авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского Н.Д. КОПАЧЕВСКИЙ ...»

-- [ Страница 2 ] --

2.3 Применения факторизационной леммы к спектральной теории операторных пучков Здесь абстрактная теорема 2.2.1 будет применена к элементам ви неровской алгебры W, и на этой основе будут получены условия фак торизации оператор-функций относительно окружности. Полученные факты позволяют далее доказать, опираясь на теоремы М.В. Кел дыша, утверждения о полноте и минимальности системы корневых элементов, отвечающих части спектра операторного пучка.

2.3.1 Применения к винеровской алгебре W Возьмём в качестве конкретной реализации алгебры A винеров скую алгебру W и её прямое разложение на подалгебры W+ и W (см. параграф 2.1):

A = W, A+ = W+, A =W. (2.78) Сейчас будет показано, что общие рассуждения, о которых шла речь в основной факторизационной теореме, позволяют получить до статочные условия канонической факторизации операторного пучка, близкого к единичному оператору.

Рассмотрим оператор-функцию вида L() := I A B(), (2.79) где A L(H), а B() оператор-функция, голоморфная в некотором круге || r:

B k k, Bk L(H), || r.

B() := (2.80) k= Теорема 2.3.1. Пусть для некоторого t (0, r) выполнено условие A Bk tk1 1.

+ (2.81) t k= Тогда оператор-функция L() допускает спектральную фактори зацию (частичную линеаризацию) вида L() = A+ ()(I Z), (2.82) где спектр (Z) { : || t}, (2.83) а A+ () голоморфная и голоморфно обратимая оператор-функция в замкнутом круге { : || t}.

Доказательство. Рассмотрим окружность || = t и осуществим в (2.79) замену = t, || = 1. Тогда L(t) = tI A B(t), || = 1. (2.84) Введем в рассмотрение оператор-функцию L(t) A =I B(t).

A() := (2.85) t t t Как видно из (2.80), 1A (Bk tk1 ) k1.

A() = I D() := I ·+ (2.86) t k= Проверим, что при выполнении условия (2.81) оператор-функция D() W, более того, выполнено условие D() 1. (2.87) W В самом деле, согласно определению (2.3) нормы в алгебре W и определению D() имеем A Bk tk1 = Bk tk1 1.

D() = + A+ W t t k=1 k= Так как в алгебре W роль единичного элемента играет единич ный оператор I, то к элементу I D() при условии (2.87) можно применить основную факторизационную теорему 2.2.1. Учитывая еще специальный вид A(), а также утверждение леммы 2.1.4 для n = 1, приходим к выводу, что имеет место факторизация Z A() = I D() = (I + D+ ()) I || = 1,, (2.88) где (I + D+ ())1 I W+, I + D+ () W+, (2.89) Z1 1 Z1 L(H), (I ) I W. (2.90) Кроме того, как было выяснено в п. 2.1.3, при канонической фак торизации оператор-функции A() W оператор-функция I + D+ () голоморфна и обратима при || 1, а оператор-функция (I Z1 )1 I обладает этими свойствами при || 1. Поэтому из разложения (2.88) будем иметь свойство (Z1 ) { : || 1}. (2.91) Осуществляя в (2.90), (2.91) обратную замену = /t, придем с учётом (2.84), (2.85) к факторизации (2.82) и формуле (2.83), причем A+ () := I + D+ (t1 ), (Z) { : || t}, (2.92) и A+ () голоморфна и голоморфно обратима при || t.

Отметим еще одно важное свойство, которое понадобиться далее.

Так как имеют место включения (2.89), то A+ () := I + D+ (t1 ) = (A+ )k k, k= (2.93).

(A+ )k = I + D+ () W k= Отсюда следует, что (A+ )k tk k =: Ak k, A+ () = (2.94) k=0 k= k Ak · t = (A+ )k. (2.95) k=0 k= Аналогичные свойства имеют место и для A1 (), т.е.

+ (1) (1) A1 () = )k, ) · tk.

(Ak (Ak (2.96) + k=0 k= Важным следствием доказанной теоремы является такое утвер ждение.

Теорема 2.3.2. Пусть B() = 2 B, B L(H). Тогда если выполнено условие 4 A · B 1, (2.97) то пучок L() = I A2 B допускает каноническую факторизацию в виде L() = (D B)(I Z), D = I BZ, (2.98) где (D B) { : || r+ }, (Z) { : || r }, (2.99) 1± 14 A · B 0 r r+.

r± =, (2.100) 2B Доказательство. Рассматриваемый пучок L() = I A 1 B, очевидно, является частным случаем пучка (2.79), (2.80). Поэтому условие (2.81), достаточное для его факторизации, принимает вид A + t B 1. (2.101) t В силу (2.97) ему удовлетворяют все t (r, r+ ), где r± числа, определённые формулами (2.100) и являющиеся корнями квадратного уравнения B r2 r + A = 0, ассоциированного с L().

Поэтому из теоремы 2.3.1 следует, что имеет место факторизация (2.98), (2.99) и (Z) { : || t} = (Z) { : || r }.

Соответственно для пучка D B имеем (D B) { : || t} = (D B) { : || r+ }.

Заметим еще, что в кольце { : r t r+ } пучок L() не имеет точек спектра, так как при любом с || = t (r, r+ ) пучок L() обратим.

Замечание 2.3.1. Напомним, что вопрос о факторизации квадра тичного операторного пучка L() (с заменой A на B и B на A) уже рассматривался в пункте 1.5.3 (см. упражнения 1.5.3–1.5.5). Там, в частности, было установлено, что при условии (2.97) имеет ме сто факторизация вида (2.98), причем для L() = I A 2 B, как следует из упражнения 1.5.4, D B = Y 1 (I Y B), Z = Y A, Y = I + BY AY. (2.102) Условие (2.97) было достаточным условием для существова ния единственного решения Y квадратного операторного уравнения (2.102) в шаре Y R := r / A.

В теореме 2.3.2 те же выводы получены более легким путем, с использованием теоремы 2.3.1 и тривиального неравенства (2.101).

2.3.2 Теоремы М.В. Келдыша При исследовании операторных пучков часто оказываются весьма полезными признаки, позволяющие установить факт полноты систе мы корневых элементов вполне непрерывного оператора, близкого к самосопряжённому. Результаты, которые сформулированы ниже, при надлежат выдающемуся советскому математику и механику, органи затору науки в СССР, президенту Академии Наук СССР, главному теоретику космонавтики Мстиславу Всеволодовичу Келдышу.

Определение 2.3.1. Будем говорить, следуя М.В. Келдышу, что оператор A S (H) имеет конечный порядок, если этот оператор принадлежит классу Sp (H), (0 p ). Это означает, что его s числа, т.е. собственные значения оператора (A A)1/2, суммируются со степенью p, 0 p :

(sk (A))p. (2.103) k= Нижнюю грань чисел p, для которых выполнено условие (2.103), называют порядком оператора A и обозначают p (A).

Теорема 2.3.3. (первая теорема М.В. Келдыша о полноте системы корневых элементов и локализации спектра слабовозмущённого са мосопряжённого вполне непрерывного оператора). Пусть выполнены условия A = A Sp (H), 0 p (A), S S (H).

Z = A(I + S), (2.104) Тогда:

1. Если Ker Z = {0}, то система корневых элементов оператора Z полна в гильбертовом пространстве H.

2. Сколь бы ни было мало 0, все собственные значения опе ратора Z, кроме, быть может, конечного их числа, лежат в углах arg, arg +. (2.105) 3. Если оператор A имеет только конечное число отрицатель ных (положительных) собственных значений, то оператор Z имеет не более конечного числа собственных значений в угле arg + ( arg ). (2.106) Доказательство теоремы М.В. Келдыша, а также более общих тео рем о кратной полноте системы корневых элементов полиномиальных операторных пучков можно найти в монографиях И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна (см. [7]), а также А.С. Маркуса (см. [28]). Здесь ограни чимся лишь некоторыми замечаниями к теореме 2.3.3.

Замечание 2.3.2. Условие Ker Z = {0} равносильно тому, что опе ратор I + S обратим (и тогда обратный ограничен), а также тому, что Ker A = {0}. В последнем случае говорят, что самосопряжен ный компактный оператор A является полным.

Замечание 2.3.3. При выполнении условий теоремы 2.3.3 можно также утверждать, что система корневых элементов сопряжён ного оператора Z = (I + S )A (2.107) тоже полна в H.

В самом деле, оператор Z1 = A(I + S ) удовлетворяет всем усло виям теоремы 2.3.3, а оператор (2.107) подобен ему:

Z = (I + S )Z1 (I + S )1. (2.108) Этот факт есть следствие такого утверждения.

Лемма 2.3.1. Справедливо общее утверждение: если оператор Z об ладает полной системой корневых элементов, то этим свойством будет обладать и всякий подобный ему оператор Z1 := W 1 ZW, W, W 1 L(H).

Доказательство. Для любого H возьмем элемент := W.

Пусть {j } полная система корневых элементов оператора Z.

j= Тогда для любого 0 можно так подобрать номер N = N () и коэффициенты ck = ck (), k = 1,..., N (), что N ck k. (2.109) W k= Докажем теперь, что корневые элементы {j } оператора Z и кор j= невые элементы {j } подобного ему оператора Z1 = W 1 ZW свя j= заны соотношениями j = W j, j = 1, 2,.... (2.110) В самом деле, пусть j корневой элемент оператора Z1, отвеча ющий собственному значению j. Тогда имеем при некотором нату ральном m:

(Z1 j I)m j = 0, (Z1 j I)m1 j = 0.

Отсюда получаем соотношения (Z1 j I)m j = (W 1 ZW j W 1 W )m j = (W 1 (Z j I)W )m j = = W 1 (Z j I)m W j = 0, W 1 (Z j I)m1 W j = 0, из которых следует, в силу обратимости операторов W и W 1, что имеет место связь (2.110).

Опираясь на (2.110) и определение элемента, перепишем (2.109) в виде N W ck k.

W k= Отсюда получаем N N ck k = W 1 (W ck W k ) k=1 k= N W 1 · W ck W k W 1 · =, W k= что и доказывает утверждение леммы.

Замечание 2.3.4. Из леммы 2.3.1 вытекает, что теорема 2.3.3 до пускает обобщение на случай, когда оператор Z имеет вид Sj S (H), Z = (I + S1 )A(I + S2 ), j = 1, 2, (2.111) причём операторы (I + Sj ) обратимы, а Ker Z = {0}.

В самом деле, если положить I + S := (I + S2 )(I + S1 ), Z1 := A(I + S), то Z = W 1 Z1 W, W = (I + S1 )1.

Так как оператор Z1 удовлетворяет условиям теоремы 2.3.3, а опе ратор Z подобен ему, то по лемме 2.3.1 получаем, что система корне вых элементов оператора Z полна в H.

Иногда в приложениях вместо теоремы 2.3.3 пользуются другим утверждением, близким к нему.

Теорема 2.3.4. (вторая теорема М.В. Келдыша). Система корне вых элементов линейного пучка L() := I T A (2.112) полна в H, если оператор A полный самосопряжённый оператор конечного порядка (Ker A = {0}, A Sp (H)), а T S (H).

Доказательство. Оно основано на сведении проблемы к ситуации, когда справедлива первая теорема М.В. Келдыша.

1. Без ограничения общности можно считать, что оператор I T в (2.112) обратим. В самом деле, замена параметра на + a в пучке (2.112), очевидно, не меняет его корневых элементов, а лишь сдвигает его спектр на a. При таком сдвиге пучок L() переходит в пучок L( + a) = I T aA A. (2.113) Если теперь выбрать невещественное a так, чтобы выполнялось условие (I aA)1 T 1, (2.114) то оператор I T aA = (I aA)(I (I aA)1 T ) будет обратим, так как этим свойством будут обладать оба сомножи теля: первый в силу того, что Im a = 0, а второй в силу (2.114).

Оказывается, условие (2.114) можно обеспечить подбором a C;

в частности, оценка (2.114) следует из леммы 7.1 монографии ([7], с.

309).

2. Итак, предполагая в (2.112) существование ограниченного опе ратора (I T )1, будем иметь (I T )1 = I + S, S S (H). (2.115) Как уже отмечалось ранее (лемма 1.5.1), умножение слева любого пучка L() на некоторый ограниченный и ограниченно обратимый оператор не меняет его корневых элементов. Умножим L() из (2.112) на оператор I + S = (I T )1 ;

тогда он перейдёт в пучок L1 () = (I + S)L() = I Z1, Z1 = (I + S)A. (2.116) 3. Таким образом, при условии обратимости оператора I T пол нота системы корневых элементов оператора Z1 эквивалентна полно те системы корневых элементов операторного пучка L(). Восполь зуемся теперь замечанием 2.3.3 и теоремой 2.3.3. Так как Z1 подобен оператору Z := A(I + S) = (I + S)1 Z1 (I + S), а оператор Z, согласно теореме 2.3.3, имеет полную систему корневых элементов, то этим же свойствам обладает оператор Z1, а потому и пучок L().

2.3.3 О полноте системы корневых элементов оператор-функций Применим теперь результаты, приведенные в пунктах 2.3.1 и 2.3.2, для получения достаточных условий полноты системы корневых эле ментов некоторых оператор-функций.

Теорема 2.3.5. Пусть для оператор-функции B k k, L() := I A B(), || r, B() := 0 (2.117) k= выполнены следующие условия:

10. Оператор A = A Sp (H) является полным (KerA={0}).

20. Оператор B1 S (H).

30. Выполнено условие, достаточное для спектральной факто ризации L(), т.е. найдется такое t (0, r), что A t1 + Bk tk1 1. (2.118) k= Тогда система корневых элементов оператор-функции L(), от вечающая собственным значениям из круга { : || t}, полна и минимальна в гильбертовом пространстве H, а собственные значе ния локализованы вдоль действительной оси.

Доказательство. По теореме 2.3.1 в силу условия (2.118) оператор функция L() допускает спектральную факторизацию L() A+ ()(I Z), Z L(H), (2.119) A+ () голоморфна и голоморфно обратима при || t, а (Z) { :

|| t}.

Разложим A+ () в ряд Маклорена, A+ () = A+ (0) + A+ (0) +..., а затем приравняем коэффициенты при степенях 0 и 1 в тождестве (2.119). Это приводит к соотношениям A = A+ (0)Z, I B1 = A+ (0)Z + A+ (0). (2.120) t, то A1 (0) Так как оператор-функция A+ () обратима при || + L(H), и из первого уравнения (2.120) получаем Z = A1 (0)A Sp (H), (2.121) + так как A Sp (H). Второе уравнение (2.120) дает A+ (0) = I B1 + A+ (0)Z =: I T, T S (H), (2.122) поскольку по условию B1 S (H), A+ (0) L((H)).

Снова вспоминая об обратимости A+ (0) и его структуре (2.122), из (2.121) получаем Z = (I T )1 A = (I + S)A, S = (I T )1 I S (H). (2.123) Выяснив структуру фактора Z, вернемся к разложению (2.119).

Так как A+ () голоморфна и голоморфно обратима при || t, то спектральная задача L() A+ ()(I Z) = 0, || t, (2.124) равносильна задаче || t, (Z) { : || t}.

Z =, Z = (I + S)A, (2.125) Это задача на собственные значения для слабовозмущенного са мосопряженного оператора Z, к которой применима первая теорема М.В. Келдыша (теорема 2.3.3), а также замечание 2.3.3 к ней. Дей ствительно, по условию 10 оператор A = A Sp (H) полный, а опе ратор (I + S), как доказано выше, обратим и S S (H). Поэто му из теоремы 2.3.3 следует, что система корневых элементов задачи (2.125), а потому и задачи (2.124), отвечающая собственным значени ям из открытого круга || t, полна в H, а собственные значения локализованы вдоль действительной оси. Кроме того, эта система об ладает свойством минимальности в H, поскольку (2.125) задача на собственные значения для линейного пучка, когда свойство перепол нения (неминимальности) корневых элементов не имеет места.

Рассмотрим теперь вместо (2.117) оператор-функцию более специ ального вида, возникающую, как уже упоминалось выше, в задачах гидродинамики вязкой жидкости.

Теорема 2.3.6. Пусть для операторного пучка С.Г. Крейна L() := I A 1 B (2.126) выполнены условия A, B L(H), KerA = KerB = {0}. (2.127) Тогда имеют место следующие утверждения:

1. Если A = A, B = B и выполнено условие сильной демпфиро ванности 4(A, )(B, ) (, )2, = 0, H, (2.128) то пучок L() может иметь лишь вещественные собственные зна чения.

2. Если в отличие от 1 условие (2.128) не выполнено, то все невещественные собственные значения, а также те вещественные собственные значения, собственные элементы которых имеют при соединённые элементы, расположены в кольце || 2B. (2.129) 2A (В этом случае 4 A · B 1.) 3. Если B = B Sp (H), 0 p, и выполнено условие 4 A · B 1, (2.130) то система корневых элементов пучка L(), отвечающая собствен ным значениям из круга || r± := (1 ± 1 4 A · B )/(2 A ), r, (2.131) полна и минимальна в H.

4. Если A = A Sq (H), 0 q, и выполнено условие (2.130), то система корневых элементов пучка L(), отвечающая собственным значениям вне круга || r+, полна и минимальна в H.

Доказательство. 1. Утверждение 1 есть следствие соотношения (L(), ) := (, ) (A, ) 1 (B, ) = 0, (2.132) которое выполняется для собственного значения пучка L() и отве чающего этому значению собственного элемента = 0.

2. Пусть A = A, B = B, а условие (2.128) не выполнено для всех H. Тогда для невещественных собственных значений пучка L(), определяемых (как решения уравнения (2.132)) по формуле (, )2 4(A, )(B, ) (, ) ± =, (2.133) 2(A, ) подкоренное выражение (дискриминант квадратного относительно трехчлена) будет отрицательным. Поэтому (, ) 2|(B, )| (, )2 4(A, )(B, ). (2.134) 2|(A, )| (, ) При невещественном из формулы (2.133) следует также (проверь те!), что |(B, )| 2|(B, )| (, ) 0 ||2 = · =. (2.135) |(A, )| (, ) 2|(A, )| Применяя теперь в обе стороны неравенство (2.134), получим из (2.135) (, ) 2 2(B, ) ||2. (2.136) 2(A, ) (, ) Отсюда следуют оба неравенства (2.129) для невещественных.

Пусть теперь = 0 R собственное значение пучка L() := I A(), A() := A+1 B, для которого собственному элементу = 0 отвечает также присоединённый элемент 1. Тогда соотношения L(0 )0 = 0 и L(0 )1 + L (0 )0 = 0 приводят к формулам 0 = A(0 )0, 1 = A(0 )1 + A (0 )0.

Умножим скалярно обе части второго равенства на 0 и восполь зуемся свойством самосопряжённости оператора A(0 ) (почему?), а также первым уравнением. После умножения на 0 будем иметь 0 (A (0 )0, 0 ) = 0 0 (A0, 0 ) (B0, 0 ) = 0.

Отсюда и из соотношения (L(0 )0, 0 ) = 0 0 (A0, 0 ) + (B0, 0 ) = (0, 0 ) будем иметь 20 (A0, 0 ) = (0, 0 ), (B0, 0 ) = (0, 0 ).

Тогда (0, 0 ) 2(B0, 0 ) = 0 =, 2(A0, 0 ) (0, 0 ) откуда снова следуют неравенства (2.129).

30. Пусть теперь B = B Sp (H) и выполнено условие (2.130).

Воспользуемся уже доказанной ранее (см. упражнение 1.5.4 и условие (1.62)) факторизацией операторного пучка L() = I 2 A B.

Тогда для L() будем иметь L() = Y 1 (I Y A)(I 1 Y B), Y = I + AY BY, (2.137) для которой (при условии 4 A · B 1) спектр (I 1 Y B) { : || r, = 0}.

Кроме того, по условию (2.117) Ker B = {0}. Из квадратного опе раторного уравнения для Y в (2.137) имеем (I + S)1 L(H).

S S (H), Y = I + S, Вспоминая еще, что оператор (I Y A) обратим при || r+, при ходим к выводу, что (L) = (Y B) при || r. Отсюда по первой теореме Келдыша (теорема 2.3.3) получаем, что имеет место утвер ждение 30 данной теоремы.

40. Пусть A = A Sq (H), 0 q, и выполнено условие (2.130). Тогда (согласно упражнению 1.5.3) имеет место другая фак торизация (см. (1.58), (1.59)) L() = X 1 (I 1 XB)(I XA), X = I + BXAX. (2.138) Осуществим в (2.138) замену спектрального параметра = µ1.

Тогда возникает операторный пучок L(µ) = I µ1 A µB и его факторизация L(µ) := X 1 (I µXB)(I µ1 XA), X = I + BXAX, (2.139) которые совпадают с (2.137), если формально произвести замены µ, Y X, A B, B A.

Поэтому доказательство утверждения 40 теоремы в точности по вторяет рассуждения, проведенные выше в пункте 30. Этим заверша ется доказательство всей теоремы в целом.

Упражнение 2.3.1. Показать, опираясь на представление (2.139), что для пучка L() в представлении (2.137) выполнено включение (I XA) { : || r+ }, а оператор (I 1 XB) обратим при || r.

Замечание 2.3.5. Утверждения 3 и 4 теоремы 2.3.6 можно дока зать также, опираясь на условие сильной демпфированности (2.128) и один результат Гохберга–Лайтерера о факторизации операторных пучков.

Замечание 2.3.6. Несколько позже утверждения 3 и 4 теоремы 2.3.6 будут усилены: вместо требований A Sp (H), B Sq (H) будет достаточно, чтобы A, B S (H), причём будут доказаны не только свойства полноты, но и базисности Рисса системы корневых элементов операторного пучка С.Г. Крейна.

Следствие 2.3.1. Пусть A = A Sp (H), B = B Sq (H) полные операторы, для которых выполнено условие (2.130). Тогда пу чок L() обратим в кольце r || r+ и для него имеют место утверждения 1, 3 и 4 теоремы 2.3.6.

Глава Базисность системы корневых элементов оператор-функции В этой главе рассматриваются операторные пучки, которые назы ваются самосопряженными. В этом случае оказывается, что при на личии факторизации такого пучка фактор Z во втором сомножителе в формуле L() = A+ ()(I Z) обладает дополнительными полезными свойствами. Именно, оказы вается что Z подобен самосопряженному оператору, а потому систе ма его собственных элементов образует так называемый базис Рисса в гильбертовом пространстве H. В некоторых случаях собственные элементы оператора Z обладают еще более тонким свойством, чем базисность Рисса, свойством так называемой p–базисности. Элемен ты p–базиса достаточно близки в определенном смысле к элементам ортонормированного базиса.

Еще одна важная проблема выяснение характера асимптоти ческого поведения ветвей собственных значений операторного пучка, расположенного в том или ином секторе комплексной плоскости. Эта проблема также обсуждается в данной главе.

Наконец, в последнем параграфе главы изучаются спектральные свойства операторного пучка С.Г. Крейна, возникающего при нор мальных колебаниях вязкой жидкости в открытом сосуде. Рассмотре но также обобщение этой задачи, когда сосуд с жидкостью в невозму щенном состоянии равномерно вращается с постоянной угловой ско ростью.

3.1 Самосопряжённые операторные пучки Коль скоро для некоторого операторного пучка L() установлено свойство полноты системы его корневых элементов, возникает есте ственный вопрос: нельзя ли из этих элементов составить базис в H.

3.1.1 Базисы в гильбертовом пространстве Напомним сейчас некоторые известные определения.

Определение 3.1.1. Последовательность {j } элементов гиль j= бертова пространства H называется базисом этого пространства, если любой элемент H разлагается единственным образом в ряд = cj j, j= сходящийся по норме пространства H, т.е.

n cj j 0 (n ).

j= При этом коэффициенты cj находятся по элементу однозначно, т.е. cj = cj (), j = 1, 2,....

Определение 3.1.2. Базис {j } H, для элементов которого j= выполнены свойства (j, k ) = jk, где jk символ Кронекера (jk = 0 при j = k и jj = 1), называется ортонормированным базисом пространства H.

Определение 3.1.3. Базис {j } H, получаемый из ортонор j= мированного базиса {j } H по закону j= j = Aj, j = 1, 2,..., где A некоторый линейный ограниченный и ограниченно об ратимый оператор (A, A1 L(H)), называется базисом, эквивалентным ортонормированному, или базисом Рисса.

В некоторых задачах возникают базисы, еще более близкие к ор тонормированному, чем базис Рисса.

Определение 3.1.4. Будем говорить, что базис Рисса {j } H j= является p–базисом, 0 p, если T Sp (H), j = (I + T )j, j = 1, 2,..., где {j } ортонормированный базис в H. При p = 2 говорят о j= базисе Бари.

Замечание 3.1.1. При p из свойства p–базисности системы элементов {j } следует свойство p–близости этой системы к j= соответствующему ортонормированному базису {j }, то есть j= свойство p j j.

j= При 0 p 2 из свойства p–близости базиса {} к ортонорми j= рованному базису {j } следует, что {j } является p–базисом.

j=1 j= Отсюда получаем, что при p = 2, т.е. для базиса Бари, понятия p– близости и p–базисности эквивалентны.

3.1.2 Самосопряжённые оператор-функции Многие задачи механики сплошных сред приводят к изучению опе раторных пучков с коэффициентами, являющимися самосопряжённы ми операторами.

Определение 3.1.5. Операторный пучок L() называется самосо пряжённым, если L() L().

Пример 3.1.1. Пучок С.Г. Крейна, отвечающий задаче о нормаль ных колебаниях тяжёлой вязкой жидкости в сосуде, как уже упо миналось во введении, имеет вид L() := I (A + 1 B), A = A 0, B = B = 0, 0. (3.1) Он, очевидно, самосопряжён.

Пример 3.1.2. Пусть Bk k, L() := I A B(), || r, B() := (3.2) k= A=A, Bk = Bk, k = 1, 2,....

Для этого пучка свойство самосопряжённости также выполнено.

Пусть самосопряженный пучок L() допускает частичную линери зацию, т.е. факторизацию L() = A+ ()(I Z), (Z) { C : || t}, (3.3) относительно окружности || = t. В некоторых случаях удается уста новить. что фактор Z, отвечающий за ту часть спектра пучка L(), которая расположена в круге || t, подобен самосопряженному опе ратору. Поэтому Z может иметь лишь собственные элементы. При определенных условиях эти собственные элементы образуют базис Рисса в гильбертовом пространстве H, а иногда и p-базис.

Перейдем к рассмотрению этих вопросов.

Определение 3.1.6. Говорят, что самосопряжённый оператор F симметризует оператор Z справа, если (ZF ) = ZF.

Лемма 3.1.1. Если Z из L(H) имеет положительно определенный симметризатор F L(H), т.е. F = F 0, то Z подобен самосо пряжённому оператору.

0 и F L(H), то Доказательство. В самом деле, так как F существуют операторы F 1/2, F 1/2, которые также являются самосо пряженными и положительно определёнными (эти факты следуют из спектрального разложения для F = F 0, проверьте это!). Тогда F 1/2 ZF 1/2 = F 1/2 (ZF )F 1/2 =: K = K L(H), так как (ZF ) = ZF. Поэтому Z = F 1/2 KF 1/2, то есть Z подобен самосопряжённому оператору K.

Упражнение 3.1.1. Проверить, что F 0 тогда и только то гда симметризует оператор Z справа, когда F 1 симметризует Z слева, т.е.

(F 1 Z) = F 1 Z.

3.1.3 О базисности Рисса системы корневых элементов самосопряжённого операторного пучка Рассмотрим снова операторный пучок вида (3.2) и будем пред полагать, что выполнено условие, достаточное для его канонической факторизации: существует t (0, r) такое, что A t1 + Bk tk1 1. (3.4) k= Лемма 3.1.2. Пусть выполнены условия (3.2), (3.4). Тогда фактор Z, появляющийся при факторизации (3.3) пучка L(), допускает симметризацию справа оператором L1 ()d.

F := (3.5) 2i ||=t Доказательство. Заметим сначала, что F L(H) как интеграл от непрерывной функции L1 (), заданной на окружности || = t.

Проверим теперь, что F = F. Действительно, из (3.5) имеем, 1 F = L1 () L1 ()d.

d = 2i 2i ||=t ||=t Осуществляя здесь замену | |, т.е. переходя от интегрирова ния по часовой стрелке к интегрированию против часовой стрелки, получим (по свойствам криволинейных интегралов) F = L1 ()d = F.

2i ||=t Убедимся, наконец, что F симметризует оператор Z справа. В са мом деле, L1 ()d = ZF := Z 2i ||=t 1 (Z I)L1 ()d + L1 ()d =:

= 2i 2i ||=t ||=t (Z I)(I Z)1 A1 ()d + F1.

=: + 2i ||=t Так как A1 () голоморфна в круге || t, то первый интеграл + справа (по теореме Коши) равен нулю, а второй является самосопря жённым оператором. Этот последний факт доказывается так же, как вышеприведенное рассуждение для F. Окончательно получаем ZF = F1 = F1 = (ZF ).

Следующий весьма важный шаг состоит в доказательстве такого утверждения.

Лемма 3.1.3. Пусть выполнены условия (3.2), (3.4). Тогда симмет ризатор F оператора Z из разложения (3.3) является положитель но определенным в H:

F 0. (3.6) Доказательство. Если выполнено условие (3.4), то при любом H, при любом с || = t имеет место оценка L() Bk k1, I, = A+ k= (3.7) A k1 2 2 + Bk t =: (t).

t k= Поэтому при любом H и тех же (в силу свойства F = F ) имеем L1 (), d.

(F, ) = Re (F, ) = Re 2i ||=t Осуществим здесь замены = tei, d = tei id, L() =: L0 (), L0 () = I 1 A k1 Bk.

k= Тогда L1 (tei ), d.

(F, ) = Re Вводя еще функцию () := L1 (tei ), получим (),L0 (tei )() d = (F, ) = Re 2 (),(I (A(tei )1 + = Re 2 (3.8) (tei )k1 Bk ))() d + k= 1 () 2 d 1 (t) 2 (t) 1 (t) · 2 = 2 = 1 (t) 2 (t) 2.

Здесь использовано неравенство (3.7) при = tei, а в последнем переходе неравенство H, t = ||, () (t), (t) := max L0 ().

||=t (докажите этот факт).

Из (3.8) следует, что оператор F положительно определен:

(F, ) c 2, c := 1 (t) 2 (t) 0. (3.9) Неравенство (3.9) и есть утверждение данной леммы.

Естественным следствием доказанных лемм 3.1.1 3.1.3 является такое утверждение.

Теорема 3.1.1. Пусть выполнены условия (3.2), (3.4) для самосо пряжённого операторного пучка L() := I A B().

Тогда:

1. Пучок L() допускает факторизацию (3.3), где оператор-функция A+ () голоморфна и голоморфно обратима в круге || t, t (0, r), (Z) (t, t), (3.10) и оператор Z подобен самосопряжённому оператору.

2. Если дополнительно выполнены условия A S (H), Ker A = {0}, B1 S (H), (3.11) то задача L() = 0 имеет на промежутке (t, t) дискретный спектр (Z) = {0} {j }, j 0 (j ), (3.12) j= где j = j (Z) изолированные конечнократные собственные значения оператора Z. Этим значениям отвечает совокупность {j } H собственных элементов (присоединённых нет!), обра j= зующих базис Рисса в H:

j = F 1/2 j, j = 1, 2,..., где {j } ортонормированный базис, составленный из собствен j= ных элементов самосопряженного компактного оператора K := F 1/2 (ZF )F 1/2.

Доказательство. При выполнении условия (3.4) пучок L(), со гласно теореме 2.3.1, допускает факторизацию (3.3). Так как L() самосопряженный пучок, то по лемме 3.1.2 фактор Z симметризуется справа оператором F из (3.5). Далее, по лемме 3.1.3 симметризатор F положительно определен. Поэтому по лемме 3.1.1 получаем, что оператор Z подобен самосопряженному оператору. Тогда его спектр, расположенный внутри круга || t, должен быть вещественным, т.е.

выполнено включение (3.10).

Пусть теперь выполнены условия (3.11). Тогда, как следует из до казательства теоремы 2.3.5 и формул (2.123), (I + S)1 L(H).

S S (H), Z = (I + S)A, (3.13) Так как по условию Ker A = {0}, то Ker Z = {0}.

Рассмотрим теперь в области (t, t) задачу на собственные значе ния Z =, H. (3.14) Осуществим здесь замену = F 1/2, H, (3.15) и подействуем на обе части (3.14) оператором F 1/2. Возникает задача K := F 1/2 (ZF )F 1/2 =, (t, t). (3.16) Поскольку здесь оператор ZF самосопряжён и вполне непрерывен (так как (I + S) L(H), A S (H), F L(H)), а его ядро нулевое, то (3.16) есть задача на собственные значения для полного самосопря жённого оператора K. Поэтому, согласно теореме Гильберта-Шмидта, она имеет счётное множество конечнократных собственных значений и полную ортонормированную систему собственных элементов:

j 0, (j ), j = j (K) = j (Z), (j, k ) = jk.

Поэтому в задаче (3.14) в силу замены (3.15) имеем (Z) = {0} {j }, = j = F 1/2 j, j= F 1/2, F 1/2 L(H), j = 1, 2,..., где {j } ортонормированный базис оператора K = j= 1/2 1/ F (ZF )F,аF 0 симметризатор фактора Z.

3.1.4 О базисности Рисса для пучка С.Г. Крейна Рассмотрим снова пучок С.Г. Крейна L() := I (A + 1 B), = 0, (3.17) и будем считать, что A = A S (H), B = B S (H). (3.18) Теорема 3.1.2. Пусть для пучка (3.17), (3.18) выполнены условия:

Ker A = {0}, dim(H H0 ) =, H0 := Ker B, dim H0 0, (3.19) 1± 14 A · B 4 A · B 1, r± :=. (3.20) 2A Тогда:

1. Пучок L() имеет дискретный вещественный спектр с предельными точками = 0 и =.

2. Предельной точке = 0 отвечает ветвь {0n } изо n= лированных конечнократных собственных значений = 0n, расположенных на отрезке [r, r ] R. Соответствующая система собственных элементов (присоединённых нет) после проек тирования на подпространство H1 := H H0 образует базис Рисса в H1.

3. Предельной точке = отвечает ветвь {m } изо m= лированных конечнократных собственных значений, расположенных на действительной оси вне промежутка (r+, r+ ). Соответствую щая система собственных элементов (присоединённых нет) образу ет базис Рисса в H.

Доказательство. Утверждение 1 будет доказано в процессе до казательства утверждений 2 и 3.

Докажем (наиболее сложное) утверждение 2. Введём пучок M () := L() = I B 2 A.

Он имеет структуру пучка, к которому применимы результаты тео ремы 3.1.1 (так как здесь можно заменить A B, B() 2 A), а также теоремы 2.3.6.

В частности, при выполнении уcловия 4 A · B 1 имеет место факторизация M () = Y 1 (I Y A)(I Y B), (3.21) Y = I + AY BY, || t (r, r+ ), причем оператор I Y A обратим при || r+, а (Z) := (Y B) { : || r }. (3.22) Так как M () самосопряженный пучок и выполнено условие, достаточное для его факторизации, то по леммам 3.1.2 и 3.1.3 фактор Z = Y B симметризуется справа оператором F 0, M 1 () d, t (r, r+ ).

F= (3.23) 2i ||=t Опираясь на эти факты, рассмотрим в круге || t спектральную задачу Z =, Z = Y B, Y = I + AY BY =: I +. (3.24) Отметим, что в этой задаче Ker B может быть нетривиальным, так как по условию dim H0 может быть положительной.

Пусть P0 и P1 ортопроекторы на H0 и H1 соответственно. Тогда H0 и H1 – инвариантные подпространства для оператора B, причем dim Ker B1 := dim Ker P1 BP1 =.

B0 := P0 BP0 = BP0 = 0, Отметим еще, что оператор := AY BY S (H) в силу (3.18).

Применим к обеим частям уравнения (3.24) ортопроекторы P0 и P1 соответственно, получим P0 (I + )BP1 1 = 0, 0 := P0 ;

(3.25) P1 (I + )BP1 1 = 1, 1 := P1. (3.26) Так как по условию (см. (3.17)) = 0, то по известному решению 1 := P1, отвечающему собственному значению, можно найти 0 = P0 из (3.25). В то же время уравнение (3.26) не содержит 0, и потому это уравнение можно рассмотреть отдельно в пространстве H1.

Здесь BP1 = P1 BP1 =: B1 = B1 полный оператор в H1 (Ker B1 = {0}), являющийся также самосопряженным.

Перепишем (3.26) в виде 1 H 1, Z1 1 := P1 (I + )P1 B1 1 = 1, (3.27) и воспользуемся теперь свойством ZF = (ZF ) =: K. Применяя здесь оператор P1 слева и справа, будем иметь (P1 (I + )BP1 ) (P1 F P1 ) =: Z1 · F1 = (Z1 F1 ) =: K1 = K1 S (H1 ).

(3.28) 0 (в H1 ). Действи Легко убедиться, что оператор F1 := P1 F P тельно, при любом 1 H1 имеем 1 = P1 1 и потому (F1 1, 1 ) =(P1 F P1 1, 1 ) = (F P1 1, P1 1 ) = c 1 2, =(F 1, 1 ) c 0.

Докажем теперь, что для оператора Z1 S (H1 ) из (3.27), (3.28) выполнено условие Ker Z1 = {0}. В самом деле, в представлении Z1 = (P1 (I + )P1 )B второй сомножитель имеет нулевое ядро по выбору подпространcтва H1. Поэтому достаточно установить, что оператор P1 (I + )P1 = P1 Y P1, Y = I + AY BY, обратим в H1, поскольку S (H).

Докажем этот факт. Из уравнения для Y следует, что Y 1 = I AY B. Тогда матричное представление Y 1 в ортогональном раз ложении H = H1 H0 имеет вид I1 P1 AY BP1 P1 AY BP0 I1 11 Y 1 = =:.

P0 AY BP1 I0 P0 AY BP0 01 I Так как оператор Y = (Y 1 )1 существует и принадлежит L(H), то уравнение Y 1 u = v должно иметь единственное решение. Если u = (u1 ;

u0 )t, v = (v1 ;

v0 )t соответствующие вектор–столбцы в дан ном ортогональном разложении, то указанное уравнение приводит к системе уравнений (I1 11 )u1 = v1, 01 u1 + u0 = v0.

Она имеет единственное решение, если I1 11 обратим. Тогда (I 11 )1 L(H1 ), а решение системы уравнений дается формулой (I1 11 ) u1 0 v =: = 01 (I1 11 ) u0 I0 v P1 Y P1 P1 Y P0 v =Yv =.

P0 Y P1 P0 Y P0 v Отсюда следует, что оператор P1 Y P1 = P1 (I + )P1 обратим в H1 и (P1 Y P1 )1 = I1 11 L(H1 ).

Вернемся к соотношению (3.28), оно приводит к формуле Z1 = P1 (I + )BP1 = P1 (I + )P1 · B1 = K1 · F1. (3.29) Тогда уравнение (3.27) принимает вид 1 H 1.

K1 F1 1 = 1, (3.30) Осуществим здесь замену 1/ H1, 1 = F1, (3.31) 1/ и применим слева в (3.30) оператор F1. Получим уравнение 1/2 1/ F1 K1 F1 =. (3.32) Теперь остается лишь повторить концовку доказательства теоре 1/2 1/ мы 3.1.1: так как F1 K 1 F1 является компактным самосопря женным оператором с нулевым ядром, то задача (3.32) имеет счет ное множество конечнократных изолированных собственных значе ний {0n }, 0n 0 (n ), и отвечающую им полную ортого n= нальную систему собственных элементов {0n } H1, т.е. ортого n= нальный базис подпространства H1. Поэтому с учётом формулы связи (3.31) отсюда следует, что проекции на H1 собственных элементов ис ходной задачи (3.24) образуют базис Рисса в H1, и утверждение данной теоремы доказано.

Докажем теперь утверждение 30. Это можно сделать так же, как в конце доказательства теоремы 2.3.6. Именно, в пучке L() (см. (3.17)) осуществляем замену = µ1. Возникает пучок L(µ) = I µB µ1 A, который факторизуется по формуле (2.139), и тогда µM (µ) = X 1 (I µXB)(µI XA), X = I + BXAX. (3.33) Здесь следует учесть, что для факторизационной окружности |µ| = t (r, r+ ), r± = 1/r = (1 ± 1 4 A · B )/(2 B ).

Упрощающим обстоятельством для пучка (3.33) и соответствующей задачи Z := XA = µ, |µ| t, (3.34) теперь является тот факт, что Ker A = {0}. Поэтому в (3.34) не нужно проводить процедуру проектирования на H1 = H H0, так как H0 = {0}.

Этим завершается доказательство всей теоремы в целом, так как утверждение 10, как уже упоминалось, следует из утверждений 20 и 30. Упражнение 3.1.2. Проведите подробное доказательство утвер ждения 30 теоремы 3.1.2.

3.2 О p-базисности системы собственных элементов и асимптотике ветвей собственных значений операторных пучков Здесь будут получены достаточные условия, обеспечивающие для фактора Z, возникающего при факторизации пучка L(), свойство не только базисности Рисса его собственных элементов, но и свойство их p-базисности. Кроме того, при некоторых более жёстких ограничени ях на свойства операторных коэффициентов пучка будут получены асимптотические формулы для отдельных ветвей собственных значе ний.

3.2.1 Об s-числах вполне непрерывных операторов Пусть A S (H), B := (A A)1/2 S (H), B 0. Как уже упо миналось в п. 2.3.2, s-числами оператора A называются собственные значения оператора B:

sj (A) = j ((A A)1/2 ), j = 1, 2,....

Так как sj (A) 0, то их можно пронумеровать в порядке убывания с учетом их кратности. Если ненулевых s-чисел оператора A лишь конечное число, равное, скажем, M, то полагают sj (A) = 0 при j M.

Укажем некоторые простейшие свойства s-чисел оператора A S (H):

1. s1 (A) = A ;

2. A = A sj (A) = |j (A)|, j = 1, 2,... ;

3. sj (cA) = |c|sj (A), c C;

4. sj (A) = sj (A ), j = 1, 2,....

Отметим ещё несколько важных свойств:

5. sj (BA) B · sj (A), j = 1, 2,... ;

6. sj (AB) B · sj (A), j = 1, 2,... ;

7. sm+n1 (A + B) sm (A) + sn (B), m, n = 1, 2,... ;

8. sm+n1 (AB) sm (A) · sn (B), m, n = 1, 2,....

Напомним, что оператор A Sp (H), если его s-числа суммиру ются со степенью p, а нижнюю грань значений p для оператора A называют порядком оператора A и обозначают p (A).

Пусть A, B операторы конечного порядка. Тогда для таких опе раторов имеют место следующие свойства:

90. A SpA, B SpB = A + B Sq, q = max(pA ;

pB );

(3.35) 1 + (pB )1.

10. A SpA, B SpB = AB, BA Sq, q = (pA ) (3.36) Все эти свойства, а также многие другие свойства s-чисел доказы ваются в монографии И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна [7].

3.2.2 О p-базисности системы собственных элементов, отвечающих двум ветвям пучка С.Г. Крейна Перед рассмотрением этой проблемы решим предварительно сле дующее упражнение.

Упражнение 3.2.1. Пусть (Z) { : || t}. Доказать, что (Z I)1 k d = Z k, k = 0, 1, 2,.... (3.37) 2i ||=t Доказательство. Пусть сначала k 1. Тогда левая часть (3.37) равна 1 (Z I)1 (k I Z k )d + Z k (Z I)1 d = 2i 2i ||=t ||=t (k1 I + k2 Z +... + Z k2 + Z k1 )d + Z k · I = Z k, = 2i ||=t если выполнено (3.35) при k = 0. Здесь первый интеграл равен нулю по теореме Коши, так как подинтегральная функция является анали тической при || t (в данном случае полином порядка k 1).

В случае k = 0 воспользуемся тем фактом, что (Z) { : || t}. Тогда (Z I)1 при || = t обратим и (см. упражнение 1.2.2) (Z I)1 = 1 (I 1 Z)1 = 1 k Z k = k= (k+1) Z k, = || = t.

k= Отсюда следует, что 1 1 (Z I)1 d = (k+1) d Zk = 2i 2i k=0 ||=t ||=t 1 d · Z 0 = I.

= 2i ||=t Рассмотрим теперь снова пучок С.Г. Крейна L() := I A 1 B (3.38) и будем считать, что A = A SpA, B = B SpB. (3.39) Теорема 3.2.1. Пусть для пучка (3.38), (3.39) выполнены условия теоремы 3.1.2, т.е.

Ker A ={0}, dim H1 := dim{H H0 } =, (3.40) H0 := Ker B, dim H0 0, 4 A · B 1, r± = (1 ± 1 4 A · B )/(2 A ). (3.41) Тогда система собственных элементов, отвечающая собствен ным значениям из отрезка [r, r ], после проектирования на H образует p-базис в H1 при p1 = (pA )1 + (pB )1.

p p0, (3.42) Соответственно система собственных элементов, отвечающая собственным значениям на вещественной оси вне промежутка (r+, r+ ), образует p-базис в H при тех же p.

Доказательство. Так как выполнены все условия теоремы 3.1.2, то пучок (3.38) допускает факторизацию относительно окружности || = t, t (r, r+ ), причём две ветви собственных значений {0n } n= и {n } таковы, что им отвечают собственные элементы, образу n= ющие базисы Рисса в H1 (после проектирования на H1 ) и H соответ ственно.

Напомним ещё, что в области || t спектральная задача для пучка L() была приведена к изучению проблемы Z1 1 = 1, 1 = P1 1, Z1 := P1 ZP1. (3.43) Здесь P1 : H H1 ортопроектор, Z фактор, появившийся при разложении L() = Y 1 (I Y A)(I 1 Z), Z = Y B, Y = I + AY BY, (3.44) Z1 полный оператор, симметризующийся справа оператором F1 := P1 F P1 0, где F симметризатор для Z, F 0.

Далее, при доказательстве теоремы 3.1.2 вводился оператор K1 := Z1 F1 = K1 S (H1 ), а уравнение (3.43) после замены 1/ 1 = F1 (3.45) было приведено к уравнению 1/2 1/ K1 := F1 K1 F1 = (3.46) с полным самосопряжённым компактным оператором K1. Собствен ные элементы {0n } этого оператора, согласно теореме Гильберта– n= Шмидта, образуют ортогональный базис в H1. Выбирая его ортонор мированным, считаем, что {0n } ортонормированный базис в H1.

n= Покажем теперь, что если выполнены условия (3.39), то справед ливо первое утверждение теоремы и имеет место формула (3.42). Для доказательства p–базисности собственных элементов 1/ 1n = F1 0n, n = 1, 2,... (3.47) задачи (3.43) необходимо установить, что 1/ T1 Sp (H1 ), F1 = I1 + T1, p p0. (3.48) Представим T1 в виде 1/2 1/ + I1 )1 = I1 = (F1 I1 )(F T 1 = F 1/2 1/ + I1 )1 = P1 T P1 (F1 + I1 )1, (3.49) = P1 (F I)P1 (F T := F I.

Так как здесь справа все сомножители, кроме T, ограничены, то T1 бу дет принадлежать классу Sp, если T Sp. (В самом деле, из свойств 50 и 60 s–чисел и определения класса Sp следует, что AB, BA при надлежат классу Sp, если A Sp, B L(H), продумайте это!).

Воспользуемся представлением (3.23) для симметризатора F, M 1 () d, F= M () = L(), 2i ||=t а также разложением (3.44). Будем иметь (I Y B)1 (I Y A)1 Y d.

F= 2i ||=t Так как здесь оператор-функция (I Y A)1 голоморфна при || t, то она допускает разложение в равномерно сходящийся ряд Маклоре на (ряд Неймана для оператора, близкого к единичному):

(I Y A)1 = (Y A)k, || t.

k= Поэтому 1 (Y A)k k Y d = F = (Y B I) 2i k= ||=t (Y B I)1 k (Y A)k Y.

= 2i k= ||=t Так как (Z) = (Y B) { C : || r t}, то по формулам (3.37) из упражнения 3.2.1 получаем, что (Y B)k (Y A)k F= Y. (3.50) k= Отсюда и из уравнения Y = I + AY BY (см. (3.44)) имеем (Y B)k (Y A)k F =Y+ Y= k= (3.51) (Y B)m (Y A)m = I + AY BY + Y B Y AY = m= = I + AY BY + Y BF Y AY.

Тогда T := F I = AY BY + Y BF Y AY. (3.52) Так как здесь операторы Y и F ограничены, а операторы A и B принадлежат классам SpA и SpB соответственно, то каждое слагаемое в (3.52), а потому и сумма операторов принадлежит классу Sp при p = p 0, p 1 = p1 + p1. Поэтому T принадлежит этому же классу Sp, а 0 A B вместе с ним, в силу представления (3.49), T1 Sp. Этим завершается доказательство первого утверждения теоремы.

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично с теми упрощениями, о которых уже упоминалось в процессе доказательства п.30 теоремы 3.1.2. Именно, осуществляя в пучке L() замену = µ1, приходим к пучку L(µ) := I µB µ1 A, который допускает факто ризацию относительно окружности |µ| = t, t (r, r+ ), r± = 1/r.

Для этого пучка вводим симметризатор M 1 (µ) dµ, F := M (µ) = µL(µ), 2i ||=t и повторяем вышеприведенные рассуждения с тем упрощением, что здесь в силу свойства Ker A = {0} вместо проектора P1 следует взять единичный оператор I, действующий в H. Это лишь сократит дока зательство второго утверждения теоремы.

Замечание 3.2.1. Если вместо условий (3.39) взять условия A L(H), B SpB, то справедливо первое утверждение теоремы 3.2. при p = p 0 = pB. Этот факт следует из представления (3.52) опе ратора T. Аналогично, если выполнены условия A SpA, B L(H), то справедливо второе утверждение теоремы 3.2.1 при p = p 0 = pA.

Это также следует из (3.52).

3.2.3 О p-базисности системы собственных элементов самосопряженной оператор функции Утверждения, полученные в п.3.2.2 для пучка С.Г. Крейна, можно обобщить на случай самосопряженной оператор-функции общего вида k B k, L() := I A B(), || r, B() := (3.53) k= который рассматривался выше. В частности, при дополнительной ин формации о свойствах операторных коэффициентов A и Bk, k = 1, 2,..., можно взамен свойства базисности Рисса системы собствен ных элементов функции L() (теорема 3.1.1) установить свойство их p–базисности.

Рассмотрим предварительно некоторые вспомогательные утвер ждения.

Лемма 3.2.1. Пусть выполнены условия Bk tk1 1, t (0, r), At + (3.54) k= A S (H), B1 S (H). (3.55) Тогда симметризатор L1 () d F= 2i ||=t для фактора Z из разложения L() = A+ ()(I Z) (3.56) имеет структуру T S (H).

F = I + T, (3.57) Доказательство. При выполнении условия (3.54) имеет место факторизация (3.56), причем A+ () голоморфна и голоморфно об ратима при || t, а (Z) (t, t).

Отсюда имеем A1 () = Dk k, Dk tk. (3.58) + k=0 k= В частности, как следует из доказательства теоремы 2.3.1 (см. (2.93) – (2.96)), неравенство (3.58) с точностью до обозначений есть установ ленное выше неравенство (2.96).

Опираясь на эти факты, а также на формулы (3.37), представим симметризатор F в виде 1 (I Z)1 A1 () d = L1 () d = F= + 2i 2i ||=t ||=t (Z I)1 Dk k Z k Dk = = d = 2i k=0 k= ||=t Z k1 Dk =: D0 + Z D1.

= D0 + Z (3.59) k= Покажем, что операторный ряд, стоящий справа, сходится по рав номерной операторной норме. В самом деле, k Dk · Z k1, D1 = Z Dk (3.60) k=1 k= причем ( k1 )·( k1 ) Z k1 1/k = Z k1 r(Z) t, k, k где r(Z) спектральный радиус оператора Z. Так как (Z) (t, t), то r(Z) t, и в силу неравенства (3.58) ряд (3.60) сходится.

Вспомним теперь, что при доказательстве теоремы 2.3.5 было по лучено представление (2.121) – (2.122) для оператора Z:

Z = A1 (0) A = D0 A, D0 = (I B1 + A+ (0)Z)1 =: I + S. (3.61) + Отсюда, в силу условий (3.55), следует, что Z S (H) и S S (H).

Поэтому из (3.59) имеем T S (H), F = I + S + Z D1 =: I + T, так как D1 ограниченный оператор.

Следствием установленного факта, а также лемм 3.1.2, 3.1.3 и тео ремы 3.1.1 является такой результат.

Лемма 3.2.2. Если выполнены условия (3.54), (3.55), то система собственных элементов {k }, отвечающая собственным значе k= ниям оператора Z, т.е. собственным значениям оператор-функции L() из промежутка (t, t), образует p–базис в H при p =.

Доказательство. Как следует из доказательства теоремы 3.1. (см. (3.14) – (3.16)), имеют место формулы k = F 1/2 k, k = 1, 2,..., где {k } ортонормированный базис оператора K = k= F 1/2 (ZF )F 1/2. Отсюда и из (3.55) имеем (как и при получе нии формулы (3.49)) T1 := F 1/2 I = (F I)(F 1/2 + I)1 = T (F 1/2 + I)1 S (H).

Поэтому, согласно определению 3.1.4, элементы {k } образуют p– k= базис в H при p =.

Теперь сформулируем и докажем один важный факт, установ ленный В.И. Ломоносовым. Заметим предварительно, что формулы (3.37), доказанные выше (см. упражнение 3.2.1), справедливы и в том случае, когда вместо окружности 0 := { : || t} взят любой кон тур, содержащий внутри себя спектр (Z) оператора Z. В самом деле, между и 0 подинтегральная функция является аналитиче ской и потому по теореме Коши интеграл по 0 равен нулю. Таким образом, справедливы формулы (Z I)1 k d = Z k, (Z), k = 0, 1, 2,..., (3.62) 2i ||=t где область с границей =, содержащая точки спектра (Z).

Теорема 3.2.2. (В.И. Ломоносов). Пусть L() самосопряженная оператор-функция в односвязной и симметричной относительно ве щественной оси области, допускающая представление (3.56), т.е.

L() = A+ ()(I Z), (3.63) где A+ () голоморфна и голоморфно обратима в, а (Z).

Если произвольный контур, охватывающий (Z), то операторы L1 () d, F := (3.64) 2i F 1 := (I Z )1 L() (I Z)1 d (3.65) 2i являются самосопряженными и взаимно обратными.

Доказательство. Тот факт, что F = F, уже установлен в лемме 3.1.2, если заметить, что интегрирование по можно заменить инте грированием по 0 = { : || t}.

Так же, как и в лемме 3.1.2, проверяется свойство самосопряжен ности оператора F 1. Действительно, 1 (F 1 ) = (I Z )1 L()(I Z)1 d = 2i 1 (I Z)1 (I Z ) = (L()) d = 2i (I Z )1 L()(I Z)1 d = = 2i (I Z )1 L()(I Z)1 d = F 1.

= 2i Далее, так как L() обратима в области \ (Z), то операторы F и F 1 не зависят от того, какой контур, принадлежащий и охватывающий (Z), выбран в (3.64), (3.65). Из самосопряженности оператор-функции L() вытекает, что спектр (Z) симметричен от носительно вещественной оси. (В самом деле, если регулярная точка L(), принадлежащая, то существует ограниченный обрат ный оператор L1 (). Но тогда (L1 ()) = L1 () L(H), т.е.

также регулярная точка функции L().) Из этих фактов следует, что существуют симметричные относи тельно вещественной оси контуры 1 и 2 из, такие, что 1 содер жится в области 2 с 2 = 2, а (Z) 1 с границей 1 = 1 (см.

рис. 3.1). При этом, очевидно, вместо (3.64), (3.65) имеем L1 (µ) dµ, F= (3.66) 2i F 1 (I Z )1 L()(I Z)1 d.

= (3.67) 2i Рассмотрим произведение F 1 F = (I Z )1 L()(I Z)1 L1 (µ) d dµ = (2i) 1 (3.68) (I Z )1 L()(I Z)1 (µI Z)1 A1 (µ) d dµ = + (2i) 1 Рис. 3.1:

и воспользуемся известным тождеством Гильберта для резольвенты (докажите его!) (Z I)1 (Z µI)1 = ( µ)(Z I)1 (Z µI)1. (3.69) Тогда из (3.68) имеем F 1 F = (I Z )1 A+ ()(I Z)· (2i) 1 (Z I)1 (Z µI) A1 (µ) d dµ = · + µ A+ () A1 (µ) 1 + (I Z ) = d dµ (3.70) (2i)2 µ 1 (I Z )1 A+ () · (2i) 1 (I Z)(Z µI)1 A1 (µ) + · d dµ =: I1 I2.

µ Так как точка 1 по выбору 1 и 2 принадлежит области 2, то A1 (µ) 1 1 + (I Z )1 A+ () I1 = dµ d = µ 2i (2i) 1 1 (I Z )1 A+ () A1 () d = (I Z )1 d = I.

= + 2i 2i 1 Здесь при выводе была использована формула Коши A1 (µ) 1 + dµ = A1 (), + µ 2i а также формула (3.62) при k = 0 для оператора Z (с учетом того, что (Z ), как и (Z), лежит в 1 2 ).

Для I2 из (3.70) аналогично имеем 1 L() (I Z )1 d (Z µI)1 A+ (µ) dµ.


I2 = (2i)2 µ 2 Так как µ 2 находится вне области 1, то во внутреннем инте грале подинтегральная функция голоморфна в 1 и, следовательно, по теореме Коши этот интеграл равен нулю. Поэтому и I2 = 0.

Итак, F 1 F = I, и в силу самосопряженности F и F 1 также F F 1 = F (F 1 ) = (F 1 F ) = I = I. Значит, F 1 является правым и левым обратным для F, т.е. F и F 1 взаимно обратны.

Будем теперь считать, что операторные коэффициенты оператор ного пучка k B k, L() := I A || r, (3.71) k= удовлетворяют условию A t1 + Bk tk1 1, t (0, r), (3.72) k= достаточному для факторизации L() := A+ ()(I Z), (3.73) а также следующим условиям:

A = A Sp 0, Bk = Bk Sp k, (3.74) 0 p k, k = 1,..., m.

Теорема 3.2.3. (В.А. Гринштейн, Н.Д. Копачевский). Если выпол нены условия (3.72), (3.74) для пучка L(), то система {n }n= собственных элементов L(), отвечающая собственным значениям {n } (t, t), образует p–базис в гильбертовом пространстве H n= при p p, p := [ min(p1, p1 + p1, 2p1 + p1,..., 1 0 2 0 (3.75) (m 1)p1 + p1, mp1 )]1.

m 0 Доказательство. Как следует из доказательства теоремы 3.1.1 и леммы 3.2.2, достаточно лишь убедиться, что симметризатор F опе ратора Z обладает свойством F 1/2 = I + T1, T1 Sp. (3.76) Докажем этот факт. Воспользуемся теоремой 3.2.2, формулой (3.65) для оператора F 1, а также соотношениями k Ak, Ak tk, A+ () = (3.77) k=0 k= следующими из факторизационной теоремы 2.3.1 (см. (2.94) и (2.95)).

Имеем для контура, охватывающего (Z) (t, t), F 1 = (I Z )1 L() (I Z)1 d = 2i 1 (I Z )1 A+ () d = (Z I)1 k Ak = d = 2i 2i k= 1 (Z I)1 k d (Z )k Ak.

= Ak = (3.78) 2i k=0 k= Здесь в последнем переходе были учтены формулы (3.62) для опе ратора Z, а также тот факт, что (Z ) = (Z) (t, t).

Получим выражения для коэффициентов Ak, опираясь на факто ризационное тождество (3.73) и на (3.77). Имеем k B k k Ak L() I A (I Z). (3.79) k=1 k= Приравнивая операторные коэффициенты при одинаковых степенях, приходим к рекуррентным соотношениям A0 = I B1 + A1 Z, Ak = Bk+1 + Ak+1 Z, k = 1,..., m 1. (3.80) Отсюда непосредственно выводим формулы m Bk Z k1 + Am Z m, A0 = I k= (3.81) m kj1 mj Aj = j = 1,..., m 1.

Bk Z + Am Z, k=j+ Подставляя эти выражения в (3.78), после перегруппировки сла гаемых получим m k (Z )j Bk Z kj1 + =I F k=1 j= (3.82) m j m jm mj + (Z ) Am Z + (Z ) (Z ) Aj =: I + T.

j=0 j=m Убедимся, что операторный ряд (Z )jm Aj j=m сходится по операторной норме. В самом деле, (Z )jm Aj (Z )jm · Aj.

j=m j=m Так как jm 1 j (Z )jm (Z )jm r(Z ) t, 1/j j, = (jm) то операторный и числовой ряды сходятся в силу неравенства (3.77).

Представление оператора F 1 позволяет с использованием усло вий (3.74) установить, какому классу Sp принадлежит оператор T.

Воспользуемся свойствами s–чисел 5 и 6 и свойствами 9 и из п.3.2.1 для операторов класса Sp. Заметим сначала, что из фак торизационного тождества при = 0 имеем A = A0 Z, и так как A0 = A+ (0) ограниченно обратим, то Z = A1 A Sp 0. (3.83) Отсюда имеем также свойства (Z )j S(p0 /j).

Z k = S(p0 /k), (3.84) Из этих свойств следует, что (Z )j Bk Z kj1 Sqk, (3.85) qk = (k1)p1 + pk, k = 2,..., m 1, а при k = 1 имеем в двойной сумме (3.82) слагаемое B1 Sp1.

Таким образом, m k (Z )j Bk Z kj1 Sp1, p1 := max(p1, q1,..., qm1 ).

k=1 j= Аналогичный подсчет для второй суммы в (3.82) дает k (Z )j Am Z mj Sp0 /m, 0 = Am L(H).

j= Если же Am = 0, то эта сумма равна нулю.

Так как по доказанному выше (Z )jm Aj L(H), j=m то последнее слагаемое справа в (3.82) принадлежит классу Sp0 /m.

Из проведенных рассуждений следует, что оператор T из (3.82) принадлежит классу SpT, где p T := max(p1, q1,..., qm1, p0 /m), или p 1 = [ min(p1, p1 + p1, 2p1 + p1,..., 1 0 2 0 T (3.86) (m 1)p1 + p1, mp1 )]1 = p 1.

m 0 Для завершения доказательства теоремы осталось лишь восполь зоваться свойством T1 := F 1/2 I = (F I)(F 1/2 + I)1 = = (F 1 I)F (F 1/2 + I)1 = T F (F 1/2 + I)1 SpT = Sp.

Упражнение 3.2.2. Убедиться, что имеют место соотношения (3.80).

Упражнение 3.2.3. Вывести соотношения (3.81).

Упражнение 3.2.4. Убедиться, что справедлива формула (3.82). Замечание 3.2.2. Из доказательства теоремы 3.2.3 видно (см.

представление (3.82)), что если какой-либо из операторов Bk, k = 1,..., m, является лишь ограниченным, а не компактным операто ром класса Spk, то утверждение теоремы 3.2.3 и формула (3.75) сохраняют силу с формальной заменой числа p k на +.

Замечание 3.2.3. Если оператор A в пучке L() (см. (3.71) принад лежит лишь классу S (H), а также B1 S (H), то в формуле (3.75) можно формально положить p 0 =, p 1 =. Тогда p =, т.е. приходим к утверждению, сформулированному выше в лемме 3.2.2.

3.2.4 Теорема Маркуса-Мацаева Рассмотрим теперь вопрос об асимптотическом поведении соб ственных значений оператор-функции, получающейся из линейного пучка при его аналитическом возмущении.

Рассмотрим оператор-функцию вида M (µ) := I + T µG + Q(µ), (3.87) G = G S (H), Ker G = {0}, T S (H), где Q(µ) – аналитическая оператор-функция в бесконечно удаленной точке, µ { C : || R}, lim Q(µ) = 0. (3.88) µ Введем наряду с M (µ) ”укороченный” пучок M0 (µ) := I µG. (3.89) Сейчас будут приведены условия, достаточные для того, чтобы асимптотическое поведение собственных значений оператор-функции M (µ) при µ и укороченного пучка M0 (µ) было одним и тем же.

Определение 3.2.1. Пусть {µ± } положительные и отрица n n= тельные собственные значения укороченного пучка, т.е. характери стические числа оператора G. Расположим их в порядке возраста ния модулей и с учетом кратностей, а через n± (r, G) := 1 (3.90) |µ± |r n обозначим соответствующие функции распределения положитель ных и отрицательных собственных значений M0 (µ). Для данного r 0 функция n± (r, G) равна количеству собственных значений M0 (µ), лежащих на промежутке (0, r) для n+ (r, G) и на промежут ке (r, 0) для n (r, G) соответственно.

Для оператор-функции M (µ) собственные значения могут быть локализованы в окрестности полуосей R+ и R. Поэтому для M (µ) вводится следующее определение.

Определение 3.2.2. Пусть 0 произвольное малое число, а {µ± (M (µ))} собственные значения оператор-функции M (µ), n n= локализованные в окрестности полуосей R+ и R соответствен но. Через n± (r;

M (µ)) обозначим функции распределения собствен ных значений пучка M (µ), т.е.

µ ± (), n± (r, M (µ)) := 1, (3.91) |µ± (M (µ))| r n где 2 (3.92) + () := {µ : | arg µ| }, () := {µ : | arg µ| }.

Оказывается, что если функции n± (r, G) имеют степенное асимп тотическое поведение при r, то аналогичное поведение имеют функции n± (r, M (µ)). Именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.2.4. (А.С. Маркус, В.И. Мацаев). Если выполнены усло вия (3.87), (3.88) и условия n± (r;

G) = a± r± [1 + o(1)] (r ), a± 0, ± 0, (3.93) то n± (r;

M (µ)) = a± r± [1 + o(1)] (r ). (3.94) Доказательство этой теоремы здесь не приводится ввиду его гро моздкости. Приведем лишь важное практическое следствие из нее.

Теорема 3.2.5. Если выполнены условия (3.93) для укороченного пучка M0 (µ), то для пучка M (µ) в окрестности бесконечно удален ной точки µ = существуют две ветви собственных значений µ± (M ((µ)), которые имеют асимптотическое поведение n µ± (M (µ) = µ± (G)[1 + o(1)] = ±an (1/± ) (1/± ) n [1 + o(1)] n n (3.95) (n ).

Доказательство. Убедимся, что соотношения (3.93) равносильны соотношениям µ± (G) = ±a(1/± ) n(1/± ) [1 + o(1)] (n ), (3.96) n n а соотношения (3.94) равносильны соответственно соотношениям µ± (M (µ)) = ±a(1/± ) n(1/± ) [1 + o(1)] (n ), (3.97) n n отсюда и будет следовать утверждение теоремы.

Рассмотрим для простоты лишь один из четырех вариантов фор мул (3.96), (3.97), именно, лишь вариант „+” в (3.96). Остальные ва рианты рассматриваются аналогично.

Из (3.93) имеем n+ (r, G) lim = 1.

r a+ r + Воспользуемся определением предела по Гейне. Тогда для любой по следовательности {rn }, rn при n, будем иметь n= n+ (rn, G) lim = 1. (3.98) a+ rn + rn Однако, в силу определения функции n+ (r, G) распределения харак теристических чисел оператора G (см. (3.90)), при rn = µ+ (G) имеем n n+ (µ+ (G);

G) = n.

n Тогда из (3.98) получаем n n = 1 lim = lim a+ (µ+ (G))+ a+ (µ+ (G))+ n µ+ (G) n n n (1/+ ) (1/+ ) µ+ (G) = a+ [1 + o(1)] (n ).

n n Таким образом, теоремы 3.2.4 и 3.2.5 утверждают, что при выпол нении условий (3.93) главные члены асимптотики ветвей оператор функции M (µ) и укороченного пучка M0 (µ) совпадают.

3.2.5 Об асимптотике собственных значений операторных пучков Теорема Маркуса–Мацаева позволяет установить характер асимп тотического поведения ветвей собственных значений оператор функций, которые систематически рассматривались до сих пор.

Теорема 3.2.6. Пусть для операторного пучка k B k, L() := I A B(), || r, B() := (3.99) k= выполнены условия A = A S (H), Ker A = {0}, B1 S (H), (3.100) 1/± µ± (A) = ±a± n1/± [1 + o(1)], n (3.101) a± 0, n.

± 0, Тогда L() имеет две ветви собственных значений ± (L()), ло n кализованных в окрестности положительной и отрицательной по луосей соответственно и имеющих предельную точку = 0. Асимп тотическое поведение этих ветвей таково:

± (L()) = (µ± (A))1 [1 + o(1)] (n ), (3.102) n n где µ± (A) характеристические числа оператора A (с асимптоти n ческим поведением (3.101)).

Доказательство. Оно опирается на теорему Маркуса-Мацаева. В самом деле, осуществим в (3.99) замену спектрального параметра по формуле = µ1 и рассмотрим вместо L() оператор-функцию M (µ) := µ L(µ1 ) = I B1 µA |µ| r1.

µ1k Bk, (3.103) k= Так как здесь A = A, Ker A = {0}, B1 S (H) и µ1k Bk 0 (µ ), k= то в силу асимптотических формул (3.101) справедливы утверждения теорем 3.2.4 и 3.2.5. Поэтому имеют место формулы (3.95), а после обратной замены µ = 1 соответственно формулы (3.102).

Следующий аналогичный, но важный результат справедлив и для пучка С.Г. Крейна.


Теорема 3.2.7. Пусть для пучка С.Г. Крейна L() = I A 1 B (3.104) выполнены условия A = A S (H), Ker A = {0}, B = B S (H), (3.105) dim H1 := dim(H Ker B) =, ± (A) = ±c± n1/± [1 + o(1)] c± 0, (n ), ± 0, (3.106) n A A ± (B) = ±c± n1/± [1 + o(1)] c± 0, (n ), ± 0. (3.107) n B B Тогда:

1. Пучок L() имеет две ветви вещественных собственных значе ний {± (L())}, расположенных соответственно на поло n n= жительной и отрицательной полуосях и имеющих предельные точки = ±, причем ± (L()) = (± (A))1 [1 + o(1)] (n ). (3.108) n n 2. L() имеет две ветви вещественных собственных значений {± (L())} с предельными точками ±0, причем n= 0n ± (L()) = ± (B)[1 + o(1)] (n ). (3.109) 0n 0n 3. Если в (3.106), (3.107) имеется лишь одна ветвь с указанным асимптотическим поведением, то аналогичное свойство име ет место и для оператор-функции L().

Доказательство. 10. Первое утверждение тривиально следует из теорем 3.2.5, 3.2.6, если заметить, что µ± (A) = (± (A))1.

n n 20. Для доказательства второго утверждения перейдём в L() к переменной µ = 1 и рассмотрим уравнение L(µ1 ) = (I µB µ1 A) = 0, H. (3.110) Здесь при больших µ выполнены все условия теоремы 3.2.5, кроме условия Ker B = {0} (см. (3.105)). Чтобы преодолеть эту трудность, представим при µ с |µ| A задачу (3.110) в виде L(µ1 ) = (I µ1 A)[I µ(I µ1 A)1 B] = (I µ1 A) I µB AB µ1k Ak B = 0.

k= Тогда достаточно рассматривать лишь уравнение [I µB AB Q(µ)B] = 0, (3.111) µ1k Ak 0 (µ ) Q(µ) := k= (почему это можно сделать?).

Введем ортопроекторы P1 : H H1 и P0 : H H0 := Ker B.

Тогда P0 + P1 = I, H = H0 H1. Применим к (3.111) P1 и P0 соответ ственно, учитывая, что = 0 + 1, 0 = P0 = P0 0, 1 = P1 = P1 1.

Тогда вместо (3.111) будем иметь систему уравнений [I1 µB1 A1 B1 P1 Q(µ) P1 B1 ]1 = 0, B1 := P1 BP1, A1 := P1 AP1, (3.112) 0 = P0 AP1 · B1 1 + P0 Q(µ) P1 · B1 1.

(Проверьте соотношения (3.112) с учетом того, что B1 = BP1 1 = P1 BP1 1.) Второе соотношение (3.112) показывает, что 0 выражается через 1, причем 0 не входит в первое соотношение. Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением первого уравнения (3.112). Так как здесь по выбору подпространства H1 оператор B1 = P1 BP1 = B1 имеет нулевое ядро и для ненулевых собственных значений оператора B ± (B) = ± (B1 ), n = 1, 2,..., n n то к пучку (3.112) теперь применимы теоремы 3.2.5, 3.2.6. В самом деле, имеем в подпространстве H1 :

A1 B1 S (H1 ), P1 Q(µ)P1 0 (µ 0), Ker B1 = {0}.

Отсюда и следует второе утверждение теоремы.

30. Третье утверждение теоремы очевидно.

3.3 Приложения к гидродинамическим задачам В этом параграфе рассматриваются две конкретные спектраль ные задачи линейной гидродинамики, приводящиеся к исследованию операторных пучков, действующих в гильбертовом пространстве. При этом будет использован весь аппарат теории операторных пучков, зна комство с которым было проведено в предыдущих параграфах.

3.3.1 Нормальные колебания тяжёлой вязкой жидкости во вращающемся частично заполненном сосуде Будем считать, что тяжелая вязкая жидкость находится в про извольном неподвижном сосуде под действием силы тяжести с уско рением g 0. Кинематическую вязкость жидкости, т.е. отношение динамической вязкости µ 0 к плотности 0 обозначим через = µ1 0.

Рассмотрим малые движения жидкости, близкие к состоянию по коя. Такие движения называются нормальными движениями, если ис комые функции задачи (поле скоростей, поле давлений, поле откло нения движущейся свободной поверхности жидкости от равновесной свободной горизонтальной поверхности) зависят от времени t по за кону exp(t). Здесь C спектральный параметр, характери зующий частоту нормальных движений и декремент их затухания.

В самом деле, если = + i, то et = [cos(t) i sin(t)]et, откуда следует, что любое нормальное движение является колебатель ным процессом с частотой колебаний = Im и декрементом затуха ния = Re.

Как показал С.Г. Крейн, задача о нормальных движениях (нор мальных колебаниях) тяжелой вязкой жидкости в открытом сосуде приводится к исследованию уравнения = A + 1 B, H, (3.113) в некотором бесконечномерном гильбертовом пространстве H. При этом операторы A и B обладают следующими свойствами:

10. A = A S (H), A 0;

20. B = B S (H), B 0;

30. dim H2 := dim Ker B = ;

dim H1 := dim(H H2 ) = ;

40. n (A) = + (A) = (cA )2/3 n2/3 [1 + o(1)] (n ), cA = n ||/(3 2 );

50. n (B) = + (B) = (cB )1/2 n1/2 [1 + o(1)] (n ), cB = n g ||/(16).

Здесь R3 область, занимаемая жидкостью в состоянии по коя, || ее объем, горизонтальная свободная поверхность жид кости, || ее площадь. Кроме того, плотность жидкости 0 для простоты рассуждений при выводе уравнения (3.113) положена рав ной 1 (в соответствующих единицах измерения).

Позже Н.Д. Копачевский рассмотрел задачу о нормальных коле баниях тяжёлой жидкости, равномерно вращающейся относительно вертикальной оси с угловой скоростью и частично заполняющей некоторый сосуд. Им была изучена также задача о нормальных коле баниях системы вращающихся несмешивающихся жидкостей, распо ложенных одна над другой. Здесь будем говорить для простоты лишь об одной жидкости и отметим только, что при равномерном враще нии жидкости её свободная поверхность уже не будет плоской, а представляет собой параболоид вращения. Эта новая задача приводит к исследованию операторного уравнения, несколько более сложного, чем (3.113):

= A + 1 B + 2iS. (3.114) Здесь оператор S (кориолисов оператор) обладает следующими свой ствами:

60. S = S S (H);

70. S = A1/2 S0 A1/2, (3.115) S 0 = S0, (S0 ) = [1, 1].

Кроме того, в (3.114) оператор A, как и ранее, обладает свойствами 10, 40, а оператор B также свойствами 20, 30, 50, однако теперь 1 a2 d, a = g cos(n, z) 0 r cos(n, r), cB = (3.116) где n внешняя нормаль к поверхности, Oz ось вращения систе мы, а Orz цилиндрическая система координат, жестко связанная с вращающимся телом.

Отметим, что обе задачи, т.е. задачи (3.113) и (3.114), играют важную роль в проблеме динамики космической ракеты на актив ном участке ее полета. Баки с жидким топливом заполнены лишь частично, и колебания топлива следует учитывать при исследовании устойчивости движения всей гидромеханической системы, каковой яв ляется ракета с жидким топливом на ее борту.

Оказывается, задачу (3.114) можно привести к виду (3.113), но с видоизмененными коэффициентами A и B. Это позволит, как выяс нится, исследовать обе задачи одновременно.

С этой целью введем в рассмотрение оператор I 2i 1 S, который в силу самосопряженности и компактности S имеет ограни ченный обратный:

I := (I 2i 1 S)1 L(H). (3.117) Поэтому, перенося последнее слагаемое в (3.114) справа налево и применяя оператор I, получим уравнение = I (A + 1 B), (3.118) которое при I = I, т.е. при = 0, переходит в (3.113).

Лемма 3.3.1. Оператор I имеет структуру S (H), I = I +, I = 1. (3.119) Доказательство. Структура I следует из того, что оператор I 2i 1 S обратим и S = S S (H). Для доказательства последнего утверждения (3.119) заметим, что 1 |(I, )| I ·, = 0.

Re(I, ) = Отсюда для := I получаем H, I, т.е. I 1.

Покажем теперь, что I = 1. В самом деле, пусть n = n (S), n = 1, 2,..., ортонормированная последовательность собственных элементов оператора S = S S (H), а {n (S)} n= последовательность отвечающих им собственных значений. Тогда на элементах этой последовательности в силу свойства n (S) (n ) имеем 1 2i 1 n (S) n 1 (n ).

I n = Отсюда и следует свойство I = 1.

3.3.2 Раздельная полнота и базисность системы корневых элементов гидродинамических задач Рассмотрим сначала задачу (3.118) о нормальных колебаниях вра щающейся вязкой жидкости. Необходимые изменения и дополнитель ные утверждения для невращающейся жидкости, когда в (3.118) I = I, будут получены позже.

Будем считать, что вязкость жидкости настолько велика, что 4 A · B 2. (3.120) Введём, как и ранее, числа 2 4 A · B ± 0 r r+.

r± :=, (3.121) 2A Перепишем задачу (3.118) в виде L() := I 1 I (A + 1 B).

L() = 0, (3.122) Заметим теперь, что в силу доказанного выше свойства I = 1 усло вие (3.120) достаточно для канонической факторизации пучка L() относительно окружности := { C : || = t (r, r+ )}.

Лемма 3.3.2. Если выполнено условие (3.120), то пучок L() допус кает представления двух типов:

L() = I X 1 (I ()1 XB)(I 1 XA), (3.123) X = I (I + 2 BXAX), L() = I Y 1 (I 1 Y A)(I ()1 Y B), (3.124) Y = I (I + 2 AY BY ).

При этом в представлении (3.123) функция I()1 XB голоморфна и голоморфно обратима при || r, а (I 1 XA) { C : || r+ };

соответственно в представлении (3.124) функция I 1 Y A голо морфна и голоморфно обратима при || r+, а (I ( 1 )Y B) { C : || r }.

Упражнение 3.3.1. Провести доказательство леммы 3.3.2, опира ясь на свойство I = 1, а также на упражнения 1.5.3 1.5.5 либо доказательство теоремы 2.3.2.

Упражнение 3.3.2. Проверить, что в (3.123) и (3.124) операторы X и Y обратимы, и каждый из них имеет структуру I +, S (H).

Итогом этих рассмотрений, а также результатов, изложенных вы ше, является следующее утверждение.

Теорема 3.3.1. Если выполнено условие (3.120), то решения задачи о нормальных колебаниях вязкой вращающейся жидкости обладают следующими свойствами.

10. Задача (3.118) имеет дискретный спектр с двумя предельны ми точками = 0 и =. Все собственные значения конечнократ ны и расположены в правой полуплоскости Re 0, их можно раз бить на две ветви {n } с предельной точкой = и {0n } n=1 n= с предельной точкой = 0.

20. Для собственных значений n выполнены свойства |n | | arg n |, 0, r+, n = 1, 2,.... (3.125) Последнее свойство выполнено для всех собственных значений n, кроме, быть может, конечного их числа.

30. Для собственных значений {0n } выполнены свойства n= |0n | | arg 0n |, 0, r, n = 1, 2,..., (3.126) причем последнее также для всех собственных значений, кроме, быть может, конечного их числа.

40. Система корневых элементов {n } задачи (3.118), от n= вечающих собственным значениям {n }, полна в гильбертовом n= пространстве H, а система корневых элементов {0n }, отвеча n= ющая собственным значениям {0n }, после проектирования на n= H1 = H Ker B является полной в подпространстве H1.

50. Собственные значения n имеют асимптотическое поведе ние n = 1 (A)(1 + o(1)) (n ), (3.127) n а собственные значения 0n соответственно поведение 0n = 1 n (B)(1 + o(1)) (n ). (3.128) 60. Если вращение системы отсутствует, т.е. = 0, I = I, то система {n } состоит лишь из собственных элементов и n= образует p–базис в H при p 6/7. Соответственно система соб ственных элементов {0n }, после проектирования на H1, образу n= ет p–базис в H1 при p 6/7.

Доказательство. Здесь будет приведена лишь схема доказатель ства данной теоремы.

10. То, что Re 0 для собственных значений задачи (3.118), следует из свойств A 0, B 0, S = S и из квадратного уравнения (, ) = (A, ) + 1 (B, ) + 2i(S, ), вытекающего из (3.114).

20 30. Далее, условие (3.120) в силу равенства I = 1 доста точно для факторизаций (3.123) и (3.124) операторного пучка L() из (3.122). Тогда, используя теорему Келдыша (см. теорему 2.3.3), получаем утверждения о наличии двух ветвей спектра {n } n= и {0n } и о их локализации вдоль положительной полуоси (см.

n= (3.125), (3.126)).

40. Доказательство утверждения 40 проводится в точности так же, как соответствующие рассуждения в пп. 30 и 40 теоремы 2.3.6.

50. Утверждение 50 данной теоремы следуют из асимптотических формул для n (A) и n (B) (см. свойства 40 и 50 в п. 3.3.1, а также (3.116)) и теоремы 3.2.7.

60. При доказательстве свойств 60 используется теорема 3.2.1, а также тот факт, что в силу упомянутых выше асимптотических фор мул для n (A) и n (B) операторы A и B принадлежат классам Sp при p 3/2 для оператора A и p 2 для оператора B. Тогда по теореме 3.2.1 получаем, что система {n } собственных элементов задачи n= С.Г. Крейна (3.113) образует p–базис в H при p p0, 21 p1 = +=, 32 т.е. при p 6/7. Аналогичное утверждение имеет место и для системы {0n } собственных элементов {0n }, после ее проектирования n=1 n= на H1.

В дополнение к установленному основному результату сделаем еще несколько замечаний.

Определение 3.3.1. Будем говорить, что система элементов {n } H полна в гильбертовом пространстве H с точностью до n= конечного дефекта, если ортогональное дополнение к этой системе в пространстве H конечномерно.

Замечание 3.3.1. Пусть r 0 произвольно. Рассмотрим в правой полуплоскости Re 0 две области:

G1 = { : || r, G2 = { : || r, Re 0}, Re 0}.

Можно доказать, что при произвольной вязкости 0 система корневых элементов задачи (3.114), отвечающая собственным зна чениям из G1, полна с точностью до конечного дефекта в простран стве H. Соответственно система корневых элементов, отвечаю щая собственным значениям из G2, после проектирования на H полна в этом подпространстве с точностью до конечного дефекта.

Замечание 3.3.2. При произвольной вязкости 0 асимптоти ческие формулы (3.127) и (3.128) сохраняются.

Замечание 3.3.3. Можно доказать, что при любом 0 и = 0 для всех собственных значений {n } задачи (3.114), кроме, n= быть может, конечного их числа (зависящего от ), выполняются условия |Im n | 2(1 + ), n = 1, 2,....

3.4 Литературные комментарии В этом параграфе опишем кратко историю создания спектральной теории операторных пучков и некоторые ее этапы. Здесь также будет кратко упомянут материал, не вошедший в основной курс лекций.

3.4.1 К истории вопроса Разработка спектральной теории операторных пучков была начата в основополагающей работе М.В. Келдыша [11]. Подробная публика ция на эту тему содержится в [12]. М.В. Келдышем были введены основные понятия этой теории, доказаны теоремы о полноте системы собственных и присоединенных элементов для важных классов ли нейных и полиномиальных пучков, найдена асимптотика ветвей соб ственных значений.

Новым этапом в развитии спектральной теории операторных пуч ков стали работы М.Г. Крейна и Г.К. Лангера (см., в частности, [21]), в которых детально исследовались квадратичные пучки и впервые применен метод факторизации пучков. Одновременно появились так же работы С.Г. Крейна и его учеников (см. [22, 23, 5]). В дальнейшем к этой тематике подключился большой коллектив математиков.

Глубокие результаты исследования вопросов полноты и базисно сти системы корневых элементов полиномиальных пучков, а также аналитических оператор-функций, получены в работах А.С. Марку са и В.И. Мацаева (см. [6, 25–30]). В этих работах изучалось также асимптотическое поведение ветвей собственных значений (см. [26, 27]).

Одновременно с этими работами серьёзные результаты получены так же Г.В. Радзиевским [32]. Результаты М.В. Келдыша и их обобщения, а также исследования А.С. Маркуса и его совместные результаты с В.И. Мацаевым, отражены в монографии А.С. Маркуса [28].

Важный вклад в развитие спектральной теории полиномиальных операторных пучков внесли работы А.Г. Костюченко и участников его научного семинара при МГУ им. М.В. Ломоносова, учеников и коллег (А.А. Шкаликов, Г.В. Радзиевский, М.Б. Оразов и др., см. [17–20, 32– 33).

Отметим, что приложения спектральной теории операторных пуч ков в задачах гидромеханики отражены в монографии Н.Д. Копачев ского, С.Г. Крейна и Нго Зуй Кана [16].

Приведём теперь без доказательства некоторые утверждения, не вошедшие в основной текст лекций,но играющие важную роль в при ложениях.

10. Фредгольмовой оператор-функцией, или фредгольмовым пуч ком, называется функция вида L() = I A(), (3.129) где значениями A() являются компактные в H операторы. Если собственное значение оператора L(), то число 1 является собствен ным значением оператора A(0 ) и потому его геометрическая крат ность конечна, т.е. dim Ker L(0 ).

Фредгольмов пучок называется регулярным в области G C, ес ли оператор-функция A() голоморфна в G и оператор L() имеет ограниченный обратный хотя бы в одной точке из G. Спектр регуляр ного пучка состоит из изолированных точек в G, его предельные точки могут лежать лишь на границе G. Все собственные значения являются изолированными для оператор-функции L(). Собственные элементы, отвечающие этим собственным значениям, имеют конечные алгебра ические кратности. Резольвента L1 () оператор-функции L() явля ется мероморфной в области G оператор-функцией, имеющей полюса в точках, совпадающих с собственными значениями. Кратность по люса совпадает с максимальной кратностью собственных элементов, отвечающих собственному значению.

Перечисленные выше факты составляют содержание теоремы И.Ц. Гохберга (см. [7], с. 37–40). Некоторые её утверждения можно найти в работе М.В. Келдыша [11].

20. Функция () со значениями в H называется корневой функ цией операторного пучка L() относительно точки 0 C, если:

1) она голоморфна в окрестности точки 0 ;

2) (0 ) = 0;

3) L(0 )(0 ) = 0.

Если m + 1 – порядок нуля функции L()() в точке 0, то число m называется порядком корневой функции ().

Нетрудно проверить, что в разложении в ряд Тейлора по степеням 0 корневой функции () порядка m, () = 0 + ( 0 )1 + · · · + ( 0 )m m, (3.130) элемент 0 является собственным для L(), а элементы 1 dk () | k :=, k = 1,..., m, (3.131) k! dk = – присоединенными к нему, отвечающие собственному значению =0. Обратно, если в разложении () в ряд Тейлора 0 – собствен ный, а k (k = 1,..., m) – присоединенные к нему элементы, то () – корневая функция порядка не ниже m для L() в точке 0.

Применение корневой функции при исследовании операторных пучков позволяет рассматривать сразу всю цепочку из присоединен ных элементов, отвечающих данному собственному элементу 0 и со ответствующему собственному значению 0.

Понятие корневой функции было введено независимо С.Г. Крей ном и его учеником В.П. Трофимовым, а также В.И. Мацаевым и его учеником Ю.А. Палантом.

30. В данном курсе лекций изучались теоремы о факторизации операторных пучков относительно окружности некоторого радиуса.

Для самосопряженных оператор-функций имеют место аналогичные утверждения для случая, когда они заданы на некотором отрезке.

Пусть [a, b] R и U – некоторая связная окрестность отрезка [a, b], симметричная относительно R. Пусть A() – самосопряжен ная и голоморфная в U оператор-функция. Если выполнены условия A(a) 0, A(b) 0 и функция (A(), ) при любом = 0 имеет ровно один корень p () в (a, b), причем inf (A (p ()), ) 0, (3.132) = то A() допускает факторизацию вида A() = A+ ()(I Z), (3.133) где оператор-функция A+ () голоморфна и обратима в U, Z L(H), (Z) (a, b). При этом Z имеет положительно определенный сим метризатор и, следовательно, подобен самосопряженному оператору.

Сформулированные утверждения справедливы, в частности, если выполнены условия A(a) 0, A(b) 0, A () 0, a b. (3.134) 40. Условия (3.134) и факторизация (3.133) позволяют, как и в п.3.1.3, доказать, при дополнительном условии A(c) S (H), a c b, (3.135) теорему о базисности Рисса системы тех собственных элементов оператор-функции A(), собственные значения которой расположены на промежутке (a, b).

Если вместо (3.134), (3.135) выполнены лишь условия A(0) S (H), A (0) 0, (3.136) то при достаточно малом 0 собственные элементы, отвечающие собственным значениям из промежутка (, ), образуют базис Рисса в подпространстве, имеющем конечный дефект (конечную коразмер ность) в H.

Сформулированные в утверждениях 30 и 40 результаты принадле жат А.С. Маркусу и В.И. Мацаеву (см. [29]), доказательство теоремы В.И. Ломоносова для этого случая приведено в работе [6]. Упомянем также работу [24], содержащую некоторые обобщения приведенных результатов.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.