авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«РИЖСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Владислав Евстигнеев Применение метода полных бифуркационных групп для анализа существенно нелинейных ...»

-- [ Страница 3 ] --

Таким образом, на основе метода полных бифуркационных групп построены типовые бифуркационные диаграммы для виброударных систем с односторонним ударом. Сравнение результатов проведенного в работе бифуркационного анализа динамики жёстких и мягких виброударных систем показало, что использование гипотезы мгновенного удара приводит к качественным ошибкам даже при больших значениях жесткости упора.

ГЛАВА 6. НОВЫЕ БИФУРКАЦИОННЫЕ ГРУППЫ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ В СИСТЕМЕ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ.......................................................................... 6.1. Введение.......................................................................................................................... 6.2. Исследуемая модель....................................................................................................... 6.3. Новая полностью неустойчивая полная бифуркационная группа субгармонического острова 2Т............................................................................................................................... 6.4. Изменения топологии полностью неустойчивого острова при варьировании параметров системы.............................................................................................................. 6.5. Выводы............................................................................................................................ ГЛАВА 6. НОВЫЕ БИФУРКАЦИОННЫЕ ГРУППЫ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ В СИСТЕМЕ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ В предыдущих главах рассматривалось применение метода полных бифуркационных групп к существенно нелинейным системам с одной степенью свободы.

Однако, возможно применение метода для глобального анализа вынужденных колебаний также в системах с несколькими степенями свободы.

6.1. Введение В настоящей главе будут рассмотрены вопросы, связанные с эффективностью применения метода полных бифуркационных групп к глобальному анализу вынужденных колебаний в нелинейных системах с несколькими степенями свободы на примере системы с двумя степенями свободы с двумя потенциальными ямами (рис. 6.1). Выбор модели обусловлен работой [155], в которой для указанной динамической модели для бифуркационной группы 1Т найдены области с периодическими, почти периодическими и хаотическими режимами, построены сложные протуберанцы и редкие аттракторы. Цель данной работы – показать, что метод полных бифуркационных групп позволяет находить новые незамеченные ранее режимы в системах с несколькими степенями свободы и, в частности, субгармонический остров, состоящий только из неустойчивых решений.

Таким образом, для модели, описываемой ур.6.1 необходимо на основе метода полных бифуркационных групп провести бифуркационный анализ при варьировании начальных условий и параметра – амплитуды вынуждающей силы h1. Аналогичные исследования могут быть проведены также при варьировании других параметров системы.

Материал в главе распределён следующим образом. В разделе 6.2. описана исследуемая модель – приведены упругие и диссипативные характеристики, свободные колебания и т.д. Следующий раздел 6.3. посвящён изучению топологии нового субгармонического острова 2Т при варьировании амплитуды вынуждающей силы h1.

Исследования изменения топологии полностью неустойчивого субгармонического острова при варьировании параметров системы проводятся в разделе 6.4. Основные результаты, полученные в настоящей главе приведены в разделе 6.5.: метод полных бифуркационных групп позволил найти бифуркационные группы со сложными протуберанцами, с редкими регулярными и хаотическими режимами, а также найти новую бифуркационную группу, «пустынный» остров, состоящий только из неустойчивых периодических режимов, в системе с двумя степенями свободы с тремя положениями равновесия. По-видимому, аналогичные результаты могут быть получены и для других систем с несколькими степенями свободы.

6.2. Исследуемая модель Исследуется цепная система двух тел, связанных между собой нелинейной упругой и линейной диссипативной связями, а вся система с основанием связана линейными упругой и диссипативной связями. Динамическая модель, характеристики сил, а также дополнительные характеристики, описывающие модель, такие как характеристики потенциальных энергий упругих связей и свободные колебания для оценки диссипации в системе, представлены на рис. 6.1. Уравнения движения модели m1x1 + b1x1 + c1x1 b 2 x c 21x c 22 x = h1cos(t + 0) && & & &&, (6.1) m 2 x 2 + b 2 x + c 21x + c 22 x = & где x1, x2 - обобщённые координаты, (x = x2 – x1);

m1, m2 - массы колеблющихся тел;

b1, b2 - коэффициенты линейного трения;

c1 - коэффициент жёсткости первой линейной упругой связи;

c21, c22 - коэффициенты жёсткости второй нелинейной упругой связи;

h1,, 0 - амплитуда, частота и фаза вынуждающей силы.

Результаты бифуркационного анализа представлены в последующих разделах.

6.3. Новая полностью неустойчивая полная бифуркационная группа субгармонического острова 2Т Бифуркационный анализ системы (ур. 6.1) с использованием метода полных бифуркационных групп проводился при варьировании начальных условий и параметра – амплитуды вынуждающей силы h1. Значения фиксированных параметров и результаты бифуркационного анализа представлены на рис. 6.2.-6.7.

h1cost (a) b1 x & b2 x & m1 m c1x1 c21x+c22x x1 x 0. 2 F21,2( x ) F12(x) (b) & F11(x) 0. & x F1_2 (x) x F2_1 ( v) x F1_1 ( x) 2 0 2 0 2 2 1 0 1 0. 1.8 0. 2 1. 1 0. П1(x) F3(t) П2(x) 1.82 1.1 1.8 1. 0.5 v 1 x 2 x t 0.5 F3 ( t ) 1_2( x) 1_1( x) 0. x 0 8 2 1 0 1 0.3 x 1. 0. 1. 0. 2 0 0 t 1. 1.8 x x (c) Рис. 6.1. Динамическая модель и её характеристики. (a) динамическая модель;

(b) – характеристики упругих и диссипативных сил действующих в модели, характеристики потенциальных энергий, соответствующих упругим силам и график внешней возмущающей гармонической силы;

(с) совместные свободные колебания первой и второй масс из начальных условий: x10 = 0.5, v10 = 0, x20 = 1.5, v20 = 0. Параметры системы:

m1 = m2 = 1, b1 = b2 = 0.2, c1 = 1, c21 = -1, c22 = 1, k = (a) Р2 Р1sym UРI- Р Р1asym Р1sym Р1sym Р1asym 2T twin isles Р4 RA Р1asym Р1 RA h1 = var.

h (b) Р1sym устойчивый неустойчивый Р1sym Р1 RA Р1asym 2T twin isles Р4 RA Р1asym Р Р1sym Р1asym Р1asym Р UРI- Р Р1asym h (с) Р1 RA 2T twin isles Р1asym Р1sym Р Р1sym Р4 RA Р1asym Р2 UРI- Р1asym h Рис. 6.2. Две бифуркационые группы: группа 1Т с редким аттрактором, UPI и почти периодическими колебаниями и группа полностью неустойчивых субгармонических островов 2Т. Полные бифуркационные диаграммы для цепной системы с двумя степенями свободы с тремя положениями равновесия второй массы m2 и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 6.1). (a), (b) координаты x1, v1 неподвижной точки первой массы от амплитуды вынуждающей силы h1;

(с) амплитуда колебаний Ax1 первой массы от h1. Параметры: m1 = m2 = 1, b1 = b2 = 0.2, c1 = 1, c21 = -1, c22 = 1, = 1, 0 = 0, k = 7, h1 = var.

(a) Р1asym h1 = var.

Р2 Р4 RA 2T twin isles Р2 Р1asym Р1asym Р1sym Р1 RA Р1asym Р1sym UРI- Р1asym Р4 RA Р 2T twin isles Р2 Р1asym h (b) Р4 RA 2T twin isles Р Р1 RA Р Р1asym Р1asym Р Р1asym Р Р1asym Р1sym UРI- 2T twin isles h (с) устойчивый неустойчивый 2T twin isles Р1sym Р4 RA UРI-1 Р2 Р1asym Р Р1sym Р1asym Р1 RA Р1asym Р1sym h Рис. 6.3. Две бифуркационые группы: группа 1Т с редким аттрактором, UPI и почти периодическими колебаниями и группа полностью неустойчивых субгармонических островов 2Т. Полные бифуркационные диаграммы для цепной системы с двумя степенями свободы с тремя положениями равновесия второй массы m2 и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 6.1). (a), (b) координаты x2, v2 неподвижной точки первой массы от амплитуды вынуждающей силы h1;

(с) амплитуда колебаний Ax2 первой массы от h1. Параметры: m1 = m2 = 1, b1 = b2 = 0.2, c1 = 1, c21 = -1, c22 = 1, = 1, 0 = 0, k = 7, h1 = var.

(a) E P1sym (1/1) h1 = P1sym (1/1) E xp = 0. vp = 0. 1i = 0. = 3.8o (b) P1sym (1/1) P1sym (1/1) E E xp = -0. vp = -0. 1i = -0. = 46.2o 3 (с) E P2 (3/2) h1 = 1 P2 (3/2) 3 E 3 E xp = -0. vp = 1. 1i = -0. = 70.1o (d) P2 (2/2) P2 (2/2) 2 E x 2 E 0 2 E xp = 0. vp = 0. - 21 = 22 = -38. - 0 2 4 6 8 10 t Рис. 6.4. Законы движения и фазовые проекции для цепной системы с двумя степенями свободы с тремя положениями равновесия второй массы m2 и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 6.1):

(a), (b) для первой и второй масс устойчивого периодического режима Р1, относящегося к бифуркационной группе 1Т (см. рис. 6.2, 6.3);

(c), (d) для первой и второй масс неустойчивого периодического режима Р2, относящегося к бифуркационной группе полностью неустойчивого субгармонического острова 2Т (см. рис.

6.2, 6.3). Параметры: m1 = m2 = 1, b1 = b2 = 0.2, c1 = 1, c21 = -1, c22 = 1, h1 = 1, = 1, 0 = 0, k = (a) h1 = var.

Р two fully unstable – “desert” 2T twin isles Р2 Р Р -0. 3, -0.50 1.030 1. h (b) Р Р Р Р two fully unstable – “desert” 2T twin isles h (с) two fully unstable – “desert” Р 2T twin isles Р4 Р h Рис. 6.5. Бифуркационые группы только двух взаимно симметричных полностью неустойчивых субгармонических островов 2Т (рис. 6.2.). Бифуркационные диаграммы для цепной системы с двумя степенями свободы с тремя положениями равновесия второй массы m2 и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 6.1). (a), (b) коор динаты x1, v1 неподвижной точки первой массы от амплитуды вынуждающей силы h1;

(с) амплитуда колебаний Ax первой массы от h1. Параметры: m1 = m2 = 1, b1 = b2 = 0.2, c1 = 1, c21 = -1, c22 = 1, = 1, 0 = 0, k = 7, h1 = var.

(a) h1 = var.

Р Р Р two fully unstable – “desert” Р4 2T twin isles Р Р h (b) Р Р Р Р Р4 two fully unstable – “desert” 2T twin isles Р h (с) two fully unstable – “desert” 2T twin isles Р Р Р h Рис. 6.6. Бифуркационые группы только двух взаимно симметричных полностью неустойчивых субгармонических островов 2Т (рис. 6.2.). Бифуркационные диаграммы для цепной системы с двумя степенями свободы с тремя положениями равновесия второй массы m2 и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 6.1). (a), (b) коор динаты x2, v2 неподвижной точки первой массы от амплитуды вынуждающей силы h1;

(с) амплитуда колебаний Ax первой массы от h1. Параметры: m1 = m2 = 1, b1 = b2 = 0.2, c1 = 1, c21 = -1, c22 = 1, = 1, 0 = 0, k = 7, h1 = var.

1. 1. 6: h1 = 1. 1: h1 = 1.0300 Im Im 0. 0. 0. 0. 0. 0. -0. -0. -0. -0. -0. -0. -0. -0. -1. -1. -5 0 5 10 15 20 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 Re Re 1. 3. 5: h1 = 1. 2: h1 = 1. Im Im 2. 0. 1. 0. 1. 0. 0. -0.5 -0. -1. -0. -1. -0. -2. -0. -2. -1. -3. -2 0 2 4 6 8 10 -1.0 -0.5 0 0.5 1. Re Re 1. 1. 4: h1 = 1. 3: h1 = 1.0348 Im Im 0. 0. 0. 0. 0. 0. -0. -0. -0. -0. -0. -0. -0. -0. -1. -1. -1 0 1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 4 Re Re Рис. 6.7. Поведение мультипликаторов (показателей устойчивости) на комплексной плоскости при прохождении бифуркации типа складка для полностью неустойчивого субгармонического острова 2Т в цепной системы с двумя степенями свободы с тремя положениями равновесия второй массы m2 и линейным трением при гармоническом возбуждении (ур. 6.1). Диаграммы соответствуют точкам, обозначенным на выноске рис. 6.5. Параметры: m1 = m2 = 1, b1 = b2 = 0.2, c1 = 1, c21 = -1, c22 = 1, = 1, 0 = 0, k = 7, h1 = var.

По-видимому впервые, обнаружена бифуркационная группа, полностью состоящая только из неустойчивых решений, т.е. хотя бы один из показателей устойчивости всегда находится за пределами единичной окружности. На рис. 6.2., 6.3. новая бифуркационная группа показана совместно с основной бифуркационной группой 1Т и отдельно на рис.

6.5., 6.6. Законы движения и фазовые проекции основного режима Р1 и субгармоничес кого Р2 представлены на рис. 6.4. Поведение показателей устойчивости на комплексной плоскости при прохождении складки на рис. 6.7. Останется ли «пустынный» остров таковым при варьировании других параметров системы?

6.4. Изменения топологии полностью неустойчивого острова при варьировании параметров системы Результаты предыдущего раздела получены при варьировании амплитуды вынуждающей силы. Варьирование других параметров системы, например, масс колеблющихся тел, коэффициентов линейной диссипации, отдельных коэффициентов жёсткости или частоты вынуждющей силы, приводит к появлению на неустойчивых ветвях субгармонического острова 2Т устойчивых периодических режимов – редких аттракторов. В качестве примера, на рис. 6.8. представлены бифуркационные диаграммы субгармонического острова 2Т с редкими аттракторами, областями с UPI и почти периодическими колебаниями при варьировании параметра m1. Законы движения и фазовые портреты отдельных режимов для этой диаграммы представлены на рис. 6.9.,6.10.

Как известно, в системах с одной степенью свободы редкий аттрактор с одной стороны ограничен бифуркацией типа складка, а с другой областью с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов. Сохраняется ли подобная структура редких аттракторов в системе с двумя степенями свободы? Рассмотрим несколько аттракторов, представленных на рис. 6.8.

Структура редкого аттрактора концевого типа при m1 0.9 аналогична структуре редких аттракторов в системе с одной степенью свободы: слева бифуркация типа складка, справа каскад удвоения периода, переходящий в область с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов (UPI-2). Соответствующий этой области UPI- хаотический аттрактор представлен на рис. 6.10. Редкий аттрактор при m1 1.2 с одной стороны ограничен бифуркацией типа складка, а с другой стороны, в результате бифуркации Андронова-Хопфа, областью почти периодических колебаний.

(a) m1 = var.

RA P RA P P2 P P P UPI-2 P2 unstable P4 RA P RA P P RA P P4 P P P P P RA P RA P UPI-2 P RA P8 RA P P2 P P2 unstable P P4 P8 P RA P P RA P P m (b) P4 P RA P m1 = var.

P8 P P2 P P P2 unstable P P8 RA P RA P RA P P4 UPI- P2 P2 P4 P2 unstable RA P RA P RA P P2 RA P UPI-2 P P P4 P2 P2 unstable P P RA P m (с) m1 = var.

P RA P P RA P P UPI-2 P P P2 P P2 unstable P2 unstable устойчивый RA P неустойчивый m Рис. 6.8. Бифуркационные диаграммы для демпфированной цепной системы с двумя степенями свободы с тремя положениями равновесия второй массы m2 при гармоническом возбуждении (рис. 6.1). (a), (b) координаты x1, v неподвижной точки первой массы от параметра m1;

(с) амплитуда колебаний Ax1 первой массы от m1. Показаны бифуркационые группы двух взаимно симметричных субгармонических островов 2Т с редкими аттракторами, хаосом и почти периодикой, бывших полностью неустойчивыми при варьировании h1 (рис. 6.5). Параметры: m2 = 1, b1 = b2 = 0.2, c1 = 1, c21 = -1, c22 = 1, h1 = 1, = 1, 0 = 0, k = 7, m1 = var.

(a) P2 (4/2) P2 (4/2) 4 E 4 E xp = -0. vp = 1. 1i = 0. = 37.6o E m1 = 0. 1. (b) P2 (2/2) P2 (2/2) x E 0.5 2 E 2 E -0. xp = -0. -1. vp = 0. 21 = -0. -1. m1 = 0.9000 22 = -0. 0 2 4 6 8 10 t (с) RA P2 (3/2) 3 RA P2 (3/2) E E 3 E xp = -0. vp = 1. 1i = 0. m1 = 1.2199 = 63.9o (d) RA P2 (2/2) RA P2 (2/2) E 2 2 E 2 E xp = -0. vp = -0. 2i = 0. m1 = 1.2199 = 23.5o Рис. 6.9. Законы движения и фазовые проекции для цепной системы с двумя степенями свободы с тремя положениями равновесия второй массы m2 при гармоническом возбуждении (ур. 6.1): (a), (b) для первой и второй масс устойчивого периодического режима Р2, относящегося к бифуркационной группе субгармонического острова 2Т (рис. 6.8 при m1 = 0.9000);

(c), (d) для первой и второй масс редкого аттрактора Р2, относящегося к группе субгармонического острова 2Т (рис. 6.8 при m1 = 1.2199). Параметры системы: m2 = 1, b1 = b2 = 0.2, c1 = 1, c21 = -1, c22 = 1, h1 = 1, = 1, 0 = 0, k = 7, m1 = var.

(a) Chaos-2 Chaos- m1 = 0. m1 = 0. (b) Chaos- Chaos- Chaos- Chaos- Рис. 6.10. Хаотические колебания, относящиеся к бифуркационной группе субгармонического острова 2Т (рис. 6.8) в цепной системе с двумя степенями свободы с тремя положениями равновесия второй массы m при гармоническом возбуждении (ур. 6.1). (a) плоскость Пуанкаре для первой и второй масс, показаны периодов из начальных условий x10 = -0.042325, v10 = 1.517680, x20 = -0.289490, v20 = 0.031809;

(b) законы движения и фазовые проекции для первой и второй масс, показаны 16 периодов. Параметры: m1 = 0.9105, m2 = 1, b1 = b2 = 0.2, c1 = 1, c21 = -1, c22 = 1, h1 = 1, = 1, 0 = 0, k = 6.5. Выводы В настоящей главе рассмотрены вопросы, связанные с применением метода полных бифуркационных групп к глобальному анализу вынужденных колебаний в нелинейных системах с несколькими степенями свободы на примере системы с двумя степенями свободы с двумя потенциальными ямами.

Проведён бифуркационный анализ цепной системы с двумя степенями свободы с тремя положениями равновесия второй массы при гармоническом возбуждении.

Варьировался параметр амплитуды вынуждающей силы. В результате был обнаружен полностью неустойчивый субгармонический остров 2Т. Далее исследовалось изменение топологии «пустынного» острова при варьировании других параметров системы. В частности, приведены результаты бифуркационного анализа при варьировании массы первого тела.

Таким образом, при использовании метода полных бифуркационных групп для системы с двумя степенями свободы найден новый нелинейный эффект. В частности, для системы с тремя положениями равновесия найдена неизвестная ранее бифуркационная группа субгармонических режимов – «пустынный» остров, состоящий только из неустойчивых периодических режимов. Из этого неустойчивого острова при изменении параметров системы рождаются редкие устойчивые периодические и хаотические режимы.

ГЛАВА 7. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ СЛОЖНЫХ РЕГУЛЯРНЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В ЗАДАЧАХ ВИБРОТЕХНИКИ............................................................................................................ 7.1. Введение.......................................................................................................................... 7.2. Экспериментальные исследования многорежимности в билинейной системе при гармоническом инерционном возбуждении....................................................................... 7.3. Влияние привода ограниченной мощности на колебательную систему в условиях многорежимности.................................................................................................................. 7.4. О новых возможностях использования нелинейной колебательной системы в качестве вибропреобразователя движения......................................................................... 7.5. Выводы............................................................................................................................ ГЛАВА 7. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ СЛОЖНЫХ РЕГУЛЯРНЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В ЗАДАЧАХ ВИБРОТЕХНИКИ Как уже отмечалось основной целью диссертации являлось отработка методики и подходов по применению метода полных бифуркационных групп для глобального анализа типовых колебательных систем и поиска новых неизвестных ранее сложных регулярных и хаотических режимов. В настоящей главе будет показано, что многие найденные в предыдущих главах режимы могут служить основой для использования в вибромашинах. Отметим, что полученные в настоящей главе теоретические и экспериментальные результаты следует рассматривать как предварительные при разработке конкретных вибромашин. Они также могут послужить базой для разработки более сложных, по сравнению с рассматриваемыми в диссертации, динамических моделей, учитывающих технологическую нагрузку, дополнительные степени свободы модели, динамические характеристики электропривода и систему управления.

7.1. Введение и постановка задачи В предыдущих главах использование метода полных бифуркационных групп позволило найти ряд сложных регулярных и хаотических режимов при исследовании простейших существенно нелинейных колебательных и виброударных систем. Эти режимы могут найти применение в вибротехнике: виброшлифование, вибросварка, виброрезание, виброударные стенды и др. Целью настоящей главы является обоснование возможности использования многорежимности и управление вибрационной системой в более реальных моделях, чем рассмотренные ранее в диссертации.

Для этих целей была разработана и изготовлена вибрационная установка с целью натурных экспериментальных исследований в простейшей нелинейной колебательной системе. Этому вопросу посвящён раздел 7.2.

Результаты, представленные в предыдущих главах, получены без учёта мощности привода, т.е. по умолчанию предполагалось, что мощность привода являлась бесконечно большой. В разделе 7.3. рассматривается нелинейная колебательная система с учётом характеристики электропривода с целью изучения влияния этих характеристик на возможность реализации сложных периодических, хаотических колебаний и многорежимности. В следующем разделе 7.4. приведены примеры разнообразных сложных режимов, которые по мнению автора могут представлять интерес для использования в различных технологических вибрационных машинах, в частности с использованием нанотехнологий.

7.2. Экспериментальные исследования многорежимности в билинейной системе при гармоническом инерционном возбуждении Для экспериментального натурного исследования сложных колебательных режимов была изготовлена экспериментальная установка (рис. 7.1.), модель которой в первом приближении можно рассматривать как систему с одной степенью свободы.

Колебательная часть системы состоит из консольной жёсткой балки (1), шарнирно закреплённой на неподвижном корпусе с возможностью угловых колебаний в вертикальной плоскости. Нелинейный восстанавливающий момент обеспечивался пружинами (4), закреплёнными к неподвижному основанию. При этом пружины были подобраны таким образом, чтобы обеспечить упругую характеристику с коэффициентами жёсткости c1 = 1.5 N/mm и c2 = 23.6 N/mm, т.е. чтобы обеспечить билинейный закон восстанавливающей силы 1/16. К балке (4) жёстко прикреплён электродвигатель (2) с эксцентриком (3), который при вращении обеспечивает нелинейные вынужденные колебания жёсткой балки (1). Изменение скорости вращения осуществлялось регулированием напряжения, подаваемого на двигатель. Измерения колебаний производились бесконтактно с использованием виброметра фирмы Polytec РSV-400. Учитывая малые угловые колебания балки, принималось, что колебания в точке А можно рассматривать как вертикальные. Момент инерции колебательной системы по отношению к шарниру О определялся из динамических испытаний. На первом этапе исследования записывались свободные затухающие колебания (рис. 7.2.), обработка которых позволила оценить коэффициент потерь = П / П0. Для рассматриваемой установки он равен 0.5, что примерно соответствует коэффициенту b = 0.18 в уравнении 3.2.

Экспериментально изучались устойчивые периодические колебания различной сложности, часть из которых показана на рис. 7.3.-7.5.

В результате обработки экспериментальных данных строились закон движения и проекции фазовых траекторий. Для определения частоты и фазы колебательного режима, а также порядка m/n периодического режима при прохождении эксцентриком определённой фазы измерялся и записывался электрический импульс (см. рис. 7.3, а).

c (a) A x A x m c m (b) 4 А Рис. 7.1. Экспериментальная установка. (a) кинематическая схема, (b) экспериментальная установка:

1– жесткая балка;

2 – двигатель;

3 – эксцентрик;

4 – пружины;

5 – шарнир 0.5 v, м/с 0. x, м x, м t, с Рис. 7.2. Экспериментальные затухающие процессы для экспериментальной установки (рис. 7.1.).

Коэффициент потерь = П / П (a) = 10 Гц P1 (1/1) P1 (1/1) v, м/с x, м x, м t, с (b) P1 (2/1) v, м/с = 6.5 Гц P1 (2/1) x, м x, м t, с Рис. 7.3. Примеры экспериментальных законов движения и проекций фазовых траекторий (a) (b) (c) P1 (2/1) P1 (1/1) P2 (1/2) v, м/с v, м/с v, м/с x, м x, м x, м = 6.5 = 10 = Рис. 7.4. Примеры экспериментальных проекций фазовых траекторий режимов: (а) супергармони ческого характера;

(b) с периодом вынуждающей силы;

(с) субгармонического характера (a) (b) (c) P1 (1/1) P6 (6/6) P4 (1/4) v, м/с v, м/с v, м/с x, м x, м x, м = 40 = 40 = Рис. 7.5. Пример экспериментально обнаруженной многорежимности при = 40 (4p). Данная ситуация качественно соответствует результатам, представленным на бифуркационной карте (рис. 4.10) для билинейной системы При изменении частоты вынуждающей силы получено, что в системе могут быть реализованы режимы супергармонического характера (рис. 7.4.а), субгармонические режимы (рис. 7.4.c, рис. 7.5.b,c) различного порядка и сложные режимы, близкие к хаотическим. Найдена частота возбуждения, на которой система имеет три различных устойчивых режима: режим с периодом вынуждающей силы (рис. 7.5.а), субгармонический режим Р4 порядка 1/4 (рис. 7.5.с) и сложный субгармонический режим Р6 (рис. 7.5.b). Данная ситуация качественно соответствует области на бифуркационной карте (рис. 4.10), где имеется три устойчивых режима при частоте вынуждающей силы равной четырёхкратной собственной частоте.

Таким образом, показано, что в простейшей системе могут быть реализованы сложные периодические режимы. Как уже отмечалось, проведённые экспериментальные исследования носят приближённый характер, но могут служить базой при разработке вибрационных машин с использованием сложных режимов.

7.3. Влияние привода ограниченной мощности на колебательную систему в условиях многорежимности Как было показано ранее, основные новые результаты при исследовании нелинейных колебательных систем, получены без учёта динамических характеристик электропривода. Хотя первые задачи по исследованию систем с источником энергии были проведены ещё в начале 60-х годов (И.И.Блехман, В.О.Кононенко и др.) вопросы анализа существенно нелинейных колебательных систем, в которых возможна многорежимность, до настоящего времени остаются недостаточно изученными. В задачу настоящего исследования входит выяснение вопроса – каким должен быть источник энергии, чтобы можно было реализовать в технологических машинах нелинейные эффекты, в частности, сложные периодические и хаотические колебательные процессы.

m bX & r H( ) & L( ) & m1 x f(x) Рис. 7.6. Динамическая модель системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при инерционном возбуждении с учётом характеристик привода ограниченной мощности (ур. 7.1).

В отличие от моделей, рассмотренных ранее, в которых внешнее возбуждение имело фиксированные параметры, в настоящем параграфе будем считать, что угловая скорость, функцией которой является вынуждающая сила (момент) H(t), зависит как от фазовых параметров системы, так и от параметров привода. Вставить рис. сюда) Рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть момент на валу двигателя вблизи рассматриваемой частоты * описывается линейной зависимостью. В зависимости от параметров стационарного режима, регулярного или хаотического, в системе может установится один или несколько режимов вблизи частоты *.

В случае учёта взаимодействия нелинейной колебательной системы и привода система уравнений движения выглядит следующим образом (рис. 7.6.):

(m1 + m2) && + bx + f ( x) = m 2r cos + m2rsin &2 && & x, (7.1) m2r 2 = L( ) H ( ) + m2r&&sin && & & x где m1, m2 – инерционные коэффициенты;

x – позиционная координата;

– циклическая координата;

r – радиус инерции;

b – коэффициент линейного трения;

f(x) – билинейная упругая сила;

L( ) – статическая характеристика крутящего момента & источника энергии, H( ) – момент сил сопротивления вращательному движению.

& В этой системе при * = 5 характеристики L( ) и H( ) записывались так:

& & L( ) = 1000 (5.01 - );

H( ) = 10.

& & & & (7.2) Будем рассматривать следующую задачу: для выбранных параметров модели m1 = m2 = 0.5, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, r = 0.08 (в этом случае система аналогична системе с одной степенью свободы, описываемой уравнением 3.2 с параметрами, соответствующими разделу 4.3.) и параметров характеристик электродвигателя (ур. 7.2) проведём бифуркационный анализ при изменении b с целью нахождения параметров диссипации, при которой в системе возможна многорежимность. После нахождения области многорежимности произведено исследование ядер областей притяжения.

Бифуркационный анализ производился на основе метода полных бифуркационных групп при помощи программы SPRING [155], ядра областей притяжения оценивались на основе контурного отображения также с использованием программы SPRING.

Результаты бифуркационного анализа при варьировании коэффициента линейной диссипации b представлены на рис. 7.7. Из бифуркационной диаграммы следует, что многорежимность имеет место в зоне b = 0 0.9.

(a) P3 P UPI-1 P P4 P P P устойчивый неустойчивый b (b) P P3 P8 P4 P2 P UPI- P b (с) b = var.

P UPI-1 P P8 P4 P b Рис. 7.7. Полные бифуркационные группы 1Т c областью UPI и 3Т. Бифуркационные диаграммы для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при инерционном возбуждении с учётом мощности двигателя (ур. 7.1). (a), (b) координаты x1, v1 неподвижной точки рабочей массы при изменении коэффициента линейного трения b;

(с) амплитуда колебаний Ax1 рабочей массы от b.

Параметры: m1 = m2 = 0.5, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, r = 0.08, k = 7, b = var.

x1() = P P Chaos- P b = 0.6, v1() = Рис. 7.8. Многорежимность: ядра областей притяжения периодического Р3 и хаотического Chaos- режимов, относящихся к бифуркационным группам 3Т и 1Т соответственно, для системы с билинейной упругой характеристикой и линейным трением при инерционном возбуждении с учётом мощности двигателя (ур. 7.1). Построение ядер областей притяжения производилось путём контурного отображения. Параметры: m1 = m2 = 0.5, с1 = 1, с2 = 16, d = 0, b = 0.6, r = 0.08, k = На сечении Пуанкаре показаны два устойчивых режима, соответствующие случаю с b = 0.6, один из которых является субгармоническим Р3, а второй хаотическим режимом (рис. 7.8.). Эти режимы принадлежат различным бифуркационным группам. На рис. 7.8. показаны ядра областей притяжения двух аттракторов – хаотического Chaos-1 и периодического Р3. Таким образом получено, что в системе с двумя степенями свободы (7.1) с учётом двигателя могут сосуществовать устойчивый хаотический режим и устойчивый субгармонический режим.

Эти результаты следует рассматривать как предварительные. В дальнейшем планируется проведение более детального анализа для изучения влияния параметров электропривода на возможность управления вибрационной системой в условиях многорежимности.

7.4. О новых возможностях использования нелинейной колебательной системы в качестве вибропреобразователя движения Полученные в диссертации результаты бифуркационного анализа с использованием метода полных бифуркационных групп позволяют рассматривать новые возможности использования колебательной системы как вибропреобразователя.

В качестве примера на рис. 7.9. показаны проекции фазовых траекторий для простых систем, как результат вибропреобразования простого гармонического возбуждения в сложное колебательное.

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) Рис. 7.9. Хаотические и периодические устойчивые колебания в системе с нелинейной позиционной силой, вязким трением и гармоническим возбуждением. Рисунок иллюстрирует некоторые возможности нелинейного вибропреобразователя, преобразующего простое вынужденное воздействие в сложное движение: (а)-(f) хаотические стационарные режимы, (g, h) режимы с большим числом остановок за период колебаний, (i, j) виброударная система с шестью (симметричная) и девятью (несимметричная) ударами за период.

Рассмотрим некоторые проблемы создания нелинейных колебательных систем (нелинейных преобразователей) простого гармонического колебания в сложное движение и возможную систему управления системой при наличии многорежимности.

Система управления может быть различного иерархического уровня (рис. 7.10.):

управление по состоянию (фазовым координатам);

управление по параметрам (нелинейная жесткость, нелинейная диссипация, частота и амплитуда вынуждающей силы, зазоры и т.д.);

управление структурой (изменение числа степеней свободы, введение дополнительных нелинейных элементов и ограничителей и др.);

комбинированное управление. Важным элементом вибропреобразователя является привод, динамические характеристики которого должны учитываться при его разработке.

Привод Нелинейная упруго- Исполнительное h,, диссипативная система звено механизма f(x, x, R) x, x Контроль:

Контроль фазового Формирование управления - управляемых параметров P cостояния x, x - структуры S Рис. 7.10. Функциональная схема вибропреобразователя В настоящее время возможностям управления сложными режимами уделяется большое внимание в различных областях техники (см., например, справочник по управлению хаотическими режимами, Handbook of Chaos Control, 2008).

Проиллюстрируем возможность управления хаотическими режимами по фазовому состоянию.

(b) (a) h1=4. h1=1. right chaos Сhaos left chaos Р Рис. 7.11. Управление хаотическими режимами по фазовому состоянию и параметрам в системах с трилинейной упругой характеристикой. (а) Система с зазором с двумя устойчивыми режимами: с периодом внешнего воздействия 1Т и стационарным хаотическим режимом;

(b) два взаимно симметричных хаотических режима в системе жесткого типа. Представленные рисунки получены Р.Смирновой На рис. 7.11.а система с трилинейной упругой характеристикой с зазором имеет устойчивый периодический режим Р1 (его область заштрихована) и хаотический аттрактор. На рис. 7.12.b представлен случай двух взамносимметричных хаотических режимов в такой-то системе. Для управления хаотическими режимами могут быть использованы построенные области притяжения соответствующей фазе = 0 или построены полные области притяжения в трёхмерном фазовом пространстве.

Построение областей притяжения совместно с полными бифуркационными диаграммами позволяет разработать новые методы управления системой в условиях многорежимности с оптимизацией процесса переключения и уменьшения времени переходных процессов.

7.5. Выводы Данная глава посвящена рассмотрению возможностей использования многорежимности, а также хаотических колебаний наряду со сложными периодическими, например, субгармоническими или супергармоническими колебаниями, для различных технологических машин и механизмов при простом (гармоническом) возбуждении, в частности, при шлифовальных работах, при резании, для лабораторных и промышленных вибростендов (виброплощадок), для перемешивания многокомпонентных сред, например, при подготовке бетонных композиционных смесей, при финишной обработке деталей в виброконтейнерах и др.

Для этих целей была разработана и изготовлена вибрационная установка и проведены натурные экспериментальные исследования в простейшей нелинейной колебательной системе, исследована нелинейная колебательная система с учётом характеристик электропривода и показана возможность реализации сложных периодических, хаотических колебаний и многорежимности, а также рассмотрены примеры разнообразных сложных режимов, которые по мнению автора могут представлять интерес для использования в различных технологических вибрационных машинах, в частности с использованием нанотехнологий Таким образом, показана возможность практического использования новых результатов работы в задачах нелинейной вибротехники: виброперемещение, виброперемешивание, виброшлифование, вибросварка и др. Проанализировано влияние электропривода при использовании явления многорежимности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Диссертационая работа посвящена применению нового метода полных бифуркационных групп, позволяющего находить новые нелинейные эффекты бифуркационные группы, неизвестные ранее периодические и хаотические режимы, для глобального анализа существенно нелинейных колебательных и виброударных систем, и возможности использования новых результатов в задачах вибротехники.

В диссертационной работе получены следующие основные новые результаты:

1. Использован метод полных бифуркационных групп для качественного глобального анализа вынужденных колебаний в существенно нелинейных колебательных и виброударных системах с использованием комплексного подхода. Исследована качественная топология различных бифуркационных групп и найдены новые периодические и хаотические режимы.

2. Использование метода полных бифуркационных групп для исследования вынужденных колебаний в простейшей колебательной системе с билинейной упругой характеристикой позволило найти новые бифуркационные группы, бифуркационные группы со сложными протуберанцами, с редкими периодическими и хаотическими режимами.

3. Изучено взаимодействие различных бифуркационных групп на примере колебательной системы с билинейной упругой характеристикой. Построены бифуркационные карты на плоскости двух параметров. Показано, что наличие бифуркационных подгрупп с бесконечным числом неустойчивых режимов (UPI) всегда приводит к хаотическому поведению системы: хаотическому аттрактору или переходному хаосу.

4. На основе метода бифуркационных групп исследованы типовые диаграммы для виброударных систем с односторонним ударом. На основании анализа динамики жёстких и мягких виброударных систем показано, что использование гипотезы мгновенного удара может приводить к качественным ошибкам.

5. При глобальном анализе нелинейных систем с несколькими степенями свободы метод полных бифуркационных групп позволяет находить новые нелинейные эффекты. В частности, в системе с двумя степенями свободы с тремя положениями равновесия найдена бифуркационная группа – «пустынный» остров, состоящий только из неустойчивых периодических режимов. При изменении параметров системы из этого острова рождаются редкие устойчивые периодические и хаотические режимы.

6. По-видимому впервые, получено, что различные бифуркационные группы с редким аттрактором концевого типа для рассматриваемых существенно нелинейных колебательных и виброударных систем всегда имеют свой хаотический аттрактор.

7. Показана возможность использования результатов работы в задачах нелинейной вибротехники: виброперемещение, виброперемешивание, виброшлифование, вибросварка и др. Проанализировано влияние электропривода при использовании явления многорежимности.

Таким образом в работе показано, что использование метода полных бифуркационных групп позволяет проводить глобальный бифуркационный анализ существенно нелинейных колебательных и виброударных систем, находить новые нелинейные эффекты, бифуркационные группы, неизвестные ранее периодические и хаотические режимы, что проиллюстрировано на типовых кусочно-линейных и гладких нелинейных системах с одной и двумя степенями свободы и показана возможность использования новых результатов в задачах вибротехники.

ЛИТЕРАТУРА 1. Anishchenko V. S., Vadivasova T.E., Astakhov V.V., Sosnovtseva O.V., Chua L.O., Wu C.W., Dynamics of the Nonautonomous Chua’s Circuit. // Int. J. Bifurcation and chaos, 1995, V. 5, N 6.

2. Astashev V.K., Varygin M.S., Semenova E.B. Of the models of high Frequency vibro-impact processes in systems with dry friction. - In Proceeding of the International XIII Symposium on the Dynamics of Vibroimpact (Strongly Nonlinear) System, Moscow: Russian Academy of Sciences, 2001 – pp. 103-105.

3. Auzins J., Boiko A. Various approaches for the Simulation of Mechanisms with Flexible Beams // in E. Lavendelis and M. Zakrzhevsky (eds.), Proceedings of the IUTAM/ IFToMM Symposium on Synthesis of Nonlinear Dynamical Systems, held in Riga, Latvia, 1997, Kluwer Academic Publishers, Printed in the Niderlands, 1-12 2000, pp. 49-56.

4. Auzins J., 0. Grapis Jr. Iterative Computer Models for Dynamics of Multibody Mechanical Systems //In Proceedings of International Symposium Analysis and Synthesis of Nonlinear Dynamical Systems in Mechanics. Riga, 1996. p.5- 5. Babitzky V.I., Landa P.S., Olkhovoy A.F., Perminov S.M. Stochastical behaviour of auto-oscillation systems with inertial self-excitation. ZAMM 66, 1986. – pp. 73-81.

6. Banach L., Panovko G. Method for vibroimpact sealing of soil medium. - In Proceeding of the International XIII Symposium on the Dynamics of Vibroimpact (Strongly Nonlinear) System, Moscow: Russian Academy of Sciences, 2001 – p.106.

7. Blekhman I. I. Forming the Properties of Nonlinear Mechanical Systems by Means of Vibration, in E. Lavendelis and M. Zakrzhevsky (eds.), Proceedings of the IUTAM/ IFToMM Symposium on Synthesis of Nonlinear Dynamical Systems, held in Riga, Latvia, 1997, Kluwer Academic Publishers, Printed in the Niderlands, 1-12 2000, pp. 1-12.

8. Doole S. H., Hogan S. J. A Piecewise Linear Suspension Bridge Model: Nonlinear Dynamics and Orbit Continuation, Dynamics and Stability, 1996, v.ll, Nl.

9. Ehrich F.F. Observations of subcritical superharmonic and chaotic responses, ASME Journal of Vibration and Acoustics, 114, 1992, pp. 93-100.

10. Grasmanis B., Vba J. Sadursmju ptjumi mehnisks sistms ar vairkm nenoturom saitm.

Pasaules latvieu zintnieku kongress, Rga, 2001, 547.

11. Guckenheimer J., Holmes P. J. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, New York, 1983.

12. Guttalu R.S. Cell Mapping Analysis of Hydrodynamic Instability Model, //In Proceeding of the 2nd European Nonlinear Oscillations Conference, Prague, 1996. v. 2. p.67-70.

13. Hsu C. S. Cell-to-Cell Mapping: A Method of Global Analysis for Nonlinear Systems. Springer Verlag. New York. 1987.

14. Ivanov A. P. Impact Oscillations;

Linear Theory of Stability and Bifurcations. Journal of Sound and Vibration, V.178(3). Akad.Verl., 1993, p.129- 15. Kreuzer E., Wendt M. Ship Capsizing as a nonlinear Dynamics Problem, in E. Lavendelis and M.

Zakrzhevsky (eds.), Proceedings of the IUTAM/ IFToMM Symposium on Synthesis of Nonlinear Dynamical Systems, held in Riga, Latvia, 1997, Kluwer Academic Publishers, Printed in the Niderlands, 2000, pp. 37-48.

16. Kuznetsov A.P., Potapova A.Yu., Knudsen C., Mosekilde E. Complex dynamics of the nonlinear oscillators with multi-wells potencial functions. 17. Landa P.S. Regular and Chaotic Oscillations. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2001.- 395 p.

18. Landa P.S., McClintock P.V.E. Changes in the dynamical behavior of nonlinear systems induced by noise. Phys. Rep. 323, 2000. – pp. 1-80.

19. Landa P. S. Nonlinear Oscillations and Waves in Dynamical Systems. Kluwer Academic Publ., Dortrecht-Boston-London, 1996.

20. Natsiavas S. Periodic response and stability of oscillators with symmetric trilinear restoring force, Journal of Sound and Vibration, 134(2), 1989, pp. 313-331.

21. Neimark Yu.I. Some problems of the qualitative theory of vibrations. – Adv. Mech. 14, 1991 – pp.

87- 22. Nordmark A. B. Grazing Conditions and Chaos in Impacting Systems. Doctoral Thesis, Stockholm, 1992.

23. Nordmark A. B. Non-Periodic Motion Caused by Grazing Incidence in an Impact Oscillator. Journal of Sound and Vibration, 1991. 145(2), p.279- 24. Panovko G. Ya. Nonlinear Theory and Practice of Vibrating Technological Processes. //In Proceeding of the 2nd European Nonlinear Oscillations Conference, Prague 1996. v.2. p.169-173.

25. Peterka F. Vibro-Impact Systems. Chapter from the Encyclopedia of Vibration, appeared in Academic Press, sept. 2001, pp. 1531-1548.

26. Peterka F., Tondl A. Dynamics of oscillator with piece-wise linear model of impact interaction, Colloquium Dynamics of Machines 2001, Institute of Thermomechanics AS CR, February 6-7, 2001.

27. Peterka F., Tondl A. Oscillator with soft impact interaction. // 5th International Conference on Vibration Problems (ICOVP), Moscow, October 8-10, 2001 - 81pp.

28. Peterka F. Bifurcations and Transition Phenomena in Impact Oscillator. //In Proceedings of International Symposium Analysis and Synthesis of Nonlinear Dynamical Systems in Mechanics.

Riga, 1996. p.118- 29. Peterka F., Kotera T. Different Ways from Periodic to Chaotic Motion in Mechannical Vibroimpact Systems. //In Proceedings of the 9th World Congress of the Theory of Machines and Mechanisms.

Politecnico of Milano, Italy, August 30 - September 2, 1995.

30. Peterka F., Vacik J. Transition to chaotic motion in mechanical systems with impacts, Journal of Sound and Vibration, 154(1), 1992, pp. 95-115.

31. Schll. Handbook of Chaos Control. Wiley, 32. Schukin I., Zakrzhevsky M. Rare attractors in discrete regular and chaotic dynamics. In Proceeding of the International Summer School “Nonlinear Dynamics, Chaos, Catastrophes and Control”, Jurmala – Riga, 2002, pp. 36-38.

33. Schukin I. Particularities of the behavior of the piecewise linear systems with impulse excitation and impact damping. Scientific proceedings of Riga Technival university - Mechanics, Riga, 2002, pp.

137-141.

34. ukins I. Neliner dinamika: jaunais par universliem raksturojumiem prej uz haosu. II pasaules latvieu zintnieku kongress, Rga, lpp. 2001, 567.

35. Shaw S.W., Holmes P.J. A Periodically Forced Piecewise Linear Oscillator, Journal of Sound and Vibration, 90(1), 1983, pp. 129-155.

36. Sin V.W.T., Wiercigroch M. Experimental Study of Symmetrical Piecewise Linear Oscillator, Prague, In Proceeding of the 2nd ENOC, 1996, Vol.2, pp. 227-230.

37. Sin V.W.T., Wiercigroch M. A symmetrical piecewise linear oscillator: design and measurement, In Proceeding of the Instn. Mech. Engrs., Vol 213, Part C, 1999, pp. 241-249.

38. Smirnova R., Schukin I., Yevstignejev V., Ivanov Y., Zakrzhevsky M. Regular and chaotic driven oscillations with nonlinear dissipation. In Proceeding of the International Summer School “Nonlinear Dynamics, Chaos, Catastrophes and Control”, Jurmala – Riga, 2002, pp. 39-41.

39. Stenson A., Nordmark A.B. Experimental investigations of some consequences of low impacts in the chaotic dynamics of mechanical system, Phil. Trans. R. Soc. Lond., Vol. A347, 1994, pp. 439-448.

40. Stewart H. B., Thompson J. M. T. Towards a classification of generic bifurcations in dissipative dynamical systems. Dynamics and Stability of Systems 1, 1986. 87-96pp.

41. Szemplinska-Stupnicka W. and Rudowski J. Local Methods in Predicting an Occurrence of Chaos in Two-Well Potential System: Superharmonic Frequency Region, J. Sound and Vibration. 152, 1992, 57-72.

42. Szemplinska-Stupnicka W. Cross-Well Chaos and Escape Phenomena in Driven Oscillators, Nonlinear Dynamics, 3, 1992, 225-243.

43. Thomsen J.J., Vibrations and Stability. Advanced Theory, Analysis, and Tools, Springer, 2003.

44. Thompson J. M. T., Bishop S. R. Nonlinearity and Chaos in Engineering Dynamics. John Wiley and Sons, Inc. 1994.

45. Thompson J. M. T., Stewart H. B. Nonlinear Dynamics and Chaos (second edition). John Wiley & Son Ltd. 2002. – 473 с.

46. Thompson J. M. T., Stewart H. B. A Tutorial Glossary of Geometrical Dynamics. World Scientific Publishing Company: International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 3;

N2. 1993. 223-239pp.

47. Thompson, J. M. T. and McRobie, F. A.: Indeterminate Bifurcations and the Global Dynamics of Driven Oscillators, Berlin: Akad. Verl., In Proceeding of the 1st European Nonlinear Oscillations Conference, 1993, pp. 107-128.

48. Tsyfansky S., Beresnevich V. Nonlinear Vibrodiagnostics of Engineering Objects. In Proceedings of International Symposium Analysis and Synthesis of Nonlinear Dynamical Systems in Mechanics.

Riga, 1996. p.140- 49. Ueda Y. Survey of Regular and Chaotic Phenomena in the Forced Duffing Oscillator. /Chaos, Solitons and Fractals Vol. 1. No. 3. 1991. pp. 199-231.

50. Ueda Y. The Road to Chaos. Aerial Press. Inc. Santa Cruz, 1993. 223 p.

51. Wiercigroch M. Modelling of dynamical systems with motion dependent discontinuities. Chaos, Solitons and Fractals, 11, 2000, 2429-2442.

52. Wiercigroch M., Sin V.W.T. Experimental Study of a Symmetrical Piecewise Base-Excited Oscillator, ASME, jornal of Applied Mechanics, Vol 65, 1998, pp. 657-663.

53. Zakrzhevsky M. The theory of rare phenomena and rare attractors. – St. Peterburg, XXIX Summer Scholl “Advanced Problems in Mechanics”, June 21-30, 2001.

54. Zakrzhevsky M. Periodical and Chaotical Rare Attractors. – Nizhny Novgorod, Progress in Nonlinear Science. International conference dedicated to the 100th anniverversany of A. A.

Andronov, June 2-6, 2001.

55. Zakrzhevsky, M.: Nonlinear oscillatory and vibro-impact systems: rare attractors - In Proceeding of the International XIII Symposium on the Dynamics of Vibroimpact (Strongly Nonlinear) System, Moscow: Russian Academy of Sciences, 2001 – pp. 156-162.

56. Zakrzhevsky M., Schukin I., Yevstignejev V. Rare attractors in Driven Nonlinear Systems with Several Degrees of Freedom, Scientific Proceedings of Riga Technical University – Transport and Engineering, srija 6, sjums 24, Riga, 2007, pp. 79-93.

57. Zakrzhevsky M., Smirnova R., Schukin I., Ivanov Yu., Yevstignejev V. Control of nonlinear oscillatory mechanisms: nonlinear smart vibro-reducer NIVIR, - In Proceeding of the International XIII Symposium on the Dynamics of Vibroimpact (Strongly Nonlinear) System, Moscow: Russian Academy of Sciences, 2001, pp.168-171.


58. Zakrzhevsky M. Stable Forced Hilltop Oscillations, in E. Lavendelis and M. Zakrzhevsky (eds.), Proceedings of the IUTAM Symposium on Synthesis of Nonlinear Dynamical Systems, held in Riga, Latvia, 1997, Kluwer Academic Publishers, 2000, pp. 285-294.

59. Zakrzhevsky M.V. Nonlinear and Chaotic Dynamics: New About Unstable Periodic Infinitiums, In Proceedings of the 1st Baltic–Bulgarian Conference on Mechanics and Biomechanics, Varna,2000, pp.61-66.

60. Zakrzhevsky M. Global Stable Oscillations Near Unstable Equilibrium Positions: The Hilltop Effect, in F.C. Moon (ed.), Proceedings of the IUTAM Symposium on New Applications of Nonlinear and Chaotic Dynamics in Mechanics, held in Ithaca, USA, Kluwer Academic Publishers, 1998, pp. 117-124.

61. Zakrzhevsky M.V., Method of Complete Bifurcation Groups (MBG) and its Application for Prediction of Rare Dangerous Dynamical Phenomena. //XXXV Summer School “Advanced Problems in Mechanics” APM’ 2007, 20-28 June, 2007, Saint-Petersburg – Repino, Institute for Problems in Mechanical Engineering RAS, pp. 116-118.

62. Zakrzhevsky M., Ivanov Yu., Frolov V., Shchukin I., Smirnova R., Kononova O. Nonlinear Phenomena in Piecewise Linear Oscillatory Systems, in Synthesis of Nonlinear Dynamical systems, IUTAM/IFToMM Symposium, Riga, 1998, 81-82.

63. Zakrzhevsky M., Armada M., Yevstignejev V., Smirnova R., Schukin I. Theoretical and experimental researches of using vibro-impact and chaotic regimes for underwater ship cleaning, In Proceeding of the International XIV Symposium on the Dynamics of Vibroimpact (Strongly Nonlinear) System, Moscow – Zvenigorod: Russian Academy of Sciences, 2003, pp. 111-113.

64. Zakrzhevsky M. and Frolov V. Bifurcation Analysis of the Stable Forced Oscillations Near Unstable Equilibrium Position. //In Proceeding of the 2nd European Nonlinear Oscillations Conference, Prague 1996. v.2. p.265-268.

65. Zakrzhevsky M. The Nonlinear Way of Thinking and Education Problems in Nonlinear Dynamics.

Proceeding of the 2nd European Nonlinear Oscillations Conference, Prague, 1996. v.2. p.255-260.

66. Zakrzhevsky M. Typical Bifurcation Groups and Their Interaction in Nonlinear Dynamical Systems.

Rare attractors, Protuberances, Unstable Periodic Infinitiums (UPI), and Chaotic Behaviour. // 1st International Conference on Vibro-impact systems, 20-22 July 2006, Loughborough, UK, pp. 53-55.

67. Zakrzhevsky M. Method of Bifurcation Groups (MBG) and Prediction of Rare Dangerous Phenomena in Machine Dynamics. //2007 Arctic Summer Conference on Dynamics, Vibrations and Control, August 6-10, 2007, Ivalo, Finland, pp. 36-38.

68. Zakrzhevsky M., Ivanov Yu., Frolov V. NLO: Universal Software for Global Analysis of Nonlinear Dynamics and Chaos. //In Proceeding of the 2nd European Nonlinear Oscillations Conference, Prague 1996. v.2. p.261-264.

69. Zakrzhevsky M., Ivanov Yu., Frolov V., Shchukin I., Smirnova R. NLO: Software for Local and Global Analysis of Nonlinear Oscillations. In Proceedings of International Symposium Analysis and Synthesis of Nonlinear Dynamical Systems in Mechanics. Riga, 1996. p.172-179.

70. Zakrzhevsky M.V., Malgin V.E., and Hogan S.J., On the Stability of Periodic Motions in the Generalized Bilinear Oscillator with Impacts, Riga, In Proceeding of the International Symposium on Analysis and Synthesis of Nonlinear Dynamical Systems in Mechanics, 1996, pp. 166-171.

71. Zakrzhevsky M.V.;

Ivanov Y.M. and Frolov V.Y. NLO: Universal Software for Global Analysis of Nonlinear Dynamics and Chaos, Prague, In Proceeding of the 2nd ENOC, September 9-13 1996, pp.

261-264.

72. Zakrzhevsky M.V. and Zevin A.A., The Forced and Parametric Oscillations Near Unstable Equilibrium Positions, XIX Scientific School on Nonlinear Oscillations, Kaunas, 1989.

73. Zakrzhevsky M., Yevstignejev V., Smirnova R., Schukin I., Ivanov Y. Nonlinear dynamics, chaos and control in vibro-impact technology problems. In Proceeding of the International Summer School “Nonlinear Dynamics, Chaos, Catastrophes and Control”, Jurmala – Riga, 2002, pp. 46-49.

74. Андронов А. А., Витт А. A., Хайкин С. Э. Теория колебаний. - М: Наука, 1981.

75. Андронов А. А., Леонтович Е. A., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. - М: Наука, 1966, 568 с.

76. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стахостических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999 – 368 с.

77. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1989.-472с.

78. Арнольд В. И. Теория катастроф.— 3-е изд., доп.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.— с. 128.

79. Бабицкий В.И. Теория виброударных систем. -М.: Наука, 1978. -352с.

80. Васильев Е.Е. Анализ и синтез колебательной системы с кусочно-линейной упругой характеристикой. Автореф. дис. канд. техн. наук. -Рига, РПИ, 1972. -17с.

81. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности - Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000 – 366с.

82. Бидерман В. Л. Прикладная теория механических колебаний. Высшая школа, Москва, 1972. – 416с.

83. Блехман И. И. Синхронизация в природе и технике. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. 352с.

84. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. -М.: Наука, 1971. -894с.

85. Боголюбов Н. Н., МитропольскиЙ Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Физматгиз, 1958.

86. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. – Гостехиздат, 1956. – 720 с.

87. Бутенин Н. В., Неймарк К. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний. -М.:

Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1976. -384с.

88. Виба Я. Оптимизация и синтез виброударных машин. -Рига, Зинатне, 1988. -253с.

89. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. -Т.2. Колебания нелинейных механических систем /Под ред. И. И. Блехмана, -М.: Машиностроение, 1979. -351с.

90. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. -Т.4. Вибрационные процессы и машины /Под ред.

Э. Э. Лавендела, -М.: Машиностроение, 1981. -509с.

91. Глейк Дж. Хаос: Создание новой науки / Пер. С англ. М. Нахмансона М., Барашковой Е. – СПб.: Амфора, 2001. – 398 с.

92. Закржевский В. М., Иванов Ю. М., Фролов В. Ю.,Щукин И. Т., Смирнова Р. С. Анализ нелинейной вибрационной механики и хаоса. (программный комплекс NLO). Тезисы докладов.

-Курск, 1997. с. 24-27.

93. Закржевский М. В. Колебания существенно нелинейных механических систем. Рига, Зинатне, 1980. -189с.

94. Закржевский М. В. Методы нелинейной динамики машин, механизмов и приборов. Новые подходы и старые заблуждения, Proceedings of VI International Conference on the Improvement of the Quality, Reliability and Long Usage of Technical Systems and Technological Processes, Hurghada, Egypt, 2007.

95. Закржевский М. В. Метод контурного отображения в задачах нелинейной динамики.//XI Симпозиум по динамике виброуданых систем. Тезисы докладов.-М.- Звенигород, 1995. с.33- 96. Закржевский М. В. Энергетические координаты и их использование для оценки областей притяжения в нелинейных колебательных и виброударных системах. //Тезисы докладов III конф. "Нелинейные колебания механических систем". Нижний Новгород, 1993, с. 97. Закржевский М., Евстигнеев В., Щукин И., Смирнова Р., Шилван Э. Хаотические, субгармонические и виброударные режимы в билинейных системах, в кн. В.К.Асташева, В.Л.Крупенина и Е.Б.Семёновой «Динамика виброударных (сильно-нелинейных) систем», Российская академия наук, Москва-Звенигород, 2006, стр. 112-116.

98. Закржевский М. В., Иванов Ю. М., Фролов В. Ю. Нелинейные колебания. Комплекс компьютерных программ. Рига, 1996. 200 с.

99. Закржевский М. В., Иванов Ю. М., Фролов В. Ю., Воронцов Л. В., Щукин И. Т., Смирнова Р.

Анализ нелинейной динамики и хаоса в виброударных и колебательных системах (Программный комплекс NLO). //XI Сипозиум по динамике виброударных систем. Тезисы докладов. -М. -Звенигород, 1995. с.35-37.

100. Закржевский М. В., Иванов Ю. М., Фролов В. Ю., Щукин И. Т., Смирнова Р. С. Глобальный анализ типовых существенно нелинейных колебательных систем с помощью программы NLO.

Тезисы докладов IV конференции "Нелинейные колебания механических систем". Нижний Новгород, 1996.

101. Закржевский М. В., Кугелевич В. В. Об использовании метода простой итерации при исследовании периодических режимов в нелинейных динамических системах. //Вопросы динамики и прочности. -Рига, 1981. вып. 39, с. 11-15.

102. Закржевский М. В., Малгин В. Э. Анализ устойчивости виброударных режимов методом матриц перехода. //Проблемы машиностроения и надежности машин, - М., 1991. Мг 2. с.83 88.

103. Закржевский М. В., Малгин В. Э. Исследование устойчивости периодических режимов в системах с кусочно-линейными характеристиками с использованием типовых матриц перехода. //Вопросы динамики и прочности. -Рига:3инатне, 1989. -Вып. 51. -с.17-27.

104. Закржевский М. В., Фролов В. Ю. Использование энергетических координат для оценки устойчивости колебательных систем. Тезисы докладов IV конференции "Нелинейные колебания механических систем". Нижний Новгород, 1996.

105. Закржевский М. В., Фролов В. Ю. Хаотические аттракторы в виброударных системах с несколькими положениями равновесия. //XI Симпозиум по динамике виброударных систем.

Тезисы докладов. -М.: РАН, 1995. с.37- 106. Закржевский В. М., Щукин И. Т. Построение бифуркационных диаграмм при анализе виброударных систем на основе точных методов. Тезисы докладов. - Курск, 1997. с. 53-57.


107. Зевин А. А. Нелокальные задачи качественной теории периодических колебаний нелинейных механических систем. Автореферат дис. д. т. н., -М: 1988.- 36с.

108. Иванов Ю. М. Исследование периодических режимов в существенно-нелинейных колебательных системах с несимметричными упругими характеристиками: Автореф. дис.

канд. техн. наук. -Рига, 1977. -19с.

109. Канторович Л. В. Некоторые дальнейшие применения метода Ньютона. -Вестн. Ленингр. ун та, 1957, N 7. с.68-103.

110. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1977.

111. Карпушин В. Б. Вибрации и удары в радиоаппаратуре. Изд-во “Советское радио”, 1971- с.344.

112. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. – М.:

Эдиториал УРСС, 2001. – 288с.

113. Кобринский А.Е., Кобринский А.А. Виброударные системы (Динамика и устойчивость). М.:

Наука, 1973. – 592 с..

114. Кобринский А.Е. Механизмы с упругими связями. Динамика и устойчивость. – М.: Наука, 1964. – 392 с.

115. Коловский М. 3. Динамика машин. -Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние. 1989.-263с.

116. Копейкин А.С., Вадивасова Т.Е., Анищенко В.С. Особенности процесса установления вероятностной меры на хаотических аттракторах в системах Лоренца и Ресслера с учетом флуктуаций. - Саратов: Изв.вузов “Прикладная нелинейная динамика”, т. 8, № 6, 2000, с. 65 77.

117. Королева Р. И. Исследование субгармонических режимов в существенно нелинейных колебательных системах точными методами. Дис. канд. техн. наук. Рига, РПИ, 1975. -135с.

118. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику.— Киев: Иэд-во АН УССР, 1937.

119. Крюков Б. И. Вынужденные колебания существенно нелинейных колебательных систем. -М.:

Машиностроение, 1984. -254с.

120. Крюков Е. Л. Совершенствование вибромашин ударного действия за счет применения в их конструкции нелинейных упругих элементов. Автореф. дис. канд. техн. наук. -Рига, РПИ, 1990.

-16с.

121. Кугелевич В. В. Автоматизированный расчет вынужденных колебаний нелинейных вибромашин на основе метода точечных отображений. Дис. канд. техн. наук. Рига, РПИ, 1987. -198с.

122. Кугелевич В. В. Применение метода Ньютона-Канторовича для отыскания и продолжения по параметру периодических движений динамических систем. //Вопросы динамики и прочности. -Рига, 1981. вып. 49, с. 43-50.

123. Кузнецов А.П., Савин А.В. О проблеме границы хаоса и типичных структурах на плоскости параметров неавтономных дискретных отображений с удвоениями периода. - Саратов:

Изв.вузов “Прикладная нелинейная динамика”, т. 8, № 4, 2000, с. 25-36.

124. Лавендел Э. Э. Синтез оптимальных вибромашин. -Рига, Зинатне, 1970. -252с.

125. Лавендел Э. Э., Виба Я. А. Оптимизация и синтез виброударных машин. Рига: Зинатне, 1988.

253с.

126. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. -М.: Мир, 1984.-528.

127. Лушников Б.В. Разработка методов вибродиагностики элементов сухого трения в механических системах: Автореф. дис. канд. техн. наук. - Рига, РТУ, 1990. -16с.

128. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. -М., Ленинград, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. -471с.

129. Малгин В. Э. Развитие метода матриц перехода для анализа устойчивости существенно нелинейных колебательных систем. Дис. канд. техн. наук. -Рига, / РПИ, 1989.

130. Малинецкий Г. Г. Новый облик нелинейной динамики. Природа. N3, 2001, c.3-12.

131. Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 256с.

132. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука, 1966. – 530 с.

133. Марков В. А. Феномен случайности: Методологический анализ. – Рига: Зинатне, 1988. – 232 с.

134. Мандельштам Л. И. Лекции по колебаниям. -М.: Изд. АН СССР. 1955.

135. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д., Андронов А.А., Витт А.А., Горелик Г.С., Хайкин С.Э.

Новые исследования нелинейных колебаний. -М.: Радиоиздат, 1936.

136. Мун Ф. Хаотические колебания. -М.: Мир, 1990. -311с.

137. Неймарк Ю. И. Математические модели естествознания и техники: Цикл лекций. Выпуск 1.

– Н. Новгород: ННГУ, 1994, с. 138. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. -М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987. -423с.

139. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1972. -472с.

140. Пановко Г. Я., Акинфиев Т. А., Мануэль Армада, Виба Я. А. Адаптивное управление колебаниями в резонансной системе. Тезисы докладов. - Курск, 1997. с.11-16.

141. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. -М.: Машиностроение, 1976. 320с.

142. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. -М.: Наука. Гл. ред.

физ.-мат. лит., 1987. -352с.

143. Пуанкаре А. Избранные труды в 3-х томах. Т. 1-3. -М.: Наука, 1971-1974.

144. Рагульскене В. Л. Виброударные системы. -Вильнюс;

Минтис, 1974. -320с.

145. Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике: Пер. С англ. – М.:

Мир, 1985. – 254 с.

146. Тондл А. Нелинейные колебания механических систем. -М.: Мир, 1973. -334с.

147. Фейгин М. И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями.— М.: Наука.

Гл. ред. физ.-мат. лит., 1994.—288 с.

148. Фролов В. Ю. Исследование устойчивых вынужденных колебаний в нелинейных системах относительно неустойчивого положения равновесия. //Тезисы докладов IX Межреспубликанской студенческой конференции. -М.: 1991. с. 32.

149. Фролов В. Ю. Усовершенствование методов и алгоритмов расчета существенно нелинейных колебательных систем. Диссертация, Рига, 1997 г. - 181 с.

150. Хаяси Т. Вынужденные колебания в нелинейных системах. -М.: Изд-во иностр. лит., 1957. 204с.

151. Цыфанский С. Л., Бересневич В. И., Окс А. Б. Нелинейные параметрические колебания вибрационных машин технологического назначения. -Рига, Зинатне, 152. Цыфанский С.Л., Окс А.Б. Использование корректирующих силовых воздействий для повышения эффективности вибромашин резонансного типа // Вопросы динамики и прочности. – Рига: Зинатне, 1985. – N 45. –с. 3-9.

153. Цыфанский С. Л. Электрическое моделирование колебаний сложных нелинейных механических систем. -Рига: Зинатне, 1979. -180с.

154. Эглайс В. О. Определение областей захвата периодических режимов движения нелинейных систем применением обратного точечного отображения. //Вопросы динамики и прочности. Рига, 1973. -Вып. 26. с. 13-18.

155. Щукин И. Т. Развитие методов и алгоритмов моделирования задач нелинейной динамики.

Бифуркации, хаос и редкие аттракторы. Диссертация, Рига, 2005 - 205 с.

156. Янушевскис А. В. Принципы и структура построения автоматизированной системы имитационного моделирования //Вопросы динамики и прочности. -Рига, 1985. Вып. 45. -с.48 60.

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ Обозначения и сокращения принятые в работе х – обобщенная координата, координата положения неподвижной точки на бифуркационной диаграмме;

& v = x - скорость, координата скорости неподвижной точки на бифуркационной диаграмме;

t – время;

mi – инерционные коэффициенты, массы тел;

сi – коэффициенты жесткости упругих характеристик;

d – координата излома кусочно-линейных упругих характеристик, координата удара;

b – коэффициент линейной диссипации;

R – коэффициент восстановления;

h1 – амплитуда внешнего периодического воздействия;

– частота внешнего периодического воздействия;

0 – фаза внешнего периодического воздействия;

k k – фактор дискретизации базового периода, т.е. шаг интегрирования t = T / 2 ;

S – структура динамической системы;

Р – параметры динамической системы;

Q – состояние динамической системы;

– маркер стробоскопического отображения на плоскости Пуанкаре;

4 E – обозначение 1-ой неподвижной точки устойчивого периодического режима Р2, имеющего 4 петли на фазовой проекции;

4 E – обозначение 1-ой неподвижной точки неустойчивого периодического режима Р4, имеющего 4 петли на фазовой проекции;

Chaos, ChA – хаотический аттрактор, область с хаотическим поведением;

nT – бифуркационная группа периодического режима порядка n;

Pn – периодический режим порядка n;

RA (rare attractor) – редкий аттрактор;

UPI-n (unstable periodic infinitium) – бесконечное число неустойчивых периодических режимов бифуркационной группы nT;

МПБГ – метод полных бифуркационных групп.

ПРИЛОЖЕНИЕ Термины используемые в работе Аттрактор – стационарное состояние, установившееся после затухания переходных процессов в диссипативной динамической системе. Аттрактор может быть точечный, периодический, почти периодический, хаотический (странный aттрактор).

Безопасная бифуркация - бифуркация, при которой рождаются новые режимы близкие к добифуркационным.

Бифуркация - качественное изменение структуры фазового пространства в динамической системе при некотором изменении бифуркационного параметра системы.

Бифуркационная группа (полная) – совокупность устойчивых и неустойчивых ветвей периодического режима претерпевающего определенную последовательность бифуркаций в ограниченной области варьируемого параметра на бифуркационной диаграмме.

Бифуркационная диаграмма – отображает изменение координат неподвижных точек устойчивых и неустойчивых периодических режимов при варьировании бифуркационного параметра.

Бифуркационный анализ – анализ поведения динамической системы при изменении параметров системы.

Бифуркационный параметр – параметр динамической системы, при изменении которого происходит бифуркация.

Бифуркация Андронова-Хопфа - рождение почти периодических колебаний из периодических при изменении параметра динамической системы.

Бифуркация разрушения симметрии (symmetry breaking, pitchfork bifurcation) рождение двух несимметричных (взаимно-симметричных) режимов при потери устойчивости симметричным режимом.

Бифуркация типа складки (fold) – бифуркация, при которой устойчивые и неустойчивые ветви одного режима взаимно уничтожаются.

Бифуркация удвоения периода (period doubling) – рождение режима удвоенного периода при изменении устойчивости режима.

Варьируемый параметр – параметр динамической системы, который изменяется при бифуркационном анализе, см. бифуркационный параметр.

Взаимно-симметричные режимы (twins) – периодические режимы, которые рождаются в симметричных системах в результате бифуркации разрушения симметрии.

Высокая чувствительность к начальным условиям – свойство нелинейных детерминированных систем. При хаотическом движении траектории, задаваемые незначительно отличительными по начальным состояниям, с течением времени приводят к большим качественным изменениям в системе.

Глобальный анализ динамической системы при постоянных параметрах – изучение всевозможных установившихся (стационарных) и переходных (нестационарных) движений, построение областей притяжения режимов при изменении фазовых состояний системы.

Глобальный анализ динамической системы при переменных параметрах – изучение всевозможных установившихся (стационарных) и переходных (нестационарных) движений и их бифуркаций при изменении параметров системы.

Детерминированная система - система, уравнения движения, параметры и начальные условия которой не являются случайными.

Динамическая система (DS) –динамическая непрерывная или дискретная модель, поведение которой однозначно и детерминировано зависит от ее структуры (S), параметров (P) и состояния (начальных условий Q0).

Катастрофа – см. опасная бифуркация.

Метод полных бифуркационных групп – комплекс подходов к глобальному анализу динамических систем при постоянных и переменных параметрах.

Многорежимность – нелинейное явление сосуществования в фазовом пространстве нескольких различных стационарных режимов (аттракторов) при одних и тех же параметрах системы и неизменности ее структуры. Реализация того или другого режима зависит от начальных условий.

Начальное состояние (Q0). Для системы с одной степенью свободы при внешнем периодическом воздействии в начальный момент времени t0 начальное состояние представлено тремя величинами (x, v, ): смещение, скорость, начальная фаза внешнего воздействия;

то же, что и начальное условие.

Начальное условие – вектор обобщенных координат (смещение, скорость начальная фаза внешнего воздействия), с помощью которого описывается математическая модель динамической системы, в начальный момент времени t0, см. начальное состояние.

Неподвижная точка – особая точка на плоскости Пуанкаре, которая соответствует устойчивым или неустойчивым периодическим решениям, т.е. замкнутым фазовым траекториям. Различают четыре вида неподвижных точек: узел, фокус, седло и центр.

Неустойчивый периодический инфинитиум (UPI) – бесконечное число неустойчивых периодических режимов.

Область неустойчивого периодического инфинитиума (UPI-n, n=1,2,3,…) – область значений параметра, при котором в системе существует бесконечное число неустойчивых периодических режимов бифуркационной группы nТ.

Область притяжения режима – множество точек фазового пространства (начальных условий), из которых после завершения переходного процесса в системе реализуется конкретный режим (аттрактор).

Опасная бифуркация - бифуркация, при которой качественное изменение установившегося движения в динамической системе при некотором изменении бифуркационного параметра системы происходит скачком (жестко). То же, что и катастрофа.

Остров – замкнутая ветвь периодического режима в ограниченной области варьируемого параметра на бифуркационной диаграмме.

Отображение на плоскости Пуанкаре – см. точечное отображение.

Переходный режим – нестационарный процесс, характеризующий движение системы от начального состояния в момент времени t0 в течении времени t при переходе к некоторому установившемуся режиму.

Переходный хаос – хаотическое поведение системы, наблюдаемое в системе при переходе к некоторому регулярному стационарному режиму.

Периодический режим – устойчивое или неустойчивое периодическое решение дифференциального уравнения или замкнутая фазовая траектория, которым ставятся в соответствие неподвижные точки соответствующего точечного отображения.

Параметрический анализ – см. бифуркационный анализ.

Плоскость Пуанкаре - сечение, полученное стробоскопированием динамических переменных (смещения xp и скорости x p=vp) через период вынуждающей силы T, то & же сечение Пуанкаре.

Почти периодические колебания - колебания с двумя или более несоизмеримыми частотами.

Продолжение по параметру - см. бифуркационный анализ.

Протуберанец – на бифуркационной диаграмме совокупность устойчивых и неустойчивых ветвей периодических режимов одной бифуркационной группы, ограниченных бифуркациями удвоения периода одного порядка.

Регулярные колебания – регулярные аттракторы (все, кроме хаотического): точечный, периодический aттрактор, почти периодический aттрактор.

Редкие аттракторы – периодический режим, который устойчив в небольшом диапазоне варьируемого параметра.

Седло – состояние равновесия, которому соответствует неустойчивая особая неподвижная точка фазовой плоскости. Корни характеристического уравнения (мультипликаторы) – действительные числа, одно из которых по модулю больше единицы.

Состояние – вектор обобщенных координат (смещение, скорость), с помощью которого описывается математическая модель динамической системы, в момент времени t.

Точечное отображение – отображение, полученное на секущей плоскости Пуанкаре стробоскопированием динамических переменных (смещения xp и скорости x p=vp) & через период вынуждающей силы T.

Узел – состояние равновесия, которому соответствует устойчивая или неустойчивая особая неподвижная точка фазовой плоскости. Корни характеристического уравнения (мультипликаторы) – действительные отрицательные (положительные) числа.

Фазовое пространство - пространство динамических переменных и состояний.

Фокус - состояние равновесия, которому соответствует устойчивая или неустойчивая особая неподвижная точка фазовой плоскости. Корни характеристического уравнения (мультипликаторы) – комплексно сопряженные, причем все корни имеют отрицательные (положительные) действительны части.

Центр - состояние равновесия, которому соответствует особая неподвижная точка фазовой плоскости. Корни характеристического уравнения (мультипликаторы) – чисто мнимые.

Хаос – нерегулярные колебания, которые наблюдаются в детерминированных системах, и которые характеризуются высокой чувствительностью к начальным условиям.

Хаотический аттрактор – то же, что и хаос.

ПРИЛОЖЕНИЕ Проблемы глобального анализа существенно нелинейных колебательных систем, не получившие законченного решения В настоящей диссертационной работе было показано, что использование метода полных бифуркационных групп позволяет проводить глобальный бифуркационный анализ существенно нелинейных колебательных и виброударных систем и находить новые бифуркационные группы и неизвестные ранее регулярные и хаотические режимы при вынужденных колебаниях. Однако, ряд вопросов требует дальнейших исследований, которые не были проведены из-за ограничений времени и объёма диссертации.

К этим вопросам относятся:

1). В билинейной системе были обнаружены области с бесконечным числом неустойчивых периодических режимов (UPI) при различных соотношениях коэффициентов жесткостей упругой характеристики (главы 3, 4). Необходимо выяснить при каком минимальном соотношении коэффициентов жесткостей в системе появляются области с UPI;

2). В настоящей диссертации результаты получены только при гармоническом возбуждении. Необходимо рассмотреть другие виды возбуждения – бигармоническое, полигармоническое, импульсное и др.;

3). В литературе приводятся сведения о том, что введение в систему большого коэффициента восстановления R позволяет не учитывать коэффициент вязкого трения b. Однако, подобная система не была рассмотрена и сравнение не проводилось;

4). В системе с двумя степенями свободы было показано, что на «пустынных» островах при изменении параметров системы появляются редкие аттракторы (раздел 6.4.).

Дополнительные исследования требуются для выяснения структуры редких аттракторов в системе с двумя степенями свободы;

5). В системе с двумя степенями свободы (глава 6) характеристика нелинейной восстанавливающей силы имеет вид (–х + х3). Исследовать особенности перехода к кусочно линейной характеристике восстанавливающей силы;

6). В настоящей работе произведено предварительное исследование влияния мощности привода на колебания сильно нелинейной динамической системы (раздел 7.3.).

Необходимо продолжить исследования с различными характеристиками электропривода и изучить переходные процессы;

7). На средства проекта по развитию высшей школы „Прогнозирование технических катастроф на основе новых методов: теория, эксперименты и рекомендации” было приобретено экспериментальное оборудование. Необходимо провести более детальные, чем приведённые в диссертации, натурные эксперименты по исследованию сложных периодических и хаотических режимов, многорежимности и редких аттракторов.



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.