авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«РИЖСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Владислав Евстигнеев Применение метода полных бифуркационных групп для анализа существенно нелинейных ...»

-- [ Страница 2 ] --

Существенным недостатком метода можно считать длительное время расчета, требуемое для получения полной картины. Усовершенствования метода ячеистого отображения были предложены в работе [155]. Сокращения длительности расчета можно добиться если учитывать промежуточную информацию, получаемую во время переходного процесса. Такой информацией является последовательность ячеек через которые проходит точка дискретного отображения во время проверки одной ячейки, след переходного процесса. Учитывая атомарность ячеек можно полагать, что все точки следа принадлежат одной области притяжения. Таким образом по окончании проверки одной ячейки можно закрасить не только эту ячейку, но и все ячейки ее следа.

Разумеется, закрашенные ячейки следа исключаются и из последующих проверок, что сокращает общее время расчета.

Другим приемом, ускоряющим проверку ячейки, является сокращение анализируемой части переходного процесса. Этого можно добиться если считать переходной процесс оконченным как только точка дискретного отображения попадет на закрашенную ячейку. Ведь в этом случае она попадает в область притяжения известного режима и по определению должна быть им притянута, т.е. отпадает потребность в продолжении исследования переходного процесса. Таким образом по мере увеличения закрашенной части фазовой плоскости будет ускоряться и процесс анализа оставшихся ячеек.

Перечисленные приемы могут привести к искажению картины областей притяжения по причине допущения об атомарности ячейки. Чтобы снизить погрешности желательно либо не использовать оба приема одновременно, либо для каждого из них ограничить область ячейки, при попадании в которую ячейка считается посещенной.

Метод использования сепаратрис седловой точки [96]. Сепаратрисы являются границами, разделяющими области притяжения различных режимов. Таким образом процесс проверки каждой точки фазовой плоскости в алгоритме ячеистого отображения в данном случае заменяется процессом построения разделяющих линий, что существенно быстрее.

Исходными данными для начала расчета являются координаты седловой точки в окрестностях который применяется алгоритм отображения с прямой линии в обратном времени. Если размер линии взят достаточно малым, а количество точек на этой линии достаточно большим, то первые несколько шагов отображения, выполненного в обратном времени, не приведут к существенному разбросу точек. Точки будут удерживаться на сепаратрисе и определять ее положение. Полученный в результате такого отображения набор точек (inset) определяет границы областей притяжения между которыми находится седловая точка. Аналогичное отображение выполненное в прямом времени (outset) показывает расположение неподвижных точек режимов, области притяжения которых разделены построенными границами.

Рассмотренные методы построения областей притяжения разработаны для исследования систем с одной степенью свободы (две фазовые координаты), хотя могут быть распространены и на системы с большим количеством фазовых координат. В этом случае речь идёт о ядре области притяжения и для его оценки может быть использовано контурное отображение с некоторой фигуры в прямом времени [93].

Если все точки контура сойдутся к одному аттрактору, то и все точки внутри контура принадлежат данному аттрактору. Совокупность этих точек и образует ядро области притяжения соответствующего режима.

2.6. Построение полных бифуркационных диаграмм Одним из основных методов параметрического анализа нелинейных динамических систем может считаться построение бифуркационных диаграмм.

Полученная при таком анализе информация наиболее полно и наглядно характеризует изменение состояния системы при варьировании одного из ее параметров или комплексного параметра, позволяет определять расположение бифуркаций в том числе опасных, выделять области с хаотическим поведением, находить редкие аттракторы, которые могут привести к неожиданному поведению системы. В работе используются два подхода при построении бифуркационных диаграмм – метод движения по параметру и метод параметрического сканирования [155].

При построении бифуркационной диаграммы хорошо зарекомендовал себя метод движения по параметру. Он позволяет строить ветви, соответствующие как устойчивым так и неустойчивым периодическим режимам, опираясь на концепцию непрерывности ветви бифуркационной диаграммы. Недостатком метода является невозможность (на данный момент) применения его для анализа непериодических режимов, но в этом случае остается возможность применения метода параметрического сканирования.

Шаг метода движения по параметру можно разделить на два основных этапа:

предсказание фазовых координат очередной точки на основе построенной части бифуркационной диаграммы и уточнение этих координат до требуемого значения точности. Для предсказания положения очередной точки могут использоваться классические алгоритмы экстраполяции – метод линейной экстраполяции, параболической экстраполяция, экстраполяции на основе формулы Лагранжа. Все эти методы предполагают, что экстраполируемая кривая не имеет разрывов и функциональна, т.е. для одного значения параметра (аргумента) может существовать только одна фазовая точка (функция). Обычно эти условия выполняются для кривой бифуркационной диаграммы и при малом шаге экстраполяции предсказанная точка лежит недалеко от реальной диаграммы и, даже при больших значениях неустойчивости, может быть легко уточнена одним из методов поиска неподвижных точек (например методом Ньютона-Канторовича) [101, 122].

Трудности возникают при прохождении бифуркации типа складка, т.к.

происходит реверсирование ветви бифуркационной диаграммы. В этом случае хорошо себя зарекомендовал подход подмены аргумента движения [155]. Если форма диаграммы не позволяет нам выполнить экстраполяцию на основе функции, можно повернуть кривую таким образом, чтобы она стала функциональной. Самым простым вариантом разворота является переход от движения по параметру к движению по фазовой координате. Необходимо выбрать ту из фазовых координат значение которой в последних точках диаграммы изменялось монотонно. Задаваясь значением шага по выбранной фазовой координате, можно на основе обычных методов экстраполяции предсказать значение параметра и значения всех остальных фазовых координат в очередной точке бифуркационной диаграммы. Учитывая уже приводившийся аргумент монотонности годографа бифуркационной диаграммы в районе складки, можно утверждать, что такое предсказание даст малые погрешности. Кроме того этот метод может использоваться и при построении функциональных участков диаграммы при условии что выбранная в качестве аргумента фазовая координата изменяется монотонно в последних точках диаграммы, используемых для экстраполяции.

Как следует из всего вышесказанного, метод движения по параметру может быть применен для построения ветвей бифуркационных диаграмм, соответствующих только периодическим режимам. Для нанесения на диаграмму точек, соответствующих хаотическим и почти периодическим режимам, может применяться метод параметрического сканирования. В исследуемом диапазоне значений параметра системы равномерно выбирается заданное количество значений. Для каждого выбранного значения параметра из заданных начальных условий рассчитывается переходной процесс длительностью N точек дискретного отображения. Последние M рассчитанных точек откладываются на диаграмму. Таким образом при достаточно большом N сохраненные точки будут соответствовать устойчивому режиму. Очевидно, что используя только метод параметрического сканирования построить полноценную бифуркационную диаграмму невозможно – отсутствует возможность построения неустойчивых ветвей, невозможно отразить многорежимность и т.д. Но результаты применения этого метода могут существенно дополнить диаграмму, полученную методом движения по параметру, за счет отображения непериодических режимов.

2.7. Построение бифуркационных карт на плоскости параметров Бифуркационные диаграммы отображают состояние системы (координаты неподвижных точек периодических режимов) от одного простого или комплексного параметра. Одной из важных задач бифуркационного анализа динамических систем является построение бифуркационных карт, разделяющих плоскость двух параметров системы на области с качественно одинаковым поведением. Например, могут выделяться области с устойчивым основным режимом или области с хаотическим поведением. При построении бифуркационных карт могут использоваться различные методы. Самые простые из них заключаются в сеточном сканировании всей плоскости параметров и выполнении полного анализа поведения динамической системы при фиксированных параметрах внутри каждой ячейки сетки. Такой подход требует длительных расчетов и не позволяет быстро и гибко выполнять бифуркационный анализ. Другой подход аналогичен алгоритму движения по параметру и заключается в движении по бифуркационным границам [1, 49, 50, 97].

2.8. Выводы В данной главе представлены алгоритмы и подходы, которые будут использованы для глобального анализа сильно нелинейных колебательных и виброударных систем. К таким алгоритмам относятся алгоритмы численного решения систем дифференциальных уравнений (задача Коши), метод припасовывания для моделирования кусочно-линейных систем, методы дискретизации непрерывных фазовых траекторий на основе метода отображения Poincare, методы контурного и ячеистого (cell-to-cell mapping) отображений, метод анализа сходимости переходного процесса, метод оценки устойчивости в малом периодических движений, алгоритмы поиска периодических стационарных режимов, методы построения областей притяжения, методы построении бифуркационных диаграмм, метод движения по бифуркационным границам при построении бифуркационных карт.

Вышеизложенные алгоритмы и подходы реализованы в двух программных комплексах NLO [68, 69, 71] и SPRING [155]. Все результаты численного моделирования в настоящей работе получены с использованием указанных программ.

Таким образом, в главе приведено описание метода полных бифуркационных групп и показано, что использование этого метода позволяет проводить глобальный бифуркационный анализ существенно нелинейных колебательных и виброударных систем и находить новые бифуркационные группы и неизвестные ранее регулярные и хаотические режимы. Изложенные алгоритмы и подходы будут использованы далее в главах 3-7 при исследовании пяти различных моделей.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ БИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПОЛНЫХ БИФУРКАЦИОННЫХ ГРУПП. НОВЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ................................................. 3.1. Введение....................................................................................................................... 3.2. Внутренние колебательные свойства билинейной системы. Зависимость частоты свободных колебаний от начальных условий.................................................................. 3.3. Примеры простых полных бифуркационных групп в системе с билинейной упругой характеристикой.................................................................................................. 3.4. Построение и анализ полных бифуркационных групп со сложными протуберанцами и редкими аттракторами....................................................................... 3.5. Выводы......................................................................................................................... ГЛАВА 3. АНАЛИЗ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ БИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПОЛНЫХ БИФУРКАЦИОННЫХ ГРУПП. НОВЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В предыдущей главе были описаны основы метода полных бифуркационных групп и комплекс подходов к анализу динамических систем, которые включает в себя указанный метод. Перейдём к применению метода для глобального анализа вынужденных колебаний в простейшей типовой нелинейной – билинейной системе.

3.1. Введение В данной главе проводится глобальный анализ вынужденных колебаний с целью поиска новых бифуркационных групп, бифуркационных групп со сложными протуберанцами, с редкими регулярными и хаотическими режимами, при помощи метода полных бифуркационных групп на примере простейшей нелинейной колебательной системы – билинейной, т.е. системы, упругая характеристика которой имеет две линейные подобласти.

Несмотря на простоту, билинейная система является существенно нелинейной.

Кроме того, данная динамическая модель имеет широкое применение при изучении поведения различных механических систем. К ним, в частности, относятся подвесной мост, оффшорные конструкции, клапан и многие другие. Напомним, что при всей простоте рассматриваемой модели, большому количеству работ по ней и важным практическим приложениям, полный глобальный анализ этой системы, как показано в главе 1, отсутствует.

В общем случае математическая модель билинейной системы без скачков сил выглядит следующим образом if x d c1x mx + bx + = H ( t + 0 ), && & (3.1) c 2 x (c 2 c1)d if x d где - обобщённая координата;

x m- масса колеблющегося тела;

b- коэффициент линейной диссипации;

c1, c2 - коэффициенты жёсткости нелинейной упругой характеристики на линейных подобластях;

d- точка излома упругой характеристики;

H(t) - периодическая вынуждающая сила с периодом T = 2 /.

В работе же будет рассматриваться простейший случай билинейной системы, при котором упругая характеристика имеет излом в положении равновесия, т.е. d = (см. рис. 3.1.а). В этом случае ур.3.1 преобретает вид if x c1x mx + b x + = H ( t + 0 ), && & (3.2) if x c 2 x Вид возбуждения также простейший, гармоническое возбуждение вида H(t)=h1cos(t+0), (3.3) где h1,, 0 – амплитуда, частота и фаза вынуждающей силы соответственно, хотя такие же исследования можно провести и для других видов возбуждения.

h1cost (a) F1(x) m bx & x 0. 2 & 1. F2( x ) F1(x) F3(t) (b) 0. 2 1. с2 b & x t F2_1 ( v) x F1_1 ( x) F3 ( t ) d 2 0 2 0 2 0 8 с 0. 1.8 1. 0. 2 1. 1.8 v x 2 0 t Рис. 3.1. Система с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2, 3.3): (a) динамическая модель;

(b) характеристики упругой и диссипативных сил и график внешней возмущающей гармонической силы В данной главе будет проведён бифуркационный анализ типовых полных бифуркационных групп в системе, описываемой ур.3.1, при варьировании начальных условий и параметров системы. Для решения задачи глобального анализа в качестве варьируемых параметров выступают: коэффициент линейной диссипации b, коэффициент жёсткости нелинейной упругой характеристики на второй линейной подобласти с2 и частота вынуждающей силы.

Для простейшей билинейной модели (d = 0) амплитуда вынуждающей силы не варьируется. Предположим, при прочих равных параметрах, амплитуды вынуждающей силы равны h11 и h12, а их отношение h11 / h12 =. Тогда для перемещений и скоростей справедливы следующие равенства x2(t) = x1(t), v2(t) = v1(t). (3.4) Характеристики устойчивости при этом остаются неизменными. В связи с этим в работе принимается h1 = 1, что позволяет легко оценить результаты при других амплитудах вынуждающей силы.

Настоящая глава построена следующим образом. В разделе 3.2. рассмотрены внутренние колебательные свойства простейшей билинейной системы (ур. 3.2) и произведена оценка диссипации. В разделе 3.3. приводятся построенные на основе МПБГ типовые простые полные бифуркационные группы при изменении частоты вынуждающей силы, коэффициента линейного трения b и коэффициента жёсткости второго участка упругой характеристики с2. Построению и анализу полных бифуркационных групп со сложными протуберанцами и редкими аттракторами при изменении частоты вынуждающей силы и коэффициента линейного трения b посвящены разделы 3.4. и 3.5. соответственно. В заключении делается вывод, что применение метода полных бифуркационных групп для исследования вынужденных колебаний в типовой колебательной системе с билинейной упругой характеристикой позволило найти новые бифуркационные группы, бифуркационные группы со сложными протуберанцами, с редкими регулярными и хаотическими режимами.

3.2. Внутренние колебательные свойства билинейной системы.

Зависимость частоты свободных колебаний от начальных условий Известно [93] для системы, описываемой ур. 3.1 собственная частота р = 2р1р2 / (р1 + р2), где р1 и р2 собственные частоты соответствующих линейных подобластей упругой характеристики, и скелетная кривая для этой системы вертикальна (рис.3.1,а), что позволяет ошибочно предположить, что эта система близка по свойствам к линейной системе. Однако, как показали предыдущие исследования, эта система при вынужденных колебаниях обладает существенными нелинейными свойствами, что как бы находится в протеворечии с вертикальной скелетной кривой.

(b) (a) (с) d=0 d = -0.1 d = 0. (d) (e) d=0 d= c c Рис. 3.2. Скелетные кривые билинейной системы (3.1) при d = 0, 0.1 и -0.1 – (a), (b) и (c) соответственно, демонстрирующие структурную неустойчивость системы (a) – упругая характеристика;

(b) – потенциальная яма Покажем, что эта система является существенно нелинейной в том смысле, что при небольших изменениях параметров спектр частот свободных колебаний становится широким, что соответствует нелинейным системам. Построим скелетные кривые для трёх случаев: соотношение жесткостей на линейных подобластях с1/с2 = 1/16 с точкой излома характеристики d = 0, 0.1 и -0.1 (рис.3.1). Показаный спектр частот свободных колебаений является причиной нелинейных эффектов при внешнем периодическом возбуждении [93].

3.3. Примеры простых полных бифуркационных групп в системе с билинейной упругой характеристикой Как было сказано ранее, полная бифуркационная диаграмма бифуркационной группы – это диаграмма, на которой отображены все решения, устойчивые и неустойчивые, относящиеся к исследуемой бифуркационной группе. Проиллюстрируем метод полных бифуркационных групп на простых примерах для системы с билинейной упругой характеристикой (ур.3.1).

Построение полных бифуркационных диаграмм и анализ системы проводился для следующих параметров: m = 1, с1 = 1, d = 0, h1 = 1, 0 = 0, с2 = var., b = var., = var.

Динамические характеристики, соответствующие данному набору параметров представлены на рис. 3.2. Для приближенной оценки уровня диссипации в системе приведем пример расчета логарифмического декремента колебаний и коэффициента потерь через один период T= 2 из начальных условий x0 = 0.3, v0 = 0 для коэффициента линейной диссипации b = 0.03, 0.2 и 0.6:

a Pc (0.72 0.640) 0. = ln 0 = ln 0.06, = = 0.10;

b = 0. Pc a1 0. 0. a Pc (0.72 0.326) 0. = ln 0 = ln 0.40, = = 0.55;

b = 0. a1 Pc 0. 0. a Pc (0.72 0.062) 0. = ln 0 = ln 1.20, = = 0.90.

b = 0. Pc a1 0. 0. = 0.06 = 0. (b) (a) b = 0. = 0.40 = 0. b = 0. 0.3 (0.72) = 1.20 = 0. 0. 0.136 (0.147) b = 0. Рис. 3.2. Динамические характеристики системы (3.2): (a) законы движения при свободных колебаниях x(t) и (b) фазовые портреты свободных колебаний на энергетической плоскости Kc(Pc) при значениях коэффициента b = 0.03, 0.2 и 0.6. Коэффициент потерь = (П1 – П0) / П0. Параметры: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, b = 0.20, k = (a) Р Р Р1 unstable a Р b удвоение периода «жёсткое» рождение режима опасная бифуркация Р Р складка с2 = 16, b = 0.16, = var. складка (b) устойчивый неустойчивый Р Р удвоение периода «мягкое» рождение режима Р b Р1 unstable Р1 a Р Р с2 = 16, b = 0.16, = var.

(с) Р Р Р a Р Р1 unstable b Рис. 3.3. Пример бифуркационной группы 1Т с простым протуберанцем (a,b), имеющим две суперкритические бифуркации удвоения периода и гистерезис с двумя складками. Полные бифуркационные диаграммы для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, b = 0.16, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

(d) с2 = 16, b = 0.16, = var.

Р складка складка Р Р Р Р Р1 Р удвоение периода удвоение периода (e) с2 = 16, b = 0.16, = var.

Р Р Р Р Р1 Р Рис. 3.3. (продолжение) Пример бифуркационной группы 1Т с простым протуберанцем (a,b), имеющим две суперкритические бифуркации удвоения периода и гистерезис с двумя складками. Полные бифуркационные диаграммы для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2): (d), (e) показатели устойчивости периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, b = 0.16, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

(a) (f) P2 (4/2) P1 (2/1) H(t) = 0.92, b = 0.16, c2 = 16 = 0.93, b = 0.16, c2 = (b) (g) P2 (4/2) P1 (2/1) E E 4 E (c) (h) P2 (4/2) P1 (2/1) (d) (i) 4 P2 (4/2) P1 (2/1) E E xp = 0.394226 xp = 0. vp = 0.082219 vp = - 0. 1 = -0.343 i = 0. 2 = -0. = 142.5o N p A Ai Bi N p A Ai Bi (e) (j) 0 0.000000 0.478857 -0.478857 0.000000 0 0.000000 0.491322 -0.491322 0. 1 0.920000 0.278322 0.252243 0.117629 1 0.465008 0.306876 0.292907 0. 2 1.840000 0.374704 0.368207 -0.069475 2 0.930016 0.318908 0.277676 0. 3 2.760000 0.125584 0.123932 -0.020303 3 1.395024 0.324603 -0.303061 -0. 4 3.680000 0.059281 0.058376 -0.010319 4 1.860032 0.353457 0.345864 -0. 5 4.600000 0.031756 0.031140 -0.006223 5 2.325040 0.084040 -0.062174 -0. 6 5.520000 0.017912 0.017464 -0.003980 6 2.790048 0.114451 0.112967 -0. 7 6.440000 0.010211 0.009883 -0.002565 7 3.255056 0.043607 -0.030538 -0. 8 7.360000 0.005694 0.005461 -0.001611 8 3.720064 0.048761 0.048052 -0. 9 4.185072 0.027737 -0.018254 -0. 10 4.650080 0.024359 0.023925 -0. 11 5.115088 0.016936 -0.010855 -0. 12 5.580096 0.012074 0.011984 -0. 13 6.045104 0.010839 -0.007445 -0. 14 6.510112 0.005645 0.005613 -0. 15 6.975120 0.006797 -0.004594 -0. Рис. 3.4. Сравнение двух устойчивых периодических режимов Р1 (a)-(e) и Р2 (f)-(j) вблизи опасной бифуркационной точки a (рис.3.3.): (a), (f) – законы движения;

(b), (g) – фазовые проекции;

(c)-(h) – упругая (1), диссипативная (2) и внешняя (3) силы;

(d)-(e), (i)-(j) – спектральный анализ режимов графически и в виде таблицы коэффициентов. На графиках законов движения условно показана вынуждающая сила H(t). Параметры: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, b = 0.16, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

(a) Р Р a Р1 unstable Р с2 = 16, = 2.65, b = var.

(b) Р с2 = 16, = 2.65, b = var.

Р a Р удвоение периода Р1 unstable (с) устойчивый Р неустойчивый Р1 unstable a Р Рис. 3.5. Пример полной бифуркационной группы 1Т с простым протуберанцем (a-), имеющим одну суперкритическую бифуркацию удвоения периода и выходящим на ограничение по параметру (b 0).

Полные бифуркационные диаграммы для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от коэффициента линейного трения b. Параметры системы: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, h1 = 1, = 2.65, 0 = 0, k = 7, b = var.

(d) Р Р Р Р Р с2 = 16, = 2.65, b = var.

(e) Р Р Р Р Р с2 = 16, = 2.65, b = var.

Рис. 3.5. (продолжение) Пример полной бифуркационной группы 1Т с простым протуберанцем (a-), имеющим одну суперкритическую бифуркацию удвоения периода и выходящим на ограничение по параметру (b 0). Полные бифуркационные диаграммы для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2): (d), (e) показатели устойчивости периодического режима от коэффициента линейного трения b. Параметры системы: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, h1 = 1, = 2.65, 0 = 0, k = 7, b = var.

(a) b = 0.12, = 0.89, с2 = var.

Р1 Р Р Р a UРI- Р1 unstable Р8 Р Р2 Р каскад удвоения периода b Р Р удвоение периода Р4 Р8 UРI- складка Р8 Р4 Р складка Р (b) устойчивый неустойчивый Р Р2 Р UРI- Р2 Р8 Р Р Р1 Р1 unstable каскад удвоения a b Р периода удвоение периода Р8 UРI- Р4 Р8 Р4 Р Р2 Р b = 0.12, = 0.89, с2 = var.

(с) b = 0.12, = 0.89, с2 = var.

Р Р4 Р Р2 UРI- Р Р1 Р Р a Р1 unstable b Р Рис. 3.6. Полная бифуркационная группа 1Т с протуберанцем (a,b), имеющим гистерезис с двумя складками и бесконечное число неустойчивых периодических режимов UPI-1. Полные бифуркационные диаграммы для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от коэффициента жёсткости с2. Параметры системы: m = 1, с1 = 1, d = 0, b = 0.12, h1 = 1, = 0.89, 0 = 0, k = 7, с2 = var.

(d) b = 0.12, = 0.89, с2 = var.

Р8 Р Р Р1 Р8 Р Р UРI- Р2 Р Р Р (e) Р1 Р8 Р8 Р Р Р4 Р Р2 Р Р1 Р Р Р Р Р b = 0.12, = 0.89, с2 = var.

Рис. 3.6. (продолжение) Полная бифуркационная группа 1Т с протуберанцем (a,b), имеющим гистерезис с двумя складками и бесконечное число неустойчивых периодических режимов UPI-1. Полные бифуркационные диаграммы для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2): (d), (e) показатели устойчивости периодического режима от коэффициента жёсткости с2. Параметры системы: m = 1, с1 = 1, d = 0, b = 0.12, h1 = 1, = 0.89, 0 = 0, k = 7, с2 = var.

(a) (f) P1 (2/1) P2 (4/2) H(t) c2 = 11.6, = 0.89, b = 0.12 c2 = 11.4, = 0.89, b = 0. (b) (g) P1 (2/1) P2 (4/2) E E 4 E (c) (h) P1 (2/1) P2 (4/2) (d) (i) P1 (2/1) P2 (4/2) 4 E E xp = 0. xp = 0. vp = 0. vp = -0. 1 = -0. i = 0. 2 = -0. = 83.5o N p A Ai Bi N p A Ai Bi (e) (j) 0 0.000000 0.471701 -0.471701 0.000000 0 0.000000 0.472638 -0.472638 0. 1 0.890016 0.327638 0.315197 0.089429 1 0.445008 0.321315 0.311454 0. 2 1.780032 0.398816 0.393205 -0.066665 2 0.890016 0.347936 0.324229 0. 3 2.670048 0.127452 0.125882 -0.019946 3 1.335024 0.364857 -0.351146 -0. 4 3.560064 0.057479 0.056580 -0.010123 4 1.780032 0.387820 0.381442 -0. 5 4.450080 0.029021 0.028413 -0.005909 5 2.225040 0.083494 -0.069783 -0. 6 5.340096 0.015098 0.014675 -0.003549 6 2.670048 0.119452 0.117718 -0. 7 6.230112 0.007668 0.007383 -0.002069 7 3.115056 0.040675 -0.031522 -0. 8 3.560064 0.051059 0.050208 -0. 9 4.005072 0.023316 -0.017504 -0. 10 4.450080 0.024108 0.023674 -0. 11 4.895088 0.013776 -0.010350 -0. 12 5.340096 0.011551 0.011370 -0. 13 5.785104 0.007953 -0.006124 -0. 14 6.230112 0.005347 0.005298 -0. Рис. 3.7. Сравнение устойчивых периодических Р1 (a)-(e), Р2 (f)-(j), P4 (k)-(o) и хаотического СhA (p)-(t) режимов для точек диаграммы на рис.3.6. Режимы Р1 и Р2: (a), (f) – законы движения;

(b), (g) – фазовые проекции;

(c)-(h) – упругая (1), диссипативная (2) и внешняя (3) силы;

(d)-(e), (i)-(j) – спектральный анализ режимов графически и в виде таблицы коэффициентов. На графиках законов движения условно показана вынуждающая сила H(t). Параметры системы: m = 1, с1 = 1, d = 0, b = 0.12, h1 = 1, = 0.89, 0 = 0, k = 7, с2 = var.

(k) (p) ChA P4 (6/4) H(t) c2 = 10.4, = 0.89, b = 0.12 c2 = 9.1, = 0.89, b = 0. (l) (q) P4 (6/4) ChA E E 6 E 6 E (m) (r) P4 (6/4) ChA (n) (s) P4 (6/4) ChA 6 E xp = 0. vp = -0. i = 0. = 87.3o N p A Ai Bi N p A Ai Bi N p A Ai Bi (o) (t) 0 0.000000 0.476212 -0.476212 0.000000 0 0.000000 0.479541 -0.479541 0.000000 15 1.585341 0.005251 0.002130 -0. 1 0.222504 0.012750 -0.008819 -0.009208 1 0.222504 0.020362 -0.015340 -0.013391 16 1.613154 0.006312 -0.003828 -0. 2 0.445008 0.337077 0.329175 0.072559 2 0.445008 0.347441 0.340834 0.067436 17 1.780032 0.365661 0.356958 -0. 3 0.667512 0.013010 0.012195 0.004533 3 0.584073 0.004874 -0.004874 0.000022 18 2.002536 0.008053 0.004331 -0. 4 0.890016 0.390889 0.368396 0.130685 4 0.611886 0.006966 0.006789 -0.001560 19 2.225040 0.094441 -0.078293 -0. 5 1.112520 0.012911 0.007743 0.010332 5 0.667512 0.022331 0.021703 0.005258 20 2.447544 0.010895 -0.008232 -0. 6 1.335024 0.397952 -0.385794 -0.097615 6 0.890016 0.456184 0.435807 0.134819 21 2.670048 0.111503 0.109478 -0. 7 1.557528 0.020645 -0.017489 -0.010970 7 1.056894 0.005153 0.004898 0.001602 22 3.115056 0.041387 -0.033863 -0. 8 1.780032 0.380816 0.373314 -0.075216 8 1.112520 0.023146 0.016233 0.016499 23 3.337560 0.005385 -0.005216 -0. 9 2.002536 0.005240 0.003745 -0.003665 9 1.335024 0.434573 -0.422898 -0.100053 24 3.560064 0.042594 0.042052 -0. 10 2.225040 0.087549 -0.073358 -0.047784 10 1.418463 0.004892 -0.002636 -0.004122 25 4.005072 0.023796 -0.019799 -0. 11 2.447544 0.005346 -0.003819 -0.003741 11 1.474089 0.006982 0.006973 0.000346 26 4.450080 0.017901 0.017525 -0. 12 2.670048 0.116931 0.115128 -0.020456 12 1.501902 0.010722 -0.010685 0.000891 27 4.895088 0.012653 -0.010161 -0. 13 3.115056 0.041126 -0.033165 -0.024320 13 1.529715 0.006904 -0.002941 0.006246 28 5.340096 0.008270 0.008208 -0. 14 3.560064 0.047645 0.046862 -0.008604 14 1.557528 0.037197 -0.033775 -0.015583 29 5.785104 0.005694 -0.004912 -0. 15 4.005072 0.023861 -0.018802 -0. 16 4.450080 0.021973 0.021494 -0. 17 4.895088 0.013251 -0.010273 -0. 18 5.340096 0.010296 0.010180 -0. 19 5.785104 0.007136 -0.005901 -0. Рис. 3.7. (продолжение) Режимы Р4 и ChA: (k), (p) – законы движения;

(l), (q) – фазовые проекции;

(m)-(r) – упругая (1), диссипативная (2) и внешняя (3) силы;

(n)-(o), (s)-(t) – спектральный анализ режимов графически и в виде таблицы коэффициентов. На графиках законов движения условно показана вынуждающая сила H(t). Параметры системы: m = 1, с1 = 1, d = 0, b = 0.12, h1 = 1, = 0.89, 0 = 0, k = 7, с2 = var.

Результаты применения метода полных бифуркационных групп к анализу билинейной системы (ур. 3.2) представлены на рис. 3.3-3.7 на примере относительно простых полных бифуркационных диаграмм.

На рис.3.3 представлена относительно простая полная бифуркационная диаграмма, показаны все устойчивые и неустойчивые режимы, бифуркационная группа 1Т, полученная методом полных бифуркационных групп при варьировании параметра. В представленном диапазоне бифуркационная группа имеет протуберанец (a,b) с двумя суперкритическими бифуркациями удвоения периода и гистерезис с двумя складками. В бифуркационной точке a удвоение периода является опасной бифуркацией, т.к. имеет место «жёсткое» рождение режима Р2 – резкое увеличение амплитуд колебаний при незначительном изменении параметра. Законы движения и фазовые проекции режимов Р1 и Р2 вблизи опасной бифуркационной точки a показаны на рис. 3.4.

Простой типовой протуберанец, имеющий одну суперкритическую бифуркацию удвоения периода режима Р1, показан на рис. 3.5. Особенность этого протуберанца заключается в том, что он выходит на ограничение по параметру, что является характерным при бифуркационном анализе по коэффициенту диссипации.

Относительно простая бифуркационная группа 1Т, содержащая подгруппу с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов (UPI), представлена на рис. 3.6. Как показано на рис. 3.7, в диапазоне варьируемого параметра, соответствующем области UPI, система имеет хаотическое динамическое поведение.

Таким образом показано, что метод полных бифуркационных групп позволяет находить области с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов.

3.4. Построение и анализ полных бифуркационных групп со сложными протуберанцами и редкими аттракторами Метод полных бифуркационных групп позволяет находить новые, ранее неизвестные, режимы в том числе в широко используемых моделях, к которым относится и билинейная модель, пропущенные при ислледовании этих систем методом грубой силы, на основе естественного переходного процесса (гл.1).

Сложные бифуркационные группы основного режима 1Т и субгармонического 3Т, полученные методом полных бифуркационных групп при варьировании параметров 0. (a) Р Р4 Р4 Р4 Р xp Р x Р1 a Р b Р 0. UРI-8 UРI- UРI- Р 0. Р RAs Р c d UРI- -0. Р Р -0. -0. -0. с2 = 16, b = 0.03, = var.

-1. 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0 9.2 9.4 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8E- w (b) 3. устойчивый vp неустойчивый v 2. 1. Р UРI-8 Р 1. RAs UРI-8 Р Р 0. UРI-1 Р Р1 b a d c Р Р Р -0. Р Р -1. Р с2 = 16, b = 0.03, = var. UРI- -1. 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0 9.2 9.4 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8E- w (с) 1. с2 = 16, b = 0.03, = var.

Ax Am 1. Р Р UРI-1 UРI-8 UРI- Р 1. Р4 Р Р8 RAs Р4 c Р2 d Р4 UРI- 1. Р2 Р 0. Р a b Р 0. 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0 9.2 9.4 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8E- w Рис. 3.8. Полная бифуркационная группа 1Т со сложным протуберанцем (a,b), имеющим большое количество редких аттракторов со своими UPI и протуберанец типа гантель (c,d). Полные бифуркационные диаграммы для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры системы: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, b = 0.03, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

Р (a) с2 = 16, b = 0.03, = var.

UРI- 0. Р Р Р6 Р x x UРI- 0. RAs P6 tip 0. Р a 0. Р b RAs P6 tip 0. c устойчивый d неустойчивый -0. 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9.0 9.1 9.2E- w 2. (b) с2 = 16, b = 0.03, = var.

v RAs P6 tip Р 1. Р6 Р Р 0. UРI-6 UРI- RAs P6 tip a -0.5 b c d Р -1. Р Р Р6 Р3 Р -1. Р -2. 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9.0 9.1 9.2E- w 1. (с) UРI- Am Am UРI- RAs P6 tip UРI- 1. RAs P6 tip UРI-6 Р b Р Р3 Р Р 1. Р a Р 1. d c 1. с2 = 16, b = 0.03, = var.

1. 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9.0 9.1 9.2E- w Рис. 3.9. Полная бифуркационная группа 3Т с двумя сложными протуберанцами (a,b) и (c,d), каждый из которых имеет редкие аттракторы концевого типа со своими UPI. Полные бифуркационные диаграммы для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры системы: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, b = 0.03, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

0. (a) с2 = 16, = 0.96, b = var.

Р Р x Р2 Р4 Р x Р 0. Р UРI-1 Р Р4 Р Р a 0. Р4 Р8 RA P8 dumbbell 0. Р8 Р UРI-8 Р 0. Р Р Р2 Р4 Р8 UРI- 0. RAs P8 tip Р4 Р -0. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20E- b b (b) Р Р Р 1. RAs P8 tip Р RA P8 dumbbell v Р a Р UРI-1 Р Р4 Р8 Р Р8 Р Р Р2 Р -0. Р UРI- Р -1. Р с2 = 16, = 0.96, b = var.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20E- b b 1. (с) с2 = 16, = 0.96, b = var.

RAs P8 tip RA P8 dumbbell Am Am Р Р4 Р8 UРI- Р Р Р Р 1. UРI- Р Р 1. Р 0. устойчивый 0.8 неустойчивый 0. Р a 0. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20E- b b Рис. 3.10. Полная бифуркационная группа 1Т, имеющая редкие аттракторы Р8 типа гантель и концевого типа со своими UPI. Полные бифуркационные диаграммы для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от коэффициента линейного трения b. Параметры системы: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, h1 = 1, = 0.96, 0 = 0, k = 7, b = var.

и b, представлены на рис. 3.8-3.10. На рис. 3.10 при движении по диаграмме в сторону уменьшения варьируемого параметра b наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода основного режима Р1, приводящий к образованию области параметра с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов (UPI-1), которая в свою очередь, является показателем наличия в системе хаотического аттрактора или переходного хаоса. Неустойчивой до значения параметра b = 0 остается только ветвь решения Р1. Неустойчивая ветвь решения Р2 при b 0.015 опять становится устойчивой и образует ещё один каскад удвоения периода, приводящий к появлению двух редких аттракторов Р8 концевого типа со своими областями бесконечного числа неустойчивых периодических режимов UPI-8. Режим Р4 также становится устойчивым при b 0.01, но, образованный от него удвоением периода режим Р8 после бифуркации типа складка выходит на границу параметра b. Движение по неустойчивой ветви режима Р8 приводит к обнаружению редкого устойчивого аттрактора Р8 типа «гантель». После редкого аттрактора неустойчивая ветвь остается неустойчивой до выхода на границу варьируемого параметра. Существование таких аттракторов, по видимому, ранее в литературе не обсуждалось.

Таким образом, метод полных бифуркационных групп позволил найти новые бифуркационые группы с редкими регулярными и хаотическими режимами.

3.5. Выводы В настоящей главе на основе метода полных бифуркационных групп проведён бифуркационный анализ билинейной системы, при варьировании начальных условий и нескольких параметров системы. При глобальном анализе в качестве варьируемых параметров выступали: коэффициент линейной диссипации b, коэффициент жёсткости нелинейной упругой характеристики на второй линейной подобласти с2 и частота вынуждающей силы. Представлены примеры как простых типовых бифуркационных диаграмм, так и сложных с редкими регулярными и хаотическими режимами.

Таким образом показано, что использование метода полных бифуркационных групп для исследования вынужденных колебаний на примере простейшей колебательной системы с билинейной упругой характеристикой позволило найти новые бифуркационные группы, бифуркационные группы со сложными протуберанцами, с редкими периодическими и хаотическими режимами. Перейдём к рассмотрению вопроса сосуществования различных бифуркационных групп.

ГЛАВА 4. ГЛОБАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В БИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ НЕСКОЛЬКИХ БИФУРКАЦИОННЫХ ГРУПП............................................... 4.1. Введение....................................................................................................................... 4.2. Сосуществование нескольких различных типовых бифуркационных групп с регулярным динамическим поведением в билинейной системе................................... 4.3. Взаимодействие бифуркационных групп с регулярным и нерегулярным динамическим поведением................................................................................................ 4.4. Сосуществование различных бифуркационных групп при наличии в каждой группе области с UPI.......................................................................................................... 4.5. Бифуркационные карты на плоскости параметров для типовой билинейной системы................................................................................................................................ 4.6. Выводы......................................................................................................................... ГЛАВА 4. ГЛОБАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В БИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ НЕСКОЛЬКИХ БИФУРКАЦИОННЫХ ГРУПП В предыдущей главе были построены отдельные простые и сложные полные бифуркационные группы основного и субгармонического режимов в простейшей билинейной системе на основе метода полных бифуркационных групп. Рассмотрим вопросы взаимодействия различных бифуркационных групп.

4.1. Введение В настоящей главе диссертационной работы изучаются вопросы взаимодействия различных полных бифуркационных групп, сосуществующих в одной и той же области параметров. Отдельные участки полной бифуркационной группы 1Т могут быть единственной бифуркационной группой при определённых значениях варьируемого параметра, в основном же имеется сосуществование бифуркационной группы 1Т с бифуркационными группами субгармонических режимов. Некоторым обобщением информации о сосуществовании различных полных бифуркационных групп являются бифуркационные карты, разделяющие плоскость двух параметров системы на области с качественно одинаковым поведением.

К чему приводит сосуществование нескольких бифуркационных групп:

1). при сосуществовании устойчивых периодических аттракторов различных групп наблюдается явление многорежимности – при одинаковых параметрах системы пространство состояний делится на области притяжения сосуществующих режимов.

2). при сосуществовании устойчивого периодического аттрактора одной бифуркационной группы с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов (UPI) другой бифуркационной группы возможно несколько вариантов:

- многорежимность – сосуществование устойчивого периодического аттрактора с хаотическим аттрактором;

- глобально устойчивый периодический аттрактор с хаотическим переходным процессом к нему.

3). аналогично последнему случаю, сосуществование бесконечного числа неус тойчивых периодических режимов в обеих бифуркационных группах приводит к:

- многорежимности – сосуществованию нескольких хаотических аттракторов;

- одному глобально устойчивому хаотическому аттрактору.

Структура главы такова. В разделах 4.2.-4.4. будут рассмотрены описанные в настоящем разделе в данном разделе случаи взаимодействия нескольких бифуркационных групп для простейшей билинейной системы (3.2). Раздел 4. представляет собой обобщение информации о сосуществовании различных полных бифуркационных групп в виде бифуркационных карт на плоскости двух параметров – частоты вынуждающей силы и коэффициена линейной диссипации b. В конце главы о взаимодействии различных бифуркационных групп делается вывод о том, что наличие бифуркационных подгрупп с бесконечным числом неустойчивых режимов (UPI) всегда приводит к хаотическому поведению системы: хаотическому аттрактору или переходному хаосу.

4.2. Сосуществование нескольких различных типовых бифуркационных групп с регулярным динамическим поведением в билинейной системе Ранее основное внимание уделялось отдельным полным бифуркационным группам. Однако, типичной ситуации соответствует случай сосуществования нескольких различных, не связанных между собой бифуркационных групп. В этом случае наличие многорежимности может быть вредным (сосуществование паразитных устойчивых режимов) или полезным, в частности, для задач вибротехники.

Пример такого сосуществования трёх устойчивых периодических аттракторов трёх различных бифуркационных групп 1Т, 3Т и 4Т представлен на рис. 4.1. На бифуркационной диаграмме показано сосуществование устойчивых основного режима Р1 и двух субгармонических режимов Р3 и Р4. В данном случае наблюдаем явление многорежимности – сосуществование трёх устойчивых периодических аттракторов, что отображено на рис. 4.2. На этом рисунке представлены построенные области притяжения для трёх режимов Р1, Р3 и Р4. Области притяжения позволяют реализовать на основе областей притяжения любой из существующих режимов.

Приведённый пример соответствует случаю сосуществования различных регулярных режимов, в данном случае периодических Р1, Р3 и Р4. Однако, в колебательной системе возможно сосуществование регулярных и хаотических аттракторов (относящихся как к одной, так и к различным бифуркационным группам).

Пример такого сосуществования будет рассмотрен в следующем разделе.

(a) 1T 3T 4T b = 0.45, = var.

(b) b = 0.45, = var.

4T 3T 1T 3T устойчивый 4T неустойчивый (с) b = 0.45, = var.

4T 3T 1T Рис. 4.1. Случай сосуществования трёх бифуркационных групп 1Т, 3Т и 4Т с регулярным динамическим поведением. Полные бифуркационные диаграммы для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы.

Параметры: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, b = 0.45, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

= P P P P31 P P P P b = 0.45, = 6. Рис. 4.2. Области притяжения трёх периодических режимов Р1, Р3 и Р4, относящихся к трём бифуркационным группам 1Т, 3Т и 4Т соответственно (рис. 4.1.), построенные методом ячеистого отображения с сеткой 500500. Тёмно серый цвет соответствует режиму Р1, светло серый – Р3 и белый – Р4. Параметры системы: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, b = 0.45, h1 = 1, = 6.6, 0 = 0, k = (a) b = 0.45, = 6.6 P1 (1/1) P1 (1/1) 11 E E xp = -0. vp = 0. i = 0. = 132.0o H(t) (b) b = 0.45, = 6. P3 (3/3) P3 (3/3) 3 3 E1 E 3 E xp = -0.051189 E vp = 0. i = 0. = 94.8o (с) b = 0.45, = 6.6 P4 (4/4) P4 (4/4) E E E3 4 E E2 xp = -0. vp = 0. i = 0. = 56.5o Рис. 4.3. Законы движения и фазовые проекции трёх устойчивых периодических режимов Р1, Р3 и Р4, обозначенных на рис. 4.1, 4.2. На графиках законов движения условно показана вынуждающая сила H(t) 4.3. Взаимодействие бифуркационных групп с регулярным и нерегулярным динамическим поведением Рассмотрим случай сосуществования в билинейной системе устойчивого периодического аттрактора и устойчивого хаотического аттрактора.

Рассмотрим вынужденные колебания в билинейной системе в зарезонансной области, в которой в основной бифуркационной группе 1Т имеет место неустойчивость периодических режимов в районе утроенной частоты свободных колебаний системы. В этом же диапазоне в системе имеется бифуркационная группа 3Т с устойчивыми субгармоническими режимами Р3. Развитие неустойчивости в основной бифуркационной группе 1Т за счёт каскада бифуркаций удвоения периода приводит к появлению в этом диапазоне частот бифуркационной подгруппы с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов, группа UPI-1.

Большое число систематических численных экспериментов, в частности, проведенных автором, позволяет утверждать, что наличие бифуркационной подгруппы с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов UPI-1, всегда приводят к появлению устойчивого хаотического режима, хаотического аттрактора.

Проиллюстрируем взаимодействие двух бифуркационных групп, группы 1Т с UPI-1 и субгармонической группы 3Т на примере билинейной системы с параметрами, указанными на рис. 4.4. Бифуркационная группа 1Т вблизи = 5 в результате двустороннего каскада удвоения периода имеет подгруппу с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов: Р1, Р2, Р4, Р8 и т.д. (см. рис. 4.4.). В этом же частотном диапазоне существует субгармонический остров с устойчивыми режимами.

Рассмотрим случай = 5, для которого из бифуркационной диаграммы, показанной на рис. 4.4. следует, что система имеет UPI-1 и устойчивый субгармонический режим Р3. Построим для этого случая области притяжения, используя для нахождения сепаратрис седловые неустойчивые точки субгармонического режима Р3. Получено (см. рис. 4.5.), что пространство состояний на плоскости Пуанкаре разбивается сепаратрисами на две области. Светлая область принадлежит субгармоническому режиму, серая область принадлежит устойчивому хаотическому режиму (рис. 4.6.) Хаотический аттрактор находится в серой области после окончания переходного процесса. Построенная область притяжения для случая сосуществования регулярного и хаотического режима может быть использована для реализации хаотического режима и многорежимности.

Р (a) Р8 Р4 Р2 b Р4 Р Р2 UРI- 3Т Р1 Р устойчивый неустойчивый a 1Т Р b = 0.6, = var.

(b) b = 0.6, = var.

Р Р 1Т a 3Т Р Р2 UРI- Р b Р8 Р4 Р Р4 Р Р (с) b = 0.6, = var.

1Т a Р Р Р 3Т Р4 Р Р8 Р Р2 b UРI- Рис. 4.4. Случай сосуществования двух бифуркационных групп: 1Т с хаотическим поведением и 3Т с регулярным динамическим поведением. Полные бифуркационные диаграммы для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, b = 0.6, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

= P P P1 unstable Chaos- P b = 0.6, = Рис. 4.5. Области притяжения периодического Р3 и хаотического Chaos-1 режимов, относящихся к бифуркационным группам 3Т и 1Т соответственно (рис. 4.4.), построенные с использованием отображения с линии в прямом и обратном времени в окрестности седловой точки:

1. 200Q x 200T, (-0.094864, 0.060515;

-0.094864, 0.061415) в прямом времени;

2. 200Q x 2000T, (-0.094864, 0.061615;

-0.094864, 0.062515) в прямом времени;

3. 10000Q x 100T, (-0.095864, 0.061515;

-0.093864, 0.061515), в обратном времени.

Серый цвет соответствует хаотическому режиму Chaos-1, белый режиму – Р3. Параметры: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, b = 0.6, h1 = 1, = 5, 0 = 0, k = (a) Chaos-1 Chaos- b = 0.6, = (b) P3 (3/3) H(t) E E 3 E 3 E1 xp = -0. vp = -0. i = 0. = 65.3o P3 (3/3) b = 0.6, = Рис. 4.6. Законы движения и фазовые проекции хаотического Chaos-1 и устойчивого периодического Р режимов, обозначенных на рис. 4.4, 4.5. На графиках законов движения условно показана вынуждающая сила H(t) 4.4. Сосуществование различных бифуркационных групп при наличии в каждой группе области с UPI Предыдущий случай сосуществования хаотического аттрактора и субгармонического аттрактора (рис. 4.4.-4.6.) рассматривался в системе при большой диссипации (b = 0.6). Часто в технических системах диссипация меньше, что приводит к более сложным бифуркационным диаграммам и сосуществованию большого числа различных бифуркационных групп.

Проиллюстрируем это положение на примере той же упругой билинейной системы, которая рассматривалась в разделе 4.3. (с1 = 1, с2 = 16, d = 0), но при наличии в системе меньшей диссипации (b = 0.11). Этому уровню диссипации примерно соответствует коэффициент потерь равный ( = 0.4). На рисунке 4.7. показаны результаты полного бифуркационного анализа на основе метода полных бифуркационных групп для дорезонансного частотного диапазона, в котором бифуркационная группа 1Т имеет сложный протуберанец с каскадом удвоения периода и бесконечным числом неустойчивых периодических режимов UPI-1. Детальное исследование сосуществования различных бифуркационных групп в этом частотном диапазоне позволили найти (кроме основной бифуркационной группы 1Т ещё две субгармонические группы. Это бифуркационные группы (острова) 6Т и 8Т (см. рис.

4.7.). Особенностью субгармонических островов 6Т и 8Т является наличие в каждом из них своей бифуркационной подгруппы с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов UPI-6, UPI-8 и редких концевых субгармонических и хаотических аттракторов. Существование таких аттракторов, по-видимому, ранее в литературе не обсуждалось.


Пример влияния диссипации на качественное поведение системы приведён на рис. 4.8. Из бифуркационной диаграммы, показанной на рис. 4.7. при частоте = 0.96 и b = 0.11 были определены все устойчивые и неустойчивые режимы различных бифуркационных групп, которые были использованы для бифуркационного анализа при изменении коэффициента диссипации (рис. 4.8.). Кроме того было обнаружено, при уменьшении диссипации, существование других дополнительных бифуркационных групп с редкими аттракторами концевого типа (группа 8Т, 9Т, 7Т и др.). Из бифуркационной диаграммы (рис. 4.8.) следует, что при увеличении диссипации в системе динамическое поведение системы может не только упрощаться, но и усложняться, в частности, могут рождаться при увеличении диссипации дополнительные субгармонические и хаотические режимы.

UРI- Р (a) UРI-8 UРI-6 Р Р Р Р1 Р6 Р Р a Р8 Р Р8 b Р2 Р Р8 Р Р6 Р Р UРI-8 Р Р4 Р Р8 UРI-6 Р Р4 1Т UРI- Р Р12 Р Р8 Р b = 0.11, = var.

(b) устойчивый неустойчивый UРI- UРI- UРI-8 Р4 Р Р Р Р b Р Р 1Т a Р Р8 Р4 Р2 Р 8T isle 6T isle b = 0.11, = var. with RAs with RAs (с) Р 8T isle UРI-8 UРI-6 UРI-1 Р Р with RAs 6T isle 1Т Р4 Р8 with RAs Р2 Р Р a Р1 unstable b Р b = 0.11, = var.

Рис. 4.7. Случай сосуществования трёх бифуркационных групп 1Т, 6Т и 8Т при наличии в каждой группе области с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов (UPI). Бифуркационные группы субгармонических островов 6Т и 8Т с обеих сторон оканчиваются редкими аттракторами концевого типа. Полные бифуркационные диаграммы для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы.

Параметры: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, b = 0.11, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

7T (a) Р8 Р Р2 Р4 Р8 Р8 Р Р4 Р8 Р8 Р 6T Р Р a 9T 8T Р4 Р8 RA P8 dumbbell Р Р4 Р RAs P8 tip Р UРI- Р2 Р8 Р Р4 Р8 Р Р4 Р8 6T = 0.96, b = var.

7T 8T 9T b 7T (b) 9T 8T UРI-1 Р Р Р8 Р Р4 6T RAs P8 tip Р RA P8 dumbbell Р a Р Р4 Р Р4 Р Р8 Р 6T Р2 Р Р8 Р Р 8T Р 7T 9T = 0.96, b = var.

b (с) = 0.96, b = var.

7T RAs P8 tip Р8 RA P8 dumbbell Р4 UРI-1 Р Р Р Р 9T Р 6T 8T Р Р устойчивый неустойчивый Р Р1 unstable a b Рис. 4.8. Случай сосуществования пяти бифуркационных групп: 1Т, имеющая редкие аттракторы Р8 двух типов – концевого типа со своими UPI и типа гантель, 6Т, 7Т, 8Т и 9Т с редкими аттракторами концевого типа и UPI каждая. Полные бифуркационные диаграммы для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от коэффициента линейного трения b. Параметры: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, h1 = 1, = 0.96, 0 = 0, k = 7, b = var.

4.5. Бифуркационные карты на плоскости параметров – b для типовой билинейной системы Рассмотренные примеры различных бифуркационных диаграмм при изменении частоты вынуждающей силы и диссипации свидетельствует о сложном разбиении пространства параметров на области с одинаковым качественным динамическим поведением (одинаковые типы бифуркационных групп и аттракторов). Для двух переменных параметров и системы с одной степенью свободы имеется возможность построить на плоскости параметров бифуркационные границы существования различных бифуркационных групп. Построение таких бифуркационных карт возможно на основе данных, полученных из бифуркационных диаграмм, а также с использованием специальной программы построения бифуркационных границ (И.Щукин, 2007). Приведём три примера бифуркационных карт для вынужденных колебаний билинейной системы.

Первая бифуркационная карта (рис. 4.9.) построена для дорезонансной области для рассмотренной ранее билинейной системы (ур. 3.2).

0. f(x) c 0. 0. P b, коэффициент линейного трения P2 P x d c 0. c1 = 1, c2 = 0. d = 0, h1 = 8T = var., b = var.

0. P P 6T fold 0. ChA ChA ChA 0. 5T UPI- UPI-3 P 3T 0. P 0. ChA 0. ChA 2T 0. 0.81 0.83 0.85 0.87 0.89 0.91 0.93 0.95 0.97 0.99 1.01 1.03 1.05 1.07 1. 5 4 3 5 p p p p p 9 7 5 8, частота вынуждающей силы Рис. 4.9. Бифуркационная карта с областями различного динамического поведения системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2) на плоскости параметров -b. Дорезонансная область (p = 1.6). Параметры: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var., b = var.

2. f(x) c 1. P 1. x d b, коэффициент линейного трения c 1. c1 = 1, c2 = P d = 0, h1 = 1. = var., b = var.

1. P P 0. P ChA+1T+4T 0.60 ChA+P P UPI-3+1T+4T P 0. P 5T 4T UPI-1+P 0. P6 P 0. 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 4.4 4.8 5.2 5.6 6.0 6.4 6.8 7.2 7.6 8.0 8.4 8.8 9. 2p 3p 4p 5p, частота вынуждающей силы Рис. 4.10. Бифуркационная карта с областями различного динамического поведения системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2) на плоскости параметров -b. Зарезонансная область (p = 1.6). Параметры: m = 1, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var., b = var.

0. f(x) c 0. Р b, коэффициент линейного трения x d 0. c c1 = 1, c2 = 0. d = 0, h1 = = var., b = var.

0. Р Р 0. 8T 6T 0. P P10 P5 fold UPI- 0. 3Т UPI- 0.73 0.75 0.77 0.79 0.81 0.83 0.85 0.87 0.89 0.91 0., частота вынуждающей силы Рис. 4.11. Бифуркационная карта с областями различного динамического поведения системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 3.2) на плоскости параметров -b. Дорезонансная область (p = 1.33). Параметры: m = 1, с1 = 1, с2 = 4, d = 0, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var., b = var.

Особая ценность этой бифуркационной карты состоит в возможности предсказания существования хаотических аттракторов и различного вида многорежимности. Аналогичная карта построена для той же системы для зарезонансной области (рис. 4.10.). Для билинейной системы с меньшей жесткостью с2 = 4 также построена бифуркационная карта на плоскости параметров – b, позволяющая также предсказывать появление хаотических аттракторов и многорежимности.

4.6. Выводы Рассмотрены вопросы взаимодействия различных полных бифуркационных групп, сосуществующих в одной и той же области параметров. Отдельные участки полной бифуркационной группы 1Т могут быть единственной бифуркационной группой при определённых значениях варьируемого параметра, в основном же имеется сосуществование бифуркационной группы 1Т с бифуркационными группами субгармонических режимов. В этом случае имеет место многорежимность.

Представлены случаи сосуществования периодических режимов различных бифуркационных групп, периодического режима с хаотическим и только хаотических.

В качестве варьируемых параметров выступали частота возбуждения и коэффициент диссипации b.

Таким образом в настоящей главе изучено взаимодействие различных сосуществующих бифуркационных групп (1Т и субгармонических nT) на примере колебательной системы с билинейной упругой характеристикой. По-видимому впервые, построены бифуркационные карты существования различных режимов на плоскости двух параметров (частота возбуждения – коэффициент диссипации).

Показано, что существование подгрупп с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов (UPI) в основной бифуркационной группе всегда приводит к хаотическому поведению системы: хаотическому аттрактору и переходному хаосу.

ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БИФУРКАЦИОННЫХ ГРУПП ДЛЯ АНАЛИЗА ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В ТИПОВЫХ ВИБРОУДАРНЫХ СИСТЕМАХ............................................................................ 5.1. Введение....................................................................................................................... 5.2. Построение и анализ полных бифуркационных групп 1Т виброударных систем с мягким и жёстким ударами............................................................................................... 5.3. Сравнение полных бифуркационных групп субгармонических режимов в виброударных системах с мягким и жёстким ударами.................................................. 5.4. Особенности динамики при наличии нескольких различных бифуркационных групп.................................................................................................................................... 5.5. Выводы....................................................................................................................... ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БИФУРКАЦИОННЫХ ГРУПП ДЛЯ АНАЛИЗА ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В ТИПОВЫХ ВИБРОУДАРНЫХ СИСТЕМАХ Во второй главе были описаны основы метода полных бифуркационных групп и комплекс подходов к анализу динамических систем, которые включает в себя указанный метод. Рассмотрим эффективность применения метода для глобального анализа вынужденных колебаний в виброударных системах.

5.1. Введение Данная глава посвящена вопросу эффективности применения метода полных бифуркационных групп для глобального анализа вынужденных колебаний в простейших виброударных системах. Как было показано в первой главе, глобальный анализ подобных систем с использованием бифуркационных диаграмм и прямых методов исследования не проводился.

Рассмотрим две модели, описывающие виброударные системы. Первая – модель жёсткого удара (введение коэффициента восстановления), вторая – модель, по используемой F.Peterka терминологии, мягкого удара (упор имеет большую, но конечную жёсткость).

В случае жёсткого (мгновенного) удара уравнение движения имеет вид (рис. 5.1) mx + bx + cx = h1cos(t + 0) && &, (5.1) if x = d x + = Rx & & где b - коэффициент линейной диссипации;

c- коэффициент линейной жёсткости;

d- координата удара;

R- коэффициент восстановления.

В случае мягкого удара математическая модель аналогична модели билинейной системы (3.2) за исключением силы трения, которая является пропорциональной перемещению – каждому линейному участку упругой характеристики соответствует свой коэффициент вязкого трения (рис. 5.2.) b1x if x 0 c1x if x & mx + + = h1cos(t + 0), && (5.2) b 2 x if x 0 c 2 x if x & x - обобщённая координата;


где m- масса колеблющегося тела;

b1, b2 - коэффициенты линейной диссипации, соответствующие линейным подобластям упругой характеристики;

c1, c2 - коэффициенты жёсткости нелинейной упругой характеристики на линейных подобластях;

d- точка излома упругой характеристики;

h1,, 0 - амплитуда, частота и фаза вынуждающей силы.

h1cost (a) cx m bx & x 0. 2 & 1. F2( x ) F1(x) (b) F3(t) 0. 2 1. & x t F2_1 ( v) x F1_1 ( x) F3 ( t ) 2 0 2 0 2 0 8 (c) 0. 1.8 1. 0. 2 1. 1.8 v x 2 0 t b = 0. R = -0. Рис. 5.1. Динамическая модель и характеристики виброударной системы с жёстким односторонним ударом с линейными упругой и диссипативной характеристиками при гармоническом возбуждении (ур. 5.1): (a) динамическая модель;

(b) характеристики упругой и диссипативных сил и график внешней возмущающей гармонической силы;

(с) закон движения и энергетическая диаграмма свободных колебаний. Параметры: m = 1, с = 1, b = 0.5, d = 0, R = -0.5, k = h1cost (a) c2x c1x m b2 x & & b1x x 0. 2 1. b(x) F1(x) F3(t) (b) b 0. 2 1. c2 b x c1 t F2_1 ( v) x F1_1 ( x) F3 ( t ) 2 0 2 0 2 0 8 0. 1.8 1. 0. 2 1. 1.8 v x 2 0 t (c) b1 = 4. b2 = 0. Рис. 5.2. Динамическая модель и характеристики виброударной системы с мягким односторонним ударом с билинейной упругой характеристикой и пропорциональным трением при гармоническом возбуждении (ур. 5.2): (a) динамическая модель;

(b) характеристика упругой силы, зависимость коэффициента трения от положения системы и график внешней возмущающей гармонической силы;

(с) закон движения и энергетическая диаграмма свободных колебаний. Параметры: m = 1, с1 = 100, с2 = 1, d = 0, b1 = 4.6, b2 = 0.5, k = Коэффициенты потерь для обоих случаев при начальном отклонении x0 = a Pc (5 0.025) = ln 0 = ln с 1.5, = = 1;

«жёстким» Pc a1 0.222 ударом a Pc (5 0.022 ) = ln 0 = ln с 1.6, = = 1.

«мягким»

a1 Pc 0.211 ударом Для моделей, описываемых ур.5.1 и ур.5.2 будет проведён глобальный бифуркационный анализ на основе метода полных бифуркационных групп при варьировании начальных условий и параметра – частоты вынуждающей силы.

Аналогичные исследования могут быть проведены также при варьировании других параметров системы, как это было показано в главе 3 настоящей работы.

Материал в данной главе представлен следующим образом. В разделе 5.2. на основе метода полных бифуркационных групп будут построены и проанализированы полные бифуркационные группы основных режимов 1Т систем с мягким и жёстким ударами. В разделе 5.3., аналогично разделу 5.2., будут рассмотрены субгармонические бифуркационные группы 3Т. Раздел 5.4. посвящён вопросам взаимодействия различных бифуркационных групп. В последнем разделе 5.5. обобщены результаты исследования виброударных систем, сводящиеся к тому, что использование метода полных бифуркационных групп для исследования вынужденных колебаний в виброударных системах позволило найти новые бифуркационные группы, бифуркационные группы со сложными протуберанцами, с редкими регулярными и хаотическими режимами, а также, что использование гипотезы мгновенного удара может приводить к качественным ошибкам.

5.2. Построение и анализ полных бифуркационных групп 1Т виброударных систем с мгновенным и мягким ударами Целью настоящего параграфа является сравнение результатов бифуркационного анализа для двух виброударных систем с близкими уровнями диссипации. Первая система – с моделью мгновенного удара, вторая система соответствует модели, так называемого, мягкого удара, в которой учитывается большая, но конечная жёсткость упора.

Рассмотрим систему с жёстким ограничителем при d = 0 при гармонической вынуждающей силе с амплитудой h1 = 1. Примем, что при достижении х = d и равное система претерпевает мгновенный удар с коэффициентом восстановления R = -0.5. Для этой системы построена бифуркационная диаграмма для основной бифуркационной группы 1Т при изменении частоты вынуждающей силы. Результаты бифуркационного анализа приведены на рис. 5.3 и 5.4., а характерные законы движения и фазовые траектории на рис. 5.5.

(a) c1 = b = 0. R = -0. P P P P2P P 4T P2 UPI- (b) P1 c1 = b = 0. P2 R = -0. P4 P P P UPI- P2 P P4 P (с) c1 = P1 b = 0. R = -0. P P P P устойчивый неустойчивый P UPI- Рис. 5.3. Бифуркационная группа основного режима 1Т с двумя UPI-1. Бифуркационные диаграммы для виброударной системы с жёстким односторонним ударом с линейными упругой и диссипативной характеристиками при гармоническом возбуждении (ур. 5.1): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры:

m = 1, с1 = 1, b = 0.5, R = -0.5, d = 0, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

(a) c1 = b = 0. P2 R = -0. P4 P RA P4 tip P P P P P4 P P P P2 P4 UPI- P P (b) c1 = RA P4 tip P1 P2 b = 0. R = -0. P P P2 P1 unstable UPI- P P P P2 RA P4 tip P (с) P2 c1 = UPI-1 b = 0. RA P4 tip P1 R = -0. P P P1 unstable UPI- устойчивый неустойчивый Рис. 5.4. Фрагмент бифуркационной группы основного режима 1Т с двумя UPI-1 (рис. 5.3.).

Бифуркационные диаграммы для виброударной системы с жёстким односторонним ударом с линейными упругой и диссипативной характеристиками при гармоническом возбуждении (ур. 5.1): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры: m = 1, с1 = 1, b = 0.5, R = -0.5, d = 0, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

(a) P1 (1/1) P1 (1/1) E E xp = 0. vp = 0. i = 0. = 135.6o H(t) = 2. (b) P2 (2/2) P2 (2/2) E 2 2 2 E1 E xp = 0. vp = 0. i = 0. = 128.0o = 2. (с) P2 (2/2) P2 (2/2) E 2 E1 2 E xp = 0. vp =0. 1 = -0. 2 = -0. = 2. (d) P2 (2/2) P2 (2/2) E 2 E 2 2 xp = 0. E vp = -0. 1 = -0. 2 = -0. = 2. (e) E P4 (4/4) P4 (4/4) E 4 E 4 E1 xp = 0. 4 E3 vp = -0. 1 = 0. 2 = 2. Рис. 5.5. Законы движения и фазовые проекции устойчивых периодических режимов к рис. 5.3 и 5.4. На графиках законов движения условно показана вынуждающая сила H(t) (f) P4 (4/4) E P4 (4/4) H(t) E 4 E 4 E 4 4 xp = 0. E vp = 0. 1 = 0. 2 = 2. (g) P4 (4/4) P4 (4/4) = 2.99 E 4 E E 4 4 E 4 E3 xp = 0. vp = 0. 1 = -0. 2 = -245. (h) P2 (2/2) P2 (2/2) = 3. 2 E 2 E E2 xp =0. vp =0. i = 0. = 2.3o (i) = 4.76 P4 (4/4) P4 (4/4) 4 E 4 E1 E4 4 E E4 xp = 0. vp = 0. 1 = -0. 2 = -0. (j) = 4. P4 (4/4) = 4. P4 (4/4) 4 4 E E E E4 2 4 2 4 4 E E 4 4 4 4 E E E1 E1 xp = 0. xp = 0.000525 vp = -0. vp = -0. 1 = -0. 1 = -0. 2 = -1. 2 = -1. Рис. 5.5. (Продолжение) Законы движения и фазовые проекции устойчивых и неустойчивых (g), (j) периодических режимов к рис. 5.3 и 5.4. На графиках законов движения условно показана вынуждающая сила H(t) Приведённые бифуркационные диаграммы позволяют проанализировать сложную динамику рассмотренной виброударной системы с большой диссипацией, позволяют определить области с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов, в которых существуют устойчивые хаотические аттракторы (рис. 5.6.) (a) = 4. Chaos-11 = 2.95 Chaos- (b) Chaos- Chaos- (с) Chaos- Chaos- Рис. 5.6. Законы движения (a), фазовые проекции (b) и отображения на плоскости Пуанкаре (c) для устойчивых хаотических режимов (см. рис. 5.3. и 5.4) Перейдём к рассмотрению «эквивалентной» системы с мягким ударом. Анализ системы (5.2) проводился для следующих параметров: m = 1, с1 = 100, с2 = 1, d = 0, b1 = 4.6, b2 = 0.5, h1 = 1, 0 = 0, = var. Здесь с1 – жёсткость учитываемого упора, b1 и коэффициенты линейной диссипации на участках линейной упругой b характеристики. Эти коэффициенты подбирались таким образом, чтобы уровень диссипации приблизительно соответствовал уровню диссипации в системе с жёстким ударом. Динамические характеристики, соответствующие данному набору параметров представлены на рис. 5.2. Результаты бифуркационного анализа бифуркационной группы 1Т представлены на рис. 5.7, а фазовые портреты и законы движения - рис. 5.8.

(a) c1/c2 = b1 = 4. b2 = 0. P P P4 P P UPI-1 P4 P2 P (b) c1/c2 = P b1 = 4. b2 = 0. P2 P P P P2 UPI-1 P4 P2 P P P (с) c1/c2 = P b1 = 4. b2 = 0. P2 устойчивый P неустойчивый P P UPI-1 P4 P2 P Рис. 5.7. Бифуркационная группа основного режима 1Т с UPI-1. Бифуркационные диаграммы для системы c мягким ударом при гармоническом возбуждении (ур. 5.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры: m = 1, с1 = 100, с2 = 1, d = 0, b1 = 4.6, b1 = 0.5, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

(a) P1 (1/1) P1 (1/1) E E xp = 0. vp = 0. i = 0. = 158.5o H(t) = 2. (b) = 2. P2 (2/2) P2 (2/2) E 2 E 2 E xp = -0. vp = 0. 1 = 0. 2 = 0. E (с) P4 (4/4) P4 (4/4) E 4 4 4 E E 4 E3 xp = 0. vp = -0. 1 = -0. = 2.95 2 = -0. (d) P2 (2/2) P2 (2/2) 2 E 2 E E xp =0. vp =0. i = 0. = 3.35 = 29.5o (e) = 4.55 P4 (4/4) P4 (4/4) 4 E 4 E1 E 4 4 E E4 xp = -0. vp = 0. 1 = 0. 2 = 0. Рис. 5.8. Законы движения и фазовые проекции устойчивых периодических для рис. 5.7. На графиках законов движения условно показана вынуждающая сила H(t) 5.3. Сравнение полных бифуркационных групп субгармонических режимов в виброударных системах с мягким и жёстким ударами В рассматриваемых системах, кроме режимов основной бифуркационной группы, существенными являются субгармонические режимы. Поэтому в данном разделе приведём данные бифуркационного анализа субгармонического режима для системы с жёстким ударом, расмотренной ранее, и для системы с мягким ударом при различных значениях коэффициента жёсткости упругого упора. Эти результаты приведены на рис 5.9.-5.12.

Основные отличия бифуркационных диаграмм для систем с мгновеным и мягким ударом состоят в следующем. Бифуркационную диаграмму для системы с жёстким ударом при изменении частоты вынуждающей силы не удаётся построить «полной» из-за явления «грейзинг» (касание упора с малой, близкой к нулю, скоростью). Кроме того, в системе с мгновенным ударом имеются области с бесконечным числом периодических режимов, которые отсутствуют в системе с мягким ударом (см., например, рис. 5.9. и 5.10. при = 5). Для системы с мягким ударом существенным является выбранное значение жёсткости упора.

Бифуркационный анализ диаграмм на рис. 5.9.-5.12. показывает, что в системе с мгновенным ударом и в системах с жёсткостью упора с1 = 100 и с жёсткостью упора с1 = 500 в некоторых областях (например, при 4.85) система имеет разное качественное поведение. Поэтому, имеющиеся в литературе рекомендации по замене системы с соотношением жёсткостей упора, начиная с 50, системой с мгновенным ударом являются неправомочными.

Кроме того, бифуркационный анализ в системе с мягким ударом, даже при наличии весьма большой жёсткости упора может быть полным, без разрывов в ветвях периодических режимов. Этот вывод справедлив для основной бифуркационной группы 1Т и для субгармонических режимов, в частности, бифуркационных групп 3Т.

Важным результатом проведённого исследования является свидетельство необходимости определения и учёта конечной жёсткости соударяющихся тел при анализе динамики виброударных систем.

Кроме того результаты исследования позволяют найти диапазоны параметров системы, при которых возможно полезное использование сложных и хаотических устойчивых режимов при наличии большой диссипации в системе.

(a) c1 = Р UРI-3 RA tip Р6 b = 0. R = -0. Р Р UРI- RA tip Р3 c Р a b Р Р3 unstable (b) a UРI-3 RA tip Р Р Р b c Р3 unstable RA tip Р3 Р Р3 UРI- Р3 Р (с) RA tip Р устойчивый a UРI-3 Р3 неустойчивый RA tip Р Р b c UРI- Р3 unstable Рис. 5.9. Бифуркационная группа субгармонического режима 3Т с двумя протуберанцами, двумя областями с UPI-3 и редкими аттракторами концевого типа Р3 и Р6. Бифуркационные диаграммы для виброударной системы с жёстким односторонним ударом с линейными упругой и диссипативной характеристиками при гармоническом возбуждении (ур. 5.1): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры:

m = 1, с = 1, b = 0.5, d = 0, R = -0.5, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

(a) c1/c2 = b1 = 4. b2 = 0. Р Р Р UРI- Р3 Р6 Р (b) c1/c2 = Р b1 = 4. b2 = 0. Р UРI- Р3 Р6 Р Р Р (с) c1/c2 = Р3 b1 = 4. b2 = 0. Р6 устойчивый неустойчивый UРI- Р6 Р Рис. 5.10. Бифуркационная группа субгармонического режима 3Т с двумя протуберанцами и областью с UPI-3. Полные бифуркационные диаграммы для виброударной системы с мягким односторонним ударом с билинейной упругой характеристикой и пропорциональным трением при гармоническом возбуждении (ур. 5.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры: m = 1, с1 = 100, с2 = 1, d = 0, b1 = 4.6, b2 = 0.5, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

(a) ab c1/c2 = Р3 b1 = 4. Р6 b2 = 0. Р Р3 unstable Р Р Р6 UРI- Р c Р Р Р3 Р (b) ab Р3 c1/c2 = Р6 b1 = 4. Р b2 = 0. Р Р3 unstable UРI- c Р3 Р Р Р Р3 Р Р Р (с) a Р Р3 c1/c2 = b1 = 4. b b2 = 0. Р Р Р3 unstable UРI- c устойчивый неустойчивый Рис. 5.11. Фрагмент бифуркационной группы субгармонического режима 3Т с двумя протуберанцами и областью с UPI-3 (рис. 5.10.). Полные бифуркационные диаграммы для виброударной системы с мягким односторонним ударом с билинейной упругой характеристикой и пропорциональным трением при гармоническом возбуждении (ур. 5.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры: m = 1, с1 = 100, с2 = 1, d = 0, b1 = 4.6, b2 = 0.5, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

(a) c1/c2 = a UРI-3 RA tip Р6 Р3 b1 = 4. b2 = 0. b Р Р Р3 unstable UРI- RA tip Р Р3 c Р Р (b) a c1/c2 = Р b1 = 4. b2 = 0. b Р Р3 unstable c UРI- Р RA tip Р UРI- Р Р RA tip Р (с) RA tip Р3 c1/c2 = b1 = 4. RA tip Р Р a b2 = 0. UРI- b Р UРI- c Р3 unstable устойчивый неустойчивый Рис. 5.12. Бифуркационная группа субгармонического режима 3Т с двумя протуберанцами и двумя областями с UPI-3. Полные бифуркационные диаграммы для виброударной системы с мягким односторонним ударом с билинейной упругой характеристикой и пропорциональным трением при гармоническом возбуждении (ур. 5.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры: m = 1, с1 = 500, с2 = 1, d = 0, b1 = 4.6, b2 = 0.5, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

5.4. Особенности динамики при наличии нескольких различных бифуркационных групп В заключительном разделе данной главы проведём сравнение бифуркационных диаграмм для рассмотренных ранее моделей с жёстким и мягким ударом при изменении частоты вынуждающей силы с учётом всех возможных бифуркационных групп в исследуемом диапазоне параметра.

Первоначально рассмотрим систему с жёстким ударом, соответствующую рис.

5.1., 5.3.-5.6. и 5.9. Результаты бифуркационного анализа представлены на рис. 5.13., на котором представлено четыре бифуркационные группы 1Т, 3Т, 4Т и 5Т.

Субгармонические периодические режимы Р2 принадлежат основной бифуркационной группе 1Т. Основной особенностью является сложное поведение системы между резонансными зонами, что проиллюстрировано на рис. 5.14. Кроме того, были обнаружены субгармонические острова с редкими аттракторами порядка 4Т при = 3, 6Т при = 5, 10Т при = 7 и др.

Бифуркационные диаграммы системы с мягким ударом, соответствующую рис.

5.2., 5.7, 5.8., 5.10. и 5.11., удаётся построить более полно. Топологическая структура и взаимодействие различных бифуркационных групп является более простыми. Результат бифуркационного анализа представлен на рис. 5.15. Представлено шесть бифуркационных групп 1Т, 3Т, 4Т, 5Т, 6Т и 7Т. Субгармонические периодические режимы Р2, так же как и в системе с жёстким ударом, принадлежат основной бифуркационной группе 1Т. Все представленные бифуркационные группы, за исключением группы 7Т, имеют области с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов.

Ещё одно отличие системы с жёстким ударом от системы с мягким ударом, с параметрами, соответствующими рис. 5.2., заключается в том, что область с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов не определена полностью.

Имеется каскад удвоения периода, приводящий к появлению UPI, но нет замыкающего каскада удвоения периода, т.к. ветви неустойчивых решений уходят далеко за пределы интересующего диапазона параметра. В системах с мягким ударом области UPI определены двусторонними каскадами удвоения периода.

Кроме того, ряд тонких особенностей найденных в системе с мгновенным ударом отсутствует в системе с мягким ударом. К ним, в частности, относятся редкие субгармонические острова в межрезонансных зонах.

(a) c1 = b = 0. Р R = -0. Р 3Т 1Т 4Т 5Т (b) Р Р 3Т 4Т 1Т 5Т (с) Р1 устойчивый неустойчивый 1Т Р 3Т 4Т 5Т UРI- UРI-3 UРI-4 UРI- Рис. 5.13. Четыре бифуркационные группы 1Т, 3Т, 4Т и 5Т, каждая со своим собственным UPI.

Субгармонические режимы Р2 принадлежат основной бифуркационной группе 1Т. Бифуркационные диаграммы для виброударной системы с жёстким односторонним ударом с линейными упругой и диссипативной характеристиками при гармоническом возбуждении (ур. 5.1): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры: m = 1, с = 1, b = 0.5, d = 0, R = -0.5, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

(a) c1 = 1 устойчивый b = 0.5 неустойчивый R = -0. Р Р 4T isle Р with RA Р Р UРI- Р Р (b) Р4 RA tip Р 6T isle UРI- RA tip Р7 with RAs Р Р UРI- 6T isle RA tip Р3 RA tip Р with RAs Р Р Р Р UРI- Р (с) Р RA tip Р Р3 Р Р Р UРI- RA tip Р Р6 UРI- Р Р UРI- Р Рис. 5.14. Примеры сложного динамического поведения системы между резонансными зонами для рис.

5.13. Бифуркационные диаграммы для виброударной системы с жёстким односторонним ударом с линейными упругой и диссипативной характеристиками при гармоническом возбуждении (ур. 5.1): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры: m = 1, с = 1, b = 0.5, d = 0, R = -0.5, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

(a) c1/c2 = Р1 Р2 3Т b1 = 4. b2 = 0. 4Т 1Т 5Т 6Т 7Т (b) Р Р1 3Т 4Т 1Т 5Т 6Т 7Т (с) Р1 устойчивый неустойчивый Р 1Т 3Т 4Т 5Т UРI- 6Т UРI- 7Т UРI- UРI- Рис. 5.15. Шесть бифуркационных групп 1Т, 3Т, 4Т, 5Т, 6Т и 7Т, каждая, кроме 7Т, со своим собственным UPI. Режимы Р2 принадлежат группе 1Т. Полные бифуркационные диаграммы для виброударной системы с мягким односторонним ударом с билинейной упругой характеристикой и пропорциональным трением при гармоническом возбуждении (ур. 5.2): (а), (b) координаты x, v неподвижной точки и (c) амплитуда колебаний Am периодического режима от частоты вынуждающей силы. Параметры: m = 1, с1 = 500, с2 = 1, d = 0, b1 = 4.6, b2 = 0.5, h1 = 1, 0 = 0, k = 7, = var.

5.5. Выводы В настоящей главе проведён глобальный анализ вынужденных колебаний в простейших виброударных системах с односторонним ударом на основе применения метода полных бифуркационных групп.

Рассмотрены две модели, описывающие виброударные системы. Первая – модель жёсткого удара, вторая – модель, мягкого удара. При проведении глобального бифуркационного анализа варьировались начальные условия и параметр – частота вынуждающей силы Построены типовые бифуркационные диаграммы.

.

Бифуркационные диаграммы для системы с мгновенным ударом не удаётся построить полными, что связано с явлением грейзинга.

Также проводилось сравнение результатов проведенного в работе бифуркационного анализа динамики жёстких и мягких виброударных систем и сделан вывод о том, что использование гипотезы мгновенного удара приводит к качественным ошибкам в межрезонансных областях даже при больших значениях соотношений жесткости упора к жёсткости самой системы.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.