авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный университет Лаборатория сверхмедленных процессов Записки ...»

-- [ Страница 2 ] --

|A(z)| + |B(z)| 0.

Рассматривая уравнение (2), предполагаем, что |A(z)| = |B(z)| по чти всюду в D, причем имеются подобласти в которых почти всюду |A(z)| |B(z)|, и подобласти, в которых почти всюду |A(z)| |B(z)|.

В некоторых случаях на пару функций A(z), B(z) будет наклады ваться следующее дополнительное условие |A(z)| + |B(z)| = 1. (3) 6.1 Уравнения Бельтрами переменного типа Договоримся в дальнейшем, говоря об уравнении Бельтрами за данном в виде (1), считать, что |µ(z)| + почти всюду в D.

2. Сформулируем теперь определение решения для уравнений (1) и (2) переменного типа. В отличие от классического случая уравнения Бельтрами (не меняющего тип) мы введем сразу два определения этого понятия. 1, Определение 1. Непрерывную функцию f (z) Wloc (D), удовле творяющую уравнению (1) почти всюду в D, будем называть реше нием 1-го вида данного уравнения.

Решения 1-го вида суть решения в традиционном смысле.

Наряду с этим определением дадим еще одно.

1, Определение 2. Непрерывную функцию f (z) Wloc (D), удовле творяющую уравнению (1) почти всюду в D где |µ(z)| 1, и такую, что почти всюду в D где |µ(z)| 1, уравнению (1) удовлетворяет функция f (z), будем называть решением 2-го вида данного уравне ния.

Для уравнения (2) эти определения можно переформулировать сле дующим образом.

1, Определение 3. Непрерывную функцию f (z) Wloc (D), удовле творяющую уравнению (2) почти всюду в D, будем называть реше нием 1-го вида данного уравнения.

1, Определение 4. Непрерывную функцию f (z) Wloc (D), удовле творяющую уравнению (2) почти всюду в D, где |A(z)| |B(z)|, и такую, что почти всюду в D где |A(z)| |B(z)|, уравнению (2) удовлетворяет функция f (z), будем называть решением 2-го вида данного уравнения.

Хорошо известно, что в случае уравнения Бельтрами, не меняю щего тип, справедливость условия ess sup |µ(z)| 1, D для произвольной подобласти D D, влечет существование гомео 1, морфного решения класса Wloc, причем обратное к нему отображение 1, также принадлежит Wloc.

В дальнейшем мы также допускаем возможность особенности у решений f (z). В связи с этим дадим еще одно определение.

Определение 5. Пусть существует замкнутое относительно D множество D меры mes2 = 0. Если непрерывная в D функ ция f (z), удовлетворяет уравнению (1) в смысле определения 1 (со ответственно, определения 2) в D \ 2, то функцию f (z) будем называть решением 1-го вида (соответственно, 2-го вида) с осо бенностью данного уравнения.

1, 2 При этом не известна принадлежность f Wloc (D).

48 Два вида решений уравнения Бельтрами переменного типа Аналогично определяется решение с особенностью для уравнения Бельтрами заданного в виде (2).

В дальнейшем мы увидим, что наличие особенностей у решений характерно для вырождающихся уравнений.

Введение двух определений понятия решения уравнения Бельтра ми переменного типа диктуется тем, что оказывается весьма про сто получение необходимых и достаточных условий существования и единственности решений 2-го вида. По сути, установление соответ ствующих теорем сводится к уже имеющимся теоремам для класси ческого случая |µ(z)| 1. В то же время каких-либо методов уста новления существования и единственности решений 1-го вида уравне ний переменного типа в настоящее время практически известно мало.

Целью настоящего исследования является выяснение связей между решениями обоих видов.

Отправной точкой для нас является следующий результат (см. [2] или, в наиболее близкой форме, [5]).

Теорема 1. Предположим, что µ(z) : D C измеримая функ ция, такая, что |µ| 1 почти всюду в D и функция 1 + |µ(z)| Pµ (z) = 1 |µ(z)| является локально W 1,2 -мажорируемой 3 в D.

Тогда существует гомеоморфизм w = f (z) : D f (D) C, удо влетворяющий уравнению (1) почти всюду в D, такой, что f (z) 1,2 1, Wloc (D) и f 1 (w) Wloc (f (D)).

Гомеоморфизм w = f (z) единственный с точностью до конформ ного отображения в w-плоскости.

Замечание 1. Пусть (p(z), (z)) характеристики Лаврентьева отображения w = f (z). Заметим, что p(z) = Pµ (z).

Из теоремы 1 получается следующее утверждение для уравнения переменного типа, гарантирующее существование решений 2-го вида.

Теорема 2. Предположим, что измеримые функции A(z), B(z) :

D C (|A(z)| + |B(z)| 0) таковы, что функция |A(z)| + |B(z)| P(A,B) (z) = ||A(z)| |B(z)|| является локально W 1,2 -мажорируемой в D. Тогда существует го меоморфизм w = f (z) : D f (D) C cо свойствами:

(i) f (z) суть решение второго вида уравнения Бельтрами (2);

1, (ii) f 1 (w) Wloc (f (D)).

3 То есть такой, что для любой подобласти D D найдется функция K(z) W 1,2 (D ), такая, что Pµ (z) K(z) почти всюду в D.

6.1 Уравнения Бельтрами переменного типа Рис. 1: Двулистно проецируемая поверхность Гомеоморфизм w = f (z) единственный с точностью до конформ ного отображения в w-плоскости.

В дальнейшем, в связи с этими теоремами, мы будем называть вся кое отображение w = f (z), у которого первая характеристика Лав 1, рентьева p(z) локально W 1,2 -мажорируема ’отображением c Wloc мажорируемой первой характеристикой’.

3. Приведем примеры уравнений Бельтрами переменного типа и решений 1-го и 2-го вида.

Пример 1. Пусть S поверхность заданная отображением y = f(x) = (f1 (x), f2 (x), f3 (x)) : D R2 R3 (x = (x1, x2 )), двулистно проецируемая на область R2 1,y2 ) R3 (см. рис. 1). Пусть S1 и S (y соответственно верхняя и нижняя части S, склеенные по кривой 1, а = f 1 (1 ) ее прообраз в D. Пусть D1 = f 1 (S1 ), D2 = f 1 (S2 ) и f(x) C 1 (Di ), i = 1, 2. Пусть, кроме того, ориентация на S согласована с ориентацией из D, причем на S1 она определяется нормалью к поверхности направленной вверх, а на S2 вниз.

Рассмотрим отображение w = f (z) = f1 (z) + if2 (z) : D (z = f x1 + ix2 ). Положим µ(z) = fz. Тогда |µ(z)| 1 в D1 и |µ(z)| 1 в D2.

z Мы получили пример решения 1-го вида.

Пример 2. Пусть f (z) : D C решение некоторого классиче ского (с |µ0 (z)| 1 почти всюду в D) уравнения Бельтрами fz = µ0 (z)fz.

Разобьем произвольно область D на две подобласти D1 и D2. Поло 50 Два вида решений уравнения Бельтрами переменного типа жим µ0 (z) при z D1, µ(z) = 1/µ0 (z) при z D2.

Тогда |µ(z)| 1 почти всюду в D1, и |µ(z)| 1 почти всюду в D2, а f (z) решение 2-го вида уравнения fz (z) = µ(z)fz (z).

6.2 Стандартные складки, -деформации Введем некоторые необходимые в дальнейшем отображения.

1. Нам понадобится следующее отображение B(z) = x1 + i|x2 | : C {Im w 0} C.

Следуя Ю.Ю. Трохимчуку (см. [8, с. 101]) мы будем называть данную функцию функцией Бора. В литературе для нее также встречается название ”стандартная складка” (”standard folding”, см. [9, p. 70]).

2. Пусть (t) непрерывная при t = 0 функция, причем (t) при t = 0 и интегралы ( )d, ( )d + сходятся. Тогда определена строго монотонно возрастающая функ ция t f (t) = ( )d и можно определить отображение вида F (z) = f (x1 ) + ix2, которые мы будем называть -деформацией.

6.3 Теоремы об (A, B)-складке 1. Пусть D R2 односвязная область, разделенная жордано вой дугой на две подобласти D1 и D2, и пусть |A(z)| |B(z)| почти всюду в D1 и |A(z)| |B(z)| почти всюду в D2.

Определение 6. Решение 1-го вида f (z) с особенностью урав нения (1) (соответственно уравнения (2)), гомеоморфное на мно жествах, Ds (s = 1, 2), будем называть µ-складкой (соответ ственно (A, B)-складкой). Дуга называется в этом случае линией складки.

6.3 Теоремы об (A, B)-складке Напомним [3, с. 15], что дуга C, заданная в виде z = f (t) : (, ) C, f (t) = 0, где f (t) аналитическая по вещественному переменному t функция, называется аналитической.

Кроме того, напомним [4, с. 108], что дуга C называется дугой Ляпунова, если она в каждой точке имеет касательную, а угол на клона между касательной и осью абсцисс есть функция удовлетво ряющая условию Гельдера относительно натурального параметра s |(s ) (s )| C|s s | (0 1), где C, постоянные.

Теорема 3. Предположим, что существуют (A, B)-складка f (z) и g0 (z) гомеоморфное в D решение 2-го вида c особенностью уравнения (2). Тогда если выполняются следующие условия (a) и (b) 1,2 1, (a) или f 1 Wloc (f (D1 )), или g0 Wloc (g0 (D1 )), 1,2 1, (b) или f 1 Wloc (f (D2 )), или g0 Wloc (g0 (D2 )), то справедливы утверждения:

(i) функция f (z) представима в виде f (z) = (B((g0 (z)))), где, некоторые конформные отображения, а B функция Бора;

(ii) g0 () аналитическая дуга;

1, (iii) если функция P(A,B) (z) является Wloc -мажорируемой в D, а 1,2 1, f () дуга Ляпунова, то f (z), g0 (z) Wloc (D), а g0 Wloc (g0 (D)).

Замечание 2. В ходе доказательства этой теоремы устанавлива 1, ется, что при выполнении ее условий и Wloc -мажорируемости функ 1, ции P(A,B) (z) в D существует (A, B)-складка f1 (z) класса Wloc (D), даже если исходная складка f (z) является складкой с особенностью.

Таковой является, например, f1 (z) = B((g0 (z))).

2. Пусть D, D1, D2, и уравнение (2) те же, что и в предыду щем пункте. Имеет место следующая локальная версия утверждения, обратного к утверждению (ii) предыдущей теоремы.

1, Теорема 4. Пусть функция P(A,B) (z) является Wloc -мажориру 1, емой в D и g0 (z) Wloc (D) гомеоморфное в D решение 2-го вида уравнения (2).

52 Два вида решений уравнения Бельтрами переменного типа Предположим, что дуга g0 () g0 (D) является аналитической.

Тогда в некоторой окрестности O( ) произвольной дуги 1, существует (A, B)-складка f (z) W (O( )).

Замечание 3. Указанное в теореме решение g0 (z) существует в силу теоремы 2.

В связи с последней теоремой следует отметить, что существование локальных складок в окрестности, вообще говоря, не означает их глобального существования (см. [11, с. 230, 231]) всюду в D.

6.4 Теорема о сравнении вырождающихся отображений 1. Пусть D R2 односвязная область и v = i(z) фиксиро ванный гомеоморфизм, сохраняющий ориентацию.

Определим в D функцию max |i(z ) i(z)| |z z|=r Ki (z) = lim.

min |i(z ) i(z)| r |z z|=r Известно [12, с. 23 24], что если Ki (z) Q (Q 1 констан та), то отображение i(z) Q-квазиконформно в области D. В этом случае отображение i(z) дифференцируемо почти всюду в D и, зна чит, имеет почти всюду в D первую характеристику Лаврентьева p(z) и комплексную характеристику µ0 (z). Нетрудно также пока зать, что в точках дифференцирумости отображения i(z) верно ра венство Ki (z) = p(z).

Пусть выполняются следующие условия:

1) множество вырождения отображения i(z) = {z : z D, ess sup Ki (z ) = + для всякого круга Br (z)}, z Br (z)D имеет меру mes2 = 0;

2) для отображения i(z) выполняется N -свойство [7, с. 211], то есть всякое множество E D меры 0 переходит в множество i(E) i(D) меры 0.

Заметим также, что множество замкнуто относительно D, а отоб ражение i(z) локально квазиконформно в D \.

Таким образом отображение i(z) дифференцируемо почти всюду в D \, а следовательно и в D. При этом у него почти всюду опре делена комплексная характеристика µ0 (z) и первая характеристика Лаврентьева p(z) = Pµ0 (z) = Ki (z). Из сказанного заключаем, что 6.4 Теорема о сравнении вырождающихся отображений i(z) есть решение с особенностью уравнения Бельтрами вида (1) с µ = µ0 (z).

Примером отображения i(z), удовлетворяющего перечисленным вы ше условиям, является i(z) = F (z) при подходящем = (t).

1, По данному отображению i(z) определим класс функций i Wloc (D), 1, как множество функций вида f (z) = (i(z)), где Wloc (i(D)).

Заметим, что в случае = отображение i(z) локально квази 1, конформно. Следовательно i(z) Wloc (D) и, в силу инвариантности 1, классов Wloc (D) при квазиконформных отображениях (см., напри 1,2 1, мер, [7, теорема 4.2, с. 239]), имеем i Wloc (D) = Wloc (D). Отсюда 1,2 1, ясно, что при =, если f (z) i Wloc (D), то f (z) Wloc (D \ ).

2. Основное наше утверждение следующее.

Теорема 5. Пусть D C односвязная область, v = i(z) :

D i(D) C гомеоморфное отображение со свойствами 1), 2), указанными выше, и комплескной характеристикой µ0 (z).

Пусть µ(z) : D C измеримая, почти всюду конечная функ ция. Предположим, что для всякой подобласти D D можно ука зать функцию K(z) W 1,2 (D ) такую, что Pµ0 (z)| K(z)|2 dx1 dx2 +, (4) D |µ(z) µ0 (z)| K(z) почти всюду в D, (5) |(1 |µ(z)|)(1 |µ0 (z)|)| причем функция K(i1 (v)) абсолютно непрерывна внутри почти всех сечений области i(D ) прямыми, параллельными осям коорди нат.

Тогда существует гомеоморфизм w = f (z) : D f (D) C, для которого справедливы утверждения:

(i) f (z) суть решение 2-го вида с особенностью уравнения (1);

1,2 1, (ii) f (z) i Wloc (D), f 1 (w) Wloc (f (D \ )) и в представлении f (z) = (i(z)) 1, отображение имеет Wloc -мажорируемую первую характеристи ку.

Гомеоморфизм w = f (z) единственный с точностью до конформ ного отображения в w-плоскости.

Замечание 4. Если в теореме требовать лишь (локальную) огра ниченность левой части неравенства (5), и не требовать выполнения 54 Два вида решений уравнения Бельтрами переменного типа условий (4), то получим (локально) квазиконформное отображение (v).

Данная теорема позволяет сравнивать между собой отображения с неограниченными характеристиками Лаврентьева, вообще говоря, 1, не Wloc -мажорируемыми.

Эту же теорему можно установить для уравнений Бельтрами, за данных в виде (2). Приведем соответствующую формулировку.

Теорема 6. Пусть D C односвязная область, v = i(z) :

D i(D) C гомеоморфное отображение со свойствами 1), 2) указанными выше и комплескной характеристикой µ0 (z).

Пусть A(z), B(z) : D C измеримые почти всюду конечные функции, для которых выполнено условие (3). Предположим, что для всякой подобласти D D можно указать функцию K(z) 1, Wloc (D ) такую, что Pµ0 (z)| K(z)|2 dx1 dx2 +, D |A(z) + B(z)µ0 (z)| K(z) почти всюду в D, |(|A(z)| |B(z)|)(1 |µ0 (z)|)| причем функция K(i1 (v)) абсолютно непрерывна внутри почти всех сечений области i(D ) прямыми, параллельными осям коорди нат.

Тогда существует гомеоморфизм w = f (z) : D f (D) C, для которого справедливы утверждения:

(i) f (z) суть решение 2-го вида с особенностью уравнения (2);

1,2 1, (ii) f (z) i Wloc (D), f 1 (w) Wloc (f (D \ )) и в представлении f (z) = (i(z)) 1, отображение имеет Wloc -мажорируемую первую характеристи ку.

Гомеоморфизм w = f (z) единственный с точностью до конформ ного отображения в w-плоскости.

Замечание 5. Для классического случая уравнения Бельтрами не меняющего тип договоримся считать, что понятия 1-го и 2-го видов решений совпадают. Тогда в приведенных формулировках теоремы 5, 6 будут верны и для классического случая.

Замечание 6. Заметим, что данные теоремы можно интерпре тировать как теоремы существования и единственности для отобра 1, жений с характеристикой p(z), не являющейся Wloc -мажорируемой.

6.5 Системы Бельтрами с вырождением на кривой Установленные теоремы сравнения с фиксированным гомеомор физмом играют ключевую роль при доказательстве результатов сле дующего параграфа.

6.5 Системы Бельтрами с вырождением на кривой 1. Как по заданной функции µ(z) (или паре A(z), B(z)) указать отображение i(z) с указанными в предыдущих теоремах свойствами?

Остановимся подробнее на случае уравнения Бельтрами перемен ного типа, заданного в виде (1).

Пусть существует жорданова дуга D, делящая D на две одно связные подобласти D1 и D2 так, что |µ(z)| 1 почти всюду в D1 и |µ(z)| 1 почти всюду в D2. Будем предполагать, что на уравне ние вырождается (Это, вообще говоря, не означает, что совпадает со множеством всех точек, в которых уравнение вырождается). То есть для всякого r 0 и всякого z выполнено ess sup Pµ (z) = +.

Br (z)D Пусть выполняются следующие условия.

(A) Справедливо представление |µ(z)| = 1 + M (z)(H(z)), где M (z) измеримая почти всюду конечная в D функция такая, что M (z) 0 почти всюду в D1 и M (z) 0 почти всюду в D2, (t) непрерывная функция, такая, что (t) 0 при t = 0 и (0) = 0, 1, а H(z) C(D) Wloc (D), причем H(z) = 0 почти всюду в D и H(z) 0 в D1, H(z) 0 в D2.

1, (B) Существует функция Z(z) C(D) Wloc (D) такая, что отобра жение 1, j(z) = H(z) + iZ(z) C(D) Wloc (D) является локально квазиконформным гомеоморфизмом D на j(D).

Очевидно, из условия (A) следует, что H(z) = 0 уравнение кри вой.

Договоримся далее для произвольной (вещественной) функции f (z), имеющей градиент в точке z D, наравне использовать обозначения f (z) = (fx1, fx2 ) и f (z) = fx1 + ifx2.

В последнем случае имеет смысл запись f (z), подразумевающая f (z) = fx1 ifx2.

2. Нами установлено, что при возможности определенного выбо ра пары функций H(z), Z(z) в D существует гомеоморфное решение 56 Два вида решений уравнения Бельтрами переменного типа 2-го вида c особенностью уравнения Бельтрами (1). Описывает ся структура этих решений, а также, в случае существования, и µ складок с линией складки.

Теорема 7. Предположим, что выполняются условия (A), (B) и для всякой подобласти D D можно указать функцию K(z) 1, W (D ) такую, что | K(z)| dx1 dx2 +, (H) D причем для почти всех z D 1 Z µ(z) + K(z).

2 (H) |M (z)| |M (z)| Z Положим i(z) = F (j(z)). Тогда существует гомеоморфизм w = f (z) : D f (D) C, для которого справедливы утверждения:

(i) f (z) суть решение 2-го вида с особенностью уравнения (1);

1,2 1, (ii) f (z) i Wloc (D), f 1 (w) Wloc (f (D \ )) и в представлении f (z) = (i(z)) = (F (j(z))) 1, отображение имеет Wloc -мажорируемую первую характеристи ку.

Гомеоморфизм w = f (z) единственный с точностью до конформ ного отображения в w-плоскости.

Следствие 1. Пусть выполняются условия теоремы 7 и в D определена µ-складка f (z). Тогда функция f (z) представима в виде f (z) = (B((i(z)))) = (B((F (j(z))))), где некоторое конформное отображение, B функция Бора, 1, некоторое отображение c Wloc -мажорируемой первой характе ристикой.

Еще одним результатом, полученным нами, является теорема.

Теорема 8. Предположим, что сходятся интегралы d d,, ( ) ( ) + выполняются условия (A), (B) и для всякой подобласти D D можно указать функцию K(z) W 1,2 (D ) такую, что | K(z)| dx1 dx2 +, (H) D 6.5 Системы Бельтрами с вырождением на кривой причем для почти всех z D 1 H µ(z) + K(z).

|M (z)| 2 (H) |M (z)| H Положим i(z) = F1 (j(z)). Тогда существует гомеоморфизм w = f (z) : D f (D) C, для которого справедливы утверждения:

(i) f (z) суть решение 2-го вида с особенностью уравнения (1);

1,2 1, (ii) f (z) i Wloc (D), f 1 (w) Wloc (f (D \ )) и в представлении f (z) = (i(z)) = (F1 (j(z))) 1, отображение имеет Wloc -мажорируемую первую характеристи ку.

Гомеоморфизм w = f (z) единственный с точностью до конформ ного отображения в w-плоскости.

Следствие 2. Пусть выполняются условия теоремы 8 и в D определена µ-складка f (z). Тогда функция f (z) представима в виде f (z) = (B((i(z)))) = (B((F1 (j(z))))), где некоторое конформное отображение, B функция Бора, 1, некоторое отображение c Wloc -мажорируемой первой характе ристикой.

3. Рассмотрим еще один случай уравнения Бельтрами переменного типа вырождающегося на кривой.

Пусть D C односвязная область, D кривая класса C 3, делящая область D на односвязные подобласти D1, D2, и в D задано уравнение Бельтрами переменного типа вида (1). Пусть |µ(z)| почти всюду в D1 и |µ(z)| 1 почти всюду в D2.

Следующая теорема является специальным случаем одного резуль тата Сребро и Якубова [10, теорема 1.1] для уравнения переменного типа.

Теорема 9. Предположим, что функция µ(z) представима в виде µ(z) = (1 + M (z)(dist(z, ))) e2i(z), где: 1) функция (t) непрерывна на [0, +), причем (0) = 0 и (t) 0 при t = 0;

2) функция (z) C 1 (D) такова, что всюду на dz + e2i(z) dz = 0, при dz направленном по касательной к ;

3) комплекснозначная функция M (z) измерима и почти всюду в D 1 |Re M (z)| R, |Im M (z)| R (R const ).

R 58 Список литературы Тогда в некоторой окрестности существует решение 2-го вида с особенностью уравнения (1).

Автор выражает глубокую благодарность В.М. Миклюкову за по становку задачи и постоянное внимание к работе.

Работа поддержана грантом ФМИТ ВолГУ.

Список литературы [1] И.Н. Векуа, Обобщенные аналитические функции, М: Наука, 1988.

[2] В.М. Миклюков, Изотермические координаты на поверхностях с особенностями, Матем. сб., 2004, 195:1, 69 88.

[3] Г.М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного пе ременного, М.: Наука, 1966.

[4] М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат, Методы теории функций ком плексного переменного, ГИФМЛ, Москва, 1958.

[5] O. Martio, V.M. Miklyukov, On existence and uniqueness of degenerate Beltrami equations, Complex Variables, v. 49, 2004, 647 656.

[6] В.М. Миклюков, Г.Д. Суворов, О существовании и единственно сти квазиконформных отображений с неограниченными характе ристиками, Исслед. по соврем. теории функций и ее применени ям, Изд-во ”Наукова думка”, Киев, 1972, 45 53.

[7] В.М. Гольдштейн, Ю.Г. Решетняк, Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения.

М.: Наука, 1983.

[8] Ю.Ю. Трохимчук, Непрерывные отображения и условия моно генности, ГИФМЛ, Москва, 1963.

[9] U. Srebro, E. Yakubov, Branched folded maps and alternating Beltrami equations, Journal d’analyse mathematique, Vol. 70(1996), 65 90.

[10] U. Srebro, E. Yakubov, µ-Homeomorphisms, Contemporary Mathematics AMS, Vol.211, 1997, 473-479.

[11] U. Srebro, E. Yakubov, Uniformization of maps with folds, Israel mathematical conference proceedings, Vol. 11, 1997, P. 229-232.

[12] П.П. Белинский, Общие свойства квазиконформных отображе ний, Новосибирск: Наука СО, 1974.

Список литературы A.N. Kondrashov, The Beltrami Equation of Alternating Type Abstract. We investigate the Beltrami equation of alternating type.

In the paper we introduce two kinds of solutions of such equations between which interrelations are investigated. Questions of existence and uniqueness of these solutions are investigated.

60 Неравенство Соболева 7 Неравенство Соболева в финслеровой метрике, Е.Г. Григорьева, 14 марта c Е.Г. Григорьева, 14 марта Аннотация.

В работе устанавливается теорема вложения Соболева для случая финслеровых пространств.

7.1 Постановка задачи Пусть D Rn – область и : D Rn R – неотрицательная непрерывная функция со свойствами:

для всех Rn и (a) выполнено (x, ) = (x, );

(b) (x, ) выпукла по переменной ;

(c) Для x D множества (x) = { Rn : (x, ) 1} локально равномерно ограничены.

Рассмотрим двойственную функцию для множества (x):

H(x, ) = sup,, (x) где, – скалярное произведение векторов и. Так как H(x, ) яв ляется положительной однородной степени 1 по переменной функ цией, то мы можем определить в D финслерову метрику (см. [1]) d(x, y) = inf H(x, dx) x, y D, где точная нижняя грань берется по всем локально спрямляемым путям D, соединяющим точки x, y D. Область D с так опре деленной финслеровой метрикой будем называть финслеровым про странством.

7.2 Основные результаты Рассмотрим иллюстрирующий пример. Предположим, что в обла сти D Rn задана положительно определенная квадратичная фор ма n aij i j и определим функцию посредством равенства i,j= 1/ n (x, ) = aij (x)i j.

i,j= Так определенная функция (x, ) удовлетворяет условиям (a) (c).

Метрика d, заданная равенством n aij (x)dxi dxj, d(x, y) = inf i,j= где aij (x) – элементы обратной матрицы к матрице ||aij (x)||, совпа дает с обычной римановой метрикой в области D.

Пусть : D R – неотрицательная измеримая функция. Тогда для любого множества E D равенство |E|µ = dµ, dµ = (x)dx, E определяет весовую меру µ множества E. В частном случае, при |(x)| (x) =, |B1 (x)| где символами |B1 (x)| и |(x)| мы обозначаем меру Лебега единич ного шара с центром в точке x и меру Лебега множества (x) соот ветственно, полученная мера называется финслеровой [1].

7.2 Основные результаты Обозначим среднее значение L1 -функции u = u(x) на множестве E через uE = u(x)dµ.

|E|µ E Для формулировки теоремы 1 сделаем два дополнительных предпо ложения:

62 Неравенство Соболева 1) Пусть x0 D – произвольная точка и BR = B(x0, R) = {x D : d(x, x0 ) R} – шар в метрике d(x, y) с центром x0 радиуса R.

Предположим, что постоянная 1 dµ C1 = sup sup sup +. (1) n1 (y, ) B(x, ) d xBR B(x, ) 2) Для любой функции u W 1,1 (BR ) найдется измеримая локаль но ограниченная в D функция C2 (x) такая, что C2 (x) (y, u(y)) |u(x) uBR | dµ. (2) dn1 (x, y) |BR |µ BR Теорема 1. Если справедливы предположения (1) и (2), то для всех точек x0 D, всех шаров BR = B(x0, R) D и для всех функций u = u(x) W 1,1 (BR ) справедливо неравенство n n C n |u(x) uBR | n1 dµ (x, u(x))dµ, 1 n |BR |µ BR BR где n n C3 = C1 · 21+n/(n1) n1 sup C2 (x).

xBR Теорема 2. Для любого 1 q +, 0 (p, q) = p 1 n, 1 q для всех измеримых множеств E D и всех функций u W 1,p (D) выполнено 1 1/p q |u(x) uE |q dµ C4 u(x)))dµ (p (x,, E E где C4 = C5 · C6 и (w) (x + · )n1 d C5 = sup sup, S n1 xE H(y, x y) C6 = sup dµ.

|x y|n xE E 7.3 Ключевые леммы Заметим, что постоянные C3 и C4 в правой стороне неравенств из теоремы 1 и теоремы 2 не зависят от области в случае, когда (x, ) = ||, (x) 1.

7.3 Ключевые леммы Наш подход к доказательству теоремы 1 состоит в получении сле дующего изопериметрического неравенства:

Лемма 1. (Изопериметрическое неравенство) Для любого от крытого множества U c кусочно-гладкой границей и такого,что U BR выполнено n |U |µn C7 · (x, (x))dµ, U n n C7 = C1 · 21+n/(n1) n1 · sup C2 (x)|BR |µ, xBR где (x) – единичный вектор нормали к границе U.

При доказательстве данного неравенства были использованы неко торые идеи из статьи Капогна Л., Даниелли Д., Гарафало Н., в кото рой вложение Соболева доказано для векторных полей Хрмандера e (см. [2]).

Заметим также, что теорема 1 остается справедливой, если d(x, y) = |x y|, причем в этом случае от предположения (2) можно отказать ся, поскольку выполнена следующая лемма:

Лемма 2. Пусть x0 D –произвольная точка. Пусть B(x0, R) = BR D – шар в евклидовой метрике с центром x0 радиуса R 0.

Для любой функции u W 1,1 (BR ) выполнено C8 (x) (y, u(y)) |u(x) uBR | dµ, |x y|n |BR |µ BR где x (w) n1 (x + w)h(, w)d, C8 (x) = sup wS n 64 Список литературы H(x + sw, w) h(x, w) = sup, x (w) = sup.

0sx (x + sw) (x+w)BR В конце статьи хотелось бы выразить благодарность Владимиру Михайловичу Миклюкову за ценные замечания в процессе подготов ки статьи.

Список литературы [1] Рунд Х., Дифференциальная геометрия финслеровых про странств, М.: Наука, 1981.

[2] Capogna L., Danielli D., Garofalo N., Comm. In Analysis and Geom., Vol.2., N2, 1994, 203-215.

E.G. Grigorieva, Sobolev inequality by Finsler mesure Abstract. We prove Sobolev type inequlity in which the length of gradient of W 1,p -functions is calculated by Finsler metrics and integrals are calculated by Finsler mesure.

8 Об одном свойстве относительного расстояния Лаврентьева, П.П. Колпаков, В.М. Миклюков, 21 марта c П.П. Колпаков, В.М. Миклюков, 21 марта Аннотация. В работе изучается поведение относительного рас стояния М.А. Лаврентьева в круге со смещенным центром.

8.1 Основная теорема Пусть D R2 – односвязная область и O D – фиксированная точка. Для произвольной пары точек a, b D \ {O} полагаем (a, b;

O, D) = min{1 (a, b;

O, D), 2 (a, b;

O, D)}, (1) где 1 (a, b;

O, D) и 2 (a, b;

O, D) суть точные нижние грани длин про стых жордановых кривых и, соответственно, простых жордановых дуг D \ {O}, отделяющих точки a, b от точки O. (Мы говорим, что отделяет в D точку x от множества X D, если всякая жорданова дуга D, соединяющая x с X, обладает свойством X =.) Величина (a, b;

O, D) называется относительным расстоянием между точками a и b в D (см. [1], [2, глава 4]).

Цель работы – выяснение зависимости величины (a, b;

O, D) от выбора фиксированной точки O D, что необходимо, в частности, при применениях развиваемой теории в вопросах построения сеток [3].

Рассмотрим случай, когда область D есть круг. В силу выпуклости D для произвольной пары точек a, b D \ {O} имеем 1 (a, b;

O, D) = 2|a b|. (2) Обозначим через r(x) евклидово расстояние от точки x D до границы области D. Для произвольной пары точек x, y D пусть |x y| – евклидово расстояние между ними. Зафиксируем в D точки O1, O2.

Теорема. Если область D круг и |a b| min{r(O1 ), r(O2 )}, (3) то (a, b;

O1, D) = (a, b;

O2, D). (4) 66 Об относительном расстоянии 8.2 Доказательство Предположим сначала, что r(a) + r(b) |a b|.

Зададим 0. Выберем простые жордановы дуги a и b, лежащие в D\({O1 }{O2 }), соединяющие соответственно точки a и b с границей D так, что length(a ) r(a), length(b ) r(b).

Пусть a,b – простая жорданова дуга, соединяющая в D\({O1 }{O2 }) точки a и b так, что length(a,b ) |a b|.

Нетрудно видеть, что найдется простая жорданова дуга, отделяю щая точки a и b от Oi в D \ {Oi } (i = 1, 2), для которой a b a,b.

Мы имеем 2 (a, b;

Oi, D) length() r(a) + r(b) + |a b| + 3, что, в силу произвола в выборе 0, влечет 2 (a, b;

Oi, D) r(a) + r(b) + |a b|.

Отсюда, учитывая (2), получаем 2 (a, b;

Oi, D) 2|a b| = 1 (a, b;

Oi, D), и (a, b;

Oi, D) = 2 (a, b;

Oi, D), i = 1, 2. (5) В случае, когда область D есть круг, очевидно выполнено 2 (a, b;

Oi, D) = min{r(a) + r(b) + |a b|, 2r(Oi )}.

Однако, в силу предположения (3), r(a) + r(b) + |a b| 2|a b| 2r(Oi ), а потому min{r(a) + r(b) + |a b|, 2r(Oi )} = r(a) + r(b) + |a b| (i = 1, 2).

Таким образом, находим 2 (a, b;

Oi, D) = r(a) + r(b) + |a b| (i = 1, 2), что вместе с соотношениями (5) влечет справедливость (4).

Список литературы Предположим теперь, что r(a) + r(b) |a b|.

Учитывая предположение (3), имеем 2 (a, b;

Oi, D) = min{r(a) + r(b) + |a b|, 2r(Oi )} min{2|a b|, 2r(Oi )} 2|a b| = 1 (a, b;

Oi, D).

Тем самым, (a, b;

Oi, D) = 1 (a, b;

Oi, D) (i = 1, 2).

Отсюда, получаем (a, b;

O1, D) = 1 (a, b;

O1, D) = 2 |a b| = = 1 (a, b;

O2, D) = (a, b;

O2, D) и равенство (4) для расстояния (1) доказано полностью. Список литературы [1] М.А. Лаврентьев, О непрерывности однолистных функций в за мкнутых областях, ДАН СССР, т. 4, 1936, 207-210.

[2] В.М. Миклюков, Конформное отображение нерегулярной поверх ности и его применения, Волгоград, изд-во ВолГУ, 2005, 273 с.

[3] V.M. Miklyukov, Concerning a Carathodory – Suvorov Theorem on e Kernel Convergence of Domain Sequences, В сб. ’Численная геомет рия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вы числения’. Труды Всероссийской конференции. Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН. Москва. 2008.

P.P. Kolpakov, V.M. Miklyukov, On a property of the M.A. Lavrentiev relative distance Abstract. We study properties of the M.A. Lavrentiev relative distance in the unit disc with a displaced center.

68 О компьютерной графике 9 О вариационном подходе к построению одной модели компьютерной графики, В.А. Клячин, 18 апреля c В.А. Клячин, 18 апреля Аннотация. Ниже предлагается построение способа наложения текстуры на криволинейные поверхности посредством решения ва риационной задачи минимизации линейных искажений. Приводится вывод функционала, итерационная формула для решения соответ ствующей разностной схемы и несколько теоретических результатов в качестве обоснования построенного алгоритма.

9.1 Введение Настоящая заметка посвящена одной из проблем компьютерной графики – задаче наложения текстуры на криволинейные поверхно сти. Мы предпринимаем попытку построить соответствующую мо дель как решение определенной вариационной задачи. При этом мы ориентируемся на минимизацию искажений в каком-либо смысле плос кого изображения при наложении его на криволинейную поверхность.

Хорошо известен факт из дифференциальной геометрии, что указан ные выше искажения неизбежны и могут отсутствовать только для поверхностей нулевой гауссовой кривизны. Поэтому, в частности, для цилиндрических поверхностей и конусов задача наложения тексту ры принципиально может быть решена без искажений изображения.

Близкая задача в терминах теории упругости решалась в работе [1].

Отметим, что с точки зрения математической модели аналогичная за дача естественным образом возникает и в других смежных областях – триангуляции криволинейных поверхностей, геодезии, построении качественных сеток на поверхностях [2] – [9].

9.2 Построение функционала Пусть имеется прямоугольная область = [a, b] [c, d] R2, в которой изменяются переменные u [a, b], v [c, d]. Будем рас сматривать C 2 -поверхности M R3, заданные погружением прямо угольника в R3. Мы будем искать подходящую для наших целей параметризацию R : M.

9.2 Построение функционала Приступим к построению функционала искажений. Рассмотрим рав номерные разбиения отрезков a = u0 u1... un = b, c = v v1... vm = d. Обозначим через Pij набор точек из прямоуголь ника с координатами (ui, vj ), i = 0,..., n, j = 0,..., m. Каждой такой точке сопоставим точку Qij M. Определим коэффициенты искажения расстояний |Qi+1j Qij | u ij =, i = 0,..., n 1, j = 0,..., m.

|Pi+1j Pij | |Qij+1 Qij | v ij =, i = 0,..., n, j = 0,..., m 1, |Pij+1 Pij | ij = (ij )2 + (ij )2.

u v u v Заметим, что чем ближе величины ij, ij к значению 1, тем меньше искажение расстояния вдоль соответствующей координатной линии в данной точке Pij. Рассмотрим C 2 -гладкую выпуклую вниз неотри цательную функцию (t), t 0. Построим функционал n1 m L (Q) = (ij ). (1) i=0 j= Мы хотим найти такое расположение набора Q точек Qij на поверх ности M, что бы величина L (Q) была минимальной.

Лемма 9.1. Рассмотрим на поверхности M пару точек Q0, Q M. Пусть (Q) = |Q Q0 |. Тогда градиент функции в метрике поверхности M равен (Q Q0 )T, (Q) = (Q) здесь символом T обозначена ортогональная проекция вектора на касательную плоскость поверхности в соответствующей точке.

Доказательство. Градиент функции в метрике поверхности яв ляется вектором, полученным проекцией градиента функции на каса тельную плоскость. Этот факт хорошо известен из анализа и дифф ференциальной геометрии. Если (Q) – градиент функции в R3, то утверждение леммы следует из очевидной формулы (Q) = (Q Q0 ).

|Q Q0 | Теперь мы рассмотрим функционал L (Q) как функцию набора точек Q, пробегающих всю поверхность M. Зафиксируем два номера 70 О компьютерной графике 0 k n, 0 l m и рассмотрим функционал L (Q) как функцию точки Qkl M. Эта функция достигает минимума в точке, в которой градиент в метрике поверхности M равен нулю, т.е.

(Qk+1l Qkl )T (Qkl+1 Qkl )T (kl ) + + (uk+1 uk )2 (vl+1 vl ) (Qkl Qk1l )T (k1l ) + (uk uk1 ) (Qkl Qkl1 )T (kl1 ) = 0. (2) (vl vl1 ) Мы здесь воспользовались тем, что точка Qkl в сумму входит только в трех слагаемых. Полагая u = uk uk1 0, v = vl vl1 0 и учитывая, что функция (t) и радиус-вектор R(u, v) дважды непре рывно дифференцируемы, получаем T 2 2 2 (|Ru | + |Rv | )Ru + (|Ru | + |Rv | )Rv = 0. (3) u v 9.3 Исследование модели Рассмотрим случай, когда (t) = t. Тогда рассматриваемый функ ционал представляет собой удвоенную сумму длин ребер сетки, об разуемой точками Qij M при отображении прямоугольной сетки в прямоугольнике. Минимизация такого функционала приводит к задаче, аналогичной задаче Штейнера. Но в нашем случае добав ление новых точек на сетке не предусматривается из-за сохранения ее регулярности. Отметим также, что в этом случае в условии (2) присутствуют только единичные векторы и это условие не зависит от относительных расстояний между точками Qij. Поэтому мы не будем подробно останавливаться на изучении такого функционала, поскольку он не удовлетворяет нашей цели.

Теперь мы рассмотрим случай функционала L (Q) с функцией (t) = t. Изучим соответствующее уравнение (3), которое перепи шется в виде (Ruu + Rvv )T = 0. (4) Теорема 9.1. Предположим, что C 3 -гладкий радиус-вектор R(u, v) удовлетворяет условию (4). Тогда комплексно-значная функция F (u, v) = |Ru |2 |Rv |2 2i Ru, Rv является голоморфной.

9.3 Исследование модели Для доказательства достаточно проверить выполнение условий Коши-Римана. Действительно, имеем (|Ru |2 |Rv |2 ) = 2 Ruu, Ru 2 Ruv, Rv = u = 2 Rvv, Ru 2 Ruv, Rv = ( Ru, Rv ).

v И, аналогично, (|Ru |2 |Rv |2 ) = 2 Rvu, Ru 2 Rvv, Rv = v = 2 Ruv, Ru + 2 Ruu, Rv = ( Ru, Rv ).

u Что и требовалось доказать.

Из доказанного утверждения следует весьма важное свойство ради ус-векторов, удовлетворяющих (4).

Теорема 9.2. Предположим, что C 3 -гладкий радиус-вектор R(u, v) удовлетворяет условию (4) и задает поверхность нулевой гауссовой кривизны. Если вдоль некоторого прямоугольника радиус вектор R(u, v) является изометрией, то он является изометрией во всем.

Доказательство. Изометричность вдоль прямоугольника озна чает, что |Ru | = |Rv | = 1, Ru, Rv = 0 на его сторонах. В силу тео ремы 9.1 отображение F (u, v) 0 в. Это означает, что координаты (u, v) являются изотермическими. В таких координатах, тот факт, что гауссова кривизна равна нулю означает, что функция log |Ru | яв ляется гармонической. Поскольку эта функция на границе равна нулю, то она тождественно равна нулю. Таким образом, мы заклю чаем, что всюду в выполнены равенства |Ru | = |Rv | = 1, Ru, Rv = 0, это и означает, что радиус-вектор R(u, v) задает изометричное отоб ражение.

Заметим, что в рассмотренном случае возможны ситуации ’слипа ния’ отображения, поскольку соответствующий функционал учиты вает условие Липшица для отображения R(u, v) и не учитывает та кого условия для обратного отображения. С целью исправления этой ситуации будем рассматривать функции (t), определенные для t и такие, что (t) 1, (1) = 1. Примером такой функции может служить функция 1 (t) = t+.

2 t 72 О компьютерной графике Введем обозначения E = |Ru |2, F = Ru, R v, G = |Rv |2, µ(t) = (t).

Введем в рассмотрение комплексно-значную функцию F (u, v) = µ(E + G)(E G) 2iµ(E + G)F.

Теорема 9.3. Предположим, что C 3 -гладкий радиус-вектор R(u, v) удовлетворяет условию (3). Тогда функция F (u, v) является голо морфной.

Как и при доказательстве теоремы 9.1 доказательство данной тео ремы сводится к непосредственной проверке условий Коши-Римана.

Теперь будем рассматривать отображения R(u, v) на поверхность, обладающие свойством inf µ(E + G) 0. (5) u,v Следствие 1. Если отображение R(u, v) является решением урав нения (3), удовлетворяет (5) и F = 0, то оно конформно.

Следствие 2. Если отображение R(u, v) является решением урав нения (3), удовлетворяет (5) и выполнены граничные условия E(u, 0) = G(u, 0), F (u, 0) = 0, то оно конформно.

Следствие 3. Введем величину, характеризующую отклонение отображения R(u, v) от конформного (локально) = µ(E + G)((E G)2 + F 2 ).

Имеет место следующее неравенство sup sup.

Данное неравенство является непосредственным следствием прин ципа максимума и позволяет, в частности, контролировать отклоне ние от ортогональности сетки внутри области в зависимости от такого отклонения на границе.

9.4 Исследование дискретной модели 9.4 Исследование дискретной модели Построим дискретный аналог системы (3) для случая (t) = t.

Пусть поверхность задана радиус-вектором R(u, v). Положим Q0 = ij R(Pij ), где Pij = (ui, vj ). Будем строить последовательность наборов точек Qn в соответствии с рекуррентным соотношением ij 0, Qn = v 2 (Qn1 + Qn1 )+ kl k1l k+1l 2 + u v +u2 (Qn1 + Qn1 ) + kl1 kl+ +kl (Qn1 Qn1 ) (Qn1 Qn1 ).

n k+1l k1l kl+1 kl Коэффициенты kl выбираются так, что бы точка Qn лежала на по n ij верхности M. В общем случае исследование поведения данной после довательности достаточно сложно. Для иллюстрации того, что ука занная последовательность в каком-то смысле решает поставленную задачу о наложении текстуры, приведем результат в одномерном слу чае, к которому трансформируется задача для цилиндрических по верхностей. Вышеприведенная разностная схема примет вид Qn = (Qn1 + Qn1 ) + A(Qn1 Qn1 ), k 2 k1 k+1 k+1 k где A – оператор поворота на угол /2 против часовой стрелки, а выбрано так, что точка Qn лежит на заданной кривой. Полагая k n, получаем такое распределение точек на кривой, для которых выполнены равенства Qk = (Qk1 + Qk+1 ) + A(Qk+1 Qk1 ).

Из геометрических соображений видно, что точки расположены на кривой таким образом, что |Q| = |Qk Qk1 | const. Заметим, что именно такое расположение точек соответствует наложению тексту ры без искажений – равномерное расположение точек вдоль кривой.

Думается, что и в общем случае расположение точек на поверхности будет соответствовать естественному требованию минимума искаже ний. С этой целью планируется провести ряд экспериментов для спе циальных классов поверхностей. Особенно, как нам кажется, следует выделить класс выпуклых поверхностей и седловых поверхностей.

Кроме этого, мы ставим задачу разработки алгоритмов построения соответствующих отображений для многогранных и сплайновых по верхностей.

74 Список литературы Рис. 2: Получение равномерной сетки на кривой Список литературы [1] Павенко Е.Н., Фроловский В.Д. Разработка и исследование ал горитма построения квазиразвертки поверхности. //Материалы конференции "Графикон 2006".

[2] Lawson C. Software for C1- surface interpolation //Mathematical Software III. NY: Fcfdemic Press, 1977. 161-194.

[3] Lawson C. Transforming triangulation // Discrete Mathematics. 3.

1972. 365-372.

[4] Скворцов А.В. Обзор алгоритмов построения триангуляции Де лоне. Выч. методы и программирование. Т. 3. 2002. 14-39.

[5] Скворцов А.В., Мирза Н.С. Алгоритмы построения и анализа триангуляций. – Томск: Изд-во Томск. ун-та. 2006.

[6] Годунов С.К., Прокопов Г.П., О расчетах конформных отобра жений и построении разностных сеток, Журн. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 7. N. 5. 1967. 1031 – 1059.

[7] Годунов С.К., Роменский Е.И., Чумаков Г.А., Построение раз ностных сеток в сложных областях с помощью квазиконформных отображений, Вычислительные проблемы в задачах математиче ской физики, Тр. АН СССР. Сиб. отделение. Ин-т математики.

Т. 18. Новосибирск: Наука. 1990. 75-84.

[8] Garanzha V.A., Quasi – isometric surface parametrization. Applied Numerical Mathematics. V. 55. 2005. 295-311.

[9] Миклюков В.М., Об искажениях расстояния при отображени ях, близких к квазиизометриям. В сб. ”Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычис ления”, Труды Всероссийской конференции, Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Москва, 4-7 июля 2006, под Список литературы ред. Ю.Г. Евтушенко, М.К. Керимова и В.А. Гаранжи. М.: изд-во Фолиум. 43-45.

[10] Шикин Е.В., Боресков А.В. Компьютерная графика. Полиго нальные модели М.: "Диалог МИФИ", 2000.

V.A. Klyachin, On variational approach to construct some ma thematical model of computer graphics Abstract. We suggest method to construct a texture mapping on surface using minimization of linear distortions. The dierence equations, distortion functional are present.

76 Расстояние Лаврентьева 10 Расстояние Лаврентьева на анизотропных поверхностях, В.М. Миклюков, 28 марта и 4 апреля c В.М. Миклюков, 4 апреля Аннотация. Рассматриваются двумерные односвязные абстракт ные поверхности с метрикой Финслера. Вводится аналог относитель ного расстояния М.А. Лаврентьева и определяются простые концы.

Даются оценки искажения относительного расстояния при гомеоморф ных отображениях класса ACL2.

loc 10.1 Абстрактная поверхность Пусть R2 – ориентированная двумерная плоскость, x = (x1, x2 ) – точка в R2, S(x, r) – окружность радиуса r 0 с центром в x R2 и B(x, r) – круг с границей B(x, r) = S(x, r).

Пусть D R2 – открытое множество. Символами Lip (D) и Liploc (D) обозначаются классы липшицевых и локально липшицевых функций f : D R, соответственно.

Символ Lp (D) означает множество всех измеримых по Лебегу функ ций, определенных на множестве D R2 и интегрируемых со степе нью p, 1 p, в D. Символ ACLp (D) множество непрерывных функций с обобщенными частными производными в смысле Соболе ва, принадлежащими классу Lp (D).

Пусть D R2 – область. Следуя [15, глава 1], определим аб страктную поверхность над областью D. Поверхность будет за дана, если будут заданы элементы длин кривых, лежащих на ней, и ее элемент площади.

Обозначим через (D) множество всевозможных жордановых ло кально спрямляемых (в евклидовой метрике) дуг или кривых, ле жащих в D. Будем считать также, что на каждой из указано на правление (в частности, от одной концевой точки к другой). Каждая из замкнутых спрямляемых дуг может быть задана в виде x = x(s) = (x1 (s), x2 (s)) : [0, length ] D, где 0 s length – длина дуги, отсчитываемой от начальной точки x(0) до текущей точки x(s) в указанном вдоль направле нии. Локально спрямляемые дуги могут быть очевидным образом параметризованы посредством длины дуги, отсчитываемой от фик сированной точки в положительном и отрицательном направлениях вдоль.

10.2 Псевдометрика Предположим, что вдоль каждой из дуг (D) задана неко торая вещественнозначная, измеримая по Лебегу, неотрицательная функция h (x). Совокупность всех таких функций для семейства дуг (D) будем обозначать символом H = {h }.

Будем говорить, что множество функций H согласовано в точке a D, если для всех кривых (D), проходящих через точку a в одном и том же направлении S(a, 1)4, значения h (a) совпадают.

Предположим, что множество функций H согласовано почти всю ду в области D. Тем самым, для почти всех x D и всех направле ний S(x, 1) определена неотрицательная функция H(x, ). Про должим H по второй переменной на всю плоскость R2, пользуясь правилом H(x, ) = H(x, ), = const 0. В результате такого продолжения, для всякой (D) почти всюду вдоль нее выполнено H(x, dx) = h (x) |dx|. (1) Зафиксируем произвольно неотрицательную функцию, опреде ленную почти всюду и измеримую в смысле Лебега в D.

Под абстрактной поверхностью далее будем понимать всякую тройку (D, H, ) описанного вида.

Величину ds = h (x) |dx|, (2) будем называть элементом длины дуги (D) в точке x D, а величину d = (x) dx1 dx2 (3) – элементом площади абстрактной поверхности.

Простейшие примеры абстрактных поверхностей описанного вида доставляют плоскость R2 с евклидовой метрикой (случай, в котором H(x, dx) = |dx|) и сферической метрикой, где |dx| H(x, dx) = 2, r = const 0. (4) |x| 1+ 2r В общем случае абстрактная поверхность анизотропна.

10.2 Псевдометрика Напомним необходимые понятия [7, §21]. Пусть X – произвольное непустое множество и пусть r : X X R – функция, обладающая свойствами:

) r(x, x) = 0 и r(x, y) 0 при всех x, y X ;

) r(x, y) r(x, z) + r(z, y) при всех x, y, z X.

т.е. имеющих один и тот же касательный вектор в a 78 Расстояние Лаврентьева Пара (X, r) называется псевдометрическим пространством, а функ ция r – псевдометрикой. Заметим, что мы не предполагаем здесь выполнения симметрии псевдометрики r, то есть, в общем случае r(x, y) = r(y, x).

В некоторых случаях вместо требования () мы будем допускать, что имеет место более сильное предположение ) r(x, x) = 0 и r(x, y) 0 при всех x, y X, x = y.

Для произвольной пары точек x, x D определим расстояние r (x, x ) = inf ds = inf H(x, dx), (5) где точная нижняя грань берется по всевозможным (ориентирован ным) дугам (D), ведущим из точки x в точку x.

Так как плотности h H зависят от направления на дуге, то, вообще говоря, r (x, x ) = r (x, x ). Таким образом, абстрактная поверхность моделирует анизотропную среду. При этом, абстракт ная поверхность может также и обладать достаточно массивными множествами особых точек, что позволяет с ее помощью моделиро вать, например, среды с дислокациями (см., например, С.К. Годунов, Е.И. Роменский [1, глава II]). Многочисленные примеры физически содержательных абстрактных метрик можно найти в известной книге Ч.В. Мизнера, К.С. Торна, Д.А. Уилера [12], посвященной вопросам гравитации, а также монографии С. Чандрасекара [22], описывающей математическую теорию черных дыр.

Далее для произвольной пары множеств A, B D полагаем dist± (A, B) = r (x, y) и dist± (A, B) = inf inf r (y, x), LH RH xA, yB xA, yB где знак + или выбирается в зависимости от положительной или отрицательной ориентации дуг (D), ведущих из точки x A в точку x B.

10.3 Метрика Финслера Пусть D R2 – область и E D – замкнутое относительно D мно жество нулевой линейной меры Хаусдорфа. Рассмотрим абстрактную поверхность = (D, H, ). Предположим, что H(x, ) – функция, определенная и непрерывная при всех x D \ E и всех R2, подчинена условиям:

a) H(x, ) 0 при x D \ E и R2 ;

10.3 Метрика Финслера b) в каждой точке x D \ E множество (x) = { R2 : H(x, ) 1} является выпуклым.

Определим двойственную функцию G(x, ) = sup,, (x) где, есть стандартное скалярное произведение векторов и в R2.

Положим G+ (x) = sup sup,.

||=1 G(x,)= Несложно проверить, что функция G(x, ) обладает свойствами a) и b). При этом всюду в D \ E выполнено, G(x, ) = sup :H(x,)=0 H(x, ) (см. [18, §15]).

В общем случае функция G(x, ) принимает на D R2 значения из R. Бесконечные значения G(x, ) возникают, к примеру, в случаях, когда выпуклое множество (x) не ограничено. С другой стороны, несложно усмотреть, что множество (x) ограничено тогда и только тогда, когда G+ (x) +.

Теорема 10.1. Если H удовлетворяет условиям (a) и (b), то функ ция r обладает свойствами () и () псевдометрики.

Для доказательства заметим сначала, что в каждой из подобла стей D D \ E выполнено c1 || H(x, ) c2 ||, c1 (D ), c2 (D ) = const 0.

Поэтому на основании теоремы 1.3.1 из [15] заключаем, что функ ция r1, определенная для поверхности 1 = (D \ E, H, ), обладает свойствами () и () псевдометрики.


Однако, линейная мера E равна нулю, а потому r1 (x, x ) = r (x, x ) при любых x, x D \ E.

Доопределяя по непрерывности r1 в точках множества E, приходим к нужному утверждению для функции r. 80 Расстояние Лаврентьева 10.4 Пополнение по псевдометрике Пусть D – область в R2. Рассмотрим абстрактную поверхность = (D, H, ).

На множестве D мы можем ввести топологии, ассоциированные с псевдометрикой r, как топологии, определяемые соответственно системами окрестностей U (x) = {y D : r (x, y) } и V (x) = {y D : r (y, x) }.

Укажем простые условия, при которых введенные топологии экви валентны.

Лемма 10.1. Пусть D R2 – область и H(x, ) : D R2 R – непрерывная функция. Предположим, что H(x, ) 0 при всех x D и всех R2.

Для всякой точки x D и всякого 0 найдутся 1 0 и 2 такие, что V1 (x) U (x) V2 (x).

Доказательство непосредственно следует из непрерывности функ ции H(x, ). Стандартным образом определяются предел функции f : D R в точке, ее непрерывность, равномерная непрерывность в указанных топологиях.

Определение 10.1. Последовательность {xk }, k = 1, 2,..., явля ется L-фундаментальной (R-фундаментальной) относительно псе вдометрики r тогда и только тогда, когда для любого 0 най дется номер N () такой, что при n m N () (m n N ()) выполнено r (xn, xm ).

Опишем границу абстрактной поверхности. Пусть r (x1, x2 ) – фин слерова псевдометрика, определяемая соотношением (5).

Мы будем обозначать символом r пополнение области D по псев дометрике r. Именно, через r мы обозначаем совокупность всевоз можных классов эквивалентности L-фундаментальных (R-фундамен тальных) по псевдометрике r последовательностей точек {an } в об ласти D, а L-фундаментальные (R-фундаментальные) по псевдомет рике r последовательности {an } и {an } точек области D при n=1 n= надлежат одному и тому же классу эквивалентности5, если r (an, an ) 0 при n.

Заметим, что отношение эквивалентности обладает свойством транзитивности и, вообще говоря, не обладает свойством коммутативности.

10.5 Относительное расстояние Далее, пусть r = r \ D – граница относительно псевдометри ки r. Граничные значения : r R функции f, определенной в области D R2, понимаем как пределы f по псевдометрике r в том смысле, что для всякой точки x r величина (x) = lim f (y), yx, yD если этот предел существует. При этом y x тогда и только тогда, когда r (x, y) 0.

В общем случае каких-либо связей между предельными значения ми функции : D R в евклидовом смысле |D и псевдометриче ском смысле |r не имеется. Относительно сравнения евклидовой границы D области D R2 с границей r см. [16, раздел 5.2].

10.5 Относительное расстояние Пусть D R2 – односвязная область. Область D ориентирована положительно (отрицательно), если для всякой подобласти D указано направление на ее границе так, что при обходе в этом направлении подобласть остается слева (справа). В частности, если D ориентирована положительно (отрицательно), то соответству ющее направление (положительное, отрицательное) указано для вся кой простой жордановой дуги C.

Пусть C D – произвольная ориентированная жорданова дуга или кривая. Будем говорить, что ориентация тройки точек a, b, c C совпадает либо не совпадает с ориентацией C в зависимости от того, совпадает либо нет с направлением на C направление от a к c и, далее, к b вдоль C. Если заданы две тройки точек a, b, c C и p, q, r C, то их ориентации совпадают тогда и только тогда, когда они одновременно совпадают либо не совпадают с ориентацией C.

Зафиксируем точку O D. Для произвольной пары точек a, b D, отличных от точки O, пусть R1 = R1 (a, b) означает семейство всевозможных замкнутых простых жордановых кривых, лежащих в D \ {O} и отделяющих a, b от O. Пусть R2 = R2 (a, b) означа ет семейство всевозможных простых жордановых дуг D \ {O}, отделяющих a, b от O в D и таких, что D =.

Определим ориентации кривых и дуг, принадлежащих семействам R1 и R2. Прежде всего заметим, что если есть поддуга дуги (или кривой) l, то задание направления на задает и направление на l.

В случае, когда и l – дуги с общими концевыми точками a и b, то будем называть их сонаправленными, если направления на каждой из них суть от a к b, либо одновременно от b к a.

Предположим, что точка x D, x = O, отделяется от O какой либо из описанных кривых или дуг. Для произвольной жордановой 82 Расстояние Лаврентьева дуги l, соединяющей точку x с точкой O в D и имеющей единствен ную точку пересечения с, полагаем xl = l. Если Ri (i = 1, 2) отделяет пару точек a и b от O, то направление на определяется так, чтобы для любой пары дуг l, l, соединяющих точки a, b с O, l l = {O}, и имеющих единственные точки пересечения al = l, bl = l тройки al, bl, O, имели ориентации, совпадающие с ориен тацией тройки a, b, O на l l, а дуги al bl и al Obl l l явля лись сонаправленными. При этом в случае, когда есть замкнутая кривая, дуга al bl определяется тем условием, что криволинейный треугольник с вершинами al, bl и O, заключенный между дугами al O, bl O, al bl, не содержит внутри точек a и b.

Пусть D R2 – односвязная область с непустой границей D.

Зафиксируем точку O D и для произвольной пары точек a, b D \ {O} определим относительное расстояние:

H (a, b;

D \ {O}) = min{1 (a, b), 2 (a, b)}, (6) где i (a, b) = inf H(x, dx) (i = 1, 2), величина H(x, dx) определяется соотношением (1) и точные ниж ние грани берутся по всевозможным положительно ориентированным жордановым локально спрямляемым кривым или дугам Ri (a, b) соответственно.

Если при определении величин i (a, b) точные нижние грани берут ся по всевозможным отрицательно ориентированным жордановым локально спрямляемым кривым или дугам Ri (a, b) (i = 1, 2), то вводимое расстояние (6) будем обозначать символом (a, b;

D \{O}).

В случае H(x, ) = || расстояния + (a, b;

D \ {O}), (a, b;

D \ {O}) совпадают и представляют собой относительное расстояние М.А. Лав рентьева [8] (см. также [10], [20, глава VIII, часть I] и [13]).

Теорема 10.2. Пусть D R2 – область и O D – фиксированная точка. Пусть H(x, ) : D R2 R1 – непрерывная функция.

i) Если H(x, ) 0 всюду на D R2, то относительные рассто яния ± (a, b;

D \ {O}) удовлетворяют аксиомам () и () псевдо метрики.

ii) Если E D – замкнутое относительно D множество ну левой линейной меры Хаусдорфа, O D \ E и H(x, ) 0 при всех x D \ E и всех R2, то относительные расстояния ± (a, b;

D \ {O}) удовлетворяют аксиомам ( ) и ().

10.5 Относительное расстояние Доказательство. Так как H(x, dx) 0 при любом dx, то H(x, dx) вне зависимости от ориентации, и выполнение свойства () относи тельного расстояния при условии (i) очевидно.

Покажем, что при ограничении (ii) на H(x, ) имеет место свойство ( ). Предположим, что для некоторой пары точек a и b области D \ {O}, a = b, выполнено + (a, b;

D \ {O}) = 0. (7) Зададим 0 так, чтобы 0 + (a, b;

D \ {O}). (8) Выберем положительно ориентированную кривую (дугу), принад лежащую R1 (соответственно, R2 ), для которой H(x, dx) + (a, b;

D \ {O}). (9) Пусть D D – подобласть, для которой множество = D не пусто. Так как особое множество E D имеет нулевую линейную меру Хаусдорфа, то существует точка x0, в некоторой замкнутой окрестности B(x0, r) которой отсутствуют точки E и D. Положим = B(x0, r).

Множество является строго внутренним подмножеством множе ства D \ E и потому, согласно предположению, величина k = inf min H(x, ) 0.

x R Тем самым, мы имеем H(x, dx) k length( ) 0.

Однако, в силу (9) выполнено + (a, b;

D \ {O}) H(x, dx) 84 Расстояние Лаврентьева и на основании (8) приходим к оценке + (a, b;

D \ {O}) H(x, dx) 2 H(x, dx) H(x, dx) 0, 3 противоречащей предположению (7). Таким образом, аксиома ( ) для расстояния + действительно выполнена.

В случае расстояния рассуждения аналогичны.

Покажем, что относительные расстояния ± удовлетворяют нера венству треугольника (). Предположим, что точки a, b и c принад лежат D \ {O}, а тройки a, c, O и c, b, O одинаково ориентированы, т.е. имеют одновременно положительную либо отрицательную ориен тацию. Пусть Ri (a, c) и Rj (c, b) – произвольные локально спрямляемые дуги или кривые такие, что H(x, dx) + (a, c;

D \ {O}) (10) и H(x, dx) + (c, b;

D \ {O}), (11) где 0 min{+ (a, c;

D \ {O}), + (c, b;

D \ {O})}. (12) Если =, то одна из дуг, например, отделяет от O сразу все три точки a, b и c. Поэтому + (a, b;

D \ {O}) H(x, dx).

В силу (11) заключаем, что + (a, b;

D \ {O}) + (c, b;

D \ {O}) +, откуда, учитывая (12), находим + (a, b;

D \ {O}) + (a, c;

D \ {O}) + + (c, b;

D \ {O}), что доказывает ().

10.6 Граница поверхности В случае расстояния доказательство проводится без изменений.

Рассмотрим другой случай. Предположим, что =. Учиты вая одинаковую ориентацию троек a, c, O и c, b, O, выберем простую жорданову кривую (или дугу) ( ), отделяющую точки a и b от O. В силу (10) и (11) здесь имеем ± (a, b;

D \ {O}) H(x, dx) + H(x, dx) ± (a, c;

D \ {O}) + ± (c, b;

D \ {O}) +.

Произвол в выборе 0 влечет выполнение аксиомы () и в данном случае. Теорема доказана. Замечание 10.1. Расстояния ± (x, x ;

D \ {O}) не определены, ко гда одна из точек x, x, например, x совпадает с ранее выделенной точкой O. Однако, выбирая последовательность xk, xk O (в мет рике R2 ), можно положить по определению ± (x, O;

D, O) = lim ± (x, xk ;

D \ {O}).

k Нетрудно видеть, что данный предел существует и не зависит от вы бора последовательности xk, xk O. Тем самым, определены псевдо метрические пространства (D, ± ) с псевдометриками ± (x, x ;


D, O).

В тех же случаях, когда требуется особо подчеркнуть роль точки O D в определении относительного расстояния, мы пользуемся обозначениями ± (x, x ;

D \ {O}).

10.6 Граница поверхности ± Пусть = (D, H, ) – абстрактная поверхность и пусть L/R – мно жество всевозможных L-фундаментальных (R-фундаментальных) по псевдометрике ± последовательностей {xk } точек области D.

k= ± Для произвольной последовательности {xk } L/R обозначим k= через ({xk }) класс эквивалентных ей последовательностей {yk }.

k= ± Символом L/R будем обозначать множество всевозможных таких классов эквивалентности.

Отметим следующее свойство указанной конструкции. Пусть a D – произвольная точка. Возьмем (стационарную) последователь ность точек {a} = a, a, a,.... Эта последовательность принад k= лежит классу, и мы вправе сопоставить ей класс эквивалентности 86 Расстояние Лаврентьева ({a} ) фундаментальных последовательностей. Другими словами, k= определено отображение a D ({a} ) L/R.

± (13) k= Лемма 10.2. Пусть E D – замкнутое относительно области D множество нулевой линейной меры Хаусдорфа. Если H(x, ) непрерывна в D и положительна при всех x D \ E и всех R2, то отображение (13) взаимно однозначно на D \ E.

Доказательство. Предположим, что в D \E имеются точки a = b такие, что ({a} ) = ({b} ).

k=1 k= Тем самым, найдутся L-фундаментальные (R-фундаментальные) от носительно псевдометрики ± последовательности {ak } и {bk } k=1 k= точек области D со свойствами:

± ({ak } ) = ({bk } ) L/R, k=1 k= ± (a, ak ;

D, O) 0 при k, ± (b, bk ;

D, O) 0 при k.

Так как a и b суть внутренние точки D\E, то из данных соотношений вытекает, что inf H(x, dx) = 0, где точная нижняя грань берется по всевозможным кривым класса R1 (a, b). При описанных в лемме условиях на H(x, ) и предположе нии a = b это невозможно. ± Наряду с классами эквивалентности вида ({a} ) множества L/R k= содержат другие классы эквивалентности, далее называемые гранич ± ными элементами поверхности. Пусть L/R – множества всех граничных элементов. Положим ± = D ±. Определим L/R L/R ± расстояния между граничными элементами e, e L/R ± (e, e ;

D, O) = lim ± (xk, xl ;

D, O), k,l 10.7 Простые концы поверхности где {xk } и {xl } – последовательности внутренних точек области D, принадлежащие классам эквивалентности e и e соответственно. Та ким образом, множества ± также превращаются в псевдометри L/R ческие пространства.

Нетрудно видеть, что имеет место Лемма 10.3. В условиях леммы 10.2 для произвольной пары точек a, b D \ E выполнено ± (a, b;

D, O) = ± (({a} ), ({b} ;

D, O)).

k=1 k= 10.7 Простые концы поверхности Пусть = (D, H, ) – абстрактная поверхность. Сечением P обла сти D мы будем называть произвольную ориентированную простую жорданову локально спрямляемую дугу (или кривую) в D, разбива ющую D на две непустых подобласти.

Определение 10.2. Последовательность {k } односвязных под k= областей D называется положительно (отрицательно) ориенти рованной цепью подобластей области D, если 1 2... k..., каждая из k (k = 1, 2,...) ориентирована положительно (отри цательно), для соответствующей последовательности {Pk } се k= чений Pk = k выполнено dist± (Pk, Pk+1 ) = 0 (dist± (Pk, Pk+1 ) = 0) k = 1, 2,... (14) LH RH и lim H(x, dx) = 0. (15) k Pk При этом последовательность сечений {Pk } называется це k= пью сечений области D.

Говорим, что цепь {k } подобластей D входит в область H, если {k } и H ориентированы одинаково и существует номер K такой, что при всех k K выполнено k H.

Если цепь {k } подобластей из D входит в каждую область Gl (l = 1, 2,...) некоторой цепи {Gl }, то говорим, что цепь {k } входит l= в цепь {Gl }.

Цепи {k } и {Gl } эквивалентны, если каждая из них входит в другую. Все цепи подобластей области D разбиваются на классы эк вивалентности. Класс эквивалентности цепей называется L-концом (R-концом) поверхности.

88 Расстояние Лаврентьева Конец E поверхности входит в область G, если хотя бы одна из цепей, принадлежащих классу эквивалентности E, входит в область G.

Конец E1 делит конец E2, если E1 входит в каждую из областей некоторой цепи из E2.

Определение 10.3. Конец поверхности, не имеющий других, от личных от себя, делителей, называется простым концом.

Множества всех простых концов поверхности = (D, H, ) будем ± обозначать символами EL/R (D).

Замечание 10.2. Альтернативное определение простого конца од носвязной области в R2 принадлежит Кбе [6] (см. также А.И. Мар е кушевич [11, глава V, §3]). Интересно отметить при этом, что вме сто термина простой конец Кбе использовал термин граничный эле е мент (Randelement).

Предположим, что цепь {k } подобластей области D определя k= ет простой конец E. Выберем произвольно последовательность {al }l= так, чтобы al k при всех l k. Так как цепь {k } удовлетворяет условию (15), то последовательность {al } принадлежит классу l= и определяет класс ({al } ). Мы будем обозначать его символом l= ({al })(E).

Для произвольной пары простых концов E и E поверхности = (D, H, ) определим расстояние, полагая ± (E, E ;

D, O) = ± (({ak })(E ), ({al })(E );

D, O), (16) где {ak } ({ak })(E ) и {al } ({al })(E ) – произвольные последовательности.

Ясно, что пределы в правой части (16) существуют и не зависят от выбора {ak } и {al }. Тем самым, имеет место:

Лемма 10.4. Отображения ± ± E EL/R (D) ({al })(E) L/R ({al })(E), (17) ± определяют вложения множеств простых концов EL/R (D) в про странства (D, ± ) фундаментальных по относительному расстоя нию ± последовательностей точек области D.

Покажем, что граничные элементы поверхности и простые кон цы суть два различных описания одного и того же объекта. Чтобы 10.8 Классификация простых концов убедиться в этом достаточно установить, что отображения (17) явля ются взаимно однозначными. Предположим, что существуют простые концы E, E и некоторый класс эквивалентности фундаментальных последовательностей {al } такие, что ({al })(E ) = ({al })(E ).

Фиксируем 0 и рассмотрим множества точек a D, для которых U = ± ({al }, a;

D, O).

Данные множества открыты и имеют непустые границы. Полагая n = n (n = 1, 2,...), найдем последовательность открытых подмно жеств U1 U2... Un..., n.

Осуществляя, если необходимо, некоторые исправления в Un, можно считать, что все Un связны, имеют локально спрямляемые границы, вдоль которых имеет место свойство (15). При перечисленных усло виях последовательность {Un } образует цепь, которая не может n= принадлежать одновременно двум различным простым концам E и E.

Объединяя доказанное с леммой 10.4, приходим к утверждению:

Теорема 10.3. Отображения (17) суть гомеоморфизмы множеств ± простых концов EL/R (D) на пространства (D, ± ) фундаменталь ных по относительному расстоянию ± последовательностей то чек области D.

10.8 Классификация простых концов Как и в теории Каратеодори, простые концы поверхности можно классифицировать следующим образом.

Определение 10.4. Пусть X – объемлющие поверхность = (D, H, ) пространства6 Dr или R2. Пусть e – простой конец, определенный цепью подобластей {k }. Телом конца e относи k= тельно объемлющего пространства X, называется множество |e| = k.

k= Здесь замыкания k берутся в X.

Топологическое пространство X объемлет = (D, H, ), если D X.

90 Расстояние Лаврентьева Определение 10.5. Точка y X тела |e| простого конца e поверх ности называется главной точкой простого конца, если найдется цепь сечений, определяющая e и сходящаяся к этой точке в топо логии пространства X. Если точка y |e| не является главной, то ее называют смежной точкой простого конца e.

Так как каждая цепь, определюящая простой конец e, имеет по крайней мере одну предельную точку на |e| (в топологии X ), то мно жество всех главных точек тела |e| непусто и замкнуто.

В зависимости от объемлющего пространства X возможны следу ющие типы простых концов односвязной абстрактной поверхности.

(I) Простой конец содержит единственную точку (и эта точка всегда главная).

(II) Простой конец содержит одну главную точку и бесконечное множество смежных точек.

(III) Простой конец содержит континуум главных точек и не содержит смежных точек.

(IV ) Простой конец содержит континуум главных точек и бес конечное множество смежных точек.

В случае подобластей R2 данная классификация совпадает с клас сификацией Каратеодори [2]. Вместе с тем заметим, что в указанном случае имеется и альтернативная классификация простых концов [3], [17], [4], [5, глава 9].

10.9 Принцип ’длины и площади’ Ниже доказывается одна из версий известного принципа ’длины и площади’. Различные формулировки этого принципа, а также его приложения в теории отображений см. у Ж. Лелон-Ферран [9] и Г.Д. Суворова [20], [21].

Пусть µ : U (0, µ0 ) – локально липшицева функция, удовлетво ряющая условию 0 ess inf | µ(x)| ess sup | µ(x)| (18) U U для любой подобласти U U.

Для произвольного t (0, µ0 ) мы обозначаем символами Bµ (t) = {x U : µ(x) t}, µ (t) = {x U : µ(x) = t} µ-круг и µ-окружность соответственно.

Так как функция µ локально липшицева, то для почти всех t (0, µ0 ) множество µ (t) U является спрямляемым для всякой под области U U (см., например, [16, теорема 1.6.1]). С другой сторо ны, на основании формулы Кронрода-Федерера для ко-площади [16, 10.9 Принцип ’длины и площади’ теорема 2.5.1] имеем µ | µ(x)| dH2 = dH1, dt U µ (t)U где dH есть элемент -меры Хаусдорфа.

Условия (18) на функцию µ тогда влекут H1 (µ (t) U ) для почти всех t (0, µ0 ).

Это означает, что множества µ (t) U являются локально спрямля емыми.

Пусть (D, H1, 1 ) и (U, H2, 2 ) – абстрактные поверхности, задан ные над областями D и U плоскости переменной y = (y1, y2 ) соответ ственно, и пусть y = f (x) : D U – отображение класса ACL2 (D).loc Для произвольной локально спрямляемой ориентированной кривой или дуги D, почти всюду вдоль которой существует df (x), пола гаем (f,, H2 ) = H2 (f (x), df (x)). (19) f () (Здесь и ниже предполагается, что на каждой из компонент связности множества µ (t) выбрана та или иная ориентация, так что данные интегралы определены.) Заметим, что вдоль почти всех µ-окружностей µ (t) выполнено df (x) = ( f1 (x), dx, f2 (x), dx ). (20) Пусть Dµ, µ = {x D : µ µ(x) µ }.

Приведем специальный вариант принципа ’длины и площади’, обоб щающий его классическую форму [9], [20].

Зададим семейство F(µ, µ ) компонент связности множеств уров ня µ ( ), [µ, µ ], обладающее свойством:

если µ ( ), µ ( ), то = =.

Положим (f, t) = sup (f,, H2 ), где точная верхняя грань берется по всевозможным дугам (или кривым) F (µ, µ ).

Далее, пусть ( µ) | µ(x)| (t) = inf H1 x, |dx|, | µ| µ (t) 92 Расстояние Лаврентьева где ( µ) = (µx2, µx1 ).

Предположим, что функции H1 (x, ), H2 (y, ) и ориентации на ду гах F (µ, µ ) выбраны так, что функция (t) измерима по Лебегу на [µ, µ ].

Теорема 10.4. Пусть (D, H1, 1 ) и (U, H2, 2 ) – абстрактные по верхности, заданные над областями D, U R2 соответственно, пусть f : D U – монотонное7 отображение класса ACL2 (D) и loc пусть 0 µ µ µ0. Тогда µ H2 (f (x), µf ) 1 dH2, (f, t) (t) dt (21) µ) ( H1 x, | µ| µ Dµ, µ где ( µ) ( µ) µf = f1 (x),, f2 (x),.

| µ| | µ| Доказательство. Так как функция µ : D R1 локально лип шицева и удовлетворяет условию (18), то в силу формулы Кронрода Федерера для ко-площади имеем H2 (f (x), µ f (x)) 1 dH2 = ( µ) H1 x, | µ| Dµ, µ µ H2 (f (x), µ f (x)) = dt |dx|.

| µ| µ) H1 x, ( | µ| µ µ (t) Отображение f монотонно и принадлежит классу ACL2 (D). Тем loc самым, почти всюду в D существует полный дифференциал df (x) (см., например, [16, теорема 3.2.3]). Отсюда вытекает, что для почти всех t почти всюду вдоль µ (t) выполнено df (x) dx dx = f1 (x),, f2 (x), = |dx| |dx| |dx| (22) ( µ) ( µ) = f1 (x),, f2 (x), = µ f (x).

| µ| | µ| Вектор-функция f : D Rm называется монотонной в смысле Лебега, если для всякой подобласти D D выполнено osc(f, D ) osc(f, D ).

10.10 Евклидова метрика Отсюда для всякой компоненты связности µ (t) (с заданной на ней ориентацией) имеем 2 H2 (f (x), df (x)) = H2 f (x), df (x) |dx| = |dx| = |dx| H2 (f (x), µ f (x)) ( µ) | µ| H2 (f (x), µ f (x)) 1 |dx| H1 x, |dx|.

| µ| 1 | µ| µ) H1 x, ( | µ| Далее, H2 (f (x), µ f (x)) 1 |dx| (f,, H) (t) | µ| µ) H1 x, ( | µ| и H2 (f (x), µ f (x)) 1 |dx| 2 (f, t) (t).

| µ| ( µ) H1 x, | µ| µ (t) Интегрируя по переменной t и пользуясь еще раз формулой Кронрода Федерера, приходим к соотношению µ µ H2 (f (x), µ f (x)) 1 |dx| 2 (f, t) (t) dt dt = | µ| ( µ) H1 x, | µ| µ µ µ (t) H2 (f (x), µ f (x)) 1 dH2.

= ( µ) H1 x, | µ| Dµ, µ Теорема доказана. 10.10 Евклидова метрика Рассмотрим случай, в котором H1 (x, ) ||, 1 (x) 1 и H2 (y, ) H(y, ). Здесь имеем (t) = inf | µ(x)| |dx|, µ (t) 94 Расстояние Лаврентьева и оценка (21) принимает вид µ 2 (f, t) (t) dt H 2 (f (x), dH2, µ f (x)) (23) µ Dµ, µ где (f, t) = sup (f,, H), (f,, H) = H(f (x), df (x)).

Мы будем рассматривать функции µ вида µ(x) = |x x0 |, где x0 R2. (24) В данном случае | µ(x)| 1 и 1 (t) =. (25) supµ (t) H1 () 2 t Переходя к полярным координатам (r, ) с полюсом в точке x0, находим r = (rx1, rx2 ) = (cos, sin ) и, далее, ( µ) = ( sin, cos ), µ f (x) = (f1x1 sin + f1x2 cos, f2x1 sin + f2x2 cos ). (26) В специальном случае, когда вектор-функция f = (f1, f2 ) удовле творяет системе Коши-Римана f1x1 = f2x2, f1x2 = f2x1, имеем | µ f (x)|2 = | f1 (x)|2 + | f2 (x)|2. (27) Предполагая, что H(y, ), и пользуясь соотношениями (23) – (27), приходим к хорошо известной форме принципа ’длины и площади’ для голоморфных функций µ osc2 (f, t) | f1 (x)|2 + | f2 (x)|2 dH2, dt (28) t µ Dµ, µ где символом osc(f, t) обозначено наибольшее из колебаний f на ком понентах связности множества {x D1 : |x x0 | = t} (см. [20, раздел 7.2, часть I]).

Аналогичное соотношение имеет место в случае, когда в областях D и U заданы сферические метрики вида (4).

10.11 Оценки искажения 10.11 Оценки искажения Ниже указываются оценки искажения относительного расстояния М.А. Лаврентьева при отображениях класса ACL2, подчиненных loc вблизи границы области некоторым интегральным ограничениям.

Пусть D1, D2 R2 – односвязные области, D1 = R2 и O1 D1, O2 D2 – фиксированные точки. Пусть 1 = (D1, H1, 1 ) и 2 = (D2, H2, 2 ) – абстрактные поверхности с элементами длины и пло щади вида (2), (3), заданные над областями D1 и D2 соответственно.

Мы будем предполагать здесь, что функции Hi (·, ) (i = 1, 2) суть функции вида (1), непрерывны в Di R2 и подчинены условиям ci1 || Hi (·, ) ci2 ||, cij (Fi ) = const 0, (29) на всяком компактном подмножестве Fi Di.

Пусть y = f (x) – гомеоморфное отображение области D1 на об ласть D2, принадлежащее классу ACL2 (D) и обладающее свойством loc f (O1 ) = O2.

Пользуясь соотношением (??), введем относительные расстояния ± (x, x ;

D1, O1 ) и ± (y, y ;

D2, O2 ).

Укажем некоторые оценки искажения относительного расстояния при отображении f : D1 D2. Пусть (x, y) = inf H1 (x, dx), x,y x,y где x,y – произвольная локально спрямляемая дуга в D1, соединяю щая точку x D1 с точкой y D1.

Положим r(D1 ) = inf (O1, y).

yD Формулируемая ниже теорема обобщает теорему М.А. Лаврентье ва [8] об искажении относительного расстояния.

Теорема 10.5. Пусть f : D1 D2 – сохраняющее ориентацию го меоморфное отображение класса ACL2 (D), подчиненное условиям:

loc f (O1 ) = O2 и H2 (f (x), µf ) I(f ) = sup 1 dx1 dx2, µ = (x, y). (30) µ) ( H1 x, yD | µ| D Тогда для любой пары точек p, q D1, удовлетворяющей условию ± (p, q;

D1, O1 ) min 1, r (D1 ), (31) 96 Расстояние Лаврентьева выполнено 1/ ± (p,q;

D1,O1 ) dt ± ((f (p), f (q);

D2, O2 ) K.

|dx| ± (p,q;

D1,O1 ) 1 (x) 1 (x) µ (t) (32) Здесь 1 (x) = sup H1 (x, ), K= I(f ) ||= и ± (p, q;

D1, O1 ), ± ((f (p), f (q);

D2, O2 ) одновременно суть + (p, q;

D1, O1 ), + ((f (p), f (q);

D2, O2 ) или (p, q;

D1, O1 ), ((f (p), f (q);

D2, O2 ).

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, в котором точ ки p, q D1 \ {O1 } и обладают свойством (31). Пусть D1 \ {O1 } положительно ориентированная дуга или кривая в D1, для которой l() H1 (x, dx) (p, q;

O1, D1 ) +, где 0 произвольно малое число и = ±.

Выберем точку и рассмотрим функцию µ(x) = (, x). В силу предположений (29) данная функция локально липшицева и обладает свойствами 0 ess inf | µ(x)| ess sup | µ(x)|, F D1.

F F Нетрудно видеть также, что здесь имеем (t). (33) |dx| 1 (x) 1 (x) µ (t) Тем самым для почти всех (0, d()), d() = sup (, x), xD 10.11 Оценки искажения µ-окружности µ ( ) = {x D1 : µ(x) = } локально спрямляемы.

Рассмотрим семейство µ-окружностей {µ ( )}, r R, где r = (p, q;

O1, D1 ) +, R= (p, q;

O1, D1 ) (здесь и ниже до конца раздела мы пользуемся обозначением = ± ).

В силу (31), имеем (p, q;

O1, D1 ) (p, q;

O1, D1 ) 1, и потому данное семейство не пусто для достаточно малых 0.

Далее рассмотрим два случая.

Первый случай. Предположим, что (, D1 ) l (). (34) Тогда имеем (p, q;

D1, O1 ) (, O1 ), (35) и каждая из µ ( ) отделяет p, q от O1.

Действительно, предположим противное. Пусть (, O1 ) (p, q;

O1, D1 ).

Для произвольной точки u D1 такой, что (u, ) = (, D1 ), имеем (u, O1 ) (u, ) + (, O1 ).

Тем самым, в силу (34), r(D1 ) (u, O1 ) l () + (p, q;

O1, D1 ) (p, q;

O1, D1 ) + + (p, q;

O1, D1 ).

Условие r R теперь влечет r(D1 ) 1/4 (p, q;

O1, D1 ) + 1/2 (p, q;

O1, D1 ) 2 1/4 (p, q;

O1, D1 ), или r (D1 ) (p, q;

O1, D1 ).

Это противоречит (31), и неравенство (35) действительно справедли во.

Для произвольного, r R, пусть C означает компоненту связности множества µ ( ), отделяющую точки p, q от O1. Существо вание такой компоненты связности следует из (35).

98 Расстояние Лаврентьева 1, Отображение f принадлежит классу Wloc (D1 ) и потому абсолютно непрерывно на почти всех дугах C, r R. Таким образом, для почти всех [r, R] дуги f (C ) локально спрямляемы.

Так как дуга (кривая) C, r R, отделяет точки p, q от O в D1, отображение y = f (x) : D1 D2 гомеоморфно, сохраняет ориентацию и f (O1 ) = O2, то дуга (кривая) f (C ) положительно ориентирована и отделяет точки f (p) и f (q) от точки O2. Тем самым, для почти всех [r, R] мы имеем (f (p), f (q);

D2, O2 ) H2 (y, dy) f (C ) и (f (p), f (q);

D2, O2 ) H2 (f (x), df (x)).

C Пользуясь соотношением (22), заключаем, что для почти всех [r, R] выполнено (f (p), f (q);

D2, O2 ) H2 (f (x), µ f (x)) |dx|.

C Однако, H2 (f (x), µ f (x))|dx| (f, ), C где (f, ) = sup H2 (f (x), df (x)) и точная верхняя грань берется по всевозможным компонентам связ ности µ ( ).

Таким образом, для почти всех [r, R] имеем (f (p), f (q);

D2, O2 ) (f, ).

Так как функции Hi (i = 1, 2) непрерывны и все дуги C ориентиро ваны положительно, то функция ( ) измерима в смысле Лебега на [r, R]. Пользуясь (21), заключаем, что R H2 (f (x), µf ) 1 dH (f (p), f (q);

D2, O2 ) ( ) d µ) H1 x, ( | µ| r Dr, R 10.12 Соответствие границ или R 2 (f (p), f (q);

D2, O2 ) ( ) d r H2 (f (x), µ f ) 1 dH2, µ = (, x).

H1 x, ( | µ) µ| D Данное соотношение выполняется для любого 0 и мы получаем (p,q;

D1,O1 ) 2 (f (p), f (q);

D2, O2 ) ( ) d I(f ). (36) (p,q;

D1,O1 ) Оценки (33) и (36) влекут справедливость (32) в рассматриваемом случае.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.