авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

УКРАИНЫ

Таврический национальный университет

им. В. И. Вернадского

Н.Д. КОПАЧЕВСКИЙ

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРНЫХ ПУЧКОВ

Специальный курс лекций

для студентов специальности ”Математика”

Симферополь, 2009

ББК 22.311

К65

УДК 517.[958+983+984]

Рекомендовано к печати научно-методической комиссией

факультета математики и информатики ТНУ (протокол № 2 от 12.11.2008 г.) Рецензент :

Орлов И.В. – д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой алгебры и функцио нального анализа Таврического национального университета им. В.И. Вер надского К65 Копачевский Н.Д. Спектральная теория операторных пуч ков: Специальный курс лекций. – Симферополь: ООО "ФОРМА", 2009 – 128 с. – На русском языке.

В учебном пособии содержатся основные положения теории операторных пуч ков: постановка спектральной задачи для оператор-функций, действующих в гиль бертовом пространстве, методы ее исследования и условия факторизации. Рас сматриваются также вопросы полноты и базисности системы корневых элементов операторного пучка, асимптотическое поведение ветвей его собственных значений, а также спектральные свойства операторного пучка С.Г. Крейна, возникающего в гидродинамических задачах.

Для студентов, аспирантов и специалистов, специализирующихся в области математики.

c Копачевский Н.Д., c ООО "ФОРМА", Оглавление Предисловие 1 Предварительные сведения 1.1 Введение........................... 1.1.1 Стандартные спектральные задачи........ 1.1.2 Задачи о малых колебаниях сплошных сред.. 1.1.3 Нормальные колебания вязкой жидкости в сосуде........................ 1.1.4 Колебания идеальной вращающейся жидкости в открытом сосуде........... 1.2 Основные определения................... 1.2.1 Линейные ограниченные операторы....... 1.2.2 Резольвента и спектр оператора......... 1.2.3 Собственные значения, собственные и присоединенные элементы оператора....... 1.3 Собственные и присоединенные элементы операторного пучка по М.В. Келдышу. Истоки возникновения спек тральной теории операторных пучков.......... 1.3.1 Определения..................... 1.3.2 Связь с эволюционными задачами........ 1.3.3 О полноте системы элементарных решений... 1.4 Два основных метода исследования операторных пучков..................... 1.4.1 Предварительные замечания.

.......... 1.4.2 Основной пример.................. 1.4.3 Идея М.В. Келдыша................ 1.4.4 Прием факторизации операторного пучка.... 1.5 Метод факторизации.................... 1.5.1 Одна лемма о системе корневых элементов пучка 1.5.2 Лемма об объединении спектров......... 1.5.3 Примеры и упражнения.............. 1.5.4 Еще один подход к проблеме факторизации... 1.5.5 Нелинейное операторное уравнение, ассоциированное с операторным пучком..... 1.5.6 Теорема Безу для полиномиальных операторных пучков................ 1.5.7 О некоторых свойствах корней квадратного опе раторного уравнения................ 2 Применение метода факторизации 2.1 Винеровская алгебра с операторными коэффициентами 2.1.1 Определение винеровской алгебры........ 2.1.2 Прямое разложение алгебры W.......... 2.1.3 Факторизация элемента алгебры W....... 2.1.4 Полюс оператор-функции в конечной точке ком плексной плоскости................. 2.1.5 Полюс в бесконечно удаленной точке....... 2.1.6 Частные случаи факторизации оператор-функций.................. 2.2 Факторизационная теорема................ 2.2.1 Некоторые утверждения об обратимости эле ментов банаховой алгебры............. 2.2.2 Основная факторизационная теорема для эле ментов абстрактной банаховой алгебры..... 2.3 Применения факторизационной леммы к спектральной теории операторных пучков................ 2.3.1 Применения к винеровской алгебре W...... 2.3.2 Теоремы М.В. Келдыша.............. 2.3.3 О полноте системы корневых элементов оператор-функций.................. 3 Базисность системы корневых элементов оператор функции 3.1 Самосопряжённые операторные пучки.......... 3.1.1 Базисы в гильбертовом пространстве...... 3.1.2 Самосопряжённые оператор-функции...... 3.1.3 О базисности Рисса системы корневых эле ментов самосопряжённого операторного пучка. 3.1.4 О базисности Рисса для пучка С.Г. Крейна... 3.2 О p-базисности системы собственных элементов и асимптотике ветвей собственных значений операторных пучков....... 3.2.1 Об s-числах вполне непрерывных операторов.. 3.2.2 О p-базисности системы собственных эле ментов, отвечающих двум ветвям пучка С.Г.

Крейна........................ 3.2.3 О p-базисности системы собственных элементов самосопряженной оператор функции....................... 3.2.4 Теорема Маркуса-Мацаева............. 3.2.5 Об асимптотике собственных значений операторных пучков................ 3.3 Приложения к гидродинамическим задачам..... 3.3.1 Нормальные колебания тяжёлой вязкой жидкости во вращающемся частично заполненном сосуде................. 3.3.2 Раздельная полнота и базисность системы кор невых элементов гидродинамических задач......................... 3.4 Литературные комментарии................ 3.4.1 К истории вопроса................. 3.4.2 Вариационные методы исследования непрерывных оператор-функций......... 3.4.3 Базисность по Абелю-Лидскому.......... Литература Предисловие В данном учебном пособии излагаются основные положения тео рии так называемых операторных пучков, т.е. оператор-функций, зависящих от комплексного параметра, принимающего значения в какой-либо области комплексной плоскости. Соответствующий спе циальный курс лекций в течение более двух десятков лет читался студентам–специализантам кафедры математического анализа Сим феропольского (ныне Таврического Национального) университета в седьмом – восьмом семестрах. Спецкурс следует изучать после сдачи основного экзамена по функциональному анализу.

Естественный шаг, который осуществляется в спецкурсе, это переход от классической задачи на собственные значения для опе ратора, действующего в гильбертовом пространстве, к исследованию спектральной задачи для оператор-функции, являющейся полиномом либо даже аналитической функцией относительно спектрального па раметра. Возникающие на практике многие задачи механики, в част ности, гидромеханики, теории упругости и другие, требуют разви тия спектральной теории операторных пучков. Здесь имеется огром ная взаимная польза: общая теория помогает исследовать сложные и практически важные спектральные задачи, а эти прикладные задачи подсказывают дальнейшие пути развития теории.

На содержание данного спецкурса большое влияние оказали ра боты таких известных математиков, как М.В. Келдыш, М.Г. Крейн и Г.Лангер, С.Г. Крейн и его ученики, А.С. Маркус и В.И. Маца ев, Т.Я. Азизов и ряд других коллег. Особую роль сыграли также лекции А.С. Маркуса, прочитанные им в Ростовском, Харьковском и Симферопольском университетах.

Автор выражает благодарность А.С. Маркусу за внимание к дан ному кругу вопросов и полезные обсуждения.

Глава Предварительные сведения В этой главе дается постановка спектральной задачи для оператор функций, действующих в гильбертовом пространстве, приводятся ос новные определения, связанные с этой проблемой, описываются ме тоды исследования таких задач.

1.1 Введение Здесь приводятся постановка задачи на собственные значения и примеры некоторых спектральных задач.

1.1.1 Стандартные спектральные задачи Пусть H гильбертово пространство, а оператор A L(H), т.е.

является линейным ограниченным оператором, действующим в H и заданным на области определения D(A) = H.

В курсе функционального анализа в качестве основной спектраль ной задачи рассматривается задача вида L() := (A I) = 0, (1.1) где = 0 элемент из H, а C. Оператор-функцию L() из (1.1), линейно зависящую от спектрального параметра, обычно называют линейным операторным пучком.

Задачи вида (1.1) часто возникают при исследовании реальных физических процессов. Однако только такими задачами не исчерпы ваются потребности практики. Приведем ряд соответствующих при меров.

1.1.2 Задачи о малых колебаниях сплошных сред Пусть при движении какой-либо динамической системы с беско нечным числом степеней свободы (жидкость, упругое тело и т.д.) дей ствуют не только силы упругости, но также силы сопротивления (дис сипации). Отклонение (смещение такой среды от состояния покоя) обычно описывается функцией u = u(t) переменной t (т.е. времени) со значениями в гильбертовом пространстве H.

Закон Ньютона (произведение массы на ускорение равно сумме действующих сил) в такой среде в абстрактной форме записывается в виде линейного дифференциального уравнения вида T u + F u + V u = 0, (1.2) где точкой обозначены производные по t от искомой функции u(t), линейные операторы, действующие в H и имеющие а T, F и V отчетливый физический смысл. Так, T есть оператор кинетической энергии, которая через T выражается в виде квадратичного функци положительный оператор в H. Далее, онала (T u, u)/2;

поэтому T оператор V потенциальной энергии самосопряжен и ограничен снизу, т.е. (V u, u) (u, u), R. Если состояние равновесия (покоя) дина мической системы статически устойчиво по линейному приближению, то оператор V также положителен. Наконец, оператор F диссипации энергии самосопряжен и неотрицателен: (F u, u) 0.

Будем разыскивать (согласно известному в теории обыкновенных дифференциальных уравнений методу Эйлера) частные (элементар ные) решения уравнения (1.2) в виде u(t) = et, H, (1.3) где C некоторый искомый параметр, а = 0 не зависит от t. Тогда для решений вида (1.3) из (1.2) приходим к спектральной задаче L() := (2 T + F + V ) = 0 (1.4) для квадратичного операторного пучка L(). Пучки вида (1.4) впер вые исследовали М.Г. Крейн и Г.К. Лангер.

1.1.3 Нормальные колебания вязкой жидкости в сосуде Брат М.Г. Крейна, также всемирно известный математик С.Г.

Крейн, и его ученики изучали нормальные движения тяжелой вязкой жидкости в открытом сосуде. Рассматривая элементарные (нормаль ные) движения жидкости не в виде (1.3), а в виде et, они привели исследование проблемы к задаче на собственные значения L() := (I A 1 B) = 0, H, (1.5) где A компактный положительный, а B компактный неотри цательный операторы, действующие в некотором гильбертовом про странстве H.

Здесь возникает мероморфный пучок L(), имеющий особенности при = 0 и =. Он будет предметом подробного исследования в данном курсе лекций.

1.1.4 Колебания идеальной вращающейся жидкости в открытом сосуде При изучении свободных колебаний идеальной вращающейся жид кости в открытом сосуде автор данного курса лекций пришёл к задаче Коши u 2i0 Au + Bu = 0, u(0) = u0, u(0) = u1, (1.6) где 0 угловая скорость вращения сосуда, B 0 оператор потен циальной энергии, а A гироскопический оператор, обусловленный своим появлением действию кориолисовых (гироскопических) сил на динамическую систему. Этот оператор обладает свойствами A = A, (A) = [1, 1], т.е. его спектр (A) заполняет весь отрезок [1, 1].

Рассматривая элементарные решения задачи (1.6) в виде u(t) = eit, H, (1.7) где частота собственных колебаний, а так называемый ам плитудный элемент, приходим к спектральной задаче L() := ( 2 I 20 A B), R, (1.8) для квадратичного операторного пучка L().

Эти примеры показывают, насколько важен вопрос об изучении полиномиальных и более сложного вида операторных пучков, являю щихся оператор-функциями от спектрального параметра. Изложение некоторых результатов, полученных в этом направлении, и будет про ведено в данном курсе лекций.

1.2 Основные определения Здесь будут введены некоторые известные обозначения и определе ния.

1.2.1 Линейные ограниченные операторы Далее все проблемы, которые будут изучаться в этом курсе лек ций, рассматриваются в абстрактном гильбертовом пространстве H, которое всегда будем считать сепарабельным. Область определения линейного (аддитивного и однородного) оператора A, действующего в H, будем обозначать через D(A), а множества его значений через R(A), т.е.

R(A) := {Ax : x D(A)} H.

Как правило, далее будем иметь дело с линейными ограниченны ми операторами, для таких операторов всегда считаем, что D(A) = H.

Множество всех линейных ограниченных операторов, действующих в H, будем обозначать через L(H). Как известно, L(H) является бана ховым пространством с нормой A := sup A.

= Напомним еще, что L(H) является полным нормированным кольцом (в другой терминологии банаховой алгеброй), т.е.

{A, B L(H)} {A + B L(H), AB L(H), BA L(H)}.

1.2.2 Резольвента и спектр оператора Начнем с простейших определений.

Определение 1.2.1. Точка C называется регулярной точкой оператора A L(H), если существует определенный на всем H огра ниченный оператор R (A) := (A I)1, называемый резольвентой.

Из этого определения следует, что R()(A I) = (A I)R (A) = I.

Множество (A) всех регулярных точек оператора A, называемое резольвентным множеством оператора A, всегда открыто. При этом если A L(H), то к (A) причисляется и бесконечно удаленная точка =.

Определение 1.2.2. Оператор-функция L(), G C, называ ется голоморфной (аналитической) оператор-функцией в области G, если для всех G оператор L() L(H) и в окрестности каждой точки 0 G функция L() допускает разложение в сходящийся по равномерной операторной норме степенной ряд ( 0 )k Ck, Ck L(H), L() = L(0 ) + k = 1, 2,....

k= Упражнение 1.2.1. Доказать, что резольвентное множество (A) оператора A L(H) открыто и в области (A) резольвента R (A) является голоморфной оператор-функцией.

Указание. Опираясь на представление A I = (A 0 I) ( 0 )I = (A 0 I)[I ( 0 )R0 (A)], справедливое при 0 (A), проверить, что при | 0 | · R0 (A) 1 (1.9) имеет место соотношение R0 (A) = [I ( 0 )R0 (A)]1 R0 (A) = (1.10) ( 0 )k [R0 (A)]k+1.

= k= Следствием формул (1.9) и (1.10) является такое утверждение: в области (A) резольвента R (A) оператора A L(H) является голо морфной оператор-функцией.

Упражнение 1.2.2. Пусть A L(H). Доказать, что при A резольвента R (A) существует и представима в виде ряда R (A) = 1 (I 1 A)1 = (k+1) Ak, (1.11) k= откуда следует, что { : || A } (A).

Определение 1.2.3. Спектром (A) оператора A называется до полнение резольвентного множества (A) до всей комплексной плос кости, т.е.

(A) := C\(A). (1.12) Так как (A) открытое множество, то (A) всегда замкнутое множество.

Упражнение 1.2.3. Доказать, что спектры (A) оператора A и (A ) сопряженного к A оператора A расположены симметрично относительно вещественной оси.

Указание. Воспользоваться определением (1.12) и тем фактом, что если (A I)1 L(H), то (A I)1 = [(A I)1 ] L(H).

1.2.3 Собственные значения, собственные и присоединенные элементы оператора Очевидно, спектру (A) принадлежат те числа = 0, при кото рых уравнение A() := (A I) = 0 (1.13) имеет нетривиальное решение = 0 = 0. В этом случае элемент называют собственным элементом оператора A, отвечающим соб ственному значению 0.

Множество всех собственных значений оператора A будем обо значать далее p (A) (A). Очевидно, 0 p (A), если оператор R0 (A) = (A0 I)1 не существует: в этом случае ядро Ker(A0 I) = {0}.

Определение 1.2.4. Элемент H, = 0, называется корневым элементом оператора A L(H), отвечающим собственному значе нию 0, если An (0 ) := (A 0 I) = 0 (1.14) при некотором натуральном n.

Если уравнение (1.14) имеет нетривиальное решение при n = 2 и A(0 ) = 0, то элемент 1 = называется первым присоединенным элементом к собственному элементу 0 := A(0 ) = 0. Аналогично определяются последующие присоединенные элементы: второй (при n = 3), третий (при n = 4) и т.д.

Далее собственные и присоединенные элементы опретора A будем называть для краткости корневыми элементами этого оператора.

Упражнение 1.2.4. Доказать, что если A = A L(H), то он не имеет присоединенных элементов.

Указание. При решении этого упражнения воспользоваться следу ющими фактами: а) собственные значения самосопряженного опера тора A являются вещественными;

б) если (A 0 I)2 = 0, 0 R, = 0, то для 0 := (A 0 I) выполнены соотношения 0 R(A 0 I) (R(A 0 I)).

Отсюда будет следовать, что 0 = 0. Тогда = 0 удовлетворяет уравнению (A 0 I) = 0, т.е. этот элемент является не присоединен ным, а собственным элементом, отвечающим собственному значению 0.

Элементы 0, 1,..., n, отвечающие собственному значению будем называть цепочкой из собственного и присоединенных к нему элементов.

Множество всех корневых элементов (по определению отличных от нуля) оператора A, отвечающее одному и тому же собственному значению 0, вместе с элементом = 0 образуют линейное множество (линеал) L0, которое называют корневым линеалом. В такой корне вой линеал входят все собственные элементы (их может быть несколь ко линейно независимых), отвечающие собственному значению 0, и цепочки элементов, присоединенных к каждому из собственных эле ментов.

Размерность 0 := dim L0 линеала L0 называется алгебраиче ской кратностью собственного числа 0. Если 0, то линеал L0, очевидно, является замкнутым. В этом случае говорят о корне вом подпространстве L0.

Очевидно также, что собственное подпространство Z0 := Ker(A 0 I), т.е. множество, состоящее из нулевого элемента и всех собственных элементов оператора A, отвечающих собственному зна чению 0, является частью L0 : Z0 L0.

Размерность 0 := dim Z0 подпространства Z0 называется соб ственной кратностью собственного значения 0. Таким образом, соб ственная кратность любого собственного значения не превышает его алгебраической кратности: 0 0.

собственное значение оператора A, а уравнение (A Пусть 0 I)n = 0 имеет нетривиальное решение = 0 при некотором конеч ном n. (Такая ситуация всегда реализуется при 0 ). Возьмем для выбранного наименьшее из всех возможных чисел n, когда этот факт имеет место, и образуем цепочку элементов 0 := (A 0 I)n1 = 0, 1 := (A 0 I)n2 = 0,..., n2 := (A 0 I) = 0, n1 := = 0.

Легко видеть, что 0 собственный элемент оператора A, отвечаю щий собственному значению 0, а 1, 2,..., n1 присоединенные к нему элементы. Эта цепочка, составленная из собственного и при соединенных к нему элементов, называется жордановой цепочкой.

Упражнение 1.2.5. Доказать, что корневой линеал L, отвечаю щий построенной жордановой цепочке, есть инвариантное подпро странство для A, т.е. AL L, причем dim L = n, так как элементы цепочки являются линейно независимыми.

Указание. Заметьте, что (A 0 I)0 = 0, (A 0 I)1 = 0, (A 0 I)n1 = n2,..., и воспользуйтесь соотношением n1 n1 n ck k = (A 0 I) A ck k + 0 ck k k=0 k=0 k= при произвольных ck.

1.3 Собственные и присоединенные элементы операторного пучка по М.В. Келдышу. Истоки возникнове ния спектральной теории операторных пучков Здесь будет дано определение корневых элементов операторного пучка и будет указана связь такого определения с дифференциально операторными уравнениями в гильбертовом либо банаховом про странстве.

1.3.1 Определения Будем считать, что задана оператор-функция A() со значениями в L(H), голоморфная в некоторой области G C.

Определение 1.3.1. Точка 0 G называется регулярной точкой пучка A(), 0 A(), если оператор A(0 ) имеет ограниченный обратный, заданный на всем пространстве H.

Определение 1.3.2. Число 0 G называется точкой спектра функции A(), 0 (A()), если A(0 ) не имеет ограниченного об ратного.

Из этих определений следует, что (A()) = G\(A()).

Определение 1.3.3. Число 0 G называется cобственным значением оператор-функции A(), если уравнение A(0 )0 = 0 (1.15) имеет ненулевое решение 0. Это решение называется собственным элементом, отвечающим собственному значению 0.

Определение 1.3.4. Подпространство Z0 = KerA(0 ) всех ре шений уравнения (1.15) называется собственным подпространством пучка A(), отвечающим собственному значению 0.

Перейдем теперь к определению присоединенных элементов для произвольной аналитической оператор-функции A(). Это определе ние принадлежит М.В. Келдышу.

Определение 1.3.5. Элементы k, k = 1, 2,..., n, называют присоединенными к собственному элементу 0, отвечающему соб ственному значению 0, если m 1 (k) A (0 )mk = 0, (m = 1, 2,..., n). (1.16) k!

k= Если выполнены соотношения (1.15) и (1.16), то говорят, что 0, 1,..., n образуют жорданову цепочку корневых элементов.

Расшифруем определение (1.16). Вместе с (1.15) имеем:

A(0 )0 = 0, A(0 )1 + A (0 )0 = 0, (1.17) A(0 )2 + A (0 )1 + A (0 )0 = 0, 2!

···································· Упражнение 1.3.1. Проверить, что для линейного пучка A() := AI определение 1.3.5 присоединенных элементов совпадает с опре делением 1.2.4 корневых элементов оператора A.

Замечание 1.3.1. Элементы жордановой цепочки для данных 0 и 0 определяются неоднозначно. Если, например, A(0 )0 = 0, A(0 )1 + A (0 )0 = 0, A(0 )1 + A (0 )0 = 0, то A(0 )(1 1 ) = 0 = 1 = 1 + c0, c C.

Замечание 1.3.2. Элементы жордановой цепочки 0, 1,..., n яв ляются линейно независимыми. Проверим этот факт для случая n = 1. Пусть c0 0 + c1 1 = 0. Тогда A(0 )(c0 0 + c1 1 ) = c1 A(0 )1 = 0.

Так как A(0 )1 = A (0 )0 = 0 (иначе 1 был бы не первым присоединенным, а собственным элементом), то c1 = 0, а потому и c0 = 0.

Определение 1.3.5 присоединенных элементов по М.В. Келдышу, на первый взгляд, кажется, странным или по крайней мере неочевид ным. Однако сейчас будет выяснено, что на самом деле оно является совершенно естественным.

1.3.2 Связь с эволюционными задачами Как сейчас будет выяснено, классическое определение 1.2.4 систе мы корневых элементов оператора A (либо линейного пучка A I) естественно связано со структурой элементарных решений задачи Ко ши для простейшего эволюционного уравнения du u(0) = u0, A L(H), = Au, (1.18) dt в произвольном гильбертовом пространстве H. В то же время опреде ление 1.3.5 корневых элементов (по М.В. Келдышу) естественно воз никает при изучении операторных эволюционных уравнений вида m dk u d Ak L(H),.

A u := Ak = 0, m (1.19) dtk dt k= В частности, при m = имеем дифференциальное уравнение беско нечного порядка. Ему отвечает аналитическая оператор-функция Ak k.

A() := (1.20) k= При m уравнению (1.19) отвечает многочлен степени m:

m Ak k.

Am () := (1.21) k= Итак, рассмотрим элементарные решения задачи (1.18) в виде uэ (t) = et, H. (1.22) Легко видеть, что функция вида (1.22) будет решением задачи (1.18) тогда и только тогда, когда при = 0 элемент = 0 яв ляется решением уравнения (A 0 I)0 = 0, (1.23) т.е. является собственным элементом оператора A (линейного пучка A I).

Наряду с решениями вида (1.22) будем рассматривать также эле ментарные решения задачи (1.18) в виде n tnk uэ (t) = et pn (t), pn (t) = k, (1.24) (n k)!

k= полиномиальная функция степени n со значениями в H, где pn (t) некоторые элементы из H.

а k Упражнение 1.3.2. Убедиться, что элемент 0 в (1.24) является собственным, а элементы k, k = 1, 2,..., n, присоединенными к нему элементами для линейного оператора A (пучка A() := AI), отвечающие собственному значению = 0.

Эти рассмотрения показывают, что система корневых элементов оператора A тесно связана с решениями обыкновенного дифференци ального уравнения первого порядка вида (1.18) в гильбертовом про странстве H.

Перейдем теперь к рассмотрению уравнения (1.19), причем для простоты будем считать, что m = 2, т.е. оно имеет вид dk u Ak = 0. (1.25) dtk k= Упражнение 1.3.3. Проверить, что функция вида (1.24) тогда и только тогда будет элементарным решением уравнения (1.25), когда элементы k в (1.24) образуют жорданову цепочку корневых элемен тов по М.В. Келдышу для собственного значения 0 операторного пучка (1.21) при m = 2.

Решение. Подставляя (1.24) в (1.25), приходим, после сокращения на et, к тождеству A0 pn (t) + A1 (pn (t) + pn (t)) + A2 (2 pn (t) + 2pn (t) + pn (t)) 0, которое можно переписать в виде A () A () Ak k. (1.26) pn (t) 0, A()pn (t) + pn (t) + A() := 1! 2!

k= Учитывая еще формулы n1 nk tnk1 tnk pn (t) = k, pn (t) = k, (n k 1)! (n k 2)!

k=0 k= и приравнивая коэффициенты при степенях t в (1.26), окончательно имеем 1 1 A () A()0 = 0, [A()1 + 0 ] = 0, (1.27) (n 1)!

n! 1!

1 A () A () [A()2 + 1 + 0 ] = 0,....

(n 2)! 1! 2!

Отсюда следует, что нетривиальными решения уравнения (1.25) в форме (1.24) будут в том и только том случае, когда = k Ak, а 0, 1,..., n собственное значение пучка A() = A2 () = k= элементы жордановой цепочки, отвечающие этому собственному значению.

Упражнение 1.3.4. (самостоятельно). Убедиться, что и для диф ференциального уравнения (1.19) степени m, а также соответ ствующего операторного пучка (1.21) при том же m справедливы утверждения, сформулированные в предыдущем упражнении 1.3.3:

элементарным решениям вида (1.24) отвечают при = 0 цепочки корневых элементов (по М.В. Келдышу) пучка (1.21).

Указание. Здесь выкладки, аналогичные проведенным выше при m = 2, основаны на формулах k (k) j uэ (t) = et Ck j pn (kj) (t), j= n tnl pn (t) = l, (n l)!

l= nk+j tnlk+j (kj) pn (t) = l, (n l k + j)!

l= j гдеCk число сочетаний из k элементов по j. В итоге возникает тождество вида (проверьте этот факт!) nk+j m k tnlk+j Cj j k l 0, Ak (n l k + j)!

j= k=0 l= откуда снова следует соотношения (1.27).

1.3.3 О полноте системы элементарных решений Отметим еще одно свойство элементарных решений.

Упражнение 1.3.5. Проверить, что наряду с элементарными ре шениями вида (1.24) для задачи Коши (1.18) функции k d uэ [k] (t) := I uэ (t), k = 1,..., n, (1.28) dt также являются элементарными решениями, и для них выполнены начальные условия [1] [n] uэ (0) = n, uэ (0) = n1,..., uэ (0) = 0. (1.29) Аналогичное утверждение имеет место и для задачи Коши (1.19).

Из этих фактов следует, что для линейных комбинаций элементов из цепочек корневых элементов, отвечающих собственному значению, можно взять соответствующие линейные комбинации элементарных решений задачи (1.18) или (1.19) таким образом, чтобы выполнялись начальные условия для этих задач, отвечающие указанным линейным комбинациям начальных данных задач Коши. Отсюда и возникает понятие полноты системы элементарных решений.

Перейдем непосредственно к определению этого понятия. Пусть операторный пучок A() := Am () вида (1.21) имеет счетное множе ство собственных значений {j }, каждое из которых конечнократ j= но, т.е. имеет конечную алгебраическую (а потому и геометрическую) кратность. Пусть для данного собственного значения j алгебраиче ской кратности j количество линейно независимых собственных эле j ментов равно j, а {rkj }k=1 набор длин соответствующих жордано вых цепочек (корневых элементов). Рсположим эти цепочки в порядке убывания rkj, т.е.

r1j r2j... rj,j 1.

При этом, очевидно, j rkj = j. (1.30) k= Пусть 0kj, 1kj,..., pkj,..., rkj,kj (1.31) цепочка корневых элементов, отвечающая при собственном значе нии j собственному элементу 0kj, k = 1,..., j.

Составим комбинации вида (1.24) для цепочек (1.31), имеем i tip ikj (t) = ej t i = 0, rkj 1.

pkj, (1.32) (i p)!

p= Эти функции, как уже было выяснено выше, являются элементар ными решениями уравнения (1.19). Поэтому их линейные комбинации вида j rkj N N N uэ (t) := uэj (t) := cikj ikj (t) (1.33) j=1 j=1 k=1 i= с произвольными коэффициентами cikj также являются решениями уравнения (1.19).

Определение 1.3.6. Система элементарных решений уравнения (1.19) называется полной, если для любого 0 найдется такое натуральное N = N () и коэффициенты cikj (), что при любых на чальных элементах u(0) = u0, u (0) = u1,..., u(m1) (0) = um1, (1.34) принадлежащих гильбертовому пространству H, для решения вида (1.33) с выбранными N () и cikj () выполнены условия uN (0) u0, (uN ) (0) u1,..., э э (1.35) N (m1) m (0) u (uэ ).

Определение 1.3.7. Система корневых (собственных и присоеди ненных) элементов операторного пучка Am () вида (1.21), ассоции рованного с уравнением (1.19), называется m-кратно полной, если си стема элементарных решений уравнения (1.19) полна в смысле опре деления 1.3.6.

Из этого определения следует, что если система корневых элемен тов операторного пучка Am () полна, то можно с любой наперед за данной точностью аппроксимировать начальные данные задачи Коши (1.19), (1.34). В виду этого обстоятельства далее в курсе лекций ос новное внимание будет уделено вопросам полноты системы корневых элементов операторных пучков, а также связанными с этими вопро сами проблеме базисности корневых элементов и проблеме отыскания спектра пучка Am ().

Итак, основными проблемами, рассматриваемыми в спектральной теории операторных пучков, являются:

10. изучение характера спектра пучка (дискретность, непрерыв ность и т.д.);

20. вопросы полноты и базисности системы корневых элементов пучка;

30. асимптотическое поведение отдельных ветвей собственных значений, а также некоторые другие проблемы.

Упражнение 1.3.6. Убедиться, что для уравнения (1.19) справед ливо утверждение, отмеченное ранее и сформулированное в упраж нении 1.3.5 для уравнения (1.18): функции (1.28) будут элементар ными решениями уравнения (1.19) и для них также выполнены на чальные условия (1.29), если 0, 1,..., n цепочка корневых эле ментов по М.В. Келдышу.

1.4 Два основных метода исследования операторных пучков В этом параграфе на простом примере будут пояснены два ос новных приема, два метода исследования операторных пучков: метод глобальной линеаризации по М.В. Келдышу и метод факторизации операторного пучка.

1.4.1 Предварительные замечания Будем рассматривать сейчас полиномиальные операторные пучки вида m Ak k, Ak L(H).

Am () := (1.36) k= Общее качественное замечание для пучка такого вида состоит в сле дующем.

Пусть пучок Am () имеет дискретный спектр, т. е. этот спектр состоит из изолированных собственных значений, каждое из которых имеет конечную алгебраическую кратность, а также из предельных точек этого счетного множества изолированных собственных значе ний. (Отметим, что такая ситуация является типичной в задачах ма тематической физики;

она реализуется, например, и для линейного пучка A = A S (H), A() := A I, Ker A = {0}).

Тогда у типичного пучка (многочлена степени m) запас корневых элементов "в m раз больше" размерности пространства H, и из это го запаса следует отобрать лишь часть корневых элементов, предва рительно разбив эти элементы на m множеств таким образом, что бы каждое множество образовывало полную и минимальную систему корневых элементов в H.

Имеется и другая возможность, другой подход, который восходит к М.В. Келдышу. Он связан с понятием m-кратной полноты и пере ходом от спектральной задачи для пучка Am () в пространстве H к преобразованной задаче в пространстве Hn := H H... H. Оба эти n подхода сейчас будут объяснены на простом примере.

1.4.2 Основной пример Рассмотрим квадратичный операторный пучок вида L() := 2 I A2, 0 A S (H). (1.37) Как следует из известной теоремы Гильберта–Шмидта, задача на соб ственные значения для оператора A, т.е. задача (H), A =, (1.38) для положительного компактного оператора имеет счетное множество {j } положительных конечнократных собственных значений j = j= j (A), j +0 (j ), 1 2... j..., и отвечающую им систему собственных элементов {j }, которая j= образует ортонормированный базис в H.

Легко проверить, что L(±j (A))j = 0, т.е. элементы j являются собственными элементами пучка L(), от вечающими собственным значениям ±j (A). Ясно также, что пучок L() других собственных значений не имеет. Из этих простых фактов можно сделать следующие выводы.

10. Для нелинейных операторных пучков собственные элементы, отвечающие различным собственным значениям, не обязательно ли нейно независимы. Действительно, в разобранном примере собствен ным значениям j (A) и j (A) отвечает один и тот же собственный элемент j (A). Поэтому в дальнейшем целесообразно выделять пол ные и притом минимальные системы элементов.

20. В приведенном примере система собственных элементов {j (A)}, отвечающая лишь положительным собственным значени j= ям {j (A)} пучка L(), полна и минимальна в H;

это же свойство j= имеет место и для отрицательных собственных значений {j (A)}.

j= Вот почему для полиномиального пучка степени m имеет смысл разбивать его спектр на такие m множеств, чтобы отвечающая каж дому из этих множеств система корневых элементов была полной и минимальной в пространстве H.

1.4.3 Идея М.В. Келдыша Продемонстрируем теперь подход М.В. Келдыша для операторно го пучка (1.37). В общей ситуации этот подход называется методом глобальной линеаризации.

Рассмотрим уравнение L() (2 I A2 ) = 0. (1.39) Так как A 0, то собственные значения задачи (1.39) ненулевые, и можно в (1.39) осуществить замену A =:. (1.40) Тогда вместо (1.39), (1.40) приходим к спектральной задаче 0A = (1.41) A0 в гильбертовом пространстве H2 = H H, элементами которого яв ляются вектор-столбцы (;

)t,, H.

Легко проверить, что 0A = {(0;

0)t }.

Ker A := Ker A Кроме того, A = A S (H2 ). Поэтому задача (1.41) (по теореме Гильберта–Шмидта) имеет счетное множество собственных значений с предельной точкой в нуле. Именно, ее решения имеют вид (проверь те!) ± = ±j (A), (± ;

j )t = (j (A), ±j (A))t, ± j N. (1.42) j j Как следует опять-таки из теоремы Гильберта–Шмидта, система элементов (1.42) собственных элементов задачи (1.41) будет полной в H2 = H H (и даже будет являться в этом пространстве ортого нальным базисом), и можно говорить о двукратной полноте системы корневых (в данном случае лишь собственных) элементов исходного операторного пучка L().

По аналогии с рассмотренным примером для полиномиального пучка степени m вводится понятие m-кратной полноты.

Оказывается, имеется два принципиально разных подхода для по строения полной системы корневых элементов полиномиального опе раторного пучка L(): либо рассматривается весь спектр пучка и для этого спектра и отвечающей ему системы корневых элементов вводит ся понятие кратной полноты (идея М.В. Келдыша;

глобальная ли неаризация);

либо путем факторизации (разложения на множители) операторного пучка выделяется часть его спектра, такая, что ей отве чает полная и минимальная система корневых элементов (частичная линеаризация).

1.4.4 Прием факторизации операторного пучка В данном курсе лекций в основном будет рассматриваться второй путь, т.е. прием факторизации операторного пучка.

Чтобы пояснить общую идею факторизации, снова рассмотрим за дачу (1.39) и перепишем ее в виде (A + I)(A I) = 0. (1.43) Так как A 0, то первый сомножитель в (1.43) при любом обратим и A + I I. Поэтому из (1.43) имеем (A I) = 0. (1.44) Отсюда, очевидно, получаем набор решений j N, = j (A), = j (A), которые уже встречались ранее, см. (1.42).

Для выделения отрицательной части спектра нужно другое раз ложение на множители пучка L() (другая его факторизация):

(A I)(A + I) = 0. (1.45) Здесь при 0 первый множитель ограниченно обратим, так как A I ||I, и поэтому решения имеют вид = j (A) 0, j N.

= j (A), (1.46) Таким образом, выделяя различные области в комплексной области и осуществляя соответствующую факторизацию пучка L(), можно выделять отвечающие этим областям системы корневых элементов пучка, полные и минимальные в пространстве H.

1.5 Метод факторизации В этом параграфе для операторного пучка, аналитического в неко торой части комплексной плоскости C, разбирается метод фактори зации.

1.5.1 Одна лемма о системе корневых элементов пучка Рассмотрим оператор-функцию A(), голоморфную (аналитиче скую) в некоторой области G C, и предположим, что эту функцию удалось представить (факторизовать) в виде произведения A() Q()P (), (1.47) где P () оператор-функция или операторный многочлен.

Из формулы (1.47) очевидно, что собственный элемент для P () является таковым и для A(). Менее тривиальным является следую щее утверждение.

Лемма 1.5.1. Пусть оператор-функция A() допускает представ ление (1.47) в некоторой подобласти Gp G. Тогда если Gp Q(), (1.48) т.е. Gp принадлежит множеству точек регулярности оператор функции Q(), то системы корневых элементов оператор-функции A() и P (), отвечающие собственным значениям из подобласти Gp, совпадают между собой.

Доказательство. Оно проводится непосредственным подсчетом.

Пусть, например, 0 Gp собственное значение оператор-функции A(), а 0, 1 отвечающие ему собственный и первый присоединен ный элементы. Тогда имеем A (0 ) A(0 )0 = 0, A(0 )1 + 0 = 0. (1.49) 1!

Учитывая факторизацию (1.47), отсюда получаем Q(0 )P (0 )0 = 0, (1.50) Q(0 )P (0 )1 + (Q (0 )P (0 ) + Q(0 )P (0 )) 0 = 0.

1!

Так как по условиям леммы существует Q1 (0 ) L(H), то соотно шения (1.50) дают P (0 )0 = 0, P (0 )1 + P (0 )0 = 0. (1.51) 1!

Проведенные выкладки, очевидно, можно обратить, т.е. от соотноше ний (1.51) вернуться к (1.49).

Далее, можно проверить по индукции, что утверждения леммы имеют место для всей жордановой цепочки корневых элементов 0, 1,..., n, отвечающих собственному значению 0.

Упражнение 1.5.1. Проведите доказательство леммы 1.5.1 до кон ца.

1.5.2 Лемма об объединении спектров Рассмотрим снова разложение (1.47) и будем считать, что спектры (Q()) и (P ()) не пересекаются:

(Q()) (P ()) =. (1.52) Лемма 1.5.2. Если выполнено условие (1.52), то (A()) = (Q()) (P ()). (1.53) Доказательство. Пусть 0 (P ());

тогда по условию Q() и потому в силу (1.47) P (0 ) = Q1 (0 )A(0 ).

Если бы здесь A(0 ) был бы ограниченно обратим, то был бы огра ниченно обратим и P (0 ), что неверно, так как 0 P (). Поэтому 0 A().

Аналогично, если 0 Q(), то 0 P () и имеет место представление Q(0 ) = A(0 )P 1 (0 ).

Отсюда, как и выше, получаем, что 0 A(). Поэтому (P ()) (Q()) (A()). (1.54) Обратно, если 0 (A()), то какой–нибудь из операторов Q(0 ) или P (0 ) не имеет ограниченного обратного (почему?), и тогда (P ()) (Q()), т.е.

(A()) (P ()) (Q()). (1.55) Из (1.54) и (1.55) следует (1.53).

Упражнение 1.5.2. Найти то место в доказательстве леммы, где существенно использовано условие (1.52).

Определение 1.5.1. Если имеет место факторизация (1.47), при чем выполнено условие (1.52), то говорят, что имеет место спектральная факторизация оператор-функции A().

Определение 1.5.2. Если при факторизации оператор-функции A() функция P () есть многочлен первой степени P () = I Z, то говорят, что произведена линеаризация части спектра, а само разложение вида A() = Q()(I Z) (1.56) называется частичной линеаризацией оператор-функции A(). 1.5.3 Примеры и упражнения Рассмотрим некоторые типичные примеры частичной линеари зации оператор-функций. Некоторые из них формулируются в виде упражнений.

Упражнение 1.5.3. Проверить, что квадратичный операторный пучок L() := I 2 A B, A, B L(H), (1.57) допускает представление L() = X 1 (I XB)(I XA), (1.58) если оператор X обратим и является решением уравнения X = I + BXAX. (1.59) Упражнение 1.5.4. Убедиться, что пучок L() допускает также представление L() = Y 1 (I Y A)(I Y B), (1.60) если оператор Y обратим и является решением уравнения Y = I + AY BY. (1.61) Упражнение 1.5.5. Доказать, что при выполнении условия 4 A · B 1 (1.62) каждое из уравнений (1.59) и (1.61) имеет единственное решение, принадлежащее операторному шару радиуса 1 14 A · B r R := :=, (1.63) 2A · B B где r± решения квадратного уравнения A r2 r + B = 0, 0 r r+, (1.64) ассоциированного с пучком L(). При этом решения X и Y являются ограниченно обратимыми операторами.

Сейчас будут приведены два способа доказательства существова ния и единственности решений уравнений (1.59) и (1.61). Для опреде ленности будем говорить об уравнении (1.59), так как для уравнения (1.61) доказательства аналогичны.

10. Проверим прежде всего, что оператор X L(H), удовлетворя ющий уравнению (1.59), имеет обратный. Для этого достаточно убе диться, что уравнение X = 0 имеет лишь тривиальное решение. Од нако если X = 0, то X = + BXAX = 0, откуда следует, что = 0. Поэтому оператор X 1 существует.

Покажем, что X 1 L(H). Из (1.59) следует, после применения оператора X 1 справа, что I = X 1 + BXA, т.е.

X 1 = I BXA, (1.65) ограниченный оператор, так как B, X, A L(H). Однако эта фор мула получена в предположении, что X 1 действует на образе R(X) оператора X (почему?). Покажем, что на самом деле X 1 L(H), т.е.

он линеен и ограничен на всем пространстве H.

Действительно, с учетом неравенства X R и (1.63) имеем 1 14 A B r BXA B X A B A= 1.

B 2 Отсюда следует, что оператор I BXA ограниченно обратим, об ратный оператор X = (I BXA)1 L(H) и одновременно X L(H).

20. Для доказательства существования решения уравнения (1.59) в шаре X R рассмотрим наряду с уравнением (1.59) скалярное квадратное уравнение x = 1 + x2, имеющее, как легко установить, решение вида an n, x () = (1 1 4)/(2) = 1 + (1.66) 2 n= (2n + 2)!

an :=, n = 1, 2,....

(2n + 1)[(n + 1)!] Учитывая это обстоятельство, введем в уравнение (1.59) формаль но параметр, 0 1, и рассмотрим уравнение X = I + BXAX, X = X. (1.67) При = 1, очевидно, (1.67) переходит в уравнение (1.59).

Будем разыскивать решение X = X уравнения (1.67) в виде ряда по степеням. Учитывая (1.66) и аналогию между (1.67) и скалярным квадратным уравнением, приходим к выводу, что это разложение име ет вид an (B, A)n, X = I + (1.68) 2 n= где an (B, A) операторный коэффициент, однозначно вычисляемый по заданным операторным коэффициентам B и A. Проверьте, напри мер, что a2 (B, A) = 2(B 2 A2 + (BA)2 ), a1 (B, A) = 2BA, (1.69) а остальные коэффициенты связаны рекуррентными соотношениями, позволяющими выразить an (B, A) через предыдущие операторные ко эффициенты. При этом, как легко проследить по аналогии с пред ставлением решения (1.66) скалярного уравнения в виде ряда по, количество слагаемых в формуле для an (B, A) в точности равно чис лу an, а каждое из слагаемых равно произведению в разном порядке операторов B и A (см. (1.69)), причем эти слагаемые являются одно родными функциями степени n относительно B и A. Отсюда следует, что имеют место следующие оценки:

an ( B · A )n, an (B;

A) n = 1, 2,..., (1.70) где an коэффициенты из (1.66).

Из этих оценок получаем, что операторный ряд (1.68) мажориру ется по операторной норме числовым рядом:

an ( B · A )n n.

X 1+ (1.71) 2 n= Сравнивая правые части (1.71) и (1.66), видим, что ряд (1.71) сходит ся, если 4 := 4( B · A · ) 1.

Однако так как выполнено условие (1.62), то ряд (1.71) сходится и при = 1, и тогда из (1.71) получим (при = B · A ), что 1 14 A · B r X = X1 = = R.

2A · B B Таким образом, при условии (1.62) уравнение (1.69) имеет решение X в шаре X R, которое в этом шаре является единственным, так как все коэффициенты an (B, A) находятся реккурентным образом однозначно.

Приведем теперь другое доказательство существования единствен ного решения X уравнения (1.59) при условии (1.62). Оно основано на принципе сжимающих отображений, примененном для операторного шара X R.

Введем отображение F(X) := I + BXAX, X R, (1.72) и запишем уравнение (1.59) в виде F(X) = X. (1.73) Тогда решение X уравнения (1.59) должно быть неподвижной точ кой отображения F(X). Согласно принципу сжимающих отображе ний, уравнение (1.73) имеет в шаре X R единственное решение, если выполнены следующие два условия:

а) отображение F(X) переводит шар в себя, т.е.

R = F(X) X R;

(1.74) б) отображение F(X) является сжимающим, т.е.

F(X) F(Y ) q X Y, X R, Y R,0 q 1.

(1.75) Убедимся, что для отображения F(X) оба эти условия выполнены.

а) Действительно, если X R, то с учетом (1.69), имеем r 1 + A · B · R2 = 1 + A · B F(X) 1+ A · B · X = B 1 1 r = 1 + A · r (r B ) = =1+ = R, B B B т.е. выполнено условие (1.74).

а) Далее, пусть X Rи Y R. Тогда F(X)F(Y ) = BXAXBY AY = BXA(XY )+B(XY )AY B · A · X · XY + B · XY · A · Y 2 A · B ·R· XY = r =2 A · B X Y = (1 1 4 A B ) X Y =: q X Y, B где 0 q 1.

Таким образом, уравнение (1.73) имеет в шаре X R единствен ное решение (и оно может быть найдено методом итераций).

Замечание 1.5.1. Обратимость оператора X, являющегося реше нием уравнения (1.59), в шаре X R можно установить также из следующей оценки для нормы:

r B·A·X B·A BXAX = B A2 A A B r · r+ = · = r = 1.

B B B A Отсюда следует, что оператор X = I +BXAX обратим и X L(H).

1.5.4 Еще один подход к проблеме факторизации Весьма интересным фактом в теории полиномиальных оператор ных пучков является утверждение, аналогичное теореме Безу для обычных многочленов.

Напомним, что остаток от деления многочлена Pn (x) := a0 xn + a1 xn1 +... + an на двучлен x x0 равен f (x0 ) (теорема Безу). От сюда следует, что число x0 является корнем многочлена Pn (x) тогда и только тогда, когда Pn (x) делится без остатка на двучлен x x0. В этом случае Pn (x) := (x x0 )Qn1 (x).

Прежде чем сформулировать аналогичное общее утверждение для операторных многочленов, вернемся к квадратичному операторному пучку L() := I B 2 A, A, B L(H), (1.76) Согласно (1.60) при условии (1.62) пучок L() можно разложить на множители в виде L() = (D A)(I Z) Y 1 (I Y A)(I Y B). (1.77) Зададим теперь такой вопрос: каким условиям должен удовлетво рять фактор Z, чтобы имело место разложение (1.77)?

Лемма 1.5.3. Для квадратичного операторного пучка (1.76) разло жение (1.77) имеет место тогда и только тогда, когда оператор Z удовлетворяет квадратному уравнению L(Z) := Z B AZ 2 = 0, Z L(H), (1.78) ассоциированному с пучком L().

Доказательство. 10. (достаточность). Пусть уравнение (1.78) удо влетворяется при некотором Z L(H). Тогда L() = L() L(Z) =(I B 2 A) (Z B AZ 2 ) = = (I Z) A(2 IZ 2 ) = [I A(I + Z)](I Z) =:

=: (DA)(I Z).

20. (необходимость). Пусть имеет место факторизация (1.77) с некоторыми D, Z L(H). Тогда тождественно по имеем:

I B 2 A 2 A + D + AZ DZ.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях (почему это можно сделать?), получим DZ = B, D + AZ = I.

Находя из второго соотношения D и подставляя его в первое, по лучим D = I AZ, DZ = (I AZ)Z = B, откуда следует уравнение (1.78).

1.5.5 Нелинейное операторное уравнение, ассоциированное с операторным пучком Прежде чем формулировать и доказывать теорему Безу для про извольного полиномиального операторного пучка n Ak k, Ak L(H), Ln () := (1.79) k= напомним, что с этим пучком связано дифференциальное операторное уравнение n dk u d Ln ( )u := Ak k = 0. (1.80) dt dt k= Поставим такой вопрос: каким должен быть оператор Z L(H), чтобы функция u(t) (со значениями в H), имеющая вид Zk u(t) = exp (tZ), exp(Z) :=, (1.81) k!

k= была решением уравнения (1.80) при любом H?

Лемма 1.5.4. Функция вида (1.81) тогда и только тогда являет ся решением уравнения (1.80) при любом H, когда оператор Z является корнем операторного полиномиального уравнения n Ak Z k = 0.

Ln (Z) := (1.82) k= Доказательство. Оно весьма просто. Подставим функцию u(t) из (1.81) в уравнение (1.80). Легко проверить, что возникает соотношение Ln (Z) exp (tZ) = 0.

Полагаем здесь t = 0 и вспоминая, что произвольный элемент из H, приходим к уравнению (1.82) для Z.

Эта лемма вскрывает еще одну тесную связь между решениями обыкновенного дифференциального уравнения (1.80) в гильбертовом пространстве, отвечающим этому уравнению полиномиальным опера торным пучком Ln () и проблемой факторизации (частичной линеа ризации) этого операторного пучка, т.е. выделения из пучка линейно го множителя I Z.

1.5.6 Теорема Безу для полиномиальных операторных пучков Приведем основной результат, называемый операторной теоремой Безу.

Теорема 1.5.1. Оператор Z тогда и только тогда является кор нем уравнения Ln (Z) = 0, когда операторный пучок Ln () можно представить в виде Ln () := Qn1 ()(I Z), (1.83) операторный многочлен степени (n 1).

где Qn1 () Доказательство. Оно проводится по схеме доказательства леммы 1.5.3.

10 (достаточность). Пусть разложение (1.83) имеет место и n B k k, Bk L(H).

Qn1 () := (1.84) k= Подставим (1.84) в (1.83) и вспомним определение Ln () из (1.79).

Имеем тождество по :

n n Ak k B k k (I Z).

k=0 k= Приравнивая здесь коэффициенты при одинаковых степенях, при ходим к соотношениям A0 = B0 Z, Ak = Bk1 Bk Z, (k = 1, 2,..., n 1), An = Bn1.

Значит, n1 n k n (Bk1 Bk Z)Z k +Bn1 Z n = Ak Z +An Z = B0 Z+ Ln (Z) := A0 + k=1 k= = B0 Z + {(B0 Z B1 Z 2 ) + (B1 Z 2 B2 Z 3 ) +... + +(Bn2 Z n1 Bn1 Z n )} + Bn1 Z n = 0.

20. (необходимость). Если Ln (Z) = 0, то n Ak (k I Z k ) = Ln () Ln (Z) = k= n k j Z kj1 (I Z) =: Qn1 ()(I Z).

= Ak j= k= 1.5.7 О некоторых свойствах корней квадратного операторного уравнения Рассмотрим квадратное уравнение L(Z) := Z 2 + BZ + C = 0 (1.85) и выведем свойства его корней путем решения упражнений.

Упражнение 1.5.6. Показать, что при любых B, C из L(H) каж дый корень Z уравнения (1.85) порождает разложение L() := 2 I + B + C = (I Z)(I Z), Z = B Z. (1.86) Решение. Если L(Z) = 0, то L() = L() L(Z) = (2 I Z 2 ) + B(I Z) = = (I + Z + B)(I Z) =: (I Z)(I Z).


Замечание 1.5.2. Из (1.86) следует, что B = Z + Z, C = ZZ. (1.87) Эти соотношения напоминают теорему Виета для корней обычного квадратного уравнения. Здесь, однако, отличие для уравнения (1.85) состоит в том, что Z, вообще говоря, может не быть корнем квад ратного уравнения (1.85).

Упражнение 1.5.7. Показать, что при B = B L(H), C = C L(H) наряду с разложением (1.86) имеет место также разложение L() = (I Z )(I Z ) = 2 I (Z + Z ) + Z Z. (1.88) Указание. Замените в (1.86) на и перейдите к сопряженным операторам, воспользовавшись свойством (L()) = L().

Из (1.86), (1.88) непосредственно получаем, что при B = B L(H), C = C L(H) каждому корню Z1 уравнения (1.85) отвечает сопутствующий корень того же уравнения Z2 = (Z1 ). Связь между 1 ), то Z1 = (Z2 ) = корнями Z1 и Z2 рефлексивна, т.е. если Z2 = (Z B Z2. Может случиться, что эти корни совпадают, т.е. Z1 = Z2 = Z1. Тогда из (1.88) получаем, что L() = (I Z1 )(I Z1 ). (1.89) Упражнение 1.5.8. Проверить, что, каков бы ни был оператор Z1 L(H), всегда можно построить уравнение (1.85) с самосопря женными операторами B и C, для которого Z = Z1 будет одним из корней.

Указание. Обратите внимание на формулы (1.86) – (1.88).

Глава Применение метода факторизации В этой главе на основе использования некоторых положений вине ровской алгебры оператор-функций, заданных на единичной окруж ности в комплексной плоскости, а также теоремы о факторизации эле ментов абстрактной алгебры получены достаточные условия, обеспе чивающие факторизацию операторных пучков. Эти условия исполь зуются далее для доказательства полноты системы корневых эле ментов, отвечающей части спектра голоморфной в окрестности нуля оператор-функции.

2.1 Винеровская алгебра с операторными коэффициентами Здесь дается определение винеровской алгебры и ее прямого раз ложения, определение факторизации ее элементов, рассматриваются частные случаи факторизации и другие близкие вопросы.

2.1.1 Определение винеровской алгебры Пусть H комплексное гильбертово пространство, а L(H) ал гебра линейных ограниченных операторов, действующих в H.

Определение 2.1.1. Винеровской алгеброй W (названной в честь знаменитого американского математика 20-го века Норберта Ви нера), называется алгебра оператор-функций вида Ak k, || = 1, Ak L(H), A() = (2.1) k= для которых Ak. (2.2) k= Замечание 2.1.1. Так как для любого с || = 1 справедливо пред ставление = ei, 0 2, то в силу (2.1), (2.2) можно за ключить, что в алгебру W входят все оператор-функции A(()), разлагающиеся в абсолютно сходящиеся по равномерной оператор ной норме ряды Фурье по, 0 2.

Определение 2.1.2. Норма в алгебре W задается по формуле A() := Ak. (2.3) W k= Для алгебры W имеет место следующий важный факт, который здесь приводится без доказательства.

Теорема 2.1.1. (Бохнер, Филлипс). Если A() W и оператор A() обратим при всех с || = 1, то A1 () W.

Замечание 2.1.2. Алгебра W является некоммутативной банахо вой алгеброй с нормой (2.3). Для ее элементов сумма и произведение элементов вводится естественным образом:

(A1 · A2 )() := A1 () · A2 ().

(A1 + A2 )() := A1 () + A2 (), В другой терминологии W называют также нормированным кольцом. Очевидно, роль единицы в алгебре W играет единичный опе ратор I, а роль нуля нулевой оператор 0.

Замечание 2.1.3. Алгебра W является инволютивной нормирован ной алгеброй с естественно определяемой операцией инволюции J, связанной с переходом к сопряженной оператор-функции:

2 (2.4) J A() = (A()) = A ( k ) = A k, || = 1.

k k k= k= Упражнение 2.1.1. Доказать, опираясь на (2.4), что = J A() A() W. (2.5) W Напомним, что операция инволюции для операторов из L(H) име ет следующие свойства:

1. (A + B) = A + B ;

2. (A) = A, C;

3. (AB) = B A ;

4. (A ) = A.

2.1.2 Прямое разложение алгебры W Введем в алгебре W две подалгебры, дающие ее прямое разложе ние:

W = W+ W. (2.6) Определение 2.1.3. Подалгеброй W+ называется подалгебра алгеб ры W, состоящая из элементов вида Bk k =: P+ B(), Bk k.

B+ () = B() := (2.7) k=0 k= Определение 2.1.4. Подалгеброй W называется подалгебрa алгеб ры W, состоящая из элементов вида 1 Ck k =: P C(), Ck k.

C () = C() := (2.8) k= k= Замечание 2.1.4. Как следует из (2.1), (2.6) (2.8), прямая сум ма подалгебр W+ и W действительно дает всю алгебру W. При этом P+ + P = I, и операторы P+ и P являются операторами проектирования, т.е. обладают свойствами (P± )2 = P±. Оператор P+ проектирует W на W+ параллельно W, а P проектирует W на W параллельно W+.

Упражнение 2.1.2. Доказать, что P± = 1.

2.1.3 Факторизация элемента алгебры W Определение 2.1.5. Будем называть канонической факторизацией элемента A() W представление его в виде || = 1, A() = A+ ()[I + A ()], (2.9) где A+ () W+, A () W, причем существуют оператор функции A1 () W+, (I + A ())1 I W. (2.10) + Замечание 2.1.5. Для факторизации элемента A(), как следует из (2.9), (2.10), необходимо, чтобы оператор-функция A() была об ратима при всех с || = 1.

Непосредственно из определения канонической факторизации сле дует такой важный факт.

Лемма 2.1.1. Если для элемента A() W имеет место кано ническая факторизация в виде (2.9), (2.10), то функции A+ () и A1 () допускают голоморфное продолжение внутрь единичного кру + га || 1, т.е. существуют голоморфные (аналитические) функции A1 (), C : || A+ (), 1. (2.11) + Соответственно функции I + A () и (I + A ())1 допускают голоморфное продолжение вне единичного круга в комплексной плос кости C, т.е. существуют голоморфные функции (I + A1 ())1, C : || I + A (), 1. (2.12) Доказательство. Оно проводится по одному и тому же плану для всех функций из (2.11), (2.12), поэтому проведем его лишь для функ ции A+ ().

Так как A+ () W+, || = 1, то (A+ )k k, || = 1, A+ () = k= (2.13) (A+ )k.

A+ () = W k= Как известно, если голоморфное продолжение с окружности для обычных (а потому и операторных) функций существует, то оно опре деляется единственным образом. Введем продолжение A+ () внутрь единичного круга по закону (A+ )k k, || A+ () := 1. (2.14) k= Тогда A+ () будет аналитической функцией при || 1. В самом деле, если || = t 1, то (A+ )k k (A+ )k · tk A+ () = k=0 k=, (A+ )k = (A+ )() W k= т.е. степенной ряд (2.14) сходится по равномерной операторной норме при любом || 1.

Аналогично доказывается утверждение леммы и для A1 (). Что + касается функций (2.12), то полезно предварительно сделать замену = 1, вместо области || 1 рассмотреть проблему при || 1 и повторить вышеприведенное доказательство.

Следствие 2.1.1. В круге || 1 функция A1 (), т.е. голоморфное + продолжение A1 () внутрь единичного круга, является обратной + для голоморфной функции A+ () при любом с || 1. Соответ ственно для голоморфных продолжений (I + A ()) и (I + A ()) функций I + A () и (I + A ())1 справедливо то же утверждение при || 1.

Доказательство. Проведем его лишь для первого утверждения этого следствия. Введем функцию f () := A+ ()A1 () = A1 ()A+ () I, || = 1, + + и заметим, что эта функция имеет продолжение внутрь единичного круга, причем это продолжение, согласно интегральной формуле Ко ши, таково:

I · d 1 f () d || 1.

f () = = = I, 2i 2i ||=1 ||= Отсюда следует, что при любом с || 1 имеем f () I A+ ()A1 () A1 ()A+ (), + + т.е. и при || 1 функции A+ () и A1 () взаимно обратные.

+ Для доказательства второго утверждения данного следствия сно ва полезно сделать замену = 1, рассмотреть область || 1 и повторить предыдущие рассуждения.

Замечание 2.1.6. Проведенные выше рассуждения приводят к выво ду о том, что при определении (2.9), (2.10) канонической факториза ции элемента A() можно дополнительно требовать, чтобы функ ции A+ () и A1 () были голоморфно продолжимы внутрь единично + го круга || 1 и продолженные функции A+ () и A1 () были вза + имно обратны, а функции I + A () и (I + A ())1 обладали этими свойствами при || 1.

Отметим еще раз, что условие существования обратной оператор функции A1 (), т.е. такой, что A()A1 () A1 ()A() I при || = 1, является необходимым, но не достаточным для факторизации оператор-функции A() на единичной окружности. Дополнительным необходимым свойством должно быть свойство голоморфной продол жимости A+ () и A () и их голоморфной обратимости после про должения внутрь и вне единичного круга соответственно.

Замечание 2.1.7. Формула (2.9) дает так называемую левую фак торизацию функции A(). Возможна и правая факторизация, когда множители в (2.9) стоят в обратном порядке.

Упражнение 2.1.3. Доказать, что A() допускает правую факто ризацию тогда и только тогда, когда (A()) допускает левую фак торизацию.

В дальнейшем будем использовать лишь левую факторизацию и выясним достаточные условия, когда она возможна. Предварительно разберем некоторые простейшие ситуации.

2.1.4 Полюс оператор-функции в конечной точке комплексной плоскости Для проведения дальнейших рассуждений понадобится оператор ный аналог известной из теории функций комплексного переменного теоремы Лиувилля.

Теорема 2.1.2. (Лиувилль). Если оператор-функция A() анали тична во всей комплексной плоскости, включая бесконечно удален ную точку (т.е. в расширенной комплексной плоскости), то A() постоянна.

Доказательство. Пусть A() аналитична в расширенной ком плексной плоскости. Тогда при любых и из H функция f () := (A(), ) будет обычной аналитической функцией комплексного переменного в расширенной комплексной плоскости. Поэтому, согласно теореме Лиувилля для обычных скалярных функций, отсюда заключаем, что f () const.


Тогда при любых 1, 2 из C имеем (A(1 ), ) = (A(2 ), ) ((A(1 ) A(1 )), ) = 0.

Ввиду произвольности H отсюда следует, что (A(1 ) A(1 )) = 0, а в силу произвольности H приходим к соотношению 1, 2 C.

A(1 ) = A(2 ), Перейдем теперь к определению понятия полюса оператор функции.

Определение 2.1.6. Говорят, что оператор-функция A() имеет полюс порядка n в точке 0 C, если в окрестности U(0 ) этой точки A() допускает представление A1 An A() = F () + +... +, An = 0, (2.15) ( 0 )n аналитическая в U(0 ) функция, а Ak L(H), k = где F () 1,..., n.

Равенство (2.15) равносильно тому, что B() A() =, B(0 ) = An = 0, (2.16) ( 0 )n функция, аналитическая в U(0 ) (проверьте это!).

где B() Лемма 2.1.2. Пусть оператор-функция A() аналитична во всей комплексной плоскости C, кроме точки = 0, где она, возможно, имеет полюс порядка не выше n. Если A() = I, то Z1 Zn Zk L(H), A() = I + +... + n, k = 1,..., n. (2.17) Доказательство. Оно будет проведено лишь для случая n = 1.

Рассмотрим функцию B A1 () := A() B := lim (A()) L(H).

, (2.18) Очевидно, A1 () аналитична во всей расширенной комплексной плоскости, включая точку = 0, причем A1 () = A() = I.

Поэтому по теореме Лиувилля (теорема 2.1.2) имеем A1 () const I. Отсюда следует, что Z A() = I +, Z1 = B, где B выражается формулой (2.18).

Упражнение 2.1.4. Доказать утверждение леммы 2.1.2 при лю бом n N.

2.1.5 Полюс в бесконечно удаленной точке Как и для скалярных функций комплексного переменного, можно ввести понятие полюса в бесконечно удаленной точке для аналитиче ской оператор-функции.

Определение 2.1.7. Говорят, что оператор-функции A() имеет полюс порядка m в точке =, если в R–окрестности UR () этой точки, т.е. вне круга радиуса R с центром в начале коорди нат, функция A() имеет представление A() = F () + A1 +... + Am m, Am = 0, (2.19) где F () аналитическая оператор-функция в UR (), т.е. являет ся правильной частью ряда Лорана (в окрестности = ), а все Ak L(H), k = 1,..., m.

Замечание 2.1.8. Равенство (2.19) равносильно тому, что A() = B() · m, (2.20) аналитическая в UR (), причем B() = Am = 0.

где B() Лемма 2.1.3. Пусть оператор-функция A() является аналитиче ской во всей комплексной плоскости C, а в бесконечно удаленной точ ке имеет полюс порядка не выше m. Тогда A() имеет вид многочле на степени не выше m:

A() = A0 + A1 +... + Am m, A0 = lim F (). (2.21) Упражнение 2.1.5. Доказать, опираясь на теорему Лиувилля (теорему 2.1.2), утверждение (2.21) для случая m = 1, т.е. для по люса порядка 1.

Упражнение 2.1.6. Доказать лемму 2.1.3 для полюса произвольно го порядка m.

Указание. Воспользоваться схемой доказательства леммы 2.1.2.

Использовать также преобразование точек комплексной плоскости = 1, || R1.

2.1.6 Частные случаи факторизации оператор-функций Перейдем теперь к установлению некоторых фактов, связанных с факторизацией операторных пучков и элементов винеровской алгеб ры W.

Лемма 2.1.4. Пусть A() W имеет вид Ak k, || = 1, A() = n 0, (2.22) k=n и допускает каноническую факторизацию. Тогда Bk k W.

A () = (2.23) k=n Доказательство. Так как A() допускает каноническую фактори зацию, то A() = A+ ()[I + A ()], || = 1, (2.24) A1 () W+, (I + A ())1 I W.

A+ (), A (), + Умножим (2.24) на функцию A1 (), будем иметь тождество по :

+ F1 () := A1 ()A() I + A (), || = 1. (2.25) + Убедимся, что функция F1 () имеет голоморфное (аналитическое) продолжение как внутрь, так и вне единичного круга комплексной плоскости C. В самом деле, согласно лемме 2.1.1 функция I + A () и обратная к ней (I + A ())1 голоморфно продолжимы вне единич ного круга, и эти продолжения определяются единственным образом для каждой из них. Далее, функция A1 () по той же лемме 2.1.1 го + ломорфно продолжима внутрь единичного круга, т.е. при || 1. На конец, A() также имеет продолжение внутрь единичного круга. Это продолжение находится однозначно и потому вычисляется по форму ле Ak k, || A() = n 0, 1. (2.26) k=n Отсюда следует, что F1 () имеет голоморфное продолжение внутрь единичного круга согласно формуле F1 () = A1 ()A(), || 1, (2.27) + и вне единичного круга по формуле || F1 () = I + A (), 1. (2.28) Таким образом, возникает единая во всей комплексной плоскости аналитическая функция F1 (), которая обладает следующими свой (A )k k ствами. В силу представления A () в виде A () = k= после продолжения на область || 1 имеем (A )k k, F1 () = I + A () = I + k= откуда следует, что F1 () аналитическая в бесконечно удаленной точке, причем F1 () = I. Далее, так как A1 () голоморфна при + || 1, и A() согласно (2.26) имеет в точке = 0 полюс порядка не выше n, то и произведение этих функций, т.е. функция (2.27), имеет в точке = 0 полюс порядка не выше n. Значит, согласно лемме 2.1. функция F1 () имеет вид B k k, Bk L(H), k = n,..., 1, F1 () = I + (2.29) k=n а потому при =, || = 1, приходим к формуле (2.23), причем A() W.

Рассмотрим теперь другой частный случай оператор-функции A() W. Здесь доказательство соответствующего утверждения опи рается на лемму 2.1.3.

Лемма 2.1.5. Пусть A() имеет вид m Ak k, || = 1, A() = m 0, (2.30) k= и допускает каноническую факторизацию. Тогда m Ck k W+, A+ () = (2.31) k= т.е. является многочленом степени не выше m.

Доказательство. Воспользуемся снова факторизацией (2.24) и введем оператор-функцию F2 () := A+ () A()[I + A ()]1, || = 1. (2.32) Повторим схему рассуждений, примененных при доказательстве предыдущей леммы. Именно, левая часть (2.32), т.е. A+ (), допуска ет однозначное голоморфное продолжение внутрь единичного круга в виде функции A+ (), || 1. Далее, правая часть в (2.32) допуска ет голоморфное продолжение вне единичного круга в виде функции A()[I + A ()]1, || 1. При этом, [I + A ()]1 голоморфна во всех точках с || 1, включая бесконечно удаленную точку, где она равна единичному оператору I. В то же время функция m Ak k, || A() = m 0, 1, k= являющаяся голоморфным продолжением функции A() из (2.30), имеет, очевидно, на бесконечности полюс порядка не выше m.

Отсюда следует, что F2 () имеет голоморфное продолжение F2 () на всю комплексную плоскость C, причем на бесконечности она имеет полюс порядка не выше m. Поэтому по лемме 2.1.3 получаем, что F2 () является многочленом степени не выше m, т.е.

m Ck k, Ck L(H), F2 () = k = 0,..., m.

k= Отсюда при =, || = 1, и из (2.32) приходим к утверждению леммы.

Следствием двух доказанных лемм является утверждение, кото рое часто используют на практике при факторизации операторных пучков полиномиального типа.

Лемма 2.1.6. Пусть оператор-функция A() имеет вид m Ak k, A() = (n, m 0), (2.33) k=n и допускает каноническую факторизацию. Тогда 1 m Bk k, Ck k.

A () = A+ () = (2.34) k=n k= Доказательство. Оператор-функция (2.33) удовлетворяет услови ям двух предыдущих лемм. Кроме того, каноническая факторизация, как будет доказано ниже в основной факторизационной теореме, един ственна. Поэтому обязательно должно иметь место разложение m m Ak k = Cj j Bl l.

I+ (2.35) j= k=n l=n Следствие 2.1.2. Умножим обе части (2.35) на n. Тогда возник нет разложение полиномиального операторного пучка степени n+m на произведение сомножителей полиномиальных пучков степени m и n соответственно:

m Ak n+m, Pn+m () = Qm ()Ln (), Pn+m () = k=n (2.36) m k n nj Qm () = Ck, Ln () = I + Bj.

j=n k= После голоморфного продолжения Pn+m () с единичной окружно сти || = 1 на всю комплексную плоскость из (2.36) имеем C, Pn+m () = Qm ()Ln (), (2.37) причем эта факторизация является спектральной факторизацией по линомиального операторного пучка Pn+m ().

В самом деле, пучки Pn+m (), Qm (), Ln () обратимы на еди ничной окружности =, || = 1. При этом, согласно предыдущим выводам, пучок Qm () обратим при || 1, а Ln () при || 1.

Значит, для спектров (Qm ()) и (Ln ()) выполнено условие (Qm ()) (Ln ()) =. (2.38) Поэтому согласно лемме 1.5. (Pn+m ()) = (Qm ()) (Ln ()), (2.39) т.е. имеет место спектральная факторизация.

Замечание 2.1.9. Если n = 1, то правый множитель в (2.37), в си лу формулы (2.36) для Ln (), имеет вид IZ, Z = B1, т.е. будет иметь место частичная линеаризация операторного пучка Pm+1 ():

Pm+1 () = Qm ()(I Z). (2.40) Здесь фактор Z отвечает за ту часть спектра оператор-функции Pm+1 (), которая лежит внутри единичного круга:

(Z) { : || 1}.

2.2 Факторизационная теорема В этом параграфе устанавливаются условия, позволяющие факто ризовать элемент абстрактной банаховой алгебры, близкий к единич ному.

2.2.1 Некоторые утверждения об обратимости элементов банаховой алгебры Пусть A комплексная банахова алгебра с единицей e. Напом ним, что банаховой алгеброй называется такое подмножество бана хова пространства с нормой ·, для которого наряду с линейными операциями над элементами (сложение, умножение на скаляр) введе на также операция умножения элементов. Если a, b A, то ab A a · b. При этом ae = ea = a для любого a A, и если и ab существует элемент a1, обратный к элементу a, то aa1 = a1 a = e.

Рссмотрим вопросы, связанные с обратимостью элементов алгеб ры, близких к единичному элементу e. Первый результат на этом пути совсем простой и хорошо известен.

Лемма 2.2.1. Пусть для элемента a банаховой алгебры A с единицей e выполнено условие a 1. (2.41) Тогда элемент e a обратим и (e a)1 = ak, a0 := e. (2.42) k= ak сходится, так как Доказательство. Так как a 1, то ряд k= ak ak k.

a = 1 a k=0 k=1 k= Поэтому общий член этого ряда, т.е. ak, стремится к нулевому эле менту алгебры:

lim ak = 0. (2.43) k Воспользуемся тождеством n n k ak (e a) = e an+1.

(e a) a = k=0 k= Переходя здесь к пределу при n и учитывая свойство (2.43), приходим к соотношению ak = ak (e a) = e, (e a) k=0 k= откуда следует, что элемент e a обратим и обратный выражается формулой (2.42).

Замечание 2.2.1. Для любого элемента a из A существует его ха рактеристика r(a), называемая спектральным радиусом:

1 an an r(a) := lim = inf a. (2.44) n n n nN Как видно из доказательства леммы 2.2.1, ее утверждение справед ливо и в случае r(a) 1.

В самом деле, достаточно заметить, что ряд (2.42) мажори ak, который схо руется по норме (см. выше) числовым рядом k= дится по достаточному радикальному признаку Коши, если lim ak = r(a) 1.

k k Замечание 2.2.2. Пусть A = L(H) алгебра линейных ограничен ных операторов, действующих в пространстве H, и A L(H). Тогда имеет место свойство sup{|| : (A)}, r(A) (2.45) т.е. весь спектр (A) оператора A лежит в круге с центром в нача ле координат с радиусом, равным спектральному радиусу оператора A:

(A) { : || r(A)}. (2.46) Доказательство. Действительно, оператор A I = (I 1 A) обратим, если спектральный радиус оператора 1 A меньше единицы, т.е.

r(1 A) = ||1 r(A) 1.

Тогда || r(A), и потому спектр оператора A целиком находится в круге радиуса r(A) с центром в начале координат, см. (2.46).

Замечание 2.2.3. Можно доказать, что на самом деле в (2.45) вме сто неравенства имеет место знак равенства.

Рассмотрим снова комплексную банахову алгебру A с единицей e и введем следующее определение.

Определение 2.2.1. Говорят, что элемент a A обратим только слева (справа), если он имеет левый (правый) обратный, но не имеет обратного, т.е. существует такой элемент a(1) A, что a(1) a = e, (соответственно aa(1) = e).

Лемма 2.2.2. Множество элементов из A, обратимых только сле ва, открыто.

Доказательство. Пусть a A обратим только слева и a(1) a = e.

Пусть, далее, элемент b A таков, что выполнено условие ba(1) 1. (2.47) Тогда легко убедиться, что элемент a + b также обратим только слева.

В самом деле, (a + b) = (e + ba(1) )a, и при условии (2.47) первый сомножитель просто обратим (лемма 2.2.1). Поэтому a + b обратим только слева, если a обратим только слева. Отсюда следует, что множество элементов, обратимых только слева, открыто, так как наряду с обратимым только слева элемен том a оно содержит все элементы вида a + b, если выполнено условие (2.47).

Упражнение 2.2.1. Сформулировать и доказать аналог леммы 2.2.2 для множества элементов, обратимых только справа.

Лемма 2.2.3. Пусть C односвязное множество, т.е. лю бые две его точки можно соединить ломаной, содержащейся в этом множестве. Пусть a = a(t), t, функция переменной t со зна чениями в алгебре A, причем a(t) непрерывна на.

Если элемент a(t) как минимум обратим слева при любом t (т.е. он обратим только слева либо двусторонне обратим) и для некоторого t0 элемент a(t0 ) двусторонне обратим (т.е. просто обратим), то a(t) обратим при всех t.

Доказательство. Введём множества 0 = {t : a(t) обратим}, 1 = {t : a(t) обратим только слева}.

Согласно лемме 2.2.2 множество 1 открытое. Дословно повто ряя доказательство леммы 2.2.2 с заменой слов ”обратим только сле ва” на слова ”двусторонне обратим”, можно убедиться, что 0 также открытое множество.

Далее, очевидно, что = 0 1 и 0 1 =. Таким образом, од носвязное множество является объединением двух открытых непе ресекающихся между собой множеств. Так как по условию леммы не пусто (t0 0 ), то пустым должно быть множество 1, и потому = 0.

Упражнение 2.2.2. Сформулировать и доказать аналог леммы 2.2.3 для случая обратимости справа.

2.2.2 Основная факторизационная теорема для элементов абстрактной банаховой алгебры Сейчас будет сформулирована и доказана теорема, играющую фундаментальную роль в проблеме факторизации операторных пуч ков. Эта теорема позволит получить достаточные условия для кано нической факторизации операторного пучка, близкого к единичному оператору.

Теорема 2.2.1. (о факторизации элемента банаховой алгебры, близ кого к единичному). Пусть разложение A = A+ +A (2.48) является прямым разложение банаховой алгебры A на две подалгеб ры, а P+ и P соответствующие проекторы (P+ проектирует A на A+ параллельно A, а P проектирует A на A параллельно A+ ), причем P+ = P = 1. (2.49) Если выполнено условие a 1, (2.50) то элемент e + a допускает единственную факторизацию в виде e + a = (e + a+ )(e + a ), (2.51) где a± A±, причем оба множителя в (2.51) обратимы и (e + a+ )1 e A+, (e + a )1 e A. (2.52) Доказательство. Оно приводится по этапам, если a = 0. При a = утверждение теоремы очевидно.

10. Рассмотрим в алгебре A уравнение x + P+ (xa) = e, (2.53) единичный элемент алгебры, а ненулевой элемент a A об где e ладает свойством (2.50). Свяжем с уравнением (2.53) оператор A+ :

A A, действующий по закону x A, A+ : A A.

A+ x := P+ (xa), (2.54) Легко убедиться, что оператор A+ обладает свойствами линейно сти (аддитивности, однородности). Проверим, что он является (ли нейным) ограниченным оператором. Действительно, a · x, A+ x = P+ (xa) xa A+ a 1. (2.55) Уравнение (2.53) теперь можно переписать в виде (I + A+ )x = e. (2.56) Так как A+ 1, то существует ограниченный обратный оператор (I + A+ )1 (см. лемму 2.2.1 применительно к алгебре L(A)), и тогда задача (2.56) имеет единственное решение x = (I + A+ )1 e = (1)k (A+ )k e. (2.57) k= Как видно из (2.53), это решение x имеет структуру x+ := P+ (xa) = A+ x A+.

x = e + x+, (2.58) 20. Рассмотрим теперь выражение x + xa ;

оно отличается от левой части (2.53), тем, что в (2.53) слева не хватает слагаемого a := P (xa) A, т.е.

x + xa = e + a.

Подставляя сюда в качестве x решение x = e + x+, получим (e + x+ )(e + a) = e + a. (2.59) 30. Проведем теперь рассуждения, двойственные к тем, которые уже проведены выше, но теперь по отношению не к оператору P+, а к оператору P. Именно, рассмотрим уравнение y + P (ay) = e, (2.60) где P : A A проектор на подалгебру A параллельно A+.

Далее, введем оператор A : A A+, действующий по закону A y := P (ay). (2.61) Как и выше, устанавливаем, что A линейный ограниченный опе ратор и A a 1. (2.62) Записываем уравнение (2.60) в виде (I + A )y = e. (2.63) Здесь оператор I + A в силу (2.62) имеет ограниченный обратный и потому y = (I + A )1 e = (1)k (A )k e = e + x, (2.64) k= x := P (ay).

40. Добавим к обеим частям (2.61) элемент a+ := P+ (ay). (2.65) Тогда будем иметь из (2.64), (2.65) y + ay = (e + a)y = (e + a)(e + x ) = e + a+. (2.66) 50. Умножим справа обе части (2.59) на элемент, обратный к e + a. Так как по условию a 1, то этот обратный элемент (e + a) существует (лемма 2.2.1).

Имеем (e + a )(e + a)1 = e + x+. (2.67) Перемножая теперь левые и правые части (2.67) и (2.66), получаем (e + a )(e + x ) = (e + x+ )(e + a+ ). (2.68) Убедимся теперь, что обе части этого равенства равны единичному элементу e. В самом деле, раскрывая скобки в (2.68) и сокращая на e, получим d := a + x + a x = x+ + a+ + x+ a+ =: d+. (2.69) Так как d A, а d+ A+, то отсюда следует, что d+ = d = (почему?).

60. Таким образом, получаем из (2.68), что (e + a )(e + x ) = (e + x+ )(e + a+ ) = e, (2.70) то есть e + x+ обратим справа, а e + a слева.

Как будет следовать из приводимой ниже леммы 2.2.4, эти элемен ты просто обратимы, а тогда из (2.70) имеем:

(e + a )1 = (e + x ), (e + x+ )1 = e + a+. (2.71) Отсюда и из (2.66) тогда получим (e + a)(e + a )1 = e + a+ e + a = (e + a+ )(e + a ). (2.72) Соотношение (2.72) получается также из (2.59) с учётом второй фор мулы (2.71).

Итак, утверждения теоремы 2.2.1 можно считать доказанными, если справедливо следующее утверждение.

Рис. 2.1:

Лемма 2.2.4. В условиях предыдущей теоремы справедливы форму лы (2.71).

Доказательство. Введём в рассмотрение параметр t C и множе ство = {t C : |t |, = (1 a )/ a }, 0 1, (см. рис. 2.1).

1 для любой точки t выполнено Убедимся, что при a неравенство ta 1. (2.73) В самом деле, ta = (t )a + a |t | · a + | | · a a + a = (1 a ) a · a + a = 1.

Отсюда следует, что все рассуждения, проведенные при доказа тельстве теоремы 2.2.1, справедливы не только для элемента a с a 1, но и для элемента ta при t. Поэтому вместо (2.53) можно рассмотреть уравнение x(t) + P+ (x(t)ta) = e, (2.74) а вместо (2.60) уравнение y(t) + P+ (ta y(t)) = e. (2.75) При этом все полученные выше формулы, вплоть до формул (2.70), сохраняются.

В частности, элементы x± (t) и a± (t) непрерывны по t при t.

Действительно. вместо (2.57) и (2.64) теперь имеем соответственно формулы (tA+ )k e, (tA )k e, x(t) = y(t) = k=0 k= которые показывают, что x(t) и y(t) непрерывные по t функции при t. Поэтому функции x+ (t) = P+ (x(t)ta), x (t) = P (ta y(t)) (2.76) также непрерывны по t при t.

Теперь из формулы, аналогичной (2.70), имеем (e + a (t))(e + x (t)) = (e + x+ (t))(e + a+ (t)) = e.

Здесь элемент e + x+ (t), во-первых, обратим справа при t, а во-вторых, при t = 0 он двусторонне обратим, так как из (2.76) следует, что x+ (0) = 0 и потому e + x+ (0) = e. Значит, по лемме 2.2. e + x+ (t) двусторонне обратим при всех t, в частности, при t = 1.

Отсюда и из (2.70) следует вторая формула (2.71).

Первая формула (2.71) основана на рассмотрении уравнения (2.75) и доказывается так же.

Весьма важным является также следующий факт.

Лемма 2.2.5. В условиях доказанной выше теоремы 2.2.1 представ ление (2.51) единственно.

Доказательство. Пусть, напротив, имеются две факторизации элемента e + a:

e + a = (e + a+ )(e + a ) = (e + a+ )(e + a ).

Тогда (e + a+ )1 (e + a+ ) = (e + a )(e + a )1.

(2.77) Однако (e + a )1 = e + x, (e + a+ )1 = e + x+.

Подставляя эти соотношения в (2.77) и раскрывая скобки, будем иметь (после сокращения на e) d+ : = x+ + a+ + x+ a+ = x + a + x a =: d A, A+ откуда следует, что d+ = d = 0. Поэтому обе части (2.77) равны единичному элементу e, и тогда e + a+ = e + a±, e + a = e + a± a+ = a±, a = a±.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.