авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В. ЛОМОНОСОВА

механико–математический факультет

кафедра теории вероятностей

на правах рукописи

УДК 519.21

Громов Александр Николаевич

ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ И

ИНВЕСТИРОВАНИЯ В СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

РИСКА 01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук

Научный руководитель профессор, доктор физ.–мат. наук Булинская Екатерина Вадимовна Москва 2013 г.

Оглавление Введение.............................................................................. Глава 1. Оптимальные стратегии в модели Крамера–Лундберга...................... §1.1 Оптимальная стратегия перестрахования.................................... 1.1.1 Уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби................................. 1.1.2 Существование решения уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби.......... 1.1.3 Существование оптимальной стратегии перестрахования.................. 1.1.4 Численные примеры................................................... §1.2 Оптимальная стратегия перестрахования и инвестирования................... 1.2.1 Уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби................................. 1.2.2 Существование решения уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби.......... 1.2.3 Существование оптимальной стратегии.................................. 1.2.4 Численные примеры................................................... Глава 2. Оптимальные стратегии в модели с дополнительным вливанием капитала.. §2.1 Оптимальное инвестирование.............................................. 2.1.1 Уравнение Беллмана и оптимальная стратегия........................... 2.1.2 Оптимальное инвестирование в одношаговой модели...................... 2.1.3 Оптимальное инвестирование в мношаговой модели....................... 2.1.4 Численная реализация................................................. 2.1.5 Оптимальное инвестирование в случае бесконечного горизонта планирования §2.2 Оптимальное перестрахование...........

................................... 2.2.1 Случай пропорционального перестрахования............................. 2.2.2 Случай перестрахования эксцедента убытка.............................. Глава 3. Пределельное распределение капитала в модели с дополнительным вливани ем капитала......................................................................... §3.1 Предельное распределение капитала в случае постоянной стратегии инвестиро вания.................................................................... §3.2 Случай экспоненциального распределения требований........................ §3.3 Предельное распределение капитала в случае постоянной стратегии инвестиро вания и перестрахования.................................................. Список литературы..................................................................... Введение В настоящее время страхование играет существенную роль в экономической и соци альных сферах общества, а страховые компании, наряду с банками, стали важнейшими финансовыми институтами. Возрастающие потребности людей в финансовой защите свое го имущества, жизни и здоровья, кредитных рисков и ценных бумаг влекут усиление роли страхования в обществе и развитие страховых компаний. Кроме того, страхование име ет и инвестиционную функцию. Современные страховые компании обладают большими объемами временно свободных денежных средств, активно вкладывают их в различные ценные бумаги и недвижимость. Развитие страховых компаний и усиливающаяся потреб ность в актуарных расчетах в свою очередь ведут к развитию математического аппарата теории риска.

С начала XX века по сегодняшний день было предложено и рассмотрено достаточно большое количество различных моделей коллективного риска, моделирующих деятель ность страховой компании. Одной из наиболее ранних моделей является классическая мо дель риска Крамера–Лундберга, основные элементы которой были разработаны в трудах шведских математиков Ф. Лундберга и Г. Крамера. Докторская диссертация Лундберга [37] была посвящена коллективной модели риска и в ней впервые было предложено ис пользовать пуассоновский поток для моделирования моментов поступления требований в компанию. Работы Крамера [19], [20], [21] также посвящены коллективной теории риска и ее приложениям в страховании.

В модели Крамера–Лундберга предполагается, что размеры поступающих в компа нию требований Y1, Y2,... неотрицательные независимые и одинаково распределенные (н.о.р.) случайные величины (с.в.) с функцией распределения Q(y), а моменты поступ ления требований T1, T2,... образуют пуассоновский поток интенсивности 0. Пусть c 0 – приход страховой премии в единицу времени, Nt число точек пуассоновского потока на отрезке [0, t], а s 0 начальный капитал компании. Тогда капитал компании в момент t 0 равен Nt Rt = s + ct Yi. (1) i= Величина := inf{t 0| Rt 0} называется моментом разорения компании, величина (s) := P ( |R0 = s) называется вероятностью разорения, а (s) := P ( = |R0 = s) вероятностью неразорения. Существует явная формула Поллачека–Хинчина–Беекмана для вычисления вероятности разорения (см., например, [9]). Заметим также, что суще ствуют различные принципы расчета страховой премии (см., например, [8]).

Страховая компания, собрав взносы с клиентов, должна быть способна выплатить страховое возмещение по всем поступающим требованиям. Именно поэтому вероятность неразорения является важнейшим показателем деятельности любой страховой компании, а максимизация вероятности неразорения одной из важнейших задач руководства ком пании.

Одной из возможностей для увеличения вероятности неразорения является перестра хование. Существуют различные виды договоров перестрахования, среди которых мож но выделить два основных типа: пропорциональное и непропорциональное. Подробное описание типов перестрахования и видов договоров можно найти в книге [3]. В общем случае при заключении некоторого договора перестрахования, характеризующегося неко торым параметром b, страховщик, при поступлении требования Y, платит некую вели чину r(Y, b) Y п.н., а оставшаяся часть Y r(Y, b), передается перестраховщику. Во обще говоря, параметр b может быть многомерным, то есть b Rk, где R+ множе + ство неотрицательных вещественных чисел. В случае пропорционального перестрахова ния r(Y, b) = bY, 0 b 1. Примером договора непропорционального перестрахования может служить договор типа эксцедента убытка, который в общем случае определяется уровнем собственного удержания b 0 и шириной лейера M 0, а ответственность цеден та равна r(Y, b, M ) = min(b, Y ) + max(0, Y b M ). Кроме того, страховщик для оплаты услуг перестраховщика передает ему некоторую часть страховой премии.

В задачах оптимизации вероятности неразорения компании или других характеристик эффективной работы страховщика (например, среднего времени до разорения) часто рас сматриваются стратегии перестрахования. Пусть F = (Ft )t0 естественная фильтрация, порожденная процессом риска (1), т.е. Ft := {Ru, u t}. В книге Шмидли [45] дается следующее определение стратегии перестрахования.

Определение 0.1. Случайный процесс B = {bt }t0 со значениями в Rk, предсказуемый + относительно фильтрации F, называется стратегией перестрахования.

Пусть функция c(b) задает часть премии, которая остается у страховщика после уплаты перестраховочной премии. Например, если перестраховщик рассчитывает свою премию с по принципу среднего с нагрузкой безопасности, то c(b) = c E(Y r(Y, b)), 1. При B использовании некоторой стратегии перестрахования B = (bt )t0 капитал компании Rt в момент времени t равен t Nt B c(bx )dx Rt =s+ r(Yi, bTi ).

i= Поиску оптимальных в том или ином смысле стратегий перестрахования посвящен широ кий спектр работ. Так, в работе Шмидли [44] рассмотрена модель Крамера–Лундберга и стратегии пропорционального перестрахования. Капитал компании в такой модели равен t Nt B (bx (1 + ) ( ))µdx Rt =s+ bTi Yi, i= где нагрузка безопасности страховщика, нагрузка безопасности перестраховщика, средний убыток, bt (0, 1], t µ := EYi доля убытка, выплачиваемая цедентом, а размер страховой премии страховщика и перестраховщика определяется по принципу среднего, т.е. c(b) = (1 + )µ (1 b)(1 + )µ = (b(1 + ) ( ))µ. В такой ситуации вероятность неразорения компании при использовании некоторой стратегии B = {bt }t равна B (s) := P (Rt = ). Шмидли устанавливает, что оптимальная вероятность неразо B рения компании (s) := supB B (s), где супремум берется по всем возможным стратегиям, удовлетворяет уравнению Беллмана–Гамильтона–Якоби s/ sup ((1 + ) ( ))µ (s) + (s y)dQ(y) (s) = 0.

(0,1] Кроме того доказано, что существует единственное непрерывно дифференцируемое ре шение (s) этого уравнения с начальным условием () = 1, а оптимальная стратегия перестрахования определяется по правилу b := (Rt ), где (s) точка, в которой t достигается супремум в уравнении Беллмана–Гамильтона–Якоби.

В работе Хиппа и Вогта [32] рассмотрена модель с перестрахованием эксцедента убыт ка, зависящим от одного параметра уровня собственного удержания. Аналогично работе Шмидли авторы установили, что максимальная вероятность неразорения удовлетворяет уравнению Беллмана–Гамильтона–Якоби и доказали существование решения этого урав нения, а также существование оптимальной стратегии. В статье Шмидли [41] также рас сматривает оптимальное перестрахование типа эксцедента убытка. Поиску оптимальной стратегии перестрахования в модели с диффузионной аппроксимацией процесса риска (1) посвящены работы Белкиной и Матвеевой [1], Хойгаарда и Таксара [33]. В книге Рольски и других [39] описан общий подход к решению подобных задач в классической модели риска. В работе Штрибеля [46] предложен мартингальный метод вывода уравнений дина мического программирования в задачах оптимизации.

Еще одной возможностью для увеличения вероятности неразорения является инвести рование средств в рисковый актив. В таких работах речь идет уже о стратегиях инвести рования At, определяющих объем вложений в момент времени t. В таком случае капитал компании меняется по закону Nt Rt = s + ct + At Zt Yi, i= где Zt стоимость актива в момент t. Хипп и Плам в своих работах [30] и [31] рас сматривают возможность вложения средств в рисковый актив, стоимость которого ме няется по закону геометрического броуновского движения. Они также получают урав нение Беллмана–Гамильтона–Якоби, которому удовлетворяет максимальная вероятность неразорения и доказывают существование решения этого уравнения и существование оп тимальной стратегии инвестирования. Стратегии инвестирования в классической моде ли риска также рассмотрены в работах Шмидли [43], Фроловой и соавторов [25], Гайера и Грандитса [26], [27], Белкиной и соавторов [16]. Шмидли в статье [42] рассматривает обобщенные стратегии перестрахования и инвестирования для максимизации вероятности неразорения. В книге Шмидли [45] объединены многие из полученных ранее результатов по оптимальному перестрахованию и инвестициям.

Из описания выше видно, что модель Крамера–Лундберга описывает работу страховой компании с непрерывным временем. Однако, несмотря на широкое распространение, ко торое получила классическая модель, для практических применений часто используется модель с дискретным временем. Действительно, на практике удобнее менять параметры договоров перестрахования или изменять объем инвестиций только в определенные момен ты времени, например, в конце каждого года. Диксон и Уотерс в работе [22] предложили метод дискретизации модели Крамера–Лундберга и показали способ перехода к дискрет ному времени и убыткам, имеющим дискретное распределение. В модели с дискретным временем капитал компании Rn на конец n-го года равен n Rn = s + nc Yi = Rn1 + c Yn, i= где s начальный капитал, c суммарная страховая премия за год, а Yi совокупный годовой убыток компании. Чуть позже, в работе [23] Диксон и Уотерс предложили моди фикацию моделей риска, добавив возможность инвестировать дополнительные средства в компанию, если ее капитал опустился ниже определенного уровня. Точнее, если на ко нец года капитал компании меньше, чем некоторый заданный уровень L 0, собственник компании вливает дополнительные средства, восстанавливая капитал компании на уровне L. В данном случае капитал компании в момент n равен Rn = max(L, Rn1 + c Yn ), R0 = s.

Поскольку в такой модели разорение невозможно, ставится задача снизить суммарные дисконтированные вливания капитала за n лет, то есть минимизировать величину n v i Ji |R0 = s, W (s) = E i= где Ji := max(0, L Ri1 c + Yi ) величина вливаемого капитала в i-ом году, а v (0, 1) коэффициент дисконтирования. Как и в случае с моделью Крамера–Лундберга, для ми нимизации величины W (s) используются перестрахование и инвестирование в рисковый актив. В данном случае под стратегией перестрахования, например, понимается последо вательность с.в. {bk }n, предсказуемая относительно фильтрации, порожденной последо k= вательностью убытков Y1, Y2,....

Модель с вливанием капитала получила развитие относительно недавно, поэтому спи сок работ по данной тематике невелик. Ву и соавторы [47] рассматривали модель с дис кретным временем с возможностью вливания капитала и выплаты дивидендов. Так, в работе [47] капитал компании равен n n n (D,Z) =s+n Yi zi, n 0, Rn di + i=1 i=1 i= совокупный годовой размер убытка, di 0 п.н.

где Yi величина выплачиваемых диви дендов, а zi 0 п.н. величина вливаемого капитала, i = 1, 2,.... Предполагается, что соб ственник компании вкладывает дополнительные средства в компанию, если капитал ком пании опустился ниже 0. Авторы рассматривают величину W (D,Z) = E[ v i di v i zi ], i=1 i= где v коэффициент дисконтирования, а 1 стоимость привлечения дополнитель ного капитала, включающая плату за транзакцию, и максимизируют W (D,Z) по всем воз можным стратегиям (D, Z) = {di, zi } выплаты дивидендов и вливания капитала, со i= гласованным с фильтрацией, порожденной последовательностью {Yi }. Таким образом, i= ставится оптимизационная задача W (s) := sup(D,Z) W (D,Z) (s). Доказано, что W (s) удовле творяет уравнению pk W (s d + k) W (s) = max d+v, s = 0, 1, 2,..., d=0,1,...,s k= где pk = P (Yi = k), а оптимальной стратегией выплаты дивидендов является барьерная стратегия с барьером b = inf{s 0 : W (s + 1) W (s) 1}. При этом оптимальная i стратегия вливания капитала zi = min{0, (s + i (Yk + dk ))}.

k= В работе Эйзенберг и Шмидли [24] изучена диффузионная аппроксимация классиче ской модели риска с перестрахованием и возможностью вливания капитала. В статье Ку ленко и Шмидли [34] осуществляется поиск оптимальной стратегии выплаты дивидендов, минимизирующей суммарные приведенные вливания капитала.

Краткое содержание диссертации.

В первой главе изучается классическая модель риска Крамера-Лундберга и рассмат риваются не исследованные ранее случаи поиска оптимальных стратегий перестрахования и инвестирования. В первом параграфе рассматриваются стратегии непропорционального перестрахования типа эксцедента убытка. При этом в отличие от работы [32], предполага ется, что договор перестрахования определяется двумя параметрами: уровнем собственно го удержания b 0 и шириной лейера M 0. В такой ситуации при поступлении убытка Y ответственность цедента равна min(b, Y ) + max(0, Y b M ). В такой ситуации ставит ся задача максимизации вероятности неразорения компании путем выбора оптимальной стратегии перестрахования. Устанавливается, что максимальная вероятность неразорения удовлетворяет уравнению типа Беллмана–Гамильтона–Якоби и доказывается существова ние решения этого уравнения (теорема 1.1). Кроме того, в теореме 1.2 устанавливается, что оптимальная стратегия определяется функциями, в которых достигается максимум в уравнении Беллмана–Гамильтона–Якоби. Приводятся численные примеры для случая убытков, распределенных экспоненциально и по Парето.

Во втором параграфе первой главы к возможности заключать договора перестрахова ния эксцедента убытка добавляется возможность вкладывать средства в некоторый рис ковый актив. Стоимость этого актива в момент времени t описывается геометрическим броуновским движением. Аналогично первому параграфу ставится задача максимизации вероятности неразорения. Также выводится уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби для максимальной вероятности неразорения, доказывается существование его решения (тео рема 1.3) и теорема верификации (теорема 1.4). Кроме того, получен общий вид решения уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби вблизи нуля. Приведены численные примеры для случаев, когда убытки имеют экспоненциальное распределение и распределение Парето.

Во второй и третьей главах рассматривается модель с дискретным временем в мо дификации Диксона и Уотерса. Предполагается, что страховая компания работает n N {} лет. При этом собственник компании инвестирует дополнительные средства в компанию в том случае, если капитал компании по итогам года опустился ниже некоторо го заданного уровня L 0. В такой ситуации ставится задача минимизации суммарных дисконтированных вливаний капитала.

В первом параграфе второй главы рассматривается возможность инвестирования средств в некий рисковый актив, годовая доходность которого в моменты времени 1,..., n опреде ляется последовательностью н.о.р. с.в. Z1,..., Zk таких, что P (Zk 0) (0, 1) и EZk 0.

Доказывается, что минимальные дисконтированные вливания удовлетворяют уравнению динамического программирования, в случае n = также устанавливается существование решения этого уравнения. Кроме того, для случаев n = 1 (теорема 2.1), n 2 (теорема 2.2) и n = (теорема 2.3) показано, что оптимальный объем инвестиций в рисковый актив на первом шаге n–шагового процесса удовлетворяет некоторому интегральному уравнению.

Доказаны существование и единственность решения этого уравнения.

Во втором параграфе второй главы рассматриваются стратегии перестрахования в мо дели с возможностью вливания капитала. Отдельно изучаются случаи пропорционального (на примере квотного договора) и непропорционального перестрахования (на примере до говора эксцедента убытка). В теореме 2.5 находится оптимальная квота для случая n = 1, для случая n 2, в теореме 2.7 для случая n =. Кроме того, в случае в теореме 2. n = доказывается существование решения уравнения динамического программирова ния, которому удовлетворяют минимальные дисконтированные вливания капитала. Для случая перестрахования типа эксцедента убытка находится оптимальный уровень соб ственного удержания для случая n = 1 (теорема 2.8). Для обоих типов перестрахования приводится численный пример для случая убытков, имеющих экспоненциальное распре деление.

В третьей главе также рассматривается модель с дискретным временем работы стра ховой компании. Как и в первом параграфе второй главы предполагается, что собствен ник компании имеет возможность дополнительного вливания капитала, а также вложе ния средств в некоторый рисковый актив. В данной главе изучается вопрос существования предельного распределения капитала компании в случае постоянной стратегии инвестиро вания. Доказано существование предельного распределения при некоторых ограничениях на параметры модели, а также установлен вид этого распределения (теорема 3.1). Кроме того, рассмотрено обобщение предложенной модели на случай, когда страховая компания также использует перестрахование. Доказано существование и найден вид предельного распределения капитала для случая пропорционального и непропорционального (на при мере перестрахования эксцедента убытка) перестрахования (теорема 3.2).

Глава Оптимальные стратегии в модели Крамера–Лундберга В данной главе исследуется модель Крамера–Лундберга работы страховой компании, имеющей возможность минимизировать риск с помощью перестрахования и инвестирова ния средств в рыночный актив. В первом параграфе рассматривается страховая компания, которая имеет возможность выбирать и неограниченное число раз динамически заключать договора перестрахования типа эксцедента убытка. Во втором параграфе предполагается, что компания кроме того имеет возможность вкладывать средства в некий рисковый ак тив. В обоих случаях задача состоит в том, чтобы найти такую стратегию перестрахования и инвестирования, при использовании которой вероятность неразорения компании будет максимальной. В каждом случае выводятся уравнения типа Беллмана–Гамильтона–Якоби для оптимальной вероятности неразорения, и доказывается существование решения такого уравнения. Кроме того, устанавливается, что стратегия, определяемая соответствующим решением уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби, является оптимальной, т.е. приводит к максимальной вероятности неразорения компании. Для иллюстрации теоретических ре зультатов, в обоих случаях приводятся численные примеры для различных распределений убытков.

§1.1 Оптимальная стратегия перестрахования Исследуемая в данном параграфе модель состоит в следующем. Пусть моменты (Ti )i поступления требований образуют пуассоновский поток интенсивности, размеры выплат (Yi )i1 н.о.р.с.в. с функцией распределения Q(y). Обозначим число требований на отрез ке [0, t] как Nt. Пусть скорость поступления страховых премий равна c, причем c E[Yi ].

Тогда при отсутствии перестрахования капитал Rt страховой компании равен Nt Rt = s + ct Yi, t 0, R0 = s 0. (1.1) i= Напомним теперь, что согласно договору эксцедента убытка перестраховщик покрыва ет убыток цедента, если его величина превосходит уровень собственного удержания b, но при этом размер этого покрытия не превосходит M ширины полосы перестрахова ния. Другими словами, любой убыток Y можно разделить на две части: выплату цедента min{b, Y } + max{0, Y M b} и выплату перестраховщика min{M, max{0, Y b}}. В дан ной работе изучается возможность динамического выбора величин b и M : цедент изменяет параметры договора bt и Mt в любой момент времени t 0, руководствуясь историей убыт ков до момента t. Пусть F = (Ft )t0 естественная фильтрация, порожденная процессом Rt, т.е. Ft := {Ru, u t}. Дадим следующее Определение 1.1. Назовем стратегией перестрахования эксцедента убытка случай ный процесс V = (Vt )t0 = (bt, Mt )t0 такой, что процессы (bt )t0 и (Mt )t0 предсказуемы относительно фильтрации F. Стратегия V допустимая, если bt 0, Mt 0 п.н. для всех t 0.

Итак, далее будут рассматриваться только допустимые стратегии перестрахования.

Множество всех таких стратегий обозначим V. Пусть далее перестраховщик рассчитывает свою премию, исходя из принципа среднего с положительной нагрузкой 0. При этом предполагается, что (1 + )E[Yi ] c, так как в противном случае цедент мог бы перестраховать весь свой риск и при этом V получить прибыль. Обозначим := (1 + ). Капитал Rt страховой компании при ис пользовании некоторой допустимой стратегии перестрахования V = (Vt )t0 = (bt, Mt )t равен t V Rt = s + ct E min{Mx, max(0, Y bx )}dx Nt V [min(Yi, bTi ) + max(0, Yi bTi MTi )], R0 = s 0, (1.2) i= где s 0 начальный капитал. Наша задача состоит в минимизации вероятности разо рения страховой компании, что эквивалентно задаче максимизации вероятности неразо V рения. Обозначим V := inf{t 0 : Rt 0} момент разорения. Тогда вероятность V разорения запишется как V (s) = P {V |R0 = s}, а вероятность неразорения (кото V рая нас и будет интересовать) как V (s) = P {V = |R0 = s} = 1 V (s). Рассмотрим величину (s) = sup{V (s)}. (1.3) V V Определение 1.2. Допустимая стратегия V = (Vt )t0 V оптимальна, если (s) = V (s).

Основная задача данного параграфа установить существование оптимальной стратегии V = (Vt )t0. Будет доказано, что оптимальная стратегия существует и может быть задана следующим образом:

Vt = (b, Mt ), b = b (Rt ), Mt = M (Rt ), t 0, V V t t капитал компании при использовании стратегии V, а b (s) и M (s) V где Rt измери мые функции.

1.1.1 Уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби Здесь и далее будем предполагать, что (s) дифференцируемая функция. Сначала заметим, что для случая отсутствия перестрахования в [28] показано, что вероятность неразорения 0 (s) удовлетворяет следующему интегро–дифференциальному уравнению 0 (s) E[(s Y )] 0 (s) =. (1.4) c Зафиксируем произвольное 0;

из (1.3) по определению супремума следует, что для всякого s 0 найдется такая стратегия V = (Vt )t0, что (s) (s). Для достаточно V малого промежутка времени h 0 рассмотрим стратегию V = (Vt )t0, заданную для t следующим образом t [0, h T1 ], (b, M ), Vth = (bh, Mth ) = t V t h T1, V thT1 (RhT1 ), где b 0, M 0 произвольные постоянные из множества D := {b 0, c E min[M, max(0, Y b)] 0}.

M 0, (1.5) Заметим, что последнее условие обеспечивает положительный приток премий в страховую компанию.

Пусть K(b, M ) := c E min[M, max(0, Y b)]. Тогда по формуле полной вероятности получаем следующее:

(s) V (s) = P (V = |T1 h)P (T1 h) + P (V = |T1 h)P (T1 h) = h V (s + K(b, M )t min(y, b) max(0, y b M ))dQ(y)et dt + V (s + K(b, M )h)eh 0 h h E[(s + K(b, M )t min(Y, M ) max(0, Y b M ))]et dt, (s + K(b, M )h)e + (1.6) Поскольку произвольно, можем взять сколь угодно близко к 0, делим все на h и получаем:

(s + K(b, M )h) (s) h (s) eh (s) e + h h h E[(s + K(b, M )t min(Y, b) max(0, Y b M ))]et dt 0.

+ h В последнем неравенстве устремим h к 0 и получим, что (s)K(b, M ) (s) + E[(s min(Y, b) max(0, Y b M ))] 0. (1.7) Следовательно, sup {K(b, M ) (s) (s) + E[(s min(Y, b) max(0, Y b M ))]} (b,M )D С другой стороны, переходя в (1.7) к пределу по b при фиксированном M (то есть рассмотрев случай отсутствия перестрахования), получим следующее выражение под знаком sup:

c (s) (s) + E[s Y ], которое, как следует из уравнения (1.4) (для производной вероятности неразорения при отсутствии перестрахования), равно нулю. Значит, оптимальная вероятность неразорения (s) удовлетворяет следующему уравнению sup {K(b, M ) (s) (s) + E[(s min(Y, b) max(0, Y b M ))]} = 0 (1.8) (b,M )D Заметим, что для всех (b, M ) D по определению выполнено K(b, M ) 0. В таком случае уравнение (1.8) равносильно следующему (s) E[(s min(Y, b) max(0, Y b M ))] (s) sup = 0.

K(b, M ) (b,M )D Поскольку sup[f (x)] = inf f (x), то окончательно получим следующее уравнение:

(s) E[(s min(Y, b) max(0, Y b M ))] (s) = inf. (1.9) c E min[M, max(0, Y b)] (b,M )D 1.1.2 Существование решения уравнения Беллмана–Гамильтона– Якоби В данном разделе будет доказано существование решения уравнения (1.9). Однако, прежде чем формулировать основную теорему докажем полезное вспомогательное утвер ждение.

Лемма 1.1. Пусть функция (s) непрерывна при s 0, непрерывно дифференцируема при s 0 и (s) = 0 при s 0. Тогда инфимум функции (s) E[(s min(Y, b) max(0, Y b M ))] H(s, b, M ) = c E min[M, max(0, Y b)] по всем (b, M ), удовлетворяющим (1.5), и при фиксированном s 0, достигается (i) либо при b = (M = M ) и равен ((s) E(s Y ));

c (ii) либо при b = b s, M = M, где (b, M ) суть решение системы H(s, b, M ) = (sb), H(s, b, M ) = [(1 Q(b + M ))]1 E (s + M Y ) 0b+M (s + M y)dQ(y), и равен H(s, b, M ) = 1 (s b ).

Доказательство. Прежде всего, проведем некоторые вспомогательные преобразования.

Введем обозначения для числителя и знаменателя дроби в определении H(s, b, M ):

E(s, b, M ) H(s, b, M ) :=.

D(s, b, M ) Преобразуем числитель:

E(s, b, M ) := ((s) E[(s min{Y, b} max{0, Y b M })]) = = (s) E (s min{Y, b} max{0, Y b M }) (I{Y b} + I{b Y b + M } + I{Y b + M }).

Откуда получаем, что E(s, b, M ) равен:

E(s, b, M ) = (s) E[(s Y )I{Y b}] E[(s b)I{b Y b + M }] E[(s Y + M )I{Y b + M }], учитывая что (s) = 0 при s 0. Аналогичным образом поступим со знаменателем:

D(s, b, M ) := c E min{M, max(0, Y b)} = c + E[max(0, Y b M ) max(0, Y b)] = = c + E[max(0, Y b M )I{Y b + M }] E[max(0, Y b)I{Y b}].

Найдем теперь частные производные и числителя b M E(s, b, M ) = ( (s b)(Q(b + M ) Q(b))), b b+M E(s, b, M ) = (E[ (s + M Y )] (s + M y)dQ(y)), M и знаменателя D(s, b, M ) = (Q(b + M ) Q(b)), b = (Q(b + M ) 1).

D(s, b, M ) M Наконец, можем найти частные производные функции H(s, b, M ):

E(s,b,M ) D(s,b,M ) D2 (s, b, M ) H(s, b, M ) = D(s, b, M ) E(s, b, M ) b b b E(s,b,M ) D(s,b,M ) D2 (s, b, M ) H(s, b, M ) = D(s, b, M ) E(s, b, M ) M M M ( (sb)(Q(b+M )Q(b)))D(s,b,M )(Q(b+M )Q(b))E(s,b,M ) H(s, b, M ) = D2 (s,b,M ) b (1.10) b+M (E[ (s+M Y )] 0 (s+M y)dQ(y))D(s,b,M )(Q(b+M )1)E(s,b,M ) H(s, b, M ) = D2 (s,b,M ) M Рассмотрим задачу Лагранжа классического вариационного исчисления с ограничени ями типа неравенств: H(s, b, M ) inf (b,M ) b0 (1.11) M c E min{M, max(0, Y b)} 0.

Запишем функцию Лагранжа для данной задачи L(b, M ) = 1 H(s, b, M ) 2 b 3 M 4 (c E min{M, max(0, Y b)}), i 0, и систему уравнений Лагранжа L = 1 H(s,b,M ) 2 4 (Q(b + M ) Q(b)) = 0, b b H(s,b,M ) L (Q(b + M ) 1) = 0, = 1 3 M M (1.12) 2 b = 0, 3 M = 0, 4 (c E min{M, max(0, Y b)}) = 0.

Произведем привычный в подобных задачах разбор случаев:

1. 1 = 0. Тогда из первого и второго выражения системы (1.12) получаем:

2 = 4 (Q(b + M ) Q(b)), 3 = 4 (1 Q(b + M )).

Отсюда, в силу неотрицательности i имеем:

a) либо 2 = 3 = 4 = 0 вырожденный случай;

b) либо Q(b + M ) = Q(b) и Q(b + M ) = 1. Формально такая система конечных решений не имеет и окончательно, заключаем, что в случае 1 решений нет.

Замечание 1.1. Однако, оба равенства справедливы, если рассмотреть b при фикси рованном M (что соответствует случаю отсутствия перестрахования). При этом, значение функции H(s, b, M ), как несложно видеть, равно:

((s) E(s Y )). (1.13) c 2. 1 = 0. Без ограничения общности, считаем 1 = 1. Нетрудно видеть, что 2 = 3 = 4 = 0.

a) Пусть b s. Получаем простую систему:

H(s,b,M ) = 0, b H(s,b,M ) = 0, M из которой, используя выражения для частных производных, непосредственно полу чаем систему уравнений для нахождения стационарных точек задачи Лагранжа H(s, b, M ) = (sb), b+M E[ (s+M Y )] (s+M y)dQ(y) H(s, b, M ) =.

(1Q(b+M )) b) Пусть b s. Получаем систему Q(b + M ) = Q(b) и Q(b + M ) = 1, которая, как уже отмечено выше, конечных решений не имеет.

Собрав воедино все разобранные случаи, мы получаем утверждение леммы.

Теперь, мы можем доказать основную теорему о существовании решения.

Теорема 1.1 (О существовании). Существует неубывающее решение (s) уравнения (1.9), непрерывное на [0, +) и непрерывно дифференцируемое на (0, +);

кроме того, (s) = 0 при s 0 и (s) 1 при s.

Доказательство. Определим последовательность функций n (s) следующим образом:

0 (s) = 0 (s) вероятность неразорения при отсутствии перестрахования, и n (s) E[n (s min{Y, b} max{0, Y b M })] n+1 (s) = inf (1.14) c E min{M, max(0, Y b)} (b,M )D для n = 0, 1, 2,....

Докажем по индукции, что n+1 (s) n (s). Действительно, при n = 0 имеем, с одной стороны, согласно уравнению (1.4) для вероятности неразорения при отсутствии перестра хования:

0 (s) E[0 (s Y )] 0 (s) = ;

c с другой стороны, согласно (1.14) получаем:

0 (s) E[0 (s min{Y, b} max{0, Y b M })] 1 (s) = inf.

c E min{M, max(0, Y b)} (b,M )D Нетрудно видеть, что 1 (s) 0 (s), поскольку выражение, от которого берется точная нижняя грань, при b = совпадает с 0 (s). Предположим теперь, что n (s) n1 (s), покажем n+1 n (s). Действительно, для любых (b, M ):

n+1 (s)(cE min{M, max(0, Y b)}) n (s)E[n (smin{Y, b}max{0, Y bM })] = s s n (u)dudQ(y) = n1 (u)dudQ(y) = 0 smin{y,b}max{0,ybM } 0 smin{y,b}max{0,ybM } = n1 (s) E[n1 (s min{Y, b} max{0, Y b M })].

Соответственно, n1 (s) E[n1 (s min{Y, b} max{0, Y b M })] n+1 (s) inf = n (s).

c E min{M, max(0, Y b)} (b,M )D Далее, нетрудно показать, что n (s) = 0 при s 0. Действительно, для 0 (s) = 0 (s) это очевидно, а для n (s) легко получается по индукции: для этого достаточно обратиться к выражению (1.14).

Докажем теперь, что n (s) 0. Рассмотрим функцию двух переменных n (s) E[n (s min{Y, b} max{0, Y b M })] Hn (s, b, M ) =. (1.15) c E min{M, max(0, Y b)} Покажем, что для любого s 0, inf Hn (s, b, M ) по всем (b, M ), удовлетворяющим усло (b,M )D вию (1.5), положителен. Снова применяем метод математической индукции. При n = утверждение очевидно. Допустим, что неравенство выполнено для n (s). Cогласно лемме 1.1, точная нижняя грань в выражении (1.14) может принимать одно из двух значений:

s (i) n+1 (s) = (n (s) E[n (s Y )] = ( [n (s) n (s y)]dQ(y) + n (s)dQ(y)) 0, c c 0 s так как в силу предположения индукции n (s) 0 и, следовательно, n (s) строго возрастает.

(ii) b+M E[n (s + M Y )] 0 n (s + M y)dQ(y) n+1 (s) = = (1 Q(b + M )) (s + M y)dQ(y) b+M n (1 Q(b + M )) по предположению индукции.

Таким образом, n (s) убывающая последовательность непрерывных функций, причем n (s) 0. Значит, существует предел последовательности функций lim n (s) = (s), при n чем (s) 0. Положим (s) = 1 (u)du, тогда функция (s) удовлетворяет уравнению:

s (s) E[(s min{Y, b} max{0, Y b M })] (s) = inf.

c E min{M, max{0, Y b}} (b,M )D Необходимо показать непрерывность функции (s). Пусть s1 s2, имеем (s1 ) E[(s1 min{Y, b} max{0, Y b M })] |(s1 ) (s2 )| sup c E min{M, max(0, Y b)} (b,M )D (s2 ) E[(s2 min{Y, b} max{0, Y b M })] c E min{M, max(0, Y b)} 2|(s1 ) (s2 )| sup |(s1 ) (s2 )| Const.

(b,M )D c E min{M, max(0, Y b)} Из этой оценки и будет следовать непрерывность.

Наконец, покажем, что (s) 0 для s 0, то есть (s) строго возрастает. Действи тельно, согласно лемме 1.1, (s) может принимать следующие значения:

s (i) (s) = ((s) E[(s Y )] = ( [(s) (s y)]dQ(y) + (s)dQ(y)) 0.

c c 0 s Допустим, что s0 = inf{s : (s) = 0}. Тогда найдется s s0 :

() = 0 и, s следовательно, () ( y) для всех 0 y s. Но тогда s s s s (u)du 0= (u)du, 0 что противоречит определению s0.

b+M (s+M y)dQ(y) E[(s+M Y )] 0 (s+M y)dQ(y) 0. Снова докажем от b+M (ii) (s) = = (1Q(b+M )) (1Q(b+M )) противного. Допустим, что s0 = inf{s : (s) = 0}. Тогда s0 :

s () = 0, но s ( + M y)dQ(y) = 0. Следовательно, в силу непрерывности (s) = 0 для s тогда b+M всех 0 s s + b. Тогда s0 +b s+b (u)du 0= (u)du, 0 что противоречит определению s0.

1.1.3 Существование оптимальной стратегии перестрахования Прежде чем перейти к формулировке и доказательству основной теоремы данного па раграфа, нам понадобятся несколько вспомогательных утверждений.

В работе М. Шэля [40] доказана следующая лемма для композиции двух абсолютно непрерывных функций.

Лемма 1.2. Пусть H абсолютно непрерывная функция, заданная на интервале I, т.е.

t H(t) H(t0 ) = h(z)dz, t для некоторой локально интегрируемой функции h на I. Пусть функция G : [x0, ) I также абсолютно непрерывна, т.е.

x G(x) G(x0 ) = g(w)dw, x для некоторой локально интегрируемой функции g на [x0, ). Тогда, если функция g строго положительна, то композиция H G абсолютно непрерывна и имеет место равенство x H(G(x)) H(G(x0 )) = x x0.

h(G(y))g(y)dy, x В работе [40] приводится следующее утверждение.

Лемма 1.3. Пусть n := ((T1, Y1 ), (T2, Y2 ), · · ·, (Tn, Yn )), где {Tn } пуассоновский по ток, а {Yn } н.о.р. случайные величины c функцией распределения Q;

тогда для любой измеримой ограниченной снизу функции : R2n R имеет место следующее равенство T n E[(n1, Tn, Yn )] = E (n1, z, y)Q[dy]dz.

Tn Мы воспользуемся леммой 1.3 для доказательства следующего утверждения.

V Лемма 1.4. Пусть Rt это капитал компании в момент t, задаваемый формулой V (1.2);

пусть момент разорения, а Xt = Rt соответствующий остановленный процесс, а Kt = (Xt ), где : R R непрерывно дифференцируемая функция. Тогда:

t (Xz )(c E min{M, max(0, Y bz )})dz + E[Kt ] = (s) + E t [(Xz min{Y, bz } max{0, Y bz Mz }) (Xz )]dz.

+E (1.16) Доказательство. Распишем искомое математическое ожидание E[Kt ] = E[(Xt )] следу ющим образом E[(Xt )] = E[(Xt )I{T1 t} ] + E[(Xt )I{T1 t} ] (1.17) и рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Первое слагаемое в (1.17) соответствует случаю, когда до момента t не было ни одного убытка. В таком случае, капитал компании в момент t равен t V (c E min{Mz, max(Y bz, 0)})dz.

Rt =s+ t Применим лемму 1.2 к функциям (s) и Kt = (Xz )dz и получим, что первое слагаемое в (1.17) равно t (Xz )(c E min{M, max(0, Y bz )})dz.

(s) + E (1.18) Теперь рассмотрим второе слагаемое в сумме (1.17), оно соответствует случаю, когда к моменту времени t произошел хотя бы один убыток. Распишем это слагаемое следующим образом E[(Xt )] = E[(Xt ) (XTNt 1 )] +... + E[(XTn+1 (XTn )] +... + E[(XT1 ) (X0 )].

Рассмотрим моменты Tn и Tn+1, и применим утверждение леммы 1.3 к функции (XTn+1 ) (XTn ), приняв T0 := 0:

Tn+ [(Xz min{Y, bz }max{0, y bz Mz })(Xz )]Q{dy}dz.

E[(XTn+1 )(XTn )] = E Tn Тогда второе слагаемое равно t [(Xz min{Y, bz } max{0, y bz Mz }) (Xz )]Q{dy}dz+ E TNt Ti+ Nt [(Xz min{Y, bz } max{0, y bz Mz }) (Xz )]Q{dy}dz + E i=0 Ti Сложив эти величины и учитывая (1.18), получим утверждение леммы.

Наконец, нам еще понадобится теорема об измеримом выборе. В [7] приводится следу ющая формулировка Лемма 1.5 (Теорема об измеримом выборе). Пусть X метрическое пространство, замкнутое подможество в X U, компактное метрическое пространство, D U (x, u) D} и пусть функция f : D R := R {, +} DX := {u U|x X :

полунепрерывна снизу. Рассмотрим функцию f (x) = min f (x, z). Тогда существует zDX измеримая функция : DX Z, такая что f (x, (x)) = f (x).

Теперь мы можем перейти к доказательству основной теоремы данного параграфа теоремы о верификации.

Теорема 1.2 (О верификации). Существует измеримая функция V (s) = (b (s), M (s)), такая что точная нижняя грань в уравнении (1.9) для всякого s 0 достигается в точке (b (s), M (s)). Кроме того, стратегия V = (Vt )t0 = (b, Mt )t0, заданная по t правилу b = b (Rt ), Mt = M (Rt ), t 0, оптимальна, т.е. V (s) V (s) для любой V V t допустимой стратегии V V.

Доказательство. Доказательство этой теоремы разобьем на две части. В первой мы до кажем существование измеримой функции V (s), а во второй покажем оптимальность определяемой ею стратегии.

1. Существование измеримой функции V (s) мы докажем, основываясь на общей тео реме об измеримом выборе 1.5. В нашем случае, в качестве пространства X мы рассмотрим расширенную вещественную плоскость R R, вещественную прямую R, в качестве U с конечной метрикой d2 (x, u) d(x, u) =, 1 + d2 (x, u) некоторая метрика на плоскости R2 (например, можно взять евклидово рас где d2 (x, u) стояние). Нетрудно понять, что в таком случае U компактное метрическое пространство.

Далее, рассмотрим функцию H(s, b, M ), определенную в лемме 1.1:

(s) E[(s min{Y, b} max{0, Y b M })] H(s, b, M ) =, (1.19) c E min{M, max{0, Y b}} где (s) решение уравнения (1.9), построенное в доказательстве теоремы 1.3, а функция H определена на множестве R D, где D = {(b, m)|b 0, M 0, c E min{M, max(Y b, 0)} 0}.

Нетрудно показать, что функция f непрерывна на R D как композиция непрерывных функций (например, это можно сделать, расписав все математические ожидания в (1.19) через интегралы, как это делается в доказательстве леммы 1.1). Далее, заметим, что при таком определении пространств X и U имеем H (s) := (s) = min H(s, b, M ).

(b,M )D Непосредственно к множеству RD применить указанную выше теорему мы не можем, т.к.

оно не является замкнутым. Поэтому рассмотрим для любого натурально го n множество Dn := {(b, m)|b 1/n, M 1/n, cE min{M, max(Y b, 0)} 1/n} и применим теорему об измеримом выборе к множеству [0, n] Dn. В результате, мы получим, что для любого n N существует измеримая функция n (s), определенная на отрезке [0, n], со значениями в Dn и такая, что H[s, n (s)] = H (s). Тогда предел таких функций есть измеримая функция limn n := : [0, +) D и такая, что f [s;

(s)] = f (s). Окончательно, обозначив V (s) := (s) мы получаем утверждение первой части теоремы.

2. Пусть (s) решение уравнения (1.9), существование которого доказано в предыду щей главе;

напомним, что согласно теореме 1.1 это решение обладает следующими свой ствами: 0 (s) 1, (s) = 0 при s 0 и lim (s) = 1. Положим (s) = (s);

мы s покажем, что эта функция есть искомый супремум в (1.3).

Более строго, мы докажем, что стратегия V = (Vt )t0 = (b, Mt )t0 = (b (Rt ), M (Rt ))t0, t которая определяется измеримой функцией V (s) = ( (s), M (s)), такова, что (s) = V (s) (то есть вероятность неразорения компании при использовании стратегии V равна (s));

более того, для любой предсказуемой стратегии V имеем V (s) V (s).

V V Пусть Rt и Rt это капитал страховой компании в момент t при использовании стра тегии Vt и некоторой произвольной допустимой стратегии Vt соответственно;

также пусть и соответствующие моменты разорения. Введем обозначения Xt и Xt соответ ственно для остановленных (в момент разорения) процессов Rt и Rt, а Kt и Kt для V V преобразованных процессов, а именно:

Kt := (Xt ) = (Rt ), Kt := (Xt ) = (Rt ).

V V Далее, в лемме 1.4 установлено, что для математического ожидания E[Kt ] (ровно как и для E[Kt ]) справедлива следующая формула t E[Kt ] = (s) + E (Xz )(c E min{M, max(0, Y bz )})dz + t [ (Xz min{Y, bz } max{0, Y bz Mz }) (Xz )]dz.

+E (1.20) Заметим теперь, что для любой стратегии Vt = (bt, Mt ) из уравнения Беллмана–Гамильтона– Якоби (1.9) следует, что для всякого t (Xt )(c E min{Mt, max{0, Y bt }}) (Xt )+ + E[ (Xt ) min{Y, bt } max{0, Y bt Mt })] 0, (1.21) причем для стратегии Vt достигается равенство. Сложив (1.20) и (1.21) получаем, что E[V (Xt )] E[ (Xt )] = E[Kt ] (s) = E[Kt ], причем для стратегии Vt достигается равенство. Наконец, устремляя t 0, мы получаем, что (s) = V (s) и V (s) V (s) для любой другой стратегии Vt.

Рис. 1.1: Вероятности неразорения 1.1.4 Численные примеры Пример 1.1 (Случай экспоненциального распределения убытков). Итак, рассмотрим для начала случай, когда поступающие требования Yi exp(l), i 1. Даже в этом, на пер вый взгляд простом, случае невозможно найти решение уравнения Беллмана–Гамильтона– Якоби (1.9) аналитически. Для построения функции (s) решения уравнения (1.9) был использован метод построения последовательных приближений искомого решения функ циями n (s), описанный в доказательстве теоремы 1.1. Случай экспоненциально распре деленных убытков замечателен тем, что для первого шага приближений (т.е. функции 0 (s) = 0 (s) вероятности неразорения при отсутствии перестрахования) найдено (см., например, [28]) явное выражение, а именно:

l 0 (s) = 1 exp l s.

c c В данном примере в расчете использованы следующие значения параметров: c = 1.5, = 1.6, = 1, l = 1. В качестве начального значения возьмем (0) = 0 (0), затем нор мируем (s), поделив на (s0 ), где s0 достаточно велико. На рис. 1.1 (верхний график) показано решение (s) уравнения (1.9), то есть вероятность неразорения компании, ко торая использует оптимальную стратегию перестрахования;

легко видеть, что эта веро ятность существенно больше вероятности неразорения при отсутствии перестрахования (нижний график). На рис. 1.2 показаны функции b (s) и M (s) для s [0, 10], определя Рис. 1.2: Функции b (s) и M (s) в случае экспоненциального распределения ющие оптимальную стратегию. Для малых s оптимальной стратегией будет пара (, 0), т.е. отсутствие перестрахования вообще. Начиная с s 0.3 до s 2.2, величина b (s) s и в то же время ширина полосы перестрахования M (s) убывает.

Для того, чтобы пояснить вид графиков функций b (s) и M (s), изображенных на рис.

1.2, мы рассмотрим функцию (s) E[(s min{Y, b} max{0, Y b M })] H(s, b, M ) = c E min{M, max(0, Y b)} и продемонстрируем ее поведение, в зависимости от параметров (b, M ) при различных значениях s. Так, на рис. 1.3 показана функция H(s, b, M ) как функция от b при доста точно малых s и M = {0.1, 0.2, 0.3}. Нетрудно видеть, что в минимальное значение эта функция принимает при b.

Далее, рассмотрим рис. 1.4. На нем изображены графики функции H(s, b, M ) для s = 2.1 (верхний график), 2.2 (средний график) и 2.5 (нижний график) и M = 0.1 (т.е. мы фиксируем оптимальное M = 0.1, для того, чтобы показать выбор оптимального b ). Из рисунка видно, что при для s = 2.1 минимальное значение достигается при b = 2.1, т.е.

в точке до скачка, а при больших s минимум функции H(s, b, M ) достигается уже при b 0.8. Заметим, что скачок во всех случаях обуславливается видом числителя функции H(s, b, M ). Действительно, указанный числитель, расписанный через интегралы, имеет Рис. 1.3: Графики функции H(s;

b, M ) при Рис. 1.4: Графики функции H(s, b, M ) при достаточно малом s различных s вид b s+M (s) (s y)dQ(y) (s b)(Q(b + M ) Q(b)) (s y + M )dQ(y), 0 b+M и нетрудно видеть, что при b s последние два слагаемых равны 0.

Пример 1.2 (Случай убытков распределенных по Парето). Наконец, рассмотрим еще случай распределения Парето с параметрами и, другими словами пусть убытки Yi имеют плотность распределения q(y) =, y 0.

(y + )+ В данном примере используем следующие значения параметров: = 1 и = 2, также, как и в случае экспоненциального распределения выбираем = 1, c = 1.5 и = 1.7.

В точке s = 0 при отсутствии перестрахования имеем 0 (s) = 1 c1 ( 1)1. На рис.

1.5 показаны графики функций b (s) и M (s), определяющих оптимальную стратегию, в описанной ситуации. В отличие от первого примера, в данном случае не существует s, такого что b (s) = s, т.е. мы всегда выбираем b (s) s.

Рис. 1.5: Функции b (s) и M (s) в случае распределения Парето §1.2 Оптимальная стратегия перестрахования и инвести рования Внесем некоторые изменения в модель, рассмотренную в предыдущем параграфе: кро ме возможности отдать часть рисков в перестрахование, компания также имеет возмож ность вложить часть средств в некий рисковый актив.

Для облегчения технических выкладок, в данном параграфе рассматривается неогра ниченное перестрахование эксцедента убытка, а именно, при поступлении убытка Yi, i величину (Yi b)+. Пусть страховая компания выплачивает min{Yi, b}, а перестраховщик c(b) часть страховой премии, оставшаяся у страховой компании после выплаты пере страховочной премии;

предполагается, что функция c(·) возрастает (иначе получилось бы, что чем больше перестраховочное покрытие, тем оно дешевле), непрерывна и c() = c. В случае использования стратегии перестрахования b = (bt )t0, предсказуемой относительно фильтрации F, капитал страховой компании равен t Nt b b c(bz )dz min{Yi, bTi } Rt = R0 + (1.22) i= и удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению (СДУ) b dRt = c(bt )dt dUt, Nt min{Yi, bTi }.

где Ut = i= Кроме того, мы предполагаем, что страховая компания имеет возможность вклады вать средства в некий рисковый актив. При этом считаем, что рассматриваемая ситуация идеальна в том смысле, что компания имеет возможность вложить больше средств, чем у нее имеется на настоящий момент, взяв для этого беспроцентный кредит. Рыночная стоимость Zt этого рискового актива (или стоимость акции), как в стандартной моде ли Блэка–Шоулса, представляет собой геометрическое броуновское движение и, соответ ственно, удовлетворяет следующему СДУ dZt = Zt (µdt + dWt ), (1.23) где Wt стандартное броуновское движение, а параметры, µ 0. Таким образом, Zt это стоимость в момент t одной денежной единицы, инвестированной в начальный момент.

Страховая компания определяет размер At средств, инвестируемых в актив в момент t, или, другими словами, компания в момент t является держателем t = At /Zt акций.

Nt Считаем, что процессы Ut := { Yi } и Wt, t 0, независимы. Пусть фильтрация F = i= (Ft )t0, где F t наименьшая –алгебра, относительно которой измеримы Ru, заданный в (1.1), и Wu для u t.

По аналогии с первым параграфом дадим следующее Определение 1.3. Назовем стратегией перестрахования и инвестирования случай ный процесс V = (Vt )t0 = (At, bt )t0 такой, что процессы (At )t0 и (bt )t0 предсказуемы относительно фильтрации F. Стратегия V допустимая, если At 0, bt 0 п.н. для t 0.

Множество допустимых стратегий перестрахования и инвестирования обозначим V1.

V Нетрудно видеть, что капитал страховой компании Rt при использовании стратегии V V1 удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению dRt = dRt + t dZt = (c(bt ) + µAt )dt + At dWt dUtb, V b V R0 = s, (1.24) b где Rt капитал компании, при использовании только стратегии перестрахования эксце Nt дента убытка, а Utb := min(bTi, Yi ). Последнее равенство (1.24) это формальная запись i= для следующего выражения t t V Au dWu Utb.


Rt = (c(bu ) + µAu )du + 0 Для того, чтобы интеграл Ито в правой части верхнего равенства был определен коррект но, мы полагаем процесс At локально ограниченным. Напомним, что случайный процесс At называется локально ограниченным, если найдется последовательность n моментов остановки (относительно естественной фильтрации) и числовая последовательность cn та кие, что n и |An I{n 0}| cn п.н. для любого n N.

Пусть V это момент разорения страховой компании, использующей стратегию V, V = inf{t 0 : Rt 0}. Тогда вероятность неразорения компании с начальным капита V лом s 0 равна V (s) = P [ V = |R0 = s].

V (1.25) Оптимальность стратегии состоит в том, что она максимизирует вероятность неразорения.

А именно, как и в предыдущем параграфе, мы будем рассматривать величину (s) = sup { V (s)}, V V и нашей основной задачей будет выяснить существование оптимальной стратегии V = (Vt )t0, то есть такой, при которой (s) = V (s).

1.2.1 Уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби Будем предполагать, что функция (s) дважды непрерывно дифференцируемая, сто хастические интегралы по броуновскому движению являются мартингалами, а также, что все пределы и математические ожидания перестановочны.

Далее мы выведем уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби для оптимальной вероят ности неразорения:

A (s) + (c(b) + µA) (s) + E[(s min{Y, b}) (s)] sup =0 (1.26) A0, b с граничными условиями () = 1 и (s) = 0 при s 0.

Для удобства дальнейших рассуждений мы рассмотрим процесс XtV, заданный следу ющим образом dXtV = dRt + dUt, X0 = R0 + U0 = s, V V V V где процесс риска Rt соответствующий стратегии V V1 определен в (1.24).

Зафиксируем произвольное 0;

по определению супремума для всякого s 0 най дется такая допустимая стратегия V 0 = (Vt0 )t0 = (A0, b0 )t0, что V (s) (s). Рас tt смотрим достаточно малый промежуток времени [0, dt] и стратегию V V1 такую, что на промежутке [0, dt] она не меняется, а дальше совпадает с V t [0, dt T1 ], (A, b), V = (At, bt ) = (A0 tdtT1, btdtT1 ), t dt T1.

Заметим, что для компании, использующей стратегию V возможны два случая:

1. за время [0, dt] происходит один убыток Y с вероятностью dt + o(dt);

2. за время [0, dt] не происходит убытков с вероятностью 1 dt + o(dt).

Поэтому, по формуле полной вероятности (s) V (s) = P { V = |dt T1 }P {dt T1 } + P { V = |dt T1 }P {dt T1 } = = dtE V (s min{Y, b}) + (1 dt)E V (Xdt ) + o(dt) V V dtE(s min{Y, b}) + (1 dt)E(Xdt ) + o(dt). (1.27) Вычислим второе слагаемое в выражении выше. Имеем V V V V V (Xdt ) = (Xdt ) (X0 ) + (X0 ) = d(X0 ) + (s). (1.28) Используя лемму Ито, находим выражение для d(XtV ):

d(XtV ) = (XtV )(c(b) + µA) + (XtV ) 2 A2 dt + (XtV )AdWt.

Далее, подставив выражение выше и формулу (1.28) в выражение (1.27), учитывая что произвольно (а значит его можно взять сколь угодно близким к 0), получим (s) dtE(s min{Y, b})+ +(1 dt)E (s) + (s)(c(b) + µA)dt + (s) 2 A2 dt + (s)AdWt + o(dt).

Преобразуем выражение выше, раскрыв скобки и сгруппировав должным образом слага емые, 0 E [(s min{Y, b}) (s)] dt + (c(b) + µA) (s)dt + (s) 2 A2 dt + o(dt), с учетом того, что E[ (s)AdWt ] = (s)AE[dWt ] = 0. Разделив обе части на dt, перейдя к пределу при dt 0 и максимизируя по (A, b), получаем искомое уравнение (1.26).

Далее, заметим, что функция в левой части уравнения (1.26) достигает максимума по A 0 либо в точке µ (s) A (s) =, 2 (s) либо, если A (s) 0 или не определена, на концах отрезка [0, +]. Покажем, что послед ний случай невозможен. Cправедлива следующая Лемма 1.6. Пусть дважды непрерывно дифференцируемая функция (s) является ре шением уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби (1.26). Тогда 1. функция (s) строго возрастает при s 0;

2. функция (s) строго вогнутая, т.е. (s) 0 при s 0.

Доказательство. Установим первое свойство. Пусть 0 x y произвольные веще ственные числа, а V V1 произвольная допустимая стратегия. Обозначим x, y моменты разорения компании, использующей стратегию V с начальным капиталом x и y y x соответственно;

капитал компании в момент времени t обозначим Rt и Rt соответственно.

Тогда, справедливо следующая цепочка Ab (y) = P (y = ) P (x = ) + P (x y Rt 0) P (x = ) = Ab (x).

x В силу произвольности стратегии V получается, что при 0 x y имеем (x) (y).

Докажем строгую вогнутость. Предположим сначала, что (x) 0 в некоторой точке x. В силу непрерывности это свойства будет выполнено и в некоторой окрестности точки x. Но в таком случае максимум по A левой части (1.26) на этом интервале достигается при A + и равен +, что противоречит тому, что (s) решение (1.26). Далее, пусть теперь (x) = 0 на некотором интервале. Тогда, поскольку в силу строгого возрастания, (x) 0 на этом интервале, то максимум левой части (1.26) снова достигается при A = и равен +. Полученное противоречие доказывает, что (s) 0.

Заметим, что если (s) решение (1.26) с граничным условием () = 1, то для всякого вещественного k функция (s) = k(s) также является решением (1.26), но с граничным условием () = k. Поэтому мы можем ограничиться поиском дважды непре рывно дифференцируемой строго возрастающей вогнутой функции (s) удовлетворяющей уравнению A (s) + (c(b) + µA) (s) + E[(s min{Y, b}) (s)] sup =0 (1.29) A0, b с граничными условиями (0) = 1 и (s) = 0 при s 0.

Как уже было доказано выше, максимум по A 0 левой части (1.29) достигается в точке µ (s) A (s) = 0. (1.30) 2 (s) Подставив это выражение в (1.29), получаем µ2 (s) sup + c(b) (s) + (E[(s min{b, Y })] (s)) = 0. (1.31) 2 2 (s) b Поскольку функция в левой части уравнения (1.31) непрерывна по s и b, то согласно теореме об измеримом выборе найдется измеримая функция b (s), в которой достигается максимум в (1.31) и соответственно в исходном уравнении (1.29).

Прежде чем двигаться дальше, сделаем несколько полезных замечаний. Во-первых, ясно что A(0) = 0. Действительно, в случае A(0) = 0 в силу неограниченности вариаций винеровского процесса, вероятность неразорения равно 0 и, очевидно, не является опти мальной, поскольку, например, при отсутствии инвестиций и перестрахования (т.е. A = 0, b = ), вероятность неразорения (0) = 1 EY /c 0. Во-вторых, равенство A(0) = влечет, согласно формуле (1.30) и лемме 1.6, lim (s) =.

s0+ Наконец, заметим, что для достаточно малых s максимум в (1.31) достигается в точ ке b (s) =, иными словами, при достаточно малом начальном капитале оптимальной стратегией будет чистое инвестирование без перестрахования. Более строго, справедлива Лемма 1.7. Пусть (s) решение (1.31) на интервале [0, h) для достаточно малого h 0.

Тогда существует 0 такое, что b (s) = при s.

Доказательство. Прежде всего заметим, что b(0) =. Действительно, при подстановке в (1.31) значения s = 0, воспользовавшись замечанием выше, получаем уравнение sup {c(b) (0) (0)} = 0. (1.32) b Выражение слева представляет собой линейную функцию, которая при b 0 неограни ченно возрастает, поэтому супремум достигается при b. Далее, рассмотрим функцию от двух переменных µ2 (s) H(s, b) := + c(b) (s) + (E[(s min{b, Y })] (s)).

2 2 (s) Ясно, что H(0, ) = limb H(0, b) = 0. Рассмотрим относительное приращение на беско нечности, а именно, следующую величину H(s, b) H(s, ) c(b) c (s) + E[(s min{b, Y } (s Y )].

= (1.33) b b b Преобразуем математическое ожидание в правой части, расписав его через интегралы E[(s min{b, Y }) (s Y )] = ((s b) (s y))Q(dy).

b Ясно, что для всякого достаточно большого b найдется 0 h такое, что для всех s [0, ] это математическое ожидание меньше произвольно взятой величины. Таким образом, второе слагаемое в правой части (1.33) сколь угодно мало при достаточно малых s. При этом первое слагаемое в (1.33) отрицательно, т.к. c(b) c для всех b, а значит, функция H(s, b) при достаточно больших b и малых s строго убывает.

Докажем от противного. Предположим, что существует s0 [0, ] такое, что инфимум функции H(s, b) по b достигается в точке b (s0 ). Но в таком случае lim b (s) = b s0+ и при этом H(s0, b (s0 )) = 0. Переходя в последнем равенстве к верхнему пределу, полу чаем limu0 H(u, b (u)) = H(0, b), причем b. Таким образом, H(0, b) = 0 = H(0, ).

Однако, выше было доказано, что H(s, b) строго убывает при достаточно больших b. По лученное противоречие доказывает лемму.

Далее, преобразуем уравнение (1.31) к виду µ (s) =2 (1.34) 2 2 inf b0 {((s) E[(s min{Y, b}) c(b) (s)])} (s) и проинтегрируем от 0 до s s µ 1 du =2 +. (1.35) inf b0 {((u) E[(u min{Y, b}) c(b) (u)])} (0) (s) Наконец, положим (s) = (s) и перепишем (1.35) следующим образом s µ du c (s) = 2 +. (1.36) u inf b0 { ub Q(u z)(z)dz c(b)(u)} Поскольку нас интересуют только строго возрастающие и вогнутые решения (s), т.е.

(s) 0, то выражение в знаменателе (1.34) должно быть положительным:

s inf { Q(s z)(z)dz c(b)(s)} 0. (1.37) b0 sb 1.2.2 Существование решения уравнения Беллмана–Гамильтона– Якоби Прежде всего заметим, что из формулы (1.32) вытекает, что (0) = (0) =. Для c c доказательства основной теоремы нам понадобится дополнительная лемма. Мы покажем, что решение уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби (1.26) (соответственно (1.31), (1.36)) существует в некоторой -окрестности нуля.

Согласно лемме 1.7 существует 0 такое, что оптимальное удержание b (s) = при s [0, ]. Подставим в уравнение (1.29) оптимальное b (s) = и выражение (1.30) для оптимального A и приведем его к виду µ2 (s) ((s y) (s))dQ(y) + c (s) =. (1.38) 2 2 (s) Разделим обе части равенства на величину µ2 / 2 и обозначим выражения 2 /µ2 и c 2 /µ соответственно как 1 и c1 :

1 (s) ((s y) (s))dQ(y) + c1 (s) = 1.

2 (s) Проинтегрируем по частям интеграл в левой части равенства s ((sy)(s))dQ(y) = ((sy)(s))dQ(y) = ((sy)(s))dQ(y)+ (s)dQ(y) = 0 0 0 s s = (1 (s))Q(s) (s y)Q(y)dy, где Q(s) = 1 Q(s). Затем сделаем замену = и получим следующее уравнение s 1 (s) 1 (s y)Q(y)dy + c1 ((s) Q(s)) = ((s))2. (1.39) c1 Лемма 1.8. Существует решение C 1 (0, ) C[0, ) уравнения (1.39) и такое, что (s) 0, (s) 0 при s [0, ), (0) = /c = 1 /c1 и µ 3 s + o( s).


(s) = c c 2 c Доказательство. Сделаем в уравнении (1.39) замену (s) = (s2 ) и получим следующее равенство s (s) 1 (s2 y)Q(y)dy + c1 ((s) Q(s2 )) = ((s))2.

1 (1.40) 2s c1 Произведя в интеграле в левой части равенства замену переменной интегрирования y = s2 (1 t), приведем (1.40) к виду (s)[](s) = ((s))2, (1.41) где (s) 1 /c1 Q(s2 ) t(st)Q(s2 (1 t2 ))dt + c [](s) = 21 s.

s Заметим, что (0) = (0) = (0) = /c = 1 /c1. Кроме того, переходя к пределу при s 0+ в равенстве (1.41) получаем ( (0))2 c1 = ((0))2.

3/ Поскольку (s)|s=0 = ( (s2 ) + 2s (s2 ))|s=0 = (0) 0, надо взять (0) = 1 /c1.

Далее, для 0 и C 1 [0, ] определим | (s) (0)|.

[] := sup 0s s Рассмотрим пространство H := {h C 1 [0, ] : [h] } с нормой ||h|| := max{||h||, |h (0)|, [h]}.

H банахово как подпространство C 1 [0, ] с экивалентной нормой (см., например, [7]). Да лее, определим замкнутое подмножество M h H : h(0) = 1 /c1, h (0) =, ||h 1 /c1 ||, [h] M H, D := 3/ c где M 0 и 0 1/2 некоторые постоянные. На пространстве H рассмотрим оператор G, заданный следующим образом s h(x) 1 M G[h](s) := dx, h D, s [0, ].

+ c1 [h](x) M Заметим, что оператор G отображает D на себя и является сжимающим. Действительно, M приведем основные оценки. Итак, пусть h(s) D. Тогда, поскольку по правилу Лопиталя h(s) 1 /c1 Q(s2 ) h (s) + 2sq(s2 ) = c1 h (0) = 1/2, [h](0) = c1 lim = c1 lim s s0 s0 c то h2 (0) 2 /c 1 = 1 1/2 = 3/2.

G[h](0) = G[h] (0) =, c1 [h](0) 1 /c1 c M Далее, заметим, что, если h D, то для достаточно малого и достаточно большого M 0 справедливы оценки |h(s)| 1 1 1 + h(s) M sup M + 3/2.

+, (1.42) 3/ c1 c1 s c1 c s(0,] Используя эти оценки, получаем s h2 (x)dx h(s)2 ( + 1 /c1 )2 1 ||G[h](s) || sup sup, + c1 [h](x) s[0,] [h](s) c1 ( + 1 /c1 ) c1 c s[0,] c1 ( + 1 /c1 )1 ). Оценка (G[h]) M полу для достаточно малого (точнее для чается аналогично.

M M Таким образом, G : D D при определенном выборе параметров M,. Покажем M теперь, что G сжимающий оператор. Пусть h1, h2 D. Поскольку, ясно, что |G[h1 ] (0) G[h2 ] (0)| = 0, то ||G[h1 ]G[h2 ]|| = max(||G[h1 ]G[h2 ||, (G[h1 ]G[h2 ])). Далее, используя оценки (1.42), получаем s h1 (s)2 [h2 ](s) h2 (s)2 [h1 ](s) ||G[h1 ] G[h2 || = sup [h1 ](s)[h2 ](s) s[0, ] 3/ 1 h1 (s) [h2 ](s) h2 (s)2 [h1 ](s) 2(M + 1 /c1 ) sup sup |h1 (s)h2 (s)| ||h1 h2 ||, 2 [h ](s)[h ](s) 3/ s[0, ] s s (M 1 /c1 )2 s[0,] 1 где 0 1 для достаточно больших M 0. Оценка (U [h1 ] U [h2 ]) ||h1 h2 || устанавливается аналогично. Окончательно имеем ||G[h1 ] G[h2 ]|| ||h1 h2 || ||h1 h2 ||.

M Таким образом G сжимающий оператор на D. Тогда по теореме Банаха о неподвижной M точке сжимающего оператора существует D такое, что U [](s) = (s), иными слова 3/ решение (1.41) на [0, ]. Кроме того, (s) = 1 /c1 1 c ми, s + o(s). Следовательно, 1 3/2 s + o( s).

(s) = ( s) = c1 c Далее мы покажем существование решения (s) уравнения (1.36) на [0, ). Для про стоты выкладок будем считать (без ограничения общности), что = c = 1. Действительно, если c = 1, то всегда можно перейти, например, к другой валюте. Если же = 1, то можно сделать замену времени.

Теорема 1.3 (О существовании). Существует строго возрастающее решение (s) урав нения (1.36) на [0, ).

Доказательство. Пусть [0, s0 ] наибольший интервал, на котором выполнено (1.36) и (1.37). Из леммы 1.8 следует, что s0 0. Предположим, что s0. Покажем, что решение может быть продолжено на [0, s0 +) для некоторого 0, что приведет к противоречию.

Определим постоянные K и L следующим образом:

s µ2 du K := g(s0 ) =2 + 1, u inf b0 { Q(u z))(z)dz c(b)(u)} 2 ( ub и s (1 Q(s0 z))(z)dz c(b)(s0 ).

L := inf b0 s0 b Заметим, что L 0 в силу (1.37). Рассмотрим оператор на пространстве H положи тельных непрерывных убывающих функций h(s) на [s0, ) таких, что h(s0 ) = 1/K и h(s) = (s) при s s0 (соответственно h(s) = 0 при s 0):

s µ du [h](s) := + K. (1.43) u 2 2 max[inf b0 {( Q(u z)h(z)dz) c(b)h(u)}, L] ub Пусть hi (s) H и обозначим bi (s), i = 1, 2 точки, в которых достигается инфимум в (1.43) при подстановке вместо h(s) соответственно функций h1 (s) и h2 (s) (заметим, что такой точкой может быть и ). Пусть также u (1 Q(u z))hi (z)dz c(bi (u))hi (u), L.

Ii (u) := max ubi (u) Тогда s 1 |I1 (u) I2 (u)|du µ2 s |[h1 ](s) [h2 ](s)| 2 s s µ2 µ 1 2 (K + I1 (u)du)(K + I2 (u)du) 2 2 2 s0 s s µ2 1 |I1 (u) I2 (u)|du.

2 2 K 2 s Интеграл оценим следующим образом s s 1 |I1 (u) 2 |I1 (u) I2 (u)|du I2 (u)|du L s0 s s u 2 c(b(u))(h2 (u) h1 (u)) + (1 Q(u z))(h1 (z) h2 (z))dz du, L s0 ub(u) где b(s) = b2 (s), если I1 (s) I2 (s) и b(s) = b1 (s) иначе. Предположим теперь, что s s0 + для некоторого 0 (выбор уточним ниже) и пусть C := maxss0 + |c(b(s))|. Тогда s |I1 (u) I2 (u)|du |h1 (s) h2 (s)|[C(s s0 ) + (s0 + )(s s0 )].

sup s0 ss0 + s Выберем теперь 0 такое, что C + (s0 + ) = (2L2 2 )/µ2 (заметим, что положитель ность дискриминанта и отрицательность свободного члена гарантирует существование по ложительного корня). При таком выборе имеем |[h1 ](s) [h2 ](s)| |h1 (s) h2 (s)|, sup K2 s0 ss0 + что означает, что оператор сжимающий на (s0, s0 + ) и значит существует функция h(s) такая, что [h](s) = h(s). Итак, мы показали, что существует решение (s) уравнения (1.36) на (0, s0 + ). Полученное противоречие доказывает теорему.

1.2.3 Существование оптимальной стратегии Прежде чем переходить к основной теореме верификации, выведем полезную формулу для математического ожидания остановленного процесса риска.

V Лемма 1.9. Пусть Rt капитал компании при использовании некоторой допусти n V := inf{t 0 : Rt (, n)}, а (s) мой стратегии V, / решение уравнения (1.29).

V Справедлива следующая формула для математического ожидания E(Rtn ) tn 2 V V V E(Rtn ) = (s) + E (c(bu ) + µAu ) (Ru ) + A (Ru ) du+ 2u tn V V E[(Ru min{bu, Y }) (Ru )]du. (1.44) + E V Доказательство. Действительно, сначала распишем E(Rtn ) по формуле полной веро ятности V V V E(Rtn ) = E(Rtn )I{T1 t} + E(Rtn )I{T1 t}. (1.45) Первое слагаемое соответствует случаю, когда до момента t отсутствуют убытки, преоб разуем его, используя формулу Ито, t tn n Ef s + (c(bu ) + µAu )du + Au dWu = 0 tn tn V V V = (s) + E (c(bu ) + µAu ) (Ru ) + A (Ru ) du + E Au (Ru )dWu. (1.46) 2u 0 Заметим, что в силу локальной ограниченности процесса At, для всех, n 0 At ограни n чен на [0, ]. Следовательно, все стохастические интегралы в (1.46) определены коррект но и, кроме того, последнее математическое ожидание равно нулю. Перейдем ко второму слагаемому в (1.45). Распишем его следующим образом N n V V V [(RTi ) (RTi1 )].

E(Rtn ) = (1.47) i= V V Применив лемму 1.3 к разностям вида (RTi ) (RTi1 ), составляющим сумму (1.47), получим, что второе слагаемое в (1.45) равно tn V V V E(Rtn )I{T1 t} = E E[(Ru min{bu, Y }) (Ru )].

Окончательно, сложив оба слагаемых, получаем формулу (1.44).

Перейдем к основной теореме данного раздела.

Теорема 1.4 (О верификации). Пусть (s) строго возрастающее, дважды непрерывно дифференцируемое решение уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби (1.29) и, соответ ственно, уравнения (1.31). Тогда (s) ограничена, а оптимальная вероятность неразоре ния (s) = (s)/(). Кроме того, существуют измеримые функции A (s) и b (s) такие, что при каждом s 0 супремум в уравнении (1.29) достигается в точках (A (s), b (s)).

При этом стратегия V = (Vt )t0 = (A, b )t0 такая, что A = A (Rt ), b = b (Rt ), tt t t t 0, оптимальна.

Доказательство. Существование измеримой функции b (s) вытекает из теоремы об из меримом выборе (лемма 1.5), примененной к уравнению (1.31). Измеримая функция A (s) находится затем по формуле (1.30).

V V Далее, рассмотрим произвольную допустимую стратегию V V1. Пусть Rt и Rt капитал страховой компании, использующей соответственно стратегию V и V. Пусть и V соответствующие моменты разорения. Рассмотрим остановленные процессы (Rt ) n n V V n V и (Rt ), где = inf{t 0 : Rt (, n)} и = inf{t 0 : Rt (, n)}, а и n такие, / / n что 0 x n.

Заметим, что из уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби (1.29) следует, что для стра V тегии V и капитала Rt выполнено следующее неравенство At (Rt ) + (c(bt ) + µA ) (Rt ) + E[(Rt min{Y, bt }) (Rt )] 0, t причем для стратегии V и капитала Rt достигается равенство. Далее, используя это V неравенство и переходя к пределу 0, n в (1.44), по теореме о монотонной сходимости заключаем V E[(Rt )] (s), (1.48) V причем для Rt достигается равенство.

В работе Шмидли доказано (см. [45], лемма 2.9), что для произвольной стратегии V капитал Rt при t на { V = }. По лемме Фату при t, примененной к V V последовательности E[(Rt )] получаем ()P [ = ] ()P [ = ] + (0)P [ ] = V V E lim inf (Rt ) lim inf E(Rt ) (s). (1.49) t t Но поскольку существует такая допустимая стратегия, для которой выполнено P [ = ] 0 (например, при отсутствии перестрахования и инвестиций, т.е. A = 0, b = ), то из (1.49) заключаем, что (). Далее, из (1.49) следует, что V (s) = P [ = ] (s)/(), причем для V (s) = P [ = ] достигается равенство. Действительно, из V V формулы (1.48) при t следует, что E(R ) (s) с равенством для R. Иными словами, E(R ) = ()P [ = ] = (s).

V Итак, мы доказали, что для произвольной допустимой стратегии V V1 имеем V (s) V (s), что и означает что стратегия V оптимальная.

1.2.4 Численные примеры Рис. 1.6: Оптимальный уровень собственного удержания b (s) в случае экспоненциального распределения Мы рассмотрим два частных случая описываемой выше модели, а именно, случаи, когда размеры выплат имеют распределение с легкими хвостами (экспоненциальное) и с тяжелыми (Парето). В обоих случаях будем полагать = 1, а параметры в модели Блэка– Шоулса соответственно µ = 0, 04 и = 0, 01. Также, будем считать, что перестраховочная премия рассчитывается, исходя из принципа среднего с нагрузкой безопасности, то есть часть премии, остающаяся у цедента равна c(b) = c (1 + )E[Y min{b, Y }]. Для получения численного решения уравнения Беллмана –Гамильтона–Якоби (1.26), найдем решение (s) = (s) уравнения (1.36). Точнее, перепишем уравнение (1.36) следующим образом µ2 (s) = s 2 sup b0 {c(b)(s) sb Q(s z)(z)dz} и найдем решение этого уравнения методом Эйлера. Вид функции (s) для s близких к 0 определяется по лемме 1.8. Затем решение находим методом последовательных прибли жения с шагом µ2 n+1 (s) = 2.

s 2 supb0 {c(b)n (s) sb Q(s z)n (z)dz} Рис. 1.7: Оптимальный объем инвестиций A (s) в случае экспоненциального распределе ния Пример 1.3 (Экспоненциальное распределение). Пусть поступающие требования имеют экспоненциальное распределение со средним равным единице, то есть Q(y) = 1 ey.

Возьмем параметры c = 1 и = 0, 2.

На рис. 1.6 изображен график функции b (s), определяющей оптимальный уровень собственного удержания, для s [0, 8]. Заметим, что как и следует из леммы 1.7, для достаточно близких к 0 значений s оптимальной стратегией будет не перестраховывать вообще, то есть b (s) =. При s 0, 5 происходит скачок уровня собственного удер жания b (x) до значения 0, 1 и затем функция возрастает до значения 0, 4. Для s 0, оптимальное удержание b (s) 0, 4. На рис. 1.7 показан график функции A (s), опреде ляющей оптимальный объем инвестиций. Заметим, что при достаточно малом начальном капитале s оптимально инвестировать больше, чем есть на данный момент, то есть брать кредит. Для достаточно больших значений s на графике A (s) 8, 9.

Рис. 1.8: Оптимальный уровень собственного удержания b (s) в случае распределения Парето Пример 1.4 (Распределение Парето). Пусть поступающие требования имеют распреде ление Парето с параметром равным 2, то есть Q(y) = 1 (1 + y)2. В данном примере были взяты следующие значения параметров: c = 1, 2 и = 1, 4.

На рис. 1.8 и 1.9 показаны графики функций b (s) и A (s), определяющих соответ ственно оптимальный уровень собственного удержания и оптимальный объем инвестиций, для данного сулчая. Подобно предыдущему примеру для достаточно малого начального капитала оптимальным будет отказаться от перестрахования. Заметим еще, что вблизи нуля оптимальный объем инвестиций, функция A (s), ведет себя как функция c s, затем убывает и терпит скачок в том значении начального капитала, когда необходимо брать перестрахование. Наконец, функция A (s) приближается к значению 5, 5. Заметим, что Рис. 1.9: Оптимальный объем инвестиций A (s) в случае распределения Парето в случае распределения Парето, сходимость метода Эйлера достаточно медленная, полу ченные графики для оптимальных b (s) и A (s) построены на основе 20 приближения функции (s).

Глава Оптимальные стратегии в модели с возможностью дополнительного вливания капитала В данной главе исследуется модель работы страховой компании с дискретным вре менем, модифицированная по Диксону и Уотерсу. Предполагается, что собственник ком пании, для того чтобы избежать ее разорения, имеет возможность инвестировать допол нительные средства, если капитал компании по итогам года опустился ниже некоторо го фиксированного уровня. В такой ситуации целью руководства компании становится минимизация потенциальных вливаний. В первом параграфе рассмотрен случай, когда страховая компания, для минимизации этих издержек, вкладывает средства в некий рис ковый актив. В данном случае требуется определить оптимальный размер инвестируемых в рыночный актив средств, позволяющий минимизировать дополнительные вливания ка питала. Рассматриваются случаи конечного и бесконечного горизонта планирования. Во втором параграфе рассмотрен случай, когда страховая компания, для минимизации этих издержек, прибегает к услугам перестраховщика. В такой ситуации, требуется опреде лить оптимальные параметры договора перестрахования, позволяющие минимизировать дополнительные вливания капитала. Рассматриваются случаи пропорционального пере страхования, на примере квотного договора, и непропорционального, на примере дого вора эксцедента убытка. Приведены численные примеры для случая экспоненциального распределения требований.

§2.1 Оптимальное инвестирование Исследуемая в данном параграфе модель состоит в следующем. Страховая компания работает n лет (или иных промежутков времени). Пусть c 0 суммарный размер стра ховый премий, поступивших в компанию за год, а Yk совокупный размер требований или убытков, поступивших в компанию в k-ом году, 1 k n. Предполагается, что Y1,... Yk,..., Yn н.о.р. неотрицательные с.в. с абсолютно непрерывной функцией рас пределения Q(y), имеющей непрерывную плотность q(y). Кроме того, страховая компания имеет возможность вкладывать средства в некий рыночный актив. Пусть последователь ность с.в. Z1,..., Zn определяет результат вложения средств в этот актив, то есть, если в (k 1)-ый момент времени была вложена одна денежная единица, то в k-ый момент мы получим (1 + Zk ) денежных единиц. Мы считаем, что рынок, на котором оборачивается данный актив, безарбитражный, то есть P (Zk 0) (0, 1), и, следовательно, от вложения в рисковый актив возможен как доход, так и убыток. Кроме того, пусть средняя доход ность актива EZ1 0, иначе нет никакого смысла вкладывать средства в этот актив.

Предполагается, что с.в. Z1,..., Zn н.о.р. с функцией распределения H(z) и независи мы от Y1,..., Yn. Более того, в каждый момент времени k принимается решение о размере Ak+1 денежных средств, инвестируемый в рыночный актив в (k + 1)-ом году. Иными сло вами, рассматриваются стратегии инвестирования A = (A0,..., An1 ). Пусть фильтрация Finv = (Fk )k=1,n, где Fk inv inv наименьшая -алгебра, относительно которой измеримы Ym и Zm для m k. Дадим следующее Определение 2.1. Стратегия инвестирования это согласованная с фильтрацией Finv последовательность с.в. A := {A0,..., An1 }, где A0 = const. Стратегия A допусти мая, если Ai 0 п.н. для всех i = 0,..., n 1.

Множество допустимых стратегий инвестирования обозначим An. Кроме того, как уже было сказано в начале главы, владелец страховой компании вкладывает дополнительные средства в компанию, как только капитал компании опускается ниже некоторого заданно го уровня L 0, и восстанавливает тем самым капитал компании до этого уровня. Размер этих вложений в k-ом году обозначим Jk. С учетом описанных выше условий, капитал A компании Rk на конец k-го года при использовании допустимой стратегии A равен A A A A Rk = Rk1 + c + Ak1 Zk Yk + Jk, R0 = s, k = 1,..., n, (2.1) A где s 0 начальный капитал. При этом размер дополнительных вложений Jk в k-ом году равен A A Jk = max{0, L Rk1 c Ak1 Zk + Yk }. (2.2) Пусть v ставка годового дисконта, тогда суммарный приведенный объем дополнитель ных вложений капитала равен n A v i1 JiA |R0 = s).

A Wn (s) := E( i= В такой ситуации задача состоит в минимизации таких вложений по всем допустимым стратегиям A Wn (s) := inf Wn (s). (2.3) AAn Стратегию A, при которой достигается инфимум в (2.3), и будем назвать оптимальной.

2.1.1 Уравнение Беллмана и оптимальная стратегия Лемма 2.1. Функция Wn (s) для всякого n 1 удовлетворяет следующему уравнению Wn (s) = inf {E max(0, LscZ+Y )+vEWn1 (max(L, s+c+ZY ))}, W0 (s) = 0, (2.4) где случайные величины Y и Z независимы и имеют соответственно функции распре деления Q(y) и H(z).

Доказательство данного утверждения в целом следует общей логике для подобных моделей (см., например, [47]).

Доказательство. Пусть A An произвольная допустимая стратегия. Имеем по опре делению n A v i1 Ji+1 |R0 = s).

A A = E max(0, L s c A1 Z1 + Y1 ) + vE( Wn (s) i= A Возьмем от обеих частей условное математическое ожидание по R1. По телескопическому свойству имеем n A v i1 Ji+1 |R A A A = E max(0, L s c A0 Z1 + Y1 ) + vE E |R0 = s = Wn (s) i= A A A E max(0, LscA0 Z1 +Y1 )+vEWn1 (R1 ) =E max(0, LscA0 Z1 +Y1 )+vEWn1 (R1 ) inf {E max(0, L s c Z1 + Y1 ) + vEWn1 (max(L, s + c + Z1 Y1 ))}.

Следовательно, так как стратегия A произвольная допустимая, A Wn (s) inf {E max(0, L s c Z1 + Y1 ) + vEWn1 (R1 )}.

С другой стороны, из (2.3) по определению инфимума следует, что для 0 найдется A стратегия A An такая, что Wn1 (s + c + 0 Z1 Y1 ) Wn1 (s + c + 0 Z1 Y1 ) п.н., где 0 0 постоянная. Пусть A стратегия, определенная по правилу A0 = 0, Ak+1 = Ak, k = 0,..., n 2. Тогда E max(0, L s c 0 Z1 + Y1 ) + vEWn1 (s + c + 0 Z1 Y1 ) A E max(0, L s c 0 Z1 + Y1 ) + vEWn1 (s + c + 0 Z1 Y1 ) A Wn (s) Wn (s).

В силу произвольности получаем, что Wn (s) inf {E max(0, L s c Z1 + Y1 ) + vEWn1 (max(L, s + c + Z1 Y1 ))}.

Замечание 2.1. В дальнейшем будет доказано, что для любого s 0 существует един ственная точка (s), в которой достигается инфимум в уравнении (2.4), и, значит, корректно будет это уравнение записывать в виде Wn (s) = min{E max(0, L s c Z + Y ) + vEWn1 (max(L, s + c + Z Y )}, W0 (s) = 0.

Перейдем теперь к оптимальной стратегии. Справедлива следующая Лемма 2.2. Пусть для любого k = 1,..., n существует k (s) измеримая функция, доставляющая инфимум в уравнении (2.4) при n = k. Тогда допустимая стратегия A = (A,..., A ) инвестирования в n-шаговой модели, где A = ni (Ri ), i = 0,..., n 1, A 1 n i оптимальная.

Замечание 2.2. Для доказательства данного утверждения достаточно существования из меримой функции k (s). Однако, в дальнейшем, будет доказано, что существует не только измеримая, но и непрерывная функция k (s), доставляющая минимум в (2.4).

Доказательство. Рассмотрим произвольную допустимую стратегию A = (Ai )n An.

i= это и будет означать, что стратегия A A A Докажем, что Wn (s) Wn (s), оптимальная.

Доказательство по индукции. При n = 1 имеем:

A A W1 (s) = E max(0, L s c A0 Z1 + Y1 ) E max(0, L s c 1 (s)Z1 + Y1 ) = W1 (s).



Pages:   || 2 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.