авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ...»

-- [ Страница 3 ] --

Результат измерения ФВ – значение ФВ, полученное путем ее изме рения.

Ряд результатов измерений ФВ – значения одной и той же ФВ, по следовательно полученные из следующих друг за другом измерений.

Результат измерения ФВ является приближенным значением ФВ, так как любое измерение производится с некоторой погрешностью (ошибкой), которая искажает результат. Погрешности возникают вследствие несовер шенства методов измерений, ограниченных возможностей используемых средств измерений и индивидуальных особенностей экспериментаторов.

Погрешность результата измерения ФВ – отклонение результата из мерения от действительного значения измеряемой ФВ. Погрешности из мерений можно разделить на несколько групп. Классификация групп по грешностей измерений представлена в таблице 3.1. Рассмотрим группы погрешностей по признакам классификации.

По способу выражения Абсолютная погрешность измерения – погрешность измерения, вы раженная в единицах измеряемой величины. Абсолютная погрешность измерения определяется по формуле = x xд, (3.1) где x – результат измерения (измеренное значение), xд – действительное значение ФВ.

Таблица 3. Классификация погрешностей измерений Признак классификации Виды погрешностей измерений абсолютные по способу выражения относительные систематические по закономерности проявления случайные промахи методические инструментальные по причинам возникновения внешние субъективные по отношению к изменению статические измеряемой величины динамические Относительная погрешность измерения – погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действи тельному или измеренному значению измеряемой величины:

или =.

= (3.2) xд x По определению – величина безразмерная. Часто ее выражают в процен тах:

100 % или = 100 %.

= (3.3) x xд На практике используется также абсолютное значение погрешности.

Абсолютное значение погрешности – значение абсолютной или отно сительной погрешности без учета ее знака (модуль погрешности).

Одной из характеристик качества измерения является точность ре зультата измерений.

Точность результата измерений – близость к нулю погрешности ре зультата измерения (близость результата измерения ФВ к ее действитель ному значению). Количественно точность измерения выражается величи ной, обратной модулю относительной погрешности, т.е. 1. Поэтому считают, что чем меньше погрешность измерения, тем выше его точность и наоборот.

По закономерности проявления Систематическая погрешность измерения ФВ – составляющая по грешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономер но изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же ФВ. Систе матические погрешности могут быть исключены с помощью введения по правок или поправочных множителей.

Поправка – значение ФВ, вводимое с целью исключения составляю щих систематической погрешности. Знак поправки противоположен знаку погрешности. Поправку, прибавляемую к номинальному значению меры, называют поправкой к значению меры;

поправку, вводимую в показание измерительного прибора, называют поправкой к показанию прибора.

Различают неисправленный и исправленный результат измерения ФВ.

Неисправленный результат измерения ФВ – значение ФВ, получен ное при измерении до введения в него поправок, учитывающих система тические погрешности.

Исправленный результат измерения ФВ – полученное при измерении значение ФВ и уточненное путем введения в него необходимых поправок на действие систематических погрешностей.

Поправочный множитель – числовой коэффициент, на который ум ножают неисправленный результат измерения ФВ с целью исключения влияния систематической погрешности. Поправочный множитель исполь зуют в случаях, когда систематическая погрешность пропорциональна значению ФВ.

Случайная погрешность измерения ФВ – составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и зна чению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщатель ностью, одной и той же ФВ. Случайные погрешности не могут быть ис ключены и оцениваются с помощью методов математической статистики.

Промах или грубая погрешность измерения ФВ – погрешность ре зультата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.

Промахи возникают вследствие 1) неожиданных резких изменений внеш них условий, 2) ошибочно выбранной методики измерения, 3) неисправ ности СИ и 4) неправильных действий оператора. Измерения с промахами не учитываются при обработке экспериментальных данных.

По причинам возникновения Методическая погрешность или погрешность метода измерений – составляющая погрешности измерений, обусловленная несовершенством принятого метода измерений: 1) упрощением при построении модели фи зических явлений, которые связаны с измерениями;

2) упрощением при обработке результатов измерений. Погрешность метода называют также теоретической погрешностью. Методические погрешности в основном проявляются как систематические погрешности. Поэтому во многих слу чаях они могут быть рассчитаны и исключены с помощью введения по правок.

Пример 3.1. Требуется вольтметром с сопротивлением R = 10 МОм измерить ЭДС источника E с внутренним сопротивлением r = 5 кОм (рис. 3.1). Запишем закон Ома для замкнутой цепи:

E I=. (3.4) r+R   R V I Е r + Рис. 3.1. Измерение ЭДС источника с помощью вольтметра Значение напряжения, измеренное вольтметром, есть ER U = IR =. (3.5) r+R U является неисправленным результатом измерения ЭДС источника. Выразим методическую погрешность измерения ЭДС посредством относительной погрешно сти. Получим:

U E r мет = =. (3.6) r+R E Если R r, то r = 0.5 10 3 = 0.05 %.

мет (3.7) R Данная методическая погрешность остается постоянной в процессе измерения, а значит, является систематической погрешностью. Ее можно исключить с помощью введения поправки U, которую нужно добавить к измеряемому вольтметром на пряжению U с тем, чтобы получить значение напряжения U = E :

E мет E U = U + U, U =, U =. (3.8) 1 мет 1 мет Методическую погрешность (3.7) можно также исключить с помощью введения поправочного множителя q:

E = 1 мет.

U = qU, q = (3.9) U Значение U в (3.8) и (3.9) является исправленным результатом измерения ЭДС источ ника.

Инструментальная погрешность измерения ФВ или погрешность СИ – составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью применяемого СИ. Инструментальная погрешность определяется разно стью между показанием СИ и действительным значением измеряемой ФВ.

Для меры показанием является ее номинальное значение, так что погреш ность меры – разность между номинальным значением меры и действи тельным значением воспроизводимой ею величины.

Внешняя погрешность измерения ФВ или погрешность измерения из за изменений условий измерения – составляющая систематической по грешности измерения ФВ, являющаяся следствием неучтенного влияния отклонения в одну сторону от установленного значения какого-либо из параметров, характеризующих условия измерений. Внешние погрешности возникают в случае неучтенного или недостаточно учтенного действия той или иной влияющей величины (температуры, атмосферного давления, влажности воздуха, напряженности магнитного поля, вибрации и др.), не правильной установки средств измерений, нарушения правил их взаимно го расположения и др.

Субъективная погрешность измерения ФВ – составляющая система тической погрешности измерений, обусловленная индивидуальными осо бенностями оператора. Встречаются операторы, которые систематически опаздывают (или опережают) снимать отсчеты показаний средств измере ний. Субъективную погрешность называют также личной погрешностью или личной разностью.

По отношению к изменению измеряемой величины Статическая погрешность измерений – погрешность результата из мерений, свойственная условиям статического измерения ФВ (см. п. 2.1).

Динамическая погрешность измерений – погрешность результата из мерений, свойственная условиям динамического измерения ФВ(см. п. 2.1).

3.2. Инструментальные погрешности измерений Инструментальные погрешности измерений можно разделить на не сколько групп. Классификация групп инструментальных погрешностей измерений представлена в таблице 3.2. Рассмотрим группы инструмен тальных погрешностей в соответствии с их признаками классификации.

По способу выражения Абсолютная погрешность СИ – погрешность СИ, выраженная в единицах измеряемой ФВ (см. выражение (3.1)).

Относительная погрешность СИ – погрешность СИ, выраженная отношением абсолютной погрешности СИ к результату измерений или к действительному значению измеренной ФВ (см. (3.2) или (3.3)).

Таблица 3. Классификация инструментальных погрешностей измерений Виды инструментальных Признак классификации погрешностей измерений абсолютные по способу выражения относительные приведенные систематические по закономерности проявления случайные основные по условиям проведения измерений дополнительные по отношению к изменению статические измеряемой величины динамические Приведенная погрешность СИ – отношение абсолютной погрешно сти СИ к нормирующему значению X N :

=. (3.10) XN X N выражается в единицах измеряемой величины и устанавливается в со ответствии с ГОСТ 8.40180. Таким образом, – величина безразмерная.

Приведенная погрешность СИ, как и относительная погрешность СИ, также выражается в процентах, но. Относительная и приведенная погрешности СИ связаны соотношением Х = = N. (3.11) x x Значения X N устанавливается для средств измерений с равномерной шкалой (длина всех делений одинакова, п. 2.4), практически равномерной шкалой, существенно неравномерной шкалой и степенной шкалой.

Практически равномерная шкала (ПРШ) – шкала, длина делений ко торой отличается друг от друга не более чем на 30 % и имеет постоянную цену делений.

Существенно неравномерная шкала (СНШ) – шкала с сужающимися делениями, для которой значение выходного сигнала, соответствующее полусумме верхнего и нижнего пределов диапазона изменений входного (выходного) сигнала, находится в интервале между 65 и 100 % длины шкалы, соответствующей диапазону изменений входного (выходного) сигнала.

Степенная шкала (СШ) – шкала с расширяющимися или сужающи мися делениями, отличная от ПРШ и СНШ.

Для средств измерений с равномерной шкалой, ПРШ или СШ, а также для измерительных преобразователей значение X N устанавливается • равным большему из пределов измерений, если нулевое значение входного (выходного) сигнала находится на краю или вне диапазона из мерений, • равным большему из модулей пределов измерений, если нулевое зна чение находится внутри диапазона измерений.

Для электроизмерительных приборов с равномерной шкалой, ПРШ или СШ и нулевой отметкой внутри диапазона измерений значение X N допускается устанавливать равным сумме модулей пределов измерений.

Для средств измерений физических величин, для которых принята шкала с условным нулем (п. 1.8), значение X N устанавливают равным модулю разности пределов измерений.

Пример 3.2. Для термометра с пределами измерений 200 и 600 °С нормирующее значение устанавливается равным X N = 600 200 = 400 °C.

Для средств измерений с установленным номинальным значением значение X N устанавливают равным этому номинальному значению.

Пример 3.3. Для частотомеров с диапазоном измерений 45-55 Гц и номинальной частотой 50 Гц нормирующее значение X N = 50 Гц.

Для измерительных приборов с СНШ значение X N устанавливают равным всей длине шкалы или ее части, соответствующей диапазону из мерений. В этом случае пределы абсолютной погрешности выражают, как и длину шкалы, в единицах длины.

В случаях, не предусмотренных выше, указания по выбору значения X N приводятся в соответствующих стандартах на средства измерений конкретного вида.

По закономерности проявления Систематическая погрешность СИ – составляющая погрешности СИ, принимаемая за постоянную или закономерно изменяющуюся вели чину с течением времени. Систематическая погрешность данного экземп ляра СИ, как правило, будет отличаться от систематической погрешности другого экземпляра СИ этого же типа, вследствие чего для группы одно типных средств измерений систематическая погрешность может рассмат риваться как случайная погрешность.

Случайная погрешность СИ – составляющая погрешности СИ, изме няющаяся случайным образом.

По условиям проведения измерений Основная погрешность СИ – погрешность СИ, применяемого в нор мальных условиях.

Нормальные условия измерений – условия измерения, при которых со вокупность значений влияющих величин находятся в пределах их нор мальных областей значений. Нормальные условия измерений устанавли ваются в нормативных документах на средства измерений конкретного типа или по их поверке (калибровке).

Нормальная область значений влияющей величины – область значе ний влияющей величины, в пределах которой изменением результата из мерений под ее воздействием можно пренебречь в соответствии с уста новленными нормами точности.

Пример 3.4. Нормальная область значений температуры при поверке нормаль ных элементов класса точности 0,005 в термостате не должна изменяться более чем на ±0,05 °С от установленной температуры 20 °С, т.е. быть в диапазоне от 19,95 до 20,05 °С.

Нормальное значение влияющей величины – значение влияющей вели чины, установленное в качестве номинального. Как правило, основная по грешность средств измерений рассчитывается при нормальных значениях влияющих величин.

Пример 3.5. При измерении многих величин нормальное значение температуры устанавливается равным 20 °С или 293 К, а также 296 К (23 °С).

При выполнении измерений ФВ необходимо обеспечить создание оп ределенного рабочего пространства вокруг объекта измерений и СИ.

Рабочее пространство – часть пространства (окружающего СИ и объект измерений), в котором нормальная область значений влияющих величин находится в установленных пределах.

Дополнительная погрешность СИ – составляющая погрешности СИ, возникающая дополнительно к основной погрешности вследствие откло нения какой-либо из влияющих величин от нормального ее значения или вследствие ее выхода за пределы нормальной области значений. Дополни тельная погрешность СИ определяется для рабочих условий измерений.

Рабочая область значений влияющей величины – область значений влияющей величины, в пределах которой нормируют (устанавливают пре делы) дополнительную погрешность или изменение показаний СИ.

Рабочие условия измерений – условия измерений, при которых значе ния влияющих величин находятся в пределах рабочих областей.

Пример 3.6. Для измерительного конденсатора нормируют дополнительную по грешность на отклонение температуры окружающего воздуха от нормальной.

Для амперметра нормируют изменение показаний, вызванное отклонением час тоты переменного тока от 50 Гц (50 Гц в данном случае принимают за нормальное значение частоты).

Для средств измерений устанавливают предел допускаемой погреш ности и предельные условия измерений.

Предел допускаемой погрешности СИ – наибольшее значение по грешности СИ, устанавливаемое нормативным документом для данного типа средств измерений, при котором СИ еще признается годным к при менению. При превышении установленного предела допускаемой по грешности СИ признается негодным для применения (в данном классе точности). Обычно устанавливают пределы допускаемой погрешности, то есть границы зоны, за которую не должна выходить погрешность.

Пример 3.7. Для 100-миллиметровой концевой меры длины 1-го класса точности пределы допускаемой погрешности составляют ±50 мкм.

Предельные условия измерений – условия измерений, характеризуе мые экстремальными значениями измеряемой и влияющих величин, кото рые СИ может выдержать без разрушений и ухудшения его МХ.

По отношению к изменению измеряемой величины Статическая погрешность СИ – погрешность СИ, применяемого при измерении ФВ, принимаемой за неизменную.

Динамическая погрешность СИ – погрешность СИ, возникающая при измерении изменяющейся (в процессе измерений) ФВ.

На практике измеряемые величины не остаются постоянными, а из меняются во времени с различными скоростями. Если скорость изменения ФВ настолько мала, что инерционные свойства СИ не проявляются, то та кие измерения по существу являются статическими и полностью характе ризуются статической погрешностью СИ. Если скорость изменения вели чины такова, что проявляются инерционные свойства СИ, то такие изме рения происходят в динамическом режиме и характеризуются динамиче ской погрешностью СИ. Динамическая погрешность СИ превышает соот ветствующую статическую погрешность при данном значении измеряе мой ФВ.

3.3. Класс точности средств измерений В п. 2.7 уже были представлены МХ, связанные с определением ре зультата измерения и с оценкой погрешности СИ. Рассмотрим точностные характеристики СИ, связанные с определением класса точности средств измерений.

Точность СИ – характеристика качества СИ, отражающая близость погрешности СИ к нулю. Считается, что чем меньше погрешность СИ, тем точнее СИ.

Точностные характеристики СИ – совокупность МХ СИ, влияющих на погрешность измерения. К точностным характеристикам относят ста бильность и нестабильность СИ, погрешность СИ, порог чувствительно сти, дрейф нуля и др.

Стабильность СИ – качественная характеристика СИ, отражающая неизменность во времени его МХ. Количественной оценкой стабильности СИ служит нестабильность СИ.

Нестабильность СИ – изменение МХ СИ за установленный интервал времени. Для ряда средств измерений, особенно некоторых мер, неста бильность является одной из важнейших точностных характеристик. Для нормальных элементов (мер ЭДС) обычно нестабильность устанавливает ся за год. Нестабильность определяют на основании длительных исследо ваний СИ, при этом полезны периодические сличения с более стабильны ми средствами измерений.

НЭ характеризуется изме Пример 3.8. Нестабильность нормального элемента нением действительного значения ЭДС за год и может составлять НЭ = 2 мкВ/год.

Погрешность типа средств измерений оценивается с помощью нор мируемой метрологической характеристики – класса точности.

Класс точности средств измерений – обобщенная характеристика данного типа средств измерений, как правило, отражающая уровень их точности, выражаемая пределами допускаемых основной и дополнитель ных погрешностей, а также другими характеристиками, влияющими на точность. К другим точностным характеристикам, определяющим класс точности средств измерений, относится, например, нестабильность.

Класс точности дает возможность судить о том, в каких пределах на ходится погрешность средств измерений одного типа, но не является не посредственным показателем точности измерений, выполняемых с помо щью каждого отдельного экземпляра СИ данного типа. Иными словами, класс точности является суммарной характеристикой всех экземпляров средств измерений одного типа. Погрешности отдельного экземпляра СИ конкретного типа не должны превышать погрешностей, определяемых классом точности средств измерений этого типа. Данное обстоятельство необходимо учитывать при выборе средств измерений в зависимости от заданной точности измерений.

Согласно ГОСТ 8.40180 классы точности устанавливаются в стан дартах или технических условиях, содержащих технические требования к средствам измерений, подразделяемым по точности.

Для каждого класса точности в стандартах на средства измерений конкретного вида устанавливают конкретные требования к МХ, в сово купности отражающие уровень точности средств измерений этого класса.

Совокупности нормируемых МХ должны быть составлены из характери стик, предусмотренных ГОСТ 8.00984. Допускается также включать до полнительные характеристики.

Средствам измерений с двумя или более диапазонами измерений од ной и той же ФВ допускается присваивать два или более класса точности.

Пример 3.9. Электроизмерительному прибору, предназначенному для измерений силы постоянного тока в диапазонах 0-10, 0-20 и 0-50 А, для отдельных диапазонов могут быть присвоены различные классы точности.

Средствам измерений, предназначенным для измерений двух или бо лее физических величин, допускается присваивать различные классы точ ности для каждой измеряемой величины.

Пример 3.10. Электроизмерительному прибору, предназначенному для измере ний электрического напряжения и сопротивления, могут быть присвоены два класса точности: один как вольтметру, другой – как омметру.

Класс точности набора мер определяется классом точности меры с наибольшей погрешностью.

Средства измерений должны удовлетворять требованиям к МХ, уста новленным для присвоенного им класса точности, как при выпуске их из производства, так и в процессе эксплуатации. Классы точности присваи ваются средствам измерений при их разработке с учетом результатов го сударственных приемочных испытаний.

Если в стандарте или технических условиях, регламентирующих тех нические требования к средствам измерений конкретного типа, установ лено несколько классов точности, то допускается присваивать класс точ ности при выпуске из производства, а также понижать класс точности по результатам поверки в порядке, предусмотренном документацией, регла ментирующей поверку средств измерений.

Пример 3.11. Класс точности для концевых мер длины может быть присвоен при выпуске мер из производства или изменен в процессе эксплуатации, если в результате последней отклонение длины меры от номинального значения превысило предел до пускаемых отклонений для класса точности, присвоенного ранее.

3.3.1. Способы установления пределов допускаемых погрешностей СИ Пределы допускаемых основной и дополнительных погрешностей выражаются в форме абсолютных, относительных или приведенных по грешностей. Пределы допускаемой дополнительной погрешности допус кается выражать в форме, отличной от формы выражения пределов допус каемой основной погрешности. Выражение пределов допускаемой по грешности в форме приведенных и относительных погрешностей является предпочтительным, так как они позволяют выражать пределы допускае мой погрешности числами, которые остаются неизменными для средств измерений одного уровня точности, но с различными верхними пределами измерений.

Пределы допускаемых погрешностей выражаются в форме • абсолютных погрешностей, если погрешность результатов измерений в данной области измерений принято выражать в единицах измеряемой ФВ или в делениях шкалы, • относительных погрешностей, если границы абсолютных погрешно стей (ГАП) средств измерений конкретного вида нельзя полагать постоян ными, • приведенных погрешностей, если указанные ГАП можно полагать практически неизменными.

ГАП средств измерений конкретного вида оцениваются на основании принципа действия, свойств и назначения средств измерений.

Пример 3.12. Пределы допускаемых погрешностей мер массы (длины) выражают в форме абсолютных погрешностей, так как погрешности результатов измерений мас сы (длины) принято выражать в единицах массы (длины).

Пределы допускаемых погрешностей показывающих амперметров выражают в форме приведенных погрешностей, так как ГАП средств измерений данного вида практически неизменны в пределах диапазона измерений.

Пределы допускаемых основных погрешностей, выраженные в форме абсолютных погрешностей, устанавливаются с помощью формул:

п = ±а, (3.12) если ГАП можно полагать практически неизменными, п = ±(а + bX ), (3.13) если ГАП можно полагать изменяющимися практически линейно, где п – пределы допускаемой абсолютной основной погрешности, выражен ной в единицах измеряемой ФВ на входе (выходе) или условно в делениях шкалы;

X – значение измеряемой ФВ на входе (выходе) средств измерений или число делений, отсчитанных по шкале;

a, b – положительные числа, не зависящие от X.

Пределы допускаемых основных погрешностей, выраженные в форме относительных погрешностей, устанавливаются с помощью формул:

п = п = ±q, (3.14) X если п установлено в по формуле (3.12), то п X п = = ± c + d k 1, (3.15) X X если п установлено в по формуле (3.13), где п – пределы допускаемой относительной основной погрешности в %;

q – отвлеченное положительное число, выбираемое из ряда 110n, 1,510n, (1,610n), 210n, 2,510n, (310n), 410n, 510n, 610n, (3.16) n = 1, 0, –1, –2, и т. д. (значения, указанные в скобках, не устанавливают для вновь разрабатываемых средств измерений);

при одном и том же по казателе степени n допускается устанавливать не более пяти различных пределов допускаемой основной погрешности для средств измерений кон кретного вида;

Xk – больший по модулю из пределов измерений;

c и d – положительные числа, выбираемые из ряда (3.16), причем a c=b+d, d =. (3.17) Xk В стандартах или технических условиях на средства измерений долж но быть установлено минимальное значение X = X 0, начиная с которого применим принятый способ выражения пределов допускаемой относи тельной погрешности.

Пределы допускаемых основных погрешностей, выраженные в форме абсолютных или относительных погрешностей, устанавливаются в виде более сложных функций по сравнению с (3.12) – (3.15), графиков или таб лиц, если ГАП необходимо принять изменяющимися нелинейно.

Пределы допускаемых основных погрешностей, выраженные в форме приведенных погрешностей, устанавливаются с помощью формулы:

п = п = ±р, (3.18) XN где п – пределы допускаемой приведенной основной погрешности в %;

п – пределы допускаемой абсолютной основной погрешности, устанавли ваемые по формуле (3.12);

X N – нормирующее значение, выраженное в тех же единицах, что и п;

p – отвлеченное положительное число, выбираемое из ряда (3.16).

Пределы допускаемой дополнительной погрешности, как правило, ус танавливают в виде дольного (кратного) значения предела допускаемой основной погрешности.

3.3.2. Обозначение классов точности СИ Классы точности средств измерений в документации обозначаются следующим образом.

Для средств измерений, пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме абсолютных погрешностей с помо щью формул (3.12), (3.13) или относительных погрешностей, установлен ных в виде графика, таблицы или формул, отличных от (3.14), (3.15), клас сы точности обозначаются в документации прописными буквами латин ского алфавита или римскими цифрами. Классам точности, которым соот ветствуют меньшие пределы допускаемых погрешностей, соответствуют буквы, находящиеся ближе к началу алфавита, или цифры, означающие меньшие числа.

Для средств измерений, пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме приведенной погрешности с помо щью формулы (3.18) или относительной погрешности в соответствии с формулой (3.14), классы точности в документации обозначаются числами, которые равны этим пределам, выраженным в процентах.

Для средств измерений, пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме относительных погрешностей в соот ветствии с формулой (3.15), классы точности в документации обозначают ся числами с и d, разделенные косой чертой.

В документации на средства измерений допускается также обозначать классы точности в соответствии с их обозначением на средствах измере ний. Классы точности на средствах измерений обозначаются следующим образом.

На циферблатах, щитках и корпусах средств измерений указываются условные обозначения классов точности, установленные для обозначения в документации (числа, прописные буквы латинского алфавита или рим ские цифры), с добавлением знаков, представленных в таблице 3.3.

За исключением технически обоснованных случаев вместе с услов ным обозначением класса точности на внешние части средств измерений наносятся также обозначение стандарта или технических условий, уста навливающих технические требования к этим средствам измерений.

На средства измерений одного и того же класса точности, для кото рых в зависимости от условий эксплуатации установлены различные ра бочие области влияющих величин, указывают обозначения условий их эксплуатации, предусмотренные в стандартах или технических условиях на эти средства измерений.

Допускается не наносить обозначение класса точности на высокоточ ные меры, а также на средства измерений, для которых действующими стандартами установлены особые внешние признаки, зависящие от класса точности.

Пример 3.13. Классы точности гирь общего назначения определяются по соот ветствующим формам гирь, параллелепипедной или шестигранной.

Таблица 3. Обозначение классов точности средств измерений Формы выражения Примеры выражения пре- Обозначение класса пределов допускае- делов допускаемой основ- точности мой основной по- ной погрешности, % в документа на СИ грешности ции п = ±р если нормирующее Класс точности значение выражено в п = ±1,5 1, 1, единицах величины на входе (выходе) средств измерений п = ±р если нормирующее Класс точности п = ±0,5  0, значение принято 0, равным длине шкалы или ее части Класс точности п = ±q п = ±2,5   2, 2, X X п = ± c + d k 1 п = ± 0,02 + 0,01 k 1 Класс точности X X 0,02/0, 0,02/0, п = ±а Класс точности М п = ± (а + bX ) М относительная по грешность, установ ленная в виде графи- Класс точности С ка, таблицы или фор- С мулы, отличной от (3.14), (3.15) Отметим, что если класс точности средств измерений определяется пределами допустимой погрешности, установленными с помощью (3.15), то возможное значение относительной погрешности показания СИ будет тем меньше, чем ближе показание X к Xk. Наименьшее значение п получа ется, когда X = X k. Поэтому следует выбирать СИ с таким Xk или так ус танавливать Xk, чтобы отсчет показаний СИ производился в части шкалы, которая находится вблизи отметки Xk.

Если класс точности средств измерений определяется пределами до пустимой погрешности, установленными с помощью (3.18), то в этом слу чае могут быть вычислены пределы абсолютной и относительной погреш ностей для данного типа средств измерений. Действительно, из определе ния п следует, что п п Х N п = 0,01 п X N, п = 100 =. (3.19) X X Поскольку п не изменяется, то при условии X N = X max, X max – больший из пределов измерений шкалы данного типа средств измерений, пределы относительной погрешности измерения ФВ будут тем меньше, чем ближе значение измеряемой ФВ к X max. Заменяя в (3.19) X N на X max и учиты вая, что X X max, получим п Х max п =, п п, п = lim п. (3.20) X X X max Таким образом, класс точности, установленный пределами допусти мой приведенной погрешности при условии X N = X max, определяет также минимальные пределы относительной погрешности измерения ФВ дан ным типом средств измерений. Поэтому в этом случае также следует вы бирать СИ с таким большим из пределов измерений шкалы X max, чтобы отсчет показаний X находился вблизи X max.

п = ±2,5 % и с большим из пределов изме Пример 3.14. Пусть вольтметром с рений шкалы X max = 50 В измеряются различные значения напряжения – 15, 25 и В. Пределы относительной погрешности измерения напряжения (без учета знака) бу дут следующими:

2,5 50 2,5 50 2,5 п1 = = 8.3 %, п 2 = = 5 %, п3 = = 3,1 %. (3.21) 15 25 Из (3.21) следует, что измерение напряжения с наибольшим значением выполнено с минимальными пределами относительной погрешности.

3.4. Систематические погрешности измерений Систематические погрешности измерений по характеру изменения подразделяют на постоянные и переменные погрешности.

Постоянные погрешности – систематические погрешности, которые в течение времени измерений сохраняют свое значение. Они встречаются наиболее часто.

Пример 3.15. Постоянные погрешности возникают при неправильных установке начала отсчета и расположении СИ.

Постоянные погрешности возникают при градуировке шкал СИ, т.к. появляются неизбежные неточности нанесения отметок шкал.

Переменные погрешности – систематические погрешности, значения которых изменяются в течение времени измерений. Переменные погреш ности подразделяют на прогрессивные, периодические и погрешности, изменяющиеся по сложному закону.

Прогрессивные погрешности – непрерывно возрастающие или убы вающие погрешности. Они появляются вследствие недостаточного про грева СИ, его износа и старения.

Пример 3.16. Изменение систематической погрешности, обусловленной прогре вом СИ, приближенно может быть описано убывающей со временем экспоненциаль ной зависимостью. Поэтому измерения рекомендуются проводить после прогрева СИ в течение необходимого времени, указанного в паспорте.

При эксплуатации концевой меры длины появляются прогрессивные погрешно сти, возрастающие со временем вследствие износа и старения меры (размер концевой меры уменьшается).

Использование химического источника ЭДС, питающего измерительную цепь постоянного тока, связано с возникновением прогрессивных погрешностей, возрас тающих со временем вследствие износа и старения источника (ЭДС источника уменьшается).

Периодические погрешности – систематические погрешности, значе ние которых является периодической функцией времени или перемещения указателя измерительного прибора. Такие погрешности возникают в при борах с круговой шкалой и стрелкой (часы, весы, штангенциркули).

Пример 3.17. Если ось стрелки часов смещена относительно центра шкалы, то систематическая погрешность отсчета угла поворота стрелки изменяется по закону = sin, (3.22) т.е. является периодической погрешностью, где – эксцентриситет шкалы (смещение оси стрелки относительно центра шкалы), – угол поворота стрелки, отсчитываемый от прямой, проходящей через центр шкалы и ось поворота стрелки.

Погрешности, изменяющиеся по сложному закону – систематические погрешности, которые не являются прогрессивными или периодическими погрешностям. Они возникают вследствие совместного действия несколь ких систематических погрешностей. К таким погрешностям относятся также систематические погрешности, зависящие от влияющих величин (температуры окружающей среды, влажности воздуха, атмосферного дав ления, напряжения питающей сети и т.д.).

Пример 3.18. Погрешностью, изменяющейся по сложному закону, является по грешность меры длины (линейки), которая появляется из-за температурной зависимо сти линейного размера меры, вдоль которого нанесена шкала отсчета.

Перед тем, как выполнить измерения ФВ, необходимо провести ис следования для обнаружения и оценки возможных систематических по грешностей. Способы обнаружения и оценки систематических погрешно стей подразделяются на теоретические и экспериментальные.

Теоретические способы – способы получения аналитического выра жения для систематической погрешности на основании определенной первичной информации. Такими способами выявляются и оцениваются систематические погрешности, обусловленные несовершенством исполь зуемого метода измерений (Пример 3.1).

Экспериментальные способы – способы обнаружения и оценки сис тематических погрешностей на основе определенной первичной качест венной информации и обработки ряда неисправленных результатов изме рений ФВ. В этом случае проводятся специальные экспериментальные ис следования, при которых • случайные погрешности оказываются значительно меньше искомой систематической погрешности, • изменяются в соответствующих пределах те внешние условия изме рений, которые наиболее вероятно влияют на значение систематической погрешности.

Систематические погрешности необходимо уменьшать. Способы уменьшение систематических погрешностей подразделяются на способы уменьшение систематических погрешностей до начала измерений, в про цессе измерений и после измерений (рис. 3.2). Способы каждого этапа из мерений направлены на то, чтобы устранить или уменьшить максималь ное число обнаруженных систематических погрешностей.

Чтобы уменьшить систематические погрешности до начала проведе ния измерений необходимо применять только исправные и поверенные средства измерений. При поверке метрологической службой определяют ся погрешности СИ и устанавливается его пригодность к применению.

Для правильного использования СИ требуется его соответствующим образом размещать, т.е. устанавливать СИ в рабочее положение и, по воз можности, вдали от резких изменений влияющих величин или их крити ческих для СИ значений.

Состояние СИ перед каждым новым использованием отличается от предыдущего, так как настройки СИ «сбиваются». Поэтому, чтобы обес печить правильный отсчет показаний необходимо устанавливать нулевое показание СИ и его калибровать, т.е. проводить настройку СИ.

  Способы уменьшения система тических погрешностей До начала В процессе После измерений измерений измерений введение по 1) использование исправ- 1) способ замещения, правок или ного и поверенного СИ, 2) способ компенсации поправочных 2) правильное размещение по знаку, множителей СИ, 3) способ противопос 3) установка нулевого по- тавления, казания и калибровка СИ, 5) способ симметрич 4) прогрев СИ в течение ных наблюдений, требуемого инструкцией 4) рандомизация.

времени, 5) термостатирование, 6) экранировка от внешних электромагнитных полей 7) использование аморти заторов, 8) использование специ альных камер.

Рис. 3.2. Способы уменьшения систематических погрешностей Для уменьшения прогрессивных погрешностей требуется осуществ лять прогрев СИ в течение требуемого инструкцией времени.

Если необходимо уменьшить влияние температуры на систематиче скую погрешность, применяется термостатирование, при котором темпе ратура окружающей среды изменяется с допускаемыми пределами. Тер мостатирование может обеспечиваться на уровне помещения (цеха, лабо ратории), СИ в целом или его отдельных частей.

Для уменьшения влияния внешних электромагнитных полей на точ ность измерений используется экранировка, при которой объект измере ния и (или) СИ помещаются внутри экранов.

Чтобы скомпенсировать негативное воздействие вибраций на ход из мерений применяются амортизаторы. Амортизаторы могут устанавли ваться внутри СИ либо на специальных устройствах (шкафах, стойках), где размещают объект измерения и (или) СИ.

Для уменьшения влияния влажности и давления на точность измере ний используются специальные камеры, с помощью которых создаются в определенном объеме условия изменения влажности и давления в задан ных пределах. Внутри камер помещаются объект измерения и (или) СИ.

В процессе измерений некоторые систематические погрешности изме рений могут быть уменьшены посредством использования способа заме щения, который основан на применении метода замещения (п. 2.2). В этом случае измеряемый объект заменяется образцовой мерой, находящейся в тех же условиях, что и сам объект (Пример 2.14).

Способ компенсации по знаку – способ, при котором измерение про водят дважды так, чтобы причина, вызывающая систематическую по грешность при первом измерении, оказывала противоположное действие на результат второго измерения. Тогда систематическая погрешность входит в результаты наблюдений с противоположными знаками и полу сумма результатов наблюдений будет свободна от систематической погрешности.

Пример 3.19. Точные измерения малых по значению ЭДС сопровождаются воз никновением систематических погрешностей, вносимых паразитными термоэлектро движущими силами (ТЭДС). ТЭДС появляются вследствие контакта проводников, выполненных из различных материалов, и различного нагрева областей соединений проводников при протекании электрического тока. Если значения ТЭДС не изменя ются за время измерения, то соответствующие систематические погрешности могут быть исключены способом компенсации по знаку.

В этом случае применяется компенсационный метод измерения (п. 2.2), при ко тором неизвестная ЭДС Ex сравнивается с ЭДС Eм, воспроизводимой мерой. Измери тельная цепь (рис. 3.3, а) включает цепь неизвестной ЭДС и цепь меры. Цепь неиз вестной ЭДС состоит из ЭДС Ex, сопротивления rx неизвестной ЭДС и высокоточного переменного резистора R. Цепь меры включает ЭДС Eм, сопротивления rм меры и вы сокоточного переменного резистора R. При измерении путем перемещения подвиж ного контакта резистора R добиваются нулевого показания гальванометра Г. Тогда, если EТ – ЭДС, обусловленная суммарным действием ТЭДС в измерительной цепи, сила Iр рабочего тока, протекающего в цепи меры, равна E м ET Iр =. (3.23) rм + R Измеренное значение неизвестной ЭДС E м ET Е x1 = a b = I р R = R. (3.24) rм + R   Ех Ех rx rx a b b a Г Г ЕТ ЕТ R b R a a b R R Iр Iр Ем Ем rм rм а б Рис. 3.3. Измерение ЭДС при двух направлениях рабочего тока Iр: а – Iр направлен по ходу часовой стрелки, б – Iр направлен против хода часовой стрелки Если поменять полярность включения Ex и Eм (рис. 3.3, б), то сила рабочего тока и измеренное значение неизвестной ЭДС окажутся равными E м + ET E м + ET Iр = Еx 2 = R. (3.25) и rм + R rм + R Таким образом, систематическая погрешность ET R (rм + R ) входит в резуль таты измерения (3.24) и (3.25) с различными знаками, так что действительное значе ние неизвестной ЭДС равно E x1 + E x 2 E м R Ex = =. (3.26) rм + R Поэтому измерительные цепи, предназначенные для измерения малых ЭДС с помощью компенсационного метода, снабжаются переключателями, посредством ко торых можно одновременно изменять полярность включения Ex и Eм. Отметим, что поскольку R (rм + R ) 1, то E м E x.

Разновидностью способа компенсации по знаку является способ про тивопоставления, который применяется для исключения систематических погрешностей в случае, когда сравниваются измеряемая величина с из вестной величиной, воспроизводимого мерой, причем измеряемая и из вестная величины имеют примерно равные значения.

Пример 3.20. При измерении угла конусообразного тела с помощью микроскопа появляется систематическая погрешность, связанная со смещением оси отсчета углов по отношению к оси тела (рис. 3.4). Чтобы исключить указанную систематическую погрешность измерения угла используется способ противопоставления.

  к к l ось тела ось отсчета углов Рис. 3.4. Измерение угла конусообразного тела Сначала измеряется угол 1 по одной выбранной образующей конусообразного тела посредством совмещения штриховой линии отсчетного устройства микроскопа с образующей. Затем измеряется угол 2 по образующей с противоположной стороны.

Тогда, если – смещение осей и мало, то 1 = к + l, 2 = к l, (3.27) где к – действительное значение угла конуса, l – длина штриховой линии отсчетного устройства микроскопа. Поэтому среднее значение угла 1 + ср = = к. (3.28) Для исключения систематической погрешности, возникающей при взвешивании тел из-за нарушения равноплечести весов, также используется способ противопостав ления: тело массой m помещается на чашку весов с плечом l2 (рис. 3.5, а) и уравнове шивается гирями с общей массой m1, расположенными на чашке весов с плечом l1.

Тогда ml2 = m1l1. (3.29) Затем тело массой m помещается на чашку весов с плечом l1 (рис. 3.5, б) и урав новешивается гирями с общей массой m2, расположенными на чашке весов с плечом l2. Тогда ml1 = m2l2. (3.30) Выразив из (3.29) отношение плеч весов и подставив его в (3.30), получим m = m1m2. (3.31)   l1 l2 l1 l m m m m а б Рис. 3.5. Взвешивание тела массы m при помещении гирь на чашку весов с плечом:

а – l1 и б – l Если m1 и m2 незначительно отличаются друг от друга и m1 m2, то m1 = m2 + m2, m2 1 и m2 2m2 + m2 m1 + m m m2 1 + 2m = m = m2 1 + =. (3.32) m2 2 Способ симметричных наблюдений используется для исключения прогрессивной погрешности, линейно зависящей от изменения соответст вующего аргумента. К таким систематическим погрешностям относятся погрешности СИ, обусловленные изменениями влияющих величин или зависящие от времени (износ, старение). В этом случае интервал измене ния аргумента разбивается на одинаковые промежутки. Измерение ФВ проводят последовательно при значениях аргумента, разделенных указан ными промежутками. В результате получается ряд наблюдений ФВ, кото рый состоит из пар симметричных наблюдений относительно средней точке интервала изменения аргумента. При обработке экспериментальных данных учитывается, что среднее значение систематической погрешности любой пары симметричных наблюдений равно систематической погреш ности, соответствующей средней точке интервала.

Пример 3.21. Для измерения ЭДС с помощью компенсационного метода приме няется мера – нормальный элемент, воспроизводящий заданное значение ЭДС. Схема измерения представлена на рис. 3.6, используемые обозначения аналогичны рис. 3. (Пример 3.19). При нулевом показании гальванометра Eм Eм, Е x = I р R = a b = Iр = R. (3.33) rм + R rм + R Если температура окружающей среды изменяется в небольших пределах, то ЭДС нормального элемента линейно зависит от температуры:

E м = E20 a(t 20 ), (3.34) где E20 – номинальное значение ЭДС нормального элемента при 20 °С, a – коэффици ент прорциональности, T – температура в °С. Значение E20 указывается на корпусе нормального элемента или в паспорте устройства. Поэтому с ростом или уменьшени ем температуры появляются обусловленные изменением Eм прогрессивные погреш ности E измерения ЭДС Ex:

a(t 20 ) E20 R Еx = + E, E = R. (3.35) rм + R rм + R Ех rx a b Г R b a R Iр Ем rм Рис. 3.6. Измерение ЭДС Погрешности E можно исключить способом симметричных наблюдений. Пусть температура окружающей среды возрастает от 20 до 26 °С. Интервал изменения тем пературы можно разбить на три одинаковых промежутка и измерить значение ЭДС Ex при четырех значениях температуры: 20, 22, 24 и 26 °С. Полусуммы значений сим метричных наблюдений ЭДС Ex для 20 и 26 °С, 22 и 24 °С содержат систематические погрешности, равные E, соответствующей средней точке интервала – 23 °С.

Рандомизация – перевод систематических погрешностей в случайные погрешности. Ее можно осуществить при условии, когда имеется несколь ко однотипных приборов с систематической погрешностью одинакового происхождения. Если для одного из приборов систематическая погреш ность постоянна, то от прибора к прибору она изменяется случайным об разом. Поэтому измерение одной и той же ФВ всеми приборами и усред нение ряда результатов измерений ФВ позволяет значительно уменьшить систематическую погрешность (см. далее п. 4.1.2).

Если систематические погрешности известны и физически неустра нимы, то после проведения измерений они могут быть исключены из ре зультатов измерений с помощью введения поправок или поправочных множителей. Однако учесть все возможные систематические погрешности измерения нельзя, т.е. всегда существуют неисключенные систематиче ские погрешности.

Неисключенная систематическая погрешность (НСП) – составляю щая погрешности результата измерений, обусловленная погрешностями вычисления и введения поправок на влияние систематических погрешно стей или систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие ее малости. НСП называют также неисключенный (ные) остаток (остатки) систематической погрешности. Неисключен ные систематические погрешности суммируются со случайными погреш ностями.

3.5. Погрешности и случайные величины Поскольку измерения с промахами исключаются, то по закономерно сти проявления (п. 3.1) абсолютную погрешность измерения ФВ можно представить в виде суммы = сис + сл, (3.36) где сис и сл – систематическая и случайная погрешности, соответственно.

Для конкретного экземпляра СИ рассматриваемого типа систематическая погрешность (с точностью до НСП) – величина, изменяющаяся законо мерно, но от экземпляра к экземпляру систематическая погрешность из меняется случайным образом. Таким образом, в общем случае погреш ность измерения является случайной величиной.

Случайные величины и их характеристики рассматриваются в теории вероятностей. Оценки характеристик случайных величин проводятся на основе полученных экспериментальных данных методами математиче ской статистики. Выделяют дискретные и непрерывные случайные вели чины.

Дискретная случайная величина – величина, которая может прини мать только конечное или счетное множество значений. Дискретная слу чайная величина X характеризуется значениями xi ( i = 1, 2, 3, K ) и вероят ностями pi = P( X = xi ) того, что X принимает эти значения. Вероятности pi должны удовлетворять условию нормировки pi = 1. (3.37) i Непрерывная случайная величина – величина, которая может прини мать непрерывный ряд значений. Непрерывная случайная величина X ха рактеризуется вероятностью P( x1 X x2 ) того, что X принимает значе ния, заключенные в интервале ( x1, x2 ). Вероятность того, что X примет ка кое-то конкретное значение xi, равна нулю, т.е. P( X = xi ) = 0. Если xmin и xmax – минимальное и максимальное значения диапазона изменения непре рывной случайной величины X, то P( xmin X xmax ) = 1. (3.38) 3.5.1. Функции распределения случайных величин Полностью свойства случайной величины описываются интегральной и дифференциальной функциями (законами) распределения.

Интегральная функция распределения F ( x ) – вероятность того, что случайная величина X будет меньше некоторого значения x:

F ( х ) = P( X x ). (3.39) Функция F ( x ) является неубывающей функцией x, т.е. если x1 x2, то F ( x1 ) F ( x2 ), причем F ( ) = 0, F ( ) = 1. Вероятность попадания слу чайной величины X в интервал ( x1, x2 ) равна P( x1 X x2 ) = F ( x2 ) F ( x1 ). (3.40) Дифференциальная функция распределения или плотность вероятно сти f ( x ) – функция, которая удовлетворяет следующим условиям:

dF ( x ) x, F ( x ) = f (t )dt, f (x ) = f (x )dx = 1. (3.41) dx Последнее условие является условием нормировки.

Таким образом, вероятность попадания случайной величины X в ин тервал ( x1, x2 ) равна x P( x1 X x2 ) = F ( x2 ) F ( x1 ) = f (t )dt. (3.42) x Для дискретной случайной величины плотность вероятности – раз рывная функция, интегральная функция распределения – кусочно непрерывная функция. Непрерывная случайная величина характеризуется непрерывной интегральной функцией распределения и непрерывной или кусочно-непрерывной дифференциальной функцией распределения.

Пример 3.22. Рассмотрим дискретную случайную величину – выпадение одного из чисел 1, 2, 3, 4, 5 и 6 в результате бросания игрального кубика. Поскольку выпаде ния любого из указанных чисел – события равновероятные, то график f ( x ) в этом случае представляет точки над значениями 1, 2, 3, 4, 5 и 6, соответствующие вероят ности 1/6 выпадения чисел (рис. 3.7, а). Зависимость F ( x ) приведена на рис. 3.7, б.


Пример 3.23. Рассмотрим равномерное (прямоугольное) распределение. Непре рывная случайная величина называется равномерно распределенной на [a, b], если ее плотность вероятности на [a, b] постоянна, а вне [a, b] равна нулю (рис. 3.8, а). В силу условия нормировки плотность вероятности равномерного распределения 0, x a, x b f (x ) =. (3.43) 1 (b a ), a x b Соответствующая интегральная функция распределения (рис. 3.8, б) 0, x a F ( x ) = ( x a ) (b a ), a x b. (3.44) 1, x b f(x) 1 F(x) 5/6 5/ 2/3 2/ 1/2 1/ 1/3 1/ 1/6 1/ 0 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 x x а б Рис. 3.7. Функции распределения для выпадения одного из чисел 1, 2, 3, 4, 5 и в результате бросания игрального кубика: а – дифференциальная, б – интегральная F(x) f(x) 0,5 0, 1/(b-a) 0 0 a b x 0 a (a+b)/2 b x а б Рис. 3.8. Функции равномерного распределения: а – дифференциальная, б – интегральная 3.5.2. Моменты случайных величин Помимо функций распределения случайные величины характеризу ются также моментами, начальными и центральными.

Величины и µi = ( xk 1 )i pk i = xk pk i (3.45) k k называются i-м начальным и i-м центральным моментами дискретной случайной величины X.

Величины + + (x 1 ) f (x )dx x f (x )dx i i = и µi = i (3.46) называются i-м начальным и i-м центральным моментами непрерывной случайной величины X.

Особое значение имеют первый начальный момент 1 и второй цен тральный момент µ2.

Математическим ожиданием M ( X ) случайной величины X называ ется первый начальный момент для дискретной случайной величины M ( X ) = 1 = xk pk (3.47) k и для непрерывной случайной величины + M ( X ) = 1 = xf (x )dx. (3.48) Математическое ожидание определяет положение центра распределе ния случайной величины X. Если M ( X ) = 0, случайная величина и соот ветствующее распределение называются центрированными. Перечислим свойства математического ожидания.

1. Если a – постоянная величина, то M (a ) = a. (3.49) 2. Если X1 и X2 – случайные величины, то M ( X1 + X 2 ) = M ( X1 ) + M ( X 2 ). (3.50) 3. Если a – постоянная величина, X – случайная величина, то M (aX ) = aM ( X ). (3.51) 4. Если X1 и X2 – независимые случайные величины, т.е. вероятно сти реализации их значений не зависят друг от друга, то M ( X 1 X 2 ) = M ( X 1 )M ( X 2 ). (3.52) Дисперсией D( X ) случайной величины X называется второй цен тральный момент для дискретной случайной величины D( X ) = µ 2 = ( xk M ( X )) pk (3.53) k и для непрерывной случайной величины + D( X ) = µ 2 = (x M ( X )) f (x )dx.

(3.54) Используя определение и свойства математического ожидания, мож но получить следующее выражение для вычисления дисперсии:

( ) () D( X ) = M ( X M ( X ))2 = M X 2 [M ( X )]2. (3.55) D( X ) имеет размерность квадрата случайной величины и поэтому не всегда удобна. Наряду с дисперсией используется величина = D( X ), (3.56) которая называется стандартным отклонением, средним квадратическим отклонением (СКО) или средней квадратической погрешностью. Величи ны D( X ) или являются согласно неравенству Чебышева мерой рассея ния распределения случайной величины X относительно M ( X ). Перечис лим свойства дисперсии.

1. Если a – постоянная величина, то D(a ) = 0. (3.57) 2. Если a – постоянная величина, X – случайная величина, то D(a + X ) = D( X ), D(aX ) = a 2 D( X ). (3.58) 3. Если X1 и X2 – независимые случайные величины, то D( X 1 + X 2 ) = D( X 1 ) + D( X 2 ). (3.59) Отметим, что M ( X ), D( X ) и характеризуют случайные величины, но сами представляют собой неслучайные величины. Если дискретная случайная величина X может принимать с равной вероятностью n различ ных значений xi, то M ( X ) и D( X ) равны:

1n 1n M ( X ) = xi, D( X ) = ( xi M ( X ))2. (3.60) n i =1 n i = Определим M ( X ) и D( X ) для случайной величины из Примера 3.23.

Согласно (3.60) и (3.55) M (X ) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,50, (3.61) () ( ) [M ( X )]2 = 12 + 22 + 32 + 4 2 + 52 + 62 3,52 = 2,92.

D( X ) = M X (3.62) Определим M ( X ), D( X ) и для равномерного распределения. Учи тывая (3.43), (3.48) и (3.54), получим 1b a+b M (X ) = dx = 2, (3.63) ba a (b a )2, = b a.

1 + a+b D( X ) = b a x dx = (3.64) 2 12 Равномерному закону распределения подчиняются, например, по грешности округления ок, возникающие при считывании показаний по шкале прибора и обработке экспериментальных данных. Погрешность ок ругления является центрированной случайной величиной. Если h – цена деления шкалы прибора, то a = h 2, b = h 2 (рис. 3.9, а) и СКО равно:

h =. (3.65) Поскольку ок h 2, то п = h 2 является предельной погрешность округления, так как значение ок находится в симметричных пределах (границах) ±п. Поэтому СКО погрешности округления можно предста вить в виде п =. (3.66) При обработке экспериментальных данных возникают погрешности округления результатов вычислений. Такая погрешность заключена в пре делах ±5 единиц отбрасываемого десятичного разряда, ее СКО (см. (3.66)) 3 = 2,89 единиц этого разряда.

составляет f(x) f( ок) 0, = 0, 0, 0, 1/h = 0, =2 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 h/2 ок h/2 а б Рис. 3.9. а – распределение погрешности округления при считывании показаний по шкале прибора, б – центрированное нормальное распределение для различных Из-за неизбежного округления, отсчитываемые с помощью средств измерений значения измеряемой ФВ, а значит и значения ее погрешности, всегда содержат определенное конечное число значащих цифр. Поэтому в эксперименте измеряемая ФВ и погрешность ее измерения принимают конечное число значений и проявляют себя как дискретные случайные ве личины. Однако для упрощения свойства измеряемой ФВ и ее погрешно сти описываются функциями распределения непрерывных случайных ве личин.

3.5.3. Нормальное распределение На практике встречаются погрешности измерения, характеризуемые различными плотностями вероятности. Тем не менее, во многих случаях реальные функций распределения погрешностей удается аппроксимиро вать стандартными аналитическими функциями. Особое значение среди стандартных аналитических функций имеет нормальное распределение или распределение Гаусса.

Непрерывная случайная величина X называется распределенной нор мально, если она характеризуется плотностью вероятности следующего вида:

( x a ) f (x ) = exp, (3.67) 2 b 2b где a и b – параметры распределения. Определим M ( X ) и D( X ) для нор мального распределения:

( x a ) + x M (X ) = exp dx = a, (3.68) 2b 2 b (x a )2 exp (x a )2 dx = b 2.

+ D( X ) = (3.69) 2 b 2b Таким образом, параметр a имеет значение математического ожидания, а b – значение СКО. Поэтому выражение для плотности вероятности нор мального распределения можно представить в виде:

( x a ) f (x ) = exp. (3.70) 2 2 Если случайная величина X имеет нормальное распределение с пара метрами a и, то пишут X N ( x, a, ). График функции (3.70) представ ляет собой колоколообразную симметричную кривую. Параметр a – точка максимума, через которую проходит ось симметрии, параметр – рас стояние от оси симметрии до точки перегиба кривой. Если мало, кривая высокая и заостренная. При больших кривая широкая и плоская. Цен трированное ( a = 0 ) нормальное распределение для различных приведе но на рис. 3.9, б.

Распределение N ( x, 0, 1) называется нормированным и центрирован ным нормальным распределением. Интегральную функцию ( x ) распре деления N ( x, 0, 1) можно преобразовать к виду:

0 t t x x ( x ) = (t )dt = exp dt + exp dt, (3.71) 2 2 где ( x ) – дифференциальная функция распределения N ( x, 0, 1).

Интеграл t 1x 0 (x ) = exp 2 dt (3.72) 2 0 называется интегралом вероятности или нормированной функцией Лапла са. 0 ( x ) является четной функцией, т.е. 0 ( x ) = 0 ( x ), и 0 ( ) = 1 2, так что ( x ) = 0 ( x ) +. (3.73) Функции 0 ( x ) и ( x ) табулированы (т.е. представлены в справочных таблицах).

Если случайная величина X N ( x, a, ), то ее интегральная функция распределения равна (t a ) x F (x ) = exp 2 2 dt. (3.74) Произведем в (3.74) замену переменной t на y = (t a ). Учитывая, что t = y + a и dt = dy, получим x a F ( x ) =. (3.75) Поэтому, согласно (3.42), имеем:

x a x a P( x1 X x2 ) = F ( x2 ) F ( x1 ) = 0 2 0 2. (3.76) Важность нормального распределения основывается на центральной предельной теореме. Из этой теоремы следует, что если случайная вели чина X представляет сумму большого числа независимых случайных ве личин Xi, i = 1, n, каждое из которых вносит в сумму лишь незначитель ный вклад, то независимо от того, каким законам распределения подчи няются слагаемые Xi, случайная величина X будет иметь распределение, близкое к нормальному. Чем больше число слагаемых n, тем точнее при ближение распределения X к N ( x, a, ).

Нахождение суммарного закона распределения случайной величины по известным законам распределения слагаемых называется композицией законов распределения. Так, композицией двух равномерных распределе ний с одинаковыми пределами a и b является треугольное распределение.

Композицией двух равномерных распределений с различными пределами a и b является трапецеидальное распределение. По мере увеличения сла гаемых, подчиняющихся равномерному распределению, их композиция быстро стремится к нормальному распределению, мало отличаясь от него уже при 4-5 слагаемых. Композиция любого числа нормальных распреде лений является нормальным распределением.


m Отметим, что если случайная величина X = X i, где Xi, i = 1, m – не i = зависимые случайные величины, µ и – математическое ожидание и СКО величины X, а µi и i – математическое ожидание и СКО величины Xi, то в соответствии со свойствами математического ожидания (3.50) и диспер сии (3.59):

m m µ = µi, = i2.

(3.77) i =1 i = ГЛАВА 4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 4.1. Оценка погрешностей При измерении ФВ с помощью выбранного экземпляра СИ скорость изменения систематической погрешности значительно меньше скорости изменения случайной погрешности, так что за время измерения ФВ сис тематическая погрешность мало изменяется, и ее можно считать величи ной постоянной.

Случайные погрешности описываются функциями распределения с нулевым математически ожиданием, т.е. являются центрированными слу чайными величинами. Если математическое ожидание случайной погреш ности отлично от нуля, то это означает, что рассматривается сумма слу чайной и систематической погрешности, и ненулевое математическое ожидание равно систематической погрешности. Поэтому при оценке слу чайных погрешностей из результатов измерений ФВ исключают система тические погрешности и используют исправленные результаты измерения ФВ.

Из-за наличия случайных погрешностей измеряемая ФВ X также яв ляется случайной величиной. Если известна плотности вероятности f (t ) случайной погрешности сл, можно определить вероятность P нахождения сл в заданном интервале:

в P = P( н сл в ) = f (t )dt, (4.1) н где н и в – нижняя и верхняя границы интервала. В случае симметрич ных распределений границы интервала можно выразить одной положи тельной величиной нв. Тогда н = нв, в = нв, т.е. интервал лежит в пределах ±нв. Для заданного закона распределения вероятность P одно значно зависит от границ интервала. Если P = 1, то реальные погрешно сти, характеризуемые симметричными функциями f (t ), не могут превы шать границ ±п. Погрешность, равная п, называется предельной.

По результату измерений x и заданным границам н и в оценивается интервал, в котором с заданной вероятностью P находится действительное значение xд измеряемой ФВ X. Поскольку сл = x xд, то P = P( н x xд в ) = Р( x в xд x н ). (4.2) Если известна плотность вероятности f X (t ) измеряемой ФВ X и f X (t ) симметричная функция, то можно поступить наоборот, т.е. определить значение xд, равное математическому ожиданию, и по заданным границам найти вероятность P нахождения результата измерений x в заданном ин тервале:

в P = P( xд + н x xд + в ) = f X (t )dt, (4.3) н откуда оценить интервал, в котором с заданной вероятностью P находится сл:

P = P( н x xд в ) = P( н сл в ). (4.4) Когда границы не заданы, но известна f X (t ), случайные погрешности можно оценить по величинам дисперсии или СКО ФВ X.

4.1.1. Задачи математической статистики и проверка гипотез Полный набор всех возможных значений, которые может принимать случайная величина, называется генеральной совокупностью. Генеральная совокупность измеряемой ФВ X в практике электрорадиоизмерений пред ставляет собой, как правило, совокупность бесконечного числа значений, причем плотность вероятности ФВ X неизвестна. Для нахождения функ ции распределения ФВ X необходимо провести измерение X неограничен ное число раз, исключив погрешности округления. В реальных условиях выполняется конечное число n независимых друг от друга измерений или наблюдений xi ( i = 1, n ) ФВ X. Таким образом, после измерения из беско нечного множества значений ФВ X мы располагаем только n случайно вы бранными значениями xi ( i = 1, n ) ФВ X.

Случайной выборкой объема n называют n значений xi ( i = 1, n ), рас положенных в порядке их получения. Вариационным рядом называю n значений xi ( i = 1, n ), расположенных в порядке возрастания их значений.

Задачи математической статистики состоят в том, чтобы на основании знания некоторых свойств подмножества элементов, взятых из генераль ной совокупности, сделать выводы о свойствах всей генеральной сово купности. В применении к измерению ФВ X использование методов мате матической статистики позволяет на основе знания конечного числа зна чений измеряемой ФВ X сделать выводы о генеральной совокупности ФВ X в целом и оценить погрешности. Подобные выводы часто делаются по результатам проверки гипотез, т.е. некоторых предположений о случай ных величинах. Гипотезой H0 может являться, например, предположение о равенстве определенных параметров распределений, о соответствии рас пределения случайной величины некоторому заданному распределению и т.д.

Проверка гипотезы H0 осуществляется с помощью критерия, соглас но которому H0 принимается или отвергается. Для проверки используется контрольная величина T, которой является соответствующим образом вы бранная и приспособленная к задаче функция случайной выборки. Задает ся уровень значимости, и определяется критическая область B, удовле творяющая условию, что вероятность принятия гипотезы H0 при T B не превосходит :

P(T B | H 0 верна ). (4.5) Область B можно найти, если известно распределение контрольной вели чины T. Как правило, уровень значимости выбирается равным 0,05, 0, или 0,01.

Применение критерия состоит в следующем. Производится случайная выборка, которая дает частное значение t контрольной величины T. Если t B, т.е. выполняется условие (4.5), то гипотеза H0 отвергается. Если t B, то случайная выборка не противоречит гипотезе H0, и H0 принима ется. Величина P = 1 называется доверительной вероятностью, мерой надежности или коэффициентом доверия. Коэффициентом доверия оп ределяет вероятность выполнения критерия при условии, что H0 принима ется. Таким образом, P = 1 характеризует надежность, а – точность выполнения критерия. Однако принятие гипотезы H0 не означает, что она абсолютна верна.

Ошибочное решение, когда отвергается верная гипотеза H0, называют ошибкой первого рода. Чем меньше, тем меньше вероятность совершить ошибку первого рода. Ошибочное решение, когда принимается неверная гипотеза H0, называют ошибкой второго рода. При заданном согласно условию (4.5) критическую область B можно выбрать бесконечно боль шим числом способов. Поэтому из всех B выделяют такую область, чтобы вероятность допустить ошибку второго рода была наименьшей.

Как уже отмечалось, при измерении ФВ X плотности вероятности ФВ X и, соответственно, случайной погрешности оказываются, как правило, неизвестными. Обычно не занимаются определением плотности вероятно сти указанных величин, а ограничиваются подбором такого теоретическо го закона распределения, который с достаточной для практических целей точностью может быть использован вместо реального закона распределе ния. Иными словами, на практике проводят аппроксимацию эксперимен тальных данных стандартными аналитическими функциями распределе ния. В силу центральной предельной теоремы, часто бывают основания считать, что реальная плотность вероятности ФВ X или случайной по грешности близка к нормальному распределению.

Для установления математической модели реального закона распре деления ФВ X или случайной погрешности строится гистограмма и поли гон. По виду гистограммы и полигона выдвигается гипотеза H0 о соответ ствии реальной плотности вероятности выбранной стандартной аналити ческой функции распределения. Для проверки данной гипотезы H0 приме няются критерии согласия. Если число наблюдений n 50, проверка ги потезы H0 производится с использованием критериев Колмогорова, Пир сона или Мизеса-Смирнова. При 3 n 50 применяется составной крите рий.

Если гипотеза H0 принимается, то ее принятие означает, что она не противоречит экспериментальным данным. Однако отсюда нельзя сделать вывод об однозначном соответствии закона распределения результатов наблюдений выбранному стандартному распределению. Могут существо вать и другие аппроксимирующие гистограмму теоретические законы распределения.

4.1.2. Точечные и доверительные оценки Пусть при измерении ФВ X проведено n независимых друг от друга наблюдений, исправленные результаты которых xi ( i = 1, n ) ФВ X. По скольку каждое значение xi является реализацией случайной величины X, то случайную выборку объема n можно представить как реализацию слу чайного вектора ( X 1, X 2,K, X n ), где независимые друг от друга случай ные величины X i = X ( i = 1, n ), т.е. все Xi характеризуются одинаковыми функциями распределения. Так как значения xi в общем случае различны, возникает вопрос: какое из полученных значений xi или какую функцию этих значений следует принять за действительное значение измеряемой ФВ X и как оценить случайную погрешность?

За действительное значение измеряемой ФВ X часто принимается ее математическое ожидание, случайные погрешности оцениваются по вели чине СКО ФВ X. Но поскольку плотность вероятности ФВ X неизвестна, то вместо величин математического ожидания и СКО ФВ X используют их точечные оценки.

Оценка параметра закона распределения случайной величины X на зывается точечной, если она выражена одним числом (точка числовой оси). Любая точечная оценка, вычисленная с использованием эксперимен тальных данных, является случайной величиной. Функция распределения точечной оценки зависит от функции распределения случайной величины X и числа наблюдений n, т.е. точечная оценка параметра :

= ( X 1, X 2,K, X n ). Точечные оценки должны обладать свойствами со стоятельности, несмещенности и эффективности.

Точечная оценка ( X 1, X 2,K, X n ) параметра называется состоя тельной, если ( X 1, X 2,K, X n ) сходится по вероятности к, т.е. если 0 выполняется равенство lim P( ( X 1, X 2,K, X n ) ) = 1. (4.6) n Точечная оценка ( X 1, X 2,K, X n ) параметра называется несмещен ной, если математическое ожидание точечной оценки равно :

M ( ) =. (4.7) Точечная оценка ( X 1, X 2,K, X n ) параметра называется асимпто тически несмещенной, если lim M ( ) =. ( 4.8) n Каждая несмещенная оценка является также асимптотически несмещен ной.

Точечная оценка ( X 1, X 2,K, X n ) параметра называется эффек тивной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой точечной оценки параметра. Эффективную оценку параметра можно найти не все гда.

Рассмотрим случай, когда измеряемая ФВ X имеет нормальное рас пределение, т.е. X N ( x, a, ), причем параметры распределения (мате матическое ожидание a и СКО ) неизвестны. Получим точечные оценки для этих параметров. Так как результаты наблюдений являются дискрет ными случайными величинами, а появления значений xi ( i = 1, n ) – собы тия равновероятные, то в силу (3.60) естественно выбрать точечными оценками следующие функции 1n 1n X = X i, = (X i X ), (4.9) n i =1 n i = где X и 2 – точечные оценки a и 2, соответственно.

Определим математическое ожидание и дисперсию случайной вели чины X. Поскольку M ( X i ) = a, то согласно (3.50):

1n 1n M (X ) = M ( X i ) = a = a. (4.10) n i =1 n i = Таким образом, X – несмещенная точечная оценка a (см. (4.7)).

Так как D( X i ) = 2, то в соответствии с (3.55) и свойствами матема тического ожидания дисперсия равна:

[ ] 1 n D( X ) = M ( X M ( X )) = M X i a = n i =1 1 n 1 n 2 = M 2 X i na = 2 M ( X i a ) =. (4.11) n i =1 n i =1 [ ] n 2 1n 1n = 2 M ( X i a ) = 2 D( X i ) = 2 = n n i =1 n i =1 n Поэтому при n D( X ) 0 или X a, т.е. X является состоятельной точечной оценкой a (см. (4.6)).

Из (4.11) следует также, что дисперсия среднего арифметического ре зультатов наблюдений ФВ X в n раз меньше дисперсии результата отдель ного наблюдения. Поэтому измерения с многократными наблюдениями и последующим усреднением результатов – эффективный способ уменьше ния влияния случайной погрешности на результат измерения. Именно та кой подход используется при рандомизации, когда систематическая по грешность переводится в случайную (п. 3.4). Систематическая погреш ность от прибора к прибору изменяется случайным образом, т.е. является случайной величиной, характеризуемой нормальным распределением.

Определим математическое ожидание и дисперсию случайной вели чины 2. Математическое ожидание равно:

[ ] () 1n M = M (X i X ).

(4.12) n i = ( ) Рассмотрим отдельно M ( X i X ). Получим:

( )( ) () () M ( X i X ) = M X i2 2 X i X + X 2 = M X i2 2 M ( X i X ) + M X 2.

(4.13) Случайные величины Xi и X не являются независимыми. Поэтому ис пользовать свойство (3.52) непосредственно нельзя. Преобразуем произ ведение X i X следующим образом:

X i X i X i X Xi X = Xi X + = + Xi X i. (4.14) n n n n Xi Случайные величины Xi и X являются независимыми. Таким обра n зом, () () М X i2 X i М X i a M (X i X ) = M ( X i )M X = a a. (4.15) n n n n () () Учитывая, что D( X i ) = M X i2 a 2 ( i = 1, n ), D( X ) = M X 2 a 2, а также (4.15) и (4.11), получим [ ] [ ( ) ] [ ( ) ] n [M (X ) a ] = M ( X i X ) = M X i2 a 2 + M X 2 a 2 2 i. (4.16) 2 n 1 = D( X i ) + D( X ) D( X i ) = 2 + = n n n n () Принимая во внимание (4.16), M 2 оказывается равным () n 1 n 2 n 1 = n.

M 2 = (4.17) n 2 i = Таким образом, 2 – смещенная точечная оценка 2. Однако при n () M 2 2, т.е. 2 является асимптотически несмещенной оценкой.

Дисперсия 2(n 1) ().

D 2 = (4.18) n () Когда n, то D 2 0 или 2 2. Следовательно, 2 – состоя тельная точечная оценка 2.

При расчетах вместо 2 используется S2 – несмещенная точечная () оценка 2 ( M S 2 = 2 ):

1n (X i X ).

S= (4.19) n 1 i = Дисперсия (), D S2 = (4.20) n т.е. S2 является состоятельной точечной оценкой 2.

Реализации точечных оценок параметров распределения при конкрет ной случайной выборке объема n также называют точечными оценками параметров. Чтобы различать точечную оценку-функцию и ее реализацию в последнем случае используются малые прописные буквы, и часто ста вится знак «крышечка».

Пример 4.1. Значения 1n 1n 1n a = x = xi, = ( xi x ), s = (xi x ) (4.21) 2 2 n 1 i = n i =1 n i = являются реализациями оценок X, 2 и S2, соответственно. Значение x называется также выборочным или эмпирическим средним, а s – выборочной или эмпирической дисперсией.

Рассмотрим вопрос об эффективности полученных точечных оценок X, 2 и S2. В общем случае функция распределения случайной величины определяется несколькими параметрами. Обозначим число параметров через l. Если у параметра распределения k k = 1, l существует эффек тивная точечная оценка, то ее можно получить с помощью метода наи большего правдоподобия. Метод наибольшего правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки параметра k используется значение k, при котором функция правдоподобия достигает своего максимума. Функция правдоподобия является функцией n + l переменной, зависящей от слу чайной выборки объема n и числа параметров l. Значение k определяется выражением:

k = k ( x1, x2,K, xn ) k = 1, l. (4.22) Соответствующая функция k ( X 1, X 2,K, X n ) называется наиболее прав доподобной точечной оценкой параметра k. Наиболее правдоподобные точечные оценки параметра являются состоятельными, но не всегда не смещенными.

Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, a и. Применение метода наибольшего правдоподобия дает, что X – наибо лее правдоподобная точечная оценка a, а 2 – наиболее правдоподобная точечная оценка 2. Следовательно, X является эффективной точечной оценкой a, а 2 – эффективной, но смещенной точечной оценкой 2.

На практике чаще используют менее эффективную, но несмещенную оценку 2 – точечную оценку S2.

Таким образом, если измеряемая ФВ X N ( x, a, ), то X представ ляет собой состоятельную, несмещенную и эффективную точечной оцен ку a, S2 – состоятельную, несмещенную, но менее эффективную по срав нению с 2 точечную оценку 2.

Если в качестве точечной оценки 2 используется S2, то согласно (4.11) функция n S S (X ) = (X i X ) = (4.23) n(n 1) i = n является точечной оценкой дисперсии X. Реализация S ( X ) при конкрет ной случайной выборке объема n определяется выражением n s(x ) = (xi x ).

(4.24) n(n 1) i = Точечная оценка параметра является случайной величиной, которая характеризуется только одним значением при конкретной случайной вы борке. Возникает вопрос: насколько достоверна такая оценка, и какова ее погрешность? Ответ на поставленный вопрос поставляют доверительные оценки.

Пусть ( X 1, X 2,K, X n ) – случайный вектор, X i = X ( i = 1, n ), X – из меряемая ФВ, функция распределения которой зависит от параметра.

Выдвигается гипотеза H0 о том, что выполняется неравенство н ( X 1, X 2,K, X n ) в ( X 1, X 2,K, X n ), (4.25) где н и в – некоторые функции случайного вектора. Задается уровень значимости и после проверки гипотезы H0 определяется доверительная вероятность P[н ( X 1, X 2,K, X n ) в ( X 1, X 2,K, X n )] = 1. (4.26) Случайный интервал (н, в ) называется доверительной или интер вальной оценкой, а также доверительным интервалом параметра с дове рительной вероятностью P = 1. Соответственно, случайные границы н и в называются доверительными границами.

Если имеется реализация вектора ( X 1, X 2,K, X n ), т.е. случайная вы борка объема n, то реализация доверительной оценки дает интервал ( н, в ), где н = н ( x1, x2,K, xn ), в = в ( x1, x2,K, xn ). (4.27) В большом ряду случайных выборок объема n истинное значение пара метра лежит примерно в (1 )100 % случаев внутри вычисленных до верительных границ. Иными словами, доверительный интервал (н, в ) «покрывает» истинное значение параметра с доверительной вероятно стью P = 1.

Пример 4.2. Получим доверительную оценку a для измеряемой ФВ X N ( x, a, ).

при известной В этом случае случайная величина X а N ( x, 0, 1). По заданному можно из справочных таблиц найти такое число z, что X а z = 2 0 ( z ) = P z (4.28) или P( X z a X + z ) = 2 0 ( z ) = 1. (4.29) ( ) является доверитель Таким образом, случайный интервал X z, X + z ной оценкой a с доверительной вероятностью P = 1 или a = X ± z, P = 1. (4.30) Пример 4.3. Получим доверительную оценку a для измеряемой ФВ X N ( x, a, ) при неизвестной. Поскольку неизвестна, необходимо воспользо X а ваться ее точеной оценкой S. В этом случае случайная величина удовлетворя S (X ) ет t-распределению с n 1 степенями свободы. t-распределение ввел английский ма тематик Госсет, публиковавший свои работы под псевдонимом «Стьюдент» (студент).

Поэтому t-распределение называется также распределением Стьюдента. Интеграль ная функция t-распределения табулирована. По заданному можно из таблиц найти такое число t, n 1, называемое коэффициентом Стьюдента, для которого справед ливо равенство X а t, n 1 = P t, n 1 (4.31) S (X ) или P (X t, n 1S ( X ) a X + t, n 1S ( X )) = 1. (4.32) ( ( )) являет () Таким образом, случайный интервал X t, n 1S X, X + t, n 1S X ся доверительной оценкой a с доверительной вероятностью P = 1 или a = X ± t, n 1S ( X ), P = 1. (4.33) С ростом числа наблюдений n t-распределение стремится к нормальному рас пределению и становится практически неотличимым от него при n 30. Поэтому с помощью коэффициентов Стьюдента можно также проводить доверительные оценки нормально распределенных величин. С этой целью в таблицах всегда указываются t, n 1 при n =. Так, для P = 0,95 t0,05, = 1,96, для P = 0,99 t0,01, = 2,58.

4.2. Характеристики погрешностей измерений Рекомендация МИ 1317–2004 устанавливает следующие альтернатив ные характеристики погрешности измерений:

• СКО погрешности измерений;

• доверительные границы, в пределах которых погрешность измерений находится с заданной доверительной вероятностью;

• характеристики случайной и систематической составляющих погреш ности измерений.

В качестве характеристик случайной составляющей погрешности из мерений используют: СКО случайной составляющей погрешности изме рений и (при необходимости) нормализованную автокорреляционную функцию случайной составляющей погрешности измерений или характе ристики этой функции.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.