авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный университет Лаборатория сверхмедленных процессов Записки ...»

-- [ Страница 4 ] --

Например, в курсе Калашникова (не самом насыщенном математикой) в основном тексте используются интегралы по контуру Hl dl = itot.

l Здесь же применяются потоки вектора через поверхность Dn itot = jn dS + dS.

t S S При изучении курса электричества, помимо рассмотренного выше вопроса о потенциальной энергии, возникает необходимость введения векторных диф ференциальных операций divA, rotA, grad,. По программе курса ’Электричество’ студенты должны познакомиться с уравнениями Максвел ла, где указанные понятия используются по существу.

D + j = rotH, t B = rotE.

t На этом фоне удивляет позиция некоторых авторов учебников по разделам общей физики, написанных как укороченные курсы теоретической физики с громоздким математическим аппаратом, ко времени чтения предмета неиз вестным первокурснику. Воистину стоит пожалеть, что первокурсник, обуча ющийся физике, не может быть рецензентом такого учебника. Он бы многое мог сказать, а главное, такой аппарат только отпугивает значительную часть потенциально талантливых студентов, порождая в них ненужные комплек сы. Особенно это относится к тем студентам, которые отличаются большим желанием докопаться до истины.

Конечно, физика, как наука экспериментальная, имеет и другой, более естественный, путь в своем изучении это лабораторный практикум. Здесь 110 О формировании адекватного математического аппарата студенты наблюдают за физическим явлением напрямую. Одной из важней ших задач, стоящей перед лабораторным практикумом является установле ние самим обучающимся объективных закономерностей, присущих реально му физическому миру. На современном этапе развития физики все эти за кономерности имеют вид математических соотношений. И здесь очень важ но, чтобы студенту был доступен тот математический аппарат, который фи гурирует в соответствующей физической теории. В отношении физического практикума следует также предостеречь некоторых преподавателей от чрез мерного увлечения оценками погрешностей измерений. Строго говоря, такие оценки основываются на прикладной статистике и студентам, даже не прослу шавшим курс теории вероятностей, очень трудно усвоить методы оценивания погрешностей, предлагаемые многими авторами различных пособий по этой теме.

Например, при оформлении результатов лабораторного практикума запи сывать результат в виде x tn, Sx m x + tn, Sx, здесь m искомая величина, tn, коэффициент Стьюдента, x выборочное среднее, Sx корень из выборочной дисперсии, вероятность. Ясно, что входящие сюда величины слишком отягощены заложенным в них понятий ным аппаратом прикладной статистики, совершенно недоступным студенту первого курса.

16.2 Уравнения в физике Еще одним объектом внимания должны стать уравнения. Школьные зна ния ограничиваются алгебраическими, тригонометрическими, трансцендент ными, показательными и логарифмическими уравнениями. В этих случаях неизвестная величина входит в виде аргумента соответствующей функции.

На мой вопрос к аудитории: ’Что называется решением уравнения?’, как правило, отвечают: ’найти корни’. Хотя определение решения известно это либо числа, либо функция (зависит от вида уравнения), которые будучи в него подставлены превращают его в тождество.

В физике важную роль играют дифференциальные уравнения.

Например, основной задачей механики материальной точки является на хождение x(t) ее положения в любой момент времени. При этом, это нахож дение связано с поиском решения дифференциального уравнения, отражаю щего закон природы второй закон Ньютона:

d2 x m 2 = F.

dt В курсах теоретической физики необходимо также обращаться к интеграль ным (операторным) уравнениям и вариационному исчислению.

16.3 Математический аппарат физики 16.3 Математический аппарат физики Увязать все необходимые математические знания с потребностями физи ческих дисциплин в процессе параллельного чтения предметов предоставля ется практически невозможным. В этой связи назрела необходимость в со здании такого математического курса, который бы содержал в себе наиболее востребованные физикой математические разделы и, что может быть более существенным, был бы закреплен в ходе практических занятий. Такой курс можно назвать ’Введение в математический аппарат физики’, в 3-х частях:

1-я для общей физики, 2-я для теоретической физики, 3-я и, возможно, последующие, для спецкурсов. При этом, запрос на тематику этих разделов, должны составлять исключительно физики, исходя только из логики и по следовательности изложения физических дисциплин. Читаться такой курс должен до соответствующего курса общей физики или, в случае теоретиче ской физики и спецкурсов, пособие по такому курсу должно выдаваться сту дентам для самостоятельной работы под руководством преподавателя. Для составления тематики такого курса необходимо проанализировать, например, базовый учебник по соответствующей физической дисциплине и тщательно выявить, на каком конкретном математическом материале он построен и в какой последовательности вводится то или иное математическое понятие. Что касается спецкурсов, то соответствующие разделы могут базироваться на уже прочтенных к этому времени математических дисциплинах. Так, автору на стоящей работы при чтении спецкурса ’Электродинамика СВЧЛ’ в разделе, посвященном теории цилиндрических волн и волноводов, часто приходится апеллировать к вопросам векторного анализа, математической физики, ли нейной алгебры. И все это наряду с необходимостью рассматривать сложные вопросы электродинамики сплошных сред.

Например, очень интересным является вопрос об ограничении возможных частот электромагнитных волн, проходящих через волновод основа совре менной мобильной связи. Оказывается, он тесно связан с задачей Штурма Лиувилля для двумерного оператора Лапласа. Поэтому для достижения по нимания у студентов этого вопроса приходится кратко напоминать этот раз дел из теории дифуров.

В этой связи, было бы удобно иметь под рукой пособие, в котором приво дятся в компактном, но достаточном для техники вывода конкретных физи ческих результатов, виде разделы математических дисциплин. На старших курсах такое пособие можно использовать для самостоятельной работы сту дентов. Можно, конечно, ограничиться ссылкой на соответствующую лите ратуру. Однако это часто неэффективно в силу необходимости из большого объема общей информации выбрать нужную. Перечень таких математиче ских разделов у нас на физическом факультете ВолГУ имеется по разным физическим дисциплинам и он может быть предложен для дискуссии.

Сейчас появилось очень много учебно-методической литературы по ’Со временным проблемам естествознания’ как правило, для гуманитариев.

В свою очередь, имеется большая литература по блоку гуманитарных дис циплин учебных планов для физиков и математиков. Назрела необходимость создать пособия для физиков по актуальным разделам математики на уровне технологического аппарата к различным блокам физических курсов общая физика, теоретическая физика и спецкурсы.

112 О формировании адекватного математического аппарата 16.4 О моделировании процессов окружающего мира Нам представляется важным отметить еще одно обстоятельство, связан ное с рассматриваемым вопросом. Одной из главных задач, стоящей перед выпускником университета, является умение применять на практике полу ченные знания. Во многих случаях это означает умение сформулировать ма тематически задачу на основании имеющихся физических закономерностей.

Это весьма сложная проблема, которую выпускник физического факультета университета все же должен решить. В основе подхода к такому моделирова нию должны лежать знания общей и теоретической физики. Здесь возникает несколько этапов.

Во-первых, необходимо четко определить область применимости привлека емых физических законов, т.е. насколько имеющиеся условия накладывают ограничения на использование конкретных математических формулировок этих законов. Например, может оказаться, что предположение о независимо сти теплоемкости от температуры в тепловой задаче может иметь ограничен ную область применимости.

Во-вторых, необходимо записать те уравнения с начальными и краевыми условиями, которые наилучшим образом описывают происходящие физиче ские процессы.

В третьих, необходимо провести оценку точности входных параметров. Эта оценка по существу будет определять точность искомого решения.

В четвертых, необходимо найти наиболее подходящий метод (аналитиче ский, численный или сочетание обоих) для решения поставленной задачи.

При таком подходе, очевидно, необходимы глубокие знания предметной об ласти, выраженные в наиболее адекватной математической форме. Поэтому вопрос формирования необходимого математического аппарата приобретает очень важное значение при подготовке физиков-профессионалов в классиче ских университетах.

V.V. Yatsishen Forming the adequate mathematical apparatus during physicist training in classic university Abstract. We discuss some problems of the mathematic training on a physics department in a classic universy.

17 Квантовая химия как инструмент современных технологий, Н.Г. Лебедев, 9 февраля c Н.Г. Лебедев, 9 февраля "Математика – единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос." А. Эйнштейн" 17.1 Уравнение Шредингера для молекул и кристаллов Современная теория химической связи основана на квантово-механическом рассмотрении устойчивых многоатомных систем. Электронное строение и свойства любой многоэлектронной системы в стационарном состоянии опре деляются решением стационарного уравнения Шредингера [1]:

H(R, r) = E(R, r), (1) где H - гамильтониан многоэлектронной системы (атом, молекула или твер дое тело), (R, r) - волновая функция системы, зависящая от координат ядер R и электронов r, образующих систему, E - полная энергия системы.

Оператор Гамильтона H всей системы можно представить в виде суммы трех вкладов H = He + HN + HeN, (2) где He включает операторы кинетической энергии электрона i и электроста тического отталкивания электронов i и j 1 1 He = · (i) + ·, (3) 2 2 rij i i=j HN - оператор кинетической энергии ядер 1 1 HN = · (n), (4) 2 mn n HeN - операторы взаимодействия электронов и ядер и отталкивания ядер Zn 1 Zn Zk HeN = +·. (5) rin 2 rnk i,n n,k Здесь Zn и mn - соответственно заряд и масса ядра n;

rij, rin, rnk - рас стояния между электронами i и j, ядром n и электроном i, ядрами n и k соответственно. Гамильтониан (1) записан в единицах массы электрона и си стемы СГС, в рамках нерелятивистского приближения и не содержит опера торы, отвечающие за воздействие на систему всевозможных внешних сил и внутренних неэлектростатических сил.

114 Квантовая химия как инструмент современных технологий Как известно из квантовой механики [1], в случае многочастичной системы строгое решение уравнения (1) наталкивается на непреодолимые вычисли тельные трудности (для системы из трех частиц уже не существует точного решения). Задача упрощается введением приближения Борна - Оппенгейме ра, или адиабатического приближения [2 - 5], позволяющего рассматривать электронные движения отдельно от движения ядер. Последние при решении электронной задачи считаются фиксированными, расположенными на задан ных расстояниях друг от друга. Электроны в системе обладают существенно меньшей массой, чем ядра (для атома водорода отношение соответствую щих масс составляет 5 · 104 ) [2 - 4]. Медленно движущиеся ядра образуют электростатическое поле, в котором с намного большей скоростью движут ся электроны. Отношение средней скорости электронов к средней скорости ядер настолько велико, что движение электронов успевает установиться по чти мгновенно после изменения конфигурации ядер.

Поскольку величины He, HN и HeN содержат члены, зависящие только от r, только от R и от r и R, согласно теореме Борна - Оппенгеймера [2 - 5] волновую функцию системы можно представить в виде (R, r) = (R | r) · (R). (6) В этом случае задача отыскания стационарных состояний системы сводится к решению уравнения, которому удовлетворяет функция (R | r):

[Hel E(R)] · (R | r) = 0, (7) Hel = He + HeN. (8) Функция (R) удовлетворяет уравнению движения ядер в адиабатическом потенциале E(R):

[HN + E(R) E] · (R) = 0, (9) Здесь R - совокупность координат ядер, которые в (7) выступают в качестве параметров, r - совокупность координат электронов. Уравнение (7) называет ся электронным уравнением Шредингера. Величина E(R) имеет смысл пол ной энергии системы, которая находится в состоянии, описываемом волновой функцией (R | r);

ее принято называть адиабатическим потенциалом. Она играет роль добавочной потенциальной энергии в уравнении (9) для ядерной подсистемы.

Таким образом, решение уравнения Шредингера (1) сводится к решению двух уравнений: 1) решению уравнения (7) для фиксированных ядер;

2) реше нию уравнения (9) для найденного из (7) адиабатического потенциала E(R).

Волновая функция всей системы определяется согласно теореме Борна - Оп пенгеймера.

Как всякое приближение, адиабатическое приближение справедливо в опре деленных границах. Для применения адиабатического приближения необхо димо, чтобы разность энергетических уровней колебательной задачи (9) бы ла существенно меньше разности энергий электронных уровней Ek El. Это возможно, когда электронная волновая функция является медленно меняю щейся функцией ядерных координат.

17.1 Уравнение Шредингера для молекул и кристаллов Электронное уравнение Шредингера (7) можно записать в явном виде 1 1 1 Zn (i) + · (R | r) = E(R | r). (10) 2i 2 rij rin i,n i=j Уравнение (10) является основным электронным уравнением квантовой хи мии. Решение этого уравнения возможно лишь с использованием приближен ных методов, одним из которых является метод Хартри, или одноэлектронное приближение [2 - 5].

Гамильтониан рассматриваемой системы можно представить в виде суммы одноэлектронных и двухэлектронных вкладов:

H= h(i) + g(i, j), (11) i ij где 1 Zn h(i) = (i), (12) 2 rin n g(i, j) =. (13) rij Присутствие в гамильтониане (11) члена ij g(i, j), отвечающего за элек тростатическое взаимодействие электронов, не позволяет точно решить урав нение (10). Хартри Д.Р. [2 -5] предложил разбить суммы двухэлектронных операторов на вклады, которые можно приписать отдельным электронам:

g(i, j) V (i). (14) ij i Это предположение можно интерпретировать как движение каждого элек трона в электростатическом поле ядер и в усредненном по пространству и времени потенциале остальных электронов. В результате гамильтониан (11) запишется в виде:

H [h(i) + V (i)] = Hi. (15) i i Тогда, решение уравнения Шредингера Hi (x) = E(x) (16) i ищется в виде произведения одноэлектронных функций:

(x) = 1 (x1 ) · 2 (x2 ) ·... · N (xN ), i (xi ) = i (ri ) · i (s). (17) Волновая функция i (xi ) называется спин-орбиталью, i (ri ) - молекулярной или атомной орбиталью, i (s) - спиновая волновая функция, которая может 116 Квантовая химия как инструмент современных технологий принимать значение (s), если проекция спина равна 1/2, и (s), если проек ция равна 1/2;

xi - совокупность пространственных ri и спиновых координат s i-го электрона, i = 1,..., N, где N - число электронов. Спиновые волновые функции являются ортонормированными.

После подстановки (17) в уравнение (16) получается Hi i (xi ) = i, (18) i (xi ) где i = E. (19) i Уравнение (18) представляет собой одночастичное уравнение Шредингера, описывающее движение одного электрона. Здесь i - одноэлектронная энер гия.

Для выполнения принципа Паули [1] антисимметричная волновая функция представляется в виде слейтеровского детерминанта (метод Хартри-Фока), который для системы с N электронами, расположенных на n = N/2 орбита лях, имеет вид:

1 (x1 ) 1 (x2 )... 1 (xN ) 1 2 (x1 ) 2 (x2 )... 2 (xN ) (x) = = (20)............

N n (x1 ) n (x2 )... n (xN ) 1 = |1 (x1 ), 2 (x2 ),..., n (xN )| = det (xi ).

N N Для систем, содержащих неспаренные электроны на однократно заселен ных орбиталях, волновую функцию необходимо искать в виде линейной комбинации слейтеровских детерминантов (20), соответствующих различным электронным конфигурациям.

Одноэлектронное приближение Хартри-Фока полностью пренебрегает эф фектами корреляции электронов (не учитывает в явном виде члены 1/rij в (10)), которые стремятся находиться на возможно большем расстоянии друг от друга.

17.2 Уравнение самосогласованного поля Хартри-Фока-Рутана. Метод МО ЛКАО Решения уравнения Шредингера (10) должны соответствовать стационар ным значениям энергии, которая находится усреднением гамильтониана:

Hd, E = |H| = (21) где интегрирование ведется по пространственным и спиновым координатам.

Волновая функция предполагается нормированной:

d = 1. (22) 17.2 Уравнение самосогласованного поля Хартри-Фока-Рутана. Метод МО ЛКАО Подстановка (20) в (21) дает выражение для электронной энергии системы с замкнутой оболочкой:

E=2 Hii + (2Jij Kij ). (23) i i,j Здесь Hii – матричный элемент одноэлектронного гамильтониана остова Hcore (1), соответствующий молекулярной орбитали i и включающий опе ратор кинетической энергии электрона и оператор притяжения электрона к ядрам молекулы:

Hcore (1)i dr1, Hii = (24) i 1 Zn Hcore (1) = (1), (25) 2 r1n n Величины Jij и Kij называются кулоновскими и обменными интегралами:

(1) (2) i (1)j (2)dr1 dr2, Jij = (26) i j r (1) (2) i (2)j (1)dr1 dr2.

Kij = (27) i j r Интегрирование проводится по пространственным координатам первого и второго электронов.

Одноэлектронный интеграл Hii представляет собой энергию электрона на молекулярной орбитали i в поле ядер. Двухэлектронный кулоновский инте грал Jij представляет среднее кулоновское отталкивание между двумя элек тронами, один из которых находится на орбитали i, а другой - на j. Обмен ный интеграл Kij, возникающий вследствие принципа антисимметричности волновой функции, уменьшает энергию взаимодействия между электронами с параллельными спинами на различных орбиталях i и j, т.е. описыва ет обменную корреляцию в движении электронов с одинаковыми спинами.

Корреляция, вызванная кулоновским отталкиванием пар электронов с про тивоположными спинами, в одноэлектронном методе Хартри-Фока не учиты вается.

Для получения наилучшего приближения к волновой функции исполь зуется вариационный принцип с учетом ортонормированности молекулярных орбиталей (МО):

j d = ij, (28) i где ij - символ Кронекера.

Предположение о том, что электрон должен "ощущать"влияние потенци ала атомного ядра преимущественно вблизи этого ядра, позволяет орбитали i, соответствующие одночастичным состояниям электрона в молекуле, за писать в виде линейной комбинации атомных орбиталей µ (ЛКАО) [1-5]:

i = Cµi · µ, (i = 1, 2,...), (29) µ 118 Квантовая химия как инструмент современных технологий где Cµi - коэффициенты разложения МО по базису атомных орбиталей (АО).

Метод МО ЛКАО дает возможность учесть тип атомов, образующих мо лекулу. Для описания химической связи в молекулах обычно используют ва лентный базисный набор, состоящий из АО, входящих в валентную оболочку каждого атома системы. Поэтому базис является ограниченным.

Из условия ортонормированности молекулярных орбиталей вытекает усло вие на коэффициенты разложения МО:

Cµi · Cj · Sµ = ij, (30) µ, где Sµ - интеграл перекрывания атомных орбиталей µ и :

Sµ = µ · dr. (31) Тогда остовный, кулоновский и обменный интегралы в методе МО ЛКАО будут иметь вид:

Hii = Cµi · Cj · Hµ, (32) µ, Jij = Cµi · Ci · Cj · Cj · µ|, (33) µ,, Kij = Cµi · Cj · Ci · Cj · µ|, (34) µ,, где Hµ - матричный элемент гамильтониана остова для µ и :

Hµ = µ |Hcore |. (35) После введения матрицы электронной плотности, или матрицы порядков свя зей P, в АО-базисе Pµ = ni · Cµi · Ci, (36) i где ni - заселенность i-ой МО, полная энергия системы примет вид:

1 E= Pµ Hµ + Pµ P · µ| µ|. (37) 2 µ, µ,, Здесь µ,,, - индексы суммирования по базису АО.

Интегралы электронного отталкивания типа µ| в базисе канониче ских орбиталей представляют собой энергию кулоновского взаимодействия между зарядовыми распределениями µ на атоме А и на атоме В:

µ| = µ (1) (1) (2) (2)dr1 dr2. (38) r 17.3 Выбор функционального базиса Минимизация энергии методом неопределенных множителей Лагранжа при варьировании коэффициентов разложения по базису приводит к вековому, или секулярному, уравнению:

[Fµ i Sµ ] · Cµi = 0. (39) µ Уравнение (39) называется уравнением Хартри-Фока-Рутана. Оператор F на зывается оператором Хартри-Фока:

Fµ = Hµ + P · µ| µ|. (40), Уравнение Хартри-Фока-Рутана решается итерационным методом, так как является кубическим относительно коэффициентов Cµi.

Если оператор Хартри-Фока записать в матричном виде:

F = H + G, (41) где H - оператор остова, G - оператор электронного взаимодействия, уравне ние Хартри-Фока-Рутана принимает вид:

FC = SCE. (42) Здесь S - матрица интегралов перекрывания орбит базиса, C - матрица ко эффициентов разложения по базису, E - диагональная матрица собственных значений i оператора Хартри-Фока F.

Уравнение (42) решается методом итераций. Начальное приближение к оп тимальным МО, C0, получается решением уравнения Хартри-Фока-Рутана при условии F0 = H. Используя C0, можно вычислить F1 ;

решение (42) да ет C1, затем опять строится матрица F и т.д. [2 - 4]. Итерационный процесс останавливается, когда достигнута необходимая точность расчета матрицы.

Все вышесказанное относится, главным образом, к системам с закрыты ми молекулярными оболочками, т.е. когда все электроны в системе спарены.

Однако, описанный метод МО ЛКАО справедлив и для систем с открытыми оболочками [2-5].

17.3 Выбор функционального базиса Волновые функции атомных орбиталей выбирают в виде произведения ра диальной и угловой частей:

nlm (r,, ) = Rnl (r)Ylm (, ), (43) где Rnl (r) - радиальная часть волновой функции, Ylm (, ) - угловая часть, n - главное квантовое число, l - орбитальное квантовое число, m - магнит ное квантовое число, (r,, ) - сферические координаты. Функции Ylm (, ) являются сферическими гармониками и имеют следующий вид [6]:

1/ 2l + 1 (l |m|)!

(m+ |m| ) |m| Ylm (, ) = (1) · · · Pl cos() · exp(im), 4 (l + |m|)!

(44) 120 Квантовая химия как инструмент современных технологий |m| где Pl cos() - присоединенный полином Лежандра [6].

Радиальные части АО могут быть трех типов [2- 4]:

1) Водородоподобные орбитали:

3 1/2 l (n l + 1)! 2Z 2Z Zr 2Zr · L2l+ Rnl (r) = · · · exp, n+ 2n [(n + 1)!]3 n n n n (45) L2l+1 2Zr где - присоединенные полиномы Лагерра [6], Z - заряд ядра атома.

n+1 n 2) Слейтеровские орбитали:

Rnl (r) = (2)n+ 2 · [(2n)!]1/2 · rn1 · exp(r), (46) где - слейтеровская экспонента: = (Z )/n, здесь n совпадает с n (для n = 1, 2, 3) и n = n (для n = 4, 5), - постоянная экранирования.

3) Гауссовские функции:

1/2 1/ 22n (n 1)! (2)2n+ · rn · exp r2, Rnl (r) = · (47) (2n 1)! которые существенно упрощают расчеты интегралов (38). Недостаток этих функций состоит в неправильной асимптотике вблизи ядра и при r.

Расчет интегралов (38) проводится различными методами аналитического и численного интегрирования на современных ЭВМ (это так называемые ab initio методы, или неэмпирические). Для таких методов характерны большие затраты машинного времени и необходимы самые современные вычислитель ные машины, которые обладают высокой скоростью обработки информации.

Даже после введения всех возможных упрощений в расчеты интегралов и сокращения используемого набора базисных АО, неэмпирические расчеты, учитывающие все члены многоэлектронного гамильтониана, остаются все же сложными. Другой путь - это вычисление интегралов полуэмпирическим пу тем, который существенно сокращает машинное время [2 - 4]. В этом случае интегралы параметризуются с использованием экспериментальных характе ристик атомов или из результатов неэмпирических расчетов.

17.4 Кластерные модели твердых тел Для изучения электронной структуры идеального кристалла наиболее рас пространенными являются зонные подходы, в которых используется свойство периодичности кристаллической решетки. Основой зонной теории является трансляционная симметрия потенциала, создаваемого ионами твердого те ла. Однако любые отклонения от модели идеального кристалла, такие, как поверхность, примеси, дефекты, рентгеновские и оптические возбуждения, не-упорядоченность в системе, должны учитывать нарушение периодичности криcталлической решетки и делают недействительной основу зонной теории - теорему Блоха.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Отказ от трансляционной симметрии предполагает рассмотрение не всей совокупности атомов кристалла, а его малой части - кластера, образован ного небольшой группой атомов, выделяемой из кристаллической решетки твердого тела. Такой подход к расчету электронной структуры твердых тел получил название кластерного подхода.

При расчете электронной структуры кристаллов широко используются раз личные квазимолекулярные кластерные модели. В них делаются попытки получить основные характеристики электронно-энергетической структуры и распределение электронной плотности в кристалле, исходя из его небольшо го фрагмента - молекулярного кластера (МК). Принципиальная возможность применения данных моделей для кристаллов обусловлена тем, что при рас чете электронной структуры как молекул, так и кристаллов рассматривают систему электронов и ядер, взаимодействие которых между собой определя ет ее свойства. В кластерной модели фрагмент либо просто "вырывают" из кристалла и рассматривают как изолированную молекулу, либо на линии по рванных связей помещают фиктивные атомы (псевдоатомы), стремясь учесть влияние кристаллохимического окружения граничных атомов кластера.

Так, например, группой исследователей ВолГУ ( Литинский А.О., Лебе дев Н.Г., Чернозатонский Л.А., Запороцкова И.В.) были предложены модели ионно - встроенных ковалентно - циклического и орбитально - стехиомет рического, встроенного стехиометрического кластеров, адекватно описываю щие электронное строение и энергетические характеристики зонного строе ния объемных, поверхностных и квазиодномерных структур [7 - 9, 11];

раз работан метод расчета пьезоэлектрических характеристик нанотубулярных структур на основе квантово - химического расчета их электронного строе ния;

рассчитаны основные пьезоэлектрические характеристики боронитрид ных нанотрубок [10, 11] и др.

Список литературы [1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Квантовая механика. Нерелятивистская тео рия, Серия: Теоретическая физика. Т.3. -М.: Наука. -1989. -768 С.

[2] Абаренков И.В., Батцев В.Ф., Тулуб А.В., Начала квантовой химии, Москва: Высш. шк., 1989. 303 с.

[3] Цюлике Л., Квантовая химия, Пер. с нем.- М.: Мир.-1976.-512 С.

[4] Степанов Н.Ф., Квантовая механика и квантовая химия, Москва: Мир, 2001. 519 с.

[5] Майер И., Избранные главы квантовой химии: Доказательства теорем и вывод формул, М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 384 с.

[6] Абрамовиц М., Стиган И., Справочник по специальным функциям, М.:

Наука. -1979. -832 С.

[7] Литинский А.О., Лебедев Н.Г., Модель ионно-встроенного орбитально стехиометрического кластера для расчета взаимодействия поверхности 122 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ твердых тел с молекулами газовой фазы, Журн. физич. химии, 1995, 69, № 1, 132 - 137.

[8] Литинский А.О., Лебедев Н.Г., Запороцкова И.В., Модель ионно встроенного ковалентно-циклического кластера в MNDO-расчетах меж молекулярных взаимодействий в гетерогенных системах, Журн. физич.

химии, 1995, Т. 69, № 1, С. 189-192.

[9] Лебедев Н.Г., Литинский А.О., Модель ионно-встроенного стехиометри ческого кластера для расчета электронного строения ионных кристаллов, ФТТ, 1996, т. 38, № 3, с. 959 - 962.

[10] Лебедев Н.Г., Чернозатонский Л.А., Квантово-химические расчеты пье зоэлектрических характеристик боронитридных и углеродных нанотру бок, Физика твердого тела. 2006. Т. 48. Вып. 10. С. 1909 - 1915.

[11] Лебедев Н.Г., Физико-химические свойства нанотубулярных систем в кластерных моделях твердых тел, Диссертация: док. физ.-мат. наук., Москва: ИБХФ РАН, 2006, 302 с.

N.G. Lebedev, Quantum chemistry as instrument of modern technolo gies Abstract. Quantum-chemistry methods are the instrument of modern chemical and physical technologies. Methods allow modelling and studying a lot of phenome non in micro- and nano-scopic levels and improving the quite real prediction of physical-chemical properties of advanced materials.

18 Эффективные методы проверки взаимной однозначности кусочно-гладкого отображения, В.М. Миклюков, 16 февраля c В.М. Миклюков, 16 февраля Аннотация. Приводится эффективный алгоритм для проверки взаимной однозначности кусочно-гладкого отображения одной многомерной области на другую.

В докладе обсуждается задача, возникающая как важнейшая составная часть общей проблемы триангуляции областей в пространстве Rn, n 2. Ниже мы описываем основные связи данной проблемы с кусочно-гладкими отоб ражениями, приводим некоторые эффективные методы проверки взаимной однозначности отображения в целом и формулируем возникающие при этом вопросы. Необходимость в подобном исследовании в значительной степени мотивируется статьями Н.А. Бобылева, С.А. Иваненко, И.Г. Исмаилова [BII] и Н.А. Бобылева, С.А. Иваненко, А.В. Казунина [BIK], где рассматриваются близкие вопросы, а также критикой М.Ф. Прохоровой [Pr] используемых в статьях методов. В определенной мере постановку проблемы инициировали Б.Н. Азаренок и В.А. Гаранжа, познакомившие автора с указанными публи кациями.

18.1 Некоторые общие топологические факты Мы начнем с изложения теорем Л.Д. Кудрявцева [Ku].

Пусть D Rn – область. Следуя [Al], будем говорить, что D регулярна порядка r 1, если она ограничена и ее граница состоит из r попарно непере секающихся замкнутых топологических (n 1)-мерных псевдомногообразий.

Пусть f : D Rn – непрерывно дифференцируемое отображение области f D Rn. Обозначим через J(x, f ) – якобиан f в точке x D, через D0 – множество точек x D, в которых J(x, f ) = 0. Отображение f : D Rn называется ориентированным, если оно сохраняет ориентацию каждого (n 1)-мерного цикла в D. Ясно, что всякое C 1 -отображение с неотрицательным якобианом является ориентированным.

Следующее утверждение в случае n = 2 было получено К. Сцилардом [Sc] и в общем случае – Л.Д. Кудрявцевым [Ku].

Теорема A. Пусть y = f (x) : D Rn – ориентированное отображение класса C 1 регулярной области D порядка r, непрерывное на D и такое, что f множество нулей якобиана D0 является изолированным в D. Предполо жим, что отображение f взаимно однозначно отображает границу D на 124 Методы проверки взаимной однозначности границу некоторой регулярной области D порядка r. Тогда отображение f есть взаимно однозначное отображение D на D.

Целью настоящей работы является получение аналогов данного утвержде ния для кусочно-гладких отображений. В точках нарушения гладкости отоб ражения якобиан J(x, f ) не существует. На линиях склейки f мы заменяем условие положительности якобиана проверкой выполнения некоторых специ альных требований.

Предлагаемый прием оказывается достаточно эффективным и в близких вопросах дифференциальной топологии. Мы будем использовать его также при получении аналогов формулируемых ниже теорем B и C из работы [Ku].

Теорема B. Пусть y = f (x) : D Rn – ориентированное отображение f класса C 1 области D Rn и множество нулей его якобиана D0 является изолированным в D. Тогда для всякой подобласти U D ее образ f (U ) также есть область.

Пусть D Rn – регулярная область порядка r и i D – компоненты связно сти ее границы, i = 1, 2..., r. Пусть, далее, 1 D – такое псевдомногообразие, что вся область D расположена в конечной области, ограничиваемой 1 D (такое псевдомногообразие среди i D единственно). Предположим, наконец, n что zj суть образующие элементы целочисленных (n 1)-мерных групп n -циклов псевдомногообразий j D, причем ориентация z1 выбрана соот n ветственно, а ориентации zj, j = 2, 3,..., r, – противоположно ориентации всего пространства Rn.

В этом случае целочисленный цикл z n1 = r zj (соответственно цикл n j= z n1 ) будем называть положительной (соответственно отрицательной) ори ентацией границы области D [Al].

Обозначим через µ(z, y) коэффициент зацепления цикла z с точкой y Rn.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема C. Пусть y = f (x) : D Rn – ориентированное отображение класса C 1 регулярной области D Rn порядка r, непрерывное в D. Предпо f ложим, что множество нулей якобиана D0 не имеет внутренних точек.

Пусть, далее, O = {y = 0} – начало координат пространства Rn, D – граница области D, z n1 – какая-либо ориентация D и µ[f (z n1, O)] = 0.

Тогда для любого x D выполнено |f (x)| min |f (x )|.

x D Отметим, что в случае плоской области D, ограниченной простой замкну той линией, условие µ[f (z n1, O)] = 0 равносильно равенству нулю интеграла Стильтьеса d Arg f (x), D 18.1 Некоторые общие топологические факты где Arg f (x) – произвольная непрерывная ветвь изменения аргумента векто ра с концом в точке f (x).

Как отмечено в [Ku], теоремы A, B и C остаются справедливыми для более широкого класса отображений, чем дифференцируемые. Пусть y = f (x) – непрерывное отображение области D Rn и пусть f (x) – степень отобра f жения f в точке x D, D0 = {x D : f (x) = 0} (детали см. ниже). Если в условиях теоремы C требование дифференцируемости отображения y = f (x) заменить требованиями f (x) 0 и пустоты множества внутренних точек f f D0 и f (D0 ), то утверждение сохраняет свою силу.

Аналогично обстоит дело и с теоремами A и B. Более того, требование f f пустоты множеств внутренних точек у D0 и f (D0 ) для них излишне, ибо в f предположениях теорем D0 есть счетное множество.

К числу наиболее завершенных форм теоремы A относится по-видимому теорема А.В. Чернавского [Che]. Мы приведем ее здесь, предварительно уточ нив используемую терминологию. Именно, замкнутой областью U Rn на зывается замкнутое множество, имеющее связную внутренность int U и сов падающее с замыканием своей внутренности U = int U.

Компактная область есть ограниченная замкнутая область.

Отображение f : D Rn нульмерно, если множество f 1 [f (x)] нульмерно в D для каждой точки x D. Если f : D Rn нульмерно, то всякая точка x D имеет фундаментальную систему окрестностей {Gk } такую, что каждая из Gk есть компактная область, граница которой Gk не задевает полного прообраза точки f (x), т.е.

Gk f 1 [f (x)] = (или f (x) f [Gk ] = ) и Gk+1 int Gk.

Ряд полезных для дальнейшего свойств нульмерных отображений можно найти у Ю.Ю. Трохимчука [Tr], Ю. Вяйсяля [V] и Ю. Хейнонена, Т. Киль a пелайнена, О. Мартио [HKM, раздел 14.4].

Говоря далее о фундаментальных системах компактных окрестностей точ ки x D, мы будем понимать окрестности, обладающие перечисленными свойствами.

Область D мы считаем ориентированной, ее компактные подобласти также ориентированы, и на D рассматривается индуцированная ориентация.

Пусть x D – фиксированная точка. Рассмотрим всевозможные компакт ные области G, границы которых не задевают множество f 1 [f (x)]. Отоб ражение f : D Rn называется положительно ориентированным в точке x D, если для всех таких областей коэффициенты зацепления µ(f (x), f [G]) 0.

Отображение f положительно ориентировано в D, если оно положительно ориентировано в каждой точке области D.

Пусть f : D Rn – непрерывное нульмерное отображение области D Rn и пусть {G }I – семейство фундаментальных систем компактных окрест k 126 Методы проверки взаимной однозначности ностей точки x D таких, что G f 1 [f (x)] = k при всяком I и k = 1, 2,....

Если для всякой такой системы окрестностей {G }, k = 1, 2,..., коэффи k циент зацепления µ(f (x), f (G )) f (x) лишь k k(), k то целочисленная функция x f (x) называется локальной степенью (то пологическим индексом) отображения f. Детали см., например, в [KPZ, с. 50 60], [Re, с. 40-46].

Из нульмерности и положительной ориентированности отображения f :

D Rn нетрудно заключить, что локальная степень f (x) определена всюду в D, причем f (x) 0.

Напомним теперь, что множество A D называется граничным, если int A =.

Следующее утверждение доказано в [TB].

Теорема D. Пусть f : D Rn – нульмерное отображение. Тогда мно жество A D точек x D, в которых локальная степень f (x) определе на и обращается в нуль, есть граничное множество.

Отсюда, в частности, вытекает Теорема E. Для нульмерного положительно ориентированного отоб ражения f : D Rn локальная степень f (x) всюду в D определена и f (x) 1 всюду в D.

Доказательство утверждения можно найти у Н.М. Мельниченко [Me].

Формулируемое далее утверждение также принадлежит Н.М. Мельничен ко [Me].

Теорема F. Следующие высказывания равносильны:

i) отображение f открыто и изолировано;

ii) f – нульмерно и положительно (отрицательно) ориентировано;

iii) локальная степень f (x) отображения f : D Rn определена всюду в D и всюду положительна (отрицательна).

В работе [Che] было показано, что множество точек локального гомеомор физма у открытого изолированного отображения f : D Rn открыто и всюду плотно в D Rn, а его дополнение в D, часто обозначаемое символом Bf и называемое множеством точек ветвления f, имеет размерность не выше n 2. Таким образом, множество Bf не разделяет D и, значит, D \ Bf есть область.

Из определения f (x) непосредственно вытекает, что в каждой точке ло кального гомеоморфизма f : D Rn выполнено f (x) = 1 либо f (x) = 1.

Следующая теорема принадлежит А.В. Чернавскому [Che].

18.1 Некоторые общие топологические факты Теорема A. Пусть f : D Rn – отображение компактной области D Rn. Предположим, что i) f (x) 0 всюду в D, ii) f (D) f (int D) =, iii) f () f (D \ ) =, где – открытая порция границы, причем iv) f | – гомеоморфизм.

Тогда f |int D есть гомеоморфное отображение.

Как отмечено также в [Ku], в теоремах A, B и C можно отказаться от требо вания ограниченности областей. Для того, чтобы получить соответствующие утверждения в случае бесконечных областей, можно дополнить пространство n Rn бесконечно удаленной точкой до пространства R, для которого и прове сти необходимые рассмотрения.

При этом условие непрерывности отображения f в D можно заменить бо лее слабым требованием от f быть собственным. Именно, если X и Y – ло кально компактные хаусдорфовы топологические пространства, то непрерыв ное отображение f : X Y называется собственным, если прообраз произ вольного компактного множества, принадлежащего Y, есть компакт в X.

Ряд необходимых для дальнейшего свойств собственных отображений обоб щенных многообразий можно найти в работе Ю.Б. Зелинского [Ze].

Отметим следующее полезное утверждение [Re, глава II, §6].

Теорема G. Пусть D есть открытое множество в Rn, f : D Rn – 1,n непрерывное отображение класса Wloc такое, что для почти всех x D якобиан J(x, f ) 0. Тогда для всякой компактной подобласти U D для любой точки y f (U ) топологический индекс отображения f : U Rn в / точке y неотрицателен.

В наших построениях удобно предполагать, что отображение y = f (x) ло кально липшицево, а требование на степень отображения заменить условием локальной однолистности f. Таким образом, имеют место:

Теорема A. Пусть D Rn – регулярная область порядка r и E D – изолированное в D множество. Пусть y = f (x) : D Rn – ориентиро ванное собственное отображение класса Liploc (D), локально однолистное в D\E. Предположим, что отображение f взаимно однозначно отображает границу D на границу некоторой регулярной области D порядка r. Тогда отображение f есть взаимно однозначное отображение D на D.

Теорема B. Пусть D Rn – регулярная область порядка r и E D – изолированное в D множество. Пусть y = f (x) : D Rn – ориентирован ное отображение класса Liploc (D), локально однолистное в D \ E. Тогда для всякой подобласти U D ее образ f (U ) также есть область.

Теорема C. Пусть D Rn – регулярная область порядка r и множе ство E D не имеет внутренних точек. Пусть y = f (x) – ориентиро ванное собственное отображение класса Liploc (D), локально однолистное в D \E. Пусть, далее, O = {y = 0} – начало координат пространства Rn, D – граница области D, z n1 – какая-либо ориентация D и µ[f (z n1, O)] = 0.

128 Методы проверки взаимной однозначности Тогда для любого x D выполнено |f (x)| min |f (x )|.

x D Кусочно-гладкие+ отображения 18. Рассматриваемая в работе задача возникает как важнейшая часть пробле мы триангуляции областей в Rn. Ниже мы описываем основные связи данной проблемы с кусочно-гладкими отображениями и формулируем возникающие при этом вопросы.

Область D Rn однозначно определена, если задана ее граница D и хотя-бы одна ее внутренняя точка.

Среди возможных способов задания поверхности D можно различить гео метрический и аналитический способы.

Геометрический способ задания состоит, как правило, в задании чертежей ее проекций на координатные плоскости.

Аналитический способ задания предполагает задание в явном либо неяв ном виде параметрического представления (n 1)-мерной поверхности D.

В случае односвязной области D это параметрическое представление может осуществляться посредством отображения : S D, где S – граница n мерного шара либо n-мерного куба в Rn.

Заметим, что если известно гомеоморфное отображение куба на область, то устраивая сколь угодно мелкие разбиения куба, мы автоматически получаем и соответствующие разбиения области.

Опишем требования к кусочно-гладкому отображению.

Ниже мы предполагаем, что одномерная кусочно-гладкая дуга l в Rn может быть задана в параметрическом виде посредством вектор-функции y = f (x) : Q1 Rn, принадлежащей классу C 1 всюду на отрезке Q1 = [1/2, 1/2] за исключением некоторого конечного числа особых точек 1 a1 a2... aN.

2 Точки дуги, не являющиеся особыми, мы будем называть регулярными.

В каждой из особых точек ai, i = 1, 2,..., N, предполагается существова ние конечных односторонних пределов df lim (x).

xai ±0 dx Кусочно-гладкое+ отображение f : Q2 Rn, n 2, мы определяем следу ющим образом. Предполагается, что квадрат Q2 разбит на конечное число од носвязных (открытых) областей Ds, s = 1,..., N, системой кусочно-гладких жордановых дуг l1,..., lM.

18.2 Кусочно-гладкие+ отображения В каждой из Dk вектор-функция f принадлежит классу C 1 и продолжима по непрерывности на замыкание Dk так, что f C 1 всюду в замкнутой области Dk за исключением описанных выше особых точек на граничных дугах l1,..., lM.

Сужения f |li, i = 1,..., M, суть непрерывные вектор-функции.

Кусочно-гладкие+ отображения f : Qp Rn, n p 3, определяются понятным образом.

Следует отметить, что введенное определение весьма отличается от опре деления кусочно-гладкого отображения в [BIK]. В частности, мы не предпо лагаем, что области Ds являются выпуклыми.

Изучим подробно двумерный случай. Пусть f : Q2 R2 – непрерыв ное отображение, принадлежащее классу C 1 на каждой из подобластей Ds, s = 1,..., N. Пусть a li – регулярная точка, лежащая одновременно на границах односвязных подобластей Ds, Ds (1 s, s N ). Для краткости мы будем обозначать эти подобласти через D и D+ соответственно.

Предположим, что каждое из C 1 -сужений f |D± в точке a может быть про ± должено гладким образом на подходящую полуокрестность Ua D этой точки до C 1 -отображения f ± : Ua R2. Пусть J(a, f ± ) – их якобианы.

Нашей ближайшей целью является исследование вопроса: можно ли с по мощью величин J(a, f ± ) указать признак локальной гомеоморфности (основ ного) кусочно-гладкого+ отображения f : D R2 ?

Мы имеем J(x, f ± ) dx1 dx2 = J(a, f ± ), lim r0 r B(a,r) здесь B(x, r) означает круг радиуса r 0 с центром в точке x R2.

Отсюда, обозначая через |E| площадь множества E R2, находим |f ± (B(a, r))| = J(a, f ± ).

lim r r Так как a li есть регулярная точка, то дуга li имеет в ней касательную, а потому ± |B(a, r) Ua | lim =.

r2 r ± Функции f (x) имеют в точке a полные дифференциалы, т.е.

f ± (x) = f ± (a) + (f ± ) (a)(x a) + (x)|x a|, (2.1) где (x) 0 при x a.

Так как det (f ± ) (a) = J(a, f ± ), то как нетрудно видеть, что |f ± (B(a, r) Ua ) | ± = J(a, f ± ).

lim (2.2) r r 130 Методы проверки взаимной однозначности Мы имеем + f (B(a, r)) = f (B(a, r) (Ua Ua )) = + = f (B(a, r) Ua ) f (B(a, r) Ua ) = = f + (B(a, r) Ua ) f (B(a, r) Ua ).

+ + Тем самым, в силу (2.2) приходим к соотношению |f (B(a, r))| 1 = J(a, f + ) + J(a, f ).

lim r2 2 r В многомерном случае рассуждения практически не меняются и мы имеем:

Теорема H. Пусть f : D Rn – кусочно-гладкое+ отображение, a li – регулярная точка. Если f является C 1 -продолжимым на полуокрестности Ua так, что J(x, f ± ) 0 в Ua, то ± ± |f (B(a, r))| 1 = J(a, f + ) + J(a, f ).

lim n |B n (0, 1)| r0 r 2 Докажем, что в указанных предположениях условие J(a, f ± ) влечет локальную гомеоморфность кусочно-гладкого+ отображения f : D R2 в регулярной точке a li.

Так как отображения f ± совпадают вдоль li в окрестности точки a, то из (2.1) вытекает существование постоянных [0, ], p± 1 такие, что в ± областях Ua отображения могут быть записаны в виде y1 = x1 cos + x2 sin + ± (x) |x a|, (2.4) y2 = p± (x1 sin + x2 cos 2 ) + ± (x) |x a|, где ± (x) 0, i = 1, 2, при x a.

i Если окрестность Ua точки a достаточно мала и каждое из C 1 -отображений f ± имеет ненулевой якобиан в a, то можно считать, что сужения f ± на Ua ± гомеоморфны. Это означает, что любая, достаточно близкая к f (a), точка y f (Ua ) может иметь не более одного прообраза в каждой из полуокрестностей ± Ua. С другой стороны, в силу представлений (2.4) прообразы такой точки не ± могут лежать в разных Ua. Отсюда вытекает, что f взаимно однозначно в окрестности точки a li.

Заметим, что в описываемом случае f имеет в точке a в качестве диффе ренциала df (a) непрерывное кусочно-линейное отображение.

18.3 Описание алгоритма Рассуждения в случае n 2 аналогичны и, тем самым, имеет место утвер ждение.

Теорема H. Пусть f : D Rn – кусочно-гладкое+ отображение, a li – регулярная точка. Если f является C 1 -продолжимым на полуокрестности Ua так, что J(x, f ± ) 0 в Ua, то f гомеоморфно в окрестности точки a.

± ± 18.3 Описание алгоритма Алгоритм базируется на следующей теореме, вытекающей из теорем A, G и H.

Теорема I. Пусть D Rn – регулярная область порядка r. Пусть y = f (x) : D Rn – кусочно-гладкое+ отображение, имеющее конечное число особых точек и положительный якобиан в каждой точке гладкости.

Предположим, что f продолжимо до C 1 -отображений f ± : Ua Rn на по ± ± ± ± луокрестности Ua регулярных точек a так, что J(x, f ) 0 в Ua. Предпо ложим, что отображение f взаимно однозначно отображает границу D на границу некоторой регулярной области D порядка r. Тогда отображение f есть взаимно однозначное отображение D на D.

Предлагаемый алгоритм проверки однолистности "в целом" отображения f : D Rn включает следующие этапы:

• нахождение точек гладкости, в которых якобиан J(x, f ) = 0;

• определение поверхностей li, i = 1,..., M, вдоль которых вектор-функция f : D Rn терпит разрыв производных;

• нахождение точек негладкости поверхностей li ;

• нахождение точек гладкости поверхностей li, в которых J(x, f ± ) = 0;

• проверка условия конечности особых точек;

• проверка гомеоморфности отображения f на границе D (данное требо вание трудно проверяемо и потому лучше всего его удовлетворить a priori в процессе описания отображения f ).

Заметим, что условие C 1 -продолжимости f локально через поверхности li, i = 1,..., M, как правило, выполняется на практике автоматически. Отоб ражения, не обладающие такими свойствами, вообще говоря, являются мате матическими абстракциями и встречаются исключительно редко.

Таким образом, алгоритм проверки взаимной однозначности кусочно-глад кого+ отображения (за исключением проверки гомеоморфности отображения f на границе D) содержит лишь шаги, сводящиеся к вычислению якобиана в области D и на поверхностях li, что свидетельствует о его эффективности.

Вместе с тем, по-видимому, наиболее сильный результат в данном направ лении получается с использованием теоремы A А.В. Чернавского.

132 Методы проверки взаимной однозначности Теорема A. Пусть f : D Rn – кусочно-гладкое+ отображение ком пактной области D Rn, имеющее конечное число особых точек и по ложительный якобиан в каждой точке гладкости. Предположим, что f продолжимо до C 1 -отображений f ± : Ua Rn на полуокрестности Ua ± ± регулярных точек a D так, что J(x, f ± ) 0 в Ua. Если при этом вы ± полнено:

) f (D) f (int D) =, ) f () f (D \ ) =, где – открытая порция границы, причем ) f | – гомеоморфизм, то f является глобальным гомеоморфизмом.

Условиям ), ), ) можно удовлетворять по построению. Условие C 1 -про должимости допускает возможность эффективной проверки.

При проверке гомеоморфности отображения F на D может быть полезной следующая теорема, восходящая к пионерской работе Адамара (см., напри мер, [KP02, раздел 6.2]).

Теорема A. Пусть M1 и M2 суть гладкие связные n-мерные многооб разия и пусть F : M1 M2 – отображение класса C 1. Тогда если (i) отображение F собственно, (ii) якобиан F не обращается в нуль, и (iii) многообразие M2 односвязно, то F гомеоморфно.

18.4 Сопутствующие результаты Ниже приводятся утверждения, получаемые в качестве следствий описан ного подхода и сформулированных в разделе 1.1 теорем Л.Д. Кудрявцева.


Приводимое ниже утверждение вытекает из теоремы B.

Теорема J. Пусть y = f (x) : D Rn – кусочно-гладкое+ отображение с положительным якобианом в точках гладкости и имеющее конечное число особых точек. Предположим, что f продолжимо до C 1 -отображений f ± :

Ua Rn на полуокрестности Ua регулярных точек a так, что ± ± J(x, f ± ) ± в Ua.

Тогда для всякой подобласти U D ее образ f (U ) также есть область.

Отметим следствие теоремы J.

Теорема K. Пусть y = f (x) : D Rn – кусочно-гладкое+ отображение с положительным якобианом в точках гладкости, непрерывное в D и име ющее конечное число особых точек. Предположим, что f продолжимо до C 1 -отображений f ± : Ua Rn на полуокрестности Ua регулярных точек ± ± a так, что J(x, f ± ) 0 в Ua.

± 18.5 Кусочно-гладкие+ версии теоремы о неявной функции Пусть, далее, O = {y = 0} – начало координат пространства Rn, D – граница области D, z n1 – какая-либо ориентация D и µ[f (z n1, O)] = 0.

Тогда для любого x D выполнено |f (x)| min |f (x )|.

x D Кажется полезным для применений также следующее утверждение.

Теорема L. Пусть y = f (x) : D Rn – кусочно-гладкое+ отображе ние, не имеющее особых точек. Предположим, что якобиан положителен в точках гладкости f, и f продолжимо до C 1 -отображений f ± : Ua Rn ± на полуокрестности Ua регулярных точек a так, что J(x, f ± ) 0 в Ua.

± ± Тогда, если отображение собственно, то существует целое N, 0 N, такое, что для всякой точки y f (D) множество f 1 (y) имеет ровно N прообразов в D.

Кусочно-гладкие+ версии теоремы о неявной функции 18. Ниже указываются применения развиваемой техники к проблеме суще ствования функций, заданных неявно. Другие негладкие варианты теоремы о неявных функциях см. у Поршиау [Po], Варги [Wa], И.В. Журавлева и А.Ю. Игумнова [ZI], В.М. Миклюкова [Mik07, раздел 8.4]. Историю вопроса см. в монографии Кранца и Паркса [KP02].

Пусть m, n 1 – целые и U Rn, V Rm – области. Пусть F (x, y) – произвольная кусочно-гладкая+ функция в D = U V. Если (x, y) – точка, в которой существуют частные производные F/xi, F/yj (i = 1,..., n ;

j = 1,..., m), то пусть F (x, y) – ее матрица Якоби, Fx (x, y) – матрица Якоби по перемен ным x = (x1,..., xn ) при фиксированных y = (y1,..., ym ) и Fy (x, y) – матрица Якоби относительно переменных y при фиксированных x.

Рассмотрим отображение : D Rn+m, определяемое как (x, y) (X, Y ) = (F1 (x, y),..., Fm (x, y), x1,..., xn ).

Ясно, что точки гладкости суть точки гладкости F, а точки регулярности суть точки регулярности F. При этом матрица Якоби отображения имеет вид Fx (x, y) Fy (x, y) (x, y) =, n Om En n где En – единичная n n-матрица и Om есть нулевая n m-матрица.

134 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ В каждой точке гладкости (x, y) D имеем det (x.y) = det Fx (x, y).

Таким образом, как и при доказательстве теоремы 4.3.1 в [Mik07], приходим к утверждению:

Теорема M. Пусть F (x, y) – произвольная кусочно-гладкая+ в D = U V функция, имеющая конечное число особых точек. Предположим, что опре делитель det Fx (x, y) положителен в точках гладкости F, и F продолжима до C 1 -вектор-функции F ± : Ua Rn на полуокрестности Ua регулярных ± ± ± точек a U так, что det Fx (a, y) 0 в Ua при любом y V.

Тогда для любой точки (x0, y0 ) D существуют подобласть Ux0 Vy0 и кусочно-гладкое+ отображение G(x) : U V, G(x0 ) = y0, такие, что F (x, G(x)) = F (x0, y0 ) при всех x U.

Список литературы [BII] Н.А. Бобылев, С.А. Иваненко С.А., И.Г. Исмаилов, Несколько заме чаний о гомеоморфных отображениях, Математические заметки, т. 60, вып. 4, 1996, 593-596.

[BIK] Н.А. Бобылев, С.А. Иваненко, А.В. Казунин, О кусочно-гладких го мерморфных отображениях ограниченных областей и их приложениях к теории сеток, ЖВММФ, т. 43, n. 6, 2003, 808-817.

[Pr] М.Ф. Прохорова, Труды XXXVIII Молодежной школы-конференции ’Ал гебра и топология’, Екатеринбург, 65-69.

[Al] П.С. Александров, Комбинаторная топология, М.-Л., 1947.

[Sc] K. Szilard, Grundlagen der Funktionen theorie, Mathem. Zeitschrift, v. 26, 1935, 653-671.

[Ku] Л.Д.Кудрявцев, О вариации отображений областей, Метрические вопро сы теории функций и отображений, вып. 1, изд-во "Наукова думка", Ки ев, 1969, 34-108.

[Tr] Ю.Ю. Трохимчук, Об открытых нульмерных отображениях многообра зий, Метрические вопросы теории функций и отображений, вып. 1, изд-во "Наукова думка", Киев, 1969, 209-221.

[V] J. Visla, Discrete open mappings on manifolds, Ann. Acad. Scin. Fenn., a aa Ser. A I, Math., 392, 1-10.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [HKM] J. Heinonen, T. Kilpelinen, O. Martio, Nonlinear Potential Theory of a Degenerate Elliptic Equations, Clarendon Press, Oxford New York Tokyo, 1993.

[Che] А.В. Чернавский, Дополнение к статье "О конечнократных открытых отображениях многообразий", Матем. сб., т. 66, n. 3, 1965, 471-472.

[TB] Ю.Ю. Трохимчук, А.В. Бондарь, О локальной степени нульмерного отображения, Метрические вопросы теории функций и отображений, вып. 1, изд-во "Наукова думка", Киев, 1969, 221-241.

[Me] Н.М. Мельниченко, О топологических свойствах отображений с ограни ченным искажением, рукопись, 9 стр.

[Ze] Ю.Б. Зелинский, О непрерывных отображениях областей обобщенных многообразий, Метрические вопросы теории функций и отображений, вып. IV, изд-во "Наукова думка", Киев, 1973, 79-91.

[KPZ] М.А. Красносельский, А.И. Перов, А.И. Поволоцкий, П.П. Забрейко, Векторные поля на плоскости, М.: ГИФМЛ, 1963.

[Re] Ю.Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным иска жением, Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1982.

[Po] B.H. Pourciau, Analysis and optimization of Lipschitz continuous mappings, J. Optim. Theory Appl., v. 22, n. 3, 1977, 311-351.

[Wa] J. Warga, Fat homeomorphisms and unbounded derivate containers, J.

Math. Anal. Appl., v. 81, 1981, 545-560.

[ZI] И.В. Журавлев, А.Ю. Игумнов, О неявнях функциях, Труды кафед ры математического анализа и теории функций Волгоградского государ ственного университета, Изд-во ВолГУ, Волгоград, 2002, 41-46.

[Mik07] В.М. Миклюков, Геометрический анализ. Дифференциальные фор мы, почти-решения, почти квазиконформные отображения, Волгоград:

Изд-во ВолГУ, 2007, 532 с.

[KP02] S.G. Krantz and H.R. Parks, The implicit function theorem. History, Theory, and Applications, Birkhser Boston, c/o Springer-Verlag, New York, u 2002.

V.M. Miklyukov, Eective methods of testing when a piecewise smooth map is one-to-one Abstract. We provide some eective algorithms of testing when a piecewise smooth map is one-to-one.

136 Последовательности, минимизирующие площадь 19 О скорости сходимости последовательности, минимизирующей функционал площади, А.А. Клячин, 16 марта c А.А. Клячин, 16 марта Аннотация. Получены оценки отклонения приближенного решения урав нения минимальной поверхности от точного через разность площадей их гра фиков, а также через интеграл от абсолютной величины средней кривизны графика приближенного решения. В качестве следствия доказана теорема о равномерной сходимости последовательности, минимизирующей функционал площади.

19.1 Постановка задачи Пусть - ограниченная область в Rn и f – функция, определенная в.

Будем предполагать, что f C 1 () C(). Площадь ее графика может быть вычислена по формуле 1 + | f |2 dx.

(f ) = (1) Всюду ниже мы будем считать, что площадь рассматриваемых поверхностей конечна. Уравнение минимальных поверхеностей f Q[f ] div =0 (2) 1 + | f | является уравнением Эйлера-Лагранжа для функционала (1). Известно (см., например, [1], [2]), что задача Дирихле для уравнения (2) эквивалентна вари ационной задаче на минимум площади с заданными граничными значениями.

Условия разрешимости задачи Дирихле можно найти в этих же книгах.

При попытке решать уравнение (2) приближенным методом, основанном на минимизации функционала площади, возникает вопрос о сходимости по строенных решений к точному. Определенным шагом к обоснованию данного метода может служить следующее равенство, полученное в работе [3] sin2 1 + | g|2 dx = (g) (f ), где f – решение уравнения минимальных поверхностей, f | = g|, – угол между нормальными векторами 1 + | f |2, g = ( g, 1)/ 1 + | g|2.

f = ( f, 1)/ 19.2 Основная теорема Однако, это равенство не дает равномерной оценки сходимости миними зирующей последовательности. Более того, несложно привести пример того, что сходимость не будет, вообще говоря, равномерной.

Для получения необходимых оценок нужно накладывать дополнительные ограничения на минимизирующую последовательность, которые можно по лучить, исходя из априорной информации о решении уравнения (2).

19.2 Основная теорема Введем в рассмотрение два функциональных множества. Пусть P (x) – по ложительная непрерывная функция, заданная в области. Положим AP () = {u Lip() : | u(x)| P (x)}.

Пусть (t) – положительная функция, определенная, непрерывная и неубы вающая при t 0. Будем считать, что (0) = 0. Определим множество B () = {u C() : |u(x) u(y)| (d (x, y))}.

где d (x, y) – внутреннее растояние в области.

Обозначим через d0 максимум функции dist(x, ) в области. Для d (0;

d0 ] определим функцию P (d) = sup{P (x) : dist(x, ) d}.

Будем считать, что для всех d (0;

d0 ] выполнено P (d) 1.

Теорема 1. Пусть функция f C 2 () C() и удовлетворяет уравнению (2) в. Тогда, если f, g AP () B () и f = g на, то выполнено неравенство (g) (f ) n+ sup |f g| 4 max (d), 2P 3/2 (d) (3) ()nn для любого d (0;

d0 ], где n – объем единичного шара в Rn и () – основная частота области.

Пример 1. Если f – решение уравнения минимальной поверхности, задан ное в области. Тогда справедлива следующая внутренняя оценка градиента (см., например, [1], §16.2) | f (x)| C1 exp{C2 sup |f (y) f (x)|/d}, y где d = dist(x, ) и C1 = C1 (n), C2 = C2 (n). Таким образом, любое решение уравнения минимальной поверхности, определенное в области и ограни ченное числом M, будет принадлежать множеству AP () с функцией P (x) = C1 exp{2M C2 /dist(x, )}.


138 Последовательности, минимизирующие площадь Пример 2. Пусть f, C 2 () C(), функция f является решени ем уравнения (2), f | = |. Предположим, что – выпуклая область.

Тогда модуль непрерывности функции f может быть оценен через модуль непрерывности функции, sup ||, sup |f | (см. [1], §14.5). Следовательно, f B () с некоторой функцией (t), зависящей от перечисленных посто янных.

Пример 3. Пусть функция f C 2 () C 1 () удовлетворяет в области уравнению минимальных поверхностей и f = на. Предположим, что область выпукла и C 2 (). Тогда | f | C, где C = C(n, M, ||2;

) и M = sup |f | (см. [1], §14.2). В этом случае функция P (x) C.

19.3 Схема доказательства теоремы Положим f t = f + t(g f ) и (t) = (f t ). Тогда, в силу того, что (0) = 0, имеем 1 s (g) (f ) = ds (t)dt = 0 1 s (1 + | f t |2 )| f g|2 f t, f g ds dt dx (1 + | f t |2 )3/ 0 0 1 s | f g| ds dt dx. (4) (1 + | f t |2 )3/ 0 0 Зафиксируем d (0;

d0 ]. Положим h = g f, M = sup |h| и d = {x : dist(x, ) d}. Предположим, что M = sup |h| M/2. Тогда, не \d ограничивая общности, можем считать, что найдется точка x0 d, в кото рой h(x0 ) = M. Покажем, что шар BM/4P (d) (x0 ) d. Действительно, пусть x d такая, что |x0 x | = dist(x, ). Тогда 2P (d)|x0 x | h(x0 ) h(x ) = M h(x ) M M M/2.

Таким образом, расстояние от точки x0 до границы d больше чем M/4P (d).

Следовательно BM/4P (d) (x0 ) d. Предположим теперь, что x BM/4P (d) (x0 ).

19.3 Схема доказательства теоремы 1 Тогда M h(x) h(x0 ) 2P (d)|x x0 | M 2P (d) = M/2.

4P (d) Таким образом, шар BM/4P (d) (x0 ) DM, где DM = {x : |h| M/2} d.

Поэтому | h|2 | h|2 dx dx t |2 )3/2 (1 + P 2 (d))3/ (1 + | f DM () M h dx.

(1 + P 2 (d))3/2 BM/4P (d) (x0 ) 3M Используя, что в шаре B (x0 ) выполнено неравенство h(x) 4, получаем M 8P (d) n | h|2 M () M dx nn.

(1 + | f t |2 )3/2 (1 + P 2 (d))3/2 8P (d) Тогда из неравенства (4) следует 1 ()nn M n+2 (g) (f ).

23n+4 P n (d)(1 + P 2 (d))3/ Таким образом, или M 2M = 2 sup |f g| 4(d) \d или (g) (f ) n+ M 8P 3/2 (d).

()nn Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть f C 2 () C() – решение уравнения (2) и по следовательность функций fm C 1 () C(), fm | = f | минимизирует функционал площади. Если f, fm AP () B (), то последовательность fm сходится равномерно к f на.

Действительно, чтобы установить равномерную сходимость, достаточно для произвольного 0 выбрать такое d, что 4(d ). Затем, для фик сированного d найти номер m0, начиная с которого (fm ) (f ) n+ 3/ 8P (d ).

()nn 140 Последовательности, минимизирующие площадь Из теоремы 1 получаем нужное.

Замечание. Если функция P (x) ограничена в области, то вместо оценки (3) справедливо неравенство (g) (f ) n+ 3/ sup |f g| 8P0, ()nn где P0 = sup P (x).

x 19.4 Интеграл от средней кривизны Теорема 1 позволяет только утверждать, что последовательность прибли женных решений, полученная методом минимизации функционала площа ди, равномерно сходится. Однако с помощью неравенства (3) невозможно оценить степень погрешности, так как неизвестно точное значение площади минимальной поверхности. В следующей теореме правая часть неравенства оценивается через интеграл от средней кривизны.

Теорема 2. Пусть f, g C 2 () C() и f = g на границе. Если f – решение уравнения (2) и f, g AP () B (), то справедливо неравенство n+ sup |f g| 4 max (d), 4P (d) |Q[g(x)]|dx. (5) ()nn Утверждение теоремы непосредственно следует из теоремы 1 и неравенств (g) (f ) = (t)dt (1) = f |2 + | g f, g f = dx = 1 + | g| g = div (f g)dx sup |f g| |Q[g(x)]|dx.

1 + | g|2 Далее будем предполагать, что функции (d) и P (d) определены при всех d 0. Будем считать, что (d) +, P (d) СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ при d +. Введем в рассмотрение функцию (d) = (d) =, d (0, +).

4P 3 (d) В силу возрастания функции (d) и убывания функции P (d), функция (d) монотонно возрастает, при этом (d) 0 при d +0 и (d) + при d +. Обозначим через d = D() обратную функцию к функции (d).

Ясно, что эта функция определена при (0, +). При этом lim D() = 0.

+ При этих предположениях оптимальным значением d в теоремах 1 и 2 явля ется, то значение, при котором (d) = 4P 3 (d). Таким образом, справедливо утверждение.

Теорема 3. Пусть f, g C 2 () C() и f = g на границе. Если f – решение уравнения (2) и f, g AP () B (), то справедливо неравенство 1 n+ sup |f g| 4 D |Q[g(x)]|dx (6) ()nn Неравенство (6) можно интерпретировать как проверочное неравенство.

Если в результате применения того или иного приближенного метода реше ния уравнения (2) получена функция g C 2 (), g = f на границе, то с помощью неравенства (6) можно оценить величину отличия приближенного решения g от точного f.

Список литературы [1] Гилбарг Д., Трудингер М., Эллиптические дифференциальные уравне ния с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

[2] Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н., Линейные и квазилинейные урав нения эллииптического типа. М.: Наука, 1973.

[3] Клячин А.А., Некоторые свойства решений уравнения минимальных по верхностей в финслеровой метрике. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. Выпуск XXVI. Изд-во МГУ, 2005, с. 201-208.

142 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ A.A. Klyachin, On degree of convergence of minimizing area functional sequence Abstract. In this paper we obtained the deviation estimates of approximate solution of minimal surface equation from exact solution by dierence of areas its graphs, and by integral of mean curvature absolute value of approximate solution graph. As following we proved the uniformly convergence of minimizing area functional sequence theorem.

20 Зоны стагнации в сверхмедленных процессах, В.М. Миклюков, 13 апреля c В.М. Миклюков, 13 апреля Аннотация. Изучается поведение решений параболических уравнений в зонах стагнации.

20.1 Постановка задачи Под "сверхмедленными" мы понимаем процессы, текущие величины в ко торых меняются столь незначительно, что зафиксировать эти изменения труд но или даже совсем невозможно, ввиду их малости по сравнению с погреш ностью измерений. Изменения величин становятся заметными лишь по про шествию достаточно длительного времени.

Типичные примеры таких процессов доставляет гомеопатия. Однако, cверх медленными являются не только, и не столько, физиологические процессы, но и значительный ряд других природных процессов, ввиду их сверхмедли тельности выпадающих за пределы традиционных естественнонаучных ис следований. Уважаемый читатель сам укажет подобные примеры, имеющие место в физике, механике, экономике, истории, лингвистике, экологии и др.

К примеру, при течениях жидкости в тонких и длинных трубках возника ют "зоны стагнации" области, в которых потоки почти неподвижны. Если отношение длины трубки к ее диаметру велико, то потенциальная функция и функция тока почти неизменны на весьма протяженных участках. Подоб ная ситуация возникает, к примеру, при стационарных течениях жидкости в длинных трубопроводах или микроканалах.

Ситуация кажется мало интересной для исследования, однако, если мы вспомним, что такие незначительные изменения происходят на сверхдлинных интервалах, то мы увидим здесь целую серию первоклассных задач, требую щих разработки специальных математических методов.

Априорная информация относительно зон стагнации способствует более оптимальной организации вычислительного процесса за счет замены искомых функций соответствующими постоянными в таких зонах. Иногда это делает возможным существенно сократить объем вычислений, что было замечено ранее, к примеру, при приближенных вычислениях конформных отображе ний сильно вытянутых прямоугольников.

Получаемые результаты оказываются небесполезными, в частности, для приложений в экономической географии. В случае, когда функция характе ризует интенсивность товарообмена на том либо ином географическом про странстве, теоремы об ее зонах стагнации дают (при надлежащих ограничени ях на выбираемую модель) оценки геометрических размеров зоны стагнации мира-экономики [Br, стр. 18-19]. К примеру, если поддуга границы области 144 Зоны стагнации в сверхмедленных процессах абсолютно нетранспарентна, а поток векторного поля градиента функции че рез остальную часть границы достаточно мал, то область является для этой функции зоной стагнации.

Теоремы о зонах стагнации оказываются тесно связанными с предлиувил левыми теоремами оценками колебания решений, прямыми следствиями которых являются различные версии классической теоремы Лиувилля об об ращении в тождественную постоянную целой двояко – периодической функ ции [Mi06b].

Выяснение параметров влияния на размеры зон стагнации, открывает воз можность практических рекомендаций к целенаправленным изменениям кон фигурации и, в частности, уменьшению либо увеличению таких зон.

20.2 Уравнения Пусть X и Y – произвольные метрические пространства с метриками d и соответственно. Отображение f : X Y называется билипшицевым (квазиизометрическим), если существует постоянная C, 0 C, такая что 0 C 1 (x, x) d(f (x ), f (x)) C (x, x) при любых x, x X.

Отображение f : X Y локально билипшицево, если указанное свой ство имеет место для любого компактного подмножества U X с некоторой постоянной C = C(U ).

Рассмотрим поверхность Rm, заданную над областью D Rn локаль но билипшицевой вектор-функцией f = (f1 (x),..., fm (x)) : D Rm, x = (x1,..., xn ) n m.

Вектор функция f абсолютно непрерывна вдоль любой локально спрямляе мой дуги D, описываемой уравнениями x = x(s) : [0, length ] D.

Согласно теореме Радемахера – Степанова вектор – функция f (x) имеет полный дифференциал почти всюду в области D и почти всюду в D опре делены измеримые по Лебегу коэффициенты первой квадратичной формы поверхности f f gij (x) =,, i, j = 1, 2,..., n.

xi xj Положим g(x) = det (gij (x)), d = g(x) dx1... dxn, g ij (x) = (gij (x))1, i, j = 1,..., n, Пусть Rm произвольная локально билипшицева поверхность. Так как метрика на f (D) индуцирована из Rm, то на определена n-мерная мера n Хаусдорфа H (E), E f (D). Если 1 и 2 суть n-мерные поверхности и 20.2 Уравнения h : 1 2 гомеоморфизм, то мы говорим, что отображение h обладает N n свойством Н.Н. Лузина, если для произвольного множества E 1, H (E) = n 0, выполнено H (h(E)) = 0.

1,n Предположим, что вектор-функция f Wloc (D). Поскольку отображение f : D f (D) гомеоморфно, то для произвольного множества E D выпол нено n H (f (E)) = g dx1... dxn (1) E (см. П. Хайлаш [Ha, теорема 12]).

Из локальной билипшицевости f и (1) следует, что n Hn (E) = H (f (E)) = 0 тогда и только тогда, когда (2) и отображения f, f 1 обладают N -свойством Лузина.

Так как f имеет почти всюду полный дифференциал, то в силу (2), почти всюду на существует касательная плоскость Ty (). Таким образом, почти всюду на мы можем определить градиент (связность).

Действительно, пусть : R1 функция и y – фиксированная точка, в которой касательная плоскость Ty существует. Следуя стандартной схеме введения связности на поверхности, продолжим в некоторую окрест ность точки y в Rm. Символом обозначим новую функцию. По определению полагаем T (y) = (y).

Здесь = Rm есть стандартное дифференцирование в Rm и символ uT озна чает ортогональную проекцию вектора u на касательную плоскость Ty ().

Пусть U ограниченное открытое множество. Символом W 1,p (U ), p 1, мы обозначаем множество всевозможных функций : U R, об ладающих следующим свойством: для произвольной точки x U найдутся окрестность V Rm и последовательность C 1 -функций k : V R та ких, что сужения k = k |V U равномерно сходятся к, причем p n sup | k | dH q k V U для некоторого q = const. Здесь величина |·| определена соотношениями n g ij i j.

|| =,,, = i,j= Пусть D – область на поверхности, гомеоморфная шару B n (0, 1) в Rn и пусть g : D B n (0, 1) – некоторый гомеоморфизм D на шар. Зафиксируем замкнутые непересекающиеся подмножества P, Q B n (0, 1) и обозначим через P, Q множества всевозможных последовательностей {xk }, лежащих в D и таких, что g(xk ) P, g(xk ) Q соответственно.

146 Зоны стагнации в сверхмедленных процессах Будем говорить, что подобласть U D примыкает к P, если найдется последовательность {xk } P, лежащая в U.

Всякую тройку множеств вида (P, Q;

D) будем называть конденсатором.

Пусть D – область на поверхности и пусть n n A: (T (D)) (T (D)) – отображение, определенное почти всюду на слоении n (T (D)) касательных n-ковекторов. Предположим, что для почти всех y D отображение A опре делено на пространстве n (Ty (D)) касательных n-ковекторов, то есть, для почти всех y D отображение n n A(y,. ) : (Ty (D)) (Ty (D)) определено и непрерывно. Мы предполагаем, что отображение y A(y, ) измеримо для всех измеримых n-ковекторных полей и A(y, ) = ||p2 A(y, ), R1. (3) n Предположим, что для почти всех y D и всех (Ty (D)) мы имеем p/(p1) |A(y, )|, A(y, ), (4) при p 1 и с некоторой постоянной 0.

Рассмотрим уравнение h = a |h|p div A(y, h) (y, t), a = const 0. (5) t Напомним, что дивергенция векторного поля A на определяется выраже нием n div A = Ei A, Ei, i= где суммирование производится по произвольному ортонормированному ба зису {Ei }n касательного пространства Ty ().

i= В случае p = 2 имеем стандартное уравнение теплопроводности.

В случае a = 0 мы будем называть решения h уравнения (5) A-гармони ческими функциями, а само уравнение (5) A-гармоническим [HKM, глава 6].

Особо отметим специальный случай A-гармонического уравнения урав нение вида n n 1 h g ij (y) h = g = 0. (6) g i=1 yi yj j= Уравнение (6) есть уравнение Лапласа - Бельтрами в метрике поверхности.

20.3 Емкость Для произвольной локально липшицевой функции : D R, мы обозначаем через Db () множество всех точек a D, в которых не име ет полного дифференциала. Символом Db () ниже обозначается множество точек y, в которых не имеет касательной плоскости.

Пусть U D – подобласть и пусть U = U \ D – ее относительная граница. Если множество U является (Hn1, n 1) – спрямляемым, то оно имеет локально конечный периметр в смысле Де-Джорджи и Hn1 – почти всюду на U существует единичный вектор нормали n.

Определим понятие обобщенного решения уравнения (5) с нулевыми гра ничными данными Неймана на некоторых, наперед заданных участках гра ницы области. Рассмотрим конденсатор (D, P, Q) на поверхности. Подоб ласть U D назовем допустимой, если U не примыкает ни к P, ни к Q и имеет (Hn1, n 1) – спрямляемую относительную границу.

Локально липшицева функция h : D R является обобщенным решени ем уравнения (5), если для всякой допустимой подобласти U D и произ вольной функции Lip(U ) со свойствами n H U ( Db () Db () = выполнено n A(y, h), n dH = (7) U h n |h|p2 n =, A(y, h) dH +a dH.

t U U Простые соображения показывают, что в случае гладкой поверхности, гладкой границы D, гладких Ai (i = 1,..., n) и C 2 -функции h выполнение (7) влечет соотношение (5) с граничным условием A(y, h), n =0 (8) всюду на D вне граничного множества P Q [Mi06e, §7.2.1]. Ниже мы будем говорить, что данное определение описывает A-гармонические функции h с граничным условием (8) на указанном множестве.

20.3 Емкость Рассмотрим конденсатор (P, Q;

D) на поверхности и обозначим через F – множество локально липшицевых функций (y) : D (0, +), обладающих свойствами:

lim (yk ) = 0, lim (yk ) = 1 (9) {yk }P {yk }Q 148 Зоны стагнации в сверхмедленных процессах и таких, что для всякой подобласти D D выполнено 0 ess inf | (y)| ess sup | (y)|. (10) D D Зафиксируем постоянное векторное поле A(y, ) и определим A-емкость конденсатора (P, Q;

D), полагая n capA (P, Q;

D) = inf A(y, ), dH, (11) F D где точная нижняя грань берется по всевозможным функциям со свойства ми (9), (10).

В частном случае A(y, ) = ||p2 при p = 2 мы имеем обычную гармо ническую емкость конденсатора на поверхности, а при p = n – конформную емкость [Sy, глава III], [HKM, глава 2].

20.4 Размеры зоны стагнации Пусть D – область и h : D R – некоторая функция. Пусть s 0 – некоторое число. Подобласть D называется s-зоной (зоной стагнации) функции h, если существует постоянная C такая, что эта функция отличается (в каком-либо смысле) от C в не более, чем на s.

К примеру, sup |h(y) C| s y или, 1/p = |h(y) C|p dH n h(y) C s.

Lp () Пусть D – ограниченная область, (0, ) R, и пусть h = h(y, t) : D (0, ) R – обобщенное решение уравнения (5), удовлетворяющее условиям (4). Мы будем предполагать, что при всех t 0 выполнено h h|P = 0, = 0, n D\P где P – некоторое граничное множество (случай P = требует небольших изменений в рассуждениях).

В соответствии с определением обобщенного решения, n 0= h h, A(y, n) dH = D 20.4 Размеры зоны стагнации a h n |h|p2 n = h, A(y, h) dH + dH, 2 t D D или 2 h p/(p1) n |h|p2 n |A(y, h)| dH + a dH 0.

t D D Далее заметим, что h |h|p2 n dH = t D 1 2d (|h|p )t dH = n |h(y, t)|p dH I (t).

n = p p dt p D D Кроме того, p/(p1) n |h|p dH, n |A(y, h)| dH P (D) D D где p/(p1) n |A(y, )| dH D P (D) = inf ||p dH n D и точная нижняя грань берется по всевозможным функциям, удовлетворя ющим условиям |P = 0, = 0.

n D\P Таким образом, мы получаем 2a I (t) + P (D) I(t) 0, p т.е.

I (t) p P (D) 2a I(t) и для любых t0 выполняется p I( ) I( ) exp P (D) ( ).

2a Тем самым, доказана:

150 Зоны стагнации в сверхмедленных процессах Теорема 1. Если при всех t t0 решение уравнения (5), удовлетворяю щего предположениям (4), подчинено условию h h|P = 0, = 0, n D\P то при любых,, 0, выполнено p h(y, ) Lp (D) h(y, ) Lp (D) exp P (D) ( ).

2a В частности, если для некоторого s 0 выполнено p h(x, ) Lp (D) exp P (D) ( ) s, (12) 2a то множество D [, ], t0, является s-зоной решения h.

Условию (12) можно удовлетворить, например, если величина до статочно велика или достаточно мала норма h(y, ) Lp (D).

В случае гармонических в R2 функций см. [Mi06a].

20.5 Связь с почти-решениями Нам потребуется понятие почти-решения A-гармонического уравнения, вве денное в [Mi06c]. Фиксируем 0. Будем говорить, что непрерывная функ ция h класса Wp,loc (D) является почти-решением A-гармонического уравне ния, если для всякой непрерывной функции (y) Wq1 (D), + = 1, |(y)| 1, pq с компактным носителем supp D выполнено:

dHn.

, A(y, h) (13) D Величина 0 называется уклонением почти решения h (см. [Mi06c]).

Пусть Rm – n-мерная локально билипшицева поверхность и (P, Q;

D) – произвольный конденсатор в. Предположим, что h – локально липшицево почти-решение уравнения (3) – (5) с a = 0, уклонением 0 и обобщенным граничным условием (8) на D \ (P Q).

Пусть : D R – локально липшицева функция, допустимая при вычис лении емкости конденсатора (P, Q;

D) и пусть n=.

| | 20.5 Связь с почти-решениями Для произвольной (n 1)-мерной (Hn1, n 1)-спрямляемой поверхности, лежащей в D и разделяющей P, Q полагаем n I() = A(y, h), n dH.

Предположим, что 1 2 =, и пусть U – подобласть D, заключенная между 1 и 2. Зафиксируем сколь угодно малое 0 и область D = {y D \ U : d (y, U ) }.

Рассмотрим функцию 1 при y U, d (y, U ) при x D, (y) = при всех остальных y D.

Данная функция удовлетворяет условию Липшица в метрике поверхности.

Так как |(y)| 1, то, в силу (13), имеем n, A(y, h) dH.

D Осуществляя предельный переход при 0, находим |I(1 ) I(2 )|, (14) где 0 – уклонение почти-решения h.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.