авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 10 |

«МИНИСТЕРСТВ ОБРАЗОВАН М ВО НИЯ И НАУКИ У УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬ Й ЬНЫЙ УНИВЕРС ...»

-- [ Страница 2 ] --

Исходя из изложенного выше, можно предположить, что про цессы развития предсказуемы (с определенной вероятностью, конеч но), причем на обеих его стадиях. Более точному прогнозу поддаются процессы эволюционной стадии, поскольку они, как и структура сис темы, отличаются устойчивостью, а условия внешней среды извест ны. С гораздо меньшей точностью можно вычислить сценарий пове дения системы в точке бифуркации, поскольку и система, и среда становятся неустойчивыми и детерминизм эволюции сменяется слу чайностями революции.

Наличие процессов синхронизации в системах позволяет сде лать важный вывод, отсутствующий в концепциях самоорганиза ции: временные границы точек бифуркации (по крайней мере, нижняя граница в силу выраженной когерентности процессов в фазе устой чивого развития) предсказуемы. Знание нижней границы точки би фуркации не должно служить поводом к навязыванию самооргани зующейся системе того или иного аттрактора. Навязывание пути раз вития бесперспективно, так как заведомо обрекает систему на дегра дацию. Это не означает, что управляющая подсистема самооргани зующейся самоуправляемой системы должна отказаться от какого либо управляющего воздействия вблизи точки перехода;

это требует, чтобы управление находилось в резонансе с системой и происходило в соответствии с ее природой, уровнем развития и прошлым.

1.2. Бифуркационная природа экономических кризисов и социальных катастроф Понятие кризиса в социально-экономических системах фор мально не определено. В толковом словаре термин «кризис» тракту ется как резкий, крутой перелом в чем-либо, как острый недостаток или нехватка, как затруднительное, тяжелое, опасное положение. Под катастрофой в общем, самом широком смысле слова понимается пе реход, скачок из одного состояния развития социальной системы в другое. [47] Как отмечают специалисты, социальные кризисы, процессы пе рехода системы из одного состояния в другое изучены крайне мало.

Тем не менее, число стихийных бедствий, катастроф и экономических кризисов на планете стремительно растет. Пространство в XXI в. на сыщено большим количеством потенциально опасных кризисов, мно гие из которых способны серьезно угрожать человечеству. Среди них:

- глобальные финансовые кризисы;

- нарастающий разрыв по уровню жизни между богатыми и бедными странами;

- опасность коллапса биосферы вследствие разрушающего тех ногенного воздействия на окружающую среду;

- чрезмерный рост численности населения Земли и вызванная этим нехватка сырьевых ресурсов;

- исчерпание энергетических и минеральных ресурсов;

- сверхурбанизация, погружение в искусственную среду обитания;

- чрезмерное распространение духа материального потребительства;

- погружение в новую виртуальную среду обитания;

- терроризм и преступность и т.д. [49] Как утверждают эксперты, есть радикальное отличие нынешне го века от всех предыдущих эпох: впервые за тысячелетия мировой истории возникло ощущение реальной опасности гибели человечест ва. Иными словами, на рубеже веков наметились новые «вызовы» че ловечеству. Под «вызовами» обычно понимают проблемы общего характера, связанные с появлением каких-либо новых факторов в ми ровом развитии, ставящих под вопрос возможность нормального функционирования механизма воспроизводства общественной жиз ни, стабильность системы международных отношений, устойчи вость мировой экономики и т.д. В отличие от «угроз», предполагаю щих незамедлительные ответные действия, реакция на «вызовы», как правило, может быть двоякой:

1. Отсутствие каких-либо действий. В этом случае возможен следующий дальнейший ход событий. Какое-то время (вероятно, до вольно долгое) система «подавляет» проявление дестабилизирующих ее факторов или «сосуществует» с ними. Однако если речь идет о «вызовах», имеющих глубинные причины, то это рано или поздно приводит к коллапсу миропорядка, общества. Это наиболее болез ненный тип развития.

2. Модернизация системы, связанная с изменением характера ее функционирования, установлением новых внутрисистемных связей.

Чаще всего это – результат осознанных мер, призванных найти ответ на «вызовы». Однако неумелое вмешательство может только усугу бить ситуацию, ускоряя коллапс системы. [106] Возможность научного изучения кризисов и катастроф долгое время подвергалась сомнению в силу неповторимости и уникальности этих явлений. Однако в дальнейшем в сценариях развития кризисов и катастроф самой различной природы было обнаружено много общего.

Известный русский социолог П.А. Сорокин писал, что «накану не войны большинство ученых предсказывали мир;

накануне эконо мического краха и обнищания – процветание;

накануне революций – стабильный порядок и закономерный прогресс. Несмотря на все на ходящиеся в нашем распоряжении общественные и естественные науки, мы не способны ни управлять социально-культурными про цессами, ни избегать исторических катастроф. Как бревно на краю Ниагарского водопада, нас приводят в движение непредвиденные и непреодолимые социально-культурные течения, перенося нас от од ного кризиса и катастрофы к другим».

В истории можно найти немало примеров, иллюстрирующих описанную ситуацию. Так, XX век Европа встречала в обстановке мирной жизни, которая продолжалась уже почти три десятилетия. По предложению императора Николая II собирается конгресс, цель кото рого – договориться о мирном сосуществовании в наступающем сто летии. Ученые говорят, что наука раскрыла уже почти все тайны при роды. Продолжается бурное развитие промышленности. В культуре наступил серебряный век... И все это благополучие было буквально взорвано всего через полтора десятилетия.

Революционные процессы с их непредсказуемым исходом яв ляются типичными процессами бифуркационной природы (би фуркация – ветвление эволюционного пути). Трудно вспомнить рево люцию и революционеров, добившихся тех целей, из-за которых предпринимались революционные перестройки. Другими словами, социальные революции всегда оказываются «иронией истории» в от ношении предсказуемости исхода. Ярким тому примером служит опыт социально-экономических реформ 1990-х гг. в постсоветских странах. Экономика большинства стран в течение последних пятна дцати лет функционировала в режиме чрезвычайных ситуаций: все экономические кризисы или оказались более глубокими по сравне нию с предварительными оценками экспертов (например, спад и ги перинфляция 1992-1994 гг., дефолт 1998 г. в России), или явились полной неожиданностью как для экономических властей, так и для большинства экспертов.

С синергетической точки зрения развитие социума как нели нейной системы описывается посредством двух моделей: эволюцион ной и бифуркационной. Отличительной особенностью эволюционно го этапа развития является неизменность системного качества. Это период с хорошо предсказуемыми линейными изменениями. Но именно в данный период происходит нарастание внутреннего нерав новесия, что ощущается как нарастание кризиса. Разрушение, деста билизация каждой системы имеет свой сценарий. В строении системы есть свои слабые места, где возмущающий удар вызывает наиболь шие последствия. Поэтому особенности дестабилизации зависят в первую очередь не от специфики внешнего воздействия, а от устрой ства самой системы. [106] По мере нарастания внутреннего неравновесия система прибли жается к бифуркационной точке, в которой эволюционный путь системы разветвляется. Система становится очень чувствительной к внешним и внутренним воздействиям. Выбор того или иного пути в точке бифур кации зависит от фактора случайности, реализуемого через деятельность конкретных людей. Именно конкретная историческая личность приво дит систему к новому системному качеству. Роль случайности не просто велика, она фундаментальна. Она делает процесс необратимым. Разви тие таких систем имеет принципиально непредсказуемый характер. Ис торик, как правило, «фатализирует» исторический процесс («задним умом») и сам конструирует цепь причинно-следственных событий, с наибольшей надежностью ведущую к заключительному пункту. Синер гетика же понимает под общеисторической закономерностью не единый путь исторического развития, а единые принципы «хождения по разным историческим маршрутам». Синергетический подход ставит во главу угла не только реальность, но и возможности, ситуации выбора, точки бифуркации (ветвления) исторического процесса.

Прямолинейные экстраполяции тех или иных кратковременных тенденций, на основе которых по большей части строились прогнозы социального переустройства, уступают место моделям, в которых бу дущее видится как пространство возможностей, а настоящее – как на пряженный процесс выбора. Синергетически мыслящий историк, по литолог или экономист не будет оценивать то или иное решение по средством прямолинейного сравнения предыдущего и последующего состояний. Он станет сравнивать реальный ход последующих событий с вероятным ходом событий при альтернативном ключевом решении.

Разумеется, такой подход сильно отличается от традиционного, сложившегося в рамках классической парадигмы, основными посту латами которого являются следующие:

• мир жестко связан причинно-следственными отношениями.

• следствие соизмеримо с причиной;

• развитие предсказуемо и «ретросказуемо»: настоящее определя ется прошлым, а будущее – настоящим и прошлым;

• случайность является второстепенным фактором, не оставляю щим следа в общем течении событий;

• единичное усилие не может иметь видимого влияния на ход истории;

• неравновесность, неустойчивость воспринимается как нечто нега тивное, разрушительное, сбивающее с правильной траектории;

• развитие мыслится как безальтернативное. [104] Синергетическое представление о социальном развитии требует нелинейной интуиции и альтернативного мышления. Возможно, нели нейная динамика могла бы вооружить исследователей новыми подхо дами. Можно ожидать, что мощным инструментом нелинейного мыш ления в недалекой перспективе станут компьютеры, как в свое время они стали «соавторами» открытий в естественных науках. Они будут «просчитывать» гипотетические варианты развития при различных ключевых событиях. И, что очень важно, исследование будет осущест вляться путем эксперимента с моделью, а не с реальной системой.

Точки бифуркации иногда называют «динамическими ключами»

управления. Однако искусство обращения с этими ключами пока, к со жалению, познается на горьком опыте. Опыт последних двадцати лет показал, что в условиях нестабильности даже небольшие флуктуации могут «запустить» процесс с непредсказуемыми для всей системы по следствиями. Так, в условиях, когда общество находилось в ситуации, далекой от равновесия, М.С. Горбачевым была предпринята попытка осуществления контролируемой реформы, которая превратилась в не контролируемую флуктуацию. Последняя, в свою очередь, ввергла об щество в состояние бифуркации. Оказалось, что бифуркация и самоор ганизация отнюдь не всегда ведут к положительным результатам. Би фуркация может привести как к более высокой организации, так и к полной дезинтеграции системы (общества). И чем стремительнее и концентрированнее макропреобразования (например, «шоковая тера пия»), тем они менее управляемы и более непредсказуемы. Государст во прошло (иногда не очень задумываясь о последствиях) многие точ ки бифуркации во внутренней (налоговая политика, борьба с преступ ностью, коррупция власти, приватизация, развитие образования, и пр.) и внешней (стратегия развития взаимоотношений с Западом, Востоком, в частности расширение НАТО, и пр.) политике. [9] Выводом из горького опыта стран постсоветского пространства может стать понимание того, что эксперименты с обществом – это рискованное и дорогостоящее дело. Смена аттракторов – очень сложная и, главное, ответственная задача. Для того чтобы подой ти к ее решению, нужно научиться управлять хаосом. Подобная за дача уже поставлена в области естественных наук, но в социальной сфере она имеет свои специфические особенности.

Управление хаосом. Синергетика постулирует кардинальный вывод о том, что хаос – это своеобразный порядок, точнее, хаос обла дает сложной и непредсказуемой формой порядка. В этой ситуации хаос выступает инструментом тонкой настройки.

Анализ социально-экономических процессов современной Ук раины также не может обойти стороной тему хаоса. Это слово до вольно часто встречается в средствах массовой информации, в анали тических докладах, в научных статьях. Как правило, хаос ассоцииру ется с беспорядком, произволом и встречается в таких сочетаниях, как «хаос и безответственность», «хаос и непредсказуемость», «мас совая безработица, политическая нестабильность, хаос», «хаос, тер рор, голод», «хаос, безнаказанность и тотальная коррупция», «полная неразбериха и хаос» и т.п. В обиход вошло устойчивое сочетание – хаос 90-х годов.

На фоне вырисовавшейся картины с трудом воспринимается те зис о творческой, созидающей природе хаоса. Однако, принимая во внимание, что хаос – не гарантия выхода на организацию более высо кого уровня, а лишь уникальная возможность, которая может быть реализована, более конструктивным является обсуждение тех условий, при которых желанная самоорганизация все-таки может состояться.

На первый взгляд, природа хаоса исключает возможность управлять им. В действительности же неустойчивость траекторий хаотических систем делает их чрезвычайно чувствительными к управлению. Вкратце идея управления может быть описана следую щим образом.

Желанный результат может быть достигнут за счет одного или серии малозаметных, незначительных возмущений траектории. Каж дое из этих возмущений лишь слегка меняет траекторию. Но через некоторое время усиление малых возмущений приводит к достаточно сильной коррекции траектории. При правильном выборе возмущений это позволяет решить поставленную задачу, не уводя траекторию с аттрактора. Другими словами, системы с хаосом демонстрируют од новременно и хорошую управляемость и удивительную пластич ность: система чутко реагирует на внешние воздействия, при этом сохраняя тип движения. Резюмируя сказанное, отметим основную идею управления хаосом: каждое из возмущений слегка меняет тра екторию, сохраняя при этом целостность системы.

Безусловно, за простотой идеи скрывается тонкий и сложный механизм управления, успех действия которого не гарантирован и не может быть сведен к набору правил и директив. В данной ситуации можно только указать, как нельзя управлять в условиях хаоса: возму щения не должны быть сильными (разрушить до основания);

управле ние должно быть чрезвычайно чувствительно к состоянию системы (все само собой образуется);

важно установить, насколько ограничена должна быть свобода действий вблизи моментов неустойчивости (не все можно себе позволить) и, наконец, целостность системы не должна быть разрушена (например, может быть отброшено все, что не «ры ночно»). Задача управления в ситуации хаоса – попытаться сохранить стабильность системы с одновременным поиском новых альтернатив ее развития. Новые решения должны быть нацелены на стимулирова ние активности новых социальных сил, на перспективные нормы и принципы организации, на ценности, которые могут обеспечить обще ству развитие в изменившемся мире завтрашнего дня.

Новый взгляд состоит в том, чтобы увидеть в хаотической, неустойчивой с точки зрения деталей системе порядок и ста бильность, если рассматривать ее с точки зрения глобальных пер спектив. Тогда вывод о том, что система должна быть неустойчи вой с тем, чтобы породить глобальную устойчивость, не выглядит столь парадоксальным.

Хаос в этой ситуации выступает инструментом тонкой на стройки. Среди важнейших функций в процессах самоорганизации и самоуправления можно выделяют следующие:

• хаос есть фактор обновления сложной организации;

• хаос есть механизм выхода на одну из тенденций из спектра потенциально возможных;

• хаос есть способ синхронизации темпов эволюции подсистем внутри сложной системы и тем самым способ сохранения ее целостности;

• хаос есть фактор приспособления к изменению окружающей среды;

• хаос есть способ подготовки к различным вариантам будуще го развития.

Синергетическая концепция хаоса отличается от представле ния о том, что развитие есть чередование порядка и хаоса и сози дательная работа хаоса ограничена рамками особых эпох в развитии общества – переходных периодов. В развивающихся структурах про исходит синтез порядка и хаоса. Этот синтез имеет два аспекта:

1. “порядок” существует лишь за “счет” хаоса, вносимого в среду;

2. благодаря своему “порядку” структура приобретает способ ность адекватно реагировать на хаотические воздействия среды и этим сохранять свою устойчивость. [44] Соотношение между порядком и хаосом, гармонией и дисгар монией все время меняется. Иногда людей больше устраивает поря док, но для большинства человеческих целей наиболее полезным яв ляется изменяющаяся степень беспорядка. Задача управления видится не в том, чтобы искоренять хаос, а в том, чтобы добиваться выгодно го соотношения между порядком и беспорядком.

Стоит отметить, что кроме творческого начала хаос, имеет и защитные свойства: системы становятся непредсказуемыми. Это де лает хаос привлекательным средством при разработке всякого рода политических технологий. В этом случае определенные социальные силы могут быть заинтересованы в инициировании и сохранении хао са для достижения своих целей. Например, экономический и полити ческий хаос 90-х годов сработал как «бульон» для слоя бюрократии, дав ей возможность работать на себя. К сожалению, сегодняшняя си туация в Украине хорошо реализует именно это свойство хаоса.

Барьеры самоорганизации. «Хаос 90-х» предоставил уникаль ную возможность для изучения процессов самоорганизации общест ва. Говоря словами синергетики, изменились системные свойства об щества. Об этих изменения нельзя говорить только на языке цифр и статистических данных, анализ должен проводиться и на языке «ка чественных характеристик». Необходим также анализ жизнеспособ ности новой системы и экспертиза принимаемых решений по крите рию выживаемости социально-экономической системы.

Разумное управление должно научиться чуткости в обращении с неустойчивостью, определяя граничные условия, способствующие желанной самоорганизации. Важно установить, насколько ограничена должна быть свобода действий вблизи моментов неустойчивости, чтобы способствовать появлению инновационных сдвигов и в то же время избежать соскальзывания в хаос. Это невозможно сделать без хорошо отлаженной обратной связи и без того, чтобы управление стало обучающимся процессом.

К сожалению, наиболее распространенные стратегии управле ния обществом становятся серьезными барьерами для процессов са моорганизации, закрывая лучшие альтернативы развития общества и оставляя выбор из «плохих» и «очень плохих».

Стратегия выживания. Эту стратегию по праву можно отнести к доминирующей стратегии последнего десятилетия. Стратегия вы живания, не подкрепленная стратегией развития, оказалась разруши тельной для многих стран.

Преодоление негативных тенденций, которые обрели систем ный характер, требует особых подходов. Стратегия «выживания» – линейная стратегия. Она основывается на психологии и моделях по ведения закрытого общества. Стратегия помощи, поддержки отдель ных социальных слоев, как правило, малоэффективна. Зачастую она увеличивает опасность коррупции, ухода в тень, а для всей социаль но-экономической системы – притяжение к криминально-теневому аттрактору. Стратегия ужесточения правил и законов таит опасность попасть в порочный круг усиливающегося контроля и притяжения к авторитарно-замкнутому аттрактору.

С позиций синергетики более эффективным методом управле ния является создание среды, приемлемых условий для желанной са моорганизации. Иначе говоря, стратегия развития требует создания среды такого развития. От регулирования отношений государство должно перейти к созданию правовой социально-культурной среды, условий для самоорганизации человеческого капитала и отслежива нию эффективности этих условий.

Разумеется, средообразующая стратегия не может быть кратко срочной. Это, скорее, итерационный процесс, на каждом этапе кото рого должен сформироваться некоторый потенциал для дальнейшего развития. Сформировался или нет такой потенциал – вот принцип оценки общего позитивного вклада всех участников и той ситуации, которая возникает в ходе их взаимодействия. Результатом такой стра тегии должны стать цепочки положительной обратной связи.

Стратегия неопределенности. Другой отличительно характе ристикой процесса социально-экономического развития России по следнего десятилетия является нестабильность, изменчивость “пра вил игры”, их непрозрачность, доминирование неформальных “пра вил игры” над формальными. Стратегия неопределенности приводит состоянию нестабильности и непредсказуемости.

Эта ситуация представляется чрезвычайно опасной, так как па раметры нового социального порядка могут формироваться относи тельно малыми группами. Фашизм, большевизм могут служить на глядными тому примерами и настоятельными предупреждениями. Для неустойчивых равновесных состояний, балансирующих на краю хаоса, необходимы не однодневные, а долгосрочные ориентиры и ценности.

Стратегия не отвечать на социальные вызовы. Кризисы, ката строфы, тупики – все это бифуркационные точки или точки ветвления в развитии общества, приближение к которым крайне опасно. В такие моменты система должна доказать свою жизнеспособность или по гибнуть. Еле дышащей в стабильные времена системе точки бифур кации не преодолеть. Не преодолеть их и «по одиночке», какими бы не были конкурентоспособными отдельные экономические субъекты.

Главное, что можно противопоставить кризисам и катастрофам – это технологию социальной организации, учитывающую риски совре менности. Необходима разработка экономических систем своевре менного реагирования. Возможно, это сверхзадача, но для ее решения нужны все, даже те области и сферы, которые оказались «нерыноч ными», и те, кто плохо вписался в «новые экономические отноше ния». Как известно, в живой системе нет лишних частей, роль неко торых из них, просто, не видна невооруженным глазом.

В Украине есть беспрецедентные возможности, но вряд ли они откроются автоматически. Стратегия не отвечать на социальные вы зовы означает сокращение возможностей саморазвития, что чрезвы чайно опасно перед лицом надвигающихся испытаний. Как утвержда ет синергетика, хаос не является гарантом выхода на структуры само организации. Конструктивная роль хаоса в эволюции состоит в том, что он является генератором новых идей, социальных и культурных инноваций. Он расширяет спектр возможностей, из которых общест ву предстоит сделать свой выбор. [44] Уроки синергетики на пути к самоорганизующемуся общест ву. Коротко говоря, синергетический подход к управлению состоит в следующем: существует много путей развития системы, но необходи мо выйти на желаемый аттрактор. Если есть алгоритм выхода на ат трактор, то сохраняется время и сокращаются материальные издержки.

Надо "укалывать" среду в нужное место, согласованное с ее собствен ной структурой. Надо не строить и перестраивать, а выводить, иниции ровать социальные системы на собственные механизмы развития.

В области управления социально-экономическими системами синергетика исходит из следующих положений.

Первое. Вопрос, как должна функционировать экономика, не отделим от вопроса, как она устроена и функционирует на самом де ле. Экономика – это самоорганизующаяся система, изменение со стояния которой происходит в силу ее внутренних механизмов.

Внешний мир, хотя и является причиной ее изменения, тем не менее, всецело ее не детерминирует.

Второе. Управлять – значит переводить систему из одного со стояния в другое, которое отвечает целям управления. Для этого нужно так воздействовать на структурные компоненты системы, что бы они эволюционировали в нужном темпе в желаемую сторону.

Третье. Управление, по самой своей сути, системно. С этим свя зано то обстоятельство, что управленческие решения, принимаемые в одних областях системы, оказывают влияние на решения, принимае мые в других областях. Управление современными социальными про цессами встречается с рядом взаимосвязанных проблем. Во-первых, с тем, что современная социальная реальность сложна, противоречива и динамична. Во-вторых, процессы, происходящие в современном со циуме, носят ускоренный характер. И, наконец, возросла роль лично сти в социальных процессах, что усиливает напряженность, поскольку повышает ответственность не только тех, кто принимает управленче ские решения, но и тех, кто воплощает эти решения в жизнь.

Четвертое. Господствующий в современной науке подход к управлению, согласно которому результат управляющего воздействия есть прямо пропорциональное следствие приложения усилий (что со ответствует схеме "управляющее воздействие - желаемый резуль тат"), имеет место только в случае, когда управляемая система нахо дится в равновесном состоянии с окружающей средой и внутренними процессами. Однако, когда та же система находится в сильно нерав новесном состоянии, она начинает подчиняться законам нелинейного характера (отклик системы непропорционален силе воздействия на нее). И. Пригожин и И. Стингерс пишут: "Замечательная особенность рассматриваемых нами процессов заключается в том, что при перехо де от равновесных условий к сильно неравновесным мы переходим от повторяющегося и общего к уникальному, особенному".

Пятое. В нелинейных системах возможно явление, получившее название резонансного возбуждения. Резонансное, хотя и слабое, воз действие приводит к большему эффекту, чем сильное, но несогласо ванное с системой воздействие.

Шестое. Задача государственного управления в ситуации неоп ределенности – попытаться сохранить стабильность системы с одно временным развертыванием поисков новых альтернатив. В обстанов ке острого кризиса возможность резонансного управленческого воз действия на процессы самоорганизации является особенно актуаль ной. Тем не менее, речь идет не только о том, чтобы новые решения входили в резонанс с отжившими традициями. Они должны быть на целены на стимулирование активности новых социальных сил, на перспективные нормы и принципы организации, на ценности, кото рые могут обеспечить обществу развитие в изменившемся мире зав трашнего дня. [12] Качественные математические модели ставят перед собой за дачу описывать принципиальные, качественные свойства изучаемых процессов, а не их детальные характеристики. Возникающие при ис следовании таких моделей вопросы должны носить качественный харак тер. Качественные вопросы естественно разделить на две категории.

Вопросы первого типа относятся к поведению системы при фик сированных значениях параметров. Самым существенным при этом является качественное понимание характера режимов, устанавливаю щихся в системе. Ответы на такие вопросы можно получить из фазово го портрета системы, т.е. совокупности всех ее траекторий, изображен ных в фазовом пространстве. Как было показано ранее, среди этих тра екторий имеется некоторое число основных, которые и определяют качественные свойства системы. К ним относятся прежде всего точки равновесия, отвечающие стационарным режимам системы, и циклы (замкнутые траектории), отвечающие режимам периодических колеба ний. Будет ли режим устойчивым или нет, можно установить по пове дению соседних траекторий: устойчивое равновесие или цикл притяги вает все близкие траектории, неустойчивое – отталкивает хотя бы не которые из них. Особый интерес представляют области притяжения различных устойчивых режимов и границы этих областей.

Вопросы второго типа касаются событий, происходящих в сис теме при изменении значений параметров. Постепенное изменение параметра может приводить к тому, что при пересечении некоторого критического значения установившийся в системе режим претерпева ет качественное изменение. При таких перестройках меняется фазо вый портрет изучаемой системы. Качественные перестройки фазового портрета являются бифуркациями. Вопросы второго типа, следова тельно, подразумевают определение бифуркационных (критических) значений параметров и описание явлений, происходящих при перехо де через критические значения. Таким образом, возникает задача раз биения пространства параметров системы на области с качественно различными типами динамического поведения – построения парамет рического портрета системы. Построенный параметрический портрет вместе с соответствующими фазовыми портретами в концентриро ванном виде содержит информацию о возможных в системе динами ческих режимах и их качественных перестройках. [104] Рассматривая какую-нибудь конкретную модель, всегда можно считать, что она является грубой, т.е. не меняет свои качественные свойства при небольших изменениях системы. Но если нас интересу ет целое семейство моделей, зависящих от параметра а, то нам иногда будут встречаться негрубые ситуации. Например, при изменении па раметра а действительная часть корней характеристического уравне ния меняет знак, проходя через точку «нуль». В этом случае при из менении параметра а мы переходим от одной грубой системы к дру гой через негрубую, в которой топологическая структура фазового портрета меняется.

Таким образом, задача качественного исследования системы, зависящей от параметров, состоит в том, чтобы описать все возмож ные в ней бифуркации, разбить множество бифуркационных значе ний параметров на области с различными типами грубых фазовых портретов и построить для каждой области соответствующий ей фа зовый портрет. Этим занимается теория бифуркаций. Теория бифур каций является одним из основных инструментов современной нели нейной динамики. С математическим аппаратом этой теории и даже основными приложениями нельзя ознакомиться во вводном курсе.

Однако представляется полезным рассмотреть основные идеи и обсу дить эвристическую ценность теории бифуркаций.

Многочисленные компьютерные эксперименты, которые про водились в последние 20 лет, показали, что мы имеем дело с новым уровнем единства. В начале XX в. единство природы проявлялось в том, что множество самых разных явлений описывались одними и теми же линейными уравнениями, т.е. в универсальности математи ческих моделей. Сейчас стало ясно, что качественные свойства раз личных уравнений могут оказаться одинаковыми. Единство связыва ется не с появлением аналогичных уравнений, а с универсальным ка чественным поведением.

Возникновение одних и тех же бифуркаций в сложных и про стых системах привело к рождению направления мягкого моделирова ния, которое иногда называют «стратегической фантастикой». В тео рии эволюции, при моделировании социальных процессов, исследова нии необратимо развивающихся объектов эксперты часто выделяют поворотные пункты, ситуации, в которых была выбрана одна из аль тернатив. Естественно такие точки отождествить с точками бифурка ции в некоторой динамической системе. Разумеется, это правомерно, если речь идет о процессах, развивающихся по своим внутренним за конам, а не зависящих кардинально от внешнего воздействия.

В качестве примера рассмотрим различные сценарии историче ского развития, выделенные выдающимся историком XX в. А. Тойн би. Будем предполагать, что в качестве параметра, отложенного по оси ординат, выступают доходы на душу населения, в качестве би фуркационного параметра l, отложенного по оси абсцисс, – время.

Пусть с течением времени климат меняется и урожайность зерновых культур в некотором государстве падает. Выращиваемого на доступ ных посевных площадях становится недостаточно. Возрастает соци альная нестабильность, сообщество подходит к точке бифуркации. По терминологии А. Тойнби, обществу «брошен исторический вызов».

На него можно отреагировать разными способами. Например, воз можно уменьшить потребности, перенести внутренние проблемы во вне и начать проводить жесткий курс по отношению к соседям. Это му ответу соответствует нижняя ветвь на рис. 1.1, а (точка 1). Второй ответ – колонизация заморских территорий, находящихся на более низкой стадии развития и не способных оказать серьезного сопротив ления. Этому ответу соответствует верхняя ветвь на рис. 1.1, а (точка 2). В данном случае государство может оказаться, к примеру, перед следующим выбором: направить силы на то, чтобы стать торговой державой, либо обосноваться за морем «всерьез и надолго». [37] Диаграмма, приведенная на рис. 1.1, б, может характеризовать кризис «общества потребления», имеющего весьма высокие жизнен ные стандарты. На ней представлена ситуация, когда неустойчивая (отмеченная пунктирной линией) и устойчивая (сплошная линия) вет ви соединяются («схлопываются») в точке 3. Такой случай соответ ствует катастрофическому скачку, принципиальным изменениям в обществе, происходящим за очень короткий срок.

Особый интерес в плане сказанного представляет рис. 1.1, в.

Эта картина отвечает, например, разрушению окружающей среды при использовании традиционных технологий природопользования, рез кому понижению жизненных стандартов и выходу с течением време ни на уровень возобновляемых ресурсов. Две верхние изолированные ветви (устойчивая и неустойчивая) соответствуют, предположим, но вой технологии природопользования.

Рис. 1.1. Типичные бифуркационные диаграммы, допускающие наглядную историческую интерпретацию [37] Польза подобного рода диаграмм может состоять в следующем.

Допустим, что мы не представляем кривой своего исторического раз вития. Тогда нас ожидают катастрофы, бедствия и серьезные неприят ности в точках 3 и 4. Но если мы имеем развитый и эффективный ап парат прогноза, то ситуация существенно меняется. Мы знаем «пово ротный пункт» *, где можно перейти на другую ветвь развития. При чем позже для этого может не оказаться возможностей. Поэтому точки бифуркации иногда называют динамическими ключами управления.

Теория катастроф, выросшая из исследований устойчивости механических систем и бифуркаций, кроме очевидных успехов в тех нических приложениях, имеет области применения всюду, где рас сматриваются системы с несколькими стабильными или квазиста бильными состояниями, между которыми возможны переходы.

Поскольку все реальные переходные процессы происходят во времени, то каждый переход можно охарактеризовать величиной ско рости перехода, или временем перехода: чем больше его скорость, тем меньше времени требуется на достижение нового равновесного состояния. Говоря о времени перехода, каждую катастрофу можно условно разделить на три периода. Первый – предшествующий пери од накопления напряжений в стационарной системе при медленном изменении параметров системы от их равновесных значений, обычно в сторону, противоположную последующему скачку. Этот период может продолжаться длительное время до перехода. Второй – период скачка – время разгона и пика переходного процесса, когда происхо дят процессы основной структурной перестройки. Чем быстрее он происходит, тем меньше сопротивления оказывает система при своей реструктуризации и тем полнее снимается вызвавшее её напряжение.

Третий – период затухания катастрофы – время снятия побочных на пряжений, возникших на протяжении перехода. После этого система попадает в новое квазиравновесное состояние. В случае наличия в системе в процессе перехода значительных сил сопротивления, вто рой период катастрофы затянут, и вызвавшие её напряжения снима ются не полностью, что может повлечь в дальнейшем новые анало гичные катастрофы меньшего масштаба. Яркий пример тому из тек тоники – повторные землетрясения меньшей силы после основного толчка. Кроме того, все переходы в связанных или подобных систе мах должны быть подобны друг – другу, т.е. происходить по близким сценариям с близкими по форме зависимостями параметров системы от времени при соответствующем выборе масштаба “амплитуда про цесса – время его протекания”.

Экономика также может рассматриваться как система с набором равновесных состояний, в которых с течением времени структура и параметры, характеризующие состояние экономики, меняются слабо. Переходы между этими стабильными состояния ми, это состояния нестабильности и быстрых изменений структу ры – кризисы или катастрофы. Данный факт – всего лишь отраже ние известного закона перехода количественных изменений в скачок качества. Необходимо, однако, отметить, что все экономические подсистемы в реальности сильно взаимосвязаны и подчинены близ ким закономерностям. Поэтому все переходные процессы в экономи ческой сфере должны происходить по близким сценариям при над лежащем (как отмечено выше) выборе масштаба событий, связан ного, в первую очередь, с величиной (структурой) изменяющегося в катастрофе объекта. [37] Чтобы более детально разобраться, что такое теория катастроф, нужно вначале познакомиться с элементами теории особенностей Уитни и бифуркации положений равновесия и потеря устойчивости равновесных и автоколебательных режимов, описанной в работе В.И.

Арнольда «Теория Катастроф».

1.3. Применение теории Уитни и теории катастроф для экономического анализа Математическое описание мира основано на тонкой игре не прерывного и дискретного. Дискретное более заметно. «Функции, как и живые существа, характеризуются своими особенностями», как заметил П. Монтель. Особенности, бифуркации и катастрофы – термины, описывающие возникновение дискретных структур из гладких, непрерывных.

За последние полвека теория особенностей достигла высокого технического уровня, главным образом благодаря работам X. Уитни (1955), Р. Тома (1959) и Дж. Мазера (1965). Сейчас это – мощный но вый математический аппарат, имеющий широкую область приложе ний в естествознании и технике (в особенности в комбинации с тео рией бифуркаций, восходящей к диссертации А. Пуанкаре (1879) и далеко развитой А. А. Андроновым, (1933). Одни считают теорию катастроф частью теории особенностей, другие, наоборот, включают теорию особенностей в теорию катастроф. [6] Первые сведения о теории катастроф появились в западной пе чати около 1970 г. В журналах сообщалось о перевороте в математи ке, сравнимом разве что с изобретением Ньютоном дифференциаль ного и интегрального исчисления. Утверждалось, что новая наука – теория катастроф – для человечества гораздо ценнее, чем математи ческий анализ: в то время как ньютоновская теория позволяет иссле довать лишь плавные, непрерывные процессы, теория катастроф дает универсальный метод исследования всех скачкообразных переходов, разрывов, внезапных качественных изменений. Появились сотни на учных и околонаучных публикаций, в которых теория катастроф применяется к столь разнообразным объектам, как, например, иссле дования биения сердца, геометрическая и физическая оптика, эм бриология, лингвистика, экспериментальная психология, экономика, гидродинамика, геология и теория элементарных частиц. Среди опубликованных работ по теории катастроф есть исследования ус тойчивости кораблей, моделирования деятельности мозга и психиче ских расстройств, восстаний заключенных в тюрьмах, поведения биржевых игроков, влияния алкоголя на водителей транспортных средств, политики цензуры по отношению к эротической литературе.

В начале семидесятых годов теория катастроф быстро сдела лась модной, широко рекламируемой теорией, напоминающей уни версальностью своих претензий псевдонаучные теории прошлого ве ка. Математические статьи основоположника теории катастроф Р.

Тома были переизданы массовым тиражом в карманной серии – со бытие, которого не было в математическом мире со времени возник новения кибернетики, у которой теория катастроф заимствовала мно гие приемы саморекламы. Вслед за панегириками теории катастроф появились в более трезвые критические работы;

некоторые из них также печатались в рассчитанных на широкого читателя изданиях.

Сейчас имеется уже много статей, специально посвященных критике теории катастроф. Источниками теории катастроф являются теория особенностей гладких отображений Уитни и теория бифуркаций ди намических систем Пуанкаре и Андронова.

Приведем примеры работ, авторы которых рассматривали осо бенности, бифуркации и катастрофы в системах общего положения, возникающих в различных областях знания.

В 1654 г. Гюйгенс построил теорию эволют и эвольвент пло ских кривых, обнаружив одновременно устойчивость точек возврата на каустиках и волновых фронтах (т.е. сборок соответствующих ото бражений). Перестройки фронтов на плоскости исследовались Лопи талем (около 1700 г.) и Кэли в 1868 г. Гамильтон в 1837-1838 г. при менил исследование критических точек семейств функций к изуче нию особенностей систем лучей в геометрической оптике, вроде ко нической рефракции и двойного лучепреломления. Якоби в лекциях по динамике (1866) исследовал каустики системы геодезических эл липсоидов, выходящих из одной точки, и обнаружил устойчивость точек возврата на каустиках.

Алгебраические геометры прошлого века хорошо знали типич ные особенности кривых (Плюккер) и поверхностей (Сальмон), двой ственных гладким. Ласточкин хвост подробно описан Кронекером (1878) и входил в учебники алгебры (Вебер, 1898);

его можно найти в каталоге гипсовых поверхностей (Бриль, 1892), имеющихся в кабине тах геометрии старых университетов. Алгебраические аналоги теорем трансверсальности теории особенностей систематически использова лись алгебраическими геометрами, особенно итальянской школы (Бертини, 1882 и др.). Пуанкаре далеко развил теорию бифуркаций (включая более сложные, чем «бифуркация Хопфа» случаи) в своей диссертации и в «Новых методах небесной механики».

В 1931 г. А. А. Андронов выступил с обширной программой, от личающейся от современной программы катастрофистов только тем, что место еще не созданной к тому времени теории особенностей Уит ни занимают качественная теория дифференциальных уравнений и теория бифуркаций Пуанкаре. Идеи структурной устойчивости (грубо сти), коразмерности (степени негрубости), бифуркационные диаграм мы, явная классификация бифуркаций общего положения и даже ис следование складок и сборок гладких отображений поверхностей на плоскость явно присутствуют в работах А. А. Андронова и его школы.

Физики всегда использовали более или менее эквивалентные теории катастроф построения при исследовании конкретных задач. В термодинамике эти идеи систематически использовались Максвеллом и особенно Гиббсом (1873). Перестройка изотерм диаграммы ван дер Ваальса – типичный пример применения геометрии сборки. Анализ асимптотики в окрестности критической точки быстро приводит к пониманию независимости этой геометрии от точного вида уравнения состояния – факт, хорошо известный со времен Максвелла и упоми наемый в большинстве учебников термодинамики (например, Ландау и Лифшица). Предложение Максвелла провести горизонтальный уча сток изотермы так, чтобы площади лунок над и под ним были равны, означает переход от одного из двух конкурирующих минимумов по тенциала к другому в момент, когда второй становится ниже. Соот ветствующая бифуркационная диаграмма в теории катастроф называ ется стратом Максвелла. «Правило фаз» Гиббса доставляет топологи ческие ограничения на строение этой и подобных ей бифуркацион ных диаграмм (открытие необходимости строго доказывать подобные факты – заслуга математики более позднего периода). Гиббс также явно указал на связь термодинамики с геометрией контактной струк туры. Геологические применения анализа особенностей указаны Скрейнемакерсом (1917).

В теории «теплового взрыва» Семенова (1929) и в работах его последователей по теории горения явно изучались перестройки ста ционарных режимов при изменении параметров, что приводило к необходимости исследования и складок, и сборок, и более сложных ситуаций. В частности, в работе Я. Б. Зельдовича 1940 г. проанали зированы явления, происходящие при морсовской перестройке кри вой равновесий на плоскости фазовой переменной и параметра (ро ждении новых островков или их слиянии с основной кривой). В со временной математической теории аналогичный анализ выполнен лишь в последние годы. [6] Анализ волнового поля вблизи каустики и ее особенностей привел Эйри и Пирси к осциллирующим интегралам, фаза которых доставляет нормальную форму складки и сборки соответственно. В связи с этим стоит отметить, что найденные М. А. Леонтовичем и В.

А. Фоком асимптотики поля вблизи границы до сих пор не переваре ны теорией катастроф.

В теории упругости Койтер в 1945 г. обнаружил полукубиче скую особенность в зависимости предельной нагрузки от нецентраль ности ее приложения в задаче о прощелкивании арки. Специалисты по теории упругости использовали геометрию сборки для выбора программ испытаний упругих конструкций, при которых не происхо дит прощелкивания несмотря на высокие нагрузки.

Вычисления в этих исследованиях обычно проводились без об щей теории, за счет правильного отбрасывания одних членов ряда Тейлора и оставления других «наиболее важных». Из физиков, осо бенно систематически применявших теорию катастроф до ее возник новения, стоит особо выделить Л. Д. Ландау. В его руках искусство отбрасывать «несущественные» члены ряда Тейлора, сохраняя мень шие по величине «физически важные» члены, дало много включае мых в теорию катастроф результатов.

Так, в работе 1943 г. о возникновении турбулентности Ландау прямо выписывает этим методом уравнение «бифуркации Хопфа» для квадрата амплитуды теряющего устойчивость колебания. Теория фа зовых переходов второго рода по Ландау сводится к анализу бифур каций критических точек симметрических функций. Кривые Ландау в теории фейнмановских интегралов, зависящих от параметров, с их устойчивыми точками возврата, включаются в число основных би фуркационных диаграмм современной теории катастроф.

Конечно, современная общая теория позволяет с меньшей за тратой сил исследовать более сложные особенности. Однако наи большую практическую ценность имеют в большинстве случаев именно исследования наиболее простых и часто встречающихся осо бенностей: затрата сил на преодоление технических трудностей, стоящих на пути исследования более сложных случаев, не всегда оп равдывается практической ценностью получаемых результатов. На против фундаментальные работы предшественников теории катаст роф (как упомянутых выше, так и многих других) сохраняют все свое значение и теперь, когда их математическая структура вполне выяс нена теориями особенностей и бифуркаций.

Теория особенностей – это грандиозное обобщение исследо вания функций на максимум и минимум. В теории Уитни функции заменены отображениями, т.е. наборами нескольких функций не скольких переменных. [6] Слово "бифуркация" означает раздвоение и употребляется в широком смысле для обозначения всевозможных качественных пере строек или метаморфоз различных объектов при изменении парамет ров, от которых они зависят. Катастрофами называются скачкооб разные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий.

Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, по всюду должны встречаться и их особенности. А поскольку теория Уитни дает значительную информацию об особенностях отображе ний общего положения, можно попытаться использовать эту инфор мацию для изучения большого количества разнообразных явлений и процессов во всех областях естествознания. В этой простой идее и состоит вся сущность теории катастроф.

В случае, когда отображение, о котором идет речь, достаточно хорошо известно, имеется в виду более или менее прямое применение математической теории особенностей к различным явлениям приро ды. Такое применение действительно приводит к полезным результа там, например в теории упругости и в геометрической оптике (теория особенностей каустик и волновых фронтов, о которых мы еще будем говорить дальше).

Однако в большинстве работ по теории катастроф речь идет о куда более спорной ситуации, когда не только неизвестно изучаемое отображение, но и само его существование весьма проблематично.

Приложения теории особенностей в этих ситуациях носят ха рактер спекуляций: чтобы дать о них представление, мы воспроизво дим принадлежащий английскому математику К. Зиману пример спе кулятивного применения теории Уитни к исследованию деятельности творческой личности.

Будем характеризовать творческую личность (например, учено го) тремя параметрами, называемыми «техника», «увлеченность», «достижения». По-видимому, между этими параметрами должна быть зависимость. Тем самым возникает поверхность в трехмерном про странстве с координатами (Т, У, Д).

Спроектируем эту поверхность на плоскость (Т, У) вдоль оси Д.

Для поверхности общего положения особенности – складки и сборки (по теореме Уитни). Утверждается, что сборка, расположенная так, как это изображено на рис. 1.2., удовлетворительно описывает на блюдаемые явления.

Действительно, посмотрим, как в этих предположениях будут меняться достижения ученого в зависимости от его техники и увле ченности. Если увлеченность невелика, то достижения монотонно и довольно медленно растут с техникой. Если увлеченность достаточно велика, то наступают качественно новые явления. В этом случае дос тижения с ростом техники могут расти скачком (такой скачок будет, например, если техника и увлеченность меняются вдоль кривой 1 на рис. 1.2 в точке 2). Область высоких достижений, в которую мы при этом попадаем обозначена на рис. 1.2. словом «гении».

Рис. 1.2. Модель «ученый» в пространстве «техника-влеченность-достижения» (здесь и далее [6]) С другой стороны, рост увлеченности, не подкрепленный соот ветствующим ростом техники, приводит к катастрофе (на кривой 3 в точке 4, рис. 1.2.), при которой достижения скачком падают, и мы по падаем в область, обозначенную на рис. 1.2. словом «маньяки». По учительно, что скачки из состояния «гений» в состояние «маньяк» и обратно происходят на разных линиях, так что при достаточно боль шой увлеченности гений и маньяк могут иметь равные увлеченности и техники, различаясь лишь достижениями (и предысторией).


Недостатки описанной модели и множества аналогичных ей спекуляций в теории катастроф слишком очевидны, чтобы о них го ворить подробно. Отмечу только, что работы по теории катастроф отличает резкое, катастрофическое снижение уровня требований к строгости, а также к новизне публикуемых результатов. Если первое можно понять как реакцию на традиционный в математике поток строгих, но малоинтересных, эпигонских работ, то небрежное отно шение катастрофистов к своим предшественникам (которым и при надлежит большинство конкретных результатов) вряд ли можно оп равдать. Причина в обоих случаях скорее социальная, чем научная.

В отличие от описанного выше примера, применения теории особенностей к исследованию бифуркаций положений равновесия в теории упругости безупречно обоснованы.

Во многих упругих конструкциях при одинаковых внешних на грузках возможно, несколько положений равновесия. Рассмотрим, например, горизонтальную линейку, концы которой шарнирно закре плены, нагруженную весом стоящего на середине линейки груза.

Наряду с положением равновесия, при котором линейка про гнута грузом, возможно также положение, при котором линейка вы гнута дугой вверх, наподобие моста.

При увеличении груза в некоторый момент происходит «катаст рофа» или «хлопок»: линейка скачком переходит из одного состояния в другое. Теория особенностей применима к изучению таких хлопков, и ее предсказания прекрасно оправдываются в экспериментах.

Для наглядной иллюстрации применений этого рода изобретен ряд приспособлений: одно из простейших, называемое машиной ка тастроф Зимана, изображено на рис. 1.3.

Машину катастроф каждый может легко изготовить сам. Для этого нужно взять доску (А) и, вырезав из картона диск (В), прикре пить его иглой в центре (С) к доске так, чтобы он мог свободно вра щаться. Другая игла (D) втыкается только в диск на его краю, а третья (Е) – только в доску. Чтобы закончить сборку машины, нужно еще две ленты из легко растяжимой резины (F, G), карандаш (Н) и лист бумаги (I).

Рис. 1.3. Машина катастроф Зимана После того как игла на краю диска соединена с неподвижной иглой и с карандашом резинками, мы ставим острие карандаша в не которой точке на листе бумаги и тем натягиваем резинки. Диск уста навливается в некотором положении. Теперь при движении острия карандаша диск будет поворачиваться. Оказывается, при некоторых положениях острия карандаша малое изменение его положения спо собно вызвать «катастрофу», т.е. скачок диска в новое положение.

Если отметить на листе бумаги места всех таких «катастроф», то по лучается «кривая катастроф» (К).

Оказывается, что полученная кривая катастроф сама имеет четыре точки возврата. При пересечении кривой катастроф скачок может про исходить, а может и не происходить, в зависимости от того, по какому пути острие карандаша обходило точки возврата кривой катастроф.

Экспериментируя с этой машиной и пытаясь найти правило, определяющее, будет ли скачок, читатель легко убедится в необхо димости математической теории явления и сможет лучше оценить вклад теории особенностей в его объяснение.

Состояние машины катастроф описывается тремя числами.

Действительно, положение острия карандаша задается двумя коорди натами (они называются управляющими параметрами). Положение диска определяется еще одним числом (углом поворота), называемым также внутренним параметром системы. Если все три числа заданы, то определены степени растяжения резинок и, следовательно, опреде лена потенциальная энергия всей системы. Диск поворачивается так, чтобы эту энергию минимизировать (по меньшей мере локально).

Рис. 1.4. Потенциальная Рис. 1.5. Поверхность энергия машины равновесий машины ка катастроф тастроф При фиксированном положении карандаша потенциальная энергия – функция от положения диска, т.е. функция, заданная на ок ружности. Эта функция может иметь в зависимости от значений управляющих параметров один или несколько минимумов (рис. 1.4, а). [6] Если при изменении управляющих параметров положение ми нимума меняется плавно, то скачка не происходит. Скачок происхо дит при тех значениях управляющих параметров, для которых ло кальный минимум исчезает, слившись с локальным максимумом (рис. 1.4, б);

после скачка диск оказывается в положении, отвечаю щем другому локальному минимуму (рис. 1.4, в).

Рассмотрим трехмерное пространство состояний машины.

Состояния, при которых диск находится в равновесии, образуют в этом пространстве гладкую поверхность. Будем проектировать эту поверхность на плоскость управляющих параметров вдоль оси внут реннего параметра (рис. 1.5). Это проектирование имеет складки и сборки. Проекция точек складок и есть кривая катастроф. На рис. 1. ясно видно, почему переход управляющих параметров через линию катастроф иногда вызывает, а иногда не вызывает скачок (это зависит от того, какой части нашей поверхности отвечает положение диска).

Пользуясь этим рисунком, можно переходить с одного места поверх ности равновесий на другое без скачков.

Схема большинства применений теории катастроф такая же, как в описанных примерах. Предполагается, что изучаемый процесс описывается при помощи некоторого числа управляющих и внутрен них параметров. Состояния равновесия процесса образуют поверх ность того или иного числа измерений в этом пространстве. Проекция поверхности равновесий па плоскость управляющих параметров мо жет иметь особенности. Предполагается, что это – особенности обще го положения. В таком случае теория особенностей предсказывает геометрию «катастроф», т.е. перескоков из одного состояния равно весия в другое при изменении управляющих параметров. В большин стве серьезных приложений особенность – это сборка Уитни, а ре зультат был известен до провозглашения теории катастроф.

Приложения описанного типа бывают более или менее обосно ванными в зависимости от степени обоснованности исходных посы лок. Например, в теории хлопков упругих конструкций и в теории опрокидывания кораблей предсказания теории полностью подтвер ждаются экспериментом. С другой стороны, в биологии, психологии и социальных науках (скажем, в приложениях к теории поведения биржевых игроков или к изучению нервных болезней) как исходные предпосылки, так и выводы имеют скорее эвристическое значение.

Эволюционный процесс математически описывается векторным полем в фазовом пространстве. Точка фазового пространства задает состояние системы. Приложенный в этой точке вектор указывает ско рость изменения состояния.

В некоторых точках вектор может обращаться в нуль. Такие точки называются положениями равновесия (состояние не меняется с течением времени). На рис. 1.6 изображено фазовое пространство системы, описывающей взаимоотношение хищника и жертвы (ска жем, щук и карасей), Фазовое пространство – положительный квад рант плоскости. По оси абсцисс отложено число карасей, по оси ор динат – щук. Точка Р – положение равновесия. Точка А соответствует равновесному количеству карасей при количество щук, меньшем рав новесного. Видно, что с течением времени в системе устанавливают ся колебания;

равновесное состояние рис. 1.6 неустойчиво. Устано вившиеся колебания изображаются замкнутой кривой на фазовой плоскости. Эта кривая называется предельным циклом.

Рис. 1.6. Фазовая плоскость модели хищник – жертва Кривые в фазовом пространстве, образованные последователь ными состояниями процесса, называются фазовыми кривыми. В окре стности точки, но являющейся положением равновесия, разбиение фа зового пространства на фазовые кривые устроено так же, как разбиение на параллельные прямые: семейство фазовых кривых можно превра тить в семейство параллельных прямых гладкой заменой координат. В окрестности положения равновесия картина сложнее. Как показал еще А. Пуанкаре, поведение фазовых кривых в окрестности положения равновесия на фазовой плоскости в системе общего положения такое, как изображено на рис. 1.7. Все более сложные случаи превращаются в указанные при общем малом изменении системы.

Рис. 1.7. Типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия Системы, описывающие реальные эволюционные процессы, как правило, общего положения. Действительно, такая система всегда зависит от параметров, которые никогда не бывают известны точно.

Малое общее изменение параметров превращает систему не общего положения в систему общего положения.

Таким образом, все более сложные, чем указанные выше случаи, вообще говоря, не должны встречаться в природе, и их на первый взгляд можно не рассматривать. Эта точка зрения обесценивает боль шую часть теории дифференциальных уравнений и вообще математи ческого анализа, где традиционно основное внимание уделяется мало ценным, но трудным для исследования случаям не общего положения.

Дело, однако, обстоит совсем иначе, если нас интересует не ин дивидуальная система, а система, зависящая от одного или несколь ких параметров. Действительно, рассмотрим пространство всех сис тем (рис. 1.8.), разделенное на области, образованные системами об щего положения.

Рис. 1.8. Однопараметрическое семейство как кривая в пространстве систем Поверхности раздела отвечают вырожденным системам;

при малом изменении параметров вырожденная система становится невырожденной.

Однопараметрическое семейство систем изображается на рис. 1.8. кривой.

Эта кривая может трансверсально (под ненулевым углом) пересекать гра ницу раздела разных областей невырожденных систем.

Таким образом, хотя при каждом индивидуальном значении па раметра систему малым шевелением можно превратить в невырож денную, этого нельзя сделать одновременно при всех значениях па раметра: всякая кривая, близкая к рассматриваемой, пересекает гра ницу раздела при близком значении параметра (вырождение, устра ненное малым шевелением при данном значении параметра, вновь возникает при некотором близком значении).


Итак, вырожденные случаи неустранимы, если рассматривается не индивидуальная система, а целое семейство. Если семейство одно параметрическое, то неустранимы лишь простейшие вырождения, изображаемые границами коразмерности один (т.е. задающимися од ним уравнением) в пространстве всех систем. От более сложных вы рожденных систем, образующих множество коразмерности два в про странстве всех систем, можно избавиться малым шевелением однопа раметрического семейства.

Если мы интересуемся двупараметрическим семейством, то можно не рассматривать вырожденных систем, образующих множе ство коразмерности три и т.д.

Тем самым возникает иерархия вырождений по коразмерностям и стратегия их исследования: вначале следует изучать случаи общего положения, затем вырождения коразмерности один, затем – два и т.д.

При этом исследование вырожденных систем не должно ограничи ваться изучением картины в момент вырождения, но должно вклю чать описание перестроек, происходящих, когда параметр, меняясь, проходит через вырожденное значение.

Рис. 1.9. Кривая равновесий Рис. 1.10. Превращение однопараметрического се- нетипичных бифуркаций мейства систем в типичные при малом шевелении семейства Изложенные выше общие соображения принадлежат А. Пуанка ре и применимы не только к исследованию положений равновесия эво люционных систем, но к большей части всего математического анали за. Хотя они были высказаны уже сто лет назад, успехи в реализации намеченной А. Пуанкаре программы теории бифуркаций остаются в большинстве областей анализа довольно скромными, отчасти в силу больших математических трудностей, отчасти же вследствие психоло гической инерции и засилья аксиоматико-алгебраического стиля.

Вернемся, однако, к положениям равновесия эволюционных систем. К настоящему времени решенным можно считать лишь во прос о перестройках фазовых кривых при бифуркациях положений равновесия в однопараметрических семействах общего положения;

уже случай двух параметров выходит за рамки возможностей сего дняшней науки.

Результаты исследования общего однопараметрического семей ства суммированы на рис. 1.9-1.14. На рис. 1.9. изображено однопа раметрическое семейство эволюционных процессов с одномерным фазовым пространством (по оси абсцисс отложено значение парамет ра е, по оси ординат – состояние процесса х).

Для однопараметрического семейства общего положения рав новесия при всевозможных значениях параметра образуют гладкую кривую (Г на рис. 1.9., в более общем случае размерность многообра зия состояний равновесия равна числу параметров). В частности, это означает, что изображенные на рис. 1.10. слева бифуркации в семей стве общего положения не встречаются: при малом изменении семей ства Г превращается в гладкую кривую одного из изображенных на рис. 1.10. справа типов).

Проектирование кривой Г на ось значений параметра в случае однопараметрического семейства имеет лишь особенности типа складки (при большем числе параметров появляются и более слож ные особенности теории Уитни: например, в общих двупараметриче ских семействах проектирование поверхности равновесий Г па плос кость значений параметров может иметь точки сборки, где сливаются три положения равновесия).

Таким образом, при изменении параметра выделяются особые или бифуркационные значения параметра (критические значения проекции, а, b, с, d на рис. 1.10). Вне этих значений положения равно весия гладко зависят от параметров. При подходе параметра к бифур кационному значению положение равновесия «умирает», слившись с другим (или же «из воздуха» рождается пара положений равновесия).

Из двух рождающихся (или умирающих) вместе положений равновесия одно устойчиво, другое неустойчиво.

В момент рождения (или смерти) оба положения равновесия движутся с бесконечной скоростью: когда значение параметра отли чается от бифуркационного на, оба близких положения равновесия удалены друг от друга на расстояние порядка.

На рис. 1.11 изображена перестройка семейства фазовых кри вых на плоскости в общем однопараметрическом семействе. Устой чивое положение равновесия («узел») сталкивается при изменении параметра с неустойчивым («седлом»), после чего оба исчезают. В момент слияния на фазовой плоскости наблюдается картина необще го положения («седло-узел»).

На рис. 1.11 видно, что перестройка, в сущности, одномерная:

вдоль оси абсцисс происходят те же явления, что на оси х на рис. 1.10, а вдоль оси ординат перестройки нет вовсе. Таким образом, перестрой ка через седло – узел получается из одномерной перестройки «над страиванием» оси ординат. Оказывается, вообще все перестройки по ложений равновесия в общих однопараметрических системах получа ются из одномерных перестроек аналогичным надстраиванием.

Рис. 1.11. Седло-узел: типичная локальная бифуркация в однопараметрическом семействе Если устойчивое положение равновесия описывает установив шийся режим в какой-либо реальной системе (скажем, экономиче ской, экологической или химической), то при его слиянии с неустой чивым положением равновесия система должна совершить скачок, перескочив на совершенно другой режим: при изменении параметра равновесное состояние в рассматриваемой окрестности исчезает.

Скачки этого рода и привели к термину «теория катастроф».

Потеря устойчивости состояния равновесия при изменении па раметра не обязательно связана с бифуркацией самого состояния рав новесия: оно может терять устойчивость не только сталкиваясь с дру гим, но и самостоятельно.

Соответствующая перестройка фазового портрета на плоскости изображена на рис. 1.12. Возможны два варианта.

1. При изменении параметра из положения равновесия рожда 1, ется предельный цикл (радиуса порядка когда значение пара метра отличается от бифуркационного на ). Устойчивость равнове сия переходит к циклу, само же равновесие становится неустойчи вым.

Рис. 1.12. Бифуркация рождения цикла 2. В положении равновесия умирает неустойчивый предельный цикл;

область притяжения положения равновесия уменьшается с ним до нуля, после чего цикл исчезает, а его неустойчивость передается равновесному состоянию.

А.Пуанкаре заметил, а А.Андронов и его ученики еще до войны (в 1939 г.) доказали, что, кроме описанной выше потери устойчивости положений равновесия сливающихся с неустойчивыми, и только что описанных способов потери устойчивости типа А или Б в общих одно параметрических семействах систем с двухмерным фазовым простран ством никаких иных видов потери устойчивости не встречается. Позже было доказано, что и в системах с фазовым пространством большей размерности потеря устойчивости положений равновесия при измене нии одного параметра происходит каким-либо из описанных выше способов (по направлениям всех дополнительных осей координат при изменении параметра равновесие остается притягивающим).

Если наше положение равновесия – установившийся режим в реальной системе, то при изменении параметра в случаях А и Б на блюдаются следующие явления.

А. После потери устойчивости равновесия установившимся ре жимом оказывается колебательный периодический режим (рис. 1.13);

амплитуда колебаний пропорциональная квадратному корню из за критичности (отличия параметра от критического значения ;

при ко тором равновесие теряет устойчивость).

Этот вид потери устойчивости называется мягкой потерей ус тойчивости, так как устанавливающийся колебательный режим при малой закритичности мало отличается от состояния равновесия.

Рис. 1.13. Мягкая потеря ус- Рис. 1.14. Жесткая потеря ус тойчивости равновесия тойчивости равновесия Б. Перед тем как установившийся режим теряет устойчивость, область притяжения этого режима становится очень малой, и всегда присутствующие случайные возмущения выбрасывают систему из этой области еще до того, как область притяжения полностью исчезает.

Этот вид потери устойчивости называется жесткой потерей ус тойчивости. При этом система уходит со стационарного режима скач ком (см. рис. 1.14) и перескакивает на иной режим движения. Этот режим может быть другим устойчивым стационарным режимом, или устойчивыми колебаниями, или более сложным движением.

Установившиеся режимы движения получили в последние годы название аттракторов, так как они «притягивают» соседние режимы (переходные процессы).

Существование аттракторов с экспоненциально расходящимися фазовыми кривыми на них и устойчивость такого рода явлений были установлены в самом начале шестидесятых годов в работах С. Смей ла, Д. В. Аносова и Я. Г. Синая по структурной устойчивости дина мических систем.

Независимо от этих теоретических работ метеоролог Лоренц в 1963 г. описал наблюдавшийся им в численных экспериментах по мо делированию конвекции аттрактор в трехмерном фазовом простран стве с разбегающимися по нему в разные стороны фазовыми кривыми (рис. 1.15) и указал на связь этого явления с турбулентностью.

В работах Аносова и Синая экспоненциальное разбегание было установлено, в частности, для движения материальной точки по по верхности отрицательной кривизны (пример такой поверхности – седло). Первые применения теории экспоненциального разбегания к изучению гидродинамической устойчивости опубликованы в 1966 г.

Движение жидкости можно описать как движение материальной точки по искривленной бесконечномерной поверхности. Кривизна этой поверхности по многим направлениям отрицательна, что приводит к быстрому разбеганию траекторий, т.е. к плохой предсказуемости тече ния по начальным условиям. В частности, из этого вытекает практиче ская невозможность долгосрочного динамического прогноза погоды:

для предсказания всего на 1-2 месяца вперед нужно знать начальные условия с погрешностью 10~5 от погрешности предсказания.

Рис. 1.15. Хаотический аттрактор Вернемся, однако, к режиму, установившемуся после потери устойчивости равновесного состояния, и предположим, что этот ре жим – странный аттрактор (т.е. не равновесие и не предельный цикл).

Переход системы на такой режим означает, что в ней наблюдаются сложные непериодические колебания, детали которых очень чувстви тельны к малому изменению начальных условий, в то время как ус редненные характеристики режима устойчивы и не зависят от на чального условия (при его изменении в некоторой области). Экспе риментатор, наблюдающий за движением такой системы, назвал бы его турбулентным. По-видимому, неупорядоченные движения жидко сти, наблюдаемые при потере устойчивости ламинарного течения с увеличением числа Рейнольдса (т.е. с уменьшением вязкости), мате матически описываются именно такими сложными аттракторами в фазовом пространстве жидкости. Размерность этого аттрактора, по видимому, конечна при любом числе Рейнольдса, но стремится к бес конечности при Re.

Переход от устойчивого состояния равновесия процесса («ла минарного течения жидкости») к странному аттрактору («турбулент ности») может совершаться как скачком (при жесткой или катастро фической потере устойчивости), так и после мягкой потери устойчи вости (рис. 1.16). В последнем случае родившийся цикл сам теряет устойчивость.

Рис. 1.16. Сценарий хаотизации Потеря устойчивости цикла в общем однопараметрическом се мействе систем возможна несколькими способами: 1) столкновение с неустойчивым циклом (рис. 1.17), 2) удвоение (рис. 1.18), 3) рожде ние или смерть тора (рис. 1.19) (в терминологии Андронова: с цикла слезает шкура). Детали последних процессов зависят от резонансов между частотами движения вдоль меридиана тора и вдоль его оси, т.е. от того, будет ли отношение этих частот рациональным или ирра циональным числом. Интересно, что рациональные числа со знамена телем 5 и больше ведут себя практически как иррациональные.

Рис. 1.17. Гибель аттрактора-цикла Рис. 1.18. Удвоение цикла-аттрактора Рис. 1.19. Бифуркация рождения тора вблизи цикла Поведение фазовых кривых, близких к циклу, можно прибли женно описывать при помощи эволюционного процесса, для которого цикл является положением равновесия. Возникающие таким образом приближенные системы на сегодняшний день исследованы для всех случаев, кроме случаев, близких к сильному резонансу с отношением частот 1:4 (Р. И. Богданов, Э. И. Хорозов). На рис. 1.20 изображены перестройки семейства фазовых кривых приближенной системы, со ответствующие перестройкам расположения фазовых кривых в окре стности цикла;

предполагается, что потеря устойчивости происходит вблизи резонанса 1:3. На рис. 1.21 изображена одна из возможных последовательностей событий вблизи резонанса 1:4. Основные ре зультаты об этом резонансе получены не строгими математическими рассуждениями, а комбинированием догадок и вычислительных экс периментов (Ф. С. Березовская и А. И. Хибник, А. И. Нейштадт).

Рис. 1.20. Бифуркация коразмерности 2 вблизи резонанса 1: Рис. 1.21. Вариант бифуркации коразмерности вблизи резонанса 1: Изложенная выше теория Пуанкаре – Андронова потери устой чивости состояний равновесия имеет так много приложений во всех областях теории колебаний (как систем с конечным числом степеней свободы, так и сплошных сред), что нет никакой возможности их здесь перечислить: механические, физические, химические, биологические и экономические системы теряют устойчивость на каждом шагу.

В теории бифуркаций, как и в теории особенностей, основные результаты и приложения получены независимо от теории катаст роф. Несомненной заслугой теории катастроф является введение термина аттрактор и широкая пропаганда знаний о бифуркациях ат тракторов. Разнообразные аттракторы обнаружены теперь во всех областях теории колебаний;

высказывалась, например, гипотеза, что различные фонемы речи – это различные аттракторы звукообра зующей динамической системы.

При медленном изменении параметра наблюдается качественно новое явление затягивания потери устойчивости (рис. 1.22).

Рис. 1.22. Затягивание потери устойчивости при динамической бифуркации После того как параметр прошел через бифуркационное значе ние, соответствующее рождению цикла, т.е. мягкому возникновению автоколебаний, система остается в окрестности потерявшего устой чивость состояния равновесия еще некоторое время, за которое пара метр успевает измениться на конечную величину. И лишь затем сис тема скачком переходит на родившийся в момент бифуркации авто колебательный режим, так что потеря устойчивости кажется жесткой.

Интересно, что этот эффект – особенность динамической би фуркации – имеет место только в аналитических системах, В беско нечно-дифференцируемом случае величина затягивания потери ус тойчивости, вообще говоря, стремится к нулю при уменьшении ско рости изменения параметра.

Еще недавно всякий экспериментатор, обнаружив, скажем, в химической реакции сложные апериодические колебания, отказывал ся от их исследования, ссылаясь на нечистоту эксперимента, случай ные внешние воздействия и т.п. Сейчас уже многим ясно что эти сложные колебания могут быть связаны с самим существом дела, мо гут определяться основными уравнениями задачи, а не случайными внешними воздействиями;

они могут и должны изучаться наравне с классическими стационарными и периодическими режимами проте кания процессов.

В мире происходят новые катастрофах и экономические кризи сы. Землетрясения, наводнения, взрывы, войны, эпидемии окружают нас со всех сторон, и вдобавок над всем земным шаром нависает уг роза страшнейшей из катастроф – ядерной.

Математическая теория катастроф сама по себе не предотвра щает катастрофы, подобно тому, как таблица умножения, при всей ее полезности для бухгалтерского учета, не спасает ни от хищений от дельных лиц, ни от неразумной организации экономики в целом.

Математические модели катастроф указывают, однако, некото рые общие черты самых разных явлений скачкообразного изменения режима системы в ответ на плавное изменение внешних условий. На пример, устойчивый установившийся режим (скажем, режим работы реактора, или экологический или экономический режим) обычно поги бает либо столкнувшись с неустойчивым (причем в момент столкнове ния скорость конвергенции бесконечно велика), либо вследствие на растания (опять бесконечно быстрого) самоподдерживающихся коле баний. Это объясняет, почему так трудно бороться с катастрофой, ко гда ее признаки сделались уже заметными: скорость ее приближения неограниченно возрастает по мере приближения к катастрофе.

К катастрофической потере устойчивости может приводить оп тимизация и интенсификация.

Но в то время как при максимальном жестком плане система теряет устойчивость и самоуничтожается, введение обратной связи стабилизирует ее и, например, небольшие изменения коэффициента к (или иные случайности) приведут лишь к небольшому уменьшению производительности, а вовсе не к катастрофе.

Управление без обратной связи всегда приводит к катастро фам: важно, чтобы лица и организации, принимающие ответственные решения, лично, материально зависели от последствий этих решений.

Агрессоры, развязывающие войны или межнациональную вра жду, обычно считают, что они не будут нести личной ответственно сти за последствия, а боязнь личного ядерно-лагерного уничтожения служит важным сдерживающим фактором.

Рис. 1.23. Стабилизация при замене жесткого плана обратной связью Ученые, исследовавшие модели гонки вооружений, еще в 60-х годах предсказали, что введение разделяющихся боеголовок повлечет потерю устойчивости стратегического равновесия. Они предсказали также, что если дипломатическим путем удастся благополучно мино вать этот опасный период, то дальнейшее удорожание вооружения стабилизирует ситуацию и устойчивость может восстановиться.

Нынешняя перестройка во многом объясняется тем, что начали действовать хотя бы некоторые механизмы обратной связи (боязнь личного уничтожения).

Трудность проблемы перестройки связана с ее нелинейностью.

Привычные методы управления, при которых результаты пропорцио нальны усилиям, тут не действуют, и нужно вырабатывать специфи чески нелинейную интуицию, основанную на порой парадоксальных выводах нелинейной теории.

Математическая теория перестроек была создана задолго до нынешних перестроек. Вот некоторые простейшие качественные вы воды из этой теории применительно к нелинейной системе, находя щейся в установившемся устойчивом состоянии, признанном плохим, поскольку в пределах видимости имеется лучшее, предпочтительное устойчивое состояние системы (рис. 1.24).

1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сразу же приводит к ухудшению. Скорость ухудшения при равномерном движении к лучшему состоянию увеличивается.

2. По мере движения от худшего состояния к лучшему сопро тивление системы изменению ее состояния растет.

Рис. 1.24. Перестройка с точки зрения теории перестроек 3. Максимум сопротивления достигается раньше, чем самое плохое состояние, через которое нужно пройти для достижения луч шего состояния. После прохождения максимума сопротивления со стояние продолжает ухудшаться.

4. По мере приближения к самому плохому состоянию на пути перестройки сопротивление, начиная с некоторого момента, начинает уменьшаться, и как только самое плохое состояние пройдено, не только полностью исчезает сопротивление, но система начинает при тягиваться к лучшему состоянию.

5. Величина ухудшения, необходимого для перехода в лучшее состояние, сравнима с финальным улучшением и увеличивается по мере совершенствования системы. Слабо развитая система может пе рейти в лучшее состояние почти без предварительного ухудшения, в то время как развитая система, в силу своей устойчивости, на такое постепенное, непрерывное улучшение неспособна.

6. Если систему удается сразу, скачком, а не непрерывно, пере вести из плохого устойчивого состояния достаточно близко к хоро шему, то дальше она сама собой будет эволюционировать в сторону хорошего состояния.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.