авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 12 |

«Часть первая. Георг Кантор Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет ...»

-- [ Страница 8 ] --

для богатой противоречиями истории теории множеств начала XX века, и Сер Многие другие особые множества и функции, построенные Серпинским пинский широко пользовался методом контрпримера для установления границ с помощью аксиомы выбора и гипотезы континуума, оказались полезными применимости рассматриваемой идеи392. Большую роль здесь играет аксиома в исследованиях меры и измеримости, категории и мощности, послужили исто Цермело.

ками новых исследований Варшавской школы.

Велико число работ Серпинского по общей теории множеств. Им проведе Особенно важно то, что исследования на важнейшая классификация основных теорем по их зависимости от аксиомы Серпинского формировали пути развития всей выбора и гипотезы континуума. Он посвятил аналитической операции «А», школы. Мы видим, какую работу он провел по а также другим операциям серию исследований, которые продолжили другие упорядочению фундаментальных положений авторы, прежде всего – Л.B. Канторович и Е.М. Ливенсон.

теории множеств в связи с аксиомой выбора и Серпинский внес вклад и в исследование кардинальных и порядковых чисел гипотезой континуума. Им обобщены многие [304]. Известна его работа о «недосягаемых алефах», которую он написал со важные теоремы, для многих из них Серпинс вместно с А. Тарским. кий привел новые доказательства, чем уточнил Что касается проблемы континуума, то кроме постановки проблем и со- их положение в общей теории. В некоторых здания ряда парадоксальных примеров, а также многочисленных статей, Сер- случаях он установил невозможность дальней пинскому принадлежит монография «Гипотеза континуума» [287]. В ней он со- шего обобщения.

брал утверждения, эквивалентные гипотезе континуума, и всесторонне оценил Многие результаты Серпинского стали ее роль в архитектуре современной математики. отправным или вспомогательным пунктом ра В 1951 г. Серпинский вновь обращается к гипотезе континуума, но теперь бот других варшавских математиков. Важна Рис. 154. Серпинский в ее геометрической или топологической интерпретации [307, т. 3, с. 654–664], также его популяризаторская деятельность, про и также доказывает несколько эквивалентных утверждений. Особенно важным паганда теории множеств и теории чисел393.

является следующее из них [307, т. 3, с. 656]: До самой своей смерти (21 октября 1969 г.) Серпинский (рис. 154) был «Гипотеза континуума эквивалентна существованию разложения трехмер- признанным лидером сформированного им коллектива. Немалую роль сыграли ного евклидова пространства на три множества Еi, i = 1, 2, 3, для которых, если при этом его личное качества: чуткое внимание к своим ученикам и коллегам, обозначить через OXi, i = 1, 2, 3, три координатные оси, множество Ei конечно его обаяние.

на любой параллельной оси ОXi для i = 1, 2, 3».

Метод контрпримера берет свое начало в античном приеме доказательства «доведения до абсурда», который был усовершенствован в школах схоластической логики (особенно у английских Труды Серпинского в области теории чисел здесь не рассматриваются.

логиков).

236 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств Глава 3. ВАРШАВСКАЯ ШКОЛА ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ чения большинства наших математиков в работе над одной отраслью математи ки. Это совершается теперь само собой, нужно лишь помочь этому течению.

В 1917 г. Касса имени Мяновского разослала анкету о потребностях науки Можно не сомневаться, что создание у нас специального журнала по одной от в Польше. В ответ на нее появилась статья 3ыгмунда Янишевского «О потребно- расли математики привлечет многих к работе в этой отрасли.

стях математики в Польше» [119]. Обсуждая выдвинутый им проект основания Еще иначе мог бы нам помочь журнал в деле создания этой “кузницы”, специального журнала, который впоследствии воплотился в «Fundamenta если бы мы стали техническим центром математических публикаций в этой от Mathematicae», Янишевский писал [119, с. 18]: расли. Математики присылали бы нам рукописи новых работ и поддерживали «По-моему, строго научные периодические издания следовало бы превра- бы с нами общение.

тить в более специализированные: к примеру, один журнал был бы посвящен Желая занять соответствующее место в научном мире, давайте выступим теории чисел и алгебре, другой проективной геометрии, другие – дифференци- с собственным почином».

альным уравнениям и дифференциальной геометрии, тригонометрическим Статья 3. Янишевского «О потребностях математики в Польше» стала про и родственным им рядам, теории множеств, основаниям геометрии и т. д. Таким граммным документом для трех организаторов научного центра – 3. Янишевс образом, каждый, кто выписывает один или два таких журнала, мог бы иметь кого, С. Мазуркевича и В. Серпинского. Они совместно привлекали талантли у себя дома большую часть нужной ему литературы. вую молодежь. Помимо заботы о создании общей атмосферы, созданной заня Разумеется, это далеко идущий процесс, которому следует дать сначала тиями одной темой, борьбы с обособленностью, Янишевский крупнейшей почин, сделать его примером. Здесь открывается поле деятельности, и проект задачей называет «сохранение для математики людей с выдающимися матема приобретает еще и другое значение. Мы имеем в виду занятие польской матема- тическими способностями». По этому поводу он пишет [119, с. 18]:

тикой самостоятельной позиции. «Вижу целый ряд способных творческих личностей, гибнущих вследствие По указанному проекту следовало бы основать у нас строго научный жур- материальных затруднений. Такие личности нужно выискивать, а не ждать, ког нал, посвященный исключительно одной из тех отраслей математики, в которых да они сами придут. Нужно вести учет таких личностей еще даже до того момен у нас имеются выдающиеся, подлинно творческие и многочисленные работники. та, когда они оставят среднюю школу, как только обнаружатся их способности».

Такой журнал стал бы необходим каждому, занимающемуся данной отрас- Это диктовалось не только потребностями самой математики, но и поли лью математики, повсюду нашел бы своих читателей и в короткий срок приоб- тической обстановкой, тенденцией к эмиграции среди ученых, встречающей рел бы солидных сотрудников за рубежом. Таким путем мы заняли бы подобаю- поддержку в научных центрах Европы и особенно Америки. К сожалению, щее нам место в европейской науке, так как не только много наших работ, раз- 3. Янишевский, бывший главным редактором, не дожил до выхода первого но бросанных по польским журналам, было бы показано этим путем всему миру, мера, скончавшись в 1920 г. в возрасте 32 лет от инфлюэнцы, эпидемия которой но мы приобрели бы известность уже не как отдельные личности, националь- бушевала тогда в Европе.

ность которых даже неизвестна, а как сплоченная группа поляков. Одно суще- Ретроспективно можно восхищаться смелостью идей Янишевского. С од ствование и распространение такого журнала, издаваемого в Варшаве, свиде- ной стороны, теория множеств позволяла без многолетней специализации вклю тельствовало бы о нашей научной жизни. чаться в решение многих задач математики, что увеличивало число ее привер Вернемся к вопросу о математическом творчестве. Соответствующую ат- женцев среди молодых ученых. С другой стороны, теория множеств как наука мосферу могут создать лишь занятия общими темами. Сотрудники исследовате- еще не заняла должного места на страницах академических журналов и значи лю почти необходимы. В обособлении он чаще всего угасает. Причины этому не тельная часть информации шла через переписку между учеными. Специализи только психологического характера, но и недостаток побудительных мотивов. рованный международный журнал был необходим. Тогда это было необычным Обособленный ученый знает намного меньше тех, кто работает совместно. и встретило нескрываемый скептицизм многих математиков.

До него доходят только итоги исследований, уже созревшие, оформленные идеи, А. Лебег в письме, адресованном В. Серпинскому в связи с выходом в свет зачастую по прошествии нескольких лет после их возникновения, когда они уже первого тома журнала «Fundamenta Mathematicae» (рис. 158, 1920 г.), наряду со опубликованы. Он не знает, каким образом и из чего они возникли, не переживая многими похвальными отзывами, выражал глубокое сомнение, будет ли доста этого процесса вместе с созидателями их. [...] Мы находимся вдали от тех куз- точным приток материала в столь сильно специализированный журнал, чтобы ниц или котлов, в которых вырабатывается математика. [...] можно было продлить его существование [132, с. 12].

Поэтому, если мы не хотим постоянно тянуться “в хвосте”, мы должны Эти опасения не оправдались. В первом томе были опубликованы работы прибегнуть к радикальным средствам, заглянуть в корень зла. Мы должны со- только польских авторов, что диктовалось стремлением показать наличие здать такую “кузницу” у себя. Достичь же этого можно только посредством спло- в Польше сильной группы математиков, способных взять на себя ответствен 238 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств ность за организацию и ведение периодического издания столь четко очерчен ного характера. Но «Fundamenta Mathematicae» предполагался и международ ным журналом. С 1920 по 1939 гг. вышло 32 номера, где было напечатано 972 работы 216 авторов. Среди иностранных авторов журнала были Н.Н. Лузин, П.С. Александров, Э. Борель, А. Лебег, А. Данжуа, Ф. Хаусдорф и другие. Ос новное направление журнала – теория множеств и ее приложения к геометрии (топологии), теория функций и анализ.

Рис. 159. Стефан Банах Рис. 160. Станислав Рис. 161. Гуго Штейнхауз Рузевич Рис. 162. Станислав Лесьневский Рис. 163. Ян Лукасевич С 1963 г. руководство журналом сосредоточилось в руках его главного ре дактора К. Куратовского и его заместителя профессора К. Борсука. С этого же года Серпинский стал почетным редактором. В состав редакции также входили профессора Б. Кнастер (рис. 164), Э. Марчевский (до 1944 г. носивший фа милию Шпильрайн), С. Мазур и А. Мос товский (рис. 166).

А. Лебег в заметке «О новом жур Рис. 158. Первый номер журнала Fundamenta mathematicae нале Fundamenta Mathematicae» [147] по случаю выхода в свет его второго тома, Журнал сплотил вокруг себя ядро будущей школы: С. Банаха (рис. 159), высказал пожелание, чтобы редакция В. Вилькоша, К. Куратовского, С. Мазуркевича, С. Рузевича (рис. 160), В. Сер журнала в его тематике уделяла больше пинского, Г. Штейнхауза (рис. 161), 3. Янишевского.

внимания «всяким приложениям теории После смерти Янишевского в 1920 г. руководство редакцией журнала множеств, а не только ее прямым прило перешло к профессорам С. Мазуркевичу и В. Серпинскому. В редакционный жениям, как это кажется, вытекает из его Рис. 164. Бронислав Кнастер комитет до 1928 г. входили профессора С. Лесьневский (рис. 162) и Я. Лукасевич программных предначертаний».

(рис. 163), которые вели раздел оснований математики и математической логики.

240 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств и не имела возможности публикаций за рубежом, кроме журналов «Fundamenta Mathematicae» и «Biuletyn Polskiej Akademii Umiejtnoci». Несмотря на трудно сти в работе почты, между математиками обеих школ существовала оживленная переписка: между Н.Н. Лузиным и В. Серпинским, П.С. Урысоном и К. Куратов ским, Н.К. Бари и А. Райхманом. Много значимых работ советских математиков опубликовано впервые в «Fundamenta Mathematicae».

Этот журнал играл и играет важную роль не только в сотрудничестве польских и советских математиков, но и в развитии математики вообще.

Я.Д. Тамаркин писал, что история этого журнала есть вместе с тем и история новейшей теории функций и теории множеств [319, с. 305].

Параллельно Варшавской школе и отча Рис. 165. Кароль Борсук Рис. 166. Анжей Мостовский сти с ее поддержкой развивалась и Львовская математическая школа. Научная атмосфера На страницах «Fundamenta Mathematicae» сравнительно мало места зани Львова была крайне благоприятна для рабо мают работы, посвященные «внутренним» проблемам теории множеств, в то ты. На улицах и в кафе разгорались споры время как большинство статей – это работы по приложению теории множеств и беседы студентов и преподавателей. В двад к геометрии (топологии), теории функций и анализу. Исследования по функцио цатые годы в кафе «Kawiarnia Szkocka»

нальному анализу в своем развитии зашли так далеко, что еще в 1929 г. эта про («Шотландская кофейня», рис. 167) – целыми блематика была выделена из «Fundamenta Mathematicae» в новый специализи днями просиживали С. Банах, Г. Штейнхауз, рованный журнал «Studia Mathematica». Он начал выходить во Львове, также на Ю. Шаудер, С. Мазур и В. Орлич [36].

основных языках Европы, и в скором времени занял положение одного из веду Обсуждая доказательства теорем, они за щих в этой области журналов мира.

писывали их на мраморных столах, но потом В «Fundamenta Mathematicae» появилось много значительных работ по столы протирали, и ничего не сохранялось. Од другим приложениям теории множеств – к теории групп, основаниям геомет нажды они просидели в кафе за доказатель рии, тригонометрическим рядам. В частности, как заметил Лебег, «теория мно ством одной теоремы 17 часов. Туда часто при- Рис. 167. Шотландская кофейня жеств выплачивала свой долг теории тригонометрических рядов» [132, с. 12].

езжал Серпинский. Жена Стефана Банаха за Вклад журнала в развитие представляемых им областей не ограничивает вела тетрадь, постоянно лежавшую в кафе, куда ся только помещаемыми публикациями. Большую роль сыграл (начиная с пер каждый математик мог записать проблему или пред вого тома) постоянный раздел «Проблемы», частично перешедших позже в жур ложить решение. В качестве награды за решение нал «Colloquium Mathematicum» и «Ksika Szkocka» («Шотландская книга»);

предлагалась одна или несколько кружек пива, или некоторые проблемы, решения которых до сих пор не найдены, стали класси обед в ресторане. За одну очень трудную проблему ческими.

Мазур обещал гуся395.

П.С. Александров в статье «О сотрудничестве польской и советской мате Тетрадь эта имела название «Шотландская кни матических школ» [72] пишет о роли журнала «Fundamenta Mathematicae» в со га», она уцелела во время оккупации и была опубли трудничестве польской и советской математических школ, в формировании но кована в 1981 г. В ней содержится 193 проблемы [320].

вой Московской школы под руководством Лузина. С одной стороны, для мос Здесь зародилась, а к середине двадцатых го ковских математиков большую роль играла ориентация журнала на наиболее дов вполне окрепла Львовская школа функциональ важные проблемы, с другой стороны – после революции394 советская научная ного анализа, возглавляемая Банахом (рис. 168).

школа была в полной изоляции: не получала иностранных научных журналов К сожалению, деятельность этой школы оборвалась Рис. 168. Вручение награды В период до Великой Отечественной войны научных журналов в России было немного, печа тались они долго, качество печати и бумаги было невысокое, язык публикаций был русский, распрос- Это была проблема № 153 от 6 ноября 1936 года. Она была решена в 1972 году шведским транение за рубежом очень ограниченное, — всё это затрудняло научные коммуникации советских математиком Пером Энфло, которому Мазур и вручил гуся (рис. 168). Приношу благодарность про математиков. фессору А. Шинцелю, рассказавшему этот эпизод.

242 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств в сороковые годы, когда во время гитлеровской оккупации погибли или умерли обобщенной проблеме меры, парадоксы разложения тела – С. Банах и А. Тарс от мучений С. Банах, С. Сакс, С. Рузевич, Ю. Шаудер, А. Ломницкий и другие. кий (рис. 174).

В. Орлич [199] полагал, что начальным момен том развития функционального анализа во Львове следует считать 1920 г., когда С. Банах защитил свою докторскую диссертацию на звание доктора филосо фии на тему «Об операциях над абстрактными мно жествами396», опубликованную в 1922 г. в «Fundamenta Mathematicae».

В 1922 г. С. Банах становится заведующим ка федрой Львовского университета. Его научные рабо ты печатаются сначала в «Fundamenta Mathematicae».

В 1929 г. С. Банах и Г. Штейнхауз основывают новый журнал «Studia Mathematica», посвященный пробле мам функционального анализа. До войны вышло 8 томов журнала. В редколлегию, начиная с шестого Рис. 169. Стефан Банах Рис. 173. Марк Кац и Станислав Улам Рис. 174. Альфред Тарский тома, вошли Г. Ауэрбах (рис. 170), С. Мазур (рис. 180) и В. Орлич (рис. 171). Этот коллектив, включая Ю. Шаудера (рис. 172), явился Большое значение имела интерпретация задач вычисления вероятностей основой Львовской математической школы.

и статистики на основе теории меры – А. Ломницкий (рис. 175) и Г. Штейнхауз, в частности, теория независимых функций – Г. Штейнхауз и М. Кац (рис. 173), Ю. Марцинкевич (рис. 176) и А. Зыгмунд (рис. 177). В Львовской математичес кой школе было развито предположение С. Сакса (рис. 178) о применении поня тия категории Бэра к существованию особых разрывов в теории функций – С. Банах, С. Мазуркевич, Г. Ауэрбах, С. Качмаж (рис. 179), Керст;

утверждений в топологии – К. Куратовский.

Рис. 170. Герман Ауэрбах Рис. 171. Владислав Орлич Рис. 172. Юлиуш Шаудер По существу здесь начинался новый этап развития функционального ана лиза;

начал разрабатываться новый подход к теории вероятностей, развитый А.Н. Колмогоровым;

на новую ступень была поднята теория интегрирования.

Назовем прежде всего работы по теории меры – решение С. Банахом проблемы Хаусдорфа, работы С. Банаха, К. Куратовского и С. Улама (рис. 173, 180) по Рис. 175. Антони Ломницкий Рис. 176. Юзеф Марцинкевич Рис. 177. Антони Зыгмунд «Sur les oprations dans les ensembles abstraits et leur application aux quations intgrales»

Fundamenta mathematicae III, c. 133–181.

244 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств В. Орлич отмечает особенность Львовской школы – «Большое количество заинтересованных математиков, сконцентрировавших внимание на недавно воз никших разделах;

неформальные контакты учителей и учеников, предпочтение коллективной работе, и, что самое важное, много талантливых математиков-эн тузиастов» [199, с. 230].

Особо следует отметить достижения Львовской школы логики, во главе которой стояли Тарский, Лесьневский, Лукасевич и Хвистек. Математическая логика была тесно связана с философией, тогда бывшей на высоком уровне во Львове. В математической логике А. Тарский исследовал теорию доказательств, семантику для формализованных языков, методы стандартной теории формали зации, a Л. Хвистек – семантические вопросы логики и теорию типов.

Рис.178. Станислав Сакс Рис. 179. Стефан Качмаж В отличие от Варшавы и Львова, в Кракове не сформировался коллектив математиков, хотя Ягел B. Орлич нашел характеристику безусловной сходимости в линейных лонский университет Кракова имел традиции не пространствах. Он и С. Мазур разработали новый тип линейно-топологических сравнимо более давние. Причина тому лежала преж пространств B0.

де всего в сильной классической традиции, не до C. Мазур ввел и разработал методы геометрии в функциональном анали пускавшей новизны, и отчасти в оппозиции лидера зе (теория выпуклых множеств), развита общая теория линейных топологичес краковских математиков С. Зарембы (рис. 181) мо ких пространств, методы суммирования, теория алгебр Банаха.

лодым лидерам математиков Варшавы, работавших Фундаментальной является монография С. Банаха о линейно-нормирован над теорией множеств.

ных пространствах «Теория линейных операторов» (1932 г.). Ее первое издание Г. Штейнхауз [94, с. 77] отмечает тяжелую на на немецком языке вышло годом раньше под названием «Теория операции», учную атмосферу Кракова 1916 г. – невозможность а годом позже на французском языке. Ограниченные линейные группы исследо контакта не только с иностранными, но и с польски ваны Г. Ауэрбахом.

ми учеными. На научных дискуссиях собиралась Рис. 181. Станислав Заремба Из Львовской школы берут начало такие понятия, как пространство Бана только молодежь – С. Банах, Л. Хвистек, О. Нико ха, пространство Орлича. («Пространство Банаха» впервые так названо в 1928 г.

дим, А. Розенблат, В. Стожек, Г. Штейнхауз, В. Слебодзинский и В. Вилкош.

в монографии М. Фреше «Абстрактные простран Там, как вспоминает Слебодзинский, и возникла мысль об основании математи ства»).

ческого общества. 2 апреля 1919 г. состоялось организационное собрание Мате С. Мазур и В. Орлич занимались теорией опе матического общества в Кракове, одним из основателей которого был О. Нико раторов, исследовали структуру методов суммируе дим. Но впоследствии многие математики в силу названных причин переехали мости.

из Кракова во Львов и Варшаву, поэтому роль Математического общества в рас Ортогональные ряды исследовали С. Банах, сматриваемый период была невелика.

С. Качмаж, В. Орлич, Г. Штейнхауз. Значительны ра Характеристику соотношения математических коллективов трех городов – боты Ю. Шаудера, который использовал топологи Варшавы, Львова и Кракова к 1926 г. – дает Н.Н. Лузин в письме к А. Данжуа ческий подход в функциональном анализе, теории ин (опубликовано в 1983 г. на русском языке в [53] и на польском языке в [154]).

теграла, дифференциальных уравнениях. Он обоб Лузин пишет [53, с. 318–320]:

щил теорему Брауэра на случай пространств Банаха «Мне кажется, что математическая жизнь в Польше идет по двум совер для выпуклых множеств, разработал метод непод шенно различным путям: один из путей склоняется к классическим частям ма вижной точки.

тематики, а другой – к теории множеств (функций). Эти пути исключают друг В. Стожек и В. Никлиборц публикуют работы друга в Польше, являясь непримиримыми противниками, и в настоящее время по теории потенциала, Г. Штейнхауз – по многочис между ними происходит ожесточенная борьба. Обе стороны весьма энергичны, ленным прикладным аспектам теории вероятностей Рис. 180. Мазур и Улам но, как мне показалось, силы их не равны.

и статистики в геологии, биологии, медицине.

246 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств Классическая сторона представлена сейчас лишь древним (свыше 500 лет) личный интерес и были лишены какого-нибудь научного значения. Несомненно, Краковским университетом и Краковской Академией. Из польских математиков что эта обезличка творческой инициативы была обусловлена отсутствием пуб самым непреклонным сторонником этого пути является г-н профессор Заремба. личного контроля, общего математического мнения и оценки их трудов. Нужно Другие сторонники этого пути примыкают к г-ну Зарембе. было, следовательно, создать широкую математическую среду, и она была со Однако классический путь завершен во многих городах (Львов, Ковно, здана Варшавской школой. Что касается нашей узости, то я надеюсь, что она Вильно), где его заменил путь школы г-на Серпинского. уменьшится и исчезнет впоследствии. Выбор же в качестве основы общего ма Таким образом, насколько я могу судить по беседам с польскими матема- тематического движения теории функций проистекает из ее простоты”.

тиками, прибывшими в Варшаву, в Польше господствует современное движе- Я не был, дорогой друг, в Кракове. Поэтому я не знаю взглядов противной ние, а классика сохраняется лишь в Кракове. Что касается Львова, Ковно и Вильно, стороны и их доводов. В Варшаве рассказывают, что г-н Заремба имеет тяжелый то эти города настолько “модернизированы”, что смотрят на все глазами Варша- характер, от которого страдают его ученики. Известно, что г-да Заремба и Сер вы, то есть школы г-на Серпинского. пинский весьма далеки друг от друга».

Так что сейчас лишь Краков является оплотом классической математики. Ведущую роль играла Варшавская школа, а в ней лидерами были В. Сер Однако польские математики, с которыми я виделся в Варшаве, единодушно пинский в теории множеств, С. Мазуркевич и 3. Янишевский в топологии.

утверждают, что дело г-на Зарембы обречено на неуспех, и поэтому многие кол- Позднее в Варшаву переехали К. Куратовский и А. Тарский из Львова.

леги и ученики покидают его. Так, в данное время ученики Зарембы д-р Качмаж Перечислим некоторые предвоенные результаты этой школы:

и д-р Никлиборц уезжают из Кракова во Львов. Г-н Банах и г-н Стоцек уже сде- • характеристика пеановских континуумов – Мазуркевич и Серпинский;

лали это. Ученик Зарембы г-н Лея уехал от него в Варшаву. Г-н Никодим также • исследование борелевских, аналитических, проективных множеств – намеревается покинуть Краков, и лишь материальные затруднения не позволя- Серпинский, Куратовский;

аксиоматика основ топологии – Куратовский;

ют ему теперь уехать в другой город. Можно, таким образом, говорить о разло- • проблема неразложимости континуумов – Мазуркевич, Янишевский, жении группы краковских математиков. Куратовский, Кнастер. Разработка этого направления была начата Янишевским, По моему мнению, такая ситуация несколько опасна, поскольку исключи- продолжена Кнастером и впоследствии развита Куратовским;

тельное внимание к теории множеств и пренебрежение классическими отдела- • приложения логического исчисления для оценки классов множеств – ми математики мне кажутся слишком узкими, слишком односторонними. Увле- А. Тарский и К. Куратовский;

чение множествами легко может приобрести фанатический характер и стать вред • установление связи между гипотезой континуума и аксиомой выбора – ным для занимающихся ими и для самой науки. Не следует, мне кажется, забывать, А. Тарский и А. Линденбаум (установлением связи между гипотезой континуу что теория множеств в конечном счете является лишь одним из аспектов элемен ма и аксиомой выбора занимался и А. Линденбаум, рис. 182);

тарной математики, поскольку для полного овладения ею почти не нужна пред • введение и применение топологического по варительная научная культура. Быть может именно эта доступность теории мно нятия ретракта – К. Борсук;

жеств для начинающих работать является главной причиной успеха “современ • метод исследования плоской топологии при ной” математики в странах, приобщающихся к культуре.

помощи мультипликативных групп комплексных чи Другой причиной этого успеха является, по моему мнению, личность сел – С. Эйленберг;

г-на Серпинского. Г-н Серпинский – замечательный научный руководитель. Он • исследования О. Никодима по интегралу постоянно находится в тесном контакте со своими учениками, с которыми у него в абстрактных множествах;

наилучшие отношения и которые исключительно ценят его. Он направляет их • теорема Радона-Никодима;

научные идеи, дает темы для их работ, смело печатает последние и заботится • исследования Е. Марчевского в области тео обо всем, даже о материальном положении своих учеников.

рии меры и некоторые другие, о которых будет ска Когда я указал г-ну Серпинскому на размер опасности, представляемой зано в последней главе.

преобладанием одного пути вообще и теории множеств, в частности, он мне К началу Второй мировой войны в Польше сфор сказал: “Да, в этом кроется действительно серьезная опасность, но большей, чем мировался зрелый математический коллектив с хоро преобладание одного пути, является опасность отсутствия какого-либо пути.

шей организацией, солидными изданиями. С 1931 г.

До появления варшавского пути математики в Польше не было, поскольку име осуществилась давняя мечта Мазуркевича: начала лись отдельные ученые, каждый из которых интересовался различными веща- Рис. 182. Адольф выходить серия монографий под названием Линденбаум ми, которые не имели учеников. Именно поэтому их работы часто имели лишь 248 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств «Monografii Matematyczny», объединившая Варшавскую и Львовскую школы. Теорией вероятности и математической статистикой занимались С. Ма Главным редактором серии был Куратовский. зуркевич, М. Реевский и Е. Сплава-Нейман, а исследования последнего по комби Первыми в этом издании вышли «Теория линейных операций» Банаха, наторному анализу помогли польским математикам расшифровать «Энигму» – сек затем «Теория интеграла» Сакса, «Топология» Куратовского, «Гипотеза конти- ретную шифровальную машину гитлеровской армии [211].

нуума» Серпинского, «Тригонометрические ряды» Зыгмунда, «Теория ортого- Вопросы теоретической механики разрабатывали А. Пшеборский в Вар нальных рядов» Качмажа и Штейнхауза. Все эти книги отличались современной шаве, В. Никлиборц во Львове и затем в Варшаве.

трактовкой, содержали информацию о последних исследованиях данной про- Историей математики занимались С. Дикштейн и А. Биркенмайер.

блемы и были изданы на французском, английском, немецком языках. Все они Большие потери понесла Польша во Второй мировой войне. Погибло 60 % нашли признание среди ученых. В 1938 г. в «Монографиях» вышла двухтомная работников науки, уцелело лишь 10 % книжных фондов вузовских и научных «Механика» Банаха и «Аналитические функции» Сакса и Зыгмунда. библиотек. За годы оккупации погибло более 700 профессоров и научных ра С 1921 г. в Кракове выходит основанный С. Зарембой и продолженный ботников, более 500 работников искусства, 65 тысяч учителей. Среди них по Ф. Леем с помощью С. Голомба и Т. Важевского «Roczniki Polskiego Towarzystwa гибли во львовском гестапо С. Заремба, А. Пшеборский, Г. Ауэрбах, А. Ломниц Matematycznego» с подзаголовком на французском языке. В редколлегию вошли кий, Й. Пепис, С. Рузевич, С. Сакс и тридцать других профессоров. С. Банах сильные математики. Перед войной вышло 17 томов. умер после пребывания там же, а до этого он был подопытным в бактериологи До 1939 г. под руководством С. Дикштейна ческом институте Вейгля, его подвергали укусам тифозных насекомых. С. Кач (рис. 183) продолжают выходить «Рrасе Matematyczno– маж погиб как солдат в 1939.

Fiziczne» и «Wiadomoci Matematyczne». Погибли А. Хоборски (концлагерь), С. Кемписты (гестапо), А. Линденба ум (Варшавское гестапо), А. Райхман (концлагерь Дахау), В. Вилкош и И. Заль Под редакцией С. Любельского и А. Вальфиша цвассер (концлагерь Треблинка), Ю. Шаудер при попытке бегства из поезда, выходит журнал «Acta Arithmetica», посвященный вывозившего евреев из Львова. Во время войны умерли Дикштейн, Пшеборский теории чисел и алгебре.

и Заремба.

Выделяется сильная группа математиков, занима Эмигрировали А. Зыгмунд, А. Тарский и многие другие.

ющихся математической логикой. Как уже говорилось, Были вывезены или уничтожены библиотеки, научные фонды, архивы, во Львове и Варшаве была сильная школа логики как сожжены типографии.

философской науки, что стимулировало развитие И несмотря на это, уже спустя несколько месяцев после окончания войны и школы математической логики. Во главе ее стояли выходит в свет том 33 «Fundamenta mathematicae». Много работ, предназначен Ян Лукасевич и Станислав Лесьневский в Варшаве Рис. 183. Самуил ных для этого тома, было набрано в типографии еще в 1939 г. Большинство из них Дикштейн и Леон Хвистек во Львове. Самым ярким представите было рассыпано гитлеровцами и только некоторые уцелели благодаря исключи лем этой группы был Альфред Тарский, специалист по тельной самоотверженности и мужеству типографских рабочих. Большая энергия логике и методологии математики. В эту группу входили также С. Яськовский, потребовалась и для того, чтобы выпустить этот том во втором полугодии 1945 г.

А. Мостовский, сформировавшийся впоследствии в крупнейшего специалиста, в условиях почти полного разорения материальной базы польской науки.

а также М. Пресбургер и Е. Слупецкий из Варшавы и Й. Пепис из Львова.

По получении этого тома «Fundamenta mathematicae» в своем письме Ортогональными рядами в Варшаве занимались А. Райхман, 3.Зальцвас к К. Куратовскому П.С. Александров писал (цит. по [74, с. 26]):

сер, А. Зыгмунд. Последний продолжил свою работу в Вильно с группой учени «На нас всех этот том произвел огромное и в то же время трагическое впе ков, в том числе Ю. Марцинкевичем. Во Львове этой темой занимались Г. Штей чатление. Трагическое – потому что нельзя иначе реагировать на посвящение нхауз, С. Банах, С. Качмаж и В. Орлич.

этого тома нашим, так ужасно погибшим в этой войне, товарищам – польским Над проблемами дифференциальных уравнений во Львове работали математикам, которых мы так высоко ценили по их прекрасным работам, и кото Ю. Шаудер, в Кракове – А. Розенблат, Т. Важевский и его ученик С.К. Заремба, рых многие из нас, в том числе и я, имели счастье знать лично. Их гибели в Варшаве – В. Погоржельский.

и ужасных обстоятельств этой гибели никогда не забудут люди. Вся тяжесть впе Теорией функций в Познани занимался М. Бернацкий, а в Кракове – Е. Лея.

чатления от этих трагических обстоятельств еще больше подчеркивает то ува Дифференциальную геометрию разрабатывали В. Слебодзинский в Позна жение и – позвольте так прямо и сказать – то восхищение, которое мы, московс ни, А. Вудхейлер в Варшаве и С. Голомб в Кракове. В области теории чисел кие математики, испытываем перед нашими польскими товарищами и друзья работали В. Серпинский, С. Любельский и А. Валфиш.

250 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств Глава 4. ТЕОРИЯ МЕРЫ В ТРУДАХ МАТЕМАТИКОВ ВАРШАВСКОЙ ми, когда видим ту глубину содержания и то совершенство формы, которые вы, ШКОЛЫ несмотря на все трудности пережитых лет тяжелого безвременья, сумели при дать новому тому вашего журнала и которые являются как бы символом торже 4.1. Очерк развития теории меры до включения в ее разработку ства вечных идеалов научной истины и человеческой культуры над теми мрач представителей Варшавской школы ными и бесчеловечными началами, которым в течение шести лет гитлеровская Германия стремилась отдать в порабощенную Польшу и которые теперь так окон Рассмотрим период развития теории меры, предваривший исследования чательно повержены в прах.

математиков Варшавской школы, учитывая интерпретацию вопросов истории Я очень благодарю Вас [...] за экземпляр тридцать третьего тома, который теории меры Николаем Николаевичем Лузиным.

ничем не отличается ни по внешнему виду, ни по своему блестящему содержа Возникнув в эпоху античности из метода исчерпывания Евдокса и работ нию от предшествующих тридцати двух томов, которые я давно привык рас Архимеда, сформировавшись в работах Ньютона и Лейбница, теория интегри сматривать не только как украшение своей библиотеки, но и как ту ее часть, рования становилась все менее и менее связанной с приложениями в геометрии с которой всей своей научной деятельностью я связан наиболее крепкими и ин и в элементарной механике и все более тяготела к чисто аналитическим при тимными нитями. Всю силу этих нитей я особенно остро почувствовал в тре емам, которые не всегда укладывались в рамки представлений об интегрирова вожные годы войны, когда неясно было, сколько лет продлится между 32 и нии как простом обращении операции дифференцирования функции точки.

томом вашего прекрасного журнала».

С одной стороны, стремление к аналитическим приемам стимулировало Возобновляются и другие журналы, а также серия «Математические мо развитие самого понятия функции точки;

с другой стороны, увеличивался раз нографии».

рыв между физическими представлениями и математическим аппаратом. Как Снова проводятся съезды польских математиков: Четвертый во Вроцлаве известно, понятие функции области интуитивно предполагалось в естественно в 1946 г. и Пятый – в Кракове в 1947 г. Большая заслуга в организации математи научных задачах еще с древних времен (например, длина отрезка, масса тела).

ки в послевоенной Польше принадлежит Куратовскому, ученику и соратнику Издавна математический аппарат разрабатывался для функции точки в силу тех Серпинского.

континуальных представлений, для которых плодотворным было понятие пре Постепенно налаживаются контакты с зарубежными учеными. В послево дельного перехода, мгновенного значения.

енные годы в научных командировках побывали В. Серпинский, Б. Кнастер, Классическая теория интегрирования, разработанная Коши и Риманом, К. Куратовский, О. Никодим, К. Борсук, Г. Штейнхауз. Из-за границы в Польшу позволила решить многие задачи, стоявшие перед математиками второй полови приезжали А. Данжуа, Г. Шоке, Ж. Лере, Э. Чех, В. Ярник, М. Пиконе и другие ны XIX века. Тем не менее, один важный аспект взаимосвязи математики и есте математики.

ствознания – возможность представления физических и геометрических вели Начинает бурно развиваться новое для Польши направление: прикладная чин при помощи функций области – этой теорией не учитывался, хотя на это математика. Создаются новые центры, особое место среди них занимает Вроц Коши обратил внимание еще в 1841 г.

лавский центр, второй по величине после Варшавского. По некоторым разделам В недрах классических, в основном континуалистических представлений (теория вероятностей и стохастические процессы с приложениями) он выдвига теории действительных чисел Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда зарождались ется на первое место. Большую роль в организации Вроцлавского центра сыграл новые математические объекты: протяженности, комплексы, многообразия, мно Г. Штейнхауз.

жества, элементы, объекты, вещи. Они послужили «строительным материалом»

Итак, здесь было показано развитие польской математики с начала XX века для создания новой математической дисциплины – теории множеств – в трудах и до окончания Второй мировой войны. На основании факторов, отмеченных Кантора и Дедекинда 1870–1890 гг.

в разделе 1.2 первой главы, в Польше сформировалась сильная математическая Из теории римановского интегрирования в сочетании с теоретико-множе школа, которую возглавляли математики двух городов – Варшавы и Львова. Ос- ственным подходом выросло понятие меры множества, первоначально конечно новными направлениями этой школы были теория множеств, функциональный аддитивной у Пеано и Жордана, а затем, на рубеже XIX и XX веков, счетно анализ, топология и логика. Названы основные результаты, очерчен вклад веду- аддитивной у Бореля и Лебега.

щих ученых. Более подробному рассмотрению научных работ Серпинского, Ку- Теория интегрирования Лебега, основанная на понятии меры, заменила ратовского, Марчевского и Никодима посвящается следующая, четвертая глава. в основном классическую теорию интегрирования. После работ Бореля и Лебе га стала ясна важность вычисления именно меры множества. В связи с этим Н.Н. Лузин [31, т. 2, с. 528] писал:

252 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств «Что вопрос о мере множеств стал в центре внимания, в этом нет удиви- лось рассмотрением только элементарных областей, например, параллелепипедов.

тельного, так как вычисление интеграла Лебега, охватывающего большинство Причина этого, как отмечал Лузин [31, т. 2, с. 503], заключалась в недоста случаев, нужных математическому анализу, сводится просто к вычислению меры точной изученности функций области и в отсутствии основных обозначений для множеств.

них, а отсюда и необходимой алгебры. Хотя формула (E ) = f ( p )d (mes(e)) и дает И всю первую половину XX века теория меры была необходимым, но вспо- E могательным разделом теории функций и прежде всего теории интеграла. Все алгебраическое обозначение для функции области (E), однако эта функция, основные результаты теории меры мы находим либо в статьях, либо в моногра- будучи неопределенным интегралом, должна обладать специальными свойства фиях по более общим темам. Первая, целиком посвященная теории меры моно- ми. Большинство же функций области, рассматриваемых физикой, не обладают графия П. Халмоша, появилась лишь в 1950 г. этими свойствами, и значит, не будучи неопределенными интегралами Лебега, За первое двадцатилетие XX века в рассматриваемой области новый ме- не подпадают под указанное обозначение.

тод обусловил расширение класса задач и, с одной стороны, позволил решить Это обстоятельство привело к появлению интеграла Радона – новой, чрез многие, не решаемые ранее, а с другой стороны, развитие понятия функции об- вычайно широкой концепции интеграла. Хотя такая концепция была известна ласти на основе интеграла Лебега привело к более общему понятию интеграла Стилтьесу еще в 1894 г., но именно Радон раскрыл ее физическую сущность.

(интеграл Радона), более пригодному для приложений в естественных науках. Более широкая идея состоит в дифференцировании существующей функ В теории интегрирования Лебега как основной рассматривался вопрос ции области по отношению ко всякой другой. Рассматривается возможность за о том, какие функции области являются неопределенными интегралами и како- менить в определении интеграла Лебега функцию области mes(e) какой-либо ва связь между ними: каким образом по данной функции точки отыскать прими- другой функцией области, что имеет глубокий физический смысл. Радон вводит тивную? новую идею – измеримость множества Е по отношению к данной функции обла В то время исследовались следующие вопросы: представление интеграла сти (Е), затем требует измеримость интегрируемой функции f(p) относительно как функционала;

возможность кратного интегрирования и интегрирование функции области (e).

в бесконечномерных пространствах;

область общности или возможность пре- Работа Радона была опубликована в 1913 г. В 1916 г. появляется работа де небрежения различными множествами;

дифференцирование функций множества;

ля Валле Пуссена, в которой развиваются идеи Радона.

изучение видов сходимости;

дифференцирование и интегрирование последова- Первые расширения интеграла Лебега относились прежде всего к возмож тельностей функций;

определение меры различных множеств;

изучение изме- ности определить кратный интеграл Лебега. Теорема о кратном интегрировании римых функций и измеримых множеств». была распространена Лебегом на ограниченные и измеримые по Лебегу функ В основном эти и связанные с ними вопросы были исследованы до 1918 г. ции в его «Лекциях» 1904 года [145].

Часть последних проблем и возникшие новые, в частности проблема расшире- В 1907 г. Фубини, а затем Тонелли в 1909 г. распространили эту теорему на ния меры, были решены в третьем и четвертом десятилетиях XX в. все функции, измеримые по Лебегу, ограниченные и неограниченные. В 1922 г.

Основной вклад в решение этих вопросов в указанный период был внесен французский ученый Р. Гато впервые определил интеграл от функции бесконеч математиками европейских стран: Франции (Жордан, Бэр, Борель, Лебег, Дан- ного числа переменных.

жуа, Фату, Фреше и другие), Италии (Дини, Вольтерра, Витали, Б. Леви, Фуби- Другим расширением интеграла Лебега явилось интегрирование не по от ни, Тонелли и другие), России (Егоров, Лузин, Суслин, Хинчин, Меньшов), Гер f (x )dx. Введение Лебе резку, а по множеству, то есть рассмотрение интеграла мании (Шёнфлис, Гарнак, Каратеодори, Цермело, Хаусдорф, Перрон, Радема- E хер), Англии (В. Юнг, Г. Юнг, Даниэль), Венгрии (Рисс, Хаар, Гёзе), Австрии гом меры плоского множества позволило вернуться к интегрированию неогра (Радон, Хан), Румынии (Помпей), Бельгии (де ля Валле Пуссен), а также США ниченных функций, причем область интегрирования стала разбиваться на два (Гильдебрант). множества по знаку ординаты. Лебег назвал такие функции суммируемыми. Он Отметим преемственность идей при формировании польской школы, о чем же получил необходимое и достаточное условие суммируемости функций.

говорилось в главе 2. Пример неизмеримого по Лебегу множества дал Дж. Витали. Он показал Хотя, как считал Лебег, теория функций области должна иметь в геомет- неизменность меры Лебега относительно сдвига и ее независимость относительно рии, механике и физике преобладающую роль, но даже там, где функции облас- аксиомы выбора. Это породило следующую проблему: будет ли конечной инва ти фактически уже были введены, наблюдалась тенденция к исключению этой риантная мера Лебега относительно сдвига, иначе говоря, существует ли множе концепции и к замене ее обыкновенным понятием функции точки, что достига- ство, неизмеримое относительно любой счетно-аддитивной меры? Эта пробле 254 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств ма исследовалась в работах Серпинского и была решена представителями Львов- вычайно трудными. В дальнейшем эта проблема была исследована московски ской школы. ми и варшавскими математиками в тридцатые годы XX в.

В 1904 г. Лебег в «Лекциях» [145] описал класс аддитивных функций, яв- Понятие непрерывной функции повлекло за собой два обобщения, сыг ляющихся неопределенными интегралами. В 1905 г. Витали изучил эти функ- равших значительную роль в исследованиях по теории функций: это измери ции, назвав их абсолютно непрерывными. Это понятие в 1913 г. было распрост- мость и свойство Бэра.

ранено Радоном на функции множества. Однако Радон рассматривал только ад- Понятие измеримой функции было введено Лебегом в 1903 г. [30] и разви дитивные функции множеств, измеримых в евклидовом пространстве в смысле то в его «Лекциях» [145] в 1904 г. Связь между измеримой и непрерывной фун Бореля, причем мера определялась только через аддитивные функции сегмен- кцией (С-свойство) была установлена Лебегом со ссылкой на Бореля [30] и до тов. Окончательную форму утверждениям Лебега и Витали в 1930 г. придал казана Лузиным в 1912 г. в статьях [31, т. 1, с. 5–24] и [31, т. 1, с. 41–42].

О. Никодим. В работах 1897–1905 гг. Р. Бэр, исследуя разрывные функции, вводит по С фактами пренебрежения конечными точечными множествами при рас- нятия множеств первой и второй категорий, а также дает классификацию функ смотрении разных вопросов анализа математики сталкивались неоднократно. ций. Приведем здесь несколько определений из указанных работ, которые по Но, пожалуй, до 1870 г. подобные факты не были осмыслены как принцип ис- требуются нам в дальнейшем.

следования. В 1870 г. Э. Гейне ввел общим образом принцип пренебрежения Множества, внешняя и внутренняя мера которых равны между собой, на зываются измеримыми (Лебег, [28, с. 98]).

конечными множествами в теории функций, переформулировав и передоказав Функция f(x), ограниченная или нет, измерима, если, каковы бы ни были его с помощью серии теорем.

и, множество Е[ f(x) ] измеримо (Лебег, [28, с. 102]).

Особенно важную роль сыграла теорема Кантора 1870 г. о единственности Функция f(x), определенная на сегменте [а,b] и конечная почти всюду на сходящегося всюду тригонометрического разложения функций, обобщенная им нем, обладает на сегменте [а, b] С-свойством, если для любого 0 существует же в 1871 г. на случай, когда ряд расходится или не представляет функцию на на [а, b] такое совершенное множество Р, которое обладает двумя свойствами:

конечном множестве точек, а в 1872 г. – на случай бесконечных приводимых 1) функция f(x) непрерывна на Р;

множеств.

2) мера Р больше (b – а) –. (Лузин, 1912 г.) Г. Кантор [22, с. 90] определял приводимые множества следующим обра зом: «Точечные множества Р можно разделить на два класса также по мощности Всякая функция, обладающая на сегменте С-свойством, есть измеримая их первого производного множества Р(I). Если Р(I) обладает мощностью первого функция. (Лузин.) Совершенным называется множество, которое совпадает со своим про числового класса (I), то оказывается, что существует некоторое первое целое число первого или второго числового класса, для которого P() обращается изводным, или, что равносильно, замкнутое и плотное в себе множество.

в нуль. (По Бэру.) Если же Р(I) имеет мощность второго числового класса (II) [то есть Р(I) не- Множество первой категории на отрезке есть множество, которое пред счетно], то Р(I) можно всегда разложить, и притом лишь единственным образом, ставляет собой объединение счетной последовательности множеств, каждое из на два таких множества R и S, что Р(I) = R + S, где R и S обладают совершенно которых нигде не плотно на этом отрезке. В противном случае множество будет различными свойствами. множеством второй категории.

Множество R таково, что если повторить процесс получения из него про- Множество первой категории на совершенном множестве есть множество, изводного множества, то оно при помощи этой проделывающейся редукции которое представляет собой объединение счетного числа множеств, нигде не может быть сведено к нулю, так что всегда существует первое число из (I) или плотных на нем самом (Бэр).

(II) числовых классов, для которого R() 0. Функция обладает свойством Бэра, если она является точечно разрыв Подобные точечные множества я называю приводимыми. «S» я называю ной на всяком совершенном множестве, пренебрегая множеством первой кате совершенными точечными множествами». гории относительно этого множества.(Лузин.) Множество Е обладает свойством Бэра, если каково бы ни было совер В. Юнг и Ф. Бернштейн распространили в 1908–1909 гг. теорему о един шенное множество, найдётся такое его пересечение с сегментом I, (порция) 1, ственности тригонометрического разложения на произвольные счетные множе ства точек. В теории же лебеговского интегрирования всегда пренебрегают что либо Е, либо его дополнение СЕ имеет первую категорию на 1 (Лузин).


множествами меры нуль. Поэтому естественными были поиски возможностей Классификация функций по Бэру. Непрерывные функции составляют дальнейших расширений теоремы единственности. Они, однако, оказались чрез- нулевой класс функций;

функции, служащие пределами последовательностей 256 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств 4.2.1. Ранние работы. Контрпримеры. Поиск проблематики непрерывных функций, образуют по определению первый класс;

функции, не принадлежащие первому классу, но являющиеся предельными для функций Уже первый рассматриваемый нами период творчества Серпинского ха первого класса, суть функции второго класса и так далее.

рактерен самостоятельным поиском и высокой культурой изложения. Как упо Бэр сформулировал следующее условие: всякая функция определенного клас миналось, на рубеже веков в теории интегрирования происходят коренные из са является точечно разрывной на всяком совершенном множестве, пренебрегая менения: возможности старых методов исчерпаны и на смену им приходят но множеством первой категории относительно этого совершенного множества.

вые, теоретико-множественные.

Вопрос о том, является ли это условие, необходимое для того, чтобы фун Серпинский (вслед за Жорданом, Пеано и другими) испытывает возмож кция входила в классификацию Бэра, также достаточным, был поставлен самим ности классических методов на новом материале и постепенно убеждается Бэром в работах 1897–1905 гг. [8].

в преимуществах теоретико-множественного подхода вообще и теории Лебега В 1914 г. Лузин показал, что это условие недостаточное и доказал суще в частности. Но происходит это не сразу.

ствование такой функции, которая обладает свойством Бэра и не представима С 1908 по 1914 гг. Серпинский, профессор Львовского университета, чи аналитически, если верна гипотеза континуума, а в 1916 г. он дал другое доказа тал различные курсы классической математики, включая в них современные тельство теоремы Александрова–Хаусдорфа (ее доказательство упростил Сер проблемы. В 1908 г. Серпинский впервые читает курс теории множеств. В связи пинский [307, т. 2 с. 522–526] в 1924 г.), но уже без предположения гипотезы с нехваткой учебных пособий многое приходится издавать, и не только полные континуума, использовав теорему Александрова–Хаусдорфа. Оставался откры курсы, но и дополнения к ним ([224–226, 228, 230–233, 238, 242, 237, 243]). Та тым вопрос о конкретном виде такой функции, который был решен позднее кой работой стало опубликованное в 1911 г. «Введение в теорию определенного Лузиным и Серпинским в 1925 г. [31, т. 2, с. 285–300].

интеграла» [234], на котором остановимся подробнее.

Заметим, что тогда еще не было выяснено значение гипотезы континуума Для этой работы характерны следующие особенности: рассматривается и аксиомы выбора для теории множеств в целом и теории меры особенно.

существование интеграла Римана и теоремы доказываются в той же последова Итак, к концу второго десятилетия XX века сложились основные направ тельности, что и у Римана в работе 1867 г. «О представлении функции тригоно ления теории меры. Задачи, стоящие перед математиками следующего периода, метрическим рядом». Терминология традиционна: по сравнению с Риманом вве были таковы:

дены лишь термины – вариация в смысле Жордана, несчетное множество точек • упорядочение основ теории меры в зависимости от гипотезы контину разрыва, нигде не плотное множество точек разрыва, сравнение по мощности.

ума и аксиомы выбора;

В этой работе Серпинский доказывает следующие три теоремы:

• проблема расширения меры в связи с включением в объекты исследо Теорема 1. Существует интегрируемая по Риману функция, имеющая всюду вания более общих и специальных видов пространств;

в данном интервале плотное и несчетное множество точек разрыва.

• изучение измеримых множеств и измеримых функций, их связь со свой Теорема 2. Существует неинтегрируемая по Риману функция, имеющая ством Бэра;

в данном интервале нигде неплотное множество точек разрыва.

• определение меры различных множеств;

Теорема 3. Множество всех интегрируемых на интервале по Риману фун • возможность пренебрежения различными видами множеств.

кций имеет ту же мощность, что и множество всех функций, определенных на Это и определило тематику Варшавской школы.

этом интервале.

Здесь Серпинский следует Риману, уделяя главное внимание изучению 4.2. Главные результаты В. Серпинского точек разрыва функции, не интересуясь собственно интегрированием.

Серпинский написал более 800 работ, из них около 700 – чисто научных, У Римана в указанной выше работе 1867 г. есть пример интегрируемой примерно 500 работ подготовлено в рассматриваемый нами период. функции со счетным всюду плотным множеством точек разрыва. Он рассматри Все работы Серпинского можно разделить на следующие группы: теория вает функцию (nx) чисел, общая теория множеств, аналитические и проективные множества, об- f ( x ) = 2, где (x) означает разность между x и ближайшим целым щая топология, теория меры и категории, теория функций действительной пере- n =1 n менной. Среди них особо выделим работы по теории меры и измеримости, ко числом, если х не вида к + 1/2, к – целое, а при х = к + 1/2 полагаем (х) = 0.

торые и рассмотрим в данной главе.

Функция (x) имеет разрыв в каждой точке вида (2к + 1)/2, причем предел слева 258 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств равен +1/2, а предел справа равен –1/2;

в самой точке значение функции равно интегрируемы одновременно. Здесь же он строит пример точечно-разрывной нулю. функции, не интегрируемой по Риману.

Функция (nx) обладает такой же особенностью в точках вида Можно предположить, что Серпинский не был знаком с работами Смита и Вольтерра. Это подтверждается тем, что в то время ни английского, ни итальян x nk = (2 k + 1) / 2n ского языков Серпинский не знал;

обе работы опубликованы до рождения Сер Если (2к + 1) / (2n) – несократимая дробь, то точка xnk является точкой пинского и материал их не входил в университетский курс. Отметим также, что разрыва только для тех функций (mx), для которых m = r n, где r – любое нечет- утверждения, к которым приходит Серпинский в рассматриваемой работе, явля ное натуральное число. ются более сильными аналогами утверждений Смита и Вольтерра.

Из представления функции следует, что Серпинский строит функцию, удовлетворяющую условиям первой теоре мы следующим образом.

1 1 Функция f(x)определена для значений действительной переменной, если x 1 f (xnk + 0) = f (xnk ) ;

f (xnk 0 ) = f (xnk ) + (2i + 1) (2i + 1) есть число иррациональное, которое записывается в виде бесконечной десятич 2n 2n 2 i =0 i = ной дроби x = c0,c1c2..., имеющей после запятой только конечное число нулей.

2 ( f, xnk ) = ;

Пусть р 0 означает их количество, и тогда f ( x ) =.

8n 2 p + где – колебание функции в сегменте i = [xi 1, xi ]. Во всех остальных случаях (то есть для х рациональных и х – таких ирра циональных, которые в своей записи в виде десятичной дроби содержат беско нечное число раз цифру нуль) полагается f(x) = 0.

Существует конечное число значений n таких, что, следовательно, 8n 2 Первый вывод, который делает Серпинский из определения f(x) такой: она ( ) равна нулю для всех рациональных x, следовательно, для некоторого плотного в каждом конечном промежутке существует конечное число точек вида 2k + 1, множества.

n Непосредственно отсюда следует, что f(x)будет разрывной для всех тех x, в которых скачок функции f(x) превышает. Отсюда при достаточно малом для которых f ( x ) 0.

() число S (S – общая длина тех сегментов, где i ) может быть сделано сколь угодно малым. Функция f(x) интегрируема. Таков ход рассуждений Римана. Таких точек разрыва будет континуум в каждом сколь угодно малом ин Имелись еще по крайней мере три работы Г. Смита и В. Вольтерра, посвя- тервале. Функция f(x) имеет периодом 1, то есть из интегрируемости в интерва щенные характеру множества точек разрыва интегрируемой функции, в кото- ле (0, 1) будет следовать ее интегрируемость в любом конечном интервале. А для рых не привлекались сведения из теории множеств.

10 n k k + В 1875 г. была опубликована работа Г. Смита (Ирландия) «Об интегрирова этого достаточно доказать, что lim n, n = 0, нии разрывных функций» [311], где он рассматривает пример, аналогичный на- n 10 n 10 k = званному, и доказывает затем, что интервалы исключения таковы, что их сумма где – колебание функции на данном интервале.

(x xi 1 ) устремится к нулю, где – колебание функции, следователь n b f (x ) d (x ), показывает, Далее Серпинский, вычисляя значение интеграла, i i i =1 a но, функция будет интегрируема. что функция f(x) интегрируема в каждом конечном интервале.

В 1881 г. в одном и том же номере журнала были опубликованы две рабо- В свою очередь, для каждой функции, интегрируемой в интервале (a, b), ты В. Вольтерра: «Некоторые замечания по поводу точечно-разрывных функ- имеет место ций» [324] и «О принципах интегрального исчисления» [325].

ba ba b a n1 b f ( k ), где k a + k n, a + (k + 1) n.

f (x ) dx = В первой работе [324] Вольтерра тоже рассматривает условия интегрируе n k =0 мости и доказывает, что необходимым и достаточным условиями для существо- a Так как k можно всегда выбрать рациональным, то будет f ( k ) = 0, и вания первообразной является произвольная малость меры множества точек раз рыва на интервале. Во второй своей статье [325], он показывает, что точечно- b f (x ) dx = 0.


разрывная функция и соответствующая ей функция скачков будут или не будут a 260 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств Следовательно, существует неотрицательная функция, притом положитель- ся кривая, которая является простой дугой в смысле Жордана, каждая часть кото ная в некотором всюду плотном и несчетном множестве, для которого интеграл рой имеет положительную внешнюю меру (в смысле Жордана). Используется тер в каждом интервале равен нулю. В интервале (0, 1) имеется, очевидно, контину- минология: замкнутое, открытое множество, внешняя мера в смысле Жордана.

ум иррациональных чисел, которые в своих разложениях на десятичные дроби Вписывая в треугольник прямоугольники, Серпинский получает кривую не имеют после запятой ни одного нуля и для которых, в силу определения, f(x) Жордана, ограничивающую неквадрируемую область. Таким образом, Серпин будет равна единице. ский, ознакомившись с аппаратом теории меры, прежде всего использует его Функция f(x) в интервале (0, 1) неотрицательна, в некотором континууме для виртуозного построения необычных примеров, которые строго обосновы точек равна единице, и несмотря на это ее интеграл равен нулю. вает. Развитие же этого аппарата в позитивном смысле привлекло его существенно Мы остановились так подробно на доказательстве первой теоремы, так позже.

как здесь видно, как Серпинский рассматривает классическими методами воп- Продолжением этой темы служит статья 1913 г. «О поверхности, на кото рос об интегрируемости функции со сложным множеством точек разрыва. Хотя рой каждая кривая имеет бесконечную длину» [240], где на основании функции он справляется с решением весьма виртуозно, но приходит к выводу, что аппа- Вейерштрасса строится аналогичная функция, не удовлетворяющая условию рат теории множеств позволяет получать сильные результаты менее сложным Жордана (на ограничение вариации), и с помощью этой функции строится по путем, тогда как интеграл Римана – недостаточно гибкий инструмент для класса верхность, на которой каждая кривая имеет дугу бесконечной длины. При этом задач того времени. на функцию не наложено никаких других ограничений.

Вместе с тем в работах Серпинского по-прежнему видно желание обой- Вопросам равномерной непрерывности была посвящена работа Серпинс тись без интеграла Лебега, он даже делает попытки переформулировать некото- кого «Неметрическое определение равномерной непрерывности функции»

рые положения в традиционных терминах. Он широко использует аксиому Цер- (1913 г.) [241].

Как известно, функция, определенная на ограниченном множестве X дей мело, хотя и не оговаривает этого.

Отметим также, что форма контрпримера, которую имеет данная работа, ствительных чисел, называется на этом множестве равномерно непрерывной, если для каждого положительного числа е можно найти такое данное положи в целом характерна для всего творчества Серпинского, особенно в начале разра тельное число, что для любых элементов х’ и х” множества X, удовлетворяющих ботки каждой новой темы.

неравенству x x, выполняется неравенство f ( x) f ( x).

В указанной работе [234] видно его знакомство с работами Жордана, Бэра (используется пространство Бэра) и немецких математиков (используется тео- Серпинский вводит эквивалентное определение равномерной непрерыв рема Ф. Бернштейна, аксиома Цермело). С одной стороны, Серпинский показы- ности в терминах сходящихся подпоследовательностей так: функция f(x), опре вает тесную зависимость интегрируемости от характера множества точек раз- деленная для ограниченного множества X, называется на этом множестве равно рыва, с другой – он пока не приемлет путь решения через мероопределение мно- мерно непрерывной, если каждой сходящейся последовательности {хп} элемен жества. тов множества X соответствует сходящаяся последовательность значений Отметим, что в работе еще сильно чувствуется влияние Георгия Феодось- функции f(x). Затем он доказывает эквивалентность этих определений. Здесь евича Вороного, университетского преподавателя и первого научного руководи- чувствуется влияние Эдварда Гейне, определившего равномерную непрерывность теля Серпинского. Прежде всего это выражено в теоретико-числовых построе- на языке подпоследовательностей в 1872 г.

ниях, а также в самом стиле работы и выборе темы: близкими проблемами зани- Это определение может быть обобщено на абстрактные множества, при мался и Вороной в годы обучения у него Серпинского [42, с. 321–323]. чем условие ограниченности множества следует заменить условием компактно В 1912 г. выходит работа Серпинского «О кривых, заполняющих квадрат» сти. Из этого определения следует, что непрерывная функция на ограниченном [236], в которой он дает подробный анализ кривых Пеано и Гильберта, а также и замкнутом множестве равномерно ограничена на этом множестве, что Сер строит еще одну кривую, также широко пользуясь теоретико-числовыми мето- пинский и доказывает далее. Результат носит вспомогательный характер, и Сер дами. В этой работе впервые упоминаются труды Лебега, но еще не использует- пинский использует его в дальнейшем.

ся понятие меры, хотя проблематика работы уже вплотную приблизилась к нему. Все эти работы представляют собой предварение работ московского пери Серпинский использует некоторые результаты из «Лекций» [145] Лебега 1904 г. ода;

основные их темы – мера и измеримость. Если в 1911 г. Серпинского инте Первой работой Серпинского по теории меры можно считать статью ресовала проблема существования интеграла Римана, а в 1912 г. он следует «О неквадрируемой кривой» [239]. Результат был доложен им на заседании Ака- Пеано и использует его терминологию, то в 1913 г. появляются три работы, свя демии наук в Кракове 5 мая 1913 г. по рекомендации Ст. Зарембы. В работе строит- занные с теорией меры, объектами и терминологией Жордана. В отличие от ука 262 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств занных авторов, Серпинский пользуется теоретико-числовым подходом, что интересовались фундаментальными вопросами общей теории множеств. По сло позволяет ему получить не только красивые примеры и контрпримеры, но и те- вам Александрова П.С. [72, с. 53], «интерес Лузина проявлялся от метрической оретические результаты. теории множеств до глубочайших разделов дескриптивной теории. Его внима Примечательно, что хотя Серпинский пользуется «Лекциями» Лебега 1904 г., ние концентрировалось на гипотезе континуума. Он полагал, что дескриптив его первая работа «О мере Лебега» [246], полностью посвященная мере Лебега, ная теория послужит ее развитию. В это же время Серпинский размышлял над появится лишь в 1916 г. аксиомой выбора Цермело. [...] Кац М. [122] называет ее первой работой, посвященной исследованиям Важную роль в развитии науки сыграла взаимность интересов Серпинско Лебега за пределами Франции, а Серпинского – одним из первых пропагандис- го и Лузина. Это целая эпоха в истории оснований математики. Талант Лузина тов поначалу неприветливо встреченной теории Лебега. проявлялся в рассмотрении всех проблем, которые формировались в то время В статье «О мере Лебега» Серпинский обращается к «Лекциям» Лебега, (например, задачи конструктивной неразрешимости тех или иных проблем ма пытаясь дать новое изложение. Читая спецкурс по интегралам Лебега, он столк- тематики). Но представьте, сколь многим он обязан Серпинскому в тех исследо нулся с необходимостью более подробного и простого изложения теории меры. ваниях, которые связаны с аксиомой Цермело и ее следствиями».

Эта статья Серпинского состоит из трех разделов. Первый – вспомогатель- В беседах с Лузиным у Серпинского появляется критический взгляд на ный теоретико-множественный, второй – основной, где некоторые теоремы Ле- эффективность. Вообще говоря, Лузин не был сторонником применения аксио бега и де ля Валле-Пуссена обобщены, а также доказывается его собственная мы выбора, его интересы лежали в области теории эффективных множеств (об теорема о невозможности разбиения отрезка на два множества, мера которых этом писали Новиков П.С. и Келдыш Л.В. в [31, т. 2, с. 4]), но при построении в каждом интервале одинакова. В третьем разделе приведены теоремы Лебега примеров совместно с Серпинским и почти только в этих случаях, он осознанно об измеримых функциях, некоторые из них обобщены или упрощено доказа- пользуется аксиомой выбора.

тельство. В дальнейшем Серпинский будет часто обращаться к своей ранней Заметим, что и в некоторых других работах Лузина, преимущественно ран теореме о разбиении отрезка. них, часто встречается произвольный выбор. Из девяти работ Лузина, в которых Для работы [246] в целом характерна наглядность, дидактичность изложе- явно используется аксиома Цермело, три работы ([31, т. 2, с. 686–688, 689–691, ния. Именно здесь складывается «доступный» стиль излагаемого материала, 697–698]) написаны совместно с Серпинским, работа [31, т. 2, с. 695–696] явля сопровождавший все последующие работы Серпинского и снискавший ему зас- ется письмом к Серпинскому, а остальные, кроме [31, т. 2, с. 683–685], содержат луженное признание лектора, «мэтра», по выражению Дюамеля [171, с. 72]. обращение к работам Серпинского, либо ссылку на беседы с ним.

Таким образом, здесь можно выделить влияние интереса Серпинского 4.2.2. Соавторство с Н.Н. Лузиным и вопросы эффективности к аксиоме выбора и его работ в этой области на творчество Лузина. Правда, в конце третьего десятилетия высказывания Лузина о произвольном выборе при В 1914 г. в связи с началом Первой мировой войны Серпинский, оказав- обретают негативный характер, хотя он и не отказывается от него окончательно.

шийся в Белоруссии, был интернирован и направлен для жительства в Вятку, Приведем здесь высказывание Лузина 1933 г., на наш взгляд достаточно полно затем, благодаря хлопотам Д.Ф. Егорова и Б.К. Млодзеевского, уже в конце того характеризующее его позицию по этому вопросу [31, т. 2, с. 707]:

же года переведен в Москву. Он попадает в атмосферу Московской школы тео- «Я рассматриваю вопросы существования [...] с точки зрения натуралис рии функций, отсюда берет начало его дружба с Н.Н. Лузиным. Серпинский по- тов, как это делает Борель – великий натуралист нашего времени. С этой точки лучает доступ к прекрасной университетской библиотеке. Здесь он пишет моно- зрения нет никакой разницы между применением рассуждения Цермело во всей графию «Анализ» [252], первая часть которой – «Действительные и комплекс- его полноте и употреблением так называемой “гипотезы континуума”. Все эти ные числа» – была издана в 1916 г. в Москве, а вторая – в серии «Исследование вещи одинаково нереальны.

бесконечности» – вышла в свет в 1917 г. в Варшаве. Если я трачу время на рассмотрение этих вещей, то не потому, что считаю Серпинский, создавая теоретическую платформу для будущей школы, ви- их действительно серьезными, а потому, что через множество чисто словесных дит необходимость упорядочения аксиоматики теории множеств прежде всего “существований”, слишком легких, чтобы принимать их всерьез, я вижу слабый относительно аксиомы выбора, которой сам дотоле широко пользовался, не ого- свет настоящей интуиции, могущей привести нас к совершенно неожиданным варивая этого специально. фактам, которые мы не обнаружим, если следовать другому пути».

В главе 2 уже было сказано о сотрудничестве Лузина и Серпинского в пе- Однако в период 1914–1918 гг. Лузин еще не относился к аксиоме Церме риод после Первой мировой войны. В то время как Серпинский, так и Лузин ло столь скептически, и немалую роль в этом сыграл Серпинский. Результаты, 264 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств полученные ими совместно, во многом послужили основой для дальнейших раз- ма и предел сходящейся последовательности измеримых функций есть измери мая функция, отсюда измеримы все бэровские функции.

работок Серпинского и ученых польской школы. Таковым было, например, «мно Серпинский завершил цикл работ по инвариантности, измеримости и свой жество Лузина». (Последнее название в литературе имеет несколько объектов.

ству Бэра перед Второй мировой войной, а начал его в московский период. Сер Мы будем говорить о несчетном множестве первой категории на всяком совер пинский отмечает, что композиция измеримой и непрерывной функций может шенном множестве, расположенном в сегменте). Это множество было построе быть неизмерима, что зависит от аксиомы выбора. Это построение выполнено но Лузиным в 1914 г. в работе «Об одной проблеме Бэра» [31, т. 2, с. 683–685].

в работе [307, т. 2, с. 120–121].

Серпинский и Лузин рассматривали также и разложение интервала.

Говоря о работе Серпинского 1917 г. «Аксиома выбора...» [307, т. 2, Серпинский в работе «Аксиома выбора и ее роль в анализе и теории функ с. 208–255] следует отметить широту охвата темы: помимо указанных результа ций» (это его доклад в Московском математическом обществе 21 февраля 1917 г., тов, в ней есть немало других. Приблизительно треть всех перечисленных ре напечатан в [307, т. 2, с. 208–255]) посвящает три параграфа (5, 7 и 8) проблемам зультатов принадлежит самому Серпинскому, а остальные предполагают знание меры и измеримости, выявляя их зависимость от аксиомы выбора. Глубокий современного состояния науки, что было возможно только при знакомстве с ли анализ этой работы содержится в книге Медведева Ф.А. [44, с. 191–198], мы же тературой и интенсивном общении со многими математиками, что и имело мес остановимся лишь на некоторых выводах Серпинского.

то у Серпинского благодаря его пребыванию в Москве.

Рассматривая теорему Лебега, по которой счетная сумма измеримых мно Многие проблемы, перечисленные здесь, послужили началом новых ис жеств будет измеримым множеством, Серпинский замечает, что не знает друго- следований Серпинского. Это и проблема инвариантности свойств измеримос го доказательства, кроме доказательства самого Лебега [145, с. 107], в котором ти, проблемы непрерывности и свойства Бэра, и связь аксиомы выбора с гипоте не использовалась бы явно аксиома выбора и показывает, что и в доказательстве зой континуума, и исследование множества Лузина.

самого Лебега тоже есть произвольный выбор. Перечисляя примеры неизмери- Известно шесть доказательств существования множества Лузина. Хроно мых множеств Витали, Лебега, Ван Влека, Хаусдорфа, Лузина и свой из совмес- логически первое, второе и третье принадлежат Лузину [31, т. 2, с. 683–685;

тной с Лузиным статьи [307, т. 2, с. 192–204], Серпинский показывает их зависи- 692–694;

695–696] – 1914, 1921 и 1927 гг. соответственно. Четвертое доказатель мость от аксиомы выбора. ство выполнено совместно Лузиным и Серпинским в 1928 г. [31, т. 2, с. 697–698], Особое внимание Серпинский уделяет неизмеримым функциям, впослед- пятое принадлежит С. Саксу (1928 г.) [215], шестое (1932 г.) – Серпинскому [274].

ствии наиболее любимой его теме. Параграф 8 называется «Проблемы, порож- Первое, третье и пятое доказательства основаны на гипотезе континуума, дающие неизмеримые функции», в 1917 г. он был напечатан как отдельная рабо- во втором используются непрерывные дроби и трансфинитные последователь та [249]. Здесь Серпинский говорит, что проблема влечет за собой неизмеримые ности, а четвертое основано на теории аналитических множеств.

В 1924 г. Лаврентьев М.А. [144] доказал, что любое линейное множество, функции, если из ее положительного решения следует существование измеримой гомеоморфное множеству Лузина, имеет меру нуль. Серпинский в 1928 г. [307, т. 2, функции. Например, проблема существования вполне упорядоченного множества с. 702–704] показывает, что любой непрерывный образ множества Лузина есть мощности континуум влечет за собой существование неизмеримых функций.

множество меры нуль. Серпинский использует множество Лузина и во многих Из гипотезы континуума также следует существование неизмеримых функций.

других работах, например, в [307, т. 2, с. 770–771;

772–773;

т. 3, с. 356–363], Теорема о мощности функций второго класса Бэра, принадлежащая Сер а также в наиболее важной своей работе, «Двойственность между первой кате пинскому, и теорема о мощности всех функций, представимых аналитически, горией и мерой нуль» [307, т. 3, с. 207–210], завершающей цикл работ по мере влекут за собой существование неизмеримых функций.

и категории.

Существование измеримого базиса Гамеля, а следовательно, и существо В 1916 г. Серпинский стремится систематизировать результаты, получен вание разрывной функции, удовлетворяющей уравнению ные им самим и другими математиками в области теории меры. Он использует f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), допускает неизмеримые функции. Впоследствии Сер другие способы доказательств, дает эквивалентные формулировки, устанавли пинский исследовал базис Гамеля и получил структуру функции f [307, т. 2, вает степень общности.

с. 322–327;

541–543;

т. 3, с. 273–276].

Так, в статье «Элементарное доказательство теоремы Лузина» [307, т. 2, Другая проблема, также увлекшая Серпинского на многие годы – это со с. 141–145], напечатанной на русском языке в 1916 г. [59], содержится эквива хранение свойств Бэра и измеримости при композиции (суперпозиции) функ- лентная формулировка и доказательство не в терминах теории меры, а лишь ций. Как известно, некоторые характеристики функций не сохраняются при ком- в терминах теории множеств. Для этого Серпинский вводит новое определение позиции. Относительно измеримых функций Лебег установил только, что сум- измеримого множества, эквивалентное определению Лебега.

266 Часть вторая. Польская школа теории множеств 1918–1939 гг.

Г. И. Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств Определение Серпинского. Пусть Р – произвольное данное множество шей, чем 1 –, на котором она непрерывна, если ее рассматривать только на множестве Q.

точек на прямой, – данное положительное число. Если существует такая пос Обобщение Серпинским теоремы Бореля. Каждая функция действитель ледовательность интервалов п (n = 1, 2, 3,...), для которой сумма длин ной переменной (измеримая или нет) на (0, 1) совпадает с полиномом на этом 1 + 2 +... и притом каждая точка множества Р лежит внутри по крайней интервале, если пренебречь некоторым множеством внутренней меры меньше, мере одного из интервалов, то будем писать Р. Множество Р точек прямой где произвольно мало.

называется измеримым, если для любого положительного сколь угодно малого В 1917 г. Лузин и Серпинский в их совместной работе «Элементарное до числа существует разложение множества Р на сумму Р = F + Q, где F есть казательство фундаментальной теоремы о плотности множеств» [31, т. 1, с. 216– замкнутое множество и Q.

221 и 307, т. 2, с. 171–176] дали новое доказательство теоремы Лебега, по поводу Таким образом, теорема Лузина эквивалентна следующей:

чего Бари Н.К. и Меньшов Д.Е. [31, т. 3, с. 390] дали такую оценку: «С методо Теорема. Если f(x)есть измеримая функция, конечная почти всюду на (0, 1), логической точки зрения эту основную для метрической теории функций теоре то для каждого положительного числа существует разложение всех точек ин му желательно доказывать раньше, чем вводится понятие интеграла Лебега».

тервала J = (0, 1) на сумму двух множеств J = М + N таких, что N, и что Сотрудничество Лузина и Серпинского было плодотворным для обоих.

функция f(x)непрерывна на М.

Вот, что об этом писал Лузин [31, т. 2, с. 27]:

В дальнейшем Серпинский часто пользовался этой формулировкой.



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 12 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.