 38800,0 37467, Таблица 2.2. Экспериментальные и теоретические значения (в барнах) сечения ионизации во дородоподобного иона Au78+ для нескольких мишеней при энергии снаряда 10,8 ГэВ/нуклон.

В скобках указана погрешность эксперимента.

2.3 Ионизация гелиеподобного иона Используя приближение независимых электронов, можно рассчитать ве роятности и соответствующие им сечения ионизации тяжёлых гелиеподоб ных ионов при столкновении с нейтральными атомами. В этом случае для сечений однократной и двукратной ионизации гелиеподобных ионов можно записать:

(1) (2) (2.25) d2 bP1 (b), d2 bP2 (b), He = He = где P1 (b) и P2 (b) — соответствующие вероятности в зависимости от пара метра удара. Далее будем полагать, что (2.26) P1 (b) = 2p(b)[1 p(b)] и P2 (b) = [p(b)]2, (2.27) где p(b) — вероятность однократной ионизации, определяемая как (2.28) d3 k|a0k (b)|2.

p(b) = Амплитуда a0k (b) соответствует однократной ионизации водородоподоб ного иона с эффективным зарядом Z.

2.3.1 Амплитуда перехода В эйкональном приближении амплитуда перехода снаряда из основного состояния |0 в состояние |k имеет вид + i (2.29) a0k (b) = k|1 exp |0.

U (X, b, r) dX v Далее, также как и в разделе 2.2, будем описывать электронную плотность нейтрального атома в приближении Дирака-Хартри-Фока-Слейтера. Тогда потенциал взаимодействия будет иметь вид (2.19). Затем, аналогично тому, как это было сделано в разделе 2.2, можно произвести интегрирование по координате X, в результате i 2Za Ai K0 (i |bs|) (2.30) v a0k (b) = k|1 e |0.

i= Взяв Фурье-образ от экспоненты (2.21), чтобы уменьшить число инте гралов, выражение для амплитуды перехода можно записать в виде d2 q (2.31) a (q) k| exp {iqs} | a0k (b) =, (2) где a(q) = 2 exp {iqb} f (q) и 2Za (1 exp {iF (s)}) J0 (qs) sds, f (q) = F (s) = Ai K0 (i s).

v i= Используя (2.31), можно вычислить вероятность (2.28). Однако для этого, всё равно, приходится численно рассчитывать 7-ми мерный интеграл. При этом время расчётов значительно увеличивается с увеличением параметра удара b.

2.3.2 Асимптотика для больших параметров удара Чтобы упростить дальнейшие вычисления, найдём асимптотическое вы ражение для амплитуды перехода при больших параметрах удара. Для это го рассмотрим (2.30). В водородоподобном атоме s Zp, где Zp — заряд снаряда. Если рассматривать тяжёлый ион с Zp 90, то условие b s будет выполняться уже при b 0.1. В этой области можно разложить функцию Макдональда K0 (i |b s|) по малому параметру s:

i K1 (i b) (2.32) K0 (i |b s|) K0 (i b) + bs.

b Тогда амплитуда перехода для снаряда с учётом ортогональности волновых функций примет вид:

3 i K1 (i b) i 2Za Ai K0 (i b)+ bs v b a0k (b) = k|1 e |0 = i= 3 i Ai i 2Za i 2Za Ai K0 (i b) b K1 (i b)bs v v = e |0.

k|e i=1 i= Фазовый множитель в начале этого выражения не влияет на значение ве роятности процесса, поэтому далее его будем опускать. В результате вели чина амплитуды перехода выразится через известный для атома водорода матричный элемент:

(2.33) a0k (b) = k|eiqs |0, где q = имеет смысл импульса, полученного электро 2Za i Ai b K1 (i b)b v i= ном снаряда1.

Вероятность ионизации (2.28) с учётом (2.33) выразится через известный формфактор (2.24) p(b) = fi (q/Z ), (2.34) 1 Следует заметить, что для водородоподобного иона матричный элемент рассчитывается на волно Z.

вых функциях с зарядом Поэтому, переходя к кулоновским единицам, в окончательных выраже q q/Z.

ниях нужно произвести замену величина которого зависит только от модуля переданного импульса:

2Za q= i Ai K1 (i b).

v i= Используя выражения (2.26), (2.27), (2.29) и (2.34) нами были проведены расчёты вероятностей однократной и двукратной ионизации гелиеподобно го иона свинца Pb80+ для столкновений с нейтральными атомами криптона Kr и золота Au.

Ionization probabilities for collisions of He-like Pb82+ with Kr (v=c) 0. 0. 0. P(b) 0. 0. 0.1 1 b, (a.u./Zp) Рис. 2.2. Вероятности однократной и двукратной ионизации гелиеподобного иона P b80+ при столкновении с атомами криптона Kr в зависимости от параметра удара, заданного в кулонов ских единицах. Две верхние кривые - вероятность однократной ионизации гелиеподобного иона P b80+, две нижние кривые - вероятность двукратной ионизации гелиеподобного иона P b80+.

Сплошные кривые - результаты нашего расчёта, пунктирные - расчёты авторов работы [61].

На рисунках 2.2 и 2.3 также приведено сравнение нашего расчёта с расчётом авторов работы [61], рассматривавших двойную ионизацию ге лиеподобных ионов в ультрарелятивистском случае с использованием ре лятивистских волновых функций. Стоит отметить схожесть полученных результатов и тот факт, что нерелятивистские вероятности больше соот ветствующих релятивистских.

Ionization probabilities for collisions of He-like Pb82+ with Au (v=c) 0. 0. 0. P(b) 0. 0. 0.1 1 b, (a.u./Zp) Рис. 2.3. Вероятности однократной и двукратной ионизации гелиеподобного иона P b80+ при столкновении с атомами золота Au в зависимости от параметра удара, заданного в кулоновских единицах. Две верхние кривые - вероятность однократной ионизации гелиеподобного иона P b80+, две нижние кривые - вероятность двукратной ионизации гелиеподобного иона P b80+.

Сплошные кривые - результаты нашего расчёта, пунктирные - расчёты авторов работы [61].

2.4 Релятивистское обобщение Обобщение на случай релятивистских столкновений получим, возвра щаясь амплитуде перехода в формуле (2.17). При этом будем считать, что нейтральный атом налетает на ион. Как и ранее будем полагать, что элек тронная плотность в нейтральном атоме в его системе покоя определяется выражением Za Ai i ei r, (2.35) e (r ) = 4r i= а его энергия взаимодействия с электроном иона (в системе покоя атома) Za (2.36) U (r ) = Ai exp (i r ).

r i= При движении с релятивистской скоростью происходит «сплющивание»

поля иона, отсюда с использованием преобразований Лоренца можно по лучить для электронной плотности в системе покоя иона где (r ) = e (r ) + Za (r ). (2.37) (ra ) = (r ), Тогда для эйкональной фазы в системе покоя иона получим 1 (ra )d3 ra dt = (r )d3 r dt = U dt = I= |ra r| |ra r| (r )d3 r dt. (2.38) = [(x + vt ) x]2 + (s + b s) Введём q = (x + vt ) x и, соответственно, dq = vdt. Тогда (r )d3 r dq (2.39) I=, v q 2 + (s + b s) откуда видно, что эйкональная фаза не зависит от, т.е. она ковариантна.

Поэтому все формально нерелятивистские выражения для вероятностей и сечений неупругих процессов при столкновении с нейтральными атомами можно использовать и в релятивистском случае.

Глава Многократная обдирка В последнее время активизировался интерес к процессам многократ ной ионизации — обдирки снаряда при столкновениях тяжёлых ионов с нейтральными атомами. Например, в работах [71, 86] проведены измере ния сечений многократной ионизации (потеря до 15 электронов) быстрых ионов урана при столкновениях с многоэлектронными нейтральными ато мами и была отмечена необходимость рассчитывать подобные процессы непертурбативными методами. В работе [86] были проведены расчеты се чений многократной обдирки снаряда методом классических траекторий.

Квантовомеханическое непертурбативное рассмотрение ионизации снаряда высокой кратности до настоящего времени не проводилось. Связано это, прежде всего, с большим количеством электронов, участвующих в неупру гом столкновении, например для столкновения иона U10+ с атомом арго на, общее число электронов порядка 100. Тем самым, необходимо рассчи тывать численно значительное количество многомерных интегралов, что представляется крайне затруднительным даже для современных вычис лительных возможностей. В такой ситуации представляется естественным развитие теории, существенным образом использующей многочастичность задачи. В настоящей работе развита непертурбативная теория многократ ной ионизации при столкновениях быстрых тяжёлых структурных ионов с нейтральными сложными атомами, проведены расчеты и сравнение с экс периментом.

3.1 Общая формула для вероятности Нам удобно считать, что снаряд покоится в начале системы координат, а мишень движется с постоянной скоростью v по прямолинейной траекто рии, координаты ядра атома–мишени R = b + vt, где b — параметр удара, t — время. Для упрощения записи формул будем считать, что снаряд и мишень имеют по одному электрону (обобщение на случай многоэлектрон ных сталкивающихся систем будет проведено ниже). Пусть rp координаты электрона структурного иона-снаряда относительно ядра снаряда и коор динаты электрона атома–мишени относительно ядра мишени ra. Потен циал взаимодействия снаряда и мишени имеет вид (здесь и везде ниже используются атомные единицы):

Zp Za (3.1) V (ra, rp, t) = +, |R(t) + ra | |R(t) rp | |R(t) + ra rp | где Zp — заряд ядра снаряда, Za — заряд ядра мишени (межъядерное вза имодействие, как не вызывающее электронных переходов, опущено). Со стояния электрона изолированной мишени будем описывать полным набо ром волновых функций n (ra ), состояния электрона изолированного сна ряда полным набором волновых функций k (ra ). Тогда, начальное со стояние сталкивающихся систем 00 = 0 (rp )0 (ra ), конечное состояние kn = k (rp )n (ra ). Далее, мы как и в работах [35, 87], будем считать отно сительную скорость столкновения v большой и поэтому — возмущение (3.1) действующим внезапно. Приведём соответствующие условия: время столк новения снаряда и мишени c a/v, где a 1 — характерный размер сталкивающихся систем, характерное время обращения электронов на ор бите s следует считать 1, как для электронов снаряда, так и мишени, поскольку цель нашего рассмотрения — столкновения многоэлектронных систем у которых подавляющее число электронов находится на верхних оболочках с большими квантовыми числами. Таким образом, для приме нимости представлений о внезапности возмущения c s, в интересую щем нас случае достаточно выполнения неравенства v 1. В приближе нии внезапных возмущений амплитуда перехода электрона атома–мишени из состояния 0 (ra ) в состояние n (ra ) и электрона снаряда из состояния 0 (rp ) в состояние k (rp ) в результате столкновения равна [24, 27] + (3.2) A0n = kn | exp i V (ra, rp, t)dt |00.

0k Соответствующая вероятность w0k = |A0n |2. Нас будут интересовать пе 0n 0k реходы при которых одновременно изменяются как состояние мишени, так и состояния снаряда, причём будет интересовать вероятность каких-либо конкретных переходов в снаряде при произвольном (не фиксированном) ко нечном состоянии мишени. Поэтому суммируем по всем конечным (полный набор) состояниям мишени, и с учётом условия полноты системы функций n (ra ) получим 0n d3 ra |0 (ra )| W0k (b) = w0k = n + Ua (ra, rp, t)dt 0 (rp )|2, (3.3) | i d rp k (rp ) exp где через Ua (ra, rp, t) обозначена часть потенциала V (ra, rp, t), описываемая вторым и третьим слагаемыми в формуле (3.1) и равная потенциалу, дей ствующему со стороны мишени на электрон бомбардирующего иона. Таким образом, нами получена вероятность W0k (b) перехода электрона снаряда из состояния 0 в состояние k в зависимости от прицельного параметра b при произвольной судьбе мишени (просуммированная по всем конечным состояниям атома-мишени). Соответствующее сечение возбуждения полу чается интегрированием вероятности W0k (b) по всей плоскости парамет ра удара b.

Рассмотрим неупругие процессы при столкновениях многоэлектронных структурных ионов со сложными многоэлектронными атомами. Обозначим Na - полное число электронов в атоме, Np - полное число электронов в ионе.

Потенциал, действующий со стороны атома (мишени) на электроны бом бардирующего иона Ua ({ra }, {rp }, t) есть функция не только относитель ных координат ядер снаряда и мишени R = (vt, b), но и положений всех электронов мишени, совокупность координат которых обозначаем {ra }, и положений всех электронов снаряда, совокупность координат которых обо значаем {rp }. Соответствующее естественное обобщение формулы (3.3) на случай перехода электронов снаряда из основного состояния |0 ({rp }) в произвольное возбуждённое состояние |n ({rp }) при произвольной судь бе атома-мишени имеет вид W0n (b) = 0 ({ra })| + n | exp i Ua ({ra }, {rp }, t)dt |0 |0 ({ra }). (3.4) Непосредственное использование этой формулы затруднено в случае, когда снаряд и мишень являются существенно многоэлектронными, т.е. Na и Np 1. Однако, это же обстоятельство позволяет воспользоваться сле дующим упрощением. За время столкновения положения электронов ми шени относительно ядра мишени не успевает измениться. При большом числе электронов мишени и снаряда естественно считать, что потенциал, действующий со стороны атома (мишени) на электроны бомбардирующего иона (снаряда) представляет собой среднее от потенциала Ua ({ra }, {rp }, t) по начальному — основному состоянию электронов мишени. Будем счи тать, что состояния электронов мишени описываются [82], как одноэлек тронные орбитали в среднем самосогласованном поле в модели Дирака Хартри-Фока-Слейтера. Тогда может быть предложена [82] простая ана литическая форма записи для экранирующей функции для нейтральных атомов с атомными номерами Za = 1 92. Поэтому, потенциал действую щий со стороны мишени на электроны снаряда может быть представлен в виде Np Za Ai ei |R(t)rp |, (3.5) Ua ({ra }, {rp }, t) = |R(t) rp | p=1 i= где Ai и i постоянные табулированные [82] для всех атомных элементов.

Таким образом, потенциал Ua в формуле (3.4) не зависит от координат элек тронов мишени {ra } и, т. к. 0 ({ra })|0 ({ra }) = 1, то вероятность (3.4) перехода электронов снаряда из основного состояния |0 ({rp }) в про извольное возбуждённое состояние |n ({rp }) при произвольной судьбе атома–мишени принимает простой вид Np (3.6) (b, rp ) |0 ({rp }) |2, W0n (b) = | n ({rp })| exp i p= где функция (b, rp ) имеет смысл эйкональной фазы и равна Za (3.7) (b, rp ) = Ai K0 (i |b sp |), v i= где sp — проекция rp — на плоскость параметра удара b. Другими сло вами (ср., [80]), (3.6) представляет собой вероятность возбуждения поко ящегося в начале системы координат структурного иона–снаряда движу щимся со скоростью v нейтральным атомом–мишенью, описываемым как протяжённый объект с пространственно неоднородной плотностью заря да. В таком же виде искомая вероятность, следуя методике изложенной в работе [80] для возбуждения атомов движущимися с релятивистскими скоростями протяжёнными зарядами, может быть получена и в приближе нии эйконала, применяемому к описанной задаче. Таким образом, форму ла (3.6) применима и в случае столкновений движущимися с релятивист скими скоростями снарядом и мишенью, лишь бы в системе покоя снаряда электроны снаряда были бы нерелятивистскими до и после столкновения (аналогичное требование и к электронам мишени в системе покоя мишени).

3.2 Сечения многократной ионизации Дальнейшее рассмотрение будем проводить, следуя схеме описания [34] столкновений высокозарядных тяжёлых ионов со сложными атомами, успешно применённой [62, 88] для расчётов сечений многократной (до кратности) ионизации атомов Ar и Ne высокозарядными ионами урана большой энергии. Будем считать, в системе покоя снаряда, электроны сна ряда нерелятивистскими до и после столкновения, различимыми и каж дому электрону приписывать одноэлектронную водородоподобную волно вую функцию. Тогда волновые функции начального и конечного состояний иона можно записать в виде Np 0 (r1,..., rNp ) = i (ri ), i= Np f (r1,..., rNp ) = i (ri ).

i= Поэтому полная вероятность (Np N )-кратной ионизации нерелятивист ского Np -электронного структурного иона, соответствующая попаданию каких-либо Np N электронов в состояние континуума, а остальных N электронов в любое из состояний дискретного спектра, с учётом унитарно сти вероятности (3.6), будет иметь вид (ср. [62, 88]):

Np N Np Np !

W (Np N )+ (b) = (3.8) (1 pj (b)), pi (b) (Np N )!N !

j=Np N + i= Np = 1, для N = 0;

а одноэлектронный неупругий формфак j=Np N +1 (...) тор (3.9) d3 ki | d3 ri ki (ri ) exp{ii (b, ri )}i (ri ) |2, pi (b) = ki — импульс i-го электрона в континууме. Введём как в [62, 88] p(b) — сред нее по оболочкам снаряда значение одноэлектронного неупругого форм фактора, имеющее смысл средней вероятности ионизации одного электро на n0 1 1. (3.10) 3 p(b) = dk d rk (r) exp{ii (b, r)}nlm (r) n0 Mn n=1 l,m Тогда, заменяя в (3.8) каждый одноэлектронный формфактор на сред нее p(b), получим W Np + (b) = [p(b)]Np, W (Np 1)+ (b) = Np [p(b)]Np 1 [p(b)]Np, и в общем случае ионизации Np N электронов N Np ! N!

(Np N )+ {p(b)}Np N +m, (3.11) (1)m W (b) = (Np N )!N ! m=0 (N m)!m!

где слагаемое, содержащее соответствует ионизации {p(b)}Np N +m (Np N + m) степени и в нем b bZNp N +m, здесь ZNp N +m эф фективный заряд при (Np N + m)-кратной ионизации.

Для получения сечения ионизации Np N электронов, необходимо ве роятность (3.11) проинтегрировать по всей плоскости параметра удара (Np N )+ W (Np N )+ (b)bdb. (3.12) = Для выполнения интегрирования необходимо знать функцию p(b). Вычис ление этой функции, при большом числе электронов на оболочках иона (мы будем рассматривать, например, многократную ионизацию снаряда U 10+ при столкновении с нейтральным атомом аргона или ксенона) пред ставляется крайне затруднительным. Однако именно то обстоятельство, что мы в дальнейшем будем рассматривать ионизацию высокой кратности 1, позволяет упростить задачу. Для этого воспользу 1, Np N Np емся методикой предложенной в работах [34, 62, 88]. Интеграл по пара метру удара в формуле (3.12) с вероятностью (3.

11) можно взять асимп тотически методом Лапласа в предположении, что p(b) имеет максимум расположенный внутри, либо на левой границе b = 0 интервала интегри рования: при столкновении с нейтральным атомом разумно считать веро ятность ионизации максимальной при близком к нулю или равном нулю параметре удара. Поэтому относительно свойств функции p(b) мы сделаем стандартные [89] для применения метода Лапласа предположения. Сна чала запишем [p(b)]N = exp[N ln(p(b)] = exp[N f (b)]. Тогда для N 1, согласно [89], /µ b G N f (b) g(b)db ( )eN f (b0 ) (3.13) e, µµ FN b где (x) — гамма-функция, а G, µ,, F — числа, определяемые поведением функций f (b) и g(b) вблизи точки максимума b0 : f (b) f (b0 ) F (b b0 )µ, g(b) G(b b0 )1. Причём согласно (3.12) функция g(b) появляется при интегрировании по всей плоскости параметра удара и при b0 = 0 равна g(b) = b, что соответствует G = b0 и = 1;

в случае b0 = 0 интегрирование в формуле (3.12) следует проводить по db2, соответственно g(b) = 1/2, G = 1/2 и = 1. В результате сечение полной Np -кратной ионизации снаряда /µ G1 [p(b0 )]Np. (3.14) Np + = 2 2 ( ) (ZNp ) µ µ F Np В случае (Np 1)-кратной ионизации вероятность — разность двух членов, интегрируя методом Лапласа каждый член в отдельности получим сечение (Np 1)-кратной ионизации 2 /µ ZN 0 Np (Np 1)+ = Np Np + (3.15) 1.

Np ZNp 1 p(b0 ) В общем случае (Np N )-кратной ионизации действуя аналогично получим Np ! Np + (Np N )+ = (Np N )! N !

N ZN p N!

(1)m (N m)! m!

ZNp N +m m= /µ Np {p(b0 )}N +m, (3.16) (Np N + m) где ZNp N +m эффективный заряд при (Np N + m)-кратной ионизации.

Полученные формулы (3.14), (3.15) и (3.16) позволяют в принципе вычислить сечения ионизации любой кратности (при условии Np 1, 1), или по известным из эксперимента каким-либо двум се (Np N ) чениям восстановить остальные. Следует отметить, что выбор пары сече ний, считающихся известными из эксперимента может быть произвольным и определяется лишь условиями Np N 1 применимости формул (3.14), (3.15), (3.16). Результат именно такого расчёта для многократной иониза ции ионов урана при столкновениях с атомами аргона приведён на рис. 3. и 3.2 совместно с экспериментальными данными [71, 86], при расчёте эф фективный заряд принимался равным степени ионизации, т.е. ZN = Q+N, Q — начальный заряд (заряд структурного иона до столкновения) снаря да. Величина /µ считалась подбираемым параметром и для столкновений U28+ + Ar, мы выбрали /µ = 1.1 и считали известными 12+ и 15+ ;

для U10+ + Ar, /µ = 1.5 и считали известными 10+ и 12+.

Каждый рисунок состоит из двух частей (a) и (b): часть (a) представ ляет сечения в зависимости от числа удалённых электронов в широком интервале (полной области) от минимального значения — удаления одного электрона до максимально возможного значения числа удалённых элек тронов (например, в случае U10+ максимально возможное число удалён ных электронов равно 82);

часть (b) представлена для удобства сравнения расчёта с экспериментом и содержит значения сечений для которых име ются экспериментальные данные: поскольку широкий диапазон изменения величин, представленных в части (a) не позволяет корректно отобразить соответствующую относительно узкую область.

Как видно из рисунков, согласие результатов расчёта с эксперимента ми [71, 86] неплохое даже для ионизации малой кратности, формально ле жащей вне границы (Np N 1) применимости формул (3.14), (3.15), (3.16). Для проведения расчётов ионизации малой кратности, строго гово ря, следует использовать формулу (3.6).

10- (10-18 cm2) 10- 10- (a) 10- - 0 10 20 30 40 50 Number of electron lost (10-18 cm2) (b) 10- 0 2 4 6 8 10 12 14 Number of electron lost Рис. 3.1. Сечение (1018cm2) многократной потери электронов ионом U28+, движущимся с энергией 6.5 MeV/u, при столкновениях с атомом Ar в зависимости от числа удалённых элек тронов в полной области возможных значений числа удалённых электронов: от минимального значения 1 до максимального 64;

треугольники - экспериментальные данные [86], окружно сти - результаты нашего расчёта.

10- 10- (10-16 cm2) 10- 10- 10-50 (a) - - 0 10 20 30 40 50 60 70 Number of electron lost (10-16 cm2) 10- (b) 10- 0 2 4 6 8 10 12 Number of electron lost Рис. 3.2. Сечение (1016cm2) многократной потери электронов ионом U10+, движущимся с энергией 1.4 MeV/u, при столкновениях с атомом Ar в зависимости от числа удалённых элек тронов в полной области возможных значений числа удалённых электронов: от минимального значения 1 до максимального 82;

треугольники - экспериментальные данные [71], окружно сти - результаты нашего расчёта.

Глава Кратные столкновения Известно [90], что при мюонном катализе синтеза в результате реакции (4.1) (dtµ)+ (µHe)+ + n появляются быстрые мезоатомы с начальной энергией (µHe)+ E0 3.5 МэВ. При движении в среде такие мезоатомы, главным образом, за счёт столкновений типа (µHe)+ + D2 могут потерять отрицательный мюон и поэтому, к моменту остановки мезоатома (µHe)+, мюон лишь с конечной вероятностью (E0 ) 1 останется связанным с ядром атома гелия. Малость размеров мезоатома по сравнению с размерами молекулы D2 позволяет считать, что мюон стряхивается в результате столкновений мезоатома с отдельными дейтронами в рамках процессов ионизации или перезарядки. Реакции такого типа вносят подавляющий вклад в вероят ность стряхивания µ-мезона Ps (E0 ), а учёт других возможных каналов стряхивания µ-мезона приводит лишь к незначительным изменениям величины Ps (E0 ) [91]. Среднее время жизни возбуждённых состояний мезоатома 1012 сек [92] существенно меньше среднего времени движения между его последовательными столкновениями с дейтронами (при плотностях смеси меньше или порядка плотности жидкого водоро да). Поэтому при вычислении вероятности стряхивания обычно можно считать, что в столкновениях с дейтронами всегда участвуют мезоатомы, находящиеся в основном состоянии.

4.1 Рассеяние на двух центрах Рассчитаем сечение ионизации мезоатома (µHe)+ на двух центрах, кото рыми в нашем случае будут ядра в молекуле D2. Пусть мезоатом движется со скоростью v0 по прямолинейной траектории. Выберем начало отсчёта в центре мезоатома, т.е. будем считать мезоатом покоящимся. На него пусть налетает молекула, каждое ядро которой движется также по прямолиней ной траектории R(t) = b + vt, где v = v0 — скорость молекулы относи тельно мезоатома, b — прицельный параметр налетающего ядра. Заряды ядер A и B в молекуле совпадают. Тогда потенциальную энергию взаимо действия отрицательного мюона с ядрами A и B можно рассматривать как возмущение, действующее на мюон в течение конечного времени столкно вения с молекулой:

1 V (r) = = |r R1 (t)| |r R2 (t)| 1. (4.2) = |r b vt| |r b vt L| Здесь и далее принята система мезоатомных единиц, в которой =e= mµ = 1.

В импульсном представлении это возмущение примет вид с учётом урав нения Пуассона [37]:

4 iq(b+vt) V (r)eiqr d3 r = + eiq(b+vt+L). (4.3) V (q) = e q Разложение V (r) в интеграл Фурье для двух центров A и B с учётом вы ражения (4.3) даёт:

d3 q 4 iq(rbvt) iqL (4.4) V (r) = e 1+e.

q2 (2) Амплитуда перехода мезоатома из начального состояния |i в конечное |f при столкновении с двумя центрами будет определяться в первом прибли жении как:

dtei(f i )t f |V (r)|i = Af i = i d3 q i(f i )t i f |eiqr |i eiqvt eiqb 1 + eiqL. (4.5) = 2 dt e 2 q Найдём сечение перехода:

d2 bWf i = d2 b|Af i |2 = f i = d3 q (f i qv) f |eiqr |i eiqb 1 + eiqL =2 db q d3 q iq r |i eiq b 1 + eiq L, (4.6) 2 (f i q v) f |e q где q — импульс налетающей частицы, который может принимать все зна чения, включая q.

Воспользуемся аналитическим представлением 2-мерной -функции d2 bei(q q)b = (2)2 (2) (q q ), (4.7) где q = q cos qb — проекция q на плоскость, перпендикулярную к на правлению движения ядра молекулы относительно мезоатома (по оси z), q = q cos q b. При этом q = (q, qz ), где qz — проекция q на ось z.

f i Учтём, что (f i qv) = v qz, где qz = q v и получим:

v v d3 q f i 4 v | f |eiqr |i |2 |1 + eiqL |2, (4.8) q f i = 2 q v v v где qL i qL i qL i qL |1 + eiqL |2 = |e (4.9) |2 · |e |2 = +e 2 cos.

2 2 Тогда сечение перехода будет определяться как:

d3 q f i 16 v qL (4.10) cos2 | f |eiqr |i |2.

q f i = v2 q4 v v qL Усредним cos2 по всем возможным ориентациям L.

dL qL 1 qL cos cos2 cos = d(cos ) = 4 2 2 qL 1 1 x sin(2x) 1 sin(qL) cos2 (x)dx = = + = +.

qL qL 2 4 2 2qL qL qL При достаточно больших L cos2 и влияние второго центра можно 2 не учитывать. В общем случае из выражения (4.10):

d3 q f i 8 v sin(qL) (4.11) | f |eiqr |i |2, q f i = 2 1+ q v v v qL таким образом, при произвольной ориентации L расчёт сечений переходов и ионизации мезоатома можно считать как при рассеянии каждым центром молекулы в отдельности.

4.2 Поправка за счёт кратных столкновений Ситуация (с необходимостью учёта вклада возбуждённых состояний) меняется, если предположить наличие “выстроенности” молекул D2 вдоль какого-либо направления. Как показано в настоящей работе, если направ ление движения мезоатома близко по ориентации с осью молекулы D2, то в сечение ионизации мезоатома заметную поправку может вносить учёт двух последовательных столкновений мезоатома (µHe)+ с ядрами, входящими в состав одной молекулы D2. Время между двумя такими столкновениями t L/v 1016 1017 сек, где L 0.74 · 108 см — расстояние между ядрами в молекуле D2, а v 108 109 см/сек — скорость налетающего мезоатома. Очевидно, что это время t — среднего времени жизни возбуждённого состояния мезоатома. В этом случае при расчёте сечения ионизации мезоатома необходимо учитывать вклад двухступенчатых про цессов, когда мезоатом, возбуждённый в результате столкновения с первым ядром молекулы, не успевает релаксировать в состояние 1s и претерпевает столкновение со вторым ядром молекулы, находясь в возбуждённом со стоянии. Далее, поскольку эффективный размер возбуждённых состояний больше размера основного состояния, постольку сечение ионизации из воз буждённого состояния оказывается больше сечения ионизации из основно го состояния и можно ожидать заметный вклад от учёта последователь ных столкновений. Проделаем оценку сечений таких процессов. На рис. 4. изображено столкновение мезоатома (µHe)+ с молекулой D2. Ориентацию молекулы будем описывать направлением межатомной оси L и обозначим, как b1 и b2 — прицельные параметры при столкновении мезоатома с пер вым и со вторым ядрами (молекулы D2 ) соответственно. Пусть мезоатом в Рис. 4.1. Рассеяние мезоатома (µHe)+ на двух центрах.

результате столкновения с первым ядром с вероятностью Wn1 (b1 ) перехо дит из основного состояния |1 в возбуждённое состояние |n, а с вероятно стью Wpn (b2 ) происходит ионизация мезоатома, находящегося в состоянии |n при его столкновении со вторым ядром молекулы. Малость размеров мезоатома по сравнению с расстоянием между ядрами молекулы позволя ет считать столкновения независимыми. Тогда вероятность ионизации при таком двухступенчатом процессе может быть определена так (4.12) Wion (b1, b2 ) = Wn1 (b1 )Wpn (b2 ), n где проводится суммирование по всем возможным возбуждённым состоя ниям. Для получения сечения необходимо проинтегрировать (4.12) по при цельному параметру b1 и усреднить по углам ориентации оси молекулы L :

(4.13) dL d2 b1 Wion (b1, b2 ), = L где L — телесный угол, в котором расположена ось молекулы D2. Будем считать, что L 4, т.е. молекулы выстроены. Тогда dL = d2 b2 /L2 и d2 b2 Wion d2 b1 = = L L d2 b1 Wn1 (b1 )Wpn (b2 ). (4.14) d2 b = L L2 n Для проведения интегрирования в формуле (4.14) введём n1 — сечение перехода мезоатома из основного состояния в возбуждённое в результате первого столкновения и pn — сечение ионизации мезоатома из возбуждён ного состояния в результате второго столкновения, причём (4.15) Wn1 (b1 )d2 b1, pn = Wpn (b2 )d2 b2.

n1 = Как видно из рис. 4.1, при изменении b1 изменяется и b2, однако ес ли считать выполненным неравенство n1 pn, имеющее простой смысл:

сечение ионизации из возбуждённого состояния больше сечения возбужде ния из основного состояния1, то при выполнении интегрирования по d2 b 1 Например, из формул (4.17) и (4.18) отношение n n1 /p2 0.3 для и убывает как для v= (согласно формулам (4.18,4.20,4.21)) n в формуле (4.14) можно считать, что b2 не меняется при изменении b1, и интегрировать по d2 b1 и d2 b2 независимо. В результате поправка к се чению однократной ионизации за счёт двухступенчатых процессов примет следующий наглядный вид:

n (4.16) = n1 pn, S n= где S = L L2. В формуле (4.16) суммирование начинается с первого воз буждённого уровня мезоатома (µHe)+, а заканчивается на некотором но мере возбуждённого состояния n1, определение значения которого будет описано ниже. Сечение перехода мезоатома из основного состояния |1 в возбуждённое |n в результате первого столкновения в борновском при ближении равно [37]:

n dq 8 7 2 (n 1)2 + (qn) 8Z 2 n2 (4.17) + (qn)2, n1 =22 2nq [(n + 1)2 + (qn)2 ]n+ q v Za qmin где v — скорость мезоатома, qmin = (n 1 )/Za v = Za (1 n2 )/(2v), n — водородоподобные уровни энергии состояний |n мезоатома с зарядом ядра Za, в формуле (4.17) n — главное квантовое число. Здесь и далее принята система мезоатомных единиц, в которой = e = mµ = 1, где — постоянная Планка, e — заряд электрона, mµ — масса µ-мезона. Сечение ионизации возбуждённых состояний |n мезоатома согласно [93] для n равно Z2 Za (4.18) n np 4.

Za v 2 4v Для получения поправки к сечению однократной ионизации, выраже ния (4.17) и (4.18) следует подставить в формулу (4.16) в результате n 1 32 2 Z 4 Za 28 n7 n2 = S v 4 Za4 v n= n dq 2 (n 1)2 + (qn)2 n2 + (qn)2. (4.19) q q 3 [(n + 1)2 + (qn)2 ]n+3 qmin Опишем процедуру получения значений n1 — верхнего предела при вы полнении суммирования в формуле (4.19). В данном двухступенчатом про цессе второе столкновение можно характеризовать сечением pn, если раз мер мезоатома в возбуждённом состоянии |n много меньше L — размера молекулы D2. Именно тогда справедлива формула (4.14) и формула (4.16) следует из (4.13). При n 1, с учётом соотношения n (n 1)2 + (qn)2 1 exp, [(n + 1)2 + (qn)2 ]n+3 n12 (1 + q 2 )6 1 + q выражение (4.17) не трудно преобразовать к виду:

8Z 2 1 8 dq 1 (4.20) q2 + 1 + q2 exp n1 = 2 2 32.

q3 1 + q v Za n qmin Интеграл, входящий в формулу (4.20) допускает аналитическое интегри рование и при малых qmin 1 может быть представлен в виде dq 1 q2 + 1 + q2 exp = q3 1 + q qmin 2 0. = e4 ln, (4.21) 3 qmin где для n 1, qmin = 1/v. Таким образом, при n 1 n1 ведёт себя как 1/n3, а pn ведёт себя как n2, отсюда ведёт себя как ln n1, т.е. слабо (логарифмически) зависит от параметра обрезания n1. Поэтому оценить значение n1 можно из равенства размера мезоатома (µHe)+ в состоянии |n и размера L молекулы D2. В результате n1 20.

Полное сечение ионизации мезоатома ion является суммой p1 — се чения ионизации из основного состояния в однократном столкновении и — поправки (4.16) за счёт двукратных столкновений:

ion = p1 + = p1 1 +.

p При расчётах для сечения ионизации водородоподобного атома p1 исполь зовалось известное [37] выражение (асимптотика Бете) 4Z 2 v · 0.285 · ln 1p =.


v 2 Za 2 Za · 0. Поэтому из (4.19) получим, 1p S где приведённая поправка [94, 95] 1 828 Z 2 v2 Za 7 0.285 · ln 2 n 2 = 2 2 n Za · 0. v Za v n= n dq 2 (n 1)2 + (qn)2 n2 + (qn)2, (4.22) q q 3 [(n + 1)2 + (qn)2 ]n+3 qmin здесь S = L L2, qmin = 2Za (1 n2 )/v.

Используя формулу (4.22) мы рассчитали для различных значений скорости мезоатома. На рис. 4.2 представлены значения — приведённой поправки к сечению ионизации в зависимости от скорости мезоатома v (все величины приведены в мезоатомных единицах). Отношение /p1 следу ющим образом выражается через приведённую поправку: /p1 = /S, где S = L L2. В мезоатомных единицах L 288, поэтому, зная, мож но найти отношение /p1 по формуле /p1 = 1.21 · 105 · · (L )1, где значения L следует подставлять в радианах. Поэтому, как видно из 5. 4. 3. 2. 1. 0. 0 2 4 6 8 v, a.u.

Рис. 4.2. Зависимость приведённой поправки к сечению ионизации от скорости мезоатома.

рис. 4.2, поправки за счёт двукратных столкновений к сечению ионизации могут оказаться заметными при малых углах выстроенности L.

Заключение В заключении кратко сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Разработан непертурбативный метод расчета сечений неупругих про цессов при взаимодействии водородоподобных ионов с атомами с учё том одновременных возбуждений электронных оболочек снаряда и атома–мишени. На основе этого метода рассчитано полное неупругое сечение для случая столкновения двух водородоподобных систем.

2. На основе релятивистского обобщения приближения эйконала полу чены общие формулы, определяющие вероятности неупругих процес сов при взаимодействии водородоподобных ионов со сложными ней тральными атомами. Рассчитаны сечения ионизации водородоподоб ных ионов при столкновениях с различными нейтральными атомами, проведено сравнение с экспериментом и расчётами других авторов.

3. Произведено обобщение этого метода для описания ионизации гелие подобных ионов при взаимодействии со сложными атомами. Прове дены вычисления вероятностей однократной и двукратной ионизации гелиеподобных ионов.

4. Получены простые выражения для расчёта вероятностей и сечений многократной ионизации тяжёлых ионов при столкновении с ней тральными атомами. Проведено сравнение выполненных расчётов с имеющимися экспериментальными данными.

5. Вычислены поправки к сечению ионизации мезоатома (µHe)+ при столкновении с двухатомной молекулой за счёт двуцентровых и крат ных столкновений. Показано что влиянием двуцентровых столкнове ний можно пренебречь, а поправки за счёт кратных столкновений мо гут давать заметный вклад в результирующее сечение при условии выстроенности молекул.

Литература [1] Inelastic Collisions between Heavy Particles I: Excitation and Bates, D. R.

Ionization of Hydrogen Atoms in Fast Encounters with protons and with other Hydrogen Atoms / D. R. Bates, G. W. Griffing // Proceedings of the — 1953. — Vol. 66. — P. 961.

Physical Society.

[2] Inelastic Collisions between Heavy Particles II: Contributions Bates, D. R.

of Double-Transitions to the Cross Sections associated with the Excitation of Hydrogen Atoms in Fast Encounters with other Hydrogen Atoms / D. R. Bates, G. W. Griffing // — Proceedings of the Physical Society.

1954. — Vol. 67. — P. 663.

[3] Inelastic Collisions between Heavy Particles IV: Contributions Bates, D. R.

of Double Transitions to certain Cross Sections including that associated with the Ionization of Hydrogen Atoms in Fast Encounters with other Hydrogen Atoms / D. R. Bates, G. W. Griffing // Proceedings of the — 1955. — Vol. 68. — P. 90.

Physical Society.

[4] Theory of the Passage of Fast Corpuscular Rays Through Bethe, H. A.

Matter / H. A. Bethe // — 1930. — Vol. 5. — P. 325.

Ann. d. Phys.

[5] Inelastic Collisions between Heavy Particles III:

Moiseiwitsch, B. L.

Excitation of Helium Atoms in Fast Encounters with Hydrogen Atoms, Protons and Positive Helium Ions / B. L. Moiseiwitsch, A. L. Stewart // — 1954. — Vol. 67. — P. 1069.

Proceedings of the Physical Society.

[6] Inelastic Collisions between Heavy Particles VI: The 2s3 S 2p Adler, J.

and 3p3 P Excitations of Fast He Atoms by H and Ne Atoms / J. Adler, B. L. Moiseiwitsch // — 1957. — Proceedings of the Physical Society.

Vol. 70. — P. 117.

[7] Ionization Produced by Atomic Collisions at keV Energies / Russek, A.

A. Russek, M. T. Thomas // — 1958. — Vol. 109. — Physical Review.

Pp. 2015–2025.

[8] Ionization Produced by Atomic Collisions at keV Energies.

Russek, A.

II / A. Russek, M. T. Thomas // — 1959. — Vol. 114. — Physical Review.

Pp. 1538–1540.

[9] Ionization Produced by Atomic Collisions at kev Energies.

Bulman, J. B.

III / J. B. Bulman, A. Russek // — 1961. — Vol. 122. — Physical Review.

Pp. 506–511.

[10] Inelastic Collisions between Heavy Particles V: Electron Boyd, T. J. M.

Loss for Fast He+ Ions passing through Atomic Hydrogen, and Ionization of Hydrogen Atoms by Fast He+ Ions / T. J. M. Boyd, B. L. Moiseiwitsch, A. L. Stewart // — 1957. — Vol. 70. — Proceedings of the Physical Society.

P. 110.

[11] Inelastic Collisions between Heavy Particles VII: Electron Bates, D. R.

Loss from Fast Hydrogen Atoms passing through Helium / D. R. Bates, A. Williams // — 1957. — Vol. 70. — Proceedings of the Physical Society.

P. 306.

[12] Charge Exchange Cross Sections of Hydrogen Ions in Gases / Stier, P. M.

P. M. Stier, C. F. Barnett // — 1956. — Vol. 103. — Physical Review.

Pp. 896–907.

[13] The Detachment of Electrons from Negative Hydrogen Ions Sida, D. W.

by impact with Neutral Atoms / D. W. Sida // Proceedings of the Physical — 1955. — Vol. 68. — P. 240.

Society.

[14] Electron Loss from Fast Negative Ions of Atomic McDowell, M. R. C.

Hydrogen passing through Atomic Hydrogen / M. R. C. McDowell, G. Peach // — 1959. — Vol. 74. — Proceedings of the Physical Society.

P. 463.

[15] Ionization of H at collisions with hydrogen atoms / Husted, J. B.

J. B. Husted // — 1952. — Proceedings of the Royal Society London A.

Vol. 212. — P. 235.

[16] Charge Transfer and Electron Production in H + H Collisions / D. J. Hummer, R. F. Stebbings, W. L. Fite, L. M. Branscomb // Physical — 1960. — Vol. 119. — Pp. 668–670.

Review.

[17] Energy per ion pair for electron and proton beams in atomic Dalgarno, A.

hydrogen / A. Dalgarno, G. W. Griffing // Proceedings of the Royal Society — 1958. — Vol. 248. — Pp. 415–428.

London A.

[18] On the exponential solution of differential equations for a Magnus, W.

linear operator / W. Magnus // Communications on pure and applied — 1954. — Vol. 7. — P. 649.

mathematics.

[19] On the Exponential Form of Time-Displacement Operators Pechukas, P.

in Quantum Mechanics / P. Pechukas, J. C. Light // Journal of Chemical — 1966. — Vol. 44. — Pp. 3897–3912.

Physics.

[20] Magnus expansion in terms of sudden perturbation theory / Alder, K.

K. Alder, A. Winther // — Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Mat. Fys. Medd.

1960. — Vol. 32. — P. 8.

[21] Reactions between complex nuclei / K. Alder;

Ed. by A. Chiorso, Alder, K.

R. M. Diamond, E. Conzett. — Berkley: University of California Press, 1963. — 253 pp.

[22] Application of Magnus expansion at atomic collision / Takayanagi, K.

K. Takayanagi // — 1963. — Vol. 25. — P. 43.

Prog. Theor. Phys. Suppl.


[23] Magnus approximation for atoms ionization by heavy ions / Takayanagi, K.

K. Takayanagi // — 1959. — Vol. III A. — P. 65.

Sci. Rep. Saitana Univ.

[24] Приближение теории внезапных возмущений в нереля Дыхне, А. М.

тивистской квантовой механике / А. М. Дыхне, Г. Л. Юдин // Успехи — 1978. — Т. 125. — С. 377.

физических наук.

[25] Встряхивание квантовой системы и характер стимулиро Дыхне, А. М.

ванных им переходов / А. М. Дыхне, Г. Л. Юдин // Успехи физических — 1977. — Т. 121. — С. 157.

наук.

[26] / И. С. Персиваль // Атомы в астрофизике / Под Персиваль, И. С.

ред. Ф. Г. Берка, В. Б. Эйспера, Д. Г. Хаммера, И. С. Персиваля. — М.: Мир, 1988. — С. 87–113.

[27] Magnus approximation for K-shell ionization by heavy-ion Eichler, J.

impact / J. Eichler // — 1977. — Vol. 15. — Pp. 1856– Physical Review A.

1862.

[28] Кулоновское возбуждение атомов / Г. Л. Юдин // Юдин, Г. Л. Жур — 1981. — Т. 80. — нал экспериментальной и теоретической физики.

С. 1026.

[29] Квантовая электродинамика / В. Б. Берестецкий, Берестецкий, В. Б.

Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. — М.: Наука, 1989.

[30] Direct reactions in relativistic atomic collisions and the Toshima, N.

influence of Coulomb boundary conditions / N. Toshima, J. Eihler // — 1990. — Vol. 42. — Pp. 3896–3900.

Physical Review A.

[31] Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. — М.: Наука, Ландау, Л. Д.

1973. — 509 с.

[32] Sudden approximation cross sections for ionisation of h atoms Salop, A.

by energetic C6+ and He2+ impact / A. Salop, J. H. Eichler // Journal of — 1979. — Vol. 12. — Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics.

Pp. 257–264.

[33] Неупругие процессы при столкновениях релятивист Матвеев, В. И.

ских многозарядных ионов с атомами / В. И. Матвеев, М. М. Му саханов // — Журнал экспериментальной и теоретической физики.

1994. — Т. 105. — С. 280.

[34] Столкновения быстрых многозарядных ионов с ато Матвеев, В. И.

мами / В. И. Матвеев // — Элементарные частицы и атомное ядро.

1995. — Т. 26, № 3. — С. 780–820.

[35] On the projectile-electron loss in fast collisions with heavy Voitkiv, A. B.

atomic targets / A. B. Voitkiv, N. Grun, W. Scheid // Physical Review — 2000. — Vol. 33. — Pp. 3431–3439.

B.

[36] Diffraction Theory of Scattering by Hydrogen Atoms / Franco, V.

V. Franco // Physical Review Letters. — 1968. — Vol. 20, no. 14. — Pp. 709– 712.

[37] Квантоая механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. — Ландау, Л. Д.

М.: Наука, 1989. — 767 с.

[38] Теория столкновений: Пер. с англ. / М. Гольдбергер, Гольдбергер, М.

К. Ватсон. — М.: Мир, 1967. — 824 с.

[39] Механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. — М.: Наука, Ландау, Л. Д.

1975. — 215 с.

[40] Квантовая электродинамика / А. И. Ахиезер, В. Б. Бе Ахиезер, А. И.

рестецкий. — 4, перераб. изд. — М.: Наука, 1981. — 432 с.

[41] Ионизационные потери релятивистских многозаряд Матвеев, В. И.

ных ионов / В. И. Матвеев, С. Г. Толманов // Журнал эксперимен — 1995. — Т. 107, № 6. — С. 1780– тальной и теоретической физики.

1791.

[42] Ionization of atomic hydrogen by bare ions with charges McGuire, J. H.

1 to 6 in the Glauber approximation / J. H. McGuire // Physical Review — 1982. — Vol. 26. — Pp. 143–147.

A.

[43] Double excitation of helium by fast particles of charge Z / McGuire, J. H.

J. H. McGuire, J. C. Straton // — 1990. — Vol. 43. — Physical Review A.

Pp. 5184–5187.

[44] Integral representation for the Glauber scattering amplitude Golden, J. E.

for direct Coulomb ionization by charged particles / J. E. Golden, J. H. Mcguire // — 1975. — Vol. 12. — Pp. 80–84.

Physical Review A.

[45] Cross sections for atomic K-shell ionization by ion impact in Golden, J. E.

the single-particle Glauber approximation / J. E. Golden, J. H. Mcguire // — 1977. — Vol. 15. — Pp. 499–507.

Physical Review A.

[46] Ionisation of atoms by ion impact / D. S. F. Crothers, Crothers, D. S. F.

S. H. McCann // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical — 1983. — Vol. 16. — P. 3229.

Physics.

[47] Electron capture and ionization of 33-TeV Pb ions in gas targets / H. F. Krause, C. R. Vane, S. Datz et al. // — 2001. — Physical Review A.

Vol. 63, no. 3. — P. 032711.

[48] Simultaneous excitation and ionization of He-like uranium ions in relativistic collisions with gaseous targets / T. Ludziejewski, T. Sthlker, o D. C. Ionescu et al. // — 2000. — Vol. 61, no. 5. — Physical Review A.

P. 052706.

[49] Effect of the projectile charge on the ionization and excitation of hydrogen molecules by fast ion impact / E. Wells, I. Ben-Itzhak, K. D. Carnes, V. Krishnamurthi // — 1999. — Vol. 60, no. 5. — Physical Review A.

Pp. 3734–3739.

[50] Coulomb excitation of helium atoms in collisions with highly charged ions / M. Tschersich, R. Drozdowski, M. Busch et al. // Journal of Physics — 1999. — Vol. 32, no. 23. — B: Atomic, Molecular and Optical Physics.

Pp. 5539–5556.

[51] Ionisation of atomic hydrogen by 4.8 MeV C6+ ions / Shah, M. B.

M. B. Shah, H. B. Gilbody // Journal of Physics B: Atomic, Molecular — 1983. — Vol. 16, no. 15. — Pp. L449–L452.

and Optical Physics.

[52] Ionization of helium by highly charged ions at 1.4 MeV/amu / J. H. McGuire, A. Mller, B. Schuch et al. // Physical Review A. — 1987. — u Vol. 35, no. 6. — Pp. 2479–2483.

[53] Absolute cross sections for helium single and double ionization in collisions with fast, highly charged projectiles / H. Berg, J. Ullrich, E. Bernstein et al. // — Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics.

1992. — Vol. 25, no. 17. — Pp. 3655–3670.

[54] Inelastic processes in the interactions of partially stripped ions of carbon, nitrogen and oxygen with atomic hydrogen at intermediate and high energies / M. Purkait, A. Dhara, S. Sounda, C. R. Mandal // Journal of — 2001. — Vol. 34. — Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics.

P. 755.

[55] Picturing the ionization process in ion-atom collisions with Illescas, C.

time-dependent quantum and classical methods / C. Illescas, B. Pons, A. Riera // — 2001. — Vol. 63. — P. 062722.

Physical Review A.

[56] К теории кулоновского возбуждения атомов быстрыми Юдин, Г. Л.

многозарядными ионам / Г. Л. Юдин // — Доклады академии наук.

1985. — Т. 282. — С. 874–878.

[57] Неупругие процессы и потери энергии при столкновении Юдин, Г. Л.

быстрых заряженных частиц с атомами / Г. Л. Юдин // Журнал тех — 1985. — Т. 55. — С. 9.

нической физики.

[58] Эффективное торможение релятивистских структур Матвеев, В. И.

ных тяжелых ионов при столкновениях с атомами / В. И. Матвеев // — 2002. — Т. 72. — С. 10–15.

Журнал технической физики.

[59] Ионизационные потери релятивистских структурных Матвеев, В. И.

тяжелых ионов при столкновениях с атомами / В. И. Матвеев // Жур — 2002. — Т. 121. — нал экспериментальной и теоретической физики.

С. 260–266.

[60] Nonperturbative and relativistic effects in projectile-electron Voitkiv, A. B.

loss in relativistic collisions with atomic targets / A. B. Voitkiv, C. Mueller, N. Grun // — 2000. — Vol. 62. — P. 062701.

Physical Review A.

[61] Electron loss from heavy heliumlike projectiles in Muller, C.

ultrarelativistic collisions with many-electron atomic targets / C. Muller, A. B. Voitkiv, N. Grun // — 2002. — Vol. 66. — Physical Review A.

P. 012716.

[62] Сечения неупругих процессов при столкновениях Матвеев, В. И.

быстрых многозарядных ионов с атомами / В. И. Матвеев, Х. Ю. Ра химов // — Журнал экспериментальной и теоретической физики.

1998. — Т. 114, № 5. — С. 1646.

[63] Finite-size projectile effects in relativistic ion-atom Matveev, V. I.

collisions / V. I. Matveev, D. U. Matrasulov // Journal of Physics B:

— 2000. — Vol. 33, no. 14. — Atomic, Molecular and Optical Physics.

Pp. 2721–2724.

[64] Effective stopping-power charges of swift heavy ions in gases / Maynard, G.

G. Maynard, D. Gardes, M. Chabot // Nuclear Instruments and Methods — 1998. — Vol. 146. — Pp. 88–94.

in Physics Research B.

[65] Density effect and charge dependent stopping theories for Maynard, G.

heavy ions in the intermediate velocity regime / G. Maynard, M. Chabot, D. Gardes // — Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B.

2000. — Vol. 164/165. — Pp. 139–146.

[66] Effective stopping-power charges of swift ions in condensed Brandt, W.

matter / W. Brandt, M. Kitagawa // Physical Review B. — 1982. — Vol. 52, no. 9. — Pp. 5631–5637.

[67] Die Statistische Theorie des Atoms und ihre Anwendungen / Gombas, P.

P. Gombas. — Vienna: Springer, 1949.

[68] Uber die Anwendbarkeit der statistischen Methode auf Lenz, W.

Ionengitter / W. Lenz // Zeitschrift fur physik. — 1932. — Vol. 77. — P. 713.

[69] Die Ladungsverteilung in Ionen und die Gitterkonstante Jensen, J. H. D.

des RbBr nach der statistischen Methode / J. H. D. Jensen // Zeitschrift — 1932. — Vol. 77. — P. 722.

fur physik.

[70] Classical theory of charge transfer and ionization of hydrogen Abriens, R.

atoms by protons / R. Abriens, I. C. Percival // Proceedings of the Physical — 1966. — Vol. 88. — Pp. 861–873.

Society.

[71] Electron loss from 1.4-MeV/u U4,6,10+ ions colliding with DuBois, R. D.

Ne, N2, and Ar targets / R. D. DuBois, A. C. F. Santos, Th. Stohlker // — 2004. — Vol. 70. — P. 032712.

Physical Review A.

[72] Target Z dependence and additivity of cross sections for Watson, R. L.

electron loss by 6-MeV/amu Xe18+ projectiles / R. L. Watson, Y. Peng, V. Horvat // — 2003. — Vol. 67. — P. 022706.

Physical Review A.

[73] Deviation from first-order perturbation theory observed at Rymuza, P.

intermediate relativistic velocities for the ionisation of highly-charged heavy projectiles / P. Rymuza, Th. Stohlker, C. L. Cocket // Journal of — 1993. — Vol. 26. — Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics.

Pp. L169–L175.

[74] / Д. В. Бейтс // Атомные и молекулярные процессы / Бейтс, Д. В.

Под ред. Л. М. Бермана, В. А. Фабриканта. — М.: Мир, 1964. — С. 478.

[75] V. P. Shevelko, D. Bohne, B. Franzke, T. Stokler // Beyer H. and Shevelko, V. P. Atomic Physics with Heavy Ions / V. P. Beyer, H. and Shevelko. — Springer, 1999. — P. 203.

[76] Stripping of fast heavy low-charge ions in gaseous targets / Shevelko, V. P.

V. P. Shevelko, I. Yu. Tolstikhina, Th. Stohlker // Nuclear Instruments and — 2001. — Vol. 184. — P. 295.

Methods in Physics Research B.

[77] Plane-wave born treatment of projectile-electron excitation Voitkiv, A. B.

and loss in relativistic collisions with atomic targets / A. B. Voitkiv, N. Grun, W. Scheid // Physical — 2000. — Vol. 61. — P. 052704.

Review A.

[78] Two-centre dielectronic interaction in mutually ionizing Voitkiv, A. B.

projectile-target collisions at relativistic energies / A. B. Voitkiv, B. Najjari // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical — 2004. — Vol. 37. — Pp. 3339–3354.

Physics.

[79] Relativistic atomic collisions / J. Eichler, W. E. Meyrhof. — Eichler, J.

N.-Y.: Academic Press Inc, 1995.

[80] Сечения неупругих процессов при столкновениях ре Матвеев, В. И.

лятивистских структурных тяжёлых ионов с атомами / В. И. Матвеев, Е. С. Гусаревич // Журнал экспериментальной и теоретической фи — 2003. — Т. 123(1). — С. 42–48.

зики.

[81] Теория возбуждения и ионизации релятивист Матвеев, В. И.

ских структурных тяжёлых ионов при столкновениях с атомами / В. И. Матвеев, Е. С. Гусаревич, С. В. Рябченко // Вестник Поморско — 2004. — го университета. Серия «Естественные и точные науки».

Т. 2(6). — С. 98–103.

[82] Analytical Dirac-Hartree-Fock-Slater screening function for atoms (Z=1–92) / F. Salvat, J. D. Martinez, R. Mayol, J. Parellada // Physical — 1987. — Vol. 36. — Pp. 467–474.

Review A.

[83] Многократная потеря электронов быстрыми тяжёлы Матвеев, В. И.

ми структурными ионами при столкновениях со сложными атомами / В. И. Матвеев, Д. У. Матрасулов, С. В. Рябченко // Журнал экс — 2006. — Т. 129, № 1. — периментальной и теоретической физики.

С. 5–13.

[84] Ionization of Au78+ and electron capture by Au79+ at N. Claytor.

10.8 GeV/nucleon / N. Claytor, A. Belkacem, T. Dinneen // Physical — 1997. — Vol. 55. — Pp. R842–R845.

Review A.

[85] Atomic collisions with relativistic heavy ions. IX.

R. Anholt.

Ultrarelativistic collisions / R. Anholt, U. Becker // Physical Review — 1987. — Vol. 36. — Pp. 4628–4636.

A.

[86] Projectile electron loss and capture in MeV/u collisions of Olson, R. E.

U28+ with H2, N2 and Ar / R. E. Olson, R. L. Watson, V. Horvat // — 2004. — Vol. 37. — P. 4539.

Physical Review B.

[87] Nonperturbative theory of projectile-electron loss in fast Voitkiv, A. B.

collisions with heavy atomic targets / A. B. Voitkiv, G. M. Sigaud, E. C. Montenegro // — 1999. — Vol. 59. — P. 2794.

Physical Review A.

[88] Inelastic collisions of relativistic highly charged ions with Matveev, V. I.

atoms / V. I. Matveev, Kh. Yu. Rakhimov, D. U. Matrasulov // Journal — 1999. — Vol. 32, of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics.

no. 15. — Pp. 3849–3862.

[89] Введение в асимптотические методы и специальные функ Олвер, Ф.

ции / Ф. Олвер. — М.: Наука, 1978. — 375 с.

[90] Сечения рождения мезоатомов и реакции захвата / Герштейн, С. С.

С. С. Герштейн, Ю. В. Петров, Л. И. Пономарев // Журнал экспери — 1981. — Т. 80. — С. 1690.

ментальной и теоретической физики.

[91] Some aspects of the muon catalysis of d-t fusion / L. Bracci, Bracci, L.

G. Fiorentini // — 1981. — Vol. 364A. — Pp. 383–407.

Nuclear Physics.

[92] Collision quenching of the metastable 2S state of muonic Mueller, R. O.

hydrogen and the muonic helium ion / R. O. Mueller, V. W. Hughes, H. Rosenthal // — 1975. — Vol. 11. — Pp. 1175–1186.

Physical Review.

[93] Stripping of µ from µ after muon-catalyzed fusion: Effect of Cohen, J. S.

target structure / J. S. Cohen // — 1987. — Vol. 35. — Physical Review A.

P. 1419.

[94] Вклад процессов кратных столкновений в сечение Матвеев, В. И.

ионизации быстрого мезоатома при столкновениях с двухатомной мо лекулой / В. И. Матвеев, С. В. Рябченко // Вестник Поморского уни — 2003. — Т.

верситета. Серия «Естественные и точные науки».

1(3). — С. 107–111.

[95] Кратные столкновения быстрого мезоатома с двух Матвеев, В. И.

атомной молекулой / В. И. Матвеев, С. В. Рябченко // Известия ву — 2005. — Т. 48, № 5. — С. 30–33.

зов. Физика.



Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.