авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ...»

-- [ Страница 4 ] --

Характеристиками систематической составляющей погрешности из мерений являются: СКО неисключенной систематической составляющей погрешности измерений или доверительные границы, в которых неисклю ченная систематическая составляющая погрешности измерений находится с заданной доверительной вероятностью (в частности, с вероятностью, равной единице).

При необходимости СКО случайной и (или) неисключенной система тической составляющих погрешности измерений сопровождают указани ем принятой аппроксимации закона распределения погрешностей или его качественным описанием.

Когда результаты данных измерений используют совместно с други ми результатами измерений, а также при расчетах погрешностей величин, функционально связанных с результатами данных измерений (например, критериев эффективности, функций потерь, результатов косвенных изме рений и др.), в качестве характеристик погрешности измерений применя ют, в основном, точечные характеристики погрешности – средние квадра тические отклонения погрешности.

Когда результаты данных измерений являются окончательными, при годными для решения определенной технической задачи и не предназна чены для совместного использования с другими результатами измерений и для расчетов, применяют, в основном, интервальные характеристики по грешности – доверительные границы, в пределах которых погрешность находится с известной (заданной) доверительной вероятностью.

4.2.1. Оценка НСП Как уже упоминалось в п. 4.4, полностью устранить все систематиче ские погрешности измерения невозможно. Поэтому в исправленных ре зультатах наблюдений всегда содержится НСП, которая обусловлена не совершенством методов и средств измерений, а также действием других факторов.

НСП – случайная величина, функция распределения которой, как правило, неизвестна. Во многих случаях можно определить только пре дельные значения i ( i = 1, m ) различных составляющих НСП. Так, если случайные погрешности пренебрежимо малы, в качестве границ состав ляющих НСП принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений. Однако законы рас пределения составляющих НСП часто также неизвестны.

Обычно погрешности выражают через СКО. Поэтому в качестве мо дели составляющих НСП естественно принять закон распределения с наи большим значением СКО. Можно показать, что среди распределений с одним максимумом наибольшим значением СКО обладает равномерный закон, ограниченный предельными погрешностями. Таким образом, руко водствуясь принципом оценивания погрешностей сверху, полагают, что составляющие НСП независимы и имеют равномерное распределение.

Оценку НСП регламентируют РМГ 29–99 и ГОСТ 8.207–76. Границы НСП результата измерения при малом числе составляющих ( m 4 ) мо гут определяться по максимуму:

m = ± i, (4.34) i = где i – граница i-й составляющей НСП. Оценка (4.34) является завышен ной, так как маловероятно, чтобы все составляющие НСП одновременно приняли свои граничные значения. Поэтому при m 4 границы оцени ваются по точечной оценке СКО НСП.

С учетом (3.66) и (3.77) точечная оценка СКО НСП равна i m =. (4.35) i =1 Для приближенных оценок полагают, что НСП характеризуется нормаль ным распределением. Тогда при доверительной вероятности P = 0,95 до верительные границы равны:

i m m = ±t0,05, = ±1,96 i2, m 4.

±1, (4.36) i =1 i = При доверительной вероятности P = 0,99 получаем:

i m m = ±t0,01, = ±2,58 i2, m 4.

±1, (4.37) i =1 i = Когда m 4 и P = 0,99 доверительные границы вычисляются по фор муле:

m i2, = ±K (4.38) i = где K – коэффициент, который зависит от числа слагаемых и определяется по графику, приведенному в ГОСТ 8.207–76.

4.3. Обработка результатов прямых измерений Рассмотрим отдельно прямые равноточные и неравноточные измере ния, а также однократные прямые измерения.

4.3.1. Равноточные измерения Методы обработки результатов прямых равноточных измерений с многократными наблюдениями регламентируются ГОСТ 8.207–76. Если измеряемая ФВ X N ( x, a, ), при статистической обработке группы ре зультатов наблюдений xi ( i = 1, n ) следует выполнить следующие опера ции.

1. Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений xi ( i = 1, n ) (см. п. 3.4) и получить исправленные результаты наблюдений xi ( i = 1, n ).

Вычислить точечную оценку математического ожидания a, т.е. сред 2.

нее арифметическое x исправленных результатов наблюдений xi ( i = 1, n ), принимаемое за результат измерения (см. (4.21)):

1n x = xi. (4.39) n i = Найти отклонения xi результатов отдельных наблюдений xi от x :

3.

xi = xi x, i = 1, n. (4.40) Отклонение xi называется также случайным отклонением или остаточ ной погрешностью. Проверкой правильности определения xi является выражение:

n xi = 0. (4.41) i = Вычислить точечную оценку s СКО результата наблюдения xi 4.

( i = 1, n ) (см. (4.21)):

1n (xi ) s=. (4.42) n 1 i = 5. Если имеются промахи, исключить из ряда результатов наблюдений xi результаты, содержащие грубые погрешности, в соответствии с п. 4.3. Повторить вычисления по пунктам 2-5.

6. Определить точечную оценку s ( x ) СКО результата измерения x (см.

(4.24)) n s s(x ) = (xi ).

= (4.43) n(n 1) i = n Вычислить доверительные границы случайной погрешности (слу 7.

чайной составляющей погрешности) результата измерения. Без учета зна ка (см. (4.33)) = t, n 1s( x ).

(4.44) Значение коэффициента Стьюдента t, n 1 в зависимости от доверительной вероятности P = 1 и числа результатов наблюдений n находят из таблиц.

8. Вычислить без учета знака (отбросить знак «±») границы или довери тельные границы НСП (неисключенных остатков систематической по грешности) результата измерения в соответствии с п. 4.2.1. Доверитель ную вероятность P при вычислении доверительных границ принять той же, что и при вычислении доверительных границ.

Определить доверительные границы погрешности результата изме 9.

рения x :

, 0,8s ( x ) = ks, 0,8s ( x ) 8s ( x ), (4.45), 8s ( x ) где s – точечная оценка суммарного СКО результата измерения x, равная s = + s 2 ( x ).

(4.46) Точечная оценка СКО НСП вычисляется по формуле (4.35). Коэффи циент k зависит от соотношения случайной и неисключенной системати ческой погрешностей и определяется с помощью выражения + k=. (4.47) + s(x ) Доверительные границы погрешности результата измерений – наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничи вающие доверительный интервал, внутри которого с заданной довери тельной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешно сти результата измерений.

При симметричных границах термин может применяться в единст венном числе – доверительная граница. Иногда вместо термина довери тельная граница применяют термин доверительная погрешность или по грешность при данной доверительной вероятности.

Для определения доверительных границ погрешности результата измерения принимают доверительную вероятность P = 0,95. В тех случа ях, когда измерение нельзя повторить, помимо, соответствующих P = 0,95, допускается указывать при P = 0,99. В особых случаях, на пример при измерениях, результаты которых имеют значение для здоро вья людей, допускается вместо P = 0,99 принимать более высокую дове рительную вероятность.

10. Представить в соответствии с МИ 1317–2004 результаты измерений в форме:

x ±, P. (4.48) Числовое значение результата измерения x должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение, причем значение выражают числом, содержащим не более двух значащих цифр.

Пример 4.4. Пусть после обработки результатов измерений постоянного напря жения получены результат измерения U = 12,345 В и доверительные границы (без учета знака) = 0,112 В при P = 0,95. Тогда 0,11 В, U 12,35 В, и результа ты измерения: 12,35 ± 0,11 В, P = 0,95.

Измерения ФВ характеризуются неопределенностью, сходимостью и воспроизводимостью результатов измерений ФВ.

Неопределенность измерений – параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые можно при писать измеряемой ФВ. Параметром может быть стандартное отклонение (или число, кратное ему), а также половина доверительного интервала с указанием доверительной вероятности.

Сходимость результатов измерений ФВ – близость друг к другу ре зультатов измерений одной и той же ФВ, выполненных повторно одними и теми же средствами, одним и тем же методом в одинаковых условиях и с одинаковой тщательностью. Сходимость измерений двух групп много кратных измерений может характеризоваться размахом, средней квадра тической или средней арифметической погрешностью.

Воспроизводимость результатов измерений ФВ – близость результа тов измерений одной и той же ФВ, полученных в разных местах, разными методами, разными средствами, разными операторами, в разное время, но приведенных к одним и тем же условиям измерений (температуре, давле нию, влажности и др.). Воспроизводимость измерений может характери зоваться средними квадратическими погрешностями сравниваемых рядов измерений.

Ряд результатов измерений ФВ X является случайной выборкой объе ма n и характеризуется рассеянием результатов.

Рассеяние результатов в ряду измерений – несовпадение результатов измерений одной и той же ФВ в ряду равноточных измерений, как прави ло, обусловленное действием случайных погрешностей. Количественную оценку рассеяния результатов в ряду измерений вследствие действия слу чайных погрешностей получают после введения поправок на действие систематических погрешностей. Оценками рассеяния результатов в ряду измерений могут быть:

• размах, • средняя арифметическая погрешность (по модулю), • точечные оценки СКО s результатов отдельных наблюдений xi ( i = 1, n ) и СКО s ( x ) результата измерений x, • доверительные границы погрешности (доверительная граница или до верительная погрешность).

Размах результатов измерений – оценка Rn рассеяния результатов единичных измерений ФВ, образующих ряд или случайную выборку объ ема n, вычисляемая по формуле Rn = xmax xmin, (4.49) где xmax и xmin – наибольшее и наименьшее значения ФВ в данном ряду из мерений.

Средняя арифметическая погрешность x ряда наблюдений – сред нее арифметическое модулей случайных отклонений xi ( i = 1, n ):

1n x = xi. (4.50) n i = 4.3.2. Критерии грубых погрешностей Оценка наличия грубых погрешностей (промахов) проводится с по мощью статистической проверки гипотез. Среди результатов наблюдений xi ( i = 1, n ) выбирается результат наблюдения xс, который вызывает сомне ние и рассматривается как наблюдение с промахом из-за большого откло нения xс = xс x по сравнению с отклонениями результатов других на блюдений. Выдвигается гипотеза H0 о том что «сомнительный» результат xс в действительности принадлежит к возможной совокупности получен ных в данных условиях результатов наблюдений. С помощью специаль ных критериев пытаются опровергнуть гипотезу H0. Если это удается, то результат xс исключают. В противном случае результат xс оставляют.

Если измеряемая ФВ X N ( x, a, ), то при n 30 и доверительной вероятности P = 0,9973 значение коэффициента Стьюдента t0,0027, = 3, так что доверительные границы погрешности без учета знака п = 3s. До верительную погрешность п считают предельной погрешностью.

Предельная погрешность измерения в ряду измерений – максимальная доверительная погрешность измерения (плюс, минус), допускаемая для данной измерительной задачи. Поэтому, если xс 3s, (4.51) то результат наблюдения xс содержит грубую погрешность и должен быть исключен из дальнейшей обработки результатов наблюдений. Поскольку s является точечной оценкой СКО, то неравенство (4.51) называется критерием «трех сигм».

Когда n 30, используются другие критерии, с помощью которых можно исключить измерения с промахами. К таким критериям относятся критерии Греббса (Смирнова), Шарлье, Шовене, Диксона и др.

4.3.3. Неравноточные измерения Пусть имеется l групп независимых наблюдений одной и той же ФВ X N ( x, a, ), nj – число наблюдений в j-й группе ( j = 1, l ). При стати стической обработке неравноточных измерений следует выполнить сле дующие операции.

1. Вычислить точечные оценки математического ожидания a, т.е. сред ние арифметические x j исправленных результатов наблюдений xi ( i = 1, n j, j = 1, l ), принимаемых за результаты измерений.

Определить точечные оценки s (x j ) СКО результатов измерения x j 2.

( j = 1, l ).

3. Найти среднее взвешенное значение x ФВ X, принимаемое за резуль тат неравноточных измерений.

Среднее взвешенное значение ФВ – среднее значение ФВ из ряда не равноточных измерений, определенное с учетом веса каждого единичного измерения. Среднее взвешенное значение ФВ называют также средним ве совым. Среднее взвешенное значение ФВ X вычисляется по формуле:

l x = pjxj, (4.52) j = где pj – вес результата измерения x j ( j = 1, l ).

Вес результата измерений ФВ – положительное число, служащее оценкой доверия к тому или иному отдельному результату измерения ФВ, входящему в ряд неравноточных измерений. Поскольку M (x j ) = M ( x ) = a ( j = 1, l ), то из (4.52) следует l p j = 1. (4.53) j = В большинстве случаев принято считать, что веса pj результатов из мерения x j, входящих в ряд неравноточных измерений, обратно пропор циональны квадратам точечных оценок s (x j ) СКО результатов измерения x j ( j = 1, l ), т.е.

1 1 p1 : p2 : K : pl = :2 :K: 2. (4.54) s 2 ( x1 ) s ( x2 ) s ( xl ) Таким образом, с учетом (4.54) 1l pj =. (4.55) 2 (x j ) i =1 s 2 ( xi ) s Определить точечную оценку s ( x ) СКО результата неравноточных 4.

измерений x :

p 2j s 2 (x j ).

l s(x ) = (4.56) j = Вычислить доверительные границы случайной погрешности резуль 5.

тата неравноточных измерений x. Без учета знака = t, n 1s( x ).

(4.57) Число степеней свободы распределения Стьюдента определяется по формуле:

l 2.

n 1 = l (4.58) j =1 n j Найти без учета знака границы или доверительные границы j НСП 6.

результатов измерения x j ( j = 1, l ) (см. п. 4.2.1). Доверительную вероят ность P при вычислении доверительных границ j ( j = 1, l ) принять той же, что и при вычислении доверительных границ. Положить границы или доверительные границы НСП результата неравноточных измерений x равными наибольшими из j ( j = 1, l ):

= max j. (4.59) j =1, l Определить доверительные границы погрешности результата не 7.

равноточных измерений x :

, 0,8s ( x ) = 2 + 2, 0,8s ( x ) 8s ( x ).

(4.60), 8s ( x ) 8. Представить результаты измерений в форме:

x ±, P. (4.61) 4.3.4. Прямые однократные измерения Однократные измерения или измерения с однократным наблюдением проводятся при соблюдении следующих условий:

• исследуемый объект измерения заранее достаточно изучен и есть полная уверенность в адекватности принятой математической модели объекта, • имеется достаточно данных об измеряемой и влияющих физических величинах, • известно, что случайная составляющая погрешности результата изме рения несущественна по сравнению с систематической или находится в пределах допустимого интервала.

Выполнение данных условий, т.е. наличие исчерпывающей первич ной (априорной) информации об измерительной задаче, обеспечивает схо димость и воспроизводимость измерений с однократными наблюдениями.

Если измеряемая ФВ X N ( x, a, ), при обработке результатов изме рения с однократным наблюдением x следует выполнить следующие операции.

1. Исключить известные систематические погрешности из результата наблюдения x (см. п. 3.4), получить исправленный результат наблюдения x.

2. Принять за результат измерения исправленный результат наблюдения x.

Вычислить без учета знака границы или доверительные границы 3.

НСП при выбранной доверительной вероятности P результата измерения x в соответствии с п. 4.2.1.

4. По известной точечной оценке s СКО результата измерения x опре делить без учета знака доверительные границы случайной погрешности результата измерения x:

= t, s.

(4.62) Доверительную вероятность P = 1 при вычислении доверительных границ принять той же, что и при вычислении доверительных границ.

Определить доверительные границы погрешности результата 5.

измерения x:

, 0,5s = 0,8( + ), 0,5s 8s.

(4.63), 8s 6. Представить результаты измерений в форме:

x ±, P. (4.64) 4.4. Косвенные измерения Косвенные измерения ФВ Q определяются выражением q = f ( x1, x2,..., xm ), (4.65) где аргументы xi ( i = 1, m ) – результаты прямых измерений физических ве личин Xi ( i = 1, m ), связанные известной функциональной зависимостью f с результатом q косвенных измерений ФВ Q. Так как аргументы содержат погрешности, то и результат косвенных измерений также будет содержать погрешность.

Пусть q – действительное значение ФВ Q, – погрешность косвен ных измерений, xi и i – действительное значение и погрешность прямых измерений ФВ Xi ( i = 1, m ). Тогда (4.65) представимо в виде q + = f ( x1 + 1, x2 + 2,..., xm + m ). (4.66) Если i xi 1 ( i = 1, m ), можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора и ограничиться линейными членами:

m f q + = f ( x1, x2,..., xm ) + x i, (4.67) i =1 i f где значения частных производных x ( i = 1, m ) вычисляются при под i становке x1, x2,..., xm. Из (4.67) следует, что q = f ( x1, x2,..., xm ), (4.68) f m = i. (4.69) i =1 xi Так как = сис + сл, i = сисi + слi, где сис и сл – систематиче ская и случайная погрешности результата косвенных измерений ФВ Q, сисi и слi – систематическая и случайная погрешности результата пря мых измерений Xi ( i = 1, m ), (4.69) распадается на два равенства m f сис = x сисi, (4.70) i =1 i m f сл = x слi. (4.71) i =1 i Поскольку сисi исключаются из результатов прямых измерений, то сис = 0. Случайные погрешности оцениваются по величине СКО. Возве дем (4.71) в квадрат, и определим математическое ожидание от левой и правой частей выражения. Получим:

f f () () f m x x M ( слi слj ).

m = M 2 + 2 (4.72) M xi сл слi i =1 i, j =1 i j i j () () Так как M ( сл ) = 0 и M ( слi ) = 0, то M 2 = D 2 = 2 (СКО слу сл сл чайной погрешности результата косвенных измерений ФВ Q), () () M 2 = D 2 = i2 (СКО случайной погрешности результата ФВ Xi).

слi слi Поэтому f f f 2 m x x M ( слi слj ).

m = i + (4.73) x i =1 i i, j =1 i j i j Если случайные погрешности физических величин Xi ( i = 1, m ) не за висят друг от друга, то M ( слi слj ) = M ( слi )M ( слj ) = 0 и в этом случае f m 2 = i2. (4.74) i =1 xi 4.4.1. Обработка косвенных измерений с многократными наблюдениями Методы обработки результатов косвенных измерений с многократ ными наблюдениями регламентируются МИ 2083–90. Пусть проведены косвенные измерения ФВ Q, определяемые выражением (4.65), причем физические величины X i N ( x, ai, i ) ( i = 1, m ), • • случайные погрешности Xi не зависят друг от друга, • прямые измерения каждой ФВ Xi включают ni наблюдений, результа ты которых ( xi )k ( k = 1, ni ).

При статистической обработке результата косвенных измерений с многократными наблюдениями следует выполнить следующие операции.

1. Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений ( xi )k ( k = 1, ni, i = 1, m ) и получить исправленные результаты наблюдений ( xi )k.

2. Вычислить точечные оценки математических ожиданий ai, т.е. сред нее арифметические xi ( i = 1, m ) исправленных результатов наблюдений (xi )k ( k = 1, ni ) ni (xi )k.

xi = (4.75) ni k = Найти отклонения ( xi )k результатов отдельных наблюдений ( xi )k от xi :

3.

( xi )k = ( xi )k xi k = 1, ni, i = 1, m. (4.76) Вычислить точечную оценку si СКО i результата наблюдения ( xi )k :

4.

1 ni [(xi )k ].

si = (4.77) ni 1 k = 5. Если имеются промахи, исключить из ряда результатов наблюдений (xi )k результаты, содержащие грубые погрешности, в соответствии с п.

4.3.2. Повторить вычисления по пунктам 2-5.

6. Определить точечные оценки s ( xi ) средних квадратических отклоне ний результатов прямых измерений xi :

ni s [(xi )k ] s ( xi ) = i = i = 1, m.

(4.78) ni (ni 1) k = ni 7. Принять за результат q косвенного измерения ФВ Q значение, вы числяемое с помощью (4.68), т.е. при подстановке в функцию f результа тов прямых измерений xi.

Вычислить точечную оценку s (q ) СКО результата косвенного изме 8.

рения q (см. (4.74)):

f m m s (q ) = s ( xi ) = E 2 (xi ).

(4.79) i =1 xi i = f Величина E ( xi ) = s ( xi ) называется частной погрешностью косвен xi ного измерения.

Определить доверительные границы случайной погрешности ре 9.

зультата измерения косвенного измерения q. Без учета знака = t, N s(q ), (4.80) где «эффективное » число N степеней свободы распределения Стьюдента находится из выражения:

m m E 4 ( xi ) E 4 ( xi ) m N = E ( xi ) 2 n +1.

(4.81) ni + i =1 i =1 i =1 i 10. Вычислить без учета знака границы или доверительные границы НСП результата косвенного измерения q. Доверительную вероятность P при вычислении доверительных границ принять той же, что и при вы числении доверительных границ. Границы и доверительные границы:

m f i,m xi i = =, (4.82) m f K i, m i =1 xi где i – граница НСП прямых измерений ФВ Xi ( i = 1, m ), коэффициент 1,1 P = 0, K =. (4.83) 1,4 P = 0, при m 4 являются границами НСП, а при m 4 – доверительными границами, так как K зависит от значения доверительной вероятности.

11. Определить доверительные границы погрешности результата кос венного измерения q :

, 0,8s (q ) = 2 + 2, 0,8s (q ) 8s (q ).

(4.84), 8s (q ) 12. Представить результаты измерений в форме:

q ±, P. (4.85) 4.4.2. Критерий ничтожных погрешностей Частные погрешности E ( xi ) вносят различный вклад в формирование значения точечной оценки s (q ) СКО результата косвенного измерения q.

Поскольку значение доверительных границ погрешности округляется до двух значащих цифр, то некоторые частные погрешности могут не оказы вать заметного влияния на значение s (q ). Такими частными погрешно стями можно пренебречь.

Частная погрешность E ( xm +1 ) называется ничтожной (ничтожно ма лой), если она изменит значение s (q ) не более, чем на 5%. Согласно (4.79) справедливо неравенство:

m E 2 (xi ) + E 2 (xm +1 ) 1,05s(q ).

(4.86) i = Возведем обе части неравенства (4.86) в квадрат, и после преобразования и округления получим:

E ( xm +1 ) s (q ).

(4.87) Условие (4.87) называется критерием ничтожных погрешностей: ес ли частная погрешность меньше s (q ), то она является ничтожной и мо жет быть исключена из рассмотрения. Критерий ничтожных погрешно стей применим также и при оценке границ НСП (см. (4.82)).

4.4.3. Обработка косвенных измерений с однократным наблюдением Косвенные измерения ФВ с однократным наблюдением проводятся также при наличии исчерпывающей первичной информации об измери тельной задаче (см. п. 4.3.4). Пусть проведены косвенные измерения ФВ Q, определяемые выражением (4.65), причем физические величины X i N ( x, ai, i ) ( i = 1, m ), • • случайные погрешности Xi не зависят друг от друга, • прямое измерение каждой ФВ Xi включает одно наблюдение.

При обработке результата косвенного измерения с однократным на блюдением следует выполнить следующие операции.

1. Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений xi физических величин Xi ( i = 1, m ) и получить исправленные результаты наблюдений xi.

2. Принять за результат q однократного косвенного измерения значение, вычисляемое с помощью (4.65), т.е. при подстановке в функцию f исправ ленных результатов наблюдений xi ( i = 1, m ).

3. Вычислить с помощью (4.82) без учета знака границы или довери тельные границы НСП при выбранной доверительной вероятности P ре зультата однократного косвенного измерения q.

4. По известным точечным оценкам средних квадратических отклоне ний СКО si результатов наблюдений xi найти точечную оценку s (q ) СКО результата однократного косвенного измерения q:

f m m s (q ) = Ei2.

x si = (4.88) i =1 i = i Определить без учета знака доверительные границы случайной по 5.

грешности результата измерения x:

= t, s(q ).

(4.89) Доверительную вероятность P = 1 при вычислении доверительных границ принять той же, что и при вычислении доверительных границ.

Вычислить доверительные границы погрешности результата изме 6.

рения x:

, 0,5s (q ) = 0,8( + ), 0,5s (q ) 8s (q ).

(4.90), 8s (q ) 7. Представить результаты измерений в форме:

q ±, P. (4.91) Пример 4.5. С помощью вольтметра V и резистора R проведены однократные косвенные измерения силы тока I (рис. 4.1). Результат измерения напряжения U = 65 мВ, предельное значение шкалы вольтметра U max = 100 мВ, входное сопро U = ±5 % (неточ тивление вольтметра RV = 1 МОм, класс точности вольтметра U ). Номинальное сопротивление ность значения RV учитывается классом точности R = ±2 %. Определим резуль резистора R = 5 Ом, допуск резистора R составляет таты косвенных измерений, если случайные погрешности пренебрежимо малы, а из вестные систематические погрешности из результатов наблюдений исключены.

  RV V IV R IR I Рис. 4.1. Косвенные измерения силы тока 1. Сила тока UU I = IV + I R = + = 13,0001 мА, (4.92) RV R где IV – сила тока, протекающего через вольтметр, I R – сила тока, протекающего через резистор R. Таким образом, I = I (U, R ), т.е. является функцией двух перемен ных.

2. Поскольку случайные погрешности пренебрежимо малы, границы основных по грешностей вольтметра и резистора, определяемые классом точности и допуском, яв ляются границами неисключенных систематических погрешностей.

2.1. Без учета знака границы НСП вольтметра:

U = 0,01 U U max = 0,01 5 100 = 5 мВ. (4.93) 2.2. Без учета знака границы НСП резистора R:

R = 0,01 R R = 0,01 2 5 = 0,1 Ом. (4.94) 2.3. Так как число аргументов m = 2 4, определим без учета знака границы НСП косвенных измерений силы тока (см. (4.82)) 1 I I U R = + U + 2 R = 1,26 мА. (4.95) I = U + R U R R V R Поскольку случайные погрешности пренебрежимо малы, границы погрешно 3.

сти результата косвенных измерений силы тока (см. (4.90)):

= I = 1,26 1,3 мА. (4.96) 4. Результаты однократных косвенных измерений силы тока:

13,0 ± 1,3 мА. (4.97) 4.5. Совместные измерения Совместные измерения физических величин проводятся с целью ус тановления функциональной зависимости между величинами. При оты скании такой зависимости двух физических величин y и x выполняются одновременно их многократные измерения и формируются пары значений ( yi, xi ) ( i = 1, n ), где yi, xi и – результаты i-го измерения величин y и x. Так как результаты измерений yi, xi содержат погрешности, то пары значений ( yi, xi ) не будут принадлежать истинной функциональной зависимости y = f ( x ), а будут рассеваться относительно нее.


Мерой рассеяния результатов измерений ( yi, xi ) относительно истин ной зависимости является дисперсия. Наиболее точной оценкой зависимо сти y = f ( x ) будет такая зависимость y = f ( x ), при которой дисперсия пар значений ( yi, xi ) относительно y = f ( x ) будет минимальной. Для оценки n (yi ) дисперсии необходимо вычислить сумму квадратов отклонений, i = n (yi ) где yi = yi f ( xi ). Минимальной будет соответствовать мини i = мальная дисперсия. Метод, с помощью которого отыскивается оценка n (yi ) y = f ( x ) истинной зависимости y = f ( x ) путем минимизации, i = называется методом наименьших квадратов (МНК).

Если погрешности результатов измерения xi ( i = 1, n ) пренебрежимо малы, систематические погрешности результатов измерения yi ( i = 1, n ) исключены, ФВ y принадлежит нормальному распределению и случайные погрешности результатов измерений yi независимы, то с помощью МНК можно вычислить наиболее правдоподобные точечные оценки параметров истинной зависимости y = f ( x ). На практике указанные условия выпол няются редко, и МНК является удобным аналитическим способом расчета параметров зависимости y = f ( x ).

Рассмотрим применение МНК на примере линейной зависимости ме жду y и x. В этом случае y = f ( x ) = a + bx, y = f ( x ) = a + bx, (4.98) где a и b – точечные оценки параметров a и b истинной зависимости ме жду y и x. Сумма квадратов отклонений () ( ) n n S a, b = (yi )2 = yi a bxi (4.99) i =1 i = будет минимальна, если () () S a, b S a, b = 0, = 0. (4.100) a b После дифференцирования получим систему уравнений:

n n x = y an + b i i i =1 i =. (4.101) n n n a x + b x 2 = x y i ii i i =1 i =1 i = 1n 1n Разделим первое уравнение системы на n и введем x = xi, y = yi.

n i =1 n i = Тогда система (4.101) преобразуется к виду a + b x = y. (4.102) n n x 2 = x y anx + b i ii i =1 i = Решая систему (4.102), получим n xi yi nx y i = b=, a = y bx.

(4.103) n xi2 nx i = На рис. 2.1 представлена экспериментальная зависимость значения со противления R резистора от температуры t: точки (Ri, ti ) ( i = 1, 5 ) и прямая R = 0,177t + 601,6. Параметры прямой a = 0,177 Ом/°С и b = 601,6 Ом получены с помощью МНК.

Приложение А Таблица А. Множители и приставки, используемые для образования наименований и обозначений десятичных кратных и дольных единиц SI Десятичный Приставка Обозначение приставки множитель международное русское 1024 иотта Y И 2021 зетта Z З 1018 экса Е Э 1015 пета Р П 1012 тера Т Т 109 гига G Г 103 кило k к 102 гекто h г 101 дека da да 10-1 деци d д 10-2 санти с с 10-3 милли m м 10-6 микро µ мк 10-9 нано n н 10-12 пико p п 10-15 фемто f ф 10-18 атто а а 10-21 зепто z з 10-24 иокто y и Приложение Б Таблица Б. Фундаментальные физические постоянные Фундаментальные постоянные Значения, выраженные в SI G = 6,6720·10–11 Н·м2/кг Гравитационная постоянная G c = 2,99792458·108 м/с Скорость света в вакууме c Магнитная постоянная µ0 µ0 = 1,25663706144·10–6 Гн/м Электрическая постоянная 0 0 = 8,85418782·10–12 Ф/м Элементарный заряд e = 1,6021892·10–19 Кл (заряд электрона) e NA = 6,022045·1023 моль– Постоянная Авогадро NA Постоянная Фарадея F F = 96484,56 Кл/моль 1 а.е.м. = 1,660566·10–27 кг Атомная единица массы а.е.м.

me = 9,109534·10–31 кг Масса покоя электрона me mp = 1,6726485·10–27 кг Масса покоя протона mp mn = 1,6749543·10–27 кг Масса покоя нейтрона mn h = 6,626176·10–34 Дж·с Постоянная Планка h и h h = h/2 = 1,0545887·10–34 Дж·с Объем 1 моля идеального газа при V0 = 22,41383·10–3 м3/моль нормальных условиях V Универсальная газовая постоянная R = 8,31441 Дж/(моль·К) (молярная газовая постоянная) R kБ = 1,380662·10–23 Дж/К Постоянная Больцмана kБ Приложение В Таблица В. Основные единицы SI Величина Единица Наименование Размерность Наименование Обозначение международное русское Длина L метр m м Масса М килограмм kg кг Время Т секунда s с Сила электрического I ампер А А тока Термодинамическая кельвин К К температура Количество вещества N моль mol моль Сила света J кандела cd кд Метр есть длина пути, проходимого светом в вакууме за интервал времени 1/299792458 с [ХVII ГКМВ (1983 г.) Резолюция 1].

Килограмм есть единица массы, равная массе международного прото типа килограмма [I ГКМВ (1889 г.) и III ГКМВ (1901 г.)].

Секунда есть время, равное 9192631770 периодам излучения, соответ ствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного со стояния атома цезия-133 (133Cs ) [XIII ГКМВ (1967 г.), Резолюция 1].

Ампер есть сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположен ным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 210-7 Н [МКМВ (1946 г.), Резолюция 2, одобренная IX ГКМВ (1948 г.)].

Продолжение прил. В Кельвин есть единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды [XIII ГКМВ (1967 г.), Резолюция 4].

Моль есть количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг. При применении моля структурные элементы должны быть спе цифицированы и могут быть атомами, молекулами, ионами, электронами и другими частицами или специфицированными группами частиц [XIV ГКМВ (1971 г.), Резолюция 3].


Кандела есть сила света в заданном направлении источника, испус кающего монохроматическое излучение частотой 5401012 Гц, энергетиче ская сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср [XVI ГКМВ (1979 г.), Резолюция 3].

Примечания.

1. Кроме термодинамической температуры (обозначение Т) в SI допускается при менять также температуру Цельсия (обозначение t), определяемую выражением t = T – T0, где Т0 = 273,15 К. Термодинамическую температуру выражают в Кельвинах, температуру Цельсия – в градусах Цельсия. По размеру градус Цельсия равен кельви ну. Градус Цельсия – это специальное наименование, используемое в данном случае вместо наименования «кельвин».

2. Интервал или разность термодинамических температур выражают в кельвинах.

Интервал или разность температур Цельсия допускается выражать как в кельвинах, так и в градусах Цельсия.

3. Обозначение Международной практической температуры в МТШ-90, если ее необходимо отличить от термодинамической температуры, образуется путем добав ления к обозначению термодинамической температуры индекса «90» (например, Т или t90).

Продолжение прил. В Таблица В. Производные единицы SI, наименования и обозначения которых образованы с использованием наименований и обозначений основных единиц SI Величина Единица Наименование Размерность Наименование Обозначение международное русское m2 м L Площадь квадратный метр m3 м L Объем, вместимость кубический метр LT– Скорость метр в секунду m/s м/с метр на секунду в LT–2 m/s2 м/с Ускорение квадрате метр в минус L–1 m–1 м- Волновое число первой степени килограмм на L–3M kg/m3 кг/м Плотность кубический метр кубический метр L3M–1 m3/kg м3/кг Удельный объем на килограмм Плотность ампер на L–2I А/m2 А/м электрического тока квадратный метр Напряженность L–1I ампер на метр А/m А/м магнитного поля Молярная моль на L–3N mol/m3 моль/м концентрация кубический метр компонента кандела на L–2J cd/m2 кд/м Яркость квадратный метр Продолжение прил. В Таблица В. Производные единицы SI, имеющие специальные наименования и обозначения Величина Единица Наименование Размерность Наименование Обозначение международное русское 1 2 3 4 Плоский угол радиан rad рад l Телесный угол стерадиан sr ср l Частота герц Hz Гц Т– Сила ньютон N Н LMT– Давление паскаль Ра Па L-1MT– Энергия, работа, джоуль J Дж L2MT– количество теплоты Мощность ватт W Вт L2MT– Электрический заряд, кулон С Кл TI количество электричества Электрическое вольт V В L2MT–3I– напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая сила Электрическая фарад F Ф L–2M–1T4I емкость Электрическое ом Ом L2MT–3I– сопротивление Электрическая сименс S См L–2M–1T3I проводимость Продолжение прил. В Окончание таблицы В. 1 2 3 4 Поток магнитной вебер Wb Вб L2MT–2I– индукции, магнитный поток Плотность магнитного тесла Т Тл МТ–2I– потока, магнитная индукция Индуктивность, генри Н Гн L2MT–2I– взаимная индуктивность °С °С Температура Цельсия градус Цельсия Световой поток люмен lm лм J Освещенность люкс lх лк L–2J Активность нуклида в беккерель Bq Бк Т– радиоактивном источнике (активность радионуклида) Поглощенная доза грэй Gy Гр L2T– ионизирующего излучения, керма Эквивалентная доза зиверт Sv Зв L2T– ионизирующего излучения, эффективная доза ионизирующего излучения Активность катал kat кат NT– катализатора Продолжение прил. В Таблица В. Производные единицы SI, наименования и обозначения которых образованы с использованием специальных наименований и обозначений, указанных в таблице В. Величина Единица Наименование Размерность Наименование Обозначение международное русское 1 2 3 4 Момент силы ньютон-метр L2MT–2 N·m Н·м Поверхностное ньютон на МТ2 N/m H/м натяжение метр Динамическая паскаль L–1MT–1 Pa·s Па·с вязкость секунда Пространственная кулон на L–3TI C/m3 Кл/м плотность кубический электрического метр заряда Электрическое кулон на L–2TI C/m2 Кл/м смещение квадратный метр Напряженность вольт на метр LMT–3I–1 V/m В/м электрического поля Диэлектрическая фарад на метр L–1M–1T4I2 F/m Ф/м проницаемость Магнитная генри на метр LMT–2I–2 H/m Гн/м проницаемость Удельная энергия джоуль на L2T–2 J/kg Дж/кг килограмм Теплоемкость джоуль на L2MT–2–1 J/K Дж/К системы, кельвин энтропия системы Окончание прил. В Окончание таблицы В. 1 2 3 4 Удельная джоуль на L2T–2–1 J/(kg·K) Дж/(кг·К) теплоемкость, килограмм удельная энтропия кельвин Поверхностная ватт на МТ–3 W/m2 Вт/м плотность потока квадратный энергии метр Теплопроводность ватт на LMT–3–1 W/(m·K) Вт/(м·К) метр-кельвин Молярная внутренняя джоуль на L2MT–2N–1 J/mol Дж/моль энергия моль Молярная энтропия, джоуль на L2MT–2–1N–1 J/(mol·K) Дж/(моль·К) молярная моль-кельвин теплоемкость Экспозиционная доза кулон на M–1TI C/kg Кл/кг фотонного излучения килограмм (экспозиционная доза гамма- и рентгеновского излучений) Мощность грэй в L2T–3 Gy/s Гр/с поглощенной дозы секунду Угловая скорость радиан в Т–1 rad/s рад/с секунду Угловое ускорение радиан на Т–2 rad/s2 рад/с секунду в квадрате Сила излучения ватт на L2MT–3 W/sr Вт/ср стерадиан Энергетическая ватт на МТ–3 W/(srm2) Вт/(срм2) яркость стерадиан квадратный метр Приложение Г Таблица Г.

Соотношения между единицами длины o Единица м икс-ед. дюйм фут м. миля A 1010 1013 5,4·10– 1м 1 39,4 3, o 10–10 103 3,94·10–9 3,28·10–10 5,4·10– 1A 10–13 10–3 3,94·10–12 3,28·10–13 5,4·10– 1 икс-ед. 2,54·10–2 2,54·108 2,54·1011 8,33·10–2 1,37·10– 1 дюйм 3,05·109 3,05·1012 1,65·10– 1 фут 0,305 12 1,85·103 1,85·1013 1,85·1016 7,29·104 6,08· 1 м. миля Таблица Г. Соотношения между единицами силы Единица Н дин кгс 1Н 1 0, 10–5 0,10197·10– 1 дин 9,80665· 1 кгс (килограмм-сила) 9,80665 Таблица Г. Соотношения между единицами давления дин/см Единица Па бар атм мм рт. ст 10–5 9,87·10–6 7,5·10– 1 Па 1 1 дин/см2 (мкбар) 10–6 9,87·10–7 7,5·10– 0,1 105 106 7,5· 1 бар 1 0, 1,01·105 1,01·106 7,6· 1 атм 1,01 1,33·102 1,33·103 1,33·10–2 1,32·10– 1 мм рт. ст Окончание прил. Г Таблица Г. Соотношения между единицами работы и энергии Единица Дж эрг кал кВт·ч 107 2,78·10– 1 Дж 1 0, 10–7 2,39·10–8 2,78·10– 1 эрг 4,19·107 1,16·10– 1 кал 4,19 3,6·106 3,6·1013 8,6· 1 кВт·ч (киловатт-час) Таблица В. Соотношения между единицами мощности Единица Вт эрг/с кал/с л.с.

107 1,36·10– 1 Вт 1 0, 10–7 2,39·10–8 1,36·10– 1 эрг/с 4,19·107 5,69·10– 1 кал/с 4,19 7,36·102 7,36·109 1,75· 1 л.с. Приложение Д Таблица Д. Основные реперные (постоянные) точки МТШ- Состояние фазового равновесия Значение температуры °С К Тройная точка равновесного водорода 13,8033 –259, Точка кипения равновесного водорода при давлении 17 –256, 33,330 кПа (250 мм рт. ст.) 20,3 –252, Точка кипения равновесного водорода Тройная точка неона 24,5561 –248, Тройная точка кислорода 54,3584 –218, Тройная точка аргона 83,8058 –189, Тройная точка ртути 234,3156 –38, Тройная точка воды 273,16 0, Точка плавления галлия 302,9146 29, Точка затвердевания индия 429,7485 156, Точка затвердевания олова 505,078 231, Точка затвердевания цинка 692,677 419, Точка затвердевания алюминия 933,473 660, Точка затвердевания серебра 1234,93 961, Точка затвердевания золота 1337,33 1064, Точка затвердевания меди 1357,77 1084, Значения температур в таблице Д.1 даны для состояния равновесия при давле нии, равном 101,325 кПа (760 мм рт. ст.), за исключением тройных точек.

Тройная точка – равновесие между твердой, жидкой и парообразной фазами вещества.

Точка кипения – равновесие между жидкой и парообразной фазами вещества.

Точка плавления или затвердевания – равновесие между твердой и жидкой фа зами вещества, при котором начинается его плавление или затвердевание.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и уча щихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. – 13-е изд., исправлен ное. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 544 с.

2. Дворяшин, Б. В. Метрология и радиоизмерения : учебное пособие для вузов / Б. В. Дворяшин. – М. : Академия, 2005. – 297 с.

3. ГОСТ 8.417–2002. ГСИ. Единицы величин. – Минск, 2002.

4. ГОСТ 8.157–75. ГСИ. Шкалы температурные практические. – М., 1975.

5. ГОСТ 8.009–84. ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений. – М., 1984.

6. ГОСТ 8.401–80. ГСИ. Классы точности средств измерений. Общие требования. – М., 1980.

7. ГОСТ 8.207–76. ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюде ниями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положе ния. – М. : ИПК Издательство стандартов, 1976.

8. ГОСТ 22261–94. Средства измерения электрических и магнитных ве личин. Общие технические условия. – Минск: МГС по стандартизации, метрологии и сертификации, 1994.

9. Метрология и радиоизмерения : учебник для вузов / под редакцией В. И. Нефедова. – 2-е изд., перераб. – М. : Высш. шк., 2006. – 526 с.

10. Метрология, стандартизация и технические измерения: методические указания / сост. Г. А. Новиков, – Ульяновск : УлГТУ, 2009. – 60 с.

11. МИ 2083–90. ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей. – М., 1991.

12. МИ 2365–96. ГСИ. Шкалы измерений. Основные положения. Терми ны и определения. – М., 1996.

13. МИ 1317–2004. ГСИ. Результаты и характеристики погрешности из мерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров. – М., 2004.

14. Радкевич, Я. М. Метрология, стандартизация и сертификация : учеб ник для вузов / Я. М. Радкевич, А. Г. Схиртладзе, Б. И. Лактионов. – М. :

Высш. шк., 2004. – 767 с.

15. РМГ 29–99. Государственная система обеспечения единства измере ний. Метрология. Основные термины и определения. – Минск: МГС по стандартизации, метрологии и сертификации, 2000.

16. Сена, Л. А. Единицы физических величин и их размерности: учебно справочное руководство / Л. А. Сена. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. :

Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 432 с.

17. Сергеев, А. Г. Метрология. Стандартизация. Сертификация : учебное пособие для вузов / А. Г. Сергеев, М. В. Латышев, В. В. Терегеря. – 2-e изд., перераб. и доп. – М. : Логос, 2005. – 559 с.

Учебное издание НОВИКОВ Глеб Анатольевич ОСНОВЫ МЕТРОЛОГИИ Учебное пособие Подписано в печать 09.08.2010. Формат 6084/16.

Усл. печ. л. 10,70. Тираж 75 экз.

Ульяновский государственный технический университет 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец,

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.