авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА механико–математический факультет кафедра теории вероятностей ...»

-- [ Страница 2 ] --

A Шаг индукции: пусть для k n утверждение верно и Wk (s) = Wk (s), покажем, что Wk+1 (s) Wk+1 (s), где A = (Ai )k A A произвольная допустимая стратегия. Определим i= k и A = (Ai )k1 по следующему правилу: Ai = Ai+1, допустимые стратегии A = (Ai )i=0 i= i = 0,..., k 1, Ai = A, i = 0,..., k 1. Находим i+ A A A Wk+1 (s) = E[Wk+1 (s)|R1 ] = A = E max(0, L s c A0 Z1 + Y1 ) + vE[Wk (max(L, s + c + A0 Z1 Y1 ))] E max(0, L s c A0 Z1 + Y1 ) + vE[Wk (max(L, s + c + A0 Z1 Y1 ))] E max(0, L s c k+1 (s)Z1 + Y1 ) + vE[Wk (max(L, s + c + k+1 (s)Z1 Y1 ))] = E max(0, L s c k+1 (s)Z1 + Y1 ) + vE[Wk (max(L, s + c + k+1 (s)Z1 Y1 ))] = W A (s).

A Замечание 2.3. Итак, из леммы 2.2 следует, что для построения оптимальной стратегии в n-шаговой модели достаточно найти функцию n (s) такую, что при каждом s 0, инфи мум в уравнении Беллмана (2.4) достигается в точке n (s). При этом сама по себе величина n (s) = A оптимальный размер инвестиций на первом шаге n-шагового процесса.

2.1.2 Оптимальное инвестирование в одношаговой модели При n = 1 уравнение (2.4) принимает следующий вид W1 (s) = inf E max(0, L s c Z + Y ). (2.5) Распишем математическое ожидание в правой части уравнения через интегралы и преоб разуем, учитывая, что Q(y) = 0 при y 0 в силу неотрицательности Y. Имеем + + max(0, L s c z + y)dH(z)dQ(y) = W1 (s) = inf + + (L s c z + y)dQ(y)dH(z).

= inf s+c+zL Прежде чем переходить к основной теореме данной части, докажем вспомогательную лем му, которая понадобится нам и в дальнейшем. Пусть + + (L s c z + y)dQ(y)dH(z) = 1 (s, ) := s+c+zL Lsc + + + (L s c z + y)dQ(y)dH(z) + (L s c z + y)dQ(y)dH(z).

= s+c+zL Lsc Лемма 2.3. Минимальное значение 1 (s, ) по для любого s 0 достигается в точке = (s), являющейся единственным корнем уравнения E[Z(Q(s + c + Z L) 1)] = 0. (2.6) Кроме того, (s) непрерывная функция.

Доказательство. Вычислим первую и вторую производную 1 (s, ) по. Имеем + + 1 (s, ) := 1 (s, ) = (z)dQ(y)dH(z) = s+c+zL + = z(1 Q(s + c + z L)dH(z) = E[Z(1 Q(s + c + Z L))].

Вторая производная равна + z 2 q(s + c + z L))dH(z) = E[Z 2 q(s + c + Z L)].

1 (s, ) = 1 (s, ) = Заметим сразу, что поскольку q(y) 0, то 1 (s, ) 0, иными словами, 1 (s, ) не убывает по. Далее, имеем при = 1 (s, 0) = [EZ](1 Q(s + c L)) 0, поскольку по условию EZ 0. Найдем lim 1 (s, ). При 0 имеем (т.к. Q(y) = + при y 0 в силу неотрицательности с.в. Yi ) Lsc + + 1 (s, ) = z(1Q(s+c+zL))dH(z) = zdH(z) z(1Q(s+c+zL))dH(z).

Lsc Пусть сначала L s + c. Поскольку предел при + второго слагаемого в выражении выше равен нулю получаем, что 0 0 zH(z)| lim 1 (s, ) = zdH(z) = P (Z z)dz = P (Z z)dz 0, + + так как P (Z 0) 0 по условию. Аналогично при L s + c, получаем Lsc lim 1 (s, ) = lim z(1 Q(s + c + z L))dH(z)+ zdH(z) + Lsc + z(1 Q(s + c + z L))dH(z) = + zdH(z) 0.

Таким образом, непрерывная неубывающая по функция 1 (s, ) такова, что (s, 0) 0, а 1 (s, +) 0. Значит, уравнение 1 (s, ) = EZ(1 Q(s + c + Z L) = 0 имеет единственное решение при 0. Обозначим это решение (s). Заметим, что по теореме о неявной функции (s) непрерывная функция при s R. Кроме того, из доказанных свойств производной следует, что сама функция 1 (s, ) имеет минимум в этой точке.

Покажем еще, что функция 1 (s, ) дважды дифференцируема по s. Вычисляем + 1 (s, ) = (1 Q(s + c + z L))dH(z) = EQ(s + c + Z L) 1, (2.7) 1 (s, )s := s 1 (s, ) = Eq(s + c + Z L).

1 (s, )ss := (2.8) s Наконец, заметим, что 1 (s, )s 0, а 1 (s, )ss 0 при s 0.

Перейдем к основному утверждению.

Теорема 2.1. 1) Функция W1 (s) дважды дифференцируема. Кроме того, для всех s справедливы следующие неравенства:

a. 1 W1 (s) 0, b. W1 (s) 0.

2) Оптимальный размер инвестиций в одношаговой модели равен (s), где (s) единственный корень уравнения (2.6) Доказательство. Действительно, пусть функция (s) решение уравнения (2.6) для всех s 0. Существование такой функции, следует из леммы 2.3 и теоремы о неявной функции. Тогда, по правилу дифференцирования, имеем d (s) 1 (s, (s)) + 1 (s, (s)) 1 (s, (s)), W1 (s) = = s ds s (s, (s)) = 1 (s, (s)) = 0 по определению (s). При этом, согласно (2.7), d т.к. + + (z)dQ(y)dH(z) = EQ(s + c + Z L) 1 [1, 0].

1 (s, )s = s+c+zL Следовательно, W1 (s) [1, 0]. Далее, найдем W1 (s):

d (s) d 1 (s, (s))s = 1 (s, (s))ss + 1 (s, (s))s W1 (s) =, (2.9) ds ds где 1 (s, )s := (s, ). По теореме о неявной функции s d (s) 1 (s, (s))s =.

1 (s, (s)) ds Найдем 1 (s, (s))s и 1 (s, (s))ss. С учетом найденного в лемме 2.3 имеем 1 (s, (s))s = EZq(s + c + (s)Z L), 1 (s, (s))ss = Eq(s + c + (s)Z L).

Итак, мы знаем все компоненты правой части выражения (2.9), находим:

1 (s, (s))ss 1 (s, (s)) (1 (s, (s))s ) W1 (s) = = 1 (s, (s)) Eq(s + c + (s)Z L)E[Z 2 q(s + c + Z L)] [EZq(s + c + (s)Z L)] 0, = E[Z 2 q(s + c + Z L)] так как по неравенству Коши–Буняковского числитель неотрицателен:

q(s + c + (s)Z L)) q(s + c + (s)Z L)] [E(Z Eq(s + c + (s)Z L)E[Z 2 q(s + c + Z L)].

Итак, пункт 1) доказан полностью;

пункт 2) следует из леммы 2.3.

2.1.3 Оптимальное инвестирование в мношаговой модели Пусть теперь 2 n. Напомним, уравнение Беллмана имеет вид Wn (s) = inf {E max(0, L s c Z + Y ) + vEWn1 (max(L, s + c + Z Y )}.

Рассмотрим n (s, ) := {E max(0, L s c Z + Y ) + vEWn1 (max(L, s + c + Z Y )} = = 1 (s, ) + vEWn1 (max(L, s + c + Z Y ))}.

Введем обозначения n (s, )s := n (s, ), n (s, ) := n (s, ), s 2 2 n (s, )ss := 2 n (s, ), n (s, )s := n (s, ), n (s, ) := n (s, ).

s s Теорема 2.2. 1) Функция Wn (s) дважды дифференцируема. Кроме того, для всех s справедливы следующие неравенства a) 1 Wn (s) 0;

b) Wn (s) 0.

2) Оптимальный объем инвестиций n (s) на первом шаге n-шагового процесса определя ется как единственное решение уравнения E[Z(Q(s + c + Z L) 1) + vWn1 (s + c + Z Y )] = 0, (2.10) причем функция n (s) непрерывная.

Доказательство. Для доказательства утверждения вычислим первые частные производ ные функции n (s, ), учитывая результаты леммы 2.3:

+ s+c+zL Wn1 (s + c + z y)dQ(y)dH(z) n (s, )s = 1 (s, ) + v s s + + + Wn1 (L)dQ(y)dH(z) = s+c+zL + s+c+zL = EQ(s + c + Z L) 1 + v Wn1 (s + c + z y)dQ(y)dH(z) = = EQ(s + c + Z L) 1 + vEWn1 (s + c + Z Y );

+ s+c+zL n (s, ) = EZ(Q(s + c + Z L) 1) + v zWn1 (s + c + z y)dQ(y)dH(z) = = EZ(Q(s + c + Z L) 1) + vE(ZWn1 (s + c + Z Y ));

Аналогично вычислим вторые частные производные и введем дополнительные обозначе ния для их компонент:

+ s+c+zL n (s, )ss = E(q(s + c + Z L)) + v Wn1 (s + c + z y)dQ(y)dH(z)+ + s+c+zL +v Wn1 (L)dQ(y)dH(z) = = Eq(s + c + Z L)(1 + vWn1 (L)) + vEWn1 (s + c + Z Y );

1 =:Ess =:Ess + s+c+zL z 2 Wn1 (s + c + z y)dQ(y)dH(z)+ n (s, ) = E(Z q(s + c + Z L)) + v + s+c+zL z 2 Wn1 (L)dQ(y)dH(z) = +v = E[Z q(s + c + Z L)(1 + vWn1 (L))] + vE(Z 2 Wn1 (s + c + Z Y ));

1 =:E =:E + s+c+zL n (s, )s = E(Zq(s + c + Z L)) + v zWn1 (s + c + z y)dQ(y)dH(z)+ + s+c+zL +v zWn1 (L)dQ(y)dH(z) = = E[Z(s + c + Z L)(1 + vWn1 (L))] + vE(ZWn1 (s + c + Z Y )).

1 =:Es =:Es Установим свойства 1a и 1b по индукции. При n = 1 утверждение следует из теоре мы 2.1. Пусть для n = k утверждение верно, т.е. Wk (s) [1, 0], Wk (s) 0. Установим справедливость теоремы при n = k + 1. Сначала заметим, что k+1 (s, ) 0 при фик сированном s для всех 0. Действительно, поскольку по предположению индукции Wk (s) 0, находим, что k+1 (s, ) E[Z 2 q(s + c + Z L)(1 + vWk (L))] 0, т.к. Wk (s) 1, Wk (s) 0.

А, значит, функция k+1 (s, ) не убывает как функция от 0. При этом, при = k+1 (s, 0) = (Q(s + c L) 1)EZ + vEWk (s + c Y )EZ (Q(s + c L) 1)EZ 0, поскольку EZ 0 по условию. Покажем, что lim k+1 (s, ) 0. Действительно, учи + тывая, что Wk (s) 1, получаем, что + s+c+zL vE[ZWk (s + c + Z Y )] = v zWk (s + c + z y)dQ(y)dH(z) (Lsc)/ (Lsc)/ + v z(Q(s+c+zL)1)dH(z) = vE[Z(Q(s+c+ZY )1)]v zdH(z) = (Lsc)/ (Lsc)/ = v1 (s, ) v zdH(z).

Тогда lim k+1 (s, ) = lim [1 (s, ) + vE(ZWk (s + c + Z Y ))] 0 (1 v) lim 1 (s, ) v zdH(z) = (1 v) lim 1 (s, ) + v H(z)dz 0, поскольку v (0, 1), в лемме 2.3 установлено, что lim 1 (s, ) 0, а H(z) 0 при z по условию. Следовательно, функция k+1 (s, ) не убывает и принимает отрицательное значение при = 0 и положительное при. Значит, существует единственное реше ние k+1 (s) уравнения k+1 (s, ) = 0, причем k+1 (s) непрерывна по теореме о неявной функции. Кроме того, функция k+1 (s, ) убывает по при [0, k+1 (s)] и возрастает при k+1 (s), следовательно, в точке k+1 (s) достигается минимум функции k+1 (s, ).

Таким образом, второе утверждение теоремы доказано.

Пусть k+1 (s) точка, в которой достигается минимум k+1 (s, ) по. Тогда по пра вилу дифференцирования имеем dk+1 (s) d Wk+1 (s) = k+1 (s, k+1 (s)) = k+1 (s, k+1 (s))s +k+1 (s, k+1 (s)) = k+1 (s, k+1 (s))s 0, ds ds поскольку k+1 (s, k+1 (s)) = 0 по определению k+1 (s) и доказанному выше. Далее, k+1 (s, k+1 (s))s = EQ(s + c + k+1 (s)Z L) 1 EWk (s + c + k+1 (s)Z Y ) EQ(s + c + k+1 (s)Z L) 1 1 1.

Следовательно, Wk+1 (s) [1, 0]. Теперь найдем вторую производную. По теореме о неяв ной функции, имеем d (s, ) d ds k+ k+1 (s) = d.

ds (s, ) d k+1 = (s) k+ Тогда k+1 (s, k+1 (s))s Wk+1 (s) = k+1 (s, k+1 (s))ss k+1 (s, k+1 (s))s = k+1 (s, k+1 (s)) (Ess + Ess )(E + E ) (Es + Es ) 1 2 1 2 1 =. (2.11) k+1 (s, k+1 (s)) Оценим числитель, используя неравенство Коши–Буняковского, например:

Ess E = E[q(s+c+k+1 (s)Z L)(1+vWk (L))]E[Z 2 q(s+c+k+1 (s)Z L)(1+vWk (L))] 1 E[Zq(s + c + k+1 (s)Z L)(1 + vWk (L))]2 = (Es )2.

Аналогично поступим с остальными парными произведениями в числителе (2.11) и полу чим, что (Ess + Ess )(E + E ) (Es + Es )2.

1 2 1 2 1 Значит, Wk+1 (s) 0 и теорема доказана.

2.1.4 Численная реализация Рассмотрим частный случай одношаговой модели из параграфа 2.1.2. Пусть совокуп ный годовой убыток Y exp(1/), а размер страховой премии вычисляется по прин ципу среднего с нагрузкой безопасности 0, т.е. c = (1 + ). Предположим также, Рис. 2.1: Значения W1 (s) и V (s) для различных s.

что годовая доходность Z рискового актива, в который страховщик вкладывает сред ства, имеет нормальной распределение Z N (µ, ), µ 0, 0. Пусть W1 (s) = min E max(0, L s c Z + Y ) минимальное дополнительное вливание капитала в конце первого года. Заметим, что в данном случае уравнение (2.6) примет вид (z µ) s + c + z L z 1 exp exp dz µ = 0.

2 Lsc Пусть (s) решение уравнения выше. По доказанному в этой точке достигается мини мум W1 (s). Обозначим V (s) := E max(0, L s c + Y ), величину вливаемого капитала при отсутствии инвестиций.

Рассмотрим следующие значения параметров: = 1, = 0, 1, µ = 1, = 0, 5. В таблице на рис. 2.1 приведены значения функций W1 (s) и V (s) при различных значениях начального капитала s и при L = 2. На рис. 2.1 также приведены графики этих функций.

Все расчеты выполнены с помощью приложения Wolfram Mathematica 8 с точностью до 105. Как нетрудно видеть, обе функции убывают, причем для начального капитала s 4, функция V (s) существенно больше W1 (s).

На рис. 2.2 приводится численное приближение оптимального уровня инвестиций (s) для s [0, 10] и для различных значений параметра L. Заметим, что в данном случае видно, что функция (s) не возрастает и увеличивается с ростом L.

Рис. 2.2: Значения (s) для различных L.

2.1.5 Оптимальное инвестирование в случае бесконечного гори зонта планирования Пусть теперь временной горизонт не ограничен. Введем следующие обозначения: пусть совокупные годовые убытки Y1, Y2,... н.о.р. неотрицательные с.в. с абсолютно непре рывной функцией распределения Q(y) и плотностью q(y), c поступаемая за год страхо вая премия. Имеется некий рыночный актив, последовательность н.о.р. и независимых от Y1, Y2,... с.в. Z1, Z2,... определяет доход (или убыток) по данному активу за год. Кроме того, в конце каждого года собственник инвестирует дополнительные средства в страхо вую компанию, если ее капитал по итогам года опустился ниже заранее заданного уровня L 0. Рассматривается естественная фильтрация F = F (Y,Z), порожденная последова тельностью (Yn, Zn ). По аналогии с предыдущим параграфом дадим следующее Определение 2.2. Стратегия инвестирования это согласованная с фильтрацией F бесконечная последовательность с.в. A = {A0, A1,...}, где A0 = const. Стратегия A допустимая, если Ai 0 п.н. для всех i 0.

Множество допустимых стратегий инвестирования обозначим A. В данном случае ка питал компании, использующей стратегию A, также равен A A A A Rk = Rk1 + c + Ak1 Zk Yk + Jk, R0 = s, k = 1, 2,..., (2.12) A где s 0 начальный капитал. При этом размер дополнительных вложений Jk в k-ом году равен A A Jk = max{0, L Rk c Ak1 Zk + Yk }. (2.13) Пусть v коэффициент дисконтирования, тогда суммарный приведенный объем допол нительных вложений капитала при использовании стратегии инвестирования A равен A v i1 Ji |R0 = s).

A W (s) := E( i= В такой ситуации задача состоит в минимизации таких вложений среди всех допустимых стратегий W (s) := inf W A (s).

AA Допустимую стратегию инвестирования A будем называть оптимальной, если W (s) = W A (s).

Замечание 2.4. Заметим, что функция W A (s) ограничена сверху. Действительно, рассмот рим нулевую стратегию A0 = {A0 = 0}. Тогда (здесь Es [·] := E[·|R0 = s]) A k k= k 0 W (s) W A (s) = Es v k1 max(0, LcRk1 +Yk ) = Es A v k1 max(0, Lskc+ Yi ) i= k=1 k= k |L s| (c EY ) k1 k v k1 Ek(cEY ) Yi | |Ls|+ v E|Lsck + v +v.

(1 v) 1v i= k=1 k=1 k= (2.14) Кроме того, для любой допустимой стратегии A A: Es (v i1 JiA ) Es (v i1 JiA ) и, значит, W A (s) также ограничено сверху.

Аналогично случаю конечного горизонта планирования выводится уравнение Беллма на для данной ситуации. А именно, справедлива Лемма 2.4. Функция W (s) для всех s 0 удовлетворяет следующему уравнению дина мического программирования:

W (s) = inf {E max(0, L s c Z + Y ) + vEW (max(L, s + c + Z Y ))}, (2.15) где Y и Z независимые случайные величины, имеющие функции распределения Q(y) и H(z) соответственно.

Доказательство. Доказательство данного утверждения полностью повторяет доказатель n v k1 Jk на ряды v k1 Jk, сходимость кото ство леммы 2.1, с заменой конечных сумм k=1 k= рых вытекает из замечания 2.4.

Докажем существование решения уравнения (2.15).

Теорема 2.3. Существует единственное решение W (s) уравнения (2.15). Кроме того, функция W (s) дважды дифференцируемая, а инфимум в правой части (2.15) достигается в точке, где это единственный корень уравнения E[Z(Q(s + c + Z L) 1) + vW (s + c + Z Y )] = 0. (2.16) Доказательство. Рассмотрим последовательность функций Wn (s), n 0, определенных по правилу Wn (s) = inf {E max(0, LscZ +Y )+vEWn1 (max(L, s+c+Z Y )}, W0 (s) = 0, n 1.

(2.17) Заметим, что в предыдущем параграфе установлено, что для любого n 0 Wn (s) 0, то есть {Wn } последовательность невозрастающих функций. Покажем еще, что Wn+1 (s) Wn (s) для всех s 0. Действительно, для n = 0 утверждение очевидно. Пусть утвержде ние верно для n и пусть n+1 (s) точка, в которой достигается инфимум в выражении (2.17) для функции Wn+1 (s) (n+1 (s) существует по теореме 2.2). Тогда Wn+1 (s) = E max(0, L s c n+1 (s)Z + Y ) + vEWn (max(L, s + c + n+1 (s)Z Y ) E max(0, L s c n+1 (s)Z + Y ) + vEWn1 (max(L, s + c + n+1 (s)Z Y ) inf {E max(0, L s c Z + Y ) + vEWn1 (max(L, s + c + Z Y )} = Wn (s).

Кроме того, поскольку Wn (s) W (s) для всех n = 1, 2,..., то согласно (2.14) все Wn (s) ограничены сверху. Следовательно, существует предел lim Wn (s) = W (s). Далее, по n скольку последовательность {Wn (s)} возрастает по n и ограничена сверху, то по тео n= реме Леви о монотонной сходимости W (s) = lim Wn+1 (s) = lim min{E max(0, LscZ+Y )+vEWn (max(L, s+c+ZY )} = n n = inf {E max(0, L s c Z + Y ) + vEW (max(L, s + c + Z Y )}.

И, значит, W (s) искомое решение уравнения (2.15). Далее, согласно теореме 2.2 все Wn (s) C [0, ). Кроме того, Wn (s) [1, 0] и Wn (s) 0. Таким образом, {Wn (s)} n= последовательность неубыващих функций, ограниченная сверху нулем. Следовательно, существует предельная функция lim Wn (s) =: V (s). Но поскольку, lim Wn (s) = W (s), то n n диффференцируема и V (s) = W (s) и W (s) [1, 0]. Обозначим W (s) (s, ) = E max(0, L s c Z + Y ) + vEW (max(L, s + c + Z Y )) и найдем производную по :

(s, ) = E[Z(Q(s + c + Z L) 1)] + E[ZW (s + c + Z L)].

(s, ) := Аналогично теореме 2.2 устанавливаем, что при = (s, 0) (Q(s + c L) 1)EZ 0, т.к. EZ 0 по условию, при lim (s, ) lim (1r (s, ) + vE[ZW (s + c + Z Y ))] 0.

+ Кроме того, вторая производная (s, ) неотрицательна:

(s, ) = E[Z 2 q(s + c + Z L)(1 + vW (L))] + vE[Z 2 W (s + c + Z Y )] 0, поскольку W (s) [1, 0], W (s) 0. Значит, как и в случае конечного горизонта плани рования, уравнение (2.16) имеет ровно одно решение.

Наконец, установим существование оптимальной стратегии инвестирования. Справед лива следующая Теорема 2.4. Пусть для всех s 0 инфимум в уравнении (2.15) достигается в точке (s). Тогда стратегия A = {A }, где A := (Rn ), n 1, A оптимальная.

n n=1 n Доказательство данного утверждения следует подходу, предложенному в книге [45].

Доказательство. Сначала рассмотрим подможество допустимых стратегий An := {A A : Ak = (Rk ), k = 0, n} и докажем, что W (s) = inf W A (s).

A A An Воспользуемся методом математической индукции. Пусть n = 0, а стратегия A A\A произвольная. По определению инфимума для всякого 0 найдется такая стратегия A, что W (s + c + (s)Z1 Y1 ) W A (s + c + (s)Z1 Y1 ). Определим стратегию A A0 по правилу A0 = (s), Ak = A k1, k = 1,. Тогда W A (s) = EJ1 + vEW A (R1 ) E max(0, L s c A0 Z1 + Y1 ) + vEW (R1 ) A A A E max(0, L s c (s)Z1 + Y1 ) + vEW (s + c + (s)Z1 Y1 ) = W (s) W A (s).

В силу произвольности получаем, что W A (s) W A (s). Пусть теперь W (s) = inf W A (s).

A An A W (s). Пусть стратегия A An \ An+1. По определению ин Покажем, что W (s) = inf A An+ фимума для всякого 0 найдется такая стратегия A An, что W (Rn+1 ) W A (Rn+1 ) A A. Определим стратегию A An+1 по следующему правилу: Ak = (Rk ), k = 0, n, A An + k = A k1, k = 1,. С помощью аналогичного случаю n = 0 рассуждению, несложно установить, что W A (s) W A (s).

Итак, мы показали, что n W (s) = inf W A (s) или, другими словами, A An W (s) = W A (s).

inf An n= An состоит только из стратегии A, она и будет Следовательно, поскольку множество n= оптимальной.

§2.2 Оптимальное перестрахование Изучаемая в данном параграфе модель состоит в следующем. Пусть страховая компа ния работает n лет, Yk совокупный размер убытков за k-ый год, а c 0 суммарный размер страховых премий, поступивших в компанию за год. Кроме того, собственник ком пании вкладывает в нее дополнительные средства, как только капитал компании опускает ся ниже некоторого уровня. Однако, в отличие от первого параграфе, в данном параграфе мы будем считать, что страховая компания имеет возможность заключать договора пе рестрахования вместо вложения средств в рисковый актив. Предполагается, что любой договор перестрахования характеризуется некоторым параметром b, который может при нимать значения из некоторого подмножества Dr R+. Пусть функция r(b, y) такова, что, если заключен договор перестрахования с параметром b и Y величина поступивше го требования, то цедент оплачивает часть r(b, Y ) убытка, а перестраховщик Y r(b, Y ).

Ясно, что r(b, Y ) Y п.н. Приведем примеры функции r(b, y):

1) пропорциональное перестрахование, r(b, y) = bY, Dr = (0, 1];

2) перестрахование эксцедента убытка, r(b, y) = min(b, Y ), Dr = (0, +].

Кроме того, пусть функция c(b) задает величину премии, оставшейся у страховой компа нии после выплаты перестраховочной премии. Предполагается, что функция c(b) непре рывна и монотонна. Например, если перестраховщик рассчитывает свою премию по прин ципу среднего с нагрузкой безопасности, то c(b) = c E[Y r(b, Y )]. Обозначим D := {b Dr : c(b) 0}. Мы будем предполагать, что страховщик имеет возможность ме нять параметр договора перестрахования каждый год, исходя из истории убытков. Пусть FY = (Fk )n Y фильтрация, порожденная последовательностью убытков Y1, Y2,..., Yn, k= Y т.е. Fk = {Yl, l k}. Дадим следующее Определение 2.3. Стратегия перестрахования это согласованная с фильтрацией FY последовательность с.в. B := (b0, b1,..., bn1 ), где b0 = const, а bk, k = 1,..., n1 Y Fk измерима. Стратегия B = (b0, b1,..., bn1 ) допустимая, если для любого k = 0,..., n 1, bk D п.н.

Множество допустимых стратегий перестрахования обозначим Bn. Кроме того, как уже было сказано в начале параграфа, владелец страховой компании вкладывает дополнитель ные средства, как только капитал компании опускается ниже некоторого заданного уровня B L 0. Размер этих вложений в k-ом году обозначим Jk. С учетом описанных выше усло B вий, капитал компании Rk на конец k-го года при использовании допустимой стратегии B равен B B B B Rk = Rk1 + c(bk1 ) r(bk1, Yk ) + Jk, k = 1, 2,..., n, R0 = s, (2.18) B где s 0 начальный капитал. При этом размер дополнительных вложений Jk в k-ом году равен B B Jk = max{0, L Rk1 c(bk1 ) + r(bk1, Yk )}, k = 1, 2,..., n. (2.19) Пусть v коэффициент дисконтирования, тогда суммарный приведенный объем допол нительных вложений капитала равен n B v i1 JiB |R0 = s).

B Wn (s) := E( i= Задача состоит в минимизации таких вложений, то есть требуется найти допустимую стра B тегию перестрахования, минимизирующую Wn (s):

B Wn (s) := inf Wn (s). (2.20) BBn Соответственно допустимую стратегию, при которой достигается инфимум, будем назы вать оптимальной стратегией перестрахования.

Аналогично лемме 2.1, устанавливается, что функция Wn (s) удовлетворяет уравнению Беллмана. А именно, справедлива следующая Лемма 2.5. Функция Wn (s) для всякого n удовлетворяет следующему уравнению 1) при n Wn (s) = inf {E max(0, L s c() + r(, Y )) + vEWn1 (max(L, s + c() r(, Y ))}, D W0 (s) = 0;

(2.21) 2) при n = W (s) = inf {E max(0, Lsc()+r(, Y ))+vEW (max(L, s+c()r(, Y ))}, W0 (s) = 0, D (2.22) где инфимум в правых частях равенства берется по вещественным D.

Замечание 2.5. В уравнении Беллмана (2.21) и (2.22) в отличие от уравнения (2.20) ин фимум берется по вещественным числам Dr.

Кроме того, как и в случае оптимального инвестирования, оптимальная стратегия пе рестрахования определяется минимизатором правой части уравнений (2.21) и (2.22). Точ нее, справедлива следующая Лемма 2.6. 1) Пусть n и для любого m = 1,..., n существует такая измеримая функция m (s), что инфимум в уравнении (2.21) для n = m достигается в точке m (s).

Тогда допустимая стратегия B = (b,..., b ) перестрахования в n-шаговой модели, 0 n где b = ni (Ri ), i = 0,..., n 1, оптимальная.

B i 2) Пусть n = и для всех s 0 инфимум в уравнении (2.22) достигается в точке (s).

Тогда стратегия перестрахования B = {b }, где b := (Rn ), B оптимальная.

n n=0 n Данная лемма доказывается аналогично теоремам 2.2 и 2.4 из параграфа 2.1.

Замечание 2.6. Утверждение леммы 2.6 показывает, что для определения оптимальной стратегии перестрахования достаточно для всякого k = 1,..., n найти измеримую функ цию k (s), доставляющую инфимум в уравнении Беллмана.

2.2.1 Случай пропорционального перестрахования В данном параграфе будет рассмотрен случай пропорционального перестрахования на примере квотного договора. Кроме того, будем предполагать, что перестраховочная премия рассчитывается по принципу среднего с нагрузкой безопасности. Иными словами, если (0, 1] доля убытка или квота, выплачиваемая цедентом, то r(Y, ) = Y, Dr = (0, 1];

c() = c (1 )EY, 1.

При этом будем предполагать, что c EY. В противном случае, цедент мог бы пере страховать весь свой риск и при этом заработать. Заметим, что c() возрастает по и c () = EY. Кроме того, c c() 0 1 =: 0, EY причем 0 0 1. Тогда в данном случае множество D = { Dr : c() 0} = [0, 1].

Случай конечного горизонта планирования При n = 1 уравнение (2.21) примет вид W1 (s) = min E max(0, L s c() + r(, Y )).

[0,1] Обозначим, + 1 (s, ) := E max(0, L s c() + r(, Y )) = (L s c() + y)dQ(y).

+ [ s+c()L ] Теорема 2.5. 1) Функция W1 (s) дважды дифференцируема. Кроме того, W1 (s) [1, 0] и W1 (s) 0.

2) Оптимальная квота (s) в одношаговой модели равна при s L c, 1, при s [L c, L], min(1, (s)), (s) = (2.23) при s [L, L c + EY ], max(, (s)), при s L c + EY, 0, где (s) единственное решение уравнения (y EY )dQ(y) = 0. (2.24) s+c()L Доказательство. Введем обозначение s + c() L s + c L EY u(s, ) := = EY +. (2.25) Вычислим первую и вторую частные производные 1 (s, ) по. При u(s, ) 0 имеем (y c ())dQ(y) = (1 )EY, 1 (s, ) := 1 (s, ) = (2.26) 1 (s, ) := 1 (s, ) = 0. (2.27) Заметим, что в данном случае 1 (s, ) 0 и, значит, функция 1 (s, ) убывает. При u(s, ) 0 соответственно находим + + (y EY )dQ(y).

1 (s, ) = (c () + y)dQ(y) = (2.28) s+c()L s+c()L Вторая производная равна s + c() L s + c() L 1 (s, ) = EY q c () (s + c() L) s + c L EY s + c() L = q. (2.29) 2 Заметим, что 1 (s, ) 0 и, следовательно, функция 1 (s, ) не убывает. Рассмотрим несколько случаев.

1. Пусть s + c L EY 0. Тогда из (2.25) следует, что u(s, ) EY 0 для всех [0, 1]. Тогда + (y EY )dQ(y) (u(s, ) EY )Q(u(s, )) 0.

1 (s, ) = u(s,) Следовательно, функция 1 (s, ) возрастает при [0, 1] и достигает минимальное зна чение на отрезке [0, 1] в точке 0. Итак, при s L c + EY оптимальное (s) = 0.

2. Пусть s + c L EY 0. В таком случае функция u(s, ) возрастает по при [0, 1]. Рассмотрим функцию µ(w), заданную для всех w 0 следующим образом (y EY )dQ(y).

µ(w) := w Заметим, что µ (w) = (w EY )q(w), т.е. µ(w) возрастает при 0 w EY и убывает при w EY. Кроме того, µ(0) = (1 )EY 0, а lim µ(w) = 0. Вид графика функции w µ(w) для w 0 изображен на рис. 2.3. Нетрудно видеть, что существует единственная точка w такая, что µ(w) = 0. Кроме того, при w w функция µ(w) неположительна, а при w w неотрицательна.

Далее, из формулы (2.25) несложно вывести, что при фиксированном s s+cL u(s, ) 0 1 =: 1 (s).

EY Заметим, что 1 (s) = 0 (s L)/EY. Рассмотрим три возможных случая расположения точки 1 (s).

a) Пусть 1 (s) 1. Это выполнено при s + c L 0. В совокупности с предыдущим условием s + c L EY 0 получаем ограничение s L c, поскольку c EY по Рис. 2.3: Вид графика функции µ(w) для w 0.

условию. В таком случае, u(s, ) 0 для всех [0, 1] и, в соответствии с (2.26), функция 1 (s, ) убывает на отрезке [0, 1]. Следовательно, минимальное значение достигается в точке 1. Итак, при s L c оптимальное (s) = 1.

b) Пусть 1 (s) [0, 1]. Получаем три условия на s:

s + c L 0, s L 0, s + c L EY 0 s [L c, L c + EY ], так как c EY по условию. В данном случае, u(s, ) 0 при [0, 1 (s)], u(s, ) 0 при [1 (s), 1]. Тогда, согласно (2.26), функция 1 (s, ) убывает при [0, 1 (s)]. Кроме того, при = 1 (s) (y EY )dQ(y) = (1 )EY 0.

1 (s, 1 (s)) = Тогда, если 1 (s, 1) = µ(u(s, 1)) 0, то при [1 (s), 1] функция µ(u(s, )) = 1 (s, ) 0 и, следовательно, функция 1 (s, ) убывает при [0, 1] и достигает минимального значения при = 1. Если же, 1 (s, 1) 0, то µ(u(s, )) = 1 (s, ) отрицательна при [1 (s), (s)] и положительна при [(s), 1], где (s) [1 (s), 1] единственное решение уравнения (y EY )dQ(y) = 0, µ(u(s, )) = s+c()L которое существует, поскольку u(s, ) положительная возрастающая функция при [1 (s), 1] и, как доказано выше, существует единственное w 0 такое, что µ(w) = 0. Значит, минимум функции 1 (s, ) достигается при = (s) 1. Итак, при s [L c, L c + EY ] оптимальное = min(1, (s)).

c) Пусть 1 (s) 0. Это выполнено при s [L, L c + EY ]. Проведя рассуждения ана логичные пункту b) выше, несложно установить, что в данном случае оптимальное (s) = max(0, (s)), где (s) решение уравнения µ(u(s, )) = 0.

Собрав воедино все случаи, получаем второе утверждение теоремы.

Далее, если (s) точка, в которой достигается минимум 1 (s, ) по, то по опреде лению имеем 1 (s, (s)) + 1 (s, (s)) (s) = 1 (s, (s))s, W1 (s) = s поскольку при (s) = (s) по определению 1 (s, (s)) = 0, а при (s) = 0 и (s) = производная (s) = 0. Далее, найдем частную производную 1 (s, )s. Имеем 1, при u(s, ) 0, 1 (s, )s = Q(u(s, )) 1, при u(s, ) 0.

В случае n = 1 мы можем выписать явный вид W1 (s), воспользовавшись приведенными выше выкладками (см. 1)-2) выше). А именно 1, при s L c, Q(s + c L) 1, при s [L c, L c + w], W1 (s) = Q(w) 1, при s [L c + w, L + w0 ], sL Q( 0 ) 1, при s L + w0, где w решение уравнения µ(w) = 0, существование которого установлено выше. Заме тим, что w не зависит от s. Нетрудно видеть, что W1 (s) [0, 1]. Кроме того, W1 (s) непрерывная функция.

Далее, ясно, что W1 (s) либо равна тождественно нулю, либо пропорциональна плотно сти q с положительным коэффициентом. Таким образом, W1 (s) 0 и теорема 2.5 доказана полностью.

Замечание 2.7. Найденное выражение (2.23) для (s) может быть также получено другим способом в более удобном для практического применения виде. Действительно, заметим, что (1 )EY, при u(s, ) 0, 1 (s, ) = при u(s, ) 0.

µ(u(s, )), Было доказано, что уравнение µ(w) = 0 имеет единственный корень w при w 0, причем из равенства u(s, (s)) = w однозначно определяется s + c L EY (s) =.

w EY Соответственно минимальное значение функции 1 (s, ) по достигается либо на грани цах отрезка [0, 1] либо в точке (s), если (s) [0, 1]. Решая неравенства (s) 0 и (s) 1 получаем следующее выражение для (s) при s L c + w, 1, (s) = (s), при s [L c + w, L + w0 ], (2.30) при s L + w.

, 0 Пусть теперь 2 n. Уравнение Беллмана имеет следующий вид Wn (s) = min {E max(0, L s c() + Y ) + vEWn1 (max(L, s + c() Y ))}.

[0,1] Введем обозначение n (s, ) := E max(0, L s c() + Y ) + vEWn1 (max(L, s + c() Y )).

Заметим, что EWn1 (max(L, s + c() Y )) = Wn1 (max(L, s + c() Y ))dQ(y) = при u(s, ) 0, Wn1 (L), = u(s,) (s + c() y)dQ(y) + Wn1 (L)(1 Q(u(s, )), при u(s, ) 0, где u(s, ) определено в (2.25). Тогда (L s c() + y)dQ(y) + vW (L), при u(s, ) 0, n n (s, ) = u(s,) (L s c() + y)dQ(y)+ u(s,) Wn1 (s + c() y)dQ(y) + Wn1 (L)(1 Q(u(s, )), при u(s, ) 0.

+v Справедлива следующая Теорема 2.6. 1) Функция Wn (s) дважды дифференцируема по s. Кроме того, Wn (s) [1, 0], Wn (s) 0.

2) Оптимальная квота n (s) на первом шаге n-шагового процесса определяется следую щим образом • при s L c, n (s) = 1;

• при s [L c, L], при p1 (s) 0, 1, n n (s) = (s), при остальных s;

• при s L, при p1 (s) 0, 1, n при p0 (s) 0, n (s) = 0, n (s), для остальных s, где sL p0 (s) = (y EY )dQ(y) + v Wn1 (s 0 y)(EY y)dQ(y), n sL s+cL p1 (s) = (y EY )dQ(y) + v Wn1 (s + c y)(EY y)dQ(y), n s+cL а (s) единственное решение уравнения u(s,) (y EY )dQ(y) + v Wn1 (s + c() y)(EY y)dQ(y) = 0.

u(s,) Доказательство. Сначала найдем частные производные n (s, ) по. При u(s, ) имеем n (s, ) = (1 )EY, n (s, ) := (2.31) n (s, ) := n (s, ) = 0. (2.32) Соответственно при u(s, ) 0 получаем u(s,) (y EY )dQ(y) + v Wn1 (s + c() y)(EY y)dQ(y)+ n (s, ) = u(s,) + Wn1 (s + c() (s, ))q(u(s, ))u(s, ) Wn1 (L)q(u(s, ))u(s, ) = u(s,) (y EY )dQ(y) + v Wn1 (s + c() y)(EY y)dQ(y), (2.33) = u(s,) где u(s, ) = u(s, ). Найдем вторую частную производную и введем дополнительные обозначения для ее компонент u(s,) Wn1 (s+c()y)(EY y)2 dQ(y)+ n (s, ) = u(s, ) (u(s, )EY )q(u(s, ))+v + vWn1 (L)u(s, ) (EY u(s, ))q(u(s, )) = u(s,) s + c L EY Wn1 (s + c() y)(EY y)2 dQ(y).

q(u(s, ))(1 + vWn1 (L)) + v :=K :=K (2.34) Заметим, что, если Wn1 (s) 1 и Wn1 (s) 0, то n (s, ) 0. Иными словами, функция n (s, ) не убывает по при фиксированном s.

Утверждение теоремы мы установим с помощью метода математической индукции по n. Для n = 1 утверждение следует из теоремы 2.5. Пусть утверждение верно для n 1, то есть Wn1 (s) [1, 0], Wn1 (s) 0. Покажем, что оно справедливо для Wn (s).

По аналогии с доказательством теоремы 2.5 произведем разбор случаев.

1. Пусть s L c + EY. Тогда u(s, ) EY для всех [0, 1]. Обозначим p0 (s) := n (s, 0 ), p1 (s) := n (s, 1).

n n Далее, заметим, что при u(s, ) 0 согласно (2.34) и предположению индукции, n (s, ) неотрицательна при [0, 1], причем оба слагаемых в выражении (2.34) не равны нулю одновременно и, значит, n (s, ) 0. Следовательно, функция n (s, ) возрастает при [0, 1]. Тогда, если p1 (s) 0, то p0 (s) 0 и, значит, функция n (s, ) 0 для всех n n [0, 1]. При этом функция n (s, ) не возрастает по при фиксированном s и достигает минимального значения в точке = 1. Аналогично, при p0 (s) 0, автоматически p1 (s) n n и функция n (s, ) 0 для всех [0, 1]. Следовательно, в таком случае n (s, ) не убывает по и достигает минимального значения при = 0. В случае же pn (s) 0, pn (s) 0 в силу возрастания функции n (s, ) по существует единственное решение уравнения n (s, ) = 0. Обозначим его (s). В таком случае, минимум функции n (s, ) достигается в точке (s). Наконец, заметим, что случай p0 (s) 0, p1 (s) 0 ровно как и n n случай p0 (s) = p1 (s) = 0 невозможен в силу возрастания n (s, ).

n n 2. Пусть s L c + EY. Тогда, как было показано при доказательстве теоремы 2.5, s+cL u(s, ) 0 1 (s) = 1.

EY Рассмотрим три случая.

a) Пусть 1 (s) 1. Это выполнено при s Lc. Тогда u(s, ) 0 для всякого [0, 1].

Следовательно, согласно (2.31), n (s, ) = (1)EY 0 и, значит, функция n (s, ) убывает. Поэтому минимальное значение функции n (s, ) достигается в точке 1.

Итак, при s L c оптимальное n (s) = 1.

b) Пусть 1 (s) [0, 1]. Это выполнено при s [L c, L]. В таком случае при [0, 1 (s)] аналогично предыдущему пункту имеем n (s, ) = (1 )EY 0 и, зна чит, функция n (s, ) убывает. Кроме того, как несложно видеть из (2.33) n (s, 1 (s)) = (1 )EY 0. Соответственно, если p1 (s) 0, то n (s, ) 0 при [1 (s), 1] и n функция n (s, ) убывает. Следовательно, минимум этой функции достигается при = 1. Если же p1 (s) 0, то существует единственное решение (s) [1 (s), 1] урав n нения n (s, ) = 0 и минимум функции n (s, ) достигается в точке (s). Таким образом, при s [L c, L] оптимальное (s) = 1 при p1 (s) 0 и (s) = (s) при n n n остальных s.

c) Пусть 1 (s) 0. Это выполнено при s [L, L c + EY ]. В таком случае u(s, ) для всех [0, 1] и этот случай рассматривается аналогично случаю 1.

Собрав воедино все рассмотренные случаи, мы получаем второе утверждение теоремы.

Докажем теперь первый пункт теоремы: Wn (s) [1, 0], Wn (s) 0. Для начала най дем частные производные n (s, ) по s, а также смешанную производную по s и. При u(s, ) 0 имеем n (s, ) = 1, n (s, )s := (2.35) s n (s, )ss := 2 n (s, ) = 0, (2.36) s n (s, )s := n (s, ) = 0. (2.37) s Соответственно при u(s, ) 0 получаем, что первая производная равна s+c()L s + c() L 1+v Wn1 (s + c() y)dQ(y).

n (s, )s = Q (2.38) Вычислим вторую частную производную и введем дополнительные обозначения для ее компонент s+c()L s + c() L Wn1 (s + c() y)dQ(y).

n (s, )ss = q (1 + vWn1 (L)) + v :=Kss :=Kss (2.39) Смешанная производная равна u(s,) Wn1 (s + c() y)(EY y)dQ(y)+ n (s, )s = q(u(s, ))u(s, ) + v + vWn1 (L)u(s, ) q(u(s, )) = u(s,) L s c + EY Wn1 (s + c() y)(EY y)dQ(y).

= q(u(s, ))(1 + vWn1 (L)) + v :=Ks :=Ks (2.40) Далее, пусть n (s) точка, в которой достигается минимум в уравнении Беллмана для Wn (s). Сначала заметим, что согласно рассмотренным выше случаям (см. 1)-2)) для всех s, кроме случая s L c (см. 2а)), при = n (s) имеем u(s, n (s)) 0. При этом для s L c в 2а) показано, что (s) = 1. Рассмотрим два случая I. Пусть s L c, подставим значение n (s) = 1 в уравнение Беллмана для Wn (s).

Имеем Wn (s) = E max(0, Lsc+Y )+vWn1 (max(L, s+cY )) = (Lsc+y)dQ(y)+vWn1 (L), откуда Wn (s) = 1, Wn (s) = 0.

II. Пусть s L c и, следовательно, u(s, (s)) 0. По определению имеем Wn (s) = n (s, (s))s + n (s, (s)) (s) = n (s, (s))s.

Нетрудно видеть, что n (s, )s [1, 0]. Действительно, согласно (2.38) и предположению индукции Wn1 (s) 1 справедлива следующая оценка n (s, )s (1 v)Q(u(s, )) 1 [1, 0].

Далее, найдем Wn (s). Во-первых, заметим, что из формул (2.36) и (2.37) вытекает, что при u(s, ) 0 или s L c производная Wn (s) = 0. Далее, пусть s L c. По правилу дифференцирования имеем n (s, (s))ss n (s, (s)) n (s, (s)) s Wn (s) = n (s, (s))ss + n (s, (s))s (s) =.

n (s, (s)) (2.41) Как доказано ранее, знаменатель дроби (2.41) положителен. Докажем неотрицательность числителя. В введенных ранее обозначениях числитель дроби (2.41) равен (Kss + Kss )(K + K ) (Ks + Ks )2 = 1 2 1 2 1 = (Kss K (Ks )2 ) + (Kss K + Kss K 2Ks Ks ) + (Kss K (Ks )2 ).

1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 j j i i 1 Докажем, что Ks Ks Kss K для i, j = 1, 2. Заметим, что по определению Kss K = (Ks )2. Покажем, что Kss K (Ks )2. Действительно, согласно неравенству Коши– 1 2 2 Буняковского u(s,) (Ks )2 = v Wn1 (s + c() y) (EY y)dQ(y) u(s,) u(s,) Wn1 (s + c() y)(EY y)2 dQ(y) = Kss K.

2 v Wn1 (s + c() y)dQ(y) v 0 1 2 Кроме того, по определению и предположению индукции Kss 0, Kss 0, K 0 и K 0. С помощью приведенных выше сравнений находим 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 Kss K + Kss K 2Ks Ks Kss K + Kss K 2|Ks Ks | 1 2 2 Kss K )2 0.

2 1 2 1 2 1 Kss K + Kss K 2 Kss Kss K K ( Kss K Следовательно, все компоненты числителя дроби (2.41) неотрицательны.

Таким образом, Wn (s) 0 при s L c и все утверждения теоремы доказаны.

Случай бесконечного горизонта планирования Перейдем теперь к случаю n =. Во-первых, заметим, что функция W (s) ограни чена сверху. Действительно, рассмотрим стратегию отсутствия перестрахования B 1 := (b1, b1,...), определенную по правилу b1 = 1 п.н. для всех k 1. В таком случае, по 12 k определению W (s) W B (s). В параграфе 2.1 было доказано, что в случае отсутствия перестрахования (и инвестиций) справедлива оценка (см. замечание 2.4 и формулу (2.14)) |L s| (c EY ) W B (s) +v. (2.42) (1 v) 1v Покажем, что существует решение уравнения (2.22). Рассмотрим последовательность функций {Wn (s)}, определенных по правилу n= Wn (s) = min {E max(0, L s c() + r(, Y )) + vEWn1 (max(L, s + c() r(, Y ))}, n 0, [0,1] (2.43) где W0 (s) = 0. Справедлива Лемма 2.7. Существует поточечный предел W (s) := limn Wn (s) последовательно сти функций Wn (s). Кроме того, предельная функция W (s) удовлетворяет уравнению Беллмана (2.22).

Доказательство. Докажем, что последовательность {Wn (s)} возрастает по n. Установим это свойство по индукции. При n = 0 утверждение тривиально. Пусть Wn (s) Wn1 (s) для всех s, а n+1 (s) точка, в которой достигается минимум в уравнении (2.43) для Wn+1 (s). Тогда Wn+1 (s) = = E max(0, L s c(n+1 (s)) + n+1 (s)Y ) + vEWn (max(L, s + c(n+1 (s)) n+1 (s)Y ) E max(0, L s c(n+1 (s)) + n+1 (s)Y ) + vEWn1 (max(L, s + c(n+1 (s)) n+1 (s)Y ) min {E max(0, L s c() + Y ) + vEWn1 (max(L, s + c() Y )} = Wn (s).

[0,1] Следовательно, так как Wn (s) Wn+1 (s) W (s) для всех s и n 0, то согласно (2.42) все функции Wn (s) ограничены сверху. Тогда по теореме о монотонной сходимости су ществует поточечный предел W := limn Wn (s). Далее, аналогично теореме 2.3 из первого параграфе устанавливается, что W (s) удовлетворяет уравнению Белммана и W (s) = W (s).

Далее, справедлива Теорема 2.7. 1) Функция W (s) дважды дифференцируема. Кроме того, W (s) [1, 0], W (s) 0.

2) Оптимальная квота (s) на первом шаге определяется следующим образом • при s L c, (s) = 1;

• при s [L c, L], при p1 (s) 0, 1, (s) = (s), при остальных s;

• при s L, при p1 (s) 0, 1, при p0 (s) 0, (s) = 0, (s), для остальных s, где sL p0 (s) = (y EY )dQ(y) + v W (s 0 y)(EY y)dQ(y), sL s+cL p1 (s) = (y EY )dQ(y) + v W (s + c y)(EY y)dQ(y), s+cL а (s) единственное решение уравнения u(s,) (y EY )dQ(y) + v W (s + c() y)(EY y)dQ(y) = 0.

u(s,) Доказательство. Заметим, что последовательность {Wn (s)} согласно теореме 2.6 есть n= последовательность ограниченных неубывающих дифференцируемых функций. Следова тельно, существует поточечный предел limn Wn (s) = G(s). Но поскольку в силу леммы 2.7 существует limn Wn (s) = W (s), то W (s) дифференцируема и W (s) = G(s). Сле довательно, поскольку все функции Wn (s) не убывают и дифференцируемы, то W (s) 0.

Кроме того, поскольку для всех n имеем 1 Wn (s) 0, то W (s) 0. Второе утвержде ние теоремы доказывается полностью аналогично теореме 2.6 с заменой рассматриваемой там функции n (s, ) на (s, ) := E max(0, L s c() + s(, Y )) + vEW (max(L, s + c() s(, Y )).

Численная реализация В качестве примера рассмотрим случай одношаговой модели с убытком, имеющим экспоненциальное распределение, т.е. Y exp(1/). В данном случае уравнение 1 y w ye dy e = (y EY )dQ(y) = µ(w) = w w имеет решение w = ( 1) 0. Кроме того, s + c() L Lsc = ( 1) = + u(s, ) =.

Таким образом, в данном случае имеем s+cL Lsc c 0 = 1, 1 (s) = 1, (s) = +.

В данном случае выражение (2.30) для оптимального (s) запишется следующим образом при s L c + ( 1), 1, (s) = + Lsc, при s [L c + ( 1), L + ( c)(1 )], 1 c, при s L + ( c)(1 ).

Возьмем следующие значения параметров: c = 1.2, = 1, = 1.5. На рис. 2.4 показаны графики функции (s) при различных значениях параметра L. Обратим внимание, что как и следует из теоремы 2.5, при увеличении уровня восстановления L промежуток, на котором оптимальная доля перестрахования (s) не принимает критических значений и 1, сдвигается вправо, сохраняя ширину.

Рис. 2.4: Графики функции (s) для раз Рис. 2.5: Графики функций W1 (s) и V (s).

личных L.

Далее, пусть W1 (s) = E max(0, Lsc( (s))+ (s)Y ) минимальное дополнительное вливание капитала в конце первого года при передачи в перестрахование доли 1 (s), V (s) = E max(0, L s c + Y ) вливание капитала при отсутствии перестрахования. При указанных выше значениях параметров, графики этих функций приведены на рис. 2.5.

Из рисунка видно, что путем выбора оптимальной доли перестрахования можно снизить размер дополнительного капитала.

2.2.2 Случай перестрахования эксцедента убытка Рассмотрим теперь частный случай непропорционального перестрахования пере страхование типа эксцедента убытка. Напомним, что договор эксцедента убытка харак теризуется уровнем собственного удержания 0 и при поступлении требования от ветственность цедента не превышает этот уровень. Иными словами r(Y, ) = min(, Y ), 0, а ответственность перестраховщика равна (Y )+ := max(0, Y ). Также как и раньше, будем полагать, что перестраховщик рассчитывает свою премию по принципу среднего с нагрузкой безопасности, т.е.

c() = c E(Y )+, 1.

Кроме того, будем считать, что c EY, в противном случае, страховщик может пере страховать свой риск и при этом заработать. Далее, заметим, что c () = (1 Q()) 0, т.е. c() не убывает. Кроме того, c(0) = c EY 0, а lim c() = c 0. Следовательно, существует точка 0 такая, что при c() 0 при 0. Таким образом, в данном случае множество D допустимых значений b, определенное в первом параграфе, есть D = [0, ].

В случае перестрахования эксцедента убытка, в отличие от пропорционального пере страхования, явное выражение для оптимального параметра договора можно получить только при n = 1. В случае n = 1 уравнение (2.21) принимает вид W1 (s) = inf E max(0, L s c() + min(, Y )).

Теорема 2.8. 1) Функция W1 (s) дифференцируема по s. Кроме того, W1 (s) [2, 0].

2) Оптимальный уровень собственного удержания (s) в одношаговой модели равен +, при s L c + 1, (s) = (s), при s [L c + 1, L c(1 ) + 1 ],, при s L c( ) +, 1 1 где 1 := Q1 (1 1 ), а (s) единственное решение уравнения s + c() L = 1. (2.44) Доказательство. Рассмотрим функцию 1 (s, ) := E max(0, L s c() + min(, Y )).

Выполним преобразования max(0, L s c() + y)dQ(y) + max(0, L s c() + )(1 Q()) = 1 (s, ) = 0, при (s, ) 0, = (L s c() + y)dQ(y) + (L s c() + )(1 Q()), при (s, ) 0, s+c()L (2.45) где (s, ) := s + c() L. Заметим, что (s, ) = (1 Q()) 1 и, следовательно, (s, ) 0 Q() 1 1 Q1 (1 1 ) = 1.

Таким образом, (s, ) возрастает по при 1 и убывает при 1. Заметим, что 1 0, так как 0 1 1 1. Рассмотрим два возможных случая: (s, 1 ) 0 и (s, 1 ) 0.

Рис. 2.6: Два типа графика функции (s, ) при фиксированном s.

1. Пусть (s, 1 ) 0, это выполнено при s L c(1 ) + 1. В таком случае график функции (s, ) при фиксированном s имеет первый тип (левый график на рис. 2.6).

Нетрудно видеть, что в таком случае (s, ) 0 для всех 0. Используя выражение для 1 (s, ) найдем частную производную этой функции при (s, ) 0. Имеем 1 (s, ) = c ()dQ(y) + (L s c() + )q() + (1 c ())(1 Q() 1 (s, ) := (L s c() + )q() = c ()(Q(s + c() L) 1) + 1 Q() = = (1 Q())(Q(s + c() L) + 1). (2.46) Следовательно, 1 (s, ) = 0 либо при = +, либо при Q(s + c() L) = 1 1 (s, ) := s + c() L = 1.

Заметим, что lim (s, ) = s + c L, а (s, 1 ) = s + c(1 ) L 1. Кроме того, (s, ) = c () 0, т.е. (s, ) возрастает по. Разберем отдельно две возможности a) Пусть s + c L 1. В таком случае для каждого s уравнение (s, ) = 1 име ем строго одно решение (s). При этом, согласно (2.46) при (s) производная 1 (s, ) 0 и функция 1 (s, ) убывает, а при (s) функция 1 (s, ) соответ ственно возрастает. Значит, минимальное значение функции 1 (s, ) достигается при = (s). Заметим также, что, поскольку (s, ) возрастает по и (s, 1 ) 1, то (s) 1.

b) Пусть s + c L 1. Тогда (s, ) 1 для всех, а производная 1 (s, ) 0 при + и 1 (s, ) = 0 при = +. Следовательно, минимальное значение функции 1 (s, ) достигается при = +.

2. Пусть (s, 1 ) 0, это выполнено при s L c(1 ) + 1. Тогда график функции (s, ) при фиксированном s имеет второй тип (правый график на рис. 2.6) и, как несложно видеть, найдутся точки 1 такие, что (s, ) 0 при (, ) (при этом возможно, что = 0). В таком случае 1 (s, ) = 0 при (, ), что, очевидно, является минимальным значением. Поскольку нам будет нужна непрерывная версия (s) в данном случае положим (s) = 1.

Собрав воедино разобранные случаи получаем второе утверждение теоремы.

Далее, по определению имеем W1 (s) = 1 (s, (s)) (s) + 1 (s, (s))s = 1 (s, (s))s, так как при (s) = 1 или (s) = + производная (s) = 0, а при (s) = (s) произ водная 1 (s, (s)) = 0 по определению (s). Вычислим частную производную 1 (s, )s.

С помощью (2.45) находим 0, при (s, ) 0, 1 (s, )s = Q() + Q(s + c() L) 2, при (s, ) 0.

Из полученного выражения следует, что W1 (s) = 1 (s, (s))s [2, 0], что завершает доказательство теоремы.

Численная реализация Для наглядного представления доказанной выше теоремы, рассмотрим одношаговую модель, считая, что годовой убыток имеет экспоненциальное распределение, т.е. Y exp(1/). В таком случае уравнение (2.44) имеет явное решение s + c L (s) = ln.

Рис. 2.7: Графики функции (s) для раз- Рис. 2.8: Графики функций W1 (s) и V (s).

личных L.

Как и в случае пропорционального перестрахования, обозначим V (s) = E max(0, L s c + Y) вливание капитала при отсутствии перестрахования. На рис. 2.7 показа ны графики функции (s) для L = 1, 2, 4. Заметим, что как и следует из теоремы 2.8, lims (s) = 1 для любого L 0. Для расчета были взяты следующие значения пара метров модели c = 1.2, = 1, = 1.5. Наконец, на рис. 2.8 изображены графики функций W1 (s) = E max(0, L s c( (s)) + min( (s), Y )) (размер дополнительного капитала при передаче в перестрахование доли Y min( (s), Y )) и V (s) для s [0, 7] и L = 2.

Глава Предельное распределение капитала в модели с дополнительным вливанием капитала В данной главе исследуется модель работы страховой компании c дискретным време нем. Как и во второй главе предполагается, что собственник компании, для того чтобы избежать ее разорения, имеет возможность инвестировать дополнительные средства, если капитал компании по итогам года опустился ниже некоторого фиксированного уровня.

Кроме того, компания имеет возможность вкладывать средства в некоторый рисковый актив, причем размер этих вложения остается постоянным на протяжении всего времени работы компании. Иными словами, компания использует постоянную стратегию инвести рования. В предположении, что компания работает неограниченное время, ставится во прос о существовании предельного распределения капитала компании и нахождения этого распределения. Приводится пример нахождения предельного распределения для случая экспоненциально распределенных убытков и доходности рискового актива, имеющей рас пределение Лапласа.

§3.1 Предельное распределение капитала в случае посто янной стратегии инвестирования Модель, которая изучается в данном параграфе, аналогична модели из параграфа 2. главы 2. Точнее, пусть c 0 суммарный размер страховых премий, поступивших в компанию за год, а Yn совокупный размер требований или убытков за n-ый год. Пред полагается, что Y1, Y2,... н.о.р. неотрицательные с.в. с абсолютно непрерывной функ цией распределения Q(y), имеющей непрерывную плотность q(y). Кроме того, страховая компания имеет возможность вкладывать средства в некий рыночный актив. Пусть по следовательность с.в. Z1, Z2,... определяет результат вложения средств в этот актив, то есть, если в начале n-ого периода была вложена одна денежная единица, то в конце n ого периода мы получим (1 + Zn ) денежных единиц. Мы считаем, что рынок, на котором оборачивается данный актив безарбитражный, то есть P (Zn 0) (0, 1) и EZn 0.


Предполагается, что с.в. Z1, Z2,... н.о.р. с функцией распределения H(z), плотностью распределения h(z) и независимы от Y1, Y2,.... В данной главе мы будем рассматривать постоянные стратегии инвестирования (см. определение 2.1), т.е. каждый год компания инвестирует в рисковый актив некоторую сумму A 0. Кроме того, как только капитал компании опускается ниже некоторого заданного уровня L 0, происходит его восстанов ление до этого уровня. В такой модели капитал компании Rn на конец n-го года равен если Rn1 + AZn + c Yn L, L, Rn =, R0 = s, (3.1) + AZn + c Yn, если Rn1 + AZn + c Yn L, R n где s 0 величина начального капитала.

Основной задачей данной главы будет доказательство существования слабого предела по следовательности {Rn }, n 1, при n и поиск вида предельного распределения.

Без ограничения общности положим s = L. Найдем функцию распределения Fn (x) := P (Rn x) для произвольного n 1. Заметим, что из выражения (3.1) для капитала компании следует, что Fn (x) = 0 при x L. Пусть сначала n = 1. Если x L, то в силу аддитивности вероятности F1 (x) = P (R1 x) = P (L + c + AZ1 Y1 L) + P (L L + c + AZ1 Y1 x) = = P (AZ1 Y1 x L c) = dQ(y)dH(z) = {(y,z): AzyxLc} xLc xLc + + + + A A = + dQ(y)dH(z) = dH(z)+ (1Q(Azx+L+c))dH(z) = 0 Azx+L+c xLc xLc A A + xLc xLc =H +1H Q(Azx+L+c)dH(z) = 1EQ(Azx+L+c) = A A xLc A = EQ(AZ1 x + L + c), (3.2) где Q(y) = 1 Q(y). Итак, при n = 1 получаем, что F1 (x) = I(x L)EQ(AZ1 x + L + c), (3.3) где I индикаторная функция.

Перейдем к общему случаю. Введем обозначение pn := P (Rn = L). Справедлива сле дующая Лемма 3.1. 1. Для любого n 1 функция распределения Fn имеет вид x Fn (x) = I(x L) pn + n (t)dt, (3.4) L где n (t) плотность распределения некоторой случайной величины.

x 2. Для любого n 1 и x L обозначим Gn (x) := I(x L) n (t)dt. Положим p0 = 1, L G0 (x) = 0, тогда для n 1 справедливо следующее выражение Gn (x) = pn + pn1 EQ(AZ1 x + c + L)+ xcL + + + A Gn1 (y)q(y + c + Az x)dydH(z), (3.5) + + xcAz L xcL A c A + + + Gn1 (y)q(y + c + Az L)dydH(z).

pn = pn1 EQ(AZ1 + c) + + (3.6) c LcAz A L Доказательство. Докажем лемму методом математической индукции. При n = 1 из вы вода формулы (3.3) следует, что x F1 (x) = p1 + 1 (t)dt, L где p1 = P (R1 = L) = P (L + c + AZ1 Y1 L), а 1 (t) плотность распределения с.в.

L + c + AZ1 Y1. При этом G1 (x) = p1 + EQ(AZ1 x + c + L), а p1 = EQ(AZ1 + c).

Пусть утверждение верно для n 1, n 1 и Fn1 (x) имеет требуемый вид. Докажем, что Fn (x) также имеет требуемый вид.

Рассмотрим с.в. Rn := Rn1 + c + AZn Yn и пусть Fn (x) = P (Rn x) ее функция распределения. Тогда Fn (x) = P (Rn L) + P (L Rn x) = pn + Fn (x) Fn (L). Заметим, что вообще говоря с.в. Rn не является неотрицательной. Из выражения (3.1) для капитала компании следует, что при x L Fn (x) = P (Rn x) = pn + P (L Rn x).

Следовательно, для доказательства первого утверждения леммы достаточно установить, что ф.р. Fn абсолютно непрерывная. С учетом предположения индукции имеем по анало гии с выводом формулы (3.2) находим Fn (x) = pn1 dQ(y)dH(z) + n1 (t)dtdQ(y)dH(z) = {(y,z): L+c+Azyx} {(t,y,z): t+c+Azyx, tL} + xcL Q(Az x + c + L)dH(z) + = pn1 H + A xcL A x+ycAz + + + n1 (t)dtdQ(y)dH(z) = L+cx+Az L xcL x+ycAz + + + A = pn1 EQ(AZ1 x + c + L) + + n1 (t)dtdQ(y)dH(z).

0 L+cx+Az L xcL A (3.7) Покажем, что функция Fn (x) абсолютно непрерывна, вычислив плотность распределения случайной величины Rn. По правилу дифференцирования интегралов по параметру имеем + xcL xcL dFn (x) pn1 pn1 d n (x) = = h h +pn1 Q(Azx+c+L)h(z)dz+ dx A A A A dx xcL A xcL + x+ycAz + A n1 (x+y cAz)dQ(y)dH(z) + n1 (t)h((xcL)/A)dtdQ(y)+ A 0 L + x+ycAz + + n1 (t)h((xcL)/A)dtdQ(y)+ n1 (x+ycAz)dQ(y)dH(z) = A 0 L L+cx+Az xcL A xcL + + + + A = pn1 q(Azx+c+L)dH(z)+ + n1 (x+ycAz)dQ(y)dH(z).

0 L+cx+Az xcL xcL A A (3.8) x Таким образом, функция Fn (x) = pn + n (t)dt, то есть имеет вид (3.4), и первое утвер L ждение леммы доказано.

Теперь найдем величину pn. По определению и с учетом (3.7) имеем pn = P (Rn = L) = P (Rn L) = Fn (L) = + + L+ycAz + c Q(Az + c)dH(z) + pn1 H = pn1 + n1 (t)dtdQ(y)dH(z) = A c c+Az A L c A L+ycAz + + + = pn1 EQ(AZ1 + c) + + n1 (t)dtdQ(y)dH(z) = c 0 A c+Az L c A + + + Gn1 (L + y c Az)dQ(y)dH(z). (3.9) pn1 EQ(AZ1 + c) + + c 0 A c+Az Далее, заметим, что для x L x x L n (t)dt n (t)dt = Fn (x) Fn (L).

Gn (x) = n (t)dt = L С учетом формул (3.7) и (3.9), а также, сделав замены в тройном интеграле, находим Gn (x) = pn + pn1 EQ(AZ1 x + c + L)+ xcL + + + A Gn1 (y)q(y + c + Az x)dydH(z), + + xcAz L xcL A что доказывает второе утверждение леммы.

Замечание 3.1. Формула (3.4) показывает, что для всех n 1 функция распределения Fn (x) капитала компании в конце n-го года определяется парой (pn1, Gn1 (x)).

Воспользуемся леммой 3.1 для того, чтобы установить основные свойства величин pn и Gn (x). А именно, справедлива следующая Лемма 3.2. Для всякого n 1 вероятность pn и функция Gn (x) обладают следующими свойствами 1. pn [0, 1];

непрерывная неубывающая и неотрицательная функция при x L, Gn (L) = 2. Gn (x) 0;

3. lim Gn (x) = 1 pn.

x Доказательство. Аналогично лемме 3.1 доказательство проведем по индукции. При n = первые два свойства очевидны. Установим третье свойство. Имеем G1 (x) = p1 + EQ(AZ1 x + c + L) = p1 + F1 (x), ф.р. с.в. L + c + AZ1 Y1. Тогда где F1 (x) lim G1 (x) = p1 + lim F1 (x) = 1 p1.

x x Пусть утверждение леммы верно для пары (pn1, Gn1 (x)). Установим справедливость свойств 1-3 для пары (pn, Gn ).

Первое свойство следует из предположения индукции и выражения (3.9) для pn. Ана логично из формулы (3.5) и доказательства леммы 3.1 следует непрерывность Gn (x). По кажем, что Gn (x) 0 для x L и не убывает. С учетом формул (3.7) и (3.9) при x имеем следующую оценку xcL c Gn (x) = pn1 E(Q(AZ1 + c) Q(AZ1 x + c + L)) + pn1 H H + A A + + + + Gn1 (x + y c Az)q(y)dydH(z) Gn1 (L + y c Az)q(y)dydH(z) + L+c+Azx c+Az + + (Gn1 (x + y c Az) Gn1 (L + y c Az))q(y)dydH(z) 0, c+Az поскольку по предположению индукции Gn1 (x) не убывает. Кроме того, из выражения (3.5) следует, что Gn (L) = 0. Далее, с учетом формулы (3.8) находим, используя резуль таты леммы 3.1, + dGn (x) dFn (x) q(Az x + c + L)dH(z)+ = = pn dx dx xcL A xcL + + + A n1 (x + y c Az)dQ(y)dH(z) 0, + + 0 L+cx+Az xcL A поскольку q(y) 0 в силу неотрицательности с.в. Yk, n1 (x) = Gn1 (x) 0 по предполо жению индукции. Осталось установить третье утверждение леммы. Имеем lim Gn (x) = lim (Fn (x) Fn (L)) = 1 pn, x x поскольку Fn (x) функция распределения.

Рассмотрим пространство A := R Cb (R), где Cb (R) пространство непрерывных ограниченных вещественных функций. Определим в пространстве A метрику d следую щим образом d((a1, f1 (x)), (a2, f2 (x))) := max(|a1 a2 |, sup |f1 (x) f2 (x)|), xR где a1, a2 R, f1, f2 Cb (R). Далее, рассмотрим подпространство GP A, определенное следующим образом GP := {(p, G(x)) A : p [0, 1], G(x) = 0 при x L, G(x) 0 при x L, неубывающая, lim G(x) = 1 p}. (3.10) G(x) x На пространстве A рассмотрим отображение : A A, определенное по правилу [(p, G(x)] = (p, [G](x)), c + + + A G(y)q(y + c + Az L)dydH(z), p = pEQ(AZ1 + c) + + c LcAz A L [G](x) = p + pEQ(AZ1 x + c + L)+ xcL + + + A G(y)q(y + c + Az x)dydH(z).

+ + xcAz L xcL A Справедлива следующая Лемма 3.3. Пространства A и GP, а также отображение обладают следующими свойствами 1. (A, d), (GP, d) полные метрические пространства;

2. : GP GP;

3. Отображение сжимающее на пространстве GP, если max EQ(AZ1 x + c + L), xL + + |q(y + c x + Az) q(y + c L + Az)|dydH(z) 1.

max xL L Доказательство. Прежде всего докажем, что пространство (Cb (R), dc ), где dc (f, g) := sup |f (x) g(x)|, f, g Cb (R), полное метрическое пространство. Пусть последователь xR ность функций {fn } A удовлетворяет условию Коши, т.е.

n= 0 N = N () такое, что n, m N : dc (fn, fm ). (3.11) Непосредственно из (3.11) следует, что для всякого x R и любого 0 найдется N = N () такое, что n, m N |fn (x)fm (x)|. Значит, согласно критерию Коши существует поточечный предел последовательности fn (x). Обозначим f (x) := limn fn (x) для x R.

Но из (3.11) следует и равномерная сходимость, а значит и непрерывность функции f (x) (см., например, [6]). Действительно, 0 n N имеем |f (x) fn (x)| = lim |fm (x) fn (x)| lim sup |fm (y) fn (y)| = lim dc (fm, f ), x R.

m m yR m Следовательно, 0 N = N () такое, что n N dc (f, fn ), что и означает равномерную сходимость. Наконец, покажем, что f (x) ограничена. Из (3.11) вытекает, что найдется N0 такое, что n N0 dc (fn, fN0 ) 1. Кроме того, поскольку fN0 ограничена, найдется постоянная C0 такая, что |fN0 (x)| C0 для всех x R. Тогда |fn (x)| |fn (x) fN0 (x)| + |fN0 (x)| 1 + C0 =: C1 n N0, x R.

Значит, |f (x)| C1 для любого x R.

Итак, (Cb (R), dc ) полное метрическое пространство. Следовательно, (A, d) также полное метрическое пространство как декартово произведение полных метрических про странств (см., например, [10]). Далее, установим, что предел (p, G(x)) A всякой фун даментальной последовательности (pn, Gn (x)) GP также лежит в пространстве GP, т.е.

удовлетворяет свойствам (3.10). Действительно, ясно, что p [0, 1], неотрицательность и монотонность функций Gn (x) сохраняется при предельном переходе. Последнее свой ство из определения (3.10) также очевидно limx G(x) = limn limx Gn (x) = 1 p.


Первое утверждение леммы доказано.

Второе утверждение леммы следует из леммы 3.2. Далее, пусть (p1, G1 (x)), (p2, G2 (x)) пара элементов из GP. Заметим, что c c A A + + |G1 (y)G2 (y)|q(y+c+AzL)dydH(z) |G1 (y)G2 (y)|q(y+c+AzL)dydH(z).

LcAz L Тогда по определению имеем |p1 p2 | = (p1 p2 )EQ(AZ1 + c)+ c A + + + (G1 (y) G2 (y))q(y + c + Az L)dydH(z) + c LcAz A L + + |p1 p2 |(EQ(AZ1 + c)) + sup |G1 (x) G2 (x)| q(y + c + Az L)dydH(z) xL L 2d((p1, G1 (x)), (p2, G2 (x)))EQ(AZ1 +c) 2d((p1, G1 (x)), (p2, G2 (x))) max EQ(AZ1 x+c+L).

xL (3.12) Аналогично, |G1 (x) G2 (x)| |p1 p2 ||EQ(AZ1 x + c + L) Q(AZ1 + c)|+ + + |q(y + c x + Az) q(y + c L + Az)|dydH(z) + dc (G1, G2 ) L 2|p1 p2 | max EQ(AZ1 x + c + L) + dc (G1, G2 ) xL + + max |q(y + c x + Az) q(y + c L + Az)|dydH(z) xL L d((p1, G1 (x)), (p2, G2 (x))) max 2 max EQ(AZ1 x + c + L), xL + + |q(y + c x + Az) q(y + c L + Az)|dydH(z) max. (3.13) xL L Собрав воедино (3.12) и (3.13), получаем, что d((p1, G1 (x)), (p2, G2 (x))) max 2 max EQ(AZ1 x + c + L), xL + + |q(y + c x + Az) q(y + c L + Az)|dydH(z) d((p1, G1 (x)), (p2, G2 (x))).

max xL L Из последнего неравенства следует третье утверждение леммы.

предельному распределению с.в. Rn и Вернемся к основной задаче данной главы сформулируем основной результат.

Теорема 3.1. Пусть функции Q(y), q(y) и H(z) таковы, что выполнены следующие усло вия max EQ(AZ1 x + c + L), (3.14) xL + + |q(y + c x + Az) q(y + c L + Az)|dydH(z) 1.

max (3.15) xL L Тогда последовательность Rn имеет слабый предел при n. Причем предельная функ ция распределения F (x) равна F (x) = I(x L)(p + G (x)), где пара (p, G (x)) определяется из следующих уравнений c A + + + G (y)q(y + c + Az L)dydH(z), p = p EQ(AZ1 + c) + + c LcAz A L G (x) = p EQ(AZ1 x + c + L)+ xcL + + + A G (y)q(y + c + Az x)dydH(z).

+ + xcAz L xcL A Доказательство. Из леммы 3.1 вытекает, что распределение с.в. Rn полностью опреде ляется парой (pn, Gn (x)), где pn [0, 1], неубывающая Gn (x) Cb (R). При этом функция распределения Fn (x) с.в. Rn равна Fn (x) = pn + Gn (x). Кроме того, пара (pn+1, Gn+1 (x)) = U (pn, Gn (x)), а третье утверждение леммы 3.3 содержит достаточные условия, при кото рых отображение U будет сжимающим. Следовательно, согласно принципу сжимающих отображений и лемме 3.3 существует единственная пара (p, G (x)) GP такая, что (U p, U G (x)) = (p, G (x)) и (pn, Gn (x)) (p, G (x)) при n. Ясно, что при этом функция F (x) = I(x L)(p + G (x)) является пределом последовательности функций Fn (x).

§3.2 Случай экспоненциального распределения требова ний Рассмотрим теперь пример нахождения предельного распределения для некоторого ви да функций распределения Q(y) и H(z). Пусть размер убытков Yk имеет экспоненциальное распределение с параметром 0, т.е. Q(y) = 1 ey, q(y) = ey и пусть 1/A.

Далее, пусть доходность рискового актива Zk имеет распределение Лапласа с параметром сдвига µ 0, т.е. плотность h(z) = 1 e|zµ|, а функция распределения 1 ezµ, если z µ, H(z) = 1 1 e(zµ), если z µ.

Как мы увидим позднее, даже в таком простом случае не удается найти явное выражение для предельной функции распределения. Итак, пусть функция F (x) = I{x L}(p + G(x)) искомая.

Согласно (3.5) и теореме 3.1 функция G(x) удовлетворяет следующему уравнению + xcL G(x) = p + p H Q(Az x + c + L)dH(z) + + A xcL A xcL + + + A G(y)q(y + c + Az x)dydH(z).

+ + xcAz L xcL A Воспользуемся формулой (3.8) и вычислим G (x) при x L. Заметим, что в случае экс поненциально распределенных убытков q(y) = Q(y). Имеем xcL + + A Q(Az x + c + L) + G(y)q(y + x + Az x)dydH(z)+ G (x) = p xcAz xcL A + + xcL p G(y)q(y + x + Az x)dydH(z) + h + A A L xcL A xcL A xcL G(x c Az)q(0)dH(z) ± pH.

A Тогда + xcL xcL xcz p pH G (x) = (G(x) + p) + h G(z)h dz.

A A A A A L (3.16) xcL Рассмотрим несколько случаев. Пусть сначала L x L + c + µA, то есть µ.

A Тогда (3.16) примет вид x c L µA x c L µA p exp G (x) = (G(x) + p) + exp 2A A 2 A + x c z µA G(z) exp dz. (3.17) 2A A L Продифференцируем обе части уравнения (3.17). Получим, что G(x) удовлетворяет сле дующему уравнению + x c L µA x c z µA p 1 G (x) = G (x)+ exp G(z) exp dz.

2A A A 2A A L (3.18) Умножим уравнение (3.18) на A и вычтем из него уравнение (3.17). Находим линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

AG (x) G (x) = AG (x) G(x) p.

x Это уравнение имеет решение G(x) = C1 ex + C2 e A p, где C1, C2 неизвестные постоян ные. Подставив это решение в начальное уравнение (3.17), а также из условия G(L) = 0, находим постоянные C1 = peL, C2 = 0. Таким образом, при L x L+c+µA мы нашли G(x) = p(e(xL) 1). (3.19) Далее, пусть x L + c + µA. Уравнение (3.16) примет вид x c L µA p exp + G (x) = G(x) + 2 A A xcµA + x c z µA x c z µA G(z) exp dz G(z) exp dz.

2A A 2A A L xcµA (3.20) Действуя по аналогии с предыдущим случаем, продифференцируем обе части уравнения (3.20), умножим получившееся уравнение на A и сложим результат с (3.20). Получим, что G(x) удовлетворяет следующему уравнению + x c z µA AG (x) + G (x) = AG (x) + G(x) G(z) exp dz. (3.21) A A xcµA Далее, продифференцируем обе части уравнения (3.21).

+ x c z µA AG (x)+G (x) = AG (x)+G (x) 2 G(z) exp dz+ G(xcµA).

A A A xcµA Умножим полученное уравнение на A и вычтем из него (3.21). Получим линейное диффе ренциальное уравнение 3 порядка A2 G (x) A2 G (x) G (x) + G(x) = G(x c µA). (3.22) A Пусть x [L + c + µA, L + 2(c + µA)], тогда L x c µA L + c + µA. С учетом найденного решения (3.19) уравнение (3.22) преобразуется к виду p (xcµAL) A2 G (x) A2 G (x) G (x) + G(x) = e A x x p с решением G(x) = C1 ex + C2 e A + C3 e A + A e(xcµAL) 1, где C1, C2, C3 некоторые постоянные. Постоянные C1, C2, C3 определяются методом вариации постоянных при под становке в (3.16), а также требованием непрерывности G(x) и G (x) в точке x = L + c + µA:

Ap L p e(c+µA)+(L+c+µA)/A.

C1 = e, C2 = 0, C3 = A 1 1 A Таким образом, при x [L + c + µA, L + 2(c + µA)] решение уравнения (3.16) равно Ap (xL) p p (xcµAL) L+c+µAx e( +(c+µA)) 1.

G(x) = e + + e (3.23) A A 1 1 A A Далее, заметим, что из (3.22) вытекает, что, зная выражение для функции G(x) для x [L + (m 1)(c + µA), L + m(c + µA)], можно найти функцию G(x) для x [L + m(c + µA), L + (m + 1)(c + µA)], m 2. Более точно, справедливо следующее Утверждение 3.1. Для любого m 2 решение уравнения (3.22) для x [L + (m 1)(c + µA), L + m(c + µA)] имеет вид Gm (x) := C1,m ex + C2,m ex/A + C3,m ex/A + Gm1 (x c µA), (3.24) A решение уравнения (3.22) для x [L + (m 2)(c + µA), L + (m 1)(c + µA)].

где Gm1 (x) Доказательство. Докажем утверждение по индукции. Заметим, что для доказательства утверждения достаточно показать, что для всякого m 2 для x [L + (m 1)(c + µA), L + (x c µA) m(c + µA)] функция G является частным решением неоднородного линей A m ного дифференциального уравнения (3.22). При m = 2 это доказано выше. Допустим, что (x c µA) для x [L + (m 1)(c + µA), L + m(c + µA)] для некоторого m функция G A m является частным решением уравнения A2 G (x) A2 G (x) G (x) + G(x) = Gm1 (x c µA). (3.25) A решение (3.25) для x [L + (m 1)(c + µA), L + m(c + µA)]. Пусть x Пусть Gm (x) [L + m(c + µA), L + (m + 1)(c + µA)] и имеется уравнение A2 G (x) A2 G (x) G (x) + G(x) = Gm (x c µA). (3.26) A c µA). Подставив эту функцию в G (x Покажем, что частным решением является Am (3.26), с учетом вида (3.24) функции Gm (x) находим (A Gm (x c µA) A2 Gm (x c µA) Gm (x c µA)) = A = (A2 Gm1 (x 2(c + µA)) A2 Gm1 (x 2(c + µA)) Gm1 (x 2(c + µA))) = 0, A так как при x [L + m(c + µA), L + (m + 1)(c + µA)] величина (x c µA) [L + (m c µA) 1)(c + µA), L + m(c + µA)], функция G (x частное решение (3.25).

A m Таким образом, p(e(xL) 1), при x [L, L + c + µA], G(x) = G (x), при x [L + (m 1)(c + µA), L + m(c + µA)], m 2, m где Gm (x) для m 2 задается равенством (3.24). Величина p затем определяется из урав нения в теореме 3.1.

§3.3 Предельное распределение капитала в случае посто янной стратегии инвестирования и перестрахования Добавим в рассмотренную ранее модель перестрахование. Пусть страховая компания кроме вложений в рисковый актив также имеет возможность заключать договора пере страхования. Предполагается, что любой договор перестрахования характеризуется неко торым параметром b, который может принимать значения из некоторого подмножества Dr R+. Пусть функция r(, y) такова, что, если заключен договор перестрахования с параметром и Y величина поступившего требования, то цедент оплачивает часть r(, Y ) убытка, а перестраховщик Y r(, Y ). Ясно, что r(, Y ) Y п.н. Пусть пере страховочная премия вычисляется по принципу среднего с нагрузкой безопасности, т.е.

величина премии, оставшейся у цедента после выплаты перестраховочной премии равна c() := c E(Y r(, Y )), где ( 1) 0. В такой ситуации капитала компании Rn на конец n-го года равен Rn = max(L, Rn1 + AZn + c() r(, Yn )), n 1, где R0 = L начальный капитал.

Обозначим Yn := (Yn r(, Yn )) + r(, Yn ). Заметим, что с.в. Y1, Y2,... н.о.р. Пусть Q(y) и q (y) соответственно функция распределения и плотность с.в. Y1. В новых обозна чениях капитал компании Rn запишется в виде Rn = max(L, Rn1 + AZn + c Yn ), n 1. (3.27) Заметим, что выражение (3.27) эквивалентно (3.1). Следовательно, зная функцию рас пределения Q(y) и плотность q (y) можно применить теорему 3.1 для нахождения предель ного распределения последовательности Rn, заданной (3.27). Мы рассмотрим случаи про порционального и непропорционального (на примере перестрахования эксцедента убытка) перестрахования.

Заметим, что 1. в случае квотного перестрахования r(, Y ) = Y и (0, 1] доля убытка, выпла чиваемая цедентом;

2. в случае перестрахования экцседента убытка r(, Y ) = min(, Y ) и 0 уровень собственного удержания цедента.

Теорема 3.2. Пусть функции Q(y), Q(y) и q (y) заданы следующим образом 1. для случая квотного перестрахования Q(y) = Q(1 y), Q(y) = 1 Q(y), q (y) = 1 q(1 y), где = ( 1);

2. для случая перестрахования эксцедента убытка y + ( 1) Q() + Q(y)Q(), Q(y) = 1 Q(y), Q(y) = Q y + ( 1) q (y) = 1 q Q() + q(y)Q().

Пусть также выполнены следующие условия max E Q(AZ1 x + c + L), (3.28) xL + + |(y + c x + Az) q (y + c L + Az)|dydH(z).

max q (3.29) xL L Тогда последовательность Rn имеет слабый предел при n. Причем предельная функ ция распределения F (x) равна F (x) = I(x L)(p + G (x)), где пара (p, G (x)) определяется из следующих уравнений c A + + + G (y)(y + c + Az L)dydH(z), p = p E Q(AZ1 + c) + + q c LcAz A L G (x) = p E Q(AZ1 x + c + L)+ xcL + + + A G (y)(y + c + Az x)dydH(z).

+ + q xcAz L xcL A Доказательство. Для доказательства теоремы найдем функцию распределения Q(y) и плотность q (y) в обоих случаях (пропорционального и непропорционального перестрахо вания).

В случае пропорционального перестрахования (r(, Y ) = Y ) имеем Q(y) = P (Yn y) = P ((1 )Yn + Yn y) = P (Yn 1 y) = Q(1 y), q (y) = Q (y) = 1 q(1 y), где = ( 1).

В случае перестрахования типа эксцедента убытка находим Q(y) = P (Yn y) = P ((Yn min(, Yn )) + min(, Yn ) y) = y + ( 1) = P (Yn (1) y)P (Yn )+P (Yn y)P (Yn ) = Q Q()+Q(y)Q(), y + ( 1) q (y) = Q (y) = 1 q Q() + q(y)Q().

Далее применяем уже доказанную теорему 3.1 к процессу риска (3.27), размер ежегодных требований Y1, Y2,... в котором имеет ф.р. Q(y) и плотность q (y).

Список литературы [1] Белкина Т.А., Матвеева М.В. Об оптимальных стратегиях перестрахования моде лях с диффузионной аппроксимацией процесса риска, В сб. Инновационная система государства и переспективы ее развития, Гомель: ЦИИР, 2010, 43–54.

[2] Беллман, Р. Динамическое программирование, М.: Иностранная литература, 1960.

[3] Булинская Е.В. Теория риска и перестрахование, М.: Мэйлор, 2009.

Теория случайных процессов, [4] Булинский А.В., Ширяев А.Н. М.: Физико математическая литература, 2005.

[5] Голубин А.Ю. Оптимизация дележа риска в статической модели с перестрахова нием, Автоматика и телемеханика, 2009, 8, 133–143.

[6] Зорич В.А. Математический анализ. Том II, М.: МЦНМО, 2007.

[7] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального ана лиза, М.: Физико-математическая литература, 2004.

[8] Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Введение в математическую теорию ак туарных рассчетов, М.: Изд-во факультета ВМиК МГУ, 2002.

[9] Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска, М.: Физико-математическая литература, 2007.

[10] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа, М.: Наука, 1965.

[11] Милютин А.А., Дмитрук А.В., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптималь ном управлении, М.: Издательство ЦПИ, 2004.

[12] Рыков В.В. Управляемые марковские процессы с конечными пространствами состо яний и управлений, Теория вероятностей и ее применения, 1966, Том 11, в. 2, 343–351.

[13] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 2, М.: Мир, 1984.

[14] Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты, мо дели, М.: Фазис, 1998.

[15] Шишкин Г.А. Линейные интегродифференциальные уравнения Фредгольма, Улан Удэ: Издательство Бурятского госуниверситета, 2007.

[16] Belkina T., Hipp C., Luo S., Taksar M. Optimal constrained investment in the Cramer Lunberg model, Cornell University Library, 2011, http://arxiv.org/abs/1112.4007.

[17] Bertsekas D., Shreve S.E. Stochastic optimal control: the discrete-time case, Academic Press, New York, 1978.

[18] Bremaud P. Point processes and queues: martingale dynamics, Springer–Verlag, Berlin, 1981.

[19] Cramer H. On the mathematical theory of risk, Frskringsaktiebolaget Skandia 1855–1930, oa Stockholm, 1930, 2, 7–84.

[20] Cramer H. The theory of risk in its application to life insurance problems, Proceedings of Ninth International Congress Actuaries, 1931, 2, 380–394.

[21] Cramer H. The theory of risk in its application to life insurance problems, The Jubilee Volume of Skandia Insurance Company, Stockholm, 1955, 1–92.

[22] Dickson D.C.M., Waters H.R. Recursive calculation of survival probabilities, Astin Bulletin, 1991, 21, 199–221.

[23] Dickson D.C.M., Waters H.R. Some optimal dividend problems, Astin Bulletin, 2004, 34, 49–74.

[24] Eisenberg J., Schmidli, H. Optimal control of capital injections by reinsurace in a diusion approximation, Bltter der DGVFM, 2009, 30(1), 1–13.

a [25] Frolova A., Kabanov Y., Pergamenschikov S. In the insurance business risky investments are dangerous, Finance and Stochastics, 2002, 6, 227–235.

[26] Gaier J., Grandits P. Ruin probabilities in the presence of regularly varying tails and optimal investment, Insurance: Mathematics and Economics, 2002, 30, 211 217.

[27] Gaier J., Grandits P., Schachermayer W. Asymptotic ruin probabilities and optimal investment, Ann. Appl. Prob., 2003, 13, 1054 1076.

[28] Grandell J. Aspects of risk theory, Springer, 1991.

[29] Hipp C. Stochastic control with application in insurance, Stochastic methods in nance, Lecture noter in Math, 2004, Springer–Verlag, 127–165.

[30] Hipp C., Plum M. Optimal investment for insurers, Insurance: Mathematics and Economics, 2000, 27, 215–218.

[31] Hipp C., Plum M. Optimal investment for investors with state dependent income and for insurers, Finance and Stochastics, 2000, 7, 299–321.

[32] Hipp C., Vogt M. Optimal dynamic XL reinsurance, ASTIN Bulletin, 1991, 33, 193–207.

[33] Hojgaard B., Taksar M. Optimal proportional reinsurance policies for diusion models, Scand. Actuarial J., 1998, 22, 166–180.

[34] Kulenko N., Schmidli H. Optimal dividend strategies in a Cramer–Lundberg model with capital injections, Insurance: Mathematics and Economics, 2008, 43, 270–278.

[35] Last G., Lectures on stochastic geometry, University of Wroclaw, Mathematical Institute, 2006.

[36] Last G., Brandt A. Marked point processes on the real line: The dynamic approach, Springer–Verlag, New-York, 1995.

[37] Lundberg F. Approximations of the probability function / Reinsurance of Collective Risks, Doctoral thesis, 1903.

[38] Polyanin A.D., Manzhirov A.V. Handbook of integral equations, Chapman & Hall, 2008.

[39] Rolski T., Schmidli H., Schmidt V., Teugels J. Stochastic Processes for Insurance and Finance, Wiley Series in Probability and Statistics, 1998.

[40] Schl M. On piecewise deterministic Markov control processes: Control of jumps and of a risk processes in insurance, Insurance: Mathematics and Economics, 1998, 22, 75–91.

[41] Schmidli H. On Cramer-Lundberg approximations for ruin probabilities under optimal excess of loss reinsurance, Journal of Num. and Appl. Mathematics, 2008, 96, 198–205.

[42] Schmidli H. On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance, Ann. Appl.

Prob., 2002, 12, 890–907.

[43] Schmidli H. On optimal investment and subexponential claims, Insurance: Mathematics and Economics, 2005, 36, 25–35.

[44] Schmidli H. Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting, Scand.

Actuarial J., 2000, 1, 55–68.

[45] Schmidli H. Stochastic control in insurance, Springer–Verlag, London, 2008.

[46] Striebel C. Martingal conditions for the optimal control of conditions time stochastic systems, Stochastic Process. Appl., 1984, 18, 328–347.

[47] Wua H., Guoa J., Tang L. Optimal dividend strategies in discrete risk model with capital injections, Appl. Stochastic Models Bus. Ind., 2011, 27, 557 566.

[48] Yushkevich A.A. Bellman inequalities in Markov decision deterministic drift processes, Stochastics, 1987, 23, 25–77.

[49] Громов А.Н. Оптимальная стратегия перестрахования эксцедента убытка, Вест ник Московского Университета. Серия 1, Математика. Механика, 2012, в. 4, 17–22.

[50] Громов А.Н. Оптимальная стратегия перестрахования и инвестирования, Вестник Московского Университета. Серия 1, Математика. Механика, 2013, в. 2, 6–12.

[51] Громов А.Н. Оптимальное инвестирование в модели с возможностью вливания ка питала, Сборник Современные проблемы математики и механики, 2013, Том VIII, Математика, в.3, стр. 52–60.

[52] Громов А.Н. Оптимальные стратегии инвестирования и перестрахования, Тезисы Международной конференции Теория вероятностей и ее приложения, посвященной 100-летию со дня рождения Б.В.Гнеденко, 2012, с. 322.

[53] Громов А.Н. Оптимальная стратегия страховщика при возможности перестрахо вания и вложения в рисковый актив, Тезисы XVIII Международной научной конфе ренции студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов-2011, 2011, с. 42.

[54] Громов А.Н. Предельное распределение капитала в модели с возможностью влива ния капитала и инвестированием, Деп. в ВИНИТИ, №354–В2013, 19 стр.

[55] Gromov A. Optimal investment for an Erlang(n) risk process, Abstracts of the XXX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, 2012, p. 28.

[56] Gromov A. Optimal investment strategy in the risk model with capital injections, Abstracts of the XXXI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, 2013, p.99.

[57] Gromov A. Modeling the optimal investment strategy in Sparre–Andersen risk model, Abstracts of the Seventh International Workshop on Simulation, 2013, p. 183-185.



Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.