авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

ISSN 1512–1712

Академия Наук Грузии

Институт Кибернетики

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА

И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Том 55

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Тбилиси

2008

Редакционная коллегия

Главный редактор:

Р. В. Гамкрелидзе (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН)

Заместитель главного редактора:

Г. Харатишвили (Институт кибернетики Академии наук Грузии) Члены редколлегии:

А. А. Аграчев (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, SISSA) Г. Гиоргадзе (Институт кибернетики Академии наук Грузии) Е. С. Голод (Московский государственный университет) И. Т. Кигурадзе (Математический институт им. А. Размадзе Академии наук Грузии) А. Лашхи (Грузинский технический университет) Е. Ф. Мищенко (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН) А. В. Овчинников (Московский государственный университет) В. Л. Попов (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН) А. В. Сарычев (Университет Флоренции) Г. Химшиашвили (Математический институт им. А. Размадзе Академии наук Грузии) Г. Г. Чоговадзе (Академия наук Грузии) c Институт кибернетики Академии наук Грузии, СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Е. В. Радкевич Уравнения с неотрицательной характеристической формой. I Современная математика и ее приложения. Том 55 (2008). С. 3– УДК 517.951,517.956,517.983.36,517.983. УРАВНЕНИЯ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ. I c 2008 г. Е. В. РАДКЕВИЧ АННОТАЦИЯ. Книга, состоящая из двух томов, посвящена уравнениям с частными производными вто рого порядка (в основном, рассматриваются уравнения с неотрицательной характеристической фор мой). Изложен ряд вопросов качественной теории (например, локальная гладкость и гипоэллиптич ность).

СОДЕРЖАНИЕ Глава 1. Первая краевая задача................................... 1. Обозначения. Вспомогательные результаты. Формулировка первой краевой задачи... 2. Априорные оценки в пространствах Lp ().......................... 3. Существование решения первой краевой задачи в пространствах Lp ()......... 4. Существование слабого решения первой краевой задачи в гильбертовом пространстве.

5. Решение первой краевой задачи методом эллиптической регуляризации......... 6. Теоремы единственности для слабых решений первой краевой задачи.......... 7. Лемма о неотрицательных квадратичных формах...................... 8. О гладкости слабых решений первой краевой задачи. Условия существования решений с ограниченными производными................................ 9. Об условиях существования решения первой краевой задачи в пространствах С. Л. Со болева............................................... Глава 2. О локальной гладкости слабых решений и гипоэллиптичности дифференциальных уравнений второго порядка............................... 1. Пространства Hs......................................... 2. Некоторые свойства псевдодифференциальных операторов................. 3. Леммы о коммутаторах..................................... 4. Необходимое условие гипоэллиптичности........................... 5. Достаточные условия локальной гладкости слабых решений и гипоэллиптичности диф ференциальных операторов................................... 6. Априорные оценки и теоремы гипоэллиптичности для операторов Х рмандера..... е 7. Априорные оценки и теоремы гипоэллиптичности для общих дифференциальных урав нений второго порядка..................................... 8. О решении первой краевой задачи в негладких областях. Метод М. В. Келдыша.... Список литературы....................................... Памяти моего учителя Ольги Арсеньевны Олейник Том II будет опубликован позднее и содержит главы 3–6.

Основная часть этой книги содержится в публикации под тем же названием в серии Итоги науки и техники (ВИНИТИ, 1971), в дополненном ее издании Американским Математическим Обществом (1973) и в совместных работах с О. А. Олейник, написанных в 1974–1978 годах. Ав тор благодарен Ревазу Валерьяновичу Гамкрелидзе за возможность публикации статьи к юбилею Ольги Арсеньевны Олейник двумя выпусками (первый — главы 1, 2;

второй — главы 3–6).

Цель этих работ — разработать и представить основание общей теории уравнений второго поряд ка с неотрицательной характеристической формой. За прошедшие годы идеи и методы, на которых c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– 4 ВВЕДЕНИЕ основаны эти публикации, нашли многочисленные применения в математической физике и дру гих областях. В особенности следует отметить приложение этих методов в теории пограничного слоя и интерес к ним в последние годы в финансовой математике (см. [27]) и гидродинамике (см. [224, 225]), что показало — интерес к изложенным в этих статьях методам не исчерпан. По следнее привело к мысли об их переиздании, приуроченном к юбилею О. А. Олейник. Обнаружен ные во всех этих примерах факты потенциально имеют широкий круг приложений, но поскольку изложены лишь в специальной литературе, то включение новых добавлений по результатам сов местных работ с О. А. Олейник и прежде всего метода введения параметра для исследования эволюционных уравнений (см. [98]) и метода аналитичности решений линейных уравнений с част ными производными (см. [94]) было оправданным. Эти добавления рассчитаны на любознательного читателя, и некоторые из них могут составить основу специальных курсов.

ВВЕДЕНИЕ Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой представляют собой новую ветвь теории дифференциальных уравнений в частных производных, возникшую в конце 20-х годов и особенно интенсивно развивающуюся в последнее время.

Уравнение вида L(u) akj (x)uxk xj + bk (x)uxk + c(x)u = f (x) (1) называется уравнением второго порядка с неотрицательной характеристической формой на мно жестве G, если в любой точке x, принадлежащей G, выполняется соотношение akj (x)k j 0 для всякого вектора = (1,..., m ). В уравнении (1) предполагается, что по повторяющимся индексам происходит суммирование от 1 до m и x = (x1,..., xm ). Такие уравнения также иногда называются вырождающимися эллиптическими уравнениями или эллиптико-параболическими уравнениями.

Этот класс уравнений включает уравнения эллиптического и параболического типов, уравнения первого порядка, ультрапараболические уравнения, уравнения броуновского движения и другие.

Цель этой книги — разработать и представить основания общей теории уравнений второго по рядка с неотрицательной характеристической формой.

Специальные классы уравнений вида (1), не совпадающих с хорошо изученными уравнениями эллиптического и параболического типов, изучаются уже давно, в частности, в статье Пиконе [223], опубликованной 60 лет тому назад.

Мемуары Трикоми [247] так же, как и последующие исследования уравнений смешанного типа, привлекли интерес к изучению эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области, т.е. уравнений вида (1) с тем условием, что akj (x)k j 0 при = 0 в точках области и akj (x)k j 0 для всех в точках ее границы.

Статья М. В. Келдыша [52], вышедшая в 1951 г., положившая начало целому ряду статей, сы грала важную роль в развитии этой теории. Именно в этой статье Келдыш впервые пролил свет на тот факт, что в случае эллиптических уравнений, вырождающихся на границе, при некото рых предположениях часть границы может быть свободна от задания граничных условий. Многие работы, продолжающие исследования, начатые в статье Келдыша, были посвящены изучению кра евых задач для эллиптических уравнений произвольного порядка, вырождающихся на границе.

В этих исследованиях применялись различные методы, используемые ранее в теории эллиптиче ских уравнений и других областях теории уравнений с частными производными (обзор некоторых из этих статей можно найти в книге [117]). В связи с методами функционального анализа, при меняемыми к изучению эллиптических уравнений, вырождающихся на границе, возникла теория функциональных пространств с весовыми нормами, для которых были получены теоремы вло жения, аналогичные теоремам вложения Соболева (см. [11, 57, 70] и др.). Недавно появились ис следования псевдодифференциальных уравнений, вырождающихся на подмногообразиях, лежащих внутри области или на ее границе (эта ситуация рассматривается в статьях [12–14,33,62,63] и др.).

Методы теории псевдодифференциальных уравнений во многих случаях привели к почти опреде ленным результатам для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе, и, в частности, к значительному продвижению в изучении классической проблемы Пуанкаре о косой производной (см. [33, 62, 63]).

ВВЕДЕНИЕ Мы изучим общие уравнения вида (1), не налагая никаких ограничений на множество точек x, в которых характеристическая форма akj (x)k j может становиться равной нулю при = 0. Теория, развитая в этой книге, содержит, в частности, результаты для эллиптических уравнений второго порядка, вырождающихся на границе.

Статья [166], опубликованная в 1956 г., явилась важным шагом к развитию общей теории урав нений второго порядка с неотрицательной характеристической формой. В этой статье краевые задачи, аналогичные задачам Дирихле и Неймана для эллиптических уравнений, были поставле ны для общих уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Первая краевая задача (или задача Дирихле) для уравнения (1) в области с границей была сформу лирована следующим образом: найти функцию u(x) такую, что в (2) L(u) = f и u = g на 2 3, (3) где f и g — функции, определенные на и на 2 3 соответственно, причем последнее является подмножеством, определенным ниже. Вся граница области разделена на множества 0, 1, 2, 3. Предположим, что n = (n1,..., nm ) — нормальный вектор к границе, обращенный внутрь области. Обозначим 3 нехарактеристическую часть границы, т.е. 3 — множество точек, в которых выполняется условие akj nk nj 0. На множестве \ 3, где akj nk nj = 0, изучается функция Фикеры b (bk akj )nk. Обозначим 0, 1, 2 подмножества \ 3, где b = 0, b 0 и xj b 0 соответственно. (В случае эллиптических уравнений, вырождающихся только на границе, задача (2), (3) совпадает с проблемой Келдыша [52].) Отметим, что разделение границы на части 0, 1, 2, 3 инвариантно относительно замены независимых переменных.

При рассмотрении задачи (2), (3) возникают следующие вопросы: при каких условиях на ко эффициенты уравнения и границу области решение задачи (2), (3) существует, единственно и обладает определенной степенью гладкости? (Простые примеры показывают, что задачи (2), (3) могут не иметь гладких решений, см. главу 1, §8.) В статьях Фикеры [166, 167] были получены априорные оценки для гладких решений (2), (3) в пространствах Lp (). В частности, было показано, что если c 0 и c 0 в, то для всех функций u из класса C (2) ( ), удовлетворяющих условию u = 0 на 2 3, и для всех p справедлива оценка p (4) u Lp () L(u) Lp ().

+ (1 p)c] min[c Здесь c = akj xj bk k + c, и через C (k) ( ) мы обозначили класс функций, производные которых xk x до порядка k включительно непрерывны в (см. главу 1, §2).

Используя оценку (4) и теорему о представлении линейного функционала в пространстве Lp (), Фикера получил теорему существования для слабого решения задачи (2), (3) в пространстве Lp ().

Слабое решение задачи (2), (3) при g = 0 определяется как функция u(x) в пространстве Lp (), которая для любой функции v(x) из класса C (2) ( ), равной нулю на 3 1, удовлетворяет интегральному тождеству uL (v) dx = (5) vf dx.

Здесь L (v) akj vxk xj + bk vxk + c v, bk 2akj bk xj (см. главу 1, §3).

Фикера также доказал существование решений задачи (2), (3) в гильбертовом пространстве H со скалярным произведением |b|uv d (akj uxk vxj + uv) dx + (u, v)H = 1 6 ВВЕДЕНИЕ Доказательство основано на теореме представления Рисса.

Теорему о существовании слабых решений задачи (2), (3) в классах H и Lp () или в классе ограниченных функций можно доказать методом эллиптической регуляризации (см. [74, 76] и главу 1, §5). С помощью этой процедуры слабое решение задачи (2), (3) для гладких f и g получается как предел при 0 решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений в (6) u + L(u) = f, = const 0, с граничным условием на (7) u = g1, где g1 — гладкая функция, совпадающая с g на 2 3. Для того, чтобы доказать существование предела при 0 решений задачи (6), (7), Фикера доказал равномерные (по ) оценки для норм этих решений в подходящем пространстве, а также для производных этих решений на границе области.

В своих статьях Фикера поставил задачу единственности слабых решений уравнений (2), (3), построенных в пространствах Lp () и H.

Вопросы о единственности слабых решений системы (2), (3) впервые были исследованы в [74] (см. также [76] и главу 1, §6). Теоремы единственности для таких обобщенных решений были доказаны методом эллиптической регуляризации. При достаточно общих предположениях на ко эффициенты уравнения (2) и на границу области было доказано, что слабое решение в смысле (5) единственно в классе Lp () при p 3. При этом предполагается, что граница множества в имеет (m 1)-мерную меру нуль.

В главе 1, §6 приведены примеры задач (2), (3), для которых все предположения теоремы един ственности слабых решений в классе Lp () для p 3 выполняются, но единственность не имеет места в классе Lp () при p 3. Эти примеры показывают, что фундаментальная теорема гла вы 1, §6 о единственности слабых решений является, в некотором смысле, наилучшим возможным результатом.

Филлипс и Сарасон [220] привели пример задачи (2), (3), в котором имеет положительную (m 1)-мерную меру, и слабое решение этой задачи не единственно даже в классе ограниченных измеримых функций.

В [220] они также доказали теорему единственности для слабых решений задачи (2), (3) в про странстве H, сведя (2) к симметричной системе и применив теорию продолжения симметрических операторов. Аналогичная теорема доказана в главе 1, §6. В этой теореме на слабые решения на ложены более слабые требования, чем существование конечной нормы в пространстве H. Однако предполагается, что коэффициенты производных самого высокого порядка в (2) можно продолжить в окрестность 2 с сохранением неотрицательности характеристической формы, а также требует ся наличие ограниченных производных второго порядка. В этой теореме условие продолжимости коэффициентов можно заменить требованием, чтобы слабое решение принимало данные значения на 2 в некотором слабом смысле.

Теоремы единственности для решений задачи (2), (3) доказаны также для кусочно-гладких областей.

Вопрос существования гладких решений задачи (2), (3) для специальных классов уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой рассматривался в диссертации А. М. Ильина (см. [47–49]). Он доказал, что внутри этого класса для существования гладкого решения задачи (2), (3) коэффициенты (2) и их производные должны удовлетворять некоторым неравенствам.

В [75, 76] приведены достаточно общие достаточные условия существования гладкого реше ния (2), (3). В этих статьях также доказаны теоремы о гладкости слабых решений этой задачи.

Доказательства этих теорем основаны на лемме (см. [76], а также главу 1, §7).

Предположим, что akj (x)k j 0 для всех x из Rm и всех = (1,..., m ) и предположим, что kj (x) принадлежат классу C (Rm ). Тогда любая функция v C (Rm ) удовлетворяет неравен a (2) (2) ству (akj vxk xj )2 M akj vxk xs vxj xs, (8) x ВВЕДЕНИЕ где постоянная M зависит только от вторых производных akj. Обозначим через C(k) () класс функций, имеющих производные до порядка k включительно, ограниченные в. Эта лемма также имеет важные приложения при изучении локальной гладкости слабых решений уравнения (1) (см.

главу 2, §6).

Например, достаточным условием существования решения задачи (2), (3) в классе C(s) () явля ется условие, чтобы коэффициенты уравнения и функция f принадлежали классу C(s) (), граница области была достаточно гладкой, выполнялось неравенство c c0 0, где c0 — число, зави сящее от s, и чтобы коэффициенты akj можно было продолжить в окрестность 0 1 2 таким образом, чтобы в этой окрестности akj принадлежали классу C(s) и характеристическая форма akj k j была неотрицательна.

Кроме того, предполагается, что множества 3, 2 и 0 1 не имеют общих точек (см.

[75, 76, 196]). Вопрос о существовании гладкого решения задачи (2), (3) (без предположения о возможности продолжения коэффициентов akj через границу с указанными свойствами) рассмат ривался в статье Кона и Ниренберга [193] (см. главу 2, §9). Они получили условия существования решений задачи (2), (3) в пространствах Соболева W2 (). В их статье предполагается, что пере N сечение 0 1 и 2 3 пусто, что в коэффициент c c0 0 и на 2 имеем b b0 0, где постоянные c0 и b0 достаточно велики. Для простоты предполагается, что коэффициенты уравне ния (2), граница и функции f и g бесконечно дифференцируемы. В указанной статье решение задачи (2), (3) также получено методом эллиптической регуляризации. Таким образом, в окрест ности 0 1 левая сторона уравнения (2) дополнена эллиптическим оператором, умноженным на, порядок которого зависит от N, а вне окрестности 0 1 в она дополнена эллиптическим оператором второго порядка, умноженным на. Априорные оценки, равномерные по параметру, для решений соответствующей задачи для эллиптического уравнения получены в пространстве W2 (). Мы докажем аналогичные теоремы другими средствами в главе 2, §8, где даны усло N вия, при которых решение задачи (2), (3) принадлежит классу C(k) () в случае, когда akj не продолжаются через границу с указанными выше свойствами. Показано, что в этом случае ре шение задачи (2), (3) можно получить посредством регуляризации (2) с помощью эллиптического оператора второго порядка с малым параметром. Отметим, что метод эллиптической и пара болической регуляризации широко использовался Лионсом (см., например, [203]), а также при изучении разрывных решений нелинейных гиперболических уравнений (см. [79], метод исчезаю щей вязкости). Вторая краевая задача для (1), аналогичная задаче Неймана для эллиптических уравнений, изучалась в [109, 127].

Большой интерес представляет изучение локальной гладкости решений задачи (2), (3) и связан ный с ней вопрос о гипоэллиптичности уравнений второго порядка. Понятие гипоэллиптичности оператора было введено в книге Шварца [234] (см. также [182, 183]).

Линейный дифференциальный оператор P с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, определенный в области, называется гипоэллиптическим в, если для любой обобщенной функции u(x) в D () и любой области 1, содержащейся в, из того, что P u бесконечно дифференцируемо в 1, следует, что u(x) также бесконечно дифференцируемо в 1.

Для уравнений и систем с постоянными коэффициентами необходимые и достаточные условия гипоэллиптичности были найдены в [182,183]. Для дифференциальных уравнений и систем с пере менными коэффициентами, а также для псевдодифференциальных операторов известны различные достаточные условия гипоэллиптичности.

Л. Х рмандер доказал в [187] что гипоэллиптические уравнения второго порядка имеют неотри е цательную характеристическую форму в каждой точке области, возможно, после умножения на 1 (см. также главу 2, §3).

В [187] Х рмандер приводит достаточное условие гипоэллиптичности уравнений второго порядка е вида r Pu (9) Xj u + iX0 u + cu = f, j= 8 ВВЕДЕНИЕ где Xj, j = 0, 1,..., r, — дифференциальные операторы первого порядка с бесконечно дифферен цируемыми действительными коэффициентами m Xj Dk = i ak (x)Dk,.

j xk k= Условие Х рмандера для оператора (9) — это условие на алгебру Ли операторов Xj, j = 0, 1,..., r.

е Для гипоэллиптичности оператора (9) в области достаточно, чтобы в каждой точке среди операторов Xj, j = 0, 1,..., r, и коммутаторов, порожденных этими операторами, существовало m линейно независимых операторов. Это условие Х рмандера является также необходимым условием е гипоэллиптичности оператора P в области, если ограничиться классом операторов вида (9), для которых в каждой точке x среди операторов Xj и коммутаторов, порожденных ими, существует в точности линейно независимых операторов, где m не зависит от x. В этом случае говорят, что система {X0,..., Xr } имеет ранг в. В доказательстве Х рмандера используются теория е алгебр Ли и некоторые специальные функциональные пространства.

Другое доказательство теоремы Х рмандера о гипоэллиптичности оператора (9) приведено е в [111] и в более общей теореме в главе 2, §5. Это доказательство основано на теории псевдодиф ференциальных операторов. С помощью псевдодифференциальных операторов найдены априорные оценки решений уравнения (9) в норме пространств Hs, и из них следует гипоэллиптичность P, если использовать теорему, доказанную в главе 2, §4. Из априорных оценок, установленных в главе 2, §5, также следует гладкость обобщенного решения (9).

В главе 2, §5 мы также вводим и рассматриваем класс гипоэллиптических операторов вида (9), для которых условие Х рмандера может нарушаться на некотором множестве M точек из.

е Доказано, что оператор P гипоэллиптичен в, если 1) в \ M система Xj, j = 0, 1,..., r, имеет ранг m, где M — ограниченное множество точек, лежащих на конечном числе (m 1)-мерных гладких многообразий M с замыканием в, и 2) в каждой точке x из M или m ak xk = j k= для некоторого j = 1,..., r, или, в случае r m ak xk = 0, j j=1 k= выполняется условие r Xj + iX0 = 0, j= где (x1,..., xm ) = 0 — уравнение для M в окрестности точки x и grad = 0.

В случае, когда множество M состоит из одной точки x0, оператор (9) гипоэллиптичен в, если в этой точке один из коэффициентов ak, k = 1,..., m, j = 0,..., r, отличен от нуля. Неко j торые гипоэллиптические операторы вида (9), для которых условие Х рмандера нарушается, были е найдены также В. С. Федием [128].

Не всякое уравнение (1) с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами можно привести к виду (9). Гильберт (см. [178]) построил пример неотрицательного многочлена P (x, y) от двух независимых переменных x и y шестой степени, который не представляется в виде конечной суммы квадратов многочленов. Легко показать, что многочлен вида xy L(u) z 6 P, u + T u, zz где T — любой оператор первого порядка с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами и u = uxx + uyy + uzz, не представим в виде (9) в любой окрестности начала координат.

Для общих уравнений второго порядка вида (1) с неотрицательной характеристической формой условие гипоэллиптичности приведено в [112] и более общей теореме из главы 2, §6.

ВВЕДЕНИЕ Пусть L0 (x, ) = akj (x)k j. Обозначим L0 псевдодифференциальный оператор с символом L0 (x, ) (см. главу 2, §2). Для любого псевдодифференциального оператора A обозначим через A(j) и A(j) псевдодифференциальные операторы, соответствующие символам A(x, ) и Dj A(x, ) соответственно, где A(x, ) — символ оператора A и Dj = i/xj. Запишем оператор L(u) в виде L(u) Dj (akj Dk u) + iQu + cu, где Qu (bk akj k u. Рассмотрим систему операторов {Q0, Q1,..., Q2m }, где Q0 = Q, Qi = L0(j) xj)D при j = 1,..., m, Qj = E1 L (jm) при j = m+1,..., 2m, E1 — псевдодифференциальный оператор с символом (x)(1 + ||2 )1/2 и (x) C0 (). Для любого мультииндекса I = (1,..., k ), где l = 0,..., 2m при l = 1,..., k, положим |I| = k l, где l = 1 при l = 1,..., 2m и l = 2 при l = 0. С каждым мультииндексом I свяжем оператор QI = ad Ql · · · ad Qkl Qk, где ad AB = AB BA для любых операторов A и B.

Рассмотрим операторы QI, порожденные системой операторов {Q0,..., Q2m }. Оператор QI мож но представить в виде QI = Q0 + TI, где оператор TI имеет порядок не более нулевого, а Q0 — I I псевдодифференциальный оператор с символом qI (x, ). Будем говорить, что система операторов на компактном множестве K имеет ранг m, если существует число R(K) такое, что |qI (x, )| C1 (1 + ||2 ), (10) 1+ C1 = const |I| R(K) для всех x K и всех Rm.

Если ранг системы операторов {Q0,..., Q2m } равен m на любом компактном множестве K, принадлежащем, то оператор L вида (1) гипоэллиптичен в. Оператор L также гипоэллиптичен в, если система операторов {Q0,..., Q2m } имеет ранг m на любом компактном множестве K в \ M, а в точках M akj xk xj + |akj xk xj + bk xk | 0.

(множество M обладает свойствами, указанными выше). В этом случае, как и в аналогичной теореме для операторов вида (9), область 1, фигурирующая в определении гипоэллиптичности, либо содержит множество M, либо не пересекает его. При этих условиях уравнение (1) обла дает свойством локальной гладкости обобщенных решений, и можно найти априорные оценки в пространствах Hs, аналогичные известным внутренним оценкам Шаудера [232]. Доказательства основаны на лемме (см. [112], а также главу 2, § 3), согласно которой для псевдодифференци альных операторов P, Q порядка единица, удовлетворяющих условиям a), b) (формулы (2.2.2), (2.2.3)), справедлива априорная оценка для коммутатора 2 2 + P u + Q u 2 s R1, [P, Q]u C(s) Pu + Qu +u 1 s s s s s s и любой u S.

Если множество M состоит из одной точки, то для гипоэллиптичности (1) в достаточно, чтобы в этой точке выполнялось неравенство m ajj + |bj | 0.

j= Изучение гипоэллиптичности операторов вида (1) также проводится на основе теории псевдодиф ференциальных операторов в главе 2, §6. В главе 4 получены обобщения этих результатов на случай так называемой «гипоэллиптичности с потерей одной производной», когда не выполнено условие (10).

Для уравнений (1) и (9) с аналитическими коэффициентами известны необходимые и достаточ ные условия гипоэллиптичности (см. [92, 162] и главу 2, §8).

Легко проверить, что уравнение броуновского движения удовлетворяет сформулированным выше условиям гипоэллиптичности. Классы уравнений, аналогичных уравнению броуновского движения, 10 ВВЕДЕНИЕ рассматривались в статьях Т. Г. Генчева [25], Л. Х рмандера [187], А. М. Ильина [47] и др.

е Фундаментальные решения таких уравнений были построены в [187] и [47].

Для гипоэллиптических уравнений, удовлетворяющих условию Х рмандера или условию (10) е решение первой краевой задачи в негладкой области можно построить с помощью процедуры, ана логичной процедуре, использованной М. В. Келдышем [52] для эллиптических уравнений второго порядка, вырождающихся на границе (см. главу 2, §7). В этой процедуре область аппрок симируется областями 1,..., n такими, что n n+1, непрерывная граничная функция g продолжается внутрь области, и в j рассматривается решение u эллиптического уравнения j u + L(u) = f с краевым условием u = g на границе j. На основе априорных оценок, доказанных в главе 2, j §§ 5 и 6, установлено, что во внутренних точках последовательность u (x) u(x) при 0 и j j. Непрерывность решений u(x) задачи (2), (3) на границе доказана посредством барьеров.

Также рассматриваются качественные свойства решений уравнений второго порядка с неотри цательной характеристической формой. Принцип максимума для гладких решений уравнения (1) был доказан Фикерой в [166], и тот же самый принцип для обобщенных решений доказан в [74] и в главе 1, §5 (см. также главу 1, §1). Отметим разницу между принципом максимума, доказанным в главе 1, §1 и теоремами о принципе максимума, доказанными в [166] и в главе 1, §2. Изучение сильного принципа максимума для общих уравнений второго порядка с неотрицательной характе ристической формой было предпринято в статьях К. Пуччи [228, 229] и А. Д. Александрова [1–5], а для уравнений вида (9) — в статьях Бони [157–159] (см. главу 5, §1).

В каждой точке x из G рассмотрим характеристические векторы, соответствующие положитель ным характеристическим значениям матрицы akj, и обозначим через E(x) линейное простран ство, натянутое на эти векторы. Кривая l называется линией эллиптичности для уравнения (1), если в окрестности любой ее точки существует векторное поле Y = (Y1 (x),..., Ym (x)) такое, что (1), в каждой точке x этой окрестности вектор (Y (x),..., Y (x)) лежит в плоскости E(x), Yj C 1 m akj (x)Yk (x)Yj (x) const 0, и кривая l является траекторией векторного поля Y. Множество M называется множеством эллиптической связности для уравнения (1), если любые две точки M можно соединить кривой, состоящей из конечного числа линий эллиптичности, и если не суще ствует множества, содержащего в качестве собственного подмножества M и обладающего тем же самым свойством. Если вся область является множеством эллиптической связности, то урав нение (1) называется эллиптически связным в. Нетрудно найти примеры уравнений, которые эллиптически связны, но не эллиптичны в.

Для уравнения (1) сильный принцип максимума имеет следующий вид (см. [1–5] и главу 5, §1):

предположим, что L(u) 0 в области и что коэффициент c(x) и M = sup u удовлетворяют неравенству M c 0 в. Если u(x0 ) = M для некоторого x0, то на множестве эллиптической связности, содержащем точку x0, или u 0, или u M и c 0. Для уравнения (1) Александров [1–5] также доказал теорему, аналогичную сильному принципу максимума для параболических уравнений. Для уравнений вида r Pu = Xj u + iX0 u + cu = f j= теоремы о сильном принципе максимума были доказаны Бони [157–159]. Пусть Xj (x) — вектор 1 (x),..., am (x)) и пусть F — множество точек из, в которых u(x) = M = u. Предположим, (aj j что c 0 и M 0.

0, c 0, u C (2) () и траектория x(t) векторного поля В [157] доказано, что если P (u) Xj (x), j = 1,..., r, содержит точку x(t0 ) множества F, то вся траектория x(t) принадлежит F. В случае, когда система операторов {X1,..., Xr } имеет ранг m в, сильный принцип максимума для такого уравнения имеет тот же вид, что и для уравнения Лапласа: если P (u) 0, c 0 в, u C (2) () и u(x) принимает наибольшее положительное значение M в точке x0, принадлежащей, то u M в.

ВВЕДЕНИЕ В случае, когда ранг системы операторов {X1,..., Xr } равен M в каждой точке, сильный принцип максимума для уравнения (9) имеет тот же вид, что и для теплового уравнения. А 0 в, u C (2) (), и что u(x) принимает свое наибольшее именно, предположим, что P (u) положительное значение M в точке x0, принадлежащей. Тогда u M в каждой точке из со следующими свойствами:

1) ее можно соединить с точкой x0 некоторой кривой, состоящей из конечного числа отрезков траекторий векторных полей Xj (x), j = 0, 1,..., r.

2) Когда эта кривая выходит из точки x0, любую часть траектории поля X0 (x), лежащей на 0 (x).

кривой, нужно пройти в направлении вектора X В статьях Бони [157–159] доказаны теоремы единственности для задачи Коши для уравнений вида (9) с аналитическими коэффициентами, а также теоремы Харнака. Александров [1–5] изучал множество уровня u = M функции u(x), удовлетворяющей в области соотношению L(u) при условии, что u M во всех точках рассматриваемой области.

Большое число работ посвящено изучению вырождающихся параболических уравнений вида (11) ut = akj (x, t)uxk xj + bk (x, t)uxk + c(x, t)u + f (x, t), где 0 во всех точках рассматриваемой области. Очевидно, (11) является частным akj (x, t)k j случаем (1). Задача Коши для (1) изучалась различными методами в ряде статей (см., например, [75, 118] и др.). Отметим, что задачу Коши для (11) с начальными условиями при t = 0 можно также изучать методами глав 1 и 2 (см. [75]).

В связи с изучением задачи Трикоми для уравнений смешанного типа возник интерес к изучению гиперболических уравнений, вырождающихся на границе. В [71, 72] задача Коши изучалась для уравнений второго порядка таких, что в каждой точке рассматриваемой области характеристиче ская форма имеет одно отрицательное характеристическое значение, а все остальные положитель ны или равны нулю. Задачу Коши для таких уравнений можно изучать методами, аналогичными методам, использованным при изучении уравнений второго порядка с неотрицательной характери стической формой. В [71, 72] и в главе 5, § 2 методом гиперболической регуляризации получено решение задачи Коши для уравнения (12) utt = L(u) + f с начальными условиями u|t=0 = (x), ut |t=0 = (x), (13) где L(u) a xk xj + b xk + cu — оператор второго порядка с неотрицательной характеристиче kj u ku ской формой и с коэффициентами, зависящими от x и t. Неравенство (8) играет важную роль в нахождении априорных оценок для решений этой задачи. В частности, было показано (см. главу 5, § 2), что задача Коши (12), (13) имеет единственное решение в классе W2, и что справедлива s энергетическая оценка, если коэффициенты в (12) и функции f, и достаточно гладки, и либо t(bk k )2 Aakj k j + akj k j, (14) t либо akj k j (T t)(bk k )2 Aakj k j akj k j + (15) (T t) t в рассматриваемой области {0 t T } для любого. Здесь и A — положительные постоянные с зависящей от степени гладкостью коэффициентов (12), функции f и начальных условий (13).

Условие (14) содержит в качестве частных случаев многие критерии корректности задачи Коши, известные ранее только для гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, вырождающихся на линии, на которой заданы начальные условия (см. [7, 154, 226] и др.). Обзор некоторых из этих результатов можно найти в [117].

Некоторые необходимые условия корректности задачи Коши (12), (13) приведены в [46,102] (см.

также главу 5, § 3).

Многие задачи гидродинамики (теории граничного слоя), теории фильтрации, физические за дачи, связанные с изучением броуновского движения, задачи теории вероятностей (марковские процессы) и задачи из других областей приводят к уравнениям второго порядка с неотрицательной 12 ВВЕДЕНИЕ характеристической формой. Изучение квазилинейных и нелинейных уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой (см. [21, 73, 79, 126, 133]) важно для приложений в газовой динамике и теории граничного слоя, а также в других разделах механики.

Задача (2), (3) также изучалась методами теории вероятностей, основанными на стохастических уравнениях К. Ито. В этой ситуации обобщенное решение задачи (2), (3) рассматривалось в классе ограниченных измеримых функций и определялось в терминах теории марковских процессов (см.

[129–133] и др.).

В последней главе (глава 6) рассматриваются вопросы единственности решений краевых задач для эволюционных уравнений в неограниченных областях в классе растущих функций, вопрос об априорных оценках специального вида, которые можно назвать аналогом энергетических оценок, выражающих принцип Сен-Венана в теории упругости, а также вопросы об оценках, характеризу ющих поведение решения при |x| и t 0. Частным случаем таких оценок являются оценки функций типа Грина и фундаментального решения. Эти вопросы изучаются с помощью метода вве дения параметра, который был разработан и применялся ранее для исследования параболических систем в [97, 98, 100]. В этой статье этот метод получит свое дальнейшее развитие.

Имеется много интересных нерешенных проблем, связанных с уравнениями второго порядка с неотрицательной характеристической формой, а также с аналогичными уравнениями высших порядков. (Отметим, что краевая задача (2), (3) не изучена полностью даже для простейшего уравнения теплопереноса ut = uxx. Этот вопрос детально обсуждается в [193].) Среди нерешенных проблем отметим вопрос о спектре задачи (2), (3). Для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе, вопросы, касающиеся характера спектра первой краевой задачи, рассматривались в [67, 240, 241].

Представляет интерес дальнейшее изучение вопросов, касающихся условий гладкости и неглад кости для обобщенных решений задачи (2), (3). Было бы интересно изучить природу особенностей негладких обобщенных решений задачи (2), (3) и прояснить условия, при которых они возникают.

В связи с проблемами геометрии в целом интересно описать класс уравнений вида (1) с ана литическими коэффициентами и аналитической функцией f, для которых все достаточно гладкие решения аналитичны (некоторые результаты по этому вопросу можно найти в [94]).

Проблема описания всех корректных краевых задач для (1) не решена. Для эллиптических диф ференциальных и псевдодифференциальных уравнений, вырождающихся только на границе, эта проблема изучалась в [12–14, 26]. Недавно был построен параметрикс, т.е. найдена главная часть функции Грина, для вырождающихся квазиэллиптических уравнений (не только второго порядка);

см., например, [12–14]. В этих статьях были найдены условия нормальной разрешимости крае вых задач для указанных уравнений, аналогичные известным условиям нормальной разрешимости краевых задач для эллиптических операторов.

Было бы интересно выделить класс уравнений вида (12), для которых задача Коши некоррект на. Этот вопрос является частью более широкой проблемы изучения гиперболических уравнений с кратными характеристиками. В последние годы в решении этой задачи был достигнут зна чительный прогресс с помошью теории псевдодифференциальных операторов и асимптотических решений, см. [46, 102, 103, 207, 239], главу 5, § 3 и др.

И последнее. Интересно переосмыслить заложенные в этой книге основы теории уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой, отталкиваясь от сегодняшних задач финансовой математики и гидродинамики (см., например, [27, 224]).

Мы будем рады, если выход этой книги привлечет внимание ко всем этим проблемам.

1. ОБОЗНАЧЕНИЯ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТЫ. ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ГЛАВА ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 1. ОБОЗНАЧЕНИЯ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТЫ. ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ Обозначим через ограниченную область в евклидовом пространстве Rm, а через x = (x1,..., xm ) — точку в этом пространстве. Все функции, рассматриваемые в главе 1, предпола гаются действительными, если не оговорено противное. Как обычно, выражение A B означает, что множество A содержится в B, а A обозначает замыкание множества A.

Будем говорить, что функция u(x) принадлежит классу C (k) (G), если она имеет непрерывные производные до порядка k включительно во всех точках множества G Rm. Обозначим через C(k) (G) класс функций, слабые производные которых до порядка k включительно ограничены в G. Класс C (0) состоит из функций, непрерывных в G, а C(0) содержит все измеримые функции, ограниченные в G.

Обозначим через C (k,) (G) класс функций с производными в G до порядка k включительно, удовлетворяющими условию Г льдера с показателем, 0 1.

е Будем говорить, что область с границей принадлежит классу A(k), A(k) или C(k,), k 1, если в некоторой окрестности Q каждой из ее точек P границу можно представить в виде xl = fl (x1,..., xl1, xl+1,..., xm ) для некоторого l, где функции fl принадлежат соответствующему классу C (k) (Ql ), C(k) (Ql ) или C (k,) (Ql ), а Ql — проекция Q на плоскость xl = 0.

Нам также придется рассматривать области с кусочно-гладкими границами. Классы таких областей, обозначаемые B (k), B(k) и B (k,), определяются с помощью индукции по размерности области. Одномерная область B (k), B(k) или B (k,) — интервал. Далее, скажем, что область с границей принадлежит классу B (k), B(k) или B (k,), если можно разделить на конечное число кусков S j, каждый из которых гомеоморфен (m 1)-шару, который может пересекать только граничные точки, таких, что S j можно представить в виде xl = fl (x1,..., xl1, xl+1,..., xm ) для некоторого l, где функция fl задана в некоторой (m 1)-мерной замкнутой области класса B (k), B(k) или B (k,), соответственно, на гиперплоскости xl = 0 и принадлежит в этой области классу C (k), C(k) или C (k,) соответственно.

Обозначим через n = (n1,..., nm ) нормальный вектор в граничных точках, направленный 1/ m x вовнутрь;

обозначает пустое множество;

|x| =.

j m Пусть = (1,..., m ) — мультииндекс, где j — неотрицательные целые числа и || = j.

В главе 1 мы иногда будем использовать следующее обозначение производных:

1 m ··· D u = u.

x1 xm Обычно (см., например, [188]) используется обозначение D u = D1 1 · · · Dmm u, где Dj = i/xj, i = 1. Это обозначение нам будет удобно использовать в главе 2. Положим sup |D u|.

u = C(k) (G) G || k Как правило, мы будем обозначать постоянные как Cj, а нумерация их индексом j сохраняется только в пределах доказательства данной теоремы.

14 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Обозначим через C0 () или C0 (Rm ) класс бесконечно дифференцируемых функций, которые могут отличаться от нуля только на компактном множестве, принадлежащем области или Rm соответственно.

Уравнение второго порядка вида L(u) akj (x)uxk xj + bk (x)uxk + c(x)u = f (x) (1.1.1) с условиями (1.1.2) akj (x)k j для любого действительного вектора = (1,..., m ) и любой точки x называется уравнением второго порядка с неотрицательной характеристической формой в.

Здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам от 1 до m.

Очевидно, что класс уравнений с неотрицательной характеристической формой включает урав нения эллиптического и параболического типов, уравнения первого порядка (случай akj k j 0), ультрапараболические уравнения, уравнения броуновского движения, уравнение Трикоми в верх ней полуплоскости, уравнение Келдыша и др.

Мы рассмотрим первую краевую задачу для уравнения (1.1.1) в области ;

эта задача была впервые поставлена в общем виде Фикерой в [166]. Предположим, что условие (1.1.2) выполнено для всех точек x из и всех Rm, что принадлежит классу A(1) и akj C(2) (), bk C1 (), c C0 (). Обозначим через 0 множество точек из, в которых akj (x)nk nj = 0. В точках из 0 рассмотрим функцию b(x) (bk akj )nk, (1.1.3) xj которую назовем функцией Фикеры для уравнения (1.1.1). Обозначим через 1 множество точек 0, в которых b 0, через 2 — множество точек 0, в которых b 0, и через 0 те точки множества 0, где b = 0. Множество \ 0 обозначим через 3.

Если граница области принадлежит классу B (k), B(k) или B (k,), то 0, 1, 2, 3 опреде ляются аналогично;

для этого рассматриваются только внутренние точки S j.

Первая краевая задача для уравнения (1.1.1) состоит в следующем: найти функцию u в такую, что L(u) = f в, (1.1.4) на 2 3, (1.1.5) u=g где f — данная функция в и g — данная функция на 2 3. Очевидно, если (1.1.1) эллиптично, то задача (1.1.4), (1.1.5) является задачей Дирихле. Для параболических уравнений в цилиндрической области (1.1.4), (1.1.5) образует смешанную задачу или, как это иногда называется, первую краевую задачу для параболического уравнения.

В качестве еще одного примера можно рассмотреть уравнение первого порядка ux1 = f (x), для которого граница прямоугольной области = {0 x1 X1, 0 x2 1} содержит множество 0, лежащее на прямых x2 = 0, x2 = 1, множество 2, лежащее на прямой x1 = 0, и 1, лежащее на прямой x1 = X1. В этом случае задача (1.1.4), (1.1.5) совпадает с задачей Коши.

Для уравнения Келдыша 2u 2u u u (1.1.6) y + 2 + a(x, y) +b + c(x, y)u = 0, = const 0, y x x y рассматриваемого в области на (x, y)-плоскости, ограниченного отрезком оси x и кривой, лежащей в верхней полуплоскости y 0, задача (1.1.4), (1.1.5) с 1 совпадает с задачей E или D, изучавшимися в [52].

Введем обозначение L (v) (akj v)xk xj (bk v)xk + cv = akj vxk xj + bk vxk + c v, (1.1.7) где bk = 2akj bk, c = akj xj bk k + c.

xj xk x 1. ОБОЗНАЧЕНИЯ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТЫ. ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ Легко видеть, что функция Фикеры b для оператора L (v) равна b, где b — функция Фикеры (1.1.3) для оператора L(u).

Мы покажем, что разложение границы области для оператора L(u) на подмножества 0, 1, 2, 3 инвариантно относительно гладких невырожденных замен независимых переменных и, следовательно, что задача (1.1.4), (1.1.5) инвариантна относительно таких преобразований коорди нат.

Лемма 1.1.1. Знак функции b (bk akj )nk xj в точках 0 границы области не меняется при гладких невырожденных заменах незави симых переменных в (1.1.1).

Доказательство. В уравнении (1.1.1) сделаем замену переменных (1.1.8) yl = F l (x1,..., xm ), l = 1,..., m.

Предположим, что в окрестности рассматриваемой точки, лежащей на границе, граница задается уравнением F (x1,..., xm ) (y1,..., ym ) = 0 (1.1.9) и что grad F и grad имеют то же направление, что и внутренняя нормаль. В новых переменных уравнение (1.1.1) имеет вид (1.1.10) akj Fxk Fxj uyl ys + bk Fxk uyl + akj Fxk xj uyl + cu = f.

l s l l Функцию b для (1.1.1) можно записать в виде b (bk akj )nk = (bk akj Fxj )ys Fxk (Fx Fx )1/2.

l s xj yl Теперь подсчитаем функцию Фикеры для (1.1.10). Имеем b 1/ = [bk F l + akj F l xk xj (a Fxk Fxj )ys ]yl (y y ) kj l s b = xk = [bk Fxk akj Fxk Fxj ]yl (y y )1/2 + l l s ys +[akj Fxk ys Fxj akj Fxk ys Fxj akj Fxk Fxj ys ]yl (y y )1/2 = l s l s l s = b(Fxk Fxk )1/2 (y y )1/2 akj Fxk Fxj ys yl (y y )1/2. (1.1.11) l s Последний член в (1.1.11) равен нулю, поскольку akj Fxk Fxj ys yl akj Fxk Fxj ys и l s s akj Fxk = на 0. Следовательно, = b(Fx Fx )1/2 (y y )1/2, b k k и лемма доказана.

Теорема 1.1.1. Подмножества 0, 1, 2, 3 границы, определенные для оператора L(u), остаются инвариантными при гладких несингулярных заменах независимых переменных в (1.1.1).

Доказательство. Инвариантность множества 3 при замене независимых переменных вида (1.1.8) следует из уравнения akj nk nj = akj yl Fxk ys Fxj (Fx Fx )1 = akj Fxk Fxj nl ns (Fx Fx )1 (y y ), l s l s если в окрестности рассматриваемой точки граница задается уравнением (1.1.9), и n = (n1,..., nm ) — нормальный вектор к, направленный внутрь, в пространстве (y1,..., ym ). Инвари антность множеств 0, 1, 2 следует из инвариантности 3 и леммы 1.1.1. Теорема доказана.

16 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Теперь мы получим формулу Грина для оператора L(u). Пусть u и v — функции из класса C (2) ( ), и пусть область принадлежит классу B (1). Оператор L(u) можно записать в виде L(u) (akj uxk )xj + (bk akj )uxk + cu. (1.1.12) xj Полагая bk akj = lk, мы получим xj L (v) (akj vxk )xj (lk v)xk + cv, L(u)v L (v)u (akj vuxk akj uvxk )xj + (lk uv)xk.

Интегрируя последнее тождество по области и применяя формулу Остроградского, получим (L(u)v L (v)u)dx = [(akj uxk v akj vxk u)nj + lk uvnk ]d, (1.1.13) где n — нормальный вектор к, направленный внутрь, и d — элемент поверхности.

Очевидно, что на 0 уравнение akj nj = 0 выполняется при k = 1,..., m, а на 3 длина вектора = (1,..., m ), где k = akj nj, отлична от нуля. По определению lk nk = b. Поэтому из (1.1.13) следует, что u v (L(u)v L (v)u)dx = u d buv d, (1.1.14) v 3 где / akj nj /xk. Формула (1.1.14) называется формулой Грина для (1.1.1).

Предположим, что в окрестности некоторой точки P границы уравнение для имеет вид F (x1,..., xm ) = 0, где grad F = 0 и F 0 в. Мы рассмотрим на функцию L(F ). Легко видеть, что инвариантна относительно замены независимых переменных в (1.1.1). Обозначим через 0, 1, 2 множества точек 0, в которых = 0, 0, 0 соответственно. Пусть = 0 1.

Лемма 1.1.2. Предположим, что u C (2) ( ) и u C (0) ( ), и что область при 0 и c 0 в, или L(u) 0 и c надлежит классу A(2). Тогда если или L(u) 0в, то u(x) может принимать отрицательное значение только на. Если область принадлежит классу B (2), то вместо 2 3 следует рассматривать \.

Доказательство. Предположим, что функция u(x) принимает наименьшее отрицательное значе ние во внутренней точке P области.

Сделаем замену независимых переменных x = Ay, где A — постоянная матрица и det A = 0.

Выберем A таким образом, чтобы оператор L(u) имел в точке P в новой системе координат каноническую форму (1.1.15) L(u) = kj uyk yj + k uyk + cu.

Это означает, что в точке P коэффициенты kj = 0 при k = j и что kk равны нулю или единице при k = 1,..., m. Так как по предположению функция u имеет локальный минимум в P, отсюда следует, что в точке P мы имеем uyk = 0 и uyk yk 0. Следовательно, L(u) 0 в точке P, если c 0, и L(u) 0, если c 0, что противоречит предположениям леммы.

Теперь мы покажем, что наименьшее отрицательное значение u вообще не может приниматься в точке из. От противного, предположим, что u принимает наименьшее отрицательное значение в точке P, принадлежащей. В окрестности P введем новые координаты y1,..., ym таким образом, чтобы граница лежала на плоскости ym = 0 и внутренняя нормаль к в точке P совпадала с направлением оси ym. В новых переменных оператор L(u) принимает вид (1.1.15).

Очевидно, в точках в некоторой окрестности P мы имеем mj = 0 при j = 1,..., m и m= 0.

Выполняя, если нужно, еще одну замену координат, оставляющую инвариантной плоскость ym = const, мы можем считать, что оператор (1.1.15) имеет канонический вид в точке P.

Так как функция u принимает минимальное отрицательное значение в точке P, получаем, что в этой точке uyk = 0, uyk yk 0, k = 1,..., m 1;

uym 0.

2. АПРИОРНЫЕ Lp () ОЦЕНКИ В ПРОСТРАНСТВАХ Следовательно, в точке P неравенство L(u) 0 выполняется, если c 0, в то время как L(u) 0, если c 0. Но это противоречит условию леммы. Следовательно, наименьшее отрицательное значение функция u может принимать только в точке из \.

Теорема 1.1.2 (принцип максимума). Допустим, что u C (2) ( ), что u C (0) ( ) и что область принадлежит классу A(2). Пусть c 0 на и пусть L(u) = f в.

Тогда f |u| max sup, max |u| = M. (1.1.16) c 2 Если c 0 на и L(u) = 0 в, то в точках |u| max |u|. (1.1.17) 2 Если область принадлежит классу B(2), то вместо множества 2 3 следует рассматривать \. (В случае 2 3 = положим max |u| = 0.) 2 Доказательство. Рассмотрим функцию v± = M ± u.


Тогда в имеем L(v± ) = cM ± f 0, так как M sup |f /c|. Следовательно, по лемме 1.1.2 функция v± может принимать наименьшее отрицательное значение только в точке из \. Но на \ функция v± = M ± u 0.

Следовательно, v± 0 в и |u| M, т.е. выполняется (1.1.16).

Неравенство (1.1.17) является следствием (1.1.16). Теорема доказана.

Теорема, близкая к теореме 1.1.2, была получена другим методом в [167] (см. также главу 1, §2).

Легко доказать, что внутренние точки 0 1 содержатся в множестве 0 1.

В главе 1, §5 мы докажем теорему, в некотором смысле более общую, чем теорема 1.1.2, а именно, мы докажем принцип максимума для обобщенных решений уравнения (1.1.1).

Отметим, что в доказательстве теоремы 1.1.2 гладкой предполагалась только та часть, которая лежит в 0 1. Теорема 1.1.2 включает известные принципы максимума для эллиптических и параболических уравнений.

Отметим также, что условие c 0 в теореме 1.1.2 существенно, и его нельзя заменить условием c 0. Действительно, для уравнения u u L(u) x1 x2 = x2 x x2 + x2 1 вся граница принадлежит 0, но уравнение справедливо для в кольце вида 1 любой функции u = const = 0, и (1.1.17) в этом случае не выполняется.

2. АПРИОРНЫЕ Lp () ОЦЕНКИ В ПРОСТРАНСТВАХ В этом параграфе мы получим априорные оценки для гладких решений задачи L(u) akj uxk xj + bk uxk + cu = f в, (1.2.1) u = 0 на 2 3, которые понадобятся позже при доказательстве теорем существования для этой задачи. Предполо жим, что для оператора L(u) и области справедлива формула Грина (1.1.14). Введем обозначение 1/p 1/p |u| dx |u| d p p u =, u =.

Lp () Lp (j ) j Результаты, приведенные в этом и двух следующих параграфах, были получены Фикерой [167].

18 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Лемма 1.2.1. Пусть u C (2) (), u = 0 на 2 3 и p — любое число такое, что 1 p.

Предположим, что существует функция w C (2) ( ), удовлетворяющая условию L (w) + c(p 1)w в. (1.2.2) w 0, Тогда max p|w| (1.2.3) u Lu Lp ().

Lp () min[L (w) + (p 1)cw] Доказательство. Применим формулу Грина (1.1.14) к функциям w и (u2 + )p/2, где 0 — произвольное число. Имеем L (w)(u2 + )p/2 dx wL((u2 + )p/2 ) dx = w bw(u2 + )p/2 d (u2 + )p/2 (1.2.4) = d, помня, что (u2 + )p/ = p(u2 + )p/21 uakj uxk nj = на 3. Легко видеть, что L((u2 + )p/2 ) = p(u2 + )p/21 uL(u) + c(u2 + )p/21 [(1 p)u2 + ]+ +akj uxk uxj p(u2 + )p/22 [(p 1)u2 + ] Так как неравенство b 0 выполняется на 1 и, более того, akj uxk uxj 0, получаем, 0, p 1, w что {L (w)(u2 + )p/2 w(u2 + )p/21 c[(1 p)u2 + ]} dx w wp(u2 + )p/21 uL(u) dx + p/2 bw d (1.2.5) d.

2 3 Теперь устремим к нулю в (1.2.5). Если p 1, то (u2 + )p/21 u |u|p2 u при 0. Если p = 1, то |(u2 + )1/2 u| 1. При p lim (u2 + )p/2 {L (w) cw(u2 + )1 [(1 p)u2 + ]} = |u|p {L (w) (1 p)cw}.

Следовательно, из (1.2.5) получаем, что p max |w| |u|p dx |u|p1 |L(u)| dx. (1.2.6) min[L (w) + (p 1)cw] Применяя неравенство Г льдера к интегралу в правой части (1.2.6), мы получим (1.2.3).

е Теорема 1.2.1. Если c 0 в, то для всех достаточно больших p таких, что c + (1 p)c 0 в, и для всех функций u C (2) ( ), удовлетворяющих условию u = 0 на 2 3, выполняется оценка p (1.2.7) u Lp () L(u) Lp ().

min[c + (1 p)c] c Если 0 в, то оценка (1.2.7) выполняется для p, достаточно близкого к 1 и такого, что c + (1 p)c 0 в. Если c 0 и c 0, то (1.2.7) выполняется для всех p 1 и всех u C (2) ( ) таких, что u = 0 на 2 3.

Доказательство теоремы 1.2.1 следует из леммы 1.2.1, так как в рассматриваемых случаях можно положить w = 1.

3. СУЩЕСТВОВАНИЕ Lp () РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВАХ Замечание. Если c 0, u C (2) ( ) и u = 0 на 2 3, то в (1.2.7) можно перейти к пределу при p. Действительно, допустим, что число p0 таково, что c + (1 p0 )c 0. Тогда при p p0 мы имеем c + (1 p)c c(p0 p), и оценку (1.2.7) можно записать в виде p (1.2.8) u Lp () L(u) Lp ().

(p p0 ) min |c| Переходя к пределу при p в (1.2.8), получим следующий вариант принципа максимума: для любой функции u C (2) ( ) с условием u = 0 на 2 3 выполняется неравенство max |L(u)| max |u| (1.2.9).

min |c| 1 существует функция w C (2) ( ), удовле Теорема 1.2.2. Пусть для некоторого p творяющая условию L (w) + (p 1)cw 0 на, на w 0, w=0 3.

Тогда если u C (2) ( ) — произвольная функция такая, что L(u) = 0, то выполняется неравенство (1.2.10) u Lp () Kp u Lp (2 ) + Kp u Lp (3 ), где sup |bw| sup |akj wxk nj | 1/p 1/p 2 Kp = ;

Kp =.

min[L (w) + (p 1)cw] min[L (w) + (p 1)cw] Доказательство. Как и при доказательстве леммы 1.2.1, применим (1.1.14) к функциям w и (u2 + )p/2. Из (1.2.4) и свойств функций u и w следует, что (u2 + )p/2 L (w) cw(u2 + )p/21 [(1 p)u2 + ] dx w bw(u2 + )p/2 d (u2 + )p/2 d.

2 Устремляя к нулю в последнем неравенстве, находим w |u|p [L (w) + (p 1)cw] dx |u|p wb|u|p d + d.

2 Очевидно, отсюда следует (1.2.10). Теорема доказана.

3. СУЩЕСТВОВАНИЕ Lp () РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВАХ Пусть функция u принадлежит классу C (2) ( ) и u = 0 на 2 3. Обозначим через V класс функций v, принадлежащих C (2) ( ), таких, что v = 0 на 3 1. Тогда из (1.1.14) следует, что uL (v) dx = vL(u) dx.

Определение. Функция u Lp () называется слабым решением задачи в (1.3.1) L(u) = f, u = 0 на 2 3, (1.3.2) если для любой функции v из класса V выполнено уравнение uL (v) dx. (1.3.3) vf dx = 20 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Теорема 1.3.1. Если c 0 и c 0 в, p 1, то для любой f Lp () существует слабое решение задачи (1.3.1), (1.3.2), удовлетворяющее неравенству (1.3.4) inf u + u0 Kf Lp (), K = const, Lp () u0 Z где Z — множество функций u0 из класса Lp (), удовлетворяющих условию u0 L (v) dx = для любой функции v из V.

Доказательство. По теореме 1.2.1 любая функция v из класса C (2) ( ) такая, что v = 0 на 3 1, удовлетворяет неравенству q L v Lq () (1.3.5) v Lq () min[c + (1 q)c ] 1, так как множество 2 для оператора L (v) то же самое, что и множество для любого q для оператора L(u). Рассмотрим f v dx как функционал от v в пространстве Lq (), где 1/q + 1/p = 1. Применяя неравенство Г льдера и е оценку (1.3.5), получим Kq L (v) (1.3.6) f v dx f v f Lp (), Lp () Lq () Lq () где q Kq =.

min[c + (1 q)c ] Пусть Lq () — подпространство пространства Lq (), полученное замыканием в Lq () множества функций вида L (v), где v принадлежит классу V. Легко видеть, что пространство функционалов на Lq () совпадает с факторпространством Lp ()/Z, где Z — подпространство Lp (), состоящее из функций z таких, что L (v)z dx = для любого v из V. Действительно, по теореме Хана–Банаха [251] каждый функционал на Lq () можно продолжить на Lq () и, следовательно, каждый функционал на Lq () можно записать в виде uL (v) dx, (1.3.7) где u Lp (). Очевидно, что каждый смежный класс факторпространства Lp ()/Z порождает единственный функционал вида (1.3.7) в Lq ().

Из (1.3.6) следует, что f v dx — линейный непрерывный функционал от L v в Lq () и, следова тельно, его можно представить в виде (1.3.7), где функция u из пространства Lp (). Следовательно, uL (v) dx, f v dx = 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ СЛАБОГО РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ где u — любой элемент из соответствующего смежного класса в Lp ()/Z. Очевидно, что любое такое u удовлетворяет неравенству uL (v) dx L (v) f v Kq f Lq ().

Lp () Lq () Lp () Отсюда следует, по определению нормы функционала в Lq (), что inf u + u0 Kf Lp ().

Lp () u0 Z Теорема доказана.

Теорема 1.3.2. Пусть c 0 в, 1/p + 1/q = 1 и q таково, что c + (1 q)c 0 в. Тогда если f (x) Lp (), то существует обобщенное решение задачи (1.3.1), (1.3.2), удовлетворяющее условию (1.3.4).

Теорема 1.3.3. Пусть c 0 в и пусть q таково, что c + (1 q)c 0 в и 1/p + 1/q = 1. Тогда для любой f (x) Lp () существует обобщенное решение задачи (1.3.1), (1.3.2), удовлетворяющее условию (1.3.4).

Теоремы 1.3.2 и 1.3.3 доказываются в точности так же, как теорема 1.3.1. Из этих теорем следует, что при c 0 задача (1.3.1), (1.3.2) разрешима для достаточно большого p, а при c 0 эта задача разрешима при p, достаточно близком к 1.

Теоремы существования для решений задачи (1.3.1), (1.3.2) в пространствах Lp () доказаны другим методом в главе 1, § 5.

4. СУЩЕСТВОВАНИЕ СЛАБОГО РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Чтобы доказать существование слабого решения задачи (1.3.1), (1.3.2), используем метод, осно ванный на теореме Рисса, который ранее использовался при изучении краевых задач для эллип тических уравнений и систем (см., например, [10, 155, 172]).

Определение слабого решения задачи (1.3.1), (1.3.2) в некотором гильбертовом пространстве H основано на следующих рассмотрениях.

Пусть u — функция в C (2) ( ), равная нулю на 2 и 3, и пусть v — функция в C (1) ( ), равная нулю на 3. Интегрируя по частям, мы получим следующее тождество:

vL(u) dx = [akj vxk uxj + (bk akj )vxk + (bk k akj xj c)uv] dx uvb d.

xj x xk Si Множество функций v из класса C (1) ( ), равных нулю на 3, будем обозначать W. Для функций из W введем скалярное произведение (u, v)H (1.4.1) (akj uxk vxj + uv) dx + uv|b| d 1 и обозначим через H гильбертово пространство, полученное замыканием W по норме, порожденной этим скалярным произведением.

Для u и v из W рассмотрим билинейную форму B(u, v) = (akj uxk vxj + u(bk akj )vxk + (bk k akj xj c)uv] dx (1.4.2) uvb d.

xj x xk Si Мы покажем, что определение B(u, v) можно продолжить таким образом, чтобы оно применялось ко всем функциям u из H и v из W. Действительно, для u и v из W имеем:

1/ 2 |B(u, v)| u H, (1.4.3) M [vxk vxk + v ] dx + v d Si 22 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА где M — постоянная, зависящая только от коэффициентов уравнения (1.3.1). Из (1.4.3) следует, что при фиксированном v в W можно рассматривать B(u, v) как линейный ограниченный функционал на H.


Определение. Пусть f L2 (). Функция u из H называется слабым решением задачи (1.3.1), (1.3.2), если для любой функции v из W выполняется равенство (1.4.4) vf dx = B(u, v).

Замечание. Слабое решение u в пространстве H, определенное выше, является также слабым решением той же самой задачи в пространстве L2 (), определенном условием (1.3.3).

Действительно, если u из H удовлетворяет условию (1.4.4), то должна существовать последова тельность un из W, приближающая u по норме пространства H и такая, что B(un, v) B(u, v) при n. Если функция v принадлежит классу C (2) ( ) и равна нулю на 1 3, то билинейную форму B(un, v) можно преобразовать интегрированием по частям таким образом, чтобы L (v)un dx и L (v)u dx.

B(un, v) = B(un, v) = B(u, v) = Таким образом, для такого v выполняется уравнение L (v)u dx.

B(u, v) = Это означает, что слабое решение u задачи (1.3.1), (1.3.2) в смысле (1.4.4) является также слабым решением этой задачи в смысле (1.3.3), так как любая функция u из H является также элементом L2 ().

Теорема 1.4.1. Пусть неравенство 1k b akj c c0 2 xk 2 xk xj выполняется в, и пусть f L2 (). Тогда существует функция u из H, являющаяся слабым решением задачи (1.3.1), (1.3.2) в смысле (1.4.4).

Доказательство. Так как B(u, v) — линейный непрерывный функционал на H для любого v из W, по теореме Рисса о представлении линейных непрерывных функционалов в гильбертовом про странстве получаем, что B(u, v) = (u, T (v))H, где T (v) — линейный оператор на W с областью значений в H.

1 Пусть v W. Так как по предположению bk k akj xj c 0 в, получаем, что x x 2k 1k 1 1 bxk akj xj c v 2 dx + v 2 b d v 2 b d |B(v, v)| = akj vxk vxj + v H, xk 2 2 2 1 = const 0.

В свою очередь, из этого следует, что 1 1 |B(v, v)| = |(v, T (v))H | v v T (v) H H H и, следовательно, (1.4.5) v T (v) H.

H 5. РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ Из оценки (1.4.5) следует, что отображение W в H, определенное оператором T, взаимно одно значно. Обозначим через H замыкание множества T (v) по норме H, где v W. Так как f v dx f v f v f Tv H, H L2 () L2 () L2 () L2 () интеграл f v dx можно рассматривать как линейный непрерывный функционал на H. Следова тельно, по теореме Рисса существует функция u в H такая, что f v dx = (u, T v)H B(u, v) для любого v из W, т.е. u является слабым решением задачи (1.3.1), (1.3.2) в смысле (1.4.4).

Теорема доказана.

5. РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ В области с границей рассмотрим первую краевую задачу для уравнения L(u) akj uxk xj + bk uxk + cu = f, (1.5.1) akj (x)k j с граничным условием u = g на 2 3. (1.5.2) Будем считать, что коэффициенты оператора L(u), а также коэффициенты сопряженного опера тора L (u), принадлежат некоторому пространству C 0, ( ), и предположим, что область принадлежит классу B 2,, 0. В этом параграфе мы получим решение задачи (1.5.1), (1.5.2) в различных функциональных пространствах методом эллиптической регуляризации.

Определение. Ограниченная измеримая функция u(x) называется слабым решением первой краевой задачи (1.5.1), (1.5.2), если для любой функции v из класса C (2) ( ), равной нулю на 1 3, выполняется интегральное тождество v uL (v) dx = vf dx g d + bgv d, (1.5.3) 3 где / k /vj, d — поверхностный элемент площади на, а f и g — ограниченные akj n измеримые функции, заданные, соответственно, на и 2 3.

Ниже мы дадим условия, при которых такое решение существует в гладких и кусочно-гладких областях, а также рассмотрим решения в пространствах Lp () (см §3 выше). Очевидно, что каж дое классическое решение задачи (1.5.1), (1.5.2), если оно существует, является также слабым решением этой задачи в смысле интегрального тождества (1.5.3). Для гладких функций f и g сла бое решение задачи (1.5.1), (1.5.2) можно получить как предел при 0 решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений L (u) u + L(u) = f, (1.5.4) = const 0, с подходящими граничными условиями.

Обозначим через границу множества 0 2 на. Предположим, что akj непрерывны в.

xl Предположим, что в окрестности некоторой точки P на границе области уравнение границы имеет вид F (x1,..., xm ) = 0, grad F = 0, F 0 в. (1.5.5) На рассмотрим функцию L(F ), (1.5.6) 0 (или пределах внутренних точек) и введенную выше в §1. В точках, внутренних по отношению к таких, что (akj / n)nk nj = 0, функция совпадает с точностью до положительного сомножителя с 24 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА функцией b (функцией Фикеры), определенной условием (1.1.3). Действительно, так как akj Fxk и akj nj 0 на 0, получаем kj (a Fxk )nj + (Fxk Fxk )1/2 b = (akj Fxk )xj + (bk akj )Fxk = xj n akj Fxk + b(Fxk Fxk )1/2 = b(Fxk Fxk )1/ Fxk nj + akj nj = n n Легко видеть, что условие (akj / n)nk nj = 0 выполняется в точке P на границе 0, если в неко торой полной окрестности точки P форма akj k j определена и неотрицательна, а akj непрерывны.

xl В общем случае (akj / n)nk nj 0 на 0.

Обозначим через множество точек 0, в которых 0. Обозначим через Mj постоянные, независимые от. В дальнейшем понадобится следующая лемма.

Лемма 1.5.1. Пусть u(x) удовлетворяет в уравнению (1.5.4), u C (2) ( ), u = 0 на, |f | M0 и c(x) c0 0, где c0 = const 0. Пусть множество G на таково, что G лежит внутри 3 и 0 в граничных точках 3, принадлежащих G. Тогда в точках G M1 1/2, |uxj | (1.5.7) j = 1,..., m.

Во всех точках M2 1, |uxj | (1.5.8) j = 1,..., m.

Доказательство. Пусть P0 G. В окрестности P0 перейдем к локальным координатам y1,..., ym с началом в точке P0 таким, что в окрестности P0 лежит в плоскости ym = 0, т.е. положим yk = F k (x1,..., xm ), k = 1,..., m, F m F (x1,..., xm ). Пусть 0 настолько мало, что множество точек Q0 {2 = y1 + · · · + ym 2 2 4 2 } содержится в 3 и 0 в граничных точках 3, 0. Рассмотрим функцию принадлежащих Q 1/2 при, () = 1/2 [1 271 (2 2 )3 6 ] при 2.

2, 0 ym ()} рассмотрим функцию w = K0 (ez 1), где z = В области Q { K1 (ym + 1/2 )1/2. Здесь K0 и K1 — постоянные, независимые от, которые мы выберем позже. Уравнение (1.5.4) в переменных y1,..., ym имеет вид L (u) kj uyk yj + j uyj + kj uyk yj + j uyj + cu = f. (1.5.9) Легко видеть, что в точках коэффициент m =. По определению, 0 на. Подсчитаем L (w). Имеем m1 m L (w) = K0 ez mm K1 1 mj K1 yj 1 + kj K1 yj yk 1 + j=1 k,j= m1 m kj K1 yk yj 1/2 m K1 1/2 + j K1 yj 1/2 + + j= k,j= m1 m + mm K1 1 mj K1 yj 1 + kj K1 yk yj 1 + j=1 k,j= m1 m kj K1 yk yj 1/2 m K1 1/2 + j K1 yj 1/2 + c cK0. (1.5.10) + j= k,j= Отметим, что в области Q мы имеем 1/2, M3 1/2, M4 1/2.

|| |yj | |yk yj | (1.5.11) 5. РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ В точках Q0 коэффициент m 0. Так как по определению 0 в точках 0 Q0, являющихся предельными точками 3, получаем, что m 0 в некоторой окрестности множества Q0 на, которое обозначим через G0.

Следовательно, в точках подобласти Q0 области Q, проекции которых на плоскость ym = принадлежат G0, выполняется неравенство m K1 1/2 K1 M5. (1.5.12) Q В точках \ G0, очевидно, 0 0, и, следовательно, для малых в точках области mm Q, проекции которых на ym = 0 лежат в Q0 \ G0, выполняется неравенство mm 0 /2 0.

Назовем множество таких точек Q1. В точках Q1 члены в скобках в уравнении (1.5.10) ограничены снизу постоянной, не зависящей от, так как в этих точках выполняются (1.5.11) и (1.5.12), форма akj k j неотрицательна, а члены в первой скобке больше, чем M6 K1 1, где M6 = const 0.

Следовательно, выбирая K1 достаточно большим, мы получим, что L (w) c0 K0 в Q0. В точках Q1 знак L (w) для достаточно маленького определяется членом mm K1 1 и, сле 1.

довательно, L (w) c0 K0 в Q Выбирая K0 достаточно большим, получим L (w ± u) c0 K0 ± f 0 в Q.

На границе Q выполнено неравенство w±u 0, если K0 достаточно велико, так как w 0 и u = 0 при ym = 0 и w max |u| при ym = и при большом K0. Следовательно, в силу принципа максимума для эллиптического уравнения (1.5.4) мы имеем w ± u 0 всюду в Q. Так как w = u = 0 на при, в этих точках (w ± u)ym и, следовательно, |uym | K0 K1 1/2. Этого достаточно для доказательства (1.5.7) в точках G.

Оценка (1.5.8) на получается аналогично. Рассмотрим функцию (), определенную уравне ниями при, () = 1 (2 2 )3 6 ] [1 27 при 2.

Пусть w = K0 (e 1), где z z = K1 (ym + )1.

В области Q {0 ()} подсчитаем L (w). Имеем 2, 0 ym m1 m L (w) = K0 e mm K1 2 mj K1 yj 2 + kj K1 yk yj 1 + z j=1 k,j= m1 m kj K1 yk yj 2 m K1 1 + j K1 yj 1 + + j= k,j= m1 m +mm K1 2 + kj K1 yk yj 2 mj K1 yj 2 + j= k,j= m1 m kj K1 yk yj 1 + j K1 yj 1 m K1 1 + c cK0. (1.5.13) + j= k,j= Выражение в скобках, умноженное на, больше, чем M7 K1 1 для малого, где M7 = const 0;

оставшиеся члены в правой части (1.5.13) можно оценить снизу величиной M8 K1 1. Следователь но, для достаточно большого K1 и малого мы имеем L (w) c0 K0.

Далее, рассматривая в Q функцию w ± u, мы получим, как выше, что w ± u 0 в Q и 1 на. Следовательно, неравенство (1.5.8) выполняется. Лемма доказана.

|uym | K0 K 26 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Замечание. В условиях леммы 1.5.1 предположение, что 0 в граничных точках 3, можно заменить требованием, чтобы 0 в некоторой окрестности границы 3.

Теорема 1.5.1. В уравнении (1.5.1) предположим, что c(x) c0 0, f — ограниченная из меримая функция в, g — ограниченная измеримая функция на 2 3 и 0 во внутренних точках 2 0. Тогда в существует слабое решение краевой задачи (1.5.1), (1.5.2), удовле творяющее неравенству (принципу максимума) |f | |u|, sup |g|. (1.5.14) max sup c Доказательство. Пусть fn C (1) (), fn f при n по норме L2 () и |fn | sup |f |, и gn C (2,) (), gn g при n по норме L2 (2 3 ) и пусть функции gn определены в, |gn | sup |g|. Пусть u,n — решение задачи 2 в на (1.5.15) L (u) = fn, u = gn.

Согласно условиям гладкости, наложенным на область, коэффициентам уравнения (1.5.1) и функ циям gn и fn, такое решение u,n эллиптической задачи (1.5.15) существует и принадлежит классу C (2,) () (см. [206]). В силу принципа максимума для решений u,n эллиптического уравнения (1.5.15) мы имеем неравенство |f | |u,n | max, sup |g|. (1.5.16) c Так как для z,n = u,n gn мы имеем L (z,n ) = fn L (gn ) в z,n = 0 на,, лемма 1.5.1 справедлива для z,n при фиксированном n и, следовательно, для u,n. Пусть v C (2) ( ) и v = 0 на 1 3. Применяя формулу Грина, получаем:

L (v)u,n dx+ fn v dx = vu,n dx + u,n v v gn d bgn v d (1.5.17) + u,n d + v d.

n n 3 2 0 Из (1.5.16) следует, что {u,n } слабо компактно в L2 (). Пусть подпоследовательность uk,n слабо сходится к un при k 0 в пространстве L2 (). Переходя к пределу в (1.5.17) при k 0, мы получим, что un удовлетворяет интегральному тождеству v un L (v) dx = fn v dx (1.5.18) gn d + bgn v d.

3 Последний интеграл в (1.5.17) стремится к нулю при k 0. Это очевидно, поскольку в окрестности границы множества 0 2 производную u,n /n можно оценить при фик сированном n с помощью неравенства (1.5.8), так как v = 0 на и площадь конечна, а на (0 2 ) \ условие 0 выполняется, так что (1.5.7) выполняется для u,n на (0 2 ) \.

Следовательно, этот интеграл можно сделать как угодно малым, выбирая достаточно малые и.

Из последовательности {un } выберем подпоследовательность, слабо сходящуюся в L2 () к функции u при nk. Тогда, переходя к пределу в интегральном тождестве (1.5.18) при nk, мы получим утверждение теоремы. Оценка (1.5.14) для функции u следует из неравенства (1.5.16) для функций u,n.

Теорема 1.5.2. Если функция g непрерывна в окрестности 3 2 на, то слабое решение u(x), построенное в теореме 1.5.1, непрерывно в точках 3 и точках 2, являющихся внутрен ними точками или пределами внутренних точек 2, и принимает заданные значения g.

5. РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ Доказательство. Пусть P0 — точка из 3 2. Преобразуем уравнение (1.5.4) с помощью локаль ных координат y1,..., ym в окрестности точки P0 ;

эти координаты выбраны таким образом, что лежит в плоскости ym = 0 и ym 0 в. Пусть уравнение (1.5.4) имеет в новых координатах вид (1.5.9). В окрестности точки P0 для ym 0 рассмотрим функцию m w= ym + yj, = const, 0 1.

j= Легко видеть, что если P0 — точка из 3, то m ( mm 2jj + m ym + L (w) = 1)ym + j= m1 m1 m j 2yj + mm ( 1)ym + jj + m ym + j 2yj + cw + j=1 j=1 j= в некоторой окрестности P0 для ym 0, так как для малых значений ym знак L (w) определяется членом mm ( 1)ym. Если P0 — внутренняя точка 2 или предел внутренних точек 2, то по определению 2 в этой точке m ym 0, и знак L (w) для достаточно малого в некоторой mm окрестности P0 ym 0 определяется членами mm (1)ym + m ym. Так как mm = ym ym + 2 1 mm O(ym ) и ym ( 1)ym + m ym = ( m ym + ym )ym, mm 1 1 mm mm эти члены образуют величину, меньшую нуля, если 0 достаточно мало. Можно считать, что gn сходятся к g при n равномерно на 2 3 в окрестности P0. Пусть u,n — решение задачи (1.5.15). Рассмотрим функции V± = gn (P0 ) + ± u,n + C1 w, C1, = const 0, m в области G { yj, ym 0}. В этой области j= L (V± ) = c(gn (P0 ) + ) ± fn + C1 L (w) 0, если постоянная C1 достаточно велика. На границе G при ym = 0 имеем V± 0, так как C1 w и, более того, ±[u,n gn (P0 )] + 0 при ym = 0 и больших n, если достаточно мало. Так как m u,n равномерно ограничены по и n в силу (1.5.16), получаем, что для yj = выполняется j= неравенство V± 0, если C1 достаточно велико. Согласно принципу максимума, V± 0 в G, т.е.

в G выполняется соотношение C1 w u,n gn (P0 ) (1.5.19) C1 w +, где постоянные C1, и не зависят от или n. Очевидно, что эти неравенства также справедливы для u(x), слабого предела u,n в L2 (). Следовательно, непрерывность предельной функции u(x) в P0 следует из (1.5.19). Теорема доказана.

Теперь докажем теорему о существовании слабого решения задачи (1.5.1), (1.5.2) в простран ствах Lp ().

Теорема 1.5.3. Пусть коэффициенты (1.5.1) таковы, что c(x) 0 в, f Lp (), c akj xj bj j + c 0 в и 0 во внутренних точках 2 0. Тогда в существует слабое xk x решение краевой задачи (1.5.1), (1.5.2) при g = 0 в пространстве Lp (), т.е., существует функция u(x) Lp (), 1 p, удовлетворяющая интегральному тождеству uL (v) dx = (1.5.20) vf dx 28 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА для любой функции v в C (2) ( ), равной нулю на 1 3. Для этого слабого решения справедлива оценка p (1.5.21) u Lp () f Lp ().

min[c + (1 p)c] Если условие c 0 в не выполняется, то такое слабое решение задачи (1.5.1), (1.5.2) при g = 0 существует при достаточно больших p таких, что c + (1 p)c 0 в.

Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.5.1. Функ ция f аппроксимируется по норме Lp () функциями fn из C (1) ( ). Пусть u,n — решение уравнения L (u) = fn в, u,n = 0 на.

Функции u,n ограничены по норме Lp () равномерно по и n. Это следует из (1.2.7), доказанного в теореме 1.2.1. Из равномерной ограниченности нормы u,n в Lp () следует слабая компактность этого семейства функций в Lp (). Выбирая слабо сходящуюся подпоследовательность uk,n при k 0, переходя к пределу при k 0 в (1.5.17) и вспоминая, что gn = 0, как в доказательстве теоремы 1.5.1, мы получим, что предельная функция un (x) удовлетворяет интегральному тождеству (1.5.10). Из (1.2.7) следует, что оценка p un Lp () fn Lp () min[c + (1 p)c] выполняется для un (x). Далее, выбирая из семейства {un } слабо сходящуюся в Lp () при nk подпоследовательность и переходя к пределу этой подпоследовательности в уравнении L (v)un dx = vfn dx, мы получим, что предельная функция u удовлетворяет интегральному тождеству (1.5.20). Очевид но, что u(x) также удовлетворяет (1.5.21).

Метод эллиптической регуляризации можно применить для нахождения слабого решения задачи (1.5.1), (1.5.2) при g = 0 в пространстве H, которое было построено в § 4.

Теорема 1.5.4. Пусть f L2 () и пусть неравенство 1j b akj c const 2 xj 2 xk xj выполнено в области, причем 0 во внутренних точках 2 0. Тогда существует функция u в пространстве H, построенная в § 4, удовлетворяющая (1.4.4) для любой функции v C (1) ( ), равной нулю на 3 1. Это решение является слабым пределом в L2 () при 0, n, последовательности гладких решений u,n уравнения в, u = 0 на L (u) = fn, C (2) ( где fn ), fn f при n по норме пространства L2 ().

Доказательство. Пусть v C (2) ( ) и v = 0 на 3 1. Интегрируя по частям и принимая во внимание граничные условия для u,n на границе области, получим vL u,n dx = [akj vxk u,nxj + u,n (bk akj )vxk + (bk k akj xj c)u,n v] dx+ xj x xk u,n u,n v dx (1.5.22) + v d = vfn dx, n 0 2 где n — направление внутренней нормали к границе. Таким образом, получаем:

u,n vfn dx = B(u,n, v) + u,n v dx (1.5.23) v d.

n 0 5. РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ Заменяя v на u,n в (1.5.22) и интегрируя по частям, получаем 1k b akj c u2 dx u,n fn dx = (1.5.24) akj u,nxk u,nxj + u,nxk u,nxk dx.

2 xk 2 xk xj,n Из (1.5.24) следует, что u,n ограничены по норме H равномерно по и n, т.е.

[akj u,nxk u,nxj + u2 ] dx + u,nxk u,nxk dx C fn L2,,n где C не зависит от или n. Это означает, что существует последовательность uk,n, слабо сходя щаяся при k 0 к функции un (x) в пространстве H. Переходя к пределу при k 0 в уравнении (1.5.23), мы получим, что (1.5.25) vfn dx = B(un, v) C (1) ( для любой функции v ) такой, что v = 0 на 1 3. Последний интеграл в (1.5.23) стремится к нулю при 0, как было показано при доказательстве теоремы 1.5.1. Теперь, выбирая слабо сходящуюся (в H) подпоследовательность последовательности {un } и переходя к пределу в (1.5.25) при nk, мы получим, что предельная функция u(x) удовлетворяет требуемому тождеству (1.4.4). Теорема доказана.

Для уравнений вида (1.1.1) еще интересно рассматривать задачу (1.1.4), (1.1.5) в областях с кусочно-гладкой границей. Например, задача (1.1.4), (1.1.5) для параболических уравнений изу чается, как правило, в цилиндре, который является примером такой области. Для простоты, мы изучим задачу (1.1.4), (1.1.5) в кусочно-гладкой области в классе B (2,) с g = 0 в условии (1.1.5).

Точка P границы области называется точкой гладкости, если в некоторой окрестности этой точки поверхность можно представить в виде xk = fk (x1,..., xk1, xk+1,..., xm ) C (2,), для некоторого k, где fk 0 1.

Множество точек, не удовлетворяющих этому условию, будем обозначать B.

Слабое решение задачи (1.1.4), (1.1.5) при g = 0 в области B (2,) определяется, как ограни ченная измеримая функция u(x) такая, что для любого v C (2) (), равного нулю на 1 3 B, выполняется интегральное тождество uL (v) dx = (1.5.26) vf dx, где f — ограниченная измеримая функция, заданная в.

Теорема 1.5.5. Пусть граница области принадлежит классу B (2,), f — ограниченная измеримая функция в, g = 0, c(x) c0 0 в и 0 во внутренних точках 2 0.

Тогда в существует слабое решение u(x) краевой задачи (1.1.4), (1.1.5), удовлетворяющее неравенству (принципу максимума) |f | |u| sup (1.5.27).

c Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.5.1. Мы построим последовательность областей такую, что вне -окрестности множества B все области совпадают с, каждая принадлежит классу A(2,) и. Пусть u — решение задачи,n Дирихле для эллиптического уравнения в L (u) = fn области, где fn C (2) ( ), |fn | с условием = 0 на границе sup |f |, fn f u,n при n по норме L2 (). Мы применим формулу Грина в области к функциям u и v,,n где бесконечно дифференцируемая функция равна нулю в -окрестности множества B и равна 30 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА единице вне 2-окрестности этого множества. Принимая во внимание, что u = 0 на, мы,n получим u L (v )u dx,n (1.5.28) (v )u dx + fn vd e dx = v d.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.