авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

РИЖСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Владислав Евстигнеев

Применение метода полных

бифуркационных групп для анализа

существенно нелинейных

колебательных и виброударных

систем

ДИССЕРТАЦИЯ

Рига – 2008 г.

РИЖСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет транспорта и машиноведения

Институт механики

Владислав Евстигнеев

Применение метода полных

бифуркационных групп для анализа существенно нелинейных колебательных и виброударных систем ДИССЕРТАЦИЯ на соискание степени доктора инженерных наук научный руководитель профессор, докт.хаб.инж.наук М. В. ЗАКРЖЕВСКИЙ Э т а р а бота выпо лнена пр и содействии Евро пе йского со циально го фо нда в рамках проекта “П о д д ер ж к а р а з в и т ия доктор а нт ур ы Р ТУ ” и н а ц ио на л ь но й про гр аммы “ Со д ейс тв ие осущ ествлению про гр амм до кторантур ы и исследо ваний пос ле н е е”.

Рига – 2008 г.

ДИССЕРТАЦИОННАЯ РАБОТА ПРЕДСТАВЛЕНА В РИЖСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НА СОИСКАНИЕ СТЕПЕНИ ДОКТОРА ИНЖЕНЕРНЫХ НАУК Диссертационная работа В.Евстигнеева “Применение метода полных бифуркационных групп для анализа существенно нелинейных колебательных и виброударных систем” разработана под руководством профессора, хаб.докт.инж.наук М. В. Закржевского в Институте механики факультета транспорта и машиноведения Рижского технического университета, представлена на соискание степени доктора инженерных наук в Рижский технический университет в промоционный совет по присуждению ученых степеней “RTU P-04”.

Диссертационная работа написана на русском языке, состоит из введения, семи глав, заключения, трёх приложений, списка литературы ( наименований), всего 146 страниц.

Дата: _._.. Владислав Евстигнеев АННОТАЦИЯ Настоящая диссертационная работа “Применение метода полных бифуркационных групп для анализа существенно нелинейных колебательных и виброударных систем” посвящена глобальному анализу типовых существенно нелинейных динамических систем с одной и несколькими степенями свободы. Метод полных бифуркационных групп разработан (1993-2007) в Институте механики Рижского технического университета в группе проф. М.Закржевского, работающей по научному направлению «Нелинейная динамика, хаос, катастрофы и управление».

В работе показано, что использование метода полных бифуркационных групп позволяет проводить глобальный бифуркационный анализ существенно нелинейных колебательных и виброударных систем, находить новые бифуркационные группы и неизвестные ранее устойчивые регулярные и хаотические режимы, что проиллюстрировано на типовых моделях кусочно-линейных и гладких нелинейных систем с одной и двумя степенями свободы и показана возможность использования полученных новых результатов в задачах вибротехники.

ANOTACIJA disertcija „Pilno bifurkcijas grupu metodes pielietojums btiski nelinero svrstbu un vibrotriecienu sistmu analzei” ir veltta tipveida btiski nelinero dinamisko sistmu ar vienu un dam brvbas pakpm globlai analzei. Pilno bifurkcijas grupu metodi izstrdja (1993-2007) Rgas Tehnisks universittes Mehnikas institta profesora M.Zakrevska grupa, kas strd virzien „Nelinera dinamika, haoss, katastrofas un vadba”.

Disertcij ir pardts, ka pilno bifurkcijas grupu metodes pielietojums auj veikt globlu btiski nelinero tipveida svrstbu un vibrotriecienu sistmu bifurkcijas analzi un meklt jaunas bifurkcijas grupas ar agrk nezinmiem periodiskiem regulriem un haotiskiem remiem un jaunus nelinerus efektus, kas ir ilustrts tipisks pa gabaliem liners un gluds neliners sistms ar vienu un divm brvbas pakpm, k ar pardta iespja izmantot jaunus rezulttus vibrotehnikas uzdevumos.

Содержание Введение........................................................................................................................ Глава 1. Состояние вопроса и постановка задачи диссертации..................... 1.1. Введение.............................................................................................. 1.2. Основные понятия и определения нелинейных динамических систем......................................................................... 1.3. Бифуркационный анализ нелинейных динамических систем........ 1.4. Глобальный анализ вынужденных колебаний существенно нелинейных динамических систем................................................... 1.5. Основные нелинейные явления в динамических системах при внешнем периодическом воздействии...................................... 1.6. Объекты исследования....................................................................... 1.7. Постановка задачи диссертационной работы.................................. Глава 2. Метод полных бифуркационных групп и его применение для существенно нелинейных колебательных и виброударных систем.............................................................................. 2.1. Введение.............................................................................................. 2.2. Структура, параметры и состояние исследуемых динамических моделей....................................................................... 2.3. Поиск периодических устойчивых и неустойчивых решений при заданных параметрах системы................................................... 2.4. О существовании и поиске бифуркационных подгрупп с бесконечным числом периодических режимов (UPI) в существенно нелинейных колебательных и виброударных системах............................................................................................... 2.5. Построение областей притяжения при вынужденных колебаниях в существенно нелинейных колебательных и виброударных системах..................................................................... 2.6. Построение полных бифуркационных диаграмм............................ 2.7. Построение бифуркационных карт на плоскости параметров........................................................................................... 2.8. Выводы................................................................................................ Глава 3. Анализ вынужденных колебаний билинейных систем на основе метода полных бифуркационных групп. Новые нелинейные эффекты.............................................................................. 3.1. Введение.............................................................................................. 3.2. Внутренние колебательные свойства билинейной системы.

Зависимость частоты свободных колебаний от начальных условий................................................................................................ 3.3. Примеры простых полных бифуркационных групп в системе с билинейной упругой характеристикой............................ 3.4. Построение и анализ полных бифуркационных групп со сложными протуберанцами и редкими аттракторами.................... 3.5. Выводы................................................................................................ Глава 4. Глобальный анализ вынужденных колебаний в билинейных системах при взаимодействии нескольких бифуркационных групп.......................................................................... 4.1. Введение.............................................................................................. 4.2. Сосуществование нескольких различных типовых бифуркационных групп с регулярным динамическим поведением в билинейной системе................................................... 4.3. Взаимодействие бифуркационных групп с регулярным и нерегулярным динамическим поведением....................................... 4.4. Сосуществование различных бифуркационных групп при наличии в каждой группе области с UPI.......................................... 4.5. Бифуркационные карты на плоскости параметров для типовой билинейной системы........................................................... 4.6. Выводы................................................................................................ Глава 5. Применение метода бифуркационных групп для анализа вынужденных колебаний в типовых виброударных системах..................................................................................................... 5.1. Введение.............................................................................................. 5.2. Построение и анализ полных бифуркационных групп 1Т виброударных систем с мягким и жёстким ударами....................... 5.3. Сравнение полных бифуркационных групп субгармонических режимов в виброударных системах с мягким и жёстким ударами................................................................ 5.4. Особенности динамики при наличии нескольких различных бифуркационных групп...................................................................... 5.5. Выводы.............................................................................................. Глава 6. Новые бифуркационные группы и нелинейные эффекты при вынужденных колебаниях в системе с двумя степенями свободы................................................................................ 6.1. Введение............................................................................................ 6.2. Исследуемая модель......................................................................... 6.3. Новая полностью неустойчивая полная бифуркационная группа субгармонического острова 2Т........................................... 6.4. Изменения топологии полностью неустойчивого острова при варьировании параметров системы......................................... 6.5. Выводы.............................................................................................. Глава 7. Рекомендации по использованию сложных регулярных и хаотических режимов в задачах вибротехники............................... 7.1. Введение............................................................................................ 7.2. Экспериментальные исследования многорежимности в билинейной системе при гармоническом инерционном возбуждении...................................................................................... 7.3. Влияние привода ограниченной мощности на колебательную систему в условиях многорежимности................ 7.4. О новых возможностях использования нелинейной колебательной системы в качестве вибропреобразователя движения............................................................................................ 7.5. Выводы.............................................................................................. Заключение................................................................................................................ Литература................................................................................................................. Приложения............................................................................................................... Приложение 1. Обозначения и сокращения принятые в работе............................ Приложение 2. Термины используемые в работе.................................................... Приложение 3. Проблемы глобального анализа существенно нелинейных колебательных систем, не получившие законченного решения.............................................................................................. ВВЕДЕНИЕ Настоящая диссертационная работа “Применение метода полных бифуркационных групп для анализа существенно нелинейных колебательных и виброударных систем” посвящена глобальному анализу типовых существенно нелинейных динамических систем с одной и несколькими степенями свободы. Метод полных бифуркационных групп разработан (1993-2007) в Институте механики Рижского технического университета в группе проф. М.Закржевского, работающей по научному направлению «Нелинейная динамика, хаосс, катастрофы и управление».

Метод полных бифуркационных групп и предложенный на его основе комплекс алгоритмов и программ позволяет находить для типовых и широко применяемых классических нелинейных динамических моделей качественно новые неизвестные ранее регулярные и хаотические режимы, новые бифуркационные группы и изучать взаимодействие различных бифуркационных групп.

Своё название метод полных бифуркационных групп получил в связи с тем, что динамические системы как правило имеют в пространстве параметров несколько несвязанных друг с другом «бифуркационных групп». Полнота бифуркационной группы определяется тем, что для неё найдены все устойчивые и неустойчивые режимы и связанные с этой группой бифуркации и протуберанцы. Типовым элементом бифуркационной группы являются области в пространстве параметров с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов, возникающих в результате каскада бифуркаций удвоения. Эти области, связанные с конкретной бифуркационной группой, порождают устойчивые хаотические колебания (хаотические аттракторы) или переходные хаотические режимы.

Одним из основных элементов метода полных бифуркационных групп является продолжение неустойчивых периодических режимов в пространстве параметров, что позволяет находить, так называемые, редкие устойчивые динамические режимы – редкие хаотические и периодические аттракторы. Эти явления не могут быть системно обнаружены на основе традиционных методов нелинейной динамики: метода Крылова Боголюбова, метода малого параметра и метода гармонического баланса.

Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы (156 наименований) и трёх приложений, включая 146 страниц и 64 рисунка.

В первой главе рассматривается состояние вопроса и формулируется постановка задачи диссертации. Целью диссертационной работы является показать, что использование метода полных бифуркационных групп позволяет проводить глобальный бифуркационный анализ существенно нелинейных колебательных и виброударных систем и находить новые бифуркационные группы и неизвестные ранее регулярные и хаотические режимы на примере типовых кусочно-линейных и гладких нелинейных систем с одной и несколькими степенями свободы. Кроме того, в работе даются рекомендации по использованию сложных регулярных и хаотических режимов в вибротехнике и вибротехнологии.

В соответствии с постановкой задачи во второй главе описываются метод полных бифуркационных групп и методика его применения для глобального анализа типовых кусочно-линейных и гладких с полиномиальными характеристиками систем с одной и несколькими степенями свободы. Метод полных бифуркационных групп использует прямое численное-аналитическое моделировании исходной существующей нелинейной модели, т.е. без её предварительного упрощения. Методом полных бифуркационных групп включает в себя комплекс подходов к глобальному анализу динамических систем. В их число входят следующие процедуры: при фиксированных параметрах системы – поиск всех периодических устойчивых и неустойчивых режимов и UPI на плоскости состояний, построение областей притяжения режимов на плоскости состояний;

при варьировании параметров системы – построение бифуркационных диаграмм (зависимость состояния периодических режимов от параметра) и бифуркационных карт (разбиение плоскости параметров бифуркационными границами). Особое место в методе занимает продолжение решения по параметру (в однопараметрической задаче) вдоль ветви решения определенного режима (а не вдоль параметра), что позволяет находить новые неизвестные ранее устойчивые режимы в широко применяемых динамических моделях существенно нелинейных колебательных систем.

В третьей и четвёртой главах диссертации рассматривается применение метода полных бифуркационных групп для анализа вынужденных колебаний в типовой билинейной системе. В третьей главе проведён анализ вынужденных колебаний с целью поиска типовых бифуркационных групп со сложными протуберанцами, с редкими периодическими и хаотическими режимами. В качестве варьируемых параметров выступали коэффициент линейной диссипации, коэффициент жёсткости нелинейной упругой характеристики и частота вынуждающей силы.

Глобальный анализ вынужденных колебаний и вопросы взаимодействия различных бифуркационных групп, сосуществующих в одной и той же области параметров, рассматриваются в четвёртой главе. При определённых значениях варьируемого параметра, например, частоты вынуждающей силы, динамическая система может иметь только одну бифуркационную группу 1Т. Однако, чаще имеют место ситуации, когда в пространстве параметров имеется несколько соссуществовующих различных бифуркационных групп. Обобщением информации о сосуществовании различных бифуркационных групп является бифуркационная карта, разделяющая плоскость двух варьируемых параметров системы на области с качественно одинаковым поведением. Построенные бифуркационные карты позволяют, в частности, выявить наличие бифуркационных подгрупп с бесконечным числом неустойчивых режимов. Показано, что в этом случае всегда имеет место хаотическое поведение системы: хаотический аттрактор или переходный хаос.

Аналогичные задачи глобального анализа вынужденных колебаний с применением метода полных бифуркационных групп для типовых виброударных систем решались в пятой главе. Рассмотриваются две модели, описывающие вынужденные колебания в виброударных системах. Первая модель жёсткого мгновенного удара с использованием коэффициента восстановления;

вторая модель – это модель «мягкого» удара, в которой учитывается конечная жёсткость ограничения.

Также как при анализе системы, рассмотренной в главах три и четыре, для виброударных систем найдены новые бифуркационные группы с бесконечным числом периодических режимов, бифуркационные группы со сложными протуберанцами, а также редкимие периодические и хаотические режимы.

Сравнение результатов анализа систем с двумя различными моделями удара позволяет заключить, что использование модели мгновенного удара может приводить к качественным ошибкам при значениях параметров, рекомендуемых в научной и справочной литературе.

Метод полных бифуркационных групп применим для глобального анализа вынужденных колебаний в нелинейных системах с несколькими степенями свободы.

Эффективность применения этого метода показана при глобальном анализе вынужденных колебаний в системе с двумя степенями свободы с двумя потенциальными ямами (с тремя положениями равновесия) в шестой главе. Для этой достаточно сложной существенно нелинейной динамической системы обнаружены бифуркационные группы со сложными протуберанцами, с редкими регулярными и хаотическими режимами. Найдена новая полная бифуркационная группа 2Т, состоящая только из неустойчивых периодических режимов, названная в работе «пустынный»

остров. Несмотря на отсутствие на найденом субгармоническом острове устойчивых режимов, важность его отыскания состоит в том, что при изменении параметров системы на его основе рождаются редкие устойчивые периодические и хаотические режимы.

Проведенные исследования вынужденных колебаний существенно нелинейных колебательных и виброударных систем на основе метода полных бифуркационных групп позволили найти новые сложные периодические и хаотические режимы, которые могут найти применение в вибротехнике. К этим задачам относятся виброобработка, виброперемещение, перемешивание, вибросварка и ряд других. Одной из новых задач нелинейной вибротехнологии является возможность использования многорежимности, сложных регулярных и хаотических колебаний, а также задача управления на основе областей притяжения. Эти задачи рассматриваются в седьмой главе. При этом возникает задача правильного выбора мощности электропривода, обеспечивающего требуемые колебания. На основе экспериментальных и теоретических исследований показана возможность использования явления многорежимности для реальных вибромашин и вибромеханизмов.

В заключении по дисертационной работе приведены основные новые качественные результаты по глобального анализу существенно нелинейных колебательных и виброударных систем на основе метода полных бифуркационных групп. Основное положение, защищаемое в диссертационной работе:

Использование метода полных бифуркационных групп позволяет проводить глобальный бифуркационный анализ существенно нелинейных колебательных и виброударных систем, находить новые бифуркационные группы и неизвестные ранее устойчивые регулярные и хаотические режимы, что проиллюстрировано на типовых моделях кусочно-линейных и гладких нелинейных систем с одной и двумя степенями свободы и показана возможность использования полученных новых результатов в задачах вибротехники.

Достоверность результатов обеспечивается использованием современных методов анализа существенно нелинейных систем и разработанного систематического подхода к исследованию вынужденных колебаний в нелинейных динамических системах, сравнением точных аналитических и численных методов расчета для кусочно-линейных систем, совпадением новых результатов исследований, полученных не менее, чем тремя различными методами.

Отдельные разделы диссертационной работы докладывались на международной студенческой конференции “Нелинейная динамика, хаос, катастрофы и управление” (Рига, 2001);

на XIII международном симпозиуме “Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем” (Москва, 2001);

на II всемирном конгрессе латвийских ученых (2001);

на международных научных конференциях РТУ (Рига, 2001, 2002, 2008);

на международной конференции “Vibroengineering - 2001” (Каунас, 2001);

на международной школе “Nonlinear Dynamics, Chaos, Catastrophes and Control” (Юрмала Рига, 2002);

на XIV международном симпозиуме “Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем” (Москва, 2003);

на международной конференции 1st International Conference on Vibro-Impact Systems ICoVIS (Laughborough, 2006);

на XV международном симпозиуме “Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем” (Москва, 2006);

на XXXV международной школе-конференции “Advanced Problems in Mechanics” (С.Петербург, 2007);

на международной научной конференции “Modern Achievements of Science and Education” (Натания, 2007);

на международной научной конференции “Modern Achievements of Science and Education” (Хургада, 2007);

на международной научной конференции “Chaotic Modeling, Simulation and Applications” (Chania, 2008);

регулярно с 2000 по 2007 год на семинарах Института механики РТУ.

В настоящую диссертационную работу вошли результаты исследований проводимых по грантам Латвийской академии наук и Министерства образования Латвии:

„Нелинейный интеллектуальный виброредуктор (NIViR): фундаментальная теория и приложения” (2001-2004);

„Редкие аттракторы (РA): теория редких нелинейных динамических явлений и её применение в машиностроении” (2006-2008);

2005.g. 2006.g.septembris „Нелинейные хаотические вибромашины: применение в машиностроении” (2006);

„Прогнозирование технических катастроф на основе новых методов: теория, эксперименты и рекомендации” (2007);

„Хаотические вибромашины нового поколения” (2007).

Полученные результаты по использованию метода полных бифуркационных групп к анализу существенно нелинейных колебательных и виброударных систем имеют, на наш взгляд большое практическое значение.

Во-первых, эти результаты позволяют инженеру понять природу нежелательных устойчивых периодических или хаотических режимов, которые появляются при определенных параметрах и объяснять существование и рождение хаотических режимов и редких аттракторов.

Во-вторых, результаты диссертационной работы могут быть использованы в задачах вибротехники т.к., в частности, хаотические колебания позволяют увеличить эффективность различных процессов при обработке материалов: резание, фрезерование, шлифование и др.;

реализовать с меньшими затратами сложные режимы движения (вибропреобразователь движения), например, в вибростендах для проверки усталостной прочности конструкций (авиация, приборостроение);

снизить трение в системе и др.

Кроме того, полученные результаты (типовые бифуркационные диаграммы, бифуркационные карты) используются в учебном процессе при изучении студенческого курса “Нелинейная динамика. Введение” в Рижском техническом университете и при проведении студенческих научно-исследовательских работ.

Благодарности Хочу выразить искреннюю благодарность всем кто в какой-либо мере способствовал появлению на свет данного научного труда.

Особую благодарность выражаю моему научному руководителю Михаилу Васильевичу Закржевскому за предложенную тему диссертации, идеи и советы, которые мне очень помогли при получении и оформлении результатов настоящей работы, а также за проявленное терпение и понимание.

Благодарю моих даугавпилсских коллег из группы нелинейной динамики Раису Смирнову и Игоря Щукина за помощь и поддержку, как советами, так и добрым словом.

Выражаю глубокую благодарность и признательность семинару и сотрудникам Института механики Рижского технического университета за критические замечания и ценные советы при обсуждении данной работы. Хочу особенно поблагодарить директора Института механики Яниса Виба и коллег Семена Львовича Цыфанского, Яниса Аузиньша, Владимира Гонца, Виталия Бересневича, Айвара Шульца, Александра Янушевского.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИИ................................................................................................................ 1.1. Введение........................................................................................................................... 1.2. Основные понятия и определения нелинейных динамических систем..................... 1.3. Бифуркационный анализ нелинейных динамических систем..................................... 1.4. Глобальный анализ вынужденных колебаний существенно нелинейных динамических систем............................................................................................................. 1.5. Основные нелинейные явления в динамических системах при внешнем периодическом воздействии.................................................................................................. 1.6. Объекты исследования.................................................................................................... 1.7. Постановка задачи диссертационной работы............................................................... ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИИ Как уже отмечалось диссертационная работа посвящена применению метода полных бифуркационных групп для глобального анализа существенно нелинейных колебательных и виброударных динамических систем. Выбор направления исследования связан с тем, что в настоящее время сложилась ситуация, когда многие важные режимы в типовых классических моделях остаются незамеченными при моделировании традиционными аналитическими или численными методами, несмотря на современные возможности применения высокоскоростных компьютеров.

Настоящая глава состоит из введения, в котором рассматривается состояние вопроса по исследованию существенно нелинейных динамических систем, описания динамических систем, их основных понятий и определений. В последующих параграфах даётся обзор традиционных методов бифуркационного анализа, обзор основных известных нелинейных явлений в нелинейных системах при внешнем периодическом возбуждении, формулируется постановка задачи диссертационной работы.

1.1. Введение Основы теории нелинейных колебаний разработаны такими выдающимися учеными как I.Newton, А.Poincar, А.М.Ляпунов, J.D.Birkhoff, van der Pol, А.А.Андронов, Н.М.Крылов, Н.Н.Боголюбов, Л.И.Мандельштам, C.Hayashi и другими.

Существенный вклад в развитие нелинейной динамики внесли современные ученые Я.Г.Пановко, И.И.Блехман, М.З.Коловский, V.I.Babitsky, Ю.И.Неймарк, А.Е.Кобринский, F.Moon, Ph.Holms, Г.Я.Пановко, K.Ragulskis, V.Ragulskiene, R.Banseviius, Л.М.Литвин, F.Peterka, М.И.Фейгин, П.С.Ланда, А.Л.Фрадков, Y.Ueda, Д.И.Трубецков, В.С.Анищенко, В.К.Асташев, К.В.Фролов, А.А.Зевин, M.F.Dimentberg, J.M.T.Thompson, H.B.Stewart, Albert C.J.Luo, Д.А.Индейцев, E.Kreuzer, Г.А.Леонов, L.Chua, S.J.Hogan, W.Szempliska-Stupnicka, E.Mosekilde, J.Awrejcewicz, T.Kapitaniak, M.Wiercigroch, G.Stepan, L.Pust Ф.Л.Черноусько, Л.И.Маневич, Н.А.Магницкий, Г.Г.Маленецкий, Jon J.Thomsen, Dick H. Van Campen, G.Rega, H.Troger, S.W.Shaw и многие другие. Серьёзные исследования нелинейных динамических систем проводятся также в Рижском техническом университете: E.Lavendelis, J.Vba, С.Л.Цыфанский, J.Auzi, A.Januevskis и др. Настоящая работа является очередной диссертационной работой написанной в научной группе Института механики по направлению «Нелинейная динамика, хаос, катастрофы и управление» под руководством М.В.Закржевского и является продолжением и развитием результатов докторских диссертаций В.Фролова (1997), Р.Смирновой (2002), И.Щукина (2005).

Настоящая диссертационная работа “Применение метода полных бифуркационных групп для анализа существенно нелинейных колебательных и виброударных систем” посвящена глобальному анализу типовых существенно нелинейных динамических систем с одной и несколькими степенями свободы. Метод полных бифуркационных групп разработан (1993-2007) в Институте механики Рижского технического университета в группе проф. М.Закржевского, работающей по научному направлению «Нелинейная динамика, хаосс, катастрофы и управление».

Метод полных бифуркационных групп и предложенный на его основе комплекс алгоритмов и программ позволяет находить для типовых и широко применяемых классических нелинейных динамических моделей качественно новые неизвестные ранее регулярные и хаотические режимы, новые бифуркационные группы и изучать взаимодействие различных бифуркационных групп.

Своё название метод полных бифуркационных групп получил в связи с тем, что динамические системы как правило имеют в пространстве параметров несколько несвязанных друг с другом «бифуркационных групп». Полнота бифуркационной группы определяется тем, что для неё найдены все устойчивые и неустойчивые режимы и связанные с этой группой бифуркации и протуберанцы. Типовым элементом бифуркационной группы являются области в пространстве параметров с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов, возникающих в результате каскада бифуркаций удвоения. Эти области, связанные с конкретной бифуркационной группой, порождают устойчивые хаотические колебания (хаотические аттракторы) или переходные хаотические режимы.

Одним из основных элементов метода полных бифуркационных групп является продолжение неустойчивых периодических режимов в пространстве параметров, что позволяет находить, так называемые, редкие устойчивые динамические режимы – редкие хаотические и периодические аттракторы. Эти явления не могут быть системно обнаружены на основе традиционных методов нелинейной динамики: метода Крылова Боголюбова, метода малого параметра и метода гармонического баланса.

Известно, что при всём разнообразии современных методов, как приближённых аналитических, так и численных с использованием высокоскоростных компьютеров, для исследований нелинейных систем многие важные режимы остаются незамеченными. Этот вывод справедлив даже для простейших нелинейных моделей, какими являются, например, уравнение Дуффинга, билинейные и трилинейные кусочно-линейные модели, система с односторонним или двусторонними ударными взаимодействиями и др.

Таким образом, в настоящей главе будут рассмотрены причины несовершенства традиционных методов нелинейной динамики, изложены основы нового альтернативного подхода, предложенного М.В.Закржевским – метод полных бифуркационных групп, и сформулирована постановка задачи диссертационной работы: показать, что использование метода полных бифуркационных групп позволяет проводить глобальный бифуркационный анализ существенно нелинейных типовых колебательных и виброударных систем и находить новые бифуркационные группы и неизвестные ранее регулярные периодические и хаотические режимы.

Однако, сначала приведём основные понятия и определения, относящиеся к нелинейным динамическим системам и используемые в настоящей работе.

1.2. Основные понятия и определения нелинейных динамических систем Нелинейная динамическая система – нелинейная динамическая непрерывная или дискретная модель, поведение которой однозначно (детерминировано) зависит от ее структуры, параметров и состояния (начальных условий). В качестве динамической системы может быть представлен объект любой природы: физической, химической, биологической, экономической и др.

Для динамической системы возможно ввести понятие положения, определяемое величинами – динамическими переменными. Пространство динамических переменных – фазовое пространство. Из определения следует, что положение динамической системы в любой момент времени t может быть однозначно определено ее положением в предыдущий момент времени t0 [75, 87, 89]. Детерминированная система – это динамическая система, уравнение движения, параметры и начальные условия которой известны и не являются случайными.

В динамической системе происходят колебательные процессы, среди которых принято различать собственные (свободные) колебания, автоколебания (самовозбуждающиеся колебания), параметрические колебания (колебания с параметрическим возбуждением), вынужденные колебания и связанные колебания.

Собственные (свободные) колебания – это движения такой колебательной системы, которая после кратковременного возмущения не подвергается какому-либо внешнему воздействию. Собственные колебания всегда описываются однородными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные диссипативные системы, в которых без внешнего воздействия могут возникать и поддерживаться колебания, называются автоколебательными.

Колебания в таких системах называются автоколебаниями. При автоколебаниях имеет место приток энергии в систему. При этом имеется источник энергии, не обладающий колебательными свойствами. Автоколебания описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, причем нелинейность является существенной.

Автоколебания в данной работе не рассматриваются.

В системах с параметрическим возбуждением внешнее воздействие сказывается в периодических изменениях одного или нескольких параметров. Математический отличительный признак параметрических колебаний состоит в том, что в их дифференциальных уравнениях коэффициенты явно зависят от времени.

Параметрические колебания в данной работе также не рассматриваются.

При вынужденных колебаниях система подвергается внешним воздействиям, поэтому дифференциальные уравнения, описывающие движение системы, становятся неоднородными. В работе проводятся в основном исследования вынужденных колебаний.

Связанные колебания возникают в тех случаях, когда либо несколько колебательных систем оказывают влияние друг на друга, либо система имеет несколько степеней свободы. Кроме названных типов колебаний возможны колебания смешанных типов.

В диссертации для исследования динамических систем используется подход, при котором математическая модель динамической системы основывается на понятии состояния, под которым понимается описание системы в некоторый момент времени, и на понятии оператора, определяющего изменение этого состояния во времени.

Состояние динамической системы определяется обобщенными координатами xi и обобщенными скоростями x i (i = 1,2,...n). Поведение колебательной системы с n & степенями свободы можно представить изображающей точкой в 2n - мерном фазовом пространстве. При этом процесс движения динамической системы отображается движением изображающей точки на фазовой плоскости [87, 89]. Траекторию изображающей точки называют фазовой траекторией. Метод анализа колебаний динамических систем с помощью их геометрического представления в фазовом пространстве был введен в теорию колебаний Л.И.Мандельштамом и А.А.Андроновым. С открытием хаотических колебаний роль этого метода еще больше возросла.

При проведении анализа поведения существенно нелинейных динамических систем целесообразно использовать метод точечных отображений. Метод точечных отображений берет свое начало с возникновением качественной теории дифференциальных уравнений. При решении задач небесной механики А. Пуанкаре использовал так называемый секущий отрезок (поверхность) и функцию последования для разбиения фазовой плоскости на фазовые траектории [143]. Метод точечного отображения в дальнейшем был обобщен и развит в трудах выдающихся ученых Дж.Д.Биркгофа, А.А.Андронова и Ю.И.Неймарка. Этот метод превратился в основной инструмент теоретического изучения динамических систем [87]. В данной работе по изучению нелинейных колебательных систем метод точечных отображений является основным. Плоскость, на которой отображаются результаты метода точечного отображения получил название сечение Пуанкаре.

Сечение Пуанкаре – составление разносного уравнения для динамической модели системы с непрерывно меняющимся временем. В колебательных системах с периодической вынуждающей силой отображение Пуанкаре можно получить, стробо скопически измеряя динамические переменные в моменты ti, соответствующие опреде ленной фазе вынуждающего движения. При этом изменение состояния системы за интервал времени t = ti+1 - ti описывается операторным уравнением xi+1 = Ut (xi), (1.1) где Ut - оператор точечного отображения.

Для нелинейного осциллятора с периодической вынуждающей силой, задаваемого обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, отображение Пуанкаре может быть получено стробоскопированием смещения x и скорости x через период вынуждающей силы T (Т-отображение).

& Кроме Т-отображения возможны другие варианты метода точечных отображений, когда в качестве секущих плоскостей используются плоскости x = const или x = v = const. В первом случае соответствующее отображение называют & позиционным (Х-отображением), а второе – отображением по скорости (V отображением). Наиболее распространенным в настоящее время является стробоскопический вариант метода точечных отображений. Для виброударных и кусочно-линейных систем, кроме того применяется позиционное Х-отображение.

Вариант отображения по скорости (V-отображение) представляется также полезным, особенно при изучении характера периодических и переходных процессов.

Поясним стробоскопический вариант метода точечных отображений на примере интегральной кривой при начальном значении t = t0 (фаза вынуждающей силы). При положительном отсчете времени (Т+-отображение) отображением через период + вынуждающей силы получена точка M1 на рис. 1.1. (сечение t = -T + t0 ), при отрицательном отсчете времени (Т--отображение) получена точка M1, (сечение t = T + t0). Для обозначения координат на плоскости Пуанкаре используется индекс р, например, смещение обозначается хр, а скорость - x p либо vp. Местоположение может & отмечаться цифрами или точками. Удобнее отмечать цифрами, т.к. более наглядным становиться переходной процесс и время установления стационарного процесса в исследуемой системе.

T-отображение X -отображение V-отображение Рис. 1.1. Точечное отображение на плоскости Пуанкаре переходного режима и механизм получения стробоскопического отображения (Т-отображение), позиционного (X-отображение) и отображения по скорости (V-отображение) [87] Особая точка на плоскости Пуанкаре, удовлетворяющая условиям x = x* называется неподвижной точкой, где x*- вектор обобщенных координат через период колебаний системы. Каждой неподвижной точке соответствует состояние динамического равновесия, которое может быть устойчивым или неустойчивым.

Характер движения вблизи каждой из точек динамического равновесия, которое может быть устойчивым или неустойчивым, выясняется с помощью собственных решений. Положения равновесия осциллятора всегда представляется особой точкой фазовой плоскости. По виду фазовых траекторий различают следующие типы точек:

центр, фокус, узел и седло.

Колебательные процессы в диссипативных системах разделяют на переходные, нестационарные и установившиеся, стационарные. Переходные процессы характеризуют движение системы от начального состояния в момент времени t0 в течение времени t при переходе к некоторому установившемуся режиму. После завершения переходного процесса в системе устанавливается стационарный режим или аттрактор (от глагола “to attract” – привлекать, притягивать). В фазовом пространстве системы к аттрактору притягиваются фазовые траектории из множества начальных состояний после затухания переходных процессов. Аттрактор – стационарное состояние, установившееся после затухания переходных процессов в диссипативной динамической системе. Аттрактор может быть точечный, периодический, почти периодический или хаотический (странный аттрактор).

Часть фазовой плоскости, в которой располагается множество переходных процессов данного установившегося движения (режима), т. е. все фазовые траектории, стремящиеся к данному устойчивому режиму, является областью притяжения этого режима.

(d) (a) (c) (b) Рис. 1.2. Особые точки типа: центр (а), фокус (b), узел (c), седло (d) Центр, узел, фокус и седло являются особыми точками (рис. 1.2.) на фазовой плоскости. Узлы и фокусы могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Седловая особая точка всегда неустойчива. Характерной ее особенностью является существование двух интегральных кривых, проходящих через особую точку. Это так называемые сепаратрисы седла. По одной из них фазовые траектории приводят изображающую точку к состоянию равновесия, а по другой кривой уводят точку от равновесного состояния (рис. 1.1.d).

Тип особой точки может измениться при изменении какой-либо параметра динамической системы [87]. Например, соответствующий устойчивому состоянию равновесия консервативной системы центр при введении в систему сколь угодно малого сопротивления превращается в устойчивый фокус, который при дальнейшем увеличении сопротивления может перерасти в устойчивый узел [104, 105]. Если в систему вводить автоколебательную составляющую, например, типа Ван дер Поля, то центр переходит при изменении параметра системы в неустойчивый фокус, который затем может превратиться в неустойчивый узел. Эти неустойчивые состояния являются репеллерами [46, 76].

Неустойчивые неподвижные точки играют важную роль в разбиении фазового пространства на траектории. Поэтому задача отыскания неустойчивых неподвижных точек имеет большое значение в процессе исследования колебательных систем. В случае сложного гомоклинического и гетероклинического разбиения плоскости Пуанкаре, когда ветви сепаратрис начинают пересекаться, в колебательной системе наблюдается сложное поведение и нельзя построить области притяжения.

Гомоклиническая траектория – это траектория, возникающая при пересечении устойчивого и неустойчивого многообразий одной седловой точки. Гетероклиническая траектория возникает при пересечении устойчивого и неустойчивого многообразий различных седловых точек отображения.

Изолированные замкнутые фазовые траектории называют предельными циклами. Предельный цикл называют устойчивым, если любая фазовая траектория, начинающаяся в достаточно малой окрестности этого цикла, неограниченно к нему приближается. В противном случае предельный цикл называется неустойчивым. Ту часть фазовой плоскости, в которой располагаются все фазовые траектории, стремя щиеся к данному предельному циклу, называют областью притяжения этого цикла.

При анализе того или иного динамического режима колебательной системы важное значение имеет устойчивость этого режима. В случае, если режим неустойчив, то он может быть использован для построения сепаратрисных кривых, разбивающих фазовое пространство на области притяжения режимов. При исследовании динамических систем при изменении параметров в области скопления неустойчивых режимов образуются области с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов (UPI), что свидетельствует о гомоклинической структуре и возможности хаотического поведения в этой области [59, 66].

Следующим основным понятием, относящимся к нелинейным динамическим системам, является бифуркационный анализ. Этому понятию посвящён следующий раздел.

1.3. Бифуркационный анализ нелинейных динамических систем Изучение нелинейных колебательных систем при изменении заданного физического параметра позволяет получить очень важную информацию для оценки целесообразности использования конкретного режима, для обеспечения условий установления и существования стационарного режима определенного вида, для определения диапазона существования конкретного режима, для разработки рекомендаций по его использованию [155].

При исследовании динамических систем изменение параметра системы может вызвать качественное изменение поведения системы. Для описания этого явления используется понятие бифуркация. В теории нелинейных колебаний бифуркация – это изменение структуры фазового пространства, которое происходит в результате изменения какого-нибудь параметра рассматриваемой системы при его переходе через некоторое критическое значение [87]. Значение параметра, при котором происходит бифуркация, называется бифуркационным значением или точкой бифуркации.

Бифуркации бывают локальными и глобальными [46]. Локальная бифуркация – бифуркация, которая может быть описана в локальной области фазового пространства.

Глобальная бифуркация – бифуркация, которая не может быть описана в локальной области фазового пространства. Часто такие бифуркации происходят при гомоклиническом касании и/или образовании гетероклинической структуры.

Если изменение структуры фазового пространства и установившихся движений происходит достаточно быстро, т.е. скачкообразно, то говорят о жестком возникновении нового режима. В противном случае возникновение нового режима называют мягким. По другой терминологии [46] бифуркации делятся на опасные (subcritical) и безопасные (supercritical) [76].

С опасными бифуркациями связано понятие катастрофы. Катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Теория катастроф вобрала в себя идеи теории особенностей Уитни. Существенный вклад в развитие теории катастроф внес В.И.Арнольд [78].

Если общие свойства системы мало изменяются при малом изменении параметров системы и эти изменения носят количественный характер, то такая система является структурно устойчивой (или по терминологии, введенной А.А.Андроновым и Л.С.Понтрягиным - грубой) [74, 76, 78]. Если малое изменение какого-либо параметра приводит к качественному изменению характера состояния системы, то ее называют структурно неустойчивой или негрубой.

Наиболее распространенные виды бифуркаций это бифуркации типа складка (седло-узел), бифуркация разрушения симметрии (для симметричных систем), бифуркация удвоения периода.

Бифуркация типа складка (fold) является опасной бифуркацией. В точке бифуркации (C) при бифуркационном значении параметра (pc) устойчивый режим становится неустойчивым и “разворачивается” (Рис. 1.3.a). Бифуркации типа складка могут претерпевать как симметричные режимы так и несимметричные, с основной частотой или субгармонические (P2, PЗ,..., Pn).

(b) (a) xp xp C P stable P unstable C P stable P unstable C P stable p pc1 pc p pc Рис. 1.3. Бифуркация типа складка (a) и основная нелинейная кривая (b). Сплошной линией отображена устойчивая ветвь режима, а пунктирной линией отображена неустойчивая ветвь режима Две бифуркации типа складка образуют широко распространенную бифуркационную группу основного режима, называемую основной нелинейной кривой (рис. 1.3.b).

В точках бифуркаций при бифуркационных значениях параметров (pc) устойчивые режимы становятся неустойчивыми. Если система находится в устойчивом состоянии, соответствующем точке на нижней ветви бифуркационной диаграммы (рис.

1.3.b), и значение параметра медленно уменьшается, то при некотором значении параметра pc произойдет скачкообразный переход в другое равновесное состояние на верхней ветви. Это явление, получившее название гистерезиса, используется в технике.

Бифуркация разрушения симметрии (symmetry breaking или pitchfork bifurcation) является неопасной и имеет место для симметричных систем. В результате бифуркации рождаются два новых несимметричных режима, симметричный режим становится неустойчивым (рис. 1.4.).

xp xp (a) xp Symmetry (c) (b) breaking P stable Island P P sym unstable P unstable P stable P unstable Island Р P sym stable P asym stable P stable P stable twins p p p Рис. 1.4. Бифуркация разрушения симметрии в случае симметричной системы (a) и рождение острова P в случае несимметричной системы (b), (c). Сплошной линией отображена устойчивая ветвь режима, а пунктирной линией – неустойчивая ветвь режима С-бифуркации – бифуркации периодических решений, порождаемые изменением числа сшиваемых участков фазовой траектории [147]. Такие специфические нарушения порядка прохождения изображающей точкой областей фазового пространства при изменении параметров связаны с изменением числа участков фазовых траекторий, из которых сшивается движение, и не имеют аналогов в гладких динамических системах.

Субкритическая бифуркация удвоения периода (subсritical period doubling) представляет собой удвоение неустойчивого режима (рис. 1.5.a), при этом сам режим становится устойчивым. Данная бифуркация является опасной.

x Supercritical period Subcritical period xp UPI (a) xp doubling 8P stable (c) (b) p doubling 4P stable 2P stable 2 C P unstable H P unstable P stable A P stable P unstable P stable O 2P stable S 2P unstable 2P unstable p p p 1 2 3… Рис.1.5. Бифуркации удвоения периода: субкритическая (a) и суперкритическая (b);

каскад бифуркаций удвоения периода – сценарий перехода в хаос (c). Сплошной линией отображена устойчивая ветвь режима, а пунктирной линией отображена неустойчивая ветвь режима Суперкритическая бифуркация удвоения периода (supercritical period doubling) (рис. 1.5.b) является неопасной. Однако проекция траектории движения, изображающей точки на фазовую плоскость, расщепляется, т.е. в результате бифуркации рождается новый устойчивый режим с удвоенным периодом. Одновременно решение становится неустойчивым.


Рождение хаотических колебаний чаще всего происходит по сценарию удвоения периода. Когда наблюдается явление удвоения периода, в начальном состоянии система совершает основное периодическое движение. При изменении одного из параметров системы (обозначим его ) происходит первая бифуркация или изменение движения на периодическое с периодом, который в два раза превышает период исходных колебаний. С дальнейшим изменением параметра система подвержена последовательным бифуркациям, при каждой из которых период удваивается.

Замечательное свойство этого процесса в том, что критические значения, при которых происходят последовательные удвоения периода (каскад Фейгенбаума), подчиняются при n соотношению:

n n 4.6692016091K li m (1.2) n n +1 n Число называется числом Фейгенбаума – по имени физика, который обнаружил эту закономерность в процессе удвоения периода. Для процесса удвоения периода при переходе к хаосу подсчитывается еще одна универсальная константа:

n n 2.502907875K li m (1.3) n n +1 n Когда параметр системы становится больше критического значения, в определенных диапазонах значений параметра движение становится хаотическим.

Однако такие диапазоны могут иметь конечную ширину;

другими словами, при изменении параметра могут встречаться окна периодического движения. В этом режиме периодические движения могут вновь проходить через бифуркации удвоения периода, вновь приводя к хаотическому движению.

Бифуркация Андронова-Хопфа (рис. 1.6.) приводит к рождению почти периодических колебаний [76] из периодических при изменении некоторого параметра.

Устойчивый Почти периодические Неустойчивый фокус фокус колебания Рис. 1.6. Бифуркация Андронова-Хопфа (рождение почти периодических колебаний) Почти периодические (квазипериодические колебания) это колебания с несоизмеримыми частотами. В теории колебаний и акустике, это частоты, представимые в виде суммы или разности двух основных частот: частоты вида n1 + m2, где n и m – целые положительные или отрицательные числа, 1 и 2 – основные частоты. Исследования почти периодических колебаний в существенно нелинейных системах проводились в работах А.Тондла, С.Хаяси, В.Шемплинской Ступницкой, Л.М.Литвина и других ученых. В настоящей работе для выбранных моделей устойчивые почти периодические колебания, как правило, не рассматриваются.

Перейдём к рассмотрению методов нелинейной динамики.

1.4. Глобальный анализ вынужденных колебаний существенно нелинейных динамических систем Задачей глобального анализа [87, 94, 100] колебаний динамических систем является совместное изучение структур разбиения фазового пространства и пространства параметров при изменении состояния Q, параметров P и структуры S динамических систем. Построение качественной картины поведения динамических систем включает в себя изучение всевозможных установившихся движений, т.е.

аттракторов и их бифуркаций, выяснение областей притяжения аттракторов, глобальной картины их взаиморасположения и перехода друг в друга при изменении параметров.

Начальным этапом проведения качественного анализа является локальный анализ динамических систем. Локальный анализ динамических систем заключается в проведении полного исследования вопроса о типах движений и структуре разбиения фазовой плоскости на фазовые траектории в ограниченной области фазового пространства и при фиксированные значениях параметров динамической системы режимов одной бифуркационной группы.

Различают глобальный анализ динамической системы при постоянных параметрах и при переменных параметрах (бифуркационный анализ).

Глобальный анализ динамической системы при постоянных параметрах – изучение всевозможных установившихся (стационарных) и переходных (нестационарных) движений, построение областей притяжения режимов. Выполнение глобального анализа представляет собой необходимый этап при изучении поведения существенно нелинейных колебательных систем, так как позволяет оценить число стационарных режимов, их порядок и вид областей притяжения.

Глобальный анализ динамической системы при переменных параметрах – изучение всевозможных установившихся (стационарных) и переходных (нестационарных) движений, их бифуркаций, выяснение изменения областей притяжения режимов при изменении параметров.

Наибольшие трудности в таком исследовании представляет глобальный анализ динамических систем. Локальные исследования несравнимо более просты. Основное направление качественного исследования динамических систем заключается в том, чтобы, опираясь на локальные исследования, расширять исследуемые области фазового пространства и пространства параметров. Фундаментальное значение при переходе от локального изучения к глобальному имеет идея игнорирования особых случаев и ограничение рассмотрения только общими случаями.

В настоящее время основными аналитическими методами нелинейной динамики являются: метод медленно меняющихся амплитуд, методы эквивалентной линеаризации, асимптотические методы, методы осреднения, метод малого параметра, метод переменных масштабов, метод гармонического баланса, метод прямого разделения движения [6, 17, 45] и некоторые другие. При использовании этих приближенных аналитических методов полагается, что вид порождающего решения известен и, как правило, он является гармоническим. После нахождения параметров искомого решения, это решение может быть уточнено, вводя еще одну-две гармоники.

Дополнительные уточнения обычно достаточно трудоемки и не приводит к новым качественным результатам. Таким образом эти методы позволяют найти лишь такие решения, которые имеют достаточно простой вид и которые близки к a priori принятому порождающему решению. В случае, если порождающее решение выбрано неудачно, все равно «математическая мясорубка» метода находит какие-то результаты, которые являются качественно неверными. К сожалению, такие неправильные результаты надежно прописаны в учебниках и справочниках и нередко появляются в новых изданиях. Это в полной мере относится и к проблеме оценки устойчивости периодических решений. Поэтому полученные приближенными аналитическими методами решения в виде достаточно простых зависимостей и оценка их устойчивости часто создают только иллюзию красивого правильного решения, а в действительности являются неверными.

Потому в работе используются численные методы с привлечением, где это возможно, точных аналитических решений. Основные численные методы нелинейной динаики будут представлены далее.

В литературе при изучении конкретной существенно нелинейной колебательной системы, как правило, приводится разбиение плоскости Пуанкаре на области при тяжения. Для построения областей притяжения и выполнения глобального анализа динамических систем очень часто используется метод Cell-to-Cell Mapping подробно излагаемый в литературе С.S. Hsu [13]. Данный метод предполагает наложение сетки на стробоскопическую плоскость. Из каждой ячейки сетки выполняется точечное отображение, чтобы определить стационарный режим данной ячейки. Каждому стационарному режиму соответствует особый цвет, в который окрашивается ячейка.

Данный метод дает хорошие результаты и позволяет построить области притяжения динамических режимов при достаточно мелком разбиении и большом количестве начальных условий. Поэтому использование этого метода для проведения глобального анализа при постоянных параметрах является трудоемкой задачей и не всегда рационально использовать.

Другим методом, позволяющим строить области притяжения стационарных ре жимов на плоскости Пуанкаре, является метод построения сепаратрисных поверхно стей, которые в случае изучения системы с одной степенью свободы вырождаются в кривые. В основе данного метода используется методика А.Тондла для построения сепаратрисных поверхностей [146]. Для оценки устойчивости областей притяжения стационарных режимов в большом данный метод описан в работах [93, 154]. Однако для того, чтобы строить сепаратрисные кривые необходимо знать координаты неустойчивой неподвижной точки.

Для кусочно-линейных колебательных систем с произвольными характеристи ками из литературы [102, 103] известен аналитический метод оценки устойчивости стационарного режима в малом. Данный метод предполагает использование типовых матриц перехода и матриц скачков, что существенно снижает трудоемкость исследования устойчивости периодических режимов, а также позволяет получать точные границы области устойчивости в пространстве параметров.

Только после того как найдена неустойчивая точка можно построить устойчивые и неустойчивые многообразия. Кроме того, в случае сложного гомоклинического и гетероклинического разбиения плоскости Пуанкаре, когда ветви сепаратрис начинают пересекаться, использование данного подхода позволяет лишь судить о сложности поведения колебательной системы, но не строить области притяжения.

Для решения задачи отыскания неустойчивой неподвижной точки используется метода Ньютона-Канторовича в работах [121, 122]. Для локального анализа стационарных режимов рекомендуется [96, 104] использовать также энергетические фазовые портреты и траектории.

Полное описание комплекса методов и подходов, входящих в метод полных бифуркационных групп будет представлено в главе 2.

Перейдём к описанию основных нелинейных эффектов в динамических системах с внешним возбуждением.

1.5. Основные нелинейные явления в динамических системах при внешнем периодическом воздействии В настоящее время большой интерес проявляется к изучению новых нелинейных эффектов, которые могут быть полезно использованы в вибротехнике, даже в простых системах с несложной структурой. Оказывается, такие нелинейные системы могут иметь очень сложную регулярную и хаотическую динамику, которая недостаточно изучена.


Рассмотрим основные нелинейные элементы динамических систем, которые являются источниками нелинейных явлений. Общеизвестными примерами нелинейных элементов в механических системах являются, например: конструкционные элементы (нелинейные упругие элементы, зазоры, мертвый ход или ограничители);

нелинейное сопротивление движению (силы, создаваемые жидкостями;

ярким примером служит неньютоновские жидкости);

композиционные материалы, в том числе современные пластмассы и умные материалы (smart material);

силы, создаваемые нелинейными обратными связями в системах управления. В реальных динамических системах другой природы, например электрических, биологических, экономических и др., существуют аналогичные нелинейные элементы.

В данной работе рассматриваются как известные нелинейные эффекты так и относительно недавно обнаруженные и еще недостаточно исследованные нелинейные явления: потеря устойчивости (рождение неустойчивого основного режима);

потеря симметрии (рождение несимметричных режимов);

хаотические колебания;

субгармонические колебания;

многорежимность (сложная структура разбиения фазового пространства);

редкие аттракторы.

При анализе вынужденных колебаний в динамических системах особый интерес представляет исследование таких малоизученных явлений как хаотические колебания и редкие аттракторы [53-56, 64, 66, 72]. Редкий аттрактор – это периодический режим, который устойчив в малом диапазоне варьируемого параметра. При исследовании систем и в реальной жизни проявляется как чудо или парадокс, неожиданное устойчивое состояние, появление которого удивительно. Найти такой режим без неустойчивой ветви периодического режима сложно. При исследовании динамических систем в группе проф. М.В.Закржевского давно используется метод продолжения по параметру неустойчивых периодических режимов. Результаты исследований подтверждают гипотезу, по которой любая неустойчивая ветвь периодического режима приводит к его устойчивости при параметрическом анализе. В случае редкого аттрактора при движении по продолжительной ветви неустойчивого режима находится такое значение бифуркационного параметра, при котором режим становится устойчивым, но в маленьком диапазоне варьируемого параметра. В работе [97] даётся классификация различных типов редких аттракторов.

Перейдём к обсуждению такого нелинейного эффекта как детерминированный хаос. Некоторые устойчивые движения детерминированных систем могут казаться случайными. Такие движения в совершенно детерминированных системах получили название хаотических колебаний.

Детерминированная система не содержит скрытых внешних или внутренних источников случайного шума. Еще с начала 20-го века ученые знали, что определенные динамические системы обладают нерегулярными решениями. А.Пуанкаре и Дж.Д.Биркгофф осознавали возможность хаотических решений. Ван дер Поль и Ван дер Марк сообщали о “нерегулярном шуме” в статье об экспериментах с электронным осциллятором, опубликованной в журнале Nature. Начиная с 1970-х годов некоторые исследователи многих стран мира начали изучать хаотические явления. Математики, физики, биологи, химики, физиологи, экологи, экономисты стали искать связи между различными типами беспорядочного движения. В 1980-х годах понятие хаос дало название стремительно развивающейся дисциплине. Хаос стал предметом обсуждения множества конференций, научных журналов во всем мире. Теория хаотических колебаний бурно развивается в настоящее время [91], что способствует появлению новых математических идей и подходов.

В последние двадцать лет было показано, что невозможно дать долгосрочный прогноз поведения огромного количества даже сравнительно простых механических, физических, химических и экологических систем. Исследование хаоса в детермини рованных системах показали, что предсказывать поведение детерминированных систем с хаотическим поведением можно лишь в течение ограниченного времени, что обусловлено высокой чувствительностью к начальным условиям. Такие системы были обнаружены, например, в гидродинамике, физике лазеров, астрофизике и др.

Непериодический процесс, который наблюдается в детерминированных системах и для которого роль начальных условий очень велика, называют странным аттрактором или хаотическим аттрактором либо хаосом.

При хаотическом движении траектории, задаваемые незначительно отличающимися начальными состояниями, с течением времени экспоненциально расходятся. Известно, что важнейшим свойством детерминированных систем с хаотическим поведением является высокая чувствительность траекторий к начальным условиям.

Сценарий рождения хаотических аттракторов через удвоение периода является основным достаточно хорошо изученным сценарием. По поводу других сценариев перехода от порядка к хаосу существуют различные точки зрения, одна из которых такова, что к настоящему времени можно говорить только о существовании одного сценария Фейгенбаума [94]. Для нелинейных систем типично сосуществование в фазовом пространстве нескольких различных стационарных режимов (аттракторов) при одних и тех же параметрах системы и неизменности ее структуры. Такое явление называется многорежимностью или мультистабильностью. Каждый стационарный режим имеет свою область притяжения. В некоторых случаях границы между режимами могут быть нечеткими. Реализация конкретного режима в условиях многорежимности зависит от начальных условий. Вблизи границ необходимо увеличивать точность задания начальных условий.

Однако, методы численного бифуркационного анализа на основе естественных переходных процессов (brute-force diagramm) не позволяют систематически находить все важные стационарные режимы (рис. 1.7, а). Бифуркационный (неполный) анализ с построением бифуркационных (неполных) диаграмм только с устойчивыми режимами проводится многими исследователями [31, 43, 51, 52]. Метод переходного процесса (brute-force) для отыскания устойчивых режимов и построения диаграмм не учитывает сложную топологию ветвей решений и не позволяет системно находить устойчивые режимы, которые рождаются при продолжительном движении по неустойчивой ветви (рис. 1.7, b).

(a) (b) 0. xp 0. -0. -0. -0. -0. -1. 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0 9.2 9.4 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8E- w Рис. 1.7. Пример вынужденных колебаний в билинейной системе. Бифуркационные диаграммы (состояние – частота гармонического возбуждения). (а) метод естественного переходного процесса (brute force bifurcation diagram), (b) метод продолжения по параметру Поэтому для анализа существенно нелинейных динамических систем предлагается использовать новый метод полных бифуркационных групп, который будет описан в Главе 2.

1.6. Объекты исследования Для иллюстрации эффективности метода полных бифуркационных групп в работе рассматриваются следующие типовые динамические модели:

- билинейная система с одной степенью свободы с изломом упругой характеристики в положении равновесия, линейной диссипацией и гармоническим возбуждением;

- виброударная система с «жёстким» ударом: одна степень свободы, линейная упругая сила, линейное трение и ударная диссипация, описываемая коэффициентом восстановления, и гармоническое возбуждение;

- виброударная система с «мягким» ударом: одна степень свободы, билинейная упругая сила с изломом упругой характеристики в положении равновесия, линейное пропорциональное трение, каждой линейной подобласти упругой характеристики соответствует свой коэффициент линейного трения, и гармоническое возбуждение;

- цепная система двух тел с двумя степенями свободы, кубической упругой связью между массами и линейной упругой связью между основанием и первой массой, линейным трением и гармоническим возбуждением, приложенным ко второму телу;

- система с двумя степенями свободы, описывающая колебания тела на билинейной упругой подвеске с линейной диссипацией при инерционном возбуждении с учётом мощности источника энергии.

1.7. Постановка задачи диссертационной работы Задачей диссертации является показать, что использование метода полных бифуркационных групп позволяет проводить глобальный бифуркационный анализ существенно нелинейных колебательных и виброударных систем и находить новые бифуркационные группы и неизвестные ранее регулярные и хаотические режимы на примере типовых кусочно-линейных и гладких нелинейных систем с одной и несколькими степенями свободы и дать рекомендации по использованию сложных регулярных и хаотических режимов в вибротехнике и вибротехнологии.

ГЛАВА 2. МЕТОД ПОЛНЫХ БИФУРКАЦИОННЫХ ГРУПП И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ И ВИБРОУДАРНЫХ СИСТЕМ..................................... 2.1. Введение....................................................................................................................... 2.2. Структура, параметры и состояние исследуемых динамических моделей.......... 2.3. Поиск периодических устойчивых и неустойчивых решений при заданных параметрах системы........................................................................................................... 2.4. О существовании и поиске бифуркационных подгрупп с бесконечным числом периодических режимов (UPI) в существенно нелинейных колебательных и виброударных системах..................................................................................................... 2.5. Построение областей притяжения при вынужденных колебаниях в существенно нелинейных колебательных и виброударных системах................................................. 2.6. Построение полных бифуркационных диаграмм..................................................... 2.7. Построение бифуркационных карт на плоскости параметров................................ 2.8. Выводы......................................................................................................................... ГЛАВА 2. МЕТОД ПОЛНЫХ БИФУРКАЦИОННЫХ ГРУПП И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ И ВИБРОУДАРНЫХ СИСТЕМ Как уже отмечалось, цель диссертационной работы – показать, что использование метода полных бифуркационных групп позволяет проводить глобальный бифуркационный анализ существенно нелинейных колебательных и виброударных систем и находить новые бифуркационные группы и неизвестные ранее регулярные и хаотические режимы на примере простейших кусочно-линейных и гладких систем с одной и двумя степенями свободы. Опишем сам метод и методику его применения.

2.1. Введение Как было отмечено в первой главе, метод полных бифуркационных групп состоит в прямом численном моделировании исходной существующей нелинейной модели, т.е. без её упрощения, и основывается на следующих положениях [94]:

в пространстве (состояние – параметр) система имеет, как правило, несколько несвязанных между собой различных бифуркационных групп, 1Т, 2Т.... nТ при изменении простого или комплексного параметра системы;

структура каждой бифуркационной группы может быть сложной со своими протуберанцами, редкими аттракторами и неустойчивыми периодическими инфинитиумами UPI (unstable periodic infinitium);

каждая бифуркационная группа строится как полная группа, то есть со всеми принадлежащими и связанными с ней устойчивыми и неустойчивыми периодическими решениями. Продолжение по параметру неустойчивых решений позволяет системно находить многие неизвестные ранее важные, в том числе и опасные устойчивые нелинейные режимы, рождаемые из неустойчивых;

метод применим для различных моделей динамических систем: описываемых системой дифференциальных уравнений первого порядка, второго порядка с одной или n–степенями свободы, дискретными уравнениями или другими более общими (операторными) уравнениями.

Под методом полных бифуркационных групп, как уже отмечалось ранее, понимается комплекс подходов к анализу динамических систем, который включает в себя следующие процедуры: при фиксированных параметрах системы – поиск всех периодических устойчивых и неустойчивых режимов и областей с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов (UPI) на плоскости состояний, построение областей притяжения режимов на плоскости состояний;

при варьировании параметров системы – построение бифуркационных диаграмм, построение бифуркационных карт. Особое место в методе занимает продолжение решения по параметру (в однопараметрической задаче) вдоль ветви решения определенного режима (а не вдоль параметра), что и позволяет находить новые неизвестные ранее устойчивые режимы в широко применяемых динамических моделях существенно нелинейных колебательных систем.

Методика использования метода полных бифуркационных групп и связанного с ним комплекса подходов к настоящему времени отработаны недостаточно в связи с тем, что идеология этого подхода разработана в последние годы. Поэтому в настоящей главе разрабатываются основные рекомендации по методике использования метода полных бифуркационных групп для существенно нелинейных колебательных и виброударных систем.

Сначала в разделе 2.2. будет сделано несколько замечаний по структуре исследуемых в работе динамических моделей. Затем в разделах 2.3.-2.4. будут рассмотрены вопросы поиска всех возможных периодических устойчивых и неустойчивых режимов и областей с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов (UPI). Это необходимо как для глобального анализа поведения системы при заданных параметрах (одна точка в пространстве параметров) – построение областей притяжения (раздел 2.5.), так и для анализа системы при варьировании параметров. В последнем случае найденные режимы будут использоваться для продолжения решений по параметру (по ветвям бифуркационных диаграмм), что описано в разделах 2.6.-2.7. Таким образом в настоящей главе показано, что использование метода полных бифуркационных групп позволяет проводить глобальный бифуркационный анализ существенно нелинейных колебательных и виброударных систем и находить новые бифуркационные группы и неизвестные ранее регулярные и хаотические режимы.

2.2. Структура, параметры и состояние исследуемых динамических моделей Как было предложено ранее, будем различать рассматриваемые динамические модели по структуре (S), по параметрам (P) и по состоянию (Q). Как правило в диссертации при рассмотрении конкретных задач: структура модели остаётся постоянной S = const.;

в зависимости от задачи исследования параметры делятся на постоянные Pi = const. (i=1..n) и варьируемые Pj = var. (j=1..m);

состояние системы & описывается фазовыми координатами Qi, Qi, t (i=1..k, где k – число степеней свободы исследуемой модели). При решении практических задач на варьируемые параметры необходимо наложить ограничения.

Так как рассматриваемые системы имеют периодическое возбуждение, то при их анализе в диссертационной работе используется метод точечного отображения Poincar по фазе вынуждающего воздействия. Периодичность внешнего воздействия позволяет при использовании метода Poincar сократить на единицу число варьируемых начальных условий, зафиксировав одно начальное условие. В настоящей работе фиксированной является фаза вынуждающей силы и полагается, что если вынуждающая сила задана в виде H(t+0) = Н1, то 0 = 0. Возможны также другие варианты метода точечных отображений, когда фиксированной является одна из & фазовых координат Qi или Qi (см. раздел 1.2.).

2.3. Поиск периодических устойчивых и неустойчивых решений при заданных параметрах системы При поиске периодических решений принимается, что структура и вектор параметров неизменны, а вектор состояния, за исключением одной координаты, варьируется. Цель – найти все режимы, как устойчивые так и неустойчивые, и выделить группы областей с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов (UPI).

В настоящее время подавляющее число учёных отыскивают только устойчивые режимы при помощи естественного переходного процесса (см. раздел 1.5.). Такой подход в англоязычной литературе называется «brute force». Потерянная при таком подходе важная информация о неустойчивых режимах не позволяет или сильно затрудняет исследования системы в заданном пространстве параметров. Кроме естественного переходного процесса для отыскания периодических режимов используются метод простой итерации, который в некоторых случаях позволяет отыскивать также неустойчивые решения, и метод Ньютона-Канторовича [122], который с одинаковым успехом позволяет находить как устойчивые так и неустойчивые режимы.

2.4. О существовании и поиске бифуркационных подгрупп с бесконечным числом периодических режимов (UPI) в существенно нелинейных колебательных и виброударных системах Типовым случаем поведения сильно нелинейной колебательной системы является существование хаотического поведения в виде переходных режимов или хаотического аттрактора. Существование хаотического поведения связано с существованием бесконечного числа неустойчивых периодических решений той или иной бифуркационной группы. Поэтому при поиске периодических режимов возможны несколько ситуаций:

существование только одного UPI, связанного с бифуркационной группой 1Т;

сосуществование UPI с периодическим устойчивым или неустойчивым режимом другой бифуркационной группы;

сосуществование нескольких UPI, относящихся к одной или к разным бифуркационным группам;

сосуществование нескольких UPI, относящихся к одной или к разным бифуркационным группам, с периодическими устойчивыми или неустойчивыми режимами той же или других бифуркационных групп.

Хотя существование неустойчивых бифуркационных групп с UPI известно со времён работ Poincar, Бирхгофа и др. выделение отдельных групп с UPI является новой задачей, поскольку существование этих подгрупп связано с существованием конкретных групп периодических режимов. Характерным признаком существования UPI является одновременное сосуществование режимов в геометрической прогрессии.

Например, для симметричной системы сосуществование неустойчивых Р1, Р1twins, Р2, Р4, Р8 и т.д. (пример субгармонической группы Р3, Р3twins, Р6, Р12 и т.д.), для несимметричной системы – Р1, Р2, Р4, Р8 и т.д.

2.5. Построение областей притяжения при вынужденных колебаниях в существенно нелинейных колебательных и виброударных системах При сосуществовании при заданных структуре и параметрах системы нескольких режимов, т.е. при многорежимности, необходимо разделить пространство состояний на области притяжения сосуществующих аттракторов.

Используются два метода решения задачи: метод ячеистого отображения и метод сепаратрис седловой точки. В случае системы со многими степенями свободы речь идёт о ядре области притяжения и для его оценки может быть использовано контурное отображение в прямом времени.

Метод ячеистого отображения. Наиболее наглядным и простым в реализации является метод, известный как cell-to-cell mapping [13, 155]. При применении этого метода исследуемая область фазовой плоскости равномерно разделяется на ячейки.

Каждая ячейка полагается атомарной, т.е. все ее точки считаются принадлежащими одной области притяжения. Такое допущение не приводит к существенным погрешностям при достаточной малой величине ячейки. Для определения принадлежности ячейки к конкретной области притяжения используется естественный переходной процесс. Для этого выполняется расчет переходного процесса, начинающегося из центра ячейки. Процесс завершается одним из стационарных режимом и таким образом определяется какой области притяжения принадлежит исходная ячейка. Например, при проверке одной из ячеек переходной процесс завершается режимом Р1, следовательно, проверяемая ячейка принадлежит области притяжения этого режима. Если повторить расчет для всех ячеек плоскости и выбирать цвет закраски ячейки в соответствии с притягивающим режимом, то получившаяся картина определит границы областей притяжения с точностью до величины ячейки.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.