авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Российской Федерации

Волгоградский государственный университет

Лаборатория сверхмедленных процессов

Записки

семинара

Сверхмедленные процессы

Под редакцией

доктора физико-математических наук, профессора В.М. Миклюкова

Выпуск 2

Волгоград 2007

ББК 22.313.3я43

3-32

Данная работа является объектом авторского права и находится под охраной Закона РФ Об авторском праве и смежных правах. Использование данной работы или любой ее части без ссылок на авторов запрещается.

Нарушители авторских прав авторов настоящей работы могут быть подвергнуты административному или уголовному преследованию в порядке ст. 7.12 КоАП РФ (Нарушение авторских и смежных прав) или ст. 146 УК РФ (Нарушение авторских и смежных прав).

Защита авторских прав осуществляется силами коллектива студентов юридического фа культета Волгоградского государственного университета.

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук доц. Е.Г. Григорьева канд. физ.-мат. наук доц. А.Н. Кондрашов Записки семинара Сверхмедленные процессы [Текст]: Вып. 2 3-32/ВолГУ.

Лаб. Сверхмедленные процессы ;

под ред. д-ра физ.-мат. наук, проф. В.М. Миклюкова. Волгоград: Изд-во ВолГУ. 2007. 172 c.

В сборнике представлены доклады участников научного семинара, посвященного сверх медленным процессам в природе и жизни общества, а также смежным вопросам.

Для студентов, аспирантов, преподавателей и всех читателей, интересующихся пробле мой.

ISBN 978-5-9669-0334-3 ББК 22.313.3я c Научное редактирование. Миклюков В.М., c Коллектив авторов, c Оформление, Изд-во ВолГУ, Содержание 0.1 Предисловие............................. 0.2 Из предисловия к первому выпуску................ 1 О некоторых методах анализа двумерных изображений, В.А. Клячин, 5 мая 2006 1.1 Основные определения и постановка задачи........... 1.2 Площадь односторонней полосы для липшицевых кривых... 1.3 Вариации функционалов...................... 1.4 Теорема единственности...................... 1.5 Многопоточный алгоритм выделения кривых на монохромном изображении............................. 1.6 Описание алгоритмов вычисления характеристик кривых... 1.7 Задачи................................ 2 Толстая граница, В.М. Миклюков, 19 мая 2006 2.1 Длина границы области....................... 2.2 Контроль за пограничной полосой................. 2.3 Граничная задача для почти решений............... 3 Как мы проверяли результаты ЕГЭ, В.М. Миклюков, В.И. Пелих, 16 июня 2006 3.1 Как это было............................. 3.2 Каким образом организуется сдача ЕГЭ............. 3.3 Что делать ?............................. 3.4 Добавление от 25.01.07........................ 3.5 Добавление от 3.02.07........................ 4 Некоторые вопросы современных исследований по истории казачества, И.О. Тюменцев, 29 июня 2006 4.1 Сообщества протоказаков...................... 4.2 Служилые протоказачьи сообщества................ 4.3 Формирование вольного казачества................ 4.4 Образ жизни вольных казаков................... 4.5 Огосударствление казачества.................... 4.6 Сторожевые линии на Юге России................. 4.7 Эволюция хозяйственной системы................. 4.8 Расказачивание............................ 4.9 Возрождение казачества....................... 5 A-гармонические функции в зонах стагнации, В.М. Миклюков, 22 сентября 2006 5.1 Билипшицевы поверхности в Rm.................. 5.2 A–гармонические функции..................... 5.3 Емкость конденсатора........................ 5.4 Основная теорема.......................... 6 Стереотипы наполеоновской пропаганды (эпоха консульства), Дж.М. Туган-Барановский, 29 сентября 2006 6.1 Наполеон как идеолог........................ 6.2 Необходимость воздействия на общественное мнение....... 6.3 Основы политического воспитания................. 6.4 Заключительные замечания..................... 7 Об одной задаче В.Г. Мазьи, В.М. Миклюков, 06 октября 2006 7.1 Уточнение постановки задачи.................... 7.2 Продолжение функции...................... 7.3 Псевдометрика............................ 7.4 Доказательство теоремы 7.1..................... 8 Пропаганда в Веймарской Германии: теория, организация, практика, В.А. Горелкин, 13 октября 2006 8.1 Пропаганда как инструмент..................... 8.2 ’Психология масс’ Лебона...................... 8.3 Принципы простоты, размаха и концентрации.......... 8.4 Принцип субъективности...................... 8.5 Организационные формы...................... 8.6 Насилие как средство пропаганды................. 8.7 Другие средства воздействия.................... 9 О противоречиях между дистантным и классическим образованием, А.И. Макаров, 20 октября 2006 9.1 Смысл понятия новые технологии................ 9.2 Смысл понятия эффективность.................. 9.3 Смысл понятия кодирующая педагогика............ 9.4 Смысл понятия классическое образование............ 9.5 Дистантное обучение как поп-технология............ 10 Об отображениях, сохраняющих условие пустоты сферы А.Ю. Игумнов, 3 ноября 2006 10.1 Условие Делоне............................ 10.2 Постановка задачи.......................... 10.3 Вычисление основных величин................... 10.4 Иллюстрирующие примеры..................... 11 Слабые силы в условиях хаоса, или Как подсидеть начальника, В.М. Миклюков, 3 ноября 2006 11.1 Дискретная модель.......................... 11.2 Рекомендации подчиненному.................... 11.3 Рекомендации начальнику...................... 11.4 Другие модели............................ 11.5 Советы начинающему рейдеру................... 11.6 Приложения.............................. 11.7 Проблема............................... 12 Мелиорация засоленных почв в Нижнем Поволжье, Л.А. Казакова, В.И. Пелих, 17 ноября 2006 12.1 Методика............................... 12.2 Результаты и их обсуждение..................... 12.3 Схема построения математической модели............ 13 Обновление знаний и размывание элит, А.И. Пигалев, 8 декабря 2006 13.1 Понятие элиты............................ 13.2 Возникновение и структура элиты................. 13.3 Элита в условиях обновления знаний............... 14 Углеродные нанотрубки перспективные материалы современных технологий, Н.Г. Лебедев, 1 декабря 2006 14.1 Нанотехнологии........................... 14.2 Углеродные нанотрубки....................... 14.3 Электронное строение углеродных нанотрубок.......... 14.4 Применение углеродных нанотрубок в науке и технике..... 14.5 Физико-химические свойства нанотубулярных структур в кла стерных моделях твердых тел.................... 15 Об одном обобщении условия Делоне, В.А. Клячин, 22 декабря 2006 15.1 Алгоритм построения триангуляции................ 15.2 О пустоте семейства выпуклых множеств............. 15.3 Основная теорема.......................... 15.4 Свойство взаимной пустоты..................... 15.5 Задачи................................. 16 О формировании адекватного математического аппарата при подготовке физиков в классическом университете, В.В. Яцышен, 2 февраля 2007 16.1 Особенности физики как науки................... 16.2 Уравнения в физике......................... 16.3 Математический аппарат физики................. 16.4 О моделировании процессов окружающего мира......... 17 Квантовая химия как инструмент современных технологий, Н.Г. Лебедев, 9 февраля 2007 17.1 Уравнение Шредингера для молекул и кристаллов........ 17.2 Уравнение самосогласованного поля Хартри-Фока-Рутана. Ме тод МО ЛКАО............................ 17.3 Выбор функционального базиса.................. 17.4 Кластерные модели твердых тел.................. 18 Эффективные методы проверки взаимной однозначности кусочно-гладкого отображения, В.М. Миклюков, 16 февраля 2007 18.1 Некоторые общие топологические факты............. Кусочно-гладкие+ отображения..............

18.2..... 18.3 Описание алгоритма......................... 18.4 Сопутствующие результаты..................... Кусочно-гладкие+ версии теоремы о неявной функции 18.5..... 19 О скорости сходимости последовательности, минимизирующей функционал площади, А.А. Клячин, 16 марта 2007 19.1 Постановка задачи.......................... 19.2 Основная теорема.......................... 19.3 Схема доказательства теоремы 1.................. 19.4 Интеграл от средней кривизны................... 20 Зоны стагнации в сверхмедленных процессах, В.М. Миклюков, 13 апреля 2007 20.1 Постановка задачи.......................... 20.2 Уравнения............................... 20.3 Емкость................................ 20.4 Размеры зоны стагнации...................... 20.5 Связь с почти-решениями......................

20.6 Решения параболического уравнения как почти-решения эллиптического............................ 21 Гражданское общество в современной России, И.И. Курилла, 27 апреля 2007 21.1 Что такое ’гражданское общество’ ?................ 21.2 ’Гражданское общество’ как результат модернизационных усилий государства.......................... 21.3 Российское общество сегодня.................... 22 Об одном онтологическом следствии квантовой механики, Д.В. Додин, И.Г. Коваленко, 8 июня 2007 22.1 Изменение взглядов......................... 22.2 Быть или не быть.......................... Авторский и предметный указатель....................... 0.1 Предисловие Прошло уже почти четыре года, как начал работать наш научный семи нар Сверхмедленные процессы. В общей сложности мы встречались вместе и обсуждали связанные с данной проблематикой вопросы уже более семиде сяти раз.

В настоящее время можно утверждать, что семинар имеет свое лицо и безусловно состоялся.

Наряду с чисто теоретическими задачами, мы затрагиваем нередко и на болевшие вопросы текущей жизни. Хотя, быть может, и не всегда безукориз ненно с точки зрения пуриста. В этой связи иногда весьма трудно отказаться от мысли, что лучше уж жить вольно в своем доме, чем свободно ходить по одной половице – в чужом.

Это – второй выпуск Записок семинара. Более подробно о целях и зада чах семинара говорилось в предисловии к первому выпуску.

В.М. Миклюков 10 июня 2007 года 0.2 Из предисловия к первому выпуску Поначалу слово сверхмедленные в названии семинара вызывало у неко торых из коллег, настаивающих на обозначении времени исключительно бук вой t, реакции недоумения и отторжения: Это еще что такое и зачем? От голоски былой дискуссии еще и сегодня можно найти в Интернете. Ныне, кажется, все привыкли, и спустя три года поисковые машины на Интернете выдают весьма внушительные списки тем, связанных со сверхмедленными процессами.

Под сверхмедленными мы понимаем процессы, текущие величины в ко торых меняются столь незначительно, что зафиксировать эти изменения труд но или даже совсем невозможно, ввиду их малости по сравнению с погреш ностью измерений. Изменения величин становятся заметными лишь по про шествии достаточно длительного времени.

Типичные примеры таких процессов доставляет гомеопатия. Однако cверх медленными являются не только и не столько физиологические процессы, но и значительный ряд других природных процессов, ввиду их сверхмедлитель ности, выпадающих за пределы традиционных естественнонаучных исследо ваний. Уважаемый читатель сам укажет подобные примеры, имеющие место в физике, механике, экономике, истории, лингвистике, экологии и др.

Мы старались не ограничивать искусственно тематику докладов, ставя на семинар доклады, даже, на первый взгляд, не имеющие прямых выходов на заявленный круг вопросов. Проблема слишком сложна, чтобы диктовать априори список возможных подходов к ее решению. Тем не менее опыт ока зался вполне удачным. Из приводимых ниже текстов будет видно как фор мировались и как развивались необходимые междисциплинарные связи.

К примеру, при течениях жидкости в тонких и длинных трубках возника ют зоны стагнации области, в которых потоки почти неподвижны. Если отношение длины трубки к ее диаметру велико, то потенциальная функция и функция тока почти неизменны на весьма протяженных участках. Ситуация кажется малоинтересной, однако если мы вспомним, что эти незначитель ные изменения происходят на сверхдлинных интервалах, то мы увидим здесь целую серию первоклассных задач, требующих разработки специальных ма тематических методов.

Априорная информация относительно зон стагнации способствует более оптимальной организации вычислительного процесса за счет замены искомых функций соответствующими постоянными в таких зонах. Иногда это делает возможным существенно сократить объем вычислений, что было замечено ранее, к примеру при приближенных вычислениях конформных отображений сильно вытянутых прямоугольников.

Получаемые результаты оказываются небесполезными, в частности, для приложений в экономической географии. В случае, когда функция характе ризует интенсивность товарообмена на том либо ином географическом про странстве, теоремы об ее зонах стагнации дают (при надлежащих ограниче ниях на выбираемую модель) оценки геометрических размеров зоны стагна ции мира-экономики. К примеру, если поддуга границы области абсолютно нетранспарентна, а поток векторного поля градиента функции через осталь ную часть границы достаточно мал, то область является для этой функции зоной стагнации.

Теоремы о зонах стагнации оказываются тесно связанными с предлиувил левыми теоремами оценками колебания решений, прямыми следствиями которых являются различные версии классической теоремы Лиувилля об об ращении в тождественную постоянную целой двоякопериодической функции.

Выяснение параметров влияния на размеры зон стагнации, открывает воз можность практических рекомендаций к целенаправленным изменениям кон фигурации и, в частности, уменьшению либо увеличению таких зон.

Естественно, что нам не удалось включить в Записки семинара все докла ды его участников. Тем не менее мы надеемся, что даже частично собранные вместе материалы семинара окажутся полезными для наших молодых после дователей, только еще вступающих на тропу научных исследований. Нужно просто честно работать. Каждый день, как святой Франциск, мотыжить свой небольшой участок и удача придет (В.В. Путин, из интервью нидерланд скому телеканалу Недерланд 1 и газете НРЦ Хандельсблатт 31.10.2005.) Мы будем рады, если Записки семинара окажутся нужными читателю.

Руководитель семинара д.ф.-м.н. проф.

Владимир Михайлович Миклюков miklyuk@mail.ru 1 О некоторых методах анализа двумерных изображений, В.А. Клячин, 5 мая c В.А. Клячин, 5 мая Аннотация. Работа представляет собой попытку разработки методов ана лиза двумерных изображений на растровой плоскости на основе методов ана лиза и дифференциальной геометрии. Задача подобного анализа является весьма актуальной в различных областях науки и техники. Например, распо знавание символов, анализ графических результатов численных и реальных экспериментов, анализ результатов медицинских исследований (кардиограм мы, эхограммы УЗИ), распознавание геометрических фигур на плоскости и др. Основная идея рассматриваемого подхода состоит в том, что на изобра жении выделяются характерные кривые и, используя разрабатываемые здесь методы, происходит дальнейший анализ их геометрических свойств. При этом наиболее сложной подзадачей в данном случае является определение набо ра характеристик кривых, который будет наиболее полно отражать свойство кривой в рамках конкретной проблемы. В работе представлен подход, ос нованный на вычислении некоторых функционалов, заданных на множестве липшицевых плоских кривых, при их деформациях.

1.1 Основные определения и постановка задачи Ниже приводится описание построения метрики в плоскости R2, которая задает геометрию растровой плоскости. К сожалению, евклидова метрика по некоторым соображениям плохо подходит для описания свойств растровых кривых. Например, евклидовы окружности, построенные по известным алго ритмам не являются взаимно подобными – окружность радиусом в 1 пиксел представляет собой 4 точки скорее напоминающие квадрат, нежели евклидо ву окружность. С другой стороны, с точки зрения вычислительной геометрии более важным при обработке множеств точек является их количество, кото рое не совпадает с евклидовой длиной кривой. Забегая вперед отметим, что количеству точек на кривой будет соответствовать метрика, построенная по функции H() = max{|1 |, |2 |}. Последнее обстоятельство и побудило авто ра рассматривать модель растровой плоскости, напоминающую конструкцию финслеровой метрики. Приведем точные формулировки.

Пусть на плоскости R2 определена функция H(), обладающая свойства ми:

1. H() 0 и H() = 0 тогда и только тогда, когда = 0;

2. множество B = { R2 : H() 1} выпукло и ограничено;

3. H() = H() для всех неотрицательных R и R2.

10 О некоторых методах анализа двумерных изображений Для всякого вектора и 0 построим множество V () = { B : в точке существует опорный вектор к B, коллинеарный вектору, причем det(, ) 0} Здесь det(, ) обозначает определитель матрицы, составленной из координат векторов и относительно стандартного базиса. В силу выпуклости B мно жество V состоит либо из одного вектора, либо из совокупности векторов, образующих выпуклую комбинацию не более 2-х векторов a, b. Эту пару векторов будем считать ориентированной условием det(a, b ) 0.

Рассмотрим кривую R2, заданную липшицевым радиус-вектором r(t) :

[, ] R2. Длину кривой определим формулой L() = || = H(r (t))dt.

В силу однородности функции H() величина L() не зависит от выбора па раметризации. В дальнейшем будем использовать обозначение ds = H(r (t))dt для элемента длины. Определим функцию расстояния d(x, y), полагая d(x, y) = inf ||, (1) где точная нижняя грань берется по всем липшицевым кривым, соединяю щим точки x и y.

1.2 Площадь односторонней полосы для липшицевых кривых Построим для кривой R2, заданной липшицевым радиус-вектором r(t) : [, ] R2, множество W (t) как множество пределов единичных ка сательных векторов r ( )/H(r ( )) при t. Присоединим к W (t) еще те векторы B, расположенные между некоторыми двумя предельными векторами 1, 2, такими, что det(, 1 ) · det(, 2 ) 0. При этом вектор должен быть частичным пределом при t 0, а вектор 2 – частичным пределом при t + 0. Таким образом W (t) – связное замкнутое множество на B, представляющее дугу единичной окружности B между векторами r (t) и r+ ((t), det(r+ (t), r (t)) 0.

Пусть G(t) = W (t) V ().

В силу выпуклости B множество (1/)G(t) является дугой на B, соединя ющей точки + (t) и (t) выбранные так, что (+ (t), (t)) 0.

Рассмотрим на плоскости R2 липшицево векторное поле E(x) и построим множество D() = {x R2 : 0 x = r(t) + E(r(t))}.

1.2 Площадь односторонней полосы для липшицевых кривых Следует отметить, что геометрически данные множества являются ана логами односторонних трубок, которые подробно исследованы для гладких кривых в работе [2]. Для исследования негладких ’толстых’ поверхностей похожая конструкция используется в магистерской диссертации Е.П. Колпа кова [6].

Теорема 1.1. Если R2 незамкнутая кривая без самопересечений, то при достаточно малых 0 выполнено det(X, E))ds + 2, площадь D() = (2) где – полное изменение площади, заметаемой радиус-вектором E(r(t)) при изменении t от до, а X – единичный касательный вектор в соот ветствующей точке кривой.

Пример 1. Пусть H() = ||, – C 2 -гладкая кривая. Возьмем в качестве поля E(x) поле единичных нормалей к. Тогда утверждение теоремы 1. выглядит следующим образом площадь D() = || 2 k(s)ds, где k(s) – кривизна кривой относительно нормали E(r(t)).

Данный результат хорошо известен и представлен в монографии [2].

Следствие 1. Пусть () = 0 t[,] {r(t) + G(t)}.

Тогда det(X, + (s)))ds + 2, площадь () = (3) где – полное изменение площади части круга B между векторами r (t) и r+ (t) при изменении t от до.

Следствие 2. Пусть H() = max{|1 |, |2 |}, а – C 1 -гладкая кривая. При движении вдоль кривой отметим точки, в которых единичный касательный вектор параллелен координатным осям. Каждой такой точке припишем зна ение +1 или 1 в зависимости от поворота вектора X против или по часовой стрелке. Тогда сумма этих значений с точностью до знака равна коэффици енту перед 2 в формуле (3).

12 О некоторых методах анализа двумерных изображений 1.3 Вариации функционалов Пусть на плоскости R2 задана липшицева неотрицательная положительно однородная степени 1 функция F (), R2. Для всякой липшицевой кривой R2 определим функционал F () = F (X)ds, (4) где X обозначает единичный касательный вектор, существующий п.в. на.

Ясно, что если кривую задать радиус-вектором r(t) : [, ] R2, то F () = F (r (t))dt.

Будем рассматривать следующую конструкцию деформации кривой. Пусть h(t) C 1 ([, ]). Зафиксируем достаточно малое 0. Пусть в R2 зада но липшицево векторное поле E(x). Построим кривую, заданную радиус вектором r (t) = r(t) + E(r(t)).

Положим () = F ( ).

Теорема 1.2. Имеет место равенство F () (0) = F (X), XE ds.

Предположение. Далее будем рассматривать такие кривые, на кото рых найдется лишь конечное число точек p1,..., pm, в которых множества W (t) состоят из более чем одного вектора. Между точками pi и pi+1 пред полагается, что липшицевым является вектор r+ (t).

Для каждого t [, ] построим множество точек вида r(t) + h(t), для всех W (t). Полученную кривую обозначим через. Пусть 0 1... m такие точки, что pi = r(i ), i = 1,..., m. Введем обозначения ai = + (i ), bi = (i ).

Теорема 1.3. При сделанных предположениях справедлива формула k+ m F (r (t)), h (t)+ (t) + h(t) + + (t) dt+ (+0) = k= k m + F (bi ai )h(i ).

i= 1.4 Теорема единственности 1.4 Теорема единственности Единственность определения кривой по набору ее характеристик играет ключевую роль в задачах идентификации кривых и, в частности, в задаче распознавания символов. Приведем результат, касающийся выпуклых глад ких кривых на плоскости R2.

Рассмотрим для каждого [0, 2] функцию F (x) = max{|x1 cos + x2 sin |, |x1 sin x2 cos |}.

По построению этой функции, ясно, что множество = {x : F (x) 1} есть квадрат со стороной 2, повернутый на угол по отношению к оси Ox1. Пусть – выпуклая замкнутая кривая, заданная радиус-вектором r(s) : [0, L] R2.

Рассмотрим разбиение отрезка [0, L] 0 = c0 c1... cn = L. Пусть i означает часть кривой, соответствующей s [ci, ci+1 ], i = 0,..., n 1.

Определим числа µ(i, ) = F (i ).

Как было замечено выше, величина µ(i, ) = 0 тогда и только тогда, когда на кривой i найдется касательный вектор, коллинеарный одной из сторон квадрата.

Теорема 1.4. Для любого натурального N кривая с точностью до дви жения определяется однозначно величинами µ(i, k ) с k = 2k, k N.

n Схема доказательства. По величинам µ(i, k ) с k = 2k, k N стро n им последовательность кусочно-постоянных неубывающих функций n (s), за данных на отрезке [0, L]. При этом значение функции n (s) на отрезке [ci, ci+1 ] соответствует значению некоторого угла k между касательным вектором к кривой i и осью Ox1. По построению последовательность функций n (s) мо нотонно не убывает. Поэтому существует предел (s) = limn n (s). Тогда заданная кривая определяется радиус-вектором r(s) = (cos (s), sin (s)).

1.5 Многопоточный алгоритм выделения кривых на монохромном изображении Прежде, чем определять характеристики кривых на растровой плоскости необходимо эти кривые выделить. Предполагается, что на растровой плоско сти расположено конечное число простых растровых кривых.

Определение. Под простой растровой кривой мы будем понимать та кой набор точек, что все точки, кроме быть может двух (начальной и конечной), имеют ровно две соседних по горизонтали, вертикали или диа гонали.

Отметим, что этому условию, в частности, удовлетворяют прямые, постро енные по алгоритму Брезенхейма, а также дуги растровых разверток окруж ностей и эллипсов, построенных по алгоритму средних точек [9].

14 О некоторых методах анализа двумерных изображений Основной спецификой представленного в работе алгоритма является его многопоточная реализация. Известные на данный момент алгоритмы основа ны либо на использовании опорных графов, либо на методе распространения волны [4], [5].

• На первом шаге алгоритма находится первая точка заданного цвета, эму лируется точка предыдущего шага и создается поток, который проводит анализ на наличие соседних точек того же цвета.

• Если таких точек кроме предыдущей и текущей более одной, то поток присоединяет одну из них к собственной кривой, делает ее текущей, а для других создает новый поток для выделения соответствующих кривых.

При этом поток-предок продолжает обработку по "наиболее прямому" пути по предпочтению "дальше-правее". В каждой точке ветвления фор мируется байт, характеризующий направления, по которым новые потоки продолжают обрабатывать изображение.

• Поток завершается, если на его пути нет больше точек соответствующего цвета.

• Перед завершением поток сигнализирует основному потоку, используя механизм событий. Основной поток после данного сигнала запускает но вый поток, передавая ему указатель на найденную кривую.

• Новый поток начинает вычислять характеристики переданной ему кри вой и сохраняет результат в файл специального формата.

Следует отметить, что все потоки поиска кривых используют единствен ную потоковую функцию. Для хранения промежуточных результатов при меняется динамическое выделение памяти, что позволяет на данном шаге обойтись без синхронизации потоков. В противном случае, если результаты будут сохранены в локальных переменых (в стеке) возможна потеря действен ности соответствующих переменных после прекращения работы потока (стек разрушается). Последнее может привести к обращению из других потоков к неопределенным данным в разрушенном стеке.

Отметим одно замечательное свойство данного алгоритма.

Преобразование растровой плоскости f : R2 R2 будем называть Q гомеоморфным, если для некоторой постоянной Q 0 выполнено x, y R2, d(f (x), f (y)) Qd(x, y), где функция расстояния d(x, y) определяется формулой (1) с функцией H() = max(|1 |, |2 |).

Теорема 1.5. Если b1, b2,..., bp – набор байт, формируемых потоками, а все кривые на плоскости не являются замкнутыми, то число p инвариантно при Q-гомеоморфных преобразованиях плоскости с Q 1.

1.6 Описание алгоритмов вычисления характеристик кривых Алгоритм вычисления коэффициента перед 2 в формуле (2) основан на использовании маски пикселей, образующих единичный круг B в метрике 1.7 Задачи Финслера. Пусть mask[n][m] – целочисленный массив, элементы которого инициализируются значением 0, если соответствующий пиксел из группы n m не принадлежит шару, и 1, если принадлежит. При этом считаем, что центру шара соответствует элемент mask[k][l], 0 k n, 0 l m.

Алгоритм тогда можно представить следующим образом.

• Процедура Cover() получает в качестве аргумента указатель на первую точку кривой и создает копию маски шара B.

• Указанная процедура вызывает функцию DivideMask(), которая разби вает точки шара B на три части: точки самой кривой, точки лежащие по одну сторону от кривой и точки, лежащие по другую сторону. При этом в копии маски отмечаются соответствующие элементы массива. Точки, ле жащие "справа" от кривой отмечаются значением 2, а точки, лежащие "слева" – значением 3.

• Процедура Cover(), получив информацию от процедуры DivideMask(), ведет подсчет точек шара с центром в текущей точке кривой и сохраняет эти значения в переменных RightP oints и Lef tP oints. Далее в цикле перебираются все точки кривой.

• Требуемое значение вычисляется по формуле RightP oints Lef tP oints =.

Алгоритм вычисления значений функционалов F (), очевидно, может быть сведет к описанному алгоритму в силу формулы (4). Только в этом случае маска mask[n][m] не обязательно задает выпуклое множество на растровой плоскости.

1.7 Задачи 1. По заданному семейству преобразований плоскости f : R2 R2 опреде лить функционалы F (x) и векторы деформаций E(x), для которых значения F () "почти инвариантны" при указанных преобразованиях.

2. При каких, более слабых условиях, справедлива теорема 1.4. Для за данного натурального N оценить погрешность восстановления кривой по характеристикам µ(i, k ) при k N.

3. Исследовать геометрические свойства значений вторых производных функции () при = 0. Рассмотреть случай липшицевых кривых и лип шицевых функций F (x).

Список литературы [1] П.В. Губанов, Автоматическая сегментация текстурированных изображений на основе локальных распределений характеристик.

http://edu.secna.ru/main/review/2000/n2/appendix2/rasdel2.htm 16 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [2] А. Грей, Трубки, М.: Мир 1993.

[3] Ю.П. Зайченко, Распознавание объектов по кривым. IASA 2002-2004.

[4] И.М. Клубков, Применение волнового алгоритма для нахождения скеле та растрового изображения. Вестник ДГТУ. 2001. Т.1 №1(7).

[5] И.М. Клубков, Синтаксический метод для анализа векторных изображе ний. Вестник ДГТУ. 2001. Т.1 №2(8).

[6] Е.П. Колпаков, "Толстые" поверхности и их триангуляция. Магистер ская диссертация. 2006 г.

[7] S. Manay, Hong B.W., Yezzi A.J., Soatto St., Integral invariant signatures, Computer Vision(2004) Pt. 4. 2034, pp. 87-99.

[8] Е.П. Путятин, Аверин С.И., Обработка изображений в робототехнике. М:

Машиностроение, 1990. 320 с.

[9] Е.В. Шикин, Боресков А.В., Компьютерная графика. Полигональные мо дели М.: "Диалог МИФИ", 2000.

V.A. Klyachin, On some methods of analysis for 2D images Abstract. We suggest some methods of analysis for 2D images which based on investigation of special functionals dened on Lipschitz curves. Moreover, we consider multi-thread algorithm of extracting curves from 2D images.

2 Толстая граница, В.М. Миклюков, 19 мая c В.М. Миклюков, 19 мая Аннотация. Вводится понятие области с толстой границей. Определя ются характеристики границы и обсуждаются вопросы, связанные с поста новками краевых задач на таких границах.

В определенной степени доклад навеян сообщениями С.В. Голунова и Е.В. Архиповой, посвященными проблемам государственной границы РФ (см.

Записки семинара Сверхмедленные процессы, вып. 1, ВолГУ, 2006) и пред ставляет собой попытку дать ответы на поставленные в них вопросы.

С другой стороны, мы пытаемся найти новые подходы к граничным за дачам, возникающим в связи с течениями субстанций в наноканалах и тре щинах. В частности, мы надеемся, что понятие толстой границы поможет корректно поставить граничную задачу для почти решений уравнения с част ными производными.

2.1 Длина границы области Рассмотрим метрическое пространство M. Пусть A, B – области в M, т.е.

связные открытые множеств, которые для простоты будем считать односвяз ными. Предположим, что A\B и B \ A =.

Множество A B будем называть пограничным между областями A и B.

Если пограничное множество A B связно, то будем называть его погра ничной полосой и обозначать символом (A, B).

Пусть A, B – области в R2. Обозначим через множество всевозможных спрямляемых жордановых дуг, лежащих в пограничной полосе (A, B) и разделяющих A \ B и B \ A. Величину length (A, B) = inf length далее называем длиной пограничной полосы (A, B).

Легко видеть, что всегда length (A, B) min{H1 (A B), H1 (B A)}.

Здесь символом H1 (E) обозначена линейная мера Хаусдорфа множества E и, в частности, мы имеем H1 (A B) = lim inf length (T ), µ(T ) где T – ломаная с вершинами в точках множества A B, разделяющая области A, B и µ(T ) – длина наибольшего из звеньев.

18 Толстая граница Аналогично, H1 (B A) = lim inf length (T ), µ(T ) где T – соответствующая ломаная.

При определении величины H1 (B A) важное значение имеют выбор вер шин ломаной T и мелкости µ(T ). Возможно, что расхождения в 1000 км при разных способах определения длины Российско - Казахстанской границы, от мечаемые С.В. Голуновым в его докладе (Записки семинара Сверхмедленные процессы, вып. 1, ВолГУ, 2006, стр. 30) связаны именно с геометрической сложностью строения границы и недостаточной мелкостью µ(T ) выбираемых при таких подсчетах ломаных.

Отметим, что некоторые вопросы, связанные с понятиями длины толстой дуги и площади толстой поверхности рассматривались по нашей инициати ве в некоторых курсовых работах математического факультета ВолГУ, к при меру, в работе Е.П. Колпакова К понятию площади толстой поверхности, Вестник Волгоградского государственного ун-та, Исследования молодых уче ных, вып. 4, 2005, часть 2, физ.-мат. и эконом. науки, стр. 6-10.

2.2 Контроль за пограничной полосой Рассмотрим метрическое пространтство M с расстоянием d. Предполо жим, что существует d, 0 d, такое, что всякий круг в M радиуса d может быть контролируем из центра этого круга средствами.

Пусть A M – некоторое множество и E M – множество такое, что при любом y E найдется x A со свойством d(x, y) d. Рассмотрим семейство кругов B(xk, d ) (k = 1, 2,..., N ), для которого E N B(xk, d ) (x1,..., xN A). (1) k= Наименьшую из величин N со свойством (1) будем называть числом контро лирующих точек пары (A, E) и обозначать N (A, E).

Пример 1. Пусть A = {x R2 : |x| r} и E = {x R2 : |x| = R r}.

Предположим, что d(x, y) = |x y| и, далее, d R r. Здесь для числа контролирующих точек имеем r2 + R2 d N (A, E) = arccos + 1, 2rR где символ [·] означает целую часть числа. Пример 2. Пусть D R2 – односвязная область со спрямляемой границей D. Пусть A D – непустое компактное множество и E = D.

Обозначим символом d(x, y) внутреннюю метрику в области D:

d(x, y) = inf length (), где точная нижняя грань берется по всевозможным спрямляемым дугам D, соединяющим точки x, y D.

2.3 Граничная задача для почти решений Рассмотрим метрическое пространство M = (D, d). Предположим, что d(A, D) d d(A, D) + length (D).

Здесь имеем length (D) N (A, D). (2) d d(A, D) Более точные оценки можно определить после конкретизации входящих в (2) величин. 2.3 Граничная задача для почти решений Пусть A, B Rn – области и пограничное множество = AB такие, что D = A – область. Пусть w(x) : D R – измеримая по Лебегу функция такая, что для всякой подобласти D D выполнено 0 ess inf w(x) ess sup w(x).

D D Пусть A : D Rn Rn – отображение, удовлетворяющее следующим предположениям:

(i) для почти всех x D отображение Rn A(x, ) определено и непрерывно, (ii) отображение x D A(x, ) измеримо для всех Rn ;

(iii) для почти всех x D и всех Rn выполняются следующие струк турные ограничения:

µ1 w(x) ||p, A(x, ), |A(x, )| µ2 w(x) ||p1, где µ1, µ2 0 и p 1 – некоторые постоянные.

Удобно обозначить µ = µ2 /µ1. Ясно, что всегда µ 1.

Рассмотрим уравнение div A(x, h) = 0. (3) Говорят, что функция h класса Liploc (D) является в D обобщенным решением уравнения (3), если для всякой непрерывной функции (x) Liploc (D) с компактным носителем supp D выполнено:

, A(x, h) dx = 0, D где dx = dx1... dxn – элемент объема.

Предположения (i) и (ii) гарантируют измеримость отображения x D A(x, g(x)) для произвольного измеримого на D векторного поля g. Осталь ные предположения говорят об эллиптичности (3) (детали см. раздел 3 в J. Heinonen, T. Kilpelinen, and O. Martio, Nonlinear potential theory of degenera a te elliptic equations, Oxford: Clarendon Press. 1993. ). Обобщенные реше ния всевозможных уравнений описанного вида будем называть A-решениями.

20 Толстая граница Множество A-решений содержит, в частности, класс p-гармонических функ ций и при p = 2 гармонических. Отметим, что при определении A-решений в цитированной монографии предполагается, что p 1, и класс A-уравнений не содержит, к примеру, уравнения газовой динамики.

Фиксируем 0. Будем говорить, что непрерывная функция h класса Liploc (D) является почти решением уравнения (3), если для всякой непре рывной функции (x) Liploc (D), 0 (x) 1, с компактным носителем supp D выполнено:

, A(x, h) dx. (4) D Величина 0 называется уклонением почти решения h.

В большинстве приложений дифференциальных уравнений в естествозна нии на самом деле мы имеем дело не с (идеальными) решениями, но с почти решениями. Представляется также перспективным, на наш взгляд, и моде лирование посредством почти решений потоков субстанции в микро- и на ноканалах, микро- и нанотрещинах. Ключевой вопрос постановка краевой задачи в области с толстой границей.

Варианты краевых задач:

(I) для некоторой, наперед заданной функции g Liploc (D) и постоянной s 0 выполнено |f (x) g(x)| s для всех x ;

(II) для некоторого, наперед заданного, ограниченного в существенном ло кально в D векторного поля (x) и постоянной s 0 выполнено | f (x) (x)| s для почти всех x ;

(III) пограничное множество = 1 2 и на 1 имеет место свойство (I), а на 2 свойство (II).

V.M. Miklyukov, Fat boundary Abstract. We discuss some mathematical problems of borderlands.

3 Как мы проверяли результаты ЕГЭ, В.М. Миклюков, В.И. Пелих, 16 июня c В.М. Миклюков, В.И. Пелих, 16 июня Аннотация. Обсуждаются процедура проведения и итоги проверки ре зультатов Единого Государственного Экзамена по математике, в которой ав торы доклада принимали участие в начале июня 2006 г. Формулируются неко торые предложения, могущие способствовать, по мнению докладчиков, улуч шениям такой работы.

3.1 Как это было В.М. Миклюков:

Большая группа (человек 100) преподавателей математики вузов и школ го рода собралась утром, 6-го июня, около 9-и для проверки работ ЕГЭ.

Ждем. Первую пачку школьных работ принесли только в начале 12-го. Я же получил первую свою пачку из 20 работ лишь в начале 1-го.

В.И. Пелих: Ваш покорный слуга работал ЕГЭвистом (экспертом ЕГЭ по официальной терминологии) уже раз 5-й, поэтому ничему не удивился. Лю бой российский чиновный аппарат самодостаточен, существует исключитель но для удовлетворения собственных потребностей и преисполнен осознания собственной важности, поэтому он ни чему не учится ни на чьих ошибках. В проведении ЕГЭ первый барьер возникает при общении чиновников с элек тронщиками, ибо говорят они на разных языках. А так, как вся организация ЕГЭ - это общение с электронщиками, то толку не будет пока она не будет по ручена им. ОНО (госкомитет по образованию) на это не пойдёт. Какой кучер отдаст кому-то вожжи, чтобы остаться без куска хлеба.

В.М. Миклюков:

Проверяю. Необходимо соотнести решения задач, предлагаемых школьником, с некоторыми стандартными решениями, описываемыми в КИМах (контрольно измерительных материалах), и выставить оценки за каждую из задач. КИ Мы, как правило, не описывают всех возможных вариантов решений, а по тому часто обращаюсь к коллегам за консультациями. Так же поступают и коллеги, высказывая попутно свои сокровенные мнения об этих материалах.

В.И. Пелих: Уважаемый профессор КИМами называет Критерии оценива ния знаний с развёрнутым ответом, а КИМов он не видел. Я пытался выпро сить один вариант этих самых КИМов, чтобы показать их В.М.Миклюкову, но мне их не дали. Потому, что на них написано что-то секретящее их. Якобы эти люди, которые решают судьбу поколения выпускников не самой мелкой страны, имеют на них исключительное авторское право. Они издадут какие то книжки, и страна сможет их купить (что или кого?). А от мысли, взять 22 Как мы проверяли результаты ЕГЭ полный комплект заданий, которыми 05.06.06 чмарили (достаточно прочесть условие 4 или 5 задачи) молодёжь, и дать ему комплексную профессиональ ную оценку математикам ВолГУ по – видимому придётся отказаться. Не да дут, хотя бумагу в ОНО с просьбой предоставить нам свод ЕГЭ-законов мы напишем.

В.М. Миклюков:

Проверил 40 работ (два комплекта) и чтобы не выключиться полностью от просился домой, поскольку далее качественная проверка стала для меня уже невозможной. Коллеги проверяли работы еще несколько часов.

На следующий день прихожу в половине 10-го. Начинаю проверку. Где-то через час в комнату заходит какая-то молодая женщина (с охранником ?) и объявляет, что в прошлый день проверяющие унесли с собой много КИМов, что она больше их копировать не намерена, что у нее много других дел, что все мы будем наказаны за это длительными ожиданиями свободных КИМов и т.д. Пришлось вмешаться и включить профессорские амбиции. Леди (с охранником ?) срочно ретировались...

В.И. Пелих: Речь идёт не о КИМах, а о Критериях оценивания.

Дело в том, что эксперты - это лучшие преподаватели математики города.

Они разумеется хотят иметь представление о предмете разговора в целом, но им не дают. Вот они и берут на память хоть что-то, а если серьёзно, то берут для того, чтобы сегодня вечером порешать со своими учениками и коллегами.

Но эта компания, которая приватизировала себе право превращать нас с вами в кроликов, взяла подписку со всех причастных к разбору тысяч контрольных работ, в каждой из которых лежит никому уже не нужный КИМ о строгом возврате этих КИМов, как бланков строгой отчётности. А ведь можно было бы выдать по полному набору вариантов в каждую школу... Это если бы речь шла не о выгоде компании, а о пользе дела.

В.М. Миклюков:

В этот день проверяю уже 60 работ (три комплекта). Бросается в глаза, что работы стали значительно лучше оформлены, практически без помарок. По палось несколько работ, в которых было решено почти все. Коллеги также обращают внимание на данный феномен, объяснить который оказываются не в состоянии. Кто-то представляет для всеобщего обозрения работу, в которой разные листы исписаны двумя различными почерками...

В.И. Пелих: Ещё бросается в глаза, что в каждой двадцатке работ разных вариантов находится штук пять одинаковых задач абсолютно одинаково ре шённых. Особенно это заметно, когда появляется какая-нибудь оригинальная ошибка, повторяемая другим учеником, как ксероксом. Эксперты со стажем уже не удивляются. В действительности различных вариантов не 100, а 20 просто они перетасованы. В каких-то сопроводительных документах встреча лось научное название этому явлению, но я его забыл. В аудитории школяры мгновенно это вычисляют и, естественно, пользуются.Любопытно, а денежки компания получает как за 100 вариантов?

Удивление В.М.Миклюкова мне напомнило мне почтенного профессора, которому студентом сдавал дифференциальную геометрию. В разгар экза мена Павел Васильевич решил пройтись по аудитории. Его гневу не было предела. Он прекратил экзамен, а в деканат подал заявление, о том что он 3.2 Каким образом организуется сдача ЕГЭ аннулирует результаты всех экзаменов потому, что эти студенты, оказывает ся, СПИСЫВАЮТ.

Наши ученики где-то в школе на Весёлой Вишнёвой Балке под надзором своих учителей географии и труда в компании с мобильными телефонами и просто в дружной компании пишут эти контрольные. Кто-то их запечатыва ет в конверты. Кто-то везёт всё это упомянутым выше электронщикам. Они выковыривают эти тысячи работ из конвертов, якобы отделяют их от фа милий. Суют в сканеры, а затем принтеры выплёвывают копии экспертам.

Это происходит через день или два после экзамена. Раньше на Руси гово рили: концы в воду. Теперь же можно сказать: концы в компьютер. Ведь он не ошибается...если программист не захочет. Или тот, кто этим програм мистом правит? Заметьте, как минимум за день до происходящего, кто-то держит в руках и условия, и ответы, и рекомендованные решения. Так ли уж удивительно, что находятся работы очень похожие на рекомендации ЕГЭ - компании? Возникает естественный вопрос: Почему эту ЕГЭ - компанию создали столь засекреченной, как ФСБ? На её бумагах стоит некоторое ко личество американских букв, среди которых имеются и такие ABBYY, что по-русски легко прочесть как Эй беби, вай-вай!. Не по этой ли причине фор мулировки многих задач в КИМах столь косноязычны и бессмысленны, как компьютерный перевод с ихнего языка на русский?

В.М. Миклюков:

Проверка результатов ЕГЭ для меня закончена. Возвращаюсь домой с мас сой новых впечатлений. Включаю компьютер. Читаю: Генпрокуратура на чала масштабную проверку нарушений, связанных со сдачей ЕГЭ. ( http :

//www.gazeta.ru/education/2006/06/07/ ) Проверку инициировало обраще ние в Генпрокуратуру президента Всероссийского фонда образования Сергея Комкова.

3.2 Каким образом организуется сдача ЕГЭ Приведем выдержки из интервью президента Всероссийского фонда обра зования Сергея Комкова.

Каким образом организуется сдача ЕГЭ?

- Самые вопиющие случаи отмечаются в регионах, где ЕГЭ сдают по си стеме, предложенной компанией КРОК-инкорпорейтед (в этом году они про ходят в 21 регионе). Все КИМы (контрольно-измерительные материалы) с вариантами правильных ответов приходят туда из центра заранее. Все они именные: там заранее обозначены не только имя, отчество и фамилия сда ющего экзамен, но и место его рассадки на экзамене. При этом направляют их из центра, как оказалось, не в местные департаменты образования, а на почтовые адреса физических лиц! Представляете себе, как это выглядит на практике?! Что может помешать этим физлицам сразу выдать нужным ребя там заполненные листы тестовых заданий? Ничего! 90-100 баллов заплатив шим обеспечено. Понятно, что выстраивается очередь из стремящихся внести мзду за нужную оценку.

- Сколько стоит сегодня такой ЕГЭ, есть какие-то данные?

24 Как мы проверяли результаты ЕГЭ - Твердой, фиксированной таксы, разумеется, нет. Но я предполагаю, что пятерочный результат ЕГЭ, т.е. 90-96 баллов, может стоить до $3 тыс. Ес ли абитуриенту предстоит сдать 3-4 вступительных экзамена, то стоимость поступления в вуз составит в среднем $10-12 тыс. Как Вы знаете, печально известный приказ Рособразования №14 сделал в этом году ЕГЭ обязательным для всех регионов, участвующих в эксперименте. Значит, речь идет о мил лионах абитуриентов. Так что деньги тут крутятся огромные – и способов их выкачивания из людей масса.

- Можете назвать какие-нибудь еще?

- А как же. Например, некий Институт современных образовательных про грамм всего за $1 предоставляет с этого года всем желающим информацию о результатах сдачи ЕГЭ до появления официальных отметок. Посылаешь СМС-ку с запросом и с данными паспорта, платишь и получаешь ответ.

Представляете себе, что это значит? Формально информация о результатах сдачи экзамена закрытая: ее не предоставляют даже депутатам Госдумы. А фактически какие-то частные лица владеют федеральной базой данных по ЕГЭ и ею открыто торгуют. Причем якобы совместно с Рособрнадзором, как уверяют руководители Института. Впрочем, с институтом этим тоже мно го неясного. Я был по адресу, указанному в качестве его местонахождения:

Красноказарменная улица, дом 19. Вместо института там находятся жилой дом, детский сад и два магазина - мебельный и продуктовый.

Где действительно расположен институт, сейчас выясняют в Генпрокура туре. А заодно - откуда там берут информацию о ЕГЭ и кто дал им право торговать ею. В понедельник замгенпрокурора Фридинский заверил меня, что в ближайшие дни его сотрудники представят ему всю оперативную ин формацию по этим и другим вопросам.

Одновременно по моему заявлению Генпрокуратура готовит представле ние в Верховный суд, опротестовывая уже упомянутый мной приказ №14 как противоречащий законодательству и конституции. Через день-два представ ление будет в Верховном суде и будет рассмотрено там в течение нескольких дней. Если приказ Рособразования будет отменен, то вузы смогут сами ре шать, засчитывать ли им ЕГЭ в качестве вступительных экзаменов. В этом случае часть абитуриентов, успевших купить ЕГЭ, могут потерять свои день ги. Допускаю, что ряд вузов откажется засчитывать результаты ЕГЭ и будет принимать экзамены в традиционной форме.

- Чем еще отличается сдача ЕГЭ в 2006 году?

- Многочисленными сбоями и скандалами. Система КРОК настолько несо вершенна, что дает компьютерные сбои, аналогичные сбоям системы той же компании ГАС-Выборы. Прямо сейчас разворачивается скандал в Москве.


Грубые нарушения были допущены при организации сдачи ЕГЭ по обще ствознанию в школе № 228 23 мая. Через час после начала экзамена детям заявили, что по ошибке им выдали не те материалы, раздали новые и застави ли исправлять формы тестов и вписывать в них новые ответы. В результате оценки за работы оказались ниже, чем могли быть, и некоторые родители подали апелляции.

В мае 2006 года серьезный компьютерный сбой произошел в Петербурге, где выпускники успели сдать пять экзаменов в форме ЕГЭ: иностранный язык, обществознание, русский язык, биологию и химию. Результаты всех этих экзаменов вызывают настолько серьезные сомнения, что местный центр 3.2 Каким образом организуется сдача ЕГЭ тестирования направил главе Рособрнадзора Виктору Болотову специальное представление, требуя срочно скорректировать КИМы. В противном случае, подчеркивается в документе, Центр полностью снимает с себя ответствен ность за проведение ЕГЭ по системе КРОК.

Произошел в этом году серьезный сбой и в Тамбовской области. 19 мая там сдавали иностранные языки. До сих пор по шкале перевода школьных оценок в баллы ЕГЭ пятерка приравнивалась к 60 баллам и выше. Однако через день после того, как экзамен был сдан, выяснилось, что шкала изменилась и пятерка теперь соответствует 70 баллам и выше. Начался скандал, который принял такой серьезный размах, что Болотов был вынужден специальным постановлением отменить результаты сдачи ЕГЭ по Тамбовской области.

Крупный скандал разгорелся в мае и в Карачаево-Черкесской Республике.

Там прошла целая демонстрация против введения ЕГЭ. Вышедшие на массо вую акцию протеста матери выпускников школ встретили приехавшую в ре гион представительницу Рособрнадзора криками: Не желаем вашего ЕГЭ! и Оставьте наших детей в покое! Говорят, начальственная дама здорово перепу галась и весь свой срок пребывания в республике пряталась от благодарных родителей.

- Но ведь есть же регионы, довольные участием в эксперименте по сдаче ЕГЭ:

- И некоторые даже слишком. В этом году снова появились регионы, кото рые дают непомерно высокие результаты сдачи ЕГЭ. Лидерами стали Мор довия, Калужская область, Башкортостан. Там в этом году результаты сдачи ЕГЭ превысили среднестатистический по России в 5-6, а то и в 8 раз! Даже в Москве, где уровень преподавания достаточно высок, а ЕГЭ сдают толь ко по желанию, а значит, усиленно к нему готовятся, среднестатистический уровень был превышен в 2-2,5 раз. Совершенно очевидно, что в остальных отличившихся регионах речь не идет о повсеместном прекрасном образова нии. Я лично объездил Мордовию и Башкортостан и знаю реальное положе ние дел там: школы оснащены только досками да куском мела, педагогиче ских кадров не хватает. Понятно, что в этих республиках шла целенаправ ленная работа по достижению высоких результатов!

В других субъектах федерации, напротив, результаты сдачи ЕГЭ оказа лись провальными...

Ситуацию Газете.Ru прокомментировал заместитель директора департа мента информационных технологий компании КРОК Андрей Шаин. Хочу уточнить, что компания КРОК - не единственный поставщик технологий для проведения ЕГЭ. В настоящее время ЕГЭ проводится в 79 регионах России.

Из них в 11 регионах ЕГЭ проводится с использованием АИС Экзамен, в 58 - по технологии Федерального центра тестирования, технологию которого приглашенный Вами эксперт никак не комментирует. А в 10 используются обе технологии, - заявил он. - Во все регионы, где проводится ЕГЭ, вне зави симости от используемой технологии контрольно-измерительные материалы поступают заранее из Федерального центра тестирования, но без вариантов правильных ответов (здесь уважаемый профессор Комков лукавит либо пока зывает полное незнание обсуждаемого предмета, варианты ответов находятся только в ФЦТ). Вне зависимости от технологии все КИМы являются неимен 26 Как мы проверяли результаты ЕГЭ ными, поэтому заявление вашего эксперта опять является некорректным. В связи с тем, что рассылку КИМ по всей России осуществляет Федеральный центр тестирования, заслуживает отдельного внимания заявление о том, что КИМы рассылаются на адреса физических лиц, а не на адреса департаментов образования регионов.

3.3 Что делать ?

В.М. Миклюков:

Итак, Генпрокуратура начала расследование. А где она была раньше? А где были другие наши, якобы нехилые спецслужбы МВД, ФСБ? Ведь не нужно иметь семи пядей во лбу, чтобы понять: выпускные и вступительные экзаме ны место, в котором лежат истоки коррупции.

Именно на выпускных и вступительных экзаменах молодому человеку, только что вступающему в жизнь, делается прививка ’неуважения к Закону’ и объясняется на простых примерах, что добиваться собственного продви жения дозволено любыми средствами. И вот уже слышу в маршрутке как девушка ищет по мобиле у кого можно срочно занять денег экзаменатор (в одном из вузов города) без денег якобы не желает ставить ей положитель ную оценку1. Вижу как парень с маманькой тянут на третий этаж корзину с фруктами (объяснение студента якобы на экзамен по...). Вижу ”разносо лы” на столах Государственной Аттестационной Комиссии, на которые перед тем якобы собирали деньги экзаменующиеся. В окружении всего этого уже почти не удивляюсь, когда на одной из первых лекций по математическому анализу студент – первокурсник задает вопрос: сколько стоит зачет по моему предмету ? Итак, проблема поставлена. Если мы и дальше будем молчать, то скоро нас всех утопят, как Герасим3 Муму, только не в реке, а в выгребной яме. Од нако, я не думаю, что нужно начинать решение проблемы с криков ’Пожар!’ ’Пожар!’.

Помнится, читал лет тридцать назад о проведении ЕГЭ, если не изменяет память, в Англии. Там, контроль за проведением ЕГЭ и его проверкой не только находится под пристальнейшим вниманием общественности, но и одна из важнейших задач спецслужб.

Видимо, это необходимо делать и у нас в России. Вношу предложение: орга низовать Общественную группу содействия проведению ЕГЭ, пригласив для участия в ней (на общественных началах, разумеется) также представителей прокуратуры, МВД и ФСБ. Думаю, уже осознание жульем от образования, Девушка разъясняет невидимому собеседнику, что она из села и что может заплатить лишь натурой продуктами питания, а их экзаменатор не берет. Кстати, вот где-бы пригодился кредит на образование !

2 Кстати, то же позволяют себе и некоторые высшие правительственные чиновники.

Несколько лет назад сам слышал по ТВ заявление Починка, что профессорам приносят в конвертиках.

3 Кстати, не владеют ли филологи паспортными данными этого Герасима ? Данными о прописке ?

3.4 Добавление от 25.01.07 что на них положили глаз, скажется позитивно на чистоте проведения эк заменов. И, этак, лет через пятьдесят поставленная проблема будет уже не столь остра.

3.4 Добавление от 25.01. В.И. Пелих: В июле 2006 года подал заявление ректору с просьбой помочь получить в ОблОНО варианты ЕГЭ прошедших лет (всё-таки наш ректор депутат Облдумы) для сравнительного анализа. Дело в том, что все эксперты со стажем убеждены в том, что раздел C выполняется год от года всё хуже и хуже, а средний балл всё растёт и растёт.

В октябре – ноябре получил сначала правила выставления баллов, затем пару толстых буклетов со статотчётами по районам, городам и весям, выпол ненных наробразом под редакцией Виктора Николаевича Беспалова, сплошь заполненных процентами, но вполне бесполезных для учителя математики.

Ни единого варианта единого ГЭ я не получил.

Из правил выставления баллов я понял, что средний балл в нужном разме ре выводится после написания ЕГЭ компанией Эй беби, вай-вай! и, поэтому он растёт от года к году. Очень это удобно для чиновников от наробраза.

На чисто платонический интерес Генпрокуратуры чиновники отреагиро вали оперативно. Апельсиновая Комсомолка 3 ноября 2006 года выдала им целый лист, где написано: На сайте WWW.pi.ru ВЫЛОЖЕНЫ задания года. Радостный захожу него. Читаю: Ежегодный объем производства кон трольных измерительных материалов (КИМ) составляет около 700 ориги нальных вариантов КИМ, в каждом из которых, как правило, 40-50 тесто вых заданий. Варианты КИМ создаются по 14 общеобразовательным пред метам. Общее число используемых тестовых заданий в год составляет около 30 тысяч, что требует формирования базы тестовых заданий, содержащей бо лее 100 тысяч действующих заданий. Ну, наконец-то, торжествует здравый смысл. Если там пятая, к примеру, часть математики, то это тысяч 20 за дач, каждая с балльной стоимостью, собранные по темам да ещё в порядке роста сложности, что ещё нужно учителю?! Бери что хочешь и работай со школярами. А придёт ЕГЭ, датчик случайных чисел выдаст 100 совершенно различных КИМов – вот и всё.

Не тут-то было. Открытый сегмент банка заложен в программу зачёта.

Решишь одну задачу - получишь следующую - в модном ныне режиме он лайн. Жизни не хватит, чтобы просмотреть весь банк. Ужель компашка Эй беби, вай-вай! этого не понимает? Очень даже хорошо понимает.

Сделай действительно для пользы учителя – значит прикрой себе кормуш ку. Прими строгие правила подсчёта баллов на несколько лет вперёд – значит уровень народного образования действительно повышай, а не вешай лапшу в процентах. Раздай сотни тысяч отработанных КИМов по школам – не за ставишь несчастного учителя купить книгу, изданную компанией, такую же иезуитскую, как сайт.

Для госчиновников введение ЕГЭ это очень удобный механизм управле ния потоком абитуриентов текущего года. Но выдавать ЕГЭ на один год – это почти то же самое, что выдавать аттестат со сроком годности, как ке фир. Нонсенс почти конституционный. Госдума зачесала репу и разрешила 28 Как мы проверяли результаты ЕГЭ использовать результаты ЕГЭ два года. А больше? - Слабо! Исчезнет меха низм управления потоком абитуры.


Идея ЕГЭ по математике хороша и полезна как государственный стандарт, как госминимум, разумеется при неизменном (хотя бы лет 5) правиле под счёта баллов. Результаты ЕГЭ должны быть пожизненными, как аттестат. И должна быть возможность, разумеется платная, его повысить.

В этом случае исчезнет простой механизм управления. А кто сказал, что государством можно управлять просто, как велосипедом? Чтобы каждая ку харка...

Вот тут я и понял, что инициированная здесь попытка влияния на процесс очень напоминает знаменитый труд Васисуалия Лоханкина. Вселяют, правда, некоторый оптимизм МГУ, да Минин и Пожарский от народного образования Нижегородской области.

И ещё. Воздадим должное вкладу и волгоградских чиновников в профана цию нормальной по сути идеи. А именно, в целенаправленном снижении роли экспертов (т.е специалистов) до уровня полных кроликов, которым можно не только условия задач не давать, но и заработанные на ЕГЭ гроши в июне года, в конце января 2007.

3.5 Добавление от 3.02. В.М. Миклюков: Я не буду комментировать следующее сообщение интернет газеты ’УТРО’ от 3.02.07, но, безусловно, недостатки складывающейся у нас системы ЕГЭ не исчерпываются исключительно нарушениями законодатель ства.

’На время расследования по факту злоупотребления служебным положе нием со стороны руководства Федерального центра тестирования отстранен от занимаемой должности глава этого ведомства Владимир Хлебников. На время проведения следствия директор Федерального государственного учре ждения Федеральный центр тестирования Владимир Хлебников будет от странен от занимаемой должности, - сообщил в пятницу журналистам глава Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки (Рособрнад зор) Виктор Болотов. Федеральный центр тестирования, подведомственный Рособрнадзору, занимается технологиями тестирования, а именно - работает с базами данных школьников-участников ЕГЭ по всей России. Он получа ет от региональных центров обработки информации бланки с результатами ЕГЭ, ведет их анализ, переводит сырые баллы в стобалльную шкалу еди ного госэкзамена, пояснил Болотов. В пятницу Генпрокуратура сообщила о возбуждении уголовного дела против руководства Федерального центра те стирования. В ходе прокурорской проверки установлено, что руководитель ФЦТ в 2005-2006 гг. заключил 23 фиктивных договора и контракта с ООО Рустест, по которым указанная фирма получила 11,6 млн руб. из бюджета.

Работы по указанным договорам не были выполнены. Как говорится в со общении Генпрокуратуры, учредителем Рустеста является родственница ру ководителя ФЦТ, одновременно состоящая на должности начальника отдела указанного учреждения.’ 3.5 Добавление от 3.02.07 V.M. Miklyukov, V.I. Pelikh, How we veried results of USE Abstract. We dicuss procedure and results of unique state examinations for the school-leaving certicate.

30 Вопросы современных исследований по истории казачества 4 Некоторые вопросы современных исследований по истории казачества, И.О. Тюменцев, 29 июня c И.О. Тюменцев, 29 июня Аннотация. Обсуждаются основные этапы эволюции хозяйственного укла да в казачьих сообществах на Юге России.

4.1 Сообщества протоказаков 1) конные кочевые тюрки, изгнанные врагами из своих улусов и вынуж денные добывать себе пропитание военным наймом, разбоем. В дальнейшем из этого типа казаков сложились некоторые среднеазиатские этносы: казахи, киргизы и пр., а также служилые татары Московской Руси - касимовские, романовские и др.

2) казаки, передвигающихся по рекам в лодках и промышляющих военным наймом, разбоем, охотой, рыболовством, собирательством. Казаки в лодках появились в результате "показачивания" части оседлого населения золотоор дынских городов и окраинных приграничных земледельческих лесостепных районов в верховьях Дона и Северского Донца, Предкавказья. Протоказачьи сообщества этого типа в дальнейшем положили начало волжскому, донскому и запорожскому казачествам.

4.2 Служилые протоказачьи сообщества Во второй половине XV в. образовавшиеся на периферии Золотой Орды государства стали активно использовать протоказаков в борьбе против хана Ахмата и его потомков. Произошли изменения в их наименовании. Если в первое время во Владимиро-Суздальской Руси казаков называли по имени их предводителя, то в XV- начале XVI в. - по названию государства, кото рое их нанимало: ордынские, сибирские, казанские, ногайские или местности, где они оседали или были испомещены: азовские, городецкие (мещерские), рязанские, севрюки. Именно из этих служилых протоказачьих сообществ в дальнейшем родилось вольное казачество.

4.3 Формирование вольного казачества В XVI-XVII вв. главным фактором, определившим дальнейшую двухвеко вую историю казачества, явилось показачивание части населения России. В его основе лежал нарастающий кризис служилого землевладения в Москов ском государстве. Обнищание государевых воинников, которых государство оказалось не в состоянии обеспечить денежным и поместным жалованием, вынуждало многих из них идти в кабалу или искать счастье в Диком Поле.

Именно служилые люди, как показали Р.Г. Скрынников и Н.А. Мининков, 4.4 Образ жизни вольных казаков вплоть до второй половины XVII ст. преобладали среди русских беглецов, так как не имеющие боевого опыта крестьяне имели мало шансов выжить среди воинственных степняков.

Основные этапы становления вольного казачества :

1) начало XVI в. Гибель Большой Орды. открыла вольным казачьим сооб ществам русского пограничья дорогу на Нижнюю Волгу и Подонье.

2) 40-50-е годы XVI в., опираясь на поддержку Московского государства, они начали строить укрепленные городки и оседать на великих степных реках.

3) 60-80 - х года вольное казачество, набрав силу, благодаря исходу значи тельной части служилых людей из России на юг, отвоевало у ногаев Нижнюю Волгу, Средний и Нижний Дон с притоками и закрепилось на Тереке и Яике.

4) Начало XVII в. Исход очередной волны показачившихся служилых лю дей из России после Смуты начала XVII ст. привел к образованию Донского, Яицкого, Гребенского и Сунженского казачьих войск., носившие черты ран них государственных образований. Славянский этнический элемент в них уже играл ведущую роль, хотя в казаки по прежнему принимались лица разной этнической принадлежности и веры.

4.4 Образ жизни вольных казаков Хозяйство вольных казачьих сообществ XVI-XVII вв., как показали ис следования, носило ярко выраженный присваивающий характер: походы за зипунами, военный найм, рыболовство, охота собирательство. Именно это за ставляло казаков осваивать все новые и новые земли. Вести войны с турками, а иногда и с Москвой за выходы из Дона, Днепра и Волги в моря для походов за зипунами.

Стратиграфия вольных казачьих сообществ сильно напоминает дружину периода военной демократии: вождество (атаманы), воинство (казаки), отро чество (чуры) и патриархальное рабство (ясырь). Войсковое устройство так же сходно с раннегосударственными образованиями прошлого. Оказавшись в казаках, служилые люди не теряли связи с родиной и надежды со време нем разбогатеть, заслужить прощение государя и, если повезет, вернуться к нему на службу в качестве помещика, служилого казака или на худой конец встретить спокойную старость в одном из русских монастырей.

4.5 Огосударствление казачества В 80-е годы XVI в. построены города-крепости на Волге и в верховьях Дона.

В результате вольные казачьи сообщества были вынуждены уйти с Волги на Дон, в Сибирь, на Яик и Терек В XVII в. против самовольных станичников начали применять такое сред ство как блокада и т.д.

Конец XVII - нач. XVIII в. Подавления бунта С.Разина и К.Булавина при вело к подчинению России Войска Донского Конец XVIII в. - на смену стихийному показачиванию пришло оказачива ние - формирование служилых казачьих сообществ из различных казачьих 32 Вопросы современных исследований по истории казачества групп сведенных с Волги, Дона, Днепра, Яика (Урала), из отставных сол дат, новокрещенных инородцев На Юге России были образованы служилые линейные войска: Волжское, Астраханское, Кубанское, Терское.

4.6 Сторожевые линии на Юге России 4.7 Эволюция хозяйственной системы Конец XVII в. - увеличение количества беглых крестьян среди казаков. В местной экономике наметился переход от присваивающего хозяйства к про изводящему: скотоводству, а в последующем и к земледелию XVIII в. - создание хозяйственной системы, основанной на государствен ном войсковом землевладении, обусловленном обязательной военной служ бой. При этом казаки, в точном соответствии с принципами Московского го сударства XVI-XVII в., как люди, служившие государю, освобождались от налогов и тягла.

4.8 Расказачивание 2-я пол. XIX в. Среди казаков появились крупные землевладельцы, про мышленники, интеллигенция. При этом основная масса казаков, обременен ная обязательной государственной службой, оказалась неспособной успешно конкурировать с землевладельцами и освобожденными от крепостной зави симости крестьянами. Петербургские власти оказались перед выбором: про вести буржуазные реформы в казачьих областях или постараться сохранить казачество как военно-полицейскую силу для удержания контроля над про цессами, протекавшими в стране. В конечном счете был выбран второй курс, который привел и монархию и казачество к катастрофе. Основная масса ка заков отказалась защищать монархию в феврале 1917 г. и поддержала боль шевиков в конце 1917 - начале 1918 гг.

4.9 Возрождение казачества 20-е годы XX в. - ликвидация экономико-правовых основ враждебного большевикам служилого казачьего сословия и укрепление позиций их соци альных и национальных союзников. Войсковое казачье землевладение было ликвидировано. Было осуществлено административно-территориальное пере устройство, по которому казачьи области были разделены и вошли в новые административно-территориальные образования.

20-е - 30-е гг. У казаков, также как у крестьян, добровольно-принудительно изъяли их земельные паи в коллективную собственность, и они фактически превратились в аграрных рабочих 4.9 Возрождение казачества Распад СССР и протекающая в условиях социально-экономического кризи са реставрация капитализма в России, создали на Северном Кавказе геополи тическую ситуацию во многом сходную с XIX в. Столкнувшись с исламским радикализмом и национальным сепаратизмом, московские власти не прочь были бы опереться на давнего союзника России на Кавказе - казачество и получить, по опыту прошлого, практически бесплатную военную силу для борьбы с врагами. Именно поэтому власти с пониманием отнеслись к дви жению за возрождение казачества и по мере возможности оказывают ему спорадическую помощь. Проблема заключается в том, что и центральные и местные руководители также весьма смутно представляют каким должно быть казачество и каковы его функции в Новой России. Пугает власть необ ходимость значительных финансовых вложений в порушенное казачество с весьма сомнительным эффектом и проблематичной отдачей. При этом имея в качестве альтернативы "европейские" рецепты решения проблем, очень труд но решиться идти по этому опасному и полному издержек пути.

I.O. Tyumentsev, Some questions of contemporary researches in the Cossack hystory Abstract. There are discussed main stages of the evolution of the economic structure in Cossack associations of Russian South.

34 В зонах стагнации 5 A-гармонические функции в зонах стагнации, В.М. Миклюков, 22 сентября c В.М. Миклюков, 22 сентября Аннотация. Изучается поведение решениий эллиптических уравнений в их зонах стагнации, т.е. в областях, решения в которых близки к тождествен но постоянным (s-зонах). Рассматривается случай A-гармонических функций и нулевого граничного условия Неймана. Указывается оценки размеров под областей s-зон, где решения нетривиальны.

При течениях жидкости или газа в канале возникают зоны стагнации области, в которых поток почти неподвижен. К примеру, если отношение длины канала к его ширине велико, то потенциальная функция идеального несжимаемого потока почти постоянна на весьма протяженных участках. По добная ситуация возникает при изучении течений жидкости или газа внутри продуктопроводов, при исследовании потоков электрических или химических полей в наноканалах и нанотрещинах, микро-электро-механических системах (MEMS) и т.п.

Следующее понятие является ключевым. Подобласть U области D назы вается зоной стагнации (sзоной) функции f : D R, если колебание f на U не превосходит некоторой, наперед заданной постоянной s 0.

В работах [Mik06a], [Mik06b], [Mi06e, глава 7] были даны некоторые оценки размеров зон стагнации решений уравнения Лапласа – Бельтрами на липши цевых поверхностях при различных граничных условиях на решения.

В случае, когда решение f : D R2 R описывает интенсивность то варообмена на том либо ином географическом пространстве, теоремы о гео метрических размерах зон стагнации дают (при надлежащих ограничениях на выбираемую модель) оценки размеров зоны стагнации мира-экономики, примыкающей к этому участку границы. Граничное условие f /n = 0 опи сывает в данной модели линию, "пересекать которую как с той, так и с другой ее стороны бывало выгодно с экономической точки зрения лишь в исключи тельных случаях"(Бродель [Bra, стр. 18–19]).

Теоремы о размерах зон стагнации решений тесно связаны с предлиувил левыми теоремами оценками колебания решений, прямыми следствиями которых являются версии классической теоремы Лиувилля об обращении в тождественную постоянную целой, двояко периодической функции [Mik06b, с. 40–45].

Если s-зона U D определена для некоторой величины s 0, не превос ходящей ошибки измерения функции f, то ключевой проблемой становится поиск косвенных методов получения информации об изменении f в U, не использующих прямых измерений. Настоящая работа посвящена одному из подходов к изучению поведения решений в таких зонах стагнации мы ука зываем оценки снизу колебания решения f на подобластях U. Указанные оценки позволяют, в частности, при некоторых специальных условиях на ре шения делать заключения об их нетривиальности в s-зонах.

5.1 Билипшицевы поверхности в Rm Билипшицевы поверхности в Rm 5. Пусть X и Y – произвольные метрические пространства с метриками d и соответственно. Отображение f : X Y называется билипшицевым (квазиизометрическим), если существует постоянная C, 0 C, такая что 0 C (x, x) d(f (x ), f (x)) C 1 (x, x) при любых x, x X.

Отображение f : X Y локально билипшицево, если указанное свой ство имеет место для любого компактного подмножества U X с некоторой постоянной C = C(U ).

Рассмотрим поверхность Rm, заданную над областью D Rn локаль но билипшицевой вектор-функцией f = (f1 (x),..., fm (x)) : D Rm, x = (x1,..., xn ) n m.

Вектор функция f абсолютно непрерывна вдоль любой локально спрямляе мой дуги D, описываемой уравнениями x = x(s) : [0, length ] D.

Согласно теореме Радемахера – Степанова (см., например, [Mi06e, раздел 2.3]) вектор – функция f (x) имеет полный дифференциал почти всюду в об ласти D и почти всюду в D определены измеримые по Лебегу коэффициенты первой квадратичной формы поверхности f f gij (x) =,, i, j = 1, 2,..., n.

xi xj Положим n g(x) = det (gij (x)), k(x) = g(x), dH = g(x) dx1... dxn, g ij (x) = (gij (x))1, i, j = 1,..., n, Пусть Rm произвольная локально билипшицева поверхность. Так как метрика на f (D) индуцирована из Rm, то на определена n-мерная n мера Хаусдорфа H (E), E f (D). Если 1 и 2 суть n-мерные поверхности и h : 1 2 гомеоморфизм, то мы говорим, что отображение h обладает N -свойством Н.Н. Лузина, если для произвольного множества n E 1, H (E) = 0, выполнено n H (h(E)) = (см., например, [Mi06e, раздел 1.4]).

1,n Предположим, что вектор-функция f Wloc (D). Поскольку отображение f : D f (D) гомеоморфно, то для произвольного множества E D выпол нено n H (f (E)) = g dx1... dxn (1) E 36 В зонах стагнации (см. П. Хайлаш [Ha, теорема 12]).

Из локальной билипшицевости f и (1) следует, что n Hn (E) = H (f (E)) = 0 тогда и только тогда, когда (2) и отображения f, f 1 обладают N -свойством Лузина.

Так как f имеет почти всюду полный дифференциал, то в силу (2), почти всюду на существует касательная плоскость Ty (). Таким образом, почти всюду на мы можем определить градиент (связность).

Действительно, пусть : R1 функция и y – фиксированная точка, в которой касательная плоскость Ty существует. Следуя стандартной схеме введения связности на поверхности, продолжим в некоторую окрест ность точки y в Rm. Символом обозначим новую функцию. По определению полагаем T (y) = (y).

Здесь = Rm есть стандартное дифференцирование в Rm и символ uT озна чает ортогональную проекцию вектора u на касательную плоскость Ty ().

Пусть U ограниченное открытое множество. Символом W 1,p (U ), p 1, мы обозначаем множество всевозможных функций : U R, об ладающих следующим свойством: для произвольной точки x U найдутся окрестность V Rm и последовательность C 1 -функций k : V R та ких, что сужения k = k |V U равномерно сходятся к, причем p n sup | k | dH q k V U для некоторого q = const. Здесь величина |·| определена соотношениями n g ij i j,, = || =,.

i,j= Пусть D – область на поверхности, гомеоморфная шару B n (0, 1) в Rn и пусть g : D B n (0, 1) – некоторый гомеоморфизм D на шар. Зафиксируем замкнутые непересекающиеся подмножества P, Q B n (0, 1) и обозначим через P, Q множества всевозможных последовательностей {xk }, лежащих в D и таких, что g(xk ) P, g(xk ) Q соответственно.

Будем говорить, что подобласть U D примыкает к P, если найдется последовательность {xk } P, лежащая в U.

Всякую тройку множеств вида (D, P, Q) будем называть конденсатором.

5.2 A–гармонические функции Пусть D – область на поверхности и пусть k k A: (T (D)) (T (D)) 5.2 A–гармонические функции – отображение, определенное почти всюду на слоении k (T (D)) касательных k-ковекторов. Предположим, что для почти всех y D отображение A опре делено на пространстве k (Ty (D)) касательных k-ковекторов, то есть, для почти всех y D отображение k k A(y,. ) : (Ty (D)) (Ty (D)) определено и непрерывно. Мы предполагаем, что отображение y A(y, ) измеримо для всех измеримых k-ковекторных полей и A(y, ) = ||p2 A(y, ), R1. (3) k Предположим, что для почти всех y D и всех (Ty (D)) мы имеем 1 ||p, A(y, ), |A(x, )| 2 ||p1 (4) при p 1 и с некоторыми постоянными 1, 2 0.

Рассмотрим уравнение div A(y, f) = 0. (5) Напомним, что дивергенция векторного поля A на определяется выраже нием n div A = Ei A, Ei, i= где суммирование производится по произвольному ортонормированному ба зису {Ei }n касательного пространства Ty ().

i= Следуя [HKM, глава 6], мы будем называть решения (5) A-гармоническими функциями, а само уравнение (5) A-гармоническим.

Особо отметим специальный случай (5) уравнение вида n n 1 h g ij (x) h = g = 0. (6) g xi xj i=1 j= Уравнение (6) называется уравнением Лапласа – Бельтрами в метрике поверхности (относительно мотивировки см. [SS, §1, глава 1]).

Для произвольной локально липшицевой функции : D R, мы обозначаем через Db () множество всех точек a D, в которых не име ет полного дифференциала. Символом Db () ниже обозначается множество точек y, в которых не имеет касательной плоскости.

Пусть U D – подобласть и пусть U = U \ D – ее относительная граница. Если множество U является (Hn1, n 1) – спрямляемым, то оно имеет локально конечный периметр в смысле Де-Джорджи и Hn1 – почти всюду на U существует единичный вектор нормали n.

38 В зонах стагнации Определим понятие обобщенного решения уравнения (5) с нулевыми гра ничными данными Неймана на некоторых, наперед заданных участках гра ницы области. Рассмотрим конденсатор (D, P, Q) на поверхности. Подоб ласть U D назовем допустимой, если U не примыкает ни к P, ни к Q и имеет (Hn1, n 1) – спрямляемую относительную границу.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.