авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный университет Лаборатория сверхмедленных процессов Записки ...»

-- [ Страница 3 ] --

Второй случай. Предположим, что (, D1 ) l(). Тогда мы имеем (, D1 ) (p, q;

D1, O1 ) = R, и, следовательно, ни одна из кривых C семейства µ-окружностей {µ ( )}, [r, R], не пересекает границу D1.

Как и выше, устанавливаем оценку (21).

Отображение f : D1 D2 гомеоморфно, а потому каждая из кривых f (C ), r R, отделяет точки f (p), f (q) от границы D2 и для любого [r, R] выполнено 1 (f (p), f (q);

D2, O2 ) (f, ).

Отсюда, в силу (21), приходим к (36) что влечет (32). Теорема дока зана. 10.12 Соответствие границ В условиях теоремы 10.5 имеет место следующее утверждение, обобщающее теорему Каратеодори [2] о соответствии границ при кон формных отображениях односвязных подобластей плоскости R2.

Теорема 10.6. Если гомеоморфное отображение f : D1 D2 удо влетворяет условию (30) и dt =, (37) |dx| 1 (x) 1 (x) µ (t) 100 Список литературы то f продолжимо по непрерывности до непрерывного отображения f : D1 D2, где символами Di (i = 1, 2) обозначены соответству ющие пополнения областей.

Доказательство. Достаточно проверить случай, в котором гомео морфизм f сохраняет ориентацию. Тогда из предположений (30) и (37) вытекает, что всякая L-фундаментальная (R-фундаментальная) последовательность точек {xk } области D1 переходит в L-фундамен тальную (R-фундаментальную) последовательность {f (xk )} области D2. Пользуясь теоремой 10.3, легко приходим к нужному утвержде нию. Замечание 10.3. В евклидовом случае, когда H1 (x, ) = H2 (y, ) = || и 1 (x) = 2 (x) 1, имеем (t) = 1. Условие (37) действительно выполнено. Неравенство (32) принимает известный (см. [8], [13]) вид K ((f (p), f (q);

D2, O2 ) 1/2, ln (p, q;

D1, O1 ) где 1/ K= (| f1 |2 + | f2 |2 ) dH2.

D Список литературы [1] С.К. Годунов, Е.И. Роменский, Элементы механики сплошных сред и законы сохранения, Новосибирск: Научная книга, 1998.

[2] C. Carathodory, Uber die Begrenzung einfach zusammenhngender e a Gebiete, Math, Ann., t. 73, 1913, 323-370.

[3] E.F. Collingwood, G. Piranian, The structure and distribution of prime ends, Arch. Math., v. 10, n. 5, 1959, 379-386.

[4] E.F. Collingwood, G. Piranian, Asymmetric prime ends, Math. Ann., v. 144, n. 1, 1961, 59-63.

[5] Э. Коллингвуд, А. Ловатер, Теория предельных множеств, М.:

Мир, 1971.

[6] P. Koebe, Abhandlungen zur theorie der konformen Abbildung, Acta Math., v. 41, 1918, 305-344.

[7] К. Куратовский, Топология, Т. 1, М.: Мир, 1966.

Список литературы [8] М.А. Лаврентьев, О непрерывности однолистных функций в за мкнутых областях, ДАН СССР, т. 4, 1936, 207-210.

[9] J. Lelong–Ferrand, Reprsentation conforme et transformations a e intgrale de Dirichlet borne, Paris: Gauthier - Villars, 1955.

e e [10] S. Mazurkiewicz, Uber die Denition der Primenden, Fund. Math., v. 26, 1936, 272-279.

[11] А.И. Маркушевич, Теория аналитических функций, М.-Л.:

ГИТТЛ, 1950.

[12] Ч.В. Мизнер, К.С. Торн, Д.А. Уилер, Гравитация, т. 1-3, Бишкек:

Айнштайн, 1994.

[13] В.М. Миклюков, Относительное расстояние М.А. Лаврентьева и простые концы на непараметрических поверхностях, Укр. матем.

вестн., т. 1, n. 3, 2004, 348-371.

[14] В.М. Миклюков, О некоторых применениях относительного рас стояния М.А. Лаврентьева, Докл. РАН, т. 402, n. 4, 2005, 448-451.

[15] В.М. Миклюков, Конформное отображение нерегулярной поверх ности и его применения, Волгоград: ВолГУ, 2005, 273 с.

[16] В.М. Миклюков, Введение в негладкий анализ, Волгоград: Вол ГУ, 2006, 284 с.

[17] G. Piranian, The distribution of prime ends, Mich. Math. J., V. 7, 1960, 83 95.

[18] Р. Рокафеллар, Выпуклый анализ, М.: Мир, 1973.

[19] Х. Рунд, Дифференциальная геометрия финслеровых про странств, М.: Наука, 1981.

[20] Г.Д. Суворов, Семейства плоских топологических отображений, Новосибирск: изд-во СО АН СССР, 1965, 266 с.

[21] Г.Д. Суворов, Обобщенный принцип ‘длины и площади’ в теории отображений, Киев: изд-во ”Наукова Думка”, 1985, 278 с.

[22] С. Чандрасекар, Математическая теория черных дыр, в 2-х ча стях, М.: Мир, 1986.

V.M. Miklyukov, M.A.Lavrentiev relative distance on anisotropic surfaces Abstract. An analog of M.A. Lavrentiev relative distance is considered on anisotropic surfaces.

102 Уравнение минимальных поверхностей 11 О сходимости приближенных решений уравнения минимальных поверхностей, А.А. Клячин, 4 мая c А.А. Клячин, 5 мая Аннотация. Показано, что приближенные решения дискретно го аналога уравнения минимальной поверхности имеют равномерно ограниченный градиент при определенном стремлении мелкости раз биения к нулю. Следствием полученной оценки является равномер ная сходимость к точному решению уравнения минимальной поверх ности.

11.1 Постановка задачи Пусть задана ограниченная область Rn. Будем предполагать, что область приближена некоторым способом многогранником.

Рассмотрим некоторое разбиение этого многогранника на тетраэдры T1, T2,..., TN. Пусть M1, M2,..., Mm - все вершины этих тетраэдров.

Будем предполагать, что ни одна из точек Mi не является внутренней точкой ни одной грани тэтраэдров.

Для произвольного набора значений u1, u2,..., um определим кусоч но линейную функцию u : R так, что u(Mi ) = ui, i = 1,..., m и функция u линейна на каждом тетраэдре Tk, k = 1,..., N. Тогда мы можем положить u pk в Tk, где pk - постоянный вектор в Rn.

Поэтому площадь графика функции u вычисляется суммой N 1 N 1 + |pk |2 v(Tk ), S(p) = S(p,..., p ) = k= где v(Tk ) – n-мерный объем тетраэдра Tk, p = (p1,..., pN ).

Так как векторы p1,..., pN однозначно определяются значениями u1,..., um, то можем записать величину S(p) через переменные u = (u1,..., um ): S(u) = S(u1,..., um ). Действительно, переменные p1,..., pN связаны линейно с переменными u1,..., um. Тогда найдутся такие чис ла ak, что li m pk ak ui, k = 1,..., N, l = 1,..., n, = l li i= 11.2 Основные результаты где pk = (pk, pk,..., pk ). Числа ak определяются разбиением области 12 n li на тетраэдры T 1,..., T N. Поэтому N n m ak ui )2 · v(Tk ) S(u) = S(u1,..., um ) = 1+ ( li i= k=1 l= Предположим, что в вершинах M1,..., Mm заданы произвольные значения 1,...,m. Соответствующую кусочно-линейную функцию обо значим через. Поставим задачу нахождения такой кусочно-линейной функции u, на которой достигается минимум площади S(u1,..., um ) и удовлетворяющей граничному условию, т. е. задачу S(u1,..., um ) min, u(Mi ) = (Mi ), Mi. (1) 11.2 Основные результаты Теорема 1. Задача (1) имеет единственное решение.

Доказательство. Отметим, что функция S(u1,..., um ) является строго выпуклой по совокупности переменных u1,..., um. Ясно, что lim S(u) = +.

|u|+ Поэтому функция S(u) достигает своего минимума в некоторой точке u. Единственность точки следует из строгой выпуклости функции S(u).

Так как при u = u функция S(u) принимает минимальное значе ние, то легко получаем разностный аналог уравнения минимальных поверхностей n m k ur ak ak v(T ) N lr li l=1 r= = 0, n m k= ak ur 1+ lr r= l= где i принимает те значения от 1 до m, при которых Mi \.

Покажем, что градиент приближенного решения u оценивается постоянной, не зависящей от мелкости разбиения.

Итак, пусть f - решение уравнения n fxi =0 (2) xi 1 + | f | i= 104 Уравнение минимальных поверхностей в области, причем f | = |. Построим по функции f кусочно линейную функцию f L такую, что f L (Mi ) = f (Mi ) (i = 1,..., m) и что f L линейна в каждом из тэтраэдров T k.

Ясно, что если мелкость разбиения µ = max diam T k устремить к k L нулю, то S(f ) S(f ), а значит и S(u ) S(f ). Предположим, что задача Дирихле в области для уравнения минимальной поверхно сти решается для любых непрерывных граничных данных.

Введем величину для произвольных векторов, Rn, 1 + ||2 1 + || (, ) =.

1 + || Не трудно заметить, что (, ) 0 при всех =. Полагая = f, = u и используя уравнение (2), получаем f, (u f ) ( f, u ) dx = S(u ) S(f ) + dS.

1 + | f | Пользуясь неравенством, 1 + ||2 1 + ||2 1 + || | |, 1 + ||2 ( 1 + ||2 1 + ||2 + |||| + 1) заключаем, что u |2 dx | f 1 + | f |2 ( 1 + | f |2 1 + | u |2 + | f || u | + 1) f, (u f ) S(u ) S(f ) + dS.

1 + | f | Зафиксируем произвольное k = 1,..., N. Тогда u |2 dx | f 1 + | f |2 ( 1 + | f |2 1 + | u |2 + | f || u | + 1) Tk f, (u f ) S(u ) S(f ) + dS.

1 + | f | Список литературы u постоянен в T k, то, полагая P0 = sup | f |, при Так как вектор ходим к оценке (u ) f, S(u ) S(f ) + dS | u |2 1+| f | 9(1 + P0 ). (3) | v(T k ) 1+| u Теорема 2. Пусть f C 2 ( ) C( ) – решение уравнения (2) такое, что f | = | и P0 = sup | f | +. Предположим, что u является решением задачи (1). Тогда справедливо неравенство (3).

Замечание. Если величина 1 f, (u ) dS S(f L ) S(f ) + k) v(T f | 1+| остается ограниченной при определенном стремлении мелкости раз биения к нулю для достаточно гладких функций f, то из теоремы 2 и неравенства S(u ) S(f L ) мы заключаем, что приближенное реше ние u имеет ограниченный градиент. При этом ясно, что | f L | P и для получения оценки погрешности вычисления приближенного ре шения u мы можем воспользоваться методом, описанным в [1].

Список литературы [1] Клячин А.А. О скорости сходимости последовательности, мини мизирующей функционал площади. Записки семинара "Сверх медленные процессы", вып. 2. – Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2007, 136-142.

A.A. Klyachin, On convergence of approximate solution minimal surface equation.

Abstract. In this article we show that approximate solutions of the discrete analog of the minimal surface equation have uniformly bounded gradient under specic tendency of the triangulation mesh to zero. Corolla ry of obtained estimate is uniform convergence to the faithful solution of the minimal surface equation.

106 О системах тетраэдров 12 О системах тетраэдров, удовлетворяющих условию пустоты шара, А.Ю. Игумнов, 16 мая c А.Ю. Игумнов, 16 мая Аннотация. В работе установлен критерий пустоты шара для си стем тетраэдров, попарно не имеющих общих внутренних точек;

до казан достаточный признак сохранения условия пустоты шара при отображении указанных систем для отображений билипшицевого клас са.

12.1 Введение Понятие пустого шара для произвольной системы точек было вве дено Б.Н. Делоне в 1924 году. В статье [1], приводится геометрическое доказательство фундаментальной теоремы Вороного о совершенных квадратичных формах ([2]);

там же доказан критерий пустоты шара для решеток специального вида (параллелепипедальных). С поняти ем пустого шара связаны задачи о триангуляции и о разбиении мно жеств (диаграммы Вороного), которые находят приложения в раз личных областях естествознания, в частности, в геоинформатике и в структурной химии ([3], [4], [5], [6], [7]).

12.2 Определения и обозначения Определение 1. ([1]) Пусть дана какая-либо система точек в n мерном пространстве и какой-либо шар. Шар называется пустым, если он не содержит точек этой системы.

Определение 2. Пусть a1,..., an+1 точки в Rn. Определим тет раэдр T = a1... an+1 с вершинами a1,..., an+1 как выпуклую оболоч ку точек a1,..., an+1. Тетраэдр T называется невырожденным, если его вершины не лежат в одной гиперплоскости.

Определение 3. Пусть T = a1... an+1 тетраэдр и S некото рая сфера в Rn. Тетраэдр T называется вписанным в сферу S (со ответственно, сфера S называется описанной вокруг тетраэдра T ) если вершины a1,..., an+1 тетраэдра лежат на сфере S. Тетраэдр T называется вписанным в шар B (соответственно, шар B назы вается описанным вокруг тетраэдра T ) если вершины a1,..., an+ тетраэдра лежат на сфере S, ограничивающей шар B.

Сферу, описанную вокруг тетраэдра T, обозначим ST (шар BT ).

Обратно, если S некоторая сфера, то обозначим TS тетраэдр, впи санный в эту сферу. Аналогично, обозначим TB тетраэдр, вписанный 12.3 Критерий пустоты шара в шар B. Очевидно, всякий невырожденный тетраэдр T единствен ным образом определяет описанную вокруг него сферу (шар).

Дадим переформулировки определения (1) применительно к систе мам точек, являющихся вершинами тетраэдров.

Определение 4. Пусть T некоторый невырожденный тетраэдр n в R, BT открытый шар, описанный вокруг тетраэдра T, a некоторая точка в Rn. Будем говорить, что пара (T, a) удовлетво ряет условию пустоты шара, если BT a.

невырожденные тетраэдры в Rn.

Определение 5. Пусть T, T Будем говорить, что пара тетраэдров T, T удовлетворяет усло вию пустоты шара, если это условие выполнено для всех пар (T, a ), где a вершина тетраэдра T, и для всех пар (T, a ), где a вер шина тетраэдра T.

Определение 6. Пусть T система невырожденных тетраэд ров. Будем говорить, что в системе T выполнено условие пустоты шара, если для каждой пары T, T тетраэдров этой системы вы полнено условие пустоты шара.

12.3 Критерий пустоты шара Определение 7. Пусть T и T невырожденные тетраэдры в Rn. Тетраэдры T, T называются смежными, если они имеют об щую гипергрань и их вершины, не принадлежащие этой гиперграни, лежат по разные стороны гиперплоскости, определяемой этой ги пергранью.

Тетраэдры, удовлетворяющие определению 7, будем также назы вать тетраэдрами, смежными в обычном смысле.

Для систем смежных тетраэдров, регулярно разбивающих простра нство Rn, имеет место следующая лемма [цит. по [1], перевод A.И.].

Лемма 1. [1] "Пусть T совершенно произвольные тетраэдры, ре гулярно разбивающие n-мерное пространство, полностью соприка сающиеся (n 1)-мерными гранями, и такие, что любая ограничен ная область (т.е. область ограниченного диаметра) имеет общие точки только с конечным числом этих тетраэдров;

тогда необхо димое и достаточное условие того, что никакой из шаров, описан ных вокруг любого из этих тетраэдров, не содержит внутри себя никаких вершин других тетраэдров, есть уловие, что это будет иметь место для каждой пары двух тетраэдров, соприкасающихся по (n 1)-мерной грани, иначе говоря, в каждой такой паре верши на одного из тетраэдров не должна быть внутри шара, описанного вокруг другого тетраэдра, и обратно".

108 О системах тетраэдров Доказательство см. в [1].

Сформулируем теперь условия, которым должны удовлетворять системы тетраэдров, и определение смежности в обобщенном смысле, позволяющие обобщить лемму Делоне.

Пусть T система тетраэдров, удовлетворяющая следующим усло виям:

Всякий тетраэдр системы невырожден. (1) Никакие два тетраэдра системы не имеют общих внут- (2) ренних точек.

Любая ограниченная область имеет общие точки толь- (3) ко с конечным числом тетраэдров.

Определение 7 обобщим следующим образом.

Определение 8. Пусть T система тетраэдров, удовлетворя ющая условиям (1)-(3). Тетраэдры системы T называются смеж ными в системе T в обобщенном смысле, или T -смежными, отно сительно гиперграней T, T если существуют a, a внутренние точки тетраэдров T, T соответственно, такие, что отрезок [a, a ] пересекает грани, и не пересекается с другими тетраэдрами системы T.

Сформулируем обобщение леммы 1.

Лемма 2. Обобщение леммы Делоне.

Пусть T система тетраэдров, удовлетворяющая условиям (1) (3). Система T удовлетворяет условию пустоты шара тогда и только тогда, когда этому условию удовлетворяют всякие два T смежных тетраэдра.

Доказательство леммы 2 почти дословно совпадает с доказатель ством леммы 1. А именно.

Очевидно, что это условие необходимо. Но оно также и достаточно.

Действительно, пусть T1 один из этих тетраэдров, и a вершина какого-либо из них. Пусть b внутренняя точка тетраэдра T1. Если отрезок прямой ab, проходящей сквозь тетраэдры, пересекает грань размерности, меньшей чем n1, то можно изменить положение точки b внутри T1 таким образом, что это не будет иметь место.

Обозначим T1, T2, T3... Tk следующие друг за другом тетраэдры, пересекаемые (протыкаемые) отрезком ba, проведенным из точки b в точку a, и положим 12, 12, 23, 23,..., k1,k, k1,k (а также k,k+ если a является вершиной тетраэдра, который имеет с отрезком ba лишь эту общую точку и который обозначим в этом случае как Tk+1 ;

тетраэдр Tk+1 будет смежным с тетраэдром Tk относительно k,k+ грани тетраэдра Tk, и k,k+1 некоторой грани тетраэдра Tk+1, име ющей точку a своей вершиной) (n1)-мерные грани, относительно 12.4 Критерий пустоты шара в частных случаях которых смежны эти последовательно следующие тетраэдры, и кото рые пересекает отрезок ba, проходящий от одного из них к другому.

(Если тетраэдры Ti и Ti+1 смежны в обычном смысле, то грани i,i+ и i,i+1 совпадают.) Очевидно, что точка a всегда будет расположена на той же стороне гиперплоскости, определяемой некоторой из граней i,i+1, i,i+1, что и следующий из тех двух последовательных тетра эдров Ti, Ti+1, которые являются смежными относительно этой пары граней. (В случае наличия тетраэдра Tk+1 нужно говорить о гипер плоскости, определяемой гранью k,k+1 тетраэдра Tk.) Будем назы вать эту сторону гиперплоскости "верхней". Легко показать, что если никакая вершина тетраэдра Ti не является внутренней точкой шара BTi+1, и обратно, то либо сферы, описанные вокруг этих тетраэдров, совпадают, либо вектор ci ci+1, соединяющий центры этих сфер, на правлен от "нижней" стороны гиперплоскости i,i+1 к "верхней" ее стороне (то же и для гиперплоскости i,i+1 ). Но легко показать, что в этом случае "степень" (квадрат длины касательной) i точки a от носительно сферы STi, не меньше (алгебраически), чем степень i+ этой точки относительно сферы STi+1. Мы получаем, таким образом:

1 2............ k1 k (если a вершина тетраэдра Tk+1, то имеем еще k k+1 ).

Но так как точка a расположена на самй поверхности сферы STk о (соответственно STk+1 ), то k = 0 (k+1 = 0) и, значит, 1 0, т.е.

точка a не является внутренней точкой шара BT1. Лемма доказана.

12.4 Критерий пустоты шара в частных случаях По определению 6, система тетраэдров удовлетворяет условию пу стоты шара тогда и только тогда, когда этому условию удовлетворя ют все (упорядоченные) пары тетраэдров этой системы. Леммы 1 и 2 утверждают, что совокупность проверяемых пар тетраэдров можно уменьшить, проверяя на условие пустоты шара только те пары, тетра эдры которых смежны в обычном или в обобщенном смысле. Вводи мые здесь понятия граничного и внутреннего тетраэдров семейства позволяют еще уменьшить совокупность пар тетраэдров, проверяе мых на условие пустоты шара.

Определение 9. Пусть T система тетраэдров, удовлетворяю щая условиям (1)-(3);

D = T T. Тетраэдр T T называется гра ничным тетраэдром этой системы, если некоторая его гипергрань пересекается с границей множества D по (n 1)-мерному множе ству. Совокупность всех граничных тетраэдров системы T будем обозначать T. Тетраэдры, не являющиеся граничными, будем на зывать внутренними.

С учетом определения 9 лемму 2 можно переформулировать сле дующим образом.

110 О системах тетраэдров Теорема 1. Пусть T система тетраэдров, удовлетворяющая условиям (1)-(3). Условие пустоты шара выполнено для системы T тогда и только тогда, когда:

1) Это условие выполнено для каждой пары тетраэдров системы T, смежных в обычном смыcле;

2) Это условие выполнено для всяких двух T -смежных граничных тетраэдров системы.

В частности, имеет место следующая Теорема 2. Пусть T система тетраэдров, удовлетворяющая условиям (1)-(3), и множество D = T T T выпуклое. Условие пустоты шара выполнено для системы T тогда и только тогда, когда оно выполнено для каждой пары смежных в обычном смысле тетраэдров системы T.

Доказательство. Из выпуклости D следует, что в системе T нет тетраэдров, смежных в обобщенном смысле, которые не были бы смежны в обычном смысле.

Рассматривая систему тетраэдров, как состоящую из нескольких подсистем, получаем следующую теорему.

Теорема 3. Пусть T1,..., Tl системы тетраэдров, удовлетворя ющие условиям (1)-(3), для каждой из которых порознь выполнено условие пустоты шара. Пусть система T = T1... Tl также удовлетворяет условиям (1)-(3). Для системы T условие пустоты шара выполнено тогда и только тогда, когда это условие выполне но для каждой пары тетраэдров T Ti, T Tj, 1 i j l, смежных в обобщенном смысле в системе T.

Доказательство непосредственно следует из теоремы 1.

12.5 Сохранение условия пустоты шара при преобразовании системы тетраэдров Постановка задачи (В. М. Миклюков).

Пусть системе T тетраэдров в Rn поставлена в соответствие систе ма T тетраэдров в Rn таким образом, что для любых двух точек a, вершин тетраэдров системы T, и соответствующих им точек a, a a вершин тетраэдров системы T выполнено условие l |a a | |a a | L |a a |, где l, L 0. (4) Требуется определить условия на коэффициенты l, L выражения (4), обеспечивающие при указанном отображении сохранение условия пу стоты шара.

Изложим соображения, исходя из которых будем формулировать достаточные условия на коэффициенты l, L.

12.5 Сохранение условия пустоты шара при преобразовании системы тетраэдров Достаточно обеспечить выполнение условия пустоты шара для все возможных пар вида (T, a), где T произвольный тетраэдр системы T, a любая из вершин тетраэдров системы T (т.е. формулировать условия на l, L в локальном виде).

Заметим, что при ортогональном отображении условие пустоты тетраэдры в Rn, a, a шара сохраняется. А именно, пусть T, T точки в Rn и пусть пара (T, a ) удовлетворяет условию пустоты ша ра. Если O некоторое ортогональное преобразование, и T = O(T ), a = O(a ), то, очевидно, пара (T, a ) также удовлетворяет условию пустоты шара.

Далее, если при некотором сопоставлении (T, a ) (T, a ) усло вие пустоты шара нарушается, то возможны только два случая:

1) Тетраэдр T невырожден. Тогда условие пустоты шара будет нарушено по причине a BT.

2) Тетраэдр T вырожден. Тогда, очевидно, для любой точки a пара (T, a ) не удовлетворяет условию пустоты шара (в том смыс ле, что в силу неединственности шара BT в случае вырожденности тетраэдра T, для любой точки a можно указать шар BT a.

Поэтому для обеспечения сохранения условия пустоты шара при пре образовании (T, a ) (T, a ) достаточно потребовать, чтобы сте пень отличия этого преобразования от ортогонального была такова, чтобы как случай 1), так и случай 2) были невозможны.

Исходя из этого степень отличия рассматриваемого преобразова ния от ортогонального будем характеризовать посредством двух чис ловых величин, одна из которых должна характеризовать макси мальную степень отличия отображения от ортогонального, при кото рой заведомо невозможен случай 1), а другая максимальную сте пень отличия отображения от ортогонального, при которой заведомо невозможен случай 2). При этом сами числовые величины должны быть инвариантны относительно ортогональных преобразований.

Дадим определения этих величин.

Для случая 1). Пусть T = a1... an+1 невырожденный тетраэдр n n в R, a = an+2 точка в R. Полагая пару (T, a) фиксированной и удовлетворяющей условию пустоты шара, определим на множестве пар вида (T, a ), где T = a1... an+1 тетраэдр и a = an+2 точка в Rn, числовую функцию k следующим образом:

|ai aj | min |ai aj |, 1ij n+ k((T, a);

(T, a )) =, (5) |ai aj | max |ai aj |, 1ij n+ полагая здесь a a = |a a | и, далее, |ai aj | = 1 при ai = aj, ai = aj, |ai aj | 112 О системах тетраэдров k((T, a);

(T, a )) = 0 при a1 = a2 =... = an+1 = an+2.

Для случая 2). Полагая тетраэдр T = a1... an+1 невырожденным и фиксированным, определим на множестве тетраэдров T вида T = a1... an+1 числовую функцию |ai aj | min |ai aj |, 1ij n+ q(T ;

T ) =, (6) |ai aj | max |ai aj |, 1ij n+ полагая q(T ;

T ) = 0 при a1 = a2 =... = an+1.

Непосредственно из определения функций k, q вытекают следую щие их свойства.

Свойство 1. Функция k непрерывна как функция точек a1,..., an+ и принимает значения от нуля до единицы.

Свойство 2. Функция k инвариантна относительно ортогональных преобразований. Т.е., если T = O(T ) и a = O(a ) для некоторого ортогонального преобразования O, то k((T, a);

(T, a )) = k((T, a);

(T, a )).

Свойство 3. k((T, a);

(T, a )) = 1 тогда и только тогда, когда T = O(T ) и a = O(a) для некоторого ортогонального преобразования O.

В частности, k((T, a);

(T, a)) = 1.

Свойство 4. k((T, a);

(T, a )) = 0 тогда и только тогда, когда для каких-либо двух точек ai, aj, 1 i, j n + 2, удовлетворяющих условию |ai aj | = 0, выполнено |ai aj | = 0.

Свойство 5. Функция q непрерывна как функция точек a1,..., an+ и принимает значения от нуля до единицы.

Свойство 6. Функция q инвариантна относительно ортогональных преобразований.

Свойство 7. q(T ;

T ) = 1 тогда и только тогда, когда T = O(T ) для некоторого ортогонального преобразования O. В частности, q(T ;

T ) = 1.

Свойство 8. q(T ;

T ) = 0 тогда и только тогда, когда для каких либо двух точек ai, aj, 1 i j n + 1, выполнено |ai aj | = 0.

Для формулировки определения числовых величин, характеризую щих максимальную степень отличия рассматриваемого отображения от ортогонального, при которой заведомо сохраняется условие пусто ты шара нам потребуются некоторые сведения о структуре множе ства значений функций k и q.

Рассмотрим сначала функцию k. Множество значений функции k разобьем на классы:

E1 = {l [0, 1]: для любой пары (T, x) из множества l-уровня функ ции k выполнено условие пустоты шара};

12.5 Сохранение условия пустоты шара при преобразовании системы тетраэдров E2 = [0, 1] \ E1, т.е.

E2 = {l [0, 1]: существует пара (T, x), принадлежащая множеству l уровня функции k, для которой условие пустоты шара не выполнено}.

Поскольку пара (T, a) удовлетворяет условию пустоты шара, то E1 1. Очевидно, что также E2 0.

Из условия E2 = [0, 1]\E1 следует, что E1 E2 = и E1 E2 = [0, 1].

Лемма 3. Пусть l E2. Если l l, то l E2.

Доказательство. Пусть (T, b) такая пара, что b BT и k((T, a);

(T, b)) = l.

Точку b соединим отрезком с одной из вершин c тетраэдра T, не совпадающей с точкой a. Пусть t точка отрезка [b, c]. Функция k((T, a);

(T, t)), очевидно, непрерывна на [b, c], принимает значение l при t = b и значение 0 при t = c. Значит, существует точка t [b, c] такая, что k((T, a);

(T, t )) = l.

Таким образом, для числа l существует пара (T, t ), на которой значение функции k равно l и которая, очевидно, не удовлетворяет условию пустоты шара.

Следствие 1. Класс E2 множества значений функции k имеет ли бо вид (0, L], либо вид (0, L), где L некоторое число, не превосхо дящее единицы.

Аналогичное утверждение имеет место для функции q. Множество значений функции q разобьем на классы:

F1 = {l [0, 1]: всякий тетраэдр T из множества l-уровня функции q невырожден };

F2 = [0, 1] \ F1, т.е.

F2 = {l [0, 1]: во множестве l-уровня функции q имеется вырожден ный тетраэдр}.

В силу условия невырожденности тетраэдра T имеем: F1 1. Да лее, поскольку тетраэдр, у которого хотя бы две вершины совпадают (и поэтому значение функции q на нем равно нулю), является вырож денным, то F2 0.

Лемма 4. Пусть l F2. Если l l, то l F2.

Доказательство. Пусть T вырожденный тетраэдр, для кото рого q(T ;

T ) = l.

Если все вершины тетраэдра T совпадают, то, очевидно, l = 0 и доказывать нечего.

Пусть l 0;

a, a несовпадающие вершины тетраэдра T и t точка отрезка [a, a ]. Рассмотрим тетраэдр Tt, одной из вершин кото рого является точка t и остальными вершинами являются вершины 114 О системах тетраэдров тетраэдра T, не совпадающие с вершиной a. Функция q(T, Tt ) явля ется, очевидно, непрерывной функцией точки t, принимает значение l при t = a (так как в этом случае Tt = T ) и значение 0 при t = a (так как в этом случае ребро a t имеет нулевую длину). Значит, су ществует точка t [a, a ] такая, что q(T, Tt ) = l.

Следствие 2. Класс F2 множества значений функции q имеет ли бо вид [0, L], либо вид [0, L), где L некоторое число, не превосхо дящее единицы.

Положим K(T, a) = sup k((T, a);

(T, a )) (T,a ): BT a и Q(T ) = sup q(T ;

T ).

вырожденный T:

Таким образом, величины K, Q характеризуют максимальную сте пень отличия соответствия (T, a) (T, a ) от ортогонального преоб разования, при которой заведомо сохраняется условие пустоты шара.

А именно, имеет место следующая Лемма 5. Пусть (T, a) пара, удовлетворяющая условию пусто ты шара.

Если для некоторой пары (T, a ) выполнены условия k((T, a);

(T, a )) K(T, a) и q(T, T ) Q(T ), то пара (T, a ) также удовлетворяет условию пустоты шара.

Доказательство непосредственно следует из определения вели чин K, Q и следствий 1, 2.

Следующая лемма дает оценку величин k, q через величины l, L, указанные в выражении (4).

Лемма 6. Пусть T = a1... an+1 и T = a... a невырожден 1 n+ n точки в Rn такие, ные тетраэдры в R, a = an+2 и a = an+ что для соответствия (T, a) (T, a ) выполнено условие вида (4).

Тогда k((T, a);

(T, a )) l/L, q(T, T ) l/L.

Доказательство непосредственно следует из неравенства (4).

Сформулируем теперь достаточный признак сохранения условия пустоты шара при билипшицевом отображении пары (T, a).

12.5 Сохранение условия пустоты шара при преобразовании системы тетраэдров Теорема 4. Пусть (T, a) пара, удовлетворяющая условию пусто ты шара;

(T, a ) такая пара, что для соответствия (T, a) (T, a ) выполнено условие вида (4).

Если l/L K(T, a) и l/L Q(T ), то пара (T, a ) также удо влетворяет условию пустоты шара.

Доказательство непосредственно вытекает из лемм 6, 5.

Для формулировки достаточного признака сохранения условия пу стоты шара при преобразовании системы тетраэдров введем некото рые обозначения.

Если T система тетраэдров, то обозначим AT множество вер шин тетраэдров этой системы. Пусть на множестве AT задано отоб ражение f : AT A. Если T = a1... an+1 тетраэдр системы T, T то обозначим Tf = f (a1 )... f (an+1 ) тетраэдр, вершинами которо го являются образы вершин тетраэдра T при отображении f. Тем самым отображение f задает соответствие f : T Tf, где тетраэд рами семейства Tf являются тетраэдры вида Tf.

Теорема 5. Пусть T система тетраэдров, удовлетворяющая условиям (1)-(3), и f : AT A отображение, заданное на мно T жестве вершин тетраэдров семейства T.

Пусть для всякого тетраэдра T = a1... an+1 T и всякой вер шины a любого тетраэдра системы T, T -смежного с тетраэдром T, выполнены условия вида (4):

l(T,a) |x x | |f (x ) f (x )| L(T,a) |x x |, (7) где x, x {a1,..., an+1, a}, l(T,a), L(T,a) некоторые положитель ные числа.

Пусть система T удовлетворяет условию пустоты шара.

Если l(T,a) l(T,a) K(T, a) и Q(T ), L(T,a) L(T,a) то система T также удовлетворяет условию пустоты шара.

Доказательство непосредственно следует из леммы 6 и теоре мы 4.

Комбинируя теоремы 4, 5 с различными формами критериев пусто ты шара для системы тетраэдров, мы можем получать другие форму лировки достаточных признаков сохранения условия пустоты шара.

Автор выражает признательность В.М. Миклюкову за постановку задачи и полезные обсуждения в ходе работы.

116 Список литературы Список литературы [1] B. Delaunay. Sur la sph`re vide. A la mmoire de Georges Vorono.

e e Известия Академии наук СССР, n. 6, 1934, 793–800;

Имеется пе ревод: Статья Б. Делоне "О пустой сфере. К мемуару Георгия Вороного", пер. с франц. Записки семинара "Сверхмедленные процессы" Вып.1. ВолГУ, Лаб. сверхмедленных процессов;

под ред. д-ра физ.-мат. наук, проф. В.М. Миклюкова. Волгоград:

Изд-во ВолГУ. 2006, 147-153.

[2] Г.Ф. Вороной. Исследования примитивных параллелоэдров.

Собр. соч. Т2, Киев, Изд. АН УССР, 1952.

[3] А.В. Скворцов. Геоинформатика. – М.: Изд-во Том. ун-та, 2005.

268 с.

[4] Н.Н. Медведев. Метод Вороного–Делоне в исследовании струк туры некристаллических систем. Новосибирск, Изд-во СО РАН, 2000, 214 с.

[5] М.Г. Алинченко, А.В. Аникеенко, В.П. Волошин, Н.Н. Медве дев, Д. Пашек, А. Аппельхаген, А. Гайгер. Исследование про странственных корреляций межатомных пустот в молекулярных жидкостях с помощью симлексов Делоне, Журнал структурной химии, т. 47, Приложение, 2006. 122 – 128.

[6] А.С. Роик, В.П. Казимиров, В.Э. Сокольский. Моделирование и анализ структуры жидких металлов методами обратного Монте Карло и Вороного-Делоне, Журнал структурной химии, т. 45, n. 4, 2004, 683 - 691.

[7] F.P. Preparata, M.I. Shamos. Computational geometry An introduction. 1985 by Springer-Verlag New York Inc. Имеется пе ревод: Ф. Препарата, М. Шеймос. Вычислительная геометрия:

Введение: Пер. с англ, М.: Мир, 1989, 478 с.

A.Yu. Igumnov, On tetrahedron systems satisfying Delone of empty ball condition.

Abstract. Criterion of emptiness ball condition for tetrahedrons sys tems that have not common interior points is proved. Sucient sign of the condition preservation byliptshits mappings of the systems is prooved.

13 Расстояние Овчинникова на абстрактных поверхностях, В.М. Миклюков, 30 ноября и 21 декабря 2007, 6 июня c В.М. Миклюков, 6 июня Аннотация. Вводятся аналоги относительного расстояния Овчин никова в односвязных областях Rn, оснащенных анизотропной финсле ровой метрикой, и устанавливаются их двусторонние оценки при го меоморфных отображениях класса ACLn. loc 13.1 Абстрактные поверхности и псевдометрика Пусть D Rn – область. Следуя [4, глава I], определим абстракт ную поверхность над областью D. Поверхность будет задана, если будут заданы элементы длин кривых, лежащих на ней, и ее элемент площади.

Обозначим через (D) множество всевозможных жордановых ло кально спрямляемых (в евклидовой метрике) дуг или кривых, ле жащих в D. Будем считать также, что на каждой из указано на правление (в частности, от одной концевой точки к другой). Каждая из замкнутых дуг (D) может быть задана в виде x = x(s) = (x1 (s), x2 (s),..., xn (s)) : [0, length ] D, где 0 s length – евклидова длина дуги, отсчитываемая от начальной точки x(0) до текущей точки x(s) в указанном вдоль направлении. Локально спрямляемые дуги могут быть очевидным образом параметризованы посредством длины дуги, отсчитываемой от фиксированной точки в положительном и отрицательном направ лениях вдоль.

Предположим, что вдоль каждой из дуг (D) задана неко торая неотрицательная, измеримая по Лебегу, вещественнозначная функция h (x). Совокупность всех таких функций для семейства дуг (D) будем обозначать символом H = {h }.

Будем говорить, что множество функций H согласовано в точке a D, если для всех кривых (D), проходящих через точку a в одном и том же направлении S(a, 1)8, значения h (a) совпадают.

Предположим, что множество функций H согласовано почти всю ду в области D. Тем самым, для почти всех x D и всех направле ний S(x, 1) определена неотрицательная функция H(x, ). Про должим H по второй переменной на все пространство Rn, пользуясь То есть имеющих один и тот же касательный вектор в точке a.

118 Расстояние Овчинникова правилом H(x, ) = H(x, ), = const 0. В результате такого продолжения, для всякой (D) почти всюду вдоль нее выполнено H(x, dx) = h (x) |dx|. (1) Зафиксируем произвольно неотрицательную функцию, опреде ленную почти всюду и измеримую в смысле Лебега в D.

Под абстрактной поверхностью далее будем понимать всякую тройку (D, H, ) описанного вида.

Величину ds = h (x) |dx|, (2) будем называть элементом длины дуги (D) в точке x D, а величину d = (x) dx1 dx2 · · · dxn – элементом объема абстрактной поверхности.

Для произвольной пары точек x, x D определим расстояние r (x, x ) = inf ds = inf H(x, dx), где точная нижняя грань берется по всевозможным (ориентирован ным) дугам (D), ведущим из точки x в точку x.

Так как плотности h H зависят от направления на дуге, то, вообще говоря, r (x, x ) = r (x, x ). Таким образом, абстрактная поверхность моделирует анизотропную среду. При этом, абстрактная поверхность может также и обладать достаточно массивными мно жествами особых точек, что позволяет с ее помощью моделировать, например, среды с дислокациями9.

Многочисленные примеры физически содержательных абстракт ных метрик можно найти в известной книге Ч.В. Мизнера, К.С. Тор на, Д.А. Уилера [8], посвященной вопросам гравитации, а также моно графии С. Чандрасекара [9], описывающей математическую теорию черных дыр. Интереснейшие примеры абстрактной поверхности до ставляют, так называемые, -нормированные плоскости, для которых единичная окружность совпадает с правильным 2-угольником, од на из сторон которого лежит на оси абсцисс (см. Д.П. Ильютко [10]).

Важными отличиями этих нормированных плоскостей от стандарт ной плоскости являются отсутствия гладкости единичной окружно сти и строгой выпуклости ограничиваемого ею круга.

Ниже мы ограничимся лишь самыми простыми примерами, иллю стрирующими связи с обычной геометрией поверхностей.

О понятии дислокации см., например, С.К. Годунов, Е.И. Роменский [7, глава II]).

13.1 Абстрактные поверхности и псевдометрика Пример 13.1. Пусть D Rn – область и E D замкнутое относи тельно D подмножество нулевой линейной меры Хаусдорфа. (Здесь и ниже символом mes (E) (0 ) обозначается -мера Хаусдор фа множества E.) Пусть H(x, ) 0 – непрерывная на D \ E при любом Rn функция. Для произвольной дуги (D) множество E имеет нулевую линейную меру Хаусдорфа и потому мы можем положить h (x) = H|. Выберем (x) 1.

Рассмотрим абстрактную поверхность = (D, H, 1). Такие поверх ности ниже обозначаются символом (D, H(x, ds)). Здесь расстояние совпадает с точной нижней гранью величин r (x, x ) = H(x, dx), где точная нижняя грань берется по всем дугам, соединяющих точ ки x, x в области D, и объем измеримого подмножества E D подсчитывается стандартным образом mesn (E) = dx1 dx2 · · · dxn.

E Пример 13.2. Пусть – поверхность, задаваемая посредством локально липшицевого погружения f : D Rn Rm, m n 2.

Для произвольной дуги (D) сужение f = f | локально лип шицево и потому абсолютно непрерывно вдоль. Тем самым, опре делен элемент длины дуги (2), где 1/ n dxi dxj h (x) = gij (x) ds ds i,j= и f f gij = gji =,, i, j = 1, 2,..., n.

xi xj В качестве функции можно выбрать величину = g, g = det(gij ).

Функция r : D D R является псевдометрикой. Напомним необходимые понятия [11, §21].

120 Расстояние Овчинникова Пусть X – произвольное непустое множество и пусть r : X X R – функция, обладающая свойствами:

) r(x, x) = 0 и r(x, y) 0 при всех x, y X ;

) r(x, y) r(x, z) + r(z, y) при всех x, y, z X.

Пара (X, r) называется псевдометрическим пространством, а функ ция r – псевдометрикой. Заметим, что здесь мы не предполагаем выполнения симметрии псевдометрики r, то есть, в общем случае r(x, y) = r(y, x).

На множестве X мы вправе ввести топологию, ассоциированную с псевдометрикой r, как топологию, определяемую системой окрестно стей U (x) = {y X : r(x, y) }.

Тем самым, стандартным образом определяются предел функции f :

X R1 в точке, ее непрерывность, равномерная непрерывность и т.п. К примеру, последовательность {xk }, k = 1, 2,..., является фундаментальной относительно псевдометрики r тогда и только то гда, когда для любого 0 найдется номер N () такой, что при n m N () выполнено r(xn, xm ). Диаметр множества A X определяется как величина supx,yA r(x, y).

Пусть D Rn – область. Рассмотрим абстрактную поверхность = (D, H, ). Предположим, что H(x, ) – функция, определенная для почти всех x D и всех Rn, подчинена условиям:

a) c1 || H(x, ) c2 ||, 1 = c1 (D ), 2 = c2 (D ) = const 0, почти всюду в каждой из подобластей D D;

b) почти в каждой точке x D множество (x) = { Rn : H(x, ) 1} является выпуклым.

Определим двойственную функцию G(x, ) = sup,, (x) где, есть стандартное скалярное произведение векторов и в Rn.

Положим G+ (x) = sup sup,.

||=1 G(x,)= Несложно проверить, что функция G(x, ) обладает свойствами a) и b). При этом почти всюду в D выполнено, G(x, ) = sup :H(x,)=0 H(x, ) 13.2 Относительное расстояние (см. [5, §15]).

В общем случае функция G(x, ) принимает на D Rn значения из R. Бесконечные значения G(x, ) возникают в случаях, когда вы пуклое множество (x) неограничено. С другой стороны, несложно усмотреть, что множество (x) ограничено тогда и только тогда, ко гда G+ (x) +.

Пример 13.3. Пусть {e1, e2 } – стандартный ортонормальный ба зис в R и H(x, ) = | e1, |. Тогда (x) = { : | e1, | 1} = { R2 : |1 | 1}.

Здесь двойственная функция имеет вид |1 | при 2 = 0, G(x, ) = + при 2 = 0, принимая бесконечные значения. Функция G+ (x) +.

Теорема 13.1. Если H удовлетворяет условиям a) и b), то функ ция r обладает свойствами ) и ) псевдометрики.

Доказательство см. в [4, теорема 1.3.1]. Элемент площади в финслеровой псевдометрике выбирается неод нозначно (см., например, [6, глава I, §8]). Тем самым, выбор функции для в общем случае также неоднозначен.

В случае, когда H(x, ) = ||, 1 и r (x, y) = inf | (t)| dt = inf |dx|, метрику r (x, y) часто называют внутренней метрикой в области D.

О решениях уравнения H(x, u) 1 см. [12] и ссылки.

13.2 Относительное расстояние Пусть S – область на (n1)-мерной единичной сфере S n1 (случай S = S n1 не исключается), D Rn – область, и пусть u : S D – локально липшицев гомеоморфизм. Пусть A и B – произвольная пара множеств в области D. Будем говорить, что гиперповерхность u(S) отделяет в D множество A от множества B, если для произвольной жордановой дуги D с концами на A и B выполнено u(S) =.

122 Расстояние Овчинникова Рассмотрим абстрактную поверхность = (D, H, ), заданную над односвязной областью D Rn. Зафиксируем точку O D.

Для произвольной пары точек p, q D, отличных от O, символом P(p, q;

O) обозначим множество всевозможных открытых, связных, локально липшицевых гиперповерхностей, лежащих в D и отделя ющих точки p, q от точки O.

Пусть P(p, q;

O) – произвольная гиперповерхность. В случае, когда D =, символом (x, y;

) мы обозначаем множество ориентированных, простых жордановых, локально спрямляемых дуг, соединяющих точки x, y.

В случае, когда D =, символом + (x;

) (символом (x;

) ) будем обозначать множества ориентированных, простых жордано вых, локально спрямляемых дуг, соединяющих точку x с границей D и направленных от x к D (направленных от D к x).

Далее полагаем 1 (p, q) = inf sup inf H(x, dx) P(p,q;

O) a,b (a,b;

) и ± (p, q) = inf sup inf H(x, dx).

P(p,q;

O) a ± (a;

) Определим относительные расстояния в области D \ {O} ± (p, q;

D \ {O}) = min{1 (p, q), ± (p, q)}.

H В случае H(x, ) = || имеем + (p, q) = (p, q) и введенные рас 2 стояния совпадают с относительным расстоянием И.С. Овчинникова [1], [3, глава VI] в односвязных областях Rn.

Пример 13.4. Пусть || D = {x Rn : |x| 1}.

H(x, ) =, || + x, Легко видеть, что H(x, ) = H(x, ) для любого 0.

В случае, когда + (a, ) и является отрезком радиуса, ведущего в точку на границе D, здесь имеем |dx| |dx| H(x, dx) =.

1 + |x| 1 + |x| 13.2 Относительное расстояние В случае же, когда (a, ) и является отрезком радиуса, веду щего в точку a из некоторой точки на границе D, выполнено |dx| H(x, dx) = =.

1 |x| Таким образом, в данном примере всегда + (p, q;

D \ {O}) = min{1 (p, q), + (p, q)} H и (p, q;

D \ {O}) = 1 (p, q).

H Следующее утверждение обобщает на случай абстрактных поверх ностей соответствующий результат из [1].

Теорема 13.2. Пусть D Rn – область и O D – фиксированная точка. Пусть H(x, ) : D Rn R1 – непрерывная функция.

Если H(x, ) 0 всюду на D Rn, то относительные расстояния ± обладают свойствами:

H ) ± (p, p;

D \ {O}) = 0 и ± (p, q;

D \ {O}) H H при всех p, q D \ {O}, p = q;

) ± (p, q;

D \ {O}) = ± (q, p;

D \ {O}) H H при всех p, q D \ {O};

) ± (p, q;

D \ {O}) ± (p, r;

D \ {O}) + ± (r, q;

D \ {O}) H H H при всех p, q, r D \ {O}.

Доказательство. Проверка выполнения свойств ) и ) не вызы вает затруднений. Покажем, что имеет место неравенство треуголь ника ). Пусть p, q и r – произвольная тройка точек области D \ {O}.

Предположим сначала, что ± (p, r;

D \ {O}) = 1 (p, r) и ± (r, q;

D \ {O}) = 1 (r, q).

H H Зададим 0. Выберем гиперповерхности 1 P(p, r;

O), 2 P(r, q;

O), 124 Расстояние Овчинникова для которых 0 sup inf H(x, dx) 1 (p, r) / a,b1 (a,b;

1 ) и 0 sup inf H(x, dx) 1 (r, q) /2.

a,b2 (a,b;

2 ) Если 1 2 =, то одна из этих гиперповерхностей отделяет точки p и q от точки O. Обозначим ее через 3. Если же 1 2 =, то в качестве 3 выбираем гиперповерхность 1 2.

Ясно, что в обеих ситуациях 3 P(p, q;

O), и потому ± (p, q;

D \ {O}) 1 (p, q) sup inf H(x, dx) = H a,b3 (a,b;

3 ) = max sup inf H(x, dx), sup inf H(x, dx) a,b1 (a,b;

1 ) a,b2 (a,b;

2 ) 1 (p, r) + 1 (r, q) + ± (p, r;

D \ {O}) + ± (r, q;

D \ {O}) +.

H H В силу произвола в выборе 0 заключаем о выполнении ) в дан ном случае.

Предположим теперь, что ± (p, r;

D \ {O}) = ± (p, r) и ± (r, q;

D \ {O}) = ± (r, q).

2 H H Для произвольного 0 выберем гиперповерхности 1 P(p, r;

O), 2 P(r, q;

O) так, чтобы 0 sup inf H(x, dx) 2 (p, r) / ± a1 (a;

1 ) и 0 sup inf H(x, dx) 2 (r, q) /2.

± a2 (a;

2 ) Предполагая, что 1 2 =, обозначим через 3 ту из этих ги перповерхностей, которая отделяет точки p и q от точки O. В случае 13.3 Модуль семейства дуг на µ-сфере 1 2 =, полагаем 3 = 1 2. Мы имеем 3 P(p, q;

O), а потому ± (p, q;

D \ {O}) 2 (p, q) sup inf H(x, dx) = H ± a3 (a;

3 ) = max sup inf H(x, dx), sup inf H(x, dx) a1 ± (a;

1 ) ± a2 (a;

2 ) 2 (p, r) + 2 (r, q) + ± (p, r;

D \ {O}) + ± (r, q;

D \ {O}) +.

H H Пользуясь произволом в выборе 0, так же заключаем в данном случае о выполнении ).

Наконец, предположим, что ± (p, r;

D \ {O}) = 1 (p, r) и ± (r, q;

D \ {O}) = ± (r, q).

H H Здесь рассуждения почти в точности те же, что и в уже рассмотрен ных случаях, а потому опускаются.

Теорема доказана полностью. Замечание 13.1. Расстояния ± (p, q;

D \ {O}) не определены, если H одна из точек p, q, например, q совпадает с ранее выделенной точ кой O. Выбирая последовательность qk, qk O (в метрике Rn ), по определению полагаем ± (p, O;

D, O) = lim ± (p, qk ;

D \ {O}).

H H k Этот предел существует и не зависит от выбора последовательности qk, qk O. Таким образом, определены псевдометрические простран ства (D, ± ) с псевдометриками ± (p, q;

D, O).

H H 13.3 Модуль семейства дуг на µ-сфере Зафиксируем p 1 и счетно (Hn1, n 1)-спрямляемое множество µ (t). Пусть – произвольное семейство ориентированных дуг, лежащих в µ (t). Определим (p, H, )-модуль p dHn µ (t) modp,H, () = inf p, (3) inf ds 126 Расстояние Овчинникова где точная нижняя грань берется по всем неотрицательным, измери мым по Борелю функциям в µ (t).

Укажем альтернативное определение модуля. Рассмотрим абстракт ную поверхность (D, H, ). Будем говорить, что локально ограничен ная, измеримая по Лебегу функция 0 допустима для подсемей ства дуг (D), если измерима вдоль каждой из дуг и (x) ds 1 для всех.

Величина p dHM, n Modp,H, () = inf D где точная нижняя грань берется по всем допустимым для функ циям, называется модулем семейства.

Ниже нам потребуется следующее полезное свойство.

Лемма 13.1. Для произвольного семейства дуг (D) выполнено modp,H, () = Modp,H, ().

Доказательство полностью повторяет доказательство теоремы 1.5.1 в [4]. Рассмотрим два примера.

Пример 13.5. Пусть M = B(0, r) – шар в Rn радиуса r 0 с центром в точке x = 0. Пусть µ = x1 и µ0 = r. Обозначим через (t) гиперплоскость x1 = t.

Здесь µ-сфера µ (t) радиуса t (0, r) есть евклидов (n1)-мерный шар в гиперплоскости (t) с центром в точке O = (t, 0,..., 0) и ра диусом r2 t2.

Рассмотрим множество = (O, t) локально спрямляемых дуг µ (t), соединяющих точку O с ограничивающей множество µ (t) (в гиперплоскости (t)) (n 2)-мерной сферой r2 t2 }, {(x1, x ) (t) : |x | = x = (x2,..., xn ).

Вводя сферические координаты (, ), 0, S n2 (0, 1), в ги 13.3 Модуль семейства дуг на µ-сфере перплоскости (t) с полюсом в точке O, находим p n2 d d µ (t) modp,H, () = inf p. (4) inf h |dx | Обозначим через () радиальный отрезок, выходящий из точки O в направлении и содержащийся в µ (t). Так как (), то для всякой функции и произвольного S n2 (0, 1) выполнено inf h |dx | inf h d H µ,t (x ) d, S n2 (0,1) () () где H µ,t (x) = max H(x, ).

||= Tx (µ (t)) С другой стороны, p n1 d d = p n2 d d S n2 (0,1) µ (t) () и, в силу неравенства Гельдера, p p p/(p1) 1/(1p) 2n p n2 d.

H µ,t d H µ,t p1 d () () () Таким образом, мы получаем p n2 d 1p r2 t p () 1 2n p, p H µ,t 1p p1 d (5) 0 inf h |dx | 128 Расстояние Овчинникова откуда, интегрируя по S n2 (0, 1), приходим к неравенству p dHn 1p r2 t p µ (t) 1 2n p, p n2 H µ,t 1p p1 d 0 inf ds где n2 = Hn2 (S n2 (0, 1)), и далее, к оценке 1p r2 t p 1 2n p n2 H µ,t 1p p1 d modp,H, (). (6) Далее предположим, что H(x, ) || и 1. Полагая в (4) плотность 2n (x ) = |x | p1, находим 2n p1 d d µ (t) modp,H,1 () p.


2n inf |x | p1 |d| Однако, как нетрудно видеть, 2n 2n inf |x | p1 |d| inf |x | p1 |d()| n S (0,1) () и потому r2 t 2n 2n inf |x | |d| p1 d.

p Таким образом, мы находим 1p r2 t 2n modp,H,1 () n2 p1 d. (7) 13.3 Модуль семейства дуг на µ-сфере Сопоставляя (6) и (7), в случае H(x, ) || и 1, приходим к соотношению 1p r2 t 2n modp,H,1 ((O, t)) = n2 p1 d.

Пример 13.6. Как и в примере 13.5, пусть M = B(0, r) – шар в Rn радиуса r 0 с центром в точке x = 0, функция µ = x1 и µ0 = r. Как и выше, µ (t) есть евклидов (n 1)-мерный шар в (t) с центром в точке O = (t, 0,..., 0) и радиусом r2 t2.

Фиксируем точку a µ (t) и рассмотрим множество = (a, t) локально спрямляемых дуг µ (t), соединяющих точку a с огра ничивающей µ (t) (в гиперплоскости (t)) (n 2)-мерной сферой S n2 (0, 1).

Обозначим через a () отрезок луча, выходящего из точки a в на правлении и содержащегося в µ (t). Как и (5) устанавливаем, что p n2 d 1p () p () 1 2n p, p H µ,t 1p p1 d 0 inf ds где () – длина отрезка a ().

Интегрируя данное неравенство, получаем p n2 d 1p () p µ (t) 1 2n p, p d H µ,t 1p p1 d 0 inf ds S n2 (0,1) и далее, приходим к оценке 1p () p/(p1) 1 2n d H µ,t 1p p1 d modp,H, ((a, t)). (8) S n2 (0,1) 130 Расстояние Овчинникова Так как при любом S n2 (0, 1) выполнено () 2 r2 t2, то неравенство (8) влечет 1p 2 r2 t p 1 2n p n2 H µ,t 1p p1 d modp,H, ((a, t)).

Условие ограниченности функции класса ACLp 13.4 Предположим, что H(x, ) || и 0 – измеримая функция.

Далее, D µ (t) – произвольная (n 1)-мерная подобласть. Пусть D – внутреннее расстояние в области D, т.е.

D (x, x ) = inf |dx|, где точная нижняя грань берется по всем дугам D, соединяющим точки x, x D.

Символом D обозначим пополнение области D по внутренней мет рике D, символом D – границу D \ D.

Пусть M D – непустое множество и (x, M ) – семейство локаль но спрямляемых дуг, лежащих в D и соединяющих точку x D\M с M.

Теорема 13.3. Если inf modp,||, (x, M ) 0, (9) xD\M и функция f ACLp (D) такова, что lim sup |f (x)|, (10) xM xD\M то sup |f (x)|. (11) xD Доказательство. Полагая = | f | в (3), имеем p n | Mf | dHM D modp,||, (x, M ) p.

inf | M f | |d| 13.5 Условие принадлежности классу Lq (D) Отсюда получаем p modp,||, (x, M ) inf p n | M f | |d| | Mf | dHM.

(x,M ) D Тем самым, мы находим oscp {f, } p n inf | Mf | dHM, modp,||, (x, M ) (x,M ) D что непосредственно влечет lim inf |f (x) f (y)|p p n | Mf | dHM. (12) modp,||, (x, M ) yM yD\M D Пользуясь (9), приходим к неравенству 1/p |f (x)| 1/p | M f |p dHM + lim sup |f (y)|, n µp yM yD\M D где µp = inf modp,||, (x, M ).

xD\M Отсюда, учитывая (10), легко убеждаемся в справедливости свойства (11). Условие принадлежности классу Lq (D) 13. Почти в точности также доказывается:

Теорема 13.4. Если область D µ (t) такова, что n dHM, p, q 0, (13) q/p modp,||, (x, M ) D то всякая функция f ACLp (D), удовлетворяющая условию (10), принадлежит классу Lq (D).

Доказательство. Как и выше, устанавливаем справедливость со отношения (12). Для произвольной точки x D \ M имеем C 1/p p n lim inf |f (x) f (y)|, C= | M f | dHM 1/p modp,||, (x, M ) yM yD\M D 132 Расстояние Овчинникова и далее C 1/p |f (x)| + lim sup |f (y)|.

1/p modp,||, (x, M ) yaM yD\M Отсюда, в силу неравенства (a + b)q 2q (aq + bq ), a, b 0, получаем n dHM q n1 q q/p |f (x)| dHM 2 C + q/p modp,||, (x, M ) D D +2q Hn1 (D) lim sup |f (y)|q.

yaM yD\M Условия (10) и (13) влекут необходимое заключение. 13.6 Принцип ’длины и площади’ Ниже указывается некоторая версия принципа ’длины и площа ди’, обобщающая версию, найденную И.С. Овчинниковым. В отличие от стандартной формы, применимой для оценок ACLp -отображений лишь в ’достаточно хороших’ областях, новая разновидность прин ципа применима в областях Rn самого общего вида ([2], [3, глава IX], [13, глава 7]). Приложениям указанных оценок к отображениям клас са ACLp поверхностей будут посвящены другие работы автора.

Пусть (D, H, ) – абстрактная поверхность, заданная над областью D M некоторого n-мерного многообразия M, и µ(m) : D (0, µ0 ) – локально липшицева функция, удовлетворяющая условию 0 ess inf | M µ(m)| ess sup | M µ(m)| D D для любой подобласти D D. Для произвольного t (0, µ0 ) пусть, как и выше, символом µ (t) обозначается множество t-уровня функ ции µ.

Зафиксируем компоненту связности U множества µ (t), для кото рой U =. Для произвольной точки a D пусть (a, U ) означает семейство локально спрямляемых ориентированных дуг U, со единяющих точку a с границей U. Далее полагаем (t) = inf inf modp,H, (a, U ), U aU где =.

| M µ| 13.6 Принцип ’длины и площади’ Предположим, что f = (f1,..., fN ) : D M RN – вектор функция класса ACLp (D). Для произвольной компоненты связности U множества µ (t) такой, что U =, полагаем U (f ;

a, U ) = inf H(m, (f ) d), (a,U ) где 1/ N (f ) = | M fi | i= и точная нижняя грань берется по всевозможным локально спрям ляемым ориентированным дугам, соединяющим точку a U с гра ницей U. Положим (f, t) = sup sup U (f ;

a, U ).

U µ (t) aU Теорема 13.5. Пусть f : D M RN – вектор-функция класса ACLp (D) и пусть 0 µ µ µ0.

Тогда µ p (f, t) (t) dt p (f ) dHM.

n (14) µ Dµ, µ Отметим несколько специальных случаев. В случае, когда H(m, ) = || мы имеем U (f ;

a, U ) = inf (f ) |d| (a,U ) inf osc{f, } inf |f (a) f (y)|.

yU (a,U ) Таким образом, (f, t) = sup sup d(f (a), f (U )), U µ (t) aU где d(f (a), f (U )) – расстояние от точки a до f (U ), и мы приходим к утверждению:

134 Расстояние Овчинникова Следствие 13.1. Пусть f : D M RN – вектор-функция класса ACLp (D) и пусть 0 µ µ µ0.

Тогда µ sup sup d p (f (a), f (U )) (t) dt p (f ) dHM, n (15) U µ (t) aU µ Dµ, µ где (t) = inf inf modp,||, (a, U ).

U aU В случае M = Rn, 1 и µ(x) = |x a| мы имеем (ср. [2, теорема 1]):

Следствие 13.2. Пусть D – подобласть Rn и пусть f : D RN – вектор-функция класса ACLn (D), m, n 1. Тогда при любых µ, µ (0, +) таких, что µ (t) \ D =, t (µ, µ ), и всякой точки a Rn выполнено µ dt sup sup d n (f (a), f (U )) n (f ) dHn, C(n) (16) t U µ (t) aU µ Dµ, µ где постоянная 1n 1 2n C(n) = n2 t n1 (1 + t2 ) 1n dt, C(2) = 2, µ (t) = {x D : |x a| = t}, Dµ, µ = {x D : µ |x a| µ } и точная верхняя грань берется по всем компонентам связности U множества µ (t).

Доказательство теоремы 13.5. Фиксируем t (µ, µ ) так, что бы µ-сфера имела конечную Hn1 -меру Хаусдорфа, и компоненту 13.6 Принцип ’длины и площади’ связности U множества µ (t). Выбирая = (f ), находим p (f ) dHM n U modp,H, ((a, U )) p.

(f ) H(m, d) inf (a,U ) Отсюда, p (f ;

a, U ) modp,H, ((a, U )) p (f ) dHM n U U и, далее, p p (f ) dHM.

n sup U (f ;

a, U ) inf modp,H, ((a, U )) aU aU U Таким образом, p (f, t) (t) p (f ) dHM.

n µ (t) Интегрируя это неравенство по переменной t, находим µ µ n dHM p p (f, t) (t) dt dt (f ).

| M µ| µ µ µ (t) Пользуясь формулой Кронрода-Федерера для коплощади, приходим к (14). Доказательство следствия 13.2. Нам необходимо получить не тривиальную оценку снизу для величины (t), определенной равен ством (t) = inf inf modp,||,1 (a, U ).

U µ (t) aU При этом предполагается, что каждая из сфер µ (t) = {x Rn : |x a| = t}, µ tµ, содержит граничные точки D.

136 Расстояние Овчинникова Зафиксируем сферу µ (t), где t (µ, µ ), компоненту связности U µ (t) и точку a U. В силу условий, накладываемых на µ (t), множество U не пусто.

Пусть b µ (t) \ U. Рассмотрим множество (a, b) всевозможных локально спрямляемых дуг µ (t), соединяющих точки a и b.

Покажем, что modn,||,1 ((a, b)) modn,||,1 ((a, U )). (17) Воспользуемся леммой 13.1. Мы имеем modn,||,1 ((a, b)) = Modn,||,1 ((a, b)) и modn,||,1 ((a, U )) = Modn,||,1 ((a, U )).

Каждая из дуг (a, b) содержит некоторую поддугу из множе ства (a, U ). Поэтому множество всех функций, допустимых для семейства (a, U ), содержит множество функций, допустимых для семейства (a, b). Тем самым, мы имеем Modn,||,1 ((a, b)) Modn,||,1 ((a, U )).

и неравенство (17) действительно имеет место.

В силу теоремы 10.9 монографии Вяйсяля [18], C(n) modn,||,1 ((a, b)) t (с равенством в случае, когда точки a и b – противоположные точки на сфере µ (t)).

Соотношение (17) влечет оценку C(n) (t) t и, далее, – оценки (15), (16). 13.7 Характеристики квазиконформности Ниже мы следуем [13, раздел 7.6]. Пусть y = T (x) : D Rn – отображение, имеющее полный дифференциал dT (x) почти всюду в области D. Если в такой точке якобиан J(x, T ) отображения T = 13.7 Характеристики квазиконформности (T1,..., Tn ) не обращается в нуль, то линейное отображение dy1 = n T1 (x) dxi, i=1 xi...............

dy = n Tn (x) dx, n i i=1 xi в ней не вырождено и переводит некоторый эллипсоид ET (x) с цен тром в точке x D в шар. Обозначим через 1 n pT (x), T (x),..., T (x) характеристики эллипсоида ET (x) отношение наибольшей оси к i наименьшей pT (x) и углы 0 T (x) (i = 1,..., n 1), об разуемые осями эллипсоида с направлениями осей координат Oxi (i = 1,..., n 1).

В двумерном случае данные характеристики были введены Лав рентьевым [14] и играют важную роль при описании систем уравне ний, описывающих квазиконформные отображения [15, §3], [16, глава IV]. В многомерном случае характеристика pT удобна при описании отображений, квазиконформных ’в среднем’, и используется ниже.

Наряду с pT (x) удобно использовать характеристику n (x, T ) QT (x) = n/2, n |J(x, T )| где 1/ n | Ti (x)| (x, T ) = dT (x) =.

i= Эта величина была использована впервые, по-видимому, Крейнесом [17] в связи с оценкой модуля непрерывности квазиконформных отоб ражений в пространстве.


Формулируемые ниже утверждения см. в [13, раздел 7.6].

Лемма 13.2. Имеет место оценка QT (x) 1.

Лемма 13.3. Имеют место оценки 1/ 2/n 2n/ nQT (x) pT (x) n/2 QT (x) (n 2) n1 n 138 Расстояние Овчинникова и, в частности, 1/n QT (x) pT (x) QT (x). (18) Лемма 13.4. В каждой точке x D, где характеристика pT (x) определена и x = T 1 (y), выполнено pT (x) = pT 1 (T (x)).

13.8 Классы отображений Ниже рассматриваются гомеоморфизмы y = T (x) : D1 Rn под областей D1 Rn, D2 = T (D1 ) со свойствами:

T ACLn (D1 ), T 1 ACLn (D2 ). (19) loc loc Пусть 1 : D1 R1 и 2 : D2 R1 – определенные почти всюду, неотрицательные, измеримые по Лебегу функции. Предположим, что n (x, T )1 (x) dHn + I(T ;

1, 2 ) (20) D 2n / Qn (x)2 (T (x)) dHn.

+ T n(n2 n)/ D В соответствии с леммой 13.3 имеем 2n / Qn (x) 2 (T (x)) dHn pn (x) 2 (T (x)) dHn T T nn2 / D1 D и потому n (x, T )1 (x) dHn +nn/2 pn (x)2 (T (x)) dHn. (21) I(T ;

1, 2 ) T D1 D Так как отображение T 1 принадлежит классу ACLn (D2 ), то мож loc но воспользоваться формулой замены переменных. Здесь имеем pn (x)2 (T (x)) dHn = pn (T 1 (y))J(y, T 1 )2 (y) dHn.

T T D1 D Так как по лемме 13. pT (T 1 (y)) = pT 1 (y), 13.9 Оценки относительного расстояния то pn (x)2 (T (x)) dHn = pn 1 (y) J(y, T 1 )2 (y) dHn.

T T D1 D Но, в силу неравенства (18), почти всюду в D2 выполнено pn 1 (y) QT 1 (y), T а потому pn 1 (y) J(y, T 1 )2 (y) dHn QT 1 (y) J(y, T 1 )2 (y) dHn = T D2 D = nn/2 n (y, T 1 ) dHn.

D Тем самым, пользуясь неравенством (21), приходим к утвержде нию:

Лемма 13.5. Если гомеоморфизм T : D1 D2 удовлетворяет усло виям (19), (20), то n (x, T )1 (x) dHn + n (y, T 1 )2 (y) dHn I(T ;

1, 2 ).

D1 D 13.9 Оценки относительного расстояния Пусть (Di, Hi, i ) – абстрактные поверхности, заданные над одно связными областями Di Rn, содержащими начало координат и име ющими границы Di, состоящие более чем из одной точки (i = 1, 2).

Пусть i 0 – измеримые по Лебегу функции, определенные почти всюду в областях Di и удовлетворяющие условиям 0 ess inf i ess sup i, D Di (i = 1, 2).

D D Докажем следующее обобщение теоремы И.С. Овчинникова [1]. От носительно приложений данной теоремы в вопросах построения сеток см. [19].

Теорема 13.6. Пусть y = T (x), T (0) = 0, – гомеоморфное отобра жение области D1 на область D2. Предположим, что отображение 140 Расстояние Овчинникова T удовлетворяет условиям (19), (20). Тогда для любой пары точек x, x D1 H1, для которых H ± 1 (x, x ;

D1 ) min{a1, a2 }, (22) H где 0 a2 = exp 4C(n)an I(T ;

1, 2 ), a1 = min,,, 2 1 a3 = min,,, = 2(3 2 2), 0 = inf |x|, 1 = inf |x|, xD1 xD и 1 – диаметры областей D1 и D2 соответственно, выполнено двустороннее неравенство H exp{C I(T ;

1, 2 )n (x, x ;

D1 1 )} (23) H H H2 (T (x ), T (x );

D2 2 ) (CI(T ;

1, 2 ))1/n ln1/n.

H H1 (x, x ;

D1 1 ) = ± i, C = C(n) – постоянная и можно положить Здесь Hi H C(n) = 1/c(n, n), где c(p, n) – постоянная, определяемая соотношением (np1)/(p1) 1 + 2 d c(p, n) = 2(n+p+1)/(p1).

(n2)/(p1) Для доказательства нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 13.6. Пусть y = T (x) – гомеоморфное отображение обла сти D1 Rn на область D2 Rn, удовлетворяющее условиям (19), (20) и T (0) = 0.

Тогда для любой пары точек x, x D1, подчиненной условию 0 H1 (x, x ;

D1 ) min,,1, (24) выполнено H2 (T (x ), T (x );

D2 ) (C(n)I(T ;

1, 2 ))1/n ln1/n.

H1 (x, x ;

D1 ) (25) 13.9 Оценки относительного расстояния Доказательство. Пусть x, x – произвольная пара точек, удовле творяющая (24) и 0, min, 1 H1 (x, x ;

D1 ), H1 (x, x ;

D1 ).

5 Выберем гиперповерхность F, отделяющую точки x, x от точки O = {x = 0} и подчиненную условию d0 (F ) H1 (x, x ;

D1 ) +.

Пусть r1 = d0 (F ) +, r2 = r1.

Заметим, что r1 = d0 (F ) + H1 (x, x ;

D1 ) + 1, и, тем самым, r1 r2. Опишем сферы Sr (x) с центрами в точках x F и радиусами r [r1, r2 ].

При любых x F и r [r1, r2 ] имеем Sr (x) = Sr (x) D1 =, поскольку, во-первых, внутри каждой из сфер Sr (x) имеются точки границы D1 и, во-вторых, Sr (x) не может содержать внутри себя целиком границу D1 в силу соотношения 2r 2r2 2 H1 (x, x ;

D1 ) +.

Точка O лежит вне сферы Sr (x). Действительно, предполагая про тивное, имеем 0 min |x| 2r 2 r xD 2 H1 (x, x ;

D1 ) + 2 +.

Отсюда, 0 /5, что противоречит выбору.

Фиксируем x F и семейство сфер {Sr (x)}, r [r1, r2 ]. В соответ ствии со следствием 13.2 существует r(x) [r1, r2 ], для которого r d0 T (Sr(x) ), D2 (C(n) I(T ;

1, 2 ))1/n ln1/n.

r Рассмотрим множества M= Sr(x) (x), F 1 = M D1.

xF 142 Расстояние Овчинникова Нетрудно видеть, что T (M ) = T Sr(x) (x), T (F1 ) = T (M ) D2.

xF Отсюда, d0 (T (F1 )) = d0 (T (M )) = sup d0 T (Sr(x) (x)), D xF и r d0 (T (F1 )) (C(n) I(T ;

1, 2 ))1/n ln1/n.

r Континуум T (F1 ) отделяет точки T (x ), T (x ) от точки T (O) = {0} в D2 и является допустимым в вышеуказанном смысле. Поэтому H2 (T (x ), T (x );

D2 ) d0 (T (F1 )).

Учитывая, что r2 = r1, r1 H1 (x, x ;

D1 ) +, убеждаемся в справедливости оценки (25). Доказательство теоремы 13.6. Предположим сначала, что x, x суть точки области D1, для которых H1 (x, x ;

D1 ) a1. (26) Покажем, что H2 (T (x ), T (x );

D2 ) (C(n)I(T ;

1, 2 ))1/n ln1/n.

H1 (x, x ;

D1 ) (27) Рассмотрим два случая.

(a) Пусть H1 (x, x ;

D1 ) = 2 (x, x ;

D1 ). Воспользуемся леммой 13.6.

Так как H2 (T (x ), T (x );

D2 ) 2 (T (x ), T (x );

D2 ), то предположение (26) влечет выполнение (27).

(b) Пусть H1 (x, x ;

D1 ) = 1 (x, x ;

D1 ). Если 1/ H1 (x, x ;

D1 ) 2 (x, x ;

D1 ), то в соответствии с леммой 13.6 предположение (26) влечет (27).

Если 1/ 1 (x, x ;

D1 ) 2 (x, x ;

D1 ), 13.9 Оценки относительного расстояния то H1 (x, x ;

D1 ) = 1 (x, x ;

D1 ) и шар Qr2 радиуса 1/ r2 = |x x | с центром в точке (x + x )/2 содержится в каждом из двух шаров радиуса 1/ r = 1 (x, x ;

D1 ) с центрами в точках x и x соответственно. Легко видеть, что в этом случае Qr2 D и, пользуясь (26), на основании теоремы 13.5 прихо дим к (27).

Таким образом, всегда при выполнении (26) имеет место (27). При меним сказанное к обратному отображению T 1. При H2 (T (x ), T (x );

D2 ) a3 (28) имеем 1/n ln1/n H1 (x, x ;

D1 ) C(n)I(T 1 ;

1, 2 ).

H2 (T (x ), T (x );

D2 ) (29) Неравенство (28) выполнено, если выполнено (26) (и, значит, (27)) и если 1/n 1/n C(n)I(T 1 ;

1, 2 ) ln a3. (30) H1 (x, x ;

D1 ) В свою очередь соотношение (30) эквивалентно неравенству H1 (x, x ;

D1 ) exp {C(n) an I(T ;

1, 2 )} = a2.

Тем самым, при x, x D1 и выполнении (22) имеет место неравен ство (29), эквивалентное правому из неравенств (23). Соотношения (27) и (29) ведут к двойному неравенству (23).

Так как x, x суть произвольные точки области D1, удовлетворя ющие (22), то (23) выполнено для произвольной пары точек x, x H метрического пространства D1 1, подчиненной условию (22). Замечание 13.2. Двойное неравенство (23) гарантирует, что в усло виях теоремы 13.6 отображения T и T 1 продолжимы до гомеомор H H физма между метрическими пространствами D1 1 и D2 2. За про долженным отображением мы будем сохранять обозначения T и T 1.

144 Список литературы Список литературы [1] И.С. Овчинников, Метрические свойства отображений класса BL3/2, Труды Томского ун-та, Сер. мех.-мат., т. 182, 1965, 32-45.

[2] И.С. Овчинников, Оценка снизу интеграла Дирихле при отобра жениях шара на область, Сиб. матем. ж., т. XIII, n. 1, 1972, – 152.

[3] Г.Д. Суворов, Обобщенный принцип ‘длины и площади’ в теории отображений, Киев: изд-во ’Наукова Думка’, 1985, 278 с.

[4] В.М. Миклюков, Конформное отображение нерегулярной поверх ности и его применения, Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2005, 273 с.

[5] Р. Рокафеллар, Выпуклый анализ, М.: Мир, 1973.

[6] Х. Рунд, Дифференциальная геометрия финслеровых про странств, М.: Наука, 1981, 504 с.

[7] С.К. Годунов, Е.И. Роменский, Элементы механики сплошных сред и законы сохранения, Новосибирск: Изд-во ’Научная книга’, 1998.

[8] Ч.В. Мизнер, К.С. Торн, Д.А. Уилер, Гравитация, Т. 1 3, Изд-во ’Айнштайн’, Бишкек, 1994.

[9] С. Чандрасекар, Математическая теория черных дыр, в 2 х ча стях, Изд-во ’Мир’, Москва, 1986.

[10] Д.П. Ильютко, Локально минимальные сети в N -нормированных пространствах, Мат. заметки, Т. 74, Вып. 5, 2003, 656 668.

[11] К. Куратовский, Топология, Т. 1, Изд-во ’Мир’, Москва, 1966.

[12] Y. Li and L. Nirenberg, The Distance Function to the Boundary, Finsler Geometry, and the Singular Set of Viscosity Solutions of Some Hamilton Jacobi Equations, Communications of Pure and Applied Mathematics, V. LVIII, 2005, 85 146.

[13] В.М. Миклюков, Введение в негладкий анализ, 2-е издание, Вол гоград: Изд-во ВолГУ, 2008, 424 с.

[14] М.А. Лаврентьев, Sur une classe de representations continue, Мат.

сб., Т. 42, n. 4, 1935, 407 424;

русский перевод в М.А. Лаврен тьев. ’Избранные труды’. Математика и Механика, Изд-во ’Нау ка’, Москва, 1990, 219 236.

[15] Л.И. Волковыский, Квазиконформные отображения, Изд-во Львовского ун-та, Львов, 1954.

Список литературы [16] М.А. Лаврентьев, Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа, М.: Изд-во АН СССР, 1962, 136 с.

[17] М.А. Крейнес, Sur une classe de fonctions de plusieurs variables, Матем. сб., v. 9 (51), 1941, 713-720.

[18] J. Visl, Lectures on n-Dimensional Quasiconformal Mappings, a aa Lecture Notes in Mathematics, 229, Springer - Verlag, Berlin Heidelberg - New York, 1971.

[19] V.M. Miklyukov, Concerning a Carathodory-Suvorov Theorem on e Kernel Convergence of Domain Sequences, Numerical Geometry, Grid Generation and High Performance Computing, Proc. Inter.

Conference NUMGRID2008, A.A. Dorodnicyn Computing Center RAS, Moscow, 10-13 June, 2008, edited by V.A. Garanzha, Yu.G. Evtushenko, B.K. Soni and N.P. Weatherill, 20-26.

V.M. Miklyukov, Ovchinnikov Relative Distance on Abstract Surfaces Abstract. We study Ovchinnikov Relative Distance on

Abstract

Surfaces.

146 ’Предпринимательский университет’ 14 ’Предпринимательский университет’: опыт и перспек тивы развития, В.В. Тараканов, 27 июня c В.В. Тараканов, 27 июня Аннотация. Обсуждаются возможности развития провинциаль ных университетов в России.

Возрастание значения человеческого капитала в приращении вало вого национального продукта в условиях формирования экономики, основанной на знаниях, определило значительное увеличение роли институтов высшего профессионального образования.

Высшая школа оказывает воздействие на экономику по самым раз ным направлениям. Она способствует развитию человеческого капи тала и повышению конкурентноспособности бизнеса, наполняет ры нок труда высококвалифицированной рабочей силой, что повышает экономическую и социальную отдачу на капитал, вложенный в подго товку специалистов. Высшее образование является важнейшим фак тором социального и культурного развития как нации в целом, так и отдельных регионов. В то же время вузы все в большей степени стано вятся бизнес-организациями, чья деятельность вносит существенный вклад в макроэкономическое развитие страны.

14.1 Мировые тенденции развития экономики высшего образования Важнейшими следствиями развития информационного общества и становления ’экономики знаний’ стали рост спроса на услуги, предо ставляемые учреждениями высшего образования со стороны населе ния, с одной стороны, и увеличение потребности государства и част ного капитала в высококвалифицированной рабочей силе и научной продукции, с другой. Это привело к стремительному росту числа сту дентов, университетов и высших школ, а также предоставляемых ими программ обучения.

С 1995 по 2000 год количество зачисленных студентов в системе высшего образования в половине стран - членов ОЭСР выросло не менее чем на 15%.

Контингент студентов во всем мире с 1980 по 2005 год увеличился с 47,4 млн. до 95,4 млн. человек, в том числе в развитых странах - с 29,3 млн. до 50,1 млн. человек [1].

Это обусловило увеличение расходов вузов на технологическое пе ревооружение, поддержание в надлежащем состоянии основных фон дов, содержание профессорско-преподавательского состава. Кроме то го, развитие экономической и предпринимательской деятельности ву зов находит свое отражение в росте неакадемического персонала, ра ботающего в них.

14.1 Мировые тенденции развития экономики высшего образования Существенный рост потребностей в финансировании высшей шко лы на фоне увеличения социальных расходов и бюджетного дефицита приводит к снижению возможности государственных и муниципаль ных бюджетов в их полном удовлетворении. Поэтому уже в восьми десятые годы двадцатого столетия обозначилась и продолжает раз виваться тенденция к сокращению доли бюджетных средств в фи нансировании высшего образования. В США за последние пять лет ХХ века доля государственных средств в бюджетах вузов, по различ ным экспертным оценкам упала на 2-6%. Соответствующее падение наблюдалось даже в таких странах в странах с традиционно высоким уровнем госбюджетного финансирования вузов, как Италия, Герма ния, Португалия.

Относительное сокращение государственной поддержки вынужда ет вузы разрабатывать различные адаптационные стратегии, вклю чающие в себя улучшение стандартов и качества обучения, дости жение показателей, позволяющих рассчитывать на сохранение госу дарственной поддержки, поиск новых негосударственных источни ков финансирования, более эффективное использование получаемых средств и имеющихся ресурсов.

Диверсификация источников финансирования деятельности выс ших учебных заведений включает в себя:

- развитие новых направлений и форм образовательной деятель ности, осуществляемой на платной основе (дистанционное обучение, довузовская подготовка, непрерывное обучение взрослых и т. д.);

- расширение экспорта образовательных услуг;

- повышение платы за обучение;

- развитие научно-инновационной деятельности на контрактной ос нове;

- участие вузов в капитале коммерческих фирм, прежде всего за нимающихся внедрением научных и прикладных разработок;

- укрепление связей с местными сообществами;

- привлечение частных пожертвований.

Нарастание проблем в сфере финансирования высшего образова ния подталкивало правительства и университеты к принятию реше ний о частичном перемещении затрат на потребителей услуг системы образования.

Существенный рост платы за обучение в последние десятилетия отмечался в странах как Европы, так и Америки.

Важнейшим направлением деятельности ведущих высших учебных заведений США, Великобритании, Франции, Германии, Австралии, Ирландии, Китая и многих других стран в последние десятилетия стало развитие экспорта образовательных услуг.

Подготовка иностранных специалистов становится все более выгод ной статьей экспорта. Мировой рынок образовательных услуг оцени вается экспертами в 30-40 млрд. долларов США.

По числу иностранных студентов первое место в мире также за 148 ’Предпринимательский университет’ нимают США. В 2002/2003 учебном году там обучалось 28% от всех иностранных студентов в мире. На последующих местах находились Великобритания (14%), Германия (12%), Франция (8%), Австралия (7%), Россия (5%), Япония (4%), Испания, Китай (по 3%), Канада, Бельгия, Австрия и Италия (по 2%).

Крупные высшие учебные заведения развивают широкое сотруд ничество с частным бизнесом, получая гранты на проведение иссле довательских работ, заключая по заказам корпораций договоры на проведение фундаментальных и прикладных исследований, органи зуя для них подготовку и переподготовку кадров.

Одной из форм сотрудничества между исследовательскими уни верситетами США и фирмами высокотехнологичных отраслей явля ется создание при поддержке властей штатов научно-технологических парков, служащих как базой для организации наукоемкого бизнеса, так и практической основой научной деятельности университетов.

Во многих университетах создаются научные подразделения, функ ционирующие на правах филиалов частных компаний, которые фи нансируют строительство и оснащение научных лабораторий, выпла ту дополнительной заработной платы. Такая форма сотрудничества широко применяется в высокотехнологичных областях, а также в та ких прикладных областях гуманитарного знания, как психология, со циология, менеджмент.

Многие университеты развитых стран являются акционерами ком паний, созданных в целях коммерциализации результатов научных изысканий. Крупные исследовательские университеты могут иметь доли в сотнях фирм, годовой доход которых во многих случаях пре вышает годовой доход самих учредителей.

Университеты Европы и Северной Америки все более активно ис пользуют такой источник финансирования своей деятельности как расширение связи с местными сообществами: региональными и му ниципальными властями, местными учреждениями, частными ком паниями и предпринимательскими организациями, средствами мас совой информации.

К примеру, во Франции в девяностых годах доля средств, получен ных от местных властей, составила более 15% бюджета университетов [2].

Такая форма финансирования высших учебных заведений как част ные пожертвования особенно распространена в США. При этом она составляет весьма существенную часть университетских бюджетов.

К примеру, в 1998 г. исследовательские университеты США получи ли в качестве благотворительных взносов 9,5 млрд. долларов, в том числе частные университеты - 4,6 млрд., государственные - 4,9 млрд.

В среднем сумма пожертвований, приходившихся на один вуз, соста вила 13 млн. долларов.

Помимо доходов от платных услуг и благотворительных взносов высшие учебные заведения получают доходы от принадлежащей им 14.2 Становление ’предпринимательских университетов’ в Западной Европе собственности. В США, например, эти доходы составляют в среднем около 1% бюджетов государственных университетов и около 7% бюд жетов частных вузов [3].

Рост спроса на высшее образование на фоне сокращения бюджет ного финансирования, новые требования к профессиональной подго товке со стороны рынка рабочей силы, формирование единого евро пейского образовательного пространства и обострение конкуренции четко обозначили вставшие перед государственной властью финан совые проблемы и поставили задачу перехода к новым методам рас пределения бюджетных средств между вузами.

В Германии и странах Северной Европы, где исторически были сильны традиции государственного регулирования высшего образо вания, в конце ХХ века началась глубокая реформа бюджетного фи нансирования высших учебных заведений, суть которой состоит в от казе от постатейного сметного финансирования и переходе к выделе нию средств на основе государственных контрактов, что повышает уровень автономии, заинтересованности и ответственности универси тетов.

Контрактные отношения между вузами и правительством ставят финансирование в непосредственную зависимость от выполнения до говорных обязательств. Кроме средств, выделяемых на подготовку оговоренного в контракте числа специалистов по конкретным специ альностям, контракты предусматривают также дополнительные сред ства на специальные цели (например, компенсация или стимулирова ние образовательной деятельности в мало востребованных областях или разработка новых программ).



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.