авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«ISSN 1512–1712 Академия Наук Грузии Институт Кибернетики СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том 55 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ...»

-- [ Страница 3 ] --

+ l=0 l= Функции j неотрицательны и, следовательно, согласно (1.7.2), мы имеем |jyk |2 R3 j, k = 1,..., m. Отсюда следует, что последний член в (1.8.58) не превосходит R4 W.

Для достаточно малого второй член в правой части (1.8.58) не превосходит aj. Если j m неравенство kj k j k выполнено в области j 0, то мы используем (1.7.10), K1 mm k= чтобы оценить первый член в правой части (1.8.58). Таким образом, мы получим 2l+1 l 2l+1 l Cl mk (2l + )ym ks jyk jys (2l + )ym Cl 2mm p jyk p l=0 l= 2l+1 l 2(l1)+ l 2l+ )ym Cl mm ym p j + R6 Cl ym j pl 2mm R5 Cl j (2l + p l=0 l= 2(l1)+ (1.8.59) Cl mm ym j pl + R7 W, l= где j — функции с носителем в j, 0 1, и j 1 в точках, где j = 0.

j Точно так же получаем 2l+1 l 2(l1)+ Cl mk (2l + )ym (1.8.60) Cl mm ym j pl + R8 W.

p jyk 8. О УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ.

Если (1.8.38) или (1.8.40) выполняется в j 0 и, следовательно, mm = 0 и mk = 0 на, то для того, чтобы оценить первый член в правой части (1.8.58), мы используем соотношение 2l+1 l 2l+ Cl mk (2l + )ym R9 Cl ym j pl R10 W.

p jyk Для последнего члена в (1.8.57) мы имеем оценку (ks + ks )Vjxk jxs Cl (ks + ks )jyxk jxs pl j + R l= (ks + ks )DSl uxk DSl uxs j R12 W + j.

+ Cl j l=0 Sl N Подставляя в (1.8.56) выражение для j L (Vj ), заданное правой частью (1.8.57), и принимая j= во внимание оценки, выведенные выше, мы получим L (W ) + aW + (c + M2 )W + R13 W + E W 1 + N0 N N 2(l1)+ mm 2(l1)+ mm +( a) R1.

j + j pl + j pl Cl ym Cl ym j j=1 j=1 l=1 j=1 l= (1.8.61) Последнее суммирование в левой части (1.8.61) проводится только по тем значениям j, для которых (1.8.39) или (1.8.41) выполняется в j. Следовательно, выбирая достаточно малое, мы получим, что сумма трех последних членов в левой части (1.8.61) неположительна. Таким образом, в 0 имеем L (W ) + aW + (c + M2 + R14 )W + E W 1 R1 (1.8.62) для W при ;

здесь R14 зависит от и от функций akj.

Из принципа максимума для (1.8.53) следует, что W 0 равномерно ограничено по. Далее, из (1.8.62) следует, что W ограничено в 0 равномерно по и n, если это верно для W 1 и c + M2 + R14 0 в 0. Действительно, если W принимает наибольшее значение внутри 0, то из (1.8.62) следует, что W (c + M2 + R14 )1 (R1 + E W 1 ).

Очевидно, что W = 0 на. На оставшейся части границы S0 выполняется условие akj nk nj + ank nk 0, и поэтому выполняется (1.8.23). Отсюда следует, что если W принимает наибольшее значение на S0 \, то из (1.8.23) следует, что W R15. Таким образом, по индукции мы получаем ограни ченность W при, равномерную по и n. Отсюда мы получаем утверждение теоремы 1.8.3, как при доказательстве теоремы 1.8.2.

Легко видеть, что условия теоремы 1.8.3 будут выполнены, в частности, если 1 и коэф фициенты akj или akj ( = 0 на 1, 0 в, grad = 0) можно продолжить в окрестность множества 1 таким образом, чтобы akj C(2), akj k j 0 или a C(2) и akj k j 0.

Замечание 1.8.3. Теорема 1.8.3 верна также в случае, когда вместо условий (1) и (2) леммы 1.8. выполняется условие (1.8.51) для некоторых из областей j, в то время как мы также предполагаем, что если s 1, то такие области j покрывают связную компоненту. Обозначим ее. В этом случае мы имеем вместо (1.8.52):

2l+ · 1 (DSl u)2 C1, l(s+1) l=1 Sl где 1 — расстояние от точки x до, а — расстояние от точки x до \.

64 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Замечание 1.8.4. Легко видеть, что теорема 1.8.3 неверна, если вместо условия (1.8.39) или (1.8.41) просто предположить, что граница принадлежит 3. Действительно, предположим, что содержит квадрат {0 x1 1, 0 x2 1}, в котором L(u) 2 u/x2 + cu = 0, c = const 0.

Отрезок 0 1 прямой x2 = 0, а также отрезок 0 1 прямой x2 = 1 принадлежат x1 x 3. В силу теоремы единственности обобщенное решение u(x) в квадрате является линейной комбинацией функций g, заданных на сторонах, так что гладкость решения u внутри зависит от гладкости граничных функций g. То же самое утверждение верно, если L(u) u/x2 + cu, c = const 0, в том же квадрате, что означает, что отрезок 0 x1 1 прямой x2 = 0 принадлежит 2.

Замечание 1.8.5. Пусть в теореме 1.8.3 граница включает (m 1)-мерное замкнутое мно гообразие такое, что 0 1 и существует последовательность гладких поверхностей n n и n при n в том смысле, что мера множества, ограниченного таких, что n, стремится к нулю при n. Предположим, что в области n, граница которой состоит из ( \ ) n, часть n имеет вид 0 1. Точно так же, как было показано в теореме 1.1. (принцип максимума), можно показать, что если pl принимает наибольшее значение на n, то pl равномерно ограничено по n и, следовательно, при предположениях теоремы 1.8.3, слабое решение задачи (1.1.4), (1.1.5) также имеет ограниченные производные порядка 3 в окрестности.

Отметим, что условие 2) леммы 1.8.5 не предполагает возможности продолжения коэффициентов akj в окрестность с сохранением условий akj k j 0 и akj C(2), и, в частности, оно включает случай, когда mm akj xk xj на, где уравнение = 0 определяет границу и grad = на. Эти условия также допускают возможность того, что (1 0 ) непусто.

Теперь мы докажем теоремы о гладкости слабых решений задачи (1.1.4), (1.1.5) в замкнутой области. Мы покажем, что во многих случаях условия теоремы 1.8.2 можно ослабить.

Лемма 1.8.6. Пусть в области, являющейся пересечением окрестности некоторой точки P1, лежащей на границе, с, функция u (x) удовлетворяет условию и u = 0 на L (u) = f.

Используя локальные координаты y1,..., ym, в которых граница лежит в плоскости ym = и ym 0 в, приведем это уравнение к виду L (u) L (u) + cu = f, (1.8.63) где L (u) kj uyk yj + kj uyk yj + uyk, при mj = 0 при mj = 0 mm = 1, j = m, j = m, m kj k j kj k j 0 k, 0 = const 0, 0.

k= Пусть u C (+2) ( ), |u | K0 в, K0 = const 0, и пусть коэффициенты уравнения и функция f принадлежат классу C() (). Пусть при некоторых постоянных Kj 0 выполня ются следующие условия.

1) mm K1 ym ;

m = const 0, 1, mm DSl ym K3 ym, 1 l (1.8.64) mm DSl K2 ym, 2 l, где DS v — производная l ··· v ys1 ysl порядка l, где Sl = (s1,..., sl ) и sj = m при j = 1,..., l.

8. О УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ.

m 2) Форма kj k j удовлетворяет условию (1.7.1) в, т.е.

k,j= m1 m (1.8.65) kj kj vy yk vy yj, ys vyk yj M s = 1,..., m;

M = const 0.

k,j=1 k,j= 3) Или функция mm, продолженная нулем вне, имеет ограниченные производные второго порядка в окрестности, или функция ym mm, продолженная нулем вне, принадлежит классу C(2) в окрестности и m = 0, где 0 — достаточно большое число, зависящее от mm. (В первом случае можно предположить, что вместо условия m = const выполняется условие m = 0 на.) Положим p,l = ym D u, 0;

ym Sl (1.8.66) Sl,l kj kj Z= C,l p ;

Q (v, w) = ( + )vyk wyj, l+ где C,l — некоторые постоянные.

Тогда следующее неравенство выполняется в для функций Z при и для некоторых постоянных C,l, не зависящих от :

1 2 L (Z ) + (c + M1 )Z + E Z 1 a0 E, (1.8.67) C,l ym Q DSl u, DSl u 2 ym ym l+ где a0, M1, E, E — положительные постоянные, не зависящие от, а M1 зависит от k и kj и их производных первого и второго порядка соответственно.

Доказательство. Мы докажем (1.8.67) по индукции аналогично доказательству леммы 1.8.5. Для этого мы сначала получим (1.8.67) при = 1. Легко видеть, что для m h1 = ym u2m u2 = p,l y y +l= = справедливо соотношение m 1 L (h1 ) Q (uy, uy ) ym Q (uym, uym )+ = m1 m 2 mm kj kj mm + + y u yk yj u y + y uym ym uy + ym ym uym ym uym + y =,k,j= m kj + ym uyk yj uym + ch1 + M1 h1 m ym u2m kj + ym y k,j= ( + mm )u2m 4( + mm )ym uym ym uym R1. (1.8.68) y Обозначим через Rj постоянные, не зависящие от. Оценим отдельные слагаемые в (1.8.68).

Очевидно, 2( + mm )ym uym ym uym 1 ( + mm )ym (uym ym )2 + ( + mm )u2m ym Q (uym, uym ) + ( + mm )u2m.

2 y y 66 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Так как форма kj k j положительно определена и удовлетворяет условию 2), получаем, что m1 m1 m1 m u kj kj kj kj + y u yk yj u y + y u yk yj + y y y =1 = k,j,=1 k,j= m R0 Q (uy, uy ) + R2 h1.

= Кроме того, согласно (1.7.2) и условию y y K3 ym, имеем mm m1 m max y y mm u2m ym + R3 h1 mm mm y uym ym uy 1 ym Q (uym, uym ) + R3 h1.

y =1 = Используя условие 2), мы получим оценку m1 m 2 kj + ym uyk yj uym kj ym ym Q (uy, uy ) + R4 h1.

ym = k,j= Если первое предположение в условии 3) выполнено, то, применяя (1.7.2) к функции mm, про долженной нулем в окрестность при ym 0, мы получим ym mm (uym ym )2 + R5 h 2 mm ym ym uym ym uym ym Q (uym, uym ) + R5 h1.

Если второе предположение в условии 3) выполнено, то (1.7.2) применимо к функции ym mm в.

Имеем |ym |3 mm ym M ym mm + M 0 ym |mm |2, M, M 0 = const 0.

Следовательно, учитывая, что mm K1 ym, получим 2 ym u2m ym mm ym uym ym uym ym mm ym uym ym + y M ym mm (uym ym )2 + M 0 ym (mm )2 (uym ym )2 + ym (uym )2 1 ym Q (uym, uym ) + R6 ym u2m, y где R6 определяется функцией mm.

Используя оценки, полученные выше, выбирая достаточно малые постоянные и 1 и предпо лагая, что R6 0, мы выведем из (1.8.68), что m 1 E (h1 ) a0 Q (uy, uy ) + ym Q (uym, uym ) + = +(c + M2 )h1 + R7 ( + mm )u2m R8. (1.8.69) y Так как, очевидно, h0 = u2 удовлетворяет неравенству E (h0 ) + ch0 Q (u, u) R9, (1.8.70) выбирая достаточно большую постоянную C0,0, мы получим из (8) и (1.8.70) соотношение для Z 1 = h1 + C0,0 h0 вида m E (Z 1 ) a1 C0,0 Q (u, u) + ym Q (uym, uym ) + Q (uy, uy ) + (c + M2 )Z 1 R10. (1.8.71) = Теперь проведем доказательство (1.8.67) по индукции. Вычислим выражение E (p,l ) при + l =, проведем оценки, аналогичные оценкам, полученным для = 1, а затем, предполагая, что (1.8.67) выполняется для Z 1, и выбирая достаточно большое C,l для + l 1, выведем неравенство для Z. Таким образом, мы получим утверждение леммы 1.8.6.

8. О УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ.

Теорема 1.8.4. Пусть граница множества состоит из двух замкнутых непересека ющихся множеств и \ (любое из них может быть пусто). Пусть предположения теоремы 1.8.2 выполняются для границы \, коэффициентов (1.1.4) и функций f и g в области \ G. Здесь G — -окрестность множества, и мы предполагаем, что G можно покрыть конечным числом областей {j }, j = 1,..., N, таких, что для любой из областей j = j выполнены предположения леммы 1.8.6 для коэффициентов kj, k, c и функции f, но с условием m const 0 в j вместо условия m = const 0. Пусть g = 0 на, и пусть c c0 0, где постоянная c0 достаточно велика в зависимости от kj и k. Тогда слабое решение u(x) задачи (1.1.4), (1.1.5) принадлежит классу C() ( \ G ) для любого 0.

Кроме того, выполняется следующая оценка для u(x) в каждой из областей j, где локальные координаты y1,..., ym таковы, что лежит в плоскости ym = 0:

k 2k (1.8.72) ym D u C1, C1 = const.

ym Sl k k+l Доказательство. Теорему 1.8.4 можно доказать точно так же, как теорему 1.8.3. Единственное отличие состоит в построении оператора (1.8.53) в окрестности. В области 0, построенной в доказательстве теоремы 1.8.3, мы рассматриваем уравнение 1 f (1.8.73) L (u) = P (u) + a(x)u + L(u) = m m с условием u = 0 на S0, где P (u) — эллиптический оператор в 0, P (u) = u в 0 \ G для некоторого 0, и в некоторой окрестности оператор P (u) = uym ym + P1 (u), где P1 (u) — эллиптический оператор второго порядка, заданный на и продолженный внутрь 0 с коэффи циентами, не зависящими от ym. Кроме того, функции m = m в -окрестности, m = 1 вне 2-окрестности и m const 0, если m 0 на. Однако, если m = 0 на, то m 1.

Отметим, что условие леммы 1.8.5 о том, что mj = 0 при j = m для оператора L в окрест ности всегда можно выполнить, выбрав подходящим образом локальные координаты, если для некоторого s функция akl Fxl, k = 1,..., m, asl Fxl принадлежит классу C() (j ). Здесь akl — коэффициенты оператора L(u), F = 0 — уравнение гра ницы и grad F = 0.

Теорема 1.8.5. Пусть все предположения теоремы 1.8.4 выполнены. Пусть, кроме того, вну три каждой из областей j выполнено одно из следующих условий в окрестности : или DSl mm K3 ym, 0 l, (1.8.74) 1;

DSl mm m const 0, K4 ym, 0 l или m (1.8.75) mm ym = 0, 1, mm max ym где K3 и K4 — некоторые положительные постоянные. Тогда слабое решение задачи (1.1.4), (1.1.5) принадлежит классу C(1) () и классу C() ( \ G ) для любого 0, если выполнены условия (1.8.75), и классу C(k) () и классу C() ( \ G ) для любого 0, k = [/2], если выполнены условия (1.8.74).

Доказательство. Во-первых, предположим, что в j выполнены условия (1.8.74). Затем, исполь зуя оценку вида (1.8.72) с постоянной C1, не зависящей от для решения u уравнения (1.8.73), равного нулю на границе S0, и затем переходя к пределу при 0 в (1.8.73), мы получим (1.8.76) mm uym ym + m uym = F 68 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА во внутренних точках j, где F1 — ограниченная функция в j в соответствии с (1.8.72). Из (1.8.72) также следует, что mm uym ym ограничено в j, так как mm K3 ym в j. Из (1.8.76) следует, что uym ограничено в j.

Далее, применяя оператор DS, где l 2, к правой и левой сторонам (1.8.76), мы получим l уравнение mm DSl uym ym + m DSl uym = F2, где F2 содержит производные u по y1,..., ym1 и члены вида DS mm DS uym ym, l 0, l l 2. Так как по предположению DS mm K3 ym, в силу (1.8.72) функция F2 ограничена в l j и, следовательно, DS uym ограничено в j при l 2.

l Последовательно применяя операторы DS /ym, = 1,..., 2, l + 2, к (1.8.76) l и умножая уравнения, полученные таким образом, на ym, мы получим уравнения, из которых, вместе с (1.8.74) и (1.8.72), следует, что величины +1 u для l + ym DSl + ym ограничены в j.

Доказательство ограниченности в j всех производных вплоть до порядка [/2] проводится индукцией по. Предположим, что для некоторого 1 оценка + u 2, (1.8.77) ym DSl + C2 = const, l+ ym выполняется в j, а затем покажем, что та же самая оценка выполняется для + 1. Для этого применим оператор DS + /ym, l + 2( + 1), к уравнению (1.8.76) и умножим его + l на ym.

Уравнение, полученное таким образом, вместе с условием (1.8.74) и предположением индукции (1.8.77), обеспечивают выполнение оценки вида (1.8.77) также для + 1.

Из (1.8.72) и оценки (1.8.77), доказанной для = 0, [/2], следует, что u(x) C(1) (j ).

Следовательно, теорема доказана в случае выполнения условия (1.8.74).

Если ym = 0 на, то (1.8.76) в j можно переписать в виде mm (1.8.78) ym uym ym + q(y1,..., ym )uym =, где функция ограничена в j и q q0 = const 0. Зафиксируем в j точку P 0 = (y1,..., ym ), 0 0 0, и рассмотрим отрезок {0 y 0, y = y0,..., y m1 = ym1 }. Умножая (1.8.78) на ym ym 1 m ym q(y1,..., ym1, s)s1 ds 0 ym exp ym 0 и интегрируя по ym от ym = до ym = ym, 0 ym, мы получим q(y1,..., ym1, s)s1 ds · uym (y1,..., ym1, ) + 0 0 0 exp uym (P ) ym ym z z 1 exp exp q(y1,..., ym1, s)s1 ds dz.

0 + max || (1.8.79) j ym Легко видеть, что q(y1,..., ym1, s)s1 ds 0 q0 s1 ds = q0 (ym )q0, exp exp 0 ym ym 8. О УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ.

0 ym ym z z 1 exp exp q(y1,..., ym1, s)s1 ds dz 0 z q0 1 (ym )q0 dz = q0 1 q0 (ym )q0.

0 ym Из (1.8.79) следует, что uym (P 0 ) (ym )q0 q0 uym (y1,..., ym1, ) + max ||q0 1 (ym )q0 q0.

0 0 0 (1.8.80) Так как, согласно условию (1.8.75), q0 1, если мы устремим к нулю в (1.8.80) и рассмотрим (1.8.72), то получим uym (P 0 ) max ||q0. (1.8.81) Далее, применяя оператор DS к (1.8.78) последовательно при l = 1,..., 2, мы получим урав l нения для DS uym, из которых получим (последовательно при l = 1,..., 2) ограниченность l DS uym в j точно так же, как была получена оценка (1.8.81).

l Предположим, что при некотором 1 доказана ограниченность в j производных вида DS u/ym для l + 1. Мы покажем, что отсюда следует ограниченность производ l 1. Для этого сначала применим оператор /ym к ных DS u/y для = + 1, l + l m уравнению (1.8.78) и получим для v = +1 u/ym уравнение вида + ym (v)ym + (q + )v =, (1.8.82) где — ограниченная функция. Из этого уравнения мы получим ограниченность +1 u/ym + в j точно так же, как была получена оценка (1.8.81). После этого, применяя к (1.8.82) последо вательно операторы DS при l = 1,..., 2, мы получим ограниченность производных вида l +1 u/y +1, l + 2. Таким образом, теорема доказана.

DS m l Замечание 1.8.6. Из теоремы 1.8.5 следуют условия, при которых существует слабое решение задачи (1.1.4), (1.1.5), гладкое в окрестности 1. При этом не предполагается, что (1.1.4) можно продолжить в окрестность 1 с сохранением гладкости его коэффициентов и неотрицательности формы akj k j, как это было сделано в теореме 1.8.2. Аналогичная теорема была доказана в ста тье Кона и Ниренберга [193]. Однако, в этой статье, в отличие от рассмотрений, проведенных выше, процесс получения гладкого решения задачи (1.1.4), (1.1.5) как предела при 0 реше ний эллиптических уравнений был проведен с помощью присоединения к (1.1.4) в окрестности 1 эллиптического оператора высокого порядка с малым параметром, причем порядок оператора зависел от гладкости данных задачи (числа ). А вне окрестности 1 они присоединяли эллип тический оператор второго порядка, тоже с параметром. Результаты статьи [193] мы изучим в следующем параграфе.

Лемма 1.8.7. Пусть выполнены условия леммы 1.8.6 с тем исключением, что вместо усло вия 1) в области j для некоторых постоянных Kj и s 1 выполняются условия mm s K0 ym, при mm DSl mm s+ (1.8.83) K1 ym, K2 ym 2 l, при 1, mm s+1/2 m DSl ym K3 ym 1 l = const.

Пусть p,l = ym (s+1) D u ym Sl Sl C,l p,l. Тогда в точках j мы имеем следующее неравенство для и, как и раньше, Z = l+ Z при :

L (Z ) + (c + M1 )Z + E Z 70 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА (s+1) a0 E, (1.8.84) C,l ym Q DSl u, DSl u ym ym l+ где C,l, a0, M1, E, E — постоянные, не зависящие от, причем M1 зависит от k, kj и их производных первого и второго порядка соответственно.

Доказательство. Неравенство (1.8.84) доказывается точно так же, как аналогичное неравенство m (1.8.67). Сначала мы докажем его при = l. Пусть h1 = ym u2m + u2. Имеем s+ y y = m L (h1 ) + ch1 + M1 h1 Q (uy, uy ) ym Q (uym, uym )+ s+ = m1 m kj + y uyk yj uy + kj mm + y uym ym uy + y = k,j,= m kj + ym uyk yj uym s+1 mm kj +ym ym uym ym uym + ym k,j= (s + 1) m s 2 s1 s(s + 1) ym uym ( + mm )ym uym 2( + mm )(s + 1)ym uym ym uym R1.

s 2 Оценка последнего члена, а также членов в квадратных скобках, проводится точно так же, как (s + 1) m s ym uym + R2 ym u2m, принимая во в доказательстве леммы 1.8.6. Мы оценим члены s y 0 = u2 имеется член вида Q (u, u). Так как mm внимание, что в (1.8.70) при h K0 ym, отсюда s 0 при достаточно большом C следует, что в уравнении для h1 + C0,0 h 0,0 сумма (s + 1) m s ym uym + R1 ym u2m C0,0 mm u2m s y y неположительна. Оставшаяся часть доказательства леммы 1.8.7 повторяет доказательство лем мы 1.8.6.

Теорема 1.8.6. Пусть граница состоит из двух замкнутых непересекающихся множеств и \ (любое из них может быть пустым). Пусть условия теоремы 1.8.2 выполнены для границы \, коэффициентов (1.1.4) и функций f и g в области \G, где G — -окрестность множества. Также предположим, что G можно покрыть конечным числом областей j, j = 1,..., N, таких, что в каждой из областей j = j выполнены либо предположения леммы 1.8.6, либо предположения леммы 1.8.7, относящиеся к коэффициентам kj, k, c и функции f. Пусть g = 0 на и c c0 0 в G, где достаточно большая постоянная c0 зависит от kj, k и их производных первого и второго порядка. Тогда слабое решение u(x) задачи (1.1.4), (1.1.5) принадлежит классу C() ( \ G ) для любого 0. Более того, в каждой из областей j для u(x) выполняется следующая оценка, где y1,..., ym — локальные координаты, такие, что лежит в плоскости ym = 0 с ym 0 в :

k (1.8.85) ym D u C1 = const, ym Sl k k+l где = 2k, если точка y1,..., ym принадлежит j, для которой выполнены предположения леммы 1.8.6, и = k(s + 1), если в j выполнены предположения леммы 1.8.7.

Доказательство этой теоремы проводится точно так же, как доказательство теоремы 1.8.4.

Теорема 1.8.7. Пусть предположения теоремы 1.8.6 выполнены для = 1 1, где те 1 области j, границы которых содержат точки из 1, удовлетворяют условиям теоремы 1.8. 8. О УСЛОВИЯ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ и (1.8.75), а те j, границы которых содержат точки из 1, удовлетворяют предположениям леммы 1.8.7, а также условию m + ( 1)ym 0 при (1.8.86) mm.

Тогда слабое решение u(x) задачи (1.1.4), (1.1.5) принадлежит классу C(1) () и классу C() ( \ G ) для любого 0.

Доказательство. Ввиду теоремы 1.8.5 достаточно доказать, что решение u(x) в окрестности 1 принадлежит классу C(1). Очевидно, 1 2. Во-первых, мы покажем, что в j функции uym равномерно ограничены, где u — решение уравнения, аналогичного уравнению (1.8.73), равное нулю на границе S0, где m = | m | в -окрестности 1. Для доказательства теоремы 1.8.6 была получена оценка k (1.8.87) k(s+1) ym D u C ym Sl k k+l 1, для u из окрестности где постоянная C1 не зависит от. Из уравнения (1.8.73), вместе с рассуждениями, взятыми из (1.8.87), получим:

(mm + | m |)uym ym + m uym =, (1.8.88) где функция равномерно ограничена по. Согласно оценке (1.8.87), uym равномерно ограничены по при ym 1 0.

Рассмотрим uym при 0 ym 1. Если uym принимает наибольшее положительное значение или наименьшее отрицательное значение при 0 y, то в этой точке uym uym ym 0 и, поскольку m 0, то из (1.8.88) следует, что max | | · | m |1, |uym | m т.е. функция p1 = u2 j равномерно ограничена по.

x j= Далее, принимая во внимание, что p1 ограничено в окрестности 1 равномерно по, а при все производные до порядка включительно равномерно ограничены по, мы можем ym доказать точно так же, как в лемме 1.8.7, что сумма + (s+1) C+1,l ym +1 DSl u ym 1 l++ ограничена в окрестности равномерно по.

Доказательство ограниченности всех производных до порядка 1 включительно в окрестности 1 проводится индукцией по. Предположим, что для некоторого 1 выполняется оценка + (1.8.89) (s+1) C+,l ym + DSl u C2, ym 1 l++ где постоянная C2 не зависит от. Мы покажем, что все производные u порядка +1 ограничены в j равномерно по. Отсюда мы получим, точно так же, как при доказательстве леммы 1.8.7, что оценка вида (1.8.89) также выполняется при + 1. Для этого применим оператор /ym к уравнению (1.8.88). В j получим:

+1 u +1 u (mm + | m |) + m + ym + | m |ym (1.8.90) mm +1 =, + ym ym ym где функции согласно (1.8.89) равномерно ограничены по. Так как по предположению тео ремы 1.8.7 мы имеем m + ym 0, из (1.8.90) следует, точно так же, как при доказательстве mm ограниченности uym, что функции ( +1 /ym )u ограничены в окрестности 1 равномерно по.

+ Отсюда и из (1.8.89) следует, что все производные u порядка + 1 равномерно ограничены, откуда следует, что оценка вида (1.8.89) выполняется также при + 1.

72 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Таким образом, мы получаем равномерную (по ) ограниченность в окрестности 1 всех произ водных u до порядка 1 включительно. Теорема доказана.

Условие (1.8.83) теоремы 1.8.7 можно опустить. А именно, выполняется следующий результат.

Теорема 1.8.8. Пусть выполняются все условия теоремы 1.8.7 за исключением условия (1.8.83), которое предполагалось выполненным в теореме 1.8.7 для точек, лежащих в окрест ности 1. Тогда обобщенное решение задачи (1.1.4), (1.1.5) принадлежит классу C в \ G, классу C1 в окрестности 1 и классу C3 в окрестности 1.

1 Доказательство. В области 0, определенной при доказательстве теорем 1.8.3 и 1.8.4, рассмотрим уравнение (1.8.91) L(u) + a(x)u + L(u) = f1, 1, L(u) P (u) вне -окрестности 1 (оператор P определен в где L эллиптично всюду в 0 \ доказательстве теоремы 1.8.4), и в /2-окрестности 1 имеем L(u) a(ym )uym ym + P1 (u), где P1 (u) — эллиптический оператор, заданный на 1 и продолженный внутрь с коэффициента ми, не зависящими от ym, a(ym ) = ym при ym /4 и a(ym ) = 1 при /3 ym /2, 0 a при 0 ym /2. В области 0 уравнение (1.8.91) имеет решение по теореме 1.8.7, равное нулю на границе S0. Это решение принадлежит классу C1 (0 ). На границе 1 можно выразить все производные от u до порядка 1 с помощью уравнения (1.8.91) и уравнений, полученных из него дифференцированием по y1,..., ym. Легко видеть, что эти производные равномерно ограниче ны по. Поэтому доказательство теоремы 1.8.8 проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1.8.4, с той разницей, что в тех областях j, границы которых содержат точки из 1, мы полагаем Z = DSl u.

Cl l Sl 9. ОБ УСЛОВИЯХ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВАХ С. Л. СОБОЛЕВА В этом параграфе мы найдем условия, при которых существует решение задачи (1.1.4), (1.1.5) с квадратично интегрируемыми слабыми производными. Если при этих условиях предположения теоремы, обеспечивающей единственность слабого решения этой задачи выполнены, то эти условия гарантируют некоторые свойства гладкости слабого решения задачи (1.1.4), (1.1.5).

Изложение в этом параграфе следует, в основном, работам Кона и Ниренберга [193, 196].

Для простоты предположим, что коэффициенты уравнения (1.9.1) L(u) = akj uxk xj + bk uxk + cu = f бесконечно дифференцируемые (или достаточно гладкие) функции в, что краевая функция g в (1.1.5) равна нулю, и что область A(n) для достаточно больших n.

Как и в § 8, обозначим ··· DSl u = u, Sl = (s1,..., sl ), sj = 1,..., m, xs1 xsl ··· DSl u = u, ys1 ysl с условием, что sj = m. Обозначим через W2 () пространство функций, для которых существуют k слабые производные в области до порядка k включительно, и k dx.

u = DSl u k;

l=0 Sl В случае k = 0 мы также будем использовать обозначение u 0;

= u 0. В окрестности точки P1 на границе введем локальные координаты y1,..., ym такие, что граница лежит в плоскости 9. ОБ С. Л. СОБОЛЕВА УСЛОВИЯХ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВАХ ym = 0 и ym 0 в. Пусть G0 — -окрестность множества 0, G2 — -окрестность множества 2, и пусть настолько мало, что G0 и G2 можно покрыть областями, в которых существуют локальные координаты y1,..., ym с указанными выше свойствами. Мы определим k | u |2 = DSl u + D u dy+ N ym Sl k Sl Sl G lN l+k N, k k |ym | (1.9.2) k + D u dy + DSl u dx.

ym Sl k Sl Sl G0 \(G0 G2 ) l+k N lN Теорема 1.9.1 (см. [193]). Пусть выполняются следующие условия на границу и на коэф фициенты в (1.9.1).

1) (1 0 ) 2 3 =. (1.9.3) 2) Коэффициент c c0 0 в, и постоянная c0 достаточно велика, зависит от akj, bk и их производных порядка 3 и меньше.

3) В точках из 1 + 0, (1.9.4) 2 b где = (bk akj )Fxk, = (bk akj )(ars Fxr Fxs )xk, — положительное целое число, урав b xj xj нение F = 0 определяет границу и grad F имеет направление внутренней нормали к (очевидно, 0 и 0 на 2, и функции и инвариантны относительно невыро b b жденных замен независимых переменных, как видно из леммы 1.1.1).

4) В точках L0 (a) (1.9.5) K1, | b| где K1 — постоянная, зависящая только от размерности пространства Rm, и L akj 2 /xk xj, a(x) = akj Fxk Fxj. (Если точка x0 является внутренней точкой 2 или пределом внутренних точек 2, легко показать, что в x0 левая часть соотношения (1.9.5) равна нулю, так что условие (1.9.5) выполнено.) Тогда для любой функции f W2 () существует решение u(x) задачи (1.1.4), (1.1.5) с g = 0, и выполняется оценка | u | C1 f ;

, (1.9.6) где постоянная C1 не зависит от u и — данное целое положительное число. Более того, (+1)/ u W2 в \ (G0 G2 ), u W2 для четного и u W / для нечетного в окрестности (1)/ / 2 ;

и наконец, u W2 для четного и u W2 для нечетного в окрестности 0.

Ниже мы дадим доказательство теоремы 1.9.1 в простейшем случае, когда = 3. Решение задачи (1.1.4), (1.1.5) в этом случае, как и в теореме 1.8.2, получается как предел при решений эллиптического уравнения в (1.9.7) u + L(u) = f с граничным условием u = 0 на. (1.9.8) В случае, когда содержит множество 1, уравнение, аналогичное (1.9.7) в доказательстве теоре мы 1.9.1 в [193] включает сопряжение эллиптического оператора порядка 2 с малым параметром в окрестности 1. Мы здесь не приводим полного доказательства утверждений теоремы 1.9. из-за его сложности. Некоторые результаты, касающиеся гладкости решения задачи (1.1.4), (1.1.5), близкие к результатам теоремы 1.9.1, были доказаны другими методами в § 8. Эти методы всюду использовали регуляризацию типа (1.9.7), (1.9.8).

74 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Теорема 1.9.2. Пусть = 3, f W2 (), коэффициент c c0 0 в, постоянная c0 достаточно велика, зависит от akj, bk и их производных порядка 2 и меньше, и пусть коэффициенты (1.9.1) и граница области бесконечно дифференцируемы (или достаточно гладки). Тогда существует решение задачи (1.1.4), (1.1.5) с g = 0 в классе W2 () и (1.9.9) u C2 f ;

, ;

где C2 не зависит от u и — положительное целое число.

Сначала докажем несколько вспомогательных результатов.

Введем некоторые обозначения. Для любых функций u и v из C(1) () положим 1k Q(u, v) akj vxk uxj vxk uxk + b akj u x k v vx k u + 2c bk k + akj xj uv dx.

xj x xk 2 (1.9.10) В дальнейшем символы Cj будут использоваться для обозначения постоянных, зависящих только от aks, bk и их производных до второго порядка включительно, а Kj будут обозначать постоянные, не зависящие от параметра. Их нумерация сохраняется только в ходе доказательства одной леммы или одной теоремы.

Лемма 1.9.1. Пусть — бесконечно дифференцируемая функция с носителем, содержащим ся в малой окрестности U точки x0 (так что в U можно ввести локальные координаты y1,..., ym, где лежит в плоскости ym = 0 и ym 0 в ). Тогда при l Q DSl u, DSl u (1)l Q u, DSl 2 DSl u) 2 2 2 C1 DSl1 uym 0 + DSl u 0 + K1 DS u 0 + DS uym, S Sl1 Sl S l1 l (1.9.11) где u C (l+1) (), C (), 1 на supp и 0 вне U.

Доказательство. Обозначим выражение в правой части (1.9.11) с постоянными Cs и K вместо C1 и K1 символом R(Cs, K ). Пусть (v, w) = vw dx. Легко видеть, что Q(u, v) + (Mj u, Mj v), j где Mj и Lj — дифференциальные операторы первого порядка, имеющие в локальных координатах y1,..., ym вид m Mj aj bk + + cj, j ym yk k= (1.9.12) m Lj j k + j + rj, ym yk k= где aj, j, bk и не зависят от c.

k j j Рассмотрим операторы A = DS и A = (1)l DS. Выполняется следующее тождество:

l l 2[Q(Au, Au) Q(u, A Au)] = = [Q(Au, Au) Q(u, A Au)] + [Q(A Au, u) Q(u, A Au)] + [Q(Au, Au) Q(A Au, u)] = = (Mj Au, [A, Lj ]u) + (Mj u, [Lj, A ]Au) (Lj Au, [A, Mj ]u) + ([Mj, A ]Au, Lj u) + +[Q(A Au, u) Q(u, A Au)], (1.9.13) 9. ОБ С. Л. СОБОЛЕВА УСЛОВИЯХ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВАХ где по определению [A, B] AB BA для любых двух операторов A и B. Здесь предполагается суммирование по повторяющемуся индексу j. Оценим члены в последней части (1.9.13).

Очевидные преобразования приводят к тождеству (Mj Au, [A, Lj ]u) + (Mj u, [Lj, A ]Au) ([A, Mj ]u, [Lj, A]u) ((A A )Mj u, [Lj, A]u)+ +(Mj u, [Lj, A A]Au) + (Mj u, [[Lj, A], A]u). (1.9.14) Далее, используя представление (1.9.12) для операторов Mj и Lj, получим ([A, Mj ]u, [Lj, A]u) = [A, aj ]uym aj A(ym ) u+ m1 m u + [A, cj ]u, [A, j ]uym j A(ym ) u + A, bk k + A, j u + [A, rj ]u, j yk yk k=1 k= где оператор A(ym ) определен уравнением A(ym ) ym DS. Следующие оценки очевидны:

l 2 2 2 [A, aj ]uym + [A, j ]uym C2 DSl1 uym + K2 DS uym ;

0 0 0 Sl1 S l 2 m 2 A, bk k aj A(ym ) u + u + A, j u + j A(ym ) u 0 j yk yk 0 k= 2 C3 DSl u + K3 DS u 0 ;

Sl S l 2 2 [A, cj ]u + [A, rj ]u K4 DS u 0.

0 S l Из оценок, полученных выше, следует, что |([A, Mj ]u, [Lj, A]u)| R(C4, K5 ). Аналогично мы оценим интеграл ((A A )Mj u, [Lj, A]u). Далее мы изучим интегралы (Mj u, [[Lj, A]A]u) и (Mj u, [Lj, A A]Au) в правой части (1.9.14). Используя представление (1.9.12), получим Mj u, [[Lj, A], A]u = m k = Mj u, [[j, A], A]uym + [j A(ym ), A]u + [[rj, A], A]u + [j, A]A(ym ) u + j,A,A u.

yk k= (1.9.15) Преобразуем интегралы в правой части (1.9.15) с помощью интегрирования по частям и напомним, что [[j, A], A] — дифференциальный оператор порядка 2l 2, содержащий дифференцирования только по переменным y1,..., ym1. Также, напоминая, что [j A(ym ), A], [[rj, A], A], [j, A]A(ym ) и m [[j /yk, A], A] — дифференциальные операторы порядка не более, чем 2l 1, также содержа k k= щие дифференцирования только по переменным y1,..., ym1, мы получим оценку |(Mj u, [[Lj, A], A]u)| R(C5, K6 ) из (1.9.15). Оценим интеграл (Mj u, [Lj, A A]Au) в точности тем же способом. Как следствие, |(Mj Au, [A, Lj ]u) + (Mj u, [Lj, A ]Au)| R(C6, K7 ).

Два оставшихся члена в последней части (1.9.13) можно оценить аналогично;

из этих результатов следует утверждение леммы.

76 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Лемма 1.9.2. Пусть выполнено условие 2) теоремы 1.9.1, u (x) — решение уравнения L (u) u + L(u) = f в, (1.9.16) = const 0, с условием u = 0 на, (1.9.17) C (+2) (), и предположим, что u f W2 (). Тогда для любого l выполняется оценка 2 2 2 c0 DSl u K8 DS f + C7 DSl u + DSl1 uym + 0 0 0 S Sl Sl l 2 (1.9.18) +K9 DS u + DS uym, 0 S S l1 l где функции и определены как в лемме 1.9.1. Если C0 (), то при l 2 2 2 (1.9.19) c0 DSl u K10 DS f + C8 DSl u + K11 DS u, 0 0 0 S Sl S l l где C0 () и 1 на носителе.

Доказательство. Для любых гладких функций u и v, равных нулю на, выполняется тождество (L (u), v) = Q(u, v). (1.9.20) В силу предположения 2) теоремы 1.9.1 можно предположить, что в c0 + bk k akj xj 0.

x xk Следовательно, из (1.9.10) вытекает, что c v2 (1.9.21) Q(v, v) для любой гладкой функции v, равной нулю на. Подставим v = DS u в (1.9.21);

получим l c0 (1.9.22) DSl u 0 Q DSl u, DSl u.

Чтобы оценить правую часть (1.9.22), используем неравенство (1.9.11) из леммы 1.9.1. Имеем Q u, DSl 2 DSl u (1.9.23) Q DSl u, DSl u + R(C1, K1 ).

Из (1.9.20) следует, что 2 Q u, DSl 2 DSl u f, DSl 2 DSl u (1.9.24) = DSl u + DSl f.

0 Из оценок (1.9.22)–(1.9.24) следует (1.9.18).

Неравенство (1.9.19) доказывается аналогично. В этом случае необходимо объяснить, что если C0 (), то можно получить оценку вида 2 (1)l Q u, DSl 2 DSl u + C9 (1.9.25) Q DSl u, DSl u DSl u + K12 DS u 0 Sl S l точно так же, как в доказательстве леммы 1.9.1, только необходимо сделать некоторые упрощения.

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1.9.2. Мы получим решение задачи (1.1.4), (1.1.5) с g = 0 как предел при 0 решений эллиптического уравнения (1.9.16) с условием (1.9.17). Во-первых, предполо жим, что f C ( ). Пусть {j }, j = 1,..., N, — конечное покрытие такое, что 1 не содержит точек границы, а j при j 1 содержит точки и настолько мало, что можно ввести локальные координаты y1,..., ym в j такие, что граница лежит в плоскости ym = 0 и ym для точек из. Пусть {j }, {j } и {j } — разбиения единицы (см. главу 2, § 1), соответствующие 9. ОБ С. Л. СОБОЛЕВА УСЛОВИЯХ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВАХ покрытию {j } с j = const 0 на носителе j, и j на носителе j, j = 1,..., N. Мы докажем, что 2 (1.9.26) u C1 f ;

, ;

где постоянная C1 не зависит от. Из оценки (1.9.26) следует, что можно найти последовательность 0 такую, что u (x) u(x) слабо в пространстве W2 (), и такую, что (1.9.9) выполняется для предельной функции u(x), т.е. при 2 u(x) является решением задачи (1.1.4), (1.1.5) с требуемыми свойствами. Из теоремы вложения Соболева (см. [20, 70, 121], а также главу 2, § 1) следует, что u(x) C (k) (), если 2( k) m. Отметим, что если f принадлежит W2 (), то можно ее аппроксимировать в норме W2 () функциями fn из класса C ( ), и решение задачи (1.1.4), (1.1.5) получится как предел u при 1/n и, стремящихся к нулю на некоторой последовательности.

Таким образом, для доказательства теоремы 1.9.2 достаточно получить оценку (1.9.26).

Очевидно, выполняется неравенство N r 2 2 u N j u ;

2N 1 DS u + K1 u + 2N j D u.

;

1;

ym Sl r j j1 l+r= Sl S (1.9.27) Согласно лемме 1.9.2, оценка (1.9.19) выполняется для интеграла 1 DS u 0 с функцией = 1 /. Теперь оценим последнюю сумму в соотношении (1.9.27). Мы покажем, что для любых 1 0 и l 2 r r C1 2 (1.9.28) j D u 1 + j D u + K2 f + u.

l;

l1;

ym S ym S r r c0 0 S S +r=l r+=l Для этого запишем (1.9.16) в j = j при j 1, используя локальные координаты y1,..., ym.

Имеем L (u) kj uyk yj + k uyk + kj uyk yj + k uyk + cu = f.

По определению формы Q(u, v), для любой гладкой функции u с носителем в j, j 1, имеем ((mm + mm )uym, uym ) m1 m ((k + k )uyk, uy ) + K3 u 2. (1.9.29) ((mk + mk )uyk, uym ) + C2 Q(u, u) + 2 k=1 k,= Так как = 3, имеем в j (1.9.30) mm max mm 0, 2 j если область j достаточно мала. Следовательно, принимая во внимание неравенство (1.9.29) для u = j u, получим 2 C3 ((mm + mm )(j u )ym, (j u )ym ) + j u j uym 0 m ((mk + mk )(j u )yk, (j u )ym ) + C4 Q(j u, j u ) + k= m ((k + k )(j u )yk, (j u )y ) + K4 j u 2.

+ k,= Отсюда следует, что C5 2 + C4 Q(j u, j u ) + K5 j u 2. (1.9.31) j uym 1 j uym + j DS1 u 0 0 1 S 78 ГЛАВА 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Используя (1.9.20), нетрудно показать, что 2 2 (1.9.32) Q(j u, j u ) K6 j f + j u + 1 j DS1 u + 1 j uym 0, 0 0 S где постоянная K6 зависит от 1.

Из неравенства (1.9.18), взятого при l = 1, мы выводим, что 2 j DS1 u + j DS1 u 0 C 2 2 2 2 (1.9.33) K7 j DS1 f + j f + j u + j DS1 u + j uym.

0 0 0 c S1 S Из оценок (1.9.31), (1.9.32) и (1.9.33) следует, что 2 j DS1 u + j uym S C7 2 2 (1.9.34) 21 + j uym + j DS1 u + K8 f + u.

0 1;

c0 1 S Это означает, что при l = 1 выполняется неравенство (1.9.28).

Покажем по индукции, что (1.9.28) выполняется для любого l. Пусть оно выполняется при l = l0. Покажем, что это соотношение также выполняется при l = l0 + 1. Из (1.9.18) следует, что 2 j DSl u + j DSl u 0 0 +1 0 + C8 2 2 2 (1.9.35) j DSl u + j DSl uym + K9 f + u.

l0 +1;

l0 ;

0 0 + c0 Sl0 +1 Sl Рассмотрим неравенство (1.9.29) для u = j DS u. Принимая во внимание условие (1.9.30), мы l получим следующее неравенство точно так же, как было получено неравенство (1.9.31):

j DSl uym C9 Q j DSl u, j DSl u + 0 0 Sl0 Sl C 2 +1 j DSl uym + j DSl u + 0 0 + Sl0 Sl0 + 2 (1.9.36) +K10 j DS u + j DS uym.

0 S S l0 l Из леммы 1.9.1 следует неравенство Q u, DSl 2 DSl u (1.9.37) Q j DSl u, j DSl u + K11 j u l0 ;

.

j 0 0 0 Sl Так как DS 2 DS u = 0 на, из (1.9.20), (1.9.37) можно вывести, что jl0 l 2 Q j DSl u, j DSl u K12 f + j u.

l0 ;

l0 ;

0 Sl Из (1.9.36) и последнего неравенства следует, что C 2 2 j DSl uym 1 + j DSl uym + j DSl u + 0 0 0 + 1 c 0 Sl0 Sl 2 (1.9.38) +K13 f + j u.

l0 +1;

l0 ;

Теперь применим оператор j DS r2 /ym при r 2, + r = l0 + 1 к уравнению L (u) = f.

r Получим m r u r u = 2 r (mm + mm )j DS (km + km )j DS r ym yk ym k= m r u r2 f (1.9.39) (ks + ks )j DS + j DS r2 + Al0 u, r ym yk ys ym s,k= где Al0 — линейный дифференциальный оператор порядка l0, коэффициенты которого равны нулю вне supp j. Принимая во внимание условие (1.9.30), мы выведем из (1.9.39), что при + r = l0 + 2 2 r u r1 u r2 u j DS r C12 j DS + j DS + r1 r ym ym ym 0 0 S S +r1=l0 +1 +r2=l0 + 2 (1.9.40) +K14 f + u.

l0 +1;

l0 ;

Следовательно, если предполагается, что оценка вида 2 r u r u C14 2 j DS r 1 + j DS r + K15 f + u l0 +1;

l0 ;

ym 1 c0 ym 0 S S +r=l0 +1 +r=l0 + (1.9.41) выполняется при r r0, то из (1.9.40) следует, что оценка того же самого вида (1.9.41) выполняется также при r = r0 + 1. Так как (1.9.41) выполняется при r = 1 в силу (1.9.38) и (1.9.35), то отсюда следует, что (1.9.41) выполняется для всех и r таких, что + r = l0 + 1, т.е. (1.9.28) выполняется при l = l0 + 1.

Мы используем неравенство (1.9.28), чтобы оценить члены в последней сумме в (1.9.27). Пред полагая, что постоянная 1 выбрана достаточно малой и постоянная c0 из условия 2) теоремы 1.9. достаточно велика, мы используем (1.9.27), чтобы получить оценку 2 2 (1.9.42) u C15 f + u.

;

;

1;

Точно таким же образом можно получить оценку 2 2 (1.9.43) u C16 f + u l;

l;

l1;

при l. Так как, очевидно, выполняется 2 (1.9.44) u C17 f 0, оценка (1.9.26) следует из (1.9.42)–(1.9.44). Это доказывает теорему.

Если = 1, то из теоремы 1.9.2 следуют условия существования слабого решения задачи (1.1.4), (1.1.5) в смысле интегрального тождества (1.5.3).

ГЛАВА О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В главе 2 в основном изучается локальная гладкость слабых решений уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой и, в частности, условия гипоэллиптичности.

Как уже было сказано во введении, условия гипоэллиптичности класса уравнений второго по рядка вида (9) впервые были приведены в книге Х рмандера [187], а для общих уравнений второго e 80 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА порядка — в [112] и в главе 2, §§ 6 и 7. В доказательстве Х рмандера используются результаты e из теории алгебр Ли и теории специальных функциональных пространств. Другое доказатель ство теоремы Х рмандера о гипоэллиптичности, основанное на теории псевдодифференциальных e операторов, приводится в § 6 этой главы.

В § 7 приведены примеры гипоэллиптических уравнений второго порядка с неотрицательной ха рактеристической формой, не представимые в виде (9);

в этом параграфе приведены результаты о гипоэллиптичности общих уравнений второго порядка. В § 6 также показано, что условия теоремы Х рмандера можно ослабить;

аналогичные теоремы доказаны в § 7 для общих уравнений второго e порядка. В §§ 6 и 7 гипоэллиптичность уравнений доказана в качестве следствия априорных оце нок типа Шаудера. Эти оценки используются в § 8 для построения решения первой краевой задачи в негладких областях для гипоэллиптических уравнений методом М. В. Келдыша [52]. В §§ 1 и 2 выведены основные результаты о пространствах Hs и о псевдодифференциальных операторах и приведена подробная библиография, относящаяся к этим вопросам. В § 1 приведены необхо димые и достаточные условия гипоэллиптичности уравнений второго порядка с аналитическими коэффициентами.

1. ПРОСТРАНСТВА Hs Этот параграф носит вспомогательный характер. Мы обсуждаем те свойства пространств Hs, которые понадобятся в наших рассмотрениях.

Сначала дадим некоторые понятия, определения и теоремы из теории обобщенных функций, которые понадобятся позже. Пусть — область в m-мерном пространстве Rm и пусть u(x) — непрерывная комплекснозначная функция в. Носитель функции u(x) в — это замыкание мно жества {x;

x, u(x) = 0}. Носитель функции u обозначается supp u. Обозначим через C0 () множество всех бесконечно дифференцируемых функций в, имеющих компактный носитель в.

Для любого множества A в Rm мы понимаем под C0 (A) множество всех действительных функций (Rm ) таких, что supp A. Имеет место следующая теорема о разбиениях единицы.

в C Теорема 2.1.1. Пусть 1,..., k — открытые множества, и пусть K — компактное множе k k ство такое, что j K. Существуют функции j C0 (j ) такие, что j 0и j 1, 1 k где j 1 на K.

Обозначим через мультииндекс 1,..., m, где j — неотрицательные целые числа;

их сумму m j мы обозначим через ||, а произведение 1 ! · · · m ! обозначим через !. Кроме того, введем обозначение Dj = i D = D1 1 · · · Dmm.

, xj Здесь i = 1. Положим x = x1 · · · xm. Функционал u(), определенный на функциях в 1 m C0 (), называется обобщенной функцией в, если u() удовлетворяет следующим условиям:

1) u(c1 1 + c2 2 ) = c1 u(1 ) + c2 u(2 ), где c1 и c2 — комплексные числа;

1, 2 C0 ();

2) u(n ) 0 при n, если последовательность n сходится к нулю в следующем смысле:

для любого мультииндекса имеем sup |D n | 0 при n, и существует компактное множество K в, содержащее носители всех функций n.

Линейное пространство функций C0, в котором сходимость последовательностей к нулю опре делена таким образом, обозначается D(). Это определение обобщенной функции в эквивалент но следующему: обобщенная функция в — это функционал u(), определенный на функциях в C0 (), удовлетворяющих условию 1) и таких, что для любого компактного множества K существуют постоянные C и k такие, что |u()| sup |D |, C0 (K).

|| k 1. ПРОСТРАНСТВА Hs Множество всех обобщенных функций в обозначается D (). Очевидно, что обобщенные функ ции из D () образуют векторное пространство с естественным определением операций сложения и умножения на комплексное число:

u1, u2 D (), (a1 u1 + a2 u2 ) = a1 u1 () + a2 u2 (), C0 (), a1, a2 = const.

Будем говорить, что обобщенная функция u() является пределом в D () обобщенных функций uj () при j, если для любой функции C0 () lim uj () = u().

j Можно доказать, что если последовательность обобщенных функций uj () такова, что для любой функции C0 () предел lim uj () = u() j существует, то u() является обобщенной функцией в D (). Будем говорить, что две обобщенные функции u1 и u2 в D () равны в окрестности точки x0, если u1 () = u2 () для всех функций C0 (1 ), где 1 — некоторая окрестность точки x0.

Предположим, что для некоторой точки x не существует окрестности, в которой обобщенная функция u равна нулю. Множество всех таких точек x называется носителем обобщенной функции u().

Из этого определения следует, что u = 0 на дополнении supp u в, т.е. u() = 0, если C0 () и supp u supp =. Здесь и далее символ обозначает пустое множество.

Производная Dk u обобщенной функции u D () определяется уравнением Dk u() = u(Dk ) при C0 ().

Очевидно, что D u() = (1)|| u(D ), C0 (). Если u D () и a C (), то произведе ние u() на a определяется формулой C0 ().

(au)() = u(a), Пусть p() — полином от m переменных 1,..., m с комплексными коэффициентами. Обозначим через P (D) дифференциальный оператор, полученный из p() заменой j на Dj. Очевидно, что P (D)ei x, = p()ei x,, где x, = x1 1 + · · · + xm m. Обозначим || p() p() () = || = i D p().

1 1 · · · mm Справедлива обобщенная формула Лейбница (D a)(P () (D)u). (2.1.1) P (D)(au) = !

Свертка u двух непрерывных функций u и, одна из которых имеет компактный носитель в Rm, определяется формулой (u )(x) = u(x y)(y) dy = u(y)(x y) dy = ( u)(x).

(Здесь и в дальнейшем, если область интегрирования явно не указана, то считается, что интегри рование производится по всему пространству Rm.) Если u D (Rm ) и C0 (Rm ), то обозначим через u функцию, определенную уравнением (u )(x) = uy ((x y)), (2.1.2) где uy означает, что u действует на (x y) как функция от y при фиксированном x.

Под векторной суммой двух множеств A и B в Rm мы понимаем множество A + B = {x + y;

x A;

y B}.

82 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Теорема 2.1.2. Если u D (Rm ) и C0 (Rm ), то u C0 (Rm ) и supp(u ) supp u + supp. Кроме того, D (u ) = (D u) = u (D ).

Теорема 2.1.3. Пусть C0 (Rm ), 0, supp = {x, |x| 1} и (x) = dx = 1, m (x/), C (Rm ) где = const 0. Если u D то u и (Rm ), supp(u ) supp u + {x, |x| }.

При 0 функции u u в D (Rm ).

Преобразование Фурье f функции f L1 (Rm ) определяется формулой ei (2.1.3) x, f () = f (x) dx.

Если f () также принадлежит L1 (Rm ), то выполняется формула обращения f (x) = (2)m (2.1.4) ei x, f () d.

Обозначим через S множество всех функций C (Rm ) таких, что sup |x D (x)| x для любых мультииндексов и. Функции из класса S образуют локально компактное тополо гическое пространство, если ввести следующую систему полунорм на S (см. [251]):

p, () = sup |x D (x)|. (2.1.5) xRm Ясно, что C0 (Rm ) S.

Теорема 2.1.4. Преобразование Фурье непрерывно отображает S в S. Формула (2.1.4) обратного преобразования Фурье выполняется для функций из S. Преобразование Фурье от Dj имеет вид j () и преобразование Фурье от xj имеет вид Dj ().

Теорема 2.1.5. Если и — функции из S, то (2.1.6) dx = dx, (2.1.7) d = (2)m dx, ( ) = ·, (2.1.8) ( · ) = (2)m.

(2.1.9) Непрерывный линейный функционал на S называется обобщенной функцией из пространства S. Так как C0 S и из сходимости последовательности в D(Rm ) следует ее сходимость в S, любая обобщенная функция из S определяет непрерывный линейный функционал на D(Rm ), т.е.

является обобщенной функцией из D (Rm ).

Легко показать, что множество C0 плотно в S и что S можно непрерывно вложить в D (Rm ).

Если u S, то преобразование Фурье u обобщенной функции u() определено уравнением S. (2.1.10) u() = u(), Для любой обобщенной функции из S справедлива формула обращения преобразования Фурье, имеющая вид u = (2)m u, где = (x) для S и u() = u() для обобщенных функций из S.

1. ПРОСТРАНСТВА Hs Теорема 2.1.6. Если обобщенная функция u() из D (Rm ) имеет компактный носитель, то u S, преобразование Фурье от u определено для всех комплексных значений формулой u() = ux (ei x, ) и u() — целая аналитическая функция от.


Доказательства теорем 2.1.1–2.1.6 можно найти в [22, 188, 234] или [238].

В функциональном пространстве S введем скалярное произведение (u, v)s = (2)m (1 + ||2 )s u()() d, (2.1.11) v где s — любое действительное число. Это скалярное произведение порождает норму = (u, u)s = (2)m (1 + ||2 )s |()|2 d. (2.1.12) u u s Замыкание пространства S по этой норме называется пространством Hs. Ясно, что Hs — сепара бельное гильбертово пространство.

Теорема 2.1.7. Пространство Hs изоморфно подпространству обобщенных функций u в S, преобразование Фурье которых u() является обычной функцией и = (2)m (1 + ||2 )s |()|2 d. (2.1.13) u u s Доказательство. Каждому элементу u из Hs, принадлежащему S, поставим в соответствие обоб щенную функцию из S следующим образом:

u, S.

u() = u dx, Если последовательность un фундаментальна в Hs, то ей соответствует обобщенная функция u(), равная lim un в S. Этот предел существует, так как lim un dx существует при n n n для каждого S. Действительно, используя равенство Парсеваля и неравенство Шварца, мы получим (un un ) dx = |(un un, )0 | un un (2.1.14) s.

s Правая сторона (2.1.14) стремится к нулю при n, n, так как последовательность un фунда ментальна. Мы покажем, что обобщенная функция, равная lim un, имеет преобразование Фурье n u() такое, что выполняется условие (2.1.13). Так как = (2)m (1 + ||2 )s |n un |2 d, un un u s функции un образуют фундаментальную последовательность в пространстве функций с нормой, заданной правой частью (2.1.12). Полнота этого пространства следует из полноты L2 (Rm ). Следо вательно, существует функция u() такая, что выполняется условие (2.1.13) и (1 + ||2 )s |() un ()|2 d 0 при n. (2.1.15) u Мы покажем, что функция u() является преобразованием Фурье от обобщенной функции lim un.

n Согласно (2.1.6) и определению преобразования Фурье для обобщенных функций, un dx = un dx = un () = un ().

Переходя к пределу при n в этих уравнениях и вспоминая (2.1.15), мы получим un dx = u() = u().

84 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Это означает, что u() является преобразованием Фурье обобщенной функции u() = lim un ().

n Пусть теперь u() — обобщенная функция из S такая, что ее преобразование Фурье — это функция u(), удовлетворяющая условию (2.1.13). Мы построим последовательность функций un () такую, что un () C0 (Rm ) и (1 + ||2 )s |() un ()|2 d 0 при n.

u Тогда функции un, определенные формулами un (x) = (2)m ei x, un () d, принадлежат пространству S и образуют фундаментальную последовательность в пространстве Hs. Из уравнения un dx = un dx = un () следует, что для любой функции S lim un () = un dx = u() = u().

n Это означает, что последовательность un сходится в S к обобщенной функции u(), которую мы рассматриваем, и является фундаментальной в Hs.

Таким образом, каждому элементу u из Hs соответствует, причем это соответствие взаимно однозначно, обобщенная функция u() в S такая, что = (2)m (1 + ||2 )s |()|2 d, u u s где u() — преобразование Фурье обобщенной функции u() и u — норма элемента u из Hs.

s Теорема доказана.

Легко доказать следующие свойства пространств Hs :

1) Ht Hs, если s t, и (2.1.16) us u t, 2) |(u, v)s | (2.1.17) u s v s.

Это неравенство выводится с помощью применения неравенства Шварца к интегралу в правой части (2.1.11).

3) Если u Ht+|p|, то (2.1.18) Dp u t u t+|p|.

4) Если u Hs+t и v Hst, то (2.1.11) определяет их скалярное произведение (u, v)s, причем выполняются следующие неравенства:

|(u, v)s | (2.1.19) u v st, s+t 1 u2 + v |(u, v)s | (2.1.20) st, s+t 2 где — произвольное число. Неравенство (2.1.19) иногда называют обобщенным неравенством Шварца.

Легко видеть, что если s = 0, то пространство H0 совпадает с пространством L2 (Rm ). Если s — положительное целое число, то Hs совпадает с пространством Соболева W2, состоящим из s функций, обобщенные производные которых до порядка s включительно принадлежат L2 (Rm ) (см. [121]).

Теорема 2.1.8 (теорема вложения Соболева). Если u Hl+k (Rm ), где 2l m и k — неотрица тельное целое число, то u C (k) (Rm ).

1. ПРОСТРАНСТВА Hs Доказательство. Функции u из S удовлетворяют соотношению |D u(x)| = (2)m (2)m (1 + ||2 )||/2 |()| d.

u()ei x, d u Поэтому (1 + ||2 )k/2 |()| d, max |D u(x)| u(x) C1 u C (k) xRm || k где постоянная C1 не зависит от u. Из этой оценки и неравенства Шварца следует, что 1/2 1/ (1 + ||2 )l d (1 + ||2 )k+l |()|2 d (2.1.21) u(x) C1 u C2 u l+k, C (k) так как 2l m.

Если u Hl+k (Rm ), то существует последовательность функций un S такая, что u un l+k 0 при n и un un l+k 0 при n, n. Из (2.1.21) следует, что un un C (k) 0 при n, n и, следовательно, существует функция u такая, что un u C (k) 0 при n. Очевидно, u u в Rm.

Теорема 2.1.9. Пространство Hs двойственно к пространству Hs относительно скаляр ного произведения пространства H0. Это означает, что если v Hs, то l(u) = (u, v)0 = (2)m u()() d v — ограниченный линейный функционал в Hs, и норма функционала l(u) равна v s, т.е. вы полняется соотношение (u, v) (2.1.22) v s = sup.

us u И наоборот, любой ограниченный линейный функционал на Hs можно представить в виде (u, v)0, где функция v Hs определена единственным образом, а норма функционала равна v s.

Доказательство. Рассмотрим l(u) = (u, v)0 при v Hs, u Hs. Согласно (2.1.19), |l(u)| u s v s и, следовательно, l(u) является ограниченным линейным функционалом на Hs.

По определению нормы l(u), (u, v) (2.1.23) l = sup, us u откуда следует, что (1 + ||2 )s/2 u() (1 + ||2 )s/2 v () d (2)m/2 (2.1.24) l = sup.

1/ u 2s (1 + || ) |()| d u Применяя неравенство Шварца, мы получим (2.1.25) l v s.

Подставляя в правую часть (2.1.23) обобщенную функцию u, преобразование Фурье которой равно v ()(1 + ||2 )s, получим (2.1.26) l v s.

Из (2.1.25) и (2.1.26) мы получим (2.1.22).

Теперь предположим, что l(u) — ограниченный линейный функционал в Hs. По теореме Рисса l(u) = (u, v1 )s и l = v1 s, где u, v1 Hs. По определению (2.1.11) скалярного произведения в Hs l(u) = (2)m (1 + ||2 )s u()1 () d = (2)m u()[(1 + ||2 )s v1 ()] d = (u, v)0, v 86 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА где v — обобщенная функция, преобразование Фурье которой равно (1 + ||2 )s v1 (). Очевидно, l = v s, так как v Hs и v s = v1 s. Следовательно, l = v s. Таким образом, теорема доказана.

Теорема 2.1.10. Каждая обобщенная функция u из D (Rm ), имеющая компактный носитель, принадлежит Hs при некотором s R1.

Доказательство. Пусть C0 (Rm ) и 1 на носителе u. Кроме того, пусть — произвольная (Rm ). Тогда u() = u( + (1 )) = u(). Следовательно, нам нужно рассмот функция из C реть u, примененную только к тем функциям из C0 (Rm ), для которых supp K, где K — некоторое компактное множество в Rm. Предположим, что u не принадлежит Hs ни при каком s R1, т.е. u не представима в виде u() = (u, )0 при u Hs для любого s. Это означает, что существует последовательность функций n C0 (K) такая, что |u(n )| n n n, n = 1, 2,....

Функции n = (n n )1 n имеют носитель, содержащийся в K, и n s 0 при n для всех s = 1, 2,..., так как n s 1/n, если n s. Из теоремы 2.1.8 и оценки (2.1.21) следует, что n равномерно сходятся к нулю вместе со всеми своими производными. Однако, 1, так что u(n ) не сходятся к нулю при n. Это противоречие u(n ) = u(n /n n n ) показывает, что |u()| C s для некоторого s, т.е. u Hs.

Теорема 2.1.11. Множество элементов {un } пространства Ht, имеющих носитель в неко тором компактном множестве K и равномерно ограниченных по норме пространства Ht, компактно в Hs, если t s.

Доказательство. Достаточно доказать теорему 2.1.11 в случае, когда все u C0 (K). Действи тельно, для каждой un из Ht существует функция wn из S такая, что u n wn t.

n Пусть C0 (Rm ) и 1 на K. Тогда un = un и C un wn t C un wn t (2.1.27), n где C не зависит от n. Оценка (2.1.27) следует из теоремы 2.2.1, которую мы докажем в следу ющем параграфе. Из (2.1.27) следует, что последовательность wn фундаментальна в Hs, если последовательность un обладает тем же свойством, и наоборот. Для множества элементов {wn } выполнены предположения теоремы 2.1. и supp wn K1, wn C t где K1 — ограниченное множество в Rm.

Кроме того, wn C0 (Rm ).

Таким образом, при доказательстве теоремы можно предположить, что un C0 (Rm ), un t C1, и supp un K. Мы покажем, что последовательность, фундаментальную в Hs, можно извлечь из последовательности {un }. Пусть un — последовательность, слабо сходящаяся в Ht, т.е.

(un, v)t (u, v)t для любого v в Ht. Оценим un un s. Пусть 0 — произвольное число. Тогда для всех n и n имеем (2)m |n un |2 (1 + ||2 )s d u ||N (2)m (1 + N 2 )st |n un |2 (1 + ||2 )t d (2)m 4C1 (1 + N 2 )st, (2.1.28) u если N N1 ().

Пусть { k } — конечное множество точек пространства Rm (1,..., m ) таких, что | k | N. В силу слабой сходимости un в Ht, для любой точки k последовательность x, k un (x)ei un ( k ) = (x) dx 1. ПРОСТРАНСТВА Hs сходится при n, где C0 (Rm ) и un un для любого n, так как, очевидно, k (x)ei x, Ht. Выберем точки k так, чтобы для любого, || N, существовало k та кое, что x, k x, k un ei ei ei ei |n () un ( k )| = x, x, u un, t t где 0 — постоянная, которую мы выберем позже. Отсюда следует, что |n () un ()| 3 при u || N, если n и n достаточно велики. Следовательно, (2)m |n un |2 (1 + ||2 )s d (2.1.29) u, ||N если n и n достаточно велики и постоянная = () выбрана достаточно малой.

Из (2.1.28) и (2.1.29) следует, что un un 2 2, если n и n достаточно велики, т.е. после s довательность un фундаментальна в Hs.

Теорема 2.1.12. Пусть s1 s2 s3. Тогда для любого 0 и любого u Hs3 выполняется неравенство u 22 u 23 + C u 21, (2.1.30) s s s где C = C(s1, s2, s3 )(s2 s1 )/(s3 s2 ) и C(s1, s2, s3 ) = const 0, зависящая от s1, s2 и s3.

Доказательство. Для любого M 0 имеем (1 + ||2 )s2 = (1 + ||2 )s1 M (1 + ||2 )s2 s1 · (2.1.31).


M Если мы используем элементарное неравенство (см., например, [121]) 1p 1q (2.1.32) ab a + b, + = 1, p q pq со значениями s3 s a = M (1 + ||2 )s2 s1, b=, p=, s2 s M то получим 1 1 (s3 s1 )/(s2 s1 ) M (1 + ||2 )s2 s1 (1 + ||2 )s3 s1 + M (s3 s1 )/(s3 s2 ). (2.1.33) M M p q Из (2.1.31) и оценки (2.1.33) следует, что (1 + ||2 )s2 (1 + ||2 )s3 + (p)(s2 s1 )/(s3 s2 ) (1 + ||2 )s1, (2.1.34) q где = p1 M (s3 s1 )/(s2 s1 ). Из (2.1.34) и определения нормы в Hs следует, что 2 + (p)(s2 s1 )/(s3 s2 ) u u u s1.

s2 s q Таким образом, теорема 2.1.12 доказана.

Пространство Hs широко используется при изучении задач, связанных с дифференциальными уравнениями в частных производных. Изучению этих пространств посвящена обширная литература (см., например, [20, 121, 188]).

loc Обозначим через Hs () множество обобщенных функций из D () таких, что u Hs для ().

любого из C 88 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В дальнейшем мы будем использовать псевдодифференциальные операторы с символами, при надлежащими некоторому специальному классу. В настоящее время имеется весьма обширная литература, посвященная теории псевдодифференциальных операторов (см. [15, 31, 32, 185, 186, 194] и др.). Однако, для удобства читателя мы представим здесь не только новые результаты, но и известные разделы теории псевдодифференциальных операторов, которые нам потребуются.

Псевдодифференциальный оператор — это оператор P, определенный на функциях u из класса S, который имеет вид P u(x) = (2)m (2.2.1) p(x, )()ei x, u d, где u() — преобразование Фурье функции u(x) и p(x, ) — функция, называемая символом опера тора P.

Предположим, что символы рассматриваемых операторов удовлетворяют следующим условиям:

a) Функцию p(x, ) можно представить в виде (2.2.2) p(x, ) = p1 () + p2 (x, ), где p1 () — бесконечно дифференцируемая функция от, определенная для всех, и p2 (x, ) — бесконечно дифференцируемая функция от x и, определенная для всех x Rm и Rm, такая, что для любого функция p2 (x, ), рассматриваемая как функция от x, имеет носитель, принадлежащий некоторому компактному множеству K Rm, т.е. p2 (x, ) 0 при x Rm \ K и Rm.

b) Существует R1 такое, что для любых мультииндексов и и любых x Rm и Rm выполняются оценки || C (1 + ||2 )(1/2)(||), (2.2.3) p1 () || C, (1 + ||2 )(1/2)(||) (2.2.4) D p2 (x, ) для постоянных C и C,, зависящих только от и. Легко видеть, что оператор P преобразует функцию u из S в функцию P u также из S.

Теоремы 2.2.1–2.2.4, леммы 2.3.1 и 2.3.2, доказанные ниже, также справедливы для более ши рокого класса символов. В частности, доказательство этих теорем проходит без изменений также в случае, когда p2 (x, ) — бесконечно дифференцируемая функция от переменных x и, принадле жащая классу S относительно переменной x, такая, что || (1 + |x|2 )k/2 Ck,, (1 + ||2 )(1/2)(||) (2.2.5) D p2 (x, ) для любого k и любых мультииндексов и, x Rm и Rm, где постоянные Ck,, зависят только от k, и.

Сначала мы докажем следующие вспомогательные предложения о весовых функциях.

Лемма 2.2.1. Для любого s R1 и любых и из Rm (1 + ||2 )s (1 + ||2 )s 2|s| (1 + | |2 )|s|. (2.2.6) Доказательство. Из неравенства ||2 = | + ( )|2 2| |2 + 2|| следует, что 1 + ||2 2(1 + | |2 )(1 + ||2 ).

Таким же образом получим, что 1 + ||2 2(1 + | |2 )(1 + ||2 ).

2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ Следовательно, (1 + ||2 )|s| (1 + ||2 )|s| 2|s| (1 + | |2 )|s|, (1 + ||2 )|s| (1 + ||2 )|s| 2|s| (1 + | |2 )|s|.

Отсюда следует желаемое неравенство.

Лемма 2.2.2. Для любого такого, что 0 1, и любого s R1 выполняются неравен ства (1 + | + ( )|2 )|s| 4|s| (1 + | |2 )|s| (1 + ||2 )|s| (2.2.7) и (1 + | + ( )|2 )|s| [(1 + ||2 )|s| + (1 + ||2 )|s| ] (2.2.8) для любых и из Rm.

Доказательство. Если | | ||, очевидно, что (1 + | + ( )|2 ) 1 + 41 ||2, (1 + | + ( )|2 )|s| 4|s| (1 + ||2 )|s|.

Однако, если | | ||, то (1 + 41 ||2 )|s| (1 + | + ( )|2 )|s| 4|s| 4|s| (1 + | |2 )|s| (1 + ||2 )|s|.

(1 + 41 ||2 )|s| Из этих неравенств легко следует (2.2.7). Неравенство (2.2.8) следует из того факта, что либо | + ( )| ||, либо | + ( )| ||.

Обозначим через p2 (, ) преобразование Фурье функции p2 (x, ) по переменной x, а через () p2 (, ) обозначим производную || p2 /(1 1 · · · mm ).

Лемма 2.2.3. Для любого мультииндекса и M 0 существует постоянная C,M такая, что () |2 (, )| C,M (1 + ||2 )(||)/2 (1 + | |2 )M. (2.2.9) p () Доказательство. Это неравенство легко получается преобразованием интеграла от p2 с помо щью интегрирования по частям, если иметь в виду оценку (2.2.4), а также свойство a) функции p2 (x, ), согласно которому supp p2 (x, ) K для любого.

Лемма 2.2.4. Пусть |A()| d. Тогда I A( )a()b() d d |A()| d a (2.2.10) b 0.

Доказательство. По неравенству Шварца 1/2 1/ |A( )| d |A( )| |a()| d |b()| d I 1/2 1/2 1/ 2 |A()| d |b()| d |a()| |A( )| d d |A()| d a b 0.

Лемма доказана.

90 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Теорема 2.2.1 (об ограниченности псевдодифференциальных операторов). Пусть P u — опера тор с символом p(x, ), удовлетворяющий условиям a) и b). Для любого s R1 существует постоянная Cs, зависящая от s, такая, что (2.2.11) Pu Cs u s s+ для любой функции u из S.

Доказательство. Очевидно, P u s P1 u s + P2 u s, где P1 — псевдодифференциальный опера тор с символом p1 () и P2 — псевдодифференциальный оператор с символом p2 (x, ). По определе нию нормы Hs и по условию (2.2.3) при || = 0, = (2)m (1 + ||2 )s |P1 u|2 d (1 + ||2 )s+ |()|2 d (2.2.12) P1 u C1 u C1 u s+.

s Теперь оценим P2 u. Рассмотрим преобразование Фурье функции P2 u, где u S. Легко видеть, что P2 u() = (2)m p2 (, )() d, (2.2.13) u где p2 ( ) — преобразование Фурье функции p2 (x, ) по переменной x. Для любой функции w S из равенства Парсеваля следует, что P2 (u)w dx = (2)2m p2 (, )w()() d d.

u Используя (2.2.6) и (2.2.9) при || = 0, получим (2)2m |2 (, )| |w()| |()| d d P2 (u)w dx p u (1 + | |2 )M/2 (1 + ||2 )(+s)/2 |()|(1 + ||2 )s/2 |w()| d d CM u (1 + | |2 )(|s|M )/2 (1 + ||2 )(+s)/2 |()|(1 + ||2 )s/2 |w()| d d.

CM u Здесь M выбрано таким образом, что M |s| m + 1. Следовательно, применяя (2.2.10) для оценки последнего интеграла, мы получим 1/2 1/ 2 2 +s 2 2 s |()| (1+|| ) |w()| (1+|| ) P2 (u)w dx C1 u d d C2 u w s.

+s Из последнего неравенства и теоремы 2.1.9 следует, что (2.2.14) P2 u Cs u +s.

s Утверждение теоремы следует из (2.2.12) и (2.2.14).

Так как множество функций u из S плотно в Hs, мы видим, что оператор P можно сделать замкнутым в Hs с сохранением (2.2.11).

Отметим, что из теоремы 2.2.1 следует, в частности, что если (x) C0 (Rm ), то для любого sR (2.2.15) u s Cs u s, где Cs = const 0 и u Hs.

Для любого оператора P нижний предел чисел, для которых выполняются неравенства вида (2.2.11), называется порядком P.

Теорема 2.2.2 (о произведении псевдодифференциальных операторов). Пусть P и Q — псевдо дифференциальные операторы с символами p(x, ) и q(x, ), удовлетворяющие условиям a) и 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ b) при = 1 и = 2 соответственно. Пусть (P Q)N — псевдодифференциальный оператор с символом 1 || p(x, ) · Dx q(x, ).

!

|| N Тогда для всех u из S P · Qu = (P Q)N u + TN u, где оператор TN имеет порядок не более чем 1 + 2 N, т.е.

(2.2.16) TN u CN,s u s+1 +2 N.

s Доказательство. Так как P u = P1 u + P2 u и Qu = Q1 u + Q2 u, где P1, P2, Q1 и Q2 — псевдодиф ференциальные операторы с символами p1 (), p2 (x, ), q1 () и q2 (x, ) соответственно, имеем P Qu = P1 Q1 u + P2 Q1 u + P1 Q2 u + P2 Q2 u.

Очевидно, что символ оператора (P Q)N можно представить в виде 1 || p(x, ) · D q(x, ) = !

|| N 1 || p1 () 1 || p = p1 ()q1 () + p2 (x, )q1 () + D q2 (x, ) + D q2.

! !

|| N 1 || N Так как символ оператора P1 Q1 равен p1 ()q1 () и символ оператора P2 Q1 равен p2 (x, )q1 (), получаем, что TN u P Qu (P Q)N u = P1 Q2 u (P1 Q2 )N u + P2 Q2 u (P2 Q2 )N u, где (P1 Q2 )N имеет символ 1 || p1 () · D q2 (x, ) !

|| N и (P2 Q2 )N имеет символ 1 || p2 (x, ) · D q2 (x, ).

!

|| N Следовательно, чтобы доказать теорему 2.2.2, достаточно доказать, что 2 = (P1 Q2 (P1 Q2 )N )u TN u CN,s u s+1 +2 N s s и 2 = (P2 Q2 (P2 Q2 )N )u TN u CN,s u s+1 +2 N.

s s Таким образом, достаточно доказать теорему 2.2.2 для случая операторов P и Q, для которых p1 () 0 и q1 () 0, а также для случая, когда p2 (x, ) 0 и q1 () 0. Сначала мы докажем теорему для случая p1 () 0 и q1 () 0.

Рассмотрим преобразование Фурье функции TN u = P2 Q2 u (P2 Q2 )N u. Согласно (2.2.13), имеем TN u() = (2)2m [2 (, )2 (, )()] d d (2)m z(, )() d, (2.2.17) p q u u где z(, ) — преобразование Фурье символа оператора (P2 Q2 )N по переменной x. С помощью известной формулы · = (2)m, (2.2.18) где, как обычно, означает оператор свертки, мы получим для z(, ) выражение вида 1 () z(, ) = (2)m p (, )2 (, ) d.

q ! || N 92 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Заменим здесь переменные интегрирования на = и подставим это выражение для z в (2.2.17), чтобы получить 1 () TN u() = (2)2m q2 (, ) p2 (, ) p (, )( ) u() d d.

! || N (2.2.19) Согласно лемме 2.2.3 для || = 0 имеем CM (1 + | |2 )M/2 (1 + ||2 )2 /2, |2 (, )| (2.2.20) q где M = const 0.

По формуле Тейлора 1 () H(,, ) p(, ) p (, )( ) = !

|| N 1 () p (, + ( ))( ), (2.2.21) = !

||=N где 0 1. С помощью (2.2.19) и равенства Парсеваля получим:

TN (u)w dx = (2)m TN u()w() d(2)3m q2 (, )H(,, )()w() d d d, u (2.2.22) где u, w S. Из леммы 2.2.3 и формулы (2.2.21) имеем:

C1 (1 + | |2 )M1 /2 (1 + | + ( )|2 )(1 N )/2 (1 + | |2 )N/2, |H(,, )| где M1 0 — произвольное целое число и C1 зависит от M1. Применяя неравенства, доказанные в лемме 2.2.2, получаем C2 (1 + | |2 )M1 /2 (1 + | |2 )(|1 N |+N )/ |H(,, )| (1 + | |2 )(1 N )/2 + (1 + ||2 )(1 N )/2. (2.2.23) Так как по лемме 2.2. (1 + | |2 )(1 N )/2 2(|1 N |)/2 (1 + | |2 )(|1 N |)/2 (1 + ||2 )(1 N )/2, (1 + | |2 )M1 /2 2M1 /2 (1 + | |2 )M1 /2 (1 + | |2 )M1 / и, кроме того, для всякого s (1 + ||2 )s/2 2|s|/2 (1 + ||2 )s/2 (1 + | |2 )|s|/2, из (2.2.23) следует, что C3 (1 + | |2 )(2|1 N |+M1 +N )/2 (1 + ||2 )(1 N +s)/ |H(,, )| (1 + | |2 )(|s|M1 )/2 (1 + ||2 )s/2. (2.2.24) Рассматривая оценки (2.2.20), (2.2.24) и уравнение (2.2.22), получим (1 + ||2 )(1 +2 N +s)/2 (1 + ||2 )s/ TN (u)w dx C (1 + | |2 )(2|1 N |+M1 M +N )/2 (1 + | |2 )(|s|M1 )/2 |()| |w()| d d d. (2.2.25) u Выбирая M1 так, чтобы M1 + |s| (m + 1), мы затем выберем M так, чтобы выполнялось неравенство M + N + 2|1 N | + M1 (m + 1).

Легко видеть, что после интегрирования по в правой части (2.2.25) мы получим (1 + | |2 )(|s|M1 )/2 (1 + ||2 )(1 +2 N +s)/2 |()|(1 + ||2 )s/2 |w()| d d.

TN (u)w dx C5 u 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ Применяя лемму 2.2.4 к последнему интегралу, мы найдем TN (u)w dx C6 w u 1 +2 N +s.

s Отсюда и из теоремы 2.1.9 следует, что для всех u из S, TN u C7 u 1 +2 N +s, s что и требовалось доказать. Аналогично можно доказать теорему 2.2.2 в случае, когда p2 (x, ) и q1 () 0. В этом случае вычисления упрощаются. Мы имеем и p(x, ) = p() P u = p()().

u Легко видеть, что 1 || p() TN u() = (2)m p() q (, )() d (2)m ( ) q (, )() d, u u !

|| N 1 () (TN u, w)0 = (2)2m q (, ) p() p ()( ) u()w() d d.

!

|| N (2.2.26) Более того, интеграл (2.2.26) оценивается таким же образом, как (2.2.22). С помощью формулы Тейлора, оценки (2.2.9) и лемм 2.2.1 и 2.2.2 мы получим 1 () |(TN u, w)0 | = (2)2m q (, ) p ( + ( ))( ) u()w() d d !

||=N (1 + ||2 )(1 +2 +sN )/2 (1 + ||2 )s/2 (1 + | |2 )M +(N +2|1 N |+|s|)/2 |()| |w()| d d.

C8 u Выбирая достаточно большое M 0 и применяя лемму 2.2.4, мы найдем, что |(TN u, w)0 | C9 u w s.

1 +2 N +s Это доказывает теорему.

Обозначим через G замыкание ограниченного множества G в Rm.

Теорема 2.2.3 (псевдолокальность). Пусть G1 и G2 — две области в Rm такие, что 1 G2 =. Пусть функция 1 (x) C (Rm ) такова, что supp 1 G1, и пусть u — лю G бая функция из C0 (Rm ) такая, что supp u G2. Тогда для любых N 0 и s R1 существует постоянная C(N, s, G1, G2 ) такая, что (2.2.27) 1 P u C(N, s, G1, G2 ) u s.

N +s Доказательство. Пусть 2 (x) — функция из C0 (Rm ) такая, что 2 1 на G2 и supp 2 G1 =.

Тогда 1 P u = 1 P 2 u. Оценим 1 P 2 u. Оператор 1 P можно рассматривать, как псевдодиффе ренциальный оператор P с символом 1 (x)p(x, ), т.е. 1 P 2 u P 2 u. Далее, по теореме 2.2. о произведении псевдодифференциальных операторов имеем P 2 u = P u + TN2 u, где оператор P имеет символ 1 () p (x, )1 (x)D 2 (x), !

|| N что тождественно равно нулю, так как supp 1 supp 2 =. Если N2 N +, где — порядок оператора P, то TN2 имеет порядок не более чем N. Следовательно, 1 P 2 u = TN2 u, и поэтому u C0 (G2 ), 1 P u = 1 P 2 u C u s, N +s N +s что доказывает теорему.

94 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Обозначим через P оператор, формально сопряженный оператору P в H0, т.е. для любых u, v S (P u, v)0 = (u, P v)0.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2.4 (о сопряженном операторе). Пусть P — псевдодифференциальный оператор с символом p(x, ), удовлетворяющим условиям a) и b) для некоторого. Пусть (P )N — псевдо дифференциальный оператор с символом 1 || (2.2.28) D p(x, ).

! x || N Тогда для любого N P = (P )N + TN, (2.2.29) где оператор TN имеет порядок не более чем N, т.е.

u S. (2.2.30) TN u C(N, s) u +sN, s Доказательство. Так как P = P1 +P2, где P1 и P2 имеют символы p() и p2 (x, ), соответственно, и поскольку (P1 u, v)0 = (2)m p1 ()()v () d = (2)m u u()1 ()() d = (u, P1 v), p v где P1 — псевдодифференциальный оператор с символом p1 (), то достаточно доказать теоре му 2.2.4 для случая, когда p1 0. По определению нормы в Hs (TN u, v) v S.

TN u = sup, s v s v Оценим (TN u, v)0 = ((P (P )N )u, v)0 = (u, P v)0 ((P )N u, v)0.

Применяя равенство Парсеваля, получим (TN u, v)0 = (2)2m u()(, )() d d (2)m (P )N u()() d.

p v v Очевидно, преобразование Фурье по x от символа оператора (P )N равно 1 || 1 () p(, ) = p (, ).

! !

|| N 1 || N Следовательно, 1 () (TN u, v)0 = (2)2m u()() p(, ) p (, )( ) d d.

v !

|| N Чтобы оценить 1 () H(, ) = p(, ) p (, )( ), !

|| N применим формулу Тейлора. По лемме 2.2.3 имеем неравенство 1 () |H(, )| = p (, + ( ))( ) !

|| N 2 M/ (1 + | + ( )|2 )(N )/2 (1 + | |2 )N/2, C1 (1 + | | ) где 0 1. Используя неравенство (2.2.7) или (2.2.8) из леммы 2.2.2 и неравенство (2.2.6), получим C2 (1 + ||2 )(N )/2 (1 + | |2 )(2|N |+N M )/2.

|H(, )| 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ Следовательно, (2)2m 22|s| |()| |()|(1 + ||2 )s/2 (1 + ||2 )s/2 (1 + | |2 )|s|/2 |H(, )| d d |(TN u, v)0 | u v |()|(1 + ||2 )(N +s)/2 |()|(1 + ||2 )s/2 (1 + | |2 )(N +2|N |+|s|M )/2 d d. (2.2.31) C3 u v Выберем M так, чтобы (N + 2| N | + |s| M ) (m + 1).

Применяя лемму 2.2.4 к последнему интегралу в (2.2.31), получим |(TN u, v)0 | C4 u v s +sN и, следовательно, TN u C4 u N +s.

s Теорема доказана.

Легко видеть, что линейный дифференциальный оператор P (x, D) порядка m1, коэффициенты которого бесконечно дифференцируемы и постоянны вне некоторой ограниченной области, являет ся псевдодифференциальным оператором с символом вида p(x, ), удовлетворяющим условиям a) и b) при = m1.

Обозначим через Es u псевдодифференциальный оператор с символом (x)(1 + ||2 )s/2, (2.2.32) где s R1 и функция (x) принадлежит C0 (Rm ). Очевидно, что символ оператора Es u удовле творяет условиям a) и b) при = s.

Теорема 2.2.5. Для любой ограниченной области G в Rm и s1, s R1 существует постоян ная C, зависящая от s, s1, N и G, такая, что для любой функции u из C0 (G) выполняется неравенство (2.2.33) u s+s1 Es u s1 + C u s+s1 N, если (x) 1 из G1, где G1 G.

Доказательство. Пусть (x) C0 (Rm ), 1 на G и 1 на supp. Рассмотрим оператор s = K s E s, где K s u (2)m (1 + ||2 )s/2 uei(x,) d.

Применяя теорему 2.2.2 о произведении псевдодифференциальных операторов, мы получим для любой функции u из C0 (G) 1 () (K s() Es )u + TN u, s u = s u = ! () || N () где Es u — псевдодифференциальный оператор с символом || (1 + ||2 )s/2, (x) || (1 + ||2 )s/2 и оператор TN u имеет K s() u — псевдодифференциальный оператор с символом порядок не более, чем s N, т.е.

s R1.

для u S, TN u CN u s +sN s 96 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Как всегда, обозначим D (x) через (). Так как 1 на носителе (x), символ оператора () () (K s() Es )u равен нулю для любого мультииндекса. Следовательно, K s u = Es u + TN u для u C0 (G) и, следовательно, для u C0 (G).

u Es u +C u s +s s+s N s Теорема 2.2.6. Пусть pj (x, ), j = 1,..., N1, — символы псевдодифференциальных операто ров Pj, удовлетворяющих условиям a) и b) при = 1, и пусть N |pj (x, )|2 + 1 c0 (1 + ||2 ), (2.2.34) c0 = const 0, j= для всех x, принадлежащих замкнутому множеству G1. Тогда для любой функции u из C0 (G), G1, где G N 2 2 s R1. (2.2.35) u Cs Pj u +u, 1+s s s j= Доказательство. Рассмотрим псевдодифференциальный оператор P0 с символом 1/ N |pj (x, )| + p0 (x, ) = (x), j= где (x) C0 (G1 ) и 1 на G. Обозначим P0 псевдодифференциальный оператор с символом 1/ N |pj (x, )| + (x).

j= Тогда по теореме 2.2.2, P0 P0 u = 2 (x)u + T u, (2.2.36) где T u — оператор порядка не более чем 1.

Так как (x) 1 на G и u C0 (G), из (2.2.36) следует, что 2 2 2 2 (2.2.37) u 2 P0 P0 u + 2 Tu C1 P0 u +u.

1+s 1+s 1+s s s Легко видеть, что 2 2 (2.2.38) P0 u C2 Pj u +u.

s s s Действительно, N 1 pj p0 (x, ) = (x) pj +.

j=1 |pk | |pk | 1+ 1+ k k Так как символ 1/ N |pk | (x)j 1 + p k= соответствует псевдодифференциальному оператору порядка не более чем нуль и P0 имеет поря док не более чем 1, мы получаем из теоремы 2.2.2, что N 2 2 2 P0 u C3 Pj u + T1 u + P0 u, s s s s j= где T1 u — оператор порядка не более чем нуль. Следовательно, выполняется неравенство (2.2.38).

Утверждение теоремы следует из (2.2.37) и (2.2.38).

3. ЛЕММЫ О КОММУТАТОРАХ 3. ЛЕММЫ О КОММУТАТОРАХ Напомним обозначение коммутаторов: [A, B] AB BA для любых операторов A и B.

Теорема 2.3.1 (о коммутаторах). Пусть P и Q — псевдодифференциальные операторы с сим волами, удовлетворяющими условиям a) и b) при = 1 и = 2 соответственно. Тогда [P, Q]u = (P Q)N u (QP )N u + TN u, (2.3.1) где оператор TN имеет порядок не более, чем + 2 N :

s R1.

при uS и TN u Cs,N u s+1 +2 N s Теорема 2.3.1 сразу следует из теоремы 2.2.2.

Если N = 1, из (2.3.1) следует, что (2.3.2) [P, Q]u Cs u s+1 +2 1.

s Теперь приведем леммы, существенным образом используемые в следующем параграфе при доказательстве гипоэллиптичности.

Лемма 2.3.1. Пусть P и Q — псевдодифференциальные операторы, символы которых удо влетворяют условиям a) и b) для = 1 (см. (2.2.2), (2.2.3)). Тогда для любых s R1 и s1 существует постоянная C(s, s1 ) такая, что 2 + P u 2 + Q u 2 (2.3.3) [P, Q]u C(s, s1 ) Pu + Qu +u (s1 1)/2+s s s s+s1 s+s1 s для любой функции u в S.

Доказательство. Пусть 2y = 2s + s1 1. Тождество = ((P Q QP )u, K 2t [P, Q]u)0 (2.3.4) [P, Q]u t очевидно. Согласно (2.1.19) и определению сопряженного оператора, ((P Q QP )u, K 2t [P, Q]u)0 |(Qu, P K 2t [P, Q]u)0 | + |(P u, Q K 2t [P, Q]u)0 | + P K 2t [P, Q]u 2 + Q K 2t [P, Q]u (2.3.5) Qu + Pu s.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.