авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«ISSN 1512–1712 Академия Наук Грузии Институт Кибернетики СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том 55 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ...»

-- [ Страница 4 ] --

ss s+s1 s В силу теорем 2.2.1 и 2.3.1, мы получим оценку Q K 2t [P, Q]u 2 K 2t [P, Q]Q u [Q, K 2t [P, Q]]u s + s s Q u + [(Q )N, K 2t [P, Q]]u u2 1 Q u 2 (2.3.6) C1 + C2 +u, s s+s1 s+s s+s1 s так как s1 0. Точно таким же образом мы получим P K 2t [P, Q]u 2 K 2t [P, Q]P u + 2 [P, K 2t [P, Q]]u ss1 ss1 ss P u 2 (2.3.7) C3 +u.

s s Из (2.3.4)–(2.3.7) следует (2.3.3).

Следующая лемма является следствием теоремы 2.2.4 и леммы 2.3.1.

Лемма 2.3.2. Пусть P и Q — псевдодифференциальные операторы с действительными сим волами, удовлетворяющие условиям a) и b) при = 1. Тогда для любого s1 0 и любого s R существует постоянная C(s, s1 ) такая, что 2 2 2 [P, Q]u C(s, s1 ) Pu + Qu +u s+(s1 1)/2 s s+s1 s для любой функции u из S.

98 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 4. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ Линейный дифференциальный оператор P с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, определенный в области Rm, называется гипоэллиптическим в, если для любой обобщен ной функции u в D () и любой области 1 из того условия, что P u C (1 ), следует, что u бесконечно дифференцируема в 1. Понятие гипоэллиптичности для дифференциальных операторов было введено в книге Шварца [234]. Х рмандер изучал гипоэллиптические уравнения e с постоянными коэффициентами (см. [182, 183]) и гипоэллиптические уравнения с переменными коэффициентами [184,185,187]. Гипоэллиптические уравнения также являются объектом изучения в [16, 30, 113, 140, 204, 245].

Следующая теорема обеспечивает необходимые и достаточные условия гипоэллиптичности для линейного уравнения второго порядка. Аналогичная теорема справедлива также для дифференци ального оператора произвольного порядка (см. [187]).

Теорема 2.4.1. Если оператор второго порядка L(u) akj uxk xj + bk uxk + cu (2.4.1) с действительными коэффициентами akj (x), bk (x), c(x) из класса C () гипоэллиптичен в области, то для любой точки x из или или (2.4.2) akj (x)k j akj (x)k j 0, для всех Rm.

Доказательство. Обозначим akj (x)k j через a(x, ). Предположим, что в некоторой точке x условие (2.4.2) не выполняется. Это означает, что существуют векторы и такие, что a(x0, ) и a(x0, ) 0. Тогда легко видеть, что существует вектор 0 = 0 такой, что a(x0, 0 ) = 0 grad a(x0, 0 ) = 0.

и (2.4.3) Пусть 1 — окрестность точки x0 такая, что 1, и пусть {Kj, j = 1,...} — система замкнутых областей таких, что Kj Kj+1, Kj = 1. Обозначим через M линейное пространство функций j u, определенных в 1 и таких, что u C 0 (1 ), Lu C (1 ).

Введем в M счетное множество полунорм (см. [251]) pj,l (u) = sup |u| + sup |D Lu|.

Kl Kl || j Так как оператор L(u) по предположению гипоэллиптичен, любая функция u из M бесконечно дифференцируема в 1. Пусть T (u) — оператор вложения пространства M в пространство C (1 ), т.е. любая функция u из M соответствует той же самой функции, рассматриваемой в пространстве C (1 ), в котором мы введем систему полунорм sup |D u|.

qj,l (u) = Kl || j Легко видеть, что график оператора T замкнут. Следовательно, по известной теореме для F пространств (см. [251], глава II, § 6) оператор T непрерывен. Это означает, что любая полунорма qj,l пространства C (1 ) является полунормой pt,s и существует постоянная C такая, что (2.4.4) qj,l (T u) Cpt,s (u) для любой функции u из M.

В частности, из (2.4.4) следует, что любая функция u из M удовлетворяет оценке | grad u(x0 )| sup |u| + sup |D L(u)|, (2.4.5) C K K || N 5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ где N — некоторое положительное целое число, а K — элемент системы {Kj }, C = const.

Мы покажем, что (2.4.5) невозможно, если существует вектор, удовлетворяющий условию (2.4.3). Для этого рассмотрим функцию N uj (x)tj eit, (2.4.6) v= t = const, j= определенную в 1. Для функции, определенной в 1, возьмем решение уравнения akj xk xj = такое, что grad (x0 ) = 0. Так как условие (2.4.3) выполняется для вектора 0, известно (см.

[105]), что такая функция (x) существует и принадлежит классу C (1 ), если окрестность точки x0 достаточно мала. Бесконечно дифференцируемые функции uj, j = 0,..., N, определяются из условия L(v) = O(tN ), D L(v) = O(tN +|| ) при t. (2.4.7) Тогда, подставляя v в неравенство (2.4.5), мы получим, что правая часть этого неравенства огра ничена для любого достаточно большого t, в то время как левая часть неограниченно растет при t. Это противоречие доказывает теорему.

Таким образом, остается только доказать, что функции uj с требуемыми свойствами существуют.

Для этого исследуем L(v). Мы имеем N m tj t2 uj a(x, grad ) + t a(k) (x, grad )Dk uj + Aj uj L(v) = eit + Bj, j=0 k= где Aj не зависят от uj, Bj зависят от uj и их производных, а a(k) (x, ) = a(x, )/k.

Определим u0 как решение уравнения m a(k) (x, grad )Dk u0 A0 u0 = 0, k= такое, что u0 (x0 ) = 1. Так как grad a(x0, 0 ) = 0 при 0 = grad (x0 ), функция u0 существует, если окрестность 1 точки x0 достаточно мала. Для функции uj возьмем решение уравнения m a(k) (x, grad )Dk uj + Aj uj + Bj1 = 0.

k= Очевидно, что это уравнение также имеет бесконечно дифференцируемое решение в окрестности точки x0. Таким образом, L(v) = eit tN BN, где функции BN не зависят от t и, следовательно, L(v) удовлетворяет требуемому условию (2.4.7).

Теорема доказана.

Аналогичная теорема (см. [187]) выполняется также в случае дифференциального оператора произвольного порядка m1. Рассмотрим дифференциальный оператор P (x, D) порядка m1 с беско нечно дифференцируемыми коэффициентами в области. Обозначим через p0 (x, ) главную часть символа оператора P (x, D), т.е. сумму всех членов порядка m1 полинома p(x, ). Предположим, что главная часть p0 (x, ) символа оператора P (x, D) действительна при x и Rm. Если в некоторой точке x0 существует действительный вектор 0 = 0 такой, что p0 (x0, 0 ) = 0, но p0 (x0, 0 )/j = 0 для некоторого j, то оператор P (x, D) не может быть гипоэллиптическим в области.

5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В этом разделе мы покажем, что выполнение некоторых априорных оценок для оператора P (x, D), примененного к функциям из класса C0 (), является достаточным условием гипоэл липтичности оператора P в области. Оно является также условием гладкости слабых решений, если правая часть уравнения имеет соответствующую степень гладкости.

100 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Сначала мы докажем вспомогательные предложения.

Пусть (x) C0 Rm и пусть k 0. Предположим, что (x) такова, что при 0 (2.5.1) () = O(||k ) и если (t) = 0 для некоторого Rm для всех действительных t, то = 0. (2.5.2) Определим (x) = m (x/). Легко видеть, что () = ().

Введем следующее определение полиномов и дифференциальных операторов, соответствующих им: для любых мультииндексов и || p(x, ) p() (x, ) =, p() (x, ) = Dx p(x, ), || Dx p(x, ) () p() (x, ) =, p(j) (x, ) = p(j) (x, ) = Dj p(x, ) для j = 1,..., m.

p(x, ), j () Операторы P (), P(), P(), P (j) и P(j) получены из соответствующих полиномов с помощью замены вектора на вектор (D1,..., Dm ).

Рассмотрим следующее двухпараметрическое семейство норм:

= (2)m |()|2 (1 + ||2 )s (1 + ||2 ) d, u u s, где 0, s R1, = const 0. Очевидно, что эта норма эквивалентна норме пространства Hs.

Также ясно, что u s при 0, если u Hs ;

u s, действительно, (2.5.3) u = sup u s,.

s Теорема 2.5.1 (см. [188]). Если функция удовлетворяет условиям (2.5.1) и (2.5.2) при k s, то для любого N существуют положительные постоянные C1, C2 и CN, не зависящие от u и, такие, что при 0 1 неравенство 2 d 2 2s 2 u (2.5.4) C1 u 1+ + CN u C2 u s1 +s, s+s1 N s1 s+s1, выполняется для любой функции u из Hs+s1. Более того, для любой функции u из Hs+s выполняется неравенство 2 2s d 2 2 u (2.5.5) C1 u s1 + CN u C2 u s+s1.

s+s1 N s+s Доказательство. По определению нормы Hs1 имеем 2 d 2s = (2)m |()|2 F (, ) d, u 1+ u s где 2 d (1 + ||2 )s1 |()|2 2s 1 + (2.5.6) F (, ) =.

2 5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ Здесь мы использовали формулу для преобразования Фурье свертки:

= ·.

Пусть || 1. В интеграле (2.5.6) введем новую переменную интегрирования (2.5.7) t = ||.

Таким образом мы получим || 2 2 || dt F (, ) = (1 + ||2 )s1 ||2s t2s t 1+ t || t 1 2 2s dt dt 2 s1 2s t2(s) (1 + || ) || (1 + || ) t t + t || || t t 0 2 s+s1 C3 (1 + || ) (1 + || ) (2.5.8) так как принадлежит классу S и поскольку, согласно (2.5.1), C4 tk t || для малых t, где k s. При || 1 интеграл (2.5.6) равномерно ограничен по и в силу условия (2.5.1);

следовательно, мы можем быть уверены, что существует постоянная C5 такая, что при || F (, ) C5 (1 + ||2 )s+s1 (1 + ||2 ). (2.5.9) Из (2.5.8) и (2.5.9) следует, что 2 d 2 2s u s1 1+ C6 u s+s1,.

2 Чтобы оценить интеграл (2.5.6) снизу при || 1, мы опять введем новую переменную t = ||.

Получим dt 2 s1 2s t2s C7 (1 + ||2 )s+s1 (1 + ||2 ).

(1 + || ) || 4 (1 + || ) F (, ) t || t 1/ Последнее неравенство следует из того факта, что (t/||) — аналитическая функция от t и инте грал dt t2s t, || t 1/ в силу (2.5.2), является непрерывной функцией от = /||, положительной во всех точках единичной сферы.

Далее, для || 1 и любого N 0, F (, ) + (1 + ||2 )s+s1 N 2N (1 + ||2 )s+s1 (1 + ||2 ), так как F (, ) 0. Отсюда следует первое неравенство из (2.5.4).

Неравенство (2.5.5) следует из (2.5.4), если в этих неравенствах устремить F (, ) 0 к нулю и использовать соотношение (2.5.3).

Следующая лемма (см. [185]) аналогична теореме 2.2.2 и доказывается аналогичными методами.

102 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Лемма 2.5.1. Пусть P (x, D) — дифференциальный оператор порядка m1 с коэффициентами из пространства C0 (Rm ). Пусть || x (x) и пусть N — положительное целое число.

Тогда для любой функции u из Hs+s1 +m1 N +1/ 1 i|| || d 2s P (x, D)(u ) (P() (x, D)u) (2.5.10) CN u s+s1 +m1 N +1/2, ! || N 1 s если k в условии (2.5.1) достаточно велико и s N 1/2.

Доказательство. Пусть i|| || v(x, ) = P (x, D)(u ) (P() (x, D)u).

!

|| N Мы подсчитаем преобразование Фурье от функции v по x. Имеем v (, ) = (2)m p(, )( ) u()|| () () d.

p(, )()() u !

|| N С помощью формулы Тейлора мы получим v (, ) = (2)m p(, )()RN (,, ) d, u где 1 || ( ) () ( + ( )), RN (,, ) = !

||=N и (), как обычно, обозначает производную || ()/.

По теореме 2.1. sup(v, w) v s1 =.

w s Следовательно, мы оценим (v, w)0. По равенству Парсеваля (v, w)0 = (2)2m p(, )()RN (,, )w() d d = u = (2)2m u()(1 + ||2 )(s+s1 +m1 N +1/2)/2 w()(1 + ||2 )s1 /2 H (, ) d d, (2.5.11) где H (, ) = p(, )(1 + ||2 )s1 /2 (1 + ||2 )(s+s1 +m1 N +1/2)/2 RN (,, ).

Легко видеть, что для любого M C1 N (1 + | |2 )N/2 (1 + ||2 )M, |RN (,, )| (2.5.12) если | | ||/2, и C2 N (1 + | |2 )N/ |RN (,, )| (2.5.13) для любых и.

Так как коэффициенты оператора P (x, D) принадлежат классу C0 (Rm ), из леммы 2.2.3 следует, что |(, )| C3 (1 + ||2 )m1 /2 (1 + | |2 )N1 /2, p где N1 — произвольное положительное число. Пусть | | ||/2. Так как s N + 1/2 0, по (2.5.12) мы имеем C4 N (1 + | |2 )N/2 (2 + ||2 )(sN +1/2)/2, |RN (,, )| C5 (1 + ||2 )(s+s1 N +1/2)/2 (1 + ||2 )(s1 +sN +1/2)/2 (2s+1)/2 (1 + | |2 )(N N1 )/2.

|H (, )| Применяя лемму 2.2.1, мы найдем, что при | | ||/ 2 (N N1 +|s|+|sN +1/2|)/ |H (, )| (1 + | | ) s+1/ C6.

5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ Если | | ||/2, то, используя тот факт, что (1 + ||2 ) (1 + 4| |2 ) 4(1 + | |2 ), а также неравенство (2.5.13) и неравенство, доказанное в лемме 2.2.1, мы имеем C7 (1 + | |2 )(N N1 )/2 (1 + ||2 )(s+s1 N +1/2)/2 N (1 + ||2 )(s1 )/ |H (, )| C8 (1 + | |2 )(N N1 +|s+s1 N +1/2|+N s1/2)/2 s+1/2, так как 1/2 + s N и 0 1.

Выберем N1 таким большим, что N1 + N + |s| + s N + (m + 1) и 1 2N N1 + s + s1 N + s m.

2 Тогда можно применить лемму 2.2.4 к интегралу (2.5.11). Имеем:

|(v, w)0 | s+1/ C9 w u s+s1 +m1 N +1/2.

s Отсюда следует, что 2 2 (2.5.14) s+1/ v C9 u s+s1 +m1 N +1/2.

s Умножая (2.5.14) на (2s+1) и интегрируя по от 0 до 1, мы получим требуемое неравенство (2.5.10).

Лемма 2.5.2. Пусть P (x, D) — линейный дифференциальный оператор порядка m1 с коэф фициентами из пространства C0 (Rm ). Тогда для любого целого числа N 0 и любой функции u из Hs+s1 +m1 выполняется неравенство 2 d 2 2(s||) (P() u) s1 1+ 1 || N 1 2 d 2 2s (P() u) (2.5.15) C s1 || 1+ + CN1 u N1, 2 1 || N 1 R где s, s1 и N1 0 — достаточно большое число.

Доказательство. По (2.5.4) имеем 2 d 2 2(s||) (P() u) (2.5.16) s1 1+ C1 P() u s1 +s||,.

1 || N 1 0 1 || N Здесь мы применили теорему 2.5.1 к функции вместо ;

это возможно, потому что преоб разование Фурье функции равно i|| || / и, следовательно, также удовлетворяет условиям (2.5.1) и (2.5.2) для некоторого k. Снова применяя теорему 2.5.1, мы получим 2 d 2 2 2s (P() u) P() u C2 C s1 || 1+ + s1 +s||, 2 1 || N 1 (2.5.17) +C3 P() u s1 +s||N0.

Так как N0 0 — произвольное число, P() u и (2.5.15) следует из (2.5.16) C4 u N s+s1 ||N и (2.5.17). Лемма доказана.

Теперь мы докажем основную теорему о гладкости обобщенных решений и гипоэллиптичности оператора P (x, D) в области.

Здесь K обозначает произвольное замкнутое ограниченное множество в Rm.

104 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Теорема 2.5.2. Пусть P — линейный дифференциальный оператор порядка m1 с коэффици ентами из класса C0 (Rm ), для которого выполнены следующие условия:

I. Для любого компактного множества K существует постоянная s0 = s0 (K) такая, что для достаточно большого N 0 выполняется неравенство 2 + C(K) P u 2, (2.5.18) u C(K, N ) u N s где N s0 и u — произвольная функция из C0 (K).

II. Для любого компактного множества K, любого s R1 и любого 1 0 существует постоянная C(K, s, 1, N ) такая, что для достаточно большого N 0 выполняется неравенство m 2 2 (2.5.19) P(j) u 1 P u + C(K, s, 1, N ) u N, s s+ j= где N s + s0, u C0 (K).

IIIa. Для любого компактного множества K \ M, где M — некоторое ограниченное за мкнутое множество в, для любого s R1 и любого достаточно большого N выполня ется неравенство m P (j) u 2 2 (2.5.20) C(K, s) Pu + C(N ) u, N s s j= где = (K) 0, N s + s0, u C0 (K).

IIIb. Для любого компактного множества K, любого s R1, любого 1 0 и любого достаточно большого N 0 выполняется неравенство m P (j) u 2 2 (2.5.21) 1 P u + C(1, N, s, K) u N, s s j= где N s + s0, u C0 (K).

loc Тогда для любой обобщенной функции u из D () такой, что P u Hs (), мы имеем оценки 2 2 (2.5.22) u C(1 ) 1 P u + u, s+s0 s где функции, 1 C0 (), 1 1 на supp и, кроме того, или 1 на M, или supp M = ;

= const s + s0.

Дифференциальные операторы P, удовлетворяющие условиям I–III глобально гипоэллип тичны, т.е. если u D () и P u C (), то u C (). (Если множество M пусто, то операторы P u, очевидно, гипоэллиптичны в обычном смысле (см. § 4).) Для доказательства теоремы 2.5.2 мы используем следующие вспомогательные результаты.

Лемма 2.5.3. Пусть оператор P удовлетворяет условиям II и IIIb теоремы 2.5.2. Тогда для любого компактного множества K, любого s R1, любого 1 0 и любого достаточно большого N 0 выполняется оценка () 2 2 (2.5.23) P() u 1 P u + C(1, s, K, N,, ) u N, s s+|| где постоянная N s + s0, функция u принадлежит пространству C0 (K) и и — произ вольные мультииндексы.

Доказательство. Мы докажем (2.5.23) по индукции. При || = 1, || = 0 и || = 0, || = оценка (2.5.23) выполняется в силу условий II и IIIb. Пусть = (1,..., m ) и = (1,..., j + 1,..., m ). Мы покажем, что если (2.5.23) выполняется для мультииндекса, то оно выполняется () ( ) и для. Действительно, из формулы Лейбница (2.1.1) следует равенство [P(), Zj ]u = P() u, где Zj — оператор умножения на функцию, равную xj в K и принадлежащую множеству C0 (Rm ).

Следовательно, ( ) () () () 2 2 2 (2.5.24) P() u = [P(), Zj ]u C1 Zj P() u + P() Zj u.

s s s s 5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ () () 2 C2 P() u 2. По предположению индукции Согласно (2.2.15), Zj P() u s s () () 2 2 2 2 P() Zj u + P() u 2 P u + C(2, s, K, N ) u + 2 P Zj u s+||.

N s s s+|| Используя тождество P Zj u = Zj P u + P (j) u, мы получим 2 + P (j) u P Zj u C3 Pu.

s+|| s+|| s+|| Чтобы оценить последнее слагаемое, мы используем неравенство (2.5.21) из условия IIIb. Выбирая 2 подходящим образом, мы получим из (2.5.24), что ( ) 2 2 P() u 1 P u + C(1, s, K, N,, ) u N.

s s+|| Теперь предположим, что = (1,..., m ) и = (1,..., j + 1,..., m ). Предположим, что (2.5.23) выполняется для. Мы покажем, что оно также выполняется для. Очевидно, () () () () 2 2 2 (2.5.25) P( ) u = [ P(), Dj ]u C4 P() u + P() Dj u.

s s s+1 s По предположению индукции () () 2 2 2 2 (2.5.26) P() u + P() Dj u 2 Pu + P Dj u + CN u N.

s+1 s s+||+1 s+|| Так как P Dj u = Dj P u P(j) u, мы получаем из условия II, что 2 2 2 2 2 (2.5.27) P Dj u 2 Pu + P(j) u 2 Pu + 2 P u + CN u N.

s+| | s+|| s+||+1 s+|| s+||+ Из оценок (2.5.25)–(2.5.27) следует, что () 2 2 P( ) u 1 P u + C(1, N, s, K,, ) u N, s+| | s что и следовало доказать.

Лемма 2.5.4. Пусть дифференциальный оператор P удовлетворяет условиям II и IIIa те оремы 2.5.2. Тогда для любого компактного множества K \ M, любого s R1 и любого достаточно большого N 0 выполняется неравенство () 2 2 (2.5.28) P() u C(,, s, K) Pu + C(N ) u, N s s+|| если || 1, u C0 (K).

Доказательство. Оценка (2.5.28) доказывается так же, как лемма 2.5.3. При || + || = 1 (2.5.28) выполняется в силу условия IIIa. Если = (1,..., m ), || 1 и = (1,..., j + 1,..., m ), то, как при доказательстве леммы 2.5.3, мы имеем ( ) () () () 2 2 2 (2.5.29) P() u = [P(), Zj ]u C1 P() u + P() Zj u.

s s s s По предположению индукции () () 2 2 2 2 P() u + P() Zj u C(,, s, K) Pu + P Zj u + C(N ) u.

N s s s+|| s+|| Следовательно, используя условие IIIa и оценку (2.5.29), мы получим ( ) 2 2 (2.5.30) P() u C(,, s, K) Pu + C(N ) u.

N s s+|| Если = (1,..., m ) и = (1,..., j + 1,..., m ), то () () () () 2 2 2 P() u = [P(), Dj ]u C2 P() u + P() Dj u.

s s s+1 s Используя предположение индукции, равенство P Dj u = Dj P u P(j) u и условие II, мы получим () 2 2 P( ) u C(,, s, K) Pu + C(N ) u.

N s+| | s Из последнего неравенства и (2.5.30) следует требуемое неравенство (2.5.28).

106 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Доказательство теоремы 2.5.2. Сначала мы покажем, что неравенство (2.5.22) выполняется для функций C0 ( \ M ). Пусть j, j = 0, 1,..., — семейство функций таких, что j C0 ( \ M ) и, кроме того, j+1 1 на supp j, где 0 =.

Пусть ve = j u. Так как u D () и j C0 (), из теоремы 2.1.10 следует, что функ 1 и всех j, если supp лежат в некотором фиксированном ции j u Ht для некоторого t R j компактном множестве в \ M.

Следующее тождество очевидно:

P (j u ) (j P u) + ([P, j ]j+1 u) + [P (j u ) (P j u) ]. (2.5.31) Мы оценим два последних члена в правой части (2.5.31).

Если N s1 + s + m1 t + 1/2, то для любого положительного s1 + s + m1 t мы применим лемму 2.5.1 и неравенство (1 + 2 /2 ) 1, 0, чтобы получить 2 d 21 2s P (j u ) (P j u) 1+ s 2 d 2 2(s||) + CN j u 2, (P() j u) (2.5.32) C s1 1+ t 1 || N 1 где все интегралы в (2.5.32) конечны, так как j u Ht, и (2.5.4) выполнено. По лемме 2.5. 2 d 2 2(s||) (P() j u) s1 1+ 1 || N 1 2 d 2 2s (P() j u) (2.5.33) C s1 || 1+ + CN1 j u N1, 2 1 || N 1 где t N1, N1 0 — произвольное достаточно большое число, так как j u Ht и t s1 + s + m1. Мы применим лемму 2.5.1 к оператору P(), заменяя s1 на s1 ||. Таким образом мы получим 1 2 d d 21 || 2s 2 2s (P() j u) P() (j u ) 1+ 2 s1 || 1+ 2 + s 0 2 d 2 2(s||) C (P(+) j u) + s1 || 1+ + 1 || N ||1 2 d 2 2(s||) + CN1 j u 2.

C (P(+) j u) (2.5.34) + s1 || 1+ t N || || N 1 Из леммы 2.5.2 следует 2 d 21 || 2(s||) (P(+) j u) 1+ s 2 d 2 2s (P(+) j u) (2.5.35) C1 s1 |||| 1+ + CN2 j u N2, 2 где t N2, N2 0 — произвольное достаточно большое число, так как j u Ht и t s + s1 + m1 ||. Члены в последней сумме в правой части (2.5.34) не превышают C2 j u 2.

t 5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ Действительно, по теореме 2.5.1, 2 d 2 2(s||) (P(+) j u) s1 || 1+ C3 P(+) j u s1 +s||||,.

Так как порядок P(+) не превосходит m1 и || N ||, имеем 2 C5 j u 2.

P(+) j u C4 j u s1 +s+m1 N, s1 +s||||, t Из этих оценок и из повторного применения (2.5.34) следует, что 2 d 2 2s (P() j u) s1 || 1+ 2 1 || N 1 2 d 2 2s P() (j u ) (2.5.36) C6 s1 || 1+ + j u.

2 t 1 || N 1 Таким образом, из (2.5.32) следует, что 2 d 2 2s P (j u ) (P j u) s1 1+ 2 2 d 2 2s P() (j u ) (2.5.37) C7 s1 || 1+ + j u.

2 t 1 || N 1 Оценим правую часть (2.5.37) с помощью леммы 2.5.3. Мы получим:

2 d 2 2s P() (j u ) s1 || 1+ 2 1 || N 1 2 d 2 2s + C(1 ) j u 2.

P (j u ) (2.5.38) 1 s1 1+ 2 t Из неравенств (2.5.37) и (2.5.38) мы получим первое основное неравенство 2 d 2 2s P (j u ) (P j u) s1 1+ 2 2 d 2 2s + C(2 ) j u 2.

P (j u ) (2.5.39) 2 s1 1+ 2 t Теперь оценим члены вида ([P, j ]j+1 u), входящие в (2.5.31).

Применяя формулу Лейбница для подсчета [P, j ]v, мы получим 2 d 2 2s ([P, j ]j+1 u) s1 1+ 2 2 d (j() P () j+1 u) 2 2s (2.5.40) C s1 1+.

2 1 || m1 108 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Чтобы оценить последние интегралы, применим неравенство (2.5.37) с операторами j() P (), справедливое для оператора P. Мы получим 1 2 d d () 21 2s j() P () (j+1 u ) 2 2s j+1 u) (j() P 1+ 2 s1 1+ + s 0 2 d () 2 2s + C8 j+1 u 2. (2.5.41) j(+ ) P( ) (j+1 u ) + C s1 || 1+ 2 t 1 || N 1|| = + Здесь мы использовали тот факт, что 2 d () 2 2s C9 j+1 u 2.

j(+ ) P( ) (j+1 u ) s1 || 1+ 2 t N || || N 1 = + Применим лемму 2.5.4 для оценки последних интегралов в правой части (2.5.41). Рассматривая теорему 2.2.1, получим 2 d () 2 2s j(+ ) P( ) (j+1 u ) s1 || 1+ 2 1 || N 1|| = + 2 d () 2 2s P() (j+1 u ) C10 s1 || 1+ 2 0 || N 1|| 2 d 2 2s P (j+1 u ) C11 s1 1+ + CN3 j+1 u, N 2 где t N3, N3 0 — произвольное достаточно большое число. Так мы получим второе основное неравенство 2 d 2 2s ([P, j ]j+1 u) s1 1+ 2 2 d C12 + j+1 u 2.

2 2s P (j+1 u ) (2.5.42) s1 1+ 2 t Теперь оценим левую часть (2.5.31). Из оценок (2.5.39) и (2.5.42) следует, что 1 2 d d 2 2s 2 2s P (j+1 u ) P (j+1 u ) s1 1+ 2 C13 s1 1+ + 0 1 2 d 2 2s d + C14 j+1 u 2 2s P (j u ) (j P u) (2.5.43) +2 s1 1+ + s 2 t 0 для любого положительного s + s1 + m1 t и s1 0, так как j P u Hs. Выбирая 2 = 1/2, выведем из (2.5.43), что для любых s R1 и s1 2 d 2 2s P (j u ) s1 1+ 2 5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 1 2 d 2 2s d 2 2s P (j+1 u ) (j P u) ) C15 s1 1+ + s1 + j+1 u.

2 t 0 (2.5.44) Так как по теореме 2.2. 2 C16 j+1 u 2, j u = j j+1 u t t t можно применить неравенство (2.5.44) последовательно при s1 = 0,, 2,..., l, где j = 0, 1,..., l, соответственно, и использовать каждое неравенство, чтобы оценить первый член, появ ляющийся в правой части предыдущего неравенства. Таким образом мы получим 2 d P (u ) 2 2s 1 + 2 d 2 2s P (l+1 u ) C17 (l+1) 1+ + l d (j P u) 2 2s + l+1 u 2. (2.5.45) + j t j=0 loc Так как P u Hs, все интегралы в правой части (2.5.45) конечны. Если l настолько велико, что (l + 1) + m1 + s t, из (2.5.45) следует, что l 2 d P (u ) 2 2s 1 + 2 (2.5.46) C18 j P u + l+1 u.

2 s t j= На основе этого неравенства легко доказать требуемую оценку (2.5.22). Действительно, из теоремы 2.5.1 и из оценки (2.5.18), которая выполняется в силу условия I доказанной теоремы, следует, что 2 d u 20 +s, C19 u 2 + u 20 2s 1 + s t s 2 d u 2 + P (u ) 2 2s 1 + C20.

t Применяя неравенство (2.5.46), мы найдем l 2 2 2 (2.5.47) u sup u C21 j P u + l+1 u.

s+s0 s+s0, s t j= Можно предположить, что система функций {j } выбрана таким образом, что 0 = и l+1 = 1. Постоянная C21 будет в общем случае зависеть от t, которое определяется функцией u D ().

Однако, из неравенств вида (2.5.47) следует, что для любого компактного множества K \ M loc можно считать, что постоянная t одна и та же для всех u, где u D (), P u Hs и C0 (K).

Можно выбрать t = 0 s + s0. Так, из (2.5.47) следует требуемое неравенство (2.5.22), если supp \ M.

Из неравенства (2.5.22) следует гипоэллиптичность оператора P u в \M, так как, если 1 P u C ( \ M ), то по (2.5.22) u Hs для любого s, и из теоремы вложения 2.1.8 следует, что u C ( \ M ).

Теперь мы докажем (2.5.22) в случае когда 1 на M.

110 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Рассмотрим функции и 0 из C0 () такие, что 0 1 на supp и 1 в некоторой окрестности M.

Для рассматриваемых функций и 0 также выполняются оценки (2.5.39) и (2.5.41). Теперь из леммы 2.5.3 и теоремы 2.2.1 следует, что 2 d () 2 2s (+ ) P( ) (0 u ) || 1+ 2 1 || N 1|| = + 2 d P (0 u ) 2 2s 1 + 1 + C22 0 u 2 t 2 d P (u ) 2 2s 1 + 21 + 2 2 d P ([0 ]u ) 2 2s 1 + + C23 0 u 2. (2.5.48) +21 2 t Так как носитель 0 лежит в \ M, согласно оценке (2.5.46) имеем l 2 d P ([0 ]u ) 2 2s 1 + 2 (2.5.49) C24 k P u + l+1 u, 2 s t k= где {k } — некоторая система функций, такая, что k C0 ( \ M ), k+1 1 на supp k, и все k 1 на supp(0 ). Как и в предыдущем случае, мы снова рассмотрим тождество (2.5.31).

Из этого тождества и из оценок (2.5.39), (2.5.41) и (2.5.49) следует, что 1 2 d d 2 2s (P u) 2 2s P (u ) 0 1+ 2 + 0 l 2 d P (u ) 2 2s 1 + 2 2 +1 + C25 0 u + l+1 u + k P u.

2 t t s j= Полагая 1 = 1/2, получим 1 l d P (u ) 2 2s 2 2 2 (2.5.50) C26 P u + k P u + l+1 u + 0 u.

0 s s t t k= По условию I теоремы имеем 1 2 d d 2 2s P (u ) 2 2s + u 2. (2.5.51) u s0 1+ 2 C27 1+ t 0 Применяя неравенство (2.5.50) для оценки правой части (2.5.51), мы получим отсюда и из теоре мы 2.5.1, что 2 u sup u s+s0 s+s0, l 2 2 2 2 2 (2.5.52) C28 P u + k P u + 0 u + l+1 u C29 1 P u + 1 u, s s t t s t k= где 1 C0 () и 1 1 на множестве supp 0 supp l+1.

6. АПРИОРНЫЕ Х РМАНДЕРА ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ Е Из оценки (2.5.52) следует (2.5.22) и глобальная гипоэллиптичность оператора P в окрестности множества M точно так же, как это было сделано в случае, когда supp 1 \ M.

Теорема доказана.

6. АПРИОРНЫЕ ХЕРМАНДЕРА ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ Х рмандер [187] доказал теорему о гипоэллиптичности дифференциальных операторов второго е порядка вида r Pu (2.6.1) Xj u + iX0 u + u, j= m где Xj (x, D) al (x)Dl, j = 0, 1,..., r, при некоторых условиях на алгебру Ли операторов Xj, j l= j = 0, 1,..., r. Дифференциальные операторы первого порядка Xj имеют действительные беско нечно дифференцируемые коэффициенты в области, а — действительная бесконечно диффе ренцируемая функция в.

В этом параграфе мы дадим другое доказательство теоремы Х рмандера, а также докажем e некоторые более общие теоремы о гипоэллиптичности оператора P u, а также теоремы о локаль ной гладкости слабых решений уравнения P u = f. Для этого мы найдем априорные оценки для оператора (2.6.1) и условия на P, при которых применима теорема 2.5.2. Те же самые методы будут использоваться в следующем параграфе для изучения вопросов, касающихся гладкости решений и гипоэллиптичности общих уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Аналогичная теорема выполняется также для некоторых классов уравнений высших по рядков. Так как все рассмотрения проводятся на некотором компактном множестве K1 в, можно предположить, что коэффициенты (2.6.1) принадлежат классу C0 (), если нужно, умножая их () такую, что 1 на K. Очевидно, P u = f — уравнение с неотрица на функцию (x) C0 тельной характеристической формой.

В §§ 6 и 7 для простоты обозначим (u, v)0 через (u, v). Сначала мы докажем следующий вспо могательный результат.

Лемма 2.6.1. Пусть As — псевдодифференциальный оператор, символ которого удовлетво ряет условиям a) и b) из § 2 при = s. Тогда для любого компактного множества K неравенство P As u 2 C(s, K)( P u 2 + u 2 ) (2.6.2) s 0 (K), C(s, K) — постоянная, зависящая от s и K.

выполняется при u C Доказательство. Следующее тождество легко проверить:

r [P, As ]u (2.6.3) (2[Xj, As ]Xj + [Xj, [Xj, As ]])u + i[X0, As ]u + [, As ]u.

j= Применяя теорему 2.3.1 о коммутаторах, неравенство (2.3.2) и теорему 2.2.1 о порядке псевдодиф ференциального оператора, мы видим из (2.6.3), что r r 2 2 2 2 [P, As ]u C1 [Xj, [Xj, As ]]u + [Xj, As ]Xj u + [X0, As ]u + [, As ]u s s s s s j=1 j= r 2 (2.6.4) C2 u + Xj u.

0 j= В уравнении r (2.6.5) Re(P u) = Re (Xj u, u) + i(X0 u, u) + (u, u) j= преобразуем с помощью интегрирования по частям следующие интегралы:

2 2 + (Xj u, (Xj Xj )u), (Xj u, u) = Xj u 112 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА i i i i (X0 u.u) + (u, X0 u) + (u, (X0 X0 ) = Re (u, (X0 X0 )u).

Re[i(X0 u, u)] = Re 2 2 2 Уравнение (2.6.5) дает r r 2 |(P u, u)| + (u, (X0 X0 )u) + |(Xj u, (Xj Xj )u)| + |(u, u)|. (2.6.6) Xj u j=1 j= Отсюда мы получим r r 2 + u 2) + Xj u 2, Xj u C3 ( P u 0 0 0 j=1 j= откуда следует r 2 + u 2 ). (2.6.7) Xj u C4 ( P u 0 0 j= Оценки (2.6.4) и (2.6.7) дают 2 2 2 + u 2 ).

P As u 2 As P u + 2 [P, As ]u C5 ( P u s s s 0 Лемма доказана.

Замечание. Очевидно, что лемма 2.6.1 также справедлива для операторов As вида As = As,N + TN, где As,N — псевдодифференциальный оператор порядка не более чем s, а TN — опе ратор порядка не более чем N, где N 0 — достаточно большое число.

Теорема 2.6.1 (энергетическая оценка). Для любой функции u C0 (K) и любого s r 2 2 2 (2.6.8) X0 u + Xj u C(K, s) Pu +u.

0 2s s s1/ j= Доказательство. Отметим, что при s 1 неравенство (2.6.8) тривиально. Пусть Es — псевдодиф ференциальный оператор с символом, определенным формулой (2.2.32), где функция C0 (K1 ) и 1 на K, K K1. Мы изучим Re(P Es u, Es u), преобразуя это выражение таким же образом, как мы преобразовали (2.6.5). Получим r Re(P Es u, Es u) = (Xj Es u, Xj Es u) + (Es u, Es u)+ j= r i (Xj Es u, (Xj Xj )Es u) + (Es u, (X0 X0 )Es u). (2.6.9) + Re j= По теореме 2.2.5 об операторах Es для любой функции u C0 (K) имеем r r r 2 2 2 + [Es, Xj ]u 2 ) + C1 u 2.

Xj u 2 E s Xj u + C1 u 4( Xj Es u 0 0 0 0 s j=1 j=1 j= Из оценки (2.3.2) для нормы коммутатора [Es, Xj ] получим C2 u 2.

[Es, Xj ]u 0 s Поэтому r r 2 2 (2.6.10) Xj u C3 Xj Es u +u.

s s j=1 j= Теперь оценим норму Xj Es u с помощью (2.6.9). Применяя теорему 2.2.1 о порядке псевдодиф ференциального оператора и неравенство (2.1.19), мы получим r r 2 |(P Es u, Es u)| + |(Xj Es u, (Xj Xj )Es u)| Xj Es u j=1 j= 6. АПРИОРНЫЕ Х РМАНДЕРА ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ Е r 1 2 2 Xj Es u 2.

|(Es u, (X0 X0 )Es u)| + C4 u (2.6.11) 2 P Es u + C5 + s 2s s 2 j= На основе леммы 2.6.1 имеем 2 + u 2 ). (2.6.12) P Es u C6 ( P u s 0 Из неравенств (2.6.10)–(2.6.12) заключаем, что r 2 2 (2.6.13) Xj u C7 ( P u +u 2s ).

s j= 2 Чтобы оценить X0 u s1/2, рассмотрим (P Es u, E1/2 X0 Es u). Здесь Es — оператор, сопряжен ный к Es. Ясно, что (P Es u, E1/2 E1/2 X0 Es u) = r 2 (2.6.14) = i E1/2 X0 Es u + (Es u, E1/2 E1/2 X0 Es u) + (Xj Es u, Xj E1/2 E1/2 X0 Es u).

j= Применяя (2.1.19) и теорему 2.2.1 о порядке псевдодифференциального оператора, мы получим оценку 2 2 2 |(P Es u, E1/2 E1/2 X0 Es u)| (2.6.15) 2 P Es u + C8 u C9 ( P u +u 2s ).

s 2s Здесь мы также использовали (2.6.12). Легко видеть, что C10 u 2.

|(Es u, E1/2 E1/2 X0 Es u)| s Используя снова неравенство (2.1.19) и теоремы 2.2.1 и 2.3.1, мы получим + Xj E1/2 E1/2 X0 Es u 2, |(Xj Es u, Xj E1/2 E1/2 X0 Es u)| Xj Es u 0 а также неравенство 2 2 Xj Es u C11 Xj u +u 0 s s и оценку 2 2 2 2 Xj E1/2 E1/2 X0 Es u C12 E1/2 E1/2 X0 Es Xj u +u C13 Xj u +u.

0 0 s s s Отсюда следует, что 2 |(Xj Es u, Xj E1/2 E1/2 X0 Es u)| C14 Xj u +u.

s s Следовательно, из (2.6.14) получаем r 2 2 2 (2.6.16) E1/2 X0 Es u C15 Pu + Xj u +u.

0 0 2s s j= По теореме 2.2.5 для любой функции u C0 (K) мы получим неравенство 2 2 2 2 X0 u 2 E s X0 u + C16 u 4 E1/2 Es X0 u + C17 u 0 0 1/ s1/ 2 2 C18 E1/2 X0 Es u + E1/2 [X0, Es ]u +u.

0 0 Оценивая правую часть последнего неравенства, применим (2.6.16) и теорему 2.3.1 о коммута торах, и получим X0 u 2 C19 P u 2 + u 2. (2.6.17) 0 2s s1/ Из априорных оценок (2.6.13) и (2.6.17) следует требуемый результат. Теорема доказана.

114 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Это центральная оценка в доказательстве гипоэллиптичности оператора (2.6.1).

Рассмотрим систему операторов {X0,..., Xr }, определенных с помощью (2.6.1). Для мульти t индекса I = (1,..., t ), где l = 0, 1,..., r, l = 1,..., t, положим |I| = l, где l = 1, если l= l = 1,..., r и l = 2, если = 0. Каждому мультииндексу I поставим в соответствие оператор XI = ad X1 · · · ad Xt1 Xt, где ad AB = [A, B] = AB BA для любых операторов A и B. Следующая лемма обеспечивает оценку нормы оператора XI.

Лемма 2.6.2. Для любого компактного множества K, любого целого числа k 1 и лю бого s 0 существует постоянная C(K, s, k) такая, что для любой функции u из C0 (K) выполняется неравенство 2 (2.6.18) XI u C(K, s, k) Pu +u.

s+21k 1 0 2k s |I|=k Доказательство. Мы докажем (2.6.18) индукцией по k. При k 2 это неравенство следует из (2.6.17), (2.6.13) и леммы 2.3.1, согласно которой r r 2 2 2 2 [Xj, Xl ]u C1 Xj u +u C2 Pu +u.

0 2s s s s1/ j= j,l= Теперь предположим, что (2.6.18) выполняется для всех k k0, и покажем, что оно должно также выполняться для k = k0 + 1. Возможны два случая:

1) X1 = [Xj, XI1 ], где |I| = k0 + 1 и |I1 | = k0, j = 1,..., r;

2) X1 = [X0, XI0 ], где |I| = k0 + 1 и |I0 | = k0 1.

Чтобы оценить норму Xj u в первом случае, мы используем неравенство (2.3.3) для P = Xj, Q = XI1 и s1 + 21k0 1. Получим r r 2 2 2 [Xj, XI1 ]u C3 Xj u + XI1 u +u.

2s s1/2+(2k0 1/2) s+21k0 s |I1 |=k0 j=1 |I1 |=k j= Из оценки (2.6.13) и предположения индукции следует, что r 2 2 (2.6.19) [Xj, XI1 ]u C4 Pu +u.

s+2k0 1 2k0 s |I1 |=k0 j= Теперь мы получим оценку (2.6.18) для случая оператора XI = [X0, XI0 ], |I0 | = k0 1. Обозначим 2k0 1 через. Легко видеть, что r (2Xj [Xj, XI0 ]u [Xj, [Xj, XI0 ]]u) + i[X0, XI0 ]u + [, XI0 ]u.

[P, XI0 ]u = j= Подставим в это уравнение Es u вместо u и возьмем скалярное произведение получающегося урав нения с E E [X0, XI0 ]Es u в пространстве H0. Тогда получим 2 ([P, XI0 ]Es u, E E [X0, XI0 ]Es u) = i E [X0, XI0 ]Es u + ([, XI0 ]Es u, E E [X0, XI0 ]Es u)+ r 2 [Xj, XI0 ]Es u, Xj E E [X0, XI0 ]Es u E [Xj, [Xj, XI0 ]]Es u, E [X0, XI0 ]Es u. (2.6.20) + j= Это уравнение дает оценку для E [X0, XI0 ]Es u 2. Оценим остальные члены в (2.6.20). Имеем + E E [X0, XI0 ]Es u 2.

V1 [, XI0 ]Es u, E E [X0, XI0 ]Es u [, XI0 ]Es u 0 Применяя теорему 2.2.1 о порядке псевдодифференциального оператора, получим 2 C6 u 2, V1 C5 u +u s+21k0 s s 6. АПРИОРНЫЕ Х РМАНДЕРА ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ Е так как 21k0 1 0. Далее, по неравенству Шварца (2.1.19) имеем r V2 [Xj, XI0 ]Es u, Xj E E [X0, XI0 ]Es u j= r 2 [Xj, XI0 ]Es u + Xj E E [X0, XI0 ]Es u 21k0 1 121k j= r 2 C7 [Xj, XI0 ]u + [[Xj, XI0 ], Es ]u + s+21k0 1 21k0 j= 2 + Xj u + [Xj, E E [X0, XI0 ]Es ]u.

121k s Применяя теорему 2.2.1 и оценку (2.6.13), получим r 2 2 V2 C8 [Xj, XI0 ]u + Pu +u.

0 2s s+21k0 j= Легко видеть, что r V3 |(E [Xj, [Xj, XI0 ]]Es u, E [X0, XI0 ]Es u)| j= r E [Xj, [Xj, XI0 ]]Es u 2, r E [X0, XI0 ]Es u + 0 j= где 0 — произвольная постоянная. Для последнего члена этого неравенства выполняется оценка r E [Xj, [Xj, XI0 ]]Es u j= r C9 [Xj [Xj, XI0 ]]u + E [[Xj, [Xj, XI0 ]], Es ]u s+2k0 1 j= r C10 u + [Xj [Xj, XI0 ]]u.

s+2k0 1 s+2k0 j= Следовательно, r 2 2 V3 r E [X0, XI0 ]Es u + C u + [Xj [Xj, XI0 ]]u.

0 s+2k0 s j= Чтобы оценить выражение V4 [P, XI0 ]Es u, E E [X0, XI0 ]Es u, представим его в виде V4 = V5 + V6, где V5 (XI0 Es u, P E E [X0, XI0 ]Es u), V6 (P Es u, XI0 E E [X0, XI0 ]Es u).

Применяя неравенство Шварца, получим + XI0 E E [X0, XI0 ]Es u 2.

|V6 | P Es u s s Оценим первое слагаемое в правой части этого неравенства, применяя (2.6.12), а второе не пре восходит 2 2 + E E [X0, XI0 ]Es (XI0 XI0 )u 3 E E [X0, XI0 ]Es XI0 u + [XI0, E E [X0, XI0 ]Es ]u.

s s s 116 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Вспоминая теоремы 2.2.1 и 2.3.1, получим 2 |V6 | C11 Pu + XI0 u +u, 2s+21k0 0 s так как 21k0 0 при k0 1.

Чтобы оценить |V5 |, используем следующее выражение для оператора P :

r P v = P v + (2Xj + j Xj )v + 0 v, j= где j и 0 — некоторые функции. Легко видеть, что |V5 | |(XI0 Es u, P E E [X0, XI0 ]Es u)|+ r 2 |(XI0 Es u, 2Xj E E [X0, XI0 ]Es u)| + |(XI0 Es u, j Xj E E [X0, XI0 ]Es u)| + + j= (2.6.21) +|(XI0 Es u, E E [X0, XI0 ]Es u)|.

Оценим скалярное произведение в правой части (2.6.21). Согласно (2.1.19), имеем 2 W1 |(XI0 Es u, P E E [X0, XI0 ]Es u)| XI0 Es u + P E E [X0, XI0 ]Es u.

s+21k0 1 1s21k Так как оператор E E [X0, XI0 ]Es имеет порядок не более, чем s 1 + 21k0, из леммы 2.6.1, замечания после нее и теорем 2.2.1 и 2.3.1 следует, что 2 W1 C12 Pu +u + XI0 u.

2s+21k0 0 2s Здесь мы использовали тот факт, что 21k0 1 0 при k0 1.

Далее, применяя неравенство (2.1.19), а также теоремы 2.2.1 и 2.3.1, мы получим r W2 |(XI0 Es u, j Xj E E [X0, XI0 ]Es u)| j= r 2 XI0 Es u + j Xj E E [X0, XI0 ]Es u 21k0 1 121k j= r 2 2 C13 XI0 u + Xj u + [XI0, Es ]u + s+21k0 1 21k0 s j= r + j [Xj, E E [X0, XI0 ]Es ]u.

121k j= Отсюда и из оценки (2.6.13) следует, что 2 2 W2 C14 XI0 u + Pu +u.

0 2s s+21k0 Точно так же мы получим 2 W3 |(XI0 Es u, E E [X0, XI0 ]Es u)| C15 XI0 u +u.

s+21k0 1 s Далее исследуем r W4 |(Xj XI0 Es u, Xj E E [X0, XI0 ]Es u)|.

j= По неравенству Шварца (2.1.19) r 2 W4 Xj XI0 Es u + Xj E E [X0, XI0 ]Es u 21k0 1 121k j= r 2 2 (2.6.22) C16 Xj u +u + Xj XI0 Es u.

21k0 s s j= 6. АПРИОРНЫЕ Х РМАНДЕРА ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ Е Чтобы оценить r W5 Xj XI0 Es u, 21k0 j= Xj XI0 E21k0 1 Es u 2. Подставляя функцию v = XI0 E21k0 1 Es u 2 r сначала получим оценку для вместо Es u в уравнение (2.6.9), получим r 2 C17 |(P v, v)| + v (2.6.23) Xj v.

0 j= Отсюда следует, что r 2 2 2 2 (2.6.24) Xj v C18 XI0 u + Pv +u +v.

0 s+21k0 1 s21k0 s+21k s j= Чтобы оценить P v, применим лемму 2.6.1. Легко видеть, что s21k 2 2 (2.6.25) v C19 XI0 u +u.

s+21k0 2s+22k0 1 2s+22k0 Так как 22k0 1 0 при k0 2иs 0, мы получим из (2.6.24) и (2.6.25) оценку r 2 2 2 (2.6.26) Xj v C20 XI0 u + Pu +u.

0 0 2s 2s+22k0 j= Здесь мы также использовали неравенство 2 для (2.6.27) u u l.

l Таким образом, применяя теоремы 2.2.5 и 2.3.1, мы получим неравенство r r E21k0 1 Xj XI0 Es u Xj XI0 E21k0 1 Es u 2 + W5 2 + C21 u 0 0 j=1 j= r 2 2 2 (2.6.28) +C22 XI0 u + Xj u +u +u s+21k0 1 s+21k0 1 s+21k0 j= для любой функции u C0 (K), K K1.

Принимая во внимание, что 21k0 1 0 при k0 1иs 0, получим r 2 2 2 (2.6.29) W5 C23 Xj v + XI0 u +u + Xj u.

0 s+21k0 1 s s j= Вспоминая (2.6.22), (2.6.29), (2.6.13) и (2.6.26), мы окончательно получим следующее соотношение для W4 :

W4 C24 P u 2 + u 2 + XI0 u 2 2k0 1, (2.6.30) 0 2s 2s+ и поэтому 2 2 |V5 | (2.6.31) W1 + W2 + W3 + W4 C25 Pu + XI0 u +u.

0 2s 2s+22k0 Далее, из (2.6.20) мы получим соотношение V1 + V2 + V3 + |V5 | + |V6 |. (2.6.32) E [X0, XI0 ]Es u По теореме 2.2.5 имеем 2 2 [X0, XI0 ]u 2 E Es [X0, XI0 ]u + C26 u 0 s+2k0 E [X0, XI0 ]Es u 2 + 2 4 C27 E [Es, [X0, XI0 ]]u +u 0 0 + C28 u 2. (2.6.33) 4 E [X0, XI0 ]Es u 0 s 118 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Следовательно, рассматривая (2.6.33) и (2.6.32), мы получим [X0, XI0 ]u s+2k0 r 2 2 2 C29 Pu + C() u + [Xj, XI0 ]u + XI0 u + 0 2s s+21k0 1 2s+22k0 j= r 2 (2.6.34) + C() [Xj, [Xj, XI0 ]]u + E [X0, XI0 ]Es u, s+2k0 j= где 0 — произвольная положительная постоянная и C29 не зависит от.

Так как E [X0, XI0 ]Es u 2 2 [X0, XI0 ]u 2 k0 1 + C30 u 2, 0 s s+ можно использовать (2.6.27) и выбрать достаточно малое, чтобы получить r 2 2 2 [X0, XI0 ]u C31 Pu +u + [Xj, XI0 ]u + 0 2s s+2k0 1 s+21k0 j= r 2 (2.6.35) + [Xj, [Xj, XI0 ]]u + XI0 u.

s+2k0 1 2s+22k0 j= Так как для XI = [Xj, XI0 ] при j = 0 мы имеем |I| = k0, из предположения индукции следует, что r 2 2 [Xj, XI0 ]u C32 Pu +u.

s+21k0 1 2k0 s j= Для XI = [Xj, [Xj, XI0 ]], j = 0, имеем |I| = k0 +1, и для таких XI неравенство (2.6.19), доказанное выше, справедливо.

Так как |I0 | = k0 1, мы получаем по предположению индукции 2 2 XI0 u C33 Pu +u.

0 2k0 1 2s 2s+21(k0 1) Следовательно, из (2.6.35) мы окончательно получим 2 2 [X0, XI0 ]u C34 Pu +u, s+2k0 1 2k0 +1 s что и требовалось доказать.

Определение. Система дифференциальных операторов {X0,..., Xr } называется системой ранга m в точке x0, если существует число R(x0 ) такое, что |XI (x0, )| 0 при (2.6.36) = 0, |I| R(x0 ) где XI (x, ) — символ дифференциального оператора XI = ad X1... ad Xt1 Xt, соответствую щий мультииндексу I = (1,..., t ).

Очевидно, что условие (2.6.36) равносильно тому, что при x = x0 среди операторов {XI }, где |I| R(x0 ), существует m линейно независимых операторов, т.е. ранг алгебры Ли, порожденной операторами {X0,..., Xr }, равен m.

Лемма 2.6.3. Если в любой точке x K, где K — компактное множество в Rm, система операторов {X0,..., Xr } имеет ранг m, то для любого s R1 существует постоянная C(K, s) такая, что 2 2 (2.6.37) u C(K, s) XI u +u, 1+s s s |I| R(K) где R(K) = sup R(x), u C0 (K).

xK 6. АПРИОРНЫЕ Х РМАНДЕРА ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ Е Доказательство. Так как XI (x, ) — однородная функция от первого порядка, непрерывная по x и, из условия (2.6.36) следует, что для всех x в некоторой достаточно малой окрестности O(x0 ) точки x0 выполняется неравенство |XI (x, )|2 C0 (1 + ||2 ), Rm, (2.6.38) 1+ |I| R(x0 ) где C0 = const 0 и x0 — произвольная точка, принадлежащая K.

Выберем конечное подпокрытие из бесконечного покрытия K такими окрестностями O(x), и таким образом получим, что для всех x, принадлежащих некоторой замкнутой области K0 K выполняется неравенство |XI (x, )|2 + 1 C0 (1 + ||2 ), (2.6.39) |I| R(K) где C = const 0 и K лежит строго внутри K0.

На основе теоремы 2.2.6 из условия (2.6.39) следует, что неравенство (2.6.37) выполняется для функций u C0 (K).

Теорема 2.6.2. Пусть система операторов {X0,..., Xr } имеет ранг m в каждой точке x.

loc Тогда для любой функции u D () такой, что P u Hs (), выполняется оценка вида (2.6.40) u C(K, s) 1 u, s+(K) где = const s + (K), функции, 1 C0 (K), K — компактное множество в, 1 1 — окрестность носителя и (K) 0 — некоторое число. Кроме того, оператор P, заданный условием (2.6.1), гипоэллиптичен в области.

Доказательство. Достаточно доказать, что если система операторов {X0,..., Xr } имеет ранг m в каждой точке x, то оператор P из (2.6.1) удовлетворяет условиям теоремы 2.5.2, где множество M понимается, как пустое множество. Предположим, что область G и замыкание G также таково, что G K и R(G) = R(K). На основе лемм 2.6.3 и 2.6.2 мы принадлежит. Пусть G заключаем, что для любого t R1 неравенство 2 2 2 2 (2.6.41) u C1 XI u +u C2 Pu +u 0 2R(K) (t+121R(K) ) t+1 t t |I| R(K) выполняется для любой функции u из C0 (G), если s = t + 1 21R(K) 0. Выберем t так, что t + 1 2R(K) (t + 1 21R(K) ), (2.6.42) 21R(K).

t+ Тогда из (2.6.41) и теоремы 2.1.12 следует, что для u C0 (G) 2 2 (2.6.43) u C3 Pu +u 0 N t+ для любого N 0 и некоторого t, удовлетворяющего неравенству 1 + 21R(K) t 1 + 2(2R(K) 1)1. Положим t + 1 = (K). Ясно, что (K) 0. Тогда из (2.6.43) получим, что для любых N 0 и u C0 (G) u 2 C4 P u 2 + u 2 (2.6.44) N.

(G). Из теоремы 2.6.1 и Это означает, что условие I теоремы 2.5.2 выполняется для u C неравенства (2.6.44) следует, что если мы положим 2s =, то r 2 2 2 X0 u + Xj u C5 Pu +u.

0 N (1)/2 / j= Ясно, что r (j) 2aj (x)Xk (x, ) + iaj (x), P (x, ) + k k= 120 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА r P(j) (x, ) + 2Xk(j) (x, )Xk (x, ) + iX0(j) (x, ) + (j) (x), k= m где Xk (x, ) = al (x)l, k = 0, 1,..., r. Следовательно, на основе теоремы 2.2.1 мы имеем нера k l= венство r r P (j) u 2 2 2 2 u C0 (G). (2.6.45) + P(j) u C6 Xj u +u, s s1 s s j=1 j= Возьмем оператор Es u такой, что Es u C0 (G), и положим (x) 1 в точках области 1 такой, 1 — замыкание 1.

что K 1, 1 G, где В неравенстве r 2 2 2 u + Xj u C7 Pu +u 0 N / j= заменим u на Es u и таким образом получим для u C0 (K) r r 2 2 2 2 (2.6.46) Es u + E s Xj u C8 P Es u + [Xj, Es ]u +u.

0 N /2 / j=1 j= Из теоремы 2.3.1 о коммутаторах следует, что m Es(j) P (j) u 2 (j) 2 [P, Es ]u C9 + Es P(j) u +u 0 0 0 s j= m 2 + P (j) u (2.6.47) C10 u + P(j) u, s s1 s j= (j) где Es(j) и — псевдодифференциальные операторы с символами Es Dj (x)(1 + ||2 )s/2 ((x)(1 + ||2 )s/2 ) и j соответственно. Применяя неравенство (2.6.45), мы получим r 2 2 [P, Es ]u C11 u + Xj u.

0 s s j= Из (2.6.46) и теоремы 2.2.5 следует r r 2 2 2 2 2 (2.6.48) u + Xj u C12 Pu +u + Xj u +u.

N s+ s s s+/2 s+/ j=1 j= Имея в виду теорему 2.1.12, мы заключаем, что для u C0 (K) r 2 2 2 (2.6.49) u + Xj u C13 Pu +u.

N s+ s s+/ j= Таким образом, из (2.6.45) и (2.6.49) следует, что для u C0 (K) m P (j) u 2 2 (2.6.50) C14 Pu +u, N s s/ j= где N4 — произвольное положительное число и C14 зависит от N4.

Имея в виду теорему 2.1.12, выведем, что m 2 2 2 2 (2.6.51) P(j) u C15 Pu +u Pu + C16 u N4 N s1 s s/ j= 6. АПРИОРНЫЕ Х РМАНДЕРА ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ Е для любых 0 и N5 0, где C16 зависит от и N5, а u C0 (K). Это означает, что оператор P удовлетворяет условиям I, II и IIIa теоремы 2.5.2 для области и, следовательно, утверждения теоремы 2.6.2 выполняются.

Теперь докажем теорему о гладкости слабых решений и о гипоэллиптичности P в случае, когда на некотором множестве M система операторов {X0,..., Xr } не удовлетворяет условиям теоремы 2.6.2.

Доказательство теоремы 2.6.3, приведенное ниже, не зависит от специального вида (2.6.1) опе ратора P.

Теорема 2.6.3. Пусть выполняются следующие условия для оператора P вида (2.6.1) в об ласти :

1) в точках x \M система операторов {X0,..., Xr } имеет ранг m, где M — ограниченное множество точек, лежащих на конечном числе (m 1)-мерных гладких многообразий M таких, что замыкание M принадлежит ;

2) в каждой точке x M выполняются следующие условия: или для некоторого k = 1,..., r aj (x)xj = 0, (2.6.52) k r |aj (x)xj | = 0, то или, если k k= r (2.6.53) Xj + iX0 = 0, j= где (x1,..., xm ) = 0 — уравнение для M в окрестности точки x, grad (x) = 0, Xk = aj Dj, k = 0, 1,..., r.

k loc Тогда для любой обобщенной функции u в D () такой, что P u Hs (), выполняется оценка u 2 C(, ) 1 P u 2 + 1 u 2, (2.6.54) s s (), 1 на supp и, кроме того, или supp M =, или где функции, 1 C0 1 на M и = const s.

Дифференциальный оператор P, удовлетворяющий условиям 1) и 2) глобально гипоэллип тичен в, т.е. обобщенная функция u из D () такая, что P u C, также принадлежит C ().

Доказательство. Покроем множество M конечным числом областей j, j = 1,..., N, таких, что в каждой из этих областей j можно выбрать систему локальных координат y1,..., ym таких, что множество M j лежит в плоскости ym = 0. Кроме того, предположим, что оператор P в этих новых координатах принимает вид P u = kj uyk yj + j uyj + cu, (2.6.55) kj k j 0, где в точках j или mm = 0, или m = 0. (2.6.56) Из условия теоремы легко видеть, что такое покрытие M областями j возможно. Пусть u C0 (Gj, ), где Gj, = j {|ym | } и постоянная будет выбрана позднее.

Чтобы оценить u 2, рассмотрим в Gj, уравнение для функции v такой, что u = v(T eym ), где, T = const и sign = sign m в j, если m = 0 в j, и T 0. Мы имеем (T eym )1 P u = kj vyk yj + j vyj + cv (mm 2 + m )eym (T eym )1 v 2mj eym (T eym )1 vyj. (2.6.57) Умножим уравнение (2.6.57) на v и проинтегрируем по области Gj,. Пусть v — действительная функция. Тогда после интегрирования по частям получим 1 kj 1j ((T eym )1 P u, v) = (kj vyk, vyj ) + (yk yj v, v) (yj v, v)+ 2 122 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА +((c [mm 2 + m ]eym (T eym )1 )v, v) 2(mj eym (T eym )1 )vyj, v). (2.6.58) Из (2.6.58) следует, что 1 kj 1j c + yk yj yj (mm 2 + m )eym (T eym )1 v, v (kj vyk, vyj ) 2 |((T eym )1 P u, v)| + 2|(mj eym (T eym )1 )vyj, v)| 1 mj (T eym )1 P u + 2(mm 2 e2ym (T eym )2 v, v).

(2.6.59) v + v yj 0 mm 2 Согласно лемме 1.7.1, имеем неравенство (mj (x)j )2 для любых Rm.

2mm (x)kj (x)k j Следовательно, 1 mj (kj vyk, vyj ).

v yj mm 2 Из (2.6.59) следует, что 1 kj 1j c + yk yj yj (mm 2 + m )eym (T eym )1 + 2mm 2 e2ym (T eym )2 v, v 2 (T eym )1 P u 0. (2.6.60) v Выберем постоянную () так, чтобы для |ym | выполнялось неравенство 2, и eym выберем постоянную T 0 из условия, что для |ym | 2eym (T eym )1 4(T 2)1.


Тогда, в силу условия (2.6.56) и неравенства (2.6.60), получаем, что для достаточно большого || (T 2)1 P u a0 || v v 0, где a0 = const 0 не зависит от и T, где v C0 (Gj, ).

Из (2.6.60) следует, что C 2 2 для u C0 (Gj, ), (2.6.61) u Pu 0 где постоянная C1 не зависит от.

Теперь для u C0 (Gj, ) оценим P (j) u 2 2.

и P(j) u При доказательстве теоремы 2.6.2 мы 0 показали, что r + P (j) u 2 2 (2.6.62) P(j) u C2 Xj u +u.

1 0 0 j= Умножая уравнение P u = f на u и интегрируя по Rm, получим r 2 (2.6.63) Xj u C3 u + Pu u.

0 0 j= Следовательно, вспоминая (2.6.61), мы заключаем из (2.6.62) и (2.6.63), что для u C0 (Gj, ) C + P (j) u P u 2, (2.6.64) P(j) u 1 0 || где C4 не зависит от.

6. АПРИОРНЫЕ Х РМАНДЕРА ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ Е Пусть j C0 (j ), 0 j 1 на M и G = Gj, для всех 0, где 0 — j 1, j j некоторое достаточно малое число. Пусть u C0 (G ). Тогда, согласно (2.6.61), имеем C u = j u j u P j u 0.

0 || j j j Рассматривая неравенство (2.6.64), получим C6 C 2 2 + Dl j P (l) u 2 u P j u j P u +u 0 0 0 0 2 j j C8 C + P (l) (Dl j ) · u 2 2 2 Pu +u Pu +u.

0 0 0 0 2 j Если 1/|| достаточно мало, то C 2 2 для u C0 (G ), (2.6.65) u Pu 0 || где C10 не зависит от. Так как коэффициенты оператора P действительны, неравенство (2.6.65) справедливо для любых комплекснозначных функций из C0 (G ). Отметим, что имеет порядок 1/.

Чтобы доказать теорему 2.6.3, мы покажем, что выполняются условия I, II и III теоремы 2.5.2.

Сначала проверим условие I теоремы 2.5.2 при s0 = 0. В доказательстве теоремы 2.6.2 мы пока зали, что для любого компактного множества K, любого s R1 и любого 0 существуют постоянные C(K, s, ) и (K, ) 0 такие, что m + P (j) u 2 2 2 (2.6.66) P(j) u +u C(K, s, ) Pu + CN u s1 s s s sN j= для любой функции u C0 (K \G ). Теперь мы покажем, что из (2.6.65) и (2.6.66) следует оценка C 2 2 (2.6.67) u Pu + C(, N ) u 0 0 N || для любой функции u C0 (K), где C11 не зависит от.

Пусть {1, 2 } — разбиение единицы на K такое, что 1 C0 (G2 ) и 1 1 на G. Тогда для (K), согласно (2.6.64), (2.6.65) и (2.6.66), имеем любого u C m m 2 (j) 2 2 P (j) l u 2 I u + P u + P(j) u C12 l u + + P(j) l u 0 0 1 0 0 j=1 j= l= C13 2 2 P 1 u + C14 () P 2 u + 2 u.

0 || Применяя теорему 2.3.1, получим C15 + Dj 1 P (j) u 2 D 1 · u I 1 P u + + 0 0 || ||= + Dj 2 P (j) u 2 2 D 2 · u (2.6.68) +C16 () 2 P u + + 2 u.

||= Так как функции при 1 || 2 имеют носитель, лежащий в K \ G, мы получим из D (2.6.66) оценку Dj 1 P (j) u 2 P (j) (Dj 1 · u) 2 D 1 · u D 1 · u + C17 + 0 0 0 1 || 2 1 || 124 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА m 2 2 2 P (j) u P (D 1 · u) C18 () +u C19 () Pu +u +.

1 || 2 j= (2.6.69) Из (2.6.68), имея в виду (2.6.69), мы выведем, что m C20 2 P (j) u 2 I Pu + C19 () Pu + +u.

0 || j= Применяя неравенство (2.1.30), доказанное в теореме 2.1.12, найдем для u C0 (K) m C 2 + P (j) u 2 2 (2.6.70) u + P(j) u Pu + C(, N ) u N, 0 1 0 || j= если 1/|| достаточно мало, где N 0 произвольно и C21 не зависит от.

Условие I теоремы 2.5.2 следует из (2.6.70).

Так как неравенство (2.6.70) выполняется для любого компактного множества K, принадлежа щего и содержащего M, из (2.6.70) и теоремы 2.2.5 следует, что C u 2 2 Es u 2 + C22 u 2 P Es u 2 + C24 (, N1 ) u 2 1. (2.6.71) 0 N 0 N s || С помощью теоремы 2.3.1 о коммутаторах и теоремы 2.2.1 о порядке псевдодифференциального оператора выведем из (2.6.71), что для u C0 (K) m C 2 2 + P (j) u 2 2 u Pu + P(j) u +u + C26 u N1, s s s1 s s || j= где C25 не зависит от. Таким образом, для достаточно малых 1/|| имеем m C 2 2 + P (j) u 2 (2.6.72) u Pu + P(j) u + C28 u N1.

s s s1 s || j= Далее, из теоремы 2.2.5 и неравенства (2.6.70) следует, что m m + P (j) u 2 + Es P (j) u 2 P(j) u 2 Es P(j) u + C29 u 1 0 N s1 s j=1 j= m C P (j) Es u 2 2 2 2 2 C30 + P(j) Es u +u P Es u + C32 u + C() u, 0 1 0 N s s || j= где C31 и C32 не зависят от. Применяя теорему 2.3.1 о коммутаторах и оценку (2.6.72), мы получим m + P (j) u P(j) u s1 s j= m C33 2 + P (j) u 2 (2.6.73) Pu + P(j) u + C34 () u N.

s s1 s || j= Так как C33 не зависит от, и || можно выбрать как угодно большим, из (2.6.73) следует, что условия II и III теоремы 2.5.2 выполняются. Таким образом, теорема 2.6.3 доказана.

Следующий результат можно получить из теоремы 2.6.3.

Теорема 2.6.4. Предположим, что в каждой точке, кроме точки x0, система операторов {X0,..., Xr } имеет ранг m и по крайней мере один из коэффициентов aj операторов Xk k m aj Dj, k = 0, 1,..., r, отличен от нуля в точке x0. Тогда для любой обобщенной функции u k j= 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОБЩИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА loc D () такой, что P u Hs (), выполняется оценка (2.6.54), и оператор P гипоэллиптичен в области.

Доказательство. Выберем вектор n такой, что или aj nj = 0 для некоторого k 1, или aj nj = k в точке x0. В качестве многообразия M мы выберем поверхность, проходящую через точку x и ортогональную вектору n. При таком выборе M утверждение теоремы 2.6.4 следует из теоре мы 2.6.3.

Результаты, аналогичные леммам 2.6.2 и 2.6.3, в случае X0 0 были получены независимо Коном [195].

Замечание 2.6.1. Условие теоремы 2.6.2 с учетом ранга системы операторов {Xj, j = 0, 1,..., r} является также необходимым условием гипоэллиптичности в классе операторов P u, удовлетворя ющих следующему условию: в области все операторы XI порождены m1 линейно независимыми операторами XIs, s = 1,..., m1. Если m1 m, то оператор P u не гипоэллиптичен в при условии, что уравнение P u = 0 имеет по крайней мере одно нетривиальной решение.

Действительно, по теореме Фробениуса [165] в случае m1 m оператор P u можно преобра зовать с помощью локальной замены независимых переменных в оператор, зависящий только от переменных y1,..., ym1. Так что если u — нетривиальное решение уравнения P u = 0 в окрестно сти некоторой точки x0, можно заменить u нулем с одной стороны от гиперплоскости ym = const, проходящей через x0, чтобы получить негладкое решение P v = 0, где при u ym ym = const, v= при 0 ym ym = const.

7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОБЩИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этом параграфе будут даны достаточные условия гипоэллиптичности в области, а также условия локальной гладкости слабых решений общих уравнений второго порядка с неотрицатель ной характеристической формой (2.7.1) L(u) = akj (x)uxk xj + bk uxk + cu = f, где 0 при Rm, akj (x)k j akj, bk, c и f — действительные функции, определенные в области и принадлежащие C ().

Как и в § 6, без нарушения общности мы можем предположить, что коэффициенты уравнения (2.7.1) — это функции из C0 () с носителем в компактном множестве K1.

Наша цель — получить аналог оценки (2.6.8) для операторов второго порядка с неотрицательной характеристической формой общего вида (2.7.1). Запишем оператор (2.7.1) в виде L(u) = Dj (akj ()Du u) + iQu + cu, где оператор первого порядка Q = (bu akj )Dk u, как мы покажем ниже, играет роль X0 в (2.6.8).

xj Докажем оценку m { L0(j) u + L0 u 2 2 2 s1 } + Qu C(K, s) Lu +u 0 2s (j) s s1/ j= для любых s 0, u C0 (K), где постоянная C(K, s) зависит только от K и s.

Наше исследование оператора L(u) будет следовать некоторым образцам, как было сделано для операторов (2.6.1). Вопрос об условиях, при которых общий оператор (2.7.1) можно свести к оператору вида (2.6.1), еще не был полностью изучен. (В связи с этим см. [220], а также замечание в конце этого параграфа.) Пусть L0 (x, ) обозначает выражение akj (x)k j. Под L0 мы будем понимать дифференциаль ный оператор с символом L0 (x, ). Под компактным множеством K будем понимать замкнутую 126 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА область, содержащуюся в. Если A — произвольный псевдодифференциальный оператор, обозна чим через A(j) и A(j) псевдодифференциальные операторы с символами A(x, )/j и Dj A(x, ) соответственно, где A(x, ) — символ оператора A и (как всюду в главе 2) Dj = i/xj.

Лемма 2.7.1. Пусть A — оператор, представимый в виде A = AN + TN, где AN — псевдодиф ференциальный оператор с символом, удовлетворяющим условиям a) и b) из § 2 при = t, а TN — оператор порядка не более чем t N, где N — положительное целое число. Тогда для любой функции u из C0 (K) m 2 L0 u + L0(j) u 2 (2.7.2) LAu C(K) Lu + +u.

t 0 1 0 (j) j= Доказательство. По теореме 2.3.1 имеем m (j) 2 + AN (j) L(j) u 2 [L, AN ]u C1 AN L(j) u +u.

t t t j= Так как операторы L(j) L0 имеют порядок не более чем 1, и L(j) L0(j) имеет порядок не более (j) чем 0, мы получаем из теоремы 2.2.1, что m L0 u + L0(j) u 2 (2.7.3) [L, AN ]u C2 +u.

t 1 0 (j) j= Легко видеть, что 2 2 2 2 2 LAu 2 LAu + 2 LTN u 4 AN Lu + [L, AN ]u + LTN u.

t t t t t t Выбирая N 2 и используя (2.7.3), мы получим m 2 L0 u + L0(j) u 2 LAu C3 Lu + +u, t 0 1 0 (j) j= что и требовалось доказать.

Лемма 2.7.2. Если L — оператор второго порядка (2.7.1) с неотрицательной характеристи ческой формой, то для любого u C0 (K) m L0(j) u + L0 u 2 2 (2.7.4) C1 Lu +u.

0 1 0 (j) j= Доказательство. Так как akj (x)k j 0 при x и Rm, из неравенства (1.7.10) следует, что m |akj (x)Dk u|2 (2.7.5) C2 aks Dk uDs u, j= где постоянная C2 зависит от максимумов абсолютных значений функций akj (x) на K. Интегрируя неравенство (2.7.5) по пространству Rm, мы получим m L0(j) u (2.7.6) 4C2 (akj Dk u, Dj u).

j= Рассмотрим интеграл (Lu, u) и преобразуем его интегрированием по частям (здесь, как и в § 6, мы обозначаем (u, v)0 через (u, v)). Представим Lu в виде L(u) = Dj (akj Dk u) + (Dj akj + ibk )Dk u + cu (2.7.7) и положим Dj ibk, так что — действительные функции. Тогда ilk akj lk + (Lu, u) = (akj Dk u, Dj u) + (ilk Dk u, u) + (cu, u) 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОБЩИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА и Re(Lu, u) = (akj Dk u, Dj u) + Re(ilk Dk u, u) + (cu, u). (2.7.8) Легко видеть, что 1 1 (lk Dk u, u) = (lk Dk u, u) + (u, lk Dk u) + (u, (Dk lk )u).


2 2 Следовательно, Re(ilk Dk u, u) = Re[(iu, (Dk lk )u)].

Из последнего уравнения и (2.7.8) следует, что |(Lu, u)| + C3 u 2. (2.7.9) (akj Dk u, Dj u) Из (2.7.6) и (2.7.9) следует, что m L0(j) v 2 2 (2.7.10) C1 Lu +u.

0 0 j= Чтобы оценить L0(j) u, мы используем лемму 1.7.1, согласно которой m |akj (x)Dk Dj v|2 (2.7.11) C5 akj (x)Dj Dt vDk Dt v xl l= для функций v C0 (K), где постоянная C5 зависит от максимума абсолютных значений произ водных второго порядка от функций akj (x) на компактном множестве K1 K.

Интегрируя (2.7.11) по пространству Rm, мы получим m L0 v (2.7.12) C6 (akj Dt Dk v, Dt Dj v).

(l) l= Заменим u на Dt v в (2.7.9) и применим (2.7.12), чтобы получить m L0 v 2 C7 |(L(Dt v), Dt v)| + v (2.7.13).

0 (l) l= Положим v = E1 u, где псевдодифференциальный оператор E1 имеет символ (x)(1+||2 )1/2, где (x) C0 (K1 ) и (x) 1 на компактном множестве K, содержащемся в K1. Из (2.7.13) следует, что для любой функции u C0 (K) m L0 E1 u 2 C8 |(LDt E1 u, Dt E1 u)| + u 0 (l) l= m 2 (2.7.14) C9 LDt E1 u + u.

0 t= По теоремам 2.2.5 и 2.3.1 мы имеем для любой функции u C0 (K), что m m m L0 u E1 L0 u 2 L0 E1 u + C11 u 2. (2.7.15) 2 + C10 u 1 0 0 0 (l) (l) (l) l=1 l=1 l= Поэтому, применяя лемму 2.7.1, мы выведем из (2.7.15) и (2.7.14), что m m L0 u 2 2 ( L0 u + L0(l) u 2 ).

C12 u + Lu + 1 0 0 1 (l) (l) l=1 l= Выбирая достаточно малое и применяя (2.7.10), мы получим m L0 u 2 2 (2.7.16) C13 Lu +u.

1 0 (j) j= 128 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Из (2.7.10) и (2.7.16) мы получим требуемое неравенство (2.7.4).

Лемма 2.7.3. Если A — любой оператор, удовлетворяющий условиям леммы 2.7.1, то нера венство LAu 2 C(K) Lu 2 + u 2 (2.7.17) t 0 (K).

выполняется для любой функции u C Это утверждение является непосредственным следствием лемм 2.7.1 и 2.7.2.

Запишем оператор Lu в виде L(u) Dj (akj Dk u) + iQu + cu, (2.7.18) где Qu (bk akj )Dk u.

xj Теорема 2.7.1 (энергетическая оценка). Для любого s 0 и любой функции u из класса C0 (K) выполняется неравенство m L0(j) u + L0 u 2 2 2 (2.7.19) + Qu C(K, s) Lu +u, 0 2s (j) s s1 s1/ j= где постоянная C(K, s) зависит от K и s.

Доказательство. Из (2.7.6) и (2.7.9) следует, что при s m L0(j) v 2 2 2 C1 |(Lv, v)| + v (2.7.20) 2C1 Lv +v.

0 0 s s j= Положим v = Es u, где u C0 (K). Из (2.7.20) получим m L0(j) Es u 2 2 (2.7.21) C2 LEs u +u.

0 s 2s j= На основе теоремы 2.2.5 имеем L0(j) u 4 L0(j) Es u + 4 [Es, L0(j) ]u 2 (2.7.22) + C3 u 0 0 s для любой функции u C0 (K).

Применяя лемму 2.7.3 и теорему 2.2.1 о порядке псевдодифференциального оператора, мы полу чим из (2.7.22) и (2.7.21), что m L0(j) u 2 2 (2.7.23) C4 Lu +u.

0 2s s j= Из (2.7.13) и (2.1.19) следует, что m m L0 v 2 2 C5 LDl v +v, (j) 0 s s+ j=1 l= где supp v K1. В этом неравенстве мы положим v = Es1 u, где u C0 (K) и s 0. Применяя лемму 2.7.3, получим m m L0 Es1 u 2 2 2 2 (2.7.24) C5 LDl Es1 u + Es1 u C6 Lu +u.

0 s 0 2s (j) s+ j=1 l= Из теорем 2.3.1 и 2.2.5 имеем L0 u 2 Es1 L0 u 2 + C7 u 0 (j) (j) s 4 L0 Es1 u + 4 [Es1, L0 ]u 2 L(j) Es1 u + C9 u 2.

+ C8 u 0 0 0 (j) (j) s Принимая во внимание (2.7.24), мы выведем из последнего неравенства, что L0 u 2 2 (2.7.25) C10 Lu +u.

0 2s (j) s 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОБЩИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Для завершения доказательства теоремы 2.7.1 остается оценить Qu 2 s1/2. Для этого предста вим оператор Lu в виде (2.7.18) и изучим выражение (LEs u, E1/2 E1/2 QEs u), где Es — оператор, сопряженный к Es. После простых преобразований получим (LEs u, E1/2 E1/2 QEs u) = 2 (akj Dk Es u, Dj E1/2 E1/2 QEs u) + (cEs u, E1/2 E1/2 QEs u). (2.7.26) = i E1/2 QEs u Оценим отдельные слагаемые в (2.7.26). Имеем 2 I1 LEs u, E1/2 E1/2 QEs u (2.7.27) LEs u + E1/2 E1/2 QEs u.

s s По лемме 2.7.3 и теореме 2.2.1 получим 2 I1 C11 Lu +u.

0 2s Кроме того, ясно, что C12 u 2.

I2 cEs u, E1/2 E1/2 QEs u s Так как akj (x)k j 0, имеем |(akj Dk u, Dj v)| (2.7.28) (akj Dk u, Dj u) + (akj Dk v, Dj v) при u, v C0 (Rm ). Следовательно, I3 akj Dk Es u, Dj E1/2 E1/2 QEs u 1 (2.7.29) (akj Dk Es u, Dj Es u) + akj Dk E1/2 E1/2 QEs u, Dj E1/2 E1/2 QEs u.

Оценим интегралы в правой части (2.7.29) с помощью (2.7.9). Имеем |(LEs u, Es u)| + I3 LE1/2 E1/2 QEs u, E1/2 E1/2 QEs u + 2 +C13 Es u + E1/2 E1/2 QEs u.

0 С помощью этого соотношения, леммы 2.7.3 и теоремы 2.2.1 получаем 2 2 I3 LEs u + Es u + LE1/2 E1/2 QEs u + s s s 2 u + E1/2 E1/2 QEs u + C14 u C15 Lu +.

0 2s s s Из (2.7.26) следует 2 2 (2.7.30) E1/2 QEs u I1 + I2 + I3 C16 Lu +u.

0 2s По теореме 2.2. 2 Qu 4 E1/2 Es Qu + C17 u s1/ 2 2 2 (2.7.31) C18 E1/2 QEs u + E1/2 [Es, Q]u +u C19 E1/2 QEs u +u.

0 0 0 s Из неравенств (2.7.31) и (2.7.30) следует, что 2 2 (2.7.32) Qu C20 Lu +u, 0 2s s1/ что и требовалось доказать.

Рассмотрим систему операторов {Q0,..., Q2m }, где Q0 Q, Qj = L0(j) при j = 1,..., m и Qj = E1 L (jm) при j = j = m + 1,..., 2m. Для любого мультииндекса I = (1,..., k ), где k l = 0, 1,..., 2m при l = 1,..., k, положим |I| = l, где число l равно 1, если l = 1,..., 2m, и 2, если l = 0. Любому мультииндексу I поставим в соответствие оператор QI = ad Q1... ad Qk1 Qk, где, как и раньше, ad AB = AB BA = [A, B].

130 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Лемма 2.7.4. Для любого компактного множества K, любого k 1 и любого s 0 суще ствует постоянная C(K, s, k) такая, что неравенство 2 2 (2.7.33) QI u C(K, s, k) Lu +u 21k +s1 2k s |I|=k выполняется для любой функции u из C0 (K).

Доказательство. Сначала проверим, что (2.7.33) выполняется для k 2. Для k = 2 неравенство (2.7.33) выполняется в силу оценки (2.7.32), если Ql = Q0. Если QI = [Qj, Ql ], где j, l = 0, то по лемме 2.3.2 имеем 2m 2 2 (2.7.34) [Qj, Ql ]u C1 Qj u +u.

s s s1/ j= Применим теорему 2.7.1, чтобы оценить правую сторону (2.7.34), и получим 2 2 [Qj, Ql ]u C2 Lu +u, 0 2s s1/ что означает, что (2.7.33) для k = 2 в этом случае также выполняется.

Мы докажем (2.7.33) в общем случае по индукции. Предположим, что оно выполняется при k k0 и покажем, что тогда оно должно выполняться также при k = k0 + 1. Сначала рассмотрим случай, когда QI = [QI1, Qj ], где |I1 | = k0, j = 0. Тогда по лемме 2.3.2 при s1 = 1+21k0 получим 2m 2m 2 2 2 (2.7.35) [Qj, QI1 ]u C3 Qj u + QI1 u +u.

s1+21k s1+2k0 s s j=1 |I1 |=k0 j= По теореме 2.7.1 и предположению индукции правую часть (2.7.35) можно оценить с помощью 2 C4 Lu +u, 0 2k0 s что доказывает (2.7.33) в рассматриваемом случае.

Теперь предположим, что QI = [Q0, QI0 ], где |I0 | = k0 1 1. Оператор QI = [Q0, Qj ], со ответствующий k0 = 1, оценивается с помощью (2.7.35). Запишем оператор L(u) в виде (2.7.18).

Тогда L (u) = Dj (akj Dk u) iQu + c u, где c C0 (Rm ) и QI можно представить в виде 1 QI w = [Q0, QI0 ]w = (Dj (akj Dk ) L + c )QI0 w QI0 (L + Dj (akj Dk ) c)w. (2.7.36) i i В уравнении (2.7.36) положим w = Es u, умножим его на v, где v = E E [Q0, QI0 ]Es u и = 2k0 1, и проинтегрируем по R m.

Таким образом мы получим = (L QI0 Es u, v) + (QI0 LEs u, v) (akj Dk QI0 Es u, Dj v) E2k0 1 [Q0, QI0 ]Es u (QI0 Dj (akj Dk )Es u, v) + (c QI0 Es u, v) + (QI0 cEs u, v). (2.7.37) Оценим интегралы в правой части (2.7.37). Применяя теорему 2.3.1, лемму 2.7.3 и неравенство Шварца (2.1.19), мы получим V1 (LEs u, Q0 v) + Q0 v 2 2 LEs u C5 Lu +u + QI0 u.

2s+21k0 s 0 2s I I s Точно таким же образом мы оценим V2 (QI0 Es u, Lv) Lv 1s21k0 + QI0 Es u s+21k0 2 C6 Lu +u 2s + QI0 u 2s+21k0 1.

Легко видеть, что V3 (c QI0 Es u, v) + (QI0 cEs u, v) c QI0 Es u 2 C7 +v + QI0 cEs u.

21k0 1 121k0 21k0 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОБЩИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Применяя теоремы 2.2.1 и 2.3.1, получим 2 V3 C8 u + QI0 u.

s+21k0 s Чтобы оценить интеграл V4 (akj Dk Es u, Dj Q0 v), I воспользуемся неравенством (2.7.28). Имеем (akj Dk Es u, Dj Es u) + (akj Dk Q0 v, Dj Q0 v).

V4 I I Далее, согласно (2.7.9), имеем + (LQ0 v, Q0 v) + Q0 v V4 C9 (LEs u, Es u) + u.

s I I I Применяя (2.1.19) и оценку, доказанную в лемме 2.7.3, получаем 2 + LQ0 v + Q0 v 2 1k V4 C10 LEs u +u s 2s s21k I I s+ 2 2 C11 Lu +u + QI0 u 2s+22k0 1.

0 2s Здесь мы воспользовались тем, что 22k0 1 0. Интеграл в правой части (2.7.37) вида V5 (akj Dk QI0 Es u, Dj v) можно преобразовать следующим образом:

V5 = (akj Dk QI0 Es u, Dj (E E E21k0 1 E1 )[Q0, QI0 ]Es u)+ +(akj Dk QI0 Es u, [Dj, E21k0 1 ]E1 [Q0, QI0 ]Es u) + (akj Dk E21k0 1 QI0 Es u, Dj E1 [Q0, QI0 ]Es u)+ (2.7.38) + E21k0 1, L0(j) QI0 Es u, Dj E1 [Q0, QI0 ]Es u.

Первые три интеграла в правой части (2.7.38) можно оценить так же, как мы оценили V4. Имеем w1 (akj Dk QI0 Es u, Dj (E E E21k0 1 E1 )[Q0, QI0 ]Es u) akj Dk (E E E21k0 1 E1 )[Q0, QI0 ] QI0 Es u, Dj Es u + E21k0 1 E1 )[Q0, QI0 ], L + (E E QI0 Es u, Es u, где L0 Dj (akj Dk ). Далее, используя (2.7.9), (2.7.28) и лемму 2.7.3 и вспоминая, что порядок оператора E E E21k0 1 E1 не превосходит 3 + 21k0, мы получим неравенство L (E E E21k0 1 E1 )[Q0, QI0 ] w1 C12 QI0 Es u + 1s22k 2 2 (E E E21k0 1 E1 )[Q0, QI0 ] + QI0 Es u +u + LEs u + QI0 u 2s s s+21k0 s+22k0 2 2 C13 Lu +u + QI0 u.

0 2s s+21k0 Оценим интеграл w2 akj Dk QI0 Es u, [Dj, E21k0 1 ]E1 [Q0, QI0 ]Es u akj Dk QI0 Es u, E1 [Q0, QI0 ]Es [Dj, E21k0 1 ]u + + akj Dk QI0 Es u, [[Dj, E21k0 1 ], E1 [Q0, QI0 ]Es ]u.

Отметим, что u C0 (K) и функция (x), входящая в символ оператора E21k0 1, равна 1 на K;

следовательно, по теоремам 2.3.1 и 2.2.3 имеем CN u 2, [Dj, E21k0 1 ]u N где N — произвольное неотрицательное число. Применяя (2.1.19), мы получим 2 2 + akj Dj QI0 Es u w2 C14 u + [[Dj, E21k0 1 ], E1 [Q0, QI0 ]Es ]u 0 2+21k0 221k 132 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2 C15 u + QI0 u.

s1+21k s Согласно неравенствам (2.7.28) и (2.7.9), имеем w3 akj Dk E21k0 1 QI0 Es u, Dj E1 [Q0, QI0 ]Es u C16 (L(E21k0 1 QI0 Es u), E21k0 1 QI0 Es u) + 2 + E21k0 1 QI0 Es u + E1 [Q0, QI0 ]Es u + (L(E1 [Q0, QI0 ]Es u), E1 [Q0, QI0 ]Es u.

0 Применяя (2.1.19) и лемму 2.7.3, получим 2 2 2 w3 C17 Lu + QI0 u + QI0 u +u.

0 2s 2s+22k0 1 s+21k0 Теперь оценим последний интеграл в (2.7.38):

[E, L0(j) ]QI0 Es u, Dj E1 [Q0, QI0 ]Es u, w где = 21k0 1.

На основе теоремы 2.3. 0(j) (L(t) E L0(j)(t) E ( t) )QI0 Es u, Dj E1 [Q0, QI0 ]Es u + (t) w m (2.7.39) + (T QI0 Es u, Dj E1 [Q0, QI0 ]Es u) = w5 + w6, j= где T — оператор порядка не более, чем 21k0 2. Как было отмечено выше, мы используем A(t) и A(t) для обозначения операторов с символами A(x, )/t и Dt A(x, ) соответственно, где A(x, ) — символ оператора A. По неравенству Шварца (2.1.19) m 2 2 2 w6 T QI0 Es u + Dj E1 [Q0, QI0 ]Es u C18 QI0 u +u.

1 1 s+21k0 1 s j= Преобразуем интеграл w5 следующим образом:

0(j) (L(t) Dj E L0(j)(t) Dj E ( t) )QI0 Es u, E1 [Q0, QI0 ]Es u + (t) w5 = 0(j) [Dj, L(t) ]E QI0 Es u [Dj, L0(j)(t) ]E(t) QI0 Es u, E1 [Q0, QI0 ]Es u.

(t) + 0(j) Ясно, что L(t) Dj = 2L0, L0(j)(t) Dj = L0(t). Поэтому, применяя теоремы 2.2.1 и 2.3.1, мы получим (t) (2L0 E L0(t) E(t) )QI0 Es u, E1 [Q0, QI0 ]Es u (t) 2 w5 + C19 u + QI0 u (t) s+21k0 s L0 E QI0 Es u (t) 2 + L0(t) E(t) QI0 Es u 2 (2.7.40) C20 +u + QI0 u.

0 (t) s+21k0 s Далее мы используем неравенства (2.7.10) и (2.7.13), полученные при доказательстве лем мы 2.7.2. Таким образом, m L0 v 2 2 2 2 C21 |(LDk v, Dk v)| + v C22 LDk v +v +v, 0 1 (t) s21k0 1+s+21k k= (2.7.41) L0(t) v 2 2 2 C23 |(Lv, v)| + v (2.7.42) C24 Lv +v.

0 0 s21k0 s+21k Из леммы 2.7.3 и неравенств (2.7.40)–(2.7.42) мы получим 2 2 2 w5 C25 Lu +u + QI0 u + QI0 u.

0 2s 2s1+22k0 s+21k0 Таким образом, вспоминая оценки, полученные для wj и Vj, мы получаем из (2.7.37) следующую оценку:

E2k0 1 [Q0, QI0 ]Es u 2 C26 Lu 2 + QI0 u 2 2k0 1 + u 2. (2.7.43) 0 0 2s 2s+ 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОБЩИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Далее, согласно теореме 2.2.5, 2 2 [Q0, QI0 ]u C27 u + E2k0 1 Es [Q0, QI0 ]u 0 s+2k0 2 (2.7.44) C28 u + E2k0 1 [Q0, QI0 ]Es u.

s Из (2.7.43) и (2.7.44) получаем 2 2 2 (2.7.45) [Q0, QI0 ]u C29 Lu + QI0 u +u.

0 2s s+2k0 1 2s+22k0 Теперь предположение индукции гласит, что 2 2 QI0 u C30 Lu +u.

0 2k0 1 2s 2s+21(k0 1) Из этого неравенства и (2.7.45) мы заключаем, что 2 2 [Q0, QI0 ]u C31 Lu +u.

s+2k0 1 2k0 s Это означает, что (2.7.33) выполняется в рассматриваемом случае. Лемма доказана.

Рассмотрим операторы QI, порожденные системой операторов Q0,..., Q2m. По теореме 2.3.1 для каждого мультииндекса I = (1,..., k ) оператор QI можно записать в виде QI = Q0 + TI, (2.7.46) I Q где оператор TI имеет порядок не более, чем нуль, и — псевдодифференциальный оператор, I соответствующий = 1, с символом qI (x, ).

Определение. Система операторов {Q0,..., Q2m } на компактном множестве K называется си стемой ранга m, если существует число R(K) такое, что |qI (x, )| C0 (1 + ||2 ), (2.7.47) 1+ C0 = const 0, |I| R(K) для всех x K и всех Rm.

Теорема 2.7.2. Пусть {Q0,..., Q2m } — система операторов ранга m на K. Тогда существу ют постоянные C(K) 0 и (K) такие, что для любой обобщенной функции u D (), loc удовлетворяющей условию Lu Hs () (т.е. Lu Hs для любой функции C0 ()), выполняется оценка u 2 C(K, s) 1 Lu 2 + 1 u 2, (2.7.48) s s+(K) где функции, 1 C0 (K) на supp и = const s + (K). Если ранг системы {Q0,..., Q2m } равен m на любом компактном множестве, то оператор L гипоэллиптичен в.

Доказательство. Мы покажем, что условия теоремы 2.5.2 выполняются для оператора L(u) из (2.7.1). Так как по условию неравенство (2.7.47) выполнено, из теоремы 2.2.6 следует оценка Q0 u 2 u C1 +u s+1 I s s |I| R(K) для любой функции u Отсюда и из представления (2.7.46) для QI следует, что C0 (K).

2 2 2 2 2 u C2 QI u + TI u +u C3 QI u +u.

s+1 s s s s s |I| R(K) |I| R(K) Применяя лемму 2.7.4 как при доказательстве теоремы 2.6.2, мы получим оценку 2 2 2 (2.7.49) u C4 Lu +u +u 0 2R(K) (s+121R(K) ) s+1 s для s + 1 21R(K) 0. Теперь выберем s так, чтобы s + 1 2R(K) (s + 1 21R(K) ) 0.

134 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Отсюда следует, что 2(2R(K) 1)1 s + 1 21R(K). Такое s существует, потому что 21R(K) 2(2R(K) 1)1. Обозначим s + 1 через (K). Ясно, что (K) 0. Из (2.7.49) и теоремы 2.1. следует, что u 2 C5 Lu 2 + u 2 (2.7.50) 0 N (K).

для всех u C Таким образом, мы получили неравенство (2.5.18) из условия I теоремы 2.5.2. По теореме 2.7. (энергетической оценке) m L0(j) u + L0 u 2 2 (2.7.51) C6 Lu +u 0 2s (j) s s j= для всех u C0 (K) и s 0.

Легко видеть, что L0(j) = L(j) T0, (2.7.52) где T0 — оператор порядка не более, чем нуль, и L(j) = L0 + T1, (2.7.53) (j) где T1 — оператор порядка не более, чем 1. Из (2.7.51) следует, что m L(j) u 2 2 2 (2.7.54) + L(j) u C7 Lu +u.

0 2s s s j= В (2.7.54) положим 2s = (K). Тогда m L(j) u 2 2 2 2 2 u C0 (K). (2.7.55) + L(j) u +u C8 Lu +u, 0 N /2 / j= В (2.7.55) подставим Es u вместо u. Применяя теоремы 2.2.5 и 2.3.1, мы получим из (2.7.55), что m L(j) u 2 2 + L(j) u +u s+ s+/2 s1+/ j= m Es L(j) u 2 2 2 C9 + Es L(j) u + Es u +u N /2 / j= m 2 2 2 L(j) u 2 2 C10 LEs u +u +u C11 u + + L(j) u + Lu.

0 N1 s s1 s s+/2 s+/ j= Вспоминая неравенство (2.1.30) из теоремы 2.1.12, окончательно получим для любого s R1, m L(j) u 2 2 2 (2.7.56) + L(j) u C12 Lu +u.

N s s+/2 s1+/ j= Ясно, что неравенства (2.5.19) и (2.5.20) из теоремы 2.5.2 следуют из (2.7.56). Теорема доказана.

Следующая теорема, аналогичная теореме 2.6.3, также справедлива для уравнений вида (2.7.1).

Теорема 2.7.3. Пусть оператор L вида (2.7.1) удовлетворяет следующим условиям в обла сти :

1) На любом компактном множестве K \ M система операторов {Q0,..., Q2m } имеет ранг m;

здесь M — некоторое ограниченное множество, лежащее в конечном числе (m1) мерных гладких многообразий M и такое, что замыкание множества M лежит в.

2) В каждой точке x M выполняется неравенство akj nk nj + |akj xk xj + bk xk | 0, где n — вектор, нормальный к поверхности M в точке x, а (x1,..., xm ) = 0, где grad = 0, — уравнение для M в окрестности точки x.

7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ ОБЩИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА loc Тогда любая обобщенная функция u из D () такая, что Lu Hs (), удовлетворяет оценке u 2 C 1 Lu 2 + 1 u 2, (2.7.57) s s где функции, 1 C0 (), 1 1 на supp и, кроме того, или 1 на M, или supp M=.

Здесь = const s.

Дифференциальный оператор, удовлетворяющий условиям 1) и 2), глобально эллиптичен в.

Доказательство. Доказательство теоремы 2.7.3 полностью аналогично доказательству теоре мы 2.6.3. Чтобы доказать, что условия I, II и IIIb теоремы 2.5.2 выполнены, мы будем действовать точно так же, как при доказательстве теоремы 2.6.3, чтобы получить оценку C1 Lu 2 ;

u C0 (G ), (2.7.58) u где C1 не зависит от и постоянную можно выбрать сколь угодно большой.

Из представлений (2.7.52) и (2.7.53) следует, что m L(j) u 2 L0(j) u + L0 u 2 (2.7.59) + L(j) u C2 +u.

0 1 0 1 (j) j= Из (2.7.6) и (2.7.9) мы получим m L0(j) u 2 C3 Lu u +u.

0 0 j= Из неравенства (2.7.14) следует, что L0 u 2 E1 L0 u 2 2 L0 E1 u 2 + C4 u + C5 u 1 0 0 0 (j) (j) (j) m C6 LDt E1 u Dt E1 u +u.

0 0 j= Из последнего неравенства, применяя лемму 2.7.3, мы выведем L0 u 2 C7 u +u Lu.

0 1 (j) Далее, вспоминая (2.7.58), мы получим C L(j) u 2 2 Lu 2, + L(j) u C8 u +u Lu 0 0 1 0 где u C0 (G ).

Отсюда и из (2.7.58) мы выведем точно так же, как при доказательстве теоремы 2.6.3, что при выполнении условий теоремы 2.7.3 утверждения I, II и IIIb теоремы 2.5.2 выполняются.

Следующее утверждение является следствием теоремы 2.7.3.

Теорема 2.7.4. Пусть система операторов {Q0,..., Q2m } имеет ранг m для любого ком m пактного множества K, лежащего в \x0, и пусть неравенство (ajj +|bj |) 0 выполняется в точке x0. Тогда оператор L гипоэллиптичен в, и неравенство (2.7.57) выполняется для любого компактного множества K и любой обобщенной функции u D () такой, что Lu Hs () для любого C0 ().

Доказательство теоремы 2.7.4 аналогично доказательству теоремы 2.6.4.

m (ajj + |bj |) = 0 в точке x0 существенно для выполнения теоремы 2.7.4.

Отметим, что условие j= Действительно, уравнение |x|2 u (m + ( 2))u = 0, (2.7.60) 136 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА m где |x|2 x2, выполняется для функции u = |x|, 0. Если число не целое, то очевидно, j что уравнение (2.7.60) не гипоэллиптично в области, содержащей начало координат.

Легко видеть, на основе теоремы 2.7.4, что уравнение a(x)u + ux1 = 0, где a(x) C (Rm ), a(x) 0 при |x| = 0 и a() (0) = 0 для всех, || 0, гипоэллиптично в области, содержащей начало координат.

Уравнение D1 u + x2k D2 u + ixl D3 u = 0, 2 k, l 0, 1 гипоэллиптично в силу теорем 2.6.2 и 2.7.2.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.