авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

«ISSN 1512–1712 Академия Наук Грузии Институт Кибернетики СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том 55 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ...»

-- [ Страница 5 ] --

Уравнение 2 D1 u + (a1 (x1 ) + a2 (x2 ))D2 u = 0, где a1 (x1 ) и a2 (x2 ) принадлежат C (R1 ), a1 (x1 ) 0 при x1 = 0;

a1 (0) = 0;

a2 (x2 ) 0 при |x2 | и a2 (x2 ) = 0 при |x2 | 1, является (на основе теоремы 2.7.2) глобально гипоэллиптичным в области |x1 |2 + |x2 |2 2.

Замечание. Можно построить класс уравнений вида (2.7.1) с левой частью, не представимой в виде (2.6.1). Конструкция, приведенная ниже, основана на теореме Гильберта. В [178] (см. также [177]) Гильберт построил полином P (x, y) шестого порядка от двух переменных, который нельзя представить в виде конечной суммы квадратов полиномов.

Положим xy A(x, y, z) = z 6 P (2.7.61), + P1 (x, y, z), zz где P1 — бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю в x = y = z = 0 вместе со всеми своими производными до шестого порядка включительно.

Лемма 2.7.5. Бесконечно дифференцируемая функция A(x, y, z), заданная с помощью (2.7.61), не представима в виде конечной суммы квадратов бесконечно дифференцируемых функций в любой окрестности начала координат.

Доказательство. Предположим обратное. Пусть уравнение N A2 (x, y, z) (2.7.62) A(x, y, z) = j j= выполняется в окрестности начала координат, где Aj — функции, бесконечно дифференцируемые в. Представим Aj в виде частичного разложения в ряд Тейлора 1 || Aj (0, 0, 0) 1 2 (2.7.63) Aj = x y z + Rj,3, ! x1 y 2 z || где функции Rj,3 равны нулю в начале координат вместе со всеми своими производными до тре тьего порядка включительно.

Из (2.7.62) легко получить, что в начале координат производные || Aj / x для || 2, x = (x, y, z) равны нулю и, более того, N || Aj (0, 0, 0) 1 2 xy (2.7.64) zP, = xyz.

x1 y 2 z zz ||= j= Полагая z = 1 в (2.7.64), мы получим представление полинома Гильберта P (x, y) в виде конечной суммы квадратов многочленов, что невозможно. Лемма доказана.

8. О МЕТОД М. В. КЕЛДЫША РЕШЕНИИ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В НЕГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ.

Лемма 2.7.5 была сообщена нам Л. Х рмандером и В. П. Паламодовым. Из этой леммы следует, e что оператор вида L(u) Au + Qu (2.7.65) не представим в виде (2.6.1) в любой окрестности начала координат. Здесь Q — любой диффе ренциальный оператор первого порядка с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами. Дей ствительно, если r (Au + Qu) (2.7.66) Xj u + iX0 u + cu, j= то получим, приравнивая коэффициенты при вторых производных в правой и левой части (2.7.66), что для любых k = 1,..., m r (ak )2, A(x, y, z) = j j= что невозможно в силу леммы 2.7.5. Легко привести примеры операторов вида (2.7.65), удовлетво ряющих условиям теоремы 2.7.2 в окрестности начала координат и, следовательно, гипоэллиптич ных.

xy Пусть A(x, y, z) = z 6 P, и пусть Q — оператор первого порядка с постоянными коэффи, zz циентами такими, что для некоторого k в начале координат (Q)k = 0. Тогда оператор (2.7.65) удовлетворяет условиям теоремы 2.7.2 в достаточно малой окрестности начала координат.

Действительно, в этом случае L0(j) = 2A(x, y, z)Dj и, как легко проверить, коммутатор Qj для |I| = 2k + 1 вида I Qj = ad Q · · · ad QL0(j) = 2(Q)k A · Dj I имеет символ Qj (x, t, z, ) = 2(Q)k A · j. Следовательно, I m |Qj (x, y, z, )|2 + 1 C0 (1 + ||2 ) (2.7.67) I j= для всех точек (x, y, z) в достаточно малой окрестности начала координат, где C0 = const 0.

Из соотношения (2.7.67) следует, что условия теоремы 2.7.2 выполняются в.

8. О РЕШЕНИИ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В НЕГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ.

МЕТОД М. В. КЕЛДЫША Для гипоэллиптических уравнений, удовлетворяющих условиям теорем 2.6.2, 2.6.3, 2.7.2 или 2.7.3 решение первой краевой задачи в негладких областях можно построить методом М. В. Кел дыша, который основан на применении барьерных функций. Этим методом Келдыш [52] сначала изучал краевую задачу (1.1.4), (1.1.5) в случае, когда уравнение (1.1.4) эллиптично во внутренних точках области.

Лемма 2.8.1. Пусть Qn, n = 1,..., — последовательность областей таких, что n n+1, (k) для некоторого достаточно такая, что граница Sn области n принадлежит классу A большого k и такая, что любое замкнутое множество, содержащееся в, принадлежит всем областям Qn, начиная с некоторого n. Пусть g — функция, непрерывная в, и пусть f огра ничена в. Предположим, что выполняются следующие условия.

1) Решения u,n уравнения L (u) u + L(u) = f в Qn, (2.8.1) 0, с условием u,n |Sn = g, (2.8.2) 138 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА где L(u) = akj uxk xj + bk uxk + cu, c 0, akj (x)k j в, образуют компактное множество в пространстве C (s) ( ), где s 2 и — любая замкнутая область, содержащаяся в.

2) Для каждой точки P1 некоторого множества, принадлежащего границе множества, существует барьер, т.е. функция V (x), удовлетворяющая следующим условиям:

a) V (x) определена и непрерывна в замыкании области 1 = O(P1 ), где O(P1 ) — некоторая окрестность точки P1 и V (x) принадлежит классу C (2) (1 );

b) V (P1 ) = 0 и V 0 в остальных точках 1 ;

c) L(V ) C1 = const 0 в 1.

3) В существует непрерывная функция W из класса C (2) () такая, что W 0в, L(W ) 0 в и W (x) при x \. То есть W (x) N, если x лежит в -окрестности множества \ и достаточно мало;

здесь N произвольно.

Тогда существует единственное ограниченное решение уравнения L(u) = f в, непрерывное в, совпадающее с функцией g на и принадлежащее классу C (s) ().

Доказательство. В силу принципа максимума, решения u,n задачи (2.8.1), (2.8.2) равномерно ограничены по и n. Из множества функций u,n выберем последовательность u,n, сходящую ся при 0 и n по норме пространства C (s) (1 ). Из этой последовательности выберем подпоследовательность, сходящуюся по норме пространства C (s) (2 ), и т.д. Диагональная после довательность uk,nk сходится при nk и k 0 равномерно по l для каждого l 1. То же самое верно для производных этой последовательности до порядка s. Очевидно, предельная функция u(x) принадлежит классу C (s) (), ограничена в и удовлетворяет уравнению L(u) = f.

Мы покажем, что u(x) стремится к пределу на, равному функции g. Пусть P1 — произвольная точка на и h — шар с центром в P1 и радиусом ;

предположим, что настолько мало, что все точки x этого шара, принадлежащие, удовлетворяют условию |g(x) g(P1 )|, где 0 — некоторое данное число и h O(P1 ).

В области n h рассмотрим функции w± (x) = ±g(P1 ) + u,n + CV (x), C = const 0.

Легко видеть, что в n h L (w± ) = ±cg(P1 ) + c f + C(V + L(V )).

Так как L(V ) C1 0 в 1 и 1 n h для малых, можно выбрать C таким большим, что L (w± ) 0 в n h, где достаточно мало. При этом выборе постоянная C не зависит от или n, хотя зависит от n. Функции w± (x) неотрицательны на границе n h. Действительно, в точках из Sn имеем w± (x) = ±g(P1 ) + g(x) + CV (x) в силу ограничения на и ;

а в точках границы, лежащих на сфере радиуса, имеем w± 0 для достаточно большого C, так как в этих точках V C2 0, и функции u,n равномерно ограничены по и n. Из условий L (w± ) 0, c 0 в области n h и w± 0 на ее границе по принципу максимума следует, что w± 0 в n h. Отсюда следует, что |u,n (x) g(P1 )| (2.8.3) + CV (x) для всех x из n h. Так как C не зависит от или n, можно выбрать последовательность k, nk такую, что uk,nk u(x) при k 0 и nk, и можно перейти к пределу в (2.8.3) при k и nk. Так мы получим, что |u(x) g(P1 )| (2.8.4) + CV (x) для всех x h. Постоянная произвольна и C зависит от ;

поэтому из (2.8.4) следует, что u(x) g(P1 ) при x P1, так как V (x) 0.

8. О МЕТОД М. В. КЕЛДЫША РЕШЕНИИ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В НЕГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ.

Покажем, что ограниченная функция u(x), непрерывная в, равная g на и удовлетво ряющая уравнению L(u) = f в, u C (2) (), единственна.

Если бы существовало две функции со свойствами, указанными выше, их разность v(x) была бы равна нулю на и удовлетворяла уравнению L(v) = 0 в при |v| K0, K0 = const. Рассмотрим в функции W ± v, = const 0. Эти функции неотрицательны на границе области \ G, где G — -окрестность множества \, если достаточно мало. Это следует из того, что W 0 в, v = 0 на и W (x) при x \. Более того, мы имеем L(W ± v) 0 в \ G ;

потому что по принципу максимума W ± v 0 в \ G и, следовательно, |v| W в точках множества \ G. Пусть x — произвольная точка в. Очевидно, x \ G для всех достаточно малых. Поскольку произвольно, из неравенства |v| W в точке x в действительности следует, что v(x) = 0, т.е. v 0 в. Лемма доказана.

Теперь рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Lu = P u = f, где P — оператор типа (2.6.1).

Теорема 2.8.1. Пусть система операторов X0,..., Xr имеет ранг m в каждой точке x об loc ласти, и пусть c const 0 в. Пусть функция f ограничена, и пусть f Hs (), где 2(s k) m и k 2. Пусть часть границы обладает следующим свойством: каждая точка P1 имеет окрестность, в которой область содержится в некоторой области (2), для которого точка P лежит внутри множества вида и для которого класса A 1 3 0 в точках множества 2, где — функция, определенная с помощью (1.5.6) для операто ра L = P. Предположим, что либо \ =, где множество \ является границей (2) и \, или при подходящем выборе координат y,..., y области из класса A 0 1 1 m множество \ лежит в плоскости ym = 0, где \ = 0 1 и ym 0 для всех точек из. Тогда существует единственное ограниченное решение u(x) уравнения в (2.8.5) Lu = f такое, что u Hs (), u C (k) () и u(x) непрерывно на и принимает значения данной loc непрерывной функции g на.

Доказательство. При условиях теоремы проверим, что область и уравнение (2.8.5) удовлетво ряют всем условиям леммы 2.8.1. Сначала покажем, что если часть границы вблизи граничной точки P1 является границей области класса A(2) и принадлежит 3 2 при 0 в точках 2, то существует барьер V (x) для точки P1. Для этого перейдем к локальным координатам y1,..., ym в окрестности точки P1 таким, чтобы граница лежала в плоскости ym = 0 и ym 0 в. В новых координатах уравнение (2.8.5) принимает вид Lu = kj uyk yj + k uyk + cu = f.

В силу наших предположений в достаточно малой окрестности точки P1 или mm 0, или = m 0;

более того, c 0. Пусть (y1,..., ym1 ) — гладкая функция, определенная на в 2-окрестности P1 для достаточно малого, обладающая теми свойствами, что = 1 в точке P1, = 0 вне -окрестности P1 и 0 1 в остальных точках. В области, {0 ym } рассмотрим функцию V = e e( ym ) при, = const 0. Очевидно, V (P1 ) = 0, V (x) 0 при x = P1 и V C (2) (, ). Так как в координатах x1,..., xm граница области в окрестности P является границей области из класса A(2), получаем, что kj и k ограничены. Нужно проверить, что L(V ) 0. Имеем m L(V ) = e( ym ) mm 2 + (kj 2 2 yk yj + kj yk yj ) k,j= 140 ГЛАВА 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ И ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА m1 m k yk m + c + ce 0, 2 yk + km k=1 k= если выбрано достаточно малым и достаточно велико.

В силу предположений теоремы 2.8.1, в некоторой окрестности каждой точки P1 на область содержится в некоторой области, для которой мы можем построить барьер V (x) в точке P1. Ясно, что та же самая функция V (x) будет служить барьером в точке P1 для области и, следовательно, условие 2) леммы 2.8.1 выполняется для области.

Определим W как функцию, равную положительной постоянной K вне -окрестности \ и заданную следующим уравнением внутри этой окрестности (здесь \ лежит в плоскости ym = 0):

W = ln ym · h(ym ) + K, где h(ym ) = 1 при 0 /2, h(ym ) = 0 при ym и h(ym ) — гладкая функция такая, что ym 0 h(ym ) 1. Тогда L(W ) kj Wyk yj + k Wyk + cW = mm ym · h(ym ) 1 2mm ym · h (ym ) mm ln ym · h (ym ) m ym · h(ym ) m ln ym · h (ym ) + Kc ln ym · h(ym ) · c.

Если mm = O(ym ) в окрестности \, то для достаточно большого K получим, что L(W ) 0, так как 0 и c 0. Если mm = O(ym ), то по условию ym m 0 и, следовательно, m mm L(W ) 0 для достаточно большого K.

Если \ образует одну компоненту границы так, что \ =, то функция W определена уравнением W (x) = ln r · h(r) + K, где r — расстояние от точки x до \, а h(r) — функция, определенная выше. Легко видеть, что для достаточно большого K и малого функция W удовлетворяет условию 3) леммы 2.8.1.

Теперь докажем, что условие 1) леммы 2.8.1 выполняется в случае, когда L(u) P (u). По предположению, в каждой точке x области система операторов X0,..., Xr, соответствующая оператору P, имеет ранг m. Так как для (2.8.1) соответствующая система операторов /xj, j = 1,..., m, X0,..., Xr содержит оператор X0,..., Xr, по теореме 2.6.2 имеем 2 2 (2.8.6) u C(, s) 1 L u + 1 u, s s+ где = const 0, функции, 1 C0 (),, 1 1 в окрестности носителя, функция loc, а постоянная C не зависит от. Подставляя в (2.8.6) функции u u D () и L (u) Hs,n при n n0, которые являются решениями задачи (2.8.1), (2.8.2), мы получим следующее выражение для достаточно большого n0 :

2 2 (2.8.7) u,n C(, s) 1 f + 1 u,n, s s+ где = const 0.

loc Так как f Hs и u,n ограничены в равномерно по и n в силу принципа максимума, из (2.8.7) следует, что u,n s+ C1, где C1 не зависит от или n. Из теоремы Соболева (см. теорему 2.1.11) следует, что семейство функций u,n компактно в пространстве cHs. Из теоремы 2.1.8 следует, что если 2(s k) m, то семейство u,n компактно в пространстве C (k) ().

Так как — произвольная функция из C0 (), то для u,n выполняется условие 1) леммы 2.8.1.

Теорема доказана.

Замечание 2.8.1. Теорема 2.8.1 также справедлива в случае, когда оператор L удовлетворяет условиям теоремы 2.7.1. В этом случае, чтобы получить оценку вида (2.8.7), нужно использовать неравенство 2 u 2 C1 1 L u 2 + 1 u 2, u Hs+2, L (u) Hs loc loc (2.8.8) s+2 s s СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ при s 0 и оценку u 2 C2 1 Lu 2 + 1 u 2, = const 0, (2.8.9) s s s+ доказанную в теореме 2.7.2, где, 1 C0 () и 1 1 на supp. Таким образом, 2 + 2 1 u 2 (2.8.10) u C3 1 L u + 1 u, s s s s+ так как L(u) = L (u) u. Из оценок (2.8.8) и (2.8.10) сразу следует неравенство вида (2.8.6).

Неравенство (2.8.8) можно получить с помощью процедуры, аналогичной использованной при получении (2.7.23).

Методы главы 1, § 8 можно использовать при изучении гладкости слабых решений задачи (1.1.4), (1.1.5) в замкнутой области для гипоэллиптичных уравнений, удовлетворяющих условиям теоре мы 2.6.3 или 2.7.3. Очевидно, следствием этих теорем является локальная гладкость обобщенных решений первой краевой задачи в любой подобласти области, для которой выполняются условия теоремы 2.6.3 или теоремы 2.7.3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Александров А. Д. Исследования принципа максимума. I// Изв. вузов. Мат. — 1958. — 5, № 6. — С. 126–157.

2. Александров А. Д. Исследования принципа максимума. II// Изв. вузов. Мат. — 1959. — 3, № 10. — С. 3–12.

3. Александров А. Д. Исследования принципа максимума. III// Изв. вузов. Мат. — 1959. — 5, № 12. — С. 16-32.

4. Александров А. Д. Исследования принципа максимума. IV// Изв. вузов. Мат. — 1960. — 3, № 16. — С. 3–15.

5. Александров А. Д. Исследования принципа максимума. V// Изв. вузов. Мат. — 1960. — 5, № 18. — С. 16–26.

6. Бабенко К. И. Об одной новой проблеме квазианалитичности и преобразование Фурье целых функ ций// Тр. Моск. мат. об-ва. — 1958. — 5, С. 523–542.

7. Березин И. С. О задаче Коши для линейных уравнений второго порядка с начальными условиями на параболе// Мат. сб. — 1949. — 24, № 66. — С. 301–320;

English transl., Amer. Math. Soc. Transl. — 1962. — I, № 4. — С. 415–439.

8. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1966.

9. Введенская Н. Д. О краевой задаче для уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области// Докл. АН СССР. — 1953. — 91. — С. 711–714.

10. Вишик М. И. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области// Докл. АН СССР. — 1953. — 93. — С. 9–12.

11. Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области// Мат. сб. — 1954. — 35 (77). — С. 513–568.

12. Вишик М. И., Грушин В. В. Об одном классе вырождающихся эллиптических уравнений// Мат. сб. — 1969. — 79 (121). — С. 3–36.

13. Вишик М. И., Грушин В. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области// Мат. сб. — 1969. — 80 (122). — С. 455–491.

14. Вишик М. И., Грушин В. В. Эллиптические псевдодифференциальные операторы на замкнутом мно гообразии, вырождающиеся на подмногообразии// Докл. АН СССР. — 1969. — 189. — С. 16–19.

15. Вишик М. И., Эскин Г. И. Уравнения в свертках в ограниченной области// Успехи мат. наук. — 1965. — 20, № 3 (123). — С. 89–152.

16. Волевич Л. Г. Гипоэллиптические уравнения в свертках// Докл. АН СССР. — 1966. — 168. — С. 1232– 1235.

17. Волевич Л. Ф. Об одной задаче линейного программирования, возникающей в дифференциальных уравнениях// Успехи мат. наук. — 1963. — XVIII, вып. 3 (111). — С. 155–162.

18. Волевич Л. Р. Задача Коши для гипоэллиптических дифференциальных операторов в классах быстро растущих функций// Успехи мат. наук. — 1970. — 25, № 1. — С. 191–192.

19. Волевич Л. Р., Гиндикин С. Г. Задача Коши и связанные с ней задачи для уравнений в свертках// Успехи мат. наук. — 1972. — 27, № 4. — С. 65–143.

20. Волевич Л. Г., Панея Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения// Успехи мат. наук. — 1965. — 20, № 1 (121). — С. 3–74.

142 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 21. Вольперт А. И., Хиджаев С. И. Задача Коши для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений второго порядка// Мат. сб. — 1969. — 78 (120). — С. 374–396.

22. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Том 1: операции с ними. — М.: Физматгиз, 1958.

23. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Том 2: пространства фундаментальных функ ций. — М.: Физматгиз, 1958.

24. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Преобразование Фурье быстро растущих функций и вопросы един ственности решений задачи Коши// Успехи мат. наук. — 1953. — 8, № 6. — С. 3–54.

25. Генчев Т. Г. Ультрапараболические уравнения// Докл. АН СССР. — 1963. — 151. — С. 265–268.

26. Глушко В. П. Коэрцитивность в L2 общих краевых задач для вырождающихся эллиптических урав нений второго порядка// Функц. анал. и его прил. — 1968. — 2, № 3. — С. 87–88.

27. Гранов М. Ю., Шамаев А. С. Построение и асимптотический анализ эффективного фронта задания оптимального управления инвестиционных портфелей// в печати.

28. Грек Б., Радкевич Е. В. Метод многоугольника Ньютона и локальная разрешимость задач со свобод ной границей// Труды семинара И. Г. Петровского, в печати.

29. Грушин В. В. Об одном классе эллиптических псевдодифференциальных операторов, вырождающихся на подмногообразии// Мат. сб. — 1971. — 84 (126). — С. 163–195.

30. Егоров Ю. В. Гипоэллиптические псевдодифференциальные операторы// Докл. АН СССР. — 1966. — 168. — С. 1242–1244.

31. Егоров Ю. В. О субэллиптических псевдодифференциальных операторах// Докл. АН СССР. — 1969. — 188. — С. 20–22.

32. Егоров Ю. В. Канонические преобразования псевдодифференциальных операторов// Успехи мат. на ук. — 1969. — 24, № 5 (149). — С. 235–236.

33. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А. Проблема косой производной// Мат. сб. — 1969. — 78, № 120. — С. 148–176.

34. Егоров Ю. В. Псевдодифференциальные операторы главного типа// Мат. сб. — 1967. — 73, № 3. — С. 356–374.

35. Егоров Ю. В. Об одном классе псевдодифференциальных операторов// Докл. АН СССР. — 1968. — 182, № 6. — С. 1251–1263.

36. Житомирский Я. И. Задача Коши для параболических систем линейных уравнений в частных про изводных с растущими коэффициентами// Изв. вузов. Математика. — 1959. — № 1. — С. 55–74.

37. Житомирский Я. И. Классы единственности решения задачи Коши// Докл. АН СССР. — 1967. — 172, № 6. — С. 1258–1261.

38. Житомирский Я. И. Классы единственности решений задачи Коши для линейных уравнений с быстро растущими коэффициентами. — 1967. — Изв. АН СССР. Сер. мат. — 31, № 5. — С. 1159–1178.

39. Житомирский Я. И. Классы единственности решений задачи Коши для линейных уравнений с рас тущими коэффициентами. — 1967. — Изв. АН СССР. Сер. мат. — 31, № 4. — С. 763–782.

40. Золотар в Г. Н. О единственности решения задачи Коши для систем, параболических в смысле е И. Г. Петровского// Изв. вузов. Математика. — 1958. — № 2 (3). — С. 118–135.

41. Золотар в Г. Н. Об оценках сверху классов единственности решения задачи Коши для систем диффе е ренциальных уравнений в частных производных// Научн. докл. высш. школы № 2. — 1958. — С. 37– 40.

42. Ивасишен С. Д. Матрица Грина общей неоднородной параболической задачи с граничными условиями любого порядка// Докл. АН СССР. — 1972. — 206, № 4. — С. 796–7911.

43. Ивасишен С. Д., Лавренчук В. П. О корректной разрешимости общих граничных задач длн парабо лических систем с растущими коэффициентами// Укр. мат. ж. — 1978. — 30, № 1.

44. Ивасишен С. Д., Лавренчук В. П. Про розв’язшсть задачi Кошi та деяких крайових задач для загаль них параболiчних систем у классi зростаючих функций// Докл. АН УССР. — 1967. — 4. — С. 299–303.

45. Ивасишен С. Д., Эйдельман С. Д. Исследование матриц Грина однородной параболической задачи// Тр. Моск. мат. об-ва. — 1970. — 23. — С. 179–234.

46. Иврий В. Я. Задача Коши для нестрого гиперболических уравнений// Докл. АН СССР. — 1971. — 197. — С. 517–519.

47. Ильин А. М. Об одном классе ультрапараболических уравнений// Докл. АН СССР. — 1964. — 159. — С. 1214–1217.

48. Ильин А. М. О задаче Дирихле для уравнения эллиптического типа, вырождающегося на некотором множестве внутренних точек области// Докл. АН СССР. — 1955. — 102. — С. 9–12.

49. Ильин А. М. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения// Мат. сб. — 1960. — 50, № 92. — С. 443–498.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 50. Ильин А. М. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения// Науч. докл. высш. шко лы. Физ.-мат. науки. — 1958. — 2. — С. 48–54.

51. Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения параболического типа второго порядка// Успехи мат. наук. — 1962. — 17, № 3 (105). — С. 3–146.

52. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе обла сти// Докл. АН СССР. — 1951. — 77. — С. 181–183.

53. Кон Дж., Ниренберг Л. Алгебра псевдодифференциальных операторов// В кн.: Сборник переводов «Псевдодифференциальные операторы». — М.: Мир, 1967. — С. 10–62.

54. Кондратьев В. А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях// Тр. Моск.

мат. об-ва. — 1966. — 15. — С. 400–451.

55. Кружков С. Н. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка// Мат. сб. — 1968. — 77, № 119. — С. 299–334.

56. Кудрявцев Л. Д. О решении вариационным методом эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области// Докл. АН СССР. — 1956. — 108. — С. 16–19.

57. Кудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Применение к решению эллиптических уравнений вариационными методами// Тр. Моск. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1959. — 55.

58. Курант P. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964.

59. Лавренчук В. П. Загальнi крайовi задачi для параболiчных систем зi зростаючими коэффiцiентами// Докл. АН УССР. Сер. А. — 1968. — 3. — С. 238–242.

60. Ладыженская О. А. О единственности решения задачи Коши для линейного параболического урав нения// Мат. сб. — 1950. — 27 (69). — С. 175–184.

61. Лянце В. Э. О задаче Коши в области функций действительного переменного// Успехи мат. наук. — 1949. — 1, № 4. — С. 42–63.

62. Мазья В. Г. Вырождающаяся задача с косой производной// Успехи мат. наук. — 1970. — 25, № (152). — С. 275–276.

63. Мазья В. Г., Панея Б. П. Вырождающиеся эллиптические псевдодифференциальные операторы на гладких многообразиях без границы// Функц. анал. и его прил. — 1960. — 3, № 2. — С. 91–92.

64. Маринов М. Л. Априорные оценки решений краевых задач для общих параболических систем в неограниченных областях// Успехи мат. наук. — 1977. — 32, № 2. — С. 217–218.

65. Маринов М. Л. Существование решений краевой задачи для общих параболических систем в неогра ниченной области// Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. — 1977. — № 6. — С. 56-63.

66. Михайлов В. П. Теорема существования и единственности решения некоторых краевых задач для параболического уравнения в области с сингулярными точками на границе// Тр. мат. ин-та им.

В. А. Стеклова. — 1967. — 91. — С. 47–58.

67. Михлин С. Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения// Вестн. ЛГУ. — 1954. — 9, № 8. — С. 19–48.

68. Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. — М.: Гостехиздат, 1952.

69. Нерсесян А. Б. Задача Коши для гиперболического уравнения второго порядка, вырождающегося на начальной гиперплоскости// Докл. АН СССР. — 1968. — 181. — С. 798–801.

70. Никольский С. М. Аппроксимация функций нескольких переменных и теоремы вложения. — М.: На ука, 1969.

71. Олейник О. А. Задача Коши и краевая задача для гиперболических уравнений второго порядка, вырождающихся в области на границе// Докл. АН СССР. — 1966. — 169. — С. 525–528.

72. Олейник О. А. О гиперболических уравнениях второго порядка, вырождающихся во внутренности области и на ее границе// Успехи мат. наук. — 1969. — 24, № 2 (146). — С. 229–230.

73. Олейник О. А. Математические проблемы теории граничного слоя// Успехи мат. наук. — 1968. — 23, № 3 (141). — С. 3–65.

74. Олейник О. А. Задача Фикеры// Докл. АН СССР. — 1964. — 157. — С. 1297–1300.

75. Олейник О. А. О гладкости решений вырождающихся эллиптических и параболических уравнений// Докл. АН СССР. — 1965. — 163. — С. 577–580.

76. Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка с неотрицательной характерстической формой// Мат. сб. — 1966. — 69, № 111. — С. 111–140.

77. Олейник О. А. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области// Докл. АН СССР. — 1952. — 87. — С. 885–888.

78. Олейник О. А. О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа// Мат. сб. — 1952. — 30, № 72. — С. 695–702.

79. Олейник О. А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений// Успехи мат. наук. — 1957. — 12, № 3 (75). — С. 3–73.

144 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 80. Олейник О. А. О единственности решений задачи Коши для общих параболических систем в классах быстрорастущих функций// Успехи мат. наук. — 1974. — 29, № 5. — С. 229–230.

81. Олейник О. А. О единственности решений краевых задач и задачи Коши для общих параболических систем//Докл. АН СССР. — 1975. — 220, № 6. — С. 34–37.

82. Олейник О. А. О поведении решений линейных параболических систем дифференциальных уравнений в неограниченных областях// Успехи мат. наук. — 1975. — 30, № 2. — С. 219–220.

83. Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными производными. Ч. I. — М.: Изд-во МГУ, 1976.

84. Олейник О. А., Венцель Т. Д. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа// Мат. сб. — 1957. — 41, № 83. — С. 105–128.

85. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. О принципе Сен-Венана в плоской теории упругости// Докл. АН СССР. — 1978. — 239, № 3. — С. 530–533.

86. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. Принцип Сен-Венана для смешанной задачи теории упругости и его приложения// Докл. АН СССР. — 1977. — 233, № 5. — С. 824–827.

87. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. Принцип Сен-Венана в плоской теории упругости и краевые задачи для бигармонического уравнения в неограниченных областях// Сиб. мат. ж. — 1978. — 19, № 5. — С. 1154–1165.

88. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. Априорные оценки решений первой краевой задачи для системы уравнений теории упругости и их приложения// Успехи мат. наук. — 1977. — 32, № 5. — С. 197–198.

89. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. Энергетические оценки обобщенных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка и их приложения// Докл. АН СССР. — 1977. — 232, № 6. — С. 1257-1260.

90. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений// Успехи мат. наук. — 1976. — 31, № 6. — С. 142–166.

91. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Тавхелидзе И. Н. Оценки решений бигармонического уравнения в окрестности нерегулярных точек границы и на бесконечности// Успехи мат. наук. — 1978. — 33, № 3. — С. 181–182.

92. Олейник О. А., Радкевич Е. В. О локальной гладкости слабых решений и гипоэллиптичности диффе ренциальных уравнений второго порядка// Успехи мат. наук. — 1971. — 26, № 2 (158). — С. 265–281.

93. Олейник О. А. Об уравнениях нестационарной фильтрации// Докл. АН СССР. — 1957. — 113. — С. 1210–1213.

94. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Об аналитичности решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных// Мат. сб. — 1973. — 90(132). — С. 592–606.

95. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Об аналитичности решений линейных дифференциальных уравнений и систем// Докл. АН СССР. — 1972. — 207, № 4.

96. Олейник О. А., Радкевич Е. В. О системах дифференциальных уравнений, имеющих неаналитические решения// Успехи мат. наук. — 1972. — XXVIII, вып. 5 (173). — С. 247–248.

97. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Аналитичность и теоремы о поведении решений общих эллипти ческих систем дифференциальных уравнений в неограниченных областях. — М.: Институт Проблем Механики АН СССР, Препринт No. 47, 1974.

98. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Метод введения параметра для исследования эволюционных уравне ний// Успехи мат. наук. — 1978. — 33, № 5 (203). — С. 7–76.

99. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой// Итоги науки и техн. Сер. мат./ М.: ВИНИТИ, 1971.

100. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Аналитичность и теоремы типа Лиувилля и Фрагмена—Линдел фа е для общих параболических систем дифференциальных уравнений// Функц. анал. — 1974. — 8, № 4. — С. 59–70.

101. Олейник О. А., Максимова Н. О. О поведении решений неоднородных эллиптических систем в неограниченных областях// Тр. семинара им. И. Г. Петровского. — 1977. — 3. — С. 117–137.

102. Петков В. М. Необходимые условия корректности задачи Коши для нестрого гиперболических урав нений// Докл. АН СССР. — 1972. — 206. — С. 287–290.

103. Петков В. М. Необходимые условия корректности задачи Коши для гиперболических систем с крат ными характеристиками// Успехи мат. наук. — 1972. — 27, № 4 (166). — С. 221–222.

104. Петровский И. Г. Лекции о дифференциальных уравнениях в частных производных, — М.: Физмат гиз, 1961.

105. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1964.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 106. Петровский И. Г. О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными// Успехи мат.

наук. — 1946. — 1, № 3-4. — С. 44–70.

107. Петровский И. Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций// Бюлл. МГУ, секц. А. — 1938. — 1, № 7.

108. Проблемы Гильберта// Сб. под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969, С. 216–219.

109. Радкевич Е. В. Вторая краевая задача для уравнения второго порядка с неотрицательной характери стической формой// Вестн. МГУ, сер. I. Мат. мех. — 1967. — 22, № 4. — С. 3–11.

110. Радкевич Е. В. Оценка типа Шаудера для некоторого класса псевдодифференциальных операторов// Успехи мат. наук. — 1969. — 24, № 1 (145). — С. 199–200.

111. Радкевич Е. В. Об одной теореме Л. Х рмандера// Успехи мат. наук. — 1969. — 24, № 2 (146). — е С. 233–234.

112. Радкевич Е. В. Априорные оценки и гипоэллиптические операторы с кратными характеристиками// Докл. АН СССР. — 1969. — 187. — С. 274–277.

113. Радкевич Е. В. Гипоэллиптические операторы с кратными характеристиками// Мат. сб. — 1969. — 79, № 121. — С. 193–216.

114. Радкевич Е. В. Уравнения с неотрицательной характеристической формой. I// Современная матема тика и ее приложения (2008), в печати.

115. Рашевский П. К. О возможности соединения двух точек вполне неголономного пространства допу стимой кривой// Уч. зап. моск. гос. пед. инст. им. Либкнехта. Сер. физ.-мат. — 1938. — 2. — С. 83–94.

116. Рыжий B. C. О единственности решения задачи Коши для параболических по И. Г. Петровскому систем с растущими коэффициентами// Записки мех.-мат. фак.-та ХГУ и Харьк. мат. об.-ва. — 1963. — 29, сер. 4.

117. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. — М.: Наука, 1966.

118. Смирнова Г. Н. Линейные параболические уравнения, вырождающиеся на границе области// Сиб.

мат. ж. — 1963. — 4. — С. 343–358.

119. Смирнова Г. Н. О классах единственности решений задачи Коши для параболических уравнений// Докл. АН СССР. — 1963. — 153, № 6. — 1269–1272.

120. Смирнова Г. Н. Задача Коши для параболических уравнений, вырождающихся на бесконечности// Мат. сб. — 1966. — 70, № 4. — С. 591–604.

121. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — Л.: Изд во ЛГУ, 1950.

122. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных параболических дифференциальных уравнений общего вида// Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1965. — 83.

123. Солонников В. А. О матрицах Грина для параболических краевых задач// Записки науч. сем. ЛОМИ АН СССР. — 1969. — 14. — С. 256–267.

124. Сонин И. М. О классах единственности для вырождающихся параболических уравнений// Мат. сб. — 1971. — 85, № 4. — С. 459–473.

125. Тихонов A. H. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности// Мат. сб. — 1935. — 42, № 2. — С. 199–215.

126. Фатеева Г. М. Задача Коши и краевая задача для линейных и квазилинейных вырожденных гипер болических уравнений второго порядка// Докл. АН СССР. — 1967. — 172. — С. 1278–1281.

127. Фатеева Г. М. Краевые задачи для вырожденных квазилинейных параболических уравнений// Мат.


сб. — 1968. — 76, № 118. — С. 537–565.

128. Федий В. С. Оценки в H(S) -норме и гипоэллиптичность// Докл. АН СССР. — 1970. — 193. — С. 301– 303.

129. Фрейдлин М. И. Марковские процессы и дифференциальные уравнения// Теория вероятностей. Ма тематическая статистика. Теоретическаяч кибернетика. — М.: АН СССР. Инст. науч. информации, 1967. — С. 7–58.

130. Фрейдлин М. И. Первая краевая задача для вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений// Успехи мат. наук. — 1960. — 15, № 2 (92). — С. 204–206.

131. Фрейдлин М. И. О постановке краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений// Докл.

АН СССР. — 1966. — 170. — С. 282–285.

132. Фрейдлин М. И. Стабилизация решений некоторых параболических уравнений и систем// Мат. за метки. — 1968. — 3. — С. 85–93.

133. Фрейдлин М. И. Квазилинейные параболические уравнения и меры на функциональном простран стве// Функц. анал. и его прил. — 1967. — 1, № 3. — С. 74–82.

134. Х рмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. — М.: Мир, 1965.

e 146 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 135. Х рмандер Л. Неэллиптические краевые задачи// В кн.: Сборник переводов «Псевдодифференциаль е ные операторы». — М.: Мир, 1967. — С. 166–296.

136. Цораев Я. М. О классах единственности решения первой краевой задачи в неограниченных областях и задачи Коши для неравномерно параболических уравнений// Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. — 1970. — № 3. — С. 38–44.

137. Чаус Н. И. О единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с постоян ными коэффициентами// Укр. мат. ж. — 1964. — 16, № 3. — С. 417–421.

138. Чаус Н. И. О единственности решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений в частных производных// Укр. мат. ж. — 1965. — 17, № 1. — С. 126–130.

139. Чаус Н. И. Классы единственности решения задачи Коши и представление положительно определен ных ядер// Труды семинара по функц. анализу, вып. 1/ Инст. матем. АН УССР. — 1968. — С. 170–273.

140. Шилов Г. Е. Локальные свойства решений дифференциальных уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами// Успехи мат. наук. — 1959. — 14, № 5 (89). — С. 3–44.

141. Эйдельман С. Д. О задаче Коши для параболических систем// Докл. АН СССР. — 1954. — 98, № 6. — С. 913–915.

142. Эйдельман С. Д. Оценки решений параболических систем и некоторые их применения// Мат. сб. — 1954. — 33, № 1. — С. 57–72.

143. Эйдельман С. Д., Ивасишен С. Д. 2b-параболические системы// Труды семинара по функц. анализу, вып. 1/ Инст. матем. АН УССР. — 1968. — С. 3–135, 271–273.

144. Arena О. I’rohlumi parabolici in domini non limitati// Le Matematiche. — 1974. — 29.

145. Aronson P. G. On the initial value problem for parabolic systems of differential equations// Bull. Amer.

Math. Soc. — 1958. — 65, № 5. — С. 310–318.

146. Aronson P. G. Uniqueness of solutions of the initial value problem for parabolic systems of differential equations// J. Math. Mech. — 1962. — 11, № 5. — С. 403–420.

147. Baouendi M. S. Sur une classe d’op rateurs elliptiques d g n rant au bord// C. R. Acad. Sci. Paris S r.

e eee e A–B. — 1966. — 262. — С. A3337–A340.

148. Baouendi M. S. Sur une classe d’op rateurs elliptiques d g n r s// Bull. Soc. Malh. France. — 1967. — e e e ee 95. — С. 45–87.

149. Baouendi M. S., Grisvard P. Sur une equation d’ volution changeant de type// J. Funct. Anal. — 1968. — e 2. — С. 352–367.

150. Baouendi M. S., Grisvard P. Sur une equation d’ volution changeant de type// C. R. Acad. Sci. Paris e S r. A–B. — 1967. — 265. — С. A556–A558.

e 151. Ваouendi M. S., Goulаouic C. Non analytic hypoellipticity for some degenerate elliptic operators// Bull.

Amer. Math. Soc. — 1972. — 78, № 3. — С. 483–486.

152. Bernsten S. N. Sur une g n ralisation des th or` mes de Liouville et de M. Picard// C. R. Acad. Sci.

ee ee Paris. — 1910. — 151. — С. 635–638.

153. Bernstein S. N. Sur la nature analytique des solutions des equations aux d rive s partielles des second e e ordre// Math. Ann. — 1904. — 59. — С. 20–76.

154. Bers L. Mathematical aspects of subsonic and transonic gas dynamics// Surveys in Appl. Math., vol. 3. — New Yoik: Wiley;

London: Chapman and Hall, 1958.

155. Bers L., John F., Schechter M. Partial differential equations// Lectures in Appl. Math., vol. 3. — New York: Interscience, 1964.

156. Bolley P., Camus J. Etudes de la r gularit de certains prob` mes elliptiques d g n r s dans des ouverts e e e e e ee non r guliers, par la m thode de r flexion// C. R. Acad. Sci. Paris S r. A–B — 1969. — 268. — С. A1462– e e e e A1464.

157. Bony J.-M. Principe du maximum, in galit de Harnack et unicit du probl` me de Cauchy pour les e e e e op rateurs elliptiques d g n r s// Ann. Inst. Fourier (Grenoble). — 1969. — 19, № 1. — С. 177–304.

e e e ee 158. Bony J.-M. Prob eme de Dirichlet et in galit de Harnack pour une classe d’op rateurs elliptiques e e e e d g n r s du second ordre// C. R. Acad. Sci. Paris S r. A–B. — 1968. — 266. — С. A830–A833.

e e ee e 159. Bony J.-M. Sur la propagation des maximums et l’unicit du probl me de Cauchy pour les op rateurs e e e elliptiques d g n r s du second ordre// C. R. Acad. Sci. Paris S r. A–B. — 1968. — 266. — С. A763–A765.

e e ee e 160. Courant R. Methods of Mathematical Physics. Vol. 2: Partial Differential Equations. — New York:

Interscience, 1962.

161. Denk R., Volevich L. R. A new class of parabolic problems connected with Newton’s polygon// Uch.

Zap., Ser. Math. Mech. — 2005. — 1. — С. 146–159.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 162. Derridj M. Sur une classe d’op rateurs diff rentiels hypoelliptiques a cosfficients analytiques// In:

e e S minaire Goulaouic–Schwarts 1970/71. Expos № 12. — Ecole Polytechnique, Centre de Math matiques, e e e Paris.

163. Douglis A., Nirenberg L. Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations// Comm.

Pure Appl. Math. — 1966. — 8. — С. 505–538.

164. Edelstein W. S. A spatial decay for the heat equation// J. Appl. Math. and Phys. — 1969. — 20. — 900 с.

165. Eisenhart L. P. Continuous Groups of Transformations. — Princeton N. J.: Princeton Univ. Press, 1933.

166. Fichera G. Sulle equazioni differenziali lineari elliptico-paraboliche del secondo ordine// Atti Accad. Naz.

Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Ser. I (8). — 1956. — 5. — С. 1–30.

167. Fichera G. On a unified theory of boundary-value problems for elliptic-parabolic equations of second order// In: Boundary Problems. Differential Equations. — Wisconsin: Univ. of Wisconsin Press, Madison, 1960. — С. 97–120.

168. Flavin J. N. On Knowles version of Saint-Venant’s principle in two-dimensional elastostatics// Arch.

Rational Mech. Anal. — 1974. — 53, № 4. — С. 366–375.


169. Franklin J. N., Rodemich E. R. Numerical analysis of an elliptic-parabolic partial differential equation// SIAM J. Numer. Anal. — 1968. — 5. — С. 680–716.

170. Friedman A. Partial Differential Equations of Parabolic Type. — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1964.

171. Friedrichs K. O. Pseudodifferential operators. An introduction// Courant Lect. Notes Math. — New York University, 1970.

172. Garding L. Dirichlet’s problem for linear elliptic partial differential equations// Math. Scand. — 1953. — 1. — С. 55–72.

173. Geissert M., Grec Б., Hieber M., Radkevich E. V. The model problem associated to the Stefan problem with surface tension: An approach via Fourier–Laplace multipliers// In: The Proceedings of a Conference in Cortona, Marcel Dekker, 2006.

174. Gellerstedt S. Sur une equation lin aire aux d riv es partielles de type mixte// Ark. Mat. Astr. Fys. — e ee 1937. — 25A.

175. Hanouzet B. R gularit pour une classe d’op rateurs eliiptiques d g n r s du deuxi` me ordre// C. R.

e e e e e ee e Acad. Sci. Paris S r. A–B. — 1969. — 268. — С. A1177–A1179.

e 176. Hellwig G. Anfangs- und Randwertprobleme bei partiellen Differentialgleichungen von wechselndem Typus auf den R ndern// Math. Z. — 1953. — 58. — С. 337–357.

a 177. Hilbert D. Grundlagen der Geometrie, 7th ed. — Leipzig: Teubner, 1930.

178. Hilbert D. Uber die Darstellung definiter Formen als Summen von Formenquadraten// Math. Ann. — 1988. — 32. — С. 342–350.

179. Hille E. The

Abstract

Cauchy problem and Cauchy problem for parabolic differential equations// J. Analyse Math. — 1953-1954. — 3. — С. 81–196.

180. Holmgren E. Sur les solutions quasianalytiques d’l’equations de la chaleur// Ark. Mat. — 1924. — 18. — С. 64–95.

181. Hopf E. Elementare Bemerkungen uber die L sungen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung o vom elliptischen Typus// S.-B. Preuss. Akad. Wiss. — 1927. — 19. — С. 147–152.

182. H rmander L. On the theory of general partial differential operators// Acta Math. — 1955. — 94. — С. 161– o 248.

183. H rmander L. On interior regularity of the solutions of partial differential equations// Comm. Pure Appl.

o Math. — 1958. — 11. — С. 197–218.

184. H rmander L. Hypoelliptic differential operators// Ann. Inst. Fourier (Grenoble). — 1961. — 11. — С. 477– o 492.

185. H rmander L. Pseudo-differential operators and hypoelliptic equations// Proc. Sympos. Pure Math., o vol. 10, Amer. Math. Soc, Providence, R. I., 1967. — С. 138–183.

186. H rmander L. Pseudo-differential operators// Comm. Pure Appl. Math. — 1965. — 18. — С. 501–517.

o 187. H rmander L. Hypoelliptic second order differential equations// Acta Math. — 1967. — 119. — С. 147–171.

o 188. H rmander L. Linear Partial Differential Operators// Die Grundlehren der Math. Wissenschaften, Band o 116. — New York: Academic Press;

Berlin: Springer-Verlag, 1963.

189. Jamanaka T. A refinement of the uniqueness bound of solutions of the Cauchy problem// Funkcial.

Ekvac. — 1968. — 11. — С. 75–86.

190. Кnowles J. К. On Saint-Venant’s principle in the two-dimensional linear theory of elasticity// Arch.

Rational Mech. Anal. — 1966. — 21, № 1. — С. 1–22.

148 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 191. Кnowles J. К. A Saint-Venant principle for a classe of second-order elliptic boundary value problems// J.

Appl. Math. and Phys. — 1967. — 18, № 4. — С. 473–490.

192. Кnowles J. К. On the spatial decay of solutions of the heat equation// J. Apl. Math. and Phys. — 1971. — 22, № 6. — С. 1050–1056.

193. Kohn J. J., Nirenberg L. Degenerate elliptic-parabolic equations of second order// Comm. Pure Appl.

Math. — 1967. — 20. — С. 797–872.

194. Kohn J. J., Nirenberg L. An algebra of pseudodifferential operators// Comm. Pure Appl. Math. — 1965. — 18. — С. 269–305.

195. Kohn J. J. Pseudo-differential operators and non-elliptic problems// In: Pseudo-Differential Operators (C.

I. M. E., Streza, 1968). — Rome: Edizioni Cremonese, 1969. — С. 157–165.

196. Kohn J. J., Nirenberg L. Non-coercive boundary value problems// Comm. Pure Appl. Math. — 1965. — 18. — С. 443–492.

197. Kolmogorov A. N. Zuf llige Bewegungen// Ann. Math. — 1934. — 35. — С. 116–117.

a 198. Lax A. On Cauchy’s problem for partial differential equations with multiple characteristics// Comm. Pure Appl. Math. — 1956. — 9. — С. 135–169.

199. Lax P. D. Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems// Duke Math. J. — 1957. — 24. — С. 627–546.

200. Levi E. E. Opere// In: A Cura Dell’unione Matematica Italiana e Col Contributo del Consiglio Nazional delle Ricerche, 2 vols. — Rome: Edizioni Cremonese, 1959, 1960. — С. 15–18.

201. Levi E. E. Sull’equazione del calore// Ann. Mat. Pure Appl. Ser. 3. — 1908. — 14. — С. 187–264.

202. Lewy H. Neuer Beweis des analytischen Charakters der L sungen elliptischer Differentialgleichungen// o Math. Ann. — 1929. — 102. — С. 609–619.

203. Lions J. L. Quelques methodes de r solution des probl` mes aux limites non lin aires, Dunod;

Paris:

e e e Gauthier-Villars, 1969.

204. Malgrange B. Sur une classe d’op rateurs diff rentiels hypoelliptiques// Bull. Soc. Math. France. — e e 1957. — 85. — С. 283–306.

205. Min-Yu Chi The Cauchy problem for a class of hyperbolic equations with initial data on a tins of parabolic degeneracy// Acta Maih. Sinica. — 1958. — 8. — С. 521–530.

206. Miranda C. Equazioni alle derivate parziali di ttpo ellittico// In: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Heft 2. — Berlin: Springer-Verlag, 1955.

207. Mizohata S., Ohya Y. Sur la condition de E. E. Levi concernant des equations hyperboliques// Publ. Res.

Inst. Math. Sci. Ser. A. — 1968. — 4. — С. 511–526.

208. Mizohata S. Solutions nulles et solutions non analytiques// J. Math. Kyoto Univ. — 1962. — 1, № 1. — С. 271–302.

209. Morrey C., Nirenberg L. On the analyticity of the solutions of linear elliptic systems of partial differential equations// Comm. Pure Appl. Math. — 1957. — 10. — С. 271–290.

210. Nagano T. Linear differential systems with singularities and an application to transitive Lie algebras// J. Math. Soc. Japan. — 1966. — 18. — С. 398–404.

211. Nirenberg L. A strong maximum principle for parabolic equations// Comm. Pure Appl. Math. — 1953. — 6. — С. 167–177.

212. Oleinik O. A. Alcuni risultati sulle equazioni lineari e quasi lineari ellittico-paraboliche a derivate parziali del secondo ordine// Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Ser. I (8). — 1966. — 40. — С. 775– 784.

213. Oleinik O. A. A boundary value problems for elliptic-parabolic linear equations// Lecture Ser., № 46.

University of Maryland Inst. Fluid Dynamics and Appl. Math., 1965.

214. Oleinik O. A. On the Cauchy problem for weakly hyperbolic eguations// Comm. Pure Appl. Math. — 1970. — 23. — С. 569–586.

215. Оleinik О. A. On the behaviour of solutions of the Cauchy problem and the boundary value problem for parabolic systems of partial differential equations in unbounded domains// Rend. Mat. Ser. VI. — 1975. — 8, № 2. — С. 545–561.

216. Oleinik O. A. Analyticity of solutions and related methods of the study of partial differential equations// Univ. Ann. Appl. Math. — 1975. — 11, № 2. — 151–165.

217. Oleinik O. A., Iosif’yan G. A. On singularities at the boundary points and uniqueness theorems for solutions of the first boundary value problem of elasticity// Comm. in partial differen. equations. — 1977. — 2, № 9. — С. 937–969.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 218. Oleinik O. A., Iosif’yan G. A. Boundary value problems for second order elliptic equations in unbounded domains and Saint-Venant’s principle// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4). — 1977. — 4, № 2. — С. 269–290.

219. Petrowsky I. G. Sur l’analyticit des solutions des systems d’ quations diff rentielles// Мат. сб. — 1939. — e e e 5 (47). — С. 3–70.

220. Phillips R. S., Sarason L. Elliptic-parabolic equations of the second order// J. Math. Mech. — 1967/1968. — 17. — С. 891–917.

221. Phillips R. S., Sarason L. Singular symmetric positive first order differential operators// J. Math. Mech. — 1966. — 15. — С. 235–271.

222. Picone M. Some forgotten almost sixty years old Lincean notes on the theory of second order linear partial differential equations of the elliptic-parabolic type// Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis.

Mat. Natur. — 1968.

223. Picone M. Teoremi di unicit` nei problemi dei valori al contorno per le equazioni ellittiche e paraboliche// a Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. — 1913. — 22, № 2. — С. 275–282.

224. Plotnikov P. I., Ruban E. V., Sokolovski J. Inhomogeneous boundary pproblems for compressible Navier– Stokes equatyions// в печати.

225. Plotnikov P. I., Ruban E. V., Sokolovski J. Inhomogeneous boundary pproblems for compressible Navier– Stokes and transprt equatyions// в печати.

226. Protter M. H. The Cauchy problem for a hyperbolic second order equation with data on the parabolic line// Canad. J. Math. — 1954. — 6. — С. 542–553.

227. Protter M. H., Weinberger H. F. Maximum Principles in Differential Equations. — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1967.

228. Pucci C. Propriet` di massimo e minimo delle soluzioni di equazioni a derivate parziali del secondo ordine a di tipo ellittico e parabolico. I// Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8). — 1957. — 23. — С. 370–375.

229. Pucci C. Propriet` di massimo e minimo delle soluzioni di equazioni a derivate parziali del secondo ordine a di tipo ellittico e parabolico. II// Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8). — 1958. — 24. — С. 3–6.

230. Riesz F., Sz.-Nagy B. Le ons d’analyse fonctionnelle. — Budapest: Akad. Kiad, 1953.

c o 231. Saint-Venant A. J. C. Barre de De la torsion des prismes// Mem. Divers Savants, Acad. Sci. Paris. — 1855. — 14. — С. 233–560.

232. Schauder J. Uber lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung// Math. Z. — 1934. — 38. — С. 257–282.

233. Schechter M. On the Dirichlet problem for second order elliptic equations with coefficients singular at the boundary// Comm. Pure Appl. Math. — 1960. — 13. — С. 321–328.

234. Schwartz L. Th orie des Distributions. Tomes I, II, Actualite’s Sci. Indust., Nos. 1091, 1122. — Hermann, e Paris, 1950, 1951.

235. Schwartz L. Methodes Mathematiques pour les Sciences Physiques. — Hermann, Paris, 1961.

236. Schwartz L. Les equations d’evolution lie s au produit de composition// Ann. Inst. Fourier (Grenoble). — e 1950. — 2. — С. 19–49.

237. Sigillito V. G. On the spatial decay of solutions of parabolic equations// J. Appl. Math. and Phys. — 1970. — 21. — 1078 с.

`e 238. Sobolev S. L. M thode nouvelle a r soudre le probl` me de Cauchy pour les equations lin aires e e e hyperboliques normales// Mat. Sb. — 1936. — 1, № 43. — С. 39–72.

239. Strang G., Flaschka H. The correctness of the Cauchy problem// Adv. Math. — 1971. — 6. — С. 347–379.

240. Suzuki K. The first boundary value problem and the first eigenvalue problem for the elliptic equations degenerate on the boundary// Publ. Res. Inst. Math. Sci. Ser. A. — 1967/1968. — 3. — С. 299–335.

241. Suzuki K. The first boundary value and eigenvalue problems for degenerate elliptic equations. I// Publ.

Res. Inst. Math. Sci. Ser. A.— 1968/1969. — 4. — С. 179–200.

242. Suzuki H. Analytic-hypoelliptic differential operators of first order in two independent variables// J. Math.

Soc. Japan. — 1964. — 16, № 4. — 367–374.

243. Tacklind S. Sur les class quasianalytiques des solutions des equations aux derive s partielles du type e parabolique// Nova Acta Regial Societatis Schientiarum, Uppsaliensis, Ser. 4. — 1936. — 10, № 3. — С. 3– 55.

244. Toupin R. Saint-Venant’s Principle// Arch. Rational Mech. Anal. — 1965. — 18, № 2. — С. 83–96.

245. Tr` ves F. Op rateurs diff rentiels hypoelliptiques// Ann. Inst. Fourier (Grenoble). — 1959. — 9. — С. 1–73.

e e e 150 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 246. Treves F. Hypoelliptic partial differential equations of principal type with analytic coefficients// Comm.

Pure Appl. Math. — 1970. — 23, № 4, — С. 637–651.

247. Tricomi F. Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di secondo ordine, di tipo misto// Rend. Reale Accad. Lincei. (5). — 1923. — 14. — С. 134–247.

248. Weber M. The fundamental solution of a degenerate partial differential equation of parabolic type// Trans.

Amer. Math. Soc. — 1951. — 71. — С. 24–37.

249. Weck N. An explicit Saint-Venant’s principle in three-dimensional elasticity// Lecture Notes in Math. — 1976. — № 564. — С. 518–526.

250. Weinstein A. Generalized axially symmetric potential theory// Bull. Amer. Math. Soc. — 1953. — 59. — С. 20–38.

251. Yosida K. Functional Analysis// Die Grundlehren der Math. Wissenschaften, Band 123. — New York:

Academic Press;

Berlin: Springer-Verlag, 1965.

252. Zachmanoglou E. C., Propagation of zeros and uniqueness in the Cauchy problem for first order partial differential equations// Arch. Ration. Mech. Anal. — 1970. — 38. — С. 178–188.

Е. В. Радкевич Московский Государственный Университет им. Ломоносова E-mail: radk@mech.math.msu.su

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.