авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Московский государственный университет

им. М. В. Ломоносова

Физический факультет

В. Ч. Жуковский, В. Д. Кревчик,

М. Б. Семенов, А. И.

Тернов

КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ

В МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Ч. I. Квантовое туннелирование с диссипацией

Учебное пособие

для студентов физического факультета

Москва

Физический факультет МГУ

2002

УДК 539.2;

541.117

Рецензенты:

проф. А. В. Борисов, проф. Б. И. Садовников Жуковский В. Ч., Кревчик В.., Семенов М. Б., Тернов А. И. Кванто вые эффекты в мезоскопических системах. Ч. I. Квантовое тунне лирование с диссипацией. Учебное пособие. – М.: Физический фа культет МГУ, 2002. — 108 с.

В учебном пособии в приложении к ряду фундаментальных «вторичных»

макроскопических квантовых эффектов, а также квантово-размерных эффектов в мезоскопических системах изложены некоторые современные методы квантовой механики, не нашедшие последовательного освещения в учебной литературе.

В части I изложены следующие вопросы: основы теории макроскопического квантового туннелирования с диссипацией применительно к сверхпроводящим контактам и в низкотемпературной химической кинетике;

понятие о квантовом хаосе.

Для студентов, специализирующихся в области теоретической физики и фи зики твердого тела, и для специалистов, интересующихся приложениями совре менной квантовой теории.

© Жуковский В. Ч., Кревчик В. Д., Семенов М. Б., Тернов А. И., © Физический ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ВВЕДЕНИЕ. Макроскопические квантовые эффекты. Мезоскопи ческий подход Часть I. КВАНТОВОЕ ТУННЕЛИРОВАНИЕ С ДИССИПАЦИЕЙ 1.1. Введение 1.2. Квантовая локализация в нерегулярных системах разной мерности.

Метод инстантонов 1.3. Понятие о квантовом хаосе 1.4. Низкотемпературные химические реакции как туннельные системы c диссипацией 1.4.1. Квантовое туннелирование частицы, взаимодействующей с термостатом, в системе с выделенной координатой туннелирова ния 1.4.2. Квантовое туннелирование двух взаимодействующих частиц:

переход между одновременным и неодновременным режимами тун нелирования 1.4.3. Низкотемпературные адиабатические химические реакции как туннельные системы с диссипацией (роль среды) Заключение Литература ПРЕДИСЛОВИЕ Одной из важных особенностей развития современной квантовой тео рии является разработка мезоскопических подходов к рассмотрению макро скопических квантовых эффектов и методов их описания. Некоторым из этих подходов и посвящено настоящее пособие, которое может служить одним из «естественных» продолжений книги И.М. Тернова, В.Ч. Жуковского и А.В.

Борисова «Квантовая механика и макроскопические эффекты» [2].

Настоящее пособие состоит из двух частей, посвященных некоторым актуальным методам исследования кластерных (предмезоскопических) и квантово-размерных (мезоскопических) систем. Во введении обсуждается проблема мезоскопического подхода к рассмотрению макроскопических квантовых эффектов. В первой части предлагается построение теории кван тового туннелирования с диссипацией применительно к контактам Джозеф сона и химической кинетике. Во второй части «Мезоскопика конденсирован ного состояния» рассматриваются особенности квантовых размерных эффек тов в полупроводниковых мезоскопических системах с примесными центра ми.

Обсуждаются аспекты возможных «пересечений» предмезоскопиче ских и мезоскопических подходов.

Авторы-составители настоящего пособия выражают благодарность А.И. Ларкину за предоставленную возможность использовать опубликован ные материалы, а также А.А. Овчинникову и Ю.И. Дахновскому за полезные обсуждения некоторых результатов.

Светлой памяти И.М. Тернова посвящается ВВЕДЕНИЕ. Макроскопические квантовые эффекты.

Мезоскопический подход «…Не следует также уклоняться от сходственности в Природе, ибо Природа всегда и проста и всегда сама с собой согласна». (И. Нью тон) Спектр макроскопических квантовых эффектов в их современном по нимании достаточно широк — от традиционных теплового излучения, фотоэффекта, оптического квантового генератора (лазера), радиоак тивности и эффектов сверхтекучести и сверхпроводимости до синхро тронного излучения, низкотемпературных туннельных химических реакций, дробного квантового эффекта Холла и квантовых эффектов в полупроводниковых наноструктурах.

Настоящим пособием мы не преследуем цели дать полный и исчерпы вающий обзор макроскопических квантовых эффектов и теоретических ме тодов их описания. Более важным нам представляется обратить внимание на менее «традиционный», активно развивающийся, богатый физическими при ложениями и системный мезоскопический подход, позволяющий по-новому взглянуть как на сами макроскопические квантовые эффекты, так и на эф фекты и системы, которые можно было бы определить как мезоскопические.

Сам термин мезоскопический к настоящему моменту употребляется в различных смыслах. При этом, как правило, он сопоставляется и сравнивает ся с понятиями микро- и макроскопический (от греческого mikros — малый, mesos — средний, промежуточный, makros — большой). Так, например, под мезоморфным состоянием понимается жидкокристаллическое состояние («промежуточное» между жидким и твердым состоянием вещества). Назва ние мезоны (класс элементарных частиц) связано с тем, что массы первых открытых мезонов — -мезона и К-мезона — имели значения, промежуточ ные между массами протона и электрона. Употребляются также термины ме зонная химия, мезоатом и др.

Утверждается [3], что термин мезоскопика в его современном понима нии был заимствован В. ван Кемпеном и М. Азбелем из палеонтологии (на пример, мезолитический — относящийся к среднему каменному веку), для обозначения систем, число частиц в которых слишком велико для того, что бы пользоваться уравнениями механики (в данном случае, квантовой), но слишком мало для использования статистики: флуктуации величин, характе ризующих систему в целом, оказываются порядка их средних значений.

Чем же вызван современный «мезоскопический» бум в физической науке? Одна из причин может состоять в том, что именно на мезоскопиче ском уровне ярче всего проявляются универсальные природные свойства по добия и самоподобия, масштабная инвариантность и другие «инварианты»

поведения и развития нелинейных систем. Именно мезоскопический уровень предоставляет нам удивительную возможность системного, универсального подхода к описанию и пониманию физических систем различной природы:

от сверхпроводящих структур до низкотемпературных химических реакций, низкоразмерных систем и полупроводниковых наноструктур. Но вместе с этой поразительной фундаментальной универсальностью, присущей различ ным системам, мезоуровень дает необычайно богатую палитру прикладных физических реализаций и приложений, что вызывает не только теоретиче ский, но и существенный практический интерес.

Современная интерпретация слов И. Ньютона из знаменитых «Правил умозаключений в физике» [1] могла бы затрагивать и глобальную идею по добного и самоподобного поведения систем различной природы, а также по добных и самоподобных способов и методов описания развития этих систем.

Одна из реализаций этой глобальной идеи и находит свое яркое воплощение при изучении макроскопических квантовых эффектов и мезоскопических систем.

Если перефразировать известное высказывание В.И. Арнольда о том, что математическое описание мира основано на деликатном взаимодействии непрерывных (плавных) и дискретных (скачкообразных) явлений, то вполне приемлемым нам представляется следующее утверждение: квантово физическое описание мира основано на деликатном взаимодействии макро (непрерывных) и микро- (дискретных) уровней, причем согласие и подобие мира квантовых явлений ярче всего выражается на мезоскопическом уровне.

На разработку этого «деликатного» уровня современной физики направлены системные усилия специалистов различных направлений: от квантовой тео рии поля до низкоразмерной мезоскопики наноструктур.

От идеи «подобного» проявления принципа наименьшего действия и наименьшего принуждения в поведении различных физических систем со временная теоретическая физика переходит к удивительным примерам реа лизации упомянутого принципа подобия и самоподобия. Методы, разрабаты ваемые и используемые ранее в отдельных областях теоретической физики, «неожиданно» становятся универсальными и даже перестают быть чисто фи зическими.

В обзорной статье В.М. Гантмахера и М.В. Фейгельмана «Встречи в мезоскопической области», посвященной работе конференции «Мезоскопи ческие и сильнокоррелированные электронные системы, «Черноголовка – 97» [3] отмечалось, что «…еще двадцать лет тому назад участники конфе ренций по физике металлов, по сверхпроводимости и по физике полупровод ников представляли собой непересекающиеся сообщества и зачастую даже рассуждали в разных терминах. Проблемы же нелинейной физики вообще считались лежащими за пределами физики твердого тела. Даже в чудесном сне не могла присниться маленькая конференция, на которой выходцы из этих разных сообществ будут с интересом слушать друг друга и обсуждать общие проблемы». … Описание низкоразмерных квантовых нелинейных диссипативных сис тем не только объединяет усилия представителей различных традиционных направлений теоретической физики, но и открывает перспективный и широ кий спектр фундаментальных и прикладных исследований, позволяет по новому взглянуть на всю теоретическую физику в целом.

Основные признаки традиционного «диадного» подхода в физике мож но представить в виде следующей схемы:

I) Представление, Классический Квантовый Способ описания II) Уровень «проявления» системы Макро Микро (Пересекающимися линиями обозначены возможные взаимосвязи представлений или способов описания и уровней «проявления» системы).

На языке указанных признаков было принято говорить о физических системах, их состояниях, реализациях этих состояний и, наконец, эффек тах, присущих этим системам.

Новый «триадный», мезоскопический подход не просто формально вводит промежуточную стадию «мезо»-, а скорее всего выделяет уровень, наиболее адекватный природным системам.

Классический Квазиклассический Квантовый Микро Мезо Макро Не претендуя на замкнутость и полноту, мезоподход вырабатывает, систематизирует и объединяет различные теоретические (казалось бы, про тивоположные и несовместные) методы описания физических систем и их состояний, вырабатывает качественно новый системный подход как к тради ционным макро- или микро-, так и мезоскопическим эффектам.

И если микроуровень часто характеризуется потенциальными, непро явленными возможностями физических систем, на макроуровне многие, большинство из этих возможностей, успели «усредниться»;

именно на мезо уровне эти многообразные возможности и реализуются ярче всего.

При рассмотрении системы, число частиц которой достаточно велико, чтобы оказалось невозможным использовать уравнение Шредингера (в клас сике — задача 3-х и более тел), но слишком мало, чтобы использовать кван товую (или классическую) статистику, а характерные длины больше, но сравнимы с постоянной решетки, так что нельзя использовать приближение эффективной массы (например, для полупроводниковых наноструктур);

при этом для описания такой системы могут потребоваться мезоскопические, квантовохимические методы;

в частности, наука о квантовом туннелирова нии с диссипацией. Такую систему мы назовем предмезоскопическим кла стером. Переход к мезоскопической системе происходит по мере увеличения характерных длин. Метод эффективной массы начинает срабатывать, когда все характерные длины значительно превышают постоянную решетки. В этом случае открывается лазейка для использования уравнения Шредингера.

Такая ситуация возможна в структурах с квантовыми ямами, нитями и точ ками, которые по определению относятся к мезоскопическим системам.

Другими словами, при определении мезоскопических систем мы выде ляем, по меньшей мере, два момента: 1) размер системы (промежуточный, в вышеупомянутом смысле), 2) характерные длины системы (в сравнении, на пример, с периодом решетки):

Характер сис Микро- Предмезо- Мезо- Макро темы 3 N Число частиц, 1–2 частицы (размер систе мы) периода Характерные периода периода периода длины решетки решетки решетки решетки Метод эффек Не работает Не работает Работает Работает тивной массы Дальнейшее увеличение характерного размера приведет нас к макро системе (кристаллу). Особо следует оговорить фактор размерности в мезо скопических системах.

В случае сверхпроводящих систем можно говорить о мезоскопических областях, определяемых следующим образом [3]:

Характерным масштабом длины, разделяющим мезоскопические и макроскопические системы, является длина Lf, на которой сохраняется фаза волновой функции диффундирующей частицы. В процессах, происходящих на размерах L Lf, необходимо учитывать интерференционные эффекты от электронных волн, прошедших по различным возможным путям. Так в физи ку твердого тела пришла квантовая оптика.

Эффекты слабой локализации оказались мостиком между мезоскопи кой и физикой макросистем: длина сбоя фазы Lf выделяет мезообласти, ин терференция внутри которых определяет поведение всего макрообъекта. С другой стороны, постепенное уменьшение доступных в эксперименте разме ров мезоскопических систем привело к необходимости включения в теорию «тонкой структуры» спектра электронных возбуждений, связанной с конеч ностью объема системы V.

В случае, если беспорядок в системе не слишком велик (например, длина свободного пробега велика по сравнению с размером системы, и рас сеяние происходит в основном на границах — такое бывает в квантовых точ ках на основе очень чистого GaAs). Тогда возникает вопрос о том, в какой степени и в каких энергетических масштабах Е-спектры можно считать хао тическими — иначе говоря, как возникает квантовый хаос, и как он связан с хаосом классическим? Этот вопрос исследован в работах А.И. Ларкина [4], где была впервые продемонстрирована связь между слаболокализационными поправками к спектральной статистике и показателем Ляпунова, описываю щим хаотизацию классического движения той же системы.

Существуют и другие подходы в описании механизмов возникновения квантового хаоса: например, в квантовых точках (то есть системах с дискрет ным одночастичным спектром) возникает за счет межчастичного взаимодей ствия обычный фермижидкостный спектр коллективных возбуждений (ква зичастиц). (Возникновение спектра происходит по мере увеличения энергии возбуждения E і d, причем характер ным энергетическим масштабом здесь является расстояние d = 1/ (n (0) ) между одноэлектронными энерге V тическими уровнями, n (0) — средняя плотность состояний на уровне Фер ми.) Оказалось, что с формально-теоретической точки зрения этот переход родственен задаче о пороге локализации на дереве Кейли. Эти исследования открывают очень интересное новое направление в теории мезоскопических взаимодействующих систем [3].

Переходя к случаю химической кинетики, отметим, что качество сис темы меняется не столько с ростом числа частиц, образующих молекулярный кластер, сколько с ростом числа взаимосвязанных координат реакции. Пред лагаемое в настоящем пособии рассмотрение низкотемпературной, низко размерной химической кинетики относится (в предлагаемой терминологии) к предмезоскопическим системам (см. таблицу).

Химическая Микро- Предмезо- Мезо- Макро кинетика 3 (взаимо- N (сла Число коор- 1 (изолиро- 1, 2 (неизоли динат реак- ванная коор- рованных;

действую- бовзаимодей ции дината реак- например, в щих, неизо- ствующих ко ции) термостате;

лированных ординат реак или взаимо- координат ции) действующих реакции) координат ре акции) При этом характерные длины (радиус локализации, длина туннелиро вания) сопоставляются с длиной характерной химической связи.

Рассматриваемые мезоскопические триады могут иметь следующий вид:

Микрокластер Мезокластер Макросистема Микрокластер Квантовая точка Кристалл Атом Квантовая точка Кристалл Для низкоразмерных систем контактов Джозефсона в сверхпроводимо сти или в случае систем низкотемпературной химической кинетики мезоско пические триады могут иметь вид:

Квантовая частица Мезокластер Макросистема в термостате в термостате в термостате Следует отметить, что для всех рассматриваемых «триад» мезоуровень оказывается принципиально неоднозначным. Менять же «качество» физиче ской системы можно, в частности, температурой среды-термостата, а также управляя размером системы.

В случае радиоактивности «мезотриада» приобретает следующий вид:

Распадный Распадная Распадная атом мезосистема макросистема При этом на кривой распада для мезосистемы наблюдается фрактало подобная тонкая структура [9], тогда как для распадной макросистемы харак терна обычная экспоненциальная зависимость кривой распада.

Определить можно как квантовые, так и классические «мезоскопиче ские» триады;

например, для модели агрегации, ограниченной диффузией.

Отдельная Фрактальная Однородная классическая мезоструктура макроструктура частица из конечного числа (N ® Ґ ) (случайно частиц N ) блуждающая) Дополнительной иллюстрацией классической мезоскопической триады может служить пример, обсуждаемый в связи с проблемой эргодичности.

Можно рассмотреть макросистему в виде куба макроразмеров, частично за полненного поровну шарами белого и черного цвета (каждый отдельный шар — аналог классической частицы). Шары по закону упругого удара отража ются от стен куба и отскакивают друг от друга. В качестве мезообласти вы резается небольшое прозрачное окно в стенке куба;

причем размер окна предполагается гораздо большим размера шара, но гораздо меньшим линей ных размеров самого куба. На микроуровне мы можем наблюдать случайно блуждающие отдельные шары определенного цвета. На макроуровне целого куба, если сделать его целиком прозрачным, наблюдается однородная серая (бело-черная) масса движущихся шаров, т.е. все успело усредниться. На ме зоуровне вырезанного окна, (если подождать достаточно долго), кроме одно родной серой массы, наблюдаемой чаще всего (что аналогично макрореали зации), наблюдаются также либо чисто белые, либо чисто черные «структу ры» шаров (своеобразная тонкая структура).

Итак, мезоскопические триады могут быть классическими, квантово классическими (радиоактивный распад) или чисто квантовыми. Именно квантовый случай мы и предполагаем рассматривать.

Несколько слов о проблеме дефиниций. Предложенные объяснения термина «мезоскопический» не претендуют на строгое определение. Ува жаемый читатель мог бы попытаться определить следующие понятия:

1) Микро-, мезо- и макро- системы;

2) Микро-, мезо- и макро- состояния физической системы;

3) Микро- и макро- реализации данного мезоскопического состояния;

4) Мезоскопические реализации данного микро- (макро-) состояния;

5) Микро-, мезо- и макро- эффекты в физических системах.

При попытке дать определения этим понятиям можно также иметь в виду классический квазиклассический квантовый способы описания или представления интересующих нас систем. Некоторые из возможных оп ределений можно встретить в традиционных учебниках по теоретической физике [185, 186]. Другие еще требуют своего толкования.

Следует отметить, что приведенная классификация не претендует на универсальность. Выделение микро-, мезо- и макросистем не всегда предпо лагает фиксацию числа частиц или размера системы. Речь может идти также о чувствительности системы к микровоздействиям (сопоставимым с h wc, где wc — характерная частота системы), или макровоздействиям (порядка kBT ) либо, в определенном масштабе величин, к тем и другим одновременно (ме зоситуация).

Говоря о квантовых макроэффектах, уточним, что под макроскопиче скими квантовыми эффектами мы будем понимать квантовые эффекты в квантовых макросистемах. Что же касается микро- и мезоквантовых систем, то возникает проблема макроскопической визуализации квантовых эффектов в таких системах. Эта проблема требует отдельного обсуждения.

В настоящем пособии предполагается рассмотреть мезоскопический подход к низкоразмерным квантовым системам различной природы: систе мам контактов Джозефсона, низкотемпературным химическим реакциям как туннельным системам с диссипацией;

низкоразмерным полупроводниковым наноструктурам.

Ограниченность нашего выбора, надеемся, вполне может быть компен сирована универсальностью природы изучаемых эффектов.

Структура содержания и обоснование сделанного выбора этой струк туры рассматривается во вводных разделах к каждой из частей пособия.

Часть I. КВАНТОВОЕ ТУННЕЛИРОВАНИЕ С ДИССИПАЦИЕЙ «Мы только начинаем понимать Природу…» (И.Р. Пригожин) 1.1. ВВЕДЕНИЕ При исследовании низкоразмерных и низкотемпературных мезоскопи ческих систем различной природы (а также предмезоскопических) вполне продуктивной может оказаться наука о квантовом туннелировании с дисси пацией. Другими словами речь пойдет об исследовании движения квантовой частицы, взаимодействующей с термостатом, что является одной из важных проблем современной теоретической физики [41–47]. Интерес к такому ис следованию в значительной степени связан с изучением туннельных сверх проводящих контактов при низких температурах [78–88], с решением про блемы квантового туннелирования с диссипацией в кристаллах [89–93], с изучением скорости ряда химических реакций при низких температурах [94– 133], а также, по-видимому, с исследованием полупроводниковых наност руктур, которые в их мезоскопической реализации представляют собой кван товые ямы, нити и точки. Этим и ряду других интересных приложений тео рии макроскопического квантового туннелирования с диссипацией посвяще ны многочисленные работы, обзоры и монографии [41–93, 95–106, 134–181].

Поскольку контакты Джозефсона оказались удобными для экспери ментального наблюдения макроскопического квантового туннелирования (так как в них из независимых экспериментов можно найти высоту потенци ального барьера и коэффициент вязкости h среды-термостата), впервые именно для описания затухания метастабильного токового состояния в этих контактах теория квантового туннелирования с диссипацией и была развита [78–88].

Другим примером коллективного квантового туннелирования является деление атомных ядер [55, 136]. Роль коллективной координаты q в этом случае играет квадрупольный момент ядра или его форма, а роль термостата — однонуклонные возбуждения.

Отдельным интересным приложением развитой теории о квантовом туннелировании с диссипацией может быть описание температурной зависи мости скорости ряда химических реакций, идущих по туннельному механиз му [94–133].

Специального обсуждения требуют перспективы использования на стоящей науки в описании динамики частиц в полупроводниковых наност руктурах [3], т. е. перспектива возможного представления этих структур как туннельных систем с диссипацией.

Со времени открытия эффекта Джозефсона [2] разрабатывается также наука о слабой сверхпроводимости в одиночном контакте, системе контак тов, сужении, тонкой проволоке, очень тонкой пленке и других объектах по ниженной размерности — все то, что позже нашло обширные применения в мезоскопике [3]. Возникла также потребность в понимании особенностей макроскопических квантовых эффектов (дискуссии по проблемам термино логии в этой связи продолжаются по сей день). Достаточно наглядно эта про блема обсуждается в обзоре К.К. Лихарева по «реально-квантовым» («вто ричным») макроскопическим эффектам в случае слабой сверхпроводимости [6].

Утверждается, что с момента становления квантовой механики неодно кратно обсуждался вопрос о возможности наблюдения квантового поведения макроскопических тел. При этом речь обычно идет о динамике какой-либо одной из огромного числа степеней свободы макротела. В качестве примера в [6] рассматривался плоский физический маятник — твердое тело с закреп ленной горизонтальной осью (не проходящей через центр масс) в поле силы тяжести. Механическое движение маятника как целого характеризуется обобщенной координатой j — углом отклонения от положения равновесия, и соответствующим обобщенным импульсом — моментом импульса M.

Хотя движение микрочастиц, составляющих данное тело, может быть суще ственно квантовым, а j является функцией координат этих частиц, в обыч ных условиях изменение j во времени может быть достаточно точно опи сано классической механикой. Тем не менее, в некоторых условиях может стать необходимым учет квантовых эффектов и в динамике этой степени свободы. Действительно, как следует из соотношения коммутации для опера торов сопряженных переменных cos j (sin j ) и M z, [sin j, M z ]= i h cos j ;

[cos j, M z ]= - i h sin j, (1.1) причем эти величины никогда не могут быть точно определены одновремен но. В силу этого центр масс маятника даже при T = 0 не может находиться в состоянии покоя ( j = 0, M = 0 ). На другом языке, кроме тепловых флук туаций, центр масс имеет и флуктуации квантовой природы.

Само существование подобных квантовых эффектов в макроскопиче ских системах уже давно воспринимается большинством физиков как долж ное, несмотря на отсутствие их прямых наблюдений до экспериментов [6, 82] со сверхпроводящими туннельными переходами, проведенных в течение 1981 г., когда удалось уверенно наблюдать квантовомеханическое поведение одной из степеней свободы макроскопической системы. Тем не менее, вопрос об адекватном описании таких явлений вызвал значительные дискуссии.

Суть дискуссии можно сформулировать следующим образом: достаточно ли совершить обычное квантование движения по данной степени свободы, не обращая внимания на наличие в макротеле огромного числа других («внут ренних») мод? Так, в примере с маятником, достаточно ли использовать обычную функцию Гамильтона M H= + E C (1 - cos j ), (1.2) 2J (где E C — амплитуда потенциальной энергии, J — момент инерции), счи тая cos j (sin j ) и M z операторами (1.1)?

Истоки сомнений в этом лежат в двух основных отличиях макросистем от микросистем:

1) Параметры макросистемы (например, E C и J ) являются средними по движению составляющих микрочастиц.

2) Выделенная степень свободы может иметь связь с внутренними мо дами, приводящую, например, к эффектам затухания (трения, дис сипации).

Эксперименты [6, 82] дали положительный ответ на поставленный вы ше вопрос. Они подтвердили, что в пределе пренебрежимо малого затухания адекватное описание квантовой динамики макротел дается непосредствен ным квантованием классических уравнений движения именно данной степе ни свободы, а если затухание является существенным, оно может быть пра вильно описано существующими методами квантовой статистики.

Проведение экспериментов стало возможным благодаря использова нию уникальных объектов — сверхпроводящих туннельных переходов. Ис пользование явления сверхпроводимости, однако, создало некоторые трудно сти в интерпретации экспериментов и даже возможность путаницы.

Рассмотрим два типа квантовых макроскопических эффектов в сверх проводимости.

Кроме рассматриваемых реально-квантовых (вторичных) макроскопи ческих эффектов, в сверхпроводимости, как известно с начала 60-х годов, имеют место и другие эффекты, обычно называемые либо квантовыми мак роскопическими, либо когерентными (первичными).

Наиболее известными из когерентных явлений в сверхпроводниках яв ляются квантование магнитного потока и эффект Джозефсона [2]. Суть этих эффектов состоит в том, что некоторые макроскопические величины, харак теризующие сверхпроводящие системы, оказываются связанными друг с другом соотношениями, которые вытекают из основ квантовой механики и в явном виде содержат постоянную Планка. Так, например, электрический ток I через слабый контакт двух сверхпроводников (джозефсоновский переход) содержит специфическую компоненту — сверхток I S, который в простей шем случае является периодической функцией типа I S = I C sin j, j = c1 - c2, (1.3a) от разности фаз c 1,2 волновых функций y 1,2, описывающих состояние кон денсата куперовских пар контактирующих сверхпроводников. При этом j зависит от напряжения V на переходе по закону dj 2e = V, (1.3b) dt h прямо следующему из уравнения Шредингера [6].

В реальных джозефсоновских переходах наблюдаются значительные отклонения от соотношения (1.3a);

кроме этого, ток I может содержать ряд других компонент. Более того, необычная зависимость (1.3a) тока от элек тромагнитного поля обуславливает весьма сложную и специфическую элек тродинамику джозефсоновских переходов и содержащих их структур. Но практически для всех случаев приведенный выше принцип описания коге рентных эффектов оказался вполне достаточным. Все величины, относящие ся к данной степени свободы ( j, V, I, Q = т Idt и т. п.), могут одновременно иметь точные значения. Иначе говоря, несмотря на «квантовость» соотноше ний (1.3), входящие в них величины фактически являются классическими переменными, и в этом смысле когерентные эффекты можно считать класси ческими.

Последнее утверждение становится еще очевиднее, если переписать формулы (1.3) в энергетическом виде: наличие у перехода сверхтока I S эк вивалентно наличию у него дополнительной энергии связи h I. (1.4) U i = E C (1 - cos j ) + const, EC = 2e C Убедиться в этом легко, вычисляя D U i как сумму от элементарных работ I SV dt при медленном изменении фазы:

2 h h т тI D Ui = I SV dt = dj = - I C [cos j ]1.

S 2e 2e 1 Таким образом, когерентные эффекты лишь создают дополнительную «потенциальную» энергию U i (j ) для движения системы вдоль координаты j, но само это движение может носить вполне классический характер.

Подводя итог, можно сказать, что когерентные (первичные) квантовые эффекты суть не что иное, как квантовое когерентное движение микрочастиц (например, куперовских пар в сверхпроводнике). В то же время «реально квантовые» (вторичные) квантовые эффекты представляют собой квантовое движение макрообъекта в целом. Легетт [6] ввел количественный критерий для различия этих эффектов.

Естественно возникает вопрос о возможности сосуществования этих двух типов квантовых эффектов в одной системе, например, в джозефсонов ских переходах. Несмотря на то, что возможность малых квантовых флук туаций в таких переходах обсуждалась довольно давно, только последние ра боты принесли достаточно ясное понимание условий проявления реально квантовых (вторичных) макроскопических эффектов в сверхпроводимости.

Рассматривается в качестве примера [6] одиночный джозефсоновский переход. Учитывая в нем, кроме «потенциальной» энергии (1.4), еще и «ки нетическую» энергию электрического поля Q2 M2 жh ц, J = з чC, T= = (1.5) ич з 2e ш ч 2C 2J где C — емкость перехода;

для функции Гамильтона мы снова приходим к выражению (1.2), где роль углового момента M теперь играет величина жh ц Qh M = J j&= з ч C j&=, (1.6) ч з 2e ш ич 2e пропорциональная разбалансу Q электрических зарядов сверхпроводников, образующих джозефсоновский переход.

Из аналогии свойств рассматриваемой системы хорошо изученным свойствам плоского маятника следует, что ее квантовые свойства ясно про являются, когда энергия основного состояния становится сравнимой с харак терной энергией E C и, с другой стороны, больше маскирующей тепловой энергии kBT :

h w і kT, aE C, (1.7) где a — некоторый коэффициент порядка 1;

здесь w — классическая часто та малых колебаний системы вблизи положения равновесия j = j 0 :

2U k U w= k=,, =0 (1.8) j m j j =j j =j 0 (в данном случае j 0 = 0 ). В теории эффекта Джозефсона эта частота обычно называется плазменной.

Ситуация, однако, может усложняться тем, что джозефсоновские пере ходы могут обладать заметным затуханием. Основной механизм такого зату хания — присутствие в токе через переход существенной квазичастичной компоненты I Q, которая, в отличие от I S (1.3), является функцией напряже ния на переходе V. В простейшем случае эту функцию можно считать ли нейной и бездисперсионной:

V IQ =, (1.9) R где R обычно близко к сопротивлению перехода в нормальном состоянии.

Как следует из (1.3) и (1.9), в классическом пределе учет такой компоненты дает для малых колебаний закон w- 2j&+ wC 1j&+ j = 0, &- (1.10) где wC обычно называется характерной частотой перехода:

жh ц k h = з ч R - 1.

wC =, (1.11) ич з 2e ш ч h Отношение частот w и wC, характеризующее интенсивность затуха ния, существенно зависит от типа джозефсоновского перехода. Для туннель ных переходов величина w / wC лежит обычно в диапазоне 10- 1 ё 10- 3, за тухание мало, и условие перехода в квантовый режим по-прежнему дается соотношением (1.7). Наоборот, для переходов с непосредственной (нетун нельной) проводимостью типа точечных контактов или тонкопленочных микромостиков реальна обратная ситуация: затухание велико, w / wC ? 1.

Качественный анализ показывает, что в большинстве формул достаточно за менить w на wC с некоторым коэффициентом порядка 1. Учитывая это, можно выписать итоговое условие проявления реально-квантовых (вторич ных) макроскопических эффектов:

(1.12) min[h w, h wC ] і kBT, aE C.

Это условие ясно показывает, почему реально-квантовые макроскопи ческие эффекты удалось наблюдать именно с помощью туннельных джозеф соновских переходов. Действительно, именно эти системы при гелиевых температурах ( k BT Ј 10- 15 эрг) сохраняют сильную нелинейность, т. е. не большую величину E C (так, для перехода с реальной величиной I C » мкА из формулы (1.4) следует: E C » 10- 14 эрг). Вместе с тем, входящие в (1.12) частоты могут быть довольно высоки. Так, при современной технике изготовления туннельных переходов критические плотности тока могут дос тигать значений порядка 105 А/см2 и более, что соответствует плазменным частотам w і 1013 с- 1. При этом характерная частота wC остается близкой к теоретическому пределу pD (0) / h, где D (T ) — энергетическая щель, что для типичных сверхпроводников (Pb, Nb) составляет около 1013 с- 1. Таким образом, величина h wC для современных туннельных переходов может быть доведена до » 10- 14 эрг, так что выполненными оказываются оба условия (1.12).

Проблема экспериментальной регистрации реально-квантовых (вто ричных) макроскопических эффектов (макроскопической визуализации кван товых эффектов) подробно обсуждается в [6, 82];

там же приведены схемы экспериментов по макроскопическому квантовому туннелированию с дисси пацией в джозефсоновских переходах.

В итоге, используя специфические нелинейные свойства джозефсонов ских переходов, удалось экспериментально доказать существование в слабой сверхпроводимости не только ранее известных квантовых макроскопических, или когерентных (первичных), но и реально-квантовых (вторичных) кванто вых эффектов. То есть впервые экспериментально наблюдалось квантовоме ханическое поведение выделенной степени свободы макроскопической фи зической системы.

Макроскопические квантовые, коге- Реально-квантовые (вторичные) мак рентные (первичные) эффекты в роскопические эффекты в слабой сверхпроводимости сверхпроводимости Макроскопическое квантование маг- Квантовые флуктуации (тока и напря нитного потока, жения), туннельный распад метаста эффект Джозефсона, бильных токовых состояний в систе макроскопическая квантовая интерфе- мах с контактами Джозефсона, макро скопическое наблюдение квантового ренция (эффект Мерсеро).

туннелирования с диссипацией.

Проведенные эксперименты, по мнению автора обзора [6] К.К. Лихаре ва, дают нам важное ощущение, что с квантовой механикой «все в порядке»

и на макроскопическом уровне, т. е. переход от классического поведения к квантовому в макрообъектах происходит точно так же, как в микрообъектах (еще одно удивительное подтверждение принципа природного подобия и са моподобия). Это дает возможность смело планировать реальные квантовые эксперименты и (что может быть не менее важным) ставить мысленные экс перименты с макрообъектами.

Наконец, эксперименты [6, 82] показали, что туннельные джозефсо новские переходы, изготовленные по современной технологии (т.е. имеющие большие плотности тока), являются наиболее подходящими объектами для проведения экспериментов с макрообъектами на квантовом уровне.

При этом возникает возможность реализации ряда предложенных схем оптимального приема предельно слабых сигналов, и, как следствие, возмож ность преодолеть так называемый квантовый предел чувствительности при емных устройств в широком диапазоне частот от десятков килогерц до сотен гигагерц.

Кроме того, могут быть поставлены эксперименты по проверке фунда ментальных положений квантовой теории измерений. Дело в том, что эта теория, развитая на заре квантовой механики, существенно ориентировалась на измерение характеристик микрообъектов. В этом случае квантовомехани ческий анализ измерительных приборов не представляется реальным в силу его сложности, что и явилось причиной резкого разграничения объекта и прибора в теории измерений.

Появление макрообъектов с квантовым поведением радикально изме няет ситуацию. Например, эксперименты по макроскопическому квантовому туннелированию являются очевидной реализацией знаменитого парадокса «кот Шредингера». Однако в этом эксперименте роль измерительного прибо ра играет фактически не вольтметр, а сам джозефсоновский переход. Дейст вительно, его нелинейность приводит к увеличению сигнала до такого уров ня, что реализация одной из квантовых альтернатив (произошло или нет тун нелирование до текущего момента времени) может быть зарегистрирована весьма грубым внешним прибором, заведомо никак не влияющим на дина мику процессов. Таким образом, становится возможным полное квантовоме ханическое описание системы («объект + измерительный прибор»).

Не исключено [6], что реальные или мысленные эксперименты с по добными системами помогут пролить новый свет на принципиальные основы квантовой механики.

1.2. КВАНТОВАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ В НЕРЕГУЛЯРНЫХ СИСТЕМАХ РАЗНОЙ МЕРНОСТИ. МЕТОД ИНСТАНТОНОВ В изложении сформулированной проблемы мы будем следовать обзору А.И. Ларкина, К.К. Лихарева и Ю.Н. Овчинникова «Вторичные квантовые эффекты в слабой сверхпроводимости» [82], книге И.М. Тернова, В.Ч. Жу ковского и А.В. Борисова «Квантовая механика и макроскопические эффек ты» [2], а также серии работ на эту тему [41–93].

Как отмечалось во введении к этой главе, следует различать два вида квантовых макроскопических эффектов в сверхпроводимости. Хорошо из вестные явления квантования магнитного потока, эффекты Джозефсона или Мерсеро и др. выявляют существенно квантовое поведение куперовских пар электронов, т. е. микроскопических объектов. Эти эффекты приводят к кван товым по природе соотношениям между макроскопическими переменными, т.е. соотношениям Джозефсона между фазой и напряжением (1.3b), только в результате когерентности этих микроскопических объектов. Для того чтобы дать адекватное описание этих первичных эффектов, макроскопические вели чины j, V и т. д. могут быть рассмотрены как классические переменные.

С другой стороны, если контакт Джозефсона очень маленького размера S охладить до очень низких температур T, квантовый характер макроско пических переменных становится существенным. Другими словами, может наблюдаться квантовое поведение целого контакта как макроскопического объекта, что и было продемонстрировано в ряде экспериментов [6, 82]. Для того чтобы описать такие вторичные квантовые макроскопические эффекты, необходимо выполнить вторичное квантование классических уравнений движения системы вдоль координаты j. Эксперименты стимулировали бы строе развитие соответствующей теории, в частности, рассмотрение эффекта диссипации (вязкости) для этих квантовых эффектов, включая флуктуации, туннелирование и интерференцию.

Существенные результаты в этой области были получены для ситуа ции, когда рассматривался единичный контакт Джозефсона малых размеров S (малой площади) с током I (t ), фиксированным внешней системой. Под ходящий гамильтониан композитной системы («контакт + источник тока») Q 2 жh ц - з чj I (t ), (1.2.1) H = HJ + ич 2C з 2e ш ч где H J — гамильтониан самого контакта, и Q = CV — электрический за ряд емкости C, образованной сверхпроводящими электродами контакта.

Если пренебречь вторичным квантованием, т. е. трактовать j и Q как классические переменные, (1.2.1) эквивалентно следующему уравнению движения I J & Q = I (t ) - I J, (1.2.2) где I J — ток через контакт.

Для нахождения I J необходимо определить модель для H J.

Микроскопический подход. Наиболее известной из микроскопических моделей для H J является туннельный гамильтониан [82] в рамках прибли жения БКШ для функций Грина, описывающих сверхпроводящий конденсат в электродах. В классическом приближении для j и V соответствующие выражения для «средней» части I J были получены в [80], а для случая флуктуаций см. [82]. Эти результаты оказались в хорошем соответствии с экспериментальными данными для типичных контактов Джозефсона.

Основным недостатком туннельного гамильтониана (помимо его слож ности) является отсутствие описания конечного квазичастичного сопротив ления R контакта для низких напряжений при низких температурах. Эта неисчезающая проводимость R - 1 связана с неоднородностями оксидного слоя контактов.

Макроскопический подход. Если напряжение V на контакте Джозеф сона достаточно мало, то разность фаз j меняется медленно (см. (1.3b)), j& = D (T ) / h, и в нулевом приближении по отношению к j& туннельный гамильтониан может быть сведен к джозефсоновской энергии спаривания U J (j ) = - E J cos j. (1.2.3) Для того чтобы описать неисчезающую энергию диссипации, необхо дима следующая аппроксимация, которая дает «адиабатический» гамильто ниан жh ц H J = U J (j ) + з чj I q (x ) + H q (x ), (1.2.4) ич з 2e ш ч где H q и x — соответственно гамильтониан и набор координат для квази частиц контакта, играющих роль среды-термостата (тепловой бани) для под системы сверхпроводящего конденсата. Эта подсистема связана со средой термостатом «через» оператор I q тока квазичастиц. При этом делаются только самые общие предположения относительно оператора H q (или не прерывности его энергетического спектра). Если среда-термостат остается в своем термическом равновесии, то ее внутренняя структура участвует в итоге (в окончательных результатах) исключительно через единственную ком плексную функцию Y ( w) существенно квазичастичной полной проводимо сти контакта. В этом случае соотношения (1.2.1) и (1.2.4) эквивалентны мо дели резистивно-шунтированного контакта:

I J = I C sin j + I q, Iq = I + I (t ), q % R - 1 = Y (0), Iq = V / R, I (t ) = 0, (1.2.5) где скобки... означают усреднение по координатам x среды-термостата.

В пределах классического приближения к j и Q, спектральная плотность % S I ( w) флуктуационного тока I (t ) подчиняется обычной формуле Найкви ста.

С адиабатическим гамильтонианом (1.2.4) можно получить разумное описание поведения контакта любого типа при низком напряжении, особенно если E J и R рассматриваются как эмпирические параметры (так что R - не должна исчезать при T ® 0 ). Более того, эта модель количественно кор ректна для контактов с внешними низкоомными ( R = R N ) шунтами.

Механическая аналогия. Дополнительное преимущество макроскопи ческой модели (1.2.4) состоит в том, что поведение контакта Джозефсона в этом приближении в точности подобно ситуации нерелятивистского кванто вого одномерного движения механической частицы массы m вдоль оси j в периодическом потенциале (1.2.3) под действием дополнительной внешней силы F (t ) и силы вязкого трения Fq = - hj& если, 2 жh ц жh ц жh ц зч зч зч m = з ч C, p = з чQ, h = з ч R - 1, ч ч и2e ч и2e ш и2e ш ш (1.2.6) жh ц жh ц зч зч F (t ) = з чI (t ), Fq = з чI q.

ч и2e ч и2e ш ш Эта аналогия может дать достаточно полезное проникновение в дина мику контакта Джозефсона, а также обеспечивает более общий характер ре зультатов, полученных в этой области [82]. Проблема квантовых флуктуаций тока и напряжения подробно изложена в [82].

Эксперименты. Эксперименты [6, 82] показали непосредственную очевидность квантовых флуктуаций (т. е. «нулевого» движения или «нуле вых» колебаний) макроскопического объекта и оказались в хорошем соответ ствии с макроскопическим подходом Андерсона. Учитывая важность про блемы макроскопической визуализации рассматриваемых реально-квантовых (вторичных) эффектов в макроскопическом квантовом туннелировании с диссипацией, вернемся к анализу, рассматриваемому в обзоре К.К. Лихарева [6].

Анализируя конкретные эксперименты, можно отметить, что даже при выполнении условия (1.12) вопрос о регистрации реально-квантовых макро скопических эффектов не является тривиальным. Действительно, непосред ственное измерение квантовых флуктуаций встречается с принципиальными трудностями, поскольку такими же флуктуациями (нулевыми колебаниями) обладает и любой измерительный прибор. Выход из этих трудностей состоит в использовании внутренней нелинейности изучаемой системы для того, что бы тем или иным образом «усилить» квантовые флуктуации, т. е. стимулиро вать ими некоторый процесс относительно высокой интенсивности. Если эта интенсивность находится на вполне «классическом» уровне, можно прово дить измерения такого процесса обычными приборами, полностью пренебре гая их квантовыми свойствами.

Первая из таких возможностей, реализованная в экспериментах, была предложена еще в 1978 году Легеттом [6], хотя общая возможность кванто вых измерений такого типа неоднократно обсуждалась Блохинцевым [6].

Пусть джозефсоновский переход включен в простейшую внешнюю цепь — источник постоянного тока I, несколько меньшего, чем критический ток перехода. В этом случае в гамильтониане системы необходимо учесть еще и член U e, равный произведению обобщенной координаты j на соответст вующую обобщенную силу U h Fj = - = I, (1.2.7) j 2e так что полный потенциал U = U i + U e принимает форму «стиральной дос ки» (или «гофрированного» потенциала):

I U = E C (1 - cos j - j ), (1.2.8) IC причем локальные минимумы в точках I j = arcsin + 2p k, k = 0, ± 1, ± 2,..., (1.2.9) IC соответствует «классическим» устойчивым состояниям разности фаз, т. е.

обычному сверхпроводящему состоянию джозефсоновского перехода.

При конечной температуре T существует конечная вероятность тер мически-активированного распада такого метастабильного состояния. Клас сическая теория [6] дает для скорости t - 1 этого распада выражение жUц wA 0ч exp з- ч t cl 1 = з з k T ч, (1.2.10) з Bч 2p и ш где U 0 — высота энергетического барьера (см. рис. 1), а «частота попыток»

wA приближенно (точно в пределах малого и большого затуханий) совпадает с величиной min л, wC щ й.

w ы I Сквид V Ф Фe б) a) U() U 0 0+ в) Рис. 1. Схемы экспериментов по макроскопическому квантовому туннелированию в джозефсоновских переходах с малым (а) и большим (б) затуханием и зависи мость потенциальной энергии U от джозефсоновской разности фаз j, реализуе мая в этих экспериментах (в). Стрелки на последнем рисунке схематически пока зывают механизмы распада метастабильного состояния j » j 0 : термическую ак тивацию через энергетический барьер U 0 (1) и квантовое туннелирование под барьером (2).

(Формула (1.2.10) для времени жизни t, справедлива при обычном ус ловии wA t ? 1, без выполнения которого само понятие времени жизни яв ляется неоднозначным). Частоты и wC опять определяются формулами (1.8) и (1.11), но уже с учетом вклада тока I в потенциал U (1.2.8). В наи более важном случае I ® I C имеем 1/ ж eI R ц ж eI ц 2ч wC = з C ч(2e)1/ 2, w= з 1/ з h c ш (2e), (1.2.11) ч ч з ч зhш и и 2 I E C (2e)3 / 2, U0 = eє - 1 = 1, (1.2.12) 3 IC так что при I ® I C высота барьера снижается, и скорость распада растет.

Способ возможной регистрации такого распада существенно зависит от величины затухания перехода. Если затухание достаточно мало, w Ј (2e)- 1/ 2, (1.2.13) wC то из-за конечной инерции система не остановится в следующем минимуме и будет скользить вниз по «стиральной доске», постепенно набирая скорость j& до тех пор, пока средняя скорость j& не выйдет на константу из-за нараста ния диссипации. С точки зрения наблюдателя такой процесс соответствует скачку из сверхпроводящего состояния перехода ( j&= 0, V = 0 ) в «рези стивное» состояние с довольно значительным напряжением V = (h / 2e )j&, обычно порядка нескольких милливольт. Это напряжение уже может быть легко измерено классическим прибором, поскольку оно значительно превы шает не только квантовые, но и тепловые флуктуации реальных вольтметров.

Именно таким образом термически-активированный распад метастабильных состояний джозефсоновских переходов был впервые измерен еще в 1974 го ду, причем было получено хорошее согласие скорости распада t - 1 с форму лой (1.2.10) (при w / wC = 1 ).

Напротив, если выполняется соотношение, обратное (1.2.13), то зату хание приводит к остановке системы уже в ближайшем локальном минимуме j 1 = j 0 + 2p, опять соответствующем сверхпроводящему состоянию. Воз ( » wC 1 » 10- 12 с) никающий при этом короткий и слабый ( т Udt » h / 2e » 10- 15 В Ч ) импульс напряжения измерить очень трудно.

с Более удобным является другой путь: включить джозефсоновский переход в сверхпроводящее кольцо с не слишком малой индуктивностью L і (h / 2e )I C 1. Ток I при этом можно задавать, прикладывая к получившей ся системе («одноконтактному интерферометру») внешнее магнитное поле Be :

Fe т B dS.

I», (1.2.14) Fe = e L Скачок системы в соседнее метастабильное состояние ( 2 ) при ведет при этом к небольшому скачку магнитного потока и тока DF h DI », DF » F 0 =, (1.2.15) L 2e который легко зарегистрировать, например, с помощью сверхпроводящего квантового интерферометра — сквида. Такие измерения [6] показали хоро шее согласие с формулой (1.2.10) для переходов с большим затуханием ( w / wC ? 1 ).


Если теперь снижать температуру, тем самым увеличивая t cl, то реаль но-квантовые (вторичные) эффекты приведут к тому, что время жизни мета стабильного состояния не будет возрастать бесконечно и выйдет при T ® на некоторую константу t q. Действительно, согласно квантовой механике должна существовать конечная вероятность прохождения «частицы» (в дан ном случае — макроскопической системы) под энергетическим барьером U0.

Отметим также, что макроскопическое квантовое туннелирование мо жет наблюдаться в сверхпроводящих структурах и другого типа [6]. В на стоящее время можно считать доказанным, что низкотемпературный хвост кривой R(T ) резистивного фазового перехода достаточно тонких сверхпро водящих пленок является следствием термической активации пар антиполяр ных вихрей Абрикосова [6]. При этом для ширины перехода остается спра ведливой оценка, следующая из теории Асламазова и Ларкина [6] для высо котемпературного хвоста перехода:

R D T » TC, (1.2.16) Rq R 0 = (s N d )- 1 — нормальное сопротивление пленки «на квадрат», а где R q = 4h / e 2 » 16, 5 кОм — квантовая единица сопротивления. Естественно предположить, что сопротивление еще более тонких пленок ( R 0 і R q ) долж но быть конечно, даже при T = 0 из-за того, что пары вихрей будут генери роваться квантовыми флуктуациями сверхпроводящего конденсата.

Макроскопическое квантовое туннелирование. Термическая акти вация. Еще в 1968 г. Иванченко и Зильберман отмечали [82], что даже малые флуктуации должны приводить к существенно нелинейным эффектам, если ток I достаточно близок к критическому значению I C. Фактически, в соот ветствии с (1.2.1) и (1.2.4) полная потенциальная энергия системы («контакт + источник тока») h I j = 2( ej% - j% )E J, U (j ) = U J (j ) - (1.2.17) 2e 1/ e = й - (I / I C ) ъ = 1, 2щ j%= j - j 0, 1 (1.2.18) к л ы формирует барьер малой высоты U 0 = (2 / 3)E J e 3, (1.2.19) ограничивающий метастабильное состояние j = j = arcsin(I / I C ) (см.

рис. 2).

Флуктуации приводят к неисчезающей вероятности для системы ухо дить из состояния j = j 0. Эта вероятность может быть описана как ско рость распада (обратная величина времени жизни) G, если эта скорость не слишком велика:

G = wA, (1.2.20) где wA — «частота попыток»:

U U ~ Рис. 2. Потенциальная энергия U (функция кубической параболы, адекватно ап проксимирующая фрагмент потенциала (1.2.15) типа «стиральной доски») как функция джозефсоновской разницы фаз j% для случая макроскопического кванто вого туннелирования.

мw0 для w0t ? 1, п 1/ ж2 1ц ч - 1 =п wA = зw0 + (1.2.21) н ч з и 4t 2 ш пwC для w0t = 1, 2t п о где w0 = wp e1/ 2 — частота малых осцилляций около j 0 в случае малой вяз кости ( w0t ? 1 ) и wC — обратное время релаксации для случая сильной вязкости ( w0t = 1 ) : wC = w02t = (E J / h )e.

Если температура T достаточно выше точки «перехода»1 T 0 » h wA, термические флуктуации доминируют как источник распада, и G может быть выражена известной формулой Крамерса [135] w G = C A exp (- U 0 / T ) для U 0 / T ? 1. (1.2.22) 2p Если вязкость не слишком мала, w0t = U 0 / T, (1.2.23) распределение вероятности системы внутри потенциала ( j = j 0 ) близко к равновесному:

е f (E i ) = exp(- E i / T ) / Z, Z= exp(- E i / T ), (1.2.24) i что дает C = 1 в предэкспоненциальном факторе соотношения (1.2.22).

В противоположном пределе (для U 0 / T = w0t ) состояния с энергиями E i U 0 существенно пусты благодаря потоку вероятности через барьер. Для энергетического барьера (1.2.17) это дает C = 4(U 0 / T ) / w0t.

Макроскопическое туннелирование. Для T T 0 скорость распада определяется квантовыми флуктуациями, так что при T ® 0 можно опи сать распад как результат «макроскопического квантового туннелирования с диссипацией» системы как целого через энергетический барьер (1.2.17). Этот эффект привлек значительное внимание после стимулирующей работы Ле гетта (см. [82]), первых [82] и двух решающих экспериментов [6, 82].

Для того чтобы вычислить G в присутствии существенной вязкости, в основном используется техника континуального интеграла Фейнмана [2, 134, 188]. Эта техника обобщалась на распадные процессы [44, 46], в том числе для контактов Джозефсона.

Говоря о развитии теории квантового туннелирования с диссипацией, отметим, что в ряде статей и обзоров [41–93, 134–181] обсуждаются доста точно общие и важные результаты по времени жизни метастабильных со стояний в зависимости от температуры и вязкости при заданном потенциаль ном барьере. При высоких температурах метастабильные системы хорошо описываются теорией Крамерса [135] или ее обобщением на случай завися щей от времени вязкости [43, 56, 170], и распад (метастабильного состояния) осуществляется классическим надбарьерным переходом. При достаточно За исключением тех мест, где это особо оговорено (например, в разделе 1.3), ниже ис пользуется система единиц, в которой h = k B = 1.

низких температурах переход обусловлен квантовомеханическим туннелиро ванием. При нулевой температуре туннелирование происходит из состояния с низшей энергией. С повышением температуры увеличивается энергия со стояния, из которого наиболее эффективно происходит туннелирование [55].

Переход по температуре к классическому надбарьерному прохождению может быть переходом первого или второго рода. Род определяется формой потенциального барьера. Для потенциала с плоской вершиной (близкого к прямоугольному барьеру) осуществляется переход первого рода. В этом слу чае квантовое туннелирование происходит с глубоких уровней при всех до пустимых температурах. Полная вероятность распада в таком потенциале есть сумма вероятностей квантового туннелирования и вероятности класси ческого надбарьерного перехода. В зависимости от температуры существен только один из механизмов распада. В ряде случаев вблизи границы метаста бильности потенциал может иметь форму кубической параболы (например, для сверхпроводящих контактов (1.2.17)). В этом случае при повышении температуры уровень энергии, с которого туннелирование наиболее вероят но, непрерывно растет и при температуре перехода T 0 достигает высоты по тенциального барьера. Для достаточно высокого потенциального барьера ве роятность распада G в единицу времени экспоненциально мала:

G = B exp(- A ). (1.2.25) Коэффициенты A, B зависят от температуры и вязкости. При этом на плос кости (T, h) можно выделить несколько областей.

При температуре T T 0 выполняется закон Аррениуса A = U /T, (1.2.26) где U — высота потенциального барьера. Показано [51], что в точке T функция A (T ) имеет скачок во второй производной. При T T 0 показа тель A (T ) — плавная функция температуры, выходящая на конечное значе ние при T ® 0. Например, в пределе сильной вязкости и для потенциала, имеющего вид кубической параболы, й 2щ 3 1ж ц ъ U Tч к- з ч.

A ( )= T (1.2.27) з чъ к 2 2 зT 0 шъ зч T0 и к л ы В узкой области вблизи T 0 шириной порядка T 0 (T 0 / U )1/ 2 флуктуации за мывают особенность. В этой области ж Uц B [ - F (x ) ]exp зx 2 - ч, G(T ) = 1 (1.2.28) ч з и Tш где величина x = l (T - T 0 ). Коэффициенты l, B и температура T 0 зави сят от вязкости и найдены в [42, 53, 54]. В зависимости вероятности распада G и вязкости h можно выделить два характерных значения вязкости h1, [55]:

h1 = m W / U, T h2 = m W, (1.2.29) где частота колебаний в перевернутом потенциале 1/ W= (- U ў / m ), ў (1.2.30) m — масса частицы, U ў — вторая производная от потенциала в точке мак ў симума.

При значении вязкости h » h1 энергия d, теряемая частицей за пери од, порядка T. При h і h2 энергия d » U, и классическое движение стано вится апериодическим.

В классической области высоких температур T ? T 0 предэкспонен циальный множитель B был найден в работе Крамерса в предельных случа ях h ? h1 и h = h1 [135], а при h » h1 — в [62].

Область промежуточных температур T і T 0, в которой происходит переход от классического закона распада к квантовому, описываемому фор мулой (1.2.28), исследовалась в [42] при h1 = h = h2 и в [43, 56] при h і h2.

В области малой вязкости h = h2 вероятность распада G выражает ся через вероятность g (E ) прохождения через потенциальный барьер час тицы с энергией E :

dE е т G= N (E ) g (E ) / N (E i ), (1.2.31) 2p i где N (E ) — функция распределения квантовой частицы по энергии.

Наиболее просто исследуется случай промежуточной вязкости h1 = h = h2 [42]. При этом функцию распределения N (E ) можно считать равновесной:

N (E ) = exp(- E / T ), (1.2.32) и выражение (1.2.31) вообще не зависит от вязкости.

Если температура T достаточно низкая (T Ј T 0 ), то существенные энергии в интеграле (1.2.31) меньше высоты барьера, и для g (E ) можно воспользоваться обычным квазиклассическим выражением g (E ) = exp { 2 т pdx }.

- (1.2.33) При T і T 0 существенные энергии близки к вершине барьера, и ква зиклассическая формула (1.2.33) неверна, но потенциал вблизи вершины можно считать перевернутым осциллятором с частотой W. В этом случае - g (E ) = й + exp (- 2p E / W щ.

)ы 1 (1.2.34) л Подставляя выражения (1.2.32), (1.2.33), (1.2.34) в формулу (1.2.31), можно убедиться, что переход от классического надбарьерного прохождения к квантовому туннелированию происходит при температуре W T0 =. (1.2.35) 2p Вблизи T 0 энергетическую зависимость показателя в формуле (1.2.33) можно считать параболой. При этом интеграл в формуле (1.2.31) сво дится к функции ошибок, и температурная зависимость вероятности распада G(T ) имеет вид (1.2.28).

Афлек [42] показал, что выражение (1.2.31) с учетом (1.2.32) совпадает с формулами G = 2 Im F, T Ј T 0 ;

(1.2.36) G = 2 ( 0 / T )Im F, T і T 0, (1.2.37) T где F — свободная энергия системы.


Важно, что формулы (1.2.36), (1.2.37) справедливы и в случае большой вязкости h і h2. При этом формула (1.2.31) справедлива только в классиче ском пределе T ? T 0 ;

тогда вместо (1.2.34) можно подставить g (E ) = q(E ).

В квантовом случае нельзя ввести функцию распределения N (E ), так как энергия при большой вязкости не является «хорошим» квантовым числом.

Вероятность туннелирования g (E ) зависит от вязкости. Как отмечается в [55], главная трудность заключается в том, что наличие вязкости требует уточнения постановки задачи о квантовом туннелировании.

Классическое уравнение движения U mq& &= & - hq (1.2.38) q справедливо при любой вязкости h. Большая вязкость h h2 соответствует апериодическому движению в классически доступной области. Прокванто вать уравнение (1.2.38) можно только при h = 0, когда оно является га мильтоновым. Чтобы найти вероятность квантового туннелирования при большой вязкости, нужно сделать шаг назад и понять, что вязкость в (1.2.38) возникла от взаимодействия частицы с координатой q с термостатом (сис темой с большим числом степеней свободы). Большая система — частица и термостат — является гамильтоновой и может быть проквантована.

Чтобы найти время жизни метастабильного состояния с большим чис лом степеней свободы, нужно обратиться к понятию «инстантона» [2, 49, 50, 60, 77, 182–184]. Можно убедиться, что формула (1.2.36) справедлива при низких температурах для системы с любым числом степеней свободы. Для метастабильного состояния распадное граничное условие приводит к появле нию мнимой части в спектре энергий. Затухание со временем волновой функции метастабильного состояния определяется величиной E 1 = - Im E.

При нулевой температуре вероятность распада G = - 2 Im E. (1.2.39) При низких температурах распад происходит из возбужденных состоя ний. Если время жизни этих состояний велико ( E 1 = Re E ), то в системе успевает установиться тепловое равновесие. В результате для средней веро ятности распада е exp(- E / T )2 Im E Im Z G= » 2T = 2 Im F. (1.2.40) е exp(- E / T ) Re Z Таким образом, для вычисления вероятности распада нужно найти мнимую часть статистической суммы Z, которую удобно записать в виде континуального интеграла [134, 185, 188] т Dq(t ) exp {- A [q ], } Z= (1.2.41) где эффективное действие A определяется усреднением по степеням свобо ды термостата Q :

A [ ]= A 0 + A1 ;

q 1/ T мm ь п п ж qц ч п п з ч + V (q)э ;

т A0 = dt н (1.2.42) з t ш ч и п2 п п п о ю м ь 1/ T п п exp (A1 ) = SpQ exp п- п d t [ ( t )Q + H (Q ) ].

т q н э п п п п о ю Часто шум термостата можно считать гауссовым. В этом случае дейст вие термостата определяется корреляционной функцией шумов 1/ T Ґ - t ў й ( t ) - q( t ў щ.

т d t т d t ўK (t A1 = )лq )ы (1.2.43) 0 -Ґ Между корреляционной функцией на мнимых временах K ( t ) и функ цией трения существует дисперсионное соотношение, аналогичное соотно шению между мацубаровскими и временными функциями Грина [55].

Если коэффициент трения h не имеет дисперсии, то [47] K ( t ) = h / (4pt 2 ). (1.2.44) Определенный интерес представляет предельный случай малой вязко сти h = h1. При низких температурах T T 0 этот случай не отличается от случая промежуточной вязкости h1 = h = h2. Вероятность распада G оп ределяется формулами (1.2.31), (1.2.32), (1.2.33) и не зависит от вязкости.

Однако при T T 0 возникает зависимость G от вязкости, так как при этом происходит туннелирование с верхних энергетических уровней, где функцию распределения нельзя считать равновесной. В предельном случае высоких температур T T 0, когда существенно надбарьерное прохождение, при малой вязкости число надбарьерных частиц пропорционально вязкости. По этому предэкспоненциальный множитель B в выражении (1.2.25) для G также пропорционален вязкости h [135]. Чтобы получить грубую оценку для G в переходной области [55], можно считать, что в (1.2.31) функция распре деления N (E ) равна равновесному значению (1.2.32) при E E c, а при E E c быстро убывает. Энергия E c находится из условия равенства веро ятностей туннелирования g (E ) и перехода под действием сил трения g (E c ) = exp (E c / T 0 ) = d / T, (1.2.45) где d » hU / m W — энергия, теряемая из-за трения за один период. В ре зультате существенное туннелирование происходит из состояний, меньших высоты барьера на величину E c, и в вероятности туннелирования появляет ся дополнительный множитель 1- T 0 / T g (E c ) exp (- E c / T ) = (d / T ). (1.2.46) Температура T 0 в формуле (1.2.45) определяет температуру перехода от квантового к классическому режиму и равна W/ 2p, где W — частота движения в перевернутом потенциале с энергией E c. При малой вязкости эта частота несколько меньше частоты осциллятора в (1.2.34), поэтому T медленно убывает с уменьшением вязкости. Для получения точной формулы для G в переходной области нужно вывести и решить квантовое кинетиче ское уравнение для частицы в поле шумов термостата [54, 55]. Этот шум при низких температурах следует считать не «белым», а «красным», так как ха рактерная частота шумов порядка температуры и сравнима с частотой дви жения частицы.

Для оценки влияния квантовых флуктуаций на вероятность туннелиро вания при низких температурах T T 0 вернемся к формуле (1.2.36), где свободная энергия т Dq(t ) exp {- A [q ].

} F = - T ln Z ;

Z = Z 0 + iZ 1 = (1.2.47) Поскольку мнимая часть статистической суммы Z 1 мала по сравне нию с вещественной частью Z 0, формула (1.2.36) может быть представлена в виде G = 2T Z 1 / Z 0 = 2T Z 0- 1 Im т Dq( t ) exp { A [ ].

- q} (1.2.48) Функциональный интеграл в (1.2.48) берется по функциям q( t ), опре деленным на интервале [ 1/ 2T,1/ 2T ] и удовлетворяющим условию q(- 1/ 2T ) = q(1/ 2T ). Для вычисления величины Im Z можно воспользо ваться методом, разработанным и развитым в [44, 46, 53, 55].

% Существует функция q( t ), для которой действие A [ ] принимает q % экстремальное значение. Функция q( t ) находится из уравнения dA [ ] q = 0. (1.2.49) dq Вблизи экстремальной траектории функцию q( t ) можно представить в виде ~ q ( ) = q ( ) + C q ( ), (1.2.50) n n n где qn ( t ) — нормированные собственные функции оператора d2A / dq 2, d2A qn = L nqn, (1.2.51) dq с периодическими граничными условиями qn (1/ 2T ) = qn (- 1/ 2T ). Одно собственное значение 0 — отрицательное. Контур интегрирования по C необходимо сместить на мнимую ось, что приводит к появлению мнимой части в статистической сумме.

% При T T 0 функция q( t ) отлична от const, и при произвольном % значении t 0 периодическая функция q( t - t 0 ) (с периодом 1/ T ) также является решением уравнения (1.2.49). Отсюда следует, что функция % q / t удовлетворяет уравнению (1.2.51) с нулевым собственным значени ем. Для каждой функции q( t ) выберем t 0 такое, чтобы наилучшим обра % зом приблизить q( t ) функцией q( t - t 0 ), т. е. определим t 0 из условия минимума функционала [42]:

1/ 2T D D (t ўq ) = d t й ( t ) - q ( t - t ў щ;

т % q )ы = 0. (1.2.52) л t ўt ў= t - 1/ 2T Величина Z 1 может быть записана в виде 1/ 2T d t ўт Dq( t ) exp { A [ ] d( t ў- t 0 (q( t ))) = - q} т Z 1 = Im - 1/ 2T ж D (t ўq )ц 2D (t ўq ) 1/ 2T з ч ч - q} з = Im т d t ўт Dq( t ) exp { A [ ] d з. (1.2.53) ч ч з t ў ш t ў ч з и - 1/ 2T Из (1.2.50), (1.2.52) следует, что 1/ й1/ 2T щ 2D (t ўq ) 1/ 2T D ( t ўq) ж qц ж qц ъ % % = 2C 1 к т d t з ч. (1.2.54) чъ, зч = 2 т dt ич к з t ш з t ш ч и чъ t ў t ў к 1/ 2T л ы - 1/ 2T Подставляя выражения (1.2.54) в (1.2.53), получим 1/ й1/ 2T 2щ 1/ 2T Ґ м C2 ь dC ж qц ъ % п п Z1 = к т dt з t ч ъ зч exp н- 0 L 0 э т т dt ў к ч и шъ п2 п 2p п п о ю к 1/ 2T л ы - - 1/ 2T Ґ { } dC n C Х exp - n L n d(C 1 ) exp { A [ ].

- q} т (1.2.55) 2p n №0 - Ґ Аналогично величина Z 0 может быть записана в виде гауссова инте грала по области значений q( t ) вблизи минимума эффективного действия.

В результате для времени жизни метастабильного состояния G- 1 получается выражение G = B exp(- A ), (1.2.56) где - 1/ ж 2A ц d ўз 2 ч Det з ч 1/ й1/ 2T щ ч з иdq ш ж qц ъ % 1к чъ A = A [% - A й min щ B = зч % т dt q= q q] q,. (1.2.57) 2p к 1/ 2T з t ш и чъ лы жA 2ц d к ы Det з 2 ч л ч з и чq = q з dq ш min Здесь Det ў означает, что в определителе Det опущено нулевое соб ственное значение.

При движении частицы в потенциальном поле в пределе нулевой тем пературы 1/ 2T ж qц % A зч т dt з t ш = m. (1.2.58) ч ич - 1/ 2T Однако при наличии вязкости соотношение (1.2.58) неверно даже при нулевой температуре [53, 55].

Вывод формулы (1.2.57) приводится [53, 55], как правило, для того, чтобы продемонстрировать ее справедливость для произвольной температу ры T T 0 и для любого вида эффективного действия, в том числе и при на личии диссипации.

При исследовании затухания тока в сверхпроводящих контактах при неравновесной функции распределения электронов [54] было показано, что неравновесность приводит к резкому росту эффективной температуры кон такта и увеличению вероятности распада метастабильного токового состоя ния. При уровне неравновесности, превышающем пороговое значение, эф фективная температура становится отрицательной. В этом случае на контакте возникают колебания фазы и напряжения при токе, меньшем критического.

При описании этих неравновесных явлений [54] использовалось кине тическое уравнение для функции распределения электронов. Функция рас пределения N i, равная вероятности найти квантовую частицу в i-м состоя нии, удовлетворяет уравнению Ni е (N W - N jW ji ). (1.2.59) - = i ij t i При равновесном распределении электронов [54] вероятности перехода W ij удовлетворяют соотношению W ij = W ji exp й (E j - E i ) / T щ - ъ. (1.2.60) к л ы Отсюда следует, что уравнение (1.2.59) имеет в этом случае стационарное решение N i = exp(- E i / T ). (1.2.61) При неравновесном распределении электронов вероятности перехода W ij не связаны простым соотношением вида (1.2.60). Однако и в этом слу чае стационарное решение уравнения (1.2.59) можно искать в виде ж ц E ч N i = exp з- dE i / T *(E i )ч.

т з (1.2.62) ч з ч з и ш Величина T *(E ) играет роль эффективной температуры и мало меня ется на энергиях порядка расстояния между уровнями. Матричные элементы W ij быстро убывают с ростом разности i - j. Поэтому из формул (1.2.59), (1.2.61) следует уравнение для эффективной температуры е{ } - W ji exp й (E j - E i ) / T *(E i )ъ = 0.

щ W - (1.2.63) к л ы ij i Рассматривается также важный частный случай [54], когда эффектив ная температура велика по сравнению с характерной частотой wij » W, на которой происходит падение вероятности перехода W ij. При выполнении этого условия функция распределения меняется медленно, и уравнение (1.2.59) сводится к дифференциальному:

й N (E ) щ 1 N (E ) A B N (E ) ъ к - + + = 0, (1.2.64) E к w(E ) w(E ) E ъ w(E ) t л ы где w (E ) — расстояние между ближайшими уровнями, равное частоте клас сического движения в потенциальной яме U (j ), е еj (E j - E i )2W ji.

A= (E j - E i )W ji, B= (1.2.65) j В стационарном случае решение уравнения (1.2.64) имеет вид (1.2.62) с эффективной температурой T * (E ) = B / A. (1.2.66) Выражение (1.2.76) можно получить также из формулы (1.2.63).

В дополнение заметим, что при изучении неупругого туннелирования через тонкие аморфные пленки обсуждаются, в частности, мезоскопические флуктуации проводимости [189]. Отдельный интерес может представлять электронный поляронный эффект и макроскопическая квантовая диффузия тяжелой частицы в металле [89]. Другие варианты возможной применимости макроскопического квантового туннелирования с диссипацией к мезоскопи ческим системам требуют дополнительного обсуждения [3].

Изложенная часть науки о квантовом туннелировании с диссипацией представляет собой только маленький возможный фрагмент (или одно из возможных «введений» в проблему). При этом мы, конечно, не претендуем на полноту изложения. Существенным и важным оказывается как универ сальность самой этой науки, так и многих методов, которые в ней использу ются и разрабатываются [41–93, 134–181]. Продуктивность науки о кванто вом туннелировании с диссипацией, по-видимому, проявляется как в ряде областей, которым посвящено настоящее пособие, так и в целом для адекват ного описания процессов в низкотемпературных предмезоскопических и ме зоскопических системах.

Что касается более доступного и подробного изложения метода ин стантонов, используемого в настоящем пособии и в науке о макроскопиче ском квантовом туннелировании, то мы адресуем читателя к литературе [2, 49, 50, 60, 77, 182–184].

Отметим также, что при исследовании динамики частицы в двухъям ном потенциале, а также проблемы локализации [75, 76], уточняются грани цы применимости метода инстантонов и обсуждаются способы уточнения этого метода.

Особый интерес в науке о макроскопическом квантовом туннелирова нии с диссипацией представляют исследования двумерных нелинейных сис тем, взаимодействующих с термостатом (как предмезоскопических, так и ме зоскопических). На примере систем с контактами Джозефсона подобное важное исследование было выполнено Б.И. Ивлевым и Ю.Н. Овчинниковым в работе «Распад метастабильных состояний при наличии близких подбарь ерных траекторий» [59]. При этом было показано, что зависимость вероятно сти распада токового состояния системы двух связанных джозефсоновских контактов от температуры и величины тока обладает существенными осо бенностями. Оказалось, что это связано с наличием в двумерной системе близких классических траекторий в мнимом времени, которые могут плавно или скачком сливаться в одну при некоторых значениях тока и температуры.

В работе [59] исследовалось поведение вероятности распада метастабильного состояния вблизи таких особых точек.

Как будет показано в разделе 1.4, эффект, аналогичный рассмотренно му в работе [59], можно наблюдать и в случае двумерной, нелинейной, низ котемпературной химической кинетики.

1.3. ПОНЯТИЕ О КВАНТОВОМ ХАОСЕ При рассмотрении макроскопического квантового туннелирования с диссипацией важным оказывается учет квантовых флуктуаций. Логическим продолжением этого рассмотрения становится изучение квантового хаоса [4, 5, 19, 38, 39]. Эта проблема активно развивается в последнее время [3–5] и находит немало существенных приложений в физике мезоскопических сис тем.

Прежде чем перейти к представлению о квантовом хаосе, сделаем шаг назад и скажем несколько слов о хаосе «классическом». Сам термин хаос в современной литературе употребляется в различных смыслах (иногда в про тивоположных). Так, например, в качестве общеупотребительного «нагляд ного» примера классического хаотического поведения часто приводится тур булентное движение жидкости. В противоположность турбулентному дви жению, ламинарное течение жидкости рассматривается как пример движения упорядоченного (нехаотического). В отличие от такого подхода, в работах И. Пригожина [21–27] при рассмотрении турбулентности на мезо- или мик роуровне усматривается дальний порядок (корреляции движущихся молекул жидкости);

тогда как в случае ламинарного течения такого порядка не на блюдается. Тем самым мы опять сталкиваемся с необходимостью различать хаотичность на микро-, мезо- и макроуровне, а по способу описания выделя ем классический и квантовый хаос.

Проблема хаотичности непосредственно связана с проблемой принци пиальной неустойчивости, случайности, непредсказуемости и невоспроизво димости движения;

равно как и с возможным проявлением воспроизводимо сти и предсказуемости, что ярче всего выразилось в представлении детерми нированного хаоса [8, 18, 19].

Возвращаясь к описанной ситуации, было бы возможным рассматри вать турбулентность как пример классического хаотического движения на макроуровне и упорядоченного на мезо- (или микро-) уровне;

или ламинар ность как пример упорядоченного движения на макроуровне (благодаря на личию макропотока в системе) и неупорядоченного на микро- или мезоуров не.

Одним из наглядных примеров классического хаотического движения на мезо- (или микро-) уровне является броуновское движение микрочастицы в жидкости, причем траектория такой частицы одновременно является при мером фрактальной структуры (воспроизводимой, по-видимому, является фрактальная размерность траектории броуновской частицы при фиксирован ных внешних условиях, тогда как сама траектория оказывается принципи ально случайной и невоспроизводимой).

При описании поведения классических систем важным оказывается выбор «переменных состояния» [30], которые можно объединить в вектор r состояния q = (q1, q2,..., qn ). Предполагается при этом, что значения компо нент вектора состояния (переменных состояния) при заданном времени t описывают состояние системы. Для практических целей важен адекватный r выбор переменных q. Необходимо при этом различать микроскопический, мезоскопический и макроскопический уровни описания. При рассмотрении жидкости в качестве возможного примера в [30] отмечается, что в соответст вии с возможным толкованием уровней описания, на микроскопическом уровне рассматриваются отдельные атомы и молекулы, описываемые задани ем их положений, скоростей и взаимодействий. На мезоскопическом уровне жидкость рассматривается как ансамбль, состоящий из многих атомов и мо лекул. Протяженность такого ансамбля по предположению велика по сравне нию с межатомными расстояниями, но мала по сравнению с характерными размерами возникающих макроскопических структур (например, по сравне нию с «шестиугольниками» в неустойчивости Бенара). При мезоскопическом описании переменные qi относятся к ансамблям атомов или молекул. В слу чае жидкости qi можно отождествить с плотностью и средней локальной плотностью. При образовании макроскопических структур плотность и ско рость могут локально изменяться. Иначе говоря, qi становятся переменны ми, зависящими от времени и положения в пространстве. Наконец, образова ние пространственных структур желательно изучать и на макроскопическом уровне. При рассмотрении непрерывно протяженных систем (жидкостей, хи мических реакций и т.д.), за исходный часто выбирается мезоскопический уровень и разрабатываются методы, позволяющие предсказывать возникаю щие макроскопические структуры.

Мезоскопический уровень позволяет вводить понятия, которые отно сятся к ансамблям атомов, но не могут быть определены для отдельного ато ма. К числу таких понятий относится, например, температура. Другим при мером могут служить фазы — жидкая или твердая. Соответственно, вводятся r v переменные двух типов qI (x, t ) и qII (x, t ), где qI относится к плотности молекул в жидкости, а qII — к плотности в твердой фазе. Это позволяет, в частности, математически описать рост кристалла с помощью эволюционных уравнений.

В других областях мезоскопический уровень не обязательно отождест влять с атомами и молекулами. Например, при математическом описании клеточной ткани может оказаться достаточным [30] рассматривать клетки как отдельные элементы на микроскопическом уровне, а их плотность (или тип) — как подходящую переменную на мезоскопическом уровне. Во всех r случаях qi или вектор состояния q становятся функциями пространства и r r rr v времени: ( q1(x, t ), q2 (x, t ),..., qn (x, t ) = q (x, t ) ).

Помимо временных изменений учитываются и пространственные (на & пример, в случае уравнения диффузии q = DD q, где ur D = С = 2 / x 2 + 2 / y 2 + 2 / z 2 — оператор Лапласа, D — коэффи циент диффузии).

Перечисленные особенности приводят в итоге к нелинейному стохас тическому дифференциальному уравнению в частных производных общего типа, решения которого могут носить и хаотический характер [30]. Анализу решения подобных уравнений, сценариям перехода к хаотическим режимам посвящено достаточно много работ [7, 8, 18–20, 25, 27, 28, 30, 34, 36, 37, 40], и мы не предполагаем останавливаться на этом подробно.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.